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| === Ejercicio 2.38 5ta Edición en Ingles===
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| ¿Cuáles de las siguientes expresiones corresponden a ondas en desplazamiento? ¿Cuál es la velocidad de cada una? Las cantidades a,b y c son constantes positivas.
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| <center>(a) $\psi (z,t) = \left(az-bt\right)^2$</center>
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| <center>(b)$\psi (x,t) = \left(ax+bt+c\right)^2$</center>
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| <center>(c)$\psi (x,t) = \frac{1}{\left(ax^2+b\right)}$</center>
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| '''''Solución'''''
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| La forma de las ecuaciones que describen las ondas en desplazamiento es :
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| :<center>$\psi = f (x \pm vt )$</center>
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| Y debe satisfacer la ecuación diferencial de onda :
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| :<center>$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}$</center>
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| Para el inciso (a)
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| :<center>$\psi (z,t) = \left(z-\frac{b}{a}t\right)^2$</center>
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| Calculamos sus derivadas parciales a primer orden:
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| :<center>$\frac{\partial \psi}{\partial z}= 2\left(z-\frac{b}{a}t\right)$</center>
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| :<center>$\frac{\partial \psi}{\partial t}= -2 \frac{b}{a}\left(z-\frac{b}{a}t\right)$</center>
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| Sus derivadas a segundo orden :
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| :<center>$\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}= 2$</center>
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| :<center>$\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}= 2 \frac{b^2}{a^2}$</center>
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| Con :$\frac{1}{v^2}= \frac{a^2}{b^2}$
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| Se cumple que:
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| :<center>$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=2=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}$</center>
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| :<center>$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}$</center>
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| *Se satisface la ecuación de onda
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| *Su velocidad es $|v|=\frac{b}{a}$
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| *Al ser de la forma $\psi = f (x -vt )$ sabemos que la velocidad va en el sentido positivo del eje z
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| Para el inciso (b)
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| :<center>$\psi (x,t) = \left(x+\frac{b}{a}t+\frac{c}{a}\right)^2$</center>
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| Al igual que en el inciso anterior, para comprobar si se cumple la ecuación de onda , obtenemos las primeras derivadas:
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| :<center>$\frac{\partial \psi}{\partial x}= 2\left(x+\frac{b}{a}t+\frac{c}{a}\right)$</center>
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| :<center>$\frac{\partial \psi}{\partial t}= 2 \frac{b}{a}\left(x+\frac{b}{a}t+\frac{c}{a}\right) $</center>
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| Las segundas derivadas son:
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| :<center>$\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}= 2$</center>
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| :<center>$\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}= 2 \frac{b^2}{a^2}$</center>
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| Con :$\frac{1}{v^2}= \frac{a^2}{b^2}$
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| :<center>$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=2=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}$</center>
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| :<center>$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}$</center>
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| *Se satisface la ecuación de onda
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| *Su velocidad es $|v|=\frac{b}{a}$
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| *Como es de la forma $\psi = f (x + vt )$ su velocidad va en el sentido negativo del eje z
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| Para el inciso (c)
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| :<center>$\psi (x,t) = \frac{1}{\left(ax^2+b\right)}$</center>
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| *No tiene una dependencia en t
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| :: <center>$\psi = f (x \pm vt )$
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| *No cumple con la ecuación de onda
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| *Por lo tanto, no describe una onda.
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| Realizado por: [[Usuario:Aurea Espin|Aurea Espin]] ([[Usuario discusión:Aurea Espin|discusión]]) 18:26 20 oct 2018 (CDT),
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Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 2,
con el siguiente formato:
Ejercicio 2.39
Indique cuales de las siguientes ecuaciones representan a una onda viajera:
- $\psi (y,t) = exp\left[-\left(a^2 y^2 + b^2 t^2 -2abty\right)\right]$
- Solución: Para tener una onda viajera se debe tener una dependencia funcional de la forma:
- $\psi = f(y \mp vt)$
- donde $y$ será la dirección de propagación si el signo de $vt$ es negativo y $-y$ si el signo de $vt$ es positivo. Además
- $v = \dfrac{\omega}{k}$
- Notamos que dentro de la exponencial se tiene un trinomio cuadrado perfecto, por lo que
- $\left(a^2 y^2 + b^2 t^2 -2abty\right) = \left(ay - bt\right)^2 = a^2 \left(y - bt/a\right)^2$
- de donde concluimos que
- * La onda es viajera con dirección de propagación $+y$
- * La onda tiene una velocidad $v = \omega / k = b / a$
- $\psi (z,t) = A \sin \left(az^2 - bt^2\right)$
- Solución: En este caso el argumento de la función seno tiene una dependencia funcional cuadrática en las coordenadas espaciales y temporales, por ello no tiene una dependencia funcional de la forma $f(z \mp vt)$ y no se trata de una onda viajera.
- $\psi (x,t) = A \sin 2\pi \left(\dfrac{x}{a} + \dfrac{t}{b} \right)^2$
- Solución: Tenemos dentro de la función seno los términos $\left(\dfrac{x}{a} + \dfrac{t}{b}\right)^2 = \dfrac{1}{a^2} \left(x + \dfrac{at}{b}\right)^2$ y por ello
- * La onda es viajera con dirección de propagación $-x$
- * La onda tiene una velocidad $v = \omega / k = a / b$
- $\psi (x,t) = A \cos^2 2\pi \left(t-x\right)$
- Solución: En este caso resulta simple ver que $(t-x) = - (x - t)$ y por ello
- * La onda es viajera con dirección de propagación $+x$
- * La onda tiene una velocidad $v = \omega / k = 1$
Ivan de Jesús Pompa García (discusión) 13:31 14 oct 2018 (CDT)
3ra Edición en español
Ejercicio 2.21 3ra Edición en español
Empezando por el siguiente teorema:
Si $z=f(x,y)$ y $x=g(t), y=h(t)$, entonces
- $\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt}+ \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}$
- Derive la ecuación (2.34)
- $\pm v=- \left(\frac{\partial \psi}{\partial t}\right)_x /\left(\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)_t$
Solución
Para una onda que se propaga con fase constante:
- $\psi(x,t)=A \sin k(x\pm vt)$
- con $\phi(x,t)=k(x\pm vt)=constante$
- Cualquier punto de onda armónica con magnitud fija, se mueve de tal manera que $\phi(x,t)$ sea constante en el tiempo, i.e.,
- $\frac{d}{dt}\phi(x,t)=0$ o de otra forma, $\frac{d}{dt}\psi(x,t)=0$.
- Esto es cierto para toda clase de onda, periódica o no.
Así:
- $\frac{d\psi}{dt}=\frac{\partial \psi}{\partial x} \frac{dx}{dt}+ \frac{\partial \psi}{\partial t} \frac{dt}{dt}$
- $\frac{d\psi}{dt}=\frac{\partial \psi}{\partial x} (\pm v)+ \frac{\partial \psi}{\partial t} =0$
Conclusión
- Despejando $\pm v$ se obtiene la expresión requerida:
$\pm v=- \left(\frac{\partial \psi}{\partial t}\right)_x /\left(\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)_t$
- donde el signo de $v$ depende del sentido de propagación de la onda.
Realizado por: Sergio
Ejercicio 2.45 5ta Edición en Ingles
Demostrar que la parte imaginaria de un número complejo
está dada por
.
Solución
El numero complejo z, tiene la siguiente forma:
Donde
, es la parte real y
es la parte imaginaria del numero complejo
también se tiene que el complejo conjugado del numero
es
restando el complejo conjugado a el numero complejo
antes definido se obtiene:
Reorganizando la ecuación anterior para la parte imaginaria
, se tiene:
Por lo tanto la parte imaginaria de una numero complejo es:
Realizado por: Luis Gutiérrez Melgarejo 22:13 15 oct 2018
Carlosmiranda (discusión) 23:16 27 oct 2020 (CDT)
Ejercicio 2.48 5ta Edición en Ingles
Empezando por la ecuación (2.51), compruebe que:
y que
Solución
La onda armónica plana en coordenadas cartesianas se expresa como::
Si
,
y
son los cosenos de dirección de
en las direcciones
,
y
respectivamente, entonces:
Así, la ecuación (2.51) puede expresarse como:
La magnitud del vector de propagación
es:
En términos de componentes, la magnitud de
, es
De la ecuación (1) y (2):
Realizado por: Enrique Ortiz Martinez 23:08 15 oct 2018
Carlosmiranda (discusión) 23:20 27 oct 2020 (CDT)
Ejercicio 2.56 5ta Edición en Ingles
Mostrar explícitamente, que la función::
describe una onda siempre que:
Solución
Empecemos escribiendo el vector k y el vector r, en coordenadas cartesianas:
:
- Haciendo el producto punto de K con r.
![\overrightarrow { k } \bullet \overrightarrow { r } ={ k }_{ x }{ x }+{ k }_{ y }{ y }+{ k }_{ z }{ z }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/515bc48ed56522c2e091021492229ed45d18ab73)
- Sustituyendo en la función de onda:
![\Psi =Aexp\left[ i\left( { k }_{ x }x+{ k }_{ y }y+{ k }_{ z }z+\varpi t+\varepsilon \right) \right]](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33d0eda2df6a0ce172513841e10334b9a2e803f3)
- Tenemos que la ecuación de onda es:
![{ \triangledown }^{ 2 }\Psi =\frac { 1 }{ { v }^{ 2 } } \frac { { \partial }^{ 2 }\Psi }{ \partial { t }^{ 2 } }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b44726224b96a8ab0e533f963abbf82a9d18603)
- Sustituyendo la función de onda en la ecuación anterior, obtenemos primero el laplaciano:
![{ \triangledown }^{ 2 }\Psi =-({ { k }_{ x }^{ 2 }+{ k }_{ y }^{ 2 }+{ k }_{ z }^{ 2 })Aexp\left[ i\left( \overrightarrow { k } \bullet \overrightarrow { r } +\varpi t+\varepsilon \right) \right] }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8563d3fc67e86101fa37bee5bdf724c59f5cf92)
- El signo menos proviene del hecho de que
![i^{ 2 }=-1](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88e98a401d352e5037d5043028e2d7f449e83fa6)
- Ahora calculando las parciales con respecto a
![t](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560)
![\frac { { \partial }^{ 2 }\Psi }{ \partial { t }^{ 2 } } =-{ \varpi }^{ 2 }Aexp\left[ i\left( \overrightarrow { k } \bullet \overrightarrow { r } +\varpi t+\varepsilon \right) \right]](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9da81da90fdc4f6970971990ccee6ad97791ae3)
- Donde la magnitud de k es:
![\left| k \right| =\sqrt { { k }_{ x }^{ 2 }+{ k }_{ y }^{ 2 }+{ k }_{ z }^{ 2 } }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba40d326071185d3477b22ccb3fc565f391edd51)
![{ k }^{ 2 }={ k }_{ x }^{ 2 }+{ k }_{ y }^{ 2 }+{ k }_{ z }^{ 2 }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4027244d5b557681b47eb01f243bea7a254233e9)
- Tenemos que la función de onda es::
- Ahora comparando con la segunda parcial del tiempo, tenemos que la función de onda es solución si se cumple lo siguiente:
![-{ k }^{ 2 }Aexp\left[ i\left( { k }_{ x }x+{ k }_{ y }y+{ k }_{ z }z+\varpi t+\varepsilon \right) \right]=-{ \varpi }^{ 2 }Aexp\left[ i\left( { k }_{ x }x+{ k }_{ y }y+{ k }_{ z }z+\varpi t+\varepsilon \right) \right]](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dab8ecde0257b8a8dee938e2318576f7974c22f1)
- La última igualdad se cumple solo si:
![{ v }^{ 2 }=\frac { { \varpi }^{ 2 } }{ { k }^{ 2 } }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86203b61d96f13125f7de2bd521a248d49f3a376)
Finalmente la función de onda
es solución si:
![v=\frac { \varpi }{ k }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6050b69ef27670bbd11d530bc8e10267b2e2bdb8)
Realizado por: Luis Manuel chávez Antonio, Carlosmiranda (discusión) 23:21 27 oct 2020 (CDT)
Ejercicio 2.40 5ta Edición en Ingles
Dada la onda
, calcule su dirección de propagación. Determine algunos valores de
y realice un boceto del perfil de onda en
para
y
. ¿Cuál es la velocidad de la onda?
Solución:
Para simplificar los cálculos, podemos ver que
Por tanto:
![{\displaystyle \psi (x,t)=5.0exp(-[a^{\frac {1}{2}}x-b^{\frac {1}{2}}t]^{2})}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/792d9d56c32045f2035bbc1d8bd7a6bc651212c2)
- Claramente, como se vio en cursos de cálculo básico. Una función de la forma:
![''f''=f(x-B)](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b091517165fafa3b6604f308b0f90e382cb64b1)
- Siendo A y B valores positivos, la función f se desplazará hacía el eje positivo de las x. Por lo tanto la dirección de la propagación de dicha onda, será hacia el eje positivo de x.
- Para encontrar explícitamente el valor de la velocidad, se sabe que la ecuación dado el argumento de la exponencial es de la forma:
![\psi=kx-wt](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ace3f8de27bfb8c0c1d89b426c9e0c0a250aef48)
- Y se sabe que:
![{\displaystyle ''v''={\frac {w}{t}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fdf83383d902142b4525e749383aad31b83fa07)
- Asi que
.
- A tiempo t=0 la ecuación de onda queda como:
.
- Que claramente es una función Gaussiana. Es fácil ver que cuando x=0. Implica que
Por otro lado, cuando x^2>>>1,
tiende a 0.
- Se anexa la gráfica de dicha función para apreciar el comportamiento de la Gaussiana.
Gráfica
Realizado por: José Fernando Valencia Hernández, Carlosmiranda (discusión) 23:23 27 oct 2020 (CDT)
Ejercicio 2.22 3ra Edición en español
Utilizando los resultados del ejercicio anterior (ejercicio 2.21) demuestre que para una onda armónica con fase:
podemos calcular la velocidad estableciendo $\frac{d\varphi}{dt}=0$. Aplique la técnica a la función de onda:
Solución
Del ejercicio anterior obtenemos que:
$\frac{d \varphi}{d t}=\frac{\partial \varphi}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial \varphi}{\partial t}\frac{dt}{dt} $
Ahora derivamos nuestra ecuación (1) respecto del tiempo y obtenemos:
$\frac{d \varphi}{d t}=k\frac{dx}{dt}-kv=0 \Rightarrow$
$\frac{dx}{dt}=\pm v$
donde:
$\frac{\partial \varphi}{\partial x}=k$ y $\frac{\partial \varphi}{\partial t}=-kv$
Ahora, aplicamos esta técnica a la fase de la ecuación (2) $\varphi(y,t)=\pi (3*10^{6}y+9*10^{14}t)$ y obtenemos:
$\frac{d \varphi}{d t}=3*10^{6}\pi v+9*10^{14}\Rightarrow$$ 3*10^{6}\pi v+9*10^{14}=0 \Rightarrow$$v=-3*10^{8} \mathrm{m/s}$
Realizado por: Jesús Flores Ortega,Carlosmiranda (discusión) 23:26 27 oct 2020 (CDT)
4ta Edición en Ingles
Ejercicio 2.20 4ta Edición en Ingles
Muestre que
$\psi\left({x},t\right)=A \text{cos}\left(kx-\omega t-\frac{\pi}{2}\right)$
es quivalente a
$\psi\left({x},t\right)=A \text{sen}\left(kx-\omega t\right).$
Solución:
Usemos la formula para el coseno de la suma de ángulos
$ \text{cos}(x \pm y) = \text{cos}(x) \text{cos}(y) \mp \text{sen}(x) \text{sen}(y), $
con la cual la función
$\psi\left({x},t\right)=A \text{cos}\left(kx-\omega t-\frac{\pi}{2}\right)$
toma la forma
$\psi\left({x},t\right)=A \left[\text{cos}\left(kx-\omega t\right)\text{cos}\left(\frac{\pi}{2}\right)+\text{sen}\left(kx-\omega t\right)\text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)\right].$
Recordemos ahora que
$\text{cos}\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ y $\text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,$
Conclusión
Sustituyendo obtenemos
$\psi\left({x},t\right)=A\text{sen}\left(kx-\omega t\right),$
por lo tanto
$A \text{cos}\left(kx-\omega t-\frac{\pi}{2}\right)=A\text{sen}\left(kx-\omega t\right).$
Realizado por: Flor Ivon Vivar
Ejercicio 2.35 4ta Edición en Ingles
- Considerar una onda de luz que tiene una velocidad de fase de $3 \times 10^8 m/s$ y una frecuencia de $6 \times 10^{14} Hz$. a) ¿ Cuál es la distancia mas corta entre dos puntos de la onda los cuales tienen una diferencia de fase de 30° ?, b)¿Qué cambio de fase ocurre en un punto dado en un $\Delta{t}= 10^{-6}s$?, y c) ¿ Cuántas ondas han pasado en ese intervalo de tiempo?
Solución:
- a) La longitud de onda $\lambda$ se define como la distancia que recorre la onda en un determinado tiempo llamado periodo. Si la longitud de onda realiza un ciclo de 360° ó $2\pi rad$ cada periodo y $30°$ son $\frac{2\pi}{12}$, entonces basta con dividir a la longitud de onda entre 12 para obtener la respuesta:
- $v=\lambda\nu$; $\lambda=\frac{v}{\nu}$ --> $\frac{\lambda}{12}= \frac{v}{12\nu}$
- $\frac{\lambda}{12}= 4.16 \times 10^{-8} m $
- b)$\Delta{t} \Rightarrow \Delta{\varphi} $ (en el mismo punto); $\Delta{\varphi}= \varphi_2 - \varphi_1$, $\Delta{t}= 10^{-6} s$;
$\varphi_1= \omega{t_1} - Kx_1$
- $\varphi_2= \omega{t_2} - Kx_1$
- $\Delta{\varphi}= \varphi_2 - \varphi_1= \omega(t_2 - t_1)= \omega\Delta{t}$
- Con $\omega$ y K la frecuencia angular y el número de onda, respectivamente.
- $\Delta{\varphi}= \omega\Delta{t}$
- $\Delta{\varphi}= 2\pi(6 \times 10^{14})(1 \times 10^{-6})$
- Esto quiere decir que un número entero multiplica a $2\pi rad$ lo que equivale a dar una vuelta, entonces no habrá cambio de fase ya que el punto de la primera fase siempre va a llegar al mismo punto de donde empezó. $\Delta{\varphi}$=0.
- c) Si la frecuencia $\nu$ es el número de ciclos que da cada segundo, entonces:
- $\nu{t}$= Número de ondas que pasan en ese intervalo de tiempo
- $\nu{t}= 6 \times 10^{14}(1 \times 10^{-6})= 6 \times 10^8 ondas$
Realizado por: Pedro J. Julian Salgado, Carlosmiranda (discusión) 23:28 27 oct 2020 (CDT)
Ejercicio 2.44 4ta Edición en Ingles
Muestre que $\psi\left(\vec{k}\cdot\vec{r},t\right)$ puede representar una onda plana donde $\vec{k}$ es normal al frente de onda.
Sugerencia. Sean $\vec{r}_{1}$, $\vec{r}_2$ dos vectores posición del origen a cualesquiera dos puntos del plano, pruebe que
$\psi\left(\vec{r}_{1},t\right)=\psi\left(\vec{r}_{2},t\right)$.
Solución:
Una función vectorial viajera, tiene la siguiente expresión:
$\psi\left(\vec{r},t\right)\equiv \psi\left(\vec{r}-\vec{v}t\right)$
En particular una onda plana tiene como argumento:
$\psi\left(\vec{r},t\right)=\psi\left(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t\right)$
Si el vector $\vec{r}_{1}$ y $\vec{r}_{2}$ son vectores dirigidos hacia el frente de onda, entonces satisfacen:
$\left(\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}\right)\cdot\vec{k}=0$
Conclusión
Observamos que:
$\psi\left(\vec{r}_{1},t\right)=\psi\left(\vec{k}\cdot\vec{r}_{1}-\omega t\right) =\psi\left(\vec{k}\cdot\vec{r}_{2}-\left(\vec{k}\cdot\vec{r}_{2}-\vec{k}\cdot\vec{r}_{1}\right)-\omega t\right)=\psi\left(\vec{k}\cdot\vec{r}_{2}-\vec{k}\cdot\left(\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}\right)-\omega t\right)=\psi\left(\vec{k}\cdot\vec{r}_{2}-\omega t\right)=\psi\left(\vec{r}_{2},t\right)$
Realizado por: Diego de la Cruz,Carlosmiranda (discusión) 23:13 27 oct 2020 (CDT)
Ejercicio 2.6 Otras Edicciones
¿Cuántas ondas de luz amarilla $(\lambda=580\ nm)$ caben en una distancia en el espacio igual al espesor de un trozo de papel $(0.0076 cm)$? ¿Hasta dónde se extenderá el mismo número de microondas $(\nu={10}^{10}\ Hz,\ es\ decir,\ 10GHz\ \ y\ \upsilon=3\times{10}^8\ m/s)$?
Solución
- Sea k el número de onda, que esta dada por:
- $k=\frac{1}{\lambda}m$
- sustituyendo los datos:
- $k=\frac{7.6\times{10}^{-5}m}{580\times{10}^{-9}m}=131$
- caben 131 ondas de luz amarilla en 0.0076 cm.
- Para calcular hasta donde se extiende el mismo número de microondas, calculamos la longitud de onda:
- $\lambda=\frac{c}{\nu}=\frac{3\times{10}^8\ m/s}{{10}^{10}\ 1/s}=0.03\ m$
- $(0.03m)*(131)=3.9 m$
- Por lo tanto las ondas se extienden 3.9 m.
Realizado por: Verenisse, Carlosmiranda (discusión) 23:29 27 oct 2020 (CDT)
Ejercicio 2.13 Otras Ediciones
Calcular: la frecuencia,la longitud de onda, el periodo,la amplitud, la velocidad de fase, la dirección de movimiento.
- Teniendo :$\psi=A senK(x-vt)$...(3) y compararla con 1, se puede tener que
.
- Entonces para la frecuencia:
sustituyendo el valor de v:
![\omega=2\pi*3=6\pi](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b889e3c3426bb4e7bcdbaeb01e6ac020f05647e1)
- Para la longitud de onda.
![{\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}}={\frac {2\pi }{2\pi }}=1}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a26dcf5ef58566a8221246bad9b19c9da53158d4)
- Para el periodo:
![{\displaystyle \tau ={\frac {2\pi }{k*v}}={\frac {2\pi }{2\pi *3}}={\frac {1}{3}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69df0538e70b1b2ddfbbfeaed0e807a9435e0b59)
- para la amplitud se tiene de la ecuación (1), que A=4.
- Para la velocidad de fase:
![{\displaystyle v={\frac {\omega }{k}}={\frac {2\pi }{2\pi }}=1{\frac {m}{s}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d42235723589eeddd70dee7c822089a69957ffb0)
Para la dirección de movimiento de las funciones de onda armónica la ecuación (3) el argumento completo de la función es la fase de la onda:
![\phi=kx-\omega*t](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21f75bd9718ca68ae422d744c827bafbe1fa3bad)
sustituyendo los valores a t=0.
![{\displaystyle \phi =2\pi *0,2=1,256m}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21e907f85b3b294db7c4ca9ec3656b8cbe9e6010)
Para (b)
![{\displaystyle \psi ={\frac {1}{2.5}}*sen(7X+3.5t)~~~~~~~~~~~(2)}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d4aa065d630f9fd034cc28f30da2cd638c30d98)
- Teniendo:
y compararla con 1 se puede tener que A=1/2,5 K=1 v=3,5.
- Entonces para la frecuencia:
![\omega=2\pi*v](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d57c328c48345bd68ad9616ac5be34284cf56b9)
- sustituyendo el valor de v:
![\omega=2\pi*3,5=6,5\pi](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abbf27b2fac03cfa5c599cb091deea388ebd9272)
- Para la longitud de onda:
![{\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}}={\frac {2\pi }{1}}=2\pi }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad0908f5341d2e50b5fbe7ac781610e9321997fd)
- Para el periodo:
![{\displaystyle \tau ={\frac {2\pi }{k*v}}={\frac {2\pi }{1*3.5}}=1.795}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7ab7c18a476722c10c899bd29749f306261c529)
- para la amplitud se tiene de la ecuación (1) que
![{\displaystyle A={\frac {1}{2.5}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45c0226bce144283e9344062cb639c7622e2333b)
- Para la velocidad de fase:
![{\displaystyle v={\frac {\omega }{k}}={\frac {6.5\pi }{1\pi }}=6.5\pi {\frac {m}{s}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505147b7a439a0f418e917bf2f89b30c42f2c989)
para la dirección de movimiento de las funciones de onda armónica la ecu (3) el argumento completo de la función es la fase de la onda:
![\phi=(kx-\omega*t)](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5317ea2c6404f93e3b4eff08970843e16a2087a6)
sustituyendo los valores a t=0.
![{\displaystyle \phi =1*7=7m}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25c7b2e6956ccc2a29e0dc31d4707cf30ae23eb5)
Realizado por: luisa alejandra vega sanchez,Carlosmiranda (discusión) 23:29 27 oct 2020 (CDT)
5ta Edición en Ingles
Ejercicio 2.25 5ta Edición en Ingles
Muestra que
es solución de la ecuación de onda diferencial.
Solución:
ecuación de onda Diferencial unidimensional es::
aquí
es la función de onda, v es la velocidad de onda, t es el tiempo y x representa la distancia
La relación entre velocidad angular, número de onda y velocidad de onda es:
aqui
es la velocidad angular y
es el numero de onda por la relación:
sacamos su diferencial con respecto a
:
de nuevo diferenciar con respeto a
:
y sustituyendo
en (2) :
Diferenciar la ecuación (1) con respecto a
:
y diferenciando de nuevo con respecto a t:
multiplicando por
arreglando de nuevo:
Conclusión
De acuerdo con las ecuaciones (2) y (3)
Queda demostrado que la ecuación diferencial dada es solución.
Realizado por: Salvador morales carranza, Carlosmiranda (discusión) 23:24 27 oct 2020 (CDT)
Ejercicio 2.49 5ta Edición en Ingles
Demuestre que las ecuaciones (2.64) y (2.65) las cuales son ondas planas de forma arbitraria, satisfacen la ecuación de onda de tres dimensiones diferencial.
Solución
Las siguientes dos ecuaciones:
Son funciones, en las cuales f y g son dos veces diferenciables consideremos una función de la forma:
Calculando las derivadas parciales de la ecuación (1) obtenemos:
Agregando las tres derivadas espaciales y utilizando el echo que
obtenemos:
Por la consideración anterior tenemos entonces que :
De la ecuación (2) notamos que se puede reescribir como :
Ahora combinando la parte temporal ecuación (4) y la parte espacial ecuación (3) por transitividad tenemos:
Por lo tanto cumple con la ecuación de onda en tres dimensiones
Realizado por: Carlosmiranda (discusión) 23:15 27 oct 2020 (CDT)