# Diferencia entre revisiones de «Compleja:ej-cap1.1»

1. Demuestre que el producto de números complejos cumple con la ley asociativa

Sean ${\displaystyle z=a+ib,\quad w=c+id,\quad s=e+if\,\quad }$ con ${\displaystyle \quad a,b,c,d,e,f\in {\mbox{R}}}$

Por demostrar ${\displaystyle (zw)s=z(ws)\,}$

${\displaystyle (zw)s=[(a+ib)(c+id)](e+if)=[(ac-bd)+i(bc+ad)](e+if)\,}$

${\displaystyle =[e(ac-bd)-f(bc+ad)]+i[e(bc+ad)+f(ac-bd)=(ace-bde-bcf-adf)+i(bce+ade+acf-bdf)\,}$

Por otra parte

${\displaystyle z(ws)=(a+ib)[(c+id)(e+if)]=(a+ib)[(ce-df)+i(de+cf)]\,}$

${\displaystyle =[a(ce-df)-b(de+cf)]+i[b(ce-df)+a(de+cf)]=(ace-bde-bcf-adf)+i(bce+ade+acf-bdf)\,}$

Entonces se cumple ${\displaystyle (zw)s=z(ws)\,}$.

--Gabita 22:15 28 sep 2009 (UTC)

## 1.1.2

1. Demuestre que ${\displaystyle \left|{\frac {z}{w}}\right|={\frac {\left|z\right|}{\left|w\right|}}}$

Sean ${\displaystyle z=a+ib\quad y\quad w=c+id\,}$

${\displaystyle \left|{\frac {z}{w}}\right|=\left|{\frac {a+ib}{c+id}}\right|=\left|{\frac {(a+ib)(c-id)}{(c+id)(c-id)}}\right|}$

${\displaystyle =\left|{\frac {(ac+bd)+i(bc-ad)}{c^{2}+d^{2}}}\right|={\sqrt {{\bigg (}{\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}{\bigg )}^{2}+{\bigg (}{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}{\bigg )}^{2}}}={\frac {1}{c^{2}+d^{2}}}{\sqrt {(ac+bd)^{2}+(bc-ad)^{2}}}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{c^{2}+d^{2}}}{\sqrt {a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}}}={\sqrt {{\Bigg [}{\frac {a^{2}(c^{2}+d^{2})}{(c^{2}+d^{2})^{2}}}{\Bigg ]}+{\Bigg [}{\frac {b^{2}(c^{2}+d^{2})}{(c^{2}+d^{2})^{2}}}{\Bigg ]}}}={\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}+d^{2}}}}}$

Por otra parte

${\displaystyle {\frac {\left|z\right|}{\left|w\right|}}={\frac {\left|a+ib\right|}{\left|c+id\right|}}={\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}+d^{2}}}}=\left|{\frac {z}{w}}\right|}$

--Gabita 22:15 28 sep 2009 (UTC)

2. Exprese ${\displaystyle {\overline {\left({\frac {\left(2+3i\right)^{2}}{4+i}}\right)}}}$de la forma ${\displaystyle x+iy}$

Por las propiedades ${\displaystyle {\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\bar {z}}{\bar {w}}}}$ , ${\displaystyle {\overline {zw}}={\bar {z}}{\bar {w}}}$

${\displaystyle {\frac {\overline {\left({2+3i}\right)^{2}}}{\overline {\left({4+i}\right)}}}={\frac {{\overline {\left({2+3i}\right)}}{\overline {\left({2+3i}\right)}}}{\overline {\left({4+i}\right)}}}={\frac {\left(2-3i\right)\left(2-3i\right)}{\left(4-i\right)}}}$

Simplificando, se obtiene:

${\displaystyle {\frac {4-6i-6i-9}{4-i}}={\frac {-5-12i}{4-i}}}$

Resolviendo la división de números complejos, de la forma:

${\displaystyle {\frac {z}{w}}={\frac {z{\bar {w}}}{w{\bar {w}}}}={\frac {z{\bar {w}}}{\left|w\right|^{2}}}}$:

${\displaystyle {\frac {\left(-5-12i\right)\left(4+i\right)}{\left(4-i\right)\left(4+i\right)}}={\frac {-20-5i-48i+12}{17}}={\frac {-8-53i}{17}}}$

=${\displaystyle -{\frac {8}{17}}-{\frac {53}{17}}i}$.

--Josua Da Vinci 23:00 28 sep 2009 (UTC)

3. Demuestre que ${\displaystyle \alpha }$ es raiz de un polinomio real si y solo si ${\displaystyle {\overline {\alpha }}}$ lo es.

Sea ${\displaystyle {\overline {\alpha }}}$ solucion de un polinomio real,

entonces ${\displaystyle {\overline {\alpha }}\in \mathbb {R} }$

como ${\displaystyle {\overline {\alpha }}=\alpha }$, por lo tanto ${\displaystyle \alpha }$ tambien es solucion.

--Luis Nava 06:35 30 sep 2009 (UTC)

5. Sean ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {C} }$ tales que cumplen ${\displaystyle {\frac {z_{2}-z_{1}}{z_{3}-z_{1}}}={\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}}$, demuestre que estos tres puntos determinan un triángulo equilátero.

Tenemos que

${\displaystyle \left|{\frac {z_{2}-z_{1}}{z_{3}-z_{1}}}\right|=\left|{\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}\right|,\qquad (1)}$

y, por lo tanto,

${\displaystyle {\frac {|z_{2}-z_{1}|}{|z_{3}-z_{1}|}}={\frac {|z_{1}-z_{3}|}{|z_{2}-z_{3}|}}.\qquad (2)}$

De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber:

${\displaystyle \left.{\begin{matrix}|z_{2}-z_{1}|=A\\|z_{3}-z_{1}|=B=|z_{1}-z_{3}|\\|z_{2}-z_{3}|=C\\\end{matrix}}\right\}\qquad (3)}$

De (2) y (3) tenemos que:

${\displaystyle {\frac {A}{B}}={\frac {B}{C}}.\qquad (4)}$

Por triángulos semejantes, se tiene que el ángulo ${\displaystyle \beta }$ es igual al ángulo ${\displaystyle \gamma }$ y éste a su vez al ángulo ${\displaystyle \alpha }$, es decir,

${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma .\qquad (5)}$

Y la ecuación (5) es precisamente la condición para que el triángulo ABC de la Figura 1 sea equilátero.

--Belen 02:48 29 sep 2009 (UTC)

6. Sea {\displaystyle {\begin{aligned}z&=x+iy\end{aligned}}}, pruebe que ${\displaystyle {\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\leq }{{\sqrt {2}}\ \left|{z}\right|}}$

Puesto que el número complejo z puede escribirse como

{\displaystyle {\begin{aligned}z&=Re(z)+iIm(z)\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}\left|{z}\right|&={\sqrt {[Re(z)]^{2}+[Im(z)]^{2}}}\end{aligned}}}

Se deduce que

${\displaystyle {\left|{z}\right|}{\geq }{\left|{Re(z)}\right|}}$

${\displaystyle {\left|{z}\right|}{\geq }{\left|{Im(z)}\right|}}$

${\displaystyle {{[\left|{Re(z)}\right|-\left|{Im(z)}\right|]^{2}}{\geq }0}}$

Entonces

${\displaystyle {[Re(z)]^{2}+[Im(z)]^{2}-2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|{\geq }0}}$

O sea

${\displaystyle {{[Re(z)]^{2}+[Im(z)]^{2}}{\geq }2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}}$

O de otra manera

${\displaystyle {{\left|{z}\right|^{2}}{\geq }2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}}$

Sumando ${\displaystyle {\left|{z}\right|^{2}}}$, a ambos lados se tiene

${\displaystyle {{2\left|{z}\right|^{2}}{\geq }\left|{z}\right|^{2}+2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}}$

Como

{\displaystyle {\begin{aligned}\left|{z}\right|^{2}&=\left|{Re(z)}\right|^{2}+\left|{Im(z)}\right|^{2}\end{aligned}}}

Entonces

${\displaystyle {{2\left|{z}\right|^{2}}{\geq }\left|{Re(z)}\right|^{2}+\left|{Im(z)}\right|^{2}+2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}}$

De donde

${\displaystyle {{2\left|{z}\right|^{2}}{\geq }[\left|{Re(z)}\right|+\left|{Im(z)}\right|]^{2}}}$

${\displaystyle {{{\sqrt {2}}\ \left|{z}\right|}{\geq }\left|{Re(z)}\right|+\left|{Im(z)}\right|}}$

Por lo tanto

${\displaystyle {{{\sqrt {2}}\ \left|{z}\right|}{\geq }{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}}}$

--Ralf Gutierrez 19:18 29 sep 2009 (UTC)

6-bis. Sea {\displaystyle {\begin{aligned}z&=x+iy\end{aligned}}}, pruebe que ${\displaystyle {\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\leq }{{\sqrt {2}}\ \left|{z}\right|}}$

Tenemos que {\displaystyle {\begin{aligned}z&=x+iy\end{aligned}}}, entonces de la teoria sabemos que

{\displaystyle {\begin{aligned}\left|{z}\right|&={\sqrt {[x]^{2}+[y]^{2}}}\end{aligned}}\qquad (1)}

${\displaystyle {\left|{x}\right|=\left|{Re(z)}\right|}{\leq }{\left|{z}\right|}}$

${\displaystyle {\left|{y}\right|=\left|{Im(z)}\right|}{\leq }{\left|{z}\right|}}$

Tambien es inmediato que para z ${\displaystyle \in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle {\overline {z}}=z}$, y que el cuadrado de cualquier numero real es siempre positivo, entonces de esto se tiene que

${\displaystyle {{[\left|{x}\right|-\left|{y}\right|]^{2}}{\geq }0}}$

Desarrollando el binomio se tiene que

${\displaystyle {[x]^{2}+[y]^{2}-2\left|{x}\right|\left|{y}\right|{\geq }0}}$

${\displaystyle {{[x]^{2}+[y]^{2}}{\geq }2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}}$

Y por la identidad (1) esto se puede escribir como

${\displaystyle {{\left|{z}\right|^{2}}{\geq }2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}}$

Ahora sumando en ambos lados ${\displaystyle {\left|{z}\right|^{2}}}$ obtenemos lo siguiente

${\displaystyle {{2\left|{z}\right|^{2}}{\geq }\left|{z}\right|^{2}+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}}$

Pero ademas como ${\displaystyle {{\left|{z}\right|^{2}}={\left|{x}\right|^{2}}+{\left|{y}\right|^{2}}}}$, lo sustituimos en el resultado anterior

${\displaystyle {{2\left|{z}\right|^{2}}{\geq }\left|{x}\right|^{2}}+{\left|{y}\right|^{2}+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}}$

Es facil ver que

${\displaystyle {{[\left|{x}\right|+\left|{y}\right|]^{2}}={[x]^{2}+[y]^{2}+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}}}$

Utilizando este resultado se deduce que

${\displaystyle {{2\left|{z}\right|^{2}}{\geq }{[\left|{x}\right|+\left|{y}\right|]^{2}}}}$

Y tomando las raices positivas llegamos al siguiente resultado

${\displaystyle {{\sqrt {2}}\left|{z}\right|}{\geq }{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}}$

Que es lo que se queria mostrar.

--Oscar Adrian 03:56 1 oct 2009 (UTC)

Sacamos las normas de los números complejos

|z|=${\displaystyle {\sqrt {(a)^{2}+(b)^{2}}}}$ |w|=${\displaystyle {\sqrt {(c)^{2}+(d)^{2}}}}$

Por algebra de vectores

${\displaystyle |z|+|w|=|h|}$

Donde |h| es la resultante de |z|+|w|

${\displaystyle {\sqrt {(a)^{2}+(b)^{2}}}}$+ ${\displaystyle {\sqrt {(c)^{2}+(d)^{2}}}=|h|}$

De la misma forma el dibujo nos indica q trasladamos la magnitudes de los vectores

|w| y |z| y por tanto también tendremos |z|+|w| =|h|

Entonces si |z|+|w| = |h|

Aplicando el teorema de pitagoras q nos dice

d = cateto

f = cateto

${\displaystyle e^{2}=d^{2}+f^{2}}$

entonces tenemos que

${\displaystyle (a)^{2}+(b)^{2}=|z|^{2}}$ ${\displaystyle (c)^{2}+(d)^{2}=|w|^{2}}$

Aplicamos pitagoras

${\displaystyle (c)^{2}+(d)^{2}+(a)^{2}+(b)^{2}=(c)^{2}+(d)^{2}+(a)^{2}+(b)^{2}}$

Por tanto

${\displaystyle |z|^{2}+|w|^{2}=|h|^{2}}$ se cumple la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de la diagonal.

--Karla 22:47 4 oct 2009 (UTC)Sanchez

## 1.1.3

1. Calcule las raìces cuadradas de ${\displaystyle 3+4i}$ y de ${\displaystyle 1+2i}$.

${\displaystyle \pm \left({\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}+i{\sqrt {\frac {-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}\right)}$ si ${\displaystyle \quad b>0}$

Por lo tanto las raices de ${\displaystyle 3+4i}$, son:

${\displaystyle =\pm \left({\sqrt {\frac {3+{\sqrt {25}}}{2}}}+i{\sqrt {\frac {-3+{\sqrt {25}}}{2}}}\right)}$

${\displaystyle =\pm \left({\sqrt {\frac {8}{2}}}+i{\sqrt {1}}\right)}$

${\displaystyle =\pm \left(2+i\right)}$

y para ${\displaystyle 1+2i}$, son:

${\displaystyle =\pm \left({\sqrt {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}+i{\sqrt {\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}}\right)}$

${\displaystyle =\pm \left({\sqrt {1.61}}+i{\sqrt {0.61}}\right)}$

${\displaystyle =\pm \left(1.27+i0.78\right).}$

--Josua Da Vinci 23:44 30 sep 2009 (UTC)

2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i

Tenemos que ${\displaystyle cos{\boldsymbol {\theta }}+isen{\boldsymbol {\theta }}=-64}$ definicion en forma polar

r=64

n=6 porque nos piden las raíces sextas

Entonces el argumento ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\pi }$

Si ${\displaystyle x+iy=re^{i{\boldsymbol {\theta }}}}$

Entonces utilizando la definición de Moivre para obtener las raíces

${\displaystyle (ge^{i{\boldsymbol {\phi }}n})=re^{i{\boldsymbol {\theta }}}}$

Ahora tenemos

${\displaystyle g^{n}=r}$ y g= raíz enesima ${\displaystyle {\sqrt {64}}}$= = 2

y ${\displaystyle {\boldsymbol {\phi }}n={\boldsymbol {\theta }}+2k\pi }$ los ${\displaystyle 2\pi }$ es porque tomamos en cuenta la periodicidad de la funció n y k son todos los múltiplos de ${\displaystyle 2\pi }$ entonces sacando las raíces

${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\pi /6}$ k=0

${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\pi /6+2\pi /6=3\pi /6}$ k=1

${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\pi /6+2(2)\pi /6=5\pi /6}$ k=2

${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\pi /6+(3)2\pi /6=7\pi /6}$ k=3

${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\pi /6+2(4)\pi /6=9\pi /6}$ k=4

${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\pi /6+2(5)\pi /6=11\pi /6}$ k=5

Las soluciones son

r1= 2 ${\displaystyle e^{i(\pi /6)}}$

r2= 2 ${\displaystyle e^{i(3\pi /6)}}$

r3= 2 ${\displaystyle e^{i(5\pi /6)}}$

r4= 2 ${\displaystyle e^{i(7\pi /6)}}$

r5= 2 ${\displaystyle e^{i(9\pi /6)}}$

r6= 2 ${\displaystyle e^{i(11\pi /6)}}$

Graficando en coordenadas polares nos queda:

Haciendo algo similar para el 8i Tenemos

${\displaystyle cos{\boldsymbol {\theta }}+isen{\boldsymbol {\theta }}=8i}$

el argumento ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\pi /2}$

r= 8

n=3 porque nos pinden las raíces cubicas

${\displaystyle g^{n}=r}$ y g= raíz enesima ${\displaystyle {\sqrt {8}}}$= = 2

${\displaystyle {\boldsymbol {\phi }}n={\boldsymbol {\theta }}+2k\pi }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\phi }}={\boldsymbol {\theta }}+2k\pi =\pi /6}$ k=0

${\displaystyle {\boldsymbol {\phi }}=\pi /6+2\pi /3=5\pi /6}$ k=1

${\displaystyle {\boldsymbol {\phi }}==\pi /6+2(2)\pi /3=9\pi /6}$ k=2

r1= 2 ${\displaystyle e^{i(\pi /6)}}$

r2= 2 ${\displaystyle e^{i(5\pi /6)}}$

r3= 2 ${\displaystyle e^{i(9\pi /6)}}$

--Karla 21:35 4 oct 2009 (UTC)Sanchez

2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i

Sea ${\displaystyle z=-64=64(cos\pi +isen\pi )\,}$

Por la formula de De Moivre

${\displaystyle z^{1/6}=64^{1/6}(cos\pi +sen\pi )^{1/6}=2(cos({\frac {\pi +2k\pi }{6}})+isen({\frac {\pi +2k\pi }{6}}))}$ para k = 0,1,2,3,4,5

Evaluando k se obtiene

con k = 0

${\displaystyle w_{0}=2(cos({\frac {\pi }{6}})+isen({\frac {\pi }{6}}))={\sqrt {3}}+i}$

con k = 1

${\displaystyle w_{1}=2(cos({\frac {\pi +2\pi }{6}})+isen({\frac {\pi +2\pi }{6}}))=2(cos({\frac {\pi }{2}})+isen({\frac {\pi }{2}}))=2i}$

con k = 2

${\displaystyle w_{2}=2(cos({\frac {\pi +4\pi }{6}})+isen({\frac {\pi +4\pi }{6}}))=2(cos({\frac {5\pi }{6}})+isen({\frac {5\pi }{6}}))=-{\sqrt {3}}+i}$

con k = 3

${\displaystyle w_{3}=2(cos({\frac {\pi +6\pi }{6}})+isen({\frac {\pi +6\pi }{6}}))=2(cos({\frac {7\pi }{6}})+isen({\frac {7\pi }{6}}))=-{\sqrt {3}}-i}$

con k = 4

${\displaystyle w_{4}=2(cos({\frac {\pi +8\pi }{6}})+isen({\frac {\pi +8\pi }{6}}))=2(cos({\frac {3\pi }{2}})+isen({\frac {3\pi }{2}}))=-2i}$

con k = 5

${\displaystyle w_{5}=2(cos({\frac {\pi +10\pi }{6}})+isen({\frac {\pi +10\pi }{6}}))=2(cos({\frac {11\pi }{6}})+isen({\frac {11\pi }{6}}))={\sqrt {3}}-i}$

..............

Sea ${\displaystyle z=8i=8(cos({\frac {\pi }{2}})+sen({\frac {\pi }{2}})\,}$

${\displaystyle z^{1/3}=8^{1/3}(cos({\frac {\pi }{2}})+isen({\frac {\pi }{2}}))^{1/3}=2(cos({\frac {{\frac {\pi }{2}}+2k\pi }{3}})+isen({\frac {{\frac {\pi }{2}}+2k\pi }{3}}))}$ para k = 0,1,2

Evaluando a k se obtiene

con k = 0

${\displaystyle w_{0}=2(cos({\frac {\pi }{6}})+isen({\frac {\pi }{6}})={\sqrt {3}}+i}$

con k = 1

${\displaystyle w_{1}=2(cos({\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi }{3}})+isen({\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi }{3}}))=2(cos({\frac {5\pi }{6}})+isen({\frac {5\pi }{6}})=-{\sqrt {3}}+i}$

con k = 2

${\displaystyle w_{2}=2(cos({\frac {{\frac {\pi }{2}}+4\pi }{3}})+isen({\frac {{\frac {\pi }{2}}+4\pi }{3}}))=2(cos({\frac {3\pi }{2}})+isen({\frac {3\pi }{2}}))=-2i}$

--Luis Nava 21:07 3 oct 2009 (UTC)

3. Demuestre que ${\displaystyle 1+Z+Z^{2}+...+Z^{n-1}=0}$ donde z es una raíz n-ésima de la unidad, ${\displaystyle z\neq 1}$

Sea ${\displaystyle S=1+Z+Z^{2}+...+Z^{n-1}}$

Ahora multiplicamos ambos lados por Z

${\displaystyle ZS=Z+Z^{2}+Z^{3}+...+Z^{n-1}+Z^{n}}$

Restando la segunda ecuación de la primera

${\displaystyle {(s=1+z+z^{2}+...+z^{n-1})-(zs=z+^{2}+z^{3}+...+z^{n-1}+z^{n})}}$

Tenemos que

${\displaystyle {s-zs=1-z^{n}}\to {s(1-z)=1-z^{n}}}$

De donde

${\displaystyle s={\frac {1-z^{n}}{1-z}}}$

Como z es una raíz enesima de la unidad

${\displaystyle 0={\frac {1-z^{n}}{1-z}}}$

${\displaystyle \to {1-z^{n}=0}}$

${\displaystyle \to {z^{n}=1}}$

Entonces

${\displaystyle \to {z^{n}=1}}$

y

${\displaystyle {1-z}\neq {0}}$

porque

${\displaystyle {z}\neq {1}}$

Por lo tanto

${\displaystyle {s=0}}$

--Ralf Gutierrez 22:00 2 oct 2009 (UTC)

4. Demuestre que:

${\displaystyle {\frac {n}{2^{n-1}}}=\prod _{k=1}^{n-1}\sin {\frac {\pi }{k}}}$

Sugerencia: Factoriza la expresión ${\displaystyle 1+z+z^{2}+\cdots +z^{n}}$ usando las raices n-ésimas de la unidad, posteriormente evalue en ${\displaystyle z=1}$.

Solución:

Las raices de ${\displaystyle z^{m}=1}$ son

${\displaystyle z=1,e^{\frac {2\pi i}{m}},e^{\frac {4\pi i}{m}},\dots ,e^{\frac {(2m-1)\pi i}{m}}}$

entonces podemos escribir

${\displaystyle z^{m-1}=(z-e^{\frac {2\pi i}{m}})(z-e^{\frac {4\pi i}{m}})\cdots (z-e^{\frac {(2m-1)\pi i}{m}})}$

dividiendo ambos lados por ${\displaystyle z-1}$ y haciendo ${\displaystyle z=1}$:

${\displaystyle {\frac {z^{m-1}}{z-1}}=1+z+z^{2}+\cdots +z^{m-1}}$

de aqui hallamos que

${\displaystyle m=(1-e^{\frac {2\pi i}{m}})(1-e^{\frac {4\pi i}{m}})\cdots (1-e^{\frac {(2m-1)\pi i}{m}})\qquad (1)}$

${\displaystyle m=(1-e^{\frac {-2\pi i}{m}})(1-e^{\frac {-4\pi i}{m}})\cdots (1-e^{\frac {-(2m-1)\pi i}{m}})\qquad (2)}$

Multiplicando la ecuación (1) por la (2) y aplicando que

${\displaystyle 1-(1-e^{\frac {2k\pi i}{m}})(1-e^{\frac {2k\pi i}{m}})=2-2\cos {\frac {2k\pi }{m}}}$

tenemos

${\displaystyle m^{2}=2^{m-1}(1-\cos {\frac {2\pi }{m}})(1-\cos {\frac {4\pi }{m}})\cdots (1-\cos {\frac {2(m-1)\pi }{m}})}$

puesto que

${\displaystyle 1-\cos {\frac {2k\pi }{m}}=2\sin ^{2}{\frac {k\pi }{m}}}$

la ecuación anterior se transforma en

${\displaystyle m^{2}=2^{2m-2}(\sin ^{2}{\frac {\pi }{m}})(\sin ^{2}{\frac {2\pi }{m}})\cdots (\sin ^{2}{\frac {(m-1)\pi }{m}})}$

despejando y sacando la raíz en ambos lados de la expresión:

${\displaystyle {\frac {m}{2^{m-1}}}=(\sin {\frac {\pi }{m}})(\sin {\frac {2\pi }{m}})\cdots (\sin {\frac {(m-1)\pi }{m}})}$

lo que queda demostrada la igualdad. --Wendy 23:10 4 oct 2009 (UTC)

5. Demuestre que

${\displaystyle 1+cos\phi +cos2\phi +...............+cosn\phi ={\frac {1}{2}}+{\frac {sen\left(n\phi +{\frac {\phi }{2}}\right)}{2sen\left({\frac {\phi }{2}}\right)}}}$,

donde ${\displaystyle \phi }$ no es un multiplo par de ${\displaystyle \pi }$.

Sugerencia: calcular la parte real de

${\displaystyle 1+z+z^{2}+..........+z^{n}}$, donde ${\displaystyle z=cos\phi +isen\phi }$.

Solucion.

Sea

${\displaystyle S=1+z+z^{2}+.......+z^{n}}$ si multiplicamos por ${\displaystyle z}$ a ${\displaystyle S}$ se tiene que

${\displaystyle zS=z+z^{2}+z^{3}+......+z^{n}+z^{n+1}}$ ahora restemos estas dos ultimas expresiones

${\displaystyle \left(S-zS\right)=\left(1-z\right)S=1-z^{n+1}}$ de lo que se obtiene que

${\displaystyle S={\frac {1-z^{n+1}}{1-z}}}$

Si en esta última expresion utilizamos ${\displaystyle z=cos\phi +isen\phi }$ entonces

${\displaystyle S={\frac {1-z^{n+1}}{1-z}}}$

toma la siguiente forma

${\displaystyle 1+\left(cos\phi +isen\phi \right)+\left(cos\phi +isen\phi \right)^{2}+........+\left(cos\phi +isen\phi \right)^{n}={\frac {1-\left(cos\phi +isen\phi \right)^{n+1}}{1-\left(cos\phi +isen\phi \right)}}}$

que es equivalente a esta

${\displaystyle 1+\left(cos\phi +isen\phi \right)+\left(cos2\phi +isen2\phi \right)+........+\left(cosn\phi +isen\left(n\phi \right)\right)={\frac {1-\left(cos\left(n+1\right)\phi +isen\left(n+1\right)\phi \right)}{1-\left(cos\phi +isen\phi \right)}}}$

Tomando el lado derecho de esta ultima expresión y llevar a cabo el producto con su conjugado , es decir:

${\displaystyle \left({\frac {1-cos\left(n\phi +\phi \right)-isen\left(n\phi +\phi \right)}{1-cos\phi -isen\phi }}\right)\star \left({\frac {1-cos\phi +isen\phi }{1-cos\phi +isen\phi }}\right)}$

Se obtiene del numerador lo siguiente

${\displaystyle 1-cos\phi +isen\phi -cosn\left(n\phi +\phi \right)+cos\phi cos\left(n\phi +\phi \right)-isen\phi cos\left(n\phi +\phi \right)-isen\left(n\phi +\phi \right)+icos\phi sen\left(n\phi +\phi \right)+sen\phi sen\left(n\phi +\phi \right)}$

si tomamos solo la parte real se tiene que

${\displaystyle 1-cos\phi -cos\left(n\phi +\phi \right)+cos\phi cos\left(n\phi +\phi \right)+sen\phi sen\left(n\phi +\phi \right)=}$

${\displaystyle 1-cos\phi +cos\left(n\phi -\phi \right)-cos\left(n\phi +\phi \right)}$${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1-cos\phi +2sen\phi sen\phi }$

por otra parte para el denominador se tiene:

${\displaystyle \left(1-cos\phi \right)^{2}+sen^{2}\phi =}$

${\displaystyle 1-2cos\phi +sen^{2}\phi +cos^{2}\phi =}$ ${\displaystyle 2\left(1-cos\phi \right)}$

al tomar la parte real de

${\displaystyle 1+\left(cos\phi +isen\phi \right)+\left(cos2\phi +isen2\phi \right)+........+\left(cosn\phi +isenn\phi \right)={\frac {1-\left(cos\left(n+1\right)\phi +isen\left(n+1\right)\phi \right)}{1-\left(cos\phi +isen\phi \right)}}}$,

${\displaystyle sen\left({\frac {\phi }{2}}\right)={\sqrt {\frac {1-cos\phi }{2}}}}$

tenemos lo siguiente:

${\displaystyle 1+cos\phi +cos2\phi +...............+cosn\phi ={\frac {2sen\left({\frac {\phi }{2}}\right)+sen\phi sen\left(n\phi \right)}{2\left(2sen\left({\frac {\phi }{2}}\right)\right)}}={\frac {1}{2}}+{\frac {sen\phi sen\left(n\phi \right)}{2sen\left({\frac {\phi }{2}}\right)}}}$

Lo cual es casi a lo que se queria llegar.

--Dali 00:01 5 oct 2009 (UTC)

## 1.1.4

1. Demuestre que:

{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\textstyle \sum _{k=1}^{n}Z_{k}W_{k}\right|^{2}=\left(\sum _{k=1}^{n}\left|Z_{k}\right|^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}\left|W_{k}\right|^{2}\right)-\sum _{1

Se conoce como igualdad de Lagrange

Solución.

Esta demostración se hará por inducción, es decir, empezaremos suponiendo que el elemento ${\displaystyle n-1}$ se encuentra en el conjunto, pues entonces el resultado implica que el elemento ${\displaystyle n}$ esta en el conjunto.

Sea ${\displaystyle \eth =\left\{\omega \in \mathbb {N\,} tal\,que\left(I\right)\,se\,cumpla\right\}}$

Supongamos que ${\displaystyle n-1}$ esta en ${\displaystyle \eth }$ , es decir,

{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\textstyle \sum _{k=1}^{n-1}Z_{k}W_{k}\right|=\left(\sum _{k=1}^{n-1}\left|Z_{k}\right|^{2}\right)\left(\sum _{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^{2}\right)-\sum _{1

Tenemos que:

{\displaystyle {\begin{aligned}\aleph =\left(\sum _{k=1}^{n}\left|Z_{k}\right|^{2}\right)\left(\sum _{l=1}^{n}\left|W_{l}\right|^{2}\right)-\sum _{1

{\displaystyle {\begin{aligned}\aleph =\left(\sum _{k=1}^{n-1}\left|Z_{k}\right|^{2}+\left|Z_{n}\right|^{2}\right)\left(\sum _{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^{2}+\left|W_{n}\right|^{2}\right)-\sum _{1

{\displaystyle {\begin{aligned}\aleph =\left(\sum _{k=1}^{n-1}\left|Z_{k}\right|^{2}\right)\left(\sum _{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^{2}\right)+\left|W_{n}\right|^{2}\sum _{k=1}^{n-1}\left|Z_{k}\right|^{2}+\left|Z_{n}\right|^{2}\sum _{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^{2}+\left|Z_{n}\right|^{2}\left|W_{n}\right|^{2}-\sum _{1

{\displaystyle {\begin{aligned}\aleph =\left(\sum _{k=1}^{n-1}\left|Z_{k}\right|^{2}\right)\left(\sum _{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^{2}\right)-\sum _{1

Pero veamos la forma que toman las siguientes expresiones al expandir la suma,

{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{1

{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{1

Al comparar las expresiones ${\displaystyle vi}$ con ${\displaystyle vii}$ se observa que:

{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{1

Entonces si ahora utilizamos las expresiones ${\displaystyle viii}$, ${\displaystyle I}$ e ${\displaystyle i}$ podemos re-escribir ${\displaystyle \aleph }$ de la manera siguiente:

{\displaystyle {\begin{aligned}\aleph =\left|\sum _{k=1}^{n-1}Z_{k}W_{k}\right|^{2}-\sum _{j=1}^{n-1}\left|Z_{j}{\overline {W}}_{n}-Z_{n}{\overline {W}}_{j}\right|^{2}+\left|W_{n}\right|^{2}\sum _{k=1}^{n-1}\left|Z_{k}\right|^{2}+\left|Z_{n}\right|^{2}\sum _{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^{2}+\left|Z_{n}\right|^{2}\left|W_{n}\right|^{2}\qquad (ix)\\\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}\aleph =\left(\sum _{k=1}^{n}Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n}\right)\left(\sum _{l=1}^{n}{\overline {Z}}_{k}{\overline {W}}_{k}-{\overline {Z}}_{n}{\overline {W}}_{n}\right)-\sum _{j=1}^{n-1}\left(Z_{j}{\overline {W}}_{n}-Z_{n}{\overline {W}}_{j}\right)\left({\overline {Z}}_{j}W_{n}-{\overline {Z}}_{n}W_{j}\right)+\left|W_{n}\right|^{2}\sum _{k=1}^{n-1}\left|Z_{k}\right|^{2}+\left|Z_{n}\right|^{2}\sum _{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^{2}+\left|Z_{n}\right|^{2}\left|W_{n}\right|^{2}\qquad (x)\\\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}\aleph =\left|\sum _{k=1}^{n}Z_{k}W_{k}\right|^{2}-{\overline {Z}}_{n}{\overline {W}}_{n}\sum _{k=1}^{n}Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n}\sum _{l=1}^{n}{\overline {Z}}_{k}{\overline {W}}_{k}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^{2}-\left[\sum _{j=1}^{n-1}Z_{j}{\overline {W}}_{n}{\overline {Z}}_{j}W_{n}-\sum _{j=1}^{n-1}Z_{j}{\overline {W}}_{n}{\overline {Z}}_{n}W_{j}-\sum _{j=1}^{n-1}Z_{n}{\overline {W}}_{j}{\overline {Z}}_{j}W_{n}+\sum _{j=1}^{n-1}Z_{n}{\overline {W}}_{j}{\overline {Z}}_{n}W_{j}\right]+\left|W_{n}\right|^{2}\sum _{k=1}^{n-1}\left|Z_{k}\right|^{2}+\left|Z_{n}\right|^{2}\sum _{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^{2}+\left|Z_{n}\right|^{2}\left|W_{n}\right|^{2}\qquad (xi)\\\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}\aleph =\left|\sum _{k=1}^{n}Z_{k}W_{k}\right|^{2}-{\overline {Z}}_{n}{\overline {W}}_{n}\sum _{k=1}^{n}Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n}\sum _{k=1}^{n}{\overline {Z}}_{k}{\overline {W}}_{k}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^{2}-W_{n}{\overline {W}}_{n}\sum _{j=1}^{n-1}Z_{j}{\overline {Z}}_{j}+{\overline {W}}_{n}{\overline {Z}}_{n}\sum _{j=1}^{n-1}Z_{j}W_{j}+W_{n}Z_{n}\sum _{j=1}^{n-1}{\overline {W}}_{j}{\overline {Z}}_{j}-Z_{n}{\overline {Z}}_{n}\sum _{j=1}^{n-1}W_{j}{\overline {W}}_{j}+\left|W_{n}\right|^{2}\sum _{k=1}^{n-1}\left|Z_{k}\right|^{2}+\left|Z_{n}\right|^{2}\sum _{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^{2}+\left|Z_{n}\right|^{2}\left|W_{n}\right|^{2}\qquad (xii)\\\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}\aleph =\left|\sum _{k=1}^{n}Z_{k}W_{k}\right|^{2}-{\overline {Z}}_{n}{\overline {W}}_{n}\sum _{k=1}^{n}Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n}\sum _{k=1}^{n}{\overline {Z}}_{k}{\overline {W}}_{k}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^{2}-\left|W_{n}\right|^{2}\sum _{j=1}^{n-1}\left|Z_{j}\right|^{2}+{\overline {W}}_{n}{\overline {Z}}_{n}\sum _{j=1}^{n-1}Z_{j}W_{j}+W_{n}Z_{n}\sum _{j=1}^{n-1}{\overline {W}}_{j}{\overline {Z}}_{j}-\left|Z_{n}\right|^{2}\sum _{j=1}^{n-1}\left|W_{j}\right|^{2}+\left|W_{n}\right|^{2}\sum _{k=1}^{n-1}\left|Z_{k}\right|^{2}+\left|Z_{n}\right|^{2}\sum _{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^{2}+\left|Z_{n}\right|^{2}\left|W_{n}\right|^{2}\qquad (xiii)\\\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}\aleph =\left|\sum _{k=1}^{n}Z_{k}W_{k}\right|^{2}-{\overline {Z}}_{n}{\overline {W}}_{n}\sum _{k=1}^{n}Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n}\sum _{k=1}^{n}{\overline {Z}}_{k}{\overline {W}}_{k}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^{2}+{\overline {W}}_{n}{\overline {Z}}_{n}\sum _{j=1}^{n-1}Z_{j}W_{j}+W_{n}Z_{n}\sum _{j=1}^{n-1}{\overline {W}}_{j}{\overline {Z}}_{j}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^{2}\qquad (xiv)\\\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}\aleph =\left|\sum _{k=1}^{n}Z_{k}W_{k}\right|^{2}-{\overline {Z}}_{n}{\overline {W}}_{n}Z_{n}W_{n}-Z_{n}W_{n}{\overline {Z}}_{n}{\overline {W}}_{n}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^{2}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^{2}\qquad (xv)\\\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}\aleph =\left|\sum _{k=1}^{n}Z_{k}W_{k}\right|^{2}\qquad (xvi)\\\end{aligned}}}

por lo tanto si ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \eth }$ ${\displaystyle \Longrightarrow }$ ${\displaystyle n\in }$ ${\displaystyle \eth }$ .

--Dali 03:31 14 oct 2009 (UTC)

2.- Sean ${\displaystyle z_{1},z_{2},...,z_{n}\,}$ numeros complejos, ¿Bajo que condiciones se tiene que ${\displaystyle |z_{1}+z_{2}+...+z_{n}|=|z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}|\,}$ ?

Si ${\displaystyle z_{1}=z_{2}=...=z_{n}\,}$, entonces

${\displaystyle |z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}|=n|z_{1}|\,}$

${\displaystyle |z_{1}+z_{2}+...+z_{n}|=|nz_{1}|=n|z_{1}|\,}$

y por lo tanto

${\displaystyle |z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}|=|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}|\,}$

--Luis Nava 02:52 5 oct 2009 (UTC)

2.- Sean ${\displaystyle z_{1},z_{2},...,z_{n}\,}$ numeros complejos, ¿Bajo que condiciones se tiene que ${\displaystyle |z_{1}+z_{2}+...+z_{n}|=|z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}|\,}$ ?

Tomando como punto de partida la demostracion de la desigualdad del triangulo. Podemos generalizar por medio de la inducción matemática a sumas de cualquier número finito de términos.

${\displaystyle \left|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}\right|\leq \left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{n}\right|,(n=1,2,3,...)\qquad (1)}$.

Es claro ver que cuando n = 2 se cumple la desigualdad del triangulo.

${\displaystyle \left|z_{1}+z_{2}\right|\leq \left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|}$

Ahora suponiendo que (1) es válida cuando n=m, debe ser tambien para n=m+1, y aplicando la desigualdad del triangulo:

${\displaystyle \left|\left(z_{1}+z_{2}+...+z_{m}\right)+z_{m+1}\right|\leq \left|z_{1}+z_{2}+...+z_{m}\right|+\left|z_{m+1}\right|}$

${\displaystyle \left|(z_{1}+z_{2}+...+z_{m})+z_{m+1}\right|\leq (\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{m}\right|)+\left|z_{m+1}\right|}$

En donde los primeros m terminos los redefiniremos como Z${\displaystyle _{I},}$ y el termino m+1 como Z${\displaystyle _{II},}$. Entonces lo anterior queda como:

${\displaystyle \left|Z_{I}+Z_{II}\right|\leq \left|Z_{I}\right|+\left|Z_{II}\right|}$

${\displaystyle \left|Z_{I}+Z_{II}\right|=\left|Z_{I}\right|+\left|Z_{II}\right|\equiv \left|z_{1}+z_{2}+...+z_{m}+z_{m+1}\right|=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{m}\right|+\left|z_{m+1}\right|}$

${\displaystyle \left|z_{1}+z_{2}+...+z_{m}+z_{m+1}\right|=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{m}\right|+\left|z_{m+1}\right|\equiv \left|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}\right|=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{n}\right|}$

Esta desigualdad solo se cumple como igualdad cuando los numeros son colineales y tienen la misma direccion, esto tambien puede ser en los real (Re) o el imaginario (Im).

Esto es muy claro ver cuando n=2, en una grafica.

Aquí les dejo el enlace de la pagina donde consulte el código para generar las graficas para los que les interese. Demostracion grafica

--Oscar Adrian 03:41 16 oct 2009 (UTC) --Oscar Adrian 03:07 6 oct 2009 (UTC)

3. Encuentre el ínfimo de ${\displaystyle \left|z^{3}+2i\right|}$ en la región ${\displaystyle \left\{z\mid |z|\geq 2\right\}}$, y describa en qué puntos se alcanza.

Con una variante de la desigualdad del triángulo, tenemos que

${\displaystyle \left|z^{3}+i\right|\geq \left||z|^{3}-1\right|\geq 8-1.}$

Por tanto,

${\displaystyle 7\leq \left|z^{3}+i\right|.\qquad (1)}$

Entonces, el ínfimo de la expresión es 7.

Por otro lado, tenemos que, si ${\displaystyle z=r\left(cos\theta +1\sin \theta \right)}$

{\displaystyle {\begin{aligned}\left|z^{3}+i\right|^{2}&=\left|r^{3}\left(\cos 3\theta +i\sin 3\theta \right)+1\right|^{2}\\&=\left|r^{3}\cos 3\theta +1+ir^{3}\sin 3\theta \right|^{2}\\&=r^{6}+2r^{3}\cos 3\theta +1.\\\end{aligned}}}

Si tomamos la cota inferior, ${\displaystyle \left|z\right|=2}$, la expresión anterior es entonces:

{\displaystyle {\begin{aligned}\left|z^{3}+i\right|^{2}&=r^{6}+2r^{3}\cos 3\theta +1\\&=65+2r^{3}\cos 3\theta .\\\end{aligned}}}

Ya que la función coseno tiene su mínimo en el valor -1, tomemos una ${\displaystyle \theta }$ tal que ${\displaystyle \cos 3\theta {=}-1}$. Para este caso, tenemos dos valores: ${\displaystyle \theta _{1}{=}{\frac {\pi }{3}}}$ y ${\displaystyle \theta _{2}{=}\pi }$,

de tal forma que, con estos valores,

${\displaystyle \left|z^{3}+i\right|^{2}=65-16=49.}$

Con la fórmula de De Moivre, tenemos que el ínfimo de la expresión dada toma ese valor en ${\displaystyle z_{1}}$ y ${\displaystyle z_{2}}$ tales que

{\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}&=2\left(\cos \theta _{1}+i\sin \theta _{1}\right)\\&=2\left(\cos {\frac {\pi }{3}}+i\sin {\frac {\pi }{3}}\right)\\&=2\left({\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)\\z_{1}&=1+i{\sqrt {3}},\qquad (2)\\\end{aligned}}}

y

{\displaystyle {\begin{aligned}z_{2}&=2\left(\cos \theta _{2}+i\sin \theta _{2}\right)\\&=2\left(\cos \pi +i\sin \pi \right)\\z_{2}&=-2.\qquad (3)\\\end{aligned}}}

Pero, además, por le geometría de los números complejos, tenemos otros dos valores ${\displaystyle z_{3}}$ y ${\displaystyle z_{4}}$ tales que

{\displaystyle {\begin{aligned}z_{3}&=2\left(\cos \theta _{1}+\pi +i\sin \theta _{1}+\pi \right)\\&=2\left(\cos {\frac {4\pi }{3}}+i\sin {\frac {4\pi }{3}}\right)\\&=2\left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)\\&=-1-i{\sqrt {3}}\\z_{3}&=-z_{1},\qquad (4)\\\end{aligned}}}

y

{\displaystyle {\begin{aligned}z_{4}&=2\left(\cos \theta _{2}+\pi +i\sin \theta _{2}+\pi \right)\\&=2\left(\cos 2\pi +i\sin 2\pi \right)\\&=2\\z_{4}&=-z_{2}.\qquad (5)\\\end{aligned}}}

Por tanto, las expresiones (2), (3), (4) y (5) nos proporcionan los valores en que el ínfimo es tomado, a saber, ${\displaystyle \pm (1+i{\sqrt {3}})}$ y ${\displaystyle \pm 2}$.

--Belen 04:08 12 oct 2009 (UTC)