https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/api.php?action=feedcontributions&user=Pedro+Pablo+Ram%C3%ADrez+Mart%C3%ADnez&feedformat=atomluz-wiki - Contribuciones del usuario [es]2024-03-28T16:29:50ZContribuciones del usuarioMediaWiki 1.39.6https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Angel_Nahir_Molina_Guadarrama&diff=18354Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama2014-03-28T04:45:53Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div>'''Bienvenido a ''Luz-wiki''!'''<br />
Esperamos que contribuyas mucho y bien.<br />
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Nuevamente, bienvenido y diviértete! [[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 18:41 8 ene 2014 (UTC)<br />
----<br />
Problema 2.5<br />
<br />
Angel, me parece que tu problema esta muy bien redactado, y queda<br />
muy claro; me gusta que hayas utilizado imágenes para hacer más grafica<br />
la explicación.<br />
<br />
[[Usuario:Ana Alarid|Ana Alarid]] ([[Usuario discusión:Ana Alarid|discusión]]) 02:08 26 feb 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
Problema 1.5<br />
<br />
Hola Nahir, me gustaría saber por qué consideras como correctas las<br />
ecuaciones $(1)$ y $(2)$ ya que $A_{1}$y $V_{1}$son constantes<br />
dadas por las condiciones iniciales, es decir, <br />
\[<br />
\psi(t)=ACos(w_{0}t+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\dot{\psi}(t)=-Aw_{0}Sen(w_{0}t+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
estas dos ecuaciones son para todo tiempo, es decir, van cambiado<br />
conforme avanza el tiempo, ya cuando aplicas las condiciones iniciales<br />
estás te ayudan a determinar las constantes de integración. Solo ese<br />
pequeño error percibo en la resolución del problema, todo lo demás<br />
me parece certero. <br />
<br />
<br />
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 02:18 27 ene 2014 (UTC)<br />
----<br />
Problema 4.7<br />
<br />
Hola Angel, al precer el problema que tratas habla de un sistema amortiguado y además forzado y parece que no consideras la parte forzada en tu solución ya que al resolver la ecuación diferencial dicha solución contiene la combinación lineal de la solución homogénea y una solución particular.<br />
<br />
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 05:53 25 feb 2014 (UTC)<br />
----<br />
Respecto al problema 4.7 estoy de acuerdo con Luis, además sería bueno describir mejor el proceso de solución, pienso que quedaría un poco más claro si lo haces. Hasta luego.<br />
[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 04:28 27 feb 2014 (UTC)<br />
----<br />
(Problema adicional capítulo 6) Sería interesante escribir la ecuación que describe el sistema para el mejor entendimiento de la solución.<br />
[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 04:45 28 mar 2014 (UTC)</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Sabino&diff=18353Usuario discusión:Sabino2014-03-28T04:38:39Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div>'''Bienvenido a ''Luz-wiki''!'''<br />
Esperamos que contribuyas mucho y bien.<br />
Probablemente desearás leer las [[Help:Contenidos|páginas de ayuda]].<br />
Nuevamente, bienvenido y diviértete! [[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 16:01 10 nov 2012 (UTC)<br />
----<br />
(Problema 3.10). El problema está resuelto claramente y sencillo, pero talvez sería bueno describir un poco más el proceso.<br />
[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 04:18 27 feb 2014 (UTC) <br />
----<br />
(Problema 5.8) En la redacción del problema se menciona una gráfica, sería de gran ayuda incluirla en el problema para su mejor comprensión.<br />
[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 04:38 28 mar 2014 (UTC)</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Vibra:_probs_c5&diff=18351Vibra: probs c52014-03-28T04:32:57Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div>Main cap.5<br />
<br />
5.1<br />
----<br />
5.2<br />
'''A system with <math>m=0.010</math> <math>kg</math>, <math>s=36 N m^{-1}</math> y <math>b=0.50 kg s^{-1}</math> is driven by a harmonically varying force of amplitude <math>3.6</math>N. Find the amplitude <math>A</math> and the phase constant <math>\phi</math> of the steady-state motion when the angular frequency is:'''<br />
'''a)<math>8.0 s^{-1}</math>, b)<math>80 s^{-1}</math> y c)<math>800 s^{-1}</math>. '''<br />
<br />
'''Un sistema con <math>m=0.010</math> <math>kg</math>, <math>s=36 N m^{-1}</math> y <math>b=0.50 kg s^{-1}</math> es impulsado por una fuerza que varía armónicamente de amplitud <math>3.6</math>N. Encuentra la amplitud <math>A</math> y la constante de fase <math>\phi</math> del estado estacionario de movimiento cuando la frecuencia es:'''<br />
'''a)<math>8.0 s^{-1}</math>, b)<math>80 s^{-1}</math> y c)<math>800 s^{-1}</math>. '''<br />
<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
a)<math>8.0 s^{-1}</math><br />
<br />
La relación correspondiente entre la fuerza <math> F_{o} </math> y la amplitud del desplazamiento para un sistema amortiguado es:<br />
<br />
<math>F_{o}=s A_{o}\left[1-\left(\frac{\omega^{2}}{\omega_{o}^{2}}\right)\right]</math><br />
<br />
Si despejamos el valor de <math>A_{0}</math> se tiene que:<br />
<br />
<math>A_{o}=\frac{F_{o}/s}{1-\left(\frac{\omega}{\omega_{o}}\right)^{2}}<br />
</math><br />
<br />
El valor de la frecuencia angular al sustituir los valores de <math>s</math> y <math>m</math> es:<br />
<br />
<math><br />
\omega_{o}=\sqrt{\frac{s}{m}}=\sqrt{\frac{36}{0.010}}=60s^{-1}<br />
</math><br />
<br />
Así el valor de <math>A_{0}</math> es:<br />
<br />
<math>A_{o}=\frac{3.6/36}{1-\left(\frac{8}{60}\right)^{2}}=0.1m=100mm<br />
</math><br />
<br />
Por otra parte la constate de fase esta dada por:<br />
<br />
<math>\tan\varphi=\frac{-\gamma w}{\left(w_{o}^{2}-w^{2}\right)}=\frac{bw/m}{w_{o}^{2}-w^{2}}=-\frac{bw}{m\left(w_{o}^{2}-w^{2}\right)}<br />
</math><br />
<br />
sustituyendo valores:<br />
<br />
<math>\tan\varphi=\frac{-\gamma w}{\left(w_{o}^{2}-w^{2}\right)}=\frac{bw/m}{w_{o}^{2}-w^{2}}=-\frac{bw}{m\left(w_{o}^{2}-w^{2}\right)}=\frac{\left(0.50\right)\left(8\right)}{\left(0.010\right)\left(60^{2}-8^{2}\right)}=\frac{4}{35.36}=-0.113<br />
</math><br />
<br />
:<math>\arctan\left(-0.113\right)=\varphi=-0.112\ldots\left(rad\right)<br />
</math><br />
<br />
pasando el resultado a grados se llega a:<br />
<br />
<math>\varphi=-0.112=-6.447^{o}\approx-6.5^{o}<br />
</math><br />
<br />
Se utiliza el mismo razonamiento para los incisos b y c. <br />
<br />
'''b)80s'''<br />
<br />
:<math>A_{0}=-1.28 mm </math> y<br />
:<math>\phi=-55^{o}</math><br />
<br />
<br />
'''c)800s'''<br />
<br />
: <math>A_{0}=-0.0056mm </math> y<br />
:<math>\phi=-3.59^{o}</math><br />
<br />
<br />
[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 01:42 17 feb 2014 (UTC)<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:MISS|MISS]] ([[Usuario discusión:MISS|discusión]]) 01:12 21 may 2013 (CDT)<br />
----<br />
'''5.3 Show that the displacement amplitud A is a maxium at the driving<br />
'''frequency given by''' $\omega_{R}^{2}=\omega_{0}^{2}-\frac{1}{2}\gamma^{2}$<br />
<br />
$\;$<br />
'''Muestra que la amplitud del desplazamiento A es máxima cuando la frecuencia está dada por $\omega_{R}^{2}=\omega_{0}^{2}-\frac{1}{2}\gamma^{2}$ .'''<br />
<br />
<br />
Partimos de la ecuación de movimiento para un movimiento forzado y<br />
amortiguado<br />
<br />
\[<br />
\ddot{\psi}+\gamma\psi+\omega_{0}^{2}\psi=A\cos\omega t\qquad;\; A=\frac{F_{0}}{m}<br />
\]<br />
<br />
<br />
teniendo como solución la combinación lineal de su solución homogénea<br />
y su solución particular<br />
<br />
\[<br />
\psi_{h}(t)=e^{-\beta t}[A_{1}e^{\sqrt{\beta^{2}-\omega_{0}^{2}}t}+A_{2}e^{-\sqrt{\beta^{2}-\omega_{0}^{2}}t}]\quad;\;\beta=\frac{\gamma}{2}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\psi_{p}(t)=D\cos(\omega t+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
por sustitución en la ecuación de movimiento y desarrollando $\cos(\omega t-\delta)$<br />
y $\sin(\omega t-\delta)$ obtenemos:<br />
<br />
\[<br />
\{A-D[(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})\cos\delta+2\omega\beta\sin\delta]\}\cos\omega t-\{D[(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})\sin\delta-2\omega\beta\cos\delta]\}\sin\omega t=0<br />
\]<br />
<br />
<br />
del primer término se obtiene la relación para la amplitud dada por<br />
<br />
\[<br />
D=\frac{A}{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})\cos\delta+2\omega\beta\sin\delta}\qquad(1)<br />
\]<br />
<br />
y la relación para $\cos\delta$ y $\sin\delta$<br />
se obtiene del segundo término <br />
<br />
\[<br />
\tan\delta=\frac{2\omega\beta}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\sin\delta=\frac{2\omega\beta}{\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\omega^{2}\gamma^{2}}}<br />
\]<br />
\[<br />
\cos\delta=\frac{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}{\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\omega^{2}\beta^{2}}}<br />
\]<br />
y así, sustituyendo estas dos últimas expresiones en (1) obtenemos<br />
<br />
\[<br />
D=\frac{A}{\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\omega^{2}\beta^{2}}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Para hallar la pulsación $\omega_{R}$ para la cual la amplitud D<br />
es máxima efectuamos la derivación<br />
<br />
\[<br />
\frac{dD}{d\omega}|_{\omega=\omega_{R}}=0<br />
\]<br />
<br />
<br />
:$\frac{dD}{d\omega}=-\frac{1}{2}\frac{A[-4\omega_{R}(\omega_{0}^{2}-\omega_{R}^{2})+8\omega_{R}\beta^{2}]}{[(\omega_{0}^{2}-\omega_{R}^{2})^{2}+4\omega_{R}^{2}\beta^{2}]^{3/2}}=0\quad\Rightarrow8\omega\beta^{2}=4\omega(\omega_{0}^{2}-\omega_{R}^{2})\;\Rightarrow2\beta^{2}=\omega_{0}^{2}-\omega_{R}^{2}$<br />
<br />
y por la tanto así queda demostrado <br />
<br />
\[<br />
\omega_{R}^{2}=\omega_{0}^{2}-2\beta^{2}\quad;\;\beta=\frac{\gamma}{2}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\omega_{R}^{2}=\omega_{0}^{2}-\frac{1}{2}\gamma^{2}<br />
\]<br />
<br />
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 17:33 15 feb 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
5.4<br />
<br />
'''Show that the acceleration amplitude $\omega^{2}A$ is a maximum at<br />
the driving frequency given by'''<br />
<br />
$\omega^{2}=\omega_{0}^{2}/(1-\gamma^{2}/2\omega_{0}^{2})\simeq\omega_{0}^{2}+\frac{1}{2}\gamma^{2}$<br />
<br />
'''where the approximation is good when the damping is very light.'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
Primero nombremos $\omega^{2}=z$ y $\omega_{0}^{2}=x$ por facilidad<br />
de escritura, entonces tenemos que la amplitud de acceleración es<br />
$zA$, y esto es igual a $\frac{F_{0}\omega}{B}\left[\frac{\gamma^{2}\omega^{2}}{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})+\gamma^{2}\omega^{2}}\right]^{1/2}$<br />
o $\frac{F_{0}}{B}\left[\frac{\gamma^{2}z^{2}}{(x-z)+\gamma^{2}z}\right]^{1/2}$<br />
simplemente haciendo las sustituciones propuestas.<br />
<br />
Por lo que $zA=\frac{F_{0}}{B}\left[\frac{\gamma^{2}z^{2}}{(x-z)+\gamma^{2}z}\right]^{1/2}$<br />
, al derivar esto con respecto a z e igualarlo a cero para hacerlo<br />
un máximo, vemos que el factor $\frac{F_{0}}{B}$ y la parte inferior<br />
de la derivada del cociente desaparecen al igual que el cociente de<br />
la raíz, por lo que <br />
<br />
sólo nos va a interesar la parte superior de la derivada, y lo escribimos.<br />
<br />
$\left[(x-z)^{2}+\gamma^{2}z\right](2\gamma^{2}z)-\gamma^{2}z^{2}\left[-2(x-z)+\gamma^{2}\right]=0$<br />
<br />
Haciendo algunas simplificaciones algebraicas sencillas<br />
<br />
$2(x^{2}-2xz+z^{2})+\gamma^{2}z=-2z(x-z)$<br />
<br />
Por lo que<br />
<br />
$-2xz+\gamma^{2}z+2x^{2}=0$<br />
<br />
$z(-2x+\gamma^{2})=-2x^{2}$<br />
<br />
$z=\frac{-2x^{2}}{-2x+\gamma2}$<br />
<br />
$z=\frac{x}{1-\frac{\gamma^{2}}{2x}}$<br />
<br />
O resustituyendo<br />
<br />
$\omega^{2}=\omega_{0}^{2}/(1-\gamma^{2}/2\omega_{0}^{2})\simeq\omega_{0}^{2}+\frac{1}{2}\gamma^{2}$<br />
<br />
Nota: Tomar en cuenta que la parte de las simplificaciones fue omitida<br />
puesto que es pura álgebra y el lector la puede hacer fácilmente.<br />
<br />
[[Usuario:Edgar Ortega Roano|Edgar Ortega Roano]] 09:58 12 feb 2014 (CDT)<br />
<br />
5.5''' A certain system has $\nu_{0}=$50 Hz exactly and Q=10 excactly.<br />
Compare the numericale values of:'''<br />
<br />
'''a) A the resonance angular frecuency $\omega_{0},b)$ the angular<br />
frecuency of the free vibrations $\omega_{f},$c)the''' '''value of<br />
$\omega$ at which the displacement amplitude A is a maximun, and<br />
d) the value of $\omega$ at which the''' '''aceleration amplitude<br />
$\omega^{2}$is a maximun.'''<br />
<br />
'''Cierto sistema tiene $\nu_{0}=$50 Hz exactamente y Q=10 exactamente.<br />
Compare los valores numéricos''' '''de:'''<br />
<br />
'''a) La frecuencia angular de resonancia $\omega_{0}$:'''<br />
<br />
Para calcular $\omega_{0},$se utiliza la siguiente definición: $\omega=2\pi\nu$<br />
que para $\omega_{0}$, se convierte en $\omega_{0}=2\pi\nu0$.<br />
<br />
Al sustituir los valores dados, dentro de la ecuación, se obtiene:<br />
<br />
\[<br />
\omega_{0}=2\pi(50Hz)=314.16rad/seg<br />
\]<br />
<br />
<br />
'''b)La frecuencia angular para vibraciones libres:'''<br />
<br />
Para obtener la frecuencia angular para vibraciones libres, se ocupa<br />
la siguiente definición:<br />
<br />
\[<br />
\omega=\omega_{0}\left[1-\left(\gamma/2\omega_{0}\right)^{2}\right]^{1/2}<br />
\]<br />
<br />
<br />
En donde se utiliza la siguiente relación: $\gamma=\frac{\omega_{0}}{Q}$<br />
<br />
Al sustituir las ecuaciones anteriores con los datos, se obtiene:<br />
<br />
\[<br />
\gamma=31.416<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\omega=314.16\left[1-(31.416/628.31)^{2}\right]^{1/2}=313.76rad/seg<br />
\]<br />
<br />
<br />
Se puede observar que $\omega$ y $\omega_{0},$ valen prácticamente<br />
lo mismo.<br />
<br />
'''c)El valor de $\omega$ en el que la amplitud A, sea un máximo:'''<br />
<br />
Primero se utiliza la siguiente relación:<br />
<br />
\[<br />
x(t)=Asen(\omega t+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Que se deriva para obtener el punto crítico en el que A es un máximo,<br />
y se obtiene:<br />
<br />
\[<br />
Cos(\omega t+\phi)=0<br />
\]<br />
<br />
<br />
En donde se aplica el arcoseno con el propósito de despejar a $\omega$:<br />
<br />
\[<br />
\omega t=\frac{\pi}{2}-\phi<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\omega=\frac{\pi}{2t}=\frac{\pi}{2\nu_{0}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Al sustituir, con los valores dados, se obtiene: $\omega=0.314$ rad/seg<br />
<br />
'''d)El valor de $\omega$ para el cual la amplitud de la aceleración<br />
y $\omega^{2}A$ es un máximo:'''<br />
<br />
Este valor, se obtiene con la segunda derivada de la siguiente ecuación:<br />
<br />
\[<br />
\frac{}{}<br />
\]<br />
\[<br />
\frac{d^{2}x}{dt}Asen(\omega t+\phi)=-A\omega sen(\omega t)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
-A\omega sen\omega t=0<br />
\]<br />
<br />
<br />
Al despejar el $\omega$ utilizando el arcoseno, se obtiene:<br />
<br />
\[<br />
0=\omega t<br />
\]<br />
<br />
<br />
Por ende, $\omega=0$<br />
<br />
[[Usuario:Ana Alarid|Ana Alarid]] ([[Usuario discusión:Ana Alarid|discusión]]) 03:31 26 feb 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
5.6 Show that value of the displacement amplitude A at the excact<br />
maximum of its response curve is<br />
<br />
Traducción: '''Muestre que el valor de desplazamiento de la amplitud'''<br />
''' A en el maximo exacto de su curva de resuesta es:'''<br />
<br />
\[<br />
A_{max}=\left(\frac{QF_{0}}{s}\right)\left(1-\frac{1}{4Q^{2}}\right)^{-1/2}\thickapprox\left(\frac{QF_{0}}{s}\right)\left(1+\frac{1}{8Q^{2}}\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Como ya sabemos la amplitud esta dada por la siguiente ecuación:<br />
<br />
\[<br />
A=\frac{F_{0}}{m}\left[\frac{1}{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}\right]^{1/2}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Tambien conocemos las siguientes ecuaciones:<br />
\[<br />
Q=\frac{\omega_{0}}{\gamma}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Cuanto mayor es el valor de Q menor es el efecto disipativo y mayor<br />
el numero de ciclos de oscilaciones libres para una disminución dada<br />
de amplitud. <br />
<br />
\[<br />
\omega^{2}=\frac{s}{m}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\gamma=\frac{b}{m}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Ahora bien haciendo álgebra y utilizando las ec. anteriores podemos llegar a:<br />
<br />
\[<br />
A=\frac{F_{0}}{m\omega_{0}}\frac{\omega/\omega_{0}}{\left[\left(\frac{\omega_{0}}{\omega}-\frac{\omega}{\omega_{0}}\right)^{2}+\frac{1}{Q^{2}}\right]^{1/2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
O bien:<br />
<br />
\[<br />
A=\frac{F_{0}}{s}\frac{\omega_{0/}\omega}{\left[\left(\frac{\omega_{0}}{\omega}-\frac{\omega}{\omega_{0}}\right)^{2}+\frac{1}{Q^{2}}\right]^{1/2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
La mayor parte de la variación de la fase se produce en un intervalo<br />
de frecuencias que va aproximadamente desde $\omega_{0}\left(1-\frac{1}{Q}\right)$hasta<br />
$\omega_{0}\left(1+\frac{1}{Q}\right),$en el limite $Q\rightarrow\infty$.<br />
<br />
La amplitud A pasa por un máximo para cualquier valor de Q mayor de<br />
$1/\sqrt{2}$, es decir, para todos los sistemas excepto los amortiguados<br />
con mayor intensidad.<br />
<br />
Esta amplitud máxima se presenta, a una frecuencia $\omega_{m}$que<br />
es menor que $\omega_{0}$. Si llamamos Ao a la amplitud $\frac{F_{0}}{s}$<br />
obtenida para $\omega\rightarrow0$, se obtendrán las siguientes ecuaciones:<br />
<br />
\[<br />
\omega_{m}=\omega_{0}\left(1-\frac{1}{2Q^{2}}\right)^{1/2}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
A_{m}=A_{0}\frac{Q}{\left(1-\frac{1}{4Q^{2}}\right)^{1/2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Por lo tanto queda demostrado que: <br />
<br />
\[<br />
A_{m}=\frac{F_{0}}{s}\frac{Q}{\left(1-\frac{1}{4Q^{2}}\right)^{1/2}}\thickapprox\frac{F_{0}}{s}\frac{Q}{\left(1+\frac{1}{8Q^{2}}\right)}<br />
\]<br />
--[[Usuario:Daniel Olvera Moreno]] 22:40 21 de feb 2014 [[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] ([[Usuario discusión:Cesar Ivan Avila Vasquez|discusión]]) 17:10 25 Febrero 2014<br />
<br />
----<br />
<br />
5.7 Show that the value of the acceleration amplitude $\omega^{2}A$<br />
at the exact maximum of its response curve is<br />
<br />
\[<br />
\left(\omega^{2}A\right)_{m}=\left(QF_{0}/m\right)\left(1-1/4Q^{2}\right)^{-1/2}\thickapprox\left(QF_{0}/m\right)\left(1+1/8Q^{2}\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Ya que anteriormente habiamos calculado $A_{m}$<br />
<br />
\[<br />
A_{m}=\frac{F_{0}}{s}\frac{Q}{\left(1-\frac{1}{4Q^{2}}\right)^{1/2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
lo unico que debemos hacer es multiplicar en los dos lados de la ecuacion<br />
por $\omega^{2}$y sabiendo tambien que $\omega^{2}=\frac{s}{m}$<br />
obtendremos que <br />
<br />
\[<br />
\left(\omega^{2}A\right)_{m}=\frac{F_{0}}{m}\frac{Q}{\left(1-\frac{1}{4Q^{2}}\right)^{1/2}}\thickapprox\frac{F_{0}}{m}\frac{Q}{\left(1+\frac{1}{8Q^{2}}\right)}<br />
\]<br />
--[[Usuario:Daniel Olvera Moreno]] 23:05 21 de feb 2014<br />
<br />
5.8 '''Figure 5.13 shows the mean power absorption (P) in watts, as a function of driving frequency in the resonance region. Find the numerical vaules of a) <math>\omega_{0}</math>, b)<math>\gamma</math>, and c) Q. d) If driving force is removed, after how many subsequent cycles will the energy of the system be <math>\displaystyle{\frac{1}{e}}</math> of its initial vaule?'''<br />
<br />
La figura 5.13 muestra la media de absorción de potencia (P) en watts, en función de la potencia de la frecuencia. Encontrar los valores numéricos de (a) <math>\omega_{0}</math>, (b) <math>\gamma</math>, y (c) Q. Si se retira la fuerza motriz, ¿después de cuantos ciclos posteriores la energía del sistema es <math>\displaystyle{\frac{1}{e}}</math> de su valor inicial.<br />
<br />
a) Directamente de la figura 5.13, se observa que en su punto más alto la frecuencia es de 96Hz, por lo que<br />
<center><math>\displaystyle{\omega_{0}=2\pi\nu=2\pi(96hz)=603.18\frac{rad}{s}}</math></center><br />
<br />
b) Como <math>\gamma</math> esta dado por el ancho de la gráfica cuando su potencia es de la mitad de la máxima, de la figura se observa fácilmente que<br />
<center><math>\gamma=99hz-93hz=6hz</math></center><br />
<br />
c) De la ecuación 3.14 se tiene que<br />
<center><math>\displaystyle{Q=\frac{\omega_{0}}{\gamma}=100.53}</math></center><br />
<br />
d) De las ecuaciones 3.12 se sabe que la energía decae por un factor <math>\displaystyle{\frac{1}{e}}</math> al tiempo <math>\displaystyle{t=\frac{1}{\gamma}}</math>, es decir <math>\displaystyle{t=\frac{1}{6}s}</math><br />
<br />
<br />
Como<br />
<center><math>T=\displaystyle{\frac{1}{\nu}=\frac{1}{96}}</math></center><br />
<br />
se tiene que el número de ciclos esta dado por<br />
<center><math>\displaystyle{Ciclos=\frac{\nu}{\gamma}=\frac{96}{6}=16}</math></center><br />
<br />
[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 04:54 25 feb 2014 (UTC)<br />
----<br />
<br />
5.9 If the system in problem 5.8 has m=0-010 Kg, calculate the force<br />
amplitude Fo<br />
<br />
Primeramente escribimos los datos obtenidos del problema anterior<br />
<br />
$\omega_{0}=600\frac{rad}{s}$ $Q=16$$\gamma=38Hz$<br />
<br />
Ahora bien para calcular Fo podemos acudir a la ecuacion:<br />
<br />
\[<br />
P=\frac{F_{0}^{2}}{2M\gamma}\left[\frac{\gamma^{2}\omega^{2}}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}\right]<br />
\]<br />
<br />
<br />
Esta es la ecuacion para obtener P y la usaremos ya que del problema<br />
anterior podemos observar en la grafica que P es 20 W esto es porque<br />
el poblema dice que esta en resonancia, y cuando esta en resonancia<br />
P alcanza su maximo, de aqui tambien se observa que $\omega=\omega_{0}$<br />
, esta ecuacion se reducira a la siguiente<br />
<br />
\[<br />
P=\frac{F_{0}^{2}\omega_{0}Q}{2\gamma}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Y esta ecuacion puede convertirse en <br />
<br />
\[<br />
P=\frac{QF_{0}^{2}}{2m\omega_{0}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Ya que anteriormente se explico que se conoce P de la ecuaion se despejara<br />
para obtener Fo y tenemos que:<br />
<br />
\[<br />
F_{0}=\left[\frac{2Pm\omega_{0}}{Q}\right]^{1/2}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Por lo tanto <br />
\[<br />
F_{0}=3.87N\backsimeq3.9N<br />
\]<br />
--[[Usuario:Daniel Olvera Moreno]] 21:26 25 de feb 2014<br />
<br />
5.12 Show that, for driving frequencies close to resonance $(\omega\thickapprox\omega_{0})$<br />
in a very lightly damped system, the response function (5.7) may be<br />
approximated by the Lorentzian<br />
<br />
Traduccion: '''Muestre que para frecuencias cerca de la resonancia $\left(\omega\approx\omega_{0}\right)$'''<br />
'''en un sistema muy ligeramente amortiguado, la función de respuesta (5.7)'''<br />
'''puede ser aproximada por el Lorentziano:'''<br />
<br />
\[<br />
L(\omega)=\frac{\frac{1}{4}\gamma^{2}}{(\omega_{0}-\omega)^{2}+\frac{1}{4}\gamma^{2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Sabemos que:<br />
<br />
\[<br />
R(\omega)=\frac{\gamma^{2}\omega^{2}}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Además tenemos que $\omega\thickapprox\omega_{0}$ y dado que el movimiento<br />
es muy ligeramente amortiguado tambien tenemos que $\omega_{0}\gg\frac{\gamma}{2}$<br />
y por lo cual $\omega\gg\frac{\gamma}{2}$ entonces:<br />
<br />
\[<br />
R(\omega)=\frac{\gamma^{2}\omega^{2}}{\left(\omega_{0}+\omega\right)^{2}\left(\omega_{0}-\omega\right)^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
R(\omega)=\frac{\gamma^{2}\omega^{2}}{\left(\omega\left(\frac{\omega_{0}}{\omega}+1\right)\right)^{2}\left(\omega_{0}-\omega\right)^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
R(\omega)=\frac{\gamma^{2}\omega^{2}}{\omega^{2}\left(\frac{\omega_{0}}{\omega}+1\right)^{2}\left(\omega_{0}-\omega\right)^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}=\frac{\gamma^{2}}{\left(\frac{\omega_{0}}{\omega}+1\right)^{2}\left(\omega_{0}-\omega\right)^{2}+\gamma^{2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Luego, con $\omega_{0}\thickapprox\omega$ tenemos que:<br />
<br />
\[<br />
R(\omega)\cong\frac{\gamma^{2}}{\left(1+1\right)^{2}\left(\omega_{0}-\omega\right)^{2}+\gamma^{2}}=\frac{\gamma^{2}}{4\left(\omega_{0}-\omega\right)^{2}+\gamma^{2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
R(\omega)=\left(\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}}\right)\frac{\gamma^{2}}{4\left(\omega_{0}-\omega\right)^{2}+\gamma^{2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Finalmente:<br />
<br />
\[<br />
\Rightarrow\frac{\frac{\gamma^{2}}{4}}{\left(\omega_{0}-\omega\right)^{2}+\frac{\gamma^{2}}{4}}=L(\omega)<br />
\]<br />
<br />
--[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] 00:01 20 Febrero 2014 (CDT)<br />
----<br />
5.14 '''By finding the value of''' $\omega$ '''which makes the compliance''' $\left|K(\omega)\right|$ '''a maximum, confirm the result of problem<br />
5.3.'''<br />
<br />
Sea $K(\omega)=\frac{1}{(s-m\omega^{2})+ib\omega}$ <br />
<br />
si queremos que $K(\omega)$ sea máximo esto sucede cuando el denomidador<br />
tiende a cero y para eso resolvemos $s-m\omega^{2}+ib\omega=0$ obteniendo<br />
entonces que<br />
<br />
\[\omega=\frac{ib}{2m}\pm(\frac{s}{m}-\left(\frac{b}{m}\right)^{2})^{\frac{1}{2}}\]<br />
<br />
Si ahora consideramos solamente la parte real donde $K(\omega)$ tiene un máximo (según la gráfica 5.8 de la página 66 de G.Main) tendremos que<br />
<br />
$\omega=\pm(\frac{s}{m}-\left(\frac{b}{m}\right)^{2})^{\frac{1}{2}}$<br />
<br />
[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 04:32 28 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
5.16<br />
<br />
'''For the motion <math> \psi=(7.5 mm) cos[(6.28 s^{-1})t +27º]-(2.3 mm) sin[(6.20 s^{-1})t-121º]</math> find (a) the frequency, and (b) the time interval separating sucessive beats.'''<br />
<br />
'''Para el movimiento <math> \psi=(7.5 mm) cos[(6.28 s^{-1})t +27º]-(2.3 mm) sin[(6.20 s^{-1})t-121º]</math> encuentra (a) la frecuencia, y (b) el intervalo que separa las pulsaciones sucesivas.'''<br />
<br />
<br />
(a) Se tiene un movimiento que resulta de la superposición de dos movimientos, la vibración libre y una vibración forzada, por lo tanto se tienen diferentes frecuencias angulares <math>\omega_{1}</math> y <math>\omega_{2}</math>, entonces la frecuencia estará dada como sigue:<br />
<br />
<math>f=\frac{1}{T}=\frac{1}{\frac{2\pi}{\omega}}=\frac{\omega}{2\pi}</math><br />
<br />
donde se tienen dos valores distintos para <math>\omega</math> :<br />
<br />
<math>\omega_{1}=6.28s^{-1}</math> y:<br />
<br />
<br />
<math>\omega_{2}=6.20s^{-1}</math><br />
<br />
Entonces las frecuencias correspondientes a cada <math>\omega</math> son:<br />
<br />
<math>f_{1}=\frac{6.28}{2\pi}=0.999Hz</math> y:<br />
<br />
<br />
<math>f_{2}=\frac{6.20}{2\pi}=0.9867Hz</math><br />
<br />
Así la frecuencia correspondiente al movimiento <math>\psi</math> es:<br />
<br />
<math>\Rightarrow f\backsimeq0.99Hz</math><br />
<br />
(b) Dado que el periodo se relaciona de la siguiente forma con <math>\gamma</math>:<br />
<br />
<math>\tau=\frac{1}{\gamma}</math><br />
<br />
Y <math>\gamma</math> es:<br />
<br />
<math>\gamma=2\omega</math><br />
<br />
Se tiene:<br />
<br />
<math>\gamma=2(6.28)=12.56</math><br />
<br />
Y finalmente al sustituir obtenemos el valor del periodo:<br />
<br />
<math>\tau=\frac{1}{12.56}=0.0796s</math><br />
<br />
<br />
[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 23:32 19 feb 2014 (UTC)<br />
----<br />
'''5.18 A simple seismometer consists of a mass hung on a spring attached to a rigid framework, which is fixed to the ground, with critical damping. The vertical displacement of the mass relative to the framework is recorded.'''<br />
<br />
'''a) Show that the measured amplitude A of the steady-state vibration resulting from a vertical displacement $Hcos(\omega t)$<br />
of the earth´s surface is given by'''<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{A}{H}=\frac{\omega}{2\omega_{0}}[R_{(\omega)}]^{\frac{1}{2}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
'''b) Show that, if the frecuencies of the detected disturbances lie in the region of mass controlled motion, the mass remains almost stationary when the ground moves.'''<br />
<br />
Interpretación al español latino<br />
<br />
'''5.18 Un simple sismómetro consiste en una masa colgada en un resorte unido a un marco rígido, que está fijado al suelo, con amortiguamiento crítico. El desplazamiento vertical de la masa en relación con el marco se registra.'''<br />
<br />
<br />
'''a) Demostrar que la amplitud A medida de la vibración de estado estacionario resultante de un desplazamiento vertical $Hcos(\omega t)$ de la superficie de la tierra está dado por'''<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{A}{H}=\frac{\omega}{2\omega_{0}}[R_{(\omega)}]^{\frac{1}{2}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
'''b) Demostrar que, si las frecuencias de las alteraciones detectadas se encuentran en la región del movimiento de masas controladas, la masa permanece casi estacionario cuando el suelo se mueve.'''<br />
<br />
El movimiento del sismómetro puede verse como un oscilador forzado, donde el movimiento terrestre es la fuerza externa oscilante, llamaremos:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\upsilon_{(t)}=Hcos(\omega t)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Encontramos que el cambio de momento:<br />
\begin{equation}<br />
p=m\dot{\upsilon} \Longrightarrow \frac{\delta p}{\delta t}=m\ddot{\upsilon}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
<br />
donde: <br />
\begin{equation}<br />
\ddot{\upsilon}=-H\omega^{2}cos(\omega t)<br />
\end{equation} <br />
<br />
Entonces por segunda ley de newton y tomando en cuenta que el movmiento es unidimensional. <br />
\begin{equation}<br />
F=\frac{\delta p}{\delta t} \Longrightarrow F(t)=-mH\omega^{2}cos(\omega t)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
<br />
Ahora bien para la descripción del movimiento del sismógrafo, tenemos de la anterior ecuación diferencial. <br />
<br />
\begin{equation}<br />
m\ddot{h}+2m\beta\dot{h}+m\omega_{0}^{2}h=-mH\omega^{2}cos(\omega t)<br />
\end{equation} <br />
<br />
<br />
La cual para simplificar dividimos entre la masa. <br />
\begin{equation}<br />
\ddot{h}+2\beta\dot{h}+\omega_{0}^{2}h=-H\omega^{2}cos(\omega t)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Sin embargo la solución homogénea es como lo indica el problema: amortiguamiento critico, por tanto nos quedaremos con una solución de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
h_{(t)}=Acos(\omega t-\phi)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Evaluando derivadas. <br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{h_{(t)}}=-A\omega sen(\omega t-\phi)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{h}_{(t)}=-A\omega^{2}cos(\omega t-\phi)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Sustituimos en la ecuación diferencial. <br />
<br />
\begin{equation}<br />
-A\omega^{2}cos(\omega t-\phi)-2A\beta\omega sen(\omega t-\phi)+A\omega_{0}^{2}cos(\omega t-\phi)=-H\omega^{2}cos(\omega t)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Y reagrupamos términos. <br />
<br />
\begin{equation}<br />
A(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})cos(\omega t-\phi)-2A\beta\omega sen(\omega t-\phi)]=-H\omega^{2}cos(\omega t)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De aquí se procederá, partiendo del producto interno entre dos funciones, se puede demostrar que:<br />
\begin{equation}<br />
\int_{0}^{T}cos(\omega t-\phi)sen(\omega t-\phi)=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De esto se puede concluir que ambas funciones son ortogonales, y de allí que forman un triangulo rectángulo donde la magnitud de sus catetos es el coeficiente de cada función. Ahora, la fuerza al no poseer el mismo argumento se dice oblicua a las anteriores, y de allí que su argumento corresponda a la hipotenusa, por lo tanto se puede armar por teorema de pitágoras. <br />
<br />
\begin{equation}<br />
H^{2}\omega^{4}=A^{2}[(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\beta^{2}\omega^{2}]<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Lo cual tras algunas manipulaciones algebraicas. <br />
<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{A^{2}}{H^{2}}=\frac{\omega^{4}}{[(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\beta^{2}\omega^{2}]}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Por la definición de <br />
<br />
\begin{equation}<br />
R_{(\omega)}\equiv\frac{4\beta^{2}\omega^{2}}{\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\beta^{2}\omega^{2}}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
<br />
Multiplicamos la original por el termino del numerador, tomando en cuenta las condiciones de amortiguamiento critico. <br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{A^{2}}{H^{2}}=\frac{\omega^{4}}{[(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\beta^{2}\omega^{2}]}\frac{4\omega_{0}^{2}\omega^{2}}{4\omega_{0}^{2}\omega^{2}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Al simplificar y reducir obtenemos. <br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{A}{H}=\frac{\omega}{2\omega_{0}}[R_{(\omega)}]^{\frac{1}{2}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De aquí que la máxima resonancia es cuando ambas frecuencias angulares son iguales, y entonces la amplitud es igual a un medio de la amplitud con que la tierra oscila. <br />
[[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 12:35 21 feb 2014 (UTC)<br />
--[[Usuario:Andrés Arturo Cerón Téllez|Andrés Arturo Cerón Téllez]] ([[Usuario discusión:Andrés Arturo Cerón Téllez|discusión]]) 21:55 29 jun 2013 (CDT)<br />
Se agregaron los símbolos para que apareciera una ecuación con el formato adecuado. --[[Usuario:Andrés Arturo Cerón Téllez|Andrés Arturo Cerón Téllez]] ([[Usuario discusión:Andrés Arturo Cerón Téllez|discusión]]) 22:37 5 jul 2013 (CDT)<br />
----<br />
<br />
5.19'''Una masa de 4 kg alarga 1cm un resorte, la masa se libera desde el reposo inicialmente desde ese punto que esta por arriba de la posicion de equilibrio y el movimiento posterior ocurre en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a un cuarto de la velocidad instantanea; encuentre la ecuacion de movimiento si se aplica una una fuerza externa igual a la velocidad instantanea.<br />
<br />
<br />
Datos <br />
<br />
<br />
m= 2 kg<br />
<br />
k=2<br />
<br />
<br />
concdiciones iniciales<br />
<br />
<br />
<math>x(0)=1</math> y <math>x'(0)=8</math><br />
<br />
<br />
<math>2\lambda=\frac{\beta}{m}=\frac{9.8}{4}=2.45</math><br />
<br />
<br />
<math>\omega^{2}=\frac{K}{m}=\frac{2(9.8)}{4}=4.9</math><br />
<br />
<br />
<math>x''+2\lambda x'+\omega^{2}x=f(x)</math> <br />
<br />
<br />
<math>x''+2\lambda x'+\omega^{2}x=-x'</math><br />
<br />
<br />
sustituimons terminos<br />
<br />
<br />
<math>x''+2.45x'+4.9x=-x\text{'}</math><br />
<br />
<br />
<math>x''+3.45x'+4.9x=0</math><br />
<br />
<br />
la solucion a esta ecuacion diferencial es <br />
<br />
<math>x(t)=-e^{-1.7t}\cos(1.4t)+4.5e^{-1.7t}\sin(1.4t)</math><br />
<br />
<br />
<math>x'(t)=[-\cos(1.4t)+4.5\sin(1.4t)](1.7)+[1.4\cos(1.4t)+6.3\sin(1.4t)]</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:David Alberto Rojas Solis|David Alberto Rojas Solis]] ([[Usuario discusión:David Alberto Rojas Solis|discusión]]) 09:08 6 jul 2013 (CDT)<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 12:01 9 may 2013 (CDT)<br />
<br />
[[categoría:Vibra]]</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Ondas:_probs_c2_mov_osc&diff=18345Ondas: probs c2 mov osc2014-03-28T01:48:04Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div>vibraciones y ondas<br />
problemas capítulo 2 Óptica - Hecht<br />
<br />
'''2.1¿Cuantas ondas de luz amarillas (<math>\lambda=580nm</math>) caben en una distancia en el espacio igual a un trozo de papel de (0.003 pulgadas)? ¿Hasta donde se extendera el mismo número de microondas <math>\displaystyle{(\nu=10^{10}Hhz}</math>, es decir, <math>\displaystyle{10GHz}</math> y <math>\displaystyle{v=3x10^8\frac{m}{s}})</math>?'''<br />
<br />
Para responder a la primera pregunta, basta con dividir el espesor del papel con el de la longuid de onda dada, es decir<br />
<br />
<center><math>ondas=\displaystyle{\frac{0.003 in}{580 mm}=\frac{0.003 in}{580 nm}\frac{25.4mm}{1 in}=\frac{0.0762 mm}{580 nm}=131 ondas}</math></center><br />
<br />
Una microonda con frecuencia de <math>\displaystyle{10 GHz}</math> tiene una longuitud de onda de<br />
<br />
<center><math>\displaystyle{\lambda=\frac{c}{\nu}=\frac{3x10⁸}{10 GHz}=0.03m}</math></center><br />
<br />
Por lo tanto 131 ondas con dicha longuitud se extenderán<br />
<br />
<center><math>\displaystyle{extensión=(131)(0.03m)=3.93 m}</math></center><br />
<br />
[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 20:28 17 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
<br />
2.2''' La velocidad de la luz en el vacio es aproximadamente de''' $3x10^{8}\frac{m}{s}$.'''Calcule la longitud de onda de la luz roja con una frecuencia de''' $5x10^{14}Hz$.'''Compárela con la longitud de onda de una onda electromagnética de'''$60Hz.$<br />
<br />
<br />
Utilizamos la ecuación $\lambda=\frac{c}{\nu}$,donde $c$ es la velocidad de la luz y $\nu$ la frecuencia de la onda. Tendremos entonces:<br />
<br />
\[\lambda=\frac{c}{\nu}=\frac{3x10^{8}\frac{m}{s}}{5x10^{14}Hz}=6x10^{-7}m\] <br />
<br />
o la ecuación:<br />
<br />
\[\lambda=600nm\] <br />
<br />
que es la longitud de onda de la luz roja a la frecuencia solicitada en el problema. Ahora calculamos la longitud de onda de la onda electromagnética:<br />
<br />
<br />
\[\lambda_{1}=\frac{c}{\nu}=\frac{3x10^{8}\frac{m}{s}}{60Hz}=5x10^{6}m\].<br />
<br />
Al comparar $\lambda$ con $\lambda_{1}$ notamos que la longitud de onda ${\lambda}_{1}$correspondiente a la onda electromagnética es mucho mayor que la de la luz roja.<br />
<br />
[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 02:15 17 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
'''2.3'''<br />
<br />
'''Es posible generar ondas ultrasonicas en cristales con longitudes de onda similares a la luz $(5\times10^{-5}cm)$<br />
'''pero con frecuencias mas bajas $(6\times10^{8}Hz)$.''' '''Calcule la velocidad correspondiente de dicha onda.'''<br />
<br />
Pues bien teniendo los datos: $\lambda=5\times10^{-7}m$ y $f=6\times10^{8}Hz$<br />
<br />
<br />
De la ecuacion $v=f\cdot\lambda$<br />
<br />
<br />
$v=f\cdot\lambda$<br />
<br />
<br />
$v=(5\times10^{-7}m)(6\times10^{8}Hz)$<br />
<br />
<br />
$v=300\frac{m}{s}$<br />
<br />
[[Usuario:Mario Moranchel|Mario Moranchel]] ([[Usuario discusión:Mario Moranchel|discusión]]) 06:29 18 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
<br />
'''2.4'''<br />
<br />
'''Un joven en un barco sobre un lagoestá mirando las ondas que parecen'''<br />
'''una suceción infinita de crestas idénticas, produciendose con'''<br />
'''un intervalo de medio segundo cada una. Si cada perturbación tarda'''<br />
'''1.5s en cubrir la extensión del barco de 4.5 ¿cuál es la frecuencia,'''<br />
'''el periodo y la longitud de '''<br />
<br />
'''onda de las olas?'''<br />
<br />
Los datos dados en el problema, son los siguientes:<br />
<br />
t = 1.5s, l = 4.5m, <br />
<br />
Del enunciado, se deduce que el periodo, es el siguiente: $\tau=$0.5s.<br />
<br />
De donde se calcula la frecuencia utilizando la definición de frecuencia:<br />
<br />
\[<br />
\nu=\frac{1}{\tau}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Al sustituir, en la ecuuación, se obtiene el siguiente resultado:<br />
<br />
\[<br />
\nu=\frac{1}{0.5s}=2Hz<br />
\]<br />
<br />
<br />
Para obtener la longitud de onda, se utliliza la siguiente relación:<br />
<br />
\[<br />
\tau=\frac{\lambda}{v}\rightarrow\lambda=v\tau<br />
\]<br />
<br />
<br />
De donde la velocidad se obtiene a partir de la siguiente definición:<br />
$v=\frac{l}{t}=\frac{4.5m}{1.5s}=3m/s$<br />
<br />
Entonces $\lambda=(3m/s)(0.5s)=1.5m$.<br />
<br />
[[Usuario:Ana Alarid|Ana Alarid]] ([[Usuario discusión:Ana Alarid|discusión]]) 01:46 12 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
'''2.5'''<br />
<br />
'''Con un martillo vibrante se golpea el extremo de una barra de metal larga de manera que una onda de compresion periodica con una longitud de onda de 4.3m<br />
'''recorra todo lo largo de la barra con una velocidad de $v=3.5\frac{km}{s}$<br />
<br />
'''¿Cual sera la frecuencia de la vibración?'''<br />
<br />
<br />
Teniendo los datos: $\lambda=4.3m$ y $v=3500\frac{m}{s}$<br />
<br />
<br />
De la ecuacion $v=f\cdot\lambda$ obtendremos la frecuencia.<br />
<br />
$v=f\cdot\lambda$<br />
<br />
<br />
$f=\frac{v}{\lambda}$<br />
<br />
<br />
$f=\frac{4.3m}{3500\frac{m}{s}}$<br />
<br />
<br />
$f=1.22\times10^{-3}Hz$<br />
<br />
[[Usuario:Mario Moranchel|Mario Moranchel]] ([[Usuario discusión:Mario Moranchel|discusión]]) 06:42 18 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
<br />
'''2.6'''<br />
'''Durante la boda de dos buceadores, se sumerge un violín en la'''<br />
'''piscina. Dado que la velocidad de las ondas de compresión en agua'''<br />
'''pura es de 1.498 m/s. ¿Cual es la longitud de una nota la, de 440'''<br />
'''Hz que se toca en dicho instrumento?'''<br />
<br />
Conocemos la velocidad de la onda en el agua que es $\upsilon=1.498\frac{m}{s}$<br />
y conocemos también la frecuencia de la nota que es $\upsilon=440Hz=440\frac{ciclos}{s}$<br />
<br />
Ahora bien si queremos encontrar la longitud de la onda, recurrimos<br />
a la ecuación <br />
<br />
\[<br />
\upsilon=\nu\lambda<br />
\]<br />
<br />
<br />
De donde conocemos todo excepto la longitud de onda, solo requiere<br />
de un sencillo despeje para encontrar $\lambda$<br />
<br />
Haciendo el despeje la ecuación queda:<br />
<br />
\[<br />
\lambda=\frac{\upsilon}{\nu}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Sustituimos nuestros datos <br />
<br />
\[<br />
\lambda=\frac{1.498\frac{m}{s}}{440\frac{ciclos}{s}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Y obtendremos que <br />
\[<br />
\lambda=0.0034m<br />
\]<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Daniel Olvera Moreno]] ) 05:29 21 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
'''2.7'''<br />
'''Un pulso de onda tarda $2.0 s$ en recorrer $10 m$ a lo largo de una cuerda, se genera una perturbación armónica con una longitud de onda de $0.5 m$ en la cuerda. ¿Cuál es su frecuencia?'''<br />
<br />
De los datos proporcionados sabemos que si la perturbación armónica tiene una longitud de onda de $\lambda=0.5 m$ de manera que el pulso completa 20 "ciclos" en los $10 m$ recorridos.<br />
<br />
De esta forma el periodo de la perturbación es:<br />
<br />
<math> \tau= \frac{2 s}{20}= 0.1 s</math><br />
<br />
Entonces la frecuencia es:<br />
<br />
<math> f= \frac{1}{\tau}=\frac{1}{0.1 s}=10 Hz </math><br />
<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 18:16 27 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
'''2.8 Demuestre que para una onda periódica $\omega=(\frac{2\pi}{\lambda})v$<br />
<br />
La mayoría de las ondas son el resultado de muchas perturbaciones sucesivas del medio. Cuando dichas perturbaciones se producen a intervalos regulares y todas son de la misma forma, estamos frente a una onda periódica.<br />
<br />
Una onda periódica posee periodo (número de unidades de tiempo por onda) y frecuencia (número de ondas por unidad de tiempo), establecidas por:<br />
<br />
$Periodo$<br />
\begin{equation}<br />
\tau=\frac{\lambda}{v}.... (i)<br />
\end{equation}<br />
donde $\tau$ es el periodo de onda, $\lambda$ es la longitud de onda y $v$ se refiere a la velocidad con la que viaja la onda.<br />
<br />
$Frecuencia$<br />
\begin{equation}<br />
\nu=\frac{\omega}{2\pi}....(ii)<br />
\end{equation}<br />
donde $\nu$ es la frecuencia de la onda, $\omega$ es la frecuencia angular de la onda.<br />
<br />
De $(ii)$ despejamos $\omega$<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega=\nu 2\pi ....(iii)<br />
\end{equation}<br />
<br />
También sabemos que el inverso del periodo es la frecuencia $(\nu=\frac{1}{\tau})$ <br />
<br />
Utilizando la expresión $(iv)$ y sustituyendola en $(iii)$<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\nu=\frac{1}{\tau} ....(iv)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega= \frac{2\pi}{\tau}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Sustituyendo $(i)$ en $\tau$<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega= \frac{2\pi}{\frac{\lambda}{v}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Por lo tanto:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega= (\frac{2\pi}{\lambda})(v)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 11:13 23 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
'''2.12 El perfil de una onda armónica, que viaja con velocidad de 1.2 m/s en una cuerda,esta dado por'''<br />
<br />
<center><math>\displaystyle{y=\left(0.02m\right)\sin\left(157m^{-1}\right)x}</math></center><br />
<br />
'''Calcule su amplitud, su longitud de onda, su frecuencia y su periodo'''<br />
<br />
Se observa que la ecuación no muestra dependencia del tiempo, por lo obedece a la ecuación (2.12) del libro<br />
<center><math>\displaystyle{\psi(x)=A\sin(kx)}</math></center><br />
de donde es inmediatos su amplitud '''A=0.02m''' y número de onda '''<math>k=157m^{-1}</math>''', por lo que su longuitud de onda esta dada por:<br />
<center><math>\displaystyle{\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{157m^{-1}}=0.04m}</math></center><br />
su frecuencia esta dada ṕor la ecuación (2.19), entonces:<br />
<center><math>\displaystyle{\nu=\frac{v}{\lambda}=\frac{1.2\frac{m}{s}}{0.04m}=30Hhz}</math></center><br />
Finalmente, su periodo esta dado por:<br />
<center><math>\displaystyle{\tau=\frac{1}{\nu}=\frac{1}{30}s}</math></center><br />
[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 17:56 26 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
<br />
'''2.13 Usando las funciones de onda'''<br />
<br />
<math>\psi_{1}=4\sin2\pi\left(0.2x-3t\right)<br />
</math><br />
<br />
<math>\psi_{2}=\frac{\sin\left(7x+3.5t\right)}{2.5}<br />
</math><br />
<br />
'''determine en cada caso los valores de a)amplitud,b)frecuencia,c)velocidad de fase,d)longitud de onda,e)periodo,f)dirección del movimiento. El tiempo se expresa en segundos s y x en metros.'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
Para resolver este problema comparamos la expresión de la función de onda dada<br />
<br />
<math>\psi\left(x,t\right)=A\sin\left(kx\pm wt\right)<br />
</math><br />
<br />
Donde A es la amplitud, k es una constante, w se le denomina frecuencia angular (w = kv) de la igualdad observamos que los valores de los diferentes parámetros son:<br />
<br />
<br />
<math>A=8\pi<br />
</math> <br />
<br />
<math>kx=0.2x\Rightarrow k=0.2m^{-1}<br />
</math> <br />
<br />
<math>wt=3\Rightarrow w=3\frac{rad}{s}<br />
</math><br />
<br />
Entonces para <math>\psi</math> el inciso:<br />
<br />
a)<br />
<br />
<math>A=8\pi<br />
</math><br />
<br />
b)<br />
<br />
<math>f=\frac{\omega}{2\pi}\Rightarrow f=\frac{3\frac{rad}{s}}{2\pi}=0.47\approx0.5Hz<br />
</math><br />
<br />
c)<br />
<br />
<math>v=\frac{\omega}{k}=\frac{3\frac{rad}{s}}{0.2m^{-1}}=15\frac{m}{s}<br />
</math><br />
<br />
d)<br />
<br />
<math>\lambda=\frac{v}{f}=\frac{15\frac{m}{s}}{0.5Hz}=30m<br />
</math><br />
<br />
e)<br />
<br />
<math>\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f\Rightarrow T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{3\frac{rad}{s}}=2.09\approx2.1s<br />
</math><br />
<br />
f)<br />
<br />
Como el signo entre kx y wt es negativo está indicando que la propagación de la onda es hacia la derecha.<br />
<br />
<br />
Para <math>\psi_{2}</math> tenemos:<br />
<br />
a)<br />
<br />
<math>A=\frac{1}{2.5}<br />
</math><br />
<br />
b)<br />
<br />
<math>f=\frac{\omega}{2\pi}\Rightarrow f=\frac{3.5\frac{rad}{s}}{2\pi}=0.55\approx0.6Hz<br />
</math><br />
<br />
c)<br />
<br />
<math>v=\frac{\omega}{k}=\frac{3.5\frac{rad}{s}}{7m^{-1}}=0.5\frac{m}{s}<br />
</math><br />
<br />
d)<br />
<br />
<math>\lambda=\frac{v}{f}=\frac{0.5\frac{m}{s}}{0.6Hz}=0.8m<br />
</math><br />
<br />
e)<br />
<br />
<math>\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f\Rightarrow T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{3.5\frac{rad}{s}}=1.79\approx1.8s<br />
</math><br />
<br />
f)<br />
<br />
Como el signo entre kx y wt es positivo está indicando que la propagación de la onda es hacia la izquierda.<br />
<br />
--[[Usuario:MISS|MISS]] ([[Usuario discusión:MISS|discusión]]) 23:59 20 jun 2013 (CDT)<br />
----<br />
<br />
<br />
'''2.13 Usando las funciones de onda'''<br />
<br />
\[<br />
\psi_{1}=4\sin2\pi\left(0.2x-3t\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
y<br />
<br />
\[<br />
\psi_{2}=\frac{\sin\left(7x+3.5t\right)}{2.5}<br />
\]<br />
<br />
<br />
'''determine en cada caso los valores de a)frecuencia, b)longitud de'''<br />
'''onda, c) periodo, d) amplitud, e)velocidad de fase, f) dirección del'''<br />
'''movimiento. El tiempo se expresa en segundos y x en metros.'''<br />
<br />
1)Primero analizaremos la ecuación de onda para el primer caso <br />
<br />
\[<br />
\psi_{1}=4\sin2\pi\left(0.2x-3t\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Observamos que la ecuación es de la forma<br />
<br />
\[<br />
\psi=A\sin2\pi\left(kx\pm\nu t\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
De donde se puede ver que <br />
<br />
\[<br />
\nu=3t=3s^{-1}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
A=4m<br />
\]<br />
\[<br />
k=0.2<br />
\]<br />
<br />
<br />
Con estos valores podemos encontrar lo demás utilizando algunas ecuaciones<br />
<br />
Para obtener le longitud de onda usamos:<br />
\[<br />
\lambda=\frac{1}{k}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Sustituyendo k<br />
\[<br />
\lambda=\frac{1}{0.2}=5m<br />
\]<br />
<br />
<br />
Para el periodo:<br />
\[<br />
\tau=\frac{1}{\nu}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Entonces:<br />
\[<br />
\tau=\frac{1}{3}s<br />
\]<br />
<br />
<br />
Para encontrar la velocidad de fase <br />
\[<br />
V=-\frac{\frac{\partial\varphi}{\partial t}}{\frac{\partial\varphi}{\partial x}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Como la fase es<br />
\[<br />
\varphi=\left(kx\pm\nu t\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Donde <br />
\[<br />
\frac{\partial\varphi}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}\left(kx\pm\nu t\right)=\nu<br />
\]<br />
<br />
<br />
y<br />
\[<br />
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(kx\pm\nu t)=k<br />
\]<br />
<br />
<br />
Por lo tanto <br />
\[<br />
V=-\frac{-3}{2}=15\frac{m}{s}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Por ultimo, para saber la dirección de la onda observamos el signo<br />
de la fase y esto nos indica que <br />
<br />
\[<br />
\rightarrow(fase-)<br />
\]<br />
<br />
<br />
la onda tiene dirección hacia la derecha.<br />
<br />
2) Para el segundo caso <br />
<br />
\[<br />
\psi_{2}=\frac{\sin\left(7x+3.5t\right)}{2.5}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Vemos que ahora le ecuación es de la forma<br />
\[<br />
\psi_{2}=A\sin\left(kx\pm\omega t\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
De donde se puede observar que:<br />
\[<br />
A=\frac{1}{2.5}m<br />
\]<br />
\[<br />
k=7x=7m<br />
\]<br />
\[<br />
\omega=3.5<br />
\]<br />
<br />
<br />
Para obtener la frecuencia utilizamos<br />
\[<br />
\omega=2\pi\nu<br />
\]<br />
<br />
<br />
Despejamos<br />
<br />
\[<br />
\nu=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{3.5}{2\pi}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Para el valor de la longitud de onda<br />
\[<br />
\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{7}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Para el periodo<br />
\[<br />
\tau=\frac{1}{\nu}=\frac{1}{\frac{3.5}{2\pi}}=\frac{2\pi}{3.5}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Ahora bien, si queremos encontrar la velocidad de fase de nuevo se<br />
utilizara<br />
\[<br />
V=-\frac{\frac{\partial\varphi}{\partial t}}{\frac{\partial\varphi}{\partial x}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Donde <br />
\[<br />
\frac{\partial\varphi}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}\left(kx\pm\omega t\right)=\omega<br />
\]<br />
<br />
<br />
y<br />
\[<br />
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(kx\pm\nu t)=k<br />
\]<br />
<br />
<br />
Entonces<br />
\[<br />
V=-\frac{\omega}{k}=\frac{3.5}{7}=2\frac{m}{s}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Por ultimo , la dirección de la fase es<br />
<br />
\[<br />
\leftarrow(fase+)<br />
\]<br />
<br />
<br />
La onda tiene dirección hacia la izquierda.<br />
<br />
--[[Usuario:Daniel Olvera Moreno|Daniel Olvera Moreno]] 09:55 21 mar 2014 (CDT)<br />
<br />
----<br />
<br />
'''2.14 Demuestre que, <math>\psi(x,t)=Asen(k(x-vt))</math> es una solucion de la ecuacion diferencial de onda.''' <br />
<br />
'''Demostración'''<br />
<br />
De la solución propuesta se observa que se trata de la ecuación de direferncial de onda en una dimensión, luego, para ser soloción debe satisfacer la ecuación<br />
<center><math>\displaystyle{\frac{\partial² \psi}{\partial x²}=\frac{1}{v²}\frac{\partial² \psi}{\partial t²}}</math></center><br />
La segunda derivada parcial respecto de x esta dada por<br />
<center><math>\displaystyle{\frac{\partial² \psi}{\partial x²}=\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial \psi}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(kA\cos(kx-kvt))=-k²A\sin(kx-kvt)}</math></center><br />
La segunda derivada parcial respecto de t esta dada por<br />
<center><math>\displaystyle{\frac{\partial² \psi}{\partial t²}=\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial \psi}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}(-kvA\cos(kx-kvt))=-k²v²A\sin(kx-kvt)}</math></center><br />
Al sustituilas en la ecuacion diferencial de onda se tiene <br />
<center><math>\displaystyle{-k^{2}A\sin(kx-kvt)=-\frac{1}{v^{2}}kv^{2}A\sin(kx-kvt)}</math></center><br />
Como la última igualdad es cierta, entonces es solución de la ecuación diferencial de onda en una dimensión.<br />
<br />
[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 21:17 17 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
'''2.15 Demuestre que si el desplazamiento de la cuerda de la figura 2.7 está dado por <math>y(x,t)=A \sin[kx - \omega t + \varepsilon]</math> entonces la mano que genera la onda se debe mover verticalmente con movimiento armónico simple.<br />
<br />
Vemos que el movimiento de la cuerda en la figura $2.7$ corresponde al de una onda armónica que se desplaza a lo largo del eje $x$ durante un tiempo de un período, en este caso cualquier punto de la cuerda se desplaza sólo verticalmente, entonces podemos derivar la ecuación de movimiento como sigue:<br />
<br />
\[ <br />
\frac{\partial}{\partial x} y(x,t)=k A \cos[kx - \omega t + \varepsilon]<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial^2}{\partial x^2} y(x,t) = k^2 A \sin[kx - \omega t + \varepsilon]<br />
\]<br />
<br />
Vemos que en la segunda derivada aparece la primer derivada, al sustituirla se llega a la siguiente expresión:<br />
<br />
\[<br />
\ddot{y}=-k^2 y(x,t) \rightarrow \ddot{y}+k^2y=0<br />
\]<br />
<br />
Se observa que corresponde a la ecuación de un movimiento armónico simple realizado verticalmente.<br />
<br />
[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 16:49 27 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
'''2.16 Escriba la expresion para la onda armonica de amplitud <math>10^{3}V/m</math> , periodo <math>2.2x10^{-15}s</math> ,y velocidad <math>3x10^{8}m/s</math> .La onda se propaga en la direccion negativa de X y tiene un valor de <math>10^{3}V/m</math> en t=0 y x=0.'''<br />
<br />
R:<br />
<br />
<math>\tau=2.2x10^{-15}s</math><br />
<br />
<br />
sabiendo que <math>\nu=\frac{1}{\tau}</math><br />
<br />
<br />
<math>\nu=\frac{1}{2.2x10^{-15}s}=4.5x10^{14}Hz</math><br />
<br />
<br />
obtenemos la longitud de onda con <math>v=\nu\lambda</math><br />
<br />
<br />
es decir <math>\lambda=\frac{v}{\nu}=\frac{3.8x10^{8}m/s}{4.5x10^{14}Hz}</math><br />
<br />
<br />
<math>\lambda=6.6x10^{-7}m</math><br />
<br />
<br />
obtenemos K de la formula <math>k=\frac{2\pi}{\lambda}=9.5x10^{6}m^{-1}</math><br />
<br />
<br />
Sabiendo que la expresion de la ecuacion de onda es <br />
<br />
<math>\psi(x,t)=A\cos\left[kx+\omega t\right]</math><br />
<br />
<br />
sustituimos los datos antes encontrados para hallar la expresion que nos piden.<br />
<br />
<math>\psi(x,t)=\left(10^{3}\right)\cos\left[9.5x10^{6}\left(x+3x10^{8}t\right)\right]</math><br />
<br />
- --[[Usuario:Leticia González Zamora|Leticia González Zamora]] ([[Usuario discusión:Leticia González Zamora|discusión]]) 15:27 20 jun 2013 (CDT)<br />
----<br />
<br />
'''2.17 Considere el pulso descrito en términos de sus desplazamientos en $t=0$ por $y(x,t)|_{t=0}=\frac{C}{2+x^{2}}$ donde $C$ es una constante. Dibuje el perfil de onda. Escriba una expresión para la onda que tiene una velocidad $v$ en la dirección negativa de $x$, como función del tiempo $t$. Si $v=1\frac{m}{s}$, dibuje el perfil en $t=2s$.'''<br />
<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
De la expresión $y(x,t)|_{t=0}=\frac{C}{2+x^{2}}$ notamos que el<br />
máximo de la función se encuentra cuando $x=0$ y por tanto el máximo<br />
siempre estará en $y_{max}=\frac{C}{2}$. <br />
<br />
[[Archivo:Perfil11.png]]<br />
<br />
De la expresión anterior debido a que esta al tiempo $t=0$ la velocidad<br />
de la onda no contribuía, ahora bien la expresión para una onda con<br />
cierta velocidad para ester perfil esta dada por<br />
\[<br />
y(x,t)=\frac{C}{2+(x+vt)^{2}}<br />
\]<br />
el sigo se debe a que queremos ver la onda desplazada a la izquierda<br />
o dirección negativa del $eje\; x$. <br />
<br />
La gráfica al tiempo $t=2s$ con una velocidad $v=1\frac{m}{s}$ se<br />
muestra a continuación.<br />
<br />
[[Archivo:Perfil123.png]]<br />
<br />
Nuevamente se toman 3 valores distintos para $C$.<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 05:46 26 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
2.18 '''Determine la magnitud de la función de onda''' $\psi(z,t)=Acos[k(z+vt)+\pi]$ '''en el punto''' $z=0$, '''cuanto''' $t=\frac{\tau}{2}$ '''y cuando '''$t=\frac{3\tau}{4}$.<br />
<br />
Partimos de la ecuación de la onda<br />
<br />
\[\psi(z,t)=Acos[k(z+vt)+\pi]\]<br />
<br />
Evaluamos en $z=0$ y nos queda<br />
<br />
\[\psi(0,t)=Acos[kvt+\pi]\]<br />
<br />
sustituimos $kv=\omega$ y entonces tenemos<br />
<br />
\[\psi(z,t)=Acos[\omega t+\pi]\]<br />
<br />
pero como $-Acos[\omega t]=Acos[\omega t+\pi]$ tenemos que<br />
<br />
\[\psi(z,t)=-Acos[\omega t]\]<br />
<br />
Finalmente sustituimos para $t=\frac{\tau}{2}$ y luego para $t=\frac{3\tau}{4}$ y obtenemos los resultados siguientes para cada caso.<br />
<br />
<br />
$\psi(0,\frac{\tau}{2})=-Acos[\omega\frac{\tau}{2}]=-Acos(\pi)^{-1}=A$<br />
<br />
<br />
y para $\psi(0,\frac{3\tau}{4})=-Acos[\omega\frac{3\tau}{4}]=-Acos(\frac{3}{4}\pi)=0$<br />
<br />
[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 01:48 28 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
'''2.19 ¿La siguiente función en la que''' $A$ '''es una constante,''' $\psi(y,t)=(y-vt)A$<br />
'''representa una onda? Explique su raznamiento.'''<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Como $\psi(y,t)=(y-vt)A$ es solo función de $(y-vt)$ cumple las<br />
condiciones de una ecuación de onda, donde<br />
\[<br />
\frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^{2}}=\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=0<br />
\]<br />
<br />
<br />
y así esta función es una solución a la ecuación de onda. Sin embargo,<br />
\[<br />
\psi(y,0)=Ay, <br />
\]<br />
por lo que no puede representar un perfil de onda.<br />
<br />
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 06:50 22 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''2.21Comenzando por el siguiente teorema: sí <math>Z=f_{(x,y)}</math>,<math>x=g_{(t)}</math><br />
y <math>y=h_{(t)}</math><br />
Entonces:<br />
<br />
<math>\frac{\delta Z}{\delta t}=\frac{\partial Z}{\partial x}\frac{\delta x}{\delta t}+\frac{\partial Z}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}</math><br />
<br />
<br />
Derivar la ecuacion: (2.34)'''<br />
<br />
<math>\left.v=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial y}}\right\} 2.35</math><br />
<br />
<br />
En general tenemos que una funcion de onda cualquiera posee la forma. <br />
<br />
<math>\Psi_{(\bar{r},t)}=\psi</math><br />
<br />
<br />
Sin perdida de generalidad consideramos el mivimiento sobre un eje de porpagacion “y”<br />
<br />
<math>\Psi_{(y,t)}=\psi</math><br />
<br />
<br />
Entonces por regla de la cadena (el teorema propuesto.)<br />
<br />
<math>\frac{\delta\psi}{\delta t}=\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}+\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{\delta t}{\delta t}</math><br />
<br />
<br />
De aqui sabemos que para una perturbacion que no cambia con el tiempo:<br />
<br />
<math>\frac{\delta\psi}{\delta t}=0</math><br />
<br />
<br />
Asimismo la diferencial del tiempo respecto al tiempo es uno, entonces, tras estas simplificaciones obtenemos.<br />
<br />
<math>0=\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}+\frac{\partial\psi}{\partial t}</math><br />
<br />
<br />
Despejando: <math>\frac{\delta y}{\delta t}=v</math><br />
<br />
<br />
<math>v=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial y}}</math><br />
<br />
<br />
La cual es la ecuacion 2.34. --[[Usuario:Andrés Arturo Cerón Téllez|Andrés Arturo Cerón Téllez]] ([[Usuario discusión:Andrés Arturo Cerón Téllez|discusión]]) 23:48 5 jul 2013 (CDT)<br />
<br />
El problema yo lo realice de la siguiente manera:<br />
<br />
'''2.21. Empezando por el siguiente teorema: Si $z=f(x,y)$ y $x=g(t)$,'''<br />
'''$y=h(t)$, entonces:'''<br />
<br />
\[<br />
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}<br />
\]<br />
<br />
<br />
'''Derive la ecuación (2.34)'''<br />
<br />
Sabemos que la ecuación (2.34) es:<br />
<br />
\[<br />
\pm v=-\frac{\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)_{x}}{\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)_{t}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Ya que sabemos que<br />
<br />
\[<br />
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Luego:<br />
<br />
\[<br />
\left(\frac{d\psi}{d\varphi}\right)_{\varphi}=\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dx}{d\varphi}+\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{dy}{d\varphi}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Y ya que en nuestro caso $\left(\frac{d\psi}{d\varphi}\right)$ es<br />
constante en $\varphi$, entonces la ecuación se vuelve<br />
<br />
\[<br />
\text{-}\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}=\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dx}{d\varphi}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\frac{dx}{d\varphi}=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Pero ádemas, es posible reescribir a $\frac{dx}{d\varphi}=\frac{\partial x}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}$,<br />
asi:<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial x}{\partial t}=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dt}{d\varphi}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Asi finalmente, la ecuación se puede reescribir como:<br />
<br />
\[<br />
\pm v=\left(\frac{\partial x}{\partial t}\right)_{\varphi}=-\frac{\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)_{x}}{\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)_{t}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] 23 Marzo 2014 21:29 (CDT)<br />
<br />
----<br />
<br />
'''2.22. Utilizando los resultados del problema anterior, demuestre que'''<br />
'''para una onda armónica con una fase $\varphi(x,t)=k(x-vt)$ podemos'''<br />
'''calcular la velocidad estableciendo $\frac{d\varphi}{dt}=0$.'''<br />
'''Aplique la tecnica al problema 2.20 a fin de calcular la velocidad'''<br />
'''de dicha onda.'''<br />
<br />
Veamos primero que dicha fase cumple con la definición, entonces tenemos<br />
lo siguiente:<br />
<br />
\[<br />
\psi(x,t)=Asen(k(x-vt))<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial\psi}{\partial x}=kAsen(k(x-vt))<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial\psi}{\partial t}=-kvAsen(k(x-vt))<br />
\]<br />
<br />
<br />
Luego:<br />
<br />
\[<br />
-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}}=-\frac{(-kv)Asen(k(x-vt))}{kAsen(k(x-vt))}=v<br />
\]<br />
<br />
<br />
Por lo cuál, la función cumple con la definición. Ahora veamos que<br />
si $\frac{d\varphi}{dt}=0$ entonces la funcion sigle cumpliendo.<br />
<br />
Del problema (2.21) tenemos que por definición:<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}=\frac{d\psi}{d\varphi}-\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dx}{d\varphi}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial x}{\partial t}=\frac{\frac{d\psi}{d\varphi}-\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dt}{d\varphi}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\frac{\partial x}{\partial t}=\frac{\frac{d\psi}{d\varphi}\frac{d\varphi}{dt}\frac{dt}{d\varphi}-\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dt}{d\varphi}}=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial t}}<br />
\]<br />
<br />
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] 23 Marzo 2014 21:36 (CDT)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''2.23 Una onda gaussiana, tiene la forma $\psi(x,t)=A^{-a(bx+ct)^{2}}$.Utilize<br />
el que $\psi(x,t)=f(x\pm vt)$''' '''para calcular su velocidad, comprobando<br />
luego su respuesta con la ecuación (2.3).'''<br />
<br />
Se utliza la siguuente definición de velocidad: <br />
\[<br />
\pm v=-\left(\frac{\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)_{x}}{\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)_{y}}\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Se resuelven ambas partes de la ecuación por separado:<br />
<br />
\[<br />
\psi_{x}=(-2a)A(b)e^{-(abx+ct)^{2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\psi_{y}=-(2a)Ace^{-(bx+ct)^{2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Al sustituir los resultados obtenidos en la definicón de velocidad:<br />
<br />
\[<br />
v=\frac{(-2a)Ace^{-(abx+ct)^{2}}}{(-2a)Abe^{-(abx+ct)^{2}}}=\frac{c}{b}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Se obitene el resultado de la ecuación 2.3: $v=\frac{c}{b}$<br />
<br />
[[Usuario:Ana Alarid|Ana Alarid]] ([[Usuario discusión:Ana Alarid|discusión]]) 18:43 27 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
'''2.24 Encuentre una expresión para el perfil de una onda armónica que viaja en la dirección de $z$ cuya magnitud en $z=-\frac{\lambda}{12}$ es 0.866, en $z=+\frac{\lambda}{6}$ es $\frac{1}{2}$ y en $z=\frac{\lambda}{4}$ es 0.''' <br />
<br />
Utilizamos la función de onda armónica en el que $t=0$ puesto que $\varepsilon$ es una contribución constante a la fase y además es independiente del recorrido de la onda en términos de espacio y de tiempo: <br />
\begin{equation}<br />
\psi(z,0)=Asen(kz+\varepsilon);<br />
\end{equation}<br />
donde $\psi$ es la propagación de la onda, $A$ es la amplitud, $k$ es el número de onda que está dada por $k=\frac{2\pi}{\lambda}$, $z$ corresponde a la dirección de propagación y $\varepsilon$ es la fase inicial.<br />
<br />
A continuación escribimos las condiciones iniciales:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\psi(-\frac{\lambda}{12},0)=Asen(-\pi/6 + \varepsilon)=0.866 ....(I)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\psi(\frac{\lambda}{6},0)=Asen(-\pi/3 + \varepsilon)=\frac{1}{2} ....(II)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\psi(\frac{\lambda}{4},0)=Asen(-\pi/2 + \varepsilon)=0 ....(III)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Para obtener el valor numérico de $\psi$ es necesario encontrar los valores para $\varepsilon$ y por consiguiente la amplitud $A$ y en conclusión obtener el perfil que se nos pide. <br />
Para ello utilizamos la expresión $(III)$ puesto que es más sencilla de manipular y está igualada a 0. Utilizamos la identidad trigonométrica de suma de dos ángulos que involucra a senos y cosenos.<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A=sen(\pi/2+\varepsilon)=A[sen(\pi/2)cos(\varepsilon)+cos(\pi/2)sen(\varepsilon)]<br />
\end{equation}<br />
<br />
Simplificamos<br />
<br />
\begin{equation}<br />
=Acos(\varepsilon)=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Despejamos $\varepsilon$ y obtenemos su valor<br />
\begin{equation}<br />
\varepsilon=\frac{\pi}{2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Ahora bien para encontrar $A$ podemos utilizar la expresión $(I)$ o $(II)$. Utilizando la expresión $(II)$ y sustituyendo el valor encontrado para $\varepsilon$:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
Asen(\pi/3 + \pi/2)=Asen(5\pi/6)=\frac{1}{2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Así<br />
\begin{equation}<br />
A(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}; A=1<br />
\end{equation}<br />
<br />
Por lo tanto, la expresión para el perfil de una onda armónica que viaja en la dirección de $z$ es:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\psi(z,0)=sen(kz+\pi/2)<br />
\end{equation}<br />
<br />
[[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 01:37 23 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
'''2.26.Establezca cuáles de las expresiones siguientes describen ondas'''<br />
'''viajeras:'''<br />
<br />
(a) $\psi(y,t)=\exp-(a^{2}y^{2}+b^{2}t^{2}-2aybt)$<br />
<br />
(b) $\psi(z,t)=Asen(az^{2}-bt^{2})$<br />
<br />
(c) $\psi(x,t)=Asen2\pi\left(\frac{x}{a}+\frac{t}{b}\right)^{2}$<br />
<br />
(d) $\psi(x,t)=Acos^{2}2\pi(t-x)$<br />
<br />
Para la onda (a), si la reescribimos como sigue:<br />
<br />
$\psi(y,t)=\exp-(a^{2}y^{2}+b^{2}t^{2}-2aybt)\Rightarrow\exp-a^{2}(y-\frac{b}{a}t)^{2}$<br />
es evidente que se trata de una onda viajera, ya que cumple con las<br />
características de una.<br />
<br />
Para la onda (b), es claro que no se comporta como una onda viajera,<br />
ya que la función no es lineal, una característica de las ondas viajeras.<br />
<br />
Para la onda (c), es viajera, por que el término dentro del argumento<br />
es lineal, y nos dice que la onda se desplaza en una dirección diferente,<br />
hacia la izquierda.<br />
<br />
Para la onda (d), no es viajera, por que la función $cos^{2}(x)$<br />
no cumple con la definición de onda viajera.<br />
<br />
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] 23 Marzo 2014 21:37 (CDT)<br />
----<br />
'''2.31. Trabajando directamente con exponenciales, demuestre que la'''<br />
'''magnitud de $\psi=A\exp iwt$ es A. A continuación, vuelva a calcular'''<br />
'''el mismo resultado utilizando la fórmula de Euler. Demuestre que $\exp i\alpha\exp i\beta=\exp i(\alpha+\beta)$'''<br />
<br />
Sabemos que la magnitud de $\psi$ sera igual a su modulo, es decir: <br />
<br />
$|\psi|=\psi\psi*^{\nicefrac{1}{2}}$ y que $\psi*=A\exp-iwt$ por<br />
definición.<br />
<br />
Luego:<br />
<br />
$|\psi|=\left[\left(A\exp iwt\right)\left(A\exp-iwt\right)\right]^{\frac{1}{2}}=\left[A^{2}\exp iwt-iwt\right]^{\frac{1}{2}}=\left(A^{2}\exp0\right)^{\frac{1}{2}}=A$<br />
<br />
Ahora, usando la fórmula de Euler, tenemos que:<br />
<br />
$|\psi|=\left[\left(A\exp iwt\right)\left(A\exp-iwt\right)\right]^{\frac{1}{2}}$<br />
<br />
$|\psi|=\left[A(coswt+isenwt)A(coswt-isenwt)\right]^{\frac{1}{2}}$<br />
<br />
$|\psi|=\left[A^{2}\left(cos^{2}wt-isen(wt)cos(wt)+isen(wt)cos(wt)+sen^{2}wt\right)\right]^{\frac{1}{2}}$<br />
<br />
$|\psi|=\left[A^{2}(cos^{2}wt+sen^{2}wt)\right]^{\frac{1}{2}}=(A^{2})^{\frac{1}{2}}=A$<br />
<br />
Demostremos ahora que $\exp i\alpha\exp i\beta=\exp i(\alpha+\beta)$<br />
<br />
$\exp i\alpha\exp i\beta=\left(cos\alpha+isen\alpha\right)\left(cos\beta+isen\beta\right)$<br />
<br />
$\exp i\alpha\exp i\beta=cos\alpha cos\beta+icos\alpha sen\beta-icos\beta sen\alpha+i^{2}sen\beta sen\alpha$<br />
<br />
$\exp i\alpha\exp i\beta=cos\alpha cos\beta+icos\alpha sen\beta-icos\beta sen\alpha-sen\beta sen\alpha=(cos\alpha cos\beta-sen\alpha sen\beta)+i(cos\alpha sen\beta+sen\alpha cos\beta)$<br />
<br />
$\exp i\alpha\exp i\beta=cos(\alpha+\beta)+isen(\alpha+\beta)=\exp i(\alpha+\beta)$<br />
<br />
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] 23 Marzo 2014 21:38 (CDT)<br />
----<br />
''' 2.32 Demuetre que la parte imaginaria de un número complejo z esta dada por $\left(z-z^{\star}\right)/2i$.'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
Sea z perteneciente a los complejos<br />
<br />
<br />
$z=a+ib$<br />
<br />
<br />
y su conjugado<br />
<br />
<br />
$z^{\star}=a-ib$<br />
<br />
<br />
entonces:<br />
<br />
<br />
$z-z^{\star}=a+ib-(a-ib)$<br />
<br />
<br />
<br />
$z-z^{\star}=2ib$<br />
<br />
Dividimos entre $2i$<br />
<br />
<br />
$z-z^{\star}/2i=2ib/2i$<br />
<br />
<br />
<br />
$\left(z-z^{\star}\right)/2i=b$<br />
<br />
<br />
que es la parte imaginaria del número complejo z.<br />
<br />
[[Usuario:Edgar Ortega Roano|Edgar Ortega Roano]] ([[Usuario discusión:Edgar Ortega Roano|discusión]]) 17:43 18 mar 2014 (CDT)<br />
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] ([[Usuario discusión:Cesar Ivan Avila Vasquez|discusión]]) 21:53 26 Marzo 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
2.34<br />
<br />
'''Demuestre que las ecuaciones $\psi(x,y,z,t)=f(\alpha x+\beta y+\gamma z-vt)$ y $\psi(x,y,z,t)=f(\alpha x+\beta y+\gamma z+vt)$ que son ondas planas de forma arbitraria, cumplen con la ecuacion diferencial de onda tridimensional.'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
De la ecuación de onda tridimensional ,$\nabla^{2}\psi=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}$, obtenemos el Laplaciano para nuestras ecuaciones, así $\nabla^{2}\psi=\alpha^{2}f^{´´}+\beta^{2}f^{´´}+\gamma^{2}f^{´´}$<br />
es el Laplaciano para ambas ecuaciones.<br />
<br />
Ahora al calcular $\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}$ obtenemos que $\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=v^{2}f^{´´}$ para ambas ecuaciones.<br />
<br />
Por lo que al sustituir en la ecuación de onda tridimensional obtenemos.<br />
<br />
$f^{´´}(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2})=f^{´´}$<br />
<br />
Por lo que para cualquier onda tridimensional se debe cumplir que $\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=1$.<br />
<br />
[[Usuario:Edgar Ortega Roano|Edgar Ortega Roano]] ([[Usuario discusión:Edgar Ortega Roano|discusión]]) 17:52 18 mar 2014 (CDT)<br />
<br />
----<br />
'''2.35. La hipótesis de De Broglie afirma que cada partícula tiene asociada'''<br />
'''a ella una longitud de onda dada por la constante de Planck ($h=6.6x10^{-34}Js$),'''<br />
'''dividida por el momento de la partícula.'''<br />
<br />
'''Compare la longitud de onda de una piedra de 6.0 kg moviendosea una'''<br />
'''velocidad de 1 m/s con la de la luz.'''<br />
<br />
Tenemos que:<br />
<br />
\[<br />
\lambda=\frac{h}{p}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Para la piedra tenemos entonces que:<br />
<br />
\[<br />
\lambda=\frac{6.6x10^{-34}Js}{(6kg)(1m/s)}=1.1x10^{-34}m<br />
\]<br />
<br />
<br />
Y sabemos ádemas que la longitud de onda de la luz se encuentra en<br />
un intervalo de $\lambda=\left[3.8,7.5\right]x10^{-7}m$, entonces,<br />
comparando ambas longitudes de onda notamos que la asociada a la piedra<br />
es mucho más pequeña que la de la luz, si la longitud de onda de la<br />
luz fuera más pequeña que la de la piedra, la luz atravesaria la piedra.<br />
<br />
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] 23 Marzo 2014 21:40 (CDT)<br />
----<br />
<br />
[[categoría:Vibra]]</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Ondas:_probs_c2_mov_osc&diff=18285Ondas: probs c2 mov osc2014-03-17T02:18:43Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div>vibraciones y ondas<br />
problemas capítulo 2 Óptica - Hecht<br />
<br />
'''2.1'''¿Cuantas ondas de luz amarilla (<math>\lambda=580mm</math>) caben en una distancia en el espacio igual a un trozo de papel de (0.003pulgadas)?¿Hasta donde se extendera el mismo numero de micro ondas (v=10^10Hz, es decir, 10GHz y <math>\upsilon=3x10^8 m/s</math>?<br />
<br />
<br />
Numero de ondas<br />
<br />
<br />
<math>\frac{(0.003)(2.54x10^{-2})}{580x10^{-9}}=131</math><br />
<br />
<br />
<math>c=\lambda\nu</math><br />
<br />
<br />
<math>\lambda=\frac{c}{\nu}=\frac{3x10^{8}}{10^{10}}=3cm</math><br />
<br />
<br />
Las ondas se extienden 3.9 <br />
<br />
<br />
--[[Usuario:David Alberto Rojas Solis|David Alberto Rojas Solis]] ([[Usuario discusión:David Alberto Rojas Solis|discusión]]) 09:38 6 jul 2013 (CDT)<br />
----<br />
<br />
2.2''' La velocidad de la luz en el vacio es aproximadamente de''' $3x10^{8}\frac{m}{s}$.'''Calcule la longitud de onda de la luz roja con una frecuencia de''' $5x10^{14}Hz$.'''Compárela con la longitud de onda de una onda electromagnética de'''$60Hz.$<br />
<br />
<br />
Utilizamos la ecuación $\lambda=\frac{c}{\nu}$,donde $c$ es la velocidad de la luz y $\nu$ la frecuencia de la onda. Tendremos entonces:<br />
<br />
\[\lambda=\frac{c}{\nu}=\frac{3x10^{8}\frac{m}{s}}{5x10^{14}Hz}=6x10^{-7}m\] <br />
<br />
o la ecuación:<br />
<br />
\[\lambda=600nm\] <br />
<br />
que es la longitud de onda de la luz roja a la frecuencia solicitada en el problema. Ahora calculamos la longitud de onda de la onda electromagnética:<br />
<br />
<br />
\[\lambda_{1}=\frac{c}{\nu}=\frac{3x10^{8}\frac{m}{s}}{60Hz}=5x10^{6}m\].<br />
<br />
Al comparar $\lambda$ con $\lambda_{1}$ notamos que la longitud de onda ${\lambda}_{1}$correspondiente a la onda electromagnética es mucho mayor que la de la luz roja.<br />
<br />
[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 02:15 17 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
<br />
<br />
'''2.4'''<br />
<br />
'''Un joven en un barco sobre un lagoestá mirando las ondas que parecen'''<br />
'''una suceción infinita de crestas idénticas, produciendose con'''<br />
'''un intervalo de medio segundo cada una. Si cada perturbación tarda'''<br />
'''1.5s en cubrir la extensión del barco de 4.5 ¿cuál es la frecuencia,'''<br />
'''el periodo y la longitud de '''<br />
<br />
'''onda de las olas?'''<br />
<br />
Los datos dados en el problema, son los siguientes:<br />
<br />
t = 1.5s, l = 4.5m, <br />
<br />
Del enunciado, se deduce que el periodo, es el siguiente: $\tau=$0.5s.<br />
<br />
De donde se calcula la frecuencia utilizando la definición de frecuencia:<br />
<br />
\[<br />
\nu=\frac{1}{\tau}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Al sustituir, en la ecuuación, se obtiene el siguiente resultado:<br />
<br />
\[<br />
\nu=\frac{1}{0.5s}=2Hz<br />
\]<br />
<br />
<br />
Para obtener la longitud de onda, se utliliza la siguiente relación:<br />
<br />
\[<br />
\tau=\frac{\lambda}{v}\rightarrow\lambda=v\tau<br />
\]<br />
<br />
<br />
De donde la velocidad se obtiene a partir de la siguiente definición:<br />
$v=\frac{l}{t}=\frac{4.5m}{1.5s}=3m/s$<br />
<br />
Entonces $\lambda=(3m/s)(0.5s)=1.5m$.<br />
<br />
[[Usuario:Ana Alarid|Ana Alarid]] ([[Usuario discusión:Ana Alarid|discusión]]) 01:46 12 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
'''2.12 El perfil de una onda armónica, que viaja con velocidad de 1.2 m/s en una cuerda,esta dado por '''<br />
<br />
<math>y=\left(0.02m\right)\sin\left(157m^{-1}\right)x<br />
</math><br />
<br />
'''Calcule a) amplitud,b) frecuencia,c) longitud de onda y su periodo'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
la expresión anterior se puede expresar como<br />
<br />
<math>y=\left(0.02m\right)\sin\left(157m^{-1}\right)x\Rightarrow y=\left(0.02\right)\sin\left(157x\right)\cdots\cdots\cdots\left(1\right)<br />
</math><br />
<br />
Entonces la expresión general de una función de onda es:<br />
<br />
<math>y\left(x,t\right)=A\sin\left(kx\pm\omega t\right)\cdots\cdots\cdots\left(2\right)<br />
</math><br />
<br />
Para pasar la ec 1 a la exprsión 2 hay que partir de la velocidad para calcular el termino <math>\omega t</math>, entonces:<br />
<br />
<math>v=\frac{\omega}{k}\Rightarrow\omega=vk=\left(1.2\frac{m}{s}\right)\left(157m^{-1}\right)=188.4\frac{rad}{s}<br />
</math><br />
<br />
por lo tanto nuestra ecuación 1 queda como:<br />
<br />
<math>y\left(x,t\right)=\left(0.02\right)\sin\left(157x+188.4t\right)\cdots\cdots\cdots\left(3\right)<br />
</math><br />
<br />
entonces comparando 2 con 3,tenemos que:<br />
<br />
a)<br />
<br />
<math>A=0.02</math><br />
<br />
b)<br />
<br />
<math>f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{188.4\frac{rad}{s}}{2\pi}=29.98\thickapprox30Hz<br />
</math><br />
<br />
c)<br />
<br />
<math>\lambda=\frac{v}{f}=\frac{1.2\frac{m}{s}}{30Hz}=0.04m<br />
</math><br />
<br />
d)<br />
<br />
<math>T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{188.4\frac{rad}{s}}=0.03s<br />
</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:MISS|MISS]] ([[Usuario discusión:MISS|discusión]]) 01:09 21 jun 2013 (CDT)<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
'''2.13 Usando las funciones de onda'''<br />
<br />
<math>\psi_{1}=4\sin2\pi\left(0.2x-3t\right)<br />
</math><br />
<br />
<math>\psi_{2}=\frac{\sin\left(7x+3.5t\right)}{2.5}<br />
</math><br />
<br />
'''determine en cada caso los valores de a)amplitud,b)frecuencia,c)velocidad de fase,d)longitud de onda,e)periodo,f)dirección del movimiento. El tiempo se expresa en segundos s y x en metros.'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
Para resolver este problema comparamos la expresión de la función de onda dada<br />
<br />
<math>\psi\left(x,t\right)=A\sin\left(kx\pm wt\right)<br />
</math><br />
<br />
Donde A es la amplitud, k es una constante, w se le denomina frecuencia angular (w = kv) de la igualdad observamos que los valores de los diferentes parámetros son:<br />
<br />
<br />
<math>A=8\pi<br />
</math> <br />
<br />
<math>kx=0.2x\Rightarrow k=0.2m^{-1}<br />
</math> <br />
<br />
<math>wt=3\Rightarrow w=3\frac{rad}{s}<br />
</math><br />
<br />
Entonces para <math>\psi</math> el inciso:<br />
<br />
a)<br />
<br />
<math>A=8\pi<br />
</math><br />
<br />
b)<br />
<br />
<math>f=\frac{\omega}{2\pi}\Rightarrow f=\frac{3\frac{rad}{s}}{2\pi}=0.47\approx0.5Hz<br />
</math><br />
<br />
c)<br />
<br />
<math>v=\frac{\omega}{k}=\frac{3\frac{rad}{s}}{0.2m^{-1}}=15\frac{m}{s}<br />
</math><br />
<br />
d)<br />
<br />
<math>\lambda=\frac{v}{f}=\frac{15\frac{m}{s}}{0.5Hz}=30m<br />
</math><br />
<br />
e)<br />
<br />
<math>\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f\Rightarrow T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{3\frac{rad}{s}}=2.09\approx2.1s<br />
</math><br />
<br />
f)<br />
<br />
Como el signo entre kx y wt es negativo está indicando que la propagación de la onda es hacia la derecha.<br />
<br />
<br />
Para <math>\psi_{2}</math> tenemos:<br />
<br />
a)<br />
<br />
<math>A=\frac{1}{2.5}<br />
</math><br />
<br />
b)<br />
<br />
<math>f=\frac{\omega}{2\pi}\Rightarrow f=\frac{3.5\frac{rad}{s}}{2\pi}=0.55\approx0.6Hz<br />
</math><br />
<br />
c)<br />
<br />
<math>v=\frac{\omega}{k}=\frac{3.5\frac{rad}{s}}{7m^{-1}}=0.5\frac{m}{s}<br />
</math><br />
<br />
d)<br />
<br />
<math>\lambda=\frac{v}{f}=\frac{0.5\frac{m}{s}}{0.6Hz}=0.8m<br />
</math><br />
<br />
e)<br />
<br />
<math>\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f\Rightarrow T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{3.5\frac{rad}{s}}=1.79\approx1.8s<br />
</math><br />
<br />
f)<br />
<br />
Como el signo entre kx y wt es positivo está indicando que la propagación de la onda es hacia la izquierda.<br />
<br />
--[[Usuario:MISS|MISS]] ([[Usuario discusión:MISS|discusión]]) 23:59 20 jun 2013 (CDT)<br />
----<br />
'''2.14 Demuestre que, <math>\psi_{(x,t)}=Asen(k(x-vt))</math> es una solucion de la ecuacion diferencial de onda.''' <br />
<br />
Dado que la ecuacion diferencial de onda es:<br />
<br />
<math>\frac{\delta^{2}\psi}{\delta x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\delta^{2}\psi}{\delta t^{2}}</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{\delta\psi}{\delta x}=kAcos(kx-kvt)</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{\delta^{2}\psi}{\delta x^{2}}=-k^{2}Asen(kx-kvt)</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{\delta\psi}{\delta t}=-kvAcos(kx-kvt)</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{\delta^{2}\psi}{\delta t^{2}}=-\{-[-k^{2}v^{2}Asen(kx-kvt)]\}</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{\delta^{2}\psi}{\delta t^{2}}=-kv^{2}Asen(kx-kvt)</math><br />
<br />
<br />
Entonces, sustituyendo en la ecuacion diferencial. <br />
<br />
<math>-k^{2}Asen(kx-kvt)=\frac{1}{v^{2}}-kv^{2}Asen(kx-kvt)</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto. <br />
<br />
<math>k^{2}Asen(kx-kvt)=k^{2}Asen(kx-kvt)</math><br />
<br />
--[[Usuario:Daniela López Martínez|Daniela López Martínez]] ([[Usuario discusión:Daniela López Martínez|discusión]]) 19:19 5 jul 2013 (CDT)<br />
<br />
----<br />
'''2.16 Escriba la expresion para la onda armonica de amplitud <math>10^{3}V/m</math> , periodo <math>2.2x10^{-15}s</math> ,y velocidad <math>3x10^{8}m/s</math> .La onda se propaga en la direccion negativa de X y tiene un valor de <math>10^{3}V/m</math> en t=0 y x=0.'''<br />
<br />
R:<br />
<br />
<math>\tau=2.2x10^{-15}s</math><br />
<br />
<br />
sabiendo que <math>\nu=\frac{1}{\tau}</math><br />
<br />
<br />
<math>\nu=\frac{1}{2.2x10^{-15}s}=4.5x10^{14}Hz</math><br />
<br />
<br />
obtenemos la longitud de onda con <math>v=\nu\lambda</math><br />
<br />
<br />
es decir <math>\lambda=\frac{v}{\nu}=\frac{3.8x10^{8}m/s}{4.5x10^{14}Hz}</math><br />
<br />
<br />
<math>\lambda=6.6x10^{-7}m</math><br />
<br />
<br />
obtenemos K de la formula <math>k=\frac{2\pi}{\lambda}=9.5x10^{6}m^{-1}</math><br />
<br />
<br />
Sabiendo que la expresion de la ecuacion de onda es <br />
<br />
<math>\psi(x,t)=A\cos\left[kx+\omega t\right]</math><br />
<br />
<br />
sustituimos los datos antes encontrados para hallar la expresion que nos piden.<br />
<br />
<math>\psi(x,t)=\left(10^{3}\right)\cos\left[9.5x10^{6}\left(x+3x10^{8}t\right)\right]</math><br />
<br />
- --[[Usuario:Leticia González Zamora|Leticia González Zamora]] ([[Usuario discusión:Leticia González Zamora|discusión]]) 15:27 20 jun 2013 (CDT)<br />
----<br />
<br />
<br />
----<br />
'''2.17 Considere el pulso descrito en términos de sus desplazamientos en t=0 por <br />
<br />
<math>y(x,t)\mid_{t=0}=\frac{c}{2+x^{2}} </math><br />
<br />
donde ''C'' es una constante. Dibuje el perfil de la onda. Escriba una expresión para la onda que tiene una velocidad v en la dirección negativa de x, como función del tiempo t. si v= 1 m/s, dibuje el perfil en t=2s.'''<br />
<br />
a) [[Archivo:Perfil1.png]] <br />
<br />
Donde graficamos con C=1, se podría graficar con "c" igual a cualquier valor, dándonos un máximo siempre a c/2, pero con la misma forma de la gráfica. <br />
<br />
b) Al graficar el perfil anterior notamos que la fase no incluia a la velocidad por estar al tiempo t=0, sin embargo para cualquier tiempo se le restaría a la x, la velocidad multiplicado por el tiempo. Ahora bien para hacer que se mueva en la dirección negativa simplemente a la "x" simplemente le sumaríamos a la velocidad por el tiempo:<br />
<br />
<math>y(x,t)=\frac{c}{2+(x+vt)^{2}} </math><br />
<br />
c)[[Archivo:Perfil2.png]]<br />
<br />
--[[Usuario:Ignacio Peralta Martínez|Ignacio Peralta Martínez]] ([[Usuario discusión:Ignacio Peralta Martínez|discusión]]) 01:43 6 jul 2013 (CDT)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''2.21Comenzando por el siguiente teorema: sí <math>Z=f_{(x,y)}</math>,<math>x=g_{(t)}</math><br />
y <math>y=h_{(t)}</math><br />
Entonces:<br />
<br />
<math>\frac{\delta Z}{\delta t}=\frac{\partial Z}{\partial x}\frac{\delta x}{\delta t}+\frac{\partial Z}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}</math><br />
<br />
<br />
Derivar la ecuacion: (2.34)'''<br />
<br />
<math>\left.v=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial y}}\right\} 2.35</math><br />
<br />
<br />
En general tenemos que una funcion de onda cualquiera posee la forma. <br />
<br />
<math>\Psi_{(\bar{r},t)}=\psi</math><br />
<br />
<br />
Sin perdida de generalidad consideramos el mivimiento sobre un eje de porpagacion “y”<br />
<br />
<math>\Psi_{(y,t)}=\psi</math><br />
<br />
<br />
Entonces por regla de la cadena (el teorema propuesto.)<br />
<br />
<math>\frac{\delta\psi}{\delta t}=\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}+\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{\delta t}{\delta t}</math><br />
<br />
<br />
De aqui sabemos que para una perturbacion que no cambia con el tiempo:<br />
<br />
<math>\frac{\delta\psi}{\delta t}=0</math><br />
<br />
<br />
Asimismo la diferencial del tiempo respecto al tiempo es uno, entonces, tras estas simplificaciones obtenemos.<br />
<br />
<math>0=\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}+\frac{\partial\psi}{\partial t}</math><br />
<br />
<br />
Despejando: <math>\frac{\delta y}{\delta t}=v</math><br />
<br />
<br />
<math>v=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial y}}</math><br />
<br />
<br />
La cual es la ecuacion 2.34. --[[Usuario:Andrés Arturo Cerón Téllez|Andrés Arturo Cerón Téllez]] ([[Usuario discusión:Andrés Arturo Cerón Téllez|discusión]]) 23:48 5 jul 2013 (CDT)<br />
<br />
----<br />
----<br />
[[categoría:Vibra]]</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Ondas:_probs_c2_mov_osc&diff=18284Ondas: probs c2 mov osc2014-03-17T02:15:45Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div>vibraciones y ondas<br />
problemas capítulo 2 Óptica - Hecht<br />
<br />
'''2.1'''¿Cuantas ondas de luz amarilla (<math>\lambda=580mm</math>) caben en una distancia en el espacio igual a un trozo de papel de (0.003pulgadas)?¿Hasta donde se extendera el mismo numero de micro ondas (v=10^10Hz, es decir, 10GHz y <math>\upsilon=3x10^8 m/s</math>?<br />
<br />
<br />
Numero de ondas<br />
<br />
<br />
<math>\frac{(0.003)(2.54x10^{-2})}{580x10^{-9}}=131</math><br />
<br />
<br />
<math>c=\lambda\nu</math><br />
<br />
<br />
<math>\lambda=\frac{c}{\nu}=\frac{3x10^{8}}{10^{10}}=3cm</math><br />
<br />
<br />
Las ondas se extienden 3.9 <br />
<br />
<br />
--[[Usuario:David Alberto Rojas Solis|David Alberto Rojas Solis]] ([[Usuario discusión:David Alberto Rojas Solis|discusión]]) 09:38 6 jul 2013 (CDT)<br />
----<br />
<br />
2.2''' La velocidad de la luz en el vacio es aproximadamente de''' $3x10^{8}\frac{m}{s}$.'''Calcule la longitud de onda de la luz roja con una frecuencia de''' $5x10^{14}Hz$.'''Compárela con la longitud de onda de una onda electromagnética de'''$60Hz.$<br />
<br />
<br />
Utilizamos la ecuación $\lambda=\frac{c}{\nu}$,donde $c$ es la velocidad de la luz y $\nu$ la frecuencia de laonda. Tendremos entonces:<br />
<br />
\[\lambda=\frac{c}{\nu}=\frac{3x10^{8}\frac{m}{s}}{5x10^{14}Hz}=6x10^{-7}m\] <br />
<br />
o la ecuación:<br />
<br />
\[\lambda=600nm\] <br />
<br />
que es la longitud de onda de la luz roja a la frecuencia solicitada en el problema. Ahora calculamos la longitud de onda de la onda electromagnética:<br />
<br />
<br />
\[\lambda_{1}=\frac{c}{\nu}=\frac{3x10^{8}\frac{m}{s}}{60Hz}=5x10^{6}m\].<br />
<br />
Al comparar $\lambda$ con $\lambda_{1}$ notamos que la longitud de onda ${\lambda}_{1}$correspondiente a la onda electromagnética es mucho mayor que la de la luz roja.<br />
<br />
[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 02:15 17 mar 2014 (UTC)<br />
----<br />
<br />
<br />
'''2.4'''<br />
<br />
'''Un joven en un barco sobre un lagoestá mirando las ondas que parecen'''<br />
'''una suceción infinita de crestas idénticas, produciendose con'''<br />
'''un intervalo de medio segundo cada una. Si cada perturbación tarda'''<br />
'''1.5s en cubrir la extensión del barco de 4.5 ¿cuál es la frecuencia,'''<br />
'''el periodo y la longitud de '''<br />
<br />
'''onda de las olas?'''<br />
<br />
Los datos dados en el problema, son los siguientes:<br />
<br />
t = 1.5s, l = 4.5m, <br />
<br />
Del enunciado, se deduce que el periodo, es el siguiente: $\tau=$0.5s.<br />
<br />
De donde se calcula la frecuencia utilizando la definición de frecuencia:<br />
<br />
\[<br />
\nu=\frac{1}{\tau}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Al sustituir, en la ecuuación, se obtiene el siguiente resultado:<br />
<br />
\[<br />
\nu=\frac{1}{0.5s}=2Hz<br />
\]<br />
<br />
<br />
Para obtener la longitud de onda, se utliliza la siguiente relación:<br />
<br />
\[<br />
\tau=\frac{\lambda}{v}\rightarrow\lambda=v\tau<br />
\]<br />
<br />
<br />
De donde la velocidad se obtiene a partir de la siguiente definición:<br />
$v=\frac{l}{t}=\frac{4.5m}{1.5s}=3m/s$<br />
<br />
Entonces $\lambda=(3m/s)(0.5s)=1.5m$.<br />
<br />
[[Usuario:Ana Alarid|Ana Alarid]] ([[Usuario discusión:Ana Alarid|discusión]]) 01:46 12 mar 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
'''2.12 El perfil de una onda armónica, que viaja con velocidad de 1.2 m/s en una cuerda,esta dado por '''<br />
<br />
<math>y=\left(0.02m\right)\sin\left(157m^{-1}\right)x<br />
</math><br />
<br />
'''Calcule a) amplitud,b) frecuencia,c) longitud de onda y su periodo'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
la expresión anterior se puede expresar como<br />
<br />
<math>y=\left(0.02m\right)\sin\left(157m^{-1}\right)x\Rightarrow y=\left(0.02\right)\sin\left(157x\right)\cdots\cdots\cdots\left(1\right)<br />
</math><br />
<br />
Entonces la expresión general de una función de onda es:<br />
<br />
<math>y\left(x,t\right)=A\sin\left(kx\pm\omega t\right)\cdots\cdots\cdots\left(2\right)<br />
</math><br />
<br />
Para pasar la ec 1 a la exprsión 2 hay que partir de la velocidad para calcular el termino <math>\omega t</math>, entonces:<br />
<br />
<math>v=\frac{\omega}{k}\Rightarrow\omega=vk=\left(1.2\frac{m}{s}\right)\left(157m^{-1}\right)=188.4\frac{rad}{s}<br />
</math><br />
<br />
por lo tanto nuestra ecuación 1 queda como:<br />
<br />
<math>y\left(x,t\right)=\left(0.02\right)\sin\left(157x+188.4t\right)\cdots\cdots\cdots\left(3\right)<br />
</math><br />
<br />
entonces comparando 2 con 3,tenemos que:<br />
<br />
a)<br />
<br />
<math>A=0.02</math><br />
<br />
b)<br />
<br />
<math>f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{188.4\frac{rad}{s}}{2\pi}=29.98\thickapprox30Hz<br />
</math><br />
<br />
c)<br />
<br />
<math>\lambda=\frac{v}{f}=\frac{1.2\frac{m}{s}}{30Hz}=0.04m<br />
</math><br />
<br />
d)<br />
<br />
<math>T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{188.4\frac{rad}{s}}=0.03s<br />
</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:MISS|MISS]] ([[Usuario discusión:MISS|discusión]]) 01:09 21 jun 2013 (CDT)<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
'''2.13 Usando las funciones de onda'''<br />
<br />
<math>\psi_{1}=4\sin2\pi\left(0.2x-3t\right)<br />
</math><br />
<br />
<math>\psi_{2}=\frac{\sin\left(7x+3.5t\right)}{2.5}<br />
</math><br />
<br />
'''determine en cada caso los valores de a)amplitud,b)frecuencia,c)velocidad de fase,d)longitud de onda,e)periodo,f)dirección del movimiento. El tiempo se expresa en segundos s y x en metros.'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
Para resolver este problema comparamos la expresión de la función de onda dada<br />
<br />
<math>\psi\left(x,t\right)=A\sin\left(kx\pm wt\right)<br />
</math><br />
<br />
Donde A es la amplitud, k es una constante, w se le denomina frecuencia angular (w = kv) de la igualdad observamos que los valores de los diferentes parámetros son:<br />
<br />
<br />
<math>A=8\pi<br />
</math> <br />
<br />
<math>kx=0.2x\Rightarrow k=0.2m^{-1}<br />
</math> <br />
<br />
<math>wt=3\Rightarrow w=3\frac{rad}{s}<br />
</math><br />
<br />
Entonces para <math>\psi</math> el inciso:<br />
<br />
a)<br />
<br />
<math>A=8\pi<br />
</math><br />
<br />
b)<br />
<br />
<math>f=\frac{\omega}{2\pi}\Rightarrow f=\frac{3\frac{rad}{s}}{2\pi}=0.47\approx0.5Hz<br />
</math><br />
<br />
c)<br />
<br />
<math>v=\frac{\omega}{k}=\frac{3\frac{rad}{s}}{0.2m^{-1}}=15\frac{m}{s}<br />
</math><br />
<br />
d)<br />
<br />
<math>\lambda=\frac{v}{f}=\frac{15\frac{m}{s}}{0.5Hz}=30m<br />
</math><br />
<br />
e)<br />
<br />
<math>\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f\Rightarrow T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{3\frac{rad}{s}}=2.09\approx2.1s<br />
</math><br />
<br />
f)<br />
<br />
Como el signo entre kx y wt es negativo está indicando que la propagación de la onda es hacia la derecha.<br />
<br />
<br />
Para <math>\psi_{2}</math> tenemos:<br />
<br />
a)<br />
<br />
<math>A=\frac{1}{2.5}<br />
</math><br />
<br />
b)<br />
<br />
<math>f=\frac{\omega}{2\pi}\Rightarrow f=\frac{3.5\frac{rad}{s}}{2\pi}=0.55\approx0.6Hz<br />
</math><br />
<br />
c)<br />
<br />
<math>v=\frac{\omega}{k}=\frac{3.5\frac{rad}{s}}{7m^{-1}}=0.5\frac{m}{s}<br />
</math><br />
<br />
d)<br />
<br />
<math>\lambda=\frac{v}{f}=\frac{0.5\frac{m}{s}}{0.6Hz}=0.8m<br />
</math><br />
<br />
e)<br />
<br />
<math>\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f\Rightarrow T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{3.5\frac{rad}{s}}=1.79\approx1.8s<br />
</math><br />
<br />
f)<br />
<br />
Como el signo entre kx y wt es positivo está indicando que la propagación de la onda es hacia la izquierda.<br />
<br />
--[[Usuario:MISS|MISS]] ([[Usuario discusión:MISS|discusión]]) 23:59 20 jun 2013 (CDT)<br />
----<br />
'''2.14 Demuestre que, <math>\psi_{(x,t)}=Asen(k(x-vt))</math> es una solucion de la ecuacion diferencial de onda.''' <br />
<br />
Dado que la ecuacion diferencial de onda es:<br />
<br />
<math>\frac{\delta^{2}\psi}{\delta x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\delta^{2}\psi}{\delta t^{2}}</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{\delta\psi}{\delta x}=kAcos(kx-kvt)</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{\delta^{2}\psi}{\delta x^{2}}=-k^{2}Asen(kx-kvt)</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{\delta\psi}{\delta t}=-kvAcos(kx-kvt)</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{\delta^{2}\psi}{\delta t^{2}}=-\{-[-k^{2}v^{2}Asen(kx-kvt)]\}</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{\delta^{2}\psi}{\delta t^{2}}=-kv^{2}Asen(kx-kvt)</math><br />
<br />
<br />
Entonces, sustituyendo en la ecuacion diferencial. <br />
<br />
<math>-k^{2}Asen(kx-kvt)=\frac{1}{v^{2}}-kv^{2}Asen(kx-kvt)</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto. <br />
<br />
<math>k^{2}Asen(kx-kvt)=k^{2}Asen(kx-kvt)</math><br />
<br />
--[[Usuario:Daniela López Martínez|Daniela López Martínez]] ([[Usuario discusión:Daniela López Martínez|discusión]]) 19:19 5 jul 2013 (CDT)<br />
<br />
----<br />
'''2.16 Escriba la expresion para la onda armonica de amplitud <math>10^{3}V/m</math> , periodo <math>2.2x10^{-15}s</math> ,y velocidad <math>3x10^{8}m/s</math> .La onda se propaga en la direccion negativa de X y tiene un valor de <math>10^{3}V/m</math> en t=0 y x=0.'''<br />
<br />
R:<br />
<br />
<math>\tau=2.2x10^{-15}s</math><br />
<br />
<br />
sabiendo que <math>\nu=\frac{1}{\tau}</math><br />
<br />
<br />
<math>\nu=\frac{1}{2.2x10^{-15}s}=4.5x10^{14}Hz</math><br />
<br />
<br />
obtenemos la longitud de onda con <math>v=\nu\lambda</math><br />
<br />
<br />
es decir <math>\lambda=\frac{v}{\nu}=\frac{3.8x10^{8}m/s}{4.5x10^{14}Hz}</math><br />
<br />
<br />
<math>\lambda=6.6x10^{-7}m</math><br />
<br />
<br />
obtenemos K de la formula <math>k=\frac{2\pi}{\lambda}=9.5x10^{6}m^{-1}</math><br />
<br />
<br />
Sabiendo que la expresion de la ecuacion de onda es <br />
<br />
<math>\psi(x,t)=A\cos\left[kx+\omega t\right]</math><br />
<br />
<br />
sustituimos los datos antes encontrados para hallar la expresion que nos piden.<br />
<br />
<math>\psi(x,t)=\left(10^{3}\right)\cos\left[9.5x10^{6}\left(x+3x10^{8}t\right)\right]</math><br />
<br />
- --[[Usuario:Leticia González Zamora|Leticia González Zamora]] ([[Usuario discusión:Leticia González Zamora|discusión]]) 15:27 20 jun 2013 (CDT)<br />
----<br />
<br />
<br />
----<br />
'''2.17 Considere el pulso descrito en términos de sus desplazamientos en t=0 por <br />
<br />
<math>y(x,t)\mid_{t=0}=\frac{c}{2+x^{2}} </math><br />
<br />
donde ''C'' es una constante. Dibuje el perfil de la onda. Escriba una expresión para la onda que tiene una velocidad v en la dirección negativa de x, como función del tiempo t. si v= 1 m/s, dibuje el perfil en t=2s.'''<br />
<br />
a) [[Archivo:Perfil1.png]] <br />
<br />
Donde graficamos con C=1, se podría graficar con "c" igual a cualquier valor, dándonos un máximo siempre a c/2, pero con la misma forma de la gráfica. <br />
<br />
b) Al graficar el perfil anterior notamos que la fase no incluia a la velocidad por estar al tiempo t=0, sin embargo para cualquier tiempo se le restaría a la x, la velocidad multiplicado por el tiempo. Ahora bien para hacer que se mueva en la dirección negativa simplemente a la "x" simplemente le sumaríamos a la velocidad por el tiempo:<br />
<br />
<math>y(x,t)=\frac{c}{2+(x+vt)^{2}} </math><br />
<br />
c)[[Archivo:Perfil2.png]]<br />
<br />
--[[Usuario:Ignacio Peralta Martínez|Ignacio Peralta Martínez]] ([[Usuario discusión:Ignacio Peralta Martínez|discusión]]) 01:43 6 jul 2013 (CDT)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''2.21Comenzando por el siguiente teorema: sí <math>Z=f_{(x,y)}</math>,<math>x=g_{(t)}</math><br />
y <math>y=h_{(t)}</math><br />
Entonces:<br />
<br />
<math>\frac{\delta Z}{\delta t}=\frac{\partial Z}{\partial x}\frac{\delta x}{\delta t}+\frac{\partial Z}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}</math><br />
<br />
<br />
Derivar la ecuacion: (2.34)'''<br />
<br />
<math>\left.v=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial y}}\right\} 2.35</math><br />
<br />
<br />
En general tenemos que una funcion de onda cualquiera posee la forma. <br />
<br />
<math>\Psi_{(\bar{r},t)}=\psi</math><br />
<br />
<br />
Sin perdida de generalidad consideramos el mivimiento sobre un eje de porpagacion “y”<br />
<br />
<math>\Psi_{(y,t)}=\psi</math><br />
<br />
<br />
Entonces por regla de la cadena (el teorema propuesto.)<br />
<br />
<math>\frac{\delta\psi}{\delta t}=\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}+\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{\delta t}{\delta t}</math><br />
<br />
<br />
De aqui sabemos que para una perturbacion que no cambia con el tiempo:<br />
<br />
<math>\frac{\delta\psi}{\delta t}=0</math><br />
<br />
<br />
Asimismo la diferencial del tiempo respecto al tiempo es uno, entonces, tras estas simplificaciones obtenemos.<br />
<br />
<math>0=\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}+\frac{\partial\psi}{\partial t}</math><br />
<br />
<br />
Despejando: <math>\frac{\delta y}{\delta t}=v</math><br />
<br />
<br />
<math>v=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial y}}</math><br />
<br />
<br />
La cual es la ecuacion 2.34. --[[Usuario:Andrés Arturo Cerón Téllez|Andrés Arturo Cerón Téllez]] ([[Usuario discusión:Andrés Arturo Cerón Téllez|discusión]]) 23:48 5 jul 2013 (CDT)<br />
<br />
----<br />
----<br />
[[categoría:Vibra]]</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Angel_Nahir_Molina_Guadarrama&diff=18282Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama2014-02-27T04:28:50Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div>'''Bienvenido a ''Luz-wiki''!'''<br />
Esperamos que contribuyas mucho y bien.<br />
Probablemente desearás leer las [[Help:Contenidos|páginas de ayuda]].<br />
Nuevamente, bienvenido y diviértete! [[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 18:41 8 ene 2014 (UTC)<br />
----<br />
Problema 2.5<br />
<br />
Angel, me parece que tu problema esta muy bien redactado, y queda<br />
muy claro; me gusta que hayas utilizado imágenes para hacer más grafica<br />
la explicación.<br />
<br />
[[Usuario:Ana Alarid|Ana Alarid]] ([[Usuario discusión:Ana Alarid|discusión]]) 02:08 26 feb 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
Problema 1.5<br />
<br />
Hola Nahir, me gustaría saber por qué consideras como correctas las<br />
ecuaciones $(1)$ y $(2)$ ya que $A_{1}$y $V_{1}$son constantes<br />
dadas por las condiciones iniciales, es decir, <br />
\[<br />
\psi(t)=ACos(w_{0}t+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\dot{\psi}(t)=-Aw_{0}Sen(w_{0}t+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
estas dos ecuaciones son para todo tiempo, es decir, van cambiado<br />
conforme avanza el tiempo, ya cuando aplicas las condiciones iniciales<br />
estás te ayudan a determinar las constantes de integración. Solo ese<br />
pequeño error percibo en la resolución del problema, todo lo demás<br />
me parece certero. <br />
<br />
<br />
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 02:18 27 ene 2014 (UTC)<br />
----<br />
Problema 4.7<br />
<br />
Hola Angel, al precer el problema que tratas habla de un sistema amortiguado y además forzado y parece que no consideras la parte forzada en tu solución ya que al resolver la ecuación diferencial dicha solución contiene la combinación lineal de la solución homogénea y una solución particular.<br />
<br />
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 05:53 25 feb 2014 (UTC)<br />
----<br />
Respecto al problema 4.7 estoy de acuerdo con Luis, además sería bueno describir mejor el proceso de solución, pienso que quedaría un poco más claro si lo haces. Hasta luego.<br />
[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 04:28 27 feb 2014 (UTC)</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Sabino&diff=18281Usuario discusión:Sabino2014-02-27T04:18:18Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div>'''Bienvenido a ''Luz-wiki''!'''<br />
Esperamos que contribuyas mucho y bien.<br />
Probablemente desearás leer las [[Help:Contenidos|páginas de ayuda]].<br />
Nuevamente, bienvenido y diviértete! [[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 16:01 10 nov 2012 (UTC)<br />
----<br />
(Problema 3.10). El problema está resuelto claramente y sencillo, pero talvez sería bueno describir un poco más el proceso.<br />
[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 04:18 27 feb 2014 (UTC) <br />
----</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Vibra:_probs_c6&diff=18280Vibra: probs c62014-02-27T03:47:59Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div>Main cap.6<br />
<br />
6.1<br />
<br />
'''For forced oscillations in an LCR circuit, show that the voltage across<br />
the capacitor at low frequencies ($\omega<<\omega_{0}$) and the voltage<br />
across the inductance at high frequencies<br />
<br />
($\omega>>\omega_{0}$ ) are both equal to the generator voltage.'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
Sabemos que el voltaje en el capacitor es $V_{c}=Q/C$ y que el voltaje<br />
en el inductor es $V_{L}=\frac{d^{2}Q}{dt^{2}}L$<br />
<br />
De nuestra solución a la ecuación de oscilador forzado con amortiguamiento<br />
tenemos:<br />
<br />
$Q=Acos(\omega t)$<br />
<br />
$\frac{d^{2}Q}{dt^{2}}=A\omega^{2}cos(\omega t)$ en valor absoluto<br />
<br />
Susituimos en las ecuaciones de voltaje:<br />
<br />
$V_{c}=Acos(\omega t)/C$<br />
<br />
$V_{L}=A\omega^{2}cos(\omega t)L$<br />
<br />
Sabiendo que $A=\frac{V_{0}}{L}\left[\frac{1}{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}\right]^{1/2}$<br />
<br />
Vemos que pasa primero con A cuando $\omega<<\omega_{0}$, obtenemos<br />
simplemente $A=\frac{V_{0}}{L}\left[\frac{1}{\omega_{0}^{4}}\right]^{1/2}$ <br />
<br />
O más simplificado $A=\frac{V_{0}}{L}\frac{1}{\omega_{0}^{2}}$, sustituimos<br />
en la ecuación del voltaje del capacitor:<br />
<br />
$V_{c}=(\frac{V_{0}}{L}\frac{1}{\omega_{0}^{2}})cos(\omega t)/C$ <br />
<br />
y si $\omega_{0}^{2}=1/LC$<br />
<br />
$V_{c}=V_{0}cos(\omega t)$ que es el voltaje del generador<br />
<br />
Ahora para $\omega>>\omega_{0}$ obtenemos que $A=\frac{V_{0}}{L\omega^{2}}$<br />
(notar que el factor $\gamma^{2}\omega^{2}$es despreciable en comparación<br />
con $\omega^{4}$, por lo que no se suma)<br />
<br />
Susituimos en el voltaje en el inductor $V_{L}=V_{0}cos(\omega t)$<br />
que es el voltaje del generador.<br />
[[Usuario:Edgar Ortega Roano|Edgar Ortega Roano]] 09:59 12 feb 2014 (CDT)<br />
----<br />
6.2<br />
----<br />
6.3 '''Para oscilaciones forzadas en un circuito LRC, mostrar que la<br />
potencia media de absorción es $-\frac{1}{2}V_{0}I_{0}sin\phi$ donde<br />
$I_{0}$ es la amplitud de la corriente, y los otros símbolos tienen<br />
los mismos significados que en el texto. (En libros de electricidad<br />
el factor de potencia $-sin\phi$se puede escribir de la forma $cos\phi'$<br />
donde $\phi'=\phi+\frac{\pi}{2}$ que es el ángulo con que la corriente<br />
esta por la tensión del generador).'''<br />
<br />
<br />
Para un un circuito $LRC$ con forzamiento, tenemos la ecuación siguiente:<br />
\[LC{d^2V \over dt^2}+RC{dV \over dt} + V = V_f\cos(\omega t)...(1) \]<br />
Reescribimos la ecuación anterior de la siguiente manera:<br />
\[ L{d^2V \over dt^2}+R{dV \over dt} + {1\over C}V = {V_f \over C}\cos(\omega t)...(2) \]<br />
Al igual que en el oscilador armónico forzado y con amortiguamiento(porque la ecuación $2$ es análoga al oscilado mecánico), tenemos ahora una solución similar:<br />
<br />
\[V=V_\circ\cos(\omega t + \phi) \]<br />
<br />
La potencia la podemos calcular como $P=F\frac{dW}{dt}$ , pero para el caso eléctrico se expresa como $P=V\frac{dQ}{dt}$. Ahora multiplicamos la ecuación $V=V_{0}\cos(\omega t+\phi)$ por $C$, que es una capacitancia y obtenmos ahora $VC=V_{0}C_{0}\cos(\omega t+\phi)$o $Q=Q_{0}\cos(\omega t+\phi)$.<br />
<br />
Para continuar usamos la expresión $P=V\frac{dQ}{dt}$ y obtenemos:<br />
<br />
$P=V\frac{d(Q_{0}\cos(\omega t+\phi))}{dt}=V\frac{dQ_{0}}{dt_{0}}\omega(-sen(\omega t+\phi)$);<br />
pero podemo escribir $V=V_{0}\cos(\omega t)$, el forzamiento del<br />
circuito.<br />
<br />
Y entonces tenemos $P=-V_{0}\frac{dQ_{0}}{dt_{0}}\omega sen(\omega t+\phi)cos(\omega t)$<br />
que al usar la identida trigonometrica para el $seno$ de la suma<br />
de dos ángulos nos queda una nueva ecuación para $P$:<br />
<br />
$P=-V_{0}\frac{dQ_{0}}{dt_{0}}\omega[sen(\omega t)cos(\delta)-cos(\omega t)sen(\delta)]cos(\omega t)$<br />
<br />
y desarrollando el calculo obtenemos que $P$:<br />
<br />
$P=-V_{0}\frac{dQ_{0}}{dt_{0}}\omega cos(\delta)cos(\omega t)sen(\omega t)+V_{0}\frac{dQ_{0}}{dt_{0}}\omega cos^{2}(\omega t)sen(\delta)...(3)$<br />
<br />
Y si promediamos la potencia en un número cualquiera entero de ciclos<br />
el primer término de la ecuación $3$ resulta cero quedando solamente<br />
$P=\omega\frac{dQ_{0}}{dt_{0}}cos^{2}(\omega t)sen(\delta)...(3)$,<br />
donde el promedio del $cos^{2}(\omega t)=\frac{1}{2}$, de modo que<br />
la potencia puede expresarse como<br />
<br />
$P=\omega V_{0}I_{0}\frac{1}{2}sen(\delta)$<br />
[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 03:47 27 feb 2014 (UTC)<br />
----<br />
<br />
'''6.4 Show that, for x-rays, the scattered power is independient of frecuency (“Thompson scattering”).'''<br />
<br />
'''Muestra que, para los rayos X, la potencia de dispersión es independiente de la frecuencia ("Dispersión de Thompson).'''<br />
<br />
Se puede pensar al fenómeno de dispersión de luz como un forzamiento de los electrones que conforman la materia, éstos vibran naturalmente a una frecuencia <math>\omega_{0} </math>, si se aplica una fuerza externa en forma de luz incidente de una frecuencia denotada por <math>\omega</math> se obtiene un sistema de oscilación forzado. <br />
<br />
La frecuencia natural de oscilación de los electrones se puede aproximar si se toma al núcleo atómico como una esfera rígida de radio R cargada uniformemente, esta carga se encuentra confinada y es una fuerza atractiva. La magnitud de la fuerza que ejerce el núcleo atómico es:<br />
<br />
<math>\left\Vert\bar{F}\right\Vert =\frac{eq_{\chi}}{4\pi\varepsilon_{0}\chi^{2}}</math> <br />
<br />
Para conocer la frecuencia con la que vibra la nube eléctronica de forma natural, se escribe la carga con una dependencia del desplazamiento, esta carga es una cantidad que se asigna para que sea un oscilador, el valor de la carga es:<br />
<br />
<math>q_{\chi}=e\left(\frac{\chi}{R}\right)^{3}</math><br />
<br />
<br />
Sustituirla en la magnitud de la fuerza se tiene:<br />
<br />
<math>\left\Vert \bar{F}\right\Vert =\frac{e^{2}\left(\frac{\chi}{R}\right)^{3}}{4\pi\varepsilon_{0}\chi^{2}}</math><br />
<br />
: <br />
<br />
<math>\left\Vert \bar{F}\right\Vert =\frac{e^{2}}{4\pi R^{3}\varepsilon_{0}}\chi</math><br />
<br />
<br />
Donde se observa que la aproximación tiene forma de una fuerza lineal restitutiva que es de la forma:<br />
<br />
<math>\left\Vert \bar{F}\right\Vert =-k\chi</math><br />
<br />
En este caso la constante del resorte es:<br />
<br />
<math>k=\frac{e^{2}}{4\pi R^{3}\varepsilon_{0}}</math><br />
<br />
Recordando la relación de la constante <math>k</math> y la frecuencia angular <math>\omega_{0}</math> que es <math>\omega_{0}^{2}=\frac{k}{m}</math> y sustituyendo la masa por la masa del electrón, se tiene:<br />
<br />
<math>\omega_{0}=\frac{e}{\sqrt{4\pi m_{e}\varepsilon_{0}R^{3}}}</math><br />
<br />
Realizamos el calculo usando el radio del átomo de Hidrógeno, sustituimos el el valor de las constantes y se obtiene: <br />
<br />
<math>\omega_{0}\thickapprox4.5\times10^{16}\frac{1}{s}</math><br />
<br />
<br />
De aquí se puede calcular la frecuencia de oscilación de la nube electrónica:<br />
<br />
<math>\nu_{0}\backsim10^{16}Hz</math><br />
<br />
<br />
Por otra parte, la frecuencia de los rayos X se encuentra aproximadamente <math>\nu\backsim10^{18}</math>. Se observa que los rayos X oscilan a una frecuencia cien veces mayor que el electrón del átomo de Hidrógeno, podemos decir que:<br />
<br />
<math>\nu<<\nu_{0}</math><br />
<br />
La potencia media absorbida por un oscilador forzado, está dada por:<br />
<br />
<math>\left\langle P\right\rangle =\frac{F_{0}^{2}}{2\beta}(R_{(\omega)})</math><br />
<br />
<br />
Donde <math>\beta</math> es el factor de amortiguamiento. Tenemos entonces que el factor de resonancia es:<br />
<br />
<math>R_{(\omega)}=\frac{4\beta^{2}\omega^{2}}{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\beta^{2}\omega^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Después de factorizar se llega a:<br />
<br />
<math>R_{(\omega)}=\frac{4\beta^{2}\omega^{2}}{\omega^{4}\left[(\frac{\omega_{0}^{2}}{\omega^{2}}-1)^{2}+\frac{4\beta^{2}}{\omega^{2}}\right]}</math><br />
<br />
Simplificando: <br />
<br />
<math>R_{(\omega)}=\frac{4\beta^{2}}{\omega^{2}\left[(\frac{\omega_{0}^{2}}{\omega^{2}}-1)^{2}+\frac{4\beta^{2}}{\omega^{2}}\right]}</math><br />
<br />
<br />
Observando las frecuencias encontradas, vemos que el cociente de la frecuencia natural entre la frecuencia de los rayos es semejnte a cero:<br />
<br />
<math>\omega_{0}<<\omega</math><br />
<br />
<br />
Por ello la expresion anterior se reduce a:<br />
<br />
<math>R_{(\omega)}=\frac{4\beta^{2}}{\omega^{2}+\frac{4\beta^{2}}{\omega^{2}}}</math><br />
<br />
<br />
Vemos que la Resonancia no depende de la frecuencia angular como se espera en un oscilador forzado controlado por la masa con frecuencias externas mucho mayores que la frecuencia natural, esto es debido a que la fuerza restitutiva posee un efecto insignificante en el forzamiento en general, entonces la potencia tampoco depende de la frecuencia natural.<br />
<br />
[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 20:37 24 feb 2014 (UTC)<br />
----<br />
<br />
--[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 12:01 9 may 2013 (CDT)<br />
<br />
[[categoría:Vibra]]<br />
----<br />
'''Cosider the series RLC circuits driven by an alternating<br />
emf of value $E_{0}\sin\omega t$. FInd the current the voltage $V_{L}$<br />
across the inductor, and the angular frequency $\omega$ at which<br />
$V_{L}$ is a maxium.'''<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
El voltaje a través de cada elemento del circuito en la figura son<br />
<br />
<br />
\[<br />
V_{L}=L\frac{dI}{dt}=L\ddot{q}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
V_{R}=LI=L\dot{q}<br />
\]<br />
\[<br />
V_{C}=\frac{q}{C}<br />
\]<br />
<br />
<br />
por lo tanto se tiene<br />
<br />
\[<br />
L\ddot{q}+R\dot{q}+\frac{q}{C}=E_{0}\sin\omega t<br />
\]<br />
<br />
<br />
similarmente a la ecuación de movimiento de un oscilador amortiguado<br />
se tiene<br />
<br />
\[<br />
\beta\rightarrow\frac{R}{2L},\;\omega_{0}\rightarrow\frac{1}{\sqrt{LC}},\; A=\frac{E_{0}}{L}<br />
\]<br />
<br />
<br />
por tanto sabemos que la solución para la corriente esta dada por<br />
<br />
\[<br />
I=\frac{-E_{0}}{\sqrt{R^{2}+\Big(\frac{1}{\omega C}-\omega L\Big)^{2}}}\sin(\omega t-\delta)<br />
\]<br />
El voltaje a través del conductor es<br />
<br />
\[<br />
V_{L}=L\frac{dI}{dt}=\frac{-\omega LE_{0}}{\sqrt{R^{2}+\Big(\frac{1}{\omega C}-\omega L\Big)^{2}}}\cos(\omega t-\delta)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
V_{L}=V(\omega)\cos(\omega t-\delta)<br />
\]<br />
<br />
<br />
para encontrar $\omega_{max}$ en el cual $V_{L}$es un maximo obtenemos<br />
su derivada en $omega$ <br />
<br />
\[<br />
\frac{dV(\omega)}{d\omega}=\frac{LE_{0}\Big(R^{2}-\frac{2L}{C}+\frac{2}{\omega^{2}C^{2}}\Big)}{\Big[R^{2}+\Big(\frac{1}{\omega C}-\omega L\Big)^{2}\Big]^{3/2}}=0<br />
\]<br />
<br />
<br />
igualando el numerador a cero se tiene que <br />
<br />
\[<br />
\omega_{max}=\frac{1}{\sqrt{LC}-\frac{R^{2}C^{2}}{2}}<br />
\]<br />
<br />
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 05:59 26 feb 2014 (UTC)</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Vibra:_probs_c6&diff=18279Vibra: probs c62014-02-27T03:47:20Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div>Main cap.6<br />
<br />
6.1<br />
<br />
'''For forced oscillations in an LCR circuit, show that the voltage across<br />
the capacitor at low frequencies ($\omega<<\omega_{0}$) and the voltage<br />
across the inductance at high frequencies<br />
<br />
($\omega>>\omega_{0}$ ) are both equal to the generator voltage.'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
Sabemos que el voltaje en el capacitor es $V_{c}=Q/C$ y que el voltaje<br />
en el inductor es $V_{L}=\frac{d^{2}Q}{dt^{2}}L$<br />
<br />
De nuestra solución a la ecuación de oscilador forzado con amortiguamiento<br />
tenemos:<br />
<br />
$Q=Acos(\omega t)$<br />
<br />
$\frac{d^{2}Q}{dt^{2}}=A\omega^{2}cos(\omega t)$ en valor absoluto<br />
<br />
Susituimos en las ecuaciones de voltaje:<br />
<br />
$V_{c}=Acos(\omega t)/C$<br />
<br />
$V_{L}=A\omega^{2}cos(\omega t)L$<br />
<br />
Sabiendo que $A=\frac{V_{0}}{L}\left[\frac{1}{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}\right]^{1/2}$<br />
<br />
Vemos que pasa primero con A cuando $\omega<<\omega_{0}$, obtenemos<br />
simplemente $A=\frac{V_{0}}{L}\left[\frac{1}{\omega_{0}^{4}}\right]^{1/2}$ <br />
<br />
O más simplificado $A=\frac{V_{0}}{L}\frac{1}{\omega_{0}^{2}}$, sustituimos<br />
en la ecuación del voltaje del capacitor:<br />
<br />
$V_{c}=(\frac{V_{0}}{L}\frac{1}{\omega_{0}^{2}})cos(\omega t)/C$ <br />
<br />
y si $\omega_{0}^{2}=1/LC$<br />
<br />
$V_{c}=V_{0}cos(\omega t)$ que es el voltaje del generador<br />
<br />
Ahora para $\omega>>\omega_{0}$ obtenemos que $A=\frac{V_{0}}{L\omega^{2}}$<br />
(notar que el factor $\gamma^{2}\omega^{2}$es despreciable en comparación<br />
con $\omega^{4}$, por lo que no se suma)<br />
<br />
Susituimos en el voltaje en el inductor $V_{L}=V_{0}cos(\omega t)$<br />
que es el voltaje del generador.<br />
[[Usuario:Edgar Ortega Roano|Edgar Ortega Roano]] 09:59 12 feb 2014 (CDT)<br />
----<br />
6.2<br />
----<br />
6.3 '''Para oscilaciones forzadas en un circuito LRC, mostrar que la<br />
potencia media de absorción es $-\frac{1}{2}V_{0}I_{0}sin\phi$ donde<br />
$I_{0}$ es la amplitud de la corriente, y los otros símbolos tienen<br />
los mismos significados que en el texto. (En libros de electricidad<br />
el factor de potencia $-sin\phi$se puede escribir de la forma $cos\phi'$<br />
donde $\phi'=\phi+\frac{\pi}{2}$ que es el ángulo con que la corriente<br />
esta por la tensión del generador).'''<br />
<br />
<br />
Para un un circuito $LRC$ con forzamiento, tenemos la ecuación siguiente:<br />
\[LC{d^2V \over dt^2}+RC{dV \over dt} + V = V_f\cos(\omega t)...(1) \]<br />
Reescribimos la ecuación anterior de la siguiente manera:<br />
\[ L{d^2V \over dt^2}+R{dV \over dt} + {1\over C}V = {V_f \over C}\cos(\omega t)...(2) \]<br />
Al igual que en el oscilador armónico forzado y con amortiguamiento(porque la ecuación $2$ es análoga al oscilado mecánico), tenemos ahora una solución similar:<br />
<br />
\[V=V_\circ\cos(\omega t + \phi) \]<br />
<br />
La potencia la podemos calcular como $P=F\frac{dW}{dt}$ , pero para el caso eléctrico se expresa como $P=V\frac{dQ}{dt}$. Ahora multiplicamos la ecuación $V=V_{0}\cos(\omega t+\phi)$ por $C$, que es una capacitancia y obtenmos ahora $VC=V_{0}C_{0}\cos(\omega t+\phi)$o $Q=Q_{0}\cos(\omega t+\phi)$.<br />
<br />
Para continuar usamos la expresión $P=V\frac{dQ}{dt}$ y obtenemos:<br />
<br />
$P=V\frac{d(Q_{0}\cos(\omega t+\phi))}{dt}=V\frac{dQ_{0}}{dt_{0}}\omega(-sen(\omega t+\phi)$);<br />
pero podemo escribir $V=V_{0}\cos(\omega t)$, el forzamiento del<br />
circuito.<br />
<br />
Y entonces tenemos $P=-V_{0}\frac{dQ_{0}}{dt_{0}}\omega sen(\omega t+\phi)cos(\omega t)$<br />
que al usar la identida trigonometrica para el $seno$ de la suma<br />
de dos ángulos nos queda una nueva ecuación para $P$:<br />
<br />
$P=-V_{0}\frac{dQ_{0}}{dt_{0}}\omega[sen(\omega t)cos(\delta)-cos(\omega t)sen(\delta)]cos(\omega t)$<br />
<br />
y desarrollando el calculo obtenemos que $P$:<br />
<br />
$P=-V_{0}\frac{dQ_{0}}{dt_{0}}\omega cos(\delta)cos(\omega t)sen(\omega t)+V_{0}\frac{dQ_{0}}{dt_{0}}\omega cos^{2}(\omega t)sen(\delta)...(3)$<br />
<br />
Y si promediamos la potencia en un número cualquiera entero de ciclos<br />
el primer término de la ecuación $3$ resulta cero quedando solamente<br />
$P=\omega\frac{dQ_{0}}{dt_{0}}cos^{2}(\omega t)sen(\delta)...(3)$,<br />
donde el promedio del $cos^{2}(\omega t)=\frac{1}{2}$, de modo que<br />
la potencia puede expresarse como<br />
<br />
$P=\omega V_{0}I_{0}\frac{1}{2}sen(\delta)$<br />
----<br />
<br />
'''6.4 Show that, for x-rays, the scattered power is independient of frecuency (“Thompson scattering”).'''<br />
<br />
'''Muestra que, para los rayos X, la potencia de dispersión es independiente de la frecuencia ("Dispersión de Thompson).'''<br />
<br />
Se puede pensar al fenómeno de dispersión de luz como un forzamiento de los electrones que conforman la materia, éstos vibran naturalmente a una frecuencia <math>\omega_{0} </math>, si se aplica una fuerza externa en forma de luz incidente de una frecuencia denotada por <math>\omega</math> se obtiene un sistema de oscilación forzado. <br />
<br />
La frecuencia natural de oscilación de los electrones se puede aproximar si se toma al núcleo atómico como una esfera rígida de radio R cargada uniformemente, esta carga se encuentra confinada y es una fuerza atractiva. La magnitud de la fuerza que ejerce el núcleo atómico es:<br />
<br />
<math>\left\Vert\bar{F}\right\Vert =\frac{eq_{\chi}}{4\pi\varepsilon_{0}\chi^{2}}</math> <br />
<br />
Para conocer la frecuencia con la que vibra la nube eléctronica de forma natural, se escribe la carga con una dependencia del desplazamiento, esta carga es una cantidad que se asigna para que sea un oscilador, el valor de la carga es:<br />
<br />
<math>q_{\chi}=e\left(\frac{\chi}{R}\right)^{3}</math><br />
<br />
<br />
Sustituirla en la magnitud de la fuerza se tiene:<br />
<br />
<math>\left\Vert \bar{F}\right\Vert =\frac{e^{2}\left(\frac{\chi}{R}\right)^{3}}{4\pi\varepsilon_{0}\chi^{2}}</math><br />
<br />
: <br />
<br />
<math>\left\Vert \bar{F}\right\Vert =\frac{e^{2}}{4\pi R^{3}\varepsilon_{0}}\chi</math><br />
<br />
<br />
Donde se observa que la aproximación tiene forma de una fuerza lineal restitutiva que es de la forma:<br />
<br />
<math>\left\Vert \bar{F}\right\Vert =-k\chi</math><br />
<br />
En este caso la constante del resorte es:<br />
<br />
<math>k=\frac{e^{2}}{4\pi R^{3}\varepsilon_{0}}</math><br />
<br />
Recordando la relación de la constante <math>k</math> y la frecuencia angular <math>\omega_{0}</math> que es <math>\omega_{0}^{2}=\frac{k}{m}</math> y sustituyendo la masa por la masa del electrón, se tiene:<br />
<br />
<math>\omega_{0}=\frac{e}{\sqrt{4\pi m_{e}\varepsilon_{0}R^{3}}}</math><br />
<br />
Realizamos el calculo usando el radio del átomo de Hidrógeno, sustituimos el el valor de las constantes y se obtiene: <br />
<br />
<math>\omega_{0}\thickapprox4.5\times10^{16}\frac{1}{s}</math><br />
<br />
<br />
De aquí se puede calcular la frecuencia de oscilación de la nube electrónica:<br />
<br />
<math>\nu_{0}\backsim10^{16}Hz</math><br />
<br />
<br />
Por otra parte, la frecuencia de los rayos X se encuentra aproximadamente <math>\nu\backsim10^{18}</math>. Se observa que los rayos X oscilan a una frecuencia cien veces mayor que el electrón del átomo de Hidrógeno, podemos decir que:<br />
<br />
<math>\nu<<\nu_{0}</math><br />
<br />
La potencia media absorbida por un oscilador forzado, está dada por:<br />
<br />
<math>\left\langle P\right\rangle =\frac{F_{0}^{2}}{2\beta}(R_{(\omega)})</math><br />
<br />
<br />
Donde <math>\beta</math> es el factor de amortiguamiento. Tenemos entonces que el factor de resonancia es:<br />
<br />
<math>R_{(\omega)}=\frac{4\beta^{2}\omega^{2}}{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\beta^{2}\omega^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Después de factorizar se llega a:<br />
<br />
<math>R_{(\omega)}=\frac{4\beta^{2}\omega^{2}}{\omega^{4}\left[(\frac{\omega_{0}^{2}}{\omega^{2}}-1)^{2}+\frac{4\beta^{2}}{\omega^{2}}\right]}</math><br />
<br />
Simplificando: <br />
<br />
<math>R_{(\omega)}=\frac{4\beta^{2}}{\omega^{2}\left[(\frac{\omega_{0}^{2}}{\omega^{2}}-1)^{2}+\frac{4\beta^{2}}{\omega^{2}}\right]}</math><br />
<br />
<br />
Observando las frecuencias encontradas, vemos que el cociente de la frecuencia natural entre la frecuencia de los rayos es semejnte a cero:<br />
<br />
<math>\omega_{0}<<\omega</math><br />
<br />
<br />
Por ello la expresion anterior se reduce a:<br />
<br />
<math>R_{(\omega)}=\frac{4\beta^{2}}{\omega^{2}+\frac{4\beta^{2}}{\omega^{2}}}</math><br />
<br />
<br />
Vemos que la Resonancia no depende de la frecuencia angular como se espera en un oscilador forzado controlado por la masa con frecuencias externas mucho mayores que la frecuencia natural, esto es debido a que la fuerza restitutiva posee un efecto insignificante en el forzamiento en general, entonces la potencia tampoco depende de la frecuencia natural.<br />
<br />
[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 20:37 24 feb 2014 (UTC)<br />
----<br />
<br />
--[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 12:01 9 may 2013 (CDT)<br />
<br />
[[categoría:Vibra]]<br />
----<br />
'''Cosider the series RLC circuits driven by an alternating<br />
emf of value $E_{0}\sin\omega t$. FInd the current the voltage $V_{L}$<br />
across the inductor, and the angular frequency $\omega$ at which<br />
$V_{L}$ is a maxium.'''<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
El voltaje a través de cada elemento del circuito en la figura son<br />
<br />
<br />
\[<br />
V_{L}=L\frac{dI}{dt}=L\ddot{q}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
V_{R}=LI=L\dot{q}<br />
\]<br />
\[<br />
V_{C}=\frac{q}{C}<br />
\]<br />
<br />
<br />
por lo tanto se tiene<br />
<br />
\[<br />
L\ddot{q}+R\dot{q}+\frac{q}{C}=E_{0}\sin\omega t<br />
\]<br />
<br />
<br />
similarmente a la ecuación de movimiento de un oscilador amortiguado<br />
se tiene<br />
<br />
\[<br />
\beta\rightarrow\frac{R}{2L},\;\omega_{0}\rightarrow\frac{1}{\sqrt{LC}},\; A=\frac{E_{0}}{L}<br />
\]<br />
<br />
<br />
por tanto sabemos que la solución para la corriente esta dada por<br />
<br />
\[<br />
I=\frac{-E_{0}}{\sqrt{R^{2}+\Big(\frac{1}{\omega C}-\omega L\Big)^{2}}}\sin(\omega t-\delta)<br />
\]<br />
El voltaje a través del conductor es<br />
<br />
\[<br />
V_{L}=L\frac{dI}{dt}=\frac{-\omega LE_{0}}{\sqrt{R^{2}+\Big(\frac{1}{\omega C}-\omega L\Big)^{2}}}\cos(\omega t-\delta)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
V_{L}=V(\omega)\cos(\omega t-\delta)<br />
\]<br />
<br />
<br />
para encontrar $\omega_{max}$ en el cual $V_{L}$es un maximo obtenemos<br />
su derivada en $omega$ <br />
<br />
\[<br />
\frac{dV(\omega)}{d\omega}=\frac{LE_{0}\Big(R^{2}-\frac{2L}{C}+\frac{2}{\omega^{2}C^{2}}\Big)}{\Big[R^{2}+\Big(\frac{1}{\omega C}-\omega L\Big)^{2}\Big]^{3/2}}=0<br />
\]<br />
<br />
<br />
igualando el numerador a cero se tiene que <br />
<br />
\[<br />
\omega_{max}=\frac{1}{\sqrt{LC}-\frac{R^{2}C^{2}}{2}}<br />
\]<br />
<br />
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 05:59 26 feb 2014 (UTC)</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Vibra:_probs_c2&diff=18192Vibra: probs c22014-02-21T05:08:49Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div>Main cap.2<br />
<br />
2.1<br />
'''A watch ticks 5 times per second. Its balance wheel has a moment of inertia 2*10^-6kg. m^2.Calculate the torsional stiffness of the balance spring. (Assume that the period is 2 ticks)'''<br />
<br />
Tomamos la ecuación del periodo para este caso: <br />
<br />
$T=2\pi\sqrt{\frac{I}{K}}$<br />
<br />
De la ecuacón anterior despejamos a K <br />
<br />
$K=4\pi^{2}\frac{I}{{T}^{2}}$<br />
<br />
Con los datos proporcionados obtenemos el valor de <br />
<br />
$K=1.97X10^{-5}$<br />
<br />
[[Usuario:Mario Moranchel|Mario Moranchel]] ([[Usuario discusión:Mario Moranchel|discusión]]) 04:16 22 ene 2014 (UTC)<br />
---- el problema 2.1 es correcto [[Usuario:Aura Yazmin Bejarno Olvera|Aura Yazmin Bejarno Olvera]] ([[Usuario discusión:Aura Yazmin Bejarno Olvera|discusión]])<br />
<br />
<br />
2.2<br />
'''A grandfather clock ticks once per second. Show that it must be at least 1 m high''' .<br />
<br />
Si hace tic tac una vez por segundo quiere decir que tarda la mitad en pasar por el punto de equilibrio, es decir .5s y esta es su frecuencia('''LA FRECUENCIA ES <math>f=\frac{1}{2}HERTZ</math>'''--[[Usuario:Ernesto|Ernesto]] ([[Usuario discusión:Ernesto|discusión]]) 11:25 14 may 2013 (CDT))<br />
<br />
sabemos que el periodo se define como:<br />
<br />
$T=\frac{1}{f}=\frac{1}{.5}=2$<br />
<br />
Consideramos la ecuación del periodo en un péndulo simple<br />
<br />
$T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$ ec(1)<br />
<br />
despejamos la longitud L de (1)<br />
<br />
$L=g\left(\frac{T}{2\left(\pi\right)}\right)^{2}$<br />
<br />
sustituyendo ahora los valores de g=9.8 y T=2 Tenemos:<br />
<br />
$L=9.8\left(\frac{2}{2\left(\pi\right)}\right)^{2}$<br />
L= .9929m = 1m<br />
<br />
--[[Usuario:David Hernandez Leon|David Hernandez Leon]] ([[Usuario discusión:David Hernandez Leon|discusión]]) 22:44 13 may 2013 (CDT)<br />
<br />
La solución es correcta, pero debes tener cuidado con las unidades de la frecuencia. Deberías resolver problemas más complicados en los siguientes capítulos. --[[Usuario:Ernesto|Ernesto]] ([[Usuario discusión:Ernesto|discusión]]) 11:25 14 may 2013 (CDT)<br />
<br />
<br />
<br />
Otra forma de resolver el problema es la siguiente:<br />
<br />
El problema nos habla de un reloj que hace tictac una vez por segundo<br />
y nos pide demostrar que el reloj es de 1m de altura (aprox.) <br />
<br />
El hecho de que haga tictac una vez por segundo nos dice que tiene<br />
una frecuancia de 0.5 (1/s)<br />
<br />
Etonces con este dato podemos obtener la frecuencia del reloj despejando<br />
la siguiente ecuación:<br />
<br />
\[<br />
\nu=\frac{\omega}{2\pi}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Una vez despejada queda:<br />
<br />
\[<br />
\omega=2\pi\nu<br />
\]<br />
<br />
<br />
Conocemos tamien la ecuacion para un pendulo simple<br />
<br />
\[<br />
\omega=\left[\frac{g}{L}\right]^{\frac{1}{2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Despejando L obtenemos:<br />
<br />
\[<br />
L=\frac{\omega^{2}}{g}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Sustituyendo w <br />
<br />
\[<br />
L=\frac{4\pi^{2}\nu^{2}}{g}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Ya que conocemos todos los datos de la ecuación podemos sustituir<br />
todo y obtendremos<br />
<br />
\[<br />
L=1.007m.\simeq1m.<br />
\]<br />
--[[Usuario:Daniel Olvera Moreno|Daniel Olvera Moreno]] - 22:17 20 de feb 2014<br />
<br />
<br />
'''2.3 Show that the isotermal compressibility <math>k_{t}</math> is equal to <math>\frac{1}{p}</math> for a perfect gas. Estimate the percentage difference which the use of <math>k_{t}</math> instead <math>k_{s}</math> would make to the calculated value of <math>\omega_{0}</math> for a flask containing air.'''<br />
<br />
'''Muestra que la compresibilidad isotérmica <math>k_{t}</math> es igual a <math>\frac{1}{p}</math> para un gas perfecto. Estima la diferencia porcentual que el uso de <math>k_{t}</math> en lugar de <math>k_{s}</math> haría al calculo del valor de <math>\omega_{0}</math> para un frasco que contiene aire.'''<br />
<br />
<br />
Usamos la ecuación de gas perfecto <math> P V= n R T</math> para obtener una expresión para la compresibilidad isotérmica usando su definición termodinámica<br />
<math>k_{t}=-\frac{1}{V}(\frac{\partial V}{\partial P})</math>. Primero despejamos <math>V</math> de la ecuación de gas perfecto y derivamos:<br />
<br />
<math>\frac{\partial V}{\partial P}=\frac{\partial V}{\partial P}(\frac{n R T}{P})=-\frac{n R T}{P^2} </math><br />
<br />
Usando la ecuación de gas perfecto se reduce a:<br />
<br />
<math>\frac{\partial V}{\partial P}=-\frac{1}{P} (\frac{n R T}{P})=-\frac{1}{P} V </math><br />
<br />
Ahora sustituimos en la definición de <math>k_{t}</math><br />
<br />
:<math>k_{t}=-\frac{1}{V}(-\frac{1}{P} V ) = \frac{1}{P} </math><br />
<br />
Entonces la expresión para la frecuencia angular, usando <math>k_{t}</math> queda:<br />
<br />
<math>\omega_{0}(k_{t})=(\frac{a}{l v \rho k_{s}})^{1/2}= (\frac{P a}{l v \rho})^{1/2} </math><br />
<br />
Por otro lado, la expresión de la frecuencia angular usando <math>k_{s}</math> es:<br />
<br />
<math>\omega_{0}(k_{s})=[(\frac{a}{l v})(\frac{\gamma R T}{M})]^{1/2} </math><br />
<br />
Donde <math>\gamma</math> es la razón de las capacidades caloríficas y se uso la ecuación de gas perfecto en términos de la masa molar <math>M</math>, <math>\rho=\frac{M}{\gamma R T}</math>.<br />
<br />
Así la diferencia porcentual puede ser calculada con la razón de ambas frecuencias:<br />
<br />
<math>\frac{\omega_{0}(k_{t})}{\omega_{0}(k_{s})}=\frac{(\frac{P a}{l v \rho})^{1/2}}{[(\frac{a}{l v})(\frac{\gamma R T}{M})]^{1/2} } </math><br />
<br />
:<math>\frac{\omega_{0}(k_{t})}{\omega_{0}(k_{s})}=(\frac{P M}{\rho R T})^{1/2}</math><br />
<br />
Y si usamos de nuevo la ecuación del gas perfecto, donde <math>\rho=\frac{M}{\gamma R T}</math> se tiene<br />
<br />
:<math>\frac{\omega_{0}(k_{t})}{\omega_{0}(k_{s})}= (P \gamma)^{1/2} </math><br />
<br />
Finalemente la diferencia porcentual se obtiene multiplicando por 100 el resultado anterior.<br />
[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 23:15 16 feb 2014 (UTC)<br />
<br />
[[Usuario:Edgar Ortega Roano|Edgar Ortega Roano]] ([[Usuario discusión:Edgar Ortega Roano|discusión]]) 09:23 12 feb 2014 (UTC)<br />
<br />
[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 22:23 9 feb 2014 (UTC)<br />
----<br />
'''2.5 A miniature loudspeaker unit has a cone of diameter 80 mm mounted in a hole of the same diameter in a sealed cabinet of internal dimensions 150 mm X 150 mm X 300 mm. Yhe mass of the cone is 5.0 g, and the mounting is such that the stiffness of the suspension may be neglected. Estimate the free vibration frequency of the cone'''<br />
<br />
Interpretación al español latino<br />
<br />
'''Una unidad de altavoz en miniatura tiene un cono de 80 mm de diámetro montado en un agujero del mismo diámetro en un gabinete cerrado de dimensiones interiores 150 mm X 150 mm X 300 mm. La masa del cono es 5.0 g, y el montaje es tal que la rigidez de la suspensión puede ser despreciada. Estimar la frecuencia de vibración libre del cono. '''<br />
<br />
Utilizando las ecuaciones base para determinar vibraciones acústicas, tenemos:<br />
\begin{equation}<br />
(la\rho)\ddot\psi=-ap' ......(1)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\kappa\approx\frac{a\psi}{vp'} ......(2)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
[[Archivo:cono2.png]]<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 19:49 20 feb 2014 (UTC)<br />
----<br />
2.6<br />
'''Two masses <math> m_{1}<br />
</math> and <math> m_{2}<br />
</math> are joined by a spring of stiftness <math>s</math>. They can vibrate along the line of their centres,moving alternately towards and away from each other. For this vibration, show that <math>w_{o}^{2}=s/\mu</math> where <math>\mu=m_{1}m_{2}/\left(m_{1}+m_{_{2}}\right)\thickapprox m_{1}<br />
if m_{1}\lll m_{2}<br />
</math>'''<br />
<br />
solucion:<br />
<br />
consideremos la siguiente figura<br />
<br />
<math>\ldots\ldots{}_{m_{1}}\blacksquare\leftrightsquigarrow_{S}\leftrightsquigarrow\blacksquare_{m_{2}}<br />
</math><br />
<br />
<math>_{F_{1}}\rightarrow\leftrightsquigarrow\leftrightsquigarrow\leftarrow_{F_{2}}<br />
</math><br />
<br />
en la figura dos cuerpos de masa mencionada estan unidos a un resorte de constante S y consideremos <math>x_{1}</math> y <math> x_{2}<br />
</math> las coordenadas de posicion de los cuerpos respecto a un sistema fijo de coordenadas.En este caso <math>x_{1}<br />
</math> es la distancia desde los puntos hasta el bloque de masa <math>m_{1}</math> y <math>x_{2}<br />
</math> va de los puntos hasta <math>m_{2}<br />
</math>, entonces la longitud del resorte sera <math>x_{2}-x_{1}<br />
</math> y si su longitud para la deformacion nula es <math>d<br />
</math>, el alargamiento del resorte es <math>x=x_{2}-x_{1}-d<br />
</math>.<br />
<br />
<br />
El movimiento de los bloques solo esta dado en una dirección en este<br />
caso elegimos la dirección $\hat{i}$ y entonces el problema a tratar<br />
es unidimensional<br />
<br />
La fuerza que se ejerce sobre $m_{2}$es :<br />
<br />
\[<br />
F_{2}=-kx<br />
\]<br />
<br />
<br />
y la fuerza sobre $m_{1}$es:<br />
<br />
\[<br />
F_{1}=-(-kx)<br />
\]<br />
<br />
<br />
así las ecuaciones de movimiento para cada bloque es:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{m_{1}x}_{1}=kx<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
\begin{equation}<br />
m_{2}\ddot{x}_{2}=-kx<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
para resolver las ecuaciones diferenciales miltiplicamos a $(1)$<br />
por $m_{2}$ y a $(2)$ por $m_{1}$y así obtenemos:<br />
<br />
\[<br />
m_{1}m_{2}\ddot{x}_{1}=m_{2}kx\qquad,\qquad m_{1}m_{2}\ddot{x}_{2}=-m_{1}kx<br />
\]<br />
<br />
<br />
y al restarlas llegamos a:<br />
<br />
\[<br />
m_{1}m_{2}(\ddot{x}_{2}-\ddot{x}_{1})=-kx(m_{1}+m_{2})<br />
\]<br />
<br />
<br />
pero sabemos que $x=x_{2}-x_{1}-d\qquad entonces\qquad\ddot{x}=\ddot{x}_{2}-\ddot{x}_{1}$<br />
por lo tanto la ecuacion diferencial queda como<br />
<br />
\[<br />
\ddot{x}+(\frac{m_{1}+m_{2}}{m_{1}m_{2}})kx=0\qquad haciendo\qquad\mu=\frac{m_{1}+m_{2}}{m_{1}m_{2}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\mu kx=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
ahora, sí $m_{1}\ll m_{2}$encontramos que $\mu\approx m_{1}$y entonces<br />
la ecuación diferencial sería la de un solo bloque.<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 01:59 26 ene 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
2.7. '''Shows an arrangement wich could be used to set an LC circuit into oscilation. The capacitor<br />
<br />
is first chaarged to a voltage V be means of the battery. At time t=0 the switch is thrown to connect<br />
<br />
the charged capacitor across the coil. Derive a) the amplitude, and b) the phase constant of the resulting <br />
<br />
oscilation'''<br />
<br />
-El voltaje total en el circuito LC está dado por:<br />
<br />
<math>V_{T}=V_{C}+V_{L}....(1.1)</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
donde, <br />
<br />
<math>V_{L}=L\frac{dI}{dt}</math><br />
<br />
<br />
entonces.<math>V_{T}=\frac{q}{C}+L\frac{dI}{dt}.....(1.1')</math><br />
<br />
<br />
Sea <math>\text{ψ}=q</math><br />
<br />
<br />
De la ec. (1.1'), al desconectar el circuito:<br />
<br />
<math>\text{ψ}''L+\text{ψ}\frac{1}{c}=0</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{1}{L}(\text{ψ}''L+\text{ψ}\frac{1}{c})=0...(1.2)</math><br />
<br />
<br />
La solucion general de la ec. (1.2) es,<br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=Acos(\omega t+\phi)....(1.3)</math><br />
<br />
<br />
su derivada, la corriente I<br />
<br />
<math>\psi'_{(t)}=-\omega Asen(\omega t+\phi)....(1.4)</math><br />
<br />
<br />
Ahora, cuando el circuito se haya conectado, esto es, en t=0<br />
<br />
<math>\psi'_{(0)}=-\omega Asen(\phi)....(1.4')</math><br />
<br />
<br />
la igualdad de la ec. (1.4') se satisface <br />
<br />
<math>\Longleftrightarrow sen(\phi)=0</math><br />
<br />
<br />
<math>\Longrightarrow\phi=0</math><br />
<br />
<br />
Y, por ultimo de la ec. (1.3) en t= 0<br />
<br />
<math>\psi_{(0)}=Acos(\phi)....(1.3')</math><br />
<br />
<br />
como <math>\phi=0</math> y <math>\psi=q</math><br />
<br />
<br />
<math>\Longrightarrow A=V_{C}C</math><br />
--[[Usuario:Daniela López Martínez|Daniela López Martínez]] ([[Usuario discusión:Daniela López Martínez|discusión]]) 17:06 29 may 2013 (CDT) <br />
<br />
La solucion a este problema la realice de la siguiente manera:<br />
<br />
Tenemos que la ecuacion diferencial de este sistema esta dada por:<br />
<br />
\[<br />
V_{1}+\varepsilon_{L}=0<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=0<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
L\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+\frac{q}{C}=0<br />
\]<br />
<br />
<br />
Del polinomio caracteristico de la ecuacion y sabiendo que $\omega_{0}^{2}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$,<br />
tenemos que una solucion para esta dada por:<br />
<br />
\[<br />
\psi(t)=Acos(\omega_{0}+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Notemos que en nuestro caso, $\psi(t)=q(t)$ y $\frac{dq(t)}{dt}=i(t)$,<br />
las cuales son la carga y la corriente respectivamente, luego, para<br />
hallar (a) tenemos que:<br />
<br />
\[<br />
A=\frac{\psi(t)}{cos(\omega_{0}t+\phi)}=\frac{q(t)}{cos(\omega_{0}t+\phi)}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Para hallar (b), realicemos lo siguiente:<br />
<br />
\[<br />
\psi(t)=Acos(\omega_{0}t+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\frac{d\psi(t)}{dt}=-A\omega_{0}sen(\omega_{0}t+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Diviendo ambas ecuaciones entre si tenemos que:<br />
<br />
\[<br />
\frac{\psi(t)}{\psi(t)}=-\frac{sen(\omega_{0}t+\phi)\omega_{0}}{cos(\omega_{0}t+\phi)}\Rightarrow\frac{\psi(t)}{\omega_{0}\psi(t)}=-tan(\omega_{0}t+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\omega_{0}t+\phi=arctan\left(\frac{-i(t)}{\omega_{0}q(t)}\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\Rightarrow\phi=arctan\left(\frac{-i(t)}{\omega_{0}q(t)}\right)-\omega_{0}t<br />
\]<br />
<br />
--[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] 23:49 19 Feb 2014 (CDT)<br />
<br />
----<br />
'''2.8 Show that vertical vibrations of a mass m suspended on a spring of stiffness s whose other end is fixed have angular frequency (s/m)^1/2 .(Hint: measure displacements from the equilibrium position of the mass, where its weight is balanced by the spring force.)'''<br />
<br />
<br />
'''Muestra que las vibraciones verticales de una masa m suspendida de un resorte de rigidez s, cuyo otro extremo está fijo, tienen una frecuencia angular de <math>(\frac{s}{m})^{1/2}</math>. (Consejo: Mide los desplazamientos de la posición de equilibrio de la masa, donde su peso está balanceado por la fuerza del resorte.)'''<br />
<br />
<br />
Cuando la masa se cuelga del resorte y el sistema está en equilibrio, el resorte adquiere una longitud <math>y=y_{0}</math> y ejerce una fuerza de restauración de la forma:<br />
<math> F_{1}=s y_{0} </math> <br />
<br />
Usando la segunda ley de Newton, la suma de fuerzas en el equilibrio debe ser cero:<br />
<br />
<math> m\frac{d^2 y}{dt^2}=F_{1}-m g= s y_{0}-m =0 </math><br />
<br />
:<math> s y_{0}=m g </math> <br />
<br />
El momento en que el sistema oscila verticalmente la masa se desplaza una distancia <math>y</math> de la posición de equilibrio y se ejerce una fuerza de restauración:<br />
<br />
<math>F_{2}=s(y_{0}+y)</math><br />
<br />
En este caso la segunda ley de Newton queda:<br />
<br />
<math> m\frac{d^2 y}{dt^2}= F_{2}-m g=s(y_{0}-y)-m g </math><br />
<br />
Pero del equilibrio sabemos que <math>m g=s y_{0}</math>, entonces la segunda ley de Newton queda:<br />
<br />
<math> m\frac{d^2 y}{dt^2}=s y_{0}+s y-s y_{0}= s y</math><br />
<br />
:<math> m\frac{d^2 y}{dt^2}-s y=0 </math><br />
<br />
Al dividir la ecuación entre <math>m</math> se tiene:<br />
<br />
<math> \frac{d^2 y}{dt^2}- \frac{s}{m} y=0 </math><br />
<br />
Que es la forma de la ecuación de oscilación armónica simple <math> \frac{d^2 y}{dt^2}-\omega^{2} y =0</math>, de ahí concluimos que la frecuencia angular del sistema es:<br />
<br />
<math> \omega^{2}=\frac{s}{m} \Rightarrow \omega=(\frac{s}{m})^{1/2} </math><br />
<br />
<br />
[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 20:42 9 feb 2014 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
La forma en que resolvería el problema es:<br />
<br />
Cuando se cuelga una masa $m$ al resorte, ésta alcanza la posición de equilibrio $y_0$. En esta posición tenemos que la segunda ley de Newton es<br />
<br />
\begin{equation}<br />
mg-sy_0=0.\qquad\qquad (1)<br />
\end{equation} <br />
<br />
Ahora, si desplazamos la masa una cantidad $y$ desde la posición de equilibrio $y_0$, la segunda ley de Newton es<br />
\begin{eqnarray*}<br />
m\frac{d^2 y}{dt^2}&=& mg-s(y_0+y)\\<br />
m\frac{d^2 y}{dt^2}&=&-sy,\qquad\qquad (2)<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
donde utilizamos $(1)$. La ec.de movimiento $(2)$ es igual a la ec. de movimiento en la dirección $x$, por tanto se tiene que $\omega^2=\frac{s}{m}$. <br />
<br />
--[[Usuario:Ernesto|Ernesto]] ([[Usuario discusión:Ernesto|discusión]]) 14:11 14 may 2013 (CDT)<br />
<br />
----<br />
--[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 15:09 2 may 2013 (CDT)<br />
<br />
[[categoría:Vibra]]<br />
----<br />
<br />
2.9''' An astronaut on the surface of the moon weignts rock samples using light spring balance, wich was calibrated on earth, has a scale 100 mm long wich reads from 0 to 1.0 kg.He observes that certain rock gives a stady reading of 0.40 kg and, when disturbed, vibrates with a period of 1.0 s. What is the acceleration due to gravity on the moon?'''<br />
<br />
2.9''' Un astronauta sobre la superficie de la luna pesa muestras de roca utilizando un ligero dinamómetro. Ésta báscula, que fue calibrada en la tierra, tiene una escala de 100 mm de largo que lee de 0 a 1 kg. Él observa que cierta roca da una lectura estable de 0.40 kg y, cuando se le perturba, vibra con un periodo de 1.0 s. ¿ Cuál es la aceleración debido a la gravedad en la luna?'''<br />
<br />
Sabemos por la redacción del problema que el dinamómetro utiliza en su interior un resorte ligero , así que tenemos:<br />
<br />
<br />
<math>m\frac{d^{2}\psi}{dt^{2}}=-kx ...(1)</math> <br />
<br />
La ecuación 1 también puede expresarse de la siguiente forma:<br />
<br />
<br />
<math>\frac{d^{2}\psi}{dt^{2}}+\frac{k}{m}s=0 ...(2)</math> <br />
<br />
En la ecuación 2 el primer término corresponde a la fuerza de gravedad lunar, mientras que el segundo corresponde a la fuerza del resorte. La suma de ambas fuerzas da como resultado cero porque las fuerzas están en equilibrio.<br />
<br />
<br />
Para resolver el problema necesitamos encontrar el valor de la la constante de proporcionalidad <math>k</math>, y lo hacemos de la siguiente manera. Como sabemos que la roca al ser perturbada oscila armonicamente podemo utilizar la siguiente ecuación para la frecuencia angular (la frecuencia angular de un movimiento armónico simple).<br />
<br />
<br />
<br />
\begin{equation}\omega=\sqrt{\frac{k}{m}} ...(3)\end{equation}<br />
<br />
De la ecuación 3 despejamos k elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación y obtenemos:<br />
<br />
\begin{equation}k=m\omega^{2} ...(4)\end{equation}<br />
<br />
<br />
El valor de la masa (de la roca) es un dato que nos proporciona el problema y como sabemos que la frecuencia angular para un movimiento armónico simple es: <br />
<br />
\begin{equation}\omega = \frac{2\pi}{T} ...(5)\end{equation}<br />
<br />
<br />
Por último par resolver el problema usamos la ecuación 1 y el hecho de que la segunda derivada de <math>\psi</math> respespecto del tiempo es la aceleración de la gravedad lunar. Tendremos ahora una nueva ecuación, muy parecida a la ecuación 1:<br />
<br />
\begin{equation}mg=kx...(6)\end{equation}<br />
<br />
<br />
Despejamos g:<br />
<br />
\begin{equation}g=\frac{kx}{m}...(7)\end{equation}<br />
<br />
La solución queda:<br />
<br />
<br />
\begin{equation}mg=m\omega^{2}x \end{equation}<br />
<br />
<br />
\begin{equation}g=\frac{kx}{m}=\frac{(10kg/s^{2})(0.4m)}{(0.2533kg)}=1.57m/s^{2}\end{equation}<br />
<br />
<br />
\begin{equation}g=\omega^{2}x=(\frac{2\pi}{T})^{2}x=1.57m/s^{2}\end{equation}<br />
<br />
[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 21:48 16 feb 2014 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
2.11 '''A mass moves under a potential <math>V_{(x)}=V_{0}\cosh(\frac{x}{x_{0}})</math>, where <math>V_{0}</math> and <math>x_{0}</math> are constants.(a)Find the position of stable equilibruim. (b)Show that the frecuency of small vibrations about this point is the same as it woudl be if the same mass was vibrating on a spring of stiffness <math>\frac{V_{0}}{x_{0}^{2}}</math>.'''<br />
<br />
Una masa se mueve bajo un potencial <math>V_{(x)}=V_{0}cosh(\frac{x}{x_{0}})</math>, donde <math>V_{0}</math> y <math>x_{0}</math> son constantes.<br />
a) Encuentre la posision de qquilibrio<br />
b)Muestra que la frecuencia a amplitudes pequeñas al rededor de este punto es la misma que si se tratara de la misma masa cuando vibra en un resorte con constante <math>\frac{V_{0}}{x_{0}^{2}}</math>.<br />
<br />
a) De la ecuación 2.12 del libro se tiene que<br />
<br />
<center><math>F(r)=-\displaystyle{\frac{dV}{dr}}</math></center><br />
<br />
entonces<br />
<br />
<center><math>F(x)=-\displaystyle{\frac{V_{0}}{x_{0}}\sinh\left(\frac{x}{x_0}\right)}</math></center><br />
<br />
Dado que buscamos el punto de equilibrio se tiene cuando <math>F(x)=0</math><br />
<center><math>-\displaystyle{\frac{V_{0}}{x_{0}}\sinh\left(\frac{x}{x_0}\right)}=0</math></center><br />
luego<br />
<center><math>\displaystyle{\sinh\left(\frac{x}{x_0}\right)}=0</math></center><br />
para lo cual necesariamente<br />
<center><math>x=0</math></center><br />
<br />
Por lo tanto, el punto de equilibrio es<br />
<center><math>x=0</math></center><br />
<br />
b) De la ecuación 2.14 del libro se tiene que <br />
<center><math>\omega^2=\displaystyle{\frac{1}{m}\left(\frac{d^2V}{dr^2}\right)}</math></center><br />
es decir<br />
<br />
<center><math>\omega^2=\displaystyle{\frac{\frac{V_{0}}{x_{0}}\cosh(\frac{x}{x_{0}})}{m}}</math></center><br />
<br />
Por otra parte sabemos que<br />
<center><math>\omega^2=\displaystyle{\frac{k}{m}}</math></center><br />
<br />
por lo que<br />
<br />
<center><math>k=\displaystyle{\frac{V_{0}}{x_{0}}\cosh\left(\frac{x}{x_{0}}\right)}</math></center><br />
para oscilaciones pequeñas<br />
<br />
<center><math>|\frac{x}{x_{0}}|<<1</math></center><br />
<br />
entonces<br />
<br />
<center><math>\displaystyle{\cosh\left(\frac{x}{x_{0}}\right)\approx1}</math></center><br />
<br />
Finalmente<br />
<br />
<center><math>k=\frac{V_{0}}{x_{0}}</math></center><br />
<br />
[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 02:10 21 feb 2014 (UTC)<br />
----<br />
<br />
<br />
2.12 '''Una masa que pesa 2 libras alarga 6 pulgadas un resorte. En t=0 se libera la masa desde un punto que esta 8 pulgadas abajo de la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 4/3 pie/seg. Determine la ecuación de movimiento'''.<br />
<br />
<br />
Transformaremos las unidades<br />
<br />
<br />
<math>6pulg=\frac{1}{2}pie</math> <br />
<br />
<br />
<math>8pulg=\frac{2}{3}pie</math><br />
<br />
<br />
<math>m=\frac{W}{g}=\frac{2}{32}=\frac{1}{16}slug</math><br />
<br />
<br />
<math>2=k(\frac{1}{2})</math><br />
<br />
<br />
<math>k=4lb/pie</math> <br />
<br />
<br />
obtenemos esta ecuación<br />
<br />
<math>\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+64x=0</math><br />
<br />
<br />
El desplazamiento inicial y la velocidad son<br />
<br />
<math>x(0)=\frac{2}{3}</math> y <math>x'(0)=-\frac{4}{3}</math><br />
<br />
<br />
donde <br />
<math>\omega^{2}=64</math><br />
<br />
<br />
<math>\omega=8</math><br />
<br />
<br />
Por lo que la solución general de la ecuación diferencial es<br />
<br />
<br />
<math>x(t)=C_{1}\cos8t+C_{2}\sin8t</math><br />
<br />
<br />
Aplicando las condiciones iniciales x(t) y x'(t) obtenemos que<br />
<br />
<br />
<math>C_{1}=\frac{2}{3}</math> y <math>C_{2}=-\frac{1}{6}</math><br />
<br />
<br />
por lo tanto la ecuación de movimiento es<br />
<br />
<br />
<math>x(t)=\frac{2}{3}\cos8t-\frac{1}{6}\sin8t</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:David Alberto Rojas Solis|David Alberto Rojas Solis]] ([[Usuario discusión:David Alberto Rojas Solis|discusión]]) 04:10 6 jul 2013 (CDT)</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Vibra:_probs_c1&diff=18191Vibra: probs c12014-02-21T04:51:05Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div>Problemas del capítulo uno <ref name="main"/> [[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 18:42 16 ene 2014 (UTC)<br />
<references><br />
<ref name="main"> Iain G. Main Vibrations and waves in physics, CUP 3rd. ed. 1994 </ref><br />
</references><br />
----<br />
1.1 '''If the system shown in fig. has m= 0.010kg and s= 36 N/m , calculate (a) the angular frequency, (b) the frequency, and (c) the period.'''<br />
<br />
''' Si el sistema mostrado en la figura 1.1 tiene m=0.010 kg y s=36 N/m, calcula (a) la frecuencia angular, (b) la frecuencia y (c) el período.'''<br />
<br />
(a) El sistema de la figura 1.1 es perturbado al mover a la masa de su posición de equilibrio, la masa ejerce una fuerza de restauración dirigida hacia la posición de equilibrio, esto provoca que el sistema varíe armónicamente y tome la forma de una vibración. La masa provoca una aceleración que usando la segunda ley de Newton se ve como sigue:<br />
<br />
<br />
<math>\ddot{\psi}=-s{\psi}</math><br />
<br />
Que es una ecuación diferencial de segundo orden (EDO) a la que corresponde una solución de la siguiente forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
{F_{s}} = -s {\psi}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Al sustituir la solución en la EDO se obtiene una expresión distinta para la vibración:<br />
<math>\ddot{\psi}-{s \over m}{\psi}</math><br />
<br />
Donde <math>s \over m</math> es la frecuencia angular <math>\omega_{0}^2</math> . Entonces la frecuencia angular es: <br />
<br />
<math>\omega_{0}=\sqrt{s \over m}= \sqrt{36 \over 0.010} = 60 {s^{-1}} </math> <br />
<br />
(b) Este movimiento armónico se repite a sí mismo una cantidad infinita de veces en una secuencia que repite ciclos idénticos cada que el ángulo de fase se incrementa <math> 2 \pi</math>. El número de ciclos por unidad de tiempo se conoce como frecuencia y está dado como sigue:<br />
<br />
<math>\nu_{0}={\omega_{0}\over 2\pi}</math><br />
<br />
Entonces la frecuencia es: <math>\nu_{0}= {1 \over 2\pi} \sqrt{s \over m} = 9.5493 Hz</math><br />
<br />
(c) Estos ciclos, es decir cantidades como el desplazamiento, la velocidad y la dirección se repiten cada vez que el ángulo de fase se incrementa <math> 2 \pi</math> , esto sucede cada <math>{ 2 \pi}\over \omega_{0} </math> que es conocido como el período <math>\tau</math> .<br />
<math>\tau= { 2 \pi \over \omega_{0}}= { 2\pi} \sqrt{m \over s} = 0.10472 </math>s<br />
<br />
--[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 07:10 24 ene 2014 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
1.2 For the same vibrator as in problem 1.1 at time $t=0$ the mass<br />
is observed to be displaced $50mm$ to the right of it's equilibrium<br />
position and to be moving to the right at speed $1.7m/s$. Calculate<br />
<br />
Amplitude<br />
<br />
Primero, se ocupa la ecución de movimento armonico simple como se<br />
muestra a continuacion:<br />
<br />
\[<br />
x(t)=A_{x}\sin(\omega t)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Donde $x(t)$ es el desplazamiento respecto al tiempo, $A_{x}$ es<br />
la amplitud de la onda y $\omega$ es el periodo angular.<br />
<br />
Al derivar la ecuacion anterior se obtiene<br />
<br />
\[<br />
\dot{x(t)}=A_{x}\omega\cos(\omega t)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Para calcular $\omega$ se usa la siguiente relación: <br />
\[<br />
\omega^{2}=\frac{k}{m}\,\Leftrightarrow\,\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Donde $k$, es la constante del resorte y $m,$es la masa que se obtiene<br />
del problema 1 ($m=0.010kg$).<br />
<br />
Al sustituir los datos en la ecuación que describe la velocidad, se<br />
obtiene:<br />
<br />
\[<br />
v=A_{x}(\sqrt{\frac{k}{m}})\cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t)\,\Leftrightarrow\, A_{x}=\frac{v}{\sqrt{\frac{k}{m}}\cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t)}\,\Leftrightarrow\, A_{x}=\frac{1.7m/s}{\sqrt{\frac{36N/m}{0.010kg}}\cos(0)}=0.02m<br />
\]<br />
<br />
<br />
The phase constant<br />
<br />
De nuevo, se parte de la ecuación del movimiento armónico simple:<br />
<br />
\[<br />
x(t)=A_{x}\sin(\omega t+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Como se conoce la amplitud y el desplazamiento, y se sabe que $t=0$<br />
, se despeja la constante de fase, como se muestra a continuación<br />
<br />
\[<br />
\phi=\arccos(\frac{x(t)}{A_{x}})=\arccos\frac{0.05m}{0.02m}=0.40<br />
\]<br />
<br />
<br />
The beautiful energy<br />
<br />
A partir de la relación de conservación de la energía: $E_{i}=E_{f}=U_{i}+K_{i}=U_{f}+K_{f}$,<br />
que se expresa de la siguiente manera:<br />
<br />
\[<br />
E=\frac{kx^{2}}{2}+\frac{mv^{2}}{2}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Como todos esos valores ya son conocidos, el valor de la energía será<br />
<br />
\[<br />
E=\frac{36N/m(0.05m)^{2}}{2}+\frac{0.010kg(1.7m/s)^{2}}{2}=0.06J<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\]<br />
<br />
[[Usuario:Ana Alarid|Ana Alarid]] ([[Usuario discusión:Ana Alarid|discusión]]) 02:43 30 ene 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
1.3 '''An identical system is set into vibration with the same amplitude as the vibrator in problem 1.2, but with a phase advance of 90°. Calculate (a) the displacement, and (b) the phase constant of the ensuing motion.'''<br />
<br />
<br />
'''Un sistema identico se pone en vibracion con la misma Amplitud''' <math>\left(A=0.0576m\right)</math><br />
'''y la Cte de Fase''' <math>\left(\phi=-0.52rad\right)</math><br />
'''del problema 1.2, pero con una fase adelantada de 90° '''<br />
<br />
'''Calcular: a) El desplazamiento en el instante inicial '''<br />
<br />
<math>\psi\left(t\right)=A\cos\left(\omega_{0}t+\phi\right)</math><br />
<br />
<br />
Ahora se tiene<br />
<br />
<math>\psi\left(t\right)=A\cos\left(\omega_{0}t+\phi+\frac{\pi}{2}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>\psi_{0}\left(t\right)=A\cos\left(\phi+\frac{\pi}{2}\right)</math><br />
<br />
Con <math>t=0</math><br />
<br />
<br />
Entonces <math>\psi_{0}=28mm</math><br />
<br />
<br />
'''b) La velocidad en <math>t=0</math>'''<br />
<br />
<br />
<math>\dot{\psi}\left(t\right)=-A\sin\left(\omega_{0}t+\phi+\frac{\pi}{2}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>\dot{\psi_{0}}=-A\sin\left(+\phi+\frac{\pi}{2}\right)</math><br />
<br />
<br />
Entonces <math>\dot{\psi_{0}}\text{=}-3\frac{m}{s}</math><br />
es decir en direccion a la izquierda<br />
<br />
'''c) El tiempo en el que llegara al reposo'''<br />
<br />
<math>\dot{\psi(t)}=0</math><br />
<br />
<br />
Es decir<br />
<br />
<math>-A\omega_{0}\sin\left(\omega_{0}t+\phi+\frac{\pi}{2}\right)=0</math><br />
<br />
<br />
<math>\sin\left(\omega_{0}t+\phi+\frac{\pi}{2}\right)=0</math><br />
<br />
<br />
<math>\omega_{0}t+\phi+\frac{\pi}{2}=0</math><br />
<br />
<br />
<math>t=\frac{-\phi-\frac{\pi}{2}}{\omega_{0}}</math><br />
<br />
Entonces <math>t=-0.017s</math> Matematicamente <math>t=-0.017s</math><br />
representa el instante en el cual la masa se encuentra en reposo en el extremo izquierdo <math>(\psi\left(t\text{}\right)=-A</math>,<br />
antes de iniciar el movimiento). Sea <math>t\text{´}</math><br />
el instante posterior para el cual la masa se encontrara en reposo en los extremos <math>\left(\psi\left(t\text{´}\right)=\pm A\right)</math><br />
Asi que:<br />
<br />
<math>t\text{´}=t+n\frac{\tau}{2}</math><br />
<br />
<br />
con <math>n=1,2,3,\ldots</math> siendo <math>\tau</math> el periodo<br />
<br />
<br />
Por lo tanto la masa alcanza el primer extremo <math>\left(\psi\left(t\text{´}\right)=A\right)</math><br />
cuando <math>n=1</math><br />
en el instante<br />
<br />
<math>t\text{´}=t+\frac{\tau}{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>t\text{´}=0.033s</math><br />
<br />
[[Usuario:Mario Moranchel|Mario Moranchel]] ([[Usuario discusión:Mario Moranchel|discusión]]) 04:11 22 ene 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
1.4 '''El sistema mostrado al principio en la figura podría ser puesto en vibración dándole a la masa un repentino impulso hacia la izquierda; tocándolo por un martillo, por ejemplo. Si la magnitud de el impulso es <math>p_{1}</math> y es dado al tiempo <math>t=0</math>, encontrar a) la amplitud y b) la fase constante del consecuente movimiento.'''<br />
<br />
[[Archivo:Vibracion.png]]<br />
<br />
vemos que al pistón se le aplica una fuerza muy grande en magnitud, durante un periodo muy corto de tiempo, esas son las características de la delta de Dirac, por lo que nuestra ecuación del oscilador armónico simple nos queda:<br />
<br />
<br />
<math>\ddot{\psi}+\frac{k}{m}\psi=\frac{\delta}{m}(t-p_{1})</math><br />
<br />
<br />
sustituimos a la frecuencia angular y aplicando la transformada de Laplace nos queda<br />
<br />
<br />
<math>\mathcal{L}\{\ddot{\psi}\}+\mathcal{L}\omega^{2}\{\psi\}=\frac{1}{m}\mathcal{L}\{\delta(t-p_{1})\}<br />
</math><br />
<br />
<br />
resolvemos <br />
<br />
<br />
<math>s^{2}Y(s)-sY(0)-Y\text{´}(0)+\omega^{2}Y(s)=\frac{1}{m}\exp(-sp_{1})<br />
</math><br />
<br />
<br />
despejando a la Y(s)<br />
<br />
<br />
<math>Y(s)=\frac{1}{m}\frac{\exp(-sp_{1})}{s^{2}+\omega^{2}}<br />
</math><br />
<br />
<br />
Aplicamos la transformada inversa y nos queda<br />
<br />
<br />
<math>\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}=\frac{1}{m\omega}\mathcal{L}^{-1}\{\frac{\exp(-sp_{1})\omega}{s^{2}+\omega^{2}}\}<br />
</math><br />
<br />
<br />
<math>\psi(t)=\frac{1}{m\omega}\sin(\omega t-p_{1})\vartheta(\omega t-p_{1})<br />
</math><br />
<br />
<br />
por último identificamos a la amplitud y a la constante de fase<br />
<br />
<br />
<math>A=\frac{1}{m\omega}<br />
</math><br />
<br />
<br />
<math>\varphi=p_{1}<br />
</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ignacio Peralta Martínez|Ignacio Peralta Martínez]] ([[Usuario discusión:Ignacio Peralta Martínez|discusión]]) 23:10 20 may 2013 (CDT)<br />
<br />
----<br />
1.5 '''The system shown at rest in fig 1.1(a) could be set into motion by giving it an initial displacement $A_{1}$ and an initial velocity $v_{1}$ (both to the right, say). Assuming that the motion is started in this way at time $t=0$, show that the amplitude $A$ and the phase constant $\phi$ are given by: '''<br />
<br />
Interpretación del enunciado al español latino<br />
<br />
'''El sistema en reposo mostrado en la figura 1.1(a) puede ser puesto en movimiento dándole un desplazamiento inicial $A_{1}$ y una velocidad inicial $v_{1}$ (ambos a la derecha). Suponiendo que el movimiento se inicia de esta manera en el momento t=0, mostrar que la amplitud $A$ y la constante de fase $\phi$ están dados por:'''<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A=[A_{1}^{2}+(\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2}]^{\frac{1}{2}}<br />
\end{equation} <br />
<br />
\begin{equation}<br />
tan\phi=-\frac{v_{1}}{A_{1}\omega_{0}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Ecuación de desplazamiento para el Movimiento Armónico Simple:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\psi(t)=A\cos{(w_{0}t+\Phi)}.....(I)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De acuerdo con la condición inicial del problema $(t=0)$ llamaremos $A_{1}$ al desplazamiento y $v_{1}$ a la velocidad, así obtenemos las siguientes identidades:<br />
\begin{equation}<br />
A_{1}= A \cos{\phi}.....(1)<br />
\end{equation} <br />
<br />
\begin{equation}<br />
v_{1}=-Aw_{0} sen{\phi}.....(2)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Teóricamente sabemos que el Movimiento Armónico Simple está descrito por una ecuación de forma semejante a la ecuación $(I)$, es por ello que en el problema podemos utilizar las relaciones (1) y (2) para cumplir el objetivo.<br />
<br />
Para mostrar que la amplitud del problema está dado por <math>A=[A_{1}^{2}+(\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2}]^{\frac{1}{2}}</math>, elevamos al cuadrado las ecuaciones (1) y (2), obteniendo:<br />
\begin{equation}<br />
{A_{1}}^2=A^2 \cos^2{ \phi}.....(3)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
{v_{1}}^2=A^2 {w_{0}}^2sen^2{\phi}.....(4)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
En (4) dividimos por ${w_{0}}^2$ ambos bandos de la ecuación<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{{v_{1}}^2}{{w_{0}}^2}={A}^2 sen^2{\phi}.....(5) <br />
\end{equation}<br />
<br />
De lo anterior podemos simplificar las ecuaciones (3) y (5), las sumaremos una con la otra de la siguiente manera:<br />
\begin{equation}<br />
{A_{1}}^2 +\frac{{v_{1}}^2}{{w_{0}}^2}=A^2 \cos^2{ \phi} + {A}^2 sen^2{\phi}.....(6)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De la ecuación (6) factorizamos $A^2$ <br />
<br />
\begin{equation}<br />
{A_{1}}^2 +\frac{{v_{1}}^2}{{w_{0}}^2}=A^2 (\cos^2{ \phi} + sen^2{\phi}).....(7)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Hemos llegado a una identidad trigonométrica básica, la cual está dada por $\cos^2{ \phi} + sen^2{\phi}=1$, de esta identidad sustituiremos la suma de las funciones trigonométricas elevadas al cuadrado por su igualdad, obteniendo:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
{A_{1}}^2 +\frac{{v_{1}}^2}{{w_{0}}^2}=A^2.....(8)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Entonces, sólo despejamos $A$ de la ecuación (8) y tenemos el siguiente resultado:<br />
\begin{equation}<br />
\boxed{A=[{A_{1}}^2 +(\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2}]^\frac{1}{2}}.....(9) <br />
\end{equation}<br />
<br />
<math>\therefore</math> la amplitud Q.E.D.<br />
<br />
<br />
<br />
Para demostrar que el ángulo de fase está dado por $\tan{\phi}={-\frac{v_{1}}{A_{1}w_{0}}}$, primero se toma la ecuación (2) dividiéndola entre $-w_{0}$ para obtener:<br />
\begin{equation}<br />
-\frac{{v_{1}}}{{w_{0}}}={A}sen{\phi}.....(10) <br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Ahora se toman las ecuaciones (1) y (10), dividiendo la ecuación (10) entre la ecuación (1)<br />
\begin{equation}<br />
\frac{A sen{\phi}}{ A \cos{\phi}}=\frac{\frac{-v_{1}}{w_{0}}}{A_{1}}.....(11)<br />
\end{equation}<br />
<br />
En el bando izquierdo de la ecuación (10) la división de la amplitud $A$ entre la misma amplitud $A$ hacen la unidad y por conocimientos previos sobre trigonometría, sabemos que $\frac{sen{\phi}}{\cos{\phi}}= \tan{\phi}$ y por parte del bando derecho se resuelve la división entre fracciones: <br />
\begin{equation}<br />
\boxed{\tan{\phi}={-\frac{v_{1}}{A_{1}w_{0}}}}.....(12)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Por lo tanto la ecuación de constante de fase también queda demostrada.<br />
<br />
[[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 05:59 31 ene 2014 (UTC)<br />
[[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 11:39 26 ene 2014 (UTC)<br />
<br />
--[[Usuario:Andrés Arturo Cerón Téllez|Andrés Arturo Cerón Téllez]] ([[Usuario discusión:Andrés Arturo Cerón Téllez|discusión]]) 23:11 15 may 2013 (CDT)<br />
----<br />
<br />
1.6 '''Calculate (a) the amplitude, (b) the phase constant, and'''<br />
'''(c) the complex amplitud, for the vibration by''' $\psi=\left(10mm\right)\cos\left(\omega_{0}t\right)+\left(17mm\right)\sin\left(\omega_{0}t\right)$.<br />
<br />
'''Traducción del enunciado''':<br />
'''Calcular''' :<br />
'''a)''' '''La amplitud'''.<br />
'''b)''' ''' La constante de fase'''.<br />
'''c)''' '''La amplitud compleja para la vibración dada''':$\psi=\left(10mm\right)\cos\left(\omega_{0}t\right)+\left(17mm\right)\sin\left(\omega_{0}t\right)$'''.<br />
<br />
Solución: (a) Buscaremos una ecuación de la forma $\psi=A_{0}\left(\sin\left(\omega_{0}t\text{+}\phi\right)\right)$<br />
<br />
Veremos entonces que nuesta vibración dada por $\psi=A\cos\omega_{0}t+B\sin\omega_{0}t=\mathit{A_{0}\sin\left(\omega_{0}t\text{+}\phi\right)}$<br />
donde $\mathit{A_{0}}$es la amplitud que queremos encontrar<br />
<br />
Desarrollemos entonces el seno $A_{0}\sin\left(\omega_{0}t\text{+}\phi\right)=A_{0}\sin\left(\omega_{0}t\right)\cos\left(\phi\right)+A_{0}\sin\left(\phi\right)\cos\left(\omega_{0}t\right)$<br />
<br />
Se obtiene entonces que $A\cos\omega_{0}t+B\sin\omega_{0}t=A_{0}\sin\left(\omega_{0}t\right)\cos\left(\phi\right)+A_{0}\sin\left(\phi\right)\cos\left(\omega_{0}t\right)$<br />
<br />
De aqui obtenemos las siguientes dos ecuaciones:<br />
<br />
$A=A_{0}\cos\left(\phi\right)$................y le llamaremos (1)<br />
<br />
$B=A_{0}\sin\left(\phi\right)$.....a la cual le llameremos (2)<br />
<br />
Hagamos entonces $A^{2}+B^{2}=A_{0}^{2}\cos^{2}\left(\phi\right)+A_{0}^{2}\sin^{2}\left(\phi\right)$<br />
<br />
Notamos entonces que $A_{0}^{2}=A^{2}+B^{2}$<br />
<br />
Por lo tanto $A_{0}=\sqrt{A^{2}+B^{2}}$<br />
<br />
Haciendo la sustitución numérica y las operaciones obtenemos que $A_{0}=19.7mm$<br />
<br />
(b) Tomemos nuevamente las ecuaciones (1) y (2) y dividamos <br />
<br />
$\frac{B}{A}=\tan\left(\phi\right)$ de donde al hacer un despeje<br />
ontenemos que $\phi=\arctan\left(\frac{B}{A}\right)$<br />
<br />
Nuevamente se realizan la sustitución y las operaciones y obtenemos<br />
que $\phi=\arctan\left(\frac{B}{A}\right)$<br />
<br />
Por lo tanto $\phi=59.5$<br />
<br />
(c) Debido a la relación matemática que existe entre los números complejos<br />
y las vibraciones podemos ver que la amplitud compleja será:<br />
<br />
$A_{0}=A+iB=10mm+i(17mm)$<br />
<br />
En el enunciado del problema 1.6 lo reescribi en español [[Usuario:Israel López|Israel López]] ([[Usuario discusión:Israel López|discusión]]) 21:51 27 ene 2014 (UTC)<br />
<br />
Creo que hay un error en las ecuaciones 1 y 2, los valores de A y B estan intercambiados<br />
[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 13:32 17 feb 2014 (UTC)<br />
----<br />
<br />
1.7 '''During a vibration with a frecuency of 50 Hz, the displacement is observed to be 30 mm at time t=0, and -14 mm at t=12 ms. Find the complex amplitude.'''<br />
<br />
'''Dada la expresion para hallar la amplitud compleja:'''<br />
'''traduccion del enunciado :Durante una vibracion con una frecuencia de 50 hz, el desplazamiento obeservado es de 30 mm al tiempo t=0,-14 mm al t=12 s.Encuentre la amplitud compleja'''<br />
<br />
<math>D=Acos(\phi)+\imath Asen(\phi)........(1.1).</math><br />
<br />
<br />
A partir de la expresion para el desplazamiento, se busca obtener los valores que constituyen la expresion anterior: <br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=Acos(\mathbf{\omega_{0}\mbox{t}}+\phi)...............(1.2)</math><br />
<br />
<br />
desarrollando,<br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=Acos\mathbf{(\phi)}cos(\omega_{0}t)-Asen(\phi)sen(\omega_{0}t)....(1.3)</math><br />
<br />
<br />
Sean, <math>C_{1}=Acos(\phi)</math><br />
<br />
<br />
<math>C_{2}=Asen(\phi)</math><br />
<br />
<br />
Sustituyendo las constantes, <br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=C_{1}cos(\omega_{0}t)-Asen(\phi)sen(\omega_{0}t).....(1.3')</math><br />
<br />
<br />
Se toma la siguiente condicion <math>\psi_{(0)}=0.03m</math><br />
para la ec. (1.2)<br />
<br />
<math>0.03m=Acos(\phi).... (1.2')</math><br />
<br />
Por tanto, <math>C{}_{1}</math><br />
es 0.03m.<br />
<br />
Ahora, para <math>\psi_{(0.0012)}=-0.014m</math><br />
para la ec. (1.3'). Dado que la frecuencia es 50 Hz, y de la relacion <br />
<br />
<math>\omega=\upsilon/2\pi</math><br />
<br />
<br />
entonces, <math>\omega=78.53s^{-1}</math><br />
.Sustituyendo en la ec. (1.3')<br />
<br />
<math>-0.014m=0.003mcos(\omega t)-C_{2}sen(\omega t)</math><br />
<br />
<br />
<math>-0.014m=0.003*0.99-0.001C_{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>-0.014m=0.002-0.001C_{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>C_{2}=34m</math><br />
<br />
<br />
Finalmente, al sustituir en ec. (1.1). La amplitud compleja es:<br />
<br />
<math>D=0.03m-\imath34m</math><br />
--[[Usuario:Daniela López Martínez|Daniela López Martínez]] ([[Usuario discusión:Daniela López Martínez|discusión]]) 18:53 15 may 2013 (CDT)<br />
<br />
Fe de erratas. '''Correcciones sobre el problema 1.7.'''<br />
<br />
En efecto, la frecuencia angular está dada por:<br />
<br />
<math>\omega=2\pi\nu</math><br />
<br />
<br />
al sustituir las cantidades,<br />
<br />
<math>\omega=134.15Hz</math><br />
<br />
<br />
Y, además, haciendo una conversión:<br />
<br />
<math>1ms=0.001s</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow12ms=0.012s</math><br />
<br />
<br />
Así, pues, dadas las condiciones iniciales<br />
<br />
<math>\psi(0)=0.03m</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow Acos\phi=0.03m</math><br />
<br />
<br />
entonces, tomando la siguiente condicion <br />
<br />
<math>\psi(0.012)=-0.014m</math><br />
<br />
<br />
se obtiene.<br />
<br />
<math>-0.014m=0.03mcos(3.76)+C_{2}sen(3.76)</math><br />
<br />
<br />
<math>-0.014m=0.02+C_{2}0.06</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow C_{2}=-0.56</math><br />
Dado que<br />
<br />
<math>C_{2}=Asen\phi</math><br />
<br />
por tanto, en la ec. (1.1), resulta:<br />
<br />
<math>D=0.03m-\imath0.56m</math><br />
<br />
En el 1.7 realize la traducción [[Usuario:Aura Yazmin Bejarano Olvera|Aura Yazmin Bejarano Olvera]] ([[Usuario discusión:Aura Yazmin Bejarano Olvera|discusión]])<br />
<br />
La solucion a este problema la realice de la siguiente manera:<br />
Tenemos que:<br />
<br />
\[<br />
\psi(t)=Acos(\omega_{0}t+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\& <br />
<br />
\[<br />
\omega_{0}=\nu_{0}2\pi<br />
\]<br />
<br />
<br />
Luego, con las condiciones iniciales $\psi(0s)=x_{1}=30$ mm y $\psi(12ms)=x_{2}=-14$mm<br />
tendremos que:<br />
<br />
\[<br />
\psi(0s)=x_{1}=Acos(\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\psi(0.012s)=x_{2}=Acos(\omega_{0}(12ms)+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
x_{2}=Acos(\phi)cos(\omega_{0}(0.012s))-Asen(\phi)sen(\omega_{0}(0.012s))<br />
\]<br />
<br />
<br />
Pero $Acos(\phi)=x_{1}$, asi:<br />
<br />
\[<br />
x_{2}=x_{1}cos(2\pi\nu_{0}(0.012s))-Asen(\phi)sen(2\pi\nu_{0}(0.012s))<br />
\]<br />
<br />
<br />
Tenemos tambien que:<br />
<br />
\[<br />
cos(2\pi(50Hz)(0.012s))\cong0.99<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
sen(2\pi(50Hz)(0.012s))\cong0.06<br />
\]<br />
<br />
<br />
Asi:<br />
<br />
\[<br />
-0.014m=(0.03m)(0.99)-Asen(\phi)(0.06)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
Asen(\phi)(0.06)=0.029m+0.014m<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
Asen(\phi)=\frac{0.043m}{0.06}=0.071m<br />
\]<br />
<br />
<br />
Por lo cual la amplitud compleja es igual a:<br />
<br />
\[<br />
D=0.03m+i0.071m<br />
\]<br />
<br />
<br />
La nueva solucion fue realizada por: [[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] el 19 de Febrero de 2014.<br />
----<br />
1.8'''Calculate the maximum acceleration (in units of $g$) of pickup stylus reproducing a frequency of $16 kHz$, with an amplitude of $0.01mm$.'''<br />
<br />
1.8 '''Calcule la aceleración máxima (en unidades de $g$) de una aguja que reproduce una frecuencia de $16 kHz$, con una amplitud de $0,01 mm$.'''<br />
<br />
El problema nos propociona los siguientes datos:<br />
$f =16kHz = 16000Hz$<br />
$A = 0.01mm = 0.00001m$<br />
<br />
Resultado:<br />
<br />
Sabemos que podemos expresar la frecuencia angular como la frecuencia por $2/pi$:<br />
\[<br />
\omega=2\pi f...(1)<br />
\]<br />
<br />
Ahora sustituimos el valor de la frecuencia($f =16000Hz$) en la ecuación 1:<br />
<br />
\[\omega=2\pi(16000Hz)\]<br />
<br />
Luego obtenemos una nueva ecuación ya con el valor de $f$ evualado:<br />
<br />
\[\omega=32000\pi<br />
\frac{rad}{s}\]<br />
<br />
<br />
\[{\color{black}{\color{blue}\omega=100530.9649\frac{rad}{s}}}...(2)\]<br />
<br />
Un dato importante en este momento, es la expresión para la aceleración máxima en el movimiento armónico simple:<br />
<br />
\[ \frac{d^2x}{dt^2} = a(t) = -\omega^2x\]<br />
<br />
Donde $x$ es la solución para el moviemiento armónico simple ,osea , $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$. El valor de $x$ será máximo cuando el $\cos(\omega t + \phi)=1$ alcance su valor máximo y esto sucede cuando es igual uno. Por tal razón podemos expresar la aceleración máxima como sigue:<br />
<br />
<br />
\[\left\Vert a_{max}\right\Vert =A\omega^{2}\]<br />
<br />
Finalmente sustituimos el valos de $\omega$ elevado al cuadrado proveniente de la ecuación 2:<br />
<br />
\[\left\Vert a_{max}\right\Vert =(0.00001m)(100530.9649\frac{rad}{s})^{2}\]<br />
<br />
\[\left\Vert a_{max}\right\Vert =101064.749\frac{m}{s^{2}}\]<br />
<br />
Ahora hay que dividir el resultado obtenido en la ecuación 3 entre $g$ para expresarlo en unidades de $g$.Usamos primero:<br />
<br />
\[g=9.8\frac{m}{s^2}\]<br />
<br />
Y obtenemos la aceleración maxima en unidades de $g$:<br />
<br />
\[\left\Vert a_{max}\right\Vert =10312.729g\]<br />
<br />
[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 04:51 21 feb 2014 (UTC)<br />
<br />
[[categoría:Vibra]]<br />
<br />
----<br />
<br />
1.9.- '''Un oscilador armónico se compone de una masa de 100 gramos sujeta<br />
'''a un muelle '''de constante de recuperación de 4 dinas/cm.<br />
'''Se desplaza la masa una distancia de 3 cm. soltando desde el reposo.<br />
Calcular:''' a) la frecuencia propia y el periodo, ''' b) la energía total<br />
y '''c) la velocidad máxima.'''<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Se sabe que el bloque fue estirado 3cm, además debido a que se desprecía<br />
la fricción entre el bloque y la superficie en la que se encuentra<br />
ya sabemos que la amplitud máxima del sistema es de 3cm.<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Por otro lado, al tratarse de un oscilador armónico simple y al saber<br />
que la única fuerza que actuá en la misma línea de acción del movimiento<br />
es la fuerza del resorte, entonces tenemos:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
y al resolver la ecuación diferencial obtenemos como solución<br />
<br />
\[<br />
x(t)=ACos(wt)+BSen(wt)\;\;\;\;;\;\;\; w=\sqrt{\frac{k}{m}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Además de las condiciones iniciales tenemos:<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Cuando $t=0$ la posición inicial es $x(t=0)=3cm$ y cuando $t=0$<br />
la velocidad inicial es $\dot{x}(t=0)=0$<br />
<br />
\[<br />
x(t=0)=A=3\;\;\;;\;\;\;\dot{x}(t=0)=B=0<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\therefore\;\;\; x(t)=3Cos(wt)<br />
\]<br />
<br />
<br />
de aquí podemos decir que el bloque estará oscilando en $-3\leq x(t)\leq3$<br />
y que la velocidad máxima del bloque es justamente cuando el bloque<br />
no esta elongado, es decir cuando $x(t=t_{0})=0$ <br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Ahora por otro lado, sabemos que cuando el bloque tiene velocidad<br />
máxima justo en ese instante la energía del sistema es en su totalidad<br />
energía cinética ya que al no estar el bloque elongado este no tiene<br />
energía potencial.<br />
<br />
\[<br />
E_{T}=T+U=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}+\frac{1}{2}kx^{2}\;\;\quad al\; sustituir\;\; x(t)\;\; y\;\;\dot{x}(t)\;\quad llegamos\; a<br />
\]<br />
<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E_{T}=\frac{1}{2}kA^{2}\; con\; A=3<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
entonces al igualar la energía total con la energá cinética máxima<br />
obtenemos la velocidad máxima<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{1}{2}kA^{2}=\frac{1}{2}m\dot{x}_{max}^{2}\Rightarrow\dot{x}_{max}=A\sqrt{\frac{k}{m}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
a) La frecuencia propia esta dada por $f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$<br />
y haciendo la conversion correcta al SI tenemos $f=1.59\frac{1}{s}$<br />
<br />
y en de forma inmediata el periodo es $T=\frac{1}{f}\;\;\Rightarrow T=0.63s$<br />
<br />
b) La energía total del sistema esta dada por $(2)$<br />
<br />
\[<br />
E_{T}=4.5\times10^{-3}Joules<br />
\]<br />
<br />
<br />
c) La velocidad máxima que experimenta el bloque esta dada por $(3)$<br />
<br />
\[<br />
\dot{x}_{max}=0.3\frac{m}{s}<br />
\]<br />
<br />
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 21:59 25 ene 2014 (UTC)</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Mario_Moranchel&diff=18156Usuario discusión:Mario Moranchel2014-02-17T01:38:52Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
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<br />
Problema 1.3 vibraciones<br />
<br />
La solución es correcta.<br />
<br />
--[[Usuario:Ernesto|Ernesto]] ([[Usuario discusión:Ernesto|discusión]]) 13:58 29 may 2013 (CDT)<br />
<br />
----<br />
Problema 3.2 vibraciones<br />
<br />
La solución es correcta.<br />
<br />
--[[Usuario:Ernesto|Ernesto]] ([[Usuario discusión:Ernesto|discusión]]) 02:42 19 jun 2013 (CDT)<br />
<br />
----<br />
Problema 4.2 vibraciones<br />
<br />
La idea es correcta, pero te falta demostrar que en $\dot{t}=\frac{1}{w_{0}}$ tienes un máximo, es decir <br />
<br />
<br />
<math>\left(\frac{d^2 i}{d t^2}\right)_{\dot{t}=\frac{1}{w_{0}}}< 0</math><br />
<br />
--[[Usuario:Ernesto|Ernesto]] ([[Usuario discusión:Ernesto|discusión]]) 09:38 3 jul 2013 (CDT)<br />
----<br />
Problema 5.3 vibraciones<br />
<br />
La solución es correcta.<br />
<br />
--[[Usuario:Ernesto|Ernesto]] ([[Usuario discusión:Ernesto|discusión]]) 21:09 4 jul 2013 (CDT)<br />
<br />
----<br />
En el problema 2.1 sugiero especificar las unidades de <math>K</math>.<br />
[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 01:38 17 feb 2014 (UTC)</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Brenda_P%C3%A9rez_Vidal&diff=18154Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal2014-02-17T01:30:40Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
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<br />
El problema 1.1 es un buen ejemplo de como debemos presentar nuestros ejercicios. Es muy importante , siempre, aclarar de donde provienen las ecuaciones utilizadas y describir el proceso de resolución del problema.<br />
<br />
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<br />
El problema 1.1 un buen ejemplo de como debemos presentar nuestros ejercicios. Es muy importante , siempre, aclarar de donde provienen las ecuaciones utilizadas y describir el proceso de resolución del problema.<br />
<br />
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<hr />
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<br />
El problema es 1.1 un buen ejemplo de como debemos presentar nuestros ejercicios. Es muy importante , siempre, aclarar de donde provienen las ecuaciones utilizadas y describir el proceso de resolución del problema.<br />
<br />
[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 01:29 17 feb 2014 (UTC)</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Brenda_P%C3%A9rez_Vidal&diff=18151Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal2014-02-17T01:29:34Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
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<br />
Este problema es un buen ejemplo de como debemos presentar nuestros ejercicios. Es muy importante , siempre, aclarar de donde provienen las ecuaciones utilizadas y describir el proceso de resolución del problema.<br />
<br />
[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 01:29 17 feb 2014 (UTC)</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Vibra:_probs_c2&diff=18149Vibra: probs c22014-02-17T01:01:41Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div></div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Vibra:_probs_c4&diff=18147Vibra: probs c42014-02-17T00:50:10Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div>Main cap.4<br />
<br />
4.1 '''Show that the relaxation time for very heavily damped LCR circuit is RC.'''<br />
<br />
4.1'''Muestre que el tiempo de mitigación para cada circuito LCR severamente amortiguado es RC.'''<br />
<br />
Conocemos la ecuación para el oscilador ligeramente amortiguado (ecuación 3.3 G. Main, Vibrations and waves in physics):<br />
<math>\frac{d^{2}\psi}{dt^{2}}+\gamma\frac{d\psi}{dt}+\omega_{0}^{2}\psi=0 ... (1)</math> <br />
<br />
También sabemos que<br />
\begin{equation}\gamma=\frac{b}{m}\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}\omega_{0}^{2}=\frac{s}{m}\end{equation}<br />
<br />
<br />
<br />
Por regla de Kirchhoff(ecuación 4.1, G. Main) para un circuito LCR podemos escribir la siguiente ecuación:<br />
<br />
<math>L\left(\frac{d^{2}\psi}{dt^{2}}\right)+R\left(\frac{d\psi}{dt}\right)+\left(\frac{1}{C}\right)\psi=0 ...2</math><br />
<br />
<br />
Al multiplicar por <math>\frac{1}{L}</math> obtenmos lo siguiente<br />
<br />
\begin{equation}\frac{d^{2}\psi}{dt^{2}}+\frac{R}{L}\left(\frac{d\psi}{dt}\right)+\frac{1}{LC}\psi=0... (3)\end{equation}<br />
<br />
Al comparar Las ecuaciones 1 y 3 ,notamos que son ecuaciones análogas:<br />
<br />
\begin{equation}\gamma=\frac{R}{L}\end{equation}<br />
<br />
<br />
\begin{equation}\omega_{0}^{2}=\frac{1}{LC}\end{equation}<br />
<br />
<br />
Por lo tanto, el “relaxation time” esta dado por:<br />
<br />
<math>\tau_{r}=\frac{\gamma}{\omega_{0}^{2}}=\frac{\frac{R}{L}}{\frac{1}{LC}}=\frac{RLC}{L}=RC</math><br />
<br />
<br />
Finalmete obtenemos<br />
\begin{equation}\tau_{r}=RC\end{equation}<br />
<br />
[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 00:24 17 feb 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
4.2<br />
'''A capacitor is charged to a voltage V and is then connected across a coil. If the damping is critical, show that the current rises to a maximun value 2V/eR, where R is the total resistance of the circuit made by the capacitor ant the coil.'''<br />
<br />
De las Ecuaciones (4.1) y (3.3)<br />
<br />
Solucion para amortiguamiento critico<br />
<br />
<math>\psi(t)=(C_{1}+C_{2}w_{0}t)</math><br />
<br />
<br />
Condiciones iniciales<br />
<br />
1) <math>\psi(0)=V_{1}C</math><br />
Entonces <math>V_{1}C=C_{1}\Longrightarrow C_{1}=V_{1}C</math><br />
<br />
<br />
2) <math>i(0)=\frac{d\psi}{dt}(0)=0</math><br />
<br />
<br />
<math>i(t)=\frac{d}{dt}\psi(t)</math><br />
<br />
<br />
<math>i(t)=\frac{d}{dt}\left[(C_{1}+C_{2}w_{0}t)\exp^{-w_{0}t}\right]</math><br />
<br />
<br />
<math>i(t)=C_{2}w_{0}\exp^{-w_{0}t}+(C_{1}+C_{2}w_{0}t)(-w_{0})\exp^{-w_{0}t}</math><br />
<br />
<br />
<math>i(t)=(C_{2}-C_{1})w_{0}\exp^{-w_{0}t}-C_{2}w_{0}^{2}\exp^{-w_{0}t}</math><br />
<br />
<br />
Entonces <math>0=i(0)=C_{2}w_{0}-w_{0}C_{1}</math><br />
<br />
Asi que <math>C_{1}=C_{2}\Longrightarrow C_{2}=V_{1}C</math><br />
<br />
Asi <math>\psi(t)=V_{1}C(1+w_{0}t)\exp^{-w_{0}t}</math><br />
<br />
<br />
<math>i(t)=V_{1}Cw_{0}^{2}t\exp^{-w_{0}t}</math><br />
<br />
<br />
Con <math>i(t)=\left|\frac{d\psi}{dt}\right|</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{di}{dt}=V_{1}Cw_{0}^{2}\left[\exp^{-w_{0}t}-w_{0}t\exp^{-w_{0}t}\right]</math><br />
<br />
<br />
Si <math>\frac{di}{dt}=0</math><br />
Entonces <math>\exp^{-w_{0}t}-w_{0}t\exp^{-w_{0}t}=0</math><br />
<br />
<br />
<math>\exp^{-w_{0}t}(1-w_{0}t)=0</math><br />
<br />
<br />
Asi que <math>(1-w_{0}t)=0</math><br />
<br />
<br />
<math>\dot{t}=\frac{1}{w_{0}}</math><br />
<br />
<br />
Luego <math>i_{max}(\dot{t})=V_{1}Cw_{0}^{2}\dot{t}\exp^{-w_{0}\dot{t}}</math><br />
<br />
<br />
<math>i_{max}(\dot{t})=V_{1}Cw_{0}^{2}\frac{1}{w_{0}}\exp^{-w_{0}\frac{1}{w_{0}}}</math><br />
<br />
<br />
Con <math>w_{0}^{2}=\frac{1}{LC}</math><br />
<br />
<br />
<math>i_{max}(\dot{t})=V_{1}Cw_{0}\exp^{-1}</math><br />
<br />
<br />
<math>i_{max}(\dot{t})=V_{1}C\sqrt{\frac{1}{LC}}\exp^{-1}</math><br />
<br />
<br />
<math>i_{max}(\dot{t})=v_{1}\sqrt{\frac{c}{L}}\exp^{-1}</math><br />
<br />
<br />
Puesto que la resistecia critica de amortiguamiento es<br />
<br />
<math>R=2w_{0}L</math><br />
<br />
<br />
<math>R=2\sqrt{\frac{1}{LC}}L</math><br />
<br />
<br />
<math>R=2\sqrt{\frac{L}{C}}\Longrightarrow\sqrt{\frac{C}{L}}=\frac{2}{R}</math><br />
<br />
<br />
Asi entonces <math>i_{max}=\frac{2V_{1}}{\exp R}</math><br />
<br />
[[Usuario:Mario Moranchel|Mario Moranchel]] ([[Usuario discusión:Mario Moranchel|discusión]]) 02:47 6 feb 2014 (UTC)<br />
----<br />
<br />
----<br />
<br />
--[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 12:00 9 may 2013 (CDT)<br />
<br />
----<br />
4.1'''Show that the relaxation time for very heavy damped LCR circuit is RC''' <br />
<br />
'''Muestre que el tiempo de mitigación para cada circuito LCR severamente amortiguado es RC.'''<br />
<br />
(otra forma de resolver)<br />
<br />
Tomando como base las expresiones de los apuntes,para un circuito RCL muy pesadamente amortiguado en el cual <math>\gamma\succ\succ\succ w_{0}<br />
.</math> La amplitud del movimiento se reduce a:<br />
<br />
<math>\thickapprox A_{1}\exp\left(\frac{-W_{0}^{2}t}{\gamma}\right)\cdots\left(1\right)<br />
</math><br />
El tiempo de reljación para este tipo de circuitos es aquel en el que el factor de decaimiento se reduce por un factor de <math>\frac{1}{e}<br />
</math> por lo tanto,igualamos el factor de decaimiento exponencial de la expresión <math>\left(1\right)</math> a <math>\frac{1}{e}</math> tenemos:<br />
<br />
<br />
<math>\frac{1}{e}=\exp\left(\frac{-W_{0}^{2}t}{\gamma}\right)\cdots\left(2\right)<br />
</math><br />
<br />
sacando logaritmo natural a ambos lados de la expresión <math>\left(2\right)<br />
</math><br />
<br />
<br />
<math>\log\left(\frac{1}{e}\right)=\log\left(\exp\left(\frac{-W_{0}^{2}t}{\gamma}\right)\right)\Rightarrow\log\left(1\right)-\log\left(e\right)=\frac{-W_{0}^{2}t}{\gamma}\Rightarrow0-1=-\left(\frac{W_{0}^{2}t}{\gamma}\right)\cdots\left(3\right)<br />
</math><br />
<br />
<br />
Despejando el tiempo de <math> \left(3\right)<br />
</math> para el cual se cumple esta relación tenemos:<br />
<br />
<math>\left(-\frac{W_{0}^{2}t}{\gamma}\right)=1\Rightarrow t=\left(\frac{\gamma}{W_{0}^{2}}\right)\cdots\left(4\right)<br />
</math><br />
<br />
Pero:<br />
<br />
<math>\gamma=\left(\frac{R}{L}\right)<br />
</math><br />
<br />
Y<br />
<br />
<br />
<math>W_{0}=\left(\frac{1}{\sqrt{LC}}\right)\Rightarrow W_{0}^{2}=\left(\frac{1}{LC}\right)\cdots\left(5\right)<br />
</math><br />
<br />
Sustituyendo <math>\left(5\right)<br />
</math> en <math>\left(4\right)<br />
</math><br />
<br />
<math>t=\frac{R}{L}/\frac{1}{LC}=\frac{RLC}{L}=RC<br />
</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto el tiempo de relajamiento para un circuito RLC pesadamente amortiguado es<br />
<br />
<br />
<math>\tau_{r}=RC<br />
</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:MISS|MISS]] ([[Usuario discusión:MISS|discusión]]) 00:22 20 jun 2013 (CDT)<br />
----<br />
<br />
4.3 <br />
<br />
'''A galvanometer with a coil of resistance''' $R{}_{G}$ '''is connected<br />
in series with an external resistance '''$R{}_{ext}$ .''' Show that by<br />
varying '''$R{}_{ext}$ we can select values of Q within the limits'''<br />
<br />
$\frac{GR_{G}Q_{m}}{GR_{G}+Q_{m}}\leq Q\leq Q_{m}$<br />
<br />
'''where $Q_{m}$is that part of Q due to the mechanical effects and<br />
G '''is the constant defined as $G=\frac{\omega I}{g}$.'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
Primero tomemos en cuenta algo, sabemos que $Q=\frac{\omega}{\gamma}$<br />
, donde $\gamma$ es el ancho del amortiguamiento. Si en este caso<br />
tenemos dos amortiguamientos, el mecánico $(\gamma_{m})$ y el eléctrico<br />
$(\gamma_{e})$, entonces el ancho total $(\gamma)$ es la suma de<br />
ambos.<br />
<br />
$\gamma=\gamma_{m}+\gamma_{e}$. Entonces despejando $\gamma$ de<br />
la ecuación superior, obtenemos $\gamma=\frac{\omega}{Q}$, pero como<br />
$\gamma$ es la suma de la parte mecánica y la parte eléctrica entonces<br />
tenemos que $\gamma=\frac{\omega}{Q_{m}}+\frac{\omega}{Q_{e}}$ y<br />
asi $\frac{\omega}{Q}=\frac{\omega}{Q_{m}}+\frac{\omega}{Q_{e}}$,<br />
donde Q son los llamados <br />
<br />
factores de calidad tanto mecánico, eléctrico y el total; como vemos<br />
la frecuencia angular $\omega$es la misma para todo el sistema, por<br />
lo que obtenemos $\frac{1}{Q}=\frac{1}{Q_{m}}+\frac{1}{Q_{e}}$, aqui<br />
hay que hacer las dos distinciones que nos pide el problema,<br />
<br />
sabemos que $Q_{e}=GR_{G}+GR_{ext}$, si $R_{ext}$ es muy grande<br />
entonces $\frac{1}{Q_{e}}$ tiende a cero con lo que se reduciría<br />
a $\frac{1}{Q}=\frac{1}{Q_{m}}$ o mejor visto $Q=Q_{m}$ que es la<br />
parte derecha de la desigualdad que queremos provar.<br />
<br />
El otro caso es que $R_{ext}$ sea demasiado chiquito, casi cero,<br />
entonces no nos interesaría su contribución, entonces se reduce simplemente<br />
a $Q_{e}=GR_{G}$, con lo que $\frac{1}{Q}=\frac{1}{Q_{m}}+\frac{1}{GR_{G}}$,<br />
y así $Q=\frac{GR_{G}Q_{m}}{GR_{G}+Q_{m}}$ que es la parte izquierda<br />
de la<br />
<br />
desigualdad que queremos comprobar.<br />
<br />
Entonces los valores de Q quedan dados entre $\frac{GR_{G}Q_{m}}{GR_{G}+Q_{m}}\leq Q\leq Q_{m}$al<br />
variar $R{}_{ext}$.<br />
<br />
[[Usuario:Edgar Ortega Roano|Edgar Ortega Roano]] 09:58 12 feb 2014 (CDT)<br />
<br />
----<br />
'''4.5 Una masa 0.1kg es pegada a un resorte. Es jalado 200mm a la derecha de su posición cuando el resorte no esta ni estirado ni comprimido y entonces es liberado del reposo. Las vibraciones libres resultantes, que están amortiguadas por fricción tienen una frecuencia de 2.0Hz. Se observa que cada oscilación hacia la derecha la masa toma un punto 30mm hacia la izquierda de su límite previo. La masa finalmente llega al reposo a 235mm hacia la izquierda del punto del cual fue liberado. (a) Calcule la fuerza de fricción de deslizamiento.(b) Calcular los límites superior e inferior para la fuerza de pegado.''' <br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Tenemos como datos del problema<br />
<br />
$m=0.1kg\quad x_{i}=0.2m\quad f=2Hz\quad A_{j}=A_{i}-30\quad x_{f}=x_{i}-235$<br />
<br />
y dado el problema la ecuación de movimiento del sistema es:<br />
<br />
\[<br />
m\ddot{\psi}+k\psi=F_{sl}<br />
\]<br />
<br />
<br />
o bien <br />
<br />
\[<br />
\ddot{\psi}+w_{0}^{2}\psi=\frac{F_{sl}}{m}<br />
\]<br />
<br />
<br />
la primera oscilación se detiene cuando $|\psi|=A_{0}-4\frac{F_{sl}}{s}$<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
además sabemos que $4\frac{F_{sl}}{s}=30mm$, por otro lado $s=mw_{0}^{2}=m(2\pi f)^{2}$<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Así entonces tenemos la siguiente expresión<br />
<br />
\[<br />
F_{sl}=\frac{30}{4}m(2\pi f)^{2}\quad con\; m=0.1kg\; y\; f=2Hz<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
F_{sl}=0.12N<br />
\]<br />
<br />
<br />
(b) Sabemos que la fuerza de pegado es igual a <br />
<br />
\[<br />
F_{p}=s|\psi|<br />
\]<br />
<br />
<br />
y además la última oscilación esta entre 50mm y 35mm, por lo que la<br />
fuerza máxima es:<br />
<br />
\[<br />
F_{max}=(15.79)(50x10^{-3})<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
F_{max}=0.789N<br />
\]<br />
Así nos queda para la fuerza mínima <br />
<br />
\[<br />
F_{min}=(15.79)(35x10^{-3})<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
F_{min}=0.552N<br />
\]<br />
<br />
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 19:17 8 feb 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
4.6'''Expresar el desplazamiento x(t) y la velocidad x'(t) del oscilador armónico sobre amortiguado utilizando funciones hiperbólicas'''<br />
<br />
<br />
Para el caso sobre amortiguado x(t) y x'(t) se expresa <br />
<br />
<br />
<math>x(t)=e^{-\beta t}[A_{1}e^{\omega_{2}t}+A_{2}e^{-\omega_{2}t}]</math><br />
<br />
<br />
<math>x'(t)=e^{-\beta t}[-\beta(A_{1}e^{\omega_{2}t}+A_{2}e^{-\omega_{2}t})+(A_{1}\omega_{2}e^{\omega_{2}t}+A_{2}\omega_{2}e^{-\omega_{2}t})]</math><br />
<br />
<br />
donde:<br />
<br />
<br />
<math>\omega_{2}=\sqrt{\beta^{2}-\omega_{0}^{2}}</math><br />
<br />
<br />
las funciones hiperbolicas estan definidas como<br />
<br />
<math>\cosh y=\frac{e^{y}+e^{-y}}{2}</math> , <math>\sinh y=\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>e^{y}=\cosh y+\sinh y</math><br />
<br />
<br />
<math>e^{-y}=\cosh y-\sinh y</math><br />
<br />
<br />
sustituyendo en las escuacions<br />
<br />
<br />
<math>x(t)=(\cosh\beta t-\sinh\beta t)[(A_{1}+A_{2})\cosh\omega_{2}t+(A_{1}-A_{2})\sinh\omega_{2}t]</math><br />
<br />
<br />
y<br />
<br />
<br />
<math>x'(t)=(\cosh\beta t-\sinh\beta t)[(A_{1}\omega_{2}-A_{1}\beta)(\cosh\omega_{2}t+\sinh\omega_{2}t)-(A_{2}\beta+A_{2}\omega_{2})(\cosh\omega_{2}t-\sinh\omega_{2}t)</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:David Alberto Rojas Solis|David Alberto Rojas Solis]] ([[Usuario discusión:David Alberto Rojas Solis|discusión]]) 06:17 6 jul 2013 (CDT)<br />
<br />
--[[Usuario:Sandyedid|sandy]] ([[Usuario discusión:Sandyedid|discusión]]) 21:31 6 jul 2013 (CDT)--[[Usuario:Sandyedid|sandy]] ([[Usuario discusión:Sandyedid|discusión]]) 21:31 6 jul 2013 (CDT)<br />
<br />
<math> W=\frac{1}{2}m\omega^{2}A^{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>W=\sim\frac{1}{2}m\omega^{2}\left|\psi(t)\right|^{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>\left|\psi(t)\right|=A_{0}-\frac{4F_{ls}}{s}(\frac{t}{\tau})</math><br />
<br />
<br />
<math>W=\frac{1}{2}m\omega^{2}(A_{0}-\frac{4F_{ls}}{s})(\frac{t}{\tau})</math><br />
<br />
<br />
<math>\left|\psi\right|=A_{0}-\frac{2F_{ls}}{s}<br />
con \frac{\tau}{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>\left|\psi\right|=A_{0}-\frac{4F_{ls}}{s}<br />
con \tau</math><br />
<br />
<br />
<math>\left|\psi\right|=A_{0}-\frac{6F_{ls}}{s}<br />
con \frac{3\tau}{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>\left|\psi\right|=A_{0}-\frac{8F_{ls}}{s}<br />
con 2\tau</math><br />
<br />
<br />
[[categoría:Vibra]]</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Vibra:_probs_c4&diff=18143Vibra: probs c42014-02-17T00:40:52Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div>Main cap.4<br />
<br />
4.1 '''Show that the relaxation time for very heavily damped LCR circuit is RC.'''<br />
<br />
4.1'''Muestre que el tiempo de mitigación para cada circuito LCR severamente amortiguado es RC.'''<br />
<br />
Conocemos la ecuación para el oscilador ligeramente amortiguado (ecuación 3.3 G. Main, Vibrations and waves in physics):<br />
<math>\frac{d^{2}\psi}{dt^{2}}+\gamma\frac{d\psi}{dt}+\omega_{0}^{2}\psi=0 ... (1)</math> <br />
<br />
También sabemos que<br />
\begin{equation}\gamma=\frac{b}{m}\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}\omega_{0}^{2}=\frac{s}{m}\end{equation}<br />
<br />
<br />
<br />
Por regla de Kirchhoff(ecuación 4.1, G. Main) para un circuito LCR podemos escribir la siguiente ecuación:<br />
<br />
<math>L\left(\frac{d^{2}\psi}{dt^{2}}\right)+R\left(\frac{d\psi}{dt}\right)+\left(\frac{1}{C}\right)\psi=0 ...2</math><br />
<br />
<br />
multiplicando por \begin{equation}\frac{1}{L}\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}\frac{d^{2}\psi}{dt^{2}}+\frac{R}{L}\left(\frac{d\psi}{dt}\right)+\frac{1}{LC}\psi=0... (2)\end{equation}<br />
<br />
Al comparar Las ecuaciones 1 y 2 ,notamos que son ecuaciones análogas:<br />
<br />
\begin{equation}\gamma=\frac{R}{L}\end{equation}<br />
<br />
<br />
\begin{equation}\omega_{0}^{2}=\frac{1}{LC}\end{equation}<br />
<br />
<br />
Por lo tanto, el “relaxation time” esta dado por:<br />
<br />
<math>\tau_{r}=\frac{\gamma}{\omega_{0}^{2}}=\frac{\frac{R}{L}}{\frac{1}{LC}}=\frac{RLC}{L}=RC</math><br />
<br />
<br />
Finalmete obtenemos<br />
\begin{equation}\tau_{r}=RC\end{equation}<br />
<br />
[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 00:24 17 feb 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
4.2<br />
'''A capacitor is charged to a voltage V and is then connected across a coil. If the damping is critical, show that the current rises to a maximun value 2V/eR, where R is the total resistance of the circuit made by the capacitor ant the coil.'''<br />
<br />
De las Ecuaciones (4.1) y (3.3)<br />
<br />
Solucion para amortiguamiento critico<br />
<br />
<math>\psi(t)=(C_{1}+C_{2}w_{0}t)</math><br />
<br />
<br />
Condiciones iniciales<br />
<br />
1) <math>\psi(0)=V_{1}C</math><br />
Entonces <math>V_{1}C=C_{1}\Longrightarrow C_{1}=V_{1}C</math><br />
<br />
<br />
2) <math>i(0)=\frac{d\psi}{dt}(0)=0</math><br />
<br />
<br />
<math>i(t)=\frac{d}{dt}\psi(t)</math><br />
<br />
<br />
<math>i(t)=\frac{d}{dt}\left[(C_{1}+C_{2}w_{0}t)\exp^{-w_{0}t}\right]</math><br />
<br />
<br />
<math>i(t)=C_{2}w_{0}\exp^{-w_{0}t}+(C_{1}+C_{2}w_{0}t)(-w_{0})\exp^{-w_{0}t}</math><br />
<br />
<br />
<math>i(t)=(C_{2}-C_{1})w_{0}\exp^{-w_{0}t}-C_{2}w_{0}^{2}\exp^{-w_{0}t}</math><br />
<br />
<br />
Entonces <math>0=i(0)=C_{2}w_{0}-w_{0}C_{1}</math><br />
<br />
Asi que <math>C_{1}=C_{2}\Longrightarrow C_{2}=V_{1}C</math><br />
<br />
Asi <math>\psi(t)=V_{1}C(1+w_{0}t)\exp^{-w_{0}t}</math><br />
<br />
<br />
<math>i(t)=V_{1}Cw_{0}^{2}t\exp^{-w_{0}t}</math><br />
<br />
<br />
Con <math>i(t)=\left|\frac{d\psi}{dt}\right|</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{di}{dt}=V_{1}Cw_{0}^{2}\left[\exp^{-w_{0}t}-w_{0}t\exp^{-w_{0}t}\right]</math><br />
<br />
<br />
Si <math>\frac{di}{dt}=0</math><br />
Entonces <math>\exp^{-w_{0}t}-w_{0}t\exp^{-w_{0}t}=0</math><br />
<br />
<br />
<math>\exp^{-w_{0}t}(1-w_{0}t)=0</math><br />
<br />
<br />
Asi que <math>(1-w_{0}t)=0</math><br />
<br />
<br />
<math>\dot{t}=\frac{1}{w_{0}}</math><br />
<br />
<br />
Luego <math>i_{max}(\dot{t})=V_{1}Cw_{0}^{2}\dot{t}\exp^{-w_{0}\dot{t}}</math><br />
<br />
<br />
<math>i_{max}(\dot{t})=V_{1}Cw_{0}^{2}\frac{1}{w_{0}}\exp^{-w_{0}\frac{1}{w_{0}}}</math><br />
<br />
<br />
Con <math>w_{0}^{2}=\frac{1}{LC}</math><br />
<br />
<br />
<math>i_{max}(\dot{t})=V_{1}Cw_{0}\exp^{-1}</math><br />
<br />
<br />
<math>i_{max}(\dot{t})=V_{1}C\sqrt{\frac{1}{LC}}\exp^{-1}</math><br />
<br />
<br />
<math>i_{max}(\dot{t})=v_{1}\sqrt{\frac{c}{L}}\exp^{-1}</math><br />
<br />
<br />
Puesto que la resistecia critica de amortiguamiento es<br />
<br />
<math>R=2w_{0}L</math><br />
<br />
<br />
<math>R=2\sqrt{\frac{1}{LC}}L</math><br />
<br />
<br />
<math>R=2\sqrt{\frac{L}{C}}\Longrightarrow\sqrt{\frac{C}{L}}=\frac{2}{R}</math><br />
<br />
<br />
Asi entonces <math>i_{max}=\frac{2V_{1}}{\exp R}</math><br />
<br />
[[Usuario:Mario Moranchel|Mario Moranchel]] ([[Usuario discusión:Mario Moranchel|discusión]]) 02:47 6 feb 2014 (UTC)<br />
----<br />
<br />
----<br />
<br />
--[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 12:00 9 may 2013 (CDT)<br />
<br />
----<br />
4.1'''Show that the relaxation time for very heavy damped LCR circuit is RC''' <br />
<br />
'''Muestre que el tiempo de mitigación para cada circuito LCR severamente amortiguado es RC.'''<br />
<br />
(otra forma de resolver)<br />
<br />
Tomando como base las expresiones de los apuntes,para un circuito RCL muy pesadamente amortiguado en el cual <math>\gamma\succ\succ\succ w_{0}<br />
.</math> La amplitud del movimiento se reduce a:<br />
<br />
<math>\thickapprox A_{1}\exp\left(\frac{-W_{0}^{2}t}{\gamma}\right)\cdots\left(1\right)<br />
</math><br />
El tiempo de reljación para este tipo de circuitos es aquel en el que el factor de decaimiento se reduce por un factor de <math>\frac{1}{e}<br />
</math> por lo tanto,igualamos el factor de decaimiento exponencial de la expresión <math>\left(1\right)</math> a <math>\frac{1}{e}</math> tenemos:<br />
<br />
<br />
<math>\frac{1}{e}=\exp\left(\frac{-W_{0}^{2}t}{\gamma}\right)\cdots\left(2\right)<br />
</math><br />
<br />
sacando logaritmo natural a ambos lados de la expresión <math>\left(2\right)<br />
</math><br />
<br />
<br />
<math>\log\left(\frac{1}{e}\right)=\log\left(\exp\left(\frac{-W_{0}^{2}t}{\gamma}\right)\right)\Rightarrow\log\left(1\right)-\log\left(e\right)=\frac{-W_{0}^{2}t}{\gamma}\Rightarrow0-1=-\left(\frac{W_{0}^{2}t}{\gamma}\right)\cdots\left(3\right)<br />
</math><br />
<br />
<br />
Despejando el tiempo de <math> \left(3\right)<br />
</math> para el cual se cumple esta relación tenemos:<br />
<br />
<math>\left(-\frac{W_{0}^{2}t}{\gamma}\right)=1\Rightarrow t=\left(\frac{\gamma}{W_{0}^{2}}\right)\cdots\left(4\right)<br />
</math><br />
<br />
Pero:<br />
<br />
<math>\gamma=\left(\frac{R}{L}\right)<br />
</math><br />
<br />
Y<br />
<br />
<br />
<math>W_{0}=\left(\frac{1}{\sqrt{LC}}\right)\Rightarrow W_{0}^{2}=\left(\frac{1}{LC}\right)\cdots\left(5\right)<br />
</math><br />
<br />
Sustituyendo <math>\left(5\right)<br />
</math> en <math>\left(4\right)<br />
</math><br />
<br />
<math>t=\frac{R}{L}/\frac{1}{LC}=\frac{RLC}{L}=RC<br />
</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto el tiempo de relajamiento para un circuito RLC pesadamente amortiguado es<br />
<br />
<br />
<math>\tau_{r}=RC<br />
</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:MISS|MISS]] ([[Usuario discusión:MISS|discusión]]) 00:22 20 jun 2013 (CDT)<br />
----<br />
<br />
4.3 <br />
<br />
'''A galvanometer with a coil of resistance''' $R{}_{G}$ '''is connected<br />
in series with an external resistance '''$R{}_{ext}$ .''' Show that by<br />
varying '''$R{}_{ext}$ we can select values of Q within the limits'''<br />
<br />
$\frac{GR_{G}Q_{m}}{GR_{G}+Q_{m}}\leq Q\leq Q_{m}$<br />
<br />
'''where $Q_{m}$is that part of Q due to the mechanical effects and<br />
G '''is the constant defined as $G=\frac{\omega I}{g}$.'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
Primero tomemos en cuenta algo, sabemos que $Q=\frac{\omega}{\gamma}$<br />
, donde $\gamma$ es el ancho del amortiguamiento. Si en este caso<br />
tenemos dos amortiguamientos, el mecánico $(\gamma_{m})$ y el eléctrico<br />
$(\gamma_{e})$, entonces el ancho total $(\gamma)$ es la suma de<br />
ambos.<br />
<br />
$\gamma=\gamma_{m}+\gamma_{e}$. Entonces despejando $\gamma$ de<br />
la ecuación superior, obtenemos $\gamma=\frac{\omega}{Q}$, pero como<br />
$\gamma$ es la suma de la parte mecánica y la parte eléctrica entonces<br />
tenemos que $\gamma=\frac{\omega}{Q_{m}}+\frac{\omega}{Q_{e}}$ y<br />
asi $\frac{\omega}{Q}=\frac{\omega}{Q_{m}}+\frac{\omega}{Q_{e}}$,<br />
donde Q son los llamados <br />
<br />
factores de calidad tanto mecánico, eléctrico y el total; como vemos<br />
la frecuencia angular $\omega$es la misma para todo el sistema, por<br />
lo que obtenemos $\frac{1}{Q}=\frac{1}{Q_{m}}+\frac{1}{Q_{e}}$, aqui<br />
hay que hacer las dos distinciones que nos pide el problema,<br />
<br />
sabemos que $Q_{e}=GR_{G}+GR_{ext}$, si $R_{ext}$ es muy grande<br />
entonces $\frac{1}{Q_{e}}$ tiende a cero con lo que se reduciría<br />
a $\frac{1}{Q}=\frac{1}{Q_{m}}$ o mejor visto $Q=Q_{m}$ que es la<br />
parte derecha de la desigualdad que queremos provar.<br />
<br />
El otro caso es que $R_{ext}$ sea demasiado chiquito, casi cero,<br />
entonces no nos interesaría su contribución, entonces se reduce simplemente<br />
a $Q_{e}=GR_{G}$, con lo que $\frac{1}{Q}=\frac{1}{Q_{m}}+\frac{1}{GR_{G}}$,<br />
y así $Q=\frac{GR_{G}Q_{m}}{GR_{G}+Q_{m}}$ que es la parte izquierda<br />
de la<br />
<br />
desigualdad que queremos comprobar.<br />
<br />
Entonces los valores de Q quedan dados entre $\frac{GR_{G}Q_{m}}{GR_{G}+Q_{m}}\leq Q\leq Q_{m}$al<br />
variar $R{}_{ext}$.<br />
<br />
[[Usuario:Edgar Ortega Roano|Edgar Ortega Roano]] 09:58 12 feb 2014 (CDT)<br />
<br />
----<br />
'''4.5 Una masa 0.1kg es pegada a un resorte. Es jalado 200mm a la derecha de su posición cuando el resorte no esta ni estirado ni comprimido y entonces es liberado del reposo. Las vibraciones libres resultantes, que están amortiguadas por fricción tienen una frecuencia de 2.0Hz. Se observa que cada oscilación hacia la derecha la masa toma un punto 30mm hacia la izquierda de su límite previo. La masa finalmente llega al reposo a 235mm hacia la izquierda del punto del cual fue liberado. (a) Calcule la fuerza de fricción de deslizamiento.(b) Calcular los límites superior e inferior para la fuerza de pegado.''' <br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Tenemos como datos del problema<br />
<br />
$m=0.1kg\quad x_{i}=0.2m\quad f=2Hz\quad A_{j}=A_{i}-30\quad x_{f}=x_{i}-235$<br />
<br />
y dado el problema la ecuación de movimiento del sistema es:<br />
<br />
\[<br />
m\ddot{\psi}+k\psi=F_{sl}<br />
\]<br />
<br />
<br />
o bien <br />
<br />
\[<br />
\ddot{\psi}+w_{0}^{2}\psi=\frac{F_{sl}}{m}<br />
\]<br />
<br />
<br />
la primera oscilación se detiene cuando $|\psi|=A_{0}-4\frac{F_{sl}}{s}$<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
además sabemos que $4\frac{F_{sl}}{s}=30mm$, por otro lado $s=mw_{0}^{2}=m(2\pi f)^{2}$<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Así entonces tenemos la siguiente expresión<br />
<br />
\[<br />
F_{sl}=\frac{30}{4}m(2\pi f)^{2}\quad con\; m=0.1kg\; y\; f=2Hz<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
F_{sl}=0.12N<br />
\]<br />
<br />
<br />
(b) Sabemos que la fuerza de pegado es igual a <br />
<br />
\[<br />
F_{p}=s|\psi|<br />
\]<br />
<br />
<br />
y además la última oscilación esta entre 50mm y 35mm, por lo que la<br />
fuerza máxima es:<br />
<br />
\[<br />
F_{max}=(15.79)(50x10^{-3})<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
F_{max}=0.789N<br />
\]<br />
Así nos queda para la fuerza mínima <br />
<br />
\[<br />
F_{min}=(15.79)(35x10^{-3})<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
F_{min}=0.552N<br />
\]<br />
<br />
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 19:17 8 feb 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
4.6'''Expresar el desplazamiento x(t) y la velocidad x'(t) del oscilador armónico sobre amortiguado utilizando funciones hiperbólicas'''<br />
<br />
<br />
Para el caso sobre amortiguado x(t) y x'(t) se expresa <br />
<br />
<br />
<math>x(t)=e^{-\beta t}[A_{1}e^{\omega_{2}t}+A_{2}e^{-\omega_{2}t}]</math><br />
<br />
<br />
<math>x'(t)=e^{-\beta t}[-\beta(A_{1}e^{\omega_{2}t}+A_{2}e^{-\omega_{2}t})+(A_{1}\omega_{2}e^{\omega_{2}t}+A_{2}\omega_{2}e^{-\omega_{2}t})]</math><br />
<br />
<br />
donde:<br />
<br />
<br />
<math>\omega_{2}=\sqrt{\beta^{2}-\omega_{0}^{2}}</math><br />
<br />
<br />
las funciones hiperbolicas estan definidas como<br />
<br />
<math>\cosh y=\frac{e^{y}+e^{-y}}{2}</math> , <math>\sinh y=\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>e^{y}=\cosh y+\sinh y</math><br />
<br />
<br />
<math>e^{-y}=\cosh y-\sinh y</math><br />
<br />
<br />
sustituyendo en las escuacions<br />
<br />
<br />
<math>x(t)=(\cosh\beta t-\sinh\beta t)[(A_{1}+A_{2})\cosh\omega_{2}t+(A_{1}-A_{2})\sinh\omega_{2}t]</math><br />
<br />
<br />
y<br />
<br />
<br />
<math>x'(t)=(\cosh\beta t-\sinh\beta t)[(A_{1}\omega_{2}-A_{1}\beta)(\cosh\omega_{2}t+\sinh\omega_{2}t)-(A_{2}\beta+A_{2}\omega_{2})(\cosh\omega_{2}t-\sinh\omega_{2}t)</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:David Alberto Rojas Solis|David Alberto Rojas Solis]] ([[Usuario discusión:David Alberto Rojas Solis|discusión]]) 06:17 6 jul 2013 (CDT)<br />
<br />
--[[Usuario:Sandyedid|sandy]] ([[Usuario discusión:Sandyedid|discusión]]) 21:31 6 jul 2013 (CDT)--[[Usuario:Sandyedid|sandy]] ([[Usuario discusión:Sandyedid|discusión]]) 21:31 6 jul 2013 (CDT)<br />
<br />
<math> W=\frac{1}{2}m\omega^{2}A^{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>W=\sim\frac{1}{2}m\omega^{2}\left|\psi(t)\right|^{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>\left|\psi(t)\right|=A_{0}-\frac{4F_{ls}}{s}(\frac{t}{\tau})</math><br />
<br />
<br />
<math>W=\frac{1}{2}m\omega^{2}(A_{0}-\frac{4F_{ls}}{s})(\frac{t}{\tau})</math><br />
<br />
<br />
<math>\left|\psi\right|=A_{0}-\frac{2F_{ls}}{s}<br />
con \frac{\tau}{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>\left|\psi\right|=A_{0}-\frac{4F_{ls}}{s}<br />
con \tau</math><br />
<br />
<br />
<math>\left|\psi\right|=A_{0}-\frac{6F_{ls}}{s}<br />
con \frac{3\tau}{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>\left|\psi\right|=A_{0}-\frac{8F_{ls}}{s}<br />
con 2\tau</math><br />
<br />
<br />
[[categoría:Vibra]]</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Vibra:_probs_c4&diff=18141Vibra: probs c42014-02-17T00:24:08Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div>Main cap.4<br />
<br />
4.1 '''Show that the relaxation time for very heavily damped LCR circuit is RC.'''<br />
<br />
4.1'''Muestre que el tiempo de mitigación para cada circuito LCR severamente amortiguado es RC.'''<br />
<br />
Conocemos la ecuación para el oscilador ligeramente amortiguado (ecuación 3.3 G. Main, Vibrations and waves in physics):<br />
<math>\frac{d^{2}\psi}{dt^{2}}+\gamma\frac{d\psi}{dt}+\omega_{0}^{2}\psi=0... (1)</math> <br />
<br />
con:<br />
<math>\gamma=\frac{b}{m}</math><br />
<br />
<math>\omega_{0}^{2}=\frac{s}{m}</math><br />
<br />
<br />
Por regla de Kirchhoff(ecuación 4.1, G. Main) para un circuito LCR sabemos:<br />
<br />
<math>L\left(\frac{d^{2}\psi}{dt^{2}}\right)+R\left(\frac{d\psi}{dt}\right)+\left(\frac{1}{C}\right)\psi=0...2</math><br />
<br />
<br />
multiplicando por <math>\frac{1/L}</math>.<br />
<br />
<math>\frac{d^{2}\psi}{dt^{2}}+\frac{R}{L}\left(\frac{d\psi}{dt}\right)+\frac{1}{LC}\psi=0... (2)</math> <br />
<br />
Al comparar Las ecuaciones 1 y 2 ,notamos que son ecuaciones análogas:<br />
<br />
<math>\gamma=\frac{R}{L}</math><br />
<br />
<br />
<math>\omega_{0}^{2}=\frac{1}{LC}</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto, el “relaxation time” esta dado por:<br />
<br />
<math>\tau_{r}=\frac{\gamma}{\omega_{0}^{2}}=\frac{\frac{R}{L}}{\frac{1}{LC}}=\frac{RLC}{L}=RC</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow\tau_{r}=RC</math><br />
<br />
[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 00:24 17 feb 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
4.2<br />
'''A capacitor is charged to a voltage V and is then connected across a coil. If the damping is critical, show that the current rises to a maximun value 2V/eR, where R is the total resistance of the circuit made by the capacitor ant the coil.'''<br />
<br />
De las Ecuaciones (4.1) y (3.3)<br />
<br />
Solucion para amortiguamiento critico<br />
<br />
<math>\psi(t)=(C_{1}+C_{2}w_{0}t)</math><br />
<br />
<br />
Condiciones iniciales<br />
<br />
1) <math>\psi(0)=V_{1}C</math><br />
Entonces <math>V_{1}C=C_{1}\Longrightarrow C_{1}=V_{1}C</math><br />
<br />
<br />
2) <math>i(0)=\frac{d\psi}{dt}(0)=0</math><br />
<br />
<br />
<math>i(t)=\frac{d}{dt}\psi(t)</math><br />
<br />
<br />
<math>i(t)=\frac{d}{dt}\left[(C_{1}+C_{2}w_{0}t)\exp^{-w_{0}t}\right]</math><br />
<br />
<br />
<math>i(t)=C_{2}w_{0}\exp^{-w_{0}t}+(C_{1}+C_{2}w_{0}t)(-w_{0})\exp^{-w_{0}t}</math><br />
<br />
<br />
<math>i(t)=(C_{2}-C_{1})w_{0}\exp^{-w_{0}t}-C_{2}w_{0}^{2}\exp^{-w_{0}t}</math><br />
<br />
<br />
Entonces <math>0=i(0)=C_{2}w_{0}-w_{0}C_{1}</math><br />
<br />
Asi que <math>C_{1}=C_{2}\Longrightarrow C_{2}=V_{1}C</math><br />
<br />
Asi <math>\psi(t)=V_{1}C(1+w_{0}t)\exp^{-w_{0}t}</math><br />
<br />
<br />
<math>i(t)=V_{1}Cw_{0}^{2}t\exp^{-w_{0}t}</math><br />
<br />
<br />
Con <math>i(t)=\left|\frac{d\psi}{dt}\right|</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{di}{dt}=V_{1}Cw_{0}^{2}\left[\exp^{-w_{0}t}-w_{0}t\exp^{-w_{0}t}\right]</math><br />
<br />
<br />
Si <math>\frac{di}{dt}=0</math><br />
Entonces <math>\exp^{-w_{0}t}-w_{0}t\exp^{-w_{0}t}=0</math><br />
<br />
<br />
<math>\exp^{-w_{0}t}(1-w_{0}t)=0</math><br />
<br />
<br />
Asi que <math>(1-w_{0}t)=0</math><br />
<br />
<br />
<math>\dot{t}=\frac{1}{w_{0}}</math><br />
<br />
<br />
Luego <math>i_{max}(\dot{t})=V_{1}Cw_{0}^{2}\dot{t}\exp^{-w_{0}\dot{t}}</math><br />
<br />
<br />
<math>i_{max}(\dot{t})=V_{1}Cw_{0}^{2}\frac{1}{w_{0}}\exp^{-w_{0}\frac{1}{w_{0}}}</math><br />
<br />
<br />
Con <math>w_{0}^{2}=\frac{1}{LC}</math><br />
<br />
<br />
<math>i_{max}(\dot{t})=V_{1}Cw_{0}\exp^{-1}</math><br />
<br />
<br />
<math>i_{max}(\dot{t})=V_{1}C\sqrt{\frac{1}{LC}}\exp^{-1}</math><br />
<br />
<br />
<math>i_{max}(\dot{t})=v_{1}\sqrt{\frac{c}{L}}\exp^{-1}</math><br />
<br />
<br />
Puesto que la resistecia critica de amortiguamiento es<br />
<br />
<math>R=2w_{0}L</math><br />
<br />
<br />
<math>R=2\sqrt{\frac{1}{LC}}L</math><br />
<br />
<br />
<math>R=2\sqrt{\frac{L}{C}}\Longrightarrow\sqrt{\frac{C}{L}}=\frac{2}{R}</math><br />
<br />
<br />
Asi entonces <math>i_{max}=\frac{2V_{1}}{\exp R}</math><br />
<br />
[[Usuario:Mario Moranchel|Mario Moranchel]] ([[Usuario discusión:Mario Moranchel|discusión]]) 02:47 6 feb 2014 (UTC)<br />
----<br />
<br />
----<br />
<br />
--[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 12:00 9 may 2013 (CDT)<br />
<br />
----<br />
4.1'''Show that the relaxation time for very heavy damped LCR circuit is RC''' <br />
<br />
'''Muestre que el tiempo de mitigación para cada circuito LCR severamente amortiguado es RC.'''<br />
<br />
(otra forma de resolver)<br />
<br />
Tomando como base las expresiones de los apuntes,para un circuito RCL muy pesadamente amortiguado en el cual <math>\gamma\succ\succ\succ w_{0}<br />
.</math> La amplitud del movimiento se reduce a:<br />
<br />
<math>\thickapprox A_{1}\exp\left(\frac{-W_{0}^{2}t}{\gamma}\right)\cdots\left(1\right)<br />
</math><br />
El tiempo de reljación para este tipo de circuitos es aquel en el que el factor de decaimiento se reduce por un factor de <math>\frac{1}{e}<br />
</math> por lo tanto,igualamos el factor de decaimiento exponencial de la expresión <math>\left(1\right)</math> a <math>\frac{1}{e}</math> tenemos:<br />
<br />
<br />
<math>\frac{1}{e}=\exp\left(\frac{-W_{0}^{2}t}{\gamma}\right)\cdots\left(2\right)<br />
</math><br />
<br />
sacando logaritmo natural a ambos lados de la expresión <math>\left(2\right)<br />
</math><br />
<br />
<br />
<math>\log\left(\frac{1}{e}\right)=\log\left(\exp\left(\frac{-W_{0}^{2}t}{\gamma}\right)\right)\Rightarrow\log\left(1\right)-\log\left(e\right)=\frac{-W_{0}^{2}t}{\gamma}\Rightarrow0-1=-\left(\frac{W_{0}^{2}t}{\gamma}\right)\cdots\left(3\right)<br />
</math><br />
<br />
<br />
Despejando el tiempo de <math> \left(3\right)<br />
</math> para el cual se cumple esta relación tenemos:<br />
<br />
<math>\left(-\frac{W_{0}^{2}t}{\gamma}\right)=1\Rightarrow t=\left(\frac{\gamma}{W_{0}^{2}}\right)\cdots\left(4\right)<br />
</math><br />
<br />
Pero:<br />
<br />
<math>\gamma=\left(\frac{R}{L}\right)<br />
</math><br />
<br />
Y<br />
<br />
<br />
<math>W_{0}=\left(\frac{1}{\sqrt{LC}}\right)\Rightarrow W_{0}^{2}=\left(\frac{1}{LC}\right)\cdots\left(5\right)<br />
</math><br />
<br />
Sustituyendo <math>\left(5\right)<br />
</math> en <math>\left(4\right)<br />
</math><br />
<br />
<math>t=\frac{R}{L}/\frac{1}{LC}=\frac{RLC}{L}=RC<br />
</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto el tiempo de relajamiento para un circuito RLC pesadamente amortiguado es<br />
<br />
<br />
<math>\tau_{r}=RC<br />
</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:MISS|MISS]] ([[Usuario discusión:MISS|discusión]]) 00:22 20 jun 2013 (CDT)<br />
----<br />
<br />
4.3 <br />
<br />
'''A galvanometer with a coil of resistance''' $R{}_{G}$ '''is connected<br />
in series with an external resistance '''$R{}_{ext}$ .''' Show that by<br />
varying '''$R{}_{ext}$ we can select values of Q within the limits'''<br />
<br />
$\frac{GR_{G}Q_{m}}{GR_{G}+Q_{m}}\leq Q\leq Q_{m}$<br />
<br />
'''where $Q_{m}$is that part of Q due to the mechanical effects and<br />
G '''is the constant defined as $G=\frac{\omega I}{g}$.'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
Primero tomemos en cuenta algo, sabemos que $Q=\frac{\omega}{\gamma}$<br />
, donde $\gamma$ es el ancho del amortiguamiento. Si en este caso<br />
tenemos dos amortiguamientos, el mecánico $(\gamma_{m})$ y el eléctrico<br />
$(\gamma_{e})$, entonces el ancho total $(\gamma)$ es la suma de<br />
ambos.<br />
<br />
$\gamma=\gamma_{m}+\gamma_{e}$. Entonces despejando $\gamma$ de<br />
la ecuación superior, obtenemos $\gamma=\frac{\omega}{Q}$, pero como<br />
$\gamma$ es la suma de la parte mecánica y la parte eléctrica entonces<br />
tenemos que $\gamma=\frac{\omega}{Q_{m}}+\frac{\omega}{Q_{e}}$ y<br />
asi $\frac{\omega}{Q}=\frac{\omega}{Q_{m}}+\frac{\omega}{Q_{e}}$,<br />
donde Q son los llamados <br />
<br />
factores de calidad tanto mecánico, eléctrico y el total; como vemos<br />
la frecuencia angular $\omega$es la misma para todo el sistema, por<br />
lo que obtenemos $\frac{1}{Q}=\frac{1}{Q_{m}}+\frac{1}{Q_{e}}$, aqui<br />
hay que hacer las dos distinciones que nos pide el problema,<br />
<br />
sabemos que $Q_{e}=GR_{G}+GR_{ext}$, si $R_{ext}$ es muy grande<br />
entonces $\frac{1}{Q_{e}}$ tiende a cero con lo que se reduciría<br />
a $\frac{1}{Q}=\frac{1}{Q_{m}}$ o mejor visto $Q=Q_{m}$ que es la<br />
parte derecha de la desigualdad que queremos provar.<br />
<br />
El otro caso es que $R_{ext}$ sea demasiado chiquito, casi cero,<br />
entonces no nos interesaría su contribución, entonces se reduce simplemente<br />
a $Q_{e}=GR_{G}$, con lo que $\frac{1}{Q}=\frac{1}{Q_{m}}+\frac{1}{GR_{G}}$,<br />
y así $Q=\frac{GR_{G}Q_{m}}{GR_{G}+Q_{m}}$ que es la parte izquierda<br />
de la<br />
<br />
desigualdad que queremos comprobar.<br />
<br />
Entonces los valores de Q quedan dados entre $\frac{GR_{G}Q_{m}}{GR_{G}+Q_{m}}\leq Q\leq Q_{m}$al<br />
variar $R{}_{ext}$.<br />
<br />
[[Usuario:Edgar Ortega Roano|Edgar Ortega Roano]] 09:58 12 feb 2014 (CDT)<br />
<br />
----<br />
'''4.5 Una masa 0.1kg es pegada a un resorte. Es jalado 200mm a la derecha de su posición cuando el resorte no esta ni estirado ni comprimido y entonces es liberado del reposo. Las vibraciones libres resultantes, que están amortiguadas por fricción tienen una frecuencia de 2.0Hz. Se observa que cada oscilación hacia la derecha la masa toma un punto 30mm hacia la izquierda de su límite previo. La masa finalmente llega al reposo a 235mm hacia la izquierda del punto del cual fue liberado. (a) Calcule la fuerza de fricción de deslizamiento.(b) Calcular los límites superior e inferior para la fuerza de pegado.''' <br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Tenemos como datos del problema<br />
<br />
$m=0.1kg\quad x_{i}=0.2m\quad f=2Hz\quad A_{j}=A_{i}-30\quad x_{f}=x_{i}-235$<br />
<br />
y dado el problema la ecuación de movimiento del sistema es:<br />
<br />
\[<br />
m\ddot{\psi}+k\psi=F_{sl}<br />
\]<br />
<br />
<br />
o bien <br />
<br />
\[<br />
\ddot{\psi}+w_{0}^{2}\psi=\frac{F_{sl}}{m}<br />
\]<br />
<br />
<br />
la primera oscilación se detiene cuando $|\psi|=A_{0}-4\frac{F_{sl}}{s}$<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
además sabemos que $4\frac{F_{sl}}{s}=30mm$, por otro lado $s=mw_{0}^{2}=m(2\pi f)^{2}$<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Así entonces tenemos la siguiente expresión<br />
<br />
\[<br />
F_{sl}=\frac{30}{4}m(2\pi f)^{2}\quad con\; m=0.1kg\; y\; f=2Hz<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
F_{sl}=0.12N<br />
\]<br />
<br />
<br />
(b) Sabemos que la fuerza de pegado es igual a <br />
<br />
\[<br />
F_{p}=s|\psi|<br />
\]<br />
<br />
<br />
y además la última oscilación esta entre 50mm y 35mm, por lo que la<br />
fuerza máxima es:<br />
<br />
\[<br />
F_{max}=(15.79)(50x10^{-3})<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
F_{max}=0.789N<br />
\]<br />
Así nos queda para la fuerza mínima <br />
<br />
\[<br />
F_{min}=(15.79)(35x10^{-3})<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
F_{min}=0.552N<br />
\]<br />
<br />
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 19:17 8 feb 2014 (UTC)<br />
<br />
----<br />
4.6'''Expresar el desplazamiento x(t) y la velocidad x'(t) del oscilador armónico sobre amortiguado utilizando funciones hiperbólicas'''<br />
<br />
<br />
Para el caso sobre amortiguado x(t) y x'(t) se expresa <br />
<br />
<br />
<math>x(t)=e^{-\beta t}[A_{1}e^{\omega_{2}t}+A_{2}e^{-\omega_{2}t}]</math><br />
<br />
<br />
<math>x'(t)=e^{-\beta t}[-\beta(A_{1}e^{\omega_{2}t}+A_{2}e^{-\omega_{2}t})+(A_{1}\omega_{2}e^{\omega_{2}t}+A_{2}\omega_{2}e^{-\omega_{2}t})]</math><br />
<br />
<br />
donde:<br />
<br />
<br />
<math>\omega_{2}=\sqrt{\beta^{2}-\omega_{0}^{2}}</math><br />
<br />
<br />
las funciones hiperbolicas estan definidas como<br />
<br />
<math>\cosh y=\frac{e^{y}+e^{-y}}{2}</math> , <math>\sinh y=\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>e^{y}=\cosh y+\sinh y</math><br />
<br />
<br />
<math>e^{-y}=\cosh y-\sinh y</math><br />
<br />
<br />
sustituyendo en las escuacions<br />
<br />
<br />
<math>x(t)=(\cosh\beta t-\sinh\beta t)[(A_{1}+A_{2})\cosh\omega_{2}t+(A_{1}-A_{2})\sinh\omega_{2}t]</math><br />
<br />
<br />
y<br />
<br />
<br />
<math>x'(t)=(\cosh\beta t-\sinh\beta t)[(A_{1}\omega_{2}-A_{1}\beta)(\cosh\omega_{2}t+\sinh\omega_{2}t)-(A_{2}\beta+A_{2}\omega_{2})(\cosh\omega_{2}t-\sinh\omega_{2}t)</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:David Alberto Rojas Solis|David Alberto Rojas Solis]] ([[Usuario discusión:David Alberto Rojas Solis|discusión]]) 06:17 6 jul 2013 (CDT)<br />
<br />
--[[Usuario:Sandyedid|sandy]] ([[Usuario discusión:Sandyedid|discusión]]) 21:31 6 jul 2013 (CDT)--[[Usuario:Sandyedid|sandy]] ([[Usuario discusión:Sandyedid|discusión]]) 21:31 6 jul 2013 (CDT)<br />
<br />
<math> W=\frac{1}{2}m\omega^{2}A^{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>W=\sim\frac{1}{2}m\omega^{2}\left|\psi(t)\right|^{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>\left|\psi(t)\right|=A_{0}-\frac{4F_{ls}}{s}(\frac{t}{\tau})</math><br />
<br />
<br />
<math>W=\frac{1}{2}m\omega^{2}(A_{0}-\frac{4F_{ls}}{s})(\frac{t}{\tau})</math><br />
<br />
<br />
<math>\left|\psi\right|=A_{0}-\frac{2F_{ls}}{s}<br />
con \frac{\tau}{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>\left|\psi\right|=A_{0}-\frac{4F_{ls}}{s}<br />
con \tau</math><br />
<br />
<br />
<math>\left|\psi\right|=A_{0}-\frac{6F_{ls}}{s}<br />
con \frac{3\tau}{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>\left|\psi\right|=A_{0}-\frac{8F_{ls}}{s}<br />
con 2\tau</math><br />
<br />
<br />
[[categoría:Vibra]]</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Vibra:_probs_c2&diff=18137Vibra: probs c22014-02-16T21:48:59Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div></div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Vibra:_probs_c2&diff=18102Vibra: probs c22014-02-04T05:24:30Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div></div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Vibra:_probs_c2&diff=18101Vibra: probs c22014-02-04T05:21:47Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div></div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Vibra:_probs_c2&diff=18100Vibra: probs c22014-02-04T05:10:14Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div></div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Archivo:Anillo.jpg&diff=13635Archivo:Anillo.jpg2010-12-14T01:25:03Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: región A anillo</p>
<hr />
<div>región A anillo</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap3.4&diff=13632Compleja:ej-cap3.42010-12-14T00:51:30Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div>2.-'''Calcule''' <math>\int_{-\infty}^\infty\frac{x+1}{x^4+1}\,dx</math><br />
<br />
Tomamos la función compleja <math>f(z)=\frac{z+1}{z^4+1}</math> de la cual tomamos las raíces <math>z^4+1\,</math> para determinar los polos.Los cuales estan dados por:<br />
<br />
<math>z_1=e^{\frac{1}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_2=e^{\frac{3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_3=e^{\frac{-3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_4=e^{\frac{-1}{4}i\pi} \,</math> <br />
<br />
por tanto, <math>{\displaystyle \int}_{c}f(z)=2\pi i[ (f(z),z_1)+ (f(z),z_2)] </math> <br />
<br />
para obtener los residuos aplicamos <br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{1}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{1}{4}i\pi}(z-e^{\frac{1}{4}i\pi})\frac{z+1}{(z^4+1)}</math><br />
<br />
Aplicando la regla de L´ Hopital obtenemos<br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{1}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{1}{4}i\pi}\frac{(z-e^{\frac{1}{4}i\pi})+(z+1)}{4z^3}=\frac{1}{4}(e^{\frac{-1}{4}i\pi}+e^{\frac{-3}{4}i\pi})</math><br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{3}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{3}{4}i\pi}(z-e^{\frac{3}{4}i\pi})\frac{z+1}{(z^4+1)}</math><br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{3}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{3}{4}i\pi}\frac{(z-e^{\frac{3}{4}i\pi})+(z+1)}{4z^3}=\frac{1}{4}(e^{\frac{-3}{2}i\pi}+e^{\frac{-9}{4}i\pi})</math><br />
<br />
Aplicando la fórmula de Euler <math>e^{i x} = \cos x + i\,\mbox{sen}\,x</math> llegamos al resultado de la integral real.<br />
<br />
<math>{\displaystyle \int}_{c}f(z)=\int_{-\infty}^\infty\frac{x+1}{x^4+1}\,dx=2\pi i\frac{1}{4}<br />
(e^{\frac{-1}{2}i\pi}+e^{\frac{-3}{4}i\pi}+e^{\frac{-3}{2}i\pi}+e^{\frac{-9}{4}i\pi})=\frac{\pi \sqrt{2}}{2}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Rodriguez|Oscar Rodriguez]] 17:40 9 dic 2010 (UTC)<br />
<br />
p.199<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 15:01 30 nov 2010 (UTC)<br />
----<br />
<br />
3. Calcule <math>\int_0^{2\pi } \frac{1}{2-\text{sin}(\theta )} \, d\theta </math> .<br />
<br />
Primero haciendo la sustitución <math>\text{sin}(\theta )=\frac{1}{2i}\left(z-\frac{1}{z}\right)</math> y <br />
<br />
<math>d\theta =\frac{dz}{iz}</math> . Dicha sustitución proviene del hecho que <br />
<math>\sin \left[ \theta \right]=\frac{{{e}^{i\theta }}-{{e}^{-i\theta }}}{2i}</math>,<br />
<math>z={{e}^{i\theta }}\,</math> y <math>dz=i{{e}^{i\theta }}d\theta\,</math>.<br />
<br />
Continuando con el problema, obtenemos la integral<br />
<br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{2+\left(\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right) \right)}\frac{dz}{i z} </math><br />
<br />
Simplificando queda <math>\int _c\frac{2}{4i z -z^2+1}dz\text{ }\frac{(-1)}{(-1)}</math> <br />
<br />
o <math>\int _c\frac{-2}{ z^2-4i z-1}dz</math><br />
<br />
Luego buscamos los polos del denomidador osea los polos de <math>{{z}^{2}}-4iz-1\,</math> <br />
los cuales son <math> z=\overset{+}{-}\sqrt{3}i+2i\,</math><br />
<br />
solo tomamos el polo <math>-\sqrt{3}i+2i</math><br />
<br />
porque es el único que esta dentro del circulo de radio uno, el cual es la región sobre la que estamos integrando.<br />
<br />
<br />
Ahora obtenemos el Residuo de la funcion que es igual a<br />
<br />
<math>\operatorname{Re}s(f(z),-\sqrt{3}i+2i)=\underset{z\to (-\sqrt{3}i+2i)}{\mathop{\lim }}\,\frac{z-(-\sqrt{3}i+2i)}{{{z}^{2}}-4iz-1}=\left( -\frac{i}{2\sqrt{3}i} \right)</math><br />
<br />
hay que recordar que sacamos un <br />
<math>-2\,</math> de la integral por lo que al multiplicar ese <br />
<math>-2\,</math> por <math>-\frac{i}{2 \sqrt{3}}</math><br />
<br />
obtenemos <math>\frac{2i}{2 \sqrt{3}}</math><br />
<br />
y finalmente por la definición<br />
<br />
<math>\frac{1}{2\pi i}\int _cf(z)dz=\left\{\text{Res}\left(f(z),z_1\right)+\text{...}+\text{Res}\left(f(z),z_k\right)\right\}<br />
</math><br />
<br />
la integral es igual a <br />
<math>\frac{2\pi}{\sqrt{3}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
4. Calcule <math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , <math>b>1\,</math><br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , <math>b>1\,</math> <br />
al sustituir <math>\text{cos}[\theta]=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)</math> <br />
<br />
y <math>d\theta =\frac{dz}{iz}</math>. La sustitución proviene del hecho que <br />
<br />
<math>\cos \left[ \theta \right]=\frac{{{e}^{i\theta }}-{{e}^{-i\theta }}}{2}</math> y <br />
<br />
<math>z={{e}^{i\theta }}\,</math> y <math>dz=i{{e}^{i\theta }}d\theta\,</math>.<br />
<br />
Continuando con el problema, obtenemos la integral <br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{i(1-z b)(z-b)}dz</math><br />
<br />
Buscasmos los polos de la función <math>\frac{1}{i(1-zb)(z-b)}</math> <br />
<br />
obtenemos que los dos polos que son <br />
<br />
<math>z=b\,</math> y <math>z=\frac{1}{b}</math> como <br />
<br />
<br />
<br />
<math>b>1\,</math> <br />
<br />
entonces el unico polo que estaría en la región que<br />
<br />
nos interesa es <math>z=\frac{1}{b}</math> <br />
<br />
por lo tanto solo necesitamos calcular el residuo de <br />
<br />
<br />
<math>f(z)\,</math> para este polo.<br />
<br />
<br />
<math>\operatorname{Re}s(f(z),\tfrac{1}{b})=li{{m}_{z\longrightarrow \left( \frac{1}{b} \right)}}\frac{z-\left( \frac{1}{b} \right)}{i(1-zb)(z-b)}=\left( -\frac{i}{-1+{{b}^{2}}} \right)</math><br />
<br />
<br />
finalmente la integral <br />
<br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta</math> <br />
<br />
<br />
es igual a <math>\frac{2 \pi }{-1+b^2}</math> <br />
<br />
--[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] 14:18 9 dic 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap2.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.4]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.5]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap3.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap3.4&diff=13631Compleja:ej-cap3.42010-12-14T00:47:49Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div>2.-'''Calcule''' <math>\int_{-\infty}^\infty\frac{x+1}{x^4+1}\,dx</math><br />
<br />
Tomamos la función compleja <math>f(z)=\frac{z+1}{z^4+1}</math> de la cual tomamos las raíces <math>z^4+1\,</math> para determinar los polos.Los cuales estan dados por:<br />
<br />
<math>z_1=e^{\frac{1}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_2=e^{\frac{3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_3=e^{\frac{-3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_4=e^{\frac{-1}{4}i\pi} \,</math> <br />
<br />
por tanto, <math>{\displaystyle \int}_{c}f(z)=2\pi i[ (f(z),z_1)+ (f(z),z_2)] </math> <br />
<br />
para obtener los residuos aplicamos <br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{1}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{1}{4}i\pi}(z-e^{\frac{1}{4}i\pi})\frac{z+1}{(z^4+1)}</math><br />
<br />
Aplicando la regla de L´ Hopital obtenemos<br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{1}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{1}{4}i\pi}\frac{(z-e^{\frac{1}{4}i\pi})+(z+1)}{4z^3}=\frac{1}{4}(e^{\frac{-1}{4}i\pi}+e^{\frac{-3}{4}i\pi})</math><br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{3}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{3}{4}i\pi}(z-e^{\frac{3}{4}i\pi})\frac{z+1}{(z^4+1)}</math><br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{3}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{3}{4}i\pi}\frac{(z-e^{\frac{3}{4}i\pi})+(z+1)}{4z^3}=\frac{1}{4}(e^{\frac{-3}{2}i\pi}+e^{\frac{-9}{4}i\pi})</math><br />
<br />
Aplicando la fórmula de Euler <math>e^{i x} = \cos x + i\,\mbox{sen}\,x</math> llegamos al resultado de la integral real.<br />
<br />
<math>{\displaystyle \int}_{c}f(z)=\int_{-\infty}^\infty\frac{x+1}{x^4+1}\,dx=2\pi i\frac{1}{4}<br />
(e^{\frac{-1}{2}i\pi}+e^{\frac{-3}{4}i\pi}+e^{\frac{-3}{2}i\pi}+e^{\frac{-9}{4}i\pi})=\frac{\pi \sqrt{2}}{2}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Rodriguez|Oscar Rodriguez]] 17:40 9 dic 2010 (UTC)<br />
<br />
p.199<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 15:01 30 nov 2010 (UTC)<br />
----<br />
<br />
3. Calcule <math>\int_0^{2\pi } \frac{1}{2-\text{sin}(\theta )} \, d\theta </math> .<br />
<br />
Primero haciendo la sustitución <math>\text{sin}(\theta )=\frac{1}{2i}\left(z-\frac{1}{z}\right)</math> y <br />
<br />
<math>d\theta =\frac{dz}{iz}</math> . Dicha sustitución proviene del hecho que <br />
<math>\sin \left[ \theta \right]=\frac{{{e}^{i\theta }}-{{e}^{-i\theta }}}{2i}</math>,<br />
<math>z={{e}^{i\theta }}\,</math> y <math>dz=i{{e}^{i\theta }}d\theta\,</math>.<br />
<br />
Continuando con el problema, obtenemos la integral<br />
<br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{2+\left(\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right) \right)}\frac{dz}{i z} </math><br />
<br />
Simplificando queda <math>\int _c\frac{2}{4i z -z^2+1}dz\text{ }\frac{(-1)}{(-1)}</math> <br />
<br />
o <math>\int _c\frac{-2}{ z^2-4i z-1}dz</math><br />
<br />
Luego buscamos los polos del denomidador osea los polos de <math>{{z}^{2}}-4iz-1\,</math> <br />
los cuales son <math> z=\overset{+}{-}\sqrt{3}i+2i\,</math><br />
<br />
solo tomamos el polo <math>-\sqrt{3}i+2i</math><br />
<br />
porque es el único que esta dentro del circulo de radio 1, el cual es la región sobre la que estamos integrando.<br />
<br />
<br />
Ahora obtenemos el Residuo de la funcion que es igual a<br />
<br />
<math>\operatorname{Re}s(f(z),-\sqrt{3}i+2i)=\underset{z\to (-\sqrt{3}i+2i)}{\mathop{\lim }}\,\frac{z-(-\sqrt{3}i+2i)}{{{z}^{2}}-4iz-1}=\left( -\frac{i}{2\sqrt{3}i} \right)</math><br />
<br />
hay que recordar que sacamos un <br />
<math>-2</math> de la integral por lo que al multiplicar ese <br />
<math>-2</math> por <math>-\frac{i}{2 \sqrt{3}}</math><br />
<br />
obtenemos <math>\frac{2i}{2 \sqrt{3}}</math><br />
<br />
y finalmente por la definición<br />
<br />
<math>\frac{1}{2\pi i}\int _cf(z)dz=\left\{\text{Res}\left(f(z),z_1\right)+\text{...}+\text{Res}\left(f(z),z_k\right)\right\}<br />
</math><br />
<br />
la integral es igual a <br />
<math>\frac{2\pi}{\sqrt{3}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
4. Calcule <math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , <math>b>1\,</math><br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , <math>b>1\,</math> <br />
al sustituir <math>\text{cos}[\theta]=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)</math> <br />
<br />
y <math>d\theta =\frac{dz}{iz}</math>. La sustitución proviene del hecho que <br />
<br />
<math>\cos \left[ \theta \right]=\frac{{{e}^{i\theta }}-{{e}^{-i\theta }}}{2}</math> y <br />
<br />
<math>z={{e}^{i\theta }}\,</math> y <math>dz=i{{e}^{i\theta }}d\theta\,</math><br />
Continuando con el problema, obtenemos la integral <br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{i(1-z b)(z-b)}dz</math><br />
<br />
Buscasmos los polos de la función <math>\frac{1}{i(1-zb)(z-b)}</math> <br />
<br />
obtenemos que los dos polos que son <br />
<br />
<math>z=b\,</math> y <math>z=\frac{1}{b}</math> como <br />
<br />
<br />
<br />
<math>b>1\,</math> <br />
<br />
entonces el unico polo que estaría en la región que<br />
<br />
nos interesa es <math>z=\frac{1}{b}</math> <br />
<br />
por lo tanto solo necesitamos calcular el residuo de <br />
<br />
<br />
<math>f(z)\,</math> para este polo.<br />
<br />
<br />
<math>\operatorname{Re}s(f(z),\tfrac{1}{b})=li{{m}_{z\longrightarrow \left( \frac{1}{b} \right)}}\frac{z-\left( \frac{1}{b} \right)}{i(1-zb)(z-b)}=\left( -\frac{i}{-1+{{b}^{2}}} \right)</math><br />
<br />
<br />
finalmente la integral <br />
<br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta</math> <br />
<br />
<br />
es igual a <math>\frac{2 \pi }{-1+b^2}</math> <br />
<br />
--[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] 14:18 9 dic 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap2.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.4]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.5]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap3.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap3.4&diff=13630Compleja:ej-cap3.42010-12-14T00:44:57Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div>2.-'''Calcule''' <math>\int_{-\infty}^\infty\frac{x+1}{x^4+1}\,dx</math><br />
<br />
Tomamos la función compleja <math>f(z)=\frac{z+1}{z^4+1}</math> de la cual tomamos las raíces <math>z^4+1\,</math> para determinar los polos.Los cuales estan dados por:<br />
<br />
<math>z_1=e^{\frac{1}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_2=e^{\frac{3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_3=e^{\frac{-3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_4=e^{\frac{-1}{4}i\pi} \,</math> <br />
<br />
por tanto, <math>{\displaystyle \int}_{c}f(z)=2\pi i[ (f(z),z_1)+ (f(z),z_2)] </math> <br />
<br />
para obtener los residuos aplicamos <br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{1}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{1}{4}i\pi}(z-e^{\frac{1}{4}i\pi})\frac{z+1}{(z^4+1)}</math><br />
<br />
Aplicando la regla de L´ Hopital obtenemos<br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{1}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{1}{4}i\pi}\frac{(z-e^{\frac{1}{4}i\pi})+(z+1)}{4z^3}=\frac{1}{4}(e^{\frac{-1}{4}i\pi}+e^{\frac{-3}{4}i\pi})</math><br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{3}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{3}{4}i\pi}(z-e^{\frac{3}{4}i\pi})\frac{z+1}{(z^4+1)}</math><br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{3}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{3}{4}i\pi}\frac{(z-e^{\frac{3}{4}i\pi})+(z+1)}{4z^3}=\frac{1}{4}(e^{\frac{-3}{2}i\pi}+e^{\frac{-9}{4}i\pi})</math><br />
<br />
Aplicando la fórmula de Euler <math>e^{i x} = \cos x + i\,\mbox{sen}\,x</math> llegamos al resultado de la integral real.<br />
<br />
<math>{\displaystyle \int}_{c}f(z)=\int_{-\infty}^\infty\frac{x+1}{x^4+1}\,dx=2\pi i\frac{1}{4}<br />
(e^{\frac{-1}{2}i\pi}+e^{\frac{-3}{4}i\pi}+e^{\frac{-3}{2}i\pi}+e^{\frac{-9}{4}i\pi})=\frac{\pi \sqrt{2}}{2}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Rodriguez|Oscar Rodriguez]] 17:40 9 dic 2010 (UTC)<br />
<br />
p.199<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 15:01 30 nov 2010 (UTC)<br />
----<br />
<br />
3. Calcule <math>\int_0^{2\pi } \frac{1}{2-\text{sin}(\theta )} \, d\theta </math> .<br />
<br />
Primero haciendo la sustitución <math>\text{sin}(\theta )=\frac{1}{2i}\left(z-\frac{1}{z}\right)</math> y <br />
<br />
<math>d\theta =\frac{dz}{iz}</math> . Dicha sustitución proviene del hecho que <br />
<math>\sin \left[ \theta \right]=\frac{{{e}^{i\theta }}-{{e}^{-i\theta }}}{2i}</math>,<br />
<math>z={{e}^{i\theta }}\,</math> y <math>dz=i{{e}^{i\theta }}d\theta\,</math>.<br />
<br />
Continuando con el problema, obtenemos la integral<br />
<br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{2+\left(\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right) \right)}\frac{dz}{i z} </math><br />
<br />
Simplificando queda <math>\int _c\frac{2}{4i z -z^2+1}dz\text{ }\frac{(-1)}{(-1)}</math> <br />
<br />
o <math>\int _c\frac{-2}{ z^2-4i z-1}dz</math><br />
<br />
Luego buscamos los polos del denomidador osea los polos de <math>{{z}^{2}}-4iz-1</math><br />
<br />
los cuales son <math> z=\overset{+}{-}\sqrt{3}i+2i\,</math><br />
<br />
solo tomamos el polo <math>-\sqrt{3}i+2i</math><br />
<br />
porque es el único que esta dentro del circulo de radio 1, el cual es la región sobre la que estamos integrando.<br />
<br />
<br />
Ahora obtenemos el Residuo de la funcion que es igual a<br />
<br />
<math>\operatorname{Re}s(f(z),-\sqrt{3}i+2i)=\underset{z\to (-\sqrt{3}i+2i)}{\mathop{\lim }}\,\frac{z-(-\sqrt{3}i+2i)}{{{z}^{2}}-4iz-1}=\left( -\frac{i}{2\sqrt{3}i} \right)</math><br />
<br />
hay que recordar que sacamos un <br />
<math>-2</math> de la integral por lo que al multiplicar ese <br />
<math>-2</math> por <math>-\frac{i}{2 \sqrt{3}}</math><br />
<br />
obtenemos <math>\frac{2i}{2 \sqrt{3}}</math><br />
<br />
y finalmente por la definición<br />
<br />
<math>\frac{1}{2\pi i}\int _cf(z)dz=\left\{\text{Res}\left(f(z),z_1\right)+\text{...}+\text{Res}\left(f(z),z_k\right)\right\}<br />
</math><br />
<br />
la integral es igual a <br />
<math>\frac{2\pi}{\sqrt{3}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
4. Calcule <math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , <math>b>1\,</math><br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , <math>b>1\,</math> <br />
al sustituir <math>\text{cos}[\theta]=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)</math> <br />
<br />
y <math>d\theta =\frac{dz}{iz}</math>. La sustitución proviene del hecho que <br />
<br />
<math>\cos \left[ \theta \right]=\frac{{{e}^{i\theta }}-{{e}^{-i\theta }}}{2}</math> y <br />
<br />
<math>z={{e}^{i\theta }}\,</math> y <math>dz=i{{e}^{i\theta }}d\theta\,</math><br />
Continuando con el problema, obtenemos la integral <br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{i(1-z b)(z-b)}dz</math><br />
<br />
Buscasmos los polos de la función <math>\frac{1}{i(1-zb)(z-b)}</math> <br />
<br />
obtenemos que los dos polos que son <br />
<br />
<math>z=b\,</math> y <math>z=\frac{1}{b}</math> como <br />
<br />
<br />
<br />
<math>b>1\,</math> <br />
<br />
entonces el unico polo que estaría en la región que<br />
<br />
nos interesa es <math>z=1/b</math> <br />
<br />
por lo tanto solo necesitamos calcular el residuo de <br />
<br />
<br />
<math>f(z)\,</math> para este polo.<br />
<br />
<br />
<math>\operatorname{Re}s(f(z),\tfrac{1}{b})=li{{m}_{z\longrightarrow \left( \frac{1}{b} \right)}}\frac{z-\left( \frac{1}{b} \right)}{i(1-zb)(z-b)}=\left( -\frac{i}{-1+{{b}^{2}}} \right)</math><br />
<br />
<br />
finalmente la integral <br />
<br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta</math> <br />
<br />
<br />
es igual a <math>\frac{2 \pi }{-1+b^2}</math> <br />
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--[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] 14:18 9 dic 2010 (UTC)<br />
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<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap2.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.4]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.5]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap3.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap3.4&diff=13627Compleja:ej-cap3.42010-12-14T00:12:01Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div>2.-'''Calcule''' <math>\int_{-\infty}^\infty\frac{x+1}{x^4+1}\,dx</math><br />
<br />
Tomamos la función compleja <math>f(z)=\frac{z+1}{z^4+1}</math> de la cual tomamos las raíces <math>z^4+1\,</math> para determinar los polos.Los cuales estan dados por:<br />
<br />
<math>z_1=e^{\frac{1}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_2=e^{\frac{3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_3=e^{\frac{-3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_4=e^{\frac{-1}{4}i\pi} \,</math> <br />
<br />
por tanto, <math>{\displaystyle \int}_{c}f(z)=2\pi i[ (f(z),z_1)+ (f(z),z_2)] </math> <br />
<br />
para obtener los residuos aplicamos <br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{1}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{1}{4}i\pi}(z-e^{\frac{1}{4}i\pi})\frac{z+1}{(z^4+1)}</math><br />
<br />
Aplicando la regla de L´ Hopital obtenemos<br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{1}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{1}{4}i\pi}\frac{(z-e^{\frac{1}{4}i\pi})+(z+1)}{4z^3}=\frac{1}{4}(e^{\frac{-1}{4}i\pi}+e^{\frac{-3}{4}i\pi})</math><br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{3}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{3}{4}i\pi}(z-e^{\frac{3}{4}i\pi})\frac{z+1}{(z^4+1)}</math><br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{3}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{3}{4}i\pi}\frac{(z-e^{\frac{3}{4}i\pi})+(z+1)}{4z^3}=\frac{1}{4}(e^{\frac{-3}{2}i\pi}+e^{\frac{-9}{4}i\pi})</math><br />
<br />
Aplicando la fórmula de Euler <math>e^{i x} = \cos x + i\,\mbox{sen}\,x</math> llegamos al resultado de la integral real.<br />
<br />
<math>{\displaystyle \int}_{c}f(z)=\int_{-\infty}^\infty\frac{x+1}{x^4+1}\,dx=2\pi i\frac{1}{4}<br />
(e^{\frac{-1}{2}i\pi}+e^{\frac{-3}{4}i\pi}+e^{\frac{-3}{2}i\pi}+e^{\frac{-9}{4}i\pi})=\frac{\pi \sqrt{2}}{2}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Rodriguez|Oscar Rodriguez]] 17:40 9 dic 2010 (UTC)<br />
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p.199<br />
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[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 15:01 30 nov 2010 (UTC)<br />
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<br />
3. Calcule <math>\int_0^{2\pi } \frac{1}{2-\text{sin}(\theta )} \, d\theta </math> .<br />
<br />
Primero haciendo la sustitución <math>\text{sin}(\theta )=\frac{1}{2i}\left(z-\frac{1}{z}\right)</math> y <br />
<br />
<math>d\theta =\frac{dz}{iz}</math> . Dicha sustitución proviene del hecho que <br />
<math>\sin \left[ \theta \right]=\frac{{{e}^{i\theta }}-{{e}^{-i\theta }}}{2i}</math>,<br />
<math>z={{e}^{i\theta }}</math> y <math>dz=i{{e}^{i\theta }}d\theta </math>.<br />
<br />
Continuando con el problema, obtenemos la integral<br />
<br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{2+\left(\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right) \right)}\frac{dz}{i z} </math><br />
<br />
Simplificando queda <math>\int _c\frac{2}{4i z -z^2+1}dz\text{ }\frac{(-1)}{(-1)}</math> <br />
<br />
o <math>\int _c\frac{-2}{ z^2-4i z-1}dz</math><br />
<br />
Luego buscamos los polos del denomidador osea los polos de <math>{{z}^{2}}-4iz-1</math><br />
<br />
los cuales son <math> z=\overset{+}{-}\sqrt{3}i+2i</math><br />
<br />
solo tomamos el polo <math>-\sqrt{3}i+2i</math><br />
<br />
porque es el único que esta dentro del circulo de radio 1, el cual es la región sobre la que estamos integrando.<br />
<br />
<br />
Ahora obtenemos el Residuo de la funcion que es igual a<br />
<br />
<math>\operatorname{Re}s(f(z),-\sqrt{3}i+2i)=\underset{z\to (-\sqrt{3}i+2i)}{\mathop{\lim }}\,\frac{z-(-\sqrt{3}i+2i)}{{{z}^{2}}-4iz-1}=\left( -\frac{i}{2\sqrt{3}i} \right)</math><br />
<br />
hay que recordar que sacamos un <br />
<math>-2</math> de la integral por lo que al multiplicar ese <br />
<math>-2</math> por <math>-\frac{i}{2 \sqrt{3}}</math><br />
<br />
obtenemos <math>\frac{2i}{2 \sqrt{3}}</math><br />
<br />
y finalmente por la definición<br />
<br />
<math>\frac{1}{2\pi i}\int _cf(z)dz=\left\{\text{Res}\left(f(z),z_1\right)+\text{...}+\text{Res}\left(f(z),z_k\right)\right\}<br />
</math><br />
<br />
la integral es igual a <br />
<math>\frac{2\pi}{\sqrt{3}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
4. Calcule <math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , <math>b>1</math><br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , <math>b>1</math><br />
<br />
al sustituir <math>\text{cos}[\theta]=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)</math> <br />
<br />
y <math>d\theta =\frac{dz}{iz}</math>. La sustitución proviene del hecho que <br />
<br />
<math>\cos \left[ \theta \right]=\frac{{{e}^{i\theta }}-{{e}^{-i\theta }}}{2}</math> y <br />
<br />
<math>z={{e}^{i\theta }}</math> y <math>dz=i{{e}^{i\theta }}d\theta </math>.<br />
<br />
Continuando con el problema, obtenemos la integral <br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{i(1-z b)(z-b)}dz</math><br />
<br />
Buscasmos los polos de la función <math>\frac{1}{i(1-zb)(z-b)}</math> <br />
<br />
obtenemos que los dos polos que son <br />
<br />
<math>z=b</math> y <math>z=\frac{1}{b}</math> como <br />
<br />
<br />
<br />
<math>b>1</math><br />
<br />
<br />
entonces el unico polo que estaría en la región que<br />
<br />
nos interesa es <math>z=1/b</math> <br />
<br />
por lo tanto solo necesitamos calcular el residuo de <br />
<br />
<br />
<math>f(z)</math> para este polo.<br />
<br />
<br />
<math>\operatorname{Re}s(f(z),\tfrac{1}{b})=li{{m}_{z\longrightarrow \left( \frac{1}{b} \right)}}\frac{z-\left( \frac{1}{b} \right)}{i(1-zb)(z-b)}=\left( -\frac{i}{-1+{{b}^{2}}} \right)</math><br />
<br />
<br />
finalmente la integral <br />
<br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta</math> <br />
<br />
<br />
es igual a <math>\frac{2 \pi }{-1+b^2}</math> <br />
<br />
--[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] 14:18 9 dic 2010 (UTC)<br />
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[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap2.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.4]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.5]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap3.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap3.4&diff=13626Compleja:ej-cap3.42010-12-14T00:06:55Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div>2.-'''Calcule''' <math>\int_{-\infty}^\infty\frac{x+1}{x^4+1}\,dx</math><br />
<br />
Tomamos la función compleja <math>f(z)=\frac{z+1}{z^4+1}</math> de la cual tomamos las raíces <math>z^4+1\,</math> para determinar los polos.Los cuales estan dados por:<br />
<br />
<math>z_1=e^{\frac{1}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_2=e^{\frac{3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_3=e^{\frac{-3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_4=e^{\frac{-1}{4}i\pi} \,</math> <br />
<br />
por tanto, <math>{\displaystyle \int}_{c}f(z)=2\pi i[ (f(z),z_1)+ (f(z),z_2)] </math> <br />
<br />
para obtener los residuos aplicamos <br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{1}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{1}{4}i\pi}(z-e^{\frac{1}{4}i\pi})\frac{z+1}{(z^4+1)}</math><br />
<br />
Aplicando la regla de L´ Hopital obtenemos<br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{1}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{1}{4}i\pi}\frac{(z-e^{\frac{1}{4}i\pi})+(z+1)}{4z^3}=\frac{1}{4}(e^{\frac{-1}{4}i\pi}+e^{\frac{-3}{4}i\pi})</math><br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{3}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{3}{4}i\pi}(z-e^{\frac{3}{4}i\pi})\frac{z+1}{(z^4+1)}</math><br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{3}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{3}{4}i\pi}\frac{(z-e^{\frac{3}{4}i\pi})+(z+1)}{4z^3}=\frac{1}{4}(e^{\frac{-3}{2}i\pi}+e^{\frac{-9}{4}i\pi})</math><br />
<br />
Aplicando la fórmula de Euler <math>e^{i x} = \cos x + i\,\mbox{sen}\,x</math> llegamos al resultado de la integral real.<br />
<br />
<math>{\displaystyle \int}_{c}f(z)=\int_{-\infty}^\infty\frac{x+1}{x^4+1}\,dx=2\pi i\frac{1}{4}<br />
(e^{\frac{-1}{2}i\pi}+e^{\frac{-3}{4}i\pi}+e^{\frac{-3}{2}i\pi}+e^{\frac{-9}{4}i\pi})=\frac{\pi \sqrt{2}}{2}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Rodriguez|Oscar Rodriguez]] 17:40 9 dic 2010 (UTC)<br />
<br />
p.199<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 15:01 30 nov 2010 (UTC)<br />
----<br />
<br />
3. Calcule <math>\int_0^{2\pi } \frac{1}{2-\text{sin}(\theta )} \, d\theta </math> .<br />
<br />
Primero haciendo la sustitución <math>\text{sin}(\theta )=\frac{1}{2i}\left(z-\frac{1}{z}\right)</math> y <br />
<br />
<math>d\theta =\frac{dz}{iz}</math> . Dicha sustitución proviene del hecho que <br />
<math>sin(\theta )=\frac{{{e}^{i\theta }}-{{e}^{-i\theta }}}{2i}</math>,<br />
<math>z={{e}^{i\theta }}</math> y <math>dz=i{{e}^{i\theta }}d\theta </math>.<br />
<br />
Continuando con el problema, obtenemos la integral<br />
<br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{2+\left(\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right) \right)}\frac{dz}{i z} </math><br />
<br />
Simplificando queda <math>\int _c\frac{2}{4i z -z^2+1}dz\text{ }\frac{(-1)}{(-1)}</math> <br />
<br />
o <math>\int _c\frac{-2}{ z^2-4i z-1}dz</math><br />
<br />
Luego buscamos los polos del denomidador osea los polos de <math>{{z}^{2}}-4iz-1</math><br />
<br />
los cuales son <math> z=\overset{+}{-}\sqrt{3}i+2i</math><br />
<br />
solo tomamos el polo <math>-\sqrt{3}i+2i</math><br />
<br />
porque es el único que esta dentro del circulo de radio 1, el cual es la región sobre la que estamos integrando.<br />
<br />
<br />
Ahora obtenemos el Residuo de la funcion que es igual a<br />
<br />
<math>\operatorname{Re}s(f(z),-\sqrt{3}i+2i)=\underset{z\to (-\sqrt{3}i+2i)}{\mathop{\lim }}\,\frac{z-(-\sqrt{3}i+2i)}{{{z}^{2}}-4iz-1}=\left( -\frac{i}{2\sqrt{3}i} \right)</math><br />
<br />
hay que recordar que sacamos un <br />
<math>-2</math> de la integral por lo que al multiplicar ese <br />
<math>-2</math> por <math>-\frac{i}{2 \sqrt{3}}</math><br />
<br />
obtenemos <math>\frac{2i}{2 \sqrt{3}}</math><br />
<br />
y finalmente por la definición<br />
<br />
<math>\frac{1}{2\pi i}\int _cf(z)dz=\left\{\text{Res}\left(f(z),z_1\right)+\text{...}+\text{Res}\left(f(z),z_k\right)\right\}<br />
</math><br />
<br />
la integral es igual a <br />
<math>\frac{2\pi}{\sqrt{3}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
4. Calcule <math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , <math>b>1</math><br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , <math>b>1</math><br />
<br />
al sustituir <math>\text{cos}[\theta]=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)</math> <br />
<br />
y <math>d\theta =\frac{dz}{iz}</math>. La sustitución proviene del hecho que <br />
<br />
<math>cos(\theta )=\frac{{{e}^{i\theta }}-{{e}^{-i\theta }}}{2}</math> y <br />
<math>z={{e}^{i\theta }}</math> y <math>dz=i{{e}^{i\theta }}d\theta </math>.<br />
<br />
Continuando con el problema, obtenemos la integral <br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{i(1-z b)(z-b)}dz</math><br />
<br />
Buscasmos los polos de la función <math>\frac{1}{i(1-zb)(z-b)}</math> <br />
<br />
obtenemos que los dos polos que son <br />
<br />
<math>z=b</math> y <math>z=\frac{1}{b}</math> como <br />
<br />
<br />
<br />
<math>b>1</math><br />
<br />
<br />
entonces el unico polo que estaría en la región que<br />
<br />
nos interesa es <math>z=1/b</math> <br />
<br />
por lo tanto solo necesitamos calcular el residuo de <br />
<br />
<br />
<math>f(z)</math> para este polo.<br />
<br />
<br />
<math>\operatorname{Re}s(f(z),\tfrac{1}{b})=li{{m}_{z\longrightarrow \left( \frac{1}{b} \right)}}\frac{z-\left( \frac{1}{b} \right)}{i(1-zb)(z-b)}=\left( -\frac{i}{-1+{{b}^{2}}} \right)</math><br />
<br />
<br />
finalmente la integral <br />
<br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta</math> <br />
<br />
<br />
es igual a <math>\frac{2 \pi }{-1+b^2}</math> <br />
<br />
--[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] 14:18 9 dic 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap2.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.4]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.5]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap3.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.4]]<br />
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[[categoría:Compleja]]</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap3.4&diff=13625Compleja:ej-cap3.42010-12-14T00:02:07Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div>2.-'''Calcule''' <math>\int_{-\infty}^\infty\frac{x+1}{x^4+1}\,dx</math><br />
<br />
Tomamos la función compleja <math>f(z)=\frac{z+1}{z^4+1}</math> de la cual tomamos las raíces <math>z^4+1\,</math> para determinar los polos.Los cuales estan dados por:<br />
<br />
<math>z_1=e^{\frac{1}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_2=e^{\frac{3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_3=e^{\frac{-3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_4=e^{\frac{-1}{4}i\pi} \,</math> <br />
<br />
por tanto, <math>{\displaystyle \int}_{c}f(z)=2\pi i[ (f(z),z_1)+ (f(z),z_2)] </math> <br />
<br />
para obtener los residuos aplicamos <br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{1}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{1}{4}i\pi}(z-e^{\frac{1}{4}i\pi})\frac{z+1}{(z^4+1)}</math><br />
<br />
Aplicando la regla de L´ Hopital obtenemos<br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{1}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{1}{4}i\pi}\frac{(z-e^{\frac{1}{4}i\pi})+(z+1)}{4z^3}=\frac{1}{4}(e^{\frac{-1}{4}i\pi}+e^{\frac{-3}{4}i\pi})</math><br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{3}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{3}{4}i\pi}(z-e^{\frac{3}{4}i\pi})\frac{z+1}{(z^4+1)}</math><br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{3}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{3}{4}i\pi}\frac{(z-e^{\frac{3}{4}i\pi})+(z+1)}{4z^3}=\frac{1}{4}(e^{\frac{-3}{2}i\pi}+e^{\frac{-9}{4}i\pi})</math><br />
<br />
Aplicando la fórmula de Euler <math>e^{i x} = \cos x + i\,\mbox{sen}\,x</math> llegamos al resultado de la integral real.<br />
<br />
<math>{\displaystyle \int}_{c}f(z)=\int_{-\infty}^\infty\frac{x+1}{x^4+1}\,dx=2\pi i\frac{1}{4}<br />
(e^{\frac{-1}{2}i\pi}+e^{\frac{-3}{4}i\pi}+e^{\frac{-3}{2}i\pi}+e^{\frac{-9}{4}i\pi})=\frac{\pi \sqrt{2}}{2}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Rodriguez|Oscar Rodriguez]] 17:40 9 dic 2010 (UTC)<br />
<br />
p.199<br />
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[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 15:01 30 nov 2010 (UTC)<br />
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<br />
3. Calcule <math>\int_0^{2\pi } \frac{1}{2-\text{Sin}(\theta )} \, d\theta </math> .<br />
<br />
Primero haciendo la sustitución <math>\text{Sin}(\theta )=\frac{1}{2i}\left(z-\frac{1}{z}\right)</math> y <br />
<br />
<math>d\theta =\frac{dz}{iz}</math> . Dicha sustitución proviene del hecho que <br />
<math>Sin(\theta )=\frac{{{e}^{i\theta }}-{{e}^{-i\theta }}}{2i}</math>,<br />
<math>z={{e}^{i\theta }}</math> y <math>dz=i{{e}^{i\theta }}d\theta </math>.<br />
<br />
Continuando con el problema, obtenemos la integral<br />
<br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{2+\left(\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right) \right)}\frac{dz}{i z} </math><br />
<br />
Simplificando queda <math>\int _c\frac{2}{4i z -z^2+1}dz\text{ }\frac{(-1)}{(-1)}</math> <br />
<br />
o <math>\int _c\frac{-2}{ z^2-4i z-1}dz</math><br />
<br />
Luego buscamos los polos del denomidador osea los polos de <math>{{z}^{2}}-4iz-1</math><br />
<br />
los cuales son <math> z=\overset{+}{-}\sqrt{3}i+2i</math><br />
<br />
solo tomamos el polo <math>-\sqrt{3}i+2i</math><br />
<br />
porque es el único que esta dentro del circulo de radio 1, el cual es la región sobre la que estamos integrando.<br />
<br />
<br />
Ahora obtenemos el Residuo de la funcion que es igual a<br />
<br />
<math>\operatorname{Re}s(f(z),-\sqrt{3}i+2i)=\underset{z\to (-\sqrt{3}i+2i)}{\mathop{\lim }}\,\frac{z-(-\sqrt{3}i+2i)}{{{z}^{2}}-4iz-1}=\left( -\frac{i}{2\sqrt{3}i} \right)</math><br />
<br />
hay que recordar que sacamos un <br />
<math>-2</math> de la integral por lo que al multiplicar ese <br />
<math>-2</math> por <math>-\frac{i}{2 \sqrt{3}}</math><br />
<br />
obtenemos <math>\frac{2i}{2 \sqrt{3}}</math><br />
<br />
y finalmente por la definición<br />
<br />
<math>\frac{1}{2\pi i}\int _cf(z)dz=\left\{\text{Res}\left(f(z),z_1\right)+\text{...}+\text{Res}\left(f(z),z_k\right)\right\}<br />
</math><br />
<br />
la integral es igual a <br />
<math>\frac{2\pi}{\sqrt{3}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
4. Calcule <math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , <math>b>1</math><br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , <math>b>1</math><br />
<br />
al sustituir <math>\text{Cos}[\theta]=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)</math> <br />
<br />
y <math>d\theta =\frac{dz}{iz}</math>. La sustitución proviene del hecho que <br />
<br />
<math>Cos(\theta )=\frac{{{e}^{i\theta }}-{{e}^{-i\theta }}}{2}</math> y <br />
<math>z={{e}^{i\theta }}</math> y <math>dz=i{{e}^{i\theta }}d\theta </math>.<br />
<br />
Continuando con el problema, obtenemos la integral <br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{i(1-z b)(z-b)}dz</math><br />
<br />
Buscasmos los polos de la función <math>\frac{1}{i(1-zb)(z-b)}</math> <br />
<br />
obtenemos que los dos polos que son <br />
<br />
<math>z=b</math> y <math>z=\frac{1}{b}</math> como <br />
<br />
<br />
<br />
<math>b>1</math><br />
<br />
<br />
entonces el unico polo que estaría en la región que<br />
<br />
nos interesa es <math>z=1/b</math> <br />
<br />
por lo tanto solo necesitamos calcular el residuo de <br />
<br />
<br />
<math>f(z)</math> para este polo.<br />
<br />
<br />
<math>\operatorname{Re}s(f(z),\tfrac{1}{b})=li{{m}_{z\longrightarrow \left( \frac{1}{b} \right)}}\frac{z-\left( \frac{1}{b} \right)}{i(1-zb)(z-b)}=\left( -\frac{i}{-1+{{b}^{2}}} \right)</math><br />
<br />
<br />
finalmente la integral <br />
<br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta</math> <br />
<br />
<br />
es igual a <math>\frac{2 \pi }{-1+b^2}</math> <br />
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--[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] 14:18 9 dic 2010 (UTC)<br />
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<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap2.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.4]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.5]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap3.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap3.4&diff=13624Compleja:ej-cap3.42010-12-13T23:55:27Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div>2.-'''Calcule''' <math>\int_{-\infty}^\infty\frac{x+1}{x^4+1}\,dx</math><br />
<br />
Tomamos la función compleja <math>f(z)=\frac{z+1}{z^4+1}</math> de la cual tomamos las raíces <math>z^4+1\,</math> para determinar los polos.Los cuales estan dados por:<br />
<br />
<math>z_1=e^{\frac{1}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_2=e^{\frac{3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_3=e^{\frac{-3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_4=e^{\frac{-1}{4}i\pi} \,</math> <br />
<br />
por tanto, <math>{\displaystyle \int}_{c}f(z)=2\pi i[ (f(z),z_1)+ (f(z),z_2)] </math> <br />
<br />
para obtener los residuos aplicamos <br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{1}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{1}{4}i\pi}(z-e^{\frac{1}{4}i\pi})\frac{z+1}{(z^4+1)}</math><br />
<br />
Aplicando la regla de L´ Hopital obtenemos<br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{1}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{1}{4}i\pi}\frac{(z-e^{\frac{1}{4}i\pi})+(z+1)}{4z^3}=\frac{1}{4}(e^{\frac{-1}{4}i\pi}+e^{\frac{-3}{4}i\pi})</math><br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{3}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{3}{4}i\pi}(z-e^{\frac{3}{4}i\pi})\frac{z+1}{(z^4+1)}</math><br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{3}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{3}{4}i\pi}\frac{(z-e^{\frac{3}{4}i\pi})+(z+1)}{4z^3}=\frac{1}{4}(e^{\frac{-3}{2}i\pi}+e^{\frac{-9}{4}i\pi})</math><br />
<br />
Aplicando la fórmula de Euler <math>e^{i x} = \cos x + i\,\mbox{sen}\,x</math> llegamos al resultado de la integral real.<br />
<br />
<math>{\displaystyle \int}_{c}f(z)=\int_{-\infty}^\infty\frac{x+1}{x^4+1}\,dx=2\pi i\frac{1}{4}<br />
(e^{\frac{-1}{2}i\pi}+e^{\frac{-3}{4}i\pi}+e^{\frac{-3}{2}i\pi}+e^{\frac{-9}{4}i\pi})=\frac{\pi \sqrt{2}}{2}</math><br />
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p.199<br />
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[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 15:01 30 nov 2010 (UTC)<br />
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<br />
3. Calcule <math>\int_0^{2\pi } \frac{1}{2-\text{Sin}(\theta )} \, d\theta </math> .<br />
<br />
Primero haciendo la sustitución <math>\text{Sin}(\theta )=\frac{1}{2i}\left(z-\frac{1}{z}\right)</math> y <br />
<br />
<math>d\theta =\frac{dz}{iz}</math> . Dicha sustitución proviene del hecho que <br />
<math>Sin(\theta )=\frac{{{e}^{i\theta }}-{{e}^{-i\theta }}}{2i}</math>,<br />
<math>z={{e}^{i\theta }}</math> y <math>dz=i{{e}^{i\theta }}d\theta </math>.<br />
<br />
Continuando con el problema, obtenemos la integral<br />
<br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{2+\left(\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right) \right)}\frac{dz}{i z} </math><br />
<br />
Simplificando queda <math>\int _c\frac{2}{4i z -z^2+1}dz\text{ }\frac{(-1)}{(-1)}</math> <br />
<br />
o <math>\int _c\frac{-2}{ z^2-4i z-1}dz</math><br />
<br />
Luego buscamos los polos del denomidador osea los polos de <math>{{z}^{2}}-4iz-1</math><br />
<br />
los cuales son <math> z=\overset{+}{-}\sqrt{3}i+2i</math><br />
<br />
solo tomamos el polo <math>-\sqrt{3}i+2i</math><br />
<br />
porque es el único que esta dentro del circulo de radio 1, el cual es la región sobre la que estamos integrando.<br />
<br />
<br />
Ahora obtenemos el Residuo de la funcion que es igual a<br />
<br />
<math>\operatorname{Re}s(f(z),-\sqrt{3}i+2i)=\underset{z\to (-\sqrt{3}i+2i)}{\mathop{\lim }}\,\frac{z-(-\sqrt{3}i+2i)}{{{z}^{2}}-4iz-1}=\left( -\frac{i}{2\sqrt{3}i} \right)</math><br />
<br />
hay que recordar que sacamos un <br />
<math>-2</math> de la integral por lo que al multiplicar ese <br />
<math>-2</math> por <math>-\frac{i}{2 \sqrt{3}}</math><br />
<br />
obtenemos <math>\frac{2i}{2 \sqrt{3}}</math><br />
<br />
y finalmente por la definición<br />
<br />
<math>\frac{1}{2\pi i}\int _cf(z)dz=\left\{\text{Res}\left(f(z),z_1\right)+\text{...}+\text{Res}\left(f(z),z_k\right)\right\}<br />
</math><br />
<br />
la integral es igual a <br />
<math>\frac{2\pi}{\sqrt{3}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
4. Calcule <math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , <math>b>1</math><br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , <math>b>1</math><br />
<br />
al sustituir <math>\text{Cos}[\theta]=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)</math> <br />
<br />
y <math>d\theta =\frac{dz}{iz}</math>. La sustitución proviene del hecho que <br />
<br />
<math>Cos(\theta )=\frac{{{e}^{i\theta }}-{{e}^{-i\theta }}}{2}</math> y <br />
<math>z={{e}^{i\theta }}</math> y <math>dz=i{{e}^{i\theta }}d\theta </math>.<br />
<br />
Continuando con el problema, obtenemos la integral <br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{i(1-z b)(z-b)}dz</math><br />
<br />
Buscasmos los polos de la función <math>\frac{1}{i(1-zb)(z-b)}</math> <br />
<br />
obtenemos que los dos polos que son <br />
<br />
<math>z=b</math> y <math>z=\frac{1}{b}</math> como <br />
<br />
<br />
<br />
<math>b>1</math><br />
<br />
<br />
entonces el unico polo que estaría en la región que<br />
<br />
nos interesa es <math>z=1/b</math> <br />
<br />
por lo tanto solo necesitamos calcular el residuo de <br />
<br />
<br />
<math>f(z)</math> para este polo.<br />
<br />
<br />
<math>{\displaystyle lim_{z\longrightarrow(\frac{1}{b})}}{\displaystyle \dfrac{z-(\frac{1}{b} )}{i(1-z b)(z-b)}}=(-\frac{i}{-1+b^2})</math> <br />
<br />
<br />
finalmente la integral <br />
<br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta</math> <br />
<br />
<br />
es igual a <math>\frac{2 \pi }{-1+b^2}</math> <br />
<br />
--[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] 14:18 9 dic 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap2.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.4]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.5]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap3.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap3.4&diff=13623Compleja:ej-cap3.42010-12-13T23:32:36Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div>2.-'''Calcule''' <math>\int_{-\infty}^\infty\frac{x+1}{x^4+1}\,dx</math><br />
<br />
Tomamos la función compleja <math>f(z)=\frac{z+1}{z^4+1}</math> de la cual tomamos las raíces <math>z^4+1\,</math> para determinar los polos.Los cuales estan dados por:<br />
<br />
<math>z_1=e^{\frac{1}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_2=e^{\frac{3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_3=e^{\frac{-3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_4=e^{\frac{-1}{4}i\pi} \,</math> <br />
<br />
por tanto, <math>{\displaystyle \int}_{c}f(z)=2\pi i[ (f(z),z_1)+ (f(z),z_2)] </math> <br />
<br />
para obtener los residuos aplicamos <br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{1}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{1}{4}i\pi}(z-e^{\frac{1}{4}i\pi})\frac{z+1}{(z^4+1)}</math><br />
<br />
Aplicando la regla de L´ Hopital obtenemos<br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{1}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{1}{4}i\pi}\frac{(z-e^{\frac{1}{4}i\pi})+(z+1)}{4z^3}=\frac{1}{4}(e^{\frac{-1}{4}i\pi}+e^{\frac{-3}{4}i\pi})</math><br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{3}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{3}{4}i\pi}(z-e^{\frac{3}{4}i\pi})\frac{z+1}{(z^4+1)}</math><br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{3}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{3}{4}i\pi}\frac{(z-e^{\frac{3}{4}i\pi})+(z+1)}{4z^3}=\frac{1}{4}(e^{\frac{-3}{2}i\pi}+e^{\frac{-9}{4}i\pi})</math><br />
<br />
Aplicando la fórmula de Euler <math>e^{i x} = \cos x + i\,\mbox{sen}\,x</math> llegamos al resultado de la integral real.<br />
<br />
<math>{\displaystyle \int}_{c}f(z)=\int_{-\infty}^\infty\frac{x+1}{x^4+1}\,dx=2\pi i\frac{1}{4}<br />
(e^{\frac{-1}{2}i\pi}+e^{\frac{-3}{4}i\pi}+e^{\frac{-3}{2}i\pi}+e^{\frac{-9}{4}i\pi})=\frac{\pi \sqrt{2}}{2}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Rodriguez|Oscar Rodriguez]] 17:40 9 dic 2010 (UTC)<br />
<br />
p.199<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 15:01 30 nov 2010 (UTC)<br />
----<br />
<br />
3. Calcule <math>\int_0^{2\pi } \frac{1}{2-\text{Sin}(\theta )} \, d\theta </math> .<br />
<br />
Primero haciendo la sustitución <math>\text{Sin}(\theta )=\frac{1}{2i}\left(z-\frac{1}{z}\right)</math> y <br />
<br />
<math>d\theta =\frac{dz}{iz}</math><br />
<br />
obtenemos la integral<br />
<br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{2+\left(\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right) \right)}\frac{dz}{i z} </math><br />
<br />
Simplificando queda <math>\int _c\frac{2}{4i z -z^2+1}dz\text{ }\frac{(-1)}{(-1)}</math> <br />
<br />
o <math>\int _c\frac{-2}{ z^2-4i z-1}dz</math><br />
<br />
Luego buscamos los polos del denomidador osea los polos de <math>{{z}^{2}}-4iz-1</math><br />
<br />
los cuales son <math> z=\overset{+}{-}\sqrt{3}i+2i</math><br />
<br />
solo tomamos el polo <math>-\sqrt{3}i+2i</math><br />
<br />
porque es el único que esta dentro del circulo de radio 1, el cual es la región sobre la que estamos integrando.<br />
<br />
<br />
Ahora obtenemos el Residuo de la funcion que es igual a<br />
<br />
<math>\operatorname{Re}s(f(z),-\sqrt{3}i+2i)=\underset{z\to (-\sqrt{3}i+2i)}{\mathop{\lim }}\,\frac{z-(-\sqrt{3}i+2i)}{{{z}^{2}}-4iz-1}=\left( -\frac{i}{2\sqrt{3}i} \right)</math><br />
<br />
hay que recordar que sacamos un <br />
<math>-2</math> de la integral por lo que al multiplicar ese <br />
<math>-2</math> por <math>-\frac{i}{2 \sqrt{3}}</math><br />
<br />
obtenemos <math>\frac{2i}{2 \sqrt{3}}</math><br />
<br />
y finalmente por la definición<br />
<br />
<math>\frac{1}{2\pi i}\int _cf(z)dz=\left\{\text{Res}\left(f(z),z_1\right)+\text{...}+\text{Res}\left(f(z),z_k\right)\right\}<br />
</math><br />
<br />
la integral es igual a <br />
<math>\frac{2\pi}{\sqrt{3}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
4. Calcule <math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , <math>b>1</math><br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , <math>b>1</math><br />
<br />
al sustituir <math>\text{Cos}[\theta]=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)</math> <br />
<br />
y <math>d\theta =\frac{dz}{iz}</math><br />
<br />
obtenemos la integral <br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{i(1-z b)(z-b)}dz</math><br />
<br />
Buscasmos los polos de la función <math>\frac{1}{i(1-zb)(z-b)}</math> <br />
<br />
obtenemos que los dos polos que son <br />
<br />
<br />
<br />
<math>z=b</math> y <math>z=\frac{1}{b}</math> como <br />
<br />
<br />
<br />
<math>b>1</math><br />
<br />
<br />
entonces el unico polo que estaría en la región que<br />
<br />
nos interesa es <math>z=1/b</math> <br />
<br />
por lo tanto solo necesitamos calcular el residuo de <br />
<br />
<br />
<math>f(z)</math> para este polo.<br />
<br />
<br />
<math>{\displaystyle lim_{z\longrightarrow(\frac{1}{b})}}{\displaystyle \dfrac{z-(\frac{1}{b} )}{i(1-z b)(z-b)}}=(-\frac{i}{-1+b^2})</math> <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
finalmente la integral <br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta</math> <br />
<br />
<br />
es igual a <math>\frac{2 \pi }{-1+b^2}</math> <br />
<br />
--[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] 14:18 9 dic 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap2.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.4]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.5]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap3.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap3.4&diff=13622Compleja:ej-cap3.42010-12-13T23:26:42Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div>2.-'''Calcule''' <math>\int_{-\infty}^\infty\frac{x+1}{x^4+1}\,dx</math><br />
<br />
Tomamos la función compleja <math>f(z)=\frac{z+1}{z^4+1}</math> de la cual tomamos las raíces <math>z^4+1\,</math> para determinar los polos.Los cuales estan dados por:<br />
<br />
<math>z_1=e^{\frac{1}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_2=e^{\frac{3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_3=e^{\frac{-3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_4=e^{\frac{-1}{4}i\pi} \,</math> <br />
<br />
por tanto, <math>{\displaystyle \int}_{c}f(z)=2\pi i[ (f(z),z_1)+ (f(z),z_2)] </math> <br />
<br />
para obtener los residuos aplicamos <br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{1}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{1}{4}i\pi}(z-e^{\frac{1}{4}i\pi})\frac{z+1}{(z^4+1)}</math><br />
<br />
Aplicando la regla de L´ Hopital obtenemos<br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{1}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{1}{4}i\pi}\frac{(z-e^{\frac{1}{4}i\pi})+(z+1)}{4z^3}=\frac{1}{4}(e^{\frac{-1}{4}i\pi}+e^{\frac{-3}{4}i\pi})</math><br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{3}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{3}{4}i\pi}(z-e^{\frac{3}{4}i\pi})\frac{z+1}{(z^4+1)}</math><br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{3}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{3}{4}i\pi}\frac{(z-e^{\frac{3}{4}i\pi})+(z+1)}{4z^3}=\frac{1}{4}(e^{\frac{-3}{2}i\pi}+e^{\frac{-9}{4}i\pi})</math><br />
<br />
Aplicando la fórmula de Euler <math>e^{i x} = \cos x + i\,\mbox{sen}\,x</math> llegamos al resultado de la integral real.<br />
<br />
<math>{\displaystyle \int}_{c}f(z)=\int_{-\infty}^\infty\frac{x+1}{x^4+1}\,dx=2\pi i\frac{1}{4}<br />
(e^{\frac{-1}{2}i\pi}+e^{\frac{-3}{4}i\pi}+e^{\frac{-3}{2}i\pi}+e^{\frac{-9}{4}i\pi})=\frac{\pi \sqrt{2}}{2}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Rodriguez|Oscar Rodriguez]] 17:40 9 dic 2010 (UTC)<br />
<br />
p.199<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 15:01 30 nov 2010 (UTC)<br />
----<br />
<br />
3. Calcule <math>\int_0^{2\pi } \frac{1}{2-\text{Sin}(\theta )} \, d\theta </math> .<br />
<br />
Primero haciendo la sustitución <math>\text{Sin}(\theta )=\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right)</math> y <br />
<br />
<math>d\theta =\frac{dz}{iz}</math><br />
<br />
obtenemos la integral<br />
<br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{2+\left(\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right) \right)}\frac{dz}{i z} </math><br />
<br />
Simplificando queda <math>\int _c\frac{2}{4i z -z^2+1}dz\text{ }\frac{(-1)}{(-1)}</math> <br />
<br />
o <math>\int _c\frac{-2}{ z^2-4i z-1}dz</math><br />
<br />
Luego buscamos los polos del denomidador osea los polos de <math>{{z}^{2}}-4iz-1</math><br />
<br />
los cuales son <math> z=\overset{+}{-}\sqrt{3}i+2i</math><br />
<br />
solo tomamos el polo <math>-\sqrt{3}i+2i</math><br />
<br />
porque es el único que esta dentro del circulo de radio 1, el cual es la región sobre la que estamos integrando.<br />
<br />
<br />
Ahora obtenemos el Residuo de la funcion que es igual a<br />
<br />
<math>\operatorname{Re}s(f(z),-\sqrt{3}i+2i)=\underset{z\to (-\sqrt{3}i+2i)}{\mathop{\lim }}\,\frac{z-(-\sqrt{3}i+2i)}{{{z}^{2}}-4iz-1}=\left( -\frac{i}{2\sqrt{3}i} \right)</math><br />
<br />
hay que recordar que sacamos un <br />
<math>-2</math> de la integral por lo que al multiplicar ese <br />
<math>-2</math> por <math>-\frac{i}{2 \sqrt{3}}</math><br />
<br />
obtenemos <math>\frac{2i}{2 \sqrt{3}}</math><br />
<br />
y finalmente por la definición<br />
<br />
<math>\frac{1}{2\pi i}\int _cf(z)dz=\left\{\text{Res}\left(f(z),z_1\right)+\text{...}+\text{Res}\left(f(z),z_k\right)\right\}<br />
</math><br />
<br />
la integral es igual a <br />
<math>\frac{2\pi}{\sqrt{3}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
4. Calcule <math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , <math>b>1</math><br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , <math>b>1</math><br />
<br />
al sustituir <math>\text{Cos}[\theta]=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)</math> <br />
<br />
y <math>d\theta =\frac{dz}{iz}</math><br />
<br />
obtenemos la integral <br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{i(1-z b)(z-b)}dz</math><br />
<br />
Buscasmos los polos de la función <math>\frac{1}{i(1-zb)(z-b)}</math> <br />
<br />
obtenemos que los dos polos que son <br />
<br />
<br />
<br />
<math>z=b</math> y <math>z=\frac{1}{b}</math> como <br />
<br />
<br />
<br />
<math>b>1</math><br />
<br />
<br />
entonces el unico polo que estaría en la región que<br />
<br />
nos interesa es <math>z=1/b</math> <br />
<br />
por lo tanto solo necesitamos calcular el residuo de <br />
<br />
<br />
<math>f(z)</math> para este polo.<br />
<br />
<br />
<math>{\displaystyle lim_{z\longrightarrow(\frac{1}{b})}}{\displaystyle \dfrac{z-(\frac{1}{b} )}{i(1-z b)(z-b)}}=(-\frac{i}{-1+b^2})</math> <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
finalmente la integral <br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta</math> <br />
<br />
<br />
es igual a <math>\frac{2 \pi }{-1+b^2}</math> <br />
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--[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] 14:18 9 dic 2010 (UTC)<br />
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<br />
<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap2.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.4]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.5]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap3.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap3.4&diff=13621Compleja:ej-cap3.42010-12-13T23:22:06Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div>2.-'''Calcule''' <math>\int_{-\infty}^\infty\frac{x+1}{x^4+1}\,dx</math><br />
<br />
Tomamos la función compleja <math>f(z)=\frac{z+1}{z^4+1}</math> de la cual tomamos las raíces <math>z^4+1\,</math> para determinar los polos.Los cuales estan dados por:<br />
<br />
<math>z_1=e^{\frac{1}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_2=e^{\frac{3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_3=e^{\frac{-3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_4=e^{\frac{-1}{4}i\pi} \,</math> <br />
<br />
por tanto, <math>{\displaystyle \int}_{c}f(z)=2\pi i[ (f(z),z_1)+ (f(z),z_2)] </math> <br />
<br />
para obtener los residuos aplicamos <br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{1}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{1}{4}i\pi}(z-e^{\frac{1}{4}i\pi})\frac{z+1}{(z^4+1)}</math><br />
<br />
Aplicando la regla de L´ Hopital obtenemos<br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{1}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{1}{4}i\pi}\frac{(z-e^{\frac{1}{4}i\pi})+(z+1)}{4z^3}=\frac{1}{4}(e^{\frac{-1}{4}i\pi}+e^{\frac{-3}{4}i\pi})</math><br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{3}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{3}{4}i\pi}(z-e^{\frac{3}{4}i\pi})\frac{z+1}{(z^4+1)}</math><br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{3}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{3}{4}i\pi}\frac{(z-e^{\frac{3}{4}i\pi})+(z+1)}{4z^3}=\frac{1}{4}(e^{\frac{-3}{2}i\pi}+e^{\frac{-9}{4}i\pi})</math><br />
<br />
Aplicando la fórmula de Euler <math>e^{i x} = \cos x + i\,\mbox{sen}\,x</math> llegamos al resultado de la integral real.<br />
<br />
<math>{\displaystyle \int}_{c}f(z)=\int_{-\infty}^\infty\frac{x+1}{x^4+1}\,dx=2\pi i\frac{1}{4}<br />
(e^{\frac{-1}{2}i\pi}+e^{\frac{-3}{4}i\pi}+e^{\frac{-3}{2}i\pi}+e^{\frac{-9}{4}i\pi})=\frac{\pi \sqrt{2}}{2}</math><br />
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--[[Usuario:Oscar Rodriguez|Oscar Rodriguez]] 17:40 9 dic 2010 (UTC)<br />
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p.199<br />
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[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 15:01 30 nov 2010 (UTC)<br />
----<br />
<br />
3. Calcule <math>\int_0^{2\pi } \frac{1}{2-\text{Sin}(\theta )} \, d\theta </math> .<br />
<br />
Primero haciendo la sustitución <math>\text{Sin}(\theta )=\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right)</math> y <br />
<br />
<math>d\theta =\frac{dz}{iz}</math><br />
<br />
obtenemos la integral<br />
<br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{2+\left(\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right) \right)}\frac{dz}{i z} </math><br />
<br />
Simplificando queda <math>\int _c\frac{2}{4i z -z^2+1}dz\text{ }\frac{(-1)}{(-1)}</math> <br />
<br />
o<br />
<br />
<br />
<math>\int _c\frac{-2}{ z^2-4i z-1}dz</math><br />
<br />
Luego buscamos los polos del denomidador osea los polos de <math>{{z}^{2}}-4iz-1</math><br />
<br />
los cuales son <math> z=\overset{+}{-}\sqrt{3}i+2i</math><br />
<br />
solo tomamos el polo <math>-\sqrt{3}i+2i</math><br />
<br />
porque es el único que esta dentro del circulo de radio 1, el cual es la región sobre la que estamos integrando.<br />
<br />
<br />
Ahora obtenemos el Residuo de la funcion que es igual a<br />
<br />
<math>\operatorname{Re}s(f(z),-\sqrt{3}i+2i)=\underset{z\to (-\sqrt{3}i+2i)}{\mathop{\lim }}\,\frac{z-(-\sqrt{3}i+2i)}{{{z}^{2}}-4iz-1}=\left( -\frac{i}{2\sqrt{3}i} \right)</math><br />
<br />
hay que recordar que sacamos un <br />
<math>-2</math> de la integral por lo que al multiplicar ese <br />
<math>-2</math> por <math>-\frac{i}{2 \sqrt{3}}</math><br />
<br />
obtenemos <math>\frac{2i}{2 \sqrt{3}}</math><br />
<br />
y finalmente por la definición<br />
<br />
<math>\frac{1}{2\pi i}\int _cf(z)dz=\left\{\text{Res}\left(f(z),z_1\right)+\text{...}+\text{Res}\left(f(z),z_k\right)\right\}<br />
</math><br />
<br />
la integral es igual a <br />
<math>\frac{2\pi}{\sqrt{3}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
4. Calcule <math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , <math>b>1</math><br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , <math>b>1</math><br />
<br />
al sustituir <math>\text{Cos}[\theta]=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)</math> <br />
<br />
y <math>\mathrm d\theta</math> es igual a <math>\frac {\mathrm dz}{\mathrm i z}</math><br />
<br />
obtenemos la integral <br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{i(1-z b)(z-b)}dz</math><br />
<br />
Buscasmos los polos de la función <math>\frac{1}{i(1-zb)(z-b)}</math> <br />
<br />
obtenemos que los dos polos que son <br />
<br />
<br />
<math>z=b</math> y <math>z=\frac{1}{b}</math> como <br />
<br />
<br />
<br />
<math>b>1</math><br />
<br />
<br />
entonces el unico polo que estaría en la región que<br />
<br />
nos interesa es <math>z=1/b</math> <br />
<br />
por lo tanto solo necesitamos calcular el residuo de <br />
<br />
<math>f(z)</math> para este polo.<br />
<br />
<br />
<math>{\displaystyle lim_{z\longrightarrow(\frac{1}{b})}}{\displaystyle \dfrac{z-(\frac{1}{b} )}{i(1-z b)(z-b)}}=(-\frac{i}{-1+b^2})</math> <br />
<br />
<br />
<br />
finalmete la integral <br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta</math> <br />
<br />
<br />
es igual a <math>\frac{2 \pi }{-1+b^2}</math> <br />
<br />
--[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] 14:18 9 dic 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap2.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.4]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.5]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap3.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap3.4&diff=13620Compleja:ej-cap3.42010-12-13T23:17:48Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div>2.-'''Calcule''' <math>\int_{-\infty}^\infty\frac{x+1}{x^4+1}\,dx</math><br />
<br />
Tomamos la función compleja <math>f(z)=\frac{z+1}{z^4+1}</math> de la cual tomamos las raíces <math>z^4+1\,</math> para determinar los polos.Los cuales estan dados por:<br />
<br />
<math>z_1=e^{\frac{1}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_2=e^{\frac{3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_3=e^{\frac{-3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_4=e^{\frac{-1}{4}i\pi} \,</math> <br />
<br />
por tanto, <math>{\displaystyle \int}_{c}f(z)=2\pi i[ (f(z),z_1)+ (f(z),z_2)] </math> <br />
<br />
para obtener los residuos aplicamos <br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{1}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{1}{4}i\pi}(z-e^{\frac{1}{4}i\pi})\frac{z+1}{(z^4+1)}</math><br />
<br />
Aplicando la regla de L´ Hopital obtenemos<br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{1}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{1}{4}i\pi}\frac{(z-e^{\frac{1}{4}i\pi})+(z+1)}{4z^3}=\frac{1}{4}(e^{\frac{-1}{4}i\pi}+e^{\frac{-3}{4}i\pi})</math><br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{3}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{3}{4}i\pi}(z-e^{\frac{3}{4}i\pi})\frac{z+1}{(z^4+1)}</math><br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{3}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{3}{4}i\pi}\frac{(z-e^{\frac{3}{4}i\pi})+(z+1)}{4z^3}=\frac{1}{4}(e^{\frac{-3}{2}i\pi}+e^{\frac{-9}{4}i\pi})</math><br />
<br />
Aplicando la fórmula de Euler <math>e^{i x} = \cos x + i\,\mbox{sen}\,x</math> llegamos al resultado de la integral real.<br />
<br />
<math>{\displaystyle \int}_{c}f(z)=\int_{-\infty}^\infty\frac{x+1}{x^4+1}\,dx=2\pi i\frac{1}{4}<br />
(e^{\frac{-1}{2}i\pi}+e^{\frac{-3}{4}i\pi}+e^{\frac{-3}{2}i\pi}+e^{\frac{-9}{4}i\pi})=\frac{\pi \sqrt{2}}{2}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Rodriguez|Oscar Rodriguez]] 17:40 9 dic 2010 (UTC)<br />
<br />
p.199<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 15:01 30 nov 2010 (UTC)<br />
----<br />
<br />
3. Calcule <math>\int_0^{2\pi } \frac{1}{2-\text{Sin}(\theta )} \, d\theta </math> .<br />
<br />
Primero haciendo la sustitución <math>\text{Sin}(\theta )=\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right)</math> y <br />
<br />
<math>d\theta =\frac{dz}{iz}</math><br />
<br />
obtenemos la integral<br />
<br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{2+\left(\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right) \right)}\frac{dz}{i z} </math><br />
<br />
Simplificando queda <math>\int _c\frac{2}{4i z -z^2+1}dz\text{ }\frac{(-1)}{(-1)}</math> o<br />
<br />
<br />
<math>\int _c\frac{-2}{ z^2-4i z-1}dz<br />
</math><br />
<br />
Luego buscamos los polos del denomidador osea los polos de<br />
<br />
<math>{{z}^{2}}-4iz-1</math><br />
<br />
los cuales son <math> z=\overset{+}{-}\sqrt{3}i+2i</math><br />
<br />
solo tomamos el polo <math>-\sqrt{3}i+2i</math><br />
<br />
porque es el único que esta dentro del circulo de radio 1, el cual es la región sobre la que estamos integrando.<br />
<br />
<br />
Ahora obtenemos el Residuo de la funcion que es igual a<br />
<br />
<math>\operatorname{Re}s(f(z),-\sqrt{3}i+2i)=\underset{z\to (-\sqrt{3}i+2i)}{\mathop{\lim }}\,\frac{z-(-\sqrt{3}i+2i)}{{{z}^{2}}-4iz-1}=\left( -\frac{i}{2\sqrt{3}i} \right)</math><br />
<br />
hay que recordar que sacamos un <br />
<math>-2</math> de la integral por lo que al multiplicar ese <br />
<math>-2</math> por <math>-\frac{i}{2 \sqrt{3}}</math><br />
<br />
obtenemos <math>\frac{2i}{2 \sqrt{3}}</math><br />
<br />
y finalmente por la definición<br />
<br />
<math>\frac{1}{2\pi i}\int _cf(z)dz=\left\{\text{Res}\left(f(z),z_1\right)+\text{...}+\text{Res}\left(f(z),z_k\right)\right\}<br />
</math><br />
<br />
la integral es igual a <br />
<math>\frac{2\pi}{\sqrt{3}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
4. Calcule <math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , <math>b>1</math><br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , < math > b > 1 < /math ><br />
<br />
al sustituir <math>\text{Cos}[\theta]=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)</math> <br />
<br />
y <math>\mathrm d\theta</math> es igual a <math>\frac {\mathrm dz}{\mathrm i z}</math><br />
<br />
obtenemos la integral <br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{i(1-z b)(z-b)}dz</math><br />
<br />
Buscasmos los polos de la función <math>\frac{1}{i(1-zb)(z-b)}</math> <br />
<br />
obtenemos que los dos polos que son <br />
<br />
<br />
<math>z=b</math> y <math>z=\frac{1}{b}</math> como <br />
<br />
<br />
<math>b>1</math> <br />
<br />
entonces el unico polo que estaría en la región que<br />
<br />
nos interesa es <math>z=1/b</math> <br />
<br />
por lo tanto solo necesitamos calcular el residuo de <br />
<br />
<math>f(z)</math> para este polo.<br />
<br />
<br />
<math>{\displaystyle lim_{z\longrightarrow(\frac{1}{b})}}{\displaystyle \dfrac{z-(\frac{1}{b} )}{i(1-z b)(z-b)}}=(-\frac{i}{-1+b^2})</math> <br />
<br />
<br />
<br />
finalmete la integral <br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta</math> <br />
<br />
<br />
es igual a <math>\frac{2 \pi }{-1+b^2}</math> <br />
<br />
--[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] 14:18 9 dic 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap2.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.4]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.5]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap3.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap3.4&diff=13619Compleja:ej-cap3.42010-12-13T23:13:04Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div>2.-'''Calcule''' <math>\int_{-\infty}^\infty\frac{x+1}{x^4+1}\,dx</math><br />
<br />
Tomamos la función compleja <math>f(z)=\frac{z+1}{z^4+1}</math> de la cual tomamos las raíces <math>z^4+1\,</math> para determinar los polos.Los cuales estan dados por:<br />
<br />
<math>z_1=e^{\frac{1}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_2=e^{\frac{3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_3=e^{\frac{-3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_4=e^{\frac{-1}{4}i\pi} \,</math> <br />
<br />
por tanto, <math>{\displaystyle \int}_{c}f(z)=2\pi i[ (f(z),z_1)+ (f(z),z_2)] </math> <br />
<br />
para obtener los residuos aplicamos <br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{1}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{1}{4}i\pi}(z-e^{\frac{1}{4}i\pi})\frac{z+1}{(z^4+1)}</math><br />
<br />
Aplicando la regla de L´ Hopital obtenemos<br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{1}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{1}{4}i\pi}\frac{(z-e^{\frac{1}{4}i\pi})+(z+1)}{4z^3}=\frac{1}{4}(e^{\frac{-1}{4}i\pi}+e^{\frac{-3}{4}i\pi})</math><br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{3}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{3}{4}i\pi}(z-e^{\frac{3}{4}i\pi})\frac{z+1}{(z^4+1)}</math><br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{3}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{3}{4}i\pi}\frac{(z-e^{\frac{3}{4}i\pi})+(z+1)}{4z^3}=\frac{1}{4}(e^{\frac{-3}{2}i\pi}+e^{\frac{-9}{4}i\pi})</math><br />
<br />
Aplicando la fórmula de Euler <math>e^{i x} = \cos x + i\,\mbox{sen}\,x</math> llegamos al resultado de la integral real.<br />
<br />
<math>{\displaystyle \int}_{c}f(z)=\int_{-\infty}^\infty\frac{x+1}{x^4+1}\,dx=2\pi i\frac{1}{4}<br />
(e^{\frac{-1}{2}i\pi}+e^{\frac{-3}{4}i\pi}+e^{\frac{-3}{2}i\pi}+e^{\frac{-9}{4}i\pi})=\frac{\pi \sqrt{2}}{2}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Rodriguez|Oscar Rodriguez]] 17:40 9 dic 2010 (UTC)<br />
<br />
p.199<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 15:01 30 nov 2010 (UTC)<br />
----<br />
<br />
3. Calcule <math>\int_0^{2\pi } \frac{1}{2-\text{Sin}(\theta )} \, d\theta </math> .<br />
<br />
Primero haciendo la sustitución <math>\text{Sin}(\theta )=\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right)</math> y <br />
<br />
<math>d\theta =\frac{dz}{iz}</math><br />
<br />
obtenemos la integral<br />
<br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{2+\left(\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right) \right)}\frac{dz}{i z} </math><br />
<br />
Simplificando queda <math>\int _c\frac{2}{4i z -z^2+1}dz\text{ }\frac{(-1)}{(-1)}</math> o<br />
<br />
<br />
<math>\int _c\frac{-2}{ z^2-4i z-1}dz<br />
</math><br />
<br />
Luego buscamos los polos del denomidador osea los polos de<br />
<math>z^2-4i z-1<br />
</math><br />
<br />
los cuales son <math> z=\overset{+}{-}\sqrt{3}i+2i</math><br />
<br />
solo tomamos el polo <math>-Sqrt[3] i + 2 i</math><br />
<br />
porque es el único que esta dentro del circulo de radio 1, el cual es la región sobre la que estamos integrando.<br />
<br />
<br />
Ahora obtenemos el Residuo de la funcion que es igual a<br />
<br />
<math>\operatorname{Re}s(f(z),-\sqrt{3}i+2i)=\underset{z\to (-\sqrt{3}i+2i)}{\mathop{\lim }}\,\frac{z-(-\sqrt{3}i+2i)}{{{z}^{2}}-4iz-1}=\left( -\frac{i}{2\sqrt{3}i} \right)</math><br />
<br />
hay que recordar que sacamos un -2 de la integral por loque al multiplicar ese -2 por <math>-\frac{i}{2 \sqrt{3}}</math><br />
<br />
obtenemos <math>\frac{2i}{2 \sqrt{3}}</math><br />
<br />
y finalmente por la siguiente definición<br />
<br />
<math>\frac{1}{2\pi i}\int _cf(z)dz=\left\{\text{Res}\left(f(z),z_1\right)+\text{...}+\text{Res}\left(f(z),z_k\right)\right\}<br />
</math><br />
<br />
la integral es igual a <br />
<math>\frac{2\pi}{\sqrt{3}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
4. Calcule <math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , <math>b>1</math><br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , < math > b > 1 < /math ><br />
<br />
al sustituir <math>\text{Cos}[\theta]=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)</math> <br />
<br />
y <math>\mathrm d\theta</math> es igual a <math>\frac {\mathrm dz}{\mathrm i z}</math><br />
<br />
obtenemos la integral <br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{i(1-z b)(z-b)}dz</math><br />
<br />
Buscasmos los polos de la función <math>\frac{1}{i(1-zb)(z-b)}</math> <br />
<br />
obtenemos que los dos polos que son <br />
<br />
<br />
<math>z=b</math> y <math>z=\frac{1}{b}</math> como <br />
<br />
<br />
<math>b>1</math> <br />
<br />
entonces el unico polo que estaría en la región que<br />
<br />
nos interesa es <math>z=1/b</math> <br />
<br />
por lo tanto solo necesitamos calcular el residuo de <br />
<br />
<math>f(z)</math> para este polo.<br />
<br />
<br />
<math>{\displaystyle lim_{z\longrightarrow(\frac{1}{b})}}{\displaystyle \dfrac{z-(\frac{1}{b} )}{i(1-z b)(z-b)}}=(-\frac{i}{-1+b^2})</math> <br />
<br />
<br />
<br />
finalmete la integral <br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta</math> <br />
<br />
<br />
es igual a <math>\frac{2 \pi }{-1+b^2}</math> <br />
<br />
--[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] 14:18 9 dic 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap2.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.4]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.5]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap3.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap3.4&diff=13618Compleja:ej-cap3.42010-12-13T23:11:20Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div>2.-'''Calcule''' <math>\int_{-\infty}^\infty\frac{x+1}{x^4+1}\,dx</math><br />
<br />
Tomamos la función compleja <math>f(z)=\frac{z+1}{z^4+1}</math> de la cual tomamos las raíces <math>z^4+1\,</math> para determinar los polos.Los cuales estan dados por:<br />
<br />
<math>z_1=e^{\frac{1}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_2=e^{\frac{3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_3=e^{\frac{-3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_4=e^{\frac{-1}{4}i\pi} \,</math> <br />
<br />
por tanto, <math>{\displaystyle \int}_{c}f(z)=2\pi i[ (f(z),z_1)+ (f(z),z_2)] </math> <br />
<br />
para obtener los residuos aplicamos <br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{1}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{1}{4}i\pi}(z-e^{\frac{1}{4}i\pi})\frac{z+1}{(z^4+1)}</math><br />
<br />
Aplicando la regla de L´ Hopital obtenemos<br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{1}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{1}{4}i\pi}\frac{(z-e^{\frac{1}{4}i\pi})+(z+1)}{4z^3}=\frac{1}{4}(e^{\frac{-1}{4}i\pi}+e^{\frac{-3}{4}i\pi})</math><br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{3}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{3}{4}i\pi}(z-e^{\frac{3}{4}i\pi})\frac{z+1}{(z^4+1)}</math><br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{3}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{3}{4}i\pi}\frac{(z-e^{\frac{3}{4}i\pi})+(z+1)}{4z^3}=\frac{1}{4}(e^{\frac{-3}{2}i\pi}+e^{\frac{-9}{4}i\pi})</math><br />
<br />
Aplicando la fórmula de Euler <math>e^{i x} = \cos x + i\,\mbox{sen}\,x</math> llegamos al resultado de la integral real.<br />
<br />
<math>{\displaystyle \int}_{c}f(z)=\int_{-\infty}^\infty\frac{x+1}{x^4+1}\,dx=2\pi i\frac{1}{4}<br />
(e^{\frac{-1}{2}i\pi}+e^{\frac{-3}{4}i\pi}+e^{\frac{-3}{2}i\pi}+e^{\frac{-9}{4}i\pi})=\frac{\pi \sqrt{2}}{2}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Rodriguez|Oscar Rodriguez]] 17:40 9 dic 2010 (UTC)<br />
<br />
p.199<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 15:01 30 nov 2010 (UTC)<br />
----<br />
<br />
3. Calcule <math>\int_0^{2\pi } \frac{1}{2-\text{Sin}(\theta )} \, d\theta </math> .<br />
<br />
Primero haciendo la sustitución <math>\text{Sin}(\theta )=\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right)</math> y <br />
<math>\mathrm d\theta</math> es igual a <math>\frac {\mathrm dz}{\mathrm i z}</math><br />
obtenemos la integral<br />
<br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{2+\left(\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right) \right)}\frac{dz}{i z} </math><br />
<br />
Simplificando queda <math>\int _c\frac{2}{4i z -z^2+1}dz\text{ }\frac{(-1)}{(-1)}</math> o<br />
<br />
<br />
<math>\int _c\frac{-2}{ z^2-4i z-1}dz<br />
</math><br />
<br />
Luego buscamos los polos del denomidador osea los polos de<br />
<math>z^2-4i z-1<br />
</math><br />
<br />
los cuales son <math> z=\overset{+}{-}\sqrt{3}i+2i</math><br />
<br />
solo tomamos el polo <math>-Sqrt[3] i + 2 i</math><br />
<br />
porque es el único que esta dentro del circulo de radio 1, el cual es la región sobre la que estamos integrando.<br />
<br />
<br />
Ahora obtenemos el Residuo de la funcion que es igual a<br />
<br />
<math>\operatorname{Re}s(f(z),-\sqrt{3}i+2i)=\underset{z\to (-\sqrt{3}i+2i)}{\mathop{\lim }}\,\frac{z-(-\sqrt{3}i+2i)}{{{z}^{2}}-4iz-1}=\left( -\frac{i}{2\sqrt{3}i} \right)</math><br />
<br />
hay que recordar que sacamos un -2 de la integral por loque al multiplicar ese -2 por <math>-\frac{i}{2 \sqrt{3}}</math><br />
<br />
obtenemos <math>\frac{2i}{2 \sqrt{3}}</math><br />
<br />
y finalmente por la siguiente definición<br />
<br />
<math>\frac{1}{2\pi i}\int _cf(z)dz=\left\{\text{Res}\left(f(z),z_1\right)+\text{...}+\text{Res}\left(f(z),z_k\right)\right\}<br />
</math><br />
<br />
la integral es igual a <br />
<math>\frac{2\pi}{\sqrt{3}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
4. Calcule <math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , <math>b>1</math><br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , < math > b > 1 < /math ><br />
<br />
al sustituir <math>\text{Cos}[\theta]=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)</math> <br />
<br />
y <math>\mathrm d\theta</math> es igual a <math>\frac {\mathrm dz}{\mathrm i z}</math><br />
<br />
obtenemos la integral <br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{i(1-z b)(z-b)}dz</math><br />
<br />
Buscasmos los polos de la función <math>\frac{1}{i(1-zb)(z-b)}</math> <br />
<br />
obtenemos que los dos polos que son <br />
<br />
<br />
<math>z=b</math> y <math>z=\frac{1}{b}</math> como <br />
<br />
<br />
<math>b>1</math> <br />
<br />
entonces el unico polo que estaría en la región que<br />
<br />
nos interesa es <math>z=1/b</math> <br />
<br />
por lo tanto solo necesitamos calcular el residuo de <br />
<br />
<math>f(z)</math> para este polo.<br />
<br />
<br />
<math>{\displaystyle lim_{z\longrightarrow(\frac{1}{b})}}{\displaystyle \dfrac{z-(\frac{1}{b} )}{i(1-z b)(z-b)}}=(-\frac{i}{-1+b^2})</math> <br />
<br />
<br />
<br />
finalmete la integral <br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta</math> <br />
<br />
<br />
es igual a <math>\frac{2 \pi }{-1+b^2}</math> <br />
<br />
--[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] 14:18 9 dic 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap2.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.4]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.5]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap3.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap3.4&diff=13615Compleja:ej-cap3.42010-12-12T20:28:44Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div>2.-'''Calcule''' <math>\int_{-\infty}^\infty\frac{x+1}{x^4+1}\,dx</math><br />
<br />
Tomamos la función compleja <math>f(z)=\frac{z+1}{z^4+1}</math> de la cual tomamos las raíces <math>z^4+1\,</math> para determinar los polos.Los cuales estan dados por:<br />
<br />
<math>z_1=e^{\frac{1}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_2=e^{\frac{3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_3=e^{\frac{-3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_4=e^{\frac{-1}{4}i\pi} \,</math> <br />
<br />
por tanto, <math>{\displaystyle \int}_{c}f(z)=2\pi i[ (f(z),z_1)+ (f(z),z_2)] </math> <br />
<br />
para obtener los residuos aplicamos <br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{1}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{1}{4}i\pi}(z-e^{\frac{1}{4}i\pi})\frac{z+1}{(z^4+1)}</math><br />
<br />
Aplicando la regla de L´ Hopital obtenemos<br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{1}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{1}{4}i\pi}\frac{(z-e^{\frac{1}{4}i\pi})+(z+1)}{4z^3}=\frac{1}{4}(e^{\frac{-1}{4}i\pi}+e^{\frac{-3}{4}i\pi})</math><br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{3}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{3}{4}i\pi}(z-e^{\frac{3}{4}i\pi})\frac{z+1}{(z^4+1)}</math><br />
<br />
<math>Res(f(z),e^{\frac{3}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{3}{4}i\pi}\frac{(z-e^{\frac{3}{4}i\pi})+(z+1)}{4z^3}=\frac{1}{4}(e^{\frac{-3}{2}i\pi}+e^{\frac{-9}{4}i\pi})</math><br />
<br />
Aplicando la fórmula de Euler <math>e^{i x} = \cos x + i\,\mbox{sen}\,x</math> llegamos al resultado de la integral real.<br />
<br />
<math>{\displaystyle \int}_{c}f(z)=\int_{-\infty}^\infty\frac{x+1}{x^4+1}\,dx=2\pi i\frac{1}{4}<br />
(e^{\frac{-1}{2}i\pi}+e^{\frac{-3}{4}i\pi}+e^{\frac{-3}{2}i\pi}+e^{\frac{-9}{4}i\pi})=\frac{\pi \sqrt{2}}{2}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Oscar Rodriguez|Oscar Rodriguez]] 17:40 9 dic 2010 (UTC)<br />
<br />
p.199<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 15:01 30 nov 2010 (UTC)<br />
----<br />
<br />
3. Calcule <math>\int_0^{2\pi } \frac{1}{2-\text{Sin}(\theta )} \, d\theta </math> .<br />
<br />
Primero haciendo la sustitución <math>\text{Sin}(\theta )=\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right)</math> y <br />
<math>\mathrm d\theta</math> es igual a <math>\frac {\mathrm dz}{\mathrm i z}</math><br />
obtenemos la integral<br />
<br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{2+\left(\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right) \right)}\frac{dz}{i z} </math><br />
<br />
Simplificando queda <math>\int _c\frac{2}{4i z -z^2+1}dz\text{ }\frac{(-1)}{(-1)}</math> o<br />
<br />
<br />
<math>\int _c\frac{-2}{ z^2-4i z-1}dz<br />
</math><br />
<br />
Luego buscamos los polos del denomidador osea los polos de<br />
<math>z^2-4i z-1<br />
</math><br />
<br />
los cuales son <math> z=\overset{+}{-}\sqrt{3}i+2i</math><br />
<br />
solo tomamos el polo <math>-Sqrt[3] i + 2 i</math><br />
<br />
porque es el único que esta dentro del circulo de radio 1, el cual es la región sobre la que estamos integrando.<br />
<br />
<br />
Ahora obtenemos el Residuo de la funcion que es igual a<br />
<br />
<math>{\displaystyle lim_{z\longrightarrow(-\sqrt{3}i+2i )}}{\displaystyle \dfrac{z-(-\sqrt{3}i+2i )}{z^2 - 4 i z - 1}}=(-\frac{i}{2 \sqrt{3}})</math><br />
<br />
hay que recordar que sacamos un -2 de la integral por loque al multiplicar ese -2 por <math>-\frac{i}{2 \sqrt{3}}</math><br />
<br />
obtenemos <math>\frac{2i}{2 \sqrt{3}}</math><br />
<br />
y finalmente por la siguiente definición<br />
<br />
<math>\frac{1}{2\pi i}\int _cf(z)dz=\left\{\text{Res}\left(f(z),z_1\right)+\text{...}+\text{Res}\left(f(z),z_k\right)\right\}<br />
</math><br />
<br />
la integral es igual a <br />
<math>\frac{2\pi}{\sqrt{3}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
4. Calcule <math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , <math>b>1</math><br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , < math > b > 1 < /math ><br />
<br />
al sustituir <math>\text{Cos}[\theta]=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)</math> <br />
<br />
y <math>\mathrm d\theta</math> es igual a <math>\frac {\mathrm dz}{\mathrm i z}</math><br />
<br />
obtenemos la integral <br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{i(1-z b)(z-b)}dz</math><br />
<br />
Buscasmos los polos de la función <math>\frac{1}{i(1-zb)(z-b)}</math> <br />
<br />
obtenemos que los dos polos que son <br />
<br />
<br />
<math>z=b</math> y <math>z=\frac{1}{b}</math> como <br />
<br />
<br />
<math>b>1</math> <br />
<br />
entonces el unico polo que estaría en la región que<br />
<br />
nos interesa es <math>z=1/b</math> <br />
<br />
por lo tanto solo necesitamos calcular el residuo de <br />
<br />
<math>f(z)</math> para este polo.<br />
<br />
<br />
<math>{\displaystyle lim_{z\longrightarrow(\frac{1}{b})}}{\displaystyle \dfrac{z-(\frac{1}{b} )}{i(1-z b)(z-b)}}=(-\frac{i}{-1+b^2})</math> <br />
<br />
<br />
<br />
finalmete la integral <br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta</math> <br />
<br />
<br />
es igual a <math>\frac{2 \pi }{-1+b^2}</math> <br />
<br />
--[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] 14:18 9 dic 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap2.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.4]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.5]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap3.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap3.4&diff=13596Compleja:ej-cap3.42010-12-09T14:22:44Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div>2.-'''Calcule''' <math>\int_{-\infty}^\infty\frac{x+1}{x^4+1}\,dx</math><br />
<br />
Tomamos la función compleja <math>f(z)=\frac{z+1}{z^4+1}</math> de la cual tomamos las raíces <math>z^4+1\,</math> para determinar los polos.Los cuales estan dados por:<br />
<br />
<math>z_1=e^{\frac{1}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_2=e^{\frac{3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_3=e^{\frac{-3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_4=e^{\frac{-1}{4}i\pi} \,</math><br />
<br />
<br />
<br />
p.199<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 15:01 30 nov 2010 (UTC)<br />
----<br />
<br />
3. Calcule <math>\int_0^{2\pi } \frac{1}{2-\text{Sin}(\theta )} \, d\theta </math> .<br />
<br />
Primero haciendo la sustitución <math>\text{Sin}(\theta )=\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right)</math> y <br />
<math>\mathrm d\theta</math> es igual a <math>\frac {\mathrm dz}{\mathrm i z}</math><br />
obtenemos la integral<br />
<br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{2+\left(\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right) \right)}\frac{dz}{i z} </math><br />
<br />
Simplificando queda <math>\int _c\frac{2}{4i z -z^2+1}dz\text{ }\frac{(-1)}{(-1)}</math> o<br />
<br />
<br />
<math>\int _c\frac{-2}{ z^2-4i z-1}dz<br />
</math><br />
<br />
Luego buscamos los polos del denomidador osea los polos de<br />
<math>z^2-4i z-1<br />
</math><br />
<br />
los cuales son <math> z=\overset{+}{-}\sqrt{3}i+2i</math><br />
<br />
solo tomamos el polo <math>-Sqrt[3] i + 2 i</math><br />
<br />
porque es el único que esta dentro del circulo de radio 1, el cual es la región sobre la que estamos integrando.<br />
<br />
<br />
Ahora obtenemos el Residuo de la funcion que es igual a<br />
<br />
<math>{\displaystyle lim_{z\longrightarrow(-\sqrt{3}i+2i )}}{\displaystyle \dfrac{z-(-\sqrt{3}i+2i )}{z^2 - 4 i z - 1}}=(-\frac{i}{2 \sqrt{3}})</math><br />
<br />
hay que recordar que sacamos un -2 de la integral por loque al multiplicar ese -2 por <math>-\frac{i}{2 \sqrt{3}}</math><br />
<br />
obtenemos <math>(2 I)/(2 Sqrt[3])</math> <br />
<br />
y finalmente por la siguiente definición<br />
<br />
<math>\frac{1}{2\pi i}\int _cf(z)dz=\left\{\text{Res}\left(f(z),z_1\right)+\text{...}+\text{Res}\left(f(z),z_k\right)\right\}<br />
</math><br />
<br />
la integral es igual a <br />
<math>\frac{2\pi}{\sqrt{3}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
4. Calcule <math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , <math>b>1</math><br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , < math > b > 1 < /math ><br />
<br />
al sustituir <math>\text{Cos}[\theta]=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)</math> <br />
<br />
y <math>\mathrm d\theta</math> es igual a <math>\frac {\mathrm dz}{\mathrm i z}</math><br />
<br />
obtenemos la integral <br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{i(1-z b)(z-b)}dz</math><br />
<br />
Buscasmos los polos de la función <math>\frac{1}{i(1-zb)(z-b)}</math> <br />
<br />
obtenemos que los dos polos que son <br />
<br />
<br />
<math>z=b</math> y <math>z=\frac{1}{b}</math> como <br />
<br />
<br />
<math>b>1</math> <br />
<br />
entonces el unico polo que estaría en la región que<br />
<br />
nos interesa es <math>z=1/b</math> <br />
<br />
por lo tanto solo necesitamos calcular el residuo de <br />
<br />
<math>f(z)</math> para este polo.<br />
<br />
<br />
<math>{\displaystyle lim_{z\longrightarrow(\frac{1}{b})}}{\displaystyle \dfrac{z-(\frac{1}{b} )}{i(1-z b)(z-b)}}=(-\frac{i}{-1+b^2})</math> <br />
<br />
<br />
<br />
finalmete la integral <br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta</math> <br />
<br />
<br />
es igual a <math>\frac{2 \pi }{-1+b^2}</math> <br />
<br />
--[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] 14:18 9 dic 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap2.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.4]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.5]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap3.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap3.4&diff=13595Compleja:ej-cap3.42010-12-09T14:18:54Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div>2.-'''Calcule''' <math>\int_{-\infty}^\infty\frac{x+1}{x^4+1}\,dx</math><br />
<br />
Tomamos la función compleja <math>f(z)=\frac{z+1}{z^4+1}</math> de la cual tomamos las raíces <math>z^4+1\,</math> para determinar los polos.Los cuales estan dados por:<br />
<br />
<math>z_1=e^{\frac{1}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_2=e^{\frac{3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_3=e^{\frac{-3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_4=e^{\frac{-1}{4}i\pi} \,</math><br />
<br />
<br />
<br />
p.199<br />
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[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 15:01 30 nov 2010 (UTC)<br />
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<br />
3. Calcule <math>\int_0^{2\pi } \frac{1}{2-\text{Sin}(\theta )} \, d\theta </math> .<br />
<br />
Primero haciendo la sustitución <math>\text{Sin}(\theta )=\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right)</math> y <br />
<math>\mathrm d\theta</math> es igual a <math>\frac {\mathrm dz}{\mathrm i z}</math><br />
obtenemos la integral<br />
<br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{2+\left(\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right) \right)}\frac{dz}{i z} </math><br />
<br />
Simplificando queda <math>\int _c\frac{2}{4i z -z^2+1}dz\text{ }\frac{(-1)}{(-1)}</math> o<br />
<br />
<br />
<math>\int _c\frac{-2}{ z^2-4i z-1}dz<br />
</math><br />
<br />
Luego buscamos los polos del denomidador osea los polos de<br />
<math>z^2-4i z-1<br />
</math><br />
<br />
los cuales son <math> z=\overset{+}{-}\sqrt{3}i+2i</math><br />
<br />
solo tomamos el polo <math>-Sqrt[3] i + 2 i</math><br />
<br />
porque es el único que esta dentro del circulo de radio 1, el cual es la región sobre la que estamos integrando.<br />
<br />
<br />
Ahora obtenemos el Residuo de la funcion que es igual a<br />
<br />
<math>{\displaystyle lim_{z\longrightarrow(-\sqrt{3}i+2i )}}{\displaystyle \dfrac{z-(-\sqrt{3}i+2i )}{z^2 - 4 i z - 1}}=(-\frac{i}{2 \sqrt{3}})</math><br />
<br />
hay que recordar que sacamos un -2 de la integral por loque al multiplicar ese -2 por <math>-\frac{i}{2 \sqrt{3}}</math><br />
<br />
obtenemos <math>(2 I)/(2 Sqrt[3])</math> <br />
<br />
y finalmente por la siguiente definición<br />
<br />
<math>\frac{1}{2\pi i}\int _cf(z)dz=\left\{\text{Res}\left(f(z),z_1\right)+\text{...}+\text{Res}\left(f(z),z_k\right)\right\}<br />
</math><br />
<br />
la integral es igual a <br />
<math>\frac{2\pi}{\sqrt{3}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
4. Calcule <math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , <math>b>1</math><br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , < math > b > 1 < /math ><br />
<br />
al sustituir <math>\text{Cos}[\theta]=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)</math> <br />
<br />
y <math>\mathrm d\theta</math> es igual a <math>\frac {\mathrm dz}{\mathrm i z}</math><br />
<br />
obtenemos la integral <br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{i(1-z b)(z-b)}dz</math><br />
<br />
Buscasmos los polos de la función <math>\frac{1}{i(1-zb)(z-b)}</math> <br />
<br />
obtenemos que dos polos que son <br />
<br />
<br />
<math>z=b</math> y <math>z=\frac{1}{b}</math> como <math>b>1<math> <br />
<br />
entonces el unico polo que estaría en la región que<br />
<br />
nos interesa es <math>z=1/b</math> por lo tanto solo necesitamos calcular el residuo de <math>f(z)</math> para este polo.<br />
<br />
<br />
<math>{\displaystyle lim_{z\longrightarrow(\frac{1}{b})}}{\displaystyle \dfrac{z-(\frac{1}{b} )}{i(1-z b)(z-b)}}=(-\frac{i}{-1+b^2})</math> <br />
<br />
<br />
<br />
finalmete la integral <br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta</math> <br />
<br />
<br />
es igual a <math>\frac{2 \pi }{-1+b^2}</math> <br />
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[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap2.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.4]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.5]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap3.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap3.4&diff=13594Compleja:ej-cap3.42010-12-09T14:16:30Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div>2.-'''Calcule''' <math>\int_{-\infty}^\infty\frac{x+1}{x^4+1}\,dx</math><br />
<br />
Tomamos la función compleja <math>f(z)=\frac{z+1}{z^4+1}</math> de la cual tomamos las raíces <math>z^4+1\,</math> para determinar los polos.Los cuales estan dados por:<br />
<br />
<math>z_1=e^{\frac{1}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_2=e^{\frac{3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_3=e^{\frac{-3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_4=e^{\frac{-1}{4}i\pi} \,</math><br />
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[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 15:01 30 nov 2010 (UTC)<br />
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<br />
3. Calcule <math>\int_0^{2\pi } \frac{1}{2-\text{Sin}(\theta )} \, d\theta </math> .<br />
<br />
Primero haciendo la sustitución <math>\text{Sin}(\theta )=\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right)</math> y <br />
<math>\mathrm d\theta</math> es igual a <math>\frac {\mathrm dz}{\mathrm i z}</math><br />
obtenemos la integral<br />
<br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{2+\left(\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right) \right)}\frac{dz}{i z} </math><br />
<br />
Simplificando queda <math>\int _c\frac{2}{4i z -z^2+1}dz\text{ }\frac{(-1)}{(-1)}</math> o<br />
<br />
<br />
<math>\int _c\frac{-2}{ z^2-4i z-1}dz<br />
</math><br />
<br />
Luego buscamos los polos del denomidador osea los polos de<br />
<math>z^2-4i z-1<br />
</math><br />
<br />
los cuales son <math> z=\overset{+}{-}\sqrt{3}i+2i</math><br />
<br />
solo tomamos el polo <math>-Sqrt[3] i + 2 i</math><br />
<br />
porque es el único que esta dentro del circulo de radio 1, el cual es la región sobre la que estamos integrando.<br />
<br />
<br />
Ahora obtenemos el Residuo de la funcion que es igual a<br />
<br />
<math>{\displaystyle lim_{z\longrightarrow(-\sqrt{3}i+2i )}}{\displaystyle \dfrac{z-(-\sqrt{3}i+2i )}{z^2 - 4 i z - 1}}=(-\frac{i}{2 \sqrt{3}})</math><br />
<br />
hay que recordar que sacamos un -2 de la integral por loque al multiplicar ese -2 por <math>-\frac{i}{2 \sqrt{3}}</math><br />
<br />
obtenemos <math>(2 I)/(2 Sqrt[3])</math> <br />
<br />
y finalmente por la siguiente definición<br />
<br />
<math>\frac{1}{2\pi i}\int _cf(z)dz=\left\{\text{Res}\left(f(z),z_1\right)+\text{...}+\text{Res}\left(f(z),z_k\right)\right\}<br />
</math><br />
<br />
la integral es igual a <br />
<math>\frac{2\pi}{\sqrt{3}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
4. Calcule <math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , <math>b>1</math><br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , < math > b > 1 < /math ><br />
<br />
al sustituir <math>\text{Cos}[\theta]=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)</math> <br />
<br />
y <math>\mathrm d\theta</math> es igual a <math>\frac {\mathrm dz}{\mathrm i z}</math><br />
<br />
obtenemos la integral <br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{i(1-z b)(z-b)}dz</math><br />
<br />
Buscasmos los polos de la función <math>\frac{1}{i(1-zb)(z-b)}</math> <br />
<br />
obtenemos que dos polos que son <br />
<br />
<br />
<math>z=b</math> y <math>z=\frac{1}{b}</math> como <math>b>1<math> <br />
<br />
entonces el unico polo que estaría en la región que<br />
<br />
nos interesa es <math>z=1/b</math> por lo tanto solo necesitamos calcular el residuo de <math>f(z)</math> para este polo.<br />
<br />
<br />
<math>{\displaystyle lim_{z\longrightarrow(\frac{1}{b})}}{\displaystyle \dfrac{z-(\frac{1}{b} )}{i(1-z b)(z-b)}}=(-\frac{i}{-1+b^2})</math> <br />
<br />
<br />
<br />
finalmete la integral <br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta</math> <br />
<br />
<br />
es igual a <br />
<br />
<math>2\pi i\text{}\left(-\frac{i}{-1+b^2}\right)<math><br />
<br />
o <math>\frac{2\pi}{-1+b^2}</math> --[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] 04:27 9 dic 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap2.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.4]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.5]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap3.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap3.4&diff=13593Compleja:ej-cap3.42010-12-09T14:14:29Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div>2.-'''Calcule''' <math>\int_{-\infty}^\infty\frac{x+1}{x^4+1}\,dx</math><br />
<br />
Tomamos la función compleja <math>f(z)=\frac{z+1}{z^4+1}</math> de la cual tomamos las raíces <math>z^4+1\,</math> para determinar los polos.Los cuales estan dados por:<br />
<br />
<math>z_1=e^{\frac{1}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_2=e^{\frac{3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_3=e^{\frac{-3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_4=e^{\frac{-1}{4}i\pi} \,</math><br />
<br />
<br />
<br />
p.199<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 15:01 30 nov 2010 (UTC)<br />
----<br />
<br />
3. Calcule <math>\int_0^{2\pi } \frac{1}{2-\text{Sin}(\theta )} \, d\theta </math> .<br />
<br />
Primero haciendo la sustitución <math>\text{Sin}(\theta )=\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right)</math> y <br />
<math>\mathrm d\theta</math> es igual a <math>\frac {\mathrm dz}{\mathrm i z}</math><br />
obtenemos la integral<br />
<br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{2+\left(\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right) \right)}\frac{dz}{i z} </math><br />
<br />
Simplificando queda <math>\int _c\frac{2}{4i z -z^2+1}dz\text{ }\frac{(-1)}{(-1)}</math> o<br />
<br />
<br />
<math>\int _c\frac{-2}{ z^2-4i z-1}dz<br />
</math><br />
<br />
Luego buscamos los polos del denomidador osea los polos de<br />
<math>z^2-4i z-1<br />
</math><br />
<br />
los cuales son <math> z=\overset{+}{-}\sqrt{3}i+2i</math><br />
<br />
solo tomamos el polo <math>-Sqrt[3] i + 2 i</math><br />
<br />
porque es el único que esta dentro del circulo de radio 1, el cual es la región sobre la que estamos integrando.<br />
<br />
<br />
Ahora obtenemos el Residuo de la funcion que es igual a<br />
<br />
<math>{\displaystyle lim_{z\longrightarrow(-\sqrt{3}i+2i )}}{\displaystyle \dfrac{z-(-\sqrt{3}i+2i )}{z^2 - 4 i z - 1}}=(-\frac{i}{2 \sqrt{3}})</math><br />
<br />
hay que recordar que sacamos un -2 de la integral por loque al multiplicar ese -2 por <math>-\frac{i}{2 \sqrt{3}}</math><br />
<br />
obtenemos <math>(2 I)/(2 Sqrt[3])</math> <br />
<br />
y finalmente por la siguiente definición<br />
<br />
<math>\frac{1}{2\pi i}\int _cf(z)dz=\left\{\text{Res}\left(f(z),z_1\right)+\text{...}+\text{Res}\left(f(z),z_k\right)\right\}<br />
</math><br />
<br />
la integral es igual a <br />
<math>\frac{2\pi}{\sqrt{3}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
4. Calcule <math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , <math>b>1</math><br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , < math > b > 1 < /math ><br />
<br />
al sustituir <math>\text{Cos}[\theta]=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)</math> <br />
<br />
y <br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{i(1-z b)(z-b)}dz</math><br />
<br />
Buscasmos los polos de la función <math>\frac{1}{i(1-zb)(z-b)}</math> <br />
<br />
obtenemos que dos polos que son <br />
<br />
<br />
<math>z=b</math> y <math>z=\frac{1}{b}</math> como <math>b>1<math> <br />
<br />
entonces el unico polo que estaría en la región que<br />
<br />
nos interesa es <math>z=1/b</math> por lo tanto solo necesitamos calcular el residuo de <math>f(z)</math> para este polo.<br />
<br />
<br />
<math>{\displaystyle lim_{z\longrightarrow(\frac{1}{b})}}{\displaystyle \dfrac{z-(\frac{1}{b} )}{i(1-z b)(z-b)}}=(-\frac{i}{-1+b^2})</math> <br />
<br />
<br />
<br />
finalmete la integral <br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta</math> <br />
<br />
<br />
es igual a <br />
<br />
<math>2\pi i\text{}\left(-\frac{i}{-1+b^2}\right)<math><br />
<br />
o <math>\frac{2\pi}{-1+b^2}</math> --[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] 04:27 9 dic 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap2.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.4]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.5]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap3.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap3.4&diff=13592Compleja:ej-cap3.42010-12-09T14:12:11Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div>2.-'''Calcule''' <math>\int_{-\infty}^\infty\frac{x+1}{x^4+1}\,dx</math><br />
<br />
Tomamos la función compleja <math>f(z)=\frac{z+1}{z^4+1}</math> de la cual tomamos las raíces <math>z^4+1\,</math> para determinar los polos.Los cuales estan dados por:<br />
<br />
<math>z_1=e^{\frac{1}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_2=e^{\frac{3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_3=e^{\frac{-3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_4=e^{\frac{-1}{4}i\pi} \,</math><br />
<br />
<br />
<br />
p.199<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 15:01 30 nov 2010 (UTC)<br />
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<br />
3. Calcule <math>\int_0^{2\pi } \frac{1}{2-\text{Sin}(\theta )} \, d\theta </math> .<br />
<br />
Primero haciendo la sustitución <math>\text{Sin}(\theta )=\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right)</math> y <br />
<math>\mathrm d\theta</math> es igual a <math>\frac {\mathrm dz}{\mathrm i z}</math><br />
obtenemos la integral<br />
<br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{2+\left(\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right) \right)}\frac{dz}{i z} </math><br />
<br />
Simplificando queda <math>\int _c\frac{2}{4i z -z^2+1}dz\text{ }\frac{(-1)}{(-1)}</math> o<br />
<br />
<br />
<math>\int _c\frac{-2}{ z^2-4i z-1}dz<br />
</math><br />
<br />
Luego buscamos los polos del denomidador osea los polos de<br />
<math>z^2-4i z-1<br />
</math><br />
<br />
los cuales son <math> z=\overset{+}{-}\sqrt{3}i+2i</math><br />
<br />
solo tomamos el polo <math>-Sqrt[3] i + 2 i<br />
</math> porque es el único que esta dentro del circulo de radio 1, el cual es la región sobre la que estamos integrando.<br />
<br />
<br />
Ahora obtenemos el Residuo de la funcion que es igual a<br />
<br />
<math>{\displaystyle lim_{z\longrightarrow(-\sqrt{3}i+2i )}}{\displaystyle \dfrac{z-(-\sqrt{3}i+2i )}{z^2 - 4 i z - 1}}=(-\frac{i}{2 \sqrt{3}})</math><br />
<br />
hay que recordar que sacamos un -2 de la integral por loque al multiplicar ese -2 por <math>-\frac{i}{2 \sqrt{3}}</math><br />
<br />
obtenemos <math>(2 I)/(2 Sqrt[3])</math> <br />
<br />
y finalmente por la siguiente definición<br />
<br />
<math>\frac{1}{2\pi i}\int _cf(z)dz=\left\{\text{Res}\left(f(z),z_1\right)+\text{...}+\text{Res}\left(f(z),z_k\right)\right\}<br />
</math><br />
<br />
la integral es igual a <br />
<math>\frac{2\pi}{\sqrt{3}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
4. Calcule <math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , <math>b>1</math><br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , < math > b > 1 < /math ><br />
<br />
al sustituir <math>\text{Cos}[\theta]=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)</math> <br />
<br />
y <br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{i(1-z b)(z-b)}dz</math><br />
<br />
Buscasmos los polos de la función <math>\frac{1}{i(1-zb)(z-b)}</math> <br />
<br />
obtenemos que dos polos que son <br />
<br />
<br />
<math>z=b</math> y <math>z=\frac{1}{b}</math> como <math>b>1<math> <br />
<br />
entonces el unico polo que estaría en la región que<br />
<br />
nos interesa es <math>z=1/b</math> por lo tanto solo necesitamos calcular el residuo de <math>f(z)</math> para este polo.<br />
<br />
<br />
<math>{\displaystyle lim_{z\longrightarrow(\frac{1}{b})}}{\displaystyle \dfrac{z-(\frac{1}{b} )}{i(1-z b)(z-b)}}=(-\frac{i}{-1+b^2}})</math> <br />
<br />
<br />
<br />
finalmete la integral <br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta</math> <br />
<br />
<br />
es igual a <br />
<br />
<math>2\pi i\text{}\left(-\frac{i}{-1+b^2}\right)<math><br />
<br />
o <math>\frac{2\pi}{-1+b^2}</math> --[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] 04:27 9 dic 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap2.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.4]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.5]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap3.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap3.4&diff=13591Compleja:ej-cap3.42010-12-09T14:03:17Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div>2.-'''Calcule''' <math>\int_{-\infty}^\infty\frac{x+1}{x^4+1}\,dx</math><br />
<br />
Tomamos la función compleja <math>f(z)=\frac{z+1}{z^4+1}</math> de la cual tomamos las raíces <math>z^4+1\,</math> para determinar los polos.Los cuales estan dados por:<br />
<br />
<math>z_1=e^{\frac{1}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_2=e^{\frac{3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_3=e^{\frac{-3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_4=e^{\frac{-1}{4}i\pi} \,</math><br />
<br />
<br />
<br />
p.199<br />
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[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 15:01 30 nov 2010 (UTC)<br />
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<br />
3. Calcule <math>\int_0^{2\pi } \frac{1}{2-\text{Sin}(\theta )} \, d\theta </math> .<br />
<br />
Primero haciendo la sustitución <math>\text{Sin}(\theta )=\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right)</math> y <br />
<math>\mathrm d\theta</math> es igual a <math>\frac {\mathrm dz}{\mathrm i z}</math><br />
obtenemos la integral<br />
<br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{2+\left(\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right) \right)}\frac{dz}{i z} </math><br />
<br />
Simplificando queda <math>\int _c\frac{2}{4i z -z^2+1}dz\text{ }\frac{(-1)}{(-1)}</math> o<br />
<br />
<br />
<math>\int _c\frac{-2}{ z^2-4i z-1}dz<br />
</math><br />
<br />
Luego buscamos los polos del denomidador osea los polos de<br />
<math>z^2-4i z-1<br />
</math><br />
<br />
los cuales son <math> z=\overset{+}{-}\sqrt{3}i+2i</math><br />
<br />
solo tomamos el polo <math>-Sqrt[3] i + 2 i<br />
</math> porque es el único que esta dentro del circulo de radio 1, el cual es la región sobre la que estamos integrando.<br />
<br />
<br />
Ahora obtenemos el Residuo de la funcion que es igual a<br />
<br />
<math>{\displaystyle lim_{z\longrightarrow(-\sqrt{3}i+2i )}}{\displaystyle \dfrac{z-(-\sqrt{3}i+2i )}{z^2 - 4 i z - 1}}=(-\frac{i}{2 \sqrt{3}})</math><br />
<br />
hay que recordar que sacamos un -2 de la integral por loque al multiplicar ese -2 por <math>-\frac{i}{2 \sqrt{3}}</math><br />
<br />
obtenemos <math>(2 I)/(2 Sqrt[3])</math> <br />
<br />
y finalmente por la siguiente definición<br />
<br />
<math>\frac{1}{2\pi i}\int _cf(z)dz=\left\{\text{Res}\left(f(z),z_1\right)+\text{...}+\text{Res}\left(f(z),z_k\right)\right\}<br />
</math><br />
<br />
la integral es igual a <br />
<math>\frac{2\pi}{\sqrt{3}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
4. Calcule <math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , <math>b>1</math><br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , < math > b > 1 < /math ><br />
<br />
al sustituir <math>\text{Cos}[\theta]=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)</math> <br />
<br />
y <br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{i(1-z b)(z-b)}dz</math><br />
<br />
Buscasmos los polos de la función <math>\frac{1}{i(1-zb)(z-b)}</math> <br />
<br />
obtenemos que dos polos que son <br />
<br />
<br />
<math>z=b</math> y <math>z=\frac{1}{b}</math> como <math>b>1<math> <br />
<br />
entonces el unico polo que estaría en la región que<br />
<br />
nos interesa es <math>z=1/b</math> por lo tanto solo necesitamos calcular el residuo de <math>f(z)</math> para este polo.<br />
<br />
<math>{\displaystyle lim_{z\longrightarrow\frac{1}{b}}{\displaystyle \dfrac{z-\frac{1}{b}}{\left({i(1-bz)(z-b)}}=-\frac{i}{-1+b^2}</math> <br />
<br />
<br />
<br />
finalmete la integral <br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta</math> <br />
<br />
<br />
es igual a <math>2\pi i\text{}\left(-\frac{i}{-1+b^2}\right)<math><br />
<br />
o <math>\frac{2\pi}{-1+b^2}</math> --[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] 04:27 9 dic 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap2.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.4]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.5]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap3.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap3.4&diff=13590Compleja:ej-cap3.42010-12-09T14:01:59Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div>2.-'''Calcule''' <math>\int_{-\infty}^\infty\frac{x+1}{x^4+1}\,dx</math><br />
<br />
Tomamos la función compleja <math>f(z)=\frac{z+1}{z^4+1}</math> de la cual tomamos las raíces <math>z^4+1\,</math> para determinar los polos.Los cuales estan dados por:<br />
<br />
<math>z_1=e^{\frac{1}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_2=e^{\frac{3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_3=e^{\frac{-3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_4=e^{\frac{-1}{4}i\pi} \,</math><br />
<br />
<br />
<br />
p.199<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 15:01 30 nov 2010 (UTC)<br />
----<br />
<br />
3. Calcule <math>\int_0^{2\pi } \frac{1}{2-\text{Sin}(\theta )} \, d\theta </math> .<br />
<br />
Primero haciendo la sustitución <math>\text{Sin}(\theta )=\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right)</math> y <br />
<math>\mathrm d\theta</math> es igual a <math>\frac {\mathrm dz}{\mathrm i z}</math><br />
obtenemos la integral<br />
<br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{2+\left(\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right) \right)}\frac{dz}{i z} </math><br />
<br />
Simplificando queda <math>\int _c\frac{2}{4i z -z^2+1}dz\text{ }\frac{(-1)}{(-1)}</math> o<br />
<br />
<br />
<math>\int _c\frac{-2}{ z^2-4i z-1}dz<br />
</math><br />
<br />
Luego buscamos los polos del denomidador osea los polos de<br />
<math>z^2-4i z-1<br />
</math><br />
<br />
los cuales son <math> z=\overset{+}{-}\sqrt{3}i+2i</math><br />
<br />
solo tomamos el polo <math>-Sqrt[3] i + 2 i<br />
</math> porque es el único que esta dentro del circulo de radio 1, el cual es la región sobre la que estamos integrando.<br />
<br />
<br />
Ahora obtenemos el Residuo de la funcion que es igual a<br />
<br />
<math>{\displaystyle lim_{z\longrightarrow(-\sqrt{3}i+2i )}}{\displaystyle \dfrac{z-(-\sqrt{3}i+2i )}{z^2 - 4 i z - 1}}=(-\frac{i}{2 \sqrt{3}})</math><br />
<br />
hay que recordar que sacamos un -2 de la integral por loque al multiplicar ese -2 por <math>-\frac{i}{2 \sqrt{3}}</math><br />
<br />
obtenemos <math>(2 I)/(2 Sqrt[3])</math> <br />
<br />
y finalmente por la siguiente definición<br />
<br />
<math>\frac{1}{2\pi i}\int _cf(z)dz=\left\{\text{Res}\left(f(z),z_1\right)+\text{...}+\text{Res}\left(f(z),z_k\right)\right\}<br />
</math><br />
<br />
la integral es igual a <br />
<math>\frac{2\pi}{\sqrt{3}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
4. Calcule <math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , <math>b>1</math><br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , < math > b > 1 < /math ><br />
<br />
al sustituir <math>\text{Cos}[\theta]=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)</math> <br />
<br />
y <math>\text{d\theta}=\frac{\text{dz}}{iz}<math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{i(1-z b)(z-b)}dz</math><br />
<br />
Buscasmos los polos de la función <math>\frac{1}{i(1-zb)(z-b)}</math> <br />
<br />
obtenemos que dos polos que son <br />
<br />
<br />
<math>z=b</math> y <math>z=\frac{1}{b}</math> como <math>b>1<math> <br />
<br />
entonces el unico polo que estaría en la región que<br />
<br />
nos interesa es <math>z=1/b</math> por lo tanto solo necesitamos calcular el residuo de <math>f(z)</math> para este polo.<br />
<br />
<math>{\displaystyle lim_{z\longrightarrow\frac{1}{b}}{\displaystyle \dfrac{z-\frac{1}{b}}{\left({i(1-bz)(z-b)}}=-\frac{i}{-1+b^2}</math> <br />
<br />
<br />
<br />
finalmete la integral <br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta</math> <br />
<br />
<br />
es igual a <math>2\pi i\text{}\left(-\frac{i}{-1+b^2}\right)<math><br />
<br />
o <math>\frac{2\pi}{-1+b^2}</math> --[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] 04:27 9 dic 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap2.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.4]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.5]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap3.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap3.4&diff=13589Compleja:ej-cap3.42010-12-09T13:58:53Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div>2.-'''Calcule''' <math>\int_{-\infty}^\infty\frac{x+1}{x^4+1}\,dx</math><br />
<br />
Tomamos la función compleja <math>f(z)=\frac{z+1}{z^4+1}</math> de la cual tomamos las raíces <math>z^4+1\,</math> para determinar los polos.Los cuales estan dados por:<br />
<br />
<math>z_1=e^{\frac{1}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_2=e^{\frac{3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_3=e^{\frac{-3}{4}i\pi} \,</math>, <math>z_4=e^{\frac{-1}{4}i\pi} \,</math><br />
<br />
<br />
<br />
p.199<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 15:01 30 nov 2010 (UTC)<br />
----<br />
<br />
3. Calcule <math>\int_0^{2\pi } \frac{1}{2-\text{Sin}(\theta )} \, d\theta </math> .<br />
<br />
Primero haciendo la sustitución <math>\text{Sin}(\theta )=\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right)</math> y <br />
<math>\mathrm d\theta</math> es igual a <math>\frac {\mathrm dz}{\mathrm i z}</math><br />
obtenemos la integral<br />
<br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{2+\left(\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right) \right)}\frac{dz}{i z} </math><br />
<br />
Simplificando queda <math>\int _c\frac{2}{4i z -z^2+1}dz\text{ }\frac{(-1)}{(-1)}</math> o<br />
<br />
<br />
<math>\int _c\frac{-2}{ z^2-4i z-1}dz<br />
</math><br />
<br />
Luego buscamos los polos del denomidador osea los polos de<br />
<math>z^2-4i z-1<br />
</math><br />
<br />
los cuales son <math> z=\overset{+}{-}\sqrt{3}i+2i</math><br />
<br />
solo tomamos el polo <math>-Sqrt[3] i + 2 i<br />
</math> porque es el único que esta dentro del circulo de radio 1, el cual es la región sobre la que estamos integrando.<br />
<br />
<br />
Ahora obtenemos el Residuo de la funcion que es igual a<br />
<br />
<math>{\displaystyle lim_{z\longrightarrow(-\sqrt{3}i+2i )}}{\displaystyle \dfrac{z-(-\sqrt{3}i+2i )}{z^2 - 4 i z - 1}}=(-\frac{i}{2 \sqrt{3}})</math><br />
<br />
hay que recordar que sacamos un -2 de la integral por loque al multiplicar ese -2 por <math>-\frac{i}{2 \sqrt{3}}</math><br />
<br />
obtenemos <math>(2 I)/(2 Sqrt[3])</math> <br />
<br />
y finalmente por la siguiente definición<br />
<br />
<math>\frac{1}{2\pi i}\int _cf(z)dz=\left\{\text{Res}\left(f(z),z_1\right)+\text{...}+\text{Res}\left(f(z),z_k\right)\right\}<br />
</math><br />
<br />
la integral es igual a <br />
<math>\frac{2\pi}{\sqrt{3}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
4. Calcule <math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , <math>b>1</math><br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , < math > b > 1 < /math ><br />
<br />
al sustituir <math>\text{Cos}[\theta]=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)</math> <br />
<br />
y <math>\text{d\theta}=\frac{\text{dz}}{iz}<math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\int _C\frac{1}{\left(1-2b\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)+b^2\right)}\frac{dz}{iz}</math><br />
<br />
Buscasmos los polos de la función <math>\frac{1}{i(1-zb)(z-b)}</math> <br />
<br />
obtenemos que dos polos que son <br />
<br />
<br />
<math>z=b</math> y <math>z=\frac{1}{b}</math> como <math>b>1<math> <br />
<br />
entonces el unico polo que estaría en la región que<br />
<br />
nos interesa es <math>z=1/b</math> por lo tanto solo necesitamos calcular el residuo de <math>f(z)</math> para este polo.<br />
<br />
<math>{\displaystyle lim_{z\longrightarrow\frac{1}{b}}{\displaystyle \dfrac{z-\frac{1}{b}}{\left({i(1-bz)(z-b)}}=-\frac{i}{-1+b^2}</math> <br />
<br />
<br />
<br />
finalmete la integral <br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta</math> <br />
<br />
<br />
es igual a <math>2\pi i\text{}\left(-\frac{i}{-1+b^2}\right)<math><br />
<br />
o <math>\frac{2\pi}{-1+b^2}</math> --[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] 04:27 9 dic 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap2.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.4]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.5]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap3.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap3.4&diff=13562Compleja:ej-cap3.42010-12-09T04:40:26Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div>p.199<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 15:01 30 nov 2010 (UTC)<br />
----<br />
<br />
3. Calcule <math>\int_0^{2\pi } \frac{1}{2-\text{Sin}(\theta )} \, d\theta </math> .<br />
<br />
Primero haciendo la sustitución <math>\text{Sin}(\theta )=\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right)</math> y <br />
<math>\mathrm d\theta</math> es igual a <math>\frac {\mathrm dz}{\mathrm i z}</math><br />
obtenemos la integral<br />
<br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{2+\left(\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right) \right)}\frac{dz}{i z} </math><br />
<br />
Simplificando queda <math>\int _c\frac{2}{4i z -z^2+1}dz\text{ }\frac{(-1)}{(-1)}</math> o<br />
<br />
<br />
<math>\int _c\frac{-2}{ z^2-4i z-1}dz<br />
</math><br />
<br />
Luego buscamos los polos del denomidador osea los polos de<br />
<math>z^2-4i z-1<br />
</math><br />
<br />
los cuales son <math> z=\overset{+}{-}\sqrt{3}i+2i</math><br />
<br />
solo tomamos el polo <math>-Sqrt[3] i + 2 i<br />
</math> porque es el único que esta dentro del circulo de radio 1, el cual es la región sobre la que estamos integrando.<br />
<br />
<br />
Ahora obtenemos el Residuo de la funcion que es igual a<br />
<br />
<math>{\displaystyle lim_{z\longrightarrow(-\sqrt{3}i+2i )}}{\displaystyle \dfrac{z-(-\sqrt{3}i+2i )}{z^2 - 4 i z - 1}}=(-\frac{i}{2 \sqrt{3}})</math><br />
<br />
hay que recordar que sacamos un -2 de la integral por loque al multiplicar ese -2 por <math>-\frac{i}{2 \sqrt{3}}</math><br />
<br />
obtenemos <math>(2 I)/(2 Sqrt[3])</math> <br />
<br />
y finalmente por la siguiente definición<br />
<br />
<math>\frac{1}{2\pi i}\int _cf(z)dz=\left\{\text{Res}\left(f(z),z_1\right)+\text{...}+\text{Res}\left(f(z),z_k\right)\right\}<br />
</math><br />
<br />
la integral es igual a <br />
<math>\frac{2\pi}{\sqrt{3}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
4. Calcule <math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , <math>b>1</math><br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , < math > b > 1 < /math ><br />
<br />
al sustituir <math>\text{Cos}[\theta]=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)</math> <br />
<br />
y <math>\text{d$\theta $}=\frac{\text{dz}}{iz}<math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\int _C\frac{1}{\left(1-2b\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)+b^2\right)}\frac{dz}{iz}</math><br />
<br />
Buscasmos los polos de la función <math>\frac{1}{i(1-zb)(z-b)}</math> <br />
<br />
obtenemos que dos polos que son <br />
<br />
<br />
<math>z=b</math> y <math>z=\frac{1}{b}</math> como <math>b>1<math> <br />
<br />
entonces el unico polo que estaría en la región que<br />
<br />
nos interesa es <math>z=1/b</math> por lo tanto solo necesitamos calcular el residuo de <math>f(z)</math> para este polo.<br />
<br />
<math>{\displaystyle lim_{z\longrightarrow\frac{1}{b}}{\displaystyle \dfrac{z-\frac{1}{b}}{\left({i(1-bz)(z-b)}}=-\frac{i}{-1+b^2}</math> <br />
<br />
<br />
<br />
finalmete la integral <br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta</math> <br />
<br />
<br />
es igual a <math>2\pi i\text{}\left(-\frac{i}{-1+b^2}\right)<math><br />
<br />
o <math>\frac{2\pi}{-1+b^2}</math> --[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] 04:27 9 dic 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap2.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.4]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.5]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap3.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>Pedro Pablo Ramírez Martínezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Compleja:ej-cap3.4&diff=13561Compleja:ej-cap3.42010-12-09T04:32:16Z<p>Pedro Pablo Ramírez Martínez: </p>
<hr />
<div>p.199<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 15:01 30 nov 2010 (UTC)<br />
----<br />
<br />
3. Calcule <math>\int_0^{2\pi } \frac{1}{2-\text{Sin}(\theta )} \, d\theta </math> .<br />
<br />
Primero haciendo la sustitución <math>\text{Sin}(\theta )=\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right)</math> y <br />
<math>\mathrm d\theta</math> es igual a <math>\frac {\mathrm dz}{\mathrm i z}</math><br />
obtenemos la integral<br />
<br />
<br />
<math>\int _c\frac{1}{2+\left(\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right) \right)}\frac{dz}{i z} </math><br />
<br />
Simplificando queda <math>\int _c\frac{2}{4i z -z^2+1}dz\text{ }\frac{(-1)}{(-1)}</math> o<br />
<br />
<br />
<math>\int _c\frac{-2}{ z^2-4i z-1}dz<br />
</math><br />
<br />
Luego buscamos los polos del denomidador osea los polos de<br />
<math>z^2-4i z-1<br />
</math><br />
<br />
los cuales son <math> z=\overset{+}{-}\sqrt{3}i+2i</math><br />
<br />
solo tomamos el polo <math>-Sqrt[3] i + 2 i<br />
</math> porque es el único que esta dentro del circulo de radio 1, el cual es la región sobre la que estamos integrando.<br />
<br />
<br />
Ahora obtenemos el Residuo de la funcion que es igual a<br />
<br />
<math>{\displaystyle lim_{z\longrightarrow(-\sqrt{3}i+2i )}}{\displaystyle \dfrac{z-(-\sqrt{3}i+2i )}{z^2 - 4 i z - 1}}=(-\frac{i}{2 \sqrt{3}})</math><br />
<br />
hay que recordar que sacamos un -2 de la integral por loque al multiplicar ese -2 por <math>-\frac{i}{2 \sqrt{3}}</math><br />
<br />
obtenemos <math>(2 I)/(2 Sqrt[3])</math> <br />
<br />
y finalmente por la siguiente definición<br />
<br />
<math>\frac{1}{2\pi i}\int _cf(z)dz=\left\{\text{Res}\left(f(z),z_1\right)+\text{...}+\text{Res}\left(f(z),z_k\right)\right\}<br />
</math><br />
<br />
la integral es igual a <br />
<math>\frac{2\pi}{\sqrt{3}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
4. Calcule <math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , <math>b>1</math><br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , < math > b > 1 < /math ><br />
<br />
al sustituir <math>\text{Cos}[\theta]=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)</math> <br />
<br />
y <math>\text{d$\theta $}=\frac{\text{dz}}{iz}<math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\int _C\frac{1}{\left(1-2b\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)+b^2\right)}\frac{dz}{iz}</math><br />
<br />
Buscasmos los polos de la función <math>\frac{1}{i(1-zb)(z-b)}</math> <br />
<br />
obtenemos que dos polos que son <br />
<br />
<br />
<math>z=b</math> y <math>z=\frac{1}{b}</math> como <math>b>1<math> <br />
<br />
entonces el unico polo que estaría en la región que<br />
<br />
nos interesa es <math>z=1/b</math> por lo tanto solo necesitamos calcular el residuo de <math>f(z)</math> para este polo.<br />
<br />
<br />
<math>{\displaystylelim_{z\longrightarrow(frac{2\pi}{b})}}\{\displaystyle\dfrac{z-(frac{2\pi}{b})}{i(1-bz)(z-b)}}=(-\frac{i}{-1+b^2})</math><br />
<br />
<br />
<br />
finalmete la integral <br />
<br />
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta</math> <br />
<br />
<br />
es igual a <math>2\pi i\text{}\left(-\frac{i}{-1+b^2}\right)<math><br />
<br />
o <math>\frac{2\pi}{-1+b^2}</math> --[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] 04:27 9 dic 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap1.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap1.4]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap2.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.4]]<br />
[[Compleja:ej-cap2.5]]<br />
<br />
[[Compleja:ej-cap3.1]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.2]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.3]]<br />
[[Compleja:ej-cap3.4]]<br />
<br />
[[categoría:Compleja]]</div>Pedro Pablo Ramírez Martínez