Compleja:Demostracion del Teorema de Cauchy para circulos concentricos

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Sea $f$ una función holomorfa en la región anular ${ R }_{ 1 }<\left| z-{ z }_{ 0 } \right| <{ R }_{ 2 }$. Para cada ${ R }_{ 1 }<r<{ R }_{ 2 }$ sea ${ \gamma }_{ r }$ el circulos de centro ${ z }_{ 0 }$ y radio $r$ orientado positivamente. Entonces:

$\int _{ { \gamma }_{ r } }^{ }{ f(z)dz } $

es independiente de $r$.


Demostración:

Consideremos la parametrización ${ \gamma }_{ r }(t)={ z }_{ 0 }+r{ e }^{ it }$, para $t\in \left[ 0,2\pi \right] $. Entonces:

$I(r):=\int _{ { \gamma }_{ r } }^{ }{ f(z)dz=\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ f({ z }_{ 0 }+r{ e }^{ it })ir } { e }^{ it }dt } $

y note que el integrando del lado derecho es una función de dos variables $r, t$ con derivadas parciales continuas. Por la regla de Leibniz se sigue que:

$\frac { dI(r) }{ dr } =\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \frac { d }{ dr } f({ z }_{ 0 }+r{ e }^{ it })ir } { e }^{ it }dt$

donde:

$\frac { d }{ dr } f({ z }_{ 0 }+r{ e }^{ it })ir{ e }^{ it }={ f }^{ ´ }({ z }_{ 0 }+r{ e }^{ it }){ e }^{ it }ir{ e }^{ it }+f({ z }_{ 0 }+r{ e }^{ it })i{ e }^{ it }=\frac { d }{ dt } f({ z }_{ 0 }+r{ e }^{ it }){ e }^{ it }$

y por lo tanto:

$\frac { dI(r) }{ dr } =\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \frac { d }{ dt } f({ z }_{ 0 }+r{ e }^{ it }) } { e }^{ it }dt=0$

como se quería.


Miguel Medina Armendariz (discusión) 14:19 5 jul 2015 (CDT)


Carlosmiranda (discusión) 15:34 21 nov 2020 (CST)