Compleja:Zill-Cap1.3
Ejercicios del capítulo 1, sección 3 del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.
Sección 1.3
Ejercicio 1
Escribir el número complejo dado en forma polar utilizando primero una argumento $\theta\neq Arg(z)$ and then using $\theta=Arg(z)$
$2$
Reescribo mi número complejo como $\left(a+bi\right)$, entonces: $z=2=\left(2+0i\right)$
Para expresar un numero complejo en su forma polar es necesario conocer $r=|z|$ y el angulo $\theta$
Para determinar $r$ y $\theta$ solo hay que usar $r=|z|$ y que $tan(\theta)=\frac{b}{a}$
Entonces
$r=|z|=|2+0i|=\sqrt{4}= 2$
y
$tan (\theta) = \frac{0}{2}=0$
$\theta=arctan[0]=0$
$\theta=0$
y luego
$z=r\left[\cos\left(\theta\right)+i\sin\left(\theta\right)\right]$
por lo tanto
$z=2\left[\cos\left(0\right)+i\sin\left(0\right)\right] $
--Emmanuell Castro Flores (discusión) 23:24 15 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 2
$z=-6$
El número ya esta dado de la forma $a+ib$
Para determinar $r$ y $\theta$ ocupamos $r=|z|$ y $tan(\theta)=\frac{b}{a}$
Por lo que:
$r=|z|=|-6|= 6$
Ahora calculamos el ángulo
$tan(\theta)=\frac{0}{-6}=$
$\theta=arctan[0]=0$
El ángulo $(\theta)$ tiene que estar en el intervalo $-\pi<arg(z)<\pi$ para que sea el argumento de $z$, como el ángulo que se obtuvo esta en este rango, $\theta$ es el argumento de $z$.
Nancy Martínez Durán (discusión) 16:40 15 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 3
In Problems 1\textendash 10, write the given complex number in polar form first using an argument \textgreek{j} = Arg(z) and then using \textgreek{j} = Arg(z).
traduccion
En los problemas 1-10 , escribir el número complejo dado en forma polar utilizando primero una argumento \textgreek{j} = Arg ( z) y luego utilizando \textgreek{j} = Arg ( z) .
\[ 3.z=3i \]
la forma polar de un numero complejo es una forma de representar a un numero
\[ z=a+bi \]
pero en terminos de su distancia al origen y el angulo que genera
respecto al eje real positivo de la siguiente forma
\[ z==|z|\theta \]
para obtener la distancia al origen o modulo del numero se tiene que
\[ |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \]
por tanto el modulo del numero dado en el ejercicio sera:
\[ |z|=\sqrt{0^{2}+\left(-3\right)^{2}}=3 \]
para obtener an angulo generado respecto a el eje real positivo se
tiene que
\[ \theta=tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) \]
por tanto el angolo del numero dado en el ejercicio sera:
\[ \theta=tan^{-1}\left(\frac{-3}{0}\right)=\frac{3pi}{2} \]
Entonces sustituyendo los valores el numero complejo en su forma polar
es:
\[ z==|3|_{\frac{3pi}{2}} \]
Martin Flores Molina (discusión) 10:29 15 mayo 2015 (CDT)
Hay una indeterminación y además esta igualado a un numero:
$(\frac{-3}{0}\right)=\frac{3pi}{2})$
Nancy Martínez Durán (discusión) 19:55 15 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 4
write the given complex number in polar form first using an argument $\theta\neq Arg(z)$ and then using $\theta=Arg(z)$
$6i$
sabemos que $|z|=r$ , donde r es el radio
$|z|=\sqrt{0^{2}+6^{2}}=\sqrt{36}$
$|z|=6=r$
ahora calculamos el ángulo donde $y=6$ y $x=0$ , pensándolo de una forma gráfica es mas fácil calcular el ángulo con la función Seno, ya que no contamos con una X para calcularlo con un la función Tangente.
$\sin\theta=\frac{y}{r}=\frac{6}{6}=1$
$\arcsin\left(1\right)=\frac{\pi}{2}$
$\theta=\frac{\pi}{2}$
por lo tanto
$z=6\left[\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right]$ y $z=6\left[\cos\left(\frac{5\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{5\pi}{2}\right)\right]$
--Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 17:15 15 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 5
Escribe el numero complejo en su forma polar
$z=1+i$
Para expresar un numero complejo en su forma polar es necesario conocer $r=|z|$ y el angulo $\theta$
Para tener la forma $z=|z|[cos(arg(z)+2{\pi}k)+isin(arg(z)+2{\pi}k)]$
Primero se obtiene los términos que necesitamos como el modulo
$|z|=\sqrt{(z)(z*)}=\sqrt{2}$
Ahora obtendremos el angulo
$\theta=arctan[\frac{y}{x}]=arctan[1]=\frac{\pi}{4}$
Para conocer si $(\theta)$ es el argumento de $z$ o $arg(z)$ debe de satisfacer el intervalo $-\pi<arg(z)<\pi$, como el angulo que obtuvimos se encuentra en el intervalo entonces $\theta$ es el argumento de $z$
Entonces sustituyendo los valores el numero complejo en su forma polar es:
$z=\sqrt{2}[cos(\frac{\pi}{4}+2(\pi)k)+sin(\frac{\pi}{4}+2(\pi)k)]$
El valor de $k$ es arbitrario
Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 10:29 15 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 6
Write the given complex number in polar form first using an argument $\theta\neq Arg\left(z\right)$ and then using $\theta=Arg\left(z\right)$.
6. $5-5i$
Notamos que ya esta de la forma $a+ib$
Para obtener $r$ y $\theta$ sabemos que $r=|z|$ y que $tan(\theta)=\frac{b}{a}$
Entonces
$r=|z|=|5-5i|=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$
Y
$tan(\theta)=\frac{-5}{5}=-1$
Entonces $\theta=arctan[-1]=-\frac{\pi}{4}$
Primero
$\theta_{1}=-\frac{\pi}{4}+4\pi=\frac{15\pi}{4}$
Por ello $z_{1}=5\sqrt{2}[cos(\frac{15\pi}{4})+sin(\frac{15\pi}{4})]$
Para $\theta=-\frac{\pi}{4}$
$z=5\sqrt{2}[cos(\frac{-\pi}{4})+sin(\frac{-\pi}{4})]$
--Fernando Vazquez V. (discusión) 02:28 15 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 7
$z=-\sqrt{3}+i$
El número ya esta dado de la forma $a+ib$
Para determinar $r$ y $\theta$ ocupamos $r=|z|$ y $tan(\theta)=\frac{b}{a}$
Por lo que:
$r=|z|=|-\sqrt{3}+i|=\sqrt{3+1}=2$
Ahora calculamos el ángulo
$tan(\theta)=\frac{1}-\sqrt{3}=$
$\theta=arctan[-\frac{1}\sqrt{3}]=-\frac{\pi}{6}$
El ángulo $(\theta)$ tiene que estar en el intervalo $-\pi<arg(z)<\pi$ para que sea el argumento de $z$, como el ángulo que se obtuvo esta en este rango, $\theta$ es el argumento de $z$.
Entonces sustituimos los valores anteriores( el angulo y r)
$z={2}[cos(-\frac{\pi}{6}+2(\pi)k)+sin(-\frac{\pi}{6}+2(\pi)k)]$
$k$ es un valor arbitrario
Nancy Martínez Durán (discusión) 16:16 15 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 7
Escribe el numero complejo dado en forma polar usando los argumentos $\theta\neq Arg\left(z\right)$y después usando $\theta=Arg\left(z\right)$
$-\sqrt{3}+i$
Para calcular $r$ y $\theta$ consideramos que $x=-\sqrt{3}$ y $y=1$, donde las operaciones a realizar serian
$r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(-\sqrt{3})^2+(1)^2}=\sqrt{4}=2$
y para
$\theta=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)=\arctan\left(\frac{1}{-\sqrt{3}}\right)=-\frac{\pi}{6}$
Si $x<0$ entonces $\theta=\pi+\arctan\left(\frac{y}{x}\right)=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}=\arg\left(z\right)$
La forma polar del numero seria
$z=2\left[\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\right]$
Ahora si consideramos a $\theta=-\pi-\frac{\pi}{6}=-\frac{7\pi}{6}$
$z=2\left[\cos\left(-\frac{7\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right)\right]$
Miguel Medina Armendariz (discusión) 15:32 15 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 8
Escribir el número complejo en su forma polar usando $\Theta=arg\left(z\right)$ , $\theta\neq arg\left(z\right)$
$z=-2-2\sqrt{3}i$
Tenemos que
$x=-2$ , $y=-2\sqrt{3}i$
$r=\left|z\right|=\sqrt{\left(-2\right)^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)^{2}}=4$
Ahora calculamos
$arctan\frac{y}{x}=\theta$
$\theta=arctan\frac{-2\sqrt{3}}{-2}=\frac{\pi}{3}$
ahora tenemos
$\theta_{1}=arg\left(z\right)+2\pi=\frac{\pi}{3}+2\pi=\frac{8\pi}{3}$
Finalmente
$z=4\left[cos\frac{\pi}{3}+isen\frac{\pi}{3}\right]$
$z_{1}=4\left[cos\frac{\pi}{3}+isen\frac{\pi}{3}\right]$
Resuelto por Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 18:07 15 mayo 2015 (CDT)
Nota adicional:
Dado que $-\pi<\dfrac{\pi}{3}<\pi$ se cumple que $\dfrac{\pi}{3}=Arg(z)$. Un ángulo $\theta \neq Arg(z)$ sería:
$arg(z)=Arg(z)+2k\pi$ con $k=1, 2,...$. Si $k=1$:
$z_{2}=4[cos\frac{7\pi}{3}+isen\frac{7\pi}{3}]$
Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 21:51 15 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 10
En los problemas 1-10, escriba el número complejo dado, en forma polar
- primero usando un argumento $\theta\neq Arg\left(z\right)$y después usando $\theta=Arg\left(z\right)$
10.- $\left(\frac{12}{\sqrt{3}+i}\right)$
. Primero reescribimos la expresión dada, utilizando el conjuado de $z$:
$\left(\frac{12}{\sqrt{3}+i}\right)$.$\left(\frac{\sqrt{3}-i}{\sqrt{3}-i}\right)=\left(\frac{12\sqrt{3}-i}{3-i\sqrt{3}+i\sqrt{3}+1}\right)=\left(\frac{12\sqrt{3}-i12}{4}\right)=3\sqrt{3}-i3$
.
Como $x=3\sqrt{3}$, $y=-3$
Podemos obtener:
.
$r=\left|z\right|=\sqrt{\left(3\sqrt{3}\right)^{2}+\left(-3\right)^{2}}=\sqrt{27+9}=6$
Así:
$r=6$
Ahora podemos calcular:
$\frac{y}{x}=\frac{-3}{3\sqrt{3}}=\tan\left(\theta\right)$, $\theta=\arctan\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{\pi}{6}$
Pero este valor corresponde a:
$\arg\left(z\right)=-\frac{\pi}{6}$
Para obtener un $\theta_{1}\neq\arg\left(z\right)$calculamos:
$\theta_{1}=\arg\left(z\right)+2\pi=-\frac{\pi}{6}+2\pi=\frac{11}{6}\pi$
Finalmente la expresión buscada es:
$z=6\left[\cos\left(\frac{11}{6}\pi\right)i\sin\left(\frac{11}{6}\pi\right)\right]$
Luego utilizando el argumento principal:
$z=6\left[\cos\left(-\frac{1}{6}\pi\right)i\sin\left(-\frac{1}{6}\pi\right)\right]$
Resuelto por:
--Alejandro Juárez Toribio (discusión) 16:02 14 mayo 2015 (CDT)
Ejercicios 13 y 14
In Problems 13 and 14, write the complex number whose polar coordinates $(r,\theta)$ are given in the form $a + ib$.
13.- $(4,\frac{-5\pi}{3})$
14.- $(2,2)$
Solución:
Dados $(r,\theta)$ se pueden determinar las coordenadas rectangulares como:
\begin{equation} x=rcos\theta \end{equation}
\begin{equation} y=rsin\theta \end{equation}
Dados $(x,y)$ se pueden encontrar el modulo y argumento como:
\begin{equation} r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \end{equation}
\begin{equation} \theta=\acute{a}ngtng\left(\frac{y}{x}\right) \end{equation}
13.
$(4,\frac{-5\pi}{3})$
$x=4cos(\frac{\pi}{3})=2$
$y=4sin(\frac{\pi}{3})=2\sqrt{2}$
Por lo tanto:
$(4,\frac{-5\pi}{3})=(2,2\sqrt{2})$
14.
$(2,2)$
$r=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{2(4)}=2\sqrt{2}$
$\theta=\acute{a}ngtng\left(\frac{2}{2}\right)=\frac{\pi}{4}$
Por lo tanto: $(2,2)=(2\sqrt{2},\frac{\pi}{4})$
Ejercicio resuelto por: --Luis Santos (discusión) 15:29 12 mayo 2015 (CDT)
Ejercicios 15 y 16
Escriba el número complejo cuya forma polar esta dada,en la forma $a + ib$ . Usa una calculadora si es necesario.
Problema 15
Para solucionar este problema basta con identificar la forma polar de este numero, esto es $z$ esta de la forma $z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$ y de donde fácilmente podemos distinguir r y $\theta$ y pasar ala forma $a + ib$ donde;
Así haciendo los respectivos cálculos tenemos;
así ya podemos expresar el numero complejo de la forma polar en la forma $a+bi$ de la siguiente manera:
Problema 16
este problema es analogo con el problema 15 asi podemos de deducir de manera inmediata que;
asi haciendo los respectivos calculos tendremos;
así ya podemos expresar el numero complejo de la forma polar en la forma $a+bi$ de la siguiente manera:
ejercicios elaborados por --Cristian Alfredo Ruiz Castro (discusión) 19:51 15 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 17 y 18
Encontrar $z$ de la forma $a+bi$ para cada número complejo expresado de la forma polar 17.- $$z=6(\cos({\frac{\pi}{8}})+\sin({\frac{\pi}{8}}))$$ $$a=6\cos({\frac{\pi}{8}})$$ $$b=6\sin({\frac{\pi}{8}})$$ $$a=5.54$$ $$b=2.29$$ $$z=5.54+2.29i$$
18.- $$z=4(\cos({\frac{3\pi}{8}})+\sin({\frac{3\pi}{8}}))$$ $$a=4\cos({\frac{3\pi}{8}})$$ $$b=4\sin({\frac{3\pi}{8}})$$ $$a=2.29$$ $$b=5.54$$ $$z=2.29+5.54i$$ --Manuel Alejandro Chavarría Silva (discusión) 23:28 15 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 19.
Usar $z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}[cos(\theta_{1}+\theta_{2})+isen(\theta_{1}+\theta_{2})]$ y $\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}[cos(\theta_{1}-\theta_{2})+isen(\theta_{1}-\theta_{2})]$ para encontrar $z_{1}z_{2}$ y $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ . Escribir el número en la forma $a+bi$ .
\[ z_{1}=2[cos(\frac{\pi}{4})+isen(\frac{\pi}{8})] \]
\[
z_{2}=2[cos(\frac{3\pi}{8})+isen(\frac{3\pi}{8})]
\]
Entonces:
\[ z_{1}z_{2}=(2)(4)[cos(\frac{\pi}{4}+\frac{3\pi}{8})+isen(\frac{\pi}{8}+\frac{3\pi}{8})] \]
Rsolviendo:
\[ z_{1}z_{2}=8[cos(\frac{5\pi}{8})+isen(\frac{\pi}{2})] \]
Y finalmente, expresando de la forma $a+bi$ tenemos:
$a=8cos(\frac{5\pi}{8})=-.38$
$b=8sen(\frac{\pi}{2})=8$
$z=-.38+8i$
Ahora:
\[ \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{2}{4}[cos(\frac{\pi}{4}-\frac{3\pi}{8})+isen(\frac{\pi}{8}-\frac{3\pi}{8})] \]
\[
\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{1}{2}[cos(-\frac{\pi}{8})+isen(-\frac{\pi}{4})]
\]
Y finalmente, expresando de la forma $a+bi$ tenemos:
$a=\frac{1}{2}cos(-\frac{\pi}{8})=.4615$
$b=\frac{1}{2}sen(-\frac{\pi}{4})=-\frac{1}{2\sqrt{2}}$
$z=.4615-\frac{1}{2\sqrt{2}}i$
Resuelto por --A. Martín R. Rabelo (discusión) 23:47 12 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 20
Use (6) and (7) to find $z_{1}z_{2}$ and $\dfrac{z_1}{z_2}$. Write the number in the form $a + ib$ $z_1 = \sqrt{2}[\cos(\dfrac{\pi}{4}) + i\sin(\dfrac{\pi}{4})]$, $z_2 = \sqrt{3}[ \cos (\dfrac{\pi}{12}) + i\sin (\dfrac{\pi}{12})]$
Solución:
(6): $ z_{1} z_{2}$ = $r_{1} r_{2}[\cos(\theta_{1} + \theta_{2})+ i\sin(\theta_{1} + \theta_{2})]$
(7): $\dfrac{z_1}{z_2}$ = $\dfrac{r_{1}}{r_{2}} [\cos(\theta_{1} - \theta_{2}) + i\sin(\theta_{1} - \theta_{2})]$
Usando (6) para $z_1 z_2$, tenemos,
$z_{1} z_{2}$ = $\sqrt{2} \sqrt{3} [\cos(\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{12}) + i\sin (\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{12})]$
= $\sqrt{6} [\cos (\dfrac{\pi}{3}) + i\sin (\dfrac{\pi}{3})]$
Como lo queremos en la forma $ a + ib$, entonces calculamos el valor de a y de b, como sigue,
a = $\sqrt{6} \cos (\dfrac{\pi}{3})$ = $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
b = $\sqrt{6} \sin (\dfrac{\pi}{3})$ = $\sqrt{6} \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ = $\dfrac{\sqrt{18}}{2}$ = $\sqrt{\dfrac{9}{2}}$
Por lo tanto,
$z_{1} z_{2}$ = $\dfrac{\sqrt{6}}{2} + i\sqrt{\dfrac{9}{2}}$.
Ahora usamos (7) para hallar $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$, entonces,
$\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$ = $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} [\cos (\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{12}) + i\sin (\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{12})]$
= $\sqrt{\dfrac{2}{3}} [\cos (\dfrac{\pi}{6}) + i\sin (\dfrac{\pi}{6})]$
Nuevamente determinamos los valores de a y b.
a = $\sqrt{\dfrac{2}{3}} \cos (\dfrac{\pi}{6})$ = $\sqrt{\dfrac{2}{3}} \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ = $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
b = $\sqrt{\dfrac{2}{3}} \sin (\dfrac{\pi}{6})$ =$\sqrt{\dfrac{2}{3}} \dfrac{1}{2}$ = $\dfrac{1}{\sqrt{6}}$
Por lo tanto,
$\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$ = $\dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{6}}i$.
--Arnold B. Herrera Rubert (discusión) 22:14 15 mayo 2015 (CDT)
En los problemas 25 a 30 emplea la siguiente ecuación para calcular las potencias indicadas.
Ejercicio 25
Calcular Empleando la fórmula propuesta
Calculando primero
Por lo que sustituyendo en la expresión de Moivre´s :
Por lo anterior:
--Pablo (discusión) 09:54 15 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 29
Solución: Empleamos la formula propuesta y vamos simplificando.
--Anahi Limas (discusión) 23:08 14 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 30
Calcule la siguiente potencia .
Solución
Usando la fórmula de Moive se tiene
Simplificando términos se obtiene
Elaborado --Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 21:21 15 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 31
In Problems 31 and 32, write the given complex number in polar form and in then in the form a + ib.
31. $(\cos(\frac{\pi}{4})+i\sin(\frac{\pi}{4}))^{12}\left[2(\cos(\frac{\pi}{6})+i\sin(\frac{\pi}{6}))\right]$
Considerando la formula de Moivre ; Si $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ entonces $z^{n}=r^{n}(\cos n\theta+i\sin n\theta)$
Por lo tanto la ecuacion quedaria escrita de la siguiente manera
\[ (\cos\frac{12\pi}{9}+i\sin\frac{12\pi}{9})\left[32(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6})\right] \]
Simplificando
\[ 36(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3})(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}) \]
Como sabemos, multiplicar complejos es sumar sus angulos y multiplicar
sus normas, asi tenemos lo siguiente
\[ 36(\cos\frac{13\pi}{6}+i\sin\frac{13\pi}{6}) \]
considerando a $a=32\cos\frac{13\pi}{6}$ y a $b=32\sin\frac{13\pi}{6}$,
tenemos el numero complejo $z=27.71+i16$
Jose Emmanuel Flores Calderón (discusión) 01:00 15 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 32
Resolver para $\dfrac{[8(\cos \frac{3\pi}{8}+i\sin \frac{3\pi}{8})]^3}{[2(\cos \frac{\pi}{16}+i\sin \frac{\pi}{16})]^{10}}$
Decimos que $z_1=8(\cos \frac{3\pi}{8}+i\sin \frac{3\pi}{8})$ y $z_2=2(\cos \frac{\pi}{16}+i\sin \frac{\pi}{16})$.
Se tiene que la fórmula para elevar un número complejo $z$ a su n-ésima potencia es:
$z^n=r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$
así:
$z_1^3=8^3(\cos 3\frac{3\pi}{8}+i\sin 3\frac{3\pi}{8})=512(\cos \frac{9\pi}{8}+i\sin \frac{9\pi}{8})$
$z_2^{10}=2^{10}(\cos 10\frac{\pi}{16}+i\sin 10\frac{\pi}{16})=1,024(\cos \frac{5\pi}{8}+i\sin \frac{5\pi}{8})$
Dividiendo cantidades:
$\dfrac{z_1^3}{z_2^{10}}=\dfrac{512(\cos \frac{9\pi}{8}+i\sin \frac{9\pi}{8})}{1,024(\cos \frac{5\pi}{8}+i\sin \frac{5\pi}{8})}=\dfrac{(\cos \frac{9\pi}{8}+i\sin \frac{9\pi}{8})}{2(\cos \frac{5\pi}{8}+i\sin \frac{5\pi}{8})}$
Multiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador:
$\dfrac{z_1^3}{z_2^{10}}=\dfrac{(\cos \frac{9\pi}{8}+i\sin \frac{9\pi}{8})}{2(\cos \frac{5\pi}{8}+i\sin \frac{5\pi}{8})}\dfrac{2(\cos \frac{5\pi}{8}-i\sin \frac{5\pi}{8})}{2(\cos \frac{5\pi}{8}-i\sin \frac{5\pi}{8})}$
Resolviendo primero la parte superior de la división:
$2(\cos \frac{9\pi}{8}+i\sin \frac{9\pi}{8})(\cos \frac{5\pi}{8}-i\sin \frac{5\pi}{8})=2(\cos \frac{9\pi}{8}\cos \frac{5\pi}{8}-i\cos \frac{9\pi}{8}\sin \frac{5\pi}{8}+i\cos \frac{5\pi}{8}\sin \frac{9\pi}{8}+\sin \frac{9\pi}{8}\sin \frac{5\pi}{8})$
Agrupamos las partes real e imaginaria:
$2[(\cos \frac{9\pi}{8}\cos \frac{5\pi}{8}+\sin \frac{9\pi}{8}\sin \frac{5\pi}{8})+i(\cos \frac{5\pi}{8}\sin \frac{9\pi}{8}-\cos \frac{9\pi}{8}\sin \frac{5\pi}{8})]$
Con las identidades trigonométricas $\sin (a-b)=\sin a \cos b - \sin b \cos a$ y $\cos (a-b)=\cos a \cos b +\sin a \sin b$
$2[\cos (\frac{9\pi}{8}-\frac{5\pi}{8})+i\sin (\frac{9\pi}{8}-\frac{5\pi}{8})]=2(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2})=2i$
Por otro lado, para la parte inferior de la división:
$4(\cos \frac{5\pi}{8}+i\sin \frac{5\pi}{8})(\cos \frac{5\pi}{8}-i\sin \frac{5\pi}{8})=4(\cos^2 \frac{5\pi}{8} + \sin^2 \frac{5\pi}{8})=4$
Sustituyendo ambas cantidades:
$\dfrac{z_1^3}{z_2^{10}}=\dfrac{2i}{4}=\dfrac{1}{2}i$
Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 19:09 13 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 33
Use la fórmula de Moivre con n=2, encuentre la sidentidades trigonométricas para $\cos\left(2\theta\right)$ y $\sin\left(2\theta\right)$
Definimos:
Entonces $z^{2}$ puede ser escrito como:
Igualando parte real con parte real e imaginaria con imaginaria se obtienen:
--Tlacaelel Cruz (discusión) 21:47 12 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 36
Encontrar un número entero positivo n para el cual la igualdad se cumple en .
Solución
Con y con la fórmula de Moivre sí
entonces
Por lo que
Proponemos el argumento para el producto de Error al representar (función desconocida «\cdotp»): n\cdotp\theta=2\pi...(1) ; despejando y sustituyendo se tiene que
por lo tanto
Elaborado por --Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 22:12 15 mayo 2015 (CDT)
Problema 37
For the complex numbers $z_{1}= -1 and z_{2}= 5 i$ verify that:
\[ (a) Arg (z_{1}z_{2})\neq Arg (z_{1}) + Arg(z_{2})\] \[ (b) Arg(z_{1}/z_{2})\neq Arg(z_{1}) - Arg (z_{2})\]
Dibujamos los números plano complejo para encontrar el argumento \[ Arg(z_{1}) = \dfrac{3}{2} \pi \] \[ Arg (z_{2}) = \pi \]
(a) \[ Arg (z_{1}z_{2})=Arg (\dfrac{3}{2} \pi)(\pi)= 14.80\]
\[ ({3}{2} \pi) + (\pi)= 7.80\] \[ 14.80 \neq 7.80\]
(b) \[
\dfrac{{3}{2} \pi}{\pi} = \dfrac{3}{2}\]
\[ \dfrac{3}{2} \pi - \pi= \dfrac{1}{2}\pi\] \[ \dfrac{3}{2} \neq \dfrac {1}{2}\]
--Esther Sarai (discusión) 00:34 15 mayo 2015 (CDT) Esther Sarai