https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/api.php?action=feedcontributions&user=Ricardo+Garcia+Hernandez&feedformat=atomluz-wiki - Contribuciones del usuario [es]2024-03-28T12:50:57ZContribuciones del usuarioMediaWiki 1.39.6https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Archivo:Apendice_III_H-I.jpg&diff=21329Archivo:Apendice III H-I.jpg2015-07-11T04:41:04Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: </p>
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Again, welcome and have fun! [[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 17:30 8 mayo 2015 (CDT)<br />
<br />
Creo que en el ejercicio 1 de la sección 6.1 no das los suficientes elementos para concluir que $lim{}_{n\rightarrow\infty}\left(5i^{n}\right)=0$ . Si lo vemos geométricamente tal vez sea más fácil resolver el límite. Si te das cuenta, lo único que sucede con la expresión $5i^{n}$ a medida que en $5i^{n}$ va cambiando $n$ , es que pasa de estar ,un vector de magnitud $5$,en el plano complejo, en dirección positiva del eje real a estar en la dirección del eje positivo del eje imaginario, y luego pasa a estar en dirección al eje negativo del eje real y después pasa a estar en la dirección del eje negativo del eje imaginario para pasar de nuevo a estar en dirección del eje positivo del eje real y así sucesivamente, por lo que yo estaría más convencido de que la sucesión diverge. Aún así no estoy totalmente convencido de esta últim afirmación mía, por lo que espero que alguien más nos pueda ayudar a aclarar esta duda que tengo.<br />
<br />
[[Usuario:Alejandro Juárez Toribio|Alejandro Juárez Toribio]] ([[Usuario discusión:Alejandro Juárez Toribio|discusión]]) 15:00 27 jun 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
Concuerdo con Alejandro Juárez Toribio, aunque su argumento fue extenso (y también dudo en su argumentación), sólo basta con decir que (el problema 6.1) es divergente dado que cuando <math>n\rightarrow \infty</math> la función (${5i^{n}}$)no tiende a un valor fijo, y que cuando n crece los términos $5i, -5, -5i, 5, 5i$ siguen repitiéndose indefinidamente. <br />
<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 14:46 28 jun 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
<br />
Me parece que el problema 3 de la sección 1.6 está bien resuelto, de forma ordenada y todo eso... Sólo quise anexar la forma análoga (general) de encontrar raíces (completar al trinomio de cuadrado perfecto), que en lo personal, prefiero usar en lugar de la fórmula general. demostrando así que se llega al mismo resultado.<br />
<br />
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 23:49 17 mayo 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
EL Ejercicio 25. de la sección 6.5 te falta especificar los pasos a realizar, desglosas bien el el procedimiento , pero no explicas su proceder y obtención; y renombrar el teorema al que asocias el ejercicio.--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:28 3 jul 2015 (CDT)<br />
----</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Miguel_Medina_Armendariz&diff=20997Usuario discusión:Miguel Medina Armendariz2015-07-04T04:28:29Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: </p>
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<br />
Creo que en el ejercicio 1 de la sección 6.1 no das los suficientes elementos para concluir que $lim{}_{n\rightarrow\infty}\left(5i^{n}\right)=0$ . Si lo vemos geométricamente tal vez sea más fácil resolver el límite. Si te das cuenta, lo único que sucede con la expresión $5i^{n}$ a medida que en $5i^{n}$ va cambiando $n$ , es que pasa de estar ,un vector de magnitud $5$,en el plano complejo, en dirección positiva del eje real a estar en la dirección del eje positivo del eje imaginario, y luego pasa a estar en dirección al eje negativo del eje real y después pasa a estar en la dirección del eje negativo del eje imaginario para pasar de nuevo a estar en dirección del eje positivo del eje real y así sucesivamente, por lo que yo estaría más convencido de que la sucesión diverge. Aún así no estoy totalmente convencido de esta últim afirmación mía, por lo que espero que alguien más nos pueda ayudar a aclarar esta duda que tengo.<br />
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[[Usuario:Alejandro Juárez Toribio|Alejandro Juárez Toribio]] ([[Usuario discusión:Alejandro Juárez Toribio|discusión]]) 15:00 27 jun 2015 (CDT)<br />
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Concuerdo con Alejandro Juárez Toribio, aunque su argumento fue extenso (y también dudo en su argumentación), sólo basta con decir que (el problema 6.1) es divergente dado que cuando <math>n\rightarrow \infty</math> la función (${5i^{n}}$)no tiende a un valor fijo, y que cuando n crece los términos $5i, -5, -5i, 5, 5i$ siguen repitiéndose indefinidamente. <br />
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--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 14:46 28 jun 2015 (CDT)<br />
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Me parece que el problema 3 de la sección 1.6 está bien resuelto, de forma ordenada y todo eso... Sólo quise anexar la forma análoga (general) de encontrar raíces (completar al trinomio de cuadrado perfecto), que en lo personal, prefiero usar en lugar de la fórmula general. demostrando así que se llega al mismo resultado.<br />
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--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 23:49 17 mayo 2015 (CDT)<br />
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EL Ejercicio te falta especificar los pasos a realizar, desglosas bien el el procedimiento , pero no explicas su proceder y obtención; y renombrar el teorema al que asocias el ejercicio.--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:28 3 jul 2015 (CDT)<br />
----</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Esther_Sarai&diff=20730Usuario discusión:Esther Sarai2015-06-22T05:34:56Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: </p>
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<br />
<br />
---<br />
En el ejercicio 51 de la sección 4.3 no se ha demostrado nada [[Usuario:Luis Enrique Martínez Valverde|Luis Enrique Martínez Valverde]] ([[Usuario discusión:Luis Enrique Martínez Valverde|discusión]]) 20:04 9 jun 2015 (CDT)<br />
----<br />
El ejercicio 22 de la seccion 1.4 ya lo había resuelto.<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 12:57 15 mayo 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
<br />
----<br />
Ejercicio 5.12 Si observamos la gráfica del Lorentziano al que llegaron y la resonancia, nos encontramos con algo muy interesante, como que los máximos son en puntos muy parecidos.<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 22:15 15 mar 2015 (CDT)Esther Sarai <br />
<br />
<br />
----<br />
Ejercicio 4.7 Waves. C.A. Coulson -A. Jeffrey . Ed Longman<br />
Al sustituir los valores en la ecuación (2) ¿Como obtienes el 1/2?.<br />
Tampoco explicas como llegaste a las soluciones de estas ecuaciones.<br />
<br />
----<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 13:51 11 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
Ejercicio 4.1<br />
<br />
La ecuación (1) es valida para cualquier oscilador, el que sea ligeramente amortiguado dependera del valor de gamma y omega.<br />
<br />
Por otro lado, ¿por que dices que es ligeramente amortiguado cuando el enunciado dice "heavy damping"?<br />
----<br />
Me gusto mucho lo que hiciste con mi ejercicio :D Gracias --Rosario Maya (discusión) 23:18 15 mar 2015 (CDT)<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 13:13 11 mar 2015 (CDT)<br />
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<br />
<br />
----<br />
El problema 1.6 tiene errores en las ecuaciones, aunque el resultado y el camino a la solucion esta correctos.<br />
<br />
--[[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 23:26 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
<br />
En el problema 1.4 agregue un poco más de teoría, y le di un poco de orden.<br />
<br />
Al problema I.II le faltaban enumerar las ecuaciones y además cambié el ultimo enunciado.<br />
<br />
Al problema 2.12 centre las ecuaciones<br />
<br />
El problema 2.3 está muy bien --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:36 16 mar 2015 (CDT)explicado, solo faltaba un poco de orden y algunos términos que eran incorrectos, los corregí.<br />
<br />
El problema 2.1 está bien resuelto, solo corregí algunas faltas de ortografía.<br />
<br />
En el problema 2.6 decía que se operaban dos ecuaciones, las que llamaba 1 y 2 pero no estaban enumeradas así que las enumere.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
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<br />
Problema 1.4 Entendible. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 12:34 26 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
Problema 1.5 La solución es correcta, me parece que es lo mas cercano a explicar este fenómeno físico al problema que se plantea. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 12:38 26 feb 2015 (CST)<br />
<br />
---<br />
En el ejercicio 6.2 le falta la explicacion física de lo que estas haciendo, los cálculos son correctos, incluyendo la solucion. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:36 16 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
En el ejercicio 5.11 no se entiende que es lo que quieres resolver, apenas es entendible tu procedimiento. La figura es buena.--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:53 16 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
En el ejercicio No.29 de la sección 5.1 no entiendo que es lo que quieres demostrar, te saltas mucho el procedimiento y no explicas que haces compañera,ni los pasos que haces.--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:22 14 jun 2015 (CDT)<br />
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----<br />
<br />
En ele ejercicio 28, de la sección 5.5 no entiendo como demuestras y llegas al teorema de valor medio de Gauss, no explicas como obtienes los términos que después sustituyes en la fórmula de de la integral de Cauchy, y tus límites de integración.--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:34 22 jun 2015 (CDT)<br />
----</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Esther_Sarai&diff=20729Usuario discusión:Esther Sarai2015-06-22T05:34:30Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: </p>
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En el ejercicio 51 de la sección 4.3 no se ha demostrado nada [[Usuario:Luis Enrique Martínez Valverde|Luis Enrique Martínez Valverde]] ([[Usuario discusión:Luis Enrique Martínez Valverde|discusión]]) 20:04 9 jun 2015 (CDT)<br />
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El ejercicio 22 de la seccion 1.4 ya lo había resuelto.<br />
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--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 12:57 15 mayo 2015 (CDT)<br />
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Ejercicio 5.12 Si observamos la gráfica del Lorentziano al que llegaron y la resonancia, nos encontramos con algo muy interesante, como que los máximos son en puntos muy parecidos.<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 22:15 15 mar 2015 (CDT)Esther Sarai <br />
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Ejercicio 4.7 Waves. C.A. Coulson -A. Jeffrey . Ed Longman<br />
Al sustituir los valores en la ecuación (2) ¿Como obtienes el 1/2?.<br />
Tampoco explicas como llegaste a las soluciones de estas ecuaciones.<br />
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--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 13:51 11 mar 2015 (CDT)<br />
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Ejercicio 4.1<br />
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La ecuación (1) es valida para cualquier oscilador, el que sea ligeramente amortiguado dependera del valor de gamma y omega.<br />
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Por otro lado, ¿por que dices que es ligeramente amortiguado cuando el enunciado dice "heavy damping"?<br />
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Me gusto mucho lo que hiciste con mi ejercicio :D Gracias --Rosario Maya (discusión) 23:18 15 mar 2015 (CDT)<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 13:13 11 mar 2015 (CDT)<br />
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El problema 1.6 tiene errores en las ecuaciones, aunque el resultado y el camino a la solucion esta correctos.<br />
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--[[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 23:26 22 feb 2015 (CST)<br />
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En el problema 1.4 agregue un poco más de teoría, y le di un poco de orden.<br />
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Al problema I.II le faltaban enumerar las ecuaciones y además cambié el ultimo enunciado.<br />
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Al problema 2.12 centre las ecuaciones<br />
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El problema 2.3 está muy bien --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:36 16 mar 2015 (CDT)explicado, solo faltaba un poco de orden y algunos términos que eran incorrectos, los corregí.<br />
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El problema 2.1 está bien resuelto, solo corregí algunas faltas de ortografía.<br />
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En el problema 2.6 decía que se operaban dos ecuaciones, las que llamaba 1 y 2 pero no estaban enumeradas así que las enumere.<br />
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Problema 1.4 Entendible. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 12:34 26 feb 2015 (CST)<br />
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Problema 1.5 La solución es correcta, me parece que es lo mas cercano a explicar este fenómeno físico al problema que se plantea. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 12:38 26 feb 2015 (CST)<br />
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En el ejercicio 6.2 le falta la explicacion física de lo que estas haciendo, los cálculos son correctos, incluyendo la solucion. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:36 16 mar 2015 (CDT)<br />
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En el ejercicio 5.11 no se entiende que es lo que quieres resolver, apenas es entendible tu procedimiento. La figura es buena.--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:53 16 mar 2015 (CDT)<br />
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En el ejercicio No.29 de la sección 5.1 no entiendo que es lo que quieres demostrar, te saltas mucho el procedimiento y no explicas que haces compañera,ni los pasos que haces.--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:22 14 jun 2015 (CDT)<br />
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En ele ejercicio 28, de la sección 5.5 no entiendo como demuestras y llegas al teorema de valor medio de Gauss, no explicas como obtienes los términos que después sustituyes en la fórmula de de la integral de Cauchy, y tus límites de integración.--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:34 22 jun 2015 (CDT)</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Esther_Sarai&diff=20728Usuario discusión:Esther Sarai2015-06-22T05:34:11Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: </p>
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El ejercicio 22 de la seccion 1.4 ya lo había resuelto.<br />
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--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 12:57 15 mayo 2015 (CDT)<br />
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Ejercicio 5.12 Si observamos la gráfica del Lorentziano al que llegaron y la resonancia, nos encontramos con algo muy interesante, como que los máximos son en puntos muy parecidos.<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 22:15 15 mar 2015 (CDT)Esther Sarai <br />
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Ejercicio 4.7 Waves. C.A. Coulson -A. Jeffrey . Ed Longman<br />
Al sustituir los valores en la ecuación (2) ¿Como obtienes el 1/2?.<br />
Tampoco explicas como llegaste a las soluciones de estas ecuaciones.<br />
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--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 13:51 11 mar 2015 (CDT)<br />
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Ejercicio 4.1<br />
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La ecuación (1) es valida para cualquier oscilador, el que sea ligeramente amortiguado dependera del valor de gamma y omega.<br />
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Por otro lado, ¿por que dices que es ligeramente amortiguado cuando el enunciado dice "heavy damping"?<br />
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Me gusto mucho lo que hiciste con mi ejercicio :D Gracias --Rosario Maya (discusión) 23:18 15 mar 2015 (CDT)<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 13:13 11 mar 2015 (CDT)<br />
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El problema 1.6 tiene errores en las ecuaciones, aunque el resultado y el camino a la solucion esta correctos.<br />
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--[[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 23:26 22 feb 2015 (CST)<br />
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En el problema 1.4 agregue un poco más de teoría, y le di un poco de orden.<br />
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Al problema I.II le faltaban enumerar las ecuaciones y además cambié el ultimo enunciado.<br />
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Al problema 2.12 centre las ecuaciones<br />
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El problema 2.3 está muy bien --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:36 16 mar 2015 (CDT)explicado, solo faltaba un poco de orden y algunos términos que eran incorrectos, los corregí.<br />
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El problema 2.1 está bien resuelto, solo corregí algunas faltas de ortografía.<br />
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En el problema 2.6 decía que se operaban dos ecuaciones, las que llamaba 1 y 2 pero no estaban enumeradas así que las enumere.<br />
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Problema 1.4 Entendible. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 12:34 26 feb 2015 (CST)<br />
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Problema 1.5 La solución es correcta, me parece que es lo mas cercano a explicar este fenómeno físico al problema que se plantea. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 12:38 26 feb 2015 (CST)<br />
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En el ejercicio 6.2 le falta la explicacion física de lo que estas haciendo, los cálculos son correctos, incluyendo la solucion. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:36 16 mar 2015 (CDT)<br />
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En el ejercicio 5.11 no se entiende que es lo que quieres resolver, apenas es entendible tu procedimiento. La figura es buena.--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:53 16 mar 2015 (CDT)<br />
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En el ejercicio No.29 de la sección 5.1 no entiendo que es lo que quieres demostrar, te saltas mucho el procedimiento y no explicas que haces compañera,ni los pasos que haces.--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:22 14 jun 2015 (CDT)<br />
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En ele ejercicio 28, de la sección 5.5 no entiendo como demuestras y llegas al teorema de valor medio de Gauss, no explicas como obtienes los términos que después sustituyes en la fórmula de de la integral de Cauchy, y tus límites de integración.</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Esther_Sarai&diff=20622Usuario discusión:Esther Sarai2015-06-15T04:23:40Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: </p>
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--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 22:15 15 mar 2015 (CDT)Esther Sarai <br />
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La ecuación (1) es valida para cualquier oscilador, el que sea ligeramente amortiguado dependera del valor de gamma y omega.<br />
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Por otro lado, ¿por que dices que es ligeramente amortiguado cuando el enunciado dice "heavy damping"?<br />
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Me gusto mucho lo que hiciste con mi ejercicio :D Gracias --Rosario Maya (discusión) 23:18 15 mar 2015 (CDT)<br />
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--[[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 23:26 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
<br />
En el problema 1.4 agregue un poco más de teoría, y le di un poco de orden.<br />
<br />
Al problema I.II le faltaban enumerar las ecuaciones y además cambié el ultimo enunciado.<br />
<br />
Al problema 2.12 centre las ecuaciones<br />
<br />
El problema 2.3 está muy bien --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:36 16 mar 2015 (CDT)explicado, solo faltaba un poco de orden y algunos términos que eran incorrectos, los corregí.<br />
<br />
El problema 2.1 está bien resuelto, solo corregí algunas faltas de ortografía.<br />
<br />
En el problema 2.6 decía que se operaban dos ecuaciones, las que llamaba 1 y 2 pero no estaban enumeradas así que las enumere.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
Problema 1.4 Entendible. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 12:34 26 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
Problema 1.5 La solución es correcta, me parece que es lo mas cercano a explicar este fenómeno físico al problema que se plantea. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 12:38 26 feb 2015 (CST)<br />
<br />
---<br />
En el ejercicio 6.2 le falta la explicacion física de lo que estas haciendo, los cálculos son correctos, incluyendo la solucion. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:36 16 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
En el ejercicio 5.11 no se entiende que es lo que quieres resolver, apenas es entendible tu procedimiento. La figura es buena.--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:53 16 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
En el ejercicio No.29 de la sección 5.1 no entiendo que es lo que quieres demostrar, te saltas mucho el procedimiento y no explicas que haces compañera,ni los pasos que haces.--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:22 14 jun 2015 (CDT)</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Esther_Sarai&diff=20621Usuario discusión:Esther Sarai2015-06-15T04:22:03Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: </p>
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<br />
<br />
---<br />
En el ejercicio 51 de la sección 4.3 no se ha demostrado nada [[Usuario:Luis Enrique Martínez Valverde|Luis Enrique Martínez Valverde]] ([[Usuario discusión:Luis Enrique Martínez Valverde|discusión]]) 20:04 9 jun 2015 (CDT)<br />
----<br />
El ejercicio 22 de la seccion 1.4 ya lo había resuelto.<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 12:57 15 mayo 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
<br />
----<br />
Ejercicio 5.12 Si observamos la gráfica del Lorentziano al que llegaron y la resonancia, nos encontramos con algo muy interesante, como que los máximos son en puntos muy parecidos.<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 22:15 15 mar 2015 (CDT)Esther Sarai <br />
<br />
<br />
----<br />
Ejercicio 4.7 Waves. C.A. Coulson -A. Jeffrey . Ed Longman<br />
Al sustituir los valores en la ecuación (2) ¿Como obtienes el 1/2?.<br />
Tampoco explicas como llegaste a las soluciones de estas ecuaciones.<br />
<br />
----<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 13:51 11 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
Ejercicio 4.1<br />
<br />
La ecuación (1) es valida para cualquier oscilador, el que sea ligeramente amortiguado dependera del valor de gamma y omega.<br />
<br />
Por otro lado, ¿por que dices que es ligeramente amortiguado cuando el enunciado dice "heavy damping"?<br />
----<br />
Me gusto mucho lo que hiciste con mi ejercicio :D Gracias --Rosario Maya (discusión) 23:18 15 mar 2015 (CDT)<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 13:13 11 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
<br />
----<br />
El problema 1.6 tiene errores en las ecuaciones, aunque el resultado y el camino a la solucion esta correctos.<br />
<br />
--[[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 23:26 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
<br />
En el problema 1.4 agregue un poco más de teoría, y le di un poco de orden.<br />
<br />
Al problema I.II le faltaban enumerar las ecuaciones y además cambié el ultimo enunciado.<br />
<br />
Al problema 2.12 centre las ecuaciones<br />
<br />
El problema 2.3 está muy bien --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:36 16 mar 2015 (CDT)explicado, solo faltaba un poco de orden y algunos términos que eran incorrectos, los corregí.<br />
<br />
El problema 2.1 está bien resuelto, solo corregí algunas faltas de ortografía.<br />
<br />
En el problema 2.6 decía que se operaban dos ecuaciones, las que llamaba 1 y 2 pero no estaban enumeradas así que las enumere.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
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<br />
Problema 1.4 Entendible. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 12:34 26 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
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Problema 1.5 La solución es correcta, me parece que es lo mas cercano a explicar este fenómeno físico al problema que se plantea. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 12:38 26 feb 2015 (CST)<br />
<br />
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En el ejercicio 6.2 le falta la explicacion física de lo que estas haciendo, los cálculos son correctos, incluyendo la solucion. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:36 16 mar 2015 (CDT)<br />
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En el ejercicio 5.11 no se entiende que es lo que quieres resolver, apenas es entendible tu procedimiento. La figura es buena.--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:53 16 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
En el ejercicio No.27 de la sección 5.1 no entiendo que es lo que quieres demostrar, te saltas mucho el procedimiento y no explicas que haces compañera,ni los pasos que haces.--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:22 14 jun 2015 (CDT)</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Esther_Sarai&diff=20620Usuario discusión:Esther Sarai2015-06-15T04:21:51Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: </p>
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<br />
<br />
---<br />
En el ejercicio 51 de la sección 4.3 no se ha demostrado nada [[Usuario:Luis Enrique Martínez Valverde|Luis Enrique Martínez Valverde]] ([[Usuario discusión:Luis Enrique Martínez Valverde|discusión]]) 20:04 9 jun 2015 (CDT)<br />
----<br />
El ejercicio 22 de la seccion 1.4 ya lo había resuelto.<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 12:57 15 mayo 2015 (CDT)<br />
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<br />
<br />
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Ejercicio 5.12 Si observamos la gráfica del Lorentziano al que llegaron y la resonancia, nos encontramos con algo muy interesante, como que los máximos son en puntos muy parecidos.<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 22:15 15 mar 2015 (CDT)Esther Sarai <br />
<br />
<br />
----<br />
Ejercicio 4.7 Waves. C.A. Coulson -A. Jeffrey . Ed Longman<br />
Al sustituir los valores en la ecuación (2) ¿Como obtienes el 1/2?.<br />
Tampoco explicas como llegaste a las soluciones de estas ecuaciones.<br />
<br />
----<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 13:51 11 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
Ejercicio 4.1<br />
<br />
La ecuación (1) es valida para cualquier oscilador, el que sea ligeramente amortiguado dependera del valor de gamma y omega.<br />
<br />
Por otro lado, ¿por que dices que es ligeramente amortiguado cuando el enunciado dice "heavy damping"?<br />
----<br />
Me gusto mucho lo que hiciste con mi ejercicio :D Gracias --Rosario Maya (discusión) 23:18 15 mar 2015 (CDT)<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 13:13 11 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
<br />
----<br />
El problema 1.6 tiene errores en las ecuaciones, aunque el resultado y el camino a la solucion esta correctos.<br />
<br />
--[[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 23:26 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
<br />
En el problema 1.4 agregue un poco más de teoría, y le di un poco de orden.<br />
<br />
Al problema I.II le faltaban enumerar las ecuaciones y además cambié el ultimo enunciado.<br />
<br />
Al problema 2.12 centre las ecuaciones<br />
<br />
El problema 2.3 está muy bien --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:36 16 mar 2015 (CDT)explicado, solo faltaba un poco de orden y algunos términos que eran incorrectos, los corregí.<br />
<br />
El problema 2.1 está bien resuelto, solo corregí algunas faltas de ortografía.<br />
<br />
En el problema 2.6 decía que se operaban dos ecuaciones, las que llamaba 1 y 2 pero no estaban enumeradas así que las enumere.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
Problema 1.4 Entendible. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 12:34 26 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
<br />
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Problema 1.5 La solución es correcta, me parece que es lo mas cercano a explicar este fenómeno físico al problema que se plantea. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 12:38 26 feb 2015 (CST)<br />
<br />
---<br />
En el ejercicio 6.2 le falta la explicacion física de lo que estas haciendo, los cálculos son correctos, incluyendo la solucion. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:36 16 mar 2015 (CDT)<br />
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En el ejercicio 5.11 no se entiende que es lo que quieres resolver, apenas es entendible tu procedimiento. La figura es buena.--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:53 16 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
En el ejercicio No.27 de la sección 5.1 no entiendo que es lo que quieres demostrar, te saltas mucho el procedimiento y no explicas que haces compañera,ni los pasos que haces.--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:21 14 jun 2015 (CDT)</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Martin_Flores_Molina&diff=19910Usuario discusión:Martin Flores Molina2015-05-21T02:48:59Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: </p>
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<br />
<br />
----<br />
El ejercicio 19, sección 2.1 está bien resuelto, solo un detalle compañero, cuida tu ortografía. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 21:48 20 mayo 2015 (CDT) <br />
----<br />
Seccion2.1 ejercicio 19<br />
<br />
Martin, me parece que tu razonamiento es correcto y esta bien elavorado, pero tiene un error en último paso, ya que las partes real e imaginaria deben ser funciones de $r$ y $\theta$.<br />
<br />
Dadas por:<br />
<br />
:<math>u(r,\theta)=r^{4}cos4\theta<br />
</math><br />
<br />
:<math>v(r,\theta)=r^{4}sen4\theta<br />
</math><br />
<br />
<br />
Según la solución del libro.<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 14:25 20 mayo 2015 (CDT)<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
Compleja:Zill-Cap1 Sección 1.1, ejercicio 5.- Te sugiero que cuides tu ortografía; el ejercicio está bien planteado. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:44 16 mayo 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
Seccion 1.6 reactivo 15.<br />
Muy buena tu solución, pero hay algunos errores en tu código Latex. <br />
<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 23:14 16 mayo 2015 (CDT)</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Luis_Santos&diff=19905Usuario discusión:Luis Santos2015-05-21T02:23:37Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: </p>
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<br />
----<br />
<br />
seccion2.1 ejercicio 1.<br />
Yo no hago copias, sintetizo el ejercicio de una forma más clara y directa compañero; además es una APORTACIÓN. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 21:23 20 mayo 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema 1 (d) ==<br />
<br />
Tu problema bien razonado, pero en el inciso (d) $i^{1}$ es i no 1<br />
--[[Usuario:Tlacaelel Cruz|Tlacaelel Cruz]] ([[Usuario discusión:Tlacaelel Cruz|discusión]]) 21:16 12 mayo 2015 (CDT)<br />
corregido<br />
--[[Usuario:Tlacaelel Cruz|Tlacaelel Cruz]] ([[Usuario discusión:Tlacaelel Cruz|discusión]]) 21:54 12 mayo 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
Compañero, que gran trabajo has realizado al completar el problema 5 de la sección 1.6 hay que tener en cuenta que no solo pide las soluciones de la ecuación cuadratura si no que ademas pide el polinomio<br />
<br />
[[Usuario:Miguel Medina Armendariz|Miguel Medina Armendariz]] ([[Usuario discusión:Miguel Medina Armendariz|discusión]]) 11:39 17 mayo 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
Me parece que están bien resueltos los ejercicios que hiciste sólo anexé las gráficas que pedía el problema <br />
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 19:24 17 mayo 2015 (CDT)<br />
<br />
----</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Luis_Santos&diff=19904Usuario discusión:Luis Santos2015-05-21T02:23:24Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: </p>
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<br />
seccion2.1 ejercicio 1.<br />
Yo no hago copias, sintetizo el ejercicio de una forma más clara y directa compañero; además es una APORTACIÓN. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 21:23 20 mayo 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema 1 (d) ==<br />
<br />
Tu problema bien razonado, pero en el inciso (d) $i^{1}$ es i no 1<br />
--[[Usuario:Tlacaelel Cruz|Tlacaelel Cruz]] ([[Usuario discusión:Tlacaelel Cruz|discusión]]) 21:16 12 mayo 2015 (CDT)<br />
corregido<br />
--[[Usuario:Tlacaelel Cruz|Tlacaelel Cruz]] ([[Usuario discusión:Tlacaelel Cruz|discusión]]) 21:54 12 mayo 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
Compañero, que gran trabajo has realizado al completar el problema 5 de la sección 1.6 hay que tener en cuenta que no solo pide las soluciones de la ecuación cuadratura si no que ademas pide el polinomio<br />
<br />
[[Usuario:Miguel Medina Armendariz|Miguel Medina Armendariz]] ([[Usuario discusión:Miguel Medina Armendariz|discusión]]) 11:39 17 mayo 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
Me parece que están bien resueltos los ejercicios que hiciste sólo anexé las gráficas que pedía el problema <br />
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 19:24 17 mayo 2015 (CDT)<br />
<br />
----</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Samantha_Martinez&diff=19843Usuario discusión:Samantha Martinez2015-05-18T04:52:38Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: </p>
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<br />
En el ejercicio 9, sección 1.5. No entiendo porque sacas el modulo de dos números elevados al cuadrado, ¿Quien es a y b; y por qué los elevas al cuadrado?; no comprendo porque llegas a una parábola, si ademas el bosquejo es en el plano complejo.<br />
Verifica el resultado del libro del Zill.--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:42 17 mayo 2015 (CDT)</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Samantha_Martinez&diff=19838Usuario discusión:Samantha Martinez2015-05-18T04:44:49Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: </p>
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<br />
En el ejercicio 9, seccion 1.5. No entiendo porque sacas el modulo de dos numeros elevados al cuadrado, ¿Quien es a y b?; no comprendo porque llegas a una parabola, si ademas el bosquejo es en el plano complejo.--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:42 17 mayo 2015 (CDT)</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Samantha_Martinez&diff=19836Usuario discusión:Samantha Martinez2015-05-18T04:42:14Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: </p>
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<br />
No entiendo porque sacas el modulo de dos numeros elevados al cuadrado, ¿Quien es a y b?; no comprendo porque llegas a una parabola, si el problema especifica que se desea obtener los valores de "x" y "y" y realizar el bosquejo en el plano complejo.--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:42 17 mayo 2015 (CDT)</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario:Ricardo_Garcia_Hernandez&diff=19831Usuario:Ricardo Garcia Hernandez2015-05-18T04:33:04Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: </p>
<hr />
<div>Estudiante de Licenciatura en Física con matricula 2122014744,Inscrito a la asignatura de Ondas y Vibraciones, trabajador en Coordinación de seguridad auxiliar e Higiene, Metro e impartiendo docencia en escuela particular, ECOVAM, enseñando a nivel bachillerato.<br />
Soy trabajador, alegre, sencillo en mis actividades laborales.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
Ejercicio propuesto cap 4<br />
<br />
¿Por que el límite implica un término transitorio?<br />
¿ a que le llamas $x_p (t)$?<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 14:48 11 mar 2015 (CDT)<br />
----</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Anahi_Limas&diff=19800Usuario discusión:Anahi Limas2015-05-18T02:01:04Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: </p>
<hr />
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<br />
<br />
----<br />
Compañera en tu problema 2.15 de variable compleja, estás mal en tu solución, dado que si dices que <math>|z_{1}|>|z_{2}|</math>, por lo tanto el más cercano al origen es <math>z_{2}</math>, al igual que en tu segunda solución es correcto el proceso pero el más cercano es <math>z_{1}</math><br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 23:08 15 mayo 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
Compleja Zill Cap. 1, sección 1.6, ejercicio 8.- Compañera, solo una observación; sería bueno que agregaras la obtención del valor absoluto; lo demás está bien. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 21:01 17 mayo 2015 (CDT)<br />
<br />
----</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Arnold_B._Herrera_Rubert&diff=19797Usuario discusión:Arnold B. Herrera Rubert2015-05-18T01:33:56Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: </p>
<hr />
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<br />
----<br />
<br />
Compleja Zill Cap. 1; Sección 1.5, ejercicio 8.- Compañero, solo una observación, sería bueno que hicieras el bosquejo del ejercicio; todo lo demás es entendible. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 20:33 17 mayo 2015 (CDT)<br />
<br />
----</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Ricardo_Garcia_Hernandez&diff=19687Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez2015-05-16T18:07:57Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: </p>
<hr />
<div>'''Bienvenido a ''luz-wiki''!'''<br />
Esperamos que contribuyas mucho y bien.<br />
Probablemente desearás leer las [[Help:Contenidos|páginas de ayuda]].<br />
Nuevamente, bienvenido y diviértete! [[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 14:18 3 feb 2015 (CST)<br />
<br />
" El problema 1.1 falta indicio de como obtiener la ecuación diferencial para un cuerpo con movimiento armónico simple, el planteamiento y obtención de dichas ecuaciones es base del entendimiento en general y no de cuantos ". --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 18:42 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
----<br />
"El problema 1.2 está correcto; sobre todo al proponer dos formas diferentes de cómo calcular el ángulo de fase". --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 20:47 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
----<br />
"El problema 1.3, te sugiero que les des una descripción física a los resultados que obtuviste." <br />
--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 22:03 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
----<br />
"El problema 1.4 le falta más claridad para obtener las ecuaciones y darle un orden". --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 21:05 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
Ricardo creo que te equivocaste al escribir tus discusiones, las tienes que hacer en la pagina de usuario a quien quieres hacerle la observación<br />
<br />
[[Usuario:Rosario Maya|Rosario Maya]] ([[Usuario discusión:Rosario Maya|discusión]]) 22:19 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
Respecto a la solución que le diste al ejercicio 1.1, ¿don de usaste la energía potencial del oscilador? :D creo que eso esta un poquito demás pero la solución en general es muy buena, sobre todo tu procedimiento me parece muy bueno<br />
<br />
[[Usuario:Rosario Maya|Rosario Maya]] ([[Usuario discusión:Rosario Maya|discusión]]) 22:28 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
Problema Propuesto al problema propuesto al capitulo. No identifico que fue lo que modificaste, pero la solución es correcta.<br />
--[[Usuario:Rosario Maya|Rosario Maya]] ([[Usuario discusión:Rosario Maya|discusión]]) 24:24 07 marzo 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
----<br />
El problema 6.6 propuesto está bien explicado matemáticamente, como estás haciendo una deducción deberías colocar la parte física que empleaste, por ejemplo la expresión matemática:<br />
<math> \ddot{\varPsi}+\frac{R}{L}\dot{\varPsi}+\frac{1}{CL}\varPsi=\varepsilon_{0}\sin(\gamma t)</math> <br />
Decir cómo la obtuviste, que es por medio de las leyes de Kirchhoff, sin embargo usas bien las matemáticas.<br />
<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 01:27 15 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
<br />
----</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Tlacaelel_Cruz&diff=19674Usuario discusión:Tlacaelel Cruz2015-05-16T06:01:38Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: </p>
<hr />
<div>'''Welcome to ''luz-wiki''!'''<br />
We hope you will contribute much and well.<br />
You will probably want to read the [[Help:Contenidos|help pages]].<br />
Again, welcome and have fun! [[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 19:52 8 mayo 2015 (CDT)<br />
<br />
Ejercicio 10 sección 1.1<br />
Me parece que seria bueno que colocaras las "operaciones correspondientes" en lugar de sólo mencionarlas. <br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 21:53 12 mayo 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
Compleja:Zill-Cap1 Sección 1.2, ejercicio 5.- Compañera, solo una observación, te falto poner en tus resultados quien es <math> z_{3} </math>, por lo demás todo entendible. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 01:01 16 mayo 2015 (CDT)</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Martin_Flores_Molina&diff=19669Usuario discusión:Martin Flores Molina2015-05-16T05:44:02Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: </p>
<hr />
<div>'''Welcome to ''luz-wiki''!'''<br />
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Again, welcome and have fun! [[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 20:43 7 mayo 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
<br />
Compleja:Zill-Cap1 Sección 1.1, ejercicio 5.- Te sugiero que cuides tu ortografía; el ejercicio está bien planteado. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:44 16 mayo 2015 (CDT)</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Ivan_de_Jes%C3%BAs_Pompa_Garc%C3%ADa&diff=19325Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García2015-03-30T18:24:57Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: </p>
<hr />
<div></div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Ondas:_probs_c2_mov_osc&diff=19291Ondas: probs c2 mov osc2015-03-30T06:05:33Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: /* Problema 2.12 Hetch / 3era Ed/2do método */</p>
<hr />
<div>vibraciones y ondas<br />
problemas capítulo 2 Óptica - Hecht<br />
==Problema 2.1==<br />
'''2.1¿Cuantas ondas de luz amarillas (<math>\lambda=580nm</math>) caben en una distancia en el espacio igual a un trozo de papel de (0.003 pulgadas)? ¿Hasta donde se extendera el mismo número de microondas <math>\displaystyle{(\nu=10^{10}Hhz}</math>, es decir, <math>\displaystyle{10GHz}</math> y <math>\displaystyle{v=3x10^8\frac{m}{s}})</math>?'''<br />
<br />
Para responder a la primera pregunta, basta con dividir el espesor del papel con el de la longuid de onda dada, es decir<br />
<br />
<center><math>ondas=\displaystyle{\frac{0.003 in}{580 mm}=\frac{0.003 in}{580 nm}\frac{25.4mm}{1 in}=\frac{0.0762 mm}{580 nm}=131 ondas}</math></center><br />
<br />
Una microonda con frecuencia de <math>\displaystyle{10 GHz}</math> tiene una longuitud de onda de<br />
<br />
<center><math>\displaystyle{\lambda=\frac{c}{\nu}=\frac{3x10⁸}{10 GHz}=0.03m}</math></center><br />
<br />
Por lo tanto 131 ondas con dicha longuitud se extenderán<br />
<br />
<center><math>\displaystyle{extensión=(131)(0.03m)=3.93 m}</math></center><br />
<br />
[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 20:28 17 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
==Problema 2.2==<br />
2.2''' La velocidad de la luz en el vacio es aproximadamente de''' $3x10^{8}\frac{m}{s}$.'''Calcule la longitud de onda de la luz roja con una frecuencia de''' $5x10^{14}Hz$.'''Compárela con la longitud de onda de una onda electromagnética de'''$60Hz.$<br />
<br />
<br />
Utilizamos la ecuación $\lambda=\frac{c}{\nu}$,donde $c$ es la velocidad de la luz y $\nu$ la frecuencia de la onda. Tendremos entonces:<br />
<br />
\[\lambda=\frac{c}{\nu}=\frac{3x10^{8}\frac{m}{s}}{5x10^{14}Hz}=6x10^{-7}m\] <br />
<br />
o la ecuación:<br />
<br />
\[\lambda=600nm\] <br />
<br />
que es la longitud de onda de la luz roja a la frecuencia solicitada en el problema. Ahora calculamos la longitud de onda de la onda electromagnética:<br />
<br />
<br />
\[\lambda_{1}=\frac{c}{\nu}=\frac{3x10^{8}\frac{m}{s}}{60Hz}=5x10^{6}m\].<br />
<br />
Al comparar $\lambda$ con $\lambda_{1}$ notamos que la longitud de onda ${\lambda}_{1}$correspondiente a la onda electromagnética es mucho mayor que la de la luz roja.<br />
<br />
[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 02:15 17 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
==Problema 2.3==<br />
<br />
'''Es posible generar ondas ultrasonicas en cristales con longitudes de onda similares a la luz $(5\times10^{-5}cm)$<br />
'''pero con frecuencias mas bajas $(6\times10^{8}Hz)$.''' '''Calcule la velocidad correspondiente de dicha onda.'''<br />
<br />
Pues bien teniendo los datos: $\lambda=5\times10^{-7}m$ y $f=6\times10^{8}Hz$<br />
<br />
<br />
De la ecuacion $v=f\cdot\lambda$<br />
<br />
<br />
$v=f\cdot\lambda$<br />
<br />
<br />
$v=(5\times10^{-7}m)(6\times10^{8}Hz)$<br />
<br />
<br />
$v=300\frac{m}{s}$<br />
<br />
[[Usuario:Mario Moranchel|Mario Moranchel]] ([[Usuario discusión:Mario Moranchel|discusión]]) 06:29 18 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
<br />
== Problema 2.4==<br />
<br />
'''Un joven en un barco sobre un lagoestá mirando las ondas que parecen'''<br />
'''una suceción infinita de crestas idénticas, produciendose con'''<br />
'''un intervalo de medio segundo cada una. Si cada perturbación tarda'''<br />
'''1.5s en cubrir la extensión del barco de 4.5 ¿cuál es la frecuencia,'''<br />
'''el periodo y la longitud de '''<br />
<br />
'''onda de las olas?'''<br />
<br />
Los datos dados en el problema, son los siguientes:<br />
<br />
t = 1.5s, l = 4.5m, <br />
<br />
Del enunciado, se deduce que el periodo, es el siguiente: $\tau=$0.5s.<br />
<br />
De donde se calcula la frecuencia utilizando la definición de frecuencia:<br />
<br />
\[<br />
\nu=\frac{1}{\tau}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Al sustituir, en la ecuuación, se obtiene el siguiente resultado:<br />
<br />
\[<br />
\nu=\frac{1}{0.5s}=2Hz<br />
\]<br />
<br />
<br />
Para obtener la longitud de onda, se utliliza la siguiente relación:<br />
<br />
\[<br />
\tau=\frac{\lambda}{v}\rightarrow\lambda=v\tau<br />
\]<br />
<br />
<br />
De donde la velocidad se obtiene a partir de la siguiente definición:<br />
$v=\frac{l}{t}=\frac{4.5m}{1.5s}=3m/s$<br />
<br />
Entonces $\lambda=(3m/s)(0.5s)=1.5m$.<br />
<br />
[[Usuario:Ana Alarid|Ana Alarid]] ([[Usuario discusión:Ana Alarid|discusión]]) 01:46 12 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
<br />
==Problema 2.5==<br />
<br />
'''Con un martillo vibrante se golpea el extremo de una barra de metal larga de manera que una onda de compresion periodica con una longitud de onda de 4.3m<br />
'''recorra todo lo largo de la barra con una velocidad de $v=3.5\frac{km}{s}$<br />
<br />
'''¿Cual sera la frecuencia de la vibración?'''<br />
<br />
<br />
Teniendo los datos: $\lambda=4.3m$ y $v=3500\frac{m}{s}$<br />
<br />
<br />
De la ecuacion $v=f\cdot\lambda$ obtendremos la frecuencia.<br />
<br />
$v=f\cdot\lambda$<br />
<br />
<br />
$f=\frac{v}{\lambda}$<br />
<br />
<br />
$f=\frac{4.3m}{3500\frac{m}{s}}$<br />
<br />
<br />
$f=1.22\times10^{-3}Hz$<br />
<br />
[[Usuario:Mario Moranchel|Mario Moranchel]] ([[Usuario discusión:Mario Moranchel|discusión]]) 06:42 18 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
<br />
==Problema 2.6==<br />
'''Durante la boda de dos buceadores, se sumerge un violín en la'''<br />
'''piscina. Dado que la velocidad de las ondas de compresión en agua'''<br />
'''pura es de 1.498 m/s. ¿Cual es la longitud de una nota la, de 440'''<br />
'''Hz que se toca en dicho instrumento?'''<br />
<br />
Conocemos la velocidad de la onda en el agua que es $\upsilon=1.498\frac{m}{s}$<br />
y conocemos también la frecuencia de la nota que es $\upsilon=440Hz=440\frac{ciclos}{s}$<br />
<br />
Ahora bien si queremos encontrar la longitud de la onda, recurrimos<br />
a la ecuación <br />
<br />
\[<br />
\upsilon=\nu\lambda<br />
\]<br />
<br />
<br />
De donde conocemos todo excepto la longitud de onda, solo requiere<br />
de un sencillo despeje para encontrar $\lambda$<br />
<br />
Haciendo el despeje la ecuación queda:<br />
<br />
\[<br />
\lambda=\frac{\upsilon}{\nu}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Sustituimos nuestros datos <br />
<br />
\[<br />
\lambda=\frac{1.498\frac{m}{s}}{440\frac{ciclos}{s}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Y obtendremos que <br />
\[<br />
\lambda=0.0034m<br />
\]<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Daniel Olvera Moreno]] ) 05:29 21 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.7==<br />
'''Un pulso de onda tarda $2.0 s$ en recorrer $10 m$ a lo largo de una cuerda, se genera una perturbación armónica con una longitud de onda de $0.5 m$ en la cuerda. ¿Cuál es su frecuencia?'''<br />
<br />
De los datos proporcionados sabemos que si la perturbación armónica tiene una longitud de onda de $\lambda=0.5 m$ de manera que el pulso completa 20 "ciclos" en los $10 m$ recorridos.<br />
<br />
De esta forma el periodo de la perturbación es:<br />
<br />
<math> \tau= \frac{2 s}{20}= 0.1 s</math><br />
<br />
Entonces la frecuencia es:<br />
<br />
<math> f= \frac{1}{\tau}=\frac{1}{0.1 s}=10 Hz </math><br />
<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 18:16 27 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.8==<br />
'''2.8 Demuestre que para una onda periódica $\omega=(\frac{2\pi}{\lambda})v$<br />
<br />
La mayoría de las ondas son el resultado de muchas perturbaciones sucesivas del medio. Cuando dichas perturbaciones se producen a intervalos regulares y todas son de la misma forma, estamos frente a una onda periódica.<br />
<br />
Una onda periódica posee periodo (número de unidades de tiempo por onda) y frecuencia (número de ondas por unidad de tiempo), establecidas por:<br />
<br />
$Periodo$<br />
\begin{equation}<br />
\tau=\frac{\lambda}{v}.... (i)<br />
\end{equation}<br />
donde $\tau$ es el periodo de onda, $\lambda$ es la longitud de onda y $v$ se refiere a la velocidad con la que viaja la onda.<br />
<br />
$Frecuencia$<br />
\begin{equation}<br />
\nu=\frac{\omega}{2\pi}....(ii)<br />
\end{equation}<br />
donde $\nu$ es la frecuencia de la onda, $\omega$ es la frecuencia angular de la onda.<br />
<br />
De $(ii)$ despejamos $\omega$<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega=\nu 2\pi ....(iii)<br />
\end{equation}<br />
<br />
También sabemos que el inverso del periodo es la frecuencia $(\nu=\frac{1}{\tau})$ <br />
<br />
Utilizando la expresión $(iv)$ y sustituyendola en $(iii)$<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\nu=\frac{1}{\tau} ....(iv)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega= \frac{2\pi}{\tau}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Sustituyendo $(i)$ en $\tau$<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega= \frac{2\pi}{\frac{\lambda}{v}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Por lo tanto:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega= (\frac{2\pi}{\lambda})(v)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 11:13 23 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
==Problema 2.9 ==<br />
<br />
Hacer una tabla con las columnas encabezadas por los valores de $\theta$<br />
corriendo de $-\frac{\pi}{2}$ a $2\pi$ en intervalos de $\frac{\pi}{4}$<br />
, en cada fila el valor correspondiente de $\sin\theta$ , debajo<br />
de esos valores los de $\cos\theta$ , por debajo de los valores de<br />
$\sin\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)$ , y similarmente con las<br />
funciones $\sin\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)$ , $\sin\left(\theta-\frac{3\pi}{4}\right)$<br />
, y $\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)$) . Trazar cada una de<br />
estas funciones, sin los efectos del desplazamiento de fase. La funcion<br />
$\sin\theta$ se atrasa o se adelantade la funcion $\sin\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)$<br />
. en otras palabras, Una de las funciones alcanza una magnitud particular,<br />
en un valor menor de $\theta$ que la otra y , por tanto, una conduce<br />
a la otra ( como $\cos\theta$ conduce $\sin\theta$ ) ?<br />
<br />
[[Archivo:Grafica2.9.png|700px|thumb|left|Las funciones $\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)$ y $\cos\theta$ son iguales y las otras funciones se desplazan a la izquierda de la función $\sin\theta$ cada $\frac{\pi}{4}$ a excepción de la función $\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)$ que de desplaza a la derecha ]]<br />
<br />
{| class="wikitable" style="text-align:center"<br />
|-<br />
! $ \theta $<br />
! $-\frac{\pi}{4}$<br />
! $-\frac{\pi}{4}$<br />
! $ 0 $<br />
! $ \frac{\pi}{4}$<br />
! $ \frac{\pi}{2}$<br />
! $ \frac{3\pi}{4}$<br />
! $ \pi $<br />
! $ \frac{5\pi}{4}$<br />
! $ \frac{3\pi}{2}$<br />
! $ \frac{7\pi}{4}$<br />
! $ 2\pi$<br />
|-<br />
| $ \sin(\theta) $<br />
| $ -1 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 1 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ -1 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
|-<br />
| $ \cos(\theta) $<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 1 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ -1 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 1 $<br />
|-<br />
| $ \sin(\theta-\frac{\pi}{4}) $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ -1 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 1 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ -1 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
|-<br />
| $ \sin(\theta-\frac{\pi}{2}) $<br />
| $ 0 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ -1 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 1 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ -1 $<br />
|-<br />
| $ \sin(\theta-\frac{3 \pi}{4}) $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ -1 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 1 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
|-<br />
| $ \sin(\theta+\frac{\pi}{2}) $<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 1 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ -1 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 1 $<br />
|}<br />
<br />
Respuesta: $\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)$ que es igual al $\cos(\theta)$ se desplaza a la izquierda del $\sin\theta$<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Rosario Maya|Rosario Maya]] ([[Usuario discusión:Rosario Maya|discusión]]) 20:37 29 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.10==<br />
<br />
Hacer una tabla con columnas encabezadas por los valores de $kx$<br />
correr desde $x=-\frac{\lambda}{2}$ a $x=+\lambda$ en intervalos<br />
de $x$ de $\frac{\lambda}{4}$ , por supuesto, $k=\frac{2\pi}{\lambda}$<br />
. En cada columna colocar los correspondientes valores de $\cos\left(kx+\frac{3\pi}{4}\right)$<br />
y para las funciones $15\cos\left(kx-\frac{\pi}{4}\right)$ y $25\cos\left(kx+\frac{3\pi}{4}\right)$.<br />
<br />
{| class="wikitable" style="text-align:center"<br />
|-<br />
! $ x $<br />
! $-\frac{\lambda}{2}$<br />
! $-\frac{\lambda}{4}$<br />
! $ 0 $<br />
! $\frac{\lambda}{4}$<br />
! $\frac{\lambda}{2}$<br />
! $\frac{3\lambda}{2} $<br />
! $ \lambda $<br />
|-<br />
| $ kx=2\pi\frac{\lambda}{2} $<br />
| $ -\pi $<br />
| $ -\frac{\pi}{2}$<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\pi}{2}$<br />
| $ \pi $<br />
| $ \frac{3\pi}{2}$<br />
| $ 2\pi$<br />
|-<br />
| $$\cos\left(kx-\frac{\pi}{2}\right)$$<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
|-<br />
| $$\cos\left(kx+\frac{3\pi}{4}\right)$$<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
|-<br />
| $$15\cos\left(kx-\frac{\pi}{4}\right)$$<br />
| $ 15-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 15-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 15\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 15\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 15-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 15-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 15\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
|-<br />
| $$25\cos\left(kx+\frac{3\pi}{4}\right)$$<br />
| $ 25\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 25\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 25-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 25-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 25\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 25\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 25-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
|}<br />
<br />
Ejercicio Resuelto por <br />
[[Usuario:Rosario Maya|Rosario Maya]] ([[Usuario discusión:Rosario Maya|discusión]]) 00:05 30 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
==Problema 2.11==<br />
<br />
Por resolverse...<br />
--[[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 23:01 29 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
<br />
==Problema 2.12==<br />
'''2.12 El perfil de una onda armónica, que viaja con velocidad de 1.2 m/s en una cuerda,esta dado por'''<br />
<br />
<center><math>\displaystyle{y=\left(0.02m\right)\sin\left(157m^{-1}\right)x}</math></center><br />
<br />
'''Calcule su amplitud, su longitud de onda, su frecuencia y su periodo'''<br />
<br />
Se observa que la ecuación no muestra dependencia del tiempo, por lo obedece a la ecuación (2.12) del libro<br />
<center><math>\displaystyle{\psi(x)=A\sin(kx)}</math></center><br />
de donde es inmediatos su amplitud '''A=0.02m''' y número de onda '''<math>k=157m^{-1}</math>''', por lo que su longuitud de onda esta dada por:<br />
<center><math>\displaystyle{\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{157m^{-1}}=0.04m}</math></center><br />
su frecuencia esta dada ṕor la ecuación (2.19), entonces:<br />
<center><math>\displaystyle{\nu=\frac{v}{\lambda}=\frac{1.2\frac{m}{s}}{0.04m}=30Hhz}</math></center><br />
Finalmente, su periodo esta dado por:<br />
<center><math>\displaystyle{\tau=\frac{1}{\nu}=\frac{1}{30}s}</math></center><br />
[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 17:56 26 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
<br />
----<br />
== Problema 2.12 Hetch / 3era Ed/2do método ==<br />
<br />
2.12.-El perfil de velocidad de una onda armónica, que viaja a una velocidad de 1.2 m/s en una cuerda, esta dado por:<br />
<br />
: <math> y=\left(0.02\right)\sin\left(157/m\right)x<br />
</math><br />
<br />
Calcule su amplitud, su longitud de onda, su frecuencia y su periodo.<br />
<br />
Solución<br />
<br />
Se tiene la ecuación de onda(2.13) que es:<br />
<br />
: <math>\varPsi\left(x,t\right)=a\sin\kappa\left(x-vt\right)<br />
</math><br />
<br />
donde <math>A<br />
</math> es la amplitud , y <math>\kappa<br />
</math> el numero de onda (constante).<br />
<br />
Tomando en cuenta que el tiempo es independiente de la funcion de onda, y con t=0; se tiene:<br />
<br />
: <math>\varPsi(x,0)=A\sin\left[x-v(0)\right]=A\sin\kappa x<br />
</math><br />
<br />
a) Comparando la ecuacion del ejercicio, con la parte teórica, se sabe por inspección que la amplitud <math> A=0.02m<br />
</math> y <math>\kappa=157m^{-1}<br />
</math>.<br />
<br />
b) Se tiene la relación <math>\kappa=\frac{2\pi}{lambda}<br />
</math>; despejando la longitud de onda <math>"\lambda"<br />
</math> se tiene:<br />
<br />
: <math>\lambda<br />
= \frac{2\pi}{\kappa}<br />
=\frac{2\pi}{157m^{-1}}<br />
= 0.0400 m </math><br />
<br />
c) Para la frecuencia se tiene la relación <math>v<br />
= \nu\lambda<br />
</math>; despejando la frecuencia <math>"\nu"<br />
</math> se tiene:<br />
<br />
: <math>\nu<br />
=\frac{v}{\lambda}<br />
= \frac{1.2m/s}{0.0400m}<br />
= 30 Hz </math><br />
<br />
d) Para el período se tiene el recíproco de la frecuencia:<br />
<br />
: <math>\tau<br />
= \frac{1}{\nu}<br />
= \frac{1}{30Hz}<br />
= 0.033 s </math><br />
<br />
Elaborado por Ricardo García Hernández.--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:25 30 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
==Problema 2.13==<br />
<br />
'''2.13 Usando las funciones de onda'''<br />
<br />
<math>\psi_{1}=4\sin2\pi\left(0.2x-3t\right)<br />
</math><br />
<br />
<math>\psi_{2}=\frac{\sin\left(7x+3.5t\right)}{2.5}<br />
</math><br />
<br />
'''determine en cada caso los valores de <br />
<br />
'''a)amplitud,'''<br />
<br />
'''b)frecuencia, '''<br />
<br />
'''c)velocidad de fase, '''<br />
<br />
'''d)longitud de onda,'''<br />
<br />
'''e)periodo,'''<br />
<br />
'''f)dirección del movimiento. '''<br />
<br />
<br />
'''El tiempo se expresa en segundos y x en metros.'''<br />
<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
Partimos de la ecuación de onda:<br />
\[<br />
\psi=Asin(kx \pm \omega t)...(1)<br />
\]<br />
En donde podemos factorizar $2 \pi$ del alrgumento y escribir:<br />
<br />
\[<br />
\psi=Asin2 \pi (\frac{k}{2 \pi} x \pm \frac{\omega}{2\pi}t)<br />
...(2)\]<br />
<br />
Definimos a:<br />
<br />
\[<br />
\frac{k}{2\pi}=\chi <br />
\] <br />
\[<br />
\frac{\omega}{2\pi}=\nu<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\psi=Asin 2\pi(\chi x \pm \nu t)...(3)<br />
\]<br />
De esta ecuación podemos identificar la:<br />
<br />
Amplitud: $A$<br />
<br />
Frecuencia: $\nu$<br />
<br />
Número de onda: $\chi$<br />
<br />
Tambien sabemos que:<br />
<br />
Velocidad de fase: $V= \pm \frac{\omega}{k}$<br />
<br />
Longutud de onda: $\frac{V}{\nu}$<br />
<br />
<br />
Con lo anterior, dada $ \psi_1 = 4 sin2\pi (0.2 x - 3t)$<br />
<br />
a) Amplitud = 4 m<br />
<br />
b) Frecuencia = 3 Hz<br />
<br />
c) Velocidad de fase = $\frac{\omega}{k}=\frac{\nu}{\chi}=\frac{3 Hz}{0.2 m^{-1}}=15 m/s$<br />
<br />
d) Longitud de onda = $\frac{V}{\nu}= \frac{15}{3}=5 m$<br />
<br />
e) Periodo = $\frac{1}{\nu}=0.333... s$<br />
<br />
d) dirección del movimiento: <br />
<br />
Hacia la derecha.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Para la función $ \psi_2 \frac{1}{2.5} sin(7x + 3.5t) $<br />
<br />
a) Amplitud = $\frac{1}{2.5}=0.4 m$<br />
<br />
b) Frecuencia = $\frac{\omega}{2\pi}=\frac{3.5}{2\pi}=0.55 Hz$<br />
<br />
c) Velocidad de fase = $\frac{\omega}{k}=\frac{3.5}{7}=0.5 m/s$<br />
<br />
d) Longitud de onda = $\frac{2\pi}{k}= \frac{2/pi}{7}=0.897 m$<br />
<br />
e) Periodo = $\frac{2\pi}{\omega}=1.795 s$<br />
<br />
d) dirección del movimiento: <br />
<br />
Hacia la izquierda.<br />
<br />
<br />
Resuelto por: --[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 13:13 28 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
==Problema 2.14==<br />
<br />
'''2.14 Demuestre que, <math>\psi(x,t)=Asen(k(x-vt))</math> es una solucion de la ecuacion diferencial de onda.''' <br />
<br />
'''Demostración'''<br />
<br />
De la solución propuesta se observa que se trata de la ecuación de direferncial de onda en una dimensión, luego, para ser soloción debe satisfacer la ecuación<br />
<center><math>\displaystyle{\frac{\partial² \psi}{\partial x²}=\frac{1}{v²}\frac{\partial² \psi}{\partial t²}}</math></center><br />
La segunda derivada parcial respecto de x esta dada por<br />
<center><math>\displaystyle{\frac{\partial² \psi}{\partial x²}=\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial \psi}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(kA\cos(kx-kvt))=-k²A\sin(kx-kvt)}</math></center><br />
La segunda derivada parcial respecto de t esta dada por<br />
<center><math>\displaystyle{\frac{\partial² \psi}{\partial t²}=\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial \psi}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}(-kvA\cos(kx-kvt))=-k²v²A\sin(kx-kvt)}</math></center><br />
Al sustituilas en la ecuacion diferencial de onda se tiene <br />
<center><math>\displaystyle{-k^{2}A\sin(kx-kvt)=-\frac{1}{v^{2}}kv^{2}A\sin(kx-kvt)}</math></center><br />
Como la última igualdad es cierta, entonces es solución de la ecuación diferencial de onda en una dimensión.<br />
<br />
[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 21:17 17 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
==Problema 2.15==<br />
'''2.15 Demuestre que si el desplazamiento de la cuerda de la figura 2.7 está dado por <math>y(x,t)=A \sin[kx - \omega t + \varepsilon]</math> entonces la mano que genera la onda se debe mover verticalmente con movimiento armónico simple.<br />
<br />
Vemos que el movimiento de la cuerda en la figura $2.7$ corresponde al de una onda armónica que se desplaza a lo largo del eje $x$ durante un tiempo de un período, en este caso cualquier punto de la cuerda se desplaza sólo verticalmente, entonces podemos derivar la ecuación de movimiento como sigue:<br />
<br />
\[ <br />
\frac{\partial}{\partial x} y(x,t)=k A \cos[kx - \omega t + \varepsilon]<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial^2}{\partial x^2} y(x,t) = k^2 A \sin[kx - \omega t + \varepsilon]<br />
\]<br />
<br />
Vemos que en la segunda derivada aparece la primer derivada, al sustituirla se llega a la siguiente expresión:<br />
<br />
\[<br />
\ddot{y}=-k^2 y(x,t) \rightarrow \ddot{y}+k^2y=0<br />
\]<br />
<br />
Se observa que corresponde a la ecuación de un movimiento armónico simple realizado verticalmente.<br />
<br />
[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 16:49 27 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.16==<br />
'''2.16 Escriba la expresion para la onda armonica de amplitud <math>10^{3}V/m</math> , periodo <math>2.2x10^{-15}s</math> ,y velocidad <math>3x10^{8}m/s</math> .La onda se propaga en la direccion negativa de X y tiene un valor de <math>10^{3}V/m</math> en t=0 y x=0.'''<br />
<br />
R:<br />
<br />
<math>\tau=2.2x10^{-15}s</math><br />
<br />
<br />
sabiendo que <math>\nu=\frac{1}{\tau}</math><br />
<br />
<br />
<math>\nu=\frac{1}{2.2x10^{-15}s}=4.5x10^{14}Hz</math><br />
<br />
<br />
obtenemos la longitud de onda con <math>v=\nu\lambda</math><br />
<br />
<br />
es decir <math>\lambda=\frac{v}{\nu}=\frac{3.8x10^{8}m/s}{4.5x10^{14}Hz}</math><br />
<br />
<br />
<math>\lambda=6.6x10^{-7}m</math><br />
<br />
<br />
obtenemos K de la formula <math>k=\frac{2\pi}{\lambda}=9.5x10^{6}m^{-1}</math><br />
<br />
<br />
Sabiendo que la expresion de la ecuacion de onda es <br />
<br />
<math>\psi(x,t)=A\cos\left[kx+\omega t\right]</math><br />
<br />
<br />
sustituimos los datos antes encontrados para hallar la expresion que nos piden.<br />
<br />
<math>\psi(x,t)=\left(10^{3}\right)\cos\left[9.5x10^{6}\left(x+3x10^{8}t\right)\right]</math><br />
<br />
- --[[Usuario:Leticia González Zamora|Leticia González Zamora]] ([[Usuario discusión:Leticia González Zamora|discusión]]) 15:27 20 jun 2013 (CDT)<br />
----<br />
==Problema 2.17==<br />
'''2.17 Considere el pulso descrito en términos de sus desplazamientos en $t=0$ por $y(x,t)|_{t=0}=\frac{C}{2+x^{2}}$ donde $C$ es una constante. Dibuje el perfil de onda. Escriba una expresión para la onda que tiene una velocidad $v$ en la dirección negativa de $x$, como función del tiempo $t$. Si $v=1\frac{m}{s}$, dibuje el perfil en $t=2s$.'''<br />
<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
De la expresión $y(x,t)|_{t=0}=\frac{C}{2+x^{2}}$ notamos que el<br />
máximo de la función se encuentra cuando $x=0$ y por tanto el máximo<br />
siempre estará en $y_{max}=\frac{C}{2}$. <br />
<br />
[[Archivo:Perfil11.png]]<br />
<br />
De la expresión anterior debido a que esta al tiempo $t=0$ la velocidad<br />
de la onda no contribuía, ahora bien la expresión para una onda con<br />
cierta velocidad para ester perfil esta dada por<br />
\[<br />
y(x,t)=\frac{C}{2+(x+vt)^{2}}<br />
\]<br />
el sigo se debe a que queremos ver la onda desplazada a la izquierda<br />
o dirección negativa del $eje\; x$. <br />
<br />
La gráfica al tiempo $t=2s$ con una velocidad $v=1\frac{m}{s}$ se<br />
muestra a continuación.<br />
<br />
[[Archivo:Perfil123.png]]<br />
<br />
Nuevamente se toman 3 valores distintos para $C$.<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 05:46 26 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.18==<br />
2.18 '''Determine la magnitud de la función de onda''' $\psi(z,t)=Acos[k(z+vt)+\pi]$ '''en el punto''' $z=0$, '''cuanto''' $t=\frac{\tau}{2}$ '''y cuando '''$t=\frac{3\tau}{4}$.<br />
<br />
Partimos de la ecuación de la onda<br />
<br />
\[\psi(z,t)=Acos[k(z+vt)+\pi]\]<br />
<br />
Evaluamos en $z=0$ y nos queda<br />
<br />
\[\psi(0,t)=Acos[kvt+\pi]\]<br />
<br />
sustituimos $kv=\omega$ y entonces tenemos<br />
<br />
\[\psi(z,t)=Acos[\omega t+\pi]\]<br />
<br />
pero como $-Acos[\omega t]=Acos[\omega t+\pi]$ tenemos que<br />
<br />
\[\psi(z,t)=-Acos[\omega t]\]<br />
<br />
Finalmente sustituimos para $t=\frac{\tau}{2}$ y luego para $t=\frac{3\tau}{4}$ y obtenemos los resultados siguientes para cada caso.<br />
<br />
<br />
$\psi(0,\frac{\tau}{2})=-Acos[\omega\frac{\tau}{2}]=-Acos(\pi)^{-1}=A$<br />
<br />
<br />
y para $\psi(0,\frac{3\tau}{4})=-Acos[\omega\frac{3\tau}{4}]=-Acos(\frac{3}{4}\pi)=0$<br />
<br />
[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 01:48 28 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.19==<br />
'''2.19 ¿La siguiente función en la que''' $A$ '''es una constante,''' $\psi(y,t)=(y-vt)A$<br />
'''representa una onda? Explique su raznamiento.'''<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Como $\psi(y,t)=(y-vt)A$ es solo función de $(y-vt)$ cumple las<br />
condiciones de una ecuación de onda, donde<br />
\[<br />
\frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^{2}}=\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=0<br />
\]<br />
<br />
<br />
y así esta función es una solución a la ecuación de onda. Sin embargo,<br />
\[<br />
\psi(y,0)=Ay, <br />
\]<br />
por lo que no puede representar un perfil de onda.<br />
<br />
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 06:50 22 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
==Problema 2.20==<br />
''' Utilice la ecuación (2.33) para calcular la velocidad de la onda cuya representación en unidades SI es $\psi(y,t) = A \cos\left[\pi\left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right)\right]$ '''<br />
<br />
La ecuación (2.33) nos dice que:<br />
<br />
<math><br />
\left(\dfrac{\partial x}{\partial t}\right)_\varphi = \pm \dfrac{\omega}{k} = \pm v \hspace{20pt} \cdots \hspace{20pt} (2.33)<br />
</math><br />
<br />
pero nuestra representación está dada en términos de $\psi(y,t)$, por lo que podemos reescribir la ecuación como:<br />
<br />
<math><br />
\left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)_\psi = \pm \dfrac{\omega}{k} = \pm v <br />
</math><br />
<br />
y también sabemos que la ecuación está dada en términos del siguiente cociente(ecuación 2.32 del texto con las variables adecuadas):<br />
<br />
<math><br />
\left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)_\psi = \dfrac{-\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial t}\right)_y}{\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial y}\right)_t} \hspace{20pt} \cdots \hspace{20pt} (2.32)<br />
</math><br />
<br />
Calculando ahora las derivadas:<br />
<br />
<math><br />
-\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial t}\right)_y = - \left\{ - 9x10^{14} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right] \right\} <br />
= 9x10^{14} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right] \\<br />
\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial y}\right)_t = - 3x10^{6} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right]<br />
</math><br />
<br />
Por lo que, sustituyendo en la ecuación (2.32):<br />
<br />
<math><br />
\left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)_\psi = \dfrac{-\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial t}\right)_y}{\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial y}\right)_t}<br />
= \dfrac{9x10^{14} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right]}{- 3x10^{6} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right]}<br />
= - \dfrac{9x10^{14}}{3x10^{6}}<br />
</math><br />
<br />
Y realizando la operación obtenemos la velocidad deseada(en unidades SI como lo indica el enunciado):<br />
<br />
<math><br />
v = \left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)_\psi = -3x10^8 m/s = -c<br />
</math><br />
<br />
donde el signo negativo($-$) indica que la dirección de propagación es hacia la izquierda.<br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 00:50 27 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
==Problema 2.21==<br />
<br />
'''2.21 Comenzando por el siguiente teorema: sí <math>Z=f_{(x,y)}</math>,<math>x=g_{(t)}</math><br />
y <math>y=h_{(t)}</math><br />
Entonces:<br />
<br />
<math>\frac{\delta Z}{\delta t}=\frac{\partial Z}{\partial x}\frac{\delta x}{\delta t}+\frac{\partial Z}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}</math><br />
<br />
<br />
Derivar la ecuacion: (2.34)'''<br />
<br />
<math>\left.v=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial y}}\right\} 2.35</math><br />
<br />
<br />
En general tenemos que una funcion de onda cualquiera posee la forma. <br />
<br />
<math>\Psi_{(\bar{r},t)}=\psi</math><br />
<br />
<br />
Sin perdida de generalidad consideramos el mivimiento sobre un eje de porpagacion “y”<br />
<br />
<math>\Psi_{(y,t)}=\psi</math><br />
<br />
<br />
Entonces por regla de la cadena (el teorema propuesto.)<br />
<br />
<math>\frac{\delta\psi}{\delta t}=\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}+\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{\delta t}{\delta t}</math><br />
<br />
<br />
De aqui sabemos que para una perturbacion que no cambia con el tiempo:<br />
<br />
<math>\frac{\delta\psi}{\delta t}=0</math><br />
<br />
<br />
Asimismo la diferencial del tiempo respecto al tiempo es uno, entonces, tras estas simplificaciones obtenemos.<br />
<br />
<math>0=\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}+\frac{\partial\psi}{\partial t}</math><br />
<br />
<br />
Despejando: <math>\frac{\delta y}{\delta t}=v</math><br />
<br />
<br />
<math>v=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial y}}</math><br />
<br />
<br />
La cual es la ecuacion 2.34. --[[Usuario:Andrés Arturo Cerón Téllez|Andrés Arturo Cerón Téllez]] ([[Usuario discusión:Andrés Arturo Cerón Téllez|discusión]]) 23:48 5 jul 2013 (CDT)<br />
<br />
El problema yo lo realice de la siguiente manera:<br />
<br />
'''2.21. Empezando por el siguiente teorema: Si $z=f(x,y)$ y $x=g(t)$,'''<br />
'''$y=h(t)$, entonces:'''<br />
<br />
\[<br />
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}<br />
\]<br />
<br />
<br />
'''Derive la ecuación (2.34)'''<br />
<br />
Sabemos que la ecuación (2.34) es:<br />
<br />
\[<br />
\pm v=-\frac{\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)_{x}}{\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)_{t}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Ya que sabemos que<br />
<br />
\[<br />
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Luego:<br />
<br />
\[<br />
\left(\frac{d\psi}{d\varphi}\right)_{\varphi}=\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dx}{d\varphi}+\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{dy}{d\varphi}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Y ya que en nuestro caso $\left(\frac{d\psi}{d\varphi}\right)$ es<br />
constante en $\varphi$, entonces la ecuación se vuelve<br />
<br />
\[<br />
\text{-}\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}=\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dx}{d\varphi}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\frac{dx}{d\varphi}=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Pero ádemas, es posible reescribir a $\frac{dx}{d\varphi}=\frac{\partial x}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}$,<br />
asi:<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial x}{\partial t}=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dt}{d\varphi}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Asi finalmente, la ecuación se puede reescribir como:<br />
<br />
\[<br />
\pm v=\left(\frac{\partial x}{\partial t}\right)_{\varphi}=-\frac{\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)_{x}}{\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)_{t}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] 23 Marzo 2014 21:29 (CDT)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.22==<br />
'''2.22. Utilizando los resultados del problema anterior, demuestre que'''<br />
'''para una onda armónica con una fase $\varphi(x,t)=k(x-vt)$ podemos'''<br />
'''calcular la velocidad estableciendo $\frac{d\varphi}{dt}=0$.'''<br />
'''Aplique la tecnica al problema 2.20 a fin de calcular la velocidad'''<br />
'''de dicha onda.'''<br />
<br />
Veamos primero que dicha fase cumple con la definición, entonces tenemos<br />
lo siguiente:<br />
<br />
\[<br />
\psi(x,t)=Asen(k(x-vt))<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial\psi}{\partial x}=kAsen(k(x-vt))<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial\psi}{\partial t}=-kvAsen(k(x-vt))<br />
\]<br />
<br />
<br />
Luego:<br />
<br />
\[<br />
-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}}=-\frac{(-kv)Asen(k(x-vt))}{kAsen(k(x-vt))}=v<br />
\]<br />
<br />
<br />
Por lo cuál, la función cumple con la definición. Ahora veamos que<br />
si $\frac{d\varphi}{dt}=0$ entonces la funcion sigle cumpliendo.<br />
<br />
Del problema (2.21) tenemos que por definición:<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}=\frac{d\psi}{d\varphi}-\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dx}{d\varphi}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial x}{\partial t}=\frac{\frac{d\psi}{d\varphi}-\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dt}{d\varphi}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial x}{\partial t}=\frac{\frac{d\psi}{d\varphi}\frac{d\varphi}{dt}\frac{dt}{d\varphi}-\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dt}{d\varphi}}=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial t}}<br />
\]<br />
<br />
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] 23 Marzo 2014 21:36 (CDT)<br />
<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.23==<br />
'''2.23 Una onda gaussiana, tiene la forma $\psi(x,t)=A^{-a(bx+ct)^{2}}$.Utilize<br />
el que $\psi(x,t)=f(x\pm vt)$''' '''para calcular su velocidad, comprobando<br />
luego su respuesta con la ecuación (2.3).'''<br />
<br />
Se utliza la siguuente definición de velocidad: <br />
\[<br />
\pm v=-\left(\frac{\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)_{x}}{\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)_{y}}\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Se resuelven ambas partes de la ecuación por separado:<br />
<br />
\[<br />
\psi_{x}=(-2a)A(b)e^{-(abx+ct)^{2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\psi_{y}=-(2a)Ace^{-(bx+ct)^{2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Al sustituir los resultados obtenidos en la definicón de velocidad:<br />
<br />
\[<br />
v=\frac{(-2a)Ace^{-(abx+ct)^{2}}}{(-2a)Abe^{-(abx+ct)^{2}}}=\frac{c}{b}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Se obitene el resultado de la ecuación 2.3: $v=\frac{c}{b}$<br />
<br />
[[Usuario:Ana Alarid|Ana Alarid]] ([[Usuario discusión:Ana Alarid|discusión]]) 18:43 27 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
==Problema 2.24==<br />
'''2.24 Encuentre una expresión para el perfil de una onda armónica que viaja en la dirección de $z$ cuya magnitud en $z=-\frac{\lambda}{12}$ es 0.866, en $z=+\frac{\lambda}{6}$ es $\frac{1}{2}$ y en $z=\frac{\lambda}{4}$ es 0.''' <br />
<br />
Utilizamos la función de onda armónica en el que $t=0$ puesto que $\varepsilon$ es una contribución constante a la fase y además es independiente del recorrido de la onda en términos de espacio y de tiempo: <br />
\begin{equation}<br />
\psi(z,0)=Asen(kz+\varepsilon);<br />
\end{equation}<br />
donde $\psi$ es la propagación de la onda, $A$ es la amplitud, $k$ es el número de onda que está dada por $k=\frac{2\pi}{\lambda}$, $z$ corresponde a la dirección de propagación y $\varepsilon$ es la fase inicial.<br />
<br />
A continuación escribimos las condiciones iniciales:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\psi(-\frac{\lambda}{12},0)=Asen(-\pi/6 + \varepsilon)=0.866 ....(I)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\psi(\frac{\lambda}{6},0)=Asen(-\pi/3 + \varepsilon)=\frac{1}{2} ....(II)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\psi(\frac{\lambda}{4},0)=Asen(-\pi/2 + \varepsilon)=0 ....(III)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Para obtener el valor numérico de $\psi$ es necesario encontrar los valores para $\varepsilon$ y por consiguiente la amplitud $A$ y en conclusión obtener el perfil que se nos pide. <br />
Para ello utilizamos la expresión $(III)$ puesto que es más sencilla de manipular y está igualada a 0. Utilizamos la identidad trigonométrica de suma de dos ángulos que involucra a senos y cosenos.<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A=sen(\pi/2+\varepsilon)=A[sen(\pi/2)cos(\varepsilon)+cos(\pi/2)sen(\varepsilon)]<br />
\end{equation}<br />
<br />
Simplificamos<br />
<br />
\begin{equation}<br />
=Acos(\varepsilon)=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Despejamos $\varepsilon$ y obtenemos su valor<br />
\begin{equation}<br />
\varepsilon=\frac{\pi}{2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Ahora bien para encontrar $A$ podemos utilizar la expresión $(I)$ o $(II)$. Utilizando la expresión $(II)$ y sustituyendo el valor encontrado para $\varepsilon$:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
Asen(\pi/3 + \pi/2)=Asen(5\pi/6)=\frac{1}{2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Así<br />
\begin{equation}<br />
A(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}; A=1<br />
\end{equation}<br />
<br />
Por lo tanto, la expresión para el perfil de una onda armónica que viaja en la dirección de $z$ es:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\psi(z,0)=sen(kz+\pi/2)<br />
\end{equation}<br />
<br />
[[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 01:37 23 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.26==<br />
<br />
'''2.26.Establezca cuáles de las expresiones siguientes describen ondas'''<br />
'''viajeras:'''<br />
<br />
(a) $\psi(y,t)=\exp-(a^{2}y^{2}+b^{2}t^{2}-2aybt)$<br />
<br />
(b) $\psi(z,t)=Asen(az^{2}-bt^{2})$<br />
<br />
(c) $\psi(x,t)=Asen2\pi\left(\frac{x}{a}+\frac{t}{b}\right)^{2}$<br />
<br />
(d) $\psi(x,t)=Acos^{2}2\pi(t-x)$<br />
<br />
Para la onda (a), si la reescribimos como sigue:<br />
<br />
$\psi(y,t)=\exp-(a^{2}y^{2}+b^{2}t^{2}-2aybt)\Rightarrow\exp-a^{2}(y-\frac{b}{a}t)^{2}$<br />
es evidente que se trata de una onda viajera, ya que cumple con las<br />
características de una.<br />
<br />
Para la onda (b), es claro que no se comporta como una onda viajera,<br />
ya que la función no es lineal, una característica de las ondas viajeras.<br />
<br />
Para la onda (c), es viajera, por que el término dentro del argumento<br />
es lineal, y nos dice que la onda se desplaza en una dirección diferente,<br />
hacia la izquierda.<br />
<br />
Para la onda (d), no es viajera, por que la función $cos^{2}(x)$<br />
no cumple con la definición de onda viajera.<br />
<br />
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] 23 Marzo 2014 21:37 (CDT)<br />
----<br />
<br />
==Problmea 2.30==<br />
'''make up a table with columns headed by values of kx runing from <math>x=\frac{\lambda}{2}</math> to <math>x=\lambda</math> in intervals of x of <math>\frac{\lambda}{4}</math>. In each columns place the corresponding values of cos kx and beneath that the values of cos kx+pi Next plot the functions cos kx, coskx+pi, and cos kx+coskx+pi '''<br />
<br />
Hacer una tabla con columnas encabezadas por los valores de kx runing desde <br />
<math>x=\frac{\lambda}{2}</math> to <math>x=\lambda</math> en intervalos de x de <math>\frac{\lambda}{4}</math>. En cada columna colocan los correspondientes valores de cos kx y bajo que los valores de cos kx + pi. Grafique las funciones cos kx, coskx + pi, y cos kx + coskx + pi.<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
<br />
[[Archivo:tabla30.jpg|500px|thumb|center|]]<br />
<br />
[[Archivo:Graf30.jpg|400px|thumb|center|]]<br />
<br />
Problema resuelto por --[[Usuario:Luis Velázquez|Luis Velázquez]] ([[Usuario discusión:Luis Velázquez|discusión]]) 20:08 27 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
==Problmea 2.31==<br />
'''2.31. Trabajando directamente con exponenciales, demuestre que la'''<br />
'''magnitud de $\psi=A\exp iwt$ es A. A continuación, vuelva a calcular'''<br />
'''el mismo resultado utilizando la fórmula de Euler. Demuestre que $\exp i\alpha\exp i\beta=\exp i(\alpha+\beta)$'''<br />
<br />
Sabemos que la magnitud de $\psi$ sera igual a su modulo, es decir: <br />
<br />
$|\psi|=\psi\psi*^{\nicefrac{1}{2}}$ y que $\psi*=A\exp-iwt$ por<br />
definición.<br />
<br />
Luego:<br />
<br />
$|\psi|=\left[\left(A\exp iwt\right)\left(A\exp-iwt\right)\right]^{\frac{1}{2}}=\left[A^{2}\exp iwt-iwt\right]^{\frac{1}{2}}=\left(A^{2}\exp0\right)^{\frac{1}{2}}=A$<br />
<br />
Ahora, usando la fórmula de Euler, tenemos que:<br />
<br />
$|\psi|=\left[\left(A\exp iwt\right)\left(A\exp-iwt\right)\right]^{\frac{1}{2}}$<br />
<br />
$|\psi|=\left[A(coswt+isenwt)A(coswt-isenwt)\right]^{\frac{1}{2}}$<br />
<br />
$|\psi|=\left[A^{2}\left(cos^{2}wt-isen(wt)cos(wt)+isen(wt)cos(wt)+sen^{2}wt\right)\right]^{\frac{1}{2}}$<br />
<br />
$|\psi|=\left[A^{2}(cos^{2}wt+sen^{2}wt)\right]^{\frac{1}{2}}=(A^{2})^{\frac{1}{2}}=A$<br />
<br />
Demostremos ahora que $\exp i\alpha\exp i\beta=\exp i(\alpha+\beta)$<br />
<br />
$\exp i\alpha\exp i\beta=\left(cos\alpha+isen\alpha\right)\left(cos\beta+isen\beta\right)$<br />
<br />
$\exp i\alpha\exp i\beta=cos\alpha cos\beta+icos\alpha sen\beta-icos\beta sen\alpha+i^{2}sen\beta sen\alpha$<br />
<br />
$\exp i\alpha\exp i\beta=cos\alpha cos\beta+icos\alpha sen\beta-icos\beta sen\alpha-sen\beta sen\alpha=(cos\alpha cos\beta-sen\alpha sen\beta)+i(cos\alpha sen\beta+sen\alpha cos\beta)$<br />
<br />
$\exp i\alpha\exp i\beta=cos(\alpha+\beta)+isen(\alpha+\beta)=\exp i(\alpha+\beta)$<br />
<br />
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] 23 Marzo 2014 21:38 (CDT)<br />
----<br />
==Problema 2.32==<br />
''' 2.32 Demuestre que la parte imaginaria de un número complejo z esta dada por $\left(z-z^{\star}\right)/2i$.'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
Sea z perteneciente a los complejos<br />
<br />
<br />
$z=a+ib$<br />
<br />
<br />
y su conjugado<br />
<br />
<br />
$z^{\star}=a-ib$<br />
<br />
<br />
entonces:<br />
<br />
<br />
$z-z^{\star}=a+ib-(a-ib)$<br />
<br />
<br />
<br />
$z-z^{\star}=2ib$<br />
<br />
Dividimos entre $2i$<br />
<br />
<br />
$z-z^{\star}/2i=2ib/2i$<br />
<br />
<br />
<br />
$\left(z-z^{\star}\right)/2i=b$<br />
<br />
<br />
que es la parte imaginaria del número complejo z.<br />
<br />
[[Usuario:Edgar Ortega Roano|Edgar Ortega Roano]] ([[Usuario discusión:Edgar Ortega Roano|discusión]]) 17:43 18 mar 2014 (CDT)<br />
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] ([[Usuario discusión:Cesar Ivan Avila Vasquez|discusión]]) 21:53 26 Marzo 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.34==<br />
2.34<br />
<br />
'''Demuestre que las ecuaciones $\psi(x,y,z,t)=f(\alpha x+\beta y+\gamma z-vt)$ y $\psi(x,y,z,t)=f(\alpha x+\beta y+\gamma z+vt)$ que son ondas planas de forma arbitraria, cumplen con la ecuacion diferencial de onda tridimensional.'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
De la ecuación de onda tridimensional ,$\nabla^{2}\psi=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}$, obtenemos el Laplaciano para nuestras ecuaciones, así $\nabla^{2}\psi=\alpha^{2}f^{´´}+\beta^{2}f^{´´}+\gamma^{2}f^{´´}$<br />
es el Laplaciano para ambas ecuaciones.<br />
<br />
Ahora al calcular $\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}$ obtenemos que $\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=v^{2}f^{´´}$ para ambas ecuaciones.<br />
<br />
Por lo que al sustituir en la ecuación de onda tridimensional obtenemos.<br />
<br />
$f^{´´}(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2})=f^{´´}$<br />
<br />
Por lo que para cualquier onda tridimensional se debe cumplir que $\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=1$.<br />
<br />
[[Usuario:Edgar Ortega Roano|Edgar Ortega Roano]] ([[Usuario discusión:Edgar Ortega Roano|discusión]]) 17:52 18 mar 2014 (CDT)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.35==<br />
'''2.35. La hipótesis de De Broglie afirma que cada partícula tiene asociada'''<br />
'''a ella una longitud de onda dada por la constante de Planck ($h=6.6x10^{-34}Js$),'''<br />
'''dividida por el momento de la partícula.'''<br />
<br />
'''Compare la longitud de onda de una piedra de 6.0 kg moviendosea una'''<br />
'''velocidad de 1 m/s con la de la luz.'''<br />
<br />
Tenemos que:<br />
<br />
\[<br />
\lambda=\frac{h}{p}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Para la piedra tenemos entonces que:<br />
<br />
\[<br />
\lambda=\frac{6.6x10^{-34}Js}{(6kg)(1m/s)}=1.1x10^{-34}m<br />
\]<br />
<br />
<br />
Y sabemos ádemas que la longitud de onda de la luz se encuentra en<br />
un intervalo de $\lambda=\left[3.8,7.5\right]x10^{-7}m$, entonces,<br />
comparando ambas longitudes de onda notamos que la asociada a la piedra<br />
es mucho más pequeña que la de la luz, si la longitud de onda de la<br />
luz fuera más pequeña que la de la piedra, la luz atravesaria la piedra.<br />
<br />
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] 23 Marzo 2014 21:40 (CDT)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.36== <br />
''' Escribe una expresión para la onda mostrada en la figura P.2.36. Encuentra la velocidad de onda, velocidad, frecuencia y periodo.'''<br />
'''Solución''' :<br />
[[Archivo:Figure P.2.36.png|350px]]<br />
<br />
a) La forma matemática de la descripción de una función de onda es:<br />
<math>\psi(z,t)=Asen(kz \mp \omega t \pm \epsilon)</math><br />
Dado lo anterior podemos encontrar el número de onda K y la frecuencia <math>\omega</math>, donde <math>\epsilon</math> a un tiempo cero, es igual a cero por lo tanto <math>\epsilon =0 </math>. <br />
De las expresiones para el numero de onda <math>K = \frac{2 \pi}{ \lambda}</math> y <math>\omega= \frac{2 \pi}{\tau}</math>, en donde <math>\tau</math> y <math>\lambda</math> son la frecuencia y la longitud de onda respectivamente, podremos reescribir la expresión para la onda como:<br />
<math>\psi(z,t)=A sen 2 \pi (\frac{z}{\lambda}-\frac{t}{\tau})</math><br />
El signo menos es por el desplazamiento de la función de onda a la derecha. <br />
Por el gráfico se observa que la longitud de onda es de cuatrocientos nanómetros, la amplitud es de 60 nanómetros y el periodo es de <math>1.33x10^{-15}s</math>, dado que da un ciclo en ese tiempo. Por ende la expresión buscada es:<br />
<math>\psi(z,t)=A sen 2 \pi (\frac{z}{400x10^{-9} m}-\frac{t}{1.33X10^{-15}s})</math><br />
<br />
b)Calculando la velocidad de onda:<br />
<math>v= \frac{\lambda}{\tau}=\frac{400x10^{-9}m}{1.33x10^{-15} s}=3x10^{8} \frac{m}{s}</math><br />
<br />
c) Calculando la frecuencia y el periodo:<br />
<math>\nu = \frac{1}{\tau}= \frac{1}{1.33} x10^{15} Hz</math><br />
<br />
<math>\tau= 1.33x 10^{-15} s</math><br />
<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 22:16 22 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
[[categoría:Vibra]]<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 22:23 21 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
<br />
----<br />
==Problema Adicional== <br />
<br />
'''La ecuación de onda transversal que se mueve a lo largo de una cuerda está dada por:'''<br />
<br />
<math>\Psi(z,t)=0.3\sin\pi\left(0.5z-50t\right)<br />
</math><br />
<br />
'''Hallar la amplitud, la longitud de onda, el número de ondas, la frecuencia, el período y la velocidad de onda. '''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
Usando la ecuación <br />
<br />
<br />
\[<br />
\psi=A\sin2\pi\left(kz\pm\nu t\right)<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\psi=A\sin\pi\left(2kz\ - 2\nu t\right)<br />
\]<br />
<br />
La amplitud:<br />
<br />
<math>A=0.3m</math><br />
<br />
Longitud de onda<br />
<br />
<math>0.5=\frac{2}{\lambda}</math><br />
<br />
<math>\lambda=4m</math><br />
<br />
Número de onda<br />
<br />
<math>2k=0.5</math><br />
<br />
entonces<br />
<br />
<math>k=\frac{0.5}{2}</math><br />
<math>k=0.25m^-1</math><br />
<br />
La velocidad de onda<br />
<math>v=(2) (50)</math><br />
<math>v=100 m/s</math><br />
<br />
Tomado de : Vibraciones y ondas. A. P. FRENCH pág. 277. Problema 7-2.<br />
Resuelto por:--[[Usuario:Luis Velázquez|Luis Velázquez]] ([[Usuario discusión:Luis Velázquez|discusión]]) 10:56 26 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.1 ==<br />
'''¿Cuántas ondas de luz <<amarillas>> $(\lambda=580nm)$ caben en una distancia en el espacio igual al espesor de un trozo de papel $(0.003 pulgadas)$? ¿Hasta dónde se extenderá el mismo número de microondas $(\nu=10^{10}Hz$, es decir, $10GHz$ y $v=3x10^8m/s)$?'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
La longitud de onda es la relación entre la velocidad de la onda y su frecuencia, que está dada por;<br />
:<math>\lambda=\frac{v}{\nu}</math><br />
Donde $v$ es la velocidad de la onda y $\nu$ es la frecuencia de la onda.<br />
La distancia $d$ recorrida por la onda es:<br />
<math>d=k*\lambda</math><br />
<br />
Donde $k$ es el número de ondas propagadas, y $\lambda$ es la longuitud de onda.<br />
<br />
ahora para saber cuántas ondas caben en el espesor del trozo de papel, convierto la longuitud de onda de la luz amarilla a metros:<br />
<br />
<math>\lambda_{amarillo} = (580nm) * \left(\frac{10^{-9}m}{1nm}\right)=580*10^{-9}m</math><br />
<br />
despues convierto el espesor del papel en metros:<br />
<br />
<math>0.003in=(0.003in)* \left(\frac{2.54*10^{-2}m}{1in}\right)=7.62*10^{-5}m</math><br />
<br />
calculamos el numero de ondas en la distancia en el espacio del espesor del papel, utilizamos lo que ya sabemos:<br />
<br />
:<math>d=k*\lambda_{amarillo}</math><br />
<br />
despejando y sustituyendo tenemos:<br />
<br />
:<math>k=\frac{d_{papel}}{\lambda_{amarillo}}=\frac{7.62*10^{-5}m}{580*10^{-9}m}=131ondas</math><br />
<br />
<math>\therefore</math> $131$ $ondas$ de luz amarilla caben en una distancia de $0.003$ $pulgadas$<br />
<br />
<br />
para la segunda pregunta calculamos la longitud de onda con los datos que nos dan:<br />
<br />
:<math>\lambda=\frac{v}{\nu}=\frac{3*10^8m/s}{10^{10}Hz}=0.03m</math><br />
<br />
Ahora calculamos cuanta distancia se extenderá el mismo número de ondas con ésta longitud de onda:<br />
<br />
:<math>\therefore d=k*\lambda=(131)(0.03m)= 3.9m</math><br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Martínez|Luis Martínez]] ([[Usuario discusión:Luis Martínez|discusión]]) 08:09 27 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
----<br />
== Problema 2.42 ==<br />
'''Escriba una expresión en coordenadas cartesianas para una onda plana armónica de amplitud $A$ y frecuencia $w$, que se propaga en la dirección del verctor $\overrightarrow{k}$, que a su vez, se encuentra en una línea que va desde el origen hasta el punto $(4,2,1)$. Hint: primero calcule $\overrightarrow{k}$ y luego haga el producto escalar con $\overrightarrow{r}=x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$. '''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
<br />
para obtener el vector $\overrightarrow{k}$ necesitamos encontrar un vector unitario en la direccion que nos piden y multiplicándolo por $k$. el vector unitario es:<br />
<br />
<math>\hat{a}= \frac{\left[(4-0)\hat{i} + (2-0)\hat{j} + (1-0)\hat{k} \right]}{\sqrt{4^2 + 2^2 + 1^2}}= \frac{4\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}}{\sqrt{21}} </math><br />
<br />
ahora el vector $\overrightarrow{k}$ está dado por:<br />
<br />
<math>\overrightarrow{k}= k*\hat{a}=\frac{k*(4\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k})}{\sqrt{21}}</math><br />
<br />
la expresión en cordenadas cartesianas de una onda plana armónica viene dada por:<br />
<br />
<math>\psi (x,y,z,t)=A*sen(\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r} - wt)</math>:<br />
<br />
<math>\therefore \psi (x,y,z,t)=A*sen \left[\frac{4k}{\sqrt{21}}x + \frac{2k}{\sqrt{21}}y + \frac{k}{\sqrt{21}}z - wt\right]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Martínez|Luis Martínez]] ([[Usuario discusión:Luis Martínez|discusión]]) 17:05 27 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema adicional 2==<br />
'''Una onda se propaga por una cuerda según la ecuación $ y = 0.2\sin(6\pi t + \pi x + \dfrac{\pi}{4})$. Calcular:'''<br />
<br />
'''a) La frecuencia, el periodo, la longitud de onda y la velocidad de propagación.'''<br />
<br />
<br />
'''b) El estado de vibración, la velocidad y aceleración de una partícula situada en x = 0.2 m en 0.3 s '''<br />
<br />
<br />
'''c) La diferencia de fase entre dos puntos separados 0.3 m'''<br />
<br />
<br />
a) La forma general de la ecuación de onda $y(x, t)= A \sin(\omega t + Kx +\delta)$<br />
<br />
<br />
Partiremos de la frecuencia angular $\omega = 2 \pi; f = 6\pi rad/s; f= 3 Hz $ <br />
<br />
El periodo $ T = \dfrac{1}{f}= 0.333s$<br />
<br />
Para la velocidad usamos $c= \dfrac{\omega}{k} = \dfrac{6\pi}{\pi} = 6 m/s $<br />
<br />
b) Para x = 0.2 m, t= 0.3s. <br />
$$ y= 0.2\sin(6\pi*0.3 + \pi*0.2 + \dfrac{\pi}{4})= 0.2 \sin(7.069) = 0.1414 m $$<br />
<br />
Velocidad $$\dfrac{dy}{dx} = 0.2 *6 \pi \cos (6 \pi t + \pi x \dfrac{\pi}{4})= 0.2*6 \pi \cos (7.069)= 2.66 m/s$$<br />
<br />
Aceleración $$\dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}= -0.2(36\pi^{2})\sin(6\pi t + \pi x + \dfrac{\pi}{4} = 0,2(36\pi^{2}cos (7.069)= -50.25 m/s^{2}$$<br />
<br />
<br />
c) $\vartriangle x= 0.3 m$<br />
<br />
<br />
$\delta_{1} = 6 \pi t + \pi x + \dfrac{\pi}{4}$<br />
<br />
$$\vartriangle \delta = \delta_{2} - \delta_{1}= 0.3\pi rad $$<br />
<br />
<br />
$\delta_{2} = 6 \pi t + \pi (x + 0.3) + \dfrac{\pi}{4}$<br />
<br />
Física General 10° Edición, Frederick J. Bueche. Eugene Hetch.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 18:25 28 mar 2015 (CDT)Esther Sari García González<br />
<br />
<br />
<br />
==Problema 2.37==<br />
<br />
Escriba una expesion en coordenadas cartesianas para una onda plana armonica de amplitud <math>A</math> y frecuencia <math>\omega</math> que se propaga en direccion positiva de <math>x</math>. <br />
<br />
<br />
Primero se escribe un vector de posicion <math>\textbf{r}=x \hat{\mathbf{e}}_x+y \hat{\mathbf{e}}_y+z \hat{\mathbf{e}}_z</math> que comienza en el orige y termina en cualquier otro punto <math>(x,y,x)</math>.<br />
<br />
<br />
De esta forma, lo podemos escribir como<br />
<br />
<br />
<math>(\textbf{r}-\textbf{r}_{0})=(x-x_{0})\hat{\mathbf{e}}_x+(y-y_{0})\hat{\mathbf{e}}_y+(z-z_{0})\hat{\mathbf{e}}_z</math> y <br />
<br />
<br />
<math>(\textbf{r}-\textbf{r}_{0})\cdot\textbf{k}=0</math> donde obligamos al vector <math>(\textbf{r}-\textbf{r}_{0})</math> a barrer un plano perpendicalar a <math>\hat{\mathbf{e}}_x</math><br />
<br />
<br />
al ir adquiriendo su punto exremo <math>(x,y,z)</math> com <math>i=i_{x}\hat{\mathbf{e}}_x+i_{y}\hat{\mathbf{e}}_y+i_{z}\hat{\mathbf{e}}_z</math> que se puede escribir tambien como<br />
<br />
<br />
<math>i_{x}(x-x_{0})+i_{y}(y-y_{0})+i_{z}(z-z_{0})=0</math><br />
<br />
<br />
o tambien<br />
<br />
<br />
<math>i_{x}x+i_{y}y+i_{z}z=a</math> donde <math>a=cte</math><br />
<br />
<br />
Asi un plano perpendicular a <math>i</math> es <math> </math> <math>\textbf{i}\cdot\textbf{r}=a</math><br />
<br />
<br />
Tomemos la funcion <math>\psi{(r)}=A\sin{(\textbf{i}\cdot\textbf{r})}</math><br />
<br />
<br />
<math>\psi{(r)}=Acos{(\textbf{i}\cdot\textbf{r})}</math><br />
<br />
<br />
o <math>\psi{(r)}=Ae^{i\hat{\imath}\cdot\textbf{r}}</math><br />
<br />
<br />
y la funcion armonica se puede escribir como<br />
<br />
<br />
<math>\psi{(r)}=\psi{(r+\frac{\lambda \hat{\imath}}{k})}</math><br />
<br />
<br />
Para que esta funcion sea cierta se debe tener que<br />
<br />
<br />
<math>e^{i\lambda \hat{\imath}}=e^{i2\pi}</math><br />
<br />
<br />
Por consiguiente <math>\lambda i = 2\pi</math><br />
<br />
<br />
despejando <math>i</math> se tiene <math>i= \frac{2\pi}{\lambda}</math><br />
<br />
<br />
Se tiene entonces que <br />
<br />
<br />
<math>\psi{(r,t)}=Ae^{i(\hat{\imath}\cdot\textbf{r}\pm\omega t)}</math><br />
<br />
<br />
Para que esta funcion este orientada sobre el eje <math>x</math> solo se toma la coordenada <math>x</math> del vector <math>\vec{r}</math><br />
<br />
<br />
<math>\psi{(r,t)}=Ae^{i(ix\pm\omega t)}</math> asi que<br />
<br />
<br />
<math>\psi{(x)}=Ae^{i(ix\pm\omega t)}</math><br />
<br />
Por tanto esta es la onda armonica en coordenardas cartesianas que se propaga en el eje <math>x</math>.<br />
<br />
<br />
Hector resendiz --[[Usuario:Héctor Reséndiz|Héctor Reséndiz]] ([[Usuario discusión:Héctor Reséndiz|discusión]]) 19:23 29 mar 2015 (CDT) Libro hecht<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==problema adicional. movimiento ondulatorio==<br />
<br />
<br />
un foco F1 situado en el punto de coordenadas (0,0) entre ondas armónicas transversales de frecuencia 500Hz y amplitud 0.3m. Las ondas se propagan en el sentido positivo del eje x con una velocidad de 250 m/s.<br />
<br />
<br />
cual es la longitud de onda y el periodo de las ondas emitidas ? escribir la función de onda <br />
<br />
<br />
V= 500 Hz , A= 0.3 m, v= 250m/s , donde <math> v=(\lambda V)</math><br />
<br />
<br />
<math>\lambda=\frac{v}{V}= \frac{250}{500}= 0.5 m </math> ES LA LONGITUD DE ONDA<br />
<br />
<br />
<math>T=\frac{1}{V}=\frac{1}{500}= 2x10^{-3}s</math>ES EL PERIODO <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
La expresion general para la función de onda es :<br />
<br />
<math>y(x,t)=Asen(kx-\omega (t))</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{2\pi}{(\lambda)}=4\pi rad m^-1</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\omega=2\pi V= 2\pi 500 = 1000 \pi rad s^-1</math><br />
<br />
<br />
<math> y1(x,t)= 0.3 sen ( 4\pi - 1000\pi) m</math><br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luisa Alejandra Vega Sanchez|Luisa Alejandra Vega Sanchez]] ([[Usuario discusión:Luisa Alejandra Vega Sanchez|discusión]]) 23:58 29 mar 2015 (CDT)luisa alejandra vega sanchez</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Ondas:_probs_c2_mov_osc&diff=19290Ondas: probs c2 mov osc2015-03-30T06:03:43Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: /* Problema 2.12 Hetch / 3era Ed/2do método */</p>
<hr />
<div>vibraciones y ondas<br />
problemas capítulo 2 Óptica - Hecht<br />
==Problema 2.1==<br />
'''2.1¿Cuantas ondas de luz amarillas (<math>\lambda=580nm</math>) caben en una distancia en el espacio igual a un trozo de papel de (0.003 pulgadas)? ¿Hasta donde se extendera el mismo número de microondas <math>\displaystyle{(\nu=10^{10}Hhz}</math>, es decir, <math>\displaystyle{10GHz}</math> y <math>\displaystyle{v=3x10^8\frac{m}{s}})</math>?'''<br />
<br />
Para responder a la primera pregunta, basta con dividir el espesor del papel con el de la longuid de onda dada, es decir<br />
<br />
<center><math>ondas=\displaystyle{\frac{0.003 in}{580 mm}=\frac{0.003 in}{580 nm}\frac{25.4mm}{1 in}=\frac{0.0762 mm}{580 nm}=131 ondas}</math></center><br />
<br />
Una microonda con frecuencia de <math>\displaystyle{10 GHz}</math> tiene una longuitud de onda de<br />
<br />
<center><math>\displaystyle{\lambda=\frac{c}{\nu}=\frac{3x10⁸}{10 GHz}=0.03m}</math></center><br />
<br />
Por lo tanto 131 ondas con dicha longuitud se extenderán<br />
<br />
<center><math>\displaystyle{extensión=(131)(0.03m)=3.93 m}</math></center><br />
<br />
[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 20:28 17 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
==Problema 2.2==<br />
2.2''' La velocidad de la luz en el vacio es aproximadamente de''' $3x10^{8}\frac{m}{s}$.'''Calcule la longitud de onda de la luz roja con una frecuencia de''' $5x10^{14}Hz$.'''Compárela con la longitud de onda de una onda electromagnética de'''$60Hz.$<br />
<br />
<br />
Utilizamos la ecuación $\lambda=\frac{c}{\nu}$,donde $c$ es la velocidad de la luz y $\nu$ la frecuencia de la onda. Tendremos entonces:<br />
<br />
\[\lambda=\frac{c}{\nu}=\frac{3x10^{8}\frac{m}{s}}{5x10^{14}Hz}=6x10^{-7}m\] <br />
<br />
o la ecuación:<br />
<br />
\[\lambda=600nm\] <br />
<br />
que es la longitud de onda de la luz roja a la frecuencia solicitada en el problema. Ahora calculamos la longitud de onda de la onda electromagnética:<br />
<br />
<br />
\[\lambda_{1}=\frac{c}{\nu}=\frac{3x10^{8}\frac{m}{s}}{60Hz}=5x10^{6}m\].<br />
<br />
Al comparar $\lambda$ con $\lambda_{1}$ notamos que la longitud de onda ${\lambda}_{1}$correspondiente a la onda electromagnética es mucho mayor que la de la luz roja.<br />
<br />
[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 02:15 17 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
==Problema 2.3==<br />
<br />
'''Es posible generar ondas ultrasonicas en cristales con longitudes de onda similares a la luz $(5\times10^{-5}cm)$<br />
'''pero con frecuencias mas bajas $(6\times10^{8}Hz)$.''' '''Calcule la velocidad correspondiente de dicha onda.'''<br />
<br />
Pues bien teniendo los datos: $\lambda=5\times10^{-7}m$ y $f=6\times10^{8}Hz$<br />
<br />
<br />
De la ecuacion $v=f\cdot\lambda$<br />
<br />
<br />
$v=f\cdot\lambda$<br />
<br />
<br />
$v=(5\times10^{-7}m)(6\times10^{8}Hz)$<br />
<br />
<br />
$v=300\frac{m}{s}$<br />
<br />
[[Usuario:Mario Moranchel|Mario Moranchel]] ([[Usuario discusión:Mario Moranchel|discusión]]) 06:29 18 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
<br />
== Problema 2.4==<br />
<br />
'''Un joven en un barco sobre un lagoestá mirando las ondas que parecen'''<br />
'''una suceción infinita de crestas idénticas, produciendose con'''<br />
'''un intervalo de medio segundo cada una. Si cada perturbación tarda'''<br />
'''1.5s en cubrir la extensión del barco de 4.5 ¿cuál es la frecuencia,'''<br />
'''el periodo y la longitud de '''<br />
<br />
'''onda de las olas?'''<br />
<br />
Los datos dados en el problema, son los siguientes:<br />
<br />
t = 1.5s, l = 4.5m, <br />
<br />
Del enunciado, se deduce que el periodo, es el siguiente: $\tau=$0.5s.<br />
<br />
De donde se calcula la frecuencia utilizando la definición de frecuencia:<br />
<br />
\[<br />
\nu=\frac{1}{\tau}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Al sustituir, en la ecuuación, se obtiene el siguiente resultado:<br />
<br />
\[<br />
\nu=\frac{1}{0.5s}=2Hz<br />
\]<br />
<br />
<br />
Para obtener la longitud de onda, se utliliza la siguiente relación:<br />
<br />
\[<br />
\tau=\frac{\lambda}{v}\rightarrow\lambda=v\tau<br />
\]<br />
<br />
<br />
De donde la velocidad se obtiene a partir de la siguiente definición:<br />
$v=\frac{l}{t}=\frac{4.5m}{1.5s}=3m/s$<br />
<br />
Entonces $\lambda=(3m/s)(0.5s)=1.5m$.<br />
<br />
[[Usuario:Ana Alarid|Ana Alarid]] ([[Usuario discusión:Ana Alarid|discusión]]) 01:46 12 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
<br />
==Problema 2.5==<br />
<br />
'''Con un martillo vibrante se golpea el extremo de una barra de metal larga de manera que una onda de compresion periodica con una longitud de onda de 4.3m<br />
'''recorra todo lo largo de la barra con una velocidad de $v=3.5\frac{km}{s}$<br />
<br />
'''¿Cual sera la frecuencia de la vibración?'''<br />
<br />
<br />
Teniendo los datos: $\lambda=4.3m$ y $v=3500\frac{m}{s}$<br />
<br />
<br />
De la ecuacion $v=f\cdot\lambda$ obtendremos la frecuencia.<br />
<br />
$v=f\cdot\lambda$<br />
<br />
<br />
$f=\frac{v}{\lambda}$<br />
<br />
<br />
$f=\frac{4.3m}{3500\frac{m}{s}}$<br />
<br />
<br />
$f=1.22\times10^{-3}Hz$<br />
<br />
[[Usuario:Mario Moranchel|Mario Moranchel]] ([[Usuario discusión:Mario Moranchel|discusión]]) 06:42 18 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
<br />
==Problema 2.6==<br />
'''Durante la boda de dos buceadores, se sumerge un violín en la'''<br />
'''piscina. Dado que la velocidad de las ondas de compresión en agua'''<br />
'''pura es de 1.498 m/s. ¿Cual es la longitud de una nota la, de 440'''<br />
'''Hz que se toca en dicho instrumento?'''<br />
<br />
Conocemos la velocidad de la onda en el agua que es $\upsilon=1.498\frac{m}{s}$<br />
y conocemos también la frecuencia de la nota que es $\upsilon=440Hz=440\frac{ciclos}{s}$<br />
<br />
Ahora bien si queremos encontrar la longitud de la onda, recurrimos<br />
a la ecuación <br />
<br />
\[<br />
\upsilon=\nu\lambda<br />
\]<br />
<br />
<br />
De donde conocemos todo excepto la longitud de onda, solo requiere<br />
de un sencillo despeje para encontrar $\lambda$<br />
<br />
Haciendo el despeje la ecuación queda:<br />
<br />
\[<br />
\lambda=\frac{\upsilon}{\nu}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Sustituimos nuestros datos <br />
<br />
\[<br />
\lambda=\frac{1.498\frac{m}{s}}{440\frac{ciclos}{s}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Y obtendremos que <br />
\[<br />
\lambda=0.0034m<br />
\]<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Daniel Olvera Moreno]] ) 05:29 21 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.7==<br />
'''Un pulso de onda tarda $2.0 s$ en recorrer $10 m$ a lo largo de una cuerda, se genera una perturbación armónica con una longitud de onda de $0.5 m$ en la cuerda. ¿Cuál es su frecuencia?'''<br />
<br />
De los datos proporcionados sabemos que si la perturbación armónica tiene una longitud de onda de $\lambda=0.5 m$ de manera que el pulso completa 20 "ciclos" en los $10 m$ recorridos.<br />
<br />
De esta forma el periodo de la perturbación es:<br />
<br />
<math> \tau= \frac{2 s}{20}= 0.1 s</math><br />
<br />
Entonces la frecuencia es:<br />
<br />
<math> f= \frac{1}{\tau}=\frac{1}{0.1 s}=10 Hz </math><br />
<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 18:16 27 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.8==<br />
'''2.8 Demuestre que para una onda periódica $\omega=(\frac{2\pi}{\lambda})v$<br />
<br />
La mayoría de las ondas son el resultado de muchas perturbaciones sucesivas del medio. Cuando dichas perturbaciones se producen a intervalos regulares y todas son de la misma forma, estamos frente a una onda periódica.<br />
<br />
Una onda periódica posee periodo (número de unidades de tiempo por onda) y frecuencia (número de ondas por unidad de tiempo), establecidas por:<br />
<br />
$Periodo$<br />
\begin{equation}<br />
\tau=\frac{\lambda}{v}.... (i)<br />
\end{equation}<br />
donde $\tau$ es el periodo de onda, $\lambda$ es la longitud de onda y $v$ se refiere a la velocidad con la que viaja la onda.<br />
<br />
$Frecuencia$<br />
\begin{equation}<br />
\nu=\frac{\omega}{2\pi}....(ii)<br />
\end{equation}<br />
donde $\nu$ es la frecuencia de la onda, $\omega$ es la frecuencia angular de la onda.<br />
<br />
De $(ii)$ despejamos $\omega$<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega=\nu 2\pi ....(iii)<br />
\end{equation}<br />
<br />
También sabemos que el inverso del periodo es la frecuencia $(\nu=\frac{1}{\tau})$ <br />
<br />
Utilizando la expresión $(iv)$ y sustituyendola en $(iii)$<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\nu=\frac{1}{\tau} ....(iv)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega= \frac{2\pi}{\tau}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Sustituyendo $(i)$ en $\tau$<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega= \frac{2\pi}{\frac{\lambda}{v}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Por lo tanto:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega= (\frac{2\pi}{\lambda})(v)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 11:13 23 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
==Problema 2.9 ==<br />
<br />
Hacer una tabla con las columnas encabezadas por los valores de $\theta$<br />
corriendo de $-\frac{\pi}{2}$ a $2\pi$ en intervalos de $\frac{\pi}{4}$<br />
, en cada fila el valor correspondiente de $\sin\theta$ , debajo<br />
de esos valores los de $\cos\theta$ , por debajo de los valores de<br />
$\sin\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)$ , y similarmente con las<br />
funciones $\sin\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)$ , $\sin\left(\theta-\frac{3\pi}{4}\right)$<br />
, y $\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)$) . Trazar cada una de<br />
estas funciones, sin los efectos del desplazamiento de fase. La funcion<br />
$\sin\theta$ se atrasa o se adelantade la funcion $\sin\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)$<br />
. en otras palabras, Una de las funciones alcanza una magnitud particular,<br />
en un valor menor de $\theta$ que la otra y , por tanto, una conduce<br />
a la otra ( como $\cos\theta$ conduce $\sin\theta$ ) ?<br />
<br />
[[Archivo:Grafica2.9.png|700px|thumb|left|Las funciones $\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)$ y $\cos\theta$ son iguales y las otras funciones se desplazan a la izquierda de la función $\sin\theta$ cada $\frac{\pi}{4}$ a excepción de la función $\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)$ que de desplaza a la derecha ]]<br />
<br />
{| class="wikitable" style="text-align:center"<br />
|-<br />
! $ \theta $<br />
! $-\frac{\pi}{4}$<br />
! $-\frac{\pi}{4}$<br />
! $ 0 $<br />
! $ \frac{\pi}{4}$<br />
! $ \frac{\pi}{2}$<br />
! $ \frac{3\pi}{4}$<br />
! $ \pi $<br />
! $ \frac{5\pi}{4}$<br />
! $ \frac{3\pi}{2}$<br />
! $ \frac{7\pi}{4}$<br />
! $ 2\pi$<br />
|-<br />
| $ \sin(\theta) $<br />
| $ -1 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 1 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ -1 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
|-<br />
| $ \cos(\theta) $<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 1 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ -1 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 1 $<br />
|-<br />
| $ \sin(\theta-\frac{\pi}{4}) $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ -1 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 1 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ -1 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
|-<br />
| $ \sin(\theta-\frac{\pi}{2}) $<br />
| $ 0 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ -1 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 1 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ -1 $<br />
|-<br />
| $ \sin(\theta-\frac{3 \pi}{4}) $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ -1 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 1 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
|-<br />
| $ \sin(\theta+\frac{\pi}{2}) $<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 1 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ -1 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 1 $<br />
|}<br />
<br />
Respuesta: $\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)$ que es igual al $\cos(\theta)$ se desplaza a la izquierda del $\sin\theta$<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Rosario Maya|Rosario Maya]] ([[Usuario discusión:Rosario Maya|discusión]]) 20:37 29 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.10==<br />
<br />
Hacer una tabla con columnas encabezadas por los valores de $kx$<br />
correr desde $x=-\frac{\lambda}{2}$ a $x=+\lambda$ en intervalos<br />
de $x$ de $\frac{\lambda}{4}$ , por supuesto, $k=\frac{2\pi}{\lambda}$<br />
. En cada columna colocar los correspondientes valores de $\cos\left(kx+\frac{3\pi}{4}\right)$<br />
y para las funciones $15\cos\left(kx-\frac{\pi}{4}\right)$ y $25\cos\left(kx+\frac{3\pi}{4}\right)$.<br />
<br />
{| class="wikitable" style="text-align:center"<br />
|-<br />
! $ x $<br />
! $-\frac{\lambda}{2}$<br />
! $-\frac{\lambda}{4}$<br />
! $ 0 $<br />
! $\frac{\lambda}{4}$<br />
! $\frac{\lambda}{2}$<br />
! $\frac{3\lambda}{2} $<br />
! $ \lambda $<br />
|-<br />
| $ kx=2\pi\frac{\lambda}{2} $<br />
| $ -\pi $<br />
| $ -\frac{\pi}{2}$<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\pi}{2}$<br />
| $ \pi $<br />
| $ \frac{3\pi}{2}$<br />
| $ 2\pi$<br />
|-<br />
| $$\cos\left(kx-\frac{\pi}{2}\right)$$<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
|-<br />
| $$\cos\left(kx+\frac{3\pi}{4}\right)$$<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
|-<br />
| $$15\cos\left(kx-\frac{\pi}{4}\right)$$<br />
| $ 15-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 15-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 15\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 15\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 15-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 15-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 15\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
|-<br />
| $$25\cos\left(kx+\frac{3\pi}{4}\right)$$<br />
| $ 25\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 25\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 25-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 25-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 25\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 25\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 25-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
|}<br />
<br />
Ejercicio Resuelto por <br />
[[Usuario:Rosario Maya|Rosario Maya]] ([[Usuario discusión:Rosario Maya|discusión]]) 00:05 30 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
==Problema 2.11==<br />
<br />
Por resolverse...<br />
--[[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 23:01 29 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
<br />
==Problema 2.12==<br />
'''2.12 El perfil de una onda armónica, que viaja con velocidad de 1.2 m/s en una cuerda,esta dado por'''<br />
<br />
<center><math>\displaystyle{y=\left(0.02m\right)\sin\left(157m^{-1}\right)x}</math></center><br />
<br />
'''Calcule su amplitud, su longitud de onda, su frecuencia y su periodo'''<br />
<br />
Se observa que la ecuación no muestra dependencia del tiempo, por lo obedece a la ecuación (2.12) del libro<br />
<center><math>\displaystyle{\psi(x)=A\sin(kx)}</math></center><br />
de donde es inmediatos su amplitud '''A=0.02m''' y número de onda '''<math>k=157m^{-1}</math>''', por lo que su longuitud de onda esta dada por:<br />
<center><math>\displaystyle{\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{157m^{-1}}=0.04m}</math></center><br />
su frecuencia esta dada ṕor la ecuación (2.19), entonces:<br />
<center><math>\displaystyle{\nu=\frac{v}{\lambda}=\frac{1.2\frac{m}{s}}{0.04m}=30Hhz}</math></center><br />
Finalmente, su periodo esta dado por:<br />
<center><math>\displaystyle{\tau=\frac{1}{\nu}=\frac{1}{30}s}</math></center><br />
[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 17:56 26 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
<br />
----<br />
== Problema 2.12 Hetch / 3era Ed/2do método ==<br />
<br />
2.12.-El perfil de velocidad de una onda armónica, que viaja a una velocidad de 1.2 m/s en una cuerda, esta dado por:<br />
<br />
: <math> y=\left(0.02\right)\sin\left(157/m\right)x<br />
</math><br />
<br />
Calcule su amplitud, su longitud de onda, su frecuencia y su periodo.<br />
<br />
Solución<br />
<br />
Se tiene la ecuación de onda(2.13) que es:<br />
<br />
: <math>\varPsi\left(x,t\right)=a\sin\kappa\left(x-vt\right)<br />
</math><br />
<br />
donde <math>A<br />
</math> es la amplitud , y <math>\kappa<br />
</math> el numero de onda (constante).<br />
<br />
Tomando en cuenta que el tiempo es independiente de la funcion de onda, y con t=0; se tiene:<br />
<br />
: <math>\varPsi(x,t)=A\sin\left[x-v(0)\right]=A\sin\kappa x<br />
</math><br />
<br />
a) Comparando la ecuacion del ejercicio, con la parte teórica, se sabe por inspección que la amplitud <math> A=0.02m<br />
</math> y <math>\kappa=157m^{-1}<br />
</math>.<br />
<br />
b) Se tiene la relación <math>\kappa=\frac{2\pi}{lambda}<br />
</math>; despejando la longitud de onda <math>"\lambda"<br />
</math> se tiene:<br />
<br />
: <math>\lambda<br />
= \frac{2\pi}{\kappa}<br />
=\frac{2\pi}{157m^{-1}}<br />
= 0.0400 m </math><br />
<br />
c) Para la frecuencia se tiene la relación <math>v<br />
= \nu\lambda<br />
</math>; despejando la frecuencia <math>"\nu"<br />
</math> se tiene:<br />
<br />
: <math>\nu<br />
=\frac{v}{\lambda}<br />
= \frac{1.2m/s}{0.0400m}<br />
= 30 Hz </math><br />
<br />
d) Para el período se tiene el recíproco de la frecuencia:<br />
<br />
: <math>\tau<br />
= \frac{1}{\nu}<br />
= \frac{1}{30Hz}<br />
= 0.033 s </math><br />
<br />
Elaborado por Ricardo García Hernández.--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:25 30 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
==Problema 2.13==<br />
<br />
'''2.13 Usando las funciones de onda'''<br />
<br />
<math>\psi_{1}=4\sin2\pi\left(0.2x-3t\right)<br />
</math><br />
<br />
<math>\psi_{2}=\frac{\sin\left(7x+3.5t\right)}{2.5}<br />
</math><br />
<br />
'''determine en cada caso los valores de <br />
<br />
'''a)amplitud,'''<br />
<br />
'''b)frecuencia, '''<br />
<br />
'''c)velocidad de fase, '''<br />
<br />
'''d)longitud de onda,'''<br />
<br />
'''e)periodo,'''<br />
<br />
'''f)dirección del movimiento. '''<br />
<br />
<br />
'''El tiempo se expresa en segundos y x en metros.'''<br />
<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
Partimos de la ecuación de onda:<br />
\[<br />
\psi=Asin(kx \pm \omega t)...(1)<br />
\]<br />
En donde podemos factorizar $2 \pi$ del alrgumento y escribir:<br />
<br />
\[<br />
\psi=Asin2 \pi (\frac{k}{2 \pi} x \pm \frac{\omega}{2\pi}t)<br />
...(2)\]<br />
<br />
Definimos a:<br />
<br />
\[<br />
\frac{k}{2\pi}=\chi <br />
\] <br />
\[<br />
\frac{\omega}{2\pi}=\nu<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\psi=Asin 2\pi(\chi x \pm \nu t)...(3)<br />
\]<br />
De esta ecuación podemos identificar la:<br />
<br />
Amplitud: $A$<br />
<br />
Frecuencia: $\nu$<br />
<br />
Número de onda: $\chi$<br />
<br />
Tambien sabemos que:<br />
<br />
Velocidad de fase: $V= \pm \frac{\omega}{k}$<br />
<br />
Longutud de onda: $\frac{V}{\nu}$<br />
<br />
<br />
Con lo anterior, dada $ \psi_1 = 4 sin2\pi (0.2 x - 3t)$<br />
<br />
a) Amplitud = 4 m<br />
<br />
b) Frecuencia = 3 Hz<br />
<br />
c) Velocidad de fase = $\frac{\omega}{k}=\frac{\nu}{\chi}=\frac{3 Hz}{0.2 m^{-1}}=15 m/s$<br />
<br />
d) Longitud de onda = $\frac{V}{\nu}= \frac{15}{3}=5 m$<br />
<br />
e) Periodo = $\frac{1}{\nu}=0.333... s$<br />
<br />
d) dirección del movimiento: <br />
<br />
Hacia la derecha.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Para la función $ \psi_2 \frac{1}{2.5} sin(7x + 3.5t) $<br />
<br />
a) Amplitud = $\frac{1}{2.5}=0.4 m$<br />
<br />
b) Frecuencia = $\frac{\omega}{2\pi}=\frac{3.5}{2\pi}=0.55 Hz$<br />
<br />
c) Velocidad de fase = $\frac{\omega}{k}=\frac{3.5}{7}=0.5 m/s$<br />
<br />
d) Longitud de onda = $\frac{2\pi}{k}= \frac{2/pi}{7}=0.897 m$<br />
<br />
e) Periodo = $\frac{2\pi}{\omega}=1.795 s$<br />
<br />
d) dirección del movimiento: <br />
<br />
Hacia la izquierda.<br />
<br />
<br />
Resuelto por: --[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 13:13 28 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
==Problema 2.14==<br />
<br />
'''2.14 Demuestre que, <math>\psi(x,t)=Asen(k(x-vt))</math> es una solucion de la ecuacion diferencial de onda.''' <br />
<br />
'''Demostración'''<br />
<br />
De la solución propuesta se observa que se trata de la ecuación de direferncial de onda en una dimensión, luego, para ser soloción debe satisfacer la ecuación<br />
<center><math>\displaystyle{\frac{\partial² \psi}{\partial x²}=\frac{1}{v²}\frac{\partial² \psi}{\partial t²}}</math></center><br />
La segunda derivada parcial respecto de x esta dada por<br />
<center><math>\displaystyle{\frac{\partial² \psi}{\partial x²}=\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial \psi}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(kA\cos(kx-kvt))=-k²A\sin(kx-kvt)}</math></center><br />
La segunda derivada parcial respecto de t esta dada por<br />
<center><math>\displaystyle{\frac{\partial² \psi}{\partial t²}=\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial \psi}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}(-kvA\cos(kx-kvt))=-k²v²A\sin(kx-kvt)}</math></center><br />
Al sustituilas en la ecuacion diferencial de onda se tiene <br />
<center><math>\displaystyle{-k^{2}A\sin(kx-kvt)=-\frac{1}{v^{2}}kv^{2}A\sin(kx-kvt)}</math></center><br />
Como la última igualdad es cierta, entonces es solución de la ecuación diferencial de onda en una dimensión.<br />
<br />
[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 21:17 17 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
==Problema 2.15==<br />
'''2.15 Demuestre que si el desplazamiento de la cuerda de la figura 2.7 está dado por <math>y(x,t)=A \sin[kx - \omega t + \varepsilon]</math> entonces la mano que genera la onda se debe mover verticalmente con movimiento armónico simple.<br />
<br />
Vemos que el movimiento de la cuerda en la figura $2.7$ corresponde al de una onda armónica que se desplaza a lo largo del eje $x$ durante un tiempo de un período, en este caso cualquier punto de la cuerda se desplaza sólo verticalmente, entonces podemos derivar la ecuación de movimiento como sigue:<br />
<br />
\[ <br />
\frac{\partial}{\partial x} y(x,t)=k A \cos[kx - \omega t + \varepsilon]<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial^2}{\partial x^2} y(x,t) = k^2 A \sin[kx - \omega t + \varepsilon]<br />
\]<br />
<br />
Vemos que en la segunda derivada aparece la primer derivada, al sustituirla se llega a la siguiente expresión:<br />
<br />
\[<br />
\ddot{y}=-k^2 y(x,t) \rightarrow \ddot{y}+k^2y=0<br />
\]<br />
<br />
Se observa que corresponde a la ecuación de un movimiento armónico simple realizado verticalmente.<br />
<br />
[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 16:49 27 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.16==<br />
'''2.16 Escriba la expresion para la onda armonica de amplitud <math>10^{3}V/m</math> , periodo <math>2.2x10^{-15}s</math> ,y velocidad <math>3x10^{8}m/s</math> .La onda se propaga en la direccion negativa de X y tiene un valor de <math>10^{3}V/m</math> en t=0 y x=0.'''<br />
<br />
R:<br />
<br />
<math>\tau=2.2x10^{-15}s</math><br />
<br />
<br />
sabiendo que <math>\nu=\frac{1}{\tau}</math><br />
<br />
<br />
<math>\nu=\frac{1}{2.2x10^{-15}s}=4.5x10^{14}Hz</math><br />
<br />
<br />
obtenemos la longitud de onda con <math>v=\nu\lambda</math><br />
<br />
<br />
es decir <math>\lambda=\frac{v}{\nu}=\frac{3.8x10^{8}m/s}{4.5x10^{14}Hz}</math><br />
<br />
<br />
<math>\lambda=6.6x10^{-7}m</math><br />
<br />
<br />
obtenemos K de la formula <math>k=\frac{2\pi}{\lambda}=9.5x10^{6}m^{-1}</math><br />
<br />
<br />
Sabiendo que la expresion de la ecuacion de onda es <br />
<br />
<math>\psi(x,t)=A\cos\left[kx+\omega t\right]</math><br />
<br />
<br />
sustituimos los datos antes encontrados para hallar la expresion que nos piden.<br />
<br />
<math>\psi(x,t)=\left(10^{3}\right)\cos\left[9.5x10^{6}\left(x+3x10^{8}t\right)\right]</math><br />
<br />
- --[[Usuario:Leticia González Zamora|Leticia González Zamora]] ([[Usuario discusión:Leticia González Zamora|discusión]]) 15:27 20 jun 2013 (CDT)<br />
----<br />
==Problema 2.17==<br />
'''2.17 Considere el pulso descrito en términos de sus desplazamientos en $t=0$ por $y(x,t)|_{t=0}=\frac{C}{2+x^{2}}$ donde $C$ es una constante. Dibuje el perfil de onda. Escriba una expresión para la onda que tiene una velocidad $v$ en la dirección negativa de $x$, como función del tiempo $t$. Si $v=1\frac{m}{s}$, dibuje el perfil en $t=2s$.'''<br />
<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
De la expresión $y(x,t)|_{t=0}=\frac{C}{2+x^{2}}$ notamos que el<br />
máximo de la función se encuentra cuando $x=0$ y por tanto el máximo<br />
siempre estará en $y_{max}=\frac{C}{2}$. <br />
<br />
[[Archivo:Perfil11.png]]<br />
<br />
De la expresión anterior debido a que esta al tiempo $t=0$ la velocidad<br />
de la onda no contribuía, ahora bien la expresión para una onda con<br />
cierta velocidad para ester perfil esta dada por<br />
\[<br />
y(x,t)=\frac{C}{2+(x+vt)^{2}}<br />
\]<br />
el sigo se debe a que queremos ver la onda desplazada a la izquierda<br />
o dirección negativa del $eje\; x$. <br />
<br />
La gráfica al tiempo $t=2s$ con una velocidad $v=1\frac{m}{s}$ se<br />
muestra a continuación.<br />
<br />
[[Archivo:Perfil123.png]]<br />
<br />
Nuevamente se toman 3 valores distintos para $C$.<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 05:46 26 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.18==<br />
2.18 '''Determine la magnitud de la función de onda''' $\psi(z,t)=Acos[k(z+vt)+\pi]$ '''en el punto''' $z=0$, '''cuanto''' $t=\frac{\tau}{2}$ '''y cuando '''$t=\frac{3\tau}{4}$.<br />
<br />
Partimos de la ecuación de la onda<br />
<br />
\[\psi(z,t)=Acos[k(z+vt)+\pi]\]<br />
<br />
Evaluamos en $z=0$ y nos queda<br />
<br />
\[\psi(0,t)=Acos[kvt+\pi]\]<br />
<br />
sustituimos $kv=\omega$ y entonces tenemos<br />
<br />
\[\psi(z,t)=Acos[\omega t+\pi]\]<br />
<br />
pero como $-Acos[\omega t]=Acos[\omega t+\pi]$ tenemos que<br />
<br />
\[\psi(z,t)=-Acos[\omega t]\]<br />
<br />
Finalmente sustituimos para $t=\frac{\tau}{2}$ y luego para $t=\frac{3\tau}{4}$ y obtenemos los resultados siguientes para cada caso.<br />
<br />
<br />
$\psi(0,\frac{\tau}{2})=-Acos[\omega\frac{\tau}{2}]=-Acos(\pi)^{-1}=A$<br />
<br />
<br />
y para $\psi(0,\frac{3\tau}{4})=-Acos[\omega\frac{3\tau}{4}]=-Acos(\frac{3}{4}\pi)=0$<br />
<br />
[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 01:48 28 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.19==<br />
'''2.19 ¿La siguiente función en la que''' $A$ '''es una constante,''' $\psi(y,t)=(y-vt)A$<br />
'''representa una onda? Explique su raznamiento.'''<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Como $\psi(y,t)=(y-vt)A$ es solo función de $(y-vt)$ cumple las<br />
condiciones de una ecuación de onda, donde<br />
\[<br />
\frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^{2}}=\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=0<br />
\]<br />
<br />
<br />
y así esta función es una solución a la ecuación de onda. Sin embargo,<br />
\[<br />
\psi(y,0)=Ay, <br />
\]<br />
por lo que no puede representar un perfil de onda.<br />
<br />
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 06:50 22 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
==Problema 2.20==<br />
''' Utilice la ecuación (2.33) para calcular la velocidad de la onda cuya representación en unidades SI es $\psi(y,t) = A \cos\left[\pi\left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right)\right]$ '''<br />
<br />
La ecuación (2.33) nos dice que:<br />
<br />
<math><br />
\left(\dfrac{\partial x}{\partial t}\right)_\varphi = \pm \dfrac{\omega}{k} = \pm v \hspace{20pt} \cdots \hspace{20pt} (2.33)<br />
</math><br />
<br />
pero nuestra representación está dada en términos de $\psi(y,t)$, por lo que podemos reescribir la ecuación como:<br />
<br />
<math><br />
\left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)_\psi = \pm \dfrac{\omega}{k} = \pm v <br />
</math><br />
<br />
y también sabemos que la ecuación está dada en términos del siguiente cociente(ecuación 2.32 del texto con las variables adecuadas):<br />
<br />
<math><br />
\left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)_\psi = \dfrac{-\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial t}\right)_y}{\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial y}\right)_t} \hspace{20pt} \cdots \hspace{20pt} (2.32)<br />
</math><br />
<br />
Calculando ahora las derivadas:<br />
<br />
<math><br />
-\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial t}\right)_y = - \left\{ - 9x10^{14} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right] \right\} <br />
= 9x10^{14} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right] \\<br />
\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial y}\right)_t = - 3x10^{6} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right]<br />
</math><br />
<br />
Por lo que, sustituyendo en la ecuación (2.32):<br />
<br />
<math><br />
\left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)_\psi = \dfrac{-\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial t}\right)_y}{\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial y}\right)_t}<br />
= \dfrac{9x10^{14} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right]}{- 3x10^{6} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right]}<br />
= - \dfrac{9x10^{14}}{3x10^{6}}<br />
</math><br />
<br />
Y realizando la operación obtenemos la velocidad deseada(en unidades SI como lo indica el enunciado):<br />
<br />
<math><br />
v = \left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)_\psi = -3x10^8 m/s = -c<br />
</math><br />
<br />
donde el signo negativo($-$) indica que la dirección de propagación es hacia la izquierda.<br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 00:50 27 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
==Problema 2.21==<br />
<br />
'''2.21 Comenzando por el siguiente teorema: sí <math>Z=f_{(x,y)}</math>,<math>x=g_{(t)}</math><br />
y <math>y=h_{(t)}</math><br />
Entonces:<br />
<br />
<math>\frac{\delta Z}{\delta t}=\frac{\partial Z}{\partial x}\frac{\delta x}{\delta t}+\frac{\partial Z}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}</math><br />
<br />
<br />
Derivar la ecuacion: (2.34)'''<br />
<br />
<math>\left.v=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial y}}\right\} 2.35</math><br />
<br />
<br />
En general tenemos que una funcion de onda cualquiera posee la forma. <br />
<br />
<math>\Psi_{(\bar{r},t)}=\psi</math><br />
<br />
<br />
Sin perdida de generalidad consideramos el mivimiento sobre un eje de porpagacion “y”<br />
<br />
<math>\Psi_{(y,t)}=\psi</math><br />
<br />
<br />
Entonces por regla de la cadena (el teorema propuesto.)<br />
<br />
<math>\frac{\delta\psi}{\delta t}=\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}+\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{\delta t}{\delta t}</math><br />
<br />
<br />
De aqui sabemos que para una perturbacion que no cambia con el tiempo:<br />
<br />
<math>\frac{\delta\psi}{\delta t}=0</math><br />
<br />
<br />
Asimismo la diferencial del tiempo respecto al tiempo es uno, entonces, tras estas simplificaciones obtenemos.<br />
<br />
<math>0=\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}+\frac{\partial\psi}{\partial t}</math><br />
<br />
<br />
Despejando: <math>\frac{\delta y}{\delta t}=v</math><br />
<br />
<br />
<math>v=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial y}}</math><br />
<br />
<br />
La cual es la ecuacion 2.34. --[[Usuario:Andrés Arturo Cerón Téllez|Andrés Arturo Cerón Téllez]] ([[Usuario discusión:Andrés Arturo Cerón Téllez|discusión]]) 23:48 5 jul 2013 (CDT)<br />
<br />
El problema yo lo realice de la siguiente manera:<br />
<br />
'''2.21. Empezando por el siguiente teorema: Si $z=f(x,y)$ y $x=g(t)$,'''<br />
'''$y=h(t)$, entonces:'''<br />
<br />
\[<br />
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}<br />
\]<br />
<br />
<br />
'''Derive la ecuación (2.34)'''<br />
<br />
Sabemos que la ecuación (2.34) es:<br />
<br />
\[<br />
\pm v=-\frac{\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)_{x}}{\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)_{t}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Ya que sabemos que<br />
<br />
\[<br />
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Luego:<br />
<br />
\[<br />
\left(\frac{d\psi}{d\varphi}\right)_{\varphi}=\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dx}{d\varphi}+\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{dy}{d\varphi}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Y ya que en nuestro caso $\left(\frac{d\psi}{d\varphi}\right)$ es<br />
constante en $\varphi$, entonces la ecuación se vuelve<br />
<br />
\[<br />
\text{-}\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}=\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dx}{d\varphi}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\frac{dx}{d\varphi}=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Pero ádemas, es posible reescribir a $\frac{dx}{d\varphi}=\frac{\partial x}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}$,<br />
asi:<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial x}{\partial t}=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dt}{d\varphi}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Asi finalmente, la ecuación se puede reescribir como:<br />
<br />
\[<br />
\pm v=\left(\frac{\partial x}{\partial t}\right)_{\varphi}=-\frac{\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)_{x}}{\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)_{t}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] 23 Marzo 2014 21:29 (CDT)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.22==<br />
'''2.22. Utilizando los resultados del problema anterior, demuestre que'''<br />
'''para una onda armónica con una fase $\varphi(x,t)=k(x-vt)$ podemos'''<br />
'''calcular la velocidad estableciendo $\frac{d\varphi}{dt}=0$.'''<br />
'''Aplique la tecnica al problema 2.20 a fin de calcular la velocidad'''<br />
'''de dicha onda.'''<br />
<br />
Veamos primero que dicha fase cumple con la definición, entonces tenemos<br />
lo siguiente:<br />
<br />
\[<br />
\psi(x,t)=Asen(k(x-vt))<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial\psi}{\partial x}=kAsen(k(x-vt))<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial\psi}{\partial t}=-kvAsen(k(x-vt))<br />
\]<br />
<br />
<br />
Luego:<br />
<br />
\[<br />
-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}}=-\frac{(-kv)Asen(k(x-vt))}{kAsen(k(x-vt))}=v<br />
\]<br />
<br />
<br />
Por lo cuál, la función cumple con la definición. Ahora veamos que<br />
si $\frac{d\varphi}{dt}=0$ entonces la funcion sigle cumpliendo.<br />
<br />
Del problema (2.21) tenemos que por definición:<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}=\frac{d\psi}{d\varphi}-\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dx}{d\varphi}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial x}{\partial t}=\frac{\frac{d\psi}{d\varphi}-\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dt}{d\varphi}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial x}{\partial t}=\frac{\frac{d\psi}{d\varphi}\frac{d\varphi}{dt}\frac{dt}{d\varphi}-\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dt}{d\varphi}}=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial t}}<br />
\]<br />
<br />
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] 23 Marzo 2014 21:36 (CDT)<br />
<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.23==<br />
'''2.23 Una onda gaussiana, tiene la forma $\psi(x,t)=A^{-a(bx+ct)^{2}}$.Utilize<br />
el que $\psi(x,t)=f(x\pm vt)$''' '''para calcular su velocidad, comprobando<br />
luego su respuesta con la ecuación (2.3).'''<br />
<br />
Se utliza la siguuente definición de velocidad: <br />
\[<br />
\pm v=-\left(\frac{\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)_{x}}{\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)_{y}}\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Se resuelven ambas partes de la ecuación por separado:<br />
<br />
\[<br />
\psi_{x}=(-2a)A(b)e^{-(abx+ct)^{2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\psi_{y}=-(2a)Ace^{-(bx+ct)^{2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Al sustituir los resultados obtenidos en la definicón de velocidad:<br />
<br />
\[<br />
v=\frac{(-2a)Ace^{-(abx+ct)^{2}}}{(-2a)Abe^{-(abx+ct)^{2}}}=\frac{c}{b}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Se obitene el resultado de la ecuación 2.3: $v=\frac{c}{b}$<br />
<br />
[[Usuario:Ana Alarid|Ana Alarid]] ([[Usuario discusión:Ana Alarid|discusión]]) 18:43 27 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
==Problema 2.24==<br />
'''2.24 Encuentre una expresión para el perfil de una onda armónica que viaja en la dirección de $z$ cuya magnitud en $z=-\frac{\lambda}{12}$ es 0.866, en $z=+\frac{\lambda}{6}$ es $\frac{1}{2}$ y en $z=\frac{\lambda}{4}$ es 0.''' <br />
<br />
Utilizamos la función de onda armónica en el que $t=0$ puesto que $\varepsilon$ es una contribución constante a la fase y además es independiente del recorrido de la onda en términos de espacio y de tiempo: <br />
\begin{equation}<br />
\psi(z,0)=Asen(kz+\varepsilon);<br />
\end{equation}<br />
donde $\psi$ es la propagación de la onda, $A$ es la amplitud, $k$ es el número de onda que está dada por $k=\frac{2\pi}{\lambda}$, $z$ corresponde a la dirección de propagación y $\varepsilon$ es la fase inicial.<br />
<br />
A continuación escribimos las condiciones iniciales:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\psi(-\frac{\lambda}{12},0)=Asen(-\pi/6 + \varepsilon)=0.866 ....(I)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\psi(\frac{\lambda}{6},0)=Asen(-\pi/3 + \varepsilon)=\frac{1}{2} ....(II)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\psi(\frac{\lambda}{4},0)=Asen(-\pi/2 + \varepsilon)=0 ....(III)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Para obtener el valor numérico de $\psi$ es necesario encontrar los valores para $\varepsilon$ y por consiguiente la amplitud $A$ y en conclusión obtener el perfil que se nos pide. <br />
Para ello utilizamos la expresión $(III)$ puesto que es más sencilla de manipular y está igualada a 0. Utilizamos la identidad trigonométrica de suma de dos ángulos que involucra a senos y cosenos.<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A=sen(\pi/2+\varepsilon)=A[sen(\pi/2)cos(\varepsilon)+cos(\pi/2)sen(\varepsilon)]<br />
\end{equation}<br />
<br />
Simplificamos<br />
<br />
\begin{equation}<br />
=Acos(\varepsilon)=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Despejamos $\varepsilon$ y obtenemos su valor<br />
\begin{equation}<br />
\varepsilon=\frac{\pi}{2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Ahora bien para encontrar $A$ podemos utilizar la expresión $(I)$ o $(II)$. Utilizando la expresión $(II)$ y sustituyendo el valor encontrado para $\varepsilon$:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
Asen(\pi/3 + \pi/2)=Asen(5\pi/6)=\frac{1}{2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Así<br />
\begin{equation}<br />
A(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}; A=1<br />
\end{equation}<br />
<br />
Por lo tanto, la expresión para el perfil de una onda armónica que viaja en la dirección de $z$ es:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\psi(z,0)=sen(kz+\pi/2)<br />
\end{equation}<br />
<br />
[[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 01:37 23 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.26==<br />
<br />
'''2.26.Establezca cuáles de las expresiones siguientes describen ondas'''<br />
'''viajeras:'''<br />
<br />
(a) $\psi(y,t)=\exp-(a^{2}y^{2}+b^{2}t^{2}-2aybt)$<br />
<br />
(b) $\psi(z,t)=Asen(az^{2}-bt^{2})$<br />
<br />
(c) $\psi(x,t)=Asen2\pi\left(\frac{x}{a}+\frac{t}{b}\right)^{2}$<br />
<br />
(d) $\psi(x,t)=Acos^{2}2\pi(t-x)$<br />
<br />
Para la onda (a), si la reescribimos como sigue:<br />
<br />
$\psi(y,t)=\exp-(a^{2}y^{2}+b^{2}t^{2}-2aybt)\Rightarrow\exp-a^{2}(y-\frac{b}{a}t)^{2}$<br />
es evidente que se trata de una onda viajera, ya que cumple con las<br />
características de una.<br />
<br />
Para la onda (b), es claro que no se comporta como una onda viajera,<br />
ya que la función no es lineal, una característica de las ondas viajeras.<br />
<br />
Para la onda (c), es viajera, por que el término dentro del argumento<br />
es lineal, y nos dice que la onda se desplaza en una dirección diferente,<br />
hacia la izquierda.<br />
<br />
Para la onda (d), no es viajera, por que la función $cos^{2}(x)$<br />
no cumple con la definición de onda viajera.<br />
<br />
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] 23 Marzo 2014 21:37 (CDT)<br />
----<br />
<br />
==Problmea 2.30==<br />
'''make up a table with columns headed by values of kx runing from <math>x=\frac{\lambda}{2}</math> to <math>x=\lambda</math> in intervals of x of <math>\frac{\lambda}{4}</math>. In each columns place the corresponding values of cos kx and beneath that the values of cos kx+pi Next plot the functions cos kx, coskx+pi, and cos kx+coskx+pi '''<br />
<br />
Hacer una tabla con columnas encabezadas por los valores de kx runing desde <br />
<math>x=\frac{\lambda}{2}</math> to <math>x=\lambda</math> en intervalos de x de <math>\frac{\lambda}{4}</math>. En cada columna colocan los correspondientes valores de cos kx y bajo que los valores de cos kx + pi. Grafique las funciones cos kx, coskx + pi, y cos kx + coskx + pi.<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
<br />
[[Archivo:tabla30.jpg|500px|thumb|center|]]<br />
<br />
[[Archivo:Graf30.jpg|400px|thumb|center|]]<br />
<br />
Problema resuelto por --[[Usuario:Luis Velázquez|Luis Velázquez]] ([[Usuario discusión:Luis Velázquez|discusión]]) 20:08 27 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
==Problmea 2.31==<br />
'''2.31. Trabajando directamente con exponenciales, demuestre que la'''<br />
'''magnitud de $\psi=A\exp iwt$ es A. A continuación, vuelva a calcular'''<br />
'''el mismo resultado utilizando la fórmula de Euler. Demuestre que $\exp i\alpha\exp i\beta=\exp i(\alpha+\beta)$'''<br />
<br />
Sabemos que la magnitud de $\psi$ sera igual a su modulo, es decir: <br />
<br />
$|\psi|=\psi\psi*^{\nicefrac{1}{2}}$ y que $\psi*=A\exp-iwt$ por<br />
definición.<br />
<br />
Luego:<br />
<br />
$|\psi|=\left[\left(A\exp iwt\right)\left(A\exp-iwt\right)\right]^{\frac{1}{2}}=\left[A^{2}\exp iwt-iwt\right]^{\frac{1}{2}}=\left(A^{2}\exp0\right)^{\frac{1}{2}}=A$<br />
<br />
Ahora, usando la fórmula de Euler, tenemos que:<br />
<br />
$|\psi|=\left[\left(A\exp iwt\right)\left(A\exp-iwt\right)\right]^{\frac{1}{2}}$<br />
<br />
$|\psi|=\left[A(coswt+isenwt)A(coswt-isenwt)\right]^{\frac{1}{2}}$<br />
<br />
$|\psi|=\left[A^{2}\left(cos^{2}wt-isen(wt)cos(wt)+isen(wt)cos(wt)+sen^{2}wt\right)\right]^{\frac{1}{2}}$<br />
<br />
$|\psi|=\left[A^{2}(cos^{2}wt+sen^{2}wt)\right]^{\frac{1}{2}}=(A^{2})^{\frac{1}{2}}=A$<br />
<br />
Demostremos ahora que $\exp i\alpha\exp i\beta=\exp i(\alpha+\beta)$<br />
<br />
$\exp i\alpha\exp i\beta=\left(cos\alpha+isen\alpha\right)\left(cos\beta+isen\beta\right)$<br />
<br />
$\exp i\alpha\exp i\beta=cos\alpha cos\beta+icos\alpha sen\beta-icos\beta sen\alpha+i^{2}sen\beta sen\alpha$<br />
<br />
$\exp i\alpha\exp i\beta=cos\alpha cos\beta+icos\alpha sen\beta-icos\beta sen\alpha-sen\beta sen\alpha=(cos\alpha cos\beta-sen\alpha sen\beta)+i(cos\alpha sen\beta+sen\alpha cos\beta)$<br />
<br />
$\exp i\alpha\exp i\beta=cos(\alpha+\beta)+isen(\alpha+\beta)=\exp i(\alpha+\beta)$<br />
<br />
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] 23 Marzo 2014 21:38 (CDT)<br />
----<br />
==Problema 2.32==<br />
''' 2.32 Demuestre que la parte imaginaria de un número complejo z esta dada por $\left(z-z^{\star}\right)/2i$.'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
Sea z perteneciente a los complejos<br />
<br />
<br />
$z=a+ib$<br />
<br />
<br />
y su conjugado<br />
<br />
<br />
$z^{\star}=a-ib$<br />
<br />
<br />
entonces:<br />
<br />
<br />
$z-z^{\star}=a+ib-(a-ib)$<br />
<br />
<br />
<br />
$z-z^{\star}=2ib$<br />
<br />
Dividimos entre $2i$<br />
<br />
<br />
$z-z^{\star}/2i=2ib/2i$<br />
<br />
<br />
<br />
$\left(z-z^{\star}\right)/2i=b$<br />
<br />
<br />
que es la parte imaginaria del número complejo z.<br />
<br />
[[Usuario:Edgar Ortega Roano|Edgar Ortega Roano]] ([[Usuario discusión:Edgar Ortega Roano|discusión]]) 17:43 18 mar 2014 (CDT)<br />
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] ([[Usuario discusión:Cesar Ivan Avila Vasquez|discusión]]) 21:53 26 Marzo 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.34==<br />
2.34<br />
<br />
'''Demuestre que las ecuaciones $\psi(x,y,z,t)=f(\alpha x+\beta y+\gamma z-vt)$ y $\psi(x,y,z,t)=f(\alpha x+\beta y+\gamma z+vt)$ que son ondas planas de forma arbitraria, cumplen con la ecuacion diferencial de onda tridimensional.'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
De la ecuación de onda tridimensional ,$\nabla^{2}\psi=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}$, obtenemos el Laplaciano para nuestras ecuaciones, así $\nabla^{2}\psi=\alpha^{2}f^{´´}+\beta^{2}f^{´´}+\gamma^{2}f^{´´}$<br />
es el Laplaciano para ambas ecuaciones.<br />
<br />
Ahora al calcular $\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}$ obtenemos que $\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=v^{2}f^{´´}$ para ambas ecuaciones.<br />
<br />
Por lo que al sustituir en la ecuación de onda tridimensional obtenemos.<br />
<br />
$f^{´´}(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2})=f^{´´}$<br />
<br />
Por lo que para cualquier onda tridimensional se debe cumplir que $\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=1$.<br />
<br />
[[Usuario:Edgar Ortega Roano|Edgar Ortega Roano]] ([[Usuario discusión:Edgar Ortega Roano|discusión]]) 17:52 18 mar 2014 (CDT)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.35==<br />
'''2.35. La hipótesis de De Broglie afirma que cada partícula tiene asociada'''<br />
'''a ella una longitud de onda dada por la constante de Planck ($h=6.6x10^{-34}Js$),'''<br />
'''dividida por el momento de la partícula.'''<br />
<br />
'''Compare la longitud de onda de una piedra de 6.0 kg moviendosea una'''<br />
'''velocidad de 1 m/s con la de la luz.'''<br />
<br />
Tenemos que:<br />
<br />
\[<br />
\lambda=\frac{h}{p}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Para la piedra tenemos entonces que:<br />
<br />
\[<br />
\lambda=\frac{6.6x10^{-34}Js}{(6kg)(1m/s)}=1.1x10^{-34}m<br />
\]<br />
<br />
<br />
Y sabemos ádemas que la longitud de onda de la luz se encuentra en<br />
un intervalo de $\lambda=\left[3.8,7.5\right]x10^{-7}m$, entonces,<br />
comparando ambas longitudes de onda notamos que la asociada a la piedra<br />
es mucho más pequeña que la de la luz, si la longitud de onda de la<br />
luz fuera más pequeña que la de la piedra, la luz atravesaria la piedra.<br />
<br />
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] 23 Marzo 2014 21:40 (CDT)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.36== <br />
''' Escribe una expresión para la onda mostrada en la figura P.2.36. Encuentra la velocidad de onda, velocidad, frecuencia y periodo.'''<br />
'''Solución''' :<br />
[[Archivo:Figure P.2.36.png|350px]]<br />
<br />
a) La forma matemática de la descripción de una función de onda es:<br />
<math>\psi(z,t)=Asen(kz \mp \omega t \pm \epsilon)</math><br />
Dado lo anterior podemos encontrar el número de onda K y la frecuencia <math>\omega</math>, donde <math>\epsilon</math> a un tiempo cero, es igual a cero por lo tanto <math>\epsilon =0 </math>. <br />
De las expresiones para el numero de onda <math>K = \frac{2 \pi}{ \lambda}</math> y <math>\omega= \frac{2 \pi}{\tau}</math>, en donde <math>\tau</math> y <math>\lambda</math> son la frecuencia y la longitud de onda respectivamente, podremos reescribir la expresión para la onda como:<br />
<math>\psi(z,t)=A sen 2 \pi (\frac{z}{\lambda}-\frac{t}{\tau})</math><br />
El signo menos es por el desplazamiento de la función de onda a la derecha. <br />
Por el gráfico se observa que la longitud de onda es de cuatrocientos nanómetros, la amplitud es de 60 nanómetros y el periodo es de <math>1.33x10^{-15}s</math>, dado que da un ciclo en ese tiempo. Por ende la expresión buscada es:<br />
<math>\psi(z,t)=A sen 2 \pi (\frac{z}{400x10^{-9} m}-\frac{t}{1.33X10^{-15}s})</math><br />
<br />
b)Calculando la velocidad de onda:<br />
<math>v= \frac{\lambda}{\tau}=\frac{400x10^{-9}m}{1.33x10^{-15} s}=3x10^{8} \frac{m}{s}</math><br />
<br />
c) Calculando la frecuencia y el periodo:<br />
<math>\nu = \frac{1}{\tau}= \frac{1}{1.33} x10^{15} Hz</math><br />
<br />
<math>\tau= 1.33x 10^{-15} s</math><br />
<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 22:16 22 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
[[categoría:Vibra]]<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 22:23 21 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
<br />
----<br />
==Problema Adicional== <br />
<br />
'''La ecuación de onda transversal que se mueve a lo largo de una cuerda está dada por:'''<br />
<br />
<math>\Psi(z,t)=0.3\sin\pi\left(0.5z-50t\right)<br />
</math><br />
<br />
'''Hallar la amplitud, la longitud de onda, el número de ondas, la frecuencia, el período y la velocidad de onda. '''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
Usando la ecuación <br />
<br />
<br />
\[<br />
\psi=A\sin2\pi\left(kz\pm\nu t\right)<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\psi=A\sin\pi\left(2kz\ - 2\nu t\right)<br />
\]<br />
<br />
La amplitud:<br />
<br />
<math>A=0.3m</math><br />
<br />
Longitud de onda<br />
<br />
<math>0.5=\frac{2}{\lambda}</math><br />
<br />
<math>\lambda=4m</math><br />
<br />
Número de onda<br />
<br />
<math>2k=0.5</math><br />
<br />
entonces<br />
<br />
<math>k=\frac{0.5}{2}</math><br />
<math>k=0.25m^-1</math><br />
<br />
La velocidad de onda<br />
<math>v=(2) (50)</math><br />
<math>v=100 m/s</math><br />
<br />
Tomado de : Vibraciones y ondas. A. P. FRENCH pág. 277. Problema 7-2.<br />
Resuelto por:--[[Usuario:Luis Velázquez|Luis Velázquez]] ([[Usuario discusión:Luis Velázquez|discusión]]) 10:56 26 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.1 ==<br />
'''¿Cuántas ondas de luz <<amarillas>> $(\lambda=580nm)$ caben en una distancia en el espacio igual al espesor de un trozo de papel $(0.003 pulgadas)$? ¿Hasta dónde se extenderá el mismo número de microondas $(\nu=10^{10}Hz$, es decir, $10GHz$ y $v=3x10^8m/s)$?'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
La longitud de onda es la relación entre la velocidad de la onda y su frecuencia, que está dada por;<br />
:<math>\lambda=\frac{v}{\nu}</math><br />
Donde $v$ es la velocidad de la onda y $\nu$ es la frecuencia de la onda.<br />
La distancia $d$ recorrida por la onda es:<br />
<math>d=k*\lambda</math><br />
<br />
Donde $k$ es el número de ondas propagadas, y $\lambda$ es la longuitud de onda.<br />
<br />
ahora para saber cuántas ondas caben en el espesor del trozo de papel, convierto la longuitud de onda de la luz amarilla a metros:<br />
<br />
<math>\lambda_{amarillo} = (580nm) * \left(\frac{10^{-9}m}{1nm}\right)=580*10^{-9}m</math><br />
<br />
despues convierto el espesor del papel en metros:<br />
<br />
<math>0.003in=(0.003in)* \left(\frac{2.54*10^{-2}m}{1in}\right)=7.62*10^{-5}m</math><br />
<br />
calculamos el numero de ondas en la distancia en el espacio del espesor del papel, utilizamos lo que ya sabemos:<br />
<br />
:<math>d=k*\lambda_{amarillo}</math><br />
<br />
despejando y sustituyendo tenemos:<br />
<br />
:<math>k=\frac{d_{papel}}{\lambda_{amarillo}}=\frac{7.62*10^{-5}m}{580*10^{-9}m}=131ondas</math><br />
<br />
<math>\therefore</math> $131$ $ondas$ de luz amarilla caben en una distancia de $0.003$ $pulgadas$<br />
<br />
<br />
para la segunda pregunta calculamos la longitud de onda con los datos que nos dan:<br />
<br />
:<math>\lambda=\frac{v}{\nu}=\frac{3*10^8m/s}{10^{10}Hz}=0.03m</math><br />
<br />
Ahora calculamos cuanta distancia se extenderá el mismo número de ondas con ésta longitud de onda:<br />
<br />
:<math>\therefore d=k*\lambda=(131)(0.03m)= 3.9m</math><br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Martínez|Luis Martínez]] ([[Usuario discusión:Luis Martínez|discusión]]) 08:09 27 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
----<br />
== Problema 2.42 ==<br />
'''Escriba una expresión en coordenadas cartesianas para una onda plana armónica de amplitud $A$ y frecuencia $w$, que se propaga en la dirección del verctor $\overrightarrow{k}$, que a su vez, se encuentra en una línea que va desde el origen hasta el punto $(4,2,1)$. Hint: primero calcule $\overrightarrow{k}$ y luego haga el producto escalar con $\overrightarrow{r}=x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$. '''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
<br />
para obtener el vector $\overrightarrow{k}$ necesitamos encontrar un vector unitario en la direccion que nos piden y multiplicándolo por $k$. el vector unitario es:<br />
<br />
<math>\hat{a}= \frac{\left[(4-0)\hat{i} + (2-0)\hat{j} + (1-0)\hat{k} \right]}{\sqrt{4^2 + 2^2 + 1^2}}= \frac{4\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}}{\sqrt{21}} </math><br />
<br />
ahora el vector $\overrightarrow{k}$ está dado por:<br />
<br />
<math>\overrightarrow{k}= k*\hat{a}=\frac{k*(4\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k})}{\sqrt{21}}</math><br />
<br />
la expresión en cordenadas cartesianas de una onda plana armónica viene dada por:<br />
<br />
<math>\psi (x,y,z,t)=A*sen(\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r} - wt)</math>:<br />
<br />
<math>\therefore \psi (x,y,z,t)=A*sen \left[\frac{4k}{\sqrt{21}}x + \frac{2k}{\sqrt{21}}y + \frac{k}{\sqrt{21}}z - wt\right]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Martínez|Luis Martínez]] ([[Usuario discusión:Luis Martínez|discusión]]) 17:05 27 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema adicional 2==<br />
'''Una onda se propaga por una cuerda según la ecuación $ y = 0.2\sin(6\pi t + \pi x + \dfrac{\pi}{4})$. Calcular:'''<br />
<br />
'''a) La frecuencia, el periodo, la longitud de onda y la velocidad de propagación.'''<br />
<br />
<br />
'''b) El estado de vibración, la velocidad y aceleración de una partícula situada en x = 0.2 m en 0.3 s '''<br />
<br />
<br />
'''c) La diferencia de fase entre dos puntos separados 0.3 m'''<br />
<br />
<br />
a) La forma general de la ecuación de onda $y(x, t)= A \sin(\omega t + Kx +\delta)$<br />
<br />
<br />
Partiremos de la frecuencia angular $\omega = 2 \pi; f = 6\pi rad/s; f= 3 Hz $ <br />
<br />
El periodo $ T = \dfrac{1}{f}= 0.333s$<br />
<br />
Para la velocidad usamos $c= \dfrac{\omega}{k} = \dfrac{6\pi}{\pi} = 6 m/s $<br />
<br />
b) Para x = 0.2 m, t= 0.3s. <br />
$$ y= 0.2\sin(6\pi*0.3 + \pi*0.2 + \dfrac{\pi}{4})= 0.2 \sin(7.069) = 0.1414 m $$<br />
<br />
Velocidad $$\dfrac{dy}{dx} = 0.2 *6 \pi \cos (6 \pi t + \pi x \dfrac{\pi}{4})= 0.2*6 \pi \cos (7.069)= 2.66 m/s$$<br />
<br />
Aceleración $$\dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}= -0.2(36\pi^{2})\sin(6\pi t + \pi x + \dfrac{\pi}{4} = 0,2(36\pi^{2}cos (7.069)= -50.25 m/s^{2}$$<br />
<br />
<br />
c) $\vartriangle x= 0.3 m$<br />
<br />
<br />
$\delta_{1} = 6 \pi t + \pi x + \dfrac{\pi}{4}$<br />
<br />
$$\vartriangle \delta = \delta_{2} - \delta_{1}= 0.3\pi rad $$<br />
<br />
<br />
$\delta_{2} = 6 \pi t + \pi (x + 0.3) + \dfrac{\pi}{4}$<br />
<br />
Física General 10° Edición, Frederick J. Bueche. Eugene Hetch.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 18:25 28 mar 2015 (CDT)Esther Sari García González<br />
<br />
<br />
<br />
==Problema 2.37==<br />
<br />
Escriba una expesion en coordenadas cartesianas para una onda plana armonica de amplitud <math>A</math> y frecuencia <math>\omega</math> que se propaga en direccion positiva de <math>x</math>. <br />
<br />
<br />
Primero se escribe un vector de posicion <math>\textbf{r}=x \hat{\mathbf{e}}_x+y \hat{\mathbf{e}}_y+z \hat{\mathbf{e}}_z</math> que comienza en el orige y termina en cualquier otro punto <math>(x,y,x)</math>.<br />
<br />
<br />
De esta forma, lo podemos escribir como<br />
<br />
<br />
<math>(\textbf{r}-\textbf{r}_{0})=(x-x_{0})\hat{\mathbf{e}}_x+(y-y_{0})\hat{\mathbf{e}}_y+(z-z_{0})\hat{\mathbf{e}}_z</math> y <br />
<br />
<br />
<math>(\textbf{r}-\textbf{r}_{0})\cdot\textbf{k}=0</math> donde obligamos al vector <math>(\textbf{r}-\textbf{r}_{0})</math> a barrer un plano perpendicalar a <math>\hat{\mathbf{e}}_x</math><br />
<br />
<br />
al ir adquiriendo su punto exremo <math>(x,y,z)</math> com <math>i=i_{x}\hat{\mathbf{e}}_x+i_{y}\hat{\mathbf{e}}_y+i_{z}\hat{\mathbf{e}}_z</math> que se puede escribir tambien como<br />
<br />
<br />
<math>i_{x}(x-x_{0})+i_{y}(y-y_{0})+i_{z}(z-z_{0})=0</math><br />
<br />
<br />
o tambien<br />
<br />
<br />
<math>i_{x}x+i_{y}y+i_{z}z=a</math> donde <math>a=cte</math><br />
<br />
<br />
Asi un plano perpendicular a <math>i</math> es <math> </math> <math>\textbf{i}\cdot\textbf{r}=a</math><br />
<br />
<br />
Tomemos la funcion <math>\psi{(r)}=A\sin{(\textbf{i}\cdot\textbf{r})}</math><br />
<br />
<br />
<math>\psi{(r)}=Acos{(\textbf{i}\cdot\textbf{r})}</math><br />
<br />
<br />
o <math>\psi{(r)}=Ae^{i\hat{\imath}\cdot\textbf{r}}</math><br />
<br />
<br />
y la funcion armonica se puede escribir como<br />
<br />
<br />
<math>\psi{(r)}=\psi{(r+\frac{\lambda \hat{\imath}}{k})}</math><br />
<br />
<br />
Para que esta funcion sea cierta se debe tener que<br />
<br />
<br />
<math>e^{i\lambda \hat{\imath}}=e^{i2\pi}</math><br />
<br />
<br />
Por consiguiente <math>\lambda i = 2\pi</math><br />
<br />
<br />
despejando <math>i</math> se tiene <math>i= \frac{2\pi}{\lambda}</math><br />
<br />
<br />
Se tiene entonces que <br />
<br />
<br />
<math>\psi{(r,t)}=Ae^{i(\hat{\imath}\cdot\textbf{r}\pm\omega t)}</math><br />
<br />
<br />
Para que esta funcion este orientada sobre el eje <math>x</math> solo se toma la coordenada <math>x</math> del vector <math>\vec{r}</math><br />
<br />
<br />
<math>\psi{(r,t)}=Ae^{i(ix\pm\omega t)}</math> asi que<br />
<br />
<br />
<math>\psi{(x)}=Ae^{i(ix\pm\omega t)}</math><br />
<br />
Por tanto esta es la onda armonica en coordenardas cartesianas que se propaga en el eje <math>x</math>.<br />
<br />
<br />
Hector resendiz --[[Usuario:Héctor Reséndiz|Héctor Reséndiz]] ([[Usuario discusión:Héctor Reséndiz|discusión]]) 19:23 29 mar 2015 (CDT) Libro hecht<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==problema adicional. movimiento ondulatorio==<br />
<br />
<br />
un foco F1 situado en el punto de coordenadas (0,0) entre ondas armónicas transversales de frecuencia 500Hz y amplitud 0.3m. Las ondas se propagan en el sentido positivo del eje x con una velocidad de 250 m/s.<br />
<br />
<br />
cual es la longitud de onda y el periodo de las ondas emitidas ? escribir la función de onda <br />
<br />
<br />
V= 500 Hz , A= 0.3 m, v= 250m/s , donde <math> v=(\lambda V)</math><br />
<br />
<br />
<math>\lambda=\frac{v}{V}= \frac{250}{500}= 0.5 m </math> ES LA LONGITUD DE ONDA<br />
<br />
<br />
<math>T=\frac{1}{V}=\frac{1}{500}= 2x10^{-3}s</math>ES EL PERIODO <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
La expresion general para la función de onda es :<br />
<br />
<math>y(x,t)=Asen(kx-\omega (t))</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{2\pi}{(\lambda)}=4\pi rad m^-1</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\omega=2\pi V= 2\pi 500 = 1000 \pi rad s^-1</math><br />
<br />
<br />
<math> y1(x,t)= 0.3 sen ( 4\pi - 1000\pi) m</math><br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luisa Alejandra Vega Sanchez|Luisa Alejandra Vega Sanchez]] ([[Usuario discusión:Luisa Alejandra Vega Sanchez|discusión]]) 23:58 29 mar 2015 (CDT)luisa alejandra vega sanchez</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Ondas:_probs_c2_mov_osc&diff=19289Ondas: probs c2 mov osc2015-03-30T05:57:23Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: /* 2.12 Hetch / 3ra Edición/2do método */</p>
<hr />
<div>vibraciones y ondas<br />
problemas capítulo 2 Óptica - Hecht<br />
==Problema 2.1==<br />
'''2.1¿Cuantas ondas de luz amarillas (<math>\lambda=580nm</math>) caben en una distancia en el espacio igual a un trozo de papel de (0.003 pulgadas)? ¿Hasta donde se extendera el mismo número de microondas <math>\displaystyle{(\nu=10^{10}Hhz}</math>, es decir, <math>\displaystyle{10GHz}</math> y <math>\displaystyle{v=3x10^8\frac{m}{s}})</math>?'''<br />
<br />
Para responder a la primera pregunta, basta con dividir el espesor del papel con el de la longuid de onda dada, es decir<br />
<br />
<center><math>ondas=\displaystyle{\frac{0.003 in}{580 mm}=\frac{0.003 in}{580 nm}\frac{25.4mm}{1 in}=\frac{0.0762 mm}{580 nm}=131 ondas}</math></center><br />
<br />
Una microonda con frecuencia de <math>\displaystyle{10 GHz}</math> tiene una longuitud de onda de<br />
<br />
<center><math>\displaystyle{\lambda=\frac{c}{\nu}=\frac{3x10⁸}{10 GHz}=0.03m}</math></center><br />
<br />
Por lo tanto 131 ondas con dicha longuitud se extenderán<br />
<br />
<center><math>\displaystyle{extensión=(131)(0.03m)=3.93 m}</math></center><br />
<br />
[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 20:28 17 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
==Problema 2.2==<br />
2.2''' La velocidad de la luz en el vacio es aproximadamente de''' $3x10^{8}\frac{m}{s}$.'''Calcule la longitud de onda de la luz roja con una frecuencia de''' $5x10^{14}Hz$.'''Compárela con la longitud de onda de una onda electromagnética de'''$60Hz.$<br />
<br />
<br />
Utilizamos la ecuación $\lambda=\frac{c}{\nu}$,donde $c$ es la velocidad de la luz y $\nu$ la frecuencia de la onda. Tendremos entonces:<br />
<br />
\[\lambda=\frac{c}{\nu}=\frac{3x10^{8}\frac{m}{s}}{5x10^{14}Hz}=6x10^{-7}m\] <br />
<br />
o la ecuación:<br />
<br />
\[\lambda=600nm\] <br />
<br />
que es la longitud de onda de la luz roja a la frecuencia solicitada en el problema. Ahora calculamos la longitud de onda de la onda electromagnética:<br />
<br />
<br />
\[\lambda_{1}=\frac{c}{\nu}=\frac{3x10^{8}\frac{m}{s}}{60Hz}=5x10^{6}m\].<br />
<br />
Al comparar $\lambda$ con $\lambda_{1}$ notamos que la longitud de onda ${\lambda}_{1}$correspondiente a la onda electromagnética es mucho mayor que la de la luz roja.<br />
<br />
[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 02:15 17 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
==Problema 2.3==<br />
<br />
'''Es posible generar ondas ultrasonicas en cristales con longitudes de onda similares a la luz $(5\times10^{-5}cm)$<br />
'''pero con frecuencias mas bajas $(6\times10^{8}Hz)$.''' '''Calcule la velocidad correspondiente de dicha onda.'''<br />
<br />
Pues bien teniendo los datos: $\lambda=5\times10^{-7}m$ y $f=6\times10^{8}Hz$<br />
<br />
<br />
De la ecuacion $v=f\cdot\lambda$<br />
<br />
<br />
$v=f\cdot\lambda$<br />
<br />
<br />
$v=(5\times10^{-7}m)(6\times10^{8}Hz)$<br />
<br />
<br />
$v=300\frac{m}{s}$<br />
<br />
[[Usuario:Mario Moranchel|Mario Moranchel]] ([[Usuario discusión:Mario Moranchel|discusión]]) 06:29 18 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
<br />
== Problema 2.4==<br />
<br />
'''Un joven en un barco sobre un lagoestá mirando las ondas que parecen'''<br />
'''una suceción infinita de crestas idénticas, produciendose con'''<br />
'''un intervalo de medio segundo cada una. Si cada perturbación tarda'''<br />
'''1.5s en cubrir la extensión del barco de 4.5 ¿cuál es la frecuencia,'''<br />
'''el periodo y la longitud de '''<br />
<br />
'''onda de las olas?'''<br />
<br />
Los datos dados en el problema, son los siguientes:<br />
<br />
t = 1.5s, l = 4.5m, <br />
<br />
Del enunciado, se deduce que el periodo, es el siguiente: $\tau=$0.5s.<br />
<br />
De donde se calcula la frecuencia utilizando la definición de frecuencia:<br />
<br />
\[<br />
\nu=\frac{1}{\tau}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Al sustituir, en la ecuuación, se obtiene el siguiente resultado:<br />
<br />
\[<br />
\nu=\frac{1}{0.5s}=2Hz<br />
\]<br />
<br />
<br />
Para obtener la longitud de onda, se utliliza la siguiente relación:<br />
<br />
\[<br />
\tau=\frac{\lambda}{v}\rightarrow\lambda=v\tau<br />
\]<br />
<br />
<br />
De donde la velocidad se obtiene a partir de la siguiente definición:<br />
$v=\frac{l}{t}=\frac{4.5m}{1.5s}=3m/s$<br />
<br />
Entonces $\lambda=(3m/s)(0.5s)=1.5m$.<br />
<br />
[[Usuario:Ana Alarid|Ana Alarid]] ([[Usuario discusión:Ana Alarid|discusión]]) 01:46 12 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
<br />
==Problema 2.5==<br />
<br />
'''Con un martillo vibrante se golpea el extremo de una barra de metal larga de manera que una onda de compresion periodica con una longitud de onda de 4.3m<br />
'''recorra todo lo largo de la barra con una velocidad de $v=3.5\frac{km}{s}$<br />
<br />
'''¿Cual sera la frecuencia de la vibración?'''<br />
<br />
<br />
Teniendo los datos: $\lambda=4.3m$ y $v=3500\frac{m}{s}$<br />
<br />
<br />
De la ecuacion $v=f\cdot\lambda$ obtendremos la frecuencia.<br />
<br />
$v=f\cdot\lambda$<br />
<br />
<br />
$f=\frac{v}{\lambda}$<br />
<br />
<br />
$f=\frac{4.3m}{3500\frac{m}{s}}$<br />
<br />
<br />
$f=1.22\times10^{-3}Hz$<br />
<br />
[[Usuario:Mario Moranchel|Mario Moranchel]] ([[Usuario discusión:Mario Moranchel|discusión]]) 06:42 18 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
<br />
==Problema 2.6==<br />
'''Durante la boda de dos buceadores, se sumerge un violín en la'''<br />
'''piscina. Dado que la velocidad de las ondas de compresión en agua'''<br />
'''pura es de 1.498 m/s. ¿Cual es la longitud de una nota la, de 440'''<br />
'''Hz que se toca en dicho instrumento?'''<br />
<br />
Conocemos la velocidad de la onda en el agua que es $\upsilon=1.498\frac{m}{s}$<br />
y conocemos también la frecuencia de la nota que es $\upsilon=440Hz=440\frac{ciclos}{s}$<br />
<br />
Ahora bien si queremos encontrar la longitud de la onda, recurrimos<br />
a la ecuación <br />
<br />
\[<br />
\upsilon=\nu\lambda<br />
\]<br />
<br />
<br />
De donde conocemos todo excepto la longitud de onda, solo requiere<br />
de un sencillo despeje para encontrar $\lambda$<br />
<br />
Haciendo el despeje la ecuación queda:<br />
<br />
\[<br />
\lambda=\frac{\upsilon}{\nu}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Sustituimos nuestros datos <br />
<br />
\[<br />
\lambda=\frac{1.498\frac{m}{s}}{440\frac{ciclos}{s}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Y obtendremos que <br />
\[<br />
\lambda=0.0034m<br />
\]<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Daniel Olvera Moreno]] ) 05:29 21 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.7==<br />
'''Un pulso de onda tarda $2.0 s$ en recorrer $10 m$ a lo largo de una cuerda, se genera una perturbación armónica con una longitud de onda de $0.5 m$ en la cuerda. ¿Cuál es su frecuencia?'''<br />
<br />
De los datos proporcionados sabemos que si la perturbación armónica tiene una longitud de onda de $\lambda=0.5 m$ de manera que el pulso completa 20 "ciclos" en los $10 m$ recorridos.<br />
<br />
De esta forma el periodo de la perturbación es:<br />
<br />
<math> \tau= \frac{2 s}{20}= 0.1 s</math><br />
<br />
Entonces la frecuencia es:<br />
<br />
<math> f= \frac{1}{\tau}=\frac{1}{0.1 s}=10 Hz </math><br />
<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 18:16 27 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.8==<br />
'''2.8 Demuestre que para una onda periódica $\omega=(\frac{2\pi}{\lambda})v$<br />
<br />
La mayoría de las ondas son el resultado de muchas perturbaciones sucesivas del medio. Cuando dichas perturbaciones se producen a intervalos regulares y todas son de la misma forma, estamos frente a una onda periódica.<br />
<br />
Una onda periódica posee periodo (número de unidades de tiempo por onda) y frecuencia (número de ondas por unidad de tiempo), establecidas por:<br />
<br />
$Periodo$<br />
\begin{equation}<br />
\tau=\frac{\lambda}{v}.... (i)<br />
\end{equation}<br />
donde $\tau$ es el periodo de onda, $\lambda$ es la longitud de onda y $v$ se refiere a la velocidad con la que viaja la onda.<br />
<br />
$Frecuencia$<br />
\begin{equation}<br />
\nu=\frac{\omega}{2\pi}....(ii)<br />
\end{equation}<br />
donde $\nu$ es la frecuencia de la onda, $\omega$ es la frecuencia angular de la onda.<br />
<br />
De $(ii)$ despejamos $\omega$<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega=\nu 2\pi ....(iii)<br />
\end{equation}<br />
<br />
También sabemos que el inverso del periodo es la frecuencia $(\nu=\frac{1}{\tau})$ <br />
<br />
Utilizando la expresión $(iv)$ y sustituyendola en $(iii)$<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\nu=\frac{1}{\tau} ....(iv)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega= \frac{2\pi}{\tau}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Sustituyendo $(i)$ en $\tau$<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega= \frac{2\pi}{\frac{\lambda}{v}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Por lo tanto:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega= (\frac{2\pi}{\lambda})(v)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 11:13 23 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
==Problema 2.9 ==<br />
<br />
Hacer una tabla con las columnas encabezadas por los valores de $\theta$<br />
corriendo de $-\frac{\pi}{2}$ a $2\pi$ en intervalos de $\frac{\pi}{4}$<br />
, en cada fila el valor correspondiente de $\sin\theta$ , debajo<br />
de esos valores los de $\cos\theta$ , por debajo de los valores de<br />
$\sin\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)$ , y similarmente con las<br />
funciones $\sin\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)$ , $\sin\left(\theta-\frac{3\pi}{4}\right)$<br />
, y $\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)$) . Trazar cada una de<br />
estas funciones, sin los efectos del desplazamiento de fase. La funcion<br />
$\sin\theta$ se atrasa o se adelantade la funcion $\sin\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)$<br />
. en otras palabras, Una de las funciones alcanza una magnitud particular,<br />
en un valor menor de $\theta$ que la otra y , por tanto, una conduce<br />
a la otra ( como $\cos\theta$ conduce $\sin\theta$ ) ?<br />
<br />
[[Archivo:Grafica2.9.png|700px|thumb|left|Las funciones $\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)$ y $\cos\theta$ son iguales y las otras funciones se desplazan a la izquierda de la función $\sin\theta$ cada $\frac{\pi}{4}$ a excepción de la función $\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)$ que de desplaza a la derecha ]]<br />
<br />
{| class="wikitable" style="text-align:center"<br />
|-<br />
! $ \theta $<br />
! $-\frac{\pi}{4}$<br />
! $-\frac{\pi}{4}$<br />
! $ 0 $<br />
! $ \frac{\pi}{4}$<br />
! $ \frac{\pi}{2}$<br />
! $ \frac{3\pi}{4}$<br />
! $ \pi $<br />
! $ \frac{5\pi}{4}$<br />
! $ \frac{3\pi}{2}$<br />
! $ \frac{7\pi}{4}$<br />
! $ 2\pi$<br />
|-<br />
| $ \sin(\theta) $<br />
| $ -1 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 1 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ -1 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
|-<br />
| $ \cos(\theta) $<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 1 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ -1 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 1 $<br />
|-<br />
| $ \sin(\theta-\frac{\pi}{4}) $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ -1 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 1 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ -1 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
|-<br />
| $ \sin(\theta-\frac{\pi}{2}) $<br />
| $ 0 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ -1 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 1 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ -1 $<br />
|-<br />
| $ \sin(\theta-\frac{3 \pi}{4}) $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ -1 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 1 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
|-<br />
| $ \sin(\theta+\frac{\pi}{2}) $<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 1 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ -1 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 1 $<br />
|}<br />
<br />
Respuesta: $\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)$ que es igual al $\cos(\theta)$ se desplaza a la izquierda del $\sin\theta$<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Rosario Maya|Rosario Maya]] ([[Usuario discusión:Rosario Maya|discusión]]) 20:37 29 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.10==<br />
<br />
Hacer una tabla con columnas encabezadas por los valores de $kx$<br />
correr desde $x=-\frac{\lambda}{2}$ a $x=+\lambda$ en intervalos<br />
de $x$ de $\frac{\lambda}{4}$ , por supuesto, $k=\frac{2\pi}{\lambda}$<br />
. En cada columna colocar los correspondientes valores de $\cos\left(kx+\frac{3\pi}{4}\right)$<br />
y para las funciones $15\cos\left(kx-\frac{\pi}{4}\right)$ y $25\cos\left(kx+\frac{3\pi}{4}\right)$.<br />
<br />
{| class="wikitable" style="text-align:center"<br />
|-<br />
! $ x $<br />
! $-\frac{\lambda}{2}$<br />
! $-\frac{\lambda}{4}$<br />
! $ 0 $<br />
! $\frac{\lambda}{4}$<br />
! $\frac{\lambda}{2}$<br />
! $\frac{3\lambda}{2} $<br />
! $ \lambda $<br />
|-<br />
| $ kx=2\pi\frac{\lambda}{2} $<br />
| $ -\pi $<br />
| $ -\frac{\pi}{2}$<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\pi}{2}$<br />
| $ \pi $<br />
| $ \frac{3\pi}{2}$<br />
| $ 2\pi$<br />
|-<br />
| $$\cos\left(kx-\frac{\pi}{2}\right)$$<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
|-<br />
| $$\cos\left(kx+\frac{3\pi}{4}\right)$$<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
|-<br />
| $$15\cos\left(kx-\frac{\pi}{4}\right)$$<br />
| $ 15-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 15-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 15\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 15\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 15-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 15-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 15\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
|-<br />
| $$25\cos\left(kx+\frac{3\pi}{4}\right)$$<br />
| $ 25\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 25\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 25-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 25-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 25\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 25\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 25-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
|}<br />
<br />
Ejercicio Resuelto por <br />
[[Usuario:Rosario Maya|Rosario Maya]] ([[Usuario discusión:Rosario Maya|discusión]]) 00:05 30 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
==Problema 2.11==<br />
<br />
Por resolverse...<br />
--[[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 23:01 29 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
<br />
==Problema 2.12==<br />
'''2.12 El perfil de una onda armónica, que viaja con velocidad de 1.2 m/s en una cuerda,esta dado por'''<br />
<br />
<center><math>\displaystyle{y=\left(0.02m\right)\sin\left(157m^{-1}\right)x}</math></center><br />
<br />
'''Calcule su amplitud, su longitud de onda, su frecuencia y su periodo'''<br />
<br />
Se observa que la ecuación no muestra dependencia del tiempo, por lo obedece a la ecuación (2.12) del libro<br />
<center><math>\displaystyle{\psi(x)=A\sin(kx)}</math></center><br />
de donde es inmediatos su amplitud '''A=0.02m''' y número de onda '''<math>k=157m^{-1}</math>''', por lo que su longuitud de onda esta dada por:<br />
<center><math>\displaystyle{\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{157m^{-1}}=0.04m}</math></center><br />
su frecuencia esta dada ṕor la ecuación (2.19), entonces:<br />
<center><math>\displaystyle{\nu=\frac{v}{\lambda}=\frac{1.2\frac{m}{s}}{0.04m}=30Hhz}</math></center><br />
Finalmente, su periodo esta dado por:<br />
<center><math>\displaystyle{\tau=\frac{1}{\nu}=\frac{1}{30}s}</math></center><br />
[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 17:56 26 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
<br />
----<br />
== Problema 2.12 Hetch / 3era Ed/2do método ==<br />
<br />
2.12.-El perfil de velocidad de una onda armónica, que viaja a una velocidad de 1.2 m/s en una cuerda, esta dado por:<br />
<br />
: <math> y=\left(0.02\right)\sin\left(157m\right)x<br />
</math><br />
<br />
Calcule su amplitud, su longitud de onda, su frecuencia y su periodo.<br />
<br />
Solución<br />
<br />
Se tiene la ecuación de onda(2.13) que es:<br />
<br />
: <math>\varPsi\left(x,t\right)=a\sin\kappa\left(x-vt\right)<br />
</math><br />
<br />
donde <math>A<br />
</math> es la amplitud , y <math>\kappa<br />
</math> el numero de onda (constante).<br />
<br />
Tomando en cuenta que el tiempo es independiente de la funcion de onda, y con t=0; se tiene:<br />
<br />
: <math>\varPsi(x,t)=A\sin\left[x-v(0)\right]=A\sin\kappa x<br />
</math><br />
<br />
a) Comparando la ecuacion del ejercicio, con la parte teórica, se sabe por inspección que la amplitud <math> A=0.02m<br />
</math> y <math>\kappa=157m^{-1}<br />
</math>.<br />
<br />
b) Se tiene la relación <math>\kappa=\frac{2\pi}{lambda}<br />
</math>; despejando la longitud de onda <math>"\lambda"<br />
</math> se tiene:<br />
<br />
: <math>\lambda<br />
= \frac{2\pi}{\kappa}<br />
=\frac{2\pi}{157m^{-1}}<br />
= 0.0400 m </math><br />
<br />
c) Para la frecuencia se tiene la relación <math>v<br />
= \nu\lambda<br />
</math>; despejando la frecuencia <math>"\nu"<br />
</math> se tiene:<br />
<br />
: <math>\nu<br />
=\frac{v}{\lambda}<br />
= \frac{1.2m/s}{0.0400m}<br />
= 30 Hz </math><br />
<br />
d) Para el período se tiene el recíproco de la frecuencia:<br />
<br />
: <math>\tau<br />
= \frac{1}{\nu}<br />
= \frac{1}{30Hz}<br />
= 0.033 s </math><br />
<br />
Elaborado por Ricardo García Hernández.--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:25 30 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
==Problema 2.13==<br />
<br />
'''2.13 Usando las funciones de onda'''<br />
<br />
<math>\psi_{1}=4\sin2\pi\left(0.2x-3t\right)<br />
</math><br />
<br />
<math>\psi_{2}=\frac{\sin\left(7x+3.5t\right)}{2.5}<br />
</math><br />
<br />
'''determine en cada caso los valores de <br />
<br />
'''a)amplitud,'''<br />
<br />
'''b)frecuencia, '''<br />
<br />
'''c)velocidad de fase, '''<br />
<br />
'''d)longitud de onda,'''<br />
<br />
'''e)periodo,'''<br />
<br />
'''f)dirección del movimiento. '''<br />
<br />
<br />
'''El tiempo se expresa en segundos y x en metros.'''<br />
<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
Partimos de la ecuación de onda:<br />
\[<br />
\psi=Asin(kx \pm \omega t)...(1)<br />
\]<br />
En donde podemos factorizar $2 \pi$ del alrgumento y escribir:<br />
<br />
\[<br />
\psi=Asin2 \pi (\frac{k}{2 \pi} x \pm \frac{\omega}{2\pi}t)<br />
...(2)\]<br />
<br />
Definimos a:<br />
<br />
\[<br />
\frac{k}{2\pi}=\chi <br />
\] <br />
\[<br />
\frac{\omega}{2\pi}=\nu<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\psi=Asin 2\pi(\chi x \pm \nu t)...(3)<br />
\]<br />
De esta ecuación podemos identificar la:<br />
<br />
Amplitud: $A$<br />
<br />
Frecuencia: $\nu$<br />
<br />
Número de onda: $\chi$<br />
<br />
Tambien sabemos que:<br />
<br />
Velocidad de fase: $V= \pm \frac{\omega}{k}$<br />
<br />
Longutud de onda: $\frac{V}{\nu}$<br />
<br />
<br />
Con lo anterior, dada $ \psi_1 = 4 sin2\pi (0.2 x - 3t)$<br />
<br />
a) Amplitud = 4 m<br />
<br />
b) Frecuencia = 3 Hz<br />
<br />
c) Velocidad de fase = $\frac{\omega}{k}=\frac{\nu}{\chi}=\frac{3 Hz}{0.2 m^{-1}}=15 m/s$<br />
<br />
d) Longitud de onda = $\frac{V}{\nu}= \frac{15}{3}=5 m$<br />
<br />
e) Periodo = $\frac{1}{\nu}=0.333... s$<br />
<br />
d) dirección del movimiento: <br />
<br />
Hacia la derecha.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Para la función $ \psi_2 \frac{1}{2.5} sin(7x + 3.5t) $<br />
<br />
a) Amplitud = $\frac{1}{2.5}=0.4 m$<br />
<br />
b) Frecuencia = $\frac{\omega}{2\pi}=\frac{3.5}{2\pi}=0.55 Hz$<br />
<br />
c) Velocidad de fase = $\frac{\omega}{k}=\frac{3.5}{7}=0.5 m/s$<br />
<br />
d) Longitud de onda = $\frac{2\pi}{k}= \frac{2/pi}{7}=0.897 m$<br />
<br />
e) Periodo = $\frac{2\pi}{\omega}=1.795 s$<br />
<br />
d) dirección del movimiento: <br />
<br />
Hacia la izquierda.<br />
<br />
<br />
Resuelto por: --[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 13:13 28 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
==Problema 2.14==<br />
<br />
'''2.14 Demuestre que, <math>\psi(x,t)=Asen(k(x-vt))</math> es una solucion de la ecuacion diferencial de onda.''' <br />
<br />
'''Demostración'''<br />
<br />
De la solución propuesta se observa que se trata de la ecuación de direferncial de onda en una dimensión, luego, para ser soloción debe satisfacer la ecuación<br />
<center><math>\displaystyle{\frac{\partial² \psi}{\partial x²}=\frac{1}{v²}\frac{\partial² \psi}{\partial t²}}</math></center><br />
La segunda derivada parcial respecto de x esta dada por<br />
<center><math>\displaystyle{\frac{\partial² \psi}{\partial x²}=\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial \psi}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(kA\cos(kx-kvt))=-k²A\sin(kx-kvt)}</math></center><br />
La segunda derivada parcial respecto de t esta dada por<br />
<center><math>\displaystyle{\frac{\partial² \psi}{\partial t²}=\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial \psi}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}(-kvA\cos(kx-kvt))=-k²v²A\sin(kx-kvt)}</math></center><br />
Al sustituilas en la ecuacion diferencial de onda se tiene <br />
<center><math>\displaystyle{-k^{2}A\sin(kx-kvt)=-\frac{1}{v^{2}}kv^{2}A\sin(kx-kvt)}</math></center><br />
Como la última igualdad es cierta, entonces es solución de la ecuación diferencial de onda en una dimensión.<br />
<br />
[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 21:17 17 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
==Problema 2.15==<br />
'''2.15 Demuestre que si el desplazamiento de la cuerda de la figura 2.7 está dado por <math>y(x,t)=A \sin[kx - \omega t + \varepsilon]</math> entonces la mano que genera la onda se debe mover verticalmente con movimiento armónico simple.<br />
<br />
Vemos que el movimiento de la cuerda en la figura $2.7$ corresponde al de una onda armónica que se desplaza a lo largo del eje $x$ durante un tiempo de un período, en este caso cualquier punto de la cuerda se desplaza sólo verticalmente, entonces podemos derivar la ecuación de movimiento como sigue:<br />
<br />
\[ <br />
\frac{\partial}{\partial x} y(x,t)=k A \cos[kx - \omega t + \varepsilon]<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial^2}{\partial x^2} y(x,t) = k^2 A \sin[kx - \omega t + \varepsilon]<br />
\]<br />
<br />
Vemos que en la segunda derivada aparece la primer derivada, al sustituirla se llega a la siguiente expresión:<br />
<br />
\[<br />
\ddot{y}=-k^2 y(x,t) \rightarrow \ddot{y}+k^2y=0<br />
\]<br />
<br />
Se observa que corresponde a la ecuación de un movimiento armónico simple realizado verticalmente.<br />
<br />
[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 16:49 27 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.16==<br />
'''2.16 Escriba la expresion para la onda armonica de amplitud <math>10^{3}V/m</math> , periodo <math>2.2x10^{-15}s</math> ,y velocidad <math>3x10^{8}m/s</math> .La onda se propaga en la direccion negativa de X y tiene un valor de <math>10^{3}V/m</math> en t=0 y x=0.'''<br />
<br />
R:<br />
<br />
<math>\tau=2.2x10^{-15}s</math><br />
<br />
<br />
sabiendo que <math>\nu=\frac{1}{\tau}</math><br />
<br />
<br />
<math>\nu=\frac{1}{2.2x10^{-15}s}=4.5x10^{14}Hz</math><br />
<br />
<br />
obtenemos la longitud de onda con <math>v=\nu\lambda</math><br />
<br />
<br />
es decir <math>\lambda=\frac{v}{\nu}=\frac{3.8x10^{8}m/s}{4.5x10^{14}Hz}</math><br />
<br />
<br />
<math>\lambda=6.6x10^{-7}m</math><br />
<br />
<br />
obtenemos K de la formula <math>k=\frac{2\pi}{\lambda}=9.5x10^{6}m^{-1}</math><br />
<br />
<br />
Sabiendo que la expresion de la ecuacion de onda es <br />
<br />
<math>\psi(x,t)=A\cos\left[kx+\omega t\right]</math><br />
<br />
<br />
sustituimos los datos antes encontrados para hallar la expresion que nos piden.<br />
<br />
<math>\psi(x,t)=\left(10^{3}\right)\cos\left[9.5x10^{6}\left(x+3x10^{8}t\right)\right]</math><br />
<br />
- --[[Usuario:Leticia González Zamora|Leticia González Zamora]] ([[Usuario discusión:Leticia González Zamora|discusión]]) 15:27 20 jun 2013 (CDT)<br />
----<br />
==Problema 2.17==<br />
'''2.17 Considere el pulso descrito en términos de sus desplazamientos en $t=0$ por $y(x,t)|_{t=0}=\frac{C}{2+x^{2}}$ donde $C$ es una constante. Dibuje el perfil de onda. Escriba una expresión para la onda que tiene una velocidad $v$ en la dirección negativa de $x$, como función del tiempo $t$. Si $v=1\frac{m}{s}$, dibuje el perfil en $t=2s$.'''<br />
<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
De la expresión $y(x,t)|_{t=0}=\frac{C}{2+x^{2}}$ notamos que el<br />
máximo de la función se encuentra cuando $x=0$ y por tanto el máximo<br />
siempre estará en $y_{max}=\frac{C}{2}$. <br />
<br />
[[Archivo:Perfil11.png]]<br />
<br />
De la expresión anterior debido a que esta al tiempo $t=0$ la velocidad<br />
de la onda no contribuía, ahora bien la expresión para una onda con<br />
cierta velocidad para ester perfil esta dada por<br />
\[<br />
y(x,t)=\frac{C}{2+(x+vt)^{2}}<br />
\]<br />
el sigo se debe a que queremos ver la onda desplazada a la izquierda<br />
o dirección negativa del $eje\; x$. <br />
<br />
La gráfica al tiempo $t=2s$ con una velocidad $v=1\frac{m}{s}$ se<br />
muestra a continuación.<br />
<br />
[[Archivo:Perfil123.png]]<br />
<br />
Nuevamente se toman 3 valores distintos para $C$.<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 05:46 26 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.18==<br />
2.18 '''Determine la magnitud de la función de onda''' $\psi(z,t)=Acos[k(z+vt)+\pi]$ '''en el punto''' $z=0$, '''cuanto''' $t=\frac{\tau}{2}$ '''y cuando '''$t=\frac{3\tau}{4}$.<br />
<br />
Partimos de la ecuación de la onda<br />
<br />
\[\psi(z,t)=Acos[k(z+vt)+\pi]\]<br />
<br />
Evaluamos en $z=0$ y nos queda<br />
<br />
\[\psi(0,t)=Acos[kvt+\pi]\]<br />
<br />
sustituimos $kv=\omega$ y entonces tenemos<br />
<br />
\[\psi(z,t)=Acos[\omega t+\pi]\]<br />
<br />
pero como $-Acos[\omega t]=Acos[\omega t+\pi]$ tenemos que<br />
<br />
\[\psi(z,t)=-Acos[\omega t]\]<br />
<br />
Finalmente sustituimos para $t=\frac{\tau}{2}$ y luego para $t=\frac{3\tau}{4}$ y obtenemos los resultados siguientes para cada caso.<br />
<br />
<br />
$\psi(0,\frac{\tau}{2})=-Acos[\omega\frac{\tau}{2}]=-Acos(\pi)^{-1}=A$<br />
<br />
<br />
y para $\psi(0,\frac{3\tau}{4})=-Acos[\omega\frac{3\tau}{4}]=-Acos(\frac{3}{4}\pi)=0$<br />
<br />
[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 01:48 28 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.19==<br />
'''2.19 ¿La siguiente función en la que''' $A$ '''es una constante,''' $\psi(y,t)=(y-vt)A$<br />
'''representa una onda? Explique su raznamiento.'''<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Como $\psi(y,t)=(y-vt)A$ es solo función de $(y-vt)$ cumple las<br />
condiciones de una ecuación de onda, donde<br />
\[<br />
\frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^{2}}=\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=0<br />
\]<br />
<br />
<br />
y así esta función es una solución a la ecuación de onda. Sin embargo,<br />
\[<br />
\psi(y,0)=Ay, <br />
\]<br />
por lo que no puede representar un perfil de onda.<br />
<br />
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 06:50 22 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
==Problema 2.20==<br />
''' Utilice la ecuación (2.33) para calcular la velocidad de la onda cuya representación en unidades SI es $\psi(y,t) = A \cos\left[\pi\left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right)\right]$ '''<br />
<br />
La ecuación (2.33) nos dice que:<br />
<br />
<math><br />
\left(\dfrac{\partial x}{\partial t}\right)_\varphi = \pm \dfrac{\omega}{k} = \pm v \hspace{20pt} \cdots \hspace{20pt} (2.33)<br />
</math><br />
<br />
pero nuestra representación está dada en términos de $\psi(y,t)$, por lo que podemos reescribir la ecuación como:<br />
<br />
<math><br />
\left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)_\psi = \pm \dfrac{\omega}{k} = \pm v <br />
</math><br />
<br />
y también sabemos que la ecuación está dada en términos del siguiente cociente(ecuación 2.32 del texto con las variables adecuadas):<br />
<br />
<math><br />
\left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)_\psi = \dfrac{-\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial t}\right)_y}{\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial y}\right)_t} \hspace{20pt} \cdots \hspace{20pt} (2.32)<br />
</math><br />
<br />
Calculando ahora las derivadas:<br />
<br />
<math><br />
-\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial t}\right)_y = - \left\{ - 9x10^{14} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right] \right\} <br />
= 9x10^{14} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right] \\<br />
\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial y}\right)_t = - 3x10^{6} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right]<br />
</math><br />
<br />
Por lo que, sustituyendo en la ecuación (2.32):<br />
<br />
<math><br />
\left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)_\psi = \dfrac{-\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial t}\right)_y}{\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial y}\right)_t}<br />
= \dfrac{9x10^{14} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right]}{- 3x10^{6} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right]}<br />
= - \dfrac{9x10^{14}}{3x10^{6}}<br />
</math><br />
<br />
Y realizando la operación obtenemos la velocidad deseada(en unidades SI como lo indica el enunciado):<br />
<br />
<math><br />
v = \left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)_\psi = -3x10^8 m/s = -c<br />
</math><br />
<br />
donde el signo negativo($-$) indica que la dirección de propagación es hacia la izquierda.<br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 00:50 27 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
==Problema 2.21==<br />
<br />
'''2.21 Comenzando por el siguiente teorema: sí <math>Z=f_{(x,y)}</math>,<math>x=g_{(t)}</math><br />
y <math>y=h_{(t)}</math><br />
Entonces:<br />
<br />
<math>\frac{\delta Z}{\delta t}=\frac{\partial Z}{\partial x}\frac{\delta x}{\delta t}+\frac{\partial Z}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}</math><br />
<br />
<br />
Derivar la ecuacion: (2.34)'''<br />
<br />
<math>\left.v=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial y}}\right\} 2.35</math><br />
<br />
<br />
En general tenemos que una funcion de onda cualquiera posee la forma. <br />
<br />
<math>\Psi_{(\bar{r},t)}=\psi</math><br />
<br />
<br />
Sin perdida de generalidad consideramos el mivimiento sobre un eje de porpagacion “y”<br />
<br />
<math>\Psi_{(y,t)}=\psi</math><br />
<br />
<br />
Entonces por regla de la cadena (el teorema propuesto.)<br />
<br />
<math>\frac{\delta\psi}{\delta t}=\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}+\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{\delta t}{\delta t}</math><br />
<br />
<br />
De aqui sabemos que para una perturbacion que no cambia con el tiempo:<br />
<br />
<math>\frac{\delta\psi}{\delta t}=0</math><br />
<br />
<br />
Asimismo la diferencial del tiempo respecto al tiempo es uno, entonces, tras estas simplificaciones obtenemos.<br />
<br />
<math>0=\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}+\frac{\partial\psi}{\partial t}</math><br />
<br />
<br />
Despejando: <math>\frac{\delta y}{\delta t}=v</math><br />
<br />
<br />
<math>v=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial y}}</math><br />
<br />
<br />
La cual es la ecuacion 2.34. --[[Usuario:Andrés Arturo Cerón Téllez|Andrés Arturo Cerón Téllez]] ([[Usuario discusión:Andrés Arturo Cerón Téllez|discusión]]) 23:48 5 jul 2013 (CDT)<br />
<br />
El problema yo lo realice de la siguiente manera:<br />
<br />
'''2.21. Empezando por el siguiente teorema: Si $z=f(x,y)$ y $x=g(t)$,'''<br />
'''$y=h(t)$, entonces:'''<br />
<br />
\[<br />
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}<br />
\]<br />
<br />
<br />
'''Derive la ecuación (2.34)'''<br />
<br />
Sabemos que la ecuación (2.34) es:<br />
<br />
\[<br />
\pm v=-\frac{\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)_{x}}{\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)_{t}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Ya que sabemos que<br />
<br />
\[<br />
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Luego:<br />
<br />
\[<br />
\left(\frac{d\psi}{d\varphi}\right)_{\varphi}=\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dx}{d\varphi}+\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{dy}{d\varphi}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Y ya que en nuestro caso $\left(\frac{d\psi}{d\varphi}\right)$ es<br />
constante en $\varphi$, entonces la ecuación se vuelve<br />
<br />
\[<br />
\text{-}\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}=\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dx}{d\varphi}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\frac{dx}{d\varphi}=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Pero ádemas, es posible reescribir a $\frac{dx}{d\varphi}=\frac{\partial x}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}$,<br />
asi:<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial x}{\partial t}=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dt}{d\varphi}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Asi finalmente, la ecuación se puede reescribir como:<br />
<br />
\[<br />
\pm v=\left(\frac{\partial x}{\partial t}\right)_{\varphi}=-\frac{\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)_{x}}{\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)_{t}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] 23 Marzo 2014 21:29 (CDT)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.22==<br />
'''2.22. Utilizando los resultados del problema anterior, demuestre que'''<br />
'''para una onda armónica con una fase $\varphi(x,t)=k(x-vt)$ podemos'''<br />
'''calcular la velocidad estableciendo $\frac{d\varphi}{dt}=0$.'''<br />
'''Aplique la tecnica al problema 2.20 a fin de calcular la velocidad'''<br />
'''de dicha onda.'''<br />
<br />
Veamos primero que dicha fase cumple con la definición, entonces tenemos<br />
lo siguiente:<br />
<br />
\[<br />
\psi(x,t)=Asen(k(x-vt))<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial\psi}{\partial x}=kAsen(k(x-vt))<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial\psi}{\partial t}=-kvAsen(k(x-vt))<br />
\]<br />
<br />
<br />
Luego:<br />
<br />
\[<br />
-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}}=-\frac{(-kv)Asen(k(x-vt))}{kAsen(k(x-vt))}=v<br />
\]<br />
<br />
<br />
Por lo cuál, la función cumple con la definición. Ahora veamos que<br />
si $\frac{d\varphi}{dt}=0$ entonces la funcion sigle cumpliendo.<br />
<br />
Del problema (2.21) tenemos que por definición:<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}=\frac{d\psi}{d\varphi}-\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dx}{d\varphi}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial x}{\partial t}=\frac{\frac{d\psi}{d\varphi}-\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dt}{d\varphi}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial x}{\partial t}=\frac{\frac{d\psi}{d\varphi}\frac{d\varphi}{dt}\frac{dt}{d\varphi}-\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dt}{d\varphi}}=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial t}}<br />
\]<br />
<br />
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] 23 Marzo 2014 21:36 (CDT)<br />
<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.23==<br />
'''2.23 Una onda gaussiana, tiene la forma $\psi(x,t)=A^{-a(bx+ct)^{2}}$.Utilize<br />
el que $\psi(x,t)=f(x\pm vt)$''' '''para calcular su velocidad, comprobando<br />
luego su respuesta con la ecuación (2.3).'''<br />
<br />
Se utliza la siguuente definición de velocidad: <br />
\[<br />
\pm v=-\left(\frac{\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)_{x}}{\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)_{y}}\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Se resuelven ambas partes de la ecuación por separado:<br />
<br />
\[<br />
\psi_{x}=(-2a)A(b)e^{-(abx+ct)^{2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\psi_{y}=-(2a)Ace^{-(bx+ct)^{2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Al sustituir los resultados obtenidos en la definicón de velocidad:<br />
<br />
\[<br />
v=\frac{(-2a)Ace^{-(abx+ct)^{2}}}{(-2a)Abe^{-(abx+ct)^{2}}}=\frac{c}{b}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Se obitene el resultado de la ecuación 2.3: $v=\frac{c}{b}$<br />
<br />
[[Usuario:Ana Alarid|Ana Alarid]] ([[Usuario discusión:Ana Alarid|discusión]]) 18:43 27 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
==Problema 2.24==<br />
'''2.24 Encuentre una expresión para el perfil de una onda armónica que viaja en la dirección de $z$ cuya magnitud en $z=-\frac{\lambda}{12}$ es 0.866, en $z=+\frac{\lambda}{6}$ es $\frac{1}{2}$ y en $z=\frac{\lambda}{4}$ es 0.''' <br />
<br />
Utilizamos la función de onda armónica en el que $t=0$ puesto que $\varepsilon$ es una contribución constante a la fase y además es independiente del recorrido de la onda en términos de espacio y de tiempo: <br />
\begin{equation}<br />
\psi(z,0)=Asen(kz+\varepsilon);<br />
\end{equation}<br />
donde $\psi$ es la propagación de la onda, $A$ es la amplitud, $k$ es el número de onda que está dada por $k=\frac{2\pi}{\lambda}$, $z$ corresponde a la dirección de propagación y $\varepsilon$ es la fase inicial.<br />
<br />
A continuación escribimos las condiciones iniciales:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\psi(-\frac{\lambda}{12},0)=Asen(-\pi/6 + \varepsilon)=0.866 ....(I)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\psi(\frac{\lambda}{6},0)=Asen(-\pi/3 + \varepsilon)=\frac{1}{2} ....(II)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\psi(\frac{\lambda}{4},0)=Asen(-\pi/2 + \varepsilon)=0 ....(III)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Para obtener el valor numérico de $\psi$ es necesario encontrar los valores para $\varepsilon$ y por consiguiente la amplitud $A$ y en conclusión obtener el perfil que se nos pide. <br />
Para ello utilizamos la expresión $(III)$ puesto que es más sencilla de manipular y está igualada a 0. Utilizamos la identidad trigonométrica de suma de dos ángulos que involucra a senos y cosenos.<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A=sen(\pi/2+\varepsilon)=A[sen(\pi/2)cos(\varepsilon)+cos(\pi/2)sen(\varepsilon)]<br />
\end{equation}<br />
<br />
Simplificamos<br />
<br />
\begin{equation}<br />
=Acos(\varepsilon)=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Despejamos $\varepsilon$ y obtenemos su valor<br />
\begin{equation}<br />
\varepsilon=\frac{\pi}{2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Ahora bien para encontrar $A$ podemos utilizar la expresión $(I)$ o $(II)$. Utilizando la expresión $(II)$ y sustituyendo el valor encontrado para $\varepsilon$:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
Asen(\pi/3 + \pi/2)=Asen(5\pi/6)=\frac{1}{2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Así<br />
\begin{equation}<br />
A(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}; A=1<br />
\end{equation}<br />
<br />
Por lo tanto, la expresión para el perfil de una onda armónica que viaja en la dirección de $z$ es:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\psi(z,0)=sen(kz+\pi/2)<br />
\end{equation}<br />
<br />
[[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 01:37 23 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.26==<br />
<br />
'''2.26.Establezca cuáles de las expresiones siguientes describen ondas'''<br />
'''viajeras:'''<br />
<br />
(a) $\psi(y,t)=\exp-(a^{2}y^{2}+b^{2}t^{2}-2aybt)$<br />
<br />
(b) $\psi(z,t)=Asen(az^{2}-bt^{2})$<br />
<br />
(c) $\psi(x,t)=Asen2\pi\left(\frac{x}{a}+\frac{t}{b}\right)^{2}$<br />
<br />
(d) $\psi(x,t)=Acos^{2}2\pi(t-x)$<br />
<br />
Para la onda (a), si la reescribimos como sigue:<br />
<br />
$\psi(y,t)=\exp-(a^{2}y^{2}+b^{2}t^{2}-2aybt)\Rightarrow\exp-a^{2}(y-\frac{b}{a}t)^{2}$<br />
es evidente que se trata de una onda viajera, ya que cumple con las<br />
características de una.<br />
<br />
Para la onda (b), es claro que no se comporta como una onda viajera,<br />
ya que la función no es lineal, una característica de las ondas viajeras.<br />
<br />
Para la onda (c), es viajera, por que el término dentro del argumento<br />
es lineal, y nos dice que la onda se desplaza en una dirección diferente,<br />
hacia la izquierda.<br />
<br />
Para la onda (d), no es viajera, por que la función $cos^{2}(x)$<br />
no cumple con la definición de onda viajera.<br />
<br />
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] 23 Marzo 2014 21:37 (CDT)<br />
----<br />
<br />
==Problmea 2.30==<br />
'''make up a table with columns headed by values of kx runing from <math>x=\frac{\lambda}{2}</math> to <math>x=\lambda</math> in intervals of x of <math>\frac{\lambda}{4}</math>. In each columns place the corresponding values of cos kx and beneath that the values of cos kx+pi Next plot the functions cos kx, coskx+pi, and cos kx+coskx+pi '''<br />
<br />
Hacer una tabla con columnas encabezadas por los valores de kx runing desde <br />
<math>x=\frac{\lambda}{2}</math> to <math>x=\lambda</math> en intervalos de x de <math>\frac{\lambda}{4}</math>. En cada columna colocan los correspondientes valores de cos kx y bajo que los valores de cos kx + pi. Grafique las funciones cos kx, coskx + pi, y cos kx + coskx + pi.<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
<br />
[[Archivo:tabla30.jpg|500px|thumb|center|]]<br />
<br />
[[Archivo:Graf30.jpg|400px|thumb|center|]]<br />
<br />
Problema resuelto por --[[Usuario:Luis Velázquez|Luis Velázquez]] ([[Usuario discusión:Luis Velázquez|discusión]]) 20:08 27 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
==Problmea 2.31==<br />
'''2.31. Trabajando directamente con exponenciales, demuestre que la'''<br />
'''magnitud de $\psi=A\exp iwt$ es A. A continuación, vuelva a calcular'''<br />
'''el mismo resultado utilizando la fórmula de Euler. Demuestre que $\exp i\alpha\exp i\beta=\exp i(\alpha+\beta)$'''<br />
<br />
Sabemos que la magnitud de $\psi$ sera igual a su modulo, es decir: <br />
<br />
$|\psi|=\psi\psi*^{\nicefrac{1}{2}}$ y que $\psi*=A\exp-iwt$ por<br />
definición.<br />
<br />
Luego:<br />
<br />
$|\psi|=\left[\left(A\exp iwt\right)\left(A\exp-iwt\right)\right]^{\frac{1}{2}}=\left[A^{2}\exp iwt-iwt\right]^{\frac{1}{2}}=\left(A^{2}\exp0\right)^{\frac{1}{2}}=A$<br />
<br />
Ahora, usando la fórmula de Euler, tenemos que:<br />
<br />
$|\psi|=\left[\left(A\exp iwt\right)\left(A\exp-iwt\right)\right]^{\frac{1}{2}}$<br />
<br />
$|\psi|=\left[A(coswt+isenwt)A(coswt-isenwt)\right]^{\frac{1}{2}}$<br />
<br />
$|\psi|=\left[A^{2}\left(cos^{2}wt-isen(wt)cos(wt)+isen(wt)cos(wt)+sen^{2}wt\right)\right]^{\frac{1}{2}}$<br />
<br />
$|\psi|=\left[A^{2}(cos^{2}wt+sen^{2}wt)\right]^{\frac{1}{2}}=(A^{2})^{\frac{1}{2}}=A$<br />
<br />
Demostremos ahora que $\exp i\alpha\exp i\beta=\exp i(\alpha+\beta)$<br />
<br />
$\exp i\alpha\exp i\beta=\left(cos\alpha+isen\alpha\right)\left(cos\beta+isen\beta\right)$<br />
<br />
$\exp i\alpha\exp i\beta=cos\alpha cos\beta+icos\alpha sen\beta-icos\beta sen\alpha+i^{2}sen\beta sen\alpha$<br />
<br />
$\exp i\alpha\exp i\beta=cos\alpha cos\beta+icos\alpha sen\beta-icos\beta sen\alpha-sen\beta sen\alpha=(cos\alpha cos\beta-sen\alpha sen\beta)+i(cos\alpha sen\beta+sen\alpha cos\beta)$<br />
<br />
$\exp i\alpha\exp i\beta=cos(\alpha+\beta)+isen(\alpha+\beta)=\exp i(\alpha+\beta)$<br />
<br />
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] 23 Marzo 2014 21:38 (CDT)<br />
----<br />
==Problema 2.32==<br />
''' 2.32 Demuestre que la parte imaginaria de un número complejo z esta dada por $\left(z-z^{\star}\right)/2i$.'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
Sea z perteneciente a los complejos<br />
<br />
<br />
$z=a+ib$<br />
<br />
<br />
y su conjugado<br />
<br />
<br />
$z^{\star}=a-ib$<br />
<br />
<br />
entonces:<br />
<br />
<br />
$z-z^{\star}=a+ib-(a-ib)$<br />
<br />
<br />
<br />
$z-z^{\star}=2ib$<br />
<br />
Dividimos entre $2i$<br />
<br />
<br />
$z-z^{\star}/2i=2ib/2i$<br />
<br />
<br />
<br />
$\left(z-z^{\star}\right)/2i=b$<br />
<br />
<br />
que es la parte imaginaria del número complejo z.<br />
<br />
[[Usuario:Edgar Ortega Roano|Edgar Ortega Roano]] ([[Usuario discusión:Edgar Ortega Roano|discusión]]) 17:43 18 mar 2014 (CDT)<br />
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] ([[Usuario discusión:Cesar Ivan Avila Vasquez|discusión]]) 21:53 26 Marzo 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.34==<br />
2.34<br />
<br />
'''Demuestre que las ecuaciones $\psi(x,y,z,t)=f(\alpha x+\beta y+\gamma z-vt)$ y $\psi(x,y,z,t)=f(\alpha x+\beta y+\gamma z+vt)$ que son ondas planas de forma arbitraria, cumplen con la ecuacion diferencial de onda tridimensional.'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
De la ecuación de onda tridimensional ,$\nabla^{2}\psi=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}$, obtenemos el Laplaciano para nuestras ecuaciones, así $\nabla^{2}\psi=\alpha^{2}f^{´´}+\beta^{2}f^{´´}+\gamma^{2}f^{´´}$<br />
es el Laplaciano para ambas ecuaciones.<br />
<br />
Ahora al calcular $\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}$ obtenemos que $\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=v^{2}f^{´´}$ para ambas ecuaciones.<br />
<br />
Por lo que al sustituir en la ecuación de onda tridimensional obtenemos.<br />
<br />
$f^{´´}(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2})=f^{´´}$<br />
<br />
Por lo que para cualquier onda tridimensional se debe cumplir que $\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=1$.<br />
<br />
[[Usuario:Edgar Ortega Roano|Edgar Ortega Roano]] ([[Usuario discusión:Edgar Ortega Roano|discusión]]) 17:52 18 mar 2014 (CDT)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.35==<br />
'''2.35. La hipótesis de De Broglie afirma que cada partícula tiene asociada'''<br />
'''a ella una longitud de onda dada por la constante de Planck ($h=6.6x10^{-34}Js$),'''<br />
'''dividida por el momento de la partícula.'''<br />
<br />
'''Compare la longitud de onda de una piedra de 6.0 kg moviendosea una'''<br />
'''velocidad de 1 m/s con la de la luz.'''<br />
<br />
Tenemos que:<br />
<br />
\[<br />
\lambda=\frac{h}{p}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Para la piedra tenemos entonces que:<br />
<br />
\[<br />
\lambda=\frac{6.6x10^{-34}Js}{(6kg)(1m/s)}=1.1x10^{-34}m<br />
\]<br />
<br />
<br />
Y sabemos ádemas que la longitud de onda de la luz se encuentra en<br />
un intervalo de $\lambda=\left[3.8,7.5\right]x10^{-7}m$, entonces,<br />
comparando ambas longitudes de onda notamos que la asociada a la piedra<br />
es mucho más pequeña que la de la luz, si la longitud de onda de la<br />
luz fuera más pequeña que la de la piedra, la luz atravesaria la piedra.<br />
<br />
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] 23 Marzo 2014 21:40 (CDT)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.36== <br />
''' Escribe una expresión para la onda mostrada en la figura P.2.36. Encuentra la velocidad de onda, velocidad, frecuencia y periodo.'''<br />
'''Solución''' :<br />
[[Archivo:Figure P.2.36.png|350px]]<br />
<br />
a) La forma matemática de la descripción de una función de onda es:<br />
<math>\psi(z,t)=Asen(kz \mp \omega t \pm \epsilon)</math><br />
Dado lo anterior podemos encontrar el número de onda K y la frecuencia <math>\omega</math>, donde <math>\epsilon</math> a un tiempo cero, es igual a cero por lo tanto <math>\epsilon =0 </math>. <br />
De las expresiones para el numero de onda <math>K = \frac{2 \pi}{ \lambda}</math> y <math>\omega= \frac{2 \pi}{\tau}</math>, en donde <math>\tau</math> y <math>\lambda</math> son la frecuencia y la longitud de onda respectivamente, podremos reescribir la expresión para la onda como:<br />
<math>\psi(z,t)=A sen 2 \pi (\frac{z}{\lambda}-\frac{t}{\tau})</math><br />
El signo menos es por el desplazamiento de la función de onda a la derecha. <br />
Por el gráfico se observa que la longitud de onda es de cuatrocientos nanómetros, la amplitud es de 60 nanómetros y el periodo es de <math>1.33x10^{-15}s</math>, dado que da un ciclo en ese tiempo. Por ende la expresión buscada es:<br />
<math>\psi(z,t)=A sen 2 \pi (\frac{z}{400x10^{-9} m}-\frac{t}{1.33X10^{-15}s})</math><br />
<br />
b)Calculando la velocidad de onda:<br />
<math>v= \frac{\lambda}{\tau}=\frac{400x10^{-9}m}{1.33x10^{-15} s}=3x10^{8} \frac{m}{s}</math><br />
<br />
c) Calculando la frecuencia y el periodo:<br />
<math>\nu = \frac{1}{\tau}= \frac{1}{1.33} x10^{15} Hz</math><br />
<br />
<math>\tau= 1.33x 10^{-15} s</math><br />
<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 22:16 22 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
[[categoría:Vibra]]<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 22:23 21 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
<br />
----<br />
==Problema Adicional== <br />
<br />
'''La ecuación de onda transversal que se mueve a lo largo de una cuerda está dada por:'''<br />
<br />
<math>\Psi(z,t)=0.3\sin\pi\left(0.5z-50t\right)<br />
</math><br />
<br />
'''Hallar la amplitud, la longitud de onda, el número de ondas, la frecuencia, el período y la velocidad de onda. '''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
Usando la ecuación <br />
<br />
<br />
\[<br />
\psi=A\sin2\pi\left(kz\pm\nu t\right)<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\psi=A\sin\pi\left(2kz\ - 2\nu t\right)<br />
\]<br />
<br />
La amplitud:<br />
<br />
<math>A=0.3m</math><br />
<br />
Longitud de onda<br />
<br />
<math>0.5=\frac{2}{\lambda}</math><br />
<br />
<math>\lambda=4m</math><br />
<br />
Número de onda<br />
<br />
<math>2k=0.5</math><br />
<br />
entonces<br />
<br />
<math>k=\frac{0.5}{2}</math><br />
<math>k=0.25m^-1</math><br />
<br />
La velocidad de onda<br />
<math>v=(2) (50)</math><br />
<math>v=100 m/s</math><br />
<br />
Tomado de : Vibraciones y ondas. A. P. FRENCH pág. 277. Problema 7-2.<br />
Resuelto por:--[[Usuario:Luis Velázquez|Luis Velázquez]] ([[Usuario discusión:Luis Velázquez|discusión]]) 10:56 26 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.1 ==<br />
'''¿Cuántas ondas de luz <<amarillas>> $(\lambda=580nm)$ caben en una distancia en el espacio igual al espesor de un trozo de papel $(0.003 pulgadas)$? ¿Hasta dónde se extenderá el mismo número de microondas $(\nu=10^{10}Hz$, es decir, $10GHz$ y $v=3x10^8m/s)$?'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
La longitud de onda es la relación entre la velocidad de la onda y su frecuencia, que está dada por;<br />
:<math>\lambda=\frac{v}{\nu}</math><br />
Donde $v$ es la velocidad de la onda y $\nu$ es la frecuencia de la onda.<br />
La distancia $d$ recorrida por la onda es:<br />
<math>d=k*\lambda</math><br />
<br />
Donde $k$ es el número de ondas propagadas, y $\lambda$ es la longuitud de onda.<br />
<br />
ahora para saber cuántas ondas caben en el espesor del trozo de papel, convierto la longuitud de onda de la luz amarilla a metros:<br />
<br />
<math>\lambda_{amarillo} = (580nm) * \left(\frac{10^{-9}m}{1nm}\right)=580*10^{-9}m</math><br />
<br />
despues convierto el espesor del papel en metros:<br />
<br />
<math>0.003in=(0.003in)* \left(\frac{2.54*10^{-2}m}{1in}\right)=7.62*10^{-5}m</math><br />
<br />
calculamos el numero de ondas en la distancia en el espacio del espesor del papel, utilizamos lo que ya sabemos:<br />
<br />
:<math>d=k*\lambda_{amarillo}</math><br />
<br />
despejando y sustituyendo tenemos:<br />
<br />
:<math>k=\frac{d_{papel}}{\lambda_{amarillo}}=\frac{7.62*10^{-5}m}{580*10^{-9}m}=131ondas</math><br />
<br />
<math>\therefore</math> $131$ $ondas$ de luz amarilla caben en una distancia de $0.003$ $pulgadas$<br />
<br />
<br />
para la segunda pregunta calculamos la longitud de onda con los datos que nos dan:<br />
<br />
:<math>\lambda=\frac{v}{\nu}=\frac{3*10^8m/s}{10^{10}Hz}=0.03m</math><br />
<br />
Ahora calculamos cuanta distancia se extenderá el mismo número de ondas con ésta longitud de onda:<br />
<br />
:<math>\therefore d=k*\lambda=(131)(0.03m)= 3.9m</math><br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Martínez|Luis Martínez]] ([[Usuario discusión:Luis Martínez|discusión]]) 08:09 27 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
----<br />
== Problema 2.42 ==<br />
'''Escriba una expresión en coordenadas cartesianas para una onda plana armónica de amplitud $A$ y frecuencia $w$, que se propaga en la dirección del verctor $\overrightarrow{k}$, que a su vez, se encuentra en una línea que va desde el origen hasta el punto $(4,2,1)$. Hint: primero calcule $\overrightarrow{k}$ y luego haga el producto escalar con $\overrightarrow{r}=x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$. '''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
<br />
para obtener el vector $\overrightarrow{k}$ necesitamos encontrar un vector unitario en la direccion que nos piden y multiplicándolo por $k$. el vector unitario es:<br />
<br />
<math>\hat{a}= \frac{\left[(4-0)\hat{i} + (2-0)\hat{j} + (1-0)\hat{k} \right]}{\sqrt{4^2 + 2^2 + 1^2}}= \frac{4\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}}{\sqrt{21}} </math><br />
<br />
ahora el vector $\overrightarrow{k}$ está dado por:<br />
<br />
<math>\overrightarrow{k}= k*\hat{a}=\frac{k*(4\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k})}{\sqrt{21}}</math><br />
<br />
la expresión en cordenadas cartesianas de una onda plana armónica viene dada por:<br />
<br />
<math>\psi (x,y,z,t)=A*sen(\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r} - wt)</math>:<br />
<br />
<math>\therefore \psi (x,y,z,t)=A*sen \left[\frac{4k}{\sqrt{21}}x + \frac{2k}{\sqrt{21}}y + \frac{k}{\sqrt{21}}z - wt\right]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Martínez|Luis Martínez]] ([[Usuario discusión:Luis Martínez|discusión]]) 17:05 27 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema adicional 2==<br />
'''Una onda se propaga por una cuerda según la ecuación $ y = 0.2\sin(6\pi t + \pi x + \dfrac{\pi}{4})$. Calcular:'''<br />
<br />
'''a) La frecuencia, el periodo, la longitud de onda y la velocidad de propagación.'''<br />
<br />
<br />
'''b) El estado de vibración, la velocidad y aceleración de una partícula situada en x = 0.2 m en 0.3 s '''<br />
<br />
<br />
'''c) La diferencia de fase entre dos puntos separados 0.3 m'''<br />
<br />
<br />
a) La forma general de la ecuación de onda $y(x, t)= A \sin(\omega t + Kx +\delta)$<br />
<br />
<br />
Partiremos de la frecuencia angular $\omega = 2 \pi; f = 6\pi rad/s; f= 3 Hz $ <br />
<br />
El periodo $ T = \dfrac{1}{f}= 0.333s$<br />
<br />
Para la velocidad usamos $c= \dfrac{\omega}{k} = \dfrac{6\pi}{\pi} = 6 m/s $<br />
<br />
b) Para x = 0.2 m, t= 0.3s. <br />
$$ y= 0.2\sin(6\pi*0.3 + \pi*0.2 + \dfrac{\pi}{4})= 0.2 \sin(7.069) = 0.1414 m $$<br />
<br />
Velocidad $$\dfrac{dy}{dx} = 0.2 *6 \pi \cos (6 \pi t + \pi x \dfrac{\pi}{4})= 0.2*6 \pi \cos (7.069)= 2.66 m/s$$<br />
<br />
Aceleración $$\dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}= -0.2(36\pi^{2})\sin(6\pi t + \pi x + \dfrac{\pi}{4} = 0,2(36\pi^{2}cos (7.069)= -50.25 m/s^{2}$$<br />
<br />
<br />
c) $\vartriangle x= 0.3 m$<br />
<br />
<br />
$\delta_{1} = 6 \pi t + \pi x + \dfrac{\pi}{4}$<br />
<br />
$$\vartriangle \delta = \delta_{2} - \delta_{1}= 0.3\pi rad $$<br />
<br />
<br />
$\delta_{2} = 6 \pi t + \pi (x + 0.3) + \dfrac{\pi}{4}$<br />
<br />
Física General 10° Edición, Frederick J. Bueche. Eugene Hetch.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 18:25 28 mar 2015 (CDT)Esther Sari García González<br />
<br />
<br />
<br />
==Problema 2.37==<br />
<br />
Escriba una expesion en coordenadas cartesianas para una onda plana armonica de amplitud <math>A</math> y frecuencia <math>\omega</math> que se propaga en direccion positiva de <math>x</math>. <br />
<br />
<br />
Primero se escribe un vector de posicion <math>\textbf{r}=x \hat{\mathbf{e}}_x+y \hat{\mathbf{e}}_y+z \hat{\mathbf{e}}_z</math> que comienza en el orige y termina en cualquier otro punto <math>(x,y,x)</math>.<br />
<br />
<br />
De esta forma, lo podemos escribir como<br />
<br />
<br />
<math>(\textbf{r}-\textbf{r}_{0})=(x-x_{0})\hat{\mathbf{e}}_x+(y-y_{0})\hat{\mathbf{e}}_y+(z-z_{0})\hat{\mathbf{e}}_z</math> y <br />
<br />
<br />
<math>(\textbf{r}-\textbf{r}_{0})\cdot\textbf{k}=0</math> donde obligamos al vector <math>(\textbf{r}-\textbf{r}_{0})</math> a barrer un plano perpendicalar a <math>\hat{\mathbf{e}}_x</math><br />
<br />
<br />
al ir adquiriendo su punto exremo <math>(x,y,z)</math> com <math>i=i_{x}\hat{\mathbf{e}}_x+i_{y}\hat{\mathbf{e}}_y+i_{z}\hat{\mathbf{e}}_z</math> que se puede escribir tambien como<br />
<br />
<br />
<math>i_{x}(x-x_{0})+i_{y}(y-y_{0})+i_{z}(z-z_{0})=0</math><br />
<br />
<br />
o tambien<br />
<br />
<br />
<math>i_{x}x+i_{y}y+i_{z}z=a</math> donde <math>a=cte</math><br />
<br />
<br />
Asi un plano perpendicular a <math>i</math> es <math> </math> <math>\textbf{i}\cdot\textbf{r}=a</math><br />
<br />
<br />
Tomemos la funcion <math>\psi{(r)}=A\sin{(\textbf{i}\cdot\textbf{r})}</math><br />
<br />
<br />
<math>\psi{(r)}=Acos{(\textbf{i}\cdot\textbf{r})}</math><br />
<br />
<br />
o <math>\psi{(r)}=Ae^{i\hat{\imath}\cdot\textbf{r}}</math><br />
<br />
<br />
y la funcion armonica se puede escribir como<br />
<br />
<br />
<math>\psi{(r)}=\psi{(r+\frac{\lambda \hat{\imath}}{k})}</math><br />
<br />
<br />
Para que esta funcion sea cierta se debe tener que<br />
<br />
<br />
<math>e^{i\lambda \hat{\imath}}=e^{i2\pi}</math><br />
<br />
<br />
Por consiguiente <math>\lambda i = 2\pi</math><br />
<br />
<br />
despejando <math>i</math> se tiene <math>i= \frac{2\pi}{\lambda}</math><br />
<br />
<br />
Se tiene entonces que <br />
<br />
<br />
<math>\psi{(r,t)}=Ae^{i(\hat{\imath}\cdot\textbf{r}\pm\omega t)}</math><br />
<br />
<br />
Para que esta funcion este orientada sobre el eje <math>x</math> solo se toma la coordenada <math>x</math> del vector <math>\vec{r}</math><br />
<br />
<br />
<math>\psi{(r,t)}=Ae^{i(ix\pm\omega t)}</math> asi que<br />
<br />
<br />
<math>\psi{(x)}=Ae^{i(ix\pm\omega t)}</math><br />
<br />
Por tanto esta es la onda armonica en coordenardas cartesianas que se propaga en el eje <math>x</math>.<br />
<br />
<br />
Hector resendiz --[[Usuario:Héctor Reséndiz|Héctor Reséndiz]] ([[Usuario discusión:Héctor Reséndiz|discusión]]) 19:23 29 mar 2015 (CDT) Libro hecht<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==problema adicional. movimiento ondulatorio==<br />
<br />
<br />
un foco F1 situado en el punto de coordenadas (0,0) entre ondas armónicas transversales de frecuencia 500Hz y amplitud 0.3m. Las ondas se propagan en el sentido positivo del eje x con una velocidad de 250 m/s.<br />
<br />
<br />
cual es la longitud de onda y el periodo de las ondas emitidas ? escribir la función de onda <br />
<br />
<br />
V= 500 Hz , A= 0.3 m, v= 250m/s , donde <math> v=(\lambda V)</math><br />
<br />
<br />
<math>\lambda=\frac{v}{V}= \frac{250}{500}= 0.5 m </math> ES LA LONGITUD DE ONDA<br />
<br />
<br />
<math>T=\frac{1}{V}=\frac{1}{500}= 2x10^{-3}s</math>ES EL PERIODO <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
La expresion general para la función de onda es :<br />
<br />
<math>y(x,t)=Asen(kx-\omega (t))</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{2\pi}{(\lambda)}=4\pi rad m^-1</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\omega=2\pi V= 2\pi 500 = 1000 \pi rad s^-1</math><br />
<br />
<br />
<math> y1(x,t)= 0.3 sen ( 4\pi - 1000\pi) m</math><br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luisa Alejandra Vega Sanchez|Luisa Alejandra Vega Sanchez]] ([[Usuario discusión:Luisa Alejandra Vega Sanchez|discusión]]) 23:58 29 mar 2015 (CDT)luisa alejandra vega sanchez</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Ondas:_probs_c4&diff=19288Ondas: probs c42015-03-30T05:55:43Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: /* Problema 4.9 Hetch / 3era Ed/2do método */</p>
<hr />
<div>Vibraciones y Ondas<br />
<br />
Problemas capítulo 4. Óptica - Hecht<br />
----<br />
==Problema 4.1==<br />
'''Work your away through an argument using dimensional analysis to establish the $\lambda^{-4}$ dependence of the percentage of light scattered in Rayleigh Scattering. Let $E_{0i}$ and $E_{0s}$ be the incident and scattered amplitudes, the latter at a distance r from the scatterer. Assame $ E_{0s}\varpropto E_{0i}$ and $E_{0s}\varpropto \dfrac{1}{r}$. Furthermore, plausibly assume that the scattered amplitude is proportional to the volume. V, of the scatterer, within limits the is reasonable. Determine the units of the constant of proportionality.'''<br />
<br />
Para relacionando la distancia r con la amplitud y su proporcionalidad con el volumen, utilizaremos la siguiente ecuación, la cual es adimencional.<br />
<br />
$$\dfrac{VK}{r}$$<br />
<br />
Sí $E_{0s}\varpropto\dfrac{1}{r}$ y $ E_{0s}\varpropto E_{0i}$ <br />
<br />
Entonces $$E_{0s}\varpropto \dfrac{VE_{0i}}{r}= \dfrac{K V E_{0i}}{r}$$<br />
<br />
Así que K tiene las unidades de $(\lambda)_{2}$<br />
$$K= (\lambda)^{-2}$$<br />
<br />
Y esto se puede comprobar por:<br />
$$\dfrac{I_{i}}{I_{s}}\varpropto K^{2}\varpropto \lambda ^{-4}$$<br />
<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 23:34 28 mar 2015 (CDT)Esther Sarai Garcia<br />
<br />
----<br />
==Problema 4.2==<br />
Resolviendo por Rosario Maya <br />
----<br />
==Problema 4.5==<br />
<br />
'''<br />
Un haz de microondas planas de 12 cm incide en la superficie de un dieléctrico a 45°. Si $n_{ti}=4/3$ calcule a) la longitud de onda en el medio transmisor, y b) el ángulo $\theta_{t}$'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
De la ley de Snell<br />
\[<br />
n_i sin\theta_i = n_t sin\theta_t<br />
\]<br />
Tenemos:<br />
\[\frac{n_t}{n_i}=\frac{sin\theta_i}{sin\theta_t}=n_{ti}...(1)\]<br />
<br />
Tambien sabemos que:<br />
\[<br />
n=\frac{C}{v}...(2)<br />
\]<br />
<br />
y<br />
<br />
\[<br />
v=\lambda \nu...(3)<br />
\]<br />
<br />
Por lo que (1) puede escribirse como:<br />
<br />
\[n_{ti} = \frac{\frac{C}{v_t}}{\frac{C}{n_i}}=\frac{v_i}{v_t}=\frac{\lambda_i}{\lambda_t}...(3)\]<br />
<br />
Despejando:<br />
<br />
\[<br />
\lambda_t = \frac{\lambda_i}{n_{ti}}=\frac{12cm}{4/3}<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\lambda_t=9cm<br />
\]<br />
<br />
<br />
De (1)<br />
<br />
\[sin\theta_i = n_{ti}sin\theta_t\]<br />
<br />
\[<br />
\theta_t =angsin \frac{sin\theta_i}{n_{ti}}=angsin \frac{sin45^{o}}{4/3}<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\theta_t = 32.02^{o}<br />
\]<br />
<br />
Resuelto por: --[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 14:31 28 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
== Problema 4.6 ==<br />
<br />
''' Un haz láser muy estrecho incide bajo un ángulo de $58^o$ sobre un espejo horizontal. El haz de luz reflejado incide en una pared en un punto situado a 5 metros de distancia del punto de incidencia donde el haz de luz chocó con el espejo. ¿A qué distancia, medida horizontalmente, está la pared de ese punto de incidencia?.<br />
'''<br />
<br />
Como bien sabemos, los ángulos de inicidencia y reflexión(o refracción) se miden respecto a la normal a la superficie, por lo que si el láser incide con un ángulo $\alpha_i = 58^o$, entonces el ángulo reflejado, por la ley de reflexión que nos dice que el ángulo reflejado es igual al rayo incidente, será $\alpha_r = 58^o$.<br />
<br />
Además, se forma un triángulo rectángulo entre las dos trayectorias del rayo(incidente y reflejado) y la distancia $d$ horizontal del punto de incidencia y el punto donde el láser toca la pared. Por lo que, utilizando trigonometría básica, tenemos:<br />
<br />
<math><br />
\sin(58^o) = \dfrac{d}{5m} \Rightarrow d = (5m) \sin(58^o)<br />
</math><br />
<br />
Entonces, la distancia, medida horizontalmente, de la pared al punto de incidencia es de: $d \approx 4.24m$.<br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 01:09 27 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
== Problema 4.9/Hetch 3era edicion ==<br />
''' Calcule el ángulo de transmisión para un rayo en el aire incidente a $30^o$ en un bloque de vidrio-crown($n_v = 1,52$).<br />
'''<br />
<br />
La Ley de Snell-Descartes nos dice que:<br />
<br />
<math><br />
n_i \sin \alpha_0 = n_v \sin \alpha_t<br />
</math><br />
<br />
Por lo que despejando para $\alpha_t$:<br />
<br />
<math><br />
\sin \alpha_t = \dfrac{n_i}{n_v} \sin \alpha_0<br />
</math><br />
<br />
donde $n_i$ es el ángulo de incidencia, en este caso $\alpha_i = 30^o$ y $n_i$ es el índice de refracción del aire, que es $n_i \approx 1$. Entonces, sustituyendo:<br />
<br />
<math><br />
\sin \alpha_t = \dfrac{1}{1.52} \sin(30^0) \Rightarrow \sin \alpha_t = (0.66) \left(\dfrac{1}{2}\right)<br />
\Rightarrow \alpha_t = \arcsin(0.33) \approx 19^o 7'<br />
</math><br />
<br />
Por lo que, el ángulo de transmisión buscado es: $\alpha_t = 19^o 7'$.<br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 01:52 27 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
----<br />
== Problema 4.9 Hetch / 3era Ed ==<br />
<br />
4.9 .- Un rayo de luz amarilla en el aire, procedente de una lámpara de descarga de sodio, cae sobre la superficie de un diamante en el aire a 45°. Si a esa frecuencia nd =2.42, calcule la desviación angular sufrida en la transmisión.<br />
<br />
Solución<br />
<br />
Se tiene que la relación del indice de refracción es de la forma:<br />
<br />
: <math> n_{ti}<br />
=\frac{n_{t}}{n_{i}}<br />
=\frac{\lambda_{i}}{\lambda_{t}}<br />
=2.42 </math><br />
<br />
Entonces, si:<br />
<br />
: <math> \frac{n_{t}}{n_{i}}<br />
=2.42 \Rightarrow<br />
\frac{n_{i}}{n_{t}}<br />
=\frac{1}{2.42}<br />
</math><br />
<br />
Ahora la Ley de Snell nos dice:<br />
<br />
: <math> n_{ti}=<br />
\frac{sen\theta_{i}}{sen\theta_{t}}<br />
</math><br />
<br />
donde <math> n_{ti}<br />
=\frac{n_{t}}{n_{i}}<br />
</math>, entonces:<br />
<br />
: <math> \frac{n_{t}}{n_{i}}<br />
= \frac{sen\theta_{i}}{sen\theta_{t}}<br />
\Rightarrow<br />
n_{i}sen\theta_{i}<br />
=n_{t}<br />
sen\theta_{t},<br />
</math><br />
<br />
despejamos <math>\theta_{t}<br />
</math> que es el ángulo de transmisión sobre la superficie del diamante, y se tiene:<br />
<br />
: <math> \theta_{t}<br />
= sen^{-1}<br />
\left[\frac{n_{i}}{n_{t}}sen\theta_{i}\right],<br />
</math><br />
<br />
sustituyendo los valores proporcionados pro el problema:<br />
<br />
: <math> \theta_{t}<br />
= sen^{-1}<br />
\left[\frac{sen45\text{\textdegree}}{2.42}\right]<br />
</math><br />
<br />
: <math> \theta_{t}<br />
= sen^{-1}<br />
\left(0.2921\right)<br />
= 16.98° </math><br />
<br />
por lo tanto:<br />
<br />
La desviación angular es 45°- 16.98° = 28.02° <br />
<br />
Que es el ángulo de desviación angular sufrida en la transmisión.<br />
<br />
Elaborado por Ricardo García Hernández.--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:32 30 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
== Problema 4.12 ==<br />
<br />
''' Luz de longitud de onda $600nm$ en el vacío entra a un bloque de vidrio donde $n_v = 1.5$. Calcule su longitud de onda en el vidrio. ¿De qué color aparecerá para alguien que está simergido en el vidrio(véase tabla 3.4)?.<br />
'''<br />
<br />
Tomemos la relación (2.19) del libro:<br />
<br />
<math><br />
v = \lambda \nu \hspace{20pt} \cdots \hspace{20pt} (2.19)<br />
</math><br />
<br />
En el vacío, la ecuación (2.19) se convierte, con $\lambda_0$ la longitud de onda la luz en el vacío, en:<br />
<br />
<math><br />
c = \lambda \nu \Rightarrow \nu = \dfrac{c}{\lambda_0} = \dfrac{3x10^8 m/s}{6x10^{-7} m}\\<br />
\therefore \nu = 5x10^{14} Hz<br />
</math><br />
<br />
Ahora bien, el índice de refracción del vidrio es $n_v = 1.5$, por lo que utilizando la definición, tenemos que:<br />
<br />
<math><br />
n_v = \dfrac{c}{v} \Rightarrow v = \dfrac{c}{n_v} = \dfrac{3x10^8 m/s}{1.5} \\<br />
\therefore v = 2x10^8 m/s<br />
</math><br />
<br />
Ahora, reutilizando la ecuación (2.19):<br />
<br />
<math><br />
v = \lambda_v \nu \Rightarrow \lambda_v = \dfrac{v}{\nu} = \dfrac{2x10^8 m/s}{5x10^{14} Hz} \\<br />
\therefore \lambda_v = 4x10^{-7} m = 400 nm<br />
</math><br />
<br />
Ahora, la tabla (3.4) del libro de texto, nos dice que para el color violeta el rango de longitudes de onda es $455nm-390nm$, por lo que para una persona sumergida en el vidrio, el rayo de luz le parecerá violeta.<br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 01:40 27 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
== Problema 4.18 ==<br />
<br />
'''Show analytically that a beam entering a planar transparent plate , as in figure , emerges parallel to displacement of the beam . Incidentally, the incoming and outgoing rays would be parallel even for a stack of plates of different material'''<br />
<br />
Muestra analíticamente que un haz de entrar en una placa transparente planar , como en la figura , emerge paralelo al desplazamiento de la viga. Por cierto, los rayos entrantes y salientes serían paralelas incluso para una pila de placas de material diferente.<br />
<br />
[[Archivo:refraccion.jpg|200px|thumb|left|Cristal]]<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
Solución<br />
<br />
Partiendo de la ley de Snell <br />
<br />
<math><br />
n_1 \sin \theta_0 = n_2 \sin \theta_t<br />
</math><br />
<br />
----<br />
y usando como ejemplo una lámina de vidrio analizamos:<br />
<br />
[[Archivo:Diagrama2.jpg|300px|thumb|left|Análisis]]<br />
<br />
<br />
<math>n1=1</math>, <math>\theta 1=45^º</math><br />
<br />
<math>n2=1.52</math>, <math>\theta 2=27.7^º</math><br />
<br />
<br />
<math><br />
\frac{n_1}{n_2 }\sin \theta 1 = \sin \theta 2<br />
</math><br />
<br />
ahora sabemos que<math>\theta 2=27.7^º</math><br />
<br />
y analizando <br />
<br />
<math>\theta 3</math> y <math>\theta 4</math><br />
<br />
por triángulos semejantes sabemos que<br />
<br />
<math>\theta 3=62.3^º</math><br />
<br />
volviendo a aplicar ley de Snell<br />
<br />
<math><br />
\frac{n_2}{n_1 }\sin \theta 3 = \sin \theta 4<br />
</math><br />
y obtenemos <br />
<br />
<math>\theta 4=45^º</math><br />
<br />
Así queda demostrado que el rayo incidente y el saliente son paralelos por que<br />
<br />
<math>\theta 4</math> es igual a <math>\theta 1</math><br />
<br />
Ejercicio resuelto por --[[Usuario:Luis Velázquez|Luis Velázquez]] ([[Usuario discusión:Luis Velázquez|discusión]]) 07:24 27 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
==Problema 4.16==<br />
''' Obtener la ley de reflexión, <math>\theta_{i} = \theta{r}</math>, usando para el cálculo el tiempo de mínima transmisión, como requerimiento por el principio de Fermat'''<br />
<br />
Lo que nos dice el principio de Fermat:<br />
El trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es estacionario respecto a posibles variaciones de la trayectoria<br />
<br />
Dicho de otra manera, el tiempo de transmisión que sigue la luz para recorrer un medio tiene que ser el mínimo. <br />
<br />
[[Archivo:Ley de reflexión.png|250px]]<br />
<br />
En la imagen anterior representa la trayectoria de un haz de luz en un medio homogéneo en donde es reflejado totalmente, la representación nos servirá para deducir las expresiones de reflexión. <br />
Primero para el tiempo que se observa que el tiempo que dura la luz para ir del objeto gris al objeto verde es:<br />
<math>T= \frac{d_{1}}{C}+\frac{d_{2}}{C}</math><br />
donde <math>C</math> es la velocidad de la luz y <math>T=t_{1}+t_{2}</math>, por lo tanto podemos deducir que:<br />
<math>CT=d_{1} +d_{2}= \sqrt{h_{1}^2+x^2}+\sqrt{h_{2}^2+(L-x)^2}</math><br />
<br />
Usando el principio de Fermat donde nos dice que:<br />
<math>C \frac{dt}{dx}= 0</math><br />
Aplicando la primera derivada con respecto de la posición tenemos que:<br />
<math>C \frac{dt}{dx}= \frac{d ( \sqrt{h_{1}^2+x^2})}{dx}+\frac{d( \sqrt{h_{2}^2+(L-x)^2})}{dx}=0</math><br />
Desarrollando tenemos que:<br />
<math>\frac{x}{\sqrt{h_{1}^2+x^2}}-\frac{L-x}{\sqrt{h_{2}^2+(L-x)^2}}=0</math> <br />
Por trigonometría tenemos que:<br />
<math>sen(\theta_{i})=\frac{x}{\sqrt{h_{1}^2+x^2}} </math><br />
Y:<br />
<math>sen(\theta_{r})= \frac{L-x}{\sqrt{h_{2}^2+(L-x)^2}}</math><br />
Por lo tanto obtenemos que:<br />
<math>Sen(\theta_{i})-Sen(\theta_{r})=0</math><br />
De donde podemos concluir, usando el principio de Fermat que:<br />
<math>Sen(\theta_{i})=Sen(\theta_{r})</math><br />
Sí y sólo si:<br />
<math>\theta_{i}=\theta_{r}</math><br />
<br />
Hecho por --[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 17:44 29 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==ejercicio adicional, propagación de luz==<br />
<br />
<br />
un lente convergente de 10 cm, de longitud focal forma una imagen de un objeto situado del lente a : <br />
<br />
(a) 30 cm<br />
(b)10com<br />
(c) 5cm<br />
<br />
<br />
Encontrar la distancia a la imagen y describir la imagen en cada caso.<br />
<br />
<br />
La ecuación del lente delgado puede utilizarse para determinar la distancia a la imagen :<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\frac{1}{P}+\frac{1}{q}=\frac{1}{F}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\frac{1}{30}+\frac{1}{q}=\frac{1}{10}</math><br />
<br />
<br />
q= 15 cm<br />
<br />
el signo positivo indica que la imagen es real. El aumento es: <br />
<br />
<br />
<math>\frac{q}{p}= \frac {-15}{30}=- 0.5</math><br />
<br />
<br />
<br />
de este modo la imagen a reducido su tamaño a la mitad y el signo negativo de M indica que la imagen esta invertida.<br />
<br />
Ningún calculo es necesario para este caso, ya que, se sabe que cuando el objeto se pone en el punto focal, la imagen se forma en el infinito. Esto se puede verificar sustituyendo P=10 en la ecuación del lente.<br />
<br />
<br />
A continuación nos movemos dentro del punto focal, hasta una distancia del objeto de 5cm. En este caso, la ecuación del lente delgado produce :<br />
<br />
<br />
<math>\frac{1}{5}+\frac{1}{9}= \frac{1}{10}</math><br />
<br />
q= -10cm<br />
<br />
<br />
<math>M= \frac{-q}{p}=-(\frac{-10}{5}=2</math><br />
<br />
<br />
<br />
La distancia a la imagen negativa nos indica que es virtual. La imagen se ha alargado y el signo positivo para M nos señala que la imagen esta de pie.<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luisa Alejandra Vega Sanchez|Luisa Alejandra Vega Sanchez]] ([[Usuario discusión:Luisa Alejandra Vega Sanchez|discusión]]) 00:43 30 mar 2015 (CDT)luisa alejandra vega sanchez</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Ondas:_probs_c7&diff=19287Ondas: probs c72015-03-30T05:54:21Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: /* 7.29 Hetch / 3ra Edición/2do método */</p>
<hr />
<div>vibraciones y ondas<br />
problemas capítulo 7 Óptica - Hecht<br />
----<br />
== Problema 7.1 ==<br />
'''Determine la resultante de la superposición de las ondas paralelas $E_{1}=E_{01}\sin(\omega t+\epsilon_{1})$ y $E_{2}=E_{02}\sin(\omega t+\epsilon_{2})$ cuando $\omega=120\pi$, $E_{01}=6$, $E_{02}=8$, $\epsilon_{1}=0$ y $\epsilon_{2}=\frac{\pi}{2}$. Represente gráficamente cada función y la resultante.'''<br />
<br />
En la imagen se muestra la gráfica de las primeras dos funciones dadas.<br />
<br />
[[Archivo:EN1.png]]<br />
<br />
<br />
Ahora bien sumemos ambas ondas, dado por <br />
\[<br />
E=E_{1}+E_{2}<br />
\]<br />
<br />
<br />
donde $E_{1}$ y $E_{2}$ estan dadas por<br />
\[<br />
E_{1}=E_{01}\sin(\omega t+\epsilon_{1})=E_{01}(\sin\omega t\cos\epsilon_{1}+\cos\omega t\sin\epsilon_{1})<br />
\]<br />
\[<br />
E_{2}=E_{02}\sin(\omega t+\epsilon_{2})=E_{02}(\sin\omega t\cos\epsilon_{2}+\cos\omega t\sin\epsilon_{2})<br />
\]<br />
<br />
<br />
Al sumar y factorizar se obtiene<br />
\[<br />
E=(E_{01}\cos\epsilon_{1}+E_{02}\cos\epsilon_{2})\sin\omega t+(E_{01}\sin\epsilon_{1}+E_{02}\sin\epsilon_{2})\cos\omega t<br />
\]<br />
<br />
<br />
ya que $\epsilon_{1}=0$ , $\epsilon_{2}=\frac{\pi}{2}$ , $\omega=120\pi$,<br />
$E_{01}=6$ y $E_{02}=8$ nos queda<br />
<br />
\[<br />
E=6\sin120\pi t+8\cos120\pi t<br />
\]<br />
<br />
<br />
La suma de ambas ondas se muestra gráficamente.<br />
<br />
<br />
[[Archivo:EN2.png]]<br />
<br />
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 17:22 28 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema 3.2/7.2 ==<br />
<br />
''' Considerando la sección 7.1, suponga que empezamos el análisis con el fin de calcular $E = E_1 + E_2$ con dos funciones coseno $E_1=E_{01} \cos(\omega t + \alpha_1)$ y $E_2 E_{02} = \cos(\omega t + \alpha_2)$. Para facilitar algo la tarea, sea $E_{01} = E_{02}$ y $\alpha_1 = 0$. Sume las dos ondas algebraicamente y utilice la conocida identidad trigonométrica $\cos \theta + cos \phi = 2 \cos\left[1/2 (\theta + \phi)\right] \cos\left[1/2 (\theta - \phi)\right]$ para demostrar que $E = E_0 \cos(\omega t + \alpha)$, donde $E_0 = 2 E_{01} \cos(\alpha_2 / 2)$ y $\alpha = \alpha_2 / 2$. Ahora demuestre que estos mismos resultados se deducen de las ecuaciones 7.9 y 7.10.'''<br />
<br />
<br />
Comencemos desarrollando la suma algebráica de las dos ondas:<br />
<br />
<math><br />
E = E_1 + E_2 = E_{01} \cos(\omega t + \alpha_1) + E_{02} \cos(\omega t + \alpha_2)<br />
</math><br />
<br />
y sabemos que $E_{01} = E_{02}$, además $\alpha_1 = 0$, por lo que, sustituyendo:<br />
<br />
<math><br />
E = E_{01} \cos(\omega t + 0) + E_{01} \cos(\omega t + \alpha_2) = E_{01} \left[ \cos(\omega t) + \cos(\omega t + \alpha_2) \right]<br />
</math><br />
<br />
Y si definimos $\theta \equiv \omega t$ y $\phi \equiv \omega t + \alpha_2$, tenemos:<br />
<br />
<math><br />
E = E_{01} \left[ \cos(\theta) + \cos(\phi) \right]<br />
</math><br />
<br />
y utilizando la identidad trigonométrica $\cos \theta + cos \phi = 2 \cos\left[1/2 (\theta + \phi)\right] \cos\left[1/2 (\theta - \phi)\right]$:<br />
<br />
<math><br />
E = E_{01} \left[ 2 \cos\left[1/2 (\theta + \phi)\right] \cos\left[1/2 (\theta - \phi)\right] \right]<br />
</math><br />
<br />
y sustituyendo los valores de $\theta$ y $\phi$:<br />
<br />
<math><br />
E = E_{01} \left\{ 2 \cos\left[1/2 (\omega t + \omega t + \alpha_2)\right] \cos\left[1/2 (\omega t - \omega t + \alpha_2)\right] \right\} \\<br />
\Rightarrow E = E_{01} \left\{ 2 \cos\left[\dfrac{2 \omega t + \alpha_2}{2}\right] \cos\left[ \dfrac{\alpha_2}{2} \right] \right\}<br />
= E_{01} \left\{ 2 \cos\left[\omega t + \dfrac{\alpha_2}{2}\right] \cos\left[ \dfrac{\alpha_2}{2} \right] \right\}<br />
</math><br />
<br />
y definiendo $\alpha \equiv \alpha_2/2$:<br />
<br />
<math><br />
E = E_{01} \left[ 2 \cos\left(\omega t + \alpha \right) \cos\left( \alpha \right) \right] <br />
= 2 E_{01} \cos(\alpha) \cos(\omega t + \alpha)<br />
</math><br />
<br />
y como $E_0 = 2 E_{01} \cos(\alpha_2 / 2) = 2 E_{01} \cos(\alpha)$, entonces:<br />
<br />
<math><br />
E = E_0 \cos(\omega t + \alpha)<br />
</math><br />
<br />
que es lo que queríamos mostrar.<br />
<br />
Ahora, recordemos las ecuaciones 7.9 y 7.10:<br />
<br />
<math><br />
E_0^2 = E_{01}^2 + E_{02}^2 + 2 E_{01} E_{02} \cos(\alpha_2 - \alpha_1) \hspace{20pt} \ldots \hspace{20pt} (7.9) \\<br />
\tan(\alpha) = \dfrac{E_{01} \sin \alpha_1 + E_{02} \sin \alpha_2}{E_{01} \cos \alpha_1 + E_{02} \cos \alpha_2} \hspace{20pt} \ldots \hspace{20pt} (7.10)<br />
</math><br />
<br />
Tomando ahora la ecuación (7.10) y sustituyendo $\alpha_1 = 0$, tenemos que:<br />
<br />
<math><br />
\tan(\alpha) = \dfrac{E_{01} \sin 0 + E_{02} \sin \alpha_2}{E_{01} \cos 0 + E_{02} \cos \alpha_2}<br />
= \dfrac{E_{02} \sin \alpha_2}{E_{01} + E_{02} \cos \alpha_2}<br />
</math><br />
<br />
luego, como $E_{01} = E_{02}$:<br />
<br />
<math><br />
\tan(\alpha) = \dfrac{E_{01} \sin \alpha_2}{E_{01} + E_{01} \cos \alpha_2}<br />
= \dfrac{E_{01} \sin \alpha_2}{E_{01} ( 1 + \cos \alpha_2)}<br />
= \dfrac{\sin \alpha_2}{1 + \cos \alpha_2}<br />
</math><br />
<br />
y tenemos tres identidades trigonométricas importantes:<br />
<br />
<math><br />
\sin \tfrac{\alpha_2}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha_2}{2}}<br />
\Rightarrow \sqrt{2} \sin \tfrac{\alpha_2}{2} = \sqrt{1 - \cos \alpha_2} \\<br />
<br />
\cos \tfrac{\alpha_2}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha_2}{2}}<br />
\Rightarrow \sqrt{2} \cos \tfrac{\alpha_2}{2} = \sqrt{1 + \cos \alpha_2} \\<br />
<br />
\sin^2 \alpha_2 + \cos^2 \alpha_2 = 1<br />
\Rightarrow \sin \alpha_2 = \sqrt{1-\cos^2 \alpha_2}<br />
</math><br />
<br />
por lo que siguiendo con el desarrollo de $\tan(\alpha)$:<br />
<br />
<math><br />
\tan(\alpha) = \dfrac{\sin \alpha_2}{1 + \cos \alpha_2} = \dfrac{\sqrt{1-\cos^2 \alpha_2}}{1 + \cos \alpha_2}<br />
= \dfrac{\sqrt{(1-\cos\alpha_2) (1+\cos \alpha_2)}}{1 + \cos \alpha_2} \\<br />
\Rightarrow \tan(\alpha) = \dfrac{\sqrt{1-\cos\alpha_2}}{\sqrt{1 + \cos \alpha_2}} <br />
= \dfrac{\sqrt{2} \sin(\alpha_2 / 2)}{\sqrt{2} \cos(\alpha_2 / 2)}<br />
= \tan(\alpha_2 / 2) \\<br />
\Rightarrow \tan(\alpha) = \tan(\alpha_2 / 2) \\<br />
\therefore \alpha = \alpha_2/2<br />
</math><br />
<br />
Entonces, hemos llegado a uno de los resultados que se nos piden $\alpha = \alpha_2/2$. Tomemos ahora la ecuación (7.9) y sustituyamos $E_{01} = E_{02}$ y $\alpha_1 = 0$:<br />
<br />
<math><br />
E_0^2 = E_{01}^2 + E_{01}^2 + 2 E_{01} E_{01} \cos(\alpha_2 - 0) = 2 E_{01}^2 + 2 E_{01}^2 \cos(\alpha_2) \\<br />
\Rightarrow E_0^2 = 2 E_{01}^2 \left[ 1 + \cos(\alpha_2) \right] = 2 E_{01}^2 \left[ 2 \cos^2(\alpha_2 /2) \right]\\<br />
\Rightarrow E_0 = \sqrt{4 E_{01}^2 \cos^2(\alpha_2 /2)} = 2 E_{01} \cos(\alpha_2 /2 ) \\<br />
\therefore E_0 = 2 E_{01} \cos(\alpha_2 /2 )<br />
</math><br />
<br />
con lo que hemos obtenido el segundo resultado deseado $E_0 = 2 E_{01} \cos(\alpha_2 /2 )$.<br />
<br />
Entonces, de las ecuaciones (7.9) y (7.10) concluimos que:<br />
<br />
<math><br />
E_0 = 2 E_{01} \cos(\alpha_2 /2 ) \\<br />
\alpha = \alpha_2 /2<br />
</math><br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 00:22 27 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
== Problema 7.3 ==<br />
<br />
'''Show that when the two waves of Eq. (7.5) are in phase, the resulting amplitude squared is a maximum equal to $(E_{01}+E_{01})^2$ , and when they are out of phase it is a minimum equal to $(E_{01}-E_{01})^2$'''<br />
<br />
Muestre que cuando las dos ondas de la ecuación. (7.5) están en fase, la amplitud resultante cuadrado es de un máximo igual a $ (E_ {01} + E_ {02}) ^ 2 $, y cuando están fuera de fase es un mínimo equivalente a $ (E_ {01} - E_ {02}) ^ 2 $<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
De la ecuacion 7.5 sabemos que<br />
<br />
$E_{1}=E_{01}{Sen(\omega t+\beta_{1})}$<br />
<br />
y<br />
<br />
$E_{2}=E_{02}{Sen(\omega t+\beta_{2})}$<br />
<br />
Para cuando están en fase:<br />
<br />
$\beta_{1}=\beta_{2}{Cos(\beta_{2}-\beta_{1})}={Cos(0)}=1$<br />
<br />
<br />
<br />
Usando (7.9)<br />
<br />
<br />
$E_{0}^2=E_{01}^2+E_{02}^2+2E_{01}E_{02}{Cos(\beta_{2}-\beta_{1})}$<br />
<br />
<br />
$E_{0}^2=E_{01}^2+E_{02}^2+2E_{01}E_{02}=(E_{01}+E_{02})^2$<br />
<br />
<br />
<br />
Para cuando están fuera de fase:<br />
<br />
$\beta_{1}-\beta_{2}=\pi$<br />
<br />
<br />
$Cos(\beta_{2}-\beta_{1})=Cos{\pi}=-1$<br />
<br />
Y por (7.9)<br />
<br />
<br />
$E_{0}^2=E_{01}^2+E_{02}^2-2E_{01}E_{02}=(E_{01}-E_{02})^2$<br />
<br />
Ejercicio resuelto por: --[[Usuario:Luis Velázquez|Luis Velázquez]] ([[Usuario discusión:Luis Velázquez|discusión]]) 20:57 27 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
== Problema 3.4/7.4 ==<br />
<br />
'''Demuestre que la longitud de camino óptico, definido como la suma de los productos de varios índices multiplicados por los espesores de los medios atravesados por un haz, es decir, ${\displaystyle \sum n_{i}x_{i}}$, equivale a la longitud del recorrido en el vacío que el haz tardaría el mismo tiempo en atravesar.'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
Sea la longitud de camino óptico $L.C.O.=\sum n_{i}x_{i}$, si sabemos<br />
que el índice de refracción es $n=\frac{c}{v}$, con c la velocidad<br />
de la luz en el vacío y v la velocidad de la luz en un medio, podemos<br />
sustituir en nuestra primera ecuación.<br />
<br />
$L.C.O.=\sum\frac{c}{v_{i}}x_{i}$<br />
<br />
$L.C.O.=\sum\frac{ct_{i}}{x_{i}}x_{i}$<br />
<br />
$L.C.O.=\sum ct_{i}$<br />
<br />
que es justamente la longitud del recorrido en el vacío que la luz<br />
tardaría en ese tiempo en atravesar.<br />
<br />
--[[Usuario:Edgar Ortega Roano|Edgar Ortega Roano]] ([[Usuario discusión:Edgar Ortega Roano|discusión]]) 12:36 25 mar 2014 (CDT)<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema 3.6/7.6 ==<br />
''' Determine la diferencia de camino óptico para las dos ondas A'''<br />
'''y B cuyas longitudes de onda en el vacío, ilustradas en la figura'''<br />
'''P.7.6, son ambas de 500 nm; el tanque de vidrio ($n=1.52$) se llena'''<br />
'''con agua ($n=1.33$). Si las ondas comienzan en fase y todos los números'''<br />
'''anteriores son exactos, encuentre su diferencia de fase relativa en'''<br />
'''la línea de meta.'''<br />
<br />
Tenemos que la longitud de camino óptico para cada onda (A y B) es:<br />
<br />
\[<br />
LCO_{B}=(1)_{aire}(100cm)=1m<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
LCO_{A}=(1)_{aire}(89cm)+(1.52)_{vidrio}(2)(0.5cm)+(1.33)_{agua}(10cm)=103.8cm=1.038m<br />
\]<br />
<br />
<br />
Restando los caminos ópticos tendremos que:<br />
<br />
\[<br />
\Lambda=LCO_{A}-LCO_{B}=1.038m-1m=0.038m<br />
\]<br />
<br />
<br />
Para hallar la diferencia de fase relativa tendremos que:<br />
<br />
\[<br />
\delta=k_{0}\Lambda=\left(\frac{2\pi}{\lambda_{0}}\right)\Lambda=\frac{2\pi\left(3.82x10^{-3}m\right)}{5x10^{-9}m}=7.64x10^{6}\pi<br />
\]<br />
<br />
<br />
por lo cual, la diferencia de fase es:<br />
<br />
\[<br />
\delta=7.64x10^{6}\pi<br />
\]<br />
<br />
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] 22:21 26 Marzo 2014<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema 3.7/7.7 ==<br />
<br />
Usando las ecuaciones:<br />
<br />
<math>E_{0}^{2}=E_{01}^{2}+E_{02}^{2}+2E_{02}E_{01}cos(\alpha_{2}-\alpha_{1})</math><br />
<br />
<br />
<math>tan\alpha=\frac{E_{01}sen\alpha_{1}+E_{02}sen\alpha_{2}}{E_{01}cos\alpha_{1}+E_{02}cos\alpha_{2}}</math><br />
<br />
<br />
<math>E=E_{0}sen(\omega t-k(x+\alpha))</math><br />
<br />
<br />
Demostrar la resultante de las dos ondas. <br />
<br />
<math>E_{1}=E_{01}sen(\omega t-k(x+\triangle x))</math><br />
<br />
<br />
<math>E_{2}=E_{01}sen(\omega t-kx)</math><br />
<br />
<br />
es:<br />
<br />
<math>E=2E_{01}cos(\frac{\triangle x}{2})sen[\omega t-k(x+\frac{\triangle x}{2})]<br />
</math>'''<br />
<br />
<br />
Sustituyendo en la primera relacion tenemos: <br />
<br />
<math>E_{0}^{2}=E_{01}^{2}+E_{01}^{2}+2E_{01}^{2}cos(\triangle x)</math><br />
<br />
<br />
Tras simplificar obetenemos.<br />
<br />
<math>E_{0}^{2}=2E_{01}^{2}[1+cos(\triangle x)]</math><br />
<br />
<br />
Utilizando una relacion trigonometrica. <math>\left.1+cos\triangle x=2cos^{2}\frac{\triangle x}{2}\right\} ..1</math><br />
<br />
<br />
<math>E_{0}^{2}=4E_{01}^{2}[cos^{2}(\frac{\triangle x}{2})]</math><br />
<br />
<br />
Sacando raices de ambosl lados. <br />
<br />
<math>E_{0}=2E_{01}cos(\frac{\triangle x}{2})</math><br />
<br />
<br />
Ahora en el caso de la fase. <br />
<br />
<math>tan\alpha=\frac{E_{01}sen(\triangle x)}{E_{01}+E_{01}cos(\triangle x)}</math><br />
<br />
<br />
De aqui, factorizamos del denominador un campo y este se hace uno con el campo del numerador<br />
<br />
<math>tan\alpha=\frac{sen(\triangle x)}{1+cos(\triangle x)}</math><br />
<br />
<br />
Utilizamos en el denominador 1. y en el numerador. <math>\left.sen(\frac{\triangle x}{2})=2sen(\frac{\triangle x}{2})cos(\frac{\triangle x}{2})\right\} ..2</math><br />
y sustituimos. <br />
<br />
<math>tan\alpha=\frac{2sen(\frac{\triangle x}{2})cos(\frac{\triangle x}{2})}{2cos^{2}\frac{\triangle x}{2}}</math><br />
<br />
<br />
Tras simplificar.<br />
<br />
<math>tan\alpha=\frac{sen(\frac{\triangle x}{2})}{cos(\frac{\triangle x}{2})}</math><br />
<br />
<br />
Por definicion de tangente.<br />
<br />
<math>tan\alpha=tan(\frac{\triangle x}{2})\Longrightarrow\alpha=\frac{\triangle x}{2}</math><br />
<br />
<br />
Ahora por la ultima ecuacion el campo. <br />
<br />
<math>E=2E_{01}cos(\frac{\triangle x}{2})sen[\omega t-k(x+\frac{\triangle x}{2})]</math><br />
--[[Usuario:Andrés Arturo Cerón Téllez|Andrés Arturo Cerón Téllez]] ([[Usuario discusión:Andrés <br />
Arturo Cerón Téllez|discusión]]) 00:55 6 jul 2013 (CDT)<br />
<br />
<br />
En este problema la primera parte de la solución es correcta, pero la segunda no, aqui se coloca la parte restante, y como lo realice:<br />
<br />
'''7.7. Usando las ecuaciones (7.9), (7.10) y (7.11) demuestre que la'''<br />
'''resultante de las ondas'''<br />
<br />
\[<br />
E_{1}=E_{01}sen\left[wt-k(x+\Delta x)\right]<br />
\]<br />
<br />
<br />
'''y'''<br />
\[<br />
E_{2}=E_{01}sen\left(wt-kx\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
'''es'''<br />
\[<br />
E=2E_{01}cos\left(\frac{k\Delta x}{2}\right)sen\left[wt-k\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\right]<br />
\]<br />
<br />
<br />
Primero, definamos las siguientes variables como $\alpha_{1}=-k(x+\Delta x)$<br />
y $\alpha_{2}=-kx$, luego tendremos que:<br />
<br />
\[<br />
E_{1}=E_{01}sen(et+\alpha_{1})<br />
\]<br />
y <br />
\[<br />
E_{2}=E_{01}sen(wt+\alpha_{2})<br />
\]<br />
<br />
<br />
Asi, aplicando la ecuación (7.9) tendremos que:<br />
<br />
\[<br />
E_{0}^{2}=E_{01}^{2}+E_{01}^{2}+2E_{01}^{2}\left(cos\alpha_{1}cos\alpha_{2}+sen\alpha_{1}sen\alpha_{2}\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Factorizando tenemos:<br />
<br />
\[<br />
E_{0}^{2}=2E_{01}^{2}\left(1+cos\alpha_{1}cos\alpha_{2}+sen\alpha_{1}sen\alpha_{2}\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
E_{0}^{2}=2E_{01}^{2}\left(1+cos\left(\alpha_{2}-\alpha_{1}\right)\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Haciendo $\alpha=\alpha_{2}-\alpha_{1}$<br />
<br />
Usando la indentidad $\left(1+cos\alpha\right)=2cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$<br />
tendremos:<br />
<br />
\[<br />
E_{0}^{2}=2E_{01}^{2}\left(2cos^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)=4E_{01}^{2}cos^{2}\left(\frac{\alpha_{2}-\alpha_{1}}{2}\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Finalmente:<br />
<br />
\[<br />
E_{0}^{2}=E_{01}^{2}cos^{2}\left(\frac{k\Delta x}{2}\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
E_{0}=E_{01}cos\left(\frac{k\Delta x}{2}\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Luego, para hallar $\alpha$ usemos (7.10)<br />
<br />
\[<br />
tan\alpha=\frac{E_{01}sen\alpha_{1}+E_{01}sen\alpha_{2}}{E_{01}cos\alpha_{1}+E_{01}cos\alpha_{2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Realizando las operaciones pertinentes tendremos que:<br />
<br />
\[<br />
tan\alpha=\frac{sen\left(-kx-\frac{k\Delta x}{2}\right)}{cos\left(-kx-\frac{k\Delta x}{2}\right)}=tan\left(-kx-\frac{k\Delta x}{2}\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\Rightarrow\alpha=-kx-\frac{k\Delta x}{2}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\alpha=-k\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Por último, sustituyendo estos datos en la ecuación (7.11) tendremos:<br />
<br />
\[<br />
E=2E_{01}cos\left(\frac{k\Delta x}{2}\right)sen\left[wt-k\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\right]<br />
\]<br />
<br />
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] 22:13 26 Marzo 2014<br />
<br />
----<br />
== Problema 3.8/7.8 ==<br />
<br />
'''Sume directamente las dos ondas del problema 7.7 para encontrar la ecuación (7.17)'''<br />
<br />
Las ondas del problema anterior son:<br />
<math>E_{1}=E_{01}sen\left[\omega t-k(x+\Delta x)\right]</math><br />
<br />
y:<br />
<math>E_{2}=E_{01}sen\left[\omega t-kx\right]</math><br />
<br />
<br />
Hacemos la suma directamente <math>E=E_{1}+E_{2}</math>:<br />
<br />
<math>E=E_{01}\left\{ sen\left[\omega t-k(x+\Delta x)\right]+sen\left[\omega t-kx\right]\right\}</math><br />
<br />
<br />
Desarrollamos el primer seno usando la regla trigonometrica de la suma de ángulos: <br />
<br />
<math>sen\left[\omega t-k(x+\Delta x)\right]=sen\left[\omega t-kx\right]cos(k\Delta x)-cos\left[\omega t-kx\right]sen(k\Delta x)</math><br />
<br />
Desarrollamos<br />
<br />
:<math>E=E_{01}\left\{ sen\left[\omega t-kx\right]cos(k\Delta x)-cos\left[\omega t-kx\right]sen(k\Delta x)+sen{\left[\omega t-kx\right]}\right\}</math><br />
<br />
<br />
Factorizamos del primer y último término el seno de la fase:<br />
<br />
<math>E=E_{01}\left\{ sen\left[\omega t-kx\right]\left[cos(k\Delta x)+1\right]-cos\left[\omega t-kx\right]sen(k\Delta x)\right\}</math><br />
<br />
<br />
Utilizando las relaciones trigonométricas de los problemas anteriores se obtienen las siguientes expresiones para el seno y coseno:<br />
<br />
<math>cos(k\Delta x)+1=2cos^{2}(\frac{k\Delta x}{2})</math><br />
<br />
<br />
:<math>sen\left(k\Delta x\right)=2cos(\frac{k\Delta x}{2})sen(\frac{k\Delta x}{2})</math><br />
<br />
<br />
Las ecuaciones de las ondas se ven como sigue:<br />
<br />
<math>E=E_{01}\left\{ sen\left[\omega t-kx\right]2cos^{2}(\frac{k\Delta x}{2})-cos\left[\omega t-kx\right]2cos(\frac{k\Delta x}{2})sen(\frac{k\Delta x}{2})\right\}</math><br />
<br />
<br />
Si se factoriza un coseno de la mitad del ángulo y el coeficiente dos se tiene la siguiente ecuación de onda:<br />
<br />
<math>E=2E_{01}cos(\frac{k\Delta x}{2})\left\{ sen\left[\omega t-kx\right]cos(\frac{k\Delta x}{2})-cos\left[\omega t-kx\right]sen(\frac{k\Delta x}{2})\right\}</math><br />
<br />
<br />
Arreglando la suma de ángulos del seno se tiene:<br />
<br />
<br />
<math>E=2E_{01}cos(\frac{k\Delta x}{2})sen\left[\omega t-k(x+\frac{\Delta x}{2})\right]</math><br />
<br />
que corresponde a la ecuación (7.17).<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 18:34 27 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
== Problema 3.9/7.9 ==<br />
<br />
'''Use la representacion compleja para calcular la resultante de <math>E=E_{1}+E_{2}</math>,''' donde'''<br />
<br />
<math>E_{1}=E_{0}cos(kx+\omega t)</math><br />
<br />
<br />
<math>E_{2}=-E_{0}cos(kx-\omega t)</math><br />
<br />
<br />
'''Y describa la onda compuesta.''' <br />
<br />
Aplicando el metodo complejo <br />
<br />
<math>E_{1}=E_{0}e^{\imath(kx+\omega t)}</math><br />
<br />
<br />
<math>E_{2}=-E_{0}e^{\imath(kx-\omega t)}</math><br />
<br />
<br />
Entonces, la suma de ambas es:<br />
<br />
<math>E=E_{0}e^{\imath(kx+\omega t)}+-E_{0}e^{\imath(kx-\omega t)}</math><br />
<br />
<br />
<math>E=E_{0}e^{\imath kx}(e^{\imath\omega t}-e^{-\imath\omega t})</math><br />
<br />
<br />
Dado que <br />
<br />
<math>2\imath sen(\omega t)=e^{\imath\omega t}-e^{-\imath\omega t}</math><br />
<br />
<br />
Entonces. <br />
<br />
<math>E=E_{0}e^{\imath kx}2\imath sen(\omega t)</math><br />
<br />
<br />
Desarrollando “<math>e^{\imath kx}</math>”<br />
<br />
<math>E=E_{0}[cos(kx)+\imath sen(kx)]2\imath sen(\omega t)</math><br />
<br />
<br />
<math>E=E_{0}[2\imath cos(kx)sen(\omega t)-2sen(kx)sen(\omega t)]</math><br />
<br />
<br />
Por tanto. <br />
<br />
<math>E=-2sen(kx)sen(\omega t)</math><br />
<br />
<br />
De esa forma se describe la onda compuesta, Siendo así que la onda es armónica y de la misma frecuencia que las constitutivas aunque su amplitud y fase son diferentes.<br />
<br />
[[Usuario:Mario Moranchel|Mario Moranchel]] ([[Usuario discusión:Mario Moranchel|discusión]]) 03:42 26 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
== Problema 3.10/7.10 ==<br />
<br />
'''El campo electrico de una onda electromagnética estacionaria plana viene dado por'''<br />
\begin{equation}<br />
E(x,t)=2E_{0}sen(kx)cos(\omega t)<br />
\end{equation}<br />
'''Deduzca una expresion para $B(x,t)$.'''<br />
<br />
<br />
Dado.<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{\partial E}{\partial t}=-\frac{\partial B}{\partial t}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Se busca una funcion de B dependiente de x y de t entonces integramos para obtener:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
B(x,t)=-\int \frac{\partial E}{\partial x}dt<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
<br />
\begin{equation}<br />
-\int \frac{\partial E}{\partial x}dt=-2E_{0}kcos(kx)\int cos(\omega t)dt<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
\begin{equation}<br />
-2E_{0}kcos(kx)\int cos(\omega t)dt=-\frac{2E_{0}k}{\omega}cos(kx)sen(\omega t)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Entonces <br />
<br />
\begin{equation}<br />
B(x,t)=-\frac{2E_{0}k}{\omega}cos(kx)sen(\omega t)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Pero <br />
\begin{equation}<br />
\frac{E_{0}k}{\omega}=\frac{E_{0}}{c}=B_{0}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Por lo tanto:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
B(x,t)=-2B_{0}cos(kx)sen(\omega t)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Esquema de la onda estacionaria<br />
<br />
[[Archivo:yep.gif]]<br />
<br />
[[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 03:45 28 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
--[[Usuario:Daniela López Martínez|Daniela López Martínez]] ([[Usuario discusión:Daniela López Martínez|discusión]]) 21:16 6 jul 2013 (CDT)<br />
----<br />
== Problema 3.11/7.11 ==<br />
<br />
'''Considerando el experimento de Wiener (figura 7.11) en la luz monocromática cuya longitud de onda es de $550 nm$, si el plano de la película estuviera inclinado $1°$ con respecto a la superficie de reflexión, determine el número de franjas brillantes por centímetro que aparecerán en el plano.'''<br />
<br />
<br />
Los planos antinodales están separados una distancia $\frac{\lambda}{2}$ uno del otro. El seno del ángulo de inclinación de la película se relaciona como sigue con el número de franjas brillantes y la separación entre los planos:<br />
<br />
<math> Sen \theta= \frac{Distancia\ entre\ planos}{franjas/cm} </math><br />
<br />
Con un simple despeje podemos obtener el número de franjas que hay por centímetro con la placa fotográfica inclinada $1°$ :<br />
<br />
<math>\frac{No. franjas}{cm}=\frac{\frac{1}{\lambda/2}}{Sen \theta}=\frac{\frac{1}{5.5 * 10^{-7} cm}}{Sen (1°)} </math><br />
<br />
Por lo tanto, el número de franjas brillantes por centímetro que aparecen en el plano son:<br />
<br />
:<math> \frac{No. franjas}{cm}= 1.04 * 10^{8} cm^{-1} </math><br />
<br />
[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 19:04 27 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
'''3.12/7.12 Un laser emite unos pulsos de UV que dura cada uno <math>2.00ns(2.00x10^{-9}s)</math> y cuyo haz tiene un diametro de <math>2.5mm(2.5x10^{-3}m)</math>. Suponiendo que la potencia de cada pulso tiene una energia de 6.0J: (a)calcule la extension espacial de cada tren de ondas, y (b)calcule la energia media por unidad de volumen de tal pulso.'''<br />
<br />
R: (a) conociendo la ecuacion <math>l=c\triangle t</math> sustituimos los datos dados<br />
<br />
<math>l=(3.00x10^{8}m/s)(2.00x10^{-9}s)=0.6m</math><br />
<br />
<br />
(b)el volumen de un solo pulso esta dado por la formula <math>V=l\pi R^{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>V=(0.6m)(\pi(\frac{2.5x10^{-3}m}{2})^{2})</math><br />
<br />
<br />
<math>V=2.945x10^{-6}m^{3}</math><br />
<br />
<br />
por lo tanto <math>\frac{6.0J}{2.945x10^{-6}m^{3}}=2037351.443{J}/{m^{3}}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Leticia González Zamora|Leticia González Zamora]] ([[Usuario discusión:Leticia González Zamora|discusión]]) 16:01 20 jun 2013 (CDT) <br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
----<br />
<br />
''Problema 7.14 Hecht<br />
<br />
Show that the group velocity can be written as''<br />
<br />
\[V_g =\frac{C}{n+\omega (dn/d\omega)}\]<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
La velocidad de grupo es:<br />
\[V_g = \frac{d\omega}{dk}= V +k \frac{dv}{dk}------(1)\]<br />
<br />
Por otro lado, aplicando la regla de la cadena se tine que:<br />
\[<br />
\frac{dv}{dk}=\frac{dv}{d\omega} \frac{d\omega}{dk}------(2)<br />
\]<br />
<br />
Por lo que (1) se puede escribir como:<br />
<br />
\[V_g = V +k\left( \frac{d\omega}{dk}\right)\frac{dv}{d\omega}------(3) \]<br />
<br />
Tambien sabemos que $v=C/n$ Por lo que:<br />
\[<br />
\frac{dv}{d\omega}=\frac{dv}{dn}\frac{dn}{d\omega}=-\frac{C}{n^2}\frac{dn}{d\omega}<br />
\]<br />
<br />
Sustituyendo en (3) <br />
<br />
\[V_g = V - k\left( \frac{d\omega}{dk}\right)\left( \frac{C}{n^2} \frac{dn}{d\omega}\right) \]<br />
<br />
\[V_g = V -k V_g \left( \frac{C}{n^2} \frac{dn}{d\omega}\right)------(4)\]<br />
<br />
\[<br />
V_g= \frac{V}{1+ \left( \frac{C}{n^2} \frac{dn}{d\omega}\right)k}------(5)<br />
\]<br />
<br />
Finalmente:<br />
<br />
\[<br />
V_g=\frac{Vn}{n+ \left( \frac{C}{n^2} \frac{dn}{d\omega}\right)kn}=\frac{C}{n+\left(\frac{Ck}{n} \right)\frac{dn}{d\omega}}<br />
\]<br />
<br />
\[V_g =\frac{C}{n+\omega \frac{dn}{d\omega}}\]<br />
<br />
Resuelto por: --[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 01:59 27 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
== Problema 3.16/7.16 ==<br />
''' Imagine que usted esta parado en una trayectoria de una antena que esta radiando ondas planas de frecuencia 100MHz y desnsidad de flujo 19.88x10^-2 W/m^2.<br />
Calcula la densidad fe flujo de fotones, es decir, el numero de fotones por unidad de tiempo por unidad de área.¿Cuantos fotones, en promedio, se encontraran en un metro cubico de esta región?<br />
<br />
<br />
De la formula de la energia y usando la constante de plank<br />
<br />
<br />
<math>E=h\nu</math><br />
<br />
<br />
<math>h=6.63x10^{-34}</math><br />
<br />
<br />
aplicaremos la formula para calcular el numero de fotones por metro cubico<br />
<br />
<br />
<math>\frac{I}{h\nu}=\frac{19.88x10^{-2}}{(6.63x10^{-34})(100x10^{6})}=3x10^{24}fotones/m^{2}s</math><br />
<br />
<br />
<br />
Todos los fotones en el volumen V cruzan la unidad de área en un segundo<br />
<br />
<br />
<math>V=(ct)(1m^{2})=3x10^{8}m^{3}</math><br />
<br />
<br />
<math>3x10^{24}=V(densidad)</math><br />
<br />
<br />
<math>densidad=10^{16}fotones/m^{3}</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:David Alberto Rojas Solis|David Alberto Rojas Solis]] ([[Usuario discusión:David Alberto Rojas Solis|discusión]]) 10:23 6 jul 2013 (CDT)<br />
----<br />
'''3.25/7.25 Un gas ionizado o un plasma sirve como medio dispersor para ondas electromagneticas. Puesto que la ecuacion de dispersion es:<br />
'''<br />
<math>omega^{2}=\omega_{p}+c^{2}k^{2}</math><br />
<br />
<br />
Donde omega subindice p es la constante del plasma, determine las expresiones tanto de la fase como de las velocidades de grupo y demuestre que <math>vv_{g}=c^{2}</math><br />
<br />
<br />
De la relacion precedente.<br />
<br />
<math>\omega=\sqrt{\omega_{p}+c^{2}k^{2}}</math><br />
<br />
<br />
por la definicion de velocidad de grupo.<br />
<br />
<math>v_{g}=\left(\frac{\delta\omega}{\delta k}\right)_{\bar{\omega}}</math><br />
<br />
<br />
Obtenemos la derivada:<br />
<br />
<math>\left(\frac{\delta\omega}{\delta k}\right)_{\bar{\omega}}=\frac{2c^{2}k}{2\sqrt{\omega_{p}+c^{2}k^{2}}}</math><br />
<br />
<br />
Al simplificar.<br />
<br />
<math>\left(\frac{\delta\omega}{\delta k}\right)_{\bar{\omega}}=\frac{c^{2}k}{\sqrt{\omega_{p}+c^{2}k^{2}}}</math><br />
<br />
<br />
Entonces la velocidad de grupo.<br />
<br />
<math>v_{g}=\frac{c^{2}k}{\sqrt{\omega_{p}+c^{2}k^{2}}}</math><br />
<br />
<br />
Por otro lado en general la velocidad está dada por:<br />
<br />
<math>v=\frac{\omega}{k}</math><br />
<br />
<br />
<math>v=\frac{\sqrt{\omega_{p}+c^{2}k^{2}}}{k}</math><br />
<br />
<br />
entonces podemos demostrar la propiedad de la segunda parte.<br />
<br />
<math>vv_{g}=\frac{c^{2}k}{\sqrt{\omega_{p}+c^{2}k^{2}}}\frac{\sqrt{\omega_{p}+c^{2}k^{2}}}{k}</math><br />
<br />
<br />
Simplificando obtenemos el resultado esperado. <br />
<br />
<math>vv_{g}=c^{2}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Daniela López Martínez|Daniela López Martínez]] ([[Usuario discusión:Daniela López Martínez|discusión]]) 20:17 6 jul 2013 (CDT)<br />
----<br />
<br />
----<br />
== Problema 7.29 Hetch / 3era Ed/2do método ==<br />
<br />
Un gas ionizado, o un plasma sirve como medio dispersor para ondas electromagnéticas. Puesto que la ecuación de dispersión es<br />
<br />
: <math> \omega^{2}=\omega{}_{p}^{2}+c^{2}\kappa^{2}<br />
</math><br />
<br />
donde <math>\omega_{p}<br />
</math> es la frecuencia constante del plasma, determine las expresiones tanto de la fase como de las velocidades de grupo y demuestre que <math> vv_{g}=c^{2}<br />
</math>.<br />
<br />
Solución<br />
<br />
: <math> \omega^{2}=\omega{}_{p}^{2}+c^{2}\kappa^{2}...\left(1\right)<br />
</math><br />
<br />
Se tiene que <math> v=\frac{\omega}{\kappa}\Rightarrow\kappa=\frac{\omega}{v}<br />
</math>, elevando al cuadrado ambos componentes <br />
<br />
: <math> \kappa^{2}=\frac{\omega^{2}}{v^{2}}...(2)<br />
</math>, entonces sustituyendo (2) en (1) se tiene<br />
<br />
: <math> \omega^{2}=\omega{}_{p}^{2}+c^{2}\frac{\omega^{2}}{v^{2}}<br />
</math><br />
<br />
: <math> \omega_{p}^{2}=\omega^{2}-c^{2}\frac{\omega^{2}}{v^{2}}<br />
</math><br />
<br />
: <math> \omega_{p}^{2}=\omega^{2}\left(1-\frac{c^{2}}{v^{2}}\right)<br />
</math><br />
<br />
: <math> \frac{\omega_{p}^{2}}{\omega^{2}}=\left(1-\frac{c^{2}}{v^{2}}\right)<br />
</math><br />
<br />
: <math> \frac{c^{2}}{v^{2}}=1-\frac{\omega_{p}^{2}}{\omega^{2}}<br />
</math><br />
<br />
Invertimos<br />
<br />
: <math> \frac{v^{2}}{c^{2}}=1/\left(1-\frac{\omega_{p}^{2}}{\omega^{2}}\right)<br />
</math><br />
<br />
Despejando “v” nos queda<br />
<br />
: <math> v=\pm\frac{c}{\left(1-\frac{\omega_{p}^{2}}{\omega^{2}}\right)^{1/2}}<br />
</math><br />
<br />
Ahora, por otro lado de la velocidad de grupo es <br />
<br />
: <math> v_{g}=\frac{d\omega}{d\kappa}<br />
</math><br />
<br />
: <math> v_{g}=\frac{d}{d\kappa}\left(\sqrt{\omega_{p}^{2}+c^{2}\kappa^{2}}\right)<br />
</math><br />
<br />
: <math> v_{g}=\frac{1}{2}\left(2c^{2}\kappa/\sqrt{\omega_{p}^{2}+c^{2}\kappa^{2}}\right)=c^{2}\kappa/\sqrt{\omega_{p}^{2}+c^{2}\kappa^{2}}<br />
</math><br />
<br />
: <math> v_{g}=c^{2}\kappa/\sqrt{\omega^{2}}=c^{2}\kappa/\omega...(3)<br />
</math><br />
<br />
si <math> v=\frac{\omega}{\kappa}\Rightarrow\omega=v\kappa<br />
</math>, sustituyendo esta expresión en (3) se tiene<br />
<br />
: <math> v_{g}=c^{2}\kappa/\left(v\kappa\right)=\frac{c^{2}}{c/\sqrt{1-\left(\frac{\omega_{p}}{\omega}\right)^{2}}}<br />
</math><br />
<br />
: <math> v_{g}=c\sqrt{1-\left(\frac{\omega_{p}}{\omega}\right)^{2}}<br />
</math><br />
<br />
: <math> \therefore vv_{g}=c^{2}<br />
</math><br />
<br />
: : <math> \left[c/\sqrt{1-\left(\frac{\omega_{p}}{\omega}\right)^{2}}\right]*\left[c\sqrt{1-\left(\frac{\omega_{p}}{\omega}\right)^{2}}\right]=c^{2}<br />
</math><br />
<br />
Elaborado por Ricardo García Hernández.--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:42 30 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
== Problema 3.32/7.32 ==<br />
''' ¿Cuàl es la velocidad de la luz en un diamante si el indice de refracciòn es de 2.42?'''<br />
<br />
"Se denomina índice de refracción al cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad de la luz en el medio cuyo índice se calcula. Se simboliza con la letra n y se trata de un valor adimensional. <br />
<br />
<math>n=\frac{c}{v}\cdots\cdots\cdots\left(1\right)<br />
</math><br />
<br />
n: es el indice de refracciòn<br />
<br />
v: velocidad de la luz en el medio cuyo índice se calcula (agua, vidrio, diamante,etc.).<br />
<br />
c: velocidad de la luz en el vacio<br />
<br />
De 1 se tiene que la velocidad de luz en el diamante (v) es igual a la velocidad de la luz en el vacío (c), entre el índice de refracción del diamante (2.42); o sea: <br />
<br />
<math>v=\frac{c}{n}=\frac{299.792.458m/s}{2.42}=123881.180992m/s<br />
</math><br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema 3.38/7.38 ==<br />
<br />
''' La luz amarilla de una lámpara de sodio (Lamda =) cruza un depósito de glicerina (con índice de 1,47) de 20 cm de largo, en un tiempo t1. Si la luz tarda t2 en cruzar el mismo depósito cuando está lleno de disulfuro de carbono (índice 1,63), clacule el valor de t2-t1.'''<br />
<br />
Sabemos la relación del índice de refracción con la velocidad:<br />
<br />
<math> v_{1}=\frac{c}{n_{1}}</math><br />
<br />
Tomando a la definición de la velocidad <br />
<br />
<math>v_{1}=\frac{d}{t_{1}} </math><br />
<br />
despejando al tiempo en la última ecuación y sustituyéndola en la primera ecuación <br />
<br />
<math>t_{1}=\frac{d}{v}=\frac{dn_{1}}{c} </math><br />
<br />
haciendo lo mismo para el disulfuro de carbono<br />
<br />
<math>n=\frac{c}{v_{2}} </math><br />
<br />
<math>v_{2}=\frac{d}{t_{2}} </math><br />
<br />
<math>t_{2}=\frac{d}{v_{2}}=\frac{dn_{2}}{c} </math><br />
<br />
restanto el segundo tiempo al primero<br />
<br />
<math>t_{2}-t_{1}=\frac{d}{c}(n_{2}-n_{1}) </math><br />
<br />
sustituyendo los datos nos queda:<br />
<br />
<math>\Delta t=1.06x10^{-10}s </math><br />
<br />
--[[Usuario:Ignacio Peralta Martínez|Ignacio Peralta Martínez]] ([[Usuario discusión:Ignacio Peralta Martínez|discusión]]) 02:03 6 jul 2013 (CDT)<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:MISS|MISS]] ([[Usuario discusión:MISS|discusión]]) 00:10 23 jun 2013 (CDT)<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
[[categoría:Vibra]]<br />
<br />
<br />
== Problema Adicional 1 ==<br />
<br />
'''Una partícula está sometida a dos movimientos armónicos simples de la misma frecuencia $\omega=\pi$ y en dirección de z, las amplitudes son 0.25mm y 0.20mm respectivamente y la de fase entre el primero y el segundo es de $45^º$. Hallar la resultante.'''<br />
<br />
---<br />
<br />
Solución<br />
<br />
Sabemos que la suma de dos ondas esta dada por<br />
<br />
<math>E=E_{1}+E_{2}</math><br />
<br />
donde <br />
<br />
<br />
<math>E_{1}=E_{01}\sin(\omega t+\beta_{1})=E_{01}(\sin\omega t\cos\beta_{1}+\cos\omega t\sin\beta_{1})</math><br />
<br />
y<br />
<br />
<math>E_{2}=E_{02}\sin(\omega t+\beta_{2})=E_{02}(\sin\omega t\cos\beta_{2}+\cos\omega t\sin\beta_{2})</math><br />
<br />
Desarrollando se obtiene:<br />
<br />
<math>E=(E_{01}\cos\beta_{1}+E_{02}\cos\beta_{2})\sin\omega t+(E_{01}\sin\beta_{1}+E_{02}\sin\beta_{2})\cos\omega t<br />
</math><br />
<br />
y sustituyendo<br />
<br />
<math>E=0.25\sin\pi t+0.20\cos\pi t</math><br />
<br />
[[Archivo:grafadi.jpg|400px|thumb|left|Gráfica de la resultante]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Tomado de : Vibraciones y ondas. A. P. FRENCH pág. 43. Problema 2-2.<br />
Resuelto por:--[[Usuario:Luis Velázquez|Luis Velázquez]] ([[Usuario discusión:Luis Velázquez|discusión]]) 08:32 27 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema 7.15 ==<br />
'''Imagine que golpeamos dos diapasones, uno con frecuencia de $340Hz$ y el otro de $342Hz$. ¿Qué oiremos?'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
En este ejemplo se da el fenómeno del Batido, en el caso de que la frecuencia de ambas ondas no es igual (<math>\nu_1,\nu_2</math>), pero si son valores muy cercanos entre sí, la onda resultante es una onda modulada en amplitud por la llamada "frecuencia de batido" cuyo valor corresponde a <math>\nu_{\mbox{batido}}=\Delta \nu= | \nu_1 -\nu_2|</math>, la frecuencia de esta onda modulada corresponde a la media de las frecuencias que interfieren.<br />
<br />
Nuestro sistema auditivo no es capaz de percibir separadamente las dos frecuencias presentes, sino que se percibe una frecuencia única promedio $(\nu_1 + \nu_2) / 2$, pero que cambia en amplitud a una frecuencia de $(\nu_2 - \nu_1) / 2$.<br />
<br />
Es decir, si superponemos dos ondas senoidales de $340 Hz$ y $342 Hz$, nuestro sistema auditivo percibirá un único sonido cuya altura corresponde a una onda de $341 Hz$ y cuya amplitud varía con una frecuencia de $1 Hz$ (es decir, una veces por segundo) con <math>\nu_{\mbox{batido}}=\Delta \nu= | \nu_1 -\nu_2|=| 342Hz - 340Hz|=2Hz</math> .<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Martínez|Luis Martínez]] ([[Usuario discusión:Luis Martínez|discusión]]) 13:18 28 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema 7.22 ==<br />
<br />
'''La velocidad de propagación de una onda superficial en un líquido cuya profundidad es mucho mayor que $\lambda$ viene dada por:'''<br />
<br />
:<math>v=\sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}+ \frac{2\pi\gamma}{\rho\lambda}}</math><br />
<br />
donde $g$=es la aceleración de la gravedad, $\lambda$=longuitud de onda, $\rho$=densidad, $\gamma$=tensión superficial'''. Calcule la velocidad de grupo de un pulso en el límite mayor de la longuitud de onda(éstas reciben el nombre de ''ondas gravitacionales'').'''<br />
<br />
Solución:<br />
tenemos que la velocidad de un pulso esta dada por:<br />
<br />
<math>v=\sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}}=\sqrt{\frac{g}{k}}</math><br />
<br />
la velocidad de grupo $v_{g}$ es:<br />
<br />
<math>v_g=v+\frac{kdv}{dk}</math><br />
donde:<br />
<math>\frac{dv}{dk}=-\frac{1}{2k}\sqrt{\frac{g}{k}}=-\frac{v}{2k}</math><br />
<br />
:<math>\therefore v_g=\frac{v}{2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Martínez|Luis Martínez]] ([[Usuario discusión:Luis Martínez|discusión]]) 14:16 28 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
==Problema adicional 2==<br />
'''Una cuerda de guitarra de 1 m de largo fija por ambos extremos vibra formando 4 nodos. Los puntos centrales de la cuerda tienen un desplazamiento máximo de 4 mm. Si la velocidad de las ondas en la cuerda es 660 m/s, halla la frecuencia con la que vibra la cuerda y la expresión de la funcion de la onda estacionaria. '''<br />
<br />
<br />
Para obtener la longitud de la cuerda usamos:<br />
$$ L= 3\dfrac{\lambda}{2}\Rightarrow \lambda = \dfrac{2L}{3} = \dfrac{2*1}{3} = \dfrac{2}{3} m $$<br />
<br />
Y la frecuencia de la vibración es <br />
$$\ v =\dfrac{v}{\lambda} = \dfrac{660}{2/3} = 990 Hz$$<br />
<br />
La ecuación de onda estacionaria es : <br />
<br />
$$ y = 2 A\sin (k x) \cos (\omega t) = 2* 4 *10^{-3}\sin(\dfrac{2\pi}{2/3}x)\cos (2\pi 990 t) =8*10^{-3}\sin(3 \pi x)\cos (1980 \pi t)$$<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 00:05 29 mar 2015 (CDT)Esther Sarai García<br />
<br />
<br />
----<br />
==Problema 7.30==<br />
'''Usando la ecuación de dispersión:<br />
<math>n^2 (\omega)= 1 + \frac{N q^2_{e}}{ \epsilon_{0} m_{e}} \Sigma_{l}(\frac{f_{l}}{\omega^2_{0l}-\omega^2})</math><br />
<br />
'''Demuestra que la velocidad de grupo está dada por:<br />
<math>v_{g}= \frac{c}{1+\frac{Nq_{e}^2}{\epsilon_{0}m_{e}\omega_{0}^2 2}}</math><br />
'''Para las ondas de alta frecuencia (por ejemplo los rayos X), tenga en cuenta que desde el <math>f_{j}</math> son los factores de ponderación. <math>\Sigma_{l} f_{l}=1</math> ¿Qué es la velocidad de fase?, demostrar que <math>v v_{g}= C^2</math> '''<br />
<br />
como hablamos para ondas de alta frecuencia, <math>\omega >>\omega_{l}</math>, por lo tanto en la ecuación de dispersión tenemos que, (acordándonos que <math>\Sigma_{l} f_{l}=1</math>:<br />
<br />
<math>n^2 (\omega)= 1 - \frac{N q^2_{e}}{ \epsilon_{0} m_{e} \omega^2} \Sigma_{l}(f_{l})=1 - \frac{N q^2_{e}}{ \epsilon_{0} m_{e} \omega^2} </math><br />
<br />
Donde:<br />
<math>n=\sqrt{1 - \frac{N q^2_{e}}{ \epsilon_{0} m_{e} \omega^2}}</math><br />
<br />
Usando la expanción binomial, <br />
<math>(1-x)^{\frac{1}{2}} \thickapprox 1- \frac{x}{2}</math> para x<<1<br />
Por lo tanto tenemos que:<br />
<math>n \thickapprox 1- \frac{N q^2_{e}}{ 2 \epsilon_{0} m_{e} \omega^2} </math> <br />
Calculando la derivada de <math>n</math> con respecto de <math>\omega</math>:<br />
<br />
<math>\frac{dn}{d \omega}= \frac{Nq_{e}^2}{\epsilon_{0} m_{e}\omega^3 }</math><br />
<br />
Empleando la ecuación para velocidad de grupo tenemos que:<br />
<math>v_{g}= \frac{c}{n+ \omega (\frac{dn}{d \omega})}</math><br />
Sustituyendo:<br />
<math>v_{g}= \frac{c}{ 1- \frac{N q^2_{e}}{ 2 \epsilon_{0} m_{e} \omega^2} + \frac{Nq_{e}^2}{\epsilon_{0} m_{e}\omega^2 }}= \frac{c}{1+ \frac{Nq_{e}^2}{2 \epsilon_{0} m_{e}\omega^2 } }</math> <br />
<br />
por lo tanto:<br />
<math>v_{g}= \frac{c}{1+ \frac{Nq_{e}^2}{2 \epsilon_{0} m_{e}\omega^2 } }</math><br />
<br />
Para el índice de refracción tenemos que:<br />
<math>n= \frac{C}{v}</math><br />
Por lo tanto tenemos que para la velocidad de fase es:<br />
<math>v=\frac{C}{n}</math><br />
Para <math>v_{g}<<C</math><br />
tenemos que:<br />
<math>v=\frac{C}{ 1- \frac{N q^2_{e}}{ 2 \epsilon_{0} m_{e} \omega^2}}</math><br />
Por expansión binomial tenemos que la velocidad de fase: <br />
<math>v= c (1+ \frac{N q^2_{e}}{ 2 \epsilon_{0} m_{e} \omega^2}) </math><br />
<br />
Dado que: <br />
<math>v v_{g}= c (1+ \frac{N q^2_{e}}{ 2 \epsilon_{0} m_{e} \omega^2}) * \frac{c}{1+ \frac{Nq_{e}^2}{2 \epsilon_{0} m_{e}\omega^2 }} = C^2 </math><br />
<br />
Por lo tanto demostramos que:<br />
<math>v v_{g}=C^2</math><br />
<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 20:52 29 mar 2015 (CDT)</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Ondas:_probs_c4&diff=19286Ondas: probs c42015-03-30T05:52:59Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: /* 4.9 Hetch / 3ra Edición/2do método */</p>
<hr />
<div>Vibraciones y Ondas<br />
<br />
Problemas capítulo 4. Óptica - Hecht<br />
----<br />
==Problema 4.1==<br />
'''Work your away through an argument using dimensional analysis to establish the $\lambda^{-4}$ dependence of the percentage of light scattered in Rayleigh Scattering. Let $E_{0i}$ and $E_{0s}$ be the incident and scattered amplitudes, the latter at a distance r from the scatterer. Assame $ E_{0s}\varpropto E_{0i}$ and $E_{0s}\varpropto \dfrac{1}{r}$. Furthermore, plausibly assume that the scattered amplitude is proportional to the volume. V, of the scatterer, within limits the is reasonable. Determine the units of the constant of proportionality.'''<br />
<br />
Para relacionando la distancia r con la amplitud y su proporcionalidad con el volumen, utilizaremos la siguiente ecuación, la cual es adimencional.<br />
<br />
$$\dfrac{VK}{r}$$<br />
<br />
Sí $E_{0s}\varpropto\dfrac{1}{r}$ y $ E_{0s}\varpropto E_{0i}$ <br />
<br />
Entonces $$E_{0s}\varpropto \dfrac{VE_{0i}}{r}= \dfrac{K V E_{0i}}{r}$$<br />
<br />
Así que K tiene las unidades de $(\lambda)_{2}$<br />
$$K= (\lambda)^{-2}$$<br />
<br />
Y esto se puede comprobar por:<br />
$$\dfrac{I_{i}}{I_{s}}\varpropto K^{2}\varpropto \lambda ^{-4}$$<br />
<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 23:34 28 mar 2015 (CDT)Esther Sarai Garcia<br />
<br />
----<br />
==Problema 4.2==<br />
Resolviendo por Rosario Maya <br />
----<br />
==Problema 4.5==<br />
<br />
'''<br />
Un haz de microondas planas de 12 cm incide en la superficie de un dieléctrico a 45°. Si $n_{ti}=4/3$ calcule a) la longitud de onda en el medio transmisor, y b) el ángulo $\theta_{t}$'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
De la ley de Snell<br />
\[<br />
n_i sin\theta_i = n_t sin\theta_t<br />
\]<br />
Tenemos:<br />
\[\frac{n_t}{n_i}=\frac{sin\theta_i}{sin\theta_t}=n_{ti}...(1)\]<br />
<br />
Tambien sabemos que:<br />
\[<br />
n=\frac{C}{v}...(2)<br />
\]<br />
<br />
y<br />
<br />
\[<br />
v=\lambda \nu...(3)<br />
\]<br />
<br />
Por lo que (1) puede escribirse como:<br />
<br />
\[n_{ti} = \frac{\frac{C}{v_t}}{\frac{C}{n_i}}=\frac{v_i}{v_t}=\frac{\lambda_i}{\lambda_t}...(3)\]<br />
<br />
Despejando:<br />
<br />
\[<br />
\lambda_t = \frac{\lambda_i}{n_{ti}}=\frac{12cm}{4/3}<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\lambda_t=9cm<br />
\]<br />
<br />
<br />
De (1)<br />
<br />
\[sin\theta_i = n_{ti}sin\theta_t\]<br />
<br />
\[<br />
\theta_t =angsin \frac{sin\theta_i}{n_{ti}}=angsin \frac{sin45^{o}}{4/3}<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\theta_t = 32.02^{o}<br />
\]<br />
<br />
Resuelto por: --[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 14:31 28 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
== Problema 4.6 ==<br />
<br />
''' Un haz láser muy estrecho incide bajo un ángulo de $58^o$ sobre un espejo horizontal. El haz de luz reflejado incide en una pared en un punto situado a 5 metros de distancia del punto de incidencia donde el haz de luz chocó con el espejo. ¿A qué distancia, medida horizontalmente, está la pared de ese punto de incidencia?.<br />
'''<br />
<br />
Como bien sabemos, los ángulos de inicidencia y reflexión(o refracción) se miden respecto a la normal a la superficie, por lo que si el láser incide con un ángulo $\alpha_i = 58^o$, entonces el ángulo reflejado, por la ley de reflexión que nos dice que el ángulo reflejado es igual al rayo incidente, será $\alpha_r = 58^o$.<br />
<br />
Además, se forma un triángulo rectángulo entre las dos trayectorias del rayo(incidente y reflejado) y la distancia $d$ horizontal del punto de incidencia y el punto donde el láser toca la pared. Por lo que, utilizando trigonometría básica, tenemos:<br />
<br />
<math><br />
\sin(58^o) = \dfrac{d}{5m} \Rightarrow d = (5m) \sin(58^o)<br />
</math><br />
<br />
Entonces, la distancia, medida horizontalmente, de la pared al punto de incidencia es de: $d \approx 4.24m$.<br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 01:09 27 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
== Problema 4.9/Hetch 3era edicion ==<br />
''' Calcule el ángulo de transmisión para un rayo en el aire incidente a $30^o$ en un bloque de vidrio-crown($n_v = 1,52$).<br />
'''<br />
<br />
La Ley de Snell-Descartes nos dice que:<br />
<br />
<math><br />
n_i \sin \alpha_0 = n_v \sin \alpha_t<br />
</math><br />
<br />
Por lo que despejando para $\alpha_t$:<br />
<br />
<math><br />
\sin \alpha_t = \dfrac{n_i}{n_v} \sin \alpha_0<br />
</math><br />
<br />
donde $n_i$ es el ángulo de incidencia, en este caso $\alpha_i = 30^o$ y $n_i$ es el índice de refracción del aire, que es $n_i \approx 1$. Entonces, sustituyendo:<br />
<br />
<math><br />
\sin \alpha_t = \dfrac{1}{1.52} \sin(30^0) \Rightarrow \sin \alpha_t = (0.66) \left(\dfrac{1}{2}\right)<br />
\Rightarrow \alpha_t = \arcsin(0.33) \approx 19^o 7'<br />
</math><br />
<br />
Por lo que, el ángulo de transmisión buscado es: $\alpha_t = 19^o 7'$.<br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 01:52 27 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
----<br />
== Problema 4.9 Hetch / 3era Ed/2do método ==<br />
<br />
4.9 .- Un rayo de luz amarilla en el aire, procedente de una lámpara de descarga de sodio, cae sobre la superficie de un diamante en el aire a 45°. Si a esa frecuencia nd =2.42, calcule la desviación angular sufrida en la transmisión.<br />
<br />
Solución<br />
<br />
Se tiene que la relación del indice de refracción es de la forma:<br />
<br />
: <math> n_{ti}<br />
=\frac{n_{t}}{n_{i}}<br />
=\frac{\lambda_{i}}{\lambda_{t}}<br />
=2.42 </math><br />
<br />
Entonces, si:<br />
<br />
: <math> \frac{n_{t}}{n_{i}}<br />
=2.42 \Rightarrow<br />
\frac{n_{i}}{n_{t}}<br />
=\frac{1}{2.42}<br />
</math><br />
<br />
Ahora la Ley de Snell nos dice:<br />
<br />
: <math> n_{ti}=<br />
\frac{sen\theta_{i}}{sen\theta_{t}}<br />
</math><br />
<br />
donde <math> n_{ti}<br />
=\frac{n_{t}}{n_{i}}<br />
</math>, entonces:<br />
<br />
: <math> \frac{n_{t}}{n_{i}}<br />
= \frac{sen\theta_{i}}{sen\theta_{t}}<br />
\Rightarrow<br />
n_{i}sen\theta_{i}<br />
=n_{t}<br />
sen\theta_{t},<br />
</math><br />
<br />
despejamos <math>\theta_{t}<br />
</math> que es el ángulo de transmisión sobre la superficie del diamante, y se tiene:<br />
<br />
: <math> \theta_{t}<br />
= sen^{-1}<br />
\left[\frac{n_{i}}{n_{t}}sen\theta_{i}\right],<br />
</math><br />
<br />
sustituyendo los valores proporcionados pro el problema:<br />
<br />
: <math> \theta_{t}<br />
= sen^{-1}<br />
\left[\frac{sen45\text{\textdegree}}{2.42}\right]<br />
</math><br />
<br />
: <math> \theta_{t}<br />
= sen^{-1}<br />
\left(0.2921\right)<br />
= 16.98° </math><br />
<br />
por lo tanto:<br />
<br />
La desviación angular es 45°- 16.98° = 28.02° <br />
<br />
Que es el ángulo de desviación angular sufrida en la transmisión.<br />
<br />
Elaborado por Ricardo García Hernández.--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:32 30 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
== Problema 4.12 ==<br />
<br />
''' Luz de longitud de onda $600nm$ en el vacío entra a un bloque de vidrio donde $n_v = 1.5$. Calcule su longitud de onda en el vidrio. ¿De qué color aparecerá para alguien que está simergido en el vidrio(véase tabla 3.4)?.<br />
'''<br />
<br />
Tomemos la relación (2.19) del libro:<br />
<br />
<math><br />
v = \lambda \nu \hspace{20pt} \cdots \hspace{20pt} (2.19)<br />
</math><br />
<br />
En el vacío, la ecuación (2.19) se convierte, con $\lambda_0$ la longitud de onda la luz en el vacío, en:<br />
<br />
<math><br />
c = \lambda \nu \Rightarrow \nu = \dfrac{c}{\lambda_0} = \dfrac{3x10^8 m/s}{6x10^{-7} m}\\<br />
\therefore \nu = 5x10^{14} Hz<br />
</math><br />
<br />
Ahora bien, el índice de refracción del vidrio es $n_v = 1.5$, por lo que utilizando la definición, tenemos que:<br />
<br />
<math><br />
n_v = \dfrac{c}{v} \Rightarrow v = \dfrac{c}{n_v} = \dfrac{3x10^8 m/s}{1.5} \\<br />
\therefore v = 2x10^8 m/s<br />
</math><br />
<br />
Ahora, reutilizando la ecuación (2.19):<br />
<br />
<math><br />
v = \lambda_v \nu \Rightarrow \lambda_v = \dfrac{v}{\nu} = \dfrac{2x10^8 m/s}{5x10^{14} Hz} \\<br />
\therefore \lambda_v = 4x10^{-7} m = 400 nm<br />
</math><br />
<br />
Ahora, la tabla (3.4) del libro de texto, nos dice que para el color violeta el rango de longitudes de onda es $455nm-390nm$, por lo que para una persona sumergida en el vidrio, el rayo de luz le parecerá violeta.<br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 01:40 27 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
== Problema 4.18 ==<br />
<br />
'''Show analytically that a beam entering a planar transparent plate , as in figure , emerges parallel to displacement of the beam . Incidentally, the incoming and outgoing rays would be parallel even for a stack of plates of different material'''<br />
<br />
Muestra analíticamente que un haz de entrar en una placa transparente planar , como en la figura , emerge paralelo al desplazamiento de la viga. Por cierto, los rayos entrantes y salientes serían paralelas incluso para una pila de placas de material diferente.<br />
<br />
[[Archivo:refraccion.jpg|200px|thumb|left|Cristal]]<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
Solución<br />
<br />
Partiendo de la ley de Snell <br />
<br />
<math><br />
n_1 \sin \theta_0 = n_2 \sin \theta_t<br />
</math><br />
<br />
----<br />
y usando como ejemplo una lámina de vidrio analizamos:<br />
<br />
[[Archivo:Diagrama2.jpg|300px|thumb|left|Análisis]]<br />
<br />
<br />
<math>n1=1</math>, <math>\theta 1=45^º</math><br />
<br />
<math>n2=1.52</math>, <math>\theta 2=27.7^º</math><br />
<br />
<br />
<math><br />
\frac{n_1}{n_2 }\sin \theta 1 = \sin \theta 2<br />
</math><br />
<br />
ahora sabemos que<math>\theta 2=27.7^º</math><br />
<br />
y analizando <br />
<br />
<math>\theta 3</math> y <math>\theta 4</math><br />
<br />
por triángulos semejantes sabemos que<br />
<br />
<math>\theta 3=62.3^º</math><br />
<br />
volviendo a aplicar ley de Snell<br />
<br />
<math><br />
\frac{n_2}{n_1 }\sin \theta 3 = \sin \theta 4<br />
</math><br />
y obtenemos <br />
<br />
<math>\theta 4=45^º</math><br />
<br />
Así queda demostrado que el rayo incidente y el saliente son paralelos por que<br />
<br />
<math>\theta 4</math> es igual a <math>\theta 1</math><br />
<br />
Ejercicio resuelto por --[[Usuario:Luis Velázquez|Luis Velázquez]] ([[Usuario discusión:Luis Velázquez|discusión]]) 07:24 27 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
==Problema 4.16==<br />
''' Obtener la ley de reflexión, <math>\theta_{i} = \theta{r}</math>, usando para el cálculo el tiempo de mínima transmisión, como requerimiento por el principio de Fermat'''<br />
<br />
Lo que nos dice el principio de Fermat:<br />
El trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es estacionario respecto a posibles variaciones de la trayectoria<br />
<br />
Dicho de otra manera, el tiempo de transmisión que sigue la luz para recorrer un medio tiene que ser el mínimo. <br />
<br />
[[Archivo:Ley de reflexión.png|250px]]<br />
<br />
En la imagen anterior representa la trayectoria de un haz de luz en un medio homogéneo en donde es reflejado totalmente, la representación nos servirá para deducir las expresiones de reflexión. <br />
Primero para el tiempo que se observa que el tiempo que dura la luz para ir del objeto gris al objeto verde es:<br />
<math>T= \frac{d_{1}}{C}+\frac{d_{2}}{C}</math><br />
donde <math>C</math> es la velocidad de la luz y <math>T=t_{1}+t_{2}</math>, por lo tanto podemos deducir que:<br />
<math>CT=d_{1} +d_{2}= \sqrt{h_{1}^2+x^2}+\sqrt{h_{2}^2+(L-x)^2}</math><br />
<br />
Usando el principio de Fermat donde nos dice que:<br />
<math>C \frac{dt}{dx}= 0</math><br />
Aplicando la primera derivada con respecto de la posición tenemos que:<br />
<math>C \frac{dt}{dx}= \frac{d ( \sqrt{h_{1}^2+x^2})}{dx}+\frac{d( \sqrt{h_{2}^2+(L-x)^2})}{dx}=0</math><br />
Desarrollando tenemos que:<br />
<math>\frac{x}{\sqrt{h_{1}^2+x^2}}-\frac{L-x}{\sqrt{h_{2}^2+(L-x)^2}}=0</math> <br />
Por trigonometría tenemos que:<br />
<math>sen(\theta_{i})=\frac{x}{\sqrt{h_{1}^2+x^2}} </math><br />
Y:<br />
<math>sen(\theta_{r})= \frac{L-x}{\sqrt{h_{2}^2+(L-x)^2}}</math><br />
Por lo tanto obtenemos que:<br />
<math>Sen(\theta_{i})-Sen(\theta_{r})=0</math><br />
De donde podemos concluir, usando el principio de Fermat que:<br />
<math>Sen(\theta_{i})=Sen(\theta_{r})</math><br />
Sí y sólo si:<br />
<math>\theta_{i}=\theta_{r}</math><br />
<br />
Hecho por --[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 17:44 29 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==ejercicio adicional, propagación de luz==<br />
<br />
<br />
un lente convergente de 10 cm, de longitud focal forma una imagen de un objeto situado del lente a : <br />
<br />
(a) 30 cm<br />
(b)10com<br />
(c) 5cm<br />
<br />
<br />
Encontrar la distancia a la imagen y describir la imagen en cada caso.<br />
<br />
<br />
La ecuación del lente delgado puede utilizarse para determinar la distancia a la imagen :<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\frac{1}{P}+\frac{1}{q}=\frac{1}{F}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\frac{1}{30}+\frac{1}{q}=\frac{1}{10}</math><br />
<br />
<br />
q= 15 cm<br />
<br />
el signo positivo indica que la imagen es real. El aumento es: <br />
<br />
<br />
<math>\frac{q}{p}= \frac {-15}{30}=- 0.5</math><br />
<br />
<br />
<br />
de este modo la imagen a reducido su tamaño a la mitad y el signo negativo de M indica que la imagen esta invertida.<br />
<br />
Ningún calculo es necesario para este caso, ya que, se sabe que cuando el objeto se pone en el punto focal, la imagen se forma en el infinito. Esto se puede verificar sustituyendo P=10 en la ecuación del lente.<br />
<br />
<br />
A continuación nos movemos dentro del punto focal, hasta una distancia del objeto de 5cm. En este caso, la ecuación del lente delgado produce :<br />
<br />
<br />
<math>\frac{1}{5}+\frac{1}{9}= \frac{1}{10}</math><br />
<br />
q= -10cm<br />
<br />
<br />
<math>M= \frac{-q}{p}=-(\frac{-10}{5}=2</math><br />
<br />
<br />
<br />
La distancia a la imagen negativa nos indica que es virtual. La imagen se ha alargado y el signo positivo para M nos señala que la imagen esta de pie.<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luisa Alejandra Vega Sanchez|Luisa Alejandra Vega Sanchez]] ([[Usuario discusión:Luisa Alejandra Vega Sanchez|discusión]]) 00:43 30 mar 2015 (CDT)luisa alejandra vega sanchez</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Ondas:_probs_c7&diff=19285Ondas: probs c72015-03-30T05:45:07Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: /* 7.29 Hetch / 3ra Edición */</p>
<hr />
<div>vibraciones y ondas<br />
problemas capítulo 7 Óptica - Hecht<br />
----<br />
== Problema 7.1 ==<br />
'''Determine la resultante de la superposición de las ondas paralelas $E_{1}=E_{01}\sin(\omega t+\epsilon_{1})$ y $E_{2}=E_{02}\sin(\omega t+\epsilon_{2})$ cuando $\omega=120\pi$, $E_{01}=6$, $E_{02}=8$, $\epsilon_{1}=0$ y $\epsilon_{2}=\frac{\pi}{2}$. Represente gráficamente cada función y la resultante.'''<br />
<br />
En la imagen se muestra la gráfica de las primeras dos funciones dadas.<br />
<br />
[[Archivo:EN1.png]]<br />
<br />
<br />
Ahora bien sumemos ambas ondas, dado por <br />
\[<br />
E=E_{1}+E_{2}<br />
\]<br />
<br />
<br />
donde $E_{1}$ y $E_{2}$ estan dadas por<br />
\[<br />
E_{1}=E_{01}\sin(\omega t+\epsilon_{1})=E_{01}(\sin\omega t\cos\epsilon_{1}+\cos\omega t\sin\epsilon_{1})<br />
\]<br />
\[<br />
E_{2}=E_{02}\sin(\omega t+\epsilon_{2})=E_{02}(\sin\omega t\cos\epsilon_{2}+\cos\omega t\sin\epsilon_{2})<br />
\]<br />
<br />
<br />
Al sumar y factorizar se obtiene<br />
\[<br />
E=(E_{01}\cos\epsilon_{1}+E_{02}\cos\epsilon_{2})\sin\omega t+(E_{01}\sin\epsilon_{1}+E_{02}\sin\epsilon_{2})\cos\omega t<br />
\]<br />
<br />
<br />
ya que $\epsilon_{1}=0$ , $\epsilon_{2}=\frac{\pi}{2}$ , $\omega=120\pi$,<br />
$E_{01}=6$ y $E_{02}=8$ nos queda<br />
<br />
\[<br />
E=6\sin120\pi t+8\cos120\pi t<br />
\]<br />
<br />
<br />
La suma de ambas ondas se muestra gráficamente.<br />
<br />
<br />
[[Archivo:EN2.png]]<br />
<br />
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 17:22 28 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema 3.2/7.2 ==<br />
<br />
''' Considerando la sección 7.1, suponga que empezamos el análisis con el fin de calcular $E = E_1 + E_2$ con dos funciones coseno $E_1=E_{01} \cos(\omega t + \alpha_1)$ y $E_2 E_{02} = \cos(\omega t + \alpha_2)$. Para facilitar algo la tarea, sea $E_{01} = E_{02}$ y $\alpha_1 = 0$. Sume las dos ondas algebraicamente y utilice la conocida identidad trigonométrica $\cos \theta + cos \phi = 2 \cos\left[1/2 (\theta + \phi)\right] \cos\left[1/2 (\theta - \phi)\right]$ para demostrar que $E = E_0 \cos(\omega t + \alpha)$, donde $E_0 = 2 E_{01} \cos(\alpha_2 / 2)$ y $\alpha = \alpha_2 / 2$. Ahora demuestre que estos mismos resultados se deducen de las ecuaciones 7.9 y 7.10.'''<br />
<br />
<br />
Comencemos desarrollando la suma algebráica de las dos ondas:<br />
<br />
<math><br />
E = E_1 + E_2 = E_{01} \cos(\omega t + \alpha_1) + E_{02} \cos(\omega t + \alpha_2)<br />
</math><br />
<br />
y sabemos que $E_{01} = E_{02}$, además $\alpha_1 = 0$, por lo que, sustituyendo:<br />
<br />
<math><br />
E = E_{01} \cos(\omega t + 0) + E_{01} \cos(\omega t + \alpha_2) = E_{01} \left[ \cos(\omega t) + \cos(\omega t + \alpha_2) \right]<br />
</math><br />
<br />
Y si definimos $\theta \equiv \omega t$ y $\phi \equiv \omega t + \alpha_2$, tenemos:<br />
<br />
<math><br />
E = E_{01} \left[ \cos(\theta) + \cos(\phi) \right]<br />
</math><br />
<br />
y utilizando la identidad trigonométrica $\cos \theta + cos \phi = 2 \cos\left[1/2 (\theta + \phi)\right] \cos\left[1/2 (\theta - \phi)\right]$:<br />
<br />
<math><br />
E = E_{01} \left[ 2 \cos\left[1/2 (\theta + \phi)\right] \cos\left[1/2 (\theta - \phi)\right] \right]<br />
</math><br />
<br />
y sustituyendo los valores de $\theta$ y $\phi$:<br />
<br />
<math><br />
E = E_{01} \left\{ 2 \cos\left[1/2 (\omega t + \omega t + \alpha_2)\right] \cos\left[1/2 (\omega t - \omega t + \alpha_2)\right] \right\} \\<br />
\Rightarrow E = E_{01} \left\{ 2 \cos\left[\dfrac{2 \omega t + \alpha_2}{2}\right] \cos\left[ \dfrac{\alpha_2}{2} \right] \right\}<br />
= E_{01} \left\{ 2 \cos\left[\omega t + \dfrac{\alpha_2}{2}\right] \cos\left[ \dfrac{\alpha_2}{2} \right] \right\}<br />
</math><br />
<br />
y definiendo $\alpha \equiv \alpha_2/2$:<br />
<br />
<math><br />
E = E_{01} \left[ 2 \cos\left(\omega t + \alpha \right) \cos\left( \alpha \right) \right] <br />
= 2 E_{01} \cos(\alpha) \cos(\omega t + \alpha)<br />
</math><br />
<br />
y como $E_0 = 2 E_{01} \cos(\alpha_2 / 2) = 2 E_{01} \cos(\alpha)$, entonces:<br />
<br />
<math><br />
E = E_0 \cos(\omega t + \alpha)<br />
</math><br />
<br />
que es lo que queríamos mostrar.<br />
<br />
Ahora, recordemos las ecuaciones 7.9 y 7.10:<br />
<br />
<math><br />
E_0^2 = E_{01}^2 + E_{02}^2 + 2 E_{01} E_{02} \cos(\alpha_2 - \alpha_1) \hspace{20pt} \ldots \hspace{20pt} (7.9) \\<br />
\tan(\alpha) = \dfrac{E_{01} \sin \alpha_1 + E_{02} \sin \alpha_2}{E_{01} \cos \alpha_1 + E_{02} \cos \alpha_2} \hspace{20pt} \ldots \hspace{20pt} (7.10)<br />
</math><br />
<br />
Tomando ahora la ecuación (7.10) y sustituyendo $\alpha_1 = 0$, tenemos que:<br />
<br />
<math><br />
\tan(\alpha) = \dfrac{E_{01} \sin 0 + E_{02} \sin \alpha_2}{E_{01} \cos 0 + E_{02} \cos \alpha_2}<br />
= \dfrac{E_{02} \sin \alpha_2}{E_{01} + E_{02} \cos \alpha_2}<br />
</math><br />
<br />
luego, como $E_{01} = E_{02}$:<br />
<br />
<math><br />
\tan(\alpha) = \dfrac{E_{01} \sin \alpha_2}{E_{01} + E_{01} \cos \alpha_2}<br />
= \dfrac{E_{01} \sin \alpha_2}{E_{01} ( 1 + \cos \alpha_2)}<br />
= \dfrac{\sin \alpha_2}{1 + \cos \alpha_2}<br />
</math><br />
<br />
y tenemos tres identidades trigonométricas importantes:<br />
<br />
<math><br />
\sin \tfrac{\alpha_2}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha_2}{2}}<br />
\Rightarrow \sqrt{2} \sin \tfrac{\alpha_2}{2} = \sqrt{1 - \cos \alpha_2} \\<br />
<br />
\cos \tfrac{\alpha_2}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha_2}{2}}<br />
\Rightarrow \sqrt{2} \cos \tfrac{\alpha_2}{2} = \sqrt{1 + \cos \alpha_2} \\<br />
<br />
\sin^2 \alpha_2 + \cos^2 \alpha_2 = 1<br />
\Rightarrow \sin \alpha_2 = \sqrt{1-\cos^2 \alpha_2}<br />
</math><br />
<br />
por lo que siguiendo con el desarrollo de $\tan(\alpha)$:<br />
<br />
<math><br />
\tan(\alpha) = \dfrac{\sin \alpha_2}{1 + \cos \alpha_2} = \dfrac{\sqrt{1-\cos^2 \alpha_2}}{1 + \cos \alpha_2}<br />
= \dfrac{\sqrt{(1-\cos\alpha_2) (1+\cos \alpha_2)}}{1 + \cos \alpha_2} \\<br />
\Rightarrow \tan(\alpha) = \dfrac{\sqrt{1-\cos\alpha_2}}{\sqrt{1 + \cos \alpha_2}} <br />
= \dfrac{\sqrt{2} \sin(\alpha_2 / 2)}{\sqrt{2} \cos(\alpha_2 / 2)}<br />
= \tan(\alpha_2 / 2) \\<br />
\Rightarrow \tan(\alpha) = \tan(\alpha_2 / 2) \\<br />
\therefore \alpha = \alpha_2/2<br />
</math><br />
<br />
Entonces, hemos llegado a uno de los resultados que se nos piden $\alpha = \alpha_2/2$. Tomemos ahora la ecuación (7.9) y sustituyamos $E_{01} = E_{02}$ y $\alpha_1 = 0$:<br />
<br />
<math><br />
E_0^2 = E_{01}^2 + E_{01}^2 + 2 E_{01} E_{01} \cos(\alpha_2 - 0) = 2 E_{01}^2 + 2 E_{01}^2 \cos(\alpha_2) \\<br />
\Rightarrow E_0^2 = 2 E_{01}^2 \left[ 1 + \cos(\alpha_2) \right] = 2 E_{01}^2 \left[ 2 \cos^2(\alpha_2 /2) \right]\\<br />
\Rightarrow E_0 = \sqrt{4 E_{01}^2 \cos^2(\alpha_2 /2)} = 2 E_{01} \cos(\alpha_2 /2 ) \\<br />
\therefore E_0 = 2 E_{01} \cos(\alpha_2 /2 )<br />
</math><br />
<br />
con lo que hemos obtenido el segundo resultado deseado $E_0 = 2 E_{01} \cos(\alpha_2 /2 )$.<br />
<br />
Entonces, de las ecuaciones (7.9) y (7.10) concluimos que:<br />
<br />
<math><br />
E_0 = 2 E_{01} \cos(\alpha_2 /2 ) \\<br />
\alpha = \alpha_2 /2<br />
</math><br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 00:22 27 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
== Problema 7.3 ==<br />
<br />
'''Show that when the two waves of Eq. (7.5) are in phase, the resulting amplitude squared is a maximum equal to $(E_{01}+E_{01})^2$ , and when they are out of phase it is a minimum equal to $(E_{01}-E_{01})^2$'''<br />
<br />
Muestre que cuando las dos ondas de la ecuación. (7.5) están en fase, la amplitud resultante cuadrado es de un máximo igual a $ (E_ {01} + E_ {02}) ^ 2 $, y cuando están fuera de fase es un mínimo equivalente a $ (E_ {01} - E_ {02}) ^ 2 $<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
De la ecuacion 7.5 sabemos que<br />
<br />
$E_{1}=E_{01}{Sen(\omega t+\beta_{1})}$<br />
<br />
y<br />
<br />
$E_{2}=E_{02}{Sen(\omega t+\beta_{2})}$<br />
<br />
Para cuando están en fase:<br />
<br />
$\beta_{1}=\beta_{2}{Cos(\beta_{2}-\beta_{1})}={Cos(0)}=1$<br />
<br />
<br />
<br />
Usando (7.9)<br />
<br />
<br />
$E_{0}^2=E_{01}^2+E_{02}^2+2E_{01}E_{02}{Cos(\beta_{2}-\beta_{1})}$<br />
<br />
<br />
$E_{0}^2=E_{01}^2+E_{02}^2+2E_{01}E_{02}=(E_{01}+E_{02})^2$<br />
<br />
<br />
<br />
Para cuando están fuera de fase:<br />
<br />
$\beta_{1}-\beta_{2}=\pi$<br />
<br />
<br />
$Cos(\beta_{2}-\beta_{1})=Cos{\pi}=-1$<br />
<br />
Y por (7.9)<br />
<br />
<br />
$E_{0}^2=E_{01}^2+E_{02}^2-2E_{01}E_{02}=(E_{01}-E_{02})^2$<br />
<br />
Ejercicio resuelto por: --[[Usuario:Luis Velázquez|Luis Velázquez]] ([[Usuario discusión:Luis Velázquez|discusión]]) 20:57 27 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
== Problema 3.4/7.4 ==<br />
<br />
'''Demuestre que la longitud de camino óptico, definido como la suma de los productos de varios índices multiplicados por los espesores de los medios atravesados por un haz, es decir, ${\displaystyle \sum n_{i}x_{i}}$, equivale a la longitud del recorrido en el vacío que el haz tardaría el mismo tiempo en atravesar.'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
Sea la longitud de camino óptico $L.C.O.=\sum n_{i}x_{i}$, si sabemos<br />
que el índice de refracción es $n=\frac{c}{v}$, con c la velocidad<br />
de la luz en el vacío y v la velocidad de la luz en un medio, podemos<br />
sustituir en nuestra primera ecuación.<br />
<br />
$L.C.O.=\sum\frac{c}{v_{i}}x_{i}$<br />
<br />
$L.C.O.=\sum\frac{ct_{i}}{x_{i}}x_{i}$<br />
<br />
$L.C.O.=\sum ct_{i}$<br />
<br />
que es justamente la longitud del recorrido en el vacío que la luz<br />
tardaría en ese tiempo en atravesar.<br />
<br />
--[[Usuario:Edgar Ortega Roano|Edgar Ortega Roano]] ([[Usuario discusión:Edgar Ortega Roano|discusión]]) 12:36 25 mar 2014 (CDT)<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema 3.6/7.6 ==<br />
''' Determine la diferencia de camino óptico para las dos ondas A'''<br />
'''y B cuyas longitudes de onda en el vacío, ilustradas en la figura'''<br />
'''P.7.6, son ambas de 500 nm; el tanque de vidrio ($n=1.52$) se llena'''<br />
'''con agua ($n=1.33$). Si las ondas comienzan en fase y todos los números'''<br />
'''anteriores son exactos, encuentre su diferencia de fase relativa en'''<br />
'''la línea de meta.'''<br />
<br />
Tenemos que la longitud de camino óptico para cada onda (A y B) es:<br />
<br />
\[<br />
LCO_{B}=(1)_{aire}(100cm)=1m<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
LCO_{A}=(1)_{aire}(89cm)+(1.52)_{vidrio}(2)(0.5cm)+(1.33)_{agua}(10cm)=103.8cm=1.038m<br />
\]<br />
<br />
<br />
Restando los caminos ópticos tendremos que:<br />
<br />
\[<br />
\Lambda=LCO_{A}-LCO_{B}=1.038m-1m=0.038m<br />
\]<br />
<br />
<br />
Para hallar la diferencia de fase relativa tendremos que:<br />
<br />
\[<br />
\delta=k_{0}\Lambda=\left(\frac{2\pi}{\lambda_{0}}\right)\Lambda=\frac{2\pi\left(3.82x10^{-3}m\right)}{5x10^{-9}m}=7.64x10^{6}\pi<br />
\]<br />
<br />
<br />
por lo cual, la diferencia de fase es:<br />
<br />
\[<br />
\delta=7.64x10^{6}\pi<br />
\]<br />
<br />
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] 22:21 26 Marzo 2014<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema 3.7/7.7 ==<br />
<br />
Usando las ecuaciones:<br />
<br />
<math>E_{0}^{2}=E_{01}^{2}+E_{02}^{2}+2E_{02}E_{01}cos(\alpha_{2}-\alpha_{1})</math><br />
<br />
<br />
<math>tan\alpha=\frac{E_{01}sen\alpha_{1}+E_{02}sen\alpha_{2}}{E_{01}cos\alpha_{1}+E_{02}cos\alpha_{2}}</math><br />
<br />
<br />
<math>E=E_{0}sen(\omega t-k(x+\alpha))</math><br />
<br />
<br />
Demostrar la resultante de las dos ondas. <br />
<br />
<math>E_{1}=E_{01}sen(\omega t-k(x+\triangle x))</math><br />
<br />
<br />
<math>E_{2}=E_{01}sen(\omega t-kx)</math><br />
<br />
<br />
es:<br />
<br />
<math>E=2E_{01}cos(\frac{\triangle x}{2})sen[\omega t-k(x+\frac{\triangle x}{2})]<br />
</math>'''<br />
<br />
<br />
Sustituyendo en la primera relacion tenemos: <br />
<br />
<math>E_{0}^{2}=E_{01}^{2}+E_{01}^{2}+2E_{01}^{2}cos(\triangle x)</math><br />
<br />
<br />
Tras simplificar obetenemos.<br />
<br />
<math>E_{0}^{2}=2E_{01}^{2}[1+cos(\triangle x)]</math><br />
<br />
<br />
Utilizando una relacion trigonometrica. <math>\left.1+cos\triangle x=2cos^{2}\frac{\triangle x}{2}\right\} ..1</math><br />
<br />
<br />
<math>E_{0}^{2}=4E_{01}^{2}[cos^{2}(\frac{\triangle x}{2})]</math><br />
<br />
<br />
Sacando raices de ambosl lados. <br />
<br />
<math>E_{0}=2E_{01}cos(\frac{\triangle x}{2})</math><br />
<br />
<br />
Ahora en el caso de la fase. <br />
<br />
<math>tan\alpha=\frac{E_{01}sen(\triangle x)}{E_{01}+E_{01}cos(\triangle x)}</math><br />
<br />
<br />
De aqui, factorizamos del denominador un campo y este se hace uno con el campo del numerador<br />
<br />
<math>tan\alpha=\frac{sen(\triangle x)}{1+cos(\triangle x)}</math><br />
<br />
<br />
Utilizamos en el denominador 1. y en el numerador. <math>\left.sen(\frac{\triangle x}{2})=2sen(\frac{\triangle x}{2})cos(\frac{\triangle x}{2})\right\} ..2</math><br />
y sustituimos. <br />
<br />
<math>tan\alpha=\frac{2sen(\frac{\triangle x}{2})cos(\frac{\triangle x}{2})}{2cos^{2}\frac{\triangle x}{2}}</math><br />
<br />
<br />
Tras simplificar.<br />
<br />
<math>tan\alpha=\frac{sen(\frac{\triangle x}{2})}{cos(\frac{\triangle x}{2})}</math><br />
<br />
<br />
Por definicion de tangente.<br />
<br />
<math>tan\alpha=tan(\frac{\triangle x}{2})\Longrightarrow\alpha=\frac{\triangle x}{2}</math><br />
<br />
<br />
Ahora por la ultima ecuacion el campo. <br />
<br />
<math>E=2E_{01}cos(\frac{\triangle x}{2})sen[\omega t-k(x+\frac{\triangle x}{2})]</math><br />
--[[Usuario:Andrés Arturo Cerón Téllez|Andrés Arturo Cerón Téllez]] ([[Usuario discusión:Andrés <br />
Arturo Cerón Téllez|discusión]]) 00:55 6 jul 2013 (CDT)<br />
<br />
<br />
En este problema la primera parte de la solución es correcta, pero la segunda no, aqui se coloca la parte restante, y como lo realice:<br />
<br />
'''7.7. Usando las ecuaciones (7.9), (7.10) y (7.11) demuestre que la'''<br />
'''resultante de las ondas'''<br />
<br />
\[<br />
E_{1}=E_{01}sen\left[wt-k(x+\Delta x)\right]<br />
\]<br />
<br />
<br />
'''y'''<br />
\[<br />
E_{2}=E_{01}sen\left(wt-kx\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
'''es'''<br />
\[<br />
E=2E_{01}cos\left(\frac{k\Delta x}{2}\right)sen\left[wt-k\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\right]<br />
\]<br />
<br />
<br />
Primero, definamos las siguientes variables como $\alpha_{1}=-k(x+\Delta x)$<br />
y $\alpha_{2}=-kx$, luego tendremos que:<br />
<br />
\[<br />
E_{1}=E_{01}sen(et+\alpha_{1})<br />
\]<br />
y <br />
\[<br />
E_{2}=E_{01}sen(wt+\alpha_{2})<br />
\]<br />
<br />
<br />
Asi, aplicando la ecuación (7.9) tendremos que:<br />
<br />
\[<br />
E_{0}^{2}=E_{01}^{2}+E_{01}^{2}+2E_{01}^{2}\left(cos\alpha_{1}cos\alpha_{2}+sen\alpha_{1}sen\alpha_{2}\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Factorizando tenemos:<br />
<br />
\[<br />
E_{0}^{2}=2E_{01}^{2}\left(1+cos\alpha_{1}cos\alpha_{2}+sen\alpha_{1}sen\alpha_{2}\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
E_{0}^{2}=2E_{01}^{2}\left(1+cos\left(\alpha_{2}-\alpha_{1}\right)\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Haciendo $\alpha=\alpha_{2}-\alpha_{1}$<br />
<br />
Usando la indentidad $\left(1+cos\alpha\right)=2cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$<br />
tendremos:<br />
<br />
\[<br />
E_{0}^{2}=2E_{01}^{2}\left(2cos^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)=4E_{01}^{2}cos^{2}\left(\frac{\alpha_{2}-\alpha_{1}}{2}\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Finalmente:<br />
<br />
\[<br />
E_{0}^{2}=E_{01}^{2}cos^{2}\left(\frac{k\Delta x}{2}\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
E_{0}=E_{01}cos\left(\frac{k\Delta x}{2}\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Luego, para hallar $\alpha$ usemos (7.10)<br />
<br />
\[<br />
tan\alpha=\frac{E_{01}sen\alpha_{1}+E_{01}sen\alpha_{2}}{E_{01}cos\alpha_{1}+E_{01}cos\alpha_{2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Realizando las operaciones pertinentes tendremos que:<br />
<br />
\[<br />
tan\alpha=\frac{sen\left(-kx-\frac{k\Delta x}{2}\right)}{cos\left(-kx-\frac{k\Delta x}{2}\right)}=tan\left(-kx-\frac{k\Delta x}{2}\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\Rightarrow\alpha=-kx-\frac{k\Delta x}{2}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\alpha=-k\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Por último, sustituyendo estos datos en la ecuación (7.11) tendremos:<br />
<br />
\[<br />
E=2E_{01}cos\left(\frac{k\Delta x}{2}\right)sen\left[wt-k\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\right]<br />
\]<br />
<br />
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] 22:13 26 Marzo 2014<br />
<br />
----<br />
== Problema 3.8/7.8 ==<br />
<br />
'''Sume directamente las dos ondas del problema 7.7 para encontrar la ecuación (7.17)'''<br />
<br />
Las ondas del problema anterior son:<br />
<math>E_{1}=E_{01}sen\left[\omega t-k(x+\Delta x)\right]</math><br />
<br />
y:<br />
<math>E_{2}=E_{01}sen\left[\omega t-kx\right]</math><br />
<br />
<br />
Hacemos la suma directamente <math>E=E_{1}+E_{2}</math>:<br />
<br />
<math>E=E_{01}\left\{ sen\left[\omega t-k(x+\Delta x)\right]+sen\left[\omega t-kx\right]\right\}</math><br />
<br />
<br />
Desarrollamos el primer seno usando la regla trigonometrica de la suma de ángulos: <br />
<br />
<math>sen\left[\omega t-k(x+\Delta x)\right]=sen\left[\omega t-kx\right]cos(k\Delta x)-cos\left[\omega t-kx\right]sen(k\Delta x)</math><br />
<br />
Desarrollamos<br />
<br />
:<math>E=E_{01}\left\{ sen\left[\omega t-kx\right]cos(k\Delta x)-cos\left[\omega t-kx\right]sen(k\Delta x)+sen{\left[\omega t-kx\right]}\right\}</math><br />
<br />
<br />
Factorizamos del primer y último término el seno de la fase:<br />
<br />
<math>E=E_{01}\left\{ sen\left[\omega t-kx\right]\left[cos(k\Delta x)+1\right]-cos\left[\omega t-kx\right]sen(k\Delta x)\right\}</math><br />
<br />
<br />
Utilizando las relaciones trigonométricas de los problemas anteriores se obtienen las siguientes expresiones para el seno y coseno:<br />
<br />
<math>cos(k\Delta x)+1=2cos^{2}(\frac{k\Delta x}{2})</math><br />
<br />
<br />
:<math>sen\left(k\Delta x\right)=2cos(\frac{k\Delta x}{2})sen(\frac{k\Delta x}{2})</math><br />
<br />
<br />
Las ecuaciones de las ondas se ven como sigue:<br />
<br />
<math>E=E_{01}\left\{ sen\left[\omega t-kx\right]2cos^{2}(\frac{k\Delta x}{2})-cos\left[\omega t-kx\right]2cos(\frac{k\Delta x}{2})sen(\frac{k\Delta x}{2})\right\}</math><br />
<br />
<br />
Si se factoriza un coseno de la mitad del ángulo y el coeficiente dos se tiene la siguiente ecuación de onda:<br />
<br />
<math>E=2E_{01}cos(\frac{k\Delta x}{2})\left\{ sen\left[\omega t-kx\right]cos(\frac{k\Delta x}{2})-cos\left[\omega t-kx\right]sen(\frac{k\Delta x}{2})\right\}</math><br />
<br />
<br />
Arreglando la suma de ángulos del seno se tiene:<br />
<br />
<br />
<math>E=2E_{01}cos(\frac{k\Delta x}{2})sen\left[\omega t-k(x+\frac{\Delta x}{2})\right]</math><br />
<br />
que corresponde a la ecuación (7.17).<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 18:34 27 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
== Problema 3.9/7.9 ==<br />
<br />
'''Use la representacion compleja para calcular la resultante de <math>E=E_{1}+E_{2}</math>,''' donde'''<br />
<br />
<math>E_{1}=E_{0}cos(kx+\omega t)</math><br />
<br />
<br />
<math>E_{2}=-E_{0}cos(kx-\omega t)</math><br />
<br />
<br />
'''Y describa la onda compuesta.''' <br />
<br />
Aplicando el metodo complejo <br />
<br />
<math>E_{1}=E_{0}e^{\imath(kx+\omega t)}</math><br />
<br />
<br />
<math>E_{2}=-E_{0}e^{\imath(kx-\omega t)}</math><br />
<br />
<br />
Entonces, la suma de ambas es:<br />
<br />
<math>E=E_{0}e^{\imath(kx+\omega t)}+-E_{0}e^{\imath(kx-\omega t)}</math><br />
<br />
<br />
<math>E=E_{0}e^{\imath kx}(e^{\imath\omega t}-e^{-\imath\omega t})</math><br />
<br />
<br />
Dado que <br />
<br />
<math>2\imath sen(\omega t)=e^{\imath\omega t}-e^{-\imath\omega t}</math><br />
<br />
<br />
Entonces. <br />
<br />
<math>E=E_{0}e^{\imath kx}2\imath sen(\omega t)</math><br />
<br />
<br />
Desarrollando “<math>e^{\imath kx}</math>”<br />
<br />
<math>E=E_{0}[cos(kx)+\imath sen(kx)]2\imath sen(\omega t)</math><br />
<br />
<br />
<math>E=E_{0}[2\imath cos(kx)sen(\omega t)-2sen(kx)sen(\omega t)]</math><br />
<br />
<br />
Por tanto. <br />
<br />
<math>E=-2sen(kx)sen(\omega t)</math><br />
<br />
<br />
De esa forma se describe la onda compuesta, Siendo así que la onda es armónica y de la misma frecuencia que las constitutivas aunque su amplitud y fase son diferentes.<br />
<br />
[[Usuario:Mario Moranchel|Mario Moranchel]] ([[Usuario discusión:Mario Moranchel|discusión]]) 03:42 26 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
== Problema 3.10/7.10 ==<br />
<br />
'''El campo electrico de una onda electromagnética estacionaria plana viene dado por'''<br />
\begin{equation}<br />
E(x,t)=2E_{0}sen(kx)cos(\omega t)<br />
\end{equation}<br />
'''Deduzca una expresion para $B(x,t)$.'''<br />
<br />
<br />
Dado.<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{\partial E}{\partial t}=-\frac{\partial B}{\partial t}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Se busca una funcion de B dependiente de x y de t entonces integramos para obtener:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
B(x,t)=-\int \frac{\partial E}{\partial x}dt<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
<br />
\begin{equation}<br />
-\int \frac{\partial E}{\partial x}dt=-2E_{0}kcos(kx)\int cos(\omega t)dt<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
\begin{equation}<br />
-2E_{0}kcos(kx)\int cos(\omega t)dt=-\frac{2E_{0}k}{\omega}cos(kx)sen(\omega t)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Entonces <br />
<br />
\begin{equation}<br />
B(x,t)=-\frac{2E_{0}k}{\omega}cos(kx)sen(\omega t)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Pero <br />
\begin{equation}<br />
\frac{E_{0}k}{\omega}=\frac{E_{0}}{c}=B_{0}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Por lo tanto:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
B(x,t)=-2B_{0}cos(kx)sen(\omega t)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Esquema de la onda estacionaria<br />
<br />
[[Archivo:yep.gif]]<br />
<br />
[[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 03:45 28 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
--[[Usuario:Daniela López Martínez|Daniela López Martínez]] ([[Usuario discusión:Daniela López Martínez|discusión]]) 21:16 6 jul 2013 (CDT)<br />
----<br />
== Problema 3.11/7.11 ==<br />
<br />
'''Considerando el experimento de Wiener (figura 7.11) en la luz monocromática cuya longitud de onda es de $550 nm$, si el plano de la película estuviera inclinado $1°$ con respecto a la superficie de reflexión, determine el número de franjas brillantes por centímetro que aparecerán en el plano.'''<br />
<br />
<br />
Los planos antinodales están separados una distancia $\frac{\lambda}{2}$ uno del otro. El seno del ángulo de inclinación de la película se relaciona como sigue con el número de franjas brillantes y la separación entre los planos:<br />
<br />
<math> Sen \theta= \frac{Distancia\ entre\ planos}{franjas/cm} </math><br />
<br />
Con un simple despeje podemos obtener el número de franjas que hay por centímetro con la placa fotográfica inclinada $1°$ :<br />
<br />
<math>\frac{No. franjas}{cm}=\frac{\frac{1}{\lambda/2}}{Sen \theta}=\frac{\frac{1}{5.5 * 10^{-7} cm}}{Sen (1°)} </math><br />
<br />
Por lo tanto, el número de franjas brillantes por centímetro que aparecen en el plano son:<br />
<br />
:<math> \frac{No. franjas}{cm}= 1.04 * 10^{8} cm^{-1} </math><br />
<br />
[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 19:04 27 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
'''3.12/7.12 Un laser emite unos pulsos de UV que dura cada uno <math>2.00ns(2.00x10^{-9}s)</math> y cuyo haz tiene un diametro de <math>2.5mm(2.5x10^{-3}m)</math>. Suponiendo que la potencia de cada pulso tiene una energia de 6.0J: (a)calcule la extension espacial de cada tren de ondas, y (b)calcule la energia media por unidad de volumen de tal pulso.'''<br />
<br />
R: (a) conociendo la ecuacion <math>l=c\triangle t</math> sustituimos los datos dados<br />
<br />
<math>l=(3.00x10^{8}m/s)(2.00x10^{-9}s)=0.6m</math><br />
<br />
<br />
(b)el volumen de un solo pulso esta dado por la formula <math>V=l\pi R^{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>V=(0.6m)(\pi(\frac{2.5x10^{-3}m}{2})^{2})</math><br />
<br />
<br />
<math>V=2.945x10^{-6}m^{3}</math><br />
<br />
<br />
por lo tanto <math>\frac{6.0J}{2.945x10^{-6}m^{3}}=2037351.443{J}/{m^{3}}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Leticia González Zamora|Leticia González Zamora]] ([[Usuario discusión:Leticia González Zamora|discusión]]) 16:01 20 jun 2013 (CDT) <br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
----<br />
<br />
''Problema 7.14 Hecht<br />
<br />
Show that the group velocity can be written as''<br />
<br />
\[V_g =\frac{C}{n+\omega (dn/d\omega)}\]<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
La velocidad de grupo es:<br />
\[V_g = \frac{d\omega}{dk}= V +k \frac{dv}{dk}------(1)\]<br />
<br />
Por otro lado, aplicando la regla de la cadena se tine que:<br />
\[<br />
\frac{dv}{dk}=\frac{dv}{d\omega} \frac{d\omega}{dk}------(2)<br />
\]<br />
<br />
Por lo que (1) se puede escribir como:<br />
<br />
\[V_g = V +k\left( \frac{d\omega}{dk}\right)\frac{dv}{d\omega}------(3) \]<br />
<br />
Tambien sabemos que $v=C/n$ Por lo que:<br />
\[<br />
\frac{dv}{d\omega}=\frac{dv}{dn}\frac{dn}{d\omega}=-\frac{C}{n^2}\frac{dn}{d\omega}<br />
\]<br />
<br />
Sustituyendo en (3) <br />
<br />
\[V_g = V - k\left( \frac{d\omega}{dk}\right)\left( \frac{C}{n^2} \frac{dn}{d\omega}\right) \]<br />
<br />
\[V_g = V -k V_g \left( \frac{C}{n^2} \frac{dn}{d\omega}\right)------(4)\]<br />
<br />
\[<br />
V_g= \frac{V}{1+ \left( \frac{C}{n^2} \frac{dn}{d\omega}\right)k}------(5)<br />
\]<br />
<br />
Finalmente:<br />
<br />
\[<br />
V_g=\frac{Vn}{n+ \left( \frac{C}{n^2} \frac{dn}{d\omega}\right)kn}=\frac{C}{n+\left(\frac{Ck}{n} \right)\frac{dn}{d\omega}}<br />
\]<br />
<br />
\[V_g =\frac{C}{n+\omega \frac{dn}{d\omega}}\]<br />
<br />
Resuelto por: --[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 01:59 27 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
== Problema 3.16/7.16 ==<br />
''' Imagine que usted esta parado en una trayectoria de una antena que esta radiando ondas planas de frecuencia 100MHz y desnsidad de flujo 19.88x10^-2 W/m^2.<br />
Calcula la densidad fe flujo de fotones, es decir, el numero de fotones por unidad de tiempo por unidad de área.¿Cuantos fotones, en promedio, se encontraran en un metro cubico de esta región?<br />
<br />
<br />
De la formula de la energia y usando la constante de plank<br />
<br />
<br />
<math>E=h\nu</math><br />
<br />
<br />
<math>h=6.63x10^{-34}</math><br />
<br />
<br />
aplicaremos la formula para calcular el numero de fotones por metro cubico<br />
<br />
<br />
<math>\frac{I}{h\nu}=\frac{19.88x10^{-2}}{(6.63x10^{-34})(100x10^{6})}=3x10^{24}fotones/m^{2}s</math><br />
<br />
<br />
<br />
Todos los fotones en el volumen V cruzan la unidad de área en un segundo<br />
<br />
<br />
<math>V=(ct)(1m^{2})=3x10^{8}m^{3}</math><br />
<br />
<br />
<math>3x10^{24}=V(densidad)</math><br />
<br />
<br />
<math>densidad=10^{16}fotones/m^{3}</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:David Alberto Rojas Solis|David Alberto Rojas Solis]] ([[Usuario discusión:David Alberto Rojas Solis|discusión]]) 10:23 6 jul 2013 (CDT)<br />
----<br />
'''3.25/7.25 Un gas ionizado o un plasma sirve como medio dispersor para ondas electromagneticas. Puesto que la ecuacion de dispersion es:<br />
'''<br />
<math>omega^{2}=\omega_{p}+c^{2}k^{2}</math><br />
<br />
<br />
Donde omega subindice p es la constante del plasma, determine las expresiones tanto de la fase como de las velocidades de grupo y demuestre que <math>vv_{g}=c^{2}</math><br />
<br />
<br />
De la relacion precedente.<br />
<br />
<math>\omega=\sqrt{\omega_{p}+c^{2}k^{2}}</math><br />
<br />
<br />
por la definicion de velocidad de grupo.<br />
<br />
<math>v_{g}=\left(\frac{\delta\omega}{\delta k}\right)_{\bar{\omega}}</math><br />
<br />
<br />
Obtenemos la derivada:<br />
<br />
<math>\left(\frac{\delta\omega}{\delta k}\right)_{\bar{\omega}}=\frac{2c^{2}k}{2\sqrt{\omega_{p}+c^{2}k^{2}}}</math><br />
<br />
<br />
Al simplificar.<br />
<br />
<math>\left(\frac{\delta\omega}{\delta k}\right)_{\bar{\omega}}=\frac{c^{2}k}{\sqrt{\omega_{p}+c^{2}k^{2}}}</math><br />
<br />
<br />
Entonces la velocidad de grupo.<br />
<br />
<math>v_{g}=\frac{c^{2}k}{\sqrt{\omega_{p}+c^{2}k^{2}}}</math><br />
<br />
<br />
Por otro lado en general la velocidad está dada por:<br />
<br />
<math>v=\frac{\omega}{k}</math><br />
<br />
<br />
<math>v=\frac{\sqrt{\omega_{p}+c^{2}k^{2}}}{k}</math><br />
<br />
<br />
entonces podemos demostrar la propiedad de la segunda parte.<br />
<br />
<math>vv_{g}=\frac{c^{2}k}{\sqrt{\omega_{p}+c^{2}k^{2}}}\frac{\sqrt{\omega_{p}+c^{2}k^{2}}}{k}</math><br />
<br />
<br />
Simplificando obtenemos el resultado esperado. <br />
<br />
<math>vv_{g}=c^{2}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Daniela López Martínez|Daniela López Martínez]] ([[Usuario discusión:Daniela López Martínez|discusión]]) 20:17 6 jul 2013 (CDT)<br />
----<br />
<br />
----<br />
== 7.29 Hetch / 3ra Edición/2do método ==<br />
<br />
Un gas ionizado, o un plasma sirve como medio dispersor para ondas electromagnéticas. Puesto que la ecuación de dispersión es<br />
<br />
: <math> \omega^{2}=\omega{}_{p}^{2}+c^{2}\kappa^{2}<br />
</math><br />
<br />
donde <math>\omega_{p}<br />
</math> es la frecuencia constante del plasma, determine las expresiones tanto de la fase como de las velocidades de grupo y demuestre que <math> vv_{g}=c^{2}<br />
</math>.<br />
<br />
Solución<br />
<br />
: <math> \omega^{2}=\omega{}_{p}^{2}+c^{2}\kappa^{2}...\left(1\right)<br />
</math><br />
<br />
Se tiene que <math> v=\frac{\omega}{\kappa}\Rightarrow\kappa=\frac{\omega}{v}<br />
</math>, elevando al cuadrado ambos componentes <br />
<br />
: <math> \kappa^{2}=\frac{\omega^{2}}{v^{2}}...(2)<br />
</math>, entonces sustituyendo (2) en (1) se tiene<br />
<br />
: <math> \omega^{2}=\omega{}_{p}^{2}+c^{2}\frac{\omega^{2}}{v^{2}}<br />
</math><br />
<br />
: <math> \omega_{p}^{2}=\omega^{2}-c^{2}\frac{\omega^{2}}{v^{2}}<br />
</math><br />
<br />
: <math> \omega_{p}^{2}=\omega^{2}\left(1-\frac{c^{2}}{v^{2}}\right)<br />
</math><br />
<br />
: <math> \frac{\omega_{p}^{2}}{\omega^{2}}=\left(1-\frac{c^{2}}{v^{2}}\right)<br />
</math><br />
<br />
: <math> \frac{c^{2}}{v^{2}}=1-\frac{\omega_{p}^{2}}{\omega^{2}}<br />
</math><br />
<br />
Invertimos<br />
<br />
: <math> \frac{v^{2}}{c^{2}}=1/\left(1-\frac{\omega_{p}^{2}}{\omega^{2}}\right)<br />
</math><br />
<br />
Despejando “v” nos queda<br />
<br />
: <math> v=\pm\frac{c}{\left(1-\frac{\omega_{p}^{2}}{\omega^{2}}\right)^{1/2}}<br />
</math><br />
<br />
Ahora, por otro lado de la velocidad de grupo es <br />
<br />
: <math> v_{g}=\frac{d\omega}{d\kappa}<br />
</math><br />
<br />
: <math> v_{g}=\frac{d}{d\kappa}\left(\sqrt{\omega_{p}^{2}+c^{2}\kappa^{2}}\right)<br />
</math><br />
<br />
: <math> v_{g}=\frac{1}{2}\left(2c^{2}\kappa/\sqrt{\omega_{p}^{2}+c^{2}\kappa^{2}}\right)=c^{2}\kappa/\sqrt{\omega_{p}^{2}+c^{2}\kappa^{2}}<br />
</math><br />
<br />
: <math> v_{g}=c^{2}\kappa/\sqrt{\omega^{2}}=c^{2}\kappa/\omega...(3)<br />
</math><br />
<br />
si <math> v=\frac{\omega}{\kappa}\Rightarrow\omega=v\kappa<br />
</math>, sustituyendo esta expresión en (3) se tiene<br />
<br />
: <math> v_{g}=c^{2}\kappa/\left(v\kappa\right)=\frac{c^{2}}{c/\sqrt{1-\left(\frac{\omega_{p}}{\omega}\right)^{2}}}<br />
</math><br />
<br />
: <math> v_{g}=c\sqrt{1-\left(\frac{\omega_{p}}{\omega}\right)^{2}}<br />
</math><br />
<br />
: <math> \therefore vv_{g}=c^{2}<br />
</math><br />
<br />
: : <math> \left[c/\sqrt{1-\left(\frac{\omega_{p}}{\omega}\right)^{2}}\right]*\left[c\sqrt{1-\left(\frac{\omega_{p}}{\omega}\right)^{2}}\right]=c^{2}<br />
</math><br />
<br />
Elaborado por Ricardo García Hernández.--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:42 30 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
== Problema 3.32/7.32 ==<br />
''' ¿Cuàl es la velocidad de la luz en un diamante si el indice de refracciòn es de 2.42?'''<br />
<br />
"Se denomina índice de refracción al cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad de la luz en el medio cuyo índice se calcula. Se simboliza con la letra n y se trata de un valor adimensional. <br />
<br />
<math>n=\frac{c}{v}\cdots\cdots\cdots\left(1\right)<br />
</math><br />
<br />
n: es el indice de refracciòn<br />
<br />
v: velocidad de la luz en el medio cuyo índice se calcula (agua, vidrio, diamante,etc.).<br />
<br />
c: velocidad de la luz en el vacio<br />
<br />
De 1 se tiene que la velocidad de luz en el diamante (v) es igual a la velocidad de la luz en el vacío (c), entre el índice de refracción del diamante (2.42); o sea: <br />
<br />
<math>v=\frac{c}{n}=\frac{299.792.458m/s}{2.42}=123881.180992m/s<br />
</math><br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema 3.38/7.38 ==<br />
<br />
''' La luz amarilla de una lámpara de sodio (Lamda =) cruza un depósito de glicerina (con índice de 1,47) de 20 cm de largo, en un tiempo t1. Si la luz tarda t2 en cruzar el mismo depósito cuando está lleno de disulfuro de carbono (índice 1,63), clacule el valor de t2-t1.'''<br />
<br />
Sabemos la relación del índice de refracción con la velocidad:<br />
<br />
<math> v_{1}=\frac{c}{n_{1}}</math><br />
<br />
Tomando a la definición de la velocidad <br />
<br />
<math>v_{1}=\frac{d}{t_{1}} </math><br />
<br />
despejando al tiempo en la última ecuación y sustituyéndola en la primera ecuación <br />
<br />
<math>t_{1}=\frac{d}{v}=\frac{dn_{1}}{c} </math><br />
<br />
haciendo lo mismo para el disulfuro de carbono<br />
<br />
<math>n=\frac{c}{v_{2}} </math><br />
<br />
<math>v_{2}=\frac{d}{t_{2}} </math><br />
<br />
<math>t_{2}=\frac{d}{v_{2}}=\frac{dn_{2}}{c} </math><br />
<br />
restanto el segundo tiempo al primero<br />
<br />
<math>t_{2}-t_{1}=\frac{d}{c}(n_{2}-n_{1}) </math><br />
<br />
sustituyendo los datos nos queda:<br />
<br />
<math>\Delta t=1.06x10^{-10}s </math><br />
<br />
--[[Usuario:Ignacio Peralta Martínez|Ignacio Peralta Martínez]] ([[Usuario discusión:Ignacio Peralta Martínez|discusión]]) 02:03 6 jul 2013 (CDT)<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:MISS|MISS]] ([[Usuario discusión:MISS|discusión]]) 00:10 23 jun 2013 (CDT)<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
[[categoría:Vibra]]<br />
<br />
<br />
== Problema Adicional 1 ==<br />
<br />
'''Una partícula está sometida a dos movimientos armónicos simples de la misma frecuencia $\omega=\pi$ y en dirección de z, las amplitudes son 0.25mm y 0.20mm respectivamente y la de fase entre el primero y el segundo es de $45^º$. Hallar la resultante.'''<br />
<br />
---<br />
<br />
Solución<br />
<br />
Sabemos que la suma de dos ondas esta dada por<br />
<br />
<math>E=E_{1}+E_{2}</math><br />
<br />
donde <br />
<br />
<br />
<math>E_{1}=E_{01}\sin(\omega t+\beta_{1})=E_{01}(\sin\omega t\cos\beta_{1}+\cos\omega t\sin\beta_{1})</math><br />
<br />
y<br />
<br />
<math>E_{2}=E_{02}\sin(\omega t+\beta_{2})=E_{02}(\sin\omega t\cos\beta_{2}+\cos\omega t\sin\beta_{2})</math><br />
<br />
Desarrollando se obtiene:<br />
<br />
<math>E=(E_{01}\cos\beta_{1}+E_{02}\cos\beta_{2})\sin\omega t+(E_{01}\sin\beta_{1}+E_{02}\sin\beta_{2})\cos\omega t<br />
</math><br />
<br />
y sustituyendo<br />
<br />
<math>E=0.25\sin\pi t+0.20\cos\pi t</math><br />
<br />
[[Archivo:grafadi.jpg|400px|thumb|left|Gráfica de la resultante]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Tomado de : Vibraciones y ondas. A. P. FRENCH pág. 43. Problema 2-2.<br />
Resuelto por:--[[Usuario:Luis Velázquez|Luis Velázquez]] ([[Usuario discusión:Luis Velázquez|discusión]]) 08:32 27 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema 7.15 ==<br />
'''Imagine que golpeamos dos diapasones, uno con frecuencia de $340Hz$ y el otro de $342Hz$. ¿Qué oiremos?'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
En este ejemplo se da el fenómeno del Batido, en el caso de que la frecuencia de ambas ondas no es igual (<math>\nu_1,\nu_2</math>), pero si son valores muy cercanos entre sí, la onda resultante es una onda modulada en amplitud por la llamada "frecuencia de batido" cuyo valor corresponde a <math>\nu_{\mbox{batido}}=\Delta \nu= | \nu_1 -\nu_2|</math>, la frecuencia de esta onda modulada corresponde a la media de las frecuencias que interfieren.<br />
<br />
Nuestro sistema auditivo no es capaz de percibir separadamente las dos frecuencias presentes, sino que se percibe una frecuencia única promedio $(\nu_1 + \nu_2) / 2$, pero que cambia en amplitud a una frecuencia de $(\nu_2 - \nu_1) / 2$.<br />
<br />
Es decir, si superponemos dos ondas senoidales de $340 Hz$ y $342 Hz$, nuestro sistema auditivo percibirá un único sonido cuya altura corresponde a una onda de $341 Hz$ y cuya amplitud varía con una frecuencia de $1 Hz$ (es decir, una veces por segundo) con <math>\nu_{\mbox{batido}}=\Delta \nu= | \nu_1 -\nu_2|=| 342Hz - 340Hz|=2Hz</math> .<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Martínez|Luis Martínez]] ([[Usuario discusión:Luis Martínez|discusión]]) 13:18 28 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema 7.22 ==<br />
<br />
'''La velocidad de propagación de una onda superficial en un líquido cuya profundidad es mucho mayor que $\lambda$ viene dada por:'''<br />
<br />
:<math>v=\sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}+ \frac{2\pi\gamma}{\rho\lambda}}</math><br />
<br />
donde $g$=es la aceleración de la gravedad, $\lambda$=longuitud de onda, $\rho$=densidad, $\gamma$=tensión superficial'''. Calcule la velocidad de grupo de un pulso en el límite mayor de la longuitud de onda(éstas reciben el nombre de ''ondas gravitacionales'').'''<br />
<br />
Solución:<br />
tenemos que la velocidad de un pulso esta dada por:<br />
<br />
<math>v=\sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}}=\sqrt{\frac{g}{k}}</math><br />
<br />
la velocidad de grupo $v_{g}$ es:<br />
<br />
<math>v_g=v+\frac{kdv}{dk}</math><br />
donde:<br />
<math>\frac{dv}{dk}=-\frac{1}{2k}\sqrt{\frac{g}{k}}=-\frac{v}{2k}</math><br />
<br />
:<math>\therefore v_g=\frac{v}{2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Martínez|Luis Martínez]] ([[Usuario discusión:Luis Martínez|discusión]]) 14:16 28 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
==Problema adicional 2==<br />
'''Una cuerda de guitarra de 1 m de largo fija por ambos extremos vibra formando 4 nodos. Los puntos centrales de la cuerda tienen un desplazamiento máximo de 4 mm. Si la velocidad de las ondas en la cuerda es 660 m/s, halla la frecuencia con la que vibra la cuerda y la expresión de la funcion de la onda estacionaria. '''<br />
<br />
<br />
Para obtener la longitud de la cuerda usamos:<br />
$$ L= 3\dfrac{\lambda}{2}\Rightarrow \lambda = \dfrac{2L}{3} = \dfrac{2*1}{3} = \dfrac{2}{3} m $$<br />
<br />
Y la frecuencia de la vibración es <br />
$$\ v =\dfrac{v}{\lambda} = \dfrac{660}{2/3} = 990 Hz$$<br />
<br />
La ecuación de onda estacionaria es : <br />
<br />
$$ y = 2 A\sin (k x) \cos (\omega t) = 2* 4 *10^{-3}\sin(\dfrac{2\pi}{2/3}x)\cos (2\pi 990 t) =8*10^{-3}\sin(3 \pi x)\cos (1980 \pi t)$$<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 00:05 29 mar 2015 (CDT)Esther Sarai García<br />
<br />
<br />
----<br />
==Problema 7.30==<br />
'''Usando la ecuación de dispersión:<br />
<math>n^2 (\omega)= 1 + \frac{N q^2_{e}}{ \epsilon_{0} m_{e}} \Sigma_{l}(\frac{f_{l}}{\omega^2_{0l}-\omega^2})</math><br />
<br />
'''Demuestra que la velocidad de grupo está dada por:<br />
<math>v_{g}= \frac{c}{1+\frac{Nq_{e}^2}{\epsilon_{0}m_{e}\omega_{0}^2 2}}</math><br />
'''Para las ondas de alta frecuencia (por ejemplo los rayos X), tenga en cuenta que desde el <math>f_{j}</math> son los factores de ponderación. <math>\Sigma_{l} f_{l}=1</math> ¿Qué es la velocidad de fase?, demostrar que <math>v v_{g}= C^2</math> '''<br />
<br />
como hablamos para ondas de alta frecuencia, <math>\omega >>\omega_{l}</math>, por lo tanto en la ecuación de dispersión tenemos que, (acordándonos que <math>\Sigma_{l} f_{l}=1</math>:<br />
<br />
<math>n^2 (\omega)= 1 - \frac{N q^2_{e}}{ \epsilon_{0} m_{e} \omega^2} \Sigma_{l}(f_{l})=1 - \frac{N q^2_{e}}{ \epsilon_{0} m_{e} \omega^2} </math><br />
<br />
Donde:<br />
<math>n=\sqrt{1 - \frac{N q^2_{e}}{ \epsilon_{0} m_{e} \omega^2}}</math><br />
<br />
Usando la expanción binomial, <br />
<math>(1-x)^{\frac{1}{2}} \thickapprox 1- \frac{x}{2}</math> para x<<1<br />
Por lo tanto tenemos que:<br />
<math>n \thickapprox 1- \frac{N q^2_{e}}{ 2 \epsilon_{0} m_{e} \omega^2} </math> <br />
Calculando la derivada de <math>n</math> con respecto de <math>\omega</math>:<br />
<br />
<math>\frac{dn}{d \omega}= \frac{Nq_{e}^2}{\epsilon_{0} m_{e}\omega^3 }</math><br />
<br />
Empleando la ecuación para velocidad de grupo tenemos que:<br />
<math>v_{g}= \frac{c}{n+ \omega (\frac{dn}{d \omega})}</math><br />
Sustituyendo:<br />
<math>v_{g}= \frac{c}{ 1- \frac{N q^2_{e}}{ 2 \epsilon_{0} m_{e} \omega^2} + \frac{Nq_{e}^2}{\epsilon_{0} m_{e}\omega^2 }}= \frac{c}{1+ \frac{Nq_{e}^2}{2 \epsilon_{0} m_{e}\omega^2 } }</math> <br />
<br />
por lo tanto:<br />
<math>v_{g}= \frac{c}{1+ \frac{Nq_{e}^2}{2 \epsilon_{0} m_{e}\omega^2 } }</math><br />
<br />
Para el índice de refracción tenemos que:<br />
<math>n= \frac{C}{v}</math><br />
Por lo tanto tenemos que para la velocidad de fase es:<br />
<math>v=\frac{C}{n}</math><br />
Para <math>v_{g}<<C</math><br />
tenemos que:<br />
<math>v=\frac{C}{ 1- \frac{N q^2_{e}}{ 2 \epsilon_{0} m_{e} \omega^2}}</math><br />
Por expansión binomial tenemos que la velocidad de fase: <br />
<math>v= c (1+ \frac{N q^2_{e}}{ 2 \epsilon_{0} m_{e} \omega^2}) </math><br />
<br />
Dado que: <br />
<math>v v_{g}= c (1+ \frac{N q^2_{e}}{ 2 \epsilon_{0} m_{e} \omega^2}) * \frac{c}{1+ \frac{Nq_{e}^2}{2 \epsilon_{0} m_{e}\omega^2 }} = C^2 </math><br />
<br />
Por lo tanto demostramos que:<br />
<math>v v_{g}=C^2</math><br />
<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 20:52 29 mar 2015 (CDT)</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Ondas:_probs_c4&diff=19284Ondas: probs c42015-03-30T05:44:13Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: /* 4.9 Hetch / 3ra Edición/2do metodo */</p>
<hr />
<div>Vibraciones y Ondas<br />
<br />
Problemas capítulo 4. Óptica - Hecht<br />
----<br />
==Problema 4.1==<br />
'''Work your away through an argument using dimensional analysis to establish the $\lambda^{-4}$ dependence of the percentage of light scattered in Rayleigh Scattering. Let $E_{0i}$ and $E_{0s}$ be the incident and scattered amplitudes, the latter at a distance r from the scatterer. Assame $ E_{0s}\varpropto E_{0i}$ and $E_{0s}\varpropto \dfrac{1}{r}$. Furthermore, plausibly assume that the scattered amplitude is proportional to the volume. V, of the scatterer, within limits the is reasonable. Determine the units of the constant of proportionality.'''<br />
<br />
Para relacionando la distancia r con la amplitud y su proporcionalidad con el volumen, utilizaremos la siguiente ecuación, la cual es adimencional.<br />
<br />
$$\dfrac{VK}{r}$$<br />
<br />
Sí $E_{0s}\varpropto\dfrac{1}{r}$ y $ E_{0s}\varpropto E_{0i}$ <br />
<br />
Entonces $$E_{0s}\varpropto \dfrac{VE_{0i}}{r}= \dfrac{K V E_{0i}}{r}$$<br />
<br />
Así que K tiene las unidades de $(\lambda)_{2}$<br />
$$K= (\lambda)^{-2}$$<br />
<br />
Y esto se puede comprobar por:<br />
$$\dfrac{I_{i}}{I_{s}}\varpropto K^{2}\varpropto \lambda ^{-4}$$<br />
<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 23:34 28 mar 2015 (CDT)Esther Sarai Garcia<br />
<br />
----<br />
==Problema 4.2==<br />
Resolviendo por Rosario Maya <br />
----<br />
==Problema 4.5==<br />
<br />
'''<br />
Un haz de microondas planas de 12 cm incide en la superficie de un dieléctrico a 45°. Si $n_{ti}=4/3$ calcule a) la longitud de onda en el medio transmisor, y b) el ángulo $\theta_{t}$'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
De la ley de Snell<br />
\[<br />
n_i sin\theta_i = n_t sin\theta_t<br />
\]<br />
Tenemos:<br />
\[\frac{n_t}{n_i}=\frac{sin\theta_i}{sin\theta_t}=n_{ti}...(1)\]<br />
<br />
Tambien sabemos que:<br />
\[<br />
n=\frac{C}{v}...(2)<br />
\]<br />
<br />
y<br />
<br />
\[<br />
v=\lambda \nu...(3)<br />
\]<br />
<br />
Por lo que (1) puede escribirse como:<br />
<br />
\[n_{ti} = \frac{\frac{C}{v_t}}{\frac{C}{n_i}}=\frac{v_i}{v_t}=\frac{\lambda_i}{\lambda_t}...(3)\]<br />
<br />
Despejando:<br />
<br />
\[<br />
\lambda_t = \frac{\lambda_i}{n_{ti}}=\frac{12cm}{4/3}<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\lambda_t=9cm<br />
\]<br />
<br />
<br />
De (1)<br />
<br />
\[sin\theta_i = n_{ti}sin\theta_t\]<br />
<br />
\[<br />
\theta_t =angsin \frac{sin\theta_i}{n_{ti}}=angsin \frac{sin45^{o}}{4/3}<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\theta_t = 32.02^{o}<br />
\]<br />
<br />
Resuelto por: --[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 14:31 28 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
== Problema 4.6 ==<br />
<br />
''' Un haz láser muy estrecho incide bajo un ángulo de $58^o$ sobre un espejo horizontal. El haz de luz reflejado incide en una pared en un punto situado a 5 metros de distancia del punto de incidencia donde el haz de luz chocó con el espejo. ¿A qué distancia, medida horizontalmente, está la pared de ese punto de incidencia?.<br />
'''<br />
<br />
Como bien sabemos, los ángulos de inicidencia y reflexión(o refracción) se miden respecto a la normal a la superficie, por lo que si el láser incide con un ángulo $\alpha_i = 58^o$, entonces el ángulo reflejado, por la ley de reflexión que nos dice que el ángulo reflejado es igual al rayo incidente, será $\alpha_r = 58^o$.<br />
<br />
Además, se forma un triángulo rectángulo entre las dos trayectorias del rayo(incidente y reflejado) y la distancia $d$ horizontal del punto de incidencia y el punto donde el láser toca la pared. Por lo que, utilizando trigonometría básica, tenemos:<br />
<br />
<math><br />
\sin(58^o) = \dfrac{d}{5m} \Rightarrow d = (5m) \sin(58^o)<br />
</math><br />
<br />
Entonces, la distancia, medida horizontalmente, de la pared al punto de incidencia es de: $d \approx 4.24m$.<br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 01:09 27 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
== Problema 4.9/Hetch 3era edicion ==<br />
''' Calcule el ángulo de transmisión para un rayo en el aire incidente a $30^o$ en un bloque de vidrio-crown($n_v = 1,52$).<br />
'''<br />
<br />
La Ley de Snell-Descartes nos dice que:<br />
<br />
<math><br />
n_i \sin \alpha_0 = n_v \sin \alpha_t<br />
</math><br />
<br />
Por lo que despejando para $\alpha_t$:<br />
<br />
<math><br />
\sin \alpha_t = \dfrac{n_i}{n_v} \sin \alpha_0<br />
</math><br />
<br />
donde $n_i$ es el ángulo de incidencia, en este caso $\alpha_i = 30^o$ y $n_i$ es el índice de refracción del aire, que es $n_i \approx 1$. Entonces, sustituyendo:<br />
<br />
<math><br />
\sin \alpha_t = \dfrac{1}{1.52} \sin(30^0) \Rightarrow \sin \alpha_t = (0.66) \left(\dfrac{1}{2}\right)<br />
\Rightarrow \alpha_t = \arcsin(0.33) \approx 19^o 7'<br />
</math><br />
<br />
Por lo que, el ángulo de transmisión buscado es: $\alpha_t = 19^o 7'$.<br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 01:52 27 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
----<br />
== 4.9 Hetch / 3ra Edición/2do método ==<br />
<br />
4.9 .- Un rayo de luz amarilla en el aire, procedente de una lámpara de descarga de sodio, cae sobre la superficie de un diamante en el aire a 45°. Si a esa frecuencia nd =2.42, calcule la desviación angular sufrida en la transmisión.<br />
<br />
Solución<br />
<br />
Se tiene que la relación del indice de refracción es de la forma:<br />
<br />
: <math> n_{ti}<br />
=\frac{n_{t}}{n_{i}}<br />
=\frac{\lambda_{i}}{\lambda_{t}}<br />
=2.42 </math><br />
<br />
Entonces, si:<br />
<br />
: <math> \frac{n_{t}}{n_{i}}<br />
=2.42 \Rightarrow<br />
\frac{n_{i}}{n_{t}}<br />
=\frac{1}{2.42}<br />
</math><br />
<br />
Ahora la Ley de Snell nos dice:<br />
<br />
: <math> n_{ti}=<br />
\frac{sen\theta_{i}}{sen\theta_{t}}<br />
</math><br />
<br />
donde <math> n_{ti}<br />
=\frac{n_{t}}{n_{i}}<br />
</math>, entonces:<br />
<br />
: <math> \frac{n_{t}}{n_{i}}<br />
= \frac{sen\theta_{i}}{sen\theta_{t}}<br />
\Rightarrow<br />
n_{i}sen\theta_{i}<br />
=n_{t}<br />
sen\theta_{t},<br />
</math><br />
<br />
despejamos <math>\theta_{t}<br />
</math> que es el ángulo de transmisión sobre la superficie del diamante, y se tiene:<br />
<br />
: <math> \theta_{t}<br />
= sen^{-1}<br />
\left[\frac{n_{i}}{n_{t}}sen\theta_{i}\right],<br />
</math><br />
<br />
sustituyendo los valores proporcionados pro el problema:<br />
<br />
: <math> \theta_{t}<br />
= sen^{-1}<br />
\left[\frac{sen45\text{\textdegree}}{2.42}\right]<br />
</math><br />
<br />
: <math> \theta_{t}<br />
= sen^{-1}<br />
\left(0.2921\right)<br />
= 16.98° </math><br />
<br />
por lo tanto:<br />
<br />
La desviación angular es 45°- 16.98° = 28.02° <br />
<br />
Que es el ángulo de desviación angular sufrida en la transmisión.<br />
<br />
Elaborado por Ricardo García Hernández.--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:32 30 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
== Problema 4.12 ==<br />
<br />
''' Luz de longitud de onda $600nm$ en el vacío entra a un bloque de vidrio donde $n_v = 1.5$. Calcule su longitud de onda en el vidrio. ¿De qué color aparecerá para alguien que está simergido en el vidrio(véase tabla 3.4)?.<br />
'''<br />
<br />
Tomemos la relación (2.19) del libro:<br />
<br />
<math><br />
v = \lambda \nu \hspace{20pt} \cdots \hspace{20pt} (2.19)<br />
</math><br />
<br />
En el vacío, la ecuación (2.19) se convierte, con $\lambda_0$ la longitud de onda la luz en el vacío, en:<br />
<br />
<math><br />
c = \lambda \nu \Rightarrow \nu = \dfrac{c}{\lambda_0} = \dfrac{3x10^8 m/s}{6x10^{-7} m}\\<br />
\therefore \nu = 5x10^{14} Hz<br />
</math><br />
<br />
Ahora bien, el índice de refracción del vidrio es $n_v = 1.5$, por lo que utilizando la definición, tenemos que:<br />
<br />
<math><br />
n_v = \dfrac{c}{v} \Rightarrow v = \dfrac{c}{n_v} = \dfrac{3x10^8 m/s}{1.5} \\<br />
\therefore v = 2x10^8 m/s<br />
</math><br />
<br />
Ahora, reutilizando la ecuación (2.19):<br />
<br />
<math><br />
v = \lambda_v \nu \Rightarrow \lambda_v = \dfrac{v}{\nu} = \dfrac{2x10^8 m/s}{5x10^{14} Hz} \\<br />
\therefore \lambda_v = 4x10^{-7} m = 400 nm<br />
</math><br />
<br />
Ahora, la tabla (3.4) del libro de texto, nos dice que para el color violeta el rango de longitudes de onda es $455nm-390nm$, por lo que para una persona sumergida en el vidrio, el rayo de luz le parecerá violeta.<br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 01:40 27 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
== Problema 4.18 ==<br />
<br />
'''Show analytically that a beam entering a planar transparent plate , as in figure , emerges parallel to displacement of the beam . Incidentally, the incoming and outgoing rays would be parallel even for a stack of plates of different material'''<br />
<br />
Muestra analíticamente que un haz de entrar en una placa transparente planar , como en la figura , emerge paralelo al desplazamiento de la viga. Por cierto, los rayos entrantes y salientes serían paralelas incluso para una pila de placas de material diferente.<br />
<br />
[[Archivo:refraccion.jpg|200px|thumb|left|Cristal]]<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
Solución<br />
<br />
Partiendo de la ley de Snell <br />
<br />
<math><br />
n_1 \sin \theta_0 = n_2 \sin \theta_t<br />
</math><br />
<br />
----<br />
y usando como ejemplo una lámina de vidrio analizamos:<br />
<br />
[[Archivo:Diagrama2.jpg|300px|thumb|left|Análisis]]<br />
<br />
<br />
<math>n1=1</math>, <math>\theta 1=45^º</math><br />
<br />
<math>n2=1.52</math>, <math>\theta 2=27.7^º</math><br />
<br />
<br />
<math><br />
\frac{n_1}{n_2 }\sin \theta 1 = \sin \theta 2<br />
</math><br />
<br />
ahora sabemos que<math>\theta 2=27.7^º</math><br />
<br />
y analizando <br />
<br />
<math>\theta 3</math> y <math>\theta 4</math><br />
<br />
por triángulos semejantes sabemos que<br />
<br />
<math>\theta 3=62.3^º</math><br />
<br />
volviendo a aplicar ley de Snell<br />
<br />
<math><br />
\frac{n_2}{n_1 }\sin \theta 3 = \sin \theta 4<br />
</math><br />
y obtenemos <br />
<br />
<math>\theta 4=45^º</math><br />
<br />
Así queda demostrado que el rayo incidente y el saliente son paralelos por que<br />
<br />
<math>\theta 4</math> es igual a <math>\theta 1</math><br />
<br />
Ejercicio resuelto por --[[Usuario:Luis Velázquez|Luis Velázquez]] ([[Usuario discusión:Luis Velázquez|discusión]]) 07:24 27 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
==Problema 4.16==<br />
''' Obtener la ley de reflexión, <math>\theta_{i} = \theta{r}</math>, usando para el cálculo el tiempo de mínima transmisión, como requerimiento por el principio de Fermat'''<br />
<br />
Lo que nos dice el principio de Fermat:<br />
El trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es estacionario respecto a posibles variaciones de la trayectoria<br />
<br />
Dicho de otra manera, el tiempo de transmisión que sigue la luz para recorrer un medio tiene que ser el mínimo. <br />
<br />
[[Archivo:Ley de reflexión.png|250px]]<br />
<br />
En la imagen anterior representa la trayectoria de un haz de luz en un medio homogéneo en donde es reflejado totalmente, la representación nos servirá para deducir las expresiones de reflexión. <br />
Primero para el tiempo que se observa que el tiempo que dura la luz para ir del objeto gris al objeto verde es:<br />
<math>T= \frac{d_{1}}{C}+\frac{d_{2}}{C}</math><br />
donde <math>C</math> es la velocidad de la luz y <math>T=t_{1}+t_{2}</math>, por lo tanto podemos deducir que:<br />
<math>CT=d_{1} +d_{2}= \sqrt{h_{1}^2+x^2}+\sqrt{h_{2}^2+(L-x)^2}</math><br />
<br />
Usando el principio de Fermat donde nos dice que:<br />
<math>C \frac{dt}{dx}= 0</math><br />
Aplicando la primera derivada con respecto de la posición tenemos que:<br />
<math>C \frac{dt}{dx}= \frac{d ( \sqrt{h_{1}^2+x^2})}{dx}+\frac{d( \sqrt{h_{2}^2+(L-x)^2})}{dx}=0</math><br />
Desarrollando tenemos que:<br />
<math>\frac{x}{\sqrt{h_{1}^2+x^2}}-\frac{L-x}{\sqrt{h_{2}^2+(L-x)^2}}=0</math> <br />
Por trigonometría tenemos que:<br />
<math>sen(\theta_{i})=\frac{x}{\sqrt{h_{1}^2+x^2}} </math><br />
Y:<br />
<math>sen(\theta_{r})= \frac{L-x}{\sqrt{h_{2}^2+(L-x)^2}}</math><br />
Por lo tanto obtenemos que:<br />
<math>Sen(\theta_{i})-Sen(\theta_{r})=0</math><br />
De donde podemos concluir, usando el principio de Fermat que:<br />
<math>Sen(\theta_{i})=Sen(\theta_{r})</math><br />
Sí y sólo si:<br />
<math>\theta_{i}=\theta_{r}</math><br />
<br />
Hecho por --[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 17:44 29 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==ejercicio adicional, propagación de luz==<br />
<br />
<br />
un lente convergente de 10 cm, de longitud focal forma una imagen de un objeto situado del lente a : <br />
<br />
(a) 30 cm<br />
(b)10com<br />
(c) 5cm<br />
<br />
<br />
Encontrar la distancia a la imagen y describir la imagen en cada caso.<br />
<br />
<br />
La ecuación del lente delgado puede utilizarse para determinar la distancia a la imagen :<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\frac{1}{P}+\frac{1}{q}=\frac{1}{F}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\frac{1}{30}+\frac{1}{q}=\frac{1}{10}</math><br />
<br />
<br />
q= 15 cm<br />
<br />
el signo positivo indica que la imagen es real. El aumento es: <br />
<br />
<br />
<math>\frac{q}{p}= \frac {-15}{30}=- 0.5</math><br />
<br />
<br />
<br />
de este modo la imagen a reducido su tamaño a la mitad y el signo negativo de M indica que la imagen esta invertida.<br />
<br />
Ningún calculo es necesario para este caso, ya que, se sabe que cuando el objeto se pone en el punto focal, la imagen se forma en el infinito. Esto se puede verificar sustituyendo P=10 en la ecuación del lente.<br />
<br />
<br />
A continuación nos movemos dentro del punto focal, hasta una distancia del objeto de 5cm. En este caso, la ecuación del lente delgado produce :<br />
<br />
<br />
<math>\frac{1}{5}+\frac{1}{9}= \frac{1}{10}</math><br />
<br />
q= -10cm<br />
<br />
<br />
<math>M= \frac{-q}{p}=-(\frac{-10}{5}=2</math><br />
<br />
<br />
<br />
La distancia a la imagen negativa nos indica que es virtual. La imagen se ha alargado y el signo positivo para M nos señala que la imagen esta de pie.<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luisa Alejandra Vega Sanchez|Luisa Alejandra Vega Sanchez]] ([[Usuario discusión:Luisa Alejandra Vega Sanchez|discusión]]) 00:43 30 mar 2015 (CDT)luisa alejandra vega sanchez</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Ondas:_probs_c4&diff=19283Ondas: probs c42015-03-30T05:43:48Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: /* 4.9 Hetch / 3ra Edición. */</p>
<hr />
<div>Vibraciones y Ondas<br />
<br />
Problemas capítulo 4. Óptica - Hecht<br />
----<br />
==Problema 4.1==<br />
'''Work your away through an argument using dimensional analysis to establish the $\lambda^{-4}$ dependence of the percentage of light scattered in Rayleigh Scattering. Let $E_{0i}$ and $E_{0s}$ be the incident and scattered amplitudes, the latter at a distance r from the scatterer. Assame $ E_{0s}\varpropto E_{0i}$ and $E_{0s}\varpropto \dfrac{1}{r}$. Furthermore, plausibly assume that the scattered amplitude is proportional to the volume. V, of the scatterer, within limits the is reasonable. Determine the units of the constant of proportionality.'''<br />
<br />
Para relacionando la distancia r con la amplitud y su proporcionalidad con el volumen, utilizaremos la siguiente ecuación, la cual es adimencional.<br />
<br />
$$\dfrac{VK}{r}$$<br />
<br />
Sí $E_{0s}\varpropto\dfrac{1}{r}$ y $ E_{0s}\varpropto E_{0i}$ <br />
<br />
Entonces $$E_{0s}\varpropto \dfrac{VE_{0i}}{r}= \dfrac{K V E_{0i}}{r}$$<br />
<br />
Así que K tiene las unidades de $(\lambda)_{2}$<br />
$$K= (\lambda)^{-2}$$<br />
<br />
Y esto se puede comprobar por:<br />
$$\dfrac{I_{i}}{I_{s}}\varpropto K^{2}\varpropto \lambda ^{-4}$$<br />
<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 23:34 28 mar 2015 (CDT)Esther Sarai Garcia<br />
<br />
----<br />
==Problema 4.2==<br />
Resolviendo por Rosario Maya <br />
----<br />
==Problema 4.5==<br />
<br />
'''<br />
Un haz de microondas planas de 12 cm incide en la superficie de un dieléctrico a 45°. Si $n_{ti}=4/3$ calcule a) la longitud de onda en el medio transmisor, y b) el ángulo $\theta_{t}$'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
De la ley de Snell<br />
\[<br />
n_i sin\theta_i = n_t sin\theta_t<br />
\]<br />
Tenemos:<br />
\[\frac{n_t}{n_i}=\frac{sin\theta_i}{sin\theta_t}=n_{ti}...(1)\]<br />
<br />
Tambien sabemos que:<br />
\[<br />
n=\frac{C}{v}...(2)<br />
\]<br />
<br />
y<br />
<br />
\[<br />
v=\lambda \nu...(3)<br />
\]<br />
<br />
Por lo que (1) puede escribirse como:<br />
<br />
\[n_{ti} = \frac{\frac{C}{v_t}}{\frac{C}{n_i}}=\frac{v_i}{v_t}=\frac{\lambda_i}{\lambda_t}...(3)\]<br />
<br />
Despejando:<br />
<br />
\[<br />
\lambda_t = \frac{\lambda_i}{n_{ti}}=\frac{12cm}{4/3}<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\lambda_t=9cm<br />
\]<br />
<br />
<br />
De (1)<br />
<br />
\[sin\theta_i = n_{ti}sin\theta_t\]<br />
<br />
\[<br />
\theta_t =angsin \frac{sin\theta_i}{n_{ti}}=angsin \frac{sin45^{o}}{4/3}<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\theta_t = 32.02^{o}<br />
\]<br />
<br />
Resuelto por: --[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 14:31 28 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
== Problema 4.6 ==<br />
<br />
''' Un haz láser muy estrecho incide bajo un ángulo de $58^o$ sobre un espejo horizontal. El haz de luz reflejado incide en una pared en un punto situado a 5 metros de distancia del punto de incidencia donde el haz de luz chocó con el espejo. ¿A qué distancia, medida horizontalmente, está la pared de ese punto de incidencia?.<br />
'''<br />
<br />
Como bien sabemos, los ángulos de inicidencia y reflexión(o refracción) se miden respecto a la normal a la superficie, por lo que si el láser incide con un ángulo $\alpha_i = 58^o$, entonces el ángulo reflejado, por la ley de reflexión que nos dice que el ángulo reflejado es igual al rayo incidente, será $\alpha_r = 58^o$.<br />
<br />
Además, se forma un triángulo rectángulo entre las dos trayectorias del rayo(incidente y reflejado) y la distancia $d$ horizontal del punto de incidencia y el punto donde el láser toca la pared. Por lo que, utilizando trigonometría básica, tenemos:<br />
<br />
<math><br />
\sin(58^o) = \dfrac{d}{5m} \Rightarrow d = (5m) \sin(58^o)<br />
</math><br />
<br />
Entonces, la distancia, medida horizontalmente, de la pared al punto de incidencia es de: $d \approx 4.24m$.<br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 01:09 27 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
== Problema 4.9/Hetch 3era edicion ==<br />
''' Calcule el ángulo de transmisión para un rayo en el aire incidente a $30^o$ en un bloque de vidrio-crown($n_v = 1,52$).<br />
'''<br />
<br />
La Ley de Snell-Descartes nos dice que:<br />
<br />
<math><br />
n_i \sin \alpha_0 = n_v \sin \alpha_t<br />
</math><br />
<br />
Por lo que despejando para $\alpha_t$:<br />
<br />
<math><br />
\sin \alpha_t = \dfrac{n_i}{n_v} \sin \alpha_0<br />
</math><br />
<br />
donde $n_i$ es el ángulo de incidencia, en este caso $\alpha_i = 30^o$ y $n_i$ es el índice de refracción del aire, que es $n_i \approx 1$. Entonces, sustituyendo:<br />
<br />
<math><br />
\sin \alpha_t = \dfrac{1}{1.52} \sin(30^0) \Rightarrow \sin \alpha_t = (0.66) \left(\dfrac{1}{2}\right)<br />
\Rightarrow \alpha_t = \arcsin(0.33) \approx 19^o 7'<br />
</math><br />
<br />
Por lo que, el ángulo de transmisión buscado es: $\alpha_t = 19^o 7'$.<br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 01:52 27 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
----<br />
== 4.9 Hetch / 3ra Edición/2do metodo ==<br />
<br />
4.9 .- Un rayo de luz amarilla en el aire, procedente de una lámpara de descarga de sodio, cae sobre la superficie de un diamante en el aire a 45°. Si a esa frecuencia nd =2.42, calcule la desviación angular sufrida en la transmisión.<br />
<br />
Solución<br />
<br />
Se tiene que la relación del indice de refracción es de la forma:<br />
<br />
: <math> n_{ti}<br />
=\frac{n_{t}}{n_{i}}<br />
=\frac{\lambda_{i}}{\lambda_{t}}<br />
=2.42 </math><br />
<br />
Entonces, si:<br />
<br />
: <math> \frac{n_{t}}{n_{i}}<br />
=2.42 \Rightarrow<br />
\frac{n_{i}}{n_{t}}<br />
=\frac{1}{2.42}<br />
</math><br />
<br />
Ahora la Ley de Snell nos dice:<br />
<br />
: <math> n_{ti}=<br />
\frac{sen\theta_{i}}{sen\theta_{t}}<br />
</math><br />
<br />
donde <math> n_{ti}<br />
=\frac{n_{t}}{n_{i}}<br />
</math>, entonces:<br />
<br />
: <math> \frac{n_{t}}{n_{i}}<br />
= \frac{sen\theta_{i}}{sen\theta_{t}}<br />
\Rightarrow<br />
n_{i}sen\theta_{i}<br />
=n_{t}<br />
sen\theta_{t},<br />
</math><br />
<br />
despejamos <math>\theta_{t}<br />
</math> que es el ángulo de transmisión sobre la superficie del diamante, y se tiene:<br />
<br />
: <math> \theta_{t}<br />
= sen^{-1}<br />
\left[\frac{n_{i}}{n_{t}}sen\theta_{i}\right],<br />
</math><br />
<br />
sustituyendo los valores proporcionados pro el problema:<br />
<br />
: <math> \theta_{t}<br />
= sen^{-1}<br />
\left[\frac{sen45\text{\textdegree}}{2.42}\right]<br />
</math><br />
<br />
: <math> \theta_{t}<br />
= sen^{-1}<br />
\left(0.2921\right)<br />
= 16.98° </math><br />
<br />
por lo tanto:<br />
<br />
La desviación angular es 45°- 16.98° = 28.02° <br />
<br />
Que es el ángulo de desviación angular sufrida en la transmisión.<br />
<br />
Elaborado por Ricardo García Hernández.--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:32 30 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
== Problema 4.12 ==<br />
<br />
''' Luz de longitud de onda $600nm$ en el vacío entra a un bloque de vidrio donde $n_v = 1.5$. Calcule su longitud de onda en el vidrio. ¿De qué color aparecerá para alguien que está simergido en el vidrio(véase tabla 3.4)?.<br />
'''<br />
<br />
Tomemos la relación (2.19) del libro:<br />
<br />
<math><br />
v = \lambda \nu \hspace{20pt} \cdots \hspace{20pt} (2.19)<br />
</math><br />
<br />
En el vacío, la ecuación (2.19) se convierte, con $\lambda_0$ la longitud de onda la luz en el vacío, en:<br />
<br />
<math><br />
c = \lambda \nu \Rightarrow \nu = \dfrac{c}{\lambda_0} = \dfrac{3x10^8 m/s}{6x10^{-7} m}\\<br />
\therefore \nu = 5x10^{14} Hz<br />
</math><br />
<br />
Ahora bien, el índice de refracción del vidrio es $n_v = 1.5$, por lo que utilizando la definición, tenemos que:<br />
<br />
<math><br />
n_v = \dfrac{c}{v} \Rightarrow v = \dfrac{c}{n_v} = \dfrac{3x10^8 m/s}{1.5} \\<br />
\therefore v = 2x10^8 m/s<br />
</math><br />
<br />
Ahora, reutilizando la ecuación (2.19):<br />
<br />
<math><br />
v = \lambda_v \nu \Rightarrow \lambda_v = \dfrac{v}{\nu} = \dfrac{2x10^8 m/s}{5x10^{14} Hz} \\<br />
\therefore \lambda_v = 4x10^{-7} m = 400 nm<br />
</math><br />
<br />
Ahora, la tabla (3.4) del libro de texto, nos dice que para el color violeta el rango de longitudes de onda es $455nm-390nm$, por lo que para una persona sumergida en el vidrio, el rayo de luz le parecerá violeta.<br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 01:40 27 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
== Problema 4.18 ==<br />
<br />
'''Show analytically that a beam entering a planar transparent plate , as in figure , emerges parallel to displacement of the beam . Incidentally, the incoming and outgoing rays would be parallel even for a stack of plates of different material'''<br />
<br />
Muestra analíticamente que un haz de entrar en una placa transparente planar , como en la figura , emerge paralelo al desplazamiento de la viga. Por cierto, los rayos entrantes y salientes serían paralelas incluso para una pila de placas de material diferente.<br />
<br />
[[Archivo:refraccion.jpg|200px|thumb|left|Cristal]]<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
Solución<br />
<br />
Partiendo de la ley de Snell <br />
<br />
<math><br />
n_1 \sin \theta_0 = n_2 \sin \theta_t<br />
</math><br />
<br />
----<br />
y usando como ejemplo una lámina de vidrio analizamos:<br />
<br />
[[Archivo:Diagrama2.jpg|300px|thumb|left|Análisis]]<br />
<br />
<br />
<math>n1=1</math>, <math>\theta 1=45^º</math><br />
<br />
<math>n2=1.52</math>, <math>\theta 2=27.7^º</math><br />
<br />
<br />
<math><br />
\frac{n_1}{n_2 }\sin \theta 1 = \sin \theta 2<br />
</math><br />
<br />
ahora sabemos que<math>\theta 2=27.7^º</math><br />
<br />
y analizando <br />
<br />
<math>\theta 3</math> y <math>\theta 4</math><br />
<br />
por triángulos semejantes sabemos que<br />
<br />
<math>\theta 3=62.3^º</math><br />
<br />
volviendo a aplicar ley de Snell<br />
<br />
<math><br />
\frac{n_2}{n_1 }\sin \theta 3 = \sin \theta 4<br />
</math><br />
y obtenemos <br />
<br />
<math>\theta 4=45^º</math><br />
<br />
Así queda demostrado que el rayo incidente y el saliente son paralelos por que<br />
<br />
<math>\theta 4</math> es igual a <math>\theta 1</math><br />
<br />
Ejercicio resuelto por --[[Usuario:Luis Velázquez|Luis Velázquez]] ([[Usuario discusión:Luis Velázquez|discusión]]) 07:24 27 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
==Problema 4.16==<br />
''' Obtener la ley de reflexión, <math>\theta_{i} = \theta{r}</math>, usando para el cálculo el tiempo de mínima transmisión, como requerimiento por el principio de Fermat'''<br />
<br />
Lo que nos dice el principio de Fermat:<br />
El trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es estacionario respecto a posibles variaciones de la trayectoria<br />
<br />
Dicho de otra manera, el tiempo de transmisión que sigue la luz para recorrer un medio tiene que ser el mínimo. <br />
<br />
[[Archivo:Ley de reflexión.png|250px]]<br />
<br />
En la imagen anterior representa la trayectoria de un haz de luz en un medio homogéneo en donde es reflejado totalmente, la representación nos servirá para deducir las expresiones de reflexión. <br />
Primero para el tiempo que se observa que el tiempo que dura la luz para ir del objeto gris al objeto verde es:<br />
<math>T= \frac{d_{1}}{C}+\frac{d_{2}}{C}</math><br />
donde <math>C</math> es la velocidad de la luz y <math>T=t_{1}+t_{2}</math>, por lo tanto podemos deducir que:<br />
<math>CT=d_{1} +d_{2}= \sqrt{h_{1}^2+x^2}+\sqrt{h_{2}^2+(L-x)^2}</math><br />
<br />
Usando el principio de Fermat donde nos dice que:<br />
<math>C \frac{dt}{dx}= 0</math><br />
Aplicando la primera derivada con respecto de la posición tenemos que:<br />
<math>C \frac{dt}{dx}= \frac{d ( \sqrt{h_{1}^2+x^2})}{dx}+\frac{d( \sqrt{h_{2}^2+(L-x)^2})}{dx}=0</math><br />
Desarrollando tenemos que:<br />
<math>\frac{x}{\sqrt{h_{1}^2+x^2}}-\frac{L-x}{\sqrt{h_{2}^2+(L-x)^2}}=0</math> <br />
Por trigonometría tenemos que:<br />
<math>sen(\theta_{i})=\frac{x}{\sqrt{h_{1}^2+x^2}} </math><br />
Y:<br />
<math>sen(\theta_{r})= \frac{L-x}{\sqrt{h_{2}^2+(L-x)^2}}</math><br />
Por lo tanto obtenemos que:<br />
<math>Sen(\theta_{i})-Sen(\theta_{r})=0</math><br />
De donde podemos concluir, usando el principio de Fermat que:<br />
<math>Sen(\theta_{i})=Sen(\theta_{r})</math><br />
Sí y sólo si:<br />
<math>\theta_{i}=\theta_{r}</math><br />
<br />
Hecho por --[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 17:44 29 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==ejercicio adicional, propagación de luz==<br />
<br />
<br />
un lente convergente de 10 cm, de longitud focal forma una imagen de un objeto situado del lente a : <br />
<br />
(a) 30 cm<br />
(b)10com<br />
(c) 5cm<br />
<br />
<br />
Encontrar la distancia a la imagen y describir la imagen en cada caso.<br />
<br />
<br />
La ecuación del lente delgado puede utilizarse para determinar la distancia a la imagen :<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\frac{1}{P}+\frac{1}{q}=\frac{1}{F}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\frac{1}{30}+\frac{1}{q}=\frac{1}{10}</math><br />
<br />
<br />
q= 15 cm<br />
<br />
el signo positivo indica que la imagen es real. El aumento es: <br />
<br />
<br />
<math>\frac{q}{p}= \frac {-15}{30}=- 0.5</math><br />
<br />
<br />
<br />
de este modo la imagen a reducido su tamaño a la mitad y el signo negativo de M indica que la imagen esta invertida.<br />
<br />
Ningún calculo es necesario para este caso, ya que, se sabe que cuando el objeto se pone en el punto focal, la imagen se forma en el infinito. Esto se puede verificar sustituyendo P=10 en la ecuación del lente.<br />
<br />
<br />
A continuación nos movemos dentro del punto focal, hasta una distancia del objeto de 5cm. En este caso, la ecuación del lente delgado produce :<br />
<br />
<br />
<math>\frac{1}{5}+\frac{1}{9}= \frac{1}{10}</math><br />
<br />
q= -10cm<br />
<br />
<br />
<math>M= \frac{-q}{p}=-(\frac{-10}{5}=2</math><br />
<br />
<br />
<br />
La distancia a la imagen negativa nos indica que es virtual. La imagen se ha alargado y el signo positivo para M nos señala que la imagen esta de pie.<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luisa Alejandra Vega Sanchez|Luisa Alejandra Vega Sanchez]] ([[Usuario discusión:Luisa Alejandra Vega Sanchez|discusión]]) 00:43 30 mar 2015 (CDT)luisa alejandra vega sanchez</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Ondas:_probs_c7&diff=19281Ondas: probs c72015-03-30T05:42:46Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: /* Problema 3.16/7.16 */</p>
<hr />
<div>vibraciones y ondas<br />
problemas capítulo 7 Óptica - Hecht<br />
----<br />
== Problema 7.1 ==<br />
'''Determine la resultante de la superposición de las ondas paralelas $E_{1}=E_{01}\sin(\omega t+\epsilon_{1})$ y $E_{2}=E_{02}\sin(\omega t+\epsilon_{2})$ cuando $\omega=120\pi$, $E_{01}=6$, $E_{02}=8$, $\epsilon_{1}=0$ y $\epsilon_{2}=\frac{\pi}{2}$. Represente gráficamente cada función y la resultante.'''<br />
<br />
En la imagen se muestra la gráfica de las primeras dos funciones dadas.<br />
<br />
[[Archivo:EN1.png]]<br />
<br />
<br />
Ahora bien sumemos ambas ondas, dado por <br />
\[<br />
E=E_{1}+E_{2}<br />
\]<br />
<br />
<br />
donde $E_{1}$ y $E_{2}$ estan dadas por<br />
\[<br />
E_{1}=E_{01}\sin(\omega t+\epsilon_{1})=E_{01}(\sin\omega t\cos\epsilon_{1}+\cos\omega t\sin\epsilon_{1})<br />
\]<br />
\[<br />
E_{2}=E_{02}\sin(\omega t+\epsilon_{2})=E_{02}(\sin\omega t\cos\epsilon_{2}+\cos\omega t\sin\epsilon_{2})<br />
\]<br />
<br />
<br />
Al sumar y factorizar se obtiene<br />
\[<br />
E=(E_{01}\cos\epsilon_{1}+E_{02}\cos\epsilon_{2})\sin\omega t+(E_{01}\sin\epsilon_{1}+E_{02}\sin\epsilon_{2})\cos\omega t<br />
\]<br />
<br />
<br />
ya que $\epsilon_{1}=0$ , $\epsilon_{2}=\frac{\pi}{2}$ , $\omega=120\pi$,<br />
$E_{01}=6$ y $E_{02}=8$ nos queda<br />
<br />
\[<br />
E=6\sin120\pi t+8\cos120\pi t<br />
\]<br />
<br />
<br />
La suma de ambas ondas se muestra gráficamente.<br />
<br />
<br />
[[Archivo:EN2.png]]<br />
<br />
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 17:22 28 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema 3.2/7.2 ==<br />
<br />
''' Considerando la sección 7.1, suponga que empezamos el análisis con el fin de calcular $E = E_1 + E_2$ con dos funciones coseno $E_1=E_{01} \cos(\omega t + \alpha_1)$ y $E_2 E_{02} = \cos(\omega t + \alpha_2)$. Para facilitar algo la tarea, sea $E_{01} = E_{02}$ y $\alpha_1 = 0$. Sume las dos ondas algebraicamente y utilice la conocida identidad trigonométrica $\cos \theta + cos \phi = 2 \cos\left[1/2 (\theta + \phi)\right] \cos\left[1/2 (\theta - \phi)\right]$ para demostrar que $E = E_0 \cos(\omega t + \alpha)$, donde $E_0 = 2 E_{01} \cos(\alpha_2 / 2)$ y $\alpha = \alpha_2 / 2$. Ahora demuestre que estos mismos resultados se deducen de las ecuaciones 7.9 y 7.10.'''<br />
<br />
<br />
Comencemos desarrollando la suma algebráica de las dos ondas:<br />
<br />
<math><br />
E = E_1 + E_2 = E_{01} \cos(\omega t + \alpha_1) + E_{02} \cos(\omega t + \alpha_2)<br />
</math><br />
<br />
y sabemos que $E_{01} = E_{02}$, además $\alpha_1 = 0$, por lo que, sustituyendo:<br />
<br />
<math><br />
E = E_{01} \cos(\omega t + 0) + E_{01} \cos(\omega t + \alpha_2) = E_{01} \left[ \cos(\omega t) + \cos(\omega t + \alpha_2) \right]<br />
</math><br />
<br />
Y si definimos $\theta \equiv \omega t$ y $\phi \equiv \omega t + \alpha_2$, tenemos:<br />
<br />
<math><br />
E = E_{01} \left[ \cos(\theta) + \cos(\phi) \right]<br />
</math><br />
<br />
y utilizando la identidad trigonométrica $\cos \theta + cos \phi = 2 \cos\left[1/2 (\theta + \phi)\right] \cos\left[1/2 (\theta - \phi)\right]$:<br />
<br />
<math><br />
E = E_{01} \left[ 2 \cos\left[1/2 (\theta + \phi)\right] \cos\left[1/2 (\theta - \phi)\right] \right]<br />
</math><br />
<br />
y sustituyendo los valores de $\theta$ y $\phi$:<br />
<br />
<math><br />
E = E_{01} \left\{ 2 \cos\left[1/2 (\omega t + \omega t + \alpha_2)\right] \cos\left[1/2 (\omega t - \omega t + \alpha_2)\right] \right\} \\<br />
\Rightarrow E = E_{01} \left\{ 2 \cos\left[\dfrac{2 \omega t + \alpha_2}{2}\right] \cos\left[ \dfrac{\alpha_2}{2} \right] \right\}<br />
= E_{01} \left\{ 2 \cos\left[\omega t + \dfrac{\alpha_2}{2}\right] \cos\left[ \dfrac{\alpha_2}{2} \right] \right\}<br />
</math><br />
<br />
y definiendo $\alpha \equiv \alpha_2/2$:<br />
<br />
<math><br />
E = E_{01} \left[ 2 \cos\left(\omega t + \alpha \right) \cos\left( \alpha \right) \right] <br />
= 2 E_{01} \cos(\alpha) \cos(\omega t + \alpha)<br />
</math><br />
<br />
y como $E_0 = 2 E_{01} \cos(\alpha_2 / 2) = 2 E_{01} \cos(\alpha)$, entonces:<br />
<br />
<math><br />
E = E_0 \cos(\omega t + \alpha)<br />
</math><br />
<br />
que es lo que queríamos mostrar.<br />
<br />
Ahora, recordemos las ecuaciones 7.9 y 7.10:<br />
<br />
<math><br />
E_0^2 = E_{01}^2 + E_{02}^2 + 2 E_{01} E_{02} \cos(\alpha_2 - \alpha_1) \hspace{20pt} \ldots \hspace{20pt} (7.9) \\<br />
\tan(\alpha) = \dfrac{E_{01} \sin \alpha_1 + E_{02} \sin \alpha_2}{E_{01} \cos \alpha_1 + E_{02} \cos \alpha_2} \hspace{20pt} \ldots \hspace{20pt} (7.10)<br />
</math><br />
<br />
Tomando ahora la ecuación (7.10) y sustituyendo $\alpha_1 = 0$, tenemos que:<br />
<br />
<math><br />
\tan(\alpha) = \dfrac{E_{01} \sin 0 + E_{02} \sin \alpha_2}{E_{01} \cos 0 + E_{02} \cos \alpha_2}<br />
= \dfrac{E_{02} \sin \alpha_2}{E_{01} + E_{02} \cos \alpha_2}<br />
</math><br />
<br />
luego, como $E_{01} = E_{02}$:<br />
<br />
<math><br />
\tan(\alpha) = \dfrac{E_{01} \sin \alpha_2}{E_{01} + E_{01} \cos \alpha_2}<br />
= \dfrac{E_{01} \sin \alpha_2}{E_{01} ( 1 + \cos \alpha_2)}<br />
= \dfrac{\sin \alpha_2}{1 + \cos \alpha_2}<br />
</math><br />
<br />
y tenemos tres identidades trigonométricas importantes:<br />
<br />
<math><br />
\sin \tfrac{\alpha_2}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha_2}{2}}<br />
\Rightarrow \sqrt{2} \sin \tfrac{\alpha_2}{2} = \sqrt{1 - \cos \alpha_2} \\<br />
<br />
\cos \tfrac{\alpha_2}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha_2}{2}}<br />
\Rightarrow \sqrt{2} \cos \tfrac{\alpha_2}{2} = \sqrt{1 + \cos \alpha_2} \\<br />
<br />
\sin^2 \alpha_2 + \cos^2 \alpha_2 = 1<br />
\Rightarrow \sin \alpha_2 = \sqrt{1-\cos^2 \alpha_2}<br />
</math><br />
<br />
por lo que siguiendo con el desarrollo de $\tan(\alpha)$:<br />
<br />
<math><br />
\tan(\alpha) = \dfrac{\sin \alpha_2}{1 + \cos \alpha_2} = \dfrac{\sqrt{1-\cos^2 \alpha_2}}{1 + \cos \alpha_2}<br />
= \dfrac{\sqrt{(1-\cos\alpha_2) (1+\cos \alpha_2)}}{1 + \cos \alpha_2} \\<br />
\Rightarrow \tan(\alpha) = \dfrac{\sqrt{1-\cos\alpha_2}}{\sqrt{1 + \cos \alpha_2}} <br />
= \dfrac{\sqrt{2} \sin(\alpha_2 / 2)}{\sqrt{2} \cos(\alpha_2 / 2)}<br />
= \tan(\alpha_2 / 2) \\<br />
\Rightarrow \tan(\alpha) = \tan(\alpha_2 / 2) \\<br />
\therefore \alpha = \alpha_2/2<br />
</math><br />
<br />
Entonces, hemos llegado a uno de los resultados que se nos piden $\alpha = \alpha_2/2$. Tomemos ahora la ecuación (7.9) y sustituyamos $E_{01} = E_{02}$ y $\alpha_1 = 0$:<br />
<br />
<math><br />
E_0^2 = E_{01}^2 + E_{01}^2 + 2 E_{01} E_{01} \cos(\alpha_2 - 0) = 2 E_{01}^2 + 2 E_{01}^2 \cos(\alpha_2) \\<br />
\Rightarrow E_0^2 = 2 E_{01}^2 \left[ 1 + \cos(\alpha_2) \right] = 2 E_{01}^2 \left[ 2 \cos^2(\alpha_2 /2) \right]\\<br />
\Rightarrow E_0 = \sqrt{4 E_{01}^2 \cos^2(\alpha_2 /2)} = 2 E_{01} \cos(\alpha_2 /2 ) \\<br />
\therefore E_0 = 2 E_{01} \cos(\alpha_2 /2 )<br />
</math><br />
<br />
con lo que hemos obtenido el segundo resultado deseado $E_0 = 2 E_{01} \cos(\alpha_2 /2 )$.<br />
<br />
Entonces, de las ecuaciones (7.9) y (7.10) concluimos que:<br />
<br />
<math><br />
E_0 = 2 E_{01} \cos(\alpha_2 /2 ) \\<br />
\alpha = \alpha_2 /2<br />
</math><br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 00:22 27 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
== Problema 7.3 ==<br />
<br />
'''Show that when the two waves of Eq. (7.5) are in phase, the resulting amplitude squared is a maximum equal to $(E_{01}+E_{01})^2$ , and when they are out of phase it is a minimum equal to $(E_{01}-E_{01})^2$'''<br />
<br />
Muestre que cuando las dos ondas de la ecuación. (7.5) están en fase, la amplitud resultante cuadrado es de un máximo igual a $ (E_ {01} + E_ {02}) ^ 2 $, y cuando están fuera de fase es un mínimo equivalente a $ (E_ {01} - E_ {02}) ^ 2 $<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
De la ecuacion 7.5 sabemos que<br />
<br />
$E_{1}=E_{01}{Sen(\omega t+\beta_{1})}$<br />
<br />
y<br />
<br />
$E_{2}=E_{02}{Sen(\omega t+\beta_{2})}$<br />
<br />
Para cuando están en fase:<br />
<br />
$\beta_{1}=\beta_{2}{Cos(\beta_{2}-\beta_{1})}={Cos(0)}=1$<br />
<br />
<br />
<br />
Usando (7.9)<br />
<br />
<br />
$E_{0}^2=E_{01}^2+E_{02}^2+2E_{01}E_{02}{Cos(\beta_{2}-\beta_{1})}$<br />
<br />
<br />
$E_{0}^2=E_{01}^2+E_{02}^2+2E_{01}E_{02}=(E_{01}+E_{02})^2$<br />
<br />
<br />
<br />
Para cuando están fuera de fase:<br />
<br />
$\beta_{1}-\beta_{2}=\pi$<br />
<br />
<br />
$Cos(\beta_{2}-\beta_{1})=Cos{\pi}=-1$<br />
<br />
Y por (7.9)<br />
<br />
<br />
$E_{0}^2=E_{01}^2+E_{02}^2-2E_{01}E_{02}=(E_{01}-E_{02})^2$<br />
<br />
Ejercicio resuelto por: --[[Usuario:Luis Velázquez|Luis Velázquez]] ([[Usuario discusión:Luis Velázquez|discusión]]) 20:57 27 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
== Problema 3.4/7.4 ==<br />
<br />
'''Demuestre que la longitud de camino óptico, definido como la suma de los productos de varios índices multiplicados por los espesores de los medios atravesados por un haz, es decir, ${\displaystyle \sum n_{i}x_{i}}$, equivale a la longitud del recorrido en el vacío que el haz tardaría el mismo tiempo en atravesar.'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
Sea la longitud de camino óptico $L.C.O.=\sum n_{i}x_{i}$, si sabemos<br />
que el índice de refracción es $n=\frac{c}{v}$, con c la velocidad<br />
de la luz en el vacío y v la velocidad de la luz en un medio, podemos<br />
sustituir en nuestra primera ecuación.<br />
<br />
$L.C.O.=\sum\frac{c}{v_{i}}x_{i}$<br />
<br />
$L.C.O.=\sum\frac{ct_{i}}{x_{i}}x_{i}$<br />
<br />
$L.C.O.=\sum ct_{i}$<br />
<br />
que es justamente la longitud del recorrido en el vacío que la luz<br />
tardaría en ese tiempo en atravesar.<br />
<br />
--[[Usuario:Edgar Ortega Roano|Edgar Ortega Roano]] ([[Usuario discusión:Edgar Ortega Roano|discusión]]) 12:36 25 mar 2014 (CDT)<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema 3.6/7.6 ==<br />
''' Determine la diferencia de camino óptico para las dos ondas A'''<br />
'''y B cuyas longitudes de onda en el vacío, ilustradas en la figura'''<br />
'''P.7.6, son ambas de 500 nm; el tanque de vidrio ($n=1.52$) se llena'''<br />
'''con agua ($n=1.33$). Si las ondas comienzan en fase y todos los números'''<br />
'''anteriores son exactos, encuentre su diferencia de fase relativa en'''<br />
'''la línea de meta.'''<br />
<br />
Tenemos que la longitud de camino óptico para cada onda (A y B) es:<br />
<br />
\[<br />
LCO_{B}=(1)_{aire}(100cm)=1m<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
LCO_{A}=(1)_{aire}(89cm)+(1.52)_{vidrio}(2)(0.5cm)+(1.33)_{agua}(10cm)=103.8cm=1.038m<br />
\]<br />
<br />
<br />
Restando los caminos ópticos tendremos que:<br />
<br />
\[<br />
\Lambda=LCO_{A}-LCO_{B}=1.038m-1m=0.038m<br />
\]<br />
<br />
<br />
Para hallar la diferencia de fase relativa tendremos que:<br />
<br />
\[<br />
\delta=k_{0}\Lambda=\left(\frac{2\pi}{\lambda_{0}}\right)\Lambda=\frac{2\pi\left(3.82x10^{-3}m\right)}{5x10^{-9}m}=7.64x10^{6}\pi<br />
\]<br />
<br />
<br />
por lo cual, la diferencia de fase es:<br />
<br />
\[<br />
\delta=7.64x10^{6}\pi<br />
\]<br />
<br />
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] 22:21 26 Marzo 2014<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema 3.7/7.7 ==<br />
<br />
Usando las ecuaciones:<br />
<br />
<math>E_{0}^{2}=E_{01}^{2}+E_{02}^{2}+2E_{02}E_{01}cos(\alpha_{2}-\alpha_{1})</math><br />
<br />
<br />
<math>tan\alpha=\frac{E_{01}sen\alpha_{1}+E_{02}sen\alpha_{2}}{E_{01}cos\alpha_{1}+E_{02}cos\alpha_{2}}</math><br />
<br />
<br />
<math>E=E_{0}sen(\omega t-k(x+\alpha))</math><br />
<br />
<br />
Demostrar la resultante de las dos ondas. <br />
<br />
<math>E_{1}=E_{01}sen(\omega t-k(x+\triangle x))</math><br />
<br />
<br />
<math>E_{2}=E_{01}sen(\omega t-kx)</math><br />
<br />
<br />
es:<br />
<br />
<math>E=2E_{01}cos(\frac{\triangle x}{2})sen[\omega t-k(x+\frac{\triangle x}{2})]<br />
</math>'''<br />
<br />
<br />
Sustituyendo en la primera relacion tenemos: <br />
<br />
<math>E_{0}^{2}=E_{01}^{2}+E_{01}^{2}+2E_{01}^{2}cos(\triangle x)</math><br />
<br />
<br />
Tras simplificar obetenemos.<br />
<br />
<math>E_{0}^{2}=2E_{01}^{2}[1+cos(\triangle x)]</math><br />
<br />
<br />
Utilizando una relacion trigonometrica. <math>\left.1+cos\triangle x=2cos^{2}\frac{\triangle x}{2}\right\} ..1</math><br />
<br />
<br />
<math>E_{0}^{2}=4E_{01}^{2}[cos^{2}(\frac{\triangle x}{2})]</math><br />
<br />
<br />
Sacando raices de ambosl lados. <br />
<br />
<math>E_{0}=2E_{01}cos(\frac{\triangle x}{2})</math><br />
<br />
<br />
Ahora en el caso de la fase. <br />
<br />
<math>tan\alpha=\frac{E_{01}sen(\triangle x)}{E_{01}+E_{01}cos(\triangle x)}</math><br />
<br />
<br />
De aqui, factorizamos del denominador un campo y este se hace uno con el campo del numerador<br />
<br />
<math>tan\alpha=\frac{sen(\triangle x)}{1+cos(\triangle x)}</math><br />
<br />
<br />
Utilizamos en el denominador 1. y en el numerador. <math>\left.sen(\frac{\triangle x}{2})=2sen(\frac{\triangle x}{2})cos(\frac{\triangle x}{2})\right\} ..2</math><br />
y sustituimos. <br />
<br />
<math>tan\alpha=\frac{2sen(\frac{\triangle x}{2})cos(\frac{\triangle x}{2})}{2cos^{2}\frac{\triangle x}{2}}</math><br />
<br />
<br />
Tras simplificar.<br />
<br />
<math>tan\alpha=\frac{sen(\frac{\triangle x}{2})}{cos(\frac{\triangle x}{2})}</math><br />
<br />
<br />
Por definicion de tangente.<br />
<br />
<math>tan\alpha=tan(\frac{\triangle x}{2})\Longrightarrow\alpha=\frac{\triangle x}{2}</math><br />
<br />
<br />
Ahora por la ultima ecuacion el campo. <br />
<br />
<math>E=2E_{01}cos(\frac{\triangle x}{2})sen[\omega t-k(x+\frac{\triangle x}{2})]</math><br />
--[[Usuario:Andrés Arturo Cerón Téllez|Andrés Arturo Cerón Téllez]] ([[Usuario discusión:Andrés <br />
Arturo Cerón Téllez|discusión]]) 00:55 6 jul 2013 (CDT)<br />
<br />
<br />
En este problema la primera parte de la solución es correcta, pero la segunda no, aqui se coloca la parte restante, y como lo realice:<br />
<br />
'''7.7. Usando las ecuaciones (7.9), (7.10) y (7.11) demuestre que la'''<br />
'''resultante de las ondas'''<br />
<br />
\[<br />
E_{1}=E_{01}sen\left[wt-k(x+\Delta x)\right]<br />
\]<br />
<br />
<br />
'''y'''<br />
\[<br />
E_{2}=E_{01}sen\left(wt-kx\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
'''es'''<br />
\[<br />
E=2E_{01}cos\left(\frac{k\Delta x}{2}\right)sen\left[wt-k\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\right]<br />
\]<br />
<br />
<br />
Primero, definamos las siguientes variables como $\alpha_{1}=-k(x+\Delta x)$<br />
y $\alpha_{2}=-kx$, luego tendremos que:<br />
<br />
\[<br />
E_{1}=E_{01}sen(et+\alpha_{1})<br />
\]<br />
y <br />
\[<br />
E_{2}=E_{01}sen(wt+\alpha_{2})<br />
\]<br />
<br />
<br />
Asi, aplicando la ecuación (7.9) tendremos que:<br />
<br />
\[<br />
E_{0}^{2}=E_{01}^{2}+E_{01}^{2}+2E_{01}^{2}\left(cos\alpha_{1}cos\alpha_{2}+sen\alpha_{1}sen\alpha_{2}\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Factorizando tenemos:<br />
<br />
\[<br />
E_{0}^{2}=2E_{01}^{2}\left(1+cos\alpha_{1}cos\alpha_{2}+sen\alpha_{1}sen\alpha_{2}\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
E_{0}^{2}=2E_{01}^{2}\left(1+cos\left(\alpha_{2}-\alpha_{1}\right)\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Haciendo $\alpha=\alpha_{2}-\alpha_{1}$<br />
<br />
Usando la indentidad $\left(1+cos\alpha\right)=2cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$<br />
tendremos:<br />
<br />
\[<br />
E_{0}^{2}=2E_{01}^{2}\left(2cos^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)=4E_{01}^{2}cos^{2}\left(\frac{\alpha_{2}-\alpha_{1}}{2}\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Finalmente:<br />
<br />
\[<br />
E_{0}^{2}=E_{01}^{2}cos^{2}\left(\frac{k\Delta x}{2}\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
E_{0}=E_{01}cos\left(\frac{k\Delta x}{2}\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Luego, para hallar $\alpha$ usemos (7.10)<br />
<br />
\[<br />
tan\alpha=\frac{E_{01}sen\alpha_{1}+E_{01}sen\alpha_{2}}{E_{01}cos\alpha_{1}+E_{01}cos\alpha_{2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Realizando las operaciones pertinentes tendremos que:<br />
<br />
\[<br />
tan\alpha=\frac{sen\left(-kx-\frac{k\Delta x}{2}\right)}{cos\left(-kx-\frac{k\Delta x}{2}\right)}=tan\left(-kx-\frac{k\Delta x}{2}\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\Rightarrow\alpha=-kx-\frac{k\Delta x}{2}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\alpha=-k\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Por último, sustituyendo estos datos en la ecuación (7.11) tendremos:<br />
<br />
\[<br />
E=2E_{01}cos\left(\frac{k\Delta x}{2}\right)sen\left[wt-k\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\right]<br />
\]<br />
<br />
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] 22:13 26 Marzo 2014<br />
<br />
----<br />
== Problema 3.8/7.8 ==<br />
<br />
'''Sume directamente las dos ondas del problema 7.7 para encontrar la ecuación (7.17)'''<br />
<br />
Las ondas del problema anterior son:<br />
<math>E_{1}=E_{01}sen\left[\omega t-k(x+\Delta x)\right]</math><br />
<br />
y:<br />
<math>E_{2}=E_{01}sen\left[\omega t-kx\right]</math><br />
<br />
<br />
Hacemos la suma directamente <math>E=E_{1}+E_{2}</math>:<br />
<br />
<math>E=E_{01}\left\{ sen\left[\omega t-k(x+\Delta x)\right]+sen\left[\omega t-kx\right]\right\}</math><br />
<br />
<br />
Desarrollamos el primer seno usando la regla trigonometrica de la suma de ángulos: <br />
<br />
<math>sen\left[\omega t-k(x+\Delta x)\right]=sen\left[\omega t-kx\right]cos(k\Delta x)-cos\left[\omega t-kx\right]sen(k\Delta x)</math><br />
<br />
Desarrollamos<br />
<br />
:<math>E=E_{01}\left\{ sen\left[\omega t-kx\right]cos(k\Delta x)-cos\left[\omega t-kx\right]sen(k\Delta x)+sen{\left[\omega t-kx\right]}\right\}</math><br />
<br />
<br />
Factorizamos del primer y último término el seno de la fase:<br />
<br />
<math>E=E_{01}\left\{ sen\left[\omega t-kx\right]\left[cos(k\Delta x)+1\right]-cos\left[\omega t-kx\right]sen(k\Delta x)\right\}</math><br />
<br />
<br />
Utilizando las relaciones trigonométricas de los problemas anteriores se obtienen las siguientes expresiones para el seno y coseno:<br />
<br />
<math>cos(k\Delta x)+1=2cos^{2}(\frac{k\Delta x}{2})</math><br />
<br />
<br />
:<math>sen\left(k\Delta x\right)=2cos(\frac{k\Delta x}{2})sen(\frac{k\Delta x}{2})</math><br />
<br />
<br />
Las ecuaciones de las ondas se ven como sigue:<br />
<br />
<math>E=E_{01}\left\{ sen\left[\omega t-kx\right]2cos^{2}(\frac{k\Delta x}{2})-cos\left[\omega t-kx\right]2cos(\frac{k\Delta x}{2})sen(\frac{k\Delta x}{2})\right\}</math><br />
<br />
<br />
Si se factoriza un coseno de la mitad del ángulo y el coeficiente dos se tiene la siguiente ecuación de onda:<br />
<br />
<math>E=2E_{01}cos(\frac{k\Delta x}{2})\left\{ sen\left[\omega t-kx\right]cos(\frac{k\Delta x}{2})-cos\left[\omega t-kx\right]sen(\frac{k\Delta x}{2})\right\}</math><br />
<br />
<br />
Arreglando la suma de ángulos del seno se tiene:<br />
<br />
<br />
<math>E=2E_{01}cos(\frac{k\Delta x}{2})sen\left[\omega t-k(x+\frac{\Delta x}{2})\right]</math><br />
<br />
que corresponde a la ecuación (7.17).<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 18:34 27 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
== Problema 3.9/7.9 ==<br />
<br />
'''Use la representacion compleja para calcular la resultante de <math>E=E_{1}+E_{2}</math>,''' donde'''<br />
<br />
<math>E_{1}=E_{0}cos(kx+\omega t)</math><br />
<br />
<br />
<math>E_{2}=-E_{0}cos(kx-\omega t)</math><br />
<br />
<br />
'''Y describa la onda compuesta.''' <br />
<br />
Aplicando el metodo complejo <br />
<br />
<math>E_{1}=E_{0}e^{\imath(kx+\omega t)}</math><br />
<br />
<br />
<math>E_{2}=-E_{0}e^{\imath(kx-\omega t)}</math><br />
<br />
<br />
Entonces, la suma de ambas es:<br />
<br />
<math>E=E_{0}e^{\imath(kx+\omega t)}+-E_{0}e^{\imath(kx-\omega t)}</math><br />
<br />
<br />
<math>E=E_{0}e^{\imath kx}(e^{\imath\omega t}-e^{-\imath\omega t})</math><br />
<br />
<br />
Dado que <br />
<br />
<math>2\imath sen(\omega t)=e^{\imath\omega t}-e^{-\imath\omega t}</math><br />
<br />
<br />
Entonces. <br />
<br />
<math>E=E_{0}e^{\imath kx}2\imath sen(\omega t)</math><br />
<br />
<br />
Desarrollando “<math>e^{\imath kx}</math>”<br />
<br />
<math>E=E_{0}[cos(kx)+\imath sen(kx)]2\imath sen(\omega t)</math><br />
<br />
<br />
<math>E=E_{0}[2\imath cos(kx)sen(\omega t)-2sen(kx)sen(\omega t)]</math><br />
<br />
<br />
Por tanto. <br />
<br />
<math>E=-2sen(kx)sen(\omega t)</math><br />
<br />
<br />
De esa forma se describe la onda compuesta, Siendo así que la onda es armónica y de la misma frecuencia que las constitutivas aunque su amplitud y fase son diferentes.<br />
<br />
[[Usuario:Mario Moranchel|Mario Moranchel]] ([[Usuario discusión:Mario Moranchel|discusión]]) 03:42 26 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
== Problema 3.10/7.10 ==<br />
<br />
'''El campo electrico de una onda electromagnética estacionaria plana viene dado por'''<br />
\begin{equation}<br />
E(x,t)=2E_{0}sen(kx)cos(\omega t)<br />
\end{equation}<br />
'''Deduzca una expresion para $B(x,t)$.'''<br />
<br />
<br />
Dado.<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{\partial E}{\partial t}=-\frac{\partial B}{\partial t}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Se busca una funcion de B dependiente de x y de t entonces integramos para obtener:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
B(x,t)=-\int \frac{\partial E}{\partial x}dt<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
<br />
\begin{equation}<br />
-\int \frac{\partial E}{\partial x}dt=-2E_{0}kcos(kx)\int cos(\omega t)dt<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
\begin{equation}<br />
-2E_{0}kcos(kx)\int cos(\omega t)dt=-\frac{2E_{0}k}{\omega}cos(kx)sen(\omega t)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Entonces <br />
<br />
\begin{equation}<br />
B(x,t)=-\frac{2E_{0}k}{\omega}cos(kx)sen(\omega t)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Pero <br />
\begin{equation}<br />
\frac{E_{0}k}{\omega}=\frac{E_{0}}{c}=B_{0}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Por lo tanto:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
B(x,t)=-2B_{0}cos(kx)sen(\omega t)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Esquema de la onda estacionaria<br />
<br />
[[Archivo:yep.gif]]<br />
<br />
[[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 03:45 28 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
--[[Usuario:Daniela López Martínez|Daniela López Martínez]] ([[Usuario discusión:Daniela López Martínez|discusión]]) 21:16 6 jul 2013 (CDT)<br />
----<br />
== Problema 3.11/7.11 ==<br />
<br />
'''Considerando el experimento de Wiener (figura 7.11) en la luz monocromática cuya longitud de onda es de $550 nm$, si el plano de la película estuviera inclinado $1°$ con respecto a la superficie de reflexión, determine el número de franjas brillantes por centímetro que aparecerán en el plano.'''<br />
<br />
<br />
Los planos antinodales están separados una distancia $\frac{\lambda}{2}$ uno del otro. El seno del ángulo de inclinación de la película se relaciona como sigue con el número de franjas brillantes y la separación entre los planos:<br />
<br />
<math> Sen \theta= \frac{Distancia\ entre\ planos}{franjas/cm} </math><br />
<br />
Con un simple despeje podemos obtener el número de franjas que hay por centímetro con la placa fotográfica inclinada $1°$ :<br />
<br />
<math>\frac{No. franjas}{cm}=\frac{\frac{1}{\lambda/2}}{Sen \theta}=\frac{\frac{1}{5.5 * 10^{-7} cm}}{Sen (1°)} </math><br />
<br />
Por lo tanto, el número de franjas brillantes por centímetro que aparecen en el plano son:<br />
<br />
:<math> \frac{No. franjas}{cm}= 1.04 * 10^{8} cm^{-1} </math><br />
<br />
[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 19:04 27 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
'''3.12/7.12 Un laser emite unos pulsos de UV que dura cada uno <math>2.00ns(2.00x10^{-9}s)</math> y cuyo haz tiene un diametro de <math>2.5mm(2.5x10^{-3}m)</math>. Suponiendo que la potencia de cada pulso tiene una energia de 6.0J: (a)calcule la extension espacial de cada tren de ondas, y (b)calcule la energia media por unidad de volumen de tal pulso.'''<br />
<br />
R: (a) conociendo la ecuacion <math>l=c\triangle t</math> sustituimos los datos dados<br />
<br />
<math>l=(3.00x10^{8}m/s)(2.00x10^{-9}s)=0.6m</math><br />
<br />
<br />
(b)el volumen de un solo pulso esta dado por la formula <math>V=l\pi R^{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>V=(0.6m)(\pi(\frac{2.5x10^{-3}m}{2})^{2})</math><br />
<br />
<br />
<math>V=2.945x10^{-6}m^{3}</math><br />
<br />
<br />
por lo tanto <math>\frac{6.0J}{2.945x10^{-6}m^{3}}=2037351.443{J}/{m^{3}}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Leticia González Zamora|Leticia González Zamora]] ([[Usuario discusión:Leticia González Zamora|discusión]]) 16:01 20 jun 2013 (CDT) <br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
----<br />
<br />
''Problema 7.14 Hecht<br />
<br />
Show that the group velocity can be written as''<br />
<br />
\[V_g =\frac{C}{n+\omega (dn/d\omega)}\]<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
La velocidad de grupo es:<br />
\[V_g = \frac{d\omega}{dk}= V +k \frac{dv}{dk}------(1)\]<br />
<br />
Por otro lado, aplicando la regla de la cadena se tine que:<br />
\[<br />
\frac{dv}{dk}=\frac{dv}{d\omega} \frac{d\omega}{dk}------(2)<br />
\]<br />
<br />
Por lo que (1) se puede escribir como:<br />
<br />
\[V_g = V +k\left( \frac{d\omega}{dk}\right)\frac{dv}{d\omega}------(3) \]<br />
<br />
Tambien sabemos que $v=C/n$ Por lo que:<br />
\[<br />
\frac{dv}{d\omega}=\frac{dv}{dn}\frac{dn}{d\omega}=-\frac{C}{n^2}\frac{dn}{d\omega}<br />
\]<br />
<br />
Sustituyendo en (3) <br />
<br />
\[V_g = V - k\left( \frac{d\omega}{dk}\right)\left( \frac{C}{n^2} \frac{dn}{d\omega}\right) \]<br />
<br />
\[V_g = V -k V_g \left( \frac{C}{n^2} \frac{dn}{d\omega}\right)------(4)\]<br />
<br />
\[<br />
V_g= \frac{V}{1+ \left( \frac{C}{n^2} \frac{dn}{d\omega}\right)k}------(5)<br />
\]<br />
<br />
Finalmente:<br />
<br />
\[<br />
V_g=\frac{Vn}{n+ \left( \frac{C}{n^2} \frac{dn}{d\omega}\right)kn}=\frac{C}{n+\left(\frac{Ck}{n} \right)\frac{dn}{d\omega}}<br />
\]<br />
<br />
\[V_g =\frac{C}{n+\omega \frac{dn}{d\omega}}\]<br />
<br />
Resuelto por: --[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 01:59 27 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
== Problema 3.16/7.16 ==<br />
''' Imagine que usted esta parado en una trayectoria de una antena que esta radiando ondas planas de frecuencia 100MHz y desnsidad de flujo 19.88x10^-2 W/m^2.<br />
Calcula la densidad fe flujo de fotones, es decir, el numero de fotones por unidad de tiempo por unidad de área.¿Cuantos fotones, en promedio, se encontraran en un metro cubico de esta región?<br />
<br />
<br />
De la formula de la energia y usando la constante de plank<br />
<br />
<br />
<math>E=h\nu</math><br />
<br />
<br />
<math>h=6.63x10^{-34}</math><br />
<br />
<br />
aplicaremos la formula para calcular el numero de fotones por metro cubico<br />
<br />
<br />
<math>\frac{I}{h\nu}=\frac{19.88x10^{-2}}{(6.63x10^{-34})(100x10^{6})}=3x10^{24}fotones/m^{2}s</math><br />
<br />
<br />
<br />
Todos los fotones en el volumen V cruzan la unidad de área en un segundo<br />
<br />
<br />
<math>V=(ct)(1m^{2})=3x10^{8}m^{3}</math><br />
<br />
<br />
<math>3x10^{24}=V(densidad)</math><br />
<br />
<br />
<math>densidad=10^{16}fotones/m^{3}</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:David Alberto Rojas Solis|David Alberto Rojas Solis]] ([[Usuario discusión:David Alberto Rojas Solis|discusión]]) 10:23 6 jul 2013 (CDT)<br />
----<br />
'''3.25/7.25 Un gas ionizado o un plasma sirve como medio dispersor para ondas electromagneticas. Puesto que la ecuacion de dispersion es:<br />
'''<br />
<math>omega^{2}=\omega_{p}+c^{2}k^{2}</math><br />
<br />
<br />
Donde omega subindice p es la constante del plasma, determine las expresiones tanto de la fase como de las velocidades de grupo y demuestre que <math>vv_{g}=c^{2}</math><br />
<br />
<br />
De la relacion precedente.<br />
<br />
<math>\omega=\sqrt{\omega_{p}+c^{2}k^{2}}</math><br />
<br />
<br />
por la definicion de velocidad de grupo.<br />
<br />
<math>v_{g}=\left(\frac{\delta\omega}{\delta k}\right)_{\bar{\omega}}</math><br />
<br />
<br />
Obtenemos la derivada:<br />
<br />
<math>\left(\frac{\delta\omega}{\delta k}\right)_{\bar{\omega}}=\frac{2c^{2}k}{2\sqrt{\omega_{p}+c^{2}k^{2}}}</math><br />
<br />
<br />
Al simplificar.<br />
<br />
<math>\left(\frac{\delta\omega}{\delta k}\right)_{\bar{\omega}}=\frac{c^{2}k}{\sqrt{\omega_{p}+c^{2}k^{2}}}</math><br />
<br />
<br />
Entonces la velocidad de grupo.<br />
<br />
<math>v_{g}=\frac{c^{2}k}{\sqrt{\omega_{p}+c^{2}k^{2}}}</math><br />
<br />
<br />
Por otro lado en general la velocidad está dada por:<br />
<br />
<math>v=\frac{\omega}{k}</math><br />
<br />
<br />
<math>v=\frac{\sqrt{\omega_{p}+c^{2}k^{2}}}{k}</math><br />
<br />
<br />
entonces podemos demostrar la propiedad de la segunda parte.<br />
<br />
<math>vv_{g}=\frac{c^{2}k}{\sqrt{\omega_{p}+c^{2}k^{2}}}\frac{\sqrt{\omega_{p}+c^{2}k^{2}}}{k}</math><br />
<br />
<br />
Simplificando obtenemos el resultado esperado. <br />
<br />
<math>vv_{g}=c^{2}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Daniela López Martínez|Daniela López Martínez]] ([[Usuario discusión:Daniela López Martínez|discusión]]) 20:17 6 jul 2013 (CDT)<br />
----<br />
<br />
----<br />
== 7.29 Hetch / 3ra Edición ==<br />
<br />
Un gas ionizado, o un plasma sirve como medio dispersor para ondas electromagnéticas. Puesto que la ecuación de dispersión es<br />
<br />
: <math> \omega^{2}=\omega{}_{p}^{2}+c^{2}\kappa^{2}<br />
</math><br />
<br />
donde <math>\omega_{p}<br />
</math> es la frecuencia constante del plasma, determine las expresiones tanto de la fase como de las velocidades de grupo y demuestre que <math> vv_{g}=c^{2}<br />
</math>.<br />
<br />
Solución<br />
<br />
: <math> \omega^{2}=\omega{}_{p}^{2}+c^{2}\kappa^{2}...\left(1\right)<br />
</math><br />
<br />
Se tiene que <math> v=\frac{\omega}{\kappa}\Rightarrow\kappa=\frac{\omega}{v}<br />
</math>, elevando al cuadrado ambos componentes <br />
<br />
: <math> \kappa^{2}=\frac{\omega^{2}}{v^{2}}...(2)<br />
</math>, entonces sustituyendo (2) en (1) se tiene<br />
<br />
: <math> \omega^{2}=\omega{}_{p}^{2}+c^{2}\frac{\omega^{2}}{v^{2}}<br />
</math><br />
<br />
: <math> \omega_{p}^{2}=\omega^{2}-c^{2}\frac{\omega^{2}}{v^{2}}<br />
</math><br />
<br />
: <math> \omega_{p}^{2}=\omega^{2}\left(1-\frac{c^{2}}{v^{2}}\right)<br />
</math><br />
<br />
: <math> \frac{\omega_{p}^{2}}{\omega^{2}}=\left(1-\frac{c^{2}}{v^{2}}\right)<br />
</math><br />
<br />
: <math> \frac{c^{2}}{v^{2}}=1-\frac{\omega_{p}^{2}}{\omega^{2}}<br />
</math><br />
<br />
Invertimos<br />
<br />
: <math> \frac{v^{2}}{c^{2}}=1/\left(1-\frac{\omega_{p}^{2}}{\omega^{2}}\right)<br />
</math><br />
<br />
Despejando “v” nos queda<br />
<br />
: <math> v=\pm\frac{c}{\left(1-\frac{\omega_{p}^{2}}{\omega^{2}}\right)^{1/2}}<br />
</math><br />
<br />
Ahora, por otro lado de la velocidad de grupo es <br />
<br />
: <math> v_{g}=\frac{d\omega}{d\kappa}<br />
</math><br />
<br />
: <math> v_{g}=\frac{d}{d\kappa}\left(\sqrt{\omega_{p}^{2}+c^{2}\kappa^{2}}\right)<br />
</math><br />
<br />
: <math> v_{g}=\frac{1}{2}\left(2c^{2}\kappa/\sqrt{\omega_{p}^{2}+c^{2}\kappa^{2}}\right)=c^{2}\kappa/\sqrt{\omega_{p}^{2}+c^{2}\kappa^{2}}<br />
</math><br />
<br />
: <math> v_{g}=c^{2}\kappa/\sqrt{\omega^{2}}=c^{2}\kappa/\omega...(3)<br />
</math><br />
<br />
si <math> v=\frac{\omega}{\kappa}\Rightarrow\omega=v\kappa<br />
</math>, sustituyendo esta expresión en (3) se tiene<br />
<br />
: <math> v_{g}=c^{2}\kappa/\left(v\kappa\right)=\frac{c^{2}}{c/\sqrt{1-\left(\frac{\omega_{p}}{\omega}\right)^{2}}}<br />
</math><br />
<br />
: <math> v_{g}=c\sqrt{1-\left(\frac{\omega_{p}}{\omega}\right)^{2}}<br />
</math><br />
<br />
: <math> \therefore vv_{g}=c^{2}<br />
</math><br />
<br />
: : <math> \left[c/\sqrt{1-\left(\frac{\omega_{p}}{\omega}\right)^{2}}\right]*\left[c\sqrt{1-\left(\frac{\omega_{p}}{\omega}\right)^{2}}\right]=c^{2}<br />
</math><br />
<br />
Elaborado por Ricardo García Hernández.--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:42 30 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
== Problema 3.32/7.32 ==<br />
''' ¿Cuàl es la velocidad de la luz en un diamante si el indice de refracciòn es de 2.42?'''<br />
<br />
"Se denomina índice de refracción al cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad de la luz en el medio cuyo índice se calcula. Se simboliza con la letra n y se trata de un valor adimensional. <br />
<br />
<math>n=\frac{c}{v}\cdots\cdots\cdots\left(1\right)<br />
</math><br />
<br />
n: es el indice de refracciòn<br />
<br />
v: velocidad de la luz en el medio cuyo índice se calcula (agua, vidrio, diamante,etc.).<br />
<br />
c: velocidad de la luz en el vacio<br />
<br />
De 1 se tiene que la velocidad de luz en el diamante (v) es igual a la velocidad de la luz en el vacío (c), entre el índice de refracción del diamante (2.42); o sea: <br />
<br />
<math>v=\frac{c}{n}=\frac{299.792.458m/s}{2.42}=123881.180992m/s<br />
</math><br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema 3.38/7.38 ==<br />
<br />
''' La luz amarilla de una lámpara de sodio (Lamda =) cruza un depósito de glicerina (con índice de 1,47) de 20 cm de largo, en un tiempo t1. Si la luz tarda t2 en cruzar el mismo depósito cuando está lleno de disulfuro de carbono (índice 1,63), clacule el valor de t2-t1.'''<br />
<br />
Sabemos la relación del índice de refracción con la velocidad:<br />
<br />
<math> v_{1}=\frac{c}{n_{1}}</math><br />
<br />
Tomando a la definición de la velocidad <br />
<br />
<math>v_{1}=\frac{d}{t_{1}} </math><br />
<br />
despejando al tiempo en la última ecuación y sustituyéndola en la primera ecuación <br />
<br />
<math>t_{1}=\frac{d}{v}=\frac{dn_{1}}{c} </math><br />
<br />
haciendo lo mismo para el disulfuro de carbono<br />
<br />
<math>n=\frac{c}{v_{2}} </math><br />
<br />
<math>v_{2}=\frac{d}{t_{2}} </math><br />
<br />
<math>t_{2}=\frac{d}{v_{2}}=\frac{dn_{2}}{c} </math><br />
<br />
restanto el segundo tiempo al primero<br />
<br />
<math>t_{2}-t_{1}=\frac{d}{c}(n_{2}-n_{1}) </math><br />
<br />
sustituyendo los datos nos queda:<br />
<br />
<math>\Delta t=1.06x10^{-10}s </math><br />
<br />
--[[Usuario:Ignacio Peralta Martínez|Ignacio Peralta Martínez]] ([[Usuario discusión:Ignacio Peralta Martínez|discusión]]) 02:03 6 jul 2013 (CDT)<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:MISS|MISS]] ([[Usuario discusión:MISS|discusión]]) 00:10 23 jun 2013 (CDT)<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
[[categoría:Vibra]]<br />
<br />
<br />
== Problema Adicional 1 ==<br />
<br />
'''Una partícula está sometida a dos movimientos armónicos simples de la misma frecuencia $\omega=\pi$ y en dirección de z, las amplitudes son 0.25mm y 0.20mm respectivamente y la de fase entre el primero y el segundo es de $45^º$. Hallar la resultante.'''<br />
<br />
---<br />
<br />
Solución<br />
<br />
Sabemos que la suma de dos ondas esta dada por<br />
<br />
<math>E=E_{1}+E_{2}</math><br />
<br />
donde <br />
<br />
<br />
<math>E_{1}=E_{01}\sin(\omega t+\beta_{1})=E_{01}(\sin\omega t\cos\beta_{1}+\cos\omega t\sin\beta_{1})</math><br />
<br />
y<br />
<br />
<math>E_{2}=E_{02}\sin(\omega t+\beta_{2})=E_{02}(\sin\omega t\cos\beta_{2}+\cos\omega t\sin\beta_{2})</math><br />
<br />
Desarrollando se obtiene:<br />
<br />
<math>E=(E_{01}\cos\beta_{1}+E_{02}\cos\beta_{2})\sin\omega t+(E_{01}\sin\beta_{1}+E_{02}\sin\beta_{2})\cos\omega t<br />
</math><br />
<br />
y sustituyendo<br />
<br />
<math>E=0.25\sin\pi t+0.20\cos\pi t</math><br />
<br />
[[Archivo:grafadi.jpg|400px|thumb|left|Gráfica de la resultante]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Tomado de : Vibraciones y ondas. A. P. FRENCH pág. 43. Problema 2-2.<br />
Resuelto por:--[[Usuario:Luis Velázquez|Luis Velázquez]] ([[Usuario discusión:Luis Velázquez|discusión]]) 08:32 27 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema 7.15 ==<br />
'''Imagine que golpeamos dos diapasones, uno con frecuencia de $340Hz$ y el otro de $342Hz$. ¿Qué oiremos?'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
En este ejemplo se da el fenómeno del Batido, en el caso de que la frecuencia de ambas ondas no es igual (<math>\nu_1,\nu_2</math>), pero si son valores muy cercanos entre sí, la onda resultante es una onda modulada en amplitud por la llamada "frecuencia de batido" cuyo valor corresponde a <math>\nu_{\mbox{batido}}=\Delta \nu= | \nu_1 -\nu_2|</math>, la frecuencia de esta onda modulada corresponde a la media de las frecuencias que interfieren.<br />
<br />
Nuestro sistema auditivo no es capaz de percibir separadamente las dos frecuencias presentes, sino que se percibe una frecuencia única promedio $(\nu_1 + \nu_2) / 2$, pero que cambia en amplitud a una frecuencia de $(\nu_2 - \nu_1) / 2$.<br />
<br />
Es decir, si superponemos dos ondas senoidales de $340 Hz$ y $342 Hz$, nuestro sistema auditivo percibirá un único sonido cuya altura corresponde a una onda de $341 Hz$ y cuya amplitud varía con una frecuencia de $1 Hz$ (es decir, una veces por segundo) con <math>\nu_{\mbox{batido}}=\Delta \nu= | \nu_1 -\nu_2|=| 342Hz - 340Hz|=2Hz</math> .<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Martínez|Luis Martínez]] ([[Usuario discusión:Luis Martínez|discusión]]) 13:18 28 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema 7.22 ==<br />
<br />
'''La velocidad de propagación de una onda superficial en un líquido cuya profundidad es mucho mayor que $\lambda$ viene dada por:'''<br />
<br />
:<math>v=\sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}+ \frac{2\pi\gamma}{\rho\lambda}}</math><br />
<br />
donde $g$=es la aceleración de la gravedad, $\lambda$=longuitud de onda, $\rho$=densidad, $\gamma$=tensión superficial'''. Calcule la velocidad de grupo de un pulso en el límite mayor de la longuitud de onda(éstas reciben el nombre de ''ondas gravitacionales'').'''<br />
<br />
Solución:<br />
tenemos que la velocidad de un pulso esta dada por:<br />
<br />
<math>v=\sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}}=\sqrt{\frac{g}{k}}</math><br />
<br />
la velocidad de grupo $v_{g}$ es:<br />
<br />
<math>v_g=v+\frac{kdv}{dk}</math><br />
donde:<br />
<math>\frac{dv}{dk}=-\frac{1}{2k}\sqrt{\frac{g}{k}}=-\frac{v}{2k}</math><br />
<br />
:<math>\therefore v_g=\frac{v}{2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Martínez|Luis Martínez]] ([[Usuario discusión:Luis Martínez|discusión]]) 14:16 28 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
==Problema adicional 2==<br />
'''Una cuerda de guitarra de 1 m de largo fija por ambos extremos vibra formando 4 nodos. Los puntos centrales de la cuerda tienen un desplazamiento máximo de 4 mm. Si la velocidad de las ondas en la cuerda es 660 m/s, halla la frecuencia con la que vibra la cuerda y la expresión de la funcion de la onda estacionaria. '''<br />
<br />
<br />
Para obtener la longitud de la cuerda usamos:<br />
$$ L= 3\dfrac{\lambda}{2}\Rightarrow \lambda = \dfrac{2L}{3} = \dfrac{2*1}{3} = \dfrac{2}{3} m $$<br />
<br />
Y la frecuencia de la vibración es <br />
$$\ v =\dfrac{v}{\lambda} = \dfrac{660}{2/3} = 990 Hz$$<br />
<br />
La ecuación de onda estacionaria es : <br />
<br />
$$ y = 2 A\sin (k x) \cos (\omega t) = 2* 4 *10^{-3}\sin(\dfrac{2\pi}{2/3}x)\cos (2\pi 990 t) =8*10^{-3}\sin(3 \pi x)\cos (1980 \pi t)$$<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 00:05 29 mar 2015 (CDT)Esther Sarai García<br />
<br />
<br />
----<br />
==Problema 7.30==<br />
'''Usando la ecuación de dispersión:<br />
<math>n^2 (\omega)= 1 + \frac{N q^2_{e}}{ \epsilon_{0} m_{e}} \Sigma_{l}(\frac{f_{l}}{\omega^2_{0l}-\omega^2})</math><br />
<br />
'''Demuestra que la velocidad de grupo está dada por:<br />
<math>v_{g}= \frac{c}{1+\frac{Nq_{e}^2}{\epsilon_{0}m_{e}\omega_{0}^2 2}}</math><br />
'''Para las ondas de alta frecuencia (por ejemplo los rayos X), tenga en cuenta que desde el <math>f_{j}</math> son los factores de ponderación. <math>\Sigma_{l} f_{l}=1</math> ¿Qué es la velocidad de fase?, demostrar que <math>v v_{g}= C^2</math> '''<br />
<br />
como hablamos para ondas de alta frecuencia, <math>\omega >>\omega_{l}</math>, por lo tanto en la ecuación de dispersión tenemos que, (acordándonos que <math>\Sigma_{l} f_{l}=1</math>:<br />
<br />
<math>n^2 (\omega)= 1 - \frac{N q^2_{e}}{ \epsilon_{0} m_{e} \omega^2} \Sigma_{l}(f_{l})=1 - \frac{N q^2_{e}}{ \epsilon_{0} m_{e} \omega^2} </math><br />
<br />
Donde:<br />
<math>n=\sqrt{1 - \frac{N q^2_{e}}{ \epsilon_{0} m_{e} \omega^2}}</math><br />
<br />
Usando la expanción binomial, <br />
<math>(1-x)^{\frac{1}{2}} \thickapprox 1- \frac{x}{2}</math> para x<<1<br />
Por lo tanto tenemos que:<br />
<math>n \thickapprox 1- \frac{N q^2_{e}}{ 2 \epsilon_{0} m_{e} \omega^2} </math> <br />
Calculando la derivada de <math>n</math> con respecto de <math>\omega</math>:<br />
<br />
<math>\frac{dn}{d \omega}= \frac{Nq_{e}^2}{\epsilon_{0} m_{e}\omega^3 }</math><br />
<br />
Empleando la ecuación para velocidad de grupo tenemos que:<br />
<math>v_{g}= \frac{c}{n+ \omega (\frac{dn}{d \omega})}</math><br />
Sustituyendo:<br />
<math>v_{g}= \frac{c}{ 1- \frac{N q^2_{e}}{ 2 \epsilon_{0} m_{e} \omega^2} + \frac{Nq_{e}^2}{\epsilon_{0} m_{e}\omega^2 }}= \frac{c}{1+ \frac{Nq_{e}^2}{2 \epsilon_{0} m_{e}\omega^2 } }</math> <br />
<br />
por lo tanto:<br />
<math>v_{g}= \frac{c}{1+ \frac{Nq_{e}^2}{2 \epsilon_{0} m_{e}\omega^2 } }</math><br />
<br />
Para el índice de refracción tenemos que:<br />
<math>n= \frac{C}{v}</math><br />
Por lo tanto tenemos que para la velocidad de fase es:<br />
<math>v=\frac{C}{n}</math><br />
Para <math>v_{g}<<C</math><br />
tenemos que:<br />
<math>v=\frac{C}{ 1- \frac{N q^2_{e}}{ 2 \epsilon_{0} m_{e} \omega^2}}</math><br />
Por expansión binomial tenemos que la velocidad de fase: <br />
<math>v= c (1+ \frac{N q^2_{e}}{ 2 \epsilon_{0} m_{e} \omega^2}) </math><br />
<br />
Dado que: <br />
<math>v v_{g}= c (1+ \frac{N q^2_{e}}{ 2 \epsilon_{0} m_{e} \omega^2}) * \frac{c}{1+ \frac{Nq_{e}^2}{2 \epsilon_{0} m_{e}\omega^2 }} = C^2 </math><br />
<br />
Por lo tanto demostramos que:<br />
<math>v v_{g}=C^2</math><br />
<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 20:52 29 mar 2015 (CDT)</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Ondas:_probs_c4&diff=19280Ondas: probs c42015-03-30T05:37:33Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: /* 4.9 Hetch / 3ra Edición. */</p>
<hr />
<div>Vibraciones y Ondas<br />
<br />
Problemas capítulo 4. Óptica - Hecht<br />
----<br />
==Problema 4.1==<br />
'''Work your away through an argument using dimensional analysis to establish the $\lambda^{-4}$ dependence of the percentage of light scattered in Rayleigh Scattering. Let $E_{0i}$ and $E_{0s}$ be the incident and scattered amplitudes, the latter at a distance r from the scatterer. Assame $ E_{0s}\varpropto E_{0i}$ and $E_{0s}\varpropto \dfrac{1}{r}$. Furthermore, plausibly assume that the scattered amplitude is proportional to the volume. V, of the scatterer, within limits the is reasonable. Determine the units of the constant of proportionality.'''<br />
<br />
Para relacionando la distancia r con la amplitud y su proporcionalidad con el volumen, utilizaremos la siguiente ecuación, la cual es adimencional.<br />
<br />
$$\dfrac{VK}{r}$$<br />
<br />
Sí $E_{0s}\varpropto\dfrac{1}{r}$ y $ E_{0s}\varpropto E_{0i}$ <br />
<br />
Entonces $$E_{0s}\varpropto \dfrac{VE_{0i}}{r}= \dfrac{K V E_{0i}}{r}$$<br />
<br />
Así que K tiene las unidades de $(\lambda)_{2}$<br />
$$K= (\lambda)^{-2}$$<br />
<br />
Y esto se puede comprobar por:<br />
$$\dfrac{I_{i}}{I_{s}}\varpropto K^{2}\varpropto \lambda ^{-4}$$<br />
<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 23:34 28 mar 2015 (CDT)Esther Sarai Garcia<br />
<br />
----<br />
==Problema 4.2==<br />
Resolviendo por Rosario Maya <br />
----<br />
==Problema 4.5==<br />
<br />
'''<br />
Un haz de microondas planas de 12 cm incide en la superficie de un dieléctrico a 45°. Si $n_{ti}=4/3$ calcule a) la longitud de onda en el medio transmisor, y b) el ángulo $\theta_{t}$'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
De la ley de Snell<br />
\[<br />
n_i sin\theta_i = n_t sin\theta_t<br />
\]<br />
Tenemos:<br />
\[\frac{n_t}{n_i}=\frac{sin\theta_i}{sin\theta_t}=n_{ti}...(1)\]<br />
<br />
Tambien sabemos que:<br />
\[<br />
n=\frac{C}{v}...(2)<br />
\]<br />
<br />
y<br />
<br />
\[<br />
v=\lambda \nu...(3)<br />
\]<br />
<br />
Por lo que (1) puede escribirse como:<br />
<br />
\[n_{ti} = \frac{\frac{C}{v_t}}{\frac{C}{n_i}}=\frac{v_i}{v_t}=\frac{\lambda_i}{\lambda_t}...(3)\]<br />
<br />
Despejando:<br />
<br />
\[<br />
\lambda_t = \frac{\lambda_i}{n_{ti}}=\frac{12cm}{4/3}<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\lambda_t=9cm<br />
\]<br />
<br />
<br />
De (1)<br />
<br />
\[sin\theta_i = n_{ti}sin\theta_t\]<br />
<br />
\[<br />
\theta_t =angsin \frac{sin\theta_i}{n_{ti}}=angsin \frac{sin45^{o}}{4/3}<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\theta_t = 32.02^{o}<br />
\]<br />
<br />
Resuelto por: --[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 14:31 28 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
== Problema 4.6 ==<br />
<br />
''' Un haz láser muy estrecho incide bajo un ángulo de $58^o$ sobre un espejo horizontal. El haz de luz reflejado incide en una pared en un punto situado a 5 metros de distancia del punto de incidencia donde el haz de luz chocó con el espejo. ¿A qué distancia, medida horizontalmente, está la pared de ese punto de incidencia?.<br />
'''<br />
<br />
Como bien sabemos, los ángulos de inicidencia y reflexión(o refracción) se miden respecto a la normal a la superficie, por lo que si el láser incide con un ángulo $\alpha_i = 58^o$, entonces el ángulo reflejado, por la ley de reflexión que nos dice que el ángulo reflejado es igual al rayo incidente, será $\alpha_r = 58^o$.<br />
<br />
Además, se forma un triángulo rectángulo entre las dos trayectorias del rayo(incidente y reflejado) y la distancia $d$ horizontal del punto de incidencia y el punto donde el láser toca la pared. Por lo que, utilizando trigonometría básica, tenemos:<br />
<br />
<math><br />
\sin(58^o) = \dfrac{d}{5m} \Rightarrow d = (5m) \sin(58^o)<br />
</math><br />
<br />
Entonces, la distancia, medida horizontalmente, de la pared al punto de incidencia es de: $d \approx 4.24m$.<br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 01:09 27 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
== Problema 4.9/Hetch 3era edicion ==<br />
''' Calcule el ángulo de transmisión para un rayo en el aire incidente a $30^o$ en un bloque de vidrio-crown($n_v = 1,52$).<br />
'''<br />
<br />
La Ley de Snell-Descartes nos dice que:<br />
<br />
<math><br />
n_i \sin \alpha_0 = n_v \sin \alpha_t<br />
</math><br />
<br />
Por lo que despejando para $\alpha_t$:<br />
<br />
<math><br />
\sin \alpha_t = \dfrac{n_i}{n_v} \sin \alpha_0<br />
</math><br />
<br />
donde $n_i$ es el ángulo de incidencia, en este caso $\alpha_i = 30^o$ y $n_i$ es el índice de refracción del aire, que es $n_i \approx 1$. Entonces, sustituyendo:<br />
<br />
<math><br />
\sin \alpha_t = \dfrac{1}{1.52} \sin(30^0) \Rightarrow \sin \alpha_t = (0.66) \left(\dfrac{1}{2}\right)<br />
\Rightarrow \alpha_t = \arcsin(0.33) \approx 19^o 7'<br />
</math><br />
<br />
Por lo que, el ángulo de transmisión buscado es: $\alpha_t = 19^o 7'$.<br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 01:52 27 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
----<br />
== 4.9 Hetch / 3ra Edición. ==<br />
<br />
4.9 .- Un rayo de luz amarilla en el aire, procedente de una lámpara de descarga de sodio, cae sobre la superficie de un diamante en el aire a 45°. Si a esa frecuencia nd =2.42, calcule la desviación angular sufrida en la transmisión.<br />
<br />
Solución<br />
<br />
Se tiene que la relación del indice de refracción es de la forma:<br />
<br />
: <math> n_{ti}<br />
=\frac{n_{t}}{n_{i}}<br />
=\frac{\lambda_{i}}{\lambda_{t}}<br />
=2.42 </math><br />
<br />
Entonces, si:<br />
<br />
: <math> \frac{n_{t}}{n_{i}}<br />
=2.42 \Rightarrow<br />
\frac{n_{i}}{n_{t}}<br />
=\frac{1}{2.42}<br />
</math><br />
<br />
Ahora la Ley de Snell nos dice:<br />
<br />
: <math> n_{ti}=<br />
\frac{sen\theta_{i}}{sen\theta_{t}}<br />
</math><br />
<br />
donde <math> n_{ti}<br />
=\frac{n_{t}}{n_{i}}<br />
</math>, entonces:<br />
<br />
: <math> \frac{n_{t}}{n_{i}}<br />
= \frac{sen\theta_{i}}{sen\theta_{t}}<br />
\Rightarrow<br />
n_{i}sen\theta_{i}<br />
=n_{t}<br />
sen\theta_{t},<br />
</math><br />
<br />
despejamos <math>\theta_{t}<br />
</math> que es el ángulo de transmisión sobre la superficie del diamante, y se tiene:<br />
<br />
: <math> \theta_{t}<br />
= sen^{-1}<br />
\left[\frac{n_{i}}{n_{t}}sen\theta_{i}\right],<br />
</math><br />
<br />
sustituyendo los valores proporcionados pro el problema:<br />
<br />
: <math> \theta_{t}<br />
= sen^{-1}<br />
\left[\frac{sen45\text{\textdegree}}{2.42}\right]<br />
</math><br />
<br />
: <math> \theta_{t}<br />
= sen^{-1}<br />
\left(0.2921\right)<br />
= 16.98° </math><br />
<br />
por lo tanto:<br />
<br />
La desviación angular es 45°- 16.98° = 28.02° <br />
<br />
Que es el ángulo de desviación angular sufrida en la transmisión.<br />
<br />
Elaborado por Ricardo García Hernández.--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:32 30 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
== Problema 4.12 ==<br />
<br />
''' Luz de longitud de onda $600nm$ en el vacío entra a un bloque de vidrio donde $n_v = 1.5$. Calcule su longitud de onda en el vidrio. ¿De qué color aparecerá para alguien que está simergido en el vidrio(véase tabla 3.4)?.<br />
'''<br />
<br />
Tomemos la relación (2.19) del libro:<br />
<br />
<math><br />
v = \lambda \nu \hspace{20pt} \cdots \hspace{20pt} (2.19)<br />
</math><br />
<br />
En el vacío, la ecuación (2.19) se convierte, con $\lambda_0$ la longitud de onda la luz en el vacío, en:<br />
<br />
<math><br />
c = \lambda \nu \Rightarrow \nu = \dfrac{c}{\lambda_0} = \dfrac{3x10^8 m/s}{6x10^{-7} m}\\<br />
\therefore \nu = 5x10^{14} Hz<br />
</math><br />
<br />
Ahora bien, el índice de refracción del vidrio es $n_v = 1.5$, por lo que utilizando la definición, tenemos que:<br />
<br />
<math><br />
n_v = \dfrac{c}{v} \Rightarrow v = \dfrac{c}{n_v} = \dfrac{3x10^8 m/s}{1.5} \\<br />
\therefore v = 2x10^8 m/s<br />
</math><br />
<br />
Ahora, reutilizando la ecuación (2.19):<br />
<br />
<math><br />
v = \lambda_v \nu \Rightarrow \lambda_v = \dfrac{v}{\nu} = \dfrac{2x10^8 m/s}{5x10^{14} Hz} \\<br />
\therefore \lambda_v = 4x10^{-7} m = 400 nm<br />
</math><br />
<br />
Ahora, la tabla (3.4) del libro de texto, nos dice que para el color violeta el rango de longitudes de onda es $455nm-390nm$, por lo que para una persona sumergida en el vidrio, el rayo de luz le parecerá violeta.<br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 01:40 27 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
== Problema 4.18 ==<br />
<br />
'''Show analytically that a beam entering a planar transparent plate , as in figure , emerges parallel to displacement of the beam . Incidentally, the incoming and outgoing rays would be parallel even for a stack of plates of different material'''<br />
<br />
Muestra analíticamente que un haz de entrar en una placa transparente planar , como en la figura , emerge paralelo al desplazamiento de la viga. Por cierto, los rayos entrantes y salientes serían paralelas incluso para una pila de placas de material diferente.<br />
<br />
[[Archivo:refraccion.jpg|200px|thumb|left|Cristal]]<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
Solución<br />
<br />
Partiendo de la ley de Snell <br />
<br />
<math><br />
n_1 \sin \theta_0 = n_2 \sin \theta_t<br />
</math><br />
<br />
----<br />
y usando como ejemplo una lámina de vidrio analizamos:<br />
<br />
[[Archivo:Diagrama2.jpg|300px|thumb|left|Análisis]]<br />
<br />
<br />
<math>n1=1</math>, <math>\theta 1=45^º</math><br />
<br />
<math>n2=1.52</math>, <math>\theta 2=27.7^º</math><br />
<br />
<br />
<math><br />
\frac{n_1}{n_2 }\sin \theta 1 = \sin \theta 2<br />
</math><br />
<br />
ahora sabemos que<math>\theta 2=27.7^º</math><br />
<br />
y analizando <br />
<br />
<math>\theta 3</math> y <math>\theta 4</math><br />
<br />
por triángulos semejantes sabemos que<br />
<br />
<math>\theta 3=62.3^º</math><br />
<br />
volviendo a aplicar ley de Snell<br />
<br />
<math><br />
\frac{n_2}{n_1 }\sin \theta 3 = \sin \theta 4<br />
</math><br />
y obtenemos <br />
<br />
<math>\theta 4=45^º</math><br />
<br />
Así queda demostrado que el rayo incidente y el saliente son paralelos por que<br />
<br />
<math>\theta 4</math> es igual a <math>\theta 1</math><br />
<br />
Ejercicio resuelto por --[[Usuario:Luis Velázquez|Luis Velázquez]] ([[Usuario discusión:Luis Velázquez|discusión]]) 07:24 27 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
==Problema 4.16==<br />
''' Obtener la ley de reflexión, <math>\theta_{i} = \theta{r}</math>, usando para el cálculo el tiempo de mínima transmisión, como requerimiento por el principio de Fermat'''<br />
<br />
Lo que nos dice el principio de Fermat:<br />
El trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es estacionario respecto a posibles variaciones de la trayectoria<br />
<br />
Dicho de otra manera, el tiempo de transmisión que sigue la luz para recorrer un medio tiene que ser el mínimo. <br />
<br />
[[Archivo:Ley de reflexión.png|250px]]<br />
<br />
En la imagen anterior representa la trayectoria de un haz de luz en un medio homogéneo en donde es reflejado totalmente, la representación nos servirá para deducir las expresiones de reflexión. <br />
Primero para el tiempo que se observa que el tiempo que dura la luz para ir del objeto gris al objeto verde es:<br />
<math>T= \frac{d_{1}}{C}+\frac{d_{2}}{C}</math><br />
donde <math>C</math> es la velocidad de la luz y <math>T=t_{1}+t_{2}</math>, por lo tanto podemos deducir que:<br />
<math>CT=d_{1} +d_{2}= \sqrt{h_{1}^2+x^2}+\sqrt{h_{2}^2+(L-x)^2}</math><br />
<br />
Usando el principio de Fermat donde nos dice que:<br />
<math>C \frac{dt}{dx}= 0</math><br />
Aplicando la primera derivada con respecto de la posición tenemos que:<br />
<math>C \frac{dt}{dx}= \frac{d ( \sqrt{h_{1}^2+x^2})}{dx}+\frac{d( \sqrt{h_{2}^2+(L-x)^2})}{dx}=0</math><br />
Desarrollando tenemos que:<br />
<math>\frac{x}{\sqrt{h_{1}^2+x^2}}-\frac{L-x}{\sqrt{h_{2}^2+(L-x)^2}}=0</math> <br />
Por trigonometría tenemos que:<br />
<math>sen(\theta_{i})=\frac{x}{\sqrt{h_{1}^2+x^2}} </math><br />
Y:<br />
<math>sen(\theta_{r})= \frac{L-x}{\sqrt{h_{2}^2+(L-x)^2}}</math><br />
Por lo tanto obtenemos que:<br />
<math>Sen(\theta_{i})-Sen(\theta_{r})=0</math><br />
De donde podemos concluir, usando el principio de Fermat que:<br />
<math>Sen(\theta_{i})=Sen(\theta_{r})</math><br />
Sí y sólo si:<br />
<math>\theta_{i}=\theta_{r}</math><br />
<br />
Hecho por --[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 17:44 29 mar 2015 (CDT)</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Ondas:_probs_c4&diff=19279Ondas: probs c42015-03-30T05:32:59Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: /* Problema 4.8 */</p>
<hr />
<div>Vibraciones y Ondas<br />
<br />
Problemas capítulo 4. Óptica - Hecht<br />
----<br />
==Problema 4.1==<br />
'''Work your away through an argument using dimensional analysis to establish the $\lambda^{-4}$ dependence of the percentage of light scattered in Rayleigh Scattering. Let $E_{0i}$ and $E_{0s}$ be the incident and scattered amplitudes, the latter at a distance r from the scatterer. Assame $ E_{0s}\varpropto E_{0i}$ and $E_{0s}\varpropto \dfrac{1}{r}$. Furthermore, plausibly assume that the scattered amplitude is proportional to the volume. V, of the scatterer, within limits the is reasonable. Determine the units of the constant of proportionality.'''<br />
<br />
Para relacionando la distancia r con la amplitud y su proporcionalidad con el volumen, utilizaremos la siguiente ecuación, la cual es adimencional.<br />
<br />
$$\dfrac{VK}{r}$$<br />
<br />
Sí $E_{0s}\varpropto\dfrac{1}{r}$ y $ E_{0s}\varpropto E_{0i}$ <br />
<br />
Entonces $$E_{0s}\varpropto \dfrac{VE_{0i}}{r}= \dfrac{K V E_{0i}}{r}$$<br />
<br />
Así que K tiene las unidades de $(\lambda)_{2}$<br />
$$K= (\lambda)^{-2}$$<br />
<br />
Y esto se puede comprobar por:<br />
$$\dfrac{I_{i}}{I_{s}}\varpropto K^{2}\varpropto \lambda ^{-4}$$<br />
<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 23:34 28 mar 2015 (CDT)Esther Sarai Garcia<br />
<br />
----<br />
==Problema 4.2==<br />
Resolviendo por Rosario Maya <br />
----<br />
==Problema 4.5==<br />
<br />
'''<br />
Un haz de microondas planas de 12 cm incide en la superficie de un dieléctrico a 45°. Si $n_{ti}=4/3$ calcule a) la longitud de onda en el medio transmisor, y b) el ángulo $\theta_{t}$'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
De la ley de Snell<br />
\[<br />
n_i sin\theta_i = n_t sin\theta_t<br />
\]<br />
Tenemos:<br />
\[\frac{n_t}{n_i}=\frac{sin\theta_i}{sin\theta_t}=n_{ti}...(1)\]<br />
<br />
Tambien sabemos que:<br />
\[<br />
n=\frac{C}{v}...(2)<br />
\]<br />
<br />
y<br />
<br />
\[<br />
v=\lambda \nu...(3)<br />
\]<br />
<br />
Por lo que (1) puede escribirse como:<br />
<br />
\[n_{ti} = \frac{\frac{C}{v_t}}{\frac{C}{n_i}}=\frac{v_i}{v_t}=\frac{\lambda_i}{\lambda_t}...(3)\]<br />
<br />
Despejando:<br />
<br />
\[<br />
\lambda_t = \frac{\lambda_i}{n_{ti}}=\frac{12cm}{4/3}<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\lambda_t=9cm<br />
\]<br />
<br />
<br />
De (1)<br />
<br />
\[sin\theta_i = n_{ti}sin\theta_t\]<br />
<br />
\[<br />
\theta_t =angsin \frac{sin\theta_i}{n_{ti}}=angsin \frac{sin45^{o}}{4/3}<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\theta_t = 32.02^{o}<br />
\]<br />
<br />
Resuelto por: --[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 14:31 28 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
== Problema 4.6 ==<br />
<br />
''' Un haz láser muy estrecho incide bajo un ángulo de $58^o$ sobre un espejo horizontal. El haz de luz reflejado incide en una pared en un punto situado a 5 metros de distancia del punto de incidencia donde el haz de luz chocó con el espejo. ¿A qué distancia, medida horizontalmente, está la pared de ese punto de incidencia?.<br />
'''<br />
<br />
Como bien sabemos, los ángulos de inicidencia y reflexión(o refracción) se miden respecto a la normal a la superficie, por lo que si el láser incide con un ángulo $\alpha_i = 58^o$, entonces el ángulo reflejado, por la ley de reflexión que nos dice que el ángulo reflejado es igual al rayo incidente, será $\alpha_r = 58^o$.<br />
<br />
Además, se forma un triángulo rectángulo entre las dos trayectorias del rayo(incidente y reflejado) y la distancia $d$ horizontal del punto de incidencia y el punto donde el láser toca la pared. Por lo que, utilizando trigonometría básica, tenemos:<br />
<br />
<math><br />
\sin(58^o) = \dfrac{d}{5m} \Rightarrow d = (5m) \sin(58^o)<br />
</math><br />
<br />
Entonces, la distancia, medida horizontalmente, de la pared al punto de incidencia es de: $d \approx 4.24m$.<br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 01:09 27 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
== Problema 4.9/Hetch 3era edicion ==<br />
''' Calcule el ángulo de transmisión para un rayo en el aire incidente a $30^o$ en un bloque de vidrio-crown($n_v = 1,52$).<br />
'''<br />
<br />
La Ley de Snell-Descartes nos dice que:<br />
<br />
<math><br />
n_i \sin \alpha_0 = n_v \sin \alpha_t<br />
</math><br />
<br />
Por lo que despejando para $\alpha_t$:<br />
<br />
<math><br />
\sin \alpha_t = \dfrac{n_i}{n_v} \sin \alpha_0<br />
</math><br />
<br />
donde $n_i$ es el ángulo de incidencia, en este caso $\alpha_i = 30^o$ y $n_i$ es el índice de refracción del aire, que es $n_i \approx 1$. Entonces, sustituyendo:<br />
<br />
<math><br />
\sin \alpha_t = \dfrac{1}{1.52} \sin(30^0) \Rightarrow \sin \alpha_t = (0.66) \left(\dfrac{1}{2}\right)<br />
\Rightarrow \alpha_t = \arcsin(0.33) \approx 19^o 7'<br />
</math><br />
<br />
Por lo que, el ángulo de transmisión buscado es: $\alpha_t = 19^o 7'$.<br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 01:52 27 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
----<br />
== 4.9 Hetch / 3ra Edición. ==<br />
<br />
4.9 .- Un rayo de luz amarilla en el aire, procedente de una lámpara de descarga de sodio, cae sobre la superficie de un diamante en el aire a 45°. Si a esa frecuencia nd =2.42, calcule la desviación angular sufrida en la transmisión.<br />
<br />
Solución<br />
<br />
Se tiene que la relación del indice de refracción es de la forma:<br />
<br />
: <math> n_{ti}<br />
=\frac{n_{t}}{n_{i}}<br />
=\frac{\lambda_{i}}{\lambda_{t}}<br />
=2.42 </math><br />
<br />
Entonces, si:<br />
<br />
: <math> \frac{n_{t}}{n_{i}}<br />
=2.42 \Rightarrow<br />
\frac{n_{i}}{n_{t}}<br />
=\frac{1}{2.42}<br />
</math><br />
<br />
Ahora la Ley de Snell nos dice:<br />
<br />
: <math> n_{ti}=<br />
\frac{sen\theta_{i}}{sen\theta_{t}}<br />
</math><br />
<br />
donde <math> n_{ti}<br />
=\frac{n_{t}}{n_{i}}<br />
<math>, entonces:<br />
<br />
: <math> \frac{n_{t}}{n_{i}}<br />
= \frac{sen\theta_{i}}{sen\theta_{t}}<br />
\Rightarrow<br />
n_{i}sen\theta_{i}<br />
=n_{t}<br />
sen\theta_{t},<br />
</math><br />
<br />
despejamos <math>\theta_{t}<br />
</math> que es el ángulo de transmisión sobre la superficie del diamante, y se tiene:<br />
<br />
: <math> \theta_{t}<br />
= sen^{-1}<br />
\left[\frac{n_{i}}{n_{t}}sen\theta_{i}\right],<br />
</math><br />
<br />
sustituyendo los valores proporcionados pro el problema:<br />
<br />
: <math> \theta_{t}<br />
= sen^{-1}<br />
\left[\frac{sen45\text{\textdegree}}{2.42}\right]<br />
</math><br />
<br />
: <math> \theta_{t}<br />
= sen^{-1}<br />
\left(0.2921\right)<br />
= 16.98° </math><br />
<br />
por lo tanto:<br />
<br />
La desviación angular es 45°- 16.98° = 28.02° <br />
<br />
Que es el ángulo de desviación angular sufrida en la transmisión.<br />
<br />
Elaborado por Ricardo García Hernández.--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:32 30 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
== Problema 4.12 ==<br />
<br />
''' Luz de longitud de onda $600nm$ en el vacío entra a un bloque de vidrio donde $n_v = 1.5$. Calcule su longitud de onda en el vidrio. ¿De qué color aparecerá para alguien que está simergido en el vidrio(véase tabla 3.4)?.<br />
'''<br />
<br />
Tomemos la relación (2.19) del libro:<br />
<br />
<math><br />
v = \lambda \nu \hspace{20pt} \cdots \hspace{20pt} (2.19)<br />
</math><br />
<br />
En el vacío, la ecuación (2.19) se convierte, con $\lambda_0$ la longitud de onda la luz en el vacío, en:<br />
<br />
<math><br />
c = \lambda \nu \Rightarrow \nu = \dfrac{c}{\lambda_0} = \dfrac{3x10^8 m/s}{6x10^{-7} m}\\<br />
\therefore \nu = 5x10^{14} Hz<br />
</math><br />
<br />
Ahora bien, el índice de refracción del vidrio es $n_v = 1.5$, por lo que utilizando la definición, tenemos que:<br />
<br />
<math><br />
n_v = \dfrac{c}{v} \Rightarrow v = \dfrac{c}{n_v} = \dfrac{3x10^8 m/s}{1.5} \\<br />
\therefore v = 2x10^8 m/s<br />
</math><br />
<br />
Ahora, reutilizando la ecuación (2.19):<br />
<br />
<math><br />
v = \lambda_v \nu \Rightarrow \lambda_v = \dfrac{v}{\nu} = \dfrac{2x10^8 m/s}{5x10^{14} Hz} \\<br />
\therefore \lambda_v = 4x10^{-7} m = 400 nm<br />
</math><br />
<br />
Ahora, la tabla (3.4) del libro de texto, nos dice que para el color violeta el rango de longitudes de onda es $455nm-390nm$, por lo que para una persona sumergida en el vidrio, el rayo de luz le parecerá violeta.<br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 01:40 27 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
== Problema 4.18 ==<br />
<br />
'''Show analytically that a beam entering a planar transparent plate , as in figure , emerges parallel to displacement of the beam . Incidentally, the incoming and outgoing rays would be parallel even for a stack of plates of different material'''<br />
<br />
Muestra analíticamente que un haz de entrar en una placa transparente planar , como en la figura , emerge paralelo al desplazamiento de la viga. Por cierto, los rayos entrantes y salientes serían paralelas incluso para una pila de placas de material diferente.<br />
<br />
[[Archivo:refraccion.jpg|200px|thumb|left|Cristal]]<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
Solución<br />
<br />
Partiendo de la ley de Snell <br />
<br />
<math><br />
n_1 \sin \theta_0 = n_2 \sin \theta_t<br />
</math><br />
<br />
----<br />
y usando como ejemplo una lámina de vidrio analizamos:<br />
<br />
[[Archivo:Diagrama2.jpg|300px|thumb|left|Análisis]]<br />
<br />
<br />
<math>n1=1</math>, <math>\theta 1=45^º</math><br />
<br />
<math>n2=1.52</math>, <math>\theta 2=27.7^º</math><br />
<br />
<br />
<math><br />
\frac{n_1}{n_2 }\sin \theta 1 = \sin \theta 2<br />
</math><br />
<br />
ahora sabemos que<math>\theta 2=27.7^º</math><br />
<br />
y analizando <br />
<br />
<math>\theta 3</math> y <math>\theta 4</math><br />
<br />
por triángulos semejantes sabemos que<br />
<br />
<math>\theta 3=62.3^º</math><br />
<br />
volviendo a aplicar ley de Snell<br />
<br />
<math><br />
\frac{n_2}{n_1 }\sin \theta 3 = \sin \theta 4<br />
</math><br />
y obtenemos <br />
<br />
<math>\theta 4=45^º</math><br />
<br />
Así queda demostrado que el rayo incidente y el saliente son paralelos por que<br />
<br />
<math>\theta 4</math> es igual a <math>\theta 1</math><br />
<br />
Ejercicio resuelto por --[[Usuario:Luis Velázquez|Luis Velázquez]] ([[Usuario discusión:Luis Velázquez|discusión]]) 07:24 27 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
==Problema 4.16==<br />
''' Obtener la ley de reflexión, <math>\theta_{i} = \theta{r}</math>, usando para el cálculo el tiempo de mínima transmisión, como requerimiento por el principio de Fermat'''<br />
<br />
Lo que nos dice el principio de Fermat:<br />
El trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es estacionario respecto a posibles variaciones de la trayectoria<br />
<br />
Dicho de otra manera, el tiempo de transmisión que sigue la luz para recorrer un medio tiene que ser el mínimo. <br />
<br />
[[Archivo:Ley de reflexión.png|250px]]<br />
<br />
En la imagen anterior representa la trayectoria de un haz de luz en un medio homogéneo en donde es reflejado totalmente, la representación nos servirá para deducir las expresiones de reflexión. <br />
Primero para el tiempo que se observa que el tiempo que dura la luz para ir del objeto gris al objeto verde es:<br />
<math>T= \frac{d_{1}}{C}+\frac{d_{2}}{C}</math><br />
donde <math>C</math> es la velocidad de la luz y <math>T=t_{1}+t_{2}</math>, por lo tanto podemos deducir que:<br />
<math>CT=d_{1} +d_{2}= \sqrt{h_{1}^2+x^2}+\sqrt{h_{2}^2+(L-x)^2}</math><br />
<br />
Usando el principio de Fermat donde nos dice que:<br />
<math>C \frac{dt}{dx}= 0</math><br />
Aplicando la primera derivada con respecto de la posición tenemos que:<br />
<math>C \frac{dt}{dx}= \frac{d ( \sqrt{h_{1}^2+x^2})}{dx}+\frac{d( \sqrt{h_{2}^2+(L-x)^2})}{dx}=0</math><br />
Desarrollando tenemos que:<br />
<math>\frac{x}{\sqrt{h_{1}^2+x^2}}-\frac{L-x}{\sqrt{h_{2}^2+(L-x)^2}}=0</math> <br />
Por trigonometría tenemos que:<br />
<math>sen(\theta_{i})=\frac{x}{\sqrt{h_{1}^2+x^2}} </math><br />
Y:<br />
<math>sen(\theta_{r})= \frac{L-x}{\sqrt{h_{2}^2+(L-x)^2}}</math><br />
Por lo tanto obtenemos que:<br />
<math>Sen(\theta_{i})-Sen(\theta_{r})=0</math><br />
De donde podemos concluir, usando el principio de Fermat que:<br />
<math>Sen(\theta_{i})=Sen(\theta_{r})</math><br />
Sí y sólo si:<br />
<math>\theta_{i}=\theta_{r}</math><br />
<br />
Hecho por --[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 17:44 29 mar 2015 (CDT)</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Ondas:_probs_c2_mov_osc&diff=19278Ondas: probs c2 mov osc2015-03-30T05:27:35Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: /* 2.12 Hetch / 3ra Edición. */</p>
<hr />
<div>vibraciones y ondas<br />
problemas capítulo 2 Óptica - Hecht<br />
==Problema 2.1==<br />
'''2.1¿Cuantas ondas de luz amarillas (<math>\lambda=580nm</math>) caben en una distancia en el espacio igual a un trozo de papel de (0.003 pulgadas)? ¿Hasta donde se extendera el mismo número de microondas <math>\displaystyle{(\nu=10^{10}Hhz}</math>, es decir, <math>\displaystyle{10GHz}</math> y <math>\displaystyle{v=3x10^8\frac{m}{s}})</math>?'''<br />
<br />
Para responder a la primera pregunta, basta con dividir el espesor del papel con el de la longuid de onda dada, es decir<br />
<br />
<center><math>ondas=\displaystyle{\frac{0.003 in}{580 mm}=\frac{0.003 in}{580 nm}\frac{25.4mm}{1 in}=\frac{0.0762 mm}{580 nm}=131 ondas}</math></center><br />
<br />
Una microonda con frecuencia de <math>\displaystyle{10 GHz}</math> tiene una longuitud de onda de<br />
<br />
<center><math>\displaystyle{\lambda=\frac{c}{\nu}=\frac{3x10⁸}{10 GHz}=0.03m}</math></center><br />
<br />
Por lo tanto 131 ondas con dicha longuitud se extenderán<br />
<br />
<center><math>\displaystyle{extensión=(131)(0.03m)=3.93 m}</math></center><br />
<br />
[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 20:28 17 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
==Problema 2.2==<br />
2.2''' La velocidad de la luz en el vacio es aproximadamente de''' $3x10^{8}\frac{m}{s}$.'''Calcule la longitud de onda de la luz roja con una frecuencia de''' $5x10^{14}Hz$.'''Compárela con la longitud de onda de una onda electromagnética de'''$60Hz.$<br />
<br />
<br />
Utilizamos la ecuación $\lambda=\frac{c}{\nu}$,donde $c$ es la velocidad de la luz y $\nu$ la frecuencia de la onda. Tendremos entonces:<br />
<br />
\[\lambda=\frac{c}{\nu}=\frac{3x10^{8}\frac{m}{s}}{5x10^{14}Hz}=6x10^{-7}m\] <br />
<br />
o la ecuación:<br />
<br />
\[\lambda=600nm\] <br />
<br />
que es la longitud de onda de la luz roja a la frecuencia solicitada en el problema. Ahora calculamos la longitud de onda de la onda electromagnética:<br />
<br />
<br />
\[\lambda_{1}=\frac{c}{\nu}=\frac{3x10^{8}\frac{m}{s}}{60Hz}=5x10^{6}m\].<br />
<br />
Al comparar $\lambda$ con $\lambda_{1}$ notamos que la longitud de onda ${\lambda}_{1}$correspondiente a la onda electromagnética es mucho mayor que la de la luz roja.<br />
<br />
[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 02:15 17 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
==Problema 2.3==<br />
<br />
'''Es posible generar ondas ultrasonicas en cristales con longitudes de onda similares a la luz $(5\times10^{-5}cm)$<br />
'''pero con frecuencias mas bajas $(6\times10^{8}Hz)$.''' '''Calcule la velocidad correspondiente de dicha onda.'''<br />
<br />
Pues bien teniendo los datos: $\lambda=5\times10^{-7}m$ y $f=6\times10^{8}Hz$<br />
<br />
<br />
De la ecuacion $v=f\cdot\lambda$<br />
<br />
<br />
$v=f\cdot\lambda$<br />
<br />
<br />
$v=(5\times10^{-7}m)(6\times10^{8}Hz)$<br />
<br />
<br />
$v=300\frac{m}{s}$<br />
<br />
[[Usuario:Mario Moranchel|Mario Moranchel]] ([[Usuario discusión:Mario Moranchel|discusión]]) 06:29 18 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
<br />
== Problema 2.4==<br />
<br />
'''Un joven en un barco sobre un lagoestá mirando las ondas que parecen'''<br />
'''una suceción infinita de crestas idénticas, produciendose con'''<br />
'''un intervalo de medio segundo cada una. Si cada perturbación tarda'''<br />
'''1.5s en cubrir la extensión del barco de 4.5 ¿cuál es la frecuencia,'''<br />
'''el periodo y la longitud de '''<br />
<br />
'''onda de las olas?'''<br />
<br />
Los datos dados en el problema, son los siguientes:<br />
<br />
t = 1.5s, l = 4.5m, <br />
<br />
Del enunciado, se deduce que el periodo, es el siguiente: $\tau=$0.5s.<br />
<br />
De donde se calcula la frecuencia utilizando la definición de frecuencia:<br />
<br />
\[<br />
\nu=\frac{1}{\tau}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Al sustituir, en la ecuuación, se obtiene el siguiente resultado:<br />
<br />
\[<br />
\nu=\frac{1}{0.5s}=2Hz<br />
\]<br />
<br />
<br />
Para obtener la longitud de onda, se utliliza la siguiente relación:<br />
<br />
\[<br />
\tau=\frac{\lambda}{v}\rightarrow\lambda=v\tau<br />
\]<br />
<br />
<br />
De donde la velocidad se obtiene a partir de la siguiente definición:<br />
$v=\frac{l}{t}=\frac{4.5m}{1.5s}=3m/s$<br />
<br />
Entonces $\lambda=(3m/s)(0.5s)=1.5m$.<br />
<br />
[[Usuario:Ana Alarid|Ana Alarid]] ([[Usuario discusión:Ana Alarid|discusión]]) 01:46 12 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
<br />
==Problema 2.5==<br />
<br />
'''Con un martillo vibrante se golpea el extremo de una barra de metal larga de manera que una onda de compresion periodica con una longitud de onda de 4.3m<br />
'''recorra todo lo largo de la barra con una velocidad de $v=3.5\frac{km}{s}$<br />
<br />
'''¿Cual sera la frecuencia de la vibración?'''<br />
<br />
<br />
Teniendo los datos: $\lambda=4.3m$ y $v=3500\frac{m}{s}$<br />
<br />
<br />
De la ecuacion $v=f\cdot\lambda$ obtendremos la frecuencia.<br />
<br />
$v=f\cdot\lambda$<br />
<br />
<br />
$f=\frac{v}{\lambda}$<br />
<br />
<br />
$f=\frac{4.3m}{3500\frac{m}{s}}$<br />
<br />
<br />
$f=1.22\times10^{-3}Hz$<br />
<br />
[[Usuario:Mario Moranchel|Mario Moranchel]] ([[Usuario discusión:Mario Moranchel|discusión]]) 06:42 18 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
<br />
==Problema 2.6==<br />
'''Durante la boda de dos buceadores, se sumerge un violín en la'''<br />
'''piscina. Dado que la velocidad de las ondas de compresión en agua'''<br />
'''pura es de 1.498 m/s. ¿Cual es la longitud de una nota la, de 440'''<br />
'''Hz que se toca en dicho instrumento?'''<br />
<br />
Conocemos la velocidad de la onda en el agua que es $\upsilon=1.498\frac{m}{s}$<br />
y conocemos también la frecuencia de la nota que es $\upsilon=440Hz=440\frac{ciclos}{s}$<br />
<br />
Ahora bien si queremos encontrar la longitud de la onda, recurrimos<br />
a la ecuación <br />
<br />
\[<br />
\upsilon=\nu\lambda<br />
\]<br />
<br />
<br />
De donde conocemos todo excepto la longitud de onda, solo requiere<br />
de un sencillo despeje para encontrar $\lambda$<br />
<br />
Haciendo el despeje la ecuación queda:<br />
<br />
\[<br />
\lambda=\frac{\upsilon}{\nu}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Sustituimos nuestros datos <br />
<br />
\[<br />
\lambda=\frac{1.498\frac{m}{s}}{440\frac{ciclos}{s}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Y obtendremos que <br />
\[<br />
\lambda=0.0034m<br />
\]<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Daniel Olvera Moreno]] ) 05:29 21 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.7==<br />
'''Un pulso de onda tarda $2.0 s$ en recorrer $10 m$ a lo largo de una cuerda, se genera una perturbación armónica con una longitud de onda de $0.5 m$ en la cuerda. ¿Cuál es su frecuencia?'''<br />
<br />
De los datos proporcionados sabemos que si la perturbación armónica tiene una longitud de onda de $\lambda=0.5 m$ de manera que el pulso completa 20 "ciclos" en los $10 m$ recorridos.<br />
<br />
De esta forma el periodo de la perturbación es:<br />
<br />
<math> \tau= \frac{2 s}{20}= 0.1 s</math><br />
<br />
Entonces la frecuencia es:<br />
<br />
<math> f= \frac{1}{\tau}=\frac{1}{0.1 s}=10 Hz </math><br />
<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 18:16 27 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.8==<br />
'''2.8 Demuestre que para una onda periódica $\omega=(\frac{2\pi}{\lambda})v$<br />
<br />
La mayoría de las ondas son el resultado de muchas perturbaciones sucesivas del medio. Cuando dichas perturbaciones se producen a intervalos regulares y todas son de la misma forma, estamos frente a una onda periódica.<br />
<br />
Una onda periódica posee periodo (número de unidades de tiempo por onda) y frecuencia (número de ondas por unidad de tiempo), establecidas por:<br />
<br />
$Periodo$<br />
\begin{equation}<br />
\tau=\frac{\lambda}{v}.... (i)<br />
\end{equation}<br />
donde $\tau$ es el periodo de onda, $\lambda$ es la longitud de onda y $v$ se refiere a la velocidad con la que viaja la onda.<br />
<br />
$Frecuencia$<br />
\begin{equation}<br />
\nu=\frac{\omega}{2\pi}....(ii)<br />
\end{equation}<br />
donde $\nu$ es la frecuencia de la onda, $\omega$ es la frecuencia angular de la onda.<br />
<br />
De $(ii)$ despejamos $\omega$<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega=\nu 2\pi ....(iii)<br />
\end{equation}<br />
<br />
También sabemos que el inverso del periodo es la frecuencia $(\nu=\frac{1}{\tau})$ <br />
<br />
Utilizando la expresión $(iv)$ y sustituyendola en $(iii)$<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\nu=\frac{1}{\tau} ....(iv)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega= \frac{2\pi}{\tau}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Sustituyendo $(i)$ en $\tau$<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega= \frac{2\pi}{\frac{\lambda}{v}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Por lo tanto:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega= (\frac{2\pi}{\lambda})(v)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 11:13 23 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
==Problema 2.9 ==<br />
<br />
Hacer una tabla con las columnas encabezadas por los valores de $\theta$<br />
corriendo de $-\frac{\pi}{2}$ a $2\pi$ en intervalos de $\frac{\pi}{4}$<br />
, en cada fila el valor correspondiente de $\sin\theta$ , debajo<br />
de esos valores los de $\cos\theta$ , por debajo de los valores de<br />
$\sin\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)$ , y similarmente con las<br />
funciones $\sin\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)$ , $\sin\left(\theta-\frac{3\pi}{4}\right)$<br />
, y $\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)$) . Trazar cada una de<br />
estas funciones, sin los efectos del desplazamiento de fase. La funcion<br />
$\sin\theta$ se atrasa o se adelantade la funcion $\sin\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)$<br />
. en otras palabras, Una de las funciones alcanza una magnitud particular,<br />
en un valor menor de $\theta$ que la otra y , por tanto, una conduce<br />
a la otra ( como $\cos\theta$ conduce $\sin\theta$ ) ?<br />
<br />
[[Archivo:Grafica2.9.png|700px|thumb|left|Las funciones $\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)$ y $\cos\theta$ son iguales y las otras funciones se desplazan a la izquierda de la función $\sin\theta$ cada $\frac{\pi}{4}$ a excepción de la función $\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)$ que de desplaza a la derecha ]]<br />
<br />
{| class="wikitable" style="text-align:center"<br />
|-<br />
! $ \theta $<br />
! $-\frac{\pi}{4}$<br />
! $-\frac{\pi}{4}$<br />
! $ 0 $<br />
! $ \frac{\pi}{4}$<br />
! $ \frac{\pi}{2}$<br />
! $ \frac{3\pi}{4}$<br />
! $ \pi $<br />
! $ \frac{5\pi}{4}$<br />
! $ \frac{3\pi}{2}$<br />
! $ \frac{7\pi}{4}$<br />
! $ 2\pi$<br />
|-<br />
| $ \sin(\theta) $<br />
| $ -1 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 1 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ -1 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
|-<br />
| $ \cos(\theta) $<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 1 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ -1 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 1 $<br />
|-<br />
| $ \sin(\theta-\frac{\pi}{4}) $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ -1 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 1 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ -1 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
|-<br />
| $ \sin(\theta-\frac{\pi}{2}) $<br />
| $ 0 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ -1 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 1 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ -1 $<br />
|-<br />
| $ \sin(\theta-\frac{3 \pi}{4}) $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ -1 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 1 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
|-<br />
| $ \sin(\theta+\frac{\pi}{2}) $<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 1 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ -1 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 1 $<br />
|}<br />
<br />
Respuesta: $\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)$ que es igual al $\cos(\theta)$ se desplaza a la izquierda del $\sin\theta$<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Rosario Maya|Rosario Maya]] ([[Usuario discusión:Rosario Maya|discusión]]) 20:37 29 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.10==<br />
<br />
Hacer una tabla con columnas encabezadas por los valores de $kx$<br />
correr desde $x=-\frac{\lambda}{2}$ a $x=+\lambda$ en intervalos<br />
de $x$ de $\frac{\lambda}{4}$ , por supuesto, $k=\frac{2\pi}{\lambda}$<br />
. En cada columna colocar los correspondientes valores de $\cos\left(kx+\frac{3\pi}{4}\right)$<br />
y para las funciones $15\cos\left(kx-\frac{\pi}{4}\right)$ y $25\cos\left(kx+\frac{3\pi}{4}\right)$.<br />
<br />
{| class="wikitable" style="text-align:center"<br />
|-<br />
! $ x $<br />
! $-\frac{\lambda}{2}$<br />
! $-\frac{\lambda}{4}$<br />
! $ 0 $<br />
! $\frac{\lambda}{4}$<br />
! $\frac{\lambda}{2}$<br />
! $\frac{3\lambda}{2} $<br />
! $ \lambda $<br />
|-<br />
| $ kx=2\pi\frac{\lambda}{2} $<br />
| $ -\pi $<br />
| $ -\frac{\pi}{2}$<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\pi}{2}$<br />
| $ \pi $<br />
| $ \frac{3\pi}{2}$<br />
| $ 2\pi$<br />
|-<br />
| $$\cos\left(kx-\frac{\pi}{2}\right)$$<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
|-<br />
| $$\cos\left(kx+\frac{3\pi}{4}\right)$$<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
|-<br />
| $$15\cos\left(kx-\frac{\pi}{4}\right)$$<br />
| $ 15-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 15-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 15\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 15\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 15-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 15-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 15\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
|-<br />
| $$25\cos\left(kx+\frac{3\pi}{4}\right)$$<br />
| $ 25\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 25\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 25-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 25-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 25\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 25\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 25-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
|}<br />
<br />
Ejercicio Resuelto por <br />
[[Usuario:Rosario Maya|Rosario Maya]] ([[Usuario discusión:Rosario Maya|discusión]]) 00:05 30 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
==Problema 2.11==<br />
<br />
Por resolverse...<br />
--[[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 23:01 29 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
<br />
==Problema 2.12==<br />
'''2.12 El perfil de una onda armónica, que viaja con velocidad de 1.2 m/s en una cuerda,esta dado por'''<br />
<br />
<center><math>\displaystyle{y=\left(0.02m\right)\sin\left(157m^{-1}\right)x}</math></center><br />
<br />
'''Calcule su amplitud, su longitud de onda, su frecuencia y su periodo'''<br />
<br />
Se observa que la ecuación no muestra dependencia del tiempo, por lo obedece a la ecuación (2.12) del libro<br />
<center><math>\displaystyle{\psi(x)=A\sin(kx)}</math></center><br />
de donde es inmediatos su amplitud '''A=0.02m''' y número de onda '''<math>k=157m^{-1}</math>''', por lo que su longuitud de onda esta dada por:<br />
<center><math>\displaystyle{\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{157m^{-1}}=0.04m}</math></center><br />
su frecuencia esta dada ṕor la ecuación (2.19), entonces:<br />
<center><math>\displaystyle{\nu=\frac{v}{\lambda}=\frac{1.2\frac{m}{s}}{0.04m}=30Hhz}</math></center><br />
Finalmente, su periodo esta dado por:<br />
<center><math>\displaystyle{\tau=\frac{1}{\nu}=\frac{1}{30}s}</math></center><br />
[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 17:56 26 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
<br />
----<br />
== 2.12 Hetch / 3ra Edición/2do método ==<br />
<br />
2.12.-El perfil de velocidad de una onda armónica, que viaja a una velocidad de 1.2 m/s en una cuerda, esta dado por:<br />
<br />
: <math> y=\left(0.02\right)\sin\left(157m\right)x<br />
</math><br />
<br />
Calcule su amplitud, su longitud de onda, su frecuencia y su periodo.<br />
<br />
Solución<br />
<br />
Se tiene la ecuación de onda(2.13) que es:<br />
<br />
: <math>\varPsi\left(x,t\right)=a\sin\kappa\left(x-vt\right)<br />
</math><br />
<br />
donde <math>A<br />
</math> es la amplitud , y <math>\kappa<br />
</math> el numero de onda (constante).<br />
<br />
Tomando en cuenta que el tiempo es independiente de la funcion de onda, y con t=0; se tiene:<br />
<br />
: <math>\varPsi(x,t)=A\sin\left[x-v(0)\right]=A\sin\kappa x<br />
</math><br />
<br />
a) Comparando la ecuacion del ejercicio, con la parte teórica, se sabe por inspección que la amplitud <math> A=0.02m<br />
</math> y <math>\kappa=157m^{-1}<br />
</math>.<br />
<br />
b) Se tiene la relación <math>\kappa=\frac{2\pi}{lambda}<br />
</math>; despejando la longitud de onda <math>"\lambda"<br />
</math> se tiene:<br />
<br />
: <math>\lambda<br />
= \frac{2\pi}{\kappa}<br />
=\frac{2\pi}{157m^{-1}}<br />
= 0.0400 m </math><br />
<br />
c) Para la frecuencia se tiene la relación <math>v<br />
= \nu\lambda<br />
</math>; despejando la frecuencia <math>"\nu"<br />
</math> se tiene:<br />
<br />
: <math>\nu<br />
=\frac{v}{\lambda}<br />
= \frac{1.2m/s}{0.0400m}<br />
= 30 Hz </math><br />
<br />
d) Para el período se tiene el recíproco de la frecuencia:<br />
<br />
: <math>\tau<br />
= \frac{1}{\nu}<br />
= \frac{1}{30Hz}<br />
= 0.033 s </math><br />
<br />
Elaborado por Ricardo García Hernández.--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:25 30 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
==Problema 2.13==<br />
<br />
'''2.13 Usando las funciones de onda'''<br />
<br />
<math>\psi_{1}=4\sin2\pi\left(0.2x-3t\right)<br />
</math><br />
<br />
<math>\psi_{2}=\frac{\sin\left(7x+3.5t\right)}{2.5}<br />
</math><br />
<br />
'''determine en cada caso los valores de <br />
<br />
'''a)amplitud,'''<br />
<br />
'''b)frecuencia, '''<br />
<br />
'''c)velocidad de fase, '''<br />
<br />
'''d)longitud de onda,'''<br />
<br />
'''e)periodo,'''<br />
<br />
'''f)dirección del movimiento. '''<br />
<br />
<br />
'''El tiempo se expresa en segundos y x en metros.'''<br />
<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
Partimos de la ecuación de onda:<br />
\[<br />
\psi=Asin(kx \pm \omega t)...(1)<br />
\]<br />
En donde podemos factorizar $2 \pi$ del alrgumento y escribir:<br />
<br />
\[<br />
\psi=Asin2 \pi (\frac{k}{2 \pi} x \pm \frac{\omega}{2\pi}t)<br />
...(2)\]<br />
<br />
Definimos a:<br />
<br />
\[<br />
\frac{k}{2\pi}=\chi <br />
\] <br />
\[<br />
\frac{\omega}{2\pi}=\nu<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\psi=Asin 2\pi(\chi x \pm \nu t)...(3)<br />
\]<br />
De esta ecuación podemos identificar la:<br />
<br />
Amplitud: $A$<br />
<br />
Frecuencia: $\nu$<br />
<br />
Número de onda: $\chi$<br />
<br />
Tambien sabemos que:<br />
<br />
Velocidad de fase: $V= \pm \frac{\omega}{k}$<br />
<br />
Longutud de onda: $\frac{V}{\nu}$<br />
<br />
<br />
Con lo anterior, dada $ \psi_1 = 4 sin2\pi (0.2 x - 3t)$<br />
<br />
a) Amplitud = 4 m<br />
<br />
b) Frecuencia = 3 Hz<br />
<br />
c) Velocidad de fase = $\frac{\omega}{k}=\frac{\nu}{\chi}=\frac{3 Hz}{0.2 m^{-1}}=15 m/s$<br />
<br />
d) Longitud de onda = $\frac{V}{\nu}= \frac{15}{3}=5 m$<br />
<br />
e) Periodo = $\frac{1}{\nu}=0.333... s$<br />
<br />
d) dirección del movimiento: <br />
<br />
Hacia la derecha.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Para la función $ \psi_2 \frac{1}{2.5} sin(7x + 3.5t) $<br />
<br />
a) Amplitud = $\frac{1}{2.5}=0.4 m$<br />
<br />
b) Frecuencia = $\frac{\omega}{2\pi}=\frac{3.5}{2\pi}=0.55 Hz$<br />
<br />
c) Velocidad de fase = $\frac{\omega}{k}=\frac{3.5}{7}=0.5 m/s$<br />
<br />
d) Longitud de onda = $\frac{2\pi}{k}= \frac{2/pi}{7}=0.897 m$<br />
<br />
e) Periodo = $\frac{2\pi}{\omega}=1.795 s$<br />
<br />
d) dirección del movimiento: <br />
<br />
Hacia la izquierda.<br />
<br />
<br />
Resuelto por: --[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 13:13 28 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
==Problema 2.14==<br />
<br />
'''2.14 Demuestre que, <math>\psi(x,t)=Asen(k(x-vt))</math> es una solucion de la ecuacion diferencial de onda.''' <br />
<br />
'''Demostración'''<br />
<br />
De la solución propuesta se observa que se trata de la ecuación de direferncial de onda en una dimensión, luego, para ser soloción debe satisfacer la ecuación<br />
<center><math>\displaystyle{\frac{\partial² \psi}{\partial x²}=\frac{1}{v²}\frac{\partial² \psi}{\partial t²}}</math></center><br />
La segunda derivada parcial respecto de x esta dada por<br />
<center><math>\displaystyle{\frac{\partial² \psi}{\partial x²}=\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial \psi}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(kA\cos(kx-kvt))=-k²A\sin(kx-kvt)}</math></center><br />
La segunda derivada parcial respecto de t esta dada por<br />
<center><math>\displaystyle{\frac{\partial² \psi}{\partial t²}=\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial \psi}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}(-kvA\cos(kx-kvt))=-k²v²A\sin(kx-kvt)}</math></center><br />
Al sustituilas en la ecuacion diferencial de onda se tiene <br />
<center><math>\displaystyle{-k^{2}A\sin(kx-kvt)=-\frac{1}{v^{2}}kv^{2}A\sin(kx-kvt)}</math></center><br />
Como la última igualdad es cierta, entonces es solución de la ecuación diferencial de onda en una dimensión.<br />
<br />
[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 21:17 17 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
==Problema 2.15==<br />
'''2.15 Demuestre que si el desplazamiento de la cuerda de la figura 2.7 está dado por <math>y(x,t)=A \sin[kx - \omega t + \varepsilon]</math> entonces la mano que genera la onda se debe mover verticalmente con movimiento armónico simple.<br />
<br />
Vemos que el movimiento de la cuerda en la figura $2.7$ corresponde al de una onda armónica que se desplaza a lo largo del eje $x$ durante un tiempo de un período, en este caso cualquier punto de la cuerda se desplaza sólo verticalmente, entonces podemos derivar la ecuación de movimiento como sigue:<br />
<br />
\[ <br />
\frac{\partial}{\partial x} y(x,t)=k A \cos[kx - \omega t + \varepsilon]<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial^2}{\partial x^2} y(x,t) = k^2 A \sin[kx - \omega t + \varepsilon]<br />
\]<br />
<br />
Vemos que en la segunda derivada aparece la primer derivada, al sustituirla se llega a la siguiente expresión:<br />
<br />
\[<br />
\ddot{y}=-k^2 y(x,t) \rightarrow \ddot{y}+k^2y=0<br />
\]<br />
<br />
Se observa que corresponde a la ecuación de un movimiento armónico simple realizado verticalmente.<br />
<br />
[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 16:49 27 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.16==<br />
'''2.16 Escriba la expresion para la onda armonica de amplitud <math>10^{3}V/m</math> , periodo <math>2.2x10^{-15}s</math> ,y velocidad <math>3x10^{8}m/s</math> .La onda se propaga en la direccion negativa de X y tiene un valor de <math>10^{3}V/m</math> en t=0 y x=0.'''<br />
<br />
R:<br />
<br />
<math>\tau=2.2x10^{-15}s</math><br />
<br />
<br />
sabiendo que <math>\nu=\frac{1}{\tau}</math><br />
<br />
<br />
<math>\nu=\frac{1}{2.2x10^{-15}s}=4.5x10^{14}Hz</math><br />
<br />
<br />
obtenemos la longitud de onda con <math>v=\nu\lambda</math><br />
<br />
<br />
es decir <math>\lambda=\frac{v}{\nu}=\frac{3.8x10^{8}m/s}{4.5x10^{14}Hz}</math><br />
<br />
<br />
<math>\lambda=6.6x10^{-7}m</math><br />
<br />
<br />
obtenemos K de la formula <math>k=\frac{2\pi}{\lambda}=9.5x10^{6}m^{-1}</math><br />
<br />
<br />
Sabiendo que la expresion de la ecuacion de onda es <br />
<br />
<math>\psi(x,t)=A\cos\left[kx+\omega t\right]</math><br />
<br />
<br />
sustituimos los datos antes encontrados para hallar la expresion que nos piden.<br />
<br />
<math>\psi(x,t)=\left(10^{3}\right)\cos\left[9.5x10^{6}\left(x+3x10^{8}t\right)\right]</math><br />
<br />
- --[[Usuario:Leticia González Zamora|Leticia González Zamora]] ([[Usuario discusión:Leticia González Zamora|discusión]]) 15:27 20 jun 2013 (CDT)<br />
----<br />
==Problema 2.17==<br />
'''2.17 Considere el pulso descrito en términos de sus desplazamientos en $t=0$ por $y(x,t)|_{t=0}=\frac{C}{2+x^{2}}$ donde $C$ es una constante. Dibuje el perfil de onda. Escriba una expresión para la onda que tiene una velocidad $v$ en la dirección negativa de $x$, como función del tiempo $t$. Si $v=1\frac{m}{s}$, dibuje el perfil en $t=2s$.'''<br />
<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
De la expresión $y(x,t)|_{t=0}=\frac{C}{2+x^{2}}$ notamos que el<br />
máximo de la función se encuentra cuando $x=0$ y por tanto el máximo<br />
siempre estará en $y_{max}=\frac{C}{2}$. <br />
<br />
[[Archivo:Perfil11.png]]<br />
<br />
De la expresión anterior debido a que esta al tiempo $t=0$ la velocidad<br />
de la onda no contribuía, ahora bien la expresión para una onda con<br />
cierta velocidad para ester perfil esta dada por<br />
\[<br />
y(x,t)=\frac{C}{2+(x+vt)^{2}}<br />
\]<br />
el sigo se debe a que queremos ver la onda desplazada a la izquierda<br />
o dirección negativa del $eje\; x$. <br />
<br />
La gráfica al tiempo $t=2s$ con una velocidad $v=1\frac{m}{s}$ se<br />
muestra a continuación.<br />
<br />
[[Archivo:Perfil123.png]]<br />
<br />
Nuevamente se toman 3 valores distintos para $C$.<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 05:46 26 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.18==<br />
2.18 '''Determine la magnitud de la función de onda''' $\psi(z,t)=Acos[k(z+vt)+\pi]$ '''en el punto''' $z=0$, '''cuanto''' $t=\frac{\tau}{2}$ '''y cuando '''$t=\frac{3\tau}{4}$.<br />
<br />
Partimos de la ecuación de la onda<br />
<br />
\[\psi(z,t)=Acos[k(z+vt)+\pi]\]<br />
<br />
Evaluamos en $z=0$ y nos queda<br />
<br />
\[\psi(0,t)=Acos[kvt+\pi]\]<br />
<br />
sustituimos $kv=\omega$ y entonces tenemos<br />
<br />
\[\psi(z,t)=Acos[\omega t+\pi]\]<br />
<br />
pero como $-Acos[\omega t]=Acos[\omega t+\pi]$ tenemos que<br />
<br />
\[\psi(z,t)=-Acos[\omega t]\]<br />
<br />
Finalmente sustituimos para $t=\frac{\tau}{2}$ y luego para $t=\frac{3\tau}{4}$ y obtenemos los resultados siguientes para cada caso.<br />
<br />
<br />
$\psi(0,\frac{\tau}{2})=-Acos[\omega\frac{\tau}{2}]=-Acos(\pi)^{-1}=A$<br />
<br />
<br />
y para $\psi(0,\frac{3\tau}{4})=-Acos[\omega\frac{3\tau}{4}]=-Acos(\frac{3}{4}\pi)=0$<br />
<br />
[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 01:48 28 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.19==<br />
'''2.19 ¿La siguiente función en la que''' $A$ '''es una constante,''' $\psi(y,t)=(y-vt)A$<br />
'''representa una onda? Explique su raznamiento.'''<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Como $\psi(y,t)=(y-vt)A$ es solo función de $(y-vt)$ cumple las<br />
condiciones de una ecuación de onda, donde<br />
\[<br />
\frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^{2}}=\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=0<br />
\]<br />
<br />
<br />
y así esta función es una solución a la ecuación de onda. Sin embargo,<br />
\[<br />
\psi(y,0)=Ay, <br />
\]<br />
por lo que no puede representar un perfil de onda.<br />
<br />
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 06:50 22 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
==Problema 2.20==<br />
''' Utilice la ecuación (2.33) para calcular la velocidad de la onda cuya representación en unidades SI es $\psi(y,t) = A \cos\left[\pi\left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right)\right]$ '''<br />
<br />
La ecuación (2.33) nos dice que:<br />
<br />
<math><br />
\left(\dfrac{\partial x}{\partial t}\right)_\varphi = \pm \dfrac{\omega}{k} = \pm v \hspace{20pt} \cdots \hspace{20pt} (2.33)<br />
</math><br />
<br />
pero nuestra representación está dada en términos de $\psi(y,t)$, por lo que podemos reescribir la ecuación como:<br />
<br />
<math><br />
\left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)_\psi = \pm \dfrac{\omega}{k} = \pm v <br />
</math><br />
<br />
y también sabemos que la ecuación está dada en términos del siguiente cociente(ecuación 2.32 del texto con las variables adecuadas):<br />
<br />
<math><br />
\left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)_\psi = \dfrac{-\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial t}\right)_y}{\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial y}\right)_t} \hspace{20pt} \cdots \hspace{20pt} (2.32)<br />
</math><br />
<br />
Calculando ahora las derivadas:<br />
<br />
<math><br />
-\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial t}\right)_y = - \left\{ - 9x10^{14} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right] \right\} <br />
= 9x10^{14} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right] \\<br />
\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial y}\right)_t = - 3x10^{6} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right]<br />
</math><br />
<br />
Por lo que, sustituyendo en la ecuación (2.32):<br />
<br />
<math><br />
\left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)_\psi = \dfrac{-\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial t}\right)_y}{\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial y}\right)_t}<br />
= \dfrac{9x10^{14} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right]}{- 3x10^{6} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right]}<br />
= - \dfrac{9x10^{14}}{3x10^{6}}<br />
</math><br />
<br />
Y realizando la operación obtenemos la velocidad deseada(en unidades SI como lo indica el enunciado):<br />
<br />
<math><br />
v = \left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)_\psi = -3x10^8 m/s = -c<br />
</math><br />
<br />
donde el signo negativo($-$) indica que la dirección de propagación es hacia la izquierda.<br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 00:50 27 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
==Problema 2.21==<br />
<br />
'''2.21 Comenzando por el siguiente teorema: sí <math>Z=f_{(x,y)}</math>,<math>x=g_{(t)}</math><br />
y <math>y=h_{(t)}</math><br />
Entonces:<br />
<br />
<math>\frac{\delta Z}{\delta t}=\frac{\partial Z}{\partial x}\frac{\delta x}{\delta t}+\frac{\partial Z}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}</math><br />
<br />
<br />
Derivar la ecuacion: (2.34)'''<br />
<br />
<math>\left.v=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial y}}\right\} 2.35</math><br />
<br />
<br />
En general tenemos que una funcion de onda cualquiera posee la forma. <br />
<br />
<math>\Psi_{(\bar{r},t)}=\psi</math><br />
<br />
<br />
Sin perdida de generalidad consideramos el mivimiento sobre un eje de porpagacion “y”<br />
<br />
<math>\Psi_{(y,t)}=\psi</math><br />
<br />
<br />
Entonces por regla de la cadena (el teorema propuesto.)<br />
<br />
<math>\frac{\delta\psi}{\delta t}=\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}+\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{\delta t}{\delta t}</math><br />
<br />
<br />
De aqui sabemos que para una perturbacion que no cambia con el tiempo:<br />
<br />
<math>\frac{\delta\psi}{\delta t}=0</math><br />
<br />
<br />
Asimismo la diferencial del tiempo respecto al tiempo es uno, entonces, tras estas simplificaciones obtenemos.<br />
<br />
<math>0=\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}+\frac{\partial\psi}{\partial t}</math><br />
<br />
<br />
Despejando: <math>\frac{\delta y}{\delta t}=v</math><br />
<br />
<br />
<math>v=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial y}}</math><br />
<br />
<br />
La cual es la ecuacion 2.34. --[[Usuario:Andrés Arturo Cerón Téllez|Andrés Arturo Cerón Téllez]] ([[Usuario discusión:Andrés Arturo Cerón Téllez|discusión]]) 23:48 5 jul 2013 (CDT)<br />
<br />
El problema yo lo realice de la siguiente manera:<br />
<br />
'''2.21. Empezando por el siguiente teorema: Si $z=f(x,y)$ y $x=g(t)$,'''<br />
'''$y=h(t)$, entonces:'''<br />
<br />
\[<br />
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}<br />
\]<br />
<br />
<br />
'''Derive la ecuación (2.34)'''<br />
<br />
Sabemos que la ecuación (2.34) es:<br />
<br />
\[<br />
\pm v=-\frac{\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)_{x}}{\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)_{t}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Ya que sabemos que<br />
<br />
\[<br />
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Luego:<br />
<br />
\[<br />
\left(\frac{d\psi}{d\varphi}\right)_{\varphi}=\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dx}{d\varphi}+\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{dy}{d\varphi}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Y ya que en nuestro caso $\left(\frac{d\psi}{d\varphi}\right)$ es<br />
constante en $\varphi$, entonces la ecuación se vuelve<br />
<br />
\[<br />
\text{-}\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}=\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dx}{d\varphi}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\frac{dx}{d\varphi}=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Pero ádemas, es posible reescribir a $\frac{dx}{d\varphi}=\frac{\partial x}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}$,<br />
asi:<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial x}{\partial t}=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dt}{d\varphi}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Asi finalmente, la ecuación se puede reescribir como:<br />
<br />
\[<br />
\pm v=\left(\frac{\partial x}{\partial t}\right)_{\varphi}=-\frac{\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)_{x}}{\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)_{t}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] 23 Marzo 2014 21:29 (CDT)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.22==<br />
'''2.22. Utilizando los resultados del problema anterior, demuestre que'''<br />
'''para una onda armónica con una fase $\varphi(x,t)=k(x-vt)$ podemos'''<br />
'''calcular la velocidad estableciendo $\frac{d\varphi}{dt}=0$.'''<br />
'''Aplique la tecnica al problema 2.20 a fin de calcular la velocidad'''<br />
'''de dicha onda.'''<br />
<br />
Veamos primero que dicha fase cumple con la definición, entonces tenemos<br />
lo siguiente:<br />
<br />
\[<br />
\psi(x,t)=Asen(k(x-vt))<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial\psi}{\partial x}=kAsen(k(x-vt))<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial\psi}{\partial t}=-kvAsen(k(x-vt))<br />
\]<br />
<br />
<br />
Luego:<br />
<br />
\[<br />
-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}}=-\frac{(-kv)Asen(k(x-vt))}{kAsen(k(x-vt))}=v<br />
\]<br />
<br />
<br />
Por lo cuál, la función cumple con la definición. Ahora veamos que<br />
si $\frac{d\varphi}{dt}=0$ entonces la funcion sigle cumpliendo.<br />
<br />
Del problema (2.21) tenemos que por definición:<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}=\frac{d\psi}{d\varphi}-\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dx}{d\varphi}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial x}{\partial t}=\frac{\frac{d\psi}{d\varphi}-\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dt}{d\varphi}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial x}{\partial t}=\frac{\frac{d\psi}{d\varphi}\frac{d\varphi}{dt}\frac{dt}{d\varphi}-\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dt}{d\varphi}}=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial t}}<br />
\]<br />
<br />
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] 23 Marzo 2014 21:36 (CDT)<br />
<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.23==<br />
'''2.23 Una onda gaussiana, tiene la forma $\psi(x,t)=A^{-a(bx+ct)^{2}}$.Utilize<br />
el que $\psi(x,t)=f(x\pm vt)$''' '''para calcular su velocidad, comprobando<br />
luego su respuesta con la ecuación (2.3).'''<br />
<br />
Se utliza la siguuente definición de velocidad: <br />
\[<br />
\pm v=-\left(\frac{\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)_{x}}{\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)_{y}}\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Se resuelven ambas partes de la ecuación por separado:<br />
<br />
\[<br />
\psi_{x}=(-2a)A(b)e^{-(abx+ct)^{2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\psi_{y}=-(2a)Ace^{-(bx+ct)^{2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Al sustituir los resultados obtenidos en la definicón de velocidad:<br />
<br />
\[<br />
v=\frac{(-2a)Ace^{-(abx+ct)^{2}}}{(-2a)Abe^{-(abx+ct)^{2}}}=\frac{c}{b}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Se obitene el resultado de la ecuación 2.3: $v=\frac{c}{b}$<br />
<br />
[[Usuario:Ana Alarid|Ana Alarid]] ([[Usuario discusión:Ana Alarid|discusión]]) 18:43 27 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
==Problema 2.24==<br />
'''2.24 Encuentre una expresión para el perfil de una onda armónica que viaja en la dirección de $z$ cuya magnitud en $z=-\frac{\lambda}{12}$ es 0.866, en $z=+\frac{\lambda}{6}$ es $\frac{1}{2}$ y en $z=\frac{\lambda}{4}$ es 0.''' <br />
<br />
Utilizamos la función de onda armónica en el que $t=0$ puesto que $\varepsilon$ es una contribución constante a la fase y además es independiente del recorrido de la onda en términos de espacio y de tiempo: <br />
\begin{equation}<br />
\psi(z,0)=Asen(kz+\varepsilon);<br />
\end{equation}<br />
donde $\psi$ es la propagación de la onda, $A$ es la amplitud, $k$ es el número de onda que está dada por $k=\frac{2\pi}{\lambda}$, $z$ corresponde a la dirección de propagación y $\varepsilon$ es la fase inicial.<br />
<br />
A continuación escribimos las condiciones iniciales:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\psi(-\frac{\lambda}{12},0)=Asen(-\pi/6 + \varepsilon)=0.866 ....(I)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\psi(\frac{\lambda}{6},0)=Asen(-\pi/3 + \varepsilon)=\frac{1}{2} ....(II)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\psi(\frac{\lambda}{4},0)=Asen(-\pi/2 + \varepsilon)=0 ....(III)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Para obtener el valor numérico de $\psi$ es necesario encontrar los valores para $\varepsilon$ y por consiguiente la amplitud $A$ y en conclusión obtener el perfil que se nos pide. <br />
Para ello utilizamos la expresión $(III)$ puesto que es más sencilla de manipular y está igualada a 0. Utilizamos la identidad trigonométrica de suma de dos ángulos que involucra a senos y cosenos.<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A=sen(\pi/2+\varepsilon)=A[sen(\pi/2)cos(\varepsilon)+cos(\pi/2)sen(\varepsilon)]<br />
\end{equation}<br />
<br />
Simplificamos<br />
<br />
\begin{equation}<br />
=Acos(\varepsilon)=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Despejamos $\varepsilon$ y obtenemos su valor<br />
\begin{equation}<br />
\varepsilon=\frac{\pi}{2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Ahora bien para encontrar $A$ podemos utilizar la expresión $(I)$ o $(II)$. Utilizando la expresión $(II)$ y sustituyendo el valor encontrado para $\varepsilon$:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
Asen(\pi/3 + \pi/2)=Asen(5\pi/6)=\frac{1}{2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Así<br />
\begin{equation}<br />
A(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}; A=1<br />
\end{equation}<br />
<br />
Por lo tanto, la expresión para el perfil de una onda armónica que viaja en la dirección de $z$ es:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\psi(z,0)=sen(kz+\pi/2)<br />
\end{equation}<br />
<br />
[[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 01:37 23 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.26==<br />
<br />
'''2.26.Establezca cuáles de las expresiones siguientes describen ondas'''<br />
'''viajeras:'''<br />
<br />
(a) $\psi(y,t)=\exp-(a^{2}y^{2}+b^{2}t^{2}-2aybt)$<br />
<br />
(b) $\psi(z,t)=Asen(az^{2}-bt^{2})$<br />
<br />
(c) $\psi(x,t)=Asen2\pi\left(\frac{x}{a}+\frac{t}{b}\right)^{2}$<br />
<br />
(d) $\psi(x,t)=Acos^{2}2\pi(t-x)$<br />
<br />
Para la onda (a), si la reescribimos como sigue:<br />
<br />
$\psi(y,t)=\exp-(a^{2}y^{2}+b^{2}t^{2}-2aybt)\Rightarrow\exp-a^{2}(y-\frac{b}{a}t)^{2}$<br />
es evidente que se trata de una onda viajera, ya que cumple con las<br />
características de una.<br />
<br />
Para la onda (b), es claro que no se comporta como una onda viajera,<br />
ya que la función no es lineal, una característica de las ondas viajeras.<br />
<br />
Para la onda (c), es viajera, por que el término dentro del argumento<br />
es lineal, y nos dice que la onda se desplaza en una dirección diferente,<br />
hacia la izquierda.<br />
<br />
Para la onda (d), no es viajera, por que la función $cos^{2}(x)$<br />
no cumple con la definición de onda viajera.<br />
<br />
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] 23 Marzo 2014 21:37 (CDT)<br />
----<br />
<br />
==Problmea 2.30==<br />
'''make up a table with columns headed by values of kx runing from <math>x=\frac{\lambda}{2}</math> to <math>x=\lambda</math> in intervals of x of <math>\frac{\lambda}{4}</math>. In each columns place the corresponding values of cos kx and beneath that the values of cos kx+pi Next plot the functions cos kx, coskx+pi, and cos kx+coskx+pi '''<br />
<br />
Hacer una tabla con columnas encabezadas por los valores de kx runing desde <br />
<math>x=\frac{\lambda}{2}</math> to <math>x=\lambda</math> en intervalos de x de <math>\frac{\lambda}{4}</math>. En cada columna colocan los correspondientes valores de cos kx y bajo que los valores de cos kx + pi. Grafique las funciones cos kx, coskx + pi, y cos kx + coskx + pi.<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
<br />
[[Archivo:tabla30.jpg|500px|thumb|center|]]<br />
<br />
[[Archivo:Graf30.jpg|400px|thumb|center|]]<br />
<br />
Problema resuelto por --[[Usuario:Luis Velázquez|Luis Velázquez]] ([[Usuario discusión:Luis Velázquez|discusión]]) 20:08 27 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
==Problmea 2.31==<br />
'''2.31. Trabajando directamente con exponenciales, demuestre que la'''<br />
'''magnitud de $\psi=A\exp iwt$ es A. A continuación, vuelva a calcular'''<br />
'''el mismo resultado utilizando la fórmula de Euler. Demuestre que $\exp i\alpha\exp i\beta=\exp i(\alpha+\beta)$'''<br />
<br />
Sabemos que la magnitud de $\psi$ sera igual a su modulo, es decir: <br />
<br />
$|\psi|=\psi\psi*^{\nicefrac{1}{2}}$ y que $\psi*=A\exp-iwt$ por<br />
definición.<br />
<br />
Luego:<br />
<br />
$|\psi|=\left[\left(A\exp iwt\right)\left(A\exp-iwt\right)\right]^{\frac{1}{2}}=\left[A^{2}\exp iwt-iwt\right]^{\frac{1}{2}}=\left(A^{2}\exp0\right)^{\frac{1}{2}}=A$<br />
<br />
Ahora, usando la fórmula de Euler, tenemos que:<br />
<br />
$|\psi|=\left[\left(A\exp iwt\right)\left(A\exp-iwt\right)\right]^{\frac{1}{2}}$<br />
<br />
$|\psi|=\left[A(coswt+isenwt)A(coswt-isenwt)\right]^{\frac{1}{2}}$<br />
<br />
$|\psi|=\left[A^{2}\left(cos^{2}wt-isen(wt)cos(wt)+isen(wt)cos(wt)+sen^{2}wt\right)\right]^{\frac{1}{2}}$<br />
<br />
$|\psi|=\left[A^{2}(cos^{2}wt+sen^{2}wt)\right]^{\frac{1}{2}}=(A^{2})^{\frac{1}{2}}=A$<br />
<br />
Demostremos ahora que $\exp i\alpha\exp i\beta=\exp i(\alpha+\beta)$<br />
<br />
$\exp i\alpha\exp i\beta=\left(cos\alpha+isen\alpha\right)\left(cos\beta+isen\beta\right)$<br />
<br />
$\exp i\alpha\exp i\beta=cos\alpha cos\beta+icos\alpha sen\beta-icos\beta sen\alpha+i^{2}sen\beta sen\alpha$<br />
<br />
$\exp i\alpha\exp i\beta=cos\alpha cos\beta+icos\alpha sen\beta-icos\beta sen\alpha-sen\beta sen\alpha=(cos\alpha cos\beta-sen\alpha sen\beta)+i(cos\alpha sen\beta+sen\alpha cos\beta)$<br />
<br />
$\exp i\alpha\exp i\beta=cos(\alpha+\beta)+isen(\alpha+\beta)=\exp i(\alpha+\beta)$<br />
<br />
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] 23 Marzo 2014 21:38 (CDT)<br />
----<br />
==Problema 2.32==<br />
''' 2.32 Demuestre que la parte imaginaria de un número complejo z esta dada por $\left(z-z^{\star}\right)/2i$.'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
Sea z perteneciente a los complejos<br />
<br />
<br />
$z=a+ib$<br />
<br />
<br />
y su conjugado<br />
<br />
<br />
$z^{\star}=a-ib$<br />
<br />
<br />
entonces:<br />
<br />
<br />
$z-z^{\star}=a+ib-(a-ib)$<br />
<br />
<br />
<br />
$z-z^{\star}=2ib$<br />
<br />
Dividimos entre $2i$<br />
<br />
<br />
$z-z^{\star}/2i=2ib/2i$<br />
<br />
<br />
<br />
$\left(z-z^{\star}\right)/2i=b$<br />
<br />
<br />
que es la parte imaginaria del número complejo z.<br />
<br />
[[Usuario:Edgar Ortega Roano|Edgar Ortega Roano]] ([[Usuario discusión:Edgar Ortega Roano|discusión]]) 17:43 18 mar 2014 (CDT)<br />
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] ([[Usuario discusión:Cesar Ivan Avila Vasquez|discusión]]) 21:53 26 Marzo 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.34==<br />
2.34<br />
<br />
'''Demuestre que las ecuaciones $\psi(x,y,z,t)=f(\alpha x+\beta y+\gamma z-vt)$ y $\psi(x,y,z,t)=f(\alpha x+\beta y+\gamma z+vt)$ que son ondas planas de forma arbitraria, cumplen con la ecuacion diferencial de onda tridimensional.'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
De la ecuación de onda tridimensional ,$\nabla^{2}\psi=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}$, obtenemos el Laplaciano para nuestras ecuaciones, así $\nabla^{2}\psi=\alpha^{2}f^{´´}+\beta^{2}f^{´´}+\gamma^{2}f^{´´}$<br />
es el Laplaciano para ambas ecuaciones.<br />
<br />
Ahora al calcular $\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}$ obtenemos que $\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=v^{2}f^{´´}$ para ambas ecuaciones.<br />
<br />
Por lo que al sustituir en la ecuación de onda tridimensional obtenemos.<br />
<br />
$f^{´´}(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2})=f^{´´}$<br />
<br />
Por lo que para cualquier onda tridimensional se debe cumplir que $\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=1$.<br />
<br />
[[Usuario:Edgar Ortega Roano|Edgar Ortega Roano]] ([[Usuario discusión:Edgar Ortega Roano|discusión]]) 17:52 18 mar 2014 (CDT)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.35==<br />
'''2.35. La hipótesis de De Broglie afirma que cada partícula tiene asociada'''<br />
'''a ella una longitud de onda dada por la constante de Planck ($h=6.6x10^{-34}Js$),'''<br />
'''dividida por el momento de la partícula.'''<br />
<br />
'''Compare la longitud de onda de una piedra de 6.0 kg moviendosea una'''<br />
'''velocidad de 1 m/s con la de la luz.'''<br />
<br />
Tenemos que:<br />
<br />
\[<br />
\lambda=\frac{h}{p}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Para la piedra tenemos entonces que:<br />
<br />
\[<br />
\lambda=\frac{6.6x10^{-34}Js}{(6kg)(1m/s)}=1.1x10^{-34}m<br />
\]<br />
<br />
<br />
Y sabemos ádemas que la longitud de onda de la luz se encuentra en<br />
un intervalo de $\lambda=\left[3.8,7.5\right]x10^{-7}m$, entonces,<br />
comparando ambas longitudes de onda notamos que la asociada a la piedra<br />
es mucho más pequeña que la de la luz, si la longitud de onda de la<br />
luz fuera más pequeña que la de la piedra, la luz atravesaria la piedra.<br />
<br />
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] 23 Marzo 2014 21:40 (CDT)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.36== <br />
''' Escribe una expresión para la onda mostrada en la figura P.2.36. Encuentra la velocidad de onda, velocidad, frecuencia y periodo.'''<br />
'''Solución''' :<br />
[[Archivo:Figure P.2.36.png|350px]]<br />
<br />
a) La forma matemática de la descripción de una función de onda es:<br />
<math>\psi(z,t)=Asen(kz \mp \omega t \pm \epsilon)</math><br />
Dado lo anterior podemos encontrar el número de onda K y la frecuencia <math>\omega</math>, donde <math>\epsilon</math> a un tiempo cero, es igual a cero por lo tanto <math>\epsilon =0 </math>. <br />
De las expresiones para el numero de onda <math>K = \frac{2 \pi}{ \lambda}</math> y <math>\omega= \frac{2 \pi}{\tau}</math>, en donde <math>\tau</math> y <math>\lambda</math> son la frecuencia y la longitud de onda respectivamente, podremos reescribir la expresión para la onda como:<br />
<math>\psi(z,t)=A sen 2 \pi (\frac{z}{\lambda}-\frac{t}{\tau})</math><br />
El signo menos es por el desplazamiento de la función de onda a la derecha. <br />
Por el gráfico se observa que la longitud de onda es de cuatrocientos nanómetros, la amplitud es de 60 nanómetros y el periodo es de <math>1.33x10^{-15}s</math>, dado que da un ciclo en ese tiempo. Por ende la expresión buscada es:<br />
<math>\psi(z,t)=A sen 2 \pi (\frac{z}{400x10^{-9} m}-\frac{t}{1.33X10^{-15}s})</math><br />
<br />
b)Calculando la velocidad de onda:<br />
<math>v= \frac{\lambda}{\tau}=\frac{400x10^{-9}m}{1.33x10^{-15} s}=3x10^{8} \frac{m}{s}</math><br />
<br />
c) Calculando la frecuencia y el periodo:<br />
<math>\nu = \frac{1}{\tau}= \frac{1}{1.33} x10^{15} Hz</math><br />
<br />
<math>\tau= 1.33x 10^{-15} s</math><br />
<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 22:16 22 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
[[categoría:Vibra]]<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 22:23 21 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
<br />
----<br />
==Problema Adicional== <br />
<br />
'''La ecuación de onda transversal que se mueve a lo largo de una cuerda está dada por:'''<br />
<br />
<math>\Psi(z,t)=0.3\sin\pi\left(0.5z-50t\right)<br />
</math><br />
<br />
'''Hallar la amplitud, la longitud de onda, el número de ondas, la frecuencia, el período y la velocidad de onda. '''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
Usando la ecuación <br />
<br />
<br />
\[<br />
\psi=A\sin2\pi\left(kz\pm\nu t\right)<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\psi=A\sin\pi\left(2kz\ - 2\nu t\right)<br />
\]<br />
<br />
La amplitud:<br />
<br />
<math>A=0.3m</math><br />
<br />
Longitud de onda<br />
<br />
<math>0.5=\frac{2}{\lambda}</math><br />
<br />
<math>\lambda=4m</math><br />
<br />
Número de onda<br />
<br />
<math>2k=0.5</math><br />
<br />
entonces<br />
<br />
<math>k=\frac{0.5}{2}</math><br />
<math>k=0.25m^-1</math><br />
<br />
La velocidad de onda<br />
<math>v=(2) (50)</math><br />
<math>v=100 m/s</math><br />
<br />
Tomado de : Vibraciones y ondas. A. P. FRENCH pág. 277. Problema 7-2.<br />
Resuelto por:--[[Usuario:Luis Velázquez|Luis Velázquez]] ([[Usuario discusión:Luis Velázquez|discusión]]) 10:56 26 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.1 ==<br />
'''¿Cuántas ondas de luz <<amarillas>> $(\lambda=580nm)$ caben en una distancia en el espacio igual al espesor de un trozo de papel $(0.003 pulgadas)$? ¿Hasta dónde se extenderá el mismo número de microondas $(\nu=10^{10}Hz$, es decir, $10GHz$ y $v=3x10^8m/s)$?'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
La longitud de onda es la relación entre la velocidad de la onda y su frecuencia, que está dada por;<br />
:<math>\lambda=\frac{v}{\nu}</math><br />
Donde $v$ es la velocidad de la onda y $\nu$ es la frecuencia de la onda.<br />
La distancia $d$ recorrida por la onda es:<br />
<math>d=k*\lambda</math><br />
<br />
Donde $k$ es el número de ondas propagadas, y $\lambda$ es la longuitud de onda.<br />
<br />
ahora para saber cuántas ondas caben en el espesor del trozo de papel, convierto la longuitud de onda de la luz amarilla a metros:<br />
<br />
<math>\lambda_{amarillo} = (580nm) * \left(\frac{10^{-9}m}{1nm}\right)=580*10^{-9}m</math><br />
<br />
despues convierto el espesor del papel en metros:<br />
<br />
<math>0.003in=(0.003in)* \left(\frac{2.54*10^{-2}m}{1in}\right)=7.62*10^{-5}m</math><br />
<br />
calculamos el numero de ondas en la distancia en el espacio del espesor del papel, utilizamos lo que ya sabemos:<br />
<br />
:<math>d=k*\lambda_{amarillo}</math><br />
<br />
despejando y sustituyendo tenemos:<br />
<br />
:<math>k=\frac{d_{papel}}{\lambda_{amarillo}}=\frac{7.62*10^{-5}m}{580*10^{-9}m}=131ondas</math><br />
<br />
<math>\therefore</math> $131$ $ondas$ de luz amarilla caben en una distancia de $0.003$ $pulgadas$<br />
<br />
<br />
para la segunda pregunta calculamos la longitud de onda con los datos que nos dan:<br />
<br />
:<math>\lambda=\frac{v}{\nu}=\frac{3*10^8m/s}{10^{10}Hz}=0.03m</math><br />
<br />
Ahora calculamos cuanta distancia se extenderá el mismo número de ondas con ésta longitud de onda:<br />
<br />
:<math>\therefore d=k*\lambda=(131)(0.03m)= 3.9m</math><br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Martínez|Luis Martínez]] ([[Usuario discusión:Luis Martínez|discusión]]) 08:09 27 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
----<br />
== Problema 2.42 ==<br />
'''Escriba una expresión en coordenadas cartesianas para una onda plana armónica de amplitud $A$ y frecuencia $w$, que se propaga en la dirección del verctor $\overrightarrow{k}$, que a su vez, se encuentra en una línea que va desde el origen hasta el punto $(4,2,1)$. Hint: primero calcule $\overrightarrow{k}$ y luego haga el producto escalar con $\overrightarrow{r}=x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$. '''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
<br />
para obtener el vector $\overrightarrow{k}$ necesitamos encontrar un vector unitario en la direccion que nos piden y multiplicándolo por $k$. el vector unitario es:<br />
<br />
<math>\hat{a}= \frac{\left[(4-0)\hat{i} + (2-0)\hat{j} + (1-0)\hat{k} \right]}{\sqrt{4^2 + 2^2 + 1^2}}= \frac{4\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}}{\sqrt{21}} </math><br />
<br />
ahora el vector $\overrightarrow{k}$ está dado por:<br />
<br />
<math>\overrightarrow{k}= k*\hat{a}=\frac{k*(4\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k})}{\sqrt{21}}</math><br />
<br />
la expresión en cordenadas cartesianas de una onda plana armónica viene dada por:<br />
<br />
<math>\psi (x,y,z,t)=A*sen(\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r} - wt)</math>:<br />
<br />
<math>\therefore \psi (x,y,z,t)=A*sen \left[\frac{4k}{\sqrt{21}}x + \frac{2k}{\sqrt{21}}y + \frac{k}{\sqrt{21}}z - wt\right]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Martínez|Luis Martínez]] ([[Usuario discusión:Luis Martínez|discusión]]) 17:05 27 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema adicional 2==<br />
'''Una onda se propaga por una cuerda según la ecuación $ y = 0.2\sin(6\pi t + \pi x + \dfrac{\pi}{4})$. Calcular:'''<br />
<br />
'''a) La frecuencia, el periodo, la longitud de onda y la velocidad de propagación.'''<br />
<br />
<br />
'''b) El estado de vibración, la velocidad y aceleración de una partícula situada en x = 0.2 m en 0.3 s '''<br />
<br />
<br />
'''c) La diferencia de fase entre dos puntos separados 0.3 m'''<br />
<br />
<br />
a) La forma general de la ecuación de onda $y(x, t)= A \sin(\omega t + Kx +\delta)$<br />
<br />
<br />
Partiremos de la frecuencia angular $\omega = 2 \pi; f = 6\pi rad/s; f= 3 Hz $ <br />
<br />
El periodo $ T = \dfrac{1}{f}= 0.333s$<br />
<br />
Para la velocidad usamos $c= \dfrac{\omega}{k} = \dfrac{6\pi}{\pi} = 6 m/s $<br />
<br />
b) Para x = 0.2 m, t= 0.3s. <br />
$$ y= 0.2\sin(6\pi*0.3 + \pi*0.2 + \dfrac{\pi}{4})= 0.2 \sin(7.069) = 0.1414 m $$<br />
<br />
Velocidad $$\dfrac{dy}{dx} = 0.2 *6 \pi \cos (6 \pi t + \pi x \dfrac{\pi}{4})= 0.2*6 \pi \cos (7.069)= 2.66 m/s$$<br />
<br />
Aceleración $$\dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}= -0.2(36\pi^{2})\sin(6\pi t + \pi x + \dfrac{\pi}{4} = 0,2(36\pi^{2}cos (7.069)= -50.25 m/s^{2}$$<br />
<br />
<br />
c) $\vartriangle x= 0.3 m$<br />
<br />
<br />
$\delta_{1} = 6 \pi t + \pi x + \dfrac{\pi}{4}$<br />
<br />
$$\vartriangle \delta = \delta_{2} - \delta_{1}= 0.3\pi rad $$<br />
<br />
<br />
$\delta_{2} = 6 \pi t + \pi (x + 0.3) + \dfrac{\pi}{4}$<br />
<br />
Física General 10° Edición, Frederick J. Bueche. Eugene Hetch.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 18:25 28 mar 2015 (CDT)Esther Sari García González<br />
<br />
<br />
<br />
==Problema 2.37==<br />
<br />
Escriba una expesion en coordenadas cartesianas para una onda plana armonica de amplitud <math>A</math> y frecuencia <math>\omega</math> que se propaga en direccion positiva de <math>x</math>. <br />
<br />
<br />
Primero se escribe un vector de posicion <math>\textbf{r}=x \hat{\mathbf{e}}_x+y \hat{\mathbf{e}}_y+z \hat{\mathbf{e}}_z</math> que comienza en el orige y termina en cualquier otro punto <math>(x,y,x)</math>.<br />
<br />
<br />
De esta forma, lo podemos escribir como<br />
<br />
<br />
<math>(\textbf{r}-\textbf{r}_{0})=(x-x_{0})\hat{\mathbf{e}}_x+(y-y_{0})\hat{\mathbf{e}}_y+(z-z_{0})\hat{\mathbf{e}}_z</math> y <br />
<br />
<br />
<math>(\textbf{r}-\textbf{r}_{0})\cdot\textbf{k}=0</math> donde obligamos al vector <math>(\textbf{r}-\textbf{r}_{0})</math> a barrer un plano perpendicalar a <math>\hat{\mathbf{e}}_x</math><br />
<br />
<br />
al ir adquiriendo su punto exremo <math>(x,y,z)</math> com <math>i=i_{x}\hat{\mathbf{e}}_x+i_{y}\hat{\mathbf{e}}_y+i_{z}\hat{\mathbf{e}}_z</math> que se puede escribir tambien como<br />
<br />
<br />
<math>i_{x}(x-x_{0})+i_{y}(y-y_{0})+i_{z}(z-z_{0})=0</math><br />
<br />
<br />
o tambien<br />
<br />
<br />
<math>i_{x}x+i_{y}y+i_{z}z=a</math> donde <math>a=cte</math><br />
<br />
<br />
Asi un plano perpendicular a <math>i</math> es <math> </math> <math>\textbf{i}\cdot\textbf{r}=a</math><br />
<br />
<br />
Tomemos la funcion <math>\psi{(r)}=A\sin{(\textbf{i}\cdot\textbf{r})}</math><br />
<br />
<br />
<math>\psi{(r)}=Acos{(\textbf{i}\cdot\textbf{r})}</math><br />
<br />
<br />
o <math>\psi{(r)}=Ae^{i\hat{\imath}\cdot\textbf{r}}</math><br />
<br />
<br />
y la funcion armonica se puede escribir como<br />
<br />
<br />
<math>\psi{(r)}=\psi{(r+\frac{\lambda \hat{\imath}}{k})}</math><br />
<br />
<br />
Para que esta funcion sea cierta se debe tener que<br />
<br />
<br />
<math>e^{i\lambda \hat{\imath}}=e^{i2\pi}</math><br />
<br />
<br />
Por consiguiente <math>\lambda i = 2\pi</math><br />
<br />
<br />
despejando <math>i</math> se tiene <math>i= \frac{2\pi}{\lambda}</math><br />
<br />
<br />
Se tiene entonces que <br />
<br />
<br />
<math>\psi{(r,t)}=Ae^{i(\hat{\imath}\cdot\textbf{r}\pm\omega t)}</math><br />
<br />
<br />
Para que esta funcion este orientada sobre el eje <math>x</math> solo se toma la coordenada <math>x</math> del vector <math>\vec{r}</math><br />
<br />
<br />
<math>\psi{(r,t)}=Ae^{i(ix\pm\omega t)}</math> asi que<br />
<br />
<br />
<math>\psi{(x)}=Ae^{i(ix\pm\omega t)}</math><br />
<br />
Por tanto esta es la onda armonica en coordenardas cartesianas que se propaga en el eje <math>x</math>.<br />
<br />
<br />
Hector resendiz --[[Usuario:Héctor Reséndiz|Héctor Reséndiz]] ([[Usuario discusión:Héctor Reséndiz|discusión]]) 19:23 29 mar 2015 (CDT) Libro hecht<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==problema adicional. movimiento ondulatorio==<br />
<br />
<br />
un foco F1 situado en el punto de coordenadas (0,0) entre ondas armónicas transversales de frecuencia 500Hz y amplitud 0.3m. Las ondas se propagan en el sentido positivo del eje x con una velocidad de 250 m/s.<br />
<br />
<br />
cual es la longitud de onda y el periodo de las ondas emitidas ? escribir la función de onda <br />
<br />
<br />
V= 500 Hz , A= 0.3 m, v= 250m/s , donde <math> v=(\lambda V)</math><br />
<br />
<br />
<math>\lambda=\frac{v}{V}= \frac{250}{500}= 0.5 m </math> ES LA LONGITUD DE ONDA<br />
<br />
<br />
<math>T=\frac{1}{V}=\frac{1}{500}= 2x10^{-3}s</math>ES EL PERIODO <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
La expresion general para la función de onda es :<br />
<br />
<math>y(x,t)=Asen(kx-\omega (t))</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{2\pi}{(\lambda)}=4\pi rad m^-1</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\omega=2\pi V= 2\pi 500 = 1000 \pi rad s^-1</math><br />
<br />
<br />
<math> y1(x,t)= 0.3 sen ( 4\pi - 1000\pi) m</math><br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luisa Alejandra Vega Sanchez|Luisa Alejandra Vega Sanchez]] ([[Usuario discusión:Luisa Alejandra Vega Sanchez|discusión]]) 23:58 29 mar 2015 (CDT)luisa alejandra vega sanchez</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Ondas:_probs_c2_mov_osc&diff=19277Ondas: probs c2 mov osc2015-03-30T05:25:50Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: /* Problema 2.12 */</p>
<hr />
<div>vibraciones y ondas<br />
problemas capítulo 2 Óptica - Hecht<br />
==Problema 2.1==<br />
'''2.1¿Cuantas ondas de luz amarillas (<math>\lambda=580nm</math>) caben en una distancia en el espacio igual a un trozo de papel de (0.003 pulgadas)? ¿Hasta donde se extendera el mismo número de microondas <math>\displaystyle{(\nu=10^{10}Hhz}</math>, es decir, <math>\displaystyle{10GHz}</math> y <math>\displaystyle{v=3x10^8\frac{m}{s}})</math>?'''<br />
<br />
Para responder a la primera pregunta, basta con dividir el espesor del papel con el de la longuid de onda dada, es decir<br />
<br />
<center><math>ondas=\displaystyle{\frac{0.003 in}{580 mm}=\frac{0.003 in}{580 nm}\frac{25.4mm}{1 in}=\frac{0.0762 mm}{580 nm}=131 ondas}</math></center><br />
<br />
Una microonda con frecuencia de <math>\displaystyle{10 GHz}</math> tiene una longuitud de onda de<br />
<br />
<center><math>\displaystyle{\lambda=\frac{c}{\nu}=\frac{3x10⁸}{10 GHz}=0.03m}</math></center><br />
<br />
Por lo tanto 131 ondas con dicha longuitud se extenderán<br />
<br />
<center><math>\displaystyle{extensión=(131)(0.03m)=3.93 m}</math></center><br />
<br />
[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 20:28 17 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
==Problema 2.2==<br />
2.2''' La velocidad de la luz en el vacio es aproximadamente de''' $3x10^{8}\frac{m}{s}$.'''Calcule la longitud de onda de la luz roja con una frecuencia de''' $5x10^{14}Hz$.'''Compárela con la longitud de onda de una onda electromagnética de'''$60Hz.$<br />
<br />
<br />
Utilizamos la ecuación $\lambda=\frac{c}{\nu}$,donde $c$ es la velocidad de la luz y $\nu$ la frecuencia de la onda. Tendremos entonces:<br />
<br />
\[\lambda=\frac{c}{\nu}=\frac{3x10^{8}\frac{m}{s}}{5x10^{14}Hz}=6x10^{-7}m\] <br />
<br />
o la ecuación:<br />
<br />
\[\lambda=600nm\] <br />
<br />
que es la longitud de onda de la luz roja a la frecuencia solicitada en el problema. Ahora calculamos la longitud de onda de la onda electromagnética:<br />
<br />
<br />
\[\lambda_{1}=\frac{c}{\nu}=\frac{3x10^{8}\frac{m}{s}}{60Hz}=5x10^{6}m\].<br />
<br />
Al comparar $\lambda$ con $\lambda_{1}$ notamos que la longitud de onda ${\lambda}_{1}$correspondiente a la onda electromagnética es mucho mayor que la de la luz roja.<br />
<br />
[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 02:15 17 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
==Problema 2.3==<br />
<br />
'''Es posible generar ondas ultrasonicas en cristales con longitudes de onda similares a la luz $(5\times10^{-5}cm)$<br />
'''pero con frecuencias mas bajas $(6\times10^{8}Hz)$.''' '''Calcule la velocidad correspondiente de dicha onda.'''<br />
<br />
Pues bien teniendo los datos: $\lambda=5\times10^{-7}m$ y $f=6\times10^{8}Hz$<br />
<br />
<br />
De la ecuacion $v=f\cdot\lambda$<br />
<br />
<br />
$v=f\cdot\lambda$<br />
<br />
<br />
$v=(5\times10^{-7}m)(6\times10^{8}Hz)$<br />
<br />
<br />
$v=300\frac{m}{s}$<br />
<br />
[[Usuario:Mario Moranchel|Mario Moranchel]] ([[Usuario discusión:Mario Moranchel|discusión]]) 06:29 18 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
<br />
== Problema 2.4==<br />
<br />
'''Un joven en un barco sobre un lagoestá mirando las ondas que parecen'''<br />
'''una suceción infinita de crestas idénticas, produciendose con'''<br />
'''un intervalo de medio segundo cada una. Si cada perturbación tarda'''<br />
'''1.5s en cubrir la extensión del barco de 4.5 ¿cuál es la frecuencia,'''<br />
'''el periodo y la longitud de '''<br />
<br />
'''onda de las olas?'''<br />
<br />
Los datos dados en el problema, son los siguientes:<br />
<br />
t = 1.5s, l = 4.5m, <br />
<br />
Del enunciado, se deduce que el periodo, es el siguiente: $\tau=$0.5s.<br />
<br />
De donde se calcula la frecuencia utilizando la definición de frecuencia:<br />
<br />
\[<br />
\nu=\frac{1}{\tau}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Al sustituir, en la ecuuación, se obtiene el siguiente resultado:<br />
<br />
\[<br />
\nu=\frac{1}{0.5s}=2Hz<br />
\]<br />
<br />
<br />
Para obtener la longitud de onda, se utliliza la siguiente relación:<br />
<br />
\[<br />
\tau=\frac{\lambda}{v}\rightarrow\lambda=v\tau<br />
\]<br />
<br />
<br />
De donde la velocidad se obtiene a partir de la siguiente definición:<br />
$v=\frac{l}{t}=\frac{4.5m}{1.5s}=3m/s$<br />
<br />
Entonces $\lambda=(3m/s)(0.5s)=1.5m$.<br />
<br />
[[Usuario:Ana Alarid|Ana Alarid]] ([[Usuario discusión:Ana Alarid|discusión]]) 01:46 12 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
<br />
==Problema 2.5==<br />
<br />
'''Con un martillo vibrante se golpea el extremo de una barra de metal larga de manera que una onda de compresion periodica con una longitud de onda de 4.3m<br />
'''recorra todo lo largo de la barra con una velocidad de $v=3.5\frac{km}{s}$<br />
<br />
'''¿Cual sera la frecuencia de la vibración?'''<br />
<br />
<br />
Teniendo los datos: $\lambda=4.3m$ y $v=3500\frac{m}{s}$<br />
<br />
<br />
De la ecuacion $v=f\cdot\lambda$ obtendremos la frecuencia.<br />
<br />
$v=f\cdot\lambda$<br />
<br />
<br />
$f=\frac{v}{\lambda}$<br />
<br />
<br />
$f=\frac{4.3m}{3500\frac{m}{s}}$<br />
<br />
<br />
$f=1.22\times10^{-3}Hz$<br />
<br />
[[Usuario:Mario Moranchel|Mario Moranchel]] ([[Usuario discusión:Mario Moranchel|discusión]]) 06:42 18 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
<br />
==Problema 2.6==<br />
'''Durante la boda de dos buceadores, se sumerge un violín en la'''<br />
'''piscina. Dado que la velocidad de las ondas de compresión en agua'''<br />
'''pura es de 1.498 m/s. ¿Cual es la longitud de una nota la, de 440'''<br />
'''Hz que se toca en dicho instrumento?'''<br />
<br />
Conocemos la velocidad de la onda en el agua que es $\upsilon=1.498\frac{m}{s}$<br />
y conocemos también la frecuencia de la nota que es $\upsilon=440Hz=440\frac{ciclos}{s}$<br />
<br />
Ahora bien si queremos encontrar la longitud de la onda, recurrimos<br />
a la ecuación <br />
<br />
\[<br />
\upsilon=\nu\lambda<br />
\]<br />
<br />
<br />
De donde conocemos todo excepto la longitud de onda, solo requiere<br />
de un sencillo despeje para encontrar $\lambda$<br />
<br />
Haciendo el despeje la ecuación queda:<br />
<br />
\[<br />
\lambda=\frac{\upsilon}{\nu}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Sustituimos nuestros datos <br />
<br />
\[<br />
\lambda=\frac{1.498\frac{m}{s}}{440\frac{ciclos}{s}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Y obtendremos que <br />
\[<br />
\lambda=0.0034m<br />
\]<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Daniel Olvera Moreno]] ) 05:29 21 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.7==<br />
'''Un pulso de onda tarda $2.0 s$ en recorrer $10 m$ a lo largo de una cuerda, se genera una perturbación armónica con una longitud de onda de $0.5 m$ en la cuerda. ¿Cuál es su frecuencia?'''<br />
<br />
De los datos proporcionados sabemos que si la perturbación armónica tiene una longitud de onda de $\lambda=0.5 m$ de manera que el pulso completa 20 "ciclos" en los $10 m$ recorridos.<br />
<br />
De esta forma el periodo de la perturbación es:<br />
<br />
<math> \tau= \frac{2 s}{20}= 0.1 s</math><br />
<br />
Entonces la frecuencia es:<br />
<br />
<math> f= \frac{1}{\tau}=\frac{1}{0.1 s}=10 Hz </math><br />
<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 18:16 27 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.8==<br />
'''2.8 Demuestre que para una onda periódica $\omega=(\frac{2\pi}{\lambda})v$<br />
<br />
La mayoría de las ondas son el resultado de muchas perturbaciones sucesivas del medio. Cuando dichas perturbaciones se producen a intervalos regulares y todas son de la misma forma, estamos frente a una onda periódica.<br />
<br />
Una onda periódica posee periodo (número de unidades de tiempo por onda) y frecuencia (número de ondas por unidad de tiempo), establecidas por:<br />
<br />
$Periodo$<br />
\begin{equation}<br />
\tau=\frac{\lambda}{v}.... (i)<br />
\end{equation}<br />
donde $\tau$ es el periodo de onda, $\lambda$ es la longitud de onda y $v$ se refiere a la velocidad con la que viaja la onda.<br />
<br />
$Frecuencia$<br />
\begin{equation}<br />
\nu=\frac{\omega}{2\pi}....(ii)<br />
\end{equation}<br />
donde $\nu$ es la frecuencia de la onda, $\omega$ es la frecuencia angular de la onda.<br />
<br />
De $(ii)$ despejamos $\omega$<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega=\nu 2\pi ....(iii)<br />
\end{equation}<br />
<br />
También sabemos que el inverso del periodo es la frecuencia $(\nu=\frac{1}{\tau})$ <br />
<br />
Utilizando la expresión $(iv)$ y sustituyendola en $(iii)$<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\nu=\frac{1}{\tau} ....(iv)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega= \frac{2\pi}{\tau}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Sustituyendo $(i)$ en $\tau$<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega= \frac{2\pi}{\frac{\lambda}{v}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Por lo tanto:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega= (\frac{2\pi}{\lambda})(v)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 11:13 23 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
==Problema 2.9 ==<br />
<br />
Hacer una tabla con las columnas encabezadas por los valores de $\theta$<br />
corriendo de $-\frac{\pi}{2}$ a $2\pi$ en intervalos de $\frac{\pi}{4}$<br />
, en cada fila el valor correspondiente de $\sin\theta$ , debajo<br />
de esos valores los de $\cos\theta$ , por debajo de los valores de<br />
$\sin\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)$ , y similarmente con las<br />
funciones $\sin\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)$ , $\sin\left(\theta-\frac{3\pi}{4}\right)$<br />
, y $\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)$) . Trazar cada una de<br />
estas funciones, sin los efectos del desplazamiento de fase. La funcion<br />
$\sin\theta$ se atrasa o se adelantade la funcion $\sin\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)$<br />
. en otras palabras, Una de las funciones alcanza una magnitud particular,<br />
en un valor menor de $\theta$ que la otra y , por tanto, una conduce<br />
a la otra ( como $\cos\theta$ conduce $\sin\theta$ ) ?<br />
<br />
[[Archivo:Grafica2.9.png|700px|thumb|left|Las funciones $\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)$ y $\cos\theta$ son iguales y las otras funciones se desplazan a la izquierda de la función $\sin\theta$ cada $\frac{\pi}{4}$ a excepción de la función $\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)$ que de desplaza a la derecha ]]<br />
<br />
{| class="wikitable" style="text-align:center"<br />
|-<br />
! $ \theta $<br />
! $-\frac{\pi}{4}$<br />
! $-\frac{\pi}{4}$<br />
! $ 0 $<br />
! $ \frac{\pi}{4}$<br />
! $ \frac{\pi}{2}$<br />
! $ \frac{3\pi}{4}$<br />
! $ \pi $<br />
! $ \frac{5\pi}{4}$<br />
! $ \frac{3\pi}{2}$<br />
! $ \frac{7\pi}{4}$<br />
! $ 2\pi$<br />
|-<br />
| $ \sin(\theta) $<br />
| $ -1 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 1 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ -1 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
|-<br />
| $ \cos(\theta) $<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 1 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ -1 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 1 $<br />
|-<br />
| $ \sin(\theta-\frac{\pi}{4}) $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ -1 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 1 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ -1 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
|-<br />
| $ \sin(\theta-\frac{\pi}{2}) $<br />
| $ 0 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ -1 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 1 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ -1 $<br />
|-<br />
| $ \sin(\theta-\frac{3 \pi}{4}) $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ -1 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 1 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
|-<br />
| $ \sin(\theta+\frac{\pi}{2}) $<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 1 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ -1 $<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $<br />
| $ 1 $<br />
|}<br />
<br />
Respuesta: $\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)$ que es igual al $\cos(\theta)$ se desplaza a la izquierda del $\sin\theta$<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Rosario Maya|Rosario Maya]] ([[Usuario discusión:Rosario Maya|discusión]]) 20:37 29 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.10==<br />
<br />
Hacer una tabla con columnas encabezadas por los valores de $kx$<br />
correr desde $x=-\frac{\lambda}{2}$ a $x=+\lambda$ en intervalos<br />
de $x$ de $\frac{\lambda}{4}$ , por supuesto, $k=\frac{2\pi}{\lambda}$<br />
. En cada columna colocar los correspondientes valores de $\cos\left(kx+\frac{3\pi}{4}\right)$<br />
y para las funciones $15\cos\left(kx-\frac{\pi}{4}\right)$ y $25\cos\left(kx+\frac{3\pi}{4}\right)$.<br />
<br />
{| class="wikitable" style="text-align:center"<br />
|-<br />
! $ x $<br />
! $-\frac{\lambda}{2}$<br />
! $-\frac{\lambda}{4}$<br />
! $ 0 $<br />
! $\frac{\lambda}{4}$<br />
! $\frac{\lambda}{2}$<br />
! $\frac{3\lambda}{2} $<br />
! $ \lambda $<br />
|-<br />
| $ kx=2\pi\frac{\lambda}{2} $<br />
| $ -\pi $<br />
| $ -\frac{\pi}{2}$<br />
| $ 0 $<br />
| $ \frac{\pi}{2}$<br />
| $ \pi $<br />
| $ \frac{3\pi}{2}$<br />
| $ 2\pi$<br />
|-<br />
| $$\cos\left(kx-\frac{\pi}{2}\right)$$<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
|-<br />
| $$\cos\left(kx+\frac{3\pi}{4}\right)$$<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
|-<br />
| $$15\cos\left(kx-\frac{\pi}{4}\right)$$<br />
| $ 15-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 15-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 15\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 15\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 15-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 15-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 15\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
|-<br />
| $$25\cos\left(kx+\frac{3\pi}{4}\right)$$<br />
| $ 25\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 25\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 25-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 25-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 25\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 25\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
| $ 25-\frac{\sqrt{2}}{2}$<br />
|}<br />
<br />
Ejercicio Resuelto por <br />
[[Usuario:Rosario Maya|Rosario Maya]] ([[Usuario discusión:Rosario Maya|discusión]]) 00:05 30 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
==Problema 2.11==<br />
<br />
Por resolverse...<br />
--[[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 23:01 29 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
<br />
==Problema 2.12==<br />
'''2.12 El perfil de una onda armónica, que viaja con velocidad de 1.2 m/s en una cuerda,esta dado por'''<br />
<br />
<center><math>\displaystyle{y=\left(0.02m\right)\sin\left(157m^{-1}\right)x}</math></center><br />
<br />
'''Calcule su amplitud, su longitud de onda, su frecuencia y su periodo'''<br />
<br />
Se observa que la ecuación no muestra dependencia del tiempo, por lo obedece a la ecuación (2.12) del libro<br />
<center><math>\displaystyle{\psi(x)=A\sin(kx)}</math></center><br />
de donde es inmediatos su amplitud '''A=0.02m''' y número de onda '''<math>k=157m^{-1}</math>''', por lo que su longuitud de onda esta dada por:<br />
<center><math>\displaystyle{\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{157m^{-1}}=0.04m}</math></center><br />
su frecuencia esta dada ṕor la ecuación (2.19), entonces:<br />
<center><math>\displaystyle{\nu=\frac{v}{\lambda}=\frac{1.2\frac{m}{s}}{0.04m}=30Hhz}</math></center><br />
Finalmente, su periodo esta dado por:<br />
<center><math>\displaystyle{\tau=\frac{1}{\nu}=\frac{1}{30}s}</math></center><br />
[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 17:56 26 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
<br />
----<br />
== 2.12 Hetch / 3ra Edición. ==<br />
<br />
2.12.-El perfil de velocidad de una onda armonica, que viaja a una velocidad de 1.2 m/s en una cuerda, esta dado por:<br />
<br />
: <math> y=\left(0.02\right)\sin\left(157m\right)x<br />
</math><br />
<br />
Calcule su amplitud, su longitud de onda, su frecuencia y su perido.<br />
<br />
Solución<br />
<br />
Se tiene la ecuacion de onda(2.13) que es:<br />
<br />
: <math>\varPsi\left(x,t\right)=a\sin\kappa\left(x-vt\right)<br />
</math><br />
<br />
donde <math>A<br />
</math> es la amplitud , y <math>\kappa<br />
</math> el numero de onda (constante).<br />
<br />
Tomando en cuenta que el tiempo es independiente de la funcion de onda, y con t=0; se tiene:<br />
<br />
: <math>\varPsi(x,t)=A\sin\left[x-v(0)\right]=A\sin\kappa x<br />
</math><br />
<br />
a) Comparando la ecuacion del ejercicio, con la parte teórica, se sabe por inspección que la amplitud <math> A=0.02m<br />
</math> y <math>\kappa=157m^{-1}<br />
</math>.<br />
<br />
b) Se tiene la relación <math>\kappa=\frac{2\pi}{lambda}<br />
</math>; despejando la longitud de onda <math>"\lambda"<br />
</math> se tiene:<br />
<br />
: <math>\lambda<br />
= \frac{2\pi}{\kappa}<br />
=\frac{2\pi}{157m^{-1}}<br />
= 0.0400 m </math><br />
<br />
c) Para la frecuencia se tiene la relación <math>v<br />
= \nu\lambda<br />
</math>; despejando la frecuencia <math>"\nu"<br />
</math> se tiene:<br />
<br />
: <math>\nu<br />
=\frac{v}{\lambda}<br />
= \frac{1.2m/s}{0.0400m}<br />
= 30 Hz </math><br />
<br />
d) Para el período se tiene el recíproco de la frecuencia:<br />
<br />
: <math>\tau<br />
= \frac{1}{\nu}<br />
= \frac{1}{30Hz}<br />
= 0.033 s </math><br />
<br />
Elaborado por Ricardo García Hernández.--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:25 30 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
==Problema 2.13==<br />
<br />
'''2.13 Usando las funciones de onda'''<br />
<br />
<math>\psi_{1}=4\sin2\pi\left(0.2x-3t\right)<br />
</math><br />
<br />
<math>\psi_{2}=\frac{\sin\left(7x+3.5t\right)}{2.5}<br />
</math><br />
<br />
'''determine en cada caso los valores de <br />
<br />
'''a)amplitud,'''<br />
<br />
'''b)frecuencia, '''<br />
<br />
'''c)velocidad de fase, '''<br />
<br />
'''d)longitud de onda,'''<br />
<br />
'''e)periodo,'''<br />
<br />
'''f)dirección del movimiento. '''<br />
<br />
<br />
'''El tiempo se expresa en segundos y x en metros.'''<br />
<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
Partimos de la ecuación de onda:<br />
\[<br />
\psi=Asin(kx \pm \omega t)...(1)<br />
\]<br />
En donde podemos factorizar $2 \pi$ del alrgumento y escribir:<br />
<br />
\[<br />
\psi=Asin2 \pi (\frac{k}{2 \pi} x \pm \frac{\omega}{2\pi}t)<br />
...(2)\]<br />
<br />
Definimos a:<br />
<br />
\[<br />
\frac{k}{2\pi}=\chi <br />
\] <br />
\[<br />
\frac{\omega}{2\pi}=\nu<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\psi=Asin 2\pi(\chi x \pm \nu t)...(3)<br />
\]<br />
De esta ecuación podemos identificar la:<br />
<br />
Amplitud: $A$<br />
<br />
Frecuencia: $\nu$<br />
<br />
Número de onda: $\chi$<br />
<br />
Tambien sabemos que:<br />
<br />
Velocidad de fase: $V= \pm \frac{\omega}{k}$<br />
<br />
Longutud de onda: $\frac{V}{\nu}$<br />
<br />
<br />
Con lo anterior, dada $ \psi_1 = 4 sin2\pi (0.2 x - 3t)$<br />
<br />
a) Amplitud = 4 m<br />
<br />
b) Frecuencia = 3 Hz<br />
<br />
c) Velocidad de fase = $\frac{\omega}{k}=\frac{\nu}{\chi}=\frac{3 Hz}{0.2 m^{-1}}=15 m/s$<br />
<br />
d) Longitud de onda = $\frac{V}{\nu}= \frac{15}{3}=5 m$<br />
<br />
e) Periodo = $\frac{1}{\nu}=0.333... s$<br />
<br />
d) dirección del movimiento: <br />
<br />
Hacia la derecha.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Para la función $ \psi_2 \frac{1}{2.5} sin(7x + 3.5t) $<br />
<br />
a) Amplitud = $\frac{1}{2.5}=0.4 m$<br />
<br />
b) Frecuencia = $\frac{\omega}{2\pi}=\frac{3.5}{2\pi}=0.55 Hz$<br />
<br />
c) Velocidad de fase = $\frac{\omega}{k}=\frac{3.5}{7}=0.5 m/s$<br />
<br />
d) Longitud de onda = $\frac{2\pi}{k}= \frac{2/pi}{7}=0.897 m$<br />
<br />
e) Periodo = $\frac{2\pi}{\omega}=1.795 s$<br />
<br />
d) dirección del movimiento: <br />
<br />
Hacia la izquierda.<br />
<br />
<br />
Resuelto por: --[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 13:13 28 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
==Problema 2.14==<br />
<br />
'''2.14 Demuestre que, <math>\psi(x,t)=Asen(k(x-vt))</math> es una solucion de la ecuacion diferencial de onda.''' <br />
<br />
'''Demostración'''<br />
<br />
De la solución propuesta se observa que se trata de la ecuación de direferncial de onda en una dimensión, luego, para ser soloción debe satisfacer la ecuación<br />
<center><math>\displaystyle{\frac{\partial² \psi}{\partial x²}=\frac{1}{v²}\frac{\partial² \psi}{\partial t²}}</math></center><br />
La segunda derivada parcial respecto de x esta dada por<br />
<center><math>\displaystyle{\frac{\partial² \psi}{\partial x²}=\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial \psi}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(kA\cos(kx-kvt))=-k²A\sin(kx-kvt)}</math></center><br />
La segunda derivada parcial respecto de t esta dada por<br />
<center><math>\displaystyle{\frac{\partial² \psi}{\partial t²}=\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial \psi}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}(-kvA\cos(kx-kvt))=-k²v²A\sin(kx-kvt)}</math></center><br />
Al sustituilas en la ecuacion diferencial de onda se tiene <br />
<center><math>\displaystyle{-k^{2}A\sin(kx-kvt)=-\frac{1}{v^{2}}kv^{2}A\sin(kx-kvt)}</math></center><br />
Como la última igualdad es cierta, entonces es solución de la ecuación diferencial de onda en una dimensión.<br />
<br />
[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 21:17 17 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
==Problema 2.15==<br />
'''2.15 Demuestre que si el desplazamiento de la cuerda de la figura 2.7 está dado por <math>y(x,t)=A \sin[kx - \omega t + \varepsilon]</math> entonces la mano que genera la onda se debe mover verticalmente con movimiento armónico simple.<br />
<br />
Vemos que el movimiento de la cuerda en la figura $2.7$ corresponde al de una onda armónica que se desplaza a lo largo del eje $x$ durante un tiempo de un período, en este caso cualquier punto de la cuerda se desplaza sólo verticalmente, entonces podemos derivar la ecuación de movimiento como sigue:<br />
<br />
\[ <br />
\frac{\partial}{\partial x} y(x,t)=k A \cos[kx - \omega t + \varepsilon]<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial^2}{\partial x^2} y(x,t) = k^2 A \sin[kx - \omega t + \varepsilon]<br />
\]<br />
<br />
Vemos que en la segunda derivada aparece la primer derivada, al sustituirla se llega a la siguiente expresión:<br />
<br />
\[<br />
\ddot{y}=-k^2 y(x,t) \rightarrow \ddot{y}+k^2y=0<br />
\]<br />
<br />
Se observa que corresponde a la ecuación de un movimiento armónico simple realizado verticalmente.<br />
<br />
[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 16:49 27 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.16==<br />
'''2.16 Escriba la expresion para la onda armonica de amplitud <math>10^{3}V/m</math> , periodo <math>2.2x10^{-15}s</math> ,y velocidad <math>3x10^{8}m/s</math> .La onda se propaga en la direccion negativa de X y tiene un valor de <math>10^{3}V/m</math> en t=0 y x=0.'''<br />
<br />
R:<br />
<br />
<math>\tau=2.2x10^{-15}s</math><br />
<br />
<br />
sabiendo que <math>\nu=\frac{1}{\tau}</math><br />
<br />
<br />
<math>\nu=\frac{1}{2.2x10^{-15}s}=4.5x10^{14}Hz</math><br />
<br />
<br />
obtenemos la longitud de onda con <math>v=\nu\lambda</math><br />
<br />
<br />
es decir <math>\lambda=\frac{v}{\nu}=\frac{3.8x10^{8}m/s}{4.5x10^{14}Hz}</math><br />
<br />
<br />
<math>\lambda=6.6x10^{-7}m</math><br />
<br />
<br />
obtenemos K de la formula <math>k=\frac{2\pi}{\lambda}=9.5x10^{6}m^{-1}</math><br />
<br />
<br />
Sabiendo que la expresion de la ecuacion de onda es <br />
<br />
<math>\psi(x,t)=A\cos\left[kx+\omega t\right]</math><br />
<br />
<br />
sustituimos los datos antes encontrados para hallar la expresion que nos piden.<br />
<br />
<math>\psi(x,t)=\left(10^{3}\right)\cos\left[9.5x10^{6}\left(x+3x10^{8}t\right)\right]</math><br />
<br />
- --[[Usuario:Leticia González Zamora|Leticia González Zamora]] ([[Usuario discusión:Leticia González Zamora|discusión]]) 15:27 20 jun 2013 (CDT)<br />
----<br />
==Problema 2.17==<br />
'''2.17 Considere el pulso descrito en términos de sus desplazamientos en $t=0$ por $y(x,t)|_{t=0}=\frac{C}{2+x^{2}}$ donde $C$ es una constante. Dibuje el perfil de onda. Escriba una expresión para la onda que tiene una velocidad $v$ en la dirección negativa de $x$, como función del tiempo $t$. Si $v=1\frac{m}{s}$, dibuje el perfil en $t=2s$.'''<br />
<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
De la expresión $y(x,t)|_{t=0}=\frac{C}{2+x^{2}}$ notamos que el<br />
máximo de la función se encuentra cuando $x=0$ y por tanto el máximo<br />
siempre estará en $y_{max}=\frac{C}{2}$. <br />
<br />
[[Archivo:Perfil11.png]]<br />
<br />
De la expresión anterior debido a que esta al tiempo $t=0$ la velocidad<br />
de la onda no contribuía, ahora bien la expresión para una onda con<br />
cierta velocidad para ester perfil esta dada por<br />
\[<br />
y(x,t)=\frac{C}{2+(x+vt)^{2}}<br />
\]<br />
el sigo se debe a que queremos ver la onda desplazada a la izquierda<br />
o dirección negativa del $eje\; x$. <br />
<br />
La gráfica al tiempo $t=2s$ con una velocidad $v=1\frac{m}{s}$ se<br />
muestra a continuación.<br />
<br />
[[Archivo:Perfil123.png]]<br />
<br />
Nuevamente se toman 3 valores distintos para $C$.<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 05:46 26 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.18==<br />
2.18 '''Determine la magnitud de la función de onda''' $\psi(z,t)=Acos[k(z+vt)+\pi]$ '''en el punto''' $z=0$, '''cuanto''' $t=\frac{\tau}{2}$ '''y cuando '''$t=\frac{3\tau}{4}$.<br />
<br />
Partimos de la ecuación de la onda<br />
<br />
\[\psi(z,t)=Acos[k(z+vt)+\pi]\]<br />
<br />
Evaluamos en $z=0$ y nos queda<br />
<br />
\[\psi(0,t)=Acos[kvt+\pi]\]<br />
<br />
sustituimos $kv=\omega$ y entonces tenemos<br />
<br />
\[\psi(z,t)=Acos[\omega t+\pi]\]<br />
<br />
pero como $-Acos[\omega t]=Acos[\omega t+\pi]$ tenemos que<br />
<br />
\[\psi(z,t)=-Acos[\omega t]\]<br />
<br />
Finalmente sustituimos para $t=\frac{\tau}{2}$ y luego para $t=\frac{3\tau}{4}$ y obtenemos los resultados siguientes para cada caso.<br />
<br />
<br />
$\psi(0,\frac{\tau}{2})=-Acos[\omega\frac{\tau}{2}]=-Acos(\pi)^{-1}=A$<br />
<br />
<br />
y para $\psi(0,\frac{3\tau}{4})=-Acos[\omega\frac{3\tau}{4}]=-Acos(\frac{3}{4}\pi)=0$<br />
<br />
[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 01:48 28 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.19==<br />
'''2.19 ¿La siguiente función en la que''' $A$ '''es una constante,''' $\psi(y,t)=(y-vt)A$<br />
'''representa una onda? Explique su raznamiento.'''<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Como $\psi(y,t)=(y-vt)A$ es solo función de $(y-vt)$ cumple las<br />
condiciones de una ecuación de onda, donde<br />
\[<br />
\frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^{2}}=\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=0<br />
\]<br />
<br />
<br />
y así esta función es una solución a la ecuación de onda. Sin embargo,<br />
\[<br />
\psi(y,0)=Ay, <br />
\]<br />
por lo que no puede representar un perfil de onda.<br />
<br />
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 06:50 22 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
==Problema 2.20==<br />
''' Utilice la ecuación (2.33) para calcular la velocidad de la onda cuya representación en unidades SI es $\psi(y,t) = A \cos\left[\pi\left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right)\right]$ '''<br />
<br />
La ecuación (2.33) nos dice que:<br />
<br />
<math><br />
\left(\dfrac{\partial x}{\partial t}\right)_\varphi = \pm \dfrac{\omega}{k} = \pm v \hspace{20pt} \cdots \hspace{20pt} (2.33)<br />
</math><br />
<br />
pero nuestra representación está dada en términos de $\psi(y,t)$, por lo que podemos reescribir la ecuación como:<br />
<br />
<math><br />
\left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)_\psi = \pm \dfrac{\omega}{k} = \pm v <br />
</math><br />
<br />
y también sabemos que la ecuación está dada en términos del siguiente cociente(ecuación 2.32 del texto con las variables adecuadas):<br />
<br />
<math><br />
\left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)_\psi = \dfrac{-\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial t}\right)_y}{\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial y}\right)_t} \hspace{20pt} \cdots \hspace{20pt} (2.32)<br />
</math><br />
<br />
Calculando ahora las derivadas:<br />
<br />
<math><br />
-\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial t}\right)_y = - \left\{ - 9x10^{14} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right] \right\} <br />
= 9x10^{14} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right] \\<br />
\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial y}\right)_t = - 3x10^{6} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right]<br />
</math><br />
<br />
Por lo que, sustituyendo en la ecuación (2.32):<br />
<br />
<math><br />
\left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)_\psi = \dfrac{-\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial t}\right)_y}{\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial y}\right)_t}<br />
= \dfrac{9x10^{14} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right]}{- 3x10^{6} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right]}<br />
= - \dfrac{9x10^{14}}{3x10^{6}}<br />
</math><br />
<br />
Y realizando la operación obtenemos la velocidad deseada(en unidades SI como lo indica el enunciado):<br />
<br />
<math><br />
v = \left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)_\psi = -3x10^8 m/s = -c<br />
</math><br />
<br />
donde el signo negativo($-$) indica que la dirección de propagación es hacia la izquierda.<br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 00:50 27 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
==Problema 2.21==<br />
<br />
'''2.21 Comenzando por el siguiente teorema: sí <math>Z=f_{(x,y)}</math>,<math>x=g_{(t)}</math><br />
y <math>y=h_{(t)}</math><br />
Entonces:<br />
<br />
<math>\frac{\delta Z}{\delta t}=\frac{\partial Z}{\partial x}\frac{\delta x}{\delta t}+\frac{\partial Z}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}</math><br />
<br />
<br />
Derivar la ecuacion: (2.34)'''<br />
<br />
<math>\left.v=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial y}}\right\} 2.35</math><br />
<br />
<br />
En general tenemos que una funcion de onda cualquiera posee la forma. <br />
<br />
<math>\Psi_{(\bar{r},t)}=\psi</math><br />
<br />
<br />
Sin perdida de generalidad consideramos el mivimiento sobre un eje de porpagacion “y”<br />
<br />
<math>\Psi_{(y,t)}=\psi</math><br />
<br />
<br />
Entonces por regla de la cadena (el teorema propuesto.)<br />
<br />
<math>\frac{\delta\psi}{\delta t}=\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}+\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{\delta t}{\delta t}</math><br />
<br />
<br />
De aqui sabemos que para una perturbacion que no cambia con el tiempo:<br />
<br />
<math>\frac{\delta\psi}{\delta t}=0</math><br />
<br />
<br />
Asimismo la diferencial del tiempo respecto al tiempo es uno, entonces, tras estas simplificaciones obtenemos.<br />
<br />
<math>0=\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}+\frac{\partial\psi}{\partial t}</math><br />
<br />
<br />
Despejando: <math>\frac{\delta y}{\delta t}=v</math><br />
<br />
<br />
<math>v=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial y}}</math><br />
<br />
<br />
La cual es la ecuacion 2.34. --[[Usuario:Andrés Arturo Cerón Téllez|Andrés Arturo Cerón Téllez]] ([[Usuario discusión:Andrés Arturo Cerón Téllez|discusión]]) 23:48 5 jul 2013 (CDT)<br />
<br />
El problema yo lo realice de la siguiente manera:<br />
<br />
'''2.21. Empezando por el siguiente teorema: Si $z=f(x,y)$ y $x=g(t)$,'''<br />
'''$y=h(t)$, entonces:'''<br />
<br />
\[<br />
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}<br />
\]<br />
<br />
<br />
'''Derive la ecuación (2.34)'''<br />
<br />
Sabemos que la ecuación (2.34) es:<br />
<br />
\[<br />
\pm v=-\frac{\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)_{x}}{\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)_{t}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Ya que sabemos que<br />
<br />
\[<br />
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Luego:<br />
<br />
\[<br />
\left(\frac{d\psi}{d\varphi}\right)_{\varphi}=\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dx}{d\varphi}+\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{dy}{d\varphi}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Y ya que en nuestro caso $\left(\frac{d\psi}{d\varphi}\right)$ es<br />
constante en $\varphi$, entonces la ecuación se vuelve<br />
<br />
\[<br />
\text{-}\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}=\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dx}{d\varphi}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\frac{dx}{d\varphi}=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Pero ádemas, es posible reescribir a $\frac{dx}{d\varphi}=\frac{\partial x}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}$,<br />
asi:<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial x}{\partial t}=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dt}{d\varphi}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Asi finalmente, la ecuación se puede reescribir como:<br />
<br />
\[<br />
\pm v=\left(\frac{\partial x}{\partial t}\right)_{\varphi}=-\frac{\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)_{x}}{\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)_{t}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] 23 Marzo 2014 21:29 (CDT)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.22==<br />
'''2.22. Utilizando los resultados del problema anterior, demuestre que'''<br />
'''para una onda armónica con una fase $\varphi(x,t)=k(x-vt)$ podemos'''<br />
'''calcular la velocidad estableciendo $\frac{d\varphi}{dt}=0$.'''<br />
'''Aplique la tecnica al problema 2.20 a fin de calcular la velocidad'''<br />
'''de dicha onda.'''<br />
<br />
Veamos primero que dicha fase cumple con la definición, entonces tenemos<br />
lo siguiente:<br />
<br />
\[<br />
\psi(x,t)=Asen(k(x-vt))<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial\psi}{\partial x}=kAsen(k(x-vt))<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial\psi}{\partial t}=-kvAsen(k(x-vt))<br />
\]<br />
<br />
<br />
Luego:<br />
<br />
\[<br />
-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}}=-\frac{(-kv)Asen(k(x-vt))}{kAsen(k(x-vt))}=v<br />
\]<br />
<br />
<br />
Por lo cuál, la función cumple con la definición. Ahora veamos que<br />
si $\frac{d\varphi}{dt}=0$ entonces la funcion sigle cumpliendo.<br />
<br />
Del problema (2.21) tenemos que por definición:<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}=\frac{d\psi}{d\varphi}-\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dx}{d\varphi}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial x}{\partial t}=\frac{\frac{d\psi}{d\varphi}-\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dt}{d\varphi}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial x}{\partial t}=\frac{\frac{d\psi}{d\varphi}\frac{d\varphi}{dt}\frac{dt}{d\varphi}-\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dt}{d\varphi}}=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial t}}<br />
\]<br />
<br />
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] 23 Marzo 2014 21:36 (CDT)<br />
<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.23==<br />
'''2.23 Una onda gaussiana, tiene la forma $\psi(x,t)=A^{-a(bx+ct)^{2}}$.Utilize<br />
el que $\psi(x,t)=f(x\pm vt)$''' '''para calcular su velocidad, comprobando<br />
luego su respuesta con la ecuación (2.3).'''<br />
<br />
Se utliza la siguuente definición de velocidad: <br />
\[<br />
\pm v=-\left(\frac{\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)_{x}}{\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)_{y}}\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Se resuelven ambas partes de la ecuación por separado:<br />
<br />
\[<br />
\psi_{x}=(-2a)A(b)e^{-(abx+ct)^{2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\psi_{y}=-(2a)Ace^{-(bx+ct)^{2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Al sustituir los resultados obtenidos en la definicón de velocidad:<br />
<br />
\[<br />
v=\frac{(-2a)Ace^{-(abx+ct)^{2}}}{(-2a)Abe^{-(abx+ct)^{2}}}=\frac{c}{b}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Se obitene el resultado de la ecuación 2.3: $v=\frac{c}{b}$<br />
<br />
[[Usuario:Ana Alarid|Ana Alarid]] ([[Usuario discusión:Ana Alarid|discusión]]) 18:43 27 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
==Problema 2.24==<br />
'''2.24 Encuentre una expresión para el perfil de una onda armónica que viaja en la dirección de $z$ cuya magnitud en $z=-\frac{\lambda}{12}$ es 0.866, en $z=+\frac{\lambda}{6}$ es $\frac{1}{2}$ y en $z=\frac{\lambda}{4}$ es 0.''' <br />
<br />
Utilizamos la función de onda armónica en el que $t=0$ puesto que $\varepsilon$ es una contribución constante a la fase y además es independiente del recorrido de la onda en términos de espacio y de tiempo: <br />
\begin{equation}<br />
\psi(z,0)=Asen(kz+\varepsilon);<br />
\end{equation}<br />
donde $\psi$ es la propagación de la onda, $A$ es la amplitud, $k$ es el número de onda que está dada por $k=\frac{2\pi}{\lambda}$, $z$ corresponde a la dirección de propagación y $\varepsilon$ es la fase inicial.<br />
<br />
A continuación escribimos las condiciones iniciales:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\psi(-\frac{\lambda}{12},0)=Asen(-\pi/6 + \varepsilon)=0.866 ....(I)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\psi(\frac{\lambda}{6},0)=Asen(-\pi/3 + \varepsilon)=\frac{1}{2} ....(II)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\psi(\frac{\lambda}{4},0)=Asen(-\pi/2 + \varepsilon)=0 ....(III)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Para obtener el valor numérico de $\psi$ es necesario encontrar los valores para $\varepsilon$ y por consiguiente la amplitud $A$ y en conclusión obtener el perfil que se nos pide. <br />
Para ello utilizamos la expresión $(III)$ puesto que es más sencilla de manipular y está igualada a 0. Utilizamos la identidad trigonométrica de suma de dos ángulos que involucra a senos y cosenos.<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A=sen(\pi/2+\varepsilon)=A[sen(\pi/2)cos(\varepsilon)+cos(\pi/2)sen(\varepsilon)]<br />
\end{equation}<br />
<br />
Simplificamos<br />
<br />
\begin{equation}<br />
=Acos(\varepsilon)=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Despejamos $\varepsilon$ y obtenemos su valor<br />
\begin{equation}<br />
\varepsilon=\frac{\pi}{2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Ahora bien para encontrar $A$ podemos utilizar la expresión $(I)$ o $(II)$. Utilizando la expresión $(II)$ y sustituyendo el valor encontrado para $\varepsilon$:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
Asen(\pi/3 + \pi/2)=Asen(5\pi/6)=\frac{1}{2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Así<br />
\begin{equation}<br />
A(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}; A=1<br />
\end{equation}<br />
<br />
Por lo tanto, la expresión para el perfil de una onda armónica que viaja en la dirección de $z$ es:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\psi(z,0)=sen(kz+\pi/2)<br />
\end{equation}<br />
<br />
[[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 01:37 23 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.26==<br />
<br />
'''2.26.Establezca cuáles de las expresiones siguientes describen ondas'''<br />
'''viajeras:'''<br />
<br />
(a) $\psi(y,t)=\exp-(a^{2}y^{2}+b^{2}t^{2}-2aybt)$<br />
<br />
(b) $\psi(z,t)=Asen(az^{2}-bt^{2})$<br />
<br />
(c) $\psi(x,t)=Asen2\pi\left(\frac{x}{a}+\frac{t}{b}\right)^{2}$<br />
<br />
(d) $\psi(x,t)=Acos^{2}2\pi(t-x)$<br />
<br />
Para la onda (a), si la reescribimos como sigue:<br />
<br />
$\psi(y,t)=\exp-(a^{2}y^{2}+b^{2}t^{2}-2aybt)\Rightarrow\exp-a^{2}(y-\frac{b}{a}t)^{2}$<br />
es evidente que se trata de una onda viajera, ya que cumple con las<br />
características de una.<br />
<br />
Para la onda (b), es claro que no se comporta como una onda viajera,<br />
ya que la función no es lineal, una característica de las ondas viajeras.<br />
<br />
Para la onda (c), es viajera, por que el término dentro del argumento<br />
es lineal, y nos dice que la onda se desplaza en una dirección diferente,<br />
hacia la izquierda.<br />
<br />
Para la onda (d), no es viajera, por que la función $cos^{2}(x)$<br />
no cumple con la definición de onda viajera.<br />
<br />
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] 23 Marzo 2014 21:37 (CDT)<br />
----<br />
<br />
==Problmea 2.30==<br />
'''make up a table with columns headed by values of kx runing from <math>x=\frac{\lambda}{2}</math> to <math>x=\lambda</math> in intervals of x of <math>\frac{\lambda}{4}</math>. In each columns place the corresponding values of cos kx and beneath that the values of cos kx+pi Next plot the functions cos kx, coskx+pi, and cos kx+coskx+pi '''<br />
<br />
Hacer una tabla con columnas encabezadas por los valores de kx runing desde <br />
<math>x=\frac{\lambda}{2}</math> to <math>x=\lambda</math> en intervalos de x de <math>\frac{\lambda}{4}</math>. En cada columna colocan los correspondientes valores de cos kx y bajo que los valores de cos kx + pi. Grafique las funciones cos kx, coskx + pi, y cos kx + coskx + pi.<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
<br />
[[Archivo:tabla30.jpg|500px|thumb|center|]]<br />
<br />
[[Archivo:Graf30.jpg|400px|thumb|center|]]<br />
<br />
Problema resuelto por --[[Usuario:Luis Velázquez|Luis Velázquez]] ([[Usuario discusión:Luis Velázquez|discusión]]) 20:08 27 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
==Problmea 2.31==<br />
'''2.31. Trabajando directamente con exponenciales, demuestre que la'''<br />
'''magnitud de $\psi=A\exp iwt$ es A. A continuación, vuelva a calcular'''<br />
'''el mismo resultado utilizando la fórmula de Euler. Demuestre que $\exp i\alpha\exp i\beta=\exp i(\alpha+\beta)$'''<br />
<br />
Sabemos que la magnitud de $\psi$ sera igual a su modulo, es decir: <br />
<br />
$|\psi|=\psi\psi*^{\nicefrac{1}{2}}$ y que $\psi*=A\exp-iwt$ por<br />
definición.<br />
<br />
Luego:<br />
<br />
$|\psi|=\left[\left(A\exp iwt\right)\left(A\exp-iwt\right)\right]^{\frac{1}{2}}=\left[A^{2}\exp iwt-iwt\right]^{\frac{1}{2}}=\left(A^{2}\exp0\right)^{\frac{1}{2}}=A$<br />
<br />
Ahora, usando la fórmula de Euler, tenemos que:<br />
<br />
$|\psi|=\left[\left(A\exp iwt\right)\left(A\exp-iwt\right)\right]^{\frac{1}{2}}$<br />
<br />
$|\psi|=\left[A(coswt+isenwt)A(coswt-isenwt)\right]^{\frac{1}{2}}$<br />
<br />
$|\psi|=\left[A^{2}\left(cos^{2}wt-isen(wt)cos(wt)+isen(wt)cos(wt)+sen^{2}wt\right)\right]^{\frac{1}{2}}$<br />
<br />
$|\psi|=\left[A^{2}(cos^{2}wt+sen^{2}wt)\right]^{\frac{1}{2}}=(A^{2})^{\frac{1}{2}}=A$<br />
<br />
Demostremos ahora que $\exp i\alpha\exp i\beta=\exp i(\alpha+\beta)$<br />
<br />
$\exp i\alpha\exp i\beta=\left(cos\alpha+isen\alpha\right)\left(cos\beta+isen\beta\right)$<br />
<br />
$\exp i\alpha\exp i\beta=cos\alpha cos\beta+icos\alpha sen\beta-icos\beta sen\alpha+i^{2}sen\beta sen\alpha$<br />
<br />
$\exp i\alpha\exp i\beta=cos\alpha cos\beta+icos\alpha sen\beta-icos\beta sen\alpha-sen\beta sen\alpha=(cos\alpha cos\beta-sen\alpha sen\beta)+i(cos\alpha sen\beta+sen\alpha cos\beta)$<br />
<br />
$\exp i\alpha\exp i\beta=cos(\alpha+\beta)+isen(\alpha+\beta)=\exp i(\alpha+\beta)$<br />
<br />
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] 23 Marzo 2014 21:38 (CDT)<br />
----<br />
==Problema 2.32==<br />
''' 2.32 Demuestre que la parte imaginaria de un número complejo z esta dada por $\left(z-z^{\star}\right)/2i$.'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
Sea z perteneciente a los complejos<br />
<br />
<br />
$z=a+ib$<br />
<br />
<br />
y su conjugado<br />
<br />
<br />
$z^{\star}=a-ib$<br />
<br />
<br />
entonces:<br />
<br />
<br />
$z-z^{\star}=a+ib-(a-ib)$<br />
<br />
<br />
<br />
$z-z^{\star}=2ib$<br />
<br />
Dividimos entre $2i$<br />
<br />
<br />
$z-z^{\star}/2i=2ib/2i$<br />
<br />
<br />
<br />
$\left(z-z^{\star}\right)/2i=b$<br />
<br />
<br />
que es la parte imaginaria del número complejo z.<br />
<br />
[[Usuario:Edgar Ortega Roano|Edgar Ortega Roano]] ([[Usuario discusión:Edgar Ortega Roano|discusión]]) 17:43 18 mar 2014 (CDT)<br />
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] ([[Usuario discusión:Cesar Ivan Avila Vasquez|discusión]]) 21:53 26 Marzo 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.34==<br />
2.34<br />
<br />
'''Demuestre que las ecuaciones $\psi(x,y,z,t)=f(\alpha x+\beta y+\gamma z-vt)$ y $\psi(x,y,z,t)=f(\alpha x+\beta y+\gamma z+vt)$ que son ondas planas de forma arbitraria, cumplen con la ecuacion diferencial de onda tridimensional.'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
De la ecuación de onda tridimensional ,$\nabla^{2}\psi=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}$, obtenemos el Laplaciano para nuestras ecuaciones, así $\nabla^{2}\psi=\alpha^{2}f^{´´}+\beta^{2}f^{´´}+\gamma^{2}f^{´´}$<br />
es el Laplaciano para ambas ecuaciones.<br />
<br />
Ahora al calcular $\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}$ obtenemos que $\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=v^{2}f^{´´}$ para ambas ecuaciones.<br />
<br />
Por lo que al sustituir en la ecuación de onda tridimensional obtenemos.<br />
<br />
$f^{´´}(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2})=f^{´´}$<br />
<br />
Por lo que para cualquier onda tridimensional se debe cumplir que $\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=1$.<br />
<br />
[[Usuario:Edgar Ortega Roano|Edgar Ortega Roano]] ([[Usuario discusión:Edgar Ortega Roano|discusión]]) 17:52 18 mar 2014 (CDT)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.35==<br />
'''2.35. La hipótesis de De Broglie afirma que cada partícula tiene asociada'''<br />
'''a ella una longitud de onda dada por la constante de Planck ($h=6.6x10^{-34}Js$),'''<br />
'''dividida por el momento de la partícula.'''<br />
<br />
'''Compare la longitud de onda de una piedra de 6.0 kg moviendosea una'''<br />
'''velocidad de 1 m/s con la de la luz.'''<br />
<br />
Tenemos que:<br />
<br />
\[<br />
\lambda=\frac{h}{p}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Para la piedra tenemos entonces que:<br />
<br />
\[<br />
\lambda=\frac{6.6x10^{-34}Js}{(6kg)(1m/s)}=1.1x10^{-34}m<br />
\]<br />
<br />
<br />
Y sabemos ádemas que la longitud de onda de la luz se encuentra en<br />
un intervalo de $\lambda=\left[3.8,7.5\right]x10^{-7}m$, entonces,<br />
comparando ambas longitudes de onda notamos que la asociada a la piedra<br />
es mucho más pequeña que la de la luz, si la longitud de onda de la<br />
luz fuera más pequeña que la de la piedra, la luz atravesaria la piedra.<br />
<br />
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] 23 Marzo 2014 21:40 (CDT)<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.36== <br />
''' Escribe una expresión para la onda mostrada en la figura P.2.36. Encuentra la velocidad de onda, velocidad, frecuencia y periodo.'''<br />
'''Solución''' :<br />
[[Archivo:Figure P.2.36.png|350px]]<br />
<br />
a) La forma matemática de la descripción de una función de onda es:<br />
<math>\psi(z,t)=Asen(kz \mp \omega t \pm \epsilon)</math><br />
Dado lo anterior podemos encontrar el número de onda K y la frecuencia <math>\omega</math>, donde <math>\epsilon</math> a un tiempo cero, es igual a cero por lo tanto <math>\epsilon =0 </math>. <br />
De las expresiones para el numero de onda <math>K = \frac{2 \pi}{ \lambda}</math> y <math>\omega= \frac{2 \pi}{\tau}</math>, en donde <math>\tau</math> y <math>\lambda</math> son la frecuencia y la longitud de onda respectivamente, podremos reescribir la expresión para la onda como:<br />
<math>\psi(z,t)=A sen 2 \pi (\frac{z}{\lambda}-\frac{t}{\tau})</math><br />
El signo menos es por el desplazamiento de la función de onda a la derecha. <br />
Por el gráfico se observa que la longitud de onda es de cuatrocientos nanómetros, la amplitud es de 60 nanómetros y el periodo es de <math>1.33x10^{-15}s</math>, dado que da un ciclo en ese tiempo. Por ende la expresión buscada es:<br />
<math>\psi(z,t)=A sen 2 \pi (\frac{z}{400x10^{-9} m}-\frac{t}{1.33X10^{-15}s})</math><br />
<br />
b)Calculando la velocidad de onda:<br />
<math>v= \frac{\lambda}{\tau}=\frac{400x10^{-9}m}{1.33x10^{-15} s}=3x10^{8} \frac{m}{s}</math><br />
<br />
c) Calculando la frecuencia y el periodo:<br />
<math>\nu = \frac{1}{\tau}= \frac{1}{1.33} x10^{15} Hz</math><br />
<br />
<math>\tau= 1.33x 10^{-15} s</math><br />
<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 22:16 22 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
[[categoría:Vibra]]<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 22:23 21 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
<br />
----<br />
==Problema Adicional== <br />
<br />
'''La ecuación de onda transversal que se mueve a lo largo de una cuerda está dada por:'''<br />
<br />
<math>\Psi(z,t)=0.3\sin\pi\left(0.5z-50t\right)<br />
</math><br />
<br />
'''Hallar la amplitud, la longitud de onda, el número de ondas, la frecuencia, el período y la velocidad de onda. '''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
Usando la ecuación <br />
<br />
<br />
\[<br />
\psi=A\sin2\pi\left(kz\pm\nu t\right)<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\psi=A\sin\pi\left(2kz\ - 2\nu t\right)<br />
\]<br />
<br />
La amplitud:<br />
<br />
<math>A=0.3m</math><br />
<br />
Longitud de onda<br />
<br />
<math>0.5=\frac{2}{\lambda}</math><br />
<br />
<math>\lambda=4m</math><br />
<br />
Número de onda<br />
<br />
<math>2k=0.5</math><br />
<br />
entonces<br />
<br />
<math>k=\frac{0.5}{2}</math><br />
<math>k=0.25m^-1</math><br />
<br />
La velocidad de onda<br />
<math>v=(2) (50)</math><br />
<math>v=100 m/s</math><br />
<br />
Tomado de : Vibraciones y ondas. A. P. FRENCH pág. 277. Problema 7-2.<br />
Resuelto por:--[[Usuario:Luis Velázquez|Luis Velázquez]] ([[Usuario discusión:Luis Velázquez|discusión]]) 10:56 26 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
<br />
----<br />
==Problema 2.1 ==<br />
'''¿Cuántas ondas de luz <<amarillas>> $(\lambda=580nm)$ caben en una distancia en el espacio igual al espesor de un trozo de papel $(0.003 pulgadas)$? ¿Hasta dónde se extenderá el mismo número de microondas $(\nu=10^{10}Hz$, es decir, $10GHz$ y $v=3x10^8m/s)$?'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
La longitud de onda es la relación entre la velocidad de la onda y su frecuencia, que está dada por;<br />
:<math>\lambda=\frac{v}{\nu}</math><br />
Donde $v$ es la velocidad de la onda y $\nu$ es la frecuencia de la onda.<br />
La distancia $d$ recorrida por la onda es:<br />
<math>d=k*\lambda</math><br />
<br />
Donde $k$ es el número de ondas propagadas, y $\lambda$ es la longuitud de onda.<br />
<br />
ahora para saber cuántas ondas caben en el espesor del trozo de papel, convierto la longuitud de onda de la luz amarilla a metros:<br />
<br />
<math>\lambda_{amarillo} = (580nm) * \left(\frac{10^{-9}m}{1nm}\right)=580*10^{-9}m</math><br />
<br />
despues convierto el espesor del papel en metros:<br />
<br />
<math>0.003in=(0.003in)* \left(\frac{2.54*10^{-2}m}{1in}\right)=7.62*10^{-5}m</math><br />
<br />
calculamos el numero de ondas en la distancia en el espacio del espesor del papel, utilizamos lo que ya sabemos:<br />
<br />
:<math>d=k*\lambda_{amarillo}</math><br />
<br />
despejando y sustituyendo tenemos:<br />
<br />
:<math>k=\frac{d_{papel}}{\lambda_{amarillo}}=\frac{7.62*10^{-5}m}{580*10^{-9}m}=131ondas</math><br />
<br />
<math>\therefore</math> $131$ $ondas$ de luz amarilla caben en una distancia de $0.003$ $pulgadas$<br />
<br />
<br />
para la segunda pregunta calculamos la longitud de onda con los datos que nos dan:<br />
<br />
:<math>\lambda=\frac{v}{\nu}=\frac{3*10^8m/s}{10^{10}Hz}=0.03m</math><br />
<br />
Ahora calculamos cuanta distancia se extenderá el mismo número de ondas con ésta longitud de onda:<br />
<br />
:<math>\therefore d=k*\lambda=(131)(0.03m)= 3.9m</math><br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Martínez|Luis Martínez]] ([[Usuario discusión:Luis Martínez|discusión]]) 08:09 27 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
----<br />
== Problema 2.42 ==<br />
'''Escriba una expresión en coordenadas cartesianas para una onda plana armónica de amplitud $A$ y frecuencia $w$, que se propaga en la dirección del verctor $\overrightarrow{k}$, que a su vez, se encuentra en una línea que va desde el origen hasta el punto $(4,2,1)$. Hint: primero calcule $\overrightarrow{k}$ y luego haga el producto escalar con $\overrightarrow{r}=x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$. '''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
<br />
para obtener el vector $\overrightarrow{k}$ necesitamos encontrar un vector unitario en la direccion que nos piden y multiplicándolo por $k$. el vector unitario es:<br />
<br />
<math>\hat{a}= \frac{\left[(4-0)\hat{i} + (2-0)\hat{j} + (1-0)\hat{k} \right]}{\sqrt{4^2 + 2^2 + 1^2}}= \frac{4\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}}{\sqrt{21}} </math><br />
<br />
ahora el vector $\overrightarrow{k}$ está dado por:<br />
<br />
<math>\overrightarrow{k}= k*\hat{a}=\frac{k*(4\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k})}{\sqrt{21}}</math><br />
<br />
la expresión en cordenadas cartesianas de una onda plana armónica viene dada por:<br />
<br />
<math>\psi (x,y,z,t)=A*sen(\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r} - wt)</math>:<br />
<br />
<math>\therefore \psi (x,y,z,t)=A*sen \left[\frac{4k}{\sqrt{21}}x + \frac{2k}{\sqrt{21}}y + \frac{k}{\sqrt{21}}z - wt\right]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Martínez|Luis Martínez]] ([[Usuario discusión:Luis Martínez|discusión]]) 17:05 27 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema adicional 2==<br />
'''Una onda se propaga por una cuerda según la ecuación $ y = 0.2\sin(6\pi t + \pi x + \dfrac{\pi}{4})$. Calcular:'''<br />
<br />
'''a) La frecuencia, el periodo, la longitud de onda y la velocidad de propagación.'''<br />
<br />
<br />
'''b) El estado de vibración, la velocidad y aceleración de una partícula situada en x = 0.2 m en 0.3 s '''<br />
<br />
<br />
'''c) La diferencia de fase entre dos puntos separados 0.3 m'''<br />
<br />
<br />
a) La forma general de la ecuación de onda $y(x, t)= A \sin(\omega t + Kx +\delta)$<br />
<br />
<br />
Partiremos de la frecuencia angular $\omega = 2 \pi; f = 6\pi rad/s; f= 3 Hz $ <br />
<br />
El periodo $ T = \dfrac{1}{f}= 0.333s$<br />
<br />
Para la velocidad usamos $c= \dfrac{\omega}{k} = \dfrac{6\pi}{\pi} = 6 m/s $<br />
<br />
b) Para x = 0.2 m, t= 0.3s. <br />
$$ y= 0.2\sin(6\pi*0.3 + \pi*0.2 + \dfrac{\pi}{4})= 0.2 \sin(7.069) = 0.1414 m $$<br />
<br />
Velocidad $$\dfrac{dy}{dx} = 0.2 *6 \pi \cos (6 \pi t + \pi x \dfrac{\pi}{4})= 0.2*6 \pi \cos (7.069)= 2.66 m/s$$<br />
<br />
Aceleración $$\dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}= -0.2(36\pi^{2})\sin(6\pi t + \pi x + \dfrac{\pi}{4} = 0,2(36\pi^{2}cos (7.069)= -50.25 m/s^{2}$$<br />
<br />
<br />
c) $\vartriangle x= 0.3 m$<br />
<br />
<br />
$\delta_{1} = 6 \pi t + \pi x + \dfrac{\pi}{4}$<br />
<br />
$$\vartriangle \delta = \delta_{2} - \delta_{1}= 0.3\pi rad $$<br />
<br />
<br />
$\delta_{2} = 6 \pi t + \pi (x + 0.3) + \dfrac{\pi}{4}$<br />
<br />
Física General 10° Edición, Frederick J. Bueche. Eugene Hetch.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 18:25 28 mar 2015 (CDT)Esther Sari García González<br />
<br />
<br />
<br />
==Problema 2.37==<br />
<br />
Escriba una expesion en coordenadas cartesianas para una onda plana armonica de amplitud <math>A</math> y frecuencia <math>\omega</math> que se propaga en direccion positiva de <math>x</math>. <br />
<br />
<br />
Primero se escribe un vector de posicion <math>\textbf{r}=x \hat{\mathbf{e}}_x+y \hat{\mathbf{e}}_y+z \hat{\mathbf{e}}_z</math> que comienza en el orige y termina en cualquier otro punto <math>(x,y,x)</math>.<br />
<br />
<br />
De esta forma, lo podemos escribir como<br />
<br />
<br />
<math>(\textbf{r}-\textbf{r}_{0})=(x-x_{0})\hat{\mathbf{e}}_x+(y-y_{0})\hat{\mathbf{e}}_y+(z-z_{0})\hat{\mathbf{e}}_z</math> y <br />
<br />
<br />
<math>(\textbf{r}-\textbf{r}_{0})\cdot\textbf{k}=0</math> donde obligamos al vector <math>(\textbf{r}-\textbf{r}_{0})</math> a barrer un plano perpendicalar a <math>\hat{\mathbf{e}}_x</math><br />
<br />
<br />
al ir adquiriendo su punto exremo <math>(x,y,z)</math> com <math>i=i_{x}\hat{\mathbf{e}}_x+i_{y}\hat{\mathbf{e}}_y+i_{z}\hat{\mathbf{e}}_z</math> que se puede escribir tambien como<br />
<br />
<br />
<math>i_{x}(x-x_{0})+i_{y}(y-y_{0})+i_{z}(z-z_{0})=0</math><br />
<br />
<br />
o tambien<br />
<br />
<br />
<math>i_{x}x+i_{y}y+i_{z}z=a</math> donde <math>a=cte</math><br />
<br />
<br />
Asi un plano perpendicular a <math>i</math> es <math> </math> <math>\textbf{i}\cdot\textbf{r}=a</math><br />
<br />
<br />
Tomemos la funcion <math>\psi{(r)}=A\sin{(\textbf{i}\cdot\textbf{r})}</math><br />
<br />
<br />
<math>\psi{(r)}=Acos{(\textbf{i}\cdot\textbf{r})}</math><br />
<br />
<br />
o <math>\psi{(r)}=Ae^{i\hat{\imath}\cdot\textbf{r}}</math><br />
<br />
<br />
y la funcion armonica se puede escribir como<br />
<br />
<br />
<math>\psi{(r)}=\psi{(r+\frac{\lambda \hat{\imath}}{k})}</math><br />
<br />
<br />
Para que esta funcion sea cierta se debe tener que<br />
<br />
<br />
<math>e^{i\lambda \hat{\imath}}=e^{i2\pi}</math><br />
<br />
<br />
Por consiguiente <math>\lambda i = 2\pi</math><br />
<br />
<br />
despejando <math>i</math> se tiene <math>i= \frac{2\pi}{\lambda}</math><br />
<br />
<br />
Se tiene entonces que <br />
<br />
<br />
<math>\psi{(r,t)}=Ae^{i(\hat{\imath}\cdot\textbf{r}\pm\omega t)}</math><br />
<br />
<br />
Para que esta funcion este orientada sobre el eje <math>x</math> solo se toma la coordenada <math>x</math> del vector <math>\vec{r}</math><br />
<br />
<br />
<math>\psi{(r,t)}=Ae^{i(ix\pm\omega t)}</math> asi que<br />
<br />
<br />
<math>\psi{(x)}=Ae^{i(ix\pm\omega t)}</math><br />
<br />
Por tanto esta es la onda armonica en coordenardas cartesianas que se propaga en el eje <math>x</math>.<br />
<br />
<br />
Hector resendiz --[[Usuario:Héctor Reséndiz|Héctor Reséndiz]] ([[Usuario discusión:Héctor Reséndiz|discusión]]) 19:23 29 mar 2015 (CDT) Libro hecht<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==problema adicional. movimiento ondulatorio==<br />
<br />
<br />
un foco F1 situado en el punto de coordenadas (0,0) entre ondas armónicas transversales de frecuencia 500Hz y amplitud 0.3m. Las ondas se propagan en el sentido positivo del eje x con una velocidad de 250 m/s.<br />
<br />
<br />
cual es la longitud de onda y el periodo de las ondas emitidas ? escribir la función de onda <br />
<br />
<br />
V= 500 Hz , A= 0.3 m, v= 250m/s , donde <math> v=(\lambda V)</math><br />
<br />
<br />
<math>\lambda=\frac{v}{V}= \frac{250}{500}= 0.5 m </math> ES LA LONGITUD DE ONDA<br />
<br />
<br />
<math>T=\frac{1}{V}=\frac{1}{500}= 2x10^{-3}s</math>ES EL PERIODO <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
La expresion general para la función de onda es :<br />
<br />
<math>y(x,t)=Asen(kx-\omega (t))</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{2\pi}{(\lambda)}=4\pi rad m^-1</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\omega=2\pi V= 2\pi 500 = 1000 \pi rad s^-1</math><br />
<br />
<br />
<math> y1(x,t)= 0.3 sen ( 4\pi - 1000\pi) m</math><br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luisa Alejandra Vega Sanchez|Luisa Alejandra Vega Sanchez]] ([[Usuario discusión:Luisa Alejandra Vega Sanchez|discusión]]) 23:58 29 mar 2015 (CDT)luisa alejandra vega sanchez</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Pedro_Pablo_Ram%C3%ADrez_Mart%C3%ADnez&diff=19132Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez2015-03-16T06:00:27Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: </p>
<hr />
<div><br />
----<br />
'''Bienvenido a ''Luz-wiki''!'''<br />
Esperamos que contribuyas mucho y bien.<br />
Probablemente desearás leer las [[Help:Ayuda|páginas de ayuda]].<br />
Nuevamente, bienvenido y diviértete! [[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 14:30 24 sep 2010 (UTC)<br />
<br />
Problema 1.8<br />
<br />
Bien redactado, te felicito por usar unidades.<br />
<br />
[[Usuario:Ana Alarid|Ana Alarid]] ([[Usuario discusión:Ana Alarid|discusión]]) 02:44 26 feb 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
Problema 2.9<br />
Hola pedro, me parece que tus ecuaciones $(1)$ y $(2)$ están mal<br />
redactadas ya que tu variable a la que le adjudicas el movimiento<br />
parece ser $\psi$ pero dicha aceleración es colineal con la fuerza<br />
de restauración del resorte y esta la denotas como $x$ por consiguiente<br />
no estas siendo cuidadoso al escoger la variable de movimiento y para<br />
la ecuación $(2)$ de pronto aparece una letra $s$ y entonces regreso<br />
a la critica anterior.<br />
<br />
Por último me parecería prudente mostrar como se obtiene $x=40mm$ <br />
<br />
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 05:16 25 feb 2014 (UTC)<br />
----<br />
Problema 3.7<br />
<br />
La solución es correcta, solo me parece que sería bueno aclarar que<br />
$\Big|\Big(\frac{\gamma_{0}}{2\omega_{0}}\Big)^{2}\Big|<1$, para<br />
poder hacer el desarrollo del binomio. <br />
<br />
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 05:32 25 feb 2014 (UTC)<br />
----<br />
<br />
Problema 6.2<br />
<br />
¡Hola Pablo Ramiírez!<br />
<br />
Permíteme decirte que en el problema 6.2 sólo encontré errores de ortografía,me parece que llegas al resultado correcto, aunque te sugiero que espacies más las ecuaciones y sus resultados para que no se observe muy junto el desarrollo de tu problema.<br />
<br />
[[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 07:18 28 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
Problema 1.8 Entendible y bien desarrollado. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 13:28 26 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
----<br />
Problema 3.7 de [[Vibra: probs c3]] es correcto, está bien desarrollado y muy claro. <br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 02:03 28 feb 2015 (CST)<br />
<br />
----<br />
<br />
----<br />
En el ejercicio 4.1 corregí la redacción del problema y algo de teoría. <br />
<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 20:02 1 mar 2015 (CST)Esther Sarai<br />
<br />
----<br />
Problema 3.7 Entendible. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 15:53 3 mar 2015 (CST)<br />
----<br />
El problema 4.1 esta bien resuelto y con las correcciones que mis compañeros le han hecho creo que la ultima versión es mejor que la anterior<br />
--[[Usuario:Rosario Maya|Rosario Maya]] ([[Usuario discusión:Rosario Maya|discusión]]) 24:03 07 marzo 2015 (CST)<br />
<br />
----<br />
Problema 4.1 Buen trabajo y entendible. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 18:48 11 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
<br />
Hola, mas que agregar, tengo una duda,¿en este ejercicio el caso se toma como sub amortiguado ?<br />
<br />
--[[Usuario:Luisa Alejandra Vega Sanchez|Luisa Alejandra Vega Sanchez]] ([[Usuario discusión:Luisa Alejandra Vega Sanchez|discusión]]) 00:15 16 mar 2015 (CDT)luisa alejandra vega sanchez<br />
<br />
----<br />
En el problema 6.3, esta muy revuelto tu procedimiento y explicacion, le falta mas orden , la solucion es clara.--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 01:00 16 mar 2015 (CDT)</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Esther_Sarai&diff=19131Usuario discusión:Esther Sarai2015-03-16T05:53:39Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: </p>
<hr />
<div>'''Bienvenido a ''luz-wiki''!'''<br />
Esperamos que contribuyas mucho y bien.<br />
Probablemente desearás leer las [[Help:Contenidos|páginas de ayuda]].<br />
Nuevamente, bienvenido y diviértete! [[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 14:11 27 ene 2015 (CST)<br />
<br />
----<br />
Ejercicio 5.12 Si observamos la gráfica del Lorentziano al que llegaron y la resonancia, nos encontramos con algo muy interesante, como que los máximos son en puntos muy parecidos.<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 22:15 15 mar 2015 (CDT)Esther Sarai <br />
<br />
<br />
----<br />
Ejercicio 4.7 Waves. C.A. Coulson -A. Jeffrey . Ed Longman<br />
Al sustituir los valores en la ecuación (2) ¿Como obtienes el 1/2?.<br />
Tampoco explicas como llegaste a las soluciones de estas ecuaciones.<br />
<br />
----<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 13:51 11 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
Ejercicio 4.1<br />
<br />
La ecuación (1) es valida para cualquier oscilador, el que sea ligeramente amortiguado dependera del valor de gamma y omega.<br />
<br />
Por otro lado, ¿por que dices que es ligeramente amortiguado cuando el enunciado dice "heavy damping"?<br />
----<br />
Me gusto mucho lo que hiciste con mi ejercicio :D Gracias --Rosario Maya (discusión) 23:18 15 mar 2015 (CDT)<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 13:13 11 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
<br />
----<br />
El problema 1.6 tiene errores en las ecuaciones, aunque el resultado y el camino a la solucion esta correctos.<br />
<br />
--[[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 23:26 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
<br />
En el problema 1.4 agregue un poco más de teoría, y le di un poco de orden.<br />
<br />
Al problema I.II le faltaban enumerar las ecuaciones y además cambié el ultimo enunciado.<br />
<br />
Al problema 2.12 centre las ecuaciones<br />
<br />
El problema 2.3 está muy bien --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:36 16 mar 2015 (CDT)explicado, solo faltaba un poco de orden y algunos términos que eran incorrectos, los corregí.<br />
<br />
El problema 2.1 está bien resuelto, solo corregí algunas faltas de ortografía.<br />
<br />
En el problema 2.6 decía que se operaban dos ecuaciones, las que llamaba 1 y 2 pero no estaban enumeradas así que las enumere.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
Problema 1.4 Entendible. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 12:34 26 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
Problema 1.5 La solución es correcta, me parece que es lo mas cercano a explicar este fenómeno físico al problema que se plantea. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 12:38 26 feb 2015 (CST)<br />
<br />
---<br />
En el ejercicio 6.2 le falta la explicacion física de lo que estas haciendo, los cálculos son correctos, incluyendo la solucion. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:36 16 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
En el ejercicio 5.11 no se entiende que es lo que quieres resolver, apenas es entendible tu procedimiento. La figura es buena.--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:53 16 mar 2015 (CDT)</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:A._Mart%C3%ADn_R._Rabelo&diff=19128Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo2015-03-16T05:46:45Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: </p>
<hr />
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<br />
<br />
<br />
----<br />
Ejercicio 3.14<br />
<br />
Es correcto pero me parece que el ejercicio no es del Main, deberías poner de que libro lo tomaste.<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 16:23 11 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
----<br />
Ejercicio 4.10 .<br />
<br />
Si en las ecuaciones (3) y (3') consideras omega como +-, ¿por que en tú solución sólo tomas la raíz positiva?<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 14:15 11 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
El ejercicio 2.10 [[ Vibra: probs c2]] Es correcto, sin embargo cuando uses letras para denotar las varibles físicas que sean consistentes, dado que usas K y k indistintamente.<br />
<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 20:32 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
----<br />
Yo coincido con la observación de Pablo, pero fuera de eso el ejercicio tiene un buen procedimiento<br />
[[Usuario:Rosario Maya|Rosario Maya]] ([[Usuario discusión:Rosario Maya|discusión]]) 22:02 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
----<br />
Problema 2.10 Entendible y bien planteado. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 11:57 26 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
----<br />
El problema 3. 14 es correcto, bien explicado y ordenado, sólo cuida un poco tu ortografía.<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 23:51 1 mar 2015 (CST)<br />
<br />
----<br />
Problema 4.10 Falta argumentar y revisar la solución que propones al ejercicio; sobre todo al hacer el desarrollo de las ecuaciones. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 20:03 11 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
En el problema 6.7,tiene orden y claridad el problema,solo falta un poco mas de explicación fisica en cada inciso a resolver de dicho problema, de los demás esta bien.--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:46 16 mar 2015 (CDT)</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Pablo&diff=19127Usuario discusión:Pablo2015-03-16T05:42:05Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: </p>
<hr />
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<br />
<br />
----<br />
Creo que en el problema 1.6 hay errores en las ecuaciones, aunque la solución es correcta, creo!?<br />
<br />
--[[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 23:31 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
----<br />
Había varios errores, entre ellos, el despeje de la longitud en la fórmula que numeré con un (2) estaba al revés, así como varios conceptos de frecuencia, frecuencia angular y periodo que estaban mezclados.<br />
<br />
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 18:02 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
----<br />
Me gusto mucho la idea de la imagen del cono, creo que es muy ilustrativo. La solución es correcta<br />
<br />
[[Usuario:Rosario Maya|Rosario Maya]] ([[Usuario discusión:Rosario Maya|discusión]]) 22:10 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
El ejercicio 4.3 la respuesta es correcta y muy bien explicado.<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 20:13 1 mar 2015 (CST)Esther Sarai<br />
<br />
<br />
----<br />
Problema 4.9 <br />
Si hacemos una comparación entre las dos ecuaciones (1) y (2) con cada uno de los elementos, para entender como se relaciona la frecuencia y una amortiguación el problema se complementaría. De igual forma está muy bien explicado y ordenado. Felicidades<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 20:36 1 mar 2015 (CST)Esther Sarai<br />
<br />
----<br />
Problema 4.9 Entendible. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 19:42 11 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
Problema adicional 5.13, Hice algunas consideraciones, para que sea entendible. <br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 23:02 14 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
----<br />
Problema 6.3 <br />
otra forma de resolverlo es con las ecuaciones de potencia media la cual es:<br />
\[<br />
P_{med}=\langle P(t) \rangle = \dfrac{1}{T}\int_{0}^{T}P(t)dt\]<br />
<br />
Donde $P(t)$ es la potencia instantanea y se escrebe como:<br />
\[<br />
P(t) = I(t)V(t)\]<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 19:21 15 mar 2015 (CDT)Esther Sarai<br />
----<br />
Problema 5.14 La imagen que agregaste ayuda a la visualización de la solución del ejercicio<br />
--[[Usuario:Rosario Maya|Rosario Maya]] ([[Usuario discusión:Rosario Maya|discusión]]) 22:46 15 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
<br />
En el ejercicio 6.3, esta muy bien tu ejercicio, pero esta muy revuelto desde de mi perspectiva; solo falta mas orden y claridad a tu problema., todo lo demas muy bien.--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:41 16 mar 2015 (CDT)</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Pablo&diff=19126Usuario discusión:Pablo2015-03-16T05:41:35Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: </p>
<hr />
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<br />
<br />
----<br />
Creo que en el problema 1.6 hay errores en las ecuaciones, aunque la solución es correcta, creo!?<br />
<br />
--[[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 23:31 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
----<br />
Había varios errores, entre ellos, el despeje de la longitud en la fórmula que numeré con un (2) estaba al revés, así como varios conceptos de frecuencia, frecuencia angular y periodo que estaban mezclados.<br />
<br />
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 18:02 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
----<br />
Me gusto mucho la idea de la imagen del cono, creo que es muy ilustrativo. La solución es correcta<br />
<br />
[[Usuario:Rosario Maya|Rosario Maya]] ([[Usuario discusión:Rosario Maya|discusión]]) 22:10 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
El ejercicio 4.3 la respuesta es correcta y muy bien explicado.<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 20:13 1 mar 2015 (CST)Esther Sarai<br />
<br />
<br />
----<br />
Problema 4.9 <br />
Si hacemos una comparación entre las dos ecuaciones (1) y (2) con cada uno de los elementos, para entender como se relaciona la frecuencia y una amortiguación el problema se complementaría. De igual forma está muy bien explicado y ordenado. Felicidades<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 20:36 1 mar 2015 (CST)Esther Sarai<br />
<br />
----<br />
Problema 4.9 Entendible. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 19:42 11 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
Problema adicional 5.13, Hice algunas consideraciones, para que sea entendible. <br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 23:02 14 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
----<br />
Problema 6.3 <br />
otra forma de resolverlo es con las ecuaciones de potencia media la cual es:<br />
\[<br />
P_{med}=\langle P(t) \rangle = \dfrac{1}{T}\int_{0}^{T}P(t)dt\]<br />
<br />
Donde $P(t)$ es la potencia instantanea y se escrebe como:<br />
\[<br />
P(t) = I(t)V(t)\]<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 19:21 15 mar 2015 (CDT)Esther Sarai<br />
----<br />
Problema 5.14 La imagen que agregaste ayuda a la visualización de la solución del ejercicio<br />
--[[Usuario:Rosario Maya|Rosario Maya]] ([[Usuario discusión:Rosario Maya|discusión]]) 22:46 15 mar 2015 (CDT)<br />
---<br />
En el ejercicio 6.3, esta muy bien tu ejercicio, pero esta muy revuelto desde de mi perspectiva; solo falta mas orden y claridad a tu problema., todo lo demas muy bien.--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:41 16 mar 2015 (CDT)</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Esther_Sarai&diff=19123Usuario discusión:Esther Sarai2015-03-16T05:36:06Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: </p>
<hr />
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<br />
----<br />
Ejercicio 5.12 Si observamos la gráfica del Lorentziano al que llegaron y la resonancia, nos encontramos con algo muy interesante, como que los máximos son en puntos muy parecidos.<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 22:15 15 mar 2015 (CDT)Esther Sarai <br />
<br />
<br />
----<br />
Ejercicio 4.7 Waves. C.A. Coulson -A. Jeffrey . Ed Longman<br />
Al sustituir los valores en la ecuación (2) ¿Como obtienes el 1/2?.<br />
Tampoco explicas como llegaste a las soluciones de estas ecuaciones.<br />
<br />
----<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 13:51 11 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
Ejercicio 4.1<br />
<br />
La ecuación (1) es valida para cualquier oscilador, el que sea ligeramente amortiguado dependera del valor de gamma y omega.<br />
<br />
Por otro lado, ¿por que dices que es ligeramente amortiguado cuando el enunciado dice "heavy damping"?<br />
----<br />
Me gusto mucho lo que hiciste con mi ejercicio :D Gracias --Rosario Maya (discusión) 23:18 15 mar 2015 (CDT)<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 13:13 11 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
<br />
----<br />
El problema 1.6 tiene errores en las ecuaciones, aunque el resultado y el camino a la solucion esta correctos.<br />
<br />
--[[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 23:26 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
<br />
En el problema 1.4 agregue un poco más de teoría, y le di un poco de orden.<br />
<br />
Al problema I.II le faltaban enumerar las ecuaciones y además cambié el ultimo enunciado.<br />
<br />
Al problema 2.12 centre las ecuaciones<br />
<br />
El problema 2.3 está muy bien --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:36 16 mar 2015 (CDT)explicado, solo faltaba un poco de orden y algunos términos que eran incorrectos, los corregí.<br />
<br />
El problema 2.1 está bien resuelto, solo corregí algunas faltas de ortografía.<br />
<br />
En el problema 2.6 decía que se operaban dos ecuaciones, las que llamaba 1 y 2 pero no estaban enumeradas así que las enumere.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
Problema 1.4 Entendible. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 12:34 26 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
Problema 1.5 La solución es correcta, me parece que es lo mas cercano a explicar este fenómeno físico al problema que se plantea. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 12:38 26 feb 2015 (CST)<br />
<br />
---<br />
En el ejercicio 6.2 le falta física de lo que estas haciendo, los cálculos son correctos, incluyendo la solucion. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:36 16 mar 2015 (CDT)</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Luis_Miguel_S%C3%A1nchez_Mtz.&diff=19122Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.2015-03-16T05:32:24Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: </p>
<hr />
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Esta muy claro la solucion al problema 1.9 solo has referencia a los numeros 2 y 9 que mencionas en las dos ultimas soluciones, para que quede excelente [[Usuario:Israel López|Israel López]] ([[Usuario discusión:Israel López|discusión]]) 04:47 26 ene 2014 (UTC)<br />
<br />
== Punto de vista ==<br />
<br />
Esta muy claro la solucion al problema 1.9 solo has referencia a los numeros 2 y 9 que mencionas en las dos ultimas soluciones, para que quede excelente [[Usuario:Israel López|Israel López]] ([[Usuario discusión:Israel López|discusión]]) 04:50 26 ene 2014 (UTC)<br />
<br />
<br />
Es cierto, muchas gracias Israel, en mi documento tengo las ecuaciones numeradas, habrá que solucionar eso a la hora de subir el problema.<br />
<br />
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 02:23 27 ene 2014 (UTC)<br />
<br />
<br />
En el problema 3.8 sólo arreglé un problema de edición, lo demás está bien y completo.<br />
<br />
[[Usuario:Edgar Ortega Roano|Edgar Ortega Roano]] ([[Usuario discusión:Edgar Ortega Roano|discusión]]) 19:52 11 feb 2014 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
Al problema 3.8 le enumere las ecuaciones y agregue un poco de teoría--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 19:32 1 mar 2015 (CST)Esther Sarai<br />
<br />
Las soluciones al problema 1.9 son correctas, muy claro en tu proceso, sólo tengo una observación que el bloque no se elonga; sería el resorte. --[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 22:09 19 feb 2015 (CST)<br />
<br />
----<br />
Problema 2.6 Realizando cambios al problema 2.6, en la parte teórica de la aplicación de la segunda ley de Newton --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 12:06 26 feb 2015 (CST)<br />
<br />
----<br />
Problema 1.9 Solo cambio y completo mas la teoría de como obtiene la ecuación diferencial del oscilador. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 13:30 26 feb 2015 (CST)<br />
<br />
----<br />
<br />
El ejercicio 4.6 se entiende, sin embargo quedaría mejor si estuvieran las identidades al principio para saber de donde se parte.<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 19:21 1 mar 2015 (CST)Esther Sarai<br />
<br />
<br />
----<br />
Problema 4.5 Entendible. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 19:13 11 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
En el ejercicio 4.5 corregí la redacción del problema --[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 19:40 1 mar 2015 (CST)Esther Sarai<br />
<br />
----<br />
Problema 3.8 Entendible. --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 16:20 3 mar 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
----<br />
En el problema 5.3 la expresión de donde partiste es un movimiento oscilatorio dado que tiene un término de restitución, pondría que es la expresión que describe la oscilación forzada y amortiguada, sin embargo la expresión es correcta dado que tiene ambos términos pero no fue clara la redacción, excelente procedimiento. <br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 23:29 14 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
El ejercicio 6.5 falta traducir el problema, y que le des una interpretación y explicación física, así como mantener el margen mas detallada que haces en cada paso en tu matematica, todo el ejercicio en si hasta su solución esta correctamente bien hecho.--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:32 16 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
En el problema 6.5 la solución es correcta, haces mención de una figura, sin embargo no la colocas, trata de colocar todo elemento del que hagas mención.<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 01:06 15 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
----</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Rosario_Maya&diff=19120Usuario discusión:Rosario Maya2015-03-16T05:20:33Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: </p>
<hr />
<div></div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Rosario_Maya&diff=19118Usuario discusión:Rosario Maya2015-03-16T05:12:11Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: </p>
<hr />
<div></div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Rosario_Maya&diff=19117Usuario discusión:Rosario Maya2015-03-16T05:11:00Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: </p>
<hr />
<div></div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Vibra:_probs_c5&diff=19116Vibra: probs c52015-03-16T05:07:37Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: /* Problema Adicional al Capítulo 5.7. Resonancia */</p>
<hr />
<div>Main cap.5<br />
<br />
== Problema 5.1 ==<br />
<br />
[[Imagen:diagramavec.png|200px|thumb|right|Figura 5.2 (Main)]]<br />
<br />
For a very lightly damped system, make sketches like fig 5.2 for (a) <math>\omega\ll\omega_{0}</math>, (b) <math>\omega=\omega_{0}-\frac{1}{2}\gamma</math>, (c) <math>\omega=\omega_{0}</math>, (d) <math>\omega=\omega_{0}+\frac{1}{2}\gamma</math>, and (e) <math>\omega\gg\omega</math>. Use these sketches to verify directly the value of A and <math>\phi</math> derived elsewhere. <br />
<br />
<br />
Traducción: Para un sistema muy poco amortiguado, hacer diagramas como los de la fig 5.2 para (a) <math>\omega\ll\omega_{0}</math>, (b) <math>\omega=\omega_{0}-\frac{1}{2}\gamma</math>, (c) <math>\omega=\omega_{0}</math>, (d) <math>\omega=\omega_{0}+\frac{1}{2}\gamma</math>, y (e) <math>\omega\gg\omega</math>. Usar esos diagramas para verificar los valores de A y <math>\phi</math> mostrados antes.<br />
<br />
[[Imagen:diagramavec2.png|200px|thumb|right|Figura 2. Caso (a) ]]<br />
<br />
(a) <math>\omega\ll\omega_{0}</math><br />
<br />
En este caso tenemos una división de un numero muy chico ( <math>\omega</math> ) entre uno comparado con el muy grande <math>\omega_{0}</math>, de ahí que resulte cero:<br />
<math>\tan\phi=\frac{\gamma\omega A}{\omega_{0}A-\omega^{2}A}=\frac{\gamma\omega A}{A(\omega_{0}-\omega^{2})}=\frac{\gamma\omega}{(\omega_{0}-\omega^{2})}\simeq0</math><br />
<br />
:<br />
<math>\Rightarrow\phi\simeq0</math><br />
<br />
y para la amplitud:<br />
<math>A^{2}\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}A^{2}=\frac{F_{0}^{2}}{m^{2}}<br />
</math><br />
por el teorema de Pitágoras, aplicado en el triangulo que se forma en la parte superior de la figura 2:<br />
<math>A^{2}\left(\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}\right)=\frac{F_{0}^{2}}{m^{2}}</math><br />
:<br />
<math>A^{2}=\frac{\frac{F_{0}^{2}}{m^{2}}}{\left(\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}\right)}</math><br />
:<br />
<math>A\simeq\frac{\frac{F_{0}}{m}}{\omega_{0}^{2}}=\frac{F_{0}}{s}</math><br />
donde nuevamente se ha usado el argumento de que <math>\omega</math> es relativamente chico y que <math>\omega_{0}\equiv\sqrt{\frac{s}{m}}\Rightarrow\omega_{0}^{2}m=s</math><br />
<br />
(b) <math>\omega=\omega_{0}-\frac{1}{2}\gamma</math><br />
<br />
[[Imagen:diagramavec3.png|200px|thumb|right|Figura 3. Caso (b) ]]<br />
<br />
:<br />
<math>\tan\phi=\frac{\gamma\left(\omega_{0}-\frac{1}{2}\gamma\right)A}{A\left(\omega_{0}-\left(\omega_{0}-\frac{1}{2}\gamma\right)^{2}\right)}</math>:<br />
<math>=\frac{\gamma\left(\omega_{0}-\frac{1}{2}\gamma\right)}{\omega_{0}-\left(\omega_{0}-\frac{1}{2}\gamma\right)^{2}}<br />
</math>:<br />
<math>\phi=\arctan\left(\frac{\gamma\left(\omega_{0}-\frac{1}{2}\gamma\right)}{\omega_{0}-\left(\omega_{0}-\frac{1}{2}\gamma\right)^{2}}\right)</math><br />
Y para la amplitud:<br />
<math>\gamma^{2}\left(\omega_{0}-\frac{1}{2}\gamma\right)^{2}A^{2}+A^{2}\left(\omega_{0}-\left(\omega_{0}-\frac{1}{2}\gamma\right)^{2}\right)^{2}=\frac{F_{0}^{2}}{m^{2}}</math>:<br />
<math>A^{2}\left(\gamma^{2}\left(\omega_{0}-\frac{1}{2}\gamma\right)^{2}+\left(\omega_{0}-\left(\omega_{0}-\frac{1}{2}\gamma\right)^{2}\right)^{2}\right)=\frac{F_{0}^{2}}{m^{2}}</math>:<br />
<math>A=\frac{F_{0}}{m\sqrt{\gamma^{2}\left(\omega_{0}-\frac{1}{2}\gamma\right)^{2}+\left(\omega_{0}-\left(\omega_{0}-\frac{1}{2}\gamma\right)^{2}\right)^{2}}}</math><br />
<br />
(c) <math>\omega=\omega_{0}</math><br />
[[Imagen:diagramavec4.png|200px|thumb|right|Figura 4. Caso (c) ]]<br />
<br />
En este caso podemos empezar escribiendo las ecuaciones a partir del primer diagrama:<br />
<math>\tan\phi=\frac{\gamma\omega A}{A\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)}</math><br />
<br />
pero sabiendo que <math>\omega=\omega_{0}</math> se tiene una singularidad, que solo ocurre en primera instancia en <br />
<math>\phi=\frac{\pi}{2}</math><br />
<br />
Para la amplitud, la ecuación: <br />
<math>A=\frac{F_{0}}{m\sqrt{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)+\gamma^{2}\omega^{2}}}</math><br />
<br />
se transforma en:<br />
<math>A=\frac{\frac{F_{0}}{m}}{\gamma\omega}</math><br />
<br />
[[Imagen:diagramavec5.png|200px|thumb|right|Figura 5. Caso (d) ]]<br />
(d) <math>\omega=\omega_{0}+\frac{1}{2}\gamma</math><br />
se tiene a partir de la figura 5 que:<br />
<br />
<math>\tan\phi=\frac{\gamma\left(\omega_{0}+\frac{1}{2}\gamma\right)A}{A\left(\omega_{0}^{2}-\left(\omega_{0}+\frac{1}{2}\gamma\right)^{2}\right)}</math>:<br />
<br />
<math>=\frac{\gamma\left(\omega_{0}+\frac{1}{2}\gamma\right)}{\left(\omega_{0}^{2}-\left(\omega_{0}+\frac{1}{2}\gamma\right)^{2}\right)}</math>:<br />
<br />
<math>\phi=\arctan\frac{\gamma\left(\omega_{0}+\frac{1}{2}\gamma\right)}{\left(\omega_{0}^{2}-\left(\omega_{0}+\frac{1}{2}\gamma\right)^{2}\right)}</math><br />
<br />
y:<br />
<math>\gamma^{2}\left(\omega_{0}+\frac{1}{2}\gamma\right)^{2}A^{2}+A^{2}\left(\omega_{0}^{2}-\left(\omega_{0}+\frac{1}{2}\gamma\right)\right)^{2}=\frac{F_{0}^{2}}{m^{2}}</math>:<br />
<math>A^{2}\left(\gamma^{2}\left(\omega_{0}+\frac{1}{2}\gamma\right)^{2}+\left(\omega_{0}^{2}-\left(\omega_{0}+\frac{1}{2}\gamma\right)\right)^{2}\right)=\frac{F_{0}^{2}}{m^{2}}</math>:<br />
<math>A=\frac{\frac{F_{0}}{m}}{\sqrt{\gamma^{2}\left(\omega_{0}+\frac{1}{2}\gamma\right)^{2}+\left(\omega_{0}^{2}-\left(\omega_{0}+\frac{1}{2}\gamma\right)\right)^{2}}}</math><br />
<br />
[[Imagen:diagramavec6.png|200px|thumb|right|Figura 6. Caso (e) ]]<br />
(e) <math>\omega\gg\omega</math><br />
<br />
Procediendo como antes pero en la ultima figura se tiene<br />
<math>\tan\phi=\frac{\gamma\omega A}{A\left(\omega^{2}-\omega_{0}^{2}\right)}</math>:<br />
<math>=\frac{\gamma\omega}{\left(\omega^{2}-\omega_{0}^{2}\right)}</math>:<br />
<math>=\frac{\gamma}{\omega}</math>:<br />
<math>\phi=\arctan\frac{\gamma}{\omega}</math><br />
Y para la amplitud:<br />
<math>\gamma^{2}\omega^{2}A^{2}+A^{2}\left(\omega^{2}-\omega_{0}^{2}\right)^{2}=\frac{F_{0}^{2}}{m^{2}}</math>:<br />
<math>A^{2}\left(\gamma^{2}\omega^{2}+\left(\omega^{2}-\omega_{0}^{2}\right)^{2}\right)=\frac{F_{0}^{2}}{m^{2}}</math>:<br />
<math>A=\frac{\frac{F_{0}}{m}}{\sqrt{\gamma^{2}\omega^{2}+\left(\omega^{2}-\omega_{0}^{2}\right)^{2}}}</math>:<br />
<math>A=\frac{\frac{F_{0}}{m}}{\sqrt{\gamma^{2}\omega^{2}+\left(\omega^{2}\right)^{2}}}</math>:<br />
<math>A=\frac{\frac{F_{0}}{m}}{\sqrt{\omega^{2}\left(\omega^{2}+\gamma^{2}\right)}}</math>:<br />
<math>A=\frac{\frac{F_{0}}{m}}{\omega\sqrt{\omega^{2}+\gamma^{2}}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema 5.2 ==<br />
<br />
'''A system with $m=0.010$ <math>kg</math>, <math>s=36 N m^{-1}</math> y <math>b=0.50 kg s^{-1}</math> is driven by a harmonically varying force of amplitude <math>3.6</math>N. Find the amplitude <math>A</math> and the phase constant <math>\phi</math> of the steady-state motion when the angular frequency is:'''<br />
'''a)<math>8.0 s^{-1}</math>, b)<math>80 s^{-1}</math> y c)<math>800 s^{-1}</math>. '''<br />
<br />
'''Un sistema con <math>m=0.010</math> <math>kg</math>, <math>s=36 N m^{-1}</math> y <math>b=0.50 kg s^{-1}</math> es impulsado por una fuerza que varía armónicamente de amplitud <math>3.6</math>N. Encuentra la amplitud <math>A</math> y la constante de fase <math>\phi</math> del estado estacionario de movimiento cuando la frecuencia es:'''<br />
'''a)<math>8.0 s^{-1}</math>, b)<math>80 s^{-1}</math> y c)<math>800 s^{-1}</math>. '''<br />
<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
La amplitud de un sistema amortiguado es:<br />
\[<br />
A=\frac{F_0}{m}\lbrace\frac{1}{(\omega^2 _0 - \omega^2)^2+\gamma^2 \omega^2}\rbrace ^{1/2} --------(1)<br />
\]<br />
<br />
Con:<br />
\[\omega\ ^2_0 = \frac{s}{m}=\frac{36 N m^{⁻1}}{0.01 kg}=3600 s^{-2}--------(2)<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\gamma^2= \left( \frac{b}{m} \right)^2= \left( \frac{0.5 kg s^{-1}}{0.01kg}\right)^2=2500 -------(3)\]<br />
<br />
Sustituyendo los valores de (2) y (3) en (1), así como la fuerza y masa.<br />
\[<br />
A=\frac{3.6N}{0.01kg}\lbrace\frac{1}{(3600 s^{-1} - \omega^2)^2+(2500 s^{-2}) \omega^2}\rbrace ^{1/2}=360 N kg^{-1} \lbrace\frac{1}{(3600 s^{-1} - \omega^2)^2+(2500 s^{-2}) \omega^2}\rbrace ^{1/2}--------(4)<br />
\]<br />
<br />
Por otro lado, el ángulo de fase es:<br />
<br />
\[<br />
\phi = angtg \left( -\frac{\gamma \omega}{\omega_0 ^2 - \omega^2}\right)=angtg\left( -\frac{5 0\omega s^{-2}}{3600 s^{-2} - \omega^2}\right)--------(5)<br />
\]<br />
<br />
Empleando (4) y(5) se obtine:<br />
<br />
<br />
Para $\omega =8.0 s^{-1}$<br />
\[<br />
A=100mm<br />
\]<br />
\[<br />
\phi=-6.5°<br />
\]<br />
<br />
Para $\omega=80 s^{-1}$<br />
\[<br />
A=74mm<br />
\]<br />
\[<br />
\phi=55 ^o \approx-125^o<br />
\]<br />
<br />
Para $\omega=800 s^{-1}$<br />
\[<br />
A=0.56mm<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\phi=3.59^o \approx-176°<br />
\]<br />
<br />
<br />
Resuelto por Luis Santos --[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 00:42 8 mar 2015 (CST)<br />
<br />
[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 01:42 17 feb 2014 (UTC)<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:MISS|MISS]] ([[Usuario discusión:MISS|discusión]]) 01:12 21 may 2013 (CDT)<br />
----<br />
== Problema 5.3 ==<br />
<br />
===Solución 1===<br />
'''Show that the displacement amplitud A is a maxium at the driving<br />
'''frequency given by''' $\omega_{R}^{2}=\omega_{0}^{2}-\frac{1}{2}\gamma^{2}$<br />
<br />
$\;$<br />
'''Muestra que la amplitud del desplazamiento A es máxima cuando la frecuencia está dada por $\omega_{R}^{2}=\omega_{0}^{2}-\frac{1}{2}\gamma^{2}$ .'''<br />
<br />
<br />
Partimos de la ecuación de movimiento para un movimiento forzado y<br />
amortiguado<br />
<br />
\[<br />
\ddot{\psi}+\gamma\dot{\psi}+\omega_{0}^{2}\psi=\frac{F_{0}}{m}\cos\omega t\qquad\<br />
\]<br />
<br />
<br />
teniendo como solución la combinación lineal de su solución homogénea<br />
y su solución particular<br />
<br />
\[<br />
\psi_{h}(t)=e^{-\beta t}[A_{1}e^{\sqrt{\beta^{2}-\omega_{0}^{2}}t}+A_{2}e^{-\sqrt{\beta^{2}-\omega_{0}^{2}}t}]\quad;\;\beta=\frac{\gamma}{2}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\psi_{p}(t)=D\cos(\omega t+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
por sustitución en la ecuación de movimiento y desarrollando $\cos(\omega t-\delta)$<br />
y $\sin(\omega t-\delta)$ obtenemos:<br />
<br />
\[<br />
\{A-D[(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})\cos\delta+2\omega\beta\sin\delta]\}\cos\omega t-\{D[(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})\sin\delta-2\omega\beta\cos\delta]\}\sin\omega t=0<br />
\]<br />
<br />
<br />
del primer término se obtiene la relación para la amplitud dada por<br />
<br />
\[<br />
D=\frac{A}{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})\cos\delta+2\omega\beta\sin\delta}\qquad(1)<br />
\]<br />
<br />
y la relación para $\cos\delta$ y $\sin\delta$<br />
se obtiene del segundo término <br />
<br />
\[<br />
\tan\delta=\frac{2\omega\beta}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\sin\delta=\frac{2\omega\beta}{\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\omega^{2}\gamma^{2}}}<br />
\]<br />
\[<br />
\cos\delta=\frac{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}{\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\omega^{2}\beta^{2}}}<br />
\]<br />
y así, sustituyendo estas dos últimas expresiones en (1) obtenemos<br />
<br />
\[<br />
D=\frac{A}{\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\omega^{2}\beta^{2}}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Para hallar la pulsación $\omega_{R}$ para la cual la amplitud D<br />
es máxima efectuamos la derivación<br />
<br />
\[<br />
\frac{dD}{d\omega}|_{\omega=\omega_{R}}=0<br />
\]<br />
<br />
<br />
:$\frac{dD}{d\omega}=-\frac{1}{2}\frac{A[-4\omega_{R}(\omega_{0}^{2}-\omega_{R}^{2})+8\omega_{R}\beta^{2}]}{[(\omega_{0}^{2}-\omega_{R}^{2})^{2}+4\omega_{R}^{2}\beta^{2}]^{3/2}}=0\quad\Rightarrow8\omega\beta^{2}=4\omega(\omega_{0}^{2}-\omega_{R}^{2})\;\Rightarrow2\beta^{2}=\omega_{0}^{2}-\omega_{R}^{2}$<br />
<br />
y por la tanto así queda demostrado <br />
<br />
\[<br />
\omega_{R}^{2}=\omega_{0}^{2}-2\beta^{2}\quad;\;\beta=\frac{\gamma}{2}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\omega_{R}^{2}=\omega_{0}^{2}-\frac{1}{2}\gamma^{2}<br />
\]<br />
<br />
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 17:33 15 feb 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
===Solución 2===<br />
<br />
'''Show tha the displacement amplitude $A$ is a maximun at the driving frequency given by $\;\omega^2=\omega_0^2-\tfrac{1}{2}\gamma^2 $.'''<br />
<br />
''SOLUCIÓN'':<br />
<br />
Sabemos que para un sistema forzado amortiguado, la solución para el estado estable del sistema es:<br />
<br />
\[ \psi=A \, \cos(\omega \, t +\phi) \]<br />
<br />
De donde la amplitud es <br />
\[ A=\frac{F_0}{b\,\omega} \left( \frac{\gamma^2 \, \omega^2}{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\gamma^2\,\omega^2} \right)^{1/2} <br />
=\frac{(F_0/b)\, \gamma}{ \left[ (\omega_0^2-\omega^2)^2+\gamma^2\,\omega^2 \right]^{1/2}}\]<br />
<br />
[[Archivo:Main.figure.5.3.a.png|thumb|400px|Curva de respuesta de un sistema ligeramente amortiguado con $Q=5$, mostrando la amplitud $A$ dependiente de la frecuencia angular $\omega$, todo esto debido a una fuerza externa $F_0\,\cos(\omega\,t)$. Obsérvese como la amplitud tiene su máximo cerca de $\omega_0$.]]<br />
<br />
Para obtener el punto $\omega$ en el cual la amplitud $A$ es máxima, usamos el criterio de la derivada, i.e.,<br />
\[ \left. \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}\omega} \right|_{\omega_{max}} =0 \]<br />
<br />
Y resolviendo la derivada obtenemos la frecuencia de resonancia, $\omega$.<br />
<br />
\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\omega} \left[ \frac{(F_0/b)\, \gamma}{ \left[ (\omega_0^2-\omega^2)^2+\gamma^2\,\omega^2 \right]^{1/2}} \right] =<br />
\left( -\frac{F_0 \, \gamma}{b} \, \omega \right) <br />
\left( \frac{2(\omega_0^2-\omega^2)-\gamma^2}{\left[ (\omega_0^2-\omega^2)^2+\gamma^2 \, \omega^2 \right]^{3/2}} \right) =0 \]<br />
<br />
Como $\frac{F_0 \, \gamma}{b} \,\omega \neq 0$, entonces <br />
<br />
\[ 2(\omega_0^2-\omega^2)-\gamma^2=0 \quad \Longrightarrow \quad \omega^2=\omega_0^2-\frac{1}{2}\gamma^2 \]<br />
<br />
<br />
Solución hecha por [[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 20:27 15 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema 5.4 ==<br />
===Solución 1===<br />
<br />
'''Show that the acceleration amplitude $\omega^{2}A$ is a maximum at<br />
the driving frequency given by'''<br />
<br />
$\omega^{2}=\omega_{0}^{2}/(1-\gamma^{2}/2\omega_{0}^{2})\simeq\omega_{0}^{2}+\frac{1}{2}\gamma^{2}$<br />
<br />
'''where the approximation is good when the damping is very light.'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
Primero nombremos $\omega^{2}=z$ y $\omega_{0}^{2}=x$ por facilidad<br />
de escritura, entonces tenemos que la amplitud de acceleración es<br />
$zA$, y esto es igual a $\frac{F_{0}\omega}{B}\left[\frac{\gamma^{2}\omega^{2}}{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})+\gamma^{2}\omega^{2}}\right]^{1/2}$<br />
o $\frac{F_{0}}{B}\left[\frac{\gamma^{2}z^{2}}{(x-z)+\gamma^{2}z}\right]^{1/2}$<br />
simplemente haciendo las sustituciones propuestas.<br />
<br />
Por lo que $zA=\frac{F_{0}}{B}\left[\frac{\gamma^{2}z^{2}}{(x-z)+\gamma^{2}z}\right]^{1/2}$<br />
, al derivar esto con respecto a z e igualarlo a cero para hacerlo<br />
un máximo, vemos que el factor $\frac{F_{0}}<br />
----<br />
{B}$ y la parte inferior<br />
de la derivada del cociente desaparecen al igual que el cociente de<br />
la raíz, por lo que <br />
<br />
sólo nos va a interesar la parte superior de la derivada, y lo escribimos.<br />
<br />
$\left[(x-z)^{2}+\gamma^{2}z\right](2\gamma^{2}z)-\gamma^{2}z^{2}\left[-2(x-z)+\gamma^{2}\right]=0$<br />
<br />
Haciendo algunas simplificaciones algebraicas sencillas<br />
<br />
$2(x^{2}-2xz+z^{2})+\gamma^{2}z=-2z(x-z)$<br />
<br />
Por lo que<br />
<br />
$-2xz+\gamma^{2}z+2x^{2}=0$<br />
<br />
$z(-2x+\gamma^{2})=-2x^{2}$<br />
<br />
$z=\frac{-2x^{2}}{-2x+\gamma2}$<br />
<br />
$z=\frac{x}{1-\frac{\gamma^{2}}{2x}}$<br />
<br />
O resustituyendo<br />
<br />
$\omega^{2}=\omega_{0}^{2}/(1-\gamma^{2}/2\omega_{0}^{2})\simeq\omega_{0}^{2}+\frac{1}{2}\gamma^{2}$<br />
<br />
Nota: Tomar en cuenta que la parte de las simplificaciones fue omitida<br />
puesto que es pura álgebra y el lector la puede hacer fácilmente.<br />
<br />
[[Usuario:Edgar Ortega Roano|Edgar Ortega Roano]] 09:58 12 feb 2014 (CDT)<br />
<br />
----<br />
<br />
===Solución 2===<br />
<br />
'''Show that the acceleration amplitude $\; \omega^2\,A \;$ is a maximun at the driving frequency given by $\; \omega^2=\omega_0^2/(1-\gamma^2/2\omega_0^2) \approx \omega_0^2 + \tfrac{1}{2}\gamma^2$, where the approximation is good when the damping is very light.'''<br />
<br />
La solución a un sistema amortiguado y forzado es <br />
<br />
\[ \psi(t)=A\,\cos(\omega\,t+\phi) = \left(\frac{F_0}{b\,\omega}\right) \left( \frac{\gamma^2 \, \omega^2}{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\gamma^2\,\omega^2} \right)^{1/2} \cos(\omega\,t+\phi) \]<br />
<br />
Derivando la aceleración...<br />
<br />
\[ \ddot{\psi}(t)=-\left(\frac{F_0 \, \omega}{b}\right) \left( \frac{\gamma^2 \, \omega^2}{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\gamma^2\,\omega^2} \right)^{1/2} \cos(\omega\,t+\phi) \]<br />
<br />
Derivando la amplitud con respecto a $\omega$ e igualando a cero...<br />
<br />
\[ \frac{\mathrm{d\,(A\,\omega^2)}}{\mathrm{d}\omega}<br />
=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\omega} \left[ \left(\frac{F_0 \, \omega}{b}\right) \left( \frac{\gamma^2 \, \omega^2}{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\gamma^2\,\omega^2} \right)^{1/2} \right] <br />
= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\omega} \left[ \left(\frac{F_0}{b}\right) \frac{\gamma \, \omega^2}{\left( (\omega_0^2-\omega^2)^2+\gamma^2\,\omega^2 \right)^{1/2}} \right] =0\]<br />
\[ \Longrightarrow \quad \left( \frac{F_0}{b} \right) \left[ \frac{2\,\omega}{((\omega_0^2-\omega^2)^2+\gamma^2\,\omega^2)^{1/2}}<br />
-\frac{\tfrac{1}{2}\omega^2(2(-2\omega)(\omega_0^2-\omega^2)+2\gamma^2\omega)}{((\omega_0^2-\omega^2)^2+\gamma^2\,\omega^2)^{3/2}} \right]=0 \]<br />
<br />
\[ \Longrightarrow \quad \frac{2\omega(\omega_0^2-\omega^2)+2\omega^3(\omega_0^2-\omega^2)+2\gamma^2\,\omega^3-\gamma^2\,\omega^3}{((\omega_0^2-\omega^2)^2+\gamma^2\,\omega^2)^{3/2}} =0 \]<br />
<br />
Lo anterior solo es posible cuando el numerador es igual a cero.<br />
<br />
\[ \Longrightarrow 2\omega(\omega_0^2-\omega^2)+2\omega^3(\omega_0^2-\omega^2)+2\gamma^2\,\omega^3-\gamma^2\,\omega^3=0 \]<br />
<br />
Dividiendo entre $\omega$.<br />
\[ \Longrightarrow 2(\omega_0^2-\omega^2)^2+2\omega_0^2\,\omega^2-2\omega^4+\gamma^2\,\omega^2=0 \]<br />
<br />
Despejando $\omega$ de la ecuación anterior...<br />
<br />
\[ 2(\omega^4-2\omega_0^2\,\omega^2+\omega^4)+2\omega_0^2\,\omega^2-2\omega^4+\gamma^2\,\omega^2=\omega_0^4-\omega_0^2\omega^2+\frac{1}{2}\gamma^2\,\omega^2=0 \]<br />
<br />
\[ \omega_0^4-\omega^2(\omega_0^2-\frac{1}{2}\gamma^2)=0 \]<br />
<br />
\[ \omega^2=\frac{\omega^4_0}{\omega_0^2-\tfrac{1}{2}\gamma^2} \]<br />
<br />
Dividiendo el numerador y el denominador por $\omega^2$...<br />
<br />
\begin{equation}\label{2.1}\tag{2.1} <br />
\omega^2=\frac{\omega_0^2}{1-\gamma^2/(2\,\omega_0^2)} <br />
\end{equation}<br />
<br />
Podemos aplicar la aproximación <br />
<br />
\begin{equation}\label{2.2}\tag{2.2} <br />
(1-2\,x^2)^{-1} \approx 1+2\,x^2 <br />
\end{equation}<br />
<br />
, para $x\ll1$ lo suficientemente pequeña, a la ec. $(2.1)$. Por eso si elegimos $x=\frac{\gamma}{2\,\omega_0}$, entonces como $x=\frac{\gamma}{2\,\omega_0}\ll1$ implica que $\gamma\ll2\,\omega_0$ que es la relación que describe un '''''amortiguamiento muy ligero'''''.<br />
<br />
\[ \omega^2=\omega_0^2 \left( 1-\frac{\gamma^2}{2\,\omega_0^2} \right)^{-1} =\omega_0^2 \left( 1-2\left(\frac{\gamma}{2\,\omega_0}\right)^2 \right)^{-1} \]<br />
<br />
Elegimos $x=\frac{\gamma}{2\,\omega_0}$ y aplicamos la ec. $(2.2)$<br />
<br />
\[ <br />
\omega^2 \approx \omega_0^2 \left( 1+2 \left( \frac{\gamma}{2\,\omega_0} \right)^2 \right)<br />
\]<br />
<br />
Simplificando....<br />
<br />
\begin{equation}\label{2.3}\tag{2.3} <br />
\omega^2 \approx \omega_0^2+\frac{1}{2}\gamma^2 <br />
\end{equation}<br />
<br />
--[[Usuario:Rosario Maya|Rosario Maya]] ([[Usuario discusión:Rosario Maya|discusión]]) 23:13 15 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
== Problema 5.5 ==<br />
<br />
''' A certain system has $\nu_{0}=$50 Hz exactly and Q=10 excactly.<br />
Compare the numericale values of:'''<br />
<br />
'''a) A the resonance angular frecuency $\omega_{0},b)$ the angular<br />
frecuency of the free vibrations $\omega_{f},$c)the''' '''value of<br />
$\omega$ at which the displacement amplitude A is a maximun, and<br />
d) the value of $\omega$ at which the''' '''aceleration amplitude<br />
$\omega^{2}$is a maximun.'''<br />
<br />
'''Cierto sistema tiene $\nu_{0}=$50 Hz exactamente y Q=10 exactamente.<br />
Compare los valores numéricos''' '''de:'''<br />
<br />
'''a) La frecuencia angular de resonancia $\omega_{0}$:'''<br />
<br />
Para calcular $\omega_{0},$se utiliza la siguiente definición: $\omega=2\pi\nu$<br />
que para $\omega_{0}$, se convierte en $\omega_{0}=2\pi\nu0$.<br />
<br />
Al sustituir los valores dados, dentro de la ecuación, se obtiene:<br />
<br />
\[<br />
\omega_{0}=2\pi(50Hz)=314.16rad/seg<br />
\]<br />
<br />
<br />
'''b)La frecuencia angular para vibraciones libres:'''<br />
<br />
Para obtener la frecuencia angular para vibraciones libres, se ocupa<br />
la siguiente definición:<br />
<br />
\[<br />
\omega=\omega_{0}\left[1-\left(\gamma/2\omega_{0}\right)^{2}\right]^{1/2}<br />
\]<br />
<br />
<br />
En donde se utiliza la siguiente relación: $\gamma=\frac{\omega_{0}}{Q}$<br />
<br />
Al sustituir las ecuaciones anteriores con los datos, se obtiene:<br />
<br />
\[<br />
\gamma=31.416<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\omega=314.16\left[1-(31.416/628.31)^{2}\right]^{1/2}=313.76rad/seg<br />
\]<br />
<br />
<br />
Se puede observar que $\omega$ y $\omega_{0},$ valen prácticamente<br />
lo mismo.<br />
<br />
'''c)El valor de $\omega$ en el que la amplitud A, sea un máximo:'''<br />
<br />
Primero se utiliza la siguiente relación:<br />
<br />
\[<br />
x(t)=Asen(\omega t+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Que se deriva para obtener el punto crítico en el que A es un máximo,<br />
y se obtiene:<br />
<br />
\[<br />
Cos(\omega t+\phi)=0<br />
\]<br />
<br />
<br />
En donde se aplica el arcoseno con el propósito de despejar a $\omega$:<br />
<br />
\[<br />
\omega t=\frac{\pi}{2}-\phi<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\omega=\frac{\pi}{2t}=\frac{\pi}{2\nu_{0}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Al sustituir, con los valores dados, se obtiene: $\omega=0.314$ rad/seg<br />
<br />
'''d)El valor de $\omega$ para el cual la amplitud de la aceleración<br />
y $\omega^{2}A$ es un máximo:'''<br />
<br />
Este valor, se obtiene con la segunda derivada de la siguiente ecuación:<br />
<br />
\[<br />
\frac{}{}<br />
\]<br />
\[<br />
\frac{d^{2}x}{dt}Asen(\omega t+\phi)=-A\omega sen(\omega t)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
-A\omega sen\omega t=0<br />
\]<br />
<br />
<br />
Al despejar el $\omega$ utilizando el arcoseno, se obtiene:<br />
<br />
\[<br />
0=\omega t<br />
\]<br />
<br />
<br />
Por ende, $\omega=0$<br />
<br />
[[Usuario:Ana Alarid|Ana Alarid]] ([[Usuario discusión:Ana Alarid|discusión]]) 03:31 26 feb 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema 5.6 ==<br />
<br />
''' Show that value of the displacement amplitude A at the excact<br />
maximum of its response curve is '''<br />
<br />
Traducción: '''Muestre que el valor de desplazamiento de la amplitud'''<br />
''' A en el maximo exacto de su curva de resuesta es:'''<br />
<br />
\[<br />
A_{max}=\left(\frac{QF_{0}}{s}\right)\left(1-\frac{1}{4Q^{2}}\right)^{-1/2}\thickapprox\left(\frac{QF_{0}}{s}\right)\left(1+\frac{1}{8Q^{2}}\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Como ya sabemos la amplitud esta dada por la siguiente ecuación:<br />
<br />
\[<br />
A=\frac{F_{0}}{m}\left[\frac{1}{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}\right]^{1/2}-------(1)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Tambien conocemos las siguientes ecuaciones:<br />
\[<br />
Q=\frac{\omega_{0}}{\gamma}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Cuanto mayor es el valor de Q menor es el efecto disipativo y mayor<br />
el numero de ciclos de oscilaciones libres para una disminución dada<br />
de amplitud. <br />
<br />
\[<br />
\omega^{2}=\frac{s}{m}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\gamma=\frac{b}{m}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Ahora bien haciendo álgebra y utilizando las ec. anteriores podemos llegar a:<br />
<br />
\[<br />
A=\frac{F_{0}}{m\omega_{0}}\frac{\omega/\omega_{0}}{\left[\left(\frac{\omega_{0}}{\omega}-\frac{\omega}{\omega_{0}}\right)^{2}+\frac{1}{Q^{2}}\right]^{1/2}}<br />
\]--(2)<br />
<br />
<br />
O bien:<br />
<br />
\[<br />
A=\frac{F_{0}}{s}\frac{\omega_{0/}\omega}{\left[\left(\frac{\omega_{0}}{\omega}-\frac{\omega}{\omega_{0}}\right)^{2}+\frac{1}{Q^{2}}\right]^{1/2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
La mayor parte de la variación de la fase se produce en un intervalo<br />
de frecuencias que va aproximadamente desde $\omega_{0}\left(1-\frac{1}{Q}\right)$hasta<br />
$\omega_{0}\left(1+\frac{1}{Q}\right),$en el limite $Q\rightarrow\infty$.<br />
<br />
La amplitud A pasa por un máximo para cualquier valor de Q mayor de<br />
$1/\sqrt{2}$, es decir, para todos los sistemas excepto los amortiguados<br />
con mayor intensidad.<br />
<br />
Esta amplitud máxima se presenta, a una frecuencia $\omega_{m}$que<br />
es menor que $\omega_{0}$. Si llamamos Ao a la amplitud $\frac{F_{0}}{s}$<br />
obtenida para $\omega\rightarrow0$, se obtendrán las siguientes ecuaciones:<br />
<br />
\[<br />
\omega_{m}=\omega_{0}\left(1-\frac{1}{2Q^{2}}\right)^{1/2}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
A_{m}=A_{0}\frac{Q}{\left(1-\frac{1}{4Q^{2}}\right)^{1/2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Por lo tanto queda demostrado que: <br />
<br />
\[<br />
A_{m}=\frac{F_{0}}{s}\frac{Q}{\left(1-\frac{1}{4Q^{2}}\right)^{1/2}}\thickapprox\frac{F_{0}}{s}\frac{Q}{\left(1+\frac{1}{8Q^{2}}\right)}<br />
\]<br />
<br />
<br />
----<br />
Aquí el álgebra para llegar de (1) a (2).<br />
<br />
Se tiene la ecuación:<br />
\[A=\frac{F_0}{m}=\left[\frac{1}{(\omega_0 ^2 -\omega^2)^2+\gamma^2 \omega^2} \right] \]<br />
y las relaciónes:<br />
\[<br />
\omega_0 ^2 =\frac{s}{m} <br />
\]<br />
\[<br />
\gamma=\frac{b}{m} <br />
\]<br />
\[<br />
Q=\frac{\omega_0}{\gamma} <br />
\]<br />
<br />
Por lo que podemos escribir los siguiente:<br />
\[<br />
A=\frac{F_0}{m}\frac{\omega_0}{\omega}\frac{\frac{\omega}{\omega_0}}{\left[(\omega_0 ^2-\omega^2)^2 + \gamma^2 \omega^2 \right]^{1/2} }<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
A=\frac{F_0}{m}\frac{\frac{\omega}{\omega_0}}{{\left[\left(\frac{\omega}{\omega_0} \right)^2 (\omega_0 ^2 -\omega^2)^2 + \left( \frac{\omega}{\omega_0}\right)^2\gamma^2\omega^2 \right]^{1/2} } }<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
A=\frac{F_0}{m}\frac{\frac{\omega}{\omega_0}}{{\left[\left(\frac{\omega}{\omega_0} \right)^2 (\omega_0 ^2 -\omega^2)^2 + \frac{1}{Q} \omega^4\right]^{1/2} } }<br />
\] <br />
<br />
<br />
\[<br />
A=\frac{F_0}{m\omega_0 ^2}\frac{\frac{\omega}{\omega_0}}{{\left[\left(\frac{1}{\omega_0 \omega} \right)^2 (\omega_0 ^2 -\omega^2)^2 + \frac{1}{Q}\right]^{1/2} } }<br />
\] <br />
<br />
Finalmente:<br />
<br />
\[<br />
A=\frac{F_0}{m\omega_0 ^2}\frac{\frac{\omega}{\omega_0}}{{\left[ (\frac{\omega_0}{\omega} -\frac{\omega}{\omega_0})^2 + \frac{1}{Q}\right]^{1/2} } }=\frac{F_0}{s}\frac{\frac{\omega}{\omega_0}}{{\left[ (\frac{\omega_0}{\omega} -\frac{\omega}{\omega_0})^2 + \frac{1}{Q}\right]^{1/2} } }<br />
\] <br />
<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 00:24 9 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Daniel Olvera Moreno]] 22:40 21 de feb 2014 [[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] ([[Usuario discusión:Cesar Ivan Avila Vasquez|discusión]]) 17:10 25 Febrero 2014<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema 5.7 == <br />
<br />
''' Show that the value of the acceleration amplitude $\omega^{2}A$<br />
at the exact maximum of its response curve is '''<br />
<br />
\[<br />
\left(\omega^{2}A\right)_{m}=\left(QF_{0}/m\right)\left(1-1/4Q^{2}\right)^{-1/2}\thickapprox\left(QF_{0}/m\right)\left(1+1/8Q^{2}\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Ya que anteriormente habiamos calculado $A_{m}$<br />
<br />
\[<br />
A_{m}=\frac{F_{0}}{s}\frac{Q}{\left(1-\frac{1}{4Q^{2}}\right)^{1/2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
lo unico que debemos hacer es multiplicar en los dos lados de la ecuacion<br />
por $\omega^{2}$y sabiendo tambien que $\omega^{2}=\frac{s}{m}$<br />
obtendremos que <br />
<br />
\[<br />
\left(\omega^{2}A\right)_{m}=\frac{F_{0}}{m}\frac{Q}{\left(1-\frac{1}{4Q^{2}}\right)^{1/2}}\thickapprox\frac{F_{0}}{m}\frac{Q}{\left(1+\frac{1}{8Q^{2}}\right)}<br />
\]<br />
--[[Usuario:Daniel Olvera Moreno]] 23:05 21 de feb 2014<br />
----<br />
<br />
== Problema 5.8 ==<br />
<br />
'''Figure 5.13 shows the mean power absorption (P) in watts, as a function of driving frequency in the resonance region. Find the numerical vaules of a) <math>\omega_{0}</math>, b)<math>\gamma</math>, and c) Q. d) If driving force is removed, after how many subsequent cycles will the energy of the system be <math>\displaystyle{\frac{1}{e}}</math> of its initial vaule?'''<br />
<br />
<br />
La figura 5.13 muestra la media de absorción de potencia (P) en watts, en función de la potencia de la frecuencia. Encontrar los valores numéricos de (a) <math>\omega_{0}</math>, (b) <math>\gamma</math>, y (c) Q. Si se retira la fuerza motriz, ¿después de cuantos ciclos posteriores la energía del sistema es <math>\displaystyle{\frac{1}{e}}</math> de su valor inicial.<br />
<br />
[[Archivo:Fig.5.13.jpg|400px]]<br />
<br />
a) Directamente de la figura 5.13, se observa que en su punto más alto la frecuencia es de 96Hz, por lo que<br />
<center><math>\displaystyle{\omega_{0}=2\pi\nu=2\pi(96hz)=603.18\frac{rad}{s}}</math></center><br />
<br />
b) Como <math>\gamma</math> esta dado por el ancho de la gráfica cuando su potencia es de la mitad de la máxima, de la figura se observa fácilmente que<br />
<center><math>\gamma=99hz-93hz=6hz</math></center><br />
<br />
c) De la ecuación 3.14 se tiene que<br />
<center><math>\displaystyle{Q=\frac{\omega_{0}}{\gamma}=100.53}</math></center><br />
<br />
d) De las ecuaciones 3.12 se sabe que la energía decae por un factor <math>\displaystyle{\frac{1}{e}}</math> al tiempo <math>\displaystyle{t=\frac{1}{\gamma}}</math>, es decir <math>\displaystyle{t=\frac{1}{6}s}</math><br />
<br />
<br />
Como<br />
<center><math>T=\displaystyle{\frac{1}{\nu}=\frac{1}{96}}</math></center><br />
<br />
se tiene que el número de ciclos esta dado por<br />
<center><math>\displaystyle{Ciclos=\frac{\nu}{\gamma}=\frac{96}{6}=16}</math></center><br />
<br />
[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 04:54 25 feb 2014 (UTC)<br />
Imagen --[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 00:15 15 mar 2015 (CDT) <br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema 5.9 ==<br />
'''If the system in problem 5.8 has m=0-010 Kg, calculate the force<br />
amplitude $F_o$ '''<br />
<br />
Primeramente escribimos los datos obtenidos del problema anterior<br />
<br />
$\omega_{0}=600\frac{rad}{s}$ $Q=16$$\gamma=38Hz$<br />
<br />
Ahora bien para calcular Fo podemos acudir a la ecuacion:<br />
<br />
\[<br />
P=\frac{F_{0}^{2}}{2M\gamma}\left[\frac{\gamma^{2}\omega^{2}}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}\right]<br />
\]<br />
<br />
<br />
Esta es la ecuacion para obtener P y la usaremos ya que del problema<br />
anterior podemos observar en la grafica que P es 20 W esto es porque<br />
el poblema dice que esta en resonancia, y cuando esta en resonancia<br />
P alcanza su maximo, de aqui tambien se observa que $\omega=\omega_{0}$<br />
, esta ecuacion se reducira a la siguiente<br />
<br />
\[<br />
P=\frac{F_{0}^{2}\omega_{0}Q}{2\gamma}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Y esta ecuacion puede convertirse en <br />
<br />
\[<br />
P=\frac{QF_{0}^{2}}{2m\omega_{0}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Ya que anteriormente se explico que se conoce P de la ecuaion se despejara<br />
para obtener Fo y tenemos que:<br />
<br />
\[<br />
F_{0}=\left[\frac{2Pm\omega_{0}}{Q}\right]^{1/2}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Por lo tanto <br />
\[<br />
F_{0}=3.87N\backsimeq3.9N<br />
\]<br />
--[[Usuario:Daniel Olvera Moreno]] 21:26 25 de feb 2014<br />
<br />
----<br />
==Problema 5.11==<br />
'''In form B the steady-state forced vibration is written'''<br />
\[<br />
\psi= B_{p}\cos\omega t + B_{q}\sin \omega t\]<br />
'''show that $\langle P\rangle = \dfrac{1}{2}\omega F_{0}B_{q}$ <br />
<br />
<br />
En la forma B; $B_{q}$ se define como :<br />
<br />
\[<br />
B_{q} = -A\sin\phi\]<br />
<br />
Utilizando la figura 5.2 del libro encontraremos a $\sin B\phi$ y de ahí obtendremos la amplitud, la cual resulta :<br />
<br />
[[Archivo:Diagramavec.png|thumb|420px|fig.5.2 Main]]<br />
\[<br />
A=\frac{F_{0}mB_{q}}{\gamma \omega}\]<br />
<br />
De acuerdo con el libro $\dot{\psi}= A\omega [R(\omega)]^\dfrac{1}{2}$ y $\langle\dot{\psi^{2}}\rangle=\dfrac{1}{2}(\omega A)^{2}$ entonces: <br />
<br />
\[<br />
\langle\dot{\psi^{2}}\rangle=\dfrac{1}{2}(\frac{F_{0}B_{q}}{b}[R(\omega)]\]<br />
<br />
Utilizando la ecuación 5.11 del libro $\langle P\rangle = b\dot{\psi^{2}}$ tenemos que:<br />
<br />
\[<br />
\langle P\rangle = \dfrac{1}{2}\omega F_{0}B_{q}\]<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 16:38 15 mar 2015 (CDT)Esther Sarai<br />
<br />
== Problema 5.12 ==<br />
<br />
'''Show that, for driving frequencies close to resonance $(\omega\thickapprox\omega_{0})$<br />
in a very lightly damped system, the response function (5.7) may be<br />
approximated by the Lorentzian'''<br />
<br />
Traduccion: '''Muestre que para frecuencias cerca de la resonancia $\left(\omega\approx\omega_{0}\right)$'''<br />
'''en un sistema muy ligeramente amortiguado, la función de respuesta (5.7)'''<br />
'''puede ser aproximada por el Lorentziano:'''<br />
<br />
\[<br />
L(\omega)=\frac{\frac{1}{4}\gamma^{2}}{(\omega_{0}-\omega)^{2}+\frac{1}{4}\gamma^{2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Sabemos que:<br />
<br />
\[<br />
R(\omega)=\frac{\gamma^{2}\omega^{2}}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Además tenemos que $\omega\thickapprox\omega_{0}$ y dado que el movimiento<br />
es muy ligeramente amortiguado tambien tenemos que $\omega_{0}\gg\frac{\gamma}{2}$<br />
y por lo cual $\omega\gg\frac{\gamma}{2}$ entonces:<br />
<br />
\[<br />
R(\omega)=\frac{\gamma^{2}\omega^{2}}{\left(\omega_{0}+\omega\right)^{2}\left(\omega_{0}-\omega\right)^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
R(\omega)=\frac{\gamma^{2}\omega^{2}}{\left(\omega\left(\frac{\omega_{0}}{\omega}+1\right)\right)^{2}\left(\omega_{0}-\omega\right)^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
R(\omega)=\frac{\gamma^{2}\omega^{2}}{\omega^{2}\left(\frac{\omega_{0}}{\omega}+1\right)^{2}\left(\omega_{0}-\omega\right)^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}=\frac{\gamma^{2}}{\left(\frac{\omega_{0}}{\omega}+1\right)^{2}\left(\omega_{0}-\omega\right)^{2}+\gamma^{2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Luego, con $\omega_{0}\thickapprox\omega$ tenemos que:<br />
<br />
\[<br />
R(\omega)\cong\frac{\gamma^{2}}{\left(1+1\right)^{2}\left(\omega_{0}-\omega\right)^{2}+\gamma^{2}}=\frac{\gamma^{2}}{4\left(\omega_{0}-\omega\right)^{2}+\gamma^{2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
R(\omega)=\left(\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}}\right)\frac{\gamma^{2}}{4\left(\omega_{0}-\omega\right)^{2}+\gamma^{2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Finalmente:<br />
<br />
\[<br />
\Rightarrow\frac{\frac{\gamma^{2}}{4}}{\left(\omega_{0}-\omega\right)^{2}+\frac{\gamma^{2}}{4}}=L(\omega)<br />
\]<br />
<br />
--[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] 00:01 20 Febrero 2014 (CDT)<br />
----<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 22:11 15 mar 2015 (CDT)Esther Sarai<br />
<br />
== Problema 5.14 ==<br />
<br />
'''By finding the value of''' $\omega$ '''which makes the compliance''' $\left|K(\omega)\right|$ '''a maximum, confirm the result of problem<br />
5.3.''' <br />
[[Archivo:The_shapes_of_K.png|400px|right|gráfica 5.8]]<br />
<br />
Sea $K(\omega)=\frac{1}{(s-m\omega^{2})+ib\omega}$ <br />
<br />
si queremos que $K(\omega)$ sea máximo esto sucede cuando el denomidador<br />
tiende a cero y para eso resolvemos $s-m\omega^{2}+ib\omega=0$ obteniendo<br />
entonces que<br />
<br />
\[\omega=\frac{ib}{2m}\pm(\frac{s}{m}-\left(\frac{b}{m}\right)^{2})^{\frac{1}{2}}\]<br />
<br />
Si ahora consideramos solamente la parte real donde $K(\omega)$ tiene un máximo (según la gráfica 5.8 de la página 66 de G.Main) tendremos que<br />
<br />
$\omega=\pm(\frac{s}{m}-\left(\frac{b}{m}\right)^{2})^{\frac{1}{2}}$<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 04:32 28 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
Imagen--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 00:52 15 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
==Problema 5.16==<br />
<br />
'''For the motion <math> \psi=(7.5 mm) cos[(6.28 s^{-1})t +27º]-(2.3 mm) sin[(6.20 s^{-1})t-121º]</math> find (a) the frequency, and (b) the time interval separating sucessive beats.'''<br />
<br />
'''Para el movimiento <math> \psi=(7.5 mm) cos[(6.28 s^{-1})t +27º]-(2.3 mm) sin[(6.20 s^{-1})t-121º]</math> encuentra (a) la frecuencia, y (b) el intervalo que separa las pulsaciones sucesivas.'''<br />
<br />
<br />
(a) Se tiene un movimiento que resulta de la superposición de dos movimientos, la vibración libre y una vibración forzada, por lo tanto se tienen diferentes frecuencias angulares <math>\omega_{1}</math> y <math>\omega_{2}</math>, entonces la frecuencia estará dada como sigue:<br />
<br />
<math>f=\frac{1}{T}=\frac{1}{\frac{2\pi}{\omega}}=\frac{\omega}{2\pi}</math><br />
<br />
donde se tienen dos valores distintos para <math>\omega</math> :<br />
<br />
<math>\omega_{1}=6.28s^{-1}</math> y:<br />
<br />
<br />
<math>\omega_{2}=6.20s^{-1}</math><br />
<br />
Entonces las frecuencias correspondientes a cada <math>\omega</math> son:<br />
<br />
<math>f_{1}=\frac{6.28}{2\pi}=0.999Hz</math> y:<br />
<br />
<br />
<math>f_{2}=\frac{6.20}{2\pi}=0.9867Hz</math><br />
<br />
Así la frecuencia correspondiente al movimiento <math>\psi</math> es:<br />
<br />
<math>\Rightarrow f\backsimeq0.99Hz</math><br />
<br />
(b) Dado que el periodo se relaciona de la siguiente forma con <math>\gamma</math>:<br />
<br />
<math>\tau=\frac{1}{\gamma}</math><br />
<br />
Y <math>\gamma</math> es:<br />
<br />
<math>\gamma=2\omega</math><br />
<br />
Se tiene:<br />
<br />
<math>\gamma=2(6.28)=12.56</math><br />
<br />
Y finalmente al sustituir obtenemos el valor del periodo:<br />
<br />
<math>\tau=\frac{1}{12.56}=0.0796s</math><br />
<br />
<br />
[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 23:32 19 feb 2014 (UTC)<br />
----<br />
<br />
== Problema 5.17 ==<br />
''' A single driving force produces a steady-state forced vibrations with amplitude $10mm$. A second driving force of the same frequency as the first, acting on the same system, produces a steady-state amplitude of $20mm$. When both forces are acting simultaneously, the steady-state amplitude is $15mm$. What is the phase difference between the two forces? '''<br />
<br />
''' Una fuerza produce una vibración forzada en estado estacionario con una amplitud de $10mm$. Una segunda fuerza de la misma frecuencia de la primera, actua sobre el mismo sistema y produce una amplitud de $20mm$. Cuando ambas fuerzas actuan de manera simultanea, la amplitud de estado estacionario es de $15mm$. ¿Cuál es la diferencia de fase entre las dos fuerzas?<br />
----<br />
<br />
La amplitud resultante para la superposición de dos vibraciones forzadas con la misma frecuencia, está dada por la ecuación $(5.25)$ del texto(Main):<br />
<br />
<math><br />
A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos(\alpha_2 - \alpha_1)<br />
</math><br />
<br />
donde $A$ es la amplitud resultante, $A_1$ y $A_2$ las amplitudes de las vibraciones que actuan sobre el sistema, $\alpha_1$ es la fase de la primera fuerza y $\alpha_2$ la fase de la segunda fuerza.<br />
<br />
Para este problema en específico, sabemos que $A_1 = 10 mm$, $A_2 = 20mm$ y $A = 15mm$, por lo que podemos escribir $A_2 = 2A_1$ y $A = 3/2 A_1$. Entonces, reescribiendo la ecuación para la amplitud resultante, tenemos que:<br />
<br />
<math><br />
\left(\dfrac{3}{2} A_1\right)^2 = A_1^2 + (2A_1)^2 + 2A_1(2A_1) \cos(\alpha_2 - \alpha_1)<br />
</math><br />
<br />
Y resolviendo para $\alpha_2 - \alpha_1$:<br />
<br />
<math><br />
\dfrac{9}{4} A_1^2 - A_1^2 - 4A_1^2 = 4A_1^2 \cos(\alpha_2 - \alpha_1) \\<br />
\dfrac{9}{4} A_1^2 - \dfrac{4}{4} A_1^2 - \dfrac{16}{4} A_1^2 = 4A_1^2 \cos(\alpha_2 - \alpha_1) \\<br />
- \dfrac{11}{4} A_1^2 = 4A_1^2 \cos(\alpha_2 - \alpha_1) \\<br />
\left(\dfrac{- \dfrac{11}{4} A_1^2}{4A_1^2}\right) = \cos(\alpha_2 - \alpha_1) \\<br />
\cos(\alpha_2 - \alpha_1) = - \dfrac{11}{16}<br />
</math><br />
<br />
Por lo que:<br />
<br />
<math><br />
\alpha_2 - \alpha_1 = \arccos\left(- \dfrac{11}{16}\right) \approx 2.328837 \approx 133.4^o<br />
</math><br />
<br />
Por lo tanto, la diferencia de fases entre las dos fuerzas es de $\approx 133.4^o$.<br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 17:09 10 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
==Problema 5.18 ==<br />
<br />
'''A simple seismometer consists of a mass hung on a spring attached to a rigid framework, which is fixed to the ground, with critical damping. The vertical displacement of the mass relative to the framework is recorded.'''<br />
<br />
'''a) Show that the measured amplitude A of the steady-state vibration resulting from a vertical displacement $Hcos(\omega t)$<br />
of the earth´s surface is given by'''<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{A}{H}=\frac{\omega}{2\omega_{0}}[R_{(\omega)}]^{\frac{1}{2}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
'''b) Show that, if the frecuencies of the detected disturbances lie in the region of mass controlled motion, the mass remains almost stationary when the ground moves.'''<br />
<br />
Interpretación al español latino<br />
<br />
'''5.18 Un simple sismómetro consiste en una masa colgada en un resorte unido a un marco rígido, que está fijado al suelo, con amortiguamiento crítico. El desplazamiento vertical de la masa en relación con el marco se registra.'''<br />
<br />
<br />
'''a) Demostrar que la amplitud A medida de la vibración de estado estacionario resultante de un desplazamiento vertical $Hcos(\omega t)$ de la superficie de la tierra está dado por'''<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{A}{H}=\frac{\omega}{2\omega_{0}}[R_{(\omega)}]^{\frac{1}{2}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
'''b) Demostrar que, si las frecuencias de las alteraciones detectadas se encuentran en la región del movimiento de masas controladas, la masa permanece casi estacionario cuando el suelo se mueve.'''<br />
<br />
El movimiento del sismómetro puede verse como un oscilador forzado, donde el movimiento terrestre es la fuerza externa oscilante, llamaremos:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\upsilon_{(t)}=Hcos(\omega t)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Encontramos que el cambio de momento:<br />
\begin{equation}<br />
p=m\dot{\upsilon} \Longrightarrow \frac{\delta p}{\delta t}=m\ddot{\upsilon}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
<br />
donde: <br />
\begin{equation}<br />
\ddot{\upsilon}=-H\omega^{2}cos(\omega t)<br />
\end{equation} <br />
<br />
Entonces por segunda ley de newton y tomando en cuenta que el movmiento es unidimensional. <br />
\begin{equation}<br />
F=\frac{\delta p}{\delta t} \Longrightarrow F(t)=-mH\omega^{2}cos(\omega t)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
<br />
Ahora bien para la descripción del movimiento del sismógrafo, tenemos de la anterior ecuación diferencial. <br />
<br />
\begin{equation}<br />
m\ddot{h}+2m\beta\dot{h}+m\omega_{0}^{2}h=-mH\omega^{2}cos(\omega t)<br />
\end{equation} <br />
<br />
<br />
La cual para simplificar dividimos entre la masa. <br />
\begin{equation}<br />
\ddot{h}+2\beta\dot{h}+\omega_{0}^{2}h=-H\omega^{2}cos(\omega t)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Sin embargo la solución homogénea es como lo indica el problema: amortiguamiento critico, por tanto nos quedaremos con una solución de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
h_{(t)}=Acos(\omega t-\phi)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Evaluando derivadas. <br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{h_{(t)}}=-A\omega sen(\omega t-\phi)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{h}_{(t)}=-A\omega^{2}cos(\omega t-\phi)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Sustituimos en la ecuación diferencial. <br />
<br />
\begin{equation}<br />
-A\omega^{2}cos(\omega t-\phi)-2A\beta\omega sen(\omega t-\phi)+A\omega_{0}^{2}cos(\omega t-\phi)=-H\omega^{2}cos(\omega t)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Y reagrupamos términos. <br />
<br />
\begin{equation}<br />
A(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})cos(\omega t-\phi)-2A\beta\omega sen(\omega t-\phi)]=-H\omega^{2}cos(\omega t)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De aquí se procederá, partiendo del producto interno entre dos funciones, se puede demostrar que:<br />
\begin{equation}<br />
\int_{0}^{T}cos(\omega t-\phi)sen(\omega t-\phi)=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De esto se puede concluir que ambas funciones son ortogonales, y de allí que forman un triangulo rectángulo donde la magnitud de sus catetos es el coeficiente de cada función. Ahora, la fuerza al no poseer el mismo argumento se dice oblicua a las anteriores, y de allí que su argumento corresponda a la hipotenusa, por lo tanto se puede armar por teorema de pitágoras. <br />
<br />
\begin{equation}<br />
H^{2}\omega^{4}=A^{2}[(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\beta^{2}\omega^{2}]<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Lo cual tras algunas manipulaciones algebraicas. <br />
<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{A^{2}}{H^{2}}=\frac{\omega^{4}}{[(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\beta^{2}\omega^{2}]}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Por la definición de <br />
<br />
\begin{equation}<br />
R_{(\omega)}\equiv\frac{4\beta^{2}\omega^{2}}{\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\beta^{2}\omega^{2}}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
<br />
Multiplicamos la original por el termino del numerador, tomando en cuenta las condiciones de amortiguamiento critico. <br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{A^{2}}{H^{2}}=\frac{\omega^{4}}{[(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\beta^{2}\omega^{2}]}\frac{4\omega_{0}^{2}\omega^{2}}{4\omega_{0}^{2}\omega^{2}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Al simplificar y reducir obtenemos. <br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{A}{H}=\frac{\omega}{2\omega_{0}}[R_{(\omega)}]^{\frac{1}{2}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De aquí que la máxima resonancia es cuando ambas frecuencias angulares son iguales, y entonces la amplitud es igual a un medio de la amplitud con que la tierra oscila. <br />
[[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 12:35 21 feb 2014 (UTC)<br />
--[[Usuario:Andrés Arturo Cerón Téllez|Andrés Arturo Cerón Téllez]] ([[Usuario discusión:Andrés Arturo Cerón Téllez|discusión]]) 21:55 29 jun 2013 (CDT)<br />
Se agregaron los símbolos para que apareciera una ecuación con el formato adecuado. --[[Usuario:Andrés Arturo Cerón Téllez|Andrés Arturo Cerón Téllez]] ([[Usuario discusión:Andrés Arturo Cerón Téllez|discusión]]) 22:37 5 jul 2013 (CDT)<br />
----<br />
<br />
==Problema 5.19==<br />
'''Una masa de 4 kg alarga 1cm un resorte, la masa se libera desde el reposo inicialmente desde ese punto que esta por arriba de la posición de equilibrio y el movimiento posterior ocurre en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a un cuarto de la velocidad instantánea; encuentre la ecuación de movimiento si se aplica una una fuerza externa igual a la velocidad instantánea.<br />
<br />
<br />
Datos <br />
<br />
<br />
m= 2 kg<br />
<br />
k=2<br />
<br />
<br />
condiciones iniciales<br />
<br />
<br />
<math>x(0)=1</math> y <math>x'(0)=8</math><br />
<br />
<br />
<math>2\lambda=\frac{\beta}{m}=\frac{9.8}{4}=2.45</math><br />
<br />
<br />
<math>\omega^{2}=\frac{K}{m}=\frac{2(9.8)}{4}=4.9</math><br />
<br />
<br />
<math>x''+2\lambda x'+\omega^{2}x=f(x)</math> <br />
<br />
<br />
<math>x''+2\lambda x'+\omega^{2}x=-x'</math><br />
<br />
<br />
sustituimons terminos<br />
<br />
<br />
<math>x''+2.45x'+4.9x=-x\text{'}</math><br />
<br />
<br />
<math>x''+2.45x'+4.9x=0</math><br />
<br />
<br />
la solucion a esta ecuacion diferencial es <br />
<br />
<math>x(t)=-e^{-1.7t}\cos(1.4t)+4.5e^{-1.7t}\sin(1.4t)</math><br />
<br />
<br />
<math>x'(t)=[-\cos(1.4t)+4.5\sin(1.4t)](1.7)+[1.4\cos(1.4t)+6.3\sin(1.4t)]</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:David Alberto Rojas Solis|David Alberto Rojas Solis]] ([[Usuario discusión:David Alberto Rojas Solis|discusión]]) 09:08 6 jul 2013 (CDT)<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 12:01 9 may 2013 (CDT)<br />
<br />
[[categoría:Vibra]]<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema Adicional 1==<br />
'''Cuando un automóvil va por un camino con ondulaciones regulares (como una tabla de lavar), los golpes hacen que las ruedas oscilen sobre los amortiguadores. Encontrar la velocidad del coche a la cual resuena la oscilacion, sabiendo que al subir en el auto cuatro personas de 80 kg, este se unde dos centimetros, cada eje con sus dos ruedas tiene una masa total de 50kg, y las ondulaciones en el piso estan cada 80cm.'''<br />
<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
Se tienen cuatro amortiguadores (resortes de Hooke), en paralelo,<br />
los que se comprimen 2cm al colocar<br />
<br />
sobre ellos cuatro masas de 80kg. Por la ley de Hooke se tiene:<br />
<br />
<br />
\[<br />
k_{e}=\frac{F}{4x}=\frac{(4)(80kg)(9.81\frac{m}{s})}{(4)(0.002m)}<br />
\]<br />
\[<br />
k_e \approx 4 \times 10 ^{4} \frac{N}{m}<br />
\]<br />
<br />
Cada par de llantas con su eje y amortiguadores constituyen un ascilador armonico descrito por:<br />
<br />
\[<br />
m\ddot{x}+2k_e x =0<br />
\]<br />
\[<br />
\ddot{x}+\frac{2K_e}{m} x =0<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\ddot{x}+\omega_0^2 x =0<br />
\]<br />
<br />
con \[\omega_0 ^2 = \frac{2k_e}{m}=\frac{2(4 \times 10^4 \frac{N}{m})}{50 kg}=1600 s^2<br />
\]<br />
<br />
Y con una frecuancia natural de oscilación de:<br />
\[\nu =\frac{\omega_0}{2 \pi}\]<br />
<br />
\[\nu=6 Hz\]<br />
<br />
Al pasar por un tramo de carretera ondulado, cada par de llantas será un ascilador forzado, por lo que ahora su comportamiento queda descrito por:<br />
<br />
\[<br />
\ddot{x}+\omega_0 ^2 x = (\frac{f_0}{m})cos(\omega t) ----------(2)\]<br />
<br />
Para esta ED se propone la solución:<br />
\[<br />
x=c_1 cos (\omega t) + c_2 sin(\omega t)<br />
\]<br />
<br />
con derivadas:<br />
\[\dot{x}= -c_1 \omega sin(\omega t) +c_2 \omega cos (\omega t)\]<br />
<br />
\[\ddot{x}=-c_1\omega^2 cos(\omega t)-c_2 \omega^2 sen(\omega t)\]<br />
<br />
Sustutuyendo en (2) se tiene:<br />
<br />
\[-c_1\omega^2 cos(\omega t)-c_2 \omega^2 sen(\omega t)+c_1 \omega_0 ^2 cos (\omega t) + c_2\omega_0 ^2 sin(\omega t)=(\frac{f_0}{m})cos(\omega t)<br />
\]<br />
<br />
De donde se tiene:<br />
<br />
\[c_2 =0\]<br />
<br />
\[c_1 (\omega_0 ^2 -\omega ^2)= \frac{f_0}{m}\]<br />
<br />
\[c_1 = A =\frac{f_0}{m(\omega_0 ^2 - \omega^2)}\]<br />
<br />
De esta ultima expreción, podemos ver que la amplitud sera pequeña cuando $\omega _0^2 -\omega^2$ sea grande pero crese abruptamente cuando $\omega \longrightarrow \omega _0$. El fenomeno de resonancia esta representado por el hecho de que el valor de A, sin tomar en cuenta el signo, resulta infinitamente grande si:<br />
<br />
\[\omega = \omega _0 =40 s\]<br />
<br />
Siendo<br />
\[V=\frac{\lambda}{\omega}= \frac{.08m}{40 s}\]<br />
Por lo que las llantas del auto estaran en resonancia cuando la velocidad sea:<br />
<br />
\[V\approx 5 ms^-1\]<br />
<br />
<br />
Tomado de: '''Mecánica clásica''' John R. Taylor ISBN:978-84-291-4312-6 PP.234<br />
Resuelto por Luis Enrique Santos.<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 22:58 5 mar 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
[[categoría:Vibra]]<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema Adicional 2==<br />
<br />
'''El gráfico muestra la curva de resonancia de potencia de un determinado sistema mecánico cuando se ve accionado por una fuerza <math>\F_{0}sen\omega t</math>, en donde <math>\F_{0}</math> es constante y <math>\omega</math> es variable.<br />
<br />
a)Hallar los valores numéricos de <math>\omega_{0}</math> y Q para este sistema.<br />
b)Si suprime la fuerza impulsora.¿Después de cuántos ciclos de oscilación libre ha descendido la energía del sistema a 1/e de su valor inicial?'''<br />
<br />
[[Archivo:gráf.jpg|350px|thumb|Gráfica]]<br />
<br />
Solución<br />
<br />
a)<br />
Observando la gráfica se tiene como punto mas alto a<br />
<br />
<math>\omega=40s^-1</math><br />
<br />
Para Q, usando <br />
<br />
<math>\displaystyle{\frac{\omega_{0}}{\gamma}}</math><br />
<br />
se sabe que <math>\gamma</math> es la anchura de la curva a la mitad de la altura máxima.<br />
<br />
<math>\gamma=41-39=6</math><br />
<br />
Sustituyendo en <br />
<br />
<math>\displaystyle{Q=\frac{\omega_{0}}{\gamma}=\frac{40}{2}=20}</math><br />
<br />
b) <br />
De <math>W≈\frac{1}{2}m\gamma^{2}A^{2}e^{-\gamma t}</math><br />
<br />
sabemos que la energía decae por un factor de 1/e al tiempo<br />
<br />
<math>t=\frac{1}{\gamma}</math><br />
<br />
<math>t=\frac{1}{2} s</math><br />
<br />
El número de ciclos se obtiene con <math>\displaystyle{\frac{\nu}{\gamma}}</math><br />
<br />
<math>\nu=\frac{\omega}{2Pi}=\frac{40}{2Pi}=6.51</math><br />
<br />
<math>ciclos=\frac{6.51}{2}=3.255</math><br />
<br />
<br />
Tomado de : Vibraciones y ondas. A. P. FRENCH pág. 132. Problema 4-13.<br />
Resuelto por: --[[Usuario:Luis Velázquez|Luis Velázquez]] ([[Usuario discusión:Luis Velázquez|discusión]]) 21:49 11 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
<br />
----<br />
==Problema adicional 3==<br />
'''Un objeto de masa de 2 kg cuelga de un muelle de masa despreciable. El muelle se alarga en 2.5 cm cuando se le sujeta dicho objeto. El extremo superior del muelle se hace oscilar hacia arriba y hacia abajo con un movimiento armónico simple de amplitud 1 mm. La Q del sistema es 15. <br />
'''a) ¿Cuál es <math>\omega_{0} </math> para el sistema?<br />
'''b) ¿Cuál es la amplitud de la oscilación formada para<math>\omega=\omega_{0}</math> ?<br />
'''c) ¿Cuál es la potencia media de entrada para mantener la osculación formada a una frecuencia 2% mayor que ? <br />
''' usando la expresión <math>P_{media} = \frac{\gamma F_{0}^2}{2m*(4 (\omega_{0}-\omega)^2+\gamma^2)}</math>'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
Consideraciones:<br />
1. Por el enunciado el problema se solucionará tomando la descripción de un movimiento armónico simple, considerando la oscilación forzada, dado que el resorte que es colgado tiene un término de fuerza restitutiva, fuerza amortiguada, una fuerza forzada y a una fuerza externa, por ende la expresión que cumple esta descripción es de la forma:<br />
<br />
<br />
\[<br />
\ddot{\psi}+\gamma\dot{\psi}+\omega_{0}^{2}\psi=\frac{F_{0}}{m}\cos\omega t\qquad\<br />
\]<br />
<br />
2. Una solución es <math>\psi= A Cos(\omega t + \phi)</math>, Donde la amplitud "A", es descrita por <math>A=\frac{F_{0}}{m}\left[\frac{1}{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}\right]^{1/2}</math> en donde se puede demostrar que ([[Problema 5.5]]) la amplitud máxima está dada por \[<br />
A_{m}=\frac{F_{0}}{s}\frac{\omega_{0/}\omega}{\left[\left(\frac{\omega_{0}}{\omega}-\frac{\omega}{\omega_{0}}\right)^{2}+\frac{1}{Q^{2}}\right]^{1/2}}<br />
\]<br />
.<br />
<br />
3. Como el resorte está colgado, dejaremos la suma de fuerzas es cero, dado que está en reposo y por Newton tenemos que: <math>F_{g}+F_{resorte}=0</math> Por lo tanto <math>mg=s\Delta x</math>, donde <math>s</math> es la constante del resorte y <math>\Delta x</math> es el desplazamiento con respecto de la vertical en donde el sistema está en reposo.<br />
<br />
<br />
'''a)''' Tomamos a <math>s=\frac{m g}{\Delta x}</math>, donde <math>\Delta x=2.5x10^{-2} m</math><br />
Donde <math>s= \frac{2 kg * 9.81 \frac{m}{s^2}}{2.5x10^{-2} m}= 784.8 \frac{N}{m}</math>, por <math>\omega = \sqrt{\frac{s}{m}}</math> obtenemos que <br />
<br />
<math>\omega =\sqrt{\frac{784.8 \frac{N}{m}}{2 km}}=19.80 Hz</math><br />
<br />
'''b)''' Tomando la expresión:<br />
<math>A_{m}=\frac{F_{0}}{s}\frac{\omega_{0/}\omega}{\left[\left(\frac{\omega_{0}}{\omega}-\frac{\omega}{\omega_{0}}\right)^{2}+\frac{1}{Q^{2}}\right]^{1/2}}<br />
</math><br />
En donde Conociendo <math>A_{0}</math> podemos expresar la ecuación anterior como:<br />
<math>A_{m}= A_{0} \frac{\omega_{0/}\omega}{\left[\left(\frac{\omega_{0}}{\omega}-\frac{\omega}{\omega_{0}}\right)^{2}+\frac{1}{Q^{2}}\right]^{1/2}}<br />
</math><br />
Donde para <math>\omega=\omega_{0}</math> se obtiene que:<br />
<math>A_{m}=A_{0}*Q</math><br />
<br />
resolviendo el problema:<br />
<math>A_{m}= 1x10^{-3}m*15=0.015m</math><br />
<br />
'''c)''' Con la expresión, dada en el problema es: <br />
<math>P_{media} = \frac{\gamma F_{0}^2}{2m*(4 (\omega_{0}-\omega)^2+\gamma^2)}</math><br />
Tomando a <math>\omega=0.02 \omega_{0}</math> y <math>\gamma =\frac{\omega_{0}}{Q}=\frac{19.8 Hz}{15}=1.32 Hz</math> y resolviendo el la expresión obtenemos que:<br />
<br />
<math>P_{media} = \frac{1.32Hz (2 kg * 9.81 \frac{m}{s^2})^2}{4 kg*(4 (0.98* 19.80 Hz)^2+ (1.32 Hz)^2)}= 0.084 W</math><br />
<br />
Problema 4.17 , Vibraciones y Ondas, A.P. French, Publicación del MIT <br />
Hecho por: --[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 22:53 14 mar 2015 (CDT) .<br />
Correcciones por:<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 23:00 14 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
<br />
<br />
----<br />
Problema<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Martínez|Luis Martínez]] ([[Usuario discusión:Luis Martínez|discusión]]) 08:31 15 mar 2015 (CDT)--[[Usuario:Luis Martínez|Luis Martínez]] ([[Usuario discusión:Luis Martínez|discusión]]) 08:31 15 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
----<br />
==Ejercicio adicional 4, Oscilaciones Acopladas==<br />
se considera una cuerda discreta compuesta por 3 partículas espaciadas regularmente sobre la misma. En el instante t=0, la partícula central sufre un desplazamiento (a) y despues se deja libre desde el reposo.<br />
<br />
Calcular el movimiento subsiguiente.<br />
<br />
<br />
en primer lugar las condiciones iniciales son :<br />
<br />
q2(0)=a, q1(0)=q3(0)=0<br />
q1(0)=q2(0)=q3(0)=0 <br />
<br />
como las velocidades iniciales son nulas, las (V) se anularan y las <math>(\mu)</math> vendran dadas por :<br />
<br />
<math>\mu =\frac{1}{2}asen\frac{r\pi}{2}</math><br />
<br />
<br />
entonces : <math>\mu1=\frac{1}{2}a</math> , <br />
<br />
<br />
<math>\mu2=0</math> <br />
<br />
<br />
<br />
<math>\mu3= -\frac{1}{2}a</math><br />
<br />
<br />
las cantidades r y j para la partícula 1 son :<br />
r=1, j=<math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math><br />
<br />
<br />
r=2, j = 1<br />
<br />
r=3,j=<math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math><br />
<br />
<br />
para la partícula 2 :<br />
r=1,j=1<br />
<br />
r=2,j=0<br />
<br />
<br />
r=3,j=-1<br />
<br />
<br />
para la partícula 3<br />
r=1,j= <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math><br />
<br />
<br />
r=2, j= -1<br />
<br />
r=3, j= -<math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math><br />
<br />
<br />
y por consiguiente el desplazamiento de las 3 partículas serán: <br />
<br />
q1(t) = <math>\frac{\sqrt{2}}{4} a (cos\omega1t-cos\omega3t)</math><br />
<br />
q2(t)=<math>\frac{1}{2}a (cos\omega1t-cos\omega3t)</math><br />
<br />
<br />
q3(t) = <math>\frac{\sqrt{2}}{4} a (cos\omega1t-cos\omega3t)</math><br />
<br />
--[[Usuario:Luisa Alejandra Vega Sanchez|Luisa Alejandra Vega Sanchez]] ([[Usuario discusión:Luisa Alejandra Vega Sanchez|discusión]]) 12:13 15 mar 2015 (CDT) usuario : Luisa Alejandra Vega Sanchez<br />
<br />
<br />
== Problema Adicional 5, de vibraciones forzadas==<br />
<br />
<br />
Dos esferas de masa <math>M=2kg</math> cada una estan soldadas a una barra ligera que esta articulada en el punto B. Una segunda barra ligera esta solada a la anterior. Se aplica una perturbacion en el punto A igual a <br />
$F=F_{0}\sin{\omega}t$. En el otro extremo C, se encuentra un muelle recuperador que cuando AC esta horizontal no presenta deformacion. Si la amplitud de rotacion estacionaria sistema se mantiene por debajo de 0.0020 <math>rad</math> ¿Que rango de frecuencias <math>\omega</math> esta premitido?. Utiliza los siguientes datos:<br />
<br />
<br />
<math>l=300mm</math><br />
<br />
<math>k=7000N/m</math><br />
<br />
<math>F_{0}=10N</math><br />
<br />
<math>a=100mm</math><br />
<br />
Solucion: Aplicando las ecuaciones de movimiento, se tiene <br />
<br />
$\sum M_{B}=I_{B}\alpha$ <br />
<br />
$F(a\cos{\theta})+Mgl\sin{\theta}-F_{e}a\cos{\theta}=I_{B}\alpha$ <br />
<br />
Para angulos pequeños $\cos{\theta}\simeq 1$ <br />
<br />
<br />
$F(a)-F_{e}(a)=I_{B}\alpha$ <br />
<br />
$aF_{0}\sin{\omega}t=I_{B}\alpha+(kx_{e})a$ <br />
<br />
$aF_{0}\sin{\omega}t=(Ml^{2}+Ml^{2})\alpha+(kx_{e})a$ <br />
<br />
$aF_{0}\sin{\omega}t=(2Ml^{2})\ddot{\theta}+(kx_{e})a$ .....$(1)$ <br />
<br />
Sustituyendo valores en $(1)$ tenemos: <br />
<br />
$0.36\ddot{\theta}+70\theta=\sin{\omega}t$ <br />
<br />
L solucion permanente es de la forma <br />
<br />
$\theta=\theta_{0}\sin{\omega}t$ <br />
<br />
y resolviendo para $\omega$ se tiene que <br />
<br />
$\omega=\pm7.rad/s$<br />
<br />
--[[Usuario:Héctor Reséndiz|Héctor Reséndiz]] ([[Usuario discusión:Héctor Reséndiz|discusión]]) 21:11 15 mar 2015 (CDT)<br />
<br />
----<br />
<br />
==Problema adicional 6, interpretación de un problema de valores iniciales==<br />
<br />
Un peso de 16 libras se une al extremo inferior de un muelle helicoidal suspendido del techo, la constante de resorte del resorte siendo 10 libras / ft. El peso viene a descansar en su posición de equilibrio. Comenzando en t = 0 una fuerza externa dada por F (t) = 5 cos (2t) se aplica al sistema. Determinar el movimiento resultante si la fuerza de amortización en libras es numéricamente igual a 2 (dx / dt), fueron dx / dt es la velocidad instantánea en pies por segundo.<br />
<br />
Tenemos que : $m=\frac{w}{g}=\frac{16}{32}=\frac{1}{6}slug$, $a=2$, $k=10$, $F(t)=5cos(2t)$.<br />
<br />
La ecuación que describe el sistema mencionado es<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{1}{2}\frac{dx^{2}}{dt^{2}}+2\frac{dx}{dt}+10x=5cos(2t)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Multiplicando por 2 la ecua ion anterior<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{dx^{2}}{dt^{2}}+4\frac{dx}{dt}+20x=10cos(2t)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
La solución general de la ecuación homogénea esta dada por:<br />
<br />
\[<br />
x_{h}(t)=exp(-2t)[c_{1}sin(4t)+c_{2}cos(4t)]<br />
\]<br />
<br />
[[Archivo:Problema.adicional.zill.jpg|thumb|400px|Desplazamiento de la masa unida al resorte alrededor de su punto de equilibrio.]]<br />
<br />
Por el metodo de coeficientes indeterminados, la solución particular<br />
para ecuacion (1) es de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
x{}_{p}=Acos(2t)+Bsin(2t)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Calculando la primera y la segunda derivada de la ecuación (3) y sustituyéndolas<br />
en la ecuación (2) obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones.<br />
<br />
\[<br />
16A+8B=10<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
16B-8A=0<br />
\]<br />
<br />
<br />
<br />
Resolviendo, $A=\frac{1}{2},B=\frac{1}{4}$. Entonces:<br />
<br />
\[<br />
x(t)=x_{h}+x_{p}=exp(-2t)[c_{1}sin(4t)+c_{2}cos(4t)]+\frac{1}{2}cos(2t)+\frac{1}{4}sin(2t)<br />
\]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--Realizado por [[Usuario:Rosario Maya|Rosario Maya]] ([[Usuario discusión:Rosario Maya|discusión]]) 22:13 15 mar 2015 (CDT)<br />
----<br />
--<br />
== Problema Adicional al Capítulo 5.7. Resonancia ==<br />
<br />
Muestra que el valor máximo de la amplitud es de la forma <math> g(x)=\frac{F_{0}}{2\lambda\sqrt{\omega^{2}-\lambda^{2}}}<br />
</math>, en la cual se dice que el sistema está en resonancia.<br />
<br />
Solución<br />
<br />
Se tiene la ecuación diferencial básica, que es<br />
<br />
:<math> \ddot{\varPsi}+2\lambda\dot{\varPsi}+\omega^{2}\varPsi=F(t)...(1),<br />
</math><br />
<br />
donde <math> F(t)=F_{0}\sin(\alpha t),t\geq0<br />
</math>, <math> 2\lambda=\frac{\beta}{m}<br />
</math> y <math> \omega^{2}=\frac{k}{m}<br />
</math>.<br />
<br />
Supondremos que <math> \beta<br />
</math> es suficientemente pequeño, de modo que el amortiguamiento es menor que el crítico; es decír, <math> \lambda<\omega<br />
</math>. La solución complementaria de la ecuación (1) es<br />
<br />
:<math> \varPsi_{C}(t)=e^{-\lambda t}\left\{ c_{1}\cos\left(\sqrt{\omega^{2}-\lambda^{2}}t\right)+c_{2}\sin\left(\sqrt{\omega^{2}-\lambda^{2}}t\right)\right\} <br />
</math><br />
<br />
con <math> c_{1},c_{2}<br />
</math> constantes arbitrarios, que dependen de las condiciones iniciales, o equivalentes; entonces<br />
<br />
:<math> \varPsi_{C}(t)=Ae^{-\lambda t}\sin\left(\sqrt{\omega^{2}-\lambda^{2}}t+\phi\right)...(2)<br />
</math><br />
<br />
donde <math> A=\sqrt{c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}<br />
</math>, <math> \sin\phi=\frac{c_{1}}{A}<br />
</math>, <math> \cos\phi=\frac{c_{2}}{A}<br />
</math>.<br />
<br />
Ahora determinaremos una solución particular partiendo de la ecuación (1) utilizando el método de los coeficientes indeterminados<br />
<br />
: <math> \varPsi_{P}(t)=B\cos\left(\alpha t\right)+C\sin\left(\alpha t\right)<br />
</math><br />
<br />
entonces<br />
<br />
: <math> \dot{\varPsi}_{P}(t)=-\alpha B\sin\left(\alpha t\right)+\alpha C\cos\left(\alpha t\right)<br />
</math><br />
<br />
: <math> \varPsi_{P}(t)=-\alpha^{2}B\cos\left(\alpha t\right)-\alpha^{2}C\sin\left(\alpha t\right).<br />
</math><br />
<br />
Sustituyendo <math> \varPsi_{P}\left(t\right),\dot{\varPsi}_{P}(t),\ddot{\varPsi}_{P}(t)<br />
</math> en (1) se obtiene<br />
<br />
: <math> \left(-\alpha^{2}B+2\lambda\alpha C+\omega^{2}B\right)\cos\left(\alpha t\right)+\left[\left(\omega^{2}-\alpha^{2}\right)C-2\alpha\lambda B\right]\sin\left(\alpha t\right)=F_{0}\sin\left(\alpha t\right).<br />
</math><br />
<br />
Igualando los coeficientes en la última igualdad, resulta el sistema de ecuaciones<br />
<br />
: <math> \left(\omega^{2}-\alpha^{2}\right)B+2\lambda\alpha C=0,<br />
</math><br />
<br />
: <math> \left(\omega^{2}-\alpha^{2}\right)C-2\lambda\alpha B=F_{0},<br />
</math><br />
<br />
cuya solución es<br />
<br />
: <math> B=-\frac{2\alpha\lambda F_{0}}{\left(\omega^{2}-\lambda^{2}\right)^{2}+4\alpha^{2}\lambda^{2}},<br />
</math><br />
<br />
: <math> C=\frac{\left(\omega^{2}-\lambda^{2}\right)F_{0}}{\left(\omega^{2}-\lambda^{2}\right)^{2}+4\alpha^{2}\lambda^{2}}.<br />
</math><br />
<br />
Consecuentemente<br />
<br />
: <math> \varPsi_{P}(t)=-\frac{2\alpha\lambda F_{0}}{\left(\omega^{2}-\lambda^{2}\right)^{2}+4\alpha^{2}\lambda^{2}}\cos\left(\alpha t\right)+\frac{\left(\omega^{2}-\lambda^{2}\right)F_{0}}{\left(\omega^{2}-\lambda^{2}\right)^{2}+4\alpha^{2}\lambda^{2}}\sin\left(\alpha t\right).<br />
</math><br />
<br />
Podemos escribir la solución particular en la forma<br />
<br />
: <math> \varPsi_{P}(t)=\tilde{A}\sin\left(\alpha t+\theta\right),<br />
</math><br />
<br />
donde<br />
<br />
: <math> \tilde{A}=\sqrt{\left[\frac{2\alpha\lambda F_{0}}{\left(\omega^{2}-\lambda^{2}\right)^{2}+4\alpha^{2}\lambda^{2}}\right]^{2}+\left[\frac{\left(\omega^{2}-\lambda^{2}\right)F_{0}}{\left(\omega^{2}-\lambda^{2}\right)^{2}+4\alpha^{2}\lambda^{2}}\right]^{2}},<br />
</math><br />
<br />
es decir,<br />
<br />
: <math> \tilde{A}=\frac{F_{0}}{\sqrt{\left(\omega^{2}-\lambda^{2}\right)^{2}+4\alpha^{2}\lambda^{2}}}.<br />
</math><br />
<br />
El ángulo <math> \theta<br />
</math> está determinado por las relaciones<br />
<br />
: <math> \sin\theta=-\frac{2\alpha\lambda}{\sqrt{\left(\omega^{2}-\lambda^{2}\right)^{2}+4\alpha^{2}\lambda^{2}}},\cos\theta=\frac{\omega^{2}-\lambda^{2}}{\sqrt{\left(\omega^{2}-\lambda^{2}\right)^{2}+4\alpha^{2}\lambda^{2}}}.<br />
</math><br />
<br />
Así que<br />
<br />
: <math> \varPsi_{P}(t)=\frac{F_{0}}{\sqrt{\left(\omega^{2}-\lambda^{2}\right)^{2}+4\alpha^{2}\lambda^{2}}}\sin\left(\alpha t+\theta\right)...(3)<br />
</math><br />
<br />
Observermos que la solución completa es la suma de dos términos<br />
<br />
: <math> \varPsi(t)=\varPsi_{C}(t)+\varPsi_{P}(t).<br />
</math><br />
<br />
El primero de la ecuación (2) representa la oscilación amortiguada, que sería todo el movimiento del sistema si la fuerza externa “F(t)” no actuara. El segundo término de la ecuación (3), resulta de la presencia de la fuerza externa, representa un movimiento armónico simple de periódo <math> 2\pi/\alpha<br />
</math> y amplitud<br />
<br />
: <math> g(\alpha)=\frac{F_{0}}{\sqrt{\left(\omega^{2}-\lambda^{2}\right)^{2}+4\alpha^{2}\lambda^{2}}}.<br />
</math><br />
<br />
Para <math> F_{0},\omega,\lambda<br />
</math> fijos, la amplitud es función de <math> \alpha<br />
</math>. Consideremos la función <math> g\left(\alpha\right)<br />
</math> en el intervalo <math> \left(0,\infty\right)<br />
</math>. Se tiene que <br />
<br />
: <math> \dot{g}\left(\alpha\right)=\frac{2F_{0}\alpha\left(\omega^{2}-\alpha^{2}-2\lambda^{2}\right)}{\left[\left(\omega^{2}-\lambda^{2}\right)^{2}+4\alpha^{2}\lambda^{2}\right]^{3/2}}.<br />
</math><br />
<br />
Luego, <math> \dot{g}\left(\alpha\right)=0<br />
</math> si y solo si <math> \alpha=\alpha_{0}<br />
</math> o <math> \alpha=\alpha_{1}=\sqrt{\omega^{2}-2\lambda^{2}}<br />
</math>. Se puede verificar que la amplitud de las oscilaciones alcanza un valor máximo cuando<br />
<br />
: <math> \alpha=\alpha_{1}=\sqrt{\omega^{2}-2\lambda^{2}}.<br />
</math><br />
<br />
Por lo que el valor máximo de la amplitud es<br />
<br />
: <math> g(\alpha_{1})=F_{0}/2\lambda\sqrt{\omega^{2}-\lambda^{2}}.<br />
</math><br />
Bibliografia: Birkhoff, G. y Rotta, G,. Ordinary Differencial Equations 3 era edicion, New York 1978 <br />
<br />
Ricardo García Hernández--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:58 15 mar 2015 (CDT)</div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Ivan_de_Jes%C3%BAs_Pompa_Garc%C3%ADa&diff=19114Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García2015-03-16T05:04:03Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: </p>
<hr />
<div></div>Ricardo Garcia Hernandezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Ivan_de_Jes%C3%BAs_Pompa_Garc%C3%ADa&diff=19112Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García2015-03-16T05:03:22Z<p>Ricardo Garcia Hernandez: </p>
<hr />
<div></div>Ricardo Garcia Hernandez