Diferencia entre revisiones de «Compleja: Demostraciones de Variable Compleja»
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=== Teorema de Liouville sobre una circunferencia de diámetro $2\pi R$. === | |||
Las únicas funciones enteras acotadas son constantes. | |||
Aplicando la desigualdad $|f(z)|<M$ a la formula de Cuachy, para la derivada de orden 1. | |||
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f´(z) \dfrac{1}{2\pi i} \oint \dfrac{f(z_{0})}{z_{0}-z}dz | |||
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Sobre la circunferencia <math>C</math> existe un punto $z_{0}= z+re^{i \theta}$ cuyo diámetro es de $2 \pi R$. | |||
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f´(z)\leq \dfrac{1}{2\pi i} \dfrac{M}{R^{2}} 2\pi R= \dfrac{M}{R}\] | |||
Si hacemos que $R\rightarrow \infty$. Entonces $f´(z)\leq 0$ por lo tanto $f´(z)=0$ por <math>f</math> es constante. |
Revisión del 14:55 7 oct 2023
Algunas demostraciones de Variable Compleja
Demostraciones del Teorema de Cauchy
Teorema de Cauchy en un disco
Si
$f:B(a;R)\rightarrow C$ es holomorfa entonces $f$ tiene una primitiva $F$ en $B(a;R)$. Consecuentemente si $\gamma $ es cualquier curva cerrada rectificaba en $B(a;R)$ entonces:
Demostración:
Si $f$ tiene una serie de Taylor en $B(a;R)$.
.
Para $z\in B(a;R)$ definamos entonces:
.
y observe, que como $\lim _{ }{ \left\{ { (n+1) }^{ \frac { 1 }{ n } } \right\} } =0$ se sigue que la ultima serie tiene el mismo disco de convergencia $B(a;R)$.
Por lo que se sigue que ${ F }^{ ´ }(z)=f(z)$ para todo $z\in B(a;R)$.
Contribución de: Miguel Medina Armendariz (discusión) 15:46 5 jul 2015 (CDT)
Contribución de:Carlosmiranda (discusión) 15:11 21 nov 2020 (CST)
Teorema de Cauchy para círculos concéntricos
Sea $f$ una función holomorfa en la región anular ${ R }_{ 1 }<\left| z-{ z }_{ 0 } \right| <{ R }_{ 2 }$. Para cada ${ R }_{ 1 }<r<{ R }_{ 2 }$ sea ${ \gamma }_{ r }$ el círculos de centro ${ z }_{ 0 }$ y radio $r$ orientado positivamente. Entonces:
es independiente de $r$.
Demostración:
Consideremos la parametrización ${ \gamma }_{ r }(t)={ z }_{ 0 }+r{ e }^{ it }$, para $t\in \left[ 0,2\pi \right] $. Entonces:
y note que el integrando del lado derecho es una función de dos variables $r, t$ con derivadas parciales continuas. Por la regla de Leibniz se sigue que:
donde:
y por lo tanto:
como se quería.
Contribución de: Miguel Medina Armendariz (discusión) 14:19 5 jul 2015 (CDT)
Contribución de: Carlosmiranda (discusión) 15:34 21 nov 2020 (CST)
Teorema de Liouville y Teorema de Morera
Teorema de Liouville sobre una circunferencia de diámetro $2\pi R$.
Las únicas funciones enteras acotadas son constantes.
Aplicando la desigualdad $|f(z)|<M$ a la formula de Cuachy, para la derivada de orden 1.
\[
f´(z) \dfrac{1}{2\pi i} \oint \dfrac{f(z_{0})}{z_{0}-z}dz
\]
Sobre la circunferencia existe un punto $z_{0}= z+re^{i \theta}$ cuyo diámetro es de $2 \pi R$.
\[
f´(z)\leq \dfrac{1}{2\pi i} \dfrac{M}{R^{2}} 2\pi R= \dfrac{M}{R}\]
Si hacemos que $R\rightarrow \infty$. Entonces $f´(z)\leq 0$ por lo tanto $f´(z)=0$ por es constante.