EJERCICIOS 1.4.1
1.-Demuestre la identidad .
Sean y , dos funciones definidas y derivables en un mismo punto .
Si se suma y se resta en el numerador , la fracción anterior no varía.
Sacando factor comun en los dos primeros sumandos, y , en los otros dos.
.
Si ahora se toman limites cuando tiende a cero.
, pues es continua en ya que es derivable en .
, por definición de derivada.
, al no depender de .
, por definición.
por tanto,
Aportación de: Josua Da Vinci 20:36 17 nov 2009 (UTC)
2.- Encuentre una región donde sea holomorfa, calcule la derivada.
Solución
Utilizando la regla de derivación para cocientes
Se tiene lo siguiente
es holomorfa en
Aportación de:Dali 01:56 15 nov 2009 (UTC)
3 Sea f la función de en en definida por (en notación compleja ),calcule su matriz jacobiana.
Por definición la matriz jacobiana es
Para números que pertenecen al campo de los reales.
partiendo de
donde y
Usando las definiciones obtenemos su matriz jacobiana, obteniendo sus parciales.
,
,
,
,
Construyendo su matriz jacobiana tenemos finalmente.
Aportación de: Karla 22:08 15 nov 2009 (UTC)Karla
4. Sea
EJERCICIOS 1.4.2
1.Verifique directamente que se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann para la función .
Sean abierto en , y ,una funcion holomorfa en , entonces si se tiene.
(Ecuaciones de Cauchy-Riemann).
y .
Donde:
y
Y
Por tanto se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
Aportación de: Josua Da Vinci 23:40 3 dic 2009 (UTC)
4.- Demuestre que la función no es holomorfa en ningún punto del plano.
Primero desarrollando como tenemos lo siguiente:
Ahora para mostrar que nuestra función no es holomorfa basta con probar que no se cumplen las Ecuaciones de Cauchy-Riemann
y
Calculando estas parciales tenemos que:
Donde es fácil ver que
Para la otra igualdad calculamos las parciales
Y hacemos la comparación de la misma forma
Como se puede ver son distintas.
La función no es holomorfa en ningun punto del plano.
Aportación de: Oscar Adrian 06:23 4 dic 2009 (UTC)
5. Encuentre un dominio de analiticidad para la funcion y calcule la derivada, donde log denota la rama de logaritmo con valores en .
Solución:
sea
con rama en
esto es
el dominio de analiticidad es
la derivada de es:
Aportación de: Luis Antelmo 21:57 5 dic 2009 (UTC)
6. Encuentre un dominio de analiticidad para la funciòn y encuentre la derivada, donde log denota la rama de logaritmo
Para encontrar los puntos de analiticidad, localizamos aquellos donde la función no es analítica; es decir donde la función es real positiva, por tanto los puntos localizados se excluirán del dominio.
Condiciòn:
Donde
se cumple excepto en
CASO 1 k=0
=1 obteniendo el logaritmo y por lo tanto la condicion no se cumple
CASO 2 k= Número impar, por ejemplo k=1
=-1 , por lo tanto no se cumple
CASO 3 k=Número par, por ejemplo k=2
=1 , en k=2 no se cumple
Entonces en estos puntos la función es no analítica; por lo tanto en todos los demás puntos la función será analítica. En estos puntos de no analiticidad no tiene sentido hablar de derivada.
Por tanto solo tiene sentido hablar de la derivada en el dominio que hemos definido, la derivada de la función:
donde
El dominio de la funcion son todos los puntos tales que cumplan la condición.
excepto donde donde k es un número real, tomamos k entre 0 y 2 para satisfacer la rama excepto los puntos que localizamos con la condición donde k pertenece al campo de los números reales.
Gráficamente lo podemos ver:
El dominio de la función todo los puntos restantes.
Aportación de: Karla 16:56 4 dic 2009 (UTC)karla
EJERCICIOS 1.4.3
1. Interprete geométricamente la no con formalidad de la función en el origen.
Definición de con formalidad. Si aplicamos transformaciones el ángulo se conserva.
Por lo anterior buscamos en el origen los puntos donde los ángulos, después de la rotación no se conservan.
En la función
Tomamos es el ángulo que forman los vectores Y
En ángulo después de aplicar la transformación de la función serà
los vectores son paralelos.
Gráficamente
Antes de aplicar la transformación.
Aportación de: Karla 16:55 7 dic 2009 (UTC)Karla