Diferencia entre revisiones de «Catastrofe ultravioleta»
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La catástrofe ultravioleta es históricamente conocida como un fallo dentro de la teoría clásica, para poder explicar la emisión electromagnética de una cavidad en equilibrio térmico. Esta cavidad es un sistema físico idealizado que obligó a dar el primer salto cuántico a pricipios del siglo XX. | La catástrofe ultravioleta es históricamente conocida como un fallo dentro de la teoría clásica, para poder explicar la emisión electromagnética de una cavidad en equilibrio térmico. Esta cavidad es un sistema físico idealizado que obligó a dar el primer salto cuántico a pricipios del siglo XX. | ||
Este sistema parte de una configuración muy específica en la cual toda la radiación emitida al sistema es absorbida por el mismo. Para poder constituir una aproximación tangible a este sistema basta con fabricar una cavidad con un metal a temperatura constante <math>T</math>; de tal modo que la radiación no pueda escaparse del sistema, obteniendo así un sistema que no emite radiación, entonces percibido como un cuerpo negro. Pero si además, al sistema se le hace un orificio minúsculo en donde pueda salir una cantidad ínfima de radiación, podemos asegurar estadísticamente que casi la totalidad de la radiación emitida al sistema queda atrapada dentro de sus paredes. Podemos entonces aproximar este sistema como uno de cuerpo negro, por lo que la radiación emitida por este se puede considerar como radiación de cuerpo negro a la temperatura <math>T</math>, además restringida a un volumen <math>V</math> independiente de la forma. Dado que la radiación electromagnética permanece atrapada (gas de fotones), y no existe otro tipo de interacción con los alrededores, mas que la emisión y absorción de energía electromagnética, podemos aproximar el sistema a uno en donde el gas fotónico está en equilibrio térmico con las paredes de temperatura <math>T</math>. La pregunta fundamental para | Este sistema parte de una configuración muy específica en la cual toda la radiación emitida al sistema es absorbida por el mismo. Para poder constituir una aproximación tangible a este sistema basta con fabricar una cavidad con un metal a temperatura constante <math>T</math>; de tal modo que la radiación no pueda escaparse del sistema, obteniendo así un sistema que no emite radiación, entonces percibido como un cuerpo negro. Pero si además, al sistema se le hace un orificio minúsculo en donde pueda salir una cantidad ínfima de radiación, podemos asegurar estadísticamente que casi la totalidad de la radiación emitida al sistema queda atrapada dentro de sus paredes. Podemos entonces aproximar este sistema como uno de cuerpo negro, por lo que la radiación emitida por este se puede considerar como radiación de cuerpo negro a la temperatura <math>T</math>, además restringida a un volumen <math>V</math> independiente de la forma. Dado que la radiación electromagnética permanece atrapada (gas de fotones), y no existe otro tipo de interacción con los alrededores, mas que la emisión y absorción de energía electromagnética, podemos aproximar el sistema a uno en donde el gas fotónico está en equilibrio térmico con las paredes de temperatura <math>T</math>. La pregunta fundamental para este problema es, ¿cuál es la cantidad de energía de electromagnética <math>n(\nu, T)</math>, por unidad de volumen en el cuerpo, con frecuencia entre <math>\nu</math> y <math>\nu</math>+d<math>\nu</math> a temperatura <math>T</math> | ||
==Radiación de Cuerpo negro== | ==Radiación de Cuerpo negro== | ||
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Una de las maneras más adecuadas de iniciar este estudio es considerar un sólido a temperatura <math>T</math> el cual tiene una cavidad | Una de las maneras más adecuadas de iniciar este estudio es considerar un sólido a temperatura <math>T</math> el cual tiene una cavidad que puede ser de geometría arbitraria. Dentro de esta cavidad ideal no existe otra cosa mas que radiación electromagnética o bien | ||
un “gas” de | un “gas” de fotones. Este gas debe permanecer en equilibrio termodinámico con las paredes de la cavidad a temperatura <math>T</math>. | ||
Se sabe que Gustav Kirchhoff fue el primer físico en comenzar el estudio de exactamente este tipo de sistemas, también fue él quien acuñó el término "cuerpo negro". A partir de este modelo idealizado pudo comenzar con su estudio teórico que debía arrojar una expresión que lograra reproducir la distribución espectral de la radiación del cuerpo negro a una tamperatura específica. Además, las evidencias experimentales generaron la conclusión de que aquella expresión que lograra explicar la distribución espectral, debía depender sólo de la temperatura y de la | Se sabe que Gustav Kirchhoff fue el primer físico en comenzar el estudio de exactamente este tipo de sistemas, también fue él quien acuñó el término "cuerpo negro". A partir de este modelo idealizado pudo comenzar con su estudio teórico que debía arrojar una expresión que lograra reproducir la distribución espectral de la radiación del cuerpo negro a una tamperatura específica. Además, las evidencias experimentales generaron la conclusión de que aquella expresión que lograra explicar la distribución espectral, debía depender sólo de la temperatura y de la frecuencia de la radiación emitida. | ||
===Ley de Stefan-Boltzmann=== | ===Ley de Stefan-Boltzmann=== | ||
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===Ley de desplazamiento de Wien=== | ===Ley de desplazamiento de Wien=== | ||
En 1893, Wilhelm Wien (1864-1928), a partir de métodos estadísticos logró encontrar una fórmula sencilla que | En 1893, Wilhelm Wien (1864-1928), a partir de métodos estadísticos logró encontrar una fórmula sencilla que logra describir el efecto del cambio de la temperatura del cuerpo negro con el espectro de la radiación que este emite. | ||
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Presentada y derivada por Lord Rayleigh y Sir James Jeans por medio de la física clásica | Presentada y derivada por Lord Rayleigh y Sir James Jeans por medio de la física clásica. Esta expresión fue la que en gran medida presentó el problema de la catástrofe ultravioleta. Expresión acuñada por Paul Ehrenfest, debido a que al encontrar que se predecían correctamente los datos experimentales de la emisión de un cuerpo negro a longitudes de ondas largas, pero que se encontraba una energía creciente a infinito a medida que las longitudes de onda eran cada vez menores, no se pudo lograr ajustar a los datos experimentales obtenidos para valores cada vez más cercanos a la frecuencia correspondentiende de la luz ultravioleta. Se acuñó el término de catástrofe ultravioleta a esta discrepancia entre los modelos teóricos derivados de la física clásica, con los espectros de emisión del cuerpo negro. | ||
La expresión de Raigleigh-Jeans es: | |||
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Derivando con respecto a la energía se obtiene la densidad de estados final en función de la energía en un volumen unitario y tomando en | Derivando con respecto a la energía se obtiene la densidad de estados final en función de la energía en un volumen unitario y tomando en cuenta la energía cuantizada | ||
:<math>\rho(\varepsilon)=\frac{dn_s}{d\varepsilon}=\frac{8\pi}{(hc)^3}\varepsilon^2</math> | :<math>\rho(\varepsilon)=\frac{dn_s}{d\varepsilon}=\frac{8\pi}{(hc)^3}\varepsilon^2</math> |
Revisión del 08:55 19 nov 2020
La catástrofe ultravioleta es históricamente conocida como un fallo dentro de la teoría clásica, para poder explicar la emisión electromagnética de una cavidad en equilibrio térmico. Esta cavidad es un sistema físico idealizado que obligó a dar el primer salto cuántico a pricipios del siglo XX.
Este sistema parte de una configuración muy específica en la cual toda la radiación emitida al sistema es absorbida por el mismo. Para poder constituir una aproximación tangible a este sistema basta con fabricar una cavidad con un metal a temperatura constante ; de tal modo que la radiación no pueda escaparse del sistema, obteniendo así un sistema que no emite radiación, entonces percibido como un cuerpo negro. Pero si además, al sistema se le hace un orificio minúsculo en donde pueda salir una cantidad ínfima de radiación, podemos asegurar estadísticamente que casi la totalidad de la radiación emitida al sistema queda atrapada dentro de sus paredes. Podemos entonces aproximar este sistema como uno de cuerpo negro, por lo que la radiación emitida por este se puede considerar como radiación de cuerpo negro a la temperatura , además restringida a un volumen independiente de la forma. Dado que la radiación electromagnética permanece atrapada (gas de fotones), y no existe otro tipo de interacción con los alrededores, mas que la emisión y absorción de energía electromagnética, podemos aproximar el sistema a uno en donde el gas fotónico está en equilibrio térmico con las paredes de temperatura . La pregunta fundamental para este problema es, ¿cuál es la cantidad de energía de electromagnética , por unidad de volumen en el cuerpo, con frecuencia entre y +d a temperatura
Radiación de Cuerpo negro
Una de las maneras más adecuadas de iniciar este estudio es considerar un sólido a temperatura el cual tiene una cavidad que puede ser de geometría arbitraria. Dentro de esta cavidad ideal no existe otra cosa mas que radiación electromagnética o bien un “gas” de fotones. Este gas debe permanecer en equilibrio termodinámico con las paredes de la cavidad a temperatura .
Se sabe que Gustav Kirchhoff fue el primer físico en comenzar el estudio de exactamente este tipo de sistemas, también fue él quien acuñó el término "cuerpo negro". A partir de este modelo idealizado pudo comenzar con su estudio teórico que debía arrojar una expresión que lograra reproducir la distribución espectral de la radiación del cuerpo negro a una tamperatura específica. Además, las evidencias experimentales generaron la conclusión de que aquella expresión que lograra explicar la distribución espectral, debía depender sólo de la temperatura y de la frecuencia de la radiación emitida.
Ley de Stefan-Boltzmann
Fue el físico y matemático Josef Stefan (1835-1893), quien en 1879 propuso una expresión que relacionaba la densidad de energía de la radiación de cuerpo negro con la cuarta potencia de su temperatura. El orígen de esta expresión esta ligada a la evidencia experimental y es capaz de ajustarse correctamente a los resultados experimentales de un rango amplio de longitudes de onda, pero no cercanas a las emisiones de rayos UV.
La expresión es la siguiente
Donde es la constante de Stefan-Boltzmann y es la temperatura absoluta en kelvins.
En 1884 se encuentra a partir del trabajo de su estudiante Ludwing Boltzmann, una derivación teórica de esta ley. Gran parte del trabajo de Boltzmann se había concentrado en el aspecto temodinámico de la radiación de un cuerpo negro. Es por esta razón que a este resultado se le nombró como Ley de Stefan-Boltzmann.
Ley de desplazamiento de Wien
En 1893, Wilhelm Wien (1864-1928), a partir de métodos estadísticos logró encontrar una fórmula sencilla que logra describir el efecto del cambio de la temperatura del cuerpo negro con el espectro de la radiación que este emite.
Donde es la longitud de onda máxima de emisión (m) y es la temperatura del cuerpo negro en Kelvin (K).
Su expresión concordaba bien con los resultados experimentales y le condujo a concluir que a medida que el cuerpo negro aumenta su temperatura, el máximo del espectro de la distribución se desplaza hacia longitudes de onda cada vez más cortas. Entonces, la longitud de onda del pico máximo multiplicada por la temperatura del cuerpo negro es constante. Así que si se conoce la constante que relaciona a estas dos cantidades y se conoce el valor de una de ellas, inmediatemente se puede obtener el valor de la cantidad faltante. Para un valor dado de una longitud de onda del pico de emisión a determinada temperatura, se puede calcular la longitud de onda máxima para cualquier otra temperatura. Esta ley es nombrada generalmente como la ley de desplazamiento de Wien porque muestra cómo es que para un cuerpo negro la curva de la densidad de energía se desplaza en función del cambio de temperatura.
ley de Raygleigh-Jeans
Presentada y derivada por Lord Rayleigh y Sir James Jeans por medio de la física clásica. Esta expresión fue la que en gran medida presentó el problema de la catástrofe ultravioleta. Expresión acuñada por Paul Ehrenfest, debido a que al encontrar que se predecían correctamente los datos experimentales de la emisión de un cuerpo negro a longitudes de ondas largas, pero que se encontraba una energía creciente a infinito a medida que las longitudes de onda eran cada vez menores, no se pudo lograr ajustar a los datos experimentales obtenidos para valores cada vez más cercanos a la frecuencia correspondentiende de la luz ultravioleta. Se acuñó el término de catástrofe ultravioleta a esta discrepancia entre los modelos teóricos derivados de la física clásica, con los espectros de emisión del cuerpo negro.
La expresión de Raigleigh-Jeans es:
Donde es la velocidad de la luz, la temperatura absoluta, la constante de Boltzmann y es la frecuencia.
Solución a la catástrofe ultravioleta
Históricamente, la catástrofe ultravioleta fue tratada de resolver sólo con el uso de la teoría electromagnética y de la termodinámica, es por esto que aunque se mantenga un enfoque ondulatorio, parte de la solución de este problema está muy fuertemente ligada a la termodinámica estadística.
La catástrofe ultravioleta puede ser resuelta al lograr encontar la densidad de energía del sistema .Una propuesta moderna para lograr encontrar se muestra a continuación.
Gas de fotones
Se puede lograr encontrar una función que describa el comportamiento de la radiación electromagnética por medio de la versión corpuscular de la misma radiación dentro de la cavidad que forma el cuerpo negro. Una de las cosas que se necesitan para obtener a , es logar establecer una función que pueda modelar el comportamiento estadístico del gas de fotones que es generado dentro de la cavidad al quedar atrapada la energía electromagnética. Una derivación del modelo que puede describir este comportamiento es obtenido como sigue.
El gran canónico está definido como , cada una asociada a un estado donde ,
Sabemos que cada elemento que conforma al sistema en un momento dado, tiene una cantidad total de constituyetes, por lo que cada elemento aporta una energía , entonces y que la función de partición discretizada está definida como:
Despejando a
Finalmente
La serie con , es convergente si
Como
Entonces
En este punto es necesario utilizar la hipótesis de Einstein realizada en su trabajo sobre el efecto fotoeléctrico, donde se toma en cuenta que la energía electromagnética viene en paquetes discretos de energía mínima (), los cuantos. Estos siendo partículas sin masa de reposo y con energía y cantidad de movimiento
Entonces
La energía del campo electromagnético es equivalente a la suma total de las energías de cada fotón que componen al sistema.
Por lo que la contribución de energía media de los fotones es .
La energía media total ahora es
El número medio de ocupación de cada estado está definido como
Resultando en la función de Bose-Einstein para los fotones:
Densidad de Estados
El otro aspecto relevante a considerar para poder encontar la densidad de energía, es encontrar la densidad de estados del sistema. Ya que el producto de con una función de densidad de estados, genera una ponderación del cálculo de la probabilidad de que sea ocupado un estado específico de energía en el número de estados disponibles para una energía específica.
La obtención del número de cuántas formas hay de obtener una energía específica puede generarse utilizando el cálculo para el número de ondas estacionarias posibles en una caja cúbica.
Las ondas electromagnéticas estacionarias en una cavidad en equilibrio con las paredes deben satisfacer la ecuación de ondas
Dadas las condiciones de contorno del sistema la energía claramente es
Resultando en
Para un radio en todo el espacio, con
Dado que se calcula en una caja cuadrada y existen 2 planos de polarización, el número de valores es
Entonces el número de estados en un volumen unitario
Derivando con respecto a la energía se obtiene la densidad de estados final en función de la energía en un volumen unitario y tomando en cuenta la energía cuantizada
En un volúmen
Distribución de Planck
Ahora sí se esta en condiciones de calcular la densidad de energía.
La densidad de energía para un intervalo de frecuencia está dada por
Se obtiene como sigue
Anteriormente se obtuvo que . Entonces pasando de , se puede generar la distribución de Planck de la radiación de cuerpo negro en función de la frecuencia de las ondas electromagnéticas, como:
En los límites en que o , en conjunto . Por lo que podemos desarrollar el exponencial e serie de Taylor y quedarnos sólo con los dos primeros términos de desarrollo. Se obtiene
Obteniendo la distribución de Rayleigh-Jeans, que sólo describe nuestro sistema a bajas frecuencias.
Como vemos, al obtener la densidad de energía esencialmente se resuelve el problema de la catastrofe ultravioleta. Para seguirlo demostrando, podemos continuar calculando algunas cantidades termodinámicas del sistema, partiendo directamente del resultado de la densidad de energía en función de la frecuencia de las ondas electromagnéticas y de la temperatura.
Cálculos termodinámicos a partir de la densidad de energía
Una vez obtenida la densidad de energía, esta se puede usar el para encontrar las propiedades termodinámicas del sistema.
Energía interna
Al integrar sobre , y multiplicando por el volúmen , se obtiene la energía interna del sistema
Efectuando un cambio de variable
Pero como
Entonces
Capacidad calorífica
La capacidad calorífica
Definiendo , se obtiene
Número medio de fotones
Si y además , por lo que
Referencias
- T. Kuhn, La Teoría del cuerpo negro y la discontinuidad cuántica, Volumen 262 de Alianza Universidad.
- Vibraciones y Ondas A. P. French. Reverte, 1974.
- Luis de la Peña. (2006). Introducción a la mecánica cuántica (FCE).
- Óptica, Eugene Hecht, 3ra edición, Addison Wesley Iberoamericana, 2000.
-Huerta Escobar J. Gerardo.