Compleja:Demostracion de continuidad

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Sea $f:\Omega \rightarrow C$ una función continua


$(1)$ Si $\Omega$ es conexo, entonces $f(\Omega)$ también es conexo.


$(2)$ Si $\Omega$ es compacto, entonces $f(\Omega)$ también es compacto.


Demostracion. $(1)$ Supongamos que $\quad V\subseteq f(\Omega )$ es abierto y cerrado en $f(\Omega)$ y que $V\neq 0$.

Entonces, ${ f }^{ -1 }V\neq 0 \quad$ y $\quad { f }^{ -1 }V$ es abierto y cerrado en el conexo $\Omega$ por que $f$ es continua.

Se sigue que ${ f }^{ -1 }V=\Omega $ y así $V=f(\Omega)$ y por lo tanto $f(\Omega)$ es conexo.


Demostracion: $(2)$ Si $\Omega =0 \quad$ entonces $f(\Omega)=0 \quad$ y no hay nada que probar.

Supongamos que $\Omega \neq 0 \quad$ y sea $\quad \left\{ { { V }_{ i } } \right\} \quad$ una cubierta abierta de $\quad f(\Omega) \quad$, es decir $\quad f(\Omega )\subseteq { U }_{ i }{ V }_{ i } \quad$.

Entonces $\left\{ { f }^{ -1 }{ V }_{ i } \right\} $ es una cubierta abierta de $\Omega$, y como $\Omega$ es compacto, entonces existe una subcubierta infinita, digamos $\Omega \subseteq { f }^{ -1 }{ V }_{ 1 }\cup .....\cup { f }^{ -1 }{ V }_{ n }. \quad$ Se sigue que

$f(\Omega )\subseteq f({ f }^{ -1 }{ V }_{ 1 }\cup .....\cup { f }^{ -1 }{ V }_{ n })\subseteq f({ f }^{ -1 }{ V }_{ n })\cup .....\cup f({ f }^{ -1 }{ V }_{ n })\subseteq { V }_{ 1 }\cup ....\cup { V }_{ n }$

y por lo tanto ${ V }_{ 1 },.......,{ V }_{ n }$ es una subcubierta infinita de $f(\Omega)$


Una función $f:\Omega \rightarrow C$ es uniformemente continua si para todo $\E >0$ existe un $\delta >0$ tal que $\left| f(z)-f(w) \right| <\E $ siempre que $\left| z-w \right| <\delta $. Claramente toda función uniformemente continua es continua.


Miguel Medina Armendariz (discusión) 12:48 5 jul 2015 (CDT)