# Diferencia entre revisiones de «Compleja:ej-cap1.1»

1. Demuestre que el producto de números complejos cumple con la ley asociativa

Sean ${\displaystyle z=a+ib,\quad w=c+id,\quad s=e+if\,\quad }$ con ${\displaystyle \quad a,b,c,d,e,f\in {\mbox{R}}}$

Por demostrar ${\displaystyle (zw)s=z(ws)\,}$

${\displaystyle (zw)s=[(a+ib)(c+id)](e+if)=[(ac-bd)+i(bc+ad)](e+if)\,}$

${\displaystyle =[e(ac-bd)-f(bc+ad)]+i[e(bc+ad)+f(ac-bd)=(ace-bde-bcf-adf)+i(bce+ade+acf-bdf)\,}$

Por otra parte

${\displaystyle z(ws)=(a+ib)[(c+id)(e+if)]=(a+ib)[(ce-df)+i(de+cf)]\,}$

${\displaystyle =[a(ce-df)-b(de+cf)]+i[b(ce-df)+a(de+cf)]=(ace-bde-bcf-adf)+i(bce+ade+acf-bdf)\,}$

Entonces se cumple ${\displaystyle (zw)s=z(ws)\,}$.

--Gabita 22:15 28 sep 2009 (UTC)

## SECCION 1.1.2

1. Demuestre que ${\displaystyle \left|{\frac {z}{w}}\right|={\frac {\left|z\right|}{\left|w\right|}}}$

Sean ${\displaystyle z=a+ib\quad y\quad w=c+id\,}$

${\displaystyle \left|{\frac {z}{w}}\right|=\left|{\frac {a+ib}{c+id}}\right|=\left|{\frac {(a+ib)(c-id)}{(c+id)(c-id)}}\right|}$

${\displaystyle =\left|{\frac {(ac+bd)+i(bc-ad)}{c^{2}+d^{2}}}\right|={\sqrt {{\bigg (}{\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}{\bigg )}^{2}+{\bigg (}{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}{\bigg )}^{2}}}={\frac {1}{c^{2}+d^{2}}}{\sqrt {(ac+bd)^{2}+(bc-ad)^{2}}}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{c^{2}+d^{2}}}{\sqrt {a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}}}={\sqrt {{\Bigg [}{\frac {a^{2}(c^{2}+d^{2})}{(c^{2}+d^{2})^{2}}}{\Bigg ]}+{\Bigg [}{\frac {b^{2}(c^{2}+d^{2})}{(c^{2}+d^{2})^{2}}}{\Bigg ]}}}={\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}+d^{2}}}}}$

Por otra parte

${\displaystyle {\frac {\left|z\right|}{\left|w\right|}}={\frac {\left|a+ib\right|}{\left|c+id\right|}}={\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}+d^{2}}}}=\left|{\frac {z}{w}}\right|}$

--Gabita 22:15 28 sep 2009 (UTC)

2. Exprese ${\displaystyle {\overline {\left({\frac {\left(2+3i\right)^{2}}{4+i}}\right)}}}$de la forma ${\displaystyle x+iy}$

Por las propiedades ${\displaystyle {\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\bar {z}}{\bar {w}}}}$ , ${\displaystyle {\overline {zw}}={\bar {z}}{\bar {w}}}$

${\displaystyle {\frac {\overline {\left({2+3i}\right)^{2}}}{\overline {\left({4+i}\right)}}}={\frac {{\overline {\left({2+3i}\right)}}{\overline {\left({2+3i}\right)}}}{\overline {\left({4+i}\right)}}}={\frac {\left(2-3i\right)\left(2-3i\right)}{\left(4-i\right)}}}$

Simplificando, se obtiene:

${\displaystyle {\frac {4-6i-6i-9}{4-i}}={\frac {-5-12i}{4-i}}}$

Resolviendo la división de números complejos, de la forma:

${\displaystyle {\frac {z}{w}}={\frac {z{\bar {w}}}{w{\bar {w}}}}={\frac {z{\bar {w}}}{\left|w\right|^{2}}}}$:

${\displaystyle {\frac {\left(-5-12i\right)\left(4+i\right)}{\left(4-i\right)\left(4+i\right)}}={\frac {-20-5i-48i+12}{17}}={\frac {-8-53i}{17}}}$

=${\displaystyle -{\frac {8}{17}}-{\frac {53}{17}}i}$.

--Josua Da Vinci 23:00 28 sep 2009 (UTC)

3. Demuestre que ${\displaystyle \alpha }$ es raiz de un polinomio real si y solo si ${\displaystyle {\overline {\alpha }}}$ lo es.

Sea ${\displaystyle {\overline {\alpha }}}$ solucion de un polinomio real,

entonces ${\displaystyle {\overline {\alpha }}\in \mathbb {R} }$

como ${\displaystyle {\overline {\alpha }}=\alpha }$, por lo tanto ${\displaystyle \alpha }$ tambien es solucion.

--Luis Nava 06:35 30 sep 2009 (UTC)

5. Sean ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {C} }$ tales que cumplen ${\displaystyle {\frac {z_{2}-z_{1}}{z_{3}-z_{1}}}={\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}}$, demuestre que estos tres puntos determinan un triángulo equilátero.

Tenemos que

${\displaystyle \left|{\frac {z_{2}-z_{1}}{z_{3}-z_{1}}}\right|=\left|{\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}\right|,\qquad (1)}$

y, por lo tanto,

${\displaystyle {\frac {|z_{2}-z_{1}|}{|z_{3}-z_{1}|}}={\frac {|z_{1}-z_{3}|}{|z_{2}-z_{3}|}}.\qquad (2)}$

De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber:

${\displaystyle |z_{2}-z_{1}|=A,\qquad |z_{3}-z_{1}|=B=|z_{1}-z_{3}|,\qquad |z_{2}-z_{3}|=C\qquad (3)}$

De (2) y (3) tenemos que:

${\displaystyle {\frac {A}{B}}={\frac {B}{C}}.\qquad (4)}$

Por triángulos semejantes, se tiene que el ángulo ${\displaystyle \beta }$ es igual al ángulo ${\displaystyle \gamma }$ y éste a su vez al ángulo ${\displaystyle \alpha }$, es decir,

${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma .\qquad (5)}$

Y la ecuación (5) es precisamente la condición para que el triángulo ABC de la Figura 1 sea equilátero.

--Belen 02:48 29 sep 2009 (UTC)

6. Sea ${\displaystyle {z=x+iy}}$, pruebe que ${\displaystyle {\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\leq }{{\sqrt {2}}\left|{z}\right|}}$

Puesto que el número complejo z puede escribirse como

${\displaystyle {z=Re(z)+iIm(z)}}$

${\displaystyle {\left|{z}\right|={\sqrt {[Re(z)]^{2}+[Im(z)]^{2}}}}}$

Se deduce que

${\displaystyle {\left|{z}\right|}{\geq }{\left|{Re(z)}\right|}}$

${\displaystyle {\left|{z}\right|}{\geq }{\left|{Im(z)}\right|}}$

${\displaystyle {{[\left|{Re(z)}\right|-\left|{Im(z)}\right|]^{2}}{\geq }0}}$

Entonces

${\displaystyle {[Re(z)]^{2}+[Im(z)]^{2}-2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|{\geq }0}}$

O sea

${\displaystyle {{[Re(z)]^{2}+[Im(z)]^{2}}{\geq }2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}}$

O de otra manera

${\displaystyle {{\left|{z}\right|^{2}}{\geq }2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}}$

Sumando ${\displaystyle {\left|{z}\right|^{2}}}$, a ambos lados se tiene

${\displaystyle {{2\left|{z}\right|^{2}}{\geq }\left|{z}\right|^{2}+2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}}$

Como

${\displaystyle {\left|{z}\right|^{2}=\left|{Re(z)}\right|^{2}+\left|{Im(z)}\right|^{2}}}$

Entonces

${\displaystyle {{2\left|{z}\right|^{2}}{\geq }\left|{Re(z)}\right|^{2}+\left|{Im(z)}\right|^{2}+2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}}$

De donde

${\displaystyle {{2\left|{z}\right|^{2}}{\geq }[\left|{Re(z)}\right|+\left|{Im(z)}\right|]^{2}}}$

${\displaystyle {{{\sqrt {2}}\ \left|{z}\right|}{\geq }\left|{Re(z)}\right|+\left|{Im(z)}\right|}}$

Por lo tanto

${\displaystyle {{{\sqrt {2}}\ \left|{z}\right|}{\geq }{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}}}$

--Ralf Gutierrez 19:18 29 sep 2009 (UTC)

6-bis. Sea ${\displaystyle {z=x+iy}}$, pruebe que ${\displaystyle {\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\leq }{{\sqrt {2}}\ \left|{z}\right|}}$

Tenemos que ${\displaystyle {z=x+iy}}$, entonces de la teoria sabemos que

${\displaystyle {\left|{z}\right|={\sqrt {[x]^{2}+[y]^{2}}}}\qquad (1)}$

${\displaystyle {\left|{x}\right|=\left|{Re(z)}\right|}{\leq }{\left|{z}\right|}}$

${\displaystyle {\left|{y}\right|=\left|{Im(z)}\right|}{\leq }{\left|{z}\right|}}$

Tambien es inmediato que para z ${\displaystyle \in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle {\overline {z}}=z}$, y que el cuadrado de cualquier numero real es siempre positivo, entonces de esto se tiene que

${\displaystyle {{[\left|{x}\right|-\left|{y}\right|]^{2}}{\geq }0}}$

Desarrollando el binomio se tiene que

${\displaystyle {[x]^{2}+[y]^{2}-2\left|{x}\right|\left|{y}\right|{\geq }0}}$

${\displaystyle {{[x]^{2}+[y]^{2}}{\geq }2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}}$

Y por la identidad (1) esto se puede escribir como

${\displaystyle {{\left|{z}\right|^{2}}{\geq }2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}}$

Ahora sumando en ambos lados ${\displaystyle {\left|{z}\right|^{2}}}$ obtenemos lo siguiente

${\displaystyle {{2\left|{z}\right|^{2}}{\geq }\left|{z}\right|^{2}+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}}$

Pero ademas como ${\displaystyle {{\left|{z}\right|^{2}}={\left|{x}\right|^{2}}+{\left|{y}\right|^{2}}}}$, lo sustituimos en el resultado anterior

${\displaystyle {{2\left|{z}\right|^{2}}{\geq }\left|{x}\right|^{2}}+{\left|{y}\right|^{2}+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}}$

Es facil ver que

${\displaystyle {{[\left|{x}\right|+\left|{y}\right|]^{2}}={[x]^{2}+[y]^{2}+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}}}$

Utilizando este resultado se deduce que

${\displaystyle {{2\left|{z}\right|^{2}}{\geq }{[\left|{x}\right|+\left|{y}\right|]^{2}}}}$

Y tomando las raices positivas llegamos al siguiente resultado

${\displaystyle {{\sqrt {2}}\left|{z}\right|}{\geq }{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}}$

Que es lo que se queria mostrar.

--Oscar Adrian 03:56 1 oct 2009 (UTC)

Sacamos las normas de los números complejos

|z|=${\displaystyle {\sqrt {(a)^{2}+(b)^{2}}}}$ |w|=${\displaystyle {\sqrt {(c)^{2}+(d)^{2}}}}$

Por algebra de vectores

${\displaystyle |z|+|w|=|h|}$

Donde |h| es la resultante de |z|+|w|

${\displaystyle {\sqrt {(a)^{2}+(b)^{2}}}}$+ ${\displaystyle {\sqrt {(c)^{2}+(d)^{2}}}=|h|}$

De la misma forma el dibujo nos indica q trasladamos la magnitudes de los vectores

|w| y |z| y por tanto también tendremos |z|+|w| =|h|

Entonces si |z|+|w| = |h|

Aplicando el teorema de pitagoras q nos dice

d = cateto

f = cateto

${\displaystyle e^{2}=d^{2}+f^{2}}$

entonces tenemos que

${\displaystyle (a)^{2}+(b)^{2}=|z|^{2}}$ ${\displaystyle (c)^{2}+(d)^{2}=|w|^{2}}$

Aplicamos pitagoras

${\displaystyle (c)^{2}+(d)^{2}+(a)^{2}+(b)^{2}=(c)^{2}+(d)^{2}+(a)^{2}+(b)^{2}}$

Por tanto

${\displaystyle |z|^{2}+|w|^{2}=|h|^{2}}$ se cumple la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de la diagonal.

--Karla 22:47 4 oct 2009 (UTC)Sanchez