Funciones trignometricas complejas

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Funciones trigonometricas complejas

En este documento se darán algunas funciones e identidades trigonometricas e hiperobolicas importantes, así como derivadas básicas partiendo de la definición de la función exponencial.

Es fácil darse cuenta de que los complejos funcionan como los reales en muchas identidades que daremos a continuación.

$e^{ix}=cosx+isenx$ , $e^{-x}=cosx-isenx$

Entonces tenemos que:

$e^{ix}-e^{-ix}=2isenx$ , $e^{ix}+e^{-ix}=2cos$x

Entonces podemos escribir

$senz=\frac{e^{iz}-e^{.iz}}{2i}$ , $cosz=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$

$sen\left(-z\right)=-senz$ , $cos\left(-z\right)=cosz$

$senz=\frac{1}{cscz}$

$cosz=\frac{1}{secz}$

$tanz=\frac{senz}{cosz}=\frac{1}{cotz}$

$cotz=\frac{cosz}{senz}=\frac{1}{tanz}$

$secz=\frac{1}{cosz}$

$cscz=\frac{1}{senz}$

$senh\left(iz\right)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2}=isenz$ , $coshz=cos\left(iz\right)$

$2senz_{1}cosz_{2}=sen\left(z_{1}+z_{2}\right)+sen\left(z_{1}-z_{2}\right)$

$sen\left(z_{1}+z_{2}\right)=senz_{1}cosz_{2}+cosz_{z}senz_{2}$

$cos\left(z_{1}+z_{2}\right)=cosz_{1}cosz_{2}-senz_{1}senz_{2}$

$sen^{2}z+cos^{2}z=1$

$sen2z=2senzcosz$

$cos2z=cos^{2}z-sen^{2}z$

$sen\left(z+\frac{\pi}{2}\right)=cosz$

$senz=senxcoshx+icosxsenhy$

$cosz=coszcoshx-isenxsenhy$

$\left|senz\right|^{2}=sen^{2}x+senh^{2}y$

$\left|cosz\right|^{2}=cos^{2}x+senh^{2}y$

Todas estas relaciones siven para los senos y cosenos hiperbolicos

Ahora pondremos algunas derivadas pero como en los reales varian en los signos

$\frac{d}{dz}senz=cosz$

$\frac{d}{dz}cosz=-senz$

$\frac{d}{dz}tanz=sec^{2}z$

$\frac{d}{dz}cotz=-csc^{2}z$

$\frac{d}{dz}secz=secztanz$

$\frac{d}{dz}cscz=-csczcotz$

Ahora para las hiperbolicas complejas

$\frac{d}{dz}senhz=coshz$

$\frac{d}{dz}coshz=senhz$

$\frac{d}{dz}tanhz=sec^{2}z$

$\frac{d}{dz}cotz=-csc^{2}z$

$\frac{d}{dz}secz=-secztanz$

$\frac{d}{dz}cscz=-csczcotz$

Bibliografía: Ruel V. Churchill/James Ward Brown Variable compleja y aplicaciones Dennis G. Zill Patrick D. Shanahan Introducción al análisis complejo con aplicaciones

Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 17:05 5 jul 2015 (CDT)