Números complejos

Números complejos y algunas propiedades

Los número complejos surgen por la necesidad de realizar y/o resolver ecuaciones cuadráticas en los reales donde tenemos que:

$x^{2}+1=0\Rightarrow x^{2}=-1$ por lo cual la respuesta es:

$x=\sqrt{-1}$ este es imposibles en los reales y por este motivo se dio la necesidad de tener un nuevo conjunto de números llamados complejos. Naturalmente tenemos que: $\mathbb{R\epsilon\mathbb{C}}$

Y para nuestra comodidad en los complejos tenemos que a la raíz de menos uno le denominamos una letra llamada i, así de nuestro ejemplo tenemos que:

$x=i$

Comúnmente los complejos se denominan con la letra z y tienen una parte real y una imaginaria:

$z=x+iy$ o también $z=a+ib$ donde x ó a se denotan por reales también y y ó b son los imaginarios del número complejo z.

También existen su conjugado en complejos la cual es:

$\overline{z}=a-bi$

Tenemos algunas propiedades de la suma para estos números que son similares a la de los reales:

1.-Es cerrada bajo la suma

2.-Es asociativa

3.-Existe un neutro o idéntico aditivo

4.-Existe un inverso aditivo

5.-Pueden conmutar

Para demostrar estas 5 propiedades tenemos que:

$z=a+bi$ , $w=c+di$ y $v=e+fi$

1.- $z+w=\left(a+bi\right)+\left(c+di\right)=\left(a+c\right)+\left(b+d\right)i$

Por lo tanto $\left[z+w\right]\epsilon\mathbb{C}$

2.- $\left(z+w\right)+v=z+\left(w+v\right)$

$\left(z+w\right)+v=\left[\left(a+bi\right)+c+di\right]+\left(e+fi\right)=\left[\left(a+c\right)+\left(b+d\right)i\right]+\left(e+fi\right)=\left[\left(\left(a+c\right)+e\right)+\left(\left(b+d\right)+f\right)i\right]=\left[a+\left(c+e\right)\right]+\left[b+\left(d+f\right)\right]i=\left(a+bi\right)+\left[\left(c+e\right)+\left(b+f\right)i\right]=z+\left(w+v\right)$

3.- $0+z=\left(0+0i\right)+\left(a+bi\right)=\left(0+a\right)+\left(0+b\right)i=a+bi=z$

4.-$z+\left(-z\right)=\left(a+bi\right)+\left(-a-bi\right)=\left(a-a\right)+\left(b-b\right)i=0+0i=0$

Además análogamente:

$-z+z=\left(-a-bi\right)+\left(a+bi\right)=0+0i=0$

5.-$z+w=w+z$

$z+w=\left(a+bi\right)+\left(c+di\right)=\left(a+c\right)+\left(b+d\right)i=\left(c+a\right)+\left(d+b\right)i=\left(c+di\right)+\left(a+bi\right)=w+z$

Análogamente también existen propiedades de la multiplicación para los complejos como en los reales:

1.-Es cerrada

2.-Es asociativa

3.-Existe un neutro multiplicativo

4.-Existe un inverso multiplicativo

Sean $z=a+bi$ y $w=c+di$ y $v=e+fi$

1.- $zw=\left(a+bi\right)\left(c+di\right)=\left(ac-bd\right)+\left(bc+ad\right)i$

2.-$\left(zw\right)v=z\left(wv\right)$

3.-$1\cdotp z=z=z\cdotp1$

4.-$z\cdotp z^{-1}=1$

Además exiten propiedades para los complejos de la forma $a+bi$ tales como

1) $\overline{z\pm w}=\overline{z}\pm\overline{w}$

2)$\overline{z\cdotp w}=\overline{z}\overline{w}$

3)$\frac{\overline{z}}{w}=\frac{\overline{z}}{\overline{w}}$

4)$\overline{\overline{z}}=z$

5)$\overline{z}=z$ solo si z es real

6)$z\overline{z}=\left|z\right|^{2}$

7)$\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{\left|z\right|^{2}}$

8)$\left|z\right|\geq0$ para todo z en los complejos

9)$\left|z\right|=0\Longleftrightarrow z=0$

10)$\left|zw\right|=\left|z\right|\left|w\right|$

11)$\left|\frac{z}{w}\right|\frac{\left|z\right|}{\left|w\right|}$

12)$\left|z+w\right|\leq\left|z\right|+\left|w\right|$

Potencias de i

$i=\sqrt{-1}$

$i^{2}=-1$

$i^{3}=-i=-\sqrt{-1}$

$i^{4}=i^{2}i^{2}=\left(-1\right)\left(-1\right)=1$

$i^{5}=i^{4}i=1\sqrt{-1}=i$

Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 15:49 5 jul 2015 (CDT)