Onda: Fluidos

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En caso relativamente sencillo de ondas en tres dimensiones consiste en la propagación de ondas en fluidos no viscosos. Para ver ejemplos de ondas en una dimensión ver Ondas: Cuerdas y Corrientes- Transversales y para ondas en dos dimensiones Ondas: Membrana.


Ecuación de onda en fluidos no viscosos

Teniendo un fluido, al cual los efectos de viscosidad son despreciables, la única fuerza que actúa sobre el es la presión hidrostatica (P). En la ausencia de una onda en movimiento el fluido se encuentra en equilibrio con una presion \(P_e\), que puede variar con la posición debido a la efectos de la gravedad.


Cuando una onda se propaga por el fluido, pero el fluido en un principio esta en reposo, la presión variar de la forma:


(1)

\(p\left(\mathbf{r},t\right)=P\left(\mathbf{r},t\right)-P_e\left(\mathbf{r}\right)\)


Este incremento es una función escalara de la posición y del tiempo y esta relacionado con el desplazamiento del fluido (\(\tau\)).


El cambio en el volumen, o dilatacion (\(\zeta\)), la cual esta asociada con el incremento de presión (p), esta relacionada con el desplazamiento (\(\tau\)) por la ecuacion:


(2)

\(\zeta=\frac{\delta V}{V}=\frac{\partial\Psi_1}{\partial x}+\frac{\partial\Psi_2}{\partial y}+\frac{\partial\Psi_3}{\partial z}=\mathbf{\nabla .\tau}\)


El incremento de la presion y la dilatacion estan linealmente relacionadas mediante el modulo de volumen (B)


(3)

\(p=-B\zeta=-B\mathbf{\nabla .\tau}\)


Que expresa la ley de Hooke para fluidos. Asumimos para las ondas que se concideran aqui que \(\tau\)<< 1.


Aplicando la segunda ley de newton al movimiento del fluido contenido en un elemento cubico \(\Delta x\Delta y\Delta z\). Para empezar buscamos la fuerza neta en el elemento que surja por la variación de presiones que induzca la onda en sus 6 caras. La fuerza neta en la dirección de x que actúa sobre el elemento esta dada por:


(4)

\(\Delta F_x=-\frac{\partial p}{\partial x}\Delta x\Delta y\Delta z\)


De manera similar la fuerza neta en los otros dos ejes son:


(5)

\(\Delta F_y=-\frac{\partial p}{\partial y}\Delta x\Delta y\Delta z\)


(6)

\(\Delta F_z=-\frac{\partial p}{\partial z}\Delta x\Delta y\Delta z\)


El vector de la fuerza neta en el elemento cubico es entonces:


(7)

\(\Delta F=-\mathbf{\nabla}p\Delta x\Delta y\Delta z\)

Donde:


(8)

\(\mathbf{\nabla}p =\mathbf{i}\frac{\partial p}{\partial x}+\mathbf{j}\frac{\partial p}{\partial y}+\mathbf{k}\frac{\partial p}{\partial z}\)


Es el gradiente de la presion. como el vector aceleracion del fluido en el elemento es \(\partial^2\tau/\partial t^2\) y su masa es \(d_0\Delta x\Delta y\Delta z\), donde \(d_0\) es la densidad del fluido.


Por la segunda ley de Newton:


(9)

\(\Delta\mathbf{F}=-\mathbf{\nabla}p\Delta x\Delta y\Delta z=d_0\Delta x\Delta y\Delta z\frac{\partial^2\tau}{\partial t^2}\)


Dividiendo la ecuacion entre \(\Delta x\Delta y\Delta z\) se obtiene:


(10)

\(-\mathbf{\nabla}p=d_0\frac{\partial^2\tau}{\partial t^2}\)


Como la ecuacion se quiere en terminos de la funcion escalar de presion, en ves del vector de dezplazamiento,tomando la divergencia de (10) y usando la realcion (3):


(11)

\(-\nabla.\mathbf{\nabla}p=d_0\frac{\partial^2\left(\nabla.\tau\right)}{\partial t^2}\)


(12)

\(\mathbf{\nabla^2}p=\frac{1}{C_f^2}\frac{\partial^2 p}{\partial t^2}\)


Donde:


(13)

\(C_f=\left(\frac{B}{d_0}\right)^{\frac{1}{2}}\)


Es la velocidad de la onda en el fluido.


--Alejandro Angel Galvan Garcia 18:06 29 mar 2012 (UTC)


[1]


Referencias

  1. William C. Elmore, Mark A. Heald; Physics of Waves; McGraw-Hill; 1969.