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Curso de Variable compleja

Números complejos

Los números complejos son una extensión de los números Reales, su uso no solo se limita a resolver ecuaciones con raíces negativas, sino que son parte fundamental del Álgebra, además tienen muchas aplicaciones a la Física, Ingeniería Eléctrica, Mecánica de fluidos, Termodinámica, Mecánica cuántica, etc…, por lo que se necesita una buena formación en Variable Compleja, para entender estos temas.

Definición del campo de los números complejos.

El campo de los números complejos es un campo cerrado, esto es cada polinomio de cualquier grado, tiene una raíz en este mismo campo, esta propiedad no lo cumplen los números reales, ya que cualquier polinomio de forma

$ x^2+A=0$ Con A positivo, no tiene solución en los números Reales. Por lo que los números complejos cumplen el teorema fundamental del álgebra.

Los números complejos son usualmente escritos de la siguiente manera.

$z=x+i y$

Donde x es la parte real denotada por $x=Re(z)$.

y es la parte imaginaria $y=Im(z)$

i es la unidad imaginaria, que cumple que $i=\sqrt-1$

Donde x,y son números reales, es debido a estos elementos, que los números con parte real y la unidad imaginaria son llamados como Complejos y su campo es $\mathbb{C}$

Un número complejo $z_1=x_1+i y_1$ y $z_2=x_2+ i y_2$ son iguales solo si sus partes reales e imaginarias son iguales. Esto es:

$x_1=x_2$

$y_1=y_2$

De lo contrario se tratan de números complejos distintos.

Demostración de continuidad

Sea $f:\Omega \rightarrow C$ una función continua.

$(1)$ Si $\Omega$ es conexo, entonces $f(\Omega)$ también es conexo.

$(2)$ Si $\Omega$ es compacto, entonces $f(\Omega)$ también es compacto.

Ver demostración en: Demostración de continuidad

Operaciones básicas con números complejos.

Los números Complejos $\mathbb{C}$ y reales $\mathbb{R}$ satisfacen las mismas propiedades aritméticas.

Tales como la suma y resta.

Ver mas en: Operaciones básicas con números complejos.

Ejercicios resueltos de: Números complejos y sus propiedades

Plano complejo.

Un número complejo se puede representar mediante una expresión de la forma , donde y son números reales, e es un símbolo con la propiedad de que . El número complejo también se puede denotar por medio del par ordenado y graficar como un punto en un plano llamado (plano de Argand), donde el eje es el eje real y el eje , el eje imaginario, tal como se muestra en la figura 1.

Figura 1. Números complejos como puntos en el plano de Argand

Ver mas en: Plano complejo

Ejercicios resueltos de Números complejos y el plano complejo.

Forma polar de números complejos.

Si consideramos todo número complejo

como un punto en el plano de Argand (figura 1)este puede representarse en términos de coordenadas polares.

[1] .

Ver mas en: Forma polar de los números complejos

Teorema de Moivre.

Las potencias enteras de un número complejo

\[ z^{n}=r^{n}\left ( \cos \theta +i \sin \theta \right )^{n} \]


La formula de Moivre es usada para encontrar las potencias de números complejos

\[ \left ( \cos \theta +i \sin \theta \right )^{n}=\cos n \theta + i \sin n \theta \]

Raíces de números complejos.

Las $n $ raíces de un numero complejo están dados por:

\[ w_{k}=r^{\frac{1}{n}}\left [ \cos\left ( \frac{\theta +2k \pi}{n} \right ) + i \sin\left ( \frac{\theta +2k \pi}{n} \right ) \right ] \]

Donde

\[ k=0,1,2,3,..., n-1 \]

Funciones de una variable compleja.

Una función compleja, es una función, cuyo dominio y rango son subconjuntos de números complejos. 

A diferencia de las funciones de variable real, las funciones de variable compleja involucran números complejos, muchas de las funciones de variable compleja son multivaluadas, por lo que se tiene que usar ramas para proporcionar soluciones continuas y analíticas.


Geometría de las funciones elementales.

Las funciones elementales complejas tienen una representación en el plano complejo, estas funciones elementales incluyen:

Funciones exponenciales complejas y logarítmicas.

Ver ejercicios resueltos de: Exponencial Compleja y Logaritmo Complejo

Potencias Complejas.

Ver ejercicios resueltos de: Potencias complejas

Funciones Trigonométricas e Hiperbólicas

Ver ejercicios resueltos de: Funciones trigonométricas e Hiperbólicas.

Funciones multivaluadas.

A diferencia de las funciones univaluadas, las cuales asignan un único valor a cada punto, las funciones multivaluadas pueden tener múltiples valores para un mismo argumento.

Ejemplos de estas funciones, son las raíces y los logaritmos

Ramas

La teoría de funciones multivaluadas implica conceptos como ramificaciones y cortes. Las ramificaciones representan las diferentes soluciones de la función, mientras que los cortes son líneas en el plano complejo donde se realiza una discontinuidad para garantizar la continuidad de la función compleja. Estos elementos son esenciales para evitar inconsistencias en el tratamiento de funciones multivaluadas.

Rama principal del arg(z)

Superficies de Riemann

Las superficies de Riemann surgen como una extensión natural del estudio de funciones multivaluadas en el plano complejo. Permiten una descripción más completa de funciones que tienen múltiples valores para un solo argumento, como raíces y logaritmos complejos, al introducir una dimensión adicional en la forma de hojas o láminas.

Calculo diferencial de funciones de una variable compleja.

El uso del cálculo diferencial de variable compleja, al igual que el calculo de Variable Real permite diversas aplicaciones matemáticas, tales como la diferenciación e integración de funciones pero esta vez teniendo en cuenta funciones de Variable Compleja.

Limites y continuidad.

El concepto de límite complejo:

\[ \lim_{z \to z_0}f(z)=L \]


Es similar al límite real. Por lo que los valores f(z) de la función compleja f se puede acercar arbitrariamente cerca de un numero complejo L si los valores de z se escogen arbitrariamente cerca al número complejo $z_O$


El limite real hay dos direcciones desde las cuales se puede acercar a un número, por la izquierda o derecha en la recta real, sin embargo en el límite complejo no hay solo dos, si no infinitas direcciones desde las cuales un numero se puede aproximar a otro, sin embargo para que un límite complejo exista, cada forma en que $z$ pueda aproximarse a $z_0$ debe tener el mismo valor límite.

Ver ejercicios resueltos de: Limites y continuidad en variable compleja

Derivadas y funciones analíticas.

Se dice que una función compleja es analítica en un punto , sí la función es derivable en y en cada punto de una vecindad de

También se puede decir que una función es analítica en un dominio si se cumple que sea analítica en cada punto de ese dominio , por lo cual una condición es que sea diferenciable en cada punto del dominio.

Ver mas de la Función analítica

Ver ejercicios resueltos de Diferenciabilidad y Analiticidad.

Mapeos conformes.

Un mapeo conforme es una transformación que preserva los ángulos y las proporciones locales en el plano complejo. Esto significa que la relación entre las direcciones y las formas geométricas locales se mantiene después de la transformación.

Ver mas en Ejercicios de Mapeos lineales
Ejercicios de Mapeos Conformes

Condiciones de Cauchy-Riemann

Las ecuaciones de Cauchy Riemann constituyen una prueba necesaria pero no suficiente, para la derivabilidad de una función de variable compleja.


Sea derivable en un punto . Entonces las derivadas parciales en ese punto de primer orden existen y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

\[ \frac{\partial u(x,y)}{\partial x}=\frac{\partial v(x,y)}{\partial y} \]


\[ \frac{\partial u(x,y)}{\partial y}=-\frac{\partial v(x,y)}{\partial x} \]

Las ecuaciones anteriores son las ecuaciones de Cauchy-Riemann.


Para una demostración ver: Demostración Ecuaciones de Cauchy-Riemann


Ver: Ejercicios de Cauchy-Riemann

Funciones inversas.

Una función inversa en el contexto complejo busca encontrar la entrada original de una transformación dada. En otras palabras, si una función $f(z)$ transforma $z$ en $w$, la función inversa busca $z$ tal que $f(z)=w$. La existencia de una función inversa está condicionada por la biyectividad de la transformación original.

Funciones como la exponencial y el logaritmo son funciones inversas, siempre y cuando se restinga el dominio en una rama.

Funciones armónicas.

Las funciones armónicas son aquellas que satisfacen la ecuación de Laplace


Una función armónica en el plano complejo es aquella que satisface la ecuación de Laplace, lo que implica que la suma de las segundas derivadas parciales con respecto a las coordenadas reales e imaginarias es nula.

Sea $f$ una función compleja.

\[ f(z)=u(x,y)+iv(x,y) \]


\[ \frac{\partial^{2}\phi }{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\phi }{\partial y^{2}}=0 \]

o usando el operador Laplaciano.


\[ \Delta\phi =\nabla^{2}\phi =0 \]

Ejercicios resueltos de Funciones Armónicas.

Diferenciación de las funciones elementales.

La diferenciación compleja extiende reglas del cálculo diferencial real, como la regla del producto o la cadena, pero ahora en funciones complejas. Usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann da una condición necesaria para las partes reales e imaginarias de una función sea diferenciable.

Ejercicios resueltos sobre: Diferenciación Compleja

Integración compleja.

La integración se extiende naturalmente los métodos de integración de integración en el plano real a través de curvas complejas.

Es recomendable repasar las integrales reales en curvas Integrales Reales.


Integrales de Contorno en el plano complejo y sus propiedades básicas.

Las integrales de Contorno en el plano complejo comparten muchas propiedades con su análogo de Integrales de Linea en el plano Real.



Propiedades Básicas de las integrales de Contorno Sean , Funciones Continuas en un Dominio D y sea C una curva suave contenida en su totalidad en D.


  • \[ \int_{C}^{} K f(z)dz= K\int_{C}^{} f(z)dz \quad \quad \text{Donde K es una constante Compleja} \]
  • \[ \int_{C}^{} \left [f(z)+g(z) \right ]dz= \int_{C}^{} f(z)dz +\int_{C}^{} g(z)dz \]
  • \[ \int_{C}^{} f(z)dz= \int_{C_1}^{}f(z)dz+ \int_{C_2}^{}f(z)dz \quad \quad \text{Donde C consiste de las curvas suaves}\quad C_1 \quad y \quad C_2 \quad \text{que están unidas por los extremos} \]
  • \[ \int_{-C}^{} f(z)dz= -\int_{C}^{}f(z)dz \text{Donde -C denota la curva que tiene el orientación opuesta de C} \]
Ejercicios resueltos de Integrales Complejas

Teorema fundamental del cálculo para integrales de línea.

El teorema establece que si $F(z)$ es una función analítica en una región simplemente conexa que contiene una curva $C$ y su interior y $f(z)$ es una primitiva de $F(z)$ en esa región, entonces la integral de línea de $F(z)$ a lo largo de $C$ es igual a la diferencia entre los valores de $f(z)$ en los extremos inicial $z_0$ y final $z_1$ Matemáticamente se expresa como:

\[ \int_{C}^{} f(z)dz= \int_{z_0}^{z_1} f(z)dz= F(z_1)-F(z_0) \]

Ejercicios resueltos de Independencia de Trayectoria.

Teorema integral de Cauchy.

Teorema de Cauchy

Suponga que una función $f$ es analítica en un dominio simplemente conexo $D$ y sea $f’$ continua en $D$. Entonces para cada contorno cerrado simple $C$ en $D$. Se tiene que:

\[ \oint_{C}^{}f(z)dz=0 \]

El matemático Edouard Goursat demostró que el el supuesto de continuidad de $f'$ no es necesario para llegar a la conclusión de el teorema de Cauchy. Con esto se establece el teorema de Cauchy-Goursat.

Teorema de Cauchy-Goursat

Suponga que una función $f$ es analítica en un dominio simplemente conexo $D$. Entonces para cada contorno cerrado simple $C$ en $D$. Se tiene que:

\[ \oint_{C}^{}f(z)dz=0 \]

Ver Demostración del Teorema de Cauchy

Ejercicios resueltos usando el Teorema de Cauchy

Formulas integrales de Cauchy.

Si $f$ es analítica en un dominio simple conexo $D$ y $z_0$ es un punto en D. El cociente $\frac{f(z)}{(z-z_0)}$ no está definida en $z_0$ y por lo tanto no es analítica en $D$. Por lo que no se puede concluir que la integral $\frac{f(z)}{(z-z_0)}$ alrededor de un contorno cerrado simple $C$ que contenga a $z_0$ sea cero por el teorema de Cauchy-Goursat.


Sin embargo se pueden usar dos fórmulas para resolver estas integrales.


Si  es analítica en un dominio simple conexo  y  un contorno simple contenido enteramente dentro de D. Entonces para cualquier punto  dentro de 
Primera formula integral de Cauchy.

\[ f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint \frac{f(z)}{z-z_0}dz \]


Ejercicios resueltos de: Formulas integrales de Cauchy

Formula integral de Cauchy para derivadas altas.

Si  es analítica en un dominio simple conexo  y  un contorno simple contenido enteramente dentro de D. Entonces para cualquier punto  dentro de 
Formula integral de Cauchy para derivadas.

\[ f^{n}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint \frac{f(z)}{\left (z-z_0 \right )^{n+1}}dz \]


Ejercicios resueltos de: Formulas integrales de Cauchy

Representación en serie de funciones analíticas.

Ver ejercicios resueltos de series y secuencias

Series complejas.

Una función analítica puede ser representada en forma de series infinita de Taylor o en una serie de potencias, una forma especial de serie de Taylor La convergencia de estas series puede proporcionar representaciones precisas de funciones en regiones específicas del plano complejo.

Sea f analítica en un dominio $D$ y sea $z_0$ un punto en $D$. Entonces $f$ tiene representación en series de Taylor.

\[ f(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{k}\left (z_0 \right )}{k!}\left ( z-z_0 \right )^{k} \]

Esto es válida en el mayor circulo $C$ con centro en $z_0$ y radio $R$ que yace enteramente dentro de $D$.


Ver ejercicios resueltos de Series de Taylor de funciones analíticas.

Convergencia uniforme.

La convergencia uniforme en series de variable compleja que se refiere a la manera en que una serie infinita de funciones complejas se aproxima de manera uniforme a una función límite en todo su dominio de definición. A diferencia de la convergencia puntual, donde la velocidad de convergencia puede variar en diferentes puntos, la convergencia uniforme asegura que la aproximación sea uniformemente precisa en todas partes.

Criterios de convergencia.

Una serie de potencias compleja tiene un radio de convergencia, este círculo de convergencia que es el circulo centrado en $z_0$ de mayor radio $R > 0$ para el cual la serie converge en cualquier punto dentro del círculo.



Convergencia en puntos del circulo de radio R centrada en $z_0$

Series de Laurent.

Si una función compleja f deja de ser analítica en un punto $z=z_0$ entonces se dice que ese punto es una singularidad de la función f o un punto singular. Funciones como el logaritmo complejo $Log_e(z)$ es analítico en todos los puntos, menos en el corte de rama. En las funciones con puntos singulares, todavía es posible representar esta función con una nueva forma de serie, las series de Laurent.

Las series de Laurent son particularmente útiles al tratar con funciones que tienen singularidades, como polos. Estas series son fundamentales en el cálculo de residuos, que son importantes en la teoría de funciones analíticas y en la evaluación de integrales complejas cerradas.

\[ f(z)= \sum_{k\in \mathbb Z} c_k (z-a_j)^k \]


Ver tipo de singularidades: Singularidades evitables

Ejercicios resueltos de Series de Laurent.

Integración por el método de residuos.

Definición y calculo de residuos.

Una serie expandida de Laurente, se ve de la siguiente manera.

\[ f(z)=\sum_{-\infty}^{\infty}a_k(z-z_0)^{k}=...+\frac{a_{-2}}{(z-z_0)^{2}}+\frac{a_{-1}}{(z-z_0)}+a_0+a_1(z-z_0) \]

El coeficiente $a_{-1}$ es llamado el residuo de la función en la singularidad aislada $z_0$ \[ a_{-1}=\text{Residuo}(f(z),z_0) \]

Ejercicios resueltos Residuos

Evaluación de integrales definidas.

La aplicación del método del residuo, puede ayudar a solucionar integrales reales. tales como

\[ \int_{0}^{2\pi} F(\cos\theta, \sin \theta)d\theta \]


\[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx \]


\[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\cos\alpha x dx \]

Evaluación de integrales usando el método del residuo

ver mas en: Valor Principal de Cauchy

Teoremas del residuo.

Teorema de los residuos El teorema de los residuos es consecuencia directa del teorema integral de Cauchy y forma parte fundamental de la teoría matemática de análisis complejo.


Sea una función analítica en un dominio simplemente conexo , excepto en un número finito de puntos que constituyen singularidades aisladas de . Sea una curva en , simple, cerrada, regular a trozos, con orientación positiva y tal que el dominio que esta define contiene las singularidades de . Entonces se tiene:

Donde es el residuo de la función en el punto singular .


Ver mas en: Teorema del residuo

Demostración del teorema del residuo.

Ejercicios resueltos sobre el Teorema del residuo

Aplicaciones de Variable compleja.

El estudio de funciones de variable compleja tiene diversas aplicaciones por ejemplo:

Aplicaciones a flujo de fluidos, flujo de calor ... etc


Transformadas de Fourier

Ejercicios Resueltos de Variable Compleja

Libro A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan Primera edición.

Ejercicios resueltos Zill

Libro Lascurain-Orive, Antonio: Curso básico de variable compleja, las prensas de ciencias, 2007

Ejercicios resueltos Libro Lascurain-Orive

  1. Ruel V.Churchill,Variable compleja y aplicaciones,Ed.y McGraw-Hill,1 ed, 1988 pp.14-19