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Línea 1: Línea 1:
== 1.1.1 ==
'''1. Demuestre que el producto de números complejos cumple con la ley asociativa'''
'''1. Demuestre que el producto de números complejos cumple con la ley asociativa'''


Línea 25: Línea 24:
Entonces se cumple <math> (zw)s = z(ws)\,</math>.
Entonces se cumple <math> (zw)s = z(ws)\,</math>.


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Contribución de: [[Usuario:Gabita|Gabita]] 22:15 28 sep 2009 (UTC)
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== 1.1.2 ==
== '''SECCIÓN 1.1.2''' ==
'''1. Demuestre que <math>\left|\frac{z}{w}\right| = \frac{\left|z\right|}{\left|w\right|}</math>'''
'''1. Demuestre que <math>\left|\frac{z}{w}\right| = \frac{\left|z\right|}{\left|w\right|}</math>'''


Línea 52: Línea 55:
<math>\frac{\left|z\right|}{\left|w\right|} = \frac{\left|a + i b\right|}{\left|c + i d\right|} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}} = \left|\frac{z}{w}\right|</math>
<math>\frac{\left|z\right|}{\left|w\right|} = \frac{\left|a + i b\right|}{\left|c + i d\right|} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}} = \left|\frac{z}{w}\right|</math>


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Contribución de: [[Usuario:Gabita|Gabita]] 22:15 28 sep 2009 (UTC)


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Línea 57: Línea 62:
'''2. Exprese <math>\overline{\left(\frac{\left(2+3i\right)^2}{4+i}\right)}</math>de la forma <math>x+iy</math>'''
'''2. Exprese <math>\overline{\left(\frac{\left(2+3i\right)^2}{4+i}\right)}</math>de la forma <math>x+iy</math>'''


aqui ya comienza su demostración ...
 
Por las propiedades <math>\overline{\left ( \frac{z}{w} \right )}=\frac\bar{z}\bar{w}</math>  ,  <math>\overline{zw}=\bar{z}\bar{w}</math>
 
 
<math>\frac{\overline{\left ({2+3i}\right)^2}}{\overline{\left({4+i}\right)}}=\frac{\overline{\left ({2+3i}\right)}\overline{\left ({2+3i}\right)}}{\overline{\left({4+i}\right)}}=\frac{\left(2-3i\right)\left(2-3i\right)}{\left(4-i\right)}</math>
 
 
Simplificando, se obtiene:
 
 
 
<math>\frac{4-6i-6i-9}{4-i}=\frac{-5-12i}{4-i}</math>
 
 
Resolviendo la división de números complejos, de la forma:
 
 
<math>\frac{z}{w}=\frac{z\bar{w}}{w\bar{w}}=\frac{z\bar{w}}{\left|w\right|^2}</math>:
 
 
<math>\frac{\left(-5-12i\right)\left(4+i\right)}{\left(4-i\right)\left(4+i\right)}=\frac{-20-5i-48i+12}{17}=\frac{-8-53i}{17}</math>
 
 
=<math>-\frac{8}{17}-\frac{53}{17}i</math>.




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Contribución de:[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 23:00 28 sep 2009 (UTC)
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'''5. Sean <math>z_1 , z_2 , z_3 \in \mathbb{C}</math> tales que cumplen <math>\frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} = \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3}</math>, demuestre que estos tres puntos determinan un triángulo equilátero.'''
'''3. Demuestre que  <math>\alpha</math> es raiz de un polinomio real si y solo si <math>\overline{\alpha}</math> lo es.'''


[[Image: Comp_triang_eq2.jpg|frame|center|Figura 1]]
 
Sea  <math>\overline{\alpha}</math>  solucion de un polinomio real,
 
entonces  <math>\overline{\alpha}  \in  \mathbb{R}</math>
 
como  <math>\overline{\alpha}  =  \alpha</math>, por lo tanto  <math>\alpha</math> tambien es solucion. 
 
 
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Contribución de: [[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 06:35 30 sep 2009 (UTC)
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'''5. Sean <math>z_1 , z_2 , z_3 \in \mathbb{C}</math> tales que cumplen $\frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} = \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3}$, demuestre que estos tres puntos determinan un triángulo equilátero.'''
 
 
[[Archivo:Complejaej-cap1.1Triangulo.svg|600px|thumb|center|Figura 1]]


Tenemos que  
Tenemos que  


<center><math>\left | \frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} \right | = \left | \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} \right |,\qquad (1)</math></center>
$<math>\left | \frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} \right | = \left | \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} \right |,\qquad (1)</math>


y, por lo tanto,  
y, por lo tanto,  


<center><math>\frac{|z_2 - z_1|}{|z_3 - z_1|} = \frac{|z_1 - z_3|}{|z_2 - z_3|}.\qquad (2)</math></center>
<math>\frac{|z_2 - z_1|}{|z_3 - z_1|} = \frac{|z_1 - z_3|}{|z_2 - z_3|}.\qquad (2)</math>
   
   
De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber:
De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber:


<center><math>\left . \begin{matrix}|z_2 - z_1| = A\\
<center><math>  
|z_3 - z_1| = B = |z_1 - z_3|\\
|z_2 - z_1| = A,\qquad
|z_2 - z_3| = C\\
|z_3 - z_1| = B = |z_1 - z_3|,\qquad
\end{matrix} \right \} \qquad (3)</math></center>
|z_2 - z_3| = C
  \qquad (3)</math></center>


De (2) y (3) tenemos que:
De (2) y (3) tenemos que:
Línea 89: Línea 136:
<center><math>\alpha = \beta = \gamma. \qquad (5)</math></center>
<center><math>\alpha = \beta = \gamma. \qquad (5)</math></center>


Y la ecuación (5) es precisamente la condición para que el triángulo ABC de la Figura 1 sea equilátero.
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Contribución de:[[Usuario:Belen|Belen]] 02:48 29 sep 2009 (UTC)
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'''6. Sea <math>{z  = x+iy }</math>,  pruebe que <math>{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2}  \left|{z}\right|}</math>
Puesto que el número complejo z puede escribirse como
<math>{z  = Re(z)+iIm(z) }</math>
<math>{\left|{z}\right|  = \sqrt{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2} }</math>
Se deduce que
<math>{\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{Re(z)}\right|}</math>
<math>{\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{Im(z)}\right|}</math>
Como el cuadrado de un número real no puede ser negativo
<math>{{[\left|{Re(z)}\right|-\left|{Im(z)}\right|]^2}{\ge }0}</math>
Entonces
<math>{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2-2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|{\ge }0}</math>
O sea
<math>{{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2}{\ge }2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math>
O de otra manera
<math>{{\left|{z}\right|^2}{\ge }2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math>
Sumando <math>{\left|{z}\right|^2}</math>, a ambos lados se tiene
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{z}\right|^2+2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math>
Como
<math>{\left|{z}\right|^2  = \left|{Re(z)}\right|^2+\left|{Im(z)}\right|^2 }</math>
Entonces
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{Re(z)}\right|^2+\left|{Im(z)}\right|^2+2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math>
De donde
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }[\left|{Re(z)}\right|+\left|{Im(z)}\right|]^2}</math>
Sacando raíces cuadradas positivas
<math>{{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}{\ge} \left|{Re(z)}\right|+\left|{Im(z)}\right|}</math>
Por lo tanto
<math>{{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}{\ge}{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}}</math>
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Contribución de: [[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:18 29 sep 2009 (UTC)
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== 1.1.7 == Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados.
'''6-bis. Sea <math>{z  = x+iy }</math>,  pruebe que
<math>{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}</math>
   
   
Tenemos que <math>{z  = x+iy }</math>, entonces de la teoria sabemos que
<math>{\left|{z}\right|  = \sqrt{[x]^2+[y]^2} }\qquad (1)</math>
<math>{\left|{x}\right|=\left|{Re(z)}\right|}{\le}{ \left|{z}\right|}</math>
<math>{\left|{y}\right|=\left|{Im(z)}\right|}{\le}{ \left|{z}\right|}</math>
Tambien es inmediato que para z <math>\in  \mathbb{R}</math>,  <math>\overline z = z</math>, y que el cuadrado de cualquier numero real es siempre positivo, entonces de esto se tiene que
<math>{{[\left|{x}\right|-\left|{y}\right|]^2}{\ge}0}</math>


fig.
Desarrollando el binomio se tiene que




Tomamos dos numeros complejos
<math>{[x]^2+[y]^2-2\left|{x}\right|\left|{y}\right|{\ge }0}</math>


a = b + ic
<math>{{[x]^2+[y]^2}{\ge }2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math>
d = e + if


Para poder demostrar que la suma de los cuadrados de los lados sea igual a la suma del cuadrado de las diagonales necesitamos obtener la magnitud de los numeros complejos anteriores "a" y "d".
Y por la identidad (1) esto se puede escribir como


|a|= <math>\sqrt{ b^2+c^2}</math> que corresponde a la norma de "a".
<math>{{\left|{z}\right|^2}{\ge }2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math>
|d|= <math>\sqrt{ e^2+f^2}</math> que corresponde a la norma de "d".


Ahora sumamos el cuadrado de los lados y tenemos
Ahora sumando en ambos lados <math>{{\left|{z}\right|^2}}</math> obtenemos lo siguiente
 
(<math>\sqrt{ b^2+c^2}</math>)^2 + (<math>\sqrt{ e^2+f^2}</math>)^2
 
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{z}\right|^2+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math>
 
 
Pero ademas como <math>{{\left|{z}\right|^2}={\left|{x}\right|^2}+{\left|{y}\right|^2}}</math>, lo sustituimos en el resultado anterior
 
 
 
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{x}\right|^2}+{\left|{y}\right|^2+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math>
 
 
Es facil ver que
 
 
<math>{{[\left|{x}\right|+\left|{y}\right|]^2}={[x]^2+[y]^2+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}}</math>
 
 
Utilizando este resultado se deduce que
 
 
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }{[\left|{x}\right|+\left|{y}\right|]^2}}</math>
 
 
Y tomando las raices positivas llegamos al siguiente resultado
 
 
<math>{\sqrt{2}\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}</math>
 
 
Que es lo que se queria mostrar.
 
 
----
Contribución de: [[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 03:56 1 oct 2009 (UTC)
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'''REVISADO'''
 
'''7. Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados.
 
[[Archivo:Complejaej-cap1.1Paralelogramo.svg|850px|center]]
 
Sacamos las normas de los números complejos
 
|z|=<math>\sqrt{(a)^2+(b)^2}</math>
|w|=<math>\sqrt{(c)^2+(d)^2}</math>
 
Por algebra de vectores
 
<math>|z|+|w|=|h|</math>


Haciendo algebra tenemos
Donde |h| es la resultante de |z|+|w|


<math>\e^2+f^2+ b^2+c^2</math>
<math>\sqrt{(a)^2+(b)^2}</math>+ <math>\sqrt{(c)^2+(d)^2}=|h|</math>


Ahora desarrollamos a^2+d^2 ( es la suma de los cuadrados de las diagonales)
De la misma forma  el dibujo nos indica q trasladamos la magnitudes  de los vectores


donde a^2 = (<math>\sqrt{ b^2+c^2}</math>)^2 y d^2= (<math>\sqrt{ b^2+c^2}</math>)^2
|w| y |z| y por tanto también tendremos |z|+|w| =|h|
y a^2 + d^2 = b^2+ c^2+ e^2 + f^2 suma de los cuadrados de la diagonal y la suma de los cuadrados de los lados b^2+ c^2+ e^2 + f^2 por lo tanto podemos decir que ha quedado demostrado que la suma de los cuadrados de la diagonal es igual a la suma de los cuadrados de los lados.


Entonces si  |z|+|w| = |h|


Aplicando el teorema de pitagoras q nos dice


d = cateto


f = cateto


<math>e^2=d^2+f^2</math>


entonces tenemos que


<math><math>Escriba aquí una fórmula</math></math>
<math>(a)^2+(b)^2=|z|^2</math>
<math>(c)^2+(d)^2=|w|^2</math>


--[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 21:27 25 sep 2009 (UTC)
Aplicamos pitagoras


[[categoría:Compleja]]
<math>(c)^2+(d)^2+(a)^2+(b)^2=(c)^2+(d)^2+(a)^2+(b)^2</math>
[[categoría:Cursos]]


Por tanto


<math>|z|^2 +|w|^2 = |h|^2</math>    se cumple la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de la diagonal.


----
Contribución de:[[Usuario:Karla|Karla]] 22:47 4 oct 2009 (UTC)Sanchez
----


== 1.1.3 ==
[[Compleja:ej-cap1.1]]
[[Compleja:ej-cap1.2]]
[[Compleja:ej-cap1.3]]
[[Compleja:ej-cap1.4]]


== 1.1.4 ==
[[Compleja:ej-cap2.1]]
[[Compleja:ej-cap2.2]]
[[Compleja:ej-cap2.3]]
[[Compleja:ej-cap2.4]]
[[Compleja:ej-cap2.5]]


--[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 21:27 25 sep 2009 (UTC)
[[Compleja:ej-cap3.1]]
[[Compleja:ej-cap3.2]]
[[Compleja:ej-cap3.3]]
[[Compleja:ej-cap3.4]]


[[categoría:Compleja]]
[[categoría:Compleja]]
[[categoría:Cursos]]

Revisión actual - 04:45 3 nov 2023

1. Demuestre que el producto de números complejos cumple con la ley asociativa

Sean con


Por demostrar




Por otra parte



Entonces se cumple .



Contribución de: Gabita 22:15 28 sep 2009 (UTC)



SECCIÓN 1.1.2

1. Demuestre que

Sean





Por otra parte



Contribución de: Gabita 22:15 28 sep 2009 (UTC)


2. Exprese de la forma


Por las propiedades ,



Simplificando, se obtiene:



Resolviendo la división de números complejos, de la forma:


:



=.



Contribución de:Josua Da Vinci 23:00 28 sep 2009 (UTC)



3. Demuestre que es raiz de un polinomio real si y solo si lo es.


Sea solucion de un polinomio real,

entonces

como , por lo tanto tambien es solucion.



Contribución de: Luis Nava 06:35 30 sep 2009 (UTC)


5. Sean tales que cumplen $\frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} = \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3}$, demuestre que estos tres puntos determinan un triángulo equilátero.


Figura 1

Tenemos que

$

y, por lo tanto,

De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber:

De (2) y (3) tenemos que:

Por triángulos semejantes, se tiene que el ángulo es igual al ángulo y éste a su vez al ángulo , es decir,

Y la ecuación (5) es precisamente la condición para que el triángulo ABC de la Figura 1 sea equilátero.


Contribución de:Belen 02:48 29 sep 2009 (UTC)


6. Sea , pruebe que


Puesto que el número complejo z puede escribirse como


Se deduce que


Como el cuadrado de un número real no puede ser negativo


Entonces

O sea

O de otra manera


Sumando , a ambos lados se tiene


Como

Entonces

De donde

Sacando raíces cuadradas positivas


Por lo tanto


Contribución de: Ralf Gutierrez 19:18 29 sep 2009 (UTC)


6-bis. Sea , pruebe que

Tenemos que , entonces de la teoria sabemos que



Tambien es inmediato que para z , , y que el cuadrado de cualquier numero real es siempre positivo, entonces de esto se tiene que

Desarrollando el binomio se tiene que


Y por la identidad (1) esto se puede escribir como

Ahora sumando en ambos lados obtenemos lo siguiente



Pero ademas como , lo sustituimos en el resultado anterior



Es facil ver que



Utilizando este resultado se deduce que



Y tomando las raices positivas llegamos al siguiente resultado



Que es lo que se queria mostrar.



Contribución de: Oscar Adrian 03:56 1 oct 2009 (UTC)


REVISADO

7. Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados.

Complejaej-cap1.1Paralelogramo.svg

Sacamos las normas de los números complejos

|z|= |w|=

Por algebra de vectores

Donde |h| es la resultante de |z|+|w|

+

De la misma forma el dibujo nos indica q trasladamos la magnitudes de los vectores

|w| y |z| y por tanto también tendremos |z|+|w| =|h|

Entonces si |z|+|w| = |h|

Aplicando el teorema de pitagoras q nos dice

d = cateto

f = cateto

entonces tenemos que

Aplicamos pitagoras

Por tanto

se cumple la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de la diagonal.


Contribución de:Karla 22:47 4 oct 2009 (UTC)Sanchez


Compleja:ej-cap1.1 Compleja:ej-cap1.2 Compleja:ej-cap1.3 Compleja:ej-cap1.4

Compleja:ej-cap2.1 Compleja:ej-cap2.2 Compleja:ej-cap2.3 Compleja:ej-cap2.4 Compleja:ej-cap2.5

Compleja:ej-cap3.1 Compleja:ej-cap3.2 Compleja:ej-cap3.3 Compleja:ej-cap3.4