Optica: Gouy

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Introducción

Fenómenos de interferencia

La interferencia ocurre cuando dos ondas mutuamente coherentes se superponen en algún lugar del espacio, estas ondas son mutuamente coherentes solamente en dos casos:

  • Si tienen su origen en la misma fuente
  • Si son monocromáticas y tienen exactamente la

misma frecuencia.

Si suponemos que dos ondas salen de una fuente luminosa y recorren caminos diferentes para después reunirse nuevamente en una pantalla. La fase de cada una de las ondas al llegar a la pantalla se puede expresar como:

Ecuación 1

Donde K0 es el valor de K en el vacío y usamos la definición de camino óptico:

Ecuación 2

Si una de las ondas recorre un camino óptico CO1 y la otra recorre un camino óptico CO2 de la fuente al punto de observación, las fases de ella en este punto serán:

Ecuación 3

Y

Ecuación 4

Podemos obervar que la diferencia de fase está dada por:

Ecuación 5

Donde DCO es la diferencia de camino óptico entre los dos haces. Por lo tanto la irradiancia en un detector quedaría dada por:

Ecuación 6

Donde I_1 e I_2 son la irradiancia de cada haz de manera independiente. Se puede ver que la máxima irradiancia se obtiene para valores de la diferencia de camino óptico dados por:

Ecuación 7

Donde m es un entero. La mínima amplitud, que es cero, se obtiene cuando:

Ecuacion 8

Donde n es un entero impar.

Interferencia por división de frente de onda

Los dos haces luminosos que interfieren se pueden obtener a partir de un frente de onda, con cualquiera de los dos procedimientos siguientes:

  • Dividiendo lateralmente el frente de onda en dos, sin cambiar su irradiancia.
  • Separando el frente de onda en dos y dividiendo su irradiancia en dos, pero preservando su

extensión lateral.

La división de frente de onda se puede lograr por medio de difracción, reflexión o refracción. En cualquier caso, la luz que ilumine el interferómetro debe ser espacialmente coherente.

Interferencia por división de amplitud

El método de división de amplitud consiste en dividir el haz original en dos haces de diferente amplitud sin disminuir la extensión del frente de onda. Esta división de amplitud se efectúa mediante un prisma divisor de haz o un espejo semirreflector, y luego se reúnen los haces de nuevo por cualquier medio, por lo general usando el mismo dispositivo divisor del haz. Después de la división y antes de la recombinación, los dos haces de luz recorren diferentes trayectorias, que si tienen diferente longitud, hacen necesaria la coherencia temporal de la fuente luminosa.

Interferómetro de Mach-Zehnder

El interferómetro de Mach-Zehnder usa dos divisores de haz y dos espejos como se muestra en la figura más adelante. La luz de una fuente colimada es dividida en dos haces, los cuales, después de reflejarse en los espejos, son recombinados en el segundo divisor de haz.

El interferómetro de Mach-Zehnder es un instrumento muy versátil debido a que sus haces solo recorren su camino una vez, y las franjas se pueden localizar en cualquier plano deseado. El interferómetro de Mach-Zehnder se ha usado en estudios de flujo de gases, combustión, densidad de plasmas,y difusión, donde cambios en el índice de refracción pueden ser relacionados a cambios en la presión o temperatura.

Corrimiento de Gouy

Haz gaussiano

Un haz gaussiano es un haz monocromático de radiación electromagnética cuyos perfiles eléctricos y magnéticos transversales están dados por una función gaussiana; La expresión matemática de la intensidad del campo eléctrico es una solución de la ecuación paraxial de Helmholtz. Suponiendo que la polarización es en la dirección X y la propagación en la dirección Z, el campo eléctrico en notación compleja viene dado por:

Ecuación 9

Donde:

r es la distancia radial desde el eje central del haz.

z Es la distancia axial desde el foco del haz

i Es la unidad imaginaria

k Es el número de onda para una longitud de onda lambda

E0 Es la amplitud del campo eléctrico en el origen en el tiempo cero.

w(z) Es el radio en el que las magnitudes de campo caen a 1/e de sus valores axiales, en el plano z a lo largo del haz.

w0 Es el radio de la cintura

R(z) Es el radio de curvatura del haz.

Phi (z) Es la fase de Gouy.

En una posición Z a lo largo del haz, el parámetro de cintura viene dado por:

Ecuacion 10

Donde Ecuacion 11 es el intervalo de Rayleigh.

La fase de Gouy está dada por:

Ecuación 11

Asumiendo que medimos este corrimiento de fase extra con respecto a la cintura del haz.

El efecto de esta fase añadida es añadir 90 grados en cada lado de la cintura del haz (rango de la función ArcTan), dando como total 180 grados de fase añadida, con la mayoría de esta fase ocurriendo entre uno o dos intervalos de Rayleigh en cada lado de la cintura.

En el experimento original que Gouy usó para demostrar el efecto, la luz que divergía de un pequeño agujero se reflejaba sobre dos haces superpuestos reflejados desde un espejo plano y otro curvo. Los efectos de interferencia entre los dos haces producían un conjunto de franjas circulares de interferencia que podían ser observadas en planos transversales cerca de la primera imagen del agujero. Gouy notó que la franja central en este patrón cambiaba de signo de clara a oscura si observaba las franjas en planos de observación justo antes o justo después del punto focal. Este cambio de signo implicaba que el haz focalizado había adquirido una fase extra de Pi al pasar a través del foco.

Experimentación

Materiales:

  • 1 láser (532.4 nm)
  • 1 lente biconvexo 25.4 mm
  • 1 lente plano convexo 200 mm
  • 2 espejos reflectores
  • 2 espejos divisores de haz
  • banco óptico
  • 2 pantallas
  • 4 postes para ajustar la altura del inteferómetro.

En la siguiente figura se bosqueja el arreglo experimental que corresponde a un interferómetro del tipo Mach-Zendher, en donde un láser de Helio-neón se usa como fuente de iluminación, en seguida a una distancia de 10 cm un lente biconvexo de (24.5 mm) y después a una distancia de 20cm se colocó otra lente plano convexo de (200 mm), con el propósito de expandir el haz de una manera controlable con la ayuda del arreglo (telescopio) de las lentes. El diámetro de la colimación del haz fue de 2.5 cm.

El haz, después de ser expandido por la combinación de las dos lentes, es dirigido a un divisor de haz (a 45 grados) para ser dividido, en donde, el primer haz se refleja en el espejo y lo dirige hacia un segundo divisor de haz, mientras que el segundo espejo reflejará al segundo haz el segundo divisor de haz para superponerse con el primer haz.

Arreglo interferómetro M-Z
Interferómetro en el laboratorio.

Una vez que se está considerablemente cerca del centro del patrón de interferencia en el Mach-Zehnder, se procede a colocar una lente de distancia focal f= 1000 mm. entre el último divisor de haz y el espejo de la esquina inferior derecha.

Arreglo en laboratorio con lente 1000 mm e iris.

Adicionalmente se colocó un iris para observar el fenómeno con más nitidez.

Antes del foco se observaron franjas circulares de interferencia con un máximo en el centro. Al pasar el foco se observó claramente que las franjas cambiaron de signo, de clara a oscura adquiriendo una fase de Pi. Este cambio se observa claramente en las imágenes y se representa en la función Arcotangente.

Franjas antes del foco
Foco en el corrimiento de Gouy
Franjas después del foco

Análisis de resultados

Los resultados, en su totalidad cualitativos, se pueden resumir en la obtención de la fase extra de Pi para nuestro haz gaussiano (láser). Por nuestros medios, no es posible medir cada punto de la función Arcotangente del cociente de Z sobre el intervalo de Rayleigh que predice la teoría, sin embargo sí se pudo observar claramente la fase extra.

Fase extra, gráfico función arctan.

Referencias

[1] [2] [3] [4]



Aportación de Usuarios: Andrade Martínez César Eduardo, Navarro Sánchez Felipe Neri, Vazquez Cruz Johana.


  1. Siegman, A. (1986). Lasers. Mill Valley, Calif.: University Science Books.
  2. E. Hecht, Optics, Pearson, Boston, 2017.
  3. Malacara, D. (2015). Optica básica (3a. ed.). FCE - Fondo de Cultura Económica.
  4. Hariharan, P. (2008). Optical interferometry. Amsterdam: Academic Press.