Ejercicios: empleo de exponente complejo

De luz-wiki

Ejercicio 1:

Si $z=Ae^{i\theta}$, deducir que $dz=izd\theta$.

Solución:

$z=Ae^{i\theta}$

$\frac{dz}{d\theta}=Aie^{i\theta}$

$\frac{dz}{d\theta}=iz$

$dz=izd\theta$


Ejercicio 2:

Para tomar las derivadas sucesivas de $e^{i\theta}$ respecto a $\theta$ , basta multiplicar por $i$:

$\frac{d}{d\theta}(Ae^{i\theta})=iAe^{i\theta}$

Demostrar que esta propiedad sigue siendo válida si se utiliza la representación sinusoidal $e^{i\theta}=cos\theta+isen\theta$.

Solución:

Tratemos por separado $\frac{d}{d\theta}(Ae^{i\theta})$ y $iAe^{i\theta}$.

Primero tratemos $\frac{d}{d\theta}(Ae^{i\theta})$ , con la representación sinusoidal previa otenemos:

$\frac{d}{d\theta}(Ae^{i\theta})=\frac{d}{d\theta}(A(cos\theta+isen\theta))$

Derivamos con respecto a $\theta$:

$\frac{d}{d\theta}(A(cos\theta+isen\theta))=A(-sen\theta+icos\theta)$

Con $i^{2}=-1$

$A(i^{2}sen\theta+icos\theta)=Aicos\theta+Ai^{2}sen\theta$

Ahora trabajemos con $iAe^{i\theta}$:

$iAe^{i\theta}=iA(cos\theta+isen\theta)$

$iA(cos\theta+isen\theta)=Aicos\theta+Ai^{2}sen\theta$

Por lo tanto $\frac{d}{d\theta}(A(cos\theta+isen\theta))=iA(cos\theta+isen\theta)$ y por ende $\frac{d}{d\theta}(Ae^{i\theta})=iAe^{i\theta}$ .