Prop: problemas mecanica cuantica

Seminario de física teórica: mecánica cuántica

2.3 Probar las siguientes relaciones de conmutación.

a) $[{\hat {A}}+{\hat {B}},{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {C}}]+[{\hat {B}},{\hat {C}}]$

Se toma el lado izquierdo de la ecuación y se desarrolla.

$[{\hat {A}}+{\hat {B}},{\hat {C}}]=({\hat {A}}+{\hat {B}}){\hat {C}}-{\hat {C}}({\hat {A}}+{\hat {B}})={\hat {A}}{\hat {C}}+{\hat {B}}{\hat {C}}-{\hat {C}}{\hat {A}}-{\hat {C}}{\hat {B}}=({\hat {A}}{\hat {C}}-{\hat {C}}{\hat {A}})+({\hat {B}}{\hat {C}}-{\hat {C}}{\hat {B}})=[{\hat {A}},{\hat {C}}]+[{\hat {B}},{\hat {C}}]$

Como se buscaba.

b) $[{\hat {A}},{\hat {B}}{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]{\hat {C}}+{\hat {B}}[{\hat {A}},{\hat {C}}]$

Se toma el lado derecho de la ecuación y se desarrolla.

$[{\hat {A}},{\hat {B}}]{\hat {C}}+{\hat {B}}[{\hat {A}},{\hat {C}}]={\hat {A}}{\hat {B}}{\hat {C}}-{\hat {B}}{\hat {A}}{\hat {C}}+{\hat {B}}{\hat {A}}{\hat {C}}-{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {A}}$

Observamos que los términos segundo y tercero del lado derecho son iguales pero con signo contrario quedando:

$[{\hat {A}},{\hat {B}}]{\hat {C}}+{\hat {B}}[{\hat {A}},{\hat {C}}]={\hat {A}}{\hat {B}}{\hat {C}}-{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {A}}=[{\hat {A}},{\hat {B}}{\hat {C}}]$

Como se quería obtener.

Andrés 12:06 31/10/13

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3.2 Suponer que sabemos que hay una partícula libre localizada inicialmente en el rango $-a<x<a$ con una probabilidad espacial uniforme.

a)Dar la normalización de la función de onda $\Psi (x,t=0)$ de la partícula en la representación de Schrödinger. Asumir la fase de la función de onda arbitraria escogiendo que sea cero.

Se tiene la solución a la ecuación de onda de Schrödinger para una partícula libre:

$\Psi (x,t)=Ae^{i(kx-\omega t)}$

Tomando $t=0$ tenemos:

$\Psi (x,t=0)=Ae^{ikx}$

Tomando la fase igual a cero:

$\Psi (x,t=0)=Ae^{0}=A$

Normalizando:

$\int _{-a}^{a}\Psi ^{2}\mathrm {d} x=\int _{-a}^{a}A^{2}\mathrm {d} x=1$

La $A^{2}$ sale de la integral por ser una constante, quedando:

$A^{2}\int _{-a}^{a}\mathrm {d} x=1$

Resolviendo la integral y despejando $A^{2}$, tenemos:

$A={\sqrt {1 \over 2a}}$

Quedando normalizada.

b)Dar la correspondiente representación del momentum de la partícula.

Sabemos que:

$E={p^{2} \over 2m}$

Despejando $p$

$p=\pm {\sqrt {2mE}}$

Obteniendo el momentum.

c)Dar la correspondiente función de estado para un tiempo arbitrario posterior $\Psi (x,t>0)$

$\Psi (x,t)={\sqrt {1 \over 2a}}e^{i(kx-\omega t)}$

.

Con lo que se tiene a cualquier tiempo.

Andrés 10:56 1/11/13

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