Compleja:Zill-Cap1.6

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Ejercicios del capítulo 1 Números complejos y el plano complejo, sección 6 "Aplicaciones" del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.




Sección 1.6

Ejercicio 1

1.Resuelve la ecuación cuadrática dada usando la fórmula general

$z^{2}+iz-2=0$

Procedimiento

Usando la fórmula general se tiene que:

$a=1$

$b=i$

$c=-2$

Entonces :

$z=\frac{-i\pm\sqrt{i^{2}-4(1)(-2)}}{2(1)}=\frac{-i\pm\sqrt{7}}{2}$

$z_{1}=\frac{\sqrt{7}}{2}-\frac{i}{2}$

$z_{2}=-\frac{\sqrt{7}}{2}-\frac{i}{2}$

Son soluciones de z.


Ahora, factorizando de la forma $az^{2}+bz+c=a(z-z_{1})(z-z_{2})$

Queda como:


\[ [(z-(\frac{-i}{2}+\frac{\sqrt{7}}{2}))(z-(\frac{-i}{2}-\frac{\sqrt{7}}{2})] \]

Solución

Por lo que factorizando de la forma $az^{2}+bz+c=a(z-z_{1})(z-z_{2})$ se tiene que:


$z^{2}+iz-2=(z+\frac{\sqrt{7}}{2}+\frac{i}{2})(z-\frac{\sqrt{7}}{2}+\frac{i}{2})=0$


Elaborado por: --Francisco Medina Albino (discusión) 19:43 14 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 2

Resuelva la ecuación cuadrática dada usando la fórmula general.

$iz^{2}-z+i=0$

Reconocemos primero $a=i;b=-1;c=i$

Entonces por la fórmula general obtenemos

$z=\frac{-b+(b^{2}-4ac)^{\frac{1}{2}}}{2a}$

Se tiene que:

$z=\frac{1+(1-4 i i)}^{\frac{1}{2}}{2i}$

\[ =(\frac{i\pm\sqrt{5}}{2i})(\frac{-2i}{-2i})=\frac{2\pm i2\sqrt{5}}{4}=\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{5}}{2} \]


Por lo tanto las raíces son.

$z_{1}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{5}}{2}$

$z_{2}=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{5}}{2}$

Ahora, teniendo las raíces podemos factorizar la ecuación de la forma $az^{2}+bz+c=a(z-z_{1})(z-z_{2})$

Por lo tanto la factorización queda como:

\[ (z-(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{5}}{2}))(z-(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{5}}{2})) \]


--A. Martín R. Rabelo (discusión) 15:05 15 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 3

Ejercicio 3

$z^{2}-\left(1+i\right)z+6-17i=0$...ec (1)

$z=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ ...ec (2)

Utilizando la ecuación 2 se obtiene:

$z=\frac{\left(1+i\right)+\sqrt{2i+4(17i)}}{2}=\frac{\left(1+i\right)+\sqrt{70i}}{2}=\frac{\left(1+i+\sqrt{70i}\right)}{2}$

Para calcular: $\left(70i\right)^{\frac{1}{2}}$

Utilizando la fórmula:

$w{}_{k}=\sqrt[n]{r}\left[\cos\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)\right]$

Por lo que $r=\sqrt{70}$, $\theta=\frac{\pi}{2}$ y $n=2$,$k=0$,$k=1$

Encontramos que:

$w{}_{0}=\sqrt{70}\left[\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right]$=$\sqrt{70}\left[\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}}\right]$=$\sqrt{35}+i\sqrt{35}$

$w{}_{1}=\sqrt{70}\left[\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)\right]$=$\sqrt{70}\left[-\frac{1}{\sqrt{2}}-i\frac{1}{\sqrt{2}}\right]=-\sqrt{35}-i\sqrt{35}$

Por lo que las raíces de la ecuación 1 serán:

$z_{1}=\frac{\left(1+i-\sqrt{35}-i\sqrt{35}\right)}{2}$

$z_{2}=\frac{\left(1+i+\sqrt{35}+i\sqrt{35}\right)}{2}$

Resuelto por:

Alejandro Juárez Toribio (discusión) 23:35 19 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 11

Exprese $\left(3-i\right)^{2}$ en la forma exponencial $z=re{}^{i\theta}$. Dado que usar cualquiera de las formas es equivalente conviene escribir $3-i$ en la forma exponencial para luego elevarla al cuadrado: \[ 3-i=|3-i|e{}^{i Arg\left(3-i\right)} \] Donde: \[ |3-i|=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}, \quad Arg\left(3-i\right)=-\arctan\left(\frac{1}{3}\right) \] Por lo tanto: \[ 3-i=\sqrt{10}e{}^{-i \arctan\left(\frac{1}{3}\right)} \] Y: \[ \left(3-i\right)^{2}=\sqrt{10}^{2}e{}^{-2\,i\,\arctan\left(\frac{1}{3}\right)}=10e{}^{-2\,i\,\arctan\left(\frac{1}{3}\right)}\sim 10 e{}^{-0.6435i} \] --Tlacaelel Cruz (discusión) 20:55 19 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 15

In Problems 13\textendash 16, find solutions of the given homogeneous differential equation.

traduccion

En los problemas 13-16 , encontrar soluciones de la ecuación diferencial homogénea dado.

ejercicio 15

\[ 15.y"+y\text{\textasciiacute}+y=0 \]


el polinomio caracteristico que lecorresponde es:

\[ m^{2}+m+1=0 \]


Con la fórmula general obtenemos las raices

\[ m=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \]


donde a=1 b=1 c=1

\[ m_{1}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \]


\[ m_{1}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \]


tenemos dos raices complejas y conjugadas de la forma

\[ z=a+-bi \]


cuando tenemos raices de esta forma se propone una solucion a la ecuacion diferncial de la forma

\[ y(t)=e^{at}(c1cos\left(bt\right)\text{\textpm}c2sin\left(bt\right)) \]


quedando nuestra solucion de la manera siguiente

\[ y(t)=e^{-\frac{1}{2}t}(c1cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)+-c2sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)) \]

--Martin Flores Molina (discusión) 16:55 15 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 13

Resolver la ecuación diferencial:

$y-4y'+13y=0$


El polinomio característico de la ecuación diferencial es:


$m^2-4m+13=0$


Con la fórmula general obtenemos las raices


$m = \dfrac{4\pm \sqrt{4^2-4(1)(13)}}{2}=\dfrac{4\pm \sqrt{16-52}}{2}=\dfrac{4\pm \sqrt{-36}}{2}$


$m=\dfrac{4\pm 6i}{2}=2\pm 3i$


Por lo que los coeficientes $\alpha$ y $\beta$ son:

$\alpha=2$, $\beta=3$

La solución general de la ecuación diferencial es:

$y(t)=e^{2t}(c_1\cos 3t + c_2\sin 3t)$

Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 15:21 15 mayo 2015 (CDT)


ejercicio 21

Resolver y encontrar las raices por el metodo de la formula general

$4z^{2}+12z+34=0$ , $z_{1}=-\frac{3}{2}+\frac{5}{2}i$

sabemos que $z=\frac{b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

donde $a=4$ , $b=12$ y $c=24$

sustituyendo tenemos que $z=\frac{-12\pm\sqrt{-400}}{8}=\frac{-3\pm5i}{2}$

Lo cual cumples la solución antes dicha Resuleto por Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 22:50 19 mayo 2015 (CDT)