Paquete de Ondas

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Introduccion

Un paquete de ondas es una superposición lineal de ondas, que toman la forma de un pulso o grupo de ondas, que se desplaza de modo relativamente compacta en el espacio antes de dispersarse.

Onda

Una onda viajera clásica es una perturbación autónoma de un medio que se propaga en el espacio transportando energía e impulso. Las ondas no periódicas son ondas que.

  1. Se da aisladamente. Las ondas aisladas se denominan batidos de ondas.
  2. En el caso que se repita, las perturbaciones sucesivas tienen caracterìsticas diferentes.


Batido de ondas.

Los batidos de ondas son fluctuaciones de la amplitud producidas por la superposición de ondas con pequeñas diferencias de frecuencia. Si tenemos dos fuentes con frecuencias levemente diferentes encontraríamos, como resultado neto, una oscilación con una lenta intensidad pulsante.

Fig.1Superposicion de dos ondas cosenoidales.png


Formulando matemáticamente este resultado seria. Suponiendo que tenemos dos ondas y analizamos simplemente lo que llega a (algún punto) P, sin preocuparnos por el momento de todas las relaciones espaciales. Si de una fuente tenemos \(\cos\omega_1 {t\,\!}\) y de la otra \(\cos\omega_2 {t\,\!}\), donde las \({\omega\,\!}\) no son exactamente iguales. Naturalmente las amplitudes podrían no ser iguales tampoco, pero por ahora tenemos el caso en que las amplitudes son iguales. Entonces, la amplitud total en P es la suma de esos dos cósenos. Si representamos las amplitudes de las ondas, como en la figura 1, podemos ver que donde las crestas coinciden obtenemos una onda fuerte y donde coincide una cresta y un valle obtenemos prácticamente cero y cuando vuelven a coincidir las crestas obtenemos de nuevo una onda fuerte. Necesitamos solamente sumar dos cósenos y arreglar el resultado de alguna forma. Existe una cantidad de relaciones útiles entre los cósenos, que no son difíciles de derivar. Sabemos que [1]\[\mathbf{e}^{i\left ( a + b \right )} = \mathbf{e}^{ia} \mathbf{e}^{ib}\] ....... (1.0)


y que \(\mathbf{e}^{{i\,\!}{a\,\!}}\) tiene una parte real \(\cos {a\,\!}\) y una parte imaginaria, \(\sin {a\,\!}\). Si tomamos la parte real de \(\mathbf{e}^{{i\,\!} \left ( {a\,\!} + {b\,\!} \right )}\), obtenemos \(\cos \left ( {a\,\!} + {b\,\!} \right )\). Si efectuamos la multiplicaciòn


\(\mathbf{e}^{{i\,\!}{a\,\!}} \mathbf{e}^{{i\,\!}{b\,\!}}= \left (\cos {a\,\!} + {i\,\!} \sin a \right )\left (\cos {b\,\!} + {i\,\!} \sin {b\,\!} \right )\)


obtenemos \(\cos {a\,\!} \cos {b\,\!} - \sin {a\,\!} \sin {b\,\!}\) , màs algunas partes imaginarias. Pero ahora necesitamos solamente la parte real, o sea.


\(\cos \left ( a + b \right )= \cos a \cos b -\sin a \sin b\).......(1.1)


Si cambiamos el signo de b, como el coseno no cambia el signo y el seno si, la misma ecuaciòn para b negativa es


\(\cos\left ( a - b \right )= \cos a \cos b +\sin a \sin b\) .......(1.2)


Si sumamos estas dos ecuaciones, desaparecen los senos y vemos que el producto de dos cósenos es un medio del coseno de la sume mas un medio del coseno de la diferencia\[\cos a \cos b =\frac{1}{2}\cos\left ( a + b \right )+\frac{1}{2}\cos\left ( a - b \right )\]........(1.3)


Ahora podemos invertir la formula y encontrar una parte \({\cos\alpha\,\!+\cos\beta\,\!}\) si hacemos simplemente \(\alpha={a\,\! + b\,\!}\) y \(\beta={a\,\!- b\,\!}\). Esto es, \({a\,\!}=\frac{1}{2}\left (\alpha\,\!+\beta\,\!\right )\) y \({b\,\!}=\frac{1}{2}\left (\alpha\,\!-\beta\,\!\right )\) . De modo que


\({\cos\alpha\,\!+\cos\beta\,\!}=2\cos\frac{1}{2}\left (\alpha\,\!+\beta\,\!\right )\cos\frac{1}{2}\left (\alpha\,\!-\beta\,\!\right )\)....... (1.4)


ahora analizando nuestro problema. La suma de \(\cos\omega_1\mathbf{t}\) y \(\cos\omega_2\mathbf{t}\) es


\(\cos\omega_1\mathbf{t}+\cos\omega_2\mathbf{t}=2\cos\frac{1}{2}\left (\omega_1+\omega_2\right )\mathbf{t}\cos\frac{1}{2}\left (\omega_1-\omega_2\right )\mathbf{t}\)....... (1.5)


Suponiendo que las dos frecuencias son casi iguales, de modo que \(\frac{1}{2}\left (\omega_1+\omega_2\right )\) es la frecuencia promedio y es, mas o menos, igual a ambas. Pero \(\omega\,\!_1-\omega\,\!_2\) es mucho menor que \(\omega\,\!_1\) o \(\omega\,\!_2\) por que, como supusimos, \(\omega\,\!_1\) y \(\omega\,\!_2\) son casi iguales. Esto significa que su tamaño está pulsando con una frecuencia que aparentemente es \(\frac{1}{2}\left (\omega_1-\omega_2\right )\).

Pero, ¿es esta frecuencia a la que se oyen los batidos de ondas? Aunque (1.5) dice que la amplitud varia como \(\cos\frac{1}{2}\left (\omega_1-\omega_2\right )\) lo que realmente nos esta diciendo es que las oscilaciones de alta frecuencia están contenidas entre dos curvas cosenoidales opuestas. Basándose en esto se podría decir que la amplitud varia ala frecuencia \(\frac{1}{2}\left (\omega_1-\omega_2\right )\), pero si nos referimos ala intensidad de la onda, debemos considerar que tiene el doble de esta frecuencia. Es decir, la modulación de la amplitud, en el sentido de la magnitud de su intensidad, es ala frecuencia \(\omega\,\!_1-\omega\,\!_2\), podemos concluir que si sumamos dos ondas de frecuencias \(\omega\,\!_1\) y \(\omega\,\!_2\), obtendremos una onda resultante de frecuencia promedio \(\frac{1}{2}\left (\omega_1+\omega_2\right )\) que oscila en intensidad con una frecuencia \(\omega\,\!_1-\omega\,\!_2\).

Si las amplitudes son diferentes, \({A_1\,\!}\) y \({A_2\,\!}\), podemos representar \({A_1\,\!}\cos\omega_1{t\,\!}\) como la parte real de \({A_1\,\!}{\mathbf{e}\,\!}^{{i\,\!}\omega_1 {t\,\!}}\). la otra onda seria análogamente la parte real de \({A_2\,\!} {\mathbf{e}\,\!}^{{i\,\!}\omega_2{t\,\!}}\). si las sumamos, obtenemos \({A_1\,\!}{\mathbf{e}\,\!}^{{i\,\!}\omega_1{t\,\!}}+{A_2\,\!}{\mathbf{e}\,\!}^{{i\,\!}\omega_2{t\,\!}}\). Si sacamos factor común la frecuencia promedio, obtenemos.


\({A_1\,\!} {\mathbf{e}\,\!}^{{i\,\!}\omega_1{t\,\!}}+{A_2\,\!}{\mathbf{e}\,\!}^{{i\,\!}\omega_2{t\,\!}}={\mathbf{e}\,\!}^{\frac{1}{2}{i\,\!}\left (\omega_1+\omega_2\right ){t\,\!}}\left [{A_1\,\!}{\mathbf{e}\,\!}^{\frac{1}{2}{i\,\!}\left (\omega_1-\omega_2\right ){t\,\!}}+{A_2\,\!}{\mathbf{e}\,\!}^{\frac{-1}{2}{i\,\!}\left (\omega_1-\omega_2\right ){t\,\!}}\right ] \) ....... (1.6)


Y la intensidad de la onda de la ecuación (1.6) seria es modulo al cuadrado del primer o segundo miembro.


\({I\,\!}={A_1^2\,\!}+{A_2^2\,\!}+2{A_1\,\!}{A_2\,\!}\cos\left (\omega_1-\omega_2\right ){t\,\!}\) ....... (1.7)


Vemos que la intensidad crece y decrece a una frecuencia \(\omega\,\!_1-\omega\,\!_2\), variando entre los limites \(\left ({A_1\,\!}+{A_2\,\!}\right )^2\) y \(\left ({A_1\,\!}-{A_2\,\!}\right )^2\). si \(\mathbf{A_1}\ne {A_2\,\!}\), la intensidad minima no es cero. [2]

Si la frecuencia del batido de ondas es relativamente baja, vemos sencillamente un tren de ondas sinusoidal cuya amplitud pulsa, pero cuando hacemos los batidos de ondas mas rápidas vemos la clase de onda que muestra la Fig.1.


Trenes de Ondas

Ahora supongamos que tenemos dos ondas viajando en el espacio. Sabemos que podemos representar una onda que viaja en el espacio mediante \({\mathbf{e}\,\!}^\left ({i\,\!}\omega{t\,\!}-{k\,\!}{x\,\!}\right )\). Esto podría ser, por ejemplo, el desplazamiento de una onda de sonido. Es una solución de la ecuación de onda siempre que \(\omega^2={k\,\!}^2{c\,\!}^2\), donde c es la velocidad de propagación de la onda. En esta caso se puede escribir como \({\mathbf{e}\,\!}^{{i\,\!}{k\,\!}\left ({x\,\!}-{c\,\!}{t\,\!}\right )}\), que es de la forma general \({f\,\!}\left ({x\,\!}-{c\,\!}{t\,\!}\right )\). Por lo tanto, es una onda que esta viajando ala velocidad, \(\frac{\omega}[[:Plantilla:K\,\!]]\), que es c. Ahora queremos sumar dos de estas ondas. Suponiendo que tenemos dos ondas viajando con diferentes frecuencias. \({\mathbf{e}\,\!}^{{i\,\!}\left (\omega_1{t\,\!}-{k\,\!}_1{x\,\!}\right )}\). Se puede hacer usando la misma matemática que cuando se sumo ondas de señal. Y si c es la misma para ambas entonces es idéntico a lo que se hizo antes.

\(\mathbf{e}^{i \omega_1 \left (t- \frac{x}{c} \right ) } + \mathbf{e}^{i \omega_2 \left (t- \frac{x}{c} \right ) } = \mathbf{e}^{i \omega_1 t\prime } + \mathbf{e}^{i \omega_2 t\prime }\) ....... (1.8)

Excepto que ahora la variable es \(t\prime = t - \frac{x}{c}\) en lugar de t. así, obtenemos la misma clase de modulaciones, pero vemos, que estas modulaciones se están trasladando con la onda. Específicamente, si sumamos dos ondas y estas ondas no solo estuviesen oscilando sino también moviéndose en el espacio, entonces la onda resultante también se trasladaría en el espacio ala misma velocidad. Sabemos que aun cuando \({w\,\!}\) y \({k\,\!}\) no son proporcionales linealmente, el cociente \({w\,\!}/{k\,\!}\) es ciertamente la velocidad de propagación para una frecuencia y numero de ondas particulares.

Llamamos velocidad de fase a este cociente ver Ondas: velocidad de fase: es la velocidad ala que la fase, o los nodos de una única onda, se trasladarían.

\(V_f = \frac{\omega}{k}\) ........ (1.9)

De cualquier modo, para cada frecuencia hay un numero de onda definido y queremos sumar dos de estas ondas.

\(\mathbf{e}^{i \left ( \omega_1 t - k_1 x \right )} + \mathbf{e}^{i \left ( \omega_2 t - k_2 x \right )} = \mathbf{e}^{\frac{1}{2} i \left [\left ( \omega_1+ \omega_2 \right) t - \left ( k_1 + k_2 \right ) x \right ] } \mathrm{X} { \mathbf{e}^{\frac{1}{2} i \left [ \left ( \omega_1 - \omega_2 \right ) t - \left ( k_1 - k_2 \right ) x \right ]} + \mathbf{e}^{- \frac{1}{2} i \left [ \left ( \omega_1 - \omega_2 \right ) t - \left ( k_1 - k_2 \right ) x \right ]} }\)....... (2.0)

Tenemos de nuevo una onda modulada, una onda que viaja con la frecuencia promedio y el numero de onda promedio. Pero cuya intensidad esta variando con una forma que depende de la diferencia de frecuencia y la diferencia del número de onda. Si tomamos el caso donde la diferencia entre las dos ondas es relativamente pequeña. Sumamos dos ondas cuyas frecuencias son casi iguales; entonces \(\left ( \omega_1 + \omega_2 \right ) / 2\) es prácticamente igual a cualquiera de las dos \({w\,\!} \) y lo mismo ocurre con \(\left ( k_1 + k_2 \right ) / 2\). Entonces la velocidad de la onda, de las oscilaciones rápidas, de los nodos, es esencialmente \(\omega / {k\,\!}\). pero ¡la velocidad de propagación de la modulación no es la misma!

La velocidad de esta onda de modulación es el cociente.

\(V_M = \frac{\omega_1 - \omega_2}{k_1 - k_2}\) ....... (2.1)

La velocidad de modulación se llama comúnmente velocidad de grupo ver Ondas: Velocidad de grupo. Si tomamos el caso en el que la diferencia de frecuencias es relativamente pequeña y la diferencia de numero de onda es entonces también relativamente pequeña, esta expresión tiende en el limite a.

\(V_g = \frac{d \omega}{dk}\)....... (2.2)

En otras palabras, para la modulación más lenta para las pulsaciones más lentas, hay una velocidad definida ala que viajan que no es igual ala velocidad de fase de las ondas.

Una forma clara de entenderlo seria por ejemplo. Consideren dos ondas, de nuevo con longitudes de ondas levemente diferentes, como en la Fig.1, están desfasadas, en fase, desfasadas, y así sucesivamente. Pero estas ondas representan, realmente, ondas en el espacio que viajan con frecuencias levemente diferentes también. Ahora bien, ya que la velocidad de fase, velocidad de los nodos se estas ondas, no es precisamente la misma, sucede algo nuevo. Suponiendo que vamos montados sobre una de las ondas y miramos la otra; si ambas fuesen a la misma velocidad, entonces la otra onda permanecería con la misma posición respecto a nosotros, según vayamos montados en la cresta; si las dos velocidades son iguales las dos crestas permanecen una encima de otra. Pero no es así: las velocidades no son realmente iguales. Hay solamente una pequeña diferencia de frecuencia y por lo tanto solamente una pequeña diferencia de velocidad, pero a causa de esta diferencia de velocidad, a medida que vamos en la onda, la otra onda se mueve despacio hacia delante, o hacia atrás, con relación a nuestra onda. Así, según pasa el tiempo, ¿Qué sucede al nodo? Si movemos UN TREN DE ONDAS solo un ápice hacia delante, el nodo se mueve hacia delante (o hacia atrás) una distancia considerable. Es decir, la suma de estas dos ondas tiene una envolvente, y a medida que las ondas avanzan, la envolvente cabalga sobre ellas a una velocidad diferenta. La velocidad de grupo es la velocidad a la que se transmitirían las señales moduladas.[3]

fig.2, Un tren de ondas.Tren de ondas.PNG

A pesar de la longitud del tren de onda, como no es infinitamente largo debe sintetizarse a partir de un rango continuo de frecuencias que puede considerarse como la onda compuesta de un conjunto infinito de ondas armónicas. En este contexto, uno se refiere a tales pulsos con el término de paquetes de onda o grupos de ondas.


Paquete de ondas

Las funciones que los representan se conocen como las integrales de Fourier (Ver tambien Deducción de la Integral de Fourier) que son un caso particular de la serie de Fourier que se reemplaza cuando λ (longitud de onda) va a infinito.

\(f(x) = \frac{1}{\pi} \left [ \int_{0}^{\infty} A(k) \cos kx \, dk + \int_{0}^{\infty} B(k) \sin kx \, dk \right ]\)....... (2.3)

Siempre que\[A(k) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \cos kx \, dx\].......(2.4)

y \(B(k) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \sin kx \, dx\).......(2.5)

Las cantidades A(K) y B(K) se interpretan como las amplitudes de las contribuciones seno y coseno en la gama de frecuencias espacia espacial angular se trata de las transformadas coseno y seno de Fourier.[4]

Un ejemplo seria la onda plana monocromática que es solamente una idealización de las ondas electromagnéticas reales; por una parte, una onda plana monocromática, por ser un proceso rigurosamente periódico en el espacio y en el tiempo, debe tener, evidentemente, una extensión infinitamente grande en el tiempo; por otra parte, no existen emisores rigurosamente monocromáticos. Para describir los procesos ondulatorios reales, es necesario estudiar el resultado de la superposición o interferencia de diferentes ondas monocromáticas.[5]

Consideremos la superposición de una infinidad de ondas planas monocromáticas cuyas frecuencias varían de modo continuo en un estrecho intervalo \({\omega_o\,\!} - {\Delta\,\!} {\omega\,\!} \le \omega \le \omega_o + \Delta \omega\), donde \({\omega_o\,\!}\), llamada frecuencia portadora, satisface la condición \({\Delta\,\!} {\omega\,\!} \le \omega_o\).

Admitamos que la amplitud de todas las ondas es constante, la intensidad del campo eléctrico (o el magnético) se puede escribir.

\({E\,\!} = \int_{\omega_o - \Delta \omega}^{\omega_o - \Delta \omega} {E_o\,\!} \mathbf{e}^{i \left ( \omega t - kx \right )} \, d\omega = E_o \int_{\omega_o - \Delta \omega}^{\omega_o - \Delta \omega} \mathbf{e}^{i \left ( \omega t - kx \right )} \, d\omega\)........(2.6)

Para una mayor generalidad de los resultados, que necesitaremos mas adelante, supondremos que el numero de onda k es una determinada función de la frecuencia ω que no se reduce necesariamente ala relación \({k\,\!} = \omega / c\), válida para las ondas electromagnéticas en el vació. Haciendo\[\omega = \omega_o + \left ( \omega - \omega_o \right )\]

\(\omega - \omega_o = k_o + \left ( \frac{dk}{d\omega} \right )_o \left ( \omega - \omega_o \right )\)

\(k \approx k_o + \left ( \frac{dk}{d\omega} \right )_{\omega = \omega_o}\)

se encuentra\[E = E_o \int_{\omega_o - \Delta \omega}^{\omega_o - \Delta \omega} \mathbf{e}^{i \left ( \omega_o t - k_o x \right )} \mathbf{e}^{i \left ( \omega -\omega_o \right ) \left [ t - \left ( \frac{dk}{d\omega} \right )_o x \right ] } \, d\omega = E_o \mathbf{e}^{i \left ( \omega_o t - k_o x \right )} \int_{-\Delta \omega}^{\Delta \omega} \mathbf{e}^{iu \left [ t - \left ( \frac{dk}{d\omega} \right )_o x \right ] } \, du = 2 E_o \frac{\sin \Delta \omega \left [ t - \left ( \frac{dk}{d\omega} \right )_o x \right ]}{t- \frac{dk}{d\omega}_o x} \mathbf{e}^{i \left ( \omega_o t - k_o x \right )}\].........(2.7)

donde se ha introducido la variable de integración \({u\,\!} = \omega -\omega_o\), llegamos en principio al siguiente resultado: la superposición de ondas con un espectro de frecuencias que pertenecen a un estrecho intervalo \(2{\Delta\,\!} \omega\) en torno de la frecuencia portadora, conduce a la aparición de una onda con frecuencia \({\omega_o\,\!}\) y numero de onda \({ko\,\!}\), pero con una amplitud modulada.

\({A\,\!}= \frac{2E_o \sin \left [ \left ( \Delta \omega / V_g \right ) \left ( x - V_g t \right ) \right ]}{V_g^{-1} \left ( x - V_g t \right )}\)

\(V_g = \left ( \frac{d\omega}{dk} \right )_o\).......(2.8)

La amplitud modulada presenta un máximo principal muy pronunciado Fig.3, donde se da la dependencia de A respecto de \(\frac{1}{2} \left ( \Delta \omega / V_g \right ) \left ( x - V_g t \right )\) en el punto

\({X_m\,\!} = {V_g\,\!} {t\,\!}\),

En el que es igual a

\({A_{max}\,\!} = 2 \Delta \omega E_o\)

A uno y otro lado del punto donde se alcanza el máximo, el valor de la amplitud modulada disminuye, y en los puntos en los cuales.

\(\frac{\Delta \omega\,\!}{Vg\,\!}\left ( {x\,\!} - {V_g\,\!} {t\,\!} \right ) = \pm \pi\)

Dicha amplitud se anula, junto con el máximo principal, la amplitud modulada presenta un numero infinito de máximos secundarios en los que, la amplitud es muy chica comparada con la amplitud en el máximo principal y cuya altura disminuye rápidamente al aumentar el argumento. Prácticamente se puede considerar que el campo electromagnético esta excitado tan solo cerca del máximo principal, mientras que en el resto del espacio la superposición de las ondas conduce a que se anulen mutuamente por completo.

El grupo de ondas que así se forma se llama paquete de ondas. Un paquete de ondas se mueve en el espacio con una velocidad \({Vg\,\!}\). conservando una extensión limitada en el espacio. Por ello, la magnitud \({Vg\,\!}\). se llama velocidad de grupo del movimiento del paquete, en contraposición con la velocidad de fase.[6]

\({V_f\,\!} = \frac{\omega \lambda}{2\pi}\)


Fig.3 Paquete de ondas.png



Con la cual se desplaza en al espacio una superficie de fase constante. Es evidente que la energía de un paquete de ondas se mueve junto con su amplitud, es decir con la velocidad \({Vg\,\!}\).



Raferencias

  1. #Volumen 1: Mecánica, radiación y calor; Richard P. Feynman y Robert B. Leighton, Addison-Wesley Iberoamericana, S.A. 1987
  2. #Volumen 1: Mecánica, radiación y calor; Richard P. Feynman y Robert B. Leighton, Addison-Wesley Iberoamericana, S.A. 1987
  3. #Curso de Física Teórica, B.G. Levich, Editorial Reverte S.A. 1974
  4. #Óptica 3ra ED, Hetch Eugene, Editorial Pearson 2006
  5. #Curso de Física Teórica, B.G. Levich, Editorial Reverte S.A. 1974
  6. #Curso de Física Teórica, B.G. Levich, Editorial Reverte S.A. 1974

Bibliografía:

  1. Óptica 3ra ED, Hetch Eugene, Editorial Pearson 2006
  2. Curso de Física Teórica, B.G. Levich, Editorial Reverte S.A. 1974
  3. Volumen 1: Mecánica, radiación y calor; Richard P. Feynman y Robert B. Leighton, Addison-Wesley Iberoamericana, S.A. 1987



Josua Carrillo Gutierrez--Josua Da Vinci

21:30 25 mar 2009 (CDT)