Optica: Difraccion de Fraunhofer

La transformada de Fourier y difracción de una sola rejilla. F(x) representa la función de apertura de una rejilla de difracción y $A_{n}$ amplitud de luz de cada ranura en las direcciones $+-$θ

$A_{n}={\frac {ha}{D}}\left[{\sin \left({\frac {\pi na/D}{\pi na/D}}\,\right)}\right]$

Si: $D\sin \theta =n\lambda$

En el que u=n\D es restringido a valores especificos dados por

$D\sin =n$ da la condición para un máximo en la rejilla

Una función δ es movida del orígen a una posición $X_{1}$ es expresada como $f(x)=\delta (X-X_{1})$

f(x)= $\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {A_{n}}{2}}\cos {\frac {2\pi nx}{D}}$

La condición para un máximo en la rejilla es $D\sin \theta =n\lambda$

que en términos de u queda entonces como:

$A_{n}={\frac {ha}{D}}{\frac {\sin 2\pi ua}{2\pi ua}}$

Cuando $D\to \infty$

$f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }F(u)\cos 2\pi ux\,du$

Podemos decir que el patrón de difracción de una simple ranura es la transformada de Fourier de la función de apertura de la ranura .

F(u) esta dado por:

$F(u)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cos 2\pi ux\,du$

F(u) puede identificarse directamente como la amplitud de la luz difractada rejilla tranformada de Fourier.

La función δ de Dirac estara definida como la forma limite de una función rectángulo.

Si a = 0 F(u) esta en infinito

lím F(u)= ha

Uno esperaría un patrón de difracción suave

$\lambda (x)={\begin{cases}hu&u=0\\0&u\neq 0\end{cases}}$

Una función δ mueve el origen a alguna posición $X_{1}$ $f(x)=\delta (X-X_{1})$

Un arreglo multiple en 1 dimensión $u={\frac {\sin \theta }{\lambda }}={\frac {n}{D}}$

Si hay varias deltas a lo largo del eje x )n ranuras= esto debe alterar la fase por medio del patron de difracción.

La distribución de deltas a lo largo de la rejilla es un ejemplo de convolución, la convolución ocurre cuando una entrada continua es procesada para dar una señal de salida.