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Compleja:Zill-Cap1.3 - Historial de revisiones
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Ivan de Jesús Pompa García: Página creada con «Category:Compleja Ejercicios del capítulo 1, sección 3 del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan. ---- == Sección 1.3 == ...»
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<br />
Ejercicios del capítulo 1, sección 3 del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.<br />
<br />
----<br />
<br />
== Sección 1.3 ==<br />
<br />
=== Ejercicio 1 ===<br />
<br />
Escribir el número complejo dado en forma polar utilizando primero una argumento $\theta\neq Arg(z)$ and then using $\theta=Arg(z)$<br />
<br />
$2$<br />
<br />
Reescribo mi número complejo como $\left(a+bi\right)$, entonces: $z=2=\left(2+0i\right)$<br />
<br />
Para expresar un numero complejo en su forma polar es necesario conocer $r=|z|$ y el angulo $\theta$<br />
<br />
<br />
Para determinar $r$ y $\theta$ solo hay que usar $r=|z|$ y que $tan(\theta)=\frac{b}{a}$<br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
$r=|z|=|2+0i|=\sqrt{4}= 2$<br />
<br />
y<br />
<br />
$tan (\theta) = \frac{0}{2}=0$<br />
<br />
<br />
$\theta=arctan[0]=0$<br />
<br />
$\theta=0$<br />
<br />
y luego<br />
<br />
$z=r\left[\cos\left(\theta\right)+i\sin\left(\theta\right)\right]$ <br />
<br />
por lo tanto<br />
<br />
$z=2\left[\cos\left(0\right)+i\sin\left(0\right)\right] $ <br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Emmanuell Castro Flores|Emmanuell Castro Flores]] ([[Usuario discusión:Emmanuell Castro Flores|discusión]]) 23:24 15 mayo 2015 (CDT)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
=== Ejercicio 2=== <br />
$z=-6$<br />
<br />
El número ya esta dado de la forma $a+ib$<br />
<br />
Para determinar $r$ y $\theta$ ocupamos $r=|z|$ y $tan(\theta)=\frac{b}{a}$<br />
<br />
Por lo que:<br />
<br />
$r=|z|=|-6|= 6$<br />
<br />
Ahora calculamos el ángulo<br />
<br />
$tan(\theta)=\frac{0}{-6}=$<br />
<br />
$\theta=arctan[0]=0$<br />
<br />
El ángulo $(\theta)$ tiene que estar en el intervalo $-\pi<arg(z)<\pi$ para que sea el argumento de $z$, como el ángulo que se obtuvo esta en este rango, $\theta$ es el argumento de $z$.<br />
[[Usuario:Nancy Martínez Durán|Nancy Martínez Durán]] ([[Usuario discusión:Nancy Martínez Durán|discusión]]) 16:40 15 mayo 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
<br />
=== Ejercicio 3=== <br />
<br />
In Problems 1\textendash 10, write the given complex number in polar<br />
form first using an argument \textgreek{j} = Arg(z) and then using<br />
\textgreek{j} = Arg(z).<br />
<br />
traduccion<br />
<br />
En los problemas 1-10 , escribir el número complejo dado en forma<br />
polar utilizando primero una argumento \textgreek{j} = Arg ( z) y<br />
luego utilizando \textgreek{j} = Arg ( z) .<br />
<br />
\[<br />
3.z=3i<br />
\]<br />
<br />
la forma polar de un numero complejo es una forma de representar a<br />
un numero<br />
<br />
\[<br />
z=a+bi<br />
\]<br />
<br />
<br />
pero en terminos de su distancia al origen y el angulo que genera<br />
respecto al eje real positivo de la siguiente forma<br />
<br />
\[<br />
z==|z|\theta<br />
\]<br />
<br />
<br />
para obtener la distancia al origen o modulo del numero se tiene que<br />
<br />
\[<br />
|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
por tanto el modulo del numero dado en el ejercicio sera:<br />
<br />
\[<br />
|z|=\sqrt{0^{2}+\left(-3\right)^{2}}=3<br />
\]<br />
<br />
<br />
para obtener an angulo generado respecto a el eje real positivo se<br />
tiene que<br />
<br />
\[<br />
\theta=tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
por tanto el angolo del numero dado en el ejercicio sera:<br />
<br />
\[<br />
\theta=tan^{-1}\left(\frac{-3}{0}\right)=\frac{3pi}{2}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Entonces sustituyendo los valores el numero complejo en su forma polar<br />
es:<br />
<br />
\[<br />
z==|3|_{\frac{3pi}{2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Martin Flores Molina|Martin Flores Molina]] ([[Usuario discusión:Martin Flores Molina|discusión]]) 10:29 15 mayo 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
Hay una indeterminación y además esta igualado a un numero:<br />
<br />
$(\frac{-3}{0}\right)=\frac{3pi}{2})$<br />
<br />
[[Usuario:Nancy Martínez Durán|Nancy Martínez Durán]] ([[Usuario discusión:Nancy Martínez Durán|discusión]]) 19:55 15 mayo 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
=== Ejercicio 4===<br />
<br />
write the given complex number in polar form first using an argument<br />
$\theta\neq Arg(z)$ and then using $\theta=Arg(z)$<br />
<br />
$6i$<br />
<br />
sabemos que $|z|=r$ , donde r es el radio<br />
<br />
$|z|=\sqrt{0^{2}+6^{2}}=\sqrt{36}$<br />
<br />
$|z|=6=r$<br />
<br />
ahora calculamos el ángulo donde $y=6$ y $x=0$ , pensándolo de una<br />
forma gráfica es mas fácil calcular el ángulo con la función Seno,<br />
ya que no contamos con una X para calcularlo con un la función Tangente.<br />
<br />
$\sin\theta=\frac{y}{r}=\frac{6}{6}=1$<br />
<br />
$\arcsin\left(1\right)=\frac{\pi}{2}$<br />
<br />
$\theta=\frac{\pi}{2}$<br />
<br />
por lo tanto <br />
<br />
$z=6\left[\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right]$ y $z=6\left[\cos\left(\frac{5\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{5\pi}{2}\right)\right]$<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 17:15 15 mayo 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
<br />
=== Ejercicio 5 ===<br />
Escribe el numero complejo en su forma polar<br />
<br />
$z=1+i$<br />
<br />
Para expresar un numero complejo en su forma polar es necesario conocer $r=|z|$ y el angulo $\theta$<br />
<br />
Para tener la forma $z=|z|[cos(arg(z)+2{\pi}k)+isin(arg(z)+2{\pi}k)]$<br />
<br />
Primero se obtiene los términos que necesitamos como el modulo<br />
<br />
$|z|=\sqrt{(z)(z*)}=\sqrt{2}$<br />
<br />
Ahora obtendremos el angulo<br />
<br />
$\theta=arctan[\frac{y}{x}]=arctan[1]=\frac{\pi}{4}$<br />
<br />
Para conocer si $(\theta)$ es el argumento de $z$ o $arg(z)$ debe de satisfacer el intervalo $-\pi<arg(z)<\pi$, como el angulo que obtuvimos se encuentra en el intervalo entonces $\theta$ es el argumento de $z$<br />
<br />
Entonces sustituyendo los valores el numero complejo en su forma polar es:<br />
<br />
$z=\sqrt{2}[cos(\frac{\pi}{4}+2(\pi)k)+sin(\frac{\pi}{4}+2(\pi)k)]$<br />
<br />
El valor de $k$ es arbitrario <br />
<br />
[[Usuario:Angelina Nohemi Mendoza Tavera|Angelina Nohemi Mendoza Tavera]] ([[Usuario discusión:Angelina Nohemi Mendoza Tavera|discusión]]) 10:29 15 mayo 2015 (CDT)<br />
----<br />
=== Ejercicio 6 === <br />
<br />
'''Write the given complex number in polar form first using an argument<br />
$\theta\neq Arg\left(z\right)$ and then using $\theta=Arg\left(z\right)$.'''<br />
<br />
6. $5-5i$<br />
<br />
Notamos que ya esta de la forma $a+ib$<br />
<br />
Para obtener $r$ y $\theta$ sabemos que $r=|z|$ y que $tan(\theta)=\frac{b}{a}$<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
$r=|z|=|5-5i|=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$<br />
<br />
Y<br />
<br />
$tan(\theta)=\frac{-5}{5}=-1$<br />
<br />
Entonces $\theta=arctan[-1]=-\frac{\pi}{4}$<br />
<br />
Primero <br />
<br />
$\theta_{1}=-\frac{\pi}{4}+4\pi=\frac{15\pi}{4}$<br />
<br />
Por ello $z_{1}=5\sqrt{2}[cos(\frac{15\pi}{4})+sin(\frac{15\pi}{4})]$<br />
<br />
Para $\theta=-\frac{\pi}{4}$<br />
<br />
$z=5\sqrt{2}[cos(\frac{-\pi}{4})+sin(\frac{-\pi}{4})]$<br />
<br />
--[[Usuario:Fernando Vazquez V.|Fernando Vazquez V.]] ([[Usuario discusión:Fernando Vazquez V.|discusión]]) 02:28 15 mayo 2015 (CDT)<br />
<br />
<br />
=== Ejercicio 7 ===<br />
<br />
$z=-\sqrt{3}+i$<br />
<br />
El número ya esta dado de la forma $a+ib$<br />
<br />
Para determinar $r$ y $\theta$ ocupamos $r=|z|$ y $tan(\theta)=\frac{b}{a}$<br />
<br />
Por lo que:<br />
<br />
$r=|z|=|-\sqrt{3}+i|=\sqrt{3+1}=2$<br />
<br />
Ahora calculamos el ángulo<br />
<br />
$tan(\theta)=\frac{1}-\sqrt{3}=$<br />
<br />
$\theta=arctan[-\frac{1}\sqrt{3}]=-\frac{\pi}{6}$<br />
<br />
El ángulo $(\theta)$ tiene que estar en el intervalo $-\pi<arg(z)<\pi$ para que sea el argumento de $z$, como el ángulo que se obtuvo esta en este rango, $\theta$ es el argumento de $z$.<br />
<br />
Entonces sustituimos los valores anteriores( el angulo y r)<br />
<br />
$z={2}[cos(-\frac{\pi}{6}+2(\pi)k)+sin(-\frac{\pi}{6}+2(\pi)k)]$<br />
<br />
$k$ es un valor arbitrario <br />
<br />
[[Usuario:Nancy Martínez Durán|Nancy Martínez Durán]] ([[Usuario discusión:Nancy Martínez Durán|discusión]]) 16:16 15 mayo 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
=== Ejercicio 7 ===<br />
<br />
'''Escribe el numero complejo dado en forma polar usando los argumentos $\theta\neq Arg\left(z\right)$y después usando $\theta=Arg\left(z\right)$'''<br />
<br />
$-\sqrt{3}+i$<br />
<br />
Para calcular $r$ y $\theta$ consideramos que $x=-\sqrt{3}$ y $y=1$, donde las operaciones a realizar serian<br />
<br />
<br />
$r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(-\sqrt{3})^2+(1)^2}=\sqrt{4}=2$<br />
<br />
<br />
y para <br />
<br />
<br />
$\theta=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)=\arctan\left(\frac{1}{-\sqrt{3}}\right)=-\frac{\pi}{6}$<br />
<br />
<br />
Si $x<0$ entonces $\theta=\pi+\arctan\left(\frac{y}{x}\right)=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}=\arg\left(z\right)$<br />
<br />
<br />
La forma polar del numero seria<br />
<br />
<br />
$z=2\left[\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\right]$<br />
<br />
<br />
Ahora si consideramos a $\theta=-\pi-\frac{\pi}{6}=-\frac{7\pi}{6}$<br />
<br />
<br />
$z=2\left[\cos\left(-\frac{7\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right)\right]$<br />
<br />
[[Usuario:Miguel Medina Armendariz|Miguel Medina Armendariz]] ([[Usuario discusión:Miguel Medina Armendariz|discusión]]) 15:32 15 mayo 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
===Ejercicio 8===<br />
<br />
<br />
Escribir el número complejo en su forma polar usando $\Theta=arg\left(z\right)$<br />
, $\theta\neq arg\left(z\right)$<br />
<br />
$z=-2-2\sqrt{3}i$<br />
<br />
Tenemos que <br />
<br />
$x=-2$ , $y=-2\sqrt{3}i$<br />
<br />
$r=\left|z\right|=\sqrt{\left(-2\right)^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)^{2}}=4$<br />
<br />
Ahora calculamos <br />
<br />
$arctan\frac{y}{x}=\theta$<br />
<br />
$\theta=arctan\frac{-2\sqrt{3}}{-2}=\frac{\pi}{3}$<br />
<br />
ahora tenemos<br />
<br />
$\theta_{1}=arg\left(z\right)+2\pi=\frac{\pi}{3}+2\pi=\frac{8\pi}{3}$<br />
<br />
Finalmente<br />
<br />
$z=4\left[cos\frac{\pi}{3}+isen\frac{\pi}{3}\right]$<br />
<br />
$z_{1}=4\left[cos\frac{\pi}{3}+isen\frac{\pi}{3}\right]$<br />
<br />
Resuelto por<br />
[[Usuario:Luis Enrique Martínez Valverde|Luis Enrique Martínez Valverde]] ([[Usuario discusión:Luis Enrique Martínez Valverde|discusión]]) 18:07 15 mayo 2015 (CDT)<br />
<br />
'''Nota adicional:'''<br />
<br />
Dado que $-\pi<\dfrac{\pi}{3}<\pi$ se cumple que $\dfrac{\pi}{3}=Arg(z)$. Un ángulo $\theta \neq Arg(z)$ sería:<br />
<br />
$arg(z)=Arg(z)+2k\pi$ con $k=1, 2,...$. Si $k=1$:<br />
<br />
$z_{2}=4[cos\frac{7\pi}{3}+isen\frac{7\pi}{3}]$<br />
<br />
[[Usuario:Oscar Javier Gutierrez Varela|Oscar Javier Gutierrez Varela]] ([[Usuario discusión:Oscar Javier Gutierrez Varela|discusión]]) 21:51 15 mayo 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
=== Ejercicio 10 === <br />
'''En los problemas 1-10, escriba el número complejo dado, en forma polar<br />
; primero usando un argumento $\theta\neq Arg\left(z\right)$y después usando $\theta=Arg\left(z\right)$'''<br />
<br />
10.- $\left(\frac{12}{\sqrt{3}+i}\right)$<br />
<br />
. Primero reescribimos la expresión dada, utilizando el conjuado de<br />
$z$:<br />
<br />
$\left(\frac{12}{\sqrt{3}+i}\right)$.$\left(\frac{\sqrt{3}-i}{\sqrt{3}-i}\right)=\left(\frac{12\sqrt{3}-i}{3-i\sqrt{3}+i\sqrt{3}+1}\right)=\left(\frac{12\sqrt{3}-i12}{4}\right)=3\sqrt{3}-i3$<br />
<br />
.<br />
<br />
Como $x=3\sqrt{3}$, $y=-3$<br />
<br />
Podemos obtener:<br />
<br />
.<br />
<br />
$r=\left|z\right|=\sqrt{\left(3\sqrt{3}\right)^{2}+\left(-3\right)^{2}}=\sqrt{27+9}=6$<br />
<br />
Así:<br />
<br />
$r=6$<br />
<br />
Ahora podemos calcular:<br />
<br />
$\frac{y}{x}=\frac{-3}{3\sqrt{3}}=\tan\left(\theta\right)$, $\theta=\arctan\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{\pi}{6}$<br />
<br />
Pero este valor corresponde a:<br />
<br />
$\arg\left(z\right)=-\frac{\pi}{6}$<br />
<br />
Para obtener un $\theta_{1}\neq\arg\left(z\right)$calculamos:<br />
<br />
$\theta_{1}=\arg\left(z\right)+2\pi=-\frac{\pi}{6}+2\pi=\frac{11}{6}\pi$<br />
<br />
Finalmente la expresión buscada es:<br />
<br />
$z=6\left[\cos\left(\frac{11}{6}\pi\right)i\sin\left(\frac{11}{6}\pi\right)\right]$<br />
<br />
Luego utilizando el argumento principal:<br />
<br />
$z=6\left[\cos\left(-\frac{1}{6}\pi\right)i\sin\left(-\frac{1}{6}\pi\right)\right]$<br />
<br />
Resuelto por:<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Alejandro Juárez Toribio|Alejandro Juárez Toribio]] ([[Usuario discusión:Alejandro Juárez Toribio|discusión]]) 16:02 14 mayo 2015 (CDT) <br />
----<br />
<br />
=== Ejercicios 13 y 14 ===<br />
<br />
''' In Problems 13 and 14, write the complex number whose polar coordinates<br />
$(r,\theta)$ ''' are given in the form $a + ib$.''' <br />
<br />
13.- $(4,\frac{-5\pi}{3})$<br />
<br />
14.- $(2,2)$<br />
<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
Dados $(r,\theta)$ se pueden determinar las coordenadas rectangulares<br />
como:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
x=rcos\theta<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
y=rsin\theta<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Dados $(x,y)$ se pueden encontrar el modulo y argumento como:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\theta=\acute{a}ngtng\left(\frac{y}{x}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
13.<br />
<br />
$(4,\frac{-5\pi}{3})$<br />
<br />
$x=4cos(\frac{\pi}{3})=2$<br />
<br />
$y=4sin(\frac{\pi}{3})=2\sqrt{2}$<br />
<br />
Por lo tanto:<br />
<br />
$(4,\frac{-5\pi}{3})=(2,2\sqrt{2})$<br />
<br />
<br />
<br />
14. <br />
<br />
$(2,2)$<br />
<br />
$r=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{2(4)}=2\sqrt{2}$<br />
<br />
$\theta=\acute{a}ngtng\left(\frac{2}{2}\right)=\frac{\pi}{4}$<br />
<br />
Por lo tanto:<br />
$(2,2)=(2\sqrt{2},\frac{\pi}{4})$<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Ejercicio resuelto por: --[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 15:29 12 mayo 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
=== Ejercicios 15 y 16===<br />
<br />
'''Escriba el número complejo cuya forma polar esta dada,en la forma<br />
$a + ib$ . Usa una calculadora si es necesario.'''<br />
<br />
Problema 15<br />
<br />
<math>z=5(\cos(\frac{7\pi}{6})+i\sin({\frac{7\pi}{6}}))</math><br />
<br />
Para solucionar este problema basta con identificar la forma polar de este numero, esto es $z$ esta de la forma $z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$ y de donde fácilmente podemos distinguir r y $\theta$ y pasar ala forma $a + ib$ donde; <br />
<br />
<br />
<math>r=5</math><br />
<br />
<math>\theta=\frac{7\pi}{6}</math><br />
<br />
<math>a=r\cos{\theta}</math><br />
<br />
<math>b=r\sin{\theta}</math><br />
<br />
Así haciendo los respectivos cálculos tenemos;<br />
<br />
<math>a=5(\cos(\frac{7\pi}{6})=-\frac{5}{\sqrt{2}}</math><br />
<br />
<math>b=5(i\sin({\frac{7\pi}{6}}))=-(\frac{5}{2})i</math><br />
<br />
así ya podemos expresar el numero complejo de la forma polar en la forma $a+bi$ de la siguiente manera:<br />
<br />
<math>z=5(\cos(\frac{7\pi}{6})+i\sin({\frac{7\pi}{6}}))=a + bi=-\frac{5}{\sqrt{2}}-\frac{5}{2}i</math><br />
<br />
Problema 16<br />
<br />
<math>z=8\sqrt{2}(\cos(\frac{11\pi}{4})+i\sin({\frac{11\pi}{4}}))</math><br />
<br />
este problema es analogo con el problema 15 asi podemos de deducir de manera inmediata que;<br />
<br />
<math>r=8\sqrt{2}</math><br />
<br />
<math>\theta=\frac{11\pi}{4}</math><br />
<br />
<math>a=r\cos{\theta}</math><br />
<br />
<math>b=r\sin{\theta}</math><br />
<br />
asi haciendo los respectivos calculos tendremos;<br />
<br />
<math>a=8\sqrt{2}(\cos(\frac{11\pi}{4}))=-8</math><br />
<br />
<math>b=8\sqrt{2}(i\sin({\frac{11\pi}{4}}))=8i</math><br />
<br />
así ya podemos expresar el numero complejo de la forma polar en la forma $a+bi$ de la siguiente manera:<br />
<br />
<br />
<math>z=8\sqrt{2}(\cos(\frac{11\pi}{4})+i\sin({\frac{11\pi}{4}}))=a+bi=-8+8i</math><br />
<br />
ejercicios elaborados por --[[Usuario:Cristian Alfredo Ruiz Castro|Cristian Alfredo Ruiz Castro]] ([[Usuario discusión:Cristian Alfredo Ruiz Castro|discusión]]) 19:51 15 mayo 2015 (CDT)<br />
----<br />
===Ejercicio 17 y 18===<br />
Encontrar $z$ de la forma $a+bi$ para cada número complejo expresado de la forma polar<br />
17.-<br />
$$z=6(\cos({\frac{\pi}{8}})+\sin({\frac{\pi}{8}}))$$<br />
$$a=6\cos({\frac{\pi}{8}})$$<br />
$$b=6\sin({\frac{\pi}{8}})$$<br />
$$a=5.54$$<br />
$$b=2.29$$<br />
$$z=5.54+2.29i$$<br />
<br />
18.-<br />
$$z=4(\cos({\frac{3\pi}{8}})+\sin({\frac{3\pi}{8}}))$$<br />
$$a=4\cos({\frac{3\pi}{8}})$$<br />
$$b=4\sin({\frac{3\pi}{8}})$$<br />
$$a=2.29$$<br />
$$b=5.54$$<br />
$$z=2.29+5.54i$$<br />
--[[Usuario:Manuel Alejandro Chavarría Silva|Manuel Alejandro Chavarría Silva]] ([[Usuario discusión:Manuel Alejandro Chavarría Silva|discusión]]) 23:28 15 mayo 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
===Ejercicio 19.===<br />
<br />
'''Usar '''$z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}[cos(\theta_{1}+\theta_{2})+isen(\theta_{1}+\theta_{2})]$<br />
'''y''' $\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}[cos(\theta_{1}-\theta_{2})+isen(\theta_{1}-\theta_{2})]$<br />
'''para encontrar '''$z_{1}z_{2}$ y $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ .''' Escribir el número en la forma $a+bi$ .'''<br />
<br />
\[<br />
z_{1}=2[cos(\frac{\pi}{4})+isen(\frac{\pi}{8})]<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
z_{2}=2[cos(\frac{3\pi}{8})+isen(\frac{3\pi}{8})]<br />
\]<br />
<br />
<br />
Entonces: <br />
<br />
\[<br />
z_{1}z_{2}=(2)(4)[cos(\frac{\pi}{4}+\frac{3\pi}{8})+isen(\frac{\pi}{8}+\frac{3\pi}{8})]<br />
\]<br />
<br />
<br />
Rsolviendo: <br />
<br />
\[<br />
z_{1}z_{2}=8[cos(\frac{5\pi}{8})+isen(\frac{\pi}{2})]<br />
\]<br />
<br />
<br />
Y finalmente, expresando de la forma $a+bi$ tenemos: <br />
<br />
$a=8cos(\frac{5\pi}{8})=-.38$<br />
<br />
$b=8sen(\frac{\pi}{2})=8$<br />
<br />
$z=-.38+8i$<br />
<br />
Ahora: <br />
<br />
\[<br />
\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{2}{4}[cos(\frac{\pi}{4}-\frac{3\pi}{8})+isen(\frac{\pi}{8}-\frac{3\pi}{8})]<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{1}{2}[cos(-\frac{\pi}{8})+isen(-\frac{\pi}{4})]<br />
\]<br />
<br />
<br />
Y finalmente, expresando de la forma $a+bi$ tenemos: <br />
<br />
$a=\frac{1}{2}cos(-\frac{\pi}{8})=.4615$<br />
<br />
$b=\frac{1}{2}sen(-\frac{\pi}{4})=-\frac{1}{2\sqrt{2}}$<br />
<br />
$z=.4615-\frac{1}{2\sqrt{2}}i$<br />
<br />
Resuelto por --[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 23:47 12 mayo 2015 (CDT)<br />
----<br />
===Ejercicio 20===<br />
<br />
Use (6) and (7) to find $z_{1}z_{2}$ and $\dfrac{z_1}{z_2}$. Write the number in the form $a + ib$ <br />
$z_1 = \sqrt{2}[\cos(\dfrac{\pi}{4}) + i\sin(\dfrac{\pi}{4})]$,<br />
$z_2 = \sqrt{3}[ \cos (\dfrac{\pi}{12}) + i\sin (\dfrac{\pi}{12})]$<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
(6): $ z_{1} z_{2}$ = $r_{1} r_{2}[\cos(\theta_{1} + \theta_{2})+ i\sin(\theta_{1} + \theta_{2})]$<br />
<br />
(7): $\dfrac{z_1}{z_2}$ = $\dfrac{r_{1}}{r_{2}} [\cos(\theta_{1} - \theta_{2}) + i\sin(\theta_{1} - \theta_{2})]$ <br />
<br />
Usando (6) para $z_1 z_2$, tenemos, <br />
<br />
$z_{1} z_{2}$ = $\sqrt{2} \sqrt{3} [\cos(\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{12}) + i\sin (\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{12})]$ <br />
<br />
= $\sqrt{6} [\cos (\dfrac{\pi}{3}) + i\sin (\dfrac{\pi}{3})]$ <br />
<br />
Como lo queremos en la forma $ a + ib$, entonces calculamos el valor de a y de b, como sigue, <br />
<br />
a = $\sqrt{6} \cos (\dfrac{\pi}{3})$ = $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ <br />
<br />
b = $\sqrt{6} \sin (\dfrac{\pi}{3})$ = $\sqrt{6} \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ = $\dfrac{\sqrt{18}}{2}$ = $\sqrt{\dfrac{9}{2}}$ <br />
<br />
Por lo tanto, <br />
<br />
$z_{1} z_{2}$ = $\dfrac{\sqrt{6}}{2} + i\sqrt{\dfrac{9}{2}}$.<br />
<br />
Ahora usamos (7) para hallar $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$, entonces, <br />
<br />
$\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$ = $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} [\cos (\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{12}) + i\sin (\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{12})]$<br />
<br />
= $\sqrt{\dfrac{2}{3}} [\cos (\dfrac{\pi}{6}) + i\sin (\dfrac{\pi}{6})]$ <br />
<br />
Nuevamente determinamos los valores de a y b. <br />
<br />
a = $\sqrt{\dfrac{2}{3}} \cos (\dfrac{\pi}{6})$ = $\sqrt{\dfrac{2}{3}} \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ = $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ <br />
<br />
b = $\sqrt{\dfrac{2}{3}} \sin (\dfrac{\pi}{6})$ =$\sqrt{\dfrac{2}{3}} \dfrac{1}{2}$ = $\dfrac{1}{\sqrt{6}}$ <br />
<br />
Por lo tanto, <br />
<br />
$\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$ = $\dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{6}}i$. <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Arnold B. Herrera Rubert|Arnold B. Herrera Rubert]] ([[Usuario discusión:Arnold B. Herrera Rubert|discusión]]) 22:14 15 mayo 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
En los problemas 25 a 30 emplea la siguiente ecuación para calcular las potencias indicadas.<br />
<center><math>z^{n}= r^{n}(\cos{n\theta}+ i\sin{n\theta})</math></center><br />
<br />
----<br />
<br />
=== Ejercicio 25===<br />
'''Calcular <math>(1+ \sqrt{3} i)^9</math> '''<br />
Empleando la fórmula propuesta<br />
<math>z^{n}= r^{n}(\cos{n\theta}+ i\sin{n\theta})</math><br />
<br />
Calculando primero <math>r, \theta</math><br />
<br />
<math>r= \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{4}= 2</math><br />
<br />
<math>\theta = arctan(\frac{1}{\sqrt{3}})=\frac{ \pi}{6}</math><br />
<br />
Por lo que sustituyendo en la expresión de Moivre´s :<br />
<br />
<math>z^9= 2^9 ( cos(\frac{(9) \pi }{6})+ isen(\frac{(9) \pi}{6}))= 512 (cos(\frac{3 \pi}{2}) + isen(\frac{3 \pi}{2}))= 512 (0 -i )= -512 i</math><br />
<br />
Por lo anterior: <br />
<math>z^9 = (1+ \sqrt{3} i)^9=-512i</math><br />
<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 09:54 15 mayo 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
=== Ejercicio 29 ===<br />
<center><math>[(\sqrt{2}\cos{\frac{\pi}{8}}+ i\sqrt{2} \sin{\frac{\pi}{8}})]^{12}</math></center><br />
<br />
Solución:<br />
Empleamos la formula propuesta y vamos simplificando.<br />
<center><math>z^{12}= [(\sqrt{2}\cos{\frac{\pi}{8}}+ i\sqrt{2} \sin{\frac{\pi}{8}})]^{12}</math></center><br />
<br />
<center><math>z^{12}= 2⁶(\cos{\frac{12\pi}{8}}+ i\sin{\frac{12\pi}{8}})</math></center><br />
<br />
<center><math>z^{12}= 2⁶(\cos{\frac{3\pi}{2}}+ i\sin{\frac{3\pi}{2}})</math></center><br />
<br />
<center><math>z^{12}= 64(0-1i)</math></center><br />
<br />
<center><math>z^{12}= -64i</math></center><br />
<br />
--[[Usuario:Anahi Limas|Anahi Limas]] ([[Usuario discusión:Anahi Limas|discusión]]) 23:08 14 mayo 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
----<br />
<br />
=== Ejercicio 30 ===<br />
<br />
Calcule la siguiente potencia <math> \left[\sqrt{3}\left(\cos2\frac{\pi}{9}+i\sin2\frac{\pi}{9}\right)\right]^{6}<br />
</math>.<br />
<br />
Solución<br />
<br />
Usando la fórmula de Moive <math> \left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{n}=\cos n\theta+i\sin n\theta,<br />
</math> se tiene<br />
<br />
: <math> \left[\sqrt{3}\left(\cos2\frac{\pi}{9}+i\sin2\frac{\pi}{9}\right)\right]^{6}=\left(\sqrt{3}\right)^{6}\left[\cos6\left(\frac{2\pi}{9}\right)+i\sin6\left(\frac{2\pi}{9}\right)\right]<br />
</math><br />
<br />
: <math> \left[\sqrt{3}\left(\cos2\frac{\pi}{9}+i\sin2\frac{\pi}{9}\right)\right]^{6}=\left(3\right)^{3}\left[\cos\left(\frac{12\pi}{9}\right)+i\sin\left(\frac{12\pi}{9}\right)\right]<br />
</math><br />
<br />
Simplificando términos se obtiene<br />
<br />
: <math> \left[\sqrt{3}\left(\cos2\frac{\pi}{9}+i\sin2\frac{\pi}{9}\right)\right]^{6}=27\left[\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)\right]<br />
</math><br />
<br />
: <math> \left[\sqrt{3}\left(\cos2\frac{\pi}{9}+i\sin2\frac{\pi}{9}\right)\right]^{6}=27\left[-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right]<br />
</math><br />
<br />
: <math> \left[\sqrt{3}\left(\cos2\frac{\pi}{9}+i\sin2\frac{\pi}{9}\right)\right]^{6}=-\frac{27}{2}-\frac{27\sqrt{3}}{2}i.<br />
</math><br />
Elaborado --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 21:21 15 mayo 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
<br />
=== Ejercicio 31 ===<br />
<br />
In Problems 31 and 32, write the given complex number in polar form<br />
and in then in the form a + ib. <br />
<br />
31. $(\cos(\frac{\pi}{4})+i\sin(\frac{\pi}{4}))^{12}\left[2(\cos(\frac{\pi}{6})+i\sin(\frac{\pi}{6}))\right]$<br />
<br />
Considerando la formula de Moivre ; Si $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$<br />
entonces $z^{n}=r^{n}(\cos n\theta+i\sin n\theta)$<br />
<br />
Por lo tanto la ecuacion quedaria escrita de la siguiente manera<br />
<br />
\[<br />
(\cos\frac{12\pi}{9}+i\sin\frac{12\pi}{9})\left[32(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6})\right]<br />
\]<br />
<br />
<br />
Simplificando<br />
<br />
\[<br />
36(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3})(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6})<br />
\]<br />
<br />
<br />
Como sabemos, multiplicar complejos es sumar sus angulos y multiplicar<br />
sus normas, asi tenemos lo siguiente<br />
<br />
\[<br />
36(\cos\frac{13\pi}{6}+i\sin\frac{13\pi}{6})<br />
\]<br />
<br />
<br />
considerando a $a=32\cos\frac{13\pi}{6}$ y a $b=32\sin\frac{13\pi}{6}$,<br />
tenemos el numero complejo $z=27.71+i16$<br />
<br />
[[Usuario:Jose Emmanuel Flores Calderón|Jose Emmanuel Flores Calderón]] ([[Usuario discusión:Jose Emmanuel Flores Calderón|discusión]]) 01:00 15 mayo 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
=== Ejercicio 32 ===<br />
<br />
'''Resolver para $\dfrac{[8(\cos \frac{3\pi}{8}+i\sin \frac{3\pi}{8})]^3}{[2(\cos \frac{\pi}{16}+i\sin \frac{\pi}{16})]^{10}}$''' <br />
<br />
<br />
<br />
Decimos que $z_1=8(\cos \frac{3\pi}{8}+i\sin \frac{3\pi}{8})$ y $z_2=2(\cos \frac{\pi}{16}+i\sin \frac{\pi}{16})$.<br />
<br />
<br />
Se tiene que la fórmula para elevar un número complejo $z$ a su n-ésima potencia es:<br />
<br />
<br />
$z^n=r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$<br />
<br />
<br />
así:<br />
<br />
<br />
$z_1^3=8^3(\cos 3\frac{3\pi}{8}+i\sin 3\frac{3\pi}{8})=512(\cos \frac{9\pi}{8}+i\sin \frac{9\pi}{8})$<br />
<br />
<br />
$z_2^{10}=2^{10}(\cos 10\frac{\pi}{16}+i\sin 10\frac{\pi}{16})=1,024(\cos \frac{5\pi}{8}+i\sin \frac{5\pi}{8})$<br />
<br />
<br />
<br />
Dividiendo cantidades:<br />
<br />
<br />
$\dfrac{z_1^3}{z_2^{10}}=\dfrac{512(\cos \frac{9\pi}{8}+i\sin \frac{9\pi}{8})}{1,024(\cos \frac{5\pi}{8}+i\sin \frac{5\pi}{8})}=\dfrac{(\cos \frac{9\pi}{8}+i\sin \frac{9\pi}{8})}{2(\cos \frac{5\pi}{8}+i\sin \frac{5\pi}{8})}$<br />
<br />
<br />
Multiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador:<br />
<br />
<br />
$\dfrac{z_1^3}{z_2^{10}}=\dfrac{(\cos \frac{9\pi}{8}+i\sin \frac{9\pi}{8})}{2(\cos \frac{5\pi}{8}+i\sin \frac{5\pi}{8})}\dfrac{2(\cos \frac{5\pi}{8}-i\sin \frac{5\pi}{8})}{2(\cos \frac{5\pi}{8}-i\sin \frac{5\pi}{8})}$<br />
<br />
<br />
Resolviendo primero la parte superior de la división:<br />
<br />
<br />
$2(\cos \frac{9\pi}{8}+i\sin \frac{9\pi}{8})(\cos \frac{5\pi}{8}-i\sin \frac{5\pi}{8})=2(\cos \frac{9\pi}{8}\cos \frac{5\pi}{8}-i\cos \frac{9\pi}{8}\sin \frac{5\pi}{8}+i\cos \frac{5\pi}{8}\sin \frac{9\pi}{8}+\sin \frac{9\pi}{8}\sin \frac{5\pi}{8})$<br />
<br />
<br />
Agrupamos las partes real e imaginaria:<br />
<br />
<br />
$2[(\cos \frac{9\pi}{8}\cos \frac{5\pi}{8}+\sin \frac{9\pi}{8}\sin \frac{5\pi}{8})+i(\cos \frac{5\pi}{8}\sin \frac{9\pi}{8}-\cos \frac{9\pi}{8}\sin \frac{5\pi}{8})]$<br />
<br />
<br />
Con las identidades trigonométricas $\sin (a-b)=\sin a \cos b - \sin b \cos a$ y $\cos (a-b)=\cos a \cos b +\sin a \sin b$<br />
<br />
<br />
<br />
$2[\cos (\frac{9\pi}{8}-\frac{5\pi}{8})+i\sin (\frac{9\pi}{8}-\frac{5\pi}{8})]=2(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2})=2i$<br />
<br />
<br />
Por otro lado, para la parte inferior de la división:<br />
<br />
$4(\cos \frac{5\pi}{8}+i\sin \frac{5\pi}{8})(\cos \frac{5\pi}{8}-i\sin \frac{5\pi}{8})=4(\cos^2 \frac{5\pi}{8} + \sin^2 \frac{5\pi}{8})=4$<br />
<br />
<br />
Sustituyendo ambas cantidades:<br />
<br />
$\dfrac{z_1^3}{z_2^{10}}=\dfrac{2i}{4}=\dfrac{1}{2}i$<br />
<br />
[[Usuario:Oscar Javier Gutierrez Varela|Oscar Javier Gutierrez Varela]] ([[Usuario discusión:Oscar Javier Gutierrez Varela|discusión]]) 19:09 13 mayo 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
=== Ejercicio 33 ===<br />
'''Use la fórmula de Moivre con n=2, encuentre la sidentidades trigonométricas para $\cos\left(2\theta\right)$ y $\sin\left(2\theta\right)$'''<br />
<br />
Definimos:<br />
<center>$z=\cos\left(\theta\right)+i\sin\left(\theta\right)$</center><br />
<br />
Entonces $z^{2}$ puede ser escrito como:<br />
<center>$z^{2}=\cos\left(2\theta\right)+i\sin\left(2\theta\right)=\left(\cos\left(\theta\right)+i\sin\left(\theta\right)\right)^{2}$</center><br />
<br />
<center>$z^{2}=\cos\left(2\theta\right)+i\sin\left(2\theta\right)=\left(\cos\left(\theta\right)\right)^{2}+2i\sin\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)-\left(\sin\left(\theta\right)\right)^{2}$</center><br />
<br />
Igualando parte real con parte real e imaginaria con imaginaria se obtienen:<br />
<center>$\cos\left(2\theta\right)=\left(\cos\left(\theta\right)\right)^{2}-\left(\sin\left(\theta\right)\right)^{2}\;\qquad\;\sin\left(2\theta\right)=2\sin\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)$</center><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Tlacaelel Cruz|Tlacaelel Cruz]] ([[Usuario discusión:Tlacaelel Cruz|discusión]]) 21:47 12 mayo 2015 (CDT)<br />
----<br />
=== Ejercicio 36 ===<br />
<br />
Encontrar un número entero positivo n para el cual la igualdad se cumple en <math> \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)^{n}=1<br />
</math>.<br />
<br />
Solución<br />
<br />
Con <math> r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=1<br />
</math> y con la fórmula de Moivre <math> \left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{n}=\cos n\theta+i\sin n\theta,<br />
</math> sí<br />
<br />
: <math> \cos\theta=-\frac{\sqrt{2}}{2};\sin\theta=\frac{\sqrt{2}}{2}<br />
</math><br />
<br />
entonces<br />
<br />
: <math> \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=-1<br />
,</math><br />
<br />
: <math> \theta=\tan^{-1}\left(-1\right)+\pi=\frac{3}{4}\pi<br />
,</math><br />
<br />
Por lo que <br />
<br />
: <math> z=1^{n}\left[\cos n\frac{3\pi}{4}+i\sin n\frac{3\pi}{4}\right],<br />
</math><br />
<br />
Proponemos el argumento para el producto de <math> n\cdotp\theta=2\pi...(1)<br />
</math>; despejando <math> n<br />
</math> y sustituyendo se tiene que<br />
<br />
: <math> n=\frac{8}{3}<br />
</math><br />
<br />
por lo tanto<br />
<br />
: <math> z=1^{8/3}\left[\cos2\pi+i\sin2\pi\right]=\cos2\pi+0i=1,<br />
</math><br />
Elaborado por --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 22:12 15 mayo 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
<br />
=== Problema 37===<br />
''' For the complex numbers $z_{1}= -1 and z_{2}= 5 i$ verify that:<br />
<br />
\[ <br />
(a) Arg (z_{1}z_{2})\neq Arg (z_{1}) + Arg(z_{2})\]<br />
\[<br />
(b) Arg(z_{1}/z_{2})\neq Arg(z_{1}) - Arg (z_{2})\]<br />
<br />
Dibujamos los números plano complejo para encontrar el argumento <br />
\[<br />
Arg(z_{1}) = \dfrac{3}{2} \pi \]<br />
\[<br />
Arg (z_{2}) = \pi \]<br />
<br />
(a) \[<br />
Arg (z_{1}z_{2})=Arg (\dfrac{3}{2} \pi)(\pi)= 14.80\]<br />
<br />
\[<br />
({3}{2} \pi) + (\pi)= 7.80\]<br />
\[<br />
14.80 \neq 7.80\]<br />
<br />
<br />
(b) \[ <br />
\dfrac{{3}{2} \pi}{\pi} = \dfrac{3}{2}\]<br />
<br />
\[<br />
\dfrac{3}{2} \pi - \pi= \dfrac{1}{2}\pi\]<br />
\[<br />
\dfrac{3}{2} \neq \dfrac {1}{2}\]<br />
<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 00:34 15 mayo 2015 (CDT) Esther Sarai</div>
Ivan de Jesús Pompa García