Optica: Efectos electo-opticos y magnego-opticos

Introducción

Ópticamente los medios materiales pueden ser sensibles a los campos eléctrico y magnético. Cuando un material se encuentra en presencia de un campo magnético, este es capaz de girar el plano de polarización de la luz incidente, provocando el efecto Faraday. Cuando un material se encuentra en presencia de un campo eléctrico, el índice de refracción del medio cambia, a esto llamamos efecto Kerr y efecto Pockels.

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Efecto Faraday

Se refiere al giro del plano de polarización de la luz incidente en un medio ópticamente denso al aplicarse un campo magnético fuerte en la dirección de propagación de la luz.

Efecto Faraday. $B$ es la densidad de flujo magnético. $d$ es la longitud del medio. $\nu$ es la constante de Verdet

El ángulo $\beta$ de rotación es proporcional al campo magnético aplicado a lo largo del material.

$\beta =\nu Bd\qquad (1)$,

La constante de Verdet depende de la longitud de onda de la luz que atraviesa y de la temperatura del material

$\nu ={\frac {\pi f}{\lambda _{o}n_{o}}}\qquad (2)$, para materiales no magnéticos$\nu ={\frac {e}{2mc^{2}}}\lambda {\frac {dn}{d\lambda }}\qquad (3)$,

Se sabe también que el orden de la constante de Verdet es aproximadamente:

Para Gases $\nu \sim 10^{-5}\qquad (4)$, Para Sólidos y líquidos $\nu \sim 10^{-2}\qquad (5)$, El material es diamagnético si, $\nu >0$.

Un medio material se presenta como una agrupación, en el caso, de un medio elevado de átomos polarizables. Cuando una onda luminosa incide en dicho medio, cada átomo puede considerarse como un oscilador forzado clásico que está siendo excitado por un campo eléctrico variable en el tiempo.

Podemos escribir la segunda ley de Newton como

$m{\ddot {\mathbf {r} }}+m\gamma {\dot {\mathbf {r} }}+m\omega _{o}^{2}\mathbf {r} =q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {B} \qquad (6)$

Y considerando la fuerza de reacción de radiación despreciable

$m{\ddot {\mathbf {r} }}+m\omega _{o}^{2}\mathbf {r} =q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {B} \qquad (7)$

Proponemos una solución de la forma

$\mathbf {r} =\mathbf {r_{o}} e^{-i\omega t}\qquad (8)$ $m(-i\omega )^{2}\mathbf {r} +m\omega _{o}^{2}\mathbf {r} =q\mathbf {E} +q(-i\omega )\mathbf {r} \times \mathbf {B} \qquad (9)$

Recordando el vector de polarización

$\mathbf {P} =Nq\mathbf {r} =N\mathbf {p} \qquad (10)$

Sustituyendo

$Nq[(-i\omega )^{2}m\mathbf {r} +m\omega _{o}^{2}\mathbf {r} =q\mathbf {E} +q(-i\omega )\mathbf {r} \times \mathbf {B} ]$

$(-\omega ^{2}+\omega _{o}^{2})\mathbf {P} ={\frac {Nq^{2}}{m}}\mathbf {E} -i{\frac {\omega q}{m}}\mathbf {P\times B}$

Definiendo

$a={\frac {Nq^{2}}{m}}$ $b={\frac {\omega q}{m}}$ $\triangle \omega =\omega _{o}^{2}-\omega ^{2}\qquad (11)$ $\triangle \omega \mathbf {P} =a\mathbf {E} -ib\mathbf {P\times B} \qquad (12)$

Si separamos por componentes

$\triangle \omega P_{x}=aE_{x}-ib(\mathbf {P\times B} )_{x}\qquad (13)$ $\triangle \omega P_{y}=aE_{y}-ib(\mathbf {P\times B} )_{y}\qquad (14)$ $\triangle \omega P_{z}=aE_{z}-ib(\mathbf {P\times B} )_{z}\qquad (15)$

Elegimos que el campo magnético se encuentre solamente en la dirección ${\hat {z}}$

$\mathbf {B} =B{\hat {z}}$

Entonces, las ecuaciones (13), (14) y (15) se convierten en

$P_{x}=C_{1}E_{x}-C_{2}P_{y}\qquad (16)$ $P_{y}=C_{1}E_{y}+C_{2}P_{x}\qquad (17)$ $P_{z}=C_{1}E_{z}\qquad (18)$

Con las constantes $C_{1}{\textrm {y}}C_{2}$

$C_{1}={\frac {a}{\triangle \omega }}$ $C_{2}={\frac {ib}{\triangle \omega }}B_{z}$

Tenemos que resolver el sistema de ecuaciones para $P_{x}{\textrm {y}}P_{y}$

Sustituyendo la ecuación (17) en la ecuación (16)

$P_{x}={\frac {C_{1}}{1+C_{2}^{2}}}E_{x}-{\frac {C_{1}C_{2}}{1+C_{2}^{2}}}E_{y}\qquad (19)$

Sustituyendo (19) en (17)

$P_{y}={\frac {C_{1}C_{2}}{1+C_{2}^{2}}}E_{x}-{\frac {C_{1}}{1+C_{2}^{2}}}E_{y}\qquad (20)$

Donde

${\frac {C_{1}}{1+C_{2}^{2}}}={\frac {Nq^{2}}{\epsilon _{o}m}}{\frac {\triangle \omega }{\triangle \omega ^{2}-{\frac {\omega ^{2}q^{2}}{m^{2}}}B_{z}}}$ ${\frac {C_{1}C_{2}}{1+C_{2}^{2}}}=i{\frac {Nq^{2}}{\epsilon _{o}m}}{\frac {\frac {\omega qB_{z}}{m}}{\triangle \omega ^{2}-{\frac {\omega ^{2}q^{2}}{m^{2}}}B_{z}}}$

Definiendo

$\omega _{c}={\frac {qB_{z}}{m}}\qquad (21)$

Si recordamos la ecuación que relaciona el vector de polarización con el campo eléctrico

$\mathbf {P} =\epsilon _{o}\mathbf {{\overleftrightarrow {\chi }}\mathbf {E} }$

Considerando ahora que $\chi$ no es una constante, sino un tensor, podemos identificar las componentes de este tensor utilizando las ecuaciones (18), (19) y (20), reescribimos

$P_{x}=\epsilon _{o}\chi _{xx}E_{x}-\epsilon _{o}\chi _{xy}E_{y}+0E_{z}\qquad (22)$ $P_{y}=\epsilon _{o}\chi _{xy}E_{x}+\epsilon _{o}\chi _{yy}E_{y}+0E_{z}\qquad (23)$ $P_{z}=0E_{x}+0E_{y}+\epsilon _{o}\chi _{zz}E_{z}\qquad (24)$

Identificando las componentes del tensor

$\chi _{xx}=\chi _{yy}={\frac {C_{1}}{1+C_{2}^{2}}}={\frac {Nq^{2}}{\epsilon _{o}m}}{\frac {\triangle \omega }{\triangle \omega ^{2}-\omega _{c}^{2}\omega ^{2}}}\qquad (25)$ $i\chi _{xy}=i\chi _{yx}={\frac {C_{1}C_{2}}{1+C_{2}^{2}}}={\frac {Nq^{2}}{\epsilon _{o}m}}{\frac {\omega \omega _{c}}{\triangle \omega ^{2}-\omega ^{2}\omega _{c}^{2}}}\qquad (26)$ $\chi _{zz}={\frac {Nq^{2}}{\epsilon _{o}m}}{\frac {1}{\triangle \omega }}\qquad (27)$ ${\overleftrightarrow {\mathbf {\chi } }}=\left({\begin{array}{ccc}\chi _{xx}&i\chi _{yx}&0\\-i\chi _{xy}&\chi _{yy}&0\\0&0&\chi _{zz}\end{array}}\right)\qquad (28)$

De la ecuación para el campo eléctrico

$\bigtriangledown \times (\bigtriangledown \mathbf {\times E} )-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=\chi _{e}\mu _{o}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}$

Tomando una solución de la forma

$\mathbf {E} =\mathbf {E} _{o}e^{i(\mathbf {k\cdot r} -\omega t)}$

Y eligiendo el vector de propagación en la dirección ${\hat {z}}$, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

$\left(-k^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)E_{x}=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\left(\chi _{xx}E_{x}+i\chi _{xy}E_{y}\right)\qquad (29)$ $\left(-k^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)E_{y}=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\left(\chi _{yy}E_{x}-i\chi _{yx}E_{y}\right)\qquad (30)$ ${\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}E_{z}=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\chi _{zz}E_{z}\qquad (31)$

En (31) podemos ver que $E_{z}=0$, pues $\chi _{zz}\neq 0$ y es la única forma en la que ambos lados de la ecuación pueden ser iguales.

Para que el sistema de ecuaciones entonces obtenido, tenga solución no trivial, el determinante debe ser igual a cero

$\left|{\begin{array}{cc}\left[-k^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\left(1+\chi _{xx}\right)\right]&{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}i\chi _{xy}\\-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}i\chi _{xy}&\left[-k^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\left(1+\chi _{yy}\right)\right]\end{array}}\right|=0$

Sabemos que

$\chi _{xx}=\chi _{yy}$

$\chi _{xy}=\chi _{yx}$

Entonces obtenemos

$k^{2}={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\left(1+\chi _{xx}\mp \chi _{xy}\right)$

$k_{\pm }^{2}={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}n_{R/L}^{2}\qquad (32)$

Donde hemos definido el indice de refracción correspondiente a polarización circular derecha e izquierda como

$n_{L/R}^{2}\equiv \left(1+\chi _{xx}\mp \chi _{xy}\right)\qquad (33)$

Al sustituir en las ecuaciones (29) y (30) obtenemos la ecuación del campo eléctrico correspondiente a polarización circular

$E_{x}=\pm iE_{y}\qquad (34)$

Buscamos el cambio en el índice de refracción

$\delta =n_{R}-n_{L}$ $\delta ={\sqrt {1+\chi _{xx}+\chi _{xy}}}-{\sqrt {1+\chi _{xx}-\chi _{xy}}}$

Al buscar un cambio en el índice de refracción haciendo una combinación lineal entre los índices de refracción correspondientes a polarización circular derecha e izquierda verificamos que la polarización lineal es resultado de una combinación lineal de dos ondas polarizadas circularmente

$\left[{\begin{array}{c}1\\0\end{array}}\right]={\frac {1}{2}}\left[{\begin{array}{c}1\\-i\end{array}}\right]+{\frac {1}{2}}\left[{\begin{array}{c}1\\i\end{array}}\right]\qquad (35)$

Regresando al cambio en el índice de refracción en términos de la susceptibilidad

$\delta ={\sqrt {1+\chi _{xx}}}\left\{\left(1+{\frac {\chi _{xy}}{1+\chi _{xx}}}\right)^{1/2}-\left(1-{\frac {\chi _{xy}}{1+\chi _{xx}}}\right)^{1/2}\right\}$

Aproximando obtenemos

$\delta =n_{R}-n_{L}={\frac {\chi _{xy}}{\sqrt {1+\chi _{xx}}}}\qquad (36)$

Ya que estamos trabajando con dos ondas polarizadas circularmente, sabemos que

$\theta ={\frac {1}{2}}\left(n_{R}-n_{L}\right)l{\frac {\omega }{c}}$

$\delta ={\frac {\theta }{l}}=\left(n_{R}-n_{L}\right){\frac {\pi }{\lambda _{o}}}=\left({\frac {\chi _{xy}}{\sqrt {1+\chi _{xx}}}}\right){\frac {\pi }{\lambda _{o}}}$

$n_{o}\equiv {\sqrt {1+\chi _{xx}}}$

$\delta ={\frac {\pi }{\lambda _{o}}}{\frac {\chi _{xy}}{n_{o}}}\qquad (37)$

Recordando la ecuación (26)

$\chi _{xy}={\frac {Nq^{2}}{\epsilon _{o}m}}{\frac {\omega }{\triangle \omega ^{2}-\omega ^{2}\omega _{c}^{2}}}{\frac {q}{m}}B_{z}$

$f\equiv {\frac {Nq^{2}}{\epsilon _{o}m}}{\frac {\omega }{\triangle \omega ^{2}-\omega ^{2}\omega _{c}^{2}}}$

Entonces, el cambio en el índice de refracción es

$\delta ={\frac {\pi }{\lambda _{o}}}{\frac {f}{n_{o}}}B={\frac {\theta }{l}}\qquad (38)$

Identificamos a $\theta =\beta$ como el ángulo de rotación de la polarización y $\nu$ la constante de Verdet

$\theta _{Faraday}=\beta =\nu lB\qquad (39)$

$\nu ={\frac {\pi }{\lambda _{o}}}{\frac {f}{n_{o}}}\qquad (40)$

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