Diferencia entre revisiones de «Compleja:ej-cap1.1»

De luz-wiki
Línea 328: Línea 328:
--[[Usuario:Karla|Karla]] 22:47 4 oct 2009 (UTC)Sanchez
--[[Usuario:Karla|Karla]] 22:47 4 oct 2009 (UTC)Sanchez


== '''SECCION 1.1.3''' ==
'''1. Calcule las raìces cuadradas de <math>3+4i</math> y de <math>1+2i</math>.'''
Aplicando la formula para calcular raices cuadradas de numeros complejos.
<math>\pm\left(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}} + i\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\right)</math>  si <math>\quad b>0</math>
Por lo tanto las raices de <math>3+4i</math>, son:
<math>=\pm\left(\sqrt{\frac{3+\sqrt{25}}{2}} + i\sqrt{\frac{-3+\sqrt{25}}{2}}\right)</math>
<math>=\pm\left(\sqrt{\frac{8}{2}} + i\sqrt{1}\right)</math>
<math>=\pm\left(2+i\right)</math>
y para <math>1+2i</math>, son:
<math>=\pm\left(\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} + i\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right)</math>
<math>=\pm\left(\sqrt{1.61} + i\sqrt{0.61}\right)</math>
<math>=\pm\left(1.27 + i 0.78\right).</math>
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 23:44 30 sep 2009 (UTC)
----
'''REVISADO'''
'''2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i'''
Tenemos que  <math>cos\boldsymbol{\theta}+i sen\boldsymbol{\theta}= -64</math>  definicion en forma polar
[[Imagen:Demo2.jpg]]
r=64
n=6 porque nos piden las raíces sextas
Entonces el argumento <math>\boldsymbol{\theta}=\pi</math>
Si <math>x+iy=re^{i\boldsymbol{\theta}}</math>
Entonces utilizando la definición de Moivre para obtener las raíces
<math>(g e^{i\boldsymbol{\phi}n})= r e^{i\boldsymbol{\theta}}</math>
Ahora tenemos
<math>g^n=r</math>  y    g= raíz enesima <math>\sqrt{64}</math>= = 2
y  <math>\boldsymbol{\phi}n=\boldsymbol{\theta}+2k\pi</math>    los <math>2\pi</math> es porque tomamos en cuenta la periodicidad de la funció n y k son todos los múltiplos de <math>2\pi</math>
entonces sacando las raíces
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6 </math>  k=0
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi / 6 + 2\pi / 6 = 3\pi / 6</math>    k=1 
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6+2(2)\pi/6= 5\pi/6 </math>  k=2 
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6+(3)2\pi/6= 7\pi/6 </math>  k=3
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6+2(4)\pi/6= 9\pi/6 </math>  k=4
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6+2(5)\pi/6= 11\pi/6 </math>  k=5 
Las soluciones son
r1= 2 <math> e^{i( \pi/6)}</math>
r2= 2 <math> e^{i( 3\pi/6)}</math>
r3= 2 <math> e^{i( 5\pi/6)}</math>
r4= 2 <math> e^{i( 7\pi/6)}</math>
r5= 2 <math> e^{i( 9\pi/6)}</math>
r6= 2 <math> e^{i( 11\pi/6)}</math>
Graficando en coordenadas polares nos queda:
[[Imagen:POLIGONO2.jpg]]
Haciendo algo similar para el 8i Tenemos
<math>cos\boldsymbol{\theta}+i sen\boldsymbol{\theta}= 8i</math>
[[Imagen:DEMO3.jpg]]
el argumento <math>\boldsymbol{\theta}=\pi/2</math>
r= 8
n=3 porque nos pinden las raíces cubicas
<math>g^n=r</math>  y    g= raíz enesima <math>\sqrt{8}</math>= = 2
<math>\boldsymbol{\phi}n = \boldsymbol{\theta}+2k\pi  </math>
           
<math>\boldsymbol{\phi} = \boldsymbol{\theta}+2k\pi  =\pi/6  </math>  k=0
<math>\boldsymbol{\phi}=\pi/6+2\pi/3= 5\pi/6</math>    k=1 
<math>\boldsymbol{\phi}==\pi/6+2(2)\pi/3= 9\pi/6</math>  k=2 
r1= 2 <math> e^{i( \pi/6)}</math>
r2= 2 <math> e^{i( 5\pi/6)}</math>
r3= 2 <math> e^{i( 9\pi/6)}</math>
Graficando en coordenadas polares tenemos
[[Imagen:RAICES.jpg]]
--[[Usuario:Karla|Karla]] 21:35 4 oct 2009 (UTC)Sanchez
----
'''2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i'''
Sea  <math> z = -64 = 64(cos\pi + isen\pi)\,</math>
Por la formula de De Moivre
<math>z^{1/6} = 64^{1/6}(cos\pi + sen\pi)^{1/6} = 2 (cos(\frac{\pi+2k\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+2k\pi}{6}))</math>    para  k = 0,1,2,3,4,5
Evaluando k se obtiene
con k = 0
<math>w_{0} = 2(cos(\frac{\pi}{6}) + isen(\frac{\pi}{6})) = \sqrt{3} + i</math> 
con k = 1
<math>w_{1} = 2(cos(\frac{\pi+2\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+2\pi}{6})) = 2(cos(\frac{\pi}{2}) + isen(\frac{\pi}{2})) = 2i</math>
con k = 2 
<math>w_{2} = 2(cos(\frac{\pi+4\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+4\pi}{6})) = 2(cos(\frac{5\pi}{6}) + isen(\frac{5\pi}{6})) = -\sqrt{3} + i</math>
con k = 3
<math>w_{3} = 2(cos(\frac{\pi+6\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+6\pi}{6})) = 2(cos(\frac{7\pi}{6}) + isen(\frac{7\pi}{6})) = -\sqrt{3} - i</math>
con k = 4
<math>w_{4} = 2(cos(\frac{\pi+8\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+8\pi}{6})) = 2(cos(\frac{3\pi}{2}) + isen(\frac{3\pi}{2})) = -2i</math>
con k = 5
<math>w_{5} = 2(cos(\frac{\pi+10\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+10\pi}{6})) = 2(cos(\frac{11\pi}{6}) + isen(\frac{11\pi}{6})) = \sqrt{3} - i</math> 
..............
Sea <math>z = 8i = 8(cos(\frac{\pi}{2}) + sen(\frac{\pi}{2})\,</math>
<math>z^{1/3} = 8^{1/3}(cos(\frac{\pi}{2}) + isen(\frac{\pi}{2}))^{1/3} = 2(cos(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}) + isen(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}))</math>  para k = 0,1,2
Evaluando a k se obtiene
con k = 0
<math>w_{0} = 2(cos(\frac{\pi}{6}) + isen(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3} + i</math>
con k = 1
<math>w_{1} = 2(cos(\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{3}) + isen(\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{3})) = 2(cos(\frac{5\pi}{6}) + isen(\frac{5\pi}{6}) = -\sqrt{3} + i</math>
con k = 2
<math>w_{2} = 2(cos(\frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}{3}) + isen(\frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}{3})) = 2(cos(\frac{3\pi}{2}) + isen(\frac{3\pi}{2})) = -2i</math>
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 21:07 3 oct 2009 (UTC)
----
'''3. Demuestre que <math>\ 1+Z+Z^2+...+Z^{n-1}=0</math> donde z es una raíz n-ésima de la unidad,
<math>z\neq 1</math>'''
Sea <math>\ S=1+Z+Z^2+...+Z^{n-1}</math>
Ahora multiplicamos ambos lados por Z
<math>\ ZS=Z+Z^2+Z^3+...+Z^{n-1}+Z^n</math>
Restando la segunda ecuación de la primera
<math>\ {(s=1+z+z^2+...+z^{n-1})-(zs=z+^2+z^3+...+z^{n-1}+z^n)}</math>
Tenemos que
<math>\ {s-zs=1-z^n}</math> 
entonces 
<math>\ {s(1-z)=1-z^n}</math>
De donde
<math>s=\frac{1-z^n}{1-z}</math>
Como z es una raíz enesima de la unidad
<math>0=\frac{1-z^n}{1-z}</math>
<math>\ {1-z^n=0} </math>
<math>\ {z^n=1} </math>
Entonces
<math>\ {z^n=1} </math>
y
<math>{1-z}\ne{0}</math>
porque
<math> {z}\ne{1} </math>
Por lo tanto
'''<math> {s=0} </math>'''
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 22:00 2 oct 2009 (UTC)
----
'''4. Demuestre que:
<center>
<math>\frac{n}{2^{n-1}}=\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{\pi}{k}</math>
</center>
Sugerencia: Factoriza la expresión <math>1+z+z^2+\cdots+z^n</math> usando las raices n-ésimas de la unidad, posteriormente evalue en <math>z=1</math>.'''
Solución:
Las raices de <math>z^m=1</math> son
<center>
<math>z=1,e^{\frac{2\pi i}{m}},e^{\frac{4\pi i}{m}},\dots,e^{\frac{(2m-1)\pi i}{m}}</math>
</center>
entonces podemos escribir
<center>
<math>z^{m-1}=(z-e^{\frac{2\pi i}{m}})(z-e^{\frac{4\pi i}{m}})\cdots(z-e^{\frac{(2m-1)\pi i}{m}})</math>
</center>
dividiendo ambos lados por <math>z-1</math> y haciendo <math>z=1</math>:
<center>
<math>\frac{z^{m-1}}{z-1}=1+z+z^2+\cdots+z^{m-1}</math>
</center>
de aqui hallamos que
<center>
<math>m=(1-e^{\frac{2\pi i}{m}})(1-e^{\frac{4\pi i}{m}})\cdots(1-e^{\frac{(2m-1)\pi i}{m}})\qquad (1)</math>
</center>
tomando el conjugado complejo de ambos lados de (1)
<center>
<math>m=(1-e^{\frac{-2\pi i}{m}})(1-e^{\frac{-4\pi i}{m}})\cdots(1-e^{\frac{-(2m-1)\pi i}{m}})\qquad (2)</math>
</center>
Multiplicando la ecuación (1) por la (2) y aplicando que
<center>
<math>1-(1-e^{\frac{2k\pi i}{m}})(1-e^{\frac{2k\pi i}{m}})= 2 - 2\cos\frac{2k\pi}{m}</math>
</center>
tenemos
<center>
<math>m^2=2^{m-1}(1-\cos\frac{2\pi}{m})(1-\cos\frac{4\pi}{m})\cdots(1-\cos\frac{2(m-1)\pi}{m})</math>
</center>
puesto que
<center>
<math>1-\cos\frac{2k\pi}{m}=2\sin^2\frac{k\pi}{m}</math>
</center>
la ecuación anterior se transforma en
<center>
<math>m^2=2^{2m-2}(\sin^2\frac{\pi}{m})(\sin^2\frac{2\pi}{m})\cdots(\sin^2\frac{(m-1)\pi}{m})</math>
</center>
despejando y sacando la raíz en ambos lados de la expresión:
<center>
<math>\frac{m}{2^{m-1}}=(\sin\frac{\pi}{m})(\sin\frac{2\pi}{m})\cdots(\sin\frac{(m-1)\pi}{m})</math>
</center>
lo que queda demostrada la igualdad.
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 23:10 4 oct 2009 (UTC)
----
'''5.''' '''Demuestre que'''
<math>1+cos\phi+cos2\phi+...............+cos n\phi=\frac{1}{2}+\frac{sen\left(n\phi+\frac{\phi}{2}\right)}{2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)}</math>,
'''donde'''          '''<math>\phi</math> '''    '''no es un multiplo par de'''      '''<math>\pi</math>.'''
'''Esta identidad se le atribuye a Lagrange.'''
Sugerencia: calcular la parte real de
<math>1+z+z^{2}+..........+z^{n}</math>,  donde    <math>z=cos\phi+isen\phi</math>.
'''Solucion.'''
Sea
<math>S=1+z+z^{2}+.......+z^{n}</math>            si multiplicamos por <math>z</math> a <math>S</math> se tiene  que
<math>zS=z+z^{2}+z^{3}+......+z^{n}+z^{n+1}</math>          ahora restemos estas dos    ultimas expresiones
<math>\left(S-zS\right)=\left(1-z\right)S=1-z^{n+1}</math>              de lo que se obtiene que
<math>S=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}</math>
Si en esta última expresion utilizamos    <math>z=cos\phi+isen\phi</math>    entonces 
<math>S=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}</math> 
toma la siguiente forma
<math>1+\left(cos\phi+isen\phi\right)+\left(cos\phi+isen\phi\right)^{2}+........+\left(cos\phi+isen\phi\right)^{n}=\frac{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)^{n+1}}{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)} </math>
que es equivalente a esta
<math>1+\left(cos\phi+isen\phi\right)+\left(cos2\phi+isen2\phi\right)+........+\left(cosn\phi+isen\left(n\phi\right)\right)=\frac{1-\left(cos\left(n+1\right)\phi+isen\left(n+1\right)\phi\right)}{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)}</math>
Tomando el lado derecho de esta ultima expresión y llevar a cabo el producto con su conjugado , es decir:
<math>\left(\frac{1-cos\left(n\phi+\phi\right)-isen\left(n\phi+\phi\right)}{1-cos\phi-isen\phi}\right)\star\left(\frac{1-cos\phi+isen\phi}{1-cos\phi+isen\phi}\right)
</math>
Se obtiene del numerador  lo siguiente
<math>1-cos\phi+isen\phi-cosn\left(n\phi+\phi\right)+cos\phi cos\left(n\phi+\phi\right)-isen\phi cos\left(n\phi+\phi\right)-isen\left(n\phi+\phi\right)+icos\phi sen\left(n\phi+\phi\right)+sen\phi sen\left(n\phi+\phi\right)
</math>
si tomamos solo la parte real se tiene que
<math>1-cos\phi-cos\left(n\phi+\phi\right)+cos\phi cos\left(n\phi+\phi\right)+sen\phi sen\left(n\phi+\phi\right)=</math>
<math>1-cos\phi+cos\left(n\phi-\phi\right)-cos\left(n\phi+\phi\right)</math><math>=</math>  <math>1-cos\phi+2sen\phi sen\phi</math>
por otra parte para el denominador se tiene:
<math>\left(1-cos\phi\right)^{2}+sen^{2}\phi=</math>
<math>1-2cos\phi+sen^{2}\phi+cos^{2}\phi=</math>  <math>2\left(1-cos\phi\right)</math>
al tomar la parte real de
<math>1+\left(cos\phi+isen\phi\right)+\left(cos2\phi+isen2\phi\right)+........+\left(cosn\phi+isenn\phi\right)=\frac{1-\left(cos\left(n+1\right)\phi+isen\left(n+1\right)\phi\right)}{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)}</math>,
sustituir lo encontrado para el numerador (parte real)  y el denominador , y utilizar la siguiente
identidad
<math>sen\left(\frac{\phi}{2}\right)=\sqrt{\frac{1-cos\phi}{2}}</math>
tenemos lo siguiente:
<math>
1+cos\phi+cos2\phi+...............+cosn\phi=\frac{2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)+sen\phi sen\left(n\phi\right)}{2\left(2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)\right)}=\frac{1}{2}+\frac{sen\phi sen\left(n\phi\right)}{2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)}</math>
Lo cual es casi a lo que se queria llegar.
--[[Usuario:Dali|Dali]] 00:01 5 oct 2009 (UTC)
;OTRA DEMOSTRACION DEL EJERCICIO1.1.3 NUMERO 5:
'''5.''' '''Demuestre que'''
<math>1+cos\phi+cos2\phi+...............+cos n\phi=\frac{1}{2}+\frac{sen\left(n\phi+\frac{\phi}{2}\right)}{2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)}</math>,
'''donde'''          '''<math>\phi</math> '''    '''no es un multiplo par de'''      '''<math>\pi</math>.'''
'''Esta identidad se le atribuye a Lagrange.'''
Sugerencia: calcular la parte real de
<math>1+z+z^{2}+..........+z^{n}</math>,  donde    <math>z=cos\phi+isen\phi</math>.
'''Solucion.'''
Sea
<math>\left(1-Z\right){\displaystyle {\scriptscriptstyle {\displaystyle \sum_{K=0}^{n}z^{k}=}}\sum_{k=0}^{n}z^{k}-\sum_{k=0}^{n}z^{k+1}=1+\sum_{k=1}^{n}z^{k}-\sum_{k=1}^{n}z^{k}-z^{n+1}=1-z^{n+1}}</math>
y como <math>z\neq1</math>..............& y por ser una serie geometrica la podemos escribir de la siguiente manera
<math>{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}z^{k}=\dfrac{1-z^{n+1}}{1-z}}</math>
Sea <math>\theta\in\left(0,2\Pi\right)</math>, aplicando & con <math>z=e^{i\theta}\in c/\{1\}</math>
se tiene lo siguiente
== '''<math>
== '''<math>
{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}e^{ik\theta}=\dfrac{1-e^{i\left(n+1\right)\theta}}{1-e^{i\theta}}}</math>''' ==
{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}e^{ik\theta}=\dfrac{1-e^{i\left(n+1\right)\theta}}{1-e^{i\theta}}}</math>''' ==

Revisión del 09:27 15 oct 2010

1. Demuestre que el producto de números complejos cumple con la ley asociativa

Sean con


Por demostrar




Por otra parte



Entonces se cumple .


--Gabita 22:15 28 sep 2009 (UTC)


SECCION 1.1.2

1. Demuestre que

Sean





Por otra parte


--Gabita 22:15 28 sep 2009 (UTC)



2. Exprese de la forma


Por las propiedades ,



Simplificando, se obtiene:



Resolviendo la división de números complejos, de la forma:


:



=.


--Josua Da Vinci 23:00 28 sep 2009 (UTC)




3. Demuestre que es raiz de un polinomio real si y solo si lo es.


Sea solucion de un polinomio real,

entonces

como , por lo tanto tambien es solucion.


--Luis Nava 06:35 30 sep 2009 (UTC)



5. Sean tales que cumplen , demuestre que estos tres puntos determinan un triángulo equilátero.

Tenemos que

y, por lo tanto,

De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber:

De (2) y (3) tenemos que:

Por triángulos semejantes, se tiene que el ángulo es igual al ángulo y éste a su vez al ángulo , es decir,

Y la ecuación (5) es precisamente la condición para que el triángulo ABC de la Figura 1 sea equilátero.

--Belen 02:48 29 sep 2009 (UTC)


6. Sea , pruebe que


Puesto que el número complejo z puede escribirse como


Se deduce que


Como el cuadrado de un número real no puede ser negativo


Entonces

O sea

O de otra manera


Sumando , a ambos lados se tiene


Como

Entonces

De donde

Sacando raíces cuadradas positivas


Por lo tanto

--Ralf Gutierrez 19:18 29 sep 2009 (UTC)


6-bis. Sea , pruebe que

Tenemos que , entonces de la teoria sabemos que



Tambien es inmediato que para z , , y que el cuadrado de cualquier numero real es siempre positivo, entonces de esto se tiene que

Desarrollando el binomio se tiene que


Y por la identidad (1) esto se puede escribir como

Ahora sumando en ambos lados obtenemos lo siguiente



Pero ademas como , lo sustituimos en el resultado anterior



Es facil ver que



Utilizando este resultado se deduce que



Y tomando las raices positivas llegamos al siguiente resultado



Que es lo que se queria mostrar.


--Oscar Adrian 03:56 1 oct 2009 (UTC)






REVISADO

7. Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados.

Archivo:Dibujobueno.jpg

Sacamos las normas de los números complejos

|z|= |w|=

Por algebra de vectores

Donde |h| es la resultante de |z|+|w|

+

De la misma forma el dibujo nos indica q trasladamos la magnitudes de los vectores

|w| y |z| y por tanto también tendremos |z|+|w| =|h|

Entonces si |z|+|w| = |h|

Aplicando el teorema de pitagoras q nos dice

d = cateto

f = cateto

entonces tenemos que

Aplicamos pitagoras

Por tanto

se cumple la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de la diagonal.

--Karla 22:47 4 oct 2009 (UTC)Sanchez

y tomamos partes reales obtenemos .............% desarrolandola se tiene :


= =.

Con lo cual solo basta probar que

Veamos la demostracion


..............#


Si la igualdad # es cierta. Si no, es equivalente a


.

Lo cual es cierto por la formula de coseno diferencial . Por lo tanto queda demostrado que

.--Diana Rodriguez Almaraz. 04:47 15 oct 2010 (UTC)



Compleja:ej-cap1.2

Compleja:ej-cap1.3

Compleja:ej-cap1.4