Compleja:Zill-Cap7.1

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Ejercicios del capítulo 7, sección 1 del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.


Sección 7.1

Ejercicio 1

Encontrar donde el mapeo $w=f\left(z\right)$ es conforme:

$f\left(z\right)=z^{3}-3z+1$

Solución:

Por 7.1.1 sabemos que el mapeo es conforme para $f^{,}\left(z\right)\neq0$ entonces derivamos nuestra $f\left(z\right)$

$f^{,}\left(z\right)=3z^{2}-3$

Por lo que es conforme, pero para saber donde no lo es igualamos a cero.

Entonce hacemos

$3z^{2}-3=0$

$3z^{2}=3$

$z^{2}=\frac{3}{3}=1$

Por lo que:

$z=\pm1$

Por lo que $f\left(z\right)$ es conforme en todo el plano menos en $\pm1$


Resuelto por Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 20:14 8 jul 2015 (CDT)



Nota: Compañero en tu problema la transformación si es analítica pero no quiere decir que sea conforme ya que como lo obtuviste tienes dos puntos críticos, y para que la transformación sea conforme debe de haber un punto critico el cual es donde dos curvas se cruzan para formar un angulo que es el que se conserva en la transformación, por eso es que $f$ no es conforme en $z=\pm1$

Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 22:52 10 jul 2015 (CDT)


Ejercicio 2

Determine donde el mapeo complejo $w = f(z)$ es conforme


$f(z) = z^2 + 2iz - 3$


Del Teorema: Si $f$ es analítica en $D$ y $z_0 \epsilon D$ y $f´ (z_0) \neq 0$ entonces $f$ es conforme en $z_0$ .


Si $f$ es analítica en $z_0$ y $f´(z_0) = 0$ entonces $z_0$ es un punto crítico.


Haciendo uso de este teorema tenemos:


$f ´(z) = 2z + 2i$


Por lo tanto es conforme


Para saber donde no es conforme sabemos que $f ´(z_0) = 0$ donde $z_0$ es un punto critico, entonces:


$2z + 2i = 0$


$2z = -2i$


$z = -\frac{2i}{2} = -i$


Entonces podemos decir que $f(z)$ es conforme en todo $C$ menos en $z_0 = -i$


Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 14:48 9 jul 2015 (CDT)


Ejercicio 3

Determine donde el mapeo complejo $w=f(z)$ no es conforme.

$f(z)=z-e^{-z}+1-i$

Teorema: mapeo conforme

si $f$ es una función analítica en un dominio D que contiene a $z_{0}$, y si $f'(z_{0})\neq0$ entonces $w=f(z)$ es un mapeo conforme en $z_{0}$

por el teorema anterior tenemos:

$f(z)=z-e^{-z}+1-i$

$f'(z)=1+e^{-z}=1+\frac{1}{e^{z}}=\frac{e^{z}+1}{e^{z}}$

esta función no es conforme si:

$f(z_{0})=\frac{e^{z_{0}}+1}{e^{z_{0}}}=0\Longleftrightarrow e^{z_{0}}+1=0\Longleftrightarrow e^{z_{0}}=-1$ ,

entonces suponga $z_{0}=a+ib$

$\Longrightarrow e^{z_{0}}=e^{a+ib}=e^{a}e^{ib}=e^{a}(\cos b+i\sin b)=-1$

$\Longrightarrow(\cos b+i\sin b)=-1$

esto se cumple solo si $b=(2n+1)\pi,n=0,\pm1,\pm2,\pm3,...$

de aquí que esta función no es conforme para $z=(2n+1)\pi i,n=0,\pm1,\pm2,\pm3,...$

--Francisco Medina Albino (discusión) 21:09 8 jul 2015 (CDT)



Ejercicio 4

Determine dónde el mapeo complejo $w=f(z)$ es conforme.

4.- $f(z)=ze^{z^{2}-2}$


Primero, sabemos por 7.1.1 que $w=f(z)$ es conforme siempre que $f'(z)\neq0$, por ello derivamos$f(z)$

$f'(z)=e^{z^{2}-2}+2z^{2}e^{z^{2}-2}=e^{z^{2}-2}(1+2z^{2})$


Y queremos encontrar los puntos en los cuales $w=f(z)$ sea no conforme, entonces $1+2z^{2}=0$ son los puntos que buscamos, o de otra manera cuando $z=\pm\frac{i}{\sqrt{2}}$


Por lo ultimo podemos decir que $f(z)=ze^{z^{2}-2}$ es conforme para todo C excepto en $z=\pm\frac{i}{\sqrt{2}}$


--Fernando Vazquez V. (discusión) 23:20 8 jul 2015 (CDT)



Ejercicio 5

Determine dónde el mapeo complejo $w=f(z)$ es conforme.

$f(z)=tan(z)$

sabemos que para que el mapeo sea conforme en un dominio D La función debe ser analítica en tal dominio y la derivada de esa función en ese dominio debe ser distinta de cero y como;

\(f(z)=tan(z)=\frac{sen(z)}{cos(z)}\)

además $sen(z)$ es analítica para todo z y $cos(z)$ tambien asi la función;

\(f(z)=\frac{sen(z)}{cos(z)}\)

únicamente no es analítica para todo numero complejo z tal que $z=(2n+1)\frac{\pi}{2}$ con $n=0,\pm1\pm2\pm3...$, que es donde $cos(z)=0$ y su derivada no esta definida.

porque podemos ver que la derivada de $f$ es $f'(z)=sec^{2}(z)=\frac{1}{cos^{2}(z)}$ donde comprobamos que la derivada no esta definida para todo numero complejo $z$ tal que $z=(2n+1)\frac{\pi}{2}$ donde $cos^{2}(z)=0$

Conclusión; $w=f(z)=tan(z)$ es un mapeo conforme para todo $z$ excepto para $z=(2n+1)\frac{\pi}{2}$ con $n=0,\pm1\pm2\pm3...$

--Cristian Alfredo Ruiz Castro (discusión) 14:49 9 jul 2015 (CDT)

Ejercicio 6

Encontrar el mapeo, donde $w=f\left(z\right)$ es conforme.


$f\left(z\right)=z-\ln(z+i)$


Para que el mapeo de $f(z)$ sea conforme tiene que pasar:


$f'(z)\neq0$


Entonces derivamos $f\left(z\right)$


$f'(z)=1-\frac{1}{z+i}$


Por lo que $f(z)$ es conforme, pero para saber donde no lo es igualamos a cero.


De modo que:


$1-\frac{1}{z+i}=0$


Entonces, para que sea cero:


$\frac{1}{z+i}=1$


$1=z+i$


Por lo que:


$z=1-i$


Por lo tanto $f\left(z\right)$ es conforme en todo el plano excepto en $z=1-i$.


Nancy Martínez Durán (discusión) 00:01 9 jul 2015 (CDT)



Ejercicio 7

Ejercicio 7.-Mostrar que la siguiente función no es conforme en el punto indicado $f\left(z\right)=\left(z-i\right)^{3}$; $z_{0}=i$ \[ f\left(z\right)=\left(z-i\right)^{3} \]


Por el teorema $7.1.1$sabemos que tenemos que derivar $f\left(z\right)$y se obtiene \[ f\prime\left(z\right)=3\left(z-i\right)^{2} \]


Para que $f\left(z\right)$sea conforme \[ f\prime\left(z\right)\neq0 \]


Por lo que $f\left(z\right)$no será conforme en $z_{0}$si

\[ f\prime\left(z\right)=3\left(z_{0}-i\right)^{2}=0 \]


Esto se cumple si y sólo si \[ \left(z_{0}-i\right)^{2}=0 \]


Por lo que es fácil ver que \[ z_{0}=i \]


De esta manera se demuestra que $f\left(z\right)$no será conforme en $z_{0}=i$


Alejandro Juárez Toribio (discusión) 17:30 7 jul 2015 (CDT)


Ejercicio 8

Proceder para mostrar que la función dada $f$ no es conforme en el punto indicado.

\[ f(z)=(iz-3)^{2};z_{0}=-3i \]


Entonces por el teorema 7.1.1que nos dice que si $f$ es una función analítica en un dominio D que contiene a $z_{0}$y si $f'(z_{0})\neq0$

entonces $w=f(z)$ es un mapeo conforme en $z_{0}$.

Por tanto, obtenemos la derivada de $f(z)$

\[ f'(z)=2i(iz-3) \]


Evaluando en $z_{0}$ tenemos que:

\[ f'(-3i)=2i(i(-3i)-3)=2i(3-3)=2i(0)=0 \]


Con esto, se muestra que la función $f$ dada, no es conforme en el punto $z_{0}=-3i$ según el criterio del teorema 7.1.1


--A. Martín R. Rabelo (discusión) 01:00 8 jul 2015 (CDT)


Ejercicio 9

Mostrar que la función dada $f$ no es conforme en el punto indicado.

$f(z)=e^{z^{2}}$, $z_{0}=0$

se dice que $f(z)$es conforme si $f´(z)=0$,

primero deribamos la función

$f(z)=e^{z^{2}}$

$f'(z)=2ze^{z^{2}}$

ahora evaluamos en el punto indicado $z_{0}$

$f'(z_{0})=2z_{0}e^{z_{0}^{2}}$

donde $z_{0}=0$

$f'(0)=2(0)e^{o^{2}}=2(0)e^{0}=0$

por lo tanto nuestra función no es conforme en el punto $z_{0}$


--Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 13:52 8 jul 2015 (CDT)




Ejercicio 10

Mostrar que el mapeo no es conforme en el punto indicado.


$f(z)= \sqrt{z}$ $z_{0}=0$


Usemos el teorema 7.1.1


calculamos la derivada de $f(z)$

\[ f´(z)= \dfrac{1}{2\sqrt{z}}\]

evaluando en el punto $z_{0}=0$


\[ f'(z_{0})= 0\]


Por tanto $f(z)= \sqrt{z}$ en $z_{0}=0$ no es un mapeo conforme


--Esther Sarai (discusión) 22:03 7 jul 2015 (CDT)Esther Sarai


Nota:

Superficies de Riemann para $\sqrt{z}$

Sabemos que $\sqrt{x}$ en $\Re\rightarrow\Re$ tiene dos valores para cada x en el dominio, osea no es unievaluada y a llamamos relación, para poder denir esté mapeo como función tendríamos que definir sus dominio como una superficie de Riemann, nos trasladamos ahora al plano complejo.

$\sqrt{z}$ $C \rightarrow C$

forma polar

\[ f(re^{i \theta})= \sqrt{r}e^{1/2 \theta}\]

Se observa que la función recorre la mitad de un circulo en la plano $(u,v)$. Como se observa en la figura 1.

Para visualizar la superficie de Riemann utilizaremos el plano real y la parte real del plano complejo, con esto podremos apreciar como se comporta el mapeo como función en un dominio definido como se muestra en la figura.2


SUP. reim.jpg

tenemos los dos planos y observamos que la función pasa de uno a otro hasta completar una vuelta en los dos así $\Re\rightarrow C $, entonces $\sqrt{z}$ se conviente en una función unievaluada y biyectiva. A la unión entre los espacios se le conoce como superficie de Reimann.

--Esther Sarai (discusión) 19:45 9 jul 2015 (CDT)Esther Sarai




Ejercicio 10 (alternativo)

Mostrar que el mapeo no es conforme en el punto indicado. ( ya que tenemos permiso de usar éste método , así lo haré pero de otro modo al de mi compañera)

$f(z)=\sqrt{z}$ , $z_{0}=0$

primero quiero pasar z a su forma polar

$z=r(cos\theta+isin\theta)$

ahora sabemos que para que sea conforme $f$ '$(z)\neq0$, entonces derivamos y evaluamos

$f(r,\theta)=\sqrt{r(cos\theta+isin\theta)}$

derivamos respecto a $\theta$y tenemos

$\frac{r(-sen\theta+icos\theta)}{2\sqrt{r(cos\theta+isin\theta)}}=\frac{r(-sen\theta+icos\theta)}{2\sqrt{r}\sqrt{(cos\theta+isin\theta)}}=(r^{\frac{3}{2}})\frac{(-sen\theta+icos\theta)}{2\sqrt{(cos\theta+isin\theta)}}$

sabemos que $\mid z\mid=r$ pero nuestra $z=z_{0}=0$

por lo tanto tenemos que

$(0^{\frac{3}{2}})\frac{(-sen\theta+icos\theta)}{2\sqrt{(cos\theta+isin\theta)}}=0$

y como la derivada vale cero en el punto $z_{0}$, no es conforme



--Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 22:52 10 jul 2015 (CDT)



Ejercicio 11

Utilice el apéndice $III$ para encontrar un mapeo conforme de la región $R$ que se muestra en color sobre la región $R'$ que se muestra en gris. Después, busque la imagen de la curva A a B.


Nuevooo.png


$Solución$. En la entrada $H-4$ en el apéndice $III$ se presenta un mapeo de una franja finita por un extremo vertical, $0 \leq y < \infty$ , $0 \leq x \leq 2$, sobre el semiplano superior $v \geq 0$. Haciendo $a=2$, se obtiene el mapeo deseado

\[ w=\cos \left( \frac{\pi\,z}{2} \right) \]


Apendice H 4.png

De $H-4$ también vemos que los puntos marcados $A$ y $B=0$ en el eje $y$ positivo en el plano $z$ se mapean sobre los puntos $A'$ y $B'=1$ en eje $u$ positivo en el plano $w$. De las posiciones relativas de estos, concluimos que los puntos $A$ y $B$ se mapean sobre el intervalo $[1, \infty)$ en el eje $u$ con $ w=\cos \left( \frac{\pi z}{2} \right)$


Esta observación también se puede comprobar usando parametrizaciones.


Parametrizando $AB$:

\begin{equation*} \left. \begin{aligned} x & = 0\\ y & = t \end{aligned} \right\} \, \; 0 \leq t < \infty \quad\text{ } \end{equation*} \[z=0+it \, \]

\[ w(z)= \cos\left( \frac{\pi}{2} iy\right) = \cos\left( \frac{\pi}{2} it\right) \]

$A': $ \[ \lim_{t \to \infty} w(z)=\lim_{t \to \infty} \cos\left( \frac{\pi}{2} it\right)= \infty \]

$B': $ \[ w(0)=\cos\left( \frac{\pi}{2} i(0)\right)= \cos 0=1 \]



--Emmanuell Castro Flores (discusión) 16:15 9 jul 2015 (CDT)


Ejercicio 12

Utilice el apéndice III para encontrar el mapeo conforme de la región R (en color) a la región R' (en gris). Despúes busque la imagen de la curva A a B.

P7.12a.jpg

Del apéndice III:

P7.12b.jpg

\[ w(z)=e^{z} \] De la figura resulta evidente que el segmento AB se mapea al eje real negativo que forma parte del semicirculo, para verificar esto, se parametriza AB: \[ z=t+i\pi \;\;\;\; -\infty <t \leq 0 \] \[ w(z)=e^{t+i\pi}=e^{t}\,\left( \cos {\pi}+i\,\sin {\pi} \right)=e^{t}\,\left(-1\right)=-e^{t};\;\;\; -\infty <t \leq 0 \] En A: \[ A'=\lim_{t \to -\infty} {w(z)}=\lim_{t \to -\infty} {-e^{t}}=0 \] En B: \[ B'=w(0)=-e^{0}=-1 \] Que efectivmente corrobora lo observado en la figura. --Tlacaelel Cruz (discusión) 18:54 9 jul 2015 (CDT)



Ejercicio 13

Utilice el apéndice III para encontrar el mapeo conforme de la región R (en color) a la región R' (en gris). Despúes busque la imagen de la curva A a B.


Ejerc7.1


Tomando del apéndice III el apartado (H-5), se observa un mapeo de un semicirculo ABCD sobre unsemiplano $v \geq 0$,mostrada en la imagen de abajo, por tanto podemos considerar este mapeo para nuestro caso, teniendo que :

\[w=\left(\frac{1+z}{1-z} \right)^2 .....(1) \] Mapeo R,R'

Tomando que

\[ z=e^{it}=cost+isent \]

\[ A'= \lim_{t \to \frac{\pi}{2}} w(z) = \lim_{t \to \frac{\pi}{2}} \left( \frac{1+e^{it}}{1-e^{it}}\right)^2 \]

\[ B'= w(0)=e^{it}=cos(0)+isen(0)=1 \]

Por tanto,consideramos el mapeo del semicirculo del punto AB donde claramente al ser mapeado al plano complejo los puntos AB forman un ángulo de $\frac{\pi}{4}$ Por lo tanto considerando la ecuación (1) se tiene que el mapeo se satisface y es conforme en la región R -> R' si:

\[ w=\left(\frac{1+z}{1-z} \right)^\frac{1}{2} \]


--Samantha Martinez (discusión) 21:40 9 jul 2015 (CDT)


Ejercicio 14

Uilice el apéndice III para encontrar un mapeo conforme de la region R que se muestra en color sobre la region R'

que se muestra en gris. Después, busque la imagen de la curva de A a B.

Solución Tenemos que

IMagen Ejercicio 14.jpg

\[ w=i\frac{1-z}{1+z} \] En el apéndice III, H-I se presenta un mapeo de una franja de una circuferencia finita que va de un extremo a otro , tal y como se muestra en la figura de abajo, sobre el semiplano superior. Haciendo el mapeo deseado se obtiene un rectángulo sombreado. Como solo queremos la mitad de la circuferencia tenemos que:


\[ \frac{w}{2}=i\frac{1-z}{1+z} \]

Por lo tanto,consideramos el mapeo del semicirculo del punto que va de A-B donde claramente al ser mapeado al plano complejo los puntos AB se tiene que la imagen es:


A'B'=\[ \left[-1,1\right] \]


Apendice III H-I.jpg

--Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 23:38 10 jul 2015 (CDT)


Ejercicio 15

Utilice el apéndice III para encontrar el mapeo conforme de la región R (en color) a la región R' (en gris). Despúes busque la imagen de la curva A a B.

Notamos que para llegar a nuestro mapeo requerimos de una composicion de funciones dada por \[h=g(f(z))\]

asi pues tenemos por el apendice III de \(H-6\) tenemos\[f(z)= \frac{e^{\frac{\pi}{z}}+e^{-\frac{\pi}{z}}}{e^{\frac{\pi}{z}}-e^{-\frac{\pi}{z}}}\]

Ahora bien de igual forma por el apendice III de \(E-4\)tenemos\[w=z^{\alpha}\]

Para nuestro caso notamos que la parte gris esta acotada como la cuarta parte de uestro plano por lo cual nuestra \(\alpha =\frac{1}{2}\)

Asi pues el mapeo conforme de la Región es \[h(z)=( \frac{e^{\frac{\pi}{z}}+e^{-\frac{\pi}{z}}}{e^{\frac{\pi}{z}}-e^{-\frac{\pi}{z}}})^{\frac{1}{2}}\]


--Anahi Limas (discusión) 22:11 9 jul 2015 (CDT)


Ejercicio 17

¿Dónde es conforme el mapeo $w=\overline{z}$? Justifique su respuesta.


Sol. Se tiene por el Teorema del mapeo conforme que el mapeo $w$ será conforme cuando $\overline{z}$ sea analítica y ademas $w'$ sea diferente de cero. Si $z=x+iy$ entonces $\overline{z}=x-iy=w$. Con $u(x,y)=x$ y $v(x,y)=-y$ como las partes real e imaginaria de la función de mapeo $w$, se tiene del teorema de Cauchy que $w$ será analítica cuando se cumpla


$\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y}$

$\dfrac{\partial u}{\partial y}=-\dfrac{\partial v}{\partial x}$


Derivando


$\dfrac{\partial u}{\partial x}=1$, $\dfrac{\partial u}{\partial y}=0$


$\dfrac{\partial v}{\partial y}=-1$, $\dfrac{\partial v}{\partial x}=0$


Y observamos que las igualdades no se satisfacen para ningún punto del plano complejo, por lo que del Teorema del mapeo conforme $w=\overline{z}$ nunca será conforme.


Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 20:59 7 jul 2015 (CDT)


Nota: La función no es conforme en ningún punto ya que no es holomorfa en ningún punto. Si gratificamos el mapeo observamos una simetría respecto al eje real, también se conserva el valor de los ángulos, sin embargo no es así con su orientación.

--Esther Sarai (discusión) 18:39 10 jul 2015 (CDT)Esther Sarai

Ejercicio 18

Supongamos que $\omega =f(z)$ es un mapeo conforme en todos los puntos en el plano complejo. ¿Donde es conforme el mapeo $\omega =\overline { \left( f\left( \overline { z } \right) \right) } $? Justifique su respuesta.

Solucion.

Se han examinado mapeos del plano $z$ al plano $\omega$ donde en la mayor parte de ellos la relación entre $\omega$ y $z$, $\quad \omega=f(z)$, era lineal o bilineal. Existe una propiedad importante de mapeos cuando sugerimos el mapeo $\omega ={ z }^{ 2 }$.

Un mapeo $\omega =\overline { \left( f\left( \overline { z } \right) \right) } $ que preserva angulos se llama conforme. Bajo tales mapeos, el angulo entre dos curvas que se cortan el el plano $z$ es el mismo que el ángulo entre las curvas correspondientes en el plano $\omega$.

Miguel Medina Armendariz (discusión) 22:34 9 jul 2015 (CDT)


Nota: A manera de ilustrar la propiedad para el mapeo sugerido $z=z^{2}$

Z=z2.jpg

La transformación conforme $z=z^{2}$, como se muestra en la imagen las coordenadas hiperbólicas pasan a ser cartecinas en el plano complejo.

--Esther Sarai (discusión) 17:17 10 jul 2015 (CDT)Esther Sarai

Ejercicio 19

Suppose that w = f(z) is a conformal mapping at every point in the complex plane. Where is the mapping $W=e^{f\left(z\right)}$ conformal?

traduccion:

Supongamos que w = f ( z ) es una representación conforme en todos los puntos en el plano complejo . ¿Dónde está el mapeo $W=e^{H\left(z\right)}$ conforme ?

respuesta:

si $H\left(z\right)$ es un mapeo confrome en todo el plano esto significa que la esta funcion es una funcion analitica devido al teorema 7.1 del libro que establece que:

Si f es una función analítica en un dominio D que contiene z0 , y si $f\prime\left(z0\right)$ es diferente de 0 , entonces w = f ( z ) es una representación conforme a z0 .

HIPOTESIS:

$W=e^{H\left(z\right)}$deve ser tambie un mapeo conforme

resolucion:

para comprovar si la hipotesis es verdadera provare si $W=e^{f\left(z\right)}$es analitica y si su primer derivada nunca se anula

1.-ANALITICIDAD:

el teorema 3.5 del libro establece que:

Supongamos que las funciones reales u ( x , y) y v ( x , y) son continuas y tienen de primer orden derivadas parciales continuas en un dominio D. Si u y v satisfacer las ecuaciones de Cauchy -Riemann ( 1 ) en todos los puntos de D, entonces el complejo función f ( z) = u (x , y) + iv (x , y) es analítica en D.

entonces veremos si $W=e^{H\left(z\right)}$ cumple con las ecuaciones de Cauchy -Riemann

para que una funcion cumpla con Cauchy- Riemann se requiere tener la funcion en la forma

$Wz=U\left(x,y\right)+iV\left(x,y\right)$

entonces tenemos:

$W=e^{H\left(z\right)}=e^{F\left(x,y\right)+iG\left(x,y\right)}=e^{F\left(x,y\right)}e^{iG\left(x,y\right)}=e^{F\left(x,y\right)}cos\left(G\left(x,y\right)\right)+ie^{F\left(x,y\right)}sen\left(G\left(x,y\right)\right)$

$U\left(x,y\right)=e^{F\left(x,y\right)}cos\left(G\left(x,y\right)\right)$

$V\left(x,y\right)=e^{F\left(x,y\right)}sen\left(G\left(x,y\right)\right)$

haora que la tenemos de esa forma devemos verificar que se cumplan las condiciones de Cauchy- Riemann para lo cual devemos verificar que:

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ a la vez que $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

ESTAS CONDICIONES SE CUMPLEN PARA LA FUNCION H$\left(Z\right)$DEVIDO A QUE SE A ESTABLECIDO QUE ES ANALITICA PUES GENERA UN MAPEO CONFORME POR LO QUE PARA H SE CUMPLE QUE

$\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial G}{\partial y}$ a la vez que $\frac{\partial F}{\partial y}=-\frac{\partial G}{\partial x}$

PARA LA FUINCION W TENEMOS QUE:

$\frac{\partial u}{\partial x}=e^{F\left(x,y\right)}\frac{dF}{dx}cos\left(G\left(x,y\right)\right)-e^{F\left(x,y\right)}sen\left(G\left(x,y\right)\right)\frac{dG}{dx}$ = $\frac{\partial v}{\partial y}=e^{F\left(x,y\right)}sen\left(G\left(x,y\right)\right)\frac{dF}{dy}+e^{F\left(x,y\right)}\frac{dG}{dy}cos\left(G\left(x,y\right)\right)$

$\frac{\partial u}{\partial y}=e^{F\left(x,y\right)}\frac{dF}{dy}cos\left(G\left(x,y\right)\right)-e^{F\left(x,y\right)}sen\left(G\left(x,y\right)\right)\frac{dG}{dy}=\frac{-\partial v}{\partial y}=-\left(e^{F\left(x,y\right)}sen\left(G\left(x,y\right)\right)\frac{dF}{dx}+e^{F\left(x,y\right)}\frac{dG}{dx}cos\left(G\left(x,y\right)\right)\right)$

esto deluestra que la funcion: $W=e^{H\left(z\right)}$es analitica siempre y cuando $H(z)$tambien lo sea

2.- QUE LA PRIMERA DERIVADA NO SE ANULE:

$W=e^{H\left(z\right)}$obtengo su primer derivada

$W\prime=e^{H\left(z\right)}H\prime\left(z\right)$

enonces savemos que la exponecial jamas sera igual a 0 por lo que soloanalisamos a la derivada de H

$H\prime\left(z\right)=0$ esto es imposible ya que establecimos anteriormente que la funcion H es analitica y ademas es un mepeo conforme por lo que desde el inicio queda establecido que si primer derivada jamas se anlua.

CONCLUSION:

la hipotesis fue correcta dada una funcion analitica que genera un mapeo conforme, si se eleva una exponencial a dicha funcion esta funcion resyltante tambien sera analitica y ademas tambien sera un mepeo conforme para todo el plano complejo.



--Martin Flores Molina (discusión) 13:05 15 mayo 2015 (CDT) ----



Nota: Creo que un camino un poco más rápido es considerando que el problema dice que $f(z)$ es un mapeo conforme para todo punto del plano complejo. Dado que $f(z)$ es un mapeo conforme, se tiene por el Teorema del mapeo conforme que $f'(z)\neq 0$. De igual manera, del Teorema se sabe que el nuevo mapeo $w=e^{f(z)}$ será un mapeo conforme cuando $w'\neq 0$, así


$w=e^{f(z)}$, $w'=f'(z)e^{f(z)}$


Por tanto, el mapeo $w=e^{f(z)}$ será un mapeo conforme en todo el plano complejo ya que su derivada no se anula para ningún punto del plano.


Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 20:38 7 jul 2015 (CDT)


Nota: Ejemplo que ilustra el ejercicio la función $f(z)=z$ será conforme en todo el plano. Entonces $f(z)= e^{z}$ $f(z)= e^{z}= e^{x}(\cos y + i \sin y) \Rightarrow u(x,y)= e^{x}\cos y, v(x,y)=e^{x} \sin y$ $f(z)= e^{z}\Rightarrow f´(z)= e^{z}$. Se comprueba que no se anula la derivada en ningun punto y es una función entera, la función es exponencial en cada uno de los puntos.


--Esther Sarai (discusión) 18:30 10 jul 2015 (CDT)Esther Sarai


Ejercicio 20(Como contribución)

Este problema se refiere a la determinación del ángulo entre dos curvas $C_{1}$ y $C_{2}$ en un punto donde una (o ambas) curvas tienen un vector tangente cero.

(a)Suponga que dos curvas $C_{1}$ y $C{}_{2}$ están parametrizadas con $z{}_{1}(t)$ y $z_{2}(t)$, respectivamente, y que las curvas se intersectan en $z{}_{1}(t)=z{}_{2}(t)=z_{0}$. Supongamos también que tanto $z{}_{1}$ y $z_{2}$ son derivables de t, sea $z'_{1}=z'(t)_{1}$ y $z'_{2}=z'_{2}(t)$. Explique por qué el $arg(z'_{2})-arg(z'_{1})$ no representa el ángulo entre $C_{1}$ y $C{}_{2}$ si ya sea $z'{}_{1}$ o $z'_{2}$ es igual a cero.


(b)Explique por qué $\underset{t\rightarrow t_{0}}{L\acute{\imath}m}[arg(z{}_{2}(t)-z_{0})]-\underset{t\rightarrow t_{0}}{L\acute{\imath}m}[arg(z{}_{1}(t)-z_{0})]$ si representa el ángulo entre dos curvas $C_{1}$ y $C_{2}$ independientemente de si $z'{}_{1}$ o $z'_{2}$ es igual a cero.


(c)Utilice el inciso (b) para determinar el ángulo entre las curvas parametrizadas por $z{}_{1}(t)=t+it^{2};z{}_{2}(t)=t^{2}+it^{2};-1\leq t\leq1$, en $z{}_{0}=0$ ¿Este cálculo coincide con su intuiciónn


(a) Suponiendo $z'{}_{1}=0$, tenemos por tanto que tanto la parte imaginaria como la real de z son cero por lo que:

$arg(z'_{1}(t_{0}))=arctan\left(\frac{Im(z)}{Re(z)}\right)=arctan\left(\frac{0}{0}\right)$

lo que está indeterminado, y por lo tanto no se puede saber mediante la manera convencional $arg(z'_{2})-arg(z'_{1})$ el ángulo entre curvas antes y después del mapeo para ver si es conforme.

(b) $\underset{t\rightarrow t_{0}}{L\acute{\imath}m}[arg(z{}_{2}(t)-z_{0})]-\underset{t\rightarrow t_{0}}{L\acute{\imath}m}[arg(z{}_{1}(t)-z_{0})]$

si representa el ángulo porque no es el punto singular en que se evalúa, mas bien, es una vecindad muy cercana en este punto al cual se llega a través del límite.

(c)PAra evaluar ocupamos:

$\underset{t\rightarrow t_{0}}{L\acute{\imath}m}[arg(z{}_{2}(t)-z_{0})]-\underset{t\rightarrow t_{0}}{L\acute{\imath}m}[arg(z{}_{1}(t)-z_{0})]$

Y sustituyendo tenemos que

$\underset{t\rightarrow t_{0}}{L\acute{\imath}m}[arg(t^{2}+it^{2}-0)]-\underset{t\rightarrow t_{0}}{L\acute{\imath}m}[arg(t+it^{2}-0)]$

Donde sabemos que:

$\underset{t\rightarrow t_{0}}{L\acute{\imath}m}[arg(t^{2}+it^{2})]=\underset{t\rightarrow t_{0}}{L\acute{\imath}m}[artan\left(\frac{t^{2}}{t^{2}}\right)]=\underset{t\rightarrow t_{0}}{L\acute{\imath}m}[artan\left(1\right)]=\frac{\pi}{4}$

y también que:

$\underset{t\rightarrow t_{0}}{L\acute{\imath}m}[arg(t+it^{2})]=\underset{t\rightarrow t_{0}}{L\acute{\imath}m}[artan\left(\frac{t^{2}}{t}\right)]=\underset{t\rightarrow t_{0}}{L\acute{\imath}m}[artan\left(t\right)]=arctan(0)=0$

Por lo tanto llegamos a que:

$\underset{t\rightarrow t_{0}}{L\acute{\imath}m}[arg(z{}_{2}(t)-z_{0})]-\underset{t\rightarrow t_{0}}{L\acute{\imath}m}[arg(z{}_{1}(t)-z_{0})]=\frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4}$

donde $\frac{\pi}{4}$ representa el ángulo entre las curvas y así se demuestra que esta ecuación es una ecuación más generalizada que la usada comunmente dado que abarco icluso casos particulares en dondee se tiene un $z'(t)=0$ y no va según mi intuición de primera instancia aunque pensándolo por un tiempo todo tuvo sentido.

--A. Martín R. Rabelo (discusión) 23:48 10 jul 2015 (CDT)


Ejercicio 2 (Repaso)

Contestar si es falso ó verdadero el enunciado y justificar su respuesta

El mapeo \(w= z^2 +iz +1\) no es conforme en \(z= \frac{-i}{2}\)

Encontramos primero la derivada de la función

\(f\prime\left(z\right)= \frac{d w}{dz}= 2z +i.........(1)\)

En donde para que $f \left(z\right)$sea conforme se tiene que cumplir que

\[ f\prime\left(z\right)\neq0 \]

y en caso de que

\[ f\prime\left(z\right) =0 \]

El mapeo no es conforme en ese punto por lo que si igualamos a cero (1)

\( 2z +i=0\)

Despejando a \(z\) tenemos que

\( 2z= -i\)

\(z= \frac{-i}{2}\)

Por lo que el mapeo no es conforme en \(z= \frac{-i}{2}\) por lo que el enunciado es verdadero.


--Pablo (discusión) 19:22 10 jul 2015 (CDT)


Ejercicio 3 (Repaso)

Contestar si es falso ó verdadero el enunciado y justificar su respuesta

El mapeo \(f(z)= z^2 +1\) no es conforme en \(z= \pm i\)

La condición de mapeo conforme es que para que $f \left(z\right)$ sea conforme se tiene que cumplir que

\[ f\prime\left(z\right)\neq0 \]

Cuando no se cumple esto se dice que el mapeo no es conforme.

Primero derivaremos la función de la función


\(f\prime\left(z\right)= 2z\)


Igualando a cero para ver donde el mapeo no es conforme


\(f\prime\left(z\right)= 2z=0\)


Por lo que se observa que el mapeo no es conforme en \(z= 0\) por lo que el enunciado es falso, dado que es conforme en \(z=\pm i \).

--Jose Emmanuel Flores Calderón (discusión) 19:34 10 jul 2015 (CDT)


Aportación

Deducción de las razones cruzadas y transformaciones fraccionales (distinta al libro) lineales.

Transformación fraccional lineal

$w=T(z)=\frac{az+b}{cz+d}$ con $ad-bc\neq0$ y $a,b,c\;y\;d$ constantes complejas

hallaremos una transformación fraccional lineal la cual aplica a los puntos $z_{1},z_{2},z_{3}$ del plano $z$ en los puntos $w_{1},w_{2},w_{3}$del plano $w$ respectivamente

si $w_{k}$ corresponde a $z_{k}$, $k=1,2,3,$ tenemos

$w-w_{k}=\frac{az+b}{cz+d}-\frac{az_{k}+b}{cz_{k}+d}=\frac{(az+b)(cz_{k}+d)-(az_{k}+b)(cz+d)}{(cz+d)(cz_{k}+d)}=\frac{azcz_{k}+azd+bcz_{k}+bd-az_{k}cz-az_{k}d-czb-bd}{(cz+d)(cz_{k}+d)}=\frac{azd+bcz_{k}-az_{k}d-czb}{(cz+d)(cz_{k}+d)}=\frac{azd-az_{k}d+bcz_{k}-czb}{(cz+d)(cz_{k}+d)}=\frac{ad(z-z_{k})+bc(z_{k}-z)}{(cz+d)(cz_{k}+d)}=\frac{ad(z-z_{k})-bc(z-z_{k})}{(cz+d)(cz_{k}+d)}=\frac{(ad-bc)(z-z_{k})}{(cz+d)(cz_{k}+d)}$

de esto deducimos

$w-w_{1}=\frac{(ad-bc)(z-z_{1})}{(cz+d)(cz_{1}+d)}...(1)$, $w-w_{3}=\frac{(ad-bc)(z-z_{3})}{(cz+d)(cz_{3}+d)}...(2)$

$w_{2}-w_{1}=\frac{(ad-bc)(z_{2}-z_{1})}{(cz_{2}+d)(cz_{1}+d)}...(3)$, $w_{2}-w_{3}=\frac{(ad-bc)(z_{2}-z_{3})}{(cz_{2}+d)(cz_{3}+d)}...(4)$

multiplicando 1 y 4, 2 y 3, y dividiéndolos respectivamente, suponiendo que $ad-bc\neq0$

$\frac{(w-w_{1})(w_{2}-w_{3})}{(w_{2}-w_{1})(w-w_{3})}=\frac{\frac{(ad-bc)(z-z_{1})}{(cz+d)(cz_{1}+d)}\frac{(ad-bc)(z_{2}-z_{3})}{(cz_{2}+d)(cz_{3}+d)}}{\frac{(ad-bc)(z_{2}-z_{1})}{(cz_{2}+d)(cz_{1}+d)}\frac{(ad-bc)(z-z_{3})}{(cz+d)(cz_{3}+d)}}=\frac{(ad-bc)(z-z_{1})(ad-bc)(z_{2}-z_{3})(cz_{2}+d)(cz_{1}+d)(cz+d)(cz_{3}+d)}{(cz+d)(cz_{1}+d)(cz_{2}+d)(cz_{3}+d)(ad-bc)(z_{2}-z_{1})(ad-bc)(z-z_{3})}=\frac{(z-z_{1})(z_{2}-z_{3})}{(z-z_{3})(z_{2}-z_{1})}$

$\frac{(z-z_{1})}{(z-z_{3})}\frac{(z_{2}-z_{3})}{(z_{2}-z_{1})}=\frac{(w-w_{1})}{(w-w_{3})}\frac{(w_{2}-w_{3})}{(w_{2}-w_{1})}\;\forall z$ como se quería.

--Francisco Medina Albino (discusión) 19:16 10 jul 2015 (CDT)