Diferencia entre revisiones de «Compleja:ej-cap1.1»

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Línea 328: Línea 328:
 
--[[Usuario:Karla|Karla]] 22:47 4 oct 2009 (UTC)Sanchez
 
--[[Usuario:Karla|Karla]] 22:47 4 oct 2009 (UTC)Sanchez
  
== '''SECCION 1.1.3''' ==
 
 
'''1. Calcule las raìces cuadradas de <math>3+4i</math> y de <math>1+2i</math>.'''
 
 
 
Aplicando la formula para calcular raices cuadradas de numeros complejos.
 
 
<math>\pm\left(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}} + i\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\right)</math>  si <math>\quad b>0</math>
 
 
 
Por lo tanto las raices de <math>3+4i</math>, son:
 
 
 
<math>=\pm\left(\sqrt{\frac{3+\sqrt{25}}{2}} + i\sqrt{\frac{-3+\sqrt{25}}{2}}\right)</math>
 
 
 
<math>=\pm\left(\sqrt{\frac{8}{2}} + i\sqrt{1}\right)</math>
 
 
 
<math>=\pm\left(2+i\right)</math>
 
 
 
y para <math>1+2i</math>, son:
 
 
 
<math>=\pm\left(\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} + i\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right)</math>
 
 
 
<math>=\pm\left(\sqrt{1.61} + i\sqrt{0.61}\right)</math>
 
 
 
<math>=\pm\left(1.27 + i 0.78\right).</math>
 
 
 
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 23:44 30 sep 2009 (UTC)
 
 
----
 
 
'''REVISADO'''
 
 
'''2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i'''
 
 
Tenemos que  <math>cos\boldsymbol{\theta}+i sen\boldsymbol{\theta}= -64</math>  definicion en forma polar
 
 
[[Imagen:Demo2.jpg]]
 
 
r=64
 
 
n=6 porque nos piden las raíces sextas
 
 
Entonces el argumento <math>\boldsymbol{\theta}=\pi</math>
 
 
 
 
Si <math>x+iy=re^{i\boldsymbol{\theta}}</math>
 
 
 
Entonces utilizando la definición de Moivre para obtener las raíces
 
 
 
<math>(g e^{i\boldsymbol{\phi}n})= r e^{i\boldsymbol{\theta}}</math>
 
 
Ahora tenemos
 
 
<math>g^n=r</math>  y    g= raíz enesima <math>\sqrt{64}</math>= = 2
 
 
y  <math>\boldsymbol{\phi}n=\boldsymbol{\theta}+2k\pi</math>    los <math>2\pi</math> es porque tomamos en cuenta la periodicidad de la funció n y k son todos los múltiplos de <math>2\pi</math>
 
entonces sacando las raíces
 
 
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6 </math>  k=0
 
 
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi / 6 + 2\pi / 6 = 3\pi / 6</math>    k=1 
 
 
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6+2(2)\pi/6= 5\pi/6 </math>  k=2 
 
 
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6+(3)2\pi/6= 7\pi/6 </math>  k=3
 
 
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6+2(4)\pi/6= 9\pi/6 </math>  k=4
 
 
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6+2(5)\pi/6= 11\pi/6 </math>  k=5 
 
 
Las soluciones son
 
 
r1= 2 <math> e^{i( \pi/6)}</math>
 
 
r2= 2 <math> e^{i( 3\pi/6)}</math>
 
 
r3= 2 <math> e^{i( 5\pi/6)}</math>
 
 
r4= 2 <math> e^{i( 7\pi/6)}</math>
 
 
r5= 2 <math> e^{i( 9\pi/6)}</math>
 
 
r6= 2 <math> e^{i( 11\pi/6)}</math>
 
 
Graficando en coordenadas polares nos queda:
 
 
[[Imagen:POLIGONO2.jpg]]
 
 
Haciendo algo similar para el 8i Tenemos
 
 
<math>cos\boldsymbol{\theta}+i sen\boldsymbol{\theta}= 8i</math>
 
 
 
 
[[Imagen:DEMO3.jpg]]
 
 
el argumento <math>\boldsymbol{\theta}=\pi/2</math>
 
 
r= 8
 
 
n=3 porque nos pinden las raíces cubicas
 
 
<math>g^n=r</math>  y    g= raíz enesima <math>\sqrt{8}</math>= = 2
 
 
<math>\boldsymbol{\phi}n = \boldsymbol{\theta}+2k\pi  </math>
 
           
 
<math>\boldsymbol{\phi} = \boldsymbol{\theta}+2k\pi  =\pi/6  </math>  k=0
 
 
<math>\boldsymbol{\phi}=\pi/6+2\pi/3= 5\pi/6</math>    k=1 
 
 
<math>\boldsymbol{\phi}==\pi/6+2(2)\pi/3= 9\pi/6</math>  k=2 
 
 
r1= 2 <math> e^{i( \pi/6)}</math>
 
 
r2= 2 <math> e^{i( 5\pi/6)}</math>
 
 
r3= 2 <math> e^{i( 9\pi/6)}</math>
 
 
 
 
Graficando en coordenadas polares tenemos
 
 
 
[[Imagen:RAICES.jpg]]
 
 
 
 
 
--[[Usuario:Karla|Karla]] 21:35 4 oct 2009 (UTC)Sanchez
 
 
 
 
----
 
 
 
'''2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i'''
 
 
 
Sea  <math> z = -64 = 64(cos\pi + isen\pi)\,</math>
 
 
 
Por la formula de De Moivre
 
 
 
<math>z^{1/6} = 64^{1/6}(cos\pi + sen\pi)^{1/6} = 2 (cos(\frac{\pi+2k\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+2k\pi}{6}))</math>    para  k = 0,1,2,3,4,5
 
 
 
Evaluando k se obtiene
 
 
 
con k = 0
 
 
<math>w_{0} = 2(cos(\frac{\pi}{6}) + isen(\frac{\pi}{6})) = \sqrt{3} + i</math> 
 
 
con k = 1
 
 
<math>w_{1} = 2(cos(\frac{\pi+2\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+2\pi}{6})) = 2(cos(\frac{\pi}{2}) + isen(\frac{\pi}{2})) = 2i</math>
 
 
con k = 2 
 
 
<math>w_{2} = 2(cos(\frac{\pi+4\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+4\pi}{6})) = 2(cos(\frac{5\pi}{6}) + isen(\frac{5\pi}{6})) = -\sqrt{3} + i</math>
 
 
con k = 3
 
 
<math>w_{3} = 2(cos(\frac{\pi+6\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+6\pi}{6})) = 2(cos(\frac{7\pi}{6}) + isen(\frac{7\pi}{6})) = -\sqrt{3} - i</math>
 
 
con k = 4
 
 
<math>w_{4} = 2(cos(\frac{\pi+8\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+8\pi}{6})) = 2(cos(\frac{3\pi}{2}) + isen(\frac{3\pi}{2})) = -2i</math>
 
 
con k = 5
 
 
<math>w_{5} = 2(cos(\frac{\pi+10\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+10\pi}{6})) = 2(cos(\frac{11\pi}{6}) + isen(\frac{11\pi}{6})) = \sqrt{3} - i</math> 
 
 
 
..............
 
 
 
Sea <math>z = 8i = 8(cos(\frac{\pi}{2}) + sen(\frac{\pi}{2})\,</math>
 
 
 
<math>z^{1/3} = 8^{1/3}(cos(\frac{\pi}{2}) + isen(\frac{\pi}{2}))^{1/3} = 2(cos(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}) + isen(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}))</math>  para k = 0,1,2
 
 
 
Evaluando a k se obtiene
 
 
 
con k = 0
 
 
<math>w_{0} = 2(cos(\frac{\pi}{6}) + isen(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3} + i</math>
 
 
con k = 1
 
 
<math>w_{1} = 2(cos(\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{3}) + isen(\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{3})) = 2(cos(\frac{5\pi}{6}) + isen(\frac{5\pi}{6}) = -\sqrt{3} + i</math>
 
 
con k = 2
 
 
<math>w_{2} = 2(cos(\frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}{3}) + isen(\frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}{3})) = 2(cos(\frac{3\pi}{2}) + isen(\frac{3\pi}{2})) = -2i</math>
 
 
 
 
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 21:07 3 oct 2009 (UTC)
 
 
 
----
 
 
'''3. Demuestre que <math>\ 1+Z+Z^2+...+Z^{n-1}=0</math> donde z es una raíz n-ésima de la unidad,
 
<math>z\neq 1</math>'''
 
 
 
Sea <math>\ S=1+Z+Z^2+...+Z^{n-1}</math>
 
 
Ahora multiplicamos ambos lados por Z
 
 
<math>\ ZS=Z+Z^2+Z^3+...+Z^{n-1}+Z^n</math>
 
 
Restando la segunda ecuación de la primera
 
 
<math>\ {(s=1+z+z^2+...+z^{n-1})-(zs=z+^2+z^3+...+z^{n-1}+z^n)}</math>
 
 
Tenemos que
 
 
<math>\ {s-zs=1-z^n}</math> 
 
 
entonces 
 
 
<math>\ {s(1-z)=1-z^n}</math>
 
 
De donde
 
 
<math>s=\frac{1-z^n}{1-z}</math>
 
 
Como z es una raíz enesima de la unidad
 
 
<math>0=\frac{1-z^n}{1-z}</math>
 
 
 
<math>\ {1-z^n=0} </math>
 
 
 
<math>\ {z^n=1} </math>
 
 
 
Entonces
 
 
 
<math>\ {z^n=1} </math>
 
 
y
 
 
<math>{1-z}\ne{0}</math>
 
 
 
porque
 
 
<math> {z}\ne{1} </math>
 
 
 
Por lo tanto
 
 
'''<math> {s=0} </math>'''
 
 
 
 
 
 
 
 
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 22:00 2 oct 2009 (UTC)
 
 
 
 
----
 
 
'''4. Demuestre que:
 
<center>
 
<math>\frac{n}{2^{n-1}}=\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{\pi}{k}</math>
 
</center>
 
Sugerencia: Factoriza la expresión <math>1+z+z^2+\cdots+z^n</math> usando las raices n-ésimas de la unidad, posteriormente evalue en <math>z=1</math>.'''
 
 
Solución:
 
 
Las raices de <math>z^m=1</math> son
 
<center>
 
<math>z=1,e^{\frac{2\pi i}{m}},e^{\frac{4\pi i}{m}},\dots,e^{\frac{(2m-1)\pi i}{m}}</math>
 
</center>
 
entonces podemos escribir
 
<center>
 
<math>z^{m-1}=(z-e^{\frac{2\pi i}{m}})(z-e^{\frac{4\pi i}{m}})\cdots(z-e^{\frac{(2m-1)\pi i}{m}})</math>
 
</center>
 
dividiendo ambos lados por <math>z-1</math> y haciendo <math>z=1</math>:
 
<center>
 
<math>\frac{z^{m-1}}{z-1}=1+z+z^2+\cdots+z^{m-1}</math>
 
</center>
 
de aqui hallamos que
 
<center>
 
<math>m=(1-e^{\frac{2\pi i}{m}})(1-e^{\frac{4\pi i}{m}})\cdots(1-e^{\frac{(2m-1)\pi i}{m}})\qquad (1)</math>
 
</center>
 
tomando el conjugado complejo de ambos lados de (1)
 
<center>
 
<math>m=(1-e^{\frac{-2\pi i}{m}})(1-e^{\frac{-4\pi i}{m}})\cdots(1-e^{\frac{-(2m-1)\pi i}{m}})\qquad (2)</math>
 
</center>
 
 
Multiplicando la ecuación (1) por la (2) y aplicando que
 
<center>
 
<math>1-(1-e^{\frac{2k\pi i}{m}})(1-e^{\frac{2k\pi i}{m}})= 2 - 2\cos\frac{2k\pi}{m}</math>
 
</center>
 
tenemos
 
<center>
 
<math>m^2=2^{m-1}(1-\cos\frac{2\pi}{m})(1-\cos\frac{4\pi}{m})\cdots(1-\cos\frac{2(m-1)\pi}{m})</math>
 
</center>
 
puesto que
 
<center>
 
<math>1-\cos\frac{2k\pi}{m}=2\sin^2\frac{k\pi}{m}</math>
 
</center>
 
la ecuación anterior se transforma en
 
<center>
 
<math>m^2=2^{2m-2}(\sin^2\frac{\pi}{m})(\sin^2\frac{2\pi}{m})\cdots(\sin^2\frac{(m-1)\pi}{m})</math>
 
</center>
 
despejando y sacando la raíz en ambos lados de la expresión:
 
<center>
 
<math>\frac{m}{2^{m-1}}=(\sin\frac{\pi}{m})(\sin\frac{2\pi}{m})\cdots(\sin\frac{(m-1)\pi}{m})</math>
 
</center>
 
 
lo que queda demostrada la igualdad.
 
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 23:10 4 oct 2009 (UTC)
 
 
 
----
 
 
'''5.''' '''Demuestre que'''
 
 
<math>1+cos\phi+cos2\phi+...............+cos n\phi=\frac{1}{2}+\frac{sen\left(n\phi+\frac{\phi}{2}\right)}{2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)}</math>,
 
 
'''donde'''          '''<math>\phi</math> '''    '''no es un multiplo par de'''      '''<math>\pi</math>.'''
 
 
 
 
'''Esta identidad se le atribuye a Lagrange.'''
 
 
 
Sugerencia: calcular la parte real de
 
 
 
<math>1+z+z^{2}+..........+z^{n}</math>,  donde    <math>z=cos\phi+isen\phi</math>.
 
 
 
 
'''Solucion.'''
 
 
Sea
 
 
<math>S=1+z+z^{2}+.......+z^{n}</math>            si multiplicamos por <math>z</math> a <math>S</math> se tiene  que
 
 
 
<math>zS=z+z^{2}+z^{3}+......+z^{n}+z^{n+1}</math>          ahora restemos estas dos    ultimas expresiones
 
 
 
<math>\left(S-zS\right)=\left(1-z\right)S=1-z^{n+1}</math>              de lo que se obtiene que
 
 
 
 
<math>S=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}</math>
 
 
 
Si en esta última expresion utilizamos    <math>z=cos\phi+isen\phi</math>    entonces 
 
 
 
<math>S=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}</math> 
 
 
 
toma la siguiente forma
 
 
 
<math>1+\left(cos\phi+isen\phi\right)+\left(cos\phi+isen\phi\right)^{2}+........+\left(cos\phi+isen\phi\right)^{n}=\frac{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)^{n+1}}{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)} </math>
 
 
 
que es equivalente a esta
 
 
 
<math>1+\left(cos\phi+isen\phi\right)+\left(cos2\phi+isen2\phi\right)+........+\left(cosn\phi+isen\left(n\phi\right)\right)=\frac{1-\left(cos\left(n+1\right)\phi+isen\left(n+1\right)\phi\right)}{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)}</math>
 
 
 
Tomando el lado derecho de esta ultima expresión y llevar a cabo el producto con su conjugado , es decir:
 
 
 
<math>\left(\frac{1-cos\left(n\phi+\phi\right)-isen\left(n\phi+\phi\right)}{1-cos\phi-isen\phi}\right)\star\left(\frac{1-cos\phi+isen\phi}{1-cos\phi+isen\phi}\right)
 
</math>
 
 
 
 
Se obtiene del numerador  lo siguiente
 
 
 
 
<math>1-cos\phi+isen\phi-cosn\left(n\phi+\phi\right)+cos\phi cos\left(n\phi+\phi\right)-isen\phi cos\left(n\phi+\phi\right)-isen\left(n\phi+\phi\right)+icos\phi sen\left(n\phi+\phi\right)+sen\phi sen\left(n\phi+\phi\right)
 
</math>
 
 
 
si tomamos solo la parte real se tiene que
 
 
 
 
<math>1-cos\phi-cos\left(n\phi+\phi\right)+cos\phi cos\left(n\phi+\phi\right)+sen\phi sen\left(n\phi+\phi\right)=</math>
 
 
 
<math>1-cos\phi+cos\left(n\phi-\phi\right)-cos\left(n\phi+\phi\right)</math><math>=</math>  <math>1-cos\phi+2sen\phi sen\phi</math>
 
 
 
 
por otra parte para el denominador se tiene:
 
 
 
 
<math>\left(1-cos\phi\right)^{2}+sen^{2}\phi=</math>
 
 
 
<math>1-2cos\phi+sen^{2}\phi+cos^{2}\phi=</math>  <math>2\left(1-cos\phi\right)</math>
 
 
 
 
al tomar la parte real de
 
 
 
<math>1+\left(cos\phi+isen\phi\right)+\left(cos2\phi+isen2\phi\right)+........+\left(cosn\phi+isenn\phi\right)=\frac{1-\left(cos\left(n+1\right)\phi+isen\left(n+1\right)\phi\right)}{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)}</math>,
 
 
 
 
sustituir lo encontrado para el numerador (parte real)  y el denominador , y utilizar la siguiente
 
identidad
 
 
 
<math>sen\left(\frac{\phi}{2}\right)=\sqrt{\frac{1-cos\phi}{2}}</math>
 
 
 
 
 
tenemos lo siguiente:
 
 
 
<math>
 
1+cos\phi+cos2\phi+...............+cosn\phi=\frac{2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)+sen\phi sen\left(n\phi\right)}{2\left(2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)\right)}=\frac{1}{2}+\frac{sen\phi sen\left(n\phi\right)}{2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)}</math>
 
 
 
 
Lo cual es casi a lo que se queria llegar.
 
 
 
--[[Usuario:Dali|Dali]] 00:01 5 oct 2009 (UTC)
 
 
;OTRA DEMOSTRACION DEL EJERCICIO1.1.3 NUMERO 5:
 
'''5.''' '''Demuestre que'''
 
 
<math>1+cos\phi+cos2\phi+...............+cos n\phi=\frac{1}{2}+\frac{sen\left(n\phi+\frac{\phi}{2}\right)}{2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)}</math>,
 
 
'''donde'''          '''<math>\phi</math> '''    '''no es un multiplo par de'''      '''<math>\pi</math>.'''
 
 
 
 
'''Esta identidad se le atribuye a Lagrange.'''
 
 
 
Sugerencia: calcular la parte real de
 
 
 
<math>1+z+z^{2}+..........+z^{n}</math>,  donde    <math>z=cos\phi+isen\phi</math>.
 
 
 
 
'''Solucion.'''
 
 
Sea
 
<math>\left(1-Z\right){\displaystyle {\scriptscriptstyle {\displaystyle \sum_{K=0}^{n}z^{k}=}}\sum_{k=0}^{n}z^{k}-\sum_{k=0}^{n}z^{k+1}=1+\sum_{k=1}^{n}z^{k}-\sum_{k=1}^{n}z^{k}-z^{n+1}=1-z^{n+1}}</math>
 
y como <math>z\neq1</math>..............& y por ser una serie geometrica la podemos escribir de la siguiente manera
 
<math>{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}z^{k}=\dfrac{1-z^{n+1}}{1-z}}</math>
 
Sea <math>\theta\in\left(0,2\Pi\right)</math>, aplicando & con <math>z=e^{i\theta}\in c/\{1\}</math>
 
se tiene lo siguiente
 
 
== '''<math>
 
== '''<math>
 
{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}e^{ik\theta}=\dfrac{1-e^{i\left(n+1\right)\theta}}{1-e^{i\theta}}}</math>''' ==
 
{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}e^{ik\theta}=\dfrac{1-e^{i\left(n+1\right)\theta}}{1-e^{i\theta}}}</math>''' ==

Revisión del 09:27 15 oct 2010

1. Demuestre que el producto de números complejos cumple con la ley asociativa

Sean \( z = a + i b, \quad w = c + i d, \quad s = e + i f \, \quad \) con \( \quad a,b,c,d,e,f \in \mbox{R}\)


Por demostrar \( (zw)s = z(ws)\,\)


\((zw)s = [(a + i b)(c + i d)](e + i f) = [(ac - bd) + i (bc + ad)](e + i f)\,\)


\(=[e(ac - bd) - f(bc + ad)] + i [e(bc + ad) + f(ac - bd) = (ace - bde - bcf - adf) + i (bce + ade + acf - bdf)\, \)


Por otra parte

\(z(ws) = (a + i b)[(c + i d)(e + i f)] = (a + i b)[(ce - df) + i (de + cf)]\,\)


\(=[a(ce - df) - b(de + cf)] + i [b(ce - df) + a(de + cf)] = (ace - bde - bcf - adf) + i (bce + ade + acf - bdf)\,\)


Entonces se cumple \( (zw)s = z(ws)\,\).


--Gabita 22:15 28 sep 2009 (UTC)


SECCION 1.1.2

1. Demuestre que \(\left|\frac{z}{w}\right| = \frac{\left|z\right|}{\left|w\right|}\)

Sean \( z = a + i b \quad y \quad w = c + i d\,\)


\(\left|\frac{z}{w}\right|= \left|\frac{a + i b }{c + i d}\right|= \left|\frac{(a + i b)(c - i d)}{(c + i d)(c - i d)}\right| \)


\(=\left|\frac{(ac + bd) + i (bc - ad)}{c^2 + d^2}\right|= \sqrt{\bigg ( \frac{ac + bd}{c^2 + d^2}\bigg )^2 + \bigg (\frac{bc - ad}{c^2 + d^2}\bigg )^2} = \frac{1}{c^2 + d^2}\sqrt{ (ac + bd)^2 + (bc - ad)^2 } \)


\(=\frac{1}{c^2 + d^2}\sqrt{a^2 c^2 + a^2 d^2 + b^2 c^2 + b^2 d^2 } = \sqrt{\Bigg [\frac{a^2 (c^2 + d^2)}{(c^2 + d^2)^2}\Bigg ] + \Bigg [\frac{b^2 (c^2 + d^2)}{(c^2 + d^2)^2}\Bigg ] } = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}} \)


Por otra parte


\(\frac{\left|z\right|}{\left|w\right|} = \frac{\left|a + i b\right|}{\left|c + i d\right|} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}} = \left|\frac{z}{w}\right|\)

--Gabita 22:15 28 sep 2009 (UTC)



2. Exprese \(\overline{\left(\frac{\left(2+3i\right)^2}{4+i}\right)}\)de la forma \(x+iy\)


Por las propiedades \(\overline{\left ( \frac{z}{w} \right )}=\frac\bar{z}\bar{w}\) , \(\overline{zw}=\bar{z}\bar{w}\)


\(\frac{\overline{\left ({2+3i}\right)^2}}{\overline{\left({4+i}\right)}}=\frac{\overline{\left ({2+3i}\right)}\overline{\left ({2+3i}\right)}}{\overline{\left({4+i}\right)}}=\frac{\left(2-3i\right)\left(2-3i\right)}{\left(4-i\right)}\)


Simplificando, se obtiene\[\frac{4-6i-6i-9}{4-i}=\frac{-5-12i}{4-i}\]


Resolviendo la división de números complejos, de la forma\[\frac{z}{w}=\frac{z\bar{w}}{w\bar{w}}=\frac{z\bar{w}}{\left|w\right|^2}\]\[\frac{\left(-5-12i\right)\left(4+i\right)}{\left(4-i\right)\left(4+i\right)}=\frac{-20-5i-48i+12}{17}=\frac{-8-53i}{17}\]


=\(-\frac{8}{17}-\frac{53}{17}i\).


--Josua Da Vinci 23:00 28 sep 2009 (UTC)




3. Demuestre que \(\alpha\) es raiz de un polinomio real si y solo si \(\overline{\alpha}\) lo es.


Sea \(\overline{\alpha}\) solucion de un polinomio real,

entonces \(\overline{\alpha} \in \mathbb{R}\)

como \(\overline{\alpha} = \alpha\), por lo tanto \(\alpha\) tambien es solucion.


--Luis Nava 06:35 30 sep 2009 (UTC)



5. Sean \(z_1 , z_2 , z_3 \in \mathbb{C}\) tales que cumplen \(\frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} = \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3}\), demuestre que estos tres puntos determinan un triángulo equilátero.

Figura 1

Tenemos que

\(\left | \frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} \right | = \left | \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} \right |,\qquad (1)\)

y, por lo tanto,

\(\frac{|z_2 - z_1|}{|z_3 - z_1|} = \frac{|z_1 - z_3|}{|z_2 - z_3|}.\qquad (2)\)

De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber:

\(\left . \begin{matrix}|z_2 - z_1| = A\\ |z_3 - z_1| = B = |z_1 - z_3|\\ |z_2 - z_3| = C\\ \end{matrix} \right \} \qquad (3)\)

De (2) y (3) tenemos que:

\(\frac{A}{B} = \frac{B}{C}. \qquad (4)\)

Por triángulos semejantes, se tiene que el ángulo \(\beta\) es igual al ángulo \(\gamma\) y éste a su vez al ángulo \(\alpha\), es decir,

\(\alpha = \beta = \gamma. \qquad (5)\)

Y la ecuación (5) es precisamente la condición para que el triángulo ABC de la Figura 1 sea equilátero.

--Belen 02:48 29 sep 2009 (UTC)


6. Sea \({\begin{align}z & = x+iy \end{align}}\), pruebe que \({\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}\)


Puesto que el número complejo z puede escribirse como

\({\begin{align}z & = Re(z)+iIm(z) \end{align}}\)

\({\begin{align}\left|{z}\right| & = \sqrt{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2} \end{align}}\)


Se deduce que

\({\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{Re(z)}\right|}\)

\({\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{Im(z)}\right|}\)


Como el cuadrado de un número real no puede ser negativo

\({{[\left|{Re(z)}\right|-\left|{Im(z)}\right|]^2}{\ge }0}\)


Entonces

\({[Re(z)]^2+[Im(z)]^2-2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|{\ge }0}\)

O sea

\({{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2}{\ge }2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}\)

O de otra manera

\([[:Plantilla:\left]]\)

Veamos la demostracion


\(\dfrac{\cos n\theta-\cos\left[\left(n+1\right)\theta\right]}{2\left(1-\cos\theta\right)}=\dfrac{\sin\left[\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta\right]}{2\sin\frac{\theta}{2}}\Longleftrightarrow\) \(\left(\cos n\theta-\cos\left[\left(n+1\right)\theta\right]\right)\sin\frac{\theta}{2}=\left(1-\cos\theta\right)\sin\left[\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta\right]\Longleftrightarrow\) \(\left(\cos n\theta-\cos n\theta\cos\theta+\sin n\theta\sin\theta\right)\sin\frac{\theta}{2}=\left(1-\cos\theta\right)\left(\sin n\theta\cos\frac{\theta}{2}+\cos n\theta\sin{\theta\atop 2}\right)\Longleftrightarrow\) \(\sin n\theta\sin\theta\sin\frac{\theta}{2}=\sin n\theta\cos\frac{\theta}{2}-\sin n\theta\cos\frac{\theta}{2}\cos\theta\)..............#


Si \({\displaystyle \sin n\theta=0}\) la igualdad # es cierta. Si no, es equivalente a


\({\displaystyle \cos\frac{\theta}{2}\cos\theta+}\sin\theta\sin\frac{\theta}{2}=\cos\frac{\theta}{2}\).

Lo cual es cierto por la formula de coseno diferencial . Por lo tanto queda demostrado que

\({\displaystyle 1+\cos\theta+....................+\cos n\theta=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sin\left(n\theta+\frac{\theta}{2}\right)}{2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}}\).--Diana Rodriguez Almaraz. 04:47 15 oct 2010 (UTC)



Compleja:ej-cap1.2

Compleja:ej-cap1.3

Compleja:ej-cap1.4