Compleja: Teorema del residuo

Teorema de los residuos El teorema de los residuos es consecuencia directa del teorema integral de Cauchy y forma parte fundamental de la teoría matemática de análisis complejo.

Enunciado

Sea $f\colon D\subset \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ una función analítica en un dominio simplemente conexo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): D , excepto en un número finito de puntos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z_k que constituyen singularidades aisladas de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f . Sea $C$ una curva en $D$, simple, cerrada, regular a trozos, con orientación positiva y tal que el dominio que esta define contiene las singularidades de $f$. Entonces se tiene:

$\oint _{C}f(z)dz=2\pi i\sum _{k}\operatorname {Res} (f,z_{k})$

donde $\operatorname {Res} (f,z_{k})$ es el Residuo de la función Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f en el punto singular $z_{k}$.

Demostración

Sea $f$ holomorfa usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann la forma diferencial $f(z)\,dz$ es cerrada. Por lo tanto, usando el corolario sobre las diferenciales de forma cerrada, un dominio simplemente conexo, sabemos que la integral $\int _{C}f(z)\,dz$ es igual a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \int_{C'} f(z)\, dz siempre que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): C' sea una curva homotópica con $C$.

En específico, podemos considerar una curva tipo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): C' la cual tiene una rotación alrededor de los puntos $a_{j}$ sobre círculos pequeños, cuando unimos todos estos pequeños círculos por medio de segmentos.

Ya que la curva $C'$ sigue cada segmento 2 veces con alineación opuesta, sólo necesitaremos sumar las integrales de $f$ alrededor de los círculos pequeños.

Consecuentemente sea $z=a_{j}+\rho e^{i\theta }$ parametrización de la curva alrededor del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): a_j , entonces tendremos $dz=\rho ie^{i\theta }\,d\theta$, por lo tanto:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \int_C f(z)\, dz = \int_{C'} f(z)\, dz = \sum_j \eta(C,a_j)\int_{\partial B_\rho(a_j)} f(z)\, dz = \sum_j \eta(C,a_j) \int_0^{2\pi} f(a_j+\rho e^{i\theta}) \rho i e^{i\theta}\, d\theta

donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \rho>0 , escogido tan extremadamente diminuto, tal que las esferas $B_{\rho }(a_{j})$ están todas desarticuladas y todas en un mismo dominio $U$. Entonces por medio de la linealidad en todas la singularidades, se demuestra que para toda $j$:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): i\int_0^{2\pi} f(a_j+\rho e^{i\theta})\rho e^{i\theta}\, d\theta = 2\pi i \mathrm{Res}(f,a_j). ||center}}

Sea $j$ fija y apliquemos la serie de Laurent para $f$ en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): a_j:

$f(z)=\sum _{k\in \mathbb {Z} }c_{k}(z-a_{j})^{k}$||center}}

de tal forma que ${\rm {{Res}(f,a_{j})=c_{-1}}}$, donde c_-1, es el coeficiente de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {1 \over (z-a_j)} en la serie de laurent. Entonces tenemos:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \int_0^{2\pi} f(a_j+\rho e^{i\theta})\rho e^{i\theta}\, d\theta = \sum_k \int_0^{2\pi} c_k (\rho e^{i\theta})^k \rho e^{i\theta}\, d\theta =\rho^{k+1} \sum_k c_k \int_0^{2\pi} e^{i(k+1)\theta}\, d\theta. ||center}

Observemos que si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): k=-1 , tendremos

|$\rho ^{k+1}c_{k}\int _{0}^{2\pi }e^{i(k+1)\theta }\,d\theta =c_{-1}\int _{0}^{2\pi }d\theta =2\pi c_{-1}=2\pi \,\mathrm {Res} (f,a_{j})$||center}

mientras que para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): k\neq -1 tenemos que los términos de la suma se anulan, debido a que

|Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \int_0^{2\pi} e^{i(k+1)\theta}\, d\theta = \left[\frac{e^{i(k+1)\theta}}{i(k+1)}\right]_0^{2\pi} = 0.

$\square$

--Martin Flores Molina (discusión) 13:05 15 mayo 2015 (CDT) ----