Diferencia entre revisiones de «Compleja: Demostraciones de Variable Compleja»
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=== Teorema de Cauchy para círculos concéntricos === | |||
Sea $f$ una función holomorfa en la región anular ${ R }_{ 1 }<\left| z-{ z }_{ 0 } \right| <{ R }_{ 2 }$. Para cada ${ R }_{ 1 }<r<{ R }_{ 2 }$ sea ${ \gamma }_{ r }$ el círculos de centro ${ z }_{ 0 }$ y radio $r$ orientado positivamente. Entonces: | |||
<center>$\int _{ { \gamma }_{ r } }^{ }{ f(z)dz } $</center> | |||
es independiente de $r$. | |||
'''Demostración:''' | |||
Consideremos la parametrización ${ \gamma }_{ r }(t)={ z }_{ 0 }+r{ e }^{ it }$, para $t\in \left[ 0,2\pi \right] $. Entonces: | |||
<center>$I(r):=\int _{ { \gamma }_{ r } }^{ }{ f(z)dz=\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ f({ z }_{ 0 }+r{ e }^{ it })ir } { e }^{ it }dt } $</center> | |||
y note que el integrando del lado derecho es una función de dos variables $r, t$ con derivadas parciales continuas. Por la regla de Leibniz se sigue que: | |||
<center>$\frac { dI(r) }{ dr } =\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \frac { d }{ dr } f({ z }_{ 0 }+r{ e }^{ it })ir } { e }^{ it }dt$</center> | |||
donde: | |||
<center>$\frac { d }{ dr } f({ z }_{ 0 }+r{ e }^{ it })ir{ e }^{ it }={ f }^{ ´ }({ z }_{ 0 }+r{ e }^{ it }){ e }^{ it }ir{ e }^{ it }+f({ z }_{ 0 }+r{ e }^{ it })i{ e }^{ it }=\frac { d }{ dt } f({ z }_{ 0 }+r{ e }^{ it }){ e }^{ it }$</center> | |||
y por lo tanto: | |||
<center>$\frac { dI(r) }{ dr } =\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \frac { d }{ dt } f({ z }_{ 0 }+r{ e }^{ it }) } { e }^{ it }dt=0$</center> | |||
como se quería. | |||
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Contribución de: [[Usuario:Miguel Medina Armendariz|Miguel Medina Armendariz]] ([[Usuario discusión:Miguel Medina Armendariz|discusión]]) 14:19 5 jul 2015 (CDT) | |||
Contribución de: [[Usuario:Carlosmiranda|Carlosmiranda]] ([[Usuario discusión:Carlosmiranda|discusión]]) 15:34 21 nov 2020 (CST) | |||
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Revisión del 14:47 7 oct 2023
Algunas demostraciones de Variable Compleja
Demostraciones del Teorema de Cauchy
Teorema de Cauchy en un disco
Si
$f:B(a;R)\rightarrow C$ es holomorfa entonces $f$ tiene una primitiva $F$ en $B(a;R)$. Consecuentemente si $\gamma $ es cualquier curva cerrada rectificaba en $B(a;R)$ entonces:
Demostración:
Si $f$ tiene una serie de Taylor en $B(a;R)$.
.
Para $z\in B(a;R)$ definamos entonces:
.
y observe, que como $\lim _{ }{ \left\{ { (n+1) }^{ \frac { 1 }{ n } } \right\} } =0$ se sigue que la ultima serie tiene el mismo disco de convergencia $B(a;R)$.
Por lo que se sigue que ${ F }^{ ´ }(z)=f(z)$ para todo $z\in B(a;R)$.
Contribución de: Miguel Medina Armendariz (discusión) 15:46 5 jul 2015 (CDT)
Contribución de:Carlosmiranda (discusión) 15:11 21 nov 2020 (CST)
Teorema de Cauchy para círculos concéntricos
Sea $f$ una función holomorfa en la región anular ${ R }_{ 1 }<\left| z-{ z }_{ 0 } \right| <{ R }_{ 2 }$. Para cada ${ R }_{ 1 }<r<{ R }_{ 2 }$ sea ${ \gamma }_{ r }$ el círculos de centro ${ z }_{ 0 }$ y radio $r$ orientado positivamente. Entonces:
es independiente de $r$.
Demostración:
Consideremos la parametrización ${ \gamma }_{ r }(t)={ z }_{ 0 }+r{ e }^{ it }$, para $t\in \left[ 0,2\pi \right] $. Entonces:
y note que el integrando del lado derecho es una función de dos variables $r, t$ con derivadas parciales continuas. Por la regla de Leibniz se sigue que:
donde:
y por lo tanto:
como se quería.
Contribución de: Miguel Medina Armendariz (discusión) 14:19 5 jul 2015 (CDT)
Contribución de: Carlosmiranda (discusión) 15:34 21 nov 2020 (CST)