Compleja:ej-cap1.1

1. Demuestre que el producto de números complejos cumple con la ley asociativa

Sean Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z = a + i b, \quad w = c + i d, \quad s = e + i f \, \quad con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \quad a,b,c,d,e,f \in \mbox{R}

Por demostrar $(zw)s=z(ws)\,$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): (zw)s = [(a + i b)(c + i d)](e + i f) = [(ac - bd) + i (bc + ad)](e + i f)\,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): =[e(ac - bd) - f(bc + ad)] + i [e(bc + ad) + f(ac - bd) = (ace - bde - bcf - adf) + i (bce + ade + acf - bdf)\,

Por otra parte

$z(ws)=(a+ib)[(c+id)(e+if)]=(a+ib)[(ce-df)+i(de+cf)]\,$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): =[a(ce - df) - b(de + cf)] + i [b(ce - df) + a(de + cf)] = (ace - bde - bcf - adf) + i (bce + ade + acf - bdf)\,

Entonces se cumple Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): (zw)s = z(ws)\, .

--Gabita 22:15 28 sep 2009 (UTC)

1.1.2

1. Demuestre que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \left|\frac{z}{w}\right| = \frac{\left|z\right|}{\left|w\right|}

Sean $z=a+ib\quad y\quad w=c+id\,$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \left|\frac{z}{w}\right|= \left|\frac{a + i b }{c + i d}\right|= \left|\frac{(a + i b)(c - i d)}{(c + i d)(c - i d)}\right|

$=\left|{\frac {(ac+bd)+i(bc-ad)}{c^{2}+d^{2}}}\right|={\sqrt {{\bigg (}{\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}{\bigg )}^{2}+{\bigg (}{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}{\bigg )}^{2}}}={\frac {1}{c^{2}+d^{2}}}{\sqrt {(ac+bd)^{2}+(bc-ad)^{2}}}$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): =\frac{1}{c^2 + d^2}\sqrt{a^2 c^2 + a^2 d^2 + b^2 c^2 + b^2 d^2 } = \sqrt{\Bigg [\frac{a^2 (c^2 + d^2)}{(c^2 + d^2)^2}\Bigg ] + \Bigg [\frac{b^2 (c^2 + d^2)}{(c^2 + d^2)^2}\Bigg ] } = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}}

Por otra parte

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\left|z\right|}{\left|w\right|} = \frac{\left|a + i b\right|}{\left|c + i d\right|} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}} = \left|\frac{z}{w}\right|

--Gabita 22:15 28 sep 2009 (UTC)

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2. Exprese Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \overline{\left(\frac{\left(2+3i\right)^2}{4+i}\right)} de la forma Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x+iy

Por las propiedades Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \overline{\left ( \frac{z}{w} \right )}=\frac\bar{z}\bar{w} , ${\overline {zw}}={\bar {z}}{\bar {w}}$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\overline{\left ({2+3i}\right)^2}}{\overline{\left({4+i}\right)}}=\frac{\overline{\left ({2+3i}\right)}\overline{\left ({2+3i}\right)}}{\overline{\left({4+i}\right)}}=\frac{\left(2-3i\right)\left(2-3i\right)}{\left(4-i\right)}

Simplificando, se obtiene:

${\frac {4-6i-6i-9}{4-i}}={\frac {-5-12i}{4-i}}$

Resolviendo la división de números complejos, de la forma:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{z}{w}=\frac{z\bar{w}}{w\bar{w}}=\frac{z\bar{w}}{\left|w\right|^2} :

${\frac {\left(-5-12i\right)\left(4+i\right)}{\left(4-i\right)\left(4+i\right)}}={\frac {-20-5i-48i+12}{17}}={\frac {-8-53i}{17}}$

=$-{\frac {8}{17}}-{\frac {53}{17}}i$.

--Josua Da Vinci 23:00 28 sep 2009 (UTC)

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3. Demuestre que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \alpha es raiz de un polinomio real si y solo si ${\overline {\alpha }}$ lo es.

Sea ${\overline {\alpha }}$ solucion de un polinomio real,

entonces ${\overline {\alpha }}\in \mathbb {R}$

como ${\overline {\alpha }}=\alpha$, por lo tanto $\alpha$ tambien es solucion.

--Luis Nava 06:35 30 sep 2009 (UTC)

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5. Sean Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z_1 , z_2 , z_3 \in \mathbb{C} tales que cumplen Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} = \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} , demuestre que estos tres puntos determinan un triángulo equilátero.

Archivo:Comp triang eq2.jpg

Figura 1

Tenemos que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \left | \frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} \right | = \left | \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} \right |,\qquad (1)

y, por lo tanto,

${\frac {|z_{2}-z_{1}|}{|z_{3}-z_{1}|}}={\frac {|z_{1}-z_{3}|}{|z_{2}-z_{3}|}}.\qquad (2)$

De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \left . \begin{matrix}|z_2 - z_1| = A\\ |z_3 - z_1| = B = |z_1 - z_3|\\ |z_2 - z_3| = C\\ \end{matrix} \right \} \qquad (3)

De (2) y (3) tenemos que:

${\frac {A}{B}}={\frac {B}{C}}.\qquad (4)$

Por triángulos semejantes, se tiene que el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \beta es igual al ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \gamma y éste a su vez al ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \alpha , es decir,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \alpha = \beta = \gamma. \qquad (5)

Y la ecuación (5) es precisamente la condición para que el triángulo ABC de la Figura 1 sea equilátero.

--Belen 02:48 29 sep 2009 (UTC)

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6. Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\begin{align}z & = x+iy \end{align}} , pruebe que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}

Puesto que el número complejo z puede escribirse como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\begin{align}z & = Re(z)+iIm(z) \end{align}}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\begin{align}\left|{z}\right| & = \sqrt{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2} \end{align}}

Se deduce que

${\left|{z}\right|}{\geq }{\left|{Re(z)}\right|}$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{Im(z)}\right|}

Como el cuadrado de un número real no puede ser negativo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {{[\left|{Re(z)}\right|-\left|{Im(z)}\right|]^2}{\ge }0}

Entonces

${[Re(z)]^{2}+[Im(z)]^{2}-2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|{\geq }0}$

O sea

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2}{\ge }2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}

O de otra manera

${{\left|{z}\right|^{2}}{\geq }2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}$

Sumando ${\left|{z}\right|^{2}}$, a ambos lados se tiene

${{2\left|{z}\right|^{2}}{\geq }\left|{z}\right|^{2}+2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}$

Como

${\begin{aligned}\left|{z}\right|^{2}&=\left|{Re(z)}\right|^{2}+\left|{Im(z)}\right|^{2}\end{aligned}}$

Entonces

${{2\left|{z}\right|^{2}}{\geq }\left|{Re(z)}\right|^{2}+\left|{Im(z)}\right|^{2}+2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}$

De donde

${{2\left|{z}\right|^{2}}{\geq }[\left|{Re(z)}\right|+\left|{Im(z)}\right|]^{2}}$

Sacando raíces cuadradas positivas

${{{\sqrt {2}}\ \left|{z}\right|}{\geq }\left|{Re(z)}\right|+\left|{Im(z)}\right|}$

Por lo tanto

${{{\sqrt {2}}\ \left|{z}\right|}{\geq }{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}}$

--Ralf Gutierrez 19:18 29 sep 2009 (UTC)

---

6-bis. Sea ${\begin{aligned}z&=x+iy\end{aligned}}$, pruebe que ${\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\leq }{{\sqrt {2}}\ \left|{z}\right|}$

Tenemos que ${\begin{aligned}z&=x+iy\end{aligned}}$, entonces de la teoria sabemos que

${\begin{aligned}\left|{z}\right|&={\sqrt {[x]^{2}+[y]^{2}}}\end{aligned}}\qquad (1)$

${\left|{x}\right|=\left|{Re(z)}\right|}{\leq }{\left|{z}\right|}$

${\left|{y}\right|=\left|{Im(z)}\right|}{\leq }{\left|{z}\right|}$

Tambien es inmediato que para z $\in \mathbb {R}$, ${\overline {z}}=z$, y que el cuadrado de cualquier numero real es siempre positivo, entonces de esto se tiene que

${{[\left|{x}\right|-\left|{y}\right|]^{2}}{\geq }0}$

Desarrollando el binomio se tiene que

${[x]^{2}+[y]^{2}-2\left|{x}\right|\left|{y}\right|{\geq }0}$

${{[x]^{2}+[y]^{2}}{\geq }2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}$

Y por la identidad (1) esto se puede escribir como

${{\left|{z}\right|^{2}}{\geq }2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}$

Ahora sumando en ambos lados ${\left|{z}\right|^{2}}$ obtenemos lo siguiente

${{2\left|{z}\right|^{2}}{\geq }\left|{z}\right|^{2}+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}$

Pero ademas como ${{\left|{z}\right|^{2}}={\left|{x}\right|^{2}}+{\left|{y}\right|^{2}}}$, lo sustituimos en el resultado anterior

${{2\left|{z}\right|^{2}}{\geq }\left|{x}\right|^{2}}+{\left|{y}\right|^{2}+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}$

Es facil ver que

${{[\left|{x}\right|+\left|{y}\right|]^{2}}={[x]^{2}+[y]^{2}+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}}$

Utilizando este resultado se deduce que

${{2\left|{z}\right|^{2}}{\geq }{[\left|{x}\right|+\left|{y}\right|]^{2}}}$

Y tomando las raices positivas llegamos al siguiente resultado

${{\sqrt {2}}\left|{z}\right|}{\geq }{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}$

Que es lo que se queria mostrar.

--Oscar Adrian 03:56 1 oct 2009 (UTC)

---

7. Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados.

Sacamos las normas de los números complejos

$z=a+ib,\quad w=c+id,\quad$

$a^{2}$

|z|=${\sqrt {(a)^{2}+(b)^{2}}}$ |w|=${\sqrt {(c)^{2}+(d)^{2}}}$

|z|+|w|=|h|

${\sqrt {(a)^{2}+(b)^{2}}}$+ ${\sqrt {(c)^{2}+(d)^{2}}}$

$(a)^{2}+(b)^{2}=|z|^{2}$ $(c)^{2}+(d)^{2}=|w|^{2}$

$(c)^{2}+(d)^{2}+(a)^{2}+(b)^{2}=(c)^{2}+(d)^{2}+(a)^{2}+(b)^{2}$

1.1.3

1. Calcule las raìces cuadradas de $3+4i$ y de $1+2i$.

Aplicando la formula para calcular raices cuadradas de numeros complejos.

$\pm \left({\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}+i{\sqrt {\frac {-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}\right)$ si $\quad b>0$

Por lo tanto las raices de $3+4i$, son:

$=\pm \left({\sqrt {\frac {3+{\sqrt {25}}}{2}}}+i{\sqrt {\frac {-3+{\sqrt {25}}}{2}}}\right)$

$=\pm \left({\sqrt {\frac {8}{2}}}+i{\sqrt {1}}\right)$

$=\pm \left(2+i\right)$

y para $1+2i$, son:

$=\pm \left({\sqrt {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}+i{\sqrt {\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}}\right)$

$=\pm \left({\sqrt {1.61}}+i{\sqrt {0.61}}\right)$

$=\pm \left(1.27+i0.78\right).$

--Josua Da Vinci 23:44 30 sep 2009 (UTC)

---

2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i

Sea $z=-64=64(cos\pi +isen\pi )\,$

Por la formula de De Moivre

$z^{1/6}=64^{1/6}(cos\pi +sen\pi )^{1/6}=2(cos({\frac {\pi +2k\pi }{6}})+isen({\frac {\pi +2k\pi }{6}}))$ para k = 0,1,2,3,4,5

Evaluando k se obtiene

con k = 0

$w_{0}=2(cos({\frac {\pi }{6}})+isen({\frac {\pi }{6}}))={\sqrt {3}}+i$

con k = 1

$w_{1}=2(cos({\frac {\pi +2\pi }{6}})+isen({\frac {\pi +2\pi }{6}}))=2(cos({\frac {\pi }{2}})+isen({\frac {\pi }{2}}))=2i$

con k = 2

$w_{2}=2(cos({\frac {\pi +4\pi }{6}})+isen({\frac {\pi +4\pi }{6}}))=2(cos({\frac {5\pi }{6}})+isen({\frac {5\pi }{6}}))=-{\sqrt {3}}+i$

con k = 3

$w_{3}=2(cos({\frac {\pi +6\pi }{6}})+isen({\frac {\pi +6\pi }{6}}))=2(cos({\frac {7\pi }{6}})+isen({\frac {7\pi }{6}}))=-{\sqrt {3}}-i$

con k = 4

$w_{4}=2(cos({\frac {\pi +8\pi }{6}})+isen({\frac {\pi +8\pi }{6}}))=2(cos({\frac {3\pi }{2}})+isen({\frac {3\pi }{2}}))=-2i$

con k = 5

$w_{5}=2(cos({\frac {\pi +10\pi }{6}})+isen({\frac {\pi +10\pi }{6}}))=2(cos({\frac {11\pi }{6}})+isen({\frac {11\pi }{6}}))={\sqrt {3}}-i$

..............

Sea $z=8i=8(cos({\frac {\pi }{2}})+sen({\frac {\pi }{2}})\,$

$z^{1/3}=8^{1/3}(cos({\frac {\pi }{2}})+isen({\frac {\pi }{2}}))^{1/3}=2(cos({\frac {{\frac {\pi }{2}}+2k\pi }{3}})+isen({\frac {{\frac {\pi }{2}}+2k\pi }{3}}))$ para k = 0,1,2

Evaluando a k se obtiene

con k = 0

$w_{0}=2(cos({\frac {\pi }{6}})+isen({\frac {\pi }{6}})={\sqrt {3}}+i$

con k = 1

$w_{1}=2(cos({\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi }{3}})+isen({\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi }{3}}))=2(cos({\frac {5\pi }{6}})+isen({\frac {5\pi }{6}})=-{\sqrt {3}}+i$

con k = 2

$w_{2}=2(cos({\frac {{\frac {\pi }{2}}+4\pi }{3}})+isen({\frac {{\frac {\pi }{2}}+4\pi }{3}}))=2(cos({\frac {3\pi }{2}})+isen({\frac {3\pi }{2}}))=-2i$

--Luis Nava 21:07 3 oct 2009 (UTC)

---

3. Demuestre que $1+Z+Z^{2}+...+Z^{n-1}=0$ donde z es una raíz n-ésima de la unidad, $z\neq 1$

Sea $S=1+Z+Z^{2}+...+Z^{n-1}$

Ahora multiplicamos ambos lados por Z

$ZS=Z+Z^{2}+Z^{3}+...+Z^{n-1}+Z^{n}$

Restando la segunda ecuación de la primera

${(s=1+z+z^{2}+...+z^{n-1})-(zs=z+^{2}+z^{3}+...+z^{n-1}+z^{n})}$

Tenemos que

${s-zs=1-z^{n}}\to {s(1-z)=1-z^{n}}$

De donde

$s={\frac {1-z^{n}}{1-z}}$

Como z es una raíz enesima de la unidad

$0={\frac {1-z^{n}}{1-z}}$

$\to {1-z^{n}=0}$

$\to {z^{n}=1}$

Entonces

$\to {z^{n}=1}$

y

${1-z}\neq {0}$

porque

${z}\neq {1}$

Por lo tanto

${s=0}$

--Ralf Gutierrez 22:00 2 oct 2009 (UTC)

1.1.4

--mfg-wiki 21:27 25 sep 2009 (UTC)