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"title": "Rejillas de difracci\u00f3n",
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"*": "== Definici\u00f3n de difracci\u00f3n ==\n\n\nEs el fen\u00f3meno del movimiento ondulatorio en el que una onda de cualquier tipo se extiende despu\u00e9s de pasar junto al borde de\nun objeto s\u00f3lido o atravesar una rendija estrecha, en lugar de seguir avanzando en l\u00ednea recta.\n\n[[Archivo:difra.jpg|300px|thumb|left|REJILLAS]]\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n==Principio de Huygens==\n\nLa regla de Huygens dice:\n\u201ccada punto de un frente de onda se considere como una nueva fuente de ondas esf\u00e9ricas\u201d.\nLlamado principio de Huygens\nCuando las ondas secundarias llegan a otro medio u objeto, cada punto del l\u00edmite entre los medios se convierte en una fuente de dos conjuntos de ondas. El conjunto reflejado vuelve al primer medio, y el conjunto refractado entra en el segundo medio. Es m\u00e1s sencillo, y a veces suficiente, representar la propagaci\u00f3n de la luz mediante rayos en vez de ondas. El rayo es la l\u00ednea de avance, o direcci\u00f3n de propagaci\u00f3n, de la energ\u00eda radiante. En la \u00f3ptica geom\u00e9trica se prescinde de la teor\u00eda ondulatoria de la luz y se supone que la luz no se difracta. La trayectoria de los rayos a trav\u00e9s de un sistema \u00f3ptico se determina aplicando las leyes de reflexi\u00f3n y refracci\u00f3n.\n\n[[Archivo:Christiaan Huygens-painting.jpeg|200px|thumb|center|huygens]]\n\n==Obstrucciones opacas==\n\nLa difracci\u00f3n puede visualizarse como resultado de la interacci\u00f3n de ondas electromagn\u00e9ticas con alguna clase de obstrucci\u00f3n f\u00edsica.\nExaminando la pantalla en una escala submicrosc\u00f3pica, imaginemos que debido al campo el\u00e9ctrico de la radiaci\u00f3n incidente la nube electr\u00f3nica de cada \u00e1tomo vibre. El modelo cl\u00e1sico, que habla de osciladores electr\u00f3nicos que vibran y vuelven a emitir con la frecuencia de la fuente sirve muy bien, as\u00ed que no necesitamos preocuparnos por la descripci\u00f3n cu\u00e1ntica.La amplitud y fase de un oscilador particular dentro de la pantalla est\u00e1n determinadas por el campo el\u00e9ctrico local que las rodea, siendo \u00e9ste una superposici\u00f3n del campo incidente y de los campos de todos los otros electrones vibrantes. Una pantalla grande opaca sin aberturas, hecha de papel negro o de hoja de aluminio, tiene un efecto obvio: no hay campo \u00f3ptico en la regi\u00f3n situada detr\u00e1s de ella. Los electrones que se hallan cerca de la superficie iluminada se ponen a oscilar con la luz incidente, emitiendo energ\u00eda radiante que es finalmente '''reflejada''' hacia atr\u00e1s o absorbida por el material en forma de calor o ambas cosas.\n\n==Difracci\u00f3n de Fraunhofer y Fresnel==\n\nImaginemos que tenemos una pantalla opaca,<math>\\sum\\,\\!</math>,que contiene una sola abertura peque\u00f1a iluminada por ondas planas de una fuente puntual,S, muy lejana.\n\" En la imagen de Sucesi\u00f3n\"\n[[Archivo:Absorbancialongitudeonda.png|200px|thumb|left|Figura 1. Sucesi\u00f3n. Fotos de un tanque de ondas. En un caso, las ondas se difractan simplemente por una rendija, en el otro varias fuentes puntuales, igualmente espaciadas, se extienden sobre la abertura y generan una figura similar.]]\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nEl plano de observaciones <math>\\sigma\\,\\!</math> es una pantalla paralela y muy cercana a ,<math>\\sum\\,\\!</math>. Bajo estas condiciones, se prollecta sobre la pantalla una imagen de la abertura que es claramente reconocible a pesar de unas peque\u00f1as franjas que se ven alrededor de su periferia \"En la imagen de difracci\u00f3n a distancias\".Seg\u00fan el plano de observaci\u00f3n va alej\u00e1ndose de <math>\\sum\\,\\!</math>, la imagen de la abertura, si bien es a\u00fan f\u00e1cilmente reconocible, va adquiriendo m\u00e1s estructura mientras que las franjas se vuelven m\u00e1s prominentes. Este fen\u00f3meno se denomina '''difracci\u00f3n de Fresnel''' o de '''campo cercano'''. Si se va alejando a\u00fan m\u00e1s el plano de observaci\u00f3n, se producir\u00e1 un cambio continuo en las franjas. A una gran distancia de <math>\\sum\\,\\!</math> la distribuci\u00f3n proyectada se habr\u00e1 extendido considerablemente, teniendo muy poco o nada de parecido con la abertura real. De ah\u00ed en adelante, el movimiento de <math>\\sigma\\,\\!</math> cambia esencialmente s\u00f3lo el tama\u00f1o de la distribuci\u00f3n y no su forma. Esta es la '''difracci\u00f3n de Fraunhofer o de campo lejano'''.\n\n[[Archivo:Escanear0002.jpg|300px|thumb|left|Figura 2. Difracci\u00f3n a distancias, una sucesi\u00f3n de distribuciones de difracci\u00f3n a distancias crecientes de una rendija \u00fanica.\n]]\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nEste fen\u00f3meno se denomina '''difracci\u00f3n de Fresnel''' o de '''campo cercano'''. Si se va alejando a\u00fan m\u00e1s el plano de observaci\u00f3n, se producir\u00e1 un cambio continuo en las franjas. A una gran distancia de ,<math>\\sum\\,\\!</math> la distribuci\u00f3n proyectada se habr\u00e1 extendido considerablemente, teniendo muy poco o nada de parecido con la abertura real. De ah\u00ed en adelante, el movimiento de ,<math>\\sigma\\,\\!</math> cambia esencialmente s\u00f3lo el tama\u00f1o de la distribuci\u00f3n y no su forma.\nConsideremos una fuente puntual S y un punto de observaci\u00f3n P, donde ambos est\u00e9n muy lejos de ,<math>\\sum\\,\\!</math> y donde no haya lentes.\"En la imagen de sombra\".\n\n[[Archivo:Escanear0001_a.jpg|200px|thumb|left|Figura 3.]]\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nFigura 3. \n\n(a) la sombra de la mano de Mar\u00eda sujetando una moneda, proyectada directamente en una pel\u00edcula.\n(b) difracci\u00f3n de Fresnel de electrones producida por cristales de \u00f3xido de cinc.\nSiempre que la onda incidente y la emitida sean planas (difiriendo de ello en una peque\u00f1a fracci\u00f3n de la longitud de onda) en la extensi\u00f3n de las aberturas difractoras (u obst\u00e1culos), se obtiene la difracci\u00f3n de Fraunhofer.'''\n<ref name='Eugene'> Eugene Hecht.\u00d3ptica, ''\u00d3ptica Vol\u00famen III'',Wesley. </ref>.\n\n==Varios osciladores coherentes==\n\nLa ilustraci\u00f3n \"De osciladores\" muestra un conjunto lineal de N osciladores puntuales coherentes (o antenas emisoras), todos ellos id\u00e9nticos incluso en su polarizaci\u00f3n. Todos los rayos que se muestran son casi paralelos, encontr\u00e1ndose en un punto P muy distante. Si la extensi\u00f3n espacial del conjunto es comparativamente peque\u00f1a, las amplitudes de onda individuales que lleguen a P ser\u00e1n esencialmente iguales, habiendo recorrido casi las mismas distancias, esto es.\n\n[[Archivo:Escanear0004.jpg|300px|thumb|left|Figura 4. osciladores]]\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n(Disposici\u00f3n lineal de osciladores coherentes en fase:\n(a)Obs\u00e9rvese que en el \u00e1ngulo mostrado <math>\\delta=\\pi\\,</math> mientras que en <math>\\theta=0</math>, <math>\\delta\\,</math> ser\u00eda cero.\n(b) Una de las muchas series de frentes de onda emitidos por una l\u00ednea de fuentes coherentes.)\n\nLa suma de los trenes de onda esf\u00e9ricos interferentes produce un campo el\u00e9ctrico en P proporcionado por la parte real de \n\n<math>E ={E_o(r)e^{i(kr_1-\\omega*t)}}+{E_o(r)e^{i(kr_2-\\omega*t)}}+{...}+{E_o(r)e^{i(kr_N-\\omega*t)}}</math>\n\nLa diferencia de fase entre fuentes adyacentes se obtiene de la expresi\u00f3n <math>\\delta={k_oA}</math>, y puesto que \n\n<math>A={ndsen\\theta}</math>, en un medio con \u00edndice <math>n,\\delta={kdsen\\theta}</math>. Utilizando \"La imagen de osciladores\",se deduce que \n\n<math>\\delta={k(r_2-r_1)}</math>, <math>2\\delta={k(r_3-r_1)}</math>,etc.\n\nEntonces, el campo en P puede escribirse como\n \n<math>E ={E_o(r)e^{-i(\\omega*t)}{e^{i(kr_1)}}}</math>\n\nX <math>[1+(e^{i\\delta})+(e^{i\\delta})^2+(e^{i\\delta})^3+{...}+(e^{i\\delta})^{N-1}]</math>\n\nLa serie geom\u00e9trica entre par\u00e9ntesis tiene el valor\n\n<math>{{(e^{i\\delta{N}}-1)}}{(e^{i\\delta}-1)}</math>\n\nque puede ordenarse as\u00ed:\n\n<math>\\frac{{e^{iN\\delta/2}[e^{iN\\delta/2}-e^{iN\\delta/2}]}}{e^{i\\delta/2}[e^{i\\delta/2}-e^{i\\delta/2}]}</math> \n\n\no de manera equivalente\n\n<math>e^{i(N-1)\\delta/2}\\frac{{senN\\delta/2}}{sen\\delta/2}</math>\n\nEntonces el campo se transforma en\n\n<math>E ={E_o(r)e^{-i\\omega*t}e^{i[kr_1+(N-1)\\delta/2]}}\\frac{{senN\\delta/2}}{sen\\delta/2}</math>\n\n\nObs\u00e9rvese que si definimos R como la distancia desde el centro de la l\u00ednea de los osciladores hasta el punto P, es decir \n\n<math>R={1}/{2}(N-1){dsen\\theta+r_1}</math> \n\nentonces la ecuaci\u00f3n (10.3) se convierte en\n\n<math>E ={{E_o(r){e^{i(kR-\\omega*t)}}}}\\frac{{senN{\\delta}/{2}}}{sen{\\delta}/{2}}</math>\n\nFinalmente, la distribuci\u00f3n de densidad de flujo dentro de la distribuci\u00f3n de difracci\u00f3n debida a N fuentes puntuales distantes, id\u00e9nticas y coherentes en una disposici\u00f3n lineal, es proporcional a EE*/2 para E compleja o \n\n<math>I={I_o}\\frac{{sen^2(N{\\delta}/{2})}}{sen^2({\\delta}/{2})}</math> \n\ndonde <math>{I_o}</math> es la densidad de flujo que saliendo desde cualquier fuente puntual llegue a P . La dependencia funcional de I con <math>\\theta\\,\\!</math> queda m\u00e1s clara en la forma\n\n<math>I={I_o}\\frac{{sen^2[N(kd/2)sen\\theta]}}{sen^2[(kd/2)sen\\theta]}</math>\n\nEl t\u00e9rmino <math>{sen^2[N(kd/2)sen\\theta]}</math> se somete a unas fluctuaciones r\u00e1pidas, mientras que la funci\u00f3n que la modula <math>{{sen[kd/2)sen\\theta]}^{-2}}</math>, varia de manera relativamente lenta. La expresi\u00f3n combinada da lugar a una serie de picos principales agudos separados por picos peque\u00f1os complementarios. Los m\u00e1ximos principales se dan en direcci\u00f3n <math>{\\theta_m}</math>, tales que <math>\\delta={2m\\pi}</math>, donde <math>{m=0,\\plusmn{1},\\plusmn{2},{....}}</math>. Dado que <math>\\delta={kdsen\\theta}</math>\n\n<math>dsen\\theta_m={m\\lambda}</math>\n\nS\u00f3lo exite m=0 o m\u00e1ximo principal de orden cero. Si estuvi\u00e9ramos mirando una fuente lineal idealizada de osciladores electr\u00f3nicos separados por distancias at\u00f3micas, podr\u00edamos esperar s\u00f3lo ese m\u00e1ximo principal en el campo luminoso.\nEl conjunto de antenas \"En la imagen de radiotelescopio\" puede transmitir radiaci\u00f3n en el haz estrecho o l\u00f3bulo que corresponde a un m\u00e1ximo principal. \n\n[[Archivo:Escanear0005.jpg|300px|thumb|left|Figura 5. radiotelescopio]]\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nSupongamos que tenemos un sistema en el que podemos introducir un desplazamiento intr\u00ednseco de fase <math>\\epsilon\\,\\!</math> entre osciladores adyacentes.\nEn ese caso\n\n<math>\\delta={kdsen\\theta+\\epsilon}</math>\n\nLos varios m\u00e1ximos principales se dar\u00e1n en nuevos \u00e1ngulos\n\n<math>dsen\\theta_m={m\\lambda-\\epsilon/k}</math>\n\nCentr\u00e1ndose en el m\u00e1ximo central m=0, puede variarse su orientaci\u00f3n <math>\\theta_0</math> a voluntad ajustando simplemente el valor de <math>\\epsilon\\,\\!</math>\n\nCada punto emite una ondita esf\u00e9rica que escribimos como\n\n<math>E=(\\frac{\\epsilon_o}{r}){sen(\\omega*t-kr)}</math>\n\nindicando expl\u00edcitamente la dependencia de la amplitud con el inverso de r.La cantidad <math>\\epsilon_0\\,\\!</math> se denomina '''eficacia de la fuente'''.\nLa contribuci\u00f3n del segmento i a la intensidad del campo el\u00e9ctrico en P es, por consiguiente,\n\n<math>E_i=(\\frac{\\epsilon_o}{r_i}){sen(\\omega*t-kr_i)}(\\frac{N\\Delta_yi}{D})</math>\n\nsiempre que <math>\\Delta_i\\,</math> sea tan peque\u00f1a que la diferencia relativa de fase de los osciladores en su interior sea despreciable y sus campos se sumen constructivamente.\nAl mismo tiempo que N tiende a infinito, las eficacias de fuente de los osciladores individuales tienen que disminuir hasta casi cero si la salida total debe conservarse finita. \nDefinir una constante <math>\\epsilon_L\\,\\!</math> como la eficacia de fuente por unidad de longitud de la composici\u00f3n, es decir,\n\n<math>\\epsilon_L=\\frac{{1}}{D}\\lim_{N \\to \\infty}(\\epsilon_oN)</math>\n\n\nEl campo neto en P de todos los segmentos M es \n\n<math>E={\\sum_{i=1}^M}\\frac{{\\epsilon_L}}{r_i}{sen(\\omega*t-kr_i)\\Delta_yi}</math>\n\nLa suma se transforma entonces en una integral definida\n\n<math>E=\\epsilon_o\\int\\limits_{-D/2}^{+D/2}\\frac{sen(\\omega*t-kr)}{r}\\, dy</math>\n\n<ref name='Eugene'/>\n\n==Difracci\u00f3n de Fraunhofer==\n\n'''La rendija \u00fanica'''\n\nBajo estas circunstancias r(y) nunca se desv\u00eda sensiblemente de su valor medio R, de tal manera que la cantidad \n<math>(\\epsilon_L/{R})</math> \nen P es esencialmente constante para todos los elementos dy.\n\n<math>dE=\\frac{\\epsilon_L}{R}{sen(\\omega*t-kr)}dy</math>\n\ndonde <math>(\\epsilon_L/{R})</math>dy es la amplitud de la onda.\nEn la \"Imagen de fraunhofer\";el ancho de una abertura de este tipo puede ser de varios cientos y su longitud medir unos pocos cent\u00edmetros. \n\n[[Archivo:Escanear0007.jpg|200px|thumb|left|Figura 6. Fraunhofer]]\n\n\n\n(a)difracci\u00f3n de Fraunhofer producida por una sola rendija.\n(b)distribuci\u00f3n de difracci\u00f3n de una sola rendija vertical en iluminaci\u00f3n con fuente puntual.\n\n\n\n\n\n\n\nEl procedimiento usual a seguir en el an\u00e1lisis es dividir la rendija en una serie de tiras diferenciales largas (dz por l), paralelas al eje y, como se muestra \"En la imagen de DIFRACCI\u00d3N\".\n\n[[Archivo:Escanear0008.jpg|200px|thumb|left|Figura 7. Difracci\u00f3n]]\n\n\n\n\n\nDifracci\u00f3n\n\n(a) El punto P en <math>\\sigma\\,</math> se halla a una distancia infinita de <math>\\sum\\,</math>.\n(b) Trenes de onda de Huygens emitidos en la apertura.\n(c) Representaci\u00f3n equivalente en t\u00e9rminos de rayos. Cada punto emite rayos en todas las direcciones. Los rayos paralelos en distintas direcciones son visibles.\n(d) Estos haces de rayos corresponden a ondas planas que pueden considerarse como componentes de Fourier tridimensionales.\n(e) Una rendija \u00fanica iluminada por ondas planas monocrom\u00e1ticas.\n\n\nV\u00e9ase tambi\u00e9n\n\n* [http://www.unirioja.es/dptos/dq/fa/emo/amplia/node2.html]\n\n==La doble rendija==\n\nAl principio podr\u00eda parecer \"En la imagen de distancia infinita\" que la ubicaci\u00f3n del m\u00e1ximo principal est\u00e1 siempre en l\u00ednea con el centro de la abertura difractora; esto,sin embargo, por lo general no es cierto.\n\n[[Archivo:Escanear0008.jpg|200px|thumb|left|Figura 8. Distancia infinita]]\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n(a)El punto P se halla a una distancia infinita de <math>\\sum\\,\\!</math>.\n\nLa figura de difracci\u00f3n est\u00e1 en realidad centrada alrededor del eje de la lente y tiene exactamente la misma forma y ubicaci\u00f3n, independientemente de la posici\u00f3n de la rendija,siempre que no se cambie su orientaci\u00f3n y las aproximaciones sean v\u00e1lidas .\nSupongamos ahora que tenemos dos rendijas largas de ancho b y una separaci\u00f3n a de centro a centro \"En la imagen de doble rendija\".\n\n[[Archivo:Escanear0011.jpg|300px|thumb|left|Figura 9. Doble rendija]]\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nCada abertura, por s\u00ed misma, generar\u00eda la misma figura de difracci\u00f3n de rendija \u00fanica en la pantalla de visualizaci\u00f3n <math>\\sigma\\,</math>.\nEn cualquier punto en <math>\\sigma\\,</math>, las contribuciones de las dos rendijas se superponen y, si bien la amplitud de cada cual tiene que ser esencialmente igual, sus fases pueden diferir significativamente.\nLa contribuci\u00f3n total al campo el\u00e9ctrico, en la aproximaci\u00f3n de Fraunhofer\n\n<math>E={C}\\textstyle \\int\\limits_{-b/2}^{b/2} F(z)\\, dz + {C}\\textstyle \\int\\limits_{a-b/2}^{a+b/2} F(z)\\, dz</math>\n\n\nLa integraci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n (10.22) proporciona\n\n<math>E=bc(\\frac{sen\\beta}{\\beta})[sen(\\omega*t-kR)+sen(\\omega*t-kR+2\\alpha)]</math>\n\n==Difracci\u00f3n por muchas rendijas==\n\nEl procedimiento para obtener la funci\u00f3n de irradiancia para una onda monocrom\u00e1tica difractada por muchas rendijas es esencialmente el mismo que se utiliz\u00f3 al analizar dos rendijas.\nConsideremos el caso de N rendijas estrechas, largas y paralelas, cada una de ancho b y una separaci\u00f3n a de centro a centro, como \"En la imagen de rendijas m\u00faltiples\".\n\n[[Archivo:Escanear0012.jpg|200px|thumb|left|Figura 10. Rendijas m\u00faltiples]]\n\n\n\n(El punto P en <math>\\sigma\\,</math> se halla nuevamente a una distancia infinita de <math>\\sum\\,</math>).\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nCon el origen del sistema coordenado una vez m\u00e1s en el centro de la primera rendija, la perturbaci\u00f3n \u00f3ptica total en un punto en la pantalla est\u00e1 proporcionada por\n\n<math>E={C}\\textstyle \\int\\limits_{-b/2}^{b/2} F(z)\\, dz + {C}\\textstyle \\int\\limits_{a-b/2}^{a+b/2} F(z)\\, dz</math>\n\ndonde,como antes, <math>F(z)={sen[\\omega*t-k(R-zsen\\theta)]}</math>. Esto se aplica a la condici\u00f3n de Fraunhofer, de tal manera que la configuraci\u00f3n de la abertura debe ser tal que todas las rendijas est\u00e9n cerca del origen mientras que la aproximaci\u00f3n.\n\n<math>r={R-zsen\\theta}</math>\n\n==La elecci\u00f3n de una rejilla ==\n\nLa selecci\u00f3n de un est\u00e1ndar de rejilla de Optometr\u00eda Requiere la consideraci\u00f3n de un numero de variables relacionadas con el uso previsto de la reja es. Estos son los siguientes: \n\n''' Eficiencia:''' En general, gobern\u00f3 rejillas tienen una mayor eficiencia que las rejillas hologr\u00e1ficas. Aplicaciones como la excitaci\u00f3n de fluorescencia y otras rejilla (ver las curvas de eficiencia para la comparaci\u00f3n). Como regla general, la eficiencia de primer orden de una rejilla gobern\u00f3 disminuye en un 50% a los dos tercios y tres partes de la longitud de onda incendio. \n\n'''Longitud de onda Blaze''': rejillas gobernados, debido a su \"diente de sierra\" perfil de la ranura, tienen un pico relativamente fuerte en torno a su longitud de onda incendio, mientras que algunas rejillas hologr\u00e1ficas tienen una respuesta m\u00e1s plano espectral. Aplicaciones en torno a un rango de longitud de onda estrecho podr\u00edan beneficiarse de una rejilla gobern\u00f3 ardi\u00f3 en esa longitud de onda. \n\n'''Rango de longitud de onda:''' El rango espectral cubierto por una rejilla de separaci\u00f3n depende de la ranura y es el mismo de las rejillas para descartar y hologr\u00e1fico con la rejilla misma constante. \n\n'''La luz difusa''': Para aplicaciones tales como la espectroscopia Raman, donde la se\u00f1al-ruido es fundamental, inherente a la poca luz de dispersi\u00f3n de una red de difracci\u00f3n hologr\u00e1fica es una ventaja. \n\n'''Poder de resoluci\u00f3n:''' No hay diferencia en la potencia de resoluci\u00f3n de hologr\u00e1fica y gobern\u00f3 con rejillas de separaci\u00f3n ranura id\u00e9nticos\nrejillas de manejo\nLa superficie de las rejillas est\u00e1ndar est\u00e1n recubiertos con aluminio u oro y requieren un cuidado extremo al manejar. El manejo debe ser realizado por los bordes. Estos recubrimientos relativamente suaves son vulnerables a las huellas dactilares y numerosos aerosoles.\n\n==Polarizaci\u00f3n==\n\nCurvas t\u00edpicas de eficiencia muestran que, en todos los casos, la orientaci\u00f3n de la polarizaci\u00f3n del vector E ti (P-Plane) perpendicular de las ranuras (E) aumenta la eficiencia en una regi\u00f3n de longitud de onda espec\u00edfica. Esto debe ser considerado cuando la optimizaci\u00f3n de la figura de m\u00e9rito (Q) de una cavidad, en particular cuando se polariza de componentes auxiliares, tales como \u00e1ngulo de Brewster ventanas\n\n[[Archivo:Escanear0018.jpg|300px|thumb|left|Figura 11. Polarizaci\u00f3n]]\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n<ref> Eugene Hecht \u00d3ptica., ''\u00d3ptica Vol\u00famen III'',Wesley.] </ref>\n\n<references/>\n\n\n[[Categor\u00eda: Ondas EM]]\n[[Category:optica]]"
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"*": "Primero que nada hay que recordar de donde viene el n\u00famero imaginario\n$i$, sabemos que su igualdad es $i=\\sqrt{-1}$ , por lo\nque obviamente $i^{2}=-1$.\n\nTambi\u00e9n tenemos que recordar el teorema de Taylor para el caso de\nuna variable:\n\n$f(x)=\\sum\\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^{n}$\n\nAs\u00ed podemos realizar los desarrollos en serie de las funciones seno\ny coseno:\n\n$sen\\theta=\\theta-\\frac{\\theta^{3}}{3!}+\\frac{\\theta^{5}}{5!}...$\n\n$cos\\theta=1-\\frac{\\theta^{2}}{2!}+\\frac{\\theta^{4}}{4!}...$\n\nAhora multiplicamos $sen\\theta$por $i$:\n\n$isen\\theta=i\\theta-i\\frac{\\theta{}^{3}}{3!}+i\\frac{\\theta^{5}}{5!}...$\n\nAl sumar $isen\\theta+cos\\theta$ vemos que obtenemos:\n\n$isen\\theta+cos\\theta=1+i\\theta-\\frac{\\theta^{2}}{2!}-i\\frac{\\theta{}^{3}}{3!}+\\frac{\\theta^{4}}{4!}+i\\frac{\\theta^{5}}{5!}+...$\n\nCon la relaci\u00f3n $i^{2}=-1$ sustituimos los signos negativos\nque aparecen en la f\u00f3rmula anterior y realizamos unos cambios como\nel de $i^{4}=1$ y encontramos entonces:\n\n$isen\\theta+cos\\theta=1+i\\theta+\\frac{(i\\theta)^{2}}{2!}+\\frac{(i\\theta){}^{3}}{3!}+\\frac{(i\\theta)^{4}}{4!}+\\frac{(i\\theta)^{5}}{5!}+...$\n\nQue es justamente el desarrollo en serie de la funci\u00f3n $\\exp^{i\\theta}$,\npor lo tanto:\n\n$\\exp^{i\\theta}=isen\\theta+cos\\theta$\n\no visto de otro modo:\n\n$e^{i\\theta}=cos\\theta+isen\\theta$\n\n----\nAportaci\u00f3n de usuario: [[Usuario:Edgar Ortega Roano|Edgar Ortega Roano]]\n----\n[[Categor\u00eda:matematicas]]"
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