Bohm

Analizando el caso de un electrón moviendose en un campo electromagnético, en vacío, tenemos que de la ecuación de Maxwell referida a la no existencia de monopolos magnéticos: \begin{equation} \nabla \cdot B = 0\end{equation} podemos introducir el vector potencial A: \begin{equation}B=\nabla \times A\end{equation} El potencial vectorial A está indefinido hasta una función

gradiente grad ξ sg

rot ( A + grad ξ g)g=got A (3)

Del mismo modo, de otra de las ecuación de Maxwell (“Ley de Faraday”), y usando la ecuación (2), tenemos que

E = −grad Φ g−g1/c∂ A/∂ t    o4p

La indefinición del potencial A hasta por una función tipo grad ξ ge traduce, para garantizar consistencia con

(4), en una indefinición del potencial escalar Φ ,

E = -grad [ Φ −1/c∂ ξ /∂ t ]g−g1/c∂ /∂ t[ A+gradξ ]    o5p

Sabemos que la fuerza que experimenta el electrón de carga –e y

moviéndose con una velocidad v en presencia de los campos E y B está dada por la fuerza de Lorentz,

<A NAME="eq1"> </A> F=−e

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

E+ v× B c

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(1)

La función Lagrangiana que es consistente con la segunda ley de Newton y la fuerza de Lorentz viene dada por

<A NAME="eq2"> </A> L=

1 2

mv2+eΦ −

e c

v• A     (2)

y la función Hamiltoniana correspondiente, de acuerdo con (<A HREF="#eq2">??</A>), es

<A NAME="eq3"> </A> H=

1 2m

⎡ ⎢ ⎢ ⎣

p+ e c A

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

2

−eΦ     (3)

donde p es el ímpetu del electrón. La expresión (<A HREF="#eq3">??</A>) es el hamiltoniano clásico de un electrón en un campo

electromagnético.

La ecuación de Schrödinger para este sistema es, de acuerdo a (<A HREF="#eq3">??</A>) y

a las reglas de cuantización,

<A NAME="eq4"> </A>

1 2m

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎛ ⎜ ⎜ ⎝ −iℏ ∇ + e c A ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 2   −eΦ

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Ψ =iℏ

∂ Ψ  ∂ t

(4)

¿Cómo se modifica esta ecuación si en vez de los potenciales A y Φ gsamos los potenciales modificados por la introducción de la función ξ , es decir, las ecuaciones (3) y (5)?. Dicho de otra forma, ¿qué diferencias introduce resolver la ecuación (<A HREF="#eq4">??</A>) con los potenciales escalar y vectorial definidos por (3) y (5),

<A NAME="eq5"> </A> A'=A+gradξ     (5)

<A NAME="eq6"> </A> Φ '=Φ −

1 c

∂ ξ  ∂ t

(6)

La respuesta es que si Ψ y Ψ ' son las funciones de onda que satisfacen, respectivamente, la ecuación (<A HREF="#eq4">??</A>) y su homóloga,

<A NAME="eq7"> </A>

1 2m

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎛ ⎜ ⎜ ⎝ −iℏ ∇ + e c A' ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 2   −eΦ '

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Ψ '=iℏ

∂ Ψ ' ∂ t

(7)

entonces se satisface que

<A NAME="eq8"> </A> Ψ '=Ψ exp(−i

e ℏ c

ξ )     (8)

En el caso del efecto Bohm Aharanov, se tiene una bobina muy larga y un cañón de electrones que emite electrones en dos trayectorias que se superponen en una pantalla. En este caso, además, Φ = 0. Entre las dos trayectorias se pone la bobina, sin que los electrones pasen por la bobina. Resulta que el patrón de interferencia resultante en la pantalla, producto de la superposición coherente de las funciones de onda de dos haces de electrones siguiendo cada ruta, tiene un corrimiento en distancia dependiendo de si la bobina esta apagada o prendida. Dado que el campo magnético está confinado dentro de la bobina, y los electrones pasan afuera de la bobina, el experimento se explica como un efecto no local. Pero esta es una noción clásica, porque la no-localidad es vista en términos de la ley de Lorentz, Ec. (<A HREF="#eq1">??</A>), es decir, si afuera de la bobina B=0, pues la fuerza que actúa sobre los electrones es cero, pero éstos se ven afectados porque el valor del campo magnético adentro de la bobina. Pero, como discute Holland en The Quantum Theory of Motion (1993), sección 5.2.3, bajo este criterio cualquier fenómeno cuántico es “no local” si queremos analizar a un sistema cuántico en términos de fuerzas, y de aquí que también se diga –como es muy común que lo usen así los químicos cuánticos, de una fuerza efectiva entre electrones asociada al principio de exclusión de Pauli, y que hace que los electrones sientan una repulsión adicional a la eléctrica debido a que no pueden ocupar la misma región del espacio con todos sus números cuánticos iguales-. Una interpretación alternativa a este tipo de no-localidad es la que da el propio Bohm (Bohm & Hiley, The Undivided Universe (1993), sección 3.8), en términos de la teoría Bohm-de Broglie del potencial cuántico, que introduce otra forma de no-localidad: si consideramos la representación más general de la función de onda como Ψ =R exp(iS/ℏ ), entonces de la ecuación de Schrödinger para una partícula moviéndose en una región del espacio donde está presente un potencial V, se obtienen dos ecuaciones acopladas

<A NAME="eq9"> </A>

∂ S ∂ t

+

1 2m

⎛ ⎝

∇ S

⎞ ⎠

2+V+Q=0     (9)

<A NAME="eq10"> </A> Q=−

ℏ 2 2m

∇ 2R R

(10)

La ecuación (<A HREF="#eq9">??</A>) es una ecuación tipo Hamilton-Jacobi extendida con la introducción del potencial cuántico Q, dado por la ecuación (<A HREF="#eq10">??</A>), y que depende de la propia función de onda. El potencial cuántico introduce un tipo distinto de no-localidad, pues depende de TODA la información contenida en la función de onda –lo cual incluye a condiciones de contorno-, mientras que el potencial V es independiente del estado cuántico, y en el límite clásico V sobrevive y Q se extingue, resultado que es en esencia el equivalente geométrico de la

óptica física.

En el caso del efecto Bohm-Aharanov, Q no es cero aún cuando B=0

afuera de la bobina, y variará su valor según este prendida o apagada la bobina. La ecuación (<A HREF="#eq9">??</A>) se re-expresa así:

<A NAME="eq11"> </A>

∂ S ∂ t

+

1 2m

⎡ ⎢ ⎢ ⎣

∇ S+ e c A

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

2

+Q=0     (11)

Bohm define el ímpetu de la partícula como

<A NAME="eq12"> </A> p=∇ S+

e c

A     (12)

e introduce una velocidad v definida de manera usual por v = p/m, de tal modo que aplicando el operador grad a la ecuación (<A HREF="#eq11">??</A>) se obtiene la ecuación

<A NAME="eq13"> </A> m

dv dt

=−gradQ+F     (13)

donde F es la fuerza de Lorentz, ecuación (<A HREF="#eq1">??</A>). Nótese que realmente no hay necesidad de recurrir al concepto de velocidad, pues la ecuación (<A HREF="#eq13">??</A>) se puede rescribir como

<A NAME="eq14"> </A>

d dt

⎡ ⎢ ⎢ ⎣

∇ S+ e c A

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

=−gradQ+F     (14)

La ecuación (<A HREF="#eq14">??</A>) pone en claro que en el efecto Bohm-Aharanov, aunque F = 0 afuera de la bobina, existe una fuerza –grad Q asociada al vector A, que no es cero afuera de la bobina. Esto se sigue de que si B = 0, entonces rot A = 0, pero esta condición se satisface si A = grad Λ sgiendo Λ gna función escalar. Roger Penrose tiene una discusión en detalle sobre este detalle en su libro The Road to Reality (2004), en la sección 19.4. Penrose hace ver que la ecuación (<A HREF="#eq8">??</A>) expresa una simetría exacta, pero “no observable”, relacionada directamente con la existencia de la función Λ ugstoy leyendo en detalle a Penrose

para poder entender mejor esto, y se los platico luego que acabe.

Para completar el cuadro, para este sistema la densidad de corriente de

probabilidad j es

<A NAME="eq15"> </A> j=−i

ℏ  2m

⎡ ⎣

Ψ ∗ ∇ Ψ − ⎛ ⎝ ∇ Ψ   ⎞ ⎠ ∗ Ψ

⎤ ⎦

+

eR2 mc

A     (15)

Ahora bien, a la luz de estos resultados, me parece que el artículo de Kaushal cobra cierto sentido. Hace ver que la ecuación de Helmholtz tiene una simetría asociada similar a (<A HREF="#eq8">??</A>), dependiente del invariante de Ermakov. Este invariante juega un papel similar al potencial A, en el sentido de que, sin ser un “observable”, tiene información del sistema. Más aún, así como cabe interpretar el efecto Bohm-Aharanov como una consecuencia de la realidad física que tiene A a nivel cuántico –y que no tiene a nivel clásico-, entonces ¿podría ser que el invariante de Ermakov adquiera algún tipo de significado físico a nivel cuántico?.

Ésta traducción del texto de Alejandro Gil-Villegas la hice de word a TeX con Chikrii, despues a HTML con Hevea en kile. El código fuente está horrible pero no se lee mal el texto. --Manuel-tepal 16:17 27 ago 2007 (CDT) Carlosmiranda (discusión) 00:44 21 nov 2020 (CST)