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| --[[Usuario:Gabita|Gabita]] 22:15 28 sep 2009 (UTC)== 1.1.1 ==
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| '''1. Demuestre que el producto de números complejos cumple con la ley asociativa''' | | '''1. Demuestre que el producto de números complejos cumple con la ley asociativa''' |
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| == 1.1.2 == | | == '''SECCION 1.1.2''' == |
| '''1. Demuestre que <math>\left|\frac{z}{w}\right| = \frac{\left|z\right|}{\left|w\right|}</math>''' | | '''1. Demuestre que <math>\left|\frac{z}{w}\right| = \frac{\left|z\right|}{\left|w\right|}</math>''' |
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| Simplificando, se obtiene: | | Simplificando, se obtiene: |
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| | <math>\frac{4-6i-6i-9}{4-i}=\frac{-5-12i}{4-i}</math> |
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| | Resolviendo la división de números complejos, de la forma: |
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| | <math>\frac{z}{w}=\frac{z\bar{w}}{w\bar{w}}=\frac{z\bar{w}}{\left|w\right|^2}</math>: |
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| | <math>\frac{\left(-5-12i\right)\left(4+i\right)}{\left(4-i\right)\left(4+i\right)}=\frac{-20-5i-48i+12}{17}=\frac{-8-53i}{17}</math> |
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| | =<math>-\frac{8}{17}-\frac{53}{17}i</math>. |
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| | --[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 23:00 28 sep 2009 (UTC) |
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| | '''3. Demuestre que <math>\alpha</math> es raiz de un polinomio real si y solo si <math>\overline{\alpha}</math> lo es.''' |
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| | Sea <math>\overline{\alpha}</math> solucion de un polinomio real, |
| | |
| | entonces <math>\overline{\alpha} \in \mathbb{R}</math> |
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| | como <math>\overline{\alpha} = \alpha</math>, por lo tanto <math>\alpha</math> tambien es solucion. |
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| | --[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 06:35 30 sep 2009 (UTC) |
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| '''5. Sean <math>z_1 , z_2 , z_3 \in \mathbb{C}</math> tales que cumplen <math>\frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} = \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3}</math>, demuestre que estos tres puntos determinan un triángulo equilátero.''' | | '''5. Sean <math>z_1 , z_2 , z_3 \in \mathbb{C}</math> tales que cumplen <math>\frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} = \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3}</math>, demuestre que estos tres puntos determinan un triángulo equilátero.''' |
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| De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber: | | De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber: |
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| <center><math>\left . \begin{matrix}|z_2 - z_1| = A\\ | | <center><math> |
| |z_3 - z_1| = B = |z_1 - z_3|\\ | | |z_2 - z_1| = A,\qquad |
| |z_2 - z_3| = C\\ | | |z_3 - z_1| = B = |z_1 - z_3|,\qquad |
| \end{matrix} \right \} \qquad (3)</math></center>
| | |z_2 - z_3| = C |
| | \qquad (3)</math></center> |
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| De (2) y (3) tenemos que: | | De (2) y (3) tenemos que: |
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| <center><math>\alpha = \beta = \gamma. \qquad (5)</math></center> | | <center><math>\alpha = \beta = \gamma. \qquad (5)</math></center> |
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| | Y la ecuación (5) es precisamente la condición para que el triángulo ABC de la Figura 1 sea equilátero. |
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| | --[[Usuario:Belen|Belen]] 02:48 29 sep 2009 (UTC) |
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| | '''6. Sea <math>{z = x+iy }</math>, pruebe que <math>{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2} \left|{z}\right|}</math> |
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| | Puesto que el número complejo z puede escribirse como |
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| | <math>{z = Re(z)+iIm(z) }</math> |
| | |
| | <math>{\left|{z}\right| = \sqrt{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2} }</math> |
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| | |
| | Se deduce que |
| | |
| | <math>{\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{Re(z)}\right|}</math> |
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| | <math>{\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{Im(z)}\right|}</math> |
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| | |
| | Como el cuadrado de un número real no puede ser negativo |
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| '''== 1.1.7 == Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados.
| | <math>{{[\left|{Re(z)}\right|-\left|{Im(z)}\right|]^2}{\ge }0}</math> |
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| Recordando Pitágoras c^2 = a^2 + b^2 (para magnitudes reales)
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| '''
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| [[Imagen:demo.jpg]]
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| | Entonces |
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| Tomamos dos numeros complejos
| | <math>{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2-2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|{\ge }0}</math> |
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| '''a = b + ic'''
| | O sea |
| '''d = e + if'''
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| Para poder demostrar que la suma de los cuadrados de los lados sea igual a la suma del cuadrado de las diagonales necesitamos obtener la magnitud de los numeros complejos anteriores '''"a"''' y '''"d".'''
| | <math>{{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2}{\ge }2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math> |
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|
| '''|a|''' = <math>\sqrt{ b^2+c^2}</math> que corresponde a la norma de "a".
| | O de otra manera |
| '''|d|''' = <math>\sqrt{ e^2+f^2}</math> que corresponde a la norma de "d".
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| Ahora sumamos el cuadrado de las magnitudes de los lados y tenemos
| | <math>{{\left|{z}\right|^2}{\ge }2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math> |
| | |
| | |
| | Sumando <math>{\left|{z}\right|^2}</math>, a ambos lados se tiene |
| | |
| | <math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{z}\right|^2+2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math> |
| | |
| | |
| | Como |
| | |
| | <math>{\left|{z}\right|^2 = \left|{Re(z)}\right|^2+\left|{Im(z)}\right|^2 }</math> |
| | |
| | Entonces |
| | |
| | <math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{Re(z)}\right|^2+\left|{Im(z)}\right|^2+2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math> |
| | |
| | De donde |
| | |
| | <math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }[\left|{Re(z)}\right|+\left|{Im(z)}\right|]^2}</math> |
| | |
| | Sacando raíces cuadradas positivas |
| | |
| | <math>{{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}{\ge} \left|{Re(z)}\right|+\left|{Im(z)}\right|}</math> |
| | |
| | |
| | Por lo tanto |
| | |
| | <math>{{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}{\ge}{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}}</math> |
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| | --[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:18 29 sep 2009 (UTC) |
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| | '''6-bis. Sea <math>{z = x+iy }</math>, pruebe que |
| | <math>{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}</math> |
| | | |
| '''(''' <math>\sqrt{ b^2+c^2}</math> ''')^2''' + '''(''' <math>\sqrt{ e^2+f^2}</math> ''')^2'''
| | Tenemos que <math>{z = x+iy }</math>, entonces de la teoria sabemos que |
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| Haciendo algebra tenemos
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| ''' e^2 + f^2 + b^2 + c^2'''
| | <math>{\left|{z}\right| = \sqrt{[x]^2+[y]^2} }\qquad (1)</math> |
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| Ahora desarrollamos '''|a|^2 + |d|^2''' ( es la suma de los cuadrados de la diagonal)Es algo análogo a lo que sucede con el teorema de pitágoras, tomando en cuenta que cuando calculamos las magnitudes de un número complejo solo tomamos en cuenta la parte real en la cual conocemos el valor, sin embargo no sabemos cuanto puede valer la parte imaginaria.
| | <math>{\left|{x}\right|=\left|{Re(z)}\right|}{\le}{ \left|{z}\right|}</math> |
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| donde '''|a| ^2''' = '''('''<math>\sqrt{ b^2+c^2}</math>''')^2''' y '''|d| ^2''' = '''('''<math>\sqrt{ b^2+c^2}</math>''')^2'''
| | <math>{\left|{y}\right|=\left|{Im(z)}\right|}{\le}{ \left|{z}\right|}</math> |
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| | |
| y '''|a|^2 + |d|^2 = b^2 + c^2 + e^2 + f^2''' Suma de los cuadrados de la diagonal
| | |
| | Tambien es inmediato que para z <math>\in \mathbb{R}</math>, <math>\overline z = z</math>, y que el cuadrado de cualquier numero real es siempre positivo, entonces de esto se tiene que |
| | |
| | <math>{{[\left|{x}\right|-\left|{y}\right|]^2}{\ge}0}</math> |
| | |
| | Desarrollando el binomio se tiene que |
| | |
| | |
| | <math>{[x]^2+[y]^2-2\left|{x}\right|\left|{y}\right|{\ge }0}</math> |
| | |
| | <math>{{[x]^2+[y]^2}{\ge }2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math> |
| | |
| | Y por la identidad (1) esto se puede escribir como |
| | |
| | <math>{{\left|{z}\right|^2}{\ge }2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math> |
| | |
| | Ahora sumando en ambos lados <math>{{\left|{z}\right|^2}}</math> obtenemos lo siguiente |
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| | |
| | <math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{z}\right|^2+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math> |
| | |
| | |
| | Pero ademas como <math>{{\left|{z}\right|^2}={\left|{x}\right|^2}+{\left|{y}\right|^2}}</math>, lo sustituimos en el resultado anterior |
| | |
| | |
| | |
| | <math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{x}\right|^2}+{\left|{y}\right|^2+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math> |
| | |
| | |
| | Es facil ver que |
| | |
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| | <math>{{[\left|{x}\right|+\left|{y}\right|]^2}={[x]^2+[y]^2+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}}</math> |
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| | |
| | Utilizando este resultado se deduce que |
| | |
| | |
| | <math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }{[\left|{x}\right|+\left|{y}\right|]^2}}</math> |
| | |
| | |
| | Y tomando las raices positivas llegamos al siguiente resultado |
| | |
| | |
| | <math>{\sqrt{2}\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}</math> |
| | |
| | |
| | Que es lo que se queria mostrar. |
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| | --[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 03:56 1 oct 2009 (UTC) |
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| | '''REVISADO''' |
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| | '''7. Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados. |
| | |
| | [[Imagen:Dibujobueno.jpg]] |
| | |
| | Sacamos las normas de los números complejos |
| | |
| | |z|=<math>\sqrt{(a)^2+(b)^2}</math> |
| | |w|=<math>\sqrt{(c)^2+(d)^2}</math> |
| | |
| | Por algebra de vectores |
| | |
| | <math>|z|+|w|=|h|</math> |
| | |
| | Donde |h| es la resultante de |z|+|w| |
| | |
| | <math>\sqrt{(a)^2+(b)^2}</math>+ <math>\sqrt{(c)^2+(d)^2}=|h|</math> |
| | |
| | De la misma forma el dibujo nos indica q trasladamos la magnitudes de los vectores |
| | |
| | |w| y |z| y por tanto también tendremos |z|+|w| =|h| |
| | |
| | Entonces si |z|+|w| = |h| |
| | |
| | Aplicando el teorema de pitagoras q nos dice |
| | |
| | d = cateto |
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| |
|
| Tomando en cuenta el resultado anterior de la suma de los cuadrados de las magnitudes de los lados '''b^2+ c^2+ e^2 + f^2''' por lo tanto podemos decir que ha quedado demostrado que la suma de los cuadrados de la diagonal es igual a la suma de los cuadrados de los lados.
| | f = cateto |
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| | <math>e^2=d^2+f^2</math> |
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| |
|
| | entonces tenemos que |
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| | <math>(a)^2+(b)^2=|z|^2</math> |
| | <math>(c)^2+(d)^2=|w|^2</math> |
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| |
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| --[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 21:27 25 sep 2009 (UTC)
| | Aplicamos pitagoras |
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| |
|
| [[categoría:Compleja]]
| | <math>(c)^2+(d)^2+(a)^2+(b)^2=(c)^2+(d)^2+(a)^2+(b)^2</math> |
| [[categoría:Cursos]]
| |
|
| |
|
| | Por tanto |
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| | <math>|z|^2 +|w|^2 = |h|^2</math> se cumple la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de la diagonal. |
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|
| | --[[Usuario:Karla|Karla]] 22:47 4 oct 2009 (UTC)Sanchez |
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| |
|
| == 1.1.3 ==
| | ---- |
| | [[Compleja:ej-cap1.1]] |
| | [[Compleja:ej-cap1.2]] |
| | [[Compleja:ej-cap1.3]] |
| | [[Compleja:ej-cap1.4]] |
|
| |
|
| == 1.1.4 ==
| | [[Compleja:ej-cap2.1]] |
| | [[Compleja:ej-cap2.2]] |
| | [[Compleja:ej-cap2.3]] |
| | [[Compleja:ej-cap2.4]] |
| | [[Compleja:ej-cap2.5]] |
|
| |
|
| --[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 21:27 25 sep 2009 (UTC) | | [[Compleja:ej-cap3.1]] |
| | [[Compleja:ej-cap3.2]] |
| | [[Compleja:ej-cap3.3]] |
| | [[Compleja:ej-cap3.4]] |
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| |
|
| [[categoría:Compleja]] | | [[categoría:Compleja]] |
| [[categoría:Cursos]]
| |
1. Demuestre que el producto de números complejos cumple con la ley asociativa
Sean
con
Por demostrar
Por otra parte
Entonces se cumple .
--Gabita 22:15 28 sep 2009 (UTC)
SECCION 1.1.2
1. Demuestre que
Sean
Por otra parte
--Gabita 22:15 28 sep 2009 (UTC)
2. Exprese de la forma
Por las propiedades ,
Simplificando, se obtiene:
Resolviendo la división de números complejos, de la forma:
:
=.
--Josua Da Vinci 23:00 28 sep 2009 (UTC)
3. Demuestre que es raiz de un polinomio real si y solo si lo es.
Sea solucion de un polinomio real,
entonces
como , por lo tanto tambien es solucion.
--Luis Nava 06:35 30 sep 2009 (UTC)
5. Sean tales que cumplen , demuestre que estos tres puntos determinan un triángulo equilátero.
Tenemos que
y, por lo tanto,
De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber:
De (2) y (3) tenemos que:
Por triángulos semejantes, se tiene que el ángulo es igual al ángulo y éste a su vez al ángulo , es decir,
Y la ecuación (5) es precisamente la condición para que el triángulo ABC de la Figura 1 sea equilátero.
--Belen 02:48 29 sep 2009 (UTC)
6. Sea , pruebe que
Puesto que el número complejo z puede escribirse como
Se deduce que
Como el cuadrado de un número real no puede ser negativo
Entonces
O sea
O de otra manera
Sumando , a ambos lados se tiene
Como
Entonces
De donde
Sacando raíces cuadradas positivas
Por lo tanto
--Ralf Gutierrez 19:18 29 sep 2009 (UTC)
6-bis. Sea , pruebe que
Tenemos que , entonces de la teoria sabemos que
Tambien es inmediato que para z , , y que el cuadrado de cualquier numero real es siempre positivo, entonces de esto se tiene que
Desarrollando el binomio se tiene que
Y por la identidad (1) esto se puede escribir como
Ahora sumando en ambos lados obtenemos lo siguiente
Pero ademas como , lo sustituimos en el resultado anterior
Es facil ver que
Utilizando este resultado se deduce que
Y tomando las raices positivas llegamos al siguiente resultado
Que es lo que se queria mostrar.
--Oscar Adrian 03:56 1 oct 2009 (UTC)
REVISADO
7. Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados.
Archivo:Dibujobueno.jpg
Sacamos las normas de los números complejos
|z|=
|w|=
Por algebra de vectores
Donde |h| es la resultante de |z|+|w|
+
De la misma forma el dibujo nos indica q trasladamos la magnitudes de los vectores
|w| y |z| y por tanto también tendremos |z|+|w| =|h|
Entonces si |z|+|w| = |h|
Aplicando el teorema de pitagoras q nos dice
d = cateto
f = cateto
entonces tenemos que
Aplicamos pitagoras
Por tanto
se cumple la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de la diagonal.
--Karla 22:47 4 oct 2009 (UTC)Sanchez
Compleja:ej-cap1.1
Compleja:ej-cap1.2
Compleja:ej-cap1.3
Compleja:ej-cap1.4
Compleja:ej-cap2.1
Compleja:ej-cap2.2
Compleja:ej-cap2.3
Compleja:ej-cap2.4
Compleja:ej-cap2.5
Compleja:ej-cap3.1
Compleja:ej-cap3.2
Compleja:ej-cap3.3
Compleja:ej-cap3.4