Diferencia entre revisiones de «Compleja:ej-cap1.1»

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Línea 1: Línea 1:
'''Problema 35 de 1.1 (Zill). Demostrar que el número complejo dado cumple la condición y encuentra otro número que la cumpla $z_2$:
$z^2 + i = 0$; $z_1 = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i$'''
Resolvemos la ecuación:
$z_1^2=z_1 z_1 = (-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i)(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i)=\dfrac{2}{4}-\dfrac{2}{4}i-\dfrac{2}{4}i-\dfrac{2}{4}$
$z_1^2=(\dfrac{2}{4}-\dfrac{2}{4})-(\dfrac{2}{4}+\dfrac{2}{4})i=-i$
Sustituimos:
$z_1^2+i=-i+i=0$
Por lo que cumple la condición. Otro número que cumple la misma condición podría ser el obtenido con un cambio de signo entre su parte $Re(z_1)$ e $Im(z_1)$:
$z_2=\frac{\sqrt{2}}{4}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}i$
Resolvemos la ecuación para $z_2$;
$z_2^2=z_2z_2=(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{2}{2}i)(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{2}{2}i)=\dfrac{2}{4}-\dfrac{2}{4}i-\dfrac{2}{4}i-\dfrac{2}{4}$
$z_2^2=(\dfrac{2}{4}-\dfrac{2}{4})-(\dfrac{2}{4}+\dfrac{2}{4})i=-i$
Sustituimos:
$z_2^2+i=-i+i=0$
Por lo que el número $z_2=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}i$ cumple también la condición $z^2+i=0$.
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Chapter 1
Zill
1.1 Complex Numbers and Their Properties
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'''1. Evaluate the following powers of i. '''
(a)  $i^{8}$
(b)  $i^{11}$
(c)  $i^{42}$
(d)  $i^{105}$
Solución:
A partir de la definición $i^{2}=-1$, se pueden obtener las primeras
potencias de $i$
$i=i$
$i^{2}=-1$
$i^{3}=-i$
$i^{4}=1$
$i^{5}=i$
$i^{6}=-1$
$i^{7}=-i$
$i^{8}=i$
De aquí se observa que existe una sucesión en los resultados de estas
potencias, además $i^{4k}=i$, para cualquier $k=1,2,3,4,...$ .
Se deduce entonces que:
\begin{equation}
i^{n}=i^{4k+b}=i^{b}
\end{equation}
Empleando esta fórmula de obtiene que:
(a)
$i^{8}=i^{2(4)+0}=i^{0}=1$
(b)
$i^{11}=i^{4(2)+3}=i^{3}=-i$
(c)
$i^{42}=i^{4(10)+2}=i^{2}=-1$
(d)
$i^{105}=i^{4(26)+1}=i^{1}=1$
Ejercicio resuelto por: --[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 14:58 12 mayo 2015 (CDT)
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'''1. Demuestre que el producto de números complejos cumple con la ley asociativa'''
'''1. Demuestre que el producto de números complejos cumple con la ley asociativa'''


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--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 22:15 28 sep 2009 (UTC)
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Contribución de: [[Usuario:Gabita|Gabita]] 22:15 28 sep 2009 (UTC)
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== '''SECCION 1.1.2''' ==
== '''SECCIÓN 1.1.2''' ==
'''1. Demuestre que <math>\left|\frac{z}{w}\right| = \frac{\left|z\right|}{\left|w\right|}</math>'''
'''1. Demuestre que <math>\left|\frac{z}{w}\right| = \frac{\left|z\right|}{\left|w\right|}</math>'''


Línea 157: Línea 55:
<math>\frac{\left|z\right|}{\left|w\right|} = \frac{\left|a + i b\right|}{\left|c + i d\right|} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}} = \left|\frac{z}{w}\right|</math>
<math>\frac{\left|z\right|}{\left|w\right|} = \frac{\left|a + i b\right|}{\left|c + i d\right|} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}} = \left|\frac{z}{w}\right|</math>


--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 22:15 28 sep 2009 (UTC)
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Contribución de: [[Usuario:Gabita|Gabita]] 22:15 28 sep 2009 (UTC)


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--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 23:00 28 sep 2009 (UTC)
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Contribución de:[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 23:00 28 sep 2009 (UTC)
 
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Línea 206: Línea 103:




--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 06:35 30 sep 2009 (UTC)
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Contribución de: [[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 06:35 30 sep 2009 (UTC)
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'''5. Sean <math>z_1 , z_2 , z_3 \in \mathbb{C}</math> tales que cumplen $\frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} = \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3}$, demuestre que estos tres puntos determinan un triángulo equilátero.'''


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'''5. Sean <math>z_1 , z_2 , z_3 \in \mathbb{C}</math> tales que cumplen <math>\frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} = \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3}</math>, demuestre que estos tres puntos determinan un triángulo equilátero.'''


[[Image: Comp_triang_eq2.jpg|frame|center|Figura 1]]
[[Archivo:Complejaej-cap1.1Triangulo.svg|600px|thumb|center|Figura 1]]


Tenemos que  
Tenemos que  


<center><math>\left | \frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} \right | = \left | \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} \right |,\qquad (1)</math></center>
$<math>\left | \frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} \right | = \left | \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} \right |,\qquad (1)</math>


y, por lo tanto,  
y, por lo tanto,  


<center><math>\frac{|z_2 - z_1|}{|z_3 - z_1|} = \frac{|z_1 - z_3|}{|z_2 - z_3|}.\qquad (2)</math></center>
<math>\frac{|z_2 - z_1|}{|z_3 - z_1|} = \frac{|z_1 - z_3|}{|z_2 - z_3|}.\qquad (2)</math>
   
   
De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber:
De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber:


<center><math>\left . \begin{matrix}|z_2 - z_1| = A\\
<center><math>  
|z_3 - z_1| = B = |z_1 - z_3|\\
|z_2 - z_1| = A,\qquad
|z_2 - z_3| = C\\
|z_3 - z_1| = B = |z_1 - z_3|,\qquad
\end{matrix} \right \} \qquad (3)</math></center>
|z_2 - z_3| = C
  \qquad (3)</math></center>


De (2) y (3) tenemos que:
De (2) y (3) tenemos que:
Línea 239: Línea 138:
Y la ecuación (5) es precisamente la condición para que el triángulo ABC de la Figura 1 sea equilátero.
Y la ecuación (5) es precisamente la condición para que el triángulo ABC de la Figura 1 sea equilátero.


--[[Usuario:Belen|Belen]] 02:48 29 sep 2009 (UTC)
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Contribución de:[[Usuario:Belen|Belen]] 02:48 29 sep 2009 (UTC)


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'''6. Sea <math>{\begin{align}z & = x+iy \end{align}}</math>,  pruebe que
'''6. Sea <math>{z = x+iy }</math>,  pruebe que <math>{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2} \left|{z}\right|}</math>
<math>{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}</math>




Puesto que el número complejo z puede escribirse como
Puesto que el número complejo z puede escribirse como


<math>{\begin{align}z & = Re(z)+iIm(z) \end{align}}</math>
<math>{z = Re(z)+iIm(z) }</math>


<math>{\begin{align}\left|{z}\right| & = \sqrt{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2} \end{align}}</math>
<math>{\left|{z}\right| = \sqrt{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2} }</math>




Línea 286: Línea 185:
Como  
Como  


<math>{\begin{align}\left|{z}\right|^2 & = \left|{Re(z)}\right|^2+\left|{Im(z)}\right|^2 \end{align}}</math>
<math>{\left|{z}\right|^2 = \left|{Re(z)}\right|^2+\left|{Im(z)}\right|^2 }</math>


Entonces
Entonces
Línea 305: Línea 204:
<math>{{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}{\ge}{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}}</math>
<math>{{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}{\ge}{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}}</math>


--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:18 29 sep 2009 (UTC)
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Contribución de: [[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:18 29 sep 2009 (UTC)


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'''6-bis. Sea <math>{\begin{align}z & = x+iy \end{align}}</math>,  pruebe que
'''6-bis. Sea <math>{z = x+iy }</math>,  pruebe que
<math>{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}</math>
<math>{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}</math>
   
   
Tenemos que <math>{\begin{align}z & = x+iy \end{align}}</math>, entonces de la teoria sabemos que  
Tenemos que <math>{z = x+iy }</math>, entonces de la teoria sabemos que  




<math>{\begin{align}\left|{z}\right| & = \sqrt{[x]^2+[y]^2} \end{align}}\qquad (1)</math>  
<math>{\left|{z}\right| = \sqrt{[x]^2+[y]^2} }\qquad (1)</math>  


<math>{\left|{x}\right|=\left|{Re(z)}\right|}{\le}{ \left|{z}\right|}</math>
<math>{\left|{x}\right|=\left|{Re(z)}\right|}{\le}{ \left|{z}\right|}</math>
Línea 371: Línea 271:




--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 03:56 1 oct 2009 (UTC)
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Contribución de: [[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 03:56 1 oct 2009 (UTC)
 
 
 
 
 
 
 
 
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Línea 387: Línea 279:
'''7. Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados.
'''7. Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados.


[[Imagen:Dibujobueno.jpg]]
[[Archivo:Complejaej-cap1.1Paralelogramo.svg|850px|center]]


Sacamos las normas de los números complejos
Sacamos las normas de los números complejos
Línea 429: Línea 321:
<math>|z|^2 +|w|^2 = |h|^2</math>    se cumple la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de la diagonal.
<math>|z|^2 +|w|^2 = |h|^2</math>    se cumple la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de la diagonal.


--[[Usuario:Karla|Karla]] 22:47 4 oct 2009 (UTC)Sanchez
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Contribución de:[[Usuario:Karla|Karla]] 22:47 4 oct 2009 (UTC)Sanchez
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[[Compleja:ej-cap1.1]]
[[Compleja:ej-cap1.1]]
[[Compleja:ej-cap1.2]]
[[Compleja:ej-cap1.2]]

Revisión actual - 04:45 3 nov 2023

1. Demuestre que el producto de números complejos cumple con la ley asociativa

Sean con


Por demostrar




Por otra parte



Entonces se cumple .



Contribución de: Gabita 22:15 28 sep 2009 (UTC)



SECCIÓN 1.1.2

1. Demuestre que

Sean





Por otra parte



Contribución de: Gabita 22:15 28 sep 2009 (UTC)


2. Exprese de la forma


Por las propiedades ,



Simplificando, se obtiene:



Resolviendo la división de números complejos, de la forma:


:



=.



Contribución de:Josua Da Vinci 23:00 28 sep 2009 (UTC)



3. Demuestre que es raiz de un polinomio real si y solo si lo es.


Sea solucion de un polinomio real,

entonces

como , por lo tanto tambien es solucion.



Contribución de: Luis Nava 06:35 30 sep 2009 (UTC)


5. Sean tales que cumplen $\frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} = \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3}$, demuestre que estos tres puntos determinan un triángulo equilátero.


Figura 1

Tenemos que

$

y, por lo tanto,

De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber:

De (2) y (3) tenemos que:

Por triángulos semejantes, se tiene que el ángulo es igual al ángulo y éste a su vez al ángulo , es decir,

Y la ecuación (5) es precisamente la condición para que el triángulo ABC de la Figura 1 sea equilátero.


Contribución de:Belen 02:48 29 sep 2009 (UTC)


6. Sea , pruebe que


Puesto que el número complejo z puede escribirse como


Se deduce que


Como el cuadrado de un número real no puede ser negativo


Entonces

O sea

O de otra manera


Sumando , a ambos lados se tiene


Como

Entonces

De donde

Sacando raíces cuadradas positivas


Por lo tanto


Contribución de: Ralf Gutierrez 19:18 29 sep 2009 (UTC)


6-bis. Sea , pruebe que

Tenemos que , entonces de la teoria sabemos que



Tambien es inmediato que para z , , y que el cuadrado de cualquier numero real es siempre positivo, entonces de esto se tiene que

Desarrollando el binomio se tiene que


Y por la identidad (1) esto se puede escribir como

Ahora sumando en ambos lados obtenemos lo siguiente



Pero ademas como , lo sustituimos en el resultado anterior



Es facil ver que



Utilizando este resultado se deduce que



Y tomando las raices positivas llegamos al siguiente resultado



Que es lo que se queria mostrar.



Contribución de: Oscar Adrian 03:56 1 oct 2009 (UTC)


REVISADO

7. Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados.

Complejaej-cap1.1Paralelogramo.svg

Sacamos las normas de los números complejos

|z|= |w|=

Por algebra de vectores

Donde |h| es la resultante de |z|+|w|

+

De la misma forma el dibujo nos indica q trasladamos la magnitudes de los vectores

|w| y |z| y por tanto también tendremos |z|+|w| =|h|

Entonces si |z|+|w| = |h|

Aplicando el teorema de pitagoras q nos dice

d = cateto

f = cateto

entonces tenemos que

Aplicamos pitagoras

Por tanto

se cumple la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de la diagonal.


Contribución de:Karla 22:47 4 oct 2009 (UTC)Sanchez


Compleja:ej-cap1.1 Compleja:ej-cap1.2 Compleja:ej-cap1.3 Compleja:ej-cap1.4

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