Compleja: Demostraciones de Variable Compleja

Algunas demostraciones de Variable Compleja

Demostraciones del Teorema de Cauchy

Teorema de Cauchy en un disco

Si

$f:B(a;R)\rightarrow C$ es holomorfa entonces $f$ tiene una primitiva $F$ en $B(a;R)$. Consecuentemente si $\gamma $ es cualquier curva cerrada rectificaba en $B(a;R)$ entonces:

$\int _{ \gamma }^{ }{ f } =0$

Demostración:

Si $f$ tiene una serie de Taylor en $B(a;R)$.

$f(z)=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }{ (z-a) }^{ n } } $

.

Para $z\in B(a;R)$ definamos entonces:

$F(z)=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { a }_{ n } }{ n+1 } { (z-a) }^{ n+1 } } =(z-a)\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { a }_{ n } }{ n+1 } { (z-a) }^{ n } } $

.

y observe, que como $\lim _{ }{ \left\{ { (n+1) }^{ \frac { 1 }{ n } } \right\} } =0$ se sigue que la ultima serie tiene el mismo disco de convergencia $B(a;R)$.

Por lo que se sigue que ${ F }^{ ´ }(z)=f(z)$ para todo $z\in B(a;R)$.

---

Contribución de: Miguel Medina Armendariz (discusión) 15:46 5 jul 2015 (CDT)

Contribución de:Carlosmiranda (discusión) 15:11 21 nov 2020 (CST)

---

Teorema de Cauchy para círculos concéntricos

Sea $f$ una función holomorfa en la región anular ${ R }_{ 1 }<\left| z-{ z }_{ 0 } \right| <{ R }_{ 2 }$. Para cada ${ R }_{ 1 }<r<{ R }_{ 2 }$ sea ${ \gamma }_{ r }$ el círculos de centro ${ z }_{ 0 }$ y radio $r$ orientado positivamente. Entonces:

$\int _{ { \gamma }_{ r } }^{ }{ f(z)dz } $

es independiente de $r$.

Demostración:

Consideremos la parametrización ${ \gamma }_{ r }(t)={ z }_{ 0 }+r{ e }^{ it }$, para $t\in \left[ 0,2\pi \right] $. Entonces:

$I(r):=\int _{ { \gamma }_{ r } }^{ }{ f(z)dz=\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ f({ z }_{ 0 }+r{ e }^{ it })ir } { e }^{ it }dt } $

y note que el integrando del lado derecho es una función de dos variables $r, t$ con derivadas parciales continuas. Por la regla de Leibniz se sigue que:

$\frac { dI(r) }{ dr } =\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \frac { d }{ dr } f({ z }_{ 0 }+r{ e }^{ it })ir } { e }^{ it }dt$

donde:

$\frac { d }{ dr } f({ z }_{ 0 }+r{ e }^{ it })ir{ e }^{ it }={ f }^{ ´ }({ z }_{ 0 }+r{ e }^{ it }){ e }^{ it }ir{ e }^{ it }+f({ z }_{ 0 }+r{ e }^{ it })i{ e }^{ it }=\frac { d }{ dt } f({ z }_{ 0 }+r{ e }^{ it }){ e }^{ it }$

y por lo tanto:

$\frac { dI(r) }{ dr } =\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \frac { d }{ dt } f({ z }_{ 0 }+r{ e }^{ it }) } { e }^{ it }dt=0$

como se quería.

---

Contribución de: Miguel Medina Armendariz (discusión) 14:19 5 jul 2015 (CDT)

Contribución de: Carlosmiranda (discusión) 15:34 21 nov 2020 (CST)

---