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| == 1.1.1 ==
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| '''1. Demuestre que el producto de números complejos cumple con la ley asociativa''' | | '''1. Demuestre que el producto de números complejos cumple con la ley asociativa''' |
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| == 1.1.2 == | | == '''SECCION 1.1.2''' == |
| '''1. Demuestre que <math>\left|\frac{z}{w}\right| = \frac{\left|z\right|}{\left|w\right|}</math>''' | | '''1. Demuestre que <math>\left|\frac{z}{w}\right| = \frac{\left|z\right|}{\left|w\right|}</math>''' |
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| De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber: | | De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber: |
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| <center><math>\left . \begin{matrix}|z_2 - z_1| = A\\ | | <center><math> |
| |z_3 - z_1| = B = |z_1 - z_3|\\ | | |z_2 - z_1| = A,\qquad |
| |z_2 - z_3| = C\\ | | |z_3 - z_1| = B = |z_1 - z_3|,\qquad |
| \end{matrix} \right \} \qquad (3)</math></center>
| | |z_2 - z_3| = C |
| | \qquad (3)</math></center> |
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| De (2) y (3) tenemos que: | | De (2) y (3) tenemos que: |
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| '''6. Sea <math>{\begin{align}z & = x+iy \end{align}}</math>, pruebe que | | '''6. Sea <math>{z = x+iy }</math>, pruebe que <math>{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2} \left|{z}\right|}</math> |
| <math>{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}</math> | |
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| Puesto que el número complejo z puede escribirse como | | Puesto que el número complejo z puede escribirse como |
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| <math>{\begin{align}z & = Re(z)+iIm(z) \end{align}}</math> | | <math>{z = Re(z)+iIm(z) }</math> |
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| <math>{\begin{align}\left|{z}\right| & = \sqrt{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2} \end{align}}</math> | | <math>{\left|{z}\right| = \sqrt{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2} }</math> |
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| Como | | Como |
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| <math>{\begin{align}\left|{z}\right|^2 & = \left|{Re(z)}\right|^2+\left|{Im(z)}\right|^2 \end{align}}</math> | | <math>{\left|{z}\right|^2 = \left|{Re(z)}\right|^2+\left|{Im(z)}\right|^2 }</math> |
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| Entonces | | Entonces |
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| '''6-bis. Sea <math>{\begin{align}z & = x+iy \end{align}}</math>, pruebe que | | '''6-bis. Sea <math>{z = x+iy }</math>, pruebe que |
| <math>{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}</math> | | <math>{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}</math> |
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| Tenemos que <math>{\begin{align}z & = x+iy \end{align}}</math>, entonces de la teoria sabemos que | | Tenemos que <math>{z = x+iy }</math>, entonces de la teoria sabemos que |
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| <math>{\begin{align}\left|{z}\right| & = \sqrt{[x]^2+[y]^2} \end{align}}\qquad (1)</math> | | <math>{\left|{z}\right| = \sqrt{[x]^2+[y]^2} }\qquad (1)</math> |
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| <math>{\left|{x}\right|=\left|{Re(z)}\right|}{\le}{ \left|{z}\right|}</math> | | <math>{\left|{x}\right|=\left|{Re(z)}\right|}{\le}{ \left|{z}\right|}</math> |
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| | '''REVISADO''' |
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| '''7. Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados. | | '''7. Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados. |
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| --[[Usuario:Karla|Karla]] 22:47 4 oct 2009 (UTC)Sanchez | | --[[Usuario:Karla|Karla]] 22:47 4 oct 2009 (UTC)Sanchez |
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| == 1.1.3 ==
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| '''1. Calcule las raìces cuadradas de <math>3+4i</math> y de <math>1+2i</math>.'''
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| Aplicando la formula para calcular raices cuadradas de numeros complejos.
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| <math>\pm\left(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}} + i\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\right)</math> si <math>\quad b>0</math>
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| Por lo tanto las raices de <math>3+4i</math>, son:
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| <math>=\pm\left(\sqrt{\frac{3+\sqrt{25}}{2}} + i\sqrt{\frac{-3+\sqrt{25}}{2}}\right)</math>
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| <math>=\pm\left(\sqrt{\frac{8}{2}} + i\sqrt{1}\right)</math>
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| <math>=\pm\left(2+i\right)</math>
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| y para <math>1+2i</math>, son:
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| <math>=\pm\left(\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} + i\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right)</math>
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| <math>=\pm\left(\sqrt{1.61} + i\sqrt{0.61}\right)</math>
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| <math>=\pm\left(1.27 + i 0.78\right).</math>
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| --[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 23:44 30 sep 2009 (UTC)
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| '''2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i'''
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| Tenemos q cosθ+i senθ = -64 definicion en forma polar
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| [[Imagen:Demo2.jpg]]
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| r=64
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| n=6 porque nos piden las raíces sextas
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| Entonces el argumento θ= ∏
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| Entonces
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| Si x+iy= r exp iφ
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| Entonces utilizando la definición de Moivre para obtener las raíces
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| (g exp iφ)^n= r exp iθ
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| Ahora tenemos
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| <math>g^n=r</math> y g= raíz enesima <math>\sqrt{64}</math>= = 2
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| y φn = θ+2k∏ los 2∏ es porque tomamos en cuenta la periodicidad de la funció n y k son todos los múltiplos de 2∏
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| entonces sacando las raíces
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| θ=∏/6 k=0
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| θ = ∏ / 6 + 2 ∏ / 6 = 3 ∏ / 6 k=1
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| θ=∏/6+2(2)∏/6= 5∏/6 k=2
| |
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| |
| θ=∏/6+(3)2∏/6= 7∏/6 k=3
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| |
| θ=∏/6+2(4)∏/6= 9∏/6 k=4
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| θ=∏/6+2(5)∏/6= 11∏/6 k=1
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| Las soluciones son
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| r1= 2 <math> e^{(i ∏/6)}</math>
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| r2= 2 <math> e^{(i 3∏/6)}</math>
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| r3= 2 <math> e^{(i 5∏/6)}</math>
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| r4= 2 <math> e^{(i 7∏/6)}</math>
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| r5= 2 <math> e^{(i 9∏/6)}</math>
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| r6= 2 <math> e^{(i 11∏/6)}</math>
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| Graficando en coordenadas polares nos queda:
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| [[Imagen:POLIGONO2.jpg]]
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| Haciendo algo similar para el 8i Tenemos
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| cosθ+i senθ= 8i
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| [[Imagen:DEMO3.jpg]]
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| el argumento θ= ∏/2
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| r= 8
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| n=3 porque nos pinden las raíces cubicas
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| <math>g^n=r</math> y g= raíz enesima <math>\sqrt{8}</math>= = 2
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| φn = θ+2k∏
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| φ=∏/6 k=0
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| φ=∏/6+2∏/3= 5∏/6 k=1
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| φ=∏/6+2(2)∏/3= 9∏/6 k=2
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| r1= 2 <math> e^{(i ∏/6)}</math>
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| |
| r2= 2 <math> e^{(i 5∏/6)}</math>
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| r3= 2 <math> e^{(i 9∏/6)}</math>
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| Graficando en coordenadas polares tenemos
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| [[Imagen:RAICES.jpg]]
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| --[[Usuario:Karla|Karla]] 21:35 4 oct 2009 (UTC)Sanchez
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| '''2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i'''
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| Sea <math> z = -64 = 64(cos\pi + isen\pi)\,</math>
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| Por la formula de De Moivre
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| <math>z^{1/6} = 64^{1/6}(cos\pi + sen\pi)^{1/6} = 2 (cos(\frac{\pi+2k\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+2k\pi}{6}))</math> para k = 0,1,2,3,4,5
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| Evaluando k se obtiene
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| con k = 0
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| <math>w_{0} = 2(cos(\frac{\pi}{6}) + isen(\frac{\pi}{6})) = \sqrt{3} + i</math>
| |
|
| |
| con k = 1
| |
|
| |
| <math>w_{1} = 2(cos(\frac{\pi+2\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+2\pi}{6})) = 2(cos(\frac{\pi}{2}) + isen(\frac{\pi}{2})) = 2i</math>
| |
|
| |
| con k = 2
| |
|
| |
| <math>w_{2} = 2(cos(\frac{\pi+4\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+4\pi}{6})) = 2(cos(\frac{5\pi}{6}) + isen(\frac{5\pi}{6})) = -\sqrt{3} + i</math>
| |
|
| |
| con k = 3
| |
|
| |
| <math>w_{3} = 2(cos(\frac{\pi+6\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+6\pi}{6})) = 2(cos(\frac{7\pi}{6}) + isen(\frac{7\pi}{6})) = -\sqrt{3} - i</math>
| |
|
| |
| con k = 4
| |
|
| |
| <math>w_{4} = 2(cos(\frac{\pi+8\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+8\pi}{6})) = 2(cos(\frac{3\pi}{2}) + isen(\frac{3\pi}{2})) = -2i</math>
| |
|
| |
| con k = 5
| |
|
| |
| <math>w_{5} = 2(cos(\frac{\pi+10\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+10\pi}{6})) = 2(cos(\frac{11\pi}{6}) + isen(\frac{11\pi}{6})) = \sqrt{3} - i</math>
| |
|
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|
| |
| ..............
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| Sea <math>z = 8i = 8(cos(\frac{\pi}{2}) + sen(\frac{\pi}{2})\,</math>
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| <math>z^{1/3} = 8^{1/3}(cos(\frac{\pi}{2}) + isen(\frac{\pi}{2}))^{1/3} = 2(cos(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}) + isen(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}))</math> para k = 0,1,2
| |
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| |
|
| |
| Evaluando a k se obtiene
| |
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| |
|
| |
| con k = 0
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|
| |
| <math>w_{0} = 2(cos(\frac{\pi}{6}) + isen(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3} + i</math>
| |
|
| |
| con k = 1
| |
|
| |
| <math>w_{1} = 2(cos(\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{3}) + isen(\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{3})) = 2(cos(\frac{5\pi}{6}) + isen(\frac{5\pi}{6}) = -\sqrt{3} + i</math>
| |
|
| |
| con k = 2
| |
|
| |
| <math>w_{2} = 2(cos(\frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}{3}) + isen(\frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}{3})) = 2(cos(\frac{3\pi}{2}) + isen(\frac{3\pi}{2})) = -2i</math>
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| --[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 21:07 3 oct 2009 (UTC)
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| '''3. Demuestre que <math>1+Z+Z^2+...+Z^{n-1}=0</math> donde z es una raíz n-ésima de la unidad,
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| <math>z\neq 1</math>'''
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| Sea <math> S=1+Z+Z^2+...+Z^{n-1}</math>
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| Ahora multiplicamos ambos lados por Z
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| <math> ZS=Z+Z^2+Z^3+...+Z^{n-1}+Z^n</math>
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| Restando la segunda ecuación de la primera
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| <math>{(s=1+z+z^2+...+z^{n-1})-(zs=z+^2+z^3+...+z^{n-1}+z^n)}</math>
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| Tenemos que
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| <math>{s-zs=1-z^n}\to {s(1-z)=1-z^n}</math>
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| De donde
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| <math>s=\frac{1-z^n}{1-z}</math>
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| Como z es una raíz enesima de la unidad
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| <math>0=\frac{1-z^n}{1-z}</math>
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| <math>\to{1-z^n=0} </math>
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| |
| <math>\to{z^n=1} </math>
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| Entonces
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| <math>\to{z^n=1} </math>
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| y
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| <math>{1-z}\ne{0}</math>
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| porque
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| <math> {z}\ne{1} </math>
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| Por lo tanto
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| '''<math> {s=0} </math>'''
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| --[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 22:00 2 oct 2009 (UTC)
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| == 1.1.4 ==
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| '''2.- Sean <math>z_{1},z_{2},...,z_{n} numeros complejos, ¿Bajo que condiciones se tiene que |z_{1}+z_{2}+...+z_{n}| = |z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}|?\,</math>'''
| |
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|
| |
| Si <math>z_{1} = z_{2} = ... = z_{n}, entonces\,</math>
| |
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| <math>|z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}| = n|z_{1}|\,</math>
| |
|
| |
| por otro lado
| |
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| |
| <math>|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}| = |nz_{1}| = n|z_{1}|\,</math>
| |
|
| |
| por lo tanto
| |
|
| |
| <math>|z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}| = n|z_{1}| = |z_{1}+z_{2}+...+z_{n}|\,</math>
| |
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| Demuestre que:
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| <center>
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| <math>\frac{n}{2^{n-1}}=\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{\pi}{k}</math>
| |
| </center>
| |
| Sugerencia: Factoriza la expresión <math>1+z+z^2+\cdots+z^n</math> usando las raices n-ésimas de la unidad, posteriormente evalue en <math>z=1</math>.
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| Solución:
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| Las raices de <math>z^m=1</math> son
| |
| <center>
| |
| <math>z=1,e^{\frac{2\pi i}{m}},e^{\frac{4\pi i}{m}},\dots,e^{\frac{(2m-1)\pi i}{m}}</math>
| |
| </center>
| |
| entonces podemos escribir
| |
| <center>
| |
| <math>z^{m-1}=(z-e^{\frac{2\pi i}{m}})(z-e^{\frac{4\pi i}{m}})\cdots(z-e^{\frac{(2m-1)\pi i}{m}})</math>
| |
| </center>
| |
| dividiendo ambos lados por <math>z-1</math> y haciendo <math>z=1</math>:
| |
| <center>
| |
| <math>\frac{z^{m-1}}{z-1}=1+z+z^2+\cdots+z^{m-1}</math>
| |
| </center>
| |
| de aqui hallamos que
| |
| <center>
| |
| <math>m=(1-e^{\frac{2\pi i}{m}})(1-e^{\frac{4\pi i}{m}})\cdots(1-e^{\frac{(2m-1)\pi i}{m}})\qquad (1)</math>
| |
| </center>
| |
| tomando el conjugado complejo de ambos lados de (1)
| |
| <center>
| |
| <math>m=(1-e^{\frac{-2\pi i}{m}})(1-e^{\frac{-4\pi i}{m}})\cdots(1-e^{\frac{-(2m-1)\pi i}{m}})\qquad (2)</math>
| |
| </center>
| |
|
| |
| Multiplicando la ecuación (1) por la (2) y aplicando que
| |
| <center>
| |
| <math>1-(1-e^{\frac{2k\pi i}{m}})(1-e^{\frac{2k\pi i}{m}})= 2 - 2\cos\frac{2k\pi}{m}</math>
| |
| </center>
| |
| tenemos
| |
| <center>
| |
| <math>m^2=2^{m-1}(1-\cos\frac{2\pi}{m})(1-\cos\frac{4\pi}{m})\cdots(1-\cos\frac{2(m-1)\pi}{m})</math>
| |
| </center>
| |
| puesto que
| |
| <center>
| |
| <math>1-\cos\frac{2k\pi}{m}=2\sin^2\frac{k\pi}{m}</math>
| |
| </center>
| |
| la ecuación anterior se transforma en
| |
| <center>
| |
| <math>m^2=2^{2m-2}(\sin^2\frac{\pi}{m})(\sin^2\frac{2\pi}{m})\cdots(\sin^2\frac{(m-1)\pi}{m})</math>
| |
| </center>
| |
| despejando y sacando la raíz en ambos lados de la expresión:
| |
| <center>
| |
| <math>\frac{m}{2^{m-1}}=(\sin\frac{\pi}{m})(\sin\frac{2\pi}{m})\cdots(\sin\frac{(m-1)\pi}{m})</math>
| |
| </center>
| |
|
| |
| lo que queda demostrada la igualdad.
| |
| --[[Usuario:Wendy|Wendy]] 23:10 4 oct 2009 (UTC)
| |
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| |
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| |
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| ---- | | ---- |
| | [[Compleja:ej-cap1.1]] |
| | [[Compleja:ej-cap1.2]] |
| | [[Compleja:ej-cap1.3]] |
| | [[Compleja:ej-cap1.4]] |
|
| |
|
| 5. '''Demuestre que'''
| | [[Compleja:ej-cap2.1]] |
| | | [[Compleja:ej-cap2.2]] |
| <math>1+cos\phi+cos2\phi+...............+cos n\phi=\frac{1}{2}+\frac{sen\left(n\phi+\frac{\phi}{2}\right)}{2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)}</math>,
| | [[Compleja:ej-cap2.3]] |
| | | [[Compleja:ej-cap2.4]] |
| '''donde''' '''<math>\phi</math> ''' '''no es un multiplo par de''' '''<math>\pi</math>.'''
| | [[Compleja:ej-cap2.5]] |
| | |
|
| |
| | |
| '''Esta identidad se le atribuye a Lagrange.'''
| |
| | |
| | |
| Sugerencia: calcular la parte real de
| |
| | |
| | |
| <math>1+z+z^{2}+..........+z^{n}</math>, donde <math>z=cos\phi+isen\phi</math>.
| |
| | |
| | |
| | |
| '''Solucion.'''
| |
| | |
| Sea
| |
| | |
| <math>S=1+z+z^{2}+.......+z^{n}</math> si multiplicamos por <math>z</math> a <math>S</math> se tiene que
| |
| | |
| | |
| <math>zS=z+z^{2}+z^{3}+......+z^{n}+z^{n+1}</math> ahora restemos estas dos ultimas expresiones
| |
| | |
| | |
| <math>\left(S-zS\right)=\left(1-z\right)S=1-z^{n+1}</math> de lo que se obtiene que
| |
| | |
| | |
| | |
| <math>S=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}</math>
| |
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| Si en esta última expresion utilizamos <math>z=cos\phi+isen\phi</math> entonces
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| <math>S=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}</math>
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| toma la siguiente forma
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| <math>1+\left(cos\phi+isen\phi\right)+\left(cos\phi+isen\phi\right)^{2}+........+\left(cos\phi+isen\phi\right)^{n}=\frac{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)^{n+1}}{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)} </math>
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| que es equivalente a esta
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| <math>1+\left(cos\phi+isen\phi\right)+\left(cos2\phi+isen2\phi\right)+........+\left(cosn\phi+isen\left(n\phi\right)\right)=\frac{1-\left(cos\left(n+1\right)\phi+isen\left(n+1\right)\phi\right)}{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)}</math>
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| Tomando el lado derecho de esta ultima expresión y llevar a cabo el producto con su conjugado , es decir:
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| <math>\left(\frac{1-cos\left(n\phi+\phi\right)-isen\left(n\phi+\phi\right)}{1-cos\phi-isen\phi}\right)\star\left(\frac{1-cos\phi+isen\phi}{1-cos\phi+isen\phi}\right)
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| </math>
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| Se obtiene del numerador lo siguiente
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| <math>1-cos\phi+isen\phi-cosn\left(n\phi+\phi\right)+cos\phi cos\left(n\phi+\phi\right)-isen\phi cos\left(n\phi+\phi\right)-isen\left(n\phi+\phi\right)+icos\phi sen\left(n\phi+\phi\right)+sen\phi sen\left(n\phi+\phi\right)
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| </math>
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| si tomamos solo la parte real se tiene que
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| <math>1-cos\phi-cos\left(n\phi+\phi\right)+cos\phi cos\left(n\phi+\phi\right)+sen\phi sen\left(n\phi+\phi\right)=</math>
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| <math>1-cos\phi+cos\left(n\phi-\phi\right)-cos\left(n\phi+\phi\right)</math><math>=</math> <math>1-cos\phi+2sen\phi sen\phi</math>
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| por otra parte para el denominador se tiene:
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| <math>\left(1-cos\phi\right)^{2}+sen^{2}\phi=</math>
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| <math>1-2cos\phi+sen^{2}\phi+cos^{2}\phi=</math> <math>2\left(1-cos\phi\right)</math>
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| al tomar la parte real de
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| <math>1+\left(cos\phi+isen\phi\right)+\left(cos2\phi+isen2\phi\right)+........+\left(cosn\phi+isenn\phi\right)=\frac{1-\left(cos\left(n+1\right)\phi+isen\left(n+1\right)\phi\right)}{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)}</math>,
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| sustituir lo encontrado para el numerador (parte real) y el denominador , y utilizar la siguiente
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| identidad
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| <math>sen\left(\frac{\phi}{2}\right)=\sqrt{\frac{1-cos\phi}{2}}</math>
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| tenemos lo siguiente:
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| <math>
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| 1+cos\phi+cos2\phi+...............+cosn\phi=\frac{2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)+sen\phi sen\left(n\phi\right)}{2\left(2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)\right)}=\frac{1}{2}+\frac{sen\phi sen\left(n\phi\right)}{2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)}</math>
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| Lo cual es casi a lo que se queria llegar.
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| --[[Usuario:Dali|Dali]] 00:01 5 oct 2009 (UTC)
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| | [[Compleja:ej-cap3.1]] |
| | [[Compleja:ej-cap3.2]] |
| | [[Compleja:ej-cap3.3]] |
| | [[Compleja:ej-cap3.4]] |
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| [[categoría:Compleja]] | | [[categoría:Compleja]] |
| [[categoría:Cursos]]
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1. Demuestre que el producto de números complejos cumple con la ley asociativa
Sean
con
Por demostrar
Por otra parte
Entonces se cumple .
--Gabita 22:15 28 sep 2009 (UTC)
SECCION 1.1.2
1. Demuestre que
Sean
Por otra parte
--Gabita 22:15 28 sep 2009 (UTC)
2. Exprese de la forma
Por las propiedades ,
Simplificando, se obtiene:
Resolviendo la división de números complejos, de la forma:
:
=.
--Josua Da Vinci 23:00 28 sep 2009 (UTC)
3. Demuestre que es raiz de un polinomio real si y solo si lo es.
Sea solucion de un polinomio real,
entonces
como , por lo tanto tambien es solucion.
--Luis Nava 06:35 30 sep 2009 (UTC)
5. Sean tales que cumplen , demuestre que estos tres puntos determinan un triángulo equilátero.
Tenemos que
y, por lo tanto,
De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber:
De (2) y (3) tenemos que:
Por triángulos semejantes, se tiene que el ángulo es igual al ángulo y éste a su vez al ángulo , es decir,
Y la ecuación (5) es precisamente la condición para que el triángulo ABC de la Figura 1 sea equilátero.
--Belen 02:48 29 sep 2009 (UTC)
6. Sea , pruebe que
Puesto que el número complejo z puede escribirse como
Se deduce que
Como el cuadrado de un número real no puede ser negativo
Entonces
O sea
O de otra manera
Sumando , a ambos lados se tiene
Como
Entonces
De donde
Sacando raíces cuadradas positivas
Por lo tanto
--Ralf Gutierrez 19:18 29 sep 2009 (UTC)
6-bis. Sea , pruebe que
Tenemos que , entonces de la teoria sabemos que
Tambien es inmediato que para z , , y que el cuadrado de cualquier numero real es siempre positivo, entonces de esto se tiene que
Desarrollando el binomio se tiene que
Y por la identidad (1) esto se puede escribir como
Ahora sumando en ambos lados obtenemos lo siguiente
Pero ademas como , lo sustituimos en el resultado anterior
Es facil ver que
Utilizando este resultado se deduce que
Y tomando las raices positivas llegamos al siguiente resultado
Que es lo que se queria mostrar.
--Oscar Adrian 03:56 1 oct 2009 (UTC)
REVISADO
7. Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados.
Archivo:Dibujobueno.jpg
Sacamos las normas de los números complejos
|z|=
|w|=
Por algebra de vectores
Donde |h| es la resultante de |z|+|w|
+
De la misma forma el dibujo nos indica q trasladamos la magnitudes de los vectores
|w| y |z| y por tanto también tendremos |z|+|w| =|h|
Entonces si |z|+|w| = |h|
Aplicando el teorema de pitagoras q nos dice
d = cateto
f = cateto
entonces tenemos que
Aplicamos pitagoras
Por tanto
se cumple la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de la diagonal.
--Karla 22:47 4 oct 2009 (UTC)Sanchez
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