Diferencia entre revisiones de «Compleja:ej-cap1.1»

Revisión del 19:47 4 oct 2016

1. Demuestre que el producto de números complejos cumple con la ley asociativa

Sean Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z = a + i b, \quad w = c + i d, \quad s = e + i f \, \quad con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \quad a,b,c,d,e,f \in \mbox{R}

Por demostrar Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): (zw)s = z(ws)\,

$(zw)s=[(a+ib)(c+id)](e+if)=[(ac-bd)+i(bc+ad)](e+if)\,$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): =[e(ac - bd) - f(bc + ad)] + i [e(bc + ad) + f(ac - bd) = (ace - bde - bcf - adf) + i (bce + ade + acf - bdf)\,

Por otra parte

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z(ws) = (a + i b)[(c + i d)(e + i f)] = (a + i b)[(ce - df) + i (de + cf)]\,

$=[a(ce-df)-b(de+cf)]+i[b(ce-df)+a(de+cf)]=(ace-bde-bcf-adf)+i(bce+ade+acf-bdf)\,$

Entonces se cumple Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): (zw)s = z(ws)\, .

--Gabita 22:15 28 sep 2009 (UTC)

SECCION 1.1.2

1. Demuestre que $\left|{\frac {z}{w}}\right|={\frac {\left|z\right|}{\left|w\right|}}$

Sean Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z = a + i b \quad y \quad w = c + i d\,

$\left|{\frac {z}{w}}\right|=\left|{\frac {a+ib}{c+id}}\right|=\left|{\frac {(a+ib)(c-id)}{(c+id)(c-id)}}\right|$

$=\left|{\frac {(ac+bd)+i(bc-ad)}{c^{2}+d^{2}}}\right|={\sqrt {{\bigg (}{\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}{\bigg )}^{2}+{\bigg (}{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}{\bigg )}^{2}}}={\frac {1}{c^{2}+d^{2}}}{\sqrt {(ac+bd)^{2}+(bc-ad)^{2}}}$

$={\frac {1}{c^{2}+d^{2}}}{\sqrt {a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}}}={\sqrt {{\Bigg [}{\frac {a^{2}(c^{2}+d^{2})}{(c^{2}+d^{2})^{2}}}{\Bigg ]}+{\Bigg [}{\frac {b^{2}(c^{2}+d^{2})}{(c^{2}+d^{2})^{2}}}{\Bigg ]}}}={\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}+d^{2}}}}$

Por otra parte

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\left|z\right|}{\left|w\right|} = \frac{\left|a + i b\right|}{\left|c + i d\right|} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}} = \left|\frac{z}{w}\right|

--Gabita 22:15 28 sep 2009 (UTC)

2. Exprese ${\overline {\left({\frac {\left(2+3i\right)^{2}}{4+i}}\right)}}$ de la forma $x+iy$

Por las propiedades Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \overline{\left ( \frac{z}{w} \right )}=\frac\bar{z}\bar{w} , ${\overline {zw}}={\bar {z}}{\bar {w}}$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\overline{\left ({2+3i}\right)^2}}{\overline{\left({4+i}\right)}}=\frac{\overline{\left ({2+3i}\right)}\overline{\left ({2+3i}\right)}}{\overline{\left({4+i}\right)}}=\frac{\left(2-3i\right)\left(2-3i\right)}{\left(4-i\right)}

Simplificando, se obtiene:

${\frac {4-6i-6i-9}{4-i}}={\frac {-5-12i}{4-i}}$

Resolviendo la división de números complejos, de la forma:

${\frac {z}{w}}={\frac {z{\bar {w}}}{w{\bar {w}}}}={\frac {z{\bar {w}}}{\left|w\right|^{2}}}$ :

${\frac {\left(-5-12i\right)\left(4+i\right)}{\left(4-i\right)\left(4+i\right)}}={\frac {-20-5i-48i+12}{17}}={\frac {-8-53i}{17}}$

= $-{\frac {8}{17}}-{\frac {53}{17}}i$ .

--Josua Da Vinci 23:00 28 sep 2009 (UTC)

3. Demuestre que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \alpha es raiz de un polinomio real si y solo si ${\overline {\alpha }}$ lo es.

Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \overline{\alpha} solucion de un polinomio real,

entonces Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \overline{\alpha} \in \mathbb{R}

como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \overline{\alpha} = \alpha , por lo tanto $\alpha$ tambien es solucion.

--Luis Nava 06:35 30 sep 2009 (UTC)

5. Sean Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z_1 , z_2 , z_3 \in \mathbb{C} tales que cumplen Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} = \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} , demuestre que estos tres puntos determinan un triángulo equilátero.

Archivo:Comp triang eq2.jpg

Figura 1

Tenemos que

\left|{\frac {z_{2}-z_{1}}{z_{3}-z_{1}}}\right|=\left|{\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}\right|,\qquad (1)

y, por lo tanto,

{\frac {|z_{2}-z_{1}|}{|z_{3}-z_{1}|}}={\frac {|z_{1}-z_{3}|}{|z_{2}-z_{3}|}}.\qquad (2)

De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): |z_2 - z_1| = A,\qquad |z_3 - z_1| = B = |z_1 - z_3|,\qquad |z_2 - z_3| = C \qquad (3)

De (2) y (3) tenemos que:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{A}{B} = \frac{B}{C}. \qquad (4)

Por triángulos semejantes, se tiene que el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \beta es igual al ángulo $\gamma$ y éste a su vez al ángulo $\alpha$ , es decir,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \alpha = \beta = \gamma. \qquad (5)

Y la ecuación (5) es precisamente la condición para que el triángulo ABC de la Figura 1 sea equilátero.

--Belen 02:48 29 sep 2009 (UTC)

6. Sea ${z=x+iy}$ , pruebe que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2} \left|{z}\right|}

Puesto que el número complejo z puede escribirse como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {z = Re(z)+iIm(z) }

${\left|{z}\right|={\sqrt {[Re(z)]^{2}+[Im(z)]^{2}}}}$

Se deduce que

${\left|{z}\right|}{\geq }{\left|{Re(z)}\right|}$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{Im(z)}\right|}

Como el cuadrado de un número real no puede ser negativo

${{[\left|{Re(z)}\right|-\left|{Im(z)}\right|]^{2}}{\geq }0}$

Entonces

${[Re(z)]^{2}+[Im(z)]^{2}-2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|{\geq }0}$

O sea

${{[Re(z)]^{2}+[Im(z)]^{2}}{\geq }2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}$

O de otra manera

${{\left|{z}\right|^{2}}{\geq }2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}$

Sumando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\left|{z}\right|^2} , a ambos lados se tiene

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{z}\right|^2+2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}

Como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\left|{z}\right|^2 = \left|{Re(z)}\right|^2+\left|{Im(z)}\right|^2 }

Entonces

${{2\left|{z}\right|^{2}}{\geq }\left|{Re(z)}\right|^{2}+\left|{Im(z)}\right|^{2}+2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}$

De donde

${{2\left|{z}\right|^{2}}{\geq }[\left|{Re(z)}\right|+\left|{Im(z)}\right|]^{2}}$

Sacando raíces cuadradas positivas

${{{\sqrt {2}}\ \left|{z}\right|}{\geq }\left|{Re(z)}\right|+\left|{Im(z)}\right|}$

Por lo tanto

${{{\sqrt {2}}\ \left|{z}\right|}{\geq }{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}}$

--Ralf Gutierrez 19:18 29 sep 2009 (UTC)

6-bis. Sea ${z=x+iy}$ , pruebe que ${\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\leq }{{\sqrt {2}}\ \left|{z}\right|}$

Tenemos que ${z=x+iy}$ , entonces de la teoria sabemos que

${\left|{z}\right|={\sqrt {[x]^{2}+[y]^{2}}}}\qquad (1)$

${\left|{x}\right|=\left|{Re(z)}\right|}{\leq }{\left|{z}\right|}$

${\left|{y}\right|=\left|{Im(z)}\right|}{\leq }{\left|{z}\right|}$

Tambien es inmediato que para z $\in \mathbb {R}$ , ${\overline {z}}=z$ , y que el cuadrado de cualquier numero real es siempre positivo, entonces de esto se tiene que

${{[\left|{x}\right|-\left|{y}\right|]^{2}}{\geq }0}$

Desarrollando el binomio se tiene que

${[x]^{2}+[y]^{2}-2\left|{x}\right|\left|{y}\right|{\geq }0}$

${{[x]^{2}+[y]^{2}}{\geq }2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}$

Y por la identidad (1) esto se puede escribir como

${{\left|{z}\right|^{2}}{\geq }2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}$

Ahora sumando en ambos lados ${\left|{z}\right|^{2}}$ obtenemos lo siguiente

${{2\left|{z}\right|^{2}}{\geq }\left|{z}\right|^{2}+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}$

Pero ademas como ${{\left|{z}\right|^{2}}={\left|{x}\right|^{2}}+{\left|{y}\right|^{2}}}$ , lo sustituimos en el resultado anterior

${{2\left|{z}\right|^{2}}{\geq }\left|{x}\right|^{2}}+{\left|{y}\right|^{2}+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}$

Es facil ver que

${{[\left|{x}\right|+\left|{y}\right|]^{2}}={[x]^{2}+[y]^{2}+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}}$

Utilizando este resultado se deduce que

${{2\left|{z}\right|^{2}}{\geq }{[\left|{x}\right|+\left|{y}\right|]^{2}}}$

Y tomando las raices positivas llegamos al siguiente resultado

${{\sqrt {2}}\left|{z}\right|}{\geq }{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}$

Que es lo que se queria mostrar.

--Oscar Adrian 03:56 1 oct 2009 (UTC)

REVISADO

7. Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados.

Archivo:Dibujobueno.jpg

Sacamos las normas de los números complejos

|z|= ${\sqrt {(a)^{2}+(b)^{2}}}$ |w|= ${\sqrt {(c)^{2}+(d)^{2}}}$

Por algebra de vectores

$|z|+|w|=|h|$

Donde |h| es la resultante de |z|+|w|

${\sqrt {(a)^{2}+(b)^{2}}}$ + ${\sqrt {(c)^{2}+(d)^{2}}}=|h|$

De la misma forma el dibujo nos indica q trasladamos la magnitudes de los vectores

|w| y |z| y por tanto también tendremos |z|+|w| =|h|

Entonces si |z|+|w| = |h|

Aplicando el teorema de pitagoras q nos dice

d = cateto

f = cateto

$e^{2}=d^{2}+f^{2}$

entonces tenemos que

$(a)^{2}+(b)^{2}=|z|^{2}$ $(c)^{2}+(d)^{2}=|w|^{2}$

Aplicamos pitagoras

$(c)^{2}+(d)^{2}+(a)^{2}+(b)^{2}=(c)^{2}+(d)^{2}+(a)^{2}+(b)^{2}$

Por tanto

$|z|^{2}+|w|^{2}=|h|^{2}$ se cumple la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de la diagonal.

--Karla 22:47 4 oct 2009 (UTC)Sanchez

Compleja:ej-cap1.1 Compleja:ej-cap1.2 Compleja:ej-cap1.3 Compleja:ej-cap1.4

Compleja:ej-cap2.1 Compleja:ej-cap2.2 Compleja:ej-cap2.3 Compleja:ej-cap2.4 Compleja:ej-cap2.5

Compleja:ej-cap3.1 Compleja:ej-cap3.2 Compleja:ej-cap3.3 Compleja:ej-cap3.4

@@ Línea 1: / Línea 1: @@
-Chapter 1
-Zill
-.1 Complex Numbers and Their Properties
-----
-'''1. Evaluate the following powers of i. '''
-(a)  $i^{8}$
-(b)  $i^{11}$
-(c)  $i^{42}$
-(d)  $i^{105}$
-Solución:
-A partir de la definición $i^{2}=-1$, se pueden obtener las primeras
-potencias de $i$
-$i=i$
-$i^{2}=-1$
-$i^{3}=-i$
-$i^{4}=1$
-$i^{5}=i$
-$i^{6}=-1$
-$i^{7}=-i$
-$i^{8}=i$
-De aquí se observa que existe una sucesión en los resultados de estas
-potencias, además $i^{4k}=i$, para cualquier $k=1,2,3,4,...$ .
-Se deduce entonces que:
-\begin{equation}
-i^{n}=i^{4k+b}=i^{b}
-\end{equation}
-Empleando esta fórmula de obtiene que:
-(a)
-$i^{8}=i^{2(4)+0}=i^{0}=1$
-(b)
-$i^{11}=i^{4(2)+3}=i^{3}=-i$
-(c)
-$i^{42}=i^{4(10)+2}=i^{2}=-1$
-(d)
-$i^{105}=i^{4(26)+1}=i^{1}=1$
-Ejercicio resuelto por: --[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 14:58 12 mayo 2015 (CDT)
-----
 '''1. Demuestre que el producto de números complejos cumple con la ley asociativa'''
@@ Línea 192: / Línea 121: @@
 De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber:
-<center><math>\left . \begin{matrix}|z_2 - z_1| = A\\
+<center><math>
-|z_3 - z_1| = B = |z_1 - z_3|\\
+|z_2 - z_1| = A,\qquad
-|z_2 - z_3| = C\\
+|z_3 - z_1| = B = |z_1 - z_3|,\qquad
-\end{matrix} \right \} \qquad (3)</math></center>
+|z_2 - z_3| = C
+   \qquad (3)</math></center>
 De (2) y (3) tenemos que:
@@ Línea 211: / Línea 141: @@
 ----
-'''6. Sea <math>{\begin{align}z & = x+iy \end{align}}</math>,  pruebe que
+'''6. Sea <math>{z  = x+iy }</math>,  pruebe que <math>{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2}  \left|{z}\right|}</math>
-<math>{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}</math>
 Puesto que el número complejo z puede escribirse como
-<math>{\begin{align}z & = Re(z)+iIm(z) \end{align}}</math>
+<math>{z  = Re(z)+iIm(z) }</math>
-<math>{\begin{align}\left|{z}\right| & = \sqrt{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2} \end{align}}</math>
+<math>{\left|{z}\right|  = \sqrt{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2} }</math>
@@ Línea 254: / Línea 183: @@
 Como
-<math>{\begin{align}\left|{z}\right|^2 & = \left|{Re(z)}\right|^2+\left|{Im(z)}\right|^2 \end{align}}</math>
+<math>{\left|{z}\right|^2  = \left|{Re(z)}\right|^2+\left|{Im(z)}\right|^2 }</math>
 Entonces
@@ Línea 277: / Línea 206: @@
 ----
-'''6-bis. Sea <math>{\begin{align}z & = x+iy \end{align}}</math>,  pruebe que
+'''6-bis. Sea <math>{z  = x+iy }</math>,  pruebe que
 <math>{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}</math>
-Tenemos que <math>{\begin{align}z & = x+iy \end{align}}</math>, entonces de la teoria sabemos que
+Tenemos que <math>{z  = x+iy }</math>, entonces de la teoria sabemos que
-<math>{\begin{align}\left|{z}\right| & = \sqrt{[x]^2+[y]^2} \end{align}}\qquad (1)</math>
+<math>{\left|{z}\right|  = \sqrt{[x]^2+[y]^2} }\qquad (1)</math>
 <math>{\left|{x}\right|=\left|{Re(z)}\right|}{\le}{ \left|{z}\right|}</math>

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