Diferencia entre revisiones de «Invariante de Ermakov: interpretacion fisica»
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La energía de un sistema mecánico que está sujeto a una fuerza conservativa dependiente linealmente del tiempo puede ser descrita mediante la formulación de variables complementarias. Sin embargo, este formalismo también puede usarse para sistemas con amortiguamiento, en donde el intercambio entre energía potencial y energía cinética de un oscilador es evidente. Es en estos sistemas donde el invariante de Ermakov es, precisamente, el intercambio de energías. | La energía de un sistema mecánico que está sujeto a una fuerza conservativa dependiente linealmente del tiempo puede ser descrita mediante la formulación de variables complementarias. Sin embargo, este formalismo también puede usarse para sistemas con amortiguamiento, en donde el intercambio entre energía potencial y energía cinética de un oscilador es evidente. Es en estos sistemas donde el invariante de Ermakov es, precisamente, el intercambio de energías. | ||
== Introducción == | |||
La formulación de variables complementarias provee un conjunto de invariantes para ecuaciones diferenciales de segundo orden no autónomas. Estos invariantes son combinaciones bilineales de las variables complementarias y de sus derivadas, las cuales, claramente dependen del contexto del sistema mecánico. | |||
== Osciladores armónicos invariantes dependientes del tiempo == | |||
Se sabe que la ecuación de un oscilador armónico es una ecuación diferencial de segundo orden de la forma | |||
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\ddot{x} + \omega^2 x = 0 | |||
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La cual es una ecuación diferencial autónoma. Sin embargo, cuando ya hay dependencia en el tiempo la forma del oscilador armónico es | |||
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\ddot{x}+\Omega^2 x= 0 | |||
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Donde $\Omega(t)^2$ es un parámetro dependiente del tiempo, por lo que se trata de una ecuación diferencial no autónoma. | |||
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Revisión del 00:01 31 may 2021
La energía de un sistema mecánico que está sujeto a una fuerza conservativa dependiente linealmente del tiempo puede ser descrita mediante la formulación de variables complementarias. Sin embargo, este formalismo también puede usarse para sistemas con amortiguamiento, en donde el intercambio entre energía potencial y energía cinética de un oscilador es evidente. Es en estos sistemas donde el invariante de Ermakov es, precisamente, el intercambio de energías.
Introducción
La formulación de variables complementarias provee un conjunto de invariantes para ecuaciones diferenciales de segundo orden no autónomas. Estos invariantes son combinaciones bilineales de las variables complementarias y de sus derivadas, las cuales, claramente dependen del contexto del sistema mecánico.
Osciladores armónicos invariantes dependientes del tiempo
Se sabe que la ecuación de un oscilador armónico es una ecuación diferencial de segundo orden de la forma
\begin{equation} \ddot{x} + \omega^2 x = 0 \end{equation}
La cual es una ecuación diferencial autónoma. Sin embargo, cuando ya hay dependencia en el tiempo la forma del oscilador armónico es
\begin{equation} \ddot{x}+\Omega^2 x= 0 \end{equation}
Donde $\Omega(t)^2$ es un parámetro dependiente del tiempo, por lo que se trata de una ecuación diferencial no autónoma.
