Diferencia entre revisiones de «Compleja:ej-cap1.1»

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Línea 1: Línea 1:
== 1.1.1 ==
'''1. Demuestre que el producto de números complejos cumple con la ley asociativa'''
'''1. Demuestre que el producto de números complejos cumple con la ley asociativa'''


Línea 26: Línea 25:




--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 22:15 28 sep 2009 (UTC)


== 1.1.2 ==
 
 
== '''SECCION 1.1.2''' ==
'''1. Demuestre que <math>\left|\frac{z}{w}\right| = \frac{\left|z\right|}{\left|w\right|}</math>'''
'''1. Demuestre que <math>\left|\frac{z}{w}\right| = \frac{\left|z\right|}{\left|w\right|}</math>'''


Línea 51: Línea 53:


<math>\frac{\left|z\right|}{\left|w\right|} = \frac{\left|a + i b\right|}{\left|c + i d\right|} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}} = \left|\frac{z}{w}\right|</math>
<math>\frac{\left|z\right|}{\left|w\right|} = \frac{\left|a + i b\right|}{\left|c + i d\right|} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}} = \left|\frac{z}{w}\right|</math>
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 22:15 28 sep 2009 (UTC)




Línea 57: Línea 61:
'''2. Exprese <math>\overline{\left(\frac{\left(2+3i\right)^2}{4+i}\right)}</math>de la forma <math>x+iy</math>'''
'''2. Exprese <math>\overline{\left(\frac{\left(2+3i\right)^2}{4+i}\right)}</math>de la forma <math>x+iy</math>'''


aqui ya comienza su demostración ...


Por la propiedad <math>\overline{\left ( \frac{z}{w} \right )}=\frac\bar{z}\bar{w}</math>
Por las propiedades <math>\overline{\left ( \frac{z}{w} \right )}=\frac\bar{z}\bar{w}</math> ,  <math>\overline{zw}=\bar{z}\bar{w}</math>
 
 
<math>\frac{\overline{\left ({2+3i}\right)^2}}{\overline{\left({4+i}\right)}}=\frac{\overline{\left ({2+3i}\right)}\overline{\left ({2+3i}\right)}}{\overline{\left({4+i}\right)}}=\frac{\left(2-3i\right)\left(2-3i\right)}{\left(4-i\right)}</math>
 
 
Simplificando, se obtiene:
 
 
 
<math>\frac{4-6i-6i-9}{4-i}=\frac{-5-12i}{4-i}</math>
 
 
Resolviendo la división de números complejos, de la forma:
 
 
<math>\frac{z}{w}=\frac{z\bar{w}}{w\bar{w}}=\frac{z\bar{w}}{\left|w\right|^2}</math>:
 


<math>\frac{\left(-5-12i\right)\left(4+i\right)}{\left(4-i\right)\left(4+i\right)}=\frac{-20-5i-48i+12}{17}=\frac{-8-53i}{17}</math>
=<math>-\frac{8}{17}-\frac{53}{17}i</math>.
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 23:00 28 sep 2009 (UTC)




----
----


'''3. Demuestre que  <math>\alpha</math> es raiz de un polinomio real si y solo si <math>\overline{\alpha}</math> lo es.'''
Sea  <math>\overline{\alpha}</math>  solucion de un polinomio real,
entonces  <math>\overline{\alpha}  \in  \mathbb{R}</math>
como  <math>\overline{\alpha}  =  \alpha</math>, por lo tanto  <math>\alpha</math> tambien es solucion. 
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 06:35 30 sep 2009 (UTC)
----
'''5. Sean <math>z_1 , z_2 , z_3 \in \mathbb{C}</math> tales que cumplen <math>\frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} = \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3}</math>, demuestre que estos tres puntos determinan un triángulo equilátero.'''
'''5. Sean <math>z_1 , z_2 , z_3 \in \mathbb{C}</math> tales que cumplen <math>\frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} = \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3}</math>, demuestre que estos tres puntos determinan un triángulo equilátero.'''


Línea 79: Línea 121:
De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber:
De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber:


<center><math>\left . \begin{matrix}|z_2 - z_1| = A\\
<center><math>  
|z_3 - z_1| = B = |z_1 - z_3|\\
|z_2 - z_1| = A,\qquad
|z_2 - z_3| = C\\
|z_3 - z_1| = B = |z_1 - z_3|,\qquad
\end{matrix} \right \} \qquad (3)</math></center>
|z_2 - z_3| = C
  \qquad (3)</math></center>


De (2) y (3) tenemos que:
De (2) y (3) tenemos que:
Línea 92: Línea 135:
<center><math>\alpha = \beta = \gamma. \qquad (5)</math></center>
<center><math>\alpha = \beta = \gamma. \qquad (5)</math></center>


Y la ecuación (5) es precisamente la condición para que el triángulo ABC de la Figura 1 sea equilátero.
--[[Usuario:Belen|Belen]] 02:48 29 sep 2009 (UTC)
----
'''6. Sea <math>{z  = x+iy }</math>,  pruebe que <math>{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2}  \left|{z}\right|}</math>
Puesto que el número complejo z puede escribirse como
<math>{z  = Re(z)+iIm(z) }</math>
<math>{\left|{z}\right|  = \sqrt{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2} }</math>
Se deduce que
<math>{\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{Re(z)}\right|}</math>
<math>{\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{Im(z)}\right|}</math>
Como el cuadrado de un número real no puede ser negativo
<math>{{[\left|{Re(z)}\right|-\left|{Im(z)}\right|]^2}{\ge }0}</math>
Entonces
<math>{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2-2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|{\ge }0}</math>
O sea
<math>{{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2}{\ge }2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math>
O de otra manera
<math>{{\left|{z}\right|^2}{\ge }2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math>
Sumando <math>{\left|{z}\right|^2}</math>, a ambos lados se tiene
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{z}\right|^2+2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math>
Como
<math>{\left|{z}\right|^2  = \left|{Re(z)}\right|^2+\left|{Im(z)}\right|^2 }</math>
Entonces
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{Re(z)}\right|^2+\left|{Im(z)}\right|^2+2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math>
De donde
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }[\left|{Re(z)}\right|+\left|{Im(z)}\right|]^2}</math>


'''== 1.1.7 == Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados.
Sacando raíces cuadradas positivas


Recordando Pitágoras c^2 = a^2 + b^2 (para magnitudes reales)
<math>{{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}{\ge} \left|{Re(z)}\right|+\left|{Im(z)}\right|}</math>
'''
[[Imagen:demo.jpg]]




Tomamos dos numeros complejos
Por lo tanto


'''a = b + ic'''
<math>{{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}{\ge}{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}}</math>
'''d = e + if'''


Para poder demostrar que la suma de los cuadrados de los lados sea igual a la suma del cuadrado de las diagonales necesitamos obtener la magnitud de los numeros complejos anteriores '''"a"''' y '''"d".'''
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:18 29 sep 2009 (UTC)


'''|a|''' = <math>\sqrt{ b^2+c^2}</math> que corresponde a la norma de "a".
----
'''|d|''' = <math>\sqrt{ e^2+f^2}</math> que corresponde a la norma de "d".


Ahora sumamos el cuadrado de las magnitudes de los lados y tenemos
'''6-bis. Sea <math>{z  = x+iy }</math>,  pruebe que
<math>{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}</math>
   
   
'''(''' <math>\sqrt{ b^2+c^2}</math> ''')^2''' + '''(''' <math>\sqrt{ e^2+f^2}</math> ''')^2'''
Tenemos que <math>{z  = x+iy }</math>, entonces de la teoria sabemos que
 
 
<math>{\left|{z}\right|  = \sqrt{[x]^2+[y]^2} }\qquad (1)</math>  
 
<math>{\left|{x}\right|=\left|{Re(z)}\right|}{\le}{ \left|{z}\right|}</math>
 
<math>{\left|{y}\right|=\left|{Im(z)}\right|}{\le}{ \left|{z}\right|}</math>
 
 
Tambien es inmediato que para z <math>\in  \mathbb{R}</math>,  <math>\overline z = z</math>, y que el cuadrado de cualquier numero real es siempre positivo, entonces de esto se tiene que
 
<math>{{[\left|{x}\right|-\left|{y}\right|]^2}{\ge}0}</math>
 
Desarrollando el binomio se tiene que
 
 
<math>{[x]^2+[y]^2-2\left|{x}\right|\left|{y}\right|{\ge }0}</math>
 
<math>{{[x]^2+[y]^2}{\ge }2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math>
 
Y por la identidad (1) esto se puede escribir como
 
<math>{{\left|{z}\right|^2}{\ge }2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math>
 
Ahora sumando en ambos lados <math>{{\left|{z}\right|^2}}</math> obtenemos lo siguiente


Haciendo algebra tenemos


''' e^2 + f^2 + b^2 + c^2'''
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{z}\right|^2+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math>


Ahora desarrollamos '''|a|^2 + |d|^2''' ( es la suma de los cuadrados de la diagonal)Es algo análogo a lo que sucede con el teorema de pitágoras, tomando en cuenta que cuando calculamos las magnitudes de un número complejo solo tomamos en cuenta la parte real en la cual conocemos el valor, sin embargo no sabemos cuanto puede valer la parte imaginaria.


donde '''|a| ^2''' = '''('''<math>\sqrt{ b^2+c^2}</math>''')^2''' y '''|d| ^2''' = '''('''<math>\sqrt{ b^2+c^2}</math>''')^2'''
Pero ademas como <math>{{\left|{z}\right|^2}={\left|{x}\right|^2}+{\left|{y}\right|^2}}</math>, lo sustituimos en el resultado anterior
 
y '''|a|^2 + |d|^2 = b^2 + c^2 + e^2 + f^2'''   Suma de los cuadrados de la diagonal
 
 
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{x}\right|^2}+{\left|{y}\right|^2+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math>
 
 
Es facil ver que
 
 
<math>{{[\left|{x}\right|+\left|{y}\right|]^2}={[x]^2+[y]^2+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}}</math>
 
 
Utilizando este resultado se deduce que
 
 
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }{[\left|{x}\right|+\left|{y}\right|]^2}}</math>
 
 
Y tomando las raices positivas llegamos al siguiente resultado
 
 
<math>{\sqrt{2}\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}</math>
 
 
Que es lo que se queria mostrar.
 
 
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 03:56 1 oct 2009 (UTC)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
----
 
'''REVISADO'''
 
'''7. Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados.
 
[[Imagen:Dibujobueno.jpg]]
 
Sacamos las normas de los números complejos
 
|z|=<math>\sqrt{(a)^2+(b)^2}</math>
|w|=<math>\sqrt{(c)^2+(d)^2}</math>
 
Por algebra de vectores
 
<math>|z|+|w|=|h|</math>
 
Donde |h| es la resultante de |z|+|w|
 
<math>\sqrt{(a)^2+(b)^2}</math>+ <math>\sqrt{(c)^2+(d)^2}=|h|</math>
 
De la misma forma  el dibujo nos indica q trasladamos la magnitudes  de los  vectores
 
|w| y |z| y por tanto también tendremos  |z|+|w| =|h|
 
Entonces si   |z|+|w| = |h|
 
Aplicando el teorema de pitagoras q nos dice
 
d = cateto


Tomando en cuenta el resultado anterior de la suma de los cuadrados de las magnitudes de los lados '''b^2+ c^2+ e^2 + f^2''' por lo tanto podemos decir que ha quedado demostrado que la suma de los cuadrados  de la diagonal es igual a la suma de los cuadrados de los lados.
f = cateto


<math>e^2=d^2+f^2</math>


entonces tenemos que


<math>(a)^2+(b)^2=|z|^2</math>
<math>(c)^2+(d)^2=|w|^2</math>


--[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 21:27 25 sep 2009 (UTC)
Aplicamos pitagoras


[[categoría:Compleja]]
<math>(c)^2+(d)^2+(a)^2+(b)^2=(c)^2+(d)^2+(a)^2+(b)^2</math>
[[categoría:Cursos]]


Por tanto


<math>|z|^2 +|w|^2 = |h|^2</math>    se cumple la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de la diagonal.


--[[Usuario:Karla|Karla]] 22:47 4 oct 2009 (UTC)Sanchez


== 1.1.3 ==
----
[[Compleja:ej-cap1.1]]
[[Compleja:ej-cap1.2]]
[[Compleja:ej-cap1.3]]
[[Compleja:ej-cap1.4]]


== 1.1.4 ==
[[Compleja:ej-cap2.1]]
[[Compleja:ej-cap2.2]]
[[Compleja:ej-cap2.3]]
[[Compleja:ej-cap2.4]]
[[Compleja:ej-cap2.5]]


--[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 21:27 25 sep 2009 (UTC)
[[Compleja:ej-cap3.1]]
[[Compleja:ej-cap3.2]]
[[Compleja:ej-cap3.3]]
[[Compleja:ej-cap3.4]]


[[categoría:Compleja]]
[[categoría:Compleja]]
[[categoría:Cursos]]

Revisión del 19:47 4 oct 2016

1. Demuestre que el producto de números complejos cumple con la ley asociativa

Sean con


Por demostrar




Por otra parte



Entonces se cumple .


--Gabita 22:15 28 sep 2009 (UTC)


SECCION 1.1.2

1. Demuestre que

Sean





Por otra parte


--Gabita 22:15 28 sep 2009 (UTC)



2. Exprese de la forma


Por las propiedades ,



Simplificando, se obtiene:



Resolviendo la división de números complejos, de la forma:


:



=.


--Josua Da Vinci 23:00 28 sep 2009 (UTC)




3. Demuestre que es raiz de un polinomio real si y solo si lo es.


Sea solucion de un polinomio real,

entonces

como , por lo tanto tambien es solucion.


--Luis Nava 06:35 30 sep 2009 (UTC)



5. Sean tales que cumplen , demuestre que estos tres puntos determinan un triángulo equilátero.

Tenemos que

y, por lo tanto,

De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber:

De (2) y (3) tenemos que:

Por triángulos semejantes, se tiene que el ángulo es igual al ángulo y éste a su vez al ángulo , es decir,

Y la ecuación (5) es precisamente la condición para que el triángulo ABC de la Figura 1 sea equilátero.

--Belen 02:48 29 sep 2009 (UTC)


6. Sea , pruebe que


Puesto que el número complejo z puede escribirse como


Se deduce que


Como el cuadrado de un número real no puede ser negativo


Entonces

O sea

O de otra manera


Sumando , a ambos lados se tiene


Como

Entonces

De donde

Sacando raíces cuadradas positivas


Por lo tanto

--Ralf Gutierrez 19:18 29 sep 2009 (UTC)


6-bis. Sea , pruebe que

Tenemos que , entonces de la teoria sabemos que



Tambien es inmediato que para z , , y que el cuadrado de cualquier numero real es siempre positivo, entonces de esto se tiene que

Desarrollando el binomio se tiene que


Y por la identidad (1) esto se puede escribir como

Ahora sumando en ambos lados obtenemos lo siguiente



Pero ademas como , lo sustituimos en el resultado anterior



Es facil ver que



Utilizando este resultado se deduce que



Y tomando las raices positivas llegamos al siguiente resultado



Que es lo que se queria mostrar.


--Oscar Adrian 03:56 1 oct 2009 (UTC)






REVISADO

7. Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados.

Archivo:Dibujobueno.jpg

Sacamos las normas de los números complejos

|z|= |w|=

Por algebra de vectores

Donde |h| es la resultante de |z|+|w|

+

De la misma forma el dibujo nos indica q trasladamos la magnitudes de los vectores

|w| y |z| y por tanto también tendremos |z|+|w| =|h|

Entonces si |z|+|w| = |h|

Aplicando el teorema de pitagoras q nos dice

d = cateto

f = cateto

entonces tenemos que

Aplicamos pitagoras

Por tanto

se cumple la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de la diagonal.

--Karla 22:47 4 oct 2009 (UTC)Sanchez


Compleja:ej-cap1.1 Compleja:ej-cap1.2 Compleja:ej-cap1.3 Compleja:ej-cap1.4

Compleja:ej-cap2.1 Compleja:ej-cap2.2 Compleja:ej-cap2.3 Compleja:ej-cap2.4 Compleja:ej-cap2.5

Compleja:ej-cap3.1 Compleja:ej-cap3.2 Compleja:ej-cap3.3 Compleja:ej-cap3.4