Diferencia entre revisiones de «Compleja:Zill-Cap1.2»

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Revisión del 03:35 6 abr 2022


Ejercicios del capítulo 1 Números complejos y el plano complejo, sección 2 El Plano Complejo del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.

Clasificación CL: QA331.7 .Z55 2003 [1].


Sección 1.2

Ejercicio 1

Interpreta $z_{1}$ y $z_{2}$ como vectores. Gráfica $z_{1}$, $z_{2}$ e indica cual es la suma y diferencia como vectores

$z_{1} = 4+2i, z_{2} = -2+5i; z_{1}+z_{2}, z_{1}-z_{2}$

a) Suma de vectores

Procedimiento

Nota: Si se desea visualizar la grafica, utilizar Mathematica con el siguiente pseudocodigo:

 Graphics[{
 Thick,
 Arrow[{{0, 0}, {4, 2}}],
 Arrow[{{0, 0}, {-2, 5}}],
 Blue,
 Arrow[{{0, 0}, {2, 7}}],
 Gray, Dashed,
 Arrow[{{0 + 4, 0 + 2}, {2, 7}}],
 Arrow[{{0 - 2, 0 + 5}, {2, 7}}]
 }, Frame -> True]
Solución

La suma es:

$z_{1}+z_{2} = (4+2i)+(-2+5i) = (4-2)+i(2+5) = 2+7i$

b) Diferencia de vectores

Procedimiento

Nota: Si se desea visualizar la grafica, utilizar Mathematica con el siguiente pseudocodigo:

 Graphics[{
 Thick,
 Arrow[{{0, 0}, {4, 2}}],
 Arrow[{{0, 0}, {-2, 5}}],
 Blue,
 Arrow[{{0 - 2, 0 + 5}, {4, 2}}]
 }, Frame -> True]
Solución

La diferencia es:

$z_{1}-z_{2} = (4+2i)-(-2+5i) = (4+2)+i(2-5) = 6-3i$


Miguel Medina Armendariz (discusión) 12:11 15 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 2

Interpreta z1 y z2 como vectores. Gráfica z1, z2 e indica cual es la suma y diferencia como vectores

$z_{1} = 1-i$ , $z_{2} = 1+i$ ; $z_{1}+z_{2}$ , $z_{1}-z_{2}$

a) Suma de Vectores:

Procedimiento

$z_{1}+z_{2} = (1-i)+(1+i) = (1+1)+(-1+1)i = 2+0i$

Solución

1eje.png

b)Diferencia de vectores:

Procedimiento

$z_{1}-z_{2} = (1-i)-(1+i) = (1-1)+(-1-1)i = 0-2i$

Solución

2eje.png


Realizado por: Emmanuell Castro Flores (discusión) 22:27 15 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 5

Dado que $z_{1}=5-2i$ y $z_{2}=-1-i$, encuentre el vector $z_{3}$ en la misma dirección que $z_{1}+z_{2}$ pero 4 veces más largo

Procedimiento

Primeramente debemos calcular la suma $z_{1}+z_{2}$

$z_{1}+z_{2}=(5-2i)+(-1-i)=4-3i$

A continuación multiplicamos por 4 para cuadriplicar el tamaño

$4(z_{1}+z_{2})=4(4-3i)=16-12i$
Solución
$4(z_3)= 16-12i$

Realizado por: Tlacaelel Cruz (discusión) 21:10 12 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 7

Determinar si los puntos $z_{1}$,$z_{2}$,$z_{3}$ son los vértices de un triángulo rectángulo.

Tenemos que :

Graficando $z_{1}$,$z_{2}$,$z_{3}$.

Procedimiento

FALTA IMAGEN

Se observa que se a construido un triángulo rectángulo, con segmentos de rectas A,B,C. Si utilizamos el teorema de Pitágoras encontraremos la hipotenusa C. donde

Por tanto es igual al módulo del número complejo Z.

Por tanto tomamos que :

Entonces podemos construir los tres segmentos de rectas :


Por lo que tenemos una interpretación geométrica de módulos de los complejos $z_{1}$,$z_{2}$,$z_{3}$,que corresponden a las distancias entre los puntos.

Solución

Entonces A,B,C, forman los segmentos de los vértices $z_{1}$, $z_{2}$, $z_{3}$, formando un triángulo rectángulo.


Realizado por: Samantha Martínez (Usuario discusión:Samantha Martínez) 23:13 15 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 9

Encuentra el módulo de: $(1-i)^{2}$

Procedimiento 

desarrollando el cuadrado se tiene :

$(1-i)^{2}=1-2i+i^{2}=1-2i-1=-2i$

Entonces:

$|-2i|=\sqrt{4}=2$

Así:

$|(1-i)^{2}|=2$

Además:

$|(1-i)|^{2}=(\sqrt{1+1})^{2}=(\sqrt{2})^{2}=2$

Solución

$|(1-i)|^{2}=2$

Realizado por: Francisco Medina Albino (discusión) 18:01 14 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 10

Encuentra el módulo de: $i(2-i)-4\left ( 1+\frac{1}{4} i\right )$:

Procedimiento 

Para solucionar este problema debemos de realizar primeramente el producto para obtener:

Después se realizaran la sumas y la restas correspondientes obteniendo:

Así para sacar el valor absoluto de este numero bastara con sumar los cuadrados de la parte real y la parte que a acompaña ala unidad imaginaria y a esto sacarle la raíz cuadrada así tendremos:

finalmente:

$\left |i(2-i)-4\left ( 1+\frac{1}{4} i\right ) \right |= \sqrt{10} $

Solución

$\left |i(2-i)-4\left ( 1+\frac{1}{4} i\right ) \right |= \sqrt{10} $


Realizado por: Cristian Alfredo Ruiz Castro (discusión) 19:49 14 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 11

Encontrar el módulo de: $\frac{2i}{3-4i}$

Procedimiento 

Primero se expresa el número de la forma $a+bi$ luego entonces:

Se multiplica por el conjugado

\[ \frac{2i}{3-4i}=(\frac{2i}{3-4i})(\frac{3+4i}{3+4i})=\frac{-8+6i}{9+16}=\frac{-8+6i}{25}=-\frac{8}{25}+\frac{6}{25}i \]


Ahora, esto implica que:

\[ |-\frac{8}{25}+\frac{6}{25}i|=\sqrt{\frac{64}{625}+\frac{36}{625}}=\sqrt{\frac{100}{625}}=\frac{10}{25} \]


Por tanto: $|\frac{2i}{3-4i}|=\frac{10}{25}$

Solución

$|\frac{2i}{3-4i}|=\frac{10}{25}$


Realizado por: A. Martín R. Rabelo (discusión) 21:54 12 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 12

Encuentra el modulo de $\frac{1-2i}{1+i}+\frac{2-i}{1-i}$

Procedimiento

Sea $z=\frac{1-2i}{1+i}+\frac{2-i}{1-i}$ lo reescibo de manera $z=a+ib$, para ello multiplico por su conjugado en cada parte y resuelvo

$z=(\frac{1-2i}{1+i})(\frac{1-i}{1-i})+(\frac{2-i}{1-i})(\frac{1+i}{1+i})=\frac{3-3i}{2}+\frac{3+i}{2}=\frac{3-3i+3+i}{2}=\frac{6-2i}{2}=3-i$

Ahora solo falta obtener el modulo

$|z|=|3-i|=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$

Por lo tanto

$|z|=|\frac{1-2i}{1+i}+\frac{2-i}{1-i}|=\sqrt{10}$

Solución

$|\frac{1-2i}{1+i}+\frac{2-i}{1-i}|=\sqrt{10}$


Realizado por: Fernando Vazquez V. (discusión) 01:32 15 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 13

Dado z = x + iy. Expresar la cantidad en términos de x e y.

$|z-1-3i|^{2}$

Procedimiento

Sustituimos "z" por la expresión que se nos dio

$|(x+yi)-1-3i|^{2}$

agrupamos las partes reales y las partes imaginarias y factorizamos la unidad imaginaria "i"

$|(-1+x)+(-3i+yi)|^{2}$=$|(-1+x)+(-3+y)i|^{2}$

podemos hacer un cambio de variable para ilustrar de una forma óptima

$\alpha=-1+x$ ; $\beta=-3+y$

$|\alpha+\beta i|^{2}$

sabemos que $|z|^{2}=\alpha^{2}+\beta^{2}$, donde $z=\alpha+\beta i$

sustituimos, desarrollamos y simplificamos

$|z|^{2}=\alpha^{2}+\beta^{2}= (1-2x+x^{2})+ (9-6y+y^{2})= x^{2} + y^{2}-2x-6y+10 $

Solución

$ z= x^{2} + y^{2}-2x-6y+10 $


Realizado por: *Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 14:23 15 mayo 2015 (CDT)

Nota:

Corregido por: Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 21:35 15 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 14

Expresa $|z+5\bar{z}|$ en términos de $x$ e $y$ si $z=x+y i$

Procedimiento

Para poder obtener el modulo de la expresión es necesario determinar a $z$ y $\bar{z}$

Se multiplica $\bar{z}$ por 5 y se realiza la suma de los numero complejos

Ahora tenemos un nuevo numero complejo $z_1$ y es a este al que se le sacara el modulo

$|z_{1}|=\sqrt{(z_{1})(z_{1}*)}=\sqrt{(6x-4iy)(6x+4iy)}=\sqrt{(36(x)^2)+(16(y)^2)}$

Solución

$|z_{1}|= \sqrt{(36(x)^2)+(16(y)^2)} $


Realizado por: Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 09:56 15 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 15

Determinar cual de los dos números complejos dados es mas cercano al origen. ¿Cuál es más cercano a ?:

a) ¿Cuál es el más cercano al origen?

Procedimiento

Primeramente definimos el origen como:

Además.


Por lo cual para conocer que número complejo es mas cercano al origen únicamente debemos considerar el modulo de cada uno de los números, por lo cual tenemos:

Error al representar (error de sintaxis): |z_1|= |10+8i|= \sqrt{10² + 8²}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\approx{12.8}
Error al representar (error de sintaxis): |z_2|= |11-6i|= \sqrt{11² + 6²}=\sqrt{121+36}=\sqrt{157}\approx{12.5}

Por lo anterior tenemos que:

$|z_2|<|z_1|$

Por lo que $z_1$ es mas cercano al origen.

Solución

$z_1$ es mas cercano al origen.

b) ¿Cuál es más cercano a ?

Procedimiento

Ahora bien para conocer cual de los dos números es mas cercano a procedemos a sacar la diferencia de con y con .

Con lo cual tenemos:

Error al representar (error de sintaxis): |z_1 - z'|=\sqrt {(10-1)²+(8-1)²}=\sqrt{81+49}=\sqrt{130}\approx{11.4}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): |z_2 - z'|=\sqrt {(11-1)²+(-6-1)²}=\sqrt{100+49}=\sqrt{149}\approx{12.2}


Por lo anterior tenemos que: .

Por lo que $z_1$ es más cercano a $1+i$

Solución

$z_1$ es más cercano a $1+i$


Realizado por: Anahi Limas (discusión) 22:36 14 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 16

Determine cuál de los dos números complejos dados es el más cercano al origen. ¿Cuál está más cerca de 1+i?

$z{_1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}i $

$z_2=\frac{2}{3}-\frac{1}{5}i$

a) ¿Cuál de los dos números complejos dados es el más cercano al origen?

Procedimiento

Analicemos cuál de los números es más cercano al origen.

La distancia entre dos números complejos $z_1$ y $z_2$ cualesquiera es:

$ \left | z_2-z_1 \right |= \sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}} $


La distancia al origen de $z_1$ es:

$ \left | z_1-0 \right |= \sqrt{\left (\frac{1}{2}-0 \right )^{2}+\left ( -\frac{1}{4} -0\right )^{2}}= \frac{\sqrt{5}}{4} \approx 0.559$

La distancia al origen del $z_2$ es:

$ \left | z_2-0 \right |= \sqrt{\left (\frac{2}{3}-0 \right )^{2}+\left ( \frac{1}{6} -0\right )^{2}}= \frac{\sqrt{17}}{6} \approx 0.687$


Solución

$z_1$ Es el más cercano al origen.


b) ¿Cuál está más cerca de 1+i?

Procedimiento

La distancia de 1+i a $z_1$ es:

$ \left | z_1-(1+i) \right |= \sqrt{\left (\frac{1}{2}-1 \right )^{2}+\left ( -\frac{1}{4} -1\right )^{2}}= \frac{\sqrt{29}}{4} \approx 1.346$

La distancia de 1+i a $z_2$ es:

$ \left | z_2-(1+i) \right |= \sqrt{\left (\frac{2}{3}-1 \right )^{2}+\left ( \frac{1}{6} -1\right )^{2}}= \frac{\sqrt{29}}{6} \approx 0.8975$

Solución

$ \left | z_2-(1+i) \right | $ < $ \left | z_1-(1+i) \right |$

Por lo que $z_2$ Está más cerca de $1+i$


Realizado por:


Ejercicio 17

Describir el conjunto de puntos z en el plano complejo que satisfacen la ecuación dada.


Procedimiento


$ Re\left [ (1+i)z-1 \right ]=0 $

Sea $z=x+iy$ y despejando en la ecuación anterior.

$ Re\left [ (1+i)(x+iy)-1 \right ]=0 $

Desarrollando el producto y ordenando en la parte real e imaginaria.

$ Re\left [ (x-y-1)+i(x+y) \right ]=0 $

Por lo que la parte real de la anterior igualdad es:

$ x-y-1=0 $


Resultado


$ y=x-1 $

La cual es la recta que pasa por los puntos (0,-1) y (1,0)



Ejercicio 18

Describir el conjunto de puntos z en el plano complejo, que satisfagan la ecuación dada.

$ \left |Im\left (i\bar{z} \right ) \right |^{2}= 2 $

Procedimiento

Tenemos que $z = x+y i$ y $\bar{z} = x - y i$

Entonces podemos escribir,

$[Im (i (x - y i)]^2 = 2$

Multiplicando i por el binomio tenemos,

$[Im (x i - y i^2)]^2 = 2$

Recordando que $i^2 = -1$, podemos escribir de manera equivalente,

$[Im (xi + y)]^2 = 2$

Donde:

$Im (xi + y)= x $

Entonces:

$[Im (xi + y)]^2 = x^2$

Por lo que la expresión inicial:

$ \left |Im\left (i\bar{z} \right ) \right |^{2}= 2 $

Es:

$x^2=2$

Las dos raíces de esta ecuación son en $x_1=\sqrt{2}$ y $x_2=-\sqrt{2}$

Solución

$\left \{ z \epsilon \mathbb{C} : Re(z)=\pm \sqrt{2}\right \} $

Esto corresponde a dos rectas verticales en $ x= \pm \sqrt{2} $


Realizado por: ****Arnold B. Herrera Rubert (discusión) 21:01 15 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 19

Describir el conjunto de puntos z en el plano complejo, que satisfagan la ecuación dada.

$\arrowvert z-i\arrowvert=\arrowvert z-1\arrowvert$

Procedimiento

Considerando $z=x+y i$ tenemos lo siguiente:

$\left | x+(y-1)i \right |=\left | (x-1)+y i \right |$

Haciendo el modulo del numero complejo: $\left | x+y i \right |= \sqrt{(x)^{2}+(y)^{2}} $

Esto es:

$ \sqrt{(x)^{2}+(y-1)^{2}}=\sqrt{(x-1)^{2}+(y)^{2}} $

Elevando ambos lados de la ecuación y desarrollando los binomios al cuadrado internos, se obtiene que:

$ x^{2}+y^{2}-2y+1=x^{2}-2x+1+y^{2} $

Simplificando:

$x=y $

Solución 

$\left \{ z \epsilon \mathbb{C} : Re(z)=Im(z) \right \} $

Esta ecuación es la de una recta que pasa por el origen y que forma un angulo de $\pi/4$ con el eje real, haciendo una analogía con una función en los reales seria $f(x)=x$.


Realizado por: Jose Emmanuel Flores Calderón (discusión) 20:45 14 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 21

Describir el conjunto de puntos z en el plano complejo, que satisfagan la ecuación dada.

Procedimiento

$Im (z^{2})= 2$

Definimos a $z = x + y i$ y tenemos:

$(x+ y i )^{2}=x^{2}+2xyi-y^{2}$

Por lo que su parte imaginaria es: $2xy$

Con esto, la ecuación original quedaría:

$2xy= 2 $

$x=\frac{1}{y} $

Solución

$\left \{ z \epsilon \mathbb{C} : Re(z)= \frac{1}{Im(z)} \right \} $

El conjunto de puntos se describe como una hipérbola


Realizado por: Esther Sarai (discusión) 22:29 14 mayo 2015 (CDT)Esther Sarai


Ejercicio 23

Describir el conjunto de puntos z en el plano complejo, que satisfagan la ecuación dada.

$\left|z-1\right|=1$

Procedimiento 

El conjunto de puntos $\left|z-a\right|=b^{2}$ Se representan en el plano complejo, como una circunferencia de radio b y centro en a.

Esto es claro si hacemos: $z=x+y i$

$\left|x+yi-1\right|=1$

Ordenando las partes real e imaginaria:

$\left|(x-1)-y i\right|=1$

Realizando el modulo:

$\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}=1$

Y finalmente elevando al cuadrado ambos lados.


$(x-1)^{2}+y^{2}=1$

Por lo tanto el conjunto de puntos buscado se puede representar por medio de la función:

$(x-1)^{2}+y^{2}=1$

Solución

Estos puntos corresponden a una circunferencia centrada en $1+0i$, de radio 1



Corregido, aclarado por: Jose Emmanuel Flores Calderón (discusión) 21:10 14 mayo 2015 (CDT)


Ejercicios 29

Encuentra el límite superior para el módulo .

Procedimiento

Se tiene que , entonces

Sustituyendo y simplificando

Entonces y

Solución

Realizado por --Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 22:21 15 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 30

Encontrar el límite superior para el recíproco del módulo de .

Procedimiento

Se tiene

Entonces

Usando la propiedad y

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mid\left(z^{2}-3\right)\left(z^{2}-2\right)\mid=\mid z^{2}-3\mid\cdotp\mid z^{2}-2\mid,
Error al representar (función desconocida «\cdotp»): \mid z^{2}-3\mid\cdotp\mid z^{2}-2\mid\geq\mid\mid z^{2}\mid-3\mid\cdotp\mid\mid z^{2}\mid-2\mid,

sustituyendo y simplificando se tiene

Error al representar (función desconocida «\cdotp»): \mid z^{2}-3\mid\cdotp\mid z^{2}-2\mid\geq\mid4-3\mid\cdotp\mid4-2\mid,
Error al representar (función desconocida «\cdotp»): \mid z^{2}-3\mid\cdotp\mid z^{2}-2\mid\geq2,

entonces si y

Solución


Realizado por: Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 20:36 15 mayo 2015 (CDT)


Ejercicios 31 y 32

31.- In Problem 31 and 32, find a number z than satisfies the given equatión.

31. $\bigl|z\bigr|-z=2+i$ $\qquad\qquad\qquad$32.$\bigl|z\bigr|^{2}+1+12i=6z$

Solución

Sea $z=a+ib$, el modulo de $z$ se define como:

$\bigl|z\bigr|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

Además sean $z_{1}=a+ib$ y $z_{2}=a_{2}+ib_{2}$, tenemos que $z_{1}=z_{2}$sólo cuando $a=a_{2}$y $b=b_{2}$, bajo esto tenemos:

31.

$\bigl|z\bigr|-z=2+i$

$\sqrt{a^{2}+b^{2}}-(a+ib)=2+i$

$\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a\right)-ib=2+i$

Por lo que

$b=-1$

Ahora

$\sqrt{a^{2}+1}-a=2$

Resolviendo para $a$

$a^{2}+1=4+4a+a^{2}$

$4a+3=0$

$a=-\frac{3}{4}$

Por lo tanto la solución de la ecuación es:

$z=-\frac{3}{4}-i$

32.

$\bigl|z\bigr|^{2}+1+12i=6z$

$a^{2}+b^{2}+1+12i=6z$

$\left(a^{2}+b^{2}+1\right)+12i=6(a+ib)$

Igualando parte real e imaginaria se llega a:

$b=2$

y

$a^{2}+2^{2}+1=6a$

$a^{2}-6a+5=0$

Se tienen las soluciónes

$a=5$

y

$a=1$

Por lo que hay dos soluciónes a la ecuación planteada, estas son:

$z_{1}=5+2i$

$z_{2}=1+2i$

Ejercicio resuelto por: --Luis Santos (discusión) 16:15 12 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 36

¿Cuál es el único número complejo con módulo 0?

Procedimiento 

Definimos a en donde con , donde no sabemos cuales son los valores de a y b, a continuación obtenemos la magnitud de z.

Como buscamos un número cuya magnitud sea cero

Por lo que, igualando las expresiones para en encontrar a y b.

Desarrollando

Donde podemos ver que

Donde el único número real que cumple esta condición última, es el cero.

comprobando

Solución

$ |z|=\sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{0^2+0^2}=0 $

El único numero con modulo 0 es el numero 0+0i


Realizado por: Pablo (discusión) 01:14 15 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 37

Bajo que circunstancias $|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|$.

Si $z_1=a_1+b_1i$ y $z_2=a_2+b_2i$, sus respectivas magnitudes son:

$|z_1|=\sqrt{a_1^2+b_1^2}$

$|z_2|=\sqrt{a_2^2+b_2^2}$

Su suma

$|z_1|+|z_2|=\sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2}$

Por otro lado, sumando los numeros:

$z_1+z_2=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i$

$|z_1+z_2|=\sqrt{(a_1+a_2)^2+(b_1+b_2)^2}=\sqrt{a_1^2+2a_1a_2+a_2^2+b_1^2+2b_1b_2+b_2^2}$

$|z_1+z_2|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2+2(a_1a_2+b_1b_2)}$

Igualando expresiones;

$\sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2+2(a_1a_2+b_1b_2)}$

Por lo que para que la expresión anterior se satisfaga, se tiene que cumplir alguna de las siguientes condiciones:

$a_1=a_2=b_1=b_2=0$

$a_1 \neq 0, a_2=b_1=b_2=0$

O cualquier combinación como la anterior.


Resuelto por: Oscar Javier Gutierrez Varela 22:57 12 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 44

Supongamos $z_1\neq z_2$. Interpretar: $Re(z_1{\bar z}_2)=0 $ geométricamente en términos de los vectores $z_1$ y $z_2$\\ Solución:\\ Sean: $z_1=a_1+ib_1$ y $z_2=a_2+ib_2$ números complejos. Entonces $z_1{\bar z}_2=(a_1+ib_1)(a_2-ib_2)=(a_1a_2+b_1b_2)+i(a_2b_1-a_1b_2)$. Con $Re(z_1{\bar z}_2)=a_1a_2+b_1b_2$. En plano complejo $z_1$ tiene coordenadas $(a_1,b_1)$ y $z_2$ tiene coordenadas $(a_2,b_2)$. Entonces $a_1a_2+b_1b_2=(a_1,b_1) \cdot (a_2,b_2)$ que lo anterior igualado a cero quiere decir que los vectores $z_1$ y $z_2$ son perpendiculares. Alan Daniel Barrón Posadas (discusión) 23:59 15 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 47

Demostrar:

a) |z|=|−z|

Soponer que  z=a+bi  y  -z=-(a+bi)

Y sabemos la definicion de modulo:

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

Entonces

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

Ademas sabemos que todo número negativo elevado al cuadrado da un número positivo; entonces:

$|-z|=\sqrt{a^2+b^2}$

Por lo tanto:

|z|=|-z|


b)|z|=|z*|

Suponer que  z=a+bi  y  z*=a-bi. Donde z* es el conjugado de z. Tomando en cuenta la definicion de modulo, tenemos:

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

Por la razon anterior, no es necesario poner el signo menos en la siguiente igualdad.
$|z*|=\sqrt{a^2+b^2}$

Por lo tanto:

|z|=|z*|

Nancy Martínez Durán (discusión) 19:38 15 mayo 2015 (CDT)