https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/api.php?action=feedcontributions&user=Jerlbcslsd&feedformat=atomluz-wiki - Contribuciones del usuario [es]2024-03-28T09:20:56ZContribuciones del usuarioMediaWiki 1.39.6https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28717Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T21:06:40Z<p>Jerlbcslsd: </p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en un programa escrito en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
$[\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
La solución de esta ecuación tiene 3 partes, la solución azimutal $Ψ(Φ)$, la solución polar $Ψ(θ)$ y la solución radial $Ψ(r)$. Por el alcance de este texto nos interesa sólo la parte radial de la solución.<br />
<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución radial de la ecuación de Schrödinger introduce una variable nueva, el número cuántico orbital $l$, que adopta valores enteros positivos. Así, la ecuación radial queda, <br />
<br />
<br />
<br />
$\frac{1}{R} \frac{∂}{∂r} ( r^{2} \frac{∂R}{∂r}) - \frac{2μ r^{2}}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) = -l(l+1) $<br />
<br />
<br />
<br />
Con algo de álgebra <ref>Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2).https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf</ref> podemos reescribir la ecuación anterior cómo,<br />
\begin{equation}<br />
\frac{∂^{2} R}{∂ r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{∂R}{∂r} - \frac{2μ}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{-l(l+1) ħ^{2}}{2μ r^{2}} - E) R = 0 <br />
\label{radial}<br />
\end{equation} <br />
<br />
Ahora me tomaré un momento para explorar cómo se comporta ésta solución para valores muy grande de $r$, donde hago despreciables los términos $r^{-1}$ y $r^{-2}$, es decir <br />
<br />
$r → ∞: \frac{∂^{2} R_∞}{∂r^{2}} + \frac{2μE}{ħ^{2}} R_∞ = 0$<br />
<br />
la solución de la ecuación anterior es una combinación lineal de exponenciales reales pero para evitar divergencia para valores valores muy grandes de $r$, me quedo sólo con una exponencial decreciente,<br />
<br />
$R_∞ (r) = C e^{-\frac{\sqrt{2μ|E|}}{ħ}r} = \frac{1Ry}{n^{2}}$<br />
<br />
La forma final de la solución radial se obtiene de una serie de potencias. No es mi intención abundar en cómo se soluciona la ecuación analíticamente así que bastará mostrar que (\ref{radial}) queda cómo<br />
<br />
$R = C e^{-\frac{r}{n a*_0}} (\frac{2r}{n a*_0})^{l} L_{n-l-1}(\frac{2r}{n a*_0})$<br />
<br />
donde $a*_0$ es el radio de Bohr reducido, <br />
<br />
$a*_0 = \frac{4π ε_0 ħ^{2} }{μ e^{2}}$<br />
<br />
$n$ es el número cuántico principal $nЄ(1,2,3,...)$ y la energía queda cómo<br />
<br />
$E = \frac{μ e^{4}}{32 π^{2} ε_0^{2} ħ^{2} n^{2}} = \frac{1Ry}{n^{2}} $<br />
<br />
donde Ry se refiere a 1 Rydberg, $1 Ry = 13.605 eV$ y es claro que la energía está cuantizada.<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
$\frac{df(x)}{dx} = lim_{h→0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $<br />
<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} ≈ \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h} = \frac{f(x-h) - 2f(x) + f(x+h)}{h^{2}}<br />
\label{segunda}<br />
\end{equation} <br />
<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: $x-h$, $x$ y $x+h$. <br />
Puedo elegir más puntos para la aproximación pero ésto requiere expandir el operador en serie de Taylor. Por ahora bastará mostrar a manera de ejemplo cómo se ve la solución numérica que obtengo con el método. Para ello, considero la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ(x) = -\frac{2m}{ħ} Eψ(x) $<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor $h$. La solución es la lista de valores $ψ(0)$, $ψ(h)$, $ψ(2h)$,...,$ψ((N+1)h)$. Para estos valores, puedo expresar una ecuación con índices,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ_i = -\frac{2m}{ħ} Eψ_i$ → $ᗄ_i Є (1,...,N)$<br />
<br />
<br />
<br />
Donde $N+2$ es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la ecuación (\ref{segunda}) para reescribir la ecuación de onda, <br />
<br />
$\frac{ψ_{i-1} - 2ψ_i + ψ_i+1}{h^{2}} = -\frac{2m}{ħ^{2}} Eψ_i$<br />
<br />
Puedo expresar este sistema de ecuaciones de forma matricial,<br />
<br />
$\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix} = \frac{-2mE}{ħ} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix}$<br />
<br />
<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores $ψ$ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles cuantizados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera es pertinente un comentario adicional: la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht, $ ψ_0 = ψ_N+1 = 0$. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores $ ψ_0$ y $ψ_N+1 $. Cómo el valor es 0, el operador diferencial no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores $ ψ_0 y ψ_N+1 $, y me quedo con las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Retomando la ecuación (\ref{radial}), es conveniente sustituir $ρ = rR → R=\frac{ρ}{r}$, por lo que reescribo el operador cómo,<br />
<br />
$\frac{∂}{∂r} (r^{2} \frac{∂}{∂r} \frac{ρ}{r}) = \frac{∂}{∂r} [r^{2} \frac{1}{r} \frac{∂ρ}{∂r} + r^{2} ρ (-\frac{1}{r^{2}})] = \frac{∂ρ}{∂r} + r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}}-\frac{∂ρ}{∂r} = r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} $<br />
<br />
Por lo tanto, <br />
<br />
$r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μr^{2}}{ħ^{2}}(\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) \frac{ρ}{r} = 0 $<br />
<br />
dividido por r,<br />
<br />
$ \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μ}{ħ^{2}}\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) ρ = 0 $<br />
<br />
Divido por el término constante y pasó el término que involucra a la energía a la derecha, <br />
<br />
$- \frac{ħ}{2μ} \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} + \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}ρ - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}}ρ = Eρ $<br />
<br />
Discretizo la coordenada radial usando una red equidistante $r_i$ con $N$ elementos y un desplazamiento igual a $h=r_{i+1}-r_i$. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero corresponde al operador de Laplace,<br />
<br />
$-\frac{ħ^{2}}{2μ}*\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
$\frac{e^{2}}{4πε_0}\begin{bmatrix}<br />
\frac{1}{r_1} & & & \\<br />
& \frac{1}{r_2} & & \\ <br />
& & \ddots & \\<br />
& & &\frac{1}{r_N} \\<br />
<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
por último, <br />
<br />
$\frac{ħ^{2}}{2μ}\begin{bmatrix}<br />
\frac{1}{r_1^{2}} & & & \\<br />
& \frac{1}{r_2^{2}} & & \\ <br />
& & \ddots & \\<br />
& & &\frac{1}{r_N^{2}} \\<br />
<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores $ρ$ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del electrón en el átomo de hidrógeno gracias a la sustitución que adopté antes, $ρ= rR$.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
<br />
Para la implementación definimos funciones que calculan las matrices diagonales señaladas en la sección anterior. Estas funciones dependen de la coordenada discretizada $r$. Con las funciones construimos un hamiltoniano con forma matricial. El siguiente paso es establecer el número de elementos $N$ de nuestro espacio discretizado, el número cuántico orbital $l$ y una región radial de largo 20 $nm$ donde excluimos el origen coordenado para evitar una indeterminación. <br />
A grandes rasgos, el código consiste en un algoritmo iterativo que diagonaliza sólo una fracción de todos los eigenestados. En presencia del potencial de Coulomb obtendremos eigenvalores negativos (''bound states''). Por la finitud del espacio discretizado y las condiciones de frontera, el espectro de energías positivas es análogo al de una partícula en una caja. Despreciamos estos estados porque nuestro enfoque está en el potencial negativo, es decir que sólo me quedo con eigenestados de menor magnitud. Con éstos últimos el programa calcula la probabilidad de densidad correspondiente a cada estado energético. La probabilidad de densidad se refiere a la probabilidad de encontrar el electrón a una distancia $x$ del núcleo.<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|thumb|centro| Probabilidad de densidad para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno ]]<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico $l = 0$. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno 1s (línea azul) , 2s (línea verde) y 3s (línea roja). Se sabe que para estos estados energéticos corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de %l% no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal $n$, los valores permitidos de $l$ son $0,1,...,n-1$. Es decir que si elegimos $l=1$ la solución de menor energía corresponde a $n=2$.<br />
<br />
== Conclusión ==<br />
<br />
A pesar de que se obtuvieron resultados esperados por la magnitud de la energía para cada nivel, valdría la pena explorar la incertidumbre asociada a éste método de solución y compararlo con otros métodos numéricos como el de elementos finitos. Por ahora hemos discutido cómo el método de diferencias finitas se utiliza para discretizar un operador diferencial y lo he utilizado para resolver el problema del átomo de hidrógeno. La implementación en código nos permite tomar la solución radial de la ecuación de Schrödinger para visualizar los niveles de energía y su probabilidad de densidad asociada.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev<br />
<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28713Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T20:58:12Z<p>Jerlbcslsd: /* Referencias */</p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
$[\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
La solución de esta ecuación tiene 3 partes, la solución azimutal $Ψ(Φ)$, la solución polar $Ψ(θ)$ y la solución radial $Ψ(r)$. Por el alcance de este texto nos interesa sólo la parte radial de la solución.<br />
<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución radial de la ecuación de Schrödinger introduce una variable nueva, el número cuántico orbital $l$, que adopta valores enteros positivos. Así, la ecuación radial queda, <br />
<br />
<br />
<br />
$\frac{1}{R} \frac{∂}{∂r} ( r^{2} \frac{∂R}{∂r}) - \frac{2μ r^{2}}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) = -l(l+1) $<br />
<br />
<br />
<br />
Con algo de álgebra <ref>Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2).https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf</ref> podemos reescribir la ecuación anterior cómo,<br />
\begin{equation}<br />
\frac{∂^{2} R}{∂ r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{∂R}{∂r} - \frac{2μ}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{-l(l+1) ħ^{2}}{2μ r^{2}} - E) R = 0 <br />
\label{radial}<br />
\end{equation} <br />
<br />
Ahora me tomaré un momento para explorar cómo se comporta ésta solución para valores muy grande de $r$, donde hago despreciables los términos $r^{-1}$ y $r^{-2}$, es decir <br />
<br />
$r → ∞: \frac{∂^{2} R_∞}{∂r^{2}} + \frac{2μE}{ħ^{2}} R_∞ = 0$<br />
<br />
la solución de la ecuación anterior es una combinación lineal de exponenciales reales pero para evitar divergencia para valores valores muy grandes de $r$, me quedo sólo con una exponencial decreciente,<br />
<br />
$R_∞ (r) = C e^{-\frac{\sqrt{2μ|E|}}{ħ}r} = \frac{1Ry}{n^{2}}$<br />
<br />
La forma final de la solución radial se obtiene de una serie de potencias. No es mi intención abundar en cómo se soluciona la ecuación analíticamente así que bastará mostrar que (\ref{radial}) queda cómo<br />
<br />
$R = C e^{-\frac{r}{n a*_0}} (\frac{2r}{n a*_0})^{l} L_{n-l-1}(\frac{2r}{n a*_0})$<br />
<br />
donde $a*_0$ es el radio de Bohr reducido, <br />
<br />
$a*_0 = \frac{4π ε_0 ħ^{2} }{μ e^{2}}$<br />
<br />
$n$ es el número cuántico principal $nЄ(1,2,3,...)$ y la energía queda cómo<br />
<br />
$E = \frac{μ e^{4}}{32 π^{2} ε_0^{2} ħ^{2} n^{2}} = \frac{1Ry}{n^{2}} $<br />
<br />
donde Ry se refiere a 1 Rydberg, $1 Ry = 13.605 eV$ y es claro que la energía está cuantizada.<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
$\frac{df(x)}{dx} = lim_{h→0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $<br />
<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} ≈ \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h} = \frac{f(x-h) - 2f(x) + f(x+h)}{h^{2}}<br />
\label{segunda}<br />
\end{equation} <br />
<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: $x-h$, $x$ y $x+h$. <br />
Puedo elegir más puntos para la aproximación pero ésto requiere expandir el operador en serie de Taylor. Por ahora bastará mostrar a manera de ejemplo cómo se ve la solución numérica que obtengo con el método. Para ello, considero la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ(x) = -\frac{2m}{ħ} Eψ(x) $<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor $h$. La solución es la lista de valores $ψ(0)$, $ψ(h)$, $ψ(2h)$,...,$ψ((N+1)h)$. Para estos valores, puedo expresar una ecuación con índices,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ_i = -\frac{2m}{ħ} Eψ_i$ → $ᗄ_i Є (1,...,N)$<br />
<br />
<br />
<br />
Donde $N+2$ es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la ecuación (\ref{segunda}) para reescribir la ecuación de onda, <br />
<br />
$\frac{ψ_{i-1} - 2ψ_i + ψ_i+1}{h^{2}} = -\frac{2m}{ħ^{2}} Eψ_i$<br />
<br />
Puedo expresar este sistema de ecuaciones de forma matricial,<br />
<br />
$\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix} = \frac{-2mE}{ħ} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix}$<br />
<br />
<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores $ψ$ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles cuantizados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera es pertinente un comentario adicional: la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht, $ ψ_0 = ψ_N+1 = 0$. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores $ ψ_0$ y $ψ_N+1 $. Cómo el valor es 0, el operador diferencial no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores $ ψ_0 y ψ_N+1 $, y me quedo con las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Retomando la ecuación (\ref{radial}), es conveniente sustituir $ρ = rR → R=\frac{ρ}{r}$, por lo que reescribo el operador cómo,<br />
<br />
$\frac{∂}{∂r} (r^{2} \frac{∂}{∂r} \frac{ρ}{r}) = \frac{∂}{∂r} [r^{2} \frac{1}{r} \frac{∂ρ}{∂r} + r^{2} ρ (-\frac{1}{r^{2}})] = \frac{∂ρ}{∂r} + r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}}-\frac{∂ρ}{∂r} = r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} $<br />
<br />
Por lo tanto, <br />
<br />
$r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μr^{2}}{ħ^{2}}(\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) \frac{ρ}{r} = 0 $<br />
<br />
dividido por r,<br />
<br />
$ \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μ}{ħ^{2}}\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) ρ = 0 $<br />
<br />
Divido por el término constante y pasó el término que involucra a la energía a la derecha, <br />
<br />
$- \frac{ħ}{2μ} \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} + \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}ρ - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}}ρ = Eρ $<br />
<br />
Discretizo la coordenada radial usando una red equidistante $r_i$ con $N$ elementos y un desplazamiento igual a $h=r_{i+1}-r_i$. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero corresponde al operador de Laplace,<br />
<br />
$-\frac{ħ^{2}}{2μ}*\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
$\frac{e^{2}}{4πε_0}\begin{bmatrix}<br />
\frac{1}{r_1} & & & \\<br />
& \frac{1}{r_2} & & \\ <br />
& & \ddots & \\<br />
& & &\frac{1}{r_N} \\<br />
<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
por último, <br />
<br />
$\frac{ħ^{2}}{2μ}\begin{bmatrix}<br />
\frac{1}{r_1^{2}} & & & \\<br />
& \frac{1}{r_2^{2}} & & \\ <br />
& & \ddots & \\<br />
& & &\frac{1}{r_N^{2}} \\<br />
<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores $ρ$ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del electrón en el átomo de hidrógeno gracias a la sustitución que adopté antes, $ρ= rR$.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
<br />
Para la implementación definimos funciones que calculan las matrices diagonales señaladas en la sección anterior. Estas funciones dependen de la coordenada discretizada $r$. Con las funciones construimos un hamiltoniano con forma matricial. El siguiente paso es establecer el número de elementos $N$ de nuestro espacio discretizado, el número cuántico orbital $l$ y una región radial de largo 20 $nm$ donde excluimos el origen coordenado para evitar una indeterminación. <br />
A grandes rasgos, el código consiste en un algoritmo iterativo que diagonaliza sólo una fracción de todos los eigenestados. En presencia del potencial de Coulomb obtendremos eigenvalores negativos (''bound states''). Por la finitud del espacio discretizado y las condiciones de frontera, el espectro de energías positivas es análogo al de una partícula en una caja. Despreciamos estos estados porque nuestro enfoque está en el potencial negativo, es decir que sólo me quedo con eigenestados de menor magnitud. Con éstos últimos el programa calcula la probabilidad de densidad correspondiente a cada estado energético. La probabilidad de densidad se refiere a la probabilidad de encontrar el electrón a una distancia $x$ del núcleo.<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|thumb|centro| Probabilidad de densidad para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno ]]<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico $l = 0$. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno 1s (línea azul) , 2s (línea verde) y 3s (línea roja). Se sabe que para estos estados energéticos corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de %l% no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal $n$, los valores permitidos de $l$ son $0,1,...,n-1$. Es decir que si elegimos $l=1$ la solución de menor energía corresponde a $n=2$.<br />
<br />
== Conclusión ==<br />
<br />
A pesar de que se obtuvieron resultados esperados por la magnitud de la energía para cada nivel, valdría la pena explorar la incertidumbre asociada a éste método de solución y compararlo con otros métodos numéricos como el de elementos finitos. Por ahora hemos discutido cómo el método de diferencias finitas se utiliza para discretizar un operador diferencial y lo he utilizado para resolver el problema del átomo de hidrógeno. La implementación en código nos permite tomar la solución radial de la ecuación de Schrödinger para visualizar los niveles de energía y su probabilidad de densidad asociada.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev<br />
<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28712Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T20:57:55Z<p>Jerlbcslsd: /* Solución radial */</p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
$[\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
La solución de esta ecuación tiene 3 partes, la solución azimutal $Ψ(Φ)$, la solución polar $Ψ(θ)$ y la solución radial $Ψ(r)$. Por el alcance de este texto nos interesa sólo la parte radial de la solución.<br />
<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución radial de la ecuación de Schrödinger introduce una variable nueva, el número cuántico orbital $l$, que adopta valores enteros positivos. Así, la ecuación radial queda, <br />
<br />
<br />
<br />
$\frac{1}{R} \frac{∂}{∂r} ( r^{2} \frac{∂R}{∂r}) - \frac{2μ r^{2}}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) = -l(l+1) $<br />
<br />
<br />
<br />
Con algo de álgebra <ref>Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2).https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf</ref> podemos reescribir la ecuación anterior cómo,<br />
\begin{equation}<br />
\frac{∂^{2} R}{∂ r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{∂R}{∂r} - \frac{2μ}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{-l(l+1) ħ^{2}}{2μ r^{2}} - E) R = 0 <br />
\label{radial}<br />
\end{equation} <br />
<br />
Ahora me tomaré un momento para explorar cómo se comporta ésta solución para valores muy grande de $r$, donde hago despreciables los términos $r^{-1}$ y $r^{-2}$, es decir <br />
<br />
$r → ∞: \frac{∂^{2} R_∞}{∂r^{2}} + \frac{2μE}{ħ^{2}} R_∞ = 0$<br />
<br />
la solución de la ecuación anterior es una combinación lineal de exponenciales reales pero para evitar divergencia para valores valores muy grandes de $r$, me quedo sólo con una exponencial decreciente,<br />
<br />
$R_∞ (r) = C e^{-\frac{\sqrt{2μ|E|}}{ħ}r} = \frac{1Ry}{n^{2}}$<br />
<br />
La forma final de la solución radial se obtiene de una serie de potencias. No es mi intención abundar en cómo se soluciona la ecuación analíticamente así que bastará mostrar que (\ref{radial}) queda cómo<br />
<br />
$R = C e^{-\frac{r}{n a*_0}} (\frac{2r}{n a*_0})^{l} L_{n-l-1}(\frac{2r}{n a*_0})$<br />
<br />
donde $a*_0$ es el radio de Bohr reducido, <br />
<br />
$a*_0 = \frac{4π ε_0 ħ^{2} }{μ e^{2}}$<br />
<br />
$n$ es el número cuántico principal $nЄ(1,2,3,...)$ y la energía queda cómo<br />
<br />
$E = \frac{μ e^{4}}{32 π^{2} ε_0^{2} ħ^{2} n^{2}} = \frac{1Ry}{n^{2}} $<br />
<br />
donde Ry se refiere a 1 Rydberg, $1 Ry = 13.605 eV$ y es claro que la energía está cuantizada.<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
$\frac{df(x)}{dx} = lim_{h→0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $<br />
<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} ≈ \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h} = \frac{f(x-h) - 2f(x) + f(x+h)}{h^{2}}<br />
\label{segunda}<br />
\end{equation} <br />
<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: $x-h$, $x$ y $x+h$. <br />
Puedo elegir más puntos para la aproximación pero ésto requiere expandir el operador en serie de Taylor. Por ahora bastará mostrar a manera de ejemplo cómo se ve la solución numérica que obtengo con el método. Para ello, considero la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ(x) = -\frac{2m}{ħ} Eψ(x) $<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor $h$. La solución es la lista de valores $ψ(0)$, $ψ(h)$, $ψ(2h)$,...,$ψ((N+1)h)$. Para estos valores, puedo expresar una ecuación con índices,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ_i = -\frac{2m}{ħ} Eψ_i$ → $ᗄ_i Є (1,...,N)$<br />
<br />
<br />
<br />
Donde $N+2$ es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la ecuación (\ref{segunda}) para reescribir la ecuación de onda, <br />
<br />
$\frac{ψ_{i-1} - 2ψ_i + ψ_i+1}{h^{2}} = -\frac{2m}{ħ^{2}} Eψ_i$<br />
<br />
Puedo expresar este sistema de ecuaciones de forma matricial,<br />
<br />
$\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix} = \frac{-2mE}{ħ} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix}$<br />
<br />
<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores $ψ$ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles cuantizados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera es pertinente un comentario adicional: la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht, $ ψ_0 = ψ_N+1 = 0$. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores $ ψ_0$ y $ψ_N+1 $. Cómo el valor es 0, el operador diferencial no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores $ ψ_0 y ψ_N+1 $, y me quedo con las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Retomando la ecuación (\ref{radial}), es conveniente sustituir $ρ = rR → R=\frac{ρ}{r}$, por lo que reescribo el operador cómo,<br />
<br />
$\frac{∂}{∂r} (r^{2} \frac{∂}{∂r} \frac{ρ}{r}) = \frac{∂}{∂r} [r^{2} \frac{1}{r} \frac{∂ρ}{∂r} + r^{2} ρ (-\frac{1}{r^{2}})] = \frac{∂ρ}{∂r} + r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}}-\frac{∂ρ}{∂r} = r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} $<br />
<br />
Por lo tanto, <br />
<br />
$r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μr^{2}}{ħ^{2}}(\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) \frac{ρ}{r} = 0 $<br />
<br />
dividido por r,<br />
<br />
$ \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μ}{ħ^{2}}\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) ρ = 0 $<br />
<br />
Divido por el término constante y pasó el término que involucra a la energía a la derecha, <br />
<br />
$- \frac{ħ}{2μ} \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} + \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}ρ - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}}ρ = Eρ $<br />
<br />
Discretizo la coordenada radial usando una red equidistante $r_i$ con $N$ elementos y un desplazamiento igual a $h=r_{i+1}-r_i$. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero corresponde al operador de Laplace,<br />
<br />
$-\frac{ħ^{2}}{2μ}*\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
$\frac{e^{2}}{4πε_0}\begin{bmatrix}<br />
\frac{1}{r_1} & & & \\<br />
& \frac{1}{r_2} & & \\ <br />
& & \ddots & \\<br />
& & &\frac{1}{r_N} \\<br />
<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
por último, <br />
<br />
$\frac{ħ^{2}}{2μ}\begin{bmatrix}<br />
\frac{1}{r_1^{2}} & & & \\<br />
& \frac{1}{r_2^{2}} & & \\ <br />
& & \ddots & \\<br />
& & &\frac{1}{r_N^{2}} \\<br />
<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores $ρ$ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del electrón en el átomo de hidrógeno gracias a la sustitución que adopté antes, $ρ= rR$.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
<br />
Para la implementación definimos funciones que calculan las matrices diagonales señaladas en la sección anterior. Estas funciones dependen de la coordenada discretizada $r$. Con las funciones construimos un hamiltoniano con forma matricial. El siguiente paso es establecer el número de elementos $N$ de nuestro espacio discretizado, el número cuántico orbital $l$ y una región radial de largo 20 $nm$ donde excluimos el origen coordenado para evitar una indeterminación. <br />
A grandes rasgos, el código consiste en un algoritmo iterativo que diagonaliza sólo una fracción de todos los eigenestados. En presencia del potencial de Coulomb obtendremos eigenvalores negativos (''bound states''). Por la finitud del espacio discretizado y las condiciones de frontera, el espectro de energías positivas es análogo al de una partícula en una caja. Despreciamos estos estados porque nuestro enfoque está en el potencial negativo, es decir que sólo me quedo con eigenestados de menor magnitud. Con éstos últimos el programa calcula la probabilidad de densidad correspondiente a cada estado energético. La probabilidad de densidad se refiere a la probabilidad de encontrar el electrón a una distancia $x$ del núcleo.<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|thumb|centro| Probabilidad de densidad para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno ]]<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico $l = 0$. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno 1s (línea azul) , 2s (línea verde) y 3s (línea roja). Se sabe que para estos estados energéticos corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de %l% no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal $n$, los valores permitidos de $l$ son $0,1,...,n-1$. Es decir que si elegimos $l=1$ la solución de menor energía corresponde a $n=2$.<br />
<br />
== Conclusión ==<br />
<br />
A pesar de que se obtuvieron resultados esperados por la magnitud de la energía para cada nivel, valdría la pena explorar la incertidumbre asociada a éste método de solución y compararlo con otros métodos numéricos como el de elementos finitos. Por ahora hemos discutido cómo el método de diferencias finitas se utiliza para discretizar un operador diferencial y lo he utilizado para resolver el problema del átomo de hidrógeno. La implementación en código nos permite tomar la solución radial de la ecuación de Schrödinger para visualizar los niveles de energía y su probabilidad de densidad asociada.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev<br />
<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28710Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T20:57:18Z<p>Jerlbcslsd: /* Referencias */</p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
$[\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
La solución de esta ecuación tiene 3 partes, la solución azimutal $Ψ(Φ)$, la solución polar $Ψ(θ)$ y la solución radial $Ψ(r)$. Por el alcance de este texto nos interesa sólo la parte radial de la solución.<br />
<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución radial de la ecuación de Schrödinger introduce una variable nueva, el número cuántico orbital $l$, que adopta valores enteros positivos. Así, la ecuación radial queda, <br />
<br />
<br />
<br />
$\frac{1}{R} \frac{∂}{∂r} ( r^{2} \frac{∂R}{∂r}) - \frac{2μ r^{2}}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) = -l(l+1) $<br />
<br />
<br />
<br />
Con algo de álgebra <ref>Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2).</ref> podemos reescribir la ecuación anterior cómo,<br />
\begin{equation}<br />
\frac{∂^{2} R}{∂ r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{∂R}{∂r} - \frac{2μ}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{-l(l+1) ħ^{2}}{2μ r^{2}} - E) R = 0 <br />
\label{radial}<br />
\end{equation} <br />
<br />
Ahora me tomaré un momento para explorar cómo se comporta ésta solución para valores muy grande de $r$, donde hago despreciables los términos $r^{-1}$ y $r^{-2}$, es decir <br />
<br />
$r → ∞: \frac{∂^{2} R_∞}{∂r^{2}} + \frac{2μE}{ħ^{2}} R_∞ = 0$<br />
<br />
la solución de la ecuación anterior es una combinación lineal de exponenciales reales pero para evitar divergencia para valores valores muy grandes de $r$, me quedo sólo con una exponencial decreciente,<br />
<br />
$R_∞ (r) = C e^{-\frac{\sqrt{2μ|E|}}{ħ}r} = \frac{1Ry}{n^{2}}$<br />
<br />
La forma final de la solución radial se obtiene de una serie de potencias. No es mi intención abundar en cómo se soluciona la ecuación analíticamente así que bastará mostrar que (\ref{radial}) queda cómo<br />
<br />
$R = C e^{-\frac{r}{n a*_0}} (\frac{2r}{n a*_0})^{l} L_{n-l-1}(\frac{2r}{n a*_0})$<br />
<br />
donde $a*_0$ es el radio de Bohr reducido, <br />
<br />
$a*_0 = \frac{4π ε_0 ħ^{2} }{μ e^{2}}$<br />
<br />
$n$ es el número cuántico principal $nЄ(1,2,3,...)$ y la energía queda cómo<br />
<br />
$E = \frac{μ e^{4}}{32 π^{2} ε_0^{2} ħ^{2} n^{2}} = \frac{1Ry}{n^{2}} $<br />
<br />
donde Ry se refiere a 1 Rydberg, $1 Ry = 13.605 eV$ y es claro que la energía está cuantizada.<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
$\frac{df(x)}{dx} = lim_{h→0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $<br />
<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} ≈ \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h} = \frac{f(x-h) - 2f(x) + f(x+h)}{h^{2}}<br />
\label{segunda}<br />
\end{equation} <br />
<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: $x-h$, $x$ y $x+h$. <br />
Puedo elegir más puntos para la aproximación pero ésto requiere expandir el operador en serie de Taylor. Por ahora bastará mostrar a manera de ejemplo cómo se ve la solución numérica que obtengo con el método. Para ello, considero la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ(x) = -\frac{2m}{ħ} Eψ(x) $<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor $h$. La solución es la lista de valores $ψ(0)$, $ψ(h)$, $ψ(2h)$,...,$ψ((N+1)h)$. Para estos valores, puedo expresar una ecuación con índices,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ_i = -\frac{2m}{ħ} Eψ_i$ → $ᗄ_i Є (1,...,N)$<br />
<br />
<br />
<br />
Donde $N+2$ es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la ecuación (\ref{segunda}) para reescribir la ecuación de onda, <br />
<br />
$\frac{ψ_{i-1} - 2ψ_i + ψ_i+1}{h^{2}} = -\frac{2m}{ħ^{2}} Eψ_i$<br />
<br />
Puedo expresar este sistema de ecuaciones de forma matricial,<br />
<br />
$\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix} = \frac{-2mE}{ħ} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix}$<br />
<br />
<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores $ψ$ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles cuantizados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera es pertinente un comentario adicional: la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht, $ ψ_0 = ψ_N+1 = 0$. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores $ ψ_0$ y $ψ_N+1 $. Cómo el valor es 0, el operador diferencial no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores $ ψ_0 y ψ_N+1 $, y me quedo con las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Retomando la ecuación (\ref{radial}), es conveniente sustituir $ρ = rR → R=\frac{ρ}{r}$, por lo que reescribo el operador cómo,<br />
<br />
$\frac{∂}{∂r} (r^{2} \frac{∂}{∂r} \frac{ρ}{r}) = \frac{∂}{∂r} [r^{2} \frac{1}{r} \frac{∂ρ}{∂r} + r^{2} ρ (-\frac{1}{r^{2}})] = \frac{∂ρ}{∂r} + r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}}-\frac{∂ρ}{∂r} = r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} $<br />
<br />
Por lo tanto, <br />
<br />
$r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μr^{2}}{ħ^{2}}(\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) \frac{ρ}{r} = 0 $<br />
<br />
dividido por r,<br />
<br />
$ \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μ}{ħ^{2}}\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) ρ = 0 $<br />
<br />
Divido por el término constante y pasó el término que involucra a la energía a la derecha, <br />
<br />
$- \frac{ħ}{2μ} \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} + \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}ρ - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}}ρ = Eρ $<br />
<br />
Discretizo la coordenada radial usando una red equidistante $r_i$ con $N$ elementos y un desplazamiento igual a $h=r_{i+1}-r_i$. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero corresponde al operador de Laplace,<br />
<br />
$-\frac{ħ^{2}}{2μ}*\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
$\frac{e^{2}}{4πε_0}\begin{bmatrix}<br />
\frac{1}{r_1} & & & \\<br />
& \frac{1}{r_2} & & \\ <br />
& & \ddots & \\<br />
& & &\frac{1}{r_N} \\<br />
<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
por último, <br />
<br />
$\frac{ħ^{2}}{2μ}\begin{bmatrix}<br />
\frac{1}{r_1^{2}} & & & \\<br />
& \frac{1}{r_2^{2}} & & \\ <br />
& & \ddots & \\<br />
& & &\frac{1}{r_N^{2}} \\<br />
<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores $ρ$ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del electrón en el átomo de hidrógeno gracias a la sustitución que adopté antes, $ρ= rR$.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
<br />
Para la implementación definimos funciones que calculan las matrices diagonales señaladas en la sección anterior. Estas funciones dependen de la coordenada discretizada $r$. Con las funciones construimos un hamiltoniano con forma matricial. El siguiente paso es establecer el número de elementos $N$ de nuestro espacio discretizado, el número cuántico orbital $l$ y una región radial de largo 20 $nm$ donde excluimos el origen coordenado para evitar una indeterminación. <br />
A grandes rasgos, el código consiste en un algoritmo iterativo que diagonaliza sólo una fracción de todos los eigenestados. En presencia del potencial de Coulomb obtendremos eigenvalores negativos (''bound states''). Por la finitud del espacio discretizado y las condiciones de frontera, el espectro de energías positivas es análogo al de una partícula en una caja. Despreciamos estos estados porque nuestro enfoque está en el potencial negativo, es decir que sólo me quedo con eigenestados de menor magnitud. Con éstos últimos el programa calcula la probabilidad de densidad correspondiente a cada estado energético. La probabilidad de densidad se refiere a la probabilidad de encontrar el electrón a una distancia $x$ del núcleo.<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|thumb|centro| Probabilidad de densidad para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno ]]<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico $l = 0$. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno 1s (línea azul) , 2s (línea verde) y 3s (línea roja). Se sabe que para estos estados energéticos corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de %l% no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal $n$, los valores permitidos de $l$ son $0,1,...,n-1$. Es decir que si elegimos $l=1$ la solución de menor energía corresponde a $n=2$.<br />
<br />
== Conclusión ==<br />
<br />
A pesar de que se obtuvieron resultados esperados por la magnitud de la energía para cada nivel, valdría la pena explorar la incertidumbre asociada a éste método de solución y compararlo con otros métodos numéricos como el de elementos finitos. Por ahora hemos discutido cómo el método de diferencias finitas se utiliza para discretizar un operador diferencial y lo he utilizado para resolver el problema del átomo de hidrógeno. La implementación en código nos permite tomar la solución radial de la ecuación de Schrödinger para visualizar los niveles de energía y su probabilidad de densidad asociada.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev<br />
<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28709Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T20:56:41Z<p>Jerlbcslsd: </p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
$[\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
La solución de esta ecuación tiene 3 partes, la solución azimutal $Ψ(Φ)$, la solución polar $Ψ(θ)$ y la solución radial $Ψ(r)$. Por el alcance de este texto nos interesa sólo la parte radial de la solución.<br />
<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución radial de la ecuación de Schrödinger introduce una variable nueva, el número cuántico orbital $l$, que adopta valores enteros positivos. Así, la ecuación radial queda, <br />
<br />
<br />
<br />
$\frac{1}{R} \frac{∂}{∂r} ( r^{2} \frac{∂R}{∂r}) - \frac{2μ r^{2}}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) = -l(l+1) $<br />
<br />
<br />
<br />
Con algo de álgebra <ref>Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2).</ref> podemos reescribir la ecuación anterior cómo,<br />
\begin{equation}<br />
\frac{∂^{2} R}{∂ r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{∂R}{∂r} - \frac{2μ}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{-l(l+1) ħ^{2}}{2μ r^{2}} - E) R = 0 <br />
\label{radial}<br />
\end{equation} <br />
<br />
Ahora me tomaré un momento para explorar cómo se comporta ésta solución para valores muy grande de $r$, donde hago despreciables los términos $r^{-1}$ y $r^{-2}$, es decir <br />
<br />
$r → ∞: \frac{∂^{2} R_∞}{∂r^{2}} + \frac{2μE}{ħ^{2}} R_∞ = 0$<br />
<br />
la solución de la ecuación anterior es una combinación lineal de exponenciales reales pero para evitar divergencia para valores valores muy grandes de $r$, me quedo sólo con una exponencial decreciente,<br />
<br />
$R_∞ (r) = C e^{-\frac{\sqrt{2μ|E|}}{ħ}r} = \frac{1Ry}{n^{2}}$<br />
<br />
La forma final de la solución radial se obtiene de una serie de potencias. No es mi intención abundar en cómo se soluciona la ecuación analíticamente así que bastará mostrar que (\ref{radial}) queda cómo<br />
<br />
$R = C e^{-\frac{r}{n a*_0}} (\frac{2r}{n a*_0})^{l} L_{n-l-1}(\frac{2r}{n a*_0})$<br />
<br />
donde $a*_0$ es el radio de Bohr reducido, <br />
<br />
$a*_0 = \frac{4π ε_0 ħ^{2} }{μ e^{2}}$<br />
<br />
$n$ es el número cuántico principal $nЄ(1,2,3,...)$ y la energía queda cómo<br />
<br />
$E = \frac{μ e^{4}}{32 π^{2} ε_0^{2} ħ^{2} n^{2}} = \frac{1Ry}{n^{2}} $<br />
<br />
donde Ry se refiere a 1 Rydberg, $1 Ry = 13.605 eV$ y es claro que la energía está cuantizada.<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
$\frac{df(x)}{dx} = lim_{h→0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $<br />
<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} ≈ \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h} = \frac{f(x-h) - 2f(x) + f(x+h)}{h^{2}}<br />
\label{segunda}<br />
\end{equation} <br />
<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: $x-h$, $x$ y $x+h$. <br />
Puedo elegir más puntos para la aproximación pero ésto requiere expandir el operador en serie de Taylor. Por ahora bastará mostrar a manera de ejemplo cómo se ve la solución numérica que obtengo con el método. Para ello, considero la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ(x) = -\frac{2m}{ħ} Eψ(x) $<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor $h$. La solución es la lista de valores $ψ(0)$, $ψ(h)$, $ψ(2h)$,...,$ψ((N+1)h)$. Para estos valores, puedo expresar una ecuación con índices,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ_i = -\frac{2m}{ħ} Eψ_i$ → $ᗄ_i Є (1,...,N)$<br />
<br />
<br />
<br />
Donde $N+2$ es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la ecuación (\ref{segunda}) para reescribir la ecuación de onda, <br />
<br />
$\frac{ψ_{i-1} - 2ψ_i + ψ_i+1}{h^{2}} = -\frac{2m}{ħ^{2}} Eψ_i$<br />
<br />
Puedo expresar este sistema de ecuaciones de forma matricial,<br />
<br />
$\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix} = \frac{-2mE}{ħ} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix}$<br />
<br />
<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores $ψ$ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles cuantizados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera es pertinente un comentario adicional: la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht, $ ψ_0 = ψ_N+1 = 0$. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores $ ψ_0$ y $ψ_N+1 $. Cómo el valor es 0, el operador diferencial no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores $ ψ_0 y ψ_N+1 $, y me quedo con las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Retomando la ecuación (\ref{radial}), es conveniente sustituir $ρ = rR → R=\frac{ρ}{r}$, por lo que reescribo el operador cómo,<br />
<br />
$\frac{∂}{∂r} (r^{2} \frac{∂}{∂r} \frac{ρ}{r}) = \frac{∂}{∂r} [r^{2} \frac{1}{r} \frac{∂ρ}{∂r} + r^{2} ρ (-\frac{1}{r^{2}})] = \frac{∂ρ}{∂r} + r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}}-\frac{∂ρ}{∂r} = r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} $<br />
<br />
Por lo tanto, <br />
<br />
$r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μr^{2}}{ħ^{2}}(\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) \frac{ρ}{r} = 0 $<br />
<br />
dividido por r,<br />
<br />
$ \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μ}{ħ^{2}}\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) ρ = 0 $<br />
<br />
Divido por el término constante y pasó el término que involucra a la energía a la derecha, <br />
<br />
$- \frac{ħ}{2μ} \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} + \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}ρ - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}}ρ = Eρ $<br />
<br />
Discretizo la coordenada radial usando una red equidistante $r_i$ con $N$ elementos y un desplazamiento igual a $h=r_{i+1}-r_i$. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero corresponde al operador de Laplace,<br />
<br />
$-\frac{ħ^{2}}{2μ}*\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
$\frac{e^{2}}{4πε_0}\begin{bmatrix}<br />
\frac{1}{r_1} & & & \\<br />
& \frac{1}{r_2} & & \\ <br />
& & \ddots & \\<br />
& & &\frac{1}{r_N} \\<br />
<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
por último, <br />
<br />
$\frac{ħ^{2}}{2μ}\begin{bmatrix}<br />
\frac{1}{r_1^{2}} & & & \\<br />
& \frac{1}{r_2^{2}} & & \\ <br />
& & \ddots & \\<br />
& & &\frac{1}{r_N^{2}} \\<br />
<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores $ρ$ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del electrón en el átomo de hidrógeno gracias a la sustitución que adopté antes, $ρ= rR$.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
<br />
Para la implementación definimos funciones que calculan las matrices diagonales señaladas en la sección anterior. Estas funciones dependen de la coordenada discretizada $r$. Con las funciones construimos un hamiltoniano con forma matricial. El siguiente paso es establecer el número de elementos $N$ de nuestro espacio discretizado, el número cuántico orbital $l$ y una región radial de largo 20 $nm$ donde excluimos el origen coordenado para evitar una indeterminación. <br />
A grandes rasgos, el código consiste en un algoritmo iterativo que diagonaliza sólo una fracción de todos los eigenestados. En presencia del potencial de Coulomb obtendremos eigenvalores negativos (''bound states''). Por la finitud del espacio discretizado y las condiciones de frontera, el espectro de energías positivas es análogo al de una partícula en una caja. Despreciamos estos estados porque nuestro enfoque está en el potencial negativo, es decir que sólo me quedo con eigenestados de menor magnitud. Con éstos últimos el programa calcula la probabilidad de densidad correspondiente a cada estado energético. La probabilidad de densidad se refiere a la probabilidad de encontrar el electrón a una distancia $x$ del núcleo.<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|thumb|centro| Probabilidad de densidad para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno ]]<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico $l = 0$. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno 1s (línea azul) , 2s (línea verde) y 3s (línea roja). Se sabe que para estos estados energéticos corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de %l% no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal $n$, los valores permitidos de $l$ son $0,1,...,n-1$. Es decir que si elegimos $l=1$ la solución de menor energía corresponde a $n=2$.<br />
<br />
== Conclusión ==<br />
<br />
A pesar de que se obtuvieron resultados esperados por la magnitud de la energía para cada nivel, valdría la pena explorar la incertidumbre asociada a éste método de solución y compararlo con otros métodos numéricos como el de elementos finitos. Por ahora hemos discutido cómo el método de diferencias finitas se utiliza para discretizar un operador diferencial y lo he utilizado para resolver el problema del átomo de hidrógeno. La implementación en código nos permite tomar la solución radial de la ecuación de Schrödinger para visualizar los niveles de energía y su probabilidad de densidad asociada.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28708Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T20:55:45Z<p>Jerlbcslsd: /* Solución radial */</p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
$[\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
La solución de esta ecuación tiene 3 partes, la solución azimutal $Ψ(Φ)$, la solución polar $Ψ(θ)$ y la solución radial $Ψ(r)$. Por el alcance de este texto nos interesa sólo la parte radial de la solución.<br />
<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución radial de la ecuación de Schrödinger introduce una variable nueva, el número cuántico orbital $l$, que adopta valores enteros positivos. Así, la ecuación radial queda, <br />
<br />
<br />
<br />
$\frac{1}{R} \frac{∂}{∂r} ( r^{2} \frac{∂R}{∂r}) - \frac{2μ r^{2}}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) = -l(l+1) $<br />
<br />
<br />
<br />
Con algo de álgebra <ref> </ref> podemos reescribir la ecuación anterior cómo,<br />
\begin{equation}<br />
\frac{∂^{2} R}{∂ r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{∂R}{∂r} - \frac{2μ}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{-l(l+1) ħ^{2}}{2μ r^{2}} - E) R = 0 <br />
\label{radial}<br />
\end{equation} <br />
<br />
Ahora me tomaré un momento para explorar cómo se comporta ésta solución para valores muy grande de $r$, donde hago despreciables los términos $r^{-1}$ y $r^{-2}$, es decir <br />
<br />
$r → ∞: \frac{∂^{2} R_∞}{∂r^{2}} + \frac{2μE}{ħ^{2}} R_∞ = 0$<br />
<br />
la solución de la ecuación anterior es una combinación lineal de exponenciales reales pero para evitar divergencia para valores valores muy grandes de $r$, me quedo sólo con una exponencial decreciente,<br />
<br />
$R_∞ (r) = C e^{-\frac{\sqrt{2μ|E|}}{ħ}r} = \frac{1Ry}{n^{2}}$<br />
<br />
La forma final de la solución radial se obtiene de una serie de potencias. No es mi intención abundar en cómo se soluciona la ecuación analíticamente así que bastará mostrar que (\ref{radial}) queda cómo<br />
<br />
$R = C e^{-\frac{r}{n a*_0}} (\frac{2r}{n a*_0})^{l} L_{n-l-1}(\frac{2r}{n a*_0})$<br />
<br />
donde $a*_0$ es el radio de Bohr reducido, <br />
<br />
$a*_0 = \frac{4π ε_0 ħ^{2} }{μ e^{2}}$<br />
<br />
$n$ es el número cuántico principal $nЄ(1,2,3,...)$ y la energía queda cómo<br />
<br />
$E = \frac{μ e^{4}}{32 π^{2} ε_0^{2} ħ^{2} n^{2}} = \frac{1Ry}{n^{2}} $<br />
<br />
donde Ry se refiere a 1 Rydberg, $1 Ry = 13.605 eV$ y es claro que la energía está cuantizada.<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
$\frac{df(x)}{dx} = lim_{h→0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $<br />
<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} ≈ \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h} = \frac{f(x-h) - 2f(x) + f(x+h)}{h^{2}}<br />
\label{segunda}<br />
\end{equation} <br />
<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: $x-h$, $x$ y $x+h$. <br />
Puedo elegir más puntos para la aproximación pero ésto requiere expandir el operador en serie de Taylor. Por ahora bastará mostrar a manera de ejemplo cómo se ve la solución numérica que obtengo con el método. Para ello, considero la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ(x) = -\frac{2m}{ħ} Eψ(x) $<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor $h$. La solución es la lista de valores $ψ(0)$, $ψ(h)$, $ψ(2h)$,...,$ψ((N+1)h)$. Para estos valores, puedo expresar una ecuación con índices,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ_i = -\frac{2m}{ħ} Eψ_i$ → $ᗄ_i Є (1,...,N)$<br />
<br />
<br />
<br />
Donde $N+2$ es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la ecuación (\ref{segunda}) para reescribir la ecuación de onda, <br />
<br />
$\frac{ψ_{i-1} - 2ψ_i + ψ_i+1}{h^{2}} = -\frac{2m}{ħ^{2}} Eψ_i$<br />
<br />
Puedo expresar este sistema de ecuaciones de forma matricial,<br />
<br />
$\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix} = \frac{-2mE}{ħ} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix}$<br />
<br />
<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores $ψ$ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles cuantizados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera es pertinente un comentario adicional: la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht, $ ψ_0 = ψ_N+1 = 0$. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores $ ψ_0$ y $ψ_N+1 $. Cómo el valor es 0, el operador diferencial no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores $ ψ_0 y ψ_N+1 $, y me quedo con las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Retomando la ecuación (\ref{radial}), es conveniente sustituir $ρ = rR → R=\frac{ρ}{r}$, por lo que reescribo el operador cómo,<br />
<br />
$\frac{∂}{∂r} (r^{2} \frac{∂}{∂r} \frac{ρ}{r}) = \frac{∂}{∂r} [r^{2} \frac{1}{r} \frac{∂ρ}{∂r} + r^{2} ρ (-\frac{1}{r^{2}})] = \frac{∂ρ}{∂r} + r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}}-\frac{∂ρ}{∂r} = r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} $<br />
<br />
Por lo tanto, <br />
<br />
$r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μr^{2}}{ħ^{2}}(\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) \frac{ρ}{r} = 0 $<br />
<br />
dividido por r,<br />
<br />
$ \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μ}{ħ^{2}}\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) ρ = 0 $<br />
<br />
Divido por el término constante y pasó el término que involucra a la energía a la derecha, <br />
<br />
$- \frac{ħ}{2μ} \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} + \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}ρ - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}}ρ = Eρ $<br />
<br />
Discretizo la coordenada radial usando una red equidistante $r_i$ con $N$ elementos y un desplazamiento igual a $h=r_{i+1}-r_i$. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero corresponde al operador de Laplace,<br />
<br />
$-\frac{ħ^{2}}{2μ}*\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
$\frac{e^{2}}{4πε_0}\begin{bmatrix}<br />
\frac{1}{r_1} & & & \\<br />
& \frac{1}{r_2} & & \\ <br />
& & \ddots & \\<br />
& & &\frac{1}{r_N} \\<br />
<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
por último, <br />
<br />
$\frac{ħ^{2}}{2μ}\begin{bmatrix}<br />
\frac{1}{r_1^{2}} & & & \\<br />
& \frac{1}{r_2^{2}} & & \\ <br />
& & \ddots & \\<br />
& & &\frac{1}{r_N^{2}} \\<br />
<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores $ρ$ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del electrón en el átomo de hidrógeno gracias a la sustitución que adopté antes, $ρ= rR$.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
<br />
Para la implementación definimos funciones que calculan las matrices diagonales señaladas en la sección anterior. Estas funciones dependen de la coordenada discretizada $r$. Con las funciones construimos un hamiltoniano con forma matricial. El siguiente paso es establecer el número de elementos $N$ de nuestro espacio discretizado, el número cuántico orbital $l$ y una región radial de largo 20 $nm$ donde excluimos el origen coordenado para evitar una indeterminación. <br />
A grandes rasgos, el código consiste en un algoritmo iterativo que diagonaliza sólo una fracción de todos los eigenestados. En presencia del potencial de Coulomb obtendremos eigenvalores negativos (''bound states''). Por la finitud del espacio discretizado y las condiciones de frontera, el espectro de energías positivas es análogo al de una partícula en una caja. Despreciamos estos estados porque nuestro enfoque está en el potencial negativo, es decir que sólo me quedo con eigenestados de menor magnitud. Con éstos últimos el programa calcula la probabilidad de densidad correspondiente a cada estado energético. La probabilidad de densidad se refiere a la probabilidad de encontrar el electrón a una distancia $x$ del núcleo.<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|thumb|centro| Probabilidad de densidad para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno ]]<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico $l = 0$. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno 1s (línea azul) , 2s (línea verde) y 3s (línea roja). Se sabe que para estos estados energéticos corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de %l% no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal $n$, los valores permitidos de $l$ son $0,1,...,n-1$. Es decir que si elegimos $l=1$ la solución de menor energía corresponde a $n=2$.<br />
<br />
== Conclusión ==<br />
<br />
A pesar de que se obtuvieron resultados esperados por la magnitud de la energía para cada nivel, valdría la pena explorar la incertidumbre asociada a éste método de solución y compararlo con otros métodos numéricos como el de elementos finitos. Por ahora hemos discutido cómo el método de diferencias finitas se utiliza para discretizar un operador diferencial y lo he utilizado para resolver el problema del átomo de hidrógeno. La implementación en código nos permite tomar la solución radial de la ecuación de Schrödinger para visualizar los niveles de energía y su probabilidad de densidad asociada.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28706Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T20:51:29Z<p>Jerlbcslsd: /* Método de diferencias finitas */</p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
$[\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
La solución de esta ecuación tiene 3 partes, la solución azimutal $Ψ(Φ)$, la solución polar $Ψ(θ)$ y la solución radial $Ψ(r)$. Por el alcance de este texto nos interesa sólo la parte radial de la solución.<br />
<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución radial de la ecuación de Schrödinger introduce una variable nueva, el número cuántico orbital $l$, que adopta valores enteros positivos. Así, la ecuación radial queda, <br />
<br />
<br />
<br />
$\frac{1}{R} \frac{∂}{∂r} ( r^{2} \frac{∂R}{∂r}) - \frac{2μ r^{2}}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) = -l(l+1) $<br />
<br />
<br />
<br />
Con algo de álgebra podemos reescribir la ecuación anterior cómo,<br />
\begin{equation}<br />
\frac{∂^{2} R}{∂ r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{∂R}{∂r} - \frac{2μ}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{-l(l+1) ħ^{2}}{2μ r^{2}} - E) R = 0 <br />
\label{radial}<br />
\end{equation} <br />
<br />
Ahora me tomaré un momento para explorar cómo se comporta ésta solución para valores muy grande de $r$, donde hago despreciables los términos $r^{-1}$ y $r^{-2}$, es decir <br />
<br />
$r → ∞: \frac{∂^{2} R_∞}{∂r^{2}} + \frac{2μE}{ħ^{2}} R_∞ = 0$<br />
<br />
la solución de la ecuación anterior es una combinación lineal de exponenciales reales pero para evitar divergencia para valores valores muy grandes de $r$, me quedo sólo con una exponencial decreciente,<br />
<br />
$R_∞ (r) = C e^{-\frac{\sqrt{2μ|E|}}{ħ}r} = \frac{1Ry}{n^{2}}$<br />
<br />
La forma final de la solución radial se obtiene de una serie de potencias. No es mi intención abundar en cómo se soluciona la ecuación analíticamente así que bastará mostrar que (\ref{radial}) queda cómo<br />
<br />
$R = C e^{-\frac{r}{n a*_0}} (\frac{2r}{n a*_0})^{l} L_{n-l-1}(\frac{2r}{n a*_0})$<br />
<br />
donde $a*_0$ es el radio de Bohr reducido, <br />
<br />
$a*_0 = \frac{4π ε_0 ħ^{2} }{μ e^{2}}$<br />
<br />
$n$ es el número cuántico principal $nЄ(1,2,3,...)$ y la energía queda cómo<br />
<br />
$E = \frac{μ e^{4}}{32 π^{2} ε_0^{2} ħ^{2} n^{2}} = \frac{1Ry}{n^{2}} $<br />
<br />
donde Ry se refiere a 1 Rydberg, $1 Ry = 13.605 eV$ y es claro que la energía está cuantizada.<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
$\frac{df(x)}{dx} = lim_{h→0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $<br />
<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} ≈ \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h} = \frac{f(x-h) - 2f(x) + f(x+h)}{h^{2}}<br />
\label{segunda}<br />
\end{equation} <br />
<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: $x-h$, $x$ y $x+h$. <br />
Puedo elegir más puntos para la aproximación pero ésto requiere expandir el operador en serie de Taylor. Por ahora bastará mostrar a manera de ejemplo cómo se ve la solución numérica que obtengo con el método. Para ello, considero la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ(x) = -\frac{2m}{ħ} Eψ(x) $<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor $h$. La solución es la lista de valores $ψ(0)$, $ψ(h)$, $ψ(2h)$,...,$ψ((N+1)h)$. Para estos valores, puedo expresar una ecuación con índices,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ_i = -\frac{2m}{ħ} Eψ_i$ → $ᗄ_i Є (1,...,N)$<br />
<br />
<br />
<br />
Donde $N+2$ es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la ecuación (\ref{segunda}) para reescribir la ecuación de onda, <br />
<br />
$\frac{ψ_{i-1} - 2ψ_i + ψ_i+1}{h^{2}} = -\frac{2m}{ħ^{2}} Eψ_i$<br />
<br />
Puedo expresar este sistema de ecuaciones de forma matricial,<br />
<br />
$\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix} = \frac{-2mE}{ħ} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix}$<br />
<br />
<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores $ψ$ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles cuantizados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera es pertinente un comentario adicional: la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht, $ ψ_0 = ψ_N+1 = 0$. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores $ ψ_0$ y $ψ_N+1 $. Cómo el valor es 0, el operador diferencial no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores $ ψ_0 y ψ_N+1 $, y me quedo con las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Retomando la ecuación (\ref{radial}), es conveniente sustituir $ρ = rR → R=\frac{ρ}{r}$, por lo que reescribo el operador cómo,<br />
<br />
$\frac{∂}{∂r} (r^{2} \frac{∂}{∂r} \frac{ρ}{r}) = \frac{∂}{∂r} [r^{2} \frac{1}{r} \frac{∂ρ}{∂r} + r^{2} ρ (-\frac{1}{r^{2}})] = \frac{∂ρ}{∂r} + r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}}-\frac{∂ρ}{∂r} = r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} $<br />
<br />
Por lo tanto, <br />
<br />
$r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μr^{2}}{ħ^{2}}(\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) \frac{ρ}{r} = 0 $<br />
<br />
dividido por r,<br />
<br />
$ \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μ}{ħ^{2}}\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) ρ = 0 $<br />
<br />
Divido por el término constante y pasó el término que involucra a la energía a la derecha, <br />
<br />
$- \frac{ħ}{2μ} \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} + \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}ρ - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}}ρ = Eρ $<br />
<br />
Discretizo la coordenada radial usando una red equidistante $r_i$ con $N$ elementos y un desplazamiento igual a $h=r_{i+1}-r_i$. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero corresponde al operador de Laplace,<br />
<br />
$-\frac{ħ^{2}}{2μ}*\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
$\frac{e^{2}}{4πε_0}\begin{bmatrix}<br />
\frac{1}{r_1} & & & \\<br />
& \frac{1}{r_2} & & \\ <br />
& & \ddots & \\<br />
& & &\frac{1}{r_N} \\<br />
<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
por último, <br />
<br />
$\frac{ħ^{2}}{2μ}\begin{bmatrix}<br />
\frac{1}{r_1^{2}} & & & \\<br />
& \frac{1}{r_2^{2}} & & \\ <br />
& & \ddots & \\<br />
& & &\frac{1}{r_N^{2}} \\<br />
<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores $ρ$ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del electrón en el átomo de hidrógeno gracias a la sustitución que adopté antes, $ρ= rR$.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
<br />
Para la implementación definimos funciones que calculan las matrices diagonales señaladas en la sección anterior. Estas funciones dependen de la coordenada discretizada $r$. Con las funciones construimos un hamiltoniano con forma matricial. El siguiente paso es establecer el número de elementos $N$ de nuestro espacio discretizado, el número cuántico orbital $l$ y una región radial de largo 20 $nm$ donde excluimos el origen coordenado para evitar una indeterminación. <br />
A grandes rasgos, el código consiste en un algoritmo iterativo que diagonaliza sólo una fracción de todos los eigenestados. En presencia del potencial de Coulomb obtendremos eigenvalores negativos (''bound states''). Por la finitud del espacio discretizado y las condiciones de frontera, el espectro de energías positivas es análogo al de una partícula en una caja. Despreciamos estos estados porque nuestro enfoque está en el potencial negativo, es decir que sólo me quedo con eigenestados de menor magnitud. Con éstos últimos el programa calcula la probabilidad de densidad correspondiente a cada estado energético. La probabilidad de densidad se refiere a la probabilidad de encontrar el electrón a una distancia $x$ del núcleo.<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|thumb|centro| Probabilidad de densidad para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno ]]<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico $l = 0$. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno 1s (línea azul) , 2s (línea verde) y 3s (línea roja). Se sabe que para estos estados energéticos corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de %l% no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal $n$, los valores permitidos de $l$ son $0,1,...,n-1$. Es decir que si elegimos $l=1$ la solución de menor energía corresponde a $n=2$.<br />
<br />
== Conclusión ==<br />
<br />
A pesar de que se obtuvieron resultados esperados por la magnitud de la energía para cada nivel, valdría la pena explorar la incertidumbre asociada a éste método de solución y compararlo con otros métodos numéricos como el de elementos finitos. Por ahora hemos discutido cómo el método de diferencias finitas se utiliza para discretizar un operador diferencial y lo he utilizado para resolver el problema del átomo de hidrógeno. La implementación en código nos permite tomar la solución radial de la ecuación de Schrödinger para visualizar los niveles de energía y su probabilidad de densidad asociada.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28705Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T20:51:06Z<p>Jerlbcslsd: /* Método de diferencias finitas */</p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
$[\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
La solución de esta ecuación tiene 3 partes, la solución azimutal $Ψ(Φ)$, la solución polar $Ψ(θ)$ y la solución radial $Ψ(r)$. Por el alcance de este texto nos interesa sólo la parte radial de la solución.<br />
<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución radial de la ecuación de Schrödinger introduce una variable nueva, el número cuántico orbital $l$, que adopta valores enteros positivos. Así, la ecuación radial queda, <br />
<br />
<br />
<br />
$\frac{1}{R} \frac{∂}{∂r} ( r^{2} \frac{∂R}{∂r}) - \frac{2μ r^{2}}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) = -l(l+1) $<br />
<br />
<br />
<br />
Con algo de álgebra podemos reescribir la ecuación anterior cómo,<br />
\begin{equation}<br />
\frac{∂^{2} R}{∂ r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{∂R}{∂r} - \frac{2μ}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{-l(l+1) ħ^{2}}{2μ r^{2}} - E) R = 0 <br />
\label{radial}<br />
\end{equation} <br />
<br />
Ahora me tomaré un momento para explorar cómo se comporta ésta solución para valores muy grande de $r$, donde hago despreciables los términos $r^{-1}$ y $r^{-2}$, es decir <br />
<br />
$r → ∞: \frac{∂^{2} R_∞}{∂r^{2}} + \frac{2μE}{ħ^{2}} R_∞ = 0$<br />
<br />
la solución de la ecuación anterior es una combinación lineal de exponenciales reales pero para evitar divergencia para valores valores muy grandes de $r$, me quedo sólo con una exponencial decreciente,<br />
<br />
$R_∞ (r) = C e^{-\frac{\sqrt{2μ|E|}}{ħ}r} = \frac{1Ry}{n^{2}}$<br />
<br />
La forma final de la solución radial se obtiene de una serie de potencias. No es mi intención abundar en cómo se soluciona la ecuación analíticamente así que bastará mostrar que (\ref{radial}) queda cómo<br />
<br />
$R = C e^{-\frac{r}{n a*_0}} (\frac{2r}{n a*_0})^{l} L_{n-l-1}(\frac{2r}{n a*_0})$<br />
<br />
donde $a*_0$ es el radio de Bohr reducido, <br />
<br />
$a*_0 = \frac{4π ε_0 ħ^{2} }{μ e^{2}}$<br />
<br />
$n$ es el número cuántico principal $nЄ(1,2,3,...)$ y la energía queda cómo<br />
<br />
$E = \frac{μ e^{4}}{32 π^{2} ε_0^{2} ħ^{2} n^{2}} = \frac{1Ry}{n^{2}} $<br />
<br />
donde Ry se refiere a 1 Rydberg, $1 Ry = 13.605 eV$ y es claro que la energía está cuantizada.<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
$\frac{df(x)}{dx} = lim_{h→0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $<br />
<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} ≈ \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h} = \frac{f(x-h) - 2f(x) + f(x+h)}{h^{2}}<br />
\label{segunda}<br />
\end{equation} <br />
<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: $x-h$, $x$ y $x+h$. <br />
Puedo elegir más puntos para la aproximación pero ésto requiere expandir el operador en serie de Taylor. Por ahora bastará mostrar a manera de ejemplo cómo se ve la solución numérica que obtengo con el método. Para ello, considero la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ(x) = -\frac{2m}{ħ} Eψ(x) $<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor $h$. La solución es la lista de valores $ψ(0)$, $ψ(h)$, $ψ(2h)$,...,$ψ((N+1)h)$. Para estos valores, puedo expresar una ecuación con índices,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ_i = -\frac{2m}{ħ} Eψ_i$ → $ᗄ_i Є (1,...,N)$<br />
<br />
<br />
<br />
Donde $N+2$ es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la ecuación (\ref{segunda}) para reescribir la ecuación de onda, <br />
<br />
$\frac{ψ_i-1 - 2ψ_i + ψ_i+1}{h^{2}} = -\frac{2m}{ħ^{2}} Eψ_i$<br />
<br />
Puedo expresar este sistema de ecuaciones de forma matricial,<br />
<br />
$\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix} = \frac{-2mE}{ħ} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix}$<br />
<br />
<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores $ψ$ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles cuantizados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera es pertinente un comentario adicional: la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht, $ ψ_0 = ψ_N+1 = 0$. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores $ ψ_0$ y $ψ_N+1 $. Cómo el valor es 0, el operador diferencial no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores $ ψ_0 y ψ_N+1 $, y me quedo con las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Retomando la ecuación (\ref{radial}), es conveniente sustituir $ρ = rR → R=\frac{ρ}{r}$, por lo que reescribo el operador cómo,<br />
<br />
$\frac{∂}{∂r} (r^{2} \frac{∂}{∂r} \frac{ρ}{r}) = \frac{∂}{∂r} [r^{2} \frac{1}{r} \frac{∂ρ}{∂r} + r^{2} ρ (-\frac{1}{r^{2}})] = \frac{∂ρ}{∂r} + r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}}-\frac{∂ρ}{∂r} = r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} $<br />
<br />
Por lo tanto, <br />
<br />
$r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μr^{2}}{ħ^{2}}(\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) \frac{ρ}{r} = 0 $<br />
<br />
dividido por r,<br />
<br />
$ \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μ}{ħ^{2}}\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) ρ = 0 $<br />
<br />
Divido por el término constante y pasó el término que involucra a la energía a la derecha, <br />
<br />
$- \frac{ħ}{2μ} \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} + \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}ρ - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}}ρ = Eρ $<br />
<br />
Discretizo la coordenada radial usando una red equidistante $r_i$ con $N$ elementos y un desplazamiento igual a $h=r_{i+1}-r_i$. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero corresponde al operador de Laplace,<br />
<br />
$-\frac{ħ^{2}}{2μ}*\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
$\frac{e^{2}}{4πε_0}\begin{bmatrix}<br />
\frac{1}{r_1} & & & \\<br />
& \frac{1}{r_2} & & \\ <br />
& & \ddots & \\<br />
& & &\frac{1}{r_N} \\<br />
<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
por último, <br />
<br />
$\frac{ħ^{2}}{2μ}\begin{bmatrix}<br />
\frac{1}{r_1^{2}} & & & \\<br />
& \frac{1}{r_2^{2}} & & \\ <br />
& & \ddots & \\<br />
& & &\frac{1}{r_N^{2}} \\<br />
<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores $ρ$ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del electrón en el átomo de hidrógeno gracias a la sustitución que adopté antes, $ρ= rR$.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
<br />
Para la implementación definimos funciones que calculan las matrices diagonales señaladas en la sección anterior. Estas funciones dependen de la coordenada discretizada $r$. Con las funciones construimos un hamiltoniano con forma matricial. El siguiente paso es establecer el número de elementos $N$ de nuestro espacio discretizado, el número cuántico orbital $l$ y una región radial de largo 20 $nm$ donde excluimos el origen coordenado para evitar una indeterminación. <br />
A grandes rasgos, el código consiste en un algoritmo iterativo que diagonaliza sólo una fracción de todos los eigenestados. En presencia del potencial de Coulomb obtendremos eigenvalores negativos (''bound states''). Por la finitud del espacio discretizado y las condiciones de frontera, el espectro de energías positivas es análogo al de una partícula en una caja. Despreciamos estos estados porque nuestro enfoque está en el potencial negativo, es decir que sólo me quedo con eigenestados de menor magnitud. Con éstos últimos el programa calcula la probabilidad de densidad correspondiente a cada estado energético. La probabilidad de densidad se refiere a la probabilidad de encontrar el electrón a una distancia $x$ del núcleo.<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|thumb|centro| Probabilidad de densidad para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno ]]<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico $l = 0$. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno 1s (línea azul) , 2s (línea verde) y 3s (línea roja). Se sabe que para estos estados energéticos corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de %l% no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal $n$, los valores permitidos de $l$ son $0,1,...,n-1$. Es decir que si elegimos $l=1$ la solución de menor energía corresponde a $n=2$.<br />
<br />
== Conclusión ==<br />
<br />
A pesar de que se obtuvieron resultados esperados por la magnitud de la energía para cada nivel, valdría la pena explorar la incertidumbre asociada a éste método de solución y compararlo con otros métodos numéricos como el de elementos finitos. Por ahora hemos discutido cómo el método de diferencias finitas se utiliza para discretizar un operador diferencial y lo he utilizado para resolver el problema del átomo de hidrógeno. La implementación en código nos permite tomar la solución radial de la ecuación de Schrödinger para visualizar los niveles de energía y su probabilidad de densidad asociada.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28702Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T20:49:33Z<p>Jerlbcslsd: /* Método de diferencias finitas */</p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
$[\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
La solución de esta ecuación tiene 3 partes, la solución azimutal $Ψ(Φ)$, la solución polar $Ψ(θ)$ y la solución radial $Ψ(r)$. Por el alcance de este texto nos interesa sólo la parte radial de la solución.<br />
<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución radial de la ecuación de Schrödinger introduce una variable nueva, el número cuántico orbital $l$, que adopta valores enteros positivos. Así, la ecuación radial queda, <br />
<br />
<br />
<br />
$\frac{1}{R} \frac{∂}{∂r} ( r^{2} \frac{∂R}{∂r}) - \frac{2μ r^{2}}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) = -l(l+1) $<br />
<br />
<br />
<br />
Con algo de álgebra podemos reescribir la ecuación anterior cómo,<br />
\begin{equation}<br />
\frac{∂^{2} R}{∂ r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{∂R}{∂r} - \frac{2μ}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{-l(l+1) ħ^{2}}{2μ r^{2}} - E) R = 0 <br />
\label{radial}<br />
\end{equation} <br />
<br />
Ahora me tomaré un momento para explorar cómo se comporta ésta solución para valores muy grande de $r$, donde hago despreciables los términos $r^{-1}$ y $r^{-2}$, es decir <br />
<br />
$r → ∞: \frac{∂^{2} R_∞}{∂r^{2}} + \frac{2μE}{ħ^{2}} R_∞ = 0$<br />
<br />
la solución de la ecuación anterior es una combinación lineal de exponenciales reales pero para evitar divergencia para valores valores muy grandes de $r$, me quedo sólo con una exponencial decreciente,<br />
<br />
$R_∞ (r) = C e^{-\frac{\sqrt{2μ|E|}}{ħ}r} = \frac{1Ry}{n^{2}}$<br />
<br />
La forma final de la solución radial se obtiene de una serie de potencias. No es mi intención abundar en cómo se soluciona la ecuación analíticamente así que bastará mostrar que (\ref{radial}) queda cómo<br />
<br />
$R = C e^{-\frac{r}{n a*_0}} (\frac{2r}{n a*_0})^{l} L_{n-l-1}(\frac{2r}{n a*_0})$<br />
<br />
donde $a*_0$ es el radio de Bohr reducido, <br />
<br />
$a*_0 = \frac{4π ε_0 ħ^{2} }{μ e^{2}}$<br />
<br />
$n$ es el número cuántico principal $nЄ(1,2,3,...)$ y la energía queda cómo<br />
<br />
$E = \frac{μ e^{4}}{32 π^{2} ε_0^{2} ħ^{2} n^{2}} = \frac{1Ry}{n^{2}} $<br />
<br />
donde Ry se refiere a 1 Rydberg, $1 Ry = 13.605 eV$ y es claro que la energía está cuantizada.<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
$\frac{df(x)}{dx} = lim_{h→0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $<br />
<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} ≈ \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h} = \frac{f(x-h) - 2f(x) + f(x+h)}{h^{2}}<br />
\label{segunda}<br />
\end{equation} <br />
<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: $x-h$, $x$ y $x+h$. <br />
Puedo elegir más puntos para la aproximación pero ésto requiere expandir el operador en serie de Taylor. Por ahora bastará mostrar a manera de ejemplo cómo se ve la solución numérica que obtengo con el método. Para ello, considero la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ(x) = -\frac{2m}{ħ} Eψ(x) $<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor $h$. La solución es la lista de valores $ψ(0)$, $ψ(h)$, $ψ(2h)$,...,$ψ((N+1)h)$. Para estos valores, puedo expresar una ecuación con índices,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ_i = -\frac{2m}{ħ} Eψ_i$ → $ᗄ_i Є (1,...,N)$<br />
<br />
<br />
<br />
Donde $N+2$ es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la ecuación (\ref{segunda}) para reescribir<br />
<br />
$\frac{ψ_i-1 - 2ψ_i + ψ_i+1}{h^{2}} = -\frac{2m}{ħ^{2}} Eψ_i$<br />
<br />
Puedo expresar este sistema de ecuaciones de forma matricial,<br />
<br />
$\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix} = \frac{-2mE}{ħ} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix}$<br />
<br />
<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores $ψ$ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles cuantizados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera es pertinente un comentario adicional: la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht, $ ψ_0 = ψ_N+1 = 0$. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores $ ψ_0$ y $ψ_N+1 $. Cómo el valor es 0, el operador diferencial no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores $ ψ_0 y ψ_N+1 $, y me quedo con las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Retomando la ecuación (\ref{radial}), es conveniente sustituir $ρ = rR → R=\frac{ρ}{r}$, por lo que reescribo el operador cómo,<br />
<br />
$\frac{∂}{∂r} (r^{2} \frac{∂}{∂r} \frac{ρ}{r}) = \frac{∂}{∂r} [r^{2} \frac{1}{r} \frac{∂ρ}{∂r} + r^{2} ρ (-\frac{1}{r^{2}})] = \frac{∂ρ}{∂r} + r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}}-\frac{∂ρ}{∂r} = r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} $<br />
<br />
Por lo tanto, <br />
<br />
$r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μr^{2}}{ħ^{2}}(\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) \frac{ρ}{r} = 0 $<br />
<br />
dividido por r,<br />
<br />
$ \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μ}{ħ^{2}}\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) ρ = 0 $<br />
<br />
Divido por el término constante y pasó el término que involucra a la energía a la derecha, <br />
<br />
$- \frac{ħ}{2μ} \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} + \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}ρ - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}}ρ = Eρ $<br />
<br />
Discretizo la coordenada radial usando una red equidistante $r_i$ con $N$ elementos y un desplazamiento igual a $h=r_{i+1}-r_i$. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero corresponde al operador de Laplace,<br />
<br />
$-\frac{ħ^{2}}{2μ}*\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
$\frac{e^{2}}{4πε_0}\begin{bmatrix}<br />
\frac{1}{r_1} & & & \\<br />
& \frac{1}{r_2} & & \\ <br />
& & \ddots & \\<br />
& & &\frac{1}{r_N} \\<br />
<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
por último, <br />
<br />
$\frac{ħ^{2}}{2μ}\begin{bmatrix}<br />
\frac{1}{r_1^{2}} & & & \\<br />
& \frac{1}{r_2^{2}} & & \\ <br />
& & \ddots & \\<br />
& & &\frac{1}{r_N^{2}} \\<br />
<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores $ρ$ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del electrón en el átomo de hidrógeno gracias a la sustitución que adopté antes, $ρ= rR$.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
<br />
Para la implementación definimos funciones que calculan las matrices diagonales señaladas en la sección anterior. Estas funciones dependen de la coordenada discretizada $r$. Con las funciones construimos un hamiltoniano con forma matricial. El siguiente paso es establecer el número de elementos $N$ de nuestro espacio discretizado, el número cuántico orbital $l$ y una región radial de largo 20 $nm$ donde excluimos el origen coordenado para evitar una indeterminación. <br />
A grandes rasgos, el código consiste en un algoritmo iterativo que diagonaliza sólo una fracción de todos los eigenestados. En presencia del potencial de Coulomb obtendremos eigenvalores negativos (''bound states''). Por la finitud del espacio discretizado y las condiciones de frontera, el espectro de energías positivas es análogo al de una partícula en una caja. Despreciamos estos estados porque nuestro enfoque está en el potencial negativo, es decir que sólo me quedo con eigenestados de menor magnitud. Con éstos últimos el programa calcula la probabilidad de densidad correspondiente a cada estado energético. La probabilidad de densidad se refiere a la probabilidad de encontrar el electrón a una distancia $x$ del núcleo.<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|thumb|centro| Probabilidad de densidad para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno ]]<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico $l = 0$. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno 1s (línea azul) , 2s (línea verde) y 3s (línea roja). Se sabe que para estos estados energéticos corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de %l% no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal $n$, los valores permitidos de $l$ son $0,1,...,n-1$. Es decir que si elegimos $l=1$ la solución de menor energía corresponde a $n=2$.<br />
<br />
== Conclusión ==<br />
<br />
A pesar de que se obtuvieron resultados esperados por la magnitud de la energía para cada nivel, valdría la pena explorar la incertidumbre asociada a éste método de solución y compararlo con otros métodos numéricos como el de elementos finitos. Por ahora hemos discutido cómo el método de diferencias finitas se utiliza para discretizar un operador diferencial y lo he utilizado para resolver el problema del átomo de hidrógeno. La implementación en código nos permite tomar la solución radial de la ecuación de Schrödinger para visualizar los niveles de energía y su probabilidad de densidad asociada.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28700Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T20:46:24Z<p>Jerlbcslsd: /* Solución radial */</p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
$[\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
La solución de esta ecuación tiene 3 partes, la solución azimutal $Ψ(Φ)$, la solución polar $Ψ(θ)$ y la solución radial $Ψ(r)$. Por el alcance de este texto nos interesa sólo la parte radial de la solución.<br />
<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución radial de la ecuación de Schrödinger introduce una variable nueva, el número cuántico orbital $l$, que adopta valores enteros positivos. Así, la ecuación radial queda, <br />
<br />
<br />
<br />
$\frac{1}{R} \frac{∂}{∂r} ( r^{2} \frac{∂R}{∂r}) - \frac{2μ r^{2}}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) = -l(l+1) $<br />
<br />
<br />
<br />
Con algo de álgebra podemos reescribir la ecuación anterior cómo,<br />
\begin{equation}<br />
\frac{∂^{2} R}{∂ r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{∂R}{∂r} - \frac{2μ}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{-l(l+1) ħ^{2}}{2μ r^{2}} - E) R = 0 <br />
\label{radial}<br />
\end{equation} <br />
<br />
Ahora me tomaré un momento para explorar cómo se comporta ésta solución para valores muy grande de $r$, donde hago despreciables los términos $r^{-1}$ y $r^{-2}$, es decir <br />
<br />
$r → ∞: \frac{∂^{2} R_∞}{∂r^{2}} + \frac{2μE}{ħ^{2}} R_∞ = 0$<br />
<br />
la solución de la ecuación anterior es una combinación lineal de exponenciales reales pero para evitar divergencia para valores valores muy grandes de $r$, me quedo sólo con una exponencial decreciente,<br />
<br />
$R_∞ (r) = C e^{-\frac{\sqrt{2μ|E|}}{ħ}r} = \frac{1Ry}{n^{2}}$<br />
<br />
La forma final de la solución radial se obtiene de una serie de potencias. No es mi intención abundar en cómo se soluciona la ecuación analíticamente así que bastará mostrar que (\ref{radial}) queda cómo<br />
<br />
$R = C e^{-\frac{r}{n a*_0}} (\frac{2r}{n a*_0})^{l} L_{n-l-1}(\frac{2r}{n a*_0})$<br />
<br />
donde $a*_0$ es el radio de Bohr reducido, <br />
<br />
$a*_0 = \frac{4π ε_0 ħ^{2} }{μ e^{2}}$<br />
<br />
$n$ es el número cuántico principal $nЄ(1,2,3,...)$ y la energía queda cómo<br />
<br />
$E = \frac{μ e^{4}}{32 π^{2} ε_0^{2} ħ^{2} n^{2}} = \frac{1Ry}{n^{2}} $<br />
<br />
donde Ry se refiere a 1 Rydberg, $1 Ry = 13.605 eV$ y es claro que la energía está cuantizada.<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
$\frac{df(x)}{dx} = lim_{h→0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $<br />
<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} ≈ \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h} = \frac{f(x-h) - 2f(x) + f(x+h)}{h^{2}}<br />
\label{segunda}<br />
\end{equation} <br />
<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: $x-h$, $x$ y $x+h$. <br />
Puedo elegir más puntos para la aproximación pero ésto requiere expandir el operador en serie de Taylor. Por ahora bastará mostrar a manera de ejemplo cómo se ve la solución numérica que obtengo con el método. Para ello, considero la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ(x) = -\frac{2m}{ħ} Eψ(x) $<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor $h$. La solución es la lista de valores $ψ(0)$, $ψ(h)$, $ψ(2h)$,...,$ψ((N+1)h)$. Para estos valores, puedo expresar una ecuación con índices,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ_i = -\frac{2m}{ħ} Eψ_i$ → $ᗄ_i Є (1,...,N)$<br />
<br />
<br />
<br />
Donde $N+2$ es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la ecuación (\ref{segunda}),<br />
<br />
$\frac{ψ_i-1 - 2ψ_i + ψ_i+1}{h^{2}} = -\frac{2m}{ħ^{2}} Eψ_i$<br />
<br />
Puedo expresar este sistema de ecuaciones de forma matricial,<br />
<br />
$\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix} = \frac{-2mE}{ħ} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix}$<br />
<br />
<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores $ψ$ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles cuantizados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera es pertinente un comentario adicional: la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht, $ ψ_0 = ψ_N+1 = 0$. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores $ ψ_0$ y $ψ_N+1 $. Cómo el valor es 0, el operador diferencial no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores $ ψ_0 y ψ_N+1 $, y me quedo con las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Retomando la ecuación (\ref{radial}), es conveniente sustituir $ρ = rR → R=\frac{ρ}{r}$, por lo que reescribo el operador cómo,<br />
<br />
$\frac{∂}{∂r} (r^{2} \frac{∂}{∂r} \frac{ρ}{r}) = \frac{∂}{∂r} [r^{2} \frac{1}{r} \frac{∂ρ}{∂r} + r^{2} ρ (-\frac{1}{r^{2}})] = \frac{∂ρ}{∂r} + r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}}-\frac{∂ρ}{∂r} = r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} $<br />
<br />
Por lo tanto, <br />
<br />
$r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μr^{2}}{ħ^{2}}(\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) \frac{ρ}{r} = 0 $<br />
<br />
dividido por r,<br />
<br />
$ \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μ}{ħ^{2}}\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) ρ = 0 $<br />
<br />
Divido por el término constante y pasó el término que involucra a la energía a la derecha, <br />
<br />
$- \frac{ħ}{2μ} \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} + \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}ρ - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}}ρ = Eρ $<br />
<br />
Discretizo la coordenada radial usando una red equidistante $r_i$ con $N$ elementos y un desplazamiento igual a $h=r_{i+1}-r_i$. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero corresponde al operador de Laplace,<br />
<br />
$-\frac{ħ^{2}}{2μ}*\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
$\frac{e^{2}}{4πε_0}\begin{bmatrix}<br />
\frac{1}{r_1} & & & \\<br />
& \frac{1}{r_2} & & \\ <br />
& & \ddots & \\<br />
& & &\frac{1}{r_N} \\<br />
<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
por último, <br />
<br />
$\frac{ħ^{2}}{2μ}\begin{bmatrix}<br />
\frac{1}{r_1^{2}} & & & \\<br />
& \frac{1}{r_2^{2}} & & \\ <br />
& & \ddots & \\<br />
& & &\frac{1}{r_N^{2}} \\<br />
<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores $ρ$ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del electrón en el átomo de hidrógeno gracias a la sustitución que adopté antes, $ρ= rR$.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
<br />
Para la implementación definimos funciones que calculan las matrices diagonales señaladas en la sección anterior. Estas funciones dependen de la coordenada discretizada $r$. Con las funciones construimos un hamiltoniano con forma matricial. El siguiente paso es establecer el número de elementos $N$ de nuestro espacio discretizado, el número cuántico orbital $l$ y una región radial de largo 20 $nm$ donde excluimos el origen coordenado para evitar una indeterminación. <br />
A grandes rasgos, el código consiste en un algoritmo iterativo que diagonaliza sólo una fracción de todos los eigenestados. En presencia del potencial de Coulomb obtendremos eigenvalores negativos (''bound states''). Por la finitud del espacio discretizado y las condiciones de frontera, el espectro de energías positivas es análogo al de una partícula en una caja. Despreciamos estos estados porque nuestro enfoque está en el potencial negativo, es decir que sólo me quedo con eigenestados de menor magnitud. Con éstos últimos el programa calcula la probabilidad de densidad correspondiente a cada estado energético. La probabilidad de densidad se refiere a la probabilidad de encontrar el electrón a una distancia $x$ del núcleo.<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|thumb|centro| Probabilidad de densidad para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno ]]<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico $l = 0$. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno 1s (línea azul) , 2s (línea verde) y 3s (línea roja). Se sabe que para estos estados energéticos corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de %l% no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal $n$, los valores permitidos de $l$ son $0,1,...,n-1$. Es decir que si elegimos $l=1$ la solución de menor energía corresponde a $n=2$.<br />
<br />
== Conclusión ==<br />
<br />
A pesar de que se obtuvieron resultados esperados por la magnitud de la energía para cada nivel, valdría la pena explorar la incertidumbre asociada a éste método de solución y compararlo con otros métodos numéricos como el de elementos finitos. Por ahora hemos discutido cómo el método de diferencias finitas se utiliza para discretizar un operador diferencial y lo he utilizado para resolver el problema del átomo de hidrógeno. La implementación en código nos permite tomar la solución radial de la ecuación de Schrödinger para visualizar los niveles de energía y su probabilidad de densidad asociada.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28689Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T20:24:18Z<p>Jerlbcslsd: /* Conclusión */</p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
$[\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
La solución de esta ecuación tiene 3 partes, la solución azimutal $Ψ(Φ)$, la solución polar $Ψ(θ)$ y la solución radial $Ψ(r)$. Por el alcance de este texto nos interesa sólo la parte radial de la solución.<br />
<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución radial de la ecuación de Schrödinger introduce una variable nueva, el número cuántico orbital $l$, que adopta valores enteros positivos. Así, la ecuación radial queda, <br />
<br />
<br />
<br />
$\frac{1}{R} \frac{∂}{∂r} ( r^{2} \frac{∂R}{∂r}) - \frac{2μ r^{2}}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) = -l(l+1) $<br />
<br />
<br />
<br />
Con algo de álgebra podemos reescribir la ecuación anterior cómo,<br />
\begin{equation}<br />
\frac{∂^{2} R}{∂ r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{∂R}{∂r} - \frac{2μ}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{-l(l+1) ħ^{2}}{2μ r^{2}} - E) R = 0 <br />
\label{radial}<br />
\end{equation} <br />
<br />
Ahora me tomaré un momento para explorar cómo se comporta ésta solución para valores muy grande de $r$, donde haré despreciable los términos $r^{-1}$ y $r^{-2}$, es decir <br />
<br />
$r → ∞: \frac{∂^{2} R_∞}{∂r^{2}} + \frac{2μE}{ħ^{2}} R_∞ = 0$<br />
<br />
la solución de la ecuación anterior es una combinación lineal de exponenciales reales pero para evitar divergencia para valores valores muy grandes de $r$, me quedo sólo con una exponencial decreciente,<br />
<br />
$R_∞ (r) = C e^{-\frac{\sqrt{2μ|E|}}{ħ}r} = \frac{1Ry}{n^{2}}$<br />
<br />
La forma final de la solución radial se obtiene de una serie de potencias. No es mi intención abundar en cómo se soluciona la ecuación analíticamente así que bastará mostrar que (\ref{radial}) queda cómo<br />
<br />
$R = C e^{-\frac{r}{n a*_0}} (\frac{2r}{n a*_0})^{l} L_{n-l-1}(\frac{2r}{n a*_0})$<br />
<br />
donde $a*_0$ es el radio de Bohr reducido, <br />
<br />
$a*_0 = \frac{4π ε_0 ħ^{2} }{μ e^{2}}$<br />
<br />
$n$ es el número cuántico principal $nЄ(1,2,3,...)$ y la energía queda cómo<br />
<br />
$E = \frac{μ e^{4}}{32 π^{2} ε_0^{2} ħ^{2} n^{2}} = \frac{1Ry}{n^{2}} $<br />
<br />
donde Ry se refiere a 1 Rydberg, $1 Ry = 13.605 eV$ y es claro que la energía está cuantizada.<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
$\frac{df(x)}{dx} = lim_{h→0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $<br />
<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} ≈ \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h} = \frac{f(x-h) - 2f(x) + f(x+h)}{h^{2}}<br />
\label{segunda}<br />
\end{equation} <br />
<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: $x-h$, $x$ y $x+h$. <br />
Puedo elegir más puntos para la aproximación pero ésto requiere expandir el operador en serie de Taylor. Por ahora bastará mostrar a manera de ejemplo cómo se ve la solución numérica que obtengo con el método. Para ello, considero la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ(x) = -\frac{2m}{ħ} Eψ(x) $<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor $h$. La solución es la lista de valores $ψ(0)$, $ψ(h)$, $ψ(2h)$,...,$ψ((N+1)h)$. Para estos valores, puedo expresar una ecuación con índices,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ_i = -\frac{2m}{ħ} Eψ_i$ → $ᗄ_i Є (1,...,N)$<br />
<br />
<br />
<br />
Donde $N+2$ es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la ecuación (\ref{segunda}),<br />
<br />
$\frac{ψ_i-1 - 2ψ_i + ψ_i+1}{h^{2}} = -\frac{2m}{ħ^{2}} Eψ_i$<br />
<br />
Puedo expresar este sistema de ecuaciones de forma matricial,<br />
<br />
$\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix} = \frac{-2mE}{ħ} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix}$<br />
<br />
<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores $ψ$ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles cuantizados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera es pertinente un comentario adicional: la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht, $ ψ_0 = ψ_N+1 = 0$. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores $ ψ_0$ y $ψ_N+1 $. Cómo el valor es 0, el operador diferencial no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores $ ψ_0 y ψ_N+1 $, y me quedo con las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Retomando la ecuación (\ref{radial}), es conveniente sustituir $ρ = rR → R=\frac{ρ}{r}$, por lo que reescribo el operador cómo,<br />
<br />
$\frac{∂}{∂r} (r^{2} \frac{∂}{∂r} \frac{ρ}{r}) = \frac{∂}{∂r} [r^{2} \frac{1}{r} \frac{∂ρ}{∂r} + r^{2} ρ (-\frac{1}{r^{2}})] = \frac{∂ρ}{∂r} + r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}}-\frac{∂ρ}{∂r} = r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} $<br />
<br />
Por lo tanto, <br />
<br />
$r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μr^{2}}{ħ^{2}}(\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) \frac{ρ}{r} = 0 $<br />
<br />
dividido por r,<br />
<br />
$ \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μ}{ħ^{2}}\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) ρ = 0 $<br />
<br />
Divido por el término constante y pasó el término que involucra a la energía a la derecha, <br />
<br />
$- \frac{ħ}{2μ} \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} + \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}ρ - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}}ρ = Eρ $<br />
<br />
Discretizo la coordenada radial usando una red equidistante $r_i$ con $N$ elementos y un desplazamiento igual a $h=r_{i+1}-r_i$. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero corresponde al operador de Laplace,<br />
<br />
$-\frac{ħ^{2}}{2μ}*\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
$\frac{e^{2}}{4πε_0}\begin{bmatrix}<br />
\frac{1}{r_1} & & & \\<br />
& \frac{1}{r_2} & & \\ <br />
& & \ddots & \\<br />
& & &\frac{1}{r_N} \\<br />
<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
por último, <br />
<br />
$\frac{ħ^{2}}{2μ}\begin{bmatrix}<br />
\frac{1}{r_1^{2}} & & & \\<br />
& \frac{1}{r_2^{2}} & & \\ <br />
& & \ddots & \\<br />
& & &\frac{1}{r_N^{2}} \\<br />
<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores $ρ$ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del electrón en el átomo de hidrógeno gracias a la sustitución que adopté antes, $ρ= rR$.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
<br />
Para la implementación definimos funciones que calculan las matrices diagonales señaladas en la sección anterior. Estas funciones dependen de la coordenada discretizada $r$. Con las funciones construimos un hamiltoniano con forma matricial. El siguiente paso es establecer el número de elementos $N$ de nuestro espacio discretizado, el número cuántico orbital $l$ y una región radial de largo 20 $nm$ donde excluimos el origen coordenado para evitar una indeterminación. <br />
A grandes rasgos, el código consiste en un algoritmo iterativo que diagonaliza sólo una fracción de todos los eigenestados. En presencia del potencial de Coulomb obtendremos eigenvalores negativos (''bound states''). Por la finitud del espacio discretizado y las condiciones de frontera, el espectro de energías positivas es análogo al de una partícula en una caja. Despreciamos estos estados porque nuestro enfoque está en el potencial negativo, es decir que sólo me quedo con eigenestados de menor magnitud. Con éstos últimos el programa calcula la probabilidad de densidad correspondiente a cada estado energético. La probabilidad de densidad se refiere a la probabilidad de encontrar el electrón a una distancia $x$ del núcleo.<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|thumb|centro| Probabilidad de densidad para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno ]]<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico $l = 0$. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno 1s (línea azul) , 2s (línea verde) y 3s (línea roja). Se sabe que para estos estados energéticos corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de %l% no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal $n$, los valores permitidos de $l$ son $0,1,...,n-1$. Es decir que si elegimos $l=1$ la solución de menor energía corresponde a $n=2$.<br />
<br />
== Conclusión ==<br />
<br />
A pesar de que se obtuvieron resultados esperados por la magnitud de la energía para cada nivel, valdría la pena explorar la incertidumbre asociada a éste método de solución y compararlo con otros métodos numéricos como el de elementos finitos. Por ahora hemos discutido cómo el método de diferencias finitas se utiliza para discretizar un operador diferencial y lo he utilizado para resolver el problema del átomo de hidrógeno. La implementación en código nos permite tomar la solución radial de la ecuación de Schrödinger para visualizar los niveles de energía y su probabilidad de densidad asociada.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Discusi%C3%B3n:Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28684Discusión:Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T20:20:35Z<p>Jerlbcslsd: </p>
<hr />
<div>Sugiero añadir un párrafo descriptivo donde se mencione que se pretende,que se tiene para lograrlo y cual es el producto final con su respectivos comentarios<br />
atte eduardo mtz<br />
--[[Usuario:Helios|Eduardo]] ([[Usuario discusión:Helios|discusión]]) 01:25 10 jun 2021 (CDT)<br />
<br />
''Gracias, está agregado en el resumen''<br />
----<br />
<br />
Saludos compañero, yo sugiero que deberías cambiar a singular la redacción del texto (tengo entendido que lo hiciste sin colaboradores), yo escribo en plural con frecuencia, pero en trimestres anteriores me han corregido mucho eso.<br />
[[Usuario:Tavo San|Tavo San]] ([[Usuario discusión:Tavo San|discusión]]) 12:00 10 jun 2021 (CDT)<br />
----<br />
''Gracias, tienes razón y es una costumbre de muchos años. Hice los cambios en la redacción''<br />
<br />
Creo que se ve bien tu trabajo, pero sugiero que las ecuaciones que pusiste como imagen las escribas como las que están más abajo para que toda la página tenga el mismo formato. [[Usuario:Areli J Vega|Areli Vega]]([[Usuario discusión:Areli J Vega|discusión]]) 17:02 10 jun 2021<br />
''Gracias, ya cambié el formato de las ecuaciones''<br />
----<br />
<br />
En las variables, te puse el ejemplo de latex con m_e en la primera linea. Como ves, entonces queda escrito igual que en la ecuación. Cambia en otros lugares las variables pertinentes.<br />
<br />
Las ecuaciones NO PUEDEN SER IMÁGENES". Por favor elimina todas esas imagenes tanto del texto tuyo como del servidor (introducen mucha basura) y escribe las ecuaciones en latex.<br />
<br />
Con esto ya tienes varias cosas que hacer. Entretanto te escribo otros comentarios.<br />
<br />
--[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 13:18 16 jun 2021 (CDT)<br />
<br />
''Cambié el formato de las ecuaciones''--[[Usuario:Jerlbcslsd|Jerlbcslsd]] ([[Usuario discusión:Jerlbcslsd|discusión]]) 15:17 17 jun 2021 (CDT)<br />
----<br />
<br />
Falta definir las variables que se utilizan en las ecuaciones, comenzando por las variables involucradas en la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.<br />
<br />
''Definí las variables de la ecuación''--[[Usuario:Jerlbcslsd|Jerlbcslsd]] ([[Usuario discusión:Jerlbcslsd|discusión]]) 15:17 17 jun 2021 (CDT)<br />
<br />
En la sección "Solución cuántica" falta explicar como se obtiene, de la última ecuación que es la Schrödinger independiente del tiempo, la primera ecuación de la sección "Solución radial de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo". Ésta última ecuación está mal escrita, ¿dónde está la igualdad?<br />
<br />
''Corregí la ecuación mal escrita y agregué mas pasos para que dar a entender cómo trato la ecuación radial''--[[Usuario:Jerlbcslsd|Jerlbcslsd]] ([[Usuario discusión:Jerlbcslsd|discusión]]) 15:17 17 jun 2021 (CDT)<br />
Pienso que el método de diferencias finitas debería estar después de la sección "Solución radial de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo".<br />
<br />
''Es verdad, creo que le da un mejor orden al texto. Realicé el cambio''--[[Usuario:Jerlbcslsd|Jerlbcslsd]] ([[Usuario discusión:Jerlbcslsd|discusión]]) 15:17 17 jun 2021 (CDT)<br />
<br />
A las secciones "Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas" y "Implementación en Python" les hace falta mucha explicación. En particular, discutir con mucho cuidado lo que describe la figura. <br />
''Agregué un poco más de contenido a ambas secciones''--[[Usuario:Jerlbcslsd|Jerlbcslsd]] ([[Usuario discusión:Jerlbcslsd|discusión]]) 15:17 17 jun 2021 (CDT)<br />
<br />
Recuerdas que desde que planteaste el problema comenté que era de la mayor importancia la condición de que la función de onda tienda a cero para valores grandes de la posición. ¡No veo nada de eso en tu texto!<br />
<br />
''Hice mención de esto en el texto, en la sección de solución radial''--[[Usuario:Jerlbcslsd|Jerlbcslsd]] ([[Usuario discusión:Jerlbcslsd|discusión]]) 15:17 17 jun 2021 (CDT)<br />
--[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 13:33 16 jun 2021 (CDT)</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Discusi%C3%B3n:Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28683Discusión:Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T20:18:29Z<p>Jerlbcslsd: </p>
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<div>Sugiero añadir un párrafo descriptivo donde se mencione que se pretende,que se tiene para lograrlo y cual es el producto final con su respectivos comentarios<br />
atte eduardo mtz<br />
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Saludos compañero, yo sugiero que deberías cambiar a singular la redacción del texto (tengo entendido que lo hiciste sin colaboradores), yo escribo en plural con frecuencia, pero en trimestres anteriores me han corregido mucho eso.<br />
[[Usuario:Tavo San|Tavo San]] ([[Usuario discusión:Tavo San|discusión]]) 12:00 10 jun 2021 (CDT)<br />
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En las variables, te puse el ejemplo de latex con m_e en la primera linea. Como ves, entonces queda escrito igual que en la ecuación. Cambia en otros lugares las variables pertinentes.<br />
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Las ecuaciones NO PUEDEN SER IMÁGENES". Por favor elimina todas esas imagenes tanto del texto tuyo como del servidor (introducen mucha basura) y escribe las ecuaciones en latex.<br />
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Con esto ya tienes varias cosas que hacer. Entretanto te escribo otros comentarios.<br />
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Falta definir las variables que se utilizan en las ecuaciones, comenzando por las variables involucradas en la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.<br />
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En la sección "Solución cuántica" falta explicar como se obtiene, de la última ecuación que es la Schrödinger independiente del tiempo, la primera ecuación de la sección "Solución radial de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo". Ésta última ecuación está mal escrita, ¿dónde está la igualdad?<br />
<br />
''Corregí la ecuación mal escrita y agregué mas pasos para que dar a entender cómo trato la ecuación radial''--[[Usuario:Jerlbcslsd|Jerlbcslsd]] ([[Usuario discusión:Jerlbcslsd|discusión]]) 15:17 17 jun 2021 (CDT)<br />
Pienso que el método de diferencias finitas debería estar después de la sección "Solución radial de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo".<br />
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''Es verdad, creo que le da un mejor orden al texto. Realicé el cambio''--[[Usuario:Jerlbcslsd|Jerlbcslsd]] ([[Usuario discusión:Jerlbcslsd|discusión]]) 15:17 17 jun 2021 (CDT)<br />
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A las secciones "Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas" y "Implementación en Python" les hace falta mucha explicación. En particular, discutir con mucho cuidado lo que describe la figura. <br />
''Agregué un poco más de contenido a ambas secciones''--[[Usuario:Jerlbcslsd|Jerlbcslsd]] ([[Usuario discusión:Jerlbcslsd|discusión]]) 15:17 17 jun 2021 (CDT)<br />
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Recuerdas que desde que planteaste el problema comenté que era de la mayor importancia la condición de que la función de onda tienda a cero para valores grandes de la posición. ¡No veo nada de eso en tu texto!<br />
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''Hice mención de esto en el texto, en la sección de solución radial''--[[Usuario:Jerlbcslsd|Jerlbcslsd]] ([[Usuario discusión:Jerlbcslsd|discusión]]) 15:17 17 jun 2021 (CDT)<br />
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En las variables, te puse el ejemplo de latex con m_e en la primera linea. Como ves, entonces queda escrito igual que en la ecuación. Cambia en otros lugares las variables pertinentes.<br />
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Las ecuaciones NO PUEDEN SER IMÁGENES". Por favor elimina todas esas imagenes tanto del texto tuyo como del servidor (introducen mucha basura) y escribe las ecuaciones en latex.<br />
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Con esto ya tienes varias cosas que hacer. Entretanto te escribo otros comentarios.<br />
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En la sección "Solución cuántica" falta explicar como se obtiene, de la última ecuación que es la Schrödinger independiente del tiempo, la primera ecuación de la sección "Solución radial de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo". Ésta última ecuación está mal escrita, ¿dónde está la igualdad?<br />
<br />
''Corregí la ecuación mal escrita y agregué mas pasos para que dar a entender cómo trato la ecuación radial''--[[Usuario:Jerlbcslsd|Jerlbcslsd]] ([[Usuario discusión:Jerlbcslsd|discusión]]) 15:17 17 jun 2021 (CDT)<br />
Pienso que el método de diferencias finitas debería estar después de la sección "Solución radial de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo".<br />
<br />
''Es verdad, creo que le da un mejor orden al texto. Realicé el cambio''--[[Usuario:Jerlbcslsd|Jerlbcslsd]] ([[Usuario discusión:Jerlbcslsd|discusión]]) 15:17 17 jun 2021 (CDT)<br />
<br />
A las secciones "Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas" y "Implementación en Python" les hace falta mucha explicación. En particular, discutir con mucho cuidado lo que describe la figura. <br />
''Agregué un poco más de contenido a ambas secciones''--[[Usuario:Jerlbcslsd|Jerlbcslsd]] ([[Usuario discusión:Jerlbcslsd|discusión]]) 15:17 17 jun 2021 (CDT)<br />
<br />
Recuerdas que desde que planteaste el problema comenté que era de la mayor importancia la condición de que la función de onda tienda a cero para valores grandes de la posición. ¡No veo nada de eso en tu texto!<br />
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<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
$[\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
La solución de esta ecuación tiene 3 partes, la solución azimutal $Ψ(Φ)$, la solución polar $Ψ(θ)$ y la solución radial $Ψ(r)$. Por el alcance de este texto nos interesa sólo la parte radial de la solución.<br />
<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución radial de la ecuación de Schrödinger introduce una variable nueva, el número cuántico orbital $l$, que adopta valores enteros positivos. Así, la ecuación radial queda, <br />
<br />
<br />
<br />
$\frac{1}{R} \frac{∂}{∂r} ( r^{2} \frac{∂R}{∂r}) - \frac{2μ r^{2}}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) = -l(l+1) $<br />
<br />
<br />
<br />
Con algo de álgebra podemos reescribir la ecuación anterior cómo,<br />
\begin{equation}<br />
\frac{∂^{2} R}{∂ r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{∂R}{∂r} - \frac{2μ}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{-l(l+1) ħ^{2}}{2μ r^{2}} - E) R = 0 <br />
\label{radial}<br />
\end{equation} <br />
<br />
Ahora me tomaré un momento para explorar cómo se comporta ésta solución para valores muy grande de $r$, donde haré despreciable los términos $r^{-1}$ y $r^{-2}$, es decir <br />
<br />
$r → ∞: \frac{∂^{2} R_∞}{∂r^{2}} + \frac{2μE}{ħ^{2}} R_∞ = 0$<br />
<br />
la solución de la ecuación anterior es una combinación lineal de exponenciales reales pero para evitar divergencia para valores valores muy grandes de $r$, me quedo sólo con una exponencial decreciente,<br />
<br />
$R_∞ (r) = C e^{-\frac{\sqrt{2μ|E|}}{ħ}r} = \frac{1Ry}{n^{2}}$<br />
<br />
La forma final de la solución radial se obtiene de una serie de potencias. No es mi intención abundar en cómo se soluciona la ecuación analíticamente así que bastará mostrar que (\ref{radial}) queda cómo<br />
<br />
$R = C e^{-\frac{r}{n a*_0}} (\frac{2r}{n a*_0})^{l} L_{n-l-1}(\frac{2r}{n a*_0})$<br />
<br />
donde $a*_0$ es el radio de Bohr reducido, <br />
<br />
$a*_0 = \frac{4π ε_0 ħ^{2} }{μ e^{2}}$<br />
<br />
$n$ es el número cuántico principal $nЄ(1,2,3,...)$ y la energía queda cómo<br />
<br />
$E = \frac{μ e^{4}}{32 π^{2} ε_0^{2} ħ^{2} n^{2}} = \frac{1Ry}{n^{2}} $<br />
<br />
donde Ry se refiere a 1 Rydberg, $1 Ry = 13.605 eV$ y es claro que la energía está cuantizada.<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
$\frac{df(x)}{dx} = lim_{h→0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $<br />
<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} ≈ \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h} = \frac{f(x-h) - 2f(x) + f(x+h)}{h^{2}}<br />
\label{segunda}<br />
\end{equation} <br />
<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: $x-h$, $x$ y $x+h$. <br />
Puedo elegir más puntos para la aproximación pero ésto requiere expandir el operador en serie de Taylor. Por ahora bastará mostrar a manera de ejemplo cómo se ve la solución numérica que obtengo con el método. Para ello, considero la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ(x) = -\frac{2m}{ħ} Eψ(x) $<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor $h$. La solución es la lista de valores $ψ(0)$, $ψ(h)$, $ψ(2h)$,...,$ψ((N+1)h)$. Para estos valores, puedo expresar una ecuación con índices,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ_i = -\frac{2m}{ħ} Eψ_i$ → $ᗄ_i Є (1,...,N)$<br />
<br />
<br />
<br />
Donde $N+2$ es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la ecuación (\ref{segunda}),<br />
<br />
$\frac{ψ_i-1 - 2ψ_i + ψ_i+1}{h^{2}} = -\frac{2m}{ħ^{2}} Eψ_i$<br />
<br />
Puedo expresar este sistema de ecuaciones de forma matricial,<br />
<br />
$\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix} = \frac{-2mE}{ħ} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix}$<br />
<br />
<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores $ψ$ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles cuantizados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera es pertinente un comentario adicional: la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht, $ ψ_0 = ψ_N+1 = 0$. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores $ ψ_0$ y $ψ_N+1 $. Cómo el valor es 0, el operador diferencial no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores $ ψ_0 y ψ_N+1 $, y me quedo con las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Retomando la ecuación (\ref{radial}), es conveniente sustituir $ρ = rR → R=\frac{ρ}{r}$, por lo que reescribo el operador cómo,<br />
<br />
$\frac{∂}{∂r} (r^{2} \frac{∂}{∂r} \frac{ρ}{r}) = \frac{∂}{∂r} [r^{2} \frac{1}{r} \frac{∂ρ}{∂r} + r^{2} ρ (-\frac{1}{r^{2}})] = \frac{∂ρ}{∂r} + r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}}-\frac{∂ρ}{∂r} = r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} $<br />
<br />
Por lo tanto, <br />
<br />
$r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μr^{2}}{ħ^{2}}(\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) \frac{ρ}{r} = 0 $<br />
<br />
dividido por r,<br />
<br />
$ \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μ}{ħ^{2}}\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) ρ = 0 $<br />
<br />
Divido por el término constante y pasó el término que involucra a la energía a la derecha, <br />
<br />
$- \frac{ħ}{2μ} \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} + \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}ρ - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}}ρ = Eρ $<br />
<br />
Discretizo la coordenada radial usando una red equidistante $r_i$ con $N$ elementos y un desplazamiento igual a $h=r_{i+1}-r_i$. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero corresponde al operador de Laplace,<br />
<br />
$-\frac{ħ^{2}}{2μ}*\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
$\frac{e^{2}}{4πε_0}\begin{bmatrix}<br />
\frac{1}{r_1} & & & \\<br />
& \frac{1}{r_2} & & \\ <br />
& & \ddots & \\<br />
& & &\frac{1}{r_N} \\<br />
<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
por último, <br />
<br />
$\frac{ħ^{2}}{2μ}\begin{bmatrix}<br />
\frac{1}{r_1^{2}} & & & \\<br />
& \frac{1}{r_2^{2}} & & \\ <br />
& & \ddots & \\<br />
& & &\frac{1}{r_N^{2}} \\<br />
<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores $ρ$ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del electrón en el átomo de hidrógeno gracias a la sustitución que adopté antes, $ρ= rR$.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
<br />
Para la implementación definimos funciones que calculan las matrices diagonales señaladas en la sección anterior. Estas funciones dependen de la coordenada discretizada $r$. Con las funciones construimos un hamiltoniano con forma matricial. El siguiente paso es establecer el número de elementos $N$ de nuestro espacio discretizado, el número cuántico orbital $l$ y una región radial de largo 20 $nm$ donde excluimos el origen coordenado para evitar una indeterminación. <br />
A grandes rasgos, el código consiste en un algoritmo iterativo que diagonaliza sólo una fracción de todos los eigenestados. En presencia del potencial de Coulomb obtendremos eigenvalores negativos (''bound states''). Por la finitud del espacio discretizado y las condiciones de frontera, el espectro de energías positivas es análogo al de una partícula en una caja. Despreciamos estos estados porque nuestro enfoque está en el potencial negativo, es decir que sólo me quedo con eigenestados de menor magnitud. Con éstos últimos el programa calcula la probabilidad de densidad correspondiente a cada estado energético. La probabilidad de densidad se refiere a la probabilidad de encontrar el electrón a una distancia $x$ del núcleo.<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|thumb|centro| Probabilidad de densidad para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno ]]<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico $l = 0$. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno 1s (línea azul) , 2s (línea verde) y 3s (línea roja). Se sabe que para estos estados energéticos corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de %l% no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal $n$, los valores permitidos de $l$ son $0,1,...,n-1$. Es decir que si elegimos $l=1$ la solución de menor energía corresponde a $n=2$.<br />
<br />
== Conclusión ==<br />
<br />
A pesar de que se obtuvieron resultados esperados valdría la pena explorar la incertidumbre asociada a éste método de solución y compararlo con otros métodos numéricos, como el de elementos finitos. Por ahora hemos discutido cómo el método de diferencias finitas se utiliza para discretizar un operador diferencial y lo he utilizado para resolver el problema del átomo de hidrógeno. La implementación en código nos permite tomar la solución radial de la ecuación de Schrödinger para visualizar los niveles de energía y su probabilidad de densidad asociada. <br />
== Referencias ==<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28673Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T19:15:54Z<p>Jerlbcslsd: /* Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas */</p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión $x$.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
$[\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
La solución de esta ecuación tiene 3 partes, la solución azimutal $Ψ(Φ)$, la solución polar $Ψ(θ)$ y la solución radial $Ψ(r)$. Por el alcance de este texto nos interesa sólo la parte radial de la solución.<br />
<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución radial de la ecuación de Schrödinger introduce una variable nueva, el número cuántico orbital $l$, que adopta valores enteros positivos. Así, la ecuación radial queda, <br />
<br />
<br />
<br />
$\frac{1}{R} \frac{∂}{∂r} ( r^{2} \frac{∂R}{∂r}) - \frac{2μ r^{2}}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) = -l(l+1) $<br />
<br />
<br />
<br />
Con algo de álgebra podemos reescribir la ecuación anterior cómo,<br />
\begin{equation}<br />
\frac{∂^{2} R}{∂ r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{∂R}{∂r} - \frac{2μ}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{-l(l+1) ħ^{2}}{2μ r^{2}} - E) R = 0 <br />
\label{radial}<br />
\end{equation} <br />
<br />
Ahora me tomaré un momento para explorar cómo se comporta ésta solución para valores muy grande de $r$, donde haré despreciable los términos $r^{-1}$ y $r^{-2}$, es decir <br />
<br />
$r → ∞: \frac{∂^{2} R_∞}{∂r^{2}} + \frac{2μE}{ħ^{2}} R_∞ = 0$<br />
<br />
la solución de la ecuación anterior es una combinación lineal de exponenciales reales pero para evitar divergencia para valores valores muy grandes de $r$, me quedo sólo con una exponencial decreciente,<br />
<br />
$R_∞ (r) = C e^{-\frac{\sqrt{2μ|E|}}{ħ}r} = \frac{1Ry}{n^{2}}$<br />
<br />
La forma final de la solución radial se obtiene de una serie de potencias. No es mi intención abundar en cómo se soluciona la ecuación analíticamente así que bastará mostrar que (\ref{radial}) queda cómo<br />
<br />
$R = C e^{-\frac{r}{n a*_0}} (\frac{2r}{n a*_0})^{l} L_{n-l-1}(\frac{2r}{n a*_0})$<br />
<br />
donde $a*_0$ es el radio de Bohr reducido, <br />
<br />
$a*_0 = \frac{4π ε_0 ħ^{2} }{μ e^{2}}$<br />
<br />
$n$ es el número cuántico principal $nЄ(1,2,3,...)$ y la energía queda cómo<br />
<br />
$E = \frac{μ e^{4}}{32 π^{2} ε_0^{2} ħ^{2} n^{2}} = \frac{1Ry}{n^{2}} $<br />
<br />
donde Ry se refiere a 1 Rydberg, $1 Ry = 13.605 eV$ y es claro que la energía está cuantizada.<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
$\frac{df(x)}{dx} = lim_{h→0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $<br />
<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} ≈ \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h} = \frac{f(x-h) - 2f(x) + f(x+h)}{h^{2}}<br />
\label{segunda}<br />
\end{equation} <br />
<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: $x-h$, $x$ y $x+h$. <br />
Puedo elegir más puntos para la aproximación pero ésto requiere expandir el operador en serie de Taylor. Por ahora bastará mostrar a manera de ejemplo cómo se ve la solución numérica que obtengo con el método. Para ello, considero la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ(x) = -\frac{2m}{ħ} Eψ(x) $<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor $h$. La solución es la lista de valores $ψ(0)$, $ψ(h)$, $ψ(2h)$,...,$ψ((N+1)h)$. Para estos valores, puedo expresar una ecuación con índices,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ_i = -\frac{2m}{ħ} Eψ_i$ → $ᗄ_i Є (1,...,N)$<br />
<br />
<br />
<br />
Donde $N+2$ es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la ecuación (\ref{segunda}),<br />
<br />
$\frac{ψ_i-1 - 2ψ_i + ψ_i+1}{h^{2}} = -\frac{2m}{ħ^{2}} Eψ_i$<br />
<br />
Puedo expresar este sistema de ecuaciones de forma matricial,<br />
<br />
$\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix} = \frac{-2mE}{ħ} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix}$<br />
<br />
<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores $ψ$ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles cuantizados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera es pertinente un comentario adicional: la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht, $ ψ_0 = ψ_N+1 = 0$. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores $ ψ_0$ y $ψ_N+1 $. Cómo el valor es 0, el operador diferencial no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores $ ψ_0 y ψ_N+1 $, y me quedo con las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Retomando la ecuación (\ref{radial}), es conveniente sustituir $ρ = rR → R=\frac{ρ}{r}$, por lo que reescribo el operador cómo,<br />
<br />
$\frac{∂}{∂r} (r^{2} \frac{∂}{∂r} \frac{ρ}{r}) = \frac{∂}{∂r} [r^{2} \frac{1}{r} \frac{∂ρ}{∂r} + r^{2} ρ (-\frac{1}{r^{2}})] = \frac{∂ρ}{∂r} + r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}}-\frac{∂ρ}{∂r} = r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} $<br />
<br />
Por lo tanto, <br />
<br />
$r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μr^{2}}{ħ^{2}}(\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) \frac{ρ}{r} = 0 $<br />
<br />
dividido por r,<br />
<br />
$ \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μ}{ħ^{2}}\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) ρ = 0 $<br />
<br />
Divido por el término constante y pasó el término que involucra a la energía a la derecha, <br />
<br />
$- \frac{ħ}{2μ} \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} + \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}ρ - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}}ρ = Eρ $<br />
<br />
Discretizo la coordenada radial usando una red equidistante $r_i$ con $N$ elementos y un desplazamiento igual a $h=r_{i+1}-r_i$. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero corresponde al operador de Laplace,<br />
<br />
$-\frac{ħ^{2}}{2μ}*\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
$\frac{e^{2}}{4πε_0}\begin{bmatrix}<br />
\frac{1}{r_1} & & & \\<br />
& \frac{1}{r_2} & & \\ <br />
& & \ddots & \\<br />
& & &\frac{1}{r_N} \\<br />
<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
por último, <br />
<br />
$\frac{ħ^{2}}{2μ}\begin{bmatrix}<br />
\frac{1}{r_1^{2}} & & & \\<br />
& \frac{1}{r_2^{2}} & & \\ <br />
& & \ddots & \\<br />
& & &\frac{1}{r_N^{2}} \\<br />
<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores $ρ$ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del electrón en el átomo de hidrógeno gracias a la sustitución que adopté antes, $ρ= rR$.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
<br />
Para la implementación definimos funciones que calculan las matrices diagonales señaladas en la sección anterior. Estas funciones dependen de la coordenada discretizada $r$. Con las funciones construimos un hamiltoniano con forma matricial. El siguiente paso es establecer el número de elementos $N$ de nuestro espacio discretizado, el número cuántico orbital $l$ y una región radial de largo 20 $nm$ donde excluimos el origen coordenado para evitar una indeterminación. <br />
A grandes rasgos, el código consiste en un algoritmo iterativo que diagonaliza sólo una fracción de todos los eigenestados. En presencia del potencial de Coulomb obtendremos eigenvalores negativos (''bound states''). Por la finitud del espacio discretizado y las condiciones de frontera, el espectro de energías positivas es análogo al de una partícula en una caja. Despreciamos estos estados porque nuestro enfoque está en el potencial negativo, es decir que sólo me quedo con eigenestados de menor magnitud. Con éstos últimos el programa calcula la probabilidad de densidad correspondiente a cada estado energético. La probabilidad de densidad se refiere a la probabilidad de encontrar el electrón a una distancia $x$ del núcleo.<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|thumb|centro| Probabilidad de densidad para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno ]]<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico $l = 0$. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno 1s (línea azul) , 2s (línea verde) y 3s (línea roja). Se sabe que para estos estados energéticos corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de %l% no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal $n$, los valores permitidos de $l$ son $0,1,...,n-1$. Es decir que si elegimos $l=1$ la solución de menor energía corresponde a $n=2$.<br />
<br />
== Conclusión ==<br />
<br />
A pesar de que se obtuvieron resultados esperados valdría la pena explorar la incertidumbre asociada a éste método de solución y compararlo con otros métodos numéricos, como el de elementos finitos. Por ahora hemos discutido cómo el método de diferencias finitas se utiliza para discretizar un operador diferencial y lo he utilizado para resolver el problema del átomo de hidrógeno. La implementación en código nos permite tomar la solución radial de la ecuación de Schrödinger para visualizar los niveles de energía y su probabilidad de densidad asociada. <br />
== Referencias ==<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28672Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T19:14:41Z<p>Jerlbcslsd: </p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión $x$.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
$[\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
La solución de esta ecuación tiene 3 partes, la solución azimutal $Ψ(Φ)$, la solución polar $Ψ(θ)$ y la solución radial $Ψ(r)$. Por el alcance de este texto nos interesa sólo la parte radial de la solución.<br />
<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución radial de la ecuación de Schrödinger introduce una variable nueva, el número cuántico orbital $l$, que adopta valores enteros positivos. Así, la ecuación radial queda, <br />
<br />
<br />
<br />
$\frac{1}{R} \frac{∂}{∂r} ( r^{2} \frac{∂R}{∂r}) - \frac{2μ r^{2}}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) = -l(l+1) $<br />
<br />
<br />
<br />
Con algo de álgebra podemos reescribir la ecuación anterior cómo,<br />
\begin{equation}<br />
\frac{∂^{2} R}{∂ r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{∂R}{∂r} - \frac{2μ}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{-l(l+1) ħ^{2}}{2μ r^{2}} - E) R = 0 <br />
\label{radial}<br />
\end{equation} <br />
<br />
Ahora me tomaré un momento para explorar cómo se comporta ésta solución para valores muy grande de $r$, donde haré despreciable los términos $r^{-1}$ y $r^{-2}$, es decir <br />
<br />
$r → ∞: \frac{∂^{2} R_∞}{∂r^{2}} + \frac{2μE}{ħ^{2}} R_∞ = 0$<br />
<br />
la solución de la ecuación anterior es una combinación lineal de exponenciales reales pero para evitar divergencia para valores valores muy grandes de $r$, me quedo sólo con una exponencial decreciente,<br />
<br />
$R_∞ (r) = C e^{-\frac{\sqrt{2μ|E|}}{ħ}r} = \frac{1Ry}{n^{2}}$<br />
<br />
La forma final de la solución radial se obtiene de una serie de potencias. No es mi intención abundar en cómo se soluciona la ecuación analíticamente así que bastará mostrar que (\ref{radial}) queda cómo<br />
<br />
$R = C e^{-\frac{r}{n a*_0}} (\frac{2r}{n a*_0})^{l} L_{n-l-1}(\frac{2r}{n a*_0})$<br />
<br />
donde $a*_0$ es el radio de Bohr reducido, <br />
<br />
$a*_0 = \frac{4π ε_0 ħ^{2} }{μ e^{2}}$<br />
<br />
$n$ es el número cuántico principal $nЄ(1,2,3,...)$ y la energía queda cómo<br />
<br />
$E = \frac{μ e^{4}}{32 π^{2} ε_0^{2} ħ^{2} n^{2}} = \frac{1Ry}{n^{2}} $<br />
<br />
donde Ry se refiere a 1 Rydberg, $1 Ry = 13.605 eV$ y es claro que la energía está cuantizada.<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
$\frac{df(x)}{dx} = lim_{h→0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $<br />
<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} ≈ \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h} = \frac{f(x-h) - 2f(x) + f(x+h)}{h^{2}}<br />
\label{segunda}<br />
\end{equation} <br />
<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: $x-h$, $x$ y $x+h$. <br />
Puedo elegir más puntos para la aproximación pero ésto requiere expandir el operador en serie de Taylor. Por ahora bastará mostrar a manera de ejemplo cómo se ve la solución numérica que obtengo con el método. Para ello, considero la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ(x) = -\frac{2m}{ħ} Eψ(x) $<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor $h$. La solución es la lista de valores $ψ(0)$, $ψ(h)$, $ψ(2h)$,...,$ψ((N+1)h)$. Para estos valores, puedo expresar una ecuación con índices,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ_i = -\frac{2m}{ħ} Eψ_i$ → $ᗄ_i Є (1,...,N)$<br />
<br />
<br />
<br />
Donde $N+2$ es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la ecuación (\ref{segunda}),<br />
<br />
$\frac{ψ_i-1 - 2ψ_i + ψ_i+1}{h^{2}} = -\frac{2m}{ħ^{2}} Eψ_i$<br />
<br />
Puedo expresar este sistema de ecuaciones de forma matricial,<br />
<br />
$\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix} = \frac{-2mE}{ħ} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix}$<br />
<br />
<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores $ψ$ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles cuantizados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera es pertinente un comentario adicional: la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht, $ ψ_0 = ψ_N+1 = 0$. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores $ ψ_0$ y $ψ_N+1 $. Cómo el valor es 0, el operador diferencial no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores $ ψ_0 y ψ_N+1 $, y me quedo con las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Retomando la ecuación (\ref{radial}), es conveniente sustituir $ρ = rR → R=\frac{ρ}{r}$, por lo que reescribo el operador cómo,<br />
<br />
$\frac{∂}{∂r} (r^{2} \frac{∂}{∂r} \frac{ρ}{r}) = \frac{∂}{∂r} [r^{2} \frac{1}{r} \frac{∂ρ}{∂r} + r^{2} ρ (-\frac{1}{r^{2}})] = \frac{∂ρ}{∂r} + r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}}-\frac{∂ρ}{∂r} = r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} $<br />
<br />
Por lo tanto, <br />
<br />
$r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μr^{2}}{ħ^{2}}(\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) \frac{ρ}{r} = 0 $<br />
<br />
dividido por r,<br />
<br />
$ \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μ}{ħ^{2}}\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) ρ = 0 $<br />
<br />
Divido por el término constante y pasó el término que involucra a la energía a la derecha, <br />
<br />
$- \frac{ħ}{2μ} \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} + \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}ρ - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}}ρ = Eρ $<br />
<br />
Discretizo la coordenada radial usando una red equidistante $r_i$ con $N$ elementos y un desplazamiento igual a $h=r_i+1-r_i$. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero corresponde al operador de Laplace,<br />
<br />
$-\frac{ħ^{2}}{2μ}*\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
$\frac{e^{2}}{4πε_0}\begin{bmatrix}<br />
\frac{1}{r_1} & & & \\<br />
& \frac{1}{r_2} & & \\ <br />
& & \ddots & \\<br />
& & &\frac{1}{r_N} \\<br />
<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
por último, <br />
<br />
$\frac{ħ^{2}}{2μ}\begin{bmatrix}<br />
\frac{1}{r_1^{2}} & & & \\<br />
& \frac{1}{r_2^{2}} & & \\ <br />
& & \ddots & \\<br />
& & &\frac{1}{r_N^{2}} \\<br />
<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores $ρ$ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del electrón en el átomo de hidrógeno gracias a la sustitución que adopté antes, $ρ= rR$.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
<br />
Para la implementación definimos funciones que calculan las matrices diagonales señaladas en la sección anterior. Estas funciones dependen de la coordenada discretizada $r$. Con las funciones construimos un hamiltoniano con forma matricial. El siguiente paso es establecer el número de elementos $N$ de nuestro espacio discretizado, el número cuántico orbital $l$ y una región radial de largo 20 $nm$ donde excluimos el origen coordenado para evitar una indeterminación. <br />
A grandes rasgos, el código consiste en un algoritmo iterativo que diagonaliza sólo una fracción de todos los eigenestados. En presencia del potencial de Coulomb obtendremos eigenvalores negativos (''bound states''). Por la finitud del espacio discretizado y las condiciones de frontera, el espectro de energías positivas es análogo al de una partícula en una caja. Despreciamos estos estados porque nuestro enfoque está en el potencial negativo, es decir que sólo me quedo con eigenestados de menor magnitud. Con éstos últimos el programa calcula la probabilidad de densidad correspondiente a cada estado energético. La probabilidad de densidad se refiere a la probabilidad de encontrar el electrón a una distancia $x$ del núcleo.<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|thumb|centro| Probabilidad de densidad para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno ]]<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico $l = 0$. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno 1s (línea azul) , 2s (línea verde) y 3s (línea roja). Se sabe que para estos estados energéticos corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de %l% no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal $n$, los valores permitidos de $l$ son $0,1,...,n-1$. Es decir que si elegimos $l=1$ la solución de menor energía corresponde a $n=2$.<br />
<br />
== Conclusión ==<br />
<br />
A pesar de que se obtuvieron resultados esperados valdría la pena explorar la incertidumbre asociada a éste método de solución y compararlo con otros métodos numéricos, como el de elementos finitos. Por ahora hemos discutido cómo el método de diferencias finitas se utiliza para discretizar un operador diferencial y lo he utilizado para resolver el problema del átomo de hidrógeno. La implementación en código nos permite tomar la solución radial de la ecuación de Schrödinger para visualizar los niveles de energía y su probabilidad de densidad asociada. <br />
== Referencias ==<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28671Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T19:08:27Z<p>Jerlbcslsd: /* Implementación en Python */</p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión $x$.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
$[\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
La solución de esta ecuación tiene 3 partes, la solución azimutal $Ψ(Φ)$, la solución polar $Ψ(θ)$ y la solución radial $Ψ(r)$. Por el alcance de este texto nos interesa sólo la parte radial de la solución.<br />
<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución radial de la ecuación de Schrödinger introduce una variable nueva, el número cuántico orbital $l$, que adopta valores enteros positivos. Así, la ecuación radial queda, <br />
<br />
<br />
<br />
$\frac{1}{R} \frac{∂}{∂r} ( r^{2} \frac{∂R}{∂r}) - \frac{2μ r^{2}}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) = -l(l+1) $<br />
<br />
<br />
<br />
Con algo de álgebra podemos reescribir la ecuación anterior cómo,<br />
\begin{equation}<br />
\frac{∂^{2} R}{∂ r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{∂R}{∂r} - \frac{2μ}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{-l(l+1) ħ^{2}}{2μ r^{2}} - E) R = 0 <br />
\label{radial}<br />
\end{equation} <br />
<br />
Ahora me tomaré un momento para explorar cómo se comporta ésta solución para valores muy grande de $r$, donde haré despreciable los términos $r^{-1}$ y $r^{-2}$, es decir <br />
<br />
$r → ∞: \frac{∂^{2} R_∞}{∂r^{2}} + \frac{2μE}{ħ^{2}} R_∞ = 0$<br />
<br />
la solución de la ecuación anterior es una combinación lineal de exponenciales reales pero para evitar divergencia para valores valores muy grandes de $r$, me quedo sólo con una exponencial decreciente,<br />
<br />
$R_∞ (r) = C e^{-\frac{\sqrt{2μ|E|}}{ħ}r} = \frac{1Ry}{n^{2}}$<br />
<br />
La forma final de la solución radial se obtiene de una serie de potencias. No es mi intención abundar en cómo se soluciona la ecuación analíticamente así que bastará mostrar que (\ref{radial}) queda cómo<br />
<br />
$R = C e^{-\frac{r}{n a*_0}} (\frac{2r}{n a*_0})^{l} L_{n-l-1}(\frac{2r}{n a*_0})$<br />
<br />
donde $a*_0$ es el radio de Bohr reducido, <br />
<br />
$a*_0 = \frac{4π ε_0 ħ^{2} }{μ e^{2}}$<br />
<br />
$n$ es el número cuántico principal $nЄ(1,2,3,...)$ y la energía queda cómo<br />
<br />
$E = \frac{μ e^{4}}{32 π^{2} ε_0^{2} ħ^{2} n^{2}} = \frac{1Ry}{n^{2}} $<br />
<br />
donde Ry se refiere a 1 Rydberg, $1 Ry = 13.605 eV$ y es claro que la energía está cuantizada.<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
$\frac{df(x)}{dx} = lim_{h→0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $<br />
<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} ≈ \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h} = \frac{f(x-h) - 2f(x) + f(x+h)}{h^{2}}<br />
\label{segunda}<br />
\end{equation} <br />
<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: $x-h$, $x$ y $x+h$. <br />
Puedo elegir más puntos para la aproximación pero ésto requiere expandir el operador en serie de Taylor. Por ahora bastará mostrar a manera de ejemplo cómo se ve la solución numérica que obtengo con el método. Para ello, considero la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ(x) = -\frac{2m}{ħ} Eψ(x) $<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor $h$. La solución es la lista de valores $ψ(0)$, $ψ(h)$, $ψ(2h)$,...,$ψ((N+1)h)$. Para estos valores, puedo expresar una ecuación con índices,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ_i = -\frac{2m}{ħ} Eψ_i$ → $ᗄ_i Є (1,...,N)$<br />
<br />
<br />
<br />
Donde $N+2$ es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la ecuación (\ref{segunda}),<br />
<br />
$\frac{ψ_i-1 - 2ψ_i + ψ_i+1}{h^{2}} = -\frac{2m}{ħ^{2}} Eψ_i$<br />
<br />
Puedo expresar este sistema de ecuaciones de forma matricial,<br />
<br />
$\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix} = \frac{-2mE}{ħ} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix}$<br />
<br />
<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores $ψ$ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles cuantizados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera es pertinente un comentario adicional: la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht, $ ψ_0 = ψ_N+1 = 0$. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores $ ψ_0$ y $ψ_N+1 $. Cómo el valor es 0, el operador diferencial no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores $ ψ_0 y ψ_N+1 $, y me quedo con las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Retomando la ecuación (\ref{radial}), es conveniente sustituir $ρ = rR → R=\frac{ρ}{r}$, por lo que reescribo el operador cómo,<br />
<br />
$\frac{∂}{∂r} (r^{2} \frac{∂}{∂r} \frac{ρ}{r}) = \frac{∂}{∂r} [r^{2} \frac{1}{r} \frac{∂ρ}{∂r} + r^{2} ρ (-\frac{1}{r^{2}})] = \frac{∂ρ}{∂r} + r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}}-\frac{∂ρ}{∂r} = r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} $<br />
<br />
Por lo tanto, <br />
<br />
$r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μr^{2}}{ħ^{2}}(\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) \frac{ρ}{r} = 0 $<br />
<br />
dividido por r,<br />
<br />
$ \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μ}{ħ^{2}}\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) ρ = 0 $<br />
<br />
Divido por el término constante y pasó el término que involucra a la energía a la derecha, <br />
<br />
$- \frac{ħ}{2μ} \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} + \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}ρ - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}}ρ = Eρ $<br />
<br />
Discretizo la coordenada radial usando una red equidistante $r_i$ con $N$ elementos y un desplazamiento igual a $h=r_i+1-r_i$. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero corresponde al operador de Laplace,<br />
<br />
$-\frac{ħ^{2}}{2μ}*\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
$\frac{e^{2}}{4πε_0}\begin{bmatrix}<br />
\frac{1}{r_1} & & & \\<br />
& \frac{1}{r_2} & & \\ <br />
& & \ddots & \\<br />
& & &\frac{1}{r_N} \\<br />
<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
por último, <br />
<br />
$\frac{ħ^{2}}{2μ}\begin{bmatrix}<br />
\frac{1}{r_1^{2}} & & & \\<br />
& \frac{1}{r_2^{2}} & & \\ <br />
& & \ddots & \\<br />
& & &\frac{1}{r_N^{2}} \\<br />
<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores $ρ$ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del electrón en el átomo de hidrógeno gracias a la sustitución que adopté antes, $ρ= rR$.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
<br />
Para la implementación definimos funciones que calculan las matrices diagonales señaladas en la sección anterior. Estas funciones dependen de la coordenada discretizada $r$. Con las funciones construimos un hamiltoniano con forma matricial. El siguiente paso es establecer el número de elementos $N$ de nuestro espacio discretizado, el número cuántico orbital $l$ y una región radial de largo 20 $nm$ donde excluimos el origen coordenado para evitar una indeterminación. <br />
A grandes rasgos, el código consiste en un algoritmo iterativo que diagonaliza sólo una fracción de todos los eigenestados. En presencia del potencial de Coulomb obtendremos eigenvalores negativos (''bound states''). Por la finitud del espacio discretizado y las condiciones de frontera, el espectro de energías positivas es análogo al de una partícula en una caja. Despreciamos estos estados porque nuestro enfoque está en el potencial negativo, es decir que sólo me quedo con eigenestados de menor magnitud. Con éstos últimos el programa calcula la probabilidad de densidad correspondiente a cada estado energético. La probabilidad de densidad se refiere a la probabilidad de encontrar el electrón a una distancia $x$ del núcleo.<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|thumb|centro| Probabilidad de densidad para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno ]]<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico $l = 0$. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno 1s (línea azul) , 2s (línea verde) y 3s (línea roja). Se sabe que para estos estados energéticos corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de %l% no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal $n$, los valores permitidos de $l$ son $0,1,...,n-1$. Es decir que si elegimos $l=1$ la solución de menor energía corresponde a $n=2$.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28670Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T19:08:09Z<p>Jerlbcslsd: /* Implementación en Python */</p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión $x$.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
$[\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
La solución de esta ecuación tiene 3 partes, la solución azimutal $Ψ(Φ)$, la solución polar $Ψ(θ)$ y la solución radial $Ψ(r)$. Por el alcance de este texto nos interesa sólo la parte radial de la solución.<br />
<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución radial de la ecuación de Schrödinger introduce una variable nueva, el número cuántico orbital $l$, que adopta valores enteros positivos. Así, la ecuación radial queda, <br />
<br />
<br />
<br />
$\frac{1}{R} \frac{∂}{∂r} ( r^{2} \frac{∂R}{∂r}) - \frac{2μ r^{2}}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) = -l(l+1) $<br />
<br />
<br />
<br />
Con algo de álgebra podemos reescribir la ecuación anterior cómo,<br />
\begin{equation}<br />
\frac{∂^{2} R}{∂ r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{∂R}{∂r} - \frac{2μ}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{-l(l+1) ħ^{2}}{2μ r^{2}} - E) R = 0 <br />
\label{radial}<br />
\end{equation} <br />
<br />
Ahora me tomaré un momento para explorar cómo se comporta ésta solución para valores muy grande de $r$, donde haré despreciable los términos $r^{-1}$ y $r^{-2}$, es decir <br />
<br />
$r → ∞: \frac{∂^{2} R_∞}{∂r^{2}} + \frac{2μE}{ħ^{2}} R_∞ = 0$<br />
<br />
la solución de la ecuación anterior es una combinación lineal de exponenciales reales pero para evitar divergencia para valores valores muy grandes de $r$, me quedo sólo con una exponencial decreciente,<br />
<br />
$R_∞ (r) = C e^{-\frac{\sqrt{2μ|E|}}{ħ}r} = \frac{1Ry}{n^{2}}$<br />
<br />
La forma final de la solución radial se obtiene de una serie de potencias. No es mi intención abundar en cómo se soluciona la ecuación analíticamente así que bastará mostrar que (\ref{radial}) queda cómo<br />
<br />
$R = C e^{-\frac{r}{n a*_0}} (\frac{2r}{n a*_0})^{l} L_{n-l-1}(\frac{2r}{n a*_0})$<br />
<br />
donde $a*_0$ es el radio de Bohr reducido, <br />
<br />
$a*_0 = \frac{4π ε_0 ħ^{2} }{μ e^{2}}$<br />
<br />
$n$ es el número cuántico principal $nЄ(1,2,3,...)$ y la energía queda cómo<br />
<br />
$E = \frac{μ e^{4}}{32 π^{2} ε_0^{2} ħ^{2} n^{2}} = \frac{1Ry}{n^{2}} $<br />
<br />
donde Ry se refiere a 1 Rydberg, $1 Ry = 13.605 eV$ y es claro que la energía está cuantizada.<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
$\frac{df(x)}{dx} = lim_{h→0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $<br />
<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} ≈ \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h} = \frac{f(x-h) - 2f(x) + f(x+h)}{h^{2}}<br />
\label{segunda}<br />
\end{equation} <br />
<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: $x-h$, $x$ y $x+h$. <br />
Puedo elegir más puntos para la aproximación pero ésto requiere expandir el operador en serie de Taylor. Por ahora bastará mostrar a manera de ejemplo cómo se ve la solución numérica que obtengo con el método. Para ello, considero la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ(x) = -\frac{2m}{ħ} Eψ(x) $<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor $h$. La solución es la lista de valores $ψ(0)$, $ψ(h)$, $ψ(2h)$,...,$ψ((N+1)h)$. Para estos valores, puedo expresar una ecuación con índices,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ_i = -\frac{2m}{ħ} Eψ_i$ → $ᗄ_i Є (1,...,N)$<br />
<br />
<br />
<br />
Donde $N+2$ es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la ecuación (\ref{segunda}),<br />
<br />
$\frac{ψ_i-1 - 2ψ_i + ψ_i+1}{h^{2}} = -\frac{2m}{ħ^{2}} Eψ_i$<br />
<br />
Puedo expresar este sistema de ecuaciones de forma matricial,<br />
<br />
$\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix} = \frac{-2mE}{ħ} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix}$<br />
<br />
<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores $ψ$ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles cuantizados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera es pertinente un comentario adicional: la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht, $ ψ_0 = ψ_N+1 = 0$. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores $ ψ_0$ y $ψ_N+1 $. Cómo el valor es 0, el operador diferencial no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores $ ψ_0 y ψ_N+1 $, y me quedo con las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Retomando la ecuación (\ref{radial}), es conveniente sustituir $ρ = rR → R=\frac{ρ}{r}$, por lo que reescribo el operador cómo,<br />
<br />
$\frac{∂}{∂r} (r^{2} \frac{∂}{∂r} \frac{ρ}{r}) = \frac{∂}{∂r} [r^{2} \frac{1}{r} \frac{∂ρ}{∂r} + r^{2} ρ (-\frac{1}{r^{2}})] = \frac{∂ρ}{∂r} + r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}}-\frac{∂ρ}{∂r} = r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} $<br />
<br />
Por lo tanto, <br />
<br />
$r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μr^{2}}{ħ^{2}}(\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) \frac{ρ}{r} = 0 $<br />
<br />
dividido por r,<br />
<br />
$ \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μ}{ħ^{2}}\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) ρ = 0 $<br />
<br />
Divido por el término constante y pasó el término que involucra a la energía a la derecha, <br />
<br />
$- \frac{ħ}{2μ} \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} + \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}ρ - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}}ρ = Eρ $<br />
<br />
Discretizo la coordenada radial usando una red equidistante $r_i$ con $N$ elementos y un desplazamiento igual a $h=r_i+1-r_i$. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero corresponde al operador de Laplace,<br />
<br />
$-\frac{ħ^{2}}{2μ}*\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
$\frac{e^{2}}{4πε_0}\begin{bmatrix}<br />
\frac{1}{r_1} & & & \\<br />
& \frac{1}{r_2} & & \\ <br />
& & \ddots & \\<br />
& & &\frac{1}{r_N} \\<br />
<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
por último, <br />
<br />
$\frac{ħ^{2}}{2μ}\begin{bmatrix}<br />
\frac{1}{r_1^{2}} & & & \\<br />
& \frac{1}{r_2^{2}} & & \\ <br />
& & \ddots & \\<br />
& & &\frac{1}{r_N^{2}} \\<br />
<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores $ρ$ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del electrón en el átomo de hidrógeno gracias a la sustitución que adopté antes, $ρ= rR$.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
<br />
Para la implementación definimos funciones que calculan las matrices diagonales señaladas en la sección anterior. Estas funciones dependen de la coordenada discretizada $r$. Con las funciones construimos un hamiltoniano con forma matricial. El siguiente paso es establecer el número de elementos $N$ de nuestro espacio discretizado, el número cuántico orbital $l$ y una región radial de largo 20 $nm$ donde excluimos el origen coordenado para evitar una indeterminación. <br />
A grandes rasgos, el código consiste en un algoritmo iterativo que diagonaliza sólo una fracción de todos los eigenestados. En presencia del potencial de Coulomb obtendremos eigenvalores negativos (''bound states''). Por la finitud del espacio discretizado y las condiciones de frontera, el espectro de energías positivas es análogo al de una partícula en una caja. Despreciamos estos estados porque nuestro enfoque está en el potencial negativo, es decir que sólo me quedo con eigenestados de menor magnitud. Con éstos últimos el programa calcula la probabilidad de densidad correspondiente a cada estado energético. La probabilidad de densidad se refiere a la probabilidad de encontrar el electrón a una distancia $x$ del núcleo.<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|thumb|centro| Probabilidad de densidad para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno ]]<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico $l = 0$. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno 1s (línea azul) , 2s(línea verde) y 3s (línea roja). Se sabe que para estos estados energéticos corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de %l% no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal $n$, los valores permitidos de $l$ son $0,1,...,n-1$. Es decir que si elegimos $l=1$ la solución de menor energía corresponde a $n=2$.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28669Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T18:56:46Z<p>Jerlbcslsd: /* Implementación en Python */</p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión $x$.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
$[\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
La solución de esta ecuación tiene 3 partes, la solución azimutal $Ψ(Φ)$, la solución polar $Ψ(θ)$ y la solución radial $Ψ(r)$. Por el alcance de este texto nos interesa sólo la parte radial de la solución.<br />
<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución radial de la ecuación de Schrödinger introduce una variable nueva, el número cuántico orbital $l$, que adopta valores enteros positivos. Así, la ecuación radial queda, <br />
<br />
<br />
<br />
$\frac{1}{R} \frac{∂}{∂r} ( r^{2} \frac{∂R}{∂r}) - \frac{2μ r^{2}}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) = -l(l+1) $<br />
<br />
<br />
<br />
Con algo de álgebra podemos reescribir la ecuación anterior cómo,<br />
\begin{equation}<br />
\frac{∂^{2} R}{∂ r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{∂R}{∂r} - \frac{2μ}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{-l(l+1) ħ^{2}}{2μ r^{2}} - E) R = 0 <br />
\label{radial}<br />
\end{equation} <br />
<br />
Ahora me tomaré un momento para explorar cómo se comporta ésta solución para valores muy grande de $r$, donde haré despreciable los términos $r^{-1}$ y $r^{-2}$, es decir <br />
<br />
$r → ∞: \frac{∂^{2} R_∞}{∂r^{2}} + \frac{2μE}{ħ^{2}} R_∞ = 0$<br />
<br />
la solución de la ecuación anterior es una combinación lineal de exponenciales reales pero para evitar divergencia para valores valores muy grandes de $r$, me quedo sólo con una exponencial decreciente,<br />
<br />
$R_∞ (r) = C e^{-\frac{\sqrt{2μ|E|}}{ħ}r} = \frac{1Ry}{n^{2}}$<br />
<br />
La forma final de la solución radial se obtiene de una serie de potencias. No es mi intención abundar en cómo se soluciona la ecuación analíticamente así que bastará mostrar que (\ref{radial}) queda cómo<br />
<br />
$R = C e^{-\frac{r}{n a*_0}} (\frac{2r}{n a*_0})^{l} L_{n-l-1}(\frac{2r}{n a*_0})$<br />
<br />
donde $a*_0$ es el radio de Bohr reducido, <br />
<br />
$a*_0 = \frac{4π ε_0 ħ^{2} }{μ e^{2}}$<br />
<br />
$n$ es el número cuántico principal $nЄ(1,2,3,...)$ y la energía queda cómo<br />
<br />
$E = \frac{μ e^{4}}{32 π^{2} ε_0^{2} ħ^{2} n^{2}} = \frac{1Ry}{n^{2}} $<br />
<br />
donde Ry se refiere a 1 Rydberg, $1 Ry = 13.605 eV$ y es claro que la energía está cuantizada.<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
$\frac{df(x)}{dx} = lim_{h→0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $<br />
<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} ≈ \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h} = \frac{f(x-h) - 2f(x) + f(x+h)}{h^{2}}<br />
\label{segunda}<br />
\end{equation} <br />
<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: $x-h$, $x$ y $x+h$. <br />
Puedo elegir más puntos para la aproximación pero ésto requiere expandir el operador en serie de Taylor. Por ahora bastará mostrar a manera de ejemplo cómo se ve la solución numérica que obtengo con el método. Para ello, considero la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ(x) = -\frac{2m}{ħ} Eψ(x) $<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor $h$. La solución es la lista de valores $ψ(0)$, $ψ(h)$, $ψ(2h)$,...,$ψ((N+1)h)$. Para estos valores, puedo expresar una ecuación con índices,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ_i = -\frac{2m}{ħ} Eψ_i$ → $ᗄ_i Є (1,...,N)$<br />
<br />
<br />
<br />
Donde $N+2$ es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la ecuación (\ref{segunda}),<br />
<br />
$\frac{ψ_i-1 - 2ψ_i + ψ_i+1}{h^{2}} = -\frac{2m}{ħ^{2}} Eψ_i$<br />
<br />
Puedo expresar este sistema de ecuaciones de forma matricial,<br />
<br />
$\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix} = \frac{-2mE}{ħ} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix}$<br />
<br />
<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores $ψ$ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles cuantizados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera es pertinente un comentario adicional: la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht, $ ψ_0 = ψ_N+1 = 0$. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores $ ψ_0$ y $ψ_N+1 $. Cómo el valor es 0, el operador diferencial no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores $ ψ_0 y ψ_N+1 $, y me quedo con las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Retomando la ecuación (\ref{radial}), es conveniente sustituir $ρ = rR → R=\frac{ρ}{r}$, por lo que reescribo el operador cómo,<br />
<br />
$\frac{∂}{∂r} (r^{2} \frac{∂}{∂r} \frac{ρ}{r}) = \frac{∂}{∂r} [r^{2} \frac{1}{r} \frac{∂ρ}{∂r} + r^{2} ρ (-\frac{1}{r^{2}})] = \frac{∂ρ}{∂r} + r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}}-\frac{∂ρ}{∂r} = r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} $<br />
<br />
Por lo tanto, <br />
<br />
$r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μr^{2}}{ħ^{2}}(\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) \frac{ρ}{r} = 0 $<br />
<br />
dividido por r,<br />
<br />
$ \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μ}{ħ^{2}}\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) ρ = 0 $<br />
<br />
Divido por el término constante y pasó el término que involucra a la energía a la derecha, <br />
<br />
$- \frac{ħ}{2μ} \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} + \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}ρ - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}}ρ = Eρ $<br />
<br />
Discretizo la coordenada radial usando una red equidistante $r_i$ con $N$ elementos y un desplazamiento igual a $h=r_i+1-r_i$. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero corresponde al operador de Laplace,<br />
<br />
$-\frac{ħ^{2}}{2μ}*\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
$\frac{e^{2}}{4πε_0}\begin{bmatrix}<br />
\frac{1}{r_1} & & & \\<br />
& \frac{1}{r_2} & & \\ <br />
& & \ddots & \\<br />
& & &\frac{1}{r_N} \\<br />
<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
por último, <br />
<br />
$\frac{ħ^{2}}{2μ}\begin{bmatrix}<br />
\frac{1}{r_1^{2}} & & & \\<br />
& \frac{1}{r_2^{2}} & & \\ <br />
& & \ddots & \\<br />
& & &\frac{1}{r_N^{2}} \\<br />
<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores $ρ$ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del electrón en el átomo de hidrógeno gracias a la sustitución que adopté antes, $ρ= rR$.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
<br />
Para la implementación definimos funciones que calculan las matrices diagonales señaladas en la sección anterior. Estas funciones dependen de la coordenada discretizada $r$. Con las funciones construimos un hamiltoniano con forma matricial. El siguiente paso es establecer el número de elementos $N$ de nuestro espacio discretizado, el número cuántico orbital $l$ y una región radial de largo 20 $nm$ donde excluimos el origen coordenado para evitar una indeterminación. <br />
A grandes rasgos, el código consiste en un algoritmo iterativo que diagonaliza sólo una fracción de todos los eigenestados. En presencia del potencial de Coulomb obtendremos eigenvalores negativos (''bound states''). Por la finitud del espacio discretizado y las condiciones de frontera, el espectro de energías positivas es análogo al de una partícula en una caja. Despreciamos estos estados porque nuestro enfoque está en el potencial negativo, es decir que sólo me quedo con eigenestados de menor magnitud. Con éstos últimos el programa calcula la probabilidad de densidad correspondiente a cada estado energético y se obtiene, <br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|thumb|centro| Probabilidad de densidad para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno ]]<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico $l = 0$. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno (1s,2s,3s,...). Se sabe que para estos estados corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de %l% no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal $n$, los valores permitidos de $l$ son $0,1,...,n-1$. Es decir que si elegimos $l=1$ la solución de menor energía corresponde a $n=2$.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28667Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T18:34:03Z<p>Jerlbcslsd: /* Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas */</p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión $x$.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
$[\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
La solución de esta ecuación tiene 3 partes, la solución azimutal $Ψ(Φ)$, la solución polar $Ψ(θ)$ y la solución radial $Ψ(r)$. Por el alcance de este texto nos interesa sólo la parte radial de la solución.<br />
<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución radial de la ecuación de Schrödinger introduce una variable nueva, el número cuántico orbital $l$, que adopta valores enteros positivos. Así, la ecuación radial queda, <br />
<br />
<br />
<br />
$\frac{1}{R} \frac{∂}{∂r} ( r^{2} \frac{∂R}{∂r}) - \frac{2μ r^{2}}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) = -l(l+1) $<br />
<br />
<br />
<br />
Con algo de álgebra podemos reescribir la ecuación anterior cómo,<br />
\begin{equation}<br />
\frac{∂^{2} R}{∂ r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{∂R}{∂r} - \frac{2μ}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{-l(l+1) ħ^{2}}{2μ r^{2}} - E) R = 0 <br />
\label{radial}<br />
\end{equation} <br />
<br />
Ahora me tomaré un momento para explorar cómo se comporta ésta solución para valores muy grande de $r$, donde haré despreciable los términos $r^{-1}$ y $r^{-2}$, es decir <br />
<br />
$r → ∞: \frac{∂^{2} R_∞}{∂r^{2}} + \frac{2μE}{ħ^{2}} R_∞ = 0$<br />
<br />
la solución de la ecuación anterior es una combinación lineal de exponenciales reales pero para evitar divergencia para valores valores muy grandes de $r$, me quedo sólo con una exponencial decreciente,<br />
<br />
$R_∞ (r) = C e^{-\frac{\sqrt{2μ|E|}}{ħ}r} = \frac{1Ry}{n^{2}}$<br />
<br />
La forma final de la solución radial se obtiene de una serie de potencias. No es mi intención abundar en cómo se soluciona la ecuación analíticamente así que bastará mostrar que (\ref{radial}) queda cómo<br />
<br />
$R = C e^{-\frac{r}{n a*_0}} (\frac{2r}{n a*_0})^{l} L_{n-l-1}(\frac{2r}{n a*_0})$<br />
<br />
donde $a*_0$ es el radio de Bohr reducido, <br />
<br />
$a*_0 = \frac{4π ε_0 ħ^{2} }{μ e^{2}}$<br />
<br />
$n$ es el número cuántico principal $nЄ(1,2,3,...)$ y la energía queda cómo<br />
<br />
$E = \frac{μ e^{4}}{32 π^{2} ε_0^{2} ħ^{2} n^{2}} = \frac{1Ry}{n^{2}} $<br />
<br />
donde Ry se refiere a 1 Rydberg, $1 Ry = 13.605 eV$ y es claro que la energía está cuantizada.<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
$\frac{df(x)}{dx} = lim_{h→0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $<br />
<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} ≈ \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h} = \frac{f(x-h) - 2f(x) + f(x+h)}{h^{2}}<br />
\label{segunda}<br />
\end{equation} <br />
<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: $x-h$, $x$ y $x+h$. <br />
Puedo elegir más puntos para la aproximación pero ésto requiere expandir el operador en serie de Taylor. Por ahora bastará mostrar a manera de ejemplo cómo se ve la solución numérica que obtengo con el método. Para ello, considero la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ(x) = -\frac{2m}{ħ} Eψ(x) $<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor $h$. La solución es la lista de valores $ψ(0)$, $ψ(h)$, $ψ(2h)$,...,$ψ((N+1)h)$. Para estos valores, puedo expresar una ecuación con índices,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ_i = -\frac{2m}{ħ} Eψ_i$ → $ᗄ_i Є (1,...,N)$<br />
<br />
<br />
<br />
Donde $N+2$ es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la ecuación (\ref{segunda}),<br />
<br />
$\frac{ψ_i-1 - 2ψ_i + ψ_i+1}{h^{2}} = -\frac{2m}{ħ^{2}} Eψ_i$<br />
<br />
Puedo expresar este sistema de ecuaciones de forma matricial,<br />
<br />
$\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix} = \frac{-2mE}{ħ} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix}$<br />
<br />
<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores $ψ$ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles cuantizados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera es pertinente un comentario adicional: la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht, $ ψ_0 = ψ_N+1 = 0$. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores $ ψ_0$ y $ψ_N+1 $. Cómo el valor es 0, el operador diferencial no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores $ ψ_0 y ψ_N+1 $, y me quedo con las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Retomando la ecuación (\ref{radial}), es conveniente sustituir $ρ = rR → R=\frac{ρ}{r}$, por lo que reescribo el operador cómo,<br />
<br />
$\frac{∂}{∂r} (r^{2} \frac{∂}{∂r} \frac{ρ}{r}) = \frac{∂}{∂r} [r^{2} \frac{1}{r} \frac{∂ρ}{∂r} + r^{2} ρ (-\frac{1}{r^{2}})] = \frac{∂ρ}{∂r} + r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}}-\frac{∂ρ}{∂r} = r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} $<br />
<br />
Por lo tanto, <br />
<br />
$r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μr^{2}}{ħ^{2}}(\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) \frac{ρ}{r} = 0 $<br />
<br />
dividido por r,<br />
<br />
$ \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μ}{ħ^{2}}\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) ρ = 0 $<br />
<br />
Divido por el término constante y pasó el término que involucra a la energía a la derecha, <br />
<br />
$- \frac{ħ}{2μ} \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} + \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}ρ - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}}ρ = Eρ $<br />
<br />
Discretizo la coordenada radial usando una red equidistante $r_i$ con $N$ elementos y un desplazamiento igual a $h=r_i+1-r_i$. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero corresponde al operador de Laplace,<br />
<br />
$-\frac{ħ^{2}}{2μ}*\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
$\frac{e^{2}}{4πε_0}\begin{bmatrix}<br />
\frac{1}{r_1} & & & \\<br />
& \frac{1}{r_2} & & \\ <br />
& & \ddots & \\<br />
& & &\frac{1}{r_N} \\<br />
<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
por último, <br />
<br />
$\frac{ħ^{2}}{2μ}\begin{bmatrix}<br />
\frac{1}{r_1^{2}} & & & \\<br />
& \frac{1}{r_2^{2}} & & \\ <br />
& & \ddots & \\<br />
& & &\frac{1}{r_N^{2}} \\<br />
<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores $ρ$ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del electrón en el átomo de hidrógeno gracias a la sustitución que adopté antes, $ρ= rR$.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|sinmarco|centro|]]<br />
<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico l = 0. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno (1s,2s,3s,...). Se sabe que para estos estados corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de l no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal n, los valores permitidos de l son 0,1,...,n-1. Es decir que si elegimos l=1 la solución de menor energía corresponde a n=2.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28665Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T18:33:26Z<p>Jerlbcslsd: /* Solución radial */</p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión $x$.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
$[\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
La solución de esta ecuación tiene 3 partes, la solución azimutal $Ψ(Φ)$, la solución polar $Ψ(θ)$ y la solución radial $Ψ(r)$. Por el alcance de este texto nos interesa sólo la parte radial de la solución.<br />
<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución radial de la ecuación de Schrödinger introduce una variable nueva, el número cuántico orbital $l$, que adopta valores enteros positivos. Así, la ecuación radial queda, <br />
<br />
<br />
<br />
$\frac{1}{R} \frac{∂}{∂r} ( r^{2} \frac{∂R}{∂r}) - \frac{2μ r^{2}}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) = -l(l+1) $<br />
<br />
<br />
<br />
Con algo de álgebra podemos reescribir la ecuación anterior cómo,<br />
\begin{equation}<br />
\frac{∂^{2} R}{∂ r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{∂R}{∂r} - \frac{2μ}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{-l(l+1) ħ^{2}}{2μ r^{2}} - E) R = 0 <br />
\label{radial}<br />
\end{equation} <br />
<br />
Ahora me tomaré un momento para explorar cómo se comporta ésta solución para valores muy grande de $r$, donde haré despreciable los términos $r^{-1}$ y $r^{-2}$, es decir <br />
<br />
$r → ∞: \frac{∂^{2} R_∞}{∂r^{2}} + \frac{2μE}{ħ^{2}} R_∞ = 0$<br />
<br />
la solución de la ecuación anterior es una combinación lineal de exponenciales reales pero para evitar divergencia para valores valores muy grandes de $r$, me quedo sólo con una exponencial decreciente,<br />
<br />
$R_∞ (r) = C e^{-\frac{\sqrt{2μ|E|}}{ħ}r} = \frac{1Ry}{n^{2}}$<br />
<br />
La forma final de la solución radial se obtiene de una serie de potencias. No es mi intención abundar en cómo se soluciona la ecuación analíticamente así que bastará mostrar que (\ref{radial}) queda cómo<br />
<br />
$R = C e^{-\frac{r}{n a*_0}} (\frac{2r}{n a*_0})^{l} L_{n-l-1}(\frac{2r}{n a*_0})$<br />
<br />
donde $a*_0$ es el radio de Bohr reducido, <br />
<br />
$a*_0 = \frac{4π ε_0 ħ^{2} }{μ e^{2}}$<br />
<br />
$n$ es el número cuántico principal $nЄ(1,2,3,...)$ y la energía queda cómo<br />
<br />
$E = \frac{μ e^{4}}{32 π^{2} ε_0^{2} ħ^{2} n^{2}} = \frac{1Ry}{n^{2}} $<br />
<br />
donde Ry se refiere a 1 Rydberg, $1 Ry = 13.605 eV$ y es claro que la energía está cuantizada.<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
$\frac{df(x)}{dx} = lim_{h→0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $<br />
<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} ≈ \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h} = \frac{f(x-h) - 2f(x) + f(x+h)}{h^{2}}<br />
\label{segunda}<br />
\end{equation} <br />
<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: $x-h$, $x$ y $x+h$. <br />
Puedo elegir más puntos para la aproximación pero ésto requiere expandir el operador en serie de Taylor. Por ahora bastará mostrar a manera de ejemplo cómo se ve la solución numérica que obtengo con el método. Para ello, considero la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ(x) = -\frac{2m}{ħ} Eψ(x) $<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor $h$. La solución es la lista de valores $ψ(0)$, $ψ(h)$, $ψ(2h)$,...,$ψ((N+1)h)$. Para estos valores, puedo expresar una ecuación con índices,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ_i = -\frac{2m}{ħ} Eψ_i$ → $ᗄ_i Є (1,...,N)$<br />
<br />
<br />
<br />
Donde $N+2$ es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la ecuación (\ref{segunda}),<br />
<br />
$\frac{ψ_i-1 - 2ψ_i + ψ_i+1}{h^{2}} = -\frac{2m}{ħ^{2}} Eψ_i$<br />
<br />
Puedo expresar este sistema de ecuaciones de forma matricial,<br />
<br />
$\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix} = \frac{-2mE}{ħ} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix}$<br />
<br />
<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores $ψ$ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles cuantizados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera es pertinente un comentario adicional: la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht, $ ψ_0 = ψ_N+1 = 0$. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores $ ψ_0$ y $ψ_N+1 $. Cómo el valor es 0, el operador diferencial no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores $ ψ_0 y ψ_N+1 $, y me quedo con las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Retomando la ecuación (\ref{radial}), es conveniente sustituir $ρ = rR → R=\frac{ρ}{r}$, por lo que reescribo el operador cómo,<br />
<br />
$\frac{∂}{∂r} (r^{2} \frac{∂}{∂r} \frac{ρ}{r}) = \frac{∂}{∂r} [r^{2} \frac{1}{r} \frac{∂ρ}{∂r} + r^{2} ρ (-\frac{1}{r^{2}})] = \frac{∂ρ}{∂r} + r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}}-\frac{∂ρ}{∂r} = r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} $<br />
<br />
Por lo tanto, <br />
<br />
$r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μr^{2}}{ħ^{2}}(\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) \frac{ρ}{r} = 0 $<br />
<br />
dividido por r,<br />
<br />
$ \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μ}{ħ^{2}}\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) ρ = 0 $<br />
<br />
Divido por el término constante y pasó el término que involucra a la energía a la derecha, <br />
<br />
$- \frac{ħ}{2μ} \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} + \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}ρ - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}}ρ = Eρ $<br />
<br />
Discretizo la coordenada radial usando una red equidistante $r_i$ con $N$ elementos y un desplazamiento igual a $h=r_i+1-r_i>$. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero corresponde al operador de Laplace,<br />
<br />
$-\frac{ħ^{2}}{2μ}*\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
$\frac{e^{2}}{4πε_0}\begin{bmatrix}<br />
\frac{1}{r_1} & & & \\<br />
& \frac{1}{r_2} & & \\ <br />
& & \ddots & \\<br />
& & &\frac{1}{r_N} \\<br />
<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
por último, <br />
<br />
$\frac{ħ^{2}}{2μ}\begin{bmatrix}<br />
\frac{1}{r_1^{2}} & & & \\<br />
& \frac{1}{r_2^{2}} & & \\ <br />
& & \ddots & \\<br />
& & &\frac{1}{r_N^{2}} \\<br />
<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores $ρ$ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del electrón en el átomo de hidrógeno gracias a la sustitución que adopté antes, $ρ= rR$.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|sinmarco|centro|]]<br />
<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico l = 0. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno (1s,2s,3s,...). Se sabe que para estos estados corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de l no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal n, los valores permitidos de l son 0,1,...,n-1. Es decir que si elegimos l=1 la solución de menor energía corresponde a n=2.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28664Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T18:31:26Z<p>Jerlbcslsd: /* Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas */</p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión $x$.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
$[\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
La solución de esta ecuación tiene 3 partes, la solución azimutal $Ψ(Φ)$, la solución polar $Ψ(θ)$ y la solución radial $Ψ(r)$. Por el alcance de este texto nos interesa sólo la parte radial de la solución.<br />
<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución radial de la ecuación de Schrödinger introduce una variable nueva, el número cuántico orbital $l$, que adopta valores enteros positivos. Así, la ecuación radial queda, <br />
<br />
<br />
<br />
$\frac{1}{R} \frac{∂}{∂r} ( r^{2} \frac{∂R}{∂r}) - \frac{2μ r^{2}}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) = -l(l+1) $<br />
<br />
<br />
<br />
Con algo de álgebra podemos reescribir la ecuación anterior cómo,<br />
\begin{equation}<br />
\frac{∂^{2} R}{∂ r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{∂R}{∂r} - \frac{2μ}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{-l(l+1) ħ^{2}}{2μ r^{2}} - E) R = 0 <br />
\label{radial}<br />
\end{equation} <br />
<br />
Ahora me tomaré un momento para explorar cómo se comporta ésta solución para valores muy grande de $r$, donde haré despreciable los términos $r^{-1}$ y $r^{-2}$, es decir <br />
<br />
$r → ∞: \frac{∂^{2} R_∞}{∂r^{2}} + \frac{2μE}{ħ^{2}} R_∞ = 0$<br />
<br />
la solución de la ecuación anterior es una combinación lineal de exponenciales reales pero para evitar divergencia para valores valores muy grandes de $r$, me quedo sólo con una exponencial decreciente,<br />
<br />
$R_∞ (r) = C e^{-\frac{\sqrt{2μ|E|}}{ħ}r} = \frac{1Ry}{n^{2}}$<br />
<br />
La forma final de la solución radial se obtiene de una serie de potencias. No es mi intención abundar en cómo se soluciona la ecuación analíticamente así que bastará mostrar que (\ref{radial}) queda cómo<br />
<br />
$R = C e^{-\frac{r}{n a*_0}} (\frac{2r}{n a*_0})^{l} L_{n-l-1}(\frac{2r}{n a*_0})$<br />
<br />
donde $a*_0$ es el radio de Bohr reducido, <br />
<br />
$a*_0 = \frac{4π ε_0 ħ^{2} }{μ e^{2}}$<br />
<br />
$n$ es el número cuántico principal $nЄ(1,2,3,...)$ y la energía queda cómo<br />
<br />
$E = \frac{μ e^{4}}{32 π^{2} ε_0^{2} ħ^{2} n^{2}} = \frac{1Ry}{n^{2}} $<br />
<br />
donde Ry se refiere a 1 Rydberg, $1 Ry = 13.605 eV$, es decir que la energía está cuantizada.<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
$\frac{df(x)}{dx} = lim_{h→0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $<br />
<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} ≈ \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h} = \frac{f(x-h) - 2f(x) + f(x+h)}{h^{2}}<br />
\label{segunda}<br />
\end{equation} <br />
<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: $x-h$, $x$ y $x+h$. <br />
Puedo elegir más puntos para la aproximación pero ésto requiere expandir el operador en serie de Taylor. Por ahora bastará mostrar a manera de ejemplo cómo se ve la solución numérica que obtengo con el método. Para ello, considero la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ(x) = -\frac{2m}{ħ} Eψ(x) $<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor $h$. La solución es la lista de valores $ψ(0)$, $ψ(h)$, $ψ(2h)$,...,$ψ((N+1)h)$. Para estos valores, puedo expresar una ecuación con índices,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ_i = -\frac{2m}{ħ} Eψ_i$ → $ᗄ_i Є (1,...,N)$<br />
<br />
<br />
<br />
Donde $N+2$ es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la ecuación (\ref{segunda}),<br />
<br />
$\frac{ψ_i-1 - 2ψ_i + ψ_i+1}{h^{2}} = -\frac{2m}{ħ^{2}} Eψ_i$<br />
<br />
Puedo expresar este sistema de ecuaciones de forma matricial,<br />
<br />
$\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix} = \frac{-2mE}{ħ} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix}$<br />
<br />
<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores $ψ$ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles cuantizados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera es pertinente un comentario adicional: la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht, $ ψ_0 = ψ_N+1 = 0$. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores $ ψ_0$ y $ψ_N+1 $. Cómo el valor es 0, el operador diferencial no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores $ ψ_0 y ψ_N+1 $, y me quedo con las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Retomando la ecuación (\ref{radial}), es conveniente sustituir $ρ = rR → R=\frac{ρ}{r}$, por lo que reescribo el operador cómo,<br />
<br />
$\frac{∂}{∂r} (r^{2} \frac{∂}{∂r} \frac{ρ}{r}) = \frac{∂}{∂r} [r^{2} \frac{1}{r} \frac{∂ρ}{∂r} + r^{2} ρ (-\frac{1}{r^{2}})] = \frac{∂ρ}{∂r} + r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}}-\frac{∂ρ}{∂r} = r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} $<br />
<br />
Por lo tanto, <br />
<br />
$r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μr^{2}}{ħ^{2}}(\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) \frac{ρ}{r} = 0 $<br />
<br />
dividido por r,<br />
<br />
$ \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μ}{ħ^{2}}\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) ρ = 0 $<br />
<br />
Divido por el término constante y pasó el término que involucra a la energía a la derecha, <br />
<br />
$- \frac{ħ}{2μ} \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} + \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}ρ - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}}ρ = Eρ $<br />
<br />
Discretizo la coordenada radial usando una red equidistante $r_i$ con $N$ elementos y un desplazamiento igual a $h=r_i+1-r_i>$. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero corresponde al operador de Laplace,<br />
<br />
$-\frac{ħ^{2}}{2μ}*\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
$\frac{e^{2}}{4πε_0}\begin{bmatrix}<br />
\frac{1}{r_1} & & & \\<br />
& \frac{1}{r_2} & & \\ <br />
& & \ddots & \\<br />
& & &\frac{1}{r_N} \\<br />
<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
por último, <br />
<br />
$\frac{ħ^{2}}{2μ}\begin{bmatrix}<br />
\frac{1}{r_1^{2}} & & & \\<br />
& \frac{1}{r_2^{2}} & & \\ <br />
& & \ddots & \\<br />
& & &\frac{1}{r_N^{2}} \\<br />
<br />
\end{bmatrix}$ <br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores $ρ$ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del electrón en el átomo de hidrógeno gracias a la sustitución que adopté antes, $ρ= rR$.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|sinmarco|centro|]]<br />
<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico l = 0. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno (1s,2s,3s,...). Se sabe que para estos estados corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de l no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal n, los valores permitidos de l son 0,1,...,n-1. Es decir que si elegimos l=1 la solución de menor energía corresponde a n=2.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28660Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T18:24:26Z<p>Jerlbcslsd: /* Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas */</p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión $x$.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
$[\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
La solución de esta ecuación tiene 3 partes, la solución azimutal $Ψ(Φ)$, la solución polar $Ψ(θ)$ y la solución radial $Ψ(r)$. Por el alcance de este texto nos interesa sólo la parte radial de la solución.<br />
<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución radial de la ecuación de Schrödinger introduce una variable nueva, el número cuántico orbital $l$, que adopta valores enteros positivos. Así, la ecuación radial queda, <br />
<br />
<br />
<br />
$\frac{1}{R} \frac{∂}{∂r} ( r^{2} \frac{∂R}{∂r}) - \frac{2μ r^{2}}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) = -l(l+1) $<br />
<br />
<br />
<br />
Con algo de álgebra podemos reescribir la ecuación anterior cómo,<br />
\begin{equation}<br />
\frac{∂^{2} R}{∂ r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{∂R}{∂r} - \frac{2μ}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{-l(l+1) ħ^{2}}{2μ r^{2}} - E) R = 0 <br />
\label{radial}<br />
\end{equation} <br />
<br />
Ahora me tomaré un momento para explorar cómo se comporta ésta solución para valores muy grande de $r$, donde haré despreciable los términos $r^{-1}$ y $r^{-2}$, es decir <br />
<br />
$r → ∞: \frac{∂^{2} R_∞}{∂r^{2}} + \frac{2μE}{ħ^{2}} R_∞ = 0$<br />
<br />
la solución de la ecuación anterior es una combinación lineal de exponenciales reales pero para evitar divergencia para valores valores muy grandes de $r$, me quedo sólo con una exponencial decreciente,<br />
<br />
$R_∞ (r) = C e^{-\frac{\sqrt{2μ|E|}}{ħ}r} = \frac{1Ry}{n^{2}}$<br />
<br />
La forma final de la solución radial se obtiene de una serie de potencias. No es mi intención abundar en cómo se soluciona la ecuación analíticamente así que bastará mostrar que (\ref{radial}) queda cómo<br />
<br />
$R = C e^{-\frac{r}{n a*_0}} (\frac{2r}{n a*_0})^{l} L_{n-l-1}(\frac{2r}{n a*_0})$<br />
<br />
donde $a*_0$ es el radio de Bohr reducido, <br />
<br />
$a*_0 = \frac{4π ε_0 ħ^{2} }{μ e^{2}}$<br />
<br />
$n$ es el número cuántico principal $nЄ(1,2,3,...)$ y la energía queda cómo<br />
<br />
$E = \frac{μ e^{4}}{32 π^{2} ε_0^{2} ħ^{2} n^{2}} = \frac{1Ry}{n^{2}} $<br />
<br />
donde Ry se refiere a 1 Rydberg, $1 Ry = 13.605 eV$, es decir que la energía está cuantizada.<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
$\frac{df(x)}{dx} = lim_{h→0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $<br />
<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} ≈ \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h} = \frac{f(x-h) - 2f(x) + f(x+h)}{h^{2}}<br />
\label{segunda}<br />
\end{equation} <br />
<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: $x-h$, $x$ y $x+h$. <br />
Puedo elegir más puntos para la aproximación pero ésto requiere expandir el operador en serie de Taylor. Por ahora bastará mostrar a manera de ejemplo cómo se ve la solución numérica que obtengo con el método. Para ello, considero la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ(x) = -\frac{2m}{ħ} Eψ(x) $<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor $h$. La solución es la lista de valores $ψ(0)$, $ψ(h)$, $ψ(2h)$,...,$ψ((N+1)h)$. Para estos valores, puedo expresar una ecuación con índices,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ_i = -\frac{2m}{ħ} Eψ_i$ → $ᗄ_i Є (1,...,N)$<br />
<br />
<br />
<br />
Donde $N+2$ es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la ecuación (\ref{segunda}),<br />
<br />
$\frac{ψ_i-1 - 2ψ_i + ψ_i+1}{h^{2}} = -\frac{2m}{ħ^{2}} Eψ_i$<br />
<br />
Puedo expresar este sistema de ecuaciones de forma matricial,<br />
<br />
$\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix} = \frac{-2mE}{ħ} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix}$<br />
<br />
<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores $ψ$ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles cuantizados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera es pertinente un comentario adicional: la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht, $ ψ_0 = ψ_N+1 = 0$. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores $ ψ_0$ y $ψ_N+1 $. Cómo el valor es 0, el operador diferencial no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores $ ψ_0 y ψ_N+1 $, y me quedo con las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Retomando la ecuación (\ref{radial}), es conveniente sustituir $ρ = rR → R=\frac{ρ}{r}$, por lo que reescribo el operador cómo,<br />
<br />
$\frac{∂}{∂r} (r^{2} \frac{∂}{∂r} \frac{ρ}{r}) = \frac{∂}{∂r} [r^{2} \frac{1}{r} \frac{∂ρ}{∂r} + r^{2} ρ (-\frac{1}{r^{2}})] = \frac{∂ρ}{∂r} + r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}}-\frac{∂ρ}{∂r} = r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} $<br />
<br />
Por lo tanto, <br />
<br />
$r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μr^{2}}{ħ^{2}}(\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) \frac{ρ}{r} = 0 $<br />
<br />
dividido por r,<br />
<br />
$ \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μ}{ħ^{2}}\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) ρ = 0 $<br />
<br />
Divido por el término constante y pasó el término que involucra a la energía a la derecha, <br />
<br />
$- \frac{ħ}{2μ} \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} + \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}ρ - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}}ρ = Eρ $<br />
<br />
Discretizo la coordenada radial usando una red equidistante $r_i$ con $N$ elementos y un desplazamiento igual a $h=r_i+1-r_i>$. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero corresponde al operador de Laplace,<br />
<br />
$-\frac{ħ^{2}}{2μ} <br />
<br />
[[Archivo:Matriz a.svg|250px|sinmarco|centro|mat]]<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
[[Archivo:Matc.svg|250 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
[[Archivo:Matrizb.svg|250 px|sinmarco|centro|mat disc]]<br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores $ρ$ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del electrón en el átomo de hidrógeno gracias a la sustitución que adopté antes, $ρ= rR$.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|sinmarco|centro|]]<br />
<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico l = 0. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno (1s,2s,3s,...). Se sabe que para estos estados corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de l no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal n, los valores permitidos de l son 0,1,...,n-1. Es decir que si elegimos l=1 la solución de menor energía corresponde a n=2.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28658Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T18:19:12Z<p>Jerlbcslsd: /* Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas */</p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión $x$.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
$[\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
La solución de esta ecuación tiene 3 partes, la solución azimutal $Ψ(Φ)$, la solución polar $Ψ(θ)$ y la solución radial $Ψ(r)$. Por el alcance de este texto nos interesa sólo la parte radial de la solución.<br />
<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución radial de la ecuación de Schrödinger introduce una variable nueva, el número cuántico orbital $l$, que adopta valores enteros positivos. Así, la ecuación radial queda, <br />
<br />
<br />
<br />
$\frac{1}{R} \frac{∂}{∂r} ( r^{2} \frac{∂R}{∂r}) - \frac{2μ r^{2}}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) = -l(l+1) $<br />
<br />
<br />
<br />
Con algo de álgebra podemos reescribir la ecuación anterior cómo,<br />
\begin{equation}<br />
\frac{∂^{2} R}{∂ r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{∂R}{∂r} - \frac{2μ}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{-l(l+1) ħ^{2}}{2μ r^{2}} - E) R = 0 <br />
\label{radial}<br />
\end{equation} <br />
<br />
Ahora me tomaré un momento para explorar cómo se comporta ésta solución para valores muy grande de $r$, donde haré despreciable los términos $r^{-1}$ y $r^{-2}$, es decir <br />
<br />
$r → ∞: \frac{∂^{2} R_∞}{∂r^{2}} + \frac{2μE}{ħ^{2}} R_∞ = 0$<br />
<br />
la solución de la ecuación anterior es una combinación lineal de exponenciales reales pero para evitar divergencia para valores valores muy grandes de $r$, me quedo sólo con una exponencial decreciente,<br />
<br />
$R_∞ (r) = C e^{-\frac{\sqrt{2μ|E|}}{ħ}r} = \frac{1Ry}{n^{2}}$<br />
<br />
La forma final de la solución radial se obtiene de una serie de potencias. No es mi intención abundar en cómo se soluciona la ecuación analíticamente así que bastará mostrar que (\ref{radial}) queda cómo<br />
<br />
$R = C e^{-\frac{r}{n a*_0}} (\frac{2r}{n a*_0})^{l} L_{n-l-1}(\frac{2r}{n a*_0})$<br />
<br />
donde $a*_0$ es el radio de Bohr reducido, <br />
<br />
$a*_0 = \frac{4π ε_0 ħ^{2} }{μ e^{2}}$<br />
<br />
$n$ es el número cuántico principal $nЄ(1,2,3,...)$ y la energía queda cómo<br />
<br />
$E = \frac{μ e^{4}}{32 π^{2} ε_0^{2} ħ^{2} n^{2}} = \frac{1Ry}{n^{2}} $<br />
<br />
donde Ry se refiere a 1 Rydberg, $1 Ry = 13.605 eV$, es decir que la energía está cuantizada.<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
$\frac{df(x)}{dx} = lim_{h→0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $<br />
<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} ≈ \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h} = \frac{f(x-h) - 2f(x) + f(x+h)}{h^{2}}<br />
\label{segunda}<br />
\end{equation} <br />
<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: $x-h$, $x$ y $x+h$. <br />
Puedo elegir más puntos para la aproximación pero ésto requiere expandir el operador en serie de Taylor. Por ahora bastará mostrar a manera de ejemplo cómo se ve la solución numérica que obtengo con el método. Para ello, considero la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ(x) = -\frac{2m}{ħ} Eψ(x) $<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor $h$. La solución es la lista de valores $ψ(0)$, $ψ(h)$, $ψ(2h)$,...,$ψ((N+1)h)$. Para estos valores, puedo expresar una ecuación con índices,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ_i = -\frac{2m}{ħ} Eψ_i$ → $ᗄ_i Є (1,...,N)$<br />
<br />
<br />
<br />
Donde $N+2$ es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la ecuación (\ref{segunda}),<br />
<br />
$\frac{ψ_i-1 - 2ψ_i + ψ_i+1}{h^{2}} = -\frac{2m}{ħ^{2}} Eψ_i$<br />
<br />
Puedo expresar este sistema de ecuaciones de forma matricial,<br />
<br />
$\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix} = \frac{-2mE}{ħ} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix}$<br />
<br />
<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores $ψ$ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles cuantizados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera es pertinente un comentario adicional: la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht, $ ψ_0 = ψ_N+1 = 0$. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores $ ψ_0$ y $ψ_N+1 $. Cómo el valor es 0, el operador diferencial no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores $ ψ_0 y ψ_N+1 $, y me quedo con las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Retomando la ecuación (\ref{radial}), es conveniente sustituir $ρ = rR → R=\frac{ρ}{r}$, por lo que reescribo el operador cómo,<br />
<br />
$\frac{∂}{∂r} (r^{2} \frac{∂}{∂r} \frac{ρ}{r}) = \frac{∂}{∂r} [r^{2} \frac{1}{r} \frac{∂ρ}{∂r} + r^{2} ρ (-\frac{1}{r^{2}})] = \frac{∂ρ}{∂r} + r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}}-\frac{∂ρ}{∂r} = r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} $<br />
<br />
Por lo tanto, <br />
<br />
$r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μr^{2}}{ħ^{2}}(\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) \frac{ρ}{r} = 0 $<br />
<br />
dividido por r,<br />
<br />
$ \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μ}{ħ^{2}}\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E ) ρ = 0 $<br />
<br />
Divido por el término constante y pasó el término que involucra a la energía a la derecha, <br />
<br />
$- \frac{ħ}{2μ} \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} + \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}ρ - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}}ρ = Eρ $<br />
Discretizaré la coordenada radial usando una red equidistante r<sub>i</sub> con N elementos y un desplazamiento igual a h=r<sub>i+1</sub>-r<sub>i</sub>. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero se corresponde con el operador de Laplace<br />
<br />
[[Archivo:Matriz a.svg|250px|sinmarco|centro|mat]]<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
[[Archivo:Matc.svg|250 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
[[Archivo:Matrizb.svg|250 px|sinmarco|centro|mat disc]]<br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores ρ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del hidrógeno gracias a la sustitución que adoptamos antes, ρ= rR.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|sinmarco|centro|]]<br />
<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico l = 0. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno (1s,2s,3s,...). Se sabe que para estos estados corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de l no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal n, los valores permitidos de l son 0,1,...,n-1. Es decir que si elegimos l=1 la solución de menor energía corresponde a n=2.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28655Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T18:12:32Z<p>Jerlbcslsd: </p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión $x$.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
$[\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
La solución de esta ecuación tiene 3 partes, la solución azimutal $Ψ(Φ)$, la solución polar $Ψ(θ)$ y la solución radial $Ψ(r)$. Por el alcance de este texto nos interesa sólo la parte radial de la solución.<br />
<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución radial de la ecuación de Schrödinger introduce una variable nueva, el número cuántico orbital $l$, que adopta valores enteros positivos. Así, la ecuación radial queda, <br />
<br />
<br />
<br />
$\frac{1}{R} \frac{∂}{∂r} ( r^{2} \frac{∂R}{∂r}) - \frac{2μ r^{2}}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) = -l(l+1) $<br />
<br />
<br />
<br />
Con algo de álgebra podemos reescribir la ecuación anterior cómo,<br />
\begin{equation}<br />
\frac{∂^{2} R}{∂ r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{∂R}{∂r} - \frac{2μ}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{-l(l+1) ħ^{2}}{2μ r^{2}} - E) R = 0 <br />
\label{radial}<br />
\end{equation} <br />
<br />
Ahora me tomaré un momento para explorar cómo se comporta ésta solución para valores muy grande de $r$, donde haré despreciable los términos $r^{-1}$ y $r^{-2}$, es decir <br />
<br />
$r → ∞: \frac{∂^{2} R_∞}{∂r^{2}} + \frac{2μE}{ħ^{2}} R_∞ = 0$<br />
<br />
la solución de la ecuación anterior es una combinación lineal de exponenciales reales pero para evitar divergencia para valores valores muy grandes de $r$, me quedo sólo con una exponencial decreciente,<br />
<br />
$R_∞ (r) = C e^{-\frac{\sqrt{2μ|E|}}{ħ}r} = \frac{1Ry}{n^{2}}$<br />
<br />
La forma final de la solución radial se obtiene de una serie de potencias. No es mi intención abundar en cómo se soluciona la ecuación analíticamente así que bastará mostrar que (\ref{radial}) queda cómo<br />
<br />
$R = C e^{-\frac{r}{n a*_0}} (\frac{2r}{n a*_0})^{l} L_{n-l-1}(\frac{2r}{n a*_0})$<br />
<br />
donde $a*_0$ es el radio de Bohr reducido, <br />
<br />
$a*_0 = \frac{4π ε_0 ħ^{2} }{μ e^{2}}$<br />
<br />
$n$ es el número cuántico principal $nЄ(1,2,3,...)$ y la energía queda cómo<br />
<br />
$E = \frac{μ e^{4}}{32 π^{2} ε_0^{2} ħ^{2} n^{2}} = \frac{1Ry}{n^{2}} $<br />
<br />
donde Ry se refiere a 1 Rydberg, $1 Ry = 13.605 eV$, es decir que la energía está cuantizada.<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
$\frac{df(x)}{dx} = lim_{h→0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $<br />
<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} ≈ \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h} = \frac{f(x-h) - 2f(x) + f(x+h)}{h^{2}}<br />
\label{segunda}<br />
\end{equation} <br />
<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: $x-h$, $x$ y $x+h$. <br />
Puedo elegir más puntos para la aproximación pero ésto requiere expandir el operador en serie de Taylor. Por ahora bastará mostrar a manera de ejemplo cómo se ve la solución numérica que obtengo con el método. Para ello, considero la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ(x) = -\frac{2m}{ħ} Eψ(x) $<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor $h$. La solución es la lista de valores $ψ(0)$, $ψ(h)$, $ψ(2h)$,...,$ψ((N+1)h)$. Para estos valores, puedo expresar una ecuación con índices,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ_i = -\frac{2m}{ħ} Eψ_i$ → $ᗄ_i Є (1,...,N)$<br />
<br />
<br />
<br />
Donde $N+2$ es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la ecuación (\ref{segunda}),<br />
<br />
$\frac{ψ_i-1 - 2ψ_i + ψ_i+1}{h^{2}} = -\frac{2m}{ħ^{2}} Eψ_i$<br />
<br />
Puedo expresar este sistema de ecuaciones de forma matricial,<br />
<br />
$\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix} = \frac{-2mE}{ħ} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix}$<br />
<br />
<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores $ψ$ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles cuantizados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera es pertinente un comentario adicional: la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht, $ ψ_0 = ψ_N+1 = 0$. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores $ ψ_0$ y $ψ_N+1 $. Cómo el valor es 0, el operador diferencial no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores $ ψ_0 y ψ_N+1 $, y me quedo con las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Retomando la ecuación (\ref{radial}), es conveniente sustituir $ρ = rR → R=\frac{ρ}{r}$, por lo que reescribo el operador cómo,<br />
<br />
$\frac{∂}{∂r} (r^{2} \frac{∂}{∂r} \frac{ρ}{r}) = \frac{∂}{∂r} [r^{2} \frac{1}{r} \frac{∂ρ}{∂r} + r^{2} ρ (-\frac{1}{r^{2}})] = \frac{∂ρ}{∂r} + r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}}-\frac{∂ρ}{∂r} = r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} $<br />
<br />
Por lo tanto, <br />
<br />
$r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μr^{2}}{ħ^{2}}(\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{l(l+1)ħ^{2}}{2μr^{2}} - E $<br />
<br />
Discretizaré la coordenada radial usando una red equidistante r<sub>i</sub> con N elementos y un desplazamiento igual a h=r<sub>i+1</sub>-r<sub>i</sub>. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero se corresponde con el operador de Laplace<br />
<br />
[[Archivo:Matriz a.svg|250px|sinmarco|centro|mat]]<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
[[Archivo:Matc.svg|250 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
[[Archivo:Matrizb.svg|250 px|sinmarco|centro|mat disc]]<br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores ρ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del hidrógeno gracias a la sustitución que adoptamos antes, ρ= rR.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|sinmarco|centro|]]<br />
<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico l = 0. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno (1s,2s,3s,...). Se sabe que para estos estados corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de l no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal n, los valores permitidos de l son 0,1,...,n-1. Es decir que si elegimos l=1 la solución de menor energía corresponde a n=2.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28651Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T18:09:53Z<p>Jerlbcslsd: /* Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas */</p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión $x$.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
$[\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
La solución de esta ecuación tiene 3 partes, la solución azimutal $Ψ(Φ)$, la solución polar $Ψ(θ)$ y la solución radial $Ψ(r)$. Por el alcance de este texto nos interesa sólo la parte radial de la solución.<br />
<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución radial de la ecuación de Schrödinger introduce una variable nueva, el número cuántico orbital $l$, que adopta valores enteros positivos. Así, la ecuación radial queda, <br />
<br />
<br />
<br />
$\frac{1}{R} \frac{∂}{∂r} ( r^{2} \frac{∂R}{∂r}) - \frac{2μ r^{2}}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) = -l(l+1) $<br />
<br />
<br />
<br />
Con algo de álgebra podemos reescribir la ecuación anterior cómo,<br />
\begin{equation}<br />
\frac{∂^{2} R}{∂ r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{∂R}{∂r} - \frac{2μ}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{-l(l+1) ħ^{2}}{2μ r^{2}} - E) R = 0 <br />
\label{radial}<br />
\end{equation} <br />
<br />
Ahora me tomaré un momento para explorar cómo se comporta ésta solución para valores muy grande de $r$, donde haré despreciable los términos $r^{-1}$ y $r^{-2}$, es decir <br />
<br />
$r → ∞: \frac{∂^{2} R_∞}{∂r^{2}} + \frac{2μE}{ħ^{2}} R_∞ = 0$<br />
<br />
la solución de la ecuación anterior es una combinación lineal de exponenciales reales pero para evitar divergencia para valores valores muy grandes de $r$, me quedo sólo con una exponencial decreciente,<br />
<br />
$R_∞ (r) = C e^{-\frac{\sqrt{2μ|E|}}{ħ}r} = \frac{1Ry}{n^{2}}$<br />
<br />
La forma final de la solución radial se obtiene de una serie de potencias. No es mi intención abundar en cómo se soluciona la ecuación analíticamente así que bastará mostrar que (\ref{radial}) queda cómo<br />
<br />
$R = C e^{-\frac{r}{n a*_0}} (\frac{2r}{n a*_0})^{l} L_{n-l-1}(\frac{2r}{n a*_0})$<br />
<br />
donde $a*_0$ es el radio de Bohr reducido, <br />
<br />
$a*_0 = \frac{4π ε_0 ħ^{2} }{μ e^{2}}$<br />
<br />
$n$ es el número cuántico principal $nЄ(1,2,3,...)$ y la energía queda cómo<br />
<br />
$E = \frac{μ e^{4}}{32 π^{2} ε_0^{2} ħ^{2} n^{2}} = \frac{1Ry}{n^{2}} $<br />
<br />
donde Ry se refiere a 1 Rydberg, $1 Ry = 13.605 eV$, es decir que la energía está cuantizada.<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
$\frac{df(x)}{dx} = lim_{h→0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $<br />
<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} ≈ \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h} = \frac{f(x-h) - 2f(x) + f(x+h)}{h^{2}}<br />
\label{segunda}<br />
\end{equation} <br />
<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: $x-h$, $x$ y $x+h$. <br />
Puedo elegir más puntos para la aproximación pero ésto requiere expandir el operador en serie de Taylor. Por ahora bastará mostrar a manera de ejemplo cómo se ve la solución numérica que obtengo con el método. Para ello, considero la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ(x) = -\frac{2m}{ħ} Eψ(x) $<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor $h$. La solución es la lista de valores $ψ(0)$, $ψ(h)$, $ψ(2h)$,...,$ψ((N+1)h)$. Para estos valores, puedo expresar una ecuación con índices,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ_i = -\frac{2m}{ħ} Eψ_i$ → $ᗄ_i Є (1,...,N)$<br />
<br />
<br />
<br />
Donde $N+2$ es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la ecuación (\ref{segunda}),<br />
<br />
$\frac{ψ_i-1 - 2ψ_i + ψ_i+1}{h^{2}} = -\frac{2m}{ħ^{2}} Eψ_i$<br />
<br />
Puedo expresar este sistema de ecuaciones de forma matricial,<br />
<br />
$\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix} = \frac{-2mE}{ħ} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix}$<br />
<br />
<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores $ψ$ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles cuantizados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera es pertinente un comentario adicional: la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht, $ ψ_0 = ψ_N+1 = 0$. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores $ ψ_0$ y $ψ_N+1 $. Cómo el valor es 0, el operador diferencial no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores $ ψ_0 y ψ_N+1 $, y me quedo con las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Retomando la ecuación (\ref{radial}), es conveniente sustituir $ρ = rR → R=\frac{ρ}{r}$, por lo que reescribo el operador cómo,<br />
<br />
$\frac{∂}{∂r} (r^{2} \frac{∂}{∂r} \frac{ρ}{r}) = \frac{∂}{∂r} [r^{2} \frac{1}{r} \frac{∂ρ}{∂r} + r^{2} ρ (-\frac{1}{r^{2}})] = \frac{∂ρ}{∂r} + r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}}-\frac{∂ρ}{∂r} = r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} $<br />
<br />
Por lo tanto, <br />
<br />
$r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} - \frac{2μr^{2}}{}$<br />
<br />
Discretizaré la coordenada radial usando una red equidistante r<sub>i</sub> con N elementos y un desplazamiento igual a h=r<sub>i+1</sub>-r<sub>i</sub>. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero se corresponde con el operador de Laplace<br />
<br />
[[Archivo:Matriz a.svg|250px|sinmarco|centro|mat]]<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
[[Archivo:Matc.svg|250 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
[[Archivo:Matrizb.svg|250 px|sinmarco|centro|mat disc]]<br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores ρ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del hidrógeno gracias a la sustitución que adoptamos antes, ρ= rR.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|sinmarco|centro|]]<br />
<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico l = 0. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno (1s,2s,3s,...). Se sabe que para estos estados corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de l no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal n, los valores permitidos de l son 0,1,...,n-1. Es decir que si elegimos l=1 la solución de menor energía corresponde a n=2.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28648Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T18:08:01Z<p>Jerlbcslsd: </p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión $x$.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
$[\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
La solución de esta ecuación tiene 3 partes, la solución azimutal $Ψ(Φ)$, la solución polar $Ψ(θ)$ y la solución radial $Ψ(r)$. Por el alcance de este texto nos interesa sólo la parte radial de la solución.<br />
<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución radial de la ecuación de Schrödinger introduce una variable nueva, el número cuántico orbital $l$, que adopta valores enteros positivos. Así, la ecuación radial queda, <br />
<br />
<br />
<br />
$\frac{1}{R} \frac{∂}{∂r} ( r^{2} \frac{∂R}{∂r}) - \frac{2μ r^{2}}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) = -l(l+1) $<br />
<br />
<br />
<br />
Con algo de álgebra podemos reescribir la ecuación anterior cómo,<br />
\begin{equation}<br />
\frac{∂^{2} R}{∂ r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{∂R}{∂r} - \frac{2μ}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{-l(l+1) ħ^{2}}{2μ r^{2}} - E) R = 0 <br />
\label{radial}<br />
\end{equation} <br />
<br />
Ahora me tomaré un momento para explorar cómo se comporta ésta solución para valores muy grande de $r$, donde haré despreciable los términos $r^{-1}$ y $r^{-2}$, es decir <br />
<br />
$r → ∞: \frac{∂^{2} R_∞}{∂r^{2}} + \frac{2μE}{ħ^{2}} R_∞ = 0$<br />
<br />
la solución de la ecuación anterior es una combinación lineal de exponenciales reales pero para evitar divergencia para valores valores muy grandes de $r$, me quedo sólo con una exponencial decreciente,<br />
<br />
$R_∞ (r) = C e^{-\frac{\sqrt{2μ|E|}}{ħ}r} = \frac{1Ry}{n^{2}}$<br />
<br />
La forma final de la solución radial se obtiene de una serie de potencias. No es mi intención abundar en cómo se soluciona la ecuación analíticamente así que bastará mostrar que (\ref{radial}) queda cómo<br />
<br />
$R = C e^{-\frac{r}{n a*_0}} (\frac{2r}{n a*_0})^{l} L_{n-l-1}(\frac{2r}{n a*_0})$<br />
<br />
donde $a*_0$ es el radio de Bohr reducido, <br />
<br />
$a*_0 = \frac{4π ε_0 ħ^{2} }{μ e^{2}}$<br />
<br />
$n$ es el número cuántico principal $nЄ(1,2,3,...)$ y la energía queda cómo<br />
<br />
$E = \frac{μ e^{4}}{32 π^{2} ε_0^{2} ħ^{2} n^{2}} = \frac{1Ry}{n^{2}} $<br />
<br />
donde Ry se refiere a 1 Rydberg, $1 Ry = 13.605 eV$, es decir que la energía está cuantizada.<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
$\frac{df(x)}{dx} = lim_{h→0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $<br />
<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} ≈ \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h} = \frac{f(x-h) - 2f(x) + f(x+h)}{h^{2}}<br />
\label{segunda}<br />
\end{equation} <br />
<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: $x-h$, $x$ y $x+h$. <br />
Puedo elegir más puntos para la aproximación pero ésto requiere expandir el operador en serie de Taylor. Por ahora bastará mostrar a manera de ejemplo cómo se ve la solución numérica que obtengo con el método. Para ello, considero la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ(x) = -\frac{2m}{ħ} Eψ(x) $<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor $h$. La solución es la lista de valores $ψ(0)$, $ψ(h)$, $ψ(2h)$,...,$ψ((N+1)h)$. Para estos valores, puedo expresar una ecuación con índices,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ_i = -\frac{2m}{ħ} Eψ_i$ → $ᗄ_i Є (1,...,N)$<br />
<br />
<br />
<br />
Donde $N+2$ es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la ecuación (\ref{segunda}),<br />
<br />
$\frac{ψ_i-1 - 2ψ_i + ψ_i+1}{h^{2}} = -\frac{2m}{ħ^{2}} Eψ_i$<br />
<br />
Puedo expresar este sistema de ecuaciones de forma matricial,<br />
<br />
$\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix} = \frac{-2mE}{ħ} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix}$<br />
<br />
<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores $ψ$ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles cuantizados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera es pertinente un comentario adicional: la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht, $ ψ_0 = ψ_N+1 = 0$. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores $ ψ_0$ y $ψ_N+1 $. Cómo el valor es 0, el operador diferencial no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores $ ψ_0 y ψ_N+1 $, y me quedo con las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Retomando la ecuación (\ref{radial}), es conveniente sustituir $ρ = rR → R=\frac{ρ}{r}$, por lo que reescribo el operador cómo,<br />
<br />
$\frac{∂}{∂r} (r^{2} \frac{∂}{∂r} \frac{ρ}{r}) = \frac{∂}{∂r} [r^{2} \frac{1}{r} \frac{∂ρ}{∂r} + r^{2} ρ (-\frac{1}{r^{2}})] = \frac{∂ρ}{∂r} + r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}}-\frac{∂ρ}{∂r} = r \frac{∂^{2}ρ}{∂r^{2}} $<br />
<br />
Discretizaré la coordenada radial usando una red equidistante r<sub>i</sub> con N elementos y un desplazamiento igual a h=r<sub>i+1</sub>-r<sub>i</sub>. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero se corresponde con el operador de Laplace<br />
<br />
[[Archivo:Matriz a.svg|250px|sinmarco|centro|mat]]<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
[[Archivo:Matc.svg|250 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
[[Archivo:Matrizb.svg|250 px|sinmarco|centro|mat disc]]<br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores ρ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del hidrógeno gracias a la sustitución que adoptamos antes, ρ= rR.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|sinmarco|centro|]]<br />
<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico l = 0. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno (1s,2s,3s,...). Se sabe que para estos estados corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de l no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal n, los valores permitidos de l son 0,1,...,n-1. Es decir que si elegimos l=1 la solución de menor energía corresponde a n=2.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28646Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T17:55:36Z<p>Jerlbcslsd: /* Método de diferencias finitas */</p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión $x$.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
$[\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
La solución de esta ecuación tiene 3 partes, la solución azimutal $Ψ(Φ)$, la solución polar $Ψ(θ)$ y la solución radial $Ψ(r)$. Por el alcance de este texto nos interesa sólo la parte radial de la solución.<br />
<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución radial de la ecuación de Schrödinger introduce una variable nueva, el número cuántico orbital $l$, que adopta valores enteros positivos. Así, la ecuación radial queda, <br />
<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{1}{R} \frac{∂}{∂r} ( r^{2} \frac{∂R}{∂r}) - \frac{2μ r^{2}}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) = -l(l+1) <br />
\label{radial}<br />
\end{equation} <br />
<br />
<br />
Con algo de álgebra podemos reescribir la ecuación anterior cómo,<br />
<br />
$\frac{∂^{2} R}{∂ r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{∂R}{∂r} - \frac{2μ}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{-l(l+1) ħ^{2}}{2μ r^{2}} - E) R = 0 $<br />
<br />
Ahora me tomaré un momento para explorar cómo se comporta ésta solución para valores muy grande de $r$, donde haré despreciable los términos $r^{-1}$ y $r^{-2}$, es decir <br />
<br />
$r → ∞: \frac{∂^{2} R_∞}{∂r^{2}} + \frac{2μE}{ħ^{2}} R_∞ = 0$<br />
<br />
la solución de la ecuación anterior es una combinación lineal de exponenciales reales pero para evitar divergencia para valores valores muy grandes de $r$, me quedo sólo con una exponencial decreciente,<br />
<br />
$R_∞ (r) = C e^{-\frac{\sqrt{2μ|E|}}{ħ}r} = \frac{1Ry}{n^{2}}$<br />
<br />
La forma final de la solución radial se obtiene de una serie de potencias. No es mi intención abundar en cómo se soluciona la ecuación analíticamente así que bastará mostrar que (\ref{radial}) queda cómo<br />
<br />
$R = C e^{-\frac{r}{n a*_0}} (\frac{2r}{n a*_0})^{l} L_{n-l-1}(\frac{2r}{n a*_0})$<br />
<br />
donde $a*_0$ es el radio de Bohr reducido, <br />
<br />
$a*_0 = \frac{4π ε_0 ħ^{2} }{μ e^{2}}$<br />
<br />
$n$ es el número cuántico principal $nЄ(1,2,3,...)$ y la energía queda cómo<br />
<br />
$E = \frac{μ e^{4}}{32 π^{2} ε_0^{2} ħ^{2} n^{2}} = \frac{1Ry}{n^{2}} $<br />
<br />
donde Ry se refiere a 1 Rydberg, $1 Ry = 13.605 eV$, es decir que la energía está cuantizada.<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
$\frac{df(x)}{dx} = lim_{h→0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $<br />
<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} ≈ \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h} = \frac{f(x-h) - 2f(x) + f(x+h)}{h^{2}}<br />
\label{segunda}<br />
\end{equation} <br />
<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: $x-h$, $x$ y $x+h$. <br />
Puedo elegir más puntos para la aproximación pero ésto requiere expandir el operador en serie de Taylor. Por ahora bastará mostrar a manera de ejemplo cómo se ve la solución numérica que obtengo con el método. Para ello, considero la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ(x) = -\frac{2m}{ħ} Eψ(x) $<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor $h$. La solución es la lista de valores $ψ(0)$, $ψ(h)$, $ψ(2h)$,...,$ψ((N+1)h)$. Para estos valores, puedo expresar una ecuación con índices,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ_i = -\frac{2m}{ħ} Eψ_i$ → $ᗄ_i Є (1,...,N)$<br />
<br />
<br />
<br />
Donde $N+2$ es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la ecuación (\ref{segunda}),<br />
<br />
$\frac{ψ_i-1 - 2ψ_i + ψ_i+1}{h^{2}} = -\frac{2m}{ħ^{2}} Eψ_i$<br />
<br />
Puedo expresar este sistema de ecuaciones de forma matricial,<br />
<br />
$\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix} = \frac{-2mE}{ħ} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix}$<br />
<br />
<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores $ψ$ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles cuantizados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera es pertinente un comentario adicional: la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht, $ ψ_0 = ψ_N+1 = 0$. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores $ ψ_0$ y $ψ_N+1 $. Cómo el valor es 0, el operador diferencial no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores $ ψ_0 y ψ_N+1 $, y me quedo con las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Discretizaré la coordenada radial usando una red equidistante r<sub>i</sub> con N elementos y un desplazamiento igual a h=r<sub>i+1</sub>-r<sub>i</sub>. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero se corresponde con el operador de Laplace<br />
<br />
[[Archivo:Matriz a.svg|250px|sinmarco|centro|mat]]<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
[[Archivo:Matc.svg|250 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
[[Archivo:Matrizb.svg|250 px|sinmarco|centro|mat disc]]<br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores ρ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del hidrógeno gracias a la sustitución que adoptamos antes, ρ= rR.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|sinmarco|centro|]]<br />
<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico l = 0. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno (1s,2s,3s,...). Se sabe que para estos estados corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de l no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal n, los valores permitidos de l son 0,1,...,n-1. Es decir que si elegimos l=1 la solución de menor energía corresponde a n=2.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28645Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T17:55:10Z<p>Jerlbcslsd: /* Método de diferencias finitas */</p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión $x$.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
$[\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
La solución de esta ecuación tiene 3 partes, la solución azimutal $Ψ(Φ)$, la solución polar $Ψ(θ)$ y la solución radial $Ψ(r)$. Por el alcance de este texto nos interesa sólo la parte radial de la solución.<br />
<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución radial de la ecuación de Schrödinger introduce una variable nueva, el número cuántico orbital $l$, que adopta valores enteros positivos. Así, la ecuación radial queda, <br />
<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{1}{R} \frac{∂}{∂r} ( r^{2} \frac{∂R}{∂r}) - \frac{2μ r^{2}}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) = -l(l+1) <br />
\label{radial}<br />
\end{equation} <br />
<br />
<br />
Con algo de álgebra podemos reescribir la ecuación anterior cómo,<br />
<br />
$\frac{∂^{2} R}{∂ r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{∂R}{∂r} - \frac{2μ}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{-l(l+1) ħ^{2}}{2μ r^{2}} - E) R = 0 $<br />
<br />
Ahora me tomaré un momento para explorar cómo se comporta ésta solución para valores muy grande de $r$, donde haré despreciable los términos $r^{-1}$ y $r^{-2}$, es decir <br />
<br />
$r → ∞: \frac{∂^{2} R_∞}{∂r^{2}} + \frac{2μE}{ħ^{2}} R_∞ = 0$<br />
<br />
la solución de la ecuación anterior es una combinación lineal de exponenciales reales pero para evitar divergencia para valores valores muy grandes de $r$, me quedo sólo con una exponencial decreciente,<br />
<br />
$R_∞ (r) = C e^{-\frac{\sqrt{2μ|E|}}{ħ}r} = \frac{1Ry}{n^{2}}$<br />
<br />
La forma final de la solución radial se obtiene de una serie de potencias. No es mi intención abundar en cómo se soluciona la ecuación analíticamente así que bastará mostrar que (\ref{radial}) queda cómo<br />
<br />
$R = C e^{-\frac{r}{n a*_0}} (\frac{2r}{n a*_0})^{l} L_{n-l-1}(\frac{2r}{n a*_0})$<br />
<br />
donde $a*_0$ es el radio de Bohr reducido, <br />
<br />
$a*_0 = \frac{4π ε_0 ħ^{2} }{μ e^{2}}$<br />
<br />
$n$ es el número cuántico principal $nЄ(1,2,3,...)$ y la energía queda cómo<br />
<br />
$E = \frac{μ e^{4}}{32 π^{2} ε_0^{2} ħ^{2} n^{2}} = \frac{1Ry}{n^{2}} $<br />
<br />
donde Ry se refiere a 1 Rydberg, $1 Ry = 13.605 eV$, es decir que la energía está cuantizada.<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
$\frac{df(x)}{dx} = lim_{h→0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $<br />
<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} ≈ \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h} = \frac{f(x-h) - 2f(x) + f(x+h)}{h^{2}}<br />
\label{segunda}<br />
\end{equation} <br />
<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: $x-h$, $x$ y $x+h$. <br />
Puedo elegir más puntos para la aproximación pero ésto requiere expandir el operador en serie de Taylor. Por ahora bastará mostrar a manera de ejemplo cómo se ve la solución numérica que obtengo con el método. Para ello, considero la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ(x) = -\frac{2m}{ħ} Eψ(x) $<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor $h$. La solución es la lista de valores $ψ(0)$, $ψ(h)$, $ψ(2h)$,...,$ψ((N+1)h)$. Para estos valores, puedo expresar una ecuación con índices,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ_i = -\frac{2m}{ħ} Eψ_i$ → $ᗄ_i Є (1,...,N)$<br />
<br />
<br />
<br />
Donde $N+2$ es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la ecuación (\ref{segunda}),<br />
<br />
$\frac{ψ_i-1 - 2ψ_i + ψ_i+1}{h^{2}} = -\frac{2m}{ħ^{2}} Eψ_i$<br />
<br />
Puedo expresar este sistema de ecuaciones de forma matricial,<br />
<br />
$\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix} = \frac{-2mE}{ħ} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix}$<br />
<br />
<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores $ψ$ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles cuantizados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera es pertinente un comentario adicional: la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht, $ ψ_0 = ψ_N+1 = 0$. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores $ ψ_0 y ψ_N+1 $. Cómo el valor es 0, el operador diferencial no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores $ ψ_0 y ψ_N+1 $, y me quedo con las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Discretizaré la coordenada radial usando una red equidistante r<sub>i</sub> con N elementos y un desplazamiento igual a h=r<sub>i+1</sub>-r<sub>i</sub>. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero se corresponde con el operador de Laplace<br />
<br />
[[Archivo:Matriz a.svg|250px|sinmarco|centro|mat]]<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
[[Archivo:Matc.svg|250 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
[[Archivo:Matrizb.svg|250 px|sinmarco|centro|mat disc]]<br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores ρ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del hidrógeno gracias a la sustitución que adoptamos antes, ρ= rR.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|sinmarco|centro|]]<br />
<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico l = 0. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno (1s,2s,3s,...). Se sabe que para estos estados corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de l no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal n, los valores permitidos de l son 0,1,...,n-1. Es decir que si elegimos l=1 la solución de menor energía corresponde a n=2.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28643Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T17:44:10Z<p>Jerlbcslsd: /* Método de diferencias finitas */</p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión $x$.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
$[\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
La solución de esta ecuación tiene 3 partes, la solución azimutal $Ψ(Φ)$, la solución polar $Ψ(θ)$ y la solución radial $Ψ(r)$. Por el alcance de este texto nos interesa sólo la parte radial de la solución.<br />
<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución radial de la ecuación de Schrödinger introduce una variable nueva, el número cuántico orbital $l$, que adopta valores enteros positivos. Así, la ecuación radial queda, <br />
<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{1}{R} \frac{∂}{∂r} ( r^{2} \frac{∂R}{∂r}) - \frac{2μ r^{2}}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) = -l(l+1) <br />
\label{radial}<br />
\end{equation} <br />
<br />
<br />
Con algo de álgebra podemos reescribir la ecuación anterior cómo,<br />
<br />
$\frac{∂^{2} R}{∂ r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{∂R}{∂r} - \frac{2μ}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{-l(l+1) ħ^{2}}{2μ r^{2}} - E) R = 0 $<br />
<br />
Ahora me tomaré un momento para explorar cómo se comporta ésta solución para valores muy grande de $r$, donde haré despreciable los términos $r^{-1}$ y $r^{-2}$, es decir <br />
<br />
$r → ∞: \frac{∂^{2} R_∞}{∂r^{2}} + \frac{2μE}{ħ^{2}} R_∞ = 0$<br />
<br />
la solución de la ecuación anterior es una combinación lineal de exponenciales reales pero para evitar divergencia para valores valores muy grandes de $r$, me quedo sólo con una exponencial decreciente,<br />
<br />
$R_∞ (r) = C e^{-\frac{\sqrt{2μ|E|}}{ħ}r} = \frac{1Ry}{n^{2}}$<br />
<br />
La forma final de la solución radial se obtiene de una serie de potencias. No es mi intención abundar en cómo se soluciona la ecuación analíticamente así que bastará mostrar que (\ref{radial}) queda cómo<br />
<br />
$R = C e^{-\frac{r}{n a*_0}} (\frac{2r}{n a*_0})^{l} L_{n-l-1}(\frac{2r}{n a*_0})$<br />
<br />
donde $a*_0$ es el radio de Bohr reducido, <br />
<br />
$a*_0 = \frac{4π ε_0 ħ^{2} }{μ e^{2}}$<br />
<br />
$n$ es el número cuántico principal $nЄ(1,2,3,...)$ y la energía queda cómo<br />
<br />
$E = \frac{μ e^{4}}{32 π^{2} ε_0^{2} ħ^{2} n^{2}} = \frac{1Ry}{n^{2}} $<br />
<br />
donde Ry se refiere a 1 Rydberg, $1 Ry = 13.605 eV$, es decir que la energía está cuantizada.<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
$\frac{df(x)}{dx} = lim_{h→0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $<br />
<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} ≈ \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h} = \frac{f(x-h) - 2f(x) + f(x+h)}{h^{2}}<br />
\label{segunda}<br />
\end{equation} <br />
<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: $x-h$, $x$ y $x+h$. <br />
Puedo elegir más puntos para la aproximación pero ésto requiere expandir el operador en serie de Taylor. Por ahora bastará mostrar a manera de ejemplo cómo se ve la solución numérica que obtengo con el método. Para ello, considero la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ(x) = -\frac{2m}{ħ} Eψ(x) $<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor $h$. La solución es la lista de valores $ψ(0)$, $ψ(h)$, $ψ(2h)$,...,$ψ((N+1)h)$. Para estos valores, puedo expresar una ecuación con índices,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ_i = -\frac{2m}{ħ} Eψ_i$ → $ᗄ_i Є (1,...,N)$<br />
<br />
<br />
<br />
Donde $N+2$ es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la ecuación (\ref{segunda}),<br />
<br />
$\frac{ψ_i-1 - 2ψ_i + ψ_i+1}{h^{2}} = -\frac{2m}{ħ^{2}} Eψ_i$<br />
<br />
Puedo expresar este sistema de ecuaciones de forma matricial,<br />
<br />
$\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& 1 & -2 & \ddots & \\<br />
& & \ddots & \ddots & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix} = \frac{-2mE}{ħ} * \begin{bmatrix} ψ_1 \\ ψ_2 \\ \vdots \\ ψ_n \end{bmatrix}$<br />
<br />
<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores Ψ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles escalonados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera, la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht Ψ<sub>0</sub>=Ψ<sub>N+1</sub>=0. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores Ψ<sub>0</sub> y Ψ<sub>N+1</sub>. Cómo el valor es 0 por diseño, el operador no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores Ψ<sub>0</sub> y Ψ<sub>N+1</sub>, reteniendo las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Discretizaré la coordenada radial usando una red equidistante r<sub>i</sub> con N elementos y un desplazamiento igual a h=r<sub>i+1</sub>-r<sub>i</sub>. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero se corresponde con el operador de Laplace<br />
<br />
[[Archivo:Matriz a.svg|250px|sinmarco|centro|mat]]<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
[[Archivo:Matc.svg|250 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
[[Archivo:Matrizb.svg|250 px|sinmarco|centro|mat disc]]<br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores ρ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del hidrógeno gracias a la sustitución que adoptamos antes, ρ= rR.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|sinmarco|centro|]]<br />
<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico l = 0. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno (1s,2s,3s,...). Se sabe que para estos estados corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de l no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal n, los valores permitidos de l son 0,1,...,n-1. Es decir que si elegimos l=1 la solución de menor energía corresponde a n=2.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28641Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T17:38:48Z<p>Jerlbcslsd: </p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión $x$.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
$[\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
La solución de esta ecuación tiene 3 partes, la solución azimutal $Ψ(Φ)$, la solución polar $Ψ(θ)$ y la solución radial $Ψ(r)$. Por el alcance de este texto nos interesa sólo la parte radial de la solución.<br />
<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución radial de la ecuación de Schrödinger introduce una variable nueva, el número cuántico orbital $l$, que adopta valores enteros positivos. Así, la ecuación radial queda, <br />
<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{1}{R} \frac{∂}{∂r} ( r^{2} \frac{∂R}{∂r}) - \frac{2μ r^{2}}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) = -l(l+1) <br />
\label{radial}<br />
\end{equation} <br />
<br />
<br />
Con algo de álgebra podemos reescribir la ecuación anterior cómo,<br />
<br />
$\frac{∂^{2} R}{∂ r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{∂R}{∂r} - \frac{2μ}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{-l(l+1) ħ^{2}}{2μ r^{2}} - E) R = 0 $<br />
<br />
Ahora me tomaré un momento para explorar cómo se comporta ésta solución para valores muy grande de $r$, donde haré despreciable los términos $r^{-1}$ y $r^{-2}$, es decir <br />
<br />
$r → ∞: \frac{∂^{2} R_∞}{∂r^{2}} + \frac{2μE}{ħ^{2}} R_∞ = 0$<br />
<br />
la solución de la ecuación anterior es una combinación lineal de exponenciales reales pero para evitar divergencia para valores valores muy grandes de $r$, me quedo sólo con una exponencial decreciente,<br />
<br />
$R_∞ (r) = C e^{-\frac{\sqrt{2μ|E|}}{ħ}r} = \frac{1Ry}{n^{2}}$<br />
<br />
La forma final de la solución radial se obtiene de una serie de potencias. No es mi intención abundar en cómo se soluciona la ecuación analíticamente así que bastará mostrar que (\ref{radial}) queda cómo<br />
<br />
$R = C e^{-\frac{r}{n a*_0}} (\frac{2r}{n a*_0})^{l} L_{n-l-1}(\frac{2r}{n a*_0})$<br />
<br />
donde $a*_0$ es el radio de Bohr reducido, <br />
<br />
$a*_0 = \frac{4π ε_0 ħ^{2} }{μ e^{2}}$<br />
<br />
$n$ es el número cuántico principal $nЄ(1,2,3,...)$ y la energía queda cómo<br />
<br />
$E = \frac{μ e^{4}}{32 π^{2} ε_0^{2} ħ^{2} n^{2}} = \frac{1Ry}{n^{2}} $<br />
<br />
donde Ry se refiere a 1 Rydberg, $1 Ry = 13.605 eV$, es decir que la energía está cuantizada.<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
$\frac{df(x)}{dx} = lim_{h→0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $<br />
<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} ≈ \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h} = \frac{f(x-h) - 2f(x) + f(x+h)}{h^{2}}<br />
\label{segunda}<br />
\end{equation} <br />
<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: $x-h$, $x$ y $x+h$. <br />
Puedo elegir más puntos para la aproximación pero ésto requiere expandir el operador en serie de Taylor. Por ahora bastará mostrar a manera de ejemplo cómo se ve la solución numérica que obtengo con el método. Para ello, considero la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ(x) = -\frac{2m}{ħ} Eψ(x) $<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor $h$. La solución es la lista de valores $ψ(0)$, $ψ(h)$, $ψ(2h)$,...,$ψ((N+1)h)$. Para estos valores, puedo expresar una ecuación con índices,<br />
<br />
$\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} ψ_i = -\frac{2m}{ħ} Eψ_i$ → $ᗄ_i Є (1,...,N)$<br />
<br />
<br />
<br />
Donde $N+2$ es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la ecuación (\ref{segunda}),<br />
<br />
$\frac{ψ_i-1 - 2ψ_i + ψ_i+1}{h^{2}} = -\frac{2m}{ħ^{2}} Eψ_i$<br />
<br />
Puedo expresar este sistema de ecuaciones de forma matricial,<br />
<br />
\begin{bmatrix}<br />
-2 & 1 & & & \\<br />
1 & -2 & 1 & & \\ <br />
& & & & \\<br />
& & & & 1\\<br />
& & & 1 & -2 \\<br />
\end{bmatrix}<br />
<br />
[[Archivo:Eqn matr.svg|sinmarco|350px|centro]]<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores Ψ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles escalonados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera, la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht Ψ<sub>0</sub>=Ψ<sub>N+1</sub>=0. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores Ψ<sub>0</sub> y Ψ<sub>N+1</sub>. Cómo el valor es 0 por diseño, el operador no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores Ψ<sub>0</sub> y Ψ<sub>N+1</sub>, reteniendo las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Discretizaré la coordenada radial usando una red equidistante r<sub>i</sub> con N elementos y un desplazamiento igual a h=r<sub>i+1</sub>-r<sub>i</sub>. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero se corresponde con el operador de Laplace<br />
<br />
[[Archivo:Matriz a.svg|250px|sinmarco|centro|mat]]<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
[[Archivo:Matc.svg|250 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
[[Archivo:Matrizb.svg|250 px|sinmarco|centro|mat disc]]<br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores ρ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del hidrógeno gracias a la sustitución que adoptamos antes, ρ= rR.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|sinmarco|centro|]]<br />
<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico l = 0. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno (1s,2s,3s,...). Se sabe que para estos estados corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de l no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal n, los valores permitidos de l son 0,1,...,n-1. Es decir que si elegimos l=1 la solución de menor energía corresponde a n=2.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28638Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T17:16:20Z<p>Jerlbcslsd: /* Método de diferencias finitas */</p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión $x$.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
$[\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
La solución de esta ecuación tiene 3 partes, la solución azimutal $Ψ(Φ)$, la solución polar $Ψ(θ)$ y la solución radial $Ψ(r)$. Por el alcance de este texto nos interesa sólo la parte radial de la solución.<br />
<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución radial de la ecuación de Schrödinger introduce una variable nueva, el número cuántico orbital $l$, que adopta valores enteros positivos. Así, la ecuación radial queda, <br />
<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{1}{R} \frac{∂}{∂r} ( r^{2} \frac{∂R}{∂r}) - \frac{2μ r^{2}}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) = -l(l+1) <br />
\label{radial}<br />
\end{equation} <br />
<br />
<br />
Con algo de álgebra podemos reescribir la ecuación anterior cómo,<br />
<br />
$\frac{∂^{2} R}{∂ r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{∂R}{∂r} - \frac{2μ}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{-l(l+1) ħ^{2}}{2μ r^{2}} - E) R = 0 $<br />
<br />
Ahora me tomaré un momento para explorar cómo se comporta ésta solución para valores muy grande de $r$, donde haré despreciable los términos $r^{-1}$ y $r^{-2}$, es decir <br />
<br />
$r → ∞: \frac{∂^{2} R_∞}{∂r^{2}} + \frac{2μE}{ħ^{2}} R_∞ = 0$<br />
<br />
la solución de la ecuación anterior es una combinación lineal de exponenciales reales pero para evitar divergencia para valores valores muy grandes de $r$, me quedo sólo con una exponencial decreciente,<br />
<br />
$R_∞ (r) = C e^{-\frac{\sqrt{2μ|E|}}{ħ}r} = \frac{1Ry}{n^{2}}$<br />
<br />
La forma final de la solución radial se obtiene de una serie de potencias. No es mi intención abundar en cómo se soluciona la ecuación analíticamente así que bastará mostrar que (\ref{radial}) queda cómo<br />
<br />
$R = C e^{-\frac{r}{n a*_0}} (\frac{2r}{n a*_0})^{l} L_{n-l-1}(\frac{2r}{n a*_0})$<br />
<br />
donde $a*_0$ es el radio de Bohr reducido, <br />
<br />
$a*_0 = \frac{4π ε_0 ħ^{2} }{μ e^{2}}$<br />
<br />
$n$ es el número cuántico principal $nЄ(1,2,3,...)$ y la energía queda cómo<br />
<br />
$E = \frac{μ e^{4}}{32 π^{2} ε_0^{2} ħ^{2} n^{2}} = \frac{1Ry}{n^{2}} $<br />
<br />
donde Ry se refiere a 1 Rydberg, $1 Ry = 13.605 eV$, es decir que la energía está cuantizada.<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
$\frac{df(x)}{dx} = lim_{h→0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $<br />
<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
$\frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} ≈ \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h} = \frac{f(x-h) - 2f(x) + f(x+h)}{h^{2}}$<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: $x-h$, $x$ y $x+h$. <br />
Puedo elegir más puntos para la aproximación pero ésto requiere expandir el operador en serie de Taylor. Por ahora bastará mostrar a manera de ejemplo cómo se ve la solución numérica que obtengo con el método. Para ello, considero la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
$\frac{}{}$<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor h. La solución es la lista de valores Ψ(0), Ψ(h), Ψ(2h),...,Ψ((N+1)h). Para estos valores, puedo expresar una ecuación de la forma,<br />
<br />
[[Archivo:Part en caja 2.svg|sinmarco|250px|centro]]<br />
<br />
Donde N+2 es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la forma del método de diferencias finitas para segundas derivadas se obtiene,<br />
[[Archivo:Disc ej.svg|sinmarco|250 px|centro]]<br />
<br />
Notemos que el sistema de ecuaciones puede expresarse como la ecuación matricial,<br />
<br />
[[Archivo:Eqn matr.svg|sinmarco|350px|centro]]<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores Ψ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles escalonados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera, la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht Ψ<sub>0</sub>=Ψ<sub>N+1</sub>=0. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores Ψ<sub>0</sub> y Ψ<sub>N+1</sub>. Cómo el valor es 0 por diseño, el operador no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores Ψ<sub>0</sub> y Ψ<sub>N+1</sub>, reteniendo las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Discretizaré la coordenada radial usando una red equidistante r<sub>i</sub> con N elementos y un desplazamiento igual a h=r<sub>i+1</sub>-r<sub>i</sub>. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero se corresponde con el operador de Laplace<br />
<br />
[[Archivo:Matriz a.svg|250px|sinmarco|centro|mat]]<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
[[Archivo:Matc.svg|250 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
[[Archivo:Matrizb.svg|250 px|sinmarco|centro|mat disc]]<br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores ρ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del hidrógeno gracias a la sustitución que adoptamos antes, ρ= rR.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|sinmarco|centro|]]<br />
<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico l = 0. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno (1s,2s,3s,...). Se sabe que para estos estados corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de l no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal n, los valores permitidos de l son 0,1,...,n-1. Es decir que si elegimos l=1 la solución de menor energía corresponde a n=2.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28636Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T17:11:55Z<p>Jerlbcslsd: /* Método de diferencias finitas */</p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión $x$.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
$[\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
La solución de esta ecuación tiene 3 partes, la solución azimutal $Ψ(Φ)$, la solución polar $Ψ(θ)$ y la solución radial $Ψ(r)$. Por el alcance de este texto nos interesa sólo la parte radial de la solución.<br />
<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución radial de la ecuación de Schrödinger introduce una variable nueva, el número cuántico orbital $l$, que adopta valores enteros positivos. Así, la ecuación radial queda, <br />
<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{1}{R} \frac{∂}{∂r} ( r^{2} \frac{∂R}{∂r}) - \frac{2μ r^{2}}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) = -l(l+1) <br />
\label{radial}<br />
\end{equation} <br />
<br />
<br />
Con algo de álgebra podemos reescribir la ecuación anterior cómo,<br />
<br />
$\frac{∂^{2} R}{∂ r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{∂R}{∂r} - \frac{2μ}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{-l(l+1) ħ^{2}}{2μ r^{2}} - E) R = 0 $<br />
<br />
Ahora me tomaré un momento para explorar cómo se comporta ésta solución para valores muy grande de $r$, donde haré despreciable los términos $r^{-1}$ y $r^{-2}$, es decir <br />
<br />
$r → ∞: \frac{∂^{2} R_∞}{∂r^{2}} + \frac{2μE}{ħ^{2}} R_∞ = 0$<br />
<br />
la solución de la ecuación anterior es una combinación lineal de exponenciales reales pero para evitar divergencia para valores valores muy grandes de $r$, me quedo sólo con una exponencial decreciente,<br />
<br />
$R_∞ (r) = C e^{-\frac{\sqrt{2μ|E|}}{ħ}r} = \frac{1Ry}{n^{2}}$<br />
<br />
La forma final de la solución radial se obtiene de una serie de potencias. No es mi intención abundar en cómo se soluciona la ecuación analíticamente así que bastará mostrar que (\ref{radial}) queda cómo<br />
<br />
$R = C e^{-\frac{r}{n a*_0}} (\frac{2r}{n a*_0})^{l} L_{n-l-1}(\frac{2r}{n a*_0})$<br />
<br />
donde $a*_0$ es el radio de Bohr reducido, <br />
<br />
$a*_0 = \frac{4π ε_0 ħ^{2} }{μ e^{2}}$<br />
<br />
$n$ es el número cuántico principal $nЄ(1,2,3,...)$ y la energía queda cómo<br />
<br />
$E = \frac{μ e^{4}}{32 π^{2} ε_0^{2} ħ^{2} n^{2}} = \frac{1Ry}{n^{2}} $<br />
<br />
donde Ry se refiere a 1 Rydberg, $1 Ry = 13.605 eV$, es decir que la energía está cuantizada.<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
$\frac{df(x)}{dx} = lim_{h→0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $<br />
<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
$\frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} ≈ \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h} = \frac{f(x-h) - 2f(x) + f(x+h)}{h^{2}}$<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: $x-h$, $x$ y $x+h$. <br />
Puedo elegir más puntos para la aproximación pero ésto requiere expandir el operador en serie de Taylor. Por ahora bastará mostrar a manera de ejemplo cómo se ve la solución numérica que obtengo con el método. Para ello, consideremos la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor h. La solución es la lista de valores Ψ(0), Ψ(h), Ψ(2h),...,Ψ((N+1)h). Para estos valores, puedo expresar una ecuación de la forma,<br />
<br />
[[Archivo:Part en caja 2.svg|sinmarco|250px|centro]]<br />
<br />
Donde N+2 es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la forma del método de diferencias finitas para segundas derivadas se obtiene,<br />
[[Archivo:Disc ej.svg|sinmarco|250 px|centro]]<br />
<br />
Notemos que el sistema de ecuaciones puede expresarse como la ecuación matricial,<br />
<br />
[[Archivo:Eqn matr.svg|sinmarco|350px|centro]]<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores Ψ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles escalonados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera, la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht Ψ<sub>0</sub>=Ψ<sub>N+1</sub>=0. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores Ψ<sub>0</sub> y Ψ<sub>N+1</sub>. Cómo el valor es 0 por diseño, el operador no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores Ψ<sub>0</sub> y Ψ<sub>N+1</sub>, reteniendo las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Discretizaré la coordenada radial usando una red equidistante r<sub>i</sub> con N elementos y un desplazamiento igual a h=r<sub>i+1</sub>-r<sub>i</sub>. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero se corresponde con el operador de Laplace<br />
<br />
[[Archivo:Matriz a.svg|250px|sinmarco|centro|mat]]<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
[[Archivo:Matc.svg|250 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
[[Archivo:Matrizb.svg|250 px|sinmarco|centro|mat disc]]<br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores ρ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del hidrógeno gracias a la sustitución que adoptamos antes, ρ= rR.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|sinmarco|centro|]]<br />
<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico l = 0. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno (1s,2s,3s,...). Se sabe que para estos estados corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de l no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal n, los valores permitidos de l son 0,1,...,n-1. Es decir que si elegimos l=1 la solución de menor energía corresponde a n=2.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28629Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T16:34:12Z<p>Jerlbcslsd: /* Solución radial */</p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión $x$.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
$[\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
La solución de esta ecuación tiene 3 partes, la solución azimutal $Ψ(Φ)$, la solución polar $Ψ(θ)$ y la solución radial $Ψ(r)$. Por el alcance de este texto nos interesa sólo la parte radial de la solución.<br />
<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución radial de la ecuación de Schrödinger introduce una variable nueva, el número cuántico orbital $l$, que adopta valores enteros positivos. Así, la ecuación radial queda, <br />
<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{1}{R} \frac{∂}{∂r} ( r^{2} \frac{∂R}{∂r}) - \frac{2μ r^{2}}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) = -l(l+1) <br />
\label{radial}<br />
\end{equation} <br />
<br />
<br />
Con algo de álgebra podemos reescribir la ecuación anterior cómo,<br />
<br />
$\frac{∂^{2} R}{∂ r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{∂R}{∂r} - \frac{2μ}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{-l(l+1) ħ^{2}}{2μ r^{2}} - E) R = 0 $<br />
<br />
Ahora me tomaré un momento para explorar cómo se comporta ésta solución para valores muy grande de $r$, donde haré despreciable los términos $r^{-1}$ y $r^{-2}$, es decir <br />
<br />
$r → ∞: \frac{∂^{2} R_∞}{∂r^{2}} + \frac{2μE}{ħ^{2}} R_∞ = 0$<br />
<br />
la solución de la ecuación anterior es una combinación lineal de exponenciales reales pero para evitar divergencia para valores valores muy grandes de $r$, me quedo sólo con una exponencial decreciente,<br />
<br />
$R_∞ (r) = C e^{-\frac{\sqrt{2μ|E|}}{ħ}r} = \frac{1Ry}{n^{2}}$<br />
<br />
La forma final de la solución radial se obtiene de una serie de potencias. No es mi intención abundar en cómo se soluciona la ecuación analíticamente así que bastará mostrar que (\ref{radial}) queda cómo<br />
<br />
$R = C e^{-\frac{r}{n a*_0}} (\frac{2r}{n a*_0})^{l} L_{n-l-1}(\frac{2r}{n a*_0})$<br />
<br />
donde $a*_0$ es el radio de Bohr reducido, <br />
<br />
$a*_0 = \frac{4π ε_0 ħ^{2} }{μ e^{2}}$<br />
<br />
$n$ es el número cuántico principal $nЄ(1,2,3,...)$ y la energía queda cómo<br />
<br />
$E = \frac{μ e^{4}}{32 π^{2} ε_0^{2} ħ^{2} n^{2}} = \frac{1Ry}{n^{2}} $<br />
<br />
donde Ry se refiere a 1 Rydberg, $1 Ry = 13.605 eV$, es decir que la energía está cuantizada.<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
[[Archivo:CodeCogsEqn.gif|300 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: x-h, x, x+h. <br />
<br />
Ahora puedo, a manera de ejemplo, utilizar éste método para tratar la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
[[Archivo:Part en caja.svg|sinmarco|180 px|centro]]<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor h. La solución es la lista de valores Ψ(0), Ψ(h), Ψ(2h),...,Ψ((N+1)h). Para estos valores, puedo expresar una ecuación de la forma,<br />
<br />
[[Archivo:Part en caja 2.svg|sinmarco|250px|centro]]<br />
<br />
Donde N+2 es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la forma del método de diferencias finitas para segundas derivadas se obtiene,<br />
[[Archivo:Disc ej.svg|sinmarco|250 px|centro]]<br />
<br />
Notemos que el sistema de ecuaciones puede expresarse como la ecuación matricial,<br />
<br />
[[Archivo:Eqn matr.svg|sinmarco|350px|centro]]<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores Ψ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles escalonados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera, la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht Ψ<sub>0</sub>=Ψ<sub>N+1</sub>=0. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores Ψ<sub>0</sub> y Ψ<sub>N+1</sub>. Cómo el valor es 0 por diseño, el operador no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores Ψ<sub>0</sub> y Ψ<sub>N+1</sub>, reteniendo las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Discretizaré la coordenada radial usando una red equidistante r<sub>i</sub> con N elementos y un desplazamiento igual a h=r<sub>i+1</sub>-r<sub>i</sub>. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero se corresponde con el operador de Laplace<br />
<br />
[[Archivo:Matriz a.svg|250px|sinmarco|centro|mat]]<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
[[Archivo:Matc.svg|250 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
[[Archivo:Matrizb.svg|250 px|sinmarco|centro|mat disc]]<br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores ρ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del hidrógeno gracias a la sustitución que adoptamos antes, ρ= rR.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|sinmarco|centro|]]<br />
<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico l = 0. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno (1s,2s,3s,...). Se sabe que para estos estados corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de l no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal n, los valores permitidos de l son 0,1,...,n-1. Es decir que si elegimos l=1 la solución de menor energía corresponde a n=2.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28628Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T16:27:43Z<p>Jerlbcslsd: /* Solución radial */</p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión $x$.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
$[\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
La solución de esta ecuación tiene 3 partes, la solución azimutal $Ψ(Φ)$, la solución polar $Ψ(θ)$ y la solución radial $Ψ(r)$. Por el alcance de este texto nos interesa sólo la parte radial de la solución.<br />
<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución radial de la ecuación de Schrödinger introduce una variable nueva, el número cuántico orbital $l$, que adopta valores enteros positivos. Así, la ecuación radial queda, <br />
<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{1}{R} \frac{∂}{∂r} ( r^{2} \frac{∂R}{∂r}) - \frac{2μ r^{2}}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) = -l(l+1) <br />
\label{radial}<br />
\end{equation} <br />
ε<br />
<br />
Con algo de álgebra podemos reescribir la ecuación anterior cómo,<br />
<br />
$\frac{∂^{2} R}{∂ r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{∂R}{∂r} - \frac{2μ}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{-l(l+1) ħ^{2}}{2μ r^{2}} - E) R = 0 $<br />
<br />
Ahora me tomaré un momento para explorar cómo se comporta ésta solución para valores muy grande de $r$, donde haré despreciable los términos $r^{-1}$ y $r^{-2}$, es decir <br />
<br />
$r → ∞: \frac{∂^{2} R_∞}{∂r^{2}} + \frac{2μE}{ħ^{2}} R_∞ = 0$<br />
<br />
la solución de la ecuación anterior es una combinación lineal de exponenciales reales pero para evitar divergencia para valores valores muy grandes de $r$, me quedo sólo con una exponencial decreciente,<br />
<br />
$R_∞ (r) = C e^{-\frac{\sqrt{2μ|E|}}{ħ}r} = \frac{1Ry}{n^{2}}$<br />
<br />
La forma final de la solución radial se obtiene de una serie de potencias. No es mi intención abundar en cómo se soluciona la ecuación analíticamente así que bastará mostrar que (\ref{radial}) queda cómo<br />
<br />
$R = C e^{-\frac{r}{n a*_0}} (\frac{2r}{n a*_0})^{l} L_{n-l-1}(\frac{2r}{n a*_0})$<br />
<br />
donde $a*_0$ es el radio de Bohr reducido,<br />
<br />
$a*_0 = \frac{4π ε_0 ħ^{2} }{μ e^{2}}$<br />
<br />
y la energía queda cómo<br />
<br />
$E = \frac{μ e^{4}}{32 π^{2} ε_0^{2} ħ^{2} n^{2}} = \frac{1Ry}{n^{2}} $<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
[[Archivo:CodeCogsEqn.gif|300 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: x-h, x, x+h. <br />
<br />
Ahora puedo, a manera de ejemplo, utilizar éste método para tratar la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
[[Archivo:Part en caja.svg|sinmarco|180 px|centro]]<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor h. La solución es la lista de valores Ψ(0), Ψ(h), Ψ(2h),...,Ψ((N+1)h). Para estos valores, puedo expresar una ecuación de la forma,<br />
<br />
[[Archivo:Part en caja 2.svg|sinmarco|250px|centro]]<br />
<br />
Donde N+2 es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la forma del método de diferencias finitas para segundas derivadas se obtiene,<br />
[[Archivo:Disc ej.svg|sinmarco|250 px|centro]]<br />
<br />
Notemos que el sistema de ecuaciones puede expresarse como la ecuación matricial,<br />
<br />
[[Archivo:Eqn matr.svg|sinmarco|350px|centro]]<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores Ψ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles escalonados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera, la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht Ψ<sub>0</sub>=Ψ<sub>N+1</sub>=0. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores Ψ<sub>0</sub> y Ψ<sub>N+1</sub>. Cómo el valor es 0 por diseño, el operador no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores Ψ<sub>0</sub> y Ψ<sub>N+1</sub>, reteniendo las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Discretizaré la coordenada radial usando una red equidistante r<sub>i</sub> con N elementos y un desplazamiento igual a h=r<sub>i+1</sub>-r<sub>i</sub>. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero se corresponde con el operador de Laplace<br />
<br />
[[Archivo:Matriz a.svg|250px|sinmarco|centro|mat]]<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
[[Archivo:Matc.svg|250 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
[[Archivo:Matrizb.svg|250 px|sinmarco|centro|mat disc]]<br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores ρ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del hidrógeno gracias a la sustitución que adoptamos antes, ρ= rR.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|sinmarco|centro|]]<br />
<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico l = 0. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno (1s,2s,3s,...). Se sabe que para estos estados corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de l no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal n, los valores permitidos de l son 0,1,...,n-1. Es decir que si elegimos l=1 la solución de menor energía corresponde a n=2.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28625Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T16:05:29Z<p>Jerlbcslsd: /* Solución radial */</p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión $x$.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
$[\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
La solución de esta ecuación tiene 3 partes, la solución azimutal $Ψ(Φ)$, la solución polar $Ψ(θ)$ y la solución radial $Ψ(r)$. Por el alcance de este texto nos interesa sólo la parte radial de la solución.<br />
<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución radial de la ecuación de Schrödinger introduce una variable nueva, el número cuántico orbital $l$, que adopta valores enteros positivos. Así, la ecuación radial queda, <br />
<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{1}{R} \frac{∂}{∂r} ( r^{2} \frac{∂R}{∂r}) - \frac{2μ r^{2}}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) = -l(l+1) <br />
\label{integral}<br />
\end{equation} <br />
<br />
<br />
Con algo de álgebra podemos reescribir la ecuación anterior cómo,<br />
<br />
$\frac{∂^{2} R}{∂ r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{∂R}{∂r} - \frac{2μ}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r} - \frac{-l(l+1) ħ^{2}}{2μ r^{2}} - E) R = 0 $<br />
<br />
Ahora me tomaré un momento para explorar cómo se comporta ésta solución para valores muy grande de $r$, donde haré despreciable los términos $r^{-1}$ y $r^{-2}$, es decir <br />
<br />
$r → ∞: \frac{∂^{2} R_∞}{∂r^{2}} + \frac{2μE}{ħ^{2}} R_∞ = 0$<br />
<br />
la solución de la ecuación anterior es una combinación lineal de exponenciales reales pero para evitar divergencia para valores valores muy grandes de $r$, me quedo sólo con una exponencial decreciente,<br />
<br />
$R_∞ (r) = C e^{-\frac{\sqrt{2μ|E|}}{ħ}r} $<br />
<br />
<br />
y ahora dividiendo por la constante del segundo término,<br />
<br />
[[Archivo:Svg 3 final.svg|350px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
[[Archivo:CodeCogsEqn.gif|300 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: x-h, x, x+h. <br />
<br />
Ahora puedo, a manera de ejemplo, utilizar éste método para tratar la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
[[Archivo:Part en caja.svg|sinmarco|180 px|centro]]<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor h. La solución es la lista de valores Ψ(0), Ψ(h), Ψ(2h),...,Ψ((N+1)h). Para estos valores, puedo expresar una ecuación de la forma,<br />
<br />
[[Archivo:Part en caja 2.svg|sinmarco|250px|centro]]<br />
<br />
Donde N+2 es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la forma del método de diferencias finitas para segundas derivadas se obtiene,<br />
[[Archivo:Disc ej.svg|sinmarco|250 px|centro]]<br />
<br />
Notemos que el sistema de ecuaciones puede expresarse como la ecuación matricial,<br />
<br />
[[Archivo:Eqn matr.svg|sinmarco|350px|centro]]<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores Ψ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles escalonados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera, la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht Ψ<sub>0</sub>=Ψ<sub>N+1</sub>=0. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores Ψ<sub>0</sub> y Ψ<sub>N+1</sub>. Cómo el valor es 0 por diseño, el operador no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores Ψ<sub>0</sub> y Ψ<sub>N+1</sub>, reteniendo las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Discretizaré la coordenada radial usando una red equidistante r<sub>i</sub> con N elementos y un desplazamiento igual a h=r<sub>i+1</sub>-r<sub>i</sub>. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero se corresponde con el operador de Laplace<br />
<br />
[[Archivo:Matriz a.svg|250px|sinmarco|centro|mat]]<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
[[Archivo:Matc.svg|250 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
[[Archivo:Matrizb.svg|250 px|sinmarco|centro|mat disc]]<br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores ρ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del hidrógeno gracias a la sustitución que adoptamos antes, ρ= rR.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|sinmarco|centro|]]<br />
<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico l = 0. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno (1s,2s,3s,...). Se sabe que para estos estados corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de l no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal n, los valores permitidos de l son 0,1,...,n-1. Es decir que si elegimos l=1 la solución de menor energía corresponde a n=2.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28623Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T15:42:21Z<p>Jerlbcslsd: </p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión $x$.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
$[\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
La solución de esta ecuación tiene 3 partes, la solución azimutal $Ψ(Φ)$, la solución polar $Ψ(θ)$ y la solución radial $Ψ(r)$. Por el alcance de este texto nos interesa sólo la parte radial de la solución.<br />
<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución radial de la ecuación de Schrödinger introduce una variable nueva, el número cuántico orbital $l$, que adopta valores enteros positivos. Así, en la ecuación: <br />
<br />
<br />
$\frac{1}{R} ( r^{2} \frac{∂R}{∂r}) - \frac{2μ r^{2}}{ħ^{2}} (\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) = -l(l+1) $<br />
<br />
<br />
[[Archivo:CodeCogsEqn (1).gif|400px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Utilizaré la sustitución, <br />
<br />
[[Archivo:Sust rad shr.gif|250px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Así, el operador diferencial queda cómo<br />
<br />
[[Archivo:Svg dif op.svg|500px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
<br />
[[Archivo:Svg 2.svg|350px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Dividiendo entre r,<br />
<br />
[[Archivo:Svgentrer.svg|350px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
y ahora dividiendo por la constante del segundo término,<br />
<br />
[[Archivo:Svg 3 final.svg|350px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
[[Archivo:CodeCogsEqn.gif|300 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: x-h, x, x+h. <br />
<br />
Ahora puedo, a manera de ejemplo, utilizar éste método para tratar la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
[[Archivo:Part en caja.svg|sinmarco|180 px|centro]]<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor h. La solución es la lista de valores Ψ(0), Ψ(h), Ψ(2h),...,Ψ((N+1)h). Para estos valores, puedo expresar una ecuación de la forma,<br />
<br />
[[Archivo:Part en caja 2.svg|sinmarco|250px|centro]]<br />
<br />
Donde N+2 es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la forma del método de diferencias finitas para segundas derivadas se obtiene,<br />
[[Archivo:Disc ej.svg|sinmarco|250 px|centro]]<br />
<br />
Notemos que el sistema de ecuaciones puede expresarse como la ecuación matricial,<br />
<br />
[[Archivo:Eqn matr.svg|sinmarco|350px|centro]]<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores Ψ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles escalonados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera, la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht Ψ<sub>0</sub>=Ψ<sub>N+1</sub>=0. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores Ψ<sub>0</sub> y Ψ<sub>N+1</sub>. Cómo el valor es 0 por diseño, el operador no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores Ψ<sub>0</sub> y Ψ<sub>N+1</sub>, reteniendo las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Discretizaré la coordenada radial usando una red equidistante r<sub>i</sub> con N elementos y un desplazamiento igual a h=r<sub>i+1</sub>-r<sub>i</sub>. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero se corresponde con el operador de Laplace<br />
<br />
[[Archivo:Matriz a.svg|250px|sinmarco|centro|mat]]<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
[[Archivo:Matc.svg|250 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
[[Archivo:Matrizb.svg|250 px|sinmarco|centro|mat disc]]<br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores ρ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del hidrógeno gracias a la sustitución que adoptamos antes, ρ= rR.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|sinmarco|centro|]]<br />
<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico l = 0. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno (1s,2s,3s,...). Se sabe que para estos estados corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de l no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal n, los valores permitidos de l son 0,1,...,n-1. Es decir que si elegimos l=1 la solución de menor energía corresponde a n=2.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28622Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T15:39:51Z<p>Jerlbcslsd: /* Solución radial */</p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión $x$.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
$[\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
La solución de esta ecuación tiene 3 partes, la solución azimutal $Ψ(Φ)$, la solución polar $Ψ(θ)$ y la solución radial $Ψ(r)$. Por el alcance de este texto nos interesa sólo la parte radial de la solución.<br />
<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución radial de la ecuación de Schrödinger introduce una variable nueva, el número cuántico orbital $l$, que adopta valores enteros positivos. Así, en la ecuación: <br />
<br />
<br />
$\frac{1}{R} ( r^{2} \frac{∂R}{∂r}) - \frac{2μ r^{2}}{} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
<br />
[[Archivo:CodeCogsEqn (1).gif|400px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Utilizaré la sustitución, <br />
<br />
[[Archivo:Sust rad shr.gif|250px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Así, el operador diferencial queda cómo<br />
<br />
[[Archivo:Svg dif op.svg|500px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
<br />
[[Archivo:Svg 2.svg|350px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Dividiendo entre r,<br />
<br />
[[Archivo:Svgentrer.svg|350px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
y ahora dividiendo por la constante del segundo término,<br />
<br />
[[Archivo:Svg 3 final.svg|350px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
[[Archivo:CodeCogsEqn.gif|300 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: x-h, x, x+h. <br />
<br />
Ahora puedo, a manera de ejemplo, utilizar éste método para tratar la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
[[Archivo:Part en caja.svg|sinmarco|180 px|centro]]<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor h. La solución es la lista de valores Ψ(0), Ψ(h), Ψ(2h),...,Ψ((N+1)h). Para estos valores, puedo expresar una ecuación de la forma,<br />
<br />
[[Archivo:Part en caja 2.svg|sinmarco|250px|centro]]<br />
<br />
Donde N+2 es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la forma del método de diferencias finitas para segundas derivadas se obtiene,<br />
[[Archivo:Disc ej.svg|sinmarco|250 px|centro]]<br />
<br />
Notemos que el sistema de ecuaciones puede expresarse como la ecuación matricial,<br />
<br />
[[Archivo:Eqn matr.svg|sinmarco|350px|centro]]<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores Ψ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles escalonados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera, la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht Ψ<sub>0</sub>=Ψ<sub>N+1</sub>=0. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores Ψ<sub>0</sub> y Ψ<sub>N+1</sub>. Cómo el valor es 0 por diseño, el operador no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores Ψ<sub>0</sub> y Ψ<sub>N+1</sub>, reteniendo las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Discretizaré la coordenada radial usando una red equidistante r<sub>i</sub> con N elementos y un desplazamiento igual a h=r<sub>i+1</sub>-r<sub>i</sub>. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero se corresponde con el operador de Laplace<br />
<br />
[[Archivo:Matriz a.svg|250px|sinmarco|centro|mat]]<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
[[Archivo:Matc.svg|250 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
[[Archivo:Matrizb.svg|250 px|sinmarco|centro|mat disc]]<br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores ρ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del hidrógeno gracias a la sustitución que adoptamos antes, ρ= rR.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|sinmarco|centro|]]<br />
<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico l = 0. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno (1s,2s,3s,...). Se sabe que para estos estados corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de l no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal n, los valores permitidos de l son 0,1,...,n-1. Es decir que si elegimos l=1 la solución de menor energía corresponde a n=2.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28621Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T15:35:01Z<p>Jerlbcslsd: /* Solución radial */</p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión $x$.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
$[\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
La solución de esta ecuación tiene 3 partes, la solución azimutal $Ψ(Φ)$, la solución polar $Ψ(θ)$ y la solución radial $Ψ(r)$. Por el alcance de este texto nos interesa sólo la parte radial de la solución.<br />
<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución radial de la ecuación de Schrödinger introduce una variable nueva, el número cuántico orbital $l$, que adopta valores enteros positivos. Así, en la ecuación: <br />
<br />
<br />
$[\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
<br />
[[Archivo:CodeCogsEqn (1).gif|400px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Utilizaré la sustitución, <br />
<br />
[[Archivo:Sust rad shr.gif|250px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Así, el operador diferencial queda cómo<br />
<br />
[[Archivo:Svg dif op.svg|500px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
<br />
[[Archivo:Svg 2.svg|350px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Dividiendo entre r,<br />
<br />
[[Archivo:Svgentrer.svg|350px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
y ahora dividiendo por la constante del segundo término,<br />
<br />
[[Archivo:Svg 3 final.svg|350px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
[[Archivo:CodeCogsEqn.gif|300 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: x-h, x, x+h. <br />
<br />
Ahora puedo, a manera de ejemplo, utilizar éste método para tratar la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
[[Archivo:Part en caja.svg|sinmarco|180 px|centro]]<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor h. La solución es la lista de valores Ψ(0), Ψ(h), Ψ(2h),...,Ψ((N+1)h). Para estos valores, puedo expresar una ecuación de la forma,<br />
<br />
[[Archivo:Part en caja 2.svg|sinmarco|250px|centro]]<br />
<br />
Donde N+2 es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la forma del método de diferencias finitas para segundas derivadas se obtiene,<br />
[[Archivo:Disc ej.svg|sinmarco|250 px|centro]]<br />
<br />
Notemos que el sistema de ecuaciones puede expresarse como la ecuación matricial,<br />
<br />
[[Archivo:Eqn matr.svg|sinmarco|350px|centro]]<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores Ψ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles escalonados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera, la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht Ψ<sub>0</sub>=Ψ<sub>N+1</sub>=0. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores Ψ<sub>0</sub> y Ψ<sub>N+1</sub>. Cómo el valor es 0 por diseño, el operador no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores Ψ<sub>0</sub> y Ψ<sub>N+1</sub>, reteniendo las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Discretizaré la coordenada radial usando una red equidistante r<sub>i</sub> con N elementos y un desplazamiento igual a h=r<sub>i+1</sub>-r<sub>i</sub>. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero se corresponde con el operador de Laplace<br />
<br />
[[Archivo:Matriz a.svg|250px|sinmarco|centro|mat]]<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
[[Archivo:Matc.svg|250 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
[[Archivo:Matrizb.svg|250 px|sinmarco|centro|mat disc]]<br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores ρ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del hidrógeno gracias a la sustitución que adoptamos antes, ρ= rR.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|sinmarco|centro|]]<br />
<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico l = 0. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno (1s,2s,3s,...). Se sabe que para estos estados corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de l no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal n, los valores permitidos de l son 0,1,...,n-1. Es decir que si elegimos l=1 la solución de menor energía corresponde a n=2.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28620Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T15:32:37Z<p>Jerlbcslsd: /* Solución radial */</p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión $x$.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
$[\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
La solución de esta ecuación tiene 3 partes, la solución azimutal $Ψ(Φ)$, la solución polar $Ψ(θ)$ y la solución radial $Ψ(r)$. Por el alcance de este texto nos interesa sólo la parte radial de la solución.<br />
<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución radial de la ecuación de Schrödinger introduce una variable nueva, el número cuántico orbital $l$, que adopta valores enteros positivos. Así, en la ecuación: <br />
<br />
<br />
<br />
[[Archivo:CodeCogsEqn (1).gif|400px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Utilizaré la sustitución, <br />
<br />
[[Archivo:Sust rad shr.gif|250px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Así, el operador diferencial queda cómo<br />
<br />
[[Archivo:Svg dif op.svg|500px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
<br />
[[Archivo:Svg 2.svg|350px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Dividiendo entre r,<br />
<br />
[[Archivo:Svgentrer.svg|350px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
y ahora dividiendo por la constante del segundo término,<br />
<br />
[[Archivo:Svg 3 final.svg|350px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
[[Archivo:CodeCogsEqn.gif|300 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: x-h, x, x+h. <br />
<br />
Ahora puedo, a manera de ejemplo, utilizar éste método para tratar la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
[[Archivo:Part en caja.svg|sinmarco|180 px|centro]]<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor h. La solución es la lista de valores Ψ(0), Ψ(h), Ψ(2h),...,Ψ((N+1)h). Para estos valores, puedo expresar una ecuación de la forma,<br />
<br />
[[Archivo:Part en caja 2.svg|sinmarco|250px|centro]]<br />
<br />
Donde N+2 es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la forma del método de diferencias finitas para segundas derivadas se obtiene,<br />
[[Archivo:Disc ej.svg|sinmarco|250 px|centro]]<br />
<br />
Notemos que el sistema de ecuaciones puede expresarse como la ecuación matricial,<br />
<br />
[[Archivo:Eqn matr.svg|sinmarco|350px|centro]]<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores Ψ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles escalonados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera, la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht Ψ<sub>0</sub>=Ψ<sub>N+1</sub>=0. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores Ψ<sub>0</sub> y Ψ<sub>N+1</sub>. Cómo el valor es 0 por diseño, el operador no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores Ψ<sub>0</sub> y Ψ<sub>N+1</sub>, reteniendo las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Discretizaré la coordenada radial usando una red equidistante r<sub>i</sub> con N elementos y un desplazamiento igual a h=r<sub>i+1</sub>-r<sub>i</sub>. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero se corresponde con el operador de Laplace<br />
<br />
[[Archivo:Matriz a.svg|250px|sinmarco|centro|mat]]<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
[[Archivo:Matc.svg|250 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
[[Archivo:Matrizb.svg|250 px|sinmarco|centro|mat disc]]<br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores ρ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del hidrógeno gracias a la sustitución que adoptamos antes, ρ= rR.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|sinmarco|centro|]]<br />
<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico l = 0. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno (1s,2s,3s,...). Se sabe que para estos estados corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de l no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal n, los valores permitidos de l son 0,1,...,n-1. Es decir que si elegimos l=1 la solución de menor energía corresponde a n=2.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28559Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T04:41:35Z<p>Jerlbcslsd: /* Solución cuántica */</p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión $x$.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
$[\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
La solución de esta ecuación tiene 3 partes, la solución azimutal $Ψ(Φ)$, la solución polar $Ψ(θ)$ y la solución radial $Ψ(r)$. Por el alcance de este texto nos interesa sólo la parte radial de la solución.<br />
<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución de de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo depende de 3 variables la ecuación de<br />
<br />
[[Archivo:CodeCogsEqn (1).gif|400px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Utilizaré la sustitución, <br />
<br />
[[Archivo:Sust rad shr.gif|250px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Así, el operador diferencial queda cómo<br />
<br />
[[Archivo:Svg dif op.svg|500px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
<br />
[[Archivo:Svg 2.svg|350px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Dividiendo entre r,<br />
<br />
[[Archivo:Svgentrer.svg|350px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
y ahora dividiendo por la constante del segundo término,<br />
<br />
[[Archivo:Svg 3 final.svg|350px|sinmarco|centro]]<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
[[Archivo:CodeCogsEqn.gif|300 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: x-h, x, x+h. <br />
<br />
Ahora puedo, a manera de ejemplo, utilizar éste método para tratar la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
[[Archivo:Part en caja.svg|sinmarco|180 px|centro]]<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor h. La solución es la lista de valores Ψ(0), Ψ(h), Ψ(2h),...,Ψ((N+1)h). Para estos valores, puedo expresar una ecuación de la forma,<br />
<br />
[[Archivo:Part en caja 2.svg|sinmarco|250px|centro]]<br />
<br />
Donde N+2 es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la forma del método de diferencias finitas para segundas derivadas se obtiene,<br />
[[Archivo:Disc ej.svg|sinmarco|250 px|centro]]<br />
<br />
Notemos que el sistema de ecuaciones puede expresarse como la ecuación matricial,<br />
<br />
[[Archivo:Eqn matr.svg|sinmarco|350px|centro]]<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores Ψ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles escalonados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera, la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht Ψ<sub>0</sub>=Ψ<sub>N+1</sub>=0. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores Ψ<sub>0</sub> y Ψ<sub>N+1</sub>. Cómo el valor es 0 por diseño, el operador no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores Ψ<sub>0</sub> y Ψ<sub>N+1</sub>, reteniendo las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Discretizaré la coordenada radial usando una red equidistante r<sub>i</sub> con N elementos y un desplazamiento igual a h=r<sub>i+1</sub>-r<sub>i</sub>. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero se corresponde con el operador de Laplace<br />
<br />
[[Archivo:Matriz a.svg|250px|sinmarco|centro|mat]]<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
[[Archivo:Matc.svg|250 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
[[Archivo:Matrizb.svg|250 px|sinmarco|centro|mat disc]]<br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores ρ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del hidrógeno gracias a la sustitución que adoptamos antes, ρ= rR.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|sinmarco|centro|]]<br />
<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico l = 0. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno (1s,2s,3s,...). Se sabe que para estos estados corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de l no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal n, los valores permitidos de l son 0,1,...,n-1. Es decir que si elegimos l=1 la solución de menor energía corresponde a n=2.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28558Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T04:41:12Z<p>Jerlbcslsd: /* Solución cuántica */</p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión $x$.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
$[\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ)\frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{\mathrm{sen}^{2}(θ)} \frac{∂^{2}}{∂Φ^{2}} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}]Ψ = EΨ $<br />
<br />
La solución de esta ecuación tiene 3 partes, la solución azimutal $Ψ(Φ)$, la solución polar $Ψ(θ)$ y la solución radial $Ψ(r)$. Por el alcance de este texto nos interesa sólo la parte radial de la solución;<br />
<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución de de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo depende de 3 variables la ecuación de<br />
<br />
[[Archivo:CodeCogsEqn (1).gif|400px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Utilizaré la sustitución, <br />
<br />
[[Archivo:Sust rad shr.gif|250px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Así, el operador diferencial queda cómo<br />
<br />
[[Archivo:Svg dif op.svg|500px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
<br />
[[Archivo:Svg 2.svg|350px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Dividiendo entre r,<br />
<br />
[[Archivo:Svgentrer.svg|350px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
y ahora dividiendo por la constante del segundo término,<br />
<br />
[[Archivo:Svg 3 final.svg|350px|sinmarco|centro]]<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
[[Archivo:CodeCogsEqn.gif|300 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: x-h, x, x+h. <br />
<br />
Ahora puedo, a manera de ejemplo, utilizar éste método para tratar la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
[[Archivo:Part en caja.svg|sinmarco|180 px|centro]]<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor h. La solución es la lista de valores Ψ(0), Ψ(h), Ψ(2h),...,Ψ((N+1)h). Para estos valores, puedo expresar una ecuación de la forma,<br />
<br />
[[Archivo:Part en caja 2.svg|sinmarco|250px|centro]]<br />
<br />
Donde N+2 es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la forma del método de diferencias finitas para segundas derivadas se obtiene,<br />
[[Archivo:Disc ej.svg|sinmarco|250 px|centro]]<br />
<br />
Notemos que el sistema de ecuaciones puede expresarse como la ecuación matricial,<br />
<br />
[[Archivo:Eqn matr.svg|sinmarco|350px|centro]]<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores Ψ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles escalonados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera, la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht Ψ<sub>0</sub>=Ψ<sub>N+1</sub>=0. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores Ψ<sub>0</sub> y Ψ<sub>N+1</sub>. Cómo el valor es 0 por diseño, el operador no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores Ψ<sub>0</sub> y Ψ<sub>N+1</sub>, reteniendo las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Discretizaré la coordenada radial usando una red equidistante r<sub>i</sub> con N elementos y un desplazamiento igual a h=r<sub>i+1</sub>-r<sub>i</sub>. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero se corresponde con el operador de Laplace<br />
<br />
[[Archivo:Matriz a.svg|250px|sinmarco|centro|mat]]<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
[[Archivo:Matc.svg|250 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
[[Archivo:Matrizb.svg|250 px|sinmarco|centro|mat disc]]<br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores ρ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del hidrógeno gracias a la sustitución que adoptamos antes, ρ= rR.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|sinmarco|centro|]]<br />
<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico l = 0. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno (1s,2s,3s,...). Se sabe que para estos estados corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de l no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal n, los valores permitidos de l son 0,1,...,n-1. Es decir que si elegimos l=1 la solución de menor energía corresponde a n=2.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28555Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T04:25:58Z<p>Jerlbcslsd: </p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión $x$.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
${\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(θ)} \frac{∂}{∂θ} (\mathrm{sen}(θ))\frac{∂}{∂θ} + }$<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución de de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo depende de 3 variables la ecuación de<br />
<br />
[[Archivo:CodeCogsEqn (1).gif|400px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Utilizaré la sustitución, <br />
<br />
[[Archivo:Sust rad shr.gif|250px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Así, el operador diferencial queda cómo<br />
<br />
[[Archivo:Svg dif op.svg|500px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
<br />
[[Archivo:Svg 2.svg|350px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Dividiendo entre r,<br />
<br />
[[Archivo:Svgentrer.svg|350px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
y ahora dividiendo por la constante del segundo término,<br />
<br />
[[Archivo:Svg 3 final.svg|350px|sinmarco|centro]]<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
[[Archivo:CodeCogsEqn.gif|300 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: x-h, x, x+h. <br />
<br />
Ahora puedo, a manera de ejemplo, utilizar éste método para tratar la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
[[Archivo:Part en caja.svg|sinmarco|180 px|centro]]<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor h. La solución es la lista de valores Ψ(0), Ψ(h), Ψ(2h),...,Ψ((N+1)h). Para estos valores, puedo expresar una ecuación de la forma,<br />
<br />
[[Archivo:Part en caja 2.svg|sinmarco|250px|centro]]<br />
<br />
Donde N+2 es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la forma del método de diferencias finitas para segundas derivadas se obtiene,<br />
[[Archivo:Disc ej.svg|sinmarco|250 px|centro]]<br />
<br />
Notemos que el sistema de ecuaciones puede expresarse como la ecuación matricial,<br />
<br />
[[Archivo:Eqn matr.svg|sinmarco|350px|centro]]<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores Ψ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles escalonados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera, la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht Ψ<sub>0</sub>=Ψ<sub>N+1</sub>=0. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores Ψ<sub>0</sub> y Ψ<sub>N+1</sub>. Cómo el valor es 0 por diseño, el operador no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores Ψ<sub>0</sub> y Ψ<sub>N+1</sub>, reteniendo las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Discretizaré la coordenada radial usando una red equidistante r<sub>i</sub> con N elementos y un desplazamiento igual a h=r<sub>i+1</sub>-r<sub>i</sub>. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero se corresponde con el operador de Laplace<br />
<br />
[[Archivo:Matriz a.svg|250px|sinmarco|centro|mat]]<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
[[Archivo:Matc.svg|250 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
[[Archivo:Matrizb.svg|250 px|sinmarco|centro|mat disc]]<br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores ρ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del hidrógeno gracias a la sustitución que adoptamos antes, ρ= rR.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|sinmarco|centro|]]<br />
<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico l = 0. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno (1s,2s,3s,...). Se sabe que para estos estados corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de l no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal n, los valores permitidos de l son 0,1,...,n-1. Es decir que si elegimos l=1 la solución de menor energía corresponde a n=2.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28533Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T03:32:45Z<p>Jerlbcslsd: </p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término <br />
$\frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión $x$.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
Ahora es conveniente expresar la ecuación en términos de coordenadas esféricas $θ,Φ,r$. <br />
<br />
${\frac{ħ^{2}}{2μ r^2} ( r^{2} \frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{\mathrm{sen}(x)} }<br />
== Solución radial ==<br />
<br />
La solución de de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo depende de 3 variables la ecuación de<br />
<br />
[[Archivo:CodeCogsEqn (1).gif|400px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Utilizaré la sustitución, <br />
<br />
[[Archivo:Sust rad shr.gif|250px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Así, el operador diferencial queda cómo<br />
<br />
[[Archivo:Svg dif op.svg|500px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
<br />
[[Archivo:Svg 2.svg|350px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Dividiendo entre r,<br />
<br />
[[Archivo:Svgentrer.svg|350px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
y ahora dividiendo por la constante del segundo término,<br />
<br />
[[Archivo:Svg 3 final.svg|350px|sinmarco|centro]]<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
[[Archivo:CodeCogsEqn.gif|300 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: x-h, x, x+h. <br />
<br />
Ahora puedo, a manera de ejemplo, utilizar éste método para tratar la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
[[Archivo:Part en caja.svg|sinmarco|180 px|centro]]<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor h. La solución es la lista de valores Ψ(0), Ψ(h), Ψ(2h),...,Ψ((N+1)h). Para estos valores, puedo expresar una ecuación de la forma,<br />
<br />
[[Archivo:Part en caja 2.svg|sinmarco|250px|centro]]<br />
<br />
Donde N+2 es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la forma del método de diferencias finitas para segundas derivadas se obtiene,<br />
[[Archivo:Disc ej.svg|sinmarco|250 px|centro]]<br />
<br />
Notemos que el sistema de ecuaciones puede expresarse como la ecuación matricial,<br />
<br />
[[Archivo:Eqn matr.svg|sinmarco|350px|centro]]<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores Ψ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles escalonados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera, la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht Ψ<sub>0</sub>=Ψ<sub>N+1</sub>=0. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores Ψ<sub>0</sub> y Ψ<sub>N+1</sub>. Cómo el valor es 0 por diseño, el operador no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores Ψ<sub>0</sub> y Ψ<sub>N+1</sub>, reteniendo las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Discretizaré la coordenada radial usando una red equidistante r<sub>i</sub> con N elementos y un desplazamiento igual a h=r<sub>i+1</sub>-r<sub>i</sub>. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero se corresponde con el operador de Laplace<br />
<br />
[[Archivo:Matriz a.svg|250px|sinmarco|centro|mat]]<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
[[Archivo:Matc.svg|250 px|sinmarco|centro]]<br />
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[[Archivo:Matrizb.svg|250 px|sinmarco|centro|mat disc]]<br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores ρ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del hidrógeno gracias a la sustitución que adoptamos antes, ρ= rR.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|sinmarco|centro|]]<br />
<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico l = 0. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno (1s,2s,3s,...). Se sabe que para estos estados corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de l no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal n, los valores permitidos de l son 0,1,...,n-1. Es decir que si elegimos l=1 la solución de menor energía corresponde a n=2.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28522Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T02:51:55Z<p>Jerlbcslsd: </p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida, $ᐁ$ es el operador diferencial nabla, el término $frac{e^{2}}{4 π ε_0 r$ corresponde al potencial de Coulomb y $ Ψ(r,t)$ es la función de onda de la partícula en una dimensión $x$.<br />
<br />
Ya que el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo, propondré una solución "separada", un producto de funciones, <br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial, Ω(r) y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
== Solución radial de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo ==<br />
<br />
Ahora voy a aplicar el método para la ecuación radial que se deriva resolviendo la ecuación de Schrödinger,<br />
<br />
[[Archivo:CodeCogsEqn (1).gif|400px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Utilizaré la sustitución, <br />
<br />
[[Archivo:Sust rad shr.gif|250px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Así, el operador diferencial queda cómo<br />
<br />
[[Archivo:Svg dif op.svg|500px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
<br />
[[Archivo:Svg 2.svg|350px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Dividiendo entre r,<br />
<br />
[[Archivo:Svgentrer.svg|350px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
y ahora dividiendo por la constante del segundo término,<br />
<br />
[[Archivo:Svg 3 final.svg|350px|sinmarco|centro]]<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
[[Archivo:CodeCogsEqn.gif|300 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: x-h, x, x+h. <br />
<br />
Ahora puedo, a manera de ejemplo, utilizar éste método para tratar la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
[[Archivo:Part en caja.svg|sinmarco|180 px|centro]]<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor h. La solución es la lista de valores Ψ(0), Ψ(h), Ψ(2h),...,Ψ((N+1)h). Para estos valores, puedo expresar una ecuación de la forma,<br />
<br />
[[Archivo:Part en caja 2.svg|sinmarco|250px|centro]]<br />
<br />
Donde N+2 es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la forma del método de diferencias finitas para segundas derivadas se obtiene,<br />
[[Archivo:Disc ej.svg|sinmarco|250 px|centro]]<br />
<br />
Notemos que el sistema de ecuaciones puede expresarse como la ecuación matricial,<br />
<br />
[[Archivo:Eqn matr.svg|sinmarco|350px|centro]]<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores Ψ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles escalonados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera, la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht Ψ<sub>0</sub>=Ψ<sub>N+1</sub>=0. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores Ψ<sub>0</sub> y Ψ<sub>N+1</sub>. Cómo el valor es 0 por diseño, el operador no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores Ψ<sub>0</sub> y Ψ<sub>N+1</sub>, reteniendo las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Discretizaré la coordenada radial usando una red equidistante r<sub>i</sub> con N elementos y un desplazamiento igual a h=r<sub>i+1</sub>-r<sub>i</sub>. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero se corresponde con el operador de Laplace<br />
<br />
[[Archivo:Matriz a.svg|250px|sinmarco|centro|mat]]<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
[[Archivo:Matc.svg|250 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
[[Archivo:Matrizb.svg|250 px|sinmarco|centro|mat disc]]<br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores ρ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del hidrógeno gracias a la sustitución que adoptamos antes, ρ= rR.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|sinmarco|centro|]]<br />
<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico l = 0. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno (1s,2s,3s,...). Se sabe que para estos estados corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de l no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal n, los valores permitidos de l son 0,1,...,n-1. Es decir que si elegimos l=1 la solución de menor energía corresponde a n=2.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28517Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T02:14:52Z<p>Jerlbcslsd: /* Referencias */</p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida<br />
<br />
sin embargo el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo así que propondré una solución de la forma<br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
[[Archivo:CodeCogsEqn.gif|300 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: x-h, x, x+h. <br />
<br />
Ahora puedo, a manera de ejemplo, utilizar éste método para tratar la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
[[Archivo:Part en caja.svg|sinmarco|180 px|centro]]<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor h. La solución es la lista de valores Ψ(0), Ψ(h), Ψ(2h),...,Ψ((N+1)h). Para estos valores, puedo expresar una ecuación de la forma,<br />
<br />
[[Archivo:Part en caja 2.svg|sinmarco|250px|centro]]<br />
<br />
Donde N+2 es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la forma del método de diferencias finitas para segundas derivadas se obtiene,<br />
[[Archivo:Disc ej.svg|sinmarco|250 px|centro]]<br />
<br />
Notemos que el sistema de ecuaciones puede expresarse como la ecuación matricial,<br />
<br />
[[Archivo:Eqn matr.svg|sinmarco|350px|centro]]<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores Ψ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles escalonados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera, la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht Ψ<sub>0</sub>=Ψ<sub>N+1</sub>=0. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores Ψ<sub>0</sub> y Ψ<sub>N+1</sub>. Cómo el valor es 0 por diseño, el operador no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores Ψ<sub>0</sub> y Ψ<sub>N+1</sub>, reteniendo las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
== Solución radial de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo ==<br />
<br />
Ahora voy a aplicar el método para la ecuación radial que se deriva resolviendo la ecuación de Schrödinger,<br />
<br />
[[Archivo:CodeCogsEqn (1).gif|400px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Utilizaré la sustitución, <br />
<br />
[[Archivo:Sust rad shr.gif|250px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Así, el operador diferencial queda cómo<br />
<br />
[[Archivo:Svg dif op.svg|500px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
<br />
[[Archivo:Svg 2.svg|350px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Dividiendo entre r,<br />
<br />
[[Archivo:Svgentrer.svg|350px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
y ahora dividiendo por la constante del segundo término,<br />
<br />
[[Archivo:Svg 3 final.svg|350px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Discretizaré la coordenada radial usando una red equidistante r<sub>i</sub> con N elementos y un desplazamiento igual a h=r<sub>i+1</sub>-r<sub>i</sub>. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero se corresponde con el operador de Laplace<br />
<br />
[[Archivo:Matriz a.svg|250px|sinmarco|centro|mat]]<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
[[Archivo:Matc.svg|250 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
[[Archivo:Matrizb.svg|250 px|sinmarco|centro|mat disc]]<br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores ρ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del hidrógeno gracias a la sustitución que adoptamos antes, ρ= rR.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|sinmarco|centro|]]<br />
<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico l = 0. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno (1s,2s,3s,...). Se sabe que para estos estados corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de l no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal n, los valores permitidos de l son 0,1,...,n-1. Es decir que si elegimos l=1 la solución de menor energía corresponde a n=2.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
French, A. P., & Taylor, E. F. (1978). Introduction to Quantum Physics (M.I.T. Introductory Physics Series) (1st ed.). W. W. Norton & Company. <br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28516Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T02:08:21Z<p>Jerlbcslsd: /* Solución cuántica */</p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ψ(r,t) = iħ \frac{∂}{∂t} Ψ(r,t)$<br />
<br />
donde $ħ$ es la constante de Planck reducida<br />
<br />
sin embargo el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo así que propondré una solución de la forma<br />
<br />
$Ψ(r,t) = Ω(r) e^{\frac{i E t}{ħ}}$<br />
<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
$(\frac{ħ}{2μ}ᐁ^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_0 r}) Ω(r) = EΩ(r)$<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
[[Archivo:CodeCogsEqn.gif|300 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: x-h, x, x+h. <br />
<br />
Ahora puedo, a manera de ejemplo, utilizar éste método para tratar la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
[[Archivo:Part en caja.svg|sinmarco|180 px|centro]]<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor h. La solución es la lista de valores Ψ(0), Ψ(h), Ψ(2h),...,Ψ((N+1)h). Para estos valores, puedo expresar una ecuación de la forma,<br />
<br />
[[Archivo:Part en caja 2.svg|sinmarco|250px|centro]]<br />
<br />
Donde N+2 es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la forma del método de diferencias finitas para segundas derivadas se obtiene,<br />
[[Archivo:Disc ej.svg|sinmarco|250 px|centro]]<br />
<br />
Notemos que el sistema de ecuaciones puede expresarse como la ecuación matricial,<br />
<br />
[[Archivo:Eqn matr.svg|sinmarco|350px|centro]]<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores Ψ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles escalonados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera, la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht Ψ<sub>0</sub>=Ψ<sub>N+1</sub>=0. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores Ψ<sub>0</sub> y Ψ<sub>N+1</sub>. Cómo el valor es 0 por diseño, el operador no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores Ψ<sub>0</sub> y Ψ<sub>N+1</sub>, reteniendo las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
== Solución radial de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo ==<br />
<br />
Ahora voy a aplicar el método para la ecuación radial que se deriva resolviendo la ecuación de Schrödinger,<br />
<br />
[[Archivo:CodeCogsEqn (1).gif|400px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Utilizaré la sustitución, <br />
<br />
[[Archivo:Sust rad shr.gif|250px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Así, el operador diferencial queda cómo<br />
<br />
[[Archivo:Svg dif op.svg|500px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
<br />
[[Archivo:Svg 2.svg|350px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Dividiendo entre r,<br />
<br />
[[Archivo:Svgentrer.svg|350px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
y ahora dividiendo por la constante del segundo término,<br />
<br />
[[Archivo:Svg 3 final.svg|350px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Discretizaré la coordenada radial usando una red equidistante r<sub>i</sub> con N elementos y un desplazamiento igual a h=r<sub>i+1</sub>-r<sub>i</sub>. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero se corresponde con el operador de Laplace<br />
<br />
[[Archivo:Matriz a.svg|250px|sinmarco|centro|mat]]<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
[[Archivo:Matc.svg|250 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
[[Archivo:Matrizb.svg|250 px|sinmarco|centro|mat disc]]<br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores ρ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del hidrógeno gracias a la sustitución que adoptamos antes, ρ= rR.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|sinmarco|centro|]]<br />
<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico l = 0. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno (1s,2s,3s,...). Se sabe que para estos estados corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de l no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal n, los valores permitidos de l son 0,1,...,n-1. Es decir que si elegimos l=1 la solución de menor energía corresponde a n=2.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28509Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T00:51:56Z<p>Jerlbcslsd: /* Solución cuántica */</p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
$\frac{ħ}{2}$<br />
[[Archivo:CodeCogsEqn (4).gif|300px|sinmarco|centro]]<br />
sin embargo el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo así que propondré una solución de la forma<br />
<br />
[[Archivo:CodeCogsEqn (5).gif|200px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
[[Archivo:CodeCogsEqn (6).gif|300px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
[[Archivo:CodeCogsEqn.gif|300 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: x-h, x, x+h. <br />
<br />
Ahora puedo, a manera de ejemplo, utilizar éste método para tratar la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
[[Archivo:Part en caja.svg|sinmarco|180 px|centro]]<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor h. La solución es la lista de valores Ψ(0), Ψ(h), Ψ(2h),...,Ψ((N+1)h). Para estos valores, puedo expresar una ecuación de la forma,<br />
<br />
[[Archivo:Part en caja 2.svg|sinmarco|250px|centro]]<br />
<br />
Donde N+2 es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la forma del método de diferencias finitas para segundas derivadas se obtiene,<br />
[[Archivo:Disc ej.svg|sinmarco|250 px|centro]]<br />
<br />
Notemos que el sistema de ecuaciones puede expresarse como la ecuación matricial,<br />
<br />
[[Archivo:Eqn matr.svg|sinmarco|350px|centro]]<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores Ψ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles escalonados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera, la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht Ψ<sub>0</sub>=Ψ<sub>N+1</sub>=0. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores Ψ<sub>0</sub> y Ψ<sub>N+1</sub>. Cómo el valor es 0 por diseño, el operador no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores Ψ<sub>0</sub> y Ψ<sub>N+1</sub>, reteniendo las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
== Solución radial de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo ==<br />
<br />
Ahora voy a aplicar el método para la ecuación radial que se deriva resolviendo la ecuación de Schrödinger,<br />
<br />
[[Archivo:CodeCogsEqn (1).gif|400px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Utilizaré la sustitución, <br />
<br />
[[Archivo:Sust rad shr.gif|250px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Así, el operador diferencial queda cómo<br />
<br />
[[Archivo:Svg dif op.svg|500px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
<br />
[[Archivo:Svg 2.svg|350px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Dividiendo entre r,<br />
<br />
[[Archivo:Svgentrer.svg|350px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
y ahora dividiendo por la constante del segundo término,<br />
<br />
[[Archivo:Svg 3 final.svg|350px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Discretizaré la coordenada radial usando una red equidistante r<sub>i</sub> con N elementos y un desplazamiento igual a h=r<sub>i+1</sub>-r<sub>i</sub>. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero se corresponde con el operador de Laplace<br />
<br />
[[Archivo:Matriz a.svg|250px|sinmarco|centro|mat]]<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
[[Archivo:Matc.svg|250 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
[[Archivo:Matrizb.svg|250 px|sinmarco|centro|mat disc]]<br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores ρ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del hidrógeno gracias a la sustitución que adoptamos antes, ρ= rR.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|sinmarco|centro|]]<br />
<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico l = 0. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno (1s,2s,3s,...). Se sabe que para estos estados corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de l no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal n, los valores permitidos de l son 0,1,...,n-1. Es decir que si elegimos l=1 la solución de menor energía corresponde a n=2.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsdhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Problema_del_%C3%A1tomo_de_hidr%C3%B3geno&diff=28500Problema del átomo de hidrógeno2021-06-17T00:39:37Z<p>Jerlbcslsd: /* Planteamiento del problema */</p>
<hr />
<div>== Resumen ==<br />
<br />
En este texto propongo el método de diferencias finitas para obtener una solución numérica del problema del átomo de hidrógeno, es decir, resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Finalmente implementé el método en python para obtener una representación gráfica de la probabilidad de densidad de la posición del electrón en función de su distancia al núcleo.<br />
<br />
== Planteamiento del problema ==<br />
<br />
Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga $-e$ y masa $m_e$ y un protón con carga $+e$ y masa $m_p$. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que m<small>p</small>>>m<small>e</small>, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. <br />
Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema, <br />
<br />
<big>$R=\frac{m_e r_e + m_p r_p}{m_e + m_p}$</big><br />
<br />
donde $r_e$ y $r_p$ se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa $R$ y sus posiciones relativas $r=r_e=R_p$, donde<br />
<br />
$r_e = R + \frac{m_p}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
$r_p = R - \frac{m_e}{m_e + m_p} r$<br />
<br />
<br />
es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida <br />
<br />
$μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$<br />
<br />
Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.<br />
<br />
Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?<br />
<br />
== Solución cuántica ==<br />
<br />
A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, <br />
<br />
[[Archivo:CodeCogsEqn (4).gif|300px|sinmarco|centro]]<br />
sin embargo el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo así que propondré una solución de la forma<br />
<br />
[[Archivo:CodeCogsEqn (5).gif|200px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial y es por lo tanto la ecuación que me interesa resolver, enunciada cómo:<br />
<br />
[[Archivo:CodeCogsEqn (6).gif|300px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
== Método de diferencias finitas ==<br />
<br />
El método de diferencias finitas se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. La definición de la derivada en forma de límite es:<br />
<br />
[[Archivo:CodeCogsEqn.gif|300 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Lo que busco es aproximar el operador diferencial con pequeñas diferencias. Bajo éste esquema, el dominio de la función está discretizado en escalones finitos de h. Haciendo el desplazamiento h cada vez menor se obtiene una aproximación arbitrariamente precisa. Así, para aumentar la precisión de éste método podemos considerar una cantidad mayor de valores cercanos. Para la segunda derivada,<br />
<br />
lo que obtengo es una diferencia de diferencias, por lo tanto es conveniente considerar al menos 3 puntos en mi aproximación: x-h, x, x+h. <br />
<br />
Ahora puedo, a manera de ejemplo, utilizar éste método para tratar la ecuación de onda de una partícula en una caja,<br />
<br />
[[Archivo:Part en caja.svg|sinmarco|180 px|centro]]<br />
<br />
Voy a discretizar el dominio utilizando escalones de valor h. La solución es la lista de valores Ψ(0), Ψ(h), Ψ(2h),...,Ψ((N+1)h). Para estos valores, puedo expresar una ecuación de la forma,<br />
<br />
[[Archivo:Part en caja 2.svg|sinmarco|250px|centro]]<br />
<br />
Donde N+2 es el número total de puntos en el dominio discretizado. Utilizando la forma del método de diferencias finitas para segundas derivadas se obtiene,<br />
[[Archivo:Disc ej.svg|sinmarco|250 px|centro]]<br />
<br />
Notemos que el sistema de ecuaciones puede expresarse como la ecuación matricial,<br />
<br />
[[Archivo:Eqn matr.svg|sinmarco|350px|centro]]<br />
<br />
Se ha obtenido un problema de eigenvalores; al resolverlo se determinan los eigenvectores Ψ que representan la solución así como los eigenvalores que representan los niveles escalonados de energía. Con respecto a las condiciones de frontera, la función de onda de una partícula en una caja debe cumplir las condiciones de frontera de Dirilecht Ψ<sub>0</sub>=Ψ<sub>N+1</sub>=0. Ésto implica dos soluciones triviales pero separadas para los valores Ψ<sub>0</sub> y Ψ<sub>N+1</sub>. Cómo el valor es 0 por diseño, el operador no se ve afectado por su presencia y se pueden implementar condiciones de frontera igual a 0 ignorando los valores Ψ<sub>0</sub> y Ψ<sub>N+1</sub>, reteniendo las N ecuaciones del dominio discretizado.<br />
<br />
== Solución radial de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo ==<br />
<br />
Ahora voy a aplicar el método para la ecuación radial que se deriva resolviendo la ecuación de Schrödinger,<br />
<br />
[[Archivo:CodeCogsEqn (1).gif|400px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Utilizaré la sustitución, <br />
<br />
[[Archivo:Sust rad shr.gif|250px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Así, el operador diferencial queda cómo<br />
<br />
[[Archivo:Svg dif op.svg|500px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
<br />
[[Archivo:Svg 2.svg|350px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
Dividiendo entre r,<br />
<br />
[[Archivo:Svgentrer.svg|350px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
y ahora dividiendo por la constante del segundo término,<br />
<br />
[[Archivo:Svg 3 final.svg|350px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
== Discretización de la coordenada radial por diferencias finitas ==<br />
<br />
Discretizaré la coordenada radial usando una red equidistante r<sub>i</sub> con N elementos y un desplazamiento igual a h=r<sub>i+1</sub>-r<sub>i</sub>. El Hamiltoniano discretizado consiste de 3 términos donde el primero se corresponde con el operador de Laplace<br />
<br />
[[Archivo:Matriz a.svg|250px|sinmarco|centro|mat]]<br />
<br />
junto con otras dos matrices diagonales,<br />
<br />
[[Archivo:Matc.svg|250 px|sinmarco|centro]]<br />
<br />
[[Archivo:Matrizb.svg|250 px|sinmarco|centro|mat disc]]<br />
<br />
La suma de estas 3 matrices representa la matriz hamiltoniana que se quiere diagonalizar para resolver el problema de eigenvalores. Los eigenvalores son los estados energéticos y sus eigenvectores ρ están relacionados a la parte radial de la ecuación de onda del hidrógeno gracias a la sustitución que adoptamos antes, ρ= rR.<br />
<br />
== Implementación en Python ==<br />
<br />
[[Archivo:Plt energy.png|400px|sinmarco|centro|]]<br />
<br />
<br />
Para esta simulación elegí el número de momento angular cuántico l = 0. Por lo tanto en la gráfica se muestran resultados para los primeros 3 niveles energéticos del átomo de hidrógeno (1s,2s,3s,...). Se sabe que para estos estados corresponden energías de 1 Ry, 1/4 Ry, 1/9 Ry respectivamente lo cual es exactamente lo que se obtiene en la simulación. <br />
<br />
Modificar el valor de l no influye en el espectro de energía obtenido, con la excepción de que elimina ciertos estados energéticos. Esto se debe a que para un número cuántico principal n, los valores permitidos de l son 0,1,...,n-1. Es decir que si elegimos l=1 la solución de menor energía corresponde a n=2.<br />
<br />
== Referencias ==<br />
<br />
Kong, Q., Siauw, T., & Bayen, A. (2020). Python Programming and Numerical Methods: A Guide for Engineers and Scientists (1st ed.). Academic Press.<br />
<br />
Schroeder, D. V. (2015). The radial equation. In The radial equation (pp. 1–2). https://physics.weber.edu/schroeder/quantum/RadialEquation.pdf<br />
<br />
CODATA Value: Rydberg constant times hc in eV. (2018). The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev</div>Jerlbcslsd