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Problema 35 de 1.1. Demostrar que el número complejo dado cumple la condición y encuentra otro número que la cumpla $z_2$:
$z^2 + i = 0$; $z_1 = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i$
Resolvemos la ecuación:
$z_1^2=z_1 z_1 = (-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i)(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i)=\dfrac{2}{4}-\dfrac{2}{4}i-\dfrac{2}{4}i-\dfrac{2}{4}$
$z_1^2=(\dfrac{2}{4}-\dfrac{2}{4})-(\dfrac{2}{4}+\dfrac{2}{4})i=-i$
Sustituimos:
$z_1^2+i=-i+i=0$
Por lo que cumple la condición. Otro número que cumple la misma condición podría ser el obtenido con un cambio de signo entre su parte $Re(z_1)$ e $Im(z_1)$:
$z_2=\frac{\sqrt{2}}{4}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}i$
Resolvemos la ecuación para $z_2$;
$z_2^2=z_2z_2=(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{2}{2}i)(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{2}{2}i)=\dfrac{2}{4}-\dfrac{2}{4}i-\dfrac{2}{4}i-\dfrac{2}{4}$
$z_2^2=(\dfrac{2}{4}-\dfrac{2}{4})-(\dfrac{2}{4}+\dfrac{2}{4})i=-i$
Sustituimos:
$z_2^2+i=-i+i=0$
Por lo que el número $z_2=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}i$ cumple también la condición $z^2+i=0$.
Chapter 1
Chapter 1
Zill
Zill

Revisión del 19:40 12 may 2015

Problema 35 de 1.1. Demostrar que el número complejo dado cumple la condición y encuentra otro número que la cumpla $z_2$:

$z^2 + i = 0$; $z_1 = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i$

Resolvemos la ecuación:

$z_1^2=z_1 z_1 = (-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i)(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i)=\dfrac{2}{4}-\dfrac{2}{4}i-\dfrac{2}{4}i-\dfrac{2}{4}$

$z_1^2=(\dfrac{2}{4}-\dfrac{2}{4})-(\dfrac{2}{4}+\dfrac{2}{4})i=-i$

Sustituimos:

$z_1^2+i=-i+i=0$

Por lo que cumple la condición. Otro número que cumple la misma condición podría ser el obtenido con un cambio de signo entre su parte $Re(z_1)$ e $Im(z_1)$:

$z_2=\frac{\sqrt{2}}{4}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}i$

Resolvemos la ecuación para $z_2$;

$z_2^2=z_2z_2=(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{2}{2}i)(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{2}{2}i)=\dfrac{2}{4}-\dfrac{2}{4}i-\dfrac{2}{4}i-\dfrac{2}{4}$

$z_2^2=(\dfrac{2}{4}-\dfrac{2}{4})-(\dfrac{2}{4}+\dfrac{2}{4})i=-i$

Sustituimos:

$z_2^2+i=-i+i=0$

Por lo que el número $z_2=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}i$ cumple también la condición $z^2+i=0$.

Chapter 1 Zill

1.1 Complex Numbers and Their Properties


1. Evaluate the following powers of i.

(a) $i^{8}$

(b) $i^{11}$

(c) $i^{42}$

(d) $i^{105}$

Solución:

A partir de la definición $i^{2}=-1$, se pueden obtener las primeras potencias de $i$

$i=i$

$i^{2}=-1$

$i^{3}=-i$

$i^{4}=1$

$i^{5}=i$

$i^{6}=-1$

$i^{7}=-i$

$i^{8}=i$

De aquí se observa que existe una sucesión en los resultados de estas potencias, además $i^{4k}=i$, para cualquier $k=1,2,3,4,...$ .

Se deduce entonces que:

\begin{equation} i^{n}=i^{4k+b}=i^{b} \end{equation}


Empleando esta fórmula de obtiene que:

(a)

$i^{8}=i^{2(4)+0}=i^{0}=1$

(b)

$i^{11}=i^{4(2)+3}=i^{3}=-i$

(c)

$i^{42}=i^{4(10)+2}=i^{2}=-1$

(d)

$i^{105}=i^{4(26)+1}=i^{1}=1$

Ejercicio resuelto por: --Luis Santos (discusión) 14:58 12 mayo 2015 (CDT)




1. Demuestre que el producto de números complejos cumple con la ley asociativa

Sean con


Por demostrar




Por otra parte



Entonces se cumple .


--Gabita 22:15 28 sep 2009 (UTC)


SECCION 1.1.2

1. Demuestre que

Sean





Por otra parte


--Gabita 22:15 28 sep 2009 (UTC)



2. Exprese de la forma


Por las propiedades ,



Simplificando, se obtiene:



Resolviendo la división de números complejos, de la forma:


:



=.


--Josua Da Vinci 23:00 28 sep 2009 (UTC)




3. Demuestre que es raiz de un polinomio real si y solo si lo es.


Sea solucion de un polinomio real,

entonces

como , por lo tanto tambien es solucion.


--Luis Nava 06:35 30 sep 2009 (UTC)



5. Sean tales que cumplen , demuestre que estos tres puntos determinan un triángulo equilátero.

Tenemos que

y, por lo tanto,

De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber:

De (2) y (3) tenemos que:

Por triángulos semejantes, se tiene que el ángulo es igual al ángulo y éste a su vez al ángulo , es decir,

Y la ecuación (5) es precisamente la condición para que el triángulo ABC de la Figura 1 sea equilátero.

--Belen 02:48 29 sep 2009 (UTC)


6. Sea , pruebe que


Puesto que el número complejo z puede escribirse como


Se deduce que


Como el cuadrado de un número real no puede ser negativo


Entonces

O sea

O de otra manera


Sumando , a ambos lados se tiene


Como

Entonces

De donde

Sacando raíces cuadradas positivas


Por lo tanto

--Ralf Gutierrez 19:18 29 sep 2009 (UTC)


6-bis. Sea , pruebe que

Tenemos que , entonces de la teoria sabemos que



Tambien es inmediato que para z , , y que el cuadrado de cualquier numero real es siempre positivo, entonces de esto se tiene que

Desarrollando el binomio se tiene que


Y por la identidad (1) esto se puede escribir como

Ahora sumando en ambos lados obtenemos lo siguiente



Pero ademas como , lo sustituimos en el resultado anterior



Es facil ver que



Utilizando este resultado se deduce que



Y tomando las raices positivas llegamos al siguiente resultado



Que es lo que se queria mostrar.


--Oscar Adrian 03:56 1 oct 2009 (UTC)






REVISADO

7. Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados.

Archivo:Dibujobueno.jpg

Sacamos las normas de los números complejos

|z|= |w|=

Por algebra de vectores

Donde |h| es la resultante de |z|+|w|

+

De la misma forma el dibujo nos indica q trasladamos la magnitudes de los vectores

|w| y |z| y por tanto también tendremos |z|+|w| =|h|

Entonces si |z|+|w| = |h|

Aplicando el teorema de pitagoras q nos dice

d = cateto

f = cateto

entonces tenemos que

Aplicamos pitagoras

Por tanto

se cumple la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de la diagonal.

--Karla 22:47 4 oct 2009 (UTC)Sanchez


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