Compleja:Demostracion de Ecuaciones Cauchy-Riemann

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Si $f=u+iv$, es decir, para $z=x+iy=(x,y)$, escribiendo

$f(z)=f(x+iy)=f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)$

donde $u,\quad v:\Omega \rightarrow R$ son funciones reales de dos variables reales, veamos como se comportan estas funciones al calcular el limite que define ${ f }^{ ´ }(z)$ a lo largo de las dos direcciones privilegiadas anteriores:

$(1)$. Supongamos que $h\rightarrow 0$ con $h\in R$. Entonces $z+h=(x+h)+iy=(x+h,y)$ y por lo tanto

$\frac { f(z+h)-f(z) }{ h } =\frac { f(x+h,y)-f(x,y) }{ h } =\frac { u(x+h,y)+iv(x+h,y)-u(x,y)-iv(x,y) }{ h } =\frac { u(x+y,h)-u(x,y) }{ h } +i\frac { v(x+y,h)-v(x,y) }{ h } $

por lo que como ${ f }^{ ´ }(z)$ existe se debe tener que

${ f }^{ ´ }(z)=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f(z+h)-f(z) }{ h } } =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { u(x+h,y)-u(x,y) }{ h } } +i\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { v(x+h,y)-v(x,y) }{ h } } =\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}$


$(2)$. Similarmente, si $h\rightarrow 0$ con $h\in Ri$, escribiendo $h=ki$ con $k\in R$ se tiene que $k\rightarrow 0$ y por lo tanto $z+h=x+iy+ik=x+i(y+k)=(x,y+k)$ y asi

$\frac { f(z+h)-f(z) }{ h } =\frac { f(x,y+k)-f(x,y) }{ ik } =\frac { u(x,y+k)+iv(x,y+k)-u(x,y)-iv(x,y) }{ ik } =\frac { 1 }{ i } \left( \frac { u(x,y+k)-u(x,y) }{ k } +i\frac { v(x,y+k)-v(x,y) }{ ik } \right) $

por lo que como ${ f }^{ ´ }(z)$ existe se debe tener que

${ f }^{ ´ }(z)=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f(z+h)-f(z) }{ h } } =\frac { 1 }{ i } \lim _{ k\rightarrow 0 }{ \left( \frac { u(x,y+k)-u(x,y) }{ k } +i\frac { v(x,y+k)-v(x,y) }{ ik } \right) } =\frac { 1 }{ i } \lim _{ k\rightarrow o }{ \left( \frac { u(x,y+k)-u(x,y) }{ k } \right) } +\lim _{ k\rightarrow 0 }{ \left( \frac { v(x,y+k)-v(x,y) }{ ik } \right) } =-i\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}$

ya que $-i=\frac { 1 }{ i } $

finalmente como ${ f }^{ ´ }(z)$ existe las dos formas que calculamos el limite deben coincidir, es decir

$\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=-i\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}$

e igualando partes reales y partes imaginarias se obtiene que

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ $\quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

a este par de ecuaciones diferenciales parciales se les conoce como las ecuaciones de Cauchy-Riemann.


Miguel Medina Armendariz (discusión) 13:43 5 jul 2015 (CDT)