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Contribuciones del usuario
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Compleja:ej-cap1.2
2009-12-14T04:07:43Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>==EJERCICIOS 1.2.1 ==<br />
<br />
'''1.''' '''Demuestre que una una funcion''' <math>f:A\subset\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} </math> '''es continua en''' <math>{z_0}\in A</math> '''si y soló si para toda sucesión''' <math>{z_n},n\in\mathbb{N}, </math> '''tal que''' <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow\infty,</math> '''se tiene''' <math>f(z_n)\rightarrow f(z_0),</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Supongamos que <math> \ f<br />
</math> es continua en <math>\ z_0 </math> , es decir:<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad\exists \delta = \delta(\epsilon)> 0 </math> <br />
<br />
tal que <math>\quad | z - z_0 |<\delta \Rightarrow | f(z) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
y supongamos que <math>\lbrace z_n \rbrace , n\in \mathbb{N} </math> es una sucesión en <math>\ A </math> tal que <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math><br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<math>f(z_n)\rightarrow f(z_0)</math><br />
<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad \exists N = N(\epsilon)\in \mathbb N ,\quad n\geq N \Rightarrow | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
como <math>\ f</math> es continua en <math>\ z_0</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists\delta = \delta(\epsilon)>0</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow z_n \rightarrow z_0 </math><br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists M = M(\epsilon) \in \mathbb N, \quad n \geq M \Rightarrow | z_n - z_0 |< \delta </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore f(z_n) \rightarrow f(z_0)\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.''' '''Demuestre que una sucesión''' <math> \ \lbrace a_n \rbrace</math> en <math>\mathbb R^n </math> '''es de ''Cauchy'' si y sólo es convergente.<br />
<br />
'''<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Una sucesión en <math>\mathbb R^n </math> se dice que es de ''Cauchy'' si para todo <math>\epsilon >0 ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in \mathbb N </math> tal que <math>|a_m - a_n|<\epsilon , \quad \forall m,n \geq N</math> '''.'''<br />
<br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<br />
Si la sucesión es convergente, esto es si <math>\lim {a_n}=L \quad \Rightarrow \quad \forall \epsilon > 0\quad ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in\mathbb N </math><br />
<br />
<br />
tal que <math>|a_n - L|<\frac{\epsilon}{2}\quad, \quad \forall n\geq N</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow </math> si <math>m,n\geq N ,</math> se tiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ |a_m - a_n|=|a_m - L +L - a_n| \leq |a_m - L| + | L - a_n|< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}\!=\!{\epsilon} </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore \lbrace a_n \rbrace \quad es \quad de \quad Cauchy.\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
== EJERCICIOS 1.2.2 ==<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''1. Demuestre que la funcion estereográfica <math>(x_1,x_2,x_3)\to\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math> de la esfera de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.<br />
<br />
Definicion: Una funcion es suprayectiva si a un punto en la esfera<math>(x_1,x_2,x_3)</math> le corresponde uno(s) puntos dentro del plano complejo <math>\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
Una función es sobre si para toda '''y''' pertenece al Codominio <math>(f)</math> ,existe '''x''' pertenece al Dominio de <br />
<math>(f)</math> tal que <math> y = f(x)</math><br />
<br />
Notaciòn (para la demostraciòn): S= Esfera, C= punto en el plano proyectado por la esfera.<br />
<br />
Dominio<math>(f)= S</math> y el Codominio<math>(f)= C</math> y tambièn<br />
<math> C = z\epsilon\mathbb{C}:, f(z)=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
<math>z\epsilon\mathbb{C}:x_3\ne1 </math><br />
<br />
Suponga <math>\bar{x}\epsilon</math> S donde <math>\bar{x}=(x_1,x_2,x_3)</math><br />
<br />
Condicion de la esfera <math>(x_1^2+x_2^2+x_3^2=1)</math> donde <math>x_2</math> pertenece a '''i'''<br />
<br />
Ahora bien sabemos que la magnitud cuadrática <math>\bar{x}</math> es 1 <br />
<br />
<br />
<math>\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}\epsilon</math> Codominio de (f)<br />
<br />
Sea '''y''' que pertenece al Codominio de (f) donde : <math>y= ai+b</math><br />
<br />
Sea <math>a=\frac{x_1}{1-x_3}</math> y <math>b=\frac{x_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
tomando en cuenta que <math>y=f(x)</math><br />
<br />
de esta manera <math>f(x)=\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 03:09 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''2. Demuestre que si <math>z_n\rightarrow \infty.</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math>, entonces <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Como <math>z_n\rightarrow \infty.</math><br />
<math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Recordando la definiciòn del limite dado un <math>N_o</math> nos aproximamos.<br />
<math>\exists\N_o\epsilon\mathbb N+ n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> por hipótesis.<br />
<br />
P.D. <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math>, asi como también <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Ahora usando la definiciòn del limite dentro de la mètrica cordal tenemos un <math>N_o^\prime</math> donde limite se aproxima a cero cuando <math>n\rightarrow \infty.</math> <br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty) - 0 |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty)|<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
Usando la definición de la distancia cordal entre dos puntos<br />
<br />
<math>d_C(z_1,z_2)=|\pi(z_1)-\pi(z_2)|</math><br />
<br />
P.D.<math>\quad\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon </math><br />
<br />
Tomamos el lìmite descrito anteriomente.<br />
<br />
Por hipótesis <math>\quad\exists\N_o\epsilon\mathbb N</math> tal que <math>\quad n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> <br />
<br />
Sea <math>N_o</math> como antes por la continuidad de <math>\pi</math><br />
<br />
Finalmente usando la definiciòn de metrica cordal.<br />
<br />
Si <math>\quad n\geq N_o\to|\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon</math> <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 04:20 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''3. Las transformaciones de Möbius definidas en (1.4) se extienden a la esfera de Riemann <math>\hat{\mathbb{C}} </math> como sigue: si <math>c=0, T(\infty)=\infty</math>, y si <math>c\neq0, T(\infty)=\frac{a}{c}</math> y <math>T(\frac{-d}{c})=\infty</math>.Demuestre que estas funciones son continuas en dicha esfera con la metrica cordal.<br />
<br />
Transformaciones de Möbius complejas.(1.4)<br />
<math>z\to\frac{az+b}{cz+d} , ad-bc\neq0, a,b,c,d. <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
Se define la metrica cordal en el plano complejo extendido de la sig. manera.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2) = <br />
\begin{cases} <br />
\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}, & si z_1,z_2\neq\infty \\<br />
\frac{2}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}}, & si z_2=\infty. <br />
\end{cases}</math><br />
<br />
para los casos extremos.<br />
<br />
si <math>c=0, T(\infty)=\frac{az+b}{d}=\frac{a(\infty)+b}{d}=\infty.</math><br />
<br />
si <math>c\neq0, T(z)=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{z}{z}\frac{a+\frac{b}{z}}{c+\frac{d}{z}}<br />
<br />
<br />
,T(\infty)=\frac{a+\frac{b}{\infty}}{c+\frac{d}{\infty}}=\frac{a}{c}.</math><br />
<br />
<br />
<br />
si <math>T(\frac{-d}{c})=\frac{a(\frac{-d}{c})+b}{c(\frac{-d}{c})+d}=\infty.</math><br />
<br />
<br />
generalizando, para <math>z_1,z_2 \epsilon\mathbb{C}</math>, (arbitrarias).<br />
<br />
por hip.<math>c=0\therefore</math><br />
<br />
<math>T(z)=\frac{az+b}{d}=\frac{a}{d}z+\frac{b}{d}</math>.<br />
<br />
<math>\forall\epsilon>0, \exists\delta>0 </math><br />
<br />
<br />
tal que si<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_1-z_2\right|<\delta , \left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
entonces<br />
<math>\left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\left|z_1-z_2\right|\delta <\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
<math>T(z_1)-T(z_2)=\left(\frac{a}{d}z_1+\frac{b}{d}\right)-\left(\frac{a}{d}z_2+\frac{b}{d}\right)=\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)</math><br />
<br />
<br />
por <math>\left(d\left(0,x-y\right)=d\left(x,y\right)\right)</math><br />
<br />
<math>d_c\left(0,T(z_1)-T(z_2)\right)=d_c\left(0,\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)\right)=d_c\left(\frac{a}{d}z_1,\frac{a}{d}z_2\right)</math><br />
<br />
ahora si<math>z_1,z_2\ne\infty</math> y <math>\delta\approx \frac{1}{k}</math> donde <math>k=\frac{a}{d}</math><br />
<br />
con la metrica cordal.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2)=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+k^2\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+k^2\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{k^2\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<math>=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{k\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore d_c(z_1,z_2)<\epsilon</math><br />
<br />
ya q se mostro que <math>\frac{az+b}{d}</math><br />
<br />
es continua, se puede probar lo mismo para <br />
<br />
<math> c z+ d </math>.<br />
<br />
<br />
por teo. de continuidad si<br />
<br />
<math> f\left(x\right),g\left(x\right)</math> <br />
<br />
son continuas, tambien<br />
<br />
<br />
<math>\frac{f(x)}{g(x)}</math>, es continua.<br />
<br />
<br />
<math>\therefore \frac{az_1+b}{cz_2+d}</math> <br />
<br />
es continua si<br />
<br />
<math>c \ne 0</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 00:42 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4.'''Demuestre que si ''AB'' son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de Möbius ''f,g'', respectivamente, entonces la matriz ''BA'' representa la composicion ''gf'', que también es de Möbius.Concluya mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera en sí misma, y que ademas constituyen un grupo.<br />
<br />
SOLUCION:<br />
<br />
tenemos que <math>\ f, g </math> son transformaciones de Möbius<br />
<br />
<br />
<math>f(z)=\frac{a' z + b'}{c' z + d'}\quad\quad g(z)=\frac{a z + b}{c z + d}</math><br />
<br />
<br />
sean <math>\ A, B </math> las representaciones matriciales de <math>\ g, f </math> respectivamente<br />
<br />
<br />
<math>A = \begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix} \quad \quad B = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
entonces <br />
<br />
<math>BA = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}<br />
a'a + b'c & c'a + d'c \\<br />
a'b + b'd & c'b + d'd \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
<br />
entonces<br />
<br />
<math>gf=\frac{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}{(a'b + b'd)z + (c'b + d'd)}</math><br />
<br />
los elementos de la matriz ''BA'' son elementos de funciones biyectivas, entonces dicha matriz también es biyectiva, y por lo tanto ''gf'' es biyectiva y de Möbius.<br />
<br />
<br />
Por ser de Möbius es meromorfa, ahora notemos que ''gf'' es continua y que <br />
<br />
<math>\frac{1}{gf}=\frac{(a'b + b')z + (c'b + d'd)}{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}</math><br />
<br />
<br />
tambien es continua por lo que concluimos que es bicontinua.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''5.'''Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en ternas de puntos de la esfera de Riemann. Sugerencia: Dada una terna, encuentre una función de Möbius que la mande en 1, 0 e <math>o\!o</math><br />
<br />
Sea <math>(x_1,x_2,x_3)\rightarrow \frac{x_1 + ix_2}{x_3} = z_0</math><br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = \frac{(1-b)x_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
y <math> \quad c = \frac{(1-d)x_3}{x_1 + i x_2} \quad </math>; <math>ad-bc\neq0</math><br />
<br />
<br />
entonces <math> T(z) = \frac{(1-b)x_3 z + (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 z + (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<math> T(z_0) = \frac{(1-b)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3}\Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3} \Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = \frac{(1-b) (<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)(<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = 1</math><br />
<br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{b - \frac{bx_3 }{x_1 + i x_2}}{cz+d}z</math><br />
<br />
<br />
<math>T(z_0) = \frac{b - \frac{bx_3 (\frac{x_1 + ix_2}{x_3})}{x_1 + i x_2}}{cz+d} = \frac{b - b}{cz+d} = 0</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math>b\rightarrow \!oo</math><br />
<br />
<br />
entonces <math>T(z_0) = \!oo</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''6.'''Pruede que las transformaciones de Möbius son composición de algunas de las siguientes funciones: rotaciones, traslaciones, homotecias, y <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math>. Concluya mostrando que las transformaciones de Möbius preservan la familia de circulos y rectas.<br />
<br />
Considere la Transformación de Möbius.<br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
<br />
Sea <math>a = 1,\quad c = 0, \quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = z+b \qquad </math> entonces <math>T(z)</math>es una traslación. <br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad b = c = 0,\quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math>T(z) = az</math> entonces '''T(z)''' es una rotación por '''arg(a)''' y por una amplificación <math>\big |a\big |</math>.<br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad a = d = 0, \quad b = c = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<math> T(z) = \frac{1}{z}\qquad</math> entonces '''T(z)''' es una inversión.<br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 23:28 26 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''7. Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en la familia de círculos y rectas.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Puesto que una transformación del tipo <math>w=\frac{1}{z} </math> aplica en circunferencias y rectas, y como las rotaciones, los cambios de escala y las translaciones preservan rectas y circunferencias. Dicha transformación bilineal o de Möbius aplica en círculos y rectas.<br />
<br />
<br />
Un círculo en <math>{S^2}</math> es la intersección de un plano con la esfera, por lo cual satiface la siguiente ecuación:<br />
<br />
<br />
<math>ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\,\!</math><br />
<br />
<br />
Tenemos que<br />
<br />
<br />
<math> x_1=\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_2=\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_3=\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto, este círculo es la imagen bajo la proyección esterografica, cuyos puntos satisfacen la siguiente ecuación en el plano: <br />
<br />
<br />
<br />
<math>a\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )+b\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )+c\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)=d </math><br />
<br />
<br />
Escribiendo <math>z = x+iy\,\!</math>, se tiene<br />
<br />
<br />
<math> x^2+y^2-\frac{2a}{d-c}x-\frac{2by}{d-c}=1 </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( d-c \right )-2ax-2by =d-c </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( c-d \right )+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )c -\left ( x^2+y^2 \right )d+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2-1 \right )c -\left ( x^2+y^2+1 \right )d+2ax+2by =0 </math><br />
<br />
<br />
finalmente se tiene que<br />
<br />
<br />
<math>2ax + 2by + c(x^2+y^2-1) = d(x^2+y^2+1)\,\!</math>,<br />
<br />
<br />
que biene siendo la ecuación de una recta o un círculo, dependiendo si <math>d=c\,\!</math>, o si <math>d\ne c\,\!</math>.<br />
<br />
<br />
'''7. Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en la familia de círculos y rectas.'''<br />
<br />
<br />
Puesto que una transformación del tipo <math>w=\frac{1}{z} </math> aplica en circunferencias y rectas, y como las rotaciones, los cambios de escala y las translaciones preservan rectas y circunferencias. Dicha transformación bilineal o de Möbius aplica en círculos y rectas.<br />
<br />
<br />
Puesto que <math>x+iy=z=\frac{1}{w} =\frac{\overline{w}}{|w|^2}=\frac{u}{u^2+v^2}-i\frac{v}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>x=\frac{u}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
<math>y=-\frac{v}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
Por tanto, la imagen de <math>\ f(x,y)=0</math> es<br />
<br />
<br />
<br />
<math>f\left ( \frac{u}{u^2+v^2},-\frac{v}{u^2+v^2}\right )=0</math>.<br />
<br />
<br />
Sabemos que el lugar geométrico de toda sección cónica viene dado por<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ f(x,y)=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0</math><br />
<br />
<br />
Esta ecuación representa una sircunferencia si <math>\ B=0</math> y <math>A=C\ne 0</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<br />
<math>\ f(x,y)=A(x^2+y^2)+Dx+Ey+F=0</math><br />
<br />
<br />
<br />
representa una recta si <math>\ A=0</math> y una circunferencia si <math>A\ne 0</math>. Su imagen es<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ f\left ( \frac{u}{u^2+v^2},-\frac{v}{u^2+v^2}\right )=A\frac{1}{u^2+v^2}+D\frac{u}{u^2+v^2}-E\frac{v}{u^2+v^2}+F=0</math><br />
<br />
<br />
<br />
o<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ F(u^2+v^2)+Du-Ev+A=0</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 16:08 22 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''8.- Demuestre de dos maneras que el lugar de los puntos que cumplen la ecuación <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> <math> ,k\in\mathbb{R}^{+},a,b\in\mathbb{C},a\neq b</math> constituye una recta o un círculo (llamado de Apolonio).'''<br />
<br />
'''Solución'''<br />
<br />
Sea <br />
<br />
<math>z = x+iy\,\!, a = u+iv, b = c+id</math><br />
<br />
<br />
<br />
Entonces <br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|^{2}=k^{2}\left|z-b\right|^{2}</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left(x-u\right)^{2}+\left(y-v\right)^{2}=k\left(\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}\right)</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>x^2-2xu+u^2+y^2-2yv+v^2=kx^2-2kxc+c^2+ky^2-2kyd+kd^2\,\!</math> </center><br />
<br />
<br />
Si agrupamos esta expresión se tiene:<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(1-k\right)-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right) \qquad (I)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Si <math>k=1</math> se tiene la ecuación de una recta, es decir:<br />
<br />
<br />
<center><math>-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=c^{2}+d^{2}-\left(u^{2}+v^{2}\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Ahora para <math>k\neq1</math> la ecuación <math>\left(I\right)</math> al multiplicarla por<br />
<math>\frac{1}{\left(1-k\right)}<br />
</math> toma la forma:<br />
<br />
<br />
<center><math>\frac{}{}<br />
\left(x^{2}+y^{2}\right)-\frac{2x\left(u-kc\right)}{\left(1-k\right)}-\frac{2y\left(v-kd\right)}{\left(1-k\right)}=\frac{k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)}{\left(1-k\right)}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si completamos los cuadrados (más un poco de álgebra) de esta ultima expresión se obtiene lo<br />
siguiente<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\left(\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}+\frac{1}{1-k}\left(k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\frac{k}{\left(1-k\right)^{2}}\left(\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
lo cual es la ecuación de un círculo con centro <br />
<math>\left(\frac{u-kc}{1-k}\,,\,\frac{v-kd}{1-k}\right)</math><br />
y cuyo radio es <br />
<math>\frac{\sqrt{k}}{\left|1-k\right|}\sqrt{\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Otro método.<br />
<br />
<center><math><br />
\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(z-a\right)\left(\overline{z}-\overline{a}\right)=k\left(z-b\right)\left(\overline{z}-\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}-a\overline{z}-\overline{a}z+a\overline{a}=k\left(z\overline{z}-b\overline{z}-\overline{b}z+b\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
agrupando tenemos<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)-a\overline{z}-\overline{a}z+kb\overline{z}+k\overline{b}z=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)+\overline{z}\left(kb-a\right)+z\left(k\overline{b}-\overline{a}\right)=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio<math> A=\left(1-k\right), B=\left(kb-a\right),\overline{B}=\left(k\overline{b}-\overline{a}\right), C=kb\overline{b}-a\overline{a}\!,</math> , la anterior ecuación se escribe como<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
Az\overline{z}+B\overline{z}+\overline{B}z=C</math></center><br />
<br />
<br />
si <math> A=0</math> (entonces <math>k=1</math>) se tiene la ecución de una recta, si <math>A</math> es distinto<br />
de cero (entonces k es distinto de 1) y se tiene la ecuación de una<br />
circunferencia.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 01:46 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
'''9.- Sean <math>a,c</math> complejos, tal que no son ambos nulos, probar que<br />
<math>\left|\frac{\bar{a}z+\bar{c}}{cz+a}\right|=1</math>, si <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
Interpretar geometricamente.'''<br />
<br />
<br />
Sean <math> a=b+id , c=e+if , z=x+iy </math>.<br />
Entonces sustituyendo esto se tiene la siguiente expresión:<br />
<br />
<math>\left|\frac{\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)}{\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)}\right|=1 </math><br />
<br />
Por propiedades de la norma se sigue que<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|}{\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right|}=1 </math><br />
<br />
Y multiplicando ambos lados por el denominador llegamos a que<br />
<br />
<math>\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|=\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right| </math><br />
<br />
Desarrollando los producto y las operaciones para poder agrupar terminos se llega a<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right| </math><br />
<br />
Elevando al cuadrado para tener el cuadrado de la norma tenemos que<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|^{2}=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right|^{2} </math><br />
<br />
Donde es inmediato lo siguiente<br />
<br />
<math>\left(bx+dy+e\right)^{2}+\left(by-dx-f\right)^{2}=\left(b+ex-fy\right)^{2}+\left(d+fx+ey\right)^{2} </math><br />
<br />
Y despues de expander los polinomios<br />
<br />
<math>\left(e^{2}+f^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(b^{2}+d^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)=\left(b^{2}+d^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(e^{2}+f^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}\left|z\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}\left|z\right|^{2} </math> <br />
<br />
Donde <math>\left|z\right|=1</math><br />
<br />
<math>\therefore\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2} </math><br />
<br />
O tambien <br />
<br />
<math>\frac{\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}}{\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}}=1 </math><br />
<br />
Que era lo que se queria mostrar. <br />
<br />
Ahora geometricamente esto nos dice que la magnitud de la suma de<br />
dos numeros complejos es igual a la magnitud de la suma de sus conjugados.<br />
<br />
En las siguientes imagenes se muestra graficamente la interpretacion<br />
geometrica, el vector de color naranja es <math>z</math> y el azul y verde <math>a,c</math><br />
respectivamente.<br />
<br />
[[Imagen:Prueba1.jpg]][[Imagen:Prueba.jpg]]<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 14:12 9 dic 2009 (UTC)<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 19:42 21 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''10.- Probar que la funcion <math>z \rightarrow 1/z</math> es una rotacion de <math>\pi</math> radianes en la esfera de Riemann alrededor del eje x.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Las componentes del punto <math>A = (a_1,a_2,a_3)\,</math> en la esfera unitaria asociado a z son:<br />
<br />
<br />
<math>a_1 = \frac{z+\overline{z}}{|z|^2+1}, a_2 = \frac{z-\overline{z}}{i(|z|^2+1)}, a_3 = \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\,</math> <br />
<br />
<br />
Sea <math>\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> y tomando en cuenta que <math>|z| = |\overline{z}|\,</math>, entonces, las componentes del punto <math>B = (b_1,b_2,b_3)\,</math> de la esfera unitaria asociado a <math>\frac{1}{z}\,</math> son:<br />
<br />
<br />
<math>b_1 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}+\frac{z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{\overline{z}+z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\overline{z}+z}{|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}+z}{1+|z|^2} = a_1\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_2 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}-\frac{z}{|z|^2}}{i(\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i(1+|z|^2)} = -\frac{z-\overline{z}}{i(1+|z|^2)} = -a_2\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_3 = \frac{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}-1}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{1}{|z|^2}-1}{\frac{1}{|z|^2}+1} = \frac{1-|z|^2}{1+|z|^2} = -\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} = -a_3\,</math> ...<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 00:03 9 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''11.''' '''Probar que dados dos puntos''' <math>z,w \in \mathbb C</math> '''se tiene que sus proyecciones en la esfera de Riemann son antípodas si y solo si''' <math>z\bar{w} = -1</math><br />
<br />
<br />
SOLUCION.<br />
<br />
Sea <math>z \in \mathbb C \quad a,b \in \mathbb R</math> <br />
<br />
se pasa del plano complejo a la esfera de Riemann.<br />
<br />
<math>\psi: \mathbb C \rightarrow \mathbb S^2 - \lbrace e_3 \rbrace </math><br />
<br />
<math> z \mapsto (x_1 , x_2 , x_3)</math><br />
<br />
<br />
Si <math>\ z=a+ib \mapsto \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)</math> es el punto '''P''' en la esfera de Riemann.<br />
<br />
<br />
con este punto '''P''' y el centro '''C''' de la esfera se construye una recta que pase por estos puntos:<br />
<br />
<br />
Sea <math>\mathcal {L} =\ p + t\vec{v} \quad , \forall t \in \mathbb R </math> donde <math>\vec v</math>es el vector director que va de '''P''' a ''' C''' esto es <br />
<br />
<br />
<math>\vec {v} =(0,0,0)- \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) </math><br />
<br />
<br />
nuestra ecuacion de la recta queda de la siguiente manera:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\mathcal {L} =\left (\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right) + t \left (\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \quad , \forall t \in \mathbb R </math><br />
<br />
<br />
Cuando <math>\ t=0</math> tenemos a <math>\ P</math> en la esfera.<br />
<br />
cuando <math>\ t=1</math> tenemos el centro <math>\ (0,0,0)</math> de la esfera de Riemann.<br />
<br />
cuando <math>\ t=2 </math> tenemos al punto <math>\ Q</math> que es la antipoda de <math>\ p</math><br />
<br />
<br />
<math> \Rightarrow Q=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \, antipoda \quad de\quad p \quad en \quad la \quad esfera \quad de \quad Riemann </math><br />
<br />
<br />
teniendo a <math> \ Q</math> sobre la esfera de Riemann volvemos al plano complejo mediante la siguiente tranformacion:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\varphi: \mathbb S^2 -\lbrace e_3 \rbrace \rightarrow \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>Q \mapsto \frac {x_1 +ix_2}{1-x_3} </math>, que nos da un punto <math>\ w_Q \in \mathbb C</math> <br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q=\frac {x_1 +ix_2}{1-x_3}=\frac {\frac {-2a}{a^2+b^2+1} +i \frac {-2b}{a^2+b^2+1}}{1+ \frac {a^2+b^2-1}{a^2+b^2+1}} = \frac{ \frac{-2}{a^2+b^2+1}(a+ib) }{ \frac {2a^2+2b^2}{a^2+b^2+1} } = \frac {-2}{2a^2+2b^2}(a+ib) = \frac {-1}{a^2+b^2}(a+ib) </math> <br />
<br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} </math><br />
<br />
<br />
Como la proyeccion en la esfera de Riemann de <math>\ w_Q </math> es la antipoda de <math>\ z </math> se debe de cumplir que <math>z\bar{w_Q} = -1</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> z=a+ib \quad, w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} \in \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow z\bar{w_Q} =(a+ib)\left ( -\frac {a}{a^2 + b^2} +i \frac {b}{a^2+ b^2}\right )=\left ( -\frac {a^2}{a^2 + b^2} -\frac {b^2}{a^2+ b^2}\right )+i\left ( -\frac {ab}{a^2 + b^2} + \frac {ab}{a^2+ b^2}\right ) </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\left ( \frac {-(a^2+b^2)}{a^2 + b^2} \right )+i(0)=-1</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore z,w</math> son antipodas si y solo si <math>z\bar{w} = -1 \quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 15:11 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''12.'''¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la funcion <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> ?<br />
<br />
<br />
SOLUCIÓN:<br />
<br />
para la imagen notemos que <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> es continua exepto cuando <math>\ z=0</math>, por lo que su imagen es todo el plano complejo exepto el origen.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.2&diff=11849
Compleja:ej-cap1.2
2009-12-14T04:06:42Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>==EJERCICIOS 1.2.1 ==<br />
<br />
'''1.''' '''Demuestre que una una funcion''' <math>f:A\subset\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} </math> '''es continua en''' <math>{z_0}\in A</math> '''si y soló si para toda sucesión''' <math>{z_n},n\in\mathbb{N}, </math> '''tal que''' <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow\infty,</math> '''se tiene''' <math>f(z_n)\rightarrow f(z_0),</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Supongamos que <math> \ f<br />
</math> es continua en <math>\ z_0 </math> , es decir:<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad\exists \delta = \delta(\epsilon)> 0 </math> <br />
<br />
tal que <math>\quad | z - z_0 |<\delta \Rightarrow | f(z) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
y supongamos que <math>\lbrace z_n \rbrace , n\in \mathbb{N} </math> es una sucesión en <math>\ A </math> tal que <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math><br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<math>f(z_n)\rightarrow f(z_0)</math><br />
<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad \exists N = N(\epsilon)\in \mathbb N ,\quad n\geq N \Rightarrow | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
como <math>\ f</math> es continua en <math>\ z_0</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists\delta = \delta(\epsilon)>0</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow z_n \rightarrow z_0 </math><br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists M = M(\epsilon) \in \mathbb N, \quad n \geq M \Rightarrow | z_n - z_0 |< \delta </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore f(z_n) \rightarrow f(z_0)\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.''' '''Demuestre que una sucesión''' <math> \ \lbrace a_n \rbrace</math> en <math>\mathbb R^n </math> '''es de ''Cauchy'' si y sólo es convergente.<br />
<br />
'''<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Una sucesión en <math>\mathbb R^n </math> se dice que es de ''Cauchy'' si para todo <math>\epsilon >0 ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in \mathbb N </math> tal que <math>|a_m - a_n|<\epsilon , \quad \forall m,n \geq N</math> '''.'''<br />
<br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<br />
Si la sucesión es convergente, esto es si <math>\lim {a_n}=L \quad \Rightarrow \quad \forall \epsilon > 0\quad ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in\mathbb N </math><br />
<br />
<br />
tal que <math>|a_n - L|<\frac{\epsilon}{2}\quad, \quad \forall n\geq N</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow </math> si <math>m,n\geq N ,</math> se tiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ |a_m - a_n|=|a_m - L +L - a_n| \leq |a_m - L| + | L - a_n|< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}\!=\!{\epsilon} </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore \lbrace a_n \rbrace \quad es \quad de \quad Cauchy.\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
== EJERCICIOS 1.2.2 ==<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''1. Demuestre que la funcion estereográfica <math>(x_1,x_2,x_3)\to\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math> de la esfera de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.<br />
<br />
Definicion: Una funcion es suprayectiva si a un punto en la esfera<math>(x_1,x_2,x_3)</math> le corresponde uno(s) puntos dentro del plano complejo <math>\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
Una función es sobre si para toda '''y''' pertenece al Codominio <math>(f)</math> ,existe '''x''' pertenece al Dominio de <br />
<math>(f)</math> tal que <math> y = f(x)</math><br />
<br />
Notaciòn (para la demostraciòn): S= Esfera, C= punto en el plano proyectado por la esfera.<br />
<br />
Dominio<math>(f)= S</math> y el Codominio<math>(f)= C</math> y tambièn<br />
<math> C = z\epsilon\mathbb{C}:, f(z)=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
<math>z\epsilon\mathbb{C}:x_3\ne1 </math><br />
<br />
Suponga <math>\bar{x}\epsilon</math> S donde <math>\bar{x}=(x_1,x_2,x_3)</math><br />
<br />
Condicion de la esfera <math>(x_1^2+x_2^2+x_3^2=1)</math> donde <math>x_2</math> pertenece a '''i'''<br />
<br />
Ahora bien sabemos que la magnitud cuadrática <math>\bar{x}</math> es 1 <br />
<br />
<br />
<math>\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}\epsilon</math> Codominio de (f)<br />
<br />
Sea '''y''' que pertenece al Codominio de (f) donde : <math>y= ai+b</math><br />
<br />
Sea <math>a=\frac{x_1}{1-x_3}</math> y <math>b=\frac{x_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
tomando en cuenta que <math>y=f(x)</math><br />
<br />
de esta manera <math>f(x)=\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 03:09 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''2. Demuestre que si <math>z_n\rightarrow \infty.</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math>, entonces <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Como <math>z_n\rightarrow \infty.</math><br />
<math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Recordando la definiciòn del limite dado un <math>N_o</math> nos aproximamos.<br />
<math>\exists\N_o\epsilon\mathbb N+ n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> por hipótesis.<br />
<br />
P.D. <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math>, asi como también <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Ahora usando la definiciòn del limite dentro de la mètrica cordal tenemos un <math>N_o^\prime</math> donde limite se aproxima a cero cuando <math>n\rightarrow \infty.</math> <br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty) - 0 |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty)|<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
Usando la definición de la distancia cordal entre dos puntos<br />
<br />
<math>d_C(z_1,z_2)=|\pi(z_1)-\pi(z_2)|</math><br />
<br />
P.D.<math>\quad\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon </math><br />
<br />
Tomamos el lìmite descrito anteriomente.<br />
<br />
Por hipótesis <math>\quad\exists\N_o\epsilon\mathbb N</math> tal que <math>\quad n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> <br />
<br />
Sea <math>N_o</math> como antes por la continuidad de <math>\pi</math><br />
<br />
Finalmente usando la definiciòn de metrica cordal.<br />
<br />
Si <math>\quad n\geq N_o\to|\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon</math> <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 04:20 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''3. Las transformaciones de Möbius definidas en (1.4) se extienden a la esfera de Riemann <math>\hat{\mathbb{C}} </math> como sigue: si <math>c=0, T(\infty)=\infty</math>, y si <math>c\neq0, T(\infty)=\frac{a}{c}</math> y <math>T(\frac{-d}{c})=\infty</math>.Demuestre que estas funciones son continuas en dicha esfera con la metrica cordal.<br />
<br />
Transformaciones de Möbius complejas.(1.4)<br />
<math>z\to\frac{az+b}{cz+d} , ad-bc\neq0, a,b,c,d. <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
Se define la metrica cordal en el plano complejo extendido de la sig. manera.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2) = <br />
\begin{cases} <br />
\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}, & si z_1,z_2\neq\infty \\<br />
\frac{2}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}}, & si z_2=\infty. <br />
\end{cases}</math><br />
<br />
para los casos extremos.<br />
<br />
si <math>c=0, T(\infty)=\frac{az+b}{d}=\frac{a(\infty)+b}{d}=\infty.</math><br />
<br />
si <math>c\neq0, T(z)=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{z}{z}\frac{a+\frac{b}{z}}{c+\frac{d}{z}}<br />
<br />
<br />
,T(\infty)=\frac{a+\frac{b}{\infty}}{c+\frac{d}{\infty}}=\frac{a}{c}.</math><br />
<br />
<br />
<br />
si <math>T(\frac{-d}{c})=\frac{a(\frac{-d}{c})+b}{c(\frac{-d}{c})+d}=\infty.</math><br />
<br />
<br />
generalizando, para <math>z_1,z_2 \epsilon\mathbb{C}</math>, (arbitrarias).<br />
<br />
por hip.<math>c=0\therefore</math><br />
<br />
<math>T(z)=\frac{az+b}{d}=\frac{a}{d}z+\frac{b}{d}</math>.<br />
<br />
<math>\forall\epsilon>0, \exists\delta>0 </math><br />
<br />
<br />
tal que si<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_1-z_2\right|<\delta , \left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
entonces<br />
<math>\left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\left|z_1-z_2\right|\delta <\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
<math>T(z_1)-T(z_2)=\left(\frac{a}{d}z_1+\frac{b}{d}\right)-\left(\frac{a}{d}z_2+\frac{b}{d}\right)=\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)</math><br />
<br />
<br />
por <math>\left(d\left(0,x-y\right)=d\left(x,y\right)\right)</math><br />
<br />
<math>d_c\left(0,T(z_1)-T(z_2)\right)=d_c\left(0,\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)\right)=d_c\left(\frac{a}{d}z_1,\frac{a}{d}z_2\right)</math><br />
<br />
ahora si<math>z_1,z_2\ne\infty</math> y <math>\delta\approx \frac{1}{k}</math> donde <math>k=\frac{a}{d}</math><br />
<br />
con la metrica cordal.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2)=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+k^2\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+k^2\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{k^2\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<math>=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{k\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore d_c(z_1,z_2)<\epsilon</math><br />
<br />
ya q se mostro que <math>\frac{az+b}{d}</math><br />
<br />
es continua, se puede probar lo mismo para <br />
<br />
<math> c z+ d </math>.<br />
<br />
<br />
por teo. de continuidad si<br />
<br />
<math> f\left(x\right),g\left(x\right)</math> <br />
<br />
son continuas, tambien<br />
<br />
<br />
<math>\frac{f(x)}{g(x)}</math>, es continua.<br />
<br />
<br />
<math>\therefore \frac{az_1+b}{cz_2+d}</math> <br />
<br />
es continua si<br />
<br />
<math>c \ne 0</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 00:42 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4.'''Demuestre que si ''AB'' son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de Möbius ''f,g'', respectivamente, entonces la matriz ''BA'' representa la composicion ''gf'', que también es de Möbius.Concluya mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera en sí misma, y que ademas constituyen un grupo.<br />
<br />
SOLUCION:<br />
<br />
tenemos que <math>\ f, g </math> son transformaciones de Möbius<br />
<br />
<br />
<math>f(z)=\frac{a' z + b'}{c' z + d'}\quad\quad g(z)=\frac{a z + b}{c z + d}</math><br />
<br />
<br />
sean <math>\ A, B </math> las representaciones matriciales de <math>\ g, f </math> respectivamente<br />
<br />
<br />
<math>A = \begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix} \quad \quad B = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
entonces <br />
<br />
<math>BA = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}<br />
a'a + b'c & c'a + d'c \\<br />
a'b + b'd & c'b + d'd \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
<br />
entonces<br />
<br />
<math>gf=\frac{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}{(a'b + b'd)z + (c'b + d'd)}</math><br />
<br />
los elementos de la matriz ''BA'' son elementos de funciones biyectivas, entonces dicha matriz también es biyectiva, y por lo tanto ''gf'' es biyectiva y de Möbius.<br />
<br />
<br />
Por ser de Möbius es meromorfa, ahora notemos que ''gf'' es continua y que <br />
<br />
<math>\frac{1}{gf}=\frac{(a'b + b')z + (c'b + d'd)}{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}</math><br />
<br />
<br />
tambien es continua por lo que concluimos que es bicontinua.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''5.'''Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en ternas de puntos de la esfera de Riemann. Sugerencia: Dada una terna, encuentre una función de Möbius que la mande en 1, 0 e <math>o\!o</math><br />
<br />
Sea <math>(x_1,x_2,x_3)\rightarrow \frac{x_1 + ix_2}{x_3} = z_0</math><br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = \frac{(1-b)x_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
y <math> \quad c = \frac{(1-d)x_3}{x_1 + i x_2} \quad </math>; <math>ad-bc\neq0</math><br />
<br />
<br />
entonces <math> T(z) = \frac{(1-b)x_3 z + (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 z + (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<math> T(z_0) = \frac{(1-b)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3}\Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3} \Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = \frac{(1-b) (<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)(<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = 1</math><br />
<br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{b - \frac{bx_3 }{x_1 + i x_2}}{cz+d}z</math><br />
<br />
<br />
<math>T(z_0) = \frac{b - \frac{bx_3 (\frac{x_1 + ix_2}{x_3})}{x_1 + i x_2}}{cz+d} = \frac{b - b}{cz+d} = 0</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math>b\rightarrow \!oo</math><br />
<br />
<br />
entonces <math>T(z_0) = \!oo</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''6.'''Pruede que las transformaciones de Möbius son composición de algunas de las siguientes funciones: rotaciones, traslaciones, homotecias, y <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math>. Concluya mostrando que las transformaciones de Möbius preservan la familia de circulos y rectas.<br />
<br />
Considere la Transformación de Möbius.<br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
<br />
Sea <math>a = 1,\quad c = 0, \quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = z+b \qquad </math> entonces <math>T(z)</math>es una traslación. <br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad b = c = 0,\quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math>T(z) = az</math> entonces '''T(z)''' es una rotación por '''arg(a)''' y por una amplificación <math>\big |a\big |</math>.<br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad a = d = 0, \quad b = c = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<math> T(z) = \frac{1}{z}\qquad</math> entonces '''T(z)''' es una inversión.<br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 23:28 26 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''7. Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en la familia de círculos y rectas.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Puesto que una transformación del tipo <math>w=\frac{1}{z} </math> aplica en circunferencias y rectas, y como las rotaciones, los cambios de escala y las translaciones preservan rectas y circunferencias. Dicha transformación bilineal o de Möbius aplica en círculos y rectas.<br />
<br />
<br />
Un círculo en <math>{S^2}</math> es la intersección de un plano con la esfera, por lo cual satiface la siguiente ecuación:<br />
<br />
<br />
<math>ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\,\!</math><br />
<br />
<br />
Tenemos que<br />
<br />
<br />
<math> x_1=\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_2=\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_3=\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto, este círculo es la imagen bajo la proyección esterografica, cuyos puntos satisfacen la siguiente ecuación en el plano: <br />
<br />
<br />
<br />
<math>a\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )+b\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )+c\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)=d </math><br />
<br />
<br />
Escribiendo <math>z = x+iy\,\!</math>, se tiene<br />
<br />
<br />
<math> x^2+y^2-\frac{2a}{d-c}x-\frac{2by}{d-c}=1 </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( d-c \right )-2ax-2by =d-c </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( c-d \right )+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )c -\left ( x^2+y^2 \right )d+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2-1 \right )c -\left ( x^2+y^2+1 \right )d+2ax+2by =0 </math><br />
<br />
<br />
finalmente se tiene que<br />
<br />
<br />
<math>2ax + 2by + c(x^2+y^2-1) = d(x^2+y^2+1)\,\!</math>,<br />
<br />
<br />
que biene siendo la ecuación de una recta o un círculo, dependiendo si <math>d=c\,\!</math>, o si <math>d\ne c\,\!</math>.<br />
<br />
<br />
'''De otra manera:'''<br />
<br />
Puesto que una transformación del tipo <math>w=\frac{1}{z} </math> aplica en circunferencias y rectas, y como las rotaciones, los cambios de escala y las translaciones preservan rectas y circunferencias. Dicha transformación bilineal o de Möbius aplica en círculos y rectas.<br />
<br />
<br />
Puesto que <math>x+iy=z=\frac{1}{w} =\frac{\overline{w}}{|w|^2}=\frac{u}{u^2+v^2}-i\frac{v}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>x=\frac{u}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
<math>y=-\frac{v}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
Por tanto, la imagen de <math>\ f(x,y)=0</math> es<br />
<br />
<br />
<br />
<math>f\left ( \frac{u}{u^2+v^2},-\frac{v}{u^2+v^2}\right )=0</math>.<br />
<br />
<br />
Sabemos que el lugar geométrico de toda sección cónica viene dado por<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ f(x,y)=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0</math><br />
<br />
<br />
Esta ecuación representa una sircunferencia si <math>\ B=0</math> y <math>A=C\ne 0</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<br />
<math>\ f(x,y)=A(x^2+y^2)+Dx+Ey+F=0</math><br />
<br />
<br />
<br />
representa una recta si <math>\ A=0</math> y una circunferencia si <math>A\ne 0</math>. Su imagen es<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ f\left ( \frac{u}{u^2+v^2},-\frac{v}{u^2+v^2}\right )=A\frac{1}{u^2+v^2}+D\frac{u}{u^2+v^2}-E\frac{v}{u^2+v^2}+F=0</math><br />
<br />
<br />
<br />
o<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ F(u^2+v^2)+Du-Ev+A=0</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 16:08 22 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''8.- Demuestre de dos maneras que el lugar de los puntos que cumplen la ecuación <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> <math> ,k\in\mathbb{R}^{+},a,b\in\mathbb{C},a\neq b</math> constituye una recta o un círculo (llamado de Apolonio).'''<br />
<br />
'''Solución'''<br />
<br />
Sea <br />
<br />
<math>z = x+iy\,\!, a = u+iv, b = c+id</math><br />
<br />
<br />
<br />
Entonces <br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|^{2}=k^{2}\left|z-b\right|^{2}</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left(x-u\right)^{2}+\left(y-v\right)^{2}=k\left(\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}\right)</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>x^2-2xu+u^2+y^2-2yv+v^2=kx^2-2kxc+c^2+ky^2-2kyd+kd^2\,\!</math> </center><br />
<br />
<br />
Si agrupamos esta expresión se tiene:<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(1-k\right)-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right) \qquad (I)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Si <math>k=1</math> se tiene la ecuación de una recta, es decir:<br />
<br />
<br />
<center><math>-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=c^{2}+d^{2}-\left(u^{2}+v^{2}\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Ahora para <math>k\neq1</math> la ecuación <math>\left(I\right)</math> al multiplicarla por<br />
<math>\frac{1}{\left(1-k\right)}<br />
</math> toma la forma:<br />
<br />
<br />
<center><math>\frac{}{}<br />
\left(x^{2}+y^{2}\right)-\frac{2x\left(u-kc\right)}{\left(1-k\right)}-\frac{2y\left(v-kd\right)}{\left(1-k\right)}=\frac{k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)}{\left(1-k\right)}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si completamos los cuadrados (más un poco de álgebra) de esta ultima expresión se obtiene lo<br />
siguiente<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\left(\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}+\frac{1}{1-k}\left(k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\frac{k}{\left(1-k\right)^{2}}\left(\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
lo cual es la ecuación de un círculo con centro <br />
<math>\left(\frac{u-kc}{1-k}\,,\,\frac{v-kd}{1-k}\right)</math><br />
y cuyo radio es <br />
<math>\frac{\sqrt{k}}{\left|1-k\right|}\sqrt{\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Otro método.<br />
<br />
<center><math><br />
\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(z-a\right)\left(\overline{z}-\overline{a}\right)=k\left(z-b\right)\left(\overline{z}-\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}-a\overline{z}-\overline{a}z+a\overline{a}=k\left(z\overline{z}-b\overline{z}-\overline{b}z+b\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
agrupando tenemos<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)-a\overline{z}-\overline{a}z+kb\overline{z}+k\overline{b}z=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)+\overline{z}\left(kb-a\right)+z\left(k\overline{b}-\overline{a}\right)=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio<math> A=\left(1-k\right), B=\left(kb-a\right),\overline{B}=\left(k\overline{b}-\overline{a}\right), C=kb\overline{b}-a\overline{a}\!,</math> , la anterior ecuación se escribe como<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
Az\overline{z}+B\overline{z}+\overline{B}z=C</math></center><br />
<br />
<br />
si <math> A=0</math> (entonces <math>k=1</math>) se tiene la ecución de una recta, si <math>A</math> es distinto<br />
de cero (entonces k es distinto de 1) y se tiene la ecuación de una<br />
circunferencia.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 01:46 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
'''9.- Sean <math>a,c</math> complejos, tal que no son ambos nulos, probar que<br />
<math>\left|\frac{\bar{a}z+\bar{c}}{cz+a}\right|=1</math>, si <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
Interpretar geometricamente.'''<br />
<br />
<br />
Sean <math> a=b+id , c=e+if , z=x+iy </math>.<br />
Entonces sustituyendo esto se tiene la siguiente expresión:<br />
<br />
<math>\left|\frac{\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)}{\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)}\right|=1 </math><br />
<br />
Por propiedades de la norma se sigue que<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|}{\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right|}=1 </math><br />
<br />
Y multiplicando ambos lados por el denominador llegamos a que<br />
<br />
<math>\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|=\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right| </math><br />
<br />
Desarrollando los producto y las operaciones para poder agrupar terminos se llega a<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right| </math><br />
<br />
Elevando al cuadrado para tener el cuadrado de la norma tenemos que<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|^{2}=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right|^{2} </math><br />
<br />
Donde es inmediato lo siguiente<br />
<br />
<math>\left(bx+dy+e\right)^{2}+\left(by-dx-f\right)^{2}=\left(b+ex-fy\right)^{2}+\left(d+fx+ey\right)^{2} </math><br />
<br />
Y despues de expander los polinomios<br />
<br />
<math>\left(e^{2}+f^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(b^{2}+d^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)=\left(b^{2}+d^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(e^{2}+f^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}\left|z\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}\left|z\right|^{2} </math> <br />
<br />
Donde <math>\left|z\right|=1</math><br />
<br />
<math>\therefore\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2} </math><br />
<br />
O tambien <br />
<br />
<math>\frac{\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}}{\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}}=1 </math><br />
<br />
Que era lo que se queria mostrar. <br />
<br />
Ahora geometricamente esto nos dice que la magnitud de la suma de<br />
dos numeros complejos es igual a la magnitud de la suma de sus conjugados.<br />
<br />
En las siguientes imagenes se muestra graficamente la interpretacion<br />
geometrica, el vector de color naranja es <math>z</math> y el azul y verde <math>a,c</math><br />
respectivamente.<br />
<br />
[[Imagen:Prueba1.jpg]][[Imagen:Prueba.jpg]]<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 14:12 9 dic 2009 (UTC)<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 19:42 21 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''10.- Probar que la funcion <math>z \rightarrow 1/z</math> es una rotacion de <math>\pi</math> radianes en la esfera de Riemann alrededor del eje x.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Las componentes del punto <math>A = (a_1,a_2,a_3)\,</math> en la esfera unitaria asociado a z son:<br />
<br />
<br />
<math>a_1 = \frac{z+\overline{z}}{|z|^2+1}, a_2 = \frac{z-\overline{z}}{i(|z|^2+1)}, a_3 = \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\,</math> <br />
<br />
<br />
Sea <math>\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> y tomando en cuenta que <math>|z| = |\overline{z}|\,</math>, entonces, las componentes del punto <math>B = (b_1,b_2,b_3)\,</math> de la esfera unitaria asociado a <math>\frac{1}{z}\,</math> son:<br />
<br />
<br />
<math>b_1 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}+\frac{z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{\overline{z}+z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\overline{z}+z}{|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}+z}{1+|z|^2} = a_1\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_2 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}-\frac{z}{|z|^2}}{i(\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i(1+|z|^2)} = -\frac{z-\overline{z}}{i(1+|z|^2)} = -a_2\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_3 = \frac{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}-1}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{1}{|z|^2}-1}{\frac{1}{|z|^2}+1} = \frac{1-|z|^2}{1+|z|^2} = -\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} = -a_3\,</math> ...<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 00:03 9 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''11.''' '''Probar que dados dos puntos''' <math>z,w \in \mathbb C</math> '''se tiene que sus proyecciones en la esfera de Riemann son antípodas si y solo si''' <math>z\bar{w} = -1</math><br />
<br />
<br />
SOLUCION.<br />
<br />
Sea <math>z \in \mathbb C \quad a,b \in \mathbb R</math> <br />
<br />
se pasa del plano complejo a la esfera de Riemann.<br />
<br />
<math>\psi: \mathbb C \rightarrow \mathbb S^2 - \lbrace e_3 \rbrace </math><br />
<br />
<math> z \mapsto (x_1 , x_2 , x_3)</math><br />
<br />
<br />
Si <math>\ z=a+ib \mapsto \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)</math> es el punto '''P''' en la esfera de Riemann.<br />
<br />
<br />
con este punto '''P''' y el centro '''C''' de la esfera se construye una recta que pase por estos puntos:<br />
<br />
<br />
Sea <math>\mathcal {L} =\ p + t\vec{v} \quad , \forall t \in \mathbb R </math> donde <math>\vec v</math>es el vector director que va de '''P''' a ''' C''' esto es <br />
<br />
<br />
<math>\vec {v} =(0,0,0)- \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) </math><br />
<br />
<br />
nuestra ecuacion de la recta queda de la siguiente manera:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\mathcal {L} =\left (\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right) + t \left (\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \quad , \forall t \in \mathbb R </math><br />
<br />
<br />
Cuando <math>\ t=0</math> tenemos a <math>\ P</math> en la esfera.<br />
<br />
cuando <math>\ t=1</math> tenemos el centro <math>\ (0,0,0)</math> de la esfera de Riemann.<br />
<br />
cuando <math>\ t=2 </math> tenemos al punto <math>\ Q</math> que es la antipoda de <math>\ p</math><br />
<br />
<br />
<math> \Rightarrow Q=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \, antipoda \quad de\quad p \quad en \quad la \quad esfera \quad de \quad Riemann </math><br />
<br />
<br />
teniendo a <math> \ Q</math> sobre la esfera de Riemann volvemos al plano complejo mediante la siguiente tranformacion:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\varphi: \mathbb S^2 -\lbrace e_3 \rbrace \rightarrow \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>Q \mapsto \frac {x_1 +ix_2}{1-x_3} </math>, que nos da un punto <math>\ w_Q \in \mathbb C</math> <br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q=\frac {x_1 +ix_2}{1-x_3}=\frac {\frac {-2a}{a^2+b^2+1} +i \frac {-2b}{a^2+b^2+1}}{1+ \frac {a^2+b^2-1}{a^2+b^2+1}} = \frac{ \frac{-2}{a^2+b^2+1}(a+ib) }{ \frac {2a^2+2b^2}{a^2+b^2+1} } = \frac {-2}{2a^2+2b^2}(a+ib) = \frac {-1}{a^2+b^2}(a+ib) </math> <br />
<br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} </math><br />
<br />
<br />
Como la proyeccion en la esfera de Riemann de <math>\ w_Q </math> es la antipoda de <math>\ z </math> se debe de cumplir que <math>z\bar{w_Q} = -1</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> z=a+ib \quad, w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} \in \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow z\bar{w_Q} =(a+ib)\left ( -\frac {a}{a^2 + b^2} +i \frac {b}{a^2+ b^2}\right )=\left ( -\frac {a^2}{a^2 + b^2} -\frac {b^2}{a^2+ b^2}\right )+i\left ( -\frac {ab}{a^2 + b^2} + \frac {ab}{a^2+ b^2}\right ) </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\left ( \frac {-(a^2+b^2)}{a^2 + b^2} \right )+i(0)=-1</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore z,w</math> son antipodas si y solo si <math>z\bar{w} = -1 \quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 15:11 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''12.'''¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la funcion <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> ?<br />
<br />
<br />
SOLUCIÓN:<br />
<br />
para la imagen notemos que <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> es continua exepto cuando <math>\ z=0</math>, por lo que su imagen es todo el plano complejo exepto el origen.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.2&diff=11848
Compleja:ej-cap1.2
2009-12-14T04:02:46Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>==EJERCICIOS 1.2.1 ==<br />
<br />
'''1.''' '''Demuestre que una una funcion''' <math>f:A\subset\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} </math> '''es continua en''' <math>{z_0}\in A</math> '''si y soló si para toda sucesión''' <math>{z_n},n\in\mathbb{N}, </math> '''tal que''' <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow\infty,</math> '''se tiene''' <math>f(z_n)\rightarrow f(z_0),</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Supongamos que <math> \ f<br />
</math> es continua en <math>\ z_0 </math> , es decir:<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad\exists \delta = \delta(\epsilon)> 0 </math> <br />
<br />
tal que <math>\quad | z - z_0 |<\delta \Rightarrow | f(z) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
y supongamos que <math>\lbrace z_n \rbrace , n\in \mathbb{N} </math> es una sucesión en <math>\ A </math> tal que <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math><br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<math>f(z_n)\rightarrow f(z_0)</math><br />
<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad \exists N = N(\epsilon)\in \mathbb N ,\quad n\geq N \Rightarrow | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
como <math>\ f</math> es continua en <math>\ z_0</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists\delta = \delta(\epsilon)>0</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow z_n \rightarrow z_0 </math><br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists M = M(\epsilon) \in \mathbb N, \quad n \geq M \Rightarrow | z_n - z_0 |< \delta </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore f(z_n) \rightarrow f(z_0)\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.''' '''Demuestre que una sucesión''' <math> \ \lbrace a_n \rbrace</math> en <math>\mathbb R^n </math> '''es de ''Cauchy'' si y sólo es convergente.<br />
<br />
'''<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Una sucesión en <math>\mathbb R^n </math> se dice que es de ''Cauchy'' si para todo <math>\epsilon >0 ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in \mathbb N </math> tal que <math>|a_m - a_n|<\epsilon , \quad \forall m,n \geq N</math> '''.'''<br />
<br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<br />
Si la sucesión es convergente, esto es si <math>\lim {a_n}=L \quad \Rightarrow \quad \forall \epsilon > 0\quad ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in\mathbb N </math><br />
<br />
<br />
tal que <math>|a_n - L|<\frac{\epsilon}{2}\quad, \quad \forall n\geq N</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow </math> si <math>m,n\geq N ,</math> se tiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ |a_m - a_n|=|a_m - L +L - a_n| \leq |a_m - L| + | L - a_n|< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}\!=\!{\epsilon} </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore \lbrace a_n \rbrace \quad es \quad de \quad Cauchy.\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
== EJERCICIOS 1.2.2 ==<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''1. Demuestre que la funcion estereográfica <math>(x_1,x_2,x_3)\to\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math> de la esfera de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.<br />
<br />
Definicion: Una funcion es suprayectiva si a un punto en la esfera<math>(x_1,x_2,x_3)</math> le corresponde uno(s) puntos dentro del plano complejo <math>\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
Una función es sobre si para toda '''y''' pertenece al Codominio <math>(f)</math> ,existe '''x''' pertenece al Dominio de <br />
<math>(f)</math> tal que <math> y = f(x)</math><br />
<br />
Notaciòn (para la demostraciòn): S= Esfera, C= punto en el plano proyectado por la esfera.<br />
<br />
Dominio<math>(f)= S</math> y el Codominio<math>(f)= C</math> y tambièn<br />
<math> C = z\epsilon\mathbb{C}:, f(z)=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
<math>z\epsilon\mathbb{C}:x_3\ne1 </math><br />
<br />
Suponga <math>\bar{x}\epsilon</math> S donde <math>\bar{x}=(x_1,x_2,x_3)</math><br />
<br />
Condicion de la esfera <math>(x_1^2+x_2^2+x_3^2=1)</math> donde <math>x_2</math> pertenece a '''i'''<br />
<br />
Ahora bien sabemos que la magnitud cuadrática <math>\bar{x}</math> es 1 <br />
<br />
<br />
<math>\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}\epsilon</math> Codominio de (f)<br />
<br />
Sea '''y''' que pertenece al Codominio de (f) donde : <math>y= ai+b</math><br />
<br />
Sea <math>a=\frac{x_1}{1-x_3}</math> y <math>b=\frac{x_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
tomando en cuenta que <math>y=f(x)</math><br />
<br />
de esta manera <math>f(x)=\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 03:09 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''2. Demuestre que si <math>z_n\rightarrow \infty.</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math>, entonces <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Como <math>z_n\rightarrow \infty.</math><br />
<math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Recordando la definiciòn del limite dado un <math>N_o</math> nos aproximamos.<br />
<math>\exists\N_o\epsilon\mathbb N+ n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> por hipótesis.<br />
<br />
P.D. <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math>, asi como también <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Ahora usando la definiciòn del limite dentro de la mètrica cordal tenemos un <math>N_o^\prime</math> donde limite se aproxima a cero cuando <math>n\rightarrow \infty.</math> <br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty) - 0 |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty)|<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
Usando la definición de la distancia cordal entre dos puntos<br />
<br />
<math>d_C(z_1,z_2)=|\pi(z_1)-\pi(z_2)|</math><br />
<br />
P.D.<math>\quad\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon </math><br />
<br />
Tomamos el lìmite descrito anteriomente.<br />
<br />
Por hipótesis <math>\quad\exists\N_o\epsilon\mathbb N</math> tal que <math>\quad n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> <br />
<br />
Sea <math>N_o</math> como antes por la continuidad de <math>\pi</math><br />
<br />
Finalmente usando la definiciòn de metrica cordal.<br />
<br />
Si <math>\quad n\geq N_o\to|\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon</math> <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 04:20 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''3. Las transformaciones de Möbius definidas en (1.4) se extienden a la esfera de Riemann <math>\hat{\mathbb{C}} </math> como sigue: si <math>c=0, T(\infty)=\infty</math>, y si <math>c\neq0, T(\infty)=\frac{a}{c}</math> y <math>T(\frac{-d}{c})=\infty</math>.Demuestre que estas funciones son continuas en dicha esfera con la metrica cordal.<br />
<br />
Transformaciones de Möbius complejas.(1.4)<br />
<math>z\to\frac{az+b}{cz+d} , ad-bc\neq0, a,b,c,d. <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
Se define la metrica cordal en el plano complejo extendido de la sig. manera.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2) = <br />
\begin{cases} <br />
\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}, & si z_1,z_2\neq\infty \\<br />
\frac{2}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}}, & si z_2=\infty. <br />
\end{cases}</math><br />
<br />
para los casos extremos.<br />
<br />
si <math>c=0, T(\infty)=\frac{az+b}{d}=\frac{a(\infty)+b}{d}=\infty.</math><br />
<br />
si <math>c\neq0, T(z)=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{z}{z}\frac{a+\frac{b}{z}}{c+\frac{d}{z}}<br />
<br />
<br />
,T(\infty)=\frac{a+\frac{b}{\infty}}{c+\frac{d}{\infty}}=\frac{a}{c}.</math><br />
<br />
<br />
<br />
si <math>T(\frac{-d}{c})=\frac{a(\frac{-d}{c})+b}{c(\frac{-d}{c})+d}=\infty.</math><br />
<br />
<br />
generalizando, para <math>z_1,z_2 \epsilon\mathbb{C}</math>, (arbitrarias).<br />
<br />
por hip.<math>c=0\therefore</math><br />
<br />
<math>T(z)=\frac{az+b}{d}=\frac{a}{d}z+\frac{b}{d}</math>.<br />
<br />
<math>\forall\epsilon>0, \exists\delta>0 </math><br />
<br />
<br />
tal que si<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_1-z_2\right|<\delta , \left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
entonces<br />
<math>\left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\left|z_1-z_2\right|\delta <\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
<math>T(z_1)-T(z_2)=\left(\frac{a}{d}z_1+\frac{b}{d}\right)-\left(\frac{a}{d}z_2+\frac{b}{d}\right)=\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)</math><br />
<br />
<br />
por <math>\left(d\left(0,x-y\right)=d\left(x,y\right)\right)</math><br />
<br />
<math>d_c\left(0,T(z_1)-T(z_2)\right)=d_c\left(0,\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)\right)=d_c\left(\frac{a}{d}z_1,\frac{a}{d}z_2\right)</math><br />
<br />
ahora si<math>z_1,z_2\ne\infty</math> y <math>\delta\approx \frac{1}{k}</math> donde <math>k=\frac{a}{d}</math><br />
<br />
con la metrica cordal.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2)=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+k^2\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+k^2\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{k^2\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<math>=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{k\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore d_c(z_1,z_2)<\epsilon</math><br />
<br />
ya q se mostro que <math>\frac{az+b}{d}</math><br />
<br />
es continua, se puede probar lo mismo para <br />
<br />
<math> c z+ d </math>.<br />
<br />
<br />
por teo. de continuidad si<br />
<br />
<math> f\left(x\right),g\left(x\right)</math> <br />
<br />
son continuas, tambien<br />
<br />
<br />
<math>\frac{f(x)}{g(x)}</math>, es continua.<br />
<br />
<br />
<math>\therefore \frac{az_1+b}{cz_2+d}</math> <br />
<br />
es continua si<br />
<br />
<math>c \ne 0</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 00:42 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4.'''Demuestre que si ''AB'' son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de Möbius ''f,g'', respectivamente, entonces la matriz ''BA'' representa la composicion ''gf'', que también es de Möbius.Concluya mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera en sí misma, y que ademas constituyen un grupo.<br />
<br />
SOLUCION:<br />
<br />
tenemos que <math>\ f, g </math> son transformaciones de Möbius<br />
<br />
<br />
<math>f(z)=\frac{a' z + b'}{c' z + d'}\quad\quad g(z)=\frac{a z + b}{c z + d}</math><br />
<br />
<br />
sean <math>\ A, B </math> las representaciones matriciales de <math>\ g, f </math> respectivamente<br />
<br />
<br />
<math>A = \begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix} \quad \quad B = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
entonces <br />
<br />
<math>BA = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}<br />
a'a + b'c & c'a + d'c \\<br />
a'b + b'd & c'b + d'd \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
<br />
entonces<br />
<br />
<math>gf=\frac{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}{(a'b + b'd)z + (c'b + d'd)}</math><br />
<br />
los elementos de la matriz ''BA'' son elementos de funciones biyectivas, entonces dicha matriz también es biyectiva, y por lo tanto ''gf'' es biyectiva y de Möbius.<br />
<br />
<br />
Por ser de Möbius es meromorfa, ahora notemos que ''gf'' es continua y que <br />
<br />
<math>\frac{1}{gf}=\frac{(a'b + b')z + (c'b + d'd)}{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}</math><br />
<br />
<br />
tambien es continua por lo que concluimos que es bicontinua.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''5.'''Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en ternas de puntos de la esfera de Riemann. Sugerencia: Dada una terna, encuentre una función de Möbius que la mande en 1, 0 e <math>o\!o</math><br />
<br />
Sea <math>(x_1,x_2,x_3)\rightarrow \frac{x_1 + ix_2}{x_3} = z_0</math><br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = \frac{(1-b)x_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
y <math> \quad c = \frac{(1-d)x_3}{x_1 + i x_2} \quad </math>; <math>ad-bc\neq0</math><br />
<br />
<br />
entonces <math> T(z) = \frac{(1-b)x_3 z + (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 z + (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<math> T(z_0) = \frac{(1-b)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3}\Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3} \Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = \frac{(1-b) (<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)(<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = 1</math><br />
<br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{b - \frac{bx_3 }{x_1 + i x_2}}{cz+d}z</math><br />
<br />
<br />
<math>T(z_0) = \frac{b - \frac{bx_3 (\frac{x_1 + ix_2}{x_3})}{x_1 + i x_2}}{cz+d} = \frac{b - b}{cz+d} = 0</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math>b\rightarrow \!oo</math><br />
<br />
<br />
entonces <math>T(z_0) = \!oo</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''6.'''Pruede que las transformaciones de Möbius son composición de algunas de las siguientes funciones: rotaciones, traslaciones, homotecias, y <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math>. Concluya mostrando que las transformaciones de Möbius preservan la familia de circulos y rectas.<br />
<br />
Considere la Transformación de Möbius.<br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
<br />
Sea <math>a = 1,\quad c = 0, \quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = z+b \qquad </math> entonces <math>T(z)</math>es una traslación. <br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad b = c = 0,\quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math>T(z) = az</math> entonces '''T(z)''' es una rotación por '''arg(a)''' y por una amplificación <math>\big |a\big |</math>.<br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad a = d = 0, \quad b = c = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<math> T(z) = \frac{1}{z}\qquad</math> entonces '''T(z)''' es una inversión.<br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 23:28 26 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''7. Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en la familia de círculos y rectas.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Puesto que una transformación del tipo <math>w=\frac{1}{z} </math> aplica en circunferencias y rectas, y como las rotaciones, los cambios de escala y las translaciones preservan rectas y circunferencias. Dicha transformación bilineal o de Möbius aplica en círculos y rectas.<br />
<br />
<br />
Un círculo en <math>{S^2}</math> es la intersección de un plano con la esfera, por lo cual satiface la siguiente ecuación:<br />
<br />
<br />
<math>ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\,\!</math><br />
<br />
<br />
Tenemos que<br />
<br />
<br />
<math> x_1=\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_2=\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_3=\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto, este círculo es la imagen bajo la proyección esterografica, cuyos puntos satisfacen la siguiente ecuación en el plano: <br />
<br />
<br />
<br />
<math>a\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )+b\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )+c\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)=d </math><br />
<br />
<br />
Escribiendo <math>z = x+iy\,\!</math>, se tiene<br />
<br />
<br />
<math> x^2+y^2-\frac{2a}{d-c}x-\frac{2by}{d-c}=1 </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( d-c \right )-2ax-2by =d-c </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( c-d \right )+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )c -\left ( x^2+y^2 \right )d+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2-1 \right )c -\left ( x^2+y^2+1 \right )d+2ax+2by =0 </math><br />
<br />
<br />
finalmente se tiene que<br />
<br />
<br />
<math>2ax + 2by + c(x^2+y^2-1) = d(x^2+y^2+1)\,\!</math>,<br />
<br />
<br />
que biene siendo la ecuación de una recta o un círculo, dependiendo si <math>d=c\,\!</math>, o si <math>d\ne c\,\!</math>.<br />
<br />
<br />
'''De otra manera:'''<br />
<br />
Puesto que una transformación del tipo <math>w=\frac{1}{z} </math> aplica en circunferencias y rectas, y como las rotaciones, los cambios de escala y las translaciones preservan rectas y circunferencias. Dicha transformación bilineal o de Möbius aplica en círculos y rectas.<br />
<br />
<br />
Puesto que <math>x+iy=z=\frac{1}{w} =\frac{\overline{w}}{|w|^2}=\frac{u}{u^2+v^2}-i\frac{v}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>x=\frac{u}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
<math>y=-\frac{v}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
Por tanto, la imagen de <math>\ f(x,y)=0</math> es<br />
<br />
<br />
<br />
<math>f\left ( \frac{u}{u^2+v^2},-\frac{v}{u^2+v^2}\right )=0</math>.<br />
<br />
<br />
Sabemos que el lugar geométrico de toda sección cónica viene dado por<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ f(x,y)=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0</math><br />
<br />
<br />
Esta ecuación representa una sircunferencia si <math>\ B=0</math> y <math>A=C\ne 0</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ f(x,y)=A(x^2+y^2)+Dx+Ey+F=0</math><br />
<br />
<br />
<br />
representa una recta si <math>\ A=0</math> y una circunferencia si <math>A\ne 0</math>. Su imagen es<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ f\left ( \frac{u}{u^2+v^2},-\frac{v}{u^2+v^2}\right )=A\frac{1}{u^2+v^2}+D\frac{u}{u^2+v^2}-E\frac{v}{u^2+v^2}+F=0</math><br />
<br />
<br />
<br />
o<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ F(u^2+v^2)+Du-Ev+A=0</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 16:08 22 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''8.- Demuestre de dos maneras que el lugar de los puntos que cumplen la ecuación <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> <math> ,k\in\mathbb{R}^{+},a,b\in\mathbb{C},a\neq b</math> constituye una recta o un círculo (llamado de Apolonio).'''<br />
<br />
'''Solución'''<br />
<br />
Sea <br />
<br />
<math>z = x+iy\,\!, a = u+iv, b = c+id</math><br />
<br />
<br />
<br />
Entonces <br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|^{2}=k^{2}\left|z-b\right|^{2}</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left(x-u\right)^{2}+\left(y-v\right)^{2}=k\left(\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}\right)</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>x^2-2xu+u^2+y^2-2yv+v^2=kx^2-2kxc+c^2+ky^2-2kyd+kd^2\,\!</math> </center><br />
<br />
<br />
Si agrupamos esta expresión se tiene:<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(1-k\right)-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right) \qquad (I)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Si <math>k=1</math> se tiene la ecuación de una recta, es decir:<br />
<br />
<br />
<center><math>-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=c^{2}+d^{2}-\left(u^{2}+v^{2}\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Ahora para <math>k\neq1</math> la ecuación <math>\left(I\right)</math> al multiplicarla por<br />
<math>\frac{1}{\left(1-k\right)}<br />
</math> toma la forma:<br />
<br />
<br />
<center><math>\frac{}{}<br />
\left(x^{2}+y^{2}\right)-\frac{2x\left(u-kc\right)}{\left(1-k\right)}-\frac{2y\left(v-kd\right)}{\left(1-k\right)}=\frac{k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)}{\left(1-k\right)}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si completamos los cuadrados (más un poco de álgebra) de esta ultima expresión se obtiene lo<br />
siguiente<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\left(\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}+\frac{1}{1-k}\left(k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\frac{k}{\left(1-k\right)^{2}}\left(\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
lo cual es la ecuación de un círculo con centro <br />
<math>\left(\frac{u-kc}{1-k}\,,\,\frac{v-kd}{1-k}\right)</math><br />
y cuyo radio es <br />
<math>\frac{\sqrt{k}}{\left|1-k\right|}\sqrt{\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Otro método.<br />
<br />
<center><math><br />
\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(z-a\right)\left(\overline{z}-\overline{a}\right)=k\left(z-b\right)\left(\overline{z}-\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}-a\overline{z}-\overline{a}z+a\overline{a}=k\left(z\overline{z}-b\overline{z}-\overline{b}z+b\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
agrupando tenemos<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)-a\overline{z}-\overline{a}z+kb\overline{z}+k\overline{b}z=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)+\overline{z}\left(kb-a\right)+z\left(k\overline{b}-\overline{a}\right)=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio<math> A=\left(1-k\right), B=\left(kb-a\right),\overline{B}=\left(k\overline{b}-\overline{a}\right), C=kb\overline{b}-a\overline{a}\!,</math> , la anterior ecuación se escribe como<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
Az\overline{z}+B\overline{z}+\overline{B}z=C</math></center><br />
<br />
<br />
si <math> A=0</math> (entonces <math>k=1</math>) se tiene la ecución de una recta, si <math>A</math> es distinto<br />
de cero (entonces k es distinto de 1) y se tiene la ecuación de una<br />
circunferencia.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 01:46 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
'''9.- Sean <math>a,c</math> complejos, tal que no son ambos nulos, probar que<br />
<math>\left|\frac{\bar{a}z+\bar{c}}{cz+a}\right|=1</math>, si <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
Interpretar geometricamente.'''<br />
<br />
<br />
Sean <math> a=b+id , c=e+if , z=x+iy </math>.<br />
Entonces sustituyendo esto se tiene la siguiente expresión:<br />
<br />
<math>\left|\frac{\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)}{\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)}\right|=1 </math><br />
<br />
Por propiedades de la norma se sigue que<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|}{\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right|}=1 </math><br />
<br />
Y multiplicando ambos lados por el denominador llegamos a que<br />
<br />
<math>\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|=\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right| </math><br />
<br />
Desarrollando los producto y las operaciones para poder agrupar terminos se llega a<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right| </math><br />
<br />
Elevando al cuadrado para tener el cuadrado de la norma tenemos que<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|^{2}=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right|^{2} </math><br />
<br />
Donde es inmediato lo siguiente<br />
<br />
<math>\left(bx+dy+e\right)^{2}+\left(by-dx-f\right)^{2}=\left(b+ex-fy\right)^{2}+\left(d+fx+ey\right)^{2} </math><br />
<br />
Y despues de expander los polinomios<br />
<br />
<math>\left(e^{2}+f^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(b^{2}+d^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)=\left(b^{2}+d^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(e^{2}+f^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}\left|z\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}\left|z\right|^{2} </math> <br />
<br />
Donde <math>\left|z\right|=1</math><br />
<br />
<math>\therefore\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2} </math><br />
<br />
O tambien <br />
<br />
<math>\frac{\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}}{\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}}=1 </math><br />
<br />
Que era lo que se queria mostrar. <br />
<br />
Ahora geometricamente esto nos dice que la magnitud de la suma de<br />
dos numeros complejos es igual a la magnitud de la suma de sus conjugados.<br />
<br />
En las siguientes imagenes se muestra graficamente la interpretacion<br />
geometrica, el vector de color naranja es <math>z</math> y el azul y verde <math>a,c</math><br />
respectivamente.<br />
<br />
[[Imagen:Prueba1.jpg]][[Imagen:Prueba.jpg]]<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 14:12 9 dic 2009 (UTC)<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 19:42 21 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''10.- Probar que la funcion <math>z \rightarrow 1/z</math> es una rotacion de <math>\pi</math> radianes en la esfera de Riemann alrededor del eje x.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Las componentes del punto <math>A = (a_1,a_2,a_3)\,</math> en la esfera unitaria asociado a z son:<br />
<br />
<br />
<math>a_1 = \frac{z+\overline{z}}{|z|^2+1}, a_2 = \frac{z-\overline{z}}{i(|z|^2+1)}, a_3 = \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\,</math> <br />
<br />
<br />
Sea <math>\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> y tomando en cuenta que <math>|z| = |\overline{z}|\,</math>, entonces, las componentes del punto <math>B = (b_1,b_2,b_3)\,</math> de la esfera unitaria asociado a <math>\frac{1}{z}\,</math> son:<br />
<br />
<br />
<math>b_1 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}+\frac{z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{\overline{z}+z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\overline{z}+z}{|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}+z}{1+|z|^2} = a_1\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_2 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}-\frac{z}{|z|^2}}{i(\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i(1+|z|^2)} = -\frac{z-\overline{z}}{i(1+|z|^2)} = -a_2\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_3 = \frac{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}-1}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{1}{|z|^2}-1}{\frac{1}{|z|^2}+1} = \frac{1-|z|^2}{1+|z|^2} = -\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} = -a_3\,</math> ...<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 00:03 9 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''11.''' '''Probar que dados dos puntos''' <math>z,w \in \mathbb C</math> '''se tiene que sus proyecciones en la esfera de Riemann son antípodas si y solo si''' <math>z\bar{w} = -1</math><br />
<br />
<br />
SOLUCION.<br />
<br />
Sea <math>z \in \mathbb C \quad a,b \in \mathbb R</math> <br />
<br />
se pasa del plano complejo a la esfera de Riemann.<br />
<br />
<math>\psi: \mathbb C \rightarrow \mathbb S^2 - \lbrace e_3 \rbrace </math><br />
<br />
<math> z \mapsto (x_1 , x_2 , x_3)</math><br />
<br />
<br />
Si <math>\ z=a+ib \mapsto \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)</math> es el punto '''P''' en la esfera de Riemann.<br />
<br />
<br />
con este punto '''P''' y el centro '''C''' de la esfera se construye una recta que pase por estos puntos:<br />
<br />
<br />
Sea <math>\mathcal {L} =\ p + t\vec{v} \quad , \forall t \in \mathbb R </math> donde <math>\vec v</math>es el vector director que va de '''P''' a ''' C''' esto es <br />
<br />
<br />
<math>\vec {v} =(0,0,0)- \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) </math><br />
<br />
<br />
nuestra ecuacion de la recta queda de la siguiente manera:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\mathcal {L} =\left (\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right) + t \left (\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \quad , \forall t \in \mathbb R </math><br />
<br />
<br />
Cuando <math>\ t=0</math> tenemos a <math>\ P</math> en la esfera.<br />
<br />
cuando <math>\ t=1</math> tenemos el centro <math>\ (0,0,0)</math> de la esfera de Riemann.<br />
<br />
cuando <math>\ t=2 </math> tenemos al punto <math>\ Q</math> que es la antipoda de <math>\ p</math><br />
<br />
<br />
<math> \Rightarrow Q=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \, antipoda \quad de\quad p \quad en \quad la \quad esfera \quad de \quad Riemann </math><br />
<br />
<br />
teniendo a <math> \ Q</math> sobre la esfera de Riemann volvemos al plano complejo mediante la siguiente tranformacion:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\varphi: \mathbb S^2 -\lbrace e_3 \rbrace \rightarrow \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>Q \mapsto \frac {x_1 +ix_2}{1-x_3} </math>, que nos da un punto <math>\ w_Q \in \mathbb C</math> <br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q=\frac {x_1 +ix_2}{1-x_3}=\frac {\frac {-2a}{a^2+b^2+1} +i \frac {-2b}{a^2+b^2+1}}{1+ \frac {a^2+b^2-1}{a^2+b^2+1}} = \frac{ \frac{-2}{a^2+b^2+1}(a+ib) }{ \frac {2a^2+2b^2}{a^2+b^2+1} } = \frac {-2}{2a^2+2b^2}(a+ib) = \frac {-1}{a^2+b^2}(a+ib) </math> <br />
<br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} </math><br />
<br />
<br />
Como la proyeccion en la esfera de Riemann de <math>\ w_Q </math> es la antipoda de <math>\ z </math> se debe de cumplir que <math>z\bar{w_Q} = -1</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> z=a+ib \quad, w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} \in \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow z\bar{w_Q} =(a+ib)\left ( -\frac {a}{a^2 + b^2} +i \frac {b}{a^2+ b^2}\right )=\left ( -\frac {a^2}{a^2 + b^2} -\frac {b^2}{a^2+ b^2}\right )+i\left ( -\frac {ab}{a^2 + b^2} + \frac {ab}{a^2+ b^2}\right ) </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\left ( \frac {-(a^2+b^2)}{a^2 + b^2} \right )+i(0)=-1</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore z,w</math> son antipodas si y solo si <math>z\bar{w} = -1 \quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 15:11 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''12.'''¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la funcion <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> ?<br />
<br />
<br />
SOLUCIÓN:<br />
<br />
para la imagen notemos que <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> es continua exepto cuando <math>\ z=0</math>, por lo que su imagen es todo el plano complejo exepto el origen.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.2&diff=11847
Compleja:ej-cap1.2
2009-12-14T04:01:44Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>==EJERCICIOS 1.2.1 ==<br />
<br />
'''1.''' '''Demuestre que una una funcion''' <math>f:A\subset\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} </math> '''es continua en''' <math>{z_0}\in A</math> '''si y soló si para toda sucesión''' <math>{z_n},n\in\mathbb{N}, </math> '''tal que''' <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow\infty,</math> '''se tiene''' <math>f(z_n)\rightarrow f(z_0),</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Supongamos que <math> \ f<br />
</math> es continua en <math>\ z_0 </math> , es decir:<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad\exists \delta = \delta(\epsilon)> 0 </math> <br />
<br />
tal que <math>\quad | z - z_0 |<\delta \Rightarrow | f(z) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
y supongamos que <math>\lbrace z_n \rbrace , n\in \mathbb{N} </math> es una sucesión en <math>\ A </math> tal que <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math><br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<math>f(z_n)\rightarrow f(z_0)</math><br />
<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad \exists N = N(\epsilon)\in \mathbb N ,\quad n\geq N \Rightarrow | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
como <math>\ f</math> es continua en <math>\ z_0</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists\delta = \delta(\epsilon)>0</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow z_n \rightarrow z_0 </math><br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists M = M(\epsilon) \in \mathbb N, \quad n \geq M \Rightarrow | z_n - z_0 |< \delta </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore f(z_n) \rightarrow f(z_0)\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.''' '''Demuestre que una sucesión''' <math> \ \lbrace a_n \rbrace</math> en <math>\mathbb R^n </math> '''es de ''Cauchy'' si y sólo es convergente.<br />
<br />
'''<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Una sucesión en <math>\mathbb R^n </math> se dice que es de ''Cauchy'' si para todo <math>\epsilon >0 ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in \mathbb N </math> tal que <math>|a_m - a_n|<\epsilon , \quad \forall m,n \geq N</math> '''.'''<br />
<br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<br />
Si la sucesión es convergente, esto es si <math>\lim {a_n}=L \quad \Rightarrow \quad \forall \epsilon > 0\quad ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in\mathbb N </math><br />
<br />
<br />
tal que <math>|a_n - L|<\frac{\epsilon}{2}\quad, \quad \forall n\geq N</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow </math> si <math>m,n\geq N ,</math> se tiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ |a_m - a_n|=|a_m - L +L - a_n| \leq |a_m - L| + | L - a_n|< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}\!=\!{\epsilon} </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore \lbrace a_n \rbrace \quad es \quad de \quad Cauchy.\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
== EJERCICIOS 1.2.2 ==<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''1. Demuestre que la funcion estereográfica <math>(x_1,x_2,x_3)\to\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math> de la esfera de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.<br />
<br />
Definicion: Una funcion es suprayectiva si a un punto en la esfera<math>(x_1,x_2,x_3)</math> le corresponde uno(s) puntos dentro del plano complejo <math>\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
Una función es sobre si para toda '''y''' pertenece al Codominio <math>(f)</math> ,existe '''x''' pertenece al Dominio de <br />
<math>(f)</math> tal que <math> y = f(x)</math><br />
<br />
Notaciòn (para la demostraciòn): S= Esfera, C= punto en el plano proyectado por la esfera.<br />
<br />
Dominio<math>(f)= S</math> y el Codominio<math>(f)= C</math> y tambièn<br />
<math> C = z\epsilon\mathbb{C}:, f(z)=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
<math>z\epsilon\mathbb{C}:x_3\ne1 </math><br />
<br />
Suponga <math>\bar{x}\epsilon</math> S donde <math>\bar{x}=(x_1,x_2,x_3)</math><br />
<br />
Condicion de la esfera <math>(x_1^2+x_2^2+x_3^2=1)</math> donde <math>x_2</math> pertenece a '''i'''<br />
<br />
Ahora bien sabemos que la magnitud cuadrática <math>\bar{x}</math> es 1 <br />
<br />
<br />
<math>\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}\epsilon</math> Codominio de (f)<br />
<br />
Sea '''y''' que pertenece al Codominio de (f) donde : <math>y= ai+b</math><br />
<br />
Sea <math>a=\frac{x_1}{1-x_3}</math> y <math>b=\frac{x_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
tomando en cuenta que <math>y=f(x)</math><br />
<br />
de esta manera <math>f(x)=\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 03:09 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''2. Demuestre que si <math>z_n\rightarrow \infty.</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math>, entonces <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Como <math>z_n\rightarrow \infty.</math><br />
<math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Recordando la definiciòn del limite dado un <math>N_o</math> nos aproximamos.<br />
<math>\exists\N_o\epsilon\mathbb N+ n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> por hipótesis.<br />
<br />
P.D. <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math>, asi como también <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Ahora usando la definiciòn del limite dentro de la mètrica cordal tenemos un <math>N_o^\prime</math> donde limite se aproxima a cero cuando <math>n\rightarrow \infty.</math> <br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty) - 0 |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty)|<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
Usando la definición de la distancia cordal entre dos puntos<br />
<br />
<math>d_C(z_1,z_2)=|\pi(z_1)-\pi(z_2)|</math><br />
<br />
P.D.<math>\quad\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon </math><br />
<br />
Tomamos el lìmite descrito anteriomente.<br />
<br />
Por hipótesis <math>\quad\exists\N_o\epsilon\mathbb N</math> tal que <math>\quad n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> <br />
<br />
Sea <math>N_o</math> como antes por la continuidad de <math>\pi</math><br />
<br />
Finalmente usando la definiciòn de metrica cordal.<br />
<br />
Si <math>\quad n\geq N_o\to|\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon</math> <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 04:20 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''3. Las transformaciones de Möbius definidas en (1.4) se extienden a la esfera de Riemann <math>\hat{\mathbb{C}} </math> como sigue: si <math>c=0, T(\infty)=\infty</math>, y si <math>c\neq0, T(\infty)=\frac{a}{c}</math> y <math>T(\frac{-d}{c})=\infty</math>.Demuestre que estas funciones son continuas en dicha esfera con la metrica cordal.<br />
<br />
Transformaciones de Möbius complejas.(1.4)<br />
<math>z\to\frac{az+b}{cz+d} , ad-bc\neq0, a,b,c,d. <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
Se define la metrica cordal en el plano complejo extendido de la sig. manera.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2) = <br />
\begin{cases} <br />
\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}, & si z_1,z_2\neq\infty \\<br />
\frac{2}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}}, & si z_2=\infty. <br />
\end{cases}</math><br />
<br />
para los casos extremos.<br />
<br />
si <math>c=0, T(\infty)=\frac{az+b}{d}=\frac{a(\infty)+b}{d}=\infty.</math><br />
<br />
si <math>c\neq0, T(z)=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{z}{z}\frac{a+\frac{b}{z}}{c+\frac{d}{z}}<br />
<br />
<br />
,T(\infty)=\frac{a+\frac{b}{\infty}}{c+\frac{d}{\infty}}=\frac{a}{c}.</math><br />
<br />
<br />
<br />
si <math>T(\frac{-d}{c})=\frac{a(\frac{-d}{c})+b}{c(\frac{-d}{c})+d}=\infty.</math><br />
<br />
<br />
generalizando, para <math>z_1,z_2 \epsilon\mathbb{C}</math>, (arbitrarias).<br />
<br />
por hip.<math>c=0\therefore</math><br />
<br />
<math>T(z)=\frac{az+b}{d}=\frac{a}{d}z+\frac{b}{d}</math>.<br />
<br />
<math>\forall\epsilon>0, \exists\delta>0 </math><br />
<br />
<br />
tal que si<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_1-z_2\right|<\delta , \left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
entonces<br />
<math>\left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\left|z_1-z_2\right|\delta <\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
<math>T(z_1)-T(z_2)=\left(\frac{a}{d}z_1+\frac{b}{d}\right)-\left(\frac{a}{d}z_2+\frac{b}{d}\right)=\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)</math><br />
<br />
<br />
por <math>\left(d\left(0,x-y\right)=d\left(x,y\right)\right)</math><br />
<br />
<math>d_c\left(0,T(z_1)-T(z_2)\right)=d_c\left(0,\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)\right)=d_c\left(\frac{a}{d}z_1,\frac{a}{d}z_2\right)</math><br />
<br />
ahora si<math>z_1,z_2\ne\infty</math> y <math>\delta\approx \frac{1}{k}</math> donde <math>k=\frac{a}{d}</math><br />
<br />
con la metrica cordal.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2)=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+k^2\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+k^2\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{k^2\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<math>=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{k\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore d_c(z_1,z_2)<\epsilon</math><br />
<br />
ya q se mostro que <math>\frac{az+b}{d}</math><br />
<br />
es continua, se puede probar lo mismo para <br />
<br />
<math> c z+ d </math>.<br />
<br />
<br />
por teo. de continuidad si<br />
<br />
<math> f\left(x\right),g\left(x\right)</math> <br />
<br />
son continuas, tambien<br />
<br />
<br />
<math>\frac{f(x)}{g(x)}</math>, es continua.<br />
<br />
<br />
<math>\therefore \frac{az_1+b}{cz_2+d}</math> <br />
<br />
es continua si<br />
<br />
<math>c \ne 0</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 00:42 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4.'''Demuestre que si ''AB'' son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de Möbius ''f,g'', respectivamente, entonces la matriz ''BA'' representa la composicion ''gf'', que también es de Möbius.Concluya mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera en sí misma, y que ademas constituyen un grupo.<br />
<br />
SOLUCION:<br />
<br />
tenemos que <math>\ f, g </math> son transformaciones de Möbius<br />
<br />
<br />
<math>f(z)=\frac{a' z + b'}{c' z + d'}\quad\quad g(z)=\frac{a z + b}{c z + d}</math><br />
<br />
<br />
sean <math>\ A, B </math> las representaciones matriciales de <math>\ g, f </math> respectivamente<br />
<br />
<br />
<math>A = \begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix} \quad \quad B = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
entonces <br />
<br />
<math>BA = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}<br />
a'a + b'c & c'a + d'c \\<br />
a'b + b'd & c'b + d'd \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
<br />
entonces<br />
<br />
<math>gf=\frac{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}{(a'b + b'd)z + (c'b + d'd)}</math><br />
<br />
los elementos de la matriz ''BA'' son elementos de funciones biyectivas, entonces dicha matriz también es biyectiva, y por lo tanto ''gf'' es biyectiva y de Möbius.<br />
<br />
<br />
Por ser de Möbius es meromorfa, ahora notemos que ''gf'' es continua y que <br />
<br />
<math>\frac{1}{gf}=\frac{(a'b + b')z + (c'b + d'd)}{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}</math><br />
<br />
<br />
tambien es continua por lo que concluimos que es bicontinua.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''5.'''Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en ternas de puntos de la esfera de Riemann. Sugerencia: Dada una terna, encuentre una función de Möbius que la mande en 1, 0 e <math>o\!o</math><br />
<br />
Sea <math>(x_1,x_2,x_3)\rightarrow \frac{x_1 + ix_2}{x_3} = z_0</math><br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = \frac{(1-b)x_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
y <math> \quad c = \frac{(1-d)x_3}{x_1 + i x_2} \quad </math>; <math>ad-bc\neq0</math><br />
<br />
<br />
entonces <math> T(z) = \frac{(1-b)x_3 z + (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 z + (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<math> T(z_0) = \frac{(1-b)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3}\Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3} \Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = \frac{(1-b) (<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)(<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = 1</math><br />
<br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{b - \frac{bx_3 }{x_1 + i x_2}}{cz+d}z</math><br />
<br />
<br />
<math>T(z_0) = \frac{b - \frac{bx_3 (\frac{x_1 + ix_2}{x_3})}{x_1 + i x_2}}{cz+d} = \frac{b - b}{cz+d} = 0</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math>b\rightarrow \!oo</math><br />
<br />
<br />
entonces <math>T(z_0) = \!oo</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''6.'''Pruede que las transformaciones de Möbius son composición de algunas de las siguientes funciones: rotaciones, traslaciones, homotecias, y <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math>. Concluya mostrando que las transformaciones de Möbius preservan la familia de circulos y rectas.<br />
<br />
Considere la Transformación de Möbius.<br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
<br />
Sea <math>a = 1,\quad c = 0, \quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = z+b \qquad </math> entonces <math>T(z)</math>es una traslación. <br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad b = c = 0,\quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math>T(z) = az</math> entonces '''T(z)''' es una rotación por '''arg(a)''' y por una amplificación <math>\big |a\big |</math>.<br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad a = d = 0, \quad b = c = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<math> T(z) = \frac{1}{z}\qquad</math> entonces '''T(z)''' es una inversión.<br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 23:28 26 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''7. Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en la familia de círculos y rectas.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Puesto que una transformación del tipo <math>w=\frac{1}{z} </math> aplica en circunferencias y rectas, y como las rotaciones, los cambios de escala y las translaciones preservan rectas y circunferencias. Dicha transformación bilineal o de Möbius aplica en círculos y rectas.<br />
<br />
<br />
Un círculo en <math>{S^2}</math> es la intersección de un plano con la esfera, por lo cual satiface la siguiente ecuación:<br />
<br />
<br />
<math>ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\,\!</math><br />
<br />
<br />
Tenemos que<br />
<br />
<br />
<math> x_1=\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_2=\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_3=\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto, este círculo es la imagen bajo la proyección esterografica, cuyos puntos satisfacen la siguiente ecuación en el plano: <br />
<br />
<br />
<br />
<math>a\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )+b\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )+c\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)=d </math><br />
<br />
<br />
Escribiendo <math>z = x+iy\,\!</math>, se tiene<br />
<br />
<br />
<math> x^2+y^2-\frac{2a}{d-c}x-\frac{2by}{d-c}=1 </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( d-c \right )-2ax-2by =d-c </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( c-d \right )+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )c -\left ( x^2+y^2 \right )d+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2-1 \right )c -\left ( x^2+y^2+1 \right )d+2ax+2by =0 </math><br />
<br />
<br />
finalmente se tiene que<br />
<br />
<br />
<math>2ax + 2by + c(x^2+y^2-1) = d(x^2+y^2+1)\,\!</math>,<br />
<br />
<br />
que biene siendo la ecuación de una recta o un círculo, dependiendo si <math>d=c\,\!</math>, o si <math>d\ne c\,\!</math>.<br />
<br />
<br />
'''De otra manera:'''<br />
<br />
<br />
Puesto que <math>x+iy=z=\frac{1}{w} =\frac{\overline{w}}{|w|^2}=\frac{u}{u^2+v^2}-i\frac{v}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>x=\frac{u}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
<math>y=-\frac{v}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
Por tanto, la imagen de <math>\ f(x,y)=0</math> es<br />
<br />
<br />
<br />
<math>f\left ( \frac{u}{u^2+v^2},-\frac{v}{u^2+v^2}\right )=0</math>.<br />
<br />
<br />
Sabemos que el lugar geométrico de toda sección cónica viene dado por<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ f(x,y)=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0</math><br />
<br />
<br />
Esta ecuación representa una sircunferencia si <math>\ B=0</math> y <math>A=C\ne 0</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ f(x,y)=A(x^2+y^2)+Dx+Ey+F=0</math><br />
<br />
<br />
<br />
representa una recta si <math>\ A=0</math> y una circunferencia si <math>A\ne 0</math>. Su imagen es<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ f\left ( \frac{u}{u^2+v^2},-\frac{v}{u^2+v^2}\right )=A\frac{1}{u^2+v^2}+D\frac{u}{u^2+v^2}-E\frac{v}{u^2+v^2}+F=0</math><br />
<br />
<br />
<br />
o<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ F(u^2+v^2)+Du-Ev+A=0</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 16:08 22 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''8.- Demuestre de dos maneras que el lugar de los puntos que cumplen la ecuación <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> <math> ,k\in\mathbb{R}^{+},a,b\in\mathbb{C},a\neq b</math> constituye una recta o un círculo (llamado de Apolonio).'''<br />
<br />
'''Solución'''<br />
<br />
Sea <br />
<br />
<math>z = x+iy\,\!, a = u+iv, b = c+id</math><br />
<br />
<br />
<br />
Entonces <br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|^{2}=k^{2}\left|z-b\right|^{2}</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left(x-u\right)^{2}+\left(y-v\right)^{2}=k\left(\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}\right)</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>x^2-2xu+u^2+y^2-2yv+v^2=kx^2-2kxc+c^2+ky^2-2kyd+kd^2\,\!</math> </center><br />
<br />
<br />
Si agrupamos esta expresión se tiene:<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(1-k\right)-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right) \qquad (I)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Si <math>k=1</math> se tiene la ecuación de una recta, es decir:<br />
<br />
<br />
<center><math>-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=c^{2}+d^{2}-\left(u^{2}+v^{2}\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Ahora para <math>k\neq1</math> la ecuación <math>\left(I\right)</math> al multiplicarla por<br />
<math>\frac{1}{\left(1-k\right)}<br />
</math> toma la forma:<br />
<br />
<br />
<center><math>\frac{}{}<br />
\left(x^{2}+y^{2}\right)-\frac{2x\left(u-kc\right)}{\left(1-k\right)}-\frac{2y\left(v-kd\right)}{\left(1-k\right)}=\frac{k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)}{\left(1-k\right)}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si completamos los cuadrados (más un poco de álgebra) de esta ultima expresión se obtiene lo<br />
siguiente<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\left(\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}+\frac{1}{1-k}\left(k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\frac{k}{\left(1-k\right)^{2}}\left(\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
lo cual es la ecuación de un círculo con centro <br />
<math>\left(\frac{u-kc}{1-k}\,,\,\frac{v-kd}{1-k}\right)</math><br />
y cuyo radio es <br />
<math>\frac{\sqrt{k}}{\left|1-k\right|}\sqrt{\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Otro método.<br />
<br />
<center><math><br />
\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(z-a\right)\left(\overline{z}-\overline{a}\right)=k\left(z-b\right)\left(\overline{z}-\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}-a\overline{z}-\overline{a}z+a\overline{a}=k\left(z\overline{z}-b\overline{z}-\overline{b}z+b\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
agrupando tenemos<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)-a\overline{z}-\overline{a}z+kb\overline{z}+k\overline{b}z=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)+\overline{z}\left(kb-a\right)+z\left(k\overline{b}-\overline{a}\right)=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio<math> A=\left(1-k\right), B=\left(kb-a\right),\overline{B}=\left(k\overline{b}-\overline{a}\right), C=kb\overline{b}-a\overline{a}\!,</math> , la anterior ecuación se escribe como<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
Az\overline{z}+B\overline{z}+\overline{B}z=C</math></center><br />
<br />
<br />
si <math> A=0</math> (entonces <math>k=1</math>) se tiene la ecución de una recta, si <math>A</math> es distinto<br />
de cero (entonces k es distinto de 1) y se tiene la ecuación de una<br />
circunferencia.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 01:46 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
'''9.- Sean <math>a,c</math> complejos, tal que no son ambos nulos, probar que<br />
<math>\left|\frac{\bar{a}z+\bar{c}}{cz+a}\right|=1</math>, si <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
Interpretar geometricamente.'''<br />
<br />
<br />
Sean <math> a=b+id , c=e+if , z=x+iy </math>.<br />
Entonces sustituyendo esto se tiene la siguiente expresión:<br />
<br />
<math>\left|\frac{\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)}{\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)}\right|=1 </math><br />
<br />
Por propiedades de la norma se sigue que<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|}{\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right|}=1 </math><br />
<br />
Y multiplicando ambos lados por el denominador llegamos a que<br />
<br />
<math>\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|=\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right| </math><br />
<br />
Desarrollando los producto y las operaciones para poder agrupar terminos se llega a<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right| </math><br />
<br />
Elevando al cuadrado para tener el cuadrado de la norma tenemos que<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|^{2}=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right|^{2} </math><br />
<br />
Donde es inmediato lo siguiente<br />
<br />
<math>\left(bx+dy+e\right)^{2}+\left(by-dx-f\right)^{2}=\left(b+ex-fy\right)^{2}+\left(d+fx+ey\right)^{2} </math><br />
<br />
Y despues de expander los polinomios<br />
<br />
<math>\left(e^{2}+f^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(b^{2}+d^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)=\left(b^{2}+d^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(e^{2}+f^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}\left|z\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}\left|z\right|^{2} </math> <br />
<br />
Donde <math>\left|z\right|=1</math><br />
<br />
<math>\therefore\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2} </math><br />
<br />
O tambien <br />
<br />
<math>\frac{\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}}{\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}}=1 </math><br />
<br />
Que era lo que se queria mostrar. <br />
<br />
Ahora geometricamente esto nos dice que la magnitud de la suma de<br />
dos numeros complejos es igual a la magnitud de la suma de sus conjugados.<br />
<br />
En las siguientes imagenes se muestra graficamente la interpretacion<br />
geometrica, el vector de color naranja es <math>z</math> y el azul y verde <math>a,c</math><br />
respectivamente.<br />
<br />
[[Imagen:Prueba1.jpg]][[Imagen:Prueba.jpg]]<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 14:12 9 dic 2009 (UTC)<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 19:42 21 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''10.- Probar que la funcion <math>z \rightarrow 1/z</math> es una rotacion de <math>\pi</math> radianes en la esfera de Riemann alrededor del eje x.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Las componentes del punto <math>A = (a_1,a_2,a_3)\,</math> en la esfera unitaria asociado a z son:<br />
<br />
<br />
<math>a_1 = \frac{z+\overline{z}}{|z|^2+1}, a_2 = \frac{z-\overline{z}}{i(|z|^2+1)}, a_3 = \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\,</math> <br />
<br />
<br />
Sea <math>\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> y tomando en cuenta que <math>|z| = |\overline{z}|\,</math>, entonces, las componentes del punto <math>B = (b_1,b_2,b_3)\,</math> de la esfera unitaria asociado a <math>\frac{1}{z}\,</math> son:<br />
<br />
<br />
<math>b_1 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}+\frac{z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{\overline{z}+z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\overline{z}+z}{|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}+z}{1+|z|^2} = a_1\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_2 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}-\frac{z}{|z|^2}}{i(\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i(1+|z|^2)} = -\frac{z-\overline{z}}{i(1+|z|^2)} = -a_2\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_3 = \frac{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}-1}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{1}{|z|^2}-1}{\frac{1}{|z|^2}+1} = \frac{1-|z|^2}{1+|z|^2} = -\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} = -a_3\,</math> ...<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 00:03 9 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''11.''' '''Probar que dados dos puntos''' <math>z,w \in \mathbb C</math> '''se tiene que sus proyecciones en la esfera de Riemann son antípodas si y solo si''' <math>z\bar{w} = -1</math><br />
<br />
<br />
SOLUCION.<br />
<br />
Sea <math>z \in \mathbb C \quad a,b \in \mathbb R</math> <br />
<br />
se pasa del plano complejo a la esfera de Riemann.<br />
<br />
<math>\psi: \mathbb C \rightarrow \mathbb S^2 - \lbrace e_3 \rbrace </math><br />
<br />
<math> z \mapsto (x_1 , x_2 , x_3)</math><br />
<br />
<br />
Si <math>\ z=a+ib \mapsto \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)</math> es el punto '''P''' en la esfera de Riemann.<br />
<br />
<br />
con este punto '''P''' y el centro '''C''' de la esfera se construye una recta que pase por estos puntos:<br />
<br />
<br />
Sea <math>\mathcal {L} =\ p + t\vec{v} \quad , \forall t \in \mathbb R </math> donde <math>\vec v</math>es el vector director que va de '''P''' a ''' C''' esto es <br />
<br />
<br />
<math>\vec {v} =(0,0,0)- \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) </math><br />
<br />
<br />
nuestra ecuacion de la recta queda de la siguiente manera:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\mathcal {L} =\left (\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right) + t \left (\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \quad , \forall t \in \mathbb R </math><br />
<br />
<br />
Cuando <math>\ t=0</math> tenemos a <math>\ P</math> en la esfera.<br />
<br />
cuando <math>\ t=1</math> tenemos el centro <math>\ (0,0,0)</math> de la esfera de Riemann.<br />
<br />
cuando <math>\ t=2 </math> tenemos al punto <math>\ Q</math> que es la antipoda de <math>\ p</math><br />
<br />
<br />
<math> \Rightarrow Q=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \, antipoda \quad de\quad p \quad en \quad la \quad esfera \quad de \quad Riemann </math><br />
<br />
<br />
teniendo a <math> \ Q</math> sobre la esfera de Riemann volvemos al plano complejo mediante la siguiente tranformacion:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\varphi: \mathbb S^2 -\lbrace e_3 \rbrace \rightarrow \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>Q \mapsto \frac {x_1 +ix_2}{1-x_3} </math>, que nos da un punto <math>\ w_Q \in \mathbb C</math> <br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q=\frac {x_1 +ix_2}{1-x_3}=\frac {\frac {-2a}{a^2+b^2+1} +i \frac {-2b}{a^2+b^2+1}}{1+ \frac {a^2+b^2-1}{a^2+b^2+1}} = \frac{ \frac{-2}{a^2+b^2+1}(a+ib) }{ \frac {2a^2+2b^2}{a^2+b^2+1} } = \frac {-2}{2a^2+2b^2}(a+ib) = \frac {-1}{a^2+b^2}(a+ib) </math> <br />
<br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} </math><br />
<br />
<br />
Como la proyeccion en la esfera de Riemann de <math>\ w_Q </math> es la antipoda de <math>\ z </math> se debe de cumplir que <math>z\bar{w_Q} = -1</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> z=a+ib \quad, w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} \in \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow z\bar{w_Q} =(a+ib)\left ( -\frac {a}{a^2 + b^2} +i \frac {b}{a^2+ b^2}\right )=\left ( -\frac {a^2}{a^2 + b^2} -\frac {b^2}{a^2+ b^2}\right )+i\left ( -\frac {ab}{a^2 + b^2} + \frac {ab}{a^2+ b^2}\right ) </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\left ( \frac {-(a^2+b^2)}{a^2 + b^2} \right )+i(0)=-1</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore z,w</math> son antipodas si y solo si <math>z\bar{w} = -1 \quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 15:11 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''12.'''¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la funcion <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> ?<br />
<br />
<br />
SOLUCIÓN:<br />
<br />
para la imagen notemos que <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> es continua exepto cuando <math>\ z=0</math>, por lo que su imagen es todo el plano complejo exepto el origen.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.2&diff=11845
Compleja:ej-cap1.2
2009-12-14T03:45:15Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>==EJERCICIOS 1.2.1 ==<br />
<br />
'''1.''' '''Demuestre que una una funcion''' <math>f:A\subset\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} </math> '''es continua en''' <math>{z_0}\in A</math> '''si y soló si para toda sucesión''' <math>{z_n},n\in\mathbb{N}, </math> '''tal que''' <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow\infty,</math> '''se tiene''' <math>f(z_n)\rightarrow f(z_0),</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Supongamos que <math> \ f<br />
</math> es continua en <math>\ z_0 </math> , es decir:<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad\exists \delta = \delta(\epsilon)> 0 </math> <br />
<br />
tal que <math>\quad | z - z_0 |<\delta \Rightarrow | f(z) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
y supongamos que <math>\lbrace z_n \rbrace , n\in \mathbb{N} </math> es una sucesión en <math>\ A </math> tal que <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math><br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<math>f(z_n)\rightarrow f(z_0)</math><br />
<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad \exists N = N(\epsilon)\in \mathbb N ,\quad n\geq N \Rightarrow | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
como <math>\ f</math> es continua en <math>\ z_0</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists\delta = \delta(\epsilon)>0</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow z_n \rightarrow z_0 </math><br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists M = M(\epsilon) \in \mathbb N, \quad n \geq M \Rightarrow | z_n - z_0 |< \delta </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore f(z_n) \rightarrow f(z_0)\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.''' '''Demuestre que una sucesión''' <math> \ \lbrace a_n \rbrace</math> en <math>\mathbb R^n </math> '''es de ''Cauchy'' si y sólo es convergente.<br />
<br />
'''<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Una sucesión en <math>\mathbb R^n </math> se dice que es de ''Cauchy'' si para todo <math>\epsilon >0 ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in \mathbb N </math> tal que <math>|a_m - a_n|<\epsilon , \quad \forall m,n \geq N</math> '''.'''<br />
<br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<br />
Si la sucesión es convergente, esto es si <math>\lim {a_n}=L \quad \Rightarrow \quad \forall \epsilon > 0\quad ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in\mathbb N </math><br />
<br />
<br />
tal que <math>|a_n - L|<\frac{\epsilon}{2}\quad, \quad \forall n\geq N</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow </math> si <math>m,n\geq N ,</math> se tiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ |a_m - a_n|=|a_m - L +L - a_n| \leq |a_m - L| + | L - a_n|< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}\!=\!{\epsilon} </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore \lbrace a_n \rbrace \quad es \quad de \quad Cauchy.\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
== EJERCICIOS 1.2.2 ==<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''1. Demuestre que la funcion estereográfica <math>(x_1,x_2,x_3)\to\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math> de la esfera de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.<br />
<br />
Definicion: Una funcion es suprayectiva si a un punto en la esfera<math>(x_1,x_2,x_3)</math> le corresponde uno(s) puntos dentro del plano complejo <math>\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
Una función es sobre si para toda '''y''' pertenece al Codominio <math>(f)</math> ,existe '''x''' pertenece al Dominio de <br />
<math>(f)</math> tal que <math> y = f(x)</math><br />
<br />
Notaciòn (para la demostraciòn): S= Esfera, C= punto en el plano proyectado por la esfera.<br />
<br />
Dominio<math>(f)= S</math> y el Codominio<math>(f)= C</math> y tambièn<br />
<math> C = z\epsilon\mathbb{C}:, f(z)=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
<math>z\epsilon\mathbb{C}:x_3\ne1 </math><br />
<br />
Suponga <math>\bar{x}\epsilon</math> S donde <math>\bar{x}=(x_1,x_2,x_3)</math><br />
<br />
Condicion de la esfera <math>(x_1^2+x_2^2+x_3^2=1)</math> donde <math>x_2</math> pertenece a '''i'''<br />
<br />
Ahora bien sabemos que la magnitud cuadrática <math>\bar{x}</math> es 1 <br />
<br />
<br />
<math>\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}\epsilon</math> Codominio de (f)<br />
<br />
Sea '''y''' que pertenece al Codominio de (f) donde : <math>y= ai+b</math><br />
<br />
Sea <math>a=\frac{x_1}{1-x_3}</math> y <math>b=\frac{x_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
tomando en cuenta que <math>y=f(x)</math><br />
<br />
de esta manera <math>f(x)=\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 03:09 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''2. Demuestre que si <math>z_n\rightarrow \infty.</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math>, entonces <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Como <math>z_n\rightarrow \infty.</math><br />
<math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Recordando la definiciòn del limite dado un <math>N_o</math> nos aproximamos.<br />
<math>\exists\N_o\epsilon\mathbb N+ n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> por hipótesis.<br />
<br />
P.D. <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math>, asi como también <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Ahora usando la definiciòn del limite dentro de la mètrica cordal tenemos un <math>N_o^\prime</math> donde limite se aproxima a cero cuando <math>n\rightarrow \infty.</math> <br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty) - 0 |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty)|<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
Usando la definición de la distancia cordal entre dos puntos<br />
<br />
<math>d_C(z_1,z_2)=|\pi(z_1)-\pi(z_2)|</math><br />
<br />
P.D.<math>\quad\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon </math><br />
<br />
Tomamos el lìmite descrito anteriomente.<br />
<br />
Por hipótesis <math>\quad\exists\N_o\epsilon\mathbb N</math> tal que <math>\quad n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> <br />
<br />
Sea <math>N_o</math> como antes por la continuidad de <math>\pi</math><br />
<br />
Finalmente usando la definiciòn de metrica cordal.<br />
<br />
Si <math>\quad n\geq N_o\to|\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon</math> <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 04:20 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''3. Las transformaciones de Möbius definidas en (1.4) se extienden a la esfera de Riemann <math>\hat{\mathbb{C}} </math> como sigue: si <math>c=0, T(\infty)=\infty</math>, y si <math>c\neq0, T(\infty)=\frac{a}{c}</math> y <math>T(\frac{-d}{c})=\infty</math>.Demuestre que estas funciones son continuas en dicha esfera con la metrica cordal.<br />
<br />
Transformaciones de Möbius complejas.(1.4)<br />
<math>z\to\frac{az+b}{cz+d} , ad-bc\neq0, a,b,c,d. <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
Se define la metrica cordal en el plano complejo extendido de la sig. manera.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2) = <br />
\begin{cases} <br />
\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}, & si z_1,z_2\neq\infty \\<br />
\frac{2}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}}, & si z_2=\infty. <br />
\end{cases}</math><br />
<br />
para los casos extremos.<br />
<br />
si <math>c=0, T(\infty)=\frac{az+b}{d}=\frac{a(\infty)+b}{d}=\infty.</math><br />
<br />
si <math>c\neq0, T(z)=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{z}{z}\frac{a+\frac{b}{z}}{c+\frac{d}{z}}<br />
<br />
<br />
,T(\infty)=\frac{a+\frac{b}{\infty}}{c+\frac{d}{\infty}}=\frac{a}{c}.</math><br />
<br />
<br />
<br />
si <math>T(\frac{-d}{c})=\frac{a(\frac{-d}{c})+b}{c(\frac{-d}{c})+d}=\infty.</math><br />
<br />
<br />
generalizando, para <math>z_1,z_2 \epsilon\mathbb{C}</math>, (arbitrarias).<br />
<br />
por hip.<math>c=0\therefore</math><br />
<br />
<math>T(z)=\frac{az+b}{d}=\frac{a}{d}z+\frac{b}{d}</math>.<br />
<br />
<math>\forall\epsilon>0, \exists\delta>0 </math><br />
<br />
<br />
tal que si<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_1-z_2\right|<\delta , \left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
entonces<br />
<math>\left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\left|z_1-z_2\right|\delta <\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
<math>T(z_1)-T(z_2)=\left(\frac{a}{d}z_1+\frac{b}{d}\right)-\left(\frac{a}{d}z_2+\frac{b}{d}\right)=\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)</math><br />
<br />
<br />
por <math>\left(d\left(0,x-y\right)=d\left(x,y\right)\right)</math><br />
<br />
<math>d_c\left(0,T(z_1)-T(z_2)\right)=d_c\left(0,\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)\right)=d_c\left(\frac{a}{d}z_1,\frac{a}{d}z_2\right)</math><br />
<br />
ahora si<math>z_1,z_2\ne\infty</math> y <math>\delta\approx \frac{1}{k}</math> donde <math>k=\frac{a}{d}</math><br />
<br />
con la metrica cordal.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2)=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+k^2\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+k^2\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{k^2\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<math>=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{k\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore d_c(z_1,z_2)<\epsilon</math><br />
<br />
ya q se mostro que <math>\frac{az+b}{d}</math><br />
<br />
es continua, se puede probar lo mismo para <br />
<br />
<math> c z+ d </math>.<br />
<br />
<br />
por teo. de continuidad si<br />
<br />
<math> f\left(x\right),g\left(x\right)</math> <br />
<br />
son continuas, tambien<br />
<br />
<br />
<math>\frac{f(x)}{g(x)}</math>, es continua.<br />
<br />
<br />
<math>\therefore \frac{az_1+b}{cz_2+d}</math> <br />
<br />
es continua si<br />
<br />
<math>c \ne 0</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 00:42 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4.'''Demuestre que si ''AB'' son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de Möbius ''f,g'', respectivamente, entonces la matriz ''BA'' representa la composicion ''gf'', que también es de Möbius.Concluya mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera en sí misma, y que ademas constituyen un grupo.<br />
<br />
SOLUCION:<br />
<br />
tenemos que <math>\ f, g </math> son transformaciones de Möbius<br />
<br />
<br />
<math>f(z)=\frac{a' z + b'}{c' z + d'}\quad\quad g(z)=\frac{a z + b}{c z + d}</math><br />
<br />
<br />
sean <math>\ A, B </math> las representaciones matriciales de <math>\ g, f </math> respectivamente<br />
<br />
<br />
<math>A = \begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix} \quad \quad B = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
entonces <br />
<br />
<math>BA = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}<br />
a'a + b'c & c'a + d'c \\<br />
a'b + b'd & c'b + d'd \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
<br />
entonces<br />
<br />
<math>gf=\frac{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}{(a'b + b'd)z + (c'b + d'd)}</math><br />
<br />
los elementos de la matriz ''BA'' son elementos de funciones biyectivas, entonces dicha matriz también es biyectiva, y por lo tanto ''gf'' es biyectiva y de Möbius.<br />
<br />
<br />
Por ser de Möbius es meromorfa, ahora notemos que ''gf'' es continua y que <br />
<br />
<math>\frac{1}{gf}=\frac{(a'b + b')z + (c'b + d'd)}{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}</math><br />
<br />
<br />
tambien es continua por lo que concluimos que es bicontinua.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''5.'''Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en ternas de puntos de la esfera de Riemann. Sugerencia: Dada una terna, encuentre una función de Möbius que la mande en 1, 0 e <math>o\!o</math><br />
<br />
Sea <math>(x_1,x_2,x_3)\rightarrow \frac{x_1 + ix_2}{x_3} = z_0</math><br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = \frac{(1-b)x_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
y <math> \quad c = \frac{(1-d)x_3}{x_1 + i x_2} \quad </math>; <math>ad-bc\neq0</math><br />
<br />
<br />
entonces <math> T(z) = \frac{(1-b)x_3 z + (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 z + (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<math> T(z_0) = \frac{(1-b)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3}\Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3} \Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = \frac{(1-b) (<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)(<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = 1</math><br />
<br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{b - \frac{bx_3 }{x_1 + i x_2}}{cz+d}z</math><br />
<br />
<br />
<math>T(z_0) = \frac{b - \frac{bx_3 (\frac{x_1 + ix_2}{x_3})}{x_1 + i x_2}}{cz+d} = \frac{b - b}{cz+d} = 0</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math>b\rightarrow \!oo</math><br />
<br />
<br />
entonces <math>T(z_0) = \!oo</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''6.'''Pruede que las transformaciones de Möbius son composición de algunas de las siguientes funciones: rotaciones, traslaciones, homotecias, y <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math>. Concluya mostrando que las transformaciones de Möbius preservan la familia de circulos y rectas.<br />
<br />
Considere la Transformación de Möbius.<br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
<br />
Sea <math>a = 1,\quad c = 0, \quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = z+b \qquad </math> entonces <math>T(z)</math>es una traslación. <br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad b = c = 0,\quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math>T(z) = az</math> entonces '''T(z)''' es una rotación por '''arg(a)''' y por una amplificación <math>\big |a\big |</math>.<br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad a = d = 0, \quad b = c = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<math> T(z) = \frac{1}{z}\qquad</math> entonces '''T(z)''' es una inversión.<br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 23:28 26 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''7. Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en la familia de círculos y rectas.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Puesto que una transformación del tipo <math>w=\frac{1}{z} </math> aplica en circunferencias y rectas, y como las rotaciones, los cambios de escala y las translaciones preservan rectas y circunferencias. Dicha transformación bilineal o de Möbius aplica en círculos y rectas.<br />
<br />
<br />
Un círculo en <math>{S^2}</math> es la intersección de un plano con la esfera, por lo cual satiface la siguiente ecuación:<br />
<br />
<br />
<math>ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\,\!</math><br />
<br />
<br />
Tenemos que<br />
<br />
<br />
<math> x_1=\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_2=\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_3=\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto, este círculo es la imagen bajo la proyección esterografica, cuyos puntos satisfacen la siguiente ecuación en el plano: <br />
<br />
<br />
<br />
<math>a\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )+b\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )+c\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)=d </math><br />
<br />
<br />
Escribiendo <math>z = x+iy\,\!</math>, se tiene<br />
<br />
<br />
<math> x^2+y^2-\frac{2a}{d-c}x-\frac{2by}{d-c}=1 </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( d-c \right )-2ax-2by =d-c </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( c-d \right )+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )c -\left ( x^2+y^2 \right )d+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2-1 \right )c -\left ( x^2+y^2+1 \right )d+2ax+2by =0 </math><br />
<br />
<br />
finalmente se tiene que<br />
<br />
<br />
<math>2ax + 2by + c(x^2+y^2-1) = d(x^2+y^2+1)\,\!</math>,<br />
<br />
<br />
que biene siendo la ecuación de una recta o un círculo, dependiendo si <math>d=c\,\!</math>, o si <math>d\ne c\,\!</math>.<br />
<br />
<br />
'''De otra manera:'''<br />
<br />
<br />
Puesto que <math>x+iy=z=\frac{1}{w} =\frac{\overline{w}}{|w|^2}=\frac{u}{u^2+v^2}-i\frac{v}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>x=\frac{u}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
<math>y=-\frac{v}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
Por tanto, la imagen de <math>\ f(x,y)=0</math> es<br />
<br />
<br />
<br />
<math>f\left ( \frac{u}{u^2+v^2},-\frac{v}{u^2+v^2}\right )=0</math>.<br />
<br />
<br />
Sabemos que el lugar geométrico de toda sección cónica viene dado por<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ f(x,y)=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0</math><br />
<br />
<br />
Esta ecuación representa una sircunferencia si <math>\ B=0</math> y <math>A=C\ne 0</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ f(x,y)=A(x^2+y^2)+Dx+Ey+F=0</math><br />
<br />
<br />
<br />
representa una recta si <math>\ A=0</math> y una circunferencia si <math>A\ne 0</math>. Su imagen es<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ f\left ( \frac{u}{u^2+v^2},-\frac{v}{u^2+v^2}\right )=A\frac{1}{u^2+v^2}+D\frac{u}{u^2+v^2}-E\frac{v}{u^2+v^2}+F=0</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 16:08 22 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''8.- Demuestre de dos maneras que el lugar de los puntos que cumplen la ecuación <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> <math> ,k\in\mathbb{R}^{+},a,b\in\mathbb{C},a\neq b</math> constituye una recta o un círculo (llamado de Apolonio).'''<br />
<br />
'''Solución'''<br />
<br />
Sea <br />
<br />
<math>z = x+iy\,\!, a = u+iv, b = c+id</math><br />
<br />
<br />
<br />
Entonces <br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|^{2}=k^{2}\left|z-b\right|^{2}</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left(x-u\right)^{2}+\left(y-v\right)^{2}=k\left(\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}\right)</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>x^2-2xu+u^2+y^2-2yv+v^2=kx^2-2kxc+c^2+ky^2-2kyd+kd^2\,\!</math> </center><br />
<br />
<br />
Si agrupamos esta expresión se tiene:<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(1-k\right)-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right) \qquad (I)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Si <math>k=1</math> se tiene la ecuación de una recta, es decir:<br />
<br />
<br />
<center><math>-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=c^{2}+d^{2}-\left(u^{2}+v^{2}\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Ahora para <math>k\neq1</math> la ecuación <math>\left(I\right)</math> al multiplicarla por<br />
<math>\frac{1}{\left(1-k\right)}<br />
</math> toma la forma:<br />
<br />
<br />
<center><math>\frac{}{}<br />
\left(x^{2}+y^{2}\right)-\frac{2x\left(u-kc\right)}{\left(1-k\right)}-\frac{2y\left(v-kd\right)}{\left(1-k\right)}=\frac{k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)}{\left(1-k\right)}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si completamos los cuadrados (más un poco de álgebra) de esta ultima expresión se obtiene lo<br />
siguiente<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\left(\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}+\frac{1}{1-k}\left(k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\frac{k}{\left(1-k\right)^{2}}\left(\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
lo cual es la ecuación de un círculo con centro <br />
<math>\left(\frac{u-kc}{1-k}\,,\,\frac{v-kd}{1-k}\right)</math><br />
y cuyo radio es <br />
<math>\frac{\sqrt{k}}{\left|1-k\right|}\sqrt{\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Otro método.<br />
<br />
<center><math><br />
\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(z-a\right)\left(\overline{z}-\overline{a}\right)=k\left(z-b\right)\left(\overline{z}-\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}-a\overline{z}-\overline{a}z+a\overline{a}=k\left(z\overline{z}-b\overline{z}-\overline{b}z+b\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
agrupando tenemos<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)-a\overline{z}-\overline{a}z+kb\overline{z}+k\overline{b}z=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)+\overline{z}\left(kb-a\right)+z\left(k\overline{b}-\overline{a}\right)=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio<math> A=\left(1-k\right), B=\left(kb-a\right),\overline{B}=\left(k\overline{b}-\overline{a}\right), C=kb\overline{b}-a\overline{a}\!,</math> , la anterior ecuación se escribe como<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
Az\overline{z}+B\overline{z}+\overline{B}z=C</math></center><br />
<br />
<br />
si <math> A=0</math> (entonces <math>k=1</math>) se tiene la ecución de una recta, si <math>A</math> es distinto<br />
de cero (entonces k es distinto de 1) y se tiene la ecuación de una<br />
circunferencia.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 01:46 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
'''9.- Sean <math>a,c</math> complejos, tal que no son ambos nulos, probar que<br />
<math>\left|\frac{\bar{a}z+\bar{c}}{cz+a}\right|=1</math>, si <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
Interpretar geometricamente.'''<br />
<br />
<br />
Sean <math> a=b+id , c=e+if , z=x+iy </math>.<br />
Entonces sustituyendo esto se tiene la siguiente expresión:<br />
<br />
<math>\left|\frac{\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)}{\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)}\right|=1 </math><br />
<br />
Por propiedades de la norma se sigue que<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|}{\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right|}=1 </math><br />
<br />
Y multiplicando ambos lados por el denominador llegamos a que<br />
<br />
<math>\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|=\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right| </math><br />
<br />
Desarrollando los producto y las operaciones para poder agrupar terminos se llega a<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right| </math><br />
<br />
Elevando al cuadrado para tener el cuadrado de la norma tenemos que<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|^{2}=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right|^{2} </math><br />
<br />
Donde es inmediato lo siguiente<br />
<br />
<math>\left(bx+dy+e\right)^{2}+\left(by-dx-f\right)^{2}=\left(b+ex-fy\right)^{2}+\left(d+fx+ey\right)^{2} </math><br />
<br />
Y despues de expander los polinomios<br />
<br />
<math>\left(e^{2}+f^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(b^{2}+d^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)=\left(b^{2}+d^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(e^{2}+f^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}\left|z\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}\left|z\right|^{2} </math> <br />
<br />
Donde <math>\left|z\right|=1</math><br />
<br />
<math>\therefore\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2} </math><br />
<br />
O tambien <br />
<br />
<math>\frac{\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}}{\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}}=1 </math><br />
<br />
Que era lo que se queria mostrar. <br />
<br />
Ahora geometricamente esto nos dice que la magnitud de la suma de<br />
dos numeros complejos es igual a la magnitud de la suma de sus conjugados.<br />
<br />
En las siguientes imagenes se muestra graficamente la interpretacion<br />
geometrica, el vector de color naranja es <math>z</math> y el azul y verde <math>a,c</math><br />
respectivamente.<br />
<br />
[[Imagen:Prueba1.jpg]][[Imagen:Prueba.jpg]]<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 14:12 9 dic 2009 (UTC)<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 19:42 21 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''10.- Probar que la funcion <math>z \rightarrow 1/z</math> es una rotacion de <math>\pi</math> radianes en la esfera de Riemann alrededor del eje x.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Las componentes del punto <math>A = (a_1,a_2,a_3)\,</math> en la esfera unitaria asociado a z son:<br />
<br />
<br />
<math>a_1 = \frac{z+\overline{z}}{|z|^2+1}, a_2 = \frac{z-\overline{z}}{i(|z|^2+1)}, a_3 = \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\,</math> <br />
<br />
<br />
Sea <math>\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> y tomando en cuenta que <math>|z| = |\overline{z}|\,</math>, entonces, las componentes del punto <math>B = (b_1,b_2,b_3)\,</math> de la esfera unitaria asociado a <math>\frac{1}{z}\,</math> son:<br />
<br />
<br />
<math>b_1 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}+\frac{z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{\overline{z}+z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\overline{z}+z}{|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}+z}{1+|z|^2} = a_1\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_2 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}-\frac{z}{|z|^2}}{i(\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i(1+|z|^2)} = -\frac{z-\overline{z}}{i(1+|z|^2)} = -a_2\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_3 = \frac{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}-1}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{1}{|z|^2}-1}{\frac{1}{|z|^2}+1} = \frac{1-|z|^2}{1+|z|^2} = -\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} = -a_3\,</math> ...<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 00:03 9 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''11.''' '''Probar que dados dos puntos''' <math>z,w \in \mathbb C</math> '''se tiene que sus proyecciones en la esfera de Riemann son antípodas si y solo si''' <math>z\bar{w} = -1</math><br />
<br />
<br />
SOLUCION.<br />
<br />
Sea <math>z \in \mathbb C \quad a,b \in \mathbb R</math> <br />
<br />
se pasa del plano complejo a la esfera de Riemann.<br />
<br />
<math>\psi: \mathbb C \rightarrow \mathbb S^2 - \lbrace e_3 \rbrace </math><br />
<br />
<math> z \mapsto (x_1 , x_2 , x_3)</math><br />
<br />
<br />
Si <math>\ z=a+ib \mapsto \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)</math> es el punto '''P''' en la esfera de Riemann.<br />
<br />
<br />
con este punto '''P''' y el centro '''C''' de la esfera se construye una recta que pase por estos puntos:<br />
<br />
<br />
Sea <math>\mathcal {L} =\ p + t\vec{v} \quad , \forall t \in \mathbb R </math> donde <math>\vec v</math>es el vector director que va de '''P''' a ''' C''' esto es <br />
<br />
<br />
<math>\vec {v} =(0,0,0)- \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) </math><br />
<br />
<br />
nuestra ecuacion de la recta queda de la siguiente manera:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\mathcal {L} =\left (\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right) + t \left (\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \quad , \forall t \in \mathbb R </math><br />
<br />
<br />
Cuando <math>\ t=0</math> tenemos a <math>\ P</math> en la esfera.<br />
<br />
cuando <math>\ t=1</math> tenemos el centro <math>\ (0,0,0)</math> de la esfera de Riemann.<br />
<br />
cuando <math>\ t=2 </math> tenemos al punto <math>\ Q</math> que es la antipoda de <math>\ p</math><br />
<br />
<br />
<math> \Rightarrow Q=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \, antipoda \quad de\quad p \quad en \quad la \quad esfera \quad de \quad Riemann </math><br />
<br />
<br />
teniendo a <math> \ Q</math> sobre la esfera de Riemann volvemos al plano complejo mediante la siguiente tranformacion:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\varphi: \mathbb S^2 -\lbrace e_3 \rbrace \rightarrow \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>Q \mapsto \frac {x_1 +ix_2}{1-x_3} </math>, que nos da un punto <math>\ w_Q \in \mathbb C</math> <br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q=\frac {x_1 +ix_2}{1-x_3}=\frac {\frac {-2a}{a^2+b^2+1} +i \frac {-2b}{a^2+b^2+1}}{1+ \frac {a^2+b^2-1}{a^2+b^2+1}} = \frac{ \frac{-2}{a^2+b^2+1}(a+ib) }{ \frac {2a^2+2b^2}{a^2+b^2+1} } = \frac {-2}{2a^2+2b^2}(a+ib) = \frac {-1}{a^2+b^2}(a+ib) </math> <br />
<br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} </math><br />
<br />
<br />
Como la proyeccion en la esfera de Riemann de <math>\ w_Q </math> es la antipoda de <math>\ z </math> se debe de cumplir que <math>z\bar{w_Q} = -1</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> z=a+ib \quad, w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} \in \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow z\bar{w_Q} =(a+ib)\left ( -\frac {a}{a^2 + b^2} +i \frac {b}{a^2+ b^2}\right )=\left ( -\frac {a^2}{a^2 + b^2} -\frac {b^2}{a^2+ b^2}\right )+i\left ( -\frac {ab}{a^2 + b^2} + \frac {ab}{a^2+ b^2}\right ) </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\left ( \frac {-(a^2+b^2)}{a^2 + b^2} \right )+i(0)=-1</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore z,w</math> son antipodas si y solo si <math>z\bar{w} = -1 \quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 15:11 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''12.'''¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la funcion <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> ?<br />
<br />
<br />
SOLUCIÓN:<br />
<br />
para la imagen notemos que <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> es continua exepto cuando <math>\ z=0</math>, por lo que su imagen es todo el plano complejo exepto el origen.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
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Compleja:ej-cap1.2
2009-12-14T03:41:47Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>==EJERCICIOS 1.2.1 ==<br />
<br />
'''1.''' '''Demuestre que una una funcion''' <math>f:A\subset\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} </math> '''es continua en''' <math>{z_0}\in A</math> '''si y soló si para toda sucesión''' <math>{z_n},n\in\mathbb{N}, </math> '''tal que''' <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow\infty,</math> '''se tiene''' <math>f(z_n)\rightarrow f(z_0),</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Supongamos que <math> \ f<br />
</math> es continua en <math>\ z_0 </math> , es decir:<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad\exists \delta = \delta(\epsilon)> 0 </math> <br />
<br />
tal que <math>\quad | z - z_0 |<\delta \Rightarrow | f(z) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
y supongamos que <math>\lbrace z_n \rbrace , n\in \mathbb{N} </math> es una sucesión en <math>\ A </math> tal que <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math><br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<math>f(z_n)\rightarrow f(z_0)</math><br />
<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad \exists N = N(\epsilon)\in \mathbb N ,\quad n\geq N \Rightarrow | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
como <math>\ f</math> es continua en <math>\ z_0</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists\delta = \delta(\epsilon)>0</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow z_n \rightarrow z_0 </math><br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists M = M(\epsilon) \in \mathbb N, \quad n \geq M \Rightarrow | z_n - z_0 |< \delta </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore f(z_n) \rightarrow f(z_0)\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.''' '''Demuestre que una sucesión''' <math> \ \lbrace a_n \rbrace</math> en <math>\mathbb R^n </math> '''es de ''Cauchy'' si y sólo es convergente.<br />
<br />
'''<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Una sucesión en <math>\mathbb R^n </math> se dice que es de ''Cauchy'' si para todo <math>\epsilon >0 ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in \mathbb N </math> tal que <math>|a_m - a_n|<\epsilon , \quad \forall m,n \geq N</math> '''.'''<br />
<br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<br />
Si la sucesión es convergente, esto es si <math>\lim {a_n}=L \quad \Rightarrow \quad \forall \epsilon > 0\quad ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in\mathbb N </math><br />
<br />
<br />
tal que <math>|a_n - L|<\frac{\epsilon}{2}\quad, \quad \forall n\geq N</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow </math> si <math>m,n\geq N ,</math> se tiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ |a_m - a_n|=|a_m - L +L - a_n| \leq |a_m - L| + | L - a_n|< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}\!=\!{\epsilon} </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore \lbrace a_n \rbrace \quad es \quad de \quad Cauchy.\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
== EJERCICIOS 1.2.2 ==<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''1. Demuestre que la funcion estereográfica <math>(x_1,x_2,x_3)\to\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math> de la esfera de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.<br />
<br />
Definicion: Una funcion es suprayectiva si a un punto en la esfera<math>(x_1,x_2,x_3)</math> le corresponde uno(s) puntos dentro del plano complejo <math>\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
Una función es sobre si para toda '''y''' pertenece al Codominio <math>(f)</math> ,existe '''x''' pertenece al Dominio de <br />
<math>(f)</math> tal que <math> y = f(x)</math><br />
<br />
Notaciòn (para la demostraciòn): S= Esfera, C= punto en el plano proyectado por la esfera.<br />
<br />
Dominio<math>(f)= S</math> y el Codominio<math>(f)= C</math> y tambièn<br />
<math> C = z\epsilon\mathbb{C}:, f(z)=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
<math>z\epsilon\mathbb{C}:x_3\ne1 </math><br />
<br />
Suponga <math>\bar{x}\epsilon</math> S donde <math>\bar{x}=(x_1,x_2,x_3)</math><br />
<br />
Condicion de la esfera <math>(x_1^2+x_2^2+x_3^2=1)</math> donde <math>x_2</math> pertenece a '''i'''<br />
<br />
Ahora bien sabemos que la magnitud cuadrática <math>\bar{x}</math> es 1 <br />
<br />
<br />
<math>\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}\epsilon</math> Codominio de (f)<br />
<br />
Sea '''y''' que pertenece al Codominio de (f) donde : <math>y= ai+b</math><br />
<br />
Sea <math>a=\frac{x_1}{1-x_3}</math> y <math>b=\frac{x_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
tomando en cuenta que <math>y=f(x)</math><br />
<br />
de esta manera <math>f(x)=\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 03:09 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''2. Demuestre que si <math>z_n\rightarrow \infty.</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math>, entonces <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Como <math>z_n\rightarrow \infty.</math><br />
<math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Recordando la definiciòn del limite dado un <math>N_o</math> nos aproximamos.<br />
<math>\exists\N_o\epsilon\mathbb N+ n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> por hipótesis.<br />
<br />
P.D. <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math>, asi como también <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Ahora usando la definiciòn del limite dentro de la mètrica cordal tenemos un <math>N_o^\prime</math> donde limite se aproxima a cero cuando <math>n\rightarrow \infty.</math> <br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty) - 0 |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty)|<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
Usando la definición de la distancia cordal entre dos puntos<br />
<br />
<math>d_C(z_1,z_2)=|\pi(z_1)-\pi(z_2)|</math><br />
<br />
P.D.<math>\quad\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon </math><br />
<br />
Tomamos el lìmite descrito anteriomente.<br />
<br />
Por hipótesis <math>\quad\exists\N_o\epsilon\mathbb N</math> tal que <math>\quad n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> <br />
<br />
Sea <math>N_o</math> como antes por la continuidad de <math>\pi</math><br />
<br />
Finalmente usando la definiciòn de metrica cordal.<br />
<br />
Si <math>\quad n\geq N_o\to|\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon</math> <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 04:20 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''3. Las transformaciones de Möbius definidas en (1.4) se extienden a la esfera de Riemann <math>\hat{\mathbb{C}} </math> como sigue: si <math>c=0, T(\infty)=\infty</math>, y si <math>c\neq0, T(\infty)=\frac{a}{c}</math> y <math>T(\frac{-d}{c})=\infty</math>.Demuestre que estas funciones son continuas en dicha esfera con la metrica cordal.<br />
<br />
Transformaciones de Möbius complejas.(1.4)<br />
<math>z\to\frac{az+b}{cz+d} , ad-bc\neq0, a,b,c,d. <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
Se define la metrica cordal en el plano complejo extendido de la sig. manera.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2) = <br />
\begin{cases} <br />
\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}, & si z_1,z_2\neq\infty \\<br />
\frac{2}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}}, & si z_2=\infty. <br />
\end{cases}</math><br />
<br />
para los casos extremos.<br />
<br />
si <math>c=0, T(\infty)=\frac{az+b}{d}=\frac{a(\infty)+b}{d}=\infty.</math><br />
<br />
si <math>c\neq0, T(z)=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{z}{z}\frac{a+\frac{b}{z}}{c+\frac{d}{z}}<br />
<br />
<br />
,T(\infty)=\frac{a+\frac{b}{\infty}}{c+\frac{d}{\infty}}=\frac{a}{c}.</math><br />
<br />
<br />
<br />
si <math>T(\frac{-d}{c})=\frac{a(\frac{-d}{c})+b}{c(\frac{-d}{c})+d}=\infty.</math><br />
<br />
<br />
generalizando, para <math>z_1,z_2 \epsilon\mathbb{C}</math>, (arbitrarias).<br />
<br />
por hip.<math>c=0\therefore</math><br />
<br />
<math>T(z)=\frac{az+b}{d}=\frac{a}{d}z+\frac{b}{d}</math>.<br />
<br />
<math>\forall\epsilon>0, \exists\delta>0 </math><br />
<br />
<br />
tal que si<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_1-z_2\right|<\delta , \left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
entonces<br />
<math>\left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\left|z_1-z_2\right|\delta <\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
<math>T(z_1)-T(z_2)=\left(\frac{a}{d}z_1+\frac{b}{d}\right)-\left(\frac{a}{d}z_2+\frac{b}{d}\right)=\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)</math><br />
<br />
<br />
por <math>\left(d\left(0,x-y\right)=d\left(x,y\right)\right)</math><br />
<br />
<math>d_c\left(0,T(z_1)-T(z_2)\right)=d_c\left(0,\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)\right)=d_c\left(\frac{a}{d}z_1,\frac{a}{d}z_2\right)</math><br />
<br />
ahora si<math>z_1,z_2\ne\infty</math> y <math>\delta\approx \frac{1}{k}</math> donde <math>k=\frac{a}{d}</math><br />
<br />
con la metrica cordal.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2)=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+k^2\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+k^2\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{k^2\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<math>=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{k\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore d_c(z_1,z_2)<\epsilon</math><br />
<br />
ya q se mostro que <math>\frac{az+b}{d}</math><br />
<br />
es continua, se puede probar lo mismo para <br />
<br />
<math> c z+ d </math>.<br />
<br />
<br />
por teo. de continuidad si<br />
<br />
<math> f\left(x\right),g\left(x\right)</math> <br />
<br />
son continuas, tambien<br />
<br />
<br />
<math>\frac{f(x)}{g(x)}</math>, es continua.<br />
<br />
<br />
<math>\therefore \frac{az_1+b}{cz_2+d}</math> <br />
<br />
es continua si<br />
<br />
<math>c \ne 0</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 00:42 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4.'''Demuestre que si ''AB'' son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de Möbius ''f,g'', respectivamente, entonces la matriz ''BA'' representa la composicion ''gf'', que también es de Möbius.Concluya mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera en sí misma, y que ademas constituyen un grupo.<br />
<br />
SOLUCION:<br />
<br />
tenemos que <math>\ f, g </math> son transformaciones de Möbius<br />
<br />
<br />
<math>f(z)=\frac{a' z + b'}{c' z + d'}\quad\quad g(z)=\frac{a z + b}{c z + d}</math><br />
<br />
<br />
sean <math>\ A, B </math> las representaciones matriciales de <math>\ g, f </math> respectivamente<br />
<br />
<br />
<math>A = \begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix} \quad \quad B = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
entonces <br />
<br />
<math>BA = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}<br />
a'a + b'c & c'a + d'c \\<br />
a'b + b'd & c'b + d'd \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
<br />
entonces<br />
<br />
<math>gf=\frac{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}{(a'b + b'd)z + (c'b + d'd)}</math><br />
<br />
los elementos de la matriz ''BA'' son elementos de funciones biyectivas, entonces dicha matriz también es biyectiva, y por lo tanto ''gf'' es biyectiva y de Möbius.<br />
<br />
<br />
Por ser de Möbius es meromorfa, ahora notemos que ''gf'' es continua y que <br />
<br />
<math>\frac{1}{gf}=\frac{(a'b + b')z + (c'b + d'd)}{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}</math><br />
<br />
<br />
tambien es continua por lo que concluimos que es bicontinua.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''5.'''Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en ternas de puntos de la esfera de Riemann. Sugerencia: Dada una terna, encuentre una función de Möbius que la mande en 1, 0 e <math>o\!o</math><br />
<br />
Sea <math>(x_1,x_2,x_3)\rightarrow \frac{x_1 + ix_2}{x_3} = z_0</math><br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = \frac{(1-b)x_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
y <math> \quad c = \frac{(1-d)x_3}{x_1 + i x_2} \quad </math>; <math>ad-bc\neq0</math><br />
<br />
<br />
entonces <math> T(z) = \frac{(1-b)x_3 z + (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 z + (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<math> T(z_0) = \frac{(1-b)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3}\Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3} \Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = \frac{(1-b) (<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)(<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = 1</math><br />
<br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{b - \frac{bx_3 }{x_1 + i x_2}}{cz+d}z</math><br />
<br />
<br />
<math>T(z_0) = \frac{b - \frac{bx_3 (\frac{x_1 + ix_2}{x_3})}{x_1 + i x_2}}{cz+d} = \frac{b - b}{cz+d} = 0</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math>b\rightarrow \!oo</math><br />
<br />
<br />
entonces <math>T(z_0) = \!oo</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''6.'''Pruede que las transformaciones de Möbius son composición de algunas de las siguientes funciones: rotaciones, traslaciones, homotecias, y <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math>. Concluya mostrando que las transformaciones de Möbius preservan la familia de circulos y rectas.<br />
<br />
Considere la Transformación de Möbius.<br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
<br />
Sea <math>a = 1,\quad c = 0, \quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = z+b \qquad </math> entonces <math>T(z)</math>es una traslación. <br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad b = c = 0,\quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math>T(z) = az</math> entonces '''T(z)''' es una rotación por '''arg(a)''' y por una amplificación <math>\big |a\big |</math>.<br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad a = d = 0, \quad b = c = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<math> T(z) = \frac{1}{z}\qquad</math> entonces '''T(z)''' es una inversión.<br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 23:28 26 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''7. Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en la familia de círculos y rectas.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Puesto que una transformación del tipo <math>w=\frac{1}{z} </math> aplica en circunferencias y rectas, y como las rotaciones, los cambios de escala y las translaciones preservan rectas y circunferencias. Dicha transformación bilineal o de Möbius aplica en círculos y rectas.<br />
<br />
<br />
Un círculo en <math>{S^2}</math> es la intersección de un plano con la esfera, por lo cual satiface la siguiente ecuación:<br />
<br />
<br />
<math>ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\,\!</math><br />
<br />
<br />
Tenemos que<br />
<br />
<br />
<math> x_1=\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_2=\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_3=\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto, este círculo es la imagen bajo la proyección esterografica, cuyos puntos satisfacen la siguiente ecuación en el plano: <br />
<br />
<br />
<br />
<math>a\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )+b\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )+c\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)=d </math><br />
<br />
<br />
Escribiendo <math>z = x+iy\,\!</math>, se tiene<br />
<br />
<br />
<math> x^2+y^2-\frac{2a}{d-c}x-\frac{2by}{d-c}=1 </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( d-c \right )-2ax-2by =d-c </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( c-d \right )+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )c -\left ( x^2+y^2 \right )d+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2-1 \right )c -\left ( x^2+y^2+1 \right )d+2ax+2by =0 </math><br />
<br />
<br />
finalmente se tiene que<br />
<br />
<br />
<math>2ax + 2by + c(x^2+y^2-1) = d(x^2+y^2+1)\,\!</math>,<br />
<br />
<br />
que biene siendo la ecuación de una recta o un círculo, dependiendo si <math>d=c\,\!</math>, o si <math>d\ne c\,\!</math>.<br />
<br />
<br />
'''De otra manera:'''<br />
<br />
<br />
Puesto que <math>x+iy=z=\frac{1}{w} =\frac{\overline{w}}{|w|^2}=\frac{u}{u^2+v^2}-i\frac{v}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>x=\frac{u}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
<math>y=-\frac{v}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
Por tanto, la imagen de <math>\ f(x,y)=0</math> es<br />
<br />
<br />
<br />
<math>f\left ( \frac{u}{u^2+v^2},-\frac{v}{u^2+v^2}\right )=0</math>.<br />
<br />
<br />
Sabemos que el lugar geométrico de toda sección cónica viene dado por<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ f(x,y)=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0</math><br />
<br />
<br />
Esta ecuación representa una sircunferencia si <math>\ B=0</math> y <math>A=C\ne 0</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ f(x,y)=A(x^2+y^2)+Dx+Ey+F=0</math><br />
<br />
<br />
<br />
representa una recta si <math>\ A=0</math> y una circunferencia si <math>A\ne 0</math>. Su imagen es<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ f(\frac{u}{u^2+v^2},-\frac{v}{u^2+v^2})=A\frac{1}{u^2+v^2}+D\frac{u}{u^2+v^2}-E\frac{v}{u^2+v^2}+F=0</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 16:08 22 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''8.- Demuestre de dos maneras que el lugar de los puntos que cumplen la ecuación <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> <math> ,k\in\mathbb{R}^{+},a,b\in\mathbb{C},a\neq b</math> constituye una recta o un círculo (llamado de Apolonio).'''<br />
<br />
'''Solución'''<br />
<br />
Sea <br />
<br />
<math>z = x+iy\,\!, a = u+iv, b = c+id</math><br />
<br />
<br />
<br />
Entonces <br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|^{2}=k^{2}\left|z-b\right|^{2}</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left(x-u\right)^{2}+\left(y-v\right)^{2}=k\left(\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}\right)</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>x^2-2xu+u^2+y^2-2yv+v^2=kx^2-2kxc+c^2+ky^2-2kyd+kd^2\,\!</math> </center><br />
<br />
<br />
Si agrupamos esta expresión se tiene:<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(1-k\right)-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right) \qquad (I)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Si <math>k=1</math> se tiene la ecuación de una recta, es decir:<br />
<br />
<br />
<center><math>-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=c^{2}+d^{2}-\left(u^{2}+v^{2}\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Ahora para <math>k\neq1</math> la ecuación <math>\left(I\right)</math> al multiplicarla por<br />
<math>\frac{1}{\left(1-k\right)}<br />
</math> toma la forma:<br />
<br />
<br />
<center><math>\frac{}{}<br />
\left(x^{2}+y^{2}\right)-\frac{2x\left(u-kc\right)}{\left(1-k\right)}-\frac{2y\left(v-kd\right)}{\left(1-k\right)}=\frac{k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)}{\left(1-k\right)}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si completamos los cuadrados (más un poco de álgebra) de esta ultima expresión se obtiene lo<br />
siguiente<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\left(\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}+\frac{1}{1-k}\left(k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\frac{k}{\left(1-k\right)^{2}}\left(\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
lo cual es la ecuación de un círculo con centro <br />
<math>\left(\frac{u-kc}{1-k}\,,\,\frac{v-kd}{1-k}\right)</math><br />
y cuyo radio es <br />
<math>\frac{\sqrt{k}}{\left|1-k\right|}\sqrt{\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Otro método.<br />
<br />
<center><math><br />
\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(z-a\right)\left(\overline{z}-\overline{a}\right)=k\left(z-b\right)\left(\overline{z}-\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}-a\overline{z}-\overline{a}z+a\overline{a}=k\left(z\overline{z}-b\overline{z}-\overline{b}z+b\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
agrupando tenemos<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)-a\overline{z}-\overline{a}z+kb\overline{z}+k\overline{b}z=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)+\overline{z}\left(kb-a\right)+z\left(k\overline{b}-\overline{a}\right)=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio<math> A=\left(1-k\right), B=\left(kb-a\right),\overline{B}=\left(k\overline{b}-\overline{a}\right), C=kb\overline{b}-a\overline{a}\!,</math> , la anterior ecuación se escribe como<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
Az\overline{z}+B\overline{z}+\overline{B}z=C</math></center><br />
<br />
<br />
si <math> A=0</math> (entonces <math>k=1</math>) se tiene la ecución de una recta, si <math>A</math> es distinto<br />
de cero (entonces k es distinto de 1) y se tiene la ecuación de una<br />
circunferencia.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 01:46 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
'''9.- Sean <math>a,c</math> complejos, tal que no son ambos nulos, probar que<br />
<math>\left|\frac{\bar{a}z+\bar{c}}{cz+a}\right|=1</math>, si <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
Interpretar geometricamente.'''<br />
<br />
<br />
Sean <math> a=b+id , c=e+if , z=x+iy </math>.<br />
Entonces sustituyendo esto se tiene la siguiente expresión:<br />
<br />
<math>\left|\frac{\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)}{\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)}\right|=1 </math><br />
<br />
Por propiedades de la norma se sigue que<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|}{\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right|}=1 </math><br />
<br />
Y multiplicando ambos lados por el denominador llegamos a que<br />
<br />
<math>\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|=\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right| </math><br />
<br />
Desarrollando los producto y las operaciones para poder agrupar terminos se llega a<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right| </math><br />
<br />
Elevando al cuadrado para tener el cuadrado de la norma tenemos que<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|^{2}=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right|^{2} </math><br />
<br />
Donde es inmediato lo siguiente<br />
<br />
<math>\left(bx+dy+e\right)^{2}+\left(by-dx-f\right)^{2}=\left(b+ex-fy\right)^{2}+\left(d+fx+ey\right)^{2} </math><br />
<br />
Y despues de expander los polinomios<br />
<br />
<math>\left(e^{2}+f^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(b^{2}+d^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)=\left(b^{2}+d^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(e^{2}+f^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}\left|z\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}\left|z\right|^{2} </math> <br />
<br />
Donde <math>\left|z\right|=1</math><br />
<br />
<math>\therefore\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2} </math><br />
<br />
O tambien <br />
<br />
<math>\frac{\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}}{\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}}=1 </math><br />
<br />
Que era lo que se queria mostrar. <br />
<br />
Ahora geometricamente esto nos dice que la magnitud de la suma de<br />
dos numeros complejos es igual a la magnitud de la suma de sus conjugados.<br />
<br />
En las siguientes imagenes se muestra graficamente la interpretacion<br />
geometrica, el vector de color naranja es <math>z</math> y el azul y verde <math>a,c</math><br />
respectivamente.<br />
<br />
[[Imagen:Prueba1.jpg]][[Imagen:Prueba.jpg]]<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 14:12 9 dic 2009 (UTC)<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 19:42 21 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''10.- Probar que la funcion <math>z \rightarrow 1/z</math> es una rotacion de <math>\pi</math> radianes en la esfera de Riemann alrededor del eje x.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Las componentes del punto <math>A = (a_1,a_2,a_3)\,</math> en la esfera unitaria asociado a z son:<br />
<br />
<br />
<math>a_1 = \frac{z+\overline{z}}{|z|^2+1}, a_2 = \frac{z-\overline{z}}{i(|z|^2+1)}, a_3 = \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\,</math> <br />
<br />
<br />
Sea <math>\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> y tomando en cuenta que <math>|z| = |\overline{z}|\,</math>, entonces, las componentes del punto <math>B = (b_1,b_2,b_3)\,</math> de la esfera unitaria asociado a <math>\frac{1}{z}\,</math> son:<br />
<br />
<br />
<math>b_1 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}+\frac{z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{\overline{z}+z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\overline{z}+z}{|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}+z}{1+|z|^2} = a_1\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_2 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}-\frac{z}{|z|^2}}{i(\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i(1+|z|^2)} = -\frac{z-\overline{z}}{i(1+|z|^2)} = -a_2\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_3 = \frac{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}-1}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{1}{|z|^2}-1}{\frac{1}{|z|^2}+1} = \frac{1-|z|^2}{1+|z|^2} = -\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} = -a_3\,</math> ...<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 00:03 9 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''11.''' '''Probar que dados dos puntos''' <math>z,w \in \mathbb C</math> '''se tiene que sus proyecciones en la esfera de Riemann son antípodas si y solo si''' <math>z\bar{w} = -1</math><br />
<br />
<br />
SOLUCION.<br />
<br />
Sea <math>z \in \mathbb C \quad a,b \in \mathbb R</math> <br />
<br />
se pasa del plano complejo a la esfera de Riemann.<br />
<br />
<math>\psi: \mathbb C \rightarrow \mathbb S^2 - \lbrace e_3 \rbrace </math><br />
<br />
<math> z \mapsto (x_1 , x_2 , x_3)</math><br />
<br />
<br />
Si <math>\ z=a+ib \mapsto \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)</math> es el punto '''P''' en la esfera de Riemann.<br />
<br />
<br />
con este punto '''P''' y el centro '''C''' de la esfera se construye una recta que pase por estos puntos:<br />
<br />
<br />
Sea <math>\mathcal {L} =\ p + t\vec{v} \quad , \forall t \in \mathbb R </math> donde <math>\vec v</math>es el vector director que va de '''P''' a ''' C''' esto es <br />
<br />
<br />
<math>\vec {v} =(0,0,0)- \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) </math><br />
<br />
<br />
nuestra ecuacion de la recta queda de la siguiente manera:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\mathcal {L} =\left (\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right) + t \left (\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \quad , \forall t \in \mathbb R </math><br />
<br />
<br />
Cuando <math>\ t=0</math> tenemos a <math>\ P</math> en la esfera.<br />
<br />
cuando <math>\ t=1</math> tenemos el centro <math>\ (0,0,0)</math> de la esfera de Riemann.<br />
<br />
cuando <math>\ t=2 </math> tenemos al punto <math>\ Q</math> que es la antipoda de <math>\ p</math><br />
<br />
<br />
<math> \Rightarrow Q=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \, antipoda \quad de\quad p \quad en \quad la \quad esfera \quad de \quad Riemann </math><br />
<br />
<br />
teniendo a <math> \ Q</math> sobre la esfera de Riemann volvemos al plano complejo mediante la siguiente tranformacion:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\varphi: \mathbb S^2 -\lbrace e_3 \rbrace \rightarrow \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>Q \mapsto \frac {x_1 +ix_2}{1-x_3} </math>, que nos da un punto <math>\ w_Q \in \mathbb C</math> <br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q=\frac {x_1 +ix_2}{1-x_3}=\frac {\frac {-2a}{a^2+b^2+1} +i \frac {-2b}{a^2+b^2+1}}{1+ \frac {a^2+b^2-1}{a^2+b^2+1}} = \frac{ \frac{-2}{a^2+b^2+1}(a+ib) }{ \frac {2a^2+2b^2}{a^2+b^2+1} } = \frac {-2}{2a^2+2b^2}(a+ib) = \frac {-1}{a^2+b^2}(a+ib) </math> <br />
<br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} </math><br />
<br />
<br />
Como la proyeccion en la esfera de Riemann de <math>\ w_Q </math> es la antipoda de <math>\ z </math> se debe de cumplir que <math>z\bar{w_Q} = -1</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> z=a+ib \quad, w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} \in \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow z\bar{w_Q} =(a+ib)\left ( -\frac {a}{a^2 + b^2} +i \frac {b}{a^2+ b^2}\right )=\left ( -\frac {a^2}{a^2 + b^2} -\frac {b^2}{a^2+ b^2}\right )+i\left ( -\frac {ab}{a^2 + b^2} + \frac {ab}{a^2+ b^2}\right ) </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\left ( \frac {-(a^2+b^2)}{a^2 + b^2} \right )+i(0)=-1</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore z,w</math> son antipodas si y solo si <math>z\bar{w} = -1 \quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 15:11 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''12.'''¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la funcion <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> ?<br />
<br />
<br />
SOLUCIÓN:<br />
<br />
para la imagen notemos que <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> es continua exepto cuando <math>\ z=0</math>, por lo que su imagen es todo el plano complejo exepto el origen.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.2&diff=11843
Compleja:ej-cap1.2
2009-12-14T03:39:48Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>==EJERCICIOS 1.2.1 ==<br />
<br />
'''1.''' '''Demuestre que una una funcion''' <math>f:A\subset\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} </math> '''es continua en''' <math>{z_0}\in A</math> '''si y soló si para toda sucesión''' <math>{z_n},n\in\mathbb{N}, </math> '''tal que''' <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow\infty,</math> '''se tiene''' <math>f(z_n)\rightarrow f(z_0),</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Supongamos que <math> \ f<br />
</math> es continua en <math>\ z_0 </math> , es decir:<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad\exists \delta = \delta(\epsilon)> 0 </math> <br />
<br />
tal que <math>\quad | z - z_0 |<\delta \Rightarrow | f(z) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
y supongamos que <math>\lbrace z_n \rbrace , n\in \mathbb{N} </math> es una sucesión en <math>\ A </math> tal que <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math><br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<math>f(z_n)\rightarrow f(z_0)</math><br />
<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad \exists N = N(\epsilon)\in \mathbb N ,\quad n\geq N \Rightarrow | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
como <math>\ f</math> es continua en <math>\ z_0</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists\delta = \delta(\epsilon)>0</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow z_n \rightarrow z_0 </math><br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists M = M(\epsilon) \in \mathbb N, \quad n \geq M \Rightarrow | z_n - z_0 |< \delta </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore f(z_n) \rightarrow f(z_0)\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.''' '''Demuestre que una sucesión''' <math> \ \lbrace a_n \rbrace</math> en <math>\mathbb R^n </math> '''es de ''Cauchy'' si y sólo es convergente.<br />
<br />
'''<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Una sucesión en <math>\mathbb R^n </math> se dice que es de ''Cauchy'' si para todo <math>\epsilon >0 ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in \mathbb N </math> tal que <math>|a_m - a_n|<\epsilon , \quad \forall m,n \geq N</math> '''.'''<br />
<br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<br />
Si la sucesión es convergente, esto es si <math>\lim {a_n}=L \quad \Rightarrow \quad \forall \epsilon > 0\quad ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in\mathbb N </math><br />
<br />
<br />
tal que <math>|a_n - L|<\frac{\epsilon}{2}\quad, \quad \forall n\geq N</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow </math> si <math>m,n\geq N ,</math> se tiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ |a_m - a_n|=|a_m - L +L - a_n| \leq |a_m - L| + | L - a_n|< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}\!=\!{\epsilon} </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore \lbrace a_n \rbrace \quad es \quad de \quad Cauchy.\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
== EJERCICIOS 1.2.2 ==<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''1. Demuestre que la funcion estereográfica <math>(x_1,x_2,x_3)\to\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math> de la esfera de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.<br />
<br />
Definicion: Una funcion es suprayectiva si a un punto en la esfera<math>(x_1,x_2,x_3)</math> le corresponde uno(s) puntos dentro del plano complejo <math>\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
Una función es sobre si para toda '''y''' pertenece al Codominio <math>(f)</math> ,existe '''x''' pertenece al Dominio de <br />
<math>(f)</math> tal que <math> y = f(x)</math><br />
<br />
Notaciòn (para la demostraciòn): S= Esfera, C= punto en el plano proyectado por la esfera.<br />
<br />
Dominio<math>(f)= S</math> y el Codominio<math>(f)= C</math> y tambièn<br />
<math> C = z\epsilon\mathbb{C}:, f(z)=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
<math>z\epsilon\mathbb{C}:x_3\ne1 </math><br />
<br />
Suponga <math>\bar{x}\epsilon</math> S donde <math>\bar{x}=(x_1,x_2,x_3)</math><br />
<br />
Condicion de la esfera <math>(x_1^2+x_2^2+x_3^2=1)</math> donde <math>x_2</math> pertenece a '''i'''<br />
<br />
Ahora bien sabemos que la magnitud cuadrática <math>\bar{x}</math> es 1 <br />
<br />
<br />
<math>\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}\epsilon</math> Codominio de (f)<br />
<br />
Sea '''y''' que pertenece al Codominio de (f) donde : <math>y= ai+b</math><br />
<br />
Sea <math>a=\frac{x_1}{1-x_3}</math> y <math>b=\frac{x_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
tomando en cuenta que <math>y=f(x)</math><br />
<br />
de esta manera <math>f(x)=\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 03:09 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''2. Demuestre que si <math>z_n\rightarrow \infty.</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math>, entonces <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Como <math>z_n\rightarrow \infty.</math><br />
<math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Recordando la definiciòn del limite dado un <math>N_o</math> nos aproximamos.<br />
<math>\exists\N_o\epsilon\mathbb N+ n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> por hipótesis.<br />
<br />
P.D. <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math>, asi como también <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Ahora usando la definiciòn del limite dentro de la mètrica cordal tenemos un <math>N_o^\prime</math> donde limite se aproxima a cero cuando <math>n\rightarrow \infty.</math> <br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty) - 0 |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty)|<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
Usando la definición de la distancia cordal entre dos puntos<br />
<br />
<math>d_C(z_1,z_2)=|\pi(z_1)-\pi(z_2)|</math><br />
<br />
P.D.<math>\quad\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon </math><br />
<br />
Tomamos el lìmite descrito anteriomente.<br />
<br />
Por hipótesis <math>\quad\exists\N_o\epsilon\mathbb N</math> tal que <math>\quad n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> <br />
<br />
Sea <math>N_o</math> como antes por la continuidad de <math>\pi</math><br />
<br />
Finalmente usando la definiciòn de metrica cordal.<br />
<br />
Si <math>\quad n\geq N_o\to|\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon</math> <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 04:20 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''3. Las transformaciones de Möbius definidas en (1.4) se extienden a la esfera de Riemann <math>\hat{\mathbb{C}} </math> como sigue: si <math>c=0, T(\infty)=\infty</math>, y si <math>c\neq0, T(\infty)=\frac{a}{c}</math> y <math>T(\frac{-d}{c})=\infty</math>.Demuestre que estas funciones son continuas en dicha esfera con la metrica cordal.<br />
<br />
Transformaciones de Möbius complejas.(1.4)<br />
<math>z\to\frac{az+b}{cz+d} , ad-bc\neq0, a,b,c,d. <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
Se define la metrica cordal en el plano complejo extendido de la sig. manera.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2) = <br />
\begin{cases} <br />
\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}, & si z_1,z_2\neq\infty \\<br />
\frac{2}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}}, & si z_2=\infty. <br />
\end{cases}</math><br />
<br />
para los casos extremos.<br />
<br />
si <math>c=0, T(\infty)=\frac{az+b}{d}=\frac{a(\infty)+b}{d}=\infty.</math><br />
<br />
si <math>c\neq0, T(z)=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{z}{z}\frac{a+\frac{b}{z}}{c+\frac{d}{z}}<br />
<br />
<br />
,T(\infty)=\frac{a+\frac{b}{\infty}}{c+\frac{d}{\infty}}=\frac{a}{c}.</math><br />
<br />
<br />
<br />
si <math>T(\frac{-d}{c})=\frac{a(\frac{-d}{c})+b}{c(\frac{-d}{c})+d}=\infty.</math><br />
<br />
<br />
generalizando, para <math>z_1,z_2 \epsilon\mathbb{C}</math>, (arbitrarias).<br />
<br />
por hip.<math>c=0\therefore</math><br />
<br />
<math>T(z)=\frac{az+b}{d}=\frac{a}{d}z+\frac{b}{d}</math>.<br />
<br />
<math>\forall\epsilon>0, \exists\delta>0 </math><br />
<br />
<br />
tal que si<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_1-z_2\right|<\delta , \left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
entonces<br />
<math>\left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\left|z_1-z_2\right|\delta <\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
<math>T(z_1)-T(z_2)=\left(\frac{a}{d}z_1+\frac{b}{d}\right)-\left(\frac{a}{d}z_2+\frac{b}{d}\right)=\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)</math><br />
<br />
<br />
por <math>\left(d\left(0,x-y\right)=d\left(x,y\right)\right)</math><br />
<br />
<math>d_c\left(0,T(z_1)-T(z_2)\right)=d_c\left(0,\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)\right)=d_c\left(\frac{a}{d}z_1,\frac{a}{d}z_2\right)</math><br />
<br />
ahora si<math>z_1,z_2\ne\infty</math> y <math>\delta\approx \frac{1}{k}</math> donde <math>k=\frac{a}{d}</math><br />
<br />
con la metrica cordal.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2)=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+k^2\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+k^2\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{k^2\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<math>=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{k\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore d_c(z_1,z_2)<\epsilon</math><br />
<br />
ya q se mostro que <math>\frac{az+b}{d}</math><br />
<br />
es continua, se puede probar lo mismo para <br />
<br />
<math> c z+ d </math>.<br />
<br />
<br />
por teo. de continuidad si<br />
<br />
<math> f\left(x\right),g\left(x\right)</math> <br />
<br />
son continuas, tambien<br />
<br />
<br />
<math>\frac{f(x)}{g(x)}</math>, es continua.<br />
<br />
<br />
<math>\therefore \frac{az_1+b}{cz_2+d}</math> <br />
<br />
es continua si<br />
<br />
<math>c \ne 0</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 00:42 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4.'''Demuestre que si ''AB'' son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de Möbius ''f,g'', respectivamente, entonces la matriz ''BA'' representa la composicion ''gf'', que también es de Möbius.Concluya mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera en sí misma, y que ademas constituyen un grupo.<br />
<br />
SOLUCION:<br />
<br />
tenemos que <math>\ f, g </math> son transformaciones de Möbius<br />
<br />
<br />
<math>f(z)=\frac{a' z + b'}{c' z + d'}\quad\quad g(z)=\frac{a z + b}{c z + d}</math><br />
<br />
<br />
sean <math>\ A, B </math> las representaciones matriciales de <math>\ g, f </math> respectivamente<br />
<br />
<br />
<math>A = \begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix} \quad \quad B = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
entonces <br />
<br />
<math>BA = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}<br />
a'a + b'c & c'a + d'c \\<br />
a'b + b'd & c'b + d'd \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
<br />
entonces<br />
<br />
<math>gf=\frac{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}{(a'b + b'd)z + (c'b + d'd)}</math><br />
<br />
los elementos de la matriz ''BA'' son elementos de funciones biyectivas, entonces dicha matriz también es biyectiva, y por lo tanto ''gf'' es biyectiva y de Möbius.<br />
<br />
<br />
Por ser de Möbius es meromorfa, ahora notemos que ''gf'' es continua y que <br />
<br />
<math>\frac{1}{gf}=\frac{(a'b + b')z + (c'b + d'd)}{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}</math><br />
<br />
<br />
tambien es continua por lo que concluimos que es bicontinua.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''5.'''Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en ternas de puntos de la esfera de Riemann. Sugerencia: Dada una terna, encuentre una función de Möbius que la mande en 1, 0 e <math>o\!o</math><br />
<br />
Sea <math>(x_1,x_2,x_3)\rightarrow \frac{x_1 + ix_2}{x_3} = z_0</math><br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = \frac{(1-b)x_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
y <math> \quad c = \frac{(1-d)x_3}{x_1 + i x_2} \quad </math>; <math>ad-bc\neq0</math><br />
<br />
<br />
entonces <math> T(z) = \frac{(1-b)x_3 z + (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 z + (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<math> T(z_0) = \frac{(1-b)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3}\Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3} \Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = \frac{(1-b) (<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)(<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = 1</math><br />
<br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{b - \frac{bx_3 }{x_1 + i x_2}}{cz+d}z</math><br />
<br />
<br />
<math>T(z_0) = \frac{b - \frac{bx_3 (\frac{x_1 + ix_2}{x_3})}{x_1 + i x_2}}{cz+d} = \frac{b - b}{cz+d} = 0</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math>b\rightarrow \!oo</math><br />
<br />
<br />
entonces <math>T(z_0) = \!oo</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''6.'''Pruede que las transformaciones de Möbius son composición de algunas de las siguientes funciones: rotaciones, traslaciones, homotecias, y <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math>. Concluya mostrando que las transformaciones de Möbius preservan la familia de circulos y rectas.<br />
<br />
Considere la Transformación de Möbius.<br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
<br />
Sea <math>a = 1,\quad c = 0, \quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = z+b \qquad </math> entonces <math>T(z)</math>es una traslación. <br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad b = c = 0,\quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math>T(z) = az</math> entonces '''T(z)''' es una rotación por '''arg(a)''' y por una amplificación <math>\big |a\big |</math>.<br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad a = d = 0, \quad b = c = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<math> T(z) = \frac{1}{z}\qquad</math> entonces '''T(z)''' es una inversión.<br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 23:28 26 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''7. Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en la familia de círculos y rectas.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Puesto que una transformación del tipo <math>w=\frac{1}{z} </math> aplica en circunferencias y rectas, y como las rotaciones, los cambios de escala y las translaciones preservan rectas y circunferencias. Dicha transformación bilineal o de Möbius aplica en círculos y rectas.<br />
<br />
<br />
Un círculo en <math>{S^2}</math> es la intersección de un plano con la esfera, por lo cual satiface la siguiente ecuación:<br />
<br />
<br />
<math>ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\,\!</math><br />
<br />
<br />
Tenemos que<br />
<br />
<br />
<math> x_1=\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_2=\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_3=\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto, este círculo es la imagen bajo la proyección esterografica, cuyos puntos satisfacen la siguiente ecuación en el plano: <br />
<br />
<br />
<br />
<math>a\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )+b\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )+c\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)=d </math><br />
<br />
<br />
Escribiendo <math>z = x+iy\,\!</math>, se tiene<br />
<br />
<br />
<math> x^2+y^2-\frac{2a}{d-c}x-\frac{2by}{d-c}=1 </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( d-c \right )-2ax-2by =d-c </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( c-d \right )+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )c -\left ( x^2+y^2 \right )d+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2-1 \right )c -\left ( x^2+y^2+1 \right )d+2ax+2by =0 </math><br />
<br />
<br />
finalmente se tiene que<br />
<br />
<br />
<math>2ax + 2by + c(x^2+y^2-1) = d(x^2+y^2+1)\,\!</math>,<br />
<br />
<br />
que biene siendo la ecuación de una recta o un círculo, dependiendo si <math>d=c\,\!</math>, o si <math>d\ne c\,\!</math>.<br />
<br />
<br />
'''De otra manera:'''<br />
<br />
<br />
Puesto que <math>x+iy=z=\frac{1}{w} =\frac{\overline{w}}{|w|^2}=\frac{u}{u^2+v^2}-i\frac{v}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>x=\frac{u}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
<math>y=-\frac{v}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
Por tanto, la imagen de <math>\ f(x,y)=0</math> es<br />
<br />
<br />
<br />
<math>f\left ( \frac{u}{u^2+v^2},-\frac{v}{u^2+v^2}\right )=0</math>.<br />
<br />
<br />
Sabemos que el lugar geométrico de toda sección cónica viene dado por<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ f(x,y)=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0</math><br />
<br />
<br />
Esta ecuación representa una sircunferencia si <math>\ B=0</math> y <math>A=C\ne 0</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ f(x,y)=A(x^2+y^2)+Dx+Ey+F=0</math><br />
<br />
<br />
<br />
representa una recta si <math>\ A=0</math> y una circunferencia si <math>A\ne 0</math>. Su imagen es<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ f(\frac{u}{u^2+v^2},-\frac{v}{u^2+v^2})=A\frac{1}{u^2+v^2}+D\frac{u}{u^2+v^2}+Ey+F=0</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 16:08 22 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''8.- Demuestre de dos maneras que el lugar de los puntos que cumplen la ecuación <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> <math> ,k\in\mathbb{R}^{+},a,b\in\mathbb{C},a\neq b</math> constituye una recta o un círculo (llamado de Apolonio).'''<br />
<br />
'''Solución'''<br />
<br />
Sea <br />
<br />
<math>z = x+iy\,\!, a = u+iv, b = c+id</math><br />
<br />
<br />
<br />
Entonces <br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|^{2}=k^{2}\left|z-b\right|^{2}</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left(x-u\right)^{2}+\left(y-v\right)^{2}=k\left(\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}\right)</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>x^2-2xu+u^2+y^2-2yv+v^2=kx^2-2kxc+c^2+ky^2-2kyd+kd^2\,\!</math> </center><br />
<br />
<br />
Si agrupamos esta expresión se tiene:<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(1-k\right)-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right) \qquad (I)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Si <math>k=1</math> se tiene la ecuación de una recta, es decir:<br />
<br />
<br />
<center><math>-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=c^{2}+d^{2}-\left(u^{2}+v^{2}\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Ahora para <math>k\neq1</math> la ecuación <math>\left(I\right)</math> al multiplicarla por<br />
<math>\frac{1}{\left(1-k\right)}<br />
</math> toma la forma:<br />
<br />
<br />
<center><math>\frac{}{}<br />
\left(x^{2}+y^{2}\right)-\frac{2x\left(u-kc\right)}{\left(1-k\right)}-\frac{2y\left(v-kd\right)}{\left(1-k\right)}=\frac{k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)}{\left(1-k\right)}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si completamos los cuadrados (más un poco de álgebra) de esta ultima expresión se obtiene lo<br />
siguiente<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\left(\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}+\frac{1}{1-k}\left(k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\frac{k}{\left(1-k\right)^{2}}\left(\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
lo cual es la ecuación de un círculo con centro <br />
<math>\left(\frac{u-kc}{1-k}\,,\,\frac{v-kd}{1-k}\right)</math><br />
y cuyo radio es <br />
<math>\frac{\sqrt{k}}{\left|1-k\right|}\sqrt{\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Otro método.<br />
<br />
<center><math><br />
\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(z-a\right)\left(\overline{z}-\overline{a}\right)=k\left(z-b\right)\left(\overline{z}-\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}-a\overline{z}-\overline{a}z+a\overline{a}=k\left(z\overline{z}-b\overline{z}-\overline{b}z+b\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
agrupando tenemos<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)-a\overline{z}-\overline{a}z+kb\overline{z}+k\overline{b}z=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)+\overline{z}\left(kb-a\right)+z\left(k\overline{b}-\overline{a}\right)=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio<math> A=\left(1-k\right), B=\left(kb-a\right),\overline{B}=\left(k\overline{b}-\overline{a}\right), C=kb\overline{b}-a\overline{a}\!,</math> , la anterior ecuación se escribe como<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
Az\overline{z}+B\overline{z}+\overline{B}z=C</math></center><br />
<br />
<br />
si <math> A=0</math> (entonces <math>k=1</math>) se tiene la ecución de una recta, si <math>A</math> es distinto<br />
de cero (entonces k es distinto de 1) y se tiene la ecuación de una<br />
circunferencia.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 01:46 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
'''9.- Sean <math>a,c</math> complejos, tal que no son ambos nulos, probar que<br />
<math>\left|\frac{\bar{a}z+\bar{c}}{cz+a}\right|=1</math>, si <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
Interpretar geometricamente.'''<br />
<br />
<br />
Sean <math> a=b+id , c=e+if , z=x+iy </math>.<br />
Entonces sustituyendo esto se tiene la siguiente expresión:<br />
<br />
<math>\left|\frac{\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)}{\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)}\right|=1 </math><br />
<br />
Por propiedades de la norma se sigue que<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|}{\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right|}=1 </math><br />
<br />
Y multiplicando ambos lados por el denominador llegamos a que<br />
<br />
<math>\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|=\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right| </math><br />
<br />
Desarrollando los producto y las operaciones para poder agrupar terminos se llega a<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right| </math><br />
<br />
Elevando al cuadrado para tener el cuadrado de la norma tenemos que<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|^{2}=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right|^{2} </math><br />
<br />
Donde es inmediato lo siguiente<br />
<br />
<math>\left(bx+dy+e\right)^{2}+\left(by-dx-f\right)^{2}=\left(b+ex-fy\right)^{2}+\left(d+fx+ey\right)^{2} </math><br />
<br />
Y despues de expander los polinomios<br />
<br />
<math>\left(e^{2}+f^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(b^{2}+d^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)=\left(b^{2}+d^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(e^{2}+f^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}\left|z\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}\left|z\right|^{2} </math> <br />
<br />
Donde <math>\left|z\right|=1</math><br />
<br />
<math>\therefore\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2} </math><br />
<br />
O tambien <br />
<br />
<math>\frac{\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}}{\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}}=1 </math><br />
<br />
Que era lo que se queria mostrar. <br />
<br />
Ahora geometricamente esto nos dice que la magnitud de la suma de<br />
dos numeros complejos es igual a la magnitud de la suma de sus conjugados.<br />
<br />
En las siguientes imagenes se muestra graficamente la interpretacion<br />
geometrica, el vector de color naranja es <math>z</math> y el azul y verde <math>a,c</math><br />
respectivamente.<br />
<br />
[[Imagen:Prueba1.jpg]][[Imagen:Prueba.jpg]]<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 14:12 9 dic 2009 (UTC)<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 19:42 21 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''10.- Probar que la funcion <math>z \rightarrow 1/z</math> es una rotacion de <math>\pi</math> radianes en la esfera de Riemann alrededor del eje x.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Las componentes del punto <math>A = (a_1,a_2,a_3)\,</math> en la esfera unitaria asociado a z son:<br />
<br />
<br />
<math>a_1 = \frac{z+\overline{z}}{|z|^2+1}, a_2 = \frac{z-\overline{z}}{i(|z|^2+1)}, a_3 = \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\,</math> <br />
<br />
<br />
Sea <math>\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> y tomando en cuenta que <math>|z| = |\overline{z}|\,</math>, entonces, las componentes del punto <math>B = (b_1,b_2,b_3)\,</math> de la esfera unitaria asociado a <math>\frac{1}{z}\,</math> son:<br />
<br />
<br />
<math>b_1 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}+\frac{z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{\overline{z}+z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\overline{z}+z}{|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}+z}{1+|z|^2} = a_1\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_2 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}-\frac{z}{|z|^2}}{i(\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i(1+|z|^2)} = -\frac{z-\overline{z}}{i(1+|z|^2)} = -a_2\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_3 = \frac{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}-1}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{1}{|z|^2}-1}{\frac{1}{|z|^2}+1} = \frac{1-|z|^2}{1+|z|^2} = -\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} = -a_3\,</math> ...<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 00:03 9 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''11.''' '''Probar que dados dos puntos''' <math>z,w \in \mathbb C</math> '''se tiene que sus proyecciones en la esfera de Riemann son antípodas si y solo si''' <math>z\bar{w} = -1</math><br />
<br />
<br />
SOLUCION.<br />
<br />
Sea <math>z \in \mathbb C \quad a,b \in \mathbb R</math> <br />
<br />
se pasa del plano complejo a la esfera de Riemann.<br />
<br />
<math>\psi: \mathbb C \rightarrow \mathbb S^2 - \lbrace e_3 \rbrace </math><br />
<br />
<math> z \mapsto (x_1 , x_2 , x_3)</math><br />
<br />
<br />
Si <math>\ z=a+ib \mapsto \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)</math> es el punto '''P''' en la esfera de Riemann.<br />
<br />
<br />
con este punto '''P''' y el centro '''C''' de la esfera se construye una recta que pase por estos puntos:<br />
<br />
<br />
Sea <math>\mathcal {L} =\ p + t\vec{v} \quad , \forall t \in \mathbb R </math> donde <math>\vec v</math>es el vector director que va de '''P''' a ''' C''' esto es <br />
<br />
<br />
<math>\vec {v} =(0,0,0)- \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) </math><br />
<br />
<br />
nuestra ecuacion de la recta queda de la siguiente manera:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\mathcal {L} =\left (\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right) + t \left (\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \quad , \forall t \in \mathbb R </math><br />
<br />
<br />
Cuando <math>\ t=0</math> tenemos a <math>\ P</math> en la esfera.<br />
<br />
cuando <math>\ t=1</math> tenemos el centro <math>\ (0,0,0)</math> de la esfera de Riemann.<br />
<br />
cuando <math>\ t=2 </math> tenemos al punto <math>\ Q</math> que es la antipoda de <math>\ p</math><br />
<br />
<br />
<math> \Rightarrow Q=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \, antipoda \quad de\quad p \quad en \quad la \quad esfera \quad de \quad Riemann </math><br />
<br />
<br />
teniendo a <math> \ Q</math> sobre la esfera de Riemann volvemos al plano complejo mediante la siguiente tranformacion:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\varphi: \mathbb S^2 -\lbrace e_3 \rbrace \rightarrow \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>Q \mapsto \frac {x_1 +ix_2}{1-x_3} </math>, que nos da un punto <math>\ w_Q \in \mathbb C</math> <br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q=\frac {x_1 +ix_2}{1-x_3}=\frac {\frac {-2a}{a^2+b^2+1} +i \frac {-2b}{a^2+b^2+1}}{1+ \frac {a^2+b^2-1}{a^2+b^2+1}} = \frac{ \frac{-2}{a^2+b^2+1}(a+ib) }{ \frac {2a^2+2b^2}{a^2+b^2+1} } = \frac {-2}{2a^2+2b^2}(a+ib) = \frac {-1}{a^2+b^2}(a+ib) </math> <br />
<br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} </math><br />
<br />
<br />
Como la proyeccion en la esfera de Riemann de <math>\ w_Q </math> es la antipoda de <math>\ z </math> se debe de cumplir que <math>z\bar{w_Q} = -1</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> z=a+ib \quad, w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} \in \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow z\bar{w_Q} =(a+ib)\left ( -\frac {a}{a^2 + b^2} +i \frac {b}{a^2+ b^2}\right )=\left ( -\frac {a^2}{a^2 + b^2} -\frac {b^2}{a^2+ b^2}\right )+i\left ( -\frac {ab}{a^2 + b^2} + \frac {ab}{a^2+ b^2}\right ) </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\left ( \frac {-(a^2+b^2)}{a^2 + b^2} \right )+i(0)=-1</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore z,w</math> son antipodas si y solo si <math>z\bar{w} = -1 \quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 15:11 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''12.'''¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la funcion <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> ?<br />
<br />
<br />
SOLUCIÓN:<br />
<br />
para la imagen notemos que <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> es continua exepto cuando <math>\ z=0</math>, por lo que su imagen es todo el plano complejo exepto el origen.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.2&diff=11842
Compleja:ej-cap1.2
2009-12-14T03:33:49Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>==EJERCICIOS 1.2.1 ==<br />
<br />
'''1.''' '''Demuestre que una una funcion''' <math>f:A\subset\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} </math> '''es continua en''' <math>{z_0}\in A</math> '''si y soló si para toda sucesión''' <math>{z_n},n\in\mathbb{N}, </math> '''tal que''' <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow\infty,</math> '''se tiene''' <math>f(z_n)\rightarrow f(z_0),</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Supongamos que <math> \ f<br />
</math> es continua en <math>\ z_0 </math> , es decir:<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad\exists \delta = \delta(\epsilon)> 0 </math> <br />
<br />
tal que <math>\quad | z - z_0 |<\delta \Rightarrow | f(z) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
y supongamos que <math>\lbrace z_n \rbrace , n\in \mathbb{N} </math> es una sucesión en <math>\ A </math> tal que <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math><br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<math>f(z_n)\rightarrow f(z_0)</math><br />
<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad \exists N = N(\epsilon)\in \mathbb N ,\quad n\geq N \Rightarrow | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
como <math>\ f</math> es continua en <math>\ z_0</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists\delta = \delta(\epsilon)>0</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow z_n \rightarrow z_0 </math><br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists M = M(\epsilon) \in \mathbb N, \quad n \geq M \Rightarrow | z_n - z_0 |< \delta </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore f(z_n) \rightarrow f(z_0)\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.''' '''Demuestre que una sucesión''' <math> \ \lbrace a_n \rbrace</math> en <math>\mathbb R^n </math> '''es de ''Cauchy'' si y sólo es convergente.<br />
<br />
'''<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Una sucesión en <math>\mathbb R^n </math> se dice que es de ''Cauchy'' si para todo <math>\epsilon >0 ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in \mathbb N </math> tal que <math>|a_m - a_n|<\epsilon , \quad \forall m,n \geq N</math> '''.'''<br />
<br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<br />
Si la sucesión es convergente, esto es si <math>\lim {a_n}=L \quad \Rightarrow \quad \forall \epsilon > 0\quad ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in\mathbb N </math><br />
<br />
<br />
tal que <math>|a_n - L|<\frac{\epsilon}{2}\quad, \quad \forall n\geq N</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow </math> si <math>m,n\geq N ,</math> se tiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ |a_m - a_n|=|a_m - L +L - a_n| \leq |a_m - L| + | L - a_n|< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}\!=\!{\epsilon} </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore \lbrace a_n \rbrace \quad es \quad de \quad Cauchy.\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
== EJERCICIOS 1.2.2 ==<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''1. Demuestre que la funcion estereográfica <math>(x_1,x_2,x_3)\to\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math> de la esfera de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.<br />
<br />
Definicion: Una funcion es suprayectiva si a un punto en la esfera<math>(x_1,x_2,x_3)</math> le corresponde uno(s) puntos dentro del plano complejo <math>\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
Una función es sobre si para toda '''y''' pertenece al Codominio <math>(f)</math> ,existe '''x''' pertenece al Dominio de <br />
<math>(f)</math> tal que <math> y = f(x)</math><br />
<br />
Notaciòn (para la demostraciòn): S= Esfera, C= punto en el plano proyectado por la esfera.<br />
<br />
Dominio<math>(f)= S</math> y el Codominio<math>(f)= C</math> y tambièn<br />
<math> C = z\epsilon\mathbb{C}:, f(z)=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
<math>z\epsilon\mathbb{C}:x_3\ne1 </math><br />
<br />
Suponga <math>\bar{x}\epsilon</math> S donde <math>\bar{x}=(x_1,x_2,x_3)</math><br />
<br />
Condicion de la esfera <math>(x_1^2+x_2^2+x_3^2=1)</math> donde <math>x_2</math> pertenece a '''i'''<br />
<br />
Ahora bien sabemos que la magnitud cuadrática <math>\bar{x}</math> es 1 <br />
<br />
<br />
<math>\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}\epsilon</math> Codominio de (f)<br />
<br />
Sea '''y''' que pertenece al Codominio de (f) donde : <math>y= ai+b</math><br />
<br />
Sea <math>a=\frac{x_1}{1-x_3}</math> y <math>b=\frac{x_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
tomando en cuenta que <math>y=f(x)</math><br />
<br />
de esta manera <math>f(x)=\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 03:09 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''2. Demuestre que si <math>z_n\rightarrow \infty.</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math>, entonces <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Como <math>z_n\rightarrow \infty.</math><br />
<math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Recordando la definiciòn del limite dado un <math>N_o</math> nos aproximamos.<br />
<math>\exists\N_o\epsilon\mathbb N+ n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> por hipótesis.<br />
<br />
P.D. <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math>, asi como también <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Ahora usando la definiciòn del limite dentro de la mètrica cordal tenemos un <math>N_o^\prime</math> donde limite se aproxima a cero cuando <math>n\rightarrow \infty.</math> <br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty) - 0 |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty)|<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
Usando la definición de la distancia cordal entre dos puntos<br />
<br />
<math>d_C(z_1,z_2)=|\pi(z_1)-\pi(z_2)|</math><br />
<br />
P.D.<math>\quad\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon </math><br />
<br />
Tomamos el lìmite descrito anteriomente.<br />
<br />
Por hipótesis <math>\quad\exists\N_o\epsilon\mathbb N</math> tal que <math>\quad n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> <br />
<br />
Sea <math>N_o</math> como antes por la continuidad de <math>\pi</math><br />
<br />
Finalmente usando la definiciòn de metrica cordal.<br />
<br />
Si <math>\quad n\geq N_o\to|\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon</math> <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 04:20 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''3. Las transformaciones de Möbius definidas en (1.4) se extienden a la esfera de Riemann <math>\hat{\mathbb{C}} </math> como sigue: si <math>c=0, T(\infty)=\infty</math>, y si <math>c\neq0, T(\infty)=\frac{a}{c}</math> y <math>T(\frac{-d}{c})=\infty</math>.Demuestre que estas funciones son continuas en dicha esfera con la metrica cordal.<br />
<br />
Transformaciones de Möbius complejas.(1.4)<br />
<math>z\to\frac{az+b}{cz+d} , ad-bc\neq0, a,b,c,d. <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
Se define la metrica cordal en el plano complejo extendido de la sig. manera.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2) = <br />
\begin{cases} <br />
\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}, & si z_1,z_2\neq\infty \\<br />
\frac{2}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}}, & si z_2=\infty. <br />
\end{cases}</math><br />
<br />
para los casos extremos.<br />
<br />
si <math>c=0, T(\infty)=\frac{az+b}{d}=\frac{a(\infty)+b}{d}=\infty.</math><br />
<br />
si <math>c\neq0, T(z)=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{z}{z}\frac{a+\frac{b}{z}}{c+\frac{d}{z}}<br />
<br />
<br />
,T(\infty)=\frac{a+\frac{b}{\infty}}{c+\frac{d}{\infty}}=\frac{a}{c}.</math><br />
<br />
<br />
<br />
si <math>T(\frac{-d}{c})=\frac{a(\frac{-d}{c})+b}{c(\frac{-d}{c})+d}=\infty.</math><br />
<br />
<br />
generalizando, para <math>z_1,z_2 \epsilon\mathbb{C}</math>, (arbitrarias).<br />
<br />
por hip.<math>c=0\therefore</math><br />
<br />
<math>T(z)=\frac{az+b}{d}=\frac{a}{d}z+\frac{b}{d}</math>.<br />
<br />
<math>\forall\epsilon>0, \exists\delta>0 </math><br />
<br />
<br />
tal que si<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_1-z_2\right|<\delta , \left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
entonces<br />
<math>\left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\left|z_1-z_2\right|\delta <\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
<math>T(z_1)-T(z_2)=\left(\frac{a}{d}z_1+\frac{b}{d}\right)-\left(\frac{a}{d}z_2+\frac{b}{d}\right)=\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)</math><br />
<br />
<br />
por <math>\left(d\left(0,x-y\right)=d\left(x,y\right)\right)</math><br />
<br />
<math>d_c\left(0,T(z_1)-T(z_2)\right)=d_c\left(0,\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)\right)=d_c\left(\frac{a}{d}z_1,\frac{a}{d}z_2\right)</math><br />
<br />
ahora si<math>z_1,z_2\ne\infty</math> y <math>\delta\approx \frac{1}{k}</math> donde <math>k=\frac{a}{d}</math><br />
<br />
con la metrica cordal.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2)=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+k^2\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+k^2\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{k^2\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<math>=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{k\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore d_c(z_1,z_2)<\epsilon</math><br />
<br />
ya q se mostro que <math>\frac{az+b}{d}</math><br />
<br />
es continua, se puede probar lo mismo para <br />
<br />
<math> c z+ d </math>.<br />
<br />
<br />
por teo. de continuidad si<br />
<br />
<math> f\left(x\right),g\left(x\right)</math> <br />
<br />
son continuas, tambien<br />
<br />
<br />
<math>\frac{f(x)}{g(x)}</math>, es continua.<br />
<br />
<br />
<math>\therefore \frac{az_1+b}{cz_2+d}</math> <br />
<br />
es continua si<br />
<br />
<math>c \ne 0</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 00:42 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4.'''Demuestre que si ''AB'' son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de Möbius ''f,g'', respectivamente, entonces la matriz ''BA'' representa la composicion ''gf'', que también es de Möbius.Concluya mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera en sí misma, y que ademas constituyen un grupo.<br />
<br />
SOLUCION:<br />
<br />
tenemos que <math>\ f, g </math> son transformaciones de Möbius<br />
<br />
<br />
<math>f(z)=\frac{a' z + b'}{c' z + d'}\quad\quad g(z)=\frac{a z + b}{c z + d}</math><br />
<br />
<br />
sean <math>\ A, B </math> las representaciones matriciales de <math>\ g, f </math> respectivamente<br />
<br />
<br />
<math>A = \begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix} \quad \quad B = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
entonces <br />
<br />
<math>BA = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}<br />
a'a + b'c & c'a + d'c \\<br />
a'b + b'd & c'b + d'd \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
<br />
entonces<br />
<br />
<math>gf=\frac{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}{(a'b + b'd)z + (c'b + d'd)}</math><br />
<br />
los elementos de la matriz ''BA'' son elementos de funciones biyectivas, entonces dicha matriz también es biyectiva, y por lo tanto ''gf'' es biyectiva y de Möbius.<br />
<br />
<br />
Por ser de Möbius es meromorfa, ahora notemos que ''gf'' es continua y que <br />
<br />
<math>\frac{1}{gf}=\frac{(a'b + b')z + (c'b + d'd)}{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}</math><br />
<br />
<br />
tambien es continua por lo que concluimos que es bicontinua.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''5.'''Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en ternas de puntos de la esfera de Riemann. Sugerencia: Dada una terna, encuentre una función de Möbius que la mande en 1, 0 e <math>o\!o</math><br />
<br />
Sea <math>(x_1,x_2,x_3)\rightarrow \frac{x_1 + ix_2}{x_3} = z_0</math><br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = \frac{(1-b)x_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
y <math> \quad c = \frac{(1-d)x_3}{x_1 + i x_2} \quad </math>; <math>ad-bc\neq0</math><br />
<br />
<br />
entonces <math> T(z) = \frac{(1-b)x_3 z + (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 z + (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<math> T(z_0) = \frac{(1-b)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3}\Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3} \Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = \frac{(1-b) (<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)(<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = 1</math><br />
<br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{b - \frac{bx_3 }{x_1 + i x_2}}{cz+d}z</math><br />
<br />
<br />
<math>T(z_0) = \frac{b - \frac{bx_3 (\frac{x_1 + ix_2}{x_3})}{x_1 + i x_2}}{cz+d} = \frac{b - b}{cz+d} = 0</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math>b\rightarrow \!oo</math><br />
<br />
<br />
entonces <math>T(z_0) = \!oo</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''6.'''Pruede que las transformaciones de Möbius son composición de algunas de las siguientes funciones: rotaciones, traslaciones, homotecias, y <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math>. Concluya mostrando que las transformaciones de Möbius preservan la familia de circulos y rectas.<br />
<br />
Considere la Transformación de Möbius.<br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
<br />
Sea <math>a = 1,\quad c = 0, \quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = z+b \qquad </math> entonces <math>T(z)</math>es una traslación. <br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad b = c = 0,\quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math>T(z) = az</math> entonces '''T(z)''' es una rotación por '''arg(a)''' y por una amplificación <math>\big |a\big |</math>.<br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad a = d = 0, \quad b = c = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<math> T(z) = \frac{1}{z}\qquad</math> entonces '''T(z)''' es una inversión.<br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 23:28 26 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''7. Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en la familia de círculos y rectas.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Puesto que una transformación del tipo <math>w=\frac{1}{z} </math> aplica en circunferencias y rectas, y como las rotaciones, los cambios de escala y las translaciones preservan rectas y circunferencias. Dicha transformación bilineal o de Möbius aplica en círculos y rectas.<br />
<br />
<br />
Un círculo en <math>{S^2}</math> es la intersección de un plano con la esfera, por lo cual satiface la siguiente ecuación:<br />
<br />
<br />
<math>ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\,\!</math><br />
<br />
<br />
Tenemos que<br />
<br />
<br />
<math> x_1=\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_2=\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_3=\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto, este círculo es la imagen bajo la proyección esterografica, cuyos puntos satisfacen la siguiente ecuación en el plano: <br />
<br />
<br />
<br />
<math>a\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )+b\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )+c\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)=d </math><br />
<br />
<br />
Escribiendo <math>z = x+iy\,\!</math>, se tiene<br />
<br />
<br />
<math> x^2+y^2-\frac{2a}{d-c}x-\frac{2by}{d-c}=1 </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( d-c \right )-2ax-2by =d-c </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( c-d \right )+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )c -\left ( x^2+y^2 \right )d+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2-1 \right )c -\left ( x^2+y^2+1 \right )d+2ax+2by =0 </math><br />
<br />
<br />
finalmente se tiene que<br />
<br />
<br />
<math>2ax + 2by + c(x^2+y^2-1) = d(x^2+y^2+1)\,\!</math>,<br />
<br />
<br />
que biene siendo la ecuación de una recta o un círculo, dependiendo si <math>d=c\,\!</math>, o si <math>d\ne c\,\!</math>.<br />
<br />
<br />
'''De otra manera:'''<br />
<br />
<br />
Puesto que <math>x+iy=z=\frac{1}{w} =\frac{\overline{w}}{|w|^2}=\frac{u}{u^2+v^2}-i\frac{v}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>x=\frac{u}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
<math>y=-\frac{v}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
Por tanto, la imagen de <math>\ f(x,y)=0</math> es<br />
<br />
<br />
<br />
<math>f\left ( \frac{u}{u^2+v^2},-\frac{v}{u^2+v^2}\right )=0</math>.<br />
<br />
<br />
Sabemos que el lugar geométrico de toda sección cónica viene dado por<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ f(x,y)=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0</math><br />
<br />
<br />
Esta ecuación representa una sircunferencia si <math>\ B=0</math> y <math>A=C\ne 0</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ f(x,y)=A(x^2+y^2)+Dx+Ey+F=0</math><br />
<br />
<br />
<br />
representa una recta si <math>\ A=0</math> y una circunferencia si <math>A\ne 0</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 16:08 22 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''8.- Demuestre de dos maneras que el lugar de los puntos que cumplen la ecuación <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> <math> ,k\in\mathbb{R}^{+},a,b\in\mathbb{C},a\neq b</math> constituye una recta o un círculo (llamado de Apolonio).'''<br />
<br />
'''Solución'''<br />
<br />
Sea <br />
<br />
<math>z = x+iy\,\!, a = u+iv, b = c+id</math><br />
<br />
<br />
<br />
Entonces <br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|^{2}=k^{2}\left|z-b\right|^{2}</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left(x-u\right)^{2}+\left(y-v\right)^{2}=k\left(\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}\right)</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>x^2-2xu+u^2+y^2-2yv+v^2=kx^2-2kxc+c^2+ky^2-2kyd+kd^2\,\!</math> </center><br />
<br />
<br />
Si agrupamos esta expresión se tiene:<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(1-k\right)-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right) \qquad (I)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Si <math>k=1</math> se tiene la ecuación de una recta, es decir:<br />
<br />
<br />
<center><math>-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=c^{2}+d^{2}-\left(u^{2}+v^{2}\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Ahora para <math>k\neq1</math> la ecuación <math>\left(I\right)</math> al multiplicarla por<br />
<math>\frac{1}{\left(1-k\right)}<br />
</math> toma la forma:<br />
<br />
<br />
<center><math>\frac{}{}<br />
\left(x^{2}+y^{2}\right)-\frac{2x\left(u-kc\right)}{\left(1-k\right)}-\frac{2y\left(v-kd\right)}{\left(1-k\right)}=\frac{k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)}{\left(1-k\right)}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si completamos los cuadrados (más un poco de álgebra) de esta ultima expresión se obtiene lo<br />
siguiente<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\left(\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}+\frac{1}{1-k}\left(k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\frac{k}{\left(1-k\right)^{2}}\left(\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
lo cual es la ecuación de un círculo con centro <br />
<math>\left(\frac{u-kc}{1-k}\,,\,\frac{v-kd}{1-k}\right)</math><br />
y cuyo radio es <br />
<math>\frac{\sqrt{k}}{\left|1-k\right|}\sqrt{\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Otro método.<br />
<br />
<center><math><br />
\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(z-a\right)\left(\overline{z}-\overline{a}\right)=k\left(z-b\right)\left(\overline{z}-\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}-a\overline{z}-\overline{a}z+a\overline{a}=k\left(z\overline{z}-b\overline{z}-\overline{b}z+b\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
agrupando tenemos<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)-a\overline{z}-\overline{a}z+kb\overline{z}+k\overline{b}z=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)+\overline{z}\left(kb-a\right)+z\left(k\overline{b}-\overline{a}\right)=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio<math> A=\left(1-k\right), B=\left(kb-a\right),\overline{B}=\left(k\overline{b}-\overline{a}\right), C=kb\overline{b}-a\overline{a}\!,</math> , la anterior ecuación se escribe como<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
Az\overline{z}+B\overline{z}+\overline{B}z=C</math></center><br />
<br />
<br />
si <math> A=0</math> (entonces <math>k=1</math>) se tiene la ecución de una recta, si <math>A</math> es distinto<br />
de cero (entonces k es distinto de 1) y se tiene la ecuación de una<br />
circunferencia.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 01:46 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
'''9.- Sean <math>a,c</math> complejos, tal que no son ambos nulos, probar que<br />
<math>\left|\frac{\bar{a}z+\bar{c}}{cz+a}\right|=1</math>, si <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
Interpretar geometricamente.'''<br />
<br />
<br />
Sean <math> a=b+id , c=e+if , z=x+iy </math>.<br />
Entonces sustituyendo esto se tiene la siguiente expresión:<br />
<br />
<math>\left|\frac{\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)}{\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)}\right|=1 </math><br />
<br />
Por propiedades de la norma se sigue que<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|}{\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right|}=1 </math><br />
<br />
Y multiplicando ambos lados por el denominador llegamos a que<br />
<br />
<math>\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|=\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right| </math><br />
<br />
Desarrollando los producto y las operaciones para poder agrupar terminos se llega a<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right| </math><br />
<br />
Elevando al cuadrado para tener el cuadrado de la norma tenemos que<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|^{2}=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right|^{2} </math><br />
<br />
Donde es inmediato lo siguiente<br />
<br />
<math>\left(bx+dy+e\right)^{2}+\left(by-dx-f\right)^{2}=\left(b+ex-fy\right)^{2}+\left(d+fx+ey\right)^{2} </math><br />
<br />
Y despues de expander los polinomios<br />
<br />
<math>\left(e^{2}+f^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(b^{2}+d^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)=\left(b^{2}+d^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(e^{2}+f^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}\left|z\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}\left|z\right|^{2} </math> <br />
<br />
Donde <math>\left|z\right|=1</math><br />
<br />
<math>\therefore\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2} </math><br />
<br />
O tambien <br />
<br />
<math>\frac{\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}}{\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}}=1 </math><br />
<br />
Que era lo que se queria mostrar. <br />
<br />
Ahora geometricamente esto nos dice que la magnitud de la suma de<br />
dos numeros complejos es igual a la magnitud de la suma de sus conjugados.<br />
<br />
En las siguientes imagenes se muestra graficamente la interpretacion<br />
geometrica, el vector de color naranja es <math>z</math> y el azul y verde <math>a,c</math><br />
respectivamente.<br />
<br />
[[Imagen:Prueba1.jpg]][[Imagen:Prueba.jpg]]<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 14:12 9 dic 2009 (UTC)<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 19:42 21 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''10.- Probar que la funcion <math>z \rightarrow 1/z</math> es una rotacion de <math>\pi</math> radianes en la esfera de Riemann alrededor del eje x.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Las componentes del punto <math>A = (a_1,a_2,a_3)\,</math> en la esfera unitaria asociado a z son:<br />
<br />
<br />
<math>a_1 = \frac{z+\overline{z}}{|z|^2+1}, a_2 = \frac{z-\overline{z}}{i(|z|^2+1)}, a_3 = \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\,</math> <br />
<br />
<br />
Sea <math>\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> y tomando en cuenta que <math>|z| = |\overline{z}|\,</math>, entonces, las componentes del punto <math>B = (b_1,b_2,b_3)\,</math> de la esfera unitaria asociado a <math>\frac{1}{z}\,</math> son:<br />
<br />
<br />
<math>b_1 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}+\frac{z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{\overline{z}+z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\overline{z}+z}{|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}+z}{1+|z|^2} = a_1\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_2 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}-\frac{z}{|z|^2}}{i(\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i(1+|z|^2)} = -\frac{z-\overline{z}}{i(1+|z|^2)} = -a_2\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_3 = \frac{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}-1}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{1}{|z|^2}-1}{\frac{1}{|z|^2}+1} = \frac{1-|z|^2}{1+|z|^2} = -\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} = -a_3\,</math> ...<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 00:03 9 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''11.''' '''Probar que dados dos puntos''' <math>z,w \in \mathbb C</math> '''se tiene que sus proyecciones en la esfera de Riemann son antípodas si y solo si''' <math>z\bar{w} = -1</math><br />
<br />
<br />
SOLUCION.<br />
<br />
Sea <math>z \in \mathbb C \quad a,b \in \mathbb R</math> <br />
<br />
se pasa del plano complejo a la esfera de Riemann.<br />
<br />
<math>\psi: \mathbb C \rightarrow \mathbb S^2 - \lbrace e_3 \rbrace </math><br />
<br />
<math> z \mapsto (x_1 , x_2 , x_3)</math><br />
<br />
<br />
Si <math>\ z=a+ib \mapsto \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)</math> es el punto '''P''' en la esfera de Riemann.<br />
<br />
<br />
con este punto '''P''' y el centro '''C''' de la esfera se construye una recta que pase por estos puntos:<br />
<br />
<br />
Sea <math>\mathcal {L} =\ p + t\vec{v} \quad , \forall t \in \mathbb R </math> donde <math>\vec v</math>es el vector director que va de '''P''' a ''' C''' esto es <br />
<br />
<br />
<math>\vec {v} =(0,0,0)- \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) </math><br />
<br />
<br />
nuestra ecuacion de la recta queda de la siguiente manera:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\mathcal {L} =\left (\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right) + t \left (\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \quad , \forall t \in \mathbb R </math><br />
<br />
<br />
Cuando <math>\ t=0</math> tenemos a <math>\ P</math> en la esfera.<br />
<br />
cuando <math>\ t=1</math> tenemos el centro <math>\ (0,0,0)</math> de la esfera de Riemann.<br />
<br />
cuando <math>\ t=2 </math> tenemos al punto <math>\ Q</math> que es la antipoda de <math>\ p</math><br />
<br />
<br />
<math> \Rightarrow Q=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \, antipoda \quad de\quad p \quad en \quad la \quad esfera \quad de \quad Riemann </math><br />
<br />
<br />
teniendo a <math> \ Q</math> sobre la esfera de Riemann volvemos al plano complejo mediante la siguiente tranformacion:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\varphi: \mathbb S^2 -\lbrace e_3 \rbrace \rightarrow \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>Q \mapsto \frac {x_1 +ix_2}{1-x_3} </math>, que nos da un punto <math>\ w_Q \in \mathbb C</math> <br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q=\frac {x_1 +ix_2}{1-x_3}=\frac {\frac {-2a}{a^2+b^2+1} +i \frac {-2b}{a^2+b^2+1}}{1+ \frac {a^2+b^2-1}{a^2+b^2+1}} = \frac{ \frac{-2}{a^2+b^2+1}(a+ib) }{ \frac {2a^2+2b^2}{a^2+b^2+1} } = \frac {-2}{2a^2+2b^2}(a+ib) = \frac {-1}{a^2+b^2}(a+ib) </math> <br />
<br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} </math><br />
<br />
<br />
Como la proyeccion en la esfera de Riemann de <math>\ w_Q </math> es la antipoda de <math>\ z </math> se debe de cumplir que <math>z\bar{w_Q} = -1</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> z=a+ib \quad, w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} \in \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow z\bar{w_Q} =(a+ib)\left ( -\frac {a}{a^2 + b^2} +i \frac {b}{a^2+ b^2}\right )=\left ( -\frac {a^2}{a^2 + b^2} -\frac {b^2}{a^2+ b^2}\right )+i\left ( -\frac {ab}{a^2 + b^2} + \frac {ab}{a^2+ b^2}\right ) </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\left ( \frac {-(a^2+b^2)}{a^2 + b^2} \right )+i(0)=-1</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore z,w</math> son antipodas si y solo si <math>z\bar{w} = -1 \quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 15:11 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''12.'''¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la funcion <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> ?<br />
<br />
<br />
SOLUCIÓN:<br />
<br />
para la imagen notemos que <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> es continua exepto cuando <math>\ z=0</math>, por lo que su imagen es todo el plano complejo exepto el origen.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.2&diff=11841
Compleja:ej-cap1.2
2009-12-14T03:30:23Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>==EJERCICIOS 1.2.1 ==<br />
<br />
'''1.''' '''Demuestre que una una funcion''' <math>f:A\subset\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} </math> '''es continua en''' <math>{z_0}\in A</math> '''si y soló si para toda sucesión''' <math>{z_n},n\in\mathbb{N}, </math> '''tal que''' <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow\infty,</math> '''se tiene''' <math>f(z_n)\rightarrow f(z_0),</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Supongamos que <math> \ f<br />
</math> es continua en <math>\ z_0 </math> , es decir:<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad\exists \delta = \delta(\epsilon)> 0 </math> <br />
<br />
tal que <math>\quad | z - z_0 |<\delta \Rightarrow | f(z) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
y supongamos que <math>\lbrace z_n \rbrace , n\in \mathbb{N} </math> es una sucesión en <math>\ A </math> tal que <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math><br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<math>f(z_n)\rightarrow f(z_0)</math><br />
<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad \exists N = N(\epsilon)\in \mathbb N ,\quad n\geq N \Rightarrow | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
como <math>\ f</math> es continua en <math>\ z_0</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists\delta = \delta(\epsilon)>0</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow z_n \rightarrow z_0 </math><br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists M = M(\epsilon) \in \mathbb N, \quad n \geq M \Rightarrow | z_n - z_0 |< \delta </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore f(z_n) \rightarrow f(z_0)\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.''' '''Demuestre que una sucesión''' <math> \ \lbrace a_n \rbrace</math> en <math>\mathbb R^n </math> '''es de ''Cauchy'' si y sólo es convergente.<br />
<br />
'''<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Una sucesión en <math>\mathbb R^n </math> se dice que es de ''Cauchy'' si para todo <math>\epsilon >0 ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in \mathbb N </math> tal que <math>|a_m - a_n|<\epsilon , \quad \forall m,n \geq N</math> '''.'''<br />
<br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<br />
Si la sucesión es convergente, esto es si <math>\lim {a_n}=L \quad \Rightarrow \quad \forall \epsilon > 0\quad ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in\mathbb N </math><br />
<br />
<br />
tal que <math>|a_n - L|<\frac{\epsilon}{2}\quad, \quad \forall n\geq N</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow </math> si <math>m,n\geq N ,</math> se tiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ |a_m - a_n|=|a_m - L +L - a_n| \leq |a_m - L| + | L - a_n|< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}\!=\!{\epsilon} </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore \lbrace a_n \rbrace \quad es \quad de \quad Cauchy.\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
== EJERCICIOS 1.2.2 ==<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''1. Demuestre que la funcion estereográfica <math>(x_1,x_2,x_3)\to\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math> de la esfera de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.<br />
<br />
Definicion: Una funcion es suprayectiva si a un punto en la esfera<math>(x_1,x_2,x_3)</math> le corresponde uno(s) puntos dentro del plano complejo <math>\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
Una función es sobre si para toda '''y''' pertenece al Codominio <math>(f)</math> ,existe '''x''' pertenece al Dominio de <br />
<math>(f)</math> tal que <math> y = f(x)</math><br />
<br />
Notaciòn (para la demostraciòn): S= Esfera, C= punto en el plano proyectado por la esfera.<br />
<br />
Dominio<math>(f)= S</math> y el Codominio<math>(f)= C</math> y tambièn<br />
<math> C = z\epsilon\mathbb{C}:, f(z)=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
<math>z\epsilon\mathbb{C}:x_3\ne1 </math><br />
<br />
Suponga <math>\bar{x}\epsilon</math> S donde <math>\bar{x}=(x_1,x_2,x_3)</math><br />
<br />
Condicion de la esfera <math>(x_1^2+x_2^2+x_3^2=1)</math> donde <math>x_2</math> pertenece a '''i'''<br />
<br />
Ahora bien sabemos que la magnitud cuadrática <math>\bar{x}</math> es 1 <br />
<br />
<br />
<math>\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}\epsilon</math> Codominio de (f)<br />
<br />
Sea '''y''' que pertenece al Codominio de (f) donde : <math>y= ai+b</math><br />
<br />
Sea <math>a=\frac{x_1}{1-x_3}</math> y <math>b=\frac{x_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
tomando en cuenta que <math>y=f(x)</math><br />
<br />
de esta manera <math>f(x)=\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 03:09 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''2. Demuestre que si <math>z_n\rightarrow \infty.</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math>, entonces <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Como <math>z_n\rightarrow \infty.</math><br />
<math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Recordando la definiciòn del limite dado un <math>N_o</math> nos aproximamos.<br />
<math>\exists\N_o\epsilon\mathbb N+ n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> por hipótesis.<br />
<br />
P.D. <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math>, asi como también <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Ahora usando la definiciòn del limite dentro de la mètrica cordal tenemos un <math>N_o^\prime</math> donde limite se aproxima a cero cuando <math>n\rightarrow \infty.</math> <br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty) - 0 |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty)|<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
Usando la definición de la distancia cordal entre dos puntos<br />
<br />
<math>d_C(z_1,z_2)=|\pi(z_1)-\pi(z_2)|</math><br />
<br />
P.D.<math>\quad\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon </math><br />
<br />
Tomamos el lìmite descrito anteriomente.<br />
<br />
Por hipótesis <math>\quad\exists\N_o\epsilon\mathbb N</math> tal que <math>\quad n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> <br />
<br />
Sea <math>N_o</math> como antes por la continuidad de <math>\pi</math><br />
<br />
Finalmente usando la definiciòn de metrica cordal.<br />
<br />
Si <math>\quad n\geq N_o\to|\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon</math> <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 04:20 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''3. Las transformaciones de Möbius definidas en (1.4) se extienden a la esfera de Riemann <math>\hat{\mathbb{C}} </math> como sigue: si <math>c=0, T(\infty)=\infty</math>, y si <math>c\neq0, T(\infty)=\frac{a}{c}</math> y <math>T(\frac{-d}{c})=\infty</math>.Demuestre que estas funciones son continuas en dicha esfera con la metrica cordal.<br />
<br />
Transformaciones de Möbius complejas.(1.4)<br />
<math>z\to\frac{az+b}{cz+d} , ad-bc\neq0, a,b,c,d. <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
Se define la metrica cordal en el plano complejo extendido de la sig. manera.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2) = <br />
\begin{cases} <br />
\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}, & si z_1,z_2\neq\infty \\<br />
\frac{2}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}}, & si z_2=\infty. <br />
\end{cases}</math><br />
<br />
para los casos extremos.<br />
<br />
si <math>c=0, T(\infty)=\frac{az+b}{d}=\frac{a(\infty)+b}{d}=\infty.</math><br />
<br />
si <math>c\neq0, T(z)=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{z}{z}\frac{a+\frac{b}{z}}{c+\frac{d}{z}}<br />
<br />
<br />
,T(\infty)=\frac{a+\frac{b}{\infty}}{c+\frac{d}{\infty}}=\frac{a}{c}.</math><br />
<br />
<br />
<br />
si <math>T(\frac{-d}{c})=\frac{a(\frac{-d}{c})+b}{c(\frac{-d}{c})+d}=\infty.</math><br />
<br />
<br />
generalizando, para <math>z_1,z_2 \epsilon\mathbb{C}</math>, (arbitrarias).<br />
<br />
por hip.<math>c=0\therefore</math><br />
<br />
<math>T(z)=\frac{az+b}{d}=\frac{a}{d}z+\frac{b}{d}</math>.<br />
<br />
<math>\forall\epsilon>0, \exists\delta>0 </math><br />
<br />
<br />
tal que si<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_1-z_2\right|<\delta , \left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
entonces<br />
<math>\left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\left|z_1-z_2\right|\delta <\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
<math>T(z_1)-T(z_2)=\left(\frac{a}{d}z_1+\frac{b}{d}\right)-\left(\frac{a}{d}z_2+\frac{b}{d}\right)=\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)</math><br />
<br />
<br />
por <math>\left(d\left(0,x-y\right)=d\left(x,y\right)\right)</math><br />
<br />
<math>d_c\left(0,T(z_1)-T(z_2)\right)=d_c\left(0,\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)\right)=d_c\left(\frac{a}{d}z_1,\frac{a}{d}z_2\right)</math><br />
<br />
ahora si<math>z_1,z_2\ne\infty</math> y <math>\delta\approx \frac{1}{k}</math> donde <math>k=\frac{a}{d}</math><br />
<br />
con la metrica cordal.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2)=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+k^2\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+k^2\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{k^2\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<math>=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{k\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore d_c(z_1,z_2)<\epsilon</math><br />
<br />
ya q se mostro que <math>\frac{az+b}{d}</math><br />
<br />
es continua, se puede probar lo mismo para <br />
<br />
<math> c z+ d </math>.<br />
<br />
<br />
por teo. de continuidad si<br />
<br />
<math> f\left(x\right),g\left(x\right)</math> <br />
<br />
son continuas, tambien<br />
<br />
<br />
<math>\frac{f(x)}{g(x)}</math>, es continua.<br />
<br />
<br />
<math>\therefore \frac{az_1+b}{cz_2+d}</math> <br />
<br />
es continua si<br />
<br />
<math>c \ne 0</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 00:42 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4.'''Demuestre que si ''AB'' son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de Möbius ''f,g'', respectivamente, entonces la matriz ''BA'' representa la composicion ''gf'', que también es de Möbius.Concluya mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera en sí misma, y que ademas constituyen un grupo.<br />
<br />
SOLUCION:<br />
<br />
tenemos que <math>\ f, g </math> son transformaciones de Möbius<br />
<br />
<br />
<math>f(z)=\frac{a' z + b'}{c' z + d'}\quad\quad g(z)=\frac{a z + b}{c z + d}</math><br />
<br />
<br />
sean <math>\ A, B </math> las representaciones matriciales de <math>\ g, f </math> respectivamente<br />
<br />
<br />
<math>A = \begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix} \quad \quad B = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
entonces <br />
<br />
<math>BA = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}<br />
a'a + b'c & c'a + d'c \\<br />
a'b + b'd & c'b + d'd \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
<br />
entonces<br />
<br />
<math>gf=\frac{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}{(a'b + b'd)z + (c'b + d'd)}</math><br />
<br />
los elementos de la matriz ''BA'' son elementos de funciones biyectivas, entonces dicha matriz también es biyectiva, y por lo tanto ''gf'' es biyectiva y de Möbius.<br />
<br />
<br />
Por ser de Möbius es meromorfa, ahora notemos que ''gf'' es continua y que <br />
<br />
<math>\frac{1}{gf}=\frac{(a'b + b')z + (c'b + d'd)}{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}</math><br />
<br />
<br />
tambien es continua por lo que concluimos que es bicontinua.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''5.'''Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en ternas de puntos de la esfera de Riemann. Sugerencia: Dada una terna, encuentre una función de Möbius que la mande en 1, 0 e <math>o\!o</math><br />
<br />
Sea <math>(x_1,x_2,x_3)\rightarrow \frac{x_1 + ix_2}{x_3} = z_0</math><br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = \frac{(1-b)x_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
y <math> \quad c = \frac{(1-d)x_3}{x_1 + i x_2} \quad </math>; <math>ad-bc\neq0</math><br />
<br />
<br />
entonces <math> T(z) = \frac{(1-b)x_3 z + (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 z + (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<math> T(z_0) = \frac{(1-b)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3}\Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3} \Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = \frac{(1-b) (<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)(<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = 1</math><br />
<br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{b - \frac{bx_3 }{x_1 + i x_2}}{cz+d}z</math><br />
<br />
<br />
<math>T(z_0) = \frac{b - \frac{bx_3 (\frac{x_1 + ix_2}{x_3})}{x_1 + i x_2}}{cz+d} = \frac{b - b}{cz+d} = 0</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math>b\rightarrow \!oo</math><br />
<br />
<br />
entonces <math>T(z_0) = \!oo</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''6.'''Pruede que las transformaciones de Möbius son composición de algunas de las siguientes funciones: rotaciones, traslaciones, homotecias, y <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math>. Concluya mostrando que las transformaciones de Möbius preservan la familia de circulos y rectas.<br />
<br />
Considere la Transformación de Möbius.<br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
<br />
Sea <math>a = 1,\quad c = 0, \quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = z+b \qquad </math> entonces <math>T(z)</math>es una traslación. <br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad b = c = 0,\quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math>T(z) = az</math> entonces '''T(z)''' es una rotación por '''arg(a)''' y por una amplificación <math>\big |a\big |</math>.<br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad a = d = 0, \quad b = c = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<math> T(z) = \frac{1}{z}\qquad</math> entonces '''T(z)''' es una inversión.<br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 23:28 26 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''7. Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en la familia de círculos y rectas.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Puesto que una transformación del tipo <math>w=\frac{1}{z} </math> aplica en circunferencias y rectas, y como las rotaciones, los cambios de escala y las translaciones preservan rectas y circunferencias. Dicha transformación bilineal o de Möbius aplica en círculos y rectas.<br />
<br />
<br />
Un círculo en <math>{S^2}</math> es la intersección de un plano con la esfera, por lo cual satiface la siguiente ecuación:<br />
<br />
<br />
<math>ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\,\!</math><br />
<br />
<br />
Tenemos que<br />
<br />
<br />
<math> x_1=\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_2=\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_3=\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto, este círculo es la imagen bajo la proyección esterografica, cuyos puntos satisfacen la siguiente ecuación en el plano: <br />
<br />
<br />
<br />
<math>a\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )+b\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )+c\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)=d </math><br />
<br />
<br />
Escribiendo <math>z = x+iy\,\!</math>, se tiene<br />
<br />
<br />
<math> x^2+y^2-\frac{2a}{d-c}x-\frac{2by}{d-c}=1 </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( d-c \right )-2ax-2by =d-c </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( c-d \right )+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )c -\left ( x^2+y^2 \right )d+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2-1 \right )c -\left ( x^2+y^2+1 \right )d+2ax+2by =0 </math><br />
<br />
<br />
finalmente se tiene que<br />
<br />
<br />
<math>2ax + 2by + c(x^2+y^2-1) = d(x^2+y^2+1)\,\!</math>,<br />
<br />
<br />
que biene siendo la ecuación de una recta o un círculo, dependiendo si <math>d=c\,\!</math>, o si <math>d\ne c\,\!</math>.<br />
<br />
<br />
'''De otra manera:'''<br />
<br />
<br />
Puesto que <math>x+iy=z=\frac{1}{w} =\frac{\overline{w}}{|w|^2}=\frac{u}{u^2+v^2}-i\frac{v}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>x=\frac{u}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
<math>y=-\frac{v}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
Por tanto, la imagen de <math>\ f(x,y)=0</math> es<br />
<br />
<br />
<br />
<math>f\left ( \frac{u}{u^2+v^2},-\frac{v}{u^2+v^2}\right )=0</math>.<br />
<br />
<br />
Sabemos que el lugar geométrico de toda sección cónica viene dado por<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ f(x,y)=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0</math><br />
<br />
<br />
Esta ecuación representa una sircunferencia si <math>\ B=0</math> y <math>A=C\ne 0</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ f(x,y)=A(x^2+y^2)+Dx+Ey+F=0</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 16:08 22 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''8.- Demuestre de dos maneras que el lugar de los puntos que cumplen la ecuación <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> <math> ,k\in\mathbb{R}^{+},a,b\in\mathbb{C},a\neq b</math> constituye una recta o un círculo (llamado de Apolonio).'''<br />
<br />
'''Solución'''<br />
<br />
Sea <br />
<br />
<math>z = x+iy\,\!, a = u+iv, b = c+id</math><br />
<br />
<br />
<br />
Entonces <br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|^{2}=k^{2}\left|z-b\right|^{2}</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left(x-u\right)^{2}+\left(y-v\right)^{2}=k\left(\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}\right)</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>x^2-2xu+u^2+y^2-2yv+v^2=kx^2-2kxc+c^2+ky^2-2kyd+kd^2\,\!</math> </center><br />
<br />
<br />
Si agrupamos esta expresión se tiene:<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(1-k\right)-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right) \qquad (I)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Si <math>k=1</math> se tiene la ecuación de una recta, es decir:<br />
<br />
<br />
<center><math>-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=c^{2}+d^{2}-\left(u^{2}+v^{2}\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Ahora para <math>k\neq1</math> la ecuación <math>\left(I\right)</math> al multiplicarla por<br />
<math>\frac{1}{\left(1-k\right)}<br />
</math> toma la forma:<br />
<br />
<br />
<center><math>\frac{}{}<br />
\left(x^{2}+y^{2}\right)-\frac{2x\left(u-kc\right)}{\left(1-k\right)}-\frac{2y\left(v-kd\right)}{\left(1-k\right)}=\frac{k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)}{\left(1-k\right)}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si completamos los cuadrados (más un poco de álgebra) de esta ultima expresión se obtiene lo<br />
siguiente<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\left(\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}+\frac{1}{1-k}\left(k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\frac{k}{\left(1-k\right)^{2}}\left(\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
lo cual es la ecuación de un círculo con centro <br />
<math>\left(\frac{u-kc}{1-k}\,,\,\frac{v-kd}{1-k}\right)</math><br />
y cuyo radio es <br />
<math>\frac{\sqrt{k}}{\left|1-k\right|}\sqrt{\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Otro método.<br />
<br />
<center><math><br />
\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(z-a\right)\left(\overline{z}-\overline{a}\right)=k\left(z-b\right)\left(\overline{z}-\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}-a\overline{z}-\overline{a}z+a\overline{a}=k\left(z\overline{z}-b\overline{z}-\overline{b}z+b\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
agrupando tenemos<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)-a\overline{z}-\overline{a}z+kb\overline{z}+k\overline{b}z=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)+\overline{z}\left(kb-a\right)+z\left(k\overline{b}-\overline{a}\right)=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio<math> A=\left(1-k\right), B=\left(kb-a\right),\overline{B}=\left(k\overline{b}-\overline{a}\right), C=kb\overline{b}-a\overline{a}\!,</math> , la anterior ecuación se escribe como<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
Az\overline{z}+B\overline{z}+\overline{B}z=C</math></center><br />
<br />
<br />
si <math> A=0</math> (entonces <math>k=1</math>) se tiene la ecución de una recta, si <math>A</math> es distinto<br />
de cero (entonces k es distinto de 1) y se tiene la ecuación de una<br />
circunferencia.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 01:46 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
'''9.- Sean <math>a,c</math> complejos, tal que no son ambos nulos, probar que<br />
<math>\left|\frac{\bar{a}z+\bar{c}}{cz+a}\right|=1</math>, si <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
Interpretar geometricamente.'''<br />
<br />
<br />
Sean <math> a=b+id , c=e+if , z=x+iy </math>.<br />
Entonces sustituyendo esto se tiene la siguiente expresión:<br />
<br />
<math>\left|\frac{\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)}{\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)}\right|=1 </math><br />
<br />
Por propiedades de la norma se sigue que<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|}{\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right|}=1 </math><br />
<br />
Y multiplicando ambos lados por el denominador llegamos a que<br />
<br />
<math>\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|=\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right| </math><br />
<br />
Desarrollando los producto y las operaciones para poder agrupar terminos se llega a<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right| </math><br />
<br />
Elevando al cuadrado para tener el cuadrado de la norma tenemos que<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|^{2}=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right|^{2} </math><br />
<br />
Donde es inmediato lo siguiente<br />
<br />
<math>\left(bx+dy+e\right)^{2}+\left(by-dx-f\right)^{2}=\left(b+ex-fy\right)^{2}+\left(d+fx+ey\right)^{2} </math><br />
<br />
Y despues de expander los polinomios<br />
<br />
<math>\left(e^{2}+f^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(b^{2}+d^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)=\left(b^{2}+d^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(e^{2}+f^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}\left|z\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}\left|z\right|^{2} </math> <br />
<br />
Donde <math>\left|z\right|=1</math><br />
<br />
<math>\therefore\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2} </math><br />
<br />
O tambien <br />
<br />
<math>\frac{\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}}{\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}}=1 </math><br />
<br />
Que era lo que se queria mostrar. <br />
<br />
Ahora geometricamente esto nos dice que la magnitud de la suma de<br />
dos numeros complejos es igual a la magnitud de la suma de sus conjugados.<br />
<br />
En las siguientes imagenes se muestra graficamente la interpretacion<br />
geometrica, el vector de color naranja es <math>z</math> y el azul y verde <math>a,c</math><br />
respectivamente.<br />
<br />
[[Imagen:Prueba1.jpg]][[Imagen:Prueba.jpg]]<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 14:12 9 dic 2009 (UTC)<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 19:42 21 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''10.- Probar que la funcion <math>z \rightarrow 1/z</math> es una rotacion de <math>\pi</math> radianes en la esfera de Riemann alrededor del eje x.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Las componentes del punto <math>A = (a_1,a_2,a_3)\,</math> en la esfera unitaria asociado a z son:<br />
<br />
<br />
<math>a_1 = \frac{z+\overline{z}}{|z|^2+1}, a_2 = \frac{z-\overline{z}}{i(|z|^2+1)}, a_3 = \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\,</math> <br />
<br />
<br />
Sea <math>\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> y tomando en cuenta que <math>|z| = |\overline{z}|\,</math>, entonces, las componentes del punto <math>B = (b_1,b_2,b_3)\,</math> de la esfera unitaria asociado a <math>\frac{1}{z}\,</math> son:<br />
<br />
<br />
<math>b_1 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}+\frac{z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{\overline{z}+z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\overline{z}+z}{|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}+z}{1+|z|^2} = a_1\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_2 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}-\frac{z}{|z|^2}}{i(\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i(1+|z|^2)} = -\frac{z-\overline{z}}{i(1+|z|^2)} = -a_2\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_3 = \frac{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}-1}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{1}{|z|^2}-1}{\frac{1}{|z|^2}+1} = \frac{1-|z|^2}{1+|z|^2} = -\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} = -a_3\,</math> ...<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 00:03 9 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''11.''' '''Probar que dados dos puntos''' <math>z,w \in \mathbb C</math> '''se tiene que sus proyecciones en la esfera de Riemann son antípodas si y solo si''' <math>z\bar{w} = -1</math><br />
<br />
<br />
SOLUCION.<br />
<br />
Sea <math>z \in \mathbb C \quad a,b \in \mathbb R</math> <br />
<br />
se pasa del plano complejo a la esfera de Riemann.<br />
<br />
<math>\psi: \mathbb C \rightarrow \mathbb S^2 - \lbrace e_3 \rbrace </math><br />
<br />
<math> z \mapsto (x_1 , x_2 , x_3)</math><br />
<br />
<br />
Si <math>\ z=a+ib \mapsto \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)</math> es el punto '''P''' en la esfera de Riemann.<br />
<br />
<br />
con este punto '''P''' y el centro '''C''' de la esfera se construye una recta que pase por estos puntos:<br />
<br />
<br />
Sea <math>\mathcal {L} =\ p + t\vec{v} \quad , \forall t \in \mathbb R </math> donde <math>\vec v</math>es el vector director que va de '''P''' a ''' C''' esto es <br />
<br />
<br />
<math>\vec {v} =(0,0,0)- \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) </math><br />
<br />
<br />
nuestra ecuacion de la recta queda de la siguiente manera:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\mathcal {L} =\left (\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right) + t \left (\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \quad , \forall t \in \mathbb R </math><br />
<br />
<br />
Cuando <math>\ t=0</math> tenemos a <math>\ P</math> en la esfera.<br />
<br />
cuando <math>\ t=1</math> tenemos el centro <math>\ (0,0,0)</math> de la esfera de Riemann.<br />
<br />
cuando <math>\ t=2 </math> tenemos al punto <math>\ Q</math> que es la antipoda de <math>\ p</math><br />
<br />
<br />
<math> \Rightarrow Q=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \, antipoda \quad de\quad p \quad en \quad la \quad esfera \quad de \quad Riemann </math><br />
<br />
<br />
teniendo a <math> \ Q</math> sobre la esfera de Riemann volvemos al plano complejo mediante la siguiente tranformacion:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\varphi: \mathbb S^2 -\lbrace e_3 \rbrace \rightarrow \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>Q \mapsto \frac {x_1 +ix_2}{1-x_3} </math>, que nos da un punto <math>\ w_Q \in \mathbb C</math> <br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q=\frac {x_1 +ix_2}{1-x_3}=\frac {\frac {-2a}{a^2+b^2+1} +i \frac {-2b}{a^2+b^2+1}}{1+ \frac {a^2+b^2-1}{a^2+b^2+1}} = \frac{ \frac{-2}{a^2+b^2+1}(a+ib) }{ \frac {2a^2+2b^2}{a^2+b^2+1} } = \frac {-2}{2a^2+2b^2}(a+ib) = \frac {-1}{a^2+b^2}(a+ib) </math> <br />
<br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} </math><br />
<br />
<br />
Como la proyeccion en la esfera de Riemann de <math>\ w_Q </math> es la antipoda de <math>\ z </math> se debe de cumplir que <math>z\bar{w_Q} = -1</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> z=a+ib \quad, w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} \in \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow z\bar{w_Q} =(a+ib)\left ( -\frac {a}{a^2 + b^2} +i \frac {b}{a^2+ b^2}\right )=\left ( -\frac {a^2}{a^2 + b^2} -\frac {b^2}{a^2+ b^2}\right )+i\left ( -\frac {ab}{a^2 + b^2} + \frac {ab}{a^2+ b^2}\right ) </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\left ( \frac {-(a^2+b^2)}{a^2 + b^2} \right )+i(0)=-1</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore z,w</math> son antipodas si y solo si <math>z\bar{w} = -1 \quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 15:11 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''12.'''¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la funcion <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> ?<br />
<br />
<br />
SOLUCIÓN:<br />
<br />
para la imagen notemos que <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> es continua exepto cuando <math>\ z=0</math>, por lo que su imagen es todo el plano complejo exepto el origen.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.2&diff=11840
Compleja:ej-cap1.2
2009-12-14T03:26:26Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>==EJERCICIOS 1.2.1 ==<br />
<br />
'''1.''' '''Demuestre que una una funcion''' <math>f:A\subset\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} </math> '''es continua en''' <math>{z_0}\in A</math> '''si y soló si para toda sucesión''' <math>{z_n},n\in\mathbb{N}, </math> '''tal que''' <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow\infty,</math> '''se tiene''' <math>f(z_n)\rightarrow f(z_0),</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Supongamos que <math> \ f<br />
</math> es continua en <math>\ z_0 </math> , es decir:<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad\exists \delta = \delta(\epsilon)> 0 </math> <br />
<br />
tal que <math>\quad | z - z_0 |<\delta \Rightarrow | f(z) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
y supongamos que <math>\lbrace z_n \rbrace , n\in \mathbb{N} </math> es una sucesión en <math>\ A </math> tal que <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math><br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<math>f(z_n)\rightarrow f(z_0)</math><br />
<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad \exists N = N(\epsilon)\in \mathbb N ,\quad n\geq N \Rightarrow | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
como <math>\ f</math> es continua en <math>\ z_0</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists\delta = \delta(\epsilon)>0</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow z_n \rightarrow z_0 </math><br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists M = M(\epsilon) \in \mathbb N, \quad n \geq M \Rightarrow | z_n - z_0 |< \delta </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore f(z_n) \rightarrow f(z_0)\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.''' '''Demuestre que una sucesión''' <math> \ \lbrace a_n \rbrace</math> en <math>\mathbb R^n </math> '''es de ''Cauchy'' si y sólo es convergente.<br />
<br />
'''<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Una sucesión en <math>\mathbb R^n </math> se dice que es de ''Cauchy'' si para todo <math>\epsilon >0 ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in \mathbb N </math> tal que <math>|a_m - a_n|<\epsilon , \quad \forall m,n \geq N</math> '''.'''<br />
<br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<br />
Si la sucesión es convergente, esto es si <math>\lim {a_n}=L \quad \Rightarrow \quad \forall \epsilon > 0\quad ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in\mathbb N </math><br />
<br />
<br />
tal que <math>|a_n - L|<\frac{\epsilon}{2}\quad, \quad \forall n\geq N</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow </math> si <math>m,n\geq N ,</math> se tiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ |a_m - a_n|=|a_m - L +L - a_n| \leq |a_m - L| + | L - a_n|< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}\!=\!{\epsilon} </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore \lbrace a_n \rbrace \quad es \quad de \quad Cauchy.\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
== EJERCICIOS 1.2.2 ==<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''1. Demuestre que la funcion estereográfica <math>(x_1,x_2,x_3)\to\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math> de la esfera de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.<br />
<br />
Definicion: Una funcion es suprayectiva si a un punto en la esfera<math>(x_1,x_2,x_3)</math> le corresponde uno(s) puntos dentro del plano complejo <math>\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
Una función es sobre si para toda '''y''' pertenece al Codominio <math>(f)</math> ,existe '''x''' pertenece al Dominio de <br />
<math>(f)</math> tal que <math> y = f(x)</math><br />
<br />
Notaciòn (para la demostraciòn): S= Esfera, C= punto en el plano proyectado por la esfera.<br />
<br />
Dominio<math>(f)= S</math> y el Codominio<math>(f)= C</math> y tambièn<br />
<math> C = z\epsilon\mathbb{C}:, f(z)=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
<math>z\epsilon\mathbb{C}:x_3\ne1 </math><br />
<br />
Suponga <math>\bar{x}\epsilon</math> S donde <math>\bar{x}=(x_1,x_2,x_3)</math><br />
<br />
Condicion de la esfera <math>(x_1^2+x_2^2+x_3^2=1)</math> donde <math>x_2</math> pertenece a '''i'''<br />
<br />
Ahora bien sabemos que la magnitud cuadrática <math>\bar{x}</math> es 1 <br />
<br />
<br />
<math>\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}\epsilon</math> Codominio de (f)<br />
<br />
Sea '''y''' que pertenece al Codominio de (f) donde : <math>y= ai+b</math><br />
<br />
Sea <math>a=\frac{x_1}{1-x_3}</math> y <math>b=\frac{x_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
tomando en cuenta que <math>y=f(x)</math><br />
<br />
de esta manera <math>f(x)=\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 03:09 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''2. Demuestre que si <math>z_n\rightarrow \infty.</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math>, entonces <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Como <math>z_n\rightarrow \infty.</math><br />
<math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Recordando la definiciòn del limite dado un <math>N_o</math> nos aproximamos.<br />
<math>\exists\N_o\epsilon\mathbb N+ n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> por hipótesis.<br />
<br />
P.D. <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math>, asi como también <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Ahora usando la definiciòn del limite dentro de la mètrica cordal tenemos un <math>N_o^\prime</math> donde limite se aproxima a cero cuando <math>n\rightarrow \infty.</math> <br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty) - 0 |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty)|<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
Usando la definición de la distancia cordal entre dos puntos<br />
<br />
<math>d_C(z_1,z_2)=|\pi(z_1)-\pi(z_2)|</math><br />
<br />
P.D.<math>\quad\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon </math><br />
<br />
Tomamos el lìmite descrito anteriomente.<br />
<br />
Por hipótesis <math>\quad\exists\N_o\epsilon\mathbb N</math> tal que <math>\quad n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> <br />
<br />
Sea <math>N_o</math> como antes por la continuidad de <math>\pi</math><br />
<br />
Finalmente usando la definiciòn de metrica cordal.<br />
<br />
Si <math>\quad n\geq N_o\to|\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon</math> <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 04:20 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''3. Las transformaciones de Möbius definidas en (1.4) se extienden a la esfera de Riemann <math>\hat{\mathbb{C}} </math> como sigue: si <math>c=0, T(\infty)=\infty</math>, y si <math>c\neq0, T(\infty)=\frac{a}{c}</math> y <math>T(\frac{-d}{c})=\infty</math>.Demuestre que estas funciones son continuas en dicha esfera con la metrica cordal.<br />
<br />
Transformaciones de Möbius complejas.(1.4)<br />
<math>z\to\frac{az+b}{cz+d} , ad-bc\neq0, a,b,c,d. <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
Se define la metrica cordal en el plano complejo extendido de la sig. manera.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2) = <br />
\begin{cases} <br />
\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}, & si z_1,z_2\neq\infty \\<br />
\frac{2}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}}, & si z_2=\infty. <br />
\end{cases}</math><br />
<br />
para los casos extremos.<br />
<br />
si <math>c=0, T(\infty)=\frac{az+b}{d}=\frac{a(\infty)+b}{d}=\infty.</math><br />
<br />
si <math>c\neq0, T(z)=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{z}{z}\frac{a+\frac{b}{z}}{c+\frac{d}{z}}<br />
<br />
<br />
,T(\infty)=\frac{a+\frac{b}{\infty}}{c+\frac{d}{\infty}}=\frac{a}{c}.</math><br />
<br />
<br />
<br />
si <math>T(\frac{-d}{c})=\frac{a(\frac{-d}{c})+b}{c(\frac{-d}{c})+d}=\infty.</math><br />
<br />
<br />
generalizando, para <math>z_1,z_2 \epsilon\mathbb{C}</math>, (arbitrarias).<br />
<br />
por hip.<math>c=0\therefore</math><br />
<br />
<math>T(z)=\frac{az+b}{d}=\frac{a}{d}z+\frac{b}{d}</math>.<br />
<br />
<math>\forall\epsilon>0, \exists\delta>0 </math><br />
<br />
<br />
tal que si<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_1-z_2\right|<\delta , \left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
entonces<br />
<math>\left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\left|z_1-z_2\right|\delta <\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
<math>T(z_1)-T(z_2)=\left(\frac{a}{d}z_1+\frac{b}{d}\right)-\left(\frac{a}{d}z_2+\frac{b}{d}\right)=\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)</math><br />
<br />
<br />
por <math>\left(d\left(0,x-y\right)=d\left(x,y\right)\right)</math><br />
<br />
<math>d_c\left(0,T(z_1)-T(z_2)\right)=d_c\left(0,\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)\right)=d_c\left(\frac{a}{d}z_1,\frac{a}{d}z_2\right)</math><br />
<br />
ahora si<math>z_1,z_2\ne\infty</math> y <math>\delta\approx \frac{1}{k}</math> donde <math>k=\frac{a}{d}</math><br />
<br />
con la metrica cordal.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2)=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+k^2\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+k^2\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{k^2\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<math>=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{k\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore d_c(z_1,z_2)<\epsilon</math><br />
<br />
ya q se mostro que <math>\frac{az+b}{d}</math><br />
<br />
es continua, se puede probar lo mismo para <br />
<br />
<math> c z+ d </math>.<br />
<br />
<br />
por teo. de continuidad si<br />
<br />
<math> f\left(x\right),g\left(x\right)</math> <br />
<br />
son continuas, tambien<br />
<br />
<br />
<math>\frac{f(x)}{g(x)}</math>, es continua.<br />
<br />
<br />
<math>\therefore \frac{az_1+b}{cz_2+d}</math> <br />
<br />
es continua si<br />
<br />
<math>c \ne 0</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 00:42 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4.'''Demuestre que si ''AB'' son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de Möbius ''f,g'', respectivamente, entonces la matriz ''BA'' representa la composicion ''gf'', que también es de Möbius.Concluya mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera en sí misma, y que ademas constituyen un grupo.<br />
<br />
SOLUCION:<br />
<br />
tenemos que <math>\ f, g </math> son transformaciones de Möbius<br />
<br />
<br />
<math>f(z)=\frac{a' z + b'}{c' z + d'}\quad\quad g(z)=\frac{a z + b}{c z + d}</math><br />
<br />
<br />
sean <math>\ A, B </math> las representaciones matriciales de <math>\ g, f </math> respectivamente<br />
<br />
<br />
<math>A = \begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix} \quad \quad B = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
entonces <br />
<br />
<math>BA = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}<br />
a'a + b'c & c'a + d'c \\<br />
a'b + b'd & c'b + d'd \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
<br />
entonces<br />
<br />
<math>gf=\frac{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}{(a'b + b'd)z + (c'b + d'd)}</math><br />
<br />
los elementos de la matriz ''BA'' son elementos de funciones biyectivas, entonces dicha matriz también es biyectiva, y por lo tanto ''gf'' es biyectiva y de Möbius.<br />
<br />
<br />
Por ser de Möbius es meromorfa, ahora notemos que ''gf'' es continua y que <br />
<br />
<math>\frac{1}{gf}=\frac{(a'b + b')z + (c'b + d'd)}{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}</math><br />
<br />
<br />
tambien es continua por lo que concluimos que es bicontinua.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''5.'''Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en ternas de puntos de la esfera de Riemann. Sugerencia: Dada una terna, encuentre una función de Möbius que la mande en 1, 0 e <math>o\!o</math><br />
<br />
Sea <math>(x_1,x_2,x_3)\rightarrow \frac{x_1 + ix_2}{x_3} = z_0</math><br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = \frac{(1-b)x_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
y <math> \quad c = \frac{(1-d)x_3}{x_1 + i x_2} \quad </math>; <math>ad-bc\neq0</math><br />
<br />
<br />
entonces <math> T(z) = \frac{(1-b)x_3 z + (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 z + (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<math> T(z_0) = \frac{(1-b)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3}\Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3} \Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = \frac{(1-b) (<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)(<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = 1</math><br />
<br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{b - \frac{bx_3 }{x_1 + i x_2}}{cz+d}z</math><br />
<br />
<br />
<math>T(z_0) = \frac{b - \frac{bx_3 (\frac{x_1 + ix_2}{x_3})}{x_1 + i x_2}}{cz+d} = \frac{b - b}{cz+d} = 0</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math>b\rightarrow \!oo</math><br />
<br />
<br />
entonces <math>T(z_0) = \!oo</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''6.'''Pruede que las transformaciones de Möbius son composición de algunas de las siguientes funciones: rotaciones, traslaciones, homotecias, y <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math>. Concluya mostrando que las transformaciones de Möbius preservan la familia de circulos y rectas.<br />
<br />
Considere la Transformación de Möbius.<br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
<br />
Sea <math>a = 1,\quad c = 0, \quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = z+b \qquad </math> entonces <math>T(z)</math>es una traslación. <br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad b = c = 0,\quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math>T(z) = az</math> entonces '''T(z)''' es una rotación por '''arg(a)''' y por una amplificación <math>\big |a\big |</math>.<br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad a = d = 0, \quad b = c = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<math> T(z) = \frac{1}{z}\qquad</math> entonces '''T(z)''' es una inversión.<br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 23:28 26 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''7. Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en la familia de círculos y rectas.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Puesto que una transformación del tipo <math>w=\frac{1}{z} </math> aplica en circunferencias y rectas, y como las rotaciones, los cambios de escala y las translaciones preservan rectas y circunferencias. Dicha transformación bilineal o de Möbius aplica en círculos y rectas.<br />
<br />
<br />
Un círculo en <math>{S^2}</math> es la intersección de un plano con la esfera, por lo cual satiface la siguiente ecuación:<br />
<br />
<br />
<math>ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\,\!</math><br />
<br />
<br />
Tenemos que<br />
<br />
<br />
<math> x_1=\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_2=\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_3=\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto, este círculo es la imagen bajo la proyección esterografica, cuyos puntos satisfacen la siguiente ecuación en el plano: <br />
<br />
<br />
<br />
<math>a\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )+b\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )+c\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)=d </math><br />
<br />
<br />
Escribiendo <math>z = x+iy\,\!</math>, se tiene<br />
<br />
<br />
<math> x^2+y^2-\frac{2a}{d-c}x-\frac{2by}{d-c}=1 </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( d-c \right )-2ax-2by =d-c </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( c-d \right )+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )c -\left ( x^2+y^2 \right )d+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2-1 \right )c -\left ( x^2+y^2+1 \right )d+2ax+2by =0 </math><br />
<br />
<br />
finalmente se tiene que<br />
<br />
<br />
<math>2ax + 2by + c(x^2+y^2-1) = d(x^2+y^2+1)\,\!</math>,<br />
<br />
<br />
que biene siendo la ecuación de una recta o un círculo, dependiendo si <math>d=c\,\!</math>, o si <math>d\ne c\,\!</math>.<br />
<br />
<br />
'''De otra manera:'''<br />
<br />
<br />
Puesto que <math>x+iy=z=\frac{1}{w} =\frac{\overline{w}}{|w|^2}=\frac{u}{u^2+v^2}-i\frac{v}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>x=\frac{u}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
<math>y=-\frac{v}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
Por tanto, la imagen de <math>\ f(x,y)=0</math> es<br />
<br />
<br />
<br />
<math>f\left ( \frac{u}{u^2+v^2},-\frac{v}{u^2+v^2}\right )=0</math>.<br />
<br />
<br />
Sabemos que el lugar geométrico de toda sección cónica viene dado por<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ f(x,y)=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0</math><br />
<br />
<br />
Esta ecuación representa una sircunferencia si <math>\ B=0</math> y <math>A=C\ne 0</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 16:08 22 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''8.- Demuestre de dos maneras que el lugar de los puntos que cumplen la ecuación <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> <math> ,k\in\mathbb{R}^{+},a,b\in\mathbb{C},a\neq b</math> constituye una recta o un círculo (llamado de Apolonio).'''<br />
<br />
'''Solución'''<br />
<br />
Sea <br />
<br />
<math>z = x+iy\,\!, a = u+iv, b = c+id</math><br />
<br />
<br />
<br />
Entonces <br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|^{2}=k^{2}\left|z-b\right|^{2}</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left(x-u\right)^{2}+\left(y-v\right)^{2}=k\left(\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}\right)</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>x^2-2xu+u^2+y^2-2yv+v^2=kx^2-2kxc+c^2+ky^2-2kyd+kd^2\,\!</math> </center><br />
<br />
<br />
Si agrupamos esta expresión se tiene:<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(1-k\right)-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right) \qquad (I)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Si <math>k=1</math> se tiene la ecuación de una recta, es decir:<br />
<br />
<br />
<center><math>-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=c^{2}+d^{2}-\left(u^{2}+v^{2}\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Ahora para <math>k\neq1</math> la ecuación <math>\left(I\right)</math> al multiplicarla por<br />
<math>\frac{1}{\left(1-k\right)}<br />
</math> toma la forma:<br />
<br />
<br />
<center><math>\frac{}{}<br />
\left(x^{2}+y^{2}\right)-\frac{2x\left(u-kc\right)}{\left(1-k\right)}-\frac{2y\left(v-kd\right)}{\left(1-k\right)}=\frac{k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)}{\left(1-k\right)}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si completamos los cuadrados (más un poco de álgebra) de esta ultima expresión se obtiene lo<br />
siguiente<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\left(\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}+\frac{1}{1-k}\left(k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\frac{k}{\left(1-k\right)^{2}}\left(\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
lo cual es la ecuación de un círculo con centro <br />
<math>\left(\frac{u-kc}{1-k}\,,\,\frac{v-kd}{1-k}\right)</math><br />
y cuyo radio es <br />
<math>\frac{\sqrt{k}}{\left|1-k\right|}\sqrt{\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Otro método.<br />
<br />
<center><math><br />
\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(z-a\right)\left(\overline{z}-\overline{a}\right)=k\left(z-b\right)\left(\overline{z}-\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}-a\overline{z}-\overline{a}z+a\overline{a}=k\left(z\overline{z}-b\overline{z}-\overline{b}z+b\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
agrupando tenemos<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)-a\overline{z}-\overline{a}z+kb\overline{z}+k\overline{b}z=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)+\overline{z}\left(kb-a\right)+z\left(k\overline{b}-\overline{a}\right)=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio<math> A=\left(1-k\right), B=\left(kb-a\right),\overline{B}=\left(k\overline{b}-\overline{a}\right), C=kb\overline{b}-a\overline{a}\!,</math> , la anterior ecuación se escribe como<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
Az\overline{z}+B\overline{z}+\overline{B}z=C</math></center><br />
<br />
<br />
si <math> A=0</math> (entonces <math>k=1</math>) se tiene la ecución de una recta, si <math>A</math> es distinto<br />
de cero (entonces k es distinto de 1) y se tiene la ecuación de una<br />
circunferencia.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 01:46 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
'''9.- Sean <math>a,c</math> complejos, tal que no son ambos nulos, probar que<br />
<math>\left|\frac{\bar{a}z+\bar{c}}{cz+a}\right|=1</math>, si <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
Interpretar geometricamente.'''<br />
<br />
<br />
Sean <math> a=b+id , c=e+if , z=x+iy </math>.<br />
Entonces sustituyendo esto se tiene la siguiente expresión:<br />
<br />
<math>\left|\frac{\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)}{\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)}\right|=1 </math><br />
<br />
Por propiedades de la norma se sigue que<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|}{\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right|}=1 </math><br />
<br />
Y multiplicando ambos lados por el denominador llegamos a que<br />
<br />
<math>\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|=\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right| </math><br />
<br />
Desarrollando los producto y las operaciones para poder agrupar terminos se llega a<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right| </math><br />
<br />
Elevando al cuadrado para tener el cuadrado de la norma tenemos que<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|^{2}=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right|^{2} </math><br />
<br />
Donde es inmediato lo siguiente<br />
<br />
<math>\left(bx+dy+e\right)^{2}+\left(by-dx-f\right)^{2}=\left(b+ex-fy\right)^{2}+\left(d+fx+ey\right)^{2} </math><br />
<br />
Y despues de expander los polinomios<br />
<br />
<math>\left(e^{2}+f^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(b^{2}+d^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)=\left(b^{2}+d^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(e^{2}+f^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}\left|z\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}\left|z\right|^{2} </math> <br />
<br />
Donde <math>\left|z\right|=1</math><br />
<br />
<math>\therefore\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2} </math><br />
<br />
O tambien <br />
<br />
<math>\frac{\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}}{\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}}=1 </math><br />
<br />
Que era lo que se queria mostrar. <br />
<br />
Ahora geometricamente esto nos dice que la magnitud de la suma de<br />
dos numeros complejos es igual a la magnitud de la suma de sus conjugados.<br />
<br />
En las siguientes imagenes se muestra graficamente la interpretacion<br />
geometrica, el vector de color naranja es <math>z</math> y el azul y verde <math>a,c</math><br />
respectivamente.<br />
<br />
[[Imagen:Prueba1.jpg]][[Imagen:Prueba.jpg]]<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 14:12 9 dic 2009 (UTC)<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 19:42 21 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''10.- Probar que la funcion <math>z \rightarrow 1/z</math> es una rotacion de <math>\pi</math> radianes en la esfera de Riemann alrededor del eje x.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Las componentes del punto <math>A = (a_1,a_2,a_3)\,</math> en la esfera unitaria asociado a z son:<br />
<br />
<br />
<math>a_1 = \frac{z+\overline{z}}{|z|^2+1}, a_2 = \frac{z-\overline{z}}{i(|z|^2+1)}, a_3 = \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\,</math> <br />
<br />
<br />
Sea <math>\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> y tomando en cuenta que <math>|z| = |\overline{z}|\,</math>, entonces, las componentes del punto <math>B = (b_1,b_2,b_3)\,</math> de la esfera unitaria asociado a <math>\frac{1}{z}\,</math> son:<br />
<br />
<br />
<math>b_1 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}+\frac{z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{\overline{z}+z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\overline{z}+z}{|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}+z}{1+|z|^2} = a_1\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_2 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}-\frac{z}{|z|^2}}{i(\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i(1+|z|^2)} = -\frac{z-\overline{z}}{i(1+|z|^2)} = -a_2\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_3 = \frac{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}-1}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{1}{|z|^2}-1}{\frac{1}{|z|^2}+1} = \frac{1-|z|^2}{1+|z|^2} = -\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} = -a_3\,</math> ...<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 00:03 9 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''11.''' '''Probar que dados dos puntos''' <math>z,w \in \mathbb C</math> '''se tiene que sus proyecciones en la esfera de Riemann son antípodas si y solo si''' <math>z\bar{w} = -1</math><br />
<br />
<br />
SOLUCION.<br />
<br />
Sea <math>z \in \mathbb C \quad a,b \in \mathbb R</math> <br />
<br />
se pasa del plano complejo a la esfera de Riemann.<br />
<br />
<math>\psi: \mathbb C \rightarrow \mathbb S^2 - \lbrace e_3 \rbrace </math><br />
<br />
<math> z \mapsto (x_1 , x_2 , x_3)</math><br />
<br />
<br />
Si <math>\ z=a+ib \mapsto \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)</math> es el punto '''P''' en la esfera de Riemann.<br />
<br />
<br />
con este punto '''P''' y el centro '''C''' de la esfera se construye una recta que pase por estos puntos:<br />
<br />
<br />
Sea <math>\mathcal {L} =\ p + t\vec{v} \quad , \forall t \in \mathbb R </math> donde <math>\vec v</math>es el vector director que va de '''P''' a ''' C''' esto es <br />
<br />
<br />
<math>\vec {v} =(0,0,0)- \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) </math><br />
<br />
<br />
nuestra ecuacion de la recta queda de la siguiente manera:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\mathcal {L} =\left (\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right) + t \left (\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \quad , \forall t \in \mathbb R </math><br />
<br />
<br />
Cuando <math>\ t=0</math> tenemos a <math>\ P</math> en la esfera.<br />
<br />
cuando <math>\ t=1</math> tenemos el centro <math>\ (0,0,0)</math> de la esfera de Riemann.<br />
<br />
cuando <math>\ t=2 </math> tenemos al punto <math>\ Q</math> que es la antipoda de <math>\ p</math><br />
<br />
<br />
<math> \Rightarrow Q=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \, antipoda \quad de\quad p \quad en \quad la \quad esfera \quad de \quad Riemann </math><br />
<br />
<br />
teniendo a <math> \ Q</math> sobre la esfera de Riemann volvemos al plano complejo mediante la siguiente tranformacion:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\varphi: \mathbb S^2 -\lbrace e_3 \rbrace \rightarrow \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>Q \mapsto \frac {x_1 +ix_2}{1-x_3} </math>, que nos da un punto <math>\ w_Q \in \mathbb C</math> <br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q=\frac {x_1 +ix_2}{1-x_3}=\frac {\frac {-2a}{a^2+b^2+1} +i \frac {-2b}{a^2+b^2+1}}{1+ \frac {a^2+b^2-1}{a^2+b^2+1}} = \frac{ \frac{-2}{a^2+b^2+1}(a+ib) }{ \frac {2a^2+2b^2}{a^2+b^2+1} } = \frac {-2}{2a^2+2b^2}(a+ib) = \frac {-1}{a^2+b^2}(a+ib) </math> <br />
<br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} </math><br />
<br />
<br />
Como la proyeccion en la esfera de Riemann de <math>\ w_Q </math> es la antipoda de <math>\ z </math> se debe de cumplir que <math>z\bar{w_Q} = -1</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> z=a+ib \quad, w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} \in \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow z\bar{w_Q} =(a+ib)\left ( -\frac {a}{a^2 + b^2} +i \frac {b}{a^2+ b^2}\right )=\left ( -\frac {a^2}{a^2 + b^2} -\frac {b^2}{a^2+ b^2}\right )+i\left ( -\frac {ab}{a^2 + b^2} + \frac {ab}{a^2+ b^2}\right ) </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\left ( \frac {-(a^2+b^2)}{a^2 + b^2} \right )+i(0)=-1</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore z,w</math> son antipodas si y solo si <math>z\bar{w} = -1 \quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 15:11 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''12.'''¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la funcion <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> ?<br />
<br />
<br />
SOLUCIÓN:<br />
<br />
para la imagen notemos que <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> es continua exepto cuando <math>\ z=0</math>, por lo que su imagen es todo el plano complejo exepto el origen.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.2&diff=11839
Compleja:ej-cap1.2
2009-12-14T03:24:55Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>==EJERCICIOS 1.2.1 ==<br />
<br />
'''1.''' '''Demuestre que una una funcion''' <math>f:A\subset\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} </math> '''es continua en''' <math>{z_0}\in A</math> '''si y soló si para toda sucesión''' <math>{z_n},n\in\mathbb{N}, </math> '''tal que''' <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow\infty,</math> '''se tiene''' <math>f(z_n)\rightarrow f(z_0),</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Supongamos que <math> \ f<br />
</math> es continua en <math>\ z_0 </math> , es decir:<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad\exists \delta = \delta(\epsilon)> 0 </math> <br />
<br />
tal que <math>\quad | z - z_0 |<\delta \Rightarrow | f(z) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
y supongamos que <math>\lbrace z_n \rbrace , n\in \mathbb{N} </math> es una sucesión en <math>\ A </math> tal que <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math><br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<math>f(z_n)\rightarrow f(z_0)</math><br />
<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad \exists N = N(\epsilon)\in \mathbb N ,\quad n\geq N \Rightarrow | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
como <math>\ f</math> es continua en <math>\ z_0</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists\delta = \delta(\epsilon)>0</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow z_n \rightarrow z_0 </math><br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists M = M(\epsilon) \in \mathbb N, \quad n \geq M \Rightarrow | z_n - z_0 |< \delta </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore f(z_n) \rightarrow f(z_0)\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.''' '''Demuestre que una sucesión''' <math> \ \lbrace a_n \rbrace</math> en <math>\mathbb R^n </math> '''es de ''Cauchy'' si y sólo es convergente.<br />
<br />
'''<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Una sucesión en <math>\mathbb R^n </math> se dice que es de ''Cauchy'' si para todo <math>\epsilon >0 ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in \mathbb N </math> tal que <math>|a_m - a_n|<\epsilon , \quad \forall m,n \geq N</math> '''.'''<br />
<br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<br />
Si la sucesión es convergente, esto es si <math>\lim {a_n}=L \quad \Rightarrow \quad \forall \epsilon > 0\quad ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in\mathbb N </math><br />
<br />
<br />
tal que <math>|a_n - L|<\frac{\epsilon}{2}\quad, \quad \forall n\geq N</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow </math> si <math>m,n\geq N ,</math> se tiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ |a_m - a_n|=|a_m - L +L - a_n| \leq |a_m - L| + | L - a_n|< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}\!=\!{\epsilon} </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore \lbrace a_n \rbrace \quad es \quad de \quad Cauchy.\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
== EJERCICIOS 1.2.2 ==<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''1. Demuestre que la funcion estereográfica <math>(x_1,x_2,x_3)\to\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math> de la esfera de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.<br />
<br />
Definicion: Una funcion es suprayectiva si a un punto en la esfera<math>(x_1,x_2,x_3)</math> le corresponde uno(s) puntos dentro del plano complejo <math>\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
Una función es sobre si para toda '''y''' pertenece al Codominio <math>(f)</math> ,existe '''x''' pertenece al Dominio de <br />
<math>(f)</math> tal que <math> y = f(x)</math><br />
<br />
Notaciòn (para la demostraciòn): S= Esfera, C= punto en el plano proyectado por la esfera.<br />
<br />
Dominio<math>(f)= S</math> y el Codominio<math>(f)= C</math> y tambièn<br />
<math> C = z\epsilon\mathbb{C}:, f(z)=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
<math>z\epsilon\mathbb{C}:x_3\ne1 </math><br />
<br />
Suponga <math>\bar{x}\epsilon</math> S donde <math>\bar{x}=(x_1,x_2,x_3)</math><br />
<br />
Condicion de la esfera <math>(x_1^2+x_2^2+x_3^2=1)</math> donde <math>x_2</math> pertenece a '''i'''<br />
<br />
Ahora bien sabemos que la magnitud cuadrática <math>\bar{x}</math> es 1 <br />
<br />
<br />
<math>\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}\epsilon</math> Codominio de (f)<br />
<br />
Sea '''y''' que pertenece al Codominio de (f) donde : <math>y= ai+b</math><br />
<br />
Sea <math>a=\frac{x_1}{1-x_3}</math> y <math>b=\frac{x_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
tomando en cuenta que <math>y=f(x)</math><br />
<br />
de esta manera <math>f(x)=\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 03:09 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''2. Demuestre que si <math>z_n\rightarrow \infty.</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math>, entonces <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Como <math>z_n\rightarrow \infty.</math><br />
<math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Recordando la definiciòn del limite dado un <math>N_o</math> nos aproximamos.<br />
<math>\exists\N_o\epsilon\mathbb N+ n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> por hipótesis.<br />
<br />
P.D. <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math>, asi como también <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Ahora usando la definiciòn del limite dentro de la mètrica cordal tenemos un <math>N_o^\prime</math> donde limite se aproxima a cero cuando <math>n\rightarrow \infty.</math> <br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty) - 0 |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty)|<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
Usando la definición de la distancia cordal entre dos puntos<br />
<br />
<math>d_C(z_1,z_2)=|\pi(z_1)-\pi(z_2)|</math><br />
<br />
P.D.<math>\quad\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon </math><br />
<br />
Tomamos el lìmite descrito anteriomente.<br />
<br />
Por hipótesis <math>\quad\exists\N_o\epsilon\mathbb N</math> tal que <math>\quad n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> <br />
<br />
Sea <math>N_o</math> como antes por la continuidad de <math>\pi</math><br />
<br />
Finalmente usando la definiciòn de metrica cordal.<br />
<br />
Si <math>\quad n\geq N_o\to|\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon</math> <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 04:20 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''3. Las transformaciones de Möbius definidas en (1.4) se extienden a la esfera de Riemann <math>\hat{\mathbb{C}} </math> como sigue: si <math>c=0, T(\infty)=\infty</math>, y si <math>c\neq0, T(\infty)=\frac{a}{c}</math> y <math>T(\frac{-d}{c})=\infty</math>.Demuestre que estas funciones son continuas en dicha esfera con la metrica cordal.<br />
<br />
Transformaciones de Möbius complejas.(1.4)<br />
<math>z\to\frac{az+b}{cz+d} , ad-bc\neq0, a,b,c,d. <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
Se define la metrica cordal en el plano complejo extendido de la sig. manera.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2) = <br />
\begin{cases} <br />
\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}, & si z_1,z_2\neq\infty \\<br />
\frac{2}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}}, & si z_2=\infty. <br />
\end{cases}</math><br />
<br />
para los casos extremos.<br />
<br />
si <math>c=0, T(\infty)=\frac{az+b}{d}=\frac{a(\infty)+b}{d}=\infty.</math><br />
<br />
si <math>c\neq0, T(z)=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{z}{z}\frac{a+\frac{b}{z}}{c+\frac{d}{z}}<br />
<br />
<br />
,T(\infty)=\frac{a+\frac{b}{\infty}}{c+\frac{d}{\infty}}=\frac{a}{c}.</math><br />
<br />
<br />
<br />
si <math>T(\frac{-d}{c})=\frac{a(\frac{-d}{c})+b}{c(\frac{-d}{c})+d}=\infty.</math><br />
<br />
<br />
generalizando, para <math>z_1,z_2 \epsilon\mathbb{C}</math>, (arbitrarias).<br />
<br />
por hip.<math>c=0\therefore</math><br />
<br />
<math>T(z)=\frac{az+b}{d}=\frac{a}{d}z+\frac{b}{d}</math>.<br />
<br />
<math>\forall\epsilon>0, \exists\delta>0 </math><br />
<br />
<br />
tal que si<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_1-z_2\right|<\delta , \left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
entonces<br />
<math>\left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\left|z_1-z_2\right|\delta <\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
<math>T(z_1)-T(z_2)=\left(\frac{a}{d}z_1+\frac{b}{d}\right)-\left(\frac{a}{d}z_2+\frac{b}{d}\right)=\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)</math><br />
<br />
<br />
por <math>\left(d\left(0,x-y\right)=d\left(x,y\right)\right)</math><br />
<br />
<math>d_c\left(0,T(z_1)-T(z_2)\right)=d_c\left(0,\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)\right)=d_c\left(\frac{a}{d}z_1,\frac{a}{d}z_2\right)</math><br />
<br />
ahora si<math>z_1,z_2\ne\infty</math> y <math>\delta\approx \frac{1}{k}</math> donde <math>k=\frac{a}{d}</math><br />
<br />
con la metrica cordal.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2)=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+k^2\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+k^2\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{k^2\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<math>=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{k\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore d_c(z_1,z_2)<\epsilon</math><br />
<br />
ya q se mostro que <math>\frac{az+b}{d}</math><br />
<br />
es continua, se puede probar lo mismo para <br />
<br />
<math> c z+ d </math>.<br />
<br />
<br />
por teo. de continuidad si<br />
<br />
<math> f\left(x\right),g\left(x\right)</math> <br />
<br />
son continuas, tambien<br />
<br />
<br />
<math>\frac{f(x)}{g(x)}</math>, es continua.<br />
<br />
<br />
<math>\therefore \frac{az_1+b}{cz_2+d}</math> <br />
<br />
es continua si<br />
<br />
<math>c \ne 0</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 00:42 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4.'''Demuestre que si ''AB'' son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de Möbius ''f,g'', respectivamente, entonces la matriz ''BA'' representa la composicion ''gf'', que también es de Möbius.Concluya mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera en sí misma, y que ademas constituyen un grupo.<br />
<br />
SOLUCION:<br />
<br />
tenemos que <math>\ f, g </math> son transformaciones de Möbius<br />
<br />
<br />
<math>f(z)=\frac{a' z + b'}{c' z + d'}\quad\quad g(z)=\frac{a z + b}{c z + d}</math><br />
<br />
<br />
sean <math>\ A, B </math> las representaciones matriciales de <math>\ g, f </math> respectivamente<br />
<br />
<br />
<math>A = \begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix} \quad \quad B = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
entonces <br />
<br />
<math>BA = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}<br />
a'a + b'c & c'a + d'c \\<br />
a'b + b'd & c'b + d'd \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
<br />
entonces<br />
<br />
<math>gf=\frac{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}{(a'b + b'd)z + (c'b + d'd)}</math><br />
<br />
los elementos de la matriz ''BA'' son elementos de funciones biyectivas, entonces dicha matriz también es biyectiva, y por lo tanto ''gf'' es biyectiva y de Möbius.<br />
<br />
<br />
Por ser de Möbius es meromorfa, ahora notemos que ''gf'' es continua y que <br />
<br />
<math>\frac{1}{gf}=\frac{(a'b + b')z + (c'b + d'd)}{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}</math><br />
<br />
<br />
tambien es continua por lo que concluimos que es bicontinua.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''5.'''Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en ternas de puntos de la esfera de Riemann. Sugerencia: Dada una terna, encuentre una función de Möbius que la mande en 1, 0 e <math>o\!o</math><br />
<br />
Sea <math>(x_1,x_2,x_3)\rightarrow \frac{x_1 + ix_2}{x_3} = z_0</math><br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = \frac{(1-b)x_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
y <math> \quad c = \frac{(1-d)x_3}{x_1 + i x_2} \quad </math>; <math>ad-bc\neq0</math><br />
<br />
<br />
entonces <math> T(z) = \frac{(1-b)x_3 z + (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 z + (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<math> T(z_0) = \frac{(1-b)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3}\Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3} \Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = \frac{(1-b) (<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)(<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = 1</math><br />
<br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{b - \frac{bx_3 }{x_1 + i x_2}}{cz+d}z</math><br />
<br />
<br />
<math>T(z_0) = \frac{b - \frac{bx_3 (\frac{x_1 + ix_2}{x_3})}{x_1 + i x_2}}{cz+d} = \frac{b - b}{cz+d} = 0</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math>b\rightarrow \!oo</math><br />
<br />
<br />
entonces <math>T(z_0) = \!oo</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''6.'''Pruede que las transformaciones de Möbius son composición de algunas de las siguientes funciones: rotaciones, traslaciones, homotecias, y <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math>. Concluya mostrando que las transformaciones de Möbius preservan la familia de circulos y rectas.<br />
<br />
Considere la Transformación de Möbius.<br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
<br />
Sea <math>a = 1,\quad c = 0, \quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = z+b \qquad </math> entonces <math>T(z)</math>es una traslación. <br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad b = c = 0,\quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math>T(z) = az</math> entonces '''T(z)''' es una rotación por '''arg(a)''' y por una amplificación <math>\big |a\big |</math>.<br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad a = d = 0, \quad b = c = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<math> T(z) = \frac{1}{z}\qquad</math> entonces '''T(z)''' es una inversión.<br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 23:28 26 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''7. Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en la familia de círculos y rectas.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Puesto que una transformación del tipo <math>w=\frac{1}{z} </math> aplica en circunferencias y rectas, y como las rotaciones, los cambios de escala y las translaciones preservan rectas y circunferencias. Dicha transformación bilineal o de Möbius aplica en círculos y rectas.<br />
<br />
<br />
Un círculo en <math>{S^2}</math> es la intersección de un plano con la esfera, por lo cual satiface la siguiente ecuación:<br />
<br />
<br />
<math>ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\,\!</math><br />
<br />
<br />
Tenemos que<br />
<br />
<br />
<math> x_1=\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_2=\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_3=\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto, este círculo es la imagen bajo la proyección esterografica, cuyos puntos satisfacen la siguiente ecuación en el plano: <br />
<br />
<br />
<br />
<math>a\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )+b\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )+c\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)=d </math><br />
<br />
<br />
Escribiendo <math>z = x+iy\,\!</math>, se tiene<br />
<br />
<br />
<math> x^2+y^2-\frac{2a}{d-c}x-\frac{2by}{d-c}=1 </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( d-c \right )-2ax-2by =d-c </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( c-d \right )+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )c -\left ( x^2+y^2 \right )d+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2-1 \right )c -\left ( x^2+y^2+1 \right )d+2ax+2by =0 </math><br />
<br />
<br />
finalmente se tiene que<br />
<br />
<br />
<math>2ax + 2by + c(x^2+y^2-1) = d(x^2+y^2+1)\,\!</math>,<br />
<br />
<br />
que biene siendo la ecuación de una recta o un círculo, dependiendo si <math>d=c\,\!</math>, o si <math>d\ne c\,\!</math>.<br />
<br />
<br />
'''De otra manera:'''<br />
<br />
<br />
Puesto que <math>x+iy=z=\frac{1}{w} =\frac{\overline{w}}{|w|^2}=\frac{u}{u^2+v^2}-i\frac{v}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>x=\frac{u}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
<math>y=-\frac{v}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
Por tanto, la imagen de <math>\ f(x,y)=0</math> es<br />
<br />
<br />
<br />
<math>f\left ( \frac{u}{u^2+v^2},-\frac{v}{u^2+v^2}\right )=0</math>.<br />
<br />
<br />
Sabemos que el lugar geométrico de toda sección cónica viene dado por<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ f(x,y)=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0</math><br />
<br />
<br />
Esta ecuación representa una sircunferencia si <math>\ B=0</math> y A=C\ne 0</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 16:08 22 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''8.- Demuestre de dos maneras que el lugar de los puntos que cumplen la ecuación <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> <math> ,k\in\mathbb{R}^{+},a,b\in\mathbb{C},a\neq b</math> constituye una recta o un círculo (llamado de Apolonio).'''<br />
<br />
'''Solución'''<br />
<br />
Sea <br />
<br />
<math>z = x+iy\,\!, a = u+iv, b = c+id</math><br />
<br />
<br />
<br />
Entonces <br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|^{2}=k^{2}\left|z-b\right|^{2}</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left(x-u\right)^{2}+\left(y-v\right)^{2}=k\left(\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}\right)</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>x^2-2xu+u^2+y^2-2yv+v^2=kx^2-2kxc+c^2+ky^2-2kyd+kd^2\,\!</math> </center><br />
<br />
<br />
Si agrupamos esta expresión se tiene:<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(1-k\right)-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right) \qquad (I)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Si <math>k=1</math> se tiene la ecuación de una recta, es decir:<br />
<br />
<br />
<center><math>-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=c^{2}+d^{2}-\left(u^{2}+v^{2}\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Ahora para <math>k\neq1</math> la ecuación <math>\left(I\right)</math> al multiplicarla por<br />
<math>\frac{1}{\left(1-k\right)}<br />
</math> toma la forma:<br />
<br />
<br />
<center><math>\frac{}{}<br />
\left(x^{2}+y^{2}\right)-\frac{2x\left(u-kc\right)}{\left(1-k\right)}-\frac{2y\left(v-kd\right)}{\left(1-k\right)}=\frac{k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)}{\left(1-k\right)}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si completamos los cuadrados (más un poco de álgebra) de esta ultima expresión se obtiene lo<br />
siguiente<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\left(\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}+\frac{1}{1-k}\left(k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\frac{k}{\left(1-k\right)^{2}}\left(\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
lo cual es la ecuación de un círculo con centro <br />
<math>\left(\frac{u-kc}{1-k}\,,\,\frac{v-kd}{1-k}\right)</math><br />
y cuyo radio es <br />
<math>\frac{\sqrt{k}}{\left|1-k\right|}\sqrt{\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Otro método.<br />
<br />
<center><math><br />
\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(z-a\right)\left(\overline{z}-\overline{a}\right)=k\left(z-b\right)\left(\overline{z}-\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}-a\overline{z}-\overline{a}z+a\overline{a}=k\left(z\overline{z}-b\overline{z}-\overline{b}z+b\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
agrupando tenemos<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)-a\overline{z}-\overline{a}z+kb\overline{z}+k\overline{b}z=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)+\overline{z}\left(kb-a\right)+z\left(k\overline{b}-\overline{a}\right)=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio<math> A=\left(1-k\right), B=\left(kb-a\right),\overline{B}=\left(k\overline{b}-\overline{a}\right), C=kb\overline{b}-a\overline{a}\!,</math> , la anterior ecuación se escribe como<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
Az\overline{z}+B\overline{z}+\overline{B}z=C</math></center><br />
<br />
<br />
si <math> A=0</math> (entonces <math>k=1</math>) se tiene la ecución de una recta, si <math>A</math> es distinto<br />
de cero (entonces k es distinto de 1) y se tiene la ecuación de una<br />
circunferencia.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 01:46 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
'''9.- Sean <math>a,c</math> complejos, tal que no son ambos nulos, probar que<br />
<math>\left|\frac{\bar{a}z+\bar{c}}{cz+a}\right|=1</math>, si <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
Interpretar geometricamente.'''<br />
<br />
<br />
Sean <math> a=b+id , c=e+if , z=x+iy </math>.<br />
Entonces sustituyendo esto se tiene la siguiente expresión:<br />
<br />
<math>\left|\frac{\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)}{\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)}\right|=1 </math><br />
<br />
Por propiedades de la norma se sigue que<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|}{\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right|}=1 </math><br />
<br />
Y multiplicando ambos lados por el denominador llegamos a que<br />
<br />
<math>\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|=\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right| </math><br />
<br />
Desarrollando los producto y las operaciones para poder agrupar terminos se llega a<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right| </math><br />
<br />
Elevando al cuadrado para tener el cuadrado de la norma tenemos que<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|^{2}=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right|^{2} </math><br />
<br />
Donde es inmediato lo siguiente<br />
<br />
<math>\left(bx+dy+e\right)^{2}+\left(by-dx-f\right)^{2}=\left(b+ex-fy\right)^{2}+\left(d+fx+ey\right)^{2} </math><br />
<br />
Y despues de expander los polinomios<br />
<br />
<math>\left(e^{2}+f^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(b^{2}+d^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)=\left(b^{2}+d^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(e^{2}+f^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}\left|z\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}\left|z\right|^{2} </math> <br />
<br />
Donde <math>\left|z\right|=1</math><br />
<br />
<math>\therefore\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2} </math><br />
<br />
O tambien <br />
<br />
<math>\frac{\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}}{\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}}=1 </math><br />
<br />
Que era lo que se queria mostrar. <br />
<br />
Ahora geometricamente esto nos dice que la magnitud de la suma de<br />
dos numeros complejos es igual a la magnitud de la suma de sus conjugados.<br />
<br />
En las siguientes imagenes se muestra graficamente la interpretacion<br />
geometrica, el vector de color naranja es <math>z</math> y el azul y verde <math>a,c</math><br />
respectivamente.<br />
<br />
[[Imagen:Prueba1.jpg]][[Imagen:Prueba.jpg]]<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 14:12 9 dic 2009 (UTC)<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 19:42 21 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''10.- Probar que la funcion <math>z \rightarrow 1/z</math> es una rotacion de <math>\pi</math> radianes en la esfera de Riemann alrededor del eje x.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Las componentes del punto <math>A = (a_1,a_2,a_3)\,</math> en la esfera unitaria asociado a z son:<br />
<br />
<br />
<math>a_1 = \frac{z+\overline{z}}{|z|^2+1}, a_2 = \frac{z-\overline{z}}{i(|z|^2+1)}, a_3 = \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\,</math> <br />
<br />
<br />
Sea <math>\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> y tomando en cuenta que <math>|z| = |\overline{z}|\,</math>, entonces, las componentes del punto <math>B = (b_1,b_2,b_3)\,</math> de la esfera unitaria asociado a <math>\frac{1}{z}\,</math> son:<br />
<br />
<br />
<math>b_1 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}+\frac{z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{\overline{z}+z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\overline{z}+z}{|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}+z}{1+|z|^2} = a_1\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_2 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}-\frac{z}{|z|^2}}{i(\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i(1+|z|^2)} = -\frac{z-\overline{z}}{i(1+|z|^2)} = -a_2\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_3 = \frac{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}-1}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{1}{|z|^2}-1}{\frac{1}{|z|^2}+1} = \frac{1-|z|^2}{1+|z|^2} = -\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} = -a_3\,</math> ...<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 00:03 9 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''11.''' '''Probar que dados dos puntos''' <math>z,w \in \mathbb C</math> '''se tiene que sus proyecciones en la esfera de Riemann son antípodas si y solo si''' <math>z\bar{w} = -1</math><br />
<br />
<br />
SOLUCION.<br />
<br />
Sea <math>z \in \mathbb C \quad a,b \in \mathbb R</math> <br />
<br />
se pasa del plano complejo a la esfera de Riemann.<br />
<br />
<math>\psi: \mathbb C \rightarrow \mathbb S^2 - \lbrace e_3 \rbrace </math><br />
<br />
<math> z \mapsto (x_1 , x_2 , x_3)</math><br />
<br />
<br />
Si <math>\ z=a+ib \mapsto \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)</math> es el punto '''P''' en la esfera de Riemann.<br />
<br />
<br />
con este punto '''P''' y el centro '''C''' de la esfera se construye una recta que pase por estos puntos:<br />
<br />
<br />
Sea <math>\mathcal {L} =\ p + t\vec{v} \quad , \forall t \in \mathbb R </math> donde <math>\vec v</math>es el vector director que va de '''P''' a ''' C''' esto es <br />
<br />
<br />
<math>\vec {v} =(0,0,0)- \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) </math><br />
<br />
<br />
nuestra ecuacion de la recta queda de la siguiente manera:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\mathcal {L} =\left (\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right) + t \left (\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \quad , \forall t \in \mathbb R </math><br />
<br />
<br />
Cuando <math>\ t=0</math> tenemos a <math>\ P</math> en la esfera.<br />
<br />
cuando <math>\ t=1</math> tenemos el centro <math>\ (0,0,0)</math> de la esfera de Riemann.<br />
<br />
cuando <math>\ t=2 </math> tenemos al punto <math>\ Q</math> que es la antipoda de <math>\ p</math><br />
<br />
<br />
<math> \Rightarrow Q=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \, antipoda \quad de\quad p \quad en \quad la \quad esfera \quad de \quad Riemann </math><br />
<br />
<br />
teniendo a <math> \ Q</math> sobre la esfera de Riemann volvemos al plano complejo mediante la siguiente tranformacion:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\varphi: \mathbb S^2 -\lbrace e_3 \rbrace \rightarrow \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>Q \mapsto \frac {x_1 +ix_2}{1-x_3} </math>, que nos da un punto <math>\ w_Q \in \mathbb C</math> <br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q=\frac {x_1 +ix_2}{1-x_3}=\frac {\frac {-2a}{a^2+b^2+1} +i \frac {-2b}{a^2+b^2+1}}{1+ \frac {a^2+b^2-1}{a^2+b^2+1}} = \frac{ \frac{-2}{a^2+b^2+1}(a+ib) }{ \frac {2a^2+2b^2}{a^2+b^2+1} } = \frac {-2}{2a^2+2b^2}(a+ib) = \frac {-1}{a^2+b^2}(a+ib) </math> <br />
<br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} </math><br />
<br />
<br />
Como la proyeccion en la esfera de Riemann de <math>\ w_Q </math> es la antipoda de <math>\ z </math> se debe de cumplir que <math>z\bar{w_Q} = -1</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> z=a+ib \quad, w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} \in \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow z\bar{w_Q} =(a+ib)\left ( -\frac {a}{a^2 + b^2} +i \frac {b}{a^2+ b^2}\right )=\left ( -\frac {a^2}{a^2 + b^2} -\frac {b^2}{a^2+ b^2}\right )+i\left ( -\frac {ab}{a^2 + b^2} + \frac {ab}{a^2+ b^2}\right ) </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\left ( \frac {-(a^2+b^2)}{a^2 + b^2} \right )+i(0)=-1</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore z,w</math> son antipodas si y solo si <math>z\bar{w} = -1 \quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 15:11 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''12.'''¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la funcion <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> ?<br />
<br />
<br />
SOLUCIÓN:<br />
<br />
para la imagen notemos que <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> es continua exepto cuando <math>\ z=0</math>, por lo que su imagen es todo el plano complejo exepto el origen.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.2&diff=11838
Compleja:ej-cap1.2
2009-12-14T03:20:10Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>==EJERCICIOS 1.2.1 ==<br />
<br />
'''1.''' '''Demuestre que una una funcion''' <math>f:A\subset\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} </math> '''es continua en''' <math>{z_0}\in A</math> '''si y soló si para toda sucesión''' <math>{z_n},n\in\mathbb{N}, </math> '''tal que''' <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow\infty,</math> '''se tiene''' <math>f(z_n)\rightarrow f(z_0),</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Supongamos que <math> \ f<br />
</math> es continua en <math>\ z_0 </math> , es decir:<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad\exists \delta = \delta(\epsilon)> 0 </math> <br />
<br />
tal que <math>\quad | z - z_0 |<\delta \Rightarrow | f(z) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
y supongamos que <math>\lbrace z_n \rbrace , n\in \mathbb{N} </math> es una sucesión en <math>\ A </math> tal que <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math><br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<math>f(z_n)\rightarrow f(z_0)</math><br />
<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad \exists N = N(\epsilon)\in \mathbb N ,\quad n\geq N \Rightarrow | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
como <math>\ f</math> es continua en <math>\ z_0</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists\delta = \delta(\epsilon)>0</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow z_n \rightarrow z_0 </math><br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists M = M(\epsilon) \in \mathbb N, \quad n \geq M \Rightarrow | z_n - z_0 |< \delta </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore f(z_n) \rightarrow f(z_0)\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.''' '''Demuestre que una sucesión''' <math> \ \lbrace a_n \rbrace</math> en <math>\mathbb R^n </math> '''es de ''Cauchy'' si y sólo es convergente.<br />
<br />
'''<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Una sucesión en <math>\mathbb R^n </math> se dice que es de ''Cauchy'' si para todo <math>\epsilon >0 ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in \mathbb N </math> tal que <math>|a_m - a_n|<\epsilon , \quad \forall m,n \geq N</math> '''.'''<br />
<br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<br />
Si la sucesión es convergente, esto es si <math>\lim {a_n}=L \quad \Rightarrow \quad \forall \epsilon > 0\quad ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in\mathbb N </math><br />
<br />
<br />
tal que <math>|a_n - L|<\frac{\epsilon}{2}\quad, \quad \forall n\geq N</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow </math> si <math>m,n\geq N ,</math> se tiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ |a_m - a_n|=|a_m - L +L - a_n| \leq |a_m - L| + | L - a_n|< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}\!=\!{\epsilon} </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore \lbrace a_n \rbrace \quad es \quad de \quad Cauchy.\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
== EJERCICIOS 1.2.2 ==<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''1. Demuestre que la funcion estereográfica <math>(x_1,x_2,x_3)\to\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math> de la esfera de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.<br />
<br />
Definicion: Una funcion es suprayectiva si a un punto en la esfera<math>(x_1,x_2,x_3)</math> le corresponde uno(s) puntos dentro del plano complejo <math>\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
Una función es sobre si para toda '''y''' pertenece al Codominio <math>(f)</math> ,existe '''x''' pertenece al Dominio de <br />
<math>(f)</math> tal que <math> y = f(x)</math><br />
<br />
Notaciòn (para la demostraciòn): S= Esfera, C= punto en el plano proyectado por la esfera.<br />
<br />
Dominio<math>(f)= S</math> y el Codominio<math>(f)= C</math> y tambièn<br />
<math> C = z\epsilon\mathbb{C}:, f(z)=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
<math>z\epsilon\mathbb{C}:x_3\ne1 </math><br />
<br />
Suponga <math>\bar{x}\epsilon</math> S donde <math>\bar{x}=(x_1,x_2,x_3)</math><br />
<br />
Condicion de la esfera <math>(x_1^2+x_2^2+x_3^2=1)</math> donde <math>x_2</math> pertenece a '''i'''<br />
<br />
Ahora bien sabemos que la magnitud cuadrática <math>\bar{x}</math> es 1 <br />
<br />
<br />
<math>\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}\epsilon</math> Codominio de (f)<br />
<br />
Sea '''y''' que pertenece al Codominio de (f) donde : <math>y= ai+b</math><br />
<br />
Sea <math>a=\frac{x_1}{1-x_3}</math> y <math>b=\frac{x_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
tomando en cuenta que <math>y=f(x)</math><br />
<br />
de esta manera <math>f(x)=\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 03:09 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''2. Demuestre que si <math>z_n\rightarrow \infty.</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math>, entonces <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Como <math>z_n\rightarrow \infty.</math><br />
<math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Recordando la definiciòn del limite dado un <math>N_o</math> nos aproximamos.<br />
<math>\exists\N_o\epsilon\mathbb N+ n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> por hipótesis.<br />
<br />
P.D. <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math>, asi como también <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Ahora usando la definiciòn del limite dentro de la mètrica cordal tenemos un <math>N_o^\prime</math> donde limite se aproxima a cero cuando <math>n\rightarrow \infty.</math> <br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty) - 0 |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty)|<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
Usando la definición de la distancia cordal entre dos puntos<br />
<br />
<math>d_C(z_1,z_2)=|\pi(z_1)-\pi(z_2)|</math><br />
<br />
P.D.<math>\quad\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon </math><br />
<br />
Tomamos el lìmite descrito anteriomente.<br />
<br />
Por hipótesis <math>\quad\exists\N_o\epsilon\mathbb N</math> tal que <math>\quad n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> <br />
<br />
Sea <math>N_o</math> como antes por la continuidad de <math>\pi</math><br />
<br />
Finalmente usando la definiciòn de metrica cordal.<br />
<br />
Si <math>\quad n\geq N_o\to|\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon</math> <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 04:20 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''3. Las transformaciones de Möbius definidas en (1.4) se extienden a la esfera de Riemann <math>\hat{\mathbb{C}} </math> como sigue: si <math>c=0, T(\infty)=\infty</math>, y si <math>c\neq0, T(\infty)=\frac{a}{c}</math> y <math>T(\frac{-d}{c})=\infty</math>.Demuestre que estas funciones son continuas en dicha esfera con la metrica cordal.<br />
<br />
Transformaciones de Möbius complejas.(1.4)<br />
<math>z\to\frac{az+b}{cz+d} , ad-bc\neq0, a,b,c,d. <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
Se define la metrica cordal en el plano complejo extendido de la sig. manera.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2) = <br />
\begin{cases} <br />
\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}, & si z_1,z_2\neq\infty \\<br />
\frac{2}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}}, & si z_2=\infty. <br />
\end{cases}</math><br />
<br />
para los casos extremos.<br />
<br />
si <math>c=0, T(\infty)=\frac{az+b}{d}=\frac{a(\infty)+b}{d}=\infty.</math><br />
<br />
si <math>c\neq0, T(z)=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{z}{z}\frac{a+\frac{b}{z}}{c+\frac{d}{z}}<br />
<br />
<br />
,T(\infty)=\frac{a+\frac{b}{\infty}}{c+\frac{d}{\infty}}=\frac{a}{c}.</math><br />
<br />
<br />
<br />
si <math>T(\frac{-d}{c})=\frac{a(\frac{-d}{c})+b}{c(\frac{-d}{c})+d}=\infty.</math><br />
<br />
<br />
generalizando, para <math>z_1,z_2 \epsilon\mathbb{C}</math>, (arbitrarias).<br />
<br />
por hip.<math>c=0\therefore</math><br />
<br />
<math>T(z)=\frac{az+b}{d}=\frac{a}{d}z+\frac{b}{d}</math>.<br />
<br />
<math>\forall\epsilon>0, \exists\delta>0 </math><br />
<br />
<br />
tal que si<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_1-z_2\right|<\delta , \left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
entonces<br />
<math>\left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\left|z_1-z_2\right|\delta <\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
<math>T(z_1)-T(z_2)=\left(\frac{a}{d}z_1+\frac{b}{d}\right)-\left(\frac{a}{d}z_2+\frac{b}{d}\right)=\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)</math><br />
<br />
<br />
por <math>\left(d\left(0,x-y\right)=d\left(x,y\right)\right)</math><br />
<br />
<math>d_c\left(0,T(z_1)-T(z_2)\right)=d_c\left(0,\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)\right)=d_c\left(\frac{a}{d}z_1,\frac{a}{d}z_2\right)</math><br />
<br />
ahora si<math>z_1,z_2\ne\infty</math> y <math>\delta\approx \frac{1}{k}</math> donde <math>k=\frac{a}{d}</math><br />
<br />
con la metrica cordal.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2)=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+k^2\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+k^2\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{k^2\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<math>=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{k\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore d_c(z_1,z_2)<\epsilon</math><br />
<br />
ya q se mostro que <math>\frac{az+b}{d}</math><br />
<br />
es continua, se puede probar lo mismo para <br />
<br />
<math> c z+ d </math>.<br />
<br />
<br />
por teo. de continuidad si<br />
<br />
<math> f\left(x\right),g\left(x\right)</math> <br />
<br />
son continuas, tambien<br />
<br />
<br />
<math>\frac{f(x)}{g(x)}</math>, es continua.<br />
<br />
<br />
<math>\therefore \frac{az_1+b}{cz_2+d}</math> <br />
<br />
es continua si<br />
<br />
<math>c \ne 0</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 00:42 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4.'''Demuestre que si ''AB'' son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de Möbius ''f,g'', respectivamente, entonces la matriz ''BA'' representa la composicion ''gf'', que también es de Möbius.Concluya mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera en sí misma, y que ademas constituyen un grupo.<br />
<br />
SOLUCION:<br />
<br />
tenemos que <math>\ f, g </math> son transformaciones de Möbius<br />
<br />
<br />
<math>f(z)=\frac{a' z + b'}{c' z + d'}\quad\quad g(z)=\frac{a z + b}{c z + d}</math><br />
<br />
<br />
sean <math>\ A, B </math> las representaciones matriciales de <math>\ g, f </math> respectivamente<br />
<br />
<br />
<math>A = \begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix} \quad \quad B = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
entonces <br />
<br />
<math>BA = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}<br />
a'a + b'c & c'a + d'c \\<br />
a'b + b'd & c'b + d'd \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
<br />
entonces<br />
<br />
<math>gf=\frac{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}{(a'b + b'd)z + (c'b + d'd)}</math><br />
<br />
los elementos de la matriz ''BA'' son elementos de funciones biyectivas, entonces dicha matriz también es biyectiva, y por lo tanto ''gf'' es biyectiva y de Möbius.<br />
<br />
<br />
Por ser de Möbius es meromorfa, ahora notemos que ''gf'' es continua y que <br />
<br />
<math>\frac{1}{gf}=\frac{(a'b + b')z + (c'b + d'd)}{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}</math><br />
<br />
<br />
tambien es continua por lo que concluimos que es bicontinua.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''5.'''Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en ternas de puntos de la esfera de Riemann. Sugerencia: Dada una terna, encuentre una función de Möbius que la mande en 1, 0 e <math>o\!o</math><br />
<br />
Sea <math>(x_1,x_2,x_3)\rightarrow \frac{x_1 + ix_2}{x_3} = z_0</math><br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = \frac{(1-b)x_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
y <math> \quad c = \frac{(1-d)x_3}{x_1 + i x_2} \quad </math>; <math>ad-bc\neq0</math><br />
<br />
<br />
entonces <math> T(z) = \frac{(1-b)x_3 z + (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 z + (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<math> T(z_0) = \frac{(1-b)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3}\Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3} \Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = \frac{(1-b) (<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)(<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = 1</math><br />
<br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{b - \frac{bx_3 }{x_1 + i x_2}}{cz+d}z</math><br />
<br />
<br />
<math>T(z_0) = \frac{b - \frac{bx_3 (\frac{x_1 + ix_2}{x_3})}{x_1 + i x_2}}{cz+d} = \frac{b - b}{cz+d} = 0</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math>b\rightarrow \!oo</math><br />
<br />
<br />
entonces <math>T(z_0) = \!oo</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''6.'''Pruede que las transformaciones de Möbius son composición de algunas de las siguientes funciones: rotaciones, traslaciones, homotecias, y <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math>. Concluya mostrando que las transformaciones de Möbius preservan la familia de circulos y rectas.<br />
<br />
Considere la Transformación de Möbius.<br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
<br />
Sea <math>a = 1,\quad c = 0, \quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = z+b \qquad </math> entonces <math>T(z)</math>es una traslación. <br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad b = c = 0,\quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math>T(z) = az</math> entonces '''T(z)''' es una rotación por '''arg(a)''' y por una amplificación <math>\big |a\big |</math>.<br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad a = d = 0, \quad b = c = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<math> T(z) = \frac{1}{z}\qquad</math> entonces '''T(z)''' es una inversión.<br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 23:28 26 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''7. Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en la familia de círculos y rectas.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Puesto que una transformación del tipo <math>w=\frac{1}{z} </math> aplica en circunferencias y rectas, y como las rotaciones, los cambios de escala y las translaciones preservan rectas y circunferencias. Dicha transformación bilineal o de Möbius aplica en círculos y rectas.<br />
<br />
<br />
Un círculo en <math>{S^2}</math> es la intersección de un plano con la esfera, por lo cual satiface la siguiente ecuación:<br />
<br />
<br />
<math>ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\,\!</math><br />
<br />
<br />
Tenemos que<br />
<br />
<br />
<math> x_1=\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_2=\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_3=\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto, este círculo es la imagen bajo la proyección esterografica, cuyos puntos satisfacen la siguiente ecuación en el plano: <br />
<br />
<br />
<br />
<math>a\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )+b\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )+c\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)=d </math><br />
<br />
<br />
Escribiendo <math>z = x+iy\,\!</math>, se tiene<br />
<br />
<br />
<math> x^2+y^2-\frac{2a}{d-c}x-\frac{2by}{d-c}=1 </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( d-c \right )-2ax-2by =d-c </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( c-d \right )+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )c -\left ( x^2+y^2 \right )d+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2-1 \right )c -\left ( x^2+y^2+1 \right )d+2ax+2by =0 </math><br />
<br />
<br />
finalmente se tiene que<br />
<br />
<br />
<math>2ax + 2by + c(x^2+y^2-1) = d(x^2+y^2+1)\,\!</math>,<br />
<br />
<br />
que biene siendo la ecuación de una recta o un círculo, dependiendo si <math>d=c\,\!</math>, o si <math>d\ne c\,\!</math>.<br />
<br />
<br />
'''De otra manera:'''<br />
<br />
<br />
Puesto que <math>x+iy=z=\frac{1}{w} =\frac{\overline{w}}{|w|^2}=\frac{u}{u^2+v^2}-i\frac{v}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>x=\frac{u}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
<math>y=-\frac{v}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
Por tanto, la imagen de <math>\ f(x,y)=0</math> es<br />
<br />
<br />
<br />
<math>f\left ( \frac{u}{u^2+v^2},-\frac{v}{u^2+v^2}\right )=0</math>.<br />
<br />
<br />
Sabemos que el lugar geométrico de toda sección cónica viene dado por<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ f(x,y)=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 16:08 22 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''8.- Demuestre de dos maneras que el lugar de los puntos que cumplen la ecuación <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> <math> ,k\in\mathbb{R}^{+},a,b\in\mathbb{C},a\neq b</math> constituye una recta o un círculo (llamado de Apolonio).'''<br />
<br />
'''Solución'''<br />
<br />
Sea <br />
<br />
<math>z = x+iy\,\!, a = u+iv, b = c+id</math><br />
<br />
<br />
<br />
Entonces <br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|^{2}=k^{2}\left|z-b\right|^{2}</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left(x-u\right)^{2}+\left(y-v\right)^{2}=k\left(\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}\right)</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>x^2-2xu+u^2+y^2-2yv+v^2=kx^2-2kxc+c^2+ky^2-2kyd+kd^2\,\!</math> </center><br />
<br />
<br />
Si agrupamos esta expresión se tiene:<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(1-k\right)-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right) \qquad (I)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Si <math>k=1</math> se tiene la ecuación de una recta, es decir:<br />
<br />
<br />
<center><math>-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=c^{2}+d^{2}-\left(u^{2}+v^{2}\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Ahora para <math>k\neq1</math> la ecuación <math>\left(I\right)</math> al multiplicarla por<br />
<math>\frac{1}{\left(1-k\right)}<br />
</math> toma la forma:<br />
<br />
<br />
<center><math>\frac{}{}<br />
\left(x^{2}+y^{2}\right)-\frac{2x\left(u-kc\right)}{\left(1-k\right)}-\frac{2y\left(v-kd\right)}{\left(1-k\right)}=\frac{k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)}{\left(1-k\right)}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si completamos los cuadrados (más un poco de álgebra) de esta ultima expresión se obtiene lo<br />
siguiente<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\left(\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}+\frac{1}{1-k}\left(k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\frac{k}{\left(1-k\right)^{2}}\left(\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
lo cual es la ecuación de un círculo con centro <br />
<math>\left(\frac{u-kc}{1-k}\,,\,\frac{v-kd}{1-k}\right)</math><br />
y cuyo radio es <br />
<math>\frac{\sqrt{k}}{\left|1-k\right|}\sqrt{\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Otro método.<br />
<br />
<center><math><br />
\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(z-a\right)\left(\overline{z}-\overline{a}\right)=k\left(z-b\right)\left(\overline{z}-\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}-a\overline{z}-\overline{a}z+a\overline{a}=k\left(z\overline{z}-b\overline{z}-\overline{b}z+b\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
agrupando tenemos<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)-a\overline{z}-\overline{a}z+kb\overline{z}+k\overline{b}z=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)+\overline{z}\left(kb-a\right)+z\left(k\overline{b}-\overline{a}\right)=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio<math> A=\left(1-k\right), B=\left(kb-a\right),\overline{B}=\left(k\overline{b}-\overline{a}\right), C=kb\overline{b}-a\overline{a}\!,</math> , la anterior ecuación se escribe como<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
Az\overline{z}+B\overline{z}+\overline{B}z=C</math></center><br />
<br />
<br />
si <math> A=0</math> (entonces <math>k=1</math>) se tiene la ecución de una recta, si <math>A</math> es distinto<br />
de cero (entonces k es distinto de 1) y se tiene la ecuación de una<br />
circunferencia.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 01:46 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
'''9.- Sean <math>a,c</math> complejos, tal que no son ambos nulos, probar que<br />
<math>\left|\frac{\bar{a}z+\bar{c}}{cz+a}\right|=1</math>, si <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
Interpretar geometricamente.'''<br />
<br />
<br />
Sean <math> a=b+id , c=e+if , z=x+iy </math>.<br />
Entonces sustituyendo esto se tiene la siguiente expresión:<br />
<br />
<math>\left|\frac{\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)}{\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)}\right|=1 </math><br />
<br />
Por propiedades de la norma se sigue que<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|}{\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right|}=1 </math><br />
<br />
Y multiplicando ambos lados por el denominador llegamos a que<br />
<br />
<math>\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|=\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right| </math><br />
<br />
Desarrollando los producto y las operaciones para poder agrupar terminos se llega a<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right| </math><br />
<br />
Elevando al cuadrado para tener el cuadrado de la norma tenemos que<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|^{2}=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right|^{2} </math><br />
<br />
Donde es inmediato lo siguiente<br />
<br />
<math>\left(bx+dy+e\right)^{2}+\left(by-dx-f\right)^{2}=\left(b+ex-fy\right)^{2}+\left(d+fx+ey\right)^{2} </math><br />
<br />
Y despues de expander los polinomios<br />
<br />
<math>\left(e^{2}+f^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(b^{2}+d^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)=\left(b^{2}+d^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(e^{2}+f^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}\left|z\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}\left|z\right|^{2} </math> <br />
<br />
Donde <math>\left|z\right|=1</math><br />
<br />
<math>\therefore\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2} </math><br />
<br />
O tambien <br />
<br />
<math>\frac{\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}}{\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}}=1 </math><br />
<br />
Que era lo que se queria mostrar. <br />
<br />
Ahora geometricamente esto nos dice que la magnitud de la suma de<br />
dos numeros complejos es igual a la magnitud de la suma de sus conjugados.<br />
<br />
En las siguientes imagenes se muestra graficamente la interpretacion<br />
geometrica, el vector de color naranja es <math>z</math> y el azul y verde <math>a,c</math><br />
respectivamente.<br />
<br />
[[Imagen:Prueba1.jpg]][[Imagen:Prueba.jpg]]<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 14:12 9 dic 2009 (UTC)<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 19:42 21 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''10.- Probar que la funcion <math>z \rightarrow 1/z</math> es una rotacion de <math>\pi</math> radianes en la esfera de Riemann alrededor del eje x.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Las componentes del punto <math>A = (a_1,a_2,a_3)\,</math> en la esfera unitaria asociado a z son:<br />
<br />
<br />
<math>a_1 = \frac{z+\overline{z}}{|z|^2+1}, a_2 = \frac{z-\overline{z}}{i(|z|^2+1)}, a_3 = \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\,</math> <br />
<br />
<br />
Sea <math>\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> y tomando en cuenta que <math>|z| = |\overline{z}|\,</math>, entonces, las componentes del punto <math>B = (b_1,b_2,b_3)\,</math> de la esfera unitaria asociado a <math>\frac{1}{z}\,</math> son:<br />
<br />
<br />
<math>b_1 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}+\frac{z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{\overline{z}+z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\overline{z}+z}{|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}+z}{1+|z|^2} = a_1\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_2 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}-\frac{z}{|z|^2}}{i(\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i(1+|z|^2)} = -\frac{z-\overline{z}}{i(1+|z|^2)} = -a_2\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_3 = \frac{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}-1}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{1}{|z|^2}-1}{\frac{1}{|z|^2}+1} = \frac{1-|z|^2}{1+|z|^2} = -\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} = -a_3\,</math> ...<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 00:03 9 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''11.''' '''Probar que dados dos puntos''' <math>z,w \in \mathbb C</math> '''se tiene que sus proyecciones en la esfera de Riemann son antípodas si y solo si''' <math>z\bar{w} = -1</math><br />
<br />
<br />
SOLUCION.<br />
<br />
Sea <math>z \in \mathbb C \quad a,b \in \mathbb R</math> <br />
<br />
se pasa del plano complejo a la esfera de Riemann.<br />
<br />
<math>\psi: \mathbb C \rightarrow \mathbb S^2 - \lbrace e_3 \rbrace </math><br />
<br />
<math> z \mapsto (x_1 , x_2 , x_3)</math><br />
<br />
<br />
Si <math>\ z=a+ib \mapsto \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)</math> es el punto '''P''' en la esfera de Riemann.<br />
<br />
<br />
con este punto '''P''' y el centro '''C''' de la esfera se construye una recta que pase por estos puntos:<br />
<br />
<br />
Sea <math>\mathcal {L} =\ p + t\vec{v} \quad , \forall t \in \mathbb R </math> donde <math>\vec v</math>es el vector director que va de '''P''' a ''' C''' esto es <br />
<br />
<br />
<math>\vec {v} =(0,0,0)- \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) </math><br />
<br />
<br />
nuestra ecuacion de la recta queda de la siguiente manera:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\mathcal {L} =\left (\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right) + t \left (\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \quad , \forall t \in \mathbb R </math><br />
<br />
<br />
Cuando <math>\ t=0</math> tenemos a <math>\ P</math> en la esfera.<br />
<br />
cuando <math>\ t=1</math> tenemos el centro <math>\ (0,0,0)</math> de la esfera de Riemann.<br />
<br />
cuando <math>\ t=2 </math> tenemos al punto <math>\ Q</math> que es la antipoda de <math>\ p</math><br />
<br />
<br />
<math> \Rightarrow Q=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \, antipoda \quad de\quad p \quad en \quad la \quad esfera \quad de \quad Riemann </math><br />
<br />
<br />
teniendo a <math> \ Q</math> sobre la esfera de Riemann volvemos al plano complejo mediante la siguiente tranformacion:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\varphi: \mathbb S^2 -\lbrace e_3 \rbrace \rightarrow \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>Q \mapsto \frac {x_1 +ix_2}{1-x_3} </math>, que nos da un punto <math>\ w_Q \in \mathbb C</math> <br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q=\frac {x_1 +ix_2}{1-x_3}=\frac {\frac {-2a}{a^2+b^2+1} +i \frac {-2b}{a^2+b^2+1}}{1+ \frac {a^2+b^2-1}{a^2+b^2+1}} = \frac{ \frac{-2}{a^2+b^2+1}(a+ib) }{ \frac {2a^2+2b^2}{a^2+b^2+1} } = \frac {-2}{2a^2+2b^2}(a+ib) = \frac {-1}{a^2+b^2}(a+ib) </math> <br />
<br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} </math><br />
<br />
<br />
Como la proyeccion en la esfera de Riemann de <math>\ w_Q </math> es la antipoda de <math>\ z </math> se debe de cumplir que <math>z\bar{w_Q} = -1</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> z=a+ib \quad, w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} \in \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow z\bar{w_Q} =(a+ib)\left ( -\frac {a}{a^2 + b^2} +i \frac {b}{a^2+ b^2}\right )=\left ( -\frac {a^2}{a^2 + b^2} -\frac {b^2}{a^2+ b^2}\right )+i\left ( -\frac {ab}{a^2 + b^2} + \frac {ab}{a^2+ b^2}\right ) </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\left ( \frac {-(a^2+b^2)}{a^2 + b^2} \right )+i(0)=-1</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore z,w</math> son antipodas si y solo si <math>z\bar{w} = -1 \quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 15:11 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''12.'''¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la funcion <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> ?<br />
<br />
<br />
SOLUCIÓN:<br />
<br />
para la imagen notemos que <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> es continua exepto cuando <math>\ z=0</math>, por lo que su imagen es todo el plano complejo exepto el origen.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.2&diff=11836
Compleja:ej-cap1.2
2009-12-14T03:13:30Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>==EJERCICIOS 1.2.1 ==<br />
<br />
'''1.''' '''Demuestre que una una funcion''' <math>f:A\subset\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} </math> '''es continua en''' <math>{z_0}\in A</math> '''si y soló si para toda sucesión''' <math>{z_n},n\in\mathbb{N}, </math> '''tal que''' <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow\infty,</math> '''se tiene''' <math>f(z_n)\rightarrow f(z_0),</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Supongamos que <math> \ f<br />
</math> es continua en <math>\ z_0 </math> , es decir:<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad\exists \delta = \delta(\epsilon)> 0 </math> <br />
<br />
tal que <math>\quad | z - z_0 |<\delta \Rightarrow | f(z) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
y supongamos que <math>\lbrace z_n \rbrace , n\in \mathbb{N} </math> es una sucesión en <math>\ A </math> tal que <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math><br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<math>f(z_n)\rightarrow f(z_0)</math><br />
<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad \exists N = N(\epsilon)\in \mathbb N ,\quad n\geq N \Rightarrow | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
como <math>\ f</math> es continua en <math>\ z_0</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists\delta = \delta(\epsilon)>0</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow z_n \rightarrow z_0 </math><br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists M = M(\epsilon) \in \mathbb N, \quad n \geq M \Rightarrow | z_n - z_0 |< \delta </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore f(z_n) \rightarrow f(z_0)\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.''' '''Demuestre que una sucesión''' <math> \ \lbrace a_n \rbrace</math> en <math>\mathbb R^n </math> '''es de ''Cauchy'' si y sólo es convergente.<br />
<br />
'''<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Una sucesión en <math>\mathbb R^n </math> se dice que es de ''Cauchy'' si para todo <math>\epsilon >0 ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in \mathbb N </math> tal que <math>|a_m - a_n|<\epsilon , \quad \forall m,n \geq N</math> '''.'''<br />
<br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<br />
Si la sucesión es convergente, esto es si <math>\lim {a_n}=L \quad \Rightarrow \quad \forall \epsilon > 0\quad ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in\mathbb N </math><br />
<br />
<br />
tal que <math>|a_n - L|<\frac{\epsilon}{2}\quad, \quad \forall n\geq N</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow </math> si <math>m,n\geq N ,</math> se tiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ |a_m - a_n|=|a_m - L +L - a_n| \leq |a_m - L| + | L - a_n|< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}\!=\!{\epsilon} </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore \lbrace a_n \rbrace \quad es \quad de \quad Cauchy.\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
== EJERCICIOS 1.2.2 ==<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''1. Demuestre que la funcion estereográfica <math>(x_1,x_2,x_3)\to\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math> de la esfera de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.<br />
<br />
Definicion: Una funcion es suprayectiva si a un punto en la esfera<math>(x_1,x_2,x_3)</math> le corresponde uno(s) puntos dentro del plano complejo <math>\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
Una función es sobre si para toda '''y''' pertenece al Codominio <math>(f)</math> ,existe '''x''' pertenece al Dominio de <br />
<math>(f)</math> tal que <math> y = f(x)</math><br />
<br />
Notaciòn (para la demostraciòn): S= Esfera, C= punto en el plano proyectado por la esfera.<br />
<br />
Dominio<math>(f)= S</math> y el Codominio<math>(f)= C</math> y tambièn<br />
<math> C = z\epsilon\mathbb{C}:, f(z)=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
<math>z\epsilon\mathbb{C}:x_3\ne1 </math><br />
<br />
Suponga <math>\bar{x}\epsilon</math> S donde <math>\bar{x}=(x_1,x_2,x_3)</math><br />
<br />
Condicion de la esfera <math>(x_1^2+x_2^2+x_3^2=1)</math> donde <math>x_2</math> pertenece a '''i'''<br />
<br />
Ahora bien sabemos que la magnitud cuadrática <math>\bar{x}</math> es 1 <br />
<br />
<br />
<math>\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}\epsilon</math> Codominio de (f)<br />
<br />
Sea '''y''' que pertenece al Codominio de (f) donde : <math>y= ai+b</math><br />
<br />
Sea <math>a=\frac{x_1}{1-x_3}</math> y <math>b=\frac{x_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
tomando en cuenta que <math>y=f(x)</math><br />
<br />
de esta manera <math>f(x)=\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 03:09 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''2. Demuestre que si <math>z_n\rightarrow \infty.</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math>, entonces <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Como <math>z_n\rightarrow \infty.</math><br />
<math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Recordando la definiciòn del limite dado un <math>N_o</math> nos aproximamos.<br />
<math>\exists\N_o\epsilon\mathbb N+ n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> por hipótesis.<br />
<br />
P.D. <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math>, asi como también <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Ahora usando la definiciòn del limite dentro de la mètrica cordal tenemos un <math>N_o^\prime</math> donde limite se aproxima a cero cuando <math>n\rightarrow \infty.</math> <br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty) - 0 |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty)|<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
Usando la definición de la distancia cordal entre dos puntos<br />
<br />
<math>d_C(z_1,z_2)=|\pi(z_1)-\pi(z_2)|</math><br />
<br />
P.D.<math>\quad\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon </math><br />
<br />
Tomamos el lìmite descrito anteriomente.<br />
<br />
Por hipótesis <math>\quad\exists\N_o\epsilon\mathbb N</math> tal que <math>\quad n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> <br />
<br />
Sea <math>N_o</math> como antes por la continuidad de <math>\pi</math><br />
<br />
Finalmente usando la definiciòn de metrica cordal.<br />
<br />
Si <math>\quad n\geq N_o\to|\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon</math> <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 04:20 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''3. Las transformaciones de Möbius definidas en (1.4) se extienden a la esfera de Riemann <math>\hat{\mathbb{C}} </math> como sigue: si <math>c=0, T(\infty)=\infty</math>, y si <math>c\neq0, T(\infty)=\frac{a}{c}</math> y <math>T(\frac{-d}{c})=\infty</math>.Demuestre que estas funciones son continuas en dicha esfera con la metrica cordal.<br />
<br />
Transformaciones de Möbius complejas.(1.4)<br />
<math>z\to\frac{az+b}{cz+d} , ad-bc\neq0, a,b,c,d. <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
Se define la metrica cordal en el plano complejo extendido de la sig. manera.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2) = <br />
\begin{cases} <br />
\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}, & si z_1,z_2\neq\infty \\<br />
\frac{2}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}}, & si z_2=\infty. <br />
\end{cases}</math><br />
<br />
para los casos extremos.<br />
<br />
si <math>c=0, T(\infty)=\frac{az+b}{d}=\frac{a(\infty)+b}{d}=\infty.</math><br />
<br />
si <math>c\neq0, T(z)=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{z}{z}\frac{a+\frac{b}{z}}{c+\frac{d}{z}}<br />
<br />
<br />
,T(\infty)=\frac{a+\frac{b}{\infty}}{c+\frac{d}{\infty}}=\frac{a}{c}.</math><br />
<br />
<br />
<br />
si <math>T(\frac{-d}{c})=\frac{a(\frac{-d}{c})+b}{c(\frac{-d}{c})+d}=\infty.</math><br />
<br />
<br />
generalizando, para <math>z_1,z_2 \epsilon\mathbb{C}</math>, (arbitrarias).<br />
<br />
por hip.<math>c=0\therefore</math><br />
<br />
<math>T(z)=\frac{az+b}{d}=\frac{a}{d}z+\frac{b}{d}</math>.<br />
<br />
<math>\forall\epsilon>0, \exists\delta>0 </math><br />
<br />
<br />
tal que si<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_1-z_2\right|<\delta , \left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
entonces<br />
<math>\left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\left|z_1-z_2\right|\delta <\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
<math>T(z_1)-T(z_2)=\left(\frac{a}{d}z_1+\frac{b}{d}\right)-\left(\frac{a}{d}z_2+\frac{b}{d}\right)=\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)</math><br />
<br />
<br />
por <math>\left(d\left(0,x-y\right)=d\left(x,y\right)\right)</math><br />
<br />
<math>d_c\left(0,T(z_1)-T(z_2)\right)=d_c\left(0,\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)\right)=d_c\left(\frac{a}{d}z_1,\frac{a}{d}z_2\right)</math><br />
<br />
ahora si<math>z_1,z_2\ne\infty</math> y <math>\delta\approx \frac{1}{k}</math> donde <math>k=\frac{a}{d}</math><br />
<br />
con la metrica cordal.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2)=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+k^2\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+k^2\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{k^2\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<math>=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{k\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore d_c(z_1,z_2)<\epsilon</math><br />
<br />
ya q se mostro que <math>\frac{az+b}{d}</math><br />
<br />
es continua, se puede probar lo mismo para <br />
<br />
<math> c z+ d </math>.<br />
<br />
<br />
por teo. de continuidad si<br />
<br />
<math> f\left(x\right),g\left(x\right)</math> <br />
<br />
son continuas, tambien<br />
<br />
<br />
<math>\frac{f(x)}{g(x)}</math>, es continua.<br />
<br />
<br />
<math>\therefore \frac{az_1+b}{cz_2+d}</math> <br />
<br />
es continua si<br />
<br />
<math>c \ne 0</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 00:42 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4.'''Demuestre que si ''AB'' son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de Möbius ''f,g'', respectivamente, entonces la matriz ''BA'' representa la composicion ''gf'', que también es de Möbius.Concluya mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera en sí misma, y que ademas constituyen un grupo.<br />
<br />
SOLUCION:<br />
<br />
tenemos que <math>\ f, g </math> son transformaciones de Möbius<br />
<br />
<br />
<math>f(z)=\frac{a' z + b'}{c' z + d'}\quad\quad g(z)=\frac{a z + b}{c z + d}</math><br />
<br />
<br />
sean <math>\ A, B </math> las representaciones matriciales de <math>\ g, f </math> respectivamente<br />
<br />
<br />
<math>A = \begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix} \quad \quad B = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
entonces <br />
<br />
<math>BA = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}<br />
a'a + b'c & c'a + d'c \\<br />
a'b + b'd & c'b + d'd \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
<br />
entonces<br />
<br />
<math>gf=\frac{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}{(a'b + b'd)z + (c'b + d'd)}</math><br />
<br />
los elementos de la matriz ''BA'' son elementos de funciones biyectivas, entonces dicha matriz también es biyectiva, y por lo tanto ''gf'' es biyectiva y de Möbius.<br />
<br />
<br />
Por ser de Möbius es meromorfa, ahora notemos que ''gf'' es continua y que <br />
<br />
<math>\frac{1}{gf}=\frac{(a'b + b')z + (c'b + d'd)}{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}</math><br />
<br />
<br />
tambien es continua por lo que concluimos que es bicontinua.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''5.'''Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en ternas de puntos de la esfera de Riemann. Sugerencia: Dada una terna, encuentre una función de Möbius que la mande en 1, 0 e <math>o\!o</math><br />
<br />
Sea <math>(x_1,x_2,x_3)\rightarrow \frac{x_1 + ix_2}{x_3} = z_0</math><br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = \frac{(1-b)x_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
y <math> \quad c = \frac{(1-d)x_3}{x_1 + i x_2} \quad </math>; <math>ad-bc\neq0</math><br />
<br />
<br />
entonces <math> T(z) = \frac{(1-b)x_3 z + (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 z + (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<math> T(z_0) = \frac{(1-b)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3}\Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3} \Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = \frac{(1-b) (<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)(<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = 1</math><br />
<br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{b - \frac{bx_3 }{x_1 + i x_2}}{cz+d}z</math><br />
<br />
<br />
<math>T(z_0) = \frac{b - \frac{bx_3 (\frac{x_1 + ix_2}{x_3})}{x_1 + i x_2}}{cz+d} = \frac{b - b}{cz+d} = 0</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math>b\rightarrow \!oo</math><br />
<br />
<br />
entonces <math>T(z_0) = \!oo</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''6.'''Pruede que las transformaciones de Möbius son composición de algunas de las siguientes funciones: rotaciones, traslaciones, homotecias, y <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math>. Concluya mostrando que las transformaciones de Möbius preservan la familia de circulos y rectas.<br />
<br />
Considere la Transformación de Möbius.<br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
<br />
Sea <math>a = 1,\quad c = 0, \quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = z+b \qquad </math> entonces <math>T(z)</math>es una traslación. <br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad b = c = 0,\quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math>T(z) = az</math> entonces '''T(z)''' es una rotación por '''arg(a)''' y por una amplificación <math>\big |a\big |</math>.<br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad a = d = 0, \quad b = c = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<math> T(z) = \frac{1}{z}\qquad</math> entonces '''T(z)''' es una inversión.<br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 23:28 26 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''7. Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en la familia de círculos y rectas.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Puesto que una transformación del tipo <math>w=\frac{1}{z} </math> aplica en circunferencias y rectas, y como las rotaciones, los cambios de escala y las translaciones preservan rectas y circunferencias. Dicha transformación bilineal o de Möbius aplica en círculos y rectas.<br />
<br />
<br />
Un círculo en <math>{S^2}</math> es la intersección de un plano con la esfera, por lo cual satiface la siguiente ecuación:<br />
<br />
<br />
<math>ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\,\!</math><br />
<br />
<br />
Tenemos que<br />
<br />
<br />
<math> x_1=\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_2=\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_3=\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto, este círculo es la imagen bajo la proyección esterografica, cuyos puntos satisfacen la siguiente ecuación en el plano: <br />
<br />
<br />
<br />
<math>a\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )+b\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )+c\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)=d </math><br />
<br />
<br />
Escribiendo <math>z = x+iy\,\!</math>, se tiene<br />
<br />
<br />
<math> x^2+y^2-\frac{2a}{d-c}x-\frac{2by}{d-c}=1 </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( d-c \right )-2ax-2by =d-c </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( c-d \right )+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )c -\left ( x^2+y^2 \right )d+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2-1 \right )c -\left ( x^2+y^2+1 \right )d+2ax+2by =0 </math><br />
<br />
<br />
finalmente se tiene que<br />
<br />
<br />
<math>2ax + 2by + c(x^2+y^2-1) = d(x^2+y^2+1)\,\!</math>,<br />
<br />
<br />
que biene siendo la ecuación de una recta o un círculo, dependiendo si <math>d=c\,\!</math>, o si <math>d\ne c\,\!</math>.<br />
<br />
<br />
'''De otra manera:'''<br />
<br />
<br />
Puesto que <math>x+iy=z=\frac{1}{w} =\frac{\overline{w}}{|w|^2}=\frac{u}{u^2+v^2}-i\frac{v}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>x=\frac{u}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
<math>y=-\frac{v}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
Por tanto, la imagen de <math>\ f(x,y)=0</math> es<br />
<br />
<br />
<br />
<math>f\left ( \frac{u}{u^2+v^2},-\frac{v}{u^2+v^2}\right )=0</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 16:08 22 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''8.- Demuestre de dos maneras que el lugar de los puntos que cumplen la ecuación <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> <math> ,k\in\mathbb{R}^{+},a,b\in\mathbb{C},a\neq b</math> constituye una recta o un círculo (llamado de Apolonio).'''<br />
<br />
'''Solución'''<br />
<br />
Sea <br />
<br />
<math>z = x+iy\,\!, a = u+iv, b = c+id</math><br />
<br />
<br />
<br />
Entonces <br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|^{2}=k^{2}\left|z-b\right|^{2}</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left(x-u\right)^{2}+\left(y-v\right)^{2}=k\left(\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}\right)</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>x^2-2xu+u^2+y^2-2yv+v^2=kx^2-2kxc+c^2+ky^2-2kyd+kd^2\,\!</math> </center><br />
<br />
<br />
Si agrupamos esta expresión se tiene:<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(1-k\right)-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right) \qquad (I)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Si <math>k=1</math> se tiene la ecuación de una recta, es decir:<br />
<br />
<br />
<center><math>-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=c^{2}+d^{2}-\left(u^{2}+v^{2}\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Ahora para <math>k\neq1</math> la ecuación <math>\left(I\right)</math> al multiplicarla por<br />
<math>\frac{1}{\left(1-k\right)}<br />
</math> toma la forma:<br />
<br />
<br />
<center><math>\frac{}{}<br />
\left(x^{2}+y^{2}\right)-\frac{2x\left(u-kc\right)}{\left(1-k\right)}-\frac{2y\left(v-kd\right)}{\left(1-k\right)}=\frac{k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)}{\left(1-k\right)}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si completamos los cuadrados (más un poco de álgebra) de esta ultima expresión se obtiene lo<br />
siguiente<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\left(\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}+\frac{1}{1-k}\left(k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\frac{k}{\left(1-k\right)^{2}}\left(\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
lo cual es la ecuación de un círculo con centro <br />
<math>\left(\frac{u-kc}{1-k}\,,\,\frac{v-kd}{1-k}\right)</math><br />
y cuyo radio es <br />
<math>\frac{\sqrt{k}}{\left|1-k\right|}\sqrt{\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Otro método.<br />
<br />
<center><math><br />
\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(z-a\right)\left(\overline{z}-\overline{a}\right)=k\left(z-b\right)\left(\overline{z}-\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}-a\overline{z}-\overline{a}z+a\overline{a}=k\left(z\overline{z}-b\overline{z}-\overline{b}z+b\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
agrupando tenemos<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)-a\overline{z}-\overline{a}z+kb\overline{z}+k\overline{b}z=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)+\overline{z}\left(kb-a\right)+z\left(k\overline{b}-\overline{a}\right)=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio<math> A=\left(1-k\right), B=\left(kb-a\right),\overline{B}=\left(k\overline{b}-\overline{a}\right), C=kb\overline{b}-a\overline{a}\!,</math> , la anterior ecuación se escribe como<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
Az\overline{z}+B\overline{z}+\overline{B}z=C</math></center><br />
<br />
<br />
si <math> A=0</math> (entonces <math>k=1</math>) se tiene la ecución de una recta, si <math>A</math> es distinto<br />
de cero (entonces k es distinto de 1) y se tiene la ecuación de una<br />
circunferencia.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 01:46 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
'''9.- Sean <math>a,c</math> complejos, tal que no son ambos nulos, probar que<br />
<math>\left|\frac{\bar{a}z+\bar{c}}{cz+a}\right|=1</math>, si <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
Interpretar geometricamente.'''<br />
<br />
<br />
Sean <math> a=b+id , c=e+if , z=x+iy </math>.<br />
Entonces sustituyendo esto se tiene la siguiente expresión:<br />
<br />
<math>\left|\frac{\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)}{\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)}\right|=1 </math><br />
<br />
Por propiedades de la norma se sigue que<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|}{\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right|}=1 </math><br />
<br />
Y multiplicando ambos lados por el denominador llegamos a que<br />
<br />
<math>\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|=\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right| </math><br />
<br />
Desarrollando los producto y las operaciones para poder agrupar terminos se llega a<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right| </math><br />
<br />
Elevando al cuadrado para tener el cuadrado de la norma tenemos que<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|^{2}=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right|^{2} </math><br />
<br />
Donde es inmediato lo siguiente<br />
<br />
<math>\left(bx+dy+e\right)^{2}+\left(by-dx-f\right)^{2}=\left(b+ex-fy\right)^{2}+\left(d+fx+ey\right)^{2} </math><br />
<br />
Y despues de expander los polinomios<br />
<br />
<math>\left(e^{2}+f^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(b^{2}+d^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)=\left(b^{2}+d^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(e^{2}+f^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}\left|z\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}\left|z\right|^{2} </math> <br />
<br />
Donde <math>\left|z\right|=1</math><br />
<br />
<math>\therefore\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2} </math><br />
<br />
O tambien <br />
<br />
<math>\frac{\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}}{\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}}=1 </math><br />
<br />
Que era lo que se queria mostrar. <br />
<br />
Ahora geometricamente esto nos dice que la magnitud de la suma de<br />
dos numeros complejos es igual a la magnitud de la suma de sus conjugados.<br />
<br />
En las siguientes imagenes se muestra graficamente la interpretacion<br />
geometrica, el vector de color naranja es <math>z</math> y el azul y verde <math>a,c</math><br />
respectivamente.<br />
<br />
[[Imagen:Prueba1.jpg]][[Imagen:Prueba.jpg]]<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 14:12 9 dic 2009 (UTC)<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 19:42 21 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''10.- Probar que la funcion <math>z \rightarrow 1/z</math> es una rotacion de <math>\pi</math> radianes en la esfera de Riemann alrededor del eje x.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Las componentes del punto <math>A = (a_1,a_2,a_3)\,</math> en la esfera unitaria asociado a z son:<br />
<br />
<br />
<math>a_1 = \frac{z+\overline{z}}{|z|^2+1}, a_2 = \frac{z-\overline{z}}{i(|z|^2+1)}, a_3 = \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\,</math> <br />
<br />
<br />
Sea <math>\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> y tomando en cuenta que <math>|z| = |\overline{z}|\,</math>, entonces, las componentes del punto <math>B = (b_1,b_2,b_3)\,</math> de la esfera unitaria asociado a <math>\frac{1}{z}\,</math> son:<br />
<br />
<br />
<math>b_1 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}+\frac{z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{\overline{z}+z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\overline{z}+z}{|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}+z}{1+|z|^2} = a_1\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_2 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}-\frac{z}{|z|^2}}{i(\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i(1+|z|^2)} = -\frac{z-\overline{z}}{i(1+|z|^2)} = -a_2\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_3 = \frac{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}-1}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{1}{|z|^2}-1}{\frac{1}{|z|^2}+1} = \frac{1-|z|^2}{1+|z|^2} = -\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} = -a_3\,</math> ...<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 00:03 9 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''11.''' '''Probar que dados dos puntos''' <math>z,w \in \mathbb C</math> '''se tiene que sus proyecciones en la esfera de Riemann son antípodas si y solo si''' <math>z\bar{w} = -1</math><br />
<br />
<br />
SOLUCION.<br />
<br />
Sea <math>z \in \mathbb C \quad a,b \in \mathbb R</math> <br />
<br />
se pasa del plano complejo a la esfera de Riemann.<br />
<br />
<math>\psi: \mathbb C \rightarrow \mathbb S^2 - \lbrace e_3 \rbrace </math><br />
<br />
<math> z \mapsto (x_1 , x_2 , x_3)</math><br />
<br />
<br />
Si <math>\ z=a+ib \mapsto \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)</math> es el punto '''P''' en la esfera de Riemann.<br />
<br />
<br />
con este punto '''P''' y el centro '''C''' de la esfera se construye una recta que pase por estos puntos:<br />
<br />
<br />
Sea <math>\mathcal {L} =\ p + t\vec{v} \quad , \forall t \in \mathbb R </math> donde <math>\vec v</math>es el vector director que va de '''P''' a ''' C''' esto es <br />
<br />
<br />
<math>\vec {v} =(0,0,0)- \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) </math><br />
<br />
<br />
nuestra ecuacion de la recta queda de la siguiente manera:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\mathcal {L} =\left (\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right) + t \left (\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \quad , \forall t \in \mathbb R </math><br />
<br />
<br />
Cuando <math>\ t=0</math> tenemos a <math>\ P</math> en la esfera.<br />
<br />
cuando <math>\ t=1</math> tenemos el centro <math>\ (0,0,0)</math> de la esfera de Riemann.<br />
<br />
cuando <math>\ t=2 </math> tenemos al punto <math>\ Q</math> que es la antipoda de <math>\ p</math><br />
<br />
<br />
<math> \Rightarrow Q=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \, antipoda \quad de\quad p \quad en \quad la \quad esfera \quad de \quad Riemann </math><br />
<br />
<br />
teniendo a <math> \ Q</math> sobre la esfera de Riemann volvemos al plano complejo mediante la siguiente tranformacion:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\varphi: \mathbb S^2 -\lbrace e_3 \rbrace \rightarrow \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>Q \mapsto \frac {x_1 +ix_2}{1-x_3} </math>, que nos da un punto <math>\ w_Q \in \mathbb C</math> <br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q=\frac {x_1 +ix_2}{1-x_3}=\frac {\frac {-2a}{a^2+b^2+1} +i \frac {-2b}{a^2+b^2+1}}{1+ \frac {a^2+b^2-1}{a^2+b^2+1}} = \frac{ \frac{-2}{a^2+b^2+1}(a+ib) }{ \frac {2a^2+2b^2}{a^2+b^2+1} } = \frac {-2}{2a^2+2b^2}(a+ib) = \frac {-1}{a^2+b^2}(a+ib) </math> <br />
<br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} </math><br />
<br />
<br />
Como la proyeccion en la esfera de Riemann de <math>\ w_Q </math> es la antipoda de <math>\ z </math> se debe de cumplir que <math>z\bar{w_Q} = -1</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> z=a+ib \quad, w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} \in \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow z\bar{w_Q} =(a+ib)\left ( -\frac {a}{a^2 + b^2} +i \frac {b}{a^2+ b^2}\right )=\left ( -\frac {a^2}{a^2 + b^2} -\frac {b^2}{a^2+ b^2}\right )+i\left ( -\frac {ab}{a^2 + b^2} + \frac {ab}{a^2+ b^2}\right ) </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\left ( \frac {-(a^2+b^2)}{a^2 + b^2} \right )+i(0)=-1</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore z,w</math> son antipodas si y solo si <math>z\bar{w} = -1 \quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 15:11 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''12.'''¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la funcion <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> ?<br />
<br />
<br />
SOLUCIÓN:<br />
<br />
para la imagen notemos que <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> es continua exepto cuando <math>\ z=0</math>, por lo que su imagen es todo el plano complejo exepto el origen.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.2&diff=11835
Compleja:ej-cap1.2
2009-12-14T03:11:30Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>==EJERCICIOS 1.2.1 ==<br />
<br />
'''1.''' '''Demuestre que una una funcion''' <math>f:A\subset\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} </math> '''es continua en''' <math>{z_0}\in A</math> '''si y soló si para toda sucesión''' <math>{z_n},n\in\mathbb{N}, </math> '''tal que''' <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow\infty,</math> '''se tiene''' <math>f(z_n)\rightarrow f(z_0),</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Supongamos que <math> \ f<br />
</math> es continua en <math>\ z_0 </math> , es decir:<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad\exists \delta = \delta(\epsilon)> 0 </math> <br />
<br />
tal que <math>\quad | z - z_0 |<\delta \Rightarrow | f(z) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
y supongamos que <math>\lbrace z_n \rbrace , n\in \mathbb{N} </math> es una sucesión en <math>\ A </math> tal que <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math><br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<math>f(z_n)\rightarrow f(z_0)</math><br />
<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad \exists N = N(\epsilon)\in \mathbb N ,\quad n\geq N \Rightarrow | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
como <math>\ f</math> es continua en <math>\ z_0</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists\delta = \delta(\epsilon)>0</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow z_n \rightarrow z_0 </math><br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists M = M(\epsilon) \in \mathbb N, \quad n \geq M \Rightarrow | z_n - z_0 |< \delta </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore f(z_n) \rightarrow f(z_0)\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.''' '''Demuestre que una sucesión''' <math> \ \lbrace a_n \rbrace</math> en <math>\mathbb R^n </math> '''es de ''Cauchy'' si y sólo es convergente.<br />
<br />
'''<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Una sucesión en <math>\mathbb R^n </math> se dice que es de ''Cauchy'' si para todo <math>\epsilon >0 ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in \mathbb N </math> tal que <math>|a_m - a_n|<\epsilon , \quad \forall m,n \geq N</math> '''.'''<br />
<br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<br />
Si la sucesión es convergente, esto es si <math>\lim {a_n}=L \quad \Rightarrow \quad \forall \epsilon > 0\quad ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in\mathbb N </math><br />
<br />
<br />
tal que <math>|a_n - L|<\frac{\epsilon}{2}\quad, \quad \forall n\geq N</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow </math> si <math>m,n\geq N ,</math> se tiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ |a_m - a_n|=|a_m - L +L - a_n| \leq |a_m - L| + | L - a_n|< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}\!=\!{\epsilon} </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore \lbrace a_n \rbrace \quad es \quad de \quad Cauchy.\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
== EJERCICIOS 1.2.2 ==<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''1. Demuestre que la funcion estereográfica <math>(x_1,x_2,x_3)\to\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math> de la esfera de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.<br />
<br />
Definicion: Una funcion es suprayectiva si a un punto en la esfera<math>(x_1,x_2,x_3)</math> le corresponde uno(s) puntos dentro del plano complejo <math>\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
Una función es sobre si para toda '''y''' pertenece al Codominio <math>(f)</math> ,existe '''x''' pertenece al Dominio de <br />
<math>(f)</math> tal que <math> y = f(x)</math><br />
<br />
Notaciòn (para la demostraciòn): S= Esfera, C= punto en el plano proyectado por la esfera.<br />
<br />
Dominio<math>(f)= S</math> y el Codominio<math>(f)= C</math> y tambièn<br />
<math> C = z\epsilon\mathbb{C}:, f(z)=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
<math>z\epsilon\mathbb{C}:x_3\ne1 </math><br />
<br />
Suponga <math>\bar{x}\epsilon</math> S donde <math>\bar{x}=(x_1,x_2,x_3)</math><br />
<br />
Condicion de la esfera <math>(x_1^2+x_2^2+x_3^2=1)</math> donde <math>x_2</math> pertenece a '''i'''<br />
<br />
Ahora bien sabemos que la magnitud cuadrática <math>\bar{x}</math> es 1 <br />
<br />
<br />
<math>\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}\epsilon</math> Codominio de (f)<br />
<br />
Sea '''y''' que pertenece al Codominio de (f) donde : <math>y= ai+b</math><br />
<br />
Sea <math>a=\frac{x_1}{1-x_3}</math> y <math>b=\frac{x_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
tomando en cuenta que <math>y=f(x)</math><br />
<br />
de esta manera <math>f(x)=\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 03:09 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''2. Demuestre que si <math>z_n\rightarrow \infty.</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math>, entonces <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Como <math>z_n\rightarrow \infty.</math><br />
<math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Recordando la definiciòn del limite dado un <math>N_o</math> nos aproximamos.<br />
<math>\exists\N_o\epsilon\mathbb N+ n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> por hipótesis.<br />
<br />
P.D. <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math>, asi como también <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Ahora usando la definiciòn del limite dentro de la mètrica cordal tenemos un <math>N_o^\prime</math> donde limite se aproxima a cero cuando <math>n\rightarrow \infty.</math> <br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty) - 0 |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty)|<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
Usando la definición de la distancia cordal entre dos puntos<br />
<br />
<math>d_C(z_1,z_2)=|\pi(z_1)-\pi(z_2)|</math><br />
<br />
P.D.<math>\quad\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon </math><br />
<br />
Tomamos el lìmite descrito anteriomente.<br />
<br />
Por hipótesis <math>\quad\exists\N_o\epsilon\mathbb N</math> tal que <math>\quad n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> <br />
<br />
Sea <math>N_o</math> como antes por la continuidad de <math>\pi</math><br />
<br />
Finalmente usando la definiciòn de metrica cordal.<br />
<br />
Si <math>\quad n\geq N_o\to|\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon</math> <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 04:20 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''3. Las transformaciones de Möbius definidas en (1.4) se extienden a la esfera de Riemann <math>\hat{\mathbb{C}} </math> como sigue: si <math>c=0, T(\infty)=\infty</math>, y si <math>c\neq0, T(\infty)=\frac{a}{c}</math> y <math>T(\frac{-d}{c})=\infty</math>.Demuestre que estas funciones son continuas en dicha esfera con la metrica cordal.<br />
<br />
Transformaciones de Möbius complejas.(1.4)<br />
<math>z\to\frac{az+b}{cz+d} , ad-bc\neq0, a,b,c,d. <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
Se define la metrica cordal en el plano complejo extendido de la sig. manera.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2) = <br />
\begin{cases} <br />
\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}, & si z_1,z_2\neq\infty \\<br />
\frac{2}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}}, & si z_2=\infty. <br />
\end{cases}</math><br />
<br />
para los casos extremos.<br />
<br />
si <math>c=0, T(\infty)=\frac{az+b}{d}=\frac{a(\infty)+b}{d}=\infty.</math><br />
<br />
si <math>c\neq0, T(z)=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{z}{z}\frac{a+\frac{b}{z}}{c+\frac{d}{z}}<br />
<br />
<br />
,T(\infty)=\frac{a+\frac{b}{\infty}}{c+\frac{d}{\infty}}=\frac{a}{c}.</math><br />
<br />
<br />
<br />
si <math>T(\frac{-d}{c})=\frac{a(\frac{-d}{c})+b}{c(\frac{-d}{c})+d}=\infty.</math><br />
<br />
<br />
generalizando, para <math>z_1,z_2 \epsilon\mathbb{C}</math>, (arbitrarias).<br />
<br />
por hip.<math>c=0\therefore</math><br />
<br />
<math>T(z)=\frac{az+b}{d}=\frac{a}{d}z+\frac{b}{d}</math>.<br />
<br />
<math>\forall\epsilon>0, \exists\delta>0 </math><br />
<br />
<br />
tal que si<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_1-z_2\right|<\delta , \left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
entonces<br />
<math>\left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\left|z_1-z_2\right|\delta <\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
<math>T(z_1)-T(z_2)=\left(\frac{a}{d}z_1+\frac{b}{d}\right)-\left(\frac{a}{d}z_2+\frac{b}{d}\right)=\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)</math><br />
<br />
<br />
por <math>\left(d\left(0,x-y\right)=d\left(x,y\right)\right)</math><br />
<br />
<math>d_c\left(0,T(z_1)-T(z_2)\right)=d_c\left(0,\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)\right)=d_c\left(\frac{a}{d}z_1,\frac{a}{d}z_2\right)</math><br />
<br />
ahora si<math>z_1,z_2\ne\infty</math> y <math>\delta\approx \frac{1}{k}</math> donde <math>k=\frac{a}{d}</math><br />
<br />
con la metrica cordal.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2)=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+k^2\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+k^2\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{k^2\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<math>=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{k\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore d_c(z_1,z_2)<\epsilon</math><br />
<br />
ya q se mostro que <math>\frac{az+b}{d}</math><br />
<br />
es continua, se puede probar lo mismo para <br />
<br />
<math> c z+ d </math>.<br />
<br />
<br />
por teo. de continuidad si<br />
<br />
<math> f\left(x\right),g\left(x\right)</math> <br />
<br />
son continuas, tambien<br />
<br />
<br />
<math>\frac{f(x)}{g(x)}</math>, es continua.<br />
<br />
<br />
<math>\therefore \frac{az_1+b}{cz_2+d}</math> <br />
<br />
es continua si<br />
<br />
<math>c \ne 0</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 00:42 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4.'''Demuestre que si ''AB'' son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de Möbius ''f,g'', respectivamente, entonces la matriz ''BA'' representa la composicion ''gf'', que también es de Möbius.Concluya mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera en sí misma, y que ademas constituyen un grupo.<br />
<br />
SOLUCION:<br />
<br />
tenemos que <math>\ f, g </math> son transformaciones de Möbius<br />
<br />
<br />
<math>f(z)=\frac{a' z + b'}{c' z + d'}\quad\quad g(z)=\frac{a z + b}{c z + d}</math><br />
<br />
<br />
sean <math>\ A, B </math> las representaciones matriciales de <math>\ g, f </math> respectivamente<br />
<br />
<br />
<math>A = \begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix} \quad \quad B = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
entonces <br />
<br />
<math>BA = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}<br />
a'a + b'c & c'a + d'c \\<br />
a'b + b'd & c'b + d'd \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
<br />
entonces<br />
<br />
<math>gf=\frac{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}{(a'b + b'd)z + (c'b + d'd)}</math><br />
<br />
los elementos de la matriz ''BA'' son elementos de funciones biyectivas, entonces dicha matriz también es biyectiva, y por lo tanto ''gf'' es biyectiva y de Möbius.<br />
<br />
<br />
Por ser de Möbius es meromorfa, ahora notemos que ''gf'' es continua y que <br />
<br />
<math>\frac{1}{gf}=\frac{(a'b + b')z + (c'b + d'd)}{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}</math><br />
<br />
<br />
tambien es continua por lo que concluimos que es bicontinua.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''5.'''Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en ternas de puntos de la esfera de Riemann. Sugerencia: Dada una terna, encuentre una función de Möbius que la mande en 1, 0 e <math>o\!o</math><br />
<br />
Sea <math>(x_1,x_2,x_3)\rightarrow \frac{x_1 + ix_2}{x_3} = z_0</math><br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = \frac{(1-b)x_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
y <math> \quad c = \frac{(1-d)x_3}{x_1 + i x_2} \quad </math>; <math>ad-bc\neq0</math><br />
<br />
<br />
entonces <math> T(z) = \frac{(1-b)x_3 z + (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 z + (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<math> T(z_0) = \frac{(1-b)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3}\Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3} \Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = \frac{(1-b) (<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)(<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = 1</math><br />
<br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{b - \frac{bx_3 }{x_1 + i x_2}}{cz+d}z</math><br />
<br />
<br />
<math>T(z_0) = \frac{b - \frac{bx_3 (\frac{x_1 + ix_2}{x_3})}{x_1 + i x_2}}{cz+d} = \frac{b - b}{cz+d} = 0</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math>b\rightarrow \!oo</math><br />
<br />
<br />
entonces <math>T(z_0) = \!oo</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''6.'''Pruede que las transformaciones de Möbius son composición de algunas de las siguientes funciones: rotaciones, traslaciones, homotecias, y <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math>. Concluya mostrando que las transformaciones de Möbius preservan la familia de circulos y rectas.<br />
<br />
Considere la Transformación de Möbius.<br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
<br />
Sea <math>a = 1,\quad c = 0, \quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = z+b \qquad </math> entonces <math>T(z)</math>es una traslación. <br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad b = c = 0,\quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math>T(z) = az</math> entonces '''T(z)''' es una rotación por '''arg(a)''' y por una amplificación <math>\big |a\big |</math>.<br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad a = d = 0, \quad b = c = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<math> T(z) = \frac{1}{z}\qquad</math> entonces '''T(z)''' es una inversión.<br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 23:28 26 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''7. Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en la familia de círculos y rectas.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Puesto que una transformación del tipo <math>w=\frac{1}{z} </math> aplica en circunferencias y rectas, y como las rotaciones, los cambios de escala y las translaciones preservan rectas y circunferencias. Dicha transformación bilineal o de Möbius aplica en círculos y rectas.<br />
<br />
<br />
Un círculo en <math>{S^2}</math> es la intersección de un plano con la esfera, por lo cual satiface la siguiente ecuación:<br />
<br />
<br />
<math>ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\,\!</math><br />
<br />
<br />
Tenemos que<br />
<br />
<br />
<math> x_1=\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_2=\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_3=\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto, este círculo es la imagen bajo la proyección esterografica, cuyos puntos satisfacen la siguiente ecuación en el plano: <br />
<br />
<br />
<br />
<math>a\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )+b\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )+c\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)=d </math><br />
<br />
<br />
Escribiendo <math>z = x+iy\,\!</math>, se tiene<br />
<br />
<br />
<math> x^2+y^2-\frac{2a}{d-c}x-\frac{2by}{d-c}=1 </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( d-c \right )-2ax-2by =d-c </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( c-d \right )+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )c -\left ( x^2+y^2 \right )d+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2-1 \right )c -\left ( x^2+y^2+1 \right )d+2ax+2by =0 </math><br />
<br />
<br />
finalmente se tiene que<br />
<br />
<br />
<math>2ax + 2by + c(x^2+y^2-1) = d(x^2+y^2+1)\,\!</math>,<br />
<br />
<br />
que biene siendo la ecuación de una recta o un círculo, dependiendo si <math>d=c\,\!</math>, o si <math>d\ne c\,\!</math>.<br />
<br />
<br />
'''De otra manera:'''<br />
<br />
<br />
Puesto que <math>x+iy=z=\frac{1}{w} =\frac{\overline{w}}{|w|^2}=\frac{u}{u^2+v^2}-i\frac{v}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>x=\frac{u}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
<math>y=-\frac{v}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
Por tanto, la imagen de <math>\ f(x,y)=0</math> es<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ f(\frac{u}{u^2+v^2},-\frac{v}{u^2+v^2})=0</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 16:08 22 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''8.- Demuestre de dos maneras que el lugar de los puntos que cumplen la ecuación <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> <math> ,k\in\mathbb{R}^{+},a,b\in\mathbb{C},a\neq b</math> constituye una recta o un círculo (llamado de Apolonio).'''<br />
<br />
'''Solución'''<br />
<br />
Sea <br />
<br />
<math>z = x+iy\,\!, a = u+iv, b = c+id</math><br />
<br />
<br />
<br />
Entonces <br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|^{2}=k^{2}\left|z-b\right|^{2}</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left(x-u\right)^{2}+\left(y-v\right)^{2}=k\left(\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}\right)</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>x^2-2xu+u^2+y^2-2yv+v^2=kx^2-2kxc+c^2+ky^2-2kyd+kd^2\,\!</math> </center><br />
<br />
<br />
Si agrupamos esta expresión se tiene:<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(1-k\right)-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right) \qquad (I)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Si <math>k=1</math> se tiene la ecuación de una recta, es decir:<br />
<br />
<br />
<center><math>-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=c^{2}+d^{2}-\left(u^{2}+v^{2}\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Ahora para <math>k\neq1</math> la ecuación <math>\left(I\right)</math> al multiplicarla por<br />
<math>\frac{1}{\left(1-k\right)}<br />
</math> toma la forma:<br />
<br />
<br />
<center><math>\frac{}{}<br />
\left(x^{2}+y^{2}\right)-\frac{2x\left(u-kc\right)}{\left(1-k\right)}-\frac{2y\left(v-kd\right)}{\left(1-k\right)}=\frac{k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)}{\left(1-k\right)}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si completamos los cuadrados (más un poco de álgebra) de esta ultima expresión se obtiene lo<br />
siguiente<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\left(\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}+\frac{1}{1-k}\left(k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\frac{k}{\left(1-k\right)^{2}}\left(\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
lo cual es la ecuación de un círculo con centro <br />
<math>\left(\frac{u-kc}{1-k}\,,\,\frac{v-kd}{1-k}\right)</math><br />
y cuyo radio es <br />
<math>\frac{\sqrt{k}}{\left|1-k\right|}\sqrt{\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Otro método.<br />
<br />
<center><math><br />
\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(z-a\right)\left(\overline{z}-\overline{a}\right)=k\left(z-b\right)\left(\overline{z}-\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}-a\overline{z}-\overline{a}z+a\overline{a}=k\left(z\overline{z}-b\overline{z}-\overline{b}z+b\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
agrupando tenemos<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)-a\overline{z}-\overline{a}z+kb\overline{z}+k\overline{b}z=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)+\overline{z}\left(kb-a\right)+z\left(k\overline{b}-\overline{a}\right)=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio<math> A=\left(1-k\right), B=\left(kb-a\right),\overline{B}=\left(k\overline{b}-\overline{a}\right), C=kb\overline{b}-a\overline{a}\!,</math> , la anterior ecuación se escribe como<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
Az\overline{z}+B\overline{z}+\overline{B}z=C</math></center><br />
<br />
<br />
si <math> A=0</math> (entonces <math>k=1</math>) se tiene la ecución de una recta, si <math>A</math> es distinto<br />
de cero (entonces k es distinto de 1) y se tiene la ecuación de una<br />
circunferencia.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 01:46 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
'''9.- Sean <math>a,c</math> complejos, tal que no son ambos nulos, probar que<br />
<math>\left|\frac{\bar{a}z+\bar{c}}{cz+a}\right|=1</math>, si <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
Interpretar geometricamente.'''<br />
<br />
<br />
Sean <math> a=b+id , c=e+if , z=x+iy </math>.<br />
Entonces sustituyendo esto se tiene la siguiente expresión:<br />
<br />
<math>\left|\frac{\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)}{\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)}\right|=1 </math><br />
<br />
Por propiedades de la norma se sigue que<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|}{\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right|}=1 </math><br />
<br />
Y multiplicando ambos lados por el denominador llegamos a que<br />
<br />
<math>\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|=\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right| </math><br />
<br />
Desarrollando los producto y las operaciones para poder agrupar terminos se llega a<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right| </math><br />
<br />
Elevando al cuadrado para tener el cuadrado de la norma tenemos que<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|^{2}=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right|^{2} </math><br />
<br />
Donde es inmediato lo siguiente<br />
<br />
<math>\left(bx+dy+e\right)^{2}+\left(by-dx-f\right)^{2}=\left(b+ex-fy\right)^{2}+\left(d+fx+ey\right)^{2} </math><br />
<br />
Y despues de expander los polinomios<br />
<br />
<math>\left(e^{2}+f^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(b^{2}+d^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)=\left(b^{2}+d^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(e^{2}+f^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}\left|z\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}\left|z\right|^{2} </math> <br />
<br />
Donde <math>\left|z\right|=1</math><br />
<br />
<math>\therefore\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2} </math><br />
<br />
O tambien <br />
<br />
<math>\frac{\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}}{\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}}=1 </math><br />
<br />
Que era lo que se queria mostrar. <br />
<br />
Ahora geometricamente esto nos dice que la magnitud de la suma de<br />
dos numeros complejos es igual a la magnitud de la suma de sus conjugados.<br />
<br />
En las siguientes imagenes se muestra graficamente la interpretacion<br />
geometrica, el vector de color naranja es <math>z</math> y el azul y verde <math>a,c</math><br />
respectivamente.<br />
<br />
[[Imagen:Prueba1.jpg]][[Imagen:Prueba.jpg]]<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 14:12 9 dic 2009 (UTC)<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 19:42 21 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''10.- Probar que la funcion <math>z \rightarrow 1/z</math> es una rotacion de <math>\pi</math> radianes en la esfera de Riemann alrededor del eje x.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Las componentes del punto <math>A = (a_1,a_2,a_3)\,</math> en la esfera unitaria asociado a z son:<br />
<br />
<br />
<math>a_1 = \frac{z+\overline{z}}{|z|^2+1}, a_2 = \frac{z-\overline{z}}{i(|z|^2+1)}, a_3 = \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\,</math> <br />
<br />
<br />
Sea <math>\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> y tomando en cuenta que <math>|z| = |\overline{z}|\,</math>, entonces, las componentes del punto <math>B = (b_1,b_2,b_3)\,</math> de la esfera unitaria asociado a <math>\frac{1}{z}\,</math> son:<br />
<br />
<br />
<math>b_1 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}+\frac{z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{\overline{z}+z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\overline{z}+z}{|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}+z}{1+|z|^2} = a_1\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_2 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}-\frac{z}{|z|^2}}{i(\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i(1+|z|^2)} = -\frac{z-\overline{z}}{i(1+|z|^2)} = -a_2\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_3 = \frac{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}-1}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{1}{|z|^2}-1}{\frac{1}{|z|^2}+1} = \frac{1-|z|^2}{1+|z|^2} = -\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} = -a_3\,</math> ...<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 00:03 9 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''11.''' '''Probar que dados dos puntos''' <math>z,w \in \mathbb C</math> '''se tiene que sus proyecciones en la esfera de Riemann son antípodas si y solo si''' <math>z\bar{w} = -1</math><br />
<br />
<br />
SOLUCION.<br />
<br />
Sea <math>z \in \mathbb C \quad a,b \in \mathbb R</math> <br />
<br />
se pasa del plano complejo a la esfera de Riemann.<br />
<br />
<math>\psi: \mathbb C \rightarrow \mathbb S^2 - \lbrace e_3 \rbrace </math><br />
<br />
<math> z \mapsto (x_1 , x_2 , x_3)</math><br />
<br />
<br />
Si <math>\ z=a+ib \mapsto \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)</math> es el punto '''P''' en la esfera de Riemann.<br />
<br />
<br />
con este punto '''P''' y el centro '''C''' de la esfera se construye una recta que pase por estos puntos:<br />
<br />
<br />
Sea <math>\mathcal {L} =\ p + t\vec{v} \quad , \forall t \in \mathbb R </math> donde <math>\vec v</math>es el vector director que va de '''P''' a ''' C''' esto es <br />
<br />
<br />
<math>\vec {v} =(0,0,0)- \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) </math><br />
<br />
<br />
nuestra ecuacion de la recta queda de la siguiente manera:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\mathcal {L} =\left (\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right) + t \left (\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \quad , \forall t \in \mathbb R </math><br />
<br />
<br />
Cuando <math>\ t=0</math> tenemos a <math>\ P</math> en la esfera.<br />
<br />
cuando <math>\ t=1</math> tenemos el centro <math>\ (0,0,0)</math> de la esfera de Riemann.<br />
<br />
cuando <math>\ t=2 </math> tenemos al punto <math>\ Q</math> que es la antipoda de <math>\ p</math><br />
<br />
<br />
<math> \Rightarrow Q=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \, antipoda \quad de\quad p \quad en \quad la \quad esfera \quad de \quad Riemann </math><br />
<br />
<br />
teniendo a <math> \ Q</math> sobre la esfera de Riemann volvemos al plano complejo mediante la siguiente tranformacion:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\varphi: \mathbb S^2 -\lbrace e_3 \rbrace \rightarrow \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>Q \mapsto \frac {x_1 +ix_2}{1-x_3} </math>, que nos da un punto <math>\ w_Q \in \mathbb C</math> <br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q=\frac {x_1 +ix_2}{1-x_3}=\frac {\frac {-2a}{a^2+b^2+1} +i \frac {-2b}{a^2+b^2+1}}{1+ \frac {a^2+b^2-1}{a^2+b^2+1}} = \frac{ \frac{-2}{a^2+b^2+1}(a+ib) }{ \frac {2a^2+2b^2}{a^2+b^2+1} } = \frac {-2}{2a^2+2b^2}(a+ib) = \frac {-1}{a^2+b^2}(a+ib) </math> <br />
<br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} </math><br />
<br />
<br />
Como la proyeccion en la esfera de Riemann de <math>\ w_Q </math> es la antipoda de <math>\ z </math> se debe de cumplir que <math>z\bar{w_Q} = -1</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> z=a+ib \quad, w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} \in \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow z\bar{w_Q} =(a+ib)\left ( -\frac {a}{a^2 + b^2} +i \frac {b}{a^2+ b^2}\right )=\left ( -\frac {a^2}{a^2 + b^2} -\frac {b^2}{a^2+ b^2}\right )+i\left ( -\frac {ab}{a^2 + b^2} + \frac {ab}{a^2+ b^2}\right ) </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\left ( \frac {-(a^2+b^2)}{a^2 + b^2} \right )+i(0)=-1</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore z,w</math> son antipodas si y solo si <math>z\bar{w} = -1 \quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 15:11 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''12.'''¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la funcion <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> ?<br />
<br />
<br />
SOLUCIÓN:<br />
<br />
para la imagen notemos que <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> es continua exepto cuando <math>\ z=0</math>, por lo que su imagen es todo el plano complejo exepto el origen.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.2&diff=11833
Compleja:ej-cap1.2
2009-12-14T03:08:44Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>==EJERCICIOS 1.2.1 ==<br />
<br />
'''1.''' '''Demuestre que una una funcion''' <math>f:A\subset\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} </math> '''es continua en''' <math>{z_0}\in A</math> '''si y soló si para toda sucesión''' <math>{z_n},n\in\mathbb{N}, </math> '''tal que''' <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow\infty,</math> '''se tiene''' <math>f(z_n)\rightarrow f(z_0),</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Supongamos que <math> \ f<br />
</math> es continua en <math>\ z_0 </math> , es decir:<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad\exists \delta = \delta(\epsilon)> 0 </math> <br />
<br />
tal que <math>\quad | z - z_0 |<\delta \Rightarrow | f(z) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
y supongamos que <math>\lbrace z_n \rbrace , n\in \mathbb{N} </math> es una sucesión en <math>\ A </math> tal que <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math><br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<math>f(z_n)\rightarrow f(z_0)</math><br />
<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad \exists N = N(\epsilon)\in \mathbb N ,\quad n\geq N \Rightarrow | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
como <math>\ f</math> es continua en <math>\ z_0</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists\delta = \delta(\epsilon)>0</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow z_n \rightarrow z_0 </math><br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists M = M(\epsilon) \in \mathbb N, \quad n \geq M \Rightarrow | z_n - z_0 |< \delta </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore f(z_n) \rightarrow f(z_0)\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.''' '''Demuestre que una sucesión''' <math> \ \lbrace a_n \rbrace</math> en <math>\mathbb R^n </math> '''es de ''Cauchy'' si y sólo es convergente.<br />
<br />
'''<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Una sucesión en <math>\mathbb R^n </math> se dice que es de ''Cauchy'' si para todo <math>\epsilon >0 ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in \mathbb N </math> tal que <math>|a_m - a_n|<\epsilon , \quad \forall m,n \geq N</math> '''.'''<br />
<br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<br />
Si la sucesión es convergente, esto es si <math>\lim {a_n}=L \quad \Rightarrow \quad \forall \epsilon > 0\quad ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in\mathbb N </math><br />
<br />
<br />
tal que <math>|a_n - L|<\frac{\epsilon}{2}\quad, \quad \forall n\geq N</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow </math> si <math>m,n\geq N ,</math> se tiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ |a_m - a_n|=|a_m - L +L - a_n| \leq |a_m - L| + | L - a_n|< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}\!=\!{\epsilon} </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore \lbrace a_n \rbrace \quad es \quad de \quad Cauchy.\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
== EJERCICIOS 1.2.2 ==<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''1. Demuestre que la funcion estereográfica <math>(x_1,x_2,x_3)\to\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math> de la esfera de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.<br />
<br />
Definicion: Una funcion es suprayectiva si a un punto en la esfera<math>(x_1,x_2,x_3)</math> le corresponde uno(s) puntos dentro del plano complejo <math>\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
Una función es sobre si para toda '''y''' pertenece al Codominio <math>(f)</math> ,existe '''x''' pertenece al Dominio de <br />
<math>(f)</math> tal que <math> y = f(x)</math><br />
<br />
Notaciòn (para la demostraciòn): S= Esfera, C= punto en el plano proyectado por la esfera.<br />
<br />
Dominio<math>(f)= S</math> y el Codominio<math>(f)= C</math> y tambièn<br />
<math> C = z\epsilon\mathbb{C}:, f(z)=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
<math>z\epsilon\mathbb{C}:x_3\ne1 </math><br />
<br />
Suponga <math>\bar{x}\epsilon</math> S donde <math>\bar{x}=(x_1,x_2,x_3)</math><br />
<br />
Condicion de la esfera <math>(x_1^2+x_2^2+x_3^2=1)</math> donde <math>x_2</math> pertenece a '''i'''<br />
<br />
Ahora bien sabemos que la magnitud cuadrática <math>\bar{x}</math> es 1 <br />
<br />
<br />
<math>\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}\epsilon</math> Codominio de (f)<br />
<br />
Sea '''y''' que pertenece al Codominio de (f) donde : <math>y= ai+b</math><br />
<br />
Sea <math>a=\frac{x_1}{1-x_3}</math> y <math>b=\frac{x_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
tomando en cuenta que <math>y=f(x)</math><br />
<br />
de esta manera <math>f(x)=\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 03:09 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''2. Demuestre que si <math>z_n\rightarrow \infty.</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math>, entonces <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Como <math>z_n\rightarrow \infty.</math><br />
<math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Recordando la definiciòn del limite dado un <math>N_o</math> nos aproximamos.<br />
<math>\exists\N_o\epsilon\mathbb N+ n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> por hipótesis.<br />
<br />
P.D. <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math>, asi como también <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Ahora usando la definiciòn del limite dentro de la mètrica cordal tenemos un <math>N_o^\prime</math> donde limite se aproxima a cero cuando <math>n\rightarrow \infty.</math> <br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty) - 0 |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty)|<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
Usando la definición de la distancia cordal entre dos puntos<br />
<br />
<math>d_C(z_1,z_2)=|\pi(z_1)-\pi(z_2)|</math><br />
<br />
P.D.<math>\quad\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon </math><br />
<br />
Tomamos el lìmite descrito anteriomente.<br />
<br />
Por hipótesis <math>\quad\exists\N_o\epsilon\mathbb N</math> tal que <math>\quad n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> <br />
<br />
Sea <math>N_o</math> como antes por la continuidad de <math>\pi</math><br />
<br />
Finalmente usando la definiciòn de metrica cordal.<br />
<br />
Si <math>\quad n\geq N_o\to|\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon</math> <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 04:20 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''3. Las transformaciones de Möbius definidas en (1.4) se extienden a la esfera de Riemann <math>\hat{\mathbb{C}} </math> como sigue: si <math>c=0, T(\infty)=\infty</math>, y si <math>c\neq0, T(\infty)=\frac{a}{c}</math> y <math>T(\frac{-d}{c})=\infty</math>.Demuestre que estas funciones son continuas en dicha esfera con la metrica cordal.<br />
<br />
Transformaciones de Möbius complejas.(1.4)<br />
<math>z\to\frac{az+b}{cz+d} , ad-bc\neq0, a,b,c,d. <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
Se define la metrica cordal en el plano complejo extendido de la sig. manera.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2) = <br />
\begin{cases} <br />
\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}, & si z_1,z_2\neq\infty \\<br />
\frac{2}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}}, & si z_2=\infty. <br />
\end{cases}</math><br />
<br />
para los casos extremos.<br />
<br />
si <math>c=0, T(\infty)=\frac{az+b}{d}=\frac{a(\infty)+b}{d}=\infty.</math><br />
<br />
si <math>c\neq0, T(z)=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{z}{z}\frac{a+\frac{b}{z}}{c+\frac{d}{z}}<br />
<br />
<br />
,T(\infty)=\frac{a+\frac{b}{\infty}}{c+\frac{d}{\infty}}=\frac{a}{c}.</math><br />
<br />
<br />
<br />
si <math>T(\frac{-d}{c})=\frac{a(\frac{-d}{c})+b}{c(\frac{-d}{c})+d}=\infty.</math><br />
<br />
<br />
generalizando, para <math>z_1,z_2 \epsilon\mathbb{C}</math>, (arbitrarias).<br />
<br />
por hip.<math>c=0\therefore</math><br />
<br />
<math>T(z)=\frac{az+b}{d}=\frac{a}{d}z+\frac{b}{d}</math>.<br />
<br />
<math>\forall\epsilon>0, \exists\delta>0 </math><br />
<br />
<br />
tal que si<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_1-z_2\right|<\delta , \left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
entonces<br />
<math>\left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\left|z_1-z_2\right|\delta <\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
<math>T(z_1)-T(z_2)=\left(\frac{a}{d}z_1+\frac{b}{d}\right)-\left(\frac{a}{d}z_2+\frac{b}{d}\right)=\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)</math><br />
<br />
<br />
por <math>\left(d\left(0,x-y\right)=d\left(x,y\right)\right)</math><br />
<br />
<math>d_c\left(0,T(z_1)-T(z_2)\right)=d_c\left(0,\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)\right)=d_c\left(\frac{a}{d}z_1,\frac{a}{d}z_2\right)</math><br />
<br />
ahora si<math>z_1,z_2\ne\infty</math> y <math>\delta\approx \frac{1}{k}</math> donde <math>k=\frac{a}{d}</math><br />
<br />
con la metrica cordal.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2)=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+k^2\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+k^2\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{k^2\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<math>=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{k\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore d_c(z_1,z_2)<\epsilon</math><br />
<br />
ya q se mostro que <math>\frac{az+b}{d}</math><br />
<br />
es continua, se puede probar lo mismo para <br />
<br />
<math> c z+ d </math>.<br />
<br />
<br />
por teo. de continuidad si<br />
<br />
<math> f\left(x\right),g\left(x\right)</math> <br />
<br />
son continuas, tambien<br />
<br />
<br />
<math>\frac{f(x)}{g(x)}</math>, es continua.<br />
<br />
<br />
<math>\therefore \frac{az_1+b}{cz_2+d}</math> <br />
<br />
es continua si<br />
<br />
<math>c \ne 0</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 00:42 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4.'''Demuestre que si ''AB'' son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de Möbius ''f,g'', respectivamente, entonces la matriz ''BA'' representa la composicion ''gf'', que también es de Möbius.Concluya mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera en sí misma, y que ademas constituyen un grupo.<br />
<br />
SOLUCION:<br />
<br />
tenemos que <math>\ f, g </math> son transformaciones de Möbius<br />
<br />
<br />
<math>f(z)=\frac{a' z + b'}{c' z + d'}\quad\quad g(z)=\frac{a z + b}{c z + d}</math><br />
<br />
<br />
sean <math>\ A, B </math> las representaciones matriciales de <math>\ g, f </math> respectivamente<br />
<br />
<br />
<math>A = \begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix} \quad \quad B = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
entonces <br />
<br />
<math>BA = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}<br />
a'a + b'c & c'a + d'c \\<br />
a'b + b'd & c'b + d'd \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
<br />
entonces<br />
<br />
<math>gf=\frac{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}{(a'b + b'd)z + (c'b + d'd)}</math><br />
<br />
los elementos de la matriz ''BA'' son elementos de funciones biyectivas, entonces dicha matriz también es biyectiva, y por lo tanto ''gf'' es biyectiva y de Möbius.<br />
<br />
<br />
Por ser de Möbius es meromorfa, ahora notemos que ''gf'' es continua y que <br />
<br />
<math>\frac{1}{gf}=\frac{(a'b + b')z + (c'b + d'd)}{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}</math><br />
<br />
<br />
tambien es continua por lo que concluimos que es bicontinua.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''5.'''Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en ternas de puntos de la esfera de Riemann. Sugerencia: Dada una terna, encuentre una función de Möbius que la mande en 1, 0 e <math>o\!o</math><br />
<br />
Sea <math>(x_1,x_2,x_3)\rightarrow \frac{x_1 + ix_2}{x_3} = z_0</math><br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = \frac{(1-b)x_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
y <math> \quad c = \frac{(1-d)x_3}{x_1 + i x_2} \quad </math>; <math>ad-bc\neq0</math><br />
<br />
<br />
entonces <math> T(z) = \frac{(1-b)x_3 z + (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 z + (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<math> T(z_0) = \frac{(1-b)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3}\Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3} \Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = \frac{(1-b) (<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)(<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = 1</math><br />
<br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{b - \frac{bx_3 }{x_1 + i x_2}}{cz+d}z</math><br />
<br />
<br />
<math>T(z_0) = \frac{b - \frac{bx_3 (\frac{x_1 + ix_2}{x_3})}{x_1 + i x_2}}{cz+d} = \frac{b - b}{cz+d} = 0</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math>b\rightarrow \!oo</math><br />
<br />
<br />
entonces <math>T(z_0) = \!oo</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''6.'''Pruede que las transformaciones de Möbius son composición de algunas de las siguientes funciones: rotaciones, traslaciones, homotecias, y <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math>. Concluya mostrando que las transformaciones de Möbius preservan la familia de circulos y rectas.<br />
<br />
Considere la Transformación de Möbius.<br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
<br />
Sea <math>a = 1,\quad c = 0, \quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = z+b \qquad </math> entonces <math>T(z)</math>es una traslación. <br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad b = c = 0,\quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math>T(z) = az</math> entonces '''T(z)''' es una rotación por '''arg(a)''' y por una amplificación <math>\big |a\big |</math>.<br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad a = d = 0, \quad b = c = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<math> T(z) = \frac{1}{z}\qquad</math> entonces '''T(z)''' es una inversión.<br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 23:28 26 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''7. Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en la familia de círculos y rectas.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Puesto que una transformación del tipo <math>w=\frac{1}{z} </math> aplica en circunferencias y rectas, y como las rotaciones, los cambios de escala y las translaciones preservan rectas y circunferencias. Dicha transformación bilineal o de Möbius aplica en círculos y rectas.<br />
<br />
<br />
Un círculo en <math>{S^2}</math> es la intersección de un plano con la esfera, por lo cual satiface la siguiente ecuación:<br />
<br />
<br />
<math>ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\,\!</math><br />
<br />
<br />
Tenemos que<br />
<br />
<br />
<math> x_1=\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_2=\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_3=\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto, este círculo es la imagen bajo la proyección esterografica, cuyos puntos satisfacen la siguiente ecuación en el plano: <br />
<br />
<br />
<br />
<math>a\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )+b\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )+c\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)=d </math><br />
<br />
<br />
Escribiendo <math>z = x+iy\,\!</math>, se tiene<br />
<br />
<br />
<math> x^2+y^2-\frac{2a}{d-c}x-\frac{2by}{d-c}=1 </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( d-c \right )-2ax-2by =d-c </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( c-d \right )+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )c -\left ( x^2+y^2 \right )d+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2-1 \right )c -\left ( x^2+y^2+1 \right )d+2ax+2by =0 </math><br />
<br />
<br />
finalmente se tiene que<br />
<br />
<br />
<math>2ax + 2by + c(x^2+y^2-1) = d(x^2+y^2+1)\,\!</math>,<br />
<br />
<br />
que biene siendo la ecuación de una recta o un círculo, dependiendo si <math>d=c\,\!</math>, o si <math>d\ne c\,\!</math>.<br />
<br />
<br />
'''De otra manera:'''<br />
<br />
<br />
Puesto que <math>x+iy=z=\frac{1}{w} =\frac{\overline{w}}{|w|^2}=\frac{u}{u^2+v^2}-i\frac{v}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>x=\frac{u}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
<math>y=-\frac{v}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
Por tanto, la imagen de <math>\ f(x,y)=0</math> es<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 16:08 22 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''8.- Demuestre de dos maneras que el lugar de los puntos que cumplen la ecuación <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> <math> ,k\in\mathbb{R}^{+},a,b\in\mathbb{C},a\neq b</math> constituye una recta o un círculo (llamado de Apolonio).'''<br />
<br />
'''Solución'''<br />
<br />
Sea <br />
<br />
<math>z = x+iy\,\!, a = u+iv, b = c+id</math><br />
<br />
<br />
<br />
Entonces <br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|^{2}=k^{2}\left|z-b\right|^{2}</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left(x-u\right)^{2}+\left(y-v\right)^{2}=k\left(\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}\right)</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>x^2-2xu+u^2+y^2-2yv+v^2=kx^2-2kxc+c^2+ky^2-2kyd+kd^2\,\!</math> </center><br />
<br />
<br />
Si agrupamos esta expresión se tiene:<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(1-k\right)-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right) \qquad (I)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Si <math>k=1</math> se tiene la ecuación de una recta, es decir:<br />
<br />
<br />
<center><math>-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=c^{2}+d^{2}-\left(u^{2}+v^{2}\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Ahora para <math>k\neq1</math> la ecuación <math>\left(I\right)</math> al multiplicarla por<br />
<math>\frac{1}{\left(1-k\right)}<br />
</math> toma la forma:<br />
<br />
<br />
<center><math>\frac{}{}<br />
\left(x^{2}+y^{2}\right)-\frac{2x\left(u-kc\right)}{\left(1-k\right)}-\frac{2y\left(v-kd\right)}{\left(1-k\right)}=\frac{k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)}{\left(1-k\right)}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si completamos los cuadrados (más un poco de álgebra) de esta ultima expresión se obtiene lo<br />
siguiente<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\left(\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}+\frac{1}{1-k}\left(k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\frac{k}{\left(1-k\right)^{2}}\left(\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
lo cual es la ecuación de un círculo con centro <br />
<math>\left(\frac{u-kc}{1-k}\,,\,\frac{v-kd}{1-k}\right)</math><br />
y cuyo radio es <br />
<math>\frac{\sqrt{k}}{\left|1-k\right|}\sqrt{\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Otro método.<br />
<br />
<center><math><br />
\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(z-a\right)\left(\overline{z}-\overline{a}\right)=k\left(z-b\right)\left(\overline{z}-\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}-a\overline{z}-\overline{a}z+a\overline{a}=k\left(z\overline{z}-b\overline{z}-\overline{b}z+b\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
agrupando tenemos<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)-a\overline{z}-\overline{a}z+kb\overline{z}+k\overline{b}z=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)+\overline{z}\left(kb-a\right)+z\left(k\overline{b}-\overline{a}\right)=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio<math> A=\left(1-k\right), B=\left(kb-a\right),\overline{B}=\left(k\overline{b}-\overline{a}\right), C=kb\overline{b}-a\overline{a}\!,</math> , la anterior ecuación se escribe como<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
Az\overline{z}+B\overline{z}+\overline{B}z=C</math></center><br />
<br />
<br />
si <math> A=0</math> (entonces <math>k=1</math>) se tiene la ecución de una recta, si <math>A</math> es distinto<br />
de cero (entonces k es distinto de 1) y se tiene la ecuación de una<br />
circunferencia.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 01:46 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
'''9.- Sean <math>a,c</math> complejos, tal que no son ambos nulos, probar que<br />
<math>\left|\frac{\bar{a}z+\bar{c}}{cz+a}\right|=1</math>, si <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
Interpretar geometricamente.'''<br />
<br />
<br />
Sean <math> a=b+id , c=e+if , z=x+iy </math>.<br />
Entonces sustituyendo esto se tiene la siguiente expresión:<br />
<br />
<math>\left|\frac{\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)}{\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)}\right|=1 </math><br />
<br />
Por propiedades de la norma se sigue que<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|}{\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right|}=1 </math><br />
<br />
Y multiplicando ambos lados por el denominador llegamos a que<br />
<br />
<math>\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|=\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right| </math><br />
<br />
Desarrollando los producto y las operaciones para poder agrupar terminos se llega a<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right| </math><br />
<br />
Elevando al cuadrado para tener el cuadrado de la norma tenemos que<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|^{2}=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right|^{2} </math><br />
<br />
Donde es inmediato lo siguiente<br />
<br />
<math>\left(bx+dy+e\right)^{2}+\left(by-dx-f\right)^{2}=\left(b+ex-fy\right)^{2}+\left(d+fx+ey\right)^{2} </math><br />
<br />
Y despues de expander los polinomios<br />
<br />
<math>\left(e^{2}+f^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(b^{2}+d^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)=\left(b^{2}+d^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(e^{2}+f^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}\left|z\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}\left|z\right|^{2} </math> <br />
<br />
Donde <math>\left|z\right|=1</math><br />
<br />
<math>\therefore\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2} </math><br />
<br />
O tambien <br />
<br />
<math>\frac{\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}}{\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}}=1 </math><br />
<br />
Que era lo que se queria mostrar. <br />
<br />
Ahora geometricamente esto nos dice que la magnitud de la suma de<br />
dos numeros complejos es igual a la magnitud de la suma de sus conjugados.<br />
<br />
En las siguientes imagenes se muestra graficamente la interpretacion<br />
geometrica, el vector de color naranja es <math>z</math> y el azul y verde <math>a,c</math><br />
respectivamente.<br />
<br />
[[Imagen:Prueba1.jpg]][[Imagen:Prueba.jpg]]<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 14:12 9 dic 2009 (UTC)<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 19:42 21 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''10.- Probar que la funcion <math>z \rightarrow 1/z</math> es una rotacion de <math>\pi</math> radianes en la esfera de Riemann alrededor del eje x.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Las componentes del punto <math>A = (a_1,a_2,a_3)\,</math> en la esfera unitaria asociado a z son:<br />
<br />
<br />
<math>a_1 = \frac{z+\overline{z}}{|z|^2+1}, a_2 = \frac{z-\overline{z}}{i(|z|^2+1)}, a_3 = \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\,</math> <br />
<br />
<br />
Sea <math>\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> y tomando en cuenta que <math>|z| = |\overline{z}|\,</math>, entonces, las componentes del punto <math>B = (b_1,b_2,b_3)\,</math> de la esfera unitaria asociado a <math>\frac{1}{z}\,</math> son:<br />
<br />
<br />
<math>b_1 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}+\frac{z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{\overline{z}+z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\overline{z}+z}{|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}+z}{1+|z|^2} = a_1\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_2 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}-\frac{z}{|z|^2}}{i(\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i(1+|z|^2)} = -\frac{z-\overline{z}}{i(1+|z|^2)} = -a_2\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_3 = \frac{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}-1}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{1}{|z|^2}-1}{\frac{1}{|z|^2}+1} = \frac{1-|z|^2}{1+|z|^2} = -\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} = -a_3\,</math> ...<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 00:03 9 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''11.''' '''Probar que dados dos puntos''' <math>z,w \in \mathbb C</math> '''se tiene que sus proyecciones en la esfera de Riemann son antípodas si y solo si''' <math>z\bar{w} = -1</math><br />
<br />
<br />
SOLUCION.<br />
<br />
Sea <math>z \in \mathbb C \quad a,b \in \mathbb R</math> <br />
<br />
se pasa del plano complejo a la esfera de Riemann.<br />
<br />
<math>\psi: \mathbb C \rightarrow \mathbb S^2 - \lbrace e_3 \rbrace </math><br />
<br />
<math> z \mapsto (x_1 , x_2 , x_3)</math><br />
<br />
<br />
Si <math>\ z=a+ib \mapsto \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)</math> es el punto '''P''' en la esfera de Riemann.<br />
<br />
<br />
con este punto '''P''' y el centro '''C''' de la esfera se construye una recta que pase por estos puntos:<br />
<br />
<br />
Sea <math>\mathcal {L} =\ p + t\vec{v} \quad , \forall t \in \mathbb R </math> donde <math>\vec v</math>es el vector director que va de '''P''' a ''' C''' esto es <br />
<br />
<br />
<math>\vec {v} =(0,0,0)- \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) </math><br />
<br />
<br />
nuestra ecuacion de la recta queda de la siguiente manera:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\mathcal {L} =\left (\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right) + t \left (\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \quad , \forall t \in \mathbb R </math><br />
<br />
<br />
Cuando <math>\ t=0</math> tenemos a <math>\ P</math> en la esfera.<br />
<br />
cuando <math>\ t=1</math> tenemos el centro <math>\ (0,0,0)</math> de la esfera de Riemann.<br />
<br />
cuando <math>\ t=2 </math> tenemos al punto <math>\ Q</math> que es la antipoda de <math>\ p</math><br />
<br />
<br />
<math> \Rightarrow Q=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \, antipoda \quad de\quad p \quad en \quad la \quad esfera \quad de \quad Riemann </math><br />
<br />
<br />
teniendo a <math> \ Q</math> sobre la esfera de Riemann volvemos al plano complejo mediante la siguiente tranformacion:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\varphi: \mathbb S^2 -\lbrace e_3 \rbrace \rightarrow \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>Q \mapsto \frac {x_1 +ix_2}{1-x_3} </math>, que nos da un punto <math>\ w_Q \in \mathbb C</math> <br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q=\frac {x_1 +ix_2}{1-x_3}=\frac {\frac {-2a}{a^2+b^2+1} +i \frac {-2b}{a^2+b^2+1}}{1+ \frac {a^2+b^2-1}{a^2+b^2+1}} = \frac{ \frac{-2}{a^2+b^2+1}(a+ib) }{ \frac {2a^2+2b^2}{a^2+b^2+1} } = \frac {-2}{2a^2+2b^2}(a+ib) = \frac {-1}{a^2+b^2}(a+ib) </math> <br />
<br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} </math><br />
<br />
<br />
Como la proyeccion en la esfera de Riemann de <math>\ w_Q </math> es la antipoda de <math>\ z </math> se debe de cumplir que <math>z\bar{w_Q} = -1</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> z=a+ib \quad, w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} \in \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow z\bar{w_Q} =(a+ib)\left ( -\frac {a}{a^2 + b^2} +i \frac {b}{a^2+ b^2}\right )=\left ( -\frac {a^2}{a^2 + b^2} -\frac {b^2}{a^2+ b^2}\right )+i\left ( -\frac {ab}{a^2 + b^2} + \frac {ab}{a^2+ b^2}\right ) </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\left ( \frac {-(a^2+b^2)}{a^2 + b^2} \right )+i(0)=-1</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore z,w</math> son antipodas si y solo si <math>z\bar{w} = -1 \quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 15:11 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''12.'''¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la funcion <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> ?<br />
<br />
<br />
SOLUCIÓN:<br />
<br />
para la imagen notemos que <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> es continua exepto cuando <math>\ z=0</math>, por lo que su imagen es todo el plano complejo exepto el origen.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.2&diff=11832
Compleja:ej-cap1.2
2009-12-14T03:05:39Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>==EJERCICIOS 1.2.1 ==<br />
<br />
'''1.''' '''Demuestre que una una funcion''' <math>f:A\subset\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} </math> '''es continua en''' <math>{z_0}\in A</math> '''si y soló si para toda sucesión''' <math>{z_n},n\in\mathbb{N}, </math> '''tal que''' <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow\infty,</math> '''se tiene''' <math>f(z_n)\rightarrow f(z_0),</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Supongamos que <math> \ f<br />
</math> es continua en <math>\ z_0 </math> , es decir:<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad\exists \delta = \delta(\epsilon)> 0 </math> <br />
<br />
tal que <math>\quad | z - z_0 |<\delta \Rightarrow | f(z) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
y supongamos que <math>\lbrace z_n \rbrace , n\in \mathbb{N} </math> es una sucesión en <math>\ A </math> tal que <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math><br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<math>f(z_n)\rightarrow f(z_0)</math><br />
<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad \exists N = N(\epsilon)\in \mathbb N ,\quad n\geq N \Rightarrow | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
como <math>\ f</math> es continua en <math>\ z_0</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists\delta = \delta(\epsilon)>0</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow z_n \rightarrow z_0 </math><br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists M = M(\epsilon) \in \mathbb N, \quad n \geq M \Rightarrow | z_n - z_0 |< \delta </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore f(z_n) \rightarrow f(z_0)\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.''' '''Demuestre que una sucesión''' <math> \ \lbrace a_n \rbrace</math> en <math>\mathbb R^n </math> '''es de ''Cauchy'' si y sólo es convergente.<br />
<br />
'''<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Una sucesión en <math>\mathbb R^n </math> se dice que es de ''Cauchy'' si para todo <math>\epsilon >0 ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in \mathbb N </math> tal que <math>|a_m - a_n|<\epsilon , \quad \forall m,n \geq N</math> '''.'''<br />
<br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<br />
Si la sucesión es convergente, esto es si <math>\lim {a_n}=L \quad \Rightarrow \quad \forall \epsilon > 0\quad ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in\mathbb N </math><br />
<br />
<br />
tal que <math>|a_n - L|<\frac{\epsilon}{2}\quad, \quad \forall n\geq N</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow </math> si <math>m,n\geq N ,</math> se tiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ |a_m - a_n|=|a_m - L +L - a_n| \leq |a_m - L| + | L - a_n|< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}\!=\!{\epsilon} </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore \lbrace a_n \rbrace \quad es \quad de \quad Cauchy.\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
== EJERCICIOS 1.2.2 ==<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''1. Demuestre que la funcion estereográfica <math>(x_1,x_2,x_3)\to\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math> de la esfera de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.<br />
<br />
Definicion: Una funcion es suprayectiva si a un punto en la esfera<math>(x_1,x_2,x_3)</math> le corresponde uno(s) puntos dentro del plano complejo <math>\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
Una función es sobre si para toda '''y''' pertenece al Codominio <math>(f)</math> ,existe '''x''' pertenece al Dominio de <br />
<math>(f)</math> tal que <math> y = f(x)</math><br />
<br />
Notaciòn (para la demostraciòn): S= Esfera, C= punto en el plano proyectado por la esfera.<br />
<br />
Dominio<math>(f)= S</math> y el Codominio<math>(f)= C</math> y tambièn<br />
<math> C = z\epsilon\mathbb{C}:, f(z)=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
<math>z\epsilon\mathbb{C}:x_3\ne1 </math><br />
<br />
Suponga <math>\bar{x}\epsilon</math> S donde <math>\bar{x}=(x_1,x_2,x_3)</math><br />
<br />
Condicion de la esfera <math>(x_1^2+x_2^2+x_3^2=1)</math> donde <math>x_2</math> pertenece a '''i'''<br />
<br />
Ahora bien sabemos que la magnitud cuadrática <math>\bar{x}</math> es 1 <br />
<br />
<br />
<math>\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}\epsilon</math> Codominio de (f)<br />
<br />
Sea '''y''' que pertenece al Codominio de (f) donde : <math>y= ai+b</math><br />
<br />
Sea <math>a=\frac{x_1}{1-x_3}</math> y <math>b=\frac{x_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
tomando en cuenta que <math>y=f(x)</math><br />
<br />
de esta manera <math>f(x)=\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 03:09 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''2. Demuestre que si <math>z_n\rightarrow \infty.</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math>, entonces <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Como <math>z_n\rightarrow \infty.</math><br />
<math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Recordando la definiciòn del limite dado un <math>N_o</math> nos aproximamos.<br />
<math>\exists\N_o\epsilon\mathbb N+ n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> por hipótesis.<br />
<br />
P.D. <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math>, asi como también <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Ahora usando la definiciòn del limite dentro de la mètrica cordal tenemos un <math>N_o^\prime</math> donde limite se aproxima a cero cuando <math>n\rightarrow \infty.</math> <br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty) - 0 |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty)|<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
Usando la definición de la distancia cordal entre dos puntos<br />
<br />
<math>d_C(z_1,z_2)=|\pi(z_1)-\pi(z_2)|</math><br />
<br />
P.D.<math>\quad\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon </math><br />
<br />
Tomamos el lìmite descrito anteriomente.<br />
<br />
Por hipótesis <math>\quad\exists\N_o\epsilon\mathbb N</math> tal que <math>\quad n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> <br />
<br />
Sea <math>N_o</math> como antes por la continuidad de <math>\pi</math><br />
<br />
Finalmente usando la definiciòn de metrica cordal.<br />
<br />
Si <math>\quad n\geq N_o\to|\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon</math> <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 04:20 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''3. Las transformaciones de Möbius definidas en (1.4) se extienden a la esfera de Riemann <math>\hat{\mathbb{C}} </math> como sigue: si <math>c=0, T(\infty)=\infty</math>, y si <math>c\neq0, T(\infty)=\frac{a}{c}</math> y <math>T(\frac{-d}{c})=\infty</math>.Demuestre que estas funciones son continuas en dicha esfera con la metrica cordal.<br />
<br />
Transformaciones de Möbius complejas.(1.4)<br />
<math>z\to\frac{az+b}{cz+d} , ad-bc\neq0, a,b,c,d. <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
Se define la metrica cordal en el plano complejo extendido de la sig. manera.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2) = <br />
\begin{cases} <br />
\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}, & si z_1,z_2\neq\infty \\<br />
\frac{2}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}}, & si z_2=\infty. <br />
\end{cases}</math><br />
<br />
para los casos extremos.<br />
<br />
si <math>c=0, T(\infty)=\frac{az+b}{d}=\frac{a(\infty)+b}{d}=\infty.</math><br />
<br />
si <math>c\neq0, T(z)=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{z}{z}\frac{a+\frac{b}{z}}{c+\frac{d}{z}}<br />
<br />
<br />
,T(\infty)=\frac{a+\frac{b}{\infty}}{c+\frac{d}{\infty}}=\frac{a}{c}.</math><br />
<br />
<br />
<br />
si <math>T(\frac{-d}{c})=\frac{a(\frac{-d}{c})+b}{c(\frac{-d}{c})+d}=\infty.</math><br />
<br />
<br />
generalizando, para <math>z_1,z_2 \epsilon\mathbb{C}</math>, (arbitrarias).<br />
<br />
por hip.<math>c=0\therefore</math><br />
<br />
<math>T(z)=\frac{az+b}{d}=\frac{a}{d}z+\frac{b}{d}</math>.<br />
<br />
<math>\forall\epsilon>0, \exists\delta>0 </math><br />
<br />
<br />
tal que si<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_1-z_2\right|<\delta , \left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
entonces<br />
<math>\left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\left|z_1-z_2\right|\delta <\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
<math>T(z_1)-T(z_2)=\left(\frac{a}{d}z_1+\frac{b}{d}\right)-\left(\frac{a}{d}z_2+\frac{b}{d}\right)=\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)</math><br />
<br />
<br />
por <math>\left(d\left(0,x-y\right)=d\left(x,y\right)\right)</math><br />
<br />
<math>d_c\left(0,T(z_1)-T(z_2)\right)=d_c\left(0,\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)\right)=d_c\left(\frac{a}{d}z_1,\frac{a}{d}z_2\right)</math><br />
<br />
ahora si<math>z_1,z_2\ne\infty</math> y <math>\delta\approx \frac{1}{k}</math> donde <math>k=\frac{a}{d}</math><br />
<br />
con la metrica cordal.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2)=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+k^2\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+k^2\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{k^2\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<math>=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{k\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore d_c(z_1,z_2)<\epsilon</math><br />
<br />
ya q se mostro que <math>\frac{az+b}{d}</math><br />
<br />
es continua, se puede probar lo mismo para <br />
<br />
<math> c z+ d </math>.<br />
<br />
<br />
por teo. de continuidad si<br />
<br />
<math> f\left(x\right),g\left(x\right)</math> <br />
<br />
son continuas, tambien<br />
<br />
<br />
<math>\frac{f(x)}{g(x)}</math>, es continua.<br />
<br />
<br />
<math>\therefore \frac{az_1+b}{cz_2+d}</math> <br />
<br />
es continua si<br />
<br />
<math>c \ne 0</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 00:42 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4.'''Demuestre que si ''AB'' son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de Möbius ''f,g'', respectivamente, entonces la matriz ''BA'' representa la composicion ''gf'', que también es de Möbius.Concluya mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera en sí misma, y que ademas constituyen un grupo.<br />
<br />
SOLUCION:<br />
<br />
tenemos que <math>\ f, g </math> son transformaciones de Möbius<br />
<br />
<br />
<math>f(z)=\frac{a' z + b'}{c' z + d'}\quad\quad g(z)=\frac{a z + b}{c z + d}</math><br />
<br />
<br />
sean <math>\ A, B </math> las representaciones matriciales de <math>\ g, f </math> respectivamente<br />
<br />
<br />
<math>A = \begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix} \quad \quad B = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
entonces <br />
<br />
<math>BA = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}<br />
a'a + b'c & c'a + d'c \\<br />
a'b + b'd & c'b + d'd \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
<br />
entonces<br />
<br />
<math>gf=\frac{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}{(a'b + b'd)z + (c'b + d'd)}</math><br />
<br />
los elementos de la matriz ''BA'' son elementos de funciones biyectivas, entonces dicha matriz también es biyectiva, y por lo tanto ''gf'' es biyectiva y de Möbius.<br />
<br />
<br />
Por ser de Möbius es meromorfa, ahora notemos que ''gf'' es continua y que <br />
<br />
<math>\frac{1}{gf}=\frac{(a'b + b')z + (c'b + d'd)}{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}</math><br />
<br />
<br />
tambien es continua por lo que concluimos que es bicontinua.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''5.'''Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en ternas de puntos de la esfera de Riemann. Sugerencia: Dada una terna, encuentre una función de Möbius que la mande en 1, 0 e <math>o\!o</math><br />
<br />
Sea <math>(x_1,x_2,x_3)\rightarrow \frac{x_1 + ix_2}{x_3} = z_0</math><br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = \frac{(1-b)x_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
y <math> \quad c = \frac{(1-d)x_3}{x_1 + i x_2} \quad </math>; <math>ad-bc\neq0</math><br />
<br />
<br />
entonces <math> T(z) = \frac{(1-b)x_3 z + (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 z + (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<math> T(z_0) = \frac{(1-b)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3}\Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3} \Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = \frac{(1-b) (<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)(<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = 1</math><br />
<br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{b - \frac{bx_3 }{x_1 + i x_2}}{cz+d}z</math><br />
<br />
<br />
<math>T(z_0) = \frac{b - \frac{bx_3 (\frac{x_1 + ix_2}{x_3})}{x_1 + i x_2}}{cz+d} = \frac{b - b}{cz+d} = 0</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math>b\rightarrow \!oo</math><br />
<br />
<br />
entonces <math>T(z_0) = \!oo</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''6.'''Pruede que las transformaciones de Möbius son composición de algunas de las siguientes funciones: rotaciones, traslaciones, homotecias, y <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math>. Concluya mostrando que las transformaciones de Möbius preservan la familia de circulos y rectas.<br />
<br />
Considere la Transformación de Möbius.<br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
<br />
Sea <math>a = 1,\quad c = 0, \quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = z+b \qquad </math> entonces <math>T(z)</math>es una traslación. <br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad b = c = 0,\quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math>T(z) = az</math> entonces '''T(z)''' es una rotación por '''arg(a)''' y por una amplificación <math>\big |a\big |</math>.<br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad a = d = 0, \quad b = c = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<math> T(z) = \frac{1}{z}\qquad</math> entonces '''T(z)''' es una inversión.<br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 23:28 26 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''7. Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en la familia de círculos y rectas.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Puesto que una transformación del tipo <math>w=\frac{1}{z} </math> aplica en circunferencias y rectas, y como las rotaciones, los cambios de escala y las translaciones preservan rectas y circunferencias. Dicha transformación bilineal o de Möbius aplica en círculos y rectas.<br />
<br />
<br />
Un círculo en <math>{S^2}</math> es la intersección de un plano con la esfera, por lo cual satiface la siguiente ecuación:<br />
<br />
<br />
<math>ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\,\!</math><br />
<br />
<br />
Tenemos que<br />
<br />
<br />
<math> x_1=\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_2=\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_3=\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto, este círculo es la imagen bajo la proyección esterografica, cuyos puntos satisfacen la siguiente ecuación en el plano: <br />
<br />
<br />
<br />
<math>a\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )+b\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )+c\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)=d </math><br />
<br />
<br />
Escribiendo <math>z = x+iy\,\!</math>, se tiene<br />
<br />
<br />
<math> x^2+y^2-\frac{2a}{d-c}x-\frac{2by}{d-c}=1 </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( d-c \right )-2ax-2by =d-c </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( c-d \right )+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )c -\left ( x^2+y^2 \right )d+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2-1 \right )c -\left ( x^2+y^2+1 \right )d+2ax+2by =0 </math><br />
<br />
<br />
finalmente se tiene que<br />
<br />
<br />
<math>2ax + 2by + c(x^2+y^2-1) = d(x^2+y^2+1)\,\!</math>,<br />
<br />
<br />
que biene siendo la ecuación de una recta o un círculo, dependiendo si <math>d=c\,\!</math>, o si <math>d\ne c\,\!</math>.<br />
<br />
<br />
'''De otra manera:'''<br />
<br />
<br />
Puesto que <math>x+iy=z=\frac{1}{w} =\frac{\overline{w}}{|w|^2}=\frac{u}{u^2+v^2}-i\frac{v}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>x=\frac{u}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
<math>y=-\frac{v}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 16:08 22 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''8.- Demuestre de dos maneras que el lugar de los puntos que cumplen la ecuación <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> <math> ,k\in\mathbb{R}^{+},a,b\in\mathbb{C},a\neq b</math> constituye una recta o un círculo (llamado de Apolonio).'''<br />
<br />
'''Solución'''<br />
<br />
Sea <br />
<br />
<math>z = x+iy\,\!, a = u+iv, b = c+id</math><br />
<br />
<br />
<br />
Entonces <br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|^{2}=k^{2}\left|z-b\right|^{2}</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left(x-u\right)^{2}+\left(y-v\right)^{2}=k\left(\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}\right)</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>x^2-2xu+u^2+y^2-2yv+v^2=kx^2-2kxc+c^2+ky^2-2kyd+kd^2\,\!</math> </center><br />
<br />
<br />
Si agrupamos esta expresión se tiene:<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(1-k\right)-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right) \qquad (I)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Si <math>k=1</math> se tiene la ecuación de una recta, es decir:<br />
<br />
<br />
<center><math>-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=c^{2}+d^{2}-\left(u^{2}+v^{2}\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Ahora para <math>k\neq1</math> la ecuación <math>\left(I\right)</math> al multiplicarla por<br />
<math>\frac{1}{\left(1-k\right)}<br />
</math> toma la forma:<br />
<br />
<br />
<center><math>\frac{}{}<br />
\left(x^{2}+y^{2}\right)-\frac{2x\left(u-kc\right)}{\left(1-k\right)}-\frac{2y\left(v-kd\right)}{\left(1-k\right)}=\frac{k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)}{\left(1-k\right)}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si completamos los cuadrados (más un poco de álgebra) de esta ultima expresión se obtiene lo<br />
siguiente<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\left(\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}+\frac{1}{1-k}\left(k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\frac{k}{\left(1-k\right)^{2}}\left(\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
lo cual es la ecuación de un círculo con centro <br />
<math>\left(\frac{u-kc}{1-k}\,,\,\frac{v-kd}{1-k}\right)</math><br />
y cuyo radio es <br />
<math>\frac{\sqrt{k}}{\left|1-k\right|}\sqrt{\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Otro método.<br />
<br />
<center><math><br />
\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(z-a\right)\left(\overline{z}-\overline{a}\right)=k\left(z-b\right)\left(\overline{z}-\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}-a\overline{z}-\overline{a}z+a\overline{a}=k\left(z\overline{z}-b\overline{z}-\overline{b}z+b\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
agrupando tenemos<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)-a\overline{z}-\overline{a}z+kb\overline{z}+k\overline{b}z=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)+\overline{z}\left(kb-a\right)+z\left(k\overline{b}-\overline{a}\right)=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio<math> A=\left(1-k\right), B=\left(kb-a\right),\overline{B}=\left(k\overline{b}-\overline{a}\right), C=kb\overline{b}-a\overline{a}\!,</math> , la anterior ecuación se escribe como<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
Az\overline{z}+B\overline{z}+\overline{B}z=C</math></center><br />
<br />
<br />
si <math> A=0</math> (entonces <math>k=1</math>) se tiene la ecución de una recta, si <math>A</math> es distinto<br />
de cero (entonces k es distinto de 1) y se tiene la ecuación de una<br />
circunferencia.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 01:46 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
'''9.- Sean <math>a,c</math> complejos, tal que no son ambos nulos, probar que<br />
<math>\left|\frac{\bar{a}z+\bar{c}}{cz+a}\right|=1</math>, si <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
Interpretar geometricamente.'''<br />
<br />
<br />
Sean <math> a=b+id , c=e+if , z=x+iy </math>.<br />
Entonces sustituyendo esto se tiene la siguiente expresión:<br />
<br />
<math>\left|\frac{\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)}{\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)}\right|=1 </math><br />
<br />
Por propiedades de la norma se sigue que<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|}{\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right|}=1 </math><br />
<br />
Y multiplicando ambos lados por el denominador llegamos a que<br />
<br />
<math>\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|=\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right| </math><br />
<br />
Desarrollando los producto y las operaciones para poder agrupar terminos se llega a<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right| </math><br />
<br />
Elevando al cuadrado para tener el cuadrado de la norma tenemos que<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|^{2}=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right|^{2} </math><br />
<br />
Donde es inmediato lo siguiente<br />
<br />
<math>\left(bx+dy+e\right)^{2}+\left(by-dx-f\right)^{2}=\left(b+ex-fy\right)^{2}+\left(d+fx+ey\right)^{2} </math><br />
<br />
Y despues de expander los polinomios<br />
<br />
<math>\left(e^{2}+f^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(b^{2}+d^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)=\left(b^{2}+d^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(e^{2}+f^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}\left|z\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}\left|z\right|^{2} </math> <br />
<br />
Donde <math>\left|z\right|=1</math><br />
<br />
<math>\therefore\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2} </math><br />
<br />
O tambien <br />
<br />
<math>\frac{\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}}{\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}}=1 </math><br />
<br />
Que era lo que se queria mostrar. <br />
<br />
Ahora geometricamente esto nos dice que la magnitud de la suma de<br />
dos numeros complejos es igual a la magnitud de la suma de sus conjugados.<br />
<br />
En las siguientes imagenes se muestra graficamente la interpretacion<br />
geometrica, el vector de color naranja es <math>z</math> y el azul y verde <math>a,c</math><br />
respectivamente.<br />
<br />
[[Imagen:Prueba1.jpg]][[Imagen:Prueba.jpg]]<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 14:12 9 dic 2009 (UTC)<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 19:42 21 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''10.- Probar que la funcion <math>z \rightarrow 1/z</math> es una rotacion de <math>\pi</math> radianes en la esfera de Riemann alrededor del eje x.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Las componentes del punto <math>A = (a_1,a_2,a_3)\,</math> en la esfera unitaria asociado a z son:<br />
<br />
<br />
<math>a_1 = \frac{z+\overline{z}}{|z|^2+1}, a_2 = \frac{z-\overline{z}}{i(|z|^2+1)}, a_3 = \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\,</math> <br />
<br />
<br />
Sea <math>\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> y tomando en cuenta que <math>|z| = |\overline{z}|\,</math>, entonces, las componentes del punto <math>B = (b_1,b_2,b_3)\,</math> de la esfera unitaria asociado a <math>\frac{1}{z}\,</math> son:<br />
<br />
<br />
<math>b_1 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}+\frac{z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{\overline{z}+z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\overline{z}+z}{|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}+z}{1+|z|^2} = a_1\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_2 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}-\frac{z}{|z|^2}}{i(\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i(1+|z|^2)} = -\frac{z-\overline{z}}{i(1+|z|^2)} = -a_2\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_3 = \frac{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}-1}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{1}{|z|^2}-1}{\frac{1}{|z|^2}+1} = \frac{1-|z|^2}{1+|z|^2} = -\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} = -a_3\,</math> ...<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 00:03 9 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''11.''' '''Probar que dados dos puntos''' <math>z,w \in \mathbb C</math> '''se tiene que sus proyecciones en la esfera de Riemann son antípodas si y solo si''' <math>z\bar{w} = -1</math><br />
<br />
<br />
SOLUCION.<br />
<br />
Sea <math>z \in \mathbb C \quad a,b \in \mathbb R</math> <br />
<br />
se pasa del plano complejo a la esfera de Riemann.<br />
<br />
<math>\psi: \mathbb C \rightarrow \mathbb S^2 - \lbrace e_3 \rbrace </math><br />
<br />
<math> z \mapsto (x_1 , x_2 , x_3)</math><br />
<br />
<br />
Si <math>\ z=a+ib \mapsto \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)</math> es el punto '''P''' en la esfera de Riemann.<br />
<br />
<br />
con este punto '''P''' y el centro '''C''' de la esfera se construye una recta que pase por estos puntos:<br />
<br />
<br />
Sea <math>\mathcal {L} =\ p + t\vec{v} \quad , \forall t \in \mathbb R </math> donde <math>\vec v</math>es el vector director que va de '''P''' a ''' C''' esto es <br />
<br />
<br />
<math>\vec {v} =(0,0,0)- \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) </math><br />
<br />
<br />
nuestra ecuacion de la recta queda de la siguiente manera:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\mathcal {L} =\left (\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right) + t \left (\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \quad , \forall t \in \mathbb R </math><br />
<br />
<br />
Cuando <math>\ t=0</math> tenemos a <math>\ P</math> en la esfera.<br />
<br />
cuando <math>\ t=1</math> tenemos el centro <math>\ (0,0,0)</math> de la esfera de Riemann.<br />
<br />
cuando <math>\ t=2 </math> tenemos al punto <math>\ Q</math> que es la antipoda de <math>\ p</math><br />
<br />
<br />
<math> \Rightarrow Q=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \, antipoda \quad de\quad p \quad en \quad la \quad esfera \quad de \quad Riemann </math><br />
<br />
<br />
teniendo a <math> \ Q</math> sobre la esfera de Riemann volvemos al plano complejo mediante la siguiente tranformacion:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\varphi: \mathbb S^2 -\lbrace e_3 \rbrace \rightarrow \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>Q \mapsto \frac {x_1 +ix_2}{1-x_3} </math>, que nos da un punto <math>\ w_Q \in \mathbb C</math> <br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q=\frac {x_1 +ix_2}{1-x_3}=\frac {\frac {-2a}{a^2+b^2+1} +i \frac {-2b}{a^2+b^2+1}}{1+ \frac {a^2+b^2-1}{a^2+b^2+1}} = \frac{ \frac{-2}{a^2+b^2+1}(a+ib) }{ \frac {2a^2+2b^2}{a^2+b^2+1} } = \frac {-2}{2a^2+2b^2}(a+ib) = \frac {-1}{a^2+b^2}(a+ib) </math> <br />
<br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} </math><br />
<br />
<br />
Como la proyeccion en la esfera de Riemann de <math>\ w_Q </math> es la antipoda de <math>\ z </math> se debe de cumplir que <math>z\bar{w_Q} = -1</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> z=a+ib \quad, w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} \in \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow z\bar{w_Q} =(a+ib)\left ( -\frac {a}{a^2 + b^2} +i \frac {b}{a^2+ b^2}\right )=\left ( -\frac {a^2}{a^2 + b^2} -\frac {b^2}{a^2+ b^2}\right )+i\left ( -\frac {ab}{a^2 + b^2} + \frac {ab}{a^2+ b^2}\right ) </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\left ( \frac {-(a^2+b^2)}{a^2 + b^2} \right )+i(0)=-1</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore z,w</math> son antipodas si y solo si <math>z\bar{w} = -1 \quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 15:11 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''12.'''¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la funcion <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> ?<br />
<br />
<br />
SOLUCIÓN:<br />
<br />
para la imagen notemos que <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> es continua exepto cuando <math>\ z=0</math>, por lo que su imagen es todo el plano complejo exepto el origen.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.2&diff=11831
Compleja:ej-cap1.2
2009-12-14T03:04:43Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>==EJERCICIOS 1.2.1 ==<br />
<br />
'''1.''' '''Demuestre que una una funcion''' <math>f:A\subset\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} </math> '''es continua en''' <math>{z_0}\in A</math> '''si y soló si para toda sucesión''' <math>{z_n},n\in\mathbb{N}, </math> '''tal que''' <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow\infty,</math> '''se tiene''' <math>f(z_n)\rightarrow f(z_0),</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Supongamos que <math> \ f<br />
</math> es continua en <math>\ z_0 </math> , es decir:<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad\exists \delta = \delta(\epsilon)> 0 </math> <br />
<br />
tal que <math>\quad | z - z_0 |<\delta \Rightarrow | f(z) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
y supongamos que <math>\lbrace z_n \rbrace , n\in \mathbb{N} </math> es una sucesión en <math>\ A </math> tal que <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math><br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<math>f(z_n)\rightarrow f(z_0)</math><br />
<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad \exists N = N(\epsilon)\in \mathbb N ,\quad n\geq N \Rightarrow | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
como <math>\ f</math> es continua en <math>\ z_0</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists\delta = \delta(\epsilon)>0</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow z_n \rightarrow z_0 </math><br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists M = M(\epsilon) \in \mathbb N, \quad n \geq M \Rightarrow | z_n - z_0 |< \delta </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore f(z_n) \rightarrow f(z_0)\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.''' '''Demuestre que una sucesión''' <math> \ \lbrace a_n \rbrace</math> en <math>\mathbb R^n </math> '''es de ''Cauchy'' si y sólo es convergente.<br />
<br />
'''<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Una sucesión en <math>\mathbb R^n </math> se dice que es de ''Cauchy'' si para todo <math>\epsilon >0 ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in \mathbb N </math> tal que <math>|a_m - a_n|<\epsilon , \quad \forall m,n \geq N</math> '''.'''<br />
<br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<br />
Si la sucesión es convergente, esto es si <math>\lim {a_n}=L \quad \Rightarrow \quad \forall \epsilon > 0\quad ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in\mathbb N </math><br />
<br />
<br />
tal que <math>|a_n - L|<\frac{\epsilon}{2}\quad, \quad \forall n\geq N</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow </math> si <math>m,n\geq N ,</math> se tiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ |a_m - a_n|=|a_m - L +L - a_n| \leq |a_m - L| + | L - a_n|< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}\!=\!{\epsilon} </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore \lbrace a_n \rbrace \quad es \quad de \quad Cauchy.\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
== EJERCICIOS 1.2.2 ==<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''1. Demuestre que la funcion estereográfica <math>(x_1,x_2,x_3)\to\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math> de la esfera de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.<br />
<br />
Definicion: Una funcion es suprayectiva si a un punto en la esfera<math>(x_1,x_2,x_3)</math> le corresponde uno(s) puntos dentro del plano complejo <math>\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
Una función es sobre si para toda '''y''' pertenece al Codominio <math>(f)</math> ,existe '''x''' pertenece al Dominio de <br />
<math>(f)</math> tal que <math> y = f(x)</math><br />
<br />
Notaciòn (para la demostraciòn): S= Esfera, C= punto en el plano proyectado por la esfera.<br />
<br />
Dominio<math>(f)= S</math> y el Codominio<math>(f)= C</math> y tambièn<br />
<math> C = z\epsilon\mathbb{C}:, f(z)=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
<math>z\epsilon\mathbb{C}:x_3\ne1 </math><br />
<br />
Suponga <math>\bar{x}\epsilon</math> S donde <math>\bar{x}=(x_1,x_2,x_3)</math><br />
<br />
Condicion de la esfera <math>(x_1^2+x_2^2+x_3^2=1)</math> donde <math>x_2</math> pertenece a '''i'''<br />
<br />
Ahora bien sabemos que la magnitud cuadrática <math>\bar{x}</math> es 1 <br />
<br />
<br />
<math>\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}\epsilon</math> Codominio de (f)<br />
<br />
Sea '''y''' que pertenece al Codominio de (f) donde : <math>y= ai+b</math><br />
<br />
Sea <math>a=\frac{x_1}{1-x_3}</math> y <math>b=\frac{x_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
tomando en cuenta que <math>y=f(x)</math><br />
<br />
de esta manera <math>f(x)=\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 03:09 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''2. Demuestre que si <math>z_n\rightarrow \infty.</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math>, entonces <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Como <math>z_n\rightarrow \infty.</math><br />
<math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Recordando la definiciòn del limite dado un <math>N_o</math> nos aproximamos.<br />
<math>\exists\N_o\epsilon\mathbb N+ n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> por hipótesis.<br />
<br />
P.D. <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math>, asi como también <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Ahora usando la definiciòn del limite dentro de la mètrica cordal tenemos un <math>N_o^\prime</math> donde limite se aproxima a cero cuando <math>n\rightarrow \infty.</math> <br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty) - 0 |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty)|<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
Usando la definición de la distancia cordal entre dos puntos<br />
<br />
<math>d_C(z_1,z_2)=|\pi(z_1)-\pi(z_2)|</math><br />
<br />
P.D.<math>\quad\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon </math><br />
<br />
Tomamos el lìmite descrito anteriomente.<br />
<br />
Por hipótesis <math>\quad\exists\N_o\epsilon\mathbb N</math> tal que <math>\quad n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> <br />
<br />
Sea <math>N_o</math> como antes por la continuidad de <math>\pi</math><br />
<br />
Finalmente usando la definiciòn de metrica cordal.<br />
<br />
Si <math>\quad n\geq N_o\to|\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon</math> <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 04:20 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''3. Las transformaciones de Möbius definidas en (1.4) se extienden a la esfera de Riemann <math>\hat{\mathbb{C}} </math> como sigue: si <math>c=0, T(\infty)=\infty</math>, y si <math>c\neq0, T(\infty)=\frac{a}{c}</math> y <math>T(\frac{-d}{c})=\infty</math>.Demuestre que estas funciones son continuas en dicha esfera con la metrica cordal.<br />
<br />
Transformaciones de Möbius complejas.(1.4)<br />
<math>z\to\frac{az+b}{cz+d} , ad-bc\neq0, a,b,c,d. <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
Se define la metrica cordal en el plano complejo extendido de la sig. manera.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2) = <br />
\begin{cases} <br />
\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}, & si z_1,z_2\neq\infty \\<br />
\frac{2}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}}, & si z_2=\infty. <br />
\end{cases}</math><br />
<br />
para los casos extremos.<br />
<br />
si <math>c=0, T(\infty)=\frac{az+b}{d}=\frac{a(\infty)+b}{d}=\infty.</math><br />
<br />
si <math>c\neq0, T(z)=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{z}{z}\frac{a+\frac{b}{z}}{c+\frac{d}{z}}<br />
<br />
<br />
,T(\infty)=\frac{a+\frac{b}{\infty}}{c+\frac{d}{\infty}}=\frac{a}{c}.</math><br />
<br />
<br />
<br />
si <math>T(\frac{-d}{c})=\frac{a(\frac{-d}{c})+b}{c(\frac{-d}{c})+d}=\infty.</math><br />
<br />
<br />
generalizando, para <math>z_1,z_2 \epsilon\mathbb{C}</math>, (arbitrarias).<br />
<br />
por hip.<math>c=0\therefore</math><br />
<br />
<math>T(z)=\frac{az+b}{d}=\frac{a}{d}z+\frac{b}{d}</math>.<br />
<br />
<math>\forall\epsilon>0, \exists\delta>0 </math><br />
<br />
<br />
tal que si<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_1-z_2\right|<\delta , \left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
entonces<br />
<math>\left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\left|z_1-z_2\right|\delta <\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
<math>T(z_1)-T(z_2)=\left(\frac{a}{d}z_1+\frac{b}{d}\right)-\left(\frac{a}{d}z_2+\frac{b}{d}\right)=\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)</math><br />
<br />
<br />
por <math>\left(d\left(0,x-y\right)=d\left(x,y\right)\right)</math><br />
<br />
<math>d_c\left(0,T(z_1)-T(z_2)\right)=d_c\left(0,\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)\right)=d_c\left(\frac{a}{d}z_1,\frac{a}{d}z_2\right)</math><br />
<br />
ahora si<math>z_1,z_2\ne\infty</math> y <math>\delta\approx \frac{1}{k}</math> donde <math>k=\frac{a}{d}</math><br />
<br />
con la metrica cordal.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2)=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+k^2\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+k^2\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{k^2\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<math>=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{k\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore d_c(z_1,z_2)<\epsilon</math><br />
<br />
ya q se mostro que <math>\frac{az+b}{d}</math><br />
<br />
es continua, se puede probar lo mismo para <br />
<br />
<math> c z+ d </math>.<br />
<br />
<br />
por teo. de continuidad si<br />
<br />
<math> f\left(x\right),g\left(x\right)</math> <br />
<br />
son continuas, tambien<br />
<br />
<br />
<math>\frac{f(x)}{g(x)}</math>, es continua.<br />
<br />
<br />
<math>\therefore \frac{az_1+b}{cz_2+d}</math> <br />
<br />
es continua si<br />
<br />
<math>c \ne 0</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 00:42 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4.'''Demuestre que si ''AB'' son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de Möbius ''f,g'', respectivamente, entonces la matriz ''BA'' representa la composicion ''gf'', que también es de Möbius.Concluya mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera en sí misma, y que ademas constituyen un grupo.<br />
<br />
SOLUCION:<br />
<br />
tenemos que <math>\ f, g </math> son transformaciones de Möbius<br />
<br />
<br />
<math>f(z)=\frac{a' z + b'}{c' z + d'}\quad\quad g(z)=\frac{a z + b}{c z + d}</math><br />
<br />
<br />
sean <math>\ A, B </math> las representaciones matriciales de <math>\ g, f </math> respectivamente<br />
<br />
<br />
<math>A = \begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix} \quad \quad B = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
entonces <br />
<br />
<math>BA = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}<br />
a'a + b'c & c'a + d'c \\<br />
a'b + b'd & c'b + d'd \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
<br />
entonces<br />
<br />
<math>gf=\frac{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}{(a'b + b'd)z + (c'b + d'd)}</math><br />
<br />
los elementos de la matriz ''BA'' son elementos de funciones biyectivas, entonces dicha matriz también es biyectiva, y por lo tanto ''gf'' es biyectiva y de Möbius.<br />
<br />
<br />
Por ser de Möbius es meromorfa, ahora notemos que ''gf'' es continua y que <br />
<br />
<math>\frac{1}{gf}=\frac{(a'b + b')z + (c'b + d'd)}{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}</math><br />
<br />
<br />
tambien es continua por lo que concluimos que es bicontinua.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''5.'''Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en ternas de puntos de la esfera de Riemann. Sugerencia: Dada una terna, encuentre una función de Möbius que la mande en 1, 0 e <math>o\!o</math><br />
<br />
Sea <math>(x_1,x_2,x_3)\rightarrow \frac{x_1 + ix_2}{x_3} = z_0</math><br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = \frac{(1-b)x_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
y <math> \quad c = \frac{(1-d)x_3}{x_1 + i x_2} \quad </math>; <math>ad-bc\neq0</math><br />
<br />
<br />
entonces <math> T(z) = \frac{(1-b)x_3 z + (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 z + (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<math> T(z_0) = \frac{(1-b)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3}\Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3} \Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = \frac{(1-b) (<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)(<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = 1</math><br />
<br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{b - \frac{bx_3 }{x_1 + i x_2}}{cz+d}z</math><br />
<br />
<br />
<math>T(z_0) = \frac{b - \frac{bx_3 (\frac{x_1 + ix_2}{x_3})}{x_1 + i x_2}}{cz+d} = \frac{b - b}{cz+d} = 0</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math>b\rightarrow \!oo</math><br />
<br />
<br />
entonces <math>T(z_0) = \!oo</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''6.'''Pruede que las transformaciones de Möbius son composición de algunas de las siguientes funciones: rotaciones, traslaciones, homotecias, y <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math>. Concluya mostrando que las transformaciones de Möbius preservan la familia de circulos y rectas.<br />
<br />
Considere la Transformación de Möbius.<br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
<br />
Sea <math>a = 1,\quad c = 0, \quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = z+b \qquad </math> entonces <math>T(z)</math>es una traslación. <br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad b = c = 0,\quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math>T(z) = az</math> entonces '''T(z)''' es una rotación por '''arg(a)''' y por una amplificación <math>\big |a\big |</math>.<br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad a = d = 0, \quad b = c = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<math> T(z) = \frac{1}{z}\qquad</math> entonces '''T(z)''' es una inversión.<br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 23:28 26 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''7. Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en la familia de círculos y rectas.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Puesto que una transformación del tipo <math>w=\frac{1}{z} </math> aplica en circunferencias y rectas, y como las rotaciones, los cambios de escala y las translaciones preservan rectas y circunferencias. Dicha transformación bilineal o de Möbius aplica en círculos y rectas.<br />
<br />
<br />
Un círculo en <math>{S^2}</math> es la intersección de un plano con la esfera, por lo cual satiface la siguiente ecuación:<br />
<br />
<br />
<math>ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\,\!</math><br />
<br />
<br />
Tenemos que<br />
<br />
<br />
<math> x_1=\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_2=\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_3=\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto, este círculo es la imagen bajo la proyección esterografica, cuyos puntos satisfacen la siguiente ecuación en el plano: <br />
<br />
<br />
<br />
<math>a\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )+b\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )+c\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)=d </math><br />
<br />
<br />
Escribiendo <math>z = x+iy\,\!</math>, se tiene<br />
<br />
<br />
<math> x^2+y^2-\frac{2a}{d-c}x-\frac{2by}{d-c}=1 </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( d-c \right )-2ax-2by =d-c </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( c-d \right )+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )c -\left ( x^2+y^2 \right )d+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2-1 \right )c -\left ( x^2+y^2+1 \right )d+2ax+2by =0 </math><br />
<br />
<br />
finalmente se tiene que<br />
<br />
<br />
<math>2ax + 2by + c(x^2+y^2-1) = d(x^2+y^2+1)\,\!</math>,<br />
<br />
<br />
que biene siendo la ecuación de una recta o un círculo, dependiendo si <math>d=c\,\!</math>, o si <math>d\ne c\,\!</math>.<br />
<br />
<br />
'''De otra manera:'''<br />
<br />
<br />
Puesto que <math>x+iy=z=\frac{1}{w} =\frac{\overline{w}}{|w|^2}=\frac{u}{u^2+v^2}-i\frac{v}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
Como<br />
<br />
<br />
<math>x=\frac{u}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
<math>y=-\frac{v}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 16:08 22 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''8.- Demuestre de dos maneras que el lugar de los puntos que cumplen la ecuación <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> <math> ,k\in\mathbb{R}^{+},a,b\in\mathbb{C},a\neq b</math> constituye una recta o un círculo (llamado de Apolonio).'''<br />
<br />
'''Solución'''<br />
<br />
Sea <br />
<br />
<math>z = x+iy\,\!, a = u+iv, b = c+id</math><br />
<br />
<br />
<br />
Entonces <br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|^{2}=k^{2}\left|z-b\right|^{2}</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left(x-u\right)^{2}+\left(y-v\right)^{2}=k\left(\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}\right)</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>x^2-2xu+u^2+y^2-2yv+v^2=kx^2-2kxc+c^2+ky^2-2kyd+kd^2\,\!</math> </center><br />
<br />
<br />
Si agrupamos esta expresión se tiene:<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(1-k\right)-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right) \qquad (I)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Si <math>k=1</math> se tiene la ecuación de una recta, es decir:<br />
<br />
<br />
<center><math>-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=c^{2}+d^{2}-\left(u^{2}+v^{2}\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Ahora para <math>k\neq1</math> la ecuación <math>\left(I\right)</math> al multiplicarla por<br />
<math>\frac{1}{\left(1-k\right)}<br />
</math> toma la forma:<br />
<br />
<br />
<center><math>\frac{}{}<br />
\left(x^{2}+y^{2}\right)-\frac{2x\left(u-kc\right)}{\left(1-k\right)}-\frac{2y\left(v-kd\right)}{\left(1-k\right)}=\frac{k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)}{\left(1-k\right)}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si completamos los cuadrados (más un poco de álgebra) de esta ultima expresión se obtiene lo<br />
siguiente<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\left(\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}+\frac{1}{1-k}\left(k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\frac{k}{\left(1-k\right)^{2}}\left(\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
lo cual es la ecuación de un círculo con centro <br />
<math>\left(\frac{u-kc}{1-k}\,,\,\frac{v-kd}{1-k}\right)</math><br />
y cuyo radio es <br />
<math>\frac{\sqrt{k}}{\left|1-k\right|}\sqrt{\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Otro método.<br />
<br />
<center><math><br />
\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(z-a\right)\left(\overline{z}-\overline{a}\right)=k\left(z-b\right)\left(\overline{z}-\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}-a\overline{z}-\overline{a}z+a\overline{a}=k\left(z\overline{z}-b\overline{z}-\overline{b}z+b\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
agrupando tenemos<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)-a\overline{z}-\overline{a}z+kb\overline{z}+k\overline{b}z=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)+\overline{z}\left(kb-a\right)+z\left(k\overline{b}-\overline{a}\right)=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio<math> A=\left(1-k\right), B=\left(kb-a\right),\overline{B}=\left(k\overline{b}-\overline{a}\right), C=kb\overline{b}-a\overline{a}\!,</math> , la anterior ecuación se escribe como<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
Az\overline{z}+B\overline{z}+\overline{B}z=C</math></center><br />
<br />
<br />
si <math> A=0</math> (entonces <math>k=1</math>) se tiene la ecución de una recta, si <math>A</math> es distinto<br />
de cero (entonces k es distinto de 1) y se tiene la ecuación de una<br />
circunferencia.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 01:46 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
'''9.- Sean <math>a,c</math> complejos, tal que no son ambos nulos, probar que<br />
<math>\left|\frac{\bar{a}z+\bar{c}}{cz+a}\right|=1</math>, si <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
Interpretar geometricamente.'''<br />
<br />
<br />
Sean <math> a=b+id , c=e+if , z=x+iy </math>.<br />
Entonces sustituyendo esto se tiene la siguiente expresión:<br />
<br />
<math>\left|\frac{\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)}{\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)}\right|=1 </math><br />
<br />
Por propiedades de la norma se sigue que<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|}{\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right|}=1 </math><br />
<br />
Y multiplicando ambos lados por el denominador llegamos a que<br />
<br />
<math>\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|=\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right| </math><br />
<br />
Desarrollando los producto y las operaciones para poder agrupar terminos se llega a<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right| </math><br />
<br />
Elevando al cuadrado para tener el cuadrado de la norma tenemos que<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|^{2}=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right|^{2} </math><br />
<br />
Donde es inmediato lo siguiente<br />
<br />
<math>\left(bx+dy+e\right)^{2}+\left(by-dx-f\right)^{2}=\left(b+ex-fy\right)^{2}+\left(d+fx+ey\right)^{2} </math><br />
<br />
Y despues de expander los polinomios<br />
<br />
<math>\left(e^{2}+f^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(b^{2}+d^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)=\left(b^{2}+d^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(e^{2}+f^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}\left|z\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}\left|z\right|^{2} </math> <br />
<br />
Donde <math>\left|z\right|=1</math><br />
<br />
<math>\therefore\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2} </math><br />
<br />
O tambien <br />
<br />
<math>\frac{\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}}{\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}}=1 </math><br />
<br />
Que era lo que se queria mostrar. <br />
<br />
Ahora geometricamente esto nos dice que la magnitud de la suma de<br />
dos numeros complejos es igual a la magnitud de la suma de sus conjugados.<br />
<br />
En las siguientes imagenes se muestra graficamente la interpretacion<br />
geometrica, el vector de color naranja es <math>z</math> y el azul y verde <math>a,c</math><br />
respectivamente.<br />
<br />
[[Imagen:Prueba1.jpg]][[Imagen:Prueba.jpg]]<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 14:12 9 dic 2009 (UTC)<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 19:42 21 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''10.- Probar que la funcion <math>z \rightarrow 1/z</math> es una rotacion de <math>\pi</math> radianes en la esfera de Riemann alrededor del eje x.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Las componentes del punto <math>A = (a_1,a_2,a_3)\,</math> en la esfera unitaria asociado a z son:<br />
<br />
<br />
<math>a_1 = \frac{z+\overline{z}}{|z|^2+1}, a_2 = \frac{z-\overline{z}}{i(|z|^2+1)}, a_3 = \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\,</math> <br />
<br />
<br />
Sea <math>\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> y tomando en cuenta que <math>|z| = |\overline{z}|\,</math>, entonces, las componentes del punto <math>B = (b_1,b_2,b_3)\,</math> de la esfera unitaria asociado a <math>\frac{1}{z}\,</math> son:<br />
<br />
<br />
<math>b_1 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}+\frac{z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{\overline{z}+z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\overline{z}+z}{|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}+z}{1+|z|^2} = a_1\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_2 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}-\frac{z}{|z|^2}}{i(\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i(1+|z|^2)} = -\frac{z-\overline{z}}{i(1+|z|^2)} = -a_2\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_3 = \frac{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}-1}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{1}{|z|^2}-1}{\frac{1}{|z|^2}+1} = \frac{1-|z|^2}{1+|z|^2} = -\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} = -a_3\,</math> ...<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 00:03 9 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''11.''' '''Probar que dados dos puntos''' <math>z,w \in \mathbb C</math> '''se tiene que sus proyecciones en la esfera de Riemann son antípodas si y solo si''' <math>z\bar{w} = -1</math><br />
<br />
<br />
SOLUCION.<br />
<br />
Sea <math>z \in \mathbb C \quad a,b \in \mathbb R</math> <br />
<br />
se pasa del plano complejo a la esfera de Riemann.<br />
<br />
<math>\psi: \mathbb C \rightarrow \mathbb S^2 - \lbrace e_3 \rbrace </math><br />
<br />
<math> z \mapsto (x_1 , x_2 , x_3)</math><br />
<br />
<br />
Si <math>\ z=a+ib \mapsto \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)</math> es el punto '''P''' en la esfera de Riemann.<br />
<br />
<br />
con este punto '''P''' y el centro '''C''' de la esfera se construye una recta que pase por estos puntos:<br />
<br />
<br />
Sea <math>\mathcal {L} =\ p + t\vec{v} \quad , \forall t \in \mathbb R </math> donde <math>\vec v</math>es el vector director que va de '''P''' a ''' C''' esto es <br />
<br />
<br />
<math>\vec {v} =(0,0,0)- \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) </math><br />
<br />
<br />
nuestra ecuacion de la recta queda de la siguiente manera:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\mathcal {L} =\left (\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right) + t \left (\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \quad , \forall t \in \mathbb R </math><br />
<br />
<br />
Cuando <math>\ t=0</math> tenemos a <math>\ P</math> en la esfera.<br />
<br />
cuando <math>\ t=1</math> tenemos el centro <math>\ (0,0,0)</math> de la esfera de Riemann.<br />
<br />
cuando <math>\ t=2 </math> tenemos al punto <math>\ Q</math> que es la antipoda de <math>\ p</math><br />
<br />
<br />
<math> \Rightarrow Q=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \, antipoda \quad de\quad p \quad en \quad la \quad esfera \quad de \quad Riemann </math><br />
<br />
<br />
teniendo a <math> \ Q</math> sobre la esfera de Riemann volvemos al plano complejo mediante la siguiente tranformacion:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\varphi: \mathbb S^2 -\lbrace e_3 \rbrace \rightarrow \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>Q \mapsto \frac {x_1 +ix_2}{1-x_3} </math>, que nos da un punto <math>\ w_Q \in \mathbb C</math> <br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q=\frac {x_1 +ix_2}{1-x_3}=\frac {\frac {-2a}{a^2+b^2+1} +i \frac {-2b}{a^2+b^2+1}}{1+ \frac {a^2+b^2-1}{a^2+b^2+1}} = \frac{ \frac{-2}{a^2+b^2+1}(a+ib) }{ \frac {2a^2+2b^2}{a^2+b^2+1} } = \frac {-2}{2a^2+2b^2}(a+ib) = \frac {-1}{a^2+b^2}(a+ib) </math> <br />
<br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} </math><br />
<br />
<br />
Como la proyeccion en la esfera de Riemann de <math>\ w_Q </math> es la antipoda de <math>\ z </math> se debe de cumplir que <math>z\bar{w_Q} = -1</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> z=a+ib \quad, w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} \in \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow z\bar{w_Q} =(a+ib)\left ( -\frac {a}{a^2 + b^2} +i \frac {b}{a^2+ b^2}\right )=\left ( -\frac {a^2}{a^2 + b^2} -\frac {b^2}{a^2+ b^2}\right )+i\left ( -\frac {ab}{a^2 + b^2} + \frac {ab}{a^2+ b^2}\right ) </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\left ( \frac {-(a^2+b^2)}{a^2 + b^2} \right )+i(0)=-1</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore z,w</math> son antipodas si y solo si <math>z\bar{w} = -1 \quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 15:11 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''12.'''¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la funcion <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> ?<br />
<br />
<br />
SOLUCIÓN:<br />
<br />
para la imagen notemos que <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> es continua exepto cuando <math>\ z=0</math>, por lo que su imagen es todo el plano complejo exepto el origen.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.2&diff=11830
Compleja:ej-cap1.2
2009-12-14T03:03:41Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>==EJERCICIOS 1.2.1 ==<br />
<br />
'''1.''' '''Demuestre que una una funcion''' <math>f:A\subset\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} </math> '''es continua en''' <math>{z_0}\in A</math> '''si y soló si para toda sucesión''' <math>{z_n},n\in\mathbb{N}, </math> '''tal que''' <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow\infty,</math> '''se tiene''' <math>f(z_n)\rightarrow f(z_0),</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Supongamos que <math> \ f<br />
</math> es continua en <math>\ z_0 </math> , es decir:<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad\exists \delta = \delta(\epsilon)> 0 </math> <br />
<br />
tal que <math>\quad | z - z_0 |<\delta \Rightarrow | f(z) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
y supongamos que <math>\lbrace z_n \rbrace , n\in \mathbb{N} </math> es una sucesión en <math>\ A </math> tal que <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math><br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<math>f(z_n)\rightarrow f(z_0)</math><br />
<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad \exists N = N(\epsilon)\in \mathbb N ,\quad n\geq N \Rightarrow | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
como <math>\ f</math> es continua en <math>\ z_0</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists\delta = \delta(\epsilon)>0</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow z_n \rightarrow z_0 </math><br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists M = M(\epsilon) \in \mathbb N, \quad n \geq M \Rightarrow | z_n - z_0 |< \delta </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore f(z_n) \rightarrow f(z_0)\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.''' '''Demuestre que una sucesión''' <math> \ \lbrace a_n \rbrace</math> en <math>\mathbb R^n </math> '''es de ''Cauchy'' si y sólo es convergente.<br />
<br />
'''<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Una sucesión en <math>\mathbb R^n </math> se dice que es de ''Cauchy'' si para todo <math>\epsilon >0 ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in \mathbb N </math> tal que <math>|a_m - a_n|<\epsilon , \quad \forall m,n \geq N</math> '''.'''<br />
<br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<br />
Si la sucesión es convergente, esto es si <math>\lim {a_n}=L \quad \Rightarrow \quad \forall \epsilon > 0\quad ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in\mathbb N </math><br />
<br />
<br />
tal que <math>|a_n - L|<\frac{\epsilon}{2}\quad, \quad \forall n\geq N</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow </math> si <math>m,n\geq N ,</math> se tiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ |a_m - a_n|=|a_m - L +L - a_n| \leq |a_m - L| + | L - a_n|< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}\!=\!{\epsilon} </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore \lbrace a_n \rbrace \quad es \quad de \quad Cauchy.\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
== EJERCICIOS 1.2.2 ==<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''1. Demuestre que la funcion estereográfica <math>(x_1,x_2,x_3)\to\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math> de la esfera de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.<br />
<br />
Definicion: Una funcion es suprayectiva si a un punto en la esfera<math>(x_1,x_2,x_3)</math> le corresponde uno(s) puntos dentro del plano complejo <math>\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
Una función es sobre si para toda '''y''' pertenece al Codominio <math>(f)</math> ,existe '''x''' pertenece al Dominio de <br />
<math>(f)</math> tal que <math> y = f(x)</math><br />
<br />
Notaciòn (para la demostraciòn): S= Esfera, C= punto en el plano proyectado por la esfera.<br />
<br />
Dominio<math>(f)= S</math> y el Codominio<math>(f)= C</math> y tambièn<br />
<math> C = z\epsilon\mathbb{C}:, f(z)=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
<math>z\epsilon\mathbb{C}:x_3\ne1 </math><br />
<br />
Suponga <math>\bar{x}\epsilon</math> S donde <math>\bar{x}=(x_1,x_2,x_3)</math><br />
<br />
Condicion de la esfera <math>(x_1^2+x_2^2+x_3^2=1)</math> donde <math>x_2</math> pertenece a '''i'''<br />
<br />
Ahora bien sabemos que la magnitud cuadrática <math>\bar{x}</math> es 1 <br />
<br />
<br />
<math>\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}\epsilon</math> Codominio de (f)<br />
<br />
Sea '''y''' que pertenece al Codominio de (f) donde : <math>y= ai+b</math><br />
<br />
Sea <math>a=\frac{x_1}{1-x_3}</math> y <math>b=\frac{x_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
tomando en cuenta que <math>y=f(x)</math><br />
<br />
de esta manera <math>f(x)=\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 03:09 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''2. Demuestre que si <math>z_n\rightarrow \infty.</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math>, entonces <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Como <math>z_n\rightarrow \infty.</math><br />
<math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Recordando la definiciòn del limite dado un <math>N_o</math> nos aproximamos.<br />
<math>\exists\N_o\epsilon\mathbb N+ n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> por hipótesis.<br />
<br />
P.D. <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math>, asi como también <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Ahora usando la definiciòn del limite dentro de la mètrica cordal tenemos un <math>N_o^\prime</math> donde limite se aproxima a cero cuando <math>n\rightarrow \infty.</math> <br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty) - 0 |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty)|<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
Usando la definición de la distancia cordal entre dos puntos<br />
<br />
<math>d_C(z_1,z_2)=|\pi(z_1)-\pi(z_2)|</math><br />
<br />
P.D.<math>\quad\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon </math><br />
<br />
Tomamos el lìmite descrito anteriomente.<br />
<br />
Por hipótesis <math>\quad\exists\N_o\epsilon\mathbb N</math> tal que <math>\quad n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> <br />
<br />
Sea <math>N_o</math> como antes por la continuidad de <math>\pi</math><br />
<br />
Finalmente usando la definiciòn de metrica cordal.<br />
<br />
Si <math>\quad n\geq N_o\to|\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon</math> <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 04:20 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''3. Las transformaciones de Möbius definidas en (1.4) se extienden a la esfera de Riemann <math>\hat{\mathbb{C}} </math> como sigue: si <math>c=0, T(\infty)=\infty</math>, y si <math>c\neq0, T(\infty)=\frac{a}{c}</math> y <math>T(\frac{-d}{c})=\infty</math>.Demuestre que estas funciones son continuas en dicha esfera con la metrica cordal.<br />
<br />
Transformaciones de Möbius complejas.(1.4)<br />
<math>z\to\frac{az+b}{cz+d} , ad-bc\neq0, a,b,c,d. <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
Se define la metrica cordal en el plano complejo extendido de la sig. manera.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2) = <br />
\begin{cases} <br />
\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}, & si z_1,z_2\neq\infty \\<br />
\frac{2}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}}, & si z_2=\infty. <br />
\end{cases}</math><br />
<br />
para los casos extremos.<br />
<br />
si <math>c=0, T(\infty)=\frac{az+b}{d}=\frac{a(\infty)+b}{d}=\infty.</math><br />
<br />
si <math>c\neq0, T(z)=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{z}{z}\frac{a+\frac{b}{z}}{c+\frac{d}{z}}<br />
<br />
<br />
,T(\infty)=\frac{a+\frac{b}{\infty}}{c+\frac{d}{\infty}}=\frac{a}{c}.</math><br />
<br />
<br />
<br />
si <math>T(\frac{-d}{c})=\frac{a(\frac{-d}{c})+b}{c(\frac{-d}{c})+d}=\infty.</math><br />
<br />
<br />
generalizando, para <math>z_1,z_2 \epsilon\mathbb{C}</math>, (arbitrarias).<br />
<br />
por hip.<math>c=0\therefore</math><br />
<br />
<math>T(z)=\frac{az+b}{d}=\frac{a}{d}z+\frac{b}{d}</math>.<br />
<br />
<math>\forall\epsilon>0, \exists\delta>0 </math><br />
<br />
<br />
tal que si<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_1-z_2\right|<\delta , \left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
entonces<br />
<math>\left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\left|z_1-z_2\right|\delta <\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
<math>T(z_1)-T(z_2)=\left(\frac{a}{d}z_1+\frac{b}{d}\right)-\left(\frac{a}{d}z_2+\frac{b}{d}\right)=\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)</math><br />
<br />
<br />
por <math>\left(d\left(0,x-y\right)=d\left(x,y\right)\right)</math><br />
<br />
<math>d_c\left(0,T(z_1)-T(z_2)\right)=d_c\left(0,\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)\right)=d_c\left(\frac{a}{d}z_1,\frac{a}{d}z_2\right)</math><br />
<br />
ahora si<math>z_1,z_2\ne\infty</math> y <math>\delta\approx \frac{1}{k}</math> donde <math>k=\frac{a}{d}</math><br />
<br />
con la metrica cordal.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2)=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+k^2\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+k^2\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{k^2\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<math>=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{k\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore d_c(z_1,z_2)<\epsilon</math><br />
<br />
ya q se mostro que <math>\frac{az+b}{d}</math><br />
<br />
es continua, se puede probar lo mismo para <br />
<br />
<math> c z+ d </math>.<br />
<br />
<br />
por teo. de continuidad si<br />
<br />
<math> f\left(x\right),g\left(x\right)</math> <br />
<br />
son continuas, tambien<br />
<br />
<br />
<math>\frac{f(x)}{g(x)}</math>, es continua.<br />
<br />
<br />
<math>\therefore \frac{az_1+b}{cz_2+d}</math> <br />
<br />
es continua si<br />
<br />
<math>c \ne 0</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 00:42 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4.'''Demuestre que si ''AB'' son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de Möbius ''f,g'', respectivamente, entonces la matriz ''BA'' representa la composicion ''gf'', que también es de Möbius.Concluya mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera en sí misma, y que ademas constituyen un grupo.<br />
<br />
SOLUCION:<br />
<br />
tenemos que <math>\ f, g </math> son transformaciones de Möbius<br />
<br />
<br />
<math>f(z)=\frac{a' z + b'}{c' z + d'}\quad\quad g(z)=\frac{a z + b}{c z + d}</math><br />
<br />
<br />
sean <math>\ A, B </math> las representaciones matriciales de <math>\ g, f </math> respectivamente<br />
<br />
<br />
<math>A = \begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix} \quad \quad B = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
entonces <br />
<br />
<math>BA = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}<br />
a'a + b'c & c'a + d'c \\<br />
a'b + b'd & c'b + d'd \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
<br />
entonces<br />
<br />
<math>gf=\frac{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}{(a'b + b'd)z + (c'b + d'd)}</math><br />
<br />
los elementos de la matriz ''BA'' son elementos de funciones biyectivas, entonces dicha matriz también es biyectiva, y por lo tanto ''gf'' es biyectiva y de Möbius.<br />
<br />
<br />
Por ser de Möbius es meromorfa, ahora notemos que ''gf'' es continua y que <br />
<br />
<math>\frac{1}{gf}=\frac{(a'b + b')z + (c'b + d'd)}{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}</math><br />
<br />
<br />
tambien es continua por lo que concluimos que es bicontinua.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''5.'''Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en ternas de puntos de la esfera de Riemann. Sugerencia: Dada una terna, encuentre una función de Möbius que la mande en 1, 0 e <math>o\!o</math><br />
<br />
Sea <math>(x_1,x_2,x_3)\rightarrow \frac{x_1 + ix_2}{x_3} = z_0</math><br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = \frac{(1-b)x_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
y <math> \quad c = \frac{(1-d)x_3}{x_1 + i x_2} \quad </math>; <math>ad-bc\neq0</math><br />
<br />
<br />
entonces <math> T(z) = \frac{(1-b)x_3 z + (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 z + (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<math> T(z_0) = \frac{(1-b)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3}\Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3} \Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = \frac{(1-b) (<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)(<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = 1</math><br />
<br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{b - \frac{bx_3 }{x_1 + i x_2}}{cz+d}z</math><br />
<br />
<br />
<math>T(z_0) = \frac{b - \frac{bx_3 (\frac{x_1 + ix_2}{x_3})}{x_1 + i x_2}}{cz+d} = \frac{b - b}{cz+d} = 0</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math>b\rightarrow \!oo</math><br />
<br />
<br />
entonces <math>T(z_0) = \!oo</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''6.'''Pruede que las transformaciones de Möbius son composición de algunas de las siguientes funciones: rotaciones, traslaciones, homotecias, y <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math>. Concluya mostrando que las transformaciones de Möbius preservan la familia de circulos y rectas.<br />
<br />
Considere la Transformación de Möbius.<br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
<br />
Sea <math>a = 1,\quad c = 0, \quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = z+b \qquad </math> entonces <math>T(z)</math>es una traslación. <br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad b = c = 0,\quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math>T(z) = az</math> entonces '''T(z)''' es una rotación por '''arg(a)''' y por una amplificación <math>\big |a\big |</math>.<br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad a = d = 0, \quad b = c = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<math> T(z) = \frac{1}{z}\qquad</math> entonces '''T(z)''' es una inversión.<br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 23:28 26 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''7. Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en la familia de círculos y rectas.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Puesto que una transformación del tipo <math>w=\frac{1}{z} </math> aplica en circunferencias y rectas, y como las rotaciones, los cambios de escala y las translaciones preservan rectas y circunferencias. Dicha transformación bilineal o de Möbius aplica en círculos y rectas.<br />
<br />
<br />
Un círculo en <math>{S^2}</math> es la intersección de un plano con la esfera, por lo cual satiface la siguiente ecuación:<br />
<br />
<br />
<math>ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\,\!</math><br />
<br />
<br />
Tenemos que<br />
<br />
<br />
<math> x_1=\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_2=\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_3=\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto, este círculo es la imagen bajo la proyección esterografica, cuyos puntos satisfacen la siguiente ecuación en el plano: <br />
<br />
<br />
<br />
<math>a\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )+b\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )+c\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)=d </math><br />
<br />
<br />
Escribiendo <math>z = x+iy\,\!</math>, se tiene<br />
<br />
<br />
<math> x^2+y^2-\frac{2a}{d-c}x-\frac{2by}{d-c}=1 </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( d-c \right )-2ax-2by =d-c </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( c-d \right )+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )c -\left ( x^2+y^2 \right )d+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2-1 \right )c -\left ( x^2+y^2+1 \right )d+2ax+2by =0 </math><br />
<br />
<br />
finalmente se tiene que<br />
<br />
<br />
<math>2ax + 2by + c(x^2+y^2-1) = d(x^2+y^2+1)\,\!</math>,<br />
<br />
<br />
que biene siendo la ecuación de una recta o un círculo, dependiendo si <math>d=c\,\!</math>, o si <math>d\ne c\,\!</math>.<br />
<br />
<br />
'''De otra manera:'''<br />
<br />
<br />
Puesto que <math>x+iy=z=\frac{1}{w} =\frac{\overline{w}}{|w|^2}=\frac{u}{u^2+v^2}=-i\frac{v}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
Como<br />
<br />
<br />
<math>x=\frac{u}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
<math>y=-\frac{v}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 16:08 22 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''8.- Demuestre de dos maneras que el lugar de los puntos que cumplen la ecuación <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> <math> ,k\in\mathbb{R}^{+},a,b\in\mathbb{C},a\neq b</math> constituye una recta o un círculo (llamado de Apolonio).'''<br />
<br />
'''Solución'''<br />
<br />
Sea <br />
<br />
<math>z = x+iy\,\!, a = u+iv, b = c+id</math><br />
<br />
<br />
<br />
Entonces <br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|^{2}=k^{2}\left|z-b\right|^{2}</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left(x-u\right)^{2}+\left(y-v\right)^{2}=k\left(\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}\right)</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>x^2-2xu+u^2+y^2-2yv+v^2=kx^2-2kxc+c^2+ky^2-2kyd+kd^2\,\!</math> </center><br />
<br />
<br />
Si agrupamos esta expresión se tiene:<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(1-k\right)-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right) \qquad (I)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Si <math>k=1</math> se tiene la ecuación de una recta, es decir:<br />
<br />
<br />
<center><math>-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=c^{2}+d^{2}-\left(u^{2}+v^{2}\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Ahora para <math>k\neq1</math> la ecuación <math>\left(I\right)</math> al multiplicarla por<br />
<math>\frac{1}{\left(1-k\right)}<br />
</math> toma la forma:<br />
<br />
<br />
<center><math>\frac{}{}<br />
\left(x^{2}+y^{2}\right)-\frac{2x\left(u-kc\right)}{\left(1-k\right)}-\frac{2y\left(v-kd\right)}{\left(1-k\right)}=\frac{k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)}{\left(1-k\right)}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si completamos los cuadrados (más un poco de álgebra) de esta ultima expresión se obtiene lo<br />
siguiente<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\left(\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}+\frac{1}{1-k}\left(k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\frac{k}{\left(1-k\right)^{2}}\left(\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
lo cual es la ecuación de un círculo con centro <br />
<math>\left(\frac{u-kc}{1-k}\,,\,\frac{v-kd}{1-k}\right)</math><br />
y cuyo radio es <br />
<math>\frac{\sqrt{k}}{\left|1-k\right|}\sqrt{\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Otro método.<br />
<br />
<center><math><br />
\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(z-a\right)\left(\overline{z}-\overline{a}\right)=k\left(z-b\right)\left(\overline{z}-\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}-a\overline{z}-\overline{a}z+a\overline{a}=k\left(z\overline{z}-b\overline{z}-\overline{b}z+b\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
agrupando tenemos<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)-a\overline{z}-\overline{a}z+kb\overline{z}+k\overline{b}z=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)+\overline{z}\left(kb-a\right)+z\left(k\overline{b}-\overline{a}\right)=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio<math> A=\left(1-k\right), B=\left(kb-a\right),\overline{B}=\left(k\overline{b}-\overline{a}\right), C=kb\overline{b}-a\overline{a}\!,</math> , la anterior ecuación se escribe como<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
Az\overline{z}+B\overline{z}+\overline{B}z=C</math></center><br />
<br />
<br />
si <math> A=0</math> (entonces <math>k=1</math>) se tiene la ecución de una recta, si <math>A</math> es distinto<br />
de cero (entonces k es distinto de 1) y se tiene la ecuación de una<br />
circunferencia.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 01:46 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
'''9.- Sean <math>a,c</math> complejos, tal que no son ambos nulos, probar que<br />
<math>\left|\frac{\bar{a}z+\bar{c}}{cz+a}\right|=1</math>, si <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
Interpretar geometricamente.'''<br />
<br />
<br />
Sean <math> a=b+id , c=e+if , z=x+iy </math>.<br />
Entonces sustituyendo esto se tiene la siguiente expresión:<br />
<br />
<math>\left|\frac{\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)}{\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)}\right|=1 </math><br />
<br />
Por propiedades de la norma se sigue que<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|}{\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right|}=1 </math><br />
<br />
Y multiplicando ambos lados por el denominador llegamos a que<br />
<br />
<math>\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|=\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right| </math><br />
<br />
Desarrollando los producto y las operaciones para poder agrupar terminos se llega a<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right| </math><br />
<br />
Elevando al cuadrado para tener el cuadrado de la norma tenemos que<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|^{2}=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right|^{2} </math><br />
<br />
Donde es inmediato lo siguiente<br />
<br />
<math>\left(bx+dy+e\right)^{2}+\left(by-dx-f\right)^{2}=\left(b+ex-fy\right)^{2}+\left(d+fx+ey\right)^{2} </math><br />
<br />
Y despues de expander los polinomios<br />
<br />
<math>\left(e^{2}+f^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(b^{2}+d^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)=\left(b^{2}+d^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(e^{2}+f^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}\left|z\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}\left|z\right|^{2} </math> <br />
<br />
Donde <math>\left|z\right|=1</math><br />
<br />
<math>\therefore\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2} </math><br />
<br />
O tambien <br />
<br />
<math>\frac{\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}}{\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}}=1 </math><br />
<br />
Que era lo que se queria mostrar. <br />
<br />
Ahora geometricamente esto nos dice que la magnitud de la suma de<br />
dos numeros complejos es igual a la magnitud de la suma de sus conjugados.<br />
<br />
En las siguientes imagenes se muestra graficamente la interpretacion<br />
geometrica, el vector de color naranja es <math>z</math> y el azul y verde <math>a,c</math><br />
respectivamente.<br />
<br />
[[Imagen:Prueba1.jpg]][[Imagen:Prueba.jpg]]<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 14:12 9 dic 2009 (UTC)<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 19:42 21 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''10.- Probar que la funcion <math>z \rightarrow 1/z</math> es una rotacion de <math>\pi</math> radianes en la esfera de Riemann alrededor del eje x.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Las componentes del punto <math>A = (a_1,a_2,a_3)\,</math> en la esfera unitaria asociado a z son:<br />
<br />
<br />
<math>a_1 = \frac{z+\overline{z}}{|z|^2+1}, a_2 = \frac{z-\overline{z}}{i(|z|^2+1)}, a_3 = \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\,</math> <br />
<br />
<br />
Sea <math>\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> y tomando en cuenta que <math>|z| = |\overline{z}|\,</math>, entonces, las componentes del punto <math>B = (b_1,b_2,b_3)\,</math> de la esfera unitaria asociado a <math>\frac{1}{z}\,</math> son:<br />
<br />
<br />
<math>b_1 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}+\frac{z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{\overline{z}+z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\overline{z}+z}{|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}+z}{1+|z|^2} = a_1\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_2 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}-\frac{z}{|z|^2}}{i(\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i(1+|z|^2)} = -\frac{z-\overline{z}}{i(1+|z|^2)} = -a_2\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_3 = \frac{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}-1}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{1}{|z|^2}-1}{\frac{1}{|z|^2}+1} = \frac{1-|z|^2}{1+|z|^2} = -\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} = -a_3\,</math> ...<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 00:03 9 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''11.''' '''Probar que dados dos puntos''' <math>z,w \in \mathbb C</math> '''se tiene que sus proyecciones en la esfera de Riemann son antípodas si y solo si''' <math>z\bar{w} = -1</math><br />
<br />
<br />
SOLUCION.<br />
<br />
Sea <math>z \in \mathbb C \quad a,b \in \mathbb R</math> <br />
<br />
se pasa del plano complejo a la esfera de Riemann.<br />
<br />
<math>\psi: \mathbb C \rightarrow \mathbb S^2 - \lbrace e_3 \rbrace </math><br />
<br />
<math> z \mapsto (x_1 , x_2 , x_3)</math><br />
<br />
<br />
Si <math>\ z=a+ib \mapsto \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)</math> es el punto '''P''' en la esfera de Riemann.<br />
<br />
<br />
con este punto '''P''' y el centro '''C''' de la esfera se construye una recta que pase por estos puntos:<br />
<br />
<br />
Sea <math>\mathcal {L} =\ p + t\vec{v} \quad , \forall t \in \mathbb R </math> donde <math>\vec v</math>es el vector director que va de '''P''' a ''' C''' esto es <br />
<br />
<br />
<math>\vec {v} =(0,0,0)- \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) </math><br />
<br />
<br />
nuestra ecuacion de la recta queda de la siguiente manera:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\mathcal {L} =\left (\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right) + t \left (\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \quad , \forall t \in \mathbb R </math><br />
<br />
<br />
Cuando <math>\ t=0</math> tenemos a <math>\ P</math> en la esfera.<br />
<br />
cuando <math>\ t=1</math> tenemos el centro <math>\ (0,0,0)</math> de la esfera de Riemann.<br />
<br />
cuando <math>\ t=2 </math> tenemos al punto <math>\ Q</math> que es la antipoda de <math>\ p</math><br />
<br />
<br />
<math> \Rightarrow Q=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \, antipoda \quad de\quad p \quad en \quad la \quad esfera \quad de \quad Riemann </math><br />
<br />
<br />
teniendo a <math> \ Q</math> sobre la esfera de Riemann volvemos al plano complejo mediante la siguiente tranformacion:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\varphi: \mathbb S^2 -\lbrace e_3 \rbrace \rightarrow \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>Q \mapsto \frac {x_1 +ix_2}{1-x_3} </math>, que nos da un punto <math>\ w_Q \in \mathbb C</math> <br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q=\frac {x_1 +ix_2}{1-x_3}=\frac {\frac {-2a}{a^2+b^2+1} +i \frac {-2b}{a^2+b^2+1}}{1+ \frac {a^2+b^2-1}{a^2+b^2+1}} = \frac{ \frac{-2}{a^2+b^2+1}(a+ib) }{ \frac {2a^2+2b^2}{a^2+b^2+1} } = \frac {-2}{2a^2+2b^2}(a+ib) = \frac {-1}{a^2+b^2}(a+ib) </math> <br />
<br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} </math><br />
<br />
<br />
Como la proyeccion en la esfera de Riemann de <math>\ w_Q </math> es la antipoda de <math>\ z </math> se debe de cumplir que <math>z\bar{w_Q} = -1</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> z=a+ib \quad, w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} \in \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow z\bar{w_Q} =(a+ib)\left ( -\frac {a}{a^2 + b^2} +i \frac {b}{a^2+ b^2}\right )=\left ( -\frac {a^2}{a^2 + b^2} -\frac {b^2}{a^2+ b^2}\right )+i\left ( -\frac {ab}{a^2 + b^2} + \frac {ab}{a^2+ b^2}\right ) </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\left ( \frac {-(a^2+b^2)}{a^2 + b^2} \right )+i(0)=-1</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore z,w</math> son antipodas si y solo si <math>z\bar{w} = -1 \quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 15:11 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''12.'''¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la funcion <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> ?<br />
<br />
<br />
SOLUCIÓN:<br />
<br />
para la imagen notemos que <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> es continua exepto cuando <math>\ z=0</math>, por lo que su imagen es todo el plano complejo exepto el origen.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.2&diff=11829
Compleja:ej-cap1.2
2009-12-14T03:01:24Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>==EJERCICIOS 1.2.1 ==<br />
<br />
'''1.''' '''Demuestre que una una funcion''' <math>f:A\subset\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} </math> '''es continua en''' <math>{z_0}\in A</math> '''si y soló si para toda sucesión''' <math>{z_n},n\in\mathbb{N}, </math> '''tal que''' <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow\infty,</math> '''se tiene''' <math>f(z_n)\rightarrow f(z_0),</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Supongamos que <math> \ f<br />
</math> es continua en <math>\ z_0 </math> , es decir:<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad\exists \delta = \delta(\epsilon)> 0 </math> <br />
<br />
tal que <math>\quad | z - z_0 |<\delta \Rightarrow | f(z) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
y supongamos que <math>\lbrace z_n \rbrace , n\in \mathbb{N} </math> es una sucesión en <math>\ A </math> tal que <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math><br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<math>f(z_n)\rightarrow f(z_0)</math><br />
<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad \exists N = N(\epsilon)\in \mathbb N ,\quad n\geq N \Rightarrow | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
como <math>\ f</math> es continua en <math>\ z_0</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists\delta = \delta(\epsilon)>0</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow z_n \rightarrow z_0 </math><br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists M = M(\epsilon) \in \mathbb N, \quad n \geq M \Rightarrow | z_n - z_0 |< \delta </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore f(z_n) \rightarrow f(z_0)\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.''' '''Demuestre que una sucesión''' <math> \ \lbrace a_n \rbrace</math> en <math>\mathbb R^n </math> '''es de ''Cauchy'' si y sólo es convergente.<br />
<br />
'''<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Una sucesión en <math>\mathbb R^n </math> se dice que es de ''Cauchy'' si para todo <math>\epsilon >0 ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in \mathbb N </math> tal que <math>|a_m - a_n|<\epsilon , \quad \forall m,n \geq N</math> '''.'''<br />
<br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<br />
Si la sucesión es convergente, esto es si <math>\lim {a_n}=L \quad \Rightarrow \quad \forall \epsilon > 0\quad ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in\mathbb N </math><br />
<br />
<br />
tal que <math>|a_n - L|<\frac{\epsilon}{2}\quad, \quad \forall n\geq N</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow </math> si <math>m,n\geq N ,</math> se tiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ |a_m - a_n|=|a_m - L +L - a_n| \leq |a_m - L| + | L - a_n|< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}\!=\!{\epsilon} </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore \lbrace a_n \rbrace \quad es \quad de \quad Cauchy.\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
== EJERCICIOS 1.2.2 ==<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''1. Demuestre que la funcion estereográfica <math>(x_1,x_2,x_3)\to\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math> de la esfera de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.<br />
<br />
Definicion: Una funcion es suprayectiva si a un punto en la esfera<math>(x_1,x_2,x_3)</math> le corresponde uno(s) puntos dentro del plano complejo <math>\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
Una función es sobre si para toda '''y''' pertenece al Codominio <math>(f)</math> ,existe '''x''' pertenece al Dominio de <br />
<math>(f)</math> tal que <math> y = f(x)</math><br />
<br />
Notaciòn (para la demostraciòn): S= Esfera, C= punto en el plano proyectado por la esfera.<br />
<br />
Dominio<math>(f)= S</math> y el Codominio<math>(f)= C</math> y tambièn<br />
<math> C = z\epsilon\mathbb{C}:, f(z)=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
<math>z\epsilon\mathbb{C}:x_3\ne1 </math><br />
<br />
Suponga <math>\bar{x}\epsilon</math> S donde <math>\bar{x}=(x_1,x_2,x_3)</math><br />
<br />
Condicion de la esfera <math>(x_1^2+x_2^2+x_3^2=1)</math> donde <math>x_2</math> pertenece a '''i'''<br />
<br />
Ahora bien sabemos que la magnitud cuadrática <math>\bar{x}</math> es 1 <br />
<br />
<br />
<math>\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}\epsilon</math> Codominio de (f)<br />
<br />
Sea '''y''' que pertenece al Codominio de (f) donde : <math>y= ai+b</math><br />
<br />
Sea <math>a=\frac{x_1}{1-x_3}</math> y <math>b=\frac{x_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
tomando en cuenta que <math>y=f(x)</math><br />
<br />
de esta manera <math>f(x)=\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 03:09 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''2. Demuestre que si <math>z_n\rightarrow \infty.</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math>, entonces <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Como <math>z_n\rightarrow \infty.</math><br />
<math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Recordando la definiciòn del limite dado un <math>N_o</math> nos aproximamos.<br />
<math>\exists\N_o\epsilon\mathbb N+ n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> por hipótesis.<br />
<br />
P.D. <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math>, asi como también <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Ahora usando la definiciòn del limite dentro de la mètrica cordal tenemos un <math>N_o^\prime</math> donde limite se aproxima a cero cuando <math>n\rightarrow \infty.</math> <br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty) - 0 |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty)|<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
Usando la definición de la distancia cordal entre dos puntos<br />
<br />
<math>d_C(z_1,z_2)=|\pi(z_1)-\pi(z_2)|</math><br />
<br />
P.D.<math>\quad\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon </math><br />
<br />
Tomamos el lìmite descrito anteriomente.<br />
<br />
Por hipótesis <math>\quad\exists\N_o\epsilon\mathbb N</math> tal que <math>\quad n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> <br />
<br />
Sea <math>N_o</math> como antes por la continuidad de <math>\pi</math><br />
<br />
Finalmente usando la definiciòn de metrica cordal.<br />
<br />
Si <math>\quad n\geq N_o\to|\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon</math> <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 04:20 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''3. Las transformaciones de Möbius definidas en (1.4) se extienden a la esfera de Riemann <math>\hat{\mathbb{C}} </math> como sigue: si <math>c=0, T(\infty)=\infty</math>, y si <math>c\neq0, T(\infty)=\frac{a}{c}</math> y <math>T(\frac{-d}{c})=\infty</math>.Demuestre que estas funciones son continuas en dicha esfera con la metrica cordal.<br />
<br />
Transformaciones de Möbius complejas.(1.4)<br />
<math>z\to\frac{az+b}{cz+d} , ad-bc\neq0, a,b,c,d. <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
Se define la metrica cordal en el plano complejo extendido de la sig. manera.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2) = <br />
\begin{cases} <br />
\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}, & si z_1,z_2\neq\infty \\<br />
\frac{2}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}}, & si z_2=\infty. <br />
\end{cases}</math><br />
<br />
para los casos extremos.<br />
<br />
si <math>c=0, T(\infty)=\frac{az+b}{d}=\frac{a(\infty)+b}{d}=\infty.</math><br />
<br />
si <math>c\neq0, T(z)=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{z}{z}\frac{a+\frac{b}{z}}{c+\frac{d}{z}}<br />
<br />
<br />
,T(\infty)=\frac{a+\frac{b}{\infty}}{c+\frac{d}{\infty}}=\frac{a}{c}.</math><br />
<br />
<br />
<br />
si <math>T(\frac{-d}{c})=\frac{a(\frac{-d}{c})+b}{c(\frac{-d}{c})+d}=\infty.</math><br />
<br />
<br />
generalizando, para <math>z_1,z_2 \epsilon\mathbb{C}</math>, (arbitrarias).<br />
<br />
por hip.<math>c=0\therefore</math><br />
<br />
<math>T(z)=\frac{az+b}{d}=\frac{a}{d}z+\frac{b}{d}</math>.<br />
<br />
<math>\forall\epsilon>0, \exists\delta>0 </math><br />
<br />
<br />
tal que si<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_1-z_2\right|<\delta , \left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
entonces<br />
<math>\left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\left|z_1-z_2\right|\delta <\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
<math>T(z_1)-T(z_2)=\left(\frac{a}{d}z_1+\frac{b}{d}\right)-\left(\frac{a}{d}z_2+\frac{b}{d}\right)=\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)</math><br />
<br />
<br />
por <math>\left(d\left(0,x-y\right)=d\left(x,y\right)\right)</math><br />
<br />
<math>d_c\left(0,T(z_1)-T(z_2)\right)=d_c\left(0,\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)\right)=d_c\left(\frac{a}{d}z_1,\frac{a}{d}z_2\right)</math><br />
<br />
ahora si<math>z_1,z_2\ne\infty</math> y <math>\delta\approx \frac{1}{k}</math> donde <math>k=\frac{a}{d}</math><br />
<br />
con la metrica cordal.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2)=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+k^2\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+k^2\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{k^2\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<math>=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{k\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore d_c(z_1,z_2)<\epsilon</math><br />
<br />
ya q se mostro que <math>\frac{az+b}{d}</math><br />
<br />
es continua, se puede probar lo mismo para <br />
<br />
<math> c z+ d </math>.<br />
<br />
<br />
por teo. de continuidad si<br />
<br />
<math> f\left(x\right),g\left(x\right)</math> <br />
<br />
son continuas, tambien<br />
<br />
<br />
<math>\frac{f(x)}{g(x)}</math>, es continua.<br />
<br />
<br />
<math>\therefore \frac{az_1+b}{cz_2+d}</math> <br />
<br />
es continua si<br />
<br />
<math>c \ne 0</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 00:42 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4.'''Demuestre que si ''AB'' son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de Möbius ''f,g'', respectivamente, entonces la matriz ''BA'' representa la composicion ''gf'', que también es de Möbius.Concluya mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera en sí misma, y que ademas constituyen un grupo.<br />
<br />
SOLUCION:<br />
<br />
tenemos que <math>\ f, g </math> son transformaciones de Möbius<br />
<br />
<br />
<math>f(z)=\frac{a' z + b'}{c' z + d'}\quad\quad g(z)=\frac{a z + b}{c z + d}</math><br />
<br />
<br />
sean <math>\ A, B </math> las representaciones matriciales de <math>\ g, f </math> respectivamente<br />
<br />
<br />
<math>A = \begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix} \quad \quad B = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
entonces <br />
<br />
<math>BA = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}<br />
a'a + b'c & c'a + d'c \\<br />
a'b + b'd & c'b + d'd \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
<br />
entonces<br />
<br />
<math>gf=\frac{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}{(a'b + b'd)z + (c'b + d'd)}</math><br />
<br />
los elementos de la matriz ''BA'' son elementos de funciones biyectivas, entonces dicha matriz también es biyectiva, y por lo tanto ''gf'' es biyectiva y de Möbius.<br />
<br />
<br />
Por ser de Möbius es meromorfa, ahora notemos que ''gf'' es continua y que <br />
<br />
<math>\frac{1}{gf}=\frac{(a'b + b')z + (c'b + d'd)}{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}</math><br />
<br />
<br />
tambien es continua por lo que concluimos que es bicontinua.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''5.'''Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en ternas de puntos de la esfera de Riemann. Sugerencia: Dada una terna, encuentre una función de Möbius que la mande en 1, 0 e <math>o\!o</math><br />
<br />
Sea <math>(x_1,x_2,x_3)\rightarrow \frac{x_1 + ix_2}{x_3} = z_0</math><br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = \frac{(1-b)x_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
y <math> \quad c = \frac{(1-d)x_3}{x_1 + i x_2} \quad </math>; <math>ad-bc\neq0</math><br />
<br />
<br />
entonces <math> T(z) = \frac{(1-b)x_3 z + (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 z + (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<math> T(z_0) = \frac{(1-b)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3}\Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3} \Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = \frac{(1-b) (<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)(<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = 1</math><br />
<br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{b - \frac{bx_3 }{x_1 + i x_2}}{cz+d}z</math><br />
<br />
<br />
<math>T(z_0) = \frac{b - \frac{bx_3 (\frac{x_1 + ix_2}{x_3})}{x_1 + i x_2}}{cz+d} = \frac{b - b}{cz+d} = 0</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math>b\rightarrow \!oo</math><br />
<br />
<br />
entonces <math>T(z_0) = \!oo</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''6.'''Pruede que las transformaciones de Möbius son composición de algunas de las siguientes funciones: rotaciones, traslaciones, homotecias, y <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math>. Concluya mostrando que las transformaciones de Möbius preservan la familia de circulos y rectas.<br />
<br />
Considere la Transformación de Möbius.<br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
<br />
Sea <math>a = 1,\quad c = 0, \quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = z+b \qquad </math> entonces <math>T(z)</math>es una traslación. <br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad b = c = 0,\quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math>T(z) = az</math> entonces '''T(z)''' es una rotación por '''arg(a)''' y por una amplificación <math>\big |a\big |</math>.<br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad a = d = 0, \quad b = c = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<math> T(z) = \frac{1}{z}\qquad</math> entonces '''T(z)''' es una inversión.<br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 23:28 26 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''7. Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en la familia de círculos y rectas.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Puesto que una transformación del tipo <math>w=\frac{1}{z} </math> aplica en circunferencias y rectas, y como las rotaciones, los cambios de escala y las translaciones preservan rectas y circunferencias. Dicha transformación bilineal o de Möbius aplica en círculos y rectas.<br />
<br />
<br />
Un círculo en <math>{S^2}</math> es la intersección de un plano con la esfera, por lo cual satiface la siguiente ecuación:<br />
<br />
<br />
<math>ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\,\!</math><br />
<br />
<br />
Tenemos que<br />
<br />
<br />
<math> x_1=\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_2=\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_3=\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto, este círculo es la imagen bajo la proyección esterografica, cuyos puntos satisfacen la siguiente ecuación en el plano: <br />
<br />
<br />
<br />
<math>a\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )+b\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )+c\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)=d </math><br />
<br />
<br />
Escribiendo <math>z = x+iy\,\!</math>, se tiene<br />
<br />
<br />
<math> x^2+y^2-\frac{2a}{d-c}x-\frac{2by}{d-c}=1 </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( d-c \right )-2ax-2by =d-c </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( c-d \right )+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )c -\left ( x^2+y^2 \right )d+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2-1 \right )c -\left ( x^2+y^2+1 \right )d+2ax+2by =0 </math><br />
<br />
<br />
finalmente se tiene que<br />
<br />
<br />
<math>2ax + 2by + c(x^2+y^2-1) = d(x^2+y^2+1)\,\!</math>,<br />
<br />
<br />
que biene siendo la ecuación de una recta o un círculo, dependiendo si <math>d=c\,\!</math>, o si <math>d\ne c\,\!</math>.<br />
<br />
<br />
'''De otra manera:'''<br />
<br />
<br />
Puesto que <math>x+iy=z=\frac{1}{w} =\frac{\overline{w}}{|w|^2}</math><br />
<br />
Como<br />
<br />
<br />
<math>x=\frac{u}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
<math>y=-\frac{v}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 16:08 22 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''8.- Demuestre de dos maneras que el lugar de los puntos que cumplen la ecuación <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> <math> ,k\in\mathbb{R}^{+},a,b\in\mathbb{C},a\neq b</math> constituye una recta o un círculo (llamado de Apolonio).'''<br />
<br />
'''Solución'''<br />
<br />
Sea <br />
<br />
<math>z = x+iy\,\!, a = u+iv, b = c+id</math><br />
<br />
<br />
<br />
Entonces <br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|^{2}=k^{2}\left|z-b\right|^{2}</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left(x-u\right)^{2}+\left(y-v\right)^{2}=k\left(\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}\right)</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>x^2-2xu+u^2+y^2-2yv+v^2=kx^2-2kxc+c^2+ky^2-2kyd+kd^2\,\!</math> </center><br />
<br />
<br />
Si agrupamos esta expresión se tiene:<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(1-k\right)-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right) \qquad (I)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Si <math>k=1</math> se tiene la ecuación de una recta, es decir:<br />
<br />
<br />
<center><math>-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=c^{2}+d^{2}-\left(u^{2}+v^{2}\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Ahora para <math>k\neq1</math> la ecuación <math>\left(I\right)</math> al multiplicarla por<br />
<math>\frac{1}{\left(1-k\right)}<br />
</math> toma la forma:<br />
<br />
<br />
<center><math>\frac{}{}<br />
\left(x^{2}+y^{2}\right)-\frac{2x\left(u-kc\right)}{\left(1-k\right)}-\frac{2y\left(v-kd\right)}{\left(1-k\right)}=\frac{k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)}{\left(1-k\right)}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si completamos los cuadrados (más un poco de álgebra) de esta ultima expresión se obtiene lo<br />
siguiente<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\left(\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}+\frac{1}{1-k}\left(k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\frac{k}{\left(1-k\right)^{2}}\left(\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
lo cual es la ecuación de un círculo con centro <br />
<math>\left(\frac{u-kc}{1-k}\,,\,\frac{v-kd}{1-k}\right)</math><br />
y cuyo radio es <br />
<math>\frac{\sqrt{k}}{\left|1-k\right|}\sqrt{\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Otro método.<br />
<br />
<center><math><br />
\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(z-a\right)\left(\overline{z}-\overline{a}\right)=k\left(z-b\right)\left(\overline{z}-\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}-a\overline{z}-\overline{a}z+a\overline{a}=k\left(z\overline{z}-b\overline{z}-\overline{b}z+b\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
agrupando tenemos<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)-a\overline{z}-\overline{a}z+kb\overline{z}+k\overline{b}z=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)+\overline{z}\left(kb-a\right)+z\left(k\overline{b}-\overline{a}\right)=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio<math> A=\left(1-k\right), B=\left(kb-a\right),\overline{B}=\left(k\overline{b}-\overline{a}\right), C=kb\overline{b}-a\overline{a}\!,</math> , la anterior ecuación se escribe como<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
Az\overline{z}+B\overline{z}+\overline{B}z=C</math></center><br />
<br />
<br />
si <math> A=0</math> (entonces <math>k=1</math>) se tiene la ecución de una recta, si <math>A</math> es distinto<br />
de cero (entonces k es distinto de 1) y se tiene la ecuación de una<br />
circunferencia.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 01:46 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
'''9.- Sean <math>a,c</math> complejos, tal que no son ambos nulos, probar que<br />
<math>\left|\frac{\bar{a}z+\bar{c}}{cz+a}\right|=1</math>, si <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
Interpretar geometricamente.'''<br />
<br />
<br />
Sean <math> a=b+id , c=e+if , z=x+iy </math>.<br />
Entonces sustituyendo esto se tiene la siguiente expresión:<br />
<br />
<math>\left|\frac{\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)}{\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)}\right|=1 </math><br />
<br />
Por propiedades de la norma se sigue que<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|}{\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right|}=1 </math><br />
<br />
Y multiplicando ambos lados por el denominador llegamos a que<br />
<br />
<math>\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|=\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right| </math><br />
<br />
Desarrollando los producto y las operaciones para poder agrupar terminos se llega a<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right| </math><br />
<br />
Elevando al cuadrado para tener el cuadrado de la norma tenemos que<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|^{2}=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right|^{2} </math><br />
<br />
Donde es inmediato lo siguiente<br />
<br />
<math>\left(bx+dy+e\right)^{2}+\left(by-dx-f\right)^{2}=\left(b+ex-fy\right)^{2}+\left(d+fx+ey\right)^{2} </math><br />
<br />
Y despues de expander los polinomios<br />
<br />
<math>\left(e^{2}+f^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(b^{2}+d^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)=\left(b^{2}+d^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(e^{2}+f^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}\left|z\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}\left|z\right|^{2} </math> <br />
<br />
Donde <math>\left|z\right|=1</math><br />
<br />
<math>\therefore\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2} </math><br />
<br />
O tambien <br />
<br />
<math>\frac{\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}}{\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}}=1 </math><br />
<br />
Que era lo que se queria mostrar. <br />
<br />
Ahora geometricamente esto nos dice que la magnitud de la suma de<br />
dos numeros complejos es igual a la magnitud de la suma de sus conjugados.<br />
<br />
En las siguientes imagenes se muestra graficamente la interpretacion<br />
geometrica, el vector de color naranja es <math>z</math> y el azul y verde <math>a,c</math><br />
respectivamente.<br />
<br />
[[Imagen:Prueba1.jpg]][[Imagen:Prueba.jpg]]<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 14:12 9 dic 2009 (UTC)<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 19:42 21 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''10.- Probar que la funcion <math>z \rightarrow 1/z</math> es una rotacion de <math>\pi</math> radianes en la esfera de Riemann alrededor del eje x.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Las componentes del punto <math>A = (a_1,a_2,a_3)\,</math> en la esfera unitaria asociado a z son:<br />
<br />
<br />
<math>a_1 = \frac{z+\overline{z}}{|z|^2+1}, a_2 = \frac{z-\overline{z}}{i(|z|^2+1)}, a_3 = \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\,</math> <br />
<br />
<br />
Sea <math>\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> y tomando en cuenta que <math>|z| = |\overline{z}|\,</math>, entonces, las componentes del punto <math>B = (b_1,b_2,b_3)\,</math> de la esfera unitaria asociado a <math>\frac{1}{z}\,</math> son:<br />
<br />
<br />
<math>b_1 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}+\frac{z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{\overline{z}+z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\overline{z}+z}{|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}+z}{1+|z|^2} = a_1\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_2 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}-\frac{z}{|z|^2}}{i(\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i(1+|z|^2)} = -\frac{z-\overline{z}}{i(1+|z|^2)} = -a_2\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_3 = \frac{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}-1}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{1}{|z|^2}-1}{\frac{1}{|z|^2}+1} = \frac{1-|z|^2}{1+|z|^2} = -\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} = -a_3\,</math> ...<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 00:03 9 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''11.''' '''Probar que dados dos puntos''' <math>z,w \in \mathbb C</math> '''se tiene que sus proyecciones en la esfera de Riemann son antípodas si y solo si''' <math>z\bar{w} = -1</math><br />
<br />
<br />
SOLUCION.<br />
<br />
Sea <math>z \in \mathbb C \quad a,b \in \mathbb R</math> <br />
<br />
se pasa del plano complejo a la esfera de Riemann.<br />
<br />
<math>\psi: \mathbb C \rightarrow \mathbb S^2 - \lbrace e_3 \rbrace </math><br />
<br />
<math> z \mapsto (x_1 , x_2 , x_3)</math><br />
<br />
<br />
Si <math>\ z=a+ib \mapsto \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)</math> es el punto '''P''' en la esfera de Riemann.<br />
<br />
<br />
con este punto '''P''' y el centro '''C''' de la esfera se construye una recta que pase por estos puntos:<br />
<br />
<br />
Sea <math>\mathcal {L} =\ p + t\vec{v} \quad , \forall t \in \mathbb R </math> donde <math>\vec v</math>es el vector director que va de '''P''' a ''' C''' esto es <br />
<br />
<br />
<math>\vec {v} =(0,0,0)- \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) </math><br />
<br />
<br />
nuestra ecuacion de la recta queda de la siguiente manera:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\mathcal {L} =\left (\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right) + t \left (\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \quad , \forall t \in \mathbb R </math><br />
<br />
<br />
Cuando <math>\ t=0</math> tenemos a <math>\ P</math> en la esfera.<br />
<br />
cuando <math>\ t=1</math> tenemos el centro <math>\ (0,0,0)</math> de la esfera de Riemann.<br />
<br />
cuando <math>\ t=2 </math> tenemos al punto <math>\ Q</math> que es la antipoda de <math>\ p</math><br />
<br />
<br />
<math> \Rightarrow Q=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \, antipoda \quad de\quad p \quad en \quad la \quad esfera \quad de \quad Riemann </math><br />
<br />
<br />
teniendo a <math> \ Q</math> sobre la esfera de Riemann volvemos al plano complejo mediante la siguiente tranformacion:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\varphi: \mathbb S^2 -\lbrace e_3 \rbrace \rightarrow \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>Q \mapsto \frac {x_1 +ix_2}{1-x_3} </math>, que nos da un punto <math>\ w_Q \in \mathbb C</math> <br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q=\frac {x_1 +ix_2}{1-x_3}=\frac {\frac {-2a}{a^2+b^2+1} +i \frac {-2b}{a^2+b^2+1}}{1+ \frac {a^2+b^2-1}{a^2+b^2+1}} = \frac{ \frac{-2}{a^2+b^2+1}(a+ib) }{ \frac {2a^2+2b^2}{a^2+b^2+1} } = \frac {-2}{2a^2+2b^2}(a+ib) = \frac {-1}{a^2+b^2}(a+ib) </math> <br />
<br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} </math><br />
<br />
<br />
Como la proyeccion en la esfera de Riemann de <math>\ w_Q </math> es la antipoda de <math>\ z </math> se debe de cumplir que <math>z\bar{w_Q} = -1</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> z=a+ib \quad, w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} \in \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow z\bar{w_Q} =(a+ib)\left ( -\frac {a}{a^2 + b^2} +i \frac {b}{a^2+ b^2}\right )=\left ( -\frac {a^2}{a^2 + b^2} -\frac {b^2}{a^2+ b^2}\right )+i\left ( -\frac {ab}{a^2 + b^2} + \frac {ab}{a^2+ b^2}\right ) </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\left ( \frac {-(a^2+b^2)}{a^2 + b^2} \right )+i(0)=-1</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore z,w</math> son antipodas si y solo si <math>z\bar{w} = -1 \quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 15:11 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''12.'''¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la funcion <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> ?<br />
<br />
<br />
SOLUCIÓN:<br />
<br />
para la imagen notemos que <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> es continua exepto cuando <math>\ z=0</math>, por lo que su imagen es todo el plano complejo exepto el origen.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.2&diff=11828
Compleja:ej-cap1.2
2009-12-14T02:59:03Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>==EJERCICIOS 1.2.1 ==<br />
<br />
'''1.''' '''Demuestre que una una funcion''' <math>f:A\subset\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} </math> '''es continua en''' <math>{z_0}\in A</math> '''si y soló si para toda sucesión''' <math>{z_n},n\in\mathbb{N}, </math> '''tal que''' <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow\infty,</math> '''se tiene''' <math>f(z_n)\rightarrow f(z_0),</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Supongamos que <math> \ f<br />
</math> es continua en <math>\ z_0 </math> , es decir:<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad\exists \delta = \delta(\epsilon)> 0 </math> <br />
<br />
tal que <math>\quad | z - z_0 |<\delta \Rightarrow | f(z) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
y supongamos que <math>\lbrace z_n \rbrace , n\in \mathbb{N} </math> es una sucesión en <math>\ A </math> tal que <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math><br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<math>f(z_n)\rightarrow f(z_0)</math><br />
<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad \exists N = N(\epsilon)\in \mathbb N ,\quad n\geq N \Rightarrow | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
como <math>\ f</math> es continua en <math>\ z_0</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists\delta = \delta(\epsilon)>0</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow z_n \rightarrow z_0 </math><br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists M = M(\epsilon) \in \mathbb N, \quad n \geq M \Rightarrow | z_n - z_0 |< \delta </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore f(z_n) \rightarrow f(z_0)\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.''' '''Demuestre que una sucesión''' <math> \ \lbrace a_n \rbrace</math> en <math>\mathbb R^n </math> '''es de ''Cauchy'' si y sólo es convergente.<br />
<br />
'''<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Una sucesión en <math>\mathbb R^n </math> se dice que es de ''Cauchy'' si para todo <math>\epsilon >0 ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in \mathbb N </math> tal que <math>|a_m - a_n|<\epsilon , \quad \forall m,n \geq N</math> '''.'''<br />
<br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<br />
Si la sucesión es convergente, esto es si <math>\lim {a_n}=L \quad \Rightarrow \quad \forall \epsilon > 0\quad ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in\mathbb N </math><br />
<br />
<br />
tal que <math>|a_n - L|<\frac{\epsilon}{2}\quad, \quad \forall n\geq N</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow </math> si <math>m,n\geq N ,</math> se tiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ |a_m - a_n|=|a_m - L +L - a_n| \leq |a_m - L| + | L - a_n|< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}\!=\!{\epsilon} </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore \lbrace a_n \rbrace \quad es \quad de \quad Cauchy.\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
== EJERCICIOS 1.2.2 ==<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''1. Demuestre que la funcion estereográfica <math>(x_1,x_2,x_3)\to\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math> de la esfera de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.<br />
<br />
Definicion: Una funcion es suprayectiva si a un punto en la esfera<math>(x_1,x_2,x_3)</math> le corresponde uno(s) puntos dentro del plano complejo <math>\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
Una función es sobre si para toda '''y''' pertenece al Codominio <math>(f)</math> ,existe '''x''' pertenece al Dominio de <br />
<math>(f)</math> tal que <math> y = f(x)</math><br />
<br />
Notaciòn (para la demostraciòn): S= Esfera, C= punto en el plano proyectado por la esfera.<br />
<br />
Dominio<math>(f)= S</math> y el Codominio<math>(f)= C</math> y tambièn<br />
<math> C = z\epsilon\mathbb{C}:, f(z)=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
<math>z\epsilon\mathbb{C}:x_3\ne1 </math><br />
<br />
Suponga <math>\bar{x}\epsilon</math> S donde <math>\bar{x}=(x_1,x_2,x_3)</math><br />
<br />
Condicion de la esfera <math>(x_1^2+x_2^2+x_3^2=1)</math> donde <math>x_2</math> pertenece a '''i'''<br />
<br />
Ahora bien sabemos que la magnitud cuadrática <math>\bar{x}</math> es 1 <br />
<br />
<br />
<math>\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}\epsilon</math> Codominio de (f)<br />
<br />
Sea '''y''' que pertenece al Codominio de (f) donde : <math>y= ai+b</math><br />
<br />
Sea <math>a=\frac{x_1}{1-x_3}</math> y <math>b=\frac{x_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
tomando en cuenta que <math>y=f(x)</math><br />
<br />
de esta manera <math>f(x)=\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 03:09 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''2. Demuestre que si <math>z_n\rightarrow \infty.</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math>, entonces <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Como <math>z_n\rightarrow \infty.</math><br />
<math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Recordando la definiciòn del limite dado un <math>N_o</math> nos aproximamos.<br />
<math>\exists\N_o\epsilon\mathbb N+ n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> por hipótesis.<br />
<br />
P.D. <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math>, asi como también <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Ahora usando la definiciòn del limite dentro de la mètrica cordal tenemos un <math>N_o^\prime</math> donde limite se aproxima a cero cuando <math>n\rightarrow \infty.</math> <br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty) - 0 |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty)|<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
Usando la definición de la distancia cordal entre dos puntos<br />
<br />
<math>d_C(z_1,z_2)=|\pi(z_1)-\pi(z_2)|</math><br />
<br />
P.D.<math>\quad\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon </math><br />
<br />
Tomamos el lìmite descrito anteriomente.<br />
<br />
Por hipótesis <math>\quad\exists\N_o\epsilon\mathbb N</math> tal que <math>\quad n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> <br />
<br />
Sea <math>N_o</math> como antes por la continuidad de <math>\pi</math><br />
<br />
Finalmente usando la definiciòn de metrica cordal.<br />
<br />
Si <math>\quad n\geq N_o\to|\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon</math> <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 04:20 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''3. Las transformaciones de Möbius definidas en (1.4) se extienden a la esfera de Riemann <math>\hat{\mathbb{C}} </math> como sigue: si <math>c=0, T(\infty)=\infty</math>, y si <math>c\neq0, T(\infty)=\frac{a}{c}</math> y <math>T(\frac{-d}{c})=\infty</math>.Demuestre que estas funciones son continuas en dicha esfera con la metrica cordal.<br />
<br />
Transformaciones de Möbius complejas.(1.4)<br />
<math>z\to\frac{az+b}{cz+d} , ad-bc\neq0, a,b,c,d. <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
Se define la metrica cordal en el plano complejo extendido de la sig. manera.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2) = <br />
\begin{cases} <br />
\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}, & si z_1,z_2\neq\infty \\<br />
\frac{2}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}}, & si z_2=\infty. <br />
\end{cases}</math><br />
<br />
para los casos extremos.<br />
<br />
si <math>c=0, T(\infty)=\frac{az+b}{d}=\frac{a(\infty)+b}{d}=\infty.</math><br />
<br />
si <math>c\neq0, T(z)=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{z}{z}\frac{a+\frac{b}{z}}{c+\frac{d}{z}}<br />
<br />
<br />
,T(\infty)=\frac{a+\frac{b}{\infty}}{c+\frac{d}{\infty}}=\frac{a}{c}.</math><br />
<br />
<br />
<br />
si <math>T(\frac{-d}{c})=\frac{a(\frac{-d}{c})+b}{c(\frac{-d}{c})+d}=\infty.</math><br />
<br />
<br />
generalizando, para <math>z_1,z_2 \epsilon\mathbb{C}</math>, (arbitrarias).<br />
<br />
por hip.<math>c=0\therefore</math><br />
<br />
<math>T(z)=\frac{az+b}{d}=\frac{a}{d}z+\frac{b}{d}</math>.<br />
<br />
<math>\forall\epsilon>0, \exists\delta>0 </math><br />
<br />
<br />
tal que si<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_1-z_2\right|<\delta , \left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
entonces<br />
<math>\left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\left|z_1-z_2\right|\delta <\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
<math>T(z_1)-T(z_2)=\left(\frac{a}{d}z_1+\frac{b}{d}\right)-\left(\frac{a}{d}z_2+\frac{b}{d}\right)=\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)</math><br />
<br />
<br />
por <math>\left(d\left(0,x-y\right)=d\left(x,y\right)\right)</math><br />
<br />
<math>d_c\left(0,T(z_1)-T(z_2)\right)=d_c\left(0,\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)\right)=d_c\left(\frac{a}{d}z_1,\frac{a}{d}z_2\right)</math><br />
<br />
ahora si<math>z_1,z_2\ne\infty</math> y <math>\delta\approx \frac{1}{k}</math> donde <math>k=\frac{a}{d}</math><br />
<br />
con la metrica cordal.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2)=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+k^2\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+k^2\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{k^2\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<math>=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{k\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore d_c(z_1,z_2)<\epsilon</math><br />
<br />
ya q se mostro que <math>\frac{az+b}{d}</math><br />
<br />
es continua, se puede probar lo mismo para <br />
<br />
<math> c z+ d </math>.<br />
<br />
<br />
por teo. de continuidad si<br />
<br />
<math> f\left(x\right),g\left(x\right)</math> <br />
<br />
son continuas, tambien<br />
<br />
<br />
<math>\frac{f(x)}{g(x)}</math>, es continua.<br />
<br />
<br />
<math>\therefore \frac{az_1+b}{cz_2+d}</math> <br />
<br />
es continua si<br />
<br />
<math>c \ne 0</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 00:42 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4.'''Demuestre que si ''AB'' son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de Möbius ''f,g'', respectivamente, entonces la matriz ''BA'' representa la composicion ''gf'', que también es de Möbius.Concluya mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera en sí misma, y que ademas constituyen un grupo.<br />
<br />
SOLUCION:<br />
<br />
tenemos que <math>\ f, g </math> son transformaciones de Möbius<br />
<br />
<br />
<math>f(z)=\frac{a' z + b'}{c' z + d'}\quad\quad g(z)=\frac{a z + b}{c z + d}</math><br />
<br />
<br />
sean <math>\ A, B </math> las representaciones matriciales de <math>\ g, f </math> respectivamente<br />
<br />
<br />
<math>A = \begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix} \quad \quad B = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
entonces <br />
<br />
<math>BA = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}<br />
a'a + b'c & c'a + d'c \\<br />
a'b + b'd & c'b + d'd \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
<br />
entonces<br />
<br />
<math>gf=\frac{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}{(a'b + b'd)z + (c'b + d'd)}</math><br />
<br />
los elementos de la matriz ''BA'' son elementos de funciones biyectivas, entonces dicha matriz también es biyectiva, y por lo tanto ''gf'' es biyectiva y de Möbius.<br />
<br />
<br />
Por ser de Möbius es meromorfa, ahora notemos que ''gf'' es continua y que <br />
<br />
<math>\frac{1}{gf}=\frac{(a'b + b')z + (c'b + d'd)}{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}</math><br />
<br />
<br />
tambien es continua por lo que concluimos que es bicontinua.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''5.'''Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en ternas de puntos de la esfera de Riemann. Sugerencia: Dada una terna, encuentre una función de Möbius que la mande en 1, 0 e <math>o\!o</math><br />
<br />
Sea <math>(x_1,x_2,x_3)\rightarrow \frac{x_1 + ix_2}{x_3} = z_0</math><br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = \frac{(1-b)x_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
y <math> \quad c = \frac{(1-d)x_3}{x_1 + i x_2} \quad </math>; <math>ad-bc\neq0</math><br />
<br />
<br />
entonces <math> T(z) = \frac{(1-b)x_3 z + (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 z + (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<math> T(z_0) = \frac{(1-b)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3}\Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3} \Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = \frac{(1-b) (<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)(<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = 1</math><br />
<br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{b - \frac{bx_3 }{x_1 + i x_2}}{cz+d}z</math><br />
<br />
<br />
<math>T(z_0) = \frac{b - \frac{bx_3 (\frac{x_1 + ix_2}{x_3})}{x_1 + i x_2}}{cz+d} = \frac{b - b}{cz+d} = 0</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math>b\rightarrow \!oo</math><br />
<br />
<br />
entonces <math>T(z_0) = \!oo</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''6.'''Pruede que las transformaciones de Möbius son composición de algunas de las siguientes funciones: rotaciones, traslaciones, homotecias, y <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math>. Concluya mostrando que las transformaciones de Möbius preservan la familia de circulos y rectas.<br />
<br />
Considere la Transformación de Möbius.<br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
<br />
Sea <math>a = 1,\quad c = 0, \quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = z+b \qquad </math> entonces <math>T(z)</math>es una traslación. <br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad b = c = 0,\quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math>T(z) = az</math> entonces '''T(z)''' es una rotación por '''arg(a)''' y por una amplificación <math>\big |a\big |</math>.<br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad a = d = 0, \quad b = c = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<math> T(z) = \frac{1}{z}\qquad</math> entonces '''T(z)''' es una inversión.<br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 23:28 26 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''7. Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en la familia de círculos y rectas.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Puesto que una transformación del tipo <math>w=\frac{1}{z} </math> aplica en circunferencias y rectas, y como las rotaciones, los cambios de escala y las translaciones preservan rectas y circunferencias. Dicha transformación bilineal o de Möbius aplica en círculos y rectas.<br />
<br />
<br />
Un círculo en <math>{S^2}</math> es la intersección de un plano con la esfera, por lo cual satiface la siguiente ecuación:<br />
<br />
<br />
<math>ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\,\!</math><br />
<br />
<br />
Tenemos que<br />
<br />
<br />
<math> x_1=\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_2=\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_3=\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto, este círculo es la imagen bajo la proyección esterografica, cuyos puntos satisfacen la siguiente ecuación en el plano: <br />
<br />
<br />
<br />
<math>a\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )+b\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )+c\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)=d </math><br />
<br />
<br />
Escribiendo <math>z = x+iy\,\!</math>, se tiene<br />
<br />
<br />
<math> x^2+y^2-\frac{2a}{d-c}x-\frac{2by}{d-c}=1 </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( d-c \right )-2ax-2by =d-c </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( c-d \right )+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )c -\left ( x^2+y^2 \right )d+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2-1 \right )c -\left ( x^2+y^2+1 \right )d+2ax+2by =0 </math><br />
<br />
<br />
finalmente se tiene que<br />
<br />
<br />
<math>2ax + 2by + c(x^2+y^2-1) = d(x^2+y^2+1)\,\!</math>,<br />
<br />
<br />
que biene siendo la ecuación de una recta o un círculo, dependiendo si <math>d=c\,\!</math>, o si <math>d\ne c\,\!</math>.<br />
<br />
<br />
'''De otra manera:'''<br />
<br />
<br />
Puesto que <math>x+iy=z=\frac{1}{w} =\frac{\overline{w}}{|w|^2}</math><br />
<br />
Como<br />
<br />
<br />
<math>x=\frac{u}{u^2+v^2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 16:08 22 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''8.- Demuestre de dos maneras que el lugar de los puntos que cumplen la ecuación <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> <math> ,k\in\mathbb{R}^{+},a,b\in\mathbb{C},a\neq b</math> constituye una recta o un círculo (llamado de Apolonio).'''<br />
<br />
'''Solución'''<br />
<br />
Sea <br />
<br />
<math>z = x+iy\,\!, a = u+iv, b = c+id</math><br />
<br />
<br />
<br />
Entonces <br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|^{2}=k^{2}\left|z-b\right|^{2}</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left(x-u\right)^{2}+\left(y-v\right)^{2}=k\left(\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}\right)</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>x^2-2xu+u^2+y^2-2yv+v^2=kx^2-2kxc+c^2+ky^2-2kyd+kd^2\,\!</math> </center><br />
<br />
<br />
Si agrupamos esta expresión se tiene:<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(1-k\right)-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right) \qquad (I)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Si <math>k=1</math> se tiene la ecuación de una recta, es decir:<br />
<br />
<br />
<center><math>-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=c^{2}+d^{2}-\left(u^{2}+v^{2}\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Ahora para <math>k\neq1</math> la ecuación <math>\left(I\right)</math> al multiplicarla por<br />
<math>\frac{1}{\left(1-k\right)}<br />
</math> toma la forma:<br />
<br />
<br />
<center><math>\frac{}{}<br />
\left(x^{2}+y^{2}\right)-\frac{2x\left(u-kc\right)}{\left(1-k\right)}-\frac{2y\left(v-kd\right)}{\left(1-k\right)}=\frac{k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)}{\left(1-k\right)}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si completamos los cuadrados (más un poco de álgebra) de esta ultima expresión se obtiene lo<br />
siguiente<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\left(\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}+\frac{1}{1-k}\left(k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\frac{k}{\left(1-k\right)^{2}}\left(\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
lo cual es la ecuación de un círculo con centro <br />
<math>\left(\frac{u-kc}{1-k}\,,\,\frac{v-kd}{1-k}\right)</math><br />
y cuyo radio es <br />
<math>\frac{\sqrt{k}}{\left|1-k\right|}\sqrt{\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Otro método.<br />
<br />
<center><math><br />
\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(z-a\right)\left(\overline{z}-\overline{a}\right)=k\left(z-b\right)\left(\overline{z}-\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}-a\overline{z}-\overline{a}z+a\overline{a}=k\left(z\overline{z}-b\overline{z}-\overline{b}z+b\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
agrupando tenemos<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)-a\overline{z}-\overline{a}z+kb\overline{z}+k\overline{b}z=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)+\overline{z}\left(kb-a\right)+z\left(k\overline{b}-\overline{a}\right)=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio<math> A=\left(1-k\right), B=\left(kb-a\right),\overline{B}=\left(k\overline{b}-\overline{a}\right), C=kb\overline{b}-a\overline{a}\!,</math> , la anterior ecuación se escribe como<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
Az\overline{z}+B\overline{z}+\overline{B}z=C</math></center><br />
<br />
<br />
si <math> A=0</math> (entonces <math>k=1</math>) se tiene la ecución de una recta, si <math>A</math> es distinto<br />
de cero (entonces k es distinto de 1) y se tiene la ecuación de una<br />
circunferencia.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 01:46 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
'''9.- Sean <math>a,c</math> complejos, tal que no son ambos nulos, probar que<br />
<math>\left|\frac{\bar{a}z+\bar{c}}{cz+a}\right|=1</math>, si <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
Interpretar geometricamente.'''<br />
<br />
<br />
Sean <math> a=b+id , c=e+if , z=x+iy </math>.<br />
Entonces sustituyendo esto se tiene la siguiente expresión:<br />
<br />
<math>\left|\frac{\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)}{\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)}\right|=1 </math><br />
<br />
Por propiedades de la norma se sigue que<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|}{\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right|}=1 </math><br />
<br />
Y multiplicando ambos lados por el denominador llegamos a que<br />
<br />
<math>\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|=\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right| </math><br />
<br />
Desarrollando los producto y las operaciones para poder agrupar terminos se llega a<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right| </math><br />
<br />
Elevando al cuadrado para tener el cuadrado de la norma tenemos que<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|^{2}=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right|^{2} </math><br />
<br />
Donde es inmediato lo siguiente<br />
<br />
<math>\left(bx+dy+e\right)^{2}+\left(by-dx-f\right)^{2}=\left(b+ex-fy\right)^{2}+\left(d+fx+ey\right)^{2} </math><br />
<br />
Y despues de expander los polinomios<br />
<br />
<math>\left(e^{2}+f^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(b^{2}+d^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)=\left(b^{2}+d^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(e^{2}+f^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}\left|z\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}\left|z\right|^{2} </math> <br />
<br />
Donde <math>\left|z\right|=1</math><br />
<br />
<math>\therefore\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2} </math><br />
<br />
O tambien <br />
<br />
<math>\frac{\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}}{\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}}=1 </math><br />
<br />
Que era lo que se queria mostrar. <br />
<br />
Ahora geometricamente esto nos dice que la magnitud de la suma de<br />
dos numeros complejos es igual a la magnitud de la suma de sus conjugados.<br />
<br />
En las siguientes imagenes se muestra graficamente la interpretacion<br />
geometrica, el vector de color naranja es <math>z</math> y el azul y verde <math>a,c</math><br />
respectivamente.<br />
<br />
[[Imagen:Prueba1.jpg]][[Imagen:Prueba.jpg]]<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 14:12 9 dic 2009 (UTC)<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 19:42 21 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''10.- Probar que la funcion <math>z \rightarrow 1/z</math> es una rotacion de <math>\pi</math> radianes en la esfera de Riemann alrededor del eje x.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Las componentes del punto <math>A = (a_1,a_2,a_3)\,</math> en la esfera unitaria asociado a z son:<br />
<br />
<br />
<math>a_1 = \frac{z+\overline{z}}{|z|^2+1}, a_2 = \frac{z-\overline{z}}{i(|z|^2+1)}, a_3 = \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\,</math> <br />
<br />
<br />
Sea <math>\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> y tomando en cuenta que <math>|z| = |\overline{z}|\,</math>, entonces, las componentes del punto <math>B = (b_1,b_2,b_3)\,</math> de la esfera unitaria asociado a <math>\frac{1}{z}\,</math> son:<br />
<br />
<br />
<math>b_1 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}+\frac{z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{\overline{z}+z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\overline{z}+z}{|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}+z}{1+|z|^2} = a_1\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_2 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}-\frac{z}{|z|^2}}{i(\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i(1+|z|^2)} = -\frac{z-\overline{z}}{i(1+|z|^2)} = -a_2\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_3 = \frac{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}-1}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{1}{|z|^2}-1}{\frac{1}{|z|^2}+1} = \frac{1-|z|^2}{1+|z|^2} = -\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} = -a_3\,</math> ...<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 00:03 9 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''11.''' '''Probar que dados dos puntos''' <math>z,w \in \mathbb C</math> '''se tiene que sus proyecciones en la esfera de Riemann son antípodas si y solo si''' <math>z\bar{w} = -1</math><br />
<br />
<br />
SOLUCION.<br />
<br />
Sea <math>z \in \mathbb C \quad a,b \in \mathbb R</math> <br />
<br />
se pasa del plano complejo a la esfera de Riemann.<br />
<br />
<math>\psi: \mathbb C \rightarrow \mathbb S^2 - \lbrace e_3 \rbrace </math><br />
<br />
<math> z \mapsto (x_1 , x_2 , x_3)</math><br />
<br />
<br />
Si <math>\ z=a+ib \mapsto \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)</math> es el punto '''P''' en la esfera de Riemann.<br />
<br />
<br />
con este punto '''P''' y el centro '''C''' de la esfera se construye una recta que pase por estos puntos:<br />
<br />
<br />
Sea <math>\mathcal {L} =\ p + t\vec{v} \quad , \forall t \in \mathbb R </math> donde <math>\vec v</math>es el vector director que va de '''P''' a ''' C''' esto es <br />
<br />
<br />
<math>\vec {v} =(0,0,0)- \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) </math><br />
<br />
<br />
nuestra ecuacion de la recta queda de la siguiente manera:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\mathcal {L} =\left (\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right) + t \left (\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \quad , \forall t \in \mathbb R </math><br />
<br />
<br />
Cuando <math>\ t=0</math> tenemos a <math>\ P</math> en la esfera.<br />
<br />
cuando <math>\ t=1</math> tenemos el centro <math>\ (0,0,0)</math> de la esfera de Riemann.<br />
<br />
cuando <math>\ t=2 </math> tenemos al punto <math>\ Q</math> que es la antipoda de <math>\ p</math><br />
<br />
<br />
<math> \Rightarrow Q=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \, antipoda \quad de\quad p \quad en \quad la \quad esfera \quad de \quad Riemann </math><br />
<br />
<br />
teniendo a <math> \ Q</math> sobre la esfera de Riemann volvemos al plano complejo mediante la siguiente tranformacion:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\varphi: \mathbb S^2 -\lbrace e_3 \rbrace \rightarrow \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>Q \mapsto \frac {x_1 +ix_2}{1-x_3} </math>, que nos da un punto <math>\ w_Q \in \mathbb C</math> <br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q=\frac {x_1 +ix_2}{1-x_3}=\frac {\frac {-2a}{a^2+b^2+1} +i \frac {-2b}{a^2+b^2+1}}{1+ \frac {a^2+b^2-1}{a^2+b^2+1}} = \frac{ \frac{-2}{a^2+b^2+1}(a+ib) }{ \frac {2a^2+2b^2}{a^2+b^2+1} } = \frac {-2}{2a^2+2b^2}(a+ib) = \frac {-1}{a^2+b^2}(a+ib) </math> <br />
<br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} </math><br />
<br />
<br />
Como la proyeccion en la esfera de Riemann de <math>\ w_Q </math> es la antipoda de <math>\ z </math> se debe de cumplir que <math>z\bar{w_Q} = -1</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> z=a+ib \quad, w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} \in \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow z\bar{w_Q} =(a+ib)\left ( -\frac {a}{a^2 + b^2} +i \frac {b}{a^2+ b^2}\right )=\left ( -\frac {a^2}{a^2 + b^2} -\frac {b^2}{a^2+ b^2}\right )+i\left ( -\frac {ab}{a^2 + b^2} + \frac {ab}{a^2+ b^2}\right ) </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\left ( \frac {-(a^2+b^2)}{a^2 + b^2} \right )+i(0)=-1</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore z,w</math> son antipodas si y solo si <math>z\bar{w} = -1 \quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 15:11 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''12.'''¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la funcion <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> ?<br />
<br />
<br />
SOLUCIÓN:<br />
<br />
para la imagen notemos que <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> es continua exepto cuando <math>\ z=0</math>, por lo que su imagen es todo el plano complejo exepto el origen.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.2&diff=11826
Compleja:ej-cap1.2
2009-12-14T02:52:23Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>==EJERCICIOS 1.2.1 ==<br />
<br />
'''1.''' '''Demuestre que una una funcion''' <math>f:A\subset\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} </math> '''es continua en''' <math>{z_0}\in A</math> '''si y soló si para toda sucesión''' <math>{z_n},n\in\mathbb{N}, </math> '''tal que''' <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow\infty,</math> '''se tiene''' <math>f(z_n)\rightarrow f(z_0),</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Supongamos que <math> \ f<br />
</math> es continua en <math>\ z_0 </math> , es decir:<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad\exists \delta = \delta(\epsilon)> 0 </math> <br />
<br />
tal que <math>\quad | z - z_0 |<\delta \Rightarrow | f(z) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
y supongamos que <math>\lbrace z_n \rbrace , n\in \mathbb{N} </math> es una sucesión en <math>\ A </math> tal que <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math><br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<math>f(z_n)\rightarrow f(z_0)</math><br />
<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad \exists N = N(\epsilon)\in \mathbb N ,\quad n\geq N \Rightarrow | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
como <math>\ f</math> es continua en <math>\ z_0</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists\delta = \delta(\epsilon)>0</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow z_n \rightarrow z_0 </math><br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists M = M(\epsilon) \in \mathbb N, \quad n \geq M \Rightarrow | z_n - z_0 |< \delta </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore f(z_n) \rightarrow f(z_0)\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.''' '''Demuestre que una sucesión''' <math> \ \lbrace a_n \rbrace</math> en <math>\mathbb R^n </math> '''es de ''Cauchy'' si y sólo es convergente.<br />
<br />
'''<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Una sucesión en <math>\mathbb R^n </math> se dice que es de ''Cauchy'' si para todo <math>\epsilon >0 ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in \mathbb N </math> tal que <math>|a_m - a_n|<\epsilon , \quad \forall m,n \geq N</math> '''.'''<br />
<br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<br />
Si la sucesión es convergente, esto es si <math>\lim {a_n}=L \quad \Rightarrow \quad \forall \epsilon > 0\quad ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in\mathbb N </math><br />
<br />
<br />
tal que <math>|a_n - L|<\frac{\epsilon}{2}\quad, \quad \forall n\geq N</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow </math> si <math>m,n\geq N ,</math> se tiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ |a_m - a_n|=|a_m - L +L - a_n| \leq |a_m - L| + | L - a_n|< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}\!=\!{\epsilon} </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore \lbrace a_n \rbrace \quad es \quad de \quad Cauchy.\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
== EJERCICIOS 1.2.2 ==<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''1. Demuestre que la funcion estereográfica <math>(x_1,x_2,x_3)\to\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math> de la esfera de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.<br />
<br />
Definicion: Una funcion es suprayectiva si a un punto en la esfera<math>(x_1,x_2,x_3)</math> le corresponde uno(s) puntos dentro del plano complejo <math>\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
Una función es sobre si para toda '''y''' pertenece al Codominio <math>(f)</math> ,existe '''x''' pertenece al Dominio de <br />
<math>(f)</math> tal que <math> y = f(x)</math><br />
<br />
Notaciòn (para la demostraciòn): S= Esfera, C= punto en el plano proyectado por la esfera.<br />
<br />
Dominio<math>(f)= S</math> y el Codominio<math>(f)= C</math> y tambièn<br />
<math> C = z\epsilon\mathbb{C}:, f(z)=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
<math>z\epsilon\mathbb{C}:x_3\ne1 </math><br />
<br />
Suponga <math>\bar{x}\epsilon</math> S donde <math>\bar{x}=(x_1,x_2,x_3)</math><br />
<br />
Condicion de la esfera <math>(x_1^2+x_2^2+x_3^2=1)</math> donde <math>x_2</math> pertenece a '''i'''<br />
<br />
Ahora bien sabemos que la magnitud cuadrática <math>\bar{x}</math> es 1 <br />
<br />
<br />
<math>\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}\epsilon</math> Codominio de (f)<br />
<br />
Sea '''y''' que pertenece al Codominio de (f) donde : <math>y= ai+b</math><br />
<br />
Sea <math>a=\frac{x_1}{1-x_3}</math> y <math>b=\frac{x_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
tomando en cuenta que <math>y=f(x)</math><br />
<br />
de esta manera <math>f(x)=\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 03:09 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''2. Demuestre que si <math>z_n\rightarrow \infty.</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math>, entonces <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Como <math>z_n\rightarrow \infty.</math><br />
<math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Recordando la definiciòn del limite dado un <math>N_o</math> nos aproximamos.<br />
<math>\exists\N_o\epsilon\mathbb N+ n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> por hipótesis.<br />
<br />
P.D. <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math>, asi como también <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Ahora usando la definiciòn del limite dentro de la mètrica cordal tenemos un <math>N_o^\prime</math> donde limite se aproxima a cero cuando <math>n\rightarrow \infty.</math> <br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty) - 0 |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty)|<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
Usando la definición de la distancia cordal entre dos puntos<br />
<br />
<math>d_C(z_1,z_2)=|\pi(z_1)-\pi(z_2)|</math><br />
<br />
P.D.<math>\quad\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon </math><br />
<br />
Tomamos el lìmite descrito anteriomente.<br />
<br />
Por hipótesis <math>\quad\exists\N_o\epsilon\mathbb N</math> tal que <math>\quad n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> <br />
<br />
Sea <math>N_o</math> como antes por la continuidad de <math>\pi</math><br />
<br />
Finalmente usando la definiciòn de metrica cordal.<br />
<br />
Si <math>\quad n\geq N_o\to|\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon</math> <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 04:20 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''3. Las transformaciones de Möbius definidas en (1.4) se extienden a la esfera de Riemann <math>\hat{\mathbb{C}} </math> como sigue: si <math>c=0, T(\infty)=\infty</math>, y si <math>c\neq0, T(\infty)=\frac{a}{c}</math> y <math>T(\frac{-d}{c})=\infty</math>.Demuestre que estas funciones son continuas en dicha esfera con la metrica cordal.<br />
<br />
Transformaciones de Möbius complejas.(1.4)<br />
<math>z\to\frac{az+b}{cz+d} , ad-bc\neq0, a,b,c,d. <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
Se define la metrica cordal en el plano complejo extendido de la sig. manera.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2) = <br />
\begin{cases} <br />
\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}, & si z_1,z_2\neq\infty \\<br />
\frac{2}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}}, & si z_2=\infty. <br />
\end{cases}</math><br />
<br />
para los casos extremos.<br />
<br />
si <math>c=0, T(\infty)=\frac{az+b}{d}=\frac{a(\infty)+b}{d}=\infty.</math><br />
<br />
si <math>c\neq0, T(z)=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{z}{z}\frac{a+\frac{b}{z}}{c+\frac{d}{z}}<br />
<br />
<br />
,T(\infty)=\frac{a+\frac{b}{\infty}}{c+\frac{d}{\infty}}=\frac{a}{c}.</math><br />
<br />
<br />
<br />
si <math>T(\frac{-d}{c})=\frac{a(\frac{-d}{c})+b}{c(\frac{-d}{c})+d}=\infty.</math><br />
<br />
<br />
generalizando, para <math>z_1,z_2 \epsilon\mathbb{C}</math>, (arbitrarias).<br />
<br />
por hip.<math>c=0\therefore</math><br />
<br />
<math>T(z)=\frac{az+b}{d}=\frac{a}{d}z+\frac{b}{d}</math>.<br />
<br />
<math>\forall\epsilon>0, \exists\delta>0 </math><br />
<br />
<br />
tal que si<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_1-z_2\right|<\delta , \left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
entonces<br />
<math>\left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\left|z_1-z_2\right|\delta <\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
<math>T(z_1)-T(z_2)=\left(\frac{a}{d}z_1+\frac{b}{d}\right)-\left(\frac{a}{d}z_2+\frac{b}{d}\right)=\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)</math><br />
<br />
<br />
por <math>\left(d\left(0,x-y\right)=d\left(x,y\right)\right)</math><br />
<br />
<math>d_c\left(0,T(z_1)-T(z_2)\right)=d_c\left(0,\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)\right)=d_c\left(\frac{a}{d}z_1,\frac{a}{d}z_2\right)</math><br />
<br />
ahora si<math>z_1,z_2\ne\infty</math> y <math>\delta\approx \frac{1}{k}</math> donde <math>k=\frac{a}{d}</math><br />
<br />
con la metrica cordal.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2)=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+k^2\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+k^2\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{k^2\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<math>=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{k\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore d_c(z_1,z_2)<\epsilon</math><br />
<br />
ya q se mostro que <math>\frac{az+b}{d}</math><br />
<br />
es continua, se puede probar lo mismo para <br />
<br />
<math> c z+ d </math>.<br />
<br />
<br />
por teo. de continuidad si<br />
<br />
<math> f\left(x\right),g\left(x\right)</math> <br />
<br />
son continuas, tambien<br />
<br />
<br />
<math>\frac{f(x)}{g(x)}</math>, es continua.<br />
<br />
<br />
<math>\therefore \frac{az_1+b}{cz_2+d}</math> <br />
<br />
es continua si<br />
<br />
<math>c \ne 0</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 00:42 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4.'''Demuestre que si ''AB'' son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de Möbius ''f,g'', respectivamente, entonces la matriz ''BA'' representa la composicion ''gf'', que también es de Möbius.Concluya mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera en sí misma, y que ademas constituyen un grupo.<br />
<br />
SOLUCION:<br />
<br />
tenemos que <math>\ f, g </math> son transformaciones de Möbius<br />
<br />
<br />
<math>f(z)=\frac{a' z + b'}{c' z + d'}\quad\quad g(z)=\frac{a z + b}{c z + d}</math><br />
<br />
<br />
sean <math>\ A, B </math> las representaciones matriciales de <math>\ g, f </math> respectivamente<br />
<br />
<br />
<math>A = \begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix} \quad \quad B = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
entonces <br />
<br />
<math>BA = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}<br />
a'a + b'c & c'a + d'c \\<br />
a'b + b'd & c'b + d'd \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
<br />
entonces<br />
<br />
<math>gf=\frac{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}{(a'b + b'd)z + (c'b + d'd)}</math><br />
<br />
los elementos de la matriz ''BA'' son elementos de funciones biyectivas, entonces dicha matriz también es biyectiva, y por lo tanto ''gf'' es biyectiva y de Möbius.<br />
<br />
<br />
Por ser de Möbius es meromorfa, ahora notemos que ''gf'' es continua y que <br />
<br />
<math>\frac{1}{gf}=\frac{(a'b + b')z + (c'b + d'd)}{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}</math><br />
<br />
<br />
tambien es continua por lo que concluimos que es bicontinua.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''5.'''Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en ternas de puntos de la esfera de Riemann. Sugerencia: Dada una terna, encuentre una función de Möbius que la mande en 1, 0 e <math>o\!o</math><br />
<br />
Sea <math>(x_1,x_2,x_3)\rightarrow \frac{x_1 + ix_2}{x_3} = z_0</math><br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = \frac{(1-b)x_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
y <math> \quad c = \frac{(1-d)x_3}{x_1 + i x_2} \quad </math>; <math>ad-bc\neq0</math><br />
<br />
<br />
entonces <math> T(z) = \frac{(1-b)x_3 z + (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 z + (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<math> T(z_0) = \frac{(1-b)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3}\Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3} \Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = \frac{(1-b) (<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)(<br />
x_1 + ix_2)<br />
+ (x_1 + i x_2)d} = 1</math><br />
<br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{b - \frac{bx_3 }{x_1 + i x_2}}{cz+d}z</math><br />
<br />
<br />
<math>T(z_0) = \frac{b - \frac{bx_3 (\frac{x_1 + ix_2}{x_3})}{x_1 + i x_2}}{cz+d} = \frac{b - b}{cz+d} = 0</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math>b\rightarrow \!oo</math><br />
<br />
<br />
entonces <math>T(z_0) = \!oo</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''6.'''Pruede que las transformaciones de Möbius son composición de algunas de las siguientes funciones: rotaciones, traslaciones, homotecias, y <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math>. Concluya mostrando que las transformaciones de Möbius preservan la familia de circulos y rectas.<br />
<br />
Considere la Transformación de Möbius.<br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
<br />
Sea <math>a = 1,\quad c = 0, \quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = z+b \qquad </math> entonces <math>T(z)</math>es una traslación. <br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad b = c = 0,\quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math>T(z) = az</math> entonces '''T(z)''' es una rotación por '''arg(a)''' y por una amplificación <math>\big |a\big |</math>.<br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad a = d = 0, \quad b = c = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<math> T(z) = \frac{1}{z}\qquad</math> entonces '''T(z)''' es una inversión.<br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 23:28 26 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''7. Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en la familia de círculos y rectas.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Puesto que una transformación del tipo <math>w=\frac{1}{z} </math> aplica en circunferencias y rectas, y como las rotaciones, los cambios de escala y las translaciones preservan rectas y circunferencias. Dicha transformación bilineal o de Möbius aplica en círculos y rectas.<br />
<br />
<br />
Un círculo en <math>{S^2}</math> es la intersección de un plano con la esfera, por lo cual satiface la siguiente ecuación:<br />
<br />
<br />
<math>ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\,\!</math><br />
<br />
<br />
Tenemos que<br />
<br />
<br />
<math> x_1=\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_2=\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_3=\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto, este círculo es la imagen bajo la proyección esterografica, cuyos puntos satisfacen la siguiente ecuación en el plano: <br />
<br />
<br />
<br />
<math>a\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )+b\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )+c\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)=d </math><br />
<br />
<br />
Escribiendo <math>z = x+iy\,\!</math>, se tiene<br />
<br />
<br />
<math> x^2+y^2-\frac{2a}{d-c}x-\frac{2by}{d-c}=1 </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( d-c \right )-2ax-2by =d-c </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( c-d \right )+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )c -\left ( x^2+y^2 \right )d+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2-1 \right )c -\left ( x^2+y^2+1 \right )d+2ax+2by =0 </math><br />
<br />
<br />
finalmente se tiene que<br />
<br />
<br />
<math>2ax + 2by + c(x^2+y^2-1) = d(x^2+y^2+1)\,\!</math>,<br />
<br />
<br />
que biene siendo la ecuación de una recta o un círculo, dependiendo si <math>d=c\,\!</math>, o si <math>d\ne c\,\!</math>.<br />
<br />
<br />
'''De otra manera:'''<br />
<br />
<br />
Puesto que <math>x+iy=z=\frac{1}{w} =\frac{\overline{w}}{|w|^2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 16:08 22 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''8.- Demuestre de dos maneras que el lugar de los puntos que cumplen la ecuación <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> <math> ,k\in\mathbb{R}^{+},a,b\in\mathbb{C},a\neq b</math> constituye una recta o un círculo (llamado de Apolonio).'''<br />
<br />
'''Solución'''<br />
<br />
Sea <br />
<br />
<math>z = x+iy\,\!, a = u+iv, b = c+id</math><br />
<br />
<br />
<br />
Entonces <br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|^{2}=k^{2}\left|z-b\right|^{2}</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left(x-u\right)^{2}+\left(y-v\right)^{2}=k\left(\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}\right)</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>x^2-2xu+u^2+y^2-2yv+v^2=kx^2-2kxc+c^2+ky^2-2kyd+kd^2\,\!</math> </center><br />
<br />
<br />
Si agrupamos esta expresión se tiene:<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(1-k\right)-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right) \qquad (I)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Si <math>k=1</math> se tiene la ecuación de una recta, es decir:<br />
<br />
<br />
<center><math>-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=c^{2}+d^{2}-\left(u^{2}+v^{2}\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Ahora para <math>k\neq1</math> la ecuación <math>\left(I\right)</math> al multiplicarla por<br />
<math>\frac{1}{\left(1-k\right)}<br />
</math> toma la forma:<br />
<br />
<br />
<center><math>\frac{}{}<br />
\left(x^{2}+y^{2}\right)-\frac{2x\left(u-kc\right)}{\left(1-k\right)}-\frac{2y\left(v-kd\right)}{\left(1-k\right)}=\frac{k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)}{\left(1-k\right)}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si completamos los cuadrados (más un poco de álgebra) de esta ultima expresión se obtiene lo<br />
siguiente<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\left(\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}+\frac{1}{1-k}\left(k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\frac{k}{\left(1-k\right)^{2}}\left(\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
lo cual es la ecuación de un círculo con centro <br />
<math>\left(\frac{u-kc}{1-k}\,,\,\frac{v-kd}{1-k}\right)</math><br />
y cuyo radio es <br />
<math>\frac{\sqrt{k}}{\left|1-k\right|}\sqrt{\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Otro método.<br />
<br />
<center><math><br />
\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(z-a\right)\left(\overline{z}-\overline{a}\right)=k\left(z-b\right)\left(\overline{z}-\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}-a\overline{z}-\overline{a}z+a\overline{a}=k\left(z\overline{z}-b\overline{z}-\overline{b}z+b\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
agrupando tenemos<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)-a\overline{z}-\overline{a}z+kb\overline{z}+k\overline{b}z=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)+\overline{z}\left(kb-a\right)+z\left(k\overline{b}-\overline{a}\right)=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio<math> A=\left(1-k\right), B=\left(kb-a\right),\overline{B}=\left(k\overline{b}-\overline{a}\right), C=kb\overline{b}-a\overline{a}\!,</math> , la anterior ecuación se escribe como<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
Az\overline{z}+B\overline{z}+\overline{B}z=C</math></center><br />
<br />
<br />
si <math> A=0</math> (entonces <math>k=1</math>) se tiene la ecución de una recta, si <math>A</math> es distinto<br />
de cero (entonces k es distinto de 1) y se tiene la ecuación de una<br />
circunferencia.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 01:46 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
'''9.- Sean <math>a,c</math> complejos, tal que no son ambos nulos, probar que<br />
<math>\left|\frac{\bar{a}z+\bar{c}}{cz+a}\right|=1</math>, si <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
Interpretar geometricamente.'''<br />
<br />
<br />
Sean <math> a=b+id , c=e+if , z=x+iy </math>.<br />
Entonces sustituyendo esto se tiene la siguiente expresión:<br />
<br />
<math>\left|\frac{\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)}{\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)}\right|=1 </math><br />
<br />
Por propiedades de la norma se sigue que<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|}{\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right|}=1 </math><br />
<br />
Y multiplicando ambos lados por el denominador llegamos a que<br />
<br />
<math>\left|\left(b-id\right)\left(x+iy\right)+\left(e-if\right)\right|=\left|\left(e+if\right)\left(x+iy\right)+\left(b+id\right)\right| </math><br />
<br />
Desarrollando los producto y las operaciones para poder agrupar terminos se llega a<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right| </math><br />
<br />
Elevando al cuadrado para tener el cuadrado de la norma tenemos que<br />
<br />
<math>\left|\left(bx+dy+e\right)+i\left(by-dx-f\right)\right|^{2}=\left|\left(b+ex-fy\right)+i\left(d+fx+ey\right)\right|^{2} </math><br />
<br />
Donde es inmediato lo siguiente<br />
<br />
<math>\left(bx+dy+e\right)^{2}+\left(by-dx-f\right)^{2}=\left(b+ex-fy\right)^{2}+\left(d+fx+ey\right)^{2} </math><br />
<br />
Y despues de expander los polinomios<br />
<br />
<math>\left(e^{2}+f^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(b^{2}+d^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)=\left(b^{2}+d^{2}\right)+2dfx-2bfy+2bex+2dey+\left(e^{2}+f^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}\left|z\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}\left|z\right|^{2} </math> <br />
<br />
Donde <math>\left|z\right|=1</math><br />
<br />
<math>\therefore\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}=\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2} </math><br />
<br />
O tambien <br />
<br />
<math>\frac{\left|c\right|^{2}+\left|a\right|^{2}}{\left|a\right|^{2}+\left|c\right|^{2}}=1 </math><br />
<br />
Que era lo que se queria mostrar. <br />
<br />
Ahora geometricamente esto nos dice que la magnitud de la suma de<br />
dos numeros complejos es igual a la magnitud de la suma de sus conjugados.<br />
<br />
En las siguientes imagenes se muestra graficamente la interpretacion<br />
geometrica, el vector de color naranja es <math>z</math> y el azul y verde <math>a,c</math><br />
respectivamente.<br />
<br />
[[Imagen:Prueba1.jpg]][[Imagen:Prueba.jpg]]<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 14:12 9 dic 2009 (UTC)<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 19:42 21 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''10.- Probar que la funcion <math>z \rightarrow 1/z</math> es una rotacion de <math>\pi</math> radianes en la esfera de Riemann alrededor del eje x.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Las componentes del punto <math>A = (a_1,a_2,a_3)\,</math> en la esfera unitaria asociado a z son:<br />
<br />
<br />
<math>a_1 = \frac{z+\overline{z}}{|z|^2+1}, a_2 = \frac{z-\overline{z}}{i(|z|^2+1)}, a_3 = \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\,</math> <br />
<br />
<br />
Sea <math>\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> y tomando en cuenta que <math>|z| = |\overline{z}|\,</math>, entonces, las componentes del punto <math>B = (b_1,b_2,b_3)\,</math> de la esfera unitaria asociado a <math>\frac{1}{z}\,</math> son:<br />
<br />
<br />
<math>b_1 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}+\frac{z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{\overline{z}+z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\overline{z}+z}{|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}+z}{1+|z|^2} = a_1\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_2 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}-\frac{z}{|z|^2}}{i(\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i(1+|z|^2)} = -\frac{z-\overline{z}}{i(1+|z|^2)} = -a_2\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_3 = \frac{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}-1}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{1}{|z|^2}-1}{\frac{1}{|z|^2}+1} = \frac{1-|z|^2}{1+|z|^2} = -\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} = -a_3\,</math> ...<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 00:03 9 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''11.''' '''Probar que dados dos puntos''' <math>z,w \in \mathbb C</math> '''se tiene que sus proyecciones en la esfera de Riemann son antípodas si y solo si''' <math>z\bar{w} = -1</math><br />
<br />
<br />
SOLUCION.<br />
<br />
Sea <math>z \in \mathbb C \quad a,b \in \mathbb R</math> <br />
<br />
se pasa del plano complejo a la esfera de Riemann.<br />
<br />
<math>\psi: \mathbb C \rightarrow \mathbb S^2 - \lbrace e_3 \rbrace </math><br />
<br />
<math> z \mapsto (x_1 , x_2 , x_3)</math><br />
<br />
<br />
Si <math>\ z=a+ib \mapsto \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)</math> es el punto '''P''' en la esfera de Riemann.<br />
<br />
<br />
con este punto '''P''' y el centro '''C''' de la esfera se construye una recta que pase por estos puntos:<br />
<br />
<br />
Sea <math>\mathcal {L} =\ p + t\vec{v} \quad , \forall t \in \mathbb R </math> donde <math>\vec v</math>es el vector director que va de '''P''' a ''' C''' esto es <br />
<br />
<br />
<math>\vec {v} =(0,0,0)- \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) </math><br />
<br />
<br />
nuestra ecuacion de la recta queda de la siguiente manera:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\mathcal {L} =\left (\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right) + t \left (\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \quad , \forall t \in \mathbb R </math><br />
<br />
<br />
Cuando <math>\ t=0</math> tenemos a <math>\ P</math> en la esfera.<br />
<br />
cuando <math>\ t=1</math> tenemos el centro <math>\ (0,0,0)</math> de la esfera de Riemann.<br />
<br />
cuando <math>\ t=2 </math> tenemos al punto <math>\ Q</math> que es la antipoda de <math>\ p</math><br />
<br />
<br />
<math> \Rightarrow Q=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \, antipoda \quad de\quad p \quad en \quad la \quad esfera \quad de \quad Riemann </math><br />
<br />
<br />
teniendo a <math> \ Q</math> sobre la esfera de Riemann volvemos al plano complejo mediante la siguiente tranformacion:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\varphi: \mathbb S^2 -\lbrace e_3 \rbrace \rightarrow \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>Q \mapsto \frac {x_1 +ix_2}{1-x_3} </math>, que nos da un punto <math>\ w_Q \in \mathbb C</math> <br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q=\frac {x_1 +ix_2}{1-x_3}=\frac {\frac {-2a}{a^2+b^2+1} +i \frac {-2b}{a^2+b^2+1}}{1+ \frac {a^2+b^2-1}{a^2+b^2+1}} = \frac{ \frac{-2}{a^2+b^2+1}(a+ib) }{ \frac {2a^2+2b^2}{a^2+b^2+1} } = \frac {-2}{2a^2+2b^2}(a+ib) = \frac {-1}{a^2+b^2}(a+ib) </math> <br />
<br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} </math><br />
<br />
<br />
Como la proyeccion en la esfera de Riemann de <math>\ w_Q </math> es la antipoda de <math>\ z </math> se debe de cumplir que <math>z\bar{w_Q} = -1</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> z=a+ib \quad, w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} \in \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow z\bar{w_Q} =(a+ib)\left ( -\frac {a}{a^2 + b^2} +i \frac {b}{a^2+ b^2}\right )=\left ( -\frac {a^2}{a^2 + b^2} -\frac {b^2}{a^2+ b^2}\right )+i\left ( -\frac {ab}{a^2 + b^2} + \frac {ab}{a^2+ b^2}\right ) </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\left ( \frac {-(a^2+b^2)}{a^2 + b^2} \right )+i(0)=-1</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore z,w</math> son antipodas si y solo si <math>z\bar{w} = -1 \quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 15:11 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''12.'''¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la funcion <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> ?<br />
<br />
<br />
SOLUCIÓN:<br />
<br />
para la imagen notemos que <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> es continua exepto cuando <math>\ z=0</math>, por lo que su imagen es todo el plano complejo exepto el origen.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.2&diff=11640
Compleja:ej-cap1.2
2009-12-08T04:12:19Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>==EJERCICIOS 1.2.1 ==<br />
<br />
'''1.''' '''Demuestre que una una funcion''' <math>f:A\subset\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} </math> '''es continua en''' <math>{z_0}\in A</math> '''si y soló si para toda sucesión''' <math>{z_n},n\in\mathbb{N}, </math> '''tal que''' <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow\infty,</math> '''se tiene''' <math>f(z_n)\rightarrow f(z_0),</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Supongamos que <math> \ f<br />
</math> es continua en <math>\ z_0 </math> , es decir:<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad\exists \delta = \delta(\epsilon)> 0 </math> <br />
<br />
tal que <math>\quad | z - z_0 |<\delta \Rightarrow | f(z) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
y supongamos que <math>\lbrace z_n \rbrace , n\in \mathbb{N} </math> es una sucesión en <math>\ A </math> tal que <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math><br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<math>f(z_n)\rightarrow f(z_0)</math><br />
<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad \exists N = N(\epsilon)\in \mathbb N ,\quad n\geq N \Rightarrow | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
como <math>\ f</math> es continua en <math>\ z_0</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists\delta = \delta(\epsilon)>0</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow z_n \rightarrow z_0 </math><br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists M = M(\epsilon) \in \mathbb N, \quad n \geq M \Rightarrow | z_n - z_0 |< \delta </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore f(z_n) \rightarrow f(z_0)\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.''' '''Demuestre que una sucesión''' <math> \ \lbrace a_n \rbrace</math> en <math>\mathbb R^n </math> '''es de ''Cauchy'' si y sólo es convergente.<br />
<br />
'''<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Una sucesión en <math>\mathbb R^n </math> se dice que es de ''Cauchy'' si para todo <math>\epsilon >0 ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in \mathbb N </math> tal que <math>|a_m - a_n|<\epsilon , \quad \forall m,n \geq N</math> '''.'''<br />
<br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<br />
Si la sucesión es convergente, esto es si <math>\lim {a_n}=L \quad \Rightarrow \quad \forall \epsilon > 0\quad ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in\mathbb N </math><br />
<br />
<br />
tal que <math>|a_n - L|<\frac{\epsilon}{2}\quad, \quad \forall n\geq N</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow </math> si <math>m,n\geq N ,</math> se tiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ |a_m - a_n|=|a_m - L +L - a_n| \leq |a_m - L| + | L - a_n|< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}\!=\!{\epsilon} </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore \lbrace a_n \rbrace \quad es \quad de \quad Cauchy.\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
== EJERCICIOS 1.2.2 ==<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''1. Demuestre que la funcion estereográfica <math>(x_1,x_2,x_3)\to\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math> de la esfera de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.<br />
<br />
Definicion: Una funcion es suprayectiva si a un punto en la esfera<math>(x_1,x_2,x_3)</math> le corresponde uno(s) puntos dentro del plano complejo <math>\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
Una función es sobre si para toda '''y''' pertenece al Codominio <math>(f)</math> ,existe '''x''' pertenece al Dominio de <br />
<math>(f)</math> tal que <math> y = f(x)</math><br />
<br />
Notaciòn (para la demostraciòn): S= Esfera, C= punto en el plano proyectado por la esfera.<br />
<br />
Dominio<math>(f)= S</math> y el Codominio<math>(f)= C</math> y tambièn<br />
<math> C = z\epsilon\mathbb{C}:, f(z)=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
<math>z\epsilon\mathbb{C}:x_3\ne1 </math><br />
<br />
Suponga <math>\bar{x}\epsilon</math> S donde <math>\bar{x}=(x_1,x_2,x_3)</math><br />
<br />
Condicion de la esfera <math>(x_1^2+x_2^2+x_3^2=1)</math> donde <math>x_2</math> pertenece a '''i'''<br />
<br />
Ahora bien sabemos que la magnitud cuadrática <math>\bar{x}</math> es 1 <br />
<br />
<br />
<math>\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}\epsilon</math> Codominio de (f)<br />
<br />
Sea '''y''' que pertenece al Codominio de (f) donde : <math>y= ai+b</math><br />
<br />
Sea <math>a=\frac{x_1}{1-x_3}</math> y <math>b=\frac{x_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
tomando en cuenta que <math>y=f(x)</math><br />
<br />
de esta manera <math>f(x)=\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 03:09 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''2. Demuestre que si <math>z_n\rightarrow \infty.</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math>, entonces <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Como <math>z_n\rightarrow \infty.</math><br />
<math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Recordando la definiciòn del limite dado un <math>N_o</math> nos aproximamos.<br />
<math>\exists\N_o\epsilon\mathbb N+ n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> por hipótesis.<br />
<br />
P.D. <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math>, asi como también <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Ahora usando la definiciòn del limite dentro de la mètrica cordal tenemos un <math>N_o^\prime</math> donde limite se aproxima a cero cuando <math>n\rightarrow \infty.</math> <br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty) - 0 |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty)|<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
Usando la definición de la distancia cordal entre dos puntos<br />
<br />
<math>d_C(z_1,z_2)=|\pi(z_1)-\pi(z_2)|</math><br />
<br />
P.D.<math>\quad\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon </math><br />
<br />
Tomamos el lìmite descrito anteriomente.<br />
<br />
Por hipótesis <math>\quad\exists\N_o\epsilon\mathbb N</math> tal que <math>\quad n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> <br />
<br />
Sea <math>N_o</math> como antes por la continuidad de <math>\pi</math><br />
<br />
Finalmente usando la definiciòn de metrica cordal.<br />
<br />
Si <math>\quad n\geq N_o\to|\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon</math> <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 04:20 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''3. Las transformaciones de Möbius definidas en (1.4) se extienden a la esfera de Riemann <math>\hat{\mathbb{C}} </math> como sigue: si <math>c=0, T(\infty)=\infty</math>, y si <math>c\neq0, T(\infty)=\frac{a}{c}</math> y <math>T(\frac{-d}{c})=\infty</math>.Demuestre que estas funciones son continuas en dicha esfera con la metrica cordal.<br />
<br />
Transformaciones de Möbius complejas.(1.4)<br />
<math>z\to\frac{az+b}{cz+d} , ad-bc\neq0, a,b,c,d. <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
Se define la metrica cordal en el plano complejo extendido de la sig. manera.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2) = <br />
\begin{cases} <br />
\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}, & si z_1,z_2\neq\infty \\<br />
\frac{2}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}}, & si z_2=\infty. <br />
\end{cases}</math><br />
<br />
para los casos extremos.<br />
<br />
si <math>c=0, T(\infty)=\frac{az+b}{d}=\frac{a(\infty)+b}{d}=\infty.</math><br />
<br />
si <math>c\neq0, T(z)=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{z}{z}\frac{a+\frac{b}{z}}{c+\frac{d}{z}}<br />
<br />
<br />
,T(\infty)=\frac{a+\frac{b}{\infty}}{c+\frac{d}{\infty}}=\frac{a}{c}.</math><br />
<br />
<br />
<br />
si <math>T(\frac{-d}{c})=\frac{a(\frac{-d}{c})+b}{c(\frac{-d}{c})+d}=\infty.</math><br />
<br />
<br />
generalizando, para <math>z_1,z_2 \epsilon\mathbb{C}</math>, (arbitrarias).<br />
<br />
por hip.<math>c=0\therefore</math><br />
<br />
<math>T(z)=\frac{az+b}{d}=\frac{a}{d}z+\frac{b}{d}</math>.<br />
<br />
<math>\forall\epsilon>0, \exists\delta>0 </math><br />
<br />
<br />
tal que si<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_1-z_2\right|<\delta , \left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
entonces<br />
<math>\left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\left|z_1-z_2\right|\delta <\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
<math>T(z_1)-T(z_2)=\left(\frac{a}{d}z_1+\frac{b}{d}\right)-\left(\frac{a}{d}z_2+\frac{b}{d}\right)=\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)</math><br />
<br />
<br />
por <math>\left(d\left(0,x-y\right)=d\left(x,y\right)\right)</math><br />
<br />
<math>d_c\left(0,T(z_1)-T(z_2)\right)=d_c\left(0,\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)\right)=d_c\left(\frac{a}{d}z_1,\frac{a}{d}z_2\right)</math><br />
<br />
ahora si<math>z_1,z_2\ne\infty</math> y <math>\delta\approx \frac{1}{k}</math> donde <math>k=\frac{a}{d}</math><br />
<br />
con la metrica cordal.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2)=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+k^2\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+k^2\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{k^2\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<math>=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{k\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore d_c(z_1,z_2)<\epsilon</math><br />
<br />
ya q se mostro que <math>\frac{az+b}{d}</math><br />
<br />
es continua, se puede probar lo mismo para <br />
<br />
<math> c z+ d </math>.<br />
<br />
<br />
por teo. de continuidad si<br />
<br />
<math> f\left(x\right),g\left(x\right)</math> <br />
<br />
son continuas, tambien<br />
<br />
<br />
<math>\frac{f(x)}{g(x)}</math>, es continua.<br />
<br />
<br />
<math>\therefore \frac{az_1+b}{cz_2+d}</math> <br />
<br />
es continua si<br />
<br />
<math>c \ne 0</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 00:42 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4.'''Demuestre que si ''AB'' son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de Möbius ''f,g'', respectivamente, entonces la matriz ''BA'' representa la composicion ''gf'', que también es de Möbius.Concluya mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera en sí misma, y que ademas constituyen un grupo.<br />
<br />
SOLUCION:<br />
<br />
tenemos que <math>\ f, g </math> son transformaciones de Möbius<br />
<br />
<br />
<math>f(z)=\frac{a' z + b'}{c' z + d'}\quad\quad g(z)=\frac{a z + b}{c z + d}</math><br />
<br />
<br />
sean <math>\ A, B </math> las representaciones matriciales de <math>\ g, f </math> respectivamente<br />
<br />
<br />
<math>A = \begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix} \quad \quad B = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
entonces <br />
<br />
<math>BA = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}<br />
a'a + b'c & c'a + d'c \\<br />
a'b + b'd & c'b + d'd \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
<br />
entonces<br />
<br />
<math>gf=\frac{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}{(a'b + b'd)z + (c'b + d'd)}</math><br />
<br />
los elementos de la matriz ''BA'' son elementos de funciones biyectivas, entonces dicha matriz también es biyectiva, y por lo tanto ''gf'' es biyectiva y de Möbius.<br />
<br />
<br />
Por ser de Möbius es meromorfa, ahora notemos que ''gf'' es continua y que <br />
<br />
<math>\frac{1}{gf}=\frac{(a'b + b')z + (c'b + d'd)}{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}</math><br />
<br />
<br />
tambien es continua por lo que concluimos que es bicontinua.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''5.'''Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en ternas de puntos de la esfera de Riemann. Sugerencia: Dada una terna, encuentre una función de Möbius que la mande en 1, 0 e <math>o\!o</math><br />
<br />
Sea <math>(x_1,x_2,x_3)\rightarrow \frac{x_1 + ix_2}{x_3} = z_0</math><br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = \frac{(1-b)x_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
y <math> \quad c = \frac{(1-d)x_3}{x_1 + i x_2} \quad </math>; <math>ad-bc\neq0</math><br />
<br />
<br />
entonces <math> T(z) = \frac{(1-b)x_3 z + (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 z + (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<math> T(z_0) = \frac{(1-b)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3}\Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3} \Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{b - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}}{cz+d}</math><br />
<br />
<br />
<math>T(z_0) = 0</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math>cz+d\rightarrow \!oo</math><br />
<br />
<br />
entonces <math>T(z_0) = 0</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''6.'''Pruede que las transformaciones de Möbius son composición de algunas de las siguientes funciones: rotaciones, traslaciones, homotecias, y <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math>. Concluya mostrando que las transformaciones de Möbius preservan la familia de circulos y rectas.<br />
<br />
Considere la Transformación de Möbius.<br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
<br />
Sea <math>a = 1,\quad c = 0, \quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = z+b \qquad </math> entonces <math>T(z)</math>es una traslación. <br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad b = c = 0,\quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = az </math> entonces <math>T(z)</math> es una rotación por <math>arg a</math> y una traslación por una amplificación <math>\big |a\big |</math>.<br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad a = d = 0, \quad b = c = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<math> T(z) = \frac{1}{z}\qquad</math> entonces <math>T(z)</math> es una inversión.<br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 23:28 26 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''7. Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en la familia de círculos y rectas.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Puesto que una transformación del tipo <math>w=\frac{1}{z} </math> aplica en circunferencias y rectas, y como las rotaciones, los cambios de escala y las translaciones preservan rectas y circunferencias. Dicha transformación bilineal o de Möbius aplica en círculos y rectas.<br />
<br />
<br />
Un círculo en <math>{S^2}</math> es la intersección de un plano con la esfera, por lo cual satiface la siguiente ecuación:<br />
<br />
<br />
<math>ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\,\!</math><br />
<br />
<br />
Tenemos que<br />
<br />
<br />
<math> x_1=\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_2=\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_3=\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto, este círculo es la imagen bajo la proyección esterografica, cuyos puntos satisfacen la siguiente ecuación en el plano: <br />
<br />
<br />
<br />
<math>a\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )+b\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )+c\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)=d </math><br />
<br />
<br />
Escribiendo <math>z = x+iy\,\!</math>, se tiene<br />
<br />
<br />
<math> x^2+y^2-\frac{2a}{d-c}x-\frac{2by}{d-c}=1 </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( d-c \right )-2ax-2by =d-c </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( c-d \right )+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )c -\left ( x^2+y^2 \right )d+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2-1 \right )c -\left ( x^2+y^2+1 \right )d+2ax+2by =0 </math><br />
<br />
<br />
finalmente se tiene que<br />
<br />
<br />
<math>2ax + 2by + c(x^2+y^2-1) = d(x^2+y^2+1)\,\!</math>,<br />
<br />
<br />
que biene siendo la ecuación de una recta o un círculo, dependiendo si <math>d=c\,\!</math>, o si <math>d\ne c\,\!</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 16:08 22 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''8.- Demuestre de dos maneras que el lugar de los puntos que cumplen la ecuación <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> <math> ,k\in\mathbb{R}^{+},a,b\in\mathbb{C},a\neq b</math> constituye una recta o un círculo (llamado de Apolonio).'''<br />
<br />
'''Solución'''<br />
<br />
Sea <br />
<br />
<math>z = x+iy\,\!, a = u+iv, b = c+id</math><br />
<br />
<br />
<br />
Entonces <br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|^{2}=k^{2}\left|z-b\right|^{2}</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left(x-u\right)^{2}+\left(y-v\right)^{2}=k\left(\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}\right)</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>x^2-2xu+u^2+y^2-2yv+v^2=kx^2-2kxc+c^2+ky^2-2kyd+kd^2\,\!</math> </center><br />
<br />
<br />
Si agrupamos esta expresión se tiene:<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(1-k\right)-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right) \qquad (I)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Si <math>k=1</math> se tiene la ecuación de una recta, es decir:<br />
<br />
<br />
<center><math>-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=c^{2}+d^{2}-\left(u^{2}+v^{2}\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Ahora para <math>k\neq1</math> la ecuación <math>\left(I\right)</math> al multiplicarla por<br />
<math>\frac{1}{\left(1-k\right)}<br />
</math> toma la forma:<br />
<br />
<br />
<center><math>\frac{}{}<br />
\left(x^{2}+y^{2}\right)-\frac{2x\left(u-kc\right)}{\left(1-k\right)}-\frac{2y\left(v-kd\right)}{\left(1-k\right)}=\frac{k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)}{\left(1-k\right)}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si completamos los cuadrados (más un poco de álgebra) de esta ultima expresión se obtiene lo<br />
siguiente<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\left(\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}+\frac{1}{1-k}\left(k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\frac{k}{\left(1-k\right)^{2}}\left(\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
lo cual es la ecuación de un círculo con centro <br />
<math>\left(\frac{u-kc}{1-k}\,,\,\frac{v-kd}{1-k}\right)</math><br />
y cuyo radio es <br />
<math>\frac{\sqrt{k}}{\left|1-k\right|}\sqrt{\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Otro método.<br />
<br />
<center><math><br />
\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(z-a\right)\left(\overline{z}-\overline{a}\right)=k\left(z-b\right)\left(\overline{z}-\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}-a\overline{z}-\overline{a}z+a\overline{a}=k\left(z\overline{z}-b\overline{z}-\overline{b}z+b\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
agrupando tenemos<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)-a\overline{z}-\overline{a}z+kb\overline{z}+k\overline{b}z=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)+\overline{z}\left(kb-a\right)+z\left(k\overline{b}-\overline{a}\right)=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio<math> A=\left(1-k\right), B=\left(kb-a\right),\overline{B}=\left(k\overline{b}-\overline{a}\right), C=kb\overline{b}-a\overline{a}\!,</math> , la anterior ecuación se escribe como<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
Az\overline{z}+B\overline{z}+\overline{B}z=C</math></center><br />
<br />
<br />
si <math> A=0</math> (entonces <math>k=1</math>) se tiene la ecución de una recta, si <math>A</math> es distinto<br />
de cero (entonces k es distinto de 1) y se tiene la ecuación de una<br />
circunferencia.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 01:46 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
'''9.- Sean <math>a,c</math> complejos, tal que no son ambos nulos, probar que<br />
<math>\left|\frac{\bar{a}z+\bar{c}}{cz+a}\right|=1</math>, si <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
Interpretar geometricamente.'''<br />
<br />
Sean <math>a=a_{1}+ia_{2}</math>, <math>c=c_{1}+ic_{2}</math>, <math>z=x+iy</math>, tal que <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
<br />
Entonces sustituyendo esto se tiene la siguiente expresión:<br />
<br />
<br />
<math>\left|\frac{\left(a_{1}-ia_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(c_{1}-ic_{2}\right)}{\left(c_{1}+ic_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(a_{1}+ia_{2}\right)}\right|=1</math><br />
<br />
<br />
Ahora por propiedades de la norma se sigue que<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Y aplicando la desigualdad del triangulo<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Ya que <math>\left|az\right|=\left|a\right|\left|z\right|</math> y <math>\left|z\right|=1</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\right|\left|\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\right|\left|\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\right|+\left|\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\right|+\left|\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Recordando que <math>\left|\bar{a}\right|=\left|a\right|</math>, nuestra expresión<br />
anterior nos queda como:<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|a\right|+\left|c\right|}{\left|c\right|+\left|a\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Que era lo que se queria mostrar. <br />
<br />
Ahora geometricamente esto nos dice que la magnitud de la suma de<br />
dos numeros complejos es igual a la magnitud de la suma de sus conjugados.<br />
<br />
En las siguientes imagenes se muestra graficamente la interpretacion<br />
geometrica, el vector de color naranja es <math>z</math> y el azul y verde <math>a,c</math><br />
respectivamente.<br />
<br />
<br />
[[Imagen:Prueba1.jpg]][[Imagen:Prueba.jpg]]<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 19:42 21 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''10.- Probar que la funcion <math>z \rightarrow 1/z</math> es una rotacion de <math>\pi</math> radianes en la esfera de Riemann alrededor del eje x.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Las componentes del punto <math>A = (a_1,a_2,a_3)\,</math> en la esfera unitaria asociado a z son:<br />
<br />
<br />
<math>a_1 = \frac{z+\overline{z}}{|z|^2+1}, a_2 = \frac{z-\overline{z}}{i(|z|^2+1)}, a_3 = \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\,</math> <br />
<br />
<br />
Sea <math>\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> y tomando en cuenta que <math>|z| = |\overline{z}|\,</math>, entonces, las componentes del punto <math>B = (b_1,b_2,b_3)\,</math> de la esfera unitaria asociado a <math>\frac{1}{z}\,</math> son:<br />
<br />
<br />
<math>b_1 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}+\frac{z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{\overline{z}+z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\overline{z}+z}{|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}+z}{1+|z|^2} = a_1\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_2 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}-\frac{z}{|z|^2}}{i(\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i(1+|z|^2)} = -\frac{z-\overline{z}}{i(1+|z|^2)} = -a_2\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_3 = \frac{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}-1}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{1}{|z|^2}-1}{\frac{1}{|z|^2}+1} = \frac{1-|z|^2}{1+|z|^2} = -\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} = -a_3\,</math> ...<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 00:03 9 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''11.''' '''Probar que dados dos puntos''' <math>z,w \in \mathbb C</math> '''se tiene que sus proyecciones en la esfera de Riemann son antípodas si y solo si''' <math>z\bar{w} = -1</math><br />
<br />
<br />
SOLUCION.<br />
<br />
Sea <math>z \in \mathbb C \quad a,b \in \mathbb R</math> <br />
<br />
se pasa del plano complejo a la esfera de Riemann.<br />
<br />
<math>\psi: \mathbb C \rightarrow \mathbb S^2 - \lbrace e_3 \rbrace </math><br />
<br />
<math> z \mapsto (x_1 , x_2 , x_3)</math><br />
<br />
<br />
Si <math>\ z=a+ib \mapsto \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)</math> es el punto '''P''' en la esfera de Riemann.<br />
<br />
<br />
con este punto '''P''' y el centro '''C''' de la esfera se construye una recta que pase por estos puntos:<br />
<br />
<br />
Sea <math>\mathcal {L} =\ p + t\vec{v} \quad , \forall t \in \mathbb R </math> donde <math>\vec v</math>es el vector director que va de '''P''' a ''' C''' esto es <br />
<br />
<br />
<math>\vec {v} =(0,0,0)- \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) </math><br />
<br />
<br />
nuestra ecuacion de la recta queda de la siguiente manera:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\mathcal {L} =\left (\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right) + t \left (\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \quad , \forall t \in \mathbb R </math><br />
<br />
<br />
Cuando <math>\ t=0</math> tenemos a <math>\ P</math> en la esfera.<br />
<br />
cuando <math>\ t=1</math> tenemos el centro <math>\ (0,0,0)</math> de la esfera de Riemann.<br />
<br />
cuando <math>\ t=2 </math> tenemos al punto <math>\ Q</math> que es la antipoda de <math>\ p</math><br />
<br />
<br />
<math> \Rightarrow Q=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \, antipoda \quad de\quad p \quad en \quad la \quad esfera \quad de \quad Riemann </math><br />
<br />
<br />
teniendo a <math> \ Q</math> sobre la esfera de Riemann volvemos al plano complejo mediante la siguiente tranformacion:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\varphi: \mathbb S^2 -\lbrace e_3 \rbrace \rightarrow \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>Q \mapsto \frac {x_1 +ix_2}{1-x_3} </math>, que nos da un punto <math>\ w_Q \in \mathbb C</math> <br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q=\frac {x_1 +ix_2}{1-x_3}=\frac {\frac {-2a}{a^2+b^2+1} +i \frac {-2b}{a^2+b^2+1}}{1+ \frac {a^2+b^2-1}{a^2+b^2+1}} = \frac{ \frac{-2}{a^2+b^2+1}(a+ib) }{ \frac {2a^2+2b^2}{a^2+b^2+1} } = \frac {-2}{2a^2+2b^2}(a+ib) = \frac {-1}{a^2+b^2}(a+ib) </math> <br />
<br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} </math><br />
<br />
<br />
Como la proyeccion en la esfera de Riemann de <math>\ w_Q </math> es la antipoda de <math>\ z </math> se debe de cumplir que <math>z\bar{w_Q} = -1</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> z=a+ib \quad, w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} \in \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow z\bar{w_Q} =(a+ib)\left ( -\frac {a}{a^2 + b^2} +i \frac {b}{a^2+ b^2}\right )=\left ( -\frac {a^2}{a^2 + b^2} -\frac {b^2}{a^2+ b^2}\right )+i\left ( -\frac {ab}{a^2 + b^2} + \frac {ab}{a^2+ b^2}\right ) </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\left ( \frac {-(a^2+b^2)}{a^2 + b^2} \right )+i(0)=-1</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore z,w</math> son antipodas si y solo si <math>z\bar{w} = -1 \quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 15:11 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''12.'''¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la funcion <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> ?<br />
<br />
<br />
SOLUCIÓN:<br />
<br />
para la imagen notemos que <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> es continua exepto cuando <math>\ z=0</math>, por lo que su imagen es todo el plano complejo exepto el origen.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.2&diff=11639
Compleja:ej-cap1.2
2009-12-08T04:10:24Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>==EJERCICIOS 1.2.1 ==<br />
<br />
'''1.''' '''Demuestre que una una funcion''' <math>f:A\subset\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} </math> '''es continua en''' <math>{z_0}\in A</math> '''si y soló si para toda sucesión''' <math>{z_n},n\in\mathbb{N}, </math> '''tal que''' <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow\infty,</math> '''se tiene''' <math>f(z_n)\rightarrow f(z_0),</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Supongamos que <math> \ f<br />
</math> es continua en <math>\ z_0 </math> , es decir:<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad\exists \delta = \delta(\epsilon)> 0 </math> <br />
<br />
tal que <math>\quad | z - z_0 |<\delta \Rightarrow | f(z) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
y supongamos que <math>\lbrace z_n \rbrace , n\in \mathbb{N} </math> es una sucesión en <math>\ A </math> tal que <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math><br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<math>f(z_n)\rightarrow f(z_0)</math><br />
<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad \exists N = N(\epsilon)\in \mathbb N ,\quad n\geq N \Rightarrow | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
como <math>\ f</math> es continua en <math>\ z_0</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists\delta = \delta(\epsilon)>0</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow z_n \rightarrow z_0 </math><br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists M = M(\epsilon) \in \mathbb N, \quad n \geq M \Rightarrow | z_n - z_0 |< \delta </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore f(z_n) \rightarrow f(z_0)\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.''' '''Demuestre que una sucesión''' <math> \ \lbrace a_n \rbrace</math> en <math>\mathbb R^n </math> '''es de ''Cauchy'' si y sólo es convergente.<br />
<br />
'''<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Una sucesión en <math>\mathbb R^n </math> se dice que es de ''Cauchy'' si para todo <math>\epsilon >0 ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in \mathbb N </math> tal que <math>|a_m - a_n|<\epsilon , \quad \forall m,n \geq N</math> '''.'''<br />
<br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<br />
Si la sucesión es convergente, esto es si <math>\lim {a_n}=L \quad \Rightarrow \quad \forall \epsilon > 0\quad ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in\mathbb N </math><br />
<br />
<br />
tal que <math>|a_n - L|<\frac{\epsilon}{2}\quad, \quad \forall n\geq N</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow </math> si <math>m,n\geq N ,</math> se tiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ |a_m - a_n|=|a_m - L +L - a_n| \leq |a_m - L| + | L - a_n|< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}\!=\!{\epsilon} </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore \lbrace a_n \rbrace \quad es \quad de \quad Cauchy.\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
== EJERCICIOS 1.2.2 ==<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''1. Demuestre que la funcion estereográfica <math>(x_1,x_2,x_3)\to\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math> de la esfera de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.<br />
<br />
Definicion: Una funcion es suprayectiva si a un punto en la esfera<math>(x_1,x_2,x_3)</math> le corresponde uno(s) puntos dentro del plano complejo <math>\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
Una función es sobre si para toda '''y''' pertenece al Codominio <math>(f)</math> ,existe '''x''' pertenece al Dominio de <br />
<math>(f)</math> tal que <math> y = f(x)</math><br />
<br />
Notaciòn (para la demostraciòn): S= Esfera, C= punto en el plano proyectado por la esfera.<br />
<br />
Dominio<math>(f)= S</math> y el Codominio<math>(f)= C</math> y tambièn<br />
<math> C = z\epsilon\mathbb{C}:, f(z)=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
<math>z\epsilon\mathbb{C}:x_3\ne1 </math><br />
<br />
Suponga <math>\bar{x}\epsilon</math> S donde <math>\bar{x}=(x_1,x_2,x_3)</math><br />
<br />
Condicion de la esfera <math>(x_1^2+x_2^2+x_3^2=1)</math> donde <math>x_2</math> pertenece a '''i'''<br />
<br />
Ahora bien sabemos que la magnitud cuadrática <math>\bar{x}</math> es 1 <br />
<br />
<br />
<math>\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}\epsilon</math> Codominio de (f)<br />
<br />
Sea '''y''' que pertenece al Codominio de (f) donde : <math>y= ai+b</math><br />
<br />
Sea <math>a=\frac{x_1}{1-x_3}</math> y <math>b=\frac{x_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
tomando en cuenta que <math>y=f(x)</math><br />
<br />
de esta manera <math>f(x)=\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 03:09 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''2. Demuestre que si <math>z_n\rightarrow \infty.</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math>, entonces <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Como <math>z_n\rightarrow \infty.</math><br />
<math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Recordando la definiciòn del limite dado un <math>N_o</math> nos aproximamos.<br />
<math>\exists\N_o\epsilon\mathbb N+ n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> por hipótesis.<br />
<br />
P.D. <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math>, asi como también <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Ahora usando la definiciòn del limite dentro de la mètrica cordal tenemos un <math>N_o^\prime</math> donde limite se aproxima a cero cuando <math>n\rightarrow \infty.</math> <br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty) - 0 |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty)|<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
Usando la definición de la distancia cordal entre dos puntos<br />
<br />
<math>d_C(z_1,z_2)=|\pi(z_1)-\pi(z_2)|</math><br />
<br />
P.D.<math>\quad\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon </math><br />
<br />
Tomamos el lìmite descrito anteriomente.<br />
<br />
Por hipótesis <math>\quad\exists\N_o\epsilon\mathbb N</math> tal que <math>\quad n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> <br />
<br />
Sea <math>N_o</math> como antes por la continuidad de <math>\pi</math><br />
<br />
Finalmente usando la definiciòn de metrica cordal.<br />
<br />
Si <math>\quad n\geq N_o\to|\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon</math> <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 04:20 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''3. Las transformaciones de Möbius definidas en (1.4) se extienden a la esfera de Riemann <math>\hat{\mathbb{C}} </math> como sigue: si <math>c=0, T(\infty)=\infty</math>, y si <math>c\neq0, T(\infty)=\frac{a}{c}</math> y <math>T(\frac{-d}{c})=\infty</math>.Demuestre que estas funciones son continuas en dicha esfera con la metrica cordal.<br />
<br />
Transformaciones de Möbius complejas.(1.4)<br />
<math>z\to\frac{az+b}{cz+d} , ad-bc\neq0, a,b,c,d. <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
Se define la metrica cordal en el plano complejo extendido de la sig. manera.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2) = <br />
\begin{cases} <br />
\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}, & si z_1,z_2\neq\infty \\<br />
\frac{2}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}}, & si z_2=\infty. <br />
\end{cases}</math><br />
<br />
para los casos extremos.<br />
<br />
si <math>c=0, T(\infty)=\frac{az+b}{d}=\frac{a(\infty)+b}{d}=\infty.</math><br />
<br />
si <math>c\neq0, T(z)=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{z}{z}\frac{a+\frac{b}{z}}{c+\frac{d}{z}}<br />
<br />
<br />
,T(\infty)=\frac{a+\frac{b}{\infty}}{c+\frac{d}{\infty}}=\frac{a}{c}.</math><br />
<br />
<br />
<br />
si <math>T(\frac{-d}{c})=\frac{a(\frac{-d}{c})+b}{c(\frac{-d}{c})+d}=\infty.</math><br />
<br />
<br />
generalizando, para <math>z_1,z_2 \epsilon\mathbb{C}</math>, (arbitrarias).<br />
<br />
por hip.<math>c=0\therefore</math><br />
<br />
<math>T(z)=\frac{az+b}{d}=\frac{a}{d}z+\frac{b}{d}</math>.<br />
<br />
<math>\forall\epsilon>0, \exists\delta>0 </math><br />
<br />
<br />
tal que si<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_1-z_2\right|<\delta , \left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
entonces<br />
<math>\left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\left|z_1-z_2\right|\delta <\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
<math>T(z_1)-T(z_2)=\left(\frac{a}{d}z_1+\frac{b}{d}\right)-\left(\frac{a}{d}z_2+\frac{b}{d}\right)=\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)</math><br />
<br />
<br />
por <math>\left(d\left(0,x-y\right)=d\left(x,y\right)\right)</math><br />
<br />
<math>d_c\left(0,T(z_1)-T(z_2)\right)=d_c\left(0,\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)\right)=d_c\left(\frac{a}{d}z_1,\frac{a}{d}z_2\right)</math><br />
<br />
ahora si<math>z_1,z_2\ne\infty</math> y <math>\delta\approx \frac{1}{k}</math> donde <math>k=\frac{a}{d}</math><br />
<br />
con la metrica cordal.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2)=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+k^2\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+k^2\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{k^2\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<math>=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{k\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore d_c(z_1,z_2)<\epsilon</math><br />
<br />
ya q se mostro que <math>\frac{az+b}{d}</math><br />
<br />
es continua, se puede probar lo mismo para <br />
<br />
<math> c z+ d </math>.<br />
<br />
<br />
por teo. de continuidad si<br />
<br />
<math> f\left(x\right),g\left(x\right)</math> <br />
<br />
son continuas, tambien<br />
<br />
<br />
<math>\frac{f(x)}{g(x)}</math>, es continua.<br />
<br />
<br />
<math>\therefore \frac{az_1+b}{cz_2+d}</math> <br />
<br />
es continua si<br />
<br />
<math>c \ne 0</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 00:42 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4.'''Demuestre que si ''AB'' son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de Möbius ''f,g'', respectivamente, entonces la matriz ''BA'' representa la composicion ''gf'', que también es de Möbius.Concluya mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera en sí misma, y que ademas constituyen un grupo.<br />
<br />
SOLUCION:<br />
<br />
tenemos que <math>\ f, g </math> son transformaciones de Möbius<br />
<br />
<br />
<math>f(z)=\frac{a' z + b'}{c' z + d'}\quad\quad g(z)=\frac{a z + b}{c z + d}</math><br />
<br />
<br />
sean <math>\ A, B </math> las representaciones matriciales de <math>\ g, f </math> respectivamente<br />
<br />
<br />
<math>A = \begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix} \quad \quad B = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
entonces <br />
<br />
<math>BA = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}<br />
a'a + b'c & c'a + d'c \\<br />
a'b + b'd & c'b + d'd \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
<br />
entonces<br />
<br />
<math>gf=\frac{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}{(a'b + b'd)z + (c'b + d'd)}</math><br />
<br />
los elementos de la matriz ''BA'' son elementos de funciones biyectivas, entonces dicha matriz también es biyectiva, y por lo tanto ''gf'' es biyectiva y de Möbius.<br />
<br />
<br />
Por ser de Möbius es meromorfa, ahora notemos que ''gf'' es continua y que <br />
<br />
<math>\frac{1}{gf}=\frac{(a'b + b')z + (c'b + d'd)}{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}</math><br />
<br />
<br />
tambien es continua por lo que concluimos que es bicontinua.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''5.'''Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en ternas de puntos de la esfera de Riemann. Sugerencia: Dada una terna, encuentre una función de Möbius que la mande en 1, 0 e <math>o\!o</math><br />
<br />
Sea <math>(x_1,x_2,x_3)\rightarrow \frac{x_1 + ix_2}{x_3} = z_0</math><br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = \frac{(1-b)x_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
y <math> \quad c = \frac{(1-d)x_3}{x_1 + i x_2} \quad </math>; <math>ad-bc\neq0</math><br />
<br />
<br />
entonces <math> T(z) = \frac{(1-b)x_3 z + (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 z + (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<math> T(z_0) = \frac{(1-b)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3}\Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3} \Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{b - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}}{cz+d}</math><br />
<br />
<br />
<math>T(z_0) = 0</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math>cz+d\rightarrow \!oo</math><br />
<br />
<br />
entonces <math>T(z_0) = 0</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''6.'''Pruede que las transformaciones de Möbius son composición de algunas de las siguientes funciones: rotaciones, traslaciones, homotecias, y <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math>. Concluya mostrando que las transformaciones de Möbius preservan la familia de circulos y rectas.<br />
<br />
Considere la Transformación de Möbius.<br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
<br />
Sea <math>a = 1,\quad c = 0, \quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = z+b \qquad </math> entonces <math>T(z)</math>es una traslación. <br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad b = c = 0,\quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = az </math> entonces <math>T(z)</math> es una rotación por <math>arg a</math> y una traslación por una amplificación <math>\big |a\big |</math>.<br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad a = d = 0, \quad b = c = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<math> T(z) = \frac{1}{z}\qquad</math> entonces <math>T(z)</math> es una inversión.<br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 23:28 26 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''7. Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en la familia de círculos y rectas.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Puesto que una transformación del tipo <math>w=\frac{1}{z} </math> aplica en circunferencias y rectas, y como las rotaciones, los cambios de escala y las translaciones preservan rectas y circunferencias. Dicha transformación bilineal o de Möbius aplica en círculos y rectas.<br />
<br />
<br />
Un círculo en <math>{S^2}</math> es la intersección de un plano con la esfera, por lo cual satiface la siguiente ecuación:<br />
<br />
<br />
<math>ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\,\!</math><br />
<br />
<br />
Tenemos que<br />
<br />
<br />
<math> x_1=\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_2=\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_3=\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto, este círculo es la imagen bajo la proyección esterografica, cuyos puntos satisfacen la siguiente ecuación en el plano: <br />
<br />
<br />
<br />
<math>a\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )+b\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )+c\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)=d </math><br />
<br />
<br />
Escribiendo <math>z = x+iy\,\!</math>, se tiene<br />
<br />
<br />
<math> x^2+y^2-\frac{2a}{d-c}x-\frac{2by}{d-c}=1 </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( d-c \right )-2ax-2by =d-c </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( c-d \right )+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )c -\left ( x^2+y^2 \right )d+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2-1 \right )c -\left ( x^2+y^2+1 \right )d+2ax+2by =0 </math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<br />
<math>2ax + 2by + c(x^2+y^2-1) = d(x^2+y^2+1)\,\!</math>,<br />
<br />
<br />
que biene siendo la ecuación de una recta o un círculo, dependiendo si <math>d=c\,\!</math>, o si <math>d\ne c\,\!</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 16:08 22 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''8.- Demuestre de dos maneras que el lugar de los puntos que cumplen la ecuación <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> <math> ,k\in\mathbb{R}^{+},a,b\in\mathbb{C},a\neq b</math> constituye una recta o un círculo (llamado de Apolonio).'''<br />
<br />
'''Solución'''<br />
<br />
Sea <br />
<br />
<math>z = x+iy\,\!, a = u+iv, b = c+id</math><br />
<br />
<br />
<br />
Entonces <br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|^{2}=k^{2}\left|z-b\right|^{2}</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left(x-u\right)^{2}+\left(y-v\right)^{2}=k\left(\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}\right)</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>x^2-2xu+u^2+y^2-2yv+v^2=kx^2-2kxc+c^2+ky^2-2kyd+kd^2\,\!</math> </center><br />
<br />
<br />
Si agrupamos esta expresión se tiene:<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(1-k\right)-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right) \qquad (I)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Si <math>k=1</math> se tiene la ecuación de una recta, es decir:<br />
<br />
<br />
<center><math>-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=c^{2}+d^{2}-\left(u^{2}+v^{2}\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Ahora para <math>k\neq1</math> la ecuación <math>\left(I\right)</math> al multiplicarla por<br />
<math>\frac{1}{\left(1-k\right)}<br />
</math> toma la forma:<br />
<br />
<br />
<center><math>\frac{}{}<br />
\left(x^{2}+y^{2}\right)-\frac{2x\left(u-kc\right)}{\left(1-k\right)}-\frac{2y\left(v-kd\right)}{\left(1-k\right)}=\frac{k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)}{\left(1-k\right)}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si completamos los cuadrados (más un poco de álgebra) de esta ultima expresión se obtiene lo<br />
siguiente<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\left(\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}+\frac{1}{1-k}\left(k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\frac{k}{\left(1-k\right)^{2}}\left(\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
lo cual es la ecuación de un círculo con centro <br />
<math>\left(\frac{u-kc}{1-k}\,,\,\frac{v-kd}{1-k}\right)</math><br />
y cuyo radio es <br />
<math>\frac{\sqrt{k}}{\left|1-k\right|}\sqrt{\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Otro método.<br />
<br />
<center><math><br />
\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(z-a\right)\left(\overline{z}-\overline{a}\right)=k\left(z-b\right)\left(\overline{z}-\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}-a\overline{z}-\overline{a}z+a\overline{a}=k\left(z\overline{z}-b\overline{z}-\overline{b}z+b\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
agrupando tenemos<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)-a\overline{z}-\overline{a}z+kb\overline{z}+k\overline{b}z=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)+\overline{z}\left(kb-a\right)+z\left(k\overline{b}-\overline{a}\right)=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio<math> A=\left(1-k\right), B=\left(kb-a\right),\overline{B}=\left(k\overline{b}-\overline{a}\right), C=kb\overline{b}-a\overline{a}\!,</math> , la anterior ecuación se escribe como<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
Az\overline{z}+B\overline{z}+\overline{B}z=C</math></center><br />
<br />
<br />
si <math> A=0</math> (entonces <math>k=1</math>) se tiene la ecución de una recta, si <math>A</math> es distinto<br />
de cero (entonces k es distinto de 1) y se tiene la ecuación de una<br />
circunferencia.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 01:46 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
'''9.- Sean <math>a,c</math> complejos, tal que no son ambos nulos, probar que<br />
<math>\left|\frac{\bar{a}z+\bar{c}}{cz+a}\right|=1</math>, si <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
Interpretar geometricamente.'''<br />
<br />
Sean <math>a=a_{1}+ia_{2}</math>, <math>c=c_{1}+ic_{2}</math>, <math>z=x+iy</math>, tal que <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
<br />
Entonces sustituyendo esto se tiene la siguiente expresión:<br />
<br />
<br />
<math>\left|\frac{\left(a_{1}-ia_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(c_{1}-ic_{2}\right)}{\left(c_{1}+ic_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(a_{1}+ia_{2}\right)}\right|=1</math><br />
<br />
<br />
Ahora por propiedades de la norma se sigue que<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Y aplicando la desigualdad del triangulo<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Ya que <math>\left|az\right|=\left|a\right|\left|z\right|</math> y <math>\left|z\right|=1</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\right|\left|\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\right|\left|\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\right|+\left|\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\right|+\left|\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Recordando que <math>\left|\bar{a}\right|=\left|a\right|</math>, nuestra expresión<br />
anterior nos queda como:<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|a\right|+\left|c\right|}{\left|c\right|+\left|a\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Que era lo que se queria mostrar. <br />
<br />
Ahora geometricamente esto nos dice que la magnitud de la suma de<br />
dos numeros complejos es igual a la magnitud de la suma de sus conjugados.<br />
<br />
En las siguientes imagenes se muestra graficamente la interpretacion<br />
geometrica, el vector de color naranja es <math>z</math> y el azul y verde <math>a,c</math><br />
respectivamente.<br />
<br />
<br />
[[Imagen:Prueba1.jpg]][[Imagen:Prueba.jpg]]<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 19:42 21 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''10.- Probar que la funcion <math>z \rightarrow 1/z</math> es una rotacion de <math>\pi</math> radianes en la esfera de Riemann alrededor del eje x.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Las componentes del punto <math>A = (a_1,a_2,a_3)\,</math> en la esfera unitaria asociado a z son:<br />
<br />
<br />
<math>a_1 = \frac{z+\overline{z}}{|z|^2+1}, a_2 = \frac{z-\overline{z}}{i(|z|^2+1)}, a_3 = \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\,</math> <br />
<br />
<br />
Sea <math>\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> y tomando en cuenta que <math>|z| = |\overline{z}|\,</math>, entonces, las componentes del punto <math>B = (b_1,b_2,b_3)\,</math> de la esfera unitaria asociado a <math>\frac{1}{z}\,</math> son:<br />
<br />
<br />
<math>b_1 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}+\frac{z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{\overline{z}+z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\overline{z}+z}{|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}+z}{1+|z|^2} = a_1\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_2 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}-\frac{z}{|z|^2}}{i(\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i(1+|z|^2)} = -\frac{z-\overline{z}}{i(1+|z|^2)} = -a_2\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_3 = \frac{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}-1}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{1}{|z|^2}-1}{\frac{1}{|z|^2}+1} = \frac{1-|z|^2}{1+|z|^2} = -\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} = -a_3\,</math> ...<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 00:03 9 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''11.''' '''Probar que dados dos puntos''' <math>z,w \in \mathbb C</math> '''se tiene que sus proyecciones en la esfera de Riemann son antípodas si y solo si''' <math>z\bar{w} = -1</math><br />
<br />
<br />
SOLUCION.<br />
<br />
Sea <math>z \in \mathbb C \quad a,b \in \mathbb R</math> <br />
<br />
se pasa del plano complejo a la esfera de Riemann.<br />
<br />
<math>\psi: \mathbb C \rightarrow \mathbb S^2 - \lbrace e_3 \rbrace </math><br />
<br />
<math> z \mapsto (x_1 , x_2 , x_3)</math><br />
<br />
<br />
Si <math>\ z=a+ib \mapsto \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)</math> es el punto '''P''' en la esfera de Riemann.<br />
<br />
<br />
con este punto '''P''' y el centro '''C''' de la esfera se construye una recta que pase por estos puntos:<br />
<br />
<br />
Sea <math>\mathcal {L} =\ p + t\vec{v} \quad , \forall t \in \mathbb R </math> donde <math>\vec v</math>es el vector director que va de '''P''' a ''' C''' esto es <br />
<br />
<br />
<math>\vec {v} =(0,0,0)- \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) </math><br />
<br />
<br />
nuestra ecuacion de la recta queda de la siguiente manera:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\mathcal {L} =\left (\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right) + t \left (\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \quad , \forall t \in \mathbb R </math><br />
<br />
<br />
Cuando <math>\ t=0</math> tenemos a <math>\ P</math> en la esfera.<br />
<br />
cuando <math>\ t=1</math> tenemos el centro <math>\ (0,0,0)</math> de la esfera de Riemann.<br />
<br />
cuando <math>\ t=2 </math> tenemos al punto <math>\ Q</math> que es la antipoda de <math>\ p</math><br />
<br />
<br />
<math> \Rightarrow Q=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \, antipoda \quad de\quad p \quad en \quad la \quad esfera \quad de \quad Riemann </math><br />
<br />
<br />
teniendo a <math> \ Q</math> sobre la esfera de Riemann volvemos al plano complejo mediante la siguiente tranformacion:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\varphi: \mathbb S^2 -\lbrace e_3 \rbrace \rightarrow \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>Q \mapsto \frac {x_1 +ix_2}{1-x_3} </math>, que nos da un punto <math>\ w_Q \in \mathbb C</math> <br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q=\frac {x_1 +ix_2}{1-x_3}=\frac {\frac {-2a}{a^2+b^2+1} +i \frac {-2b}{a^2+b^2+1}}{1+ \frac {a^2+b^2-1}{a^2+b^2+1}} = \frac{ \frac{-2}{a^2+b^2+1}(a+ib) }{ \frac {2a^2+2b^2}{a^2+b^2+1} } = \frac {-2}{2a^2+2b^2}(a+ib) = \frac {-1}{a^2+b^2}(a+ib) </math> <br />
<br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} </math><br />
<br />
<br />
Como la proyeccion en la esfera de Riemann de <math>\ w_Q </math> es la antipoda de <math>\ z </math> se debe de cumplir que <math>z\bar{w_Q} = -1</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> z=a+ib \quad, w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} \in \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow z\bar{w_Q} =(a+ib)\left ( -\frac {a}{a^2 + b^2} +i \frac {b}{a^2+ b^2}\right )=\left ( -\frac {a^2}{a^2 + b^2} -\frac {b^2}{a^2+ b^2}\right )+i\left ( -\frac {ab}{a^2 + b^2} + \frac {ab}{a^2+ b^2}\right ) </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\left ( \frac {-(a^2+b^2)}{a^2 + b^2} \right )+i(0)=-1</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore z,w</math> son antipodas si y solo si <math>z\bar{w} = -1 \quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 15:11 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''12.'''¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la funcion <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> ?<br />
<br />
<br />
SOLUCIÓN:<br />
<br />
para la imagen notemos que <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> es continua exepto cuando <math>\ z=0</math>, por lo que su imagen es todo el plano complejo exepto el origen.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.2&diff=11638
Compleja:ej-cap1.2
2009-12-08T04:06:51Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>==EJERCICIOS 1.2.1 ==<br />
<br />
'''1.''' '''Demuestre que una una funcion''' <math>f:A\subset\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} </math> '''es continua en''' <math>{z_0}\in A</math> '''si y soló si para toda sucesión''' <math>{z_n},n\in\mathbb{N}, </math> '''tal que''' <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow\infty,</math> '''se tiene''' <math>f(z_n)\rightarrow f(z_0),</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Supongamos que <math> \ f<br />
</math> es continua en <math>\ z_0 </math> , es decir:<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad\exists \delta = \delta(\epsilon)> 0 </math> <br />
<br />
tal que <math>\quad | z - z_0 |<\delta \Rightarrow | f(z) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
y supongamos que <math>\lbrace z_n \rbrace , n\in \mathbb{N} </math> es una sucesión en <math>\ A </math> tal que <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math><br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<math>f(z_n)\rightarrow f(z_0)</math><br />
<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad \exists N = N(\epsilon)\in \mathbb N ,\quad n\geq N \Rightarrow | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
como <math>\ f</math> es continua en <math>\ z_0</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists\delta = \delta(\epsilon)>0</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow z_n \rightarrow z_0 </math><br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists M = M(\epsilon) \in \mathbb N, \quad n \geq M \Rightarrow | z_n - z_0 |< \delta </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore f(z_n) \rightarrow f(z_0)\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.''' '''Demuestre que una sucesión''' <math> \ \lbrace a_n \rbrace</math> en <math>\mathbb R^n </math> '''es de ''Cauchy'' si y sólo es convergente.<br />
<br />
'''<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Una sucesión en <math>\mathbb R^n </math> se dice que es de ''Cauchy'' si para todo <math>\epsilon >0 ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in \mathbb N </math> tal que <math>|a_m - a_n|<\epsilon , \quad \forall m,n \geq N</math> '''.'''<br />
<br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<br />
Si la sucesión es convergente, esto es si <math>\lim {a_n}=L \quad \Rightarrow \quad \forall \epsilon > 0\quad ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in\mathbb N </math><br />
<br />
<br />
tal que <math>|a_n - L|<\frac{\epsilon}{2}\quad, \quad \forall n\geq N</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow </math> si <math>m,n\geq N ,</math> se tiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ |a_m - a_n|=|a_m - L +L - a_n| \leq |a_m - L| + | L - a_n|< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}\!=\!{\epsilon} </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore \lbrace a_n \rbrace \quad es \quad de \quad Cauchy.\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
== EJERCICIOS 1.2.2 ==<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''1. Demuestre que la funcion estereográfica <math>(x_1,x_2,x_3)\to\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math> de la esfera de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.<br />
<br />
Definicion: Una funcion es suprayectiva si a un punto en la esfera<math>(x_1,x_2,x_3)</math> le corresponde uno(s) puntos dentro del plano complejo <math>\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
Una función es sobre si para toda '''y''' pertenece al Codominio <math>(f)</math> ,existe '''x''' pertenece al Dominio de <br />
<math>(f)</math> tal que <math> y = f(x)</math><br />
<br />
Notaciòn (para la demostraciòn): S= Esfera, C= punto en el plano proyectado por la esfera.<br />
<br />
Dominio<math>(f)= S</math> y el Codominio<math>(f)= C</math> y tambièn<br />
<math> C = z\epsilon\mathbb{C}:, f(z)=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
<math>z\epsilon\mathbb{C}:x_3\ne1 </math><br />
<br />
Suponga <math>\bar{x}\epsilon</math> S donde <math>\bar{x}=(x_1,x_2,x_3)</math><br />
<br />
Condicion de la esfera <math>(x_1^2+x_2^2+x_3^2=1)</math> donde <math>x_2</math> pertenece a '''i'''<br />
<br />
Ahora bien sabemos que la magnitud cuadrática <math>\bar{x}</math> es 1 <br />
<br />
<br />
<math>\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}\epsilon</math> Codominio de (f)<br />
<br />
Sea '''y''' que pertenece al Codominio de (f) donde : <math>y= ai+b</math><br />
<br />
Sea <math>a=\frac{x_1}{1-x_3}</math> y <math>b=\frac{x_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
tomando en cuenta que <math>y=f(x)</math><br />
<br />
de esta manera <math>f(x)=\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 03:09 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''2. Demuestre que si <math>z_n\rightarrow \infty.</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math>, entonces <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Como <math>z_n\rightarrow \infty.</math><br />
<math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Recordando la definiciòn del limite dado un <math>N_o</math> nos aproximamos.<br />
<math>\exists\N_o\epsilon\mathbb N+ n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> por hipótesis.<br />
<br />
P.D. <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math>, asi como también <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Ahora usando la definiciòn del limite dentro de la mètrica cordal tenemos un <math>N_o^\prime</math> donde limite se aproxima a cero cuando <math>n\rightarrow \infty.</math> <br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty) - 0 |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty)|<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
Usando la definición de la distancia cordal entre dos puntos<br />
<br />
<math>d_C(z_1,z_2)=|\pi(z_1)-\pi(z_2)|</math><br />
<br />
P.D.<math>\quad\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon </math><br />
<br />
Tomamos el lìmite descrito anteriomente.<br />
<br />
Por hipótesis <math>\quad\exists\N_o\epsilon\mathbb N</math> tal que <math>\quad n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> <br />
<br />
Sea <math>N_o</math> como antes por la continuidad de <math>\pi</math><br />
<br />
Finalmente usando la definiciòn de metrica cordal.<br />
<br />
Si <math>\quad n\geq N_o\to|\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon</math> <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 04:20 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''3. Las transformaciones de Möbius definidas en (1.4) se extienden a la esfera de Riemann <math>\hat{\mathbb{C}} </math> como sigue: si <math>c=0, T(\infty)=\infty</math>, y si <math>c\neq0, T(\infty)=\frac{a}{c}</math> y <math>T(\frac{-d}{c})=\infty</math>.Demuestre que estas funciones son continuas en dicha esfera con la metrica cordal.<br />
<br />
Transformaciones de Möbius complejas.(1.4)<br />
<math>z\to\frac{az+b}{cz+d} , ad-bc\neq0, a,b,c,d. <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
Se define la metrica cordal en el plano complejo extendido de la sig. manera.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2) = <br />
\begin{cases} <br />
\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}, & si z_1,z_2\neq\infty \\<br />
\frac{2}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}}, & si z_2=\infty. <br />
\end{cases}</math><br />
<br />
para los casos extremos.<br />
<br />
si <math>c=0, T(\infty)=\frac{az+b}{d}=\frac{a(\infty)+b}{d}=\infty.</math><br />
<br />
si <math>c\neq0, T(z)=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{z}{z}\frac{a+\frac{b}{z}}{c+\frac{d}{z}}<br />
<br />
<br />
,T(\infty)=\frac{a+\frac{b}{\infty}}{c+\frac{d}{\infty}}=\frac{a}{c}.</math><br />
<br />
<br />
<br />
si <math>T(\frac{-d}{c})=\frac{a(\frac{-d}{c})+b}{c(\frac{-d}{c})+d}=\infty.</math><br />
<br />
<br />
generalizando, para <math>z_1,z_2 \epsilon\mathbb{C}</math>, (arbitrarias).<br />
<br />
por hip.<math>c=0\therefore</math><br />
<br />
<math>T(z)=\frac{az+b}{d}=\frac{a}{d}z+\frac{b}{d}</math>.<br />
<br />
<math>\forall\epsilon>0, \exists\delta>0 </math><br />
<br />
<br />
tal que si<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_1-z_2\right|<\delta , \left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
entonces<br />
<math>\left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\left|z_1-z_2\right|\delta <\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
<math>T(z_1)-T(z_2)=\left(\frac{a}{d}z_1+\frac{b}{d}\right)-\left(\frac{a}{d}z_2+\frac{b}{d}\right)=\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)</math><br />
<br />
<br />
por <math>\left(d\left(0,x-y\right)=d\left(x,y\right)\right)</math><br />
<br />
<math>d_c\left(0,T(z_1)-T(z_2)\right)=d_c\left(0,\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)\right)=d_c\left(\frac{a}{d}z_1,\frac{a}{d}z_2\right)</math><br />
<br />
ahora si<math>z_1,z_2\ne\infty</math> y <math>\delta\approx \frac{1}{k}</math> donde <math>k=\frac{a}{d}</math><br />
<br />
con la metrica cordal.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2)=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+k^2\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+k^2\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{k^2\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<math>=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{k\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore d_c(z_1,z_2)<\epsilon</math><br />
<br />
ya q se mostro que <math>\frac{az+b}{d}</math><br />
<br />
es continua, se puede probar lo mismo para <br />
<br />
<math> c z+ d </math>.<br />
<br />
<br />
por teo. de continuidad si<br />
<br />
<math> f\left(x\right),g\left(x\right)</math> <br />
<br />
son continuas, tambien<br />
<br />
<br />
<math>\frac{f(x)}{g(x)}</math>, es continua.<br />
<br />
<br />
<math>\therefore \frac{az_1+b}{cz_2+d}</math> <br />
<br />
es continua si<br />
<br />
<math>c \ne 0</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 00:42 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4.'''Demuestre que si ''AB'' son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de Möbius ''f,g'', respectivamente, entonces la matriz ''BA'' representa la composicion ''gf'', que también es de Möbius.Concluya mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera en sí misma, y que ademas constituyen un grupo.<br />
<br />
SOLUCION:<br />
<br />
tenemos que <math>\ f, g </math> son transformaciones de Möbius<br />
<br />
<br />
<math>f(z)=\frac{a' z + b'}{c' z + d'}\quad\quad g(z)=\frac{a z + b}{c z + d}</math><br />
<br />
<br />
sean <math>\ A, B </math> las representaciones matriciales de <math>\ g, f </math> respectivamente<br />
<br />
<br />
<math>A = \begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix} \quad \quad B = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
entonces <br />
<br />
<math>BA = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}<br />
a'a + b'c & c'a + d'c \\<br />
a'b + b'd & c'b + d'd \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
<br />
entonces<br />
<br />
<math>gf=\frac{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}{(a'b + b'd)z + (c'b + d'd)}</math><br />
<br />
los elementos de la matriz ''BA'' son elementos de funciones biyectivas, entonces dicha matriz también es biyectiva, y por lo tanto ''gf'' es biyectiva y de Möbius.<br />
<br />
<br />
Por ser de Möbius es meromorfa, ahora notemos que ''gf'' es continua y que <br />
<br />
<math>\frac{1}{gf}=\frac{(a'b + b')z + (c'b + d'd)}{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}</math><br />
<br />
<br />
tambien es continua por lo que concluimos que es bicontinua.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''5.'''Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en ternas de puntos de la esfera de Riemann. Sugerencia: Dada una terna, encuentre una función de Möbius que la mande en 1, 0 e <math>o\!o</math><br />
<br />
Sea <math>(x_1,x_2,x_3)\rightarrow \frac{x_1 + ix_2}{x_3} = z_0</math><br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = \frac{(1-b)x_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
y <math> \quad c = \frac{(1-d)x_3}{x_1 + i x_2} \quad </math>; <math>ad-bc\neq0</math><br />
<br />
<br />
entonces <math> T(z) = \frac{(1-b)x_3 z + (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 z + (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<math> T(z_0) = \frac{(1-b)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3}\Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3} \Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{b - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}}{cz+d}</math><br />
<br />
<br />
<math>T(z_0) = 0</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math>cz+d\rightarrow \!oo</math><br />
<br />
<br />
entonces <math>T(z_0) = 0</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''6.'''Pruede que las transformaciones de Möbius son composición de algunas de las siguientes funciones: rotaciones, traslaciones, homotecias, y <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math>. Concluya mostrando que las transformaciones de Möbius preservan la familia de circulos y rectas.<br />
<br />
Considere la Transformación de Möbius.<br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
<br />
Sea <math>a = 1,\quad c = 0, \quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = z+b \qquad </math> entonces <math>T(z)</math>es una traslación. <br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad b = c = 0,\quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = az </math> entonces <math>T(z)</math> es una rotación por <math>arg a</math> y una traslación por una amplificación <math>\big |a\big |</math>.<br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad a = d = 0, \quad b = c = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<math> T(z) = \frac{1}{z}\qquad</math> entonces <math>T(z)</math> es una inversión.<br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 23:28 26 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''7. Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en la familia de círculos y rectas.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Puesto que una transformación del tipo <math>w=\frac{1}{z} </math> aplica en circunferencias y rectas, y como las rotaciones, los cambios de escala y las translaciones preservan rectas y circunferencias. Dicha transformación bilineal o de Möbius aplica en círculos y rectas.<br />
<br />
<br />
Un círculo en <math>{S^2}</math> es la intersección de un plano con la esfera, por lo cual satiface la siguiente ecuación:<br />
<br />
<br />
<math>ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\,\!</math><br />
<br />
<br />
Tenemos que<br />
<br />
<br />
<math> x_1=\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_2=\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_3=\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto, este círculo es la imagen bajo la proyección esterografica, cuyos puntos satisfacen la siguiente ecuación en el plano: <br />
<br />
<br />
<br />
<math>a\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )+b\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )+c\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)=d </math><br />
<br />
<br />
Escribiendo <math>z = x+iy\,\!</math>, se tiene<br />
<br />
<br />
<math> x^2+y^2-\frac{2a}{d-c}x-\frac{2by}{d-c}=1 </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( d-c \right )-2ax-2by =d-c </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( c-d \right )+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )c -\left ( x^2+y^2 \right )d+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2-1 \right )c -\left ( x^2+y^2+1 \right )d+2ax+2by =0 </math><br />
<br />
<br />
<br />
se tiene que:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>a(2x) + b(2y) + c(x^2+y^2-1) = d(x^2+y^2+1)\,\!</math><br />
<br />
<br />
esto es<br />
<br />
<br />
<math>2ax + 2by + c(x^2+y^2-1) = d(x^2+y^2+1)\,\!</math>,<br />
<br />
<br />
que biene siendo la ecuación de una recta o un círculo, dependiendo si <math>d=c\,\!</math>, o si <math>d\ne c\,\!</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 16:08 22 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''8.- Demuestre de dos maneras que el lugar de los puntos que cumplen la ecuación <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> <math> ,k\in\mathbb{R}^{+},a,b\in\mathbb{C},a\neq b</math> constituye una recta o un círculo (llamado de Apolonio).'''<br />
<br />
'''Solución'''<br />
<br />
Sea <br />
<br />
<math>z = x+iy\,\!, a = u+iv, b = c+id</math><br />
<br />
<br />
<br />
Entonces <br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|^{2}=k^{2}\left|z-b\right|^{2}</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left(x-u\right)^{2}+\left(y-v\right)^{2}=k\left(\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}\right)</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>x^2-2xu+u^2+y^2-2yv+v^2=kx^2-2kxc+c^2+ky^2-2kyd+kd^2\,\!</math> </center><br />
<br />
<br />
Si agrupamos esta expresión se tiene:<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(1-k\right)-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right) \qquad (I)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Si <math>k=1</math> se tiene la ecuación de una recta, es decir:<br />
<br />
<br />
<center><math>-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=c^{2}+d^{2}-\left(u^{2}+v^{2}\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Ahora para <math>k\neq1</math> la ecuación <math>\left(I\right)</math> al multiplicarla por<br />
<math>\frac{1}{\left(1-k\right)}<br />
</math> toma la forma:<br />
<br />
<br />
<center><math>\frac{}{}<br />
\left(x^{2}+y^{2}\right)-\frac{2x\left(u-kc\right)}{\left(1-k\right)}-\frac{2y\left(v-kd\right)}{\left(1-k\right)}=\frac{k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)}{\left(1-k\right)}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si completamos los cuadrados (más un poco de álgebra) de esta ultima expresión se obtiene lo<br />
siguiente<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\left(\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}+\frac{1}{1-k}\left(k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\frac{k}{\left(1-k\right)^{2}}\left(\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
lo cual es la ecuación de un círculo con centro <br />
<math>\left(\frac{u-kc}{1-k}\,,\,\frac{v-kd}{1-k}\right)</math><br />
y cuyo radio es <br />
<math>\frac{\sqrt{k}}{\left|1-k\right|}\sqrt{\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Otro método.<br />
<br />
<center><math><br />
\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(z-a\right)\left(\overline{z}-\overline{a}\right)=k\left(z-b\right)\left(\overline{z}-\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}-a\overline{z}-\overline{a}z+a\overline{a}=k\left(z\overline{z}-b\overline{z}-\overline{b}z+b\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
agrupando tenemos<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)-a\overline{z}-\overline{a}z+kb\overline{z}+k\overline{b}z=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)+\overline{z}\left(kb-a\right)+z\left(k\overline{b}-\overline{a}\right)=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio<math> A=\left(1-k\right), B=\left(kb-a\right),\overline{B}=\left(k\overline{b}-\overline{a}\right), C=kb\overline{b}-a\overline{a}\!,</math> , la anterior ecuación se escribe como<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
Az\overline{z}+B\overline{z}+\overline{B}z=C</math></center><br />
<br />
<br />
si <math> A=0</math> (entonces <math>k=1</math>) se tiene la ecución de una recta, si <math>A</math> es distinto<br />
de cero (entonces k es distinto de 1) y se tiene la ecuación de una<br />
circunferencia.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 01:46 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
'''9.- Sean <math>a,c</math> complejos, tal que no son ambos nulos, probar que<br />
<math>\left|\frac{\bar{a}z+\bar{c}}{cz+a}\right|=1</math>, si <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
Interpretar geometricamente.'''<br />
<br />
Sean <math>a=a_{1}+ia_{2}</math>, <math>c=c_{1}+ic_{2}</math>, <math>z=x+iy</math>, tal que <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
<br />
Entonces sustituyendo esto se tiene la siguiente expresión:<br />
<br />
<br />
<math>\left|\frac{\left(a_{1}-ia_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(c_{1}-ic_{2}\right)}{\left(c_{1}+ic_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(a_{1}+ia_{2}\right)}\right|=1</math><br />
<br />
<br />
Ahora por propiedades de la norma se sigue que<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Y aplicando la desigualdad del triangulo<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Ya que <math>\left|az\right|=\left|a\right|\left|z\right|</math> y <math>\left|z\right|=1</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\right|\left|\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\right|\left|\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\right|+\left|\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\right|+\left|\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Recordando que <math>\left|\bar{a}\right|=\left|a\right|</math>, nuestra expresión<br />
anterior nos queda como:<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|a\right|+\left|c\right|}{\left|c\right|+\left|a\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Que era lo que se queria mostrar. <br />
<br />
Ahora geometricamente esto nos dice que la magnitud de la suma de<br />
dos numeros complejos es igual a la magnitud de la suma de sus conjugados.<br />
<br />
En las siguientes imagenes se muestra graficamente la interpretacion<br />
geometrica, el vector de color naranja es <math>z</math> y el azul y verde <math>a,c</math><br />
respectivamente.<br />
<br />
<br />
[[Imagen:Prueba1.jpg]][[Imagen:Prueba.jpg]]<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 19:42 21 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''10.- Probar que la funcion <math>z \rightarrow 1/z</math> es una rotacion de <math>\pi</math> radianes en la esfera de Riemann alrededor del eje x.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Las componentes del punto <math>A = (a_1,a_2,a_3)\,</math> en la esfera unitaria asociado a z son:<br />
<br />
<br />
<math>a_1 = \frac{z+\overline{z}}{|z|^2+1}, a_2 = \frac{z-\overline{z}}{i(|z|^2+1)}, a_3 = \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\,</math> <br />
<br />
<br />
Sea <math>\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> y tomando en cuenta que <math>|z| = |\overline{z}|\,</math>, entonces, las componentes del punto <math>B = (b_1,b_2,b_3)\,</math> de la esfera unitaria asociado a <math>\frac{1}{z}\,</math> son:<br />
<br />
<br />
<math>b_1 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}+\frac{z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{\overline{z}+z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\overline{z}+z}{|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}+z}{1+|z|^2} = a_1\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_2 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}-\frac{z}{|z|^2}}{i(\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i(1+|z|^2)} = -\frac{z-\overline{z}}{i(1+|z|^2)} = -a_2\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_3 = \frac{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}-1}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{1}{|z|^2}-1}{\frac{1}{|z|^2}+1} = \frac{1-|z|^2}{1+|z|^2} = -\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} = -a_3\,</math> ...<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 00:03 9 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''11.''' '''Probar que dados dos puntos''' <math>z,w \in \mathbb C</math> '''se tiene que sus proyecciones en la esfera de Riemann son antípodas si y solo si''' <math>z\bar{w} = -1</math><br />
<br />
<br />
SOLUCION.<br />
<br />
Sea <math>z \in \mathbb C \quad a,b \in \mathbb R</math> <br />
<br />
se pasa del plano complejo a la esfera de Riemann.<br />
<br />
<math>\psi: \mathbb C \rightarrow \mathbb S^2 - \lbrace e_3 \rbrace </math><br />
<br />
<math> z \mapsto (x_1 , x_2 , x_3)</math><br />
<br />
<br />
Si <math>\ z=a+ib \mapsto \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)</math> es el punto '''P''' en la esfera de Riemann.<br />
<br />
<br />
con este punto '''P''' y el centro '''C''' de la esfera se construye una recta que pase por estos puntos:<br />
<br />
<br />
Sea <math>\mathcal {L} =\ p + t\vec{v} \quad , \forall t \in \mathbb R </math> donde <math>\vec v</math>es el vector director que va de '''P''' a ''' C''' esto es <br />
<br />
<br />
<math>\vec {v} =(0,0,0)- \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) </math><br />
<br />
<br />
nuestra ecuacion de la recta queda de la siguiente manera:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\mathcal {L} =\left (\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right) + t \left (\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \quad , \forall t \in \mathbb R </math><br />
<br />
<br />
Cuando <math>\ t=0</math> tenemos a <math>\ P</math> en la esfera.<br />
<br />
cuando <math>\ t=1</math> tenemos el centro <math>\ (0,0,0)</math> de la esfera de Riemann.<br />
<br />
cuando <math>\ t=2 </math> tenemos al punto <math>\ Q</math> que es la antipoda de <math>\ p</math><br />
<br />
<br />
<math> \Rightarrow Q=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \, antipoda \quad de\quad p \quad en \quad la \quad esfera \quad de \quad Riemann </math><br />
<br />
<br />
teniendo a <math> \ Q</math> sobre la esfera de Riemann volvemos al plano complejo mediante la siguiente tranformacion:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\varphi: \mathbb S^2 -\lbrace e_3 \rbrace \rightarrow \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>Q \mapsto \frac {x_1 +ix_2}{1-x_3} </math>, que nos da un punto <math>\ w_Q \in \mathbb C</math> <br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q=\frac {x_1 +ix_2}{1-x_3}=\frac {\frac {-2a}{a^2+b^2+1} +i \frac {-2b}{a^2+b^2+1}}{1+ \frac {a^2+b^2-1}{a^2+b^2+1}} = \frac{ \frac{-2}{a^2+b^2+1}(a+ib) }{ \frac {2a^2+2b^2}{a^2+b^2+1} } = \frac {-2}{2a^2+2b^2}(a+ib) = \frac {-1}{a^2+b^2}(a+ib) </math> <br />
<br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} </math><br />
<br />
<br />
Como la proyeccion en la esfera de Riemann de <math>\ w_Q </math> es la antipoda de <math>\ z </math> se debe de cumplir que <math>z\bar{w_Q} = -1</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> z=a+ib \quad, w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} \in \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow z\bar{w_Q} =(a+ib)\left ( -\frac {a}{a^2 + b^2} +i \frac {b}{a^2+ b^2}\right )=\left ( -\frac {a^2}{a^2 + b^2} -\frac {b^2}{a^2+ b^2}\right )+i\left ( -\frac {ab}{a^2 + b^2} + \frac {ab}{a^2+ b^2}\right ) </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\left ( \frac {-(a^2+b^2)}{a^2 + b^2} \right )+i(0)=-1</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore z,w</math> son antipodas si y solo si <math>z\bar{w} = -1 \quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 15:11 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''12.'''¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la funcion <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> ?<br />
<br />
<br />
SOLUCIÓN:<br />
<br />
para la imagen notemos que <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> es continua exepto cuando <math>\ z=0</math>, por lo que su imagen es todo el plano complejo exepto el origen.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.2&diff=11637
Compleja:ej-cap1.2
2009-12-08T04:03:57Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>==EJERCICIOS 1.2.1 ==<br />
<br />
'''1.''' '''Demuestre que una una funcion''' <math>f:A\subset\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} </math> '''es continua en''' <math>{z_0}\in A</math> '''si y soló si para toda sucesión''' <math>{z_n},n\in\mathbb{N}, </math> '''tal que''' <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow\infty,</math> '''se tiene''' <math>f(z_n)\rightarrow f(z_0),</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Supongamos que <math> \ f<br />
</math> es continua en <math>\ z_0 </math> , es decir:<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad\exists \delta = \delta(\epsilon)> 0 </math> <br />
<br />
tal que <math>\quad | z - z_0 |<\delta \Rightarrow | f(z) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
y supongamos que <math>\lbrace z_n \rbrace , n\in \mathbb{N} </math> es una sucesión en <math>\ A </math> tal que <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math><br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<math>f(z_n)\rightarrow f(z_0)</math><br />
<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad \exists N = N(\epsilon)\in \mathbb N ,\quad n\geq N \Rightarrow | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
como <math>\ f</math> es continua en <math>\ z_0</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists\delta = \delta(\epsilon)>0</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow z_n \rightarrow z_0 </math><br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists M = M(\epsilon) \in \mathbb N, \quad n \geq M \Rightarrow | z_n - z_0 |< \delta </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore f(z_n) \rightarrow f(z_0)\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.''' '''Demuestre que una sucesión''' <math> \ \lbrace a_n \rbrace</math> en <math>\mathbb R^n </math> '''es de ''Cauchy'' si y sólo es convergente.<br />
<br />
'''<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Una sucesión en <math>\mathbb R^n </math> se dice que es de ''Cauchy'' si para todo <math>\epsilon >0 ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in \mathbb N </math> tal que <math>|a_m - a_n|<\epsilon , \quad \forall m,n \geq N</math> '''.'''<br />
<br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<br />
Si la sucesión es convergente, esto es si <math>\lim {a_n}=L \quad \Rightarrow \quad \forall \epsilon > 0\quad ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in\mathbb N </math><br />
<br />
<br />
tal que <math>|a_n - L|<\frac{\epsilon}{2}\quad, \quad \forall n\geq N</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow </math> si <math>m,n\geq N ,</math> se tiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ |a_m - a_n|=|a_m - L +L - a_n| \leq |a_m - L| + | L - a_n|< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}\!=\!{\epsilon} </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore \lbrace a_n \rbrace \quad es \quad de \quad Cauchy.\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
== EJERCICIOS 1.2.2 ==<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''1. Demuestre que la funcion estereográfica <math>(x_1,x_2,x_3)\to\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math> de la esfera de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.<br />
<br />
Definicion: Una funcion es suprayectiva si a un punto en la esfera<math>(x_1,x_2,x_3)</math> le corresponde uno(s) puntos dentro del plano complejo <math>\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
Una función es sobre si para toda '''y''' pertenece al Codominio <math>(f)</math> ,existe '''x''' pertenece al Dominio de <br />
<math>(f)</math> tal que <math> y = f(x)</math><br />
<br />
Notaciòn (para la demostraciòn): S= Esfera, C= punto en el plano proyectado por la esfera.<br />
<br />
Dominio<math>(f)= S</math> y el Codominio<math>(f)= C</math> y tambièn<br />
<math> C = z\epsilon\mathbb{C}:, f(z)=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
<math>z\epsilon\mathbb{C}:x_3\ne1 </math><br />
<br />
Suponga <math>\bar{x}\epsilon</math> S donde <math>\bar{x}=(x_1,x_2,x_3)</math><br />
<br />
Condicion de la esfera <math>(x_1^2+x_2^2+x_3^2=1)</math> donde <math>x_2</math> pertenece a '''i'''<br />
<br />
Ahora bien sabemos que la magnitud cuadrática <math>\bar{x}</math> es 1 <br />
<br />
<br />
<math>\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}\epsilon</math> Codominio de (f)<br />
<br />
Sea '''y''' que pertenece al Codominio de (f) donde : <math>y= ai+b</math><br />
<br />
Sea <math>a=\frac{x_1}{1-x_3}</math> y <math>b=\frac{x_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
tomando en cuenta que <math>y=f(x)</math><br />
<br />
de esta manera <math>f(x)=\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 03:09 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''2. Demuestre que si <math>z_n\rightarrow \infty.</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math>, entonces <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Como <math>z_n\rightarrow \infty.</math><br />
<math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Recordando la definiciòn del limite dado un <math>N_o</math> nos aproximamos.<br />
<math>\exists\N_o\epsilon\mathbb N+ n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> por hipótesis.<br />
<br />
P.D. <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math>, asi como también <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Ahora usando la definiciòn del limite dentro de la mètrica cordal tenemos un <math>N_o^\prime</math> donde limite se aproxima a cero cuando <math>n\rightarrow \infty.</math> <br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty) - 0 |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty)|<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
Usando la definición de la distancia cordal entre dos puntos<br />
<br />
<math>d_C(z_1,z_2)=|\pi(z_1)-\pi(z_2)|</math><br />
<br />
P.D.<math>\quad\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon </math><br />
<br />
Tomamos el lìmite descrito anteriomente.<br />
<br />
Por hipótesis <math>\quad\exists\N_o\epsilon\mathbb N</math> tal que <math>\quad n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> <br />
<br />
Sea <math>N_o</math> como antes por la continuidad de <math>\pi</math><br />
<br />
Finalmente usando la definiciòn de metrica cordal.<br />
<br />
Si <math>\quad n\geq N_o\to|\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon</math> <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 04:20 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''3. Las transformaciones de Möbius definidas en (1.4) se extienden a la esfera de Riemann <math>\hat{\mathbb{C}} </math> como sigue: si <math>c=0, T(\infty)=\infty</math>, y si <math>c\neq0, T(\infty)=\frac{a}{c}</math> y <math>T(\frac{-d}{c})=\infty</math>.Demuestre que estas funciones son continuas en dicha esfera con la metrica cordal.<br />
<br />
Transformaciones de Möbius complejas.(1.4)<br />
<math>z\to\frac{az+b}{cz+d} , ad-bc\neq0, a,b,c,d. <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
Se define la metrica cordal en el plano complejo extendido de la sig. manera.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2) = <br />
\begin{cases} <br />
\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}, & si z_1,z_2\neq\infty \\<br />
\frac{2}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}}, & si z_2=\infty. <br />
\end{cases}</math><br />
<br />
para los casos extremos.<br />
<br />
si <math>c=0, T(\infty)=\frac{az+b}{d}=\frac{a(\infty)+b}{d}=\infty.</math><br />
<br />
si <math>c\neq0, T(z)=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{z}{z}\frac{a+\frac{b}{z}}{c+\frac{d}{z}}<br />
<br />
<br />
,T(\infty)=\frac{a+\frac{b}{\infty}}{c+\frac{d}{\infty}}=\frac{a}{c}.</math><br />
<br />
<br />
<br />
si <math>T(\frac{-d}{c})=\frac{a(\frac{-d}{c})+b}{c(\frac{-d}{c})+d}=\infty.</math><br />
<br />
<br />
generalizando, para <math>z_1,z_2 \epsilon\mathbb{C}</math>, (arbitrarias).<br />
<br />
por hip.<math>c=0\therefore</math><br />
<br />
<math>T(z)=\frac{az+b}{d}=\frac{a}{d}z+\frac{b}{d}</math>.<br />
<br />
<math>\forall\epsilon>0, \exists\delta>0 </math><br />
<br />
<br />
tal que si<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_1-z_2\right|<\delta , \left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
entonces<br />
<math>\left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\left|z_1-z_2\right|\delta <\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
<math>T(z_1)-T(z_2)=\left(\frac{a}{d}z_1+\frac{b}{d}\right)-\left(\frac{a}{d}z_2+\frac{b}{d}\right)=\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)</math><br />
<br />
<br />
por <math>\left(d\left(0,x-y\right)=d\left(x,y\right)\right)</math><br />
<br />
<math>d_c\left(0,T(z_1)-T(z_2)\right)=d_c\left(0,\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)\right)=d_c\left(\frac{a}{d}z_1,\frac{a}{d}z_2\right)</math><br />
<br />
ahora si<math>z_1,z_2\ne\infty</math> y <math>\delta\approx \frac{1}{k}</math> donde <math>k=\frac{a}{d}</math><br />
<br />
con la metrica cordal.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2)=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+k^2\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+k^2\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{k^2\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<math>=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{k\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore d_c(z_1,z_2)<\epsilon</math><br />
<br />
ya q se mostro que <math>\frac{az+b}{d}</math><br />
<br />
es continua, se puede probar lo mismo para <br />
<br />
<math> c z+ d </math>.<br />
<br />
<br />
por teo. de continuidad si<br />
<br />
<math> f\left(x\right),g\left(x\right)</math> <br />
<br />
son continuas, tambien<br />
<br />
<br />
<math>\frac{f(x)}{g(x)}</math>, es continua.<br />
<br />
<br />
<math>\therefore \frac{az_1+b}{cz_2+d}</math> <br />
<br />
es continua si<br />
<br />
<math>c \ne 0</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 00:42 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4.'''Demuestre que si ''AB'' son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de Möbius ''f,g'', respectivamente, entonces la matriz ''BA'' representa la composicion ''gf'', que también es de Möbius.Concluya mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera en sí misma, y que ademas constituyen un grupo.<br />
<br />
SOLUCION:<br />
<br />
tenemos que <math>\ f, g </math> son transformaciones de Möbius<br />
<br />
<br />
<math>f(z)=\frac{a' z + b'}{c' z + d'}\quad\quad g(z)=\frac{a z + b}{c z + d}</math><br />
<br />
<br />
sean <math>\ A, B </math> las representaciones matriciales de <math>\ g, f </math> respectivamente<br />
<br />
<br />
<math>A = \begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix} \quad \quad B = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
entonces <br />
<br />
<math>BA = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}<br />
a'a + b'c & c'a + d'c \\<br />
a'b + b'd & c'b + d'd \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
<br />
entonces<br />
<br />
<math>gf=\frac{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}{(a'b + b'd)z + (c'b + d'd)}</math><br />
<br />
los elementos de la matriz ''BA'' son elementos de funciones biyectivas, entonces dicha matriz también es biyectiva, y por lo tanto ''gf'' es biyectiva y de Möbius.<br />
<br />
<br />
Por ser de Möbius es meromorfa, ahora notemos que ''gf'' es continua y que <br />
<br />
<math>\frac{1}{gf}=\frac{(a'b + b')z + (c'b + d'd)}{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}</math><br />
<br />
<br />
tambien es continua por lo que concluimos que es bicontinua.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''5.'''Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en ternas de puntos de la esfera de Riemann. Sugerencia: Dada una terna, encuentre una función de Möbius que la mande en 1, 0 e <math>o\!o</math><br />
<br />
Sea <math>(x_1,x_2,x_3)\rightarrow \frac{x_1 + ix_2}{x_3} = z_0</math><br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = \frac{(1-b)x_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
y <math> \quad c = \frac{(1-d)x_3}{x_1 + i x_2} \quad </math>; <math>ad-bc\neq0</math><br />
<br />
<br />
entonces <math> T(z) = \frac{(1-b)x_3 z + (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 z + (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<math> T(z_0) = \frac{(1-b)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3}\Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3} \Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{b - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}}{cz+d}</math><br />
<br />
<br />
<math>T(z_0) = 0</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math>cz+d\rightarrow \!oo</math><br />
<br />
<br />
entonces <math>T(z_0) = 0</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''6.'''Pruede que las transformaciones de Möbius son composición de algunas de las siguientes funciones: rotaciones, traslaciones, homotecias, y <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math>. Concluya mostrando que las transformaciones de Möbius preservan la familia de circulos y rectas.<br />
<br />
Considere la Transformación de Möbius.<br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
<br />
Sea <math>a = 1,\quad c = 0, \quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = z+b \qquad </math> entonces <math>T(z)</math>es una traslación. <br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad b = c = 0,\quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = az </math> entonces <math>T(z)</math> es una rotación por <math>arg a</math> y una traslación por una amplificación <math>\big |a\big |</math>.<br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad a = d = 0, \quad b = c = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<math> T(z) = \frac{1}{z}\qquad</math> entonces <math>T(z)</math> es una inversión.<br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 23:28 26 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''7. Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en la familia de círculos y rectas.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Puesto que una transformación del tipo <math>w=\frac{1}{z} </math> aplica en circunferencias y rectas, y como las rotaciones, los cambios de escala y las translaciones preservan rectas y circunferencias. Dicha transformación bilineal o de Möbius aplica en círculos y rectas.<br />
<br />
<br />
Un círculo en <math>{S^2}</math> es la intersección de un plano con la esfera, por lo cual satiface la siguiente ecuación:<br />
<br />
<br />
<math>ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\,\!</math><br />
<br />
<br />
Tenemos que<br />
<br />
<br />
<math> x_1=\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_2=\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_3=\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto, este círculo es la imagen bajo la proyección esterografica, cuyos puntos satisfacen la siguiente ecuación en el plano: <br />
<br />
<br />
<br />
<math>a\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )+b\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )+c\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)=d </math><br />
<br />
<br />
Escribiendo <math>z = x+iy\,\!</math>, se tiene<br />
<br />
<br />
<math> x^2+y^2-\frac{2a}{d-c}x-\frac{2by}{d-c}=1 </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( d-c \right )-2ax-2by =d-c </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( c-d \right )+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )c -\left ( x^2+y^2 \right )d+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
se tiene que:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>a(2x) + b(2y) + c(x^2+y^2-1) = d(x^2+y^2+1)\,\!</math><br />
<br />
<br />
esto es<br />
<br />
<br />
<math>2ax + 2by + c(x^2+y^2-1) = d(x^2+y^2+1)\,\!</math>,<br />
<br />
<br />
que biene siendo la ecuación de una recta o un círculo, dependiendo si <math>d=c\,\!</math>, o si <math>d\ne c\,\!</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 16:08 22 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''8.- Demuestre de dos maneras que el lugar de los puntos que cumplen la ecuación <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> <math> ,k\in\mathbb{R}^{+},a,b\in\mathbb{C},a\neq b</math> constituye una recta o un círculo (llamado de Apolonio).'''<br />
<br />
'''Solución'''<br />
<br />
Sea <br />
<br />
<math>z = x+iy\,\!, a = u+iv, b = c+id</math><br />
<br />
<br />
<br />
Entonces <br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|^{2}=k^{2}\left|z-b\right|^{2}</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left(x-u\right)^{2}+\left(y-v\right)^{2}=k\left(\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}\right)</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>x^2-2xu+u^2+y^2-2yv+v^2=kx^2-2kxc+c^2+ky^2-2kyd+kd^2\,\!</math> </center><br />
<br />
<br />
Si agrupamos esta expresión se tiene:<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(1-k\right)-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right) \qquad (I)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Si <math>k=1</math> se tiene la ecuación de una recta, es decir:<br />
<br />
<br />
<center><math>-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=c^{2}+d^{2}-\left(u^{2}+v^{2}\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Ahora para <math>k\neq1</math> la ecuación <math>\left(I\right)</math> al multiplicarla por<br />
<math>\frac{1}{\left(1-k\right)}<br />
</math> toma la forma:<br />
<br />
<br />
<center><math>\frac{}{}<br />
\left(x^{2}+y^{2}\right)-\frac{2x\left(u-kc\right)}{\left(1-k\right)}-\frac{2y\left(v-kd\right)}{\left(1-k\right)}=\frac{k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)}{\left(1-k\right)}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si completamos los cuadrados (más un poco de álgebra) de esta ultima expresión se obtiene lo<br />
siguiente<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\left(\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}+\frac{1}{1-k}\left(k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\frac{k}{\left(1-k\right)^{2}}\left(\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
lo cual es la ecuación de un círculo con centro <br />
<math>\left(\frac{u-kc}{1-k}\,,\,\frac{v-kd}{1-k}\right)</math><br />
y cuyo radio es <br />
<math>\frac{\sqrt{k}}{\left|1-k\right|}\sqrt{\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Otro método.<br />
<br />
<center><math><br />
\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(z-a\right)\left(\overline{z}-\overline{a}\right)=k\left(z-b\right)\left(\overline{z}-\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}-a\overline{z}-\overline{a}z+a\overline{a}=k\left(z\overline{z}-b\overline{z}-\overline{b}z+b\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
agrupando tenemos<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)-a\overline{z}-\overline{a}z+kb\overline{z}+k\overline{b}z=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)+\overline{z}\left(kb-a\right)+z\left(k\overline{b}-\overline{a}\right)=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio<math> A=\left(1-k\right), B=\left(kb-a\right),\overline{B}=\left(k\overline{b}-\overline{a}\right), C=kb\overline{b}-a\overline{a}\!,</math> , la anterior ecuación se escribe como<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
Az\overline{z}+B\overline{z}+\overline{B}z=C</math></center><br />
<br />
<br />
si <math> A=0</math> (entonces <math>k=1</math>) se tiene la ecución de una recta, si <math>A</math> es distinto<br />
de cero (entonces k es distinto de 1) y se tiene la ecuación de una<br />
circunferencia.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 01:46 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
'''9.- Sean <math>a,c</math> complejos, tal que no son ambos nulos, probar que<br />
<math>\left|\frac{\bar{a}z+\bar{c}}{cz+a}\right|=1</math>, si <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
Interpretar geometricamente.'''<br />
<br />
Sean <math>a=a_{1}+ia_{2}</math>, <math>c=c_{1}+ic_{2}</math>, <math>z=x+iy</math>, tal que <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
<br />
Entonces sustituyendo esto se tiene la siguiente expresión:<br />
<br />
<br />
<math>\left|\frac{\left(a_{1}-ia_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(c_{1}-ic_{2}\right)}{\left(c_{1}+ic_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(a_{1}+ia_{2}\right)}\right|=1</math><br />
<br />
<br />
Ahora por propiedades de la norma se sigue que<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Y aplicando la desigualdad del triangulo<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Ya que <math>\left|az\right|=\left|a\right|\left|z\right|</math> y <math>\left|z\right|=1</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\right|\left|\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\right|\left|\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\right|+\left|\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\right|+\left|\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Recordando que <math>\left|\bar{a}\right|=\left|a\right|</math>, nuestra expresión<br />
anterior nos queda como:<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|a\right|+\left|c\right|}{\left|c\right|+\left|a\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Que era lo que se queria mostrar. <br />
<br />
Ahora geometricamente esto nos dice que la magnitud de la suma de<br />
dos numeros complejos es igual a la magnitud de la suma de sus conjugados.<br />
<br />
En las siguientes imagenes se muestra graficamente la interpretacion<br />
geometrica, el vector de color naranja es <math>z</math> y el azul y verde <math>a,c</math><br />
respectivamente.<br />
<br />
<br />
[[Imagen:Prueba1.jpg]][[Imagen:Prueba.jpg]]<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 19:42 21 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''10.- Probar que la funcion <math>z \rightarrow 1/z</math> es una rotacion de <math>\pi</math> radianes en la esfera de Riemann alrededor del eje x.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Las componentes del punto <math>A = (a_1,a_2,a_3)\,</math> en la esfera unitaria asociado a z son:<br />
<br />
<br />
<math>a_1 = \frac{z+\overline{z}}{|z|^2+1}, a_2 = \frac{z-\overline{z}}{i(|z|^2+1)}, a_3 = \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\,</math> <br />
<br />
<br />
Sea <math>\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> y tomando en cuenta que <math>|z| = |\overline{z}|\,</math>, entonces, las componentes del punto <math>B = (b_1,b_2,b_3)\,</math> de la esfera unitaria asociado a <math>\frac{1}{z}\,</math> son:<br />
<br />
<br />
<math>b_1 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}+\frac{z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{\overline{z}+z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\overline{z}+z}{|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}+z}{1+|z|^2} = a_1\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_2 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}-\frac{z}{|z|^2}}{i(\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i(1+|z|^2)} = -\frac{z-\overline{z}}{i(1+|z|^2)} = -a_2\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_3 = \frac{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}-1}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{1}{|z|^2}-1}{\frac{1}{|z|^2}+1} = \frac{1-|z|^2}{1+|z|^2} = -\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} = -a_3\,</math> ...<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 00:03 9 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''11.''' '''Probar que dados dos puntos''' <math>z,w \in \mathbb C</math> '''se tiene que sus proyecciones en la esfera de Riemann son antípodas si y solo si''' <math>z\bar{w} = -1</math><br />
<br />
<br />
SOLUCION.<br />
<br />
Sea <math>z \in \mathbb C \quad a,b \in \mathbb R</math> <br />
<br />
se pasa del plano complejo a la esfera de Riemann.<br />
<br />
<math>\psi: \mathbb C \rightarrow \mathbb S^2 - \lbrace e_3 \rbrace </math><br />
<br />
<math> z \mapsto (x_1 , x_2 , x_3)</math><br />
<br />
<br />
Si <math>\ z=a+ib \mapsto \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)</math> es el punto '''P''' en la esfera de Riemann.<br />
<br />
<br />
con este punto '''P''' y el centro '''C''' de la esfera se construye una recta que pase por estos puntos:<br />
<br />
<br />
Sea <math>\mathcal {L} =\ p + t\vec{v} \quad , \forall t \in \mathbb R </math> donde <math>\vec v</math>es el vector director que va de '''P''' a ''' C''' esto es <br />
<br />
<br />
<math>\vec {v} =(0,0,0)- \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) </math><br />
<br />
<br />
nuestra ecuacion de la recta queda de la siguiente manera:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\mathcal {L} =\left (\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right) + t \left (\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \quad , \forall t \in \mathbb R </math><br />
<br />
<br />
Cuando <math>\ t=0</math> tenemos a <math>\ P</math> en la esfera.<br />
<br />
cuando <math>\ t=1</math> tenemos el centro <math>\ (0,0,0)</math> de la esfera de Riemann.<br />
<br />
cuando <math>\ t=2 </math> tenemos al punto <math>\ Q</math> que es la antipoda de <math>\ p</math><br />
<br />
<br />
<math> \Rightarrow Q=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \, antipoda \quad de\quad p \quad en \quad la \quad esfera \quad de \quad Riemann </math><br />
<br />
<br />
teniendo a <math> \ Q</math> sobre la esfera de Riemann volvemos al plano complejo mediante la siguiente tranformacion:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\varphi: \mathbb S^2 -\lbrace e_3 \rbrace \rightarrow \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>Q \mapsto \frac {x_1 +ix_2}{1-x_3} </math>, que nos da un punto <math>\ w_Q \in \mathbb C</math> <br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q=\frac {x_1 +ix_2}{1-x_3}=\frac {\frac {-2a}{a^2+b^2+1} +i \frac {-2b}{a^2+b^2+1}}{1+ \frac {a^2+b^2-1}{a^2+b^2+1}} = \frac{ \frac{-2}{a^2+b^2+1}(a+ib) }{ \frac {2a^2+2b^2}{a^2+b^2+1} } = \frac {-2}{2a^2+2b^2}(a+ib) = \frac {-1}{a^2+b^2}(a+ib) </math> <br />
<br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} </math><br />
<br />
<br />
Como la proyeccion en la esfera de Riemann de <math>\ w_Q </math> es la antipoda de <math>\ z </math> se debe de cumplir que <math>z\bar{w_Q} = -1</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> z=a+ib \quad, w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} \in \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow z\bar{w_Q} =(a+ib)\left ( -\frac {a}{a^2 + b^2} +i \frac {b}{a^2+ b^2}\right )=\left ( -\frac {a^2}{a^2 + b^2} -\frac {b^2}{a^2+ b^2}\right )+i\left ( -\frac {ab}{a^2 + b^2} + \frac {ab}{a^2+ b^2}\right ) </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\left ( \frac {-(a^2+b^2)}{a^2 + b^2} \right )+i(0)=-1</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore z,w</math> son antipodas si y solo si <math>z\bar{w} = -1 \quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 15:11 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''12.'''¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la funcion <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> ?<br />
<br />
<br />
SOLUCIÓN:<br />
<br />
para la imagen notemos que <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> es continua exepto cuando <math>\ z=0</math>, por lo que su imagen es todo el plano complejo exepto el origen.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.2&diff=11636
Compleja:ej-cap1.2
2009-12-08T04:01:20Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>==EJERCICIOS 1.2.1 ==<br />
<br />
'''1.''' '''Demuestre que una una funcion''' <math>f:A\subset\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} </math> '''es continua en''' <math>{z_0}\in A</math> '''si y soló si para toda sucesión''' <math>{z_n},n\in\mathbb{N}, </math> '''tal que''' <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow\infty,</math> '''se tiene''' <math>f(z_n)\rightarrow f(z_0),</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Supongamos que <math> \ f<br />
</math> es continua en <math>\ z_0 </math> , es decir:<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad\exists \delta = \delta(\epsilon)> 0 </math> <br />
<br />
tal que <math>\quad | z - z_0 |<\delta \Rightarrow | f(z) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
y supongamos que <math>\lbrace z_n \rbrace , n\in \mathbb{N} </math> es una sucesión en <math>\ A </math> tal que <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math><br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<math>f(z_n)\rightarrow f(z_0)</math><br />
<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad \exists N = N(\epsilon)\in \mathbb N ,\quad n\geq N \Rightarrow | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
como <math>\ f</math> es continua en <math>\ z_0</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists\delta = \delta(\epsilon)>0</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow z_n \rightarrow z_0 </math><br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists M = M(\epsilon) \in \mathbb N, \quad n \geq M \Rightarrow | z_n - z_0 |< \delta </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore f(z_n) \rightarrow f(z_0)\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.''' '''Demuestre que una sucesión''' <math> \ \lbrace a_n \rbrace</math> en <math>\mathbb R^n </math> '''es de ''Cauchy'' si y sólo es convergente.<br />
<br />
'''<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Una sucesión en <math>\mathbb R^n </math> se dice que es de ''Cauchy'' si para todo <math>\epsilon >0 ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in \mathbb N </math> tal que <math>|a_m - a_n|<\epsilon , \quad \forall m,n \geq N</math> '''.'''<br />
<br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<br />
Si la sucesión es convergente, esto es si <math>\lim {a_n}=L \quad \Rightarrow \quad \forall \epsilon > 0\quad ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in\mathbb N </math><br />
<br />
<br />
tal que <math>|a_n - L|<\frac{\epsilon}{2}\quad, \quad \forall n\geq N</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow </math> si <math>m,n\geq N ,</math> se tiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ |a_m - a_n|=|a_m - L +L - a_n| \leq |a_m - L| + | L - a_n|< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}\!=\!{\epsilon} </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore \lbrace a_n \rbrace \quad es \quad de \quad Cauchy.\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
== EJERCICIOS 1.2.2 ==<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''1. Demuestre que la funcion estereográfica <math>(x_1,x_2,x_3)\to\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math> de la esfera de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.<br />
<br />
Definicion: Una funcion es suprayectiva si a un punto en la esfera<math>(x_1,x_2,x_3)</math> le corresponde uno(s) puntos dentro del plano complejo <math>\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
Una función es sobre si para toda '''y''' pertenece al Codominio <math>(f)</math> ,existe '''x''' pertenece al Dominio de <br />
<math>(f)</math> tal que <math> y = f(x)</math><br />
<br />
Notaciòn (para la demostraciòn): S= Esfera, C= punto en el plano proyectado por la esfera.<br />
<br />
Dominio<math>(f)= S</math> y el Codominio<math>(f)= C</math> y tambièn<br />
<math> C = z\epsilon\mathbb{C}:, f(z)=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
<math>z\epsilon\mathbb{C}:x_3\ne1 </math><br />
<br />
Suponga <math>\bar{x}\epsilon</math> S donde <math>\bar{x}=(x_1,x_2,x_3)</math><br />
<br />
Condicion de la esfera <math>(x_1^2+x_2^2+x_3^2=1)</math> donde <math>x_2</math> pertenece a '''i'''<br />
<br />
Ahora bien sabemos que la magnitud cuadrática <math>\bar{x}</math> es 1 <br />
<br />
<br />
<math>\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}\epsilon</math> Codominio de (f)<br />
<br />
Sea '''y''' que pertenece al Codominio de (f) donde : <math>y= ai+b</math><br />
<br />
Sea <math>a=\frac{x_1}{1-x_3}</math> y <math>b=\frac{x_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
tomando en cuenta que <math>y=f(x)</math><br />
<br />
de esta manera <math>f(x)=\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 03:09 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''2. Demuestre que si <math>z_n\rightarrow \infty.</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math>, entonces <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Como <math>z_n\rightarrow \infty.</math><br />
<math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Recordando la definiciòn del limite dado un <math>N_o</math> nos aproximamos.<br />
<math>\exists\N_o\epsilon\mathbb N+ n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> por hipótesis.<br />
<br />
P.D. <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math>, asi como también <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Ahora usando la definiciòn del limite dentro de la mètrica cordal tenemos un <math>N_o^\prime</math> donde limite se aproxima a cero cuando <math>n\rightarrow \infty.</math> <br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty) - 0 |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty)|<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
Usando la definición de la distancia cordal entre dos puntos<br />
<br />
<math>d_C(z_1,z_2)=|\pi(z_1)-\pi(z_2)|</math><br />
<br />
P.D.<math>\quad\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon </math><br />
<br />
Tomamos el lìmite descrito anteriomente.<br />
<br />
Por hipótesis <math>\quad\exists\N_o\epsilon\mathbb N</math> tal que <math>\quad n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> <br />
<br />
Sea <math>N_o</math> como antes por la continuidad de <math>\pi</math><br />
<br />
Finalmente usando la definiciòn de metrica cordal.<br />
<br />
Si <math>\quad n\geq N_o\to|\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon</math> <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 04:20 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''3. Las transformaciones de Möbius definidas en (1.4) se extienden a la esfera de Riemann <math>\hat{\mathbb{C}} </math> como sigue: si <math>c=0, T(\infty)=\infty</math>, y si <math>c\neq0, T(\infty)=\frac{a}{c}</math> y <math>T(\frac{-d}{c})=\infty</math>.Demuestre que estas funciones son continuas en dicha esfera con la metrica cordal.<br />
<br />
Transformaciones de Möbius complejas.(1.4)<br />
<math>z\to\frac{az+b}{cz+d} , ad-bc\neq0, a,b,c,d. <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
Se define la metrica cordal en el plano complejo extendido de la sig. manera.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2) = <br />
\begin{cases} <br />
\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}, & si z_1,z_2\neq\infty \\<br />
\frac{2}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}}, & si z_2=\infty. <br />
\end{cases}</math><br />
<br />
para los casos extremos.<br />
<br />
si <math>c=0, T(\infty)=\frac{az+b}{d}=\frac{a(\infty)+b}{d}=\infty.</math><br />
<br />
si <math>c\neq0, T(z)=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{z}{z}\frac{a+\frac{b}{z}}{c+\frac{d}{z}}<br />
<br />
<br />
,T(\infty)=\frac{a+\frac{b}{\infty}}{c+\frac{d}{\infty}}=\frac{a}{c}.</math><br />
<br />
<br />
<br />
si <math>T(\frac{-d}{c})=\frac{a(\frac{-d}{c})+b}{c(\frac{-d}{c})+d}=\infty.</math><br />
<br />
<br />
generalizando, para <math>z_1,z_2 \epsilon\mathbb{C}</math>, (arbitrarias).<br />
<br />
por hip.<math>c=0\therefore</math><br />
<br />
<math>T(z)=\frac{az+b}{d}=\frac{a}{d}z+\frac{b}{d}</math>.<br />
<br />
<math>\forall\epsilon>0, \exists\delta>0 </math><br />
<br />
<br />
tal que si<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_1-z_2\right|<\delta , \left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
entonces<br />
<math>\left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\left|z_1-z_2\right|\delta <\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
<math>T(z_1)-T(z_2)=\left(\frac{a}{d}z_1+\frac{b}{d}\right)-\left(\frac{a}{d}z_2+\frac{b}{d}\right)=\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)</math><br />
<br />
<br />
por <math>\left(d\left(0,x-y\right)=d\left(x,y\right)\right)</math><br />
<br />
<math>d_c\left(0,T(z_1)-T(z_2)\right)=d_c\left(0,\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)\right)=d_c\left(\frac{a}{d}z_1,\frac{a}{d}z_2\right)</math><br />
<br />
ahora si<math>z_1,z_2\ne\infty</math> y <math>\delta\approx \frac{1}{k}</math> donde <math>k=\frac{a}{d}</math><br />
<br />
con la metrica cordal.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2)=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+k^2\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+k^2\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{k^2\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<math>=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{k\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore d_c(z_1,z_2)<\epsilon</math><br />
<br />
ya q se mostro que <math>\frac{az+b}{d}</math><br />
<br />
es continua, se puede probar lo mismo para <br />
<br />
<math> c z+ d </math>.<br />
<br />
<br />
por teo. de continuidad si<br />
<br />
<math> f\left(x\right),g\left(x\right)</math> <br />
<br />
son continuas, tambien<br />
<br />
<br />
<math>\frac{f(x)}{g(x)}</math>, es continua.<br />
<br />
<br />
<math>\therefore \frac{az_1+b}{cz_2+d}</math> <br />
<br />
es continua si<br />
<br />
<math>c \ne 0</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 00:42 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4.'''Demuestre que si ''AB'' son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de Möbius ''f,g'', respectivamente, entonces la matriz ''BA'' representa la composicion ''gf'', que también es de Möbius.Concluya mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera en sí misma, y que ademas constituyen un grupo.<br />
<br />
SOLUCION:<br />
<br />
tenemos que <math>\ f, g </math> son transformaciones de Möbius<br />
<br />
<br />
<math>f(z)=\frac{a' z + b'}{c' z + d'}\quad\quad g(z)=\frac{a z + b}{c z + d}</math><br />
<br />
<br />
sean <math>\ A, B </math> las representaciones matriciales de <math>\ g, f </math> respectivamente<br />
<br />
<br />
<math>A = \begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix} \quad \quad B = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
entonces <br />
<br />
<math>BA = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}<br />
a'a + b'c & c'a + d'c \\<br />
a'b + b'd & c'b + d'd \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
<br />
entonces<br />
<br />
<math>gf=\frac{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}{(a'b + b'd)z + (c'b + d'd)}</math><br />
<br />
los elementos de la matriz ''BA'' son elementos de funciones biyectivas, entonces dicha matriz también es biyectiva, y por lo tanto ''gf'' es biyectiva y de Möbius.<br />
<br />
<br />
Por ser de Möbius es meromorfa, ahora notemos que ''gf'' es continua y que <br />
<br />
<math>\frac{1}{gf}=\frac{(a'b + b')z + (c'b + d'd)}{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}</math><br />
<br />
<br />
tambien es continua por lo que concluimos que es bicontinua.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''5.'''Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en ternas de puntos de la esfera de Riemann. Sugerencia: Dada una terna, encuentre una función de Möbius que la mande en 1, 0 e <math>o\!o</math><br />
<br />
Sea <math>(x_1,x_2,x_3)\rightarrow \frac{x_1 + ix_2}{x_3} = z_0</math><br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = \frac{(1-b)x_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
y <math> \quad c = \frac{(1-d)x_3}{x_1 + i x_2} \quad </math>; <math>ad-bc\neq0</math><br />
<br />
<br />
entonces <math> T(z) = \frac{(1-b)x_3 z + (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 z + (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<math> T(z_0) = \frac{(1-b)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3}\Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3} \Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{b - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}}{cz+d}</math><br />
<br />
<br />
<math>T(z_0) = 0</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math>cz+d\rightarrow \!oo</math><br />
<br />
<br />
entonces <math>T(z_0) = 0</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''6.'''Pruede que las transformaciones de Möbius son composición de algunas de las siguientes funciones: rotaciones, traslaciones, homotecias, y <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math>. Concluya mostrando que las transformaciones de Möbius preservan la familia de circulos y rectas.<br />
<br />
Considere la Transformación de Möbius.<br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
<br />
Sea <math>a = 1,\quad c = 0, \quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = z+b \qquad </math> entonces <math>T(z)</math>es una traslación. <br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad b = c = 0,\quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = az </math> entonces <math>T(z)</math> es una rotación por <math>arg a</math> y una traslación por una amplificación <math>\big |a\big |</math>.<br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad a = d = 0, \quad b = c = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<math> T(z) = \frac{1}{z}\qquad</math> entonces <math>T(z)</math> es una inversión.<br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 23:28 26 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''7. Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en la familia de círculos y rectas.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Puesto que una transformación del tipo <math>w=\frac{1}{z} </math> aplica en circunferencias y rectas, y como las rotaciones, los cambios de escala y las translaciones preservan rectas y circunferencias. Dicha transformación bilineal o de Möbius aplica en círculos y rectas.<br />
<br />
<br />
Un círculo en <math>{S^2}</math> es la intersección de un plano con la esfera, por lo cual satiface la siguiente ecuación:<br />
<br />
<br />
<math>ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\,\!</math><br />
<br />
<br />
Tenemos que<br />
<br />
<br />
<math> x_1=\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_2=\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_3=\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto, este círculo es la imagen bajo la proyección esterografica, cuyos puntos satisfacen la siguiente ecuación en el plano: <br />
<br />
<br />
<br />
<math>a\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )+b\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )+c\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)=d </math><br />
<br />
<br />
Escribiendo <math>z = x+iy\,\!</math>, se tiene<br />
<br />
<br />
<math> x^2+y^2-\frac{2a}{d-c}x-\frac{2by}{d-c}=1 </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( d-c \right )-2ax-2by =d-c </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( c-d \right )+2ax+2by =c-d </math><br />
<br />
<br />
se tiene que:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>a(2x) + b(2y) + c(x^2+y^2-1) = d(x^2+y^2+1)\,\!</math><br />
<br />
<br />
esto es<br />
<br />
<br />
<math>2ax + 2by + c(x^2+y^2-1) = d(x^2+y^2+1)\,\!</math>,<br />
<br />
<br />
que biene siendo la ecuación de una recta o un círculo, dependiendo si <math>d=c\,\!</math>, o si <math>d\ne c\,\!</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 16:08 22 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''8.- Demuestre de dos maneras que el lugar de los puntos que cumplen la ecuación <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> <math> ,k\in\mathbb{R}^{+},a,b\in\mathbb{C},a\neq b</math> constituye una recta o un círculo (llamado de Apolonio).'''<br />
<br />
'''Solución'''<br />
<br />
Sea <br />
<br />
<math>z = x+iy\,\!, a = u+iv, b = c+id</math><br />
<br />
<br />
<br />
Entonces <br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|^{2}=k^{2}\left|z-b\right|^{2}</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left(x-u\right)^{2}+\left(y-v\right)^{2}=k\left(\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}\right)</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>x^2-2xu+u^2+y^2-2yv+v^2=kx^2-2kxc+c^2+ky^2-2kyd+kd^2\,\!</math> </center><br />
<br />
<br />
Si agrupamos esta expresión se tiene:<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(1-k\right)-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right) \qquad (I)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Si <math>k=1</math> se tiene la ecuación de una recta, es decir:<br />
<br />
<br />
<center><math>-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=c^{2}+d^{2}-\left(u^{2}+v^{2}\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Ahora para <math>k\neq1</math> la ecuación <math>\left(I\right)</math> al multiplicarla por<br />
<math>\frac{1}{\left(1-k\right)}<br />
</math> toma la forma:<br />
<br />
<br />
<center><math>\frac{}{}<br />
\left(x^{2}+y^{2}\right)-\frac{2x\left(u-kc\right)}{\left(1-k\right)}-\frac{2y\left(v-kd\right)}{\left(1-k\right)}=\frac{k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)}{\left(1-k\right)}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si completamos los cuadrados (más un poco de álgebra) de esta ultima expresión se obtiene lo<br />
siguiente<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\left(\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}+\frac{1}{1-k}\left(k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\frac{k}{\left(1-k\right)^{2}}\left(\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
lo cual es la ecuación de un círculo con centro <br />
<math>\left(\frac{u-kc}{1-k}\,,\,\frac{v-kd}{1-k}\right)</math><br />
y cuyo radio es <br />
<math>\frac{\sqrt{k}}{\left|1-k\right|}\sqrt{\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Otro método.<br />
<br />
<center><math><br />
\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(z-a\right)\left(\overline{z}-\overline{a}\right)=k\left(z-b\right)\left(\overline{z}-\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}-a\overline{z}-\overline{a}z+a\overline{a}=k\left(z\overline{z}-b\overline{z}-\overline{b}z+b\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
agrupando tenemos<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)-a\overline{z}-\overline{a}z+kb\overline{z}+k\overline{b}z=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)+\overline{z}\left(kb-a\right)+z\left(k\overline{b}-\overline{a}\right)=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio<math> A=\left(1-k\right), B=\left(kb-a\right),\overline{B}=\left(k\overline{b}-\overline{a}\right), C=kb\overline{b}-a\overline{a}\!,</math> , la anterior ecuación se escribe como<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
Az\overline{z}+B\overline{z}+\overline{B}z=C</math></center><br />
<br />
<br />
si <math> A=0</math> (entonces <math>k=1</math>) se tiene la ecución de una recta, si <math>A</math> es distinto<br />
de cero (entonces k es distinto de 1) y se tiene la ecuación de una<br />
circunferencia.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 01:46 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
'''9.- Sean <math>a,c</math> complejos, tal que no son ambos nulos, probar que<br />
<math>\left|\frac{\bar{a}z+\bar{c}}{cz+a}\right|=1</math>, si <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
Interpretar geometricamente.'''<br />
<br />
Sean <math>a=a_{1}+ia_{2}</math>, <math>c=c_{1}+ic_{2}</math>, <math>z=x+iy</math>, tal que <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
<br />
Entonces sustituyendo esto se tiene la siguiente expresión:<br />
<br />
<br />
<math>\left|\frac{\left(a_{1}-ia_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(c_{1}-ic_{2}\right)}{\left(c_{1}+ic_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(a_{1}+ia_{2}\right)}\right|=1</math><br />
<br />
<br />
Ahora por propiedades de la norma se sigue que<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Y aplicando la desigualdad del triangulo<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Ya que <math>\left|az\right|=\left|a\right|\left|z\right|</math> y <math>\left|z\right|=1</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\right|\left|\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\right|\left|\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\right|+\left|\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\right|+\left|\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Recordando que <math>\left|\bar{a}\right|=\left|a\right|</math>, nuestra expresión<br />
anterior nos queda como:<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|a\right|+\left|c\right|}{\left|c\right|+\left|a\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Que era lo que se queria mostrar. <br />
<br />
Ahora geometricamente esto nos dice que la magnitud de la suma de<br />
dos numeros complejos es igual a la magnitud de la suma de sus conjugados.<br />
<br />
En las siguientes imagenes se muestra graficamente la interpretacion<br />
geometrica, el vector de color naranja es <math>z</math> y el azul y verde <math>a,c</math><br />
respectivamente.<br />
<br />
<br />
[[Imagen:Prueba1.jpg]][[Imagen:Prueba.jpg]]<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 19:42 21 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''10.- Probar que la funcion <math>z \rightarrow 1/z</math> es una rotacion de <math>\pi</math> radianes en la esfera de Riemann alrededor del eje x.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Las componentes del punto <math>A = (a_1,a_2,a_3)\,</math> en la esfera unitaria asociado a z son:<br />
<br />
<br />
<math>a_1 = \frac{z+\overline{z}}{|z|^2+1}, a_2 = \frac{z-\overline{z}}{i(|z|^2+1)}, a_3 = \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\,</math> <br />
<br />
<br />
Sea <math>\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> y tomando en cuenta que <math>|z| = |\overline{z}|\,</math>, entonces, las componentes del punto <math>B = (b_1,b_2,b_3)\,</math> de la esfera unitaria asociado a <math>\frac{1}{z}\,</math> son:<br />
<br />
<br />
<math>b_1 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}+\frac{z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{\overline{z}+z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\overline{z}+z}{|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}+z}{1+|z|^2} = a_1\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_2 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}-\frac{z}{|z|^2}}{i(\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i(1+|z|^2)} = -\frac{z-\overline{z}}{i(1+|z|^2)} = -a_2\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_3 = \frac{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}-1}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{1}{|z|^2}-1}{\frac{1}{|z|^2}+1} = \frac{1-|z|^2}{1+|z|^2} = -\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} = -a_3\,</math> ...<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 00:03 9 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''11.''' '''Probar que dados dos puntos''' <math>z,w \in \mathbb C</math> '''se tiene que sus proyecciones en la esfera de Riemann son antípodas si y solo si''' <math>z\bar{w} = -1</math><br />
<br />
<br />
SOLUCION.<br />
<br />
Sea <math>z \in \mathbb C \quad a,b \in \mathbb R</math> <br />
<br />
se pasa del plano complejo a la esfera de Riemann.<br />
<br />
<math>\psi: \mathbb C \rightarrow \mathbb S^2 - \lbrace e_3 \rbrace </math><br />
<br />
<math> z \mapsto (x_1 , x_2 , x_3)</math><br />
<br />
<br />
Si <math>\ z=a+ib \mapsto \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)</math> es el punto '''P''' en la esfera de Riemann.<br />
<br />
<br />
con este punto '''P''' y el centro '''C''' de la esfera se construye una recta que pase por estos puntos:<br />
<br />
<br />
Sea <math>\mathcal {L} =\ p + t\vec{v} \quad , \forall t \in \mathbb R </math> donde <math>\vec v</math>es el vector director que va de '''P''' a ''' C''' esto es <br />
<br />
<br />
<math>\vec {v} =(0,0,0)- \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) </math><br />
<br />
<br />
nuestra ecuacion de la recta queda de la siguiente manera:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\mathcal {L} =\left (\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right) + t \left (\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \quad , \forall t \in \mathbb R </math><br />
<br />
<br />
Cuando <math>\ t=0</math> tenemos a <math>\ P</math> en la esfera.<br />
<br />
cuando <math>\ t=1</math> tenemos el centro <math>\ (0,0,0)</math> de la esfera de Riemann.<br />
<br />
cuando <math>\ t=2 </math> tenemos al punto <math>\ Q</math> que es la antipoda de <math>\ p</math><br />
<br />
<br />
<math> \Rightarrow Q=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \, antipoda \quad de\quad p \quad en \quad la \quad esfera \quad de \quad Riemann </math><br />
<br />
<br />
teniendo a <math> \ Q</math> sobre la esfera de Riemann volvemos al plano complejo mediante la siguiente tranformacion:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\varphi: \mathbb S^2 -\lbrace e_3 \rbrace \rightarrow \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>Q \mapsto \frac {x_1 +ix_2}{1-x_3} </math>, que nos da un punto <math>\ w_Q \in \mathbb C</math> <br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q=\frac {x_1 +ix_2}{1-x_3}=\frac {\frac {-2a}{a^2+b^2+1} +i \frac {-2b}{a^2+b^2+1}}{1+ \frac {a^2+b^2-1}{a^2+b^2+1}} = \frac{ \frac{-2}{a^2+b^2+1}(a+ib) }{ \frac {2a^2+2b^2}{a^2+b^2+1} } = \frac {-2}{2a^2+2b^2}(a+ib) = \frac {-1}{a^2+b^2}(a+ib) </math> <br />
<br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} </math><br />
<br />
<br />
Como la proyeccion en la esfera de Riemann de <math>\ w_Q </math> es la antipoda de <math>\ z </math> se debe de cumplir que <math>z\bar{w_Q} = -1</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> z=a+ib \quad, w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} \in \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow z\bar{w_Q} =(a+ib)\left ( -\frac {a}{a^2 + b^2} +i \frac {b}{a^2+ b^2}\right )=\left ( -\frac {a^2}{a^2 + b^2} -\frac {b^2}{a^2+ b^2}\right )+i\left ( -\frac {ab}{a^2 + b^2} + \frac {ab}{a^2+ b^2}\right ) </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\left ( \frac {-(a^2+b^2)}{a^2 + b^2} \right )+i(0)=-1</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore z,w</math> son antipodas si y solo si <math>z\bar{w} = -1 \quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 15:11 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''12.'''¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la funcion <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> ?<br />
<br />
<br />
SOLUCIÓN:<br />
<br />
para la imagen notemos que <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> es continua exepto cuando <math>\ z=0</math>, por lo que su imagen es todo el plano complejo exepto el origen.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.2&diff=11635
Compleja:ej-cap1.2
2009-12-08T03:59:20Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>==EJERCICIOS 1.2.1 ==<br />
<br />
'''1.''' '''Demuestre que una una funcion''' <math>f:A\subset\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} </math> '''es continua en''' <math>{z_0}\in A</math> '''si y soló si para toda sucesión''' <math>{z_n},n\in\mathbb{N}, </math> '''tal que''' <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow\infty,</math> '''se tiene''' <math>f(z_n)\rightarrow f(z_0),</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Supongamos que <math> \ f<br />
</math> es continua en <math>\ z_0 </math> , es decir:<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad\exists \delta = \delta(\epsilon)> 0 </math> <br />
<br />
tal que <math>\quad | z - z_0 |<\delta \Rightarrow | f(z) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
y supongamos que <math>\lbrace z_n \rbrace , n\in \mathbb{N} </math> es una sucesión en <math>\ A </math> tal que <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math><br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<math>f(z_n)\rightarrow f(z_0)</math><br />
<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad \exists N = N(\epsilon)\in \mathbb N ,\quad n\geq N \Rightarrow | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
como <math>\ f</math> es continua en <math>\ z_0</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists\delta = \delta(\epsilon)>0</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow z_n \rightarrow z_0 </math><br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists M = M(\epsilon) \in \mathbb N, \quad n \geq M \Rightarrow | z_n - z_0 |< \delta </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore f(z_n) \rightarrow f(z_0)\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.''' '''Demuestre que una sucesión''' <math> \ \lbrace a_n \rbrace</math> en <math>\mathbb R^n </math> '''es de ''Cauchy'' si y sólo es convergente.<br />
<br />
'''<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Una sucesión en <math>\mathbb R^n </math> se dice que es de ''Cauchy'' si para todo <math>\epsilon >0 ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in \mathbb N </math> tal que <math>|a_m - a_n|<\epsilon , \quad \forall m,n \geq N</math> '''.'''<br />
<br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<br />
Si la sucesión es convergente, esto es si <math>\lim {a_n}=L \quad \Rightarrow \quad \forall \epsilon > 0\quad ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in\mathbb N </math><br />
<br />
<br />
tal que <math>|a_n - L|<\frac{\epsilon}{2}\quad, \quad \forall n\geq N</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow </math> si <math>m,n\geq N ,</math> se tiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ |a_m - a_n|=|a_m - L +L - a_n| \leq |a_m - L| + | L - a_n|< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}\!=\!{\epsilon} </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore \lbrace a_n \rbrace \quad es \quad de \quad Cauchy.\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
== EJERCICIOS 1.2.2 ==<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''1. Demuestre que la funcion estereográfica <math>(x_1,x_2,x_3)\to\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math> de la esfera de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.<br />
<br />
Definicion: Una funcion es suprayectiva si a un punto en la esfera<math>(x_1,x_2,x_3)</math> le corresponde uno(s) puntos dentro del plano complejo <math>\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
Una función es sobre si para toda '''y''' pertenece al Codominio <math>(f)</math> ,existe '''x''' pertenece al Dominio de <br />
<math>(f)</math> tal que <math> y = f(x)</math><br />
<br />
Notaciòn (para la demostraciòn): S= Esfera, C= punto en el plano proyectado por la esfera.<br />
<br />
Dominio<math>(f)= S</math> y el Codominio<math>(f)= C</math> y tambièn<br />
<math> C = z\epsilon\mathbb{C}:, f(z)=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
<math>z\epsilon\mathbb{C}:x_3\ne1 </math><br />
<br />
Suponga <math>\bar{x}\epsilon</math> S donde <math>\bar{x}=(x_1,x_2,x_3)</math><br />
<br />
Condicion de la esfera <math>(x_1^2+x_2^2+x_3^2=1)</math> donde <math>x_2</math> pertenece a '''i'''<br />
<br />
Ahora bien sabemos que la magnitud cuadrática <math>\bar{x}</math> es 1 <br />
<br />
<br />
<math>\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}\epsilon</math> Codominio de (f)<br />
<br />
Sea '''y''' que pertenece al Codominio de (f) donde : <math>y= ai+b</math><br />
<br />
Sea <math>a=\frac{x_1}{1-x_3}</math> y <math>b=\frac{x_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
tomando en cuenta que <math>y=f(x)</math><br />
<br />
de esta manera <math>f(x)=\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 03:09 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''2. Demuestre que si <math>z_n\rightarrow \infty.</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math>, entonces <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Como <math>z_n\rightarrow \infty.</math><br />
<math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Recordando la definiciòn del limite dado un <math>N_o</math> nos aproximamos.<br />
<math>\exists\N_o\epsilon\mathbb N+ n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> por hipótesis.<br />
<br />
P.D. <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math>, asi como también <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Ahora usando la definiciòn del limite dentro de la mètrica cordal tenemos un <math>N_o^\prime</math> donde limite se aproxima a cero cuando <math>n\rightarrow \infty.</math> <br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty) - 0 |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty)|<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
Usando la definición de la distancia cordal entre dos puntos<br />
<br />
<math>d_C(z_1,z_2)=|\pi(z_1)-\pi(z_2)|</math><br />
<br />
P.D.<math>\quad\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon </math><br />
<br />
Tomamos el lìmite descrito anteriomente.<br />
<br />
Por hipótesis <math>\quad\exists\N_o\epsilon\mathbb N</math> tal que <math>\quad n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> <br />
<br />
Sea <math>N_o</math> como antes por la continuidad de <math>\pi</math><br />
<br />
Finalmente usando la definiciòn de metrica cordal.<br />
<br />
Si <math>\quad n\geq N_o\to|\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon</math> <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 04:20 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''3. Las transformaciones de Möbius definidas en (1.4) se extienden a la esfera de Riemann <math>\hat{\mathbb{C}} </math> como sigue: si <math>c=0, T(\infty)=\infty</math>, y si <math>c\neq0, T(\infty)=\frac{a}{c}</math> y <math>T(\frac{-d}{c})=\infty</math>.Demuestre que estas funciones son continuas en dicha esfera con la metrica cordal.<br />
<br />
Transformaciones de Möbius complejas.(1.4)<br />
<math>z\to\frac{az+b}{cz+d} , ad-bc\neq0, a,b,c,d. <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
Se define la metrica cordal en el plano complejo extendido de la sig. manera.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2) = <br />
\begin{cases} <br />
\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}, & si z_1,z_2\neq\infty \\<br />
\frac{2}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}}, & si z_2=\infty. <br />
\end{cases}</math><br />
<br />
para los casos extremos.<br />
<br />
si <math>c=0, T(\infty)=\frac{az+b}{d}=\frac{a(\infty)+b}{d}=\infty.</math><br />
<br />
si <math>c\neq0, T(z)=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{z}{z}\frac{a+\frac{b}{z}}{c+\frac{d}{z}}<br />
<br />
<br />
,T(\infty)=\frac{a+\frac{b}{\infty}}{c+\frac{d}{\infty}}=\frac{a}{c}.</math><br />
<br />
<br />
<br />
si <math>T(\frac{-d}{c})=\frac{a(\frac{-d}{c})+b}{c(\frac{-d}{c})+d}=\infty.</math><br />
<br />
<br />
generalizando, para <math>z_1,z_2 \epsilon\mathbb{C}</math>, (arbitrarias).<br />
<br />
por hip.<math>c=0\therefore</math><br />
<br />
<math>T(z)=\frac{az+b}{d}=\frac{a}{d}z+\frac{b}{d}</math>.<br />
<br />
<math>\forall\epsilon>0, \exists\delta>0 </math><br />
<br />
<br />
tal que si<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_1-z_2\right|<\delta , \left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
entonces<br />
<math>\left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\left|z_1-z_2\right|\delta <\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
<math>T(z_1)-T(z_2)=\left(\frac{a}{d}z_1+\frac{b}{d}\right)-\left(\frac{a}{d}z_2+\frac{b}{d}\right)=\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)</math><br />
<br />
<br />
por <math>\left(d\left(0,x-y\right)=d\left(x,y\right)\right)</math><br />
<br />
<math>d_c\left(0,T(z_1)-T(z_2)\right)=d_c\left(0,\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)\right)=d_c\left(\frac{a}{d}z_1,\frac{a}{d}z_2\right)</math><br />
<br />
ahora si<math>z_1,z_2\ne\infty</math> y <math>\delta\approx \frac{1}{k}</math> donde <math>k=\frac{a}{d}</math><br />
<br />
con la metrica cordal.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2)=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+k^2\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+k^2\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{k^2\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<math>=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{k\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore d_c(z_1,z_2)<\epsilon</math><br />
<br />
ya q se mostro que <math>\frac{az+b}{d}</math><br />
<br />
es continua, se puede probar lo mismo para <br />
<br />
<math> c z+ d </math>.<br />
<br />
<br />
por teo. de continuidad si<br />
<br />
<math> f\left(x\right),g\left(x\right)</math> <br />
<br />
son continuas, tambien<br />
<br />
<br />
<math>\frac{f(x)}{g(x)}</math>, es continua.<br />
<br />
<br />
<math>\therefore \frac{az_1+b}{cz_2+d}</math> <br />
<br />
es continua si<br />
<br />
<math>c \ne 0</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 00:42 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4.'''Demuestre que si ''AB'' son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de Möbius ''f,g'', respectivamente, entonces la matriz ''BA'' representa la composicion ''gf'', que también es de Möbius.Concluya mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera en sí misma, y que ademas constituyen un grupo.<br />
<br />
SOLUCION:<br />
<br />
tenemos que <math>\ f, g </math> son transformaciones de Möbius<br />
<br />
<br />
<math>f(z)=\frac{a' z + b'}{c' z + d'}\quad\quad g(z)=\frac{a z + b}{c z + d}</math><br />
<br />
<br />
sean <math>\ A, B </math> las representaciones matriciales de <math>\ g, f </math> respectivamente<br />
<br />
<br />
<math>A = \begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix} \quad \quad B = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
entonces <br />
<br />
<math>BA = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}<br />
a'a + b'c & c'a + d'c \\<br />
a'b + b'd & c'b + d'd \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
<br />
entonces<br />
<br />
<math>gf=\frac{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}{(a'b + b'd)z + (c'b + d'd)}</math><br />
<br />
los elementos de la matriz ''BA'' son elementos de funciones biyectivas, entonces dicha matriz también es biyectiva, y por lo tanto ''gf'' es biyectiva y de Möbius.<br />
<br />
<br />
Por ser de Möbius es meromorfa, ahora notemos que ''gf'' es continua y que <br />
<br />
<math>\frac{1}{gf}=\frac{(a'b + b')z + (c'b + d'd)}{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}</math><br />
<br />
<br />
tambien es continua por lo que concluimos que es bicontinua.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''5.'''Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en ternas de puntos de la esfera de Riemann. Sugerencia: Dada una terna, encuentre una función de Möbius que la mande en 1, 0 e <math>o\!o</math><br />
<br />
Sea <math>(x_1,x_2,x_3)\rightarrow \frac{x_1 + ix_2}{x_3} = z_0</math><br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = \frac{(1-b)x_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
y <math> \quad c = \frac{(1-d)x_3}{x_1 + i x_2} \quad </math>; <math>ad-bc\neq0</math><br />
<br />
<br />
entonces <math> T(z) = \frac{(1-b)x_3 z + (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 z + (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<math> T(z_0) = \frac{(1-b)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3}\Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3} \Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{b - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}}{cz+d}</math><br />
<br />
<br />
<math>T(z_0) = 0</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math>cz+d\rightarrow \!oo</math><br />
<br />
<br />
entonces <math>T(z_0) = 0</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''6.'''Pruede que las transformaciones de Möbius son composición de algunas de las siguientes funciones: rotaciones, traslaciones, homotecias, y <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math>. Concluya mostrando que las transformaciones de Möbius preservan la familia de circulos y rectas.<br />
<br />
Considere la Transformación de Möbius.<br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
<br />
Sea <math>a = 1,\quad c = 0, \quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = z+b \qquad </math> entonces <math>T(z)</math>es una traslación. <br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad b = c = 0,\quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = az </math> entonces <math>T(z)</math> es una rotación por <math>arg a</math> y una traslación por una amplificación <math>\big |a\big |</math>.<br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad a = d = 0, \quad b = c = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<math> T(z) = \frac{1}{z}\qquad</math> entonces <math>T(z)</math> es una inversión.<br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 23:28 26 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''7. Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en la familia de círculos y rectas.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Puesto que una transformación del tipo <math>w=\frac{1}{z} </math> aplica en circunferencias y rectas, y como las rotaciones, los cambios de escala y las translaciones preservan rectas y circunferencias. Dicha transformación bilineal o de Möbius aplica en círculos y rectas.<br />
<br />
<br />
Un círculo en <math>{S^2}</math> es la intersección de un plano con la esfera, por lo cual satiface la siguiente ecuación:<br />
<br />
<br />
<math>ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\,\!</math><br />
<br />
<br />
Tenemos que<br />
<br />
<br />
<math> x_1=\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_2=\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_3=\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto, este círculo es la imagen bajo la proyección esterografica, cuyos puntos satisfacen la siguiente ecuación en el plano: <br />
<br />
<br />
<br />
<math>a\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )+b\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )+c\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)=d </math><br />
<br />
<br />
Escribiendo <math>z = x+iy\,\!</math>, se tiene<br />
<br />
<br />
<math> x^2+y^2-\frac{2a}{d-c}x-\frac{2by}{d-c}=1 </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( d-c \right )-2ax-2by =d-c </math><br />
<br />
<br />
se tiene que:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>a(2x) + b(2y) + c(x^2+y^2-1) = d(x^2+y^2+1)\,\!</math><br />
<br />
<br />
esto es<br />
<br />
<br />
<math>2ax + 2by + c(x^2+y^2-1) = d(x^2+y^2+1)\,\!</math>,<br />
<br />
<br />
que biene siendo la ecuación de una recta o un círculo, dependiendo si <math>d=c\,\!</math>, o si <math>d\ne c\,\!</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 16:08 22 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''8.- Demuestre de dos maneras que el lugar de los puntos que cumplen la ecuación <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> <math> ,k\in\mathbb{R}^{+},a,b\in\mathbb{C},a\neq b</math> constituye una recta o un círculo (llamado de Apolonio).'''<br />
<br />
'''Solución'''<br />
<br />
Sea <br />
<br />
<math>z = x+iy\,\!, a = u+iv, b = c+id</math><br />
<br />
<br />
<br />
Entonces <br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|^{2}=k^{2}\left|z-b\right|^{2}</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left(x-u\right)^{2}+\left(y-v\right)^{2}=k\left(\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}\right)</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>x^2-2xu+u^2+y^2-2yv+v^2=kx^2-2kxc+c^2+ky^2-2kyd+kd^2\,\!</math> </center><br />
<br />
<br />
Si agrupamos esta expresión se tiene:<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(1-k\right)-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right) \qquad (I)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Si <math>k=1</math> se tiene la ecuación de una recta, es decir:<br />
<br />
<br />
<center><math>-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=c^{2}+d^{2}-\left(u^{2}+v^{2}\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Ahora para <math>k\neq1</math> la ecuación <math>\left(I\right)</math> al multiplicarla por<br />
<math>\frac{1}{\left(1-k\right)}<br />
</math> toma la forma:<br />
<br />
<br />
<center><math>\frac{}{}<br />
\left(x^{2}+y^{2}\right)-\frac{2x\left(u-kc\right)}{\left(1-k\right)}-\frac{2y\left(v-kd\right)}{\left(1-k\right)}=\frac{k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)}{\left(1-k\right)}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si completamos los cuadrados (más un poco de álgebra) de esta ultima expresión se obtiene lo<br />
siguiente<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\left(\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}+\frac{1}{1-k}\left(k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\frac{k}{\left(1-k\right)^{2}}\left(\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
lo cual es la ecuación de un círculo con centro <br />
<math>\left(\frac{u-kc}{1-k}\,,\,\frac{v-kd}{1-k}\right)</math><br />
y cuyo radio es <br />
<math>\frac{\sqrt{k}}{\left|1-k\right|}\sqrt{\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Otro método.<br />
<br />
<center><math><br />
\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(z-a\right)\left(\overline{z}-\overline{a}\right)=k\left(z-b\right)\left(\overline{z}-\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}-a\overline{z}-\overline{a}z+a\overline{a}=k\left(z\overline{z}-b\overline{z}-\overline{b}z+b\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
agrupando tenemos<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)-a\overline{z}-\overline{a}z+kb\overline{z}+k\overline{b}z=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)+\overline{z}\left(kb-a\right)+z\left(k\overline{b}-\overline{a}\right)=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio<math> A=\left(1-k\right), B=\left(kb-a\right),\overline{B}=\left(k\overline{b}-\overline{a}\right), C=kb\overline{b}-a\overline{a}\!,</math> , la anterior ecuación se escribe como<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
Az\overline{z}+B\overline{z}+\overline{B}z=C</math></center><br />
<br />
<br />
si <math> A=0</math> (entonces <math>k=1</math>) se tiene la ecución de una recta, si <math>A</math> es distinto<br />
de cero (entonces k es distinto de 1) y se tiene la ecuación de una<br />
circunferencia.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 01:46 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
'''9.- Sean <math>a,c</math> complejos, tal que no son ambos nulos, probar que<br />
<math>\left|\frac{\bar{a}z+\bar{c}}{cz+a}\right|=1</math>, si <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
Interpretar geometricamente.'''<br />
<br />
Sean <math>a=a_{1}+ia_{2}</math>, <math>c=c_{1}+ic_{2}</math>, <math>z=x+iy</math>, tal que <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
<br />
Entonces sustituyendo esto se tiene la siguiente expresión:<br />
<br />
<br />
<math>\left|\frac{\left(a_{1}-ia_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(c_{1}-ic_{2}\right)}{\left(c_{1}+ic_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(a_{1}+ia_{2}\right)}\right|=1</math><br />
<br />
<br />
Ahora por propiedades de la norma se sigue que<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Y aplicando la desigualdad del triangulo<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Ya que <math>\left|az\right|=\left|a\right|\left|z\right|</math> y <math>\left|z\right|=1</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\right|\left|\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\right|\left|\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\right|+\left|\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\right|+\left|\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Recordando que <math>\left|\bar{a}\right|=\left|a\right|</math>, nuestra expresión<br />
anterior nos queda como:<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|a\right|+\left|c\right|}{\left|c\right|+\left|a\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Que era lo que se queria mostrar. <br />
<br />
Ahora geometricamente esto nos dice que la magnitud de la suma de<br />
dos numeros complejos es igual a la magnitud de la suma de sus conjugados.<br />
<br />
En las siguientes imagenes se muestra graficamente la interpretacion<br />
geometrica, el vector de color naranja es <math>z</math> y el azul y verde <math>a,c</math><br />
respectivamente.<br />
<br />
<br />
[[Imagen:Prueba1.jpg]][[Imagen:Prueba.jpg]]<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 19:42 21 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''10.- Probar que la funcion <math>z \rightarrow 1/z</math> es una rotacion de <math>\pi</math> radianes en la esfera de Riemann alrededor del eje x.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Las componentes del punto <math>A = (a_1,a_2,a_3)\,</math> en la esfera unitaria asociado a z son:<br />
<br />
<br />
<math>a_1 = \frac{z+\overline{z}}{|z|^2+1}, a_2 = \frac{z-\overline{z}}{i(|z|^2+1)}, a_3 = \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\,</math> <br />
<br />
<br />
Sea <math>\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> y tomando en cuenta que <math>|z| = |\overline{z}|\,</math>, entonces, las componentes del punto <math>B = (b_1,b_2,b_3)\,</math> de la esfera unitaria asociado a <math>\frac{1}{z}\,</math> son:<br />
<br />
<br />
<math>b_1 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}+\frac{z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{\overline{z}+z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\overline{z}+z}{|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}+z}{1+|z|^2} = a_1\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_2 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}-\frac{z}{|z|^2}}{i(\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i(1+|z|^2)} = -\frac{z-\overline{z}}{i(1+|z|^2)} = -a_2\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_3 = \frac{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}-1}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{1}{|z|^2}-1}{\frac{1}{|z|^2}+1} = \frac{1-|z|^2}{1+|z|^2} = -\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} = -a_3\,</math> ...<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 00:03 9 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''11.''' '''Probar que dados dos puntos''' <math>z,w \in \mathbb C</math> '''se tiene que sus proyecciones en la esfera de Riemann son antípodas si y solo si''' <math>z\bar{w} = -1</math><br />
<br />
<br />
SOLUCION.<br />
<br />
Sea <math>z \in \mathbb C \quad a,b \in \mathbb R</math> <br />
<br />
se pasa del plano complejo a la esfera de Riemann.<br />
<br />
<math>\psi: \mathbb C \rightarrow \mathbb S^2 - \lbrace e_3 \rbrace </math><br />
<br />
<math> z \mapsto (x_1 , x_2 , x_3)</math><br />
<br />
<br />
Si <math>\ z=a+ib \mapsto \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)</math> es el punto '''P''' en la esfera de Riemann.<br />
<br />
<br />
con este punto '''P''' y el centro '''C''' de la esfera se construye una recta que pase por estos puntos:<br />
<br />
<br />
Sea <math>\mathcal {L} =\ p + t\vec{v} \quad , \forall t \in \mathbb R </math> donde <math>\vec v</math>es el vector director que va de '''P''' a ''' C''' esto es <br />
<br />
<br />
<math>\vec {v} =(0,0,0)- \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) </math><br />
<br />
<br />
nuestra ecuacion de la recta queda de la siguiente manera:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\mathcal {L} =\left (\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right) + t \left (\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \quad , \forall t \in \mathbb R </math><br />
<br />
<br />
Cuando <math>\ t=0</math> tenemos a <math>\ P</math> en la esfera.<br />
<br />
cuando <math>\ t=1</math> tenemos el centro <math>\ (0,0,0)</math> de la esfera de Riemann.<br />
<br />
cuando <math>\ t=2 </math> tenemos al punto <math>\ Q</math> que es la antipoda de <math>\ p</math><br />
<br />
<br />
<math> \Rightarrow Q=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \, antipoda \quad de\quad p \quad en \quad la \quad esfera \quad de \quad Riemann </math><br />
<br />
<br />
teniendo a <math> \ Q</math> sobre la esfera de Riemann volvemos al plano complejo mediante la siguiente tranformacion:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\varphi: \mathbb S^2 -\lbrace e_3 \rbrace \rightarrow \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>Q \mapsto \frac {x_1 +ix_2}{1-x_3} </math>, que nos da un punto <math>\ w_Q \in \mathbb C</math> <br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q=\frac {x_1 +ix_2}{1-x_3}=\frac {\frac {-2a}{a^2+b^2+1} +i \frac {-2b}{a^2+b^2+1}}{1+ \frac {a^2+b^2-1}{a^2+b^2+1}} = \frac{ \frac{-2}{a^2+b^2+1}(a+ib) }{ \frac {2a^2+2b^2}{a^2+b^2+1} } = \frac {-2}{2a^2+2b^2}(a+ib) = \frac {-1}{a^2+b^2}(a+ib) </math> <br />
<br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} </math><br />
<br />
<br />
Como la proyeccion en la esfera de Riemann de <math>\ w_Q </math> es la antipoda de <math>\ z </math> se debe de cumplir que <math>z\bar{w_Q} = -1</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> z=a+ib \quad, w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} \in \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow z\bar{w_Q} =(a+ib)\left ( -\frac {a}{a^2 + b^2} +i \frac {b}{a^2+ b^2}\right )=\left ( -\frac {a^2}{a^2 + b^2} -\frac {b^2}{a^2+ b^2}\right )+i\left ( -\frac {ab}{a^2 + b^2} + \frac {ab}{a^2+ b^2}\right ) </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\left ( \frac {-(a^2+b^2)}{a^2 + b^2} \right )+i(0)=-1</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore z,w</math> son antipodas si y solo si <math>z\bar{w} = -1 \quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 15:11 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''12.'''¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la funcion <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> ?<br />
<br />
<br />
SOLUCIÓN:<br />
<br />
para la imagen notemos que <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> es continua exepto cuando <math>\ z=0</math>, por lo que su imagen es todo el plano complejo exepto el origen.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.2&diff=11634
Compleja:ej-cap1.2
2009-12-08T03:57:42Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>==EJERCICIOS 1.2.1 ==<br />
<br />
'''1.''' '''Demuestre que una una funcion''' <math>f:A\subset\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} </math> '''es continua en''' <math>{z_0}\in A</math> '''si y soló si para toda sucesión''' <math>{z_n},n\in\mathbb{N}, </math> '''tal que''' <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow\infty,</math> '''se tiene''' <math>f(z_n)\rightarrow f(z_0),</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Supongamos que <math> \ f<br />
</math> es continua en <math>\ z_0 </math> , es decir:<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad\exists \delta = \delta(\epsilon)> 0 </math> <br />
<br />
tal que <math>\quad | z - z_0 |<\delta \Rightarrow | f(z) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
y supongamos que <math>\lbrace z_n \rbrace , n\in \mathbb{N} </math> es una sucesión en <math>\ A </math> tal que <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math><br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<math>f(z_n)\rightarrow f(z_0)</math><br />
<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad \exists N = N(\epsilon)\in \mathbb N ,\quad n\geq N \Rightarrow | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
como <math>\ f</math> es continua en <math>\ z_0</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists\delta = \delta(\epsilon)>0</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow z_n \rightarrow z_0 </math><br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists M = M(\epsilon) \in \mathbb N, \quad n \geq M \Rightarrow | z_n - z_0 |< \delta </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore f(z_n) \rightarrow f(z_0)\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.''' '''Demuestre que una sucesión''' <math> \ \lbrace a_n \rbrace</math> en <math>\mathbb R^n </math> '''es de ''Cauchy'' si y sólo es convergente.<br />
<br />
'''<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Una sucesión en <math>\mathbb R^n </math> se dice que es de ''Cauchy'' si para todo <math>\epsilon >0 ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in \mathbb N </math> tal que <math>|a_m - a_n|<\epsilon , \quad \forall m,n \geq N</math> '''.'''<br />
<br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<br />
Si la sucesión es convergente, esto es si <math>\lim {a_n}=L \quad \Rightarrow \quad \forall \epsilon > 0\quad ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in\mathbb N </math><br />
<br />
<br />
tal que <math>|a_n - L|<\frac{\epsilon}{2}\quad, \quad \forall n\geq N</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow </math> si <math>m,n\geq N ,</math> se tiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ |a_m - a_n|=|a_m - L +L - a_n| \leq |a_m - L| + | L - a_n|< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}\!=\!{\epsilon} </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore \lbrace a_n \rbrace \quad es \quad de \quad Cauchy.\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
== EJERCICIOS 1.2.2 ==<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''1. Demuestre que la funcion estereográfica <math>(x_1,x_2,x_3)\to\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math> de la esfera de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.<br />
<br />
Definicion: Una funcion es suprayectiva si a un punto en la esfera<math>(x_1,x_2,x_3)</math> le corresponde uno(s) puntos dentro del plano complejo <math>\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
Una función es sobre si para toda '''y''' pertenece al Codominio <math>(f)</math> ,existe '''x''' pertenece al Dominio de <br />
<math>(f)</math> tal que <math> y = f(x)</math><br />
<br />
Notaciòn (para la demostraciòn): S= Esfera, C= punto en el plano proyectado por la esfera.<br />
<br />
Dominio<math>(f)= S</math> y el Codominio<math>(f)= C</math> y tambièn<br />
<math> C = z\epsilon\mathbb{C}:, f(z)=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
<math>z\epsilon\mathbb{C}:x_3\ne1 </math><br />
<br />
Suponga <math>\bar{x}\epsilon</math> S donde <math>\bar{x}=(x_1,x_2,x_3)</math><br />
<br />
Condicion de la esfera <math>(x_1^2+x_2^2+x_3^2=1)</math> donde <math>x_2</math> pertenece a '''i'''<br />
<br />
Ahora bien sabemos que la magnitud cuadrática <math>\bar{x}</math> es 1 <br />
<br />
<br />
<math>\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}\epsilon</math> Codominio de (f)<br />
<br />
Sea '''y''' que pertenece al Codominio de (f) donde : <math>y= ai+b</math><br />
<br />
Sea <math>a=\frac{x_1}{1-x_3}</math> y <math>b=\frac{x_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
tomando en cuenta que <math>y=f(x)</math><br />
<br />
de esta manera <math>f(x)=\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 03:09 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''2. Demuestre que si <math>z_n\rightarrow \infty.</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math>, entonces <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Como <math>z_n\rightarrow \infty.</math><br />
<math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Recordando la definiciòn del limite dado un <math>N_o</math> nos aproximamos.<br />
<math>\exists\N_o\epsilon\mathbb N+ n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> por hipótesis.<br />
<br />
P.D. <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math>, asi como también <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Ahora usando la definiciòn del limite dentro de la mètrica cordal tenemos un <math>N_o^\prime</math> donde limite se aproxima a cero cuando <math>n\rightarrow \infty.</math> <br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty) - 0 |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty)|<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
Usando la definición de la distancia cordal entre dos puntos<br />
<br />
<math>d_C(z_1,z_2)=|\pi(z_1)-\pi(z_2)|</math><br />
<br />
P.D.<math>\quad\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon </math><br />
<br />
Tomamos el lìmite descrito anteriomente.<br />
<br />
Por hipótesis <math>\quad\exists\N_o\epsilon\mathbb N</math> tal que <math>\quad n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> <br />
<br />
Sea <math>N_o</math> como antes por la continuidad de <math>\pi</math><br />
<br />
Finalmente usando la definiciòn de metrica cordal.<br />
<br />
Si <math>\quad n\geq N_o\to|\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon</math> <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 04:20 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''3. Las transformaciones de Möbius definidas en (1.4) se extienden a la esfera de Riemann <math>\hat{\mathbb{C}} </math> como sigue: si <math>c=0, T(\infty)=\infty</math>, y si <math>c\neq0, T(\infty)=\frac{a}{c}</math> y <math>T(\frac{-d}{c})=\infty</math>.Demuestre que estas funciones son continuas en dicha esfera con la metrica cordal.<br />
<br />
Transformaciones de Möbius complejas.(1.4)<br />
<math>z\to\frac{az+b}{cz+d} , ad-bc\neq0, a,b,c,d. <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
Se define la metrica cordal en el plano complejo extendido de la sig. manera.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2) = <br />
\begin{cases} <br />
\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}, & si z_1,z_2\neq\infty \\<br />
\frac{2}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}}, & si z_2=\infty. <br />
\end{cases}</math><br />
<br />
para los casos extremos.<br />
<br />
si <math>c=0, T(\infty)=\frac{az+b}{d}=\frac{a(\infty)+b}{d}=\infty.</math><br />
<br />
si <math>c\neq0, T(z)=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{z}{z}\frac{a+\frac{b}{z}}{c+\frac{d}{z}}<br />
<br />
<br />
,T(\infty)=\frac{a+\frac{b}{\infty}}{c+\frac{d}{\infty}}=\frac{a}{c}.</math><br />
<br />
<br />
<br />
si <math>T(\frac{-d}{c})=\frac{a(\frac{-d}{c})+b}{c(\frac{-d}{c})+d}=\infty.</math><br />
<br />
<br />
generalizando, para <math>z_1,z_2 \epsilon\mathbb{C}</math>, (arbitrarias).<br />
<br />
por hip.<math>c=0\therefore</math><br />
<br />
<math>T(z)=\frac{az+b}{d}=\frac{a}{d}z+\frac{b}{d}</math>.<br />
<br />
<math>\forall\epsilon>0, \exists\delta>0 </math><br />
<br />
<br />
tal que si<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_1-z_2\right|<\delta , \left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
entonces<br />
<math>\left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\left|z_1-z_2\right|\delta <\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
<math>T(z_1)-T(z_2)=\left(\frac{a}{d}z_1+\frac{b}{d}\right)-\left(\frac{a}{d}z_2+\frac{b}{d}\right)=\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)</math><br />
<br />
<br />
por <math>\left(d\left(0,x-y\right)=d\left(x,y\right)\right)</math><br />
<br />
<math>d_c\left(0,T(z_1)-T(z_2)\right)=d_c\left(0,\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)\right)=d_c\left(\frac{a}{d}z_1,\frac{a}{d}z_2\right)</math><br />
<br />
ahora si<math>z_1,z_2\ne\infty</math> y <math>\delta\approx \frac{1}{k}</math> donde <math>k=\frac{a}{d}</math><br />
<br />
con la metrica cordal.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2)=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+k^2\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+k^2\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{k^2\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<math>=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{k\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore d_c(z_1,z_2)<\epsilon</math><br />
<br />
ya q se mostro que <math>\frac{az+b}{d}</math><br />
<br />
es continua, se puede probar lo mismo para <br />
<br />
<math> c z+ d </math>.<br />
<br />
<br />
por teo. de continuidad si<br />
<br />
<math> f\left(x\right),g\left(x\right)</math> <br />
<br />
son continuas, tambien<br />
<br />
<br />
<math>\frac{f(x)}{g(x)}</math>, es continua.<br />
<br />
<br />
<math>\therefore \frac{az_1+b}{cz_2+d}</math> <br />
<br />
es continua si<br />
<br />
<math>c \ne 0</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 00:42 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4.'''Demuestre que si ''AB'' son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de Möbius ''f,g'', respectivamente, entonces la matriz ''BA'' representa la composicion ''gf'', que también es de Möbius.Concluya mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera en sí misma, y que ademas constituyen un grupo.<br />
<br />
SOLUCION:<br />
<br />
tenemos que <math>\ f, g </math> son transformaciones de Möbius<br />
<br />
<br />
<math>f(z)=\frac{a' z + b'}{c' z + d'}\quad\quad g(z)=\frac{a z + b}{c z + d}</math><br />
<br />
<br />
sean <math>\ A, B </math> las representaciones matriciales de <math>\ g, f </math> respectivamente<br />
<br />
<br />
<math>A = \begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix} \quad \quad B = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
entonces <br />
<br />
<math>BA = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}<br />
a'a + b'c & c'a + d'c \\<br />
a'b + b'd & c'b + d'd \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
<br />
entonces<br />
<br />
<math>gf=\frac{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}{(a'b + b'd)z + (c'b + d'd)}</math><br />
<br />
los elementos de la matriz ''BA'' son elementos de funciones biyectivas, entonces dicha matriz también es biyectiva, y por lo tanto ''gf'' es biyectiva y de Möbius.<br />
<br />
<br />
Por ser de Möbius es meromorfa, ahora notemos que ''gf'' es continua y que <br />
<br />
<math>\frac{1}{gf}=\frac{(a'b + b')z + (c'b + d'd)}{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}</math><br />
<br />
<br />
tambien es continua por lo que concluimos que es bicontinua.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''5.'''Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en ternas de puntos de la esfera de Riemann. Sugerencia: Dada una terna, encuentre una función de Möbius que la mande en 1, 0 e <math>o\!o</math><br />
<br />
Sea <math>(x_1,x_2,x_3)\rightarrow \frac{x_1 + ix_2}{x_3} = z_0</math><br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = \frac{(1-b)x_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
y <math> \quad c = \frac{(1-d)x_3}{x_1 + i x_2} \quad </math>; <math>ad-bc\neq0</math><br />
<br />
<br />
entonces <math> T(z) = \frac{(1-b)x_3 z + (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 z + (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<math> T(z_0) = \frac{(1-b)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3}\Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3} \Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{b - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}}{cz+d}</math><br />
<br />
<br />
<math>T(z_0) = 0</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math>cz+d\rightarrow \!oo</math><br />
<br />
<br />
entonces <math>T(z_0) = 0</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''6.'''Pruede que las transformaciones de Möbius son composición de algunas de las siguientes funciones: rotaciones, traslaciones, homotecias, y <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math>. Concluya mostrando que las transformaciones de Möbius preservan la familia de circulos y rectas.<br />
<br />
Considere la Transformación de Möbius.<br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
<br />
Sea <math>a = 1,\quad c = 0, \quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = z+b \qquad </math> entonces <math>T(z)</math>es una traslación. <br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad b = c = 0,\quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = az </math> entonces <math>T(z)</math> es una rotación por <math>arg a</math> y una traslación por una amplificación <math>\big |a\big |</math>.<br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad a = d = 0, \quad b = c = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<math> T(z) = \frac{1}{z}\qquad</math> entonces <math>T(z)</math> es una inversión.<br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 23:28 26 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''7. Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en la familia de círculos y rectas.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Puesto que una transformación del tipo <math>w=\frac{1}{z} </math> aplica en circunferencias y rectas, y como las rotaciones, los cambios de escala y las translaciones preservan rectas y circunferencias. Dicha transformación bilineal o de Möbius aplica en círculos y rectas.<br />
<br />
<br />
Un círculo en <math>{S^2}</math> es la intersección de un plano con la esfera, por lo cual satiface la siguiente ecuación:<br />
<br />
<br />
<math>ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\,\!</math><br />
<br />
<br />
Tenemos que<br />
<br />
<br />
<math> x_1=\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_2=\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_3=\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto, este círculo es la imagen bajo la proyección esterografica, cuyos puntos satisfacen la siguiente ecuación en el plano: <br />
<br />
<br />
<br />
<math>a\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )+b\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )+c\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)=d </math><br />
<br />
<br />
Escribiendo <math>z = x+iy\,\!</math>, se tiene<br />
<br />
<br />
<math> x^2+y^2-\frac{2a}{d-c}x-\frac{2by}{d-c}=1 </math><br />
<br />
<br />
<math>\left ( x^2+y^2 \right )\left ( d-c \right ) </math><br />
<br />
<br />
se tiene que:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>a(2x) + b(2y) + c(x^2+y^2-1) = d(x^2+y^2+1)\,\!</math><br />
<br />
<br />
esto es<br />
<br />
<br />
<math>2ax + 2by + c(x^2+y^2-1) = d(x^2+y^2+1)\,\!</math>,<br />
<br />
<br />
que biene siendo la ecuación de una recta o un círculo, dependiendo si <math>d=c\,\!</math>, o si <math>d\ne c\,\!</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 16:08 22 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''8.- Demuestre de dos maneras que el lugar de los puntos que cumplen la ecuación <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> <math> ,k\in\mathbb{R}^{+},a,b\in\mathbb{C},a\neq b</math> constituye una recta o un círculo (llamado de Apolonio).'''<br />
<br />
'''Solución'''<br />
<br />
Sea <br />
<br />
<math>z = x+iy\,\!, a = u+iv, b = c+id</math><br />
<br />
<br />
<br />
Entonces <br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|^{2}=k^{2}\left|z-b\right|^{2}</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left(x-u\right)^{2}+\left(y-v\right)^{2}=k\left(\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}\right)</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>x^2-2xu+u^2+y^2-2yv+v^2=kx^2-2kxc+c^2+ky^2-2kyd+kd^2\,\!</math> </center><br />
<br />
<br />
Si agrupamos esta expresión se tiene:<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(1-k\right)-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right) \qquad (I)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Si <math>k=1</math> se tiene la ecuación de una recta, es decir:<br />
<br />
<br />
<center><math>-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=c^{2}+d^{2}-\left(u^{2}+v^{2}\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Ahora para <math>k\neq1</math> la ecuación <math>\left(I\right)</math> al multiplicarla por<br />
<math>\frac{1}{\left(1-k\right)}<br />
</math> toma la forma:<br />
<br />
<br />
<center><math>\frac{}{}<br />
\left(x^{2}+y^{2}\right)-\frac{2x\left(u-kc\right)}{\left(1-k\right)}-\frac{2y\left(v-kd\right)}{\left(1-k\right)}=\frac{k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)}{\left(1-k\right)}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si completamos los cuadrados (más un poco de álgebra) de esta ultima expresión se obtiene lo<br />
siguiente<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\left(\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}+\frac{1}{1-k}\left(k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\frac{k}{\left(1-k\right)^{2}}\left(\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
lo cual es la ecuación de un círculo con centro <br />
<math>\left(\frac{u-kc}{1-k}\,,\,\frac{v-kd}{1-k}\right)</math><br />
y cuyo radio es <br />
<math>\frac{\sqrt{k}}{\left|1-k\right|}\sqrt{\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Otro método.<br />
<br />
<center><math><br />
\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(z-a\right)\left(\overline{z}-\overline{a}\right)=k\left(z-b\right)\left(\overline{z}-\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}-a\overline{z}-\overline{a}z+a\overline{a}=k\left(z\overline{z}-b\overline{z}-\overline{b}z+b\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
agrupando tenemos<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)-a\overline{z}-\overline{a}z+kb\overline{z}+k\overline{b}z=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)+\overline{z}\left(kb-a\right)+z\left(k\overline{b}-\overline{a}\right)=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio<math> A=\left(1-k\right), B=\left(kb-a\right),\overline{B}=\left(k\overline{b}-\overline{a}\right), C=kb\overline{b}-a\overline{a}\!,</math> , la anterior ecuación se escribe como<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
Az\overline{z}+B\overline{z}+\overline{B}z=C</math></center><br />
<br />
<br />
si <math> A=0</math> (entonces <math>k=1</math>) se tiene la ecución de una recta, si <math>A</math> es distinto<br />
de cero (entonces k es distinto de 1) y se tiene la ecuación de una<br />
circunferencia.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 01:46 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
'''9.- Sean <math>a,c</math> complejos, tal que no son ambos nulos, probar que<br />
<math>\left|\frac{\bar{a}z+\bar{c}}{cz+a}\right|=1</math>, si <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
Interpretar geometricamente.'''<br />
<br />
Sean <math>a=a_{1}+ia_{2}</math>, <math>c=c_{1}+ic_{2}</math>, <math>z=x+iy</math>, tal que <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
<br />
Entonces sustituyendo esto se tiene la siguiente expresión:<br />
<br />
<br />
<math>\left|\frac{\left(a_{1}-ia_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(c_{1}-ic_{2}\right)}{\left(c_{1}+ic_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(a_{1}+ia_{2}\right)}\right|=1</math><br />
<br />
<br />
Ahora por propiedades de la norma se sigue que<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Y aplicando la desigualdad del triangulo<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Ya que <math>\left|az\right|=\left|a\right|\left|z\right|</math> y <math>\left|z\right|=1</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\right|\left|\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\right|\left|\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\right|+\left|\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\right|+\left|\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Recordando que <math>\left|\bar{a}\right|=\left|a\right|</math>, nuestra expresión<br />
anterior nos queda como:<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|a\right|+\left|c\right|}{\left|c\right|+\left|a\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Que era lo que se queria mostrar. <br />
<br />
Ahora geometricamente esto nos dice que la magnitud de la suma de<br />
dos numeros complejos es igual a la magnitud de la suma de sus conjugados.<br />
<br />
En las siguientes imagenes se muestra graficamente la interpretacion<br />
geometrica, el vector de color naranja es <math>z</math> y el azul y verde <math>a,c</math><br />
respectivamente.<br />
<br />
<br />
[[Imagen:Prueba1.jpg]][[Imagen:Prueba.jpg]]<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 19:42 21 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''10.- Probar que la funcion <math>z \rightarrow 1/z</math> es una rotacion de <math>\pi</math> radianes en la esfera de Riemann alrededor del eje x.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Las componentes del punto <math>A = (a_1,a_2,a_3)\,</math> en la esfera unitaria asociado a z son:<br />
<br />
<br />
<math>a_1 = \frac{z+\overline{z}}{|z|^2+1}, a_2 = \frac{z-\overline{z}}{i(|z|^2+1)}, a_3 = \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\,</math> <br />
<br />
<br />
Sea <math>\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> y tomando en cuenta que <math>|z| = |\overline{z}|\,</math>, entonces, las componentes del punto <math>B = (b_1,b_2,b_3)\,</math> de la esfera unitaria asociado a <math>\frac{1}{z}\,</math> son:<br />
<br />
<br />
<math>b_1 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}+\frac{z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{\overline{z}+z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\overline{z}+z}{|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}+z}{1+|z|^2} = a_1\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_2 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}-\frac{z}{|z|^2}}{i(\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i(1+|z|^2)} = -\frac{z-\overline{z}}{i(1+|z|^2)} = -a_2\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_3 = \frac{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}-1}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{1}{|z|^2}-1}{\frac{1}{|z|^2}+1} = \frac{1-|z|^2}{1+|z|^2} = -\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} = -a_3\,</math> ...<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 00:03 9 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''11.''' '''Probar que dados dos puntos''' <math>z,w \in \mathbb C</math> '''se tiene que sus proyecciones en la esfera de Riemann son antípodas si y solo si''' <math>z\bar{w} = -1</math><br />
<br />
<br />
SOLUCION.<br />
<br />
Sea <math>z \in \mathbb C \quad a,b \in \mathbb R</math> <br />
<br />
se pasa del plano complejo a la esfera de Riemann.<br />
<br />
<math>\psi: \mathbb C \rightarrow \mathbb S^2 - \lbrace e_3 \rbrace </math><br />
<br />
<math> z \mapsto (x_1 , x_2 , x_3)</math><br />
<br />
<br />
Si <math>\ z=a+ib \mapsto \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)</math> es el punto '''P''' en la esfera de Riemann.<br />
<br />
<br />
con este punto '''P''' y el centro '''C''' de la esfera se construye una recta que pase por estos puntos:<br />
<br />
<br />
Sea <math>\mathcal {L} =\ p + t\vec{v} \quad , \forall t \in \mathbb R </math> donde <math>\vec v</math>es el vector director que va de '''P''' a ''' C''' esto es <br />
<br />
<br />
<math>\vec {v} =(0,0,0)- \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) </math><br />
<br />
<br />
nuestra ecuacion de la recta queda de la siguiente manera:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\mathcal {L} =\left (\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right) + t \left (\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \quad , \forall t \in \mathbb R </math><br />
<br />
<br />
Cuando <math>\ t=0</math> tenemos a <math>\ P</math> en la esfera.<br />
<br />
cuando <math>\ t=1</math> tenemos el centro <math>\ (0,0,0)</math> de la esfera de Riemann.<br />
<br />
cuando <math>\ t=2 </math> tenemos al punto <math>\ Q</math> que es la antipoda de <math>\ p</math><br />
<br />
<br />
<math> \Rightarrow Q=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \, antipoda \quad de\quad p \quad en \quad la \quad esfera \quad de \quad Riemann </math><br />
<br />
<br />
teniendo a <math> \ Q</math> sobre la esfera de Riemann volvemos al plano complejo mediante la siguiente tranformacion:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\varphi: \mathbb S^2 -\lbrace e_3 \rbrace \rightarrow \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>Q \mapsto \frac {x_1 +ix_2}{1-x_3} </math>, que nos da un punto <math>\ w_Q \in \mathbb C</math> <br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q=\frac {x_1 +ix_2}{1-x_3}=\frac {\frac {-2a}{a^2+b^2+1} +i \frac {-2b}{a^2+b^2+1}}{1+ \frac {a^2+b^2-1}{a^2+b^2+1}} = \frac{ \frac{-2}{a^2+b^2+1}(a+ib) }{ \frac {2a^2+2b^2}{a^2+b^2+1} } = \frac {-2}{2a^2+2b^2}(a+ib) = \frac {-1}{a^2+b^2}(a+ib) </math> <br />
<br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} </math><br />
<br />
<br />
Como la proyeccion en la esfera de Riemann de <math>\ w_Q </math> es la antipoda de <math>\ z </math> se debe de cumplir que <math>z\bar{w_Q} = -1</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> z=a+ib \quad, w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} \in \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow z\bar{w_Q} =(a+ib)\left ( -\frac {a}{a^2 + b^2} +i \frac {b}{a^2+ b^2}\right )=\left ( -\frac {a^2}{a^2 + b^2} -\frac {b^2}{a^2+ b^2}\right )+i\left ( -\frac {ab}{a^2 + b^2} + \frac {ab}{a^2+ b^2}\right ) </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\left ( \frac {-(a^2+b^2)}{a^2 + b^2} \right )+i(0)=-1</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore z,w</math> son antipodas si y solo si <math>z\bar{w} = -1 \quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 15:11 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''12.'''¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la funcion <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> ?<br />
<br />
<br />
SOLUCIÓN:<br />
<br />
para la imagen notemos que <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> es continua exepto cuando <math>\ z=0</math>, por lo que su imagen es todo el plano complejo exepto el origen.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.2&diff=11633
Compleja:ej-cap1.2
2009-12-08T03:54:24Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>==EJERCICIOS 1.2.1 ==<br />
<br />
'''1.''' '''Demuestre que una una funcion''' <math>f:A\subset\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} </math> '''es continua en''' <math>{z_0}\in A</math> '''si y soló si para toda sucesión''' <math>{z_n},n\in\mathbb{N}, </math> '''tal que''' <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow\infty,</math> '''se tiene''' <math>f(z_n)\rightarrow f(z_0),</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Supongamos que <math> \ f<br />
</math> es continua en <math>\ z_0 </math> , es decir:<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad\exists \delta = \delta(\epsilon)> 0 </math> <br />
<br />
tal que <math>\quad | z - z_0 |<\delta \Rightarrow | f(z) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
y supongamos que <math>\lbrace z_n \rbrace , n\in \mathbb{N} </math> es una sucesión en <math>\ A </math> tal que <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math><br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<math>f(z_n)\rightarrow f(z_0)</math><br />
<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad \exists N = N(\epsilon)\in \mathbb N ,\quad n\geq N \Rightarrow | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
como <math>\ f</math> es continua en <math>\ z_0</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists\delta = \delta(\epsilon)>0</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow z_n \rightarrow z_0 </math><br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists M = M(\epsilon) \in \mathbb N, \quad n \geq M \Rightarrow | z_n - z_0 |< \delta </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore f(z_n) \rightarrow f(z_0)\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.''' '''Demuestre que una sucesión''' <math> \ \lbrace a_n \rbrace</math> en <math>\mathbb R^n </math> '''es de ''Cauchy'' si y sólo es convergente.<br />
<br />
'''<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Una sucesión en <math>\mathbb R^n </math> se dice que es de ''Cauchy'' si para todo <math>\epsilon >0 ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in \mathbb N </math> tal que <math>|a_m - a_n|<\epsilon , \quad \forall m,n \geq N</math> '''.'''<br />
<br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<br />
Si la sucesión es convergente, esto es si <math>\lim {a_n}=L \quad \Rightarrow \quad \forall \epsilon > 0\quad ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in\mathbb N </math><br />
<br />
<br />
tal que <math>|a_n - L|<\frac{\epsilon}{2}\quad, \quad \forall n\geq N</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow </math> si <math>m,n\geq N ,</math> se tiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ |a_m - a_n|=|a_m - L +L - a_n| \leq |a_m - L| + | L - a_n|< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}\!=\!{\epsilon} </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore \lbrace a_n \rbrace \quad es \quad de \quad Cauchy.\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
== EJERCICIOS 1.2.2 ==<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''1. Demuestre que la funcion estereográfica <math>(x_1,x_2,x_3)\to\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math> de la esfera de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.<br />
<br />
Definicion: Una funcion es suprayectiva si a un punto en la esfera<math>(x_1,x_2,x_3)</math> le corresponde uno(s) puntos dentro del plano complejo <math>\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
Una función es sobre si para toda '''y''' pertenece al Codominio <math>(f)</math> ,existe '''x''' pertenece al Dominio de <br />
<math>(f)</math> tal que <math> y = f(x)</math><br />
<br />
Notaciòn (para la demostraciòn): S= Esfera, C= punto en el plano proyectado por la esfera.<br />
<br />
Dominio<math>(f)= S</math> y el Codominio<math>(f)= C</math> y tambièn<br />
<math> C = z\epsilon\mathbb{C}:, f(z)=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
<math>z\epsilon\mathbb{C}:x_3\ne1 </math><br />
<br />
Suponga <math>\bar{x}\epsilon</math> S donde <math>\bar{x}=(x_1,x_2,x_3)</math><br />
<br />
Condicion de la esfera <math>(x_1^2+x_2^2+x_3^2=1)</math> donde <math>x_2</math> pertenece a '''i'''<br />
<br />
Ahora bien sabemos que la magnitud cuadrática <math>\bar{x}</math> es 1 <br />
<br />
<br />
<math>\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}\epsilon</math> Codominio de (f)<br />
<br />
Sea '''y''' que pertenece al Codominio de (f) donde : <math>y= ai+b</math><br />
<br />
Sea <math>a=\frac{x_1}{1-x_3}</math> y <math>b=\frac{x_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
tomando en cuenta que <math>y=f(x)</math><br />
<br />
de esta manera <math>f(x)=\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 03:09 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''2. Demuestre que si <math>z_n\rightarrow \infty.</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math>, entonces <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Como <math>z_n\rightarrow \infty.</math><br />
<math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Recordando la definiciòn del limite dado un <math>N_o</math> nos aproximamos.<br />
<math>\exists\N_o\epsilon\mathbb N+ n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> por hipótesis.<br />
<br />
P.D. <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math>, asi como también <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Ahora usando la definiciòn del limite dentro de la mètrica cordal tenemos un <math>N_o^\prime</math> donde limite se aproxima a cero cuando <math>n\rightarrow \infty.</math> <br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty) - 0 |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty)|<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
Usando la definición de la distancia cordal entre dos puntos<br />
<br />
<math>d_C(z_1,z_2)=|\pi(z_1)-\pi(z_2)|</math><br />
<br />
P.D.<math>\quad\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon </math><br />
<br />
Tomamos el lìmite descrito anteriomente.<br />
<br />
Por hipótesis <math>\quad\exists\N_o\epsilon\mathbb N</math> tal que <math>\quad n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> <br />
<br />
Sea <math>N_o</math> como antes por la continuidad de <math>\pi</math><br />
<br />
Finalmente usando la definiciòn de metrica cordal.<br />
<br />
Si <math>\quad n\geq N_o\to|\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon</math> <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 04:20 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''3. Las transformaciones de Möbius definidas en (1.4) se extienden a la esfera de Riemann <math>\hat{\mathbb{C}} </math> como sigue: si <math>c=0, T(\infty)=\infty</math>, y si <math>c\neq0, T(\infty)=\frac{a}{c}</math> y <math>T(\frac{-d}{c})=\infty</math>.Demuestre que estas funciones son continuas en dicha esfera con la metrica cordal.<br />
<br />
Transformaciones de Möbius complejas.(1.4)<br />
<math>z\to\frac{az+b}{cz+d} , ad-bc\neq0, a,b,c,d. <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
Se define la metrica cordal en el plano complejo extendido de la sig. manera.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2) = <br />
\begin{cases} <br />
\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}, & si z_1,z_2\neq\infty \\<br />
\frac{2}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}}, & si z_2=\infty. <br />
\end{cases}</math><br />
<br />
para los casos extremos.<br />
<br />
si <math>c=0, T(\infty)=\frac{az+b}{d}=\frac{a(\infty)+b}{d}=\infty.</math><br />
<br />
si <math>c\neq0, T(z)=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{z}{z}\frac{a+\frac{b}{z}}{c+\frac{d}{z}}<br />
<br />
<br />
,T(\infty)=\frac{a+\frac{b}{\infty}}{c+\frac{d}{\infty}}=\frac{a}{c}.</math><br />
<br />
<br />
<br />
si <math>T(\frac{-d}{c})=\frac{a(\frac{-d}{c})+b}{c(\frac{-d}{c})+d}=\infty.</math><br />
<br />
<br />
generalizando, para <math>z_1,z_2 \epsilon\mathbb{C}</math>, (arbitrarias).<br />
<br />
por hip.<math>c=0\therefore</math><br />
<br />
<math>T(z)=\frac{az+b}{d}=\frac{a}{d}z+\frac{b}{d}</math>.<br />
<br />
<math>\forall\epsilon>0, \exists\delta>0 </math><br />
<br />
<br />
tal que si<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_1-z_2\right|<\delta , \left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
entonces<br />
<math>\left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\left|z_1-z_2\right|\delta <\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
<math>T(z_1)-T(z_2)=\left(\frac{a}{d}z_1+\frac{b}{d}\right)-\left(\frac{a}{d}z_2+\frac{b}{d}\right)=\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)</math><br />
<br />
<br />
por <math>\left(d\left(0,x-y\right)=d\left(x,y\right)\right)</math><br />
<br />
<math>d_c\left(0,T(z_1)-T(z_2)\right)=d_c\left(0,\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)\right)=d_c\left(\frac{a}{d}z_1,\frac{a}{d}z_2\right)</math><br />
<br />
ahora si<math>z_1,z_2\ne\infty</math> y <math>\delta\approx \frac{1}{k}</math> donde <math>k=\frac{a}{d}</math><br />
<br />
con la metrica cordal.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2)=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+k^2\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+k^2\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{k^2\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<math>=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{k\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore d_c(z_1,z_2)<\epsilon</math><br />
<br />
ya q se mostro que <math>\frac{az+b}{d}</math><br />
<br />
es continua, se puede probar lo mismo para <br />
<br />
<math> c z+ d </math>.<br />
<br />
<br />
por teo. de continuidad si<br />
<br />
<math> f\left(x\right),g\left(x\right)</math> <br />
<br />
son continuas, tambien<br />
<br />
<br />
<math>\frac{f(x)}{g(x)}</math>, es continua.<br />
<br />
<br />
<math>\therefore \frac{az_1+b}{cz_2+d}</math> <br />
<br />
es continua si<br />
<br />
<math>c \ne 0</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 00:42 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4.'''Demuestre que si ''AB'' son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de Möbius ''f,g'', respectivamente, entonces la matriz ''BA'' representa la composicion ''gf'', que también es de Möbius.Concluya mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera en sí misma, y que ademas constituyen un grupo.<br />
<br />
SOLUCION:<br />
<br />
tenemos que <math>\ f, g </math> son transformaciones de Möbius<br />
<br />
<br />
<math>f(z)=\frac{a' z + b'}{c' z + d'}\quad\quad g(z)=\frac{a z + b}{c z + d}</math><br />
<br />
<br />
sean <math>\ A, B </math> las representaciones matriciales de <math>\ g, f </math> respectivamente<br />
<br />
<br />
<math>A = \begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix} \quad \quad B = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
entonces <br />
<br />
<math>BA = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}<br />
a'a + b'c & c'a + d'c \\<br />
a'b + b'd & c'b + d'd \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
<br />
entonces<br />
<br />
<math>gf=\frac{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}{(a'b + b'd)z + (c'b + d'd)}</math><br />
<br />
los elementos de la matriz ''BA'' son elementos de funciones biyectivas, entonces dicha matriz también es biyectiva, y por lo tanto ''gf'' es biyectiva y de Möbius.<br />
<br />
<br />
Por ser de Möbius es meromorfa, ahora notemos que ''gf'' es continua y que <br />
<br />
<math>\frac{1}{gf}=\frac{(a'b + b')z + (c'b + d'd)}{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}</math><br />
<br />
<br />
tambien es continua por lo que concluimos que es bicontinua.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''5.'''Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en ternas de puntos de la esfera de Riemann. Sugerencia: Dada una terna, encuentre una función de Möbius que la mande en 1, 0 e <math>o\!o</math><br />
<br />
Sea <math>(x_1,x_2,x_3)\rightarrow \frac{x_1 + ix_2}{x_3} = z_0</math><br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = \frac{(1-b)x_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
y <math> \quad c = \frac{(1-d)x_3}{x_1 + i x_2} \quad </math>; <math>ad-bc\neq0</math><br />
<br />
<br />
entonces <math> T(z) = \frac{(1-b)x_3 z + (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 z + (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<math> T(z_0) = \frac{(1-b)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3}\Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3} \Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{b - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}}{cz+d}</math><br />
<br />
<br />
<math>T(z_0) = 0</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math>cz+d\rightarrow \!oo</math><br />
<br />
<br />
entonces <math>T(z_0) = 0</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''6.'''Pruede que las transformaciones de Möbius son composición de algunas de las siguientes funciones: rotaciones, traslaciones, homotecias, y <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math>. Concluya mostrando que las transformaciones de Möbius preservan la familia de circulos y rectas.<br />
<br />
Considere la Transformación de Möbius.<br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
<br />
Sea <math>a = 1,\quad c = 0, \quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = z+b \qquad </math> entonces <math>T(z)</math>es una traslación. <br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad b = c = 0,\quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = az </math> entonces <math>T(z)</math> es una rotación por <math>arg a</math> y una traslación por una amplificación <math>\big |a\big |</math>.<br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad a = d = 0, \quad b = c = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<math> T(z) = \frac{1}{z}\qquad</math> entonces <math>T(z)</math> es una inversión.<br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 23:28 26 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''7. Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en la familia de círculos y rectas.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Puesto que una transformación del tipo <math>w=\frac{1}{z} </math> aplica en circunferencias y rectas, y como las rotaciones, los cambios de escala y las translaciones preservan rectas y circunferencias. Dicha transformación bilineal o de Möbius aplica en círculos y rectas.<br />
<br />
<br />
Un círculo en <math>{S^2}</math> es la intersección de un plano con la esfera, por lo cual satiface la siguiente ecuación:<br />
<br />
<br />
<math>ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\,\!</math><br />
<br />
<br />
Tenemos que<br />
<br />
<br />
<math> x_1=\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_2=\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_3=\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto, este círculo es la imagen bajo la proyección esterografica, cuyos puntos satisfacen la siguiente ecuación en el plano: <br />
<br />
<br />
<br />
<math>a\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )+b\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )+c\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)=d </math><br />
<br />
<br />
Escribiendo <math>z = x+iy\,\!</math>, se tiene<br />
<br />
<br />
<math> x^2+y^2-\frac{2a}{d-c}x-\frac{2by}{d-c}=1 </math><br />
<br />
<br />
<math>x^2+y^2-1=z^2\,\!</math><br />
<br />
<br />
se tiene que:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>a(2x) + b(2y) + c(x^2+y^2-1) = d(x^2+y^2+1)\,\!</math><br />
<br />
<br />
esto es<br />
<br />
<br />
<math>2ax + 2by + c(x^2+y^2-1) = d(x^2+y^2+1)\,\!</math>,<br />
<br />
<br />
que biene siendo la ecuación de una recta o un círculo, dependiendo si <math>d=c\,\!</math>, o si <math>d\ne c\,\!</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 16:08 22 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''8.- Demuestre de dos maneras que el lugar de los puntos que cumplen la ecuación <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> <math> ,k\in\mathbb{R}^{+},a,b\in\mathbb{C},a\neq b</math> constituye una recta o un círculo (llamado de Apolonio).'''<br />
<br />
'''Solución'''<br />
<br />
Sea <br />
<br />
<math>z = x+iy\,\!, a = u+iv, b = c+id</math><br />
<br />
<br />
<br />
Entonces <br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|^{2}=k^{2}\left|z-b\right|^{2}</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left(x-u\right)^{2}+\left(y-v\right)^{2}=k\left(\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}\right)</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>x^2-2xu+u^2+y^2-2yv+v^2=kx^2-2kxc+c^2+ky^2-2kyd+kd^2\,\!</math> </center><br />
<br />
<br />
Si agrupamos esta expresión se tiene:<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(1-k\right)-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right) \qquad (I)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Si <math>k=1</math> se tiene la ecuación de una recta, es decir:<br />
<br />
<br />
<center><math>-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=c^{2}+d^{2}-\left(u^{2}+v^{2}\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Ahora para <math>k\neq1</math> la ecuación <math>\left(I\right)</math> al multiplicarla por<br />
<math>\frac{1}{\left(1-k\right)}<br />
</math> toma la forma:<br />
<br />
<br />
<center><math>\frac{}{}<br />
\left(x^{2}+y^{2}\right)-\frac{2x\left(u-kc\right)}{\left(1-k\right)}-\frac{2y\left(v-kd\right)}{\left(1-k\right)}=\frac{k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)}{\left(1-k\right)}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si completamos los cuadrados (más un poco de álgebra) de esta ultima expresión se obtiene lo<br />
siguiente<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\left(\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}+\frac{1}{1-k}\left(k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\frac{k}{\left(1-k\right)^{2}}\left(\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
lo cual es la ecuación de un círculo con centro <br />
<math>\left(\frac{u-kc}{1-k}\,,\,\frac{v-kd}{1-k}\right)</math><br />
y cuyo radio es <br />
<math>\frac{\sqrt{k}}{\left|1-k\right|}\sqrt{\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Otro método.<br />
<br />
<center><math><br />
\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(z-a\right)\left(\overline{z}-\overline{a}\right)=k\left(z-b\right)\left(\overline{z}-\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}-a\overline{z}-\overline{a}z+a\overline{a}=k\left(z\overline{z}-b\overline{z}-\overline{b}z+b\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
agrupando tenemos<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)-a\overline{z}-\overline{a}z+kb\overline{z}+k\overline{b}z=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)+\overline{z}\left(kb-a\right)+z\left(k\overline{b}-\overline{a}\right)=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio<math> A=\left(1-k\right), B=\left(kb-a\right),\overline{B}=\left(k\overline{b}-\overline{a}\right), C=kb\overline{b}-a\overline{a}\!,</math> , la anterior ecuación se escribe como<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
Az\overline{z}+B\overline{z}+\overline{B}z=C</math></center><br />
<br />
<br />
si <math> A=0</math> (entonces <math>k=1</math>) se tiene la ecución de una recta, si <math>A</math> es distinto<br />
de cero (entonces k es distinto de 1) y se tiene la ecuación de una<br />
circunferencia.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 01:46 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
'''9.- Sean <math>a,c</math> complejos, tal que no son ambos nulos, probar que<br />
<math>\left|\frac{\bar{a}z+\bar{c}}{cz+a}\right|=1</math>, si <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
Interpretar geometricamente.'''<br />
<br />
Sean <math>a=a_{1}+ia_{2}</math>, <math>c=c_{1}+ic_{2}</math>, <math>z=x+iy</math>, tal que <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
<br />
Entonces sustituyendo esto se tiene la siguiente expresión:<br />
<br />
<br />
<math>\left|\frac{\left(a_{1}-ia_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(c_{1}-ic_{2}\right)}{\left(c_{1}+ic_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(a_{1}+ia_{2}\right)}\right|=1</math><br />
<br />
<br />
Ahora por propiedades de la norma se sigue que<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Y aplicando la desigualdad del triangulo<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Ya que <math>\left|az\right|=\left|a\right|\left|z\right|</math> y <math>\left|z\right|=1</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\right|\left|\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\right|\left|\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\right|+\left|\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\right|+\left|\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Recordando que <math>\left|\bar{a}\right|=\left|a\right|</math>, nuestra expresión<br />
anterior nos queda como:<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|a\right|+\left|c\right|}{\left|c\right|+\left|a\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Que era lo que se queria mostrar. <br />
<br />
Ahora geometricamente esto nos dice que la magnitud de la suma de<br />
dos numeros complejos es igual a la magnitud de la suma de sus conjugados.<br />
<br />
En las siguientes imagenes se muestra graficamente la interpretacion<br />
geometrica, el vector de color naranja es <math>z</math> y el azul y verde <math>a,c</math><br />
respectivamente.<br />
<br />
<br />
[[Imagen:Prueba1.jpg]][[Imagen:Prueba.jpg]]<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 19:42 21 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''10.- Probar que la funcion <math>z \rightarrow 1/z</math> es una rotacion de <math>\pi</math> radianes en la esfera de Riemann alrededor del eje x.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Las componentes del punto <math>A = (a_1,a_2,a_3)\,</math> en la esfera unitaria asociado a z son:<br />
<br />
<br />
<math>a_1 = \frac{z+\overline{z}}{|z|^2+1}, a_2 = \frac{z-\overline{z}}{i(|z|^2+1)}, a_3 = \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\,</math> <br />
<br />
<br />
Sea <math>\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> y tomando en cuenta que <math>|z| = |\overline{z}|\,</math>, entonces, las componentes del punto <math>B = (b_1,b_2,b_3)\,</math> de la esfera unitaria asociado a <math>\frac{1}{z}\,</math> son:<br />
<br />
<br />
<math>b_1 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}+\frac{z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{\overline{z}+z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\overline{z}+z}{|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}+z}{1+|z|^2} = a_1\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_2 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}-\frac{z}{|z|^2}}{i(\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i(1+|z|^2)} = -\frac{z-\overline{z}}{i(1+|z|^2)} = -a_2\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_3 = \frac{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}-1}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{1}{|z|^2}-1}{\frac{1}{|z|^2}+1} = \frac{1-|z|^2}{1+|z|^2} = -\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} = -a_3\,</math> ...<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 00:03 9 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''11.''' '''Probar que dados dos puntos''' <math>z,w \in \mathbb C</math> '''se tiene que sus proyecciones en la esfera de Riemann son antípodas si y solo si''' <math>z\bar{w} = -1</math><br />
<br />
<br />
SOLUCION.<br />
<br />
Sea <math>z \in \mathbb C \quad a,b \in \mathbb R</math> <br />
<br />
se pasa del plano complejo a la esfera de Riemann.<br />
<br />
<math>\psi: \mathbb C \rightarrow \mathbb S^2 - \lbrace e_3 \rbrace </math><br />
<br />
<math> z \mapsto (x_1 , x_2 , x_3)</math><br />
<br />
<br />
Si <math>\ z=a+ib \mapsto \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)</math> es el punto '''P''' en la esfera de Riemann.<br />
<br />
<br />
con este punto '''P''' y el centro '''C''' de la esfera se construye una recta que pase por estos puntos:<br />
<br />
<br />
Sea <math>\mathcal {L} =\ p + t\vec{v} \quad , \forall t \in \mathbb R </math> donde <math>\vec v</math>es el vector director que va de '''P''' a ''' C''' esto es <br />
<br />
<br />
<math>\vec {v} =(0,0,0)- \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) </math><br />
<br />
<br />
nuestra ecuacion de la recta queda de la siguiente manera:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\mathcal {L} =\left (\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right) + t \left (\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \quad , \forall t \in \mathbb R </math><br />
<br />
<br />
Cuando <math>\ t=0</math> tenemos a <math>\ P</math> en la esfera.<br />
<br />
cuando <math>\ t=1</math> tenemos el centro <math>\ (0,0,0)</math> de la esfera de Riemann.<br />
<br />
cuando <math>\ t=2 </math> tenemos al punto <math>\ Q</math> que es la antipoda de <math>\ p</math><br />
<br />
<br />
<math> \Rightarrow Q=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \, antipoda \quad de\quad p \quad en \quad la \quad esfera \quad de \quad Riemann </math><br />
<br />
<br />
teniendo a <math> \ Q</math> sobre la esfera de Riemann volvemos al plano complejo mediante la siguiente tranformacion:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\varphi: \mathbb S^2 -\lbrace e_3 \rbrace \rightarrow \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>Q \mapsto \frac {x_1 +ix_2}{1-x_3} </math>, que nos da un punto <math>\ w_Q \in \mathbb C</math> <br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q=\frac {x_1 +ix_2}{1-x_3}=\frac {\frac {-2a}{a^2+b^2+1} +i \frac {-2b}{a^2+b^2+1}}{1+ \frac {a^2+b^2-1}{a^2+b^2+1}} = \frac{ \frac{-2}{a^2+b^2+1}(a+ib) }{ \frac {2a^2+2b^2}{a^2+b^2+1} } = \frac {-2}{2a^2+2b^2}(a+ib) = \frac {-1}{a^2+b^2}(a+ib) </math> <br />
<br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} </math><br />
<br />
<br />
Como la proyeccion en la esfera de Riemann de <math>\ w_Q </math> es la antipoda de <math>\ z </math> se debe de cumplir que <math>z\bar{w_Q} = -1</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> z=a+ib \quad, w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} \in \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow z\bar{w_Q} =(a+ib)\left ( -\frac {a}{a^2 + b^2} +i \frac {b}{a^2+ b^2}\right )=\left ( -\frac {a^2}{a^2 + b^2} -\frac {b^2}{a^2+ b^2}\right )+i\left ( -\frac {ab}{a^2 + b^2} + \frac {ab}{a^2+ b^2}\right ) </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\left ( \frac {-(a^2+b^2)}{a^2 + b^2} \right )+i(0)=-1</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore z,w</math> son antipodas si y solo si <math>z\bar{w} = -1 \quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 15:11 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''12.'''¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la funcion <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> ?<br />
<br />
<br />
SOLUCIÓN:<br />
<br />
para la imagen notemos que <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> es continua exepto cuando <math>\ z=0</math>, por lo que su imagen es todo el plano complejo exepto el origen.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.2&diff=11632
Compleja:ej-cap1.2
2009-12-08T03:52:05Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>==EJERCICIOS 1.2.1 ==<br />
<br />
'''1.''' '''Demuestre que una una funcion''' <math>f:A\subset\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} </math> '''es continua en''' <math>{z_0}\in A</math> '''si y soló si para toda sucesión''' <math>{z_n},n\in\mathbb{N}, </math> '''tal que''' <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow\infty,</math> '''se tiene''' <math>f(z_n)\rightarrow f(z_0),</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Supongamos que <math> \ f<br />
</math> es continua en <math>\ z_0 </math> , es decir:<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad\exists \delta = \delta(\epsilon)> 0 </math> <br />
<br />
tal que <math>\quad | z - z_0 |<\delta \Rightarrow | f(z) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
y supongamos que <math>\lbrace z_n \rbrace , n\in \mathbb{N} </math> es una sucesión en <math>\ A </math> tal que <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math><br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<math>f(z_n)\rightarrow f(z_0)</math><br />
<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad \exists N = N(\epsilon)\in \mathbb N ,\quad n\geq N \Rightarrow | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
como <math>\ f</math> es continua en <math>\ z_0</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists\delta = \delta(\epsilon)>0</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow z_n \rightarrow z_0 </math><br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists M = M(\epsilon) \in \mathbb N, \quad n \geq M \Rightarrow | z_n - z_0 |< \delta </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore f(z_n) \rightarrow f(z_0)\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.''' '''Demuestre que una sucesión''' <math> \ \lbrace a_n \rbrace</math> en <math>\mathbb R^n </math> '''es de ''Cauchy'' si y sólo es convergente.<br />
<br />
'''<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Una sucesión en <math>\mathbb R^n </math> se dice que es de ''Cauchy'' si para todo <math>\epsilon >0 ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in \mathbb N </math> tal que <math>|a_m - a_n|<\epsilon , \quad \forall m,n \geq N</math> '''.'''<br />
<br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<br />
Si la sucesión es convergente, esto es si <math>\lim {a_n}=L \quad \Rightarrow \quad \forall \epsilon > 0\quad ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in\mathbb N </math><br />
<br />
<br />
tal que <math>|a_n - L|<\frac{\epsilon}{2}\quad, \quad \forall n\geq N</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow </math> si <math>m,n\geq N ,</math> se tiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ |a_m - a_n|=|a_m - L +L - a_n| \leq |a_m - L| + | L - a_n|< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}\!=\!{\epsilon} </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore \lbrace a_n \rbrace \quad es \quad de \quad Cauchy.\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
== EJERCICIOS 1.2.2 ==<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''1. Demuestre que la funcion estereográfica <math>(x_1,x_2,x_3)\to\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math> de la esfera de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.<br />
<br />
Definicion: Una funcion es suprayectiva si a un punto en la esfera<math>(x_1,x_2,x_3)</math> le corresponde uno(s) puntos dentro del plano complejo <math>\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
Una función es sobre si para toda '''y''' pertenece al Codominio <math>(f)</math> ,existe '''x''' pertenece al Dominio de <br />
<math>(f)</math> tal que <math> y = f(x)</math><br />
<br />
Notaciòn (para la demostraciòn): S= Esfera, C= punto en el plano proyectado por la esfera.<br />
<br />
Dominio<math>(f)= S</math> y el Codominio<math>(f)= C</math> y tambièn<br />
<math> C = z\epsilon\mathbb{C}:, f(z)=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
<math>z\epsilon\mathbb{C}:x_3\ne1 </math><br />
<br />
Suponga <math>\bar{x}\epsilon</math> S donde <math>\bar{x}=(x_1,x_2,x_3)</math><br />
<br />
Condicion de la esfera <math>(x_1^2+x_2^2+x_3^2=1)</math> donde <math>x_2</math> pertenece a '''i'''<br />
<br />
Ahora bien sabemos que la magnitud cuadrática <math>\bar{x}</math> es 1 <br />
<br />
<br />
<math>\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}\epsilon</math> Codominio de (f)<br />
<br />
Sea '''y''' que pertenece al Codominio de (f) donde : <math>y= ai+b</math><br />
<br />
Sea <math>a=\frac{x_1}{1-x_3}</math> y <math>b=\frac{x_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
tomando en cuenta que <math>y=f(x)</math><br />
<br />
de esta manera <math>f(x)=\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 03:09 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''2. Demuestre que si <math>z_n\rightarrow \infty.</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math>, entonces <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Como <math>z_n\rightarrow \infty.</math><br />
<math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Recordando la definiciòn del limite dado un <math>N_o</math> nos aproximamos.<br />
<math>\exists\N_o\epsilon\mathbb N+ n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> por hipótesis.<br />
<br />
P.D. <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math>, asi como también <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Ahora usando la definiciòn del limite dentro de la mètrica cordal tenemos un <math>N_o^\prime</math> donde limite se aproxima a cero cuando <math>n\rightarrow \infty.</math> <br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty) - 0 |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty)|<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
Usando la definición de la distancia cordal entre dos puntos<br />
<br />
<math>d_C(z_1,z_2)=|\pi(z_1)-\pi(z_2)|</math><br />
<br />
P.D.<math>\quad\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon </math><br />
<br />
Tomamos el lìmite descrito anteriomente.<br />
<br />
Por hipótesis <math>\quad\exists\N_o\epsilon\mathbb N</math> tal que <math>\quad n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> <br />
<br />
Sea <math>N_o</math> como antes por la continuidad de <math>\pi</math><br />
<br />
Finalmente usando la definiciòn de metrica cordal.<br />
<br />
Si <math>\quad n\geq N_o\to|\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon</math> <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 04:20 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''3. Las transformaciones de Möbius definidas en (1.4) se extienden a la esfera de Riemann <math>\hat{\mathbb{C}} </math> como sigue: si <math>c=0, T(\infty)=\infty</math>, y si <math>c\neq0, T(\infty)=\frac{a}{c}</math> y <math>T(\frac{-d}{c})=\infty</math>.Demuestre que estas funciones son continuas en dicha esfera con la metrica cordal.<br />
<br />
Transformaciones de Möbius complejas.(1.4)<br />
<math>z\to\frac{az+b}{cz+d} , ad-bc\neq0, a,b,c,d. <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
Se define la metrica cordal en el plano complejo extendido de la sig. manera.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2) = <br />
\begin{cases} <br />
\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}, & si z_1,z_2\neq\infty \\<br />
\frac{2}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}}, & si z_2=\infty. <br />
\end{cases}</math><br />
<br />
para los casos extremos.<br />
<br />
si <math>c=0, T(\infty)=\frac{az+b}{d}=\frac{a(\infty)+b}{d}=\infty.</math><br />
<br />
si <math>c\neq0, T(z)=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{z}{z}\frac{a+\frac{b}{z}}{c+\frac{d}{z}}<br />
<br />
<br />
,T(\infty)=\frac{a+\frac{b}{\infty}}{c+\frac{d}{\infty}}=\frac{a}{c}.</math><br />
<br />
<br />
<br />
si <math>T(\frac{-d}{c})=\frac{a(\frac{-d}{c})+b}{c(\frac{-d}{c})+d}=\infty.</math><br />
<br />
<br />
generalizando, para <math>z_1,z_2 \epsilon\mathbb{C}</math>, (arbitrarias).<br />
<br />
por hip.<math>c=0\therefore</math><br />
<br />
<math>T(z)=\frac{az+b}{d}=\frac{a}{d}z+\frac{b}{d}</math>.<br />
<br />
<math>\forall\epsilon>0, \exists\delta>0 </math><br />
<br />
<br />
tal que si<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_1-z_2\right|<\delta , \left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
entonces<br />
<math>\left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\left|z_1-z_2\right|\delta <\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
<math>T(z_1)-T(z_2)=\left(\frac{a}{d}z_1+\frac{b}{d}\right)-\left(\frac{a}{d}z_2+\frac{b}{d}\right)=\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)</math><br />
<br />
<br />
por <math>\left(d\left(0,x-y\right)=d\left(x,y\right)\right)</math><br />
<br />
<math>d_c\left(0,T(z_1)-T(z_2)\right)=d_c\left(0,\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)\right)=d_c\left(\frac{a}{d}z_1,\frac{a}{d}z_2\right)</math><br />
<br />
ahora si<math>z_1,z_2\ne\infty</math> y <math>\delta\approx \frac{1}{k}</math> donde <math>k=\frac{a}{d}</math><br />
<br />
con la metrica cordal.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2)=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+k^2\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+k^2\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{k^2\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<math>=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{k\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore d_c(z_1,z_2)<\epsilon</math><br />
<br />
ya q se mostro que <math>\frac{az+b}{d}</math><br />
<br />
es continua, se puede probar lo mismo para <br />
<br />
<math> c z+ d </math>.<br />
<br />
<br />
por teo. de continuidad si<br />
<br />
<math> f\left(x\right),g\left(x\right)</math> <br />
<br />
son continuas, tambien<br />
<br />
<br />
<math>\frac{f(x)}{g(x)}</math>, es continua.<br />
<br />
<br />
<math>\therefore \frac{az_1+b}{cz_2+d}</math> <br />
<br />
es continua si<br />
<br />
<math>c \ne 0</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 00:42 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4.'''Demuestre que si ''AB'' son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de Möbius ''f,g'', respectivamente, entonces la matriz ''BA'' representa la composicion ''gf'', que también es de Möbius.Concluya mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera en sí misma, y que ademas constituyen un grupo.<br />
<br />
SOLUCION:<br />
<br />
tenemos que <math>\ f, g </math> son transformaciones de Möbius<br />
<br />
<br />
<math>f(z)=\frac{a' z + b'}{c' z + d'}\quad\quad g(z)=\frac{a z + b}{c z + d}</math><br />
<br />
<br />
sean <math>\ A, B </math> las representaciones matriciales de <math>\ g, f </math> respectivamente<br />
<br />
<br />
<math>A = \begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix} \quad \quad B = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
entonces <br />
<br />
<math>BA = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}<br />
a'a + b'c & c'a + d'c \\<br />
a'b + b'd & c'b + d'd \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
<br />
entonces<br />
<br />
<math>gf=\frac{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}{(a'b + b'd)z + (c'b + d'd)}</math><br />
<br />
los elementos de la matriz ''BA'' son elementos de funciones biyectivas, entonces dicha matriz también es biyectiva, y por lo tanto ''gf'' es biyectiva y de Möbius.<br />
<br />
<br />
Por ser de Möbius es meromorfa, ahora notemos que ''gf'' es continua y que <br />
<br />
<math>\frac{1}{gf}=\frac{(a'b + b')z + (c'b + d'd)}{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}</math><br />
<br />
<br />
tambien es continua por lo que concluimos que es bicontinua.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''5.'''Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en ternas de puntos de la esfera de Riemann. Sugerencia: Dada una terna, encuentre una función de Möbius que la mande en 1, 0 e <math>o\!o</math><br />
<br />
Sea <math>(x_1,x_2,x_3)\rightarrow \frac{x_1 + ix_2}{x_3} = z_0</math><br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = \frac{(1-b)x_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
y <math> \quad c = \frac{(1-d)x_3}{x_1 + i x_2} \quad </math>; <math>ad-bc\neq0</math><br />
<br />
<br />
entonces <math> T(z) = \frac{(1-b)x_3 z + (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 z + (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<math> T(z_0) = \frac{(1-b)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3}\Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3} \Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{b - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}}{cz+d}</math><br />
<br />
<br />
<math>T(z_0) = 0</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math>cz+d\rightarrow \!oo</math><br />
<br />
<br />
entonces <math>T(z_0) = 0</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''6.'''Pruede que las transformaciones de Möbius son composición de algunas de las siguientes funciones: rotaciones, traslaciones, homotecias, y <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math>. Concluya mostrando que las transformaciones de Möbius preservan la familia de circulos y rectas.<br />
<br />
Considere la Transformación de Möbius.<br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
<br />
Sea <math>a = 1,\quad c = 0, \quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = z+b \qquad </math> entonces <math>T(z)</math>es una traslación. <br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad b = c = 0,\quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = az </math> entonces <math>T(z)</math> es una rotación por <math>arg a</math> y una traslación por una amplificación <math>\big |a\big |</math>.<br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad a = d = 0, \quad b = c = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<math> T(z) = \frac{1}{z}\qquad</math> entonces <math>T(z)</math> es una inversión.<br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 23:28 26 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''7. Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en la familia de círculos y rectas.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Puesto que una transformación del tipo <math>w=\frac{1}{z} </math> aplica en circunferencias y rectas, y como las rotaciones, los cambios de escala y las translaciones preservan rectas y circunferencias. Dicha transformación bilineal o de Möbius aplica en círculos y rectas.<br />
<br />
<br />
Un círculo en <math>{S^2}</math> es la intersección de un plano con la esfera, por lo cual satiface la siguiente ecuación:<br />
<br />
<br />
<math>ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\,\!</math><br />
<br />
<br />
Tenemos que<br />
<br />
<br />
<math> x_1=\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_2=\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_3=\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto, este círculo es la imagen bajo la proyección esterografica, cuyos puntos satisfacen la siguiente ecuación en el plano: <br />
<br />
<br />
<br />
<math>a\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )+b\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )+c\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)=d </math><br />
<br />
<br />
Escribiendo <math>z = x+iy\,\!</math>, se tiene<br />
<br />
<br />
<math> x^2+y^2-\frac{2a}{d-c}x =1 </math><br />
<br />
<br />
<math>x^2+y^2-1=z^2\,\!</math><br />
<br />
<br />
se tiene que:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>a(2x) + b(2y) + c(x^2+y^2-1) = d(x^2+y^2+1)\,\!</math><br />
<br />
<br />
esto es<br />
<br />
<br />
<math>2ax + 2by + c(x^2+y^2-1) = d(x^2+y^2+1)\,\!</math>,<br />
<br />
<br />
que biene siendo la ecuación de una recta o un círculo, dependiendo si <math>d=c\,\!</math>, o si <math>d\ne c\,\!</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 16:08 22 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''8.- Demuestre de dos maneras que el lugar de los puntos que cumplen la ecuación <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> <math> ,k\in\mathbb{R}^{+},a,b\in\mathbb{C},a\neq b</math> constituye una recta o un círculo (llamado de Apolonio).'''<br />
<br />
'''Solución'''<br />
<br />
Sea <br />
<br />
<math>z = x+iy\,\!, a = u+iv, b = c+id</math><br />
<br />
<br />
<br />
Entonces <br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|^{2}=k^{2}\left|z-b\right|^{2}</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left(x-u\right)^{2}+\left(y-v\right)^{2}=k\left(\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}\right)</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>x^2-2xu+u^2+y^2-2yv+v^2=kx^2-2kxc+c^2+ky^2-2kyd+kd^2\,\!</math> </center><br />
<br />
<br />
Si agrupamos esta expresión se tiene:<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(1-k\right)-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right) \qquad (I)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Si <math>k=1</math> se tiene la ecuación de una recta, es decir:<br />
<br />
<br />
<center><math>-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=c^{2}+d^{2}-\left(u^{2}+v^{2}\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Ahora para <math>k\neq1</math> la ecuación <math>\left(I\right)</math> al multiplicarla por<br />
<math>\frac{1}{\left(1-k\right)}<br />
</math> toma la forma:<br />
<br />
<br />
<center><math>\frac{}{}<br />
\left(x^{2}+y^{2}\right)-\frac{2x\left(u-kc\right)}{\left(1-k\right)}-\frac{2y\left(v-kd\right)}{\left(1-k\right)}=\frac{k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)}{\left(1-k\right)}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si completamos los cuadrados (más un poco de álgebra) de esta ultima expresión se obtiene lo<br />
siguiente<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\left(\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}+\frac{1}{1-k}\left(k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\frac{k}{\left(1-k\right)^{2}}\left(\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
lo cual es la ecuación de un círculo con centro <br />
<math>\left(\frac{u-kc}{1-k}\,,\,\frac{v-kd}{1-k}\right)</math><br />
y cuyo radio es <br />
<math>\frac{\sqrt{k}}{\left|1-k\right|}\sqrt{\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Otro método.<br />
<br />
<center><math><br />
\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(z-a\right)\left(\overline{z}-\overline{a}\right)=k\left(z-b\right)\left(\overline{z}-\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}-a\overline{z}-\overline{a}z+a\overline{a}=k\left(z\overline{z}-b\overline{z}-\overline{b}z+b\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
agrupando tenemos<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)-a\overline{z}-\overline{a}z+kb\overline{z}+k\overline{b}z=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)+\overline{z}\left(kb-a\right)+z\left(k\overline{b}-\overline{a}\right)=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio<math> A=\left(1-k\right), B=\left(kb-a\right),\overline{B}=\left(k\overline{b}-\overline{a}\right), C=kb\overline{b}-a\overline{a}\!,</math> , la anterior ecuación se escribe como<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
Az\overline{z}+B\overline{z}+\overline{B}z=C</math></center><br />
<br />
<br />
si <math> A=0</math> (entonces <math>k=1</math>) se tiene la ecución de una recta, si <math>A</math> es distinto<br />
de cero (entonces k es distinto de 1) y se tiene la ecuación de una<br />
circunferencia.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 01:46 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
'''9.- Sean <math>a,c</math> complejos, tal que no son ambos nulos, probar que<br />
<math>\left|\frac{\bar{a}z+\bar{c}}{cz+a}\right|=1</math>, si <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
Interpretar geometricamente.'''<br />
<br />
Sean <math>a=a_{1}+ia_{2}</math>, <math>c=c_{1}+ic_{2}</math>, <math>z=x+iy</math>, tal que <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
<br />
Entonces sustituyendo esto se tiene la siguiente expresión:<br />
<br />
<br />
<math>\left|\frac{\left(a_{1}-ia_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(c_{1}-ic_{2}\right)}{\left(c_{1}+ic_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(a_{1}+ia_{2}\right)}\right|=1</math><br />
<br />
<br />
Ahora por propiedades de la norma se sigue que<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Y aplicando la desigualdad del triangulo<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Ya que <math>\left|az\right|=\left|a\right|\left|z\right|</math> y <math>\left|z\right|=1</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\right|\left|\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\right|\left|\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\right|+\left|\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\right|+\left|\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Recordando que <math>\left|\bar{a}\right|=\left|a\right|</math>, nuestra expresión<br />
anterior nos queda como:<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|a\right|+\left|c\right|}{\left|c\right|+\left|a\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Que era lo que se queria mostrar. <br />
<br />
Ahora geometricamente esto nos dice que la magnitud de la suma de<br />
dos numeros complejos es igual a la magnitud de la suma de sus conjugados.<br />
<br />
En las siguientes imagenes se muestra graficamente la interpretacion<br />
geometrica, el vector de color naranja es <math>z</math> y el azul y verde <math>a,c</math><br />
respectivamente.<br />
<br />
<br />
[[Imagen:Prueba1.jpg]][[Imagen:Prueba.jpg]]<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 19:42 21 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''10.- Probar que la funcion <math>z \rightarrow 1/z</math> es una rotacion de <math>\pi</math> radianes en la esfera de Riemann alrededor del eje x.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Las componentes del punto <math>A = (a_1,a_2,a_3)\,</math> en la esfera unitaria asociado a z son:<br />
<br />
<br />
<math>a_1 = \frac{z+\overline{z}}{|z|^2+1}, a_2 = \frac{z-\overline{z}}{i(|z|^2+1)}, a_3 = \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\,</math> <br />
<br />
<br />
Sea <math>\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> y tomando en cuenta que <math>|z| = |\overline{z}|\,</math>, entonces, las componentes del punto <math>B = (b_1,b_2,b_3)\,</math> de la esfera unitaria asociado a <math>\frac{1}{z}\,</math> son:<br />
<br />
<br />
<math>b_1 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}+\frac{z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{\overline{z}+z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\overline{z}+z}{|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}+z}{1+|z|^2} = a_1\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_2 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}-\frac{z}{|z|^2}}{i(\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i(1+|z|^2)} = -\frac{z-\overline{z}}{i(1+|z|^2)} = -a_2\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_3 = \frac{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}-1}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{1}{|z|^2}-1}{\frac{1}{|z|^2}+1} = \frac{1-|z|^2}{1+|z|^2} = -\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} = -a_3\,</math> ...<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 00:03 9 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''11.''' '''Probar que dados dos puntos''' <math>z,w \in \mathbb C</math> '''se tiene que sus proyecciones en la esfera de Riemann son antípodas si y solo si''' <math>z\bar{w} = -1</math><br />
<br />
<br />
SOLUCION.<br />
<br />
Sea <math>z \in \mathbb C \quad a,b \in \mathbb R</math> <br />
<br />
se pasa del plano complejo a la esfera de Riemann.<br />
<br />
<math>\psi: \mathbb C \rightarrow \mathbb S^2 - \lbrace e_3 \rbrace </math><br />
<br />
<math> z \mapsto (x_1 , x_2 , x_3)</math><br />
<br />
<br />
Si <math>\ z=a+ib \mapsto \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)</math> es el punto '''P''' en la esfera de Riemann.<br />
<br />
<br />
con este punto '''P''' y el centro '''C''' de la esfera se construye una recta que pase por estos puntos:<br />
<br />
<br />
Sea <math>\mathcal {L} =\ p + t\vec{v} \quad , \forall t \in \mathbb R </math> donde <math>\vec v</math>es el vector director que va de '''P''' a ''' C''' esto es <br />
<br />
<br />
<math>\vec {v} =(0,0,0)- \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) </math><br />
<br />
<br />
nuestra ecuacion de la recta queda de la siguiente manera:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\mathcal {L} =\left (\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right) + t \left (\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \quad , \forall t \in \mathbb R </math><br />
<br />
<br />
Cuando <math>\ t=0</math> tenemos a <math>\ P</math> en la esfera.<br />
<br />
cuando <math>\ t=1</math> tenemos el centro <math>\ (0,0,0)</math> de la esfera de Riemann.<br />
<br />
cuando <math>\ t=2 </math> tenemos al punto <math>\ Q</math> que es la antipoda de <math>\ p</math><br />
<br />
<br />
<math> \Rightarrow Q=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \, antipoda \quad de\quad p \quad en \quad la \quad esfera \quad de \quad Riemann </math><br />
<br />
<br />
teniendo a <math> \ Q</math> sobre la esfera de Riemann volvemos al plano complejo mediante la siguiente tranformacion:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\varphi: \mathbb S^2 -\lbrace e_3 \rbrace \rightarrow \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>Q \mapsto \frac {x_1 +ix_2}{1-x_3} </math>, que nos da un punto <math>\ w_Q \in \mathbb C</math> <br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q=\frac {x_1 +ix_2}{1-x_3}=\frac {\frac {-2a}{a^2+b^2+1} +i \frac {-2b}{a^2+b^2+1}}{1+ \frac {a^2+b^2-1}{a^2+b^2+1}} = \frac{ \frac{-2}{a^2+b^2+1}(a+ib) }{ \frac {2a^2+2b^2}{a^2+b^2+1} } = \frac {-2}{2a^2+2b^2}(a+ib) = \frac {-1}{a^2+b^2}(a+ib) </math> <br />
<br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} </math><br />
<br />
<br />
Como la proyeccion en la esfera de Riemann de <math>\ w_Q </math> es la antipoda de <math>\ z </math> se debe de cumplir que <math>z\bar{w_Q} = -1</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> z=a+ib \quad, w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} \in \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow z\bar{w_Q} =(a+ib)\left ( -\frac {a}{a^2 + b^2} +i \frac {b}{a^2+ b^2}\right )=\left ( -\frac {a^2}{a^2 + b^2} -\frac {b^2}{a^2+ b^2}\right )+i\left ( -\frac {ab}{a^2 + b^2} + \frac {ab}{a^2+ b^2}\right ) </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\left ( \frac {-(a^2+b^2)}{a^2 + b^2} \right )+i(0)=-1</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore z,w</math> son antipodas si y solo si <math>z\bar{w} = -1 \quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 15:11 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''12.'''¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la funcion <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> ?<br />
<br />
<br />
SOLUCIÓN:<br />
<br />
para la imagen notemos que <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> es continua exepto cuando <math>\ z=0</math>, por lo que su imagen es todo el plano complejo exepto el origen.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.2&diff=11631
Compleja:ej-cap1.2
2009-12-08T03:46:50Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>==EJERCICIOS 1.2.1 ==<br />
<br />
'''1.''' '''Demuestre que una una funcion''' <math>f:A\subset\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} </math> '''es continua en''' <math>{z_0}\in A</math> '''si y soló si para toda sucesión''' <math>{z_n},n\in\mathbb{N}, </math> '''tal que''' <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow\infty,</math> '''se tiene''' <math>f(z_n)\rightarrow f(z_0),</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Supongamos que <math> \ f<br />
</math> es continua en <math>\ z_0 </math> , es decir:<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad\exists \delta = \delta(\epsilon)> 0 </math> <br />
<br />
tal que <math>\quad | z - z_0 |<\delta \Rightarrow | f(z) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
y supongamos que <math>\lbrace z_n \rbrace , n\in \mathbb{N} </math> es una sucesión en <math>\ A </math> tal que <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math><br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<math>f(z_n)\rightarrow f(z_0)</math><br />
<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad \exists N = N(\epsilon)\in \mathbb N ,\quad n\geq N \Rightarrow | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
como <math>\ f</math> es continua en <math>\ z_0</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists\delta = \delta(\epsilon)>0</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow z_n \rightarrow z_0 </math><br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists M = M(\epsilon) \in \mathbb N, \quad n \geq M \Rightarrow | z_n - z_0 |< \delta </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore f(z_n) \rightarrow f(z_0)\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.''' '''Demuestre que una sucesión''' <math> \ \lbrace a_n \rbrace</math> en <math>\mathbb R^n </math> '''es de ''Cauchy'' si y sólo es convergente.<br />
<br />
'''<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Una sucesión en <math>\mathbb R^n </math> se dice que es de ''Cauchy'' si para todo <math>\epsilon >0 ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in \mathbb N </math> tal que <math>|a_m - a_n|<\epsilon , \quad \forall m,n \geq N</math> '''.'''<br />
<br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<br />
Si la sucesión es convergente, esto es si <math>\lim {a_n}=L \quad \Rightarrow \quad \forall \epsilon > 0\quad ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in\mathbb N </math><br />
<br />
<br />
tal que <math>|a_n - L|<\frac{\epsilon}{2}\quad, \quad \forall n\geq N</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow </math> si <math>m,n\geq N ,</math> se tiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ |a_m - a_n|=|a_m - L +L - a_n| \leq |a_m - L| + | L - a_n|< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}\!=\!{\epsilon} </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore \lbrace a_n \rbrace \quad es \quad de \quad Cauchy.\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
== EJERCICIOS 1.2.2 ==<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''1. Demuestre que la funcion estereográfica <math>(x_1,x_2,x_3)\to\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math> de la esfera de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.<br />
<br />
Definicion: Una funcion es suprayectiva si a un punto en la esfera<math>(x_1,x_2,x_3)</math> le corresponde uno(s) puntos dentro del plano complejo <math>\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
Una función es sobre si para toda '''y''' pertenece al Codominio <math>(f)</math> ,existe '''x''' pertenece al Dominio de <br />
<math>(f)</math> tal que <math> y = f(x)</math><br />
<br />
Notaciòn (para la demostraciòn): S= Esfera, C= punto en el plano proyectado por la esfera.<br />
<br />
Dominio<math>(f)= S</math> y el Codominio<math>(f)= C</math> y tambièn<br />
<math> C = z\epsilon\mathbb{C}:, f(z)=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
<math>z\epsilon\mathbb{C}:x_3\ne1 </math><br />
<br />
Suponga <math>\bar{x}\epsilon</math> S donde <math>\bar{x}=(x_1,x_2,x_3)</math><br />
<br />
Condicion de la esfera <math>(x_1^2+x_2^2+x_3^2=1)</math> donde <math>x_2</math> pertenece a '''i'''<br />
<br />
Ahora bien sabemos que la magnitud cuadrática <math>\bar{x}</math> es 1 <br />
<br />
<br />
<math>\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}\epsilon</math> Codominio de (f)<br />
<br />
Sea '''y''' que pertenece al Codominio de (f) donde : <math>y= ai+b</math><br />
<br />
Sea <math>a=\frac{x_1}{1-x_3}</math> y <math>b=\frac{x_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
tomando en cuenta que <math>y=f(x)</math><br />
<br />
de esta manera <math>f(x)=\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 03:09 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''2. Demuestre que si <math>z_n\rightarrow \infty.</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math>, entonces <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Como <math>z_n\rightarrow \infty.</math><br />
<math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Recordando la definiciòn del limite dado un <math>N_o</math> nos aproximamos.<br />
<math>\exists\N_o\epsilon\mathbb N+ n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> por hipótesis.<br />
<br />
P.D. <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math>, asi como también <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Ahora usando la definiciòn del limite dentro de la mètrica cordal tenemos un <math>N_o^\prime</math> donde limite se aproxima a cero cuando <math>n\rightarrow \infty.</math> <br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty) - 0 |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty)|<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
Usando la definición de la distancia cordal entre dos puntos<br />
<br />
<math>d_C(z_1,z_2)=|\pi(z_1)-\pi(z_2)|</math><br />
<br />
P.D.<math>\quad\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon </math><br />
<br />
Tomamos el lìmite descrito anteriomente.<br />
<br />
Por hipótesis <math>\quad\exists\N_o\epsilon\mathbb N</math> tal que <math>\quad n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> <br />
<br />
Sea <math>N_o</math> como antes por la continuidad de <math>\pi</math><br />
<br />
Finalmente usando la definiciòn de metrica cordal.<br />
<br />
Si <math>\quad n\geq N_o\to|\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon</math> <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 04:20 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''3. Las transformaciones de Möbius definidas en (1.4) se extienden a la esfera de Riemann <math>\hat{\mathbb{C}} </math> como sigue: si <math>c=0, T(\infty)=\infty</math>, y si <math>c\neq0, T(\infty)=\frac{a}{c}</math> y <math>T(\frac{-d}{c})=\infty</math>.Demuestre que estas funciones son continuas en dicha esfera con la metrica cordal.<br />
<br />
Transformaciones de Möbius complejas.(1.4)<br />
<math>z\to\frac{az+b}{cz+d} , ad-bc\neq0, a,b,c,d. <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
Se define la metrica cordal en el plano complejo extendido de la sig. manera.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2) = <br />
\begin{cases} <br />
\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}, & si z_1,z_2\neq\infty \\<br />
\frac{2}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}}, & si z_2=\infty. <br />
\end{cases}</math><br />
<br />
para los casos extremos.<br />
<br />
si <math>c=0, T(\infty)=\frac{az+b}{d}=\frac{a(\infty)+b}{d}=\infty.</math><br />
<br />
si <math>c\neq0, T(z)=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{z}{z}\frac{a+\frac{b}{z}}{c+\frac{d}{z}}<br />
<br />
<br />
,T(\infty)=\frac{a+\frac{b}{\infty}}{c+\frac{d}{\infty}}=\frac{a}{c}.</math><br />
<br />
<br />
<br />
si <math>T(\frac{-d}{c})=\frac{a(\frac{-d}{c})+b}{c(\frac{-d}{c})+d}=\infty.</math><br />
<br />
<br />
generalizando, para <math>z_1,z_2 \epsilon\mathbb{C}</math>, (arbitrarias).<br />
<br />
por hip.<math>c=0\therefore</math><br />
<br />
<math>T(z)=\frac{az+b}{d}=\frac{a}{d}z+\frac{b}{d}</math>.<br />
<br />
<math>\forall\epsilon>0, \exists\delta>0 </math><br />
<br />
<br />
tal que si<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_1-z_2\right|<\delta , \left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
entonces<br />
<math>\left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\left|z_1-z_2\right|\delta <\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
<math>T(z_1)-T(z_2)=\left(\frac{a}{d}z_1+\frac{b}{d}\right)-\left(\frac{a}{d}z_2+\frac{b}{d}\right)=\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)</math><br />
<br />
<br />
por <math>\left(d\left(0,x-y\right)=d\left(x,y\right)\right)</math><br />
<br />
<math>d_c\left(0,T(z_1)-T(z_2)\right)=d_c\left(0,\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)\right)=d_c\left(\frac{a}{d}z_1,\frac{a}{d}z_2\right)</math><br />
<br />
ahora si<math>z_1,z_2\ne\infty</math> y <math>\delta\approx \frac{1}{k}</math> donde <math>k=\frac{a}{d}</math><br />
<br />
con la metrica cordal.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2)=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+k^2\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+k^2\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{k^2\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<math>=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{k\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore d_c(z_1,z_2)<\epsilon</math><br />
<br />
ya q se mostro que <math>\frac{az+b}{d}</math><br />
<br />
es continua, se puede probar lo mismo para <br />
<br />
<math> c z+ d </math>.<br />
<br />
<br />
por teo. de continuidad si<br />
<br />
<math> f\left(x\right),g\left(x\right)</math> <br />
<br />
son continuas, tambien<br />
<br />
<br />
<math>\frac{f(x)}{g(x)}</math>, es continua.<br />
<br />
<br />
<math>\therefore \frac{az_1+b}{cz_2+d}</math> <br />
<br />
es continua si<br />
<br />
<math>c \ne 0</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 00:42 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4.'''Demuestre que si ''AB'' son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de Möbius ''f,g'', respectivamente, entonces la matriz ''BA'' representa la composicion ''gf'', que también es de Möbius.Concluya mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera en sí misma, y que ademas constituyen un grupo.<br />
<br />
SOLUCION:<br />
<br />
tenemos que <math>\ f, g </math> son transformaciones de Möbius<br />
<br />
<br />
<math>f(z)=\frac{a' z + b'}{c' z + d'}\quad\quad g(z)=\frac{a z + b}{c z + d}</math><br />
<br />
<br />
sean <math>\ A, B </math> las representaciones matriciales de <math>\ g, f </math> respectivamente<br />
<br />
<br />
<math>A = \begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix} \quad \quad B = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
entonces <br />
<br />
<math>BA = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}<br />
a'a + b'c & c'a + d'c \\<br />
a'b + b'd & c'b + d'd \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
<br />
entonces<br />
<br />
<math>gf=\frac{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}{(a'b + b'd)z + (c'b + d'd)}</math><br />
<br />
los elementos de la matriz ''BA'' son elementos de funciones biyectivas, entonces dicha matriz también es biyectiva, y por lo tanto ''gf'' es biyectiva y de Möbius.<br />
<br />
<br />
Por ser de Möbius es meromorfa, ahora notemos que ''gf'' es continua y que <br />
<br />
<math>\frac{1}{gf}=\frac{(a'b + b')z + (c'b + d'd)}{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}</math><br />
<br />
<br />
tambien es continua por lo que concluimos que es bicontinua.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''5.'''Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en ternas de puntos de la esfera de Riemann. Sugerencia: Dada una terna, encuentre una función de Möbius que la mande en 1, 0 e <math>o\!o</math><br />
<br />
Sea <math>(x_1,x_2,x_3)\rightarrow \frac{x_1 + ix_2}{x_3} = z_0</math><br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = \frac{(1-b)x_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
y <math> \quad c = \frac{(1-d)x_3}{x_1 + i x_2} \quad </math>; <math>ad-bc\neq0</math><br />
<br />
<br />
entonces <math> T(z) = \frac{(1-b)x_3 z + (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 z + (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<math> T(z_0) = \frac{(1-b)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3}\Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3} \Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{b - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}}{cz+d}</math><br />
<br />
<br />
<math>T(z_0) = 0</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math>cz+d\rightarrow \!oo</math><br />
<br />
<br />
entonces <math>T(z_0) = 0</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''6.'''Pruede que las transformaciones de Möbius son composición de algunas de las siguientes funciones: rotaciones, traslaciones, homotecias, y <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math>. Concluya mostrando que las transformaciones de Möbius preservan la familia de circulos y rectas.<br />
<br />
Considere la Transformación de Möbius.<br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
<br />
Sea <math>a = 1,\quad c = 0, \quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = z+b \qquad </math> entonces <math>T(z)</math>es una traslación. <br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad b = c = 0,\quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = az </math> entonces <math>T(z)</math> es una rotación por <math>arg a</math> y una traslación por una amplificación <math>\big |a\big |</math>.<br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad a = d = 0, \quad b = c = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<math> T(z) = \frac{1}{z}\qquad</math> entonces <math>T(z)</math> es una inversión.<br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 23:28 26 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''7. Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en la familia de círculos y rectas.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Puesto que una transformación del tipo <math>w=\frac{1}{z} </math> aplica en circunferencias y rectas, y como las rotaciones, los cambios de escala y las translaciones preservan rectas y circunferencias. Dicha transformación bilineal o de Möbius aplica en círculos y rectas.<br />
<br />
<br />
Un círculo en <math>{S^2}</math> es la intersección de un plano con la esfera, por lo cual satiface la siguiente ecuación:<br />
<br />
<br />
<math>ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\,\!</math><br />
<br />
<br />
Tenemos que<br />
<br />
<br />
<math> x_1=\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_2=\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math> x_3=\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto, este círculo es la imagen bajo la proyección esterografica, cuyos puntos satisfacen la siguiente ecuación en el plano: <br />
<br />
<br />
<br />
<math>a\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )+b\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )+c\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)=d </math><br />
<br />
<br />
Escribiendo <math>z = x+iy\,\!</math>, y como<br />
<br />
<br />
<math>x^2+y^2+z^2=1\,\!</math><br />
<br />
<br />
<math>x^2+y^2-1=z^2\,\!</math><br />
<br />
<br />
se tiene que:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>a(2x) + b(2y) + c(x^2+y^2-1) = d(x^2+y^2+1)\,\!</math><br />
<br />
<br />
esto es<br />
<br />
<br />
<math>2ax + 2by + c(x^2+y^2-1) = d(x^2+y^2+1)\,\!</math>,<br />
<br />
<br />
que biene siendo la ecuación de una recta o un círculo, dependiendo si <math>d=c\,\!</math>, o si <math>d\ne c\,\!</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 16:08 22 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''8.- Demuestre de dos maneras que el lugar de los puntos que cumplen la ecuación <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> <math> ,k\in\mathbb{R}^{+},a,b\in\mathbb{C},a\neq b</math> constituye una recta o un círculo (llamado de Apolonio).'''<br />
<br />
'''Solución'''<br />
<br />
Sea <br />
<br />
<math>z = x+iy\,\!, a = u+iv, b = c+id</math><br />
<br />
<br />
<br />
Entonces <br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|^{2}=k^{2}\left|z-b\right|^{2}</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left(x-u\right)^{2}+\left(y-v\right)^{2}=k\left(\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}\right)</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>x^2-2xu+u^2+y^2-2yv+v^2=kx^2-2kxc+c^2+ky^2-2kyd+kd^2\,\!</math> </center><br />
<br />
<br />
Si agrupamos esta expresión se tiene:<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(1-k\right)-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right) \qquad (I)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Si <math>k=1</math> se tiene la ecuación de una recta, es decir:<br />
<br />
<br />
<center><math>-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=c^{2}+d^{2}-\left(u^{2}+v^{2}\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Ahora para <math>k\neq1</math> la ecuación <math>\left(I\right)</math> al multiplicarla por<br />
<math>\frac{1}{\left(1-k\right)}<br />
</math> toma la forma:<br />
<br />
<br />
<center><math>\frac{}{}<br />
\left(x^{2}+y^{2}\right)-\frac{2x\left(u-kc\right)}{\left(1-k\right)}-\frac{2y\left(v-kd\right)}{\left(1-k\right)}=\frac{k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)}{\left(1-k\right)}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si completamos los cuadrados (más un poco de álgebra) de esta ultima expresión se obtiene lo<br />
siguiente<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\left(\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}+\frac{1}{1-k}\left(k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\frac{k}{\left(1-k\right)^{2}}\left(\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
lo cual es la ecuación de un círculo con centro <br />
<math>\left(\frac{u-kc}{1-k}\,,\,\frac{v-kd}{1-k}\right)</math><br />
y cuyo radio es <br />
<math>\frac{\sqrt{k}}{\left|1-k\right|}\sqrt{\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Otro método.<br />
<br />
<center><math><br />
\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(z-a\right)\left(\overline{z}-\overline{a}\right)=k\left(z-b\right)\left(\overline{z}-\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}-a\overline{z}-\overline{a}z+a\overline{a}=k\left(z\overline{z}-b\overline{z}-\overline{b}z+b\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
agrupando tenemos<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)-a\overline{z}-\overline{a}z+kb\overline{z}+k\overline{b}z=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)+\overline{z}\left(kb-a\right)+z\left(k\overline{b}-\overline{a}\right)=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio<math> A=\left(1-k\right), B=\left(kb-a\right),\overline{B}=\left(k\overline{b}-\overline{a}\right), C=kb\overline{b}-a\overline{a}\!,</math> , la anterior ecuación se escribe como<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
Az\overline{z}+B\overline{z}+\overline{B}z=C</math></center><br />
<br />
<br />
si <math> A=0</math> (entonces <math>k=1</math>) se tiene la ecución de una recta, si <math>A</math> es distinto<br />
de cero (entonces k es distinto de 1) y se tiene la ecuación de una<br />
circunferencia.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 01:46 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
'''9.- Sean <math>a,c</math> complejos, tal que no son ambos nulos, probar que<br />
<math>\left|\frac{\bar{a}z+\bar{c}}{cz+a}\right|=1</math>, si <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
Interpretar geometricamente.'''<br />
<br />
Sean <math>a=a_{1}+ia_{2}</math>, <math>c=c_{1}+ic_{2}</math>, <math>z=x+iy</math>, tal que <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
<br />
Entonces sustituyendo esto se tiene la siguiente expresión:<br />
<br />
<br />
<math>\left|\frac{\left(a_{1}-ia_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(c_{1}-ic_{2}\right)}{\left(c_{1}+ic_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(a_{1}+ia_{2}\right)}\right|=1</math><br />
<br />
<br />
Ahora por propiedades de la norma se sigue que<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Y aplicando la desigualdad del triangulo<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Ya que <math>\left|az\right|=\left|a\right|\left|z\right|</math> y <math>\left|z\right|=1</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\right|\left|\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\right|\left|\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\right|+\left|\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\right|+\left|\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Recordando que <math>\left|\bar{a}\right|=\left|a\right|</math>, nuestra expresión<br />
anterior nos queda como:<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|a\right|+\left|c\right|}{\left|c\right|+\left|a\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Que era lo que se queria mostrar. <br />
<br />
Ahora geometricamente esto nos dice que la magnitud de la suma de<br />
dos numeros complejos es igual a la magnitud de la suma de sus conjugados.<br />
<br />
En las siguientes imagenes se muestra graficamente la interpretacion<br />
geometrica, el vector de color naranja es <math>z</math> y el azul y verde <math>a,c</math><br />
respectivamente.<br />
<br />
<br />
[[Imagen:Prueba1.jpg]][[Imagen:Prueba.jpg]]<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 19:42 21 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''10.- Probar que la funcion <math>z \rightarrow 1/z</math> es una rotacion de <math>\pi</math> radianes en la esfera de Riemann alrededor del eje x.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Las componentes del punto <math>A = (a_1,a_2,a_3)\,</math> en la esfera unitaria asociado a z son:<br />
<br />
<br />
<math>a_1 = \frac{z+\overline{z}}{|z|^2+1}, a_2 = \frac{z-\overline{z}}{i(|z|^2+1)}, a_3 = \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\,</math> <br />
<br />
<br />
Sea <math>\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> y tomando en cuenta que <math>|z| = |\overline{z}|\,</math>, entonces, las componentes del punto <math>B = (b_1,b_2,b_3)\,</math> de la esfera unitaria asociado a <math>\frac{1}{z}\,</math> son:<br />
<br />
<br />
<math>b_1 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}+\frac{z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{\overline{z}+z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\overline{z}+z}{|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}+z}{1+|z|^2} = a_1\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_2 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}-\frac{z}{|z|^2}}{i(\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i(1+|z|^2)} = -\frac{z-\overline{z}}{i(1+|z|^2)} = -a_2\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_3 = \frac{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}-1}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{1}{|z|^2}-1}{\frac{1}{|z|^2}+1} = \frac{1-|z|^2}{1+|z|^2} = -\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} = -a_3\,</math> ...<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 00:03 9 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''11.''' '''Probar que dados dos puntos''' <math>z,w \in \mathbb C</math> '''se tiene que sus proyecciones en la esfera de Riemann son antípodas si y solo si''' <math>z\bar{w} = -1</math><br />
<br />
<br />
SOLUCION.<br />
<br />
Sea <math>z \in \mathbb C \quad a,b \in \mathbb R</math> <br />
<br />
se pasa del plano complejo a la esfera de Riemann.<br />
<br />
<math>\psi: \mathbb C \rightarrow \mathbb S^2 - \lbrace e_3 \rbrace </math><br />
<br />
<math> z \mapsto (x_1 , x_2 , x_3)</math><br />
<br />
<br />
Si <math>\ z=a+ib \mapsto \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)</math> es el punto '''P''' en la esfera de Riemann.<br />
<br />
<br />
con este punto '''P''' y el centro '''C''' de la esfera se construye una recta que pase por estos puntos:<br />
<br />
<br />
Sea <math>\mathcal {L} =\ p + t\vec{v} \quad , \forall t \in \mathbb R </math> donde <math>\vec v</math>es el vector director que va de '''P''' a ''' C''' esto es <br />
<br />
<br />
<math>\vec {v} =(0,0,0)- \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) </math><br />
<br />
<br />
nuestra ecuacion de la recta queda de la siguiente manera:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\mathcal {L} =\left (\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right) + t \left (\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \quad , \forall t \in \mathbb R </math><br />
<br />
<br />
Cuando <math>\ t=0</math> tenemos a <math>\ P</math> en la esfera.<br />
<br />
cuando <math>\ t=1</math> tenemos el centro <math>\ (0,0,0)</math> de la esfera de Riemann.<br />
<br />
cuando <math>\ t=2 </math> tenemos al punto <math>\ Q</math> que es la antipoda de <math>\ p</math><br />
<br />
<br />
<math> \Rightarrow Q=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \, antipoda \quad de\quad p \quad en \quad la \quad esfera \quad de \quad Riemann </math><br />
<br />
<br />
teniendo a <math> \ Q</math> sobre la esfera de Riemann volvemos al plano complejo mediante la siguiente tranformacion:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\varphi: \mathbb S^2 -\lbrace e_3 \rbrace \rightarrow \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>Q \mapsto \frac {x_1 +ix_2}{1-x_3} </math>, que nos da un punto <math>\ w_Q \in \mathbb C</math> <br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q=\frac {x_1 +ix_2}{1-x_3}=\frac {\frac {-2a}{a^2+b^2+1} +i \frac {-2b}{a^2+b^2+1}}{1+ \frac {a^2+b^2-1}{a^2+b^2+1}} = \frac{ \frac{-2}{a^2+b^2+1}(a+ib) }{ \frac {2a^2+2b^2}{a^2+b^2+1} } = \frac {-2}{2a^2+2b^2}(a+ib) = \frac {-1}{a^2+b^2}(a+ib) </math> <br />
<br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} </math><br />
<br />
<br />
Como la proyeccion en la esfera de Riemann de <math>\ w_Q </math> es la antipoda de <math>\ z </math> se debe de cumplir que <math>z\bar{w_Q} = -1</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> z=a+ib \quad, w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} \in \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow z\bar{w_Q} =(a+ib)\left ( -\frac {a}{a^2 + b^2} +i \frac {b}{a^2+ b^2}\right )=\left ( -\frac {a^2}{a^2 + b^2} -\frac {b^2}{a^2+ b^2}\right )+i\left ( -\frac {ab}{a^2 + b^2} + \frac {ab}{a^2+ b^2}\right ) </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\left ( \frac {-(a^2+b^2)}{a^2 + b^2} \right )+i(0)=-1</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore z,w</math> son antipodas si y solo si <math>z\bar{w} = -1 \quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 15:11 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''12.'''¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la funcion <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> ?<br />
<br />
<br />
SOLUCIÓN:<br />
<br />
para la imagen notemos que <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> es continua exepto cuando <math>\ z=0</math>, por lo que su imagen es todo el plano complejo exepto el origen.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.2&diff=11630
Compleja:ej-cap1.2
2009-12-08T03:42:22Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>==EJERCICIOS 1.2.1 ==<br />
<br />
'''1.''' '''Demuestre que una una funcion''' <math>f:A\subset\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} </math> '''es continua en''' <math>{z_0}\in A</math> '''si y soló si para toda sucesión''' <math>{z_n},n\in\mathbb{N}, </math> '''tal que''' <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow\infty,</math> '''se tiene''' <math>f(z_n)\rightarrow f(z_0),</math> '''cuando''' <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Supongamos que <math> \ f<br />
</math> es continua en <math>\ z_0 </math> , es decir:<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad\exists \delta = \delta(\epsilon)> 0 </math> <br />
<br />
tal que <math>\quad | z - z_0 |<\delta \Rightarrow | f(z) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
y supongamos que <math>\lbrace z_n \rbrace , n\in \mathbb{N} </math> es una sucesión en <math>\ A </math> tal que <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math><br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<math>f(z_n)\rightarrow f(z_0)</math><br />
<br />
<br />
<math>\forall \epsilon > 0,\quad \exists N = N(\epsilon)\in \mathbb N ,\quad n\geq N \Rightarrow | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
como <math>\ f</math> es continua en <math>\ z_0</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists\delta = \delta(\epsilon)>0</math><br />
<br />
<math>\Rightarrow z_n \rightarrow z_0 </math><br />
<br />
<math>\Rightarrow \exists M = M(\epsilon) \in \mathbb N, \quad n \geq M \Rightarrow | z_n - z_0 |< \delta </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore f(z_n) \rightarrow f(z_0)\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.''' '''Demuestre que una sucesión''' <math> \ \lbrace a_n \rbrace</math> en <math>\mathbb R^n </math> '''es de ''Cauchy'' si y sólo es convergente.<br />
<br />
'''<br />
<br />
DEMO:<br />
<br />
Una sucesión en <math>\mathbb R^n </math> se dice que es de ''Cauchy'' si para todo <math>\epsilon >0 ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in \mathbb N </math> tal que <math>|a_m - a_n|<\epsilon , \quad \forall m,n \geq N</math> '''.'''<br />
<br />
<br />
P.D.<br />
<br />
<br />
Si la sucesión es convergente, esto es si <math>\lim {a_n}=L \quad \Rightarrow \quad \forall \epsilon > 0\quad ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in\mathbb N </math><br />
<br />
<br />
tal que <math>|a_n - L|<\frac{\epsilon}{2}\quad, \quad \forall n\geq N</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow </math> si <math>m,n\geq N ,</math> se tiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ |a_m - a_n|=|a_m - L +L - a_n| \leq |a_m - L| + | L - a_n|< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}\!=\!{\epsilon} </math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore \lbrace a_n \rbrace \quad es \quad de \quad Cauchy.\quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
== EJERCICIOS 1.2.2 ==<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''1. Demuestre que la funcion estereográfica <math>(x_1,x_2,x_3)\to\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math> de la esfera de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.<br />
<br />
Definicion: Una funcion es suprayectiva si a un punto en la esfera<math>(x_1,x_2,x_3)</math> le corresponde uno(s) puntos dentro del plano complejo <math>\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
Una función es sobre si para toda '''y''' pertenece al Codominio <math>(f)</math> ,existe '''x''' pertenece al Dominio de <br />
<math>(f)</math> tal que <math> y = f(x)</math><br />
<br />
Notaciòn (para la demostraciòn): S= Esfera, C= punto en el plano proyectado por la esfera.<br />
<br />
Dominio<math>(f)= S</math> y el Codominio<math>(f)= C</math> y tambièn<br />
<math> C = z\epsilon\mathbb{C}:, f(z)=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
<math>z\epsilon\mathbb{C}:x_3\ne1 </math><br />
<br />
Suponga <math>\bar{x}\epsilon</math> S donde <math>\bar{x}=(x_1,x_2,x_3)</math><br />
<br />
Condicion de la esfera <math>(x_1^2+x_2^2+x_3^2=1)</math> donde <math>x_2</math> pertenece a '''i'''<br />
<br />
Ahora bien sabemos que la magnitud cuadrática <math>\bar{x}</math> es 1 <br />
<br />
<br />
<math>\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}\epsilon</math> Codominio de (f)<br />
<br />
Sea '''y''' que pertenece al Codominio de (f) donde : <math>y= ai+b</math><br />
<br />
Sea <math>a=\frac{x_1}{1-x_3}</math> y <math>b=\frac{x_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
tomando en cuenta que <math>y=f(x)</math><br />
<br />
de esta manera <math>f(x)=\frac{x_1}{1-x_3}+\frac{ix_2}{1-x_3}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 03:09 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''2. Demuestre que si <math>z_n\rightarrow \infty.</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math>, entonces <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Como <math>z_n\rightarrow \infty.</math><br />
<math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Recordando la definiciòn del limite dado un <math>N_o</math> nos aproximamos.<br />
<math>\exists\N_o\epsilon\mathbb N+ n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> por hipótesis.<br />
<br />
P.D. <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math>, asi como también <math>n\rightarrow \infty.</math><br />
<br />
Ahora usando la definiciòn del limite dentro de la mètrica cordal tenemos un <math>N_o^\prime</math> donde limite se aproxima a cero cuando <math>n\rightarrow \infty.</math> <br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty) - 0 |<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
<br />
P.D.<math>\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty)|<\epsilon </math><br />
<br />
<br />
Usando la definición de la distancia cordal entre dos puntos<br />
<br />
<math>d_C(z_1,z_2)=|\pi(z_1)-\pi(z_2)|</math><br />
<br />
P.D.<math>\quad\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon </math><br />
<br />
Tomamos el lìmite descrito anteriomente.<br />
<br />
Por hipótesis <math>\quad\exists\N_o\epsilon\mathbb N</math> tal que <math>\quad n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty. |<\epsilon </math> <br />
<br />
Sea <math>N_o</math> como antes por la continuidad de <math>\pi</math><br />
<br />
Finalmente usando la definiciòn de metrica cordal.<br />
<br />
Si <math>\quad n\geq N_o\to|\pi(z_n) - \pi(\infty) |<\epsilon</math> <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 04:20 21 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
'''3. Las transformaciones de Möbius definidas en (1.4) se extienden a la esfera de Riemann <math>\hat{\mathbb{C}} </math> como sigue: si <math>c=0, T(\infty)=\infty</math>, y si <math>c\neq0, T(\infty)=\frac{a}{c}</math> y <math>T(\frac{-d}{c})=\infty</math>.Demuestre que estas funciones son continuas en dicha esfera con la metrica cordal.<br />
<br />
Transformaciones de Möbius complejas.(1.4)<br />
<math>z\to\frac{az+b}{cz+d} , ad-bc\neq0, a,b,c,d. <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
Se define la metrica cordal en el plano complejo extendido de la sig. manera.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2) = <br />
\begin{cases} <br />
\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}, & si z_1,z_2\neq\infty \\<br />
\frac{2}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}}, & si z_2=\infty. <br />
\end{cases}</math><br />
<br />
para los casos extremos.<br />
<br />
si <math>c=0, T(\infty)=\frac{az+b}{d}=\frac{a(\infty)+b}{d}=\infty.</math><br />
<br />
si <math>c\neq0, T(z)=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{z}{z}\frac{a+\frac{b}{z}}{c+\frac{d}{z}}<br />
<br />
<br />
,T(\infty)=\frac{a+\frac{b}{\infty}}{c+\frac{d}{\infty}}=\frac{a}{c}.</math><br />
<br />
<br />
<br />
si <math>T(\frac{-d}{c})=\frac{a(\frac{-d}{c})+b}{c(\frac{-d}{c})+d}=\infty.</math><br />
<br />
<br />
generalizando, para <math>z_1,z_2 \epsilon\mathbb{C}</math>, (arbitrarias).<br />
<br />
por hip.<math>c=0\therefore</math><br />
<br />
<math>T(z)=\frac{az+b}{d}=\frac{a}{d}z+\frac{b}{d}</math>.<br />
<br />
<math>\forall\epsilon>0, \exists\delta>0 </math><br />
<br />
<br />
tal que si<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_1-z_2\right|<\delta , \left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
entonces<br />
<math>\left|T(z_1)-T(z_2)\right|<\left|z_1-z_2\right|\delta <\epsilon</math>.<br />
<br />
<br />
<math>T(z_1)-T(z_2)=\left(\frac{a}{d}z_1+\frac{b}{d}\right)-\left(\frac{a}{d}z_2+\frac{b}{d}\right)=\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)</math><br />
<br />
<br />
por <math>\left(d\left(0,x-y\right)=d\left(x,y\right)\right)</math><br />
<br />
<math>d_c\left(0,T(z_1)-T(z_2)\right)=d_c\left(0,\frac{a}{d}\left(z_1-z_2\right)\right)=d_c\left(\frac{a}{d}z_1,\frac{a}{d}z_2\right)</math><br />
<br />
ahora si<math>z_1,z_2\ne\infty</math> y <math>\delta\approx \frac{1}{k}</math> donde <math>k=\frac{a}{d}</math><br />
<br />
con la metrica cordal.<br />
<br />
<br />
<math>d_c(z_1,z_2)=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+k^2\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+k^2\left|z_2\right|^2}}=\frac{2k\left|z_1-z_2\right|}{k^2\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<math>=\frac{2\left|z_1-z_2\right|}{k\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore d_c(z_1,z_2)<\epsilon</math><br />
<br />
ya q se mostro que <math>\frac{az+b}{d}</math><br />
<br />
es continua, se puede probar lo mismo para <br />
<br />
<math> c z+ d </math>.<br />
<br />
<br />
por teo. de continuidad si<br />
<br />
<math> f\left(x\right),g\left(x\right)</math> <br />
<br />
son continuas, tambien<br />
<br />
<br />
<math>\frac{f(x)}{g(x)}</math>, es continua.<br />
<br />
<br />
<math>\therefore \frac{az_1+b}{cz_2+d}</math> <br />
<br />
es continua si<br />
<br />
<math>c \ne 0</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 00:42 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4.'''Demuestre que si ''AB'' son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de Möbius ''f,g'', respectivamente, entonces la matriz ''BA'' representa la composicion ''gf'', que también es de Möbius.Concluya mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera en sí misma, y que ademas constituyen un grupo.<br />
<br />
SOLUCION:<br />
<br />
tenemos que <math>\ f, g </math> son transformaciones de Möbius<br />
<br />
<br />
<math>f(z)=\frac{a' z + b'}{c' z + d'}\quad\quad g(z)=\frac{a z + b}{c z + d}</math><br />
<br />
<br />
sean <math>\ A, B </math> las representaciones matriciales de <math>\ g, f </math> respectivamente<br />
<br />
<br />
<math>A = \begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix} \quad \quad B = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
entonces <br />
<br />
<math>BA = \begin{bmatrix}<br />
a' & b' \\<br />
c' & d' \\<br />
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}<br />
a & b \\<br />
c & d \\<br />
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}<br />
a'a + b'c & c'a + d'c \\<br />
a'b + b'd & c'b + d'd \\<br />
\end{bmatrix}</math><br />
<br />
<br />
entonces<br />
<br />
<math>gf=\frac{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}{(a'b + b'd)z + (c'b + d'd)}</math><br />
<br />
los elementos de la matriz ''BA'' son elementos de funciones biyectivas, entonces dicha matriz también es biyectiva, y por lo tanto ''gf'' es biyectiva y de Möbius.<br />
<br />
<br />
Por ser de Möbius es meromorfa, ahora notemos que ''gf'' es continua y que <br />
<br />
<math>\frac{1}{gf}=\frac{(a'b + b')z + (c'b + d'd)}{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}</math><br />
<br />
<br />
tambien es continua por lo que concluimos que es bicontinua.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''5.'''Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en ternas de puntos de la esfera de Riemann. Sugerencia: Dada una terna, encuentre una función de Möbius que la mande en 1, 0 e <math>o\!o</math><br />
<br />
Sea <math>(x_1,x_2,x_3)\rightarrow \frac{x_1 + ix_2}{x_3} = z_0</math><br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = \frac{(1-b)x_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
y <math> \quad c = \frac{(1-d)x_3}{x_1 + i x_2} \quad </math>; <math>ad-bc\neq0</math><br />
<br />
<br />
entonces <math> T(z) = \frac{(1-b)x_3 z + (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 z + (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<math> T(z_0) = \frac{(1-b)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3}\Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)b}{(1-d)x_3 \Big (<br />
\frac{x_1 + ix_2}{x_3} \Big )<br />
+ (x_1 + i x_2)d} </math><br />
<br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math> \quad a = - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}\quad </math><br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{b - \frac{bx_3}{x_1 + i x_2}}{cz+d}</math><br />
<br />
<br />
<math>T(z_0) = 0</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> \quad T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .\quad</math> <br />
<br />
<br />
con <math>cz+d\rightarrow \!oo</math><br />
<br />
<br />
entonces <math>T(z_0) = 0</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''6.'''Pruede que las transformaciones de Möbius son composición de algunas de las siguientes funciones: rotaciones, traslaciones, homotecias, y <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math>. Concluya mostrando que las transformaciones de Möbius preservan la familia de circulos y rectas.<br />
<br />
Considere la Transformación de Möbius.<br />
<br />
<br />
<math>T(z) = \frac{az+b}{cz+d} \quad ad-bc\neq0,\quad a,b,c,d <br />
<br />
\epsilon \mathbb{C} .</math><br />
<br />
<br />
Sea <math>a = 1,\quad c = 0, \quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = z+b \qquad </math> entonces <math>T(z)</math>es una traslación. <br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad b = c = 0,\quad d = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<br />
<math> T(z) = az </math> entonces <math>T(z)</math> es una rotación por <math>arg a</math> y una traslación por una amplificación <math>\big |a\big |</math>.<br />
<br />
<br />
Sea <math>\quad a = d = 0, \quad b = c = 1 \qquad</math> se tiene:<br />
<math> T(z) = \frac{1}{z}\qquad</math> entonces <math>T(z)</math> es una inversión.<br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 23:28 26 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''7. Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en la familia de círculos y rectas.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Puesto que una transformación del tipo <math>w=\frac{1}{z} </math> aplica en circunferencias y rectas, y como las rotaciones, los cambios de escala y las translaciones preservan rectas y circunferencias. Dicha transformación bilineal o de Möbius aplica en círculos y rectas.<br />
<br />
<br />
Un círculo en <math>{S^2}</math> es la intersección de un plano con la esfera, por lo cual satiface la siguiente ecuación:<br />
<br />
<br />
<math>ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\,\!</math><br />
<br />
<br />
Tenemos que<br />
<br />
<br />
<math> x_1=\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto, este círculo es la imagen bajo la proyección esterografica, cuyos puntos satisfacen la siguiente ecuación en el plano: <br />
<br />
<br />
<br />
<math>a\left ( \frac{z+{\overline{z}}}{|z|^2+1} \right )+b\left ( \frac{z-{\overline{z}}}{i(|z|^2+1)} \right )+c\left ( \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} \right)=d </math><br />
<br />
<br />
Escribiendo <math>z = x+iy\,\!</math>, y como<br />
<br />
<br />
<math>x^2+y^2+z^2=1\,\!</math><br />
<br />
<br />
<math>x^2+y^2-1=z^2\,\!</math><br />
<br />
<br />
se tiene que:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>a(2x) + b(2y) + c(x^2+y^2-1) = d(x^2+y^2+1)\,\!</math><br />
<br />
<br />
esto es<br />
<br />
<br />
<math>2ax + 2by + c(x^2+y^2-1) = d(x^2+y^2+1)\,\!</math>,<br />
<br />
<br />
que biene siendo la ecuación de una recta o un círculo, dependiendo si <math>d=c\,\!</math>, o si <math>d\ne c\,\!</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 16:08 22 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''8.- Demuestre de dos maneras que el lugar de los puntos que cumplen la ecuación <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> <math> ,k\in\mathbb{R}^{+},a,b\in\mathbb{C},a\neq b</math> constituye una recta o un círculo (llamado de Apolonio).'''<br />
<br />
'''Solución'''<br />
<br />
Sea <br />
<br />
<math>z = x+iy\,\!, a = u+iv, b = c+id</math><br />
<br />
<br />
<br />
Entonces <br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|\frac{z-a}{z-b}\right|=k</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|^{2}=k^{2}\left|z-b\right|^{2}</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>\left(x-u\right)^{2}+\left(y-v\right)^{2}=k\left(\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}\right)</math> </center><br />
<br />
<br />
<center> <math>x^2-2xu+u^2+y^2-2yv+v^2=kx^2-2kxc+c^2+ky^2-2kyd+kd^2\,\!</math> </center><br />
<br />
<br />
Si agrupamos esta expresión se tiene:<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(1-k\right)-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right) \qquad (I)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Si <math>k=1</math> se tiene la ecuación de una recta, es decir:<br />
<br />
<br />
<center><math>-2x\left(u-kc\right)-2y\left(v-kd\right)=c^{2}+d^{2}-\left(u^{2}+v^{2}\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Ahora para <math>k\neq1</math> la ecuación <math>\left(I\right)</math> al multiplicarla por<br />
<math>\frac{1}{\left(1-k\right)}<br />
</math> toma la forma:<br />
<br />
<br />
<center><math>\frac{}{}<br />
\left(x^{2}+y^{2}\right)-\frac{2x\left(u-kc\right)}{\left(1-k\right)}-\frac{2y\left(v-kd\right)}{\left(1-k\right)}=\frac{k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)}{\left(1-k\right)}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si completamos los cuadrados (más un poco de álgebra) de esta ultima expresión se obtiene lo<br />
siguiente<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\left(\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}+\frac{1}{1-k}\left(k\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(u^{2}+v^{2}\right)\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(x-\frac{u-kc}{1-k}\right)^{2}+\left(y-\frac{v-kd}{1-k}\right)^{2}=\frac{k}{\left(1-k\right)^{2}}\left(\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}\right)<br />
</math> </center><br />
<br />
<br />
lo cual es la ecuación de un círculo con centro <br />
<math>\left(\frac{u-kc}{1-k}\,,\,\frac{v-kd}{1-k}\right)</math><br />
y cuyo radio es <br />
<math>\frac{\sqrt{k}}{\left|1-k\right|}\sqrt{\left(u-c\right)^{2}+\left(v-d\right)^{2}}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Otro método.<br />
<br />
<center><math><br />
\left|z-a\right|=k\left|z-b\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\left(z-a\right)\left(\overline{z}-\overline{a}\right)=k\left(z-b\right)\left(\overline{z}-\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}-a\overline{z}-\overline{a}z+a\overline{a}=k\left(z\overline{z}-b\overline{z}-\overline{b}z+b\overline{b}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
agrupando tenemos<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)-a\overline{z}-\overline{a}z+kb\overline{z}+k\overline{b}z=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math><br />
z\overline{z}\left(1-k\right)+\overline{z}\left(kb-a\right)+z\left(k\overline{b}-\overline{a}\right)=kb\overline{b}-a\overline{a}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio<math> A=\left(1-k\right), B=\left(kb-a\right),\overline{B}=\left(k\overline{b}-\overline{a}\right), C=kb\overline{b}-a\overline{a}\!,</math> , la anterior ecuación se escribe como<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
Az\overline{z}+B\overline{z}+\overline{B}z=C</math></center><br />
<br />
<br />
si <math> A=0</math> (entonces <math>k=1</math>) se tiene la ecución de una recta, si <math>A</math> es distinto<br />
de cero (entonces k es distinto de 1) y se tiene la ecuación de una<br />
circunferencia.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 01:46 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
'''9.- Sean <math>a,c</math> complejos, tal que no son ambos nulos, probar que<br />
<math>\left|\frac{\bar{a}z+\bar{c}}{cz+a}\right|=1</math>, si <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
Interpretar geometricamente.'''<br />
<br />
Sean <math>a=a_{1}+ia_{2}</math>, <math>c=c_{1}+ic_{2}</math>, <math>z=x+iy</math>, tal que <math>\left|z\right|=1</math>.<br />
<br />
Entonces sustituyendo esto se tiene la siguiente expresión:<br />
<br />
<br />
<math>\left|\frac{\left(a_{1}-ia_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(c_{1}-ic_{2}\right)}{\left(c_{1}+ic_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(a_{1}+ia_{2}\right)}\right|=1</math><br />
<br />
<br />
Ahora por propiedades de la norma se sigue que<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\left(x+iy\right)+\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Y aplicando la desigualdad del triangulo<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Ya que <math>\left|az\right|=\left|a\right|\left|z\right|</math> y <math>\left|z\right|=1</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\right|\left|\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\right|\left|\left(x+iy\right)\right|+\left|\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=\frac{\left|\left(a_{1}-ia_{2}\right)\right|+\left|\left(c_{1}-ic_{2}\right)\right|}{\left|\left(c_{1}+ic_{2}\right)\right|+\left|\left(a_{1}+ia_{2}\right)\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Recordando que <math>\left|\bar{a}\right|=\left|a\right|</math>, nuestra expresión<br />
anterior nos queda como:<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|a\right|+\left|c\right|}{\left|c\right|+\left|a\right|}=1</math><br />
<br />
<br />
Que era lo que se queria mostrar. <br />
<br />
Ahora geometricamente esto nos dice que la magnitud de la suma de<br />
dos numeros complejos es igual a la magnitud de la suma de sus conjugados.<br />
<br />
En las siguientes imagenes se muestra graficamente la interpretacion<br />
geometrica, el vector de color naranja es <math>z</math> y el azul y verde <math>a,c</math><br />
respectivamente.<br />
<br />
<br />
[[Imagen:Prueba1.jpg]][[Imagen:Prueba.jpg]]<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 19:42 21 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''10.- Probar que la funcion <math>z \rightarrow 1/z</math> es una rotacion de <math>\pi</math> radianes en la esfera de Riemann alrededor del eje x.'''<br />
<br />
<br />
<br />
Las componentes del punto <math>A = (a_1,a_2,a_3)\,</math> en la esfera unitaria asociado a z son:<br />
<br />
<br />
<math>a_1 = \frac{z+\overline{z}}{|z|^2+1}, a_2 = \frac{z-\overline{z}}{i(|z|^2+1)}, a_3 = \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\,</math> <br />
<br />
<br />
Sea <math>\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> y tomando en cuenta que <math>|z| = |\overline{z}|\,</math>, entonces, las componentes del punto <math>B = (b_1,b_2,b_3)\,</math> de la esfera unitaria asociado a <math>\frac{1}{z}\,</math> son:<br />
<br />
<br />
<math>b_1 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}+\frac{z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{\overline{z}+z}{|z|^2}}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\overline{z}+z}{|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}+z}{1+|z|^2} = a_1\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_2 = \frac{\frac{\overline{z}}{|z|^2}-\frac{z}{|z|^2}}{i(\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i|z|^2(\frac{1}{|z|^2}+1)} = \frac{\overline{z}-z}{i(1+|z|^2)} = -\frac{z-\overline{z}}{i(1+|z|^2)} = -a_2\,</math><br />
<br />
<br />
<math>b_3 = \frac{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}-1}{\frac{|\overline{z}|^2}{|z|^4}+1} = \frac{\frac{1}{|z|^2}-1}{\frac{1}{|z|^2}+1} = \frac{1-|z|^2}{1+|z|^2} = -\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} = -a_3\,</math> ...<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 00:03 9 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''11.''' '''Probar que dados dos puntos''' <math>z,w \in \mathbb C</math> '''se tiene que sus proyecciones en la esfera de Riemann son antípodas si y solo si''' <math>z\bar{w} = -1</math><br />
<br />
<br />
SOLUCION.<br />
<br />
Sea <math>z \in \mathbb C \quad a,b \in \mathbb R</math> <br />
<br />
se pasa del plano complejo a la esfera de Riemann.<br />
<br />
<math>\psi: \mathbb C \rightarrow \mathbb S^2 - \lbrace e_3 \rbrace </math><br />
<br />
<math> z \mapsto (x_1 , x_2 , x_3)</math><br />
<br />
<br />
Si <math>\ z=a+ib \mapsto \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)</math> es el punto '''P''' en la esfera de Riemann.<br />
<br />
<br />
con este punto '''P''' y el centro '''C''' de la esfera se construye una recta que pase por estos puntos:<br />
<br />
<br />
Sea <math>\mathcal {L} =\ p + t\vec{v} \quad , \forall t \in \mathbb R </math> donde <math>\vec v</math>es el vector director que va de '''P''' a ''' C''' esto es <br />
<br />
<br />
<math>\vec {v} =(0,0,0)- \left(\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right)=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) </math><br />
<br />
<br />
nuestra ecuacion de la recta queda de la siguiente manera:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\mathcal {L} =\left (\frac {2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {a^2 + b^2 -1}{a^2 + b^2 +1}\right) + t \left (\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \quad , \forall t \in \mathbb R </math><br />
<br />
<br />
Cuando <math>\ t=0</math> tenemos a <math>\ P</math> en la esfera.<br />
<br />
cuando <math>\ t=1</math> tenemos el centro <math>\ (0,0,0)</math> de la esfera de Riemann.<br />
<br />
cuando <math>\ t=2 </math> tenemos al punto <math>\ Q</math> que es la antipoda de <math>\ p</math><br />
<br />
<br />
<math> \Rightarrow Q=\left(\frac {-2a}{a^2 + b^2 +1},\frac {-2b}{a^2 + b^2 +1},\frac {-(a^2 + b^2 -1)}{a^2 + b^2 +1}\right ) \, antipoda \quad de\quad p \quad en \quad la \quad esfera \quad de \quad Riemann </math><br />
<br />
<br />
teniendo a <math> \ Q</math> sobre la esfera de Riemann volvemos al plano complejo mediante la siguiente tranformacion:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\varphi: \mathbb S^2 -\lbrace e_3 \rbrace \rightarrow \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>Q \mapsto \frac {x_1 +ix_2}{1-x_3} </math>, que nos da un punto <math>\ w_Q \in \mathbb C</math> <br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q=\frac {x_1 +ix_2}{1-x_3}=\frac {\frac {-2a}{a^2+b^2+1} +i \frac {-2b}{a^2+b^2+1}}{1+ \frac {a^2+b^2-1}{a^2+b^2+1}} = \frac{ \frac{-2}{a^2+b^2+1}(a+ib) }{ \frac {2a^2+2b^2}{a^2+b^2+1} } = \frac {-2}{2a^2+2b^2}(a+ib) = \frac {-1}{a^2+b^2}(a+ib) </math> <br />
<br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} </math><br />
<br />
<br />
Como la proyeccion en la esfera de Riemann de <math>\ w_Q </math> es la antipoda de <math>\ z </math> se debe de cumplir que <math>z\bar{w_Q} = -1</math><br />
<br />
<br />
Sea <math> z=a+ib \quad, w_Q= -\frac {a}{a^2 + b^2} -i \frac {b}{a^2+ b^2} \in \mathbb C</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow z\bar{w_Q} =(a+ib)\left ( -\frac {a}{a^2 + b^2} +i \frac {b}{a^2+ b^2}\right )=\left ( -\frac {a^2}{a^2 + b^2} -\frac {b^2}{a^2+ b^2}\right )+i\left ( -\frac {ab}{a^2 + b^2} + \frac {ab}{a^2+ b^2}\right ) </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\left ( \frac {-(a^2+b^2)}{a^2 + b^2} \right )+i(0)=-1</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore z,w</math> son antipodas si y solo si <math>z\bar{w} = -1 \quad \square </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 15:11 21 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
'''12.'''¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la funcion <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> ?<br />
<br />
<br />
SOLUCIÓN:<br />
<br />
para la imagen notemos que <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> es continua exepto cuando <math>\ z=0</math>, por lo que su imagen es todo el plano complejo exepto el origen.<br />
<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.1&diff=11459
Compleja:ej-cap1.1
2009-12-05T16:54:45Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>'''1. Demuestre que el producto de números complejos cumple con la ley asociativa'''<br />
<br />
Sean <math> z = a + i b, \quad w = c + i d, \quad s = e + i f \, \quad </math> <br />
con <math> \quad a,b,c,d,e,f \in \mbox{R}</math><br />
<br />
<br />
Por demostrar <math> (zw)s = z(ws)\,</math><br />
<br />
<br />
<math>(zw)s = [(a + i b)(c + i d)](e + i f) = [(ac - bd) + i (bc + ad)](e + i f)\,</math><br />
<br />
<br />
<math>=[e(ac - bd) - f(bc + ad)] + i [e(bc + ad) + f(ac - bd) = (ace - bde - bcf - adf) + i (bce + ade + acf - bdf)\, </math><br />
<br />
<br />
Por otra parte<br />
<br />
<math>z(ws) = (a + i b)[(c + i d)(e + i f)] = (a + i b)[(ce - df) + i (de + cf)]\,</math><br />
<br />
<br />
<math>=[a(ce - df) - b(de + cf)] + i [b(ce - df) + a(de + cf)] = (ace - bde - bcf - adf) + i (bce + ade + acf - bdf)\,</math><br />
<br />
<br />
Entonces se cumple <math> (zw)s = z(ws)\,</math>.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 22:15 28 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
== 1.1.2 ==<br />
'''1. Demuestre que <math>\left|\frac{z}{w}\right| = \frac{\left|z\right|}{\left|w\right|}</math>'''<br />
<br />
Sean <math> z = a + i b \quad y \quad w = c + i d\,</math> <br />
<br />
<br />
<math>\left|\frac{z}{w}\right|= \left|\frac{a + i b }{c + i d}\right|= \left|\frac{(a + i b)(c - i d)}{(c + i d)(c - i d)}\right| </math>'''<br />
<br />
<br />
<math>=\left|\frac{(ac + bd) + i (bc - ad)}{c^2 + d^2}\right|= \sqrt{\bigg ( \frac{ac + bd}{c^2 + d^2}\bigg )^2 + \bigg (\frac{bc - ad}{c^2 + d^2}\bigg )^2} = \frac{1}{c^2 + d^2}\sqrt{ (ac + bd)^2 + (bc - ad)^2 <br />
} <br />
</math><br />
<br />
<br />
<math>=\frac{1}{c^2 + d^2}\sqrt{a^2 c^2 + a^2 d^2 + b^2 c^2 + b^2 d^2 <br />
} = \sqrt{\Bigg [\frac{a^2 (c^2 + d^2)}{(c^2 + d^2)^2}\Bigg ] + \Bigg [\frac{b^2 (c^2 + d^2)}{(c^2 + d^2)^2}\Bigg ] <br />
} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}} <br />
</math><br />
<br />
<br />
Por otra parte<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|z\right|}{\left|w\right|} = \frac{\left|a + i b\right|}{\left|c + i d\right|} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}} = \left|\frac{z}{w}\right|</math><br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 22:15 28 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''2. Exprese <math>\overline{\left(\frac{\left(2+3i\right)^2}{4+i}\right)}</math>de la forma <math>x+iy</math>'''<br />
<br />
<br />
Por las propiedades <math>\overline{\left ( \frac{z}{w} \right )}=\frac\bar{z}\bar{w}</math> , <math>\overline{zw}=\bar{z}\bar{w}</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{\overline{\left ({2+3i}\right)^2}}{\overline{\left({4+i}\right)}}=\frac{\overline{\left ({2+3i}\right)}\overline{\left ({2+3i}\right)}}{\overline{\left({4+i}\right)}}=\frac{\left(2-3i\right)\left(2-3i\right)}{\left(4-i\right)}</math><br />
<br />
<br />
Simplificando, se obtiene:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\frac{4-6i-6i-9}{4-i}=\frac{-5-12i}{4-i}</math><br />
<br />
<br />
Resolviendo la división de números complejos, de la forma:<br />
<br />
<br />
<math>\frac{z}{w}=\frac{z\bar{w}}{w\bar{w}}=\frac{z\bar{w}}{\left|w\right|^2}</math>:<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left(-5-12i\right)\left(4+i\right)}{\left(4-i\right)\left(4+i\right)}=\frac{-20-5i-48i+12}{17}=\frac{-8-53i}{17}</math><br />
<br />
<br />
=<math>-\frac{8}{17}-\frac{53}{17}i</math>.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 23:00 28 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''3. Demuestre que <math>\alpha</math> es raiz de un polinomio real si y solo si <math>\overline{\alpha}</math> lo es.'''<br />
<br />
<br />
Sea <math>\overline{\alpha}</math> solucion de un polinomio real,<br />
<br />
entonces <math>\overline{\alpha} \in \mathbb{R}</math><br />
<br />
como <math>\overline{\alpha} = \alpha</math>, por lo tanto <math>\alpha</math> tambien es solucion. <br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 06:35 30 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''5. Sean <math>z_1 , z_2 , z_3 \in \mathbb{C}</math> tales que cumplen <math>\frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} = \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3}</math>, demuestre que estos tres puntos determinan un triángulo equilátero.'''<br />
<br />
[[Image: Comp_triang_eq2.jpg|frame|center|Figura 1]]<br />
<br />
Tenemos que <br />
<br />
<center><math>\left | \frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} \right | = \left | \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} \right |,\qquad (1)</math></center><br />
<br />
y, por lo tanto, <br />
<br />
<center><math>\frac{|z_2 - z_1|}{|z_3 - z_1|} = \frac{|z_1 - z_3|}{|z_2 - z_3|}.\qquad (2)</math></center><br />
<br />
De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber:<br />
<br />
<center><math>\left . \begin{matrix}|z_2 - z_1| = A\\<br />
|z_3 - z_1| = B = |z_1 - z_3|\\<br />
|z_2 - z_3| = C\\<br />
\end{matrix} \right \} \qquad (3)</math></center><br />
<br />
De (2) y (3) tenemos que:<br />
<br />
<center><math>\frac{A}{B} = \frac{B}{C}. \qquad (4)</math></center><br />
<br />
Por triángulos semejantes, se tiene que el ángulo <math>\beta</math> es igual al ángulo <math>\gamma</math> y éste a su vez al ángulo <math>\alpha</math>, es decir,<br />
<br />
<center><math>\alpha = \beta = \gamma. \qquad (5)</math></center><br />
<br />
Y la ecuación (5) es precisamente la condición para que el triángulo ABC de la Figura 1 sea equilátero.<br />
<br />
--[[Usuario:Belen|Belen]] 02:48 29 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
'''6. Sea <math>{\begin{align}z & = x+iy \end{align}}</math>, pruebe que<br />
<math>{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Puesto que el número complejo z puede escribirse como<br />
<br />
<math>{\begin{align}z & = Re(z)+iIm(z) \end{align}}</math><br />
<br />
<math>{\begin{align}\left|{z}\right| & = \sqrt{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2} \end{align}}</math><br />
<br />
<br />
Se deduce que<br />
<br />
<math>{\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{Re(z)}\right|}</math><br />
<br />
<math>{\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Como el cuadrado de un número real no puede ser negativo<br />
<br />
<math>{{[\left|{Re(z)}\right|-\left|{Im(z)}\right|]^2}{\ge }0}</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<math>{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2-2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|{\ge }0}</math><br />
<br />
O sea<br />
<br />
<math>{{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2}{\ge }2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
O de otra manera<br />
<br />
<math>{{\left|{z}\right|^2}{\ge }2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Sumando <math>{\left|{z}\right|^2}</math>, a ambos lados se tiene<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{z}\right|^2+2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Como <br />
<br />
<math>{\begin{align}\left|{z}\right|^2 & = \left|{Re(z)}\right|^2+\left|{Im(z)}\right|^2 \end{align}}</math><br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{Re(z)}\right|^2+\left|{Im(z)}\right|^2+2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
De donde<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }[\left|{Re(z)}\right|+\left|{Im(z)}\right|]^2}</math><br />
<br />
Sacando raíces cuadradas positivas<br />
<br />
<math>{{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}{\ge} \left|{Re(z)}\right|+\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto<br />
<br />
<math>{{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}{\ge}{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:18 29 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
'''6-bis. Sea <math>{\begin{align}z & = x+iy \end{align}}</math>, pruebe que<br />
<math>{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}</math><br />
<br />
Tenemos que <math>{\begin{align}z & = x+iy \end{align}}</math>, entonces de la teoria sabemos que <br />
<br />
<br />
<math>{\begin{align}\left|{z}\right| & = \sqrt{[x]^2+[y]^2} \end{align}}\qquad (1)</math> <br />
<br />
<math>{\left|{x}\right|=\left|{Re(z)}\right|}{\le}{ \left|{z}\right|}</math><br />
<br />
<math>{\left|{y}\right|=\left|{Im(z)}\right|}{\le}{ \left|{z}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Tambien es inmediato que para z <math>\in \mathbb{R}</math>, <math>\overline z = z</math>, y que el cuadrado de cualquier numero real es siempre positivo, entonces de esto se tiene que<br />
<br />
<math>{{[\left|{x}\right|-\left|{y}\right|]^2}{\ge}0}</math><br />
<br />
Desarrollando el binomio se tiene que<br />
<br />
<br />
<math>{[x]^2+[y]^2-2\left|{x}\right|\left|{y}\right|{\ge }0}</math><br />
<br />
<math>{{[x]^2+[y]^2}{\ge }2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math><br />
<br />
Y por la identidad (1) esto se puede escribir como <br />
<br />
<math>{{\left|{z}\right|^2}{\ge }2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math><br />
<br />
Ahora sumando en ambos lados <math>{{\left|{z}\right|^2}}</math> obtenemos lo siguiente<br />
<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{z}\right|^2+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Pero ademas como <math>{{\left|{z}\right|^2}={\left|{x}\right|^2}+{\left|{y}\right|^2}}</math>, lo sustituimos en el resultado anterior<br />
<br />
<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{x}\right|^2}+{\left|{y}\right|^2+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Es facil ver que <br />
<br />
<br />
<math>{{[\left|{x}\right|+\left|{y}\right|]^2}={[x]^2+[y]^2+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}}</math><br />
<br />
<br />
Utilizando este resultado se deduce que <br />
<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }{[\left|{x}\right|+\left|{y}\right|]^2}}</math><br />
<br />
<br />
Y tomando las raices positivas llegamos al siguiente resultado<br />
<br />
<br />
<math>{\sqrt{2}\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Que es lo que se queria mostrar.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 03:56 1 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''7. Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados.<br />
<br />
[[Imagen:Dibujobueno.jpg]]<br />
<br />
Sacamos las normas de los números complejos<br />
<br />
|z|=<math>\sqrt{(a)^2+(b)^2}</math><br />
|w|=<math>\sqrt{(c)^2+(d)^2}</math><br />
<br />
Por algebra de vectores <br />
<br />
<math>|z|+|w|=|h|</math><br />
<br />
Donde |h| es la resultante de |z|+|w|<br />
<br />
<math>\sqrt{(a)^2+(b)^2}</math>+ <math>\sqrt{(c)^2+(d)^2}=|h|</math><br />
<br />
De la misma forma el dibujo nos indica q trasladamos la magnitudes de los vectores<br />
<br />
|w| y |z| y por tanto también tendremos |z|+|w| =|h|<br />
<br />
Entonces si |z|+|w| = |h|<br />
<br />
Aplicando el teorema de pitagoras q nos dice<br />
<br />
d = cateto<br />
<br />
f = cateto<br />
<br />
<math>e^2=d^2+f^2</math> <br />
<br />
entonces tenemos que <br />
<br />
<math>(a)^2+(b)^2=|z|^2</math><br />
<math>(c)^2+(d)^2=|w|^2</math><br />
<br />
Aplicamos pitagoras<br />
<br />
<math>(c)^2+(d)^2+(a)^2+(b)^2=(c)^2+(d)^2+(a)^2+(b)^2</math><br />
<br />
Por tanto <br />
<br />
<math>|z|^2 +|w|^2 = |h|^2</math> se cumple la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de la diagonal.<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 22:47 4 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
== 1.1.3 ==<br />
<br />
'''1. Calcule las raìces cuadradas de <math>3+4i</math> y de <math>1+2i</math>.'''<br />
<br />
<br />
Aplicando la formula para calcular raices cuadradas de numeros complejos.<br />
<br />
<math>\pm\left(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}} + i\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\right)</math> si <math>\quad b>0</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto las raices de <math>3+4i</math>, son:<br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(\sqrt{\frac{3+\sqrt{25}}{2}} + i\sqrt{\frac{-3+\sqrt{25}}{2}}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(\sqrt{\frac{8}{2}} + i\sqrt{1}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(2+i\right)</math><br />
<br />
<br />
y para <math>1+2i</math>, son:<br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} + i\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(\sqrt{1.61} + i\sqrt{0.61}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(1.27 + i 0.78\right).</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 23:44 30 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i'''<br />
<br />
Tenemos que <math>cos\boldsymbol{\theta}+i sen\boldsymbol{\theta}= -64</math> definicion en forma polar<br />
<br />
[[Imagen:Demo2.jpg]]<br />
<br />
r=64 <br />
<br />
n=6 porque nos piden las raíces sextas<br />
<br />
Entonces el argumento <math>\boldsymbol{\theta}=\pi</math><br />
<br />
<br />
<br />
Si <math>x+iy=re^{i\boldsymbol{\theta}}</math><br />
<br />
<br />
Entonces utilizando la definición de Moivre para obtener las raíces<br />
<br />
<br />
<math>(g e^{i\boldsymbol{\phi}n})= r e^{i\boldsymbol{\theta}}</math><br />
<br />
Ahora tenemos<br />
<br />
<math>g^n=r</math> y g= raíz enesima <math>\sqrt{64}</math>= = 2<br />
<br />
y <math>\boldsymbol{\phi}n=\boldsymbol{\theta}+2k\pi</math> los <math>2\pi</math> es porque tomamos en cuenta la periodicidad de la funció n y k son todos los múltiplos de <math>2\pi</math><br />
entonces sacando las raíces<br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6 </math> k=0 <br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi / 6 + 2\pi / 6 = 3\pi / 6</math> k=1 <br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6+2(2)\pi/6= 5\pi/6 </math> k=2 <br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6+(3)2\pi/6= 7\pi/6 </math> k=3<br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6+2(4)\pi/6= 9\pi/6 </math> k=4 <br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6+2(5)\pi/6= 11\pi/6 </math> k=5 <br />
<br />
Las soluciones son<br />
<br />
r1= 2 <math> e^{i( \pi/6)}</math> <br />
<br />
r2= 2 <math> e^{i( 3\pi/6)}</math> <br />
<br />
r3= 2 <math> e^{i( 5\pi/6)}</math> <br />
<br />
r4= 2 <math> e^{i( 7\pi/6)}</math> <br />
<br />
r5= 2 <math> e^{i( 9\pi/6)}</math> <br />
<br />
r6= 2 <math> e^{i( 11\pi/6)}</math> <br />
<br />
Graficando en coordenadas polares nos queda:<br />
<br />
[[Imagen:POLIGONO2.jpg]]<br />
<br />
Haciendo algo similar para el 8i Tenemos<br />
<br />
<math>cos\boldsymbol{\theta}+i sen\boldsymbol{\theta}= 8i</math><br />
<br />
<br />
<br />
[[Imagen:DEMO3.jpg]]<br />
<br />
el argumento <math>\boldsymbol{\theta}=\pi/2</math><br />
<br />
r= 8<br />
<br />
n=3 porque nos pinden las raíces cubicas<br />
<br />
<math>g^n=r</math> y g= raíz enesima <math>\sqrt{8}</math>= = 2<br />
<br />
<math>\boldsymbol{\phi}n = \boldsymbol{\theta}+2k\pi </math><br />
<br />
<math>\boldsymbol{\phi} = \boldsymbol{\theta}+2k\pi =\pi/6 </math> k=0<br />
<br />
<math>\boldsymbol{\phi}=\pi/6+2\pi/3= 5\pi/6</math> k=1 <br />
<br />
<math>\boldsymbol{\phi}==\pi/6+2(2)\pi/3= 9\pi/6</math> k=2 <br />
<br />
r1= 2 <math> e^{i( \pi/6)}</math> <br />
<br />
r2= 2 <math> e^{i( 5\pi/6)}</math> <br />
<br />
r3= 2 <math> e^{i( 9\pi/6)}</math> <br />
<br />
<br />
<br />
Graficando en coordenadas polares tenemos<br />
<br />
<br />
[[Imagen:RAICES.jpg]] <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 21:35 4 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i'''<br />
<br />
<br />
Sea <math> z = -64 = 64(cos\pi + isen\pi)\,</math><br />
<br />
<br />
Por la formula de De Moivre<br />
<br />
<br />
<math>z^{1/6} = 64^{1/6}(cos\pi + sen\pi)^{1/6} = 2 (cos(\frac{\pi+2k\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+2k\pi}{6}))</math> para k = 0,1,2,3,4,5<br />
<br />
<br />
Evaluando k se obtiene<br />
<br />
<br />
con k = 0<br />
<br />
<math>w_{0} = 2(cos(\frac{\pi}{6}) + isen(\frac{\pi}{6})) = \sqrt{3} + i</math> <br />
<br />
con k = 1<br />
<br />
<math>w_{1} = 2(cos(\frac{\pi+2\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+2\pi}{6})) = 2(cos(\frac{\pi}{2}) + isen(\frac{\pi}{2})) = 2i</math> <br />
<br />
con k = 2 <br />
<br />
<math>w_{2} = 2(cos(\frac{\pi+4\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+4\pi}{6})) = 2(cos(\frac{5\pi}{6}) + isen(\frac{5\pi}{6})) = -\sqrt{3} + i</math><br />
<br />
con k = 3<br />
<br />
<math>w_{3} = 2(cos(\frac{\pi+6\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+6\pi}{6})) = 2(cos(\frac{7\pi}{6}) + isen(\frac{7\pi}{6})) = -\sqrt{3} - i</math><br />
<br />
con k = 4<br />
<br />
<math>w_{4} = 2(cos(\frac{\pi+8\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+8\pi}{6})) = 2(cos(\frac{3\pi}{2}) + isen(\frac{3\pi}{2})) = -2i</math><br />
<br />
con k = 5<br />
<br />
<math>w_{5} = 2(cos(\frac{\pi+10\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+10\pi}{6})) = 2(cos(\frac{11\pi}{6}) + isen(\frac{11\pi}{6})) = \sqrt{3} - i</math> <br />
<br />
<br />
..............<br />
<br />
<br />
Sea <math>z = 8i = 8(cos(\frac{\pi}{2}) + sen(\frac{\pi}{2})\,</math><br />
<br />
<br />
<math>z^{1/3} = 8^{1/3}(cos(\frac{\pi}{2}) + isen(\frac{\pi}{2}))^{1/3} = 2(cos(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}) + isen(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}))</math> para k = 0,1,2<br />
<br />
<br />
Evaluando a k se obtiene<br />
<br />
<br />
con k = 0<br />
<br />
<math>w_{0} = 2(cos(\frac{\pi}{6}) + isen(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3} + i</math><br />
<br />
con k = 1<br />
<br />
<math>w_{1} = 2(cos(\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{3}) + isen(\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{3})) = 2(cos(\frac{5\pi}{6}) + isen(\frac{5\pi}{6}) = -\sqrt{3} + i</math><br />
<br />
con k = 2<br />
<br />
<math>w_{2} = 2(cos(\frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}{3}) + isen(\frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}{3})) = 2(cos(\frac{3\pi}{2}) + isen(\frac{3\pi}{2})) = -2i</math><br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 21:07 3 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''3. Demuestre que <math>\ 1+Z+Z^2+...+Z^{n-1}=0</math> donde z es una raíz n-ésima de la unidad,<br />
<math>z\neq 1</math>'''<br />
<br />
<br />
Sea <math>\ S=1+Z+Z^2+...+Z^{n-1}</math><br />
<br />
Ahora multiplicamos ambos lados por Z<br />
<br />
<math>\ ZS=Z+Z^2+Z^3+...+Z^{n-1}+Z^n</math><br />
<br />
Restando la segunda ecuación de la primera<br />
<br />
<math>\ {(s=1+z+z^2+...+z^{n-1})-(zs=z+^2+z^3+...+z^{n-1}+z^n)}</math><br />
<br />
Tenemos que<br />
<br />
<math>\ {s-zs=1-z^n}</math> <br />
<br />
entonces <br />
<br />
<math>\ {s(1-z)=1-z^n}</math><br />
<br />
De donde<br />
<br />
<math>s=\frac{1-z^n}{1-z}</math><br />
<br />
Como z es una raíz enesima de la unidad<br />
<br />
<math>0=\frac{1-z^n}{1-z}</math><br />
<br />
<br />
<math>\ {1-z^n=0} </math><br />
<br />
<br />
<math>\ {z^n=1} </math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<br />
<math>\ {z^n=1} </math><br />
<br />
y <br />
<br />
<math>{1-z}\ne{0}</math><br />
<br />
<br />
porque<br />
<br />
<math> {z}\ne{1} </math> <br />
<br />
<br />
Por lo tanto<br />
<br />
'''<math> {s=0} </math>''' <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 22:00 2 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''4. Demuestre que:<br />
<center><br />
<math>\frac{n}{2^{n-1}}=\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{\pi}{k}</math><br />
</center><br />
Sugerencia: Factoriza la expresión <math>1+z+z^2+\cdots+z^n</math> usando las raices n-ésimas de la unidad, posteriormente evalue en <math>z=1</math>.'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
Las raices de <math>z^m=1</math> son<br />
<center><br />
<math>z=1,e^{\frac{2\pi i}{m}},e^{\frac{4\pi i}{m}},\dots,e^{\frac{(2m-1)\pi i}{m}}</math><br />
</center><br />
entonces podemos escribir<br />
<center><br />
<math>z^{m-1}=(z-e^{\frac{2\pi i}{m}})(z-e^{\frac{4\pi i}{m}})\cdots(z-e^{\frac{(2m-1)\pi i}{m}})</math><br />
</center><br />
dividiendo ambos lados por <math>z-1</math> y haciendo <math>z=1</math>:<br />
<center><br />
<math>\frac{z^{m-1}}{z-1}=1+z+z^2+\cdots+z^{m-1}</math><br />
</center><br />
de aqui hallamos que<br />
<center><br />
<math>m=(1-e^{\frac{2\pi i}{m}})(1-e^{\frac{4\pi i}{m}})\cdots(1-e^{\frac{(2m-1)\pi i}{m}})\qquad (1)</math><br />
</center><br />
tomando el conjugado complejo de ambos lados de (1)<br />
<center><br />
<math>m=(1-e^{\frac{-2\pi i}{m}})(1-e^{\frac{-4\pi i}{m}})\cdots(1-e^{\frac{-(2m-1)\pi i}{m}})\qquad (2)</math><br />
</center><br />
<br />
Multiplicando la ecuación (1) por la (2) y aplicando que<br />
<center><br />
<math>1-(1-e^{\frac{2k\pi i}{m}})(1-e^{\frac{2k\pi i}{m}})= 2 - 2\cos\frac{2k\pi}{m}</math><br />
</center><br />
tenemos<br />
<center><br />
<math>m^2=2^{m-1}(1-\cos\frac{2\pi}{m})(1-\cos\frac{4\pi}{m})\cdots(1-\cos\frac{2(m-1)\pi}{m})</math><br />
</center><br />
puesto que<br />
<center><br />
<math>1-\cos\frac{2k\pi}{m}=2\sin^2\frac{k\pi}{m}</math><br />
</center><br />
la ecuación anterior se transforma en<br />
<center><br />
<math>m^2=2^{2m-2}(\sin^2\frac{\pi}{m})(\sin^2\frac{2\pi}{m})\cdots(\sin^2\frac{(m-1)\pi}{m})</math><br />
</center><br />
despejando y sacando la raíz en ambos lados de la expresión:<br />
<center><br />
<math>\frac{m}{2^{m-1}}=(\sin\frac{\pi}{m})(\sin\frac{2\pi}{m})\cdots(\sin\frac{(m-1)\pi}{m})</math><br />
</center><br />
<br />
lo que queda demostrada la igualdad.<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 23:10 4 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''5.''' '''Demuestre que'''<br />
<br />
<math>1+cos\phi+cos2\phi+...............+cos n\phi=\frac{1}{2}+\frac{sen\left(n\phi+\frac{\phi}{2}\right)}{2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)}</math>, <br />
<br />
'''donde''' '''<math>\phi</math> ''' '''no es un multiplo par de''' '''<math>\pi</math>.'''<br />
<br />
<br />
<br />
'''Esta identidad se le atribuye a Lagrange.''' <br />
<br />
<br />
Sugerencia: calcular la parte real de <br />
<br />
<br />
<math>1+z+z^{2}+..........+z^{n}</math>, donde <math>z=cos\phi+isen\phi</math>. <br />
<br />
<br />
<br />
'''Solucion.'''<br />
<br />
Sea <br />
<br />
<math>S=1+z+z^{2}+.......+z^{n}</math> si multiplicamos por <math>z</math> a <math>S</math> se tiene que <br />
<br />
<br />
<math>zS=z+z^{2}+z^{3}+......+z^{n}+z^{n+1}</math> ahora restemos estas dos ultimas expresiones<br />
<br />
<br />
<math>\left(S-zS\right)=\left(1-z\right)S=1-z^{n+1}</math> de lo que se obtiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>S=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}</math><br />
<br />
<br />
Si en esta última expresion utilizamos <math>z=cos\phi+isen\phi</math> entonces <br />
<br />
<br />
<math>S=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}</math> <br />
<br />
<br />
toma la siguiente forma<br />
<br />
<br />
<math>1+\left(cos\phi+isen\phi\right)+\left(cos\phi+isen\phi\right)^{2}+........+\left(cos\phi+isen\phi\right)^{n}=\frac{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)^{n+1}}{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)} </math><br />
<br />
<br />
que es equivalente a esta<br />
<br />
<br />
<math>1+\left(cos\phi+isen\phi\right)+\left(cos2\phi+isen2\phi\right)+........+\left(cosn\phi+isen\left(n\phi\right)\right)=\frac{1-\left(cos\left(n+1\right)\phi+isen\left(n+1\right)\phi\right)}{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)}</math><br />
<br />
<br />
Tomando el lado derecho de esta ultima expresión y llevar a cabo el producto con su conjugado , es decir:<br />
<br />
<br />
<math>\left(\frac{1-cos\left(n\phi+\phi\right)-isen\left(n\phi+\phi\right)}{1-cos\phi-isen\phi}\right)\star\left(\frac{1-cos\phi+isen\phi}{1-cos\phi+isen\phi}\right)<br />
</math><br />
<br />
<br />
<br />
Se obtiene del numerador lo siguiente<br />
<br />
<br />
<br />
<math>1-cos\phi+isen\phi-cosn\left(n\phi+\phi\right)+cos\phi cos\left(n\phi+\phi\right)-isen\phi cos\left(n\phi+\phi\right)-isen\left(n\phi+\phi\right)+icos\phi sen\left(n\phi+\phi\right)+sen\phi sen\left(n\phi+\phi\right)<br />
</math><br />
<br />
<br />
si tomamos solo la parte real se tiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>1-cos\phi-cos\left(n\phi+\phi\right)+cos\phi cos\left(n\phi+\phi\right)+sen\phi sen\left(n\phi+\phi\right)=</math><br />
<br />
<br />
<math>1-cos\phi+cos\left(n\phi-\phi\right)-cos\left(n\phi+\phi\right)</math><math>=</math> <math>1-cos\phi+2sen\phi sen\phi</math><br />
<br />
<br />
<br />
por otra parte para el denominador se tiene:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left(1-cos\phi\right)^{2}+sen^{2}\phi=</math><br />
<br />
<br />
<math>1-2cos\phi+sen^{2}\phi+cos^{2}\phi=</math> <math>2\left(1-cos\phi\right)</math><br />
<br />
<br />
<br />
al tomar la parte real de <br />
<br />
<br />
<math>1+\left(cos\phi+isen\phi\right)+\left(cos2\phi+isen2\phi\right)+........+\left(cosn\phi+isenn\phi\right)=\frac{1-\left(cos\left(n+1\right)\phi+isen\left(n+1\right)\phi\right)}{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)}</math>,<br />
<br />
<br />
<br />
sustituir lo encontrado para el numerador (parte real) y el denominador , y utilizar la siguiente<br />
identidad <br />
<br />
<br />
<math>sen\left(\frac{\phi}{2}\right)=\sqrt{\frac{1-cos\phi}{2}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
tenemos lo siguiente:<br />
<br />
<br />
<math><br />
1+cos\phi+cos2\phi+...............+cosn\phi=\frac{2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)+sen\phi sen\left(n\phi\right)}{2\left(2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)\right)}=\frac{1}{2}+\frac{sen\phi sen\left(n\phi\right)}{2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Lo cual es casi a lo que se queria llegar.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 00:01 5 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== 1.1.4 ==<br />
<br />
'''1. Demuestre que:'''<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}\left | \textstyle \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k} \right | ^2 = \left (\sum_{k=1}^n \left| Z_{k} \right|^2 \right) \left(\sum_{k=1}^n \left| W_{k} \right|^2 \right) -\sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2. \qquad (I)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
'''Se conoce como igualdad de Lagrange'''<br />
<br />
<br />
<br />
'''Solución.'''<br />
<br />
<br />
Esta demostración se hará por inducción, es decir, empezaremos suponiendo que el elemento <math> n-1</math> se encuentra en el conjunto, pues entonces el resultado implica que el elemento <math>n</math> esta en el conjunto.<br />
<br />
<br />
Sea <math>\eth=\left\{ \omega\in\mathbb{N\,}tal\, que\left(I\right)\, se\, cumpla\right\}<br />
</math><br />
<br />
<br />
Supongamos que <math>n-1</math> esta en <math>\eth</math> , es decir,<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
<br />
\left| \textstyle \sum_{k=1}^ {n-1} Z_{k}W_{k} \right|= \left(\sum_{k=1}^ {n-1} \left|Z_{k} \right| ^{2}\right) \left (\sum_{l=1}^ {n-1} \left|W_{l}\right|^{2}\right)-\sum_{1<j<k<n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^{2}<br />
\qquad (i)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Tenemos que:<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left(\sum_{k=1}^n \left| Z_{k}\right| ^2\right) \left(\sum_{l=1}^n \left| W_{l}\right| ^2 \right)-\sum_{1<j<k\leq n} \left| Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2<br />
<br />
\qquad (ii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph= \left(\sum_{k=1}^{n-1} \left| Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \right) \left(\sum_{l=1}^{n-1} \left| W_{l}\right|^2+ \left|W_{n}\right|^2 \right)-\sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2<br />
<br />
\qquad (iii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph= \left(\sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 \right) \left(\sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 \right)+\left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 +\left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2+ \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2 -\sum_{1<j<k\leq n}\left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2<br />
<br />
<br />
\qquad (iv)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
<br />
\aleph= \left(\sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 \right)\left(\sum_{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^2 \right)-\sum_{1<j<k\leq n}\left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1}\left|Z_{k}\right|^2+\left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
<br />
\qquad (v)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Pero veamos la forma que toman las siguientes expresiones al expandir la suma,<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 = \left|Z_{1}\overline{W}_{2}-Z_{2}\overline{W}_{1}\right|^2 +\left|Z_{1}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{1}\right|^2 +..............+\left|Z_{1}\overline{W}_{n}-Z_{1}\overline{W}_{n}\right|^2 +...........+ \left|Z_{2}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{2}\right|^2 +...........+ \left|Z_{2}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{2}\right|^2+..........+ \left|Z_{n-1}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{n-1}\right|^2<br />
<br />
\qquad (vi)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\sum_{1<j<k\leq n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 = \left|Z_{1}\overline{W}_{2}-Z_{2}\overline{W}_{1}\right|^2 + \left|Z_{1}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{1}\right|^2+..........+\left|Z_{1}\overline{W}_{n-1}-Z_{n-1}\overline{W}_{1}\right|^2 +..........+ \left|Z_{2}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{2}\right|^2+...........+\left|Z_{2}\overline{W}_{n-1}-Z_{n-1}\overline{W}_{2}\right|^2 +...........+ \left|Z_{n-2}\overline{W}_{n-1}-Z_{n-1}\overline{W}_{n-2}\right|^2<br />
<br />
<br />
\qquad (vii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Al comparar las expresiones <math> vi</math> con <math>vii</math> se observa que:<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j} \right|^2= \sum_{1<j<k\leq n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 + \sum_{j=1}^{n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{j}\right|^2<br />
<br />
\qquad (viii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Entonces si ahora utilizamos las expresiones <math>viii</math>, <math> I</math> e <math>i</math> podemos re-escribir <math>\aleph</math> de la manera siguiente:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^{n-1}Z_{k}W_{k}\right|^2-\sum_{j=1}^{n-1}\left|Z_{j}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{j}\right|^2 + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1}\left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
\qquad (ix)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph= \left(\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k} - Z_{n}W_{n}\right) \left(\sum_{l=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k} -\overline{Z}_{n} \overline{W}_{n}\right) - \sum_{j=1}^{n-1} \left(Z_{j}\overline{W}_{n} - Z_{n}\overline{W}_{j}\right) \left(\overline{Z}_{j}W_{n} - \overline{Z}_{n}W_{j}\right) + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 +\left|Z_{n} \right|^2\sum_{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
\qquad (x)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^{n}Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{l=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k}+ \left|Z_{n}W_{n}\right|^2 - \left[\sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}\overline{W}_{n}\overline{Z}_{j}W_{n}- \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}\overline{W}_{n}\overline{Z}_{n}W_{j}- \sum_{j=1}^{n-1} Z_{n}\overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}W_{n} + \sum_{j=1}^{n-1} Z_{n}\overline{W}_{j} \overline{Z}_{n}W_{j}\right] + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l} \right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
\qquad (xi)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{k=1}^n \overline{Z}_{k} \overline{W}_{k}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2 - W_{n}\overline{W}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}\overline{Z}_{j}+\overline{W}_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}W_{j}+W_{n}Z_{n} \sum_{j=1}^{n-1}\overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}-Z_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} W_{j}\overline{W}_{j} + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
\qquad (xii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{k=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2- \left|W_{n}\right|^2 \sum_{j=1}^{n-1} \left|Z_{j}\right|^2 + \overline{W}_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}W_{j}+W_{n}Z_{n} \sum_{j=1}^{n-1} \overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}-\left|Z_{n}\right|^2 \sum_{j=1}^{n-1} \left|W_{j}\right|^2+\left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
\qquad (xiii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left| \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n} \overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{k=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2+ \overline{W}_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1}Z_{j}W_{j}+W_{n}Z_{n} \sum_{j=1}^{n-1} \overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2<br />
\qquad (xiv)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n} \overline{W}_{n}Z_{n}W_{n}-Z_{n}W_{n} \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2<br />
\qquad (xv)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2<br />
\qquad (xvi)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
por lo tanto si <math>n-1</math> <math>\in</math> <math>\eth</math> <math>\Longrightarrow</math> <math>n\in</math> <math>\eth</math> .<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 03:31 14 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.- Sean <math>z_{1},z_{2},...,z_{n}\,</math> numeros complejos, ¿Bajo que condiciones se tiene que <math>|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}| = |z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}|\,</math> ?'''<br />
<br />
<br />
Si <math>z_{1} = z_{2} = ... = z_{n}\,</math>, entonces<br />
<br />
<br />
<math>|z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}| = n|z_{1}|\,</math><br />
<br />
<br />
por otro lado<br />
<br />
<br />
<math>|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}| = |nz_{1}| = n|z_{1}|\,</math><br />
<br />
<br />
y por lo tanto<br />
<br />
<br />
<math>|z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}| = |z_{1}+z_{2}+...+z_{n}|\,</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 02:52 5 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
'''2.- Sean <math>z_{1},z_{2},...,z_{n}\,</math> numeros complejos, ¿Bajo que condiciones se tiene que <math>|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}| = |z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}|\,</math> ?'''<br />
<br />
Tomando como punto de partida la demostracion de la desigualdad del triangulo. Podemos generalizar por medio de la inducción matemática a sumas de cualquier número finito de términos.<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}\right|\leq\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{n}\right|,(n = 1,2,3,...)\qquad (1)</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Es claro ver que cuando n = 2 se cumple la desigualdad del triangulo.<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_{1}+z_{2}\right|\leq\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|</math><br />
<br />
<br />
<br />
Ahora suponiendo que (1) es válida cuando n=m, debe ser tambien para n=m+1, y aplicando la desigualdad del triangulo:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|\left(z_{1}+z_{2}+...+z_{m}\right)+z_{m+1}\right|\leq\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{m}\right|+\left|z_{m+1}\right|</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|(z_{1}+z_{2}+...+z_{m})+z_{m+1}\right|\leq(\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{m}\right|)+\left|z_{m+1}\right|</math><br />
<br />
<br />
<br />
En donde los primeros m terminos los redefiniremos como Z<math>_{I},</math> y el termino m+1 como Z<math>_{II},</math>. Entonces lo anterior queda como:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|Z_{I}+Z_{II}\right|\leq\left|Z_{I}\right|+\left|Z_{II}\right|</math><br />
<br />
<br />
Ahora escribiendolo como igualdad<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|Z_{I}+Z_{II}\right|=\left|Z_{I}\right|+\left|Z_{II}\right|\equiv\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{m}+z_{m+1}\right|=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{m}\right|+\left|z_{m+1}\right|</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{m}+z_{m+1}\right|=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{m}\right|+\left|z_{m+1}\right|\equiv\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}\right|=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{n}\right|</math><br />
<br />
<br />
<br />
Esta desigualdad solo se cumple como igualdad cuando los numeros son colineales y tienen la misma direccion, esto tambien puede ser en los real (Re) o el imaginario (Im).<br />
<br />
Esto es muy claro ver cuando n=2, en una grafica.<br />
<br />
<br />
[[Imagen:Suma.gif]][[Imagen:Suma2.gif]]<br />
<br />
<br />
<br />
Aquí les dejo el enlace de la pagina donde consulte el código para generar las graficas para los que les interese.<br />
[http://demonstrations.wolfram.com/ComplexAddition/ Demostracion grafica]<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 03:41 16 oct 2009 (UTC)<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 03:07 6 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''3. Encuentre el ínfimo de <math>\left | z^3 + 2 i \right |</math> en la región <math>\left \{ z \mid |z| \ge 2 \right \}</math>, y describa en qué puntos se alcanza.'''<br />
<br />
<br />
Con una variante de la desigualdad del triángulo, tenemos que<br />
<br />
<center><math>\left | z^3 + i \right | \ge \left | |z|^3 -1 \right | \ge 8-1. </math></center><br />
Por tanto, <br />
<center><math> 7 \le \left | z^3 + i \right |. \qquad (1) </math></center><br />
<br />
Entonces, el ínfimo de la expresión es 7.<br />
<br />
Por otro lado, tenemos que, si <math>z = r \left ( cos \theta + 1 \sin \theta \right )</math><br />
<br />
<center><math> <br />
\begin{align}<br />
\left | z^3 + i \right | ^2 & = \left | r ^3 \left ( \cos 3\theta + i \sin 3\theta \right ) + 1 \right | ^2 \\<br />
& = \left | r^3 \cos 3\theta + 1 + i r^3 \sin 3\theta \right | ^2 \\<br />
& = r^6 + 2 r^3 \cos 3\theta + 1. \\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
Si tomamos la cota inferior, <math>\left | z \right | = 2</math>, la expresión anterior es entonces:<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}<br />
\left | z^3 + i \right | ^2 & = r^6 + 2 r^3 \cos 3\theta + 1 \\<br />
& = 65 + 2 r^3 \cos 3\theta. \\<br />
\end{align}<br />
</math></center> <br />
<br />
Ya que la función coseno tiene su mínimo en el valor -1, tomemos una <math>\theta</math> tal que <math>\cos 3\theta {{=}} -1</math>. Para este caso, tenemos dos valores: <math>\theta_1 {{=}} \frac {\pi}{3}</math> y <math>\theta_2 {{=}} \pi </math>,<br />
<br />
de tal forma que, con estos valores, <br />
<center><math>\left | z^3 + i \right | ^2 = 65 - 16 = 49. </math></center><br />
<br />
Con la fórmula de De Moivre, tenemos que el ínfimo de la expresión dada toma ese valor en <math>z_1</math> y <math>z_2</math> tales que<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}<br />
z_1 & = 2 \left ( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right ) \\<br />
& = 2 \left ( \cos \frac {\pi}{3} + i \sin \frac {\pi}{3} \right )\\<br />
& = 2 \left ( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right ) \\<br />
z_1 & = 1 + i \sqrt{3}, \qquad (2)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
y<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}<br />
z_2 & = 2 \left ( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right ) \\<br />
& = 2 \left ( \cos \pi + i \sin \pi \right )\\<br />
z_2 & = -2. \qquad (3)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
Pero, además, por le geometría de los números complejos, tenemos otros dos valores <math>z_3</math> y <math>z_4</math> tales que <br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}<br />
z_3 & = 2 \left ( \cos \theta_1+\pi + i \sin \theta_1+\pi \right ) \\<br />
& = 2 \left ( \cos \frac {4\pi}{3} + i \sin \frac {4\pi}{3} \right )\\<br />
& = 2 \left ( - \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \right ) \\<br />
& = -1 - i \sqrt{3} \\<br />
z_3 & = - z_1, \qquad (4)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
y<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}<br />
z_4 & = 2 \left ( \cos \theta_2+\pi + i \sin \theta_2+\pi \right ) \\<br />
& = 2 \left ( \cos 2\pi + i \sin 2\pi \right )\\<br />
& = 2 \\<br />
z_4 & = -z_2. \qquad (5)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
Por tanto, las expresiones (2), (3), (4) y (5) nos proporcionan los valores en que el ínfimo es tomado, a saber, <math>\pm (1 + i \sqrt{3})</math> y <math>\pm 2</math>.<br />
<br />
--[[Usuario:Belen|Belen]] 04:08 12 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.1&diff=11458
Compleja:ej-cap1.1
2009-12-05T16:53:47Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>'''1. Demuestre que el producto de números complejos cumple con la ley asociativa'''<br />
<br />
Sean <math> z = a + i b, \quad w = c + i d, \quad s = e + i f \, \quad </math> <br />
con <math> \quad a,b,c,d,e,f \in \mbox{R}</math><br />
<br />
<br />
Por demostrar <math> (zw)s = z(ws)\,</math><br />
<br />
<br />
<math>(zw)s = [(a + i b)(c + i d)](e + i f) = [(ac - bd) + i (bc + ad)](e + i f)\,</math><br />
<br />
<br />
<math>=[e(ac - bd) - f(bc + ad)] + i [e(bc + ad) + f(ac - bd) = (ace - bde - bcf - adf) + i (bce + ade + acf - bdf)\, </math><br />
<br />
<br />
Por otra parte<br />
<br />
<math>z(ws) = (a + i b)[(c + i d)(e + i f)] = (a + i b)[(ce - df) + i (de + cf)]\,</math><br />
<br />
<br />
<math>=[a(ce - df) - b(de + cf)] + i [b(ce - df) + a(de + cf)] = (ace - bde - bcf - adf) + i (bce + ade + acf - bdf)\,</math><br />
<br />
<br />
Entonces se cumple <math> (zw)s = z(ws)\,</math>.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 22:15 28 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
== 1.1.2 ==<br />
'''1. Demuestre que <math>\left|\frac{z}{w}\right| = \frac{\left|z\right|}{\left|w\right|}</math>'''<br />
<br />
Sean <math> z = a + i b \quad y \quad w = c + i d\,</math> <br />
<br />
<br />
<math>\left|\frac{z}{w}\right|= \left|\frac{a + i b }{c + i d}\right|= \left|\frac{(a + i b)(c - i d)}{(c + i d)(c - i d)}\right| </math>'''<br />
<br />
<br />
<math>=\left|\frac{(ac + bd) + i (bc - ad)}{c^2 + d^2}\right|= \sqrt{\bigg ( \frac{ac + bd}{c^2 + d^2}\bigg )^2 + \bigg (\frac{bc - ad}{c^2 + d^2}\bigg )^2} = \frac{1}{c^2 + d^2}\sqrt{ (ac + bd)^2 + (bc - ad)^2 <br />
} <br />
</math><br />
<br />
<br />
<math>=\frac{1}{c^2 + d^2}\sqrt{a^2 c^2 + a^2 d^2 + b^2 c^2 + b^2 d^2 <br />
} = \sqrt{\Bigg [\frac{a^2 (c^2 + d^2)}{(c^2 + d^2)^2}\Bigg ] + \Bigg [\frac{b^2 (c^2 + d^2)}{(c^2 + d^2)^2}\Bigg ] <br />
} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}} <br />
</math><br />
<br />
<br />
Por otra parte<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|z\right|}{\left|w\right|} = \frac{\left|a + i b\right|}{\left|c + i d\right|} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}} = \left|\frac{z}{w}\right|</math><br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 22:15 28 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''2. Exprese <math>\overline{\left(\frac{\left(2+3i\right)^2}{4+i}\right)}</math>de la forma <math>x+iy</math>'''<br />
<br />
<br />
Por las propiedades <math>\overline{\left ( \frac{z}{w} \right )}=\frac\bar{z}\bar{w}</math> , <math>\overline{zw}=\bar{z}\bar{w}</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{\overline{\left ({2+3i}\right)^2}}{\overline{\left({4+i}\right)}}=\frac{\overline{\left ({2+3i}\right)}\overline{\left ({2+3i}\right)}}{\overline{\left({4+i}\right)}}=\frac{\left(2-3i\right)\left(2-3i\right)}{\left(4-i\right)}</math><br />
<br />
<br />
Simplificando, se obtiene:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\frac{4-6i-6i-9}{4-i}=\frac{-5-12i}{4-i}</math><br />
<br />
<br />
Resolviendo la división de números complejos, de la forma:<br />
<br />
<br />
<math>\frac{z}{w}=\frac{z\bar{w}}{w\bar{w}}=\frac{z\bar{w}}{\left|w\right|^2}</math>:<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left(-5-12i\right)\left(4+i\right)}{\left(4-i\right)\left(4+i\right)}=\frac{-20-5i-48i+12}{17}=\frac{-8-53i}{17}</math><br />
<br />
<br />
=<math>-\frac{8}{17}-\frac{53}{17}i</math>.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 23:00 28 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''3. Demuestre que <math>\alpha</math> es raiz de un polinomio real si y solo si <math>\overline{\alpha}</math> lo es.'''<br />
<br />
<br />
Sea <math>\overline{\alpha}</math> solucion de un polinomio real,<br />
<br />
entonces <math>\overline{\alpha} \in \mathbb{R}</math><br />
<br />
como <math>\overline{\alpha} = \alpha</math>, por lo tanto <math>\alpha</math> tambien es solucion. <br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 06:35 30 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''5. Sean <math>z_1 , z_2 , z_3 \in \mathbb{C}</math> tales que cumplen <math>\frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} = \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3}</math>, demuestre que estos tres puntos determinan un triángulo equilátero.'''<br />
<br />
[[Image: Comp_triang_eq2.jpg|frame|center|Figura 1]]<br />
<br />
Tenemos que <br />
<br />
<center><math>\left | \frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} \right | = \left | \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} \right |,\qquad (1)</math></center><br />
<br />
y, por lo tanto, <br />
<br />
<center><math>\frac{|z_2 - z_1|}{|z_3 - z_1|} = \frac{|z_1 - z_3|}{|z_2 - z_3|}.\qquad (2)</math></center><br />
<br />
De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber:<br />
<br />
<center><math>\left . \begin{matrix}|z_2 - z_1| = A\\<br />
|z_3 - z_1| = B = |z_1 - z_3|\\<br />
|z_2 - z_3| = C\\<br />
\end{matrix} \right \} \qquad (3)</math></center><br />
<br />
De (2) y (3) tenemos que:<br />
<br />
<center><math>\frac{A}{B} = \frac{B}{C}. \qquad (4)</math></center><br />
<br />
Por triángulos semejantes, se tiene que el ángulo <math>\beta</math> es igual al ángulo <math>\gamma</math> y éste a su vez al ángulo <math>\alpha</math>, es decir,<br />
<br />
<center><math>\alpha = \beta = \gamma. \qquad (5)</math></center><br />
<br />
Y la ecuación (5) es precisamente la condición para que el triángulo ABC de la Figura 1 sea equilátero.<br />
<br />
--[[Usuario:Belen|Belen]] 02:48 29 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
'''6. Sea <math>{\begin{align}z & = x+iy \end{align}}</math>, pruebe que<br />
<math>{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Puesto que el número complejo z puede escribirse como<br />
<br />
<math>{\begin{align}z & = Re(z)+iIm(z) \end{align}}</math><br />
<br />
<math>{\begin{align}\left|{z}\right| & = \sqrt{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2} \end{align}}</math><br />
<br />
<br />
Se deduce que<br />
<br />
<math>{\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{Re(z)}\right|}</math><br />
<br />
<math>{\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Como el cuadrado de un número real no puede ser negativo<br />
<br />
<math>{{[\left|{Re(z)}\right|-\left|{Im(z)}\right|]^2}{\ge }0}</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<math>{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2-2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|{\ge }0}</math><br />
<br />
O sea<br />
<br />
<math>{{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2}{\ge }2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
O de otra manera<br />
<br />
<math>{{\left|{z}\right|^2}{\ge }2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Sumando <math>{\left|{z}\right|^2}</math>, a ambos lados se tiene<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{z}\right|^2+2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Como <br />
<br />
<math>{\begin{align}\left|{z}\right|^2 & = \left|{Re(z)}\right|^2+\left|{Im(z)}\right|^2 \end{align}}</math><br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{Re(z)}\right|^2+\left|{Im(z)}\right|^2+2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
De donde<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }[\left|{Re(z)}\right|+\left|{Im(z)}\right|]^2}</math><br />
<br />
Sacando raíces cuadradas positivas<br />
<br />
<math>{{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}{\ge} \left|{Re(z)}\right|+\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto<br />
<br />
<math>{{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}{\ge}{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:18 29 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
'''6-bis. Sea <math>{\begin{align}z & = x+iy \end{align}}</math>, pruebe que<br />
<math>{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}</math><br />
<br />
Tenemos que <math>{\begin{align}z & = x+iy \end{align}}</math>, entonces de la teoria sabemos que <br />
<br />
<br />
<math>{\begin{align}\left|{z}\right| & = \sqrt{[x]^2+[y]^2} \end{align}}\qquad (1)</math> <br />
<br />
<math>{\left|{x}\right|=\left|{Re(z)}\right|}{\le}{ \left|{z}\right|}</math><br />
<br />
<math>{\left|{y}\right|=\left|{Im(z)}\right|}{\le}{ \left|{z}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Tambien es inmediato que para z <math>\in \mathbb{R}</math>, <math>\overline z = z</math>, y que el cuadrado de cualquier numero real es siempre positivo, entonces de esto se tiene que<br />
<br />
<math>{{[\left|{x}\right|-\left|{y}\right|]^2}{\ge}0}</math><br />
<br />
Desarrollando el binomio se tiene que<br />
<br />
<br />
<math>{[x]^2+[y]^2-2\left|{x}\right|\left|{y}\right|{\ge }0}</math><br />
<br />
<math>{{[x]^2+[y]^2}{\ge }2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math><br />
<br />
Y por la identidad (1) esto se puede escribir como <br />
<br />
<math>{{\left|{z}\right|^2}{\ge }2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math><br />
<br />
Ahora sumando en ambos lados <math>{{\left|{z}\right|^2}}</math> obtenemos lo siguiente<br />
<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{z}\right|^2+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Pero ademas como <math>{{\left|{z}\right|^2}={\left|{x}\right|^2}+{\left|{y}\right|^2}}</math>, lo sustituimos en el resultado anterior<br />
<br />
<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{x}\right|^2}+{\left|{y}\right|^2+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Es facil ver que <br />
<br />
<br />
<math>{{[\left|{x}\right|+\left|{y}\right|]^2}={[x]^2+[y]^2+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}}</math><br />
<br />
<br />
Utilizando este resultado se deduce que <br />
<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }{[\left|{x}\right|+\left|{y}\right|]^2}}</math><br />
<br />
<br />
Y tomando las raices positivas llegamos al siguiente resultado<br />
<br />
<br />
<math>{\sqrt{2}\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Que es lo que se queria mostrar.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 03:56 1 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''7. Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados.<br />
<br />
[[Imagen:Dibujobueno.jpg]]<br />
<br />
Sacamos las normas de los números complejos<br />
<br />
|z|=<math>\sqrt{(a)^2+(b)^2}</math><br />
|w|=<math>\sqrt{(c)^2+(d)^2}</math><br />
<br />
Por algebra de vectores <br />
<br />
<math>|z|+|w|=|h|</math><br />
<br />
Donde |h| es la resultante de |z|+|w|<br />
<br />
<math>\sqrt{(a)^2+(b)^2}</math>+ <math>\sqrt{(c)^2+(d)^2}=|h|</math><br />
<br />
De la misma forma el dibujo nos indica q trasladamos la magnitudes de los vectores<br />
<br />
|w| y |z| y por tanto también tendremos |z|+|w| =|h|<br />
<br />
Entonces si |z|+|w| = |h|<br />
<br />
Aplicando el teorema de pitagoras q nos dice<br />
<br />
d = cateto<br />
<br />
f = cateto<br />
<br />
<math>e^2=d^2+f^2</math> <br />
<br />
entonces tenemos que <br />
<br />
<math>(a)^2+(b)^2=|z|^2</math><br />
<math>(c)^2+(d)^2=|w|^2</math><br />
<br />
Aplicamos pitagoras<br />
<br />
<math>(c)^2+(d)^2+(a)^2+(b)^2=(c)^2+(d)^2+(a)^2+(b)^2</math><br />
<br />
Por tanto <br />
<br />
<math>|z|^2 +|w|^2 = |h|^2</math> se cumple la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de la diagonal.<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 22:47 4 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
== 1.1.3 ==<br />
<br />
'''1. Calcule las raìces cuadradas de <math>3+4i</math> y de <math>1+2i</math>.'''<br />
<br />
<br />
Aplicando la formula para calcular raices cuadradas de numeros complejos.<br />
<br />
<math>\pm\left(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}} + i\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\right)</math> si <math>\quad b>0</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto las raices de <math>3+4i</math>, son:<br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(\sqrt{\frac{3+\sqrt{25}}{2}} + i\sqrt{\frac{-3+\sqrt{25}}{2}}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(\sqrt{\frac{8}{2}} + i\sqrt{1}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(2+i\right)</math><br />
<br />
<br />
y para <math>1+2i</math>, son:<br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} + i\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(\sqrt{1.61} + i\sqrt{0.61}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(1.27 + i 0.78\right).</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 23:44 30 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i'''<br />
<br />
Tenemos que <math>cos\boldsymbol{\theta}+i sen\boldsymbol{\theta}= -64</math> definicion en forma polar<br />
<br />
[[Imagen:Demo2.jpg]]<br />
<br />
r=64 <br />
<br />
n=6 porque nos piden las raíces sextas<br />
<br />
Entonces el argumento <math>\boldsymbol{\theta}=\pi</math><br />
<br />
<br />
<br />
Si <math>x+iy=re^{i\boldsymbol{\theta}}</math><br />
<br />
<br />
Entonces utilizando la definición de Moivre para obtener las raíces<br />
<br />
<br />
<math>(g e^{i\boldsymbol{\phi}n})= r e^{i\boldsymbol{\theta}}</math><br />
<br />
Ahora tenemos<br />
<br />
<math>g^n=r</math> y g= raíz enesima <math>\sqrt{64}</math>= = 2<br />
<br />
y <math>\boldsymbol{\phi}n=\boldsymbol{\theta}+2k\pi</math> los <math>2\pi</math> es porque tomamos en cuenta la periodicidad de la funció n y k son todos los múltiplos de <math>2\pi</math><br />
entonces sacando las raíces<br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6 </math> k=0 <br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi / 6 + 2\pi / 6 = 3\pi / 6</math> k=1 <br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6+2(2)\pi/6= 5\pi/6 </math> k=2 <br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6+(3)2\pi/6= 7\pi/6 </math> k=3<br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6+2(4)\pi/6= 9\pi/6 </math> k=4 <br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6+2(5)\pi/6= 11\pi/6 </math> k=5 <br />
<br />
Las soluciones son<br />
<br />
r1= 2 <math> e^{i( \pi/6)}</math> <br />
<br />
r2= 2 <math> e^{i( 3\pi/6)}</math> <br />
<br />
r3= 2 <math> e^{i( 5\pi/6)}</math> <br />
<br />
r4= 2 <math> e^{i( 7\pi/6)}</math> <br />
<br />
r5= 2 <math> e^{i( 9\pi/6)}</math> <br />
<br />
r6= 2 <math> e^{i( 11\pi/6)}</math> <br />
<br />
Graficando en coordenadas polares nos queda:<br />
<br />
[[Imagen:POLIGONO2.jpg]]<br />
<br />
Haciendo algo similar para el 8i Tenemos<br />
<br />
<math>cos\boldsymbol{\theta}+i sen\boldsymbol{\theta}= 8i</math><br />
<br />
<br />
<br />
[[Imagen:DEMO3.jpg]]<br />
<br />
el argumento <math>\boldsymbol{\theta}=\pi/2</math><br />
<br />
r= 8<br />
<br />
n=3 porque nos pinden las raíces cubicas<br />
<br />
<math>g^n=r</math> y g= raíz enesima <math>\sqrt{8}</math>= = 2<br />
<br />
<math>\boldsymbol{\phi}n = \boldsymbol{\theta}+2k\pi </math><br />
<br />
<math>\boldsymbol{\phi} = \boldsymbol{\theta}+2k\pi =\pi/6 </math> k=0<br />
<br />
<math>\boldsymbol{\phi}=\pi/6+2\pi/3= 5\pi/6</math> k=1 <br />
<br />
<math>\boldsymbol{\phi}==\pi/6+2(2)\pi/3= 9\pi/6</math> k=2 <br />
<br />
r1= 2 <math> e^{i( \pi/6)}</math> <br />
<br />
r2= 2 <math> e^{i( 5\pi/6)}</math> <br />
<br />
r3= 2 <math> e^{i( 9\pi/6)}</math> <br />
<br />
<br />
<br />
Graficando en coordenadas polares tenemos<br />
<br />
<br />
[[Imagen:RAICES.jpg]] <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 21:35 4 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i'''<br />
<br />
<br />
Sea <math> z = -64 = 64(cos\pi + isen\pi)\,</math><br />
<br />
<br />
Por la formula de De Moivre<br />
<br />
<br />
<math>z^{1/6} = 64^{1/6}(cos\pi + sen\pi)^{1/6} = 2 (cos(\frac{\pi+2k\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+2k\pi}{6}))</math> para k = 0,1,2,3,4,5<br />
<br />
<br />
Evaluando k se obtiene<br />
<br />
<br />
con k = 0<br />
<br />
<math>w_{0} = 2(cos(\frac{\pi}{6}) + isen(\frac{\pi}{6})) = \sqrt{3} + i</math> <br />
<br />
con k = 1<br />
<br />
<math>w_{1} = 2(cos(\frac{\pi+2\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+2\pi}{6})) = 2(cos(\frac{\pi}{2}) + isen(\frac{\pi}{2})) = 2i</math> <br />
<br />
con k = 2 <br />
<br />
<math>w_{2} = 2(cos(\frac{\pi+4\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+4\pi}{6})) = 2(cos(\frac{5\pi}{6}) + isen(\frac{5\pi}{6})) = -\sqrt{3} + i</math><br />
<br />
con k = 3<br />
<br />
<math>w_{3} = 2(cos(\frac{\pi+6\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+6\pi}{6})) = 2(cos(\frac{7\pi}{6}) + isen(\frac{7\pi}{6})) = -\sqrt{3} - i</math><br />
<br />
con k = 4<br />
<br />
<math>w_{4} = 2(cos(\frac{\pi+8\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+8\pi}{6})) = 2(cos(\frac{3\pi}{2}) + isen(\frac{3\pi}{2})) = -2i</math><br />
<br />
con k = 5<br />
<br />
<math>w_{5} = 2(cos(\frac{\pi+10\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+10\pi}{6})) = 2(cos(\frac{11\pi}{6}) + isen(\frac{11\pi}{6})) = \sqrt{3} - i</math> <br />
<br />
<br />
..............<br />
<br />
<br />
Sea <math>z = 8i = 8(cos(\frac{\pi}{2}) + sen(\frac{\pi}{2})\,</math><br />
<br />
<br />
<math>z^{1/3} = 8^{1/3}(cos(\frac{\pi}{2}) + isen(\frac{\pi}{2}))^{1/3} = 2(cos(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}) + isen(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}))</math> para k = 0,1,2<br />
<br />
<br />
Evaluando a k se obtiene<br />
<br />
<br />
con k = 0<br />
<br />
<math>w_{0} = 2(cos(\frac{\pi}{6}) + isen(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3} + i</math><br />
<br />
con k = 1<br />
<br />
<math>w_{1} = 2(cos(\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{3}) + isen(\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{3})) = 2(cos(\frac{5\pi}{6}) + isen(\frac{5\pi}{6}) = -\sqrt{3} + i</math><br />
<br />
con k = 2<br />
<br />
<math>w_{2} = 2(cos(\frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}{3}) + isen(\frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}{3})) = 2(cos(\frac{3\pi}{2}) + isen(\frac{3\pi}{2})) = -2i</math><br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 21:07 3 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''3. Demuestre que <math>\ 1+Z+Z^2+...+Z^{n-1}=0</math> donde z es una raíz n-ésima de la unidad,<br />
<math>z\neq 1</math>'''<br />
<br />
<br />
Sea <math>\ S=1+Z+Z^2+...+Z^{n-1}</math><br />
<br />
Ahora multiplicamos ambos lados por Z<br />
<br />
<math>\ ZS=Z+Z^2+Z^3+...+Z^{n-1}+Z^n</math><br />
<br />
Restando la segunda ecuación de la primera<br />
<br />
<math>{(s=1+z+z^2+...+z^{n-1})-(zs=z+^2+z^3+...+z^{n-1}+z^n)}</math><br />
<br />
Tenemos que<br />
<br />
<math>\ {s-zs=1-z^n}</math> <br />
<br />
entonces <br />
<br />
<math>\ {s(1-z)=1-z^n}</math><br />
<br />
De donde<br />
<br />
<math>s=\frac{1-z^n}{1-z}</math><br />
<br />
Como z es una raíz enesima de la unidad<br />
<br />
<math>0=\frac{1-z^n}{1-z}</math><br />
<br />
<br />
<math>\ {1-z^n=0} </math><br />
<br />
<br />
<math>\ {z^n=1} </math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<br />
<math>\ {z^n=1} </math><br />
<br />
y <br />
<br />
<math>{1-z}\ne{0}</math><br />
<br />
<br />
porque<br />
<br />
<math> {z}\ne{1} </math> <br />
<br />
<br />
Por lo tanto<br />
<br />
'''<math> {s=0} </math>''' <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 22:00 2 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''4. Demuestre que:<br />
<center><br />
<math>\frac{n}{2^{n-1}}=\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{\pi}{k}</math><br />
</center><br />
Sugerencia: Factoriza la expresión <math>1+z+z^2+\cdots+z^n</math> usando las raices n-ésimas de la unidad, posteriormente evalue en <math>z=1</math>.'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
Las raices de <math>z^m=1</math> son<br />
<center><br />
<math>z=1,e^{\frac{2\pi i}{m}},e^{\frac{4\pi i}{m}},\dots,e^{\frac{(2m-1)\pi i}{m}}</math><br />
</center><br />
entonces podemos escribir<br />
<center><br />
<math>z^{m-1}=(z-e^{\frac{2\pi i}{m}})(z-e^{\frac{4\pi i}{m}})\cdots(z-e^{\frac{(2m-1)\pi i}{m}})</math><br />
</center><br />
dividiendo ambos lados por <math>z-1</math> y haciendo <math>z=1</math>:<br />
<center><br />
<math>\frac{z^{m-1}}{z-1}=1+z+z^2+\cdots+z^{m-1}</math><br />
</center><br />
de aqui hallamos que<br />
<center><br />
<math>m=(1-e^{\frac{2\pi i}{m}})(1-e^{\frac{4\pi i}{m}})\cdots(1-e^{\frac{(2m-1)\pi i}{m}})\qquad (1)</math><br />
</center><br />
tomando el conjugado complejo de ambos lados de (1)<br />
<center><br />
<math>m=(1-e^{\frac{-2\pi i}{m}})(1-e^{\frac{-4\pi i}{m}})\cdots(1-e^{\frac{-(2m-1)\pi i}{m}})\qquad (2)</math><br />
</center><br />
<br />
Multiplicando la ecuación (1) por la (2) y aplicando que<br />
<center><br />
<math>1-(1-e^{\frac{2k\pi i}{m}})(1-e^{\frac{2k\pi i}{m}})= 2 - 2\cos\frac{2k\pi}{m}</math><br />
</center><br />
tenemos<br />
<center><br />
<math>m^2=2^{m-1}(1-\cos\frac{2\pi}{m})(1-\cos\frac{4\pi}{m})\cdots(1-\cos\frac{2(m-1)\pi}{m})</math><br />
</center><br />
puesto que<br />
<center><br />
<math>1-\cos\frac{2k\pi}{m}=2\sin^2\frac{k\pi}{m}</math><br />
</center><br />
la ecuación anterior se transforma en<br />
<center><br />
<math>m^2=2^{2m-2}(\sin^2\frac{\pi}{m})(\sin^2\frac{2\pi}{m})\cdots(\sin^2\frac{(m-1)\pi}{m})</math><br />
</center><br />
despejando y sacando la raíz en ambos lados de la expresión:<br />
<center><br />
<math>\frac{m}{2^{m-1}}=(\sin\frac{\pi}{m})(\sin\frac{2\pi}{m})\cdots(\sin\frac{(m-1)\pi}{m})</math><br />
</center><br />
<br />
lo que queda demostrada la igualdad.<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 23:10 4 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''5.''' '''Demuestre que'''<br />
<br />
<math>1+cos\phi+cos2\phi+...............+cos n\phi=\frac{1}{2}+\frac{sen\left(n\phi+\frac{\phi}{2}\right)}{2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)}</math>, <br />
<br />
'''donde''' '''<math>\phi</math> ''' '''no es un multiplo par de''' '''<math>\pi</math>.'''<br />
<br />
<br />
<br />
'''Esta identidad se le atribuye a Lagrange.''' <br />
<br />
<br />
Sugerencia: calcular la parte real de <br />
<br />
<br />
<math>1+z+z^{2}+..........+z^{n}</math>, donde <math>z=cos\phi+isen\phi</math>. <br />
<br />
<br />
<br />
'''Solucion.'''<br />
<br />
Sea <br />
<br />
<math>S=1+z+z^{2}+.......+z^{n}</math> si multiplicamos por <math>z</math> a <math>S</math> se tiene que <br />
<br />
<br />
<math>zS=z+z^{2}+z^{3}+......+z^{n}+z^{n+1}</math> ahora restemos estas dos ultimas expresiones<br />
<br />
<br />
<math>\left(S-zS\right)=\left(1-z\right)S=1-z^{n+1}</math> de lo que se obtiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>S=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}</math><br />
<br />
<br />
Si en esta última expresion utilizamos <math>z=cos\phi+isen\phi</math> entonces <br />
<br />
<br />
<math>S=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}</math> <br />
<br />
<br />
toma la siguiente forma<br />
<br />
<br />
<math>1+\left(cos\phi+isen\phi\right)+\left(cos\phi+isen\phi\right)^{2}+........+\left(cos\phi+isen\phi\right)^{n}=\frac{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)^{n+1}}{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)} </math><br />
<br />
<br />
que es equivalente a esta<br />
<br />
<br />
<math>1+\left(cos\phi+isen\phi\right)+\left(cos2\phi+isen2\phi\right)+........+\left(cosn\phi+isen\left(n\phi\right)\right)=\frac{1-\left(cos\left(n+1\right)\phi+isen\left(n+1\right)\phi\right)}{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)}</math><br />
<br />
<br />
Tomando el lado derecho de esta ultima expresión y llevar a cabo el producto con su conjugado , es decir:<br />
<br />
<br />
<math>\left(\frac{1-cos\left(n\phi+\phi\right)-isen\left(n\phi+\phi\right)}{1-cos\phi-isen\phi}\right)\star\left(\frac{1-cos\phi+isen\phi}{1-cos\phi+isen\phi}\right)<br />
</math><br />
<br />
<br />
<br />
Se obtiene del numerador lo siguiente<br />
<br />
<br />
<br />
<math>1-cos\phi+isen\phi-cosn\left(n\phi+\phi\right)+cos\phi cos\left(n\phi+\phi\right)-isen\phi cos\left(n\phi+\phi\right)-isen\left(n\phi+\phi\right)+icos\phi sen\left(n\phi+\phi\right)+sen\phi sen\left(n\phi+\phi\right)<br />
</math><br />
<br />
<br />
si tomamos solo la parte real se tiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>1-cos\phi-cos\left(n\phi+\phi\right)+cos\phi cos\left(n\phi+\phi\right)+sen\phi sen\left(n\phi+\phi\right)=</math><br />
<br />
<br />
<math>1-cos\phi+cos\left(n\phi-\phi\right)-cos\left(n\phi+\phi\right)</math><math>=</math> <math>1-cos\phi+2sen\phi sen\phi</math><br />
<br />
<br />
<br />
por otra parte para el denominador se tiene:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left(1-cos\phi\right)^{2}+sen^{2}\phi=</math><br />
<br />
<br />
<math>1-2cos\phi+sen^{2}\phi+cos^{2}\phi=</math> <math>2\left(1-cos\phi\right)</math><br />
<br />
<br />
<br />
al tomar la parte real de <br />
<br />
<br />
<math>1+\left(cos\phi+isen\phi\right)+\left(cos2\phi+isen2\phi\right)+........+\left(cosn\phi+isenn\phi\right)=\frac{1-\left(cos\left(n+1\right)\phi+isen\left(n+1\right)\phi\right)}{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)}</math>,<br />
<br />
<br />
<br />
sustituir lo encontrado para el numerador (parte real) y el denominador , y utilizar la siguiente<br />
identidad <br />
<br />
<br />
<math>sen\left(\frac{\phi}{2}\right)=\sqrt{\frac{1-cos\phi}{2}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
tenemos lo siguiente:<br />
<br />
<br />
<math><br />
1+cos\phi+cos2\phi+...............+cosn\phi=\frac{2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)+sen\phi sen\left(n\phi\right)}{2\left(2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)\right)}=\frac{1}{2}+\frac{sen\phi sen\left(n\phi\right)}{2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Lo cual es casi a lo que se queria llegar.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 00:01 5 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== 1.1.4 ==<br />
<br />
'''1. Demuestre que:'''<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}\left | \textstyle \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k} \right | ^2 = \left (\sum_{k=1}^n \left| Z_{k} \right|^2 \right) \left(\sum_{k=1}^n \left| W_{k} \right|^2 \right) -\sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2. \qquad (I)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
'''Se conoce como igualdad de Lagrange'''<br />
<br />
<br />
<br />
'''Solución.'''<br />
<br />
<br />
Esta demostración se hará por inducción, es decir, empezaremos suponiendo que el elemento <math> n-1</math> se encuentra en el conjunto, pues entonces el resultado implica que el elemento <math>n</math> esta en el conjunto.<br />
<br />
<br />
Sea <math>\eth=\left\{ \omega\in\mathbb{N\,}tal\, que\left(I\right)\, se\, cumpla\right\}<br />
</math><br />
<br />
<br />
Supongamos que <math>n-1</math> esta en <math>\eth</math> , es decir,<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
<br />
\left| \textstyle \sum_{k=1}^ {n-1} Z_{k}W_{k} \right|= \left(\sum_{k=1}^ {n-1} \left|Z_{k} \right| ^{2}\right) \left (\sum_{l=1}^ {n-1} \left|W_{l}\right|^{2}\right)-\sum_{1<j<k<n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^{2}<br />
\qquad (i)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Tenemos que:<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left(\sum_{k=1}^n \left| Z_{k}\right| ^2\right) \left(\sum_{l=1}^n \left| W_{l}\right| ^2 \right)-\sum_{1<j<k\leq n} \left| Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2<br />
<br />
\qquad (ii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph= \left(\sum_{k=1}^{n-1} \left| Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \right) \left(\sum_{l=1}^{n-1} \left| W_{l}\right|^2+ \left|W_{n}\right|^2 \right)-\sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2<br />
<br />
\qquad (iii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph= \left(\sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 \right) \left(\sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 \right)+\left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 +\left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2+ \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2 -\sum_{1<j<k\leq n}\left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2<br />
<br />
<br />
\qquad (iv)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
<br />
\aleph= \left(\sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 \right)\left(\sum_{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^2 \right)-\sum_{1<j<k\leq n}\left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1}\left|Z_{k}\right|^2+\left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
<br />
\qquad (v)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Pero veamos la forma que toman las siguientes expresiones al expandir la suma,<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 = \left|Z_{1}\overline{W}_{2}-Z_{2}\overline{W}_{1}\right|^2 +\left|Z_{1}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{1}\right|^2 +..............+\left|Z_{1}\overline{W}_{n}-Z_{1}\overline{W}_{n}\right|^2 +...........+ \left|Z_{2}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{2}\right|^2 +...........+ \left|Z_{2}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{2}\right|^2+..........+ \left|Z_{n-1}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{n-1}\right|^2<br />
<br />
\qquad (vi)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\sum_{1<j<k\leq n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 = \left|Z_{1}\overline{W}_{2}-Z_{2}\overline{W}_{1}\right|^2 + \left|Z_{1}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{1}\right|^2+..........+\left|Z_{1}\overline{W}_{n-1}-Z_{n-1}\overline{W}_{1}\right|^2 +..........+ \left|Z_{2}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{2}\right|^2+...........+\left|Z_{2}\overline{W}_{n-1}-Z_{n-1}\overline{W}_{2}\right|^2 +...........+ \left|Z_{n-2}\overline{W}_{n-1}-Z_{n-1}\overline{W}_{n-2}\right|^2<br />
<br />
<br />
\qquad (vii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Al comparar las expresiones <math> vi</math> con <math>vii</math> se observa que:<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j} \right|^2= \sum_{1<j<k\leq n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 + \sum_{j=1}^{n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{j}\right|^2<br />
<br />
\qquad (viii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Entonces si ahora utilizamos las expresiones <math>viii</math>, <math> I</math> e <math>i</math> podemos re-escribir <math>\aleph</math> de la manera siguiente:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^{n-1}Z_{k}W_{k}\right|^2-\sum_{j=1}^{n-1}\left|Z_{j}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{j}\right|^2 + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1}\left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
\qquad (ix)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph= \left(\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k} - Z_{n}W_{n}\right) \left(\sum_{l=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k} -\overline{Z}_{n} \overline{W}_{n}\right) - \sum_{j=1}^{n-1} \left(Z_{j}\overline{W}_{n} - Z_{n}\overline{W}_{j}\right) \left(\overline{Z}_{j}W_{n} - \overline{Z}_{n}W_{j}\right) + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 +\left|Z_{n} \right|^2\sum_{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
\qquad (x)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^{n}Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{l=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k}+ \left|Z_{n}W_{n}\right|^2 - \left[\sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}\overline{W}_{n}\overline{Z}_{j}W_{n}- \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}\overline{W}_{n}\overline{Z}_{n}W_{j}- \sum_{j=1}^{n-1} Z_{n}\overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}W_{n} + \sum_{j=1}^{n-1} Z_{n}\overline{W}_{j} \overline{Z}_{n}W_{j}\right] + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l} \right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
\qquad (xi)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{k=1}^n \overline{Z}_{k} \overline{W}_{k}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2 - W_{n}\overline{W}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}\overline{Z}_{j}+\overline{W}_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}W_{j}+W_{n}Z_{n} \sum_{j=1}^{n-1}\overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}-Z_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} W_{j}\overline{W}_{j} + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
\qquad (xii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{k=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2- \left|W_{n}\right|^2 \sum_{j=1}^{n-1} \left|Z_{j}\right|^2 + \overline{W}_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}W_{j}+W_{n}Z_{n} \sum_{j=1}^{n-1} \overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}-\left|Z_{n}\right|^2 \sum_{j=1}^{n-1} \left|W_{j}\right|^2+\left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
\qquad (xiii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left| \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n} \overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{k=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2+ \overline{W}_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1}Z_{j}W_{j}+W_{n}Z_{n} \sum_{j=1}^{n-1} \overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2<br />
\qquad (xiv)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n} \overline{W}_{n}Z_{n}W_{n}-Z_{n}W_{n} \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2<br />
\qquad (xv)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2<br />
\qquad (xvi)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
por lo tanto si <math>n-1</math> <math>\in</math> <math>\eth</math> <math>\Longrightarrow</math> <math>n\in</math> <math>\eth</math> .<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 03:31 14 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.- Sean <math>z_{1},z_{2},...,z_{n}\,</math> numeros complejos, ¿Bajo que condiciones se tiene que <math>|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}| = |z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}|\,</math> ?'''<br />
<br />
<br />
Si <math>z_{1} = z_{2} = ... = z_{n}\,</math>, entonces<br />
<br />
<br />
<math>|z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}| = n|z_{1}|\,</math><br />
<br />
<br />
por otro lado<br />
<br />
<br />
<math>|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}| = |nz_{1}| = n|z_{1}|\,</math><br />
<br />
<br />
y por lo tanto<br />
<br />
<br />
<math>|z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}| = |z_{1}+z_{2}+...+z_{n}|\,</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 02:52 5 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
'''2.- Sean <math>z_{1},z_{2},...,z_{n}\,</math> numeros complejos, ¿Bajo que condiciones se tiene que <math>|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}| = |z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}|\,</math> ?'''<br />
<br />
Tomando como punto de partida la demostracion de la desigualdad del triangulo. Podemos generalizar por medio de la inducción matemática a sumas de cualquier número finito de términos.<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}\right|\leq\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{n}\right|,(n = 1,2,3,...)\qquad (1)</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Es claro ver que cuando n = 2 se cumple la desigualdad del triangulo.<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_{1}+z_{2}\right|\leq\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|</math><br />
<br />
<br />
<br />
Ahora suponiendo que (1) es válida cuando n=m, debe ser tambien para n=m+1, y aplicando la desigualdad del triangulo:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|\left(z_{1}+z_{2}+...+z_{m}\right)+z_{m+1}\right|\leq\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{m}\right|+\left|z_{m+1}\right|</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|(z_{1}+z_{2}+...+z_{m})+z_{m+1}\right|\leq(\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{m}\right|)+\left|z_{m+1}\right|</math><br />
<br />
<br />
<br />
En donde los primeros m terminos los redefiniremos como Z<math>_{I},</math> y el termino m+1 como Z<math>_{II},</math>. Entonces lo anterior queda como:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|Z_{I}+Z_{II}\right|\leq\left|Z_{I}\right|+\left|Z_{II}\right|</math><br />
<br />
<br />
Ahora escribiendolo como igualdad<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|Z_{I}+Z_{II}\right|=\left|Z_{I}\right|+\left|Z_{II}\right|\equiv\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{m}+z_{m+1}\right|=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{m}\right|+\left|z_{m+1}\right|</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{m}+z_{m+1}\right|=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{m}\right|+\left|z_{m+1}\right|\equiv\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}\right|=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{n}\right|</math><br />
<br />
<br />
<br />
Esta desigualdad solo se cumple como igualdad cuando los numeros son colineales y tienen la misma direccion, esto tambien puede ser en los real (Re) o el imaginario (Im).<br />
<br />
Esto es muy claro ver cuando n=2, en una grafica.<br />
<br />
<br />
[[Imagen:Suma.gif]][[Imagen:Suma2.gif]]<br />
<br />
<br />
<br />
Aquí les dejo el enlace de la pagina donde consulte el código para generar las graficas para los que les interese.<br />
[http://demonstrations.wolfram.com/ComplexAddition/ Demostracion grafica]<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 03:41 16 oct 2009 (UTC)<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 03:07 6 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''3. Encuentre el ínfimo de <math>\left | z^3 + 2 i \right |</math> en la región <math>\left \{ z \mid |z| \ge 2 \right \}</math>, y describa en qué puntos se alcanza.'''<br />
<br />
<br />
Con una variante de la desigualdad del triángulo, tenemos que<br />
<br />
<center><math>\left | z^3 + i \right | \ge \left | |z|^3 -1 \right | \ge 8-1. </math></center><br />
Por tanto, <br />
<center><math> 7 \le \left | z^3 + i \right |. \qquad (1) </math></center><br />
<br />
Entonces, el ínfimo de la expresión es 7.<br />
<br />
Por otro lado, tenemos que, si <math>z = r \left ( cos \theta + 1 \sin \theta \right )</math><br />
<br />
<center><math> <br />
\begin{align}<br />
\left | z^3 + i \right | ^2 & = \left | r ^3 \left ( \cos 3\theta + i \sin 3\theta \right ) + 1 \right | ^2 \\<br />
& = \left | r^3 \cos 3\theta + 1 + i r^3 \sin 3\theta \right | ^2 \\<br />
& = r^6 + 2 r^3 \cos 3\theta + 1. \\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
Si tomamos la cota inferior, <math>\left | z \right | = 2</math>, la expresión anterior es entonces:<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}<br />
\left | z^3 + i \right | ^2 & = r^6 + 2 r^3 \cos 3\theta + 1 \\<br />
& = 65 + 2 r^3 \cos 3\theta. \\<br />
\end{align}<br />
</math></center> <br />
<br />
Ya que la función coseno tiene su mínimo en el valor -1, tomemos una <math>\theta</math> tal que <math>\cos 3\theta {{=}} -1</math>. Para este caso, tenemos dos valores: <math>\theta_1 {{=}} \frac {\pi}{3}</math> y <math>\theta_2 {{=}} \pi </math>,<br />
<br />
de tal forma que, con estos valores, <br />
<center><math>\left | z^3 + i \right | ^2 = 65 - 16 = 49. </math></center><br />
<br />
Con la fórmula de De Moivre, tenemos que el ínfimo de la expresión dada toma ese valor en <math>z_1</math> y <math>z_2</math> tales que<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}<br />
z_1 & = 2 \left ( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right ) \\<br />
& = 2 \left ( \cos \frac {\pi}{3} + i \sin \frac {\pi}{3} \right )\\<br />
& = 2 \left ( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right ) \\<br />
z_1 & = 1 + i \sqrt{3}, \qquad (2)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
y<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}<br />
z_2 & = 2 \left ( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right ) \\<br />
& = 2 \left ( \cos \pi + i \sin \pi \right )\\<br />
z_2 & = -2. \qquad (3)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
Pero, además, por le geometría de los números complejos, tenemos otros dos valores <math>z_3</math> y <math>z_4</math> tales que <br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}<br />
z_3 & = 2 \left ( \cos \theta_1+\pi + i \sin \theta_1+\pi \right ) \\<br />
& = 2 \left ( \cos \frac {4\pi}{3} + i \sin \frac {4\pi}{3} \right )\\<br />
& = 2 \left ( - \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \right ) \\<br />
& = -1 - i \sqrt{3} \\<br />
z_3 & = - z_1, \qquad (4)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
y<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}<br />
z_4 & = 2 \left ( \cos \theta_2+\pi + i \sin \theta_2+\pi \right ) \\<br />
& = 2 \left ( \cos 2\pi + i \sin 2\pi \right )\\<br />
& = 2 \\<br />
z_4 & = -z_2. \qquad (5)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
Por tanto, las expresiones (2), (3), (4) y (5) nos proporcionan los valores en que el ínfimo es tomado, a saber, <math>\pm (1 + i \sqrt{3})</math> y <math>\pm 2</math>.<br />
<br />
--[[Usuario:Belen|Belen]] 04:08 12 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.1&diff=11457
Compleja:ej-cap1.1
2009-12-05T16:52:34Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>'''1. Demuestre que el producto de números complejos cumple con la ley asociativa'''<br />
<br />
Sean <math> z = a + i b, \quad w = c + i d, \quad s = e + i f \, \quad </math> <br />
con <math> \quad a,b,c,d,e,f \in \mbox{R}</math><br />
<br />
<br />
Por demostrar <math> (zw)s = z(ws)\,</math><br />
<br />
<br />
<math>(zw)s = [(a + i b)(c + i d)](e + i f) = [(ac - bd) + i (bc + ad)](e + i f)\,</math><br />
<br />
<br />
<math>=[e(ac - bd) - f(bc + ad)] + i [e(bc + ad) + f(ac - bd) = (ace - bde - bcf - adf) + i (bce + ade + acf - bdf)\, </math><br />
<br />
<br />
Por otra parte<br />
<br />
<math>z(ws) = (a + i b)[(c + i d)(e + i f)] = (a + i b)[(ce - df) + i (de + cf)]\,</math><br />
<br />
<br />
<math>=[a(ce - df) - b(de + cf)] + i [b(ce - df) + a(de + cf)] = (ace - bde - bcf - adf) + i (bce + ade + acf - bdf)\,</math><br />
<br />
<br />
Entonces se cumple <math> (zw)s = z(ws)\,</math>.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 22:15 28 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
== 1.1.2 ==<br />
'''1. Demuestre que <math>\left|\frac{z}{w}\right| = \frac{\left|z\right|}{\left|w\right|}</math>'''<br />
<br />
Sean <math> z = a + i b \quad y \quad w = c + i d\,</math> <br />
<br />
<br />
<math>\left|\frac{z}{w}\right|= \left|\frac{a + i b }{c + i d}\right|= \left|\frac{(a + i b)(c - i d)}{(c + i d)(c - i d)}\right| </math>'''<br />
<br />
<br />
<math>=\left|\frac{(ac + bd) + i (bc - ad)}{c^2 + d^2}\right|= \sqrt{\bigg ( \frac{ac + bd}{c^2 + d^2}\bigg )^2 + \bigg (\frac{bc - ad}{c^2 + d^2}\bigg )^2} = \frac{1}{c^2 + d^2}\sqrt{ (ac + bd)^2 + (bc - ad)^2 <br />
} <br />
</math><br />
<br />
<br />
<math>=\frac{1}{c^2 + d^2}\sqrt{a^2 c^2 + a^2 d^2 + b^2 c^2 + b^2 d^2 <br />
} = \sqrt{\Bigg [\frac{a^2 (c^2 + d^2)}{(c^2 + d^2)^2}\Bigg ] + \Bigg [\frac{b^2 (c^2 + d^2)}{(c^2 + d^2)^2}\Bigg ] <br />
} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}} <br />
</math><br />
<br />
<br />
Por otra parte<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|z\right|}{\left|w\right|} = \frac{\left|a + i b\right|}{\left|c + i d\right|} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}} = \left|\frac{z}{w}\right|</math><br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 22:15 28 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''2. Exprese <math>\overline{\left(\frac{\left(2+3i\right)^2}{4+i}\right)}</math>de la forma <math>x+iy</math>'''<br />
<br />
<br />
Por las propiedades <math>\overline{\left ( \frac{z}{w} \right )}=\frac\bar{z}\bar{w}</math> , <math>\overline{zw}=\bar{z}\bar{w}</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{\overline{\left ({2+3i}\right)^2}}{\overline{\left({4+i}\right)}}=\frac{\overline{\left ({2+3i}\right)}\overline{\left ({2+3i}\right)}}{\overline{\left({4+i}\right)}}=\frac{\left(2-3i\right)\left(2-3i\right)}{\left(4-i\right)}</math><br />
<br />
<br />
Simplificando, se obtiene:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\frac{4-6i-6i-9}{4-i}=\frac{-5-12i}{4-i}</math><br />
<br />
<br />
Resolviendo la división de números complejos, de la forma:<br />
<br />
<br />
<math>\frac{z}{w}=\frac{z\bar{w}}{w\bar{w}}=\frac{z\bar{w}}{\left|w\right|^2}</math>:<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left(-5-12i\right)\left(4+i\right)}{\left(4-i\right)\left(4+i\right)}=\frac{-20-5i-48i+12}{17}=\frac{-8-53i}{17}</math><br />
<br />
<br />
=<math>-\frac{8}{17}-\frac{53}{17}i</math>.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 23:00 28 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''3. Demuestre que <math>\alpha</math> es raiz de un polinomio real si y solo si <math>\overline{\alpha}</math> lo es.'''<br />
<br />
<br />
Sea <math>\overline{\alpha}</math> solucion de un polinomio real,<br />
<br />
entonces <math>\overline{\alpha} \in \mathbb{R}</math><br />
<br />
como <math>\overline{\alpha} = \alpha</math>, por lo tanto <math>\alpha</math> tambien es solucion. <br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 06:35 30 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''5. Sean <math>z_1 , z_2 , z_3 \in \mathbb{C}</math> tales que cumplen <math>\frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} = \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3}</math>, demuestre que estos tres puntos determinan un triángulo equilátero.'''<br />
<br />
[[Image: Comp_triang_eq2.jpg|frame|center|Figura 1]]<br />
<br />
Tenemos que <br />
<br />
<center><math>\left | \frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} \right | = \left | \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} \right |,\qquad (1)</math></center><br />
<br />
y, por lo tanto, <br />
<br />
<center><math>\frac{|z_2 - z_1|}{|z_3 - z_1|} = \frac{|z_1 - z_3|}{|z_2 - z_3|}.\qquad (2)</math></center><br />
<br />
De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber:<br />
<br />
<center><math>\left . \begin{matrix}|z_2 - z_1| = A\\<br />
|z_3 - z_1| = B = |z_1 - z_3|\\<br />
|z_2 - z_3| = C\\<br />
\end{matrix} \right \} \qquad (3)</math></center><br />
<br />
De (2) y (3) tenemos que:<br />
<br />
<center><math>\frac{A}{B} = \frac{B}{C}. \qquad (4)</math></center><br />
<br />
Por triángulos semejantes, se tiene que el ángulo <math>\beta</math> es igual al ángulo <math>\gamma</math> y éste a su vez al ángulo <math>\alpha</math>, es decir,<br />
<br />
<center><math>\alpha = \beta = \gamma. \qquad (5)</math></center><br />
<br />
Y la ecuación (5) es precisamente la condición para que el triángulo ABC de la Figura 1 sea equilátero.<br />
<br />
--[[Usuario:Belen|Belen]] 02:48 29 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
'''6. Sea <math>{\begin{align}z & = x+iy \end{align}}</math>, pruebe que<br />
<math>{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Puesto que el número complejo z puede escribirse como<br />
<br />
<math>{\begin{align}z & = Re(z)+iIm(z) \end{align}}</math><br />
<br />
<math>{\begin{align}\left|{z}\right| & = \sqrt{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2} \end{align}}</math><br />
<br />
<br />
Se deduce que<br />
<br />
<math>{\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{Re(z)}\right|}</math><br />
<br />
<math>{\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Como el cuadrado de un número real no puede ser negativo<br />
<br />
<math>{{[\left|{Re(z)}\right|-\left|{Im(z)}\right|]^2}{\ge }0}</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<math>{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2-2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|{\ge }0}</math><br />
<br />
O sea<br />
<br />
<math>{{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2}{\ge }2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
O de otra manera<br />
<br />
<math>{{\left|{z}\right|^2}{\ge }2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Sumando <math>{\left|{z}\right|^2}</math>, a ambos lados se tiene<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{z}\right|^2+2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Como <br />
<br />
<math>{\begin{align}\left|{z}\right|^2 & = \left|{Re(z)}\right|^2+\left|{Im(z)}\right|^2 \end{align}}</math><br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{Re(z)}\right|^2+\left|{Im(z)}\right|^2+2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
De donde<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }[\left|{Re(z)}\right|+\left|{Im(z)}\right|]^2}</math><br />
<br />
Sacando raíces cuadradas positivas<br />
<br />
<math>{{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}{\ge} \left|{Re(z)}\right|+\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto<br />
<br />
<math>{{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}{\ge}{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:18 29 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
'''6-bis. Sea <math>{\begin{align}z & = x+iy \end{align}}</math>, pruebe que<br />
<math>{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}</math><br />
<br />
Tenemos que <math>{\begin{align}z & = x+iy \end{align}}</math>, entonces de la teoria sabemos que <br />
<br />
<br />
<math>{\begin{align}\left|{z}\right| & = \sqrt{[x]^2+[y]^2} \end{align}}\qquad (1)</math> <br />
<br />
<math>{\left|{x}\right|=\left|{Re(z)}\right|}{\le}{ \left|{z}\right|}</math><br />
<br />
<math>{\left|{y}\right|=\left|{Im(z)}\right|}{\le}{ \left|{z}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Tambien es inmediato que para z <math>\in \mathbb{R}</math>, <math>\overline z = z</math>, y que el cuadrado de cualquier numero real es siempre positivo, entonces de esto se tiene que<br />
<br />
<math>{{[\left|{x}\right|-\left|{y}\right|]^2}{\ge}0}</math><br />
<br />
Desarrollando el binomio se tiene que<br />
<br />
<br />
<math>{[x]^2+[y]^2-2\left|{x}\right|\left|{y}\right|{\ge }0}</math><br />
<br />
<math>{{[x]^2+[y]^2}{\ge }2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math><br />
<br />
Y por la identidad (1) esto se puede escribir como <br />
<br />
<math>{{\left|{z}\right|^2}{\ge }2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math><br />
<br />
Ahora sumando en ambos lados <math>{{\left|{z}\right|^2}}</math> obtenemos lo siguiente<br />
<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{z}\right|^2+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Pero ademas como <math>{{\left|{z}\right|^2}={\left|{x}\right|^2}+{\left|{y}\right|^2}}</math>, lo sustituimos en el resultado anterior<br />
<br />
<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{x}\right|^2}+{\left|{y}\right|^2+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Es facil ver que <br />
<br />
<br />
<math>{{[\left|{x}\right|+\left|{y}\right|]^2}={[x]^2+[y]^2+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}}</math><br />
<br />
<br />
Utilizando este resultado se deduce que <br />
<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }{[\left|{x}\right|+\left|{y}\right|]^2}}</math><br />
<br />
<br />
Y tomando las raices positivas llegamos al siguiente resultado<br />
<br />
<br />
<math>{\sqrt{2}\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Que es lo que se queria mostrar.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 03:56 1 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''7. Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados.<br />
<br />
[[Imagen:Dibujobueno.jpg]]<br />
<br />
Sacamos las normas de los números complejos<br />
<br />
|z|=<math>\sqrt{(a)^2+(b)^2}</math><br />
|w|=<math>\sqrt{(c)^2+(d)^2}</math><br />
<br />
Por algebra de vectores <br />
<br />
<math>|z|+|w|=|h|</math><br />
<br />
Donde |h| es la resultante de |z|+|w|<br />
<br />
<math>\sqrt{(a)^2+(b)^2}</math>+ <math>\sqrt{(c)^2+(d)^2}=|h|</math><br />
<br />
De la misma forma el dibujo nos indica q trasladamos la magnitudes de los vectores<br />
<br />
|w| y |z| y por tanto también tendremos |z|+|w| =|h|<br />
<br />
Entonces si |z|+|w| = |h|<br />
<br />
Aplicando el teorema de pitagoras q nos dice<br />
<br />
d = cateto<br />
<br />
f = cateto<br />
<br />
<math>e^2=d^2+f^2</math> <br />
<br />
entonces tenemos que <br />
<br />
<math>(a)^2+(b)^2=|z|^2</math><br />
<math>(c)^2+(d)^2=|w|^2</math><br />
<br />
Aplicamos pitagoras<br />
<br />
<math>(c)^2+(d)^2+(a)^2+(b)^2=(c)^2+(d)^2+(a)^2+(b)^2</math><br />
<br />
Por tanto <br />
<br />
<math>|z|^2 +|w|^2 = |h|^2</math> se cumple la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de la diagonal.<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 22:47 4 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
== 1.1.3 ==<br />
<br />
'''1. Calcule las raìces cuadradas de <math>3+4i</math> y de <math>1+2i</math>.'''<br />
<br />
<br />
Aplicando la formula para calcular raices cuadradas de numeros complejos.<br />
<br />
<math>\pm\left(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}} + i\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\right)</math> si <math>\quad b>0</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto las raices de <math>3+4i</math>, son:<br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(\sqrt{\frac{3+\sqrt{25}}{2}} + i\sqrt{\frac{-3+\sqrt{25}}{2}}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(\sqrt{\frac{8}{2}} + i\sqrt{1}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(2+i\right)</math><br />
<br />
<br />
y para <math>1+2i</math>, son:<br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} + i\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(\sqrt{1.61} + i\sqrt{0.61}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(1.27 + i 0.78\right).</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 23:44 30 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i'''<br />
<br />
Tenemos que <math>cos\boldsymbol{\theta}+i sen\boldsymbol{\theta}= -64</math> definicion en forma polar<br />
<br />
[[Imagen:Demo2.jpg]]<br />
<br />
r=64 <br />
<br />
n=6 porque nos piden las raíces sextas<br />
<br />
Entonces el argumento <math>\boldsymbol{\theta}=\pi</math><br />
<br />
<br />
<br />
Si <math>x+iy=re^{i\boldsymbol{\theta}}</math><br />
<br />
<br />
Entonces utilizando la definición de Moivre para obtener las raíces<br />
<br />
<br />
<math>(g e^{i\boldsymbol{\phi}n})= r e^{i\boldsymbol{\theta}}</math><br />
<br />
Ahora tenemos<br />
<br />
<math>g^n=r</math> y g= raíz enesima <math>\sqrt{64}</math>= = 2<br />
<br />
y <math>\boldsymbol{\phi}n=\boldsymbol{\theta}+2k\pi</math> los <math>2\pi</math> es porque tomamos en cuenta la periodicidad de la funció n y k son todos los múltiplos de <math>2\pi</math><br />
entonces sacando las raíces<br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6 </math> k=0 <br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi / 6 + 2\pi / 6 = 3\pi / 6</math> k=1 <br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6+2(2)\pi/6= 5\pi/6 </math> k=2 <br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6+(3)2\pi/6= 7\pi/6 </math> k=3<br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6+2(4)\pi/6= 9\pi/6 </math> k=4 <br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6+2(5)\pi/6= 11\pi/6 </math> k=5 <br />
<br />
Las soluciones son<br />
<br />
r1= 2 <math> e^{i( \pi/6)}</math> <br />
<br />
r2= 2 <math> e^{i( 3\pi/6)}</math> <br />
<br />
r3= 2 <math> e^{i( 5\pi/6)}</math> <br />
<br />
r4= 2 <math> e^{i( 7\pi/6)}</math> <br />
<br />
r5= 2 <math> e^{i( 9\pi/6)}</math> <br />
<br />
r6= 2 <math> e^{i( 11\pi/6)}</math> <br />
<br />
Graficando en coordenadas polares nos queda:<br />
<br />
[[Imagen:POLIGONO2.jpg]]<br />
<br />
Haciendo algo similar para el 8i Tenemos<br />
<br />
<math>cos\boldsymbol{\theta}+i sen\boldsymbol{\theta}= 8i</math><br />
<br />
<br />
<br />
[[Imagen:DEMO3.jpg]]<br />
<br />
el argumento <math>\boldsymbol{\theta}=\pi/2</math><br />
<br />
r= 8<br />
<br />
n=3 porque nos pinden las raíces cubicas<br />
<br />
<math>g^n=r</math> y g= raíz enesima <math>\sqrt{8}</math>= = 2<br />
<br />
<math>\boldsymbol{\phi}n = \boldsymbol{\theta}+2k\pi </math><br />
<br />
<math>\boldsymbol{\phi} = \boldsymbol{\theta}+2k\pi =\pi/6 </math> k=0<br />
<br />
<math>\boldsymbol{\phi}=\pi/6+2\pi/3= 5\pi/6</math> k=1 <br />
<br />
<math>\boldsymbol{\phi}==\pi/6+2(2)\pi/3= 9\pi/6</math> k=2 <br />
<br />
r1= 2 <math> e^{i( \pi/6)}</math> <br />
<br />
r2= 2 <math> e^{i( 5\pi/6)}</math> <br />
<br />
r3= 2 <math> e^{i( 9\pi/6)}</math> <br />
<br />
<br />
<br />
Graficando en coordenadas polares tenemos<br />
<br />
<br />
[[Imagen:RAICES.jpg]] <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 21:35 4 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i'''<br />
<br />
<br />
Sea <math> z = -64 = 64(cos\pi + isen\pi)\,</math><br />
<br />
<br />
Por la formula de De Moivre<br />
<br />
<br />
<math>z^{1/6} = 64^{1/6}(cos\pi + sen\pi)^{1/6} = 2 (cos(\frac{\pi+2k\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+2k\pi}{6}))</math> para k = 0,1,2,3,4,5<br />
<br />
<br />
Evaluando k se obtiene<br />
<br />
<br />
con k = 0<br />
<br />
<math>w_{0} = 2(cos(\frac{\pi}{6}) + isen(\frac{\pi}{6})) = \sqrt{3} + i</math> <br />
<br />
con k = 1<br />
<br />
<math>w_{1} = 2(cos(\frac{\pi+2\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+2\pi}{6})) = 2(cos(\frac{\pi}{2}) + isen(\frac{\pi}{2})) = 2i</math> <br />
<br />
con k = 2 <br />
<br />
<math>w_{2} = 2(cos(\frac{\pi+4\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+4\pi}{6})) = 2(cos(\frac{5\pi}{6}) + isen(\frac{5\pi}{6})) = -\sqrt{3} + i</math><br />
<br />
con k = 3<br />
<br />
<math>w_{3} = 2(cos(\frac{\pi+6\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+6\pi}{6})) = 2(cos(\frac{7\pi}{6}) + isen(\frac{7\pi}{6})) = -\sqrt{3} - i</math><br />
<br />
con k = 4<br />
<br />
<math>w_{4} = 2(cos(\frac{\pi+8\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+8\pi}{6})) = 2(cos(\frac{3\pi}{2}) + isen(\frac{3\pi}{2})) = -2i</math><br />
<br />
con k = 5<br />
<br />
<math>w_{5} = 2(cos(\frac{\pi+10\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+10\pi}{6})) = 2(cos(\frac{11\pi}{6}) + isen(\frac{11\pi}{6})) = \sqrt{3} - i</math> <br />
<br />
<br />
..............<br />
<br />
<br />
Sea <math>z = 8i = 8(cos(\frac{\pi}{2}) + sen(\frac{\pi}{2})\,</math><br />
<br />
<br />
<math>z^{1/3} = 8^{1/3}(cos(\frac{\pi}{2}) + isen(\frac{\pi}{2}))^{1/3} = 2(cos(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}) + isen(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}))</math> para k = 0,1,2<br />
<br />
<br />
Evaluando a k se obtiene<br />
<br />
<br />
con k = 0<br />
<br />
<math>w_{0} = 2(cos(\frac{\pi}{6}) + isen(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3} + i</math><br />
<br />
con k = 1<br />
<br />
<math>w_{1} = 2(cos(\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{3}) + isen(\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{3})) = 2(cos(\frac{5\pi}{6}) + isen(\frac{5\pi}{6}) = -\sqrt{3} + i</math><br />
<br />
con k = 2<br />
<br />
<math>w_{2} = 2(cos(\frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}{3}) + isen(\frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}{3})) = 2(cos(\frac{3\pi}{2}) + isen(\frac{3\pi}{2})) = -2i</math><br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 21:07 3 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''3. Demuestre que <math>\ 1+Z+Z^2+...+Z^{n-1}=0</math> donde z es una raíz n-ésima de la unidad,<br />
<math>z\neq 1</math>'''<br />
<br />
<br />
Sea <math> S=1+Z+Z^2+...+Z^{n-1}</math><br />
<br />
Ahora multiplicamos ambos lados por Z<br />
<br />
<math> ZS=Z+Z^2+Z^3+...+Z^{n-1}+Z^n</math><br />
<br />
Restando la segunda ecuación de la primera<br />
<br />
<math>{(s=1+z+z^2+...+z^{n-1})-(zs=z+^2+z^3+...+z^{n-1}+z^n)}</math><br />
<br />
Tenemos que<br />
<br />
<math>\ {s-zs=1-z^n}</math> <br />
<br />
entonces <br />
<br />
<math>\ {s(1-z)=1-z^n}</math><br />
<br />
De donde<br />
<br />
<math>s=\frac{1-z^n}{1-z}</math><br />
<br />
Como z es una raíz enesima de la unidad<br />
<br />
<math>0=\frac{1-z^n}{1-z}</math><br />
<br />
<br />
<math>\ {1-z^n=0} </math><br />
<br />
<br />
<math>\ {z^n=1} </math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<br />
<math>\ {z^n=1} </math><br />
<br />
y <br />
<br />
<math>{1-z}\ne{0}</math><br />
<br />
<br />
porque<br />
<br />
<math> {z}\ne{1} </math> <br />
<br />
<br />
Por lo tanto<br />
<br />
'''<math> {s=0} </math>''' <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 22:00 2 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''4. Demuestre que:<br />
<center><br />
<math>\frac{n}{2^{n-1}}=\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{\pi}{k}</math><br />
</center><br />
Sugerencia: Factoriza la expresión <math>1+z+z^2+\cdots+z^n</math> usando las raices n-ésimas de la unidad, posteriormente evalue en <math>z=1</math>.'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
Las raices de <math>z^m=1</math> son<br />
<center><br />
<math>z=1,e^{\frac{2\pi i}{m}},e^{\frac{4\pi i}{m}},\dots,e^{\frac{(2m-1)\pi i}{m}}</math><br />
</center><br />
entonces podemos escribir<br />
<center><br />
<math>z^{m-1}=(z-e^{\frac{2\pi i}{m}})(z-e^{\frac{4\pi i}{m}})\cdots(z-e^{\frac{(2m-1)\pi i}{m}})</math><br />
</center><br />
dividiendo ambos lados por <math>z-1</math> y haciendo <math>z=1</math>:<br />
<center><br />
<math>\frac{z^{m-1}}{z-1}=1+z+z^2+\cdots+z^{m-1}</math><br />
</center><br />
de aqui hallamos que<br />
<center><br />
<math>m=(1-e^{\frac{2\pi i}{m}})(1-e^{\frac{4\pi i}{m}})\cdots(1-e^{\frac{(2m-1)\pi i}{m}})\qquad (1)</math><br />
</center><br />
tomando el conjugado complejo de ambos lados de (1)<br />
<center><br />
<math>m=(1-e^{\frac{-2\pi i}{m}})(1-e^{\frac{-4\pi i}{m}})\cdots(1-e^{\frac{-(2m-1)\pi i}{m}})\qquad (2)</math><br />
</center><br />
<br />
Multiplicando la ecuación (1) por la (2) y aplicando que<br />
<center><br />
<math>1-(1-e^{\frac{2k\pi i}{m}})(1-e^{\frac{2k\pi i}{m}})= 2 - 2\cos\frac{2k\pi}{m}</math><br />
</center><br />
tenemos<br />
<center><br />
<math>m^2=2^{m-1}(1-\cos\frac{2\pi}{m})(1-\cos\frac{4\pi}{m})\cdots(1-\cos\frac{2(m-1)\pi}{m})</math><br />
</center><br />
puesto que<br />
<center><br />
<math>1-\cos\frac{2k\pi}{m}=2\sin^2\frac{k\pi}{m}</math><br />
</center><br />
la ecuación anterior se transforma en<br />
<center><br />
<math>m^2=2^{2m-2}(\sin^2\frac{\pi}{m})(\sin^2\frac{2\pi}{m})\cdots(\sin^2\frac{(m-1)\pi}{m})</math><br />
</center><br />
despejando y sacando la raíz en ambos lados de la expresión:<br />
<center><br />
<math>\frac{m}{2^{m-1}}=(\sin\frac{\pi}{m})(\sin\frac{2\pi}{m})\cdots(\sin\frac{(m-1)\pi}{m})</math><br />
</center><br />
<br />
lo que queda demostrada la igualdad.<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 23:10 4 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''5.''' '''Demuestre que'''<br />
<br />
<math>1+cos\phi+cos2\phi+...............+cos n\phi=\frac{1}{2}+\frac{sen\left(n\phi+\frac{\phi}{2}\right)}{2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)}</math>, <br />
<br />
'''donde''' '''<math>\phi</math> ''' '''no es un multiplo par de''' '''<math>\pi</math>.'''<br />
<br />
<br />
<br />
'''Esta identidad se le atribuye a Lagrange.''' <br />
<br />
<br />
Sugerencia: calcular la parte real de <br />
<br />
<br />
<math>1+z+z^{2}+..........+z^{n}</math>, donde <math>z=cos\phi+isen\phi</math>. <br />
<br />
<br />
<br />
'''Solucion.'''<br />
<br />
Sea <br />
<br />
<math>S=1+z+z^{2}+.......+z^{n}</math> si multiplicamos por <math>z</math> a <math>S</math> se tiene que <br />
<br />
<br />
<math>zS=z+z^{2}+z^{3}+......+z^{n}+z^{n+1}</math> ahora restemos estas dos ultimas expresiones<br />
<br />
<br />
<math>\left(S-zS\right)=\left(1-z\right)S=1-z^{n+1}</math> de lo que se obtiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>S=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}</math><br />
<br />
<br />
Si en esta última expresion utilizamos <math>z=cos\phi+isen\phi</math> entonces <br />
<br />
<br />
<math>S=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}</math> <br />
<br />
<br />
toma la siguiente forma<br />
<br />
<br />
<math>1+\left(cos\phi+isen\phi\right)+\left(cos\phi+isen\phi\right)^{2}+........+\left(cos\phi+isen\phi\right)^{n}=\frac{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)^{n+1}}{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)} </math><br />
<br />
<br />
que es equivalente a esta<br />
<br />
<br />
<math>1+\left(cos\phi+isen\phi\right)+\left(cos2\phi+isen2\phi\right)+........+\left(cosn\phi+isen\left(n\phi\right)\right)=\frac{1-\left(cos\left(n+1\right)\phi+isen\left(n+1\right)\phi\right)}{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)}</math><br />
<br />
<br />
Tomando el lado derecho de esta ultima expresión y llevar a cabo el producto con su conjugado , es decir:<br />
<br />
<br />
<math>\left(\frac{1-cos\left(n\phi+\phi\right)-isen\left(n\phi+\phi\right)}{1-cos\phi-isen\phi}\right)\star\left(\frac{1-cos\phi+isen\phi}{1-cos\phi+isen\phi}\right)<br />
</math><br />
<br />
<br />
<br />
Se obtiene del numerador lo siguiente<br />
<br />
<br />
<br />
<math>1-cos\phi+isen\phi-cosn\left(n\phi+\phi\right)+cos\phi cos\left(n\phi+\phi\right)-isen\phi cos\left(n\phi+\phi\right)-isen\left(n\phi+\phi\right)+icos\phi sen\left(n\phi+\phi\right)+sen\phi sen\left(n\phi+\phi\right)<br />
</math><br />
<br />
<br />
si tomamos solo la parte real se tiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>1-cos\phi-cos\left(n\phi+\phi\right)+cos\phi cos\left(n\phi+\phi\right)+sen\phi sen\left(n\phi+\phi\right)=</math><br />
<br />
<br />
<math>1-cos\phi+cos\left(n\phi-\phi\right)-cos\left(n\phi+\phi\right)</math><math>=</math> <math>1-cos\phi+2sen\phi sen\phi</math><br />
<br />
<br />
<br />
por otra parte para el denominador se tiene:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left(1-cos\phi\right)^{2}+sen^{2}\phi=</math><br />
<br />
<br />
<math>1-2cos\phi+sen^{2}\phi+cos^{2}\phi=</math> <math>2\left(1-cos\phi\right)</math><br />
<br />
<br />
<br />
al tomar la parte real de <br />
<br />
<br />
<math>1+\left(cos\phi+isen\phi\right)+\left(cos2\phi+isen2\phi\right)+........+\left(cosn\phi+isenn\phi\right)=\frac{1-\left(cos\left(n+1\right)\phi+isen\left(n+1\right)\phi\right)}{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)}</math>,<br />
<br />
<br />
<br />
sustituir lo encontrado para el numerador (parte real) y el denominador , y utilizar la siguiente<br />
identidad <br />
<br />
<br />
<math>sen\left(\frac{\phi}{2}\right)=\sqrt{\frac{1-cos\phi}{2}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
tenemos lo siguiente:<br />
<br />
<br />
<math><br />
1+cos\phi+cos2\phi+...............+cosn\phi=\frac{2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)+sen\phi sen\left(n\phi\right)}{2\left(2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)\right)}=\frac{1}{2}+\frac{sen\phi sen\left(n\phi\right)}{2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Lo cual es casi a lo que se queria llegar.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 00:01 5 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== 1.1.4 ==<br />
<br />
'''1. Demuestre que:'''<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}\left | \textstyle \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k} \right | ^2 = \left (\sum_{k=1}^n \left| Z_{k} \right|^2 \right) \left(\sum_{k=1}^n \left| W_{k} \right|^2 \right) -\sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2. \qquad (I)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
'''Se conoce como igualdad de Lagrange'''<br />
<br />
<br />
<br />
'''Solución.'''<br />
<br />
<br />
Esta demostración se hará por inducción, es decir, empezaremos suponiendo que el elemento <math> n-1</math> se encuentra en el conjunto, pues entonces el resultado implica que el elemento <math>n</math> esta en el conjunto.<br />
<br />
<br />
Sea <math>\eth=\left\{ \omega\in\mathbb{N\,}tal\, que\left(I\right)\, se\, cumpla\right\}<br />
</math><br />
<br />
<br />
Supongamos que <math>n-1</math> esta en <math>\eth</math> , es decir,<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
<br />
\left| \textstyle \sum_{k=1}^ {n-1} Z_{k}W_{k} \right|= \left(\sum_{k=1}^ {n-1} \left|Z_{k} \right| ^{2}\right) \left (\sum_{l=1}^ {n-1} \left|W_{l}\right|^{2}\right)-\sum_{1<j<k<n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^{2}<br />
\qquad (i)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Tenemos que:<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left(\sum_{k=1}^n \left| Z_{k}\right| ^2\right) \left(\sum_{l=1}^n \left| W_{l}\right| ^2 \right)-\sum_{1<j<k\leq n} \left| Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2<br />
<br />
\qquad (ii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph= \left(\sum_{k=1}^{n-1} \left| Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \right) \left(\sum_{l=1}^{n-1} \left| W_{l}\right|^2+ \left|W_{n}\right|^2 \right)-\sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2<br />
<br />
\qquad (iii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph= \left(\sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 \right) \left(\sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 \right)+\left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 +\left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2+ \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2 -\sum_{1<j<k\leq n}\left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2<br />
<br />
<br />
\qquad (iv)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
<br />
\aleph= \left(\sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 \right)\left(\sum_{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^2 \right)-\sum_{1<j<k\leq n}\left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1}\left|Z_{k}\right|^2+\left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
<br />
\qquad (v)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Pero veamos la forma que toman las siguientes expresiones al expandir la suma,<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 = \left|Z_{1}\overline{W}_{2}-Z_{2}\overline{W}_{1}\right|^2 +\left|Z_{1}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{1}\right|^2 +..............+\left|Z_{1}\overline{W}_{n}-Z_{1}\overline{W}_{n}\right|^2 +...........+ \left|Z_{2}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{2}\right|^2 +...........+ \left|Z_{2}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{2}\right|^2+..........+ \left|Z_{n-1}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{n-1}\right|^2<br />
<br />
\qquad (vi)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\sum_{1<j<k\leq n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 = \left|Z_{1}\overline{W}_{2}-Z_{2}\overline{W}_{1}\right|^2 + \left|Z_{1}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{1}\right|^2+..........+\left|Z_{1}\overline{W}_{n-1}-Z_{n-1}\overline{W}_{1}\right|^2 +..........+ \left|Z_{2}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{2}\right|^2+...........+\left|Z_{2}\overline{W}_{n-1}-Z_{n-1}\overline{W}_{2}\right|^2 +...........+ \left|Z_{n-2}\overline{W}_{n-1}-Z_{n-1}\overline{W}_{n-2}\right|^2<br />
<br />
<br />
\qquad (vii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Al comparar las expresiones <math> vi</math> con <math>vii</math> se observa que:<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j} \right|^2= \sum_{1<j<k\leq n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 + \sum_{j=1}^{n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{j}\right|^2<br />
<br />
\qquad (viii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Entonces si ahora utilizamos las expresiones <math>viii</math>, <math> I</math> e <math>i</math> podemos re-escribir <math>\aleph</math> de la manera siguiente:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^{n-1}Z_{k}W_{k}\right|^2-\sum_{j=1}^{n-1}\left|Z_{j}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{j}\right|^2 + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1}\left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
\qquad (ix)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph= \left(\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k} - Z_{n}W_{n}\right) \left(\sum_{l=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k} -\overline{Z}_{n} \overline{W}_{n}\right) - \sum_{j=1}^{n-1} \left(Z_{j}\overline{W}_{n} - Z_{n}\overline{W}_{j}\right) \left(\overline{Z}_{j}W_{n} - \overline{Z}_{n}W_{j}\right) + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 +\left|Z_{n} \right|^2\sum_{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
\qquad (x)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^{n}Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{l=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k}+ \left|Z_{n}W_{n}\right|^2 - \left[\sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}\overline{W}_{n}\overline{Z}_{j}W_{n}- \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}\overline{W}_{n}\overline{Z}_{n}W_{j}- \sum_{j=1}^{n-1} Z_{n}\overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}W_{n} + \sum_{j=1}^{n-1} Z_{n}\overline{W}_{j} \overline{Z}_{n}W_{j}\right] + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l} \right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
\qquad (xi)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{k=1}^n \overline{Z}_{k} \overline{W}_{k}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2 - W_{n}\overline{W}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}\overline{Z}_{j}+\overline{W}_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}W_{j}+W_{n}Z_{n} \sum_{j=1}^{n-1}\overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}-Z_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} W_{j}\overline{W}_{j} + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
\qquad (xii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{k=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2- \left|W_{n}\right|^2 \sum_{j=1}^{n-1} \left|Z_{j}\right|^2 + \overline{W}_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}W_{j}+W_{n}Z_{n} \sum_{j=1}^{n-1} \overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}-\left|Z_{n}\right|^2 \sum_{j=1}^{n-1} \left|W_{j}\right|^2+\left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
\qquad (xiii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left| \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n} \overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{k=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2+ \overline{W}_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1}Z_{j}W_{j}+W_{n}Z_{n} \sum_{j=1}^{n-1} \overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2<br />
\qquad (xiv)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n} \overline{W}_{n}Z_{n}W_{n}-Z_{n}W_{n} \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2<br />
\qquad (xv)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2<br />
\qquad (xvi)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
por lo tanto si <math>n-1</math> <math>\in</math> <math>\eth</math> <math>\Longrightarrow</math> <math>n\in</math> <math>\eth</math> .<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 03:31 14 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.- Sean <math>z_{1},z_{2},...,z_{n}\,</math> numeros complejos, ¿Bajo que condiciones se tiene que <math>|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}| = |z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}|\,</math> ?'''<br />
<br />
<br />
Si <math>z_{1} = z_{2} = ... = z_{n}\,</math>, entonces<br />
<br />
<br />
<math>|z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}| = n|z_{1}|\,</math><br />
<br />
<br />
por otro lado<br />
<br />
<br />
<math>|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}| = |nz_{1}| = n|z_{1}|\,</math><br />
<br />
<br />
y por lo tanto<br />
<br />
<br />
<math>|z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}| = |z_{1}+z_{2}+...+z_{n}|\,</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 02:52 5 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
'''2.- Sean <math>z_{1},z_{2},...,z_{n}\,</math> numeros complejos, ¿Bajo que condiciones se tiene que <math>|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}| = |z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}|\,</math> ?'''<br />
<br />
Tomando como punto de partida la demostracion de la desigualdad del triangulo. Podemos generalizar por medio de la inducción matemática a sumas de cualquier número finito de términos.<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}\right|\leq\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{n}\right|,(n = 1,2,3,...)\qquad (1)</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Es claro ver que cuando n = 2 se cumple la desigualdad del triangulo.<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_{1}+z_{2}\right|\leq\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|</math><br />
<br />
<br />
<br />
Ahora suponiendo que (1) es válida cuando n=m, debe ser tambien para n=m+1, y aplicando la desigualdad del triangulo:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|\left(z_{1}+z_{2}+...+z_{m}\right)+z_{m+1}\right|\leq\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{m}\right|+\left|z_{m+1}\right|</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|(z_{1}+z_{2}+...+z_{m})+z_{m+1}\right|\leq(\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{m}\right|)+\left|z_{m+1}\right|</math><br />
<br />
<br />
<br />
En donde los primeros m terminos los redefiniremos como Z<math>_{I},</math> y el termino m+1 como Z<math>_{II},</math>. Entonces lo anterior queda como:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|Z_{I}+Z_{II}\right|\leq\left|Z_{I}\right|+\left|Z_{II}\right|</math><br />
<br />
<br />
Ahora escribiendolo como igualdad<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|Z_{I}+Z_{II}\right|=\left|Z_{I}\right|+\left|Z_{II}\right|\equiv\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{m}+z_{m+1}\right|=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{m}\right|+\left|z_{m+1}\right|</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{m}+z_{m+1}\right|=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{m}\right|+\left|z_{m+1}\right|\equiv\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}\right|=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{n}\right|</math><br />
<br />
<br />
<br />
Esta desigualdad solo se cumple como igualdad cuando los numeros son colineales y tienen la misma direccion, esto tambien puede ser en los real (Re) o el imaginario (Im).<br />
<br />
Esto es muy claro ver cuando n=2, en una grafica.<br />
<br />
<br />
[[Imagen:Suma.gif]][[Imagen:Suma2.gif]]<br />
<br />
<br />
<br />
Aquí les dejo el enlace de la pagina donde consulte el código para generar las graficas para los que les interese.<br />
[http://demonstrations.wolfram.com/ComplexAddition/ Demostracion grafica]<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 03:41 16 oct 2009 (UTC)<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 03:07 6 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''3. Encuentre el ínfimo de <math>\left | z^3 + 2 i \right |</math> en la región <math>\left \{ z \mid |z| \ge 2 \right \}</math>, y describa en qué puntos se alcanza.'''<br />
<br />
<br />
Con una variante de la desigualdad del triángulo, tenemos que<br />
<br />
<center><math>\left | z^3 + i \right | \ge \left | |z|^3 -1 \right | \ge 8-1. </math></center><br />
Por tanto, <br />
<center><math> 7 \le \left | z^3 + i \right |. \qquad (1) </math></center><br />
<br />
Entonces, el ínfimo de la expresión es 7.<br />
<br />
Por otro lado, tenemos que, si <math>z = r \left ( cos \theta + 1 \sin \theta \right )</math><br />
<br />
<center><math> <br />
\begin{align}<br />
\left | z^3 + i \right | ^2 & = \left | r ^3 \left ( \cos 3\theta + i \sin 3\theta \right ) + 1 \right | ^2 \\<br />
& = \left | r^3 \cos 3\theta + 1 + i r^3 \sin 3\theta \right | ^2 \\<br />
& = r^6 + 2 r^3 \cos 3\theta + 1. \\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
Si tomamos la cota inferior, <math>\left | z \right | = 2</math>, la expresión anterior es entonces:<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}<br />
\left | z^3 + i \right | ^2 & = r^6 + 2 r^3 \cos 3\theta + 1 \\<br />
& = 65 + 2 r^3 \cos 3\theta. \\<br />
\end{align}<br />
</math></center> <br />
<br />
Ya que la función coseno tiene su mínimo en el valor -1, tomemos una <math>\theta</math> tal que <math>\cos 3\theta {{=}} -1</math>. Para este caso, tenemos dos valores: <math>\theta_1 {{=}} \frac {\pi}{3}</math> y <math>\theta_2 {{=}} \pi </math>,<br />
<br />
de tal forma que, con estos valores, <br />
<center><math>\left | z^3 + i \right | ^2 = 65 - 16 = 49. </math></center><br />
<br />
Con la fórmula de De Moivre, tenemos que el ínfimo de la expresión dada toma ese valor en <math>z_1</math> y <math>z_2</math> tales que<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}<br />
z_1 & = 2 \left ( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right ) \\<br />
& = 2 \left ( \cos \frac {\pi}{3} + i \sin \frac {\pi}{3} \right )\\<br />
& = 2 \left ( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right ) \\<br />
z_1 & = 1 + i \sqrt{3}, \qquad (2)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
y<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}<br />
z_2 & = 2 \left ( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right ) \\<br />
& = 2 \left ( \cos \pi + i \sin \pi \right )\\<br />
z_2 & = -2. \qquad (3)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
Pero, además, por le geometría de los números complejos, tenemos otros dos valores <math>z_3</math> y <math>z_4</math> tales que <br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}<br />
z_3 & = 2 \left ( \cos \theta_1+\pi + i \sin \theta_1+\pi \right ) \\<br />
& = 2 \left ( \cos \frac {4\pi}{3} + i \sin \frac {4\pi}{3} \right )\\<br />
& = 2 \left ( - \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \right ) \\<br />
& = -1 - i \sqrt{3} \\<br />
z_3 & = - z_1, \qquad (4)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
y<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}<br />
z_4 & = 2 \left ( \cos \theta_2+\pi + i \sin \theta_2+\pi \right ) \\<br />
& = 2 \left ( \cos 2\pi + i \sin 2\pi \right )\\<br />
& = 2 \\<br />
z_4 & = -z_2. \qquad (5)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
Por tanto, las expresiones (2), (3), (4) y (5) nos proporcionan los valores en que el ínfimo es tomado, a saber, <math>\pm (1 + i \sqrt{3})</math> y <math>\pm 2</math>.<br />
<br />
--[[Usuario:Belen|Belen]] 04:08 12 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.1&diff=11456
Compleja:ej-cap1.1
2009-12-05T16:51:14Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>'''1. Demuestre que el producto de números complejos cumple con la ley asociativa'''<br />
<br />
Sean <math> z = a + i b, \quad w = c + i d, \quad s = e + i f \, \quad </math> <br />
con <math> \quad a,b,c,d,e,f \in \mbox{R}</math><br />
<br />
<br />
Por demostrar <math> (zw)s = z(ws)\,</math><br />
<br />
<br />
<math>(zw)s = [(a + i b)(c + i d)](e + i f) = [(ac - bd) + i (bc + ad)](e + i f)\,</math><br />
<br />
<br />
<math>=[e(ac - bd) - f(bc + ad)] + i [e(bc + ad) + f(ac - bd) = (ace - bde - bcf - adf) + i (bce + ade + acf - bdf)\, </math><br />
<br />
<br />
Por otra parte<br />
<br />
<math>z(ws) = (a + i b)[(c + i d)(e + i f)] = (a + i b)[(ce - df) + i (de + cf)]\,</math><br />
<br />
<br />
<math>=[a(ce - df) - b(de + cf)] + i [b(ce - df) + a(de + cf)] = (ace - bde - bcf - adf) + i (bce + ade + acf - bdf)\,</math><br />
<br />
<br />
Entonces se cumple <math> (zw)s = z(ws)\,</math>.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 22:15 28 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
== 1.1.2 ==<br />
'''1. Demuestre que <math>\left|\frac{z}{w}\right| = \frac{\left|z\right|}{\left|w\right|}</math>'''<br />
<br />
Sean <math> z = a + i b \quad y \quad w = c + i d\,</math> <br />
<br />
<br />
<math>\left|\frac{z}{w}\right|= \left|\frac{a + i b }{c + i d}\right|= \left|\frac{(a + i b)(c - i d)}{(c + i d)(c - i d)}\right| </math>'''<br />
<br />
<br />
<math>=\left|\frac{(ac + bd) + i (bc - ad)}{c^2 + d^2}\right|= \sqrt{\bigg ( \frac{ac + bd}{c^2 + d^2}\bigg )^2 + \bigg (\frac{bc - ad}{c^2 + d^2}\bigg )^2} = \frac{1}{c^2 + d^2}\sqrt{ (ac + bd)^2 + (bc - ad)^2 <br />
} <br />
</math><br />
<br />
<br />
<math>=\frac{1}{c^2 + d^2}\sqrt{a^2 c^2 + a^2 d^2 + b^2 c^2 + b^2 d^2 <br />
} = \sqrt{\Bigg [\frac{a^2 (c^2 + d^2)}{(c^2 + d^2)^2}\Bigg ] + \Bigg [\frac{b^2 (c^2 + d^2)}{(c^2 + d^2)^2}\Bigg ] <br />
} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}} <br />
</math><br />
<br />
<br />
Por otra parte<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|z\right|}{\left|w\right|} = \frac{\left|a + i b\right|}{\left|c + i d\right|} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}} = \left|\frac{z}{w}\right|</math><br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 22:15 28 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''2. Exprese <math>\overline{\left(\frac{\left(2+3i\right)^2}{4+i}\right)}</math>de la forma <math>x+iy</math>'''<br />
<br />
<br />
Por las propiedades <math>\overline{\left ( \frac{z}{w} \right )}=\frac\bar{z}\bar{w}</math> , <math>\overline{zw}=\bar{z}\bar{w}</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{\overline{\left ({2+3i}\right)^2}}{\overline{\left({4+i}\right)}}=\frac{\overline{\left ({2+3i}\right)}\overline{\left ({2+3i}\right)}}{\overline{\left({4+i}\right)}}=\frac{\left(2-3i\right)\left(2-3i\right)}{\left(4-i\right)}</math><br />
<br />
<br />
Simplificando, se obtiene:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\frac{4-6i-6i-9}{4-i}=\frac{-5-12i}{4-i}</math><br />
<br />
<br />
Resolviendo la división de números complejos, de la forma:<br />
<br />
<br />
<math>\frac{z}{w}=\frac{z\bar{w}}{w\bar{w}}=\frac{z\bar{w}}{\left|w\right|^2}</math>:<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left(-5-12i\right)\left(4+i\right)}{\left(4-i\right)\left(4+i\right)}=\frac{-20-5i-48i+12}{17}=\frac{-8-53i}{17}</math><br />
<br />
<br />
=<math>-\frac{8}{17}-\frac{53}{17}i</math>.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 23:00 28 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''3. Demuestre que <math>\alpha</math> es raiz de un polinomio real si y solo si <math>\overline{\alpha}</math> lo es.'''<br />
<br />
<br />
Sea <math>\overline{\alpha}</math> solucion de un polinomio real,<br />
<br />
entonces <math>\overline{\alpha} \in \mathbb{R}</math><br />
<br />
como <math>\overline{\alpha} = \alpha</math>, por lo tanto <math>\alpha</math> tambien es solucion. <br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 06:35 30 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''5. Sean <math>z_1 , z_2 , z_3 \in \mathbb{C}</math> tales que cumplen <math>\frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} = \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3}</math>, demuestre que estos tres puntos determinan un triángulo equilátero.'''<br />
<br />
[[Image: Comp_triang_eq2.jpg|frame|center|Figura 1]]<br />
<br />
Tenemos que <br />
<br />
<center><math>\left | \frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} \right | = \left | \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} \right |,\qquad (1)</math></center><br />
<br />
y, por lo tanto, <br />
<br />
<center><math>\frac{|z_2 - z_1|}{|z_3 - z_1|} = \frac{|z_1 - z_3|}{|z_2 - z_3|}.\qquad (2)</math></center><br />
<br />
De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber:<br />
<br />
<center><math>\left . \begin{matrix}|z_2 - z_1| = A\\<br />
|z_3 - z_1| = B = |z_1 - z_3|\\<br />
|z_2 - z_3| = C\\<br />
\end{matrix} \right \} \qquad (3)</math></center><br />
<br />
De (2) y (3) tenemos que:<br />
<br />
<center><math>\frac{A}{B} = \frac{B}{C}. \qquad (4)</math></center><br />
<br />
Por triángulos semejantes, se tiene que el ángulo <math>\beta</math> es igual al ángulo <math>\gamma</math> y éste a su vez al ángulo <math>\alpha</math>, es decir,<br />
<br />
<center><math>\alpha = \beta = \gamma. \qquad (5)</math></center><br />
<br />
Y la ecuación (5) es precisamente la condición para que el triángulo ABC de la Figura 1 sea equilátero.<br />
<br />
--[[Usuario:Belen|Belen]] 02:48 29 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
'''6. Sea <math>{\begin{align}z & = x+iy \end{align}}</math>, pruebe que<br />
<math>{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Puesto que el número complejo z puede escribirse como<br />
<br />
<math>{\begin{align}z & = Re(z)+iIm(z) \end{align}}</math><br />
<br />
<math>{\begin{align}\left|{z}\right| & = \sqrt{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2} \end{align}}</math><br />
<br />
<br />
Se deduce que<br />
<br />
<math>{\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{Re(z)}\right|}</math><br />
<br />
<math>{\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Como el cuadrado de un número real no puede ser negativo<br />
<br />
<math>{{[\left|{Re(z)}\right|-\left|{Im(z)}\right|]^2}{\ge }0}</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<math>{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2-2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|{\ge }0}</math><br />
<br />
O sea<br />
<br />
<math>{{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2}{\ge }2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
O de otra manera<br />
<br />
<math>{{\left|{z}\right|^2}{\ge }2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Sumando <math>{\left|{z}\right|^2}</math>, a ambos lados se tiene<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{z}\right|^2+2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Como <br />
<br />
<math>{\begin{align}\left|{z}\right|^2 & = \left|{Re(z)}\right|^2+\left|{Im(z)}\right|^2 \end{align}}</math><br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{Re(z)}\right|^2+\left|{Im(z)}\right|^2+2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
De donde<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }[\left|{Re(z)}\right|+\left|{Im(z)}\right|]^2}</math><br />
<br />
Sacando raíces cuadradas positivas<br />
<br />
<math>{{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}{\ge} \left|{Re(z)}\right|+\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto<br />
<br />
<math>{{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}{\ge}{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:18 29 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
'''6-bis. Sea <math>{\begin{align}z & = x+iy \end{align}}</math>, pruebe que<br />
<math>{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}</math><br />
<br />
Tenemos que <math>{\begin{align}z & = x+iy \end{align}}</math>, entonces de la teoria sabemos que <br />
<br />
<br />
<math>{\begin{align}\left|{z}\right| & = \sqrt{[x]^2+[y]^2} \end{align}}\qquad (1)</math> <br />
<br />
<math>{\left|{x}\right|=\left|{Re(z)}\right|}{\le}{ \left|{z}\right|}</math><br />
<br />
<math>{\left|{y}\right|=\left|{Im(z)}\right|}{\le}{ \left|{z}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Tambien es inmediato que para z <math>\in \mathbb{R}</math>, <math>\overline z = z</math>, y que el cuadrado de cualquier numero real es siempre positivo, entonces de esto se tiene que<br />
<br />
<math>{{[\left|{x}\right|-\left|{y}\right|]^2}{\ge}0}</math><br />
<br />
Desarrollando el binomio se tiene que<br />
<br />
<br />
<math>{[x]^2+[y]^2-2\left|{x}\right|\left|{y}\right|{\ge }0}</math><br />
<br />
<math>{{[x]^2+[y]^2}{\ge }2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math><br />
<br />
Y por la identidad (1) esto se puede escribir como <br />
<br />
<math>{{\left|{z}\right|^2}{\ge }2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math><br />
<br />
Ahora sumando en ambos lados <math>{{\left|{z}\right|^2}}</math> obtenemos lo siguiente<br />
<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{z}\right|^2+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Pero ademas como <math>{{\left|{z}\right|^2}={\left|{x}\right|^2}+{\left|{y}\right|^2}}</math>, lo sustituimos en el resultado anterior<br />
<br />
<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{x}\right|^2}+{\left|{y}\right|^2+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Es facil ver que <br />
<br />
<br />
<math>{{[\left|{x}\right|+\left|{y}\right|]^2}={[x]^2+[y]^2+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}}</math><br />
<br />
<br />
Utilizando este resultado se deduce que <br />
<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }{[\left|{x}\right|+\left|{y}\right|]^2}}</math><br />
<br />
<br />
Y tomando las raices positivas llegamos al siguiente resultado<br />
<br />
<br />
<math>{\sqrt{2}\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Que es lo que se queria mostrar.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 03:56 1 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''7. Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados.<br />
<br />
[[Imagen:Dibujobueno.jpg]]<br />
<br />
Sacamos las normas de los números complejos<br />
<br />
|z|=<math>\sqrt{(a)^2+(b)^2}</math><br />
|w|=<math>\sqrt{(c)^2+(d)^2}</math><br />
<br />
Por algebra de vectores <br />
<br />
<math>|z|+|w|=|h|</math><br />
<br />
Donde |h| es la resultante de |z|+|w|<br />
<br />
<math>\sqrt{(a)^2+(b)^2}</math>+ <math>\sqrt{(c)^2+(d)^2}=|h|</math><br />
<br />
De la misma forma el dibujo nos indica q trasladamos la magnitudes de los vectores<br />
<br />
|w| y |z| y por tanto también tendremos |z|+|w| =|h|<br />
<br />
Entonces si |z|+|w| = |h|<br />
<br />
Aplicando el teorema de pitagoras q nos dice<br />
<br />
d = cateto<br />
<br />
f = cateto<br />
<br />
<math>e^2=d^2+f^2</math> <br />
<br />
entonces tenemos que <br />
<br />
<math>(a)^2+(b)^2=|z|^2</math><br />
<math>(c)^2+(d)^2=|w|^2</math><br />
<br />
Aplicamos pitagoras<br />
<br />
<math>(c)^2+(d)^2+(a)^2+(b)^2=(c)^2+(d)^2+(a)^2+(b)^2</math><br />
<br />
Por tanto <br />
<br />
<math>|z|^2 +|w|^2 = |h|^2</math> se cumple la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de la diagonal.<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 22:47 4 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
== 1.1.3 ==<br />
<br />
'''1. Calcule las raìces cuadradas de <math>3+4i</math> y de <math>1+2i</math>.'''<br />
<br />
<br />
Aplicando la formula para calcular raices cuadradas de numeros complejos.<br />
<br />
<math>\pm\left(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}} + i\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\right)</math> si <math>\quad b>0</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto las raices de <math>3+4i</math>, son:<br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(\sqrt{\frac{3+\sqrt{25}}{2}} + i\sqrt{\frac{-3+\sqrt{25}}{2}}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(\sqrt{\frac{8}{2}} + i\sqrt{1}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(2+i\right)</math><br />
<br />
<br />
y para <math>1+2i</math>, son:<br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} + i\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(\sqrt{1.61} + i\sqrt{0.61}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(1.27 + i 0.78\right).</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 23:44 30 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i'''<br />
<br />
Tenemos que <math>cos\boldsymbol{\theta}+i sen\boldsymbol{\theta}= -64</math> definicion en forma polar<br />
<br />
[[Imagen:Demo2.jpg]]<br />
<br />
r=64 <br />
<br />
n=6 porque nos piden las raíces sextas<br />
<br />
Entonces el argumento <math>\boldsymbol{\theta}=\pi</math><br />
<br />
<br />
<br />
Si <math>x+iy=re^{i\boldsymbol{\theta}}</math><br />
<br />
<br />
Entonces utilizando la definición de Moivre para obtener las raíces<br />
<br />
<br />
<math>(g e^{i\boldsymbol{\phi}n})= r e^{i\boldsymbol{\theta}}</math><br />
<br />
Ahora tenemos<br />
<br />
<math>g^n=r</math> y g= raíz enesima <math>\sqrt{64}</math>= = 2<br />
<br />
y <math>\boldsymbol{\phi}n=\boldsymbol{\theta}+2k\pi</math> los <math>2\pi</math> es porque tomamos en cuenta la periodicidad de la funció n y k son todos los múltiplos de <math>2\pi</math><br />
entonces sacando las raíces<br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6 </math> k=0 <br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi / 6 + 2\pi / 6 = 3\pi / 6</math> k=1 <br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6+2(2)\pi/6= 5\pi/6 </math> k=2 <br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6+(3)2\pi/6= 7\pi/6 </math> k=3<br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6+2(4)\pi/6= 9\pi/6 </math> k=4 <br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6+2(5)\pi/6= 11\pi/6 </math> k=5 <br />
<br />
Las soluciones son<br />
<br />
r1= 2 <math> e^{i( \pi/6)}</math> <br />
<br />
r2= 2 <math> e^{i( 3\pi/6)}</math> <br />
<br />
r3= 2 <math> e^{i( 5\pi/6)}</math> <br />
<br />
r4= 2 <math> e^{i( 7\pi/6)}</math> <br />
<br />
r5= 2 <math> e^{i( 9\pi/6)}</math> <br />
<br />
r6= 2 <math> e^{i( 11\pi/6)}</math> <br />
<br />
Graficando en coordenadas polares nos queda:<br />
<br />
[[Imagen:POLIGONO2.jpg]]<br />
<br />
Haciendo algo similar para el 8i Tenemos<br />
<br />
<math>cos\boldsymbol{\theta}+i sen\boldsymbol{\theta}= 8i</math><br />
<br />
<br />
<br />
[[Imagen:DEMO3.jpg]]<br />
<br />
el argumento <math>\boldsymbol{\theta}=\pi/2</math><br />
<br />
r= 8<br />
<br />
n=3 porque nos pinden las raíces cubicas<br />
<br />
<math>g^n=r</math> y g= raíz enesima <math>\sqrt{8}</math>= = 2<br />
<br />
<math>\boldsymbol{\phi}n = \boldsymbol{\theta}+2k\pi </math><br />
<br />
<math>\boldsymbol{\phi} = \boldsymbol{\theta}+2k\pi =\pi/6 </math> k=0<br />
<br />
<math>\boldsymbol{\phi}=\pi/6+2\pi/3= 5\pi/6</math> k=1 <br />
<br />
<math>\boldsymbol{\phi}==\pi/6+2(2)\pi/3= 9\pi/6</math> k=2 <br />
<br />
r1= 2 <math> e^{i( \pi/6)}</math> <br />
<br />
r2= 2 <math> e^{i( 5\pi/6)}</math> <br />
<br />
r3= 2 <math> e^{i( 9\pi/6)}</math> <br />
<br />
<br />
<br />
Graficando en coordenadas polares tenemos<br />
<br />
<br />
[[Imagen:RAICES.jpg]] <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 21:35 4 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i'''<br />
<br />
<br />
Sea <math> z = -64 = 64(cos\pi + isen\pi)\,</math><br />
<br />
<br />
Por la formula de De Moivre<br />
<br />
<br />
<math>z^{1/6} = 64^{1/6}(cos\pi + sen\pi)^{1/6} = 2 (cos(\frac{\pi+2k\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+2k\pi}{6}))</math> para k = 0,1,2,3,4,5<br />
<br />
<br />
Evaluando k se obtiene<br />
<br />
<br />
con k = 0<br />
<br />
<math>w_{0} = 2(cos(\frac{\pi}{6}) + isen(\frac{\pi}{6})) = \sqrt{3} + i</math> <br />
<br />
con k = 1<br />
<br />
<math>w_{1} = 2(cos(\frac{\pi+2\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+2\pi}{6})) = 2(cos(\frac{\pi}{2}) + isen(\frac{\pi}{2})) = 2i</math> <br />
<br />
con k = 2 <br />
<br />
<math>w_{2} = 2(cos(\frac{\pi+4\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+4\pi}{6})) = 2(cos(\frac{5\pi}{6}) + isen(\frac{5\pi}{6})) = -\sqrt{3} + i</math><br />
<br />
con k = 3<br />
<br />
<math>w_{3} = 2(cos(\frac{\pi+6\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+6\pi}{6})) = 2(cos(\frac{7\pi}{6}) + isen(\frac{7\pi}{6})) = -\sqrt{3} - i</math><br />
<br />
con k = 4<br />
<br />
<math>w_{4} = 2(cos(\frac{\pi+8\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+8\pi}{6})) = 2(cos(\frac{3\pi}{2}) + isen(\frac{3\pi}{2})) = -2i</math><br />
<br />
con k = 5<br />
<br />
<math>w_{5} = 2(cos(\frac{\pi+10\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+10\pi}{6})) = 2(cos(\frac{11\pi}{6}) + isen(\frac{11\pi}{6})) = \sqrt{3} - i</math> <br />
<br />
<br />
..............<br />
<br />
<br />
Sea <math>z = 8i = 8(cos(\frac{\pi}{2}) + sen(\frac{\pi}{2})\,</math><br />
<br />
<br />
<math>z^{1/3} = 8^{1/3}(cos(\frac{\pi}{2}) + isen(\frac{\pi}{2}))^{1/3} = 2(cos(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}) + isen(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}))</math> para k = 0,1,2<br />
<br />
<br />
Evaluando a k se obtiene<br />
<br />
<br />
con k = 0<br />
<br />
<math>w_{0} = 2(cos(\frac{\pi}{6}) + isen(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3} + i</math><br />
<br />
con k = 1<br />
<br />
<math>w_{1} = 2(cos(\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{3}) + isen(\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{3})) = 2(cos(\frac{5\pi}{6}) + isen(\frac{5\pi}{6}) = -\sqrt{3} + i</math><br />
<br />
con k = 2<br />
<br />
<math>w_{2} = 2(cos(\frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}{3}) + isen(\frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}{3})) = 2(cos(\frac{3\pi}{2}) + isen(\frac{3\pi}{2})) = -2i</math><br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 21:07 3 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''3. Demuestre que <math>1+Z+Z^2+...+Z^{n-1}=0</math> donde z es una raíz n-ésima de la unidad,<br />
<math>z\neq 1</math>'''<br />
<br />
<br />
Sea <math> S=1+Z+Z^2+...+Z^{n-1}</math><br />
<br />
Ahora multiplicamos ambos lados por Z<br />
<br />
<math> ZS=Z+Z^2+Z^3+...+Z^{n-1}+Z^n</math><br />
<br />
Restando la segunda ecuación de la primera<br />
<br />
<math>{(s=1+z+z^2+...+z^{n-1})-(zs=z+^2+z^3+...+z^{n-1}+z^n)}</math><br />
<br />
Tenemos que<br />
<br />
<math>\ {s-zs=1-z^n}</math> <br />
<br />
entonces <br />
<br />
<math>\ {s(1-z)=1-z^n}</math><br />
<br />
De donde<br />
<br />
<math>s=\frac{1-z^n}{1-z}</math><br />
<br />
Como z es una raíz enesima de la unidad<br />
<br />
<math>0=\frac{1-z^n}{1-z}</math><br />
<br />
<br />
<math>\ {1-z^n=0} </math><br />
<br />
<br />
<math>\ {z^n=1} </math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<br />
<math>\ {z^n=1} </math><br />
<br />
y <br />
<br />
<math>{1-z}\ne{0}</math><br />
<br />
<br />
porque<br />
<br />
<math> {z}\ne{1} </math> <br />
<br />
<br />
Por lo tanto<br />
<br />
'''<math> {s=0} </math>''' <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 22:00 2 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''4. Demuestre que:<br />
<center><br />
<math>\frac{n}{2^{n-1}}=\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{\pi}{k}</math><br />
</center><br />
Sugerencia: Factoriza la expresión <math>1+z+z^2+\cdots+z^n</math> usando las raices n-ésimas de la unidad, posteriormente evalue en <math>z=1</math>.'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
Las raices de <math>z^m=1</math> son<br />
<center><br />
<math>z=1,e^{\frac{2\pi i}{m}},e^{\frac{4\pi i}{m}},\dots,e^{\frac{(2m-1)\pi i}{m}}</math><br />
</center><br />
entonces podemos escribir<br />
<center><br />
<math>z^{m-1}=(z-e^{\frac{2\pi i}{m}})(z-e^{\frac{4\pi i}{m}})\cdots(z-e^{\frac{(2m-1)\pi i}{m}})</math><br />
</center><br />
dividiendo ambos lados por <math>z-1</math> y haciendo <math>z=1</math>:<br />
<center><br />
<math>\frac{z^{m-1}}{z-1}=1+z+z^2+\cdots+z^{m-1}</math><br />
</center><br />
de aqui hallamos que<br />
<center><br />
<math>m=(1-e^{\frac{2\pi i}{m}})(1-e^{\frac{4\pi i}{m}})\cdots(1-e^{\frac{(2m-1)\pi i}{m}})\qquad (1)</math><br />
</center><br />
tomando el conjugado complejo de ambos lados de (1)<br />
<center><br />
<math>m=(1-e^{\frac{-2\pi i}{m}})(1-e^{\frac{-4\pi i}{m}})\cdots(1-e^{\frac{-(2m-1)\pi i}{m}})\qquad (2)</math><br />
</center><br />
<br />
Multiplicando la ecuación (1) por la (2) y aplicando que<br />
<center><br />
<math>1-(1-e^{\frac{2k\pi i}{m}})(1-e^{\frac{2k\pi i}{m}})= 2 - 2\cos\frac{2k\pi}{m}</math><br />
</center><br />
tenemos<br />
<center><br />
<math>m^2=2^{m-1}(1-\cos\frac{2\pi}{m})(1-\cos\frac{4\pi}{m})\cdots(1-\cos\frac{2(m-1)\pi}{m})</math><br />
</center><br />
puesto que<br />
<center><br />
<math>1-\cos\frac{2k\pi}{m}=2\sin^2\frac{k\pi}{m}</math><br />
</center><br />
la ecuación anterior se transforma en<br />
<center><br />
<math>m^2=2^{2m-2}(\sin^2\frac{\pi}{m})(\sin^2\frac{2\pi}{m})\cdots(\sin^2\frac{(m-1)\pi}{m})</math><br />
</center><br />
despejando y sacando la raíz en ambos lados de la expresión:<br />
<center><br />
<math>\frac{m}{2^{m-1}}=(\sin\frac{\pi}{m})(\sin\frac{2\pi}{m})\cdots(\sin\frac{(m-1)\pi}{m})</math><br />
</center><br />
<br />
lo que queda demostrada la igualdad.<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 23:10 4 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''5.''' '''Demuestre que'''<br />
<br />
<math>1+cos\phi+cos2\phi+...............+cos n\phi=\frac{1}{2}+\frac{sen\left(n\phi+\frac{\phi}{2}\right)}{2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)}</math>, <br />
<br />
'''donde''' '''<math>\phi</math> ''' '''no es un multiplo par de''' '''<math>\pi</math>.'''<br />
<br />
<br />
<br />
'''Esta identidad se le atribuye a Lagrange.''' <br />
<br />
<br />
Sugerencia: calcular la parte real de <br />
<br />
<br />
<math>1+z+z^{2}+..........+z^{n}</math>, donde <math>z=cos\phi+isen\phi</math>. <br />
<br />
<br />
<br />
'''Solucion.'''<br />
<br />
Sea <br />
<br />
<math>S=1+z+z^{2}+.......+z^{n}</math> si multiplicamos por <math>z</math> a <math>S</math> se tiene que <br />
<br />
<br />
<math>zS=z+z^{2}+z^{3}+......+z^{n}+z^{n+1}</math> ahora restemos estas dos ultimas expresiones<br />
<br />
<br />
<math>\left(S-zS\right)=\left(1-z\right)S=1-z^{n+1}</math> de lo que se obtiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>S=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}</math><br />
<br />
<br />
Si en esta última expresion utilizamos <math>z=cos\phi+isen\phi</math> entonces <br />
<br />
<br />
<math>S=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}</math> <br />
<br />
<br />
toma la siguiente forma<br />
<br />
<br />
<math>1+\left(cos\phi+isen\phi\right)+\left(cos\phi+isen\phi\right)^{2}+........+\left(cos\phi+isen\phi\right)^{n}=\frac{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)^{n+1}}{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)} </math><br />
<br />
<br />
que es equivalente a esta<br />
<br />
<br />
<math>1+\left(cos\phi+isen\phi\right)+\left(cos2\phi+isen2\phi\right)+........+\left(cosn\phi+isen\left(n\phi\right)\right)=\frac{1-\left(cos\left(n+1\right)\phi+isen\left(n+1\right)\phi\right)}{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)}</math><br />
<br />
<br />
Tomando el lado derecho de esta ultima expresión y llevar a cabo el producto con su conjugado , es decir:<br />
<br />
<br />
<math>\left(\frac{1-cos\left(n\phi+\phi\right)-isen\left(n\phi+\phi\right)}{1-cos\phi-isen\phi}\right)\star\left(\frac{1-cos\phi+isen\phi}{1-cos\phi+isen\phi}\right)<br />
</math><br />
<br />
<br />
<br />
Se obtiene del numerador lo siguiente<br />
<br />
<br />
<br />
<math>1-cos\phi+isen\phi-cosn\left(n\phi+\phi\right)+cos\phi cos\left(n\phi+\phi\right)-isen\phi cos\left(n\phi+\phi\right)-isen\left(n\phi+\phi\right)+icos\phi sen\left(n\phi+\phi\right)+sen\phi sen\left(n\phi+\phi\right)<br />
</math><br />
<br />
<br />
si tomamos solo la parte real se tiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>1-cos\phi-cos\left(n\phi+\phi\right)+cos\phi cos\left(n\phi+\phi\right)+sen\phi sen\left(n\phi+\phi\right)=</math><br />
<br />
<br />
<math>1-cos\phi+cos\left(n\phi-\phi\right)-cos\left(n\phi+\phi\right)</math><math>=</math> <math>1-cos\phi+2sen\phi sen\phi</math><br />
<br />
<br />
<br />
por otra parte para el denominador se tiene:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left(1-cos\phi\right)^{2}+sen^{2}\phi=</math><br />
<br />
<br />
<math>1-2cos\phi+sen^{2}\phi+cos^{2}\phi=</math> <math>2\left(1-cos\phi\right)</math><br />
<br />
<br />
<br />
al tomar la parte real de <br />
<br />
<br />
<math>1+\left(cos\phi+isen\phi\right)+\left(cos2\phi+isen2\phi\right)+........+\left(cosn\phi+isenn\phi\right)=\frac{1-\left(cos\left(n+1\right)\phi+isen\left(n+1\right)\phi\right)}{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)}</math>,<br />
<br />
<br />
<br />
sustituir lo encontrado para el numerador (parte real) y el denominador , y utilizar la siguiente<br />
identidad <br />
<br />
<br />
<math>sen\left(\frac{\phi}{2}\right)=\sqrt{\frac{1-cos\phi}{2}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
tenemos lo siguiente:<br />
<br />
<br />
<math><br />
1+cos\phi+cos2\phi+...............+cosn\phi=\frac{2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)+sen\phi sen\left(n\phi\right)}{2\left(2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)\right)}=\frac{1}{2}+\frac{sen\phi sen\left(n\phi\right)}{2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Lo cual es casi a lo que se queria llegar.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 00:01 5 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== 1.1.4 ==<br />
<br />
'''1. Demuestre que:'''<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}\left | \textstyle \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k} \right | ^2 = \left (\sum_{k=1}^n \left| Z_{k} \right|^2 \right) \left(\sum_{k=1}^n \left| W_{k} \right|^2 \right) -\sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2. \qquad (I)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
'''Se conoce como igualdad de Lagrange'''<br />
<br />
<br />
<br />
'''Solución.'''<br />
<br />
<br />
Esta demostración se hará por inducción, es decir, empezaremos suponiendo que el elemento <math> n-1</math> se encuentra en el conjunto, pues entonces el resultado implica que el elemento <math>n</math> esta en el conjunto.<br />
<br />
<br />
Sea <math>\eth=\left\{ \omega\in\mathbb{N\,}tal\, que\left(I\right)\, se\, cumpla\right\}<br />
</math><br />
<br />
<br />
Supongamos que <math>n-1</math> esta en <math>\eth</math> , es decir,<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
<br />
\left| \textstyle \sum_{k=1}^ {n-1} Z_{k}W_{k} \right|= \left(\sum_{k=1}^ {n-1} \left|Z_{k} \right| ^{2}\right) \left (\sum_{l=1}^ {n-1} \left|W_{l}\right|^{2}\right)-\sum_{1<j<k<n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^{2}<br />
\qquad (i)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Tenemos que:<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left(\sum_{k=1}^n \left| Z_{k}\right| ^2\right) \left(\sum_{l=1}^n \left| W_{l}\right| ^2 \right)-\sum_{1<j<k\leq n} \left| Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2<br />
<br />
\qquad (ii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph= \left(\sum_{k=1}^{n-1} \left| Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \right) \left(\sum_{l=1}^{n-1} \left| W_{l}\right|^2+ \left|W_{n}\right|^2 \right)-\sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2<br />
<br />
\qquad (iii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph= \left(\sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 \right) \left(\sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 \right)+\left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 +\left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2+ \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2 -\sum_{1<j<k\leq n}\left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2<br />
<br />
<br />
\qquad (iv)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
<br />
\aleph= \left(\sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 \right)\left(\sum_{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^2 \right)-\sum_{1<j<k\leq n}\left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1}\left|Z_{k}\right|^2+\left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
<br />
\qquad (v)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Pero veamos la forma que toman las siguientes expresiones al expandir la suma,<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 = \left|Z_{1}\overline{W}_{2}-Z_{2}\overline{W}_{1}\right|^2 +\left|Z_{1}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{1}\right|^2 +..............+\left|Z_{1}\overline{W}_{n}-Z_{1}\overline{W}_{n}\right|^2 +...........+ \left|Z_{2}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{2}\right|^2 +...........+ \left|Z_{2}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{2}\right|^2+..........+ \left|Z_{n-1}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{n-1}\right|^2<br />
<br />
\qquad (vi)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\sum_{1<j<k\leq n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 = \left|Z_{1}\overline{W}_{2}-Z_{2}\overline{W}_{1}\right|^2 + \left|Z_{1}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{1}\right|^2+..........+\left|Z_{1}\overline{W}_{n-1}-Z_{n-1}\overline{W}_{1}\right|^2 +..........+ \left|Z_{2}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{2}\right|^2+...........+\left|Z_{2}\overline{W}_{n-1}-Z_{n-1}\overline{W}_{2}\right|^2 +...........+ \left|Z_{n-2}\overline{W}_{n-1}-Z_{n-1}\overline{W}_{n-2}\right|^2<br />
<br />
<br />
\qquad (vii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Al comparar las expresiones <math> vi</math> con <math>vii</math> se observa que:<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j} \right|^2= \sum_{1<j<k\leq n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 + \sum_{j=1}^{n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{j}\right|^2<br />
<br />
\qquad (viii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Entonces si ahora utilizamos las expresiones <math>viii</math>, <math> I</math> e <math>i</math> podemos re-escribir <math>\aleph</math> de la manera siguiente:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^{n-1}Z_{k}W_{k}\right|^2-\sum_{j=1}^{n-1}\left|Z_{j}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{j}\right|^2 + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1}\left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
\qquad (ix)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph= \left(\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k} - Z_{n}W_{n}\right) \left(\sum_{l=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k} -\overline{Z}_{n} \overline{W}_{n}\right) - \sum_{j=1}^{n-1} \left(Z_{j}\overline{W}_{n} - Z_{n}\overline{W}_{j}\right) \left(\overline{Z}_{j}W_{n} - \overline{Z}_{n}W_{j}\right) + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 +\left|Z_{n} \right|^2\sum_{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
\qquad (x)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^{n}Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{l=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k}+ \left|Z_{n}W_{n}\right|^2 - \left[\sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}\overline{W}_{n}\overline{Z}_{j}W_{n}- \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}\overline{W}_{n}\overline{Z}_{n}W_{j}- \sum_{j=1}^{n-1} Z_{n}\overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}W_{n} + \sum_{j=1}^{n-1} Z_{n}\overline{W}_{j} \overline{Z}_{n}W_{j}\right] + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l} \right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
\qquad (xi)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{k=1}^n \overline{Z}_{k} \overline{W}_{k}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2 - W_{n}\overline{W}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}\overline{Z}_{j}+\overline{W}_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}W_{j}+W_{n}Z_{n} \sum_{j=1}^{n-1}\overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}-Z_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} W_{j}\overline{W}_{j} + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
\qquad (xii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{k=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2- \left|W_{n}\right|^2 \sum_{j=1}^{n-1} \left|Z_{j}\right|^2 + \overline{W}_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}W_{j}+W_{n}Z_{n} \sum_{j=1}^{n-1} \overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}-\left|Z_{n}\right|^2 \sum_{j=1}^{n-1} \left|W_{j}\right|^2+\left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
\qquad (xiii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left| \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n} \overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{k=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2+ \overline{W}_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1}Z_{j}W_{j}+W_{n}Z_{n} \sum_{j=1}^{n-1} \overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2<br />
\qquad (xiv)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n} \overline{W}_{n}Z_{n}W_{n}-Z_{n}W_{n} \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2<br />
\qquad (xv)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2<br />
\qquad (xvi)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
por lo tanto si <math>n-1</math> <math>\in</math> <math>\eth</math> <math>\Longrightarrow</math> <math>n\in</math> <math>\eth</math> .<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 03:31 14 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.- Sean <math>z_{1},z_{2},...,z_{n}\,</math> numeros complejos, ¿Bajo que condiciones se tiene que <math>|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}| = |z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}|\,</math> ?'''<br />
<br />
<br />
Si <math>z_{1} = z_{2} = ... = z_{n}\,</math>, entonces<br />
<br />
<br />
<math>|z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}| = n|z_{1}|\,</math><br />
<br />
<br />
por otro lado<br />
<br />
<br />
<math>|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}| = |nz_{1}| = n|z_{1}|\,</math><br />
<br />
<br />
y por lo tanto<br />
<br />
<br />
<math>|z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}| = |z_{1}+z_{2}+...+z_{n}|\,</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 02:52 5 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
'''2.- Sean <math>z_{1},z_{2},...,z_{n}\,</math> numeros complejos, ¿Bajo que condiciones se tiene que <math>|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}| = |z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}|\,</math> ?'''<br />
<br />
Tomando como punto de partida la demostracion de la desigualdad del triangulo. Podemos generalizar por medio de la inducción matemática a sumas de cualquier número finito de términos.<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}\right|\leq\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{n}\right|,(n = 1,2,3,...)\qquad (1)</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Es claro ver que cuando n = 2 se cumple la desigualdad del triangulo.<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_{1}+z_{2}\right|\leq\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|</math><br />
<br />
<br />
<br />
Ahora suponiendo que (1) es válida cuando n=m, debe ser tambien para n=m+1, y aplicando la desigualdad del triangulo:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|\left(z_{1}+z_{2}+...+z_{m}\right)+z_{m+1}\right|\leq\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{m}\right|+\left|z_{m+1}\right|</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|(z_{1}+z_{2}+...+z_{m})+z_{m+1}\right|\leq(\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{m}\right|)+\left|z_{m+1}\right|</math><br />
<br />
<br />
<br />
En donde los primeros m terminos los redefiniremos como Z<math>_{I},</math> y el termino m+1 como Z<math>_{II},</math>. Entonces lo anterior queda como:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|Z_{I}+Z_{II}\right|\leq\left|Z_{I}\right|+\left|Z_{II}\right|</math><br />
<br />
<br />
Ahora escribiendolo como igualdad<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|Z_{I}+Z_{II}\right|=\left|Z_{I}\right|+\left|Z_{II}\right|\equiv\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{m}+z_{m+1}\right|=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{m}\right|+\left|z_{m+1}\right|</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{m}+z_{m+1}\right|=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{m}\right|+\left|z_{m+1}\right|\equiv\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}\right|=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{n}\right|</math><br />
<br />
<br />
<br />
Esta desigualdad solo se cumple como igualdad cuando los numeros son colineales y tienen la misma direccion, esto tambien puede ser en los real (Re) o el imaginario (Im).<br />
<br />
Esto es muy claro ver cuando n=2, en una grafica.<br />
<br />
<br />
[[Imagen:Suma.gif]][[Imagen:Suma2.gif]]<br />
<br />
<br />
<br />
Aquí les dejo el enlace de la pagina donde consulte el código para generar las graficas para los que les interese.<br />
[http://demonstrations.wolfram.com/ComplexAddition/ Demostracion grafica]<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 03:41 16 oct 2009 (UTC)<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 03:07 6 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''3. Encuentre el ínfimo de <math>\left | z^3 + 2 i \right |</math> en la región <math>\left \{ z \mid |z| \ge 2 \right \}</math>, y describa en qué puntos se alcanza.'''<br />
<br />
<br />
Con una variante de la desigualdad del triángulo, tenemos que<br />
<br />
<center><math>\left | z^3 + i \right | \ge \left | |z|^3 -1 \right | \ge 8-1. </math></center><br />
Por tanto, <br />
<center><math> 7 \le \left | z^3 + i \right |. \qquad (1) </math></center><br />
<br />
Entonces, el ínfimo de la expresión es 7.<br />
<br />
Por otro lado, tenemos que, si <math>z = r \left ( cos \theta + 1 \sin \theta \right )</math><br />
<br />
<center><math> <br />
\begin{align}<br />
\left | z^3 + i \right | ^2 & = \left | r ^3 \left ( \cos 3\theta + i \sin 3\theta \right ) + 1 \right | ^2 \\<br />
& = \left | r^3 \cos 3\theta + 1 + i r^3 \sin 3\theta \right | ^2 \\<br />
& = r^6 + 2 r^3 \cos 3\theta + 1. \\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
Si tomamos la cota inferior, <math>\left | z \right | = 2</math>, la expresión anterior es entonces:<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}<br />
\left | z^3 + i \right | ^2 & = r^6 + 2 r^3 \cos 3\theta + 1 \\<br />
& = 65 + 2 r^3 \cos 3\theta. \\<br />
\end{align}<br />
</math></center> <br />
<br />
Ya que la función coseno tiene su mínimo en el valor -1, tomemos una <math>\theta</math> tal que <math>\cos 3\theta {{=}} -1</math>. Para este caso, tenemos dos valores: <math>\theta_1 {{=}} \frac {\pi}{3}</math> y <math>\theta_2 {{=}} \pi </math>,<br />
<br />
de tal forma que, con estos valores, <br />
<center><math>\left | z^3 + i \right | ^2 = 65 - 16 = 49. </math></center><br />
<br />
Con la fórmula de De Moivre, tenemos que el ínfimo de la expresión dada toma ese valor en <math>z_1</math> y <math>z_2</math> tales que<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}<br />
z_1 & = 2 \left ( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right ) \\<br />
& = 2 \left ( \cos \frac {\pi}{3} + i \sin \frac {\pi}{3} \right )\\<br />
& = 2 \left ( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right ) \\<br />
z_1 & = 1 + i \sqrt{3}, \qquad (2)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
y<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}<br />
z_2 & = 2 \left ( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right ) \\<br />
& = 2 \left ( \cos \pi + i \sin \pi \right )\\<br />
z_2 & = -2. \qquad (3)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
Pero, además, por le geometría de los números complejos, tenemos otros dos valores <math>z_3</math> y <math>z_4</math> tales que <br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}<br />
z_3 & = 2 \left ( \cos \theta_1+\pi + i \sin \theta_1+\pi \right ) \\<br />
& = 2 \left ( \cos \frac {4\pi}{3} + i \sin \frac {4\pi}{3} \right )\\<br />
& = 2 \left ( - \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \right ) \\<br />
& = -1 - i \sqrt{3} \\<br />
z_3 & = - z_1, \qquad (4)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
y<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}<br />
z_4 & = 2 \left ( \cos \theta_2+\pi + i \sin \theta_2+\pi \right ) \\<br />
& = 2 \left ( \cos 2\pi + i \sin 2\pi \right )\\<br />
& = 2 \\<br />
z_4 & = -z_2. \qquad (5)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
Por tanto, las expresiones (2), (3), (4) y (5) nos proporcionan los valores en que el ínfimo es tomado, a saber, <math>\pm (1 + i \sqrt{3})</math> y <math>\pm 2</math>.<br />
<br />
--[[Usuario:Belen|Belen]] 04:08 12 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.1&diff=11455
Compleja:ej-cap1.1
2009-12-05T16:49:53Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>'''1. Demuestre que el producto de números complejos cumple con la ley asociativa'''<br />
<br />
Sean <math> z = a + i b, \quad w = c + i d, \quad s = e + i f \, \quad </math> <br />
con <math> \quad a,b,c,d,e,f \in \mbox{R}</math><br />
<br />
<br />
Por demostrar <math> (zw)s = z(ws)\,</math><br />
<br />
<br />
<math>(zw)s = [(a + i b)(c + i d)](e + i f) = [(ac - bd) + i (bc + ad)](e + i f)\,</math><br />
<br />
<br />
<math>=[e(ac - bd) - f(bc + ad)] + i [e(bc + ad) + f(ac - bd) = (ace - bde - bcf - adf) + i (bce + ade + acf - bdf)\, </math><br />
<br />
<br />
Por otra parte<br />
<br />
<math>z(ws) = (a + i b)[(c + i d)(e + i f)] = (a + i b)[(ce - df) + i (de + cf)]\,</math><br />
<br />
<br />
<math>=[a(ce - df) - b(de + cf)] + i [b(ce - df) + a(de + cf)] = (ace - bde - bcf - adf) + i (bce + ade + acf - bdf)\,</math><br />
<br />
<br />
Entonces se cumple <math> (zw)s = z(ws)\,</math>.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 22:15 28 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
== 1.1.2 ==<br />
'''1. Demuestre que <math>\left|\frac{z}{w}\right| = \frac{\left|z\right|}{\left|w\right|}</math>'''<br />
<br />
Sean <math> z = a + i b \quad y \quad w = c + i d\,</math> <br />
<br />
<br />
<math>\left|\frac{z}{w}\right|= \left|\frac{a + i b }{c + i d}\right|= \left|\frac{(a + i b)(c - i d)}{(c + i d)(c - i d)}\right| </math>'''<br />
<br />
<br />
<math>=\left|\frac{(ac + bd) + i (bc - ad)}{c^2 + d^2}\right|= \sqrt{\bigg ( \frac{ac + bd}{c^2 + d^2}\bigg )^2 + \bigg (\frac{bc - ad}{c^2 + d^2}\bigg )^2} = \frac{1}{c^2 + d^2}\sqrt{ (ac + bd)^2 + (bc - ad)^2 <br />
} <br />
</math><br />
<br />
<br />
<math>=\frac{1}{c^2 + d^2}\sqrt{a^2 c^2 + a^2 d^2 + b^2 c^2 + b^2 d^2 <br />
} = \sqrt{\Bigg [\frac{a^2 (c^2 + d^2)}{(c^2 + d^2)^2}\Bigg ] + \Bigg [\frac{b^2 (c^2 + d^2)}{(c^2 + d^2)^2}\Bigg ] <br />
} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}} <br />
</math><br />
<br />
<br />
Por otra parte<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|z\right|}{\left|w\right|} = \frac{\left|a + i b\right|}{\left|c + i d\right|} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}} = \left|\frac{z}{w}\right|</math><br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 22:15 28 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''2. Exprese <math>\overline{\left(\frac{\left(2+3i\right)^2}{4+i}\right)}</math>de la forma <math>x+iy</math>'''<br />
<br />
<br />
Por las propiedades <math>\overline{\left ( \frac{z}{w} \right )}=\frac\bar{z}\bar{w}</math> , <math>\overline{zw}=\bar{z}\bar{w}</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{\overline{\left ({2+3i}\right)^2}}{\overline{\left({4+i}\right)}}=\frac{\overline{\left ({2+3i}\right)}\overline{\left ({2+3i}\right)}}{\overline{\left({4+i}\right)}}=\frac{\left(2-3i\right)\left(2-3i\right)}{\left(4-i\right)}</math><br />
<br />
<br />
Simplificando, se obtiene:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\frac{4-6i-6i-9}{4-i}=\frac{-5-12i}{4-i}</math><br />
<br />
<br />
Resolviendo la división de números complejos, de la forma:<br />
<br />
<br />
<math>\frac{z}{w}=\frac{z\bar{w}}{w\bar{w}}=\frac{z\bar{w}}{\left|w\right|^2}</math>:<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left(-5-12i\right)\left(4+i\right)}{\left(4-i\right)\left(4+i\right)}=\frac{-20-5i-48i+12}{17}=\frac{-8-53i}{17}</math><br />
<br />
<br />
=<math>-\frac{8}{17}-\frac{53}{17}i</math>.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 23:00 28 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''3. Demuestre que <math>\alpha</math> es raiz de un polinomio real si y solo si <math>\overline{\alpha}</math> lo es.'''<br />
<br />
<br />
Sea <math>\overline{\alpha}</math> solucion de un polinomio real,<br />
<br />
entonces <math>\overline{\alpha} \in \mathbb{R}</math><br />
<br />
como <math>\overline{\alpha} = \alpha</math>, por lo tanto <math>\alpha</math> tambien es solucion. <br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 06:35 30 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''5. Sean <math>z_1 , z_2 , z_3 \in \mathbb{C}</math> tales que cumplen <math>\frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} = \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3}</math>, demuestre que estos tres puntos determinan un triángulo equilátero.'''<br />
<br />
[[Image: Comp_triang_eq2.jpg|frame|center|Figura 1]]<br />
<br />
Tenemos que <br />
<br />
<center><math>\left | \frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} \right | = \left | \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} \right |,\qquad (1)</math></center><br />
<br />
y, por lo tanto, <br />
<br />
<center><math>\frac{|z_2 - z_1|}{|z_3 - z_1|} = \frac{|z_1 - z_3|}{|z_2 - z_3|}.\qquad (2)</math></center><br />
<br />
De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber:<br />
<br />
<center><math>\left . \begin{matrix}|z_2 - z_1| = A\\<br />
|z_3 - z_1| = B = |z_1 - z_3|\\<br />
|z_2 - z_3| = C\\<br />
\end{matrix} \right \} \qquad (3)</math></center><br />
<br />
De (2) y (3) tenemos que:<br />
<br />
<center><math>\frac{A}{B} = \frac{B}{C}. \qquad (4)</math></center><br />
<br />
Por triángulos semejantes, se tiene que el ángulo <math>\beta</math> es igual al ángulo <math>\gamma</math> y éste a su vez al ángulo <math>\alpha</math>, es decir,<br />
<br />
<center><math>\alpha = \beta = \gamma. \qquad (5)</math></center><br />
<br />
Y la ecuación (5) es precisamente la condición para que el triángulo ABC de la Figura 1 sea equilátero.<br />
<br />
--[[Usuario:Belen|Belen]] 02:48 29 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
'''6. Sea <math>{\begin{align}z & = x+iy \end{align}}</math>, pruebe que<br />
<math>{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Puesto que el número complejo z puede escribirse como<br />
<br />
<math>{\begin{align}z & = Re(z)+iIm(z) \end{align}}</math><br />
<br />
<math>{\begin{align}\left|{z}\right| & = \sqrt{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2} \end{align}}</math><br />
<br />
<br />
Se deduce que<br />
<br />
<math>{\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{Re(z)}\right|}</math><br />
<br />
<math>{\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Como el cuadrado de un número real no puede ser negativo<br />
<br />
<math>{{[\left|{Re(z)}\right|-\left|{Im(z)}\right|]^2}{\ge }0}</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<math>{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2-2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|{\ge }0}</math><br />
<br />
O sea<br />
<br />
<math>{{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2}{\ge }2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
O de otra manera<br />
<br />
<math>{{\left|{z}\right|^2}{\ge }2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Sumando <math>{\left|{z}\right|^2}</math>, a ambos lados se tiene<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{z}\right|^2+2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Como <br />
<br />
<math>{\begin{align}\left|{z}\right|^2 & = \left|{Re(z)}\right|^2+\left|{Im(z)}\right|^2 \end{align}}</math><br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{Re(z)}\right|^2+\left|{Im(z)}\right|^2+2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
De donde<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }[\left|{Re(z)}\right|+\left|{Im(z)}\right|]^2}</math><br />
<br />
Sacando raíces cuadradas positivas<br />
<br />
<math>{{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}{\ge} \left|{Re(z)}\right|+\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto<br />
<br />
<math>{{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}{\ge}{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:18 29 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
'''6-bis. Sea <math>{\begin{align}z & = x+iy \end{align}}</math>, pruebe que<br />
<math>{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}</math><br />
<br />
Tenemos que <math>{\begin{align}z & = x+iy \end{align}}</math>, entonces de la teoria sabemos que <br />
<br />
<br />
<math>{\begin{align}\left|{z}\right| & = \sqrt{[x]^2+[y]^2} \end{align}}\qquad (1)</math> <br />
<br />
<math>{\left|{x}\right|=\left|{Re(z)}\right|}{\le}{ \left|{z}\right|}</math><br />
<br />
<math>{\left|{y}\right|=\left|{Im(z)}\right|}{\le}{ \left|{z}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Tambien es inmediato que para z <math>\in \mathbb{R}</math>, <math>\overline z = z</math>, y que el cuadrado de cualquier numero real es siempre positivo, entonces de esto se tiene que<br />
<br />
<math>{{[\left|{x}\right|-\left|{y}\right|]^2}{\ge}0}</math><br />
<br />
Desarrollando el binomio se tiene que<br />
<br />
<br />
<math>{[x]^2+[y]^2-2\left|{x}\right|\left|{y}\right|{\ge }0}</math><br />
<br />
<math>{{[x]^2+[y]^2}{\ge }2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math><br />
<br />
Y por la identidad (1) esto se puede escribir como <br />
<br />
<math>{{\left|{z}\right|^2}{\ge }2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math><br />
<br />
Ahora sumando en ambos lados <math>{{\left|{z}\right|^2}}</math> obtenemos lo siguiente<br />
<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{z}\right|^2+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Pero ademas como <math>{{\left|{z}\right|^2}={\left|{x}\right|^2}+{\left|{y}\right|^2}}</math>, lo sustituimos en el resultado anterior<br />
<br />
<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{x}\right|^2}+{\left|{y}\right|^2+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Es facil ver que <br />
<br />
<br />
<math>{{[\left|{x}\right|+\left|{y}\right|]^2}={[x]^2+[y]^2+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}}</math><br />
<br />
<br />
Utilizando este resultado se deduce que <br />
<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }{[\left|{x}\right|+\left|{y}\right|]^2}}</math><br />
<br />
<br />
Y tomando las raices positivas llegamos al siguiente resultado<br />
<br />
<br />
<math>{\sqrt{2}\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Que es lo que se queria mostrar.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 03:56 1 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''7. Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados.<br />
<br />
[[Imagen:Dibujobueno.jpg]]<br />
<br />
Sacamos las normas de los números complejos<br />
<br />
|z|=<math>\sqrt{(a)^2+(b)^2}</math><br />
|w|=<math>\sqrt{(c)^2+(d)^2}</math><br />
<br />
Por algebra de vectores <br />
<br />
<math>|z|+|w|=|h|</math><br />
<br />
Donde |h| es la resultante de |z|+|w|<br />
<br />
<math>\sqrt{(a)^2+(b)^2}</math>+ <math>\sqrt{(c)^2+(d)^2}=|h|</math><br />
<br />
De la misma forma el dibujo nos indica q trasladamos la magnitudes de los vectores<br />
<br />
|w| y |z| y por tanto también tendremos |z|+|w| =|h|<br />
<br />
Entonces si |z|+|w| = |h|<br />
<br />
Aplicando el teorema de pitagoras q nos dice<br />
<br />
d = cateto<br />
<br />
f = cateto<br />
<br />
<math>e^2=d^2+f^2</math> <br />
<br />
entonces tenemos que <br />
<br />
<math>(a)^2+(b)^2=|z|^2</math><br />
<math>(c)^2+(d)^2=|w|^2</math><br />
<br />
Aplicamos pitagoras<br />
<br />
<math>(c)^2+(d)^2+(a)^2+(b)^2=(c)^2+(d)^2+(a)^2+(b)^2</math><br />
<br />
Por tanto <br />
<br />
<math>|z|^2 +|w|^2 = |h|^2</math> se cumple la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de la diagonal.<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 22:47 4 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
== 1.1.3 ==<br />
<br />
'''1. Calcule las raìces cuadradas de <math>3+4i</math> y de <math>1+2i</math>.'''<br />
<br />
<br />
Aplicando la formula para calcular raices cuadradas de numeros complejos.<br />
<br />
<math>\pm\left(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}} + i\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\right)</math> si <math>\quad b>0</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto las raices de <math>3+4i</math>, son:<br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(\sqrt{\frac{3+\sqrt{25}}{2}} + i\sqrt{\frac{-3+\sqrt{25}}{2}}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(\sqrt{\frac{8}{2}} + i\sqrt{1}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(2+i\right)</math><br />
<br />
<br />
y para <math>1+2i</math>, son:<br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} + i\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(\sqrt{1.61} + i\sqrt{0.61}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(1.27 + i 0.78\right).</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 23:44 30 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i'''<br />
<br />
Tenemos que <math>cos\boldsymbol{\theta}+i sen\boldsymbol{\theta}= -64</math> definicion en forma polar<br />
<br />
[[Imagen:Demo2.jpg]]<br />
<br />
r=64 <br />
<br />
n=6 porque nos piden las raíces sextas<br />
<br />
Entonces el argumento <math>\boldsymbol{\theta}=\pi</math><br />
<br />
<br />
<br />
Si <math>x+iy=re^{i\boldsymbol{\theta}}</math><br />
<br />
<br />
Entonces utilizando la definición de Moivre para obtener las raíces<br />
<br />
<br />
<math>(g e^{i\boldsymbol{\phi}n})= r e^{i\boldsymbol{\theta}}</math><br />
<br />
Ahora tenemos<br />
<br />
<math>g^n=r</math> y g= raíz enesima <math>\sqrt{64}</math>= = 2<br />
<br />
y <math>\boldsymbol{\phi}n=\boldsymbol{\theta}+2k\pi</math> los <math>2\pi</math> es porque tomamos en cuenta la periodicidad de la funció n y k son todos los múltiplos de <math>2\pi</math><br />
entonces sacando las raíces<br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6 </math> k=0 <br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi / 6 + 2\pi / 6 = 3\pi / 6</math> k=1 <br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6+2(2)\pi/6= 5\pi/6 </math> k=2 <br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6+(3)2\pi/6= 7\pi/6 </math> k=3<br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6+2(4)\pi/6= 9\pi/6 </math> k=4 <br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6+2(5)\pi/6= 11\pi/6 </math> k=5 <br />
<br />
Las soluciones son<br />
<br />
r1= 2 <math> e^{i( \pi/6)}</math> <br />
<br />
r2= 2 <math> e^{i( 3\pi/6)}</math> <br />
<br />
r3= 2 <math> e^{i( 5\pi/6)}</math> <br />
<br />
r4= 2 <math> e^{i( 7\pi/6)}</math> <br />
<br />
r5= 2 <math> e^{i( 9\pi/6)}</math> <br />
<br />
r6= 2 <math> e^{i( 11\pi/6)}</math> <br />
<br />
Graficando en coordenadas polares nos queda:<br />
<br />
[[Imagen:POLIGONO2.jpg]]<br />
<br />
Haciendo algo similar para el 8i Tenemos<br />
<br />
<math>cos\boldsymbol{\theta}+i sen\boldsymbol{\theta}= 8i</math><br />
<br />
<br />
<br />
[[Imagen:DEMO3.jpg]]<br />
<br />
el argumento <math>\boldsymbol{\theta}=\pi/2</math><br />
<br />
r= 8<br />
<br />
n=3 porque nos pinden las raíces cubicas<br />
<br />
<math>g^n=r</math> y g= raíz enesima <math>\sqrt{8}</math>= = 2<br />
<br />
<math>\boldsymbol{\phi}n = \boldsymbol{\theta}+2k\pi </math><br />
<br />
<math>\boldsymbol{\phi} = \boldsymbol{\theta}+2k\pi =\pi/6 </math> k=0<br />
<br />
<math>\boldsymbol{\phi}=\pi/6+2\pi/3= 5\pi/6</math> k=1 <br />
<br />
<math>\boldsymbol{\phi}==\pi/6+2(2)\pi/3= 9\pi/6</math> k=2 <br />
<br />
r1= 2 <math> e^{i( \pi/6)}</math> <br />
<br />
r2= 2 <math> e^{i( 5\pi/6)}</math> <br />
<br />
r3= 2 <math> e^{i( 9\pi/6)}</math> <br />
<br />
<br />
<br />
Graficando en coordenadas polares tenemos<br />
<br />
<br />
[[Imagen:RAICES.jpg]] <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 21:35 4 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i'''<br />
<br />
<br />
Sea <math> z = -64 = 64(cos\pi + isen\pi)\,</math><br />
<br />
<br />
Por la formula de De Moivre<br />
<br />
<br />
<math>z^{1/6} = 64^{1/6}(cos\pi + sen\pi)^{1/6} = 2 (cos(\frac{\pi+2k\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+2k\pi}{6}))</math> para k = 0,1,2,3,4,5<br />
<br />
<br />
Evaluando k se obtiene<br />
<br />
<br />
con k = 0<br />
<br />
<math>w_{0} = 2(cos(\frac{\pi}{6}) + isen(\frac{\pi}{6})) = \sqrt{3} + i</math> <br />
<br />
con k = 1<br />
<br />
<math>w_{1} = 2(cos(\frac{\pi+2\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+2\pi}{6})) = 2(cos(\frac{\pi}{2}) + isen(\frac{\pi}{2})) = 2i</math> <br />
<br />
con k = 2 <br />
<br />
<math>w_{2} = 2(cos(\frac{\pi+4\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+4\pi}{6})) = 2(cos(\frac{5\pi}{6}) + isen(\frac{5\pi}{6})) = -\sqrt{3} + i</math><br />
<br />
con k = 3<br />
<br />
<math>w_{3} = 2(cos(\frac{\pi+6\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+6\pi}{6})) = 2(cos(\frac{7\pi}{6}) + isen(\frac{7\pi}{6})) = -\sqrt{3} - i</math><br />
<br />
con k = 4<br />
<br />
<math>w_{4} = 2(cos(\frac{\pi+8\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+8\pi}{6})) = 2(cos(\frac{3\pi}{2}) + isen(\frac{3\pi}{2})) = -2i</math><br />
<br />
con k = 5<br />
<br />
<math>w_{5} = 2(cos(\frac{\pi+10\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+10\pi}{6})) = 2(cos(\frac{11\pi}{6}) + isen(\frac{11\pi}{6})) = \sqrt{3} - i</math> <br />
<br />
<br />
..............<br />
<br />
<br />
Sea <math>z = 8i = 8(cos(\frac{\pi}{2}) + sen(\frac{\pi}{2})\,</math><br />
<br />
<br />
<math>z^{1/3} = 8^{1/3}(cos(\frac{\pi}{2}) + isen(\frac{\pi}{2}))^{1/3} = 2(cos(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}) + isen(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}))</math> para k = 0,1,2<br />
<br />
<br />
Evaluando a k se obtiene<br />
<br />
<br />
con k = 0<br />
<br />
<math>w_{0} = 2(cos(\frac{\pi}{6}) + isen(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3} + i</math><br />
<br />
con k = 1<br />
<br />
<math>w_{1} = 2(cos(\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{3}) + isen(\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{3})) = 2(cos(\frac{5\pi}{6}) + isen(\frac{5\pi}{6}) = -\sqrt{3} + i</math><br />
<br />
con k = 2<br />
<br />
<math>w_{2} = 2(cos(\frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}{3}) + isen(\frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}{3})) = 2(cos(\frac{3\pi}{2}) + isen(\frac{3\pi}{2})) = -2i</math><br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 21:07 3 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''3. Demuestre que <math>1+Z+Z^2+...+Z^{n-1}=0</math> donde z es una raíz n-ésima de la unidad,<br />
<math>z\neq 1</math>'''<br />
<br />
<br />
Sea <math> S=1+Z+Z^2+...+Z^{n-1}</math><br />
<br />
Ahora multiplicamos ambos lados por Z<br />
<br />
<math> ZS=Z+Z^2+Z^3+...+Z^{n-1}+Z^n</math><br />
<br />
Restando la segunda ecuación de la primera<br />
<br />
<math>{(s=1+z+z^2+...+z^{n-1})-(zs=z+^2+z^3+...+z^{n-1}+z^n)}</math><br />
<br />
Tenemos que<br />
<br />
<math>\ {s-zs=1-z^n}</math> <br />
<br />
entonces <br />
<br />
<math>\ {s(1-z)=1-z^n}</math><br />
<br />
De donde<br />
<br />
<math>s=\frac{1-z^n}{1-z}</math><br />
<br />
Como z es una raíz enesima de la unidad<br />
<br />
<math>0=\frac{1-z^n}{1-z}</math><br />
<br />
<math>\ {1-z^n=0} </math><br />
<br />
<math>\ {z^n=1} </math><br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<math>\ {z^n=1} </math><br />
<br />
y <br />
<br />
<math>{1-z}\ne{0}</math><br />
<br />
porque<br />
<br />
<math> {z}\ne{1} </math> <br />
<br />
<br />
Por lo tanto<br />
<br />
'''<math> {s=0} </math>''' <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 22:00 2 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''4. Demuestre que:<br />
<center><br />
<math>\frac{n}{2^{n-1}}=\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{\pi}{k}</math><br />
</center><br />
Sugerencia: Factoriza la expresión <math>1+z+z^2+\cdots+z^n</math> usando las raices n-ésimas de la unidad, posteriormente evalue en <math>z=1</math>.'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
Las raices de <math>z^m=1</math> son<br />
<center><br />
<math>z=1,e^{\frac{2\pi i}{m}},e^{\frac{4\pi i}{m}},\dots,e^{\frac{(2m-1)\pi i}{m}}</math><br />
</center><br />
entonces podemos escribir<br />
<center><br />
<math>z^{m-1}=(z-e^{\frac{2\pi i}{m}})(z-e^{\frac{4\pi i}{m}})\cdots(z-e^{\frac{(2m-1)\pi i}{m}})</math><br />
</center><br />
dividiendo ambos lados por <math>z-1</math> y haciendo <math>z=1</math>:<br />
<center><br />
<math>\frac{z^{m-1}}{z-1}=1+z+z^2+\cdots+z^{m-1}</math><br />
</center><br />
de aqui hallamos que<br />
<center><br />
<math>m=(1-e^{\frac{2\pi i}{m}})(1-e^{\frac{4\pi i}{m}})\cdots(1-e^{\frac{(2m-1)\pi i}{m}})\qquad (1)</math><br />
</center><br />
tomando el conjugado complejo de ambos lados de (1)<br />
<center><br />
<math>m=(1-e^{\frac{-2\pi i}{m}})(1-e^{\frac{-4\pi i}{m}})\cdots(1-e^{\frac{-(2m-1)\pi i}{m}})\qquad (2)</math><br />
</center><br />
<br />
Multiplicando la ecuación (1) por la (2) y aplicando que<br />
<center><br />
<math>1-(1-e^{\frac{2k\pi i}{m}})(1-e^{\frac{2k\pi i}{m}})= 2 - 2\cos\frac{2k\pi}{m}</math><br />
</center><br />
tenemos<br />
<center><br />
<math>m^2=2^{m-1}(1-\cos\frac{2\pi}{m})(1-\cos\frac{4\pi}{m})\cdots(1-\cos\frac{2(m-1)\pi}{m})</math><br />
</center><br />
puesto que<br />
<center><br />
<math>1-\cos\frac{2k\pi}{m}=2\sin^2\frac{k\pi}{m}</math><br />
</center><br />
la ecuación anterior se transforma en<br />
<center><br />
<math>m^2=2^{2m-2}(\sin^2\frac{\pi}{m})(\sin^2\frac{2\pi}{m})\cdots(\sin^2\frac{(m-1)\pi}{m})</math><br />
</center><br />
despejando y sacando la raíz en ambos lados de la expresión:<br />
<center><br />
<math>\frac{m}{2^{m-1}}=(\sin\frac{\pi}{m})(\sin\frac{2\pi}{m})\cdots(\sin\frac{(m-1)\pi}{m})</math><br />
</center><br />
<br />
lo que queda demostrada la igualdad.<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 23:10 4 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''5.''' '''Demuestre que'''<br />
<br />
<math>1+cos\phi+cos2\phi+...............+cos n\phi=\frac{1}{2}+\frac{sen\left(n\phi+\frac{\phi}{2}\right)}{2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)}</math>, <br />
<br />
'''donde''' '''<math>\phi</math> ''' '''no es un multiplo par de''' '''<math>\pi</math>.'''<br />
<br />
<br />
<br />
'''Esta identidad se le atribuye a Lagrange.''' <br />
<br />
<br />
Sugerencia: calcular la parte real de <br />
<br />
<br />
<math>1+z+z^{2}+..........+z^{n}</math>, donde <math>z=cos\phi+isen\phi</math>. <br />
<br />
<br />
<br />
'''Solucion.'''<br />
<br />
Sea <br />
<br />
<math>S=1+z+z^{2}+.......+z^{n}</math> si multiplicamos por <math>z</math> a <math>S</math> se tiene que <br />
<br />
<br />
<math>zS=z+z^{2}+z^{3}+......+z^{n}+z^{n+1}</math> ahora restemos estas dos ultimas expresiones<br />
<br />
<br />
<math>\left(S-zS\right)=\left(1-z\right)S=1-z^{n+1}</math> de lo que se obtiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>S=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}</math><br />
<br />
<br />
Si en esta última expresion utilizamos <math>z=cos\phi+isen\phi</math> entonces <br />
<br />
<br />
<math>S=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}</math> <br />
<br />
<br />
toma la siguiente forma<br />
<br />
<br />
<math>1+\left(cos\phi+isen\phi\right)+\left(cos\phi+isen\phi\right)^{2}+........+\left(cos\phi+isen\phi\right)^{n}=\frac{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)^{n+1}}{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)} </math><br />
<br />
<br />
que es equivalente a esta<br />
<br />
<br />
<math>1+\left(cos\phi+isen\phi\right)+\left(cos2\phi+isen2\phi\right)+........+\left(cosn\phi+isen\left(n\phi\right)\right)=\frac{1-\left(cos\left(n+1\right)\phi+isen\left(n+1\right)\phi\right)}{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)}</math><br />
<br />
<br />
Tomando el lado derecho de esta ultima expresión y llevar a cabo el producto con su conjugado , es decir:<br />
<br />
<br />
<math>\left(\frac{1-cos\left(n\phi+\phi\right)-isen\left(n\phi+\phi\right)}{1-cos\phi-isen\phi}\right)\star\left(\frac{1-cos\phi+isen\phi}{1-cos\phi+isen\phi}\right)<br />
</math><br />
<br />
<br />
<br />
Se obtiene del numerador lo siguiente<br />
<br />
<br />
<br />
<math>1-cos\phi+isen\phi-cosn\left(n\phi+\phi\right)+cos\phi cos\left(n\phi+\phi\right)-isen\phi cos\left(n\phi+\phi\right)-isen\left(n\phi+\phi\right)+icos\phi sen\left(n\phi+\phi\right)+sen\phi sen\left(n\phi+\phi\right)<br />
</math><br />
<br />
<br />
si tomamos solo la parte real se tiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>1-cos\phi-cos\left(n\phi+\phi\right)+cos\phi cos\left(n\phi+\phi\right)+sen\phi sen\left(n\phi+\phi\right)=</math><br />
<br />
<br />
<math>1-cos\phi+cos\left(n\phi-\phi\right)-cos\left(n\phi+\phi\right)</math><math>=</math> <math>1-cos\phi+2sen\phi sen\phi</math><br />
<br />
<br />
<br />
por otra parte para el denominador se tiene:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left(1-cos\phi\right)^{2}+sen^{2}\phi=</math><br />
<br />
<br />
<math>1-2cos\phi+sen^{2}\phi+cos^{2}\phi=</math> <math>2\left(1-cos\phi\right)</math><br />
<br />
<br />
<br />
al tomar la parte real de <br />
<br />
<br />
<math>1+\left(cos\phi+isen\phi\right)+\left(cos2\phi+isen2\phi\right)+........+\left(cosn\phi+isenn\phi\right)=\frac{1-\left(cos\left(n+1\right)\phi+isen\left(n+1\right)\phi\right)}{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)}</math>,<br />
<br />
<br />
<br />
sustituir lo encontrado para el numerador (parte real) y el denominador , y utilizar la siguiente<br />
identidad <br />
<br />
<br />
<math>sen\left(\frac{\phi}{2}\right)=\sqrt{\frac{1-cos\phi}{2}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
tenemos lo siguiente:<br />
<br />
<br />
<math><br />
1+cos\phi+cos2\phi+...............+cosn\phi=\frac{2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)+sen\phi sen\left(n\phi\right)}{2\left(2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)\right)}=\frac{1}{2}+\frac{sen\phi sen\left(n\phi\right)}{2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Lo cual es casi a lo que se queria llegar.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 00:01 5 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== 1.1.4 ==<br />
<br />
'''1. Demuestre que:'''<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}\left | \textstyle \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k} \right | ^2 = \left (\sum_{k=1}^n \left| Z_{k} \right|^2 \right) \left(\sum_{k=1}^n \left| W_{k} \right|^2 \right) -\sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2. \qquad (I)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
'''Se conoce como igualdad de Lagrange'''<br />
<br />
<br />
<br />
'''Solución.'''<br />
<br />
<br />
Esta demostración se hará por inducción, es decir, empezaremos suponiendo que el elemento <math> n-1</math> se encuentra en el conjunto, pues entonces el resultado implica que el elemento <math>n</math> esta en el conjunto.<br />
<br />
<br />
Sea <math>\eth=\left\{ \omega\in\mathbb{N\,}tal\, que\left(I\right)\, se\, cumpla\right\}<br />
</math><br />
<br />
<br />
Supongamos que <math>n-1</math> esta en <math>\eth</math> , es decir,<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
<br />
\left| \textstyle \sum_{k=1}^ {n-1} Z_{k}W_{k} \right|= \left(\sum_{k=1}^ {n-1} \left|Z_{k} \right| ^{2}\right) \left (\sum_{l=1}^ {n-1} \left|W_{l}\right|^{2}\right)-\sum_{1<j<k<n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^{2}<br />
\qquad (i)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Tenemos que:<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left(\sum_{k=1}^n \left| Z_{k}\right| ^2\right) \left(\sum_{l=1}^n \left| W_{l}\right| ^2 \right)-\sum_{1<j<k\leq n} \left| Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2<br />
<br />
\qquad (ii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph= \left(\sum_{k=1}^{n-1} \left| Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \right) \left(\sum_{l=1}^{n-1} \left| W_{l}\right|^2+ \left|W_{n}\right|^2 \right)-\sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2<br />
<br />
\qquad (iii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph= \left(\sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 \right) \left(\sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 \right)+\left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 +\left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2+ \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2 -\sum_{1<j<k\leq n}\left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2<br />
<br />
<br />
\qquad (iv)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
<br />
\aleph= \left(\sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 \right)\left(\sum_{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^2 \right)-\sum_{1<j<k\leq n}\left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1}\left|Z_{k}\right|^2+\left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
<br />
\qquad (v)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Pero veamos la forma que toman las siguientes expresiones al expandir la suma,<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 = \left|Z_{1}\overline{W}_{2}-Z_{2}\overline{W}_{1}\right|^2 +\left|Z_{1}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{1}\right|^2 +..............+\left|Z_{1}\overline{W}_{n}-Z_{1}\overline{W}_{n}\right|^2 +...........+ \left|Z_{2}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{2}\right|^2 +...........+ \left|Z_{2}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{2}\right|^2+..........+ \left|Z_{n-1}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{n-1}\right|^2<br />
<br />
\qquad (vi)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\sum_{1<j<k\leq n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 = \left|Z_{1}\overline{W}_{2}-Z_{2}\overline{W}_{1}\right|^2 + \left|Z_{1}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{1}\right|^2+..........+\left|Z_{1}\overline{W}_{n-1}-Z_{n-1}\overline{W}_{1}\right|^2 +..........+ \left|Z_{2}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{2}\right|^2+...........+\left|Z_{2}\overline{W}_{n-1}-Z_{n-1}\overline{W}_{2}\right|^2 +...........+ \left|Z_{n-2}\overline{W}_{n-1}-Z_{n-1}\overline{W}_{n-2}\right|^2<br />
<br />
<br />
\qquad (vii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Al comparar las expresiones <math> vi</math> con <math>vii</math> se observa que:<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j} \right|^2= \sum_{1<j<k\leq n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 + \sum_{j=1}^{n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{j}\right|^2<br />
<br />
\qquad (viii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Entonces si ahora utilizamos las expresiones <math>viii</math>, <math> I</math> e <math>i</math> podemos re-escribir <math>\aleph</math> de la manera siguiente:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^{n-1}Z_{k}W_{k}\right|^2-\sum_{j=1}^{n-1}\left|Z_{j}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{j}\right|^2 + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1}\left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
\qquad (ix)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph= \left(\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k} - Z_{n}W_{n}\right) \left(\sum_{l=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k} -\overline{Z}_{n} \overline{W}_{n}\right) - \sum_{j=1}^{n-1} \left(Z_{j}\overline{W}_{n} - Z_{n}\overline{W}_{j}\right) \left(\overline{Z}_{j}W_{n} - \overline{Z}_{n}W_{j}\right) + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 +\left|Z_{n} \right|^2\sum_{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
\qquad (x)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^{n}Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{l=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k}+ \left|Z_{n}W_{n}\right|^2 - \left[\sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}\overline{W}_{n}\overline{Z}_{j}W_{n}- \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}\overline{W}_{n}\overline{Z}_{n}W_{j}- \sum_{j=1}^{n-1} Z_{n}\overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}W_{n} + \sum_{j=1}^{n-1} Z_{n}\overline{W}_{j} \overline{Z}_{n}W_{j}\right] + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l} \right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
\qquad (xi)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{k=1}^n \overline{Z}_{k} \overline{W}_{k}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2 - W_{n}\overline{W}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}\overline{Z}_{j}+\overline{W}_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}W_{j}+W_{n}Z_{n} \sum_{j=1}^{n-1}\overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}-Z_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} W_{j}\overline{W}_{j} + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
\qquad (xii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{k=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2- \left|W_{n}\right|^2 \sum_{j=1}^{n-1} \left|Z_{j}\right|^2 + \overline{W}_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}W_{j}+W_{n}Z_{n} \sum_{j=1}^{n-1} \overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}-\left|Z_{n}\right|^2 \sum_{j=1}^{n-1} \left|W_{j}\right|^2+\left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
\qquad (xiii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left| \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n} \overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{k=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2+ \overline{W}_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1}Z_{j}W_{j}+W_{n}Z_{n} \sum_{j=1}^{n-1} \overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2<br />
\qquad (xiv)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n} \overline{W}_{n}Z_{n}W_{n}-Z_{n}W_{n} \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2<br />
\qquad (xv)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2<br />
\qquad (xvi)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
por lo tanto si <math>n-1</math> <math>\in</math> <math>\eth</math> <math>\Longrightarrow</math> <math>n\in</math> <math>\eth</math> .<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 03:31 14 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.- Sean <math>z_{1},z_{2},...,z_{n}\,</math> numeros complejos, ¿Bajo que condiciones se tiene que <math>|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}| = |z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}|\,</math> ?'''<br />
<br />
<br />
Si <math>z_{1} = z_{2} = ... = z_{n}\,</math>, entonces<br />
<br />
<br />
<math>|z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}| = n|z_{1}|\,</math><br />
<br />
<br />
por otro lado<br />
<br />
<br />
<math>|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}| = |nz_{1}| = n|z_{1}|\,</math><br />
<br />
<br />
y por lo tanto<br />
<br />
<br />
<math>|z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}| = |z_{1}+z_{2}+...+z_{n}|\,</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 02:52 5 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
'''2.- Sean <math>z_{1},z_{2},...,z_{n}\,</math> numeros complejos, ¿Bajo que condiciones se tiene que <math>|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}| = |z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}|\,</math> ?'''<br />
<br />
Tomando como punto de partida la demostracion de la desigualdad del triangulo. Podemos generalizar por medio de la inducción matemática a sumas de cualquier número finito de términos.<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}\right|\leq\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{n}\right|,(n = 1,2,3,...)\qquad (1)</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Es claro ver que cuando n = 2 se cumple la desigualdad del triangulo.<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_{1}+z_{2}\right|\leq\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|</math><br />
<br />
<br />
<br />
Ahora suponiendo que (1) es válida cuando n=m, debe ser tambien para n=m+1, y aplicando la desigualdad del triangulo:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|\left(z_{1}+z_{2}+...+z_{m}\right)+z_{m+1}\right|\leq\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{m}\right|+\left|z_{m+1}\right|</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|(z_{1}+z_{2}+...+z_{m})+z_{m+1}\right|\leq(\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{m}\right|)+\left|z_{m+1}\right|</math><br />
<br />
<br />
<br />
En donde los primeros m terminos los redefiniremos como Z<math>_{I},</math> y el termino m+1 como Z<math>_{II},</math>. Entonces lo anterior queda como:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|Z_{I}+Z_{II}\right|\leq\left|Z_{I}\right|+\left|Z_{II}\right|</math><br />
<br />
<br />
Ahora escribiendolo como igualdad<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|Z_{I}+Z_{II}\right|=\left|Z_{I}\right|+\left|Z_{II}\right|\equiv\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{m}+z_{m+1}\right|=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{m}\right|+\left|z_{m+1}\right|</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{m}+z_{m+1}\right|=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{m}\right|+\left|z_{m+1}\right|\equiv\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}\right|=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{n}\right|</math><br />
<br />
<br />
<br />
Esta desigualdad solo se cumple como igualdad cuando los numeros son colineales y tienen la misma direccion, esto tambien puede ser en los real (Re) o el imaginario (Im).<br />
<br />
Esto es muy claro ver cuando n=2, en una grafica.<br />
<br />
<br />
[[Imagen:Suma.gif]][[Imagen:Suma2.gif]]<br />
<br />
<br />
<br />
Aquí les dejo el enlace de la pagina donde consulte el código para generar las graficas para los que les interese.<br />
[http://demonstrations.wolfram.com/ComplexAddition/ Demostracion grafica]<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 03:41 16 oct 2009 (UTC)<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 03:07 6 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''3. Encuentre el ínfimo de <math>\left | z^3 + 2 i \right |</math> en la región <math>\left \{ z \mid |z| \ge 2 \right \}</math>, y describa en qué puntos se alcanza.'''<br />
<br />
<br />
Con una variante de la desigualdad del triángulo, tenemos que<br />
<br />
<center><math>\left | z^3 + i \right | \ge \left | |z|^3 -1 \right | \ge 8-1. </math></center><br />
Por tanto, <br />
<center><math> 7 \le \left | z^3 + i \right |. \qquad (1) </math></center><br />
<br />
Entonces, el ínfimo de la expresión es 7.<br />
<br />
Por otro lado, tenemos que, si <math>z = r \left ( cos \theta + 1 \sin \theta \right )</math><br />
<br />
<center><math> <br />
\begin{align}<br />
\left | z^3 + i \right | ^2 & = \left | r ^3 \left ( \cos 3\theta + i \sin 3\theta \right ) + 1 \right | ^2 \\<br />
& = \left | r^3 \cos 3\theta + 1 + i r^3 \sin 3\theta \right | ^2 \\<br />
& = r^6 + 2 r^3 \cos 3\theta + 1. \\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
Si tomamos la cota inferior, <math>\left | z \right | = 2</math>, la expresión anterior es entonces:<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}<br />
\left | z^3 + i \right | ^2 & = r^6 + 2 r^3 \cos 3\theta + 1 \\<br />
& = 65 + 2 r^3 \cos 3\theta. \\<br />
\end{align}<br />
</math></center> <br />
<br />
Ya que la función coseno tiene su mínimo en el valor -1, tomemos una <math>\theta</math> tal que <math>\cos 3\theta {{=}} -1</math>. Para este caso, tenemos dos valores: <math>\theta_1 {{=}} \frac {\pi}{3}</math> y <math>\theta_2 {{=}} \pi </math>,<br />
<br />
de tal forma que, con estos valores, <br />
<center><math>\left | z^3 + i \right | ^2 = 65 - 16 = 49. </math></center><br />
<br />
Con la fórmula de De Moivre, tenemos que el ínfimo de la expresión dada toma ese valor en <math>z_1</math> y <math>z_2</math> tales que<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}<br />
z_1 & = 2 \left ( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right ) \\<br />
& = 2 \left ( \cos \frac {\pi}{3} + i \sin \frac {\pi}{3} \right )\\<br />
& = 2 \left ( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right ) \\<br />
z_1 & = 1 + i \sqrt{3}, \qquad (2)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
y<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}<br />
z_2 & = 2 \left ( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right ) \\<br />
& = 2 \left ( \cos \pi + i \sin \pi \right )\\<br />
z_2 & = -2. \qquad (3)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
Pero, además, por le geometría de los números complejos, tenemos otros dos valores <math>z_3</math> y <math>z_4</math> tales que <br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}<br />
z_3 & = 2 \left ( \cos \theta_1+\pi + i \sin \theta_1+\pi \right ) \\<br />
& = 2 \left ( \cos \frac {4\pi}{3} + i \sin \frac {4\pi}{3} \right )\\<br />
& = 2 \left ( - \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \right ) \\<br />
& = -1 - i \sqrt{3} \\<br />
z_3 & = - z_1, \qquad (4)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
y<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}<br />
z_4 & = 2 \left ( \cos \theta_2+\pi + i \sin \theta_2+\pi \right ) \\<br />
& = 2 \left ( \cos 2\pi + i \sin 2\pi \right )\\<br />
& = 2 \\<br />
z_4 & = -z_2. \qquad (5)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
Por tanto, las expresiones (2), (3), (4) y (5) nos proporcionan los valores en que el ínfimo es tomado, a saber, <math>\pm (1 + i \sqrt{3})</math> y <math>\pm 2</math>.<br />
<br />
--[[Usuario:Belen|Belen]] 04:08 12 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.1&diff=11454
Compleja:ej-cap1.1
2009-12-05T16:48:40Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>'''1. Demuestre que el producto de números complejos cumple con la ley asociativa'''<br />
<br />
Sean <math> z = a + i b, \quad w = c + i d, \quad s = e + i f \, \quad </math> <br />
con <math> \quad a,b,c,d,e,f \in \mbox{R}</math><br />
<br />
<br />
Por demostrar <math> (zw)s = z(ws)\,</math><br />
<br />
<br />
<math>(zw)s = [(a + i b)(c + i d)](e + i f) = [(ac - bd) + i (bc + ad)](e + i f)\,</math><br />
<br />
<br />
<math>=[e(ac - bd) - f(bc + ad)] + i [e(bc + ad) + f(ac - bd) = (ace - bde - bcf - adf) + i (bce + ade + acf - bdf)\, </math><br />
<br />
<br />
Por otra parte<br />
<br />
<math>z(ws) = (a + i b)[(c + i d)(e + i f)] = (a + i b)[(ce - df) + i (de + cf)]\,</math><br />
<br />
<br />
<math>=[a(ce - df) - b(de + cf)] + i [b(ce - df) + a(de + cf)] = (ace - bde - bcf - adf) + i (bce + ade + acf - bdf)\,</math><br />
<br />
<br />
Entonces se cumple <math> (zw)s = z(ws)\,</math>.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 22:15 28 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
== 1.1.2 ==<br />
'''1. Demuestre que <math>\left|\frac{z}{w}\right| = \frac{\left|z\right|}{\left|w\right|}</math>'''<br />
<br />
Sean <math> z = a + i b \quad y \quad w = c + i d\,</math> <br />
<br />
<br />
<math>\left|\frac{z}{w}\right|= \left|\frac{a + i b }{c + i d}\right|= \left|\frac{(a + i b)(c - i d)}{(c + i d)(c - i d)}\right| </math>'''<br />
<br />
<br />
<math>=\left|\frac{(ac + bd) + i (bc - ad)}{c^2 + d^2}\right|= \sqrt{\bigg ( \frac{ac + bd}{c^2 + d^2}\bigg )^2 + \bigg (\frac{bc - ad}{c^2 + d^2}\bigg )^2} = \frac{1}{c^2 + d^2}\sqrt{ (ac + bd)^2 + (bc - ad)^2 <br />
} <br />
</math><br />
<br />
<br />
<math>=\frac{1}{c^2 + d^2}\sqrt{a^2 c^2 + a^2 d^2 + b^2 c^2 + b^2 d^2 <br />
} = \sqrt{\Bigg [\frac{a^2 (c^2 + d^2)}{(c^2 + d^2)^2}\Bigg ] + \Bigg [\frac{b^2 (c^2 + d^2)}{(c^2 + d^2)^2}\Bigg ] <br />
} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}} <br />
</math><br />
<br />
<br />
Por otra parte<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|z\right|}{\left|w\right|} = \frac{\left|a + i b\right|}{\left|c + i d\right|} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}} = \left|\frac{z}{w}\right|</math><br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 22:15 28 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''2. Exprese <math>\overline{\left(\frac{\left(2+3i\right)^2}{4+i}\right)}</math>de la forma <math>x+iy</math>'''<br />
<br />
<br />
Por las propiedades <math>\overline{\left ( \frac{z}{w} \right )}=\frac\bar{z}\bar{w}</math> , <math>\overline{zw}=\bar{z}\bar{w}</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{\overline{\left ({2+3i}\right)^2}}{\overline{\left({4+i}\right)}}=\frac{\overline{\left ({2+3i}\right)}\overline{\left ({2+3i}\right)}}{\overline{\left({4+i}\right)}}=\frac{\left(2-3i\right)\left(2-3i\right)}{\left(4-i\right)}</math><br />
<br />
<br />
Simplificando, se obtiene:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\frac{4-6i-6i-9}{4-i}=\frac{-5-12i}{4-i}</math><br />
<br />
<br />
Resolviendo la división de números complejos, de la forma:<br />
<br />
<br />
<math>\frac{z}{w}=\frac{z\bar{w}}{w\bar{w}}=\frac{z\bar{w}}{\left|w\right|^2}</math>:<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left(-5-12i\right)\left(4+i\right)}{\left(4-i\right)\left(4+i\right)}=\frac{-20-5i-48i+12}{17}=\frac{-8-53i}{17}</math><br />
<br />
<br />
=<math>-\frac{8}{17}-\frac{53}{17}i</math>.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 23:00 28 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''3. Demuestre que <math>\alpha</math> es raiz de un polinomio real si y solo si <math>\overline{\alpha}</math> lo es.'''<br />
<br />
<br />
Sea <math>\overline{\alpha}</math> solucion de un polinomio real,<br />
<br />
entonces <math>\overline{\alpha} \in \mathbb{R}</math><br />
<br />
como <math>\overline{\alpha} = \alpha</math>, por lo tanto <math>\alpha</math> tambien es solucion. <br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 06:35 30 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''5. Sean <math>z_1 , z_2 , z_3 \in \mathbb{C}</math> tales que cumplen <math>\frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} = \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3}</math>, demuestre que estos tres puntos determinan un triángulo equilátero.'''<br />
<br />
[[Image: Comp_triang_eq2.jpg|frame|center|Figura 1]]<br />
<br />
Tenemos que <br />
<br />
<center><math>\left | \frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} \right | = \left | \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} \right |,\qquad (1)</math></center><br />
<br />
y, por lo tanto, <br />
<br />
<center><math>\frac{|z_2 - z_1|}{|z_3 - z_1|} = \frac{|z_1 - z_3|}{|z_2 - z_3|}.\qquad (2)</math></center><br />
<br />
De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber:<br />
<br />
<center><math>\left . \begin{matrix}|z_2 - z_1| = A\\<br />
|z_3 - z_1| = B = |z_1 - z_3|\\<br />
|z_2 - z_3| = C\\<br />
\end{matrix} \right \} \qquad (3)</math></center><br />
<br />
De (2) y (3) tenemos que:<br />
<br />
<center><math>\frac{A}{B} = \frac{B}{C}. \qquad (4)</math></center><br />
<br />
Por triángulos semejantes, se tiene que el ángulo <math>\beta</math> es igual al ángulo <math>\gamma</math> y éste a su vez al ángulo <math>\alpha</math>, es decir,<br />
<br />
<center><math>\alpha = \beta = \gamma. \qquad (5)</math></center><br />
<br />
Y la ecuación (5) es precisamente la condición para que el triángulo ABC de la Figura 1 sea equilátero.<br />
<br />
--[[Usuario:Belen|Belen]] 02:48 29 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
'''6. Sea <math>{\begin{align}z & = x+iy \end{align}}</math>, pruebe que<br />
<math>{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Puesto que el número complejo z puede escribirse como<br />
<br />
<math>{\begin{align}z & = Re(z)+iIm(z) \end{align}}</math><br />
<br />
<math>{\begin{align}\left|{z}\right| & = \sqrt{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2} \end{align}}</math><br />
<br />
<br />
Se deduce que<br />
<br />
<math>{\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{Re(z)}\right|}</math><br />
<br />
<math>{\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Como el cuadrado de un número real no puede ser negativo<br />
<br />
<math>{{[\left|{Re(z)}\right|-\left|{Im(z)}\right|]^2}{\ge }0}</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<math>{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2-2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|{\ge }0}</math><br />
<br />
O sea<br />
<br />
<math>{{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2}{\ge }2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
O de otra manera<br />
<br />
<math>{{\left|{z}\right|^2}{\ge }2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Sumando <math>{\left|{z}\right|^2}</math>, a ambos lados se tiene<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{z}\right|^2+2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Como <br />
<br />
<math>{\begin{align}\left|{z}\right|^2 & = \left|{Re(z)}\right|^2+\left|{Im(z)}\right|^2 \end{align}}</math><br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{Re(z)}\right|^2+\left|{Im(z)}\right|^2+2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
De donde<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }[\left|{Re(z)}\right|+\left|{Im(z)}\right|]^2}</math><br />
<br />
Sacando raíces cuadradas positivas<br />
<br />
<math>{{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}{\ge} \left|{Re(z)}\right|+\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto<br />
<br />
<math>{{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}{\ge}{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:18 29 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
'''6-bis. Sea <math>{\begin{align}z & = x+iy \end{align}}</math>, pruebe que<br />
<math>{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}</math><br />
<br />
Tenemos que <math>{\begin{align}z & = x+iy \end{align}}</math>, entonces de la teoria sabemos que <br />
<br />
<br />
<math>{\begin{align}\left|{z}\right| & = \sqrt{[x]^2+[y]^2} \end{align}}\qquad (1)</math> <br />
<br />
<math>{\left|{x}\right|=\left|{Re(z)}\right|}{\le}{ \left|{z}\right|}</math><br />
<br />
<math>{\left|{y}\right|=\left|{Im(z)}\right|}{\le}{ \left|{z}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Tambien es inmediato que para z <math>\in \mathbb{R}</math>, <math>\overline z = z</math>, y que el cuadrado de cualquier numero real es siempre positivo, entonces de esto se tiene que<br />
<br />
<math>{{[\left|{x}\right|-\left|{y}\right|]^2}{\ge}0}</math><br />
<br />
Desarrollando el binomio se tiene que<br />
<br />
<br />
<math>{[x]^2+[y]^2-2\left|{x}\right|\left|{y}\right|{\ge }0}</math><br />
<br />
<math>{{[x]^2+[y]^2}{\ge }2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math><br />
<br />
Y por la identidad (1) esto se puede escribir como <br />
<br />
<math>{{\left|{z}\right|^2}{\ge }2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math><br />
<br />
Ahora sumando en ambos lados <math>{{\left|{z}\right|^2}}</math> obtenemos lo siguiente<br />
<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{z}\right|^2+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Pero ademas como <math>{{\left|{z}\right|^2}={\left|{x}\right|^2}+{\left|{y}\right|^2}}</math>, lo sustituimos en el resultado anterior<br />
<br />
<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{x}\right|^2}+{\left|{y}\right|^2+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Es facil ver que <br />
<br />
<br />
<math>{{[\left|{x}\right|+\left|{y}\right|]^2}={[x]^2+[y]^2+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}}</math><br />
<br />
<br />
Utilizando este resultado se deduce que <br />
<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }{[\left|{x}\right|+\left|{y}\right|]^2}}</math><br />
<br />
<br />
Y tomando las raices positivas llegamos al siguiente resultado<br />
<br />
<br />
<math>{\sqrt{2}\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Que es lo que se queria mostrar.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 03:56 1 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''7. Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados.<br />
<br />
[[Imagen:Dibujobueno.jpg]]<br />
<br />
Sacamos las normas de los números complejos<br />
<br />
|z|=<math>\sqrt{(a)^2+(b)^2}</math><br />
|w|=<math>\sqrt{(c)^2+(d)^2}</math><br />
<br />
Por algebra de vectores <br />
<br />
<math>|z|+|w|=|h|</math><br />
<br />
Donde |h| es la resultante de |z|+|w|<br />
<br />
<math>\sqrt{(a)^2+(b)^2}</math>+ <math>\sqrt{(c)^2+(d)^2}=|h|</math><br />
<br />
De la misma forma el dibujo nos indica q trasladamos la magnitudes de los vectores<br />
<br />
|w| y |z| y por tanto también tendremos |z|+|w| =|h|<br />
<br />
Entonces si |z|+|w| = |h|<br />
<br />
Aplicando el teorema de pitagoras q nos dice<br />
<br />
d = cateto<br />
<br />
f = cateto<br />
<br />
<math>e^2=d^2+f^2</math> <br />
<br />
entonces tenemos que <br />
<br />
<math>(a)^2+(b)^2=|z|^2</math><br />
<math>(c)^2+(d)^2=|w|^2</math><br />
<br />
Aplicamos pitagoras<br />
<br />
<math>(c)^2+(d)^2+(a)^2+(b)^2=(c)^2+(d)^2+(a)^2+(b)^2</math><br />
<br />
Por tanto <br />
<br />
<math>|z|^2 +|w|^2 = |h|^2</math> se cumple la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de la diagonal.<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 22:47 4 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
== 1.1.3 ==<br />
<br />
'''1. Calcule las raìces cuadradas de <math>3+4i</math> y de <math>1+2i</math>.'''<br />
<br />
<br />
Aplicando la formula para calcular raices cuadradas de numeros complejos.<br />
<br />
<math>\pm\left(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}} + i\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\right)</math> si <math>\quad b>0</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto las raices de <math>3+4i</math>, son:<br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(\sqrt{\frac{3+\sqrt{25}}{2}} + i\sqrt{\frac{-3+\sqrt{25}}{2}}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(\sqrt{\frac{8}{2}} + i\sqrt{1}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(2+i\right)</math><br />
<br />
<br />
y para <math>1+2i</math>, son:<br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} + i\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(\sqrt{1.61} + i\sqrt{0.61}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(1.27 + i 0.78\right).</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 23:44 30 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i'''<br />
<br />
Tenemos que <math>cos\boldsymbol{\theta}+i sen\boldsymbol{\theta}= -64</math> definicion en forma polar<br />
<br />
[[Imagen:Demo2.jpg]]<br />
<br />
r=64 <br />
<br />
n=6 porque nos piden las raíces sextas<br />
<br />
Entonces el argumento <math>\boldsymbol{\theta}=\pi</math><br />
<br />
<br />
<br />
Si <math>x+iy=re^{i\boldsymbol{\theta}}</math><br />
<br />
<br />
Entonces utilizando la definición de Moivre para obtener las raíces<br />
<br />
<br />
<math>(g e^{i\boldsymbol{\phi}n})= r e^{i\boldsymbol{\theta}}</math><br />
<br />
Ahora tenemos<br />
<br />
<math>g^n=r</math> y g= raíz enesima <math>\sqrt{64}</math>= = 2<br />
<br />
y <math>\boldsymbol{\phi}n=\boldsymbol{\theta}+2k\pi</math> los <math>2\pi</math> es porque tomamos en cuenta la periodicidad de la funció n y k son todos los múltiplos de <math>2\pi</math><br />
entonces sacando las raíces<br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6 </math> k=0 <br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi / 6 + 2\pi / 6 = 3\pi / 6</math> k=1 <br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6+2(2)\pi/6= 5\pi/6 </math> k=2 <br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6+(3)2\pi/6= 7\pi/6 </math> k=3<br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6+2(4)\pi/6= 9\pi/6 </math> k=4 <br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6+2(5)\pi/6= 11\pi/6 </math> k=5 <br />
<br />
Las soluciones son<br />
<br />
r1= 2 <math> e^{i( \pi/6)}</math> <br />
<br />
r2= 2 <math> e^{i( 3\pi/6)}</math> <br />
<br />
r3= 2 <math> e^{i( 5\pi/6)}</math> <br />
<br />
r4= 2 <math> e^{i( 7\pi/6)}</math> <br />
<br />
r5= 2 <math> e^{i( 9\pi/6)}</math> <br />
<br />
r6= 2 <math> e^{i( 11\pi/6)}</math> <br />
<br />
Graficando en coordenadas polares nos queda:<br />
<br />
[[Imagen:POLIGONO2.jpg]]<br />
<br />
Haciendo algo similar para el 8i Tenemos<br />
<br />
<math>cos\boldsymbol{\theta}+i sen\boldsymbol{\theta}= 8i</math><br />
<br />
<br />
<br />
[[Imagen:DEMO3.jpg]]<br />
<br />
el argumento <math>\boldsymbol{\theta}=\pi/2</math><br />
<br />
r= 8<br />
<br />
n=3 porque nos pinden las raíces cubicas<br />
<br />
<math>g^n=r</math> y g= raíz enesima <math>\sqrt{8}</math>= = 2<br />
<br />
<math>\boldsymbol{\phi}n = \boldsymbol{\theta}+2k\pi </math><br />
<br />
<math>\boldsymbol{\phi} = \boldsymbol{\theta}+2k\pi =\pi/6 </math> k=0<br />
<br />
<math>\boldsymbol{\phi}=\pi/6+2\pi/3= 5\pi/6</math> k=1 <br />
<br />
<math>\boldsymbol{\phi}==\pi/6+2(2)\pi/3= 9\pi/6</math> k=2 <br />
<br />
r1= 2 <math> e^{i( \pi/6)}</math> <br />
<br />
r2= 2 <math> e^{i( 5\pi/6)}</math> <br />
<br />
r3= 2 <math> e^{i( 9\pi/6)}</math> <br />
<br />
<br />
<br />
Graficando en coordenadas polares tenemos<br />
<br />
<br />
[[Imagen:RAICES.jpg]] <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 21:35 4 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i'''<br />
<br />
<br />
Sea <math> z = -64 = 64(cos\pi + isen\pi)\,</math><br />
<br />
<br />
Por la formula de De Moivre<br />
<br />
<br />
<math>z^{1/6} = 64^{1/6}(cos\pi + sen\pi)^{1/6} = 2 (cos(\frac{\pi+2k\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+2k\pi}{6}))</math> para k = 0,1,2,3,4,5<br />
<br />
<br />
Evaluando k se obtiene<br />
<br />
<br />
con k = 0<br />
<br />
<math>w_{0} = 2(cos(\frac{\pi}{6}) + isen(\frac{\pi}{6})) = \sqrt{3} + i</math> <br />
<br />
con k = 1<br />
<br />
<math>w_{1} = 2(cos(\frac{\pi+2\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+2\pi}{6})) = 2(cos(\frac{\pi}{2}) + isen(\frac{\pi}{2})) = 2i</math> <br />
<br />
con k = 2 <br />
<br />
<math>w_{2} = 2(cos(\frac{\pi+4\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+4\pi}{6})) = 2(cos(\frac{5\pi}{6}) + isen(\frac{5\pi}{6})) = -\sqrt{3} + i</math><br />
<br />
con k = 3<br />
<br />
<math>w_{3} = 2(cos(\frac{\pi+6\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+6\pi}{6})) = 2(cos(\frac{7\pi}{6}) + isen(\frac{7\pi}{6})) = -\sqrt{3} - i</math><br />
<br />
con k = 4<br />
<br />
<math>w_{4} = 2(cos(\frac{\pi+8\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+8\pi}{6})) = 2(cos(\frac{3\pi}{2}) + isen(\frac{3\pi}{2})) = -2i</math><br />
<br />
con k = 5<br />
<br />
<math>w_{5} = 2(cos(\frac{\pi+10\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+10\pi}{6})) = 2(cos(\frac{11\pi}{6}) + isen(\frac{11\pi}{6})) = \sqrt{3} - i</math> <br />
<br />
<br />
..............<br />
<br />
<br />
Sea <math>z = 8i = 8(cos(\frac{\pi}{2}) + sen(\frac{\pi}{2})\,</math><br />
<br />
<br />
<math>z^{1/3} = 8^{1/3}(cos(\frac{\pi}{2}) + isen(\frac{\pi}{2}))^{1/3} = 2(cos(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}) + isen(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}))</math> para k = 0,1,2<br />
<br />
<br />
Evaluando a k se obtiene<br />
<br />
<br />
con k = 0<br />
<br />
<math>w_{0} = 2(cos(\frac{\pi}{6}) + isen(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3} + i</math><br />
<br />
con k = 1<br />
<br />
<math>w_{1} = 2(cos(\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{3}) + isen(\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{3})) = 2(cos(\frac{5\pi}{6}) + isen(\frac{5\pi}{6}) = -\sqrt{3} + i</math><br />
<br />
con k = 2<br />
<br />
<math>w_{2} = 2(cos(\frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}{3}) + isen(\frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}{3})) = 2(cos(\frac{3\pi}{2}) + isen(\frac{3\pi}{2})) = -2i</math><br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 21:07 3 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''3. Demuestre que <math>1+Z+Z^2+...+Z^{n-1}=0</math> donde z es una raíz n-ésima de la unidad,<br />
<math>z\neq 1</math>'''<br />
<br />
<br />
Sea <math> S=1+Z+Z^2+...+Z^{n-1}</math><br />
<br />
Ahora multiplicamos ambos lados por Z<br />
<br />
<math> ZS=Z+Z^2+Z^3+...+Z^{n-1}+Z^n</math><br />
<br />
Restando la segunda ecuación de la primera<br />
<br />
<math>{(s=1+z+z^2+...+z^{n-1})-(zs=z+^2+z^3+...+z^{n-1}+z^n)}</math><br />
<br />
Tenemos que<br />
<br />
<math>\ {s-zs=1-z^n}</math> <br />
<br />
entonces <br />
<br />
<math>\ {s(1-z)=1-z^n}</math><br />
<br />
De donde<br />
<br />
<math>s=\frac{1-z^n}{1-z}</math><br />
<br />
Como z es una raíz enesima de la unidad<br />
<br />
<math>0=\frac{1-z^n}{1-z}</math><br />
<br />
<math>\ {1-z^n=0} </math><br />
<br />
<math>\to{z^n=1} </math><br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<math>\to{z^n=1} </math><br />
<br />
y <br />
<br />
<math>{1-z}\ne{0}</math><br />
<br />
porque<br />
<br />
<math> {z}\ne{1} </math> <br />
<br />
<br />
Por lo tanto<br />
<br />
'''<math> {s=0} </math>''' <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 22:00 2 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''4. Demuestre que:<br />
<center><br />
<math>\frac{n}{2^{n-1}}=\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{\pi}{k}</math><br />
</center><br />
Sugerencia: Factoriza la expresión <math>1+z+z^2+\cdots+z^n</math> usando las raices n-ésimas de la unidad, posteriormente evalue en <math>z=1</math>.'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
Las raices de <math>z^m=1</math> son<br />
<center><br />
<math>z=1,e^{\frac{2\pi i}{m}},e^{\frac{4\pi i}{m}},\dots,e^{\frac{(2m-1)\pi i}{m}}</math><br />
</center><br />
entonces podemos escribir<br />
<center><br />
<math>z^{m-1}=(z-e^{\frac{2\pi i}{m}})(z-e^{\frac{4\pi i}{m}})\cdots(z-e^{\frac{(2m-1)\pi i}{m}})</math><br />
</center><br />
dividiendo ambos lados por <math>z-1</math> y haciendo <math>z=1</math>:<br />
<center><br />
<math>\frac{z^{m-1}}{z-1}=1+z+z^2+\cdots+z^{m-1}</math><br />
</center><br />
de aqui hallamos que<br />
<center><br />
<math>m=(1-e^{\frac{2\pi i}{m}})(1-e^{\frac{4\pi i}{m}})\cdots(1-e^{\frac{(2m-1)\pi i}{m}})\qquad (1)</math><br />
</center><br />
tomando el conjugado complejo de ambos lados de (1)<br />
<center><br />
<math>m=(1-e^{\frac{-2\pi i}{m}})(1-e^{\frac{-4\pi i}{m}})\cdots(1-e^{\frac{-(2m-1)\pi i}{m}})\qquad (2)</math><br />
</center><br />
<br />
Multiplicando la ecuación (1) por la (2) y aplicando que<br />
<center><br />
<math>1-(1-e^{\frac{2k\pi i}{m}})(1-e^{\frac{2k\pi i}{m}})= 2 - 2\cos\frac{2k\pi}{m}</math><br />
</center><br />
tenemos<br />
<center><br />
<math>m^2=2^{m-1}(1-\cos\frac{2\pi}{m})(1-\cos\frac{4\pi}{m})\cdots(1-\cos\frac{2(m-1)\pi}{m})</math><br />
</center><br />
puesto que<br />
<center><br />
<math>1-\cos\frac{2k\pi}{m}=2\sin^2\frac{k\pi}{m}</math><br />
</center><br />
la ecuación anterior se transforma en<br />
<center><br />
<math>m^2=2^{2m-2}(\sin^2\frac{\pi}{m})(\sin^2\frac{2\pi}{m})\cdots(\sin^2\frac{(m-1)\pi}{m})</math><br />
</center><br />
despejando y sacando la raíz en ambos lados de la expresión:<br />
<center><br />
<math>\frac{m}{2^{m-1}}=(\sin\frac{\pi}{m})(\sin\frac{2\pi}{m})\cdots(\sin\frac{(m-1)\pi}{m})</math><br />
</center><br />
<br />
lo que queda demostrada la igualdad.<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 23:10 4 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''5.''' '''Demuestre que'''<br />
<br />
<math>1+cos\phi+cos2\phi+...............+cos n\phi=\frac{1}{2}+\frac{sen\left(n\phi+\frac{\phi}{2}\right)}{2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)}</math>, <br />
<br />
'''donde''' '''<math>\phi</math> ''' '''no es un multiplo par de''' '''<math>\pi</math>.'''<br />
<br />
<br />
<br />
'''Esta identidad se le atribuye a Lagrange.''' <br />
<br />
<br />
Sugerencia: calcular la parte real de <br />
<br />
<br />
<math>1+z+z^{2}+..........+z^{n}</math>, donde <math>z=cos\phi+isen\phi</math>. <br />
<br />
<br />
<br />
'''Solucion.'''<br />
<br />
Sea <br />
<br />
<math>S=1+z+z^{2}+.......+z^{n}</math> si multiplicamos por <math>z</math> a <math>S</math> se tiene que <br />
<br />
<br />
<math>zS=z+z^{2}+z^{3}+......+z^{n}+z^{n+1}</math> ahora restemos estas dos ultimas expresiones<br />
<br />
<br />
<math>\left(S-zS\right)=\left(1-z\right)S=1-z^{n+1}</math> de lo que se obtiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>S=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}</math><br />
<br />
<br />
Si en esta última expresion utilizamos <math>z=cos\phi+isen\phi</math> entonces <br />
<br />
<br />
<math>S=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}</math> <br />
<br />
<br />
toma la siguiente forma<br />
<br />
<br />
<math>1+\left(cos\phi+isen\phi\right)+\left(cos\phi+isen\phi\right)^{2}+........+\left(cos\phi+isen\phi\right)^{n}=\frac{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)^{n+1}}{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)} </math><br />
<br />
<br />
que es equivalente a esta<br />
<br />
<br />
<math>1+\left(cos\phi+isen\phi\right)+\left(cos2\phi+isen2\phi\right)+........+\left(cosn\phi+isen\left(n\phi\right)\right)=\frac{1-\left(cos\left(n+1\right)\phi+isen\left(n+1\right)\phi\right)}{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)}</math><br />
<br />
<br />
Tomando el lado derecho de esta ultima expresión y llevar a cabo el producto con su conjugado , es decir:<br />
<br />
<br />
<math>\left(\frac{1-cos\left(n\phi+\phi\right)-isen\left(n\phi+\phi\right)}{1-cos\phi-isen\phi}\right)\star\left(\frac{1-cos\phi+isen\phi}{1-cos\phi+isen\phi}\right)<br />
</math><br />
<br />
<br />
<br />
Se obtiene del numerador lo siguiente<br />
<br />
<br />
<br />
<math>1-cos\phi+isen\phi-cosn\left(n\phi+\phi\right)+cos\phi cos\left(n\phi+\phi\right)-isen\phi cos\left(n\phi+\phi\right)-isen\left(n\phi+\phi\right)+icos\phi sen\left(n\phi+\phi\right)+sen\phi sen\left(n\phi+\phi\right)<br />
</math><br />
<br />
<br />
si tomamos solo la parte real se tiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>1-cos\phi-cos\left(n\phi+\phi\right)+cos\phi cos\left(n\phi+\phi\right)+sen\phi sen\left(n\phi+\phi\right)=</math><br />
<br />
<br />
<math>1-cos\phi+cos\left(n\phi-\phi\right)-cos\left(n\phi+\phi\right)</math><math>=</math> <math>1-cos\phi+2sen\phi sen\phi</math><br />
<br />
<br />
<br />
por otra parte para el denominador se tiene:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left(1-cos\phi\right)^{2}+sen^{2}\phi=</math><br />
<br />
<br />
<math>1-2cos\phi+sen^{2}\phi+cos^{2}\phi=</math> <math>2\left(1-cos\phi\right)</math><br />
<br />
<br />
<br />
al tomar la parte real de <br />
<br />
<br />
<math>1+\left(cos\phi+isen\phi\right)+\left(cos2\phi+isen2\phi\right)+........+\left(cosn\phi+isenn\phi\right)=\frac{1-\left(cos\left(n+1\right)\phi+isen\left(n+1\right)\phi\right)}{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)}</math>,<br />
<br />
<br />
<br />
sustituir lo encontrado para el numerador (parte real) y el denominador , y utilizar la siguiente<br />
identidad <br />
<br />
<br />
<math>sen\left(\frac{\phi}{2}\right)=\sqrt{\frac{1-cos\phi}{2}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
tenemos lo siguiente:<br />
<br />
<br />
<math><br />
1+cos\phi+cos2\phi+...............+cosn\phi=\frac{2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)+sen\phi sen\left(n\phi\right)}{2\left(2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)\right)}=\frac{1}{2}+\frac{sen\phi sen\left(n\phi\right)}{2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Lo cual es casi a lo que se queria llegar.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 00:01 5 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== 1.1.4 ==<br />
<br />
'''1. Demuestre que:'''<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}\left | \textstyle \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k} \right | ^2 = \left (\sum_{k=1}^n \left| Z_{k} \right|^2 \right) \left(\sum_{k=1}^n \left| W_{k} \right|^2 \right) -\sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2. \qquad (I)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
'''Se conoce como igualdad de Lagrange'''<br />
<br />
<br />
<br />
'''Solución.'''<br />
<br />
<br />
Esta demostración se hará por inducción, es decir, empezaremos suponiendo que el elemento <math> n-1</math> se encuentra en el conjunto, pues entonces el resultado implica que el elemento <math>n</math> esta en el conjunto.<br />
<br />
<br />
Sea <math>\eth=\left\{ \omega\in\mathbb{N\,}tal\, que\left(I\right)\, se\, cumpla\right\}<br />
</math><br />
<br />
<br />
Supongamos que <math>n-1</math> esta en <math>\eth</math> , es decir,<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
<br />
\left| \textstyle \sum_{k=1}^ {n-1} Z_{k}W_{k} \right|= \left(\sum_{k=1}^ {n-1} \left|Z_{k} \right| ^{2}\right) \left (\sum_{l=1}^ {n-1} \left|W_{l}\right|^{2}\right)-\sum_{1<j<k<n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^{2}<br />
\qquad (i)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Tenemos que:<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left(\sum_{k=1}^n \left| Z_{k}\right| ^2\right) \left(\sum_{l=1}^n \left| W_{l}\right| ^2 \right)-\sum_{1<j<k\leq n} \left| Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2<br />
<br />
\qquad (ii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph= \left(\sum_{k=1}^{n-1} \left| Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \right) \left(\sum_{l=1}^{n-1} \left| W_{l}\right|^2+ \left|W_{n}\right|^2 \right)-\sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2<br />
<br />
\qquad (iii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph= \left(\sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 \right) \left(\sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 \right)+\left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 +\left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2+ \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2 -\sum_{1<j<k\leq n}\left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2<br />
<br />
<br />
\qquad (iv)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
<br />
\aleph= \left(\sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 \right)\left(\sum_{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^2 \right)-\sum_{1<j<k\leq n}\left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1}\left|Z_{k}\right|^2+\left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
<br />
\qquad (v)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Pero veamos la forma que toman las siguientes expresiones al expandir la suma,<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 = \left|Z_{1}\overline{W}_{2}-Z_{2}\overline{W}_{1}\right|^2 +\left|Z_{1}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{1}\right|^2 +..............+\left|Z_{1}\overline{W}_{n}-Z_{1}\overline{W}_{n}\right|^2 +...........+ \left|Z_{2}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{2}\right|^2 +...........+ \left|Z_{2}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{2}\right|^2+..........+ \left|Z_{n-1}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{n-1}\right|^2<br />
<br />
\qquad (vi)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\sum_{1<j<k\leq n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 = \left|Z_{1}\overline{W}_{2}-Z_{2}\overline{W}_{1}\right|^2 + \left|Z_{1}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{1}\right|^2+..........+\left|Z_{1}\overline{W}_{n-1}-Z_{n-1}\overline{W}_{1}\right|^2 +..........+ \left|Z_{2}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{2}\right|^2+...........+\left|Z_{2}\overline{W}_{n-1}-Z_{n-1}\overline{W}_{2}\right|^2 +...........+ \left|Z_{n-2}\overline{W}_{n-1}-Z_{n-1}\overline{W}_{n-2}\right|^2<br />
<br />
<br />
\qquad (vii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Al comparar las expresiones <math> vi</math> con <math>vii</math> se observa que:<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j} \right|^2= \sum_{1<j<k\leq n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 + \sum_{j=1}^{n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{j}\right|^2<br />
<br />
\qquad (viii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Entonces si ahora utilizamos las expresiones <math>viii</math>, <math> I</math> e <math>i</math> podemos re-escribir <math>\aleph</math> de la manera siguiente:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^{n-1}Z_{k}W_{k}\right|^2-\sum_{j=1}^{n-1}\left|Z_{j}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{j}\right|^2 + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1}\left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
\qquad (ix)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph= \left(\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k} - Z_{n}W_{n}\right) \left(\sum_{l=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k} -\overline{Z}_{n} \overline{W}_{n}\right) - \sum_{j=1}^{n-1} \left(Z_{j}\overline{W}_{n} - Z_{n}\overline{W}_{j}\right) \left(\overline{Z}_{j}W_{n} - \overline{Z}_{n}W_{j}\right) + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 +\left|Z_{n} \right|^2\sum_{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
\qquad (x)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^{n}Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{l=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k}+ \left|Z_{n}W_{n}\right|^2 - \left[\sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}\overline{W}_{n}\overline{Z}_{j}W_{n}- \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}\overline{W}_{n}\overline{Z}_{n}W_{j}- \sum_{j=1}^{n-1} Z_{n}\overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}W_{n} + \sum_{j=1}^{n-1} Z_{n}\overline{W}_{j} \overline{Z}_{n}W_{j}\right] + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l} \right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
\qquad (xi)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{k=1}^n \overline{Z}_{k} \overline{W}_{k}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2 - W_{n}\overline{W}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}\overline{Z}_{j}+\overline{W}_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}W_{j}+W_{n}Z_{n} \sum_{j=1}^{n-1}\overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}-Z_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} W_{j}\overline{W}_{j} + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
\qquad (xii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{k=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2- \left|W_{n}\right|^2 \sum_{j=1}^{n-1} \left|Z_{j}\right|^2 + \overline{W}_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}W_{j}+W_{n}Z_{n} \sum_{j=1}^{n-1} \overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}-\left|Z_{n}\right|^2 \sum_{j=1}^{n-1} \left|W_{j}\right|^2+\left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
\qquad (xiii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left| \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n} \overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{k=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2+ \overline{W}_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1}Z_{j}W_{j}+W_{n}Z_{n} \sum_{j=1}^{n-1} \overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2<br />
\qquad (xiv)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n} \overline{W}_{n}Z_{n}W_{n}-Z_{n}W_{n} \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2<br />
\qquad (xv)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2<br />
\qquad (xvi)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
por lo tanto si <math>n-1</math> <math>\in</math> <math>\eth</math> <math>\Longrightarrow</math> <math>n\in</math> <math>\eth</math> .<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 03:31 14 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.- Sean <math>z_{1},z_{2},...,z_{n}\,</math> numeros complejos, ¿Bajo que condiciones se tiene que <math>|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}| = |z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}|\,</math> ?'''<br />
<br />
<br />
Si <math>z_{1} = z_{2} = ... = z_{n}\,</math>, entonces<br />
<br />
<br />
<math>|z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}| = n|z_{1}|\,</math><br />
<br />
<br />
por otro lado<br />
<br />
<br />
<math>|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}| = |nz_{1}| = n|z_{1}|\,</math><br />
<br />
<br />
y por lo tanto<br />
<br />
<br />
<math>|z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}| = |z_{1}+z_{2}+...+z_{n}|\,</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 02:52 5 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
'''2.- Sean <math>z_{1},z_{2},...,z_{n}\,</math> numeros complejos, ¿Bajo que condiciones se tiene que <math>|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}| = |z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}|\,</math> ?'''<br />
<br />
Tomando como punto de partida la demostracion de la desigualdad del triangulo. Podemos generalizar por medio de la inducción matemática a sumas de cualquier número finito de términos.<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}\right|\leq\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{n}\right|,(n = 1,2,3,...)\qquad (1)</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Es claro ver que cuando n = 2 se cumple la desigualdad del triangulo.<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_{1}+z_{2}\right|\leq\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|</math><br />
<br />
<br />
<br />
Ahora suponiendo que (1) es válida cuando n=m, debe ser tambien para n=m+1, y aplicando la desigualdad del triangulo:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|\left(z_{1}+z_{2}+...+z_{m}\right)+z_{m+1}\right|\leq\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{m}\right|+\left|z_{m+1}\right|</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|(z_{1}+z_{2}+...+z_{m})+z_{m+1}\right|\leq(\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{m}\right|)+\left|z_{m+1}\right|</math><br />
<br />
<br />
<br />
En donde los primeros m terminos los redefiniremos como Z<math>_{I},</math> y el termino m+1 como Z<math>_{II},</math>. Entonces lo anterior queda como:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|Z_{I}+Z_{II}\right|\leq\left|Z_{I}\right|+\left|Z_{II}\right|</math><br />
<br />
<br />
Ahora escribiendolo como igualdad<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|Z_{I}+Z_{II}\right|=\left|Z_{I}\right|+\left|Z_{II}\right|\equiv\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{m}+z_{m+1}\right|=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{m}\right|+\left|z_{m+1}\right|</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{m}+z_{m+1}\right|=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{m}\right|+\left|z_{m+1}\right|\equiv\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}\right|=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{n}\right|</math><br />
<br />
<br />
<br />
Esta desigualdad solo se cumple como igualdad cuando los numeros son colineales y tienen la misma direccion, esto tambien puede ser en los real (Re) o el imaginario (Im).<br />
<br />
Esto es muy claro ver cuando n=2, en una grafica.<br />
<br />
<br />
[[Imagen:Suma.gif]][[Imagen:Suma2.gif]]<br />
<br />
<br />
<br />
Aquí les dejo el enlace de la pagina donde consulte el código para generar las graficas para los que les interese.<br />
[http://demonstrations.wolfram.com/ComplexAddition/ Demostracion grafica]<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 03:41 16 oct 2009 (UTC)<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 03:07 6 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''3. Encuentre el ínfimo de <math>\left | z^3 + 2 i \right |</math> en la región <math>\left \{ z \mid |z| \ge 2 \right \}</math>, y describa en qué puntos se alcanza.'''<br />
<br />
<br />
Con una variante de la desigualdad del triángulo, tenemos que<br />
<br />
<center><math>\left | z^3 + i \right | \ge \left | |z|^3 -1 \right | \ge 8-1. </math></center><br />
Por tanto, <br />
<center><math> 7 \le \left | z^3 + i \right |. \qquad (1) </math></center><br />
<br />
Entonces, el ínfimo de la expresión es 7.<br />
<br />
Por otro lado, tenemos que, si <math>z = r \left ( cos \theta + 1 \sin \theta \right )</math><br />
<br />
<center><math> <br />
\begin{align}<br />
\left | z^3 + i \right | ^2 & = \left | r ^3 \left ( \cos 3\theta + i \sin 3\theta \right ) + 1 \right | ^2 \\<br />
& = \left | r^3 \cos 3\theta + 1 + i r^3 \sin 3\theta \right | ^2 \\<br />
& = r^6 + 2 r^3 \cos 3\theta + 1. \\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
Si tomamos la cota inferior, <math>\left | z \right | = 2</math>, la expresión anterior es entonces:<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}<br />
\left | z^3 + i \right | ^2 & = r^6 + 2 r^3 \cos 3\theta + 1 \\<br />
& = 65 + 2 r^3 \cos 3\theta. \\<br />
\end{align}<br />
</math></center> <br />
<br />
Ya que la función coseno tiene su mínimo en el valor -1, tomemos una <math>\theta</math> tal que <math>\cos 3\theta {{=}} -1</math>. Para este caso, tenemos dos valores: <math>\theta_1 {{=}} \frac {\pi}{3}</math> y <math>\theta_2 {{=}} \pi </math>,<br />
<br />
de tal forma que, con estos valores, <br />
<center><math>\left | z^3 + i \right | ^2 = 65 - 16 = 49. </math></center><br />
<br />
Con la fórmula de De Moivre, tenemos que el ínfimo de la expresión dada toma ese valor en <math>z_1</math> y <math>z_2</math> tales que<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}<br />
z_1 & = 2 \left ( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right ) \\<br />
& = 2 \left ( \cos \frac {\pi}{3} + i \sin \frac {\pi}{3} \right )\\<br />
& = 2 \left ( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right ) \\<br />
z_1 & = 1 + i \sqrt{3}, \qquad (2)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
y<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}<br />
z_2 & = 2 \left ( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right ) \\<br />
& = 2 \left ( \cos \pi + i \sin \pi \right )\\<br />
z_2 & = -2. \qquad (3)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
Pero, además, por le geometría de los números complejos, tenemos otros dos valores <math>z_3</math> y <math>z_4</math> tales que <br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}<br />
z_3 & = 2 \left ( \cos \theta_1+\pi + i \sin \theta_1+\pi \right ) \\<br />
& = 2 \left ( \cos \frac {4\pi}{3} + i \sin \frac {4\pi}{3} \right )\\<br />
& = 2 \left ( - \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \right ) \\<br />
& = -1 - i \sqrt{3} \\<br />
z_3 & = - z_1, \qquad (4)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
y<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}<br />
z_4 & = 2 \left ( \cos \theta_2+\pi + i \sin \theta_2+\pi \right ) \\<br />
& = 2 \left ( \cos 2\pi + i \sin 2\pi \right )\\<br />
& = 2 \\<br />
z_4 & = -z_2. \qquad (5)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
Por tanto, las expresiones (2), (3), (4) y (5) nos proporcionan los valores en que el ínfimo es tomado, a saber, <math>\pm (1 + i \sqrt{3})</math> y <math>\pm 2</math>.<br />
<br />
--[[Usuario:Belen|Belen]] 04:08 12 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.1&diff=11453
Compleja:ej-cap1.1
2009-12-05T16:46:21Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>'''1. Demuestre que el producto de números complejos cumple con la ley asociativa'''<br />
<br />
Sean <math> z = a + i b, \quad w = c + i d, \quad s = e + i f \, \quad </math> <br />
con <math> \quad a,b,c,d,e,f \in \mbox{R}</math><br />
<br />
<br />
Por demostrar <math> (zw)s = z(ws)\,</math><br />
<br />
<br />
<math>(zw)s = [(a + i b)(c + i d)](e + i f) = [(ac - bd) + i (bc + ad)](e + i f)\,</math><br />
<br />
<br />
<math>=[e(ac - bd) - f(bc + ad)] + i [e(bc + ad) + f(ac - bd) = (ace - bde - bcf - adf) + i (bce + ade + acf - bdf)\, </math><br />
<br />
<br />
Por otra parte<br />
<br />
<math>z(ws) = (a + i b)[(c + i d)(e + i f)] = (a + i b)[(ce - df) + i (de + cf)]\,</math><br />
<br />
<br />
<math>=[a(ce - df) - b(de + cf)] + i [b(ce - df) + a(de + cf)] = (ace - bde - bcf - adf) + i (bce + ade + acf - bdf)\,</math><br />
<br />
<br />
Entonces se cumple <math> (zw)s = z(ws)\,</math>.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 22:15 28 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
== 1.1.2 ==<br />
'''1. Demuestre que <math>\left|\frac{z}{w}\right| = \frac{\left|z\right|}{\left|w\right|}</math>'''<br />
<br />
Sean <math> z = a + i b \quad y \quad w = c + i d\,</math> <br />
<br />
<br />
<math>\left|\frac{z}{w}\right|= \left|\frac{a + i b }{c + i d}\right|= \left|\frac{(a + i b)(c - i d)}{(c + i d)(c - i d)}\right| </math>'''<br />
<br />
<br />
<math>=\left|\frac{(ac + bd) + i (bc - ad)}{c^2 + d^2}\right|= \sqrt{\bigg ( \frac{ac + bd}{c^2 + d^2}\bigg )^2 + \bigg (\frac{bc - ad}{c^2 + d^2}\bigg )^2} = \frac{1}{c^2 + d^2}\sqrt{ (ac + bd)^2 + (bc - ad)^2 <br />
} <br />
</math><br />
<br />
<br />
<math>=\frac{1}{c^2 + d^2}\sqrt{a^2 c^2 + a^2 d^2 + b^2 c^2 + b^2 d^2 <br />
} = \sqrt{\Bigg [\frac{a^2 (c^2 + d^2)}{(c^2 + d^2)^2}\Bigg ] + \Bigg [\frac{b^2 (c^2 + d^2)}{(c^2 + d^2)^2}\Bigg ] <br />
} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}} <br />
</math><br />
<br />
<br />
Por otra parte<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left|z\right|}{\left|w\right|} = \frac{\left|a + i b\right|}{\left|c + i d\right|} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}} = \left|\frac{z}{w}\right|</math><br />
<br />
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 22:15 28 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''2. Exprese <math>\overline{\left(\frac{\left(2+3i\right)^2}{4+i}\right)}</math>de la forma <math>x+iy</math>'''<br />
<br />
<br />
Por las propiedades <math>\overline{\left ( \frac{z}{w} \right )}=\frac\bar{z}\bar{w}</math> , <math>\overline{zw}=\bar{z}\bar{w}</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{\overline{\left ({2+3i}\right)^2}}{\overline{\left({4+i}\right)}}=\frac{\overline{\left ({2+3i}\right)}\overline{\left ({2+3i}\right)}}{\overline{\left({4+i}\right)}}=\frac{\left(2-3i\right)\left(2-3i\right)}{\left(4-i\right)}</math><br />
<br />
<br />
Simplificando, se obtiene:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\frac{4-6i-6i-9}{4-i}=\frac{-5-12i}{4-i}</math><br />
<br />
<br />
Resolviendo la división de números complejos, de la forma:<br />
<br />
<br />
<math>\frac{z}{w}=\frac{z\bar{w}}{w\bar{w}}=\frac{z\bar{w}}{\left|w\right|^2}</math>:<br />
<br />
<br />
<math>\frac{\left(-5-12i\right)\left(4+i\right)}{\left(4-i\right)\left(4+i\right)}=\frac{-20-5i-48i+12}{17}=\frac{-8-53i}{17}</math><br />
<br />
<br />
=<math>-\frac{8}{17}-\frac{53}{17}i</math>.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 23:00 28 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''3. Demuestre que <math>\alpha</math> es raiz de un polinomio real si y solo si <math>\overline{\alpha}</math> lo es.'''<br />
<br />
<br />
Sea <math>\overline{\alpha}</math> solucion de un polinomio real,<br />
<br />
entonces <math>\overline{\alpha} \in \mathbb{R}</math><br />
<br />
como <math>\overline{\alpha} = \alpha</math>, por lo tanto <math>\alpha</math> tambien es solucion. <br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 06:35 30 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''5. Sean <math>z_1 , z_2 , z_3 \in \mathbb{C}</math> tales que cumplen <math>\frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} = \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3}</math>, demuestre que estos tres puntos determinan un triángulo equilátero.'''<br />
<br />
[[Image: Comp_triang_eq2.jpg|frame|center|Figura 1]]<br />
<br />
Tenemos que <br />
<br />
<center><math>\left | \frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} \right | = \left | \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} \right |,\qquad (1)</math></center><br />
<br />
y, por lo tanto, <br />
<br />
<center><math>\frac{|z_2 - z_1|}{|z_3 - z_1|} = \frac{|z_1 - z_3|}{|z_2 - z_3|}.\qquad (2)</math></center><br />
<br />
De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber:<br />
<br />
<center><math>\left . \begin{matrix}|z_2 - z_1| = A\\<br />
|z_3 - z_1| = B = |z_1 - z_3|\\<br />
|z_2 - z_3| = C\\<br />
\end{matrix} \right \} \qquad (3)</math></center><br />
<br />
De (2) y (3) tenemos que:<br />
<br />
<center><math>\frac{A}{B} = \frac{B}{C}. \qquad (4)</math></center><br />
<br />
Por triángulos semejantes, se tiene que el ángulo <math>\beta</math> es igual al ángulo <math>\gamma</math> y éste a su vez al ángulo <math>\alpha</math>, es decir,<br />
<br />
<center><math>\alpha = \beta = \gamma. \qquad (5)</math></center><br />
<br />
Y la ecuación (5) es precisamente la condición para que el triángulo ABC de la Figura 1 sea equilátero.<br />
<br />
--[[Usuario:Belen|Belen]] 02:48 29 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
'''6. Sea <math>{\begin{align}z & = x+iy \end{align}}</math>, pruebe que<br />
<math>{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Puesto que el número complejo z puede escribirse como<br />
<br />
<math>{\begin{align}z & = Re(z)+iIm(z) \end{align}}</math><br />
<br />
<math>{\begin{align}\left|{z}\right| & = \sqrt{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2} \end{align}}</math><br />
<br />
<br />
Se deduce que<br />
<br />
<math>{\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{Re(z)}\right|}</math><br />
<br />
<math>{\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Como el cuadrado de un número real no puede ser negativo<br />
<br />
<math>{{[\left|{Re(z)}\right|-\left|{Im(z)}\right|]^2}{\ge }0}</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<math>{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2-2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|{\ge }0}</math><br />
<br />
O sea<br />
<br />
<math>{{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2}{\ge }2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
O de otra manera<br />
<br />
<math>{{\left|{z}\right|^2}{\ge }2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Sumando <math>{\left|{z}\right|^2}</math>, a ambos lados se tiene<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{z}\right|^2+2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Como <br />
<br />
<math>{\begin{align}\left|{z}\right|^2 & = \left|{Re(z)}\right|^2+\left|{Im(z)}\right|^2 \end{align}}</math><br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{Re(z)}\right|^2+\left|{Im(z)}\right|^2+2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
De donde<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }[\left|{Re(z)}\right|+\left|{Im(z)}\right|]^2}</math><br />
<br />
Sacando raíces cuadradas positivas<br />
<br />
<math>{{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}{\ge} \left|{Re(z)}\right|+\left|{Im(z)}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto<br />
<br />
<math>{{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}{\ge}{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:18 29 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
'''6-bis. Sea <math>{\begin{align}z & = x+iy \end{align}}</math>, pruebe que<br />
<math>{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}</math><br />
<br />
Tenemos que <math>{\begin{align}z & = x+iy \end{align}}</math>, entonces de la teoria sabemos que <br />
<br />
<br />
<math>{\begin{align}\left|{z}\right| & = \sqrt{[x]^2+[y]^2} \end{align}}\qquad (1)</math> <br />
<br />
<math>{\left|{x}\right|=\left|{Re(z)}\right|}{\le}{ \left|{z}\right|}</math><br />
<br />
<math>{\left|{y}\right|=\left|{Im(z)}\right|}{\le}{ \left|{z}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Tambien es inmediato que para z <math>\in \mathbb{R}</math>, <math>\overline z = z</math>, y que el cuadrado de cualquier numero real es siempre positivo, entonces de esto se tiene que<br />
<br />
<math>{{[\left|{x}\right|-\left|{y}\right|]^2}{\ge}0}</math><br />
<br />
Desarrollando el binomio se tiene que<br />
<br />
<br />
<math>{[x]^2+[y]^2-2\left|{x}\right|\left|{y}\right|{\ge }0}</math><br />
<br />
<math>{{[x]^2+[y]^2}{\ge }2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math><br />
<br />
Y por la identidad (1) esto se puede escribir como <br />
<br />
<math>{{\left|{z}\right|^2}{\ge }2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math><br />
<br />
Ahora sumando en ambos lados <math>{{\left|{z}\right|^2}}</math> obtenemos lo siguiente<br />
<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{z}\right|^2+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Pero ademas como <math>{{\left|{z}\right|^2}={\left|{x}\right|^2}+{\left|{y}\right|^2}}</math>, lo sustituimos en el resultado anterior<br />
<br />
<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{x}\right|^2}+{\left|{y}\right|^2+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Es facil ver que <br />
<br />
<br />
<math>{{[\left|{x}\right|+\left|{y}\right|]^2}={[x]^2+[y]^2+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}}</math><br />
<br />
<br />
Utilizando este resultado se deduce que <br />
<br />
<br />
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }{[\left|{x}\right|+\left|{y}\right|]^2}}</math><br />
<br />
<br />
Y tomando las raices positivas llegamos al siguiente resultado<br />
<br />
<br />
<math>{\sqrt{2}\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}</math><br />
<br />
<br />
Que es lo que se queria mostrar.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 03:56 1 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''7. Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados.<br />
<br />
[[Imagen:Dibujobueno.jpg]]<br />
<br />
Sacamos las normas de los números complejos<br />
<br />
|z|=<math>\sqrt{(a)^2+(b)^2}</math><br />
|w|=<math>\sqrt{(c)^2+(d)^2}</math><br />
<br />
Por algebra de vectores <br />
<br />
<math>|z|+|w|=|h|</math><br />
<br />
Donde |h| es la resultante de |z|+|w|<br />
<br />
<math>\sqrt{(a)^2+(b)^2}</math>+ <math>\sqrt{(c)^2+(d)^2}=|h|</math><br />
<br />
De la misma forma el dibujo nos indica q trasladamos la magnitudes de los vectores<br />
<br />
|w| y |z| y por tanto también tendremos |z|+|w| =|h|<br />
<br />
Entonces si |z|+|w| = |h|<br />
<br />
Aplicando el teorema de pitagoras q nos dice<br />
<br />
d = cateto<br />
<br />
f = cateto<br />
<br />
<math>e^2=d^2+f^2</math> <br />
<br />
entonces tenemos que <br />
<br />
<math>(a)^2+(b)^2=|z|^2</math><br />
<math>(c)^2+(d)^2=|w|^2</math><br />
<br />
Aplicamos pitagoras<br />
<br />
<math>(c)^2+(d)^2+(a)^2+(b)^2=(c)^2+(d)^2+(a)^2+(b)^2</math><br />
<br />
Por tanto <br />
<br />
<math>|z|^2 +|w|^2 = |h|^2</math> se cumple la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de la diagonal.<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 22:47 4 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
== 1.1.3 ==<br />
<br />
'''1. Calcule las raìces cuadradas de <math>3+4i</math> y de <math>1+2i</math>.'''<br />
<br />
<br />
Aplicando la formula para calcular raices cuadradas de numeros complejos.<br />
<br />
<math>\pm\left(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}} + i\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\right)</math> si <math>\quad b>0</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto las raices de <math>3+4i</math>, son:<br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(\sqrt{\frac{3+\sqrt{25}}{2}} + i\sqrt{\frac{-3+\sqrt{25}}{2}}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(\sqrt{\frac{8}{2}} + i\sqrt{1}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(2+i\right)</math><br />
<br />
<br />
y para <math>1+2i</math>, son:<br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} + i\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(\sqrt{1.61} + i\sqrt{0.61}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>=\pm\left(1.27 + i 0.78\right).</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 23:44 30 sep 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
'''REVISADO'''<br />
<br />
'''2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i'''<br />
<br />
Tenemos que <math>cos\boldsymbol{\theta}+i sen\boldsymbol{\theta}= -64</math> definicion en forma polar<br />
<br />
[[Imagen:Demo2.jpg]]<br />
<br />
r=64 <br />
<br />
n=6 porque nos piden las raíces sextas<br />
<br />
Entonces el argumento <math>\boldsymbol{\theta}=\pi</math><br />
<br />
<br />
<br />
Si <math>x+iy=re^{i\boldsymbol{\theta}}</math><br />
<br />
<br />
Entonces utilizando la definición de Moivre para obtener las raíces<br />
<br />
<br />
<math>(g e^{i\boldsymbol{\phi}n})= r e^{i\boldsymbol{\theta}}</math><br />
<br />
Ahora tenemos<br />
<br />
<math>g^n=r</math> y g= raíz enesima <math>\sqrt{64}</math>= = 2<br />
<br />
y <math>\boldsymbol{\phi}n=\boldsymbol{\theta}+2k\pi</math> los <math>2\pi</math> es porque tomamos en cuenta la periodicidad de la funció n y k son todos los múltiplos de <math>2\pi</math><br />
entonces sacando las raíces<br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6 </math> k=0 <br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi / 6 + 2\pi / 6 = 3\pi / 6</math> k=1 <br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6+2(2)\pi/6= 5\pi/6 </math> k=2 <br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6+(3)2\pi/6= 7\pi/6 </math> k=3<br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6+2(4)\pi/6= 9\pi/6 </math> k=4 <br />
<br />
<math>\boldsymbol{\theta}=\pi/6+2(5)\pi/6= 11\pi/6 </math> k=5 <br />
<br />
Las soluciones son<br />
<br />
r1= 2 <math> e^{i( \pi/6)}</math> <br />
<br />
r2= 2 <math> e^{i( 3\pi/6)}</math> <br />
<br />
r3= 2 <math> e^{i( 5\pi/6)}</math> <br />
<br />
r4= 2 <math> e^{i( 7\pi/6)}</math> <br />
<br />
r5= 2 <math> e^{i( 9\pi/6)}</math> <br />
<br />
r6= 2 <math> e^{i( 11\pi/6)}</math> <br />
<br />
Graficando en coordenadas polares nos queda:<br />
<br />
[[Imagen:POLIGONO2.jpg]]<br />
<br />
Haciendo algo similar para el 8i Tenemos<br />
<br />
<math>cos\boldsymbol{\theta}+i sen\boldsymbol{\theta}= 8i</math><br />
<br />
<br />
<br />
[[Imagen:DEMO3.jpg]]<br />
<br />
el argumento <math>\boldsymbol{\theta}=\pi/2</math><br />
<br />
r= 8<br />
<br />
n=3 porque nos pinden las raíces cubicas<br />
<br />
<math>g^n=r</math> y g= raíz enesima <math>\sqrt{8}</math>= = 2<br />
<br />
<math>\boldsymbol{\phi}n = \boldsymbol{\theta}+2k\pi </math><br />
<br />
<math>\boldsymbol{\phi} = \boldsymbol{\theta}+2k\pi =\pi/6 </math> k=0<br />
<br />
<math>\boldsymbol{\phi}=\pi/6+2\pi/3= 5\pi/6</math> k=1 <br />
<br />
<math>\boldsymbol{\phi}==\pi/6+2(2)\pi/3= 9\pi/6</math> k=2 <br />
<br />
r1= 2 <math> e^{i( \pi/6)}</math> <br />
<br />
r2= 2 <math> e^{i( 5\pi/6)}</math> <br />
<br />
r3= 2 <math> e^{i( 9\pi/6)}</math> <br />
<br />
<br />
<br />
Graficando en coordenadas polares tenemos<br />
<br />
<br />
[[Imagen:RAICES.jpg]] <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 21:35 4 oct 2009 (UTC)Sanchez<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i'''<br />
<br />
<br />
Sea <math> z = -64 = 64(cos\pi + isen\pi)\,</math><br />
<br />
<br />
Por la formula de De Moivre<br />
<br />
<br />
<math>z^{1/6} = 64^{1/6}(cos\pi + sen\pi)^{1/6} = 2 (cos(\frac{\pi+2k\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+2k\pi}{6}))</math> para k = 0,1,2,3,4,5<br />
<br />
<br />
Evaluando k se obtiene<br />
<br />
<br />
con k = 0<br />
<br />
<math>w_{0} = 2(cos(\frac{\pi}{6}) + isen(\frac{\pi}{6})) = \sqrt{3} + i</math> <br />
<br />
con k = 1<br />
<br />
<math>w_{1} = 2(cos(\frac{\pi+2\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+2\pi}{6})) = 2(cos(\frac{\pi}{2}) + isen(\frac{\pi}{2})) = 2i</math> <br />
<br />
con k = 2 <br />
<br />
<math>w_{2} = 2(cos(\frac{\pi+4\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+4\pi}{6})) = 2(cos(\frac{5\pi}{6}) + isen(\frac{5\pi}{6})) = -\sqrt{3} + i</math><br />
<br />
con k = 3<br />
<br />
<math>w_{3} = 2(cos(\frac{\pi+6\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+6\pi}{6})) = 2(cos(\frac{7\pi}{6}) + isen(\frac{7\pi}{6})) = -\sqrt{3} - i</math><br />
<br />
con k = 4<br />
<br />
<math>w_{4} = 2(cos(\frac{\pi+8\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+8\pi}{6})) = 2(cos(\frac{3\pi}{2}) + isen(\frac{3\pi}{2})) = -2i</math><br />
<br />
con k = 5<br />
<br />
<math>w_{5} = 2(cos(\frac{\pi+10\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+10\pi}{6})) = 2(cos(\frac{11\pi}{6}) + isen(\frac{11\pi}{6})) = \sqrt{3} - i</math> <br />
<br />
<br />
..............<br />
<br />
<br />
Sea <math>z = 8i = 8(cos(\frac{\pi}{2}) + sen(\frac{\pi}{2})\,</math><br />
<br />
<br />
<math>z^{1/3} = 8^{1/3}(cos(\frac{\pi}{2}) + isen(\frac{\pi}{2}))^{1/3} = 2(cos(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}) + isen(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}))</math> para k = 0,1,2<br />
<br />
<br />
Evaluando a k se obtiene<br />
<br />
<br />
con k = 0<br />
<br />
<math>w_{0} = 2(cos(\frac{\pi}{6}) + isen(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3} + i</math><br />
<br />
con k = 1<br />
<br />
<math>w_{1} = 2(cos(\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{3}) + isen(\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{3})) = 2(cos(\frac{5\pi}{6}) + isen(\frac{5\pi}{6}) = -\sqrt{3} + i</math><br />
<br />
con k = 2<br />
<br />
<math>w_{2} = 2(cos(\frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}{3}) + isen(\frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}{3})) = 2(cos(\frac{3\pi}{2}) + isen(\frac{3\pi}{2})) = -2i</math><br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 21:07 3 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''3. Demuestre que <math>1+Z+Z^2+...+Z^{n-1}=0</math> donde z es una raíz n-ésima de la unidad,<br />
<math>z\neq 1</math>'''<br />
<br />
<br />
Sea <math> S=1+Z+Z^2+...+Z^{n-1}</math><br />
<br />
Ahora multiplicamos ambos lados por Z<br />
<br />
<math> ZS=Z+Z^2+Z^3+...+Z^{n-1}+Z^n</math><br />
<br />
Restando la segunda ecuación de la primera<br />
<br />
<math>{(s=1+z+z^2+...+z^{n-1})-(zs=z+^2+z^3+...+z^{n-1}+z^n)}</math><br />
<br />
Tenemos que<br />
<br />
<math>\ {s-zs=1-z^n}</math> Entonces <math>\ {s(1-z)=1-z^n}</math><br />
<br />
De donde<br />
<br />
<math>s=\frac{1-z^n}{1-z}</math><br />
<br />
Como z es una raíz enesima de la unidad<br />
<br />
<math>0=\frac{1-z^n}{1-z}</math><br />
<br />
<math>\to{1-z^n=0} </math><br />
<br />
<math>\to{z^n=1} </math><br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<math>\to{z^n=1} </math><br />
<br />
y <br />
<br />
<math>{1-z}\ne{0}</math><br />
<br />
porque<br />
<br />
<math> {z}\ne{1} </math> <br />
<br />
<br />
Por lo tanto<br />
<br />
'''<math> {s=0} </math>''' <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 22:00 2 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''4. Demuestre que:<br />
<center><br />
<math>\frac{n}{2^{n-1}}=\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{\pi}{k}</math><br />
</center><br />
Sugerencia: Factoriza la expresión <math>1+z+z^2+\cdots+z^n</math> usando las raices n-ésimas de la unidad, posteriormente evalue en <math>z=1</math>.'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
Las raices de <math>z^m=1</math> son<br />
<center><br />
<math>z=1,e^{\frac{2\pi i}{m}},e^{\frac{4\pi i}{m}},\dots,e^{\frac{(2m-1)\pi i}{m}}</math><br />
</center><br />
entonces podemos escribir<br />
<center><br />
<math>z^{m-1}=(z-e^{\frac{2\pi i}{m}})(z-e^{\frac{4\pi i}{m}})\cdots(z-e^{\frac{(2m-1)\pi i}{m}})</math><br />
</center><br />
dividiendo ambos lados por <math>z-1</math> y haciendo <math>z=1</math>:<br />
<center><br />
<math>\frac{z^{m-1}}{z-1}=1+z+z^2+\cdots+z^{m-1}</math><br />
</center><br />
de aqui hallamos que<br />
<center><br />
<math>m=(1-e^{\frac{2\pi i}{m}})(1-e^{\frac{4\pi i}{m}})\cdots(1-e^{\frac{(2m-1)\pi i}{m}})\qquad (1)</math><br />
</center><br />
tomando el conjugado complejo de ambos lados de (1)<br />
<center><br />
<math>m=(1-e^{\frac{-2\pi i}{m}})(1-e^{\frac{-4\pi i}{m}})\cdots(1-e^{\frac{-(2m-1)\pi i}{m}})\qquad (2)</math><br />
</center><br />
<br />
Multiplicando la ecuación (1) por la (2) y aplicando que<br />
<center><br />
<math>1-(1-e^{\frac{2k\pi i}{m}})(1-e^{\frac{2k\pi i}{m}})= 2 - 2\cos\frac{2k\pi}{m}</math><br />
</center><br />
tenemos<br />
<center><br />
<math>m^2=2^{m-1}(1-\cos\frac{2\pi}{m})(1-\cos\frac{4\pi}{m})\cdots(1-\cos\frac{2(m-1)\pi}{m})</math><br />
</center><br />
puesto que<br />
<center><br />
<math>1-\cos\frac{2k\pi}{m}=2\sin^2\frac{k\pi}{m}</math><br />
</center><br />
la ecuación anterior se transforma en<br />
<center><br />
<math>m^2=2^{2m-2}(\sin^2\frac{\pi}{m})(\sin^2\frac{2\pi}{m})\cdots(\sin^2\frac{(m-1)\pi}{m})</math><br />
</center><br />
despejando y sacando la raíz en ambos lados de la expresión:<br />
<center><br />
<math>\frac{m}{2^{m-1}}=(\sin\frac{\pi}{m})(\sin\frac{2\pi}{m})\cdots(\sin\frac{(m-1)\pi}{m})</math><br />
</center><br />
<br />
lo que queda demostrada la igualdad.<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 23:10 4 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''5.''' '''Demuestre que'''<br />
<br />
<math>1+cos\phi+cos2\phi+...............+cos n\phi=\frac{1}{2}+\frac{sen\left(n\phi+\frac{\phi}{2}\right)}{2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)}</math>, <br />
<br />
'''donde''' '''<math>\phi</math> ''' '''no es un multiplo par de''' '''<math>\pi</math>.'''<br />
<br />
<br />
<br />
'''Esta identidad se le atribuye a Lagrange.''' <br />
<br />
<br />
Sugerencia: calcular la parte real de <br />
<br />
<br />
<math>1+z+z^{2}+..........+z^{n}</math>, donde <math>z=cos\phi+isen\phi</math>. <br />
<br />
<br />
<br />
'''Solucion.'''<br />
<br />
Sea <br />
<br />
<math>S=1+z+z^{2}+.......+z^{n}</math> si multiplicamos por <math>z</math> a <math>S</math> se tiene que <br />
<br />
<br />
<math>zS=z+z^{2}+z^{3}+......+z^{n}+z^{n+1}</math> ahora restemos estas dos ultimas expresiones<br />
<br />
<br />
<math>\left(S-zS\right)=\left(1-z\right)S=1-z^{n+1}</math> de lo que se obtiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>S=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}</math><br />
<br />
<br />
Si en esta última expresion utilizamos <math>z=cos\phi+isen\phi</math> entonces <br />
<br />
<br />
<math>S=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}</math> <br />
<br />
<br />
toma la siguiente forma<br />
<br />
<br />
<math>1+\left(cos\phi+isen\phi\right)+\left(cos\phi+isen\phi\right)^{2}+........+\left(cos\phi+isen\phi\right)^{n}=\frac{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)^{n+1}}{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)} </math><br />
<br />
<br />
que es equivalente a esta<br />
<br />
<br />
<math>1+\left(cos\phi+isen\phi\right)+\left(cos2\phi+isen2\phi\right)+........+\left(cosn\phi+isen\left(n\phi\right)\right)=\frac{1-\left(cos\left(n+1\right)\phi+isen\left(n+1\right)\phi\right)}{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)}</math><br />
<br />
<br />
Tomando el lado derecho de esta ultima expresión y llevar a cabo el producto con su conjugado , es decir:<br />
<br />
<br />
<math>\left(\frac{1-cos\left(n\phi+\phi\right)-isen\left(n\phi+\phi\right)}{1-cos\phi-isen\phi}\right)\star\left(\frac{1-cos\phi+isen\phi}{1-cos\phi+isen\phi}\right)<br />
</math><br />
<br />
<br />
<br />
Se obtiene del numerador lo siguiente<br />
<br />
<br />
<br />
<math>1-cos\phi+isen\phi-cosn\left(n\phi+\phi\right)+cos\phi cos\left(n\phi+\phi\right)-isen\phi cos\left(n\phi+\phi\right)-isen\left(n\phi+\phi\right)+icos\phi sen\left(n\phi+\phi\right)+sen\phi sen\left(n\phi+\phi\right)<br />
</math><br />
<br />
<br />
si tomamos solo la parte real se tiene que<br />
<br />
<br />
<br />
<math>1-cos\phi-cos\left(n\phi+\phi\right)+cos\phi cos\left(n\phi+\phi\right)+sen\phi sen\left(n\phi+\phi\right)=</math><br />
<br />
<br />
<math>1-cos\phi+cos\left(n\phi-\phi\right)-cos\left(n\phi+\phi\right)</math><math>=</math> <math>1-cos\phi+2sen\phi sen\phi</math><br />
<br />
<br />
<br />
por otra parte para el denominador se tiene:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left(1-cos\phi\right)^{2}+sen^{2}\phi=</math><br />
<br />
<br />
<math>1-2cos\phi+sen^{2}\phi+cos^{2}\phi=</math> <math>2\left(1-cos\phi\right)</math><br />
<br />
<br />
<br />
al tomar la parte real de <br />
<br />
<br />
<math>1+\left(cos\phi+isen\phi\right)+\left(cos2\phi+isen2\phi\right)+........+\left(cosn\phi+isenn\phi\right)=\frac{1-\left(cos\left(n+1\right)\phi+isen\left(n+1\right)\phi\right)}{1-\left(cos\phi+isen\phi\right)}</math>,<br />
<br />
<br />
<br />
sustituir lo encontrado para el numerador (parte real) y el denominador , y utilizar la siguiente<br />
identidad <br />
<br />
<br />
<math>sen\left(\frac{\phi}{2}\right)=\sqrt{\frac{1-cos\phi}{2}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
tenemos lo siguiente:<br />
<br />
<br />
<math><br />
1+cos\phi+cos2\phi+...............+cosn\phi=\frac{2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)+sen\phi sen\left(n\phi\right)}{2\left(2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)\right)}=\frac{1}{2}+\frac{sen\phi sen\left(n\phi\right)}{2sen\left(\frac{\phi}{2}\right)}</math><br />
<br />
<br />
<br />
Lo cual es casi a lo que se queria llegar.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 00:01 5 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== 1.1.4 ==<br />
<br />
'''1. Demuestre que:'''<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}\left | \textstyle \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k} \right | ^2 = \left (\sum_{k=1}^n \left| Z_{k} \right|^2 \right) \left(\sum_{k=1}^n \left| W_{k} \right|^2 \right) -\sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2. \qquad (I)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
'''Se conoce como igualdad de Lagrange'''<br />
<br />
<br />
<br />
'''Solución.'''<br />
<br />
<br />
Esta demostración se hará por inducción, es decir, empezaremos suponiendo que el elemento <math> n-1</math> se encuentra en el conjunto, pues entonces el resultado implica que el elemento <math>n</math> esta en el conjunto.<br />
<br />
<br />
Sea <math>\eth=\left\{ \omega\in\mathbb{N\,}tal\, que\left(I\right)\, se\, cumpla\right\}<br />
</math><br />
<br />
<br />
Supongamos que <math>n-1</math> esta en <math>\eth</math> , es decir,<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
<br />
\left| \textstyle \sum_{k=1}^ {n-1} Z_{k}W_{k} \right|= \left(\sum_{k=1}^ {n-1} \left|Z_{k} \right| ^{2}\right) \left (\sum_{l=1}^ {n-1} \left|W_{l}\right|^{2}\right)-\sum_{1<j<k<n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^{2}<br />
\qquad (i)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Tenemos que:<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left(\sum_{k=1}^n \left| Z_{k}\right| ^2\right) \left(\sum_{l=1}^n \left| W_{l}\right| ^2 \right)-\sum_{1<j<k\leq n} \left| Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2<br />
<br />
\qquad (ii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph= \left(\sum_{k=1}^{n-1} \left| Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \right) \left(\sum_{l=1}^{n-1} \left| W_{l}\right|^2+ \left|W_{n}\right|^2 \right)-\sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2<br />
<br />
\qquad (iii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph= \left(\sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 \right) \left(\sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 \right)+\left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 +\left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2+ \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2 -\sum_{1<j<k\leq n}\left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2<br />
<br />
<br />
\qquad (iv)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
<br />
\aleph= \left(\sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 \right)\left(\sum_{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^2 \right)-\sum_{1<j<k\leq n}\left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1}\left|Z_{k}\right|^2+\left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
<br />
\qquad (v)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Pero veamos la forma que toman las siguientes expresiones al expandir la suma,<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 = \left|Z_{1}\overline{W}_{2}-Z_{2}\overline{W}_{1}\right|^2 +\left|Z_{1}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{1}\right|^2 +..............+\left|Z_{1}\overline{W}_{n}-Z_{1}\overline{W}_{n}\right|^2 +...........+ \left|Z_{2}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{2}\right|^2 +...........+ \left|Z_{2}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{2}\right|^2+..........+ \left|Z_{n-1}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{n-1}\right|^2<br />
<br />
\qquad (vi)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\sum_{1<j<k\leq n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 = \left|Z_{1}\overline{W}_{2}-Z_{2}\overline{W}_{1}\right|^2 + \left|Z_{1}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{1}\right|^2+..........+\left|Z_{1}\overline{W}_{n-1}-Z_{n-1}\overline{W}_{1}\right|^2 +..........+ \left|Z_{2}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{2}\right|^2+...........+\left|Z_{2}\overline{W}_{n-1}-Z_{n-1}\overline{W}_{2}\right|^2 +...........+ \left|Z_{n-2}\overline{W}_{n-1}-Z_{n-1}\overline{W}_{n-2}\right|^2<br />
<br />
<br />
\qquad (vii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Al comparar las expresiones <math> vi</math> con <math>vii</math> se observa que:<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j} \right|^2= \sum_{1<j<k\leq n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 + \sum_{j=1}^{n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{j}\right|^2<br />
<br />
\qquad (viii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Entonces si ahora utilizamos las expresiones <math>viii</math>, <math> I</math> e <math>i</math> podemos re-escribir <math>\aleph</math> de la manera siguiente:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^{n-1}Z_{k}W_{k}\right|^2-\sum_{j=1}^{n-1}\left|Z_{j}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{j}\right|^2 + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1}\left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
\qquad (ix)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph= \left(\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k} - Z_{n}W_{n}\right) \left(\sum_{l=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k} -\overline{Z}_{n} \overline{W}_{n}\right) - \sum_{j=1}^{n-1} \left(Z_{j}\overline{W}_{n} - Z_{n}\overline{W}_{j}\right) \left(\overline{Z}_{j}W_{n} - \overline{Z}_{n}W_{j}\right) + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 +\left|Z_{n} \right|^2\sum_{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
\qquad (x)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^{n}Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{l=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k}+ \left|Z_{n}W_{n}\right|^2 - \left[\sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}\overline{W}_{n}\overline{Z}_{j}W_{n}- \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}\overline{W}_{n}\overline{Z}_{n}W_{j}- \sum_{j=1}^{n-1} Z_{n}\overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}W_{n} + \sum_{j=1}^{n-1} Z_{n}\overline{W}_{j} \overline{Z}_{n}W_{j}\right] + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l} \right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
\qquad (xi)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{k=1}^n \overline{Z}_{k} \overline{W}_{k}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2 - W_{n}\overline{W}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}\overline{Z}_{j}+\overline{W}_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}W_{j}+W_{n}Z_{n} \sum_{j=1}^{n-1}\overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}-Z_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} W_{j}\overline{W}_{j} + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
\qquad (xii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{k=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2- \left|W_{n}\right|^2 \sum_{j=1}^{n-1} \left|Z_{j}\right|^2 + \overline{W}_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}W_{j}+W_{n}Z_{n} \sum_{j=1}^{n-1} \overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}-\left|Z_{n}\right|^2 \sum_{j=1}^{n-1} \left|W_{j}\right|^2+\left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2<br />
\qquad (xiii)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left| \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n} \overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{k=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2+ \overline{W}_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1}Z_{j}W_{j}+W_{n}Z_{n} \sum_{j=1}^{n-1} \overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2<br />
\qquad (xiv)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n} \overline{W}_{n}Z_{n}W_{n}-Z_{n}W_{n} \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2<br />
\qquad (xv)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>\begin{align} <br />
\aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2<br />
\qquad (xvi)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
por lo tanto si <math>n-1</math> <math>\in</math> <math>\eth</math> <math>\Longrightarrow</math> <math>n\in</math> <math>\eth</math> .<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 03:31 14 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.- Sean <math>z_{1},z_{2},...,z_{n}\,</math> numeros complejos, ¿Bajo que condiciones se tiene que <math>|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}| = |z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}|\,</math> ?'''<br />
<br />
<br />
Si <math>z_{1} = z_{2} = ... = z_{n}\,</math>, entonces<br />
<br />
<br />
<math>|z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}| = n|z_{1}|\,</math><br />
<br />
<br />
por otro lado<br />
<br />
<br />
<math>|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}| = |nz_{1}| = n|z_{1}|\,</math><br />
<br />
<br />
y por lo tanto<br />
<br />
<br />
<math>|z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}| = |z_{1}+z_{2}+...+z_{n}|\,</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 02:52 5 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
'''2.- Sean <math>z_{1},z_{2},...,z_{n}\,</math> numeros complejos, ¿Bajo que condiciones se tiene que <math>|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}| = |z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}|\,</math> ?'''<br />
<br />
Tomando como punto de partida la demostracion de la desigualdad del triangulo. Podemos generalizar por medio de la inducción matemática a sumas de cualquier número finito de términos.<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}\right|\leq\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{n}\right|,(n = 1,2,3,...)\qquad (1)</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Es claro ver que cuando n = 2 se cumple la desigualdad del triangulo.<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_{1}+z_{2}\right|\leq\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|</math><br />
<br />
<br />
<br />
Ahora suponiendo que (1) es válida cuando n=m, debe ser tambien para n=m+1, y aplicando la desigualdad del triangulo:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|\left(z_{1}+z_{2}+...+z_{m}\right)+z_{m+1}\right|\leq\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{m}\right|+\left|z_{m+1}\right|</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|(z_{1}+z_{2}+...+z_{m})+z_{m+1}\right|\leq(\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{m}\right|)+\left|z_{m+1}\right|</math><br />
<br />
<br />
<br />
En donde los primeros m terminos los redefiniremos como Z<math>_{I},</math> y el termino m+1 como Z<math>_{II},</math>. Entonces lo anterior queda como:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|Z_{I}+Z_{II}\right|\leq\left|Z_{I}\right|+\left|Z_{II}\right|</math><br />
<br />
<br />
Ahora escribiendolo como igualdad<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|Z_{I}+Z_{II}\right|=\left|Z_{I}\right|+\left|Z_{II}\right|\equiv\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{m}+z_{m+1}\right|=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{m}\right|+\left|z_{m+1}\right|</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{m}+z_{m+1}\right|=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{m}\right|+\left|z_{m+1}\right|\equiv\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}\right|=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+...+\left|z_{n}\right|</math><br />
<br />
<br />
<br />
Esta desigualdad solo se cumple como igualdad cuando los numeros son colineales y tienen la misma direccion, esto tambien puede ser en los real (Re) o el imaginario (Im).<br />
<br />
Esto es muy claro ver cuando n=2, en una grafica.<br />
<br />
<br />
[[Imagen:Suma.gif]][[Imagen:Suma2.gif]]<br />
<br />
<br />
<br />
Aquí les dejo el enlace de la pagina donde consulte el código para generar las graficas para los que les interese.<br />
[http://demonstrations.wolfram.com/ComplexAddition/ Demostracion grafica]<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 03:41 16 oct 2009 (UTC)<br />
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 03:07 6 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''3. Encuentre el ínfimo de <math>\left | z^3 + 2 i \right |</math> en la región <math>\left \{ z \mid |z| \ge 2 \right \}</math>, y describa en qué puntos se alcanza.'''<br />
<br />
<br />
Con una variante de la desigualdad del triángulo, tenemos que<br />
<br />
<center><math>\left | z^3 + i \right | \ge \left | |z|^3 -1 \right | \ge 8-1. </math></center><br />
Por tanto, <br />
<center><math> 7 \le \left | z^3 + i \right |. \qquad (1) </math></center><br />
<br />
Entonces, el ínfimo de la expresión es 7.<br />
<br />
Por otro lado, tenemos que, si <math>z = r \left ( cos \theta + 1 \sin \theta \right )</math><br />
<br />
<center><math> <br />
\begin{align}<br />
\left | z^3 + i \right | ^2 & = \left | r ^3 \left ( \cos 3\theta + i \sin 3\theta \right ) + 1 \right | ^2 \\<br />
& = \left | r^3 \cos 3\theta + 1 + i r^3 \sin 3\theta \right | ^2 \\<br />
& = r^6 + 2 r^3 \cos 3\theta + 1. \\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
Si tomamos la cota inferior, <math>\left | z \right | = 2</math>, la expresión anterior es entonces:<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}<br />
\left | z^3 + i \right | ^2 & = r^6 + 2 r^3 \cos 3\theta + 1 \\<br />
& = 65 + 2 r^3 \cos 3\theta. \\<br />
\end{align}<br />
</math></center> <br />
<br />
Ya que la función coseno tiene su mínimo en el valor -1, tomemos una <math>\theta</math> tal que <math>\cos 3\theta {{=}} -1</math>. Para este caso, tenemos dos valores: <math>\theta_1 {{=}} \frac {\pi}{3}</math> y <math>\theta_2 {{=}} \pi </math>,<br />
<br />
de tal forma que, con estos valores, <br />
<center><math>\left | z^3 + i \right | ^2 = 65 - 16 = 49. </math></center><br />
<br />
Con la fórmula de De Moivre, tenemos que el ínfimo de la expresión dada toma ese valor en <math>z_1</math> y <math>z_2</math> tales que<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}<br />
z_1 & = 2 \left ( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right ) \\<br />
& = 2 \left ( \cos \frac {\pi}{3} + i \sin \frac {\pi}{3} \right )\\<br />
& = 2 \left ( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right ) \\<br />
z_1 & = 1 + i \sqrt{3}, \qquad (2)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
y<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}<br />
z_2 & = 2 \left ( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right ) \\<br />
& = 2 \left ( \cos \pi + i \sin \pi \right )\\<br />
z_2 & = -2. \qquad (3)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
Pero, además, por le geometría de los números complejos, tenemos otros dos valores <math>z_3</math> y <math>z_4</math> tales que <br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}<br />
z_3 & = 2 \left ( \cos \theta_1+\pi + i \sin \theta_1+\pi \right ) \\<br />
& = 2 \left ( \cos \frac {4\pi}{3} + i \sin \frac {4\pi}{3} \right )\\<br />
& = 2 \left ( - \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \right ) \\<br />
& = -1 - i \sqrt{3} \\<br />
z_3 & = - z_1, \qquad (4)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
y<br />
<br />
<center><math><br />
\begin{align}<br />
z_4 & = 2 \left ( \cos \theta_2+\pi + i \sin \theta_2+\pi \right ) \\<br />
& = 2 \left ( \cos 2\pi + i \sin 2\pi \right )\\<br />
& = 2 \\<br />
z_4 & = -z_2. \qquad (5)\\<br />
\end{align}<br />
</math></center><br />
<br />
Por tanto, las expresiones (2), (3), (4) y (5) nos proporcionan los valores en que el ínfimo es tomado, a saber, <math>\pm (1 + i \sqrt{3})</math> y <math>\pm 2</math>.<br />
<br />
--[[Usuario:Belen|Belen]] 04:08 12 oct 2009 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.3&diff=11206
Compleja:ej-cap1.3
2009-11-27T04:03:36Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>== '''SECCION 1.3.1''' ==<br />
<br />
<br />
'''1. Sea <math>A= \left \{ z \in C\mid 0<Rez<2,-\frac{\pi }{2}<Imz<\frac{\pi }{2}\right \}</math>. ¿Cuál es la imagen de A bajo la exponencial?.''' <br />
<br />
<br />
La imagen de la recta horizontal <math>Imz=\frac{\pi }{2}</math> bajo esta función <br />
<br />
<br />
es la semilinea que surge del origen con argumento <math>\frac{\pi }{2}</math>,<br />
<br />
<br />
entonces lo que pasa por el punto<br />
<br />
<br />
<br />
<math>e^\left(i\frac{\pi}{2}\right)=cos{\frac{\pi}{2}}+isen{\frac{\pi}{2}}=i</math><br />
<br />
<br />
<br />
De igual forma para <math>Imz=-\frac{\pi }{2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>e^\left(-i\frac{\pi}{2}\right)=cos{\frac{\pi}{2}}-isen{\frac{\pi}{2}}=-i</math><br />
<br />
<br />
<br />
Por otra parte tenemos <math>2\in Re</math>, entonces la linea vertical <math>\ Rez=2</math><br />
<br />
<br />
se transforma en el circulo de radio<br />
<br />
<br />
<br />
<math>e^2\thickapprox 7.4</math><br />
<br />
<br />
<br />
De igual forma para <math>\ Rez=0</math>, se transforma en el circulo de radio<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ e^0=1</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 03:11 22 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.- Exprese <math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)</math>, en la forma <math>x+iy</math>.'''<br />
<br />
por propiedades de la exponencial sabemos que:<br />
<br />
<math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right) =e^4 e^\left(i\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
<br />
y que <math>e^\left(i\frac{\pi}{6}\right)=cos{\frac{\pi}{6}}+isen{\frac{\pi}{6}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
entonces la exprecion completa seria:<br />
<br />
<math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)=e^4\left(cos{\frac{\pi}{6}}+isen{\frac{\pi}{6}}\right)</math><br />
<br />
<math>=e^4cos{\frac{\pi}{6}}+ie^4sen{\frac{\pi}{6}}</math><br />
<br />
<br />
<math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)=54.59+i0.498</math>.<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 18:19 17 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''4.-Demuestre que bajo la accion de la función exponencial, dos líneas horizontales, símetricas con respecto al eje <math>x</math>, se transforman en dos semirrectas por el origen que son conjugadas una de otra.'''<br />
<br />
<br />
'''Solución.'''<br />
<br />
Basta con demostrar que <br />
<br />
<center><math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right)</math></center><br />
<br />
Sea <br />
<br />
<center><math>\exp\left(iy\right)=cosy+iseny<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si tomamos el conjugado de la última expresión tenemos que:<br />
<br />
<center><math>\exp\left(iy\right)=cosy+iseny</math></center><br />
<br />
<center><math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\overline{cosy+iseny}=cosy-iseny=cos\left(-y\right)+isen\left(-y\right)=\exp\left(-iy\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Debemos tener en cuenta que <math>Im z = y \!</math> es un punto y que para tener una recta o un segmento de ella debemos incluir <math>\! Re z = x</math>.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 04:12 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== '''SECCION 1.3.2''' ==<br />
<br />
=='''SECCION 1.3.3'''==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''1.Calcule todos los valores ''' <math>(1-i)^{4-2i}</math> <math> i^w</math> <math>z^i</math><br />
<br />
recordando<br />
<br />
<math>lnab=lna+lnb</math> , <math>lna^b=blna</math> y <math>e^{lna}=a</math><br />
<br />
<math>(1-i)^{4-2i}</math> = <math>e^{ln(1-i)^{4-2i}}</math><br />
<br />
<math> e^{(4-2i)ln(1-i)}</math><br />
<br />
<math>ln(1-i)= ln\sqrt{2} -i\pi/4</math><br />
<br />
sustituyendo <math>ln(1-i)</math><br />
<br />
<math>e^{(4-2i)(1/2ln2+i(-\pi/4+2k\pi)}</math> Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos <math>2k\pi</math><br />
<br />
<math>e^{2ln2+2(-\pi/4+2k\pi)+ i4((-\pi/4+2k\pi)-ln2)}</math><br />
<br />
<math>e^{ln4+((4k-1)/2)\pi+ i(8k-1)\pi-iln2}</math><br />
<br />
<math>e^{ln4}e^{(4k-1/2)\pi}e^{i(8k)\pi}e^{-i\pi}e^{-iln2}</math><br />
<br />
donde <br />
<br />
<math>e^{i(8k)\pi}</math> y <math>e^{-i\pi}</math> valen 1 <math>k=1</math> los valores encontrados seran multiplos de <math>\pi</math><br />
<br />
<math>-4 e^{(4k-1/2)\pi}e^{-iln2}</math><br />
<br />
<math>-4 e^{((4k-1/2)\pi-iln2)}</math> donde '''k''' pertenece a los numeros naturales.<br />
<br />
ahora encontrando los valores <math> i^w</math><br />
<br />
<math> i^w = e ^{lni^{w}}</math> donde <math>lni=ln1+i\pi/2</math> Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos <math>2k\pi</math><br />
<br />
<math> e ^{w+i(\pi/2+2k\pi}</math><br />
<br />
<math>e^{iw((4k+1)/2)\pi}</math> para cualquier '''w'''<br />
<br />
finalmente calculando los valores <math>z^i</math><br />
<br />
<math>z^i= e^{ilnz}</math><br />
<br />
<math>e^{i(ln|z|+iargz)}</math><br />
<br />
<math>e^{-(argz+iln|z|}</math> para cualquier '''z'''<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 19:18 7 nov 2009 (UTC)Karla.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''3.- Demuestre que si <math>w\in\mathbb{R}</math>, entonces <math>\left|Z^{w}\right|=\left|Z\right|^{w}</math>.'''<br />
<br />
<br />
'''Solución.'''<br />
<br />
<br />
Sea <math>z^{w}=r^{w}\exp\left(iw\theta\right)</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<br />
<center><math>\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|<br />
</math></center> <br />
<br />
pues <br />
<br />
<center><math> r=\left|z\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
como<br />
<br />
<center><math> \left|\exp\left(i\theta\right)\right|=\sqrt{cos^{2}\theta+sen^{2}\theta}=1<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio <math>\gamma=w\theta\!</math> obtenemos que<br />
<br />
<br />
<center><math>\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left|\exp\left(i\gamma\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left(1\right)=\left|z\right|^{w}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Pues <math>w\in\mathbb{R}</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 02:23 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4. Exhiba <math> z, w \in \mbox{C} </math> para las cuales no se cumpla <math>\big |<br />
z^w\big |<br />
= \big |<br />
z\big |<br />
^{\big |<br />
w\big |}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
Sean <math>z, w \in \mbox{C} </math> de la forma <math>w = a + ib </math> <math>z = x + iy</math> <br />
<br />
como <math>\big |w\big | \in \mbox{R}</math> se cumple <math>\big |z\big |^{\big |w\big |} = \big |{z^{\big |w\big |}}\big |</math><br />
<br />
desarrollamos: <math>\big |<br />
z^w\big |<br />
= \big |{z^{\big |w\big |}}\big |</math><br />
<br />
<math>e^{w(log\big |z\big | + i argz)} = e^{\big |w\big |(log\big |z\big | + i argz)}</math><br />
<br />
<math>\Longleftrightarrow <br />
</math> <math>\qquad w(log\big |z\big | + i argz) = \big |w\big |(log\big |z\big | + i argz)</math><br />
<br />
<math> \Rightarrow w = \big |w\big |</math><br />
<br />
Esta igualdad se cumple para <math> w = a + ib </math> con <math> b = 0 </math><br />
<br />
por lo tanto <math>\big |<br />
z^w\big |<br />
= \big |<br />
z\big |<br />
^{\big |<br />
w\big |}<br />
</math> no se cumple para <math> w = a + ib </math> con <math>b \ne 0</math>--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 20:22 12 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
== '''SECCION 1.3.4''' ==<br />
<br />
<br />
<br />
'''1. Pruebe la identidad <math>\ {cosh t= cos(it)}</math>.'''<br />
<br />
<br />
Sabemos que <br />
<br />
<br />
<math>cos t={ \frac{e^{it}+e^{-it}}{2}}</math><br />
<br />
<br />
<math>cosh t={ \frac{e^{t}+e^{-t}}{2}}</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<br />
<math>cos (it)={ \frac{e^{i(it)}+e^{-i(it)}}{2}}=\frac{1}{2}(e^{-t}+e^{t})=\frac{1}{2}(e^{t}+e^{-t})=cosh t</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore </math><br />
<br />
<br />
<math>\ {cosh t= cos(it)}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:16 10 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''3. Pruebe el tercer inciso de la Proposición 1.3.9.'''<br />
<br />
<br />
Dadas <math>\ z,w \in C</math>, se cumple la siguiente igualdad<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ {cos(z+w)=cosz {cosw}-senz {senw}}</math>.<br />
<br />
<br />
Sabemos que<br />
<br />
<br />
<math>cos z={ \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}</math><br />
<br />
<br />
<math>sen z={ \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<br />
<math>cosz {cosw}-senz {senw}={ \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\cdot {\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}}-{\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\cdot {\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\frac{1}{4}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}+e^{i(z-w)}+e^{-i(z-w)}\right ]+\frac{1}{4}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}-e^{i(z-w)}-e^{-i(z-w)}\right ]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\frac{1}{2}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}\right ]=cos(z+w)</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore </math><br />
<br />
<math>\ {cos(z+w)=cosz {cosw}-senz {senw}}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:18 10 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
KARLA: yo hago los dos ejercicios que faltan en esta sección, creo que son el 2 y 4, es asi? atte. Gaby Durán<br />
por cierto no he asistido a clase por problemas familiares, pero estoy trabajando.<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 19:21 7 nov 2009 (UTC)Karla<br />
<br />
----<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.3&diff=11204
Compleja:ej-cap1.3
2009-11-27T04:01:38Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>== '''SECCION 1.3.1''' ==<br />
<br />
<br />
'''1. Sea <math>A= \left \{ z \in C\mid 0<Rez<2,-\frac{\pi }{2}<Imz<\frac{\pi }{2}\right \}</math>. ¿Cuál es la imagen de A bajo la exponencial?.''' <br />
<br />
<br />
La imagen de la recta horizontal <math>Imz=\frac{\pi }{2}</math> bajo esta función <br />
<br />
<br />
es la semilinea que surge del origen con argumento <math>\frac{\pi }{2}</math>,<br />
<br />
<br />
entonces lo que pasa por el punto<br />
<br />
<br />
<br />
<math>e^\left(i\frac{\pi}{2}\right)=cos{\frac{\pi}{2}}+isen{\frac{\pi}{2}}=i</math><br />
<br />
<br />
<br />
De igual forma para <math>Imz=-\frac{\pi }{2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>e^\left(-i\frac{\pi}{2}\right)=cos{\frac{\pi}{2}}-isen{\frac{\pi}{2}}=-i</math><br />
<br />
<br />
<br />
Por otra parte tenemos <math>2\in Re</math>, entonces la linea vertical <math>\ Rez=2</math><br />
<br />
<br />
se transforma en el circulo de radio<br />
<br />
<br />
<br />
<math>e^2\thickapprox 7.4</math><br />
<br />
<br />
<br />
De igual forma para <math>\ Rez=0</math>, se transforma en el circulo de radio<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 03:11 22 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.- Exprese <math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)</math>, en la forma <math>x+iy</math>.'''<br />
<br />
por propiedades de la exponencial sabemos que:<br />
<br />
<math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right) =e^4 e^\left(i\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
<br />
y que <math>e^\left(i\frac{\pi}{6}\right)=cos{\frac{\pi}{6}}+isen{\frac{\pi}{6}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
entonces la exprecion completa seria:<br />
<br />
<math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)=e^4\left(cos{\frac{\pi}{6}}+isen{\frac{\pi}{6}}\right)</math><br />
<br />
<math>=e^4cos{\frac{\pi}{6}}+ie^4sen{\frac{\pi}{6}}</math><br />
<br />
<br />
<math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)=54.59+i0.498</math>.<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 18:19 17 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''4.-Demuestre que bajo la accion de la función exponencial, dos líneas horizontales, símetricas con respecto al eje <math>x</math>, se transforman en dos semirrectas por el origen que son conjugadas una de otra.'''<br />
<br />
<br />
'''Solución.'''<br />
<br />
Basta con demostrar que <br />
<br />
<center><math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right)</math></center><br />
<br />
Sea <br />
<br />
<center><math>\exp\left(iy\right)=cosy+iseny<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si tomamos el conjugado de la última expresión tenemos que:<br />
<br />
<center><math>\exp\left(iy\right)=cosy+iseny</math></center><br />
<br />
<center><math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\overline{cosy+iseny}=cosy-iseny=cos\left(-y\right)+isen\left(-y\right)=\exp\left(-iy\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Debemos tener en cuenta que <math>Im z = y \!</math> es un punto y que para tener una recta o un segmento de ella debemos incluir <math>\! Re z = x</math>.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 04:12 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== '''SECCION 1.3.2''' ==<br />
<br />
=='''SECCION 1.3.3'''==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''1.Calcule todos los valores ''' <math>(1-i)^{4-2i}</math> <math> i^w</math> <math>z^i</math><br />
<br />
recordando<br />
<br />
<math>lnab=lna+lnb</math> , <math>lna^b=blna</math> y <math>e^{lna}=a</math><br />
<br />
<math>(1-i)^{4-2i}</math> = <math>e^{ln(1-i)^{4-2i}}</math><br />
<br />
<math> e^{(4-2i)ln(1-i)}</math><br />
<br />
<math>ln(1-i)= ln\sqrt{2} -i\pi/4</math><br />
<br />
sustituyendo <math>ln(1-i)</math><br />
<br />
<math>e^{(4-2i)(1/2ln2+i(-\pi/4+2k\pi)}</math> Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos <math>2k\pi</math><br />
<br />
<math>e^{2ln2+2(-\pi/4+2k\pi)+ i4((-\pi/4+2k\pi)-ln2)}</math><br />
<br />
<math>e^{ln4+((4k-1)/2)\pi+ i(8k-1)\pi-iln2}</math><br />
<br />
<math>e^{ln4}e^{(4k-1/2)\pi}e^{i(8k)\pi}e^{-i\pi}e^{-iln2}</math><br />
<br />
donde <br />
<br />
<math>e^{i(8k)\pi}</math> y <math>e^{-i\pi}</math> valen 1 <math>k=1</math> los valores encontrados seran multiplos de <math>\pi</math><br />
<br />
<math>-4 e^{(4k-1/2)\pi}e^{-iln2}</math><br />
<br />
<math>-4 e^{((4k-1/2)\pi-iln2)}</math> donde '''k''' pertenece a los numeros naturales.<br />
<br />
ahora encontrando los valores <math> i^w</math><br />
<br />
<math> i^w = e ^{lni^{w}}</math> donde <math>lni=ln1+i\pi/2</math> Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos <math>2k\pi</math><br />
<br />
<math> e ^{w+i(\pi/2+2k\pi}</math><br />
<br />
<math>e^{iw((4k+1)/2)\pi}</math> para cualquier '''w'''<br />
<br />
finalmente calculando los valores <math>z^i</math><br />
<br />
<math>z^i= e^{ilnz}</math><br />
<br />
<math>e^{i(ln|z|+iargz)}</math><br />
<br />
<math>e^{-(argz+iln|z|}</math> para cualquier '''z'''<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 19:18 7 nov 2009 (UTC)Karla.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''3.- Demuestre que si <math>w\in\mathbb{R}</math>, entonces <math>\left|Z^{w}\right|=\left|Z\right|^{w}</math>.'''<br />
<br />
<br />
'''Solución.'''<br />
<br />
<br />
Sea <math>z^{w}=r^{w}\exp\left(iw\theta\right)</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<br />
<center><math>\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|<br />
</math></center> <br />
<br />
pues <br />
<br />
<center><math> r=\left|z\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
como<br />
<br />
<center><math> \left|\exp\left(i\theta\right)\right|=\sqrt{cos^{2}\theta+sen^{2}\theta}=1<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio <math>\gamma=w\theta\!</math> obtenemos que<br />
<br />
<br />
<center><math>\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left|\exp\left(i\gamma\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left(1\right)=\left|z\right|^{w}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Pues <math>w\in\mathbb{R}</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 02:23 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4. Exhiba <math> z, w \in \mbox{C} </math> para las cuales no se cumpla <math>\big |<br />
z^w\big |<br />
= \big |<br />
z\big |<br />
^{\big |<br />
w\big |}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
Sean <math>z, w \in \mbox{C} </math> de la forma <math>w = a + ib </math> <math>z = x + iy</math> <br />
<br />
como <math>\big |w\big | \in \mbox{R}</math> se cumple <math>\big |z\big |^{\big |w\big |} = \big |{z^{\big |w\big |}}\big |</math><br />
<br />
desarrollamos: <math>\big |<br />
z^w\big |<br />
= \big |{z^{\big |w\big |}}\big |</math><br />
<br />
<math>e^{w(log\big |z\big | + i argz)} = e^{\big |w\big |(log\big |z\big | + i argz)}</math><br />
<br />
<math>\Longleftrightarrow <br />
</math> <math>\qquad w(log\big |z\big | + i argz) = \big |w\big |(log\big |z\big | + i argz)</math><br />
<br />
<math> \Rightarrow w = \big |w\big |</math><br />
<br />
Esta igualdad se cumple para <math> w = a + ib </math> con <math> b = 0 </math><br />
<br />
por lo tanto <math>\big |<br />
z^w\big |<br />
= \big |<br />
z\big |<br />
^{\big |<br />
w\big |}<br />
</math> no se cumple para <math> w = a + ib </math> con <math>b \ne 0</math>--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 20:22 12 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
== '''SECCION 1.3.4''' ==<br />
<br />
<br />
<br />
'''1. Pruebe la identidad <math>\ {cosh t= cos(it)}</math>.'''<br />
<br />
<br />
Sabemos que <br />
<br />
<br />
<math>cos t={ \frac{e^{it}+e^{-it}}{2}}</math><br />
<br />
<br />
<math>cosh t={ \frac{e^{t}+e^{-t}}{2}}</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<br />
<math>cos (it)={ \frac{e^{i(it)}+e^{-i(it)}}{2}}=\frac{1}{2}(e^{-t}+e^{t})=\frac{1}{2}(e^{t}+e^{-t})=cosh t</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore </math><br />
<br />
<br />
<math>\ {cosh t= cos(it)}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:16 10 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''3. Pruebe el tercer inciso de la Proposición 1.3.9.'''<br />
<br />
<br />
Dadas <math>\ z,w \in C</math>, se cumple la siguiente igualdad<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ {cos(z+w)=cosz {cosw}-senz {senw}}</math>.<br />
<br />
<br />
Sabemos que<br />
<br />
<br />
<math>cos z={ \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}</math><br />
<br />
<br />
<math>sen z={ \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<br />
<math>cosz {cosw}-senz {senw}={ \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\cdot {\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}}-{\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\cdot {\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\frac{1}{4}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}+e^{i(z-w)}+e^{-i(z-w)}\right ]+\frac{1}{4}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}-e^{i(z-w)}-e^{-i(z-w)}\right ]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\frac{1}{2}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}\right ]=cos(z+w)</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore </math><br />
<br />
<math>\ {cos(z+w)=cosz {cosw}-senz {senw}}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:18 10 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
KARLA: yo hago los dos ejercicios que faltan en esta sección, creo que son el 2 y 4, es asi? atte. Gaby Durán<br />
por cierto no he asistido a clase por problemas familiares, pero estoy trabajando.<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 19:21 7 nov 2009 (UTC)Karla<br />
<br />
----<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.3&diff=11203
Compleja:ej-cap1.3
2009-11-27T04:00:34Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>== '''SECCION 1.3.1''' ==<br />
<br />
<br />
'''1. Sea <math>A= \left \{ z \in C\mid 0<Rez<2,-\frac{\pi }{2}<Imz<\frac{\pi }{2}\right \}</math>. ¿Cuál es la imagen de A bajo la exponencial?.''' <br />
<br />
<br />
La imagen de la recta horizontal <math>Imz=\frac{\pi }{2}</math> bajo esta función <br />
<br />
<br />
es la semilinea que surge del origen con argumento <math>\frac{\pi }{2}</math>,<br />
<br />
<br />
entonces lo que pasa por el punto<br />
<br />
<br />
<br />
<math>e^\left(i\frac{\pi}{2}\right)=cos{\frac{\pi}{2}}+isen{\frac{\pi}{2}}=i</math><br />
<br />
<br />
<br />
De igual forma para <math>Imz=-\frac{\pi }{2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>e^\left(-i\frac{\pi}{2}\right)=cos{\frac{\pi}{2}}-isen{\frac{\pi}{2}}=-i</math><br />
<br />
<br />
<br />
Por otra parte tenemos <math>2\in Re</math>, entonces la linea vertical <math>\ Rez=2</math><br />
<br />
<br />
se transforma en el circulo de radio<br />
<br />
<br />
<br />
<math>e^2\thickapprox 7.4</math><br />
<br />
<br />
<br />
De igual forma para <math>\ Rez=0</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 03:11 22 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.- Exprese <math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)</math>, en la forma <math>x+iy</math>.'''<br />
<br />
por propiedades de la exponencial sabemos que:<br />
<br />
<math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right) =e^4 e^\left(i\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
<br />
y que <math>e^\left(i\frac{\pi}{6}\right)=cos{\frac{\pi}{6}}+isen{\frac{\pi}{6}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
entonces la exprecion completa seria:<br />
<br />
<math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)=e^4\left(cos{\frac{\pi}{6}}+isen{\frac{\pi}{6}}\right)</math><br />
<br />
<math>=e^4cos{\frac{\pi}{6}}+ie^4sen{\frac{\pi}{6}}</math><br />
<br />
<br />
<math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)=54.59+i0.498</math>.<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 18:19 17 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''4.-Demuestre que bajo la accion de la función exponencial, dos líneas horizontales, símetricas con respecto al eje <math>x</math>, se transforman en dos semirrectas por el origen que son conjugadas una de otra.'''<br />
<br />
<br />
'''Solución.'''<br />
<br />
Basta con demostrar que <br />
<br />
<center><math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right)</math></center><br />
<br />
Sea <br />
<br />
<center><math>\exp\left(iy\right)=cosy+iseny<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si tomamos el conjugado de la última expresión tenemos que:<br />
<br />
<center><math>\exp\left(iy\right)=cosy+iseny</math></center><br />
<br />
<center><math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\overline{cosy+iseny}=cosy-iseny=cos\left(-y\right)+isen\left(-y\right)=\exp\left(-iy\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Debemos tener en cuenta que <math>Im z = y \!</math> es un punto y que para tener una recta o un segmento de ella debemos incluir <math>\! Re z = x</math>.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 04:12 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== '''SECCION 1.3.2''' ==<br />
<br />
=='''SECCION 1.3.3'''==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''1.Calcule todos los valores ''' <math>(1-i)^{4-2i}</math> <math> i^w</math> <math>z^i</math><br />
<br />
recordando<br />
<br />
<math>lnab=lna+lnb</math> , <math>lna^b=blna</math> y <math>e^{lna}=a</math><br />
<br />
<math>(1-i)^{4-2i}</math> = <math>e^{ln(1-i)^{4-2i}}</math><br />
<br />
<math> e^{(4-2i)ln(1-i)}</math><br />
<br />
<math>ln(1-i)= ln\sqrt{2} -i\pi/4</math><br />
<br />
sustituyendo <math>ln(1-i)</math><br />
<br />
<math>e^{(4-2i)(1/2ln2+i(-\pi/4+2k\pi)}</math> Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos <math>2k\pi</math><br />
<br />
<math>e^{2ln2+2(-\pi/4+2k\pi)+ i4((-\pi/4+2k\pi)-ln2)}</math><br />
<br />
<math>e^{ln4+((4k-1)/2)\pi+ i(8k-1)\pi-iln2}</math><br />
<br />
<math>e^{ln4}e^{(4k-1/2)\pi}e^{i(8k)\pi}e^{-i\pi}e^{-iln2}</math><br />
<br />
donde <br />
<br />
<math>e^{i(8k)\pi}</math> y <math>e^{-i\pi}</math> valen 1 <math>k=1</math> los valores encontrados seran multiplos de <math>\pi</math><br />
<br />
<math>-4 e^{(4k-1/2)\pi}e^{-iln2}</math><br />
<br />
<math>-4 e^{((4k-1/2)\pi-iln2)}</math> donde '''k''' pertenece a los numeros naturales.<br />
<br />
ahora encontrando los valores <math> i^w</math><br />
<br />
<math> i^w = e ^{lni^{w}}</math> donde <math>lni=ln1+i\pi/2</math> Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos <math>2k\pi</math><br />
<br />
<math> e ^{w+i(\pi/2+2k\pi}</math><br />
<br />
<math>e^{iw((4k+1)/2)\pi}</math> para cualquier '''w'''<br />
<br />
finalmente calculando los valores <math>z^i</math><br />
<br />
<math>z^i= e^{ilnz}</math><br />
<br />
<math>e^{i(ln|z|+iargz)}</math><br />
<br />
<math>e^{-(argz+iln|z|}</math> para cualquier '''z'''<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 19:18 7 nov 2009 (UTC)Karla.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''3.- Demuestre que si <math>w\in\mathbb{R}</math>, entonces <math>\left|Z^{w}\right|=\left|Z\right|^{w}</math>.'''<br />
<br />
<br />
'''Solución.'''<br />
<br />
<br />
Sea <math>z^{w}=r^{w}\exp\left(iw\theta\right)</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<br />
<center><math>\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|<br />
</math></center> <br />
<br />
pues <br />
<br />
<center><math> r=\left|z\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
como<br />
<br />
<center><math> \left|\exp\left(i\theta\right)\right|=\sqrt{cos^{2}\theta+sen^{2}\theta}=1<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio <math>\gamma=w\theta\!</math> obtenemos que<br />
<br />
<br />
<center><math>\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left|\exp\left(i\gamma\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left(1\right)=\left|z\right|^{w}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Pues <math>w\in\mathbb{R}</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 02:23 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4. Exhiba <math> z, w \in \mbox{C} </math> para las cuales no se cumpla <math>\big |<br />
z^w\big |<br />
= \big |<br />
z\big |<br />
^{\big |<br />
w\big |}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
Sean <math>z, w \in \mbox{C} </math> de la forma <math>w = a + ib </math> <math>z = x + iy</math> <br />
<br />
como <math>\big |w\big | \in \mbox{R}</math> se cumple <math>\big |z\big |^{\big |w\big |} = \big |{z^{\big |w\big |}}\big |</math><br />
<br />
desarrollamos: <math>\big |<br />
z^w\big |<br />
= \big |{z^{\big |w\big |}}\big |</math><br />
<br />
<math>e^{w(log\big |z\big | + i argz)} = e^{\big |w\big |(log\big |z\big | + i argz)}</math><br />
<br />
<math>\Longleftrightarrow <br />
</math> <math>\qquad w(log\big |z\big | + i argz) = \big |w\big |(log\big |z\big | + i argz)</math><br />
<br />
<math> \Rightarrow w = \big |w\big |</math><br />
<br />
Esta igualdad se cumple para <math> w = a + ib </math> con <math> b = 0 </math><br />
<br />
por lo tanto <math>\big |<br />
z^w\big |<br />
= \big |<br />
z\big |<br />
^{\big |<br />
w\big |}<br />
</math> no se cumple para <math> w = a + ib </math> con <math>b \ne 0</math>--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 20:22 12 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
== '''SECCION 1.3.4''' ==<br />
<br />
<br />
<br />
'''1. Pruebe la identidad <math>\ {cosh t= cos(it)}</math>.'''<br />
<br />
<br />
Sabemos que <br />
<br />
<br />
<math>cos t={ \frac{e^{it}+e^{-it}}{2}}</math><br />
<br />
<br />
<math>cosh t={ \frac{e^{t}+e^{-t}}{2}}</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<br />
<math>cos (it)={ \frac{e^{i(it)}+e^{-i(it)}}{2}}=\frac{1}{2}(e^{-t}+e^{t})=\frac{1}{2}(e^{t}+e^{-t})=cosh t</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore </math><br />
<br />
<br />
<math>\ {cosh t= cos(it)}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:16 10 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''3. Pruebe el tercer inciso de la Proposición 1.3.9.'''<br />
<br />
<br />
Dadas <math>\ z,w \in C</math>, se cumple la siguiente igualdad<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ {cos(z+w)=cosz {cosw}-senz {senw}}</math>.<br />
<br />
<br />
Sabemos que<br />
<br />
<br />
<math>cos z={ \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}</math><br />
<br />
<br />
<math>sen z={ \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<br />
<math>cosz {cosw}-senz {senw}={ \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\cdot {\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}}-{\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\cdot {\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\frac{1}{4}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}+e^{i(z-w)}+e^{-i(z-w)}\right ]+\frac{1}{4}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}-e^{i(z-w)}-e^{-i(z-w)}\right ]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\frac{1}{2}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}\right ]=cos(z+w)</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore </math><br />
<br />
<math>\ {cos(z+w)=cosz {cosw}-senz {senw}}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:18 10 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
KARLA: yo hago los dos ejercicios que faltan en esta sección, creo que son el 2 y 4, es asi? atte. Gaby Durán<br />
por cierto no he asistido a clase por problemas familiares, pero estoy trabajando.<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 19:21 7 nov 2009 (UTC)Karla<br />
<br />
----<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.3&diff=11202
Compleja:ej-cap1.3
2009-11-27T03:59:06Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>== '''SECCION 1.3.1''' ==<br />
<br />
<br />
'''1. Sea <math>A= \left \{ z \in C\mid 0<Rez<2,-\frac{\pi }{2}<Imz<\frac{\pi }{2}\right \}</math>. ¿Cuál es la imagen de A bajo la exponencial?.''' <br />
<br />
<br />
La imagen de la recta horizontal <math>Imz=\frac{\pi }{2}</math> bajo esta función <br />
<br />
<br />
es la semilinea que surge del origen con argumento <math>\frac{\pi }{2}</math>,<br />
<br />
<br />
entonces lo que pasa por el punto<br />
<br />
<br />
<br />
<math>e^\left(i\frac{\pi}{2}\right)=cos{\frac{\pi}{2}}+isen{\frac{\pi}{2}}=i</math><br />
<br />
<br />
<br />
De igual forma para <math>Imz=-\frac{\pi }{2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>e^\left(-i\frac{\pi}{2}\right)=cos{\frac{\pi}{2}}-isen{\frac{\pi}{2}}=-i</math><br />
<br />
<br />
<br />
Por otra parte tenemos <math>2\in Re</math>, entonces la linea vertical <math>\ Rez=2</math><br />
<br />
<br />
se transforma en el circulo de radio<br />
<br />
<br />
<br />
<math>e^2\thickapprox 7.4</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 03:11 22 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.- Exprese <math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)</math>, en la forma <math>x+iy</math>.'''<br />
<br />
por propiedades de la exponencial sabemos que:<br />
<br />
<math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right) =e^4 e^\left(i\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
<br />
y que <math>e^\left(i\frac{\pi}{6}\right)=cos{\frac{\pi}{6}}+isen{\frac{\pi}{6}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
entonces la exprecion completa seria:<br />
<br />
<math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)=e^4\left(cos{\frac{\pi}{6}}+isen{\frac{\pi}{6}}\right)</math><br />
<br />
<math>=e^4cos{\frac{\pi}{6}}+ie^4sen{\frac{\pi}{6}}</math><br />
<br />
<br />
<math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)=54.59+i0.498</math>.<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 18:19 17 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''4.-Demuestre que bajo la accion de la función exponencial, dos líneas horizontales, símetricas con respecto al eje <math>x</math>, se transforman en dos semirrectas por el origen que son conjugadas una de otra.'''<br />
<br />
<br />
'''Solución.'''<br />
<br />
Basta con demostrar que <br />
<br />
<center><math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right)</math></center><br />
<br />
Sea <br />
<br />
<center><math>\exp\left(iy\right)=cosy+iseny<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si tomamos el conjugado de la última expresión tenemos que:<br />
<br />
<center><math>\exp\left(iy\right)=cosy+iseny</math></center><br />
<br />
<center><math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\overline{cosy+iseny}=cosy-iseny=cos\left(-y\right)+isen\left(-y\right)=\exp\left(-iy\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Debemos tener en cuenta que <math>Im z = y \!</math> es un punto y que para tener una recta o un segmento de ella debemos incluir <math>\! Re z = x</math>.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 04:12 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== '''SECCION 1.3.2''' ==<br />
<br />
=='''SECCION 1.3.3'''==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''1.Calcule todos los valores ''' <math>(1-i)^{4-2i}</math> <math> i^w</math> <math>z^i</math><br />
<br />
recordando<br />
<br />
<math>lnab=lna+lnb</math> , <math>lna^b=blna</math> y <math>e^{lna}=a</math><br />
<br />
<math>(1-i)^{4-2i}</math> = <math>e^{ln(1-i)^{4-2i}}</math><br />
<br />
<math> e^{(4-2i)ln(1-i)}</math><br />
<br />
<math>ln(1-i)= ln\sqrt{2} -i\pi/4</math><br />
<br />
sustituyendo <math>ln(1-i)</math><br />
<br />
<math>e^{(4-2i)(1/2ln2+i(-\pi/4+2k\pi)}</math> Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos <math>2k\pi</math><br />
<br />
<math>e^{2ln2+2(-\pi/4+2k\pi)+ i4((-\pi/4+2k\pi)-ln2)}</math><br />
<br />
<math>e^{ln4+((4k-1)/2)\pi+ i(8k-1)\pi-iln2}</math><br />
<br />
<math>e^{ln4}e^{(4k-1/2)\pi}e^{i(8k)\pi}e^{-i\pi}e^{-iln2}</math><br />
<br />
donde <br />
<br />
<math>e^{i(8k)\pi}</math> y <math>e^{-i\pi}</math> valen 1 <math>k=1</math> los valores encontrados seran multiplos de <math>\pi</math><br />
<br />
<math>-4 e^{(4k-1/2)\pi}e^{-iln2}</math><br />
<br />
<math>-4 e^{((4k-1/2)\pi-iln2)}</math> donde '''k''' pertenece a los numeros naturales.<br />
<br />
ahora encontrando los valores <math> i^w</math><br />
<br />
<math> i^w = e ^{lni^{w}}</math> donde <math>lni=ln1+i\pi/2</math> Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos <math>2k\pi</math><br />
<br />
<math> e ^{w+i(\pi/2+2k\pi}</math><br />
<br />
<math>e^{iw((4k+1)/2)\pi}</math> para cualquier '''w'''<br />
<br />
finalmente calculando los valores <math>z^i</math><br />
<br />
<math>z^i= e^{ilnz}</math><br />
<br />
<math>e^{i(ln|z|+iargz)}</math><br />
<br />
<math>e^{-(argz+iln|z|}</math> para cualquier '''z'''<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 19:18 7 nov 2009 (UTC)Karla.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''3.- Demuestre que si <math>w\in\mathbb{R}</math>, entonces <math>\left|Z^{w}\right|=\left|Z\right|^{w}</math>.'''<br />
<br />
<br />
'''Solución.'''<br />
<br />
<br />
Sea <math>z^{w}=r^{w}\exp\left(iw\theta\right)</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<br />
<center><math>\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|<br />
</math></center> <br />
<br />
pues <br />
<br />
<center><math> r=\left|z\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
como<br />
<br />
<center><math> \left|\exp\left(i\theta\right)\right|=\sqrt{cos^{2}\theta+sen^{2}\theta}=1<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio <math>\gamma=w\theta\!</math> obtenemos que<br />
<br />
<br />
<center><math>\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left|\exp\left(i\gamma\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left(1\right)=\left|z\right|^{w}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Pues <math>w\in\mathbb{R}</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 02:23 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4. Exhiba <math> z, w \in \mbox{C} </math> para las cuales no se cumpla <math>\big |<br />
z^w\big |<br />
= \big |<br />
z\big |<br />
^{\big |<br />
w\big |}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
Sean <math>z, w \in \mbox{C} </math> de la forma <math>w = a + ib </math> <math>z = x + iy</math> <br />
<br />
como <math>\big |w\big | \in \mbox{R}</math> se cumple <math>\big |z\big |^{\big |w\big |} = \big |{z^{\big |w\big |}}\big |</math><br />
<br />
desarrollamos: <math>\big |<br />
z^w\big |<br />
= \big |{z^{\big |w\big |}}\big |</math><br />
<br />
<math>e^{w(log\big |z\big | + i argz)} = e^{\big |w\big |(log\big |z\big | + i argz)}</math><br />
<br />
<math>\Longleftrightarrow <br />
</math> <math>\qquad w(log\big |z\big | + i argz) = \big |w\big |(log\big |z\big | + i argz)</math><br />
<br />
<math> \Rightarrow w = \big |w\big |</math><br />
<br />
Esta igualdad se cumple para <math> w = a + ib </math> con <math> b = 0 </math><br />
<br />
por lo tanto <math>\big |<br />
z^w\big |<br />
= \big |<br />
z\big |<br />
^{\big |<br />
w\big |}<br />
</math> no se cumple para <math> w = a + ib </math> con <math>b \ne 0</math>--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 20:22 12 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
== '''SECCION 1.3.4''' ==<br />
<br />
<br />
<br />
'''1. Pruebe la identidad <math>\ {cosh t= cos(it)}</math>.'''<br />
<br />
<br />
Sabemos que <br />
<br />
<br />
<math>cos t={ \frac{e^{it}+e^{-it}}{2}}</math><br />
<br />
<br />
<math>cosh t={ \frac{e^{t}+e^{-t}}{2}}</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<br />
<math>cos (it)={ \frac{e^{i(it)}+e^{-i(it)}}{2}}=\frac{1}{2}(e^{-t}+e^{t})=\frac{1}{2}(e^{t}+e^{-t})=cosh t</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore </math><br />
<br />
<br />
<math>\ {cosh t= cos(it)}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:16 10 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''3. Pruebe el tercer inciso de la Proposición 1.3.9.'''<br />
<br />
<br />
Dadas <math>\ z,w \in C</math>, se cumple la siguiente igualdad<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ {cos(z+w)=cosz {cosw}-senz {senw}}</math>.<br />
<br />
<br />
Sabemos que<br />
<br />
<br />
<math>cos z={ \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}</math><br />
<br />
<br />
<math>sen z={ \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<br />
<math>cosz {cosw}-senz {senw}={ \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\cdot {\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}}-{\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\cdot {\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\frac{1}{4}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}+e^{i(z-w)}+e^{-i(z-w)}\right ]+\frac{1}{4}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}-e^{i(z-w)}-e^{-i(z-w)}\right ]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\frac{1}{2}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}\right ]=cos(z+w)</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore </math><br />
<br />
<math>\ {cos(z+w)=cosz {cosw}-senz {senw}}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:18 10 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
KARLA: yo hago los dos ejercicios que faltan en esta sección, creo que son el 2 y 4, es asi? atte. Gaby Durán<br />
por cierto no he asistido a clase por problemas familiares, pero estoy trabajando.<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 19:21 7 nov 2009 (UTC)Karla<br />
<br />
----<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.3&diff=11199
Compleja:ej-cap1.3
2009-11-27T03:55:59Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>== '''SECCION 1.3.1''' ==<br />
<br />
<br />
'''1. Sea <math>A= \left \{ z \in C\mid 0<Rez<2,-\frac{\pi }{2}<Imz<\frac{\pi }{2}\right \}</math>. ¿Cuál es la imagen de A bajo la exponencial?.''' <br />
<br />
<br />
La imagen de la recta horizontal <math>Imz=\frac{\pi }{2}</math> bajo esta función <br />
<br />
<br />
es la semilinea que surge del origen con argumento <math>\frac{\pi }{2}</math>,<br />
<br />
<br />
entonces lo que pasa por el punto<br />
<br />
<br />
<br />
<math>e^\left(i\frac{\pi}{2}\right)=cos{\frac{\pi}{2}}+isen{\frac{\pi}{2}}=i</math><br />
<br />
<br />
<br />
De igual forma para <math>Imz=-\frac{\pi }{2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>e^\left(-i\frac{\pi}{2}\right)=cos{\frac{\pi}{2}}-isen{\frac{\pi}{2}}=-i</math><br />
<br />
<br />
<br />
Por otra parte tenemos <math>2\in Re</math>, entonces la linea vertical <math>\ Rez=2</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 03:11 22 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.- Exprese <math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)</math>, en la forma <math>x+iy</math>.'''<br />
<br />
por propiedades de la exponencial sabemos que:<br />
<br />
<math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right) =e^4 e^\left(i\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
<br />
y que <math>e^\left(i\frac{\pi}{6}\right)=cos{\frac{\pi}{6}}+isen{\frac{\pi}{6}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
entonces la exprecion completa seria:<br />
<br />
<math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)=e^4\left(cos{\frac{\pi}{6}}+isen{\frac{\pi}{6}}\right)</math><br />
<br />
<math>=e^4cos{\frac{\pi}{6}}+ie^4sen{\frac{\pi}{6}}</math><br />
<br />
<br />
<math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)=54.59+i0.498</math>.<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 18:19 17 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''4.-Demuestre que bajo la accion de la función exponencial, dos líneas horizontales, símetricas con respecto al eje <math>x</math>, se transforman en dos semirrectas por el origen que son conjugadas una de otra.'''<br />
<br />
<br />
'''Solución.'''<br />
<br />
Basta con demostrar que <br />
<br />
<center><math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right)</math></center><br />
<br />
Sea <br />
<br />
<center><math>\exp\left(iy\right)=cosy+iseny<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si tomamos el conjugado de la última expresión tenemos que:<br />
<br />
<center><math>\exp\left(iy\right)=cosy+iseny</math></center><br />
<br />
<center><math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\overline{cosy+iseny}=cosy-iseny=cos\left(-y\right)+isen\left(-y\right)=\exp\left(-iy\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Debemos tener en cuenta que <math>Im z = y \!</math> es un punto y que para tener una recta o un segmento de ella debemos incluir <math>\! Re z = x</math>.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 04:12 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== '''SECCION 1.3.2''' ==<br />
<br />
=='''SECCION 1.3.3'''==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''1.Calcule todos los valores ''' <math>(1-i)^{4-2i}</math> <math> i^w</math> <math>z^i</math><br />
<br />
recordando<br />
<br />
<math>lnab=lna+lnb</math> , <math>lna^b=blna</math> y <math>e^{lna}=a</math><br />
<br />
<math>(1-i)^{4-2i}</math> = <math>e^{ln(1-i)^{4-2i}}</math><br />
<br />
<math> e^{(4-2i)ln(1-i)}</math><br />
<br />
<math>ln(1-i)= ln\sqrt{2} -i\pi/4</math><br />
<br />
sustituyendo <math>ln(1-i)</math><br />
<br />
<math>e^{(4-2i)(1/2ln2+i(-\pi/4+2k\pi)}</math> Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos <math>2k\pi</math><br />
<br />
<math>e^{2ln2+2(-\pi/4+2k\pi)+ i4((-\pi/4+2k\pi)-ln2)}</math><br />
<br />
<math>e^{ln4+((4k-1)/2)\pi+ i(8k-1)\pi-iln2}</math><br />
<br />
<math>e^{ln4}e^{(4k-1/2)\pi}e^{i(8k)\pi}e^{-i\pi}e^{-iln2}</math><br />
<br />
donde <br />
<br />
<math>e^{i(8k)\pi}</math> y <math>e^{-i\pi}</math> valen 1 <math>k=1</math> los valores encontrados seran multiplos de <math>\pi</math><br />
<br />
<math>-4 e^{(4k-1/2)\pi}e^{-iln2}</math><br />
<br />
<math>-4 e^{((4k-1/2)\pi-iln2)}</math> donde '''k''' pertenece a los numeros naturales.<br />
<br />
ahora encontrando los valores <math> i^w</math><br />
<br />
<math> i^w = e ^{lni^{w}}</math> donde <math>lni=ln1+i\pi/2</math> Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos <math>2k\pi</math><br />
<br />
<math> e ^{w+i(\pi/2+2k\pi}</math><br />
<br />
<math>e^{iw((4k+1)/2)\pi}</math> para cualquier '''w'''<br />
<br />
finalmente calculando los valores <math>z^i</math><br />
<br />
<math>z^i= e^{ilnz}</math><br />
<br />
<math>e^{i(ln|z|+iargz)}</math><br />
<br />
<math>e^{-(argz+iln|z|}</math> para cualquier '''z'''<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 19:18 7 nov 2009 (UTC)Karla.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''3.- Demuestre que si <math>w\in\mathbb{R}</math>, entonces <math>\left|Z^{w}\right|=\left|Z\right|^{w}</math>.'''<br />
<br />
<br />
'''Solución.'''<br />
<br />
<br />
Sea <math>z^{w}=r^{w}\exp\left(iw\theta\right)</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<br />
<center><math>\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|<br />
</math></center> <br />
<br />
pues <br />
<br />
<center><math> r=\left|z\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
como<br />
<br />
<center><math> \left|\exp\left(i\theta\right)\right|=\sqrt{cos^{2}\theta+sen^{2}\theta}=1<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio <math>\gamma=w\theta\!</math> obtenemos que<br />
<br />
<br />
<center><math>\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left|\exp\left(i\gamma\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left(1\right)=\left|z\right|^{w}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Pues <math>w\in\mathbb{R}</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 02:23 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4. Exhiba <math> z, w \in \mbox{C} </math> para las cuales no se cumpla <math>\big |<br />
z^w\big |<br />
= \big |<br />
z\big |<br />
^{\big |<br />
w\big |}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
Sean <math>z, w \in \mbox{C} </math> de la forma <math>w = a + ib </math> <math>z = x + iy</math> <br />
<br />
como <math>\big |w\big | \in \mbox{R}</math> se cumple <math>\big |z\big |^{\big |w\big |} = \big |{z^{\big |w\big |}}\big |</math><br />
<br />
desarrollamos: <math>\big |<br />
z^w\big |<br />
= \big |{z^{\big |w\big |}}\big |</math><br />
<br />
<math>e^{w(log\big |z\big | + i argz)} = e^{\big |w\big |(log\big |z\big | + i argz)}</math><br />
<br />
<math>\Longleftrightarrow <br />
</math> <math>\qquad w(log\big |z\big | + i argz) = \big |w\big |(log\big |z\big | + i argz)</math><br />
<br />
<math> \Rightarrow w = \big |w\big |</math><br />
<br />
Esta igualdad se cumple para <math> w = a + ib </math> con <math> b = 0 </math><br />
<br />
por lo tanto <math>\big |<br />
z^w\big |<br />
= \big |<br />
z\big |<br />
^{\big |<br />
w\big |}<br />
</math> no se cumple para <math> w = a + ib </math> con <math>b \ne 0</math>--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 20:22 12 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
== '''SECCION 1.3.4''' ==<br />
<br />
<br />
<br />
'''1. Pruebe la identidad <math>\ {cosh t= cos(it)}</math>.'''<br />
<br />
<br />
Sabemos que <br />
<br />
<br />
<math>cos t={ \frac{e^{it}+e^{-it}}{2}}</math><br />
<br />
<br />
<math>cosh t={ \frac{e^{t}+e^{-t}}{2}}</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<br />
<math>cos (it)={ \frac{e^{i(it)}+e^{-i(it)}}{2}}=\frac{1}{2}(e^{-t}+e^{t})=\frac{1}{2}(e^{t}+e^{-t})=cosh t</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore </math><br />
<br />
<br />
<math>\ {cosh t= cos(it)}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:16 10 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''3. Pruebe el tercer inciso de la Proposición 1.3.9.'''<br />
<br />
<br />
Dadas <math>\ z,w \in C</math>, se cumple la siguiente igualdad<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ {cos(z+w)=cosz {cosw}-senz {senw}}</math>.<br />
<br />
<br />
Sabemos que<br />
<br />
<br />
<math>cos z={ \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}</math><br />
<br />
<br />
<math>sen z={ \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<br />
<math>cosz {cosw}-senz {senw}={ \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\cdot {\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}}-{\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\cdot {\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\frac{1}{4}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}+e^{i(z-w)}+e^{-i(z-w)}\right ]+\frac{1}{4}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}-e^{i(z-w)}-e^{-i(z-w)}\right ]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\frac{1}{2}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}\right ]=cos(z+w)</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore </math><br />
<br />
<math>\ {cos(z+w)=cosz {cosw}-senz {senw}}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:18 10 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
KARLA: yo hago los dos ejercicios que faltan en esta sección, creo que son el 2 y 4, es asi? atte. Gaby Durán<br />
por cierto no he asistido a clase por problemas familiares, pero estoy trabajando.<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 19:21 7 nov 2009 (UTC)Karla<br />
<br />
----<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.3&diff=11198
Compleja:ej-cap1.3
2009-11-27T03:52:58Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>== '''SECCION 1.3.1''' ==<br />
<br />
<br />
'''1. Sea <math>A= \left \{ z \in C\mid 0<Rez<2,-\frac{\pi }{2}<Imz<\frac{\pi }{2}\right \}</math>. ¿Cuál es la imagen de A bajo la exponencial?.''' <br />
<br />
<br />
La imagen de la recta horizontal <math>Imz=\frac{\pi }{2}</math> bajo esta función <br />
<br />
<br />
es la semilinea que surge del origen con argumento <math>\frac{\pi }{2}</math>,<br />
<br />
<br />
entonces lo que pasa por el punto<br />
<br />
<br />
<br />
<math>e^\left(i\frac{\pi}{2}\right)=cos{\frac{\pi}{2}}+isen{\frac{\pi}{2}}=i</math><br />
<br />
<br />
<br />
De igual forma para <math>Imz=-\frac{\pi }{2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>e^\left(-i\frac{\pi}{2}\right)=cos{\frac{\pi}{2}}-isen{\frac{\pi}{2}}=-i</math><br />
<br />
<br />
<br />
Por otra parte tenemos <math>2\in Re</math>, entonces la linea vertical <math>Rez=2</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 03:11 22 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.- Exprese <math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)</math>, en la forma <math>x+iy</math>.'''<br />
<br />
por propiedades de la exponencial sabemos que:<br />
<br />
<math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right) =e^4 e^\left(i\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
<br />
y que <math>e^\left(i\frac{\pi}{6}\right)=cos{\frac{\pi}{6}}+isen{\frac{\pi}{6}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
entonces la exprecion completa seria:<br />
<br />
<math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)=e^4\left(cos{\frac{\pi}{6}}+isen{\frac{\pi}{6}}\right)</math><br />
<br />
<math>=e^4cos{\frac{\pi}{6}}+ie^4sen{\frac{\pi}{6}}</math><br />
<br />
<br />
<math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)=54.59+i0.498</math>.<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 18:19 17 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''4.-Demuestre que bajo la accion de la función exponencial, dos líneas horizontales, símetricas con respecto al eje <math>x</math>, se transforman en dos semirrectas por el origen que son conjugadas una de otra.'''<br />
<br />
<br />
'''Solución.'''<br />
<br />
Basta con demostrar que <br />
<br />
<center><math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right)</math></center><br />
<br />
Sea <br />
<br />
<center><math>\exp\left(iy\right)=cosy+iseny<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si tomamos el conjugado de la última expresión tenemos que:<br />
<br />
<center><math>\exp\left(iy\right)=cosy+iseny</math></center><br />
<br />
<center><math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\overline{cosy+iseny}=cosy-iseny=cos\left(-y\right)+isen\left(-y\right)=\exp\left(-iy\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Debemos tener en cuenta que <math>Im z = y \!</math> es un punto y que para tener una recta o un segmento de ella debemos incluir <math>\! Re z = x</math>.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 04:12 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== '''SECCION 1.3.2''' ==<br />
<br />
=='''SECCION 1.3.3'''==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''1.Calcule todos los valores ''' <math>(1-i)^{4-2i}</math> <math> i^w</math> <math>z^i</math><br />
<br />
recordando<br />
<br />
<math>lnab=lna+lnb</math> , <math>lna^b=blna</math> y <math>e^{lna}=a</math><br />
<br />
<math>(1-i)^{4-2i}</math> = <math>e^{ln(1-i)^{4-2i}}</math><br />
<br />
<math> e^{(4-2i)ln(1-i)}</math><br />
<br />
<math>ln(1-i)= ln\sqrt{2} -i\pi/4</math><br />
<br />
sustituyendo <math>ln(1-i)</math><br />
<br />
<math>e^{(4-2i)(1/2ln2+i(-\pi/4+2k\pi)}</math> Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos <math>2k\pi</math><br />
<br />
<math>e^{2ln2+2(-\pi/4+2k\pi)+ i4((-\pi/4+2k\pi)-ln2)}</math><br />
<br />
<math>e^{ln4+((4k-1)/2)\pi+ i(8k-1)\pi-iln2}</math><br />
<br />
<math>e^{ln4}e^{(4k-1/2)\pi}e^{i(8k)\pi}e^{-i\pi}e^{-iln2}</math><br />
<br />
donde <br />
<br />
<math>e^{i(8k)\pi}</math> y <math>e^{-i\pi}</math> valen 1 <math>k=1</math> los valores encontrados seran multiplos de <math>\pi</math><br />
<br />
<math>-4 e^{(4k-1/2)\pi}e^{-iln2}</math><br />
<br />
<math>-4 e^{((4k-1/2)\pi-iln2)}</math> donde '''k''' pertenece a los numeros naturales.<br />
<br />
ahora encontrando los valores <math> i^w</math><br />
<br />
<math> i^w = e ^{lni^{w}}</math> donde <math>lni=ln1+i\pi/2</math> Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos <math>2k\pi</math><br />
<br />
<math> e ^{w+i(\pi/2+2k\pi}</math><br />
<br />
<math>e^{iw((4k+1)/2)\pi}</math> para cualquier '''w'''<br />
<br />
finalmente calculando los valores <math>z^i</math><br />
<br />
<math>z^i= e^{ilnz}</math><br />
<br />
<math>e^{i(ln|z|+iargz)}</math><br />
<br />
<math>e^{-(argz+iln|z|}</math> para cualquier '''z'''<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 19:18 7 nov 2009 (UTC)Karla.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''3.- Demuestre que si <math>w\in\mathbb{R}</math>, entonces <math>\left|Z^{w}\right|=\left|Z\right|^{w}</math>.'''<br />
<br />
<br />
'''Solución.'''<br />
<br />
<br />
Sea <math>z^{w}=r^{w}\exp\left(iw\theta\right)</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<br />
<center><math>\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|<br />
</math></center> <br />
<br />
pues <br />
<br />
<center><math> r=\left|z\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
como<br />
<br />
<center><math> \left|\exp\left(i\theta\right)\right|=\sqrt{cos^{2}\theta+sen^{2}\theta}=1<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio <math>\gamma=w\theta\!</math> obtenemos que<br />
<br />
<br />
<center><math>\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left|\exp\left(i\gamma\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left(1\right)=\left|z\right|^{w}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Pues <math>w\in\mathbb{R}</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 02:23 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4. Exhiba <math> z, w \in \mbox{C} </math> para las cuales no se cumpla <math>\big |<br />
z^w\big |<br />
= \big |<br />
z\big |<br />
^{\big |<br />
w\big |}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
Sean <math>z, w \in \mbox{C} </math> de la forma <math>w = a + ib </math> <math>z = x + iy</math> <br />
<br />
como <math>\big |w\big | \in \mbox{R}</math> se cumple <math>\big |z\big |^{\big |w\big |} = \big |{z^{\big |w\big |}}\big |</math><br />
<br />
desarrollamos: <math>\big |<br />
z^w\big |<br />
= \big |{z^{\big |w\big |}}\big |</math><br />
<br />
<math>e^{w(log\big |z\big | + i argz)} = e^{\big |w\big |(log\big |z\big | + i argz)}</math><br />
<br />
<math>\Longleftrightarrow <br />
</math> <math>\qquad w(log\big |z\big | + i argz) = \big |w\big |(log\big |z\big | + i argz)</math><br />
<br />
<math> \Rightarrow w = \big |w\big |</math><br />
<br />
Esta igualdad se cumple para <math> w = a + ib </math> con <math> b = 0 </math><br />
<br />
por lo tanto <math>\big |<br />
z^w\big |<br />
= \big |<br />
z\big |<br />
^{\big |<br />
w\big |}<br />
</math> no se cumple para <math> w = a + ib </math> con <math>b \ne 0</math>--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 20:22 12 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
== '''SECCION 1.3.4''' ==<br />
<br />
<br />
<br />
'''1. Pruebe la identidad <math>\ {cosh t= cos(it)}</math>.'''<br />
<br />
<br />
Sabemos que <br />
<br />
<br />
<math>cos t={ \frac{e^{it}+e^{-it}}{2}}</math><br />
<br />
<br />
<math>cosh t={ \frac{e^{t}+e^{-t}}{2}}</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<br />
<math>cos (it)={ \frac{e^{i(it)}+e^{-i(it)}}{2}}=\frac{1}{2}(e^{-t}+e^{t})=\frac{1}{2}(e^{t}+e^{-t})=cosh t</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore </math><br />
<br />
<br />
<math>\ {cosh t= cos(it)}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:16 10 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''3. Pruebe el tercer inciso de la Proposición 1.3.9.'''<br />
<br />
<br />
Dadas <math>\ z,w \in C</math>, se cumple la siguiente igualdad<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ {cos(z+w)=cosz {cosw}-senz {senw}}</math>.<br />
<br />
<br />
Sabemos que<br />
<br />
<br />
<math>cos z={ \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}</math><br />
<br />
<br />
<math>sen z={ \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<br />
<math>cosz {cosw}-senz {senw}={ \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\cdot {\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}}-{\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\cdot {\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\frac{1}{4}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}+e^{i(z-w)}+e^{-i(z-w)}\right ]+\frac{1}{4}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}-e^{i(z-w)}-e^{-i(z-w)}\right ]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\frac{1}{2}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}\right ]=cos(z+w)</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore </math><br />
<br />
<math>\ {cos(z+w)=cosz {cosw}-senz {senw}}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:18 10 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
KARLA: yo hago los dos ejercicios que faltan en esta sección, creo que son el 2 y 4, es asi? atte. Gaby Durán<br />
por cierto no he asistido a clase por problemas familiares, pero estoy trabajando.<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 19:21 7 nov 2009 (UTC)Karla<br />
<br />
----<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.3&diff=11197
Compleja:ej-cap1.3
2009-11-27T03:52:25Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>== '''SECCION 1.3.1''' ==<br />
<br />
<br />
'''1. Sea <math>A= \left \{ z \in C\mid 0<Rez<2,-\frac{\pi }{2}<Imz<\frac{\pi }{2}\right \}</math>. ¿Cuál es la imagen de A bajo la exponencial?.''' <br />
<br />
<br />
La imagen de la recta horizontal <math>Imz=\frac{\pi }{2}</math> bajo esta función <br />
<br />
<br />
es la semilinea que surge del origen con argumento <math>\frac{\pi }{2}</math>,<br />
<br />
<br />
entonces lo que pasa por el punto<br />
<br />
<br />
<br />
<math>e^\left(i\frac{\pi}{2}\right)=cos{\frac{\pi}{2}}+isen{\frac{\pi}{2}}=i</math><br />
<br />
<br />
<br />
De igual forma para <math>Imz=-\frac{\pi }{2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>e^\left(-i\frac{\pi}{2}\right)=cos{\frac{\pi}{2}}-isen{\frac{\pi}{2}}=-i</math><br />
<br />
<br />
<br />
Por otra parte tenemos <math>2\in Re</math>, entonces la linea vertical <math>\Rez=2</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 03:11 22 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.- Exprese <math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)</math>, en la forma <math>x+iy</math>.'''<br />
<br />
por propiedades de la exponencial sabemos que:<br />
<br />
<math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right) =e^4 e^\left(i\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
<br />
y que <math>e^\left(i\frac{\pi}{6}\right)=cos{\frac{\pi}{6}}+isen{\frac{\pi}{6}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
entonces la exprecion completa seria:<br />
<br />
<math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)=e^4\left(cos{\frac{\pi}{6}}+isen{\frac{\pi}{6}}\right)</math><br />
<br />
<math>=e^4cos{\frac{\pi}{6}}+ie^4sen{\frac{\pi}{6}}</math><br />
<br />
<br />
<math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)=54.59+i0.498</math>.<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 18:19 17 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''4.-Demuestre que bajo la accion de la función exponencial, dos líneas horizontales, símetricas con respecto al eje <math>x</math>, se transforman en dos semirrectas por el origen que son conjugadas una de otra.'''<br />
<br />
<br />
'''Solución.'''<br />
<br />
Basta con demostrar que <br />
<br />
<center><math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right)</math></center><br />
<br />
Sea <br />
<br />
<center><math>\exp\left(iy\right)=cosy+iseny<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si tomamos el conjugado de la última expresión tenemos que:<br />
<br />
<center><math>\exp\left(iy\right)=cosy+iseny</math></center><br />
<br />
<center><math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\overline{cosy+iseny}=cosy-iseny=cos\left(-y\right)+isen\left(-y\right)=\exp\left(-iy\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Debemos tener en cuenta que <math>Im z = y \!</math> es un punto y que para tener una recta o un segmento de ella debemos incluir <math>\! Re z = x</math>.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 04:12 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== '''SECCION 1.3.2''' ==<br />
<br />
=='''SECCION 1.3.3'''==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''1.Calcule todos los valores ''' <math>(1-i)^{4-2i}</math> <math> i^w</math> <math>z^i</math><br />
<br />
recordando<br />
<br />
<math>lnab=lna+lnb</math> , <math>lna^b=blna</math> y <math>e^{lna}=a</math><br />
<br />
<math>(1-i)^{4-2i}</math> = <math>e^{ln(1-i)^{4-2i}}</math><br />
<br />
<math> e^{(4-2i)ln(1-i)}</math><br />
<br />
<math>ln(1-i)= ln\sqrt{2} -i\pi/4</math><br />
<br />
sustituyendo <math>ln(1-i)</math><br />
<br />
<math>e^{(4-2i)(1/2ln2+i(-\pi/4+2k\pi)}</math> Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos <math>2k\pi</math><br />
<br />
<math>e^{2ln2+2(-\pi/4+2k\pi)+ i4((-\pi/4+2k\pi)-ln2)}</math><br />
<br />
<math>e^{ln4+((4k-1)/2)\pi+ i(8k-1)\pi-iln2}</math><br />
<br />
<math>e^{ln4}e^{(4k-1/2)\pi}e^{i(8k)\pi}e^{-i\pi}e^{-iln2}</math><br />
<br />
donde <br />
<br />
<math>e^{i(8k)\pi}</math> y <math>e^{-i\pi}</math> valen 1 <math>k=1</math> los valores encontrados seran multiplos de <math>\pi</math><br />
<br />
<math>-4 e^{(4k-1/2)\pi}e^{-iln2}</math><br />
<br />
<math>-4 e^{((4k-1/2)\pi-iln2)}</math> donde '''k''' pertenece a los numeros naturales.<br />
<br />
ahora encontrando los valores <math> i^w</math><br />
<br />
<math> i^w = e ^{lni^{w}}</math> donde <math>lni=ln1+i\pi/2</math> Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos <math>2k\pi</math><br />
<br />
<math> e ^{w+i(\pi/2+2k\pi}</math><br />
<br />
<math>e^{iw((4k+1)/2)\pi}</math> para cualquier '''w'''<br />
<br />
finalmente calculando los valores <math>z^i</math><br />
<br />
<math>z^i= e^{ilnz}</math><br />
<br />
<math>e^{i(ln|z|+iargz)}</math><br />
<br />
<math>e^{-(argz+iln|z|}</math> para cualquier '''z'''<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 19:18 7 nov 2009 (UTC)Karla.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''3.- Demuestre que si <math>w\in\mathbb{R}</math>, entonces <math>\left|Z^{w}\right|=\left|Z\right|^{w}</math>.'''<br />
<br />
<br />
'''Solución.'''<br />
<br />
<br />
Sea <math>z^{w}=r^{w}\exp\left(iw\theta\right)</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<br />
<center><math>\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|<br />
</math></center> <br />
<br />
pues <br />
<br />
<center><math> r=\left|z\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
como<br />
<br />
<center><math> \left|\exp\left(i\theta\right)\right|=\sqrt{cos^{2}\theta+sen^{2}\theta}=1<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio <math>\gamma=w\theta\!</math> obtenemos que<br />
<br />
<br />
<center><math>\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left|\exp\left(i\gamma\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left(1\right)=\left|z\right|^{w}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Pues <math>w\in\mathbb{R}</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 02:23 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4. Exhiba <math> z, w \in \mbox{C} </math> para las cuales no se cumpla <math>\big |<br />
z^w\big |<br />
= \big |<br />
z\big |<br />
^{\big |<br />
w\big |}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
Sean <math>z, w \in \mbox{C} </math> de la forma <math>w = a + ib </math> <math>z = x + iy</math> <br />
<br />
como <math>\big |w\big | \in \mbox{R}</math> se cumple <math>\big |z\big |^{\big |w\big |} = \big |{z^{\big |w\big |}}\big |</math><br />
<br />
desarrollamos: <math>\big |<br />
z^w\big |<br />
= \big |{z^{\big |w\big |}}\big |</math><br />
<br />
<math>e^{w(log\big |z\big | + i argz)} = e^{\big |w\big |(log\big |z\big | + i argz)}</math><br />
<br />
<math>\Longleftrightarrow <br />
</math> <math>\qquad w(log\big |z\big | + i argz) = \big |w\big |(log\big |z\big | + i argz)</math><br />
<br />
<math> \Rightarrow w = \big |w\big |</math><br />
<br />
Esta igualdad se cumple para <math> w = a + ib </math> con <math> b = 0 </math><br />
<br />
por lo tanto <math>\big |<br />
z^w\big |<br />
= \big |<br />
z\big |<br />
^{\big |<br />
w\big |}<br />
</math> no se cumple para <math> w = a + ib </math> con <math>b \ne 0</math>--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 20:22 12 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
== '''SECCION 1.3.4''' ==<br />
<br />
<br />
<br />
'''1. Pruebe la identidad <math>\ {cosh t= cos(it)}</math>.'''<br />
<br />
<br />
Sabemos que <br />
<br />
<br />
<math>cos t={ \frac{e^{it}+e^{-it}}{2}}</math><br />
<br />
<br />
<math>cosh t={ \frac{e^{t}+e^{-t}}{2}}</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<br />
<math>cos (it)={ \frac{e^{i(it)}+e^{-i(it)}}{2}}=\frac{1}{2}(e^{-t}+e^{t})=\frac{1}{2}(e^{t}+e^{-t})=cosh t</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore </math><br />
<br />
<br />
<math>\ {cosh t= cos(it)}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:16 10 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''3. Pruebe el tercer inciso de la Proposición 1.3.9.'''<br />
<br />
<br />
Dadas <math>\ z,w \in C</math>, se cumple la siguiente igualdad<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ {cos(z+w)=cosz {cosw}-senz {senw}}</math>.<br />
<br />
<br />
Sabemos que<br />
<br />
<br />
<math>cos z={ \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}</math><br />
<br />
<br />
<math>sen z={ \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<br />
<math>cosz {cosw}-senz {senw}={ \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\cdot {\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}}-{\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\cdot {\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\frac{1}{4}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}+e^{i(z-w)}+e^{-i(z-w)}\right ]+\frac{1}{4}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}-e^{i(z-w)}-e^{-i(z-w)}\right ]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\frac{1}{2}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}\right ]=cos(z+w)</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore </math><br />
<br />
<math>\ {cos(z+w)=cosz {cosw}-senz {senw}}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:18 10 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
KARLA: yo hago los dos ejercicios que faltan en esta sección, creo que son el 2 y 4, es asi? atte. Gaby Durán<br />
por cierto no he asistido a clase por problemas familiares, pero estoy trabajando.<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 19:21 7 nov 2009 (UTC)Karla<br />
<br />
----<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.3&diff=11196
Compleja:ej-cap1.3
2009-11-27T03:50:14Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>== '''SECCION 1.3.1''' ==<br />
<br />
<br />
'''1. Sea <math>A= \left \{ z \in C\mid 0<Rez<2,-\frac{\pi }{2}<Imz<\frac{\pi }{2}\right \}</math>. ¿Cuál es la imagen de A bajo la exponencial?.''' <br />
<br />
<br />
La imagen de la recta horizontal <math>Imz=\frac{\pi }{2}</math> bajo esta función <br />
<br />
<br />
es la semilinea que surge del origen con argumento <math>\frac{\pi }{2}</math>,<br />
<br />
<br />
entonces lo que pasa por el punto<br />
<br />
<br />
<br />
<math>e^\left(i\frac{\pi}{2}\right)=cos{\frac{\pi}{2}}+isen{\frac{\pi}{2}}=i</math><br />
<br />
<br />
<br />
De igual forma para <math>Imz=-\frac{\pi }{2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>e^\left(-i\frac{\pi}{2}\right)=cos{\frac{\pi}{2}}-isen{\frac{\pi}{2}}=-i</math><br />
<br />
<br />
<br />
Por otra parte tenemos <math>2\in Re</math>,<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 03:11 22 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.- Exprese <math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)</math>, en la forma <math>x+iy</math>.'''<br />
<br />
por propiedades de la exponencial sabemos que:<br />
<br />
<math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right) =e^4 e^\left(i\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
<br />
y que <math>e^\left(i\frac{\pi}{6}\right)=cos{\frac{\pi}{6}}+isen{\frac{\pi}{6}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
entonces la exprecion completa seria:<br />
<br />
<math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)=e^4\left(cos{\frac{\pi}{6}}+isen{\frac{\pi}{6}}\right)</math><br />
<br />
<math>=e^4cos{\frac{\pi}{6}}+ie^4sen{\frac{\pi}{6}}</math><br />
<br />
<br />
<math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)=54.59+i0.498</math>.<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 18:19 17 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''4.-Demuestre que bajo la accion de la función exponencial, dos líneas horizontales, símetricas con respecto al eje <math>x</math>, se transforman en dos semirrectas por el origen que son conjugadas una de otra.'''<br />
<br />
<br />
'''Solución.'''<br />
<br />
Basta con demostrar que <br />
<br />
<center><math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right)</math></center><br />
<br />
Sea <br />
<br />
<center><math>\exp\left(iy\right)=cosy+iseny<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si tomamos el conjugado de la última expresión tenemos que:<br />
<br />
<center><math>\exp\left(iy\right)=cosy+iseny</math></center><br />
<br />
<center><math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\overline{cosy+iseny}=cosy-iseny=cos\left(-y\right)+isen\left(-y\right)=\exp\left(-iy\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Debemos tener en cuenta que <math>Im z = y \!</math> es un punto y que para tener una recta o un segmento de ella debemos incluir <math>\! Re z = x</math>.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 04:12 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== '''SECCION 1.3.2''' ==<br />
<br />
=='''SECCION 1.3.3'''==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''1.Calcule todos los valores ''' <math>(1-i)^{4-2i}</math> <math> i^w</math> <math>z^i</math><br />
<br />
recordando<br />
<br />
<math>lnab=lna+lnb</math> , <math>lna^b=blna</math> y <math>e^{lna}=a</math><br />
<br />
<math>(1-i)^{4-2i}</math> = <math>e^{ln(1-i)^{4-2i}}</math><br />
<br />
<math> e^{(4-2i)ln(1-i)}</math><br />
<br />
<math>ln(1-i)= ln\sqrt{2} -i\pi/4</math><br />
<br />
sustituyendo <math>ln(1-i)</math><br />
<br />
<math>e^{(4-2i)(1/2ln2+i(-\pi/4+2k\pi)}</math> Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos <math>2k\pi</math><br />
<br />
<math>e^{2ln2+2(-\pi/4+2k\pi)+ i4((-\pi/4+2k\pi)-ln2)}</math><br />
<br />
<math>e^{ln4+((4k-1)/2)\pi+ i(8k-1)\pi-iln2}</math><br />
<br />
<math>e^{ln4}e^{(4k-1/2)\pi}e^{i(8k)\pi}e^{-i\pi}e^{-iln2}</math><br />
<br />
donde <br />
<br />
<math>e^{i(8k)\pi}</math> y <math>e^{-i\pi}</math> valen 1 <math>k=1</math> los valores encontrados seran multiplos de <math>\pi</math><br />
<br />
<math>-4 e^{(4k-1/2)\pi}e^{-iln2}</math><br />
<br />
<math>-4 e^{((4k-1/2)\pi-iln2)}</math> donde '''k''' pertenece a los numeros naturales.<br />
<br />
ahora encontrando los valores <math> i^w</math><br />
<br />
<math> i^w = e ^{lni^{w}}</math> donde <math>lni=ln1+i\pi/2</math> Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos <math>2k\pi</math><br />
<br />
<math> e ^{w+i(\pi/2+2k\pi}</math><br />
<br />
<math>e^{iw((4k+1)/2)\pi}</math> para cualquier '''w'''<br />
<br />
finalmente calculando los valores <math>z^i</math><br />
<br />
<math>z^i= e^{ilnz}</math><br />
<br />
<math>e^{i(ln|z|+iargz)}</math><br />
<br />
<math>e^{-(argz+iln|z|}</math> para cualquier '''z'''<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 19:18 7 nov 2009 (UTC)Karla.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''3.- Demuestre que si <math>w\in\mathbb{R}</math>, entonces <math>\left|Z^{w}\right|=\left|Z\right|^{w}</math>.'''<br />
<br />
<br />
'''Solución.'''<br />
<br />
<br />
Sea <math>z^{w}=r^{w}\exp\left(iw\theta\right)</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<br />
<center><math>\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|<br />
</math></center> <br />
<br />
pues <br />
<br />
<center><math> r=\left|z\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
como<br />
<br />
<center><math> \left|\exp\left(i\theta\right)\right|=\sqrt{cos^{2}\theta+sen^{2}\theta}=1<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio <math>\gamma=w\theta\!</math> obtenemos que<br />
<br />
<br />
<center><math>\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left|\exp\left(i\gamma\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left(1\right)=\left|z\right|^{w}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Pues <math>w\in\mathbb{R}</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 02:23 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4. Exhiba <math> z, w \in \mbox{C} </math> para las cuales no se cumpla <math>\big |<br />
z^w\big |<br />
= \big |<br />
z\big |<br />
^{\big |<br />
w\big |}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
Sean <math>z, w \in \mbox{C} </math> de la forma <math>w = a + ib </math> <math>z = x + iy</math> <br />
<br />
como <math>\big |w\big | \in \mbox{R}</math> se cumple <math>\big |z\big |^{\big |w\big |} = \big |{z^{\big |w\big |}}\big |</math><br />
<br />
desarrollamos: <math>\big |<br />
z^w\big |<br />
= \big |{z^{\big |w\big |}}\big |</math><br />
<br />
<math>e^{w(log\big |z\big | + i argz)} = e^{\big |w\big |(log\big |z\big | + i argz)}</math><br />
<br />
<math>\Longleftrightarrow <br />
</math> <math>\qquad w(log\big |z\big | + i argz) = \big |w\big |(log\big |z\big | + i argz)</math><br />
<br />
<math> \Rightarrow w = \big |w\big |</math><br />
<br />
Esta igualdad se cumple para <math> w = a + ib </math> con <math> b = 0 </math><br />
<br />
por lo tanto <math>\big |<br />
z^w\big |<br />
= \big |<br />
z\big |<br />
^{\big |<br />
w\big |}<br />
</math> no se cumple para <math> w = a + ib </math> con <math>b \ne 0</math>--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 20:22 12 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
== '''SECCION 1.3.4''' ==<br />
<br />
<br />
<br />
'''1. Pruebe la identidad <math>\ {cosh t= cos(it)}</math>.'''<br />
<br />
<br />
Sabemos que <br />
<br />
<br />
<math>cos t={ \frac{e^{it}+e^{-it}}{2}}</math><br />
<br />
<br />
<math>cosh t={ \frac{e^{t}+e^{-t}}{2}}</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<br />
<math>cos (it)={ \frac{e^{i(it)}+e^{-i(it)}}{2}}=\frac{1}{2}(e^{-t}+e^{t})=\frac{1}{2}(e^{t}+e^{-t})=cosh t</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore </math><br />
<br />
<br />
<math>\ {cosh t= cos(it)}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:16 10 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''3. Pruebe el tercer inciso de la Proposición 1.3.9.'''<br />
<br />
<br />
Dadas <math>\ z,w \in C</math>, se cumple la siguiente igualdad<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ {cos(z+w)=cosz {cosw}-senz {senw}}</math>.<br />
<br />
<br />
Sabemos que<br />
<br />
<br />
<math>cos z={ \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}</math><br />
<br />
<br />
<math>sen z={ \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<br />
<math>cosz {cosw}-senz {senw}={ \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\cdot {\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}}-{\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\cdot {\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\frac{1}{4}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}+e^{i(z-w)}+e^{-i(z-w)}\right ]+\frac{1}{4}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}-e^{i(z-w)}-e^{-i(z-w)}\right ]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\frac{1}{2}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}\right ]=cos(z+w)</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore </math><br />
<br />
<math>\ {cos(z+w)=cosz {cosw}-senz {senw}}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:18 10 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
KARLA: yo hago los dos ejercicios que faltan en esta sección, creo que son el 2 y 4, es asi? atte. Gaby Durán<br />
por cierto no he asistido a clase por problemas familiares, pero estoy trabajando.<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 19:21 7 nov 2009 (UTC)Karla<br />
<br />
----<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.3&diff=11194
Compleja:ej-cap1.3
2009-11-27T03:47:05Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>== '''SECCION 1.3.1''' ==<br />
<br />
<br />
'''1. Sea <math>A= \left \{ z \in C\mid 0<Rez<2,-\frac{\pi }{2}<Imz<\frac{\pi }{2}\right \}</math>. ¿Cuál es la imagen de A bajo la exponencial?.''' <br />
<br />
<br />
La imagen de la recta horizontal <math>Imz=\frac{\pi }{2}</math> bajo esta función <br />
<br />
<br />
es la semilinea que surge del origen con argumento <math>\frac{\pi }{2}</math>,<br />
<br />
<br />
entonces lo que pasa por el punto<br />
<br />
<br />
<br />
<math>e^\left(i\frac{\pi}{2}\right)=cos{\frac{\pi}{2}}+isen{\frac{\pi}{2}}=i</math><br />
<br />
<br />
<br />
De igual forma para <math>Imz=-\frac{\pi }{2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>e^\left(-i\frac{\pi}{2}\right)=cos{\frac{\pi}{2}}-isen{\frac{\pi}{2}}=-i</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 03:11 22 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.- Exprese <math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)</math>, en la forma <math>x+iy</math>.'''<br />
<br />
por propiedades de la exponencial sabemos que:<br />
<br />
<math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right) =e^4 e^\left(i\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
<br />
y que <math>e^\left(i\frac{\pi}{6}\right)=cos{\frac{\pi}{6}}+isen{\frac{\pi}{6}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
entonces la exprecion completa seria:<br />
<br />
<math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)=e^4\left(cos{\frac{\pi}{6}}+isen{\frac{\pi}{6}}\right)</math><br />
<br />
<math>=e^4cos{\frac{\pi}{6}}+ie^4sen{\frac{\pi}{6}}</math><br />
<br />
<br />
<math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)=54.59+i0.498</math>.<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 18:19 17 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''4.-Demuestre que bajo la accion de la función exponencial, dos líneas horizontales, símetricas con respecto al eje <math>x</math>, se transforman en dos semirrectas por el origen que son conjugadas una de otra.'''<br />
<br />
<br />
'''Solución.'''<br />
<br />
Basta con demostrar que <br />
<br />
<center><math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right)</math></center><br />
<br />
Sea <br />
<br />
<center><math>\exp\left(iy\right)=cosy+iseny<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si tomamos el conjugado de la última expresión tenemos que:<br />
<br />
<center><math>\exp\left(iy\right)=cosy+iseny</math></center><br />
<br />
<center><math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\overline{cosy+iseny}=cosy-iseny=cos\left(-y\right)+isen\left(-y\right)=\exp\left(-iy\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Debemos tener en cuenta que <math>Im z = y \!</math> es un punto y que para tener una recta o un segmento de ella debemos incluir <math>\! Re z = x</math>.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 04:12 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== '''SECCION 1.3.2''' ==<br />
<br />
=='''SECCION 1.3.3'''==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''1.Calcule todos los valores ''' <math>(1-i)^{4-2i}</math> <math> i^w</math> <math>z^i</math><br />
<br />
recordando<br />
<br />
<math>lnab=lna+lnb</math> , <math>lna^b=blna</math> y <math>e^{lna}=a</math><br />
<br />
<math>(1-i)^{4-2i}</math> = <math>e^{ln(1-i)^{4-2i}}</math><br />
<br />
<math> e^{(4-2i)ln(1-i)}</math><br />
<br />
<math>ln(1-i)= ln\sqrt{2} -i\pi/4</math><br />
<br />
sustituyendo <math>ln(1-i)</math><br />
<br />
<math>e^{(4-2i)(1/2ln2+i(-\pi/4+2k\pi)}</math> Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos <math>2k\pi</math><br />
<br />
<math>e^{2ln2+2(-\pi/4+2k\pi)+ i4((-\pi/4+2k\pi)-ln2)}</math><br />
<br />
<math>e^{ln4+((4k-1)/2)\pi+ i(8k-1)\pi-iln2}</math><br />
<br />
<math>e^{ln4}e^{(4k-1/2)\pi}e^{i(8k)\pi}e^{-i\pi}e^{-iln2}</math><br />
<br />
donde <br />
<br />
<math>e^{i(8k)\pi}</math> y <math>e^{-i\pi}</math> valen 1 <math>k=1</math> los valores encontrados seran multiplos de <math>\pi</math><br />
<br />
<math>-4 e^{(4k-1/2)\pi}e^{-iln2}</math><br />
<br />
<math>-4 e^{((4k-1/2)\pi-iln2)}</math> donde '''k''' pertenece a los numeros naturales.<br />
<br />
ahora encontrando los valores <math> i^w</math><br />
<br />
<math> i^w = e ^{lni^{w}}</math> donde <math>lni=ln1+i\pi/2</math> Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos <math>2k\pi</math><br />
<br />
<math> e ^{w+i(\pi/2+2k\pi}</math><br />
<br />
<math>e^{iw((4k+1)/2)\pi}</math> para cualquier '''w'''<br />
<br />
finalmente calculando los valores <math>z^i</math><br />
<br />
<math>z^i= e^{ilnz}</math><br />
<br />
<math>e^{i(ln|z|+iargz)}</math><br />
<br />
<math>e^{-(argz+iln|z|}</math> para cualquier '''z'''<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 19:18 7 nov 2009 (UTC)Karla.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''3.- Demuestre que si <math>w\in\mathbb{R}</math>, entonces <math>\left|Z^{w}\right|=\left|Z\right|^{w}</math>.'''<br />
<br />
<br />
'''Solución.'''<br />
<br />
<br />
Sea <math>z^{w}=r^{w}\exp\left(iw\theta\right)</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<br />
<center><math>\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|<br />
</math></center> <br />
<br />
pues <br />
<br />
<center><math> r=\left|z\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
como<br />
<br />
<center><math> \left|\exp\left(i\theta\right)\right|=\sqrt{cos^{2}\theta+sen^{2}\theta}=1<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio <math>\gamma=w\theta\!</math> obtenemos que<br />
<br />
<br />
<center><math>\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left|\exp\left(i\gamma\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left(1\right)=\left|z\right|^{w}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Pues <math>w\in\mathbb{R}</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 02:23 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4. Exhiba <math> z, w \in \mbox{C} </math> para las cuales no se cumpla <math>\big |<br />
z^w\big |<br />
= \big |<br />
z\big |<br />
^{\big |<br />
w\big |}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
Sean <math>z, w \in \mbox{C} </math> de la forma <math>w = a + ib </math> <math>z = x + iy</math> <br />
<br />
como <math>\big |w\big | \in \mbox{R}</math> se cumple <math>\big |z\big |^{\big |w\big |} = \big |{z^{\big |w\big |}}\big |</math><br />
<br />
desarrollamos: <math>\big |<br />
z^w\big |<br />
= \big |{z^{\big |w\big |}}\big |</math><br />
<br />
<math>e^{w(log\big |z\big | + i argz)} = e^{\big |w\big |(log\big |z\big | + i argz)}</math><br />
<br />
<math>\Longleftrightarrow <br />
</math> <math>\qquad w(log\big |z\big | + i argz) = \big |w\big |(log\big |z\big | + i argz)</math><br />
<br />
<math> \Rightarrow w = \big |w\big |</math><br />
<br />
Esta igualdad se cumple para <math> w = a + ib </math> con <math> b = 0 </math><br />
<br />
por lo tanto <math>\big |<br />
z^w\big |<br />
= \big |<br />
z\big |<br />
^{\big |<br />
w\big |}<br />
</math> no se cumple para <math> w = a + ib </math> con <math>b \ne 0</math>--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 20:22 12 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
== '''SECCION 1.3.4''' ==<br />
<br />
<br />
<br />
'''1. Pruebe la identidad <math>\ {cosh t= cos(it)}</math>.'''<br />
<br />
<br />
Sabemos que <br />
<br />
<br />
<math>cos t={ \frac{e^{it}+e^{-it}}{2}}</math><br />
<br />
<br />
<math>cosh t={ \frac{e^{t}+e^{-t}}{2}}</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<br />
<math>cos (it)={ \frac{e^{i(it)}+e^{-i(it)}}{2}}=\frac{1}{2}(e^{-t}+e^{t})=\frac{1}{2}(e^{t}+e^{-t})=cosh t</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore </math><br />
<br />
<br />
<math>\ {cosh t= cos(it)}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:16 10 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''3. Pruebe el tercer inciso de la Proposición 1.3.9.'''<br />
<br />
<br />
Dadas <math>\ z,w \in C</math>, se cumple la siguiente igualdad<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ {cos(z+w)=cosz {cosw}-senz {senw}}</math>.<br />
<br />
<br />
Sabemos que<br />
<br />
<br />
<math>cos z={ \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}</math><br />
<br />
<br />
<math>sen z={ \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<br />
<math>cosz {cosw}-senz {senw}={ \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\cdot {\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}}-{\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\cdot {\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\frac{1}{4}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}+e^{i(z-w)}+e^{-i(z-w)}\right ]+\frac{1}{4}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}-e^{i(z-w)}-e^{-i(z-w)}\right ]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\frac{1}{2}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}\right ]=cos(z+w)</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore </math><br />
<br />
<math>\ {cos(z+w)=cosz {cosw}-senz {senw}}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:18 10 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
KARLA: yo hago los dos ejercicios que faltan en esta sección, creo que son el 2 y 4, es asi? atte. Gaby Durán<br />
por cierto no he asistido a clase por problemas familiares, pero estoy trabajando.<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 19:21 7 nov 2009 (UTC)Karla<br />
<br />
----<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.3&diff=11193
Compleja:ej-cap1.3
2009-11-27T03:46:33Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>== '''SECCION 1.3.1''' ==<br />
<br />
<br />
'''1. Sea <math>A= \left \{ z \in C\mid 0<Rez<2,-\frac{\pi }{2}<Imz<\frac{\pi }{2}\right \}</math>. ¿Cuál es la imagen de A bajo la exponencial?.''' <br />
<br />
<br />
La imagen de la recta horizontal <math>Imz=\frac{\pi }{2}</math> bajo esta función <br />
<br />
<br />
es la semilinea que surge del origen con argumento <math>\frac{\pi }{2}</math>,<br />
<br />
<br />
entonces lo que pasa por el punto<br />
<br />
<br />
<br />
<math>e^\left(i\frac{\pi}{2}\right)=cos{\frac{\pi}{2}}+isen{\frac{\pi}{2}}=i</math><br />
<br />
<br />
<br />
De igual forma para <math>Imz=-\frac{\pi }{2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>e^-\left(i\frac{\pi}{2}\right)=cos{\frac{\pi}{2}}-isen{\frac{\pi}{2}}=-i</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 03:11 22 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.- Exprese <math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)</math>, en la forma <math>x+iy</math>.'''<br />
<br />
por propiedades de la exponencial sabemos que:<br />
<br />
<math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right) =e^4 e^\left(i\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
<br />
y que <math>e^\left(i\frac{\pi}{6}\right)=cos{\frac{\pi}{6}}+isen{\frac{\pi}{6}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
entonces la exprecion completa seria:<br />
<br />
<math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)=e^4\left(cos{\frac{\pi}{6}}+isen{\frac{\pi}{6}}\right)</math><br />
<br />
<math>=e^4cos{\frac{\pi}{6}}+ie^4sen{\frac{\pi}{6}}</math><br />
<br />
<br />
<math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)=54.59+i0.498</math>.<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 18:19 17 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''4.-Demuestre que bajo la accion de la función exponencial, dos líneas horizontales, símetricas con respecto al eje <math>x</math>, se transforman en dos semirrectas por el origen que son conjugadas una de otra.'''<br />
<br />
<br />
'''Solución.'''<br />
<br />
Basta con demostrar que <br />
<br />
<center><math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right)</math></center><br />
<br />
Sea <br />
<br />
<center><math>\exp\left(iy\right)=cosy+iseny<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si tomamos el conjugado de la última expresión tenemos que:<br />
<br />
<center><math>\exp\left(iy\right)=cosy+iseny</math></center><br />
<br />
<center><math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\overline{cosy+iseny}=cosy-iseny=cos\left(-y\right)+isen\left(-y\right)=\exp\left(-iy\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Debemos tener en cuenta que <math>Im z = y \!</math> es un punto y que para tener una recta o un segmento de ella debemos incluir <math>\! Re z = x</math>.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 04:12 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== '''SECCION 1.3.2''' ==<br />
<br />
=='''SECCION 1.3.3'''==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''1.Calcule todos los valores ''' <math>(1-i)^{4-2i}</math> <math> i^w</math> <math>z^i</math><br />
<br />
recordando<br />
<br />
<math>lnab=lna+lnb</math> , <math>lna^b=blna</math> y <math>e^{lna}=a</math><br />
<br />
<math>(1-i)^{4-2i}</math> = <math>e^{ln(1-i)^{4-2i}}</math><br />
<br />
<math> e^{(4-2i)ln(1-i)}</math><br />
<br />
<math>ln(1-i)= ln\sqrt{2} -i\pi/4</math><br />
<br />
sustituyendo <math>ln(1-i)</math><br />
<br />
<math>e^{(4-2i)(1/2ln2+i(-\pi/4+2k\pi)}</math> Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos <math>2k\pi</math><br />
<br />
<math>e^{2ln2+2(-\pi/4+2k\pi)+ i4((-\pi/4+2k\pi)-ln2)}</math><br />
<br />
<math>e^{ln4+((4k-1)/2)\pi+ i(8k-1)\pi-iln2}</math><br />
<br />
<math>e^{ln4}e^{(4k-1/2)\pi}e^{i(8k)\pi}e^{-i\pi}e^{-iln2}</math><br />
<br />
donde <br />
<br />
<math>e^{i(8k)\pi}</math> y <math>e^{-i\pi}</math> valen 1 <math>k=1</math> los valores encontrados seran multiplos de <math>\pi</math><br />
<br />
<math>-4 e^{(4k-1/2)\pi}e^{-iln2}</math><br />
<br />
<math>-4 e^{((4k-1/2)\pi-iln2)}</math> donde '''k''' pertenece a los numeros naturales.<br />
<br />
ahora encontrando los valores <math> i^w</math><br />
<br />
<math> i^w = e ^{lni^{w}}</math> donde <math>lni=ln1+i\pi/2</math> Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos <math>2k\pi</math><br />
<br />
<math> e ^{w+i(\pi/2+2k\pi}</math><br />
<br />
<math>e^{iw((4k+1)/2)\pi}</math> para cualquier '''w'''<br />
<br />
finalmente calculando los valores <math>z^i</math><br />
<br />
<math>z^i= e^{ilnz}</math><br />
<br />
<math>e^{i(ln|z|+iargz)}</math><br />
<br />
<math>e^{-(argz+iln|z|}</math> para cualquier '''z'''<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 19:18 7 nov 2009 (UTC)Karla.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''3.- Demuestre que si <math>w\in\mathbb{R}</math>, entonces <math>\left|Z^{w}\right|=\left|Z\right|^{w}</math>.'''<br />
<br />
<br />
'''Solución.'''<br />
<br />
<br />
Sea <math>z^{w}=r^{w}\exp\left(iw\theta\right)</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<br />
<center><math>\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|<br />
</math></center> <br />
<br />
pues <br />
<br />
<center><math> r=\left|z\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
como<br />
<br />
<center><math> \left|\exp\left(i\theta\right)\right|=\sqrt{cos^{2}\theta+sen^{2}\theta}=1<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio <math>\gamma=w\theta\!</math> obtenemos que<br />
<br />
<br />
<center><math>\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left|\exp\left(i\gamma\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left(1\right)=\left|z\right|^{w}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Pues <math>w\in\mathbb{R}</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 02:23 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4. Exhiba <math> z, w \in \mbox{C} </math> para las cuales no se cumpla <math>\big |<br />
z^w\big |<br />
= \big |<br />
z\big |<br />
^{\big |<br />
w\big |}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
Sean <math>z, w \in \mbox{C} </math> de la forma <math>w = a + ib </math> <math>z = x + iy</math> <br />
<br />
como <math>\big |w\big | \in \mbox{R}</math> se cumple <math>\big |z\big |^{\big |w\big |} = \big |{z^{\big |w\big |}}\big |</math><br />
<br />
desarrollamos: <math>\big |<br />
z^w\big |<br />
= \big |{z^{\big |w\big |}}\big |</math><br />
<br />
<math>e^{w(log\big |z\big | + i argz)} = e^{\big |w\big |(log\big |z\big | + i argz)}</math><br />
<br />
<math>\Longleftrightarrow <br />
</math> <math>\qquad w(log\big |z\big | + i argz) = \big |w\big |(log\big |z\big | + i argz)</math><br />
<br />
<math> \Rightarrow w = \big |w\big |</math><br />
<br />
Esta igualdad se cumple para <math> w = a + ib </math> con <math> b = 0 </math><br />
<br />
por lo tanto <math>\big |<br />
z^w\big |<br />
= \big |<br />
z\big |<br />
^{\big |<br />
w\big |}<br />
</math> no se cumple para <math> w = a + ib </math> con <math>b \ne 0</math>--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 20:22 12 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
== '''SECCION 1.3.4''' ==<br />
<br />
<br />
<br />
'''1. Pruebe la identidad <math>\ {cosh t= cos(it)}</math>.'''<br />
<br />
<br />
Sabemos que <br />
<br />
<br />
<math>cos t={ \frac{e^{it}+e^{-it}}{2}}</math><br />
<br />
<br />
<math>cosh t={ \frac{e^{t}+e^{-t}}{2}}</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<br />
<math>cos (it)={ \frac{e^{i(it)}+e^{-i(it)}}{2}}=\frac{1}{2}(e^{-t}+e^{t})=\frac{1}{2}(e^{t}+e^{-t})=cosh t</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore </math><br />
<br />
<br />
<math>\ {cosh t= cos(it)}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:16 10 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''3. Pruebe el tercer inciso de la Proposición 1.3.9.'''<br />
<br />
<br />
Dadas <math>\ z,w \in C</math>, se cumple la siguiente igualdad<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ {cos(z+w)=cosz {cosw}-senz {senw}}</math>.<br />
<br />
<br />
Sabemos que<br />
<br />
<br />
<math>cos z={ \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}</math><br />
<br />
<br />
<math>sen z={ \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<br />
<math>cosz {cosw}-senz {senw}={ \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\cdot {\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}}-{\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\cdot {\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\frac{1}{4}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}+e^{i(z-w)}+e^{-i(z-w)}\right ]+\frac{1}{4}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}-e^{i(z-w)}-e^{-i(z-w)}\right ]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\frac{1}{2}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}\right ]=cos(z+w)</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore </math><br />
<br />
<math>\ {cos(z+w)=cosz {cosw}-senz {senw}}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:18 10 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
KARLA: yo hago los dos ejercicios que faltan en esta sección, creo que son el 2 y 4, es asi? atte. Gaby Durán<br />
por cierto no he asistido a clase por problemas familiares, pero estoy trabajando.<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 19:21 7 nov 2009 (UTC)Karla<br />
<br />
----<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>
Ralf Gutierrez
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap1.3&diff=11192
Compleja:ej-cap1.3
2009-11-27T03:44:56Z
<p>Ralf Gutierrez: </p>
<hr />
<div>== '''SECCION 1.3.1''' ==<br />
<br />
<br />
'''1. Sea <math>A= \left \{ z \in C\mid 0<Rez<2,-\frac{\pi }{2}<Imz<\frac{\pi }{2}\right \}</math>. ¿Cuál es la imagen de A bajo la exponencial?.''' <br />
<br />
<br />
La imagen de la recta horizontal <math>Imz=\frac{\pi }{2}</math> bajo esta función <br />
<br />
<br />
es la semilinea que surge del origen con argumento <math>\frac{\pi }{2}</math>,<br />
<br />
<br />
entonces lo que pasa por el punto<br />
<br />
<br />
<br />
<math>e^\left(i\frac{\pi}{2}\right)=cos{\frac{\pi}{2}}+isen{\frac{\pi}{2}}=i</math><br />
<br />
<br />
<br />
De igual forma para <math>Imz=-\frac{\pi }{2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 03:11 22 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
'''2.- Exprese <math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)</math>, en la forma <math>x+iy</math>.'''<br />
<br />
por propiedades de la exponencial sabemos que:<br />
<br />
<math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right) =e^4 e^\left(i\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
<br />
y que <math>e^\left(i\frac{\pi}{6}\right)=cos{\frac{\pi}{6}}+isen{\frac{\pi}{6}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
entonces la exprecion completa seria:<br />
<br />
<math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)=e^4\left(cos{\frac{\pi}{6}}+isen{\frac{\pi}{6}}\right)</math><br />
<br />
<math>=e^4cos{\frac{\pi}{6}}+ie^4sen{\frac{\pi}{6}}</math><br />
<br />
<br />
<math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)=54.59+i0.498</math>.<br />
<br />
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 18:19 17 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''4.-Demuestre que bajo la accion de la función exponencial, dos líneas horizontales, símetricas con respecto al eje <math>x</math>, se transforman en dos semirrectas por el origen que son conjugadas una de otra.'''<br />
<br />
<br />
'''Solución.'''<br />
<br />
Basta con demostrar que <br />
<br />
<center><math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right)</math></center><br />
<br />
Sea <br />
<br />
<center><math>\exp\left(iy\right)=cosy+iseny<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
Si tomamos el conjugado de la última expresión tenemos que:<br />
<br />
<center><math>\exp\left(iy\right)=cosy+iseny</math></center><br />
<br />
<center><math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\overline{cosy+iseny}=cosy-iseny=cos\left(-y\right)+isen\left(-y\right)=\exp\left(-iy\right)<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right)</math></center><br />
<br />
<br />
Debemos tener en cuenta que <math>Im z = y \!</math> es un punto y que para tener una recta o un segmento de ella debemos incluir <math>\! Re z = x</math>.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 04:12 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== '''SECCION 1.3.2''' ==<br />
<br />
=='''SECCION 1.3.3'''==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''1.Calcule todos los valores ''' <math>(1-i)^{4-2i}</math> <math> i^w</math> <math>z^i</math><br />
<br />
recordando<br />
<br />
<math>lnab=lna+lnb</math> , <math>lna^b=blna</math> y <math>e^{lna}=a</math><br />
<br />
<math>(1-i)^{4-2i}</math> = <math>e^{ln(1-i)^{4-2i}}</math><br />
<br />
<math> e^{(4-2i)ln(1-i)}</math><br />
<br />
<math>ln(1-i)= ln\sqrt{2} -i\pi/4</math><br />
<br />
sustituyendo <math>ln(1-i)</math><br />
<br />
<math>e^{(4-2i)(1/2ln2+i(-\pi/4+2k\pi)}</math> Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos <math>2k\pi</math><br />
<br />
<math>e^{2ln2+2(-\pi/4+2k\pi)+ i4((-\pi/4+2k\pi)-ln2)}</math><br />
<br />
<math>e^{ln4+((4k-1)/2)\pi+ i(8k-1)\pi-iln2}</math><br />
<br />
<math>e^{ln4}e^{(4k-1/2)\pi}e^{i(8k)\pi}e^{-i\pi}e^{-iln2}</math><br />
<br />
donde <br />
<br />
<math>e^{i(8k)\pi}</math> y <math>e^{-i\pi}</math> valen 1 <math>k=1</math> los valores encontrados seran multiplos de <math>\pi</math><br />
<br />
<math>-4 e^{(4k-1/2)\pi}e^{-iln2}</math><br />
<br />
<math>-4 e^{((4k-1/2)\pi-iln2)}</math> donde '''k''' pertenece a los numeros naturales.<br />
<br />
ahora encontrando los valores <math> i^w</math><br />
<br />
<math> i^w = e ^{lni^{w}}</math> donde <math>lni=ln1+i\pi/2</math> Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos <math>2k\pi</math><br />
<br />
<math> e ^{w+i(\pi/2+2k\pi}</math><br />
<br />
<math>e^{iw((4k+1)/2)\pi}</math> para cualquier '''w'''<br />
<br />
finalmente calculando los valores <math>z^i</math><br />
<br />
<math>z^i= e^{ilnz}</math><br />
<br />
<math>e^{i(ln|z|+iargz)}</math><br />
<br />
<math>e^{-(argz+iln|z|}</math> para cualquier '''z'''<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 19:18 7 nov 2009 (UTC)Karla.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''3.- Demuestre que si <math>w\in\mathbb{R}</math>, entonces <math>\left|Z^{w}\right|=\left|Z\right|^{w}</math>.'''<br />
<br />
<br />
'''Solución.'''<br />
<br />
<br />
Sea <math>z^{w}=r^{w}\exp\left(iw\theta\right)</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<br />
<center><math>\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|<br />
</math></center> <br />
<br />
pues <br />
<br />
<center><math> r=\left|z\right|<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
como<br />
<br />
<center><math> \left|\exp\left(i\theta\right)\right|=\sqrt{cos^{2}\theta+sen^{2}\theta}=1<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
si tomamos el cambio <math>\gamma=w\theta\!</math> obtenemos que<br />
<br />
<br />
<center><math>\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left|\exp\left(i\gamma\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left(1\right)=\left|z\right|^{w}<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Pues <math>w\in\mathbb{R}</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Dali|Dali]] 02:23 15 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''4. Exhiba <math> z, w \in \mbox{C} </math> para las cuales no se cumpla <math>\big |<br />
z^w\big |<br />
= \big |<br />
z\big |<br />
^{\big |<br />
w\big |}<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
Sean <math>z, w \in \mbox{C} </math> de la forma <math>w = a + ib </math> <math>z = x + iy</math> <br />
<br />
como <math>\big |w\big | \in \mbox{R}</math> se cumple <math>\big |z\big |^{\big |w\big |} = \big |{z^{\big |w\big |}}\big |</math><br />
<br />
desarrollamos: <math>\big |<br />
z^w\big |<br />
= \big |{z^{\big |w\big |}}\big |</math><br />
<br />
<math>e^{w(log\big |z\big | + i argz)} = e^{\big |w\big |(log\big |z\big | + i argz)}</math><br />
<br />
<math>\Longleftrightarrow <br />
</math> <math>\qquad w(log\big |z\big | + i argz) = \big |w\big |(log\big |z\big | + i argz)</math><br />
<br />
<math> \Rightarrow w = \big |w\big |</math><br />
<br />
Esta igualdad se cumple para <math> w = a + ib </math> con <math> b = 0 </math><br />
<br />
por lo tanto <math>\big |<br />
z^w\big |<br />
= \big |<br />
z\big |<br />
^{\big |<br />
w\big |}<br />
</math> no se cumple para <math> w = a + ib </math> con <math>b \ne 0</math>--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 20:22 12 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
== '''SECCION 1.3.4''' ==<br />
<br />
<br />
<br />
'''1. Pruebe la identidad <math>\ {cosh t= cos(it)}</math>.'''<br />
<br />
<br />
Sabemos que <br />
<br />
<br />
<math>cos t={ \frac{e^{it}+e^{-it}}{2}}</math><br />
<br />
<br />
<math>cosh t={ \frac{e^{t}+e^{-t}}{2}}</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<br />
<math>cos (it)={ \frac{e^{i(it)}+e^{-i(it)}}{2}}=\frac{1}{2}(e^{-t}+e^{t})=\frac{1}{2}(e^{t}+e^{-t})=cosh t</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore </math><br />
<br />
<br />
<math>\ {cosh t= cos(it)}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:16 10 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
'''3. Pruebe el tercer inciso de la Proposición 1.3.9.'''<br />
<br />
<br />
Dadas <math>\ z,w \in C</math>, se cumple la siguiente igualdad<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\ {cos(z+w)=cosz {cosw}-senz {senw}}</math>.<br />
<br />
<br />
Sabemos que<br />
<br />
<br />
<math>cos z={ \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}</math><br />
<br />
<br />
<math>sen z={ \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}</math><br />
<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<br />
<math>cosz {cosw}-senz {senw}={ \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\cdot {\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}}-{\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\cdot {\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\frac{1}{4}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}+e^{i(z-w)}+e^{-i(z-w)}\right ]+\frac{1}{4}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}-e^{i(z-w)}-e^{-i(z-w)}\right ]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>=\frac{1}{2}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}\right ]=cos(z+w)</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore </math><br />
<br />
<math>\ {cos(z+w)=cosz {cosw}-senz {senw}}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:18 10 nov 2009 (UTC)<br />
<br />
KARLA: yo hago los dos ejercicios que faltan en esta sección, creo que son el 2 y 4, es asi? atte. Gaby Durán<br />
por cierto no he asistido a clase por problemas familiares, pero estoy trabajando.<br />
<br />
--[[Usuario:Karla|Karla]] 19:21 7 nov 2009 (UTC)Karla<br />
<br />
----<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
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Ralf Gutierrez