Ondas: Tubo de Kundt

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Introducción

August Adolf Eduard Eberhard Kundt fue un físico alemán, que destacó en el diseño de equipos experimentales para la visualización del efecto de ondas sonoras, y luminosas y de campos magnéticos. Kundt fue especialmente exitoso en los campos de la luz y del sonido. En 1866 desarrolló un valioso método para la investigación de ondas sonoras que viajan a través de tubos, basándose en el hecho de que el polvo se divide finamente en fragmentos pequeños, por ejemplo el lycopodium cuando es espolvoreado en el interior de un tubo que tiene una columna vibrante de aire, tiende a acumularse en los nodos, permitiendo medir la distancia de ellos. Una extensión de este método permite medir la velocidad del sonido en diferentes gases. Este aparato experimental es llamado tubo de Kundt. En el campo de la luz, el nombre de Kundt es conocido por sus investigaciones en dispersiones anómalas, no sólo en líquidos y en gases, sino también en metales, obteniendo películas delgadas a través de un complejo proceso de depósitos electrolíticos sobre un cristal platinado. También experimentó en el campo de la magneto-óptica, y logró mostrar algo que Michael Faraday no pudo detectar: las rotaciones bajo la influencia de fuerzas magnéticas del plano de polarización en ciertos gases y vapores[1].

August Adolf Eduard Eberhard


Tubo de Kundt

El tubo de Kundt es un dispositivo ideado por August Kundt que permite visualizar ondas sonoras en un tubo de vidrio. Fue utilizado en sus orígenes para el estudio de las ondas contrapropagantes y para la determinación de la velocidad del sonido, pero en la actualidad se sigue utilizando en distintas aplicaciones como la medida de la impedancia acústica de algunos materiales.

Las experiencias con este instrumento, realizadas por primera vez en 1866, fueron la principal contribución al campo de la acústica del físico alemán August Kundt en cuyo artículo original podemos encontrar un tubo muy semejante al expuesto[2]:

Primer esquema del tubo de Kunt[3]

El tubo de Kundt original era un cilindro transparente de altura mucho mayor que el radio, colocado horizontalmente, con una pequeña cantidad de polvo en su interior (corcho, talco o lycopodium). En uno de los extremos se situaba una fuente de ondas sonoras emitiendo a una frecuencia fija un tono puro. Si bien Kundt usó un cable metálico al que hacía vibrar, en los experimentos más recientes, se ha sustituido por un altavoz conectado a un generador de señales sinusoidales. En el otro extremo se colocaba un émbolo que se movía a lo largo del tubo para acortar la longitud del recinto donde se formaban las ondas sonoras.

Tubo de Kuntd

Hoy en día el tubo de Kundt, es un aparato que tiene aplicaciones para determinar la velocidad del sonido y medir impedancias acústicas. Cuando el tubo se llena de un gas, se esparce un polvo fino, como el polvo de Lycopodium en su interior y el gas se excita a una determinada frecuencia, se formarán ondas contrapropagantes. El polvo entonces tiende a acumularse en los nodos (donde la variación de presión es máxima y la elongación de la oscilación del polvo pasa por cero). Este método permite medir la velocidad del sonido en diferentes gases y el equipo experimental se llama tubo de Kundt. Una variante más actual del tubo de Kundt consiste en la introducción de un émbolo móvil en el interior del tubo. Con la ayuda de un micrófono conectado a un osciloscopio es posible analizar las ondas sonoras generadas en el interior del tubo. Para la comprensión del funcionamiento de este experimento son necesarias algunas nociones de física ondulatoria aplicadas a tubos sonoros, que se explican a continuación. Se explicarán las ondas contrapropagantes en tubos y el concepto de los modos normales de vibración que se forman en los tubos sonoros.

Funcionamiento

Un tubo de Kundt actual consta de un tubo con una escala métrica para medir distancias, con el que se pueden estudiar las ondas contrapropagantes generadas en su interior. En uno de los extremos del tubo se encuentran un micrófono y un altavoz, conectado a un generador de funciones, que emite ondas sonoras a una determinada frecuencia. Por el otro extremo se introduce un pistón móvil que se desliza por el interior del tubo de Kundt. El micrófono recoge el nivel sonoro existente en el extremo donde se encuentra ubicado.

Esquema de un tubo de Kundt empleado para medir la velocidad del sonido.

Las ondas sonoras emitidas por el altavoz a una determinada frecuencia se propagan por el tubo hasta llegar al pistón, donde se refractan y se reflejan. Las ondas reflejadas se superponen con las ondas incidentes dando lugar a una interferencia y al fenómeno de "ondas contrapropagantes" dentro del tubo. Tanto la posición donde está el altavoz como la del pistón son extremos cerrados, por tanto se formará, en ambas, un nodo de la onda contrapropagante de desplazamiento. Esto sucederá cuando se verifique la condición de resonancia:

donde $n=1, 2, 3, …$ el número de orden del modo, $\nu_n$ es la frecuencia del sonido emitido por el altavoz, $v$ es la velocidad del sonido y $L$ es la longitud del tubo.

Las ondas de presión se relacionan con la derivada respecto de la posición de la onda de desplazamiento, y por lo tanto ambas están desfasadas $\frac {\pi }{2}$. Como en el micrófono se registran únicamente las variaciones de presión, en los dos extremos se registrarán vientres de la onda contrapropagante de presión.

Al fijar la frecuencia del sonido emitido por el altavoz y modificar la posición del pistón (con la que variamos la longitud del tubo), observaremos para determinadas posiciones una resonancia. Con la condición de resonancia se producirá un máximo en la intensidad del sonido generado en el tubo. También se producirá un máximo de la amplitud en los vientres de la onda. Además, la condición de resoncia conlleva una "cuantificación" de la longitud de onda y su frecuencia respectiva, ya que la longitud L se debe "adaptar" a un múltiplo de medias longitudes de onda para producirla:

, donde $n=1, 2, 3, …$

Cuando la longitud del tubo no cumple esa condición, el resultado es una superposición de ondas fuera de la condición de resonancia.

La condición de resonancia es:

, donde $n=1, 2, 3, …$ el número de orden del modo.

Como se conoce la frecuencia del sonido emitido por el altavoz y se pueden medir en el tubo las distancias entre nodos y vientres consecutivos, equivalentes a $\frac {\lambda _n}{2}$, se podrá determinar la velocidad del sonido:

Ondas en el tubo de Kundt

Se estudia el movimiento ondulatorio en el interior del tubo de Kundt, la formación de ondas contrapropagantes acústicas dependiendo de la frecuencia y la longitud del tubo y de si es abierto o cerrado. Se pueden calcular los parámetros característicos de la onda, como son la longitud de onda y su velocidad de propagación (velocidad del sonido). Aparte, es posible estudiar la variación de la amplitud alrededor de la frecuencia de resonancia. El tubo de Kundt es un cilindro largo y estrecho en el que se pueden generar sonidos si se hace vibrar la columna de aire de su interior. Una perturbación inicial hace propagarse una onda longitudinal que desplaza a las moléculas alrededor de su posición de equilibrio. Esto origina una variación de la presión a lo largo del tubo. Hay zonas donde hay una sobre-presión (compresión) y otras en las que hay baja presión (enrarecimiento). Al llegar a un extremo del tubo, sea abierto o cerrado, la onda se reflejará, interferirá con la incidente y formará ondas contrapropagantes para determinadas frecuencias propias. Podemos describir la onda acústica o bien como el desplazamiento de las moléculas respecto a su equilibrio o con la presión en cada punto del tubo. Cuando se forma la onda contrapropagante, en las posiciones en las que el desplazamiento de una molécula (amplitud) es máximo, las moléculas a su alrededor vibran en fase, con lo que la presión es mínima. Si la molécula está en su posición de equilibrio, las moléculas a su alrededor vibran en oposición de fase, con lo que la presión es máxima. Por tanto, máximos de presión corresponden a mínimos de desplazamiento y viceversa; las dos ondas están desfasadas en $\frac { \pi}{2} $.

Onda de presión (negra), y de desplazamiento de las moléculas (roja).

En el caso de que la onda llegue a un extremo cerrado del tubo, en ese punto el desplazamiento de las partículas ha de ser siempre nulo, y se producirá una reflexión de la onda con inversión de fase que interferirá con la onda incidente. En el caso de que se forme una onda contrapropagante, tendremos un nodo para la onda de desplazamiento y un antinodo para la onda de presión. Si el extremo del tubo es abierto, la reflexión es más compleja, pero si se emplea un tubo estrecho en comparación con la longitud de onda $\lambda$ (dos veces la distancia entre nodos contiguos), en el extremo abierto habrá un antinodo en la onda de desplazamiento. En el caso de un tubo con los dos extremos cerrados, hay un nodo en ambos extremos, con lo que el modo fundamental será un solo antinodo en el centro del tubo. Por tanto, la longitud del tubo corresponderá a una semilongitud de onda. El modo armónico siguiente tendrá tres nodos y dos antinodos, con lo que la longitud del tubo corresponderá a tres semilongitudes de onda, y así sucesivamente. Se puede relacionar, por tanto, la longitud de onda con el número de nodos (incluidos los extremos):

con

Ondas contrapropagantes en un tubo cerrado en ambos extremos. Cuatro primeros armónicos.

En un tubo abierto por los dos extremos, la condición es similar pero cambiando número de nodos por antinodos.

Ondas contrapropagantes en un tubo abierto en ambos extremos. Cuatro primeros armónicos.

Si tenemos un tubo cerrado por un extremo, la onda contrapropagante más simple consta de un nodo en el extremo cerrado y un antinodo en el abierto. Este caso sería el armónico fundamental, y la longitud del tubo correspondería a un cuarto de longitud de onda. El siguiente armónico tendría dos nodos y un antinodo, es decir, tres cuartas partes de longitud de onda.

Ondas contrapropagantes en un tubo abierto en un extremo. Cuatro primeros armónicos.

En todos los casos, la longitud de onda depende de la velocidad de propagación de la onda y la frecuencia $\nu$, con lo que conociendo la longitud del tubo y la frecuencia es posible calcular la velocidad de propagación $v$.


Ondas Longitudinales

El sonido en el aire se propaga sólo por medio de ondas longitudinales: ondas en las cuales, el movimiento de las partículas consiste en oscilaciones de ida y vuelta en la dirección de propagación. En un sólido tal como una varilla de metal, el sonido se puede transmitir, tanto por ondas longitudinales, como transversales. En el experimento del tubo de Kundt, las ondas longitudinales de sonido se produce en una varilla de metal, que luego las transmiten a una columna de aire. Utilizando la velocidad del sonido en el aire y la fórmula de onda, se pueden determinar la frecuencia y la velocidad del sonido en la varilla.

Diagrama tubo de Kundt.

Cuando la varilla está bien estimulada y puesta en vibración, se establecen en ella ondas contrapropagantes. Puesto que la varilla está sujeta en su punto central, este punto es un nodo (cero amplitud de movimiento) y los extremos que están libres para vibrar son antinodos (amplitud máxima de movimiento de partículas a lo largo de la dirección de la varilla).

Cuando la varilla está vibrando de esta manera, lo hace con su frecuencia fundamental y la longitud de la onda contrapropagante es el doble de la longitud de la varilla.

Las vibraciones de la varilla son transmitidas por el disco al aire en el tubo cerrado de vidrio en un extremo. Las ondas que pasan al aire del tubo de vidrio, tienen la misma frecuencia que las de la varilla. Las ondas se reflejan en el extremo cerrado del tubo, y el aire en el tubo está por lo tanto sometido a la influencia de dos conjuntos similares de ondas que se desplazan en direcciones opuestas. Cuando la longitud de la columna de aire es un múltiplo de medias longitudes de onda, las dos ondas que viajan en sentidos opuestos producen ondas contrapropagantes. Las ondas contrapropagantes se caracterizan por puntos alternos de perturbación máxima y mínima, llamadas respectivamente nodos y antinodos. Estos nodos y antinodos pueden ser detectados por polvo de corcho colocado en el tubo, el polvo de corcho muestra los característicos patrones de vibración estriados de los antinodos. La distancia entre dos patrones sucesivos, es por tanto, la mitad de la longitud de onda del sonido en el aire. A continuación se hablará más de las ondas contrapropagantes, nodos y antinodos.

Ondas contrapropagantes

Las ondas contrapropagantes son aquellas ondas en las cuales, ciertos puntos de la onda llamados nodos, permanecen inmóviles.

Onda contrapropagante formada por la interferencia entre una onda (azul) que avanza hacia la derecha y una onda (roja) que avanza hacia la izquierda. Los puntos rojos representan los nodos de la onda.

La base teórica para comprender el funcionamiento y poder interpretar los resultados experimentales obtenidos con el Tubo de Kundt se centra en el estudio de las ondas contrapropagantes y su discretización en modos normales.

Las ondas contrapropagantes son un caso particular del fenómeno de interferencia de ondas, pues se forman por la superposición de dos ondas con iguales amplitudes y longitudes de onda, que se desplazan en la misma dirección pero en sentidos opuestos. Es lo que sucede, por ejemplo, en un tubo sonoro. Este tipo de ondas confinadas en un espacio, como por ejemplo una cuerda, un tubo con aire o una membrana, dan lugar, además, a la formación de un modo normal de vibración. En el caso del tubo de Kundt, las ondas contrapropagantes se encuentran en el interior de un tubo que suele tener uno de los extremos cerrado. Cuando el tubo está cerrado por ambos extremos se denomina tubo cerrado. El fundamento de la formación de las ondas contrapropagantes y de los modos normales, es aplicable a los instrumentos musicales como los instrumentos de viento, ya que se generan ondas confinadas en tubos sonoros, o los instrumentos de cuerda, puesto que se generan en ellos ondas confinadas en cuerdas.

En las ondas contrapropagantes en tubos, cada molécula de gas oscila en torno a su posición de equilibrio cuando el tubo se excita a una determinada frecuencia. Existen dos tipos de posiciones importantes en las ondas contrapropagantes: los nodos y los antinodos o vientres. Los nodos son aquellas posiciones donde las moléculas permanecen inmóviles y los vientres son aquellas posiciones donde las moléculas presentan un movimiento oscilatorio con la amplitud máxima. Como se verá a continuación, dicha amplitud en ausencia de absorción y amortiguamiento, sería el doble de la amplitud de las ondas que inicialmente se superponen para formarla. La ecuación que describe una onda contrapropagantes se puede determinar a partir de la superposición de una onda incidente y una onda reflejada en la misma dirección y sentidos opuestos; las dos ondas tienen la misma longitud de onda y en una primera aproximación también tienen la misma amplitud. Si se supone que en $x=0$, el estado de perturbación representado por la onda resultante es siempre cero, lo que corresponde a un extremo cerrado, $y (x=0, t)$, se obtiene la siguiente ecuación de la onda contrapropagante para el desplazamiento de las moléculas del gas, respecto al medio sin perturbar:

Donde $k=\frac {2\pi }{\lambda}$ y $\omega = 2\pi =\frac {2\pi }{T} $ es la frecuencia angular

Además de formarse la onda de desplazamiento, se genera la onda de presión y la onda de densidad correspondientes y equivalentes. Ambas ondas, la de presión y la de densidad, están desfasadas $\frac {\pi }{2}$ respecto a la de desplazamiento. Por ello, las posiciones de nodos y vientres de la onda de desplazamiento pasarán a ser vientres y nodos, respectivamente, de las de presión y densidad.

A partir de la ecuación anteriormente expuesta se puede deducir la posición de los nodos (posiciones de reposo) y de los vientres (posiciones de oscilación máxima) en la onda contrapropagante.

Nodos y antinodos

  • Se produce un antinodo cuando , siendo para
  • , entonces para
  • Se produce un nodo cuando , siendo para
  • , entonces para

Siendo la longitud de la onda.

Nodos y antinodos en la onda antipropagante.

Modos Normales de vibración

Los modos normales de vibración de la onda contrapropagante en el interior del tubo sonoro se generan cuando se impone la condición de un segundo extremo en el otro lado del tubo. Con ello se consigue confinar la onda antipropagante y obtener la llamada condición de resonancia en su interior. Para ello los posibles valores que pueden adquirir $\omega$ y $ k$ o $\nu$ y $ \lambda$ están cuantizados y vienen determinados por las condiciones en los dos extremos del tubo ya sea que el tubo esté abierto o cerrado, que son las llamadas condiciones de contorno. En el caso del tubo de Kundt, si consideramos que ambos extremos están cerrados, las condiciones de contorno para la onda de desplazamiento $ y$, serían:

(extremo cerrado)
(extremo cerrado)

Donde $L$ la longitud del tubo. Estas condiciones de contorno suponen que en ambos extremos del tubo siempre se encuentra un nodo, para este caso, moléculas en reposo. En el caso de que uno de los extremos estuviera abierto, en este extremo siempre se encuentra un vientre (moléculas con la máxima amplitud de desplazamiento).

Aplicando la segunda condición de extremo cerrado a la ecuación de la onda contrapropagante anteriormente deducida se obtiene que:

Como en la ecuación anterior la amplitud $ A$ y $ \operatorname{sen}(\omega t)$ deben ser diferentes de cero para que haya oscilación, debe verificarse:

Lo cual es válido para con , por tanto:

De lo anterior y teniendo en cuenta que $ k = \frac {2\pi}{\lambda}$ se concluye que:

siendo

Las ecuaciones anteriores expresan los modos normales de vibración posibles que se pueden establecer en el interior del tubo cuando su longitud $L$ sea un múltiplo entero de media longitud de onda:

siendo

La frecuencia del modo enésimo $ \nu_n$ también estará discretizada y se calcula fácilmente teniendo en cuenta la relación entre la longitud de onda y su frecuencia por medio de la velocidad de la onda sonora:

siendo la velocidad del sonido en el gas contenido en el tubo.

Para cada valor de $ n$ se establece un modo de vibración. Cuando $ n = 1$ el modo se llama modo fundamental o primer modo. Para valores superiores de $ n$ aparecen los llamados modos armónicos.

Modos normales de vibración.

Video

A continuación inserto una liga a un video, es de un tubo de Kundt, en el que muestra tres frecuencias resonantes

Kundts Tube resonance

Referencias

  1. https://es.wikipedia.org/wiki/August_Kundt
  2. Kundt, August (January–June 1868). "Acoustic Experiments". The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. 35 no. 4. UK: Taylor & Francis, pp. 41–48.
  3. Kundt, A. (1866). "Ueber eine neue Art Akustischer Staubfiguren und über die Anwendung derselben zur Bestimmung der Shallgeschwindigkeit in festen Körpern und Gasen". Annalen der Physik (in German). Leipzig: J. C. Poggendorff. 127(4): 497–523)



Aportación de: Nayomi (discusión) 22:08 15 jul 2020 (CDT)