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== Introducción ==
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La catástrofe ultravioleta es históricamente conocida como un fallo dentro de la teoría clásica, para poder explicar la emisión electromagnética de una cavidad en equilibrio térmico. Esta cavidad es un sistema físico idealizado que obligó a dar el primer salto cuántico a pricipios del siglo XX.
La catástrofe ultravioleta es históricamente conocida como un fallo dentro de la teoría clásica, para poder explicar la emisión electromagnética de una cavidad en equilibrio térmico. Esta cavidad es un sistema físico idealizado que obligó a dar el primer salto cuántico a pricipios del siglo XX.

Revisión del 20:20 18 nov 2020

Introducción

Energía radiada en función de la longitud de onda

La catástrofe ultravioleta es históricamente conocida como un fallo dentro de la teoría clásica, para poder explicar la emisión electromagnética de una cavidad en equilibrio térmico. Esta cavidad es un sistema físico idealizado que obligó a dar el primer salto cuántico a pricipios del siglo XX.

Este sistema parte de una configuración muy específica en la cual toda la radiación emitida al sistema es absorbida por el mismo. Para poder constituir una aproximación tangible a este sistema basta con fabricar una cavidad con un metal a temperatura constante ; de tal modo que la radiación no pueda escaparse del sistema, obteniendo así un sistema que no emite radiación, entonces percibido como un cuerpo negro. Pero si además, al sistema se le hace un orificio minúsculo en donde pueda salir una cantidad ínfima de radiación, podemos asegurar estadísticamente que casi la totalidad de la radiación emitida al sistema queda atrapada dentro de sus paredes. Podemos entonces aproximar este sistema como uno de cuerpo negro, por lo que la radiación emitida por este se puede considerar como radiación de cuerpo negro a la temperatura , además restringida a un volumen independiente de la forma. Dado que la radiación electromagnética permanece atrapada (gas de fotones), y no existe otro tipo de interacción con los alrededores, mas que la emisión y absorción de energía electromagnética, podemos aproximar el sistema a uno en donde el gas fotónico está en equilibrio térmico con las paredes de temperatura .

Históricamente, la catástrofe ultravioleta fue tratada de resolver sólo con el uso de la teoría electromagnética y de la termodinámica, es por esto que aunque se mantenga un enfoque ondulatorio, parte de la solución de este problema está muy fuertemente ligada a la termodinámica estadística.

Radiación de Cuerpo negro

Representación idealizada del cuerpo negro.

Una de las maneras más adecuadas de iniciar este estudio es considerar un sólido a temperatura el cual tiene una cavidad de geometría que puede ser arbitraria. Dentro de esta cavidad ideal no existe otra cosa mas que un “gas” de fotónes o bien de radiación electromagnética. Este gas debe permanecer en equilibrio termodinámico con las paredes de la cavidad a temperatura .

Este problema puede ser resuelto al lograr encontar la densidad de energía del sistema .

Una de las cosas que se necesitan es logar establecer una función que pueda modelar el comportamiento estadístico de ese gas de fotones. Una derivación del modelo que puede describir este comportamiento es el siguiente.

El gran canónico está definido como , cada una asociada a un estado donde ,

Sabemos que cada elemento que conforma al sistema en un momento dado, tiene una cantidad total de constituyetes, por lo que cada elemento aporta una energía , entonces y que la función de partición discretizada está definida como:

Despejando a

Finalmente

La serie con , es convergente si

Como

Entonces

En este punto es necesario utilizar la hipótesis de Einstein realizada en su trabajo sobre el efecto fotoeléctrico, donde se toma en cuenta que la energía electromagnética viene en paquetes discretos de energía mínima (), los cuantos. Estos siendo partículas sin masa de reposo y con energía y cantidad de movimiento

Entonces

La energía del campo electromagnético es equivalente a la suma total de las energías de cada fotón que componen al sistema.

Por lo que la contribución de energía media de los fotones es .

La energía media total ahora es

El número medio de ocupación de cada estado está definido como

Resultando en la función de Bose-Einstein para los fotones:

Densidad de Estados

El otro aspecto relevante a considerar para poder encontar la densidad de energía, es encontrar la densidad de estados del sistema. Ya que el producto de con una función de densidad de estados, genera una ponderación del cálculo de la probabilidad de que sea ocupado un estado específico de energía en el número de estados disponibles para una energía específica.

La obtención del número de cuántas formas hay de obtener una energía específica puede generarse utilizando el cálculo para el número de ondas estacionarias posibles en una caja cúbica.

Las ondas electromagnéticas estacionarias en una cavidad en equilibrio con las paredes deben satisfacer la ecuación de ondas

Dadas las condiciones de contorno del sistema la energía claramente es

Resultando en

Para un radio en todo el espacio, con

Dado que se calcula en una caja cuadrada y existen 2 planos de polarización, el número de valores es

Entonces el número de estados en un volumen unitario

Derivando con respecto a la energía se obtiene la densidad de estados final en función de la energía en un volumen unitario y tomando en cuanta la energía cuantizada

En un volúmen

Ahora sí se esta en condiciones de calcular la densidad de energía.

La densidad de energía para un intervalo de frecuencia está dada por

Se obtiene como sigue

Anteriormente se obtuvo que . Entonces pasando de , se puede generar la distribución de Planck de la radiación de cuerpo negro en función de la frecuencia de las ondas electromagnéticas, como:

En los límites en que o , en conjunto . Por lo que podemos desarrollar el exponencial e serie de Taylor y quedarnos sólo con los dos primeros términos de desarrollo. Se obtiene

Obteniendo la distribución de Rayleigh-Jeans, que sólo describe nuestro sistema a bajas frecuencias.

Como vemos, al obtener la densidad de energía esencialmente se resuelve el problema de la catastrofe ultravioleta. Para seguirlo demostrando, podemos continuar calculando algunas cantidades termodinámicas del sistema, partiendo directamente del resultado de la densidad de energía en función de la frecuencia de las ondas electromagnéticas y de la temperatura.

Al integrar sobre , y multiplicando por el volúmen , se obtiene la energía interna del sistema

Efectuando un cambio de variable

Pero como

Entonces

La capacidad calorífica

Definiendo , se obtiene

El número medio de fotones, si y además , por lo que

Dado que la función se puede escribir como (Peña, 2006)

Pero

Aquí , entonces , y

Entonces

Como

Tenemos

Pero

Por lo que

Anteriormente habíamos encontrado que

Por lo que podemos reescribir a , como

La relación entre y es:

En donde es la presión de radiación.

Ahora se está en condiciones de poder encontrar la entropia como:


Tal que

Los resultados anteriormente encontrados son los mismos que se obtienen por medio de un enfoque termodinámico y con el uso de la física estadística. Esto demuesta que el enfoque ondulatorio para la solución de la catástrofe ultravioleta, genera los mismos resultados obtenidos mediante un un enfoque termodinámico.


Referencias


[1] Vibraciones y Ondas A. P. French. Reverte, 1974.

[2] Luis de la Peña. (2006). Introducción a la mecánica cuántica (FCE).

[3] Óptica, Eugene Hecht, 3ra edición, Addison Wesley Iberoamericana, 2000.