Compleja:Zill-Cap1.1
Ejercicios del capítulo 1 Números complejos y el plano complejo, sección 1 Números complejos y sus propiedades del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.
Clasificación CL: QA331.7 .Z55 2003 [1].
Sección 1.1
Ejercicio 1
1. Evalué las siguientes potencias de i.
(a) $i^{8}$
(b) $i^{11}$
(c) $i^{42}$
(d) $i^{105}$
Procedimiento
A partir de la definición $i^{2}=-1$, se pueden obtener las primeras potencias de $i$
$i=i$
$i^{2}=-1$
$i^{3}=-i$
$i^{4}=1$
$i^{5}=i$
$i^{6}=-1$
$i^{7}=-i$
$i^{8}=1$
De aquí se observa que existe una sucesión en los resultados de estas potencias, además $i^{4k}=1$, para cualquier $k=1,2,3,4,...$ .
Se deduce entonces que:
\begin{equation} i^{n}=i^{4k+b}=i^{b} \end{equation}
Empleando esta fórmula de obtiene que:
(a) $i^{8}=i^{4(2)+0}=i^{0}=1$
(b) $i^{11}=i^{4(2)+3}=i^{3}=-i$
(c) $i^{42}=i^{4(10)+2}=i^{2}=-1$
(d) $i^{105}=i^{4(26)+1}=i^{1}=i$
Solución
(a) $i^{8}=i^{4(2)+0}=i^{0}=1$
(b) $i^{11}=i^{4(2)+3}=i^{3}=-i$
(c) $i^{42}=i^{4(10)+2}=i^{2}=-1$
(d) $i^{105}=i^{4(26)+1}=i^{1}=i$
Realizado por: Luis Santos (discusión) 14:58 12 mayo 2015 (CDT) Carlosmiranda (discusión) 15:43 21 nov 2020 (CST)
Ejercicio 2
Escriba el numero dado, en la forma .
(a) $2i^{3}-3i^{2}+5i$.
Procedimiento
Aquí lo más práctico es factorizar una $i^{2}$ en el primer término y aplicar nuestra definición de $i^{2}$= $-1$ y aplicar la misma definición en el segundo término, desarrollamos y simplificamos:
$2i(i^{2})-3(i^{2})+5i=2i(-1)-3(-1)+5i=-2i+3+5i=3+3i$.
Solución
.
(b) $3i^{5}-i^{4}+7i^{3}-10i^{2}-9$.
Procedimiento
Son potencias pequeñas, para hacer mas evidente todo, lo reescribiré de la siguiente forma que es equivalente:
$3i(i^{2})(i^{2})-(i^{2})(i^{2})+7i(i^{2})-10(i^{2})-9$
sustituimos $(i^{2})=-1$, desarrollamos y simplificamos:
.
Solución
(b)
(c) $\frac{5}{i}+\frac{2}{i^{3}}-\frac{20}{i^{18}}$.
Procedimiento
Tomamos en cuenta que $i^{18}=-1$; $i^{3}=-i$ y reescribimos todo:
$\frac{5}{i}-\frac{2}{i}+20$.
multiplicamos por el 1 que nos convenga:
$\left(\frac{5}{i}\right)\left(\frac{i}{i}\right)-\left(\frac{2}{i}\right)\left(\frac{i}{i}\right)+20\left(\frac{i}{i}\right)=\frac{5i}{i^{2}}-\frac{2i}{i^{2}}+20$.
volvemos a tomar en cuenta $(i^{2})=-1$.
$-5i+2i+20$.
y simplificamos:
$20-3i$.
Solución
(c) $ 20-3i $
(d) $2i^{6}+\left(\frac{2}{-i}\right)^{3}+5i^{-5}-12i$.
Tomamos en cuenta que $i^{6}=-1$,$\left(-i\right)^{3}=-i$ y $i^{5}=i$ y reescribimos:
$-2-\frac{8}{i}+\frac{5}{i}-12i$
multiplicamos por el 1 que nos convenga, desarrollamos y simplificamos:
$-2-\left(\frac{8}{i}\right)\left(\frac{i}{i}\right)+\left(\frac{5}{i}\right)\left(\frac{i}{i}\right)-12i$ = $-2+8i-5i-12i$=$-2-9i$
Solución
(d)$ -2-9 i$
Realizado por: Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 11:43 15 mayo 2015 (CDT)
Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 21:22 15 mayo 2015 (CDT)
Carlosmiranda (discusión) 16:21 21 nov 2020 (CST)
Ejercicio 3
Escribir el numero complejo de la forma a+ib
$\left(5-9i\right)+\left(2-4i\right)$
Procedimiento
Tenemos los números complejos:
$z_{1}=5-9i$ , $z_{2}=2-4i$
Sumamos parte real con parte real
$5+2=7$
y parte imaginaria con parte imaginaria
$(-9-4)i=-13i$
Y así tenemos el resultado:
Solución
$z_{1}+z_{2}=7-13i$
Resuelto por: Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 17:11 15 mayo 2015 (CDT) Carlosmiranda (discusión) 16:22 21 nov 2020 (CST)
Ejercicio 4
Escribir el número $3\left(4-i\right)-3\left(5+2i\right)$ en la forma .
Procedimiento
Tenemos los números complejos:
$z_{1}=3\left(4-i\right)$ , $z_{2}=-3\left(5+2i\right)$
Primero la operación producto por escalar de cada número complejo:
$z_{1}=3\left(4-i\right)=12-3i$
$z_{2}=-3\left(5+2i\right)=-15-6i$
Ahora uniendo términos semejantes seguido de la operación sustracción, tenemos:
$3\left(4-i\right)-3\left(5+2i\right)= 12-3i-15-6i =\left(12-15\right)-\left(6+3\right)i= -3-9i$
Solución
$z=-3-9i$
Realizado por: Emmanuell Castro Flores (discusión) 19:50 15 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 5
Escribir el número dado en la forma a + ib .
$z=i(5+7i)$
Procedimiento
Tenemos el numero complejo:
\[ i(5+7i) \]
entonces usamos la propiedad distributiva para el producto y la suma:
\[ (5i+7i^{2}) \]
y sabiendo de la definición que:
\[
i^{2}=-1
\]
tenemos que el numero complejo resultante es:
\[ (5i-7) \]
representándolo en la forma:
\[ z=a+bi \]
El resultado es:
Resultado
$z=-7+5 i$
Ejercicio resuelto por: --Usuario:Martin Flores Molina (discusión) 22:48 14 mayo 2015 (CDT) Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 21:22 15 mayo 2015 (CDT) Carlosmiranda (discusión) 16:28 21 nov 2020 (CST)
Ejercicio 6
Escriba el numero dado, en la forma
$i(4-i)+4i(1+2i)$
Procedimiento
Únicamente operamos y resolvemos:
$i(4-i)+4i(1+2i)=4i-i^2+4i+8i^2=(1-8)+i(4+4)=-7+i8$
Solución
$z=-7+8i$
Fernando Vazquez V. (discusión) 00:08 15 mayo 2015 (CDT) Carlosmiranda (discusión) 16:32 21 nov 2020 (CST)
Ejercicio 7
Escribir de la forma $(a+bi)$
$(2-3i)(4+i)$
Procedimiento
Así que desarrollando: $(2-3i)(4+i)=8-3(-1)-12i+2i=11-10i$
Además, por la definición de multiplicación entre números complejo se tiene que:$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+i(bc+ad)$
Entonces:
\[ (2-3i)(4+i)=(8+3)+i(2-12)=11-i10 \]
Solución
$z=11-10i$
Resuelto por --A. Martín R. Rabelo (discusión) 21:20 12 mayo 2015 (CDT)
Comentario: Uso de la forma polar el resultado puede ser mas directo y permite observarse el fenómeno de rotación en el plano complejo si utilizamos su forma polar tal que La multiplicación de dos números complejos(2-3i)(4+i)=(8+3)+i(2-12)=11-10i es otro número complejo tal que:
Su módulo es el producto de los módulos.
$\alpha_4$ Su argumento es la suma de los argumentos
\[ r1 \alpha * r2 \alpha = r1 r2 (\alpha +\alpha)\]
Ejercicio 8
Escribir el numero dado de la forma .
Procedimiento
Realizando el producto se tiene::
Sabemos que: $i^{2}=-1$
Y además $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+i(bc+ad)$
Por lo tanto: $\left( \frac{1}{2}-\frac{1i}{4}\right) \left( \frac{2}{3}+\frac{5i}{3}\right) = \frac{3}{4}+\frac{2i}{3}$
Solución
$z= \frac{3}{4}+\frac{2i}{3} $
Realizado por: Nancy Martínez Durán (discusión) 15:05 14 mayo 2015 (CDT)
Carlosmiranda (discusión) 19:11 21 nov 2020 (CST)
Ejercicio 10
Escribir el numero dado de la forma $a+ib$.
Procedimiento
Multiplicando y dividiendo por el conjugado del denominador se tiene:
Se realizan las operaciones correspondientes.
Solución
$z= \frac{1}{2}+\frac{i}{2}$
Realizado por: Tlacaelel Cruz (discusión) 20:46 12 mayo 2015 (CDT)
Carlosmiranda (discusión) 19:31 21 nov 2020 (CST)
Ejercicio 11
Escribe el numero dado en la forma $a+ib$.
:
Procedimiento
Para resolver este problema multiplicaremos el numerador y el denominador por el conjugado de $3-5i$ del denominador $3+5i$ y al realizar las operaciones correspondientes obtendríamos:
- donde $i^2=-1$
De manera que buscamos la forma $a+bi$, reescribimos el ultimo resultado de tal manera que nos quede:
Solución
$z= -\frac{7}{17}-\frac{11 i}{17}$
Realizado por: Miguel Medina Armendariz (discusión) 11:07 15 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 12
Escriba el numero complejo $z$ en la forma $a+ib$
:
Procedimiento
Como tenemos una división $z_1/z_2$ para resolverla es necesario multiplicar a $z$ por el conjugado del denominador, al hacer esto deberán de hacer las operaciones correspondientes
Reduciendo términos semejantes obtenemos:
Solución
$z=\dfrac{50-50i}{40}$
Realizado por: Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 15:00 14 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 13
Escriba la operación en la forma $a+ib$.
$(1+i)^{2}(1-i)^{3}$
Procedimiento
Esto podemos representarlo como:
$(1+i)^{2}(1-i)^{3}$=$(1+i)^{2}(1-i)^{2}(1-i)$
además:
$(1+i)^{2}(1-i)^{2}$=$[(1+i)(1-i)]^{2}$
así:
$(1+i)^{2}(1-i)^{2}(1-i)=[(1+i)(1-i)]^{2}(1-i)=(1+1)^2(1-i)=2^{2}(1-i)=4-4i$
Solución
$z=4-4i$
Realizado por: Francisco Medina Albino (discusión) 14:37 14 mayo 2015 (CDT)
Carlosmiranda (discusión) 19:42 21 nov 2020 (CST)
Ejercicio 14
Escribir el número dado en la forma .
Procedimiento
Desarrollamos los productos:
Tomando en cuenta que.
Multiplicando por el conjugado $\bar{z}$.
Por lo tanto expresando en la forma .
Solución
$z=\frac{7}{25}-\frac{1}{25}i$
Resuelto por --Severo Martinez Samantha B. (discusión) 21:05 15 mayo 2015 (CDT) Carlosmiranda (discusión) 19:49 21 nov 2020 (CST)
Ejercicio 15
Escribe el numero dado en la forma $(a+bi)$
Procedimiento
Para poder solucionar este problema lo primero que debemos realizar son las sumas y las restas de los paréntesis teniendo en cuenta que se suman partes reales con reales y partes imaginarias con imaginarias asi tendremos:
El siguiente paso consiste en multiplicar y dividir por el conjugado del denominador así:
Una vez realizando la multiplicación obtendremos:
y dividiendo ambos términos por 37 obtendremos el numero de la forma $(a+bi)$ esto es:
Solución
$z= \left (\frac{33}{37} \right )-\left (\frac{64 i}{37} \right ) $
Resuelto por --Cristian Alfredo Ruiz Castro (discusión) 19:05 14 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 20
Escriba el numero dado, en la forma .
$(2+3i)(\dfrac{2-i}{1+2i})^2$
Procedimiento
Desarrollando el término cuadrático tenemos que.
$(2+3i)(\dfrac{4-4i+i^2}{1+4i+4i^2})$
Pero tomando en cuenta que $i^2=1$, entonces:
$(2+3i)(\dfrac{3-4i}{-3+4i})= (2+3i)(\dfrac{3-4i}{-(3-4i)})= (2+3i)(-1)$
Solución
$ z = -2-3i$
Realizado por: Arnold B. Herrera Rubert (discusión) 20:15 15 mayo 2015 (CDT) Carlosmiranda (discusión) 19:56 21 nov 2020 (CST)
Ejercicio 26
En el problema, encontrar Re(z) e Im(z).
$z=\frac{1}{(1+i)(1-2i)(1+3i)}$
Procedimiento
Simplificamos la expresión dada:
$\frac{1}{(1+i)(1-2i)(1+3i)}=\frac{1}{(1-2i+i-2i^{2})(1+3i)}=\frac{1}{(3-i)(1+3i)}=\frac{1}{(3+9i-i-3i^{2})}=\frac{1}{6+8i}$
Ahora multiplicamos este último resultado por $\bar{z}$ (cociente de conjugados de ${z}$) . Así tenemos:
$z.(\bar{z}/\bar{z})=(\frac{1}{6+8i})(\frac{6-8i}{6-8i})=\frac{6\text{-}8i}{36-48i+48i-64i^{2}}=\frac{6-8i}{100}=\frac{3}{50}-\frac{2}{25}i$
Por lo que:
$Re(z)=\frac{3}{50}$; $Im(z)=-\frac{2}{25}i$
Solución
$z=-\frac{2}{25}i$
Resuelto por: Alejandro Juárez Toribio Alejandro Juárez Toribio (discusión) 16:42 13 mayo 2015 (CDT) Carlosmiranda (discusión) 20:00 21 nov 2020 (CST)
Ejercicio 27
Sea . Exprese la cantidad dada en términos de e
Re
Procedimiento
Donde se define como el inverso del número : \[ \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{x+ i y}\]
\[ \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{x+ i y}\dfrac{x - i y}{x- i y} = \dfrac{x + i y }{x^{2} + y^{2}} \]
Si $Re >0$ y $x>0$ esto resulta: \[ \dfrac{x}{x^{2} + y^{2}} \]
Solución
$ Re\left ( \frac{1}{z} \right ) =\left (\frac{x}{x^{2}+{y}^{2}} \right )$
Si $x^{2}+{y}^{2}\neq 0$
Realizado por: Esther Sarai (discusión) 00:32 15 mayo 2015 (CDT) Esther Sarai Carlosmiranda (discusión) 20:20 21 nov 2020 (CST)
Ejercicio 35
Demostrar que el número complejo dado cumple la condición y encuentra otro número que la cumpla $z_2$:
$z^2 + i = 0$;
$z_1 = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i$
Procedimiento
$z_1^2=z_1 z_1 = (-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i)(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i)=\dfrac{2}{4}-\dfrac{2}{4}i-\dfrac{2}{4}i-\dfrac{2}{4}$
$z_1^2=(\dfrac{2}{4}-\dfrac{2}{4})-(\dfrac{2}{4}+\dfrac{2}{4})i=-i$
Sustituimos:
$z_1^2+i=-i+i=0$
Solución
Dado que $z_1=i$
$z_1= -\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i$
es solución a la ecuación
$z^2 + i = 0$
b) Encontrar otro número que cumpla la ecuación.
Procedimiento
Otro número que cumple la misma condición podría ser el obtenido con un cambio de signo entre su parte $Re(z_1)$ e $Im(z_1)$:
$z_2=\frac{\sqrt{2}}{4}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}i$
Resolvemos la ecuación para $z_2$;
$z_2^2=z_2z_2=(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{2}{2}i)(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{2}{2}i)=\dfrac{2}{4}-\dfrac{2}{4}i-\dfrac{2}{4}i-\dfrac{2}{4}$
$z_2^2=(\dfrac{2}{4}-\dfrac{2}{4})-(\dfrac{2}{4}+\dfrac{2}{4})i=-i$
Sustituimos:
$z_2^2+i=-i+i=0$
Solución
El número $z_2=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}i$ cumple también la condición $z^2+i=0$.
Ejercicio resuelto por: --Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 19:43 12 mayo 2015 (CDT)
Nota adicional:
Siendo $z=a+ib$
$z^{2}$ puede obtenerse al desarrollar $(a+ib)^{2}=a^{2}+2iab-b^{2}=(a^{2}-b^{2})+2abi$
Donde se empleo la definición $i^2 =-1$
De aquí puede observarse que
$z^{2}=(-z)^{2}$
Y ya que
$\frac{-\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$
es una solución
también lo sera:
$\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i$
Nota adicional por: Luis Santos (discusión) 22:12 12 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 37
Encontrar $z$ en la forma $z = a+bi$ tal que:
Procedimiento
Por la definición de igualdad números complejos $z_1=z_2$ si y solo si $a_1=a_2$ y $b_1=b_2$
Despejando para $a$ y $b$
Por lo tanto $z$ se puede expresar de la siguiente forma:
Solución
$z=\frac{-9}{2}+ i$
Donde:
a=$\frac{-9}{2}$
b=$1$
Realizado por: Carlosmiranda (discusión) 20:39 21 nov 2020 (CST)
Ejercicio 44
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones para y .
\begin{eqnarray*} iz_1+(1+i)z_2=1+2i \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} (2-i)z_1+2iz_2=4i \end{eqnarray*}
Procedimiento
Multipliquemos la primera ecuación por $i$ y la segunda por $\frac{1}{2-i}$
Lo cual resulta en el par de ecuaciones:
$-z_1+(1+i)iz_2=(1+2i)i$
$z_1 +\frac{2i}{2-i}z_2=4i $
Desarrollando un poco se tiene que:
$-z_1+(-1+i)z_2=(-2+i)i$
$z_1+\frac{-2+4i}{5}z_2=4i$
Realizando la suma entre estas dos ecuaciones:
$\left (\frac{-7}{5}+\frac{9i}{5} \right )z_2=-2+4i$
Despejando $z_2$ se obtiene que:
$z_2=\frac{25}{13}-\frac{5i}{13}$
Sustituyendo este valor de $z_2$ En la primera ecuacion, se tiene:
$iz_1+(1+i)\frac{25}{13}-\frac{5i}{13}=1+2i$
Realizando la multiplicación:
$iz_1+\left (\frac{30}{13}+\frac{20i}{13} \right )=1+2i$
$iz_1=\left (\frac{-17}{13}+\frac{6i}{13} \right )$
Finalmente multiplicando ambos lados por $-i$
$z_1=\left (\frac{6}{13}+\frac{17i}{13} \right )$
Solución
$z_1=\left (\frac{6}{13}+\frac{17i}{13} \right )$
$z_2=\frac{25}{13}-\frac{5i}{13}$
Realizado por: *****Anahi Limas (discusión) 20:21 14 mayo 2015 (CDT) Carlosmiranda (discusión) 22:53 21 nov 2020 (CST)
Ejercicio 45
¿Qué se puede decir sobre el numero complejo $z$ si $z=\overline{z}$?, y ¿si $(z)^{2}=(\overline{z})^{2}$?
Procedimiento
Considerando $z=a+ib$, por definicion su conjugado es $\overline{z}$, analizándolo desde el plano complejo, considerando a la parte real como el eje x y a la parte imaginaria como el eje y, $z$ seria una reflexión respecto al eje x. Por otro parte para que la primer condición dada se cumpla se necesita lo siguiente: \[ z=\overline{z}\Leftrightarrow z\in\mathbb{R} \]
O mejor dicho $z=\overline{z}\Leftrightarrow z=a+i0$
Es decir, un numero complejo es igual a su conjugado si y solo si la parte imaginaria del conjugado es igual a cero, lo que quiere decir que solo es un número real.
Para el segundo caso
\[ (z)^{2}=(\overline{z})^{2}\Leftrightarrow z=a+i0 \]
Desarrollando ambos lados de la ecuación, tenemos lo siguiente:
\[ (a^{2}-b^{2})+i(2ba)=(a^{2}+b^{2})-i(2ba) \]
La ecuación anterior solo es valida si $b=0\Rightarrow z=a+i0$, lo
que implica que tiene que ser un número real.
Realizado por: Jose Emmanuel Flores Calderón (discusión) 20:38 14 mayo 2015 (CDT) Carlosmiranda (discusión) 22:57 21 nov 2020 (CST)
Ejercicio 49
Asumiendo por el momento que tiene sentido en el sistema de números complejos. ¿Cómo demostraría la validez de la ecuación ?
Procedimiento
Tenemos que ; sólo tiene sentido sí .
Desarrollamos el binomio cuadrado:
- Simplificamos y eliminamos términos:
Por lo tanto
Elaborado por --Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 17:50 15 mayo 2015 (CDT) Carlosmiranda (discusión) 23:02 21 nov 2020 (CST)
Ejercicio 50
Suponga que: . ¿Que podemos decir acerca de , sí ?
Procedimiento
Primero desarrollaremos la multiplicación de los números
Pero la multiplicación de ambos números complejos es igual a cero::
Siendo .
Ahora como tenemos una igual .
Esto pasa sí y sólo sí la parte real es igual a parte real e imaginaria con imaginaria, observamos que tenemos un sistema de ecuaciones::
Por lo que::
Primero desarrollando en
Vemos que::
Por lo que debe ser:
Ahora sí sustituimos en
Por lo que de los valores obtenidos, sí sustituimos en cualquier número Error al representar (error de sintaxis): z_{0} ó z_{1} , tenemos que::
ó
Por lo anterior, Podemos decir que:
1.
2.
3.
Realizado por: Pablo (discusión) 23:45 14 mayo 2015 (CDT)
Carlosmiranda (discusión) 23:36 21 nov 2020 (CST)
Ejercicio 51
Suponga que el producto $z_1\cdot z_2$ de dos números complejos es una constante real, y además diferente de cero. Mostrar que $z_2=k{\bar{z}}_1$, donde $k$ es un número real.\\
Procedimiento:
Sea $z_1z_2=\alpha$; con ($\alpha\in\mathbb{R}-\{0\}$).Como $z_1z_2\neq 0 \Longrightarrow (z_1\neq0 \wedge z_2\neq0) $
Si $ k\equiv \frac{\alpha}{{\mid z_1 \mid}^2}$ entonces $ k \in\mathbb{R}$, ya que $(\alpha\in\mathbb{R}-\{0\})\wedge ({\mid z_1 \mid}^2\in\mathbb{R}-\{0\})$.
Por lo tanto: $ z_2=k{\bar{z}}_1 $
Realizado por: Alan Daniel Barrón Posadas (discusión) 23:27 15 mayo 2015 (CDT) Carlosmiranda (discusión) 23:44 21 nov 2020 (CST)
