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'''1. Demuestre que el producto de números complejos cumple con la ley asociativa'''

Sean <math> z = a + i b, \quad  w = c + i d,  \quad s = e + i f \, \quad  </math>   
con   <math>  \quad  a,b,c,d,e,f \in \mbox{R}</math>


Por demostrar    <math> (zw)s = z(ws)\,</math>


<math>(zw)s = [(a + i b)(c + i d)](e + i f) = [(ac - bd) + i (bc + ad)](e + i f)\,</math>


<math>=[e(ac - bd) - f(bc + ad)] + i [e(bc + ad) + f(ac - bd) = (ace - bde - bcf - adf) + i (bce + ade + acf - bdf)\, </math>


Por otra parte

<math>z(ws) = (a + i b)[(c + i d)(e + i f)] = (a + i b)[(ce - df) + i (de + cf)]\,</math>


<math>=[a(ce - df) - b(de + cf)] + i [b(ce - df) + a(de + cf)] = (ace - bde - bcf - adf) + i (bce + ade + acf - bdf)\,</math>


Entonces se cumple <math> (zw)s = z(ws)\,</math>.


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Contribución de: [[Usuario:Gabita|Gabita]] 22:15 28 sep 2009 (UTC)
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== '''SECCIÓN 1.1.2''' ==
'''1. Demuestre que <math>\left|\frac{z}{w}\right| = \frac{\left|z\right|}{\left|w\right|}</math>'''

Sean <math> z = a + i b \quad y \quad  w = c + i d\,</math>  


<math>\left|\frac{z}{w}\right|= \left|\frac{a + i b }{c + i d}\right|= \left|\frac{(a + i b)(c - i d)}{(c + i d)(c - i d)}\right| </math>'''


<math>=\left|\frac{(ac + bd) + i (bc - ad)}{c^2 + d^2}\right|= \sqrt{\bigg ( \frac{ac + bd}{c^2 + d^2}\bigg )^2 + \bigg (\frac{bc - ad}{c^2 + d^2}\bigg )^2} = \frac{1}{c^2 + d^2}\sqrt{ (ac + bd)^2 + (bc - ad)^2  
} 
 </math>


<math>=\frac{1}{c^2 + d^2}\sqrt{a^2 c^2 + a^2 d^2 + b^2 c^2 + b^2 d^2  
} = \sqrt{\Bigg [\frac{a^2 (c^2 + d^2)}{(c^2 + d^2)^2}\Bigg ] + \Bigg [\frac{b^2 (c^2 + d^2)}{(c^2 + d^2)^2}\Bigg ]  
} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}}  
 </math>


Por otra parte


<math>\frac{\left|z\right|}{\left|w\right|} = \frac{\left|a + i b\right|}{\left|c + i d\right|} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}} = \left|\frac{z}{w}\right|</math>

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Contribución de: [[Usuario:Gabita|Gabita]] 22:15 28 sep 2009 (UTC)

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'''2. Exprese <math>\overline{\left(\frac{\left(2+3i\right)^2}{4+i}\right)}</math>de la forma <math>x+iy</math>'''


Por las propiedades <math>\overline{\left ( \frac{z}{w} \right )}=\frac\bar{z}\bar{w}</math>  ,  <math>\overline{zw}=\bar{z}\bar{w}</math>


<math>\frac{\overline{\left ({2+3i}\right)^2}}{\overline{\left({4+i}\right)}}=\frac{\overline{\left ({2+3i}\right)}\overline{\left ({2+3i}\right)}}{\overline{\left({4+i}\right)}}=\frac{\left(2-3i\right)\left(2-3i\right)}{\left(4-i\right)}</math>


Simplificando, se obtiene:



<math>\frac{4-6i-6i-9}{4-i}=\frac{-5-12i}{4-i}</math>


Resolviendo la división de números complejos, de la forma:


<math>\frac{z}{w}=\frac{z\bar{w}}{w\bar{w}}=\frac{z\bar{w}}{\left|w\right|^2}</math>:


<math>\frac{\left(-5-12i\right)\left(4+i\right)}{\left(4-i\right)\left(4+i\right)}=\frac{-20-5i-48i+12}{17}=\frac{-8-53i}{17}</math>


=<math>-\frac{8}{17}-\frac{53}{17}i</math>.


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Contribución de:[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 23:00 28 sep 2009 (UTC)
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'''3. Demuestre que  <math>\alpha</math> es raiz de un polinomio real si y solo si <math>\overline{\alpha}</math> lo es.'''


Sea  <math>\overline{\alpha}</math>  solucion de un polinomio real,

entonces  <math>\overline{\alpha}  \in  \mathbb{R}</math>

como  <math>\overline{\alpha}  =  \alpha</math>, por lo tanto  <math>\alpha</math> tambien es solucion.   


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Contribución de: [[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 06:35 30 sep 2009 (UTC)
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'''5. Sean <math>z_1 , z_2 , z_3 \in \mathbb{C}</math> tales que cumplen $\frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} = \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3}$, demuestre que estos tres puntos determinan un triángulo equilátero.'''


[[Archivo:Complejaej-cap1.1Triangulo.svg|600px|thumb|center|Figura 1]]

Tenemos que 

$<math>\left | \frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} \right | = \left | \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} \right |,\qquad (1)</math>

y, por lo tanto, 

<math>\frac{|z_2 - z_1|}{|z_3 - z_1|} = \frac{|z_1 - z_3|}{|z_2 - z_3|}.\qquad (2)</math>
 
De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber:

<center><math> 
|z_2 - z_1| = A,\qquad
|z_3 - z_1| = B = |z_1 - z_3|,\qquad
|z_2 - z_3| = C
   \qquad (3)</math></center>

De (2) y (3) tenemos que:

<center><math>\frac{A}{B} = \frac{B}{C}. \qquad (4)</math></center>

Por triángulos semejantes, se tiene que el ángulo <math>\beta</math> es igual al ángulo <math>\gamma</math> y éste a su vez al ángulo <math>\alpha</math>, es decir,

<center><math>\alpha = \beta = \gamma. \qquad (5)</math></center>

Y la ecuación (5) es precisamente la condición para que el triángulo ABC de la Figura 1 sea equilátero.

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Contribución de:[[Usuario:Belen|Belen]] 02:48 29 sep 2009 (UTC)

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'''6. Sea <math>{z  = x+iy }</math>,  pruebe que <math>{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2}  \left|{z}\right|}</math>


Puesto que el número complejo z puede escribirse como

<math>{z  = Re(z)+iIm(z) }</math>

<math>{\left|{z}\right|  = \sqrt{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2} }</math>


Se deduce que

<math>{\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{Re(z)}\right|}</math>

<math>{\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{Im(z)}\right|}</math>


Como el cuadrado de un número real no puede ser negativo

<math>{{[\left|{Re(z)}\right|-\left|{Im(z)}\right|]^2}{\ge }0}</math>


Entonces

<math>{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2-2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|{\ge }0}</math>

O sea

<math>{{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2}{\ge }2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math>

O de otra manera

<math>{{\left|{z}\right|^2}{\ge }2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math>


Sumando <math>{\left|{z}\right|^2}</math>, a ambos lados se tiene

<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{z}\right|^2+2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math>


Como 

<math>{\left|{z}\right|^2  = \left|{Re(z)}\right|^2+\left|{Im(z)}\right|^2 }</math>

Entonces

<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{Re(z)}\right|^2+\left|{Im(z)}\right|^2+2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math>

De donde

<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }[\left|{Re(z)}\right|+\left|{Im(z)}\right|]^2}</math>

Sacando raíces cuadradas positivas

<math>{{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}{\ge} \left|{Re(z)}\right|+\left|{Im(z)}\right|}</math>


Por lo tanto

<math>{{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}{\ge}{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}}</math>

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Contribución de: [[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:18 29 sep 2009 (UTC)

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'''6-bis. Sea <math>{z  = x+iy }</math>,  pruebe que
<math>{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}</math>
 
Tenemos que <math>{z  = x+iy }</math>, entonces de la teoria sabemos que 


<math>{\left|{z}\right|  = \sqrt{[x]^2+[y]^2} }\qquad (1)</math> 

<math>{\left|{x}\right|=\left|{Re(z)}\right|}{\le}{ \left|{z}\right|}</math>

<math>{\left|{y}\right|=\left|{Im(z)}\right|}{\le}{ \left|{z}\right|}</math>


Tambien es inmediato que para z <math>\in  \mathbb{R}</math>,  <math>\overline z = z</math>, y que el cuadrado de cualquier numero real es siempre positivo, entonces de esto se tiene que

<math>{{[\left|{x}\right|-\left|{y}\right|]^2}{\ge}0}</math>

Desarrollando el binomio se tiene que


<math>{[x]^2+[y]^2-2\left|{x}\right|\left|{y}\right|{\ge }0}</math>

<math>{{[x]^2+[y]^2}{\ge }2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math>

Y por la identidad (1) esto se puede escribir como 

<math>{{\left|{z}\right|^2}{\ge }2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math>

Ahora sumando en ambos lados <math>{{\left|{z}\right|^2}}</math> obtenemos lo siguiente


<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{z}\right|^2+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math>


Pero ademas como <math>{{\left|{z}\right|^2}={\left|{x}\right|^2}+{\left|{y}\right|^2}}</math>, lo sustituimos en el resultado anterior



<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{x}\right|^2}+{\left|{y}\right|^2+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math>


Es facil ver que 


<math>{{[\left|{x}\right|+\left|{y}\right|]^2}={[x]^2+[y]^2+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}}</math>


Utilizando este resultado se deduce que 


<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }{[\left|{x}\right|+\left|{y}\right|]^2}}</math>


Y tomando las raices positivas llegamos al siguiente resultado


<math>{\sqrt{2}\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}</math>


Que es lo que se queria mostrar.


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Contribución de: [[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 03:56 1 oct 2009 (UTC)
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'''REVISADO'''

'''7. Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados.

[[Archivo:Complejaej-cap1.1Paralelogramo.svg|850px|center]]

Sacamos las normas de los números complejos

|z|=<math>\sqrt{(a)^2+(b)^2}</math>
|w|=<math>\sqrt{(c)^2+(d)^2}</math>

Por algebra de vectores 

<math>|z|+|w|=|h|</math>

Donde |h| es la resultante de |z|+|w|

<math>\sqrt{(a)^2+(b)^2}</math>+ <math>\sqrt{(c)^2+(d)^2}=|h|</math>

De la misma forma  el dibujo nos indica q trasladamos la magnitudes  de los  vectores

|w| y |z| y por tanto también tendremos  |z|+|w| =|h|

Entonces si   |z|+|w| = |h|

Aplicando el teorema de pitagoras q nos dice

d = cateto

f = cateto

<math>e^2=d^2+f^2</math> 

entonces tenemos que 

<math>(a)^2+(b)^2=|z|^2</math>
<math>(c)^2+(d)^2=|w|^2</math>

Aplicamos pitagoras

<math>(c)^2+(d)^2+(a)^2+(b)^2=(c)^2+(d)^2+(a)^2+(b)^2</math>

Por tanto	

<math>|z|^2 +|w|^2 = |h|^2</math>     se cumple la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de la diagonal.

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Contribución de:[[Usuario:Karla|Karla]] 22:47 4 oct 2009 (UTC)Sanchez
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[[Compleja:ej-cap1.1]]
[[Compleja:ej-cap1.2]]
[[Compleja:ej-cap1.3]]
[[Compleja:ej-cap1.4]]

[[Compleja:ej-cap2.1]]
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