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Revisión del 18:47 4 oct 2016

1. Demuestre que el producto de números complejos cumple con la ley asociativa

Sean $z=a+ib,\quad w=c+id,\quad s=e+if\,\quad$ con $\quad a,b,c,d,e,f\in {\mbox{R}}$

Por demostrar $(zw)s=z(ws)\,$

$(zw)s=[(a+ib)(c+id)](e+if)=[(ac-bd)+i(bc+ad)](e+if)\,$

$=[e(ac-bd)-f(bc+ad)]+i[e(bc+ad)+f(ac-bd)=(ace-bde-bcf-adf)+i(bce+ade+acf-bdf)\,$

Por otra parte

$z(ws)=(a+ib)[(c+id)(e+if)]=(a+ib)[(ce-df)+i(de+cf)]\,$

$=[a(ce-df)-b(de+cf)]+i[b(ce-df)+a(de+cf)]=(ace-bde-bcf-adf)+i(bce+ade+acf-bdf)\,$

Entonces se cumple $(zw)s=z(ws)\,$ .

--Gabita 22:15 28 sep 2009 (UTC)

SECCION 1.1.2

1. Demuestre que $\left|{\frac {z}{w}}\right|={\frac {\left|z\right|}{\left|w\right|}}$

Sean $z=a+ib\quad y\quad w=c+id\,$

$\left|{\frac {z}{w}}\right|=\left|{\frac {a+ib}{c+id}}\right|=\left|{\frac {(a+ib)(c-id)}{(c+id)(c-id)}}\right|$

$=\left|{\frac {(ac+bd)+i(bc-ad)}{c^{2}+d^{2}}}\right|={\sqrt {{\bigg (}{\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}{\bigg )}^{2}+{\bigg (}{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}{\bigg )}^{2}}}={\frac {1}{c^{2}+d^{2}}}{\sqrt {(ac+bd)^{2}+(bc-ad)^{2}}}$

$={\frac {1}{c^{2}+d^{2}}}{\sqrt {a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}}}={\sqrt {{\Bigg [}{\frac {a^{2}(c^{2}+d^{2})}{(c^{2}+d^{2})^{2}}}{\Bigg ]}+{\Bigg [}{\frac {b^{2}(c^{2}+d^{2})}{(c^{2}+d^{2})^{2}}}{\Bigg ]}}}={\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}+d^{2}}}}$

Por otra parte

${\frac {\left|z\right|}{\left|w\right|}}={\frac {\left|a+ib\right|}{\left|c+id\right|}}={\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}+d^{2}}}}=\left|{\frac {z}{w}}\right|$

--Gabita 22:15 28 sep 2009 (UTC)

2. Exprese ${\overline {\left({\frac {\left(2+3i\right)^{2}}{4+i}}\right)}}$ de la forma $x+iy$

Por las propiedades ${\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\bar {z}}{\bar {w}}}$ , ${\overline {zw}}={\bar {z}}{\bar {w}}$

${\frac {\overline {\left({2+3i}\right)^{2}}}{\overline {\left({4+i}\right)}}}={\frac {{\overline {\left({2+3i}\right)}}{\overline {\left({2+3i}\right)}}}{\overline {\left({4+i}\right)}}}={\frac {\left(2-3i\right)\left(2-3i\right)}{\left(4-i\right)}}$

Simplificando, se obtiene:

${\frac {4-6i-6i-9}{4-i}}={\frac {-5-12i}{4-i}}$

Resolviendo la división de números complejos, de la forma:

${\frac {z}{w}}={\frac {z{\bar {w}}}{w{\bar {w}}}}={\frac {z{\bar {w}}}{\left|w\right|^{2}}}$ :

${\frac {\left(-5-12i\right)\left(4+i\right)}{\left(4-i\right)\left(4+i\right)}}={\frac {-20-5i-48i+12}{17}}={\frac {-8-53i}{17}}$

= $-{\frac {8}{17}}-{\frac {53}{17}}i$ .

--Josua Da Vinci 23:00 28 sep 2009 (UTC)

3. Demuestre que $\alpha$ es raiz de un polinomio real si y solo si ${\overline {\alpha }}$ lo es.

Sea ${\overline {\alpha }}$ solucion de un polinomio real,

entonces ${\overline {\alpha }}\in \mathbb {R}$

como ${\overline {\alpha }}=\alpha$ , por lo tanto $\alpha$ tambien es solucion.

--Luis Nava 06:35 30 sep 2009 (UTC)

5. Sean $z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {C}$ tales que cumplen ${\frac {z_{2}-z_{1}}{z_{3}-z_{1}}}={\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}$ , demuestre que estos tres puntos determinan un triángulo equilátero.

Archivo:Comp triang eq2.jpg

Figura 1

Tenemos que

\left|{\frac {z_{2}-z_{1}}{z_{3}-z_{1}}}\right|=\left|{\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}\right|,\qquad (1)

y, por lo tanto,

{\frac {|z_{2}-z_{1}|}{|z_{3}-z_{1}|}}={\frac {|z_{1}-z_{3}|}{|z_{2}-z_{3}|}}.\qquad (2)

De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber:

|z_{2}-z_{1}|=A,\qquad |z_{3}-z_{1}|=B=|z_{1}-z_{3}|,\qquad |z_{2}-z_{3}|=C\qquad (3)

De (2) y (3) tenemos que:

{\frac {A}{B}}={\frac {B}{C}}.\qquad (4)

Por triángulos semejantes, se tiene que el ángulo $\beta$ es igual al ángulo $\gamma$ y éste a su vez al ángulo $\alpha$ , es decir,

\alpha =\beta =\gamma .\qquad (5)

Y la ecuación (5) es precisamente la condición para que el triángulo ABC de la Figura 1 sea equilátero.

--Belen 02:48 29 sep 2009 (UTC)

6. Sea ${z=x+iy}$ , pruebe que ${\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\leq }{{\sqrt {2}}\left|{z}\right|}$

Puesto que el número complejo z puede escribirse como

${z=Re(z)+iIm(z)}$

${\left|{z}\right|={\sqrt {[Re(z)]^{2}+[Im(z)]^{2}}}}$

Se deduce que

${\left|{z}\right|}{\geq }{\left|{Re(z)}\right|}$

${\left|{z}\right|}{\geq }{\left|{Im(z)}\right|}$

Como el cuadrado de un número real no puede ser negativo

${{[\left|{Re(z)}\right|-\left|{Im(z)}\right|]^{2}}{\geq }0}$

Entonces

${[Re(z)]^{2}+[Im(z)]^{2}-2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|{\geq }0}$

O sea

${{[Re(z)]^{2}+[Im(z)]^{2}}{\geq }2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}$

O de otra manera

${{\left|{z}\right|^{2}}{\geq }2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}$

Sumando ${\left|{z}\right|^{2}}$ , a ambos lados se tiene

${{2\left|{z}\right|^{2}}{\geq }\left|{z}\right|^{2}+2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}$

Como

${\left|{z}\right|^{2}=\left|{Re(z)}\right|^{2}+\left|{Im(z)}\right|^{2}}$

Entonces

${{2\left|{z}\right|^{2}}{\geq }\left|{Re(z)}\right|^{2}+\left|{Im(z)}\right|^{2}+2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}$

De donde

${{2\left|{z}\right|^{2}}{\geq }[\left|{Re(z)}\right|+\left|{Im(z)}\right|]^{2}}$

Sacando raíces cuadradas positivas

${{{\sqrt {2}}\ \left|{z}\right|}{\geq }\left|{Re(z)}\right|+\left|{Im(z)}\right|}$

Por lo tanto

${{{\sqrt {2}}\ \left|{z}\right|}{\geq }{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}}$

--Ralf Gutierrez 19:18 29 sep 2009 (UTC)

6-bis. Sea ${z=x+iy}$ , pruebe que ${\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\leq }{{\sqrt {2}}\ \left|{z}\right|}$

Tenemos que ${z=x+iy}$ , entonces de la teoria sabemos que

${\left|{z}\right|={\sqrt {[x]^{2}+[y]^{2}}}}\qquad (1)$

${\left|{x}\right|=\left|{Re(z)}\right|}{\leq }{\left|{z}\right|}$

${\left|{y}\right|=\left|{Im(z)}\right|}{\leq }{\left|{z}\right|}$

Tambien es inmediato que para z $\in \mathbb {R}$ , ${\overline {z}}=z$ , y que el cuadrado de cualquier numero real es siempre positivo, entonces de esto se tiene que

${{[\left|{x}\right|-\left|{y}\right|]^{2}}{\geq }0}$

Desarrollando el binomio se tiene que

${[x]^{2}+[y]^{2}-2\left|{x}\right|\left|{y}\right|{\geq }0}$

${{[x]^{2}+[y]^{2}}{\geq }2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}$

Y por la identidad (1) esto se puede escribir como

${{\left|{z}\right|^{2}}{\geq }2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}$

Ahora sumando en ambos lados ${\left|{z}\right|^{2}}$ obtenemos lo siguiente

${{2\left|{z}\right|^{2}}{\geq }\left|{z}\right|^{2}+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}$

Pero ademas como ${{\left|{z}\right|^{2}}={\left|{x}\right|^{2}}+{\left|{y}\right|^{2}}}$ , lo sustituimos en el resultado anterior

${{2\left|{z}\right|^{2}}{\geq }\left|{x}\right|^{2}}+{\left|{y}\right|^{2}+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}$

Es facil ver que

${{[\left|{x}\right|+\left|{y}\right|]^{2}}={[x]^{2}+[y]^{2}+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}}$

Utilizando este resultado se deduce que

${{2\left|{z}\right|^{2}}{\geq }{[\left|{x}\right|+\left|{y}\right|]^{2}}}$

Y tomando las raices positivas llegamos al siguiente resultado

${{\sqrt {2}}\left|{z}\right|}{\geq }{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}$

Que es lo que se queria mostrar.

--Oscar Adrian 03:56 1 oct 2009 (UTC)

REVISADO

7. Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados.

Archivo:Dibujobueno.jpg

Sacamos las normas de los números complejos

|z|= ${\sqrt {(a)^{2}+(b)^{2}}}$ |w|= ${\sqrt {(c)^{2}+(d)^{2}}}$

Por algebra de vectores

$|z|+|w|=|h|$

Donde |h| es la resultante de |z|+|w|

${\sqrt {(a)^{2}+(b)^{2}}}$ + ${\sqrt {(c)^{2}+(d)^{2}}}=|h|$

De la misma forma el dibujo nos indica q trasladamos la magnitudes de los vectores

|w| y |z| y por tanto también tendremos |z|+|w| =|h|

Entonces si |z|+|w| = |h|

Aplicando el teorema de pitagoras q nos dice

d = cateto

f = cateto

$e^{2}=d^{2}+f^{2}$

entonces tenemos que

$(a)^{2}+(b)^{2}=|z|^{2}$ $(c)^{2}+(d)^{2}=|w|^{2}$

Aplicamos pitagoras

$(c)^{2}+(d)^{2}+(a)^{2}+(b)^{2}=(c)^{2}+(d)^{2}+(a)^{2}+(b)^{2}$

Por tanto

$|z|^{2}+|w|^{2}=|h|^{2}$ se cumple la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de la diagonal.

--Karla 22:47 4 oct 2009 (UTC)Sanchez

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SECCION 1.1.2

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@@ Línea 121: / Línea 121: @@
 De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber:
-<center><math>\left . \begin{matrix}|z_2 - z_1| = A\\
+<center><math>
-|z_3 - z_1| = B = |z_1 - z_3|\\
+|z_2 - z_1| = A,\qquad
-|z_2 - z_3| = C\\
+|z_3 - z_1| = B = |z_1 - z_3|,\qquad
-\end{matrix} \right \} \qquad (3)</math></center>
+|z_2 - z_3| = C
+   \qquad (3)</math></center>
 De (2) y (3) tenemos que:
@@ Línea 140: / Línea 141: @@
 ----
-'''6. Sea <math>{\begin{align}z & = x+iy \end{align}}</math>,  pruebe que
+'''6. Sea <math>{z  = x+iy }</math>,  pruebe que <math>{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2}  \left|{z}\right|}</math>
-<math>{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}</math>
 Puesto que el número complejo z puede escribirse como
-<math>{\begin{align}z & = Re(z)+iIm(z) \end{align}}</math>
+<math>{z  = Re(z)+iIm(z) }</math>
-<math>{\begin{align}\left|{z}\right| & = \sqrt{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2} \end{align}}</math>
+<math>{\left|{z}\right|  = \sqrt{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2} }</math>
@@ Línea 183: / Línea 183: @@
 Como
-<math>{\begin{align}\left|{z}\right|^2 & = \left|{Re(z)}\right|^2+\left|{Im(z)}\right|^2 \end{align}}</math>
+<math>{\left|{z}\right|^2  = \left|{Re(z)}\right|^2+\left|{Im(z)}\right|^2 }</math>
 Entonces
@@ Línea 206: / Línea 206: @@
 ----
-'''6-bis. Sea <math>{\begin{align}z & = x+iy \end{align}}</math>,  pruebe que
+'''6-bis. Sea <math>{z  = x+iy }</math>,  pruebe que
 <math>{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}</math>
-Tenemos que <math>{\begin{align}z & = x+iy \end{align}}</math>, entonces de la teoria sabemos que
+Tenemos que <math>{z  = x+iy }</math>, entonces de la teoria sabemos que
-<math>{\begin{align}\left|{z}\right| & = \sqrt{[x]^2+[y]^2} \end{align}}\qquad (1)</math>
+<math>{\left|{z}\right|  = \sqrt{[x]^2+[y]^2} }\qquad (1)</math>
 <math>{\left|{x}\right|=\left|{Re(z)}\right|}{\le}{ \left|{z}\right|}</math>
@@ Línea 327: / Línea 327: @@
 --[[Usuario:Karla|Karla]] 22:47 4 oct 2009 (UTC)Sanchez
-== 1.1.3 ==
-'''1. Calcule las raìces cuadradas de <math>3+4i</math> y de <math>1+2i</math>.'''
-Aplicando la formula para calcular raices cuadradas de numeros complejos.
-<math>\pm\left(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}} + i\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\right)</math>   si <math>\quad b>0</math>
-Por lo tanto las raices de <math>3+4i</math>, son:
-<math>=\pm\left(\sqrt{\frac{3+\sqrt{25}}{2}} + i\sqrt{\frac{-3+\sqrt{25}}{2}}\right)</math>
-<math>=\pm\left(\sqrt{\frac{8}{2}} + i\sqrt{1}\right)</math>
-<math>=\pm\left(2+i\right)</math>
-y para <math>1+2i</math>, son:
-<math>=\pm\left(\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} + i\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right)</math>
-<math>=\pm\left(\sqrt{1.61} + i\sqrt{0.61}\right)</math>
-<math>=\pm\left(1.27 + i 0.78\right).</math>
---[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 23:44 30 sep 2009 (UTC)
-----
-'''REVISADO'''
-'''2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i'''
-Tenemos que  <math>cos\boldsymbol{\theta}+i sen\boldsymbol{\theta}= -64</math>  definicion en forma polar
-[[Imagen:Demo2.jpg]]
-r=64
-n=6 porque nos piden las raíces sextas
-Entonces el argumento <math>\boldsymbol{\theta}=\pi</math>
-Si <math>x+iy=re^{i\boldsymbol{\theta}}</math>
-Entonces utilizando la definición de Moivre para obtener las raíces
-<math>(g e^{i\boldsymbol{\phi}n})= r e^{i\boldsymbol{\theta}}</math>
-Ahora tenemos
-<math>g^n=r</math>   y    g= raíz enesima <math>\sqrt{64}</math>= = 2
-y   <math>\boldsymbol{\phi}n=\boldsymbol{\theta}+2k\pi</math>    los <math>2\pi</math> es porque tomamos en cuenta la periodicidad de la funció n y k son todos los múltiplos de <math>2\pi</math>
-entonces sacando las raíces
-<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6 </math>  k=0
-<math>\boldsymbol{\theta}=\pi / 6 + 2\pi / 6 = 3\pi / 6</math>    k=1
-<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6+2(2)\pi/6= 5\pi/6 </math>   k=2
-<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6+(3)2\pi/6= 7\pi/6 </math>   k=3
-<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6+2(4)\pi/6= 9\pi/6 </math>   k=4
-<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6+2(5)\pi/6= 11\pi/6 </math>   k=5
-Las soluciones son
-r1= 2 <math> e^{i( \pi/6)}</math>
-r2= 2 <math> e^{i( 3\pi/6)}</math>
-r3= 2 <math> e^{i( 5\pi/6)}</math>
-r4= 2 <math> e^{i( 7\pi/6)}</math>
-r5= 2 <math> e^{i( 9\pi/6)}</math>
-r6= 2 <math> e^{i( 11\pi/6)}</math>
-Graficando en coordenadas polares nos queda:
-[[Imagen:POLIGONO2.jpg]]
-Haciendo algo similar para el 8i Tenemos
-<math>cos\boldsymbol{\theta}+i sen\boldsymbol{\theta}= 8i</math>
-[[Imagen:DEMO3.jpg]]
-el argumento <math>\boldsymbol{\theta}=\pi/2</math>
-r= 8
-n=3 porque nos pinden las raíces cubicas
-<math>g^n=r</math>  y    g= raíz enesima <math>\sqrt{8}</math>= = 2
-<math>\boldsymbol{\phi}n = \boldsymbol{\theta}+2k\pi  </math>
-<math>\boldsymbol{\phi} = \boldsymbol{\theta}+2k\pi  =\pi/6   </math>  k=0
-<math>\boldsymbol{\phi}=\pi/6+2\pi/3= 5\pi/6</math>     k=1
-<math>\boldsymbol{\phi}==\pi/6+2(2)\pi/3= 9\pi/6</math>  k=2
-r1= 2 <math> e^{i( \pi/6)}</math>
-r2= 2 <math> e^{i( 5\pi/6)}</math>
-r3= 2 <math> e^{i( 9\pi/6)}</math>
-Graficando en coordenadas polares tenemos
-[[Imagen:RAICES.jpg]]
---[[Usuario:Karla|Karla]] 21:35 4 oct 2009 (UTC)Sanchez
-----
-'''2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i'''
-Sea  <math> z = -64 = 64(cos\pi + isen\pi)\,</math>
-Por la formula de De Moivre
-<math>z^{1/6} = 64^{1/6}(cos\pi + sen\pi)^{1/6} = 2 (cos(\frac{\pi+2k\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+2k\pi}{6}))</math>    para  k = 0,1,2,3,4,5
-Evaluando k se obtiene
-con k = 0
-<math>w_{0} = 2(cos(\frac{\pi}{6}) + isen(\frac{\pi}{6})) = \sqrt{3} + i</math>
-con k = 1
-<math>w_{1} = 2(cos(\frac{\pi+2\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+2\pi}{6})) = 2(cos(\frac{\pi}{2}) + isen(\frac{\pi}{2})) = 2i</math>
-con k = 2
-<math>w_{2} = 2(cos(\frac{\pi+4\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+4\pi}{6})) = 2(cos(\frac{5\pi}{6}) + isen(\frac{5\pi}{6})) = -\sqrt{3} + i</math>
-con k = 3
-<math>w_{3} = 2(cos(\frac{\pi+6\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+6\pi}{6})) = 2(cos(\frac{7\pi}{6}) + isen(\frac{7\pi}{6})) = -\sqrt{3} - i</math>
-con k = 4
-<math>w_{4} = 2(cos(\frac{\pi+8\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+8\pi}{6})) = 2(cos(\frac{3\pi}{2}) + isen(\frac{3\pi}{2})) = -2i</math>
-con k = 5
-<math>w_{5} = 2(cos(\frac{\pi+10\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+10\pi}{6})) = 2(cos(\frac{11\pi}{6}) + isen(\frac{11\pi}{6})) = \sqrt{3} - i</math>
-..............
-Sea <math>z = 8i = 8(cos(\frac{\pi}{2}) + sen(\frac{\pi}{2})\,</math>
-<math>z^{1/3} = 8^{1/3}(cos(\frac{\pi}{2}) + isen(\frac{\pi}{2}))^{1/3} = 2(cos(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}) + isen(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}))</math>  para k = 0,1,2
-Evaluando a k se obtiene
-con k = 0
-<math>w_{0} = 2(cos(\frac{\pi}{6}) + isen(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3} + i</math>
-con k = 1
-<math>w_{1} = 2(cos(\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{3}) + isen(\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{3})) = 2(cos(\frac{5\pi}{6}) + isen(\frac{5\pi}{6}) = -\sqrt{3} + i</math>
-con k = 2
-<math>w_{2} = 2(cos(\frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}{3}) + isen(\frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}{3})) = 2(cos(\frac{3\pi}{2}) + isen(\frac{3\pi}{2})) = -2i</math>
---[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 21:07 3 oct 2009 (UTC)
-----
-'''3. Demuestre que <math>\ 1+Z+Z^2+...+Z^{n-1}=0</math> donde z es una raíz n-ésima de la unidad,
-<math>z\neq 1</math>'''
-Sea <math>\ S=1+Z+Z^2+...+Z^{n-1}</math>
-Ahora multiplicamos ambos lados por Z
-<math>\ ZS=Z+Z^2+Z^3+...+Z^{n-1}+Z^n</math>
-Restando la segunda ecuación de la primera
-<math>\ {(s=1+z+z^2+...+z^{n-1})-(zs=z+^2+z^3+...+z^{n-1}+z^n)}</math>
-Tenemos que
-<math>\ {s-zs=1-z^n}</math>
-entonces
-<math>\ {s(1-z)=1-z^n}</math>
-De donde
-<math>s=\frac{1-z^n}{1-z}</math>
-Como z es una raíz enesima de la unidad
-<math>0=\frac{1-z^n}{1-z}</math>
-<math>\ {1-z^n=0} </math>
-<math>\ {z^n=1} </math>
-Entonces
-<math>\ {z^n=1} </math>
-y
-<math>{1-z}\ne{0}</math>
-porque
-<math> {z}\ne{1} </math>
-Por lo tanto
-'''<math> {s=0} </math>'''
---[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 22:00 2 oct 2009 (UTC)
-----
-'''4. Demuestre que:
-<center>
-<math>\frac{n}{2^{n-1}}=\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{\pi}{k}</math>
-</center>
-Sugerencia: Factoriza la expresión <math>1+z+z^2+\cdots+z^n</math> usando las raices n-ésimas de la unidad, posteriormente evalue en <math>z=1</math>.'''
-Solución:
-Las raices de <math>z^m=1</math> son
-<center>
-<math>z=1,e^{\frac{2\pi i}{m}},e^{\frac{4\pi i}{m}},\dots,e^{\frac{(2m-1)\pi i}{m}}</math>
-</center>
-entonces podemos escribir
-<center>
-<math>z^{m-1}=(z-e^{\frac{2\pi i}{m}})(z-e^{\frac{4\pi i}{m}})\cdots(z-e^{\frac{(2m-1)\pi i}{m}})</math>
-</center>
-dividiendo ambos lados por <math>z-1</math> y haciendo <math>z=1</math>:
-<center>
-<math>\frac{z^{m-1}}{z-1}=1+z+z^2+\cdots+z^{m-1}</math>
-</center>
-de aqui hallamos que
-<center>
-<math>m=(1-e^{\frac{2\pi i}{m}})(1-e^{\frac{4\pi i}{m}})\cdots(1-e^{\frac{(2m-1)\pi i}{m}})\qquad (1)</math>
-</center>
-tomando el conjugado complejo de ambos lados de (1)
-<center>
-<math>m=(1-e^{\frac{-2\pi i}{m}})(1-e^{\frac{-4\pi i}{m}})\cdots(1-e^{\frac{-(2m-1)\pi i}{m}})\qquad (2)</math>
-</center>
-Multiplicando la ecuación (1) por la (2) y aplicando que
-<center>
-<math>1-(1-e^{\frac{2k\pi i}{m}})(1-e^{\frac{2k\pi i}{m}})= 2 - 2\cos\frac{2k\pi}{m}</math>
-</center>
-tenemos
-<center>
-<math>m^2=2^{m-1}(1-\cos\frac{2\pi}{m})(1-\cos\frac{4\pi}{m})\cdots(1-\cos\frac{2(m-1)\pi}{m})</math>
-</center>
-puesto que
-<center>
-<math>1-\cos\frac{2k\pi}{m}=2\sin^2\frac{k\pi}{m}</math>
-</center>
-la ecuación anterior se transforma en
-<center>
-<math>m^2=2^{2m-2}(\sin^2\frac{\pi}{m})(\sin^2\frac{2\pi}{m})\cdots(\sin^2\frac{(m-1)\pi}{m})</math>
-</center>
-despejando y sacando la raíz en ambos lados de la expresión:
-<center>
-<math>\frac{m}{2^{m-1}}=(\sin\frac{\pi}{m})(\sin\frac{2\pi}{m})\cdots(\sin\frac{(m-1)\pi}{m})</math>
-</center>
-lo que queda demostrada la igualdad.
---[[Usuario:Wendy|Wendy]] 23:10 4 oct 2009 (UTC)
-----
-'''5.''' '''Demuestre que'''
-<math>1+cos\phi+cos2\phi+...............+cos n\phi=\frac{1}{2}+\frac{sen\left(n\phi+\frac{\phi}{2}\right)}{2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)}</math>,
-'''donde'''          '''<math>\phi</math> '''     '''no es un multiplo par de'''      '''<math>\pi</math>.'''
-'''Esta identidad se le atribuye a Lagrange.'''
-Sugerencia: calcular la parte real de
-<math>1+z+z^{2}+..........+z^{n}</math>,  donde    <math>z=cos\phi+isen\phi</math>.
-'''Solucion.'''
-Sea
-<math>S=1+z+z^{2}+.......+z^{n}</math>            si multiplicamos por <math>z</math> a <math>S</math> se tiene   que
-<math>zS=z+z^{2}+z^{3}+......+z^{n}+z^{n+1}</math>          ahora restemos estas dos    ultimas expresiones
-<math>\left(S-zS\right)=\left(1-z\right)S=1-z^{n+1}</math>              de lo que se obtiene que
-<math>S=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}</math>
-Si en esta última expresion utilizamos    <math>z=cos\phi+isen\phi</math>    entonces
-<math>S=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}</math>
-toma la siguiente forma
-<math>1+\left(cos\phi+isen\phi\right)+\left(cos\phi+isen\phi\right)^{2}+........+\left(cos\phi+isen\phi\right)^{n}=\frac{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)^{n+1}}{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)} </math>
-que es equivalente a esta
-<math>1+\left(cos\phi+isen\phi\right)+\left(cos2\phi+isen2\phi\right)+........+\left(cosn\phi+isen\left(n\phi\right)\right)=\frac{1-\left(cos\left(n+1\right)\phi+isen\left(n+1\right)\phi\right)}{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)}</math>
-Tomando el lado derecho de esta ultima expresión y llevar a cabo el producto con su conjugado , es decir:
-<math>\left(\frac{1-cos\left(n\phi+\phi\right)-isen\left(n\phi+\phi\right)}{1-cos\phi-isen\phi}\right)\star\left(\frac{1-cos\phi+isen\phi}{1-cos\phi+isen\phi}\right)
-</math>
-Se obtiene del numerador  lo siguiente
-<math>1-cos\phi+isen\phi-cosn\left(n\phi+\phi\right)+cos\phi cos\left(n\phi+\phi\right)-isen\phi cos\left(n\phi+\phi\right)-isen\left(n\phi+\phi\right)+icos\phi sen\left(n\phi+\phi\right)+sen\phi sen\left(n\phi+\phi\right)
-</math>
-si tomamos solo la parte real se tiene que
-<math>1-cos\phi-cos\left(n\phi+\phi\right)+cos\phi cos\left(n\phi+\phi\right)+sen\phi sen\left(n\phi+\phi\right)=</math>
-<math>1-cos\phi+cos\left(n\phi-\phi\right)-cos\left(n\phi+\phi\right)</math><math>=</math>  <math>1-cos\phi+2sen\phi sen\phi</math>
-por otra parte para el denominador se tiene:
-<math>\left(1-cos\phi\right)^{2}+sen^{2}\phi=</math>
-<math>1-2cos\phi+sen^{2}\phi+cos^{2}\phi=</math>   <math>2\left(1-cos\phi\right)</math>
-al tomar la parte real de
-<math>1+\left(cos\phi+isen\phi\right)+\left(cos2\phi+isen2\phi\right)+........+\left(cosn\phi+isenn\phi\right)=\frac{1-\left(cos\left(n+1\right)\phi+isen\left(n+1\right)\phi\right)}{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)}</math>,
-sustituir lo encontrado para el numerador (parte real)  y el denominador , y utilizar la siguiente
-identidad
-<math>sen\left(\frac{\phi}{2}\right)=\sqrt{\frac{1-cos\phi}{2}}</math>
-tenemos lo siguiente:
-<math>
-+cos\phi+cos2\phi+...............+cosn\phi=\frac{2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)+sen\phi sen\left(n\phi\right)}{2\left(2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)\right)}=\frac{1}{2}+\frac{sen\phi sen\left(n\phi\right)}{2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)}</math>
-Lo cual es casi a lo que se queria llegar.
---[[Usuario:Dali|Dali]] 00:01 5 oct 2009 (UTC)
-== 1.1.4 ==
-'''1. Demuestre que:'''
-<center><math>
-\begin{align}\left | \textstyle \sum_{k=1}^n  Z_{k}W_{k} \right |  ^2   = \left  (\sum_{k=1}^n \left| Z_{k} \right|^2  \right) \left(\sum_{k=1}^n \left| W_{k} \right|^2  \right) -\sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2. \qquad (I)\\
-\end{align}
-</math></center>
-'''Se conoce como igualdad de Lagrange'''
-'''Solución.'''
-Esta demostración se hará por inducción, es decir, empezaremos suponiendo que el elemento  <math> n-1</math>   se encuentra en el conjunto, pues entonces el resultado implica que el elemento   <math>n</math>    esta en el conjunto.
-Sea  <math>\eth=\left\{ \omega\in\mathbb{N\,}tal\, que\left(I\right)\, se\, cumpla\right\}
-</math>
-Supongamos que   <math>n-1</math>   esta en   <math>\eth</math>   , es decir,
-<center><math>\begin{align}
- \left|  \textstyle \sum_{k=1}^ {n-1}  Z_{k}W_{k}  \right|=  \left(\sum_{k=1}^ {n-1}  \left|Z_{k}  \right| ^{2}\right)  \left  (\sum_{l=1}^ {n-1}  \left|W_{l}\right|^{2}\right)-\sum_{1<j<k<n-1}  \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^{2}
-     \qquad (i)\\
-\end{align}
-</math></center>
-Tenemos que:
-<center><math>\begin{align}
- \aleph=\left(\sum_{k=1}^n \left| Z_{k}\right| ^2\right) \left(\sum_{l=1}^n \left| W_{l}\right| ^2 \right)-\sum_{1<j<k\leq n} \left| Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2
-   \qquad (ii)\\
-\end{align}
-</math></center>
-<center><math>\begin{align}
-\aleph= \left(\sum_{k=1}^{n-1} \left| Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \right) \left(\sum_{l=1}^{n-1} \left| W_{l}\right|^2+ \left|W_{n}\right|^2 \right)-\sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2
-\qquad (iii)\\
-\end{align}
-</math></center>
-<center><math>\begin{align}
-\aleph= \left(\sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 \right) \left(\sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 \right)+\left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 +\left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2+ \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2 -\sum_{1<j<k\leq n}\left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2
-\qquad (iv)\\
-\end{align}
-</math></center>
-<center><math>\begin{align}
-\aleph= \left(\sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 \right)\left(\sum_{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^2 \right)-\sum_{1<j<k\leq n}\left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1}\left|Z_{k}\right|^2+\left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2
-\qquad (v)\\
-\end{align}
-</math></center>
-Pero veamos la forma que toman las siguientes expresiones al expandir la suma,
-<center><math>\begin{align}
-\sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 = \left|Z_{1}\overline{W}_{2}-Z_{2}\overline{W}_{1}\right|^2 +\left|Z_{1}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{1}\right|^2 +..............+\left|Z_{1}\overline{W}_{n}-Z_{1}\overline{W}_{n}\right|^2 +...........+ \left|Z_{2}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{2}\right|^2 +...........+ \left|Z_{2}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{2}\right|^2+..........+ \left|Z_{n-1}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{n-1}\right|^2
-\qquad (vi)\\
-\end{align}
-</math></center>
-<center><math>\begin{align}
-\sum_{1<j<k\leq n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 = \left|Z_{1}\overline{W}_{2}-Z_{2}\overline{W}_{1}\right|^2 + \left|Z_{1}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{1}\right|^2+..........+\left|Z_{1}\overline{W}_{n-1}-Z_{n-1}\overline{W}_{1}\right|^2 +..........+ \left|Z_{2}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{2}\right|^2+...........+\left|Z_{2}\overline{W}_{n-1}-Z_{n-1}\overline{W}_{2}\right|^2 +...........+ \left|Z_{n-2}\overline{W}_{n-1}-Z_{n-1}\overline{W}_{n-2}\right|^2
-\qquad (vii)\\
-\end{align}
-</math></center>
-Al comparar las expresiones  <math> vi</math>   con   <math>vii</math>   se observa que:
-<center><math>\begin{align}
-\sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j} \right|^2= \sum_{1<j<k\leq n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 + \sum_{j=1}^{n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{j}\right|^2
-\qquad (viii)\\
-\end{align}
-</math></center>
-Entonces si ahora utilizamos las expresiones     <math>viii</math>,    <math> I</math> e   <math>i</math>   podemos re-escribir   <math>\aleph</math> de la manera siguiente:
-<center><math>\begin{align}
-\aleph=\left|\sum_{k=1}^{n-1}Z_{k}W_{k}\right|^2-\sum_{j=1}^{n-1}\left|Z_{j}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{j}\right|^2 + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1}\left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2
-\qquad (ix)\\
-\end{align}
-</math></center>
-<center><math>\begin{align}
-\aleph= \left(\sum_{k=1}^n  Z_{k}W_{k} - Z_{n}W_{n}\right) \left(\sum_{l=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k} -\overline{Z}_{n} \overline{W}_{n}\right) - \sum_{j=1}^{n-1} \left(Z_{j}\overline{W}_{n} - Z_{n}\overline{W}_{j}\right) \left(\overline{Z}_{j}W_{n} - \overline{Z}_{n}W_{j}\right) + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 +\left|Z_{n} \right|^2\sum_{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2
-\qquad (x)\\
-\end{align}
-</math></center>
-<center><math>\begin{align}
-\aleph=\left|\sum_{k=1}^{n}Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{l=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k}+ \left|Z_{n}W_{n}\right|^2 - \left[\sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}\overline{W}_{n}\overline{Z}_{j}W_{n}- \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}\overline{W}_{n}\overline{Z}_{n}W_{j}- \sum_{j=1}^{n-1} Z_{n}\overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}W_{n} + \sum_{j=1}^{n-1} Z_{n}\overline{W}_{j} \overline{Z}_{n}W_{j}\right] + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l} \right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2
-\qquad (xi)\\
-\end{align}
-</math></center>
-<center><math>\begin{align}
-\aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{k=1}^n \overline{Z}_{k} \overline{W}_{k}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2 - W_{n}\overline{W}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}\overline{Z}_{j}+\overline{W}_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}W_{j}+W_{n}Z_{n} \sum_{j=1}^{n-1}\overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}-Z_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} W_{j}\overline{W}_{j} + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2
-\qquad (xii)\\
-\end{align}
-</math></center>
-<center><math>\begin{align}
-\aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{k=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2- \left|W_{n}\right|^2 \sum_{j=1}^{n-1} \left|Z_{j}\right|^2 + \overline{W}_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}W_{j}+W_{n}Z_{n} \sum_{j=1}^{n-1} \overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}-\left|Z_{n}\right|^2 \sum_{j=1}^{n-1} \left|W_{j}\right|^2+\left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2
-\qquad (xiii)\\
-\end{align}
-</math></center>
-<center><math>\begin{align}
-\aleph=\left| \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n} \overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{k=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2+ \overline{W}_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1}Z_{j}W_{j}+W_{n}Z_{n} \sum_{j=1}^{n-1} \overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2
-\qquad (xiv)\\
-\end{align}
-</math></center>
-<center><math>\begin{align}
-\aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n} \overline{W}_{n}Z_{n}W_{n}-Z_{n}W_{n} \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2
-\qquad (xv)\\
-\end{align}
-</math></center>
-<center><math>\begin{align}
-\aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2
-\qquad (xvi)\\
-\end{align}
-</math></center>
-por lo tanto si  <math>n-1</math>   <math>\in</math>    <math>\eth</math>     <math>\Longrightarrow</math>       <math>n\in</math>    <math>\eth</math> .
---[[Usuario:Dali|Dali]] 03:31 14 oct 2009 (UTC)
-'''2.- Sean <math>z_{1},z_{2},...,z_{n}\,</math> numeros complejos, ¿Bajo que condiciones se tiene que <math>|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}| = |z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}|\,</math> ?'''
-Si <math>z_{1} = z_{2} = ... = z_{n}\,</math>, entonces
-<math>|z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}| = n|z_{1}|\,</math>
-por otro lado
-<math>|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}| = |nz_{1}| = n|z_{1}|\,</math>
-y por lo tanto
-<math>|z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}| = |z_{1}+z_{2}+...+z_{n}|\,</math>
---[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 02:52 5 oct 2009 (UTC)
-'''2.- Sean <math>z_{1},z_{2},...,z_{n}\,</math> numeros complejos, ¿Bajo que condiciones se tiene que <math>|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}| = |z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}|\,</math> ?'''
-Tomando como punto de partida la demostracion de la desigualdad del triangulo. Podemos generalizar por medio de la inducción matemática a sumas de cualquier número finito de términos.
-<math>\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}\right|\leq\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{n}\right|,(n = 1,2,3,...)\qquad (1)</math>.
-Es claro ver que cuando n = 2 se cumple la desigualdad del triangulo.
-<math>\left|z_{1}+z_{2}\right|\leq\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|</math>
-Ahora suponiendo que (1) es válida cuando n=m, debe ser tambien para n=m+1, y aplicando la desigualdad del triangulo:
-<math>\left|\left(z_{1}+z_{2}+...+z_{m}\right)+z_{m+1}\right|\leq\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{m}\right|+\left|z_{m+1}\right|</math>
-<math>\left|(z_{1}+z_{2}+...+z_{m})+z_{m+1}\right|\leq(\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{m}\right|)+\left|z_{m+1}\right|</math>
-En donde los primeros m terminos los redefiniremos como Z<math>_{I},</math> y el termino m+1 como Z<math>_{II},</math>. Entonces lo anterior queda como:
-<math>\left|Z_{I}+Z_{II}\right|\leq\left|Z_{I}\right|+\left|Z_{II}\right|</math>
-Ahora escribiendolo como igualdad
-<math>\left|Z_{I}+Z_{II}\right|=\left|Z_{I}\right|+\left|Z_{II}\right|\equiv\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{m}+z_{m+1}\right|=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{m}\right|+\left|z_{m+1}\right|</math>
-<math>\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{m}+z_{m+1}\right|=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{m}\right|+\left|z_{m+1}\right|\equiv\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}\right|=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{n}\right|</math>
-Esta desigualdad solo se cumple como igualdad cuando los numeros son colineales y tienen la misma direccion, esto tambien puede ser en los real (Re) o el imaginario (Im).
-Esto es muy claro ver cuando n=2, en una grafica.
-[[Imagen:Suma.gif]][[Imagen:Suma2.gif]]
-Aquí les dejo el enlace de la pagina donde consulte el código para generar las graficas para los que les interese.
-[http://demonstrations.wolfram.com/ComplexAddition/ Demostracion grafica]
---[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 03:41 16 oct 2009 (UTC)
---[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 03:07 6 oct 2009 (UTC)
-----
-'''3. Encuentre el ínfimo de <math>\left | z^3 + 2 i \right |</math> en la región <math>\left \{ z \mid |z| \ge 2 \right \}</math>, y describa en qué puntos se alcanza.'''
-Con una variante de la desigualdad del triángulo, tenemos que
-<center><math>\left | z^3 + i \right | \ge \left | |z|^3 -1 \right | \ge 8-1. </math></center>
-Por tanto,
-<center><math> 7 \le \left | z^3 + i \right |. \qquad (1) </math></center>
-Entonces, el ínfimo de la expresión es 7.
-Por otro lado, tenemos que, si <math>z = r \left ( cos \theta + 1 \sin \theta \right )</math>
-<center><math>
-\begin{align}
-\left | z^3 + i \right | ^2 & = \left | r ^3 \left ( \cos 3\theta + i \sin 3\theta \right ) + 1 \right | ^2 \\
-                            & = \left | r^3 \cos 3\theta + 1 + i r^3 \sin 3\theta \right | ^2 \\
-                            & = r^6 + 2 r^3 \cos 3\theta + 1. \\
-\end{align}
-</math></center>
-Si tomamos la cota inferior, <math>\left | z \right | = 2</math>, la expresión anterior es entonces:
-<center><math>
-\begin{align}
-\left | z^3 + i \right | ^2 & = r^6 + 2 r^3 \cos 3\theta + 1 \\
-                            & = 65 + 2 r^3 \cos 3\theta. \\
-\end{align}
-</math></center>
-Ya que la función coseno tiene su mínimo en el valor -1, tomemos una <math>\theta</math> tal que <math>\cos 3\theta {{=}} -1</math>. Para este caso, tenemos dos valores: <math>\theta_1 {{=}} \frac {\pi}{3}</math> y <math>\theta_2 {{=}} \pi </math>,
-de tal forma que, con estos valores,
-<center><math>\left | z^3 + i \right | ^2 = 65 - 16 = 49. </math></center>
-Con la fórmula de De Moivre, tenemos que el ínfimo de la expresión dada toma ese valor en <math>z_1</math> y <math>z_2</math> tales que
-<center><math>
-\begin{align}
-z_1 & = 2 \left ( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right ) \\
-    & = 2 \left ( \cos \frac {\pi}{3}  + i \sin \frac {\pi}{3} \right )\\
-    & = 2 \left ( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right ) \\
-z_1 & = 1 + i \sqrt{3}, \qquad (2)\\
-\end{align}
-</math></center>
-y
-<center><math>
-\begin{align}
-z_2 & = 2 \left ( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right ) \\
-    & = 2 \left ( \cos \pi  + i \sin \pi \right )\\
-z_2 & = -2. \qquad (3)\\
-\end{align}
-</math></center>
-Pero, además, por le geometría de los números complejos, tenemos otros dos valores <math>z_3</math> y <math>z_4</math> tales que
-<center><math>
-\begin{align}
-z_3 & = 2 \left ( \cos \theta_1+\pi + i \sin \theta_1+\pi \right ) \\
-    & = 2 \left ( \cos \frac {4\pi}{3}  + i \sin \frac {4\pi}{3} \right )\\
-    & = 2 \left ( - \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \right ) \\
-    & = -1 - i \sqrt{3} \\
-z_3 & = - z_1, \qquad (4)\\
-\end{align}
-</math></center>
-y
-<center><math>
-\begin{align}
-z_4 & = 2 \left ( \cos \theta_2+\pi + i \sin \theta_2+\pi \right ) \\
-    & = 2 \left ( \cos 2\pi  + i \sin 2\pi \right )\\
-    & = 2 \\
-z_4 & = -z_2. \qquad (5)\\
-\end{align}
-</math></center>
-Por tanto, las expresiones (2), (3), (4) y (5) nos proporcionan los valores en que el ínfimo es tomado, a saber, <math>\pm (1 + i \sqrt{3})</math> y <math>\pm 2</math>.
---[[Usuario:Belen|Belen]] 04:08 12 oct 2009 (UTC)
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+[[Compleja:ej-cap1.3]]
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-[[Compleja:ej-cap1.3]]
+[[Compleja:ej-cap2.1]]
+[[Compleja:ej-cap2.2]]
+[[Compleja:ej-cap2.3]]
+[[Compleja:ej-cap2.4]]
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-[[Compleja:ej-cap1.4]]
+[[Compleja:ej-cap3.1]]
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+[[Compleja:ej-cap3.3]]
+[[Compleja:ej-cap3.4]]
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