Diferencia entre revisiones de «Compleja: Demostraciones de Variable Compleja»
De luz-wiki
(Página creada con «Algunas demostraciones de Variable Compleja») |
Sin resumen de edición |
||
Línea 1: | Línea 1: | ||
Algunas demostraciones de Variable Compleja | Algunas demostraciones de Variable Compleja | ||
== Demostraciones del Teorema de Cauchy == | |||
=== Teorema de Cauchy en un disco === | |||
Si | |||
$f:B(a;R)\rightarrow C$ es holomorfa entonces $f$ tiene una primitiva $F$ en $B(a;R)$. Consecuentemente si $\gamma $ es cualquier curva cerrada rectificaba en $B(a;R)$ entonces: | |||
<center>$\int _{ \gamma }^{ }{ f } =0$</center> | |||
'''Demostración:''' | |||
Si $f$ tiene una serie de Taylor en $B(a;R)$. | |||
<center>$f(z)=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }{ (z-a) }^{ n } } $</center>. | |||
Para $z\in B(a;R)$ definamos entonces: | |||
<center>$F(z)=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { a }_{ n } }{ n+1 } { (z-a) }^{ n+1 } } =(z-a)\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { a }_{ n } }{ n+1 } { (z-a) }^{ n } } $</center>. | |||
y observe, que como $\lim _{ }{ \left\{ { (n+1) }^{ \frac { 1 }{ n } } \right\} } =0$ se sigue que la ultima serie tiene el mismo disco de convergencia $B(a;R)$. | |||
Por lo que se sigue que ${ F }^{ ´ }(z)=f(z)$ para todo $z\in B(a;R)$. | |||
---- | |||
Contribución de: [[Usuario:Miguel Medina Armendariz|Miguel Medina Armendariz]] ([[Usuario discusión:Miguel Medina Armendariz|discusión]]) 15:46 5 jul 2015 (CDT) | |||
Contribución de:[[Usuario:Carlosmiranda|Carlosmiranda]] ([[Usuario discusión:Carlosmiranda|discusión]]) 15:11 21 nov 2020 (CST) | |||
---- | |||
[[Category:Compleja]] |
Revisión del 14:46 7 oct 2023
Algunas demostraciones de Variable Compleja
Demostraciones del Teorema de Cauchy
Teorema de Cauchy en un disco
Si
$f:B(a;R)\rightarrow C$ es holomorfa entonces $f$ tiene una primitiva $F$ en $B(a;R)$. Consecuentemente si $\gamma $ es cualquier curva cerrada rectificaba en $B(a;R)$ entonces:
Demostración:
Si $f$ tiene una serie de Taylor en $B(a;R)$.
.
Para $z\in B(a;R)$ definamos entonces:
.
y observe, que como $\lim _{ }{ \left\{ { (n+1) }^{ \frac { 1 }{ n } } \right\} } =0$ se sigue que la ultima serie tiene el mismo disco de convergencia $B(a;R)$.
Por lo que se sigue que ${ F }^{ ´ }(z)=f(z)$ para todo $z\in B(a;R)$.
Contribución de: Miguel Medina Armendariz (discusión) 15:46 5 jul 2015 (CDT)
Contribución de:Carlosmiranda (discusión) 15:11 21 nov 2020 (CST)