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luz-wiki - Contribuciones del usuario [es]
2024-03-29T13:42:45Z
Contribuciones del usuario
MediaWiki 1.39.6
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario:Ivan_de_Jes%C3%BAs_Pompa_Garc%C3%ADa&diff=27629
Usuario:Ivan de Jesús Pompa García
2021-03-30T16:31:04Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: </p>
<hr />
<div>Estudiante del doctorado en Física en la UAM-I [2021].</div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Diegophy17&diff=23059
Usuario discusión:Diegophy17
2018-11-29T03:41:46Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: Revertidos los cambios de Ivan de Jesús Pompa García (disc.) a la última edición de Mfgwiki</p>
<hr />
<div>'''Bienvenido a ''luz-wiki''!'''<br />
Esperamos que contribuyas mucho y bien.<br />
Probablemente desearás leer las [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Help:Contents páginas de ayuda].<br />
Nuevamente, bienvenido y diviértete! [[Usuario:Gsfwiki|Gsfwiki]] ([[Usuario discusión:Gsfwiki|discusión]]) 09:50 19 oct 2018 (CDT)<br />
<br />
Borraste la primera parte de la contribución de Fernando que ya está muy avanzada.<br />
Por favor revierte tus modificaciones a manera de respetar las contribuciones previas y añade la tuya al final de la página.<br />
[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 11:21 28 nov 2018 (CST)</div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Investigacion:_RO18O&diff=23057
Investigacion: RO18O
2018-11-29T03:40:03Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: /* Aproximación de Guinier */</p>
<hr />
<div></div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Investigacion:_RO18O&diff=23056
Investigacion: RO18O
2018-11-29T03:37:24Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: /* Esparcimiento de una onda por n partículas pequeñas */</p>
<hr />
<div></div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Investigacion:_RO18O&diff=23055
Investigacion: RO18O
2018-11-29T03:35:28Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: /* Esparcimiento de una onda por dos partículas pequeñas */</p>
<hr />
<div></div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Investigacion:_RO18O&diff=23052
Investigacion: RO18O
2018-11-29T03:23:58Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: </p>
<hr />
<div></div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Optica:_Capitulo12-problemas&diff=23041
Optica: Capitulo12-problemas
2018-11-29T02:46:47Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: /* Ejercicio 12.14 */</p>
<hr />
<div>Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 12<br />
<br />
[[categoría:Optica]]<br />
[[categoría:Cursos]]<br />
<br />
----<br />
=== Ejercicio 12.6 ===<br />
'''Refiriéndose a la fuente de hendidura y la disposición de la pantalla con orificios de la figura P.12.6, muestre por integración sobre la fuente que:<br />
<math> I(Y)\propto b + \frac{\sin(\frac{\pi ab}{\lambda l})}{\frac{\pi a}{\lambda l}}\cos(\frac{2\pi aY}{\lambda s}) </math>'''<br />
<br />
:'''solución'''<br />
<br />
En el caso especial de dos fuentes con ''misma amplitud'' que inciden en un punto Q, la contribución a la irradiancia por estas fuentes es:<br />
<br />
:<math> I=2I_{0}(1+\cos\delta)=4I_{0}\cos^{2}(\frac{\delta}{2}) </math> (ver capítulo 9, ecuación 9.17).<br />
<br />
Siendo, por su puesto <math> I_{0}=I_{1}=I_{2}=\langle |\vec{E}_{1}|^{2}\rangle_{T}=\langle |\vec{E}_{2}|^{2}\rangle_{T} </math> & <math> \delta</math> la diferencia entre las fases de dichas fuentes.<br />
<br />
Para un elemento diferencial de la fuente de ancho <math> dy </math> en el punto S', la ''optical path difference length'' ,denotado por <math> \Lambda </math>, de P en Y vía las dos rendijas es:<br />
<br />
:<math> \Lambda = (\bar{S'S_{1}} + \bar{S_{1}P})-(\bar{S'S_{2}}+\bar{S_{2}P})=(\bar{S'S_{1}} - \bar{S'S_{2}})+(\bar{PS_{1}}-\bar{S_{2}P})=\frac{ay}{l}+\frac{aY}{s} </math><br />
<br />
ya que, recordando que para dos fuentes que inciden sobre un mismo punto Q, la ''optical path difference length'' está dada por (bajo la aproximación de ángulos pequeños):<br />
<br />
<math> \Lambda = \frac{ay}{s} </math> (ver capítulo 9, ecuación 9.23,9.24). De la ecuación 12.2 del capítulo 12, podemos observar que:<br />
<br />
<math> I=4I_{0}\cos^{2}(\frac{\delta}{2})=4I_{0}\cos^{2}(k\frac{aY}{2s})=4I_{0}\cos^{2}(\frac{\pi aY}{\lambda s}) </math> & que por la ecuación 12.3 de capítulo 12, podemos escribir la contribución a la irradiancia de un elemento <math> dy </math> como:<br />
<br />
<br />
:<math> dI\propto (1+\cos(k\Lambda)dy </math>, siendo, por su puesto, <math> k\equiv\frac{2\pi}{\lambda} </math>.<br />
<br />
Por tanto:<br />
<br />
:<math> I\propto\int_{\frac{-b}{2}}^{\frac{b}{2}} (1+\cos(k\Lambda)dy = b +\int_{\frac{-b}{2}}^{\frac{b}{2}}\cos(\frac{2ay\pi}{l\lambda}+\frac{2aY\pi}{s\lambda})dy</math>.<br />
<br />
:<math> I\propto b+ \frac{\lambda l}{2\pi a}[\sin(\frac{ab\pi}{\lambda l} +\frac{2\pi aY}{\lambda s})-\sin(-\frac{\pi ab}{\lambda l}+\frac{2\pi aY}{\lambda s})] </math>.<br />
<br />
Por tanto, usando las identidades trigonométricas: <math> \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b </math> & <math> \sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b </math>, obtenemos:<br />
<br />
:<math> I\propto b+\frac{\lambda l}{\pi a}\sin(\frac{ab\pi}{\lambda l})\cos(\frac{2\pi aY}{\lambda s}) </math>. <br />
<br />
<br />
<br />
[[Usuario:diegophy17|Diego de la Cruz López]]<br />
<br />
----<br />
<br />
----<br />
=== Ejercicio 12.14 ===<br />
Elabore los detalles que nos llevan a la expresión de la visibilidad dada por la ecuación 12.22.<br />
<br />
:'''Solución'''<br />
<br />
Las intensidades máximas y mínimas son<br />
<br />
<math><br />
I_{max} = I_1 + I_2 + 2 \sqrt{I_1 I_2} \left|\tilde{\gamma}_{12}\right|<br />
</math><br />
<br />
y<br />
<br />
<math><br />
I_{min} = I_1 + I_2 - 2 \sqrt{I_1 I_2} \left|\tilde{\gamma}_{12}\right|<br />
</math><br />
<br />
Y sabiendo que la visibilidad está dada por<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{V} = \dfrac{I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}}<br />
</math><br />
<br />
sustituímos para obtener<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{V} = \dfrac{(I_1 + I_2 + 2 \sqrt{I_1 I_2} \left|\tilde{\gamma}_{12}\right|) - (I_1 + I_2 - 2 \sqrt{I_1 I_2} \left|\tilde{\gamma}_{12}\right|)}{(I_1 + I_2 + 2 \sqrt{I_1 I_2} \left|\tilde{\gamma}_{12}\right|)+(I_1 + I_2 - 2 \sqrt{I_1 I_2} \left|\tilde{\gamma}_{12}\right|)}<br />
= \dfrac{4 \sqrt{I_1 I_2} \left|\tilde{\gamma}_{12}\right|}{2(I_1+I_2)} = \dfrac{2 \sqrt{I_1 I_2} \left| \tilde{\gamma}_{12} \right|}{I_1 + I_2}<br />
</math><br />
<br />
obteniendo finalmente que<br />
<br />
<math><br />
\mathcal{V} = \dfrac{2 \sqrt{I_1} \sqrt{I_2}}{I_1 + I_2} \left| \tilde{\gamma}_{12} \right|<br />
</math><br />
<br />
que es la ecuación 12.22.<br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 20:46 28 nov 2018 (CST)<br />
----</div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Optica:_Capitulo12-problemas&diff=23039
Optica: Capitulo12-problemas
2018-11-29T01:56:50Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: </p>
<hr />
<div>Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 12<br />
<br />
[[categoría:Optica]]<br />
[[categoría:Cursos]]<br />
<br />
----<br />
=== Ejercicio 12.6 ===<br />
'''Refiriéndose a la fuente de hendidura y la disposición de la pantalla con orificios de la figura P.12.6, muestre por integración sobre la fuente que:<br />
<math> I(Y)\propto b + \frac{\sin(\frac{\pi ab}{\lambda l})}{\frac{\pi a}{\lambda l}}\cos(\frac{2\pi aY}{\lambda s}) </math>'''<br />
<br />
:'''solución'''<br />
<br />
En el caso especial de dos fuentes con ''misma amplitud'' que inciden en un punto Q, la contribución a la irradiancia por estas fuentes es:<br />
<br />
:<math> I=2I_{0}(1+\cos\delta)=4I_{0}\cos^{2}(\frac{\delta}{2}) </math> (ver capítulo 9, ecuación 9.17).<br />
<br />
Siendo, por su puesto <math> I_{0}=I_{1}=I_{2}=\langle |\vec{E}_{1}|^{2}\rangle_{T}=\langle |\vec{E}_{2}|^{2}\rangle_{T} </math> & <math> \delta</math> la diferencia entre las fases de dichas fuentes.<br />
<br />
Para un elemento diferencial de la fuente de ancho <math> dy </math> en el punto S', la ''optical path difference length'' ,denotado por <math> \Lambda </math>, de P en Y vía las dos rendijas es:<br />
<br />
:<math> \Lambda = (\bar{S'S_{1}} + \bar{S_{1}P})-(\bar{S'S_{2}}+\bar{S_{2}P})=(\bar{S'S_{1}} - \bar{S'S_{2}})+(\bar{PS_{1}}-\bar{S_{2}P})=\frac{ay}{l}+\frac{aY}{s} </math><br />
<br />
ya que, recordando que para dos fuentes que inciden sobre un mismo punto Q, la ''optical path difference length'' está dada por (bajo la aproximación de ángulos pequeños):<br />
<br />
<math> \Lambda = \frac{ay}{s} </math> (ver capítulo 9, ecuación 9.23,9.24). De la ecuación 12.2 del capítulo 12, podemos observar que:<br />
<br />
<math> I=4I_{0}\cos^{2}(\frac{\delta}{2})=4I_{0}\cos^{2}(k\frac{aY}{2s})=4I_{0}\cos^{2}(\frac{\pi aY}{\lambda s}) </math> & que por la ecuación 12.3 de capítulo 12, podemos escribir la contribución a la irradiancia de un elemento <math> dy </math> como:<br />
<br />
<br />
:<math> dI\propto (1+\cos(k\Lambda)dy </math>, siendo, por su puesto, <math> k\equiv\frac{2\pi}{\lambda} </math>.<br />
<br />
Por tanto:<br />
<br />
:<math> I\propto\int_{\frac{-b}{2}}^{\frac{b}{2}} (1+\cos(k\Lambda)dy = b +\int_{\frac{-b}{2}}^{\frac{b}{2}}\cos(\frac{2ay\pi}{l\lambda}+\frac{2aY\pi}{s\lambda})dy</math>.<br />
<br />
:<math> I\propto b+ \frac{\lambda l}{2\pi a}[\sin(\frac{ab\pi}{\lambda l} +\frac{2\pi aY}{\lambda s})-\sin(-\frac{\pi ab}{\lambda l}+\frac{2\pi aY}{\lambda s})] </math>.<br />
<br />
Por tanto, usando las identidades trigonométricas: <math> \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b </math> & <math> \sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b </math>, obtenemos:<br />
<br />
:<math> I\propto b+\frac{\lambda l}{\pi a}\sin(\frac{ab\pi}{\lambda l})\cos(\frac{2\pi aY}{\lambda s}) </math>. <br />
<br />
<br />
<br />
[[Usuario:diegophy17|Diego de la Cruz López]]<br />
<br />
----<br />
<br />
----<br />
=== Ejercicio 12.14 ===<br />
Elabore los detalles que nos llevan a la expresión de la visibilidad dada por la ecuación 12.22.<br />
<br />
:'''Solución'''<br />
<br />
Sabemos que la visibilidad está dada por<br />
<br />
<math><br />
\mathbb{V} = \dfrac{I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}}<br />
</math><br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 19:56 28 nov 2018 (CST)<br />
----</div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Diegophy17&diff=23038
Usuario discusión:Diegophy17
2018-11-29T01:49:31Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: Revertidos los cambios de Mfgwiki (disc.) a la última edición de Gsfwiki</p>
<hr />
<div>'''Bienvenido a ''luz-wiki''!'''<br />
Esperamos que contribuyas mucho y bien.<br />
Probablemente desearás leer las [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Help:Contents páginas de ayuda].<br />
Nuevamente, bienvenido y diviértete! [[Usuario:Gsfwiki|Gsfwiki]] ([[Usuario discusión:Gsfwiki|discusión]]) 09:50 19 oct 2018 (CDT)</div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Investigacion:_RO18O&diff=23019
Investigacion: RO18O
2018-11-27T22:10:02Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: /* Esparcimiento de una onda por n partículas pequeñas */</p>
<hr />
<div></div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Investigacion:_RO18O&diff=23018
Investigacion: RO18O
2018-11-27T22:08:47Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: /* Esparcimiento Estático de Luz (SLS) */</p>
<hr />
<div></div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Investigacion:_RO18O&diff=23017
Investigacion: RO18O
2018-11-27T22:05:08Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: /* Aproximación de Guinier */</p>
<hr />
<div></div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Investigacion:_RO18O&diff=23016
Investigacion: RO18O
2018-11-27T22:04:21Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: /* Soluciones con mayor concentración */</p>
<hr />
<div></div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Investigacion:_RO18O&diff=23015
Investigacion: RO18O
2018-11-27T22:02:07Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: /* Esparcimiento de una onda por dos partículas pequeñas */</p>
<hr />
<div></div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Investigacion:_RO18O&diff=23014
Investigacion: RO18O
2018-11-27T21:59:20Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: /* Esparcimiento Estático de Luz (SLS) */</p>
<hr />
<div></div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Archivo:Tablapq.png&diff=23013
Archivo:Tablapq.png
2018-11-27T21:56:40Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: Factores de forma usuales dentro de la aproximación RGDA.</p>
<hr />
<div>Factores de forma usuales dentro de la aproximación RGDA.</div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Archivo:Kq.png&diff=23009
Archivo:Kq.png
2018-11-27T21:55:25Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: Esquema de la interacción del campo con la partícula.</p>
<hr />
<div>Esquema de la interacción del campo con la partícula.</div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Archivo:Kaq.png&diff=23008
Archivo:Kaq.png
2018-11-27T21:54:54Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: Diagrama con los vectores de onda incidente y esparcido.</p>
<hr />
<div>Diagrama con los vectores de onda incidente y esparcido.</div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Archivo:Campodipolo.png&diff=23007
Archivo:Campodipolo.png
2018-11-27T21:54:12Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: Interacción del campo eléctrico de la luz con una partícula induciendo un dipolo.</p>
<hr />
<div>Interacción del campo eléctrico de la luz con una partícula induciendo un dipolo.</div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Investigacion:_RO18O&diff=23006
Investigacion: RO18O
2018-11-27T21:53:34Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: </p>
<hr />
<div></div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Investigacion:_RO18O&diff=23004
Investigacion: RO18O
2018-11-27T02:56:12Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: /* Ondas Electromagnéticas en medios conductores y no conductores */</p>
<hr />
<div></div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Investigacion:_RO18O&diff=23003
Investigacion: RO18O
2018-11-27T02:55:13Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: /* Quiralidad Óptica y su interacción con la materia */</p>
<hr />
<div></div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Investigacion:_RO18O&diff=23002
Investigacion: RO18O
2018-11-27T02:53:38Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: Cambios en títulos para arreglar estilo y mejora en el índice.</p>
<hr />
<div></div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Optica:_Capitulo10-problemas&diff=22845
Optica: Capitulo10-problemas
2018-11-20T06:53:01Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: </p>
<hr />
<div>Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 10<br />
<br />
[[categoría:Optica]]<br />
[[categoría:Cursos]]<br />
<br />
----<br />
=== Ejercicio 10.70 ===<br />
Integre la expresión <math> dS = 2 \pi \rho^2 \sin \varphi d\varphi</math> sobre la zona l-ésima para obtener el área de esa zona, es decir:<br />
<br />
<math><br />
A_l = \dfrac{\lambda \pi \rho}{\rho + r_0} \left[r_0 + \dfrac{(2l-1)\lambda}{4}\right]<br />
</math><br />
<br />
:'''Solución:'''<br />
<br />
La integral se hace en el intervalo <math>\varphi \in [0,\varphi]</math>, entonces<br />
<br />
<math><br />
A = \int_0^\varphi 2\pi\rho^2 \sin \varphi d\varphi = 2\pi\rho^2\int_0^\varphi \sin \varphi d\varphi = 2\pi\rho^2 (-\cos \varphi)_0^\varphi = 2\pi\rho^2(1-\cos\varphi)<br />
</math><br />
<br />
Y de la ley de los cosenos para <math>r^2</math> sabemos que<br />
<br />
<math><br />
\cos \varphi = \dfrac{\rho^2+(\rho+r_0)^2-r_l^2}{2\rho(\rho+r_0)}<br />
</math><br />
<br />
además<br />
<br />
<math><br />
r_l = r_0 + \dfrac{l\lambda}{2} ; r_{l-1} = r_0 + \dfrac{(l-1)\lambda}{2}<br />
</math><br />
<br />
Utilizando estas expresiones en la encontrada para el área tenemos que:<br />
<br />
<math><br />
A = 2\pi\rho^2 - 2\pi\rho^2 \dfrac{\rho^2+(\rho+r_0)^2-r_l^2}{2\rho(\rho+r_0)} = 2\pi\rho^2 - \pi\rho \dfrac{\rho^2+\rho^2+r_0^2+2\rho r_0-r_l^2}{\rho+r_0} = 2\pi\rho^2 - \pi\rho \dfrac{\rho^2+\rho^2+r_0^2+2\rho r_0-(r_0^2+r_0 l \lambda + l^2 \lambda^2 / 4)}{\rho+r_0} <br />
</math><br />
<br />
Obteniendo finalmente la expresión para el área<br />
<br />
<math><br />
A = 2\pi\rho^2 - \pi\rho \dfrac{2\rho^2+2\rho r_0-r_0 l \lambda - l^2 \lambda^2 / 4}{\rho+r_0}<br />
</math><br />
<br />
Ahora bien, queremos encontrar la expresión para <math>A_l = A - A_{l-1}</math>, pero el área de la zona <math>l-1</math> es análoga a la de A con la salvedad de que se utiliza <math>r_{l-1}^2</math> en lugar de <math>r_{l}^2</math>.<br />
<br />
<math><br />
A_{l-1} = 2\pi\rho^2 - 2\pi\rho^2 \dfrac{\rho^2+(\rho+r_0)^2-r_{l-1}^2}{2\rho(\rho+r_0)} = 2\pi\rho^2 - \pi\rho \dfrac{\rho^2+\rho^2+r_0^2+2\rho r_0-r_{l-1}^2}{\rho+r_0} = 2\pi\rho^2 - \pi\rho \dfrac{\rho^2+\rho^2+r_0^2+2\rho r_0-(r_0^2+\lambda^2 (l^2+1-2l)/4 -r_0\lambda(l-1))}{\rho+r_0} <br />
</math><br />
<br />
Que restado de A para obtener $A_l$ da<br />
<br />
<math><br />
A_l = A - A_{l-1} = \dfrac{\pi \rho}{\rho+r_0}\left[-\dfrac{\lambda^2}{4} + \dfrac{\lambda^2 l}{2} + r_0\lambda\right] = \dfrac{\pi \rho \lambda}{\rho+r_0}\left[r_0 + \dfrac{\lambda}{4}(2l-1)\right]<br />
</math><br />
<br />
con lo que se obtiene lo buscado<br />
<br />
<math><br />
A_l = \dfrac{\lambda \pi \rho}{\rho+r_0}\left[r_0 + \dfrac{(2l-1)\lambda}{4}\right]<br />
</math><br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 00:53 20 nov 2018 (CST)<br />
----</div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Optica:_Capitulo10-problemas&diff=22844
Optica: Capitulo10-problemas
2018-11-20T06:52:44Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: /* Ejercicio 10.70 */</p>
<hr />
<div>Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 10<br />
<br />
[[categoría:Optica]]<br />
[[categoría:Cursos]]<br />
<br />
----<br />
=== Ejercicio 10.70 ===<br />
Integre la expresión <math> dS = 2 \pi \rho^2 \sin \varphi d\varphi</math> sobre la zona l-ésima para obtener el área de esa zona, es decir:<br />
<br />
<math><br />
A_l = \dfrac{\lambda \pi \rho}{\rho + r_0} \left[r_0 + \dfrac{(2l-1)\lambda}{4}\right]<br />
</math><br />
<br />
:'''Solución:'''<br />
<br />
La integral se hace en el intervalo <math>\varphi \in [0,\varphi]</math>, entonces<br />
<br />
<math><br />
A = \int_0^\varphi 2\pi\rho^2 \sin \varphi d\varphi = 2\pi\rho^2\int_0^\varphi \sin \varphi d\varphi = 2\pi\rho^2 (-\cos \varphi)_0^\varphi = 2\pi\rho^2(1-\cos\varphi)<br />
</math><br />
<br />
Y de la ley de los cosenos para <math>r^2</math> sabemos que<br />
<br />
<math><br />
\cos \varphi = \dfrac{\rho^2+(\rho+r_0)^2-r_l^2}{2\rho(\rho+r_0)}<br />
</math><br />
<br />
además<br />
<br />
<math><br />
r_l = r_0 + \dfrac{l\lambda}{2} ; r_{l-1} = r_0 + \dfrac{(l-1)\lambda}{2}<br />
</math><br />
<br />
Utilizando estas expresiones en la encontrada para el área tenemos que:<br />
<br />
<math><br />
A = 2\pi\rho^2 - 2\pi\rho^2 \dfrac{\rho^2+(\rho+r_0)^2-r_l^2}{2\rho(\rho+r_0)} = 2\pi\rho^2 - \pi\rho \dfrac{\rho^2+\rho^2+r_0^2+2\rho r_0-r_l^2}{\rho+r_0} = 2\pi\rho^2 - \pi\rho \dfrac{\rho^2+\rho^2+r_0^2+2\rho r_0-(r_0^2+r_0 l \lambda + l^2 \lambda^2 / 4)}{\rho+r_0} <br />
</math><br />
<br />
Obteniendo finalmente la expresión para el área<br />
<br />
<math><br />
A = 2\pi\rho^2 - \pi\rho \dfrac{2\rho^2+2\rho r_0-r_0 l \lambda - l^2 \lambda^2 / 4}{\rho+r_0}<br />
</math><br />
<br />
Ahora bien, queremos encontrar la expresión para <math>A_l = A - A_{l-1}</math>, pero el área de la zona <math>l-1</math> es análoga a la de A con la salvedad de que se utiliza <math>r_{l-1}^2</math> en lugar de <math>r_{l}^2</math>.<br />
<br />
<math><br />
A_{l-1} = 2\pi\rho^2 - 2\pi\rho^2 \dfrac{\rho^2+(\rho+r_0)^2-r_{l-1}^2}{2\rho(\rho+r_0)} = 2\pi\rho^2 - \pi\rho \dfrac{\rho^2+\rho^2+r_0^2+2\rho r_0-r_{l-1}^2}{\rho+r_0} = 2\pi\rho^2 - \pi\rho \dfrac{\rho^2+\rho^2+r_0^2+2\rho r_0-(r_0^2+\lambda^2 (l^2+1-2l)/4 -r_0\lambda(l-1))}{\rho+r_0} <br />
</math><br />
<br />
Que restado de A para obtener $A_l$ da<br />
<br />
<math><br />
A_l = A - A_{l-1} = \dfrac{\pi \rho}{\rho+r_0}\left[-\dfrac{\lambda^2}{4} + \dfrac{\lambda^2 l}{2} + r_0\lambda\right] = \dfrac{\pi \rho \lambda}{\rho+r_0}\left[r_0 + \dfrac{\lambda}{4}(2l-1)\right]<br />
</math><br />
<br />
con lo que se obtiene lo buscado<br />
<br />
<math><br />
A_l = \dfrac{\lambda \pi \rho}{\rho+r_0}\left[r_0 + \dfrac{(2l-1)\lambda}{4}\right]<br />
</math><br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 00:12 20 nov 2018 (CST)<br />
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Ivan de Jesús Pompa García
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Optica: Capitulo10-problemas
2018-11-20T06:27:29Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: /* Ejercicio 10.70 */</p>
<hr />
<div>Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 10<br />
<br />
[[categoría:Optica]]<br />
[[categoría:Cursos]]<br />
<br />
----<br />
=== Ejercicio 10.70 ===<br />
Integre la expresión <math> dS = 2 \pi \rho^2 \sin \varphi d\varphi</math> sobre la zona l-ésima para obtener el área de esa zona, es decir:<br />
<br />
<math><br />
A_l = \dfrac{\lambda \pi \rho}{\rho + r_0} \left[r_0 + \dfrac{(2l-1)\lambda}{4}\right]<br />
</math><br />
<br />
:'''Solución:'''<br />
<br />
La integral se hace en el intervalo <math>\varphi \in [0,\varphi]</math>, entonces<br />
<br />
<math><br />
A = \int_0^\varphi 2\pi\rho^2 \sin \varphi d\varphi = 2\pi\rho^2\int_0^\varphi \sin \varphi d\varphi = 2\pi\rho^2 (-\cos \varphi)_0^\varphi = 2\pi\rho^2(1-\cos\varphi)<br />
</math><br />
<br />
Y de la ley de los cosenos para <math>r^2</math> sabemos que<br />
<br />
<math><br />
\cos \varphi = \dfrac{\rho^2+(\rho+r_0)^2-r_l^2}{2\rho(\rho+r_0)}<br />
</math><br />
<br />
además<br />
<br />
<math><br />
r_l = r_0 + \dfrac{l\lambda}{2} ; r_{l-1} = r_0 + \dfrac{(l-1)\lambda}{2}<br />
</math><br />
<br />
Utilizando estas expresiones en la encontrada para el área tenemos que:<br />
<br />
<math><br />
A = 2\pi\rho^2 - 2\pi\rho^2 \dfrac{\rho^2+(\rho+r_0)^2-r_l^2}{2\rho(\rho+r_0)} = 2\pi\rho^2 - \pi\rho \dfrac{\rho^2+\rho^2+r_0^2+2\rho r_0-r_l^2}{\rho+r_0} = 2\pi\rho^2 - \pi\rho \dfrac{\rho^2+\rho^2+r_0^2+2\rho r_0-(r_0^2+r_0 l \lambda + l^2 \lambda^2 / 4)}{\rho+r_0} <br />
</math><br />
<br />
Obteniendo finalmente la expresión para el área<br />
<br />
<math><br />
A = 2\pi\rho^2 - \pi\rho \dfrac{2\rho^2+2\rho r_0-r_0 l \lambda - l^2 \lambda^2 / 4}{\rho+r_0}<br />
</math><br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 00:12 20 nov 2018 (CST)<br />
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Optica: Capitulo10-problemas
2018-11-20T06:26:39Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: /* Ejercicio 10.70 */</p>
<hr />
<div>Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 10<br />
<br />
[[categoría:Optica]]<br />
[[categoría:Cursos]]<br />
<br />
----<br />
=== Ejercicio 10.70 ===<br />
Integre la expresión <math> dS = 2 \pi \rho^2 \sin \varphi d\varphi</math> sobre la zona l-ésima para obtener el área de esa zona, es decir:<br />
<br />
<math><br />
A_l = \dfrac{\lambda \pi \rho}{\rho + r_0} \left[r_0 + \dfrac{(2l-1)\lambda}{4}\right]<br />
</math><br />
<br />
:'''Solución:'''<br />
<br />
La integral se hace en el intervalo <math>\varphi \in [0,\varphi]</math>, entonces<br />
<br />
<math><br />
A = \int_0^\varphi 2\pi\rho^2 \sin \varphi d\varphi = 2\pi\rho^2\int_0^\varphi \sin \varphi d\varphi = 2\pi\rho^2 (-\cos \varphi)_0^\varphi = 2\pi\rho^2(1-\cos\varphi)<br />
</math><br />
<br />
Y de la ley de los cosenos para <math>r^2</math> sabemos que<br />
<br />
<math><br />
\cos \varphi = \dfrac{\rho^2+(\rho+r_0)^2-r_l^2}{2\rho(\rho+r_0)}<br />
</math><br />
<br />
además<br />
<br />
<math><br />
r_l = r_0 + \dfrac{l\lambda}{2} ; r_{l-1} = r_0 + \dfrac{(l-1)\lambda}{2}<br />
</math><br />
<br />
Utilizando estas expresiones en la encontrada para el área tenemos que:<br />
<br />
<math><br />
A = 2\pi\rho^2 - 2\pi\rho^2 \dfrac{\rho^2+(\rho+r_0)^2-r_l^2}{2\rho(\rho+r_0)} = 2\pi\rho^2 - \pi\rho \dfrac{\rho^2+\rho^2+r_0^2+2\rho r_0-r_l^2}{\rho+r_0} = 2\pi\rho^2 - \pi\rho \dfrac{\rho^2+\rho^2+r_0^2+2\rho r_0-(r_0^2+r_0 l \lambda l^2 \lambda^2 / 4)}{\rho+r_0} <br />
</math><br />
<br />
Obteniendo finalmente la expresión para el área<br />
<br />
<math><br />
A = 2\pi\rho^2 - \pi\rho \dfrac{2\rho^2+2\rho r_0-r_0 l \lambda l^2 \lambda^2 / 4}{\rho+r_0}<br />
</math><br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 00:12 20 nov 2018 (CST)<br />
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Ivan de Jesús Pompa García
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Optica: Capitulo10-problemas
2018-11-20T06:20:08Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: </p>
<hr />
<div>Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 10<br />
<br />
[[categoría:Optica]]<br />
[[categoría:Cursos]]<br />
<br />
----<br />
=== Ejercicio 10.70 ===<br />
Integre la expresión <math> dS = 2 \pi \rho^2 \sin \varphi d\varphi</math> sobre la zona l-ésima para obtener el área de esa zona, es decir:<br />
<br />
<math><br />
A_l = \dfrac{\lambda \pi \rho}{\rho + r_0} \left[r_0 + \dfrac{(2l-1)\lambda}{4}\right]<br />
</math><br />
<br />
:'''Solución:'''<br />
<br />
La integral se hace en el intervalo <math>\varphi \in [0,\varphi]</math>, entonces<br />
<br />
<math><br />
A = \int_0^\varphi 2\pi\rho^2 \sin \varphi d\varphi = 2\pi\rho^2\int_0^\varphi \sin \varphi d\varphi = 2\pi\rho^2 (-\cos \varphi)_0^\varphi = 2\pi\rho^2(1-\cos\varphi)<br />
</math><br />
<br />
Y de la ley de los cosenos para <math>r^2</math> sabemos que<br />
<br />
<math><br />
\cos \varphi = \dfrac{\rho^2+(\rho+r_0)^2-r_l^2}{2\rho(\rho+r_0)}<br />
</math><br />
<br />
además<br />
<br />
<math><br />
r_l = r_0 + \dfrac{l\lambda}{2} ; r_{l-1} = r_0 + \dfrac{(l-1)\lambda}{2}<br />
</math><br />
<br />
Utilizando estas expresiones en la encontrada para el área tenemos que:<br />
<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 00:12 20 nov 2018 (CST)<br />
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Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Optica:_Capitulo10-problemas&diff=22840
Optica: Capitulo10-problemas
2018-11-20T06:12:52Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: </p>
<hr />
<div>Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 10<br />
<br />
[[categoría:Optica]]<br />
[[categoría:Cursos]]<br />
<br />
----<br />
=== Ejercicio 10.70 ===<br />
Integre la expresión <math> dS = 2 \pi \rho^2 \sin \varphi d\varphi</math> sobre la zona l-ésima para obtener el área de esa zona, es decir:<br />
<br />
<math><br />
A_l = \dfrac{\lambda \pi \rho}{\rho + r_0} \left[r_0 + \dfrac{(2l-1)\lambda}{4}\right<br />
</math><br />
<br />
:'''Solución:'''<br />
<br />
La integral se hace en el intervalo <math>\varphi \in [0,\varphi]</math>, entonces<br />
<br />
<math><br />
A = \int_0^\varphi 2\pi\rho^2 \sin \varphi d\varphi = 2\pi\rho^2\int_0_\varphi \sin \varphi d\varphi = 2\pi\rho^2 (-\cos \varphi)\eval_0^\varphi = 2\pi\rho^2(1-\cos\varphi)<br />
</math><br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 00:12 20 nov 2018 (CST)<br />
----</div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Optica:_Capitulo9-problemas&diff=22828
Optica: Capitulo9-problemas
2018-11-18T16:53:28Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: /* Ejercicio 9.53 */</p>
<hr />
<div>Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 9<br />
<br />
[[categoría:Optica]]<br />
[[categoría:Cursos]]<br />
<br />
----<br />
<br />
=== Ejercicio 9.1 ===<br />
<br />
''''' Regresando a la sección 9.1, sean <math> \tilde{E}_{1}(\vec{r},t)=E_{1}(\vec{r})e^{-i\omega t} </math> & <math> \tilde{E}_{2}(\vec{r},t)=E_{2}(\vec{r})e^{-i\omega t} </math> donde las formas de los frentes de onda no está especificada explítamente especificadas, y <math> E_{1}</math> & <math> E_{2}</math> son vectores complejos cuya dependencia es espacial y por sus fases respectivas iniciales. Muestre que el término de interferencia está dado por:<br />
<br />
:<math> I_{12}=\frac{1}{2}(E_{1}\cdot\bar{E}_{2} + \bar{E}_{1}\cdot E_{2}) </math>..... (9.109)<br />
<br />
Muestra que la ecuación 9.109 lleva a la ecuación 9.11 para ondas planas<br />
<br />
'''''<br />
: ''' Solución '''<br />
<br />
Sea que un campo <math>\tilde{E}</math> es la superposición de los campos <math>\tilde{E}_{1}(\vec{r},t)</math> & <math>\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)</math>, esto es:<br />
<br />
:<math> \tilde{E}(\vec{r},t) = \tilde{E}_{1}(\vec{r},t) + \tilde{E}_{2}(\vec{r},t) </math><br />
<br />
Entonces:<br />
<br />
<math> |\tilde{E}(\vec{r},t)|^{2}=|\tilde{E}_{1}(\vec{r},t)|^{2} + |\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)|^{2} + 2\tilde{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\tilde{E}_{2}(\vec{r},t) </math><br />
<br />
Tomemos el operador lineal ''promedio temporal'' sobre el intervalo T en ambos lados de la ecuación anterior:<br />
<br />
<math> \langle |\tilde{E}(\vec{r},t)|^{2} \rangle _{T} = \langle |\tilde{E}_{1}(\vec{r},t)|^{2}\rangle _{T} + \langle |\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)|^{2}\rangle _{T} + 2\langle \tilde{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)\rangle _{T} </math><br />
<br />
donde <math> <br />
<br />
\langle |\tilde{E}(\vec{r},t)|^{2} \rangle _{T} = I,<br />
<br />
\langle |\tilde{E}_{1}(\vec{r},t)|^{2}\rangle _{T} = I_{1},<br />
<br />
\langle |\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)|^{2}\rangle _{T} = I_{2}, <br />
<br />
2\langle \tilde{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)\rangle _{T} = I_{12} <br />
<br />
</math> siempre que seamos negligentes con las constantes, pues, se sabe que <math> I=\epsilon v\langle |\vec{E}|^{2}\rangle _T </math>.<br />
<br />
Nos interesa el término <math> 2\langle \tilde{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)\rangle _{T} = I_{12} </math><br />
<br />
Sin embargo, la física se encuentra en la parte real de los campos <math> \tilde{E}_{1}(\vec{r},t) </math> & <math> \tilde{E}_{2}(\vec{r},t) </math>, es decir:<br />
<br />
<math> \tilde{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\tilde{E}_{2}(\vec{r},t) = Re[\tilde{E}_{1}(\vec{r},t)]\cdot Re[\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)] </math>.<br />
<br />
Pero sabemos que la parte real de un número complejo <math> z </math> se puede escribir como <math> Re[z]= \frac{1}{2}(z + \bar{z}) </math>. Así:<br />
<br />
<math> \tilde{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\tilde{E}_{2}(\vec{r},t) = \frac{1}{2}(E_{1}e^{-i\omega t} + \bar{E}_{1}e^{i\omega t})\cdot\frac{1}{2}(E_{2}e^{-i\omega t} + \bar{E}_{2}e^{i\omega t}) = \frac{1}{4}[E_{1}\cdot E_{2}e^{-2i\omega t} + \bar{E}_{1}\cdot\bar{E}_{2}e^{i2\omega t} + E_{1}\cdot\bar{E}_{2} + \bar{E}_{1}\cdot E_{2}] </math>. Por lo que:<br />
<br />
<math> \langle\tilde{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)\rangle_{T} =\frac{1}{4}\langle E_{1}\cdot E_{2}e^{-2i\omega t}\rangle_{T} + \frac{1}{4}\langle\bar{E}_{1}\cdot\bar{E}_{2}e^{2i\omega t}\rangle_{T} + \frac{1}{4}\langle E_{1}\cdot\bar{E}_{2} + \bar{E}_{1}\cdot E_{2}\rangle_{T} </math>.<br />
<br />
Pero <math>\langle E_{1}\cdot E_{2}e^{-2i\omega t}\rangle_{T}= (E_{1}(\vec{r})\cdot E_{2}(\vec{r})\frac{1}{T}\int_{t}^{t+T}e^{-2i\omega t'}dt' = </math><br />
<br />
:<math>=(E_{1}(\vec{r})\cdot E_{2}(\vec{r})\frac{1}{T}\{\int_{t}^{t+T}[\cos(2\omega t')-i\sin(2\omega t')]dt'\}=</math> <br />
<br />
:<math>=(E_{1}(\vec{r})\cdot E_{2}(\vec{r})\frac{1}{T}\{\int_{t}^{t+T}[(\cos^{2}(\omega t')-\sin^{2}(\omega t'))-i2\sin(\omega t')\cos(\omega t')]dt'\}=</math><br />
<br />
:<math>=(E_{1}(\vec{r})\cdot E_{2}(\vec{r}\{\frac{1}{T}\int_{t}^{t+T}(\cos^{2}(\omega t')dt'-\frac{1}{T}\int_{t}^{t+T}\sin^{2}(\omega t')dt'-i2\frac{1}{T}\int_{t}^{t+T}\sin(\omega t')\cos(\omega t')dt'\}=</math><br />
<br />
:<math>=(E_{1}(\vec{r})\cdot E_{2}(\vec{r}\{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-i2\cdot 0\}=0 </math> siempre que <math> \tau = 2\frac{\omega}{T}</math> ó <math>T>>\tau </math> que son los rangos que estamos considerando a la hora de evaluar los valores promedio de las cantidades anteriores.<br />
<br />
Lo mismo sucede con la cantidad <math> \frac{1}{4}\langle\bar{E}_{1}\cdot\bar{E}_{2}e^{2i\omega t}\rangle_{T} </math>. Por lo que obtenemos:<br />
<br />
<math> I_{12}=2\langle\tilde{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)\rangle_{T}=\frac{1}{2}\langle E_{1}\cdot\bar{E}_{2} + \bar{E}_{1}\cdot E_{2}\rangle_{T} </math>.<br />
<br />
Por fin, es inmediato ver que, para ondas planas:<br />
<br />
:<math> E_{1}(\vec{r})=\vec{E}_{01}(\vec{r})e^{i\gamma} </math> <math> \Rightarrow </math> <math> \bar{E}_{1}(\vec{r})=\vec{E}_{01}(\vec{r})e^{-i\gamma}</math><br />
<br />
:<math> E_{2}(\vec{r})=\vec{E}_{02}(\vec{r})e^{i\epsilon} </math> <math> \Rightarrow </math> <math>\bar{E}_{2}(\vec{r})=\vec{E}_{02}(\vec{r})e^{-i\epsilon} </math><br />
<br />
Por lo que: <math> I_{12}=\frac{1}{2}[\vec{E}_{01}(\vec{r})\cdot\vec{E}_{02}(\vec{r})e^{i(\gamma -\epsilon)} + \vec{E}_{01}(\vec{r})\cdot\vec{E}_{02}(\vec{r})e^{i(\epsilon -\gamma)}]</math>. Hagamos <math> \delta = \gamma -\epsilon</math>, obteniendo así:<br />
<br />
<math> I_{12}=\frac{1}{2}\vec{E}_{01}(\vec{r})\cdot\vec{E}_{02}(\vec{r})(2\cos(\gamma -\epsilon)) </math><br />
<br />
que es precisamente la ecuación 9.11.<br />
<br />
<br />
[[Usuario:diegophy17|Diego de la Cruz López]]<br />
<br />
---- <br />
----<br />
<br />
=== Problema 9.46 ===<br />
<br />
:A partir de la observación fotográfica de los anillos de Newton observamos que las franjas con valores elevados de ''m'' parecen separadas por distancias casi iguales. Para comprobarlo de forma analítica, demuestre que:<br />
<br />
<math>\frac{x_{m+1}-x_m}{x_{m+2}-x_{m+1}}≈1+\frac{1}{2m}</math><br />
<br />
:Puede determinarse en el laboratorio (a ravés de las franjas oscuras adyacentes) con independencia de \Delta d<br />
<br />
'''Solución:'''<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Onáfeder|Fernando Valencia Hernández]]<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
=== Problema 9.21 ===<br />
<br />
Examinar las condiciones bajo la cual las aproximaciones de Ec.(9.23) son validas :<br />
<br />
(a) Aplica la ley de los cosenos al triangulo <math>{ S }_{ 1 }{ S }_{ 2 }P\quad </math> en la Fig. 9.11c para obtener:<br />
<br />
<math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { \quad r }_{ 1 }\quad } ={ \left[ 1-2\left( \frac { a }{ { r }_{ 1 } } \right) sen\theta \quad +{ \left( \frac { a }{ { r }_{ 1 } } \right) }^{ 2 } \right] }^{ 1/2 }</math><br />
<br />
(b)Expande esto en una serie de Maclaurin produciendo así:<br />
<br />
<math>{ r }_{ 2 }=r_{ 1 }-\quad asen\theta +\frac { { a }^{ 2 } }{ { 2r }_{ 1 } } { cos }^{ 2 }\theta +.....</math><br />
<br />
(c) Debido a la luz en la Ec. (9.17) demuestre que si <math>({ r }_{ 1 }-r_{ 2 })</math> es igual en a <math>asen\theta </math>es requerido que <math>{ r }_{ 1 }>>{ a }^{ 2 }/\lambda </math><br />
<br />
----<br />
<br />
'''Solución:'''<br />
<br />
<br />
La formula para la ley del coseno es:<br />
<br />
<br />
<math>{ c }^{ 2 }={ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+2abcos\theta </math><br />
<br />
<math>{ c }=\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+2abcos\theta } </math><br />
<br />
Aquí, <math>c</math> es la hipotenusa del triangulo y <math>a,b</math> son los lados opuestos y adyacentes del triangulo y <math>\theta </math> es el angulo entre el lado adyacente y opuesto del triangulo <br />
<br />
<br />
(a)<br />
En la figura dada, la hipotenusa del triangulo <math>{ S }_{ 1 }{ S }_{ 2 }P\quad </math> es <math>{ r }_{ 2 }</math> la longitud del lado adyacente del triangulo es <math>a</math>, y la longitud del lado opuesto del triangulo es<math>{ r }_{ 1 }</math>.<br />
<br />
En la figura dada, el angulo entre el lado adyacente y opuesto del triangulo <math>{ S }_{ 1 }{ S }_{ 2 }P\quad </math> es,<br />
<br />
<math>\theta =90+\theta </math> <br />
<br />
De la ley del coseno:<br />
<br />
<math>{ r }_{ 2 }^{ 2 }={ r }_{ 1 }^{ 2 }+{ a }^{ 2 }+{ 2ar }_{ 1 }cos(90+\theta )</math><br />
<br />
De lo anterior podemos ver que : <math>cos(90+\theta )=-sen\theta </math><br />
<br />
sustituyéndolo en la ecuación anterior y factorizando <math>{ r }_{ 1 }^{ 2 }</math> tenemos :<br />
<br />
<math>{ r }_{ 2 }^{ 2 }={ r }_{ 1 }^{ 2 }\left[ 1+{ \left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) }^{ 2 }-2\left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) sen\theta \right] </math><br />
<br />
<br />
Ahora despejenado tenemos:<br />
<br />
<br />
<math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { r }_{ 1 } } ={ \left[ 1+{ \left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) }^{ 2 }-2\left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) sen\theta \right] }^{ 1/2 }</math><br />
<br />
Por lo tanto, el valor de <math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { r }_{ 1 } }</math> es <math>{ \left[ 1+{ \left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) }^{ 2 }-2\left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) sen\theta \right] }^{ 1/2 }</math><br />
<br />
(b) <br />
<br />
De la serie de Taylor podemos obtener la serie de Mauclaurin. Una expansión de una función sobre 0 es:<br />
<br />
<math>f(x)=f(0)+f´(0)+\frac { f´´(0) }{ 2! } { x }^{ 2 }+...+\frac { { f }^{ (n) }(0) }{ n! } { x }^{ n }</math><br />
<br />
Aplicando la serie de Maclaurin a <math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { r }_{ 1 } }={ \left[ 1-2\left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) sen\theta +{ \left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) }^{ 2 } \right] }^{ 1/2 }</math><br />
<br />
<math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { r }_{ 1 } }={ \left[ 1-2\left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) sen\theta +{ \left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) }^{ 2 } \right] }^{ 1/2 }</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { r }_{ 1 } }= 1- (\frac{a}{r_{1}})sen\theta +\frac { { a }^{2} }{ { r }_{ 1 }^{2} } \frac{(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}\theta }(sen\theta))^{2}}{2!} +...</math><br />
<br />
<math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { r }_{ 1 } }= 1- (\frac{a}{r_{1}})sen\theta +\frac { { a }^{2} }{ { r }_{ 1 }^{2} } \frac{cos^{2}\theta }{2!} +...</math><br />
<br />
<math> { r }_{ 2 } = { r }_{ 1 }- asen\theta +\frac { { a }^{2} }{ 2{ r }_{ 1 } } cos^{2}\theta +...</math><br />
<br />
Por lo tanto el valor de <math>{ r }_{ 2 }</math> es <math>{ r }_{ 1 }- asen\theta +\frac { { a }^{2} }{ 2{ r }_{ 1 } } cos^{2}\theta +...</math><br />
<br />
(c)<br />
<br />
La contribución <math>cos\frac{\delta }{2}</math> <br />
<br />
A partir del tercer termino en la expansión de Maclaurin será despreciable si, <br />
<br />
<math>\frac{k}{2}\left ( \frac{a^{2}}{2r_{1}}cos^{2 } \theta\right )<<\frac{\pi }{2}</math><br />
<br />
Por lo tanto podemos ver que <br />
<br />
<math>r_{1}>>\frac{a^{2}}{\lambda }</math><br />
<br />
--[[Usuario:Ruben Espinosa|Ruben Espinosa Guzman]]<br />
<br />
----<br />
<br />
=== Problema 9.48 ===<br />
<br />
<br />
<br />
'''''Uno de los espejos de un Interferómetro de Michelson se mueve, y 1000 pares de franjas se desplazan más allá de la raya de un telescopio de observación durante el proceso. Si el dispositivo está iluminado con una señal de 500 nm, ¿qué distancia se movió el espejo?'''''<br />
: ''' Solución '''<br />
<br />
Tenemos los siguientes datos:<br />
<br />
Longitud de onda de la luz <math>{ \lambda }_{ 0 }=500nm=500x{ 10 }^{ -9 }m</math><br />
<br />
Numero de franjas desplazadas <math>N=1000</math><br />
<br />
En el interferometro de Michelson se tiene que:<br />
<br />
<math>\Delta d=\frac { N{ \lambda }_{ 0 } }{ 2 } </math><br />
<br />
Donde <math>\Delta d</math>, es el desplazamiento de un espejo de un interferometro de Michelson:<br />
<br />
<math>\therefore \quad \Delta d=\frac { (500x{ 10 }^{ -9 }m)(1000) }{ 2 } </math><br />
<br />
<math>\Delta d={ 10 }^{ 3 }(250x{ 10 }^{ -9 }m)</math><br />
<br />
<math>\Delta d=25{ x10 }^{ -5 }m</math><br />
<br />
<math>\Delta d=0.25{ x10 }^{ -3 }m</math><br />
<br />
<math>\Delta d=0.25mm</math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Gutierrez|Luis Gutiérrez Melgarejo]]<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
=== Ejercicio 9.44 ===<br />
<br />
----<br />
<br />
'''''Se observan anillos de Newton en una película con cuasimonocromaticos que tiene una longitud de onda de 550 nm. Si el vigésimo anillo brillante tiene un radio de 1 cm, ¿cual es el radio de curvatura de la lente que forma parte del sistema interferente?'''''<br />
<br />
<br />
: ''' Solución '''<br />
<br />
<br />
La longitud de onda de la luz casi monocromatica <math>\lambda _{0}=550nm=550\times 10^{-9}m</math><br />
<br />
<br />
Radio de 20 anillo brillante <math>x_{20}=1cm=1\times 10^{-2}m</math><br />
<br />
<br />
Radio del <math>m^{th}</math> anillo brillante <math>x_{m}=\left [ \left ( m+\frac{1}{2} \right )\lambda _{f}R \right ]^{\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
<math>x_{m}=\left [ \left ( m+\frac{1}{2} \right )\left (\frac{\lambda _{0}}{n_{f}} \right )R \right ]^{\frac{1}{2}}</math> ....(1)<br />
<br />
<br />
Donde:<br />
<br />
<br />
R=Radio de curvatura de la lente convexa<br />
<br />
<br />
<math>n_{f}</math> = Indice de refracción del medio entre superficie plana óptica y lente convexa. Aquí el medio es el aire <math>n_{f}=1</math><br />
<br />
<br />
Desde:<br />
<br />
<br />
<math>x_{m}=\left [ \left ( m+\frac{1}{2} \right ) \lambda _{0}R \right ]^{\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
<math>x_{m}^{2}=\left [ \left ( m+\frac{1}{2} \right ) \lambda _{0}R \right ]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>R=\frac{x_{m}^{2}}{\left ( m+\frac{1}{2} \right )\lambda _{0}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>R=\frac{x_{20}^{2}}{\left ( 20+\frac{1}{2} \right )\lambda _{0}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>R=\frac{(10^{-2})^{2}}{\left ( \frac{41}{2} \right )(550\times 10^{-9})}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>R=\frac{(10^{4})}{\left ( 20.5 \right )(550\times 10^{-9})}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>R=\frac{10^{4}}{1.1275\times 10^{-5}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>R=8.869m</math><br />
<br />
<br />
<br />
El radio de curvatura de la lente es <math>R=8.869m</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario: Enrique Ortiz Martinez|Enrique Ortiz Martinez]]<br />
<br />
----<br />
=== Problema 9.26 ===<br />
En el espejo doble de Fresnel s = 2 m, <math>{ \lambda }_{ 0 }</math> = 589 nm, y se encontró que la separación de las franjas era de 0.5 mm. ¿Cuál es el ángulo de inclinación de los espejos, si la distancia perpendicular de la fuente puntual real a la intersección de los dos espejos es 1 m?<br />
----<br />
<br />
'''Solución:'''<br />
La separación de las franjas de fresnel esta dada:<br />
<br />
<math>\Delta y=\frac { s }{ a } \lambda </math> .......(1)<br />
<br />
Aquí, <math>s</math> es la separación entre las fuentes de imagen y la pantalla <math>a</math> es la separación entre dos fuentes de imagen. <br />
<br />
El angulo a dos fuentes de imagen desde el punto de intersección de los espejos es 2<math>\alpha </math>, cuando los espejos forman un ángulo <math>\alpha </math>, Así que:<br />
<br />
<math>sin\alpha =\frac { a }{ 2R } </math> .........(2)<br />
<br />
Sustituyendo (2) en (1):<br />
<br />
<math>sin\alpha =\frac { 1 }{ 2R } \left( \frac { s }{ \Delta y } \lambda \right) </math> ....(3)<br />
<br />
La longitud de onda y la separación de las franjas de la luz es en metros:<br />
<math>{ \lambda }_{ 0 }=589{ x10 }^{ -9 }m</math><br />
<br />
<math>\Delta y=0.5{ x10 }^{ -3 }m</math><br />
<br />
Sustituyendo las anteriores expresiones y <math>s</math> = 2m y <math>R</math>= 1m, en (3):<br />
<br />
<math>sin\alpha =\frac { 1 }{ 2(1m) } \left( \frac { 2m }{ 0.5{ x10 }^{ -3 }m } (589{ x10 }^{ -9 }m) \right) </math><br />
<br />
<math>sin\alpha =0.001178</math><br />
<br />
<math>\alpha ={ sin }^{ -1 }0.001178</math><br />
<br />
<math>\alpha ={ 0.067°\quad \quad }</math><br />
<br />
Por lo tanto el ángulo de inclinación de dos espejos es:<br />
<br />
<math>\alpha ={ 0.067°\quad \quad }</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Chávez|Luis Manuel Chávez Antonio]]<br />
<br />
----<br />
<br />
===Problema 9.24===<br />
----<br />
'''Imagínese que tenemos una antena a la orilla de un lago recogiendo una señal de una radio estrella lejana que esta apareciendo horizontalmente en ese momento. Escriba las expresiones para \deltay para la posición angular de la e strella cuando la antena detecta su primer máximo. '''<br />
<br />
<br />
: '''''Solución''''':<br />
Estamos hablando de un interferometro de division del frente de onda llamado espejo de Lloyd, ya que el lago es una superficie reflectora. <br />
<br />
Entonces:<br />
<br />
Sabemos que para este interferometro $ \delta = k(r_1 - r_2) \pm \pi$<br />
<br />
Realizando los calculos se obtiene<br />
<br />
:$r_1 = a/2 sin \alpha $<br />
<br />
:$r_2 = sin(90$$°$$ -2 \alpha) a/2 sin\alpha$<br />
<br />
Por lo tanto <br />
<br />
:$ \delta=(a/2 sen\alpha-[sen(90° -2 \alpha)]a/1sen\alpha +\pi) \\ \\<br />
\delta = ka(1+cos2\alpha)/2sen\alpha + \pi $<br />
<br />
Los maximos ocurren cuando $\delta = 2\pi $ entonces <br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Flor|Flor Ivon Vivar]]<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
=== Ejercicio 9.55 ===<br />
<br />
Para satisfacer algunos detalles de la deducción del incremento de fase más pequeño separado por dos franjas de Frabry-Perot resolubles , es decir:<br />
<br />
:::: $( \Delta \delta) \approx \frac{4.2}{\sqrt{F} }$<br />
<br />
teniendo en cuenta que :<br />
<br />
:::: $[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_a \pm \frac{\Delta \delta}{2}} = [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta = \frac{\Delta \delta}{2}}$<br />
<br />
a)Demuestre que la ecuación :<br />
<br />
:::: $\left(\frac{8}{\pi^2} \right) \frac{I_{t m \acute{a} x}}{I_{a m \acute{a}x }} = [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_a \pm \frac{\Delta \delta}{2}} + [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_b \pm \frac{\Delta \delta}{2}} $<br />
<br />
Puede reescribirse de nuevo como :<br />
<br />
:::: $2[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta = \frac{\Delta \delta}{2}} = 0.81 \left(1+ [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta = \Delta \delta} \right)$<br />
<br />
<br />
b)Cuando $F$ es grande y $\gamma$ pequeña, y $ \sin \left( \Delta \delta \right) = \Delta \delta $ . Demuestre que entonces se obtiene :<br />
<br />
:::: $( \Delta \delta) \approx \frac{4.2}{\sqrt{F} }$<br />
<br />
<br />
: ''' Solución :'''<br />
<br />
Para el inciso a) comenzamos tomando la ecuación :<br />
<br />
$[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_a \pm \frac{\Delta \delta}{2}} + [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_b \pm \frac{\Delta \delta}{2}}$ <br />
<br />
Si sustituimos el valor de $\delta$ en cada una obtenemos:<br />
<br />
<br />
$[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_a \pm \frac{\Delta \delta}{2}} + [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_b \pm \frac{\Delta \delta}{2}} = \frac{1}{1+F \sin^2 ( \frac{\delta_a}{2} + \frac{\Delta \delta}{4} )} + \frac{1}{1+F \sin^2 ( \frac{\delta_b}{2} + \frac{\Delta \delta}{4} )}$<br />
<br />
Antes de sumarlas notamos que el resultado se simplifica si tomamos en cuenta que :<br />
<br />
$[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_a \pm \frac{\Delta \delta}{2}} = [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta = \frac{\Delta \delta}{2}}$<br />
<br />
Ahora sin las contribuciones de $ \frac{\delta_a}{2}$ y $ \frac{\delta_b}{2}$:<br />
<br />
<br />
$[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_a \pm \frac{\Delta \delta}{2}} + [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_b \pm \frac{\Delta \delta}{2}} = \frac{2}{1+F \sin^2 ( \frac{\Delta}{4})} = 2 [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\frac{\Delta \delta}{2}}$ <br />
<br />
Por lo tanto :<br />
<br />
$\left(\frac{8}{\pi^2} \right) \frac{I_{t m \acute{a} x}}{I_{a m \acute{a}x }} = \frac{2}{1+F \sin^2 ( \frac{\Delta \delta}{4})} = 2 [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\frac{\Delta \delta}{2}}$ <br />
<br />
<br />
Y a su vez $\left(\frac{8}{\pi^2} \right) \frac{I_{t m \acute{a} x}}{I_{a m \acute{a}x }} $ se puede reescribir como:<br />
<br />
<br />
$\left(\frac{8}{\pi^2} \right) \frac{I_{t m \acute{a} x}}{I_{a m \acute{a}x }}= \left(\frac{8}{\pi^2} \right) \frac{I_{t m \acute{a}x } + I'}{ I _{a m \acute{a}x }}$ $= \left(\frac{8}{\pi^2} \right) \left( 1 +\frac{ I'}{ I _{a m \acute{a}x }} \right)$<br />
<br />
<br />
En este caso $\frac{ I' }{ I _{a m \acute{a}x }} = [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta = \Delta \delta}$ y sustituyendo eso y el valor numérico de $\frac{8}{\pi^2}$ obtenemos:<br />
<br />
$2 [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\frac{\Delta \delta}{2}}= 0.81 \left(1+[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta = \Delta \delta} \right) $<br />
<br />
Para el inciso b) :<br />
<br />
Necesitamos la expresión explicita de $2 [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta}$ :<br />
<br />
$2 [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta} = \frac{2}{1+F \sin^2( \frac{\Delta \delta}{2})}$<br />
<br />
Si aproximamos $\sin \frac{\Delta \delta}{2} \approx =\frac{\Delta \delta}{2} $ entonces:<br />
<br />
$\frac{2}{1+F( \frac{\Delta \delta}{2})^2 } = 0.81 \left(1+ \frac{1}{1+F( \frac{\Delta \delta}{2})^2 } \right) $<br />
<br />
<br />
$\frac{2}{1+F( \frac{\Delta \delta}{2})^2 } = 0.81 \left(\frac{1+ 1+F( \frac{\Delta \delta}{2})^2}{1+F( \frac{\Delta \delta}{2})^2 } \right)$<br />
<br />
<br />
<br />
$F^2 (\Delta \delta)^4-15.5 F (\Delta \delta)^2 -30=0 $<br />
<br />
<br />
<br />
Resolvemos para $(\frac{\Delta \delta}{2})$ y nos quedamos con la solución positiva y real <br />
<br />
$(\frac{\Delta \delta}{2}) = 4.1521 \sqrt{\frac{1}{F}}$<br />
<br />
<br />
$(\frac{\Delta \delta}{2}) \approx \frac{4.2}{\sqrt{F}}$<br />
<br />
[[Usuario:Aurea Espin|Aurea Espin]] ([[Usuario discusión:Aurea Espin|discusión]]) 21:38 17 nov 2018 (CST)<br />
<br />
----<br />
=== Ejercicio 9.53 ===<br />
Comenzando con la ecuación (9.53) para una onda transmitida, calcule la densidad de flujo, es decir, obtenga la ecuación (9.54).<br />
<br />
: '''Solución:'''<br />
La ecuación (9.53) es:<br />
<math><br />
\tilde{E}_t = E_0 e^{i \omega t} \left[\dfrac{t t'}{1-r^2 e^{-i \delta}}\right]<br />
</math><br />
<br />
donde <math>E_0</math> es la amplitud de la onda, <math>tt' = 1-r^2</math> y <math>\delta=k_0 \Lambda = k_0 m \lambda</math> es una contribución a la fase que proviene de la diferencia de caminos ópticos entre los haces incidentes.<br />
<br />
Para obtener la intensidad de flujo transmitido debemos multiplicar <math>\tilde{E}_t</math> por su conjungado que es<br />
<br />
<math><br />
\tilde{E}^*_t = E_0 e^{-i \omega t} \left[\dfrac{t t'}{1-r^2 e^{i \delta}}\right]<br />
</math><br />
<br />
y por ello<br />
<br />
<math><br />
I_t = E_0 E_0 e^{i \omega t} e^{-i \omega t} \left[\dfrac{t t'}{1-r^2 e^{-i \delta}}\right] \left[\dfrac{t t'}{1-r^2 e^{i \delta}}\right] = E_0^2 \left[\dfrac{(t t')^2}{\left(1-r^2 e^{-i \delta}\right)\left(1-r^2 e^{i \delta}\right)}\right] = E_0^2 \left[\dfrac{(t t')^2}{1-r^2 e^{i \delta} - r^2 e^{-i \delta} + r^4}\right] = E_0^2 \left[\dfrac{(t t')^2}{(1+r^4) - r^2 \left(e^{i \delta} + e^{-i \delta}\right)}\right]<br />
</math><br />
<br />
En el denominador podemos reducir la suma de términos exponenciales utilizando la identidad<br />
<br />
<math><br />
\cos x = \dfrac{e^{ix} + e^{-ix} }{2} \Rightarrow 2 \cos x = e^{ix} + e^{-ix}<br />
</math><br />
<br />
la cual nos lleva a<br />
<br />
<math><br />
I_t = E_0^2 \left[\dfrac{(t t')^2}{(1+r^4) - 2 r^2 \cos \delta}\right]<br />
</math><br />
<br />
Y sabiendo que<br />
<br />
<math><br />
I_i = \dfrac{E_0^2}{2}<br />
</math><br />
<br />
obtenemos finalmente<br />
<br />
<math><br />
I_t = 2I_i \left[\dfrac{(t t')^2}{(1+r^4) - 2r^2 \cos \delta}\right]<br />
</math><br />
<br />
'''Nota:''' En la 3a edición del libro el resultado se queda hasta antes de utilizar la identidad para el coseno. En la 5a edición se llega a<br />
<br />
<math><br />
I_t = I_i \left[\dfrac{(t t')^2}{(1+r^4) - 2r^2 \cos \delta}\right]<br />
</math><br />
<br />
que difiere en un factor de 2 con el resultado aquí obtenido<br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 10:53 18 nov 2018 (CST)<br />
----</div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Optica:_Capitulo9-problemas&diff=22827
Optica: Capitulo9-problemas
2018-11-18T15:27:05Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: </p>
<hr />
<div>Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 9<br />
<br />
[[categoría:Optica]]<br />
[[categoría:Cursos]]<br />
<br />
----<br />
<br />
=== Ejercicio 9.1 ===<br />
<br />
''''' Regresando a la sección 9.1, sean <math> \tilde{E}_{1}(\vec{r},t)=E_{1}(\vec{r})e^{-i\omega t} </math> & <math> \tilde{E}_{2}(\vec{r},t)=E_{2}(\vec{r})e^{-i\omega t} </math> donde las formas de los frentes de onda no está especificada explítamente especificadas, y <math> E_{1}</math> & <math> E_{2}</math> son vectores complejos cuya dependencia es espacial y por sus fases respectivas iniciales. Muestre que el término de interferencia está dado por:<br />
<br />
:<math> I_{12}=\frac{1}{2}(E_{1}\cdot\bar{E}_{2} + \bar{E}_{1}\cdot E_{2}) </math>..... (9.109)<br />
<br />
Muestra que la ecuación 9.109 lleva a la ecuación 9.11 para ondas planas<br />
<br />
'''''<br />
: ''' Solución '''<br />
<br />
Sea que un campo <math>\tilde{E}</math> es la superposición de los campos <math>\tilde{E}_{1}(\vec{r},t)</math> & <math>\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)</math>, esto es:<br />
<br />
:<math> \tilde{E}(\vec{r},t) = \tilde{E}_{1}(\vec{r},t) + \tilde{E}_{2}(\vec{r},t) </math><br />
<br />
Entonces:<br />
<br />
<math> |\tilde{E}(\vec{r},t)|^{2}=|\tilde{E}_{1}(\vec{r},t)|^{2} + |\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)|^{2} + 2\tilde{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\tilde{E}_{2}(\vec{r},t) </math><br />
<br />
Tomemos el operador lineal ''promedio temporal'' sobre el intervalo T en ambos lados de la ecuación anterior:<br />
<br />
<math> \langle |\tilde{E}(\vec{r},t)|^{2} \rangle _{T} = \langle |\tilde{E}_{1}(\vec{r},t)|^{2}\rangle _{T} + \langle |\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)|^{2}\rangle _{T} + 2\langle \tilde{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)\rangle _{T} </math><br />
<br />
donde <math> <br />
<br />
\langle |\tilde{E}(\vec{r},t)|^{2} \rangle _{T} = I,<br />
<br />
\langle |\tilde{E}_{1}(\vec{r},t)|^{2}\rangle _{T} = I_{1},<br />
<br />
\langle |\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)|^{2}\rangle _{T} = I_{2}, <br />
<br />
2\langle \tilde{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)\rangle _{T} = I_{12} <br />
<br />
</math> siempre que seamos negligentes con las constantes, pues, se sabe que <math> I=\epsilon v\langle |\vec{E}|^{2}\rangle _T </math>.<br />
<br />
Nos interesa el término <math> 2\langle \tilde{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)\rangle _{T} = I_{12} </math><br />
<br />
Sin embargo, la física se encuentra en la parte real de los campos <math> \tilde{E}_{1}(\vec{r},t) </math> & <math> \tilde{E}_{2}(\vec{r},t) </math>, es decir:<br />
<br />
<math> \tilde{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\tilde{E}_{2}(\vec{r},t) = Re[\tilde{E}_{1}(\vec{r},t)]\cdot Re[\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)] </math>.<br />
<br />
Pero sabemos que la parte real de un número complejo <math> z </math> se puede escribir como <math> Re[z]= \frac{1}{2}(z + \bar{z}) </math>. Así:<br />
<br />
<math> \tilde{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\tilde{E}_{2}(\vec{r},t) = \frac{1}{2}(E_{1}e^{-i\omega t} + \bar{E}_{1}e^{i\omega t})\cdot\frac{1}{2}(E_{2}e^{-i\omega t} + \bar{E}_{2}e^{i\omega t}) = \frac{1}{4}[E_{1}\cdot E_{2}e^{-2i\omega t} + \bar{E}_{1}\cdot\bar{E}_{2}e^{i2\omega t} + E_{1}\cdot\bar{E}_{2} + \bar{E}_{1}\cdot E_{2}] </math>. Por lo que:<br />
<br />
<math> \langle\tilde{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)\rangle_{T} =\frac{1}{4}\langle E_{1}\cdot E_{2}e^{-2i\omega t}\rangle_{T} + \frac{1}{4}\langle\bar{E}_{1}\cdot\bar{E}_{2}e^{2i\omega t}\rangle_{T} + \frac{1}{4}\langle E_{1}\cdot\bar{E}_{2} + \bar{E}_{1}\cdot E_{2}\rangle_{T} </math>.<br />
<br />
Pero <math>\langle E_{1}\cdot E_{2}e^{-2i\omega t}\rangle_{T}= (E_{1}(\vec{r})\cdot E_{2}(\vec{r})\frac{1}{T}\int_{t}^{t+T}e^{-2i\omega t'}dt' = </math><br />
<br />
:<math>=(E_{1}(\vec{r})\cdot E_{2}(\vec{r})\frac{1}{T}\{\int_{t}^{t+T}[\cos(2\omega t')-i\sin(2\omega t')]dt'\}=</math> <br />
<br />
:<math>=(E_{1}(\vec{r})\cdot E_{2}(\vec{r})\frac{1}{T}\{\int_{t}^{t+T}[(\cos^{2}(\omega t')-\sin^{2}(\omega t'))-i2\sin(\omega t')\cos(\omega t')]dt'\}=</math><br />
<br />
:<math>=(E_{1}(\vec{r})\cdot E_{2}(\vec{r}\{\frac{1}{T}\int_{t}^{t+T}(\cos^{2}(\omega t')dt'-\frac{1}{T}\int_{t}^{t+T}\sin^{2}(\omega t')dt'-i2\frac{1}{T}\int_{t}^{t+T}\sin(\omega t')\cos(\omega t')dt'\}=</math><br />
<br />
:<math>=(E_{1}(\vec{r})\cdot E_{2}(\vec{r}\{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-i2\cdot 0\}=0 </math> siempre que <math> \tau = 2\frac{\omega}{T}</math> ó <math>T>>\tau </math> que son los rangos que estamos considerando a la hora de evaluar los valores promedio de las cantidades anteriores.<br />
<br />
Lo mismo sucede con la cantidad <math> \frac{1}{4}\langle\bar{E}_{1}\cdot\bar{E}_{2}e^{2i\omega t}\rangle_{T} </math>. Por lo que obtenemos:<br />
<br />
<math> I_{12}=2\langle\tilde{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)\rangle_{T}=\frac{1}{2}\langle E_{1}\cdot\bar{E}_{2} + \bar{E}_{1}\cdot E_{2}\rangle_{T} </math>.<br />
<br />
Por fin, es inmediato ver que, para ondas planas:<br />
<br />
:<math> E_{1}(\vec{r})=\vec{E}_{01}(\vec{r})e^{i\gamma} </math> <math> \Rightarrow </math> <math> \bar{E}_{1}(\vec{r})=\vec{E}_{01}(\vec{r})e^{-i\gamma}</math><br />
<br />
:<math> E_{2}(\vec{r})=\vec{E}_{02}(\vec{r})e^{i\epsilon} </math> <math> \Rightarrow </math> <math>\bar{E}_{2}(\vec{r})=\vec{E}_{02}(\vec{r})e^{-i\epsilon} </math><br />
<br />
Por lo que: <math> I_{12}=\frac{1}{2}[\vec{E}_{01}(\vec{r})\cdot\vec{E}_{02}(\vec{r})e^{i(\gamma -\epsilon)} + \vec{E}_{01}(\vec{r})\cdot\vec{E}_{02}(\vec{r})e^{i(\epsilon -\gamma)}]</math>. Hagamos <math> \delta = \gamma -\epsilon</math>, obteniendo así:<br />
<br />
<math> I_{12}=\frac{1}{2}\vec{E}_{01}(\vec{r})\cdot\vec{E}_{02}(\vec{r})(2\cos(\gamma -\epsilon)) </math><br />
<br />
que es precisamente la ecuación 9.11.<br />
<br />
<br />
[[Usuario:diegophy17|Diego de la Cruz López]]<br />
<br />
---- <br />
----<br />
<br />
=== Problema 9.46 ===<br />
<br />
:A partir de la observación fotográfica de los anillos de Newton observamos que las franjas con valores elevados de ''m'' parecen separadas por distancias casi iguales. Para comprobarlo de forma analítica, demuestre que:<br />
<br />
<math>\frac{x_{m+1}-x_m}{x_{m+2}-x_{m+1}}≈1+\frac{1}{2m}</math><br />
<br />
:Puede determinarse en el laboratorio (a ravés de las franjas oscuras adyacentes) con independencia de \Delta d<br />
<br />
'''Solución:'''<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Onáfeder|Fernando Valencia Hernández]]<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
=== Problema 9.21 ===<br />
<br />
Examinar las condiciones bajo la cual las aproximaciones de Ec.(9.23) son validas :<br />
<br />
(a) Aplica la ley de los cosenos al triangulo <math>{ S }_{ 1 }{ S }_{ 2 }P\quad </math> en la Fig. 9.11c para obtener:<br />
<br />
<math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { \quad r }_{ 1 }\quad } ={ \left[ 1-2\left( \frac { a }{ { r }_{ 1 } } \right) sen\theta \quad +{ \left( \frac { a }{ { r }_{ 1 } } \right) }^{ 2 } \right] }^{ 1/2 }</math><br />
<br />
(b)Expande esto en una serie de Maclaurin produciendo así:<br />
<br />
<math>{ r }_{ 2 }=r_{ 1 }-\quad asen\theta +\frac { { a }^{ 2 } }{ { 2r }_{ 1 } } { cos }^{ 2 }\theta +.....</math><br />
<br />
(c) Debido a la luz en la Ec. (9.17) demuestre que si <math>({ r }_{ 1 }-r_{ 2 })</math> es igual en a <math>asen\theta </math>es requerido que <math>{ r }_{ 1 }>>{ a }^{ 2 }/\lambda </math><br />
<br />
----<br />
<br />
'''Solución:'''<br />
<br />
<br />
La formula para la ley del coseno es:<br />
<br />
<br />
<math>{ c }^{ 2 }={ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+2abcos\theta </math><br />
<br />
<math>{ c }=\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+2abcos\theta } </math><br />
<br />
Aquí, <math>c</math> es la hipotenusa del triangulo y <math>a,b</math> son los lados opuestos y adyacentes del triangulo y <math>\theta </math> es el angulo entre el lado adyacente y opuesto del triangulo <br />
<br />
<br />
(a)<br />
En la figura dada, la hipotenusa del triangulo <math>{ S }_{ 1 }{ S }_{ 2 }P\quad </math> es <math>{ r }_{ 2 }</math> la longitud del lado adyacente del triangulo es <math>a</math>, y la longitud del lado opuesto del triangulo es<math>{ r }_{ 1 }</math>.<br />
<br />
En la figura dada, el angulo entre el lado adyacente y opuesto del triangulo <math>{ S }_{ 1 }{ S }_{ 2 }P\quad </math> es,<br />
<br />
<math>\theta =90+\theta </math> <br />
<br />
De la ley del coseno:<br />
<br />
<math>{ r }_{ 2 }^{ 2 }={ r }_{ 1 }^{ 2 }+{ a }^{ 2 }+{ 2ar }_{ 1 }cos(90+\theta )</math><br />
<br />
De lo anterior podemos ver que : <math>cos(90+\theta )=-sen\theta </math><br />
<br />
sustituyéndolo en la ecuación anterior y factorizando <math>{ r }_{ 1 }^{ 2 }</math> tenemos :<br />
<br />
<math>{ r }_{ 2 }^{ 2 }={ r }_{ 1 }^{ 2 }\left[ 1+{ \left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) }^{ 2 }-2\left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) sen\theta \right] </math><br />
<br />
<br />
Ahora despejenado tenemos:<br />
<br />
<br />
<math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { r }_{ 1 } } ={ \left[ 1+{ \left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) }^{ 2 }-2\left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) sen\theta \right] }^{ 1/2 }</math><br />
<br />
Por lo tanto, el valor de <math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { r }_{ 1 } }</math> es <math>{ \left[ 1+{ \left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) }^{ 2 }-2\left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) sen\theta \right] }^{ 1/2 }</math><br />
<br />
(b) <br />
<br />
De la serie de Taylor podemos obtener la serie de Mauclaurin. Una expansión de una función sobre 0 es:<br />
<br />
<math>f(x)=f(0)+f´(0)+\frac { f´´(0) }{ 2! } { x }^{ 2 }+...+\frac { { f }^{ (n) }(0) }{ n! } { x }^{ n }</math><br />
<br />
Aplicando la serie de Maclaurin a <math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { r }_{ 1 } }={ \left[ 1-2\left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) sen\theta +{ \left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) }^{ 2 } \right] }^{ 1/2 }</math><br />
<br />
<math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { r }_{ 1 } }={ \left[ 1-2\left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) sen\theta +{ \left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) }^{ 2 } \right] }^{ 1/2 }</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { r }_{ 1 } }= 1- (\frac{a}{r_{1}})sen\theta +\frac { { a }^{2} }{ { r }_{ 1 }^{2} } \frac{(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}\theta }(sen\theta))^{2}}{2!} +...</math><br />
<br />
<math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { r }_{ 1 } }= 1- (\frac{a}{r_{1}})sen\theta +\frac { { a }^{2} }{ { r }_{ 1 }^{2} } \frac{cos^{2}\theta }{2!} +...</math><br />
<br />
<math> { r }_{ 2 } = { r }_{ 1 }- asen\theta +\frac { { a }^{2} }{ 2{ r }_{ 1 } } cos^{2}\theta +...</math><br />
<br />
Por lo tanto el valor de <math>{ r }_{ 2 }</math> es <math>{ r }_{ 1 }- asen\theta +\frac { { a }^{2} }{ 2{ r }_{ 1 } } cos^{2}\theta +...</math><br />
<br />
(c)<br />
<br />
La contribución <math>cos\frac{\delta }{2}</math> <br />
<br />
A partir del tercer termino en la expansión de Maclaurin será despreciable si, <br />
<br />
<math>\frac{k}{2}\left ( \frac{a^{2}}{2r_{1}}cos^{2 } \theta\right )<<\frac{\pi }{2}</math><br />
<br />
Por lo tanto podemos ver que <br />
<br />
<math>r_{1}>>\frac{a^{2}}{\lambda }</math><br />
<br />
--[[Usuario:Ruben Espinosa|Ruben Espinosa Guzman]]<br />
<br />
----<br />
<br />
=== Problema 9.48 ===<br />
<br />
<br />
<br />
'''''Uno de los espejos de un Interferómetro de Michelson se mueve, y 1000 pares de franjas se desplazan más allá de la raya de un telescopio de observación durante el proceso. Si el dispositivo está iluminado con una señal de 500 nm, ¿qué distancia se movió el espejo?'''''<br />
: ''' Solución '''<br />
<br />
Tenemos los siguientes datos:<br />
<br />
Longitud de onda de la luz <math>{ \lambda }_{ 0 }=500nm=500x{ 10 }^{ -9 }m</math><br />
<br />
Numero de franjas desplazadas <math>N=1000</math><br />
<br />
En el interferometro de Michelson se tiene que:<br />
<br />
<math>\Delta d=\frac { N{ \lambda }_{ 0 } }{ 2 } </math><br />
<br />
Donde <math>\Delta d</math>, es el desplazamiento de un espejo de un interferometro de Michelson:<br />
<br />
<math>\therefore \quad \Delta d=\frac { (500x{ 10 }^{ -9 }m)(1000) }{ 2 } </math><br />
<br />
<math>\Delta d={ 10 }^{ 3 }(250x{ 10 }^{ -9 }m)</math><br />
<br />
<math>\Delta d=25{ x10 }^{ -5 }m</math><br />
<br />
<math>\Delta d=0.25{ x10 }^{ -3 }m</math><br />
<br />
<math>\Delta d=0.25mm</math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Gutierrez|Luis Gutiérrez Melgarejo]]<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
=== Ejercicio 9.44 ===<br />
<br />
----<br />
<br />
'''''Se observan anillos de Newton en una película con cuasimonocromaticos que tiene una longitud de onda de 550 nm. Si el vigésimo anillo brillante tiene un radio de 1 cm, ¿cual es el radio de curvatura de la lente que forma parte del sistema interferente?'''''<br />
<br />
<br />
: ''' Solución '''<br />
<br />
<br />
La longitud de onda de la luz casi monocromatica <math>\lambda _{0}=550nm=550\times 10^{-9}m</math><br />
<br />
<br />
Radio de 20 anillo brillante <math>x_{20}=1cm=1\times 10^{-2}m</math><br />
<br />
<br />
Radio del <math>m^{th}</math> anillo brillante <math>x_{m}=\left [ \left ( m+\frac{1}{2} \right )\lambda _{f}R \right ]^{\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
<math>x_{m}=\left [ \left ( m+\frac{1}{2} \right )\left (\frac{\lambda _{0}}{n_{f}} \right )R \right ]^{\frac{1}{2}}</math> ....(1)<br />
<br />
<br />
Donde:<br />
<br />
<br />
R=Radio de curvatura de la lente convexa<br />
<br />
<br />
<math>n_{f}</math> = Indice de refracción del medio entre superficie plana óptica y lente convexa. Aquí el medio es el aire <math>n_{f}=1</math><br />
<br />
<br />
Desde:<br />
<br />
<br />
<math>x_{m}=\left [ \left ( m+\frac{1}{2} \right ) \lambda _{0}R \right ]^{\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
<math>x_{m}^{2}=\left [ \left ( m+\frac{1}{2} \right ) \lambda _{0}R \right ]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>R=\frac{x_{m}^{2}}{\left ( m+\frac{1}{2} \right )\lambda _{0}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>R=\frac{x_{20}^{2}}{\left ( 20+\frac{1}{2} \right )\lambda _{0}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>R=\frac{(10^{-2})^{2}}{\left ( \frac{41}{2} \right )(550\times 10^{-9})}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>R=\frac{(10^{4})}{\left ( 20.5 \right )(550\times 10^{-9})}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>R=\frac{10^{4}}{1.1275\times 10^{-5}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>R=8.869m</math><br />
<br />
<br />
<br />
El radio de curvatura de la lente es <math>R=8.869m</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario: Enrique Ortiz Martinez|Enrique Ortiz Martinez]]<br />
<br />
----<br />
=== Problema 9.26 ===<br />
En el espejo doble de Fresnel s = 2 m, <math>{ \lambda }_{ 0 }</math> = 589 nm, y se encontró que la separación de las franjas era de 0.5 mm. ¿Cuál es el ángulo de inclinación de los espejos, si la distancia perpendicular de la fuente puntual real a la intersección de los dos espejos es 1 m?<br />
----<br />
<br />
'''Solución:'''<br />
La separación de las franjas de fresnel esta dada:<br />
<br />
<math>\Delta y=\frac { s }{ a } \lambda </math> .......(1)<br />
<br />
Aquí, <math>s</math> es la separación entre las fuentes de imagen y la pantalla <math>a</math> es la separación entre dos fuentes de imagen. <br />
<br />
El angulo a dos fuentes de imagen desde el punto de intersección de los espejos es 2<math>\alpha </math>, cuando los espejos forman un ángulo <math>\alpha </math>, Así que:<br />
<br />
<math>sin\alpha =\frac { a }{ 2R } </math> .........(2)<br />
<br />
Sustituyendo (2) en (1):<br />
<br />
<math>sin\alpha =\frac { 1 }{ 2R } \left( \frac { s }{ \Delta y } \lambda \right) </math> ....(3)<br />
<br />
La longitud de onda y la separación de las franjas de la luz es en metros:<br />
<math>{ \lambda }_{ 0 }=589{ x10 }^{ -9 }m</math><br />
<br />
<math>\Delta y=0.5{ x10 }^{ -3 }m</math><br />
<br />
Sustituyendo las anteriores expresiones y <math>s</math> = 2m y <math>R</math>= 1m, en (3):<br />
<br />
<math>sin\alpha =\frac { 1 }{ 2(1m) } \left( \frac { 2m }{ 0.5{ x10 }^{ -3 }m } (589{ x10 }^{ -9 }m) \right) </math><br />
<br />
<math>sin\alpha =0.001178</math><br />
<br />
<math>\alpha ={ sin }^{ -1 }0.001178</math><br />
<br />
<math>\alpha ={ 0.067°\quad \quad }</math><br />
<br />
Por lo tanto el ángulo de inclinación de dos espejos es:<br />
<br />
<math>\alpha ={ 0.067°\quad \quad }</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Chávez|Luis Manuel Chávez Antonio]]<br />
<br />
----<br />
<br />
===Problema 9.24===<br />
----<br />
'''Imagínese que tenemos una antena a la orilla de un lago recogiendo una señal de una radio estrella lejana que esta apareciendo horizontalmente en ese momento. Escriba las expresiones para \deltay para la posición angular de la e strella cuando la antena detecta su primer máximo. '''<br />
<br />
<br />
: '''''Solución''''':<br />
Estamos hablando de un interferometro de division del frente de onda llamado espejo de Lloyd, ya que el lago es una superficie reflectora. <br />
<br />
Entonces:<br />
<br />
Sabemos que para este interferometro $ \delta = k(r_1 - r_2) \pm \pi$<br />
<br />
Realizando los calculos se obtiene<br />
<br />
:$r_1 = a/2 sin \alpha $<br />
<br />
:$r_2 = sin(90$$°$$ -2 \alpha) a/2 sin\alpha$<br />
<br />
Por lo tanto <br />
<br />
:$ \delta=(a/2 sen\alpha-[sen(90° -2 \alpha)]a/1sen\alpha +\pi) \\ \\<br />
\delta = ka(1+cos2\alpha)/2sen\alpha + \pi $<br />
<br />
Los maximos ocurren cuando $\delta = 2\pi $ entonces <br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Flor|Flor Ivon Vivar]]<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
=== Ejercicio 9.55 ===<br />
<br />
Para satisfacer algunos detalles de la deducción del incremento de fase más pequeño separado por dos franjas de Frabry-Perot resolubles , es decir:<br />
<br />
:::: $( \Delta \delta) \approx \frac{4.2}{\sqrt{F} }$<br />
<br />
teniendo en cuenta que :<br />
<br />
:::: $[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_a \pm \frac{\Delta \delta}{2}} = [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta = \frac{\Delta \delta}{2}}$<br />
<br />
a)Demuestre que la ecuación :<br />
<br />
:::: $\left(\frac{8}{\pi^2} \right) \frac{I_{t m \acute{a} x}}{I_{a m \acute{a}x }} = [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_a \pm \frac{\Delta \delta}{2}} + [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_b \pm \frac{\Delta \delta}{2}} $<br />
<br />
Puede reescribirse de nuevo como :<br />
<br />
:::: $2[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta = \frac{\Delta \delta}{2}} = 0.81 \left(1+ [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta = \Delta \delta} \right)$<br />
<br />
<br />
b)Cuando $F$ es grande y $\gamma$ pequeña, y $ \sin \left( \Delta \delta \right) = \Delta \delta $ . Demuestre que entonces se obtiene :<br />
<br />
:::: $( \Delta \delta) \approx \frac{4.2}{\sqrt{F} }$<br />
<br />
<br />
: ''' Solución :'''<br />
<br />
Para el inciso a) comenzamos tomando la ecuación :<br />
<br />
$[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_a \pm \frac{\Delta \delta}{2}} + [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_b \pm \frac{\Delta \delta}{2}}$ <br />
<br />
Si sustituimos el valor de $\delta$ en cada una obtenemos:<br />
<br />
<br />
$[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_a \pm \frac{\Delta \delta}{2}} + [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_b \pm \frac{\Delta \delta}{2}} = \frac{1}{1+F \sin^2 ( \frac{\delta_a}{2} + \frac{\Delta \delta}{4} )} + \frac{1}{1+F \sin^2 ( \frac{\delta_b}{2} + \frac{\Delta \delta}{4} )}$<br />
<br />
Antes de sumarlas notamos que el resultado se simplifica si tomamos en cuenta que :<br />
<br />
$[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_a \pm \frac{\Delta \delta}{2}} = [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta = \frac{\Delta \delta}{2}}$<br />
<br />
Ahora sin las contribuciones de $ \frac{\delta_a}{2}$ y $ \frac{\delta_b}{2}$:<br />
<br />
<br />
$[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_a \pm \frac{\Delta \delta}{2}} + [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_b \pm \frac{\Delta \delta}{2}} = \frac{2}{1+F \sin^2 ( \frac{\Delta}{4})} = 2 [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\frac{\Delta \delta}{2}}$ <br />
<br />
Por lo tanto :<br />
<br />
$\left(\frac{8}{\pi^2} \right) \frac{I_{t m \acute{a} x}}{I_{a m \acute{a}x }} = \frac{2}{1+F \sin^2 ( \frac{\Delta \delta}{4})} = 2 [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\frac{\Delta \delta}{2}}$ <br />
<br />
<br />
Y a su vez $\left(\frac{8}{\pi^2} \right) \frac{I_{t m \acute{a} x}}{I_{a m \acute{a}x }} $ se puede reescribir como:<br />
<br />
<br />
$\left(\frac{8}{\pi^2} \right) \frac{I_{t m \acute{a} x}}{I_{a m \acute{a}x }}= \left(\frac{8}{\pi^2} \right) \frac{I_{t m \acute{a}x } + I'}{ I _{a m \acute{a}x }}$ $= \left(\frac{8}{\pi^2} \right) \left( 1 +\frac{ I'}{ I _{a m \acute{a}x }} \right)$<br />
<br />
<br />
En este caso $\frac{ I' }{ I _{a m \acute{a}x }} = [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta = \Delta \delta}$ y sustituyendo eso y el valor numérico de $\frac{8}{\pi^2}$ obtenemos:<br />
<br />
$2 [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\frac{\Delta \delta}{2}}= 0.81 \left(1+[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta = \Delta \delta} \right) $<br />
<br />
Para el inciso b) :<br />
<br />
Necesitamos la expresión explicita de $2 [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta}$ :<br />
<br />
$2 [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta} = \frac{2}{1+F \sin^2( \frac{\Delta \delta}{2})}$<br />
<br />
Si aproximamos $\sin \frac{\Delta \delta}{2} \approx =\frac{\Delta \delta}{2} $ entonces:<br />
<br />
$\frac{2}{1+F( \frac{\Delta \delta}{2})^2 } = 0.81 \left(1+ \frac{1}{1+F( \frac{\Delta \delta}{2})^2 } \right) $<br />
<br />
<br />
$\frac{2}{1+F( \frac{\Delta \delta}{2})^2 } = 0.81 \left(\frac{1+ 1+F( \frac{\Delta \delta}{2})^2}{1+F( \frac{\Delta \delta}{2})^2 } \right)$<br />
<br />
<br />
<br />
$F^2 (\Delta \delta)^4-15.5 F (\Delta \delta)^2 -30=0 $<br />
<br />
<br />
<br />
Resolvemos para $(\frac{\Delta \delta}{2})$ y nos quedamos con la solución positiva y real <br />
<br />
$(\frac{\Delta \delta}{2}) = 4.1521 \sqrt{\frac{1}{F}}$<br />
<br />
<br />
$(\frac{\Delta \delta}{2}) \approx \frac{4.2}{\sqrt{F}}$<br />
<br />
[[Usuario:Aurea Espin|Aurea Espin]] ([[Usuario discusión:Aurea Espin|discusión]]) 21:38 17 nov 2018 (CST)<br />
<br />
----<br />
=== Ejercicio 9.53 ===<br />
Comenzando con la ecuación (9.53) para una onda transmitida, calcule la densidad de flujo, es decir, obtenga la ecuación (9.54).<br />
<br />
: '''Solución:'''<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 09:27 18 nov 2018 (CST)<br />
----</div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Optica:_Capitulo7-problemas&diff=22826
Optica: Capitulo7-problemas
2018-11-18T15:25:38Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: Edición de formato para que se presentara correctamente el índice.</p>
<hr />
<div>Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 7<br />
<br />
[[categoría:Optica]]<br />
[[categoría:Cursos]]<br />
<br />
----<br />
=== Ejercicio 7.35 ===<br />
<br />
<br />
''''' Tome la función <math>f\left(\theta\right)=\theta^{2}</math> en el intervalo <math> 0<\theta <2\pi </math> & que sea <math>2\pi</math> periódica. Muestre que su expansión en serie de Fourier es:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>f\left(\theta\right)= \frac{4\pi^{2}}{3} + \sum_{m=1}^{\infty}\left(\frac{4\cos(m\theta)}{m^{2}} - \frac{4\pi\sin(m\theta)}{m}\right)</math><br />
<br />
'''''<br />
<br />
''''' Solución '''''<br />
<br />
'''''Teorema(serie de Fourier trigonométrica).''''' Sea f una función definida en <math> -l < x < l </math>, si:<br />
<br />
<math> a_{0}=\frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}f(x)dx </math><br />
<br />
<br />
<math> b_{n}=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos(\frac{n\pi x}{l})dx, n=1,2,3... </math><br />
<br />
<br />
<math> a_{n}=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin(\frac{n\pi x}{l})dx, n=1,2,3... </math><br />
<br />
Entonces la serie<br />
<br />
<math>a_{0} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(b_{n}\cos(\frac{n\pi x}{l}) + a_{n}\sin(\frac{n\pi x}{l})\right)</math><br />
<br />
converge a f(x). <br />
<br />
<br />
Sin embargo, tomaremos un corolario del teorema anterior (caso <math>l=\pi </math>), para ello basta aplicar una traslación <math> T: \Re\rightarrow\Re </math> dada por:<br />
<br />
:<math>T(\theta): = \left(\frac{2x-2\pi}{2\pi}\right)\pi </math>......(1) <br />
<br />
Así, tomamos a la función <math>g(x) : = f(\theta =x-\pi) =(x+\pi )^{2}</math> en el intervalo <math> -\pi < x < \pi </math>.<br />
<br />
Observe que <math> g(x+2\pi)=\left((x+2\pi)+\pi\right)^{2} = ((x+\pi)+2\pi )^{2} : = (\theta + 2\pi )^{2}= f(\theta + 2\pi)\stackrel{\mathrm{hip}}{=}f(\theta): = g(x)</math>, bajo (1), pues T es una biyección. Esto indica que la periodicidad se sigue conservando aún al aplicar T.<br />
<br />
Entonces, sea que <math> g(x) </math> y, por tanto, <math> f(\theta) </math>, admite una expansión en serie de Fourier, tenemos que:<br />
<br />
<math> a_{0} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(x)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{3}\left(\dfrac{d}{dx}(x-\pi)^{3}\right)dx = \frac{4}{3}\pi^{2} </math><br />
<br />
<br />
<math>a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{pi}(x+\pi)^{2}\sin(nx)dx = \frac{1}{\pi}[\int_{-\pi}^{\pi}x^{2}\sin(nx)dx + \int_{-\pi}^{\pi}2x\pi\sin(nx)dx + \int_{-\pi}^{\pi}\pi^{2}\sin(nx)dx] </math><br />
<br />
donde la primer integral y la tercera se anulan, pues, son funciones impares definidas en un intervalo simétrico. Por lo que:<br />
<br />
:<math>a_{n}=-\frac{4}{n}\pi\cos(n\pi)=-\frac{4}{n}\pi</math> si n es par .<br />
:<math>a_{n}=-\frac{4}{n}\pi\cos(n\pi)=\frac{4}{n}\pi</math> si n es impar.<br />
<br />
Análogamente, <br />
<br />
<math> b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(x+\pi)^{2}\cos(nx)dx</math>. Obteniendo:<br />
<br />
:<math>b_{n}=\frac{4}{n^{2}}\cos(n\pi)=\frac{4}{n^{2}}</math> si n es par.<br />
:<math>b_{n}=\frac{4}{n^{2}}\cos(n\pi)=-\frac{4}{n^{2}}</math> si n es impar.<br />
<br />
Entonces:<br />
<br />
<math>g(x)=(x+\pi)^{2}=\frac{4}{3}\pi^{2} + \sum_{n_{par}}^{\infty}\left(-\frac{4}{n}\pi\sin(nx) + \frac{4}{n^{2}}\cos(nx)\right) + \sum_{n_{impar}}^{\infty}\left(\frac{4}{n}\pi\sin(nx) - \frac{4}{n^{2}}\cos(nx)\right)</math> <br />
<br />
Por fin:<br />
<br />
<math>g(x=\theta -\pi)=\theta^{2}=f(\theta)=\frac{4}{3}\pi^{2} + \sum_{n_{par}}^{\infty}\left(-\frac{4}{n}\pi\sin(n(\theta-\pi)) + \frac{4}{n^{2}}\cos(n(\theta-\pi))\right) + \sum_{n_{impar}}^{\infty}\left(\frac{4}{n}\pi\sin(n(\theta-\pi)) - \frac{4}{n^{2}}\cos(n(\theta-\pi))\right)</math>.<br />
<br />
Con <math> \sin(n\theta - n\pi)=\sin(n\theta)\cos(n\pi) - \cos(n\theta)\sin(n\pi) = \sin(n\theta)</math> si n es par.<br />
:<math> \sin(n\theta - n\pi)=\sin(n\theta)\cos(n\pi) - \cos(n\theta)\sin(n\pi) = -\sin(n\theta)</math> si n es impar.<br />
<br />
& <math>\cos(n\theta - n\pi)=\cos(n\theta)\cos(n\pi) + \sin(n\theta)\sin(n\pi) = \cos(n\theta) </math> si n es par.<br />
:<math>\cos(n\theta - n\pi)=\cos(n\theta)\cos(n\pi) + \sin(n\theta)\sin(n\pi) = -\cos(n\theta) </math> si n es impar.<br />
<br />
Por lo que:<br />
<br />
<math> f(\theta)=\theta^{2}=\frac{4}{3}\pi^{2} + \sum_{n_{par}}^{\infty}\left(-\frac{4}{n}\pi\sin(n\theta) + \frac{4}{n^{2}}\cos(n\theta)\right) + \sum_{n_{impar}}^{\infty}\left(-\frac{4}{n}\pi\sin(n\theta) + \frac{4}{n^{2}}\cos(n\theta)\right)</math>. Es decir:<br />
<br />
<br />
<math>f\left(\theta\right)= \frac{4\pi^{2}}{3} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{4\cos(n\theta)}{n^{2}} - \frac{4\pi\sin(n\theta)}{n}\right)</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[Usuario:diegophy17|Diego de la Cruz López]]<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
=== Ejercicio 7.7 ===<br />
Utilizando las ecuaciones 7.9, 7.10 y 7.11 muestre que la resultante de las dos ondas<br />
<br />
<math><br />
E_1 = E_{01} sen\left[\omega t - k(x+\Delta x)\right]<br />
</math><br />
<br />
<math><br />
E_2 = E_{01} sen\left[\omega t - k x\right]<br />
</math><br />
<br />
es<br />
<br />
<math><br />
E = 2 E_{01} cos\left(\dfrac{k \Delta x}{2}\right) sen\left[\omega t - k\left(x+\dfrac{\Delta x}{2}\right)\right]<br />
</math><br />
<br />
: '''Solución:'''<br />
De las ondas 1 y 2 tenemos que <math>\alpha_1 = - k(x+\Delta x)</math> y <math>\alpha_2 = -kx</math>. La ecuación 7.9 es<br />
<br />
<math><br />
E_0^2 = E_{01}^2 + E_{02}^2 + 2 E_{01} E_{02} cos(\alpha_2 - \alpha_1)<br />
</math><br />
<br />
y nos da la amplitud de la onda resultante, calculando para nuestro caso tenemos<br />
<br />
<math><br />
E_0^2 = E_{01}^2 + E_{01}^2 + 2 E_{01}^2 cos\left[-kx+k(x+\Delta x)\right] = 2 E_{01}^2 + 2E_{01}^2 cos(k \Delta x) = 2E_{01}^2 \left[1+cos(k\Delta x)\right] = 4 E_{01}^2 cos^2 \left(\dfrac{k \Delta x}{2}\right)<br />
</math><br />
<br />
donde se ha utilizado la identidad trigonométrica<br />
<br />
<math><br />
cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{1 + cos x}{2} <br />
</math><br />
<br />
Ahora para calcular la fase de la onda resultante utilizamos la ecuación 7.10 que es<br />
<br />
<math><br />
tan \alpha = \dfrac{E_{01} sen \alpha_1 + E_{02} sen \alpha_2}{E_{01} cos \alpha_1 + E_{02} cos \alpha_2}<br />
</math><br />
<br />
y en nuestro caso<br />
<br />
<math><br />
tan \alpha = \dfrac{E_{01} sen[-k(x+\Delta x)] + E_{01} sen(-kx)}{E_{01} cos[-k(x+\Delta x)] + E_{01} cos(-kx)} = \dfrac{sen[-k(x+\Delta x)] + sen(-kx)}{cos[-k(x+\Delta x)] + cos(-kx)}<br />
</math><br />
<br />
y definiendo <math>\eta \equiv -k(x+\Delta x)</math> y <math>\theta \equiv -kx</math> tenemos<br />
<br />
<math><br />
tan \alpha = \dfrac{sen \eta + sen \theta}{cos \eta + cos \theta} = tan \left(\dfrac{\eta + \theta}{2}\right)<br />
</math><br />
<br />
donde la igualdad final se cumple gracias a una identidad trigonométrica, por lo que la fase de la onda resultante será<br />
<br />
<math><br />
\alpha = \dfrac{\eta + \theta}{2} = -k \left[x + \dfrac{\Delta x}{2}\right]<br />
</math><br />
<br />
Y la relación 7.11 es<br />
<br />
<math><br />
E = E_0 sen (\omega t + \alpha)<br />
</math><br />
<br />
por lo que nuestra onda resultante queda como<br />
<br />
<math><br />
E = 4 E_{01}^2 cos^2 \left(\dfrac{k \Delta x}{2}\right) sen \left[\omega t -k \left(x + \dfrac{\Delta x}{2}\right) \right]<br />
</math><br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 21:00 5 nov 2018 (CST)<br />
----<br />
<br />
=== Ejercicio 7.8 ===<br />
<br />
:Sume directamente las dos ondas del problema 7.7 para encontrar la misma solución.<br />
<br />
<br />
:Primero, renombremos los argumentos de la siguiente forma:<br />
<br />
<math>a=wt-kx</math> y <math>b=k\Delta x</math>.<br />
<br />
:Entonces las expreciones de los campos serán de la forma<br />
<br />
<math>E_1=E_0sen(a-b)</math><br />
<math>E_2=E_0sen(a)</math><br />
<br />
:Por tanto, al tener la suma de los campos.<br />
<br />
<math>E_t=E_1+E_2=E_0sen(a-b)+E_0sen(a)=E_0[sen(a-b)+sen(a)]</math><br />
<br />
:Asi que sólo los debemos enfocar en la suma trigonométrica. Entonces:<br />
<br />
<math>sen(a-b)+sen(a)=[sen(a)cos(b)-sen(b)cos(a)+sen(a)</math><br />
<br />
:Factorizando <math>sen(a)</math>:<br />
<br />
<math>sen(a)[cos(b)+1]-sen(b)cos(a)</math><br />
<br />
:Recordando dos identidades trigonométricas importantes que son:<br />
<br />
<math>cos^2(b)=1/2[1+cos(b)]</math> → <math>cos(b)+1=2cos^2(b)</math> y <math>sen(b)=2sen(b/2)cos(b/2)</math>.<br />
<br />
Entonces:<br />
<br />
<math>sen(a)[cos(b)+1]-sen(b)cos(a)=sen(a)[2cos^2(b/2)]-[2sen(b/2)cos(b/2)]cos(a)</math><br />
<br />
:Ahora factorizando <math>2cos(b/2)</math> llegamos a:<br />
<br />
<math>2cos(b/2){sen(a)cos(b/2)-cos(a)sen(b/2)}=2cos(b/2)[sen(a-b/2)]</math><br />
<br />
:Por lo tanto:<br />
<br />
<math>E_t=E_02cos(b/2)[sen(a-b/2)]</math><br />
<br />
Finalmente, regresando a las variables originales.<br />
<br />
<math>E_t=E_02cos(k\Delta x/2)[sen(wt-kx-k\Delta x/2)]=E_02cos(k\Delta x)/2)[sen(wt-k[x+\Delta x/2)])]</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Onáfeder|Fernando Valencia Hernández]]<br />
<br />
----<br />
<br />
===Ejercicio 7.29===<br />
----<br />
'''''La velocidad de propagación de una onda de superficie en un líquido de profundidad mucho mayor que <math>\lambda </math> viene dada por:<br />
:<br />
<math>v=\sqrt { \frac { g\lambda }{ 2\pi } +\frac { 2\pi \Upsilon }{ \rho \lambda } } </math><br />
:<br />
donde g = aceleración de la gravedad, <math>\lambda </math> = longitud de onda, <math>\rho </math> = densidad, <math>\Upsilon </math> = tensión superficial. Calcule la velocidad de grupo de un pulso en el límite de longitud de onda larga (se denominan ondas de gravedad).'''''<br />
<br />
: '''''Solución''''':<br />
:<br />
:Para longitudes de onda grandes, notemos que el segundo término de la suma dentro de la raíz es despreciable :<br />
:<br />
:<br />
:<math>\frac { 2\pi \Upsilon }{ \rho \lambda } </math> <br />
:<br />
:Entonces la velocidad de propagación de una onda de superficie se convierte en:<br />
:<br />
:<math>v=\sqrt { \frac { g\lambda }{ 2\pi } } </math> ........(1)<br />
:<br />
:EL número de onda esta dada,por:<br />
:<br />
:<math>k=\frac { 2\pi }{ \lambda } </math> ................(2)<br />
:<br />
:Sustituyendo la ecuación (2) en (1), la velocidad de propagación:<br />
:<br />
:<math>v=\sqrt { \frac { g }{ k } } </math>.................(3)<br />
:<br />
:De la relación entre la velocidad de grupo y velocidad de propagación es:<br />
:<br />
:<math>{ v }_{ g }=v+k\frac { dv }{ dk } </math>.............(4)<br />
:<br />
:Donde <math>{ v }_{ g }</math>, es la velocidad de grupo.<br />
:<br />
:De la ecuación (3):<br />
:<br />
:<math>\frac { dv }{ dk } =\frac { d }{ dk } \left( \sqrt { \frac { g }{ k } } \right) </math><br />
:<br />
:<math>\frac { dv }{ dk } =\sqrt { g } \frac { d }{ dk } \left( { k }^{ -\frac { 1 }{ 2 } } \right) </math><br />
:<br />
:<math>\frac { dv }{ dk } =\sqrt { g } \left( -\frac { 1 }{ 2 } \right) \left( { k }^{ -\frac { 3 }{ 2 } } \right) </math><br />
:<br />
:<math>\frac { dv }{ dk } =\sqrt { g } \left( -\frac { 1 }{ 2 } \right) \frac { 1 }{ k\sqrt { k } } </math><br />
:<br />
:<math>\frac { dv }{ dk } =\left( -\frac { 1 }{ 2k } \right) \sqrt { \frac { g }{ k } } </math><br />
:<br />
:Sustituyendo (3) en la última expresión:<br />
:<br />
:<math>\frac { dv }{ dk } =\left( -\frac { v }{ 2k } \right) </math>..........(5)<br />
:<br />
:Sustituyendo (5) en (4):<br />
:<br />
:<math>{ v }_{ g }=v+k\left( \frac { -v }{ 2k } \right) </math><br />
:<br />
:Reduciendo, tenemos que la velocidad de grupo es:<br />
:<br />
:<math>{ v }_{ g }=v-\frac { v }{ 2 } </math><br />
:<br />
:<math>{ v }_{ g }=\frac { v }{ 2 } </math><br />
:<br />
:--[[Usuario:Luis Chávez|Luis Manuel Chávez Antonio]]<br />
<br />
----<br />
===Ejercicio 7.30===<br />
----<br />
<br />
'''''Demuestre que la velocidad de grupo puede escribirse como: <br />
<br />
<br />
<math>v_{g}=v-\lambda \frac{dv}{d\lambda }</math>'''''<br />
<br />
<br />
<br />
: '''''Solución''''':<br />
<br />
<br />
La expresión de la velocidad de grupo se puede escribir como:<br />
<br />
<br />
<math>v_{g}=v+\frac{kdv}{dk}</math><br />
<br />
<br />
Donde:<br />
<br />
<math>v_{g}</math> es la velocidad de grupo<br />
<br />
<math>v</math> es la velocidad de fase<br />
<br />
<math>k</math> es el numero de onda<br />
<br />
La expresión de numero de onda se puede escribir como:<br />
<br />
<br />
<math>k=\frac{2\pi }{\lambda }</math><br />
<br />
<br />
Donde <math>\lambda </math> es la longitud de onda<br />
<br />
La expresion de velocidad de grupo se puede escribir como:<br />
<br />
<br />
<math>v_{g}=v+k\frac{dv}{dk}</math><br />
<br />
<br />
<math>v_{g}=v+k\left (\frac{dv}{d\lambda } \right )\left ( \frac{d\lambda }{dk} \right )</math><br />
<br />
<br />
La expresión del numero de onda se diferencia con respecto a la longitud de onda como:<br />
<br />
<br />
<math>k=\frac{2\pi }{\lambda }</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{dk}{d\lambda }=-2\pi \left ( \frac{1}{\lambda ^{2}} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{d\lambda}{dk }=-\frac{\lambda ^{2}}{2\pi } </math><br />
<br />
<br />
Sustituimos <math>\frac{d\lambda}{dk }</math> en la expresión anterior.<br />
<br />
<br />
<math>v_{g}=v+k\left (\frac{dv}{d\lambda } \right )\left ( \frac{d\lambda }{dk} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math>v_{g}=v+k\left (\frac{dv}{d\lambda } \right )\left ( -\frac{\lambda ^{2}}{2\pi } \right )</math><br />
<br />
<br />
<math>v_{g}=v-\frac{\lambda ^{2}k}{2\pi }\left ( \frac{dv}{d\lambda } \right )</math><br />
<br />
<br />
Sustituimos <math>\frac{2\pi }{\lambda }</math> por <math>k</math> en la expresión anterior:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>v_{g}=v-\frac{\lambda ^{2}}{2\pi }\left ( \frac{2\pi }{\lambda } \right )\left ( \frac{dv}{d\lambda } \right )</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>v_{g}=v-\lambda \left ( \frac{dv}{d\lambda } \right )</math><br />
<br />
<br />
<br />
Por lo tanto <math>v_{g}=v-\lambda \left ( \frac{dv}{d\lambda } \right )</math><br />
<br />
<br />
<br />
:--[[Usuario:Enrique Ortiz Martinez|Enrique Ortiz Martinez]]<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
===Ejercicio 7.36===<br />
----<br />
<br />
'''''Demuestre que la velocidad de grupo puede escribirse como: <br />
<br />
<br />
<math> { \upsilon }_{ g }=\frac { c }{ n } +\frac { \lambda c }{ { n }^{ 2 } } \frac { dn }{ d\lambda } </math>'''''<br />
<br />
<br />
<br />
: '''''Solución''''':<br />
<br />
<br />
La velocidad de grupo esta dada por:<br />
<br />
<math>{ v }_{ g }=v+\frac { kdv }{ dk } </math>.......(1)<br />
<br />
y sabemos que por regla de la cadena podemos escribir:<br />
<br />
<math>\frac { dv }{ dk } =\frac { dv }{ dn } \frac { dn }{ dk } </math>.......(2)<br />
<br />
sabemos que la velocidad de la luz en un medio de refracción n es :<br />
<br />
<math>v=\frac { c }{ n } </math> donde c= velocidad de la luz en el vacio<br />
<br />
derivando con respecto a n tenemos:<br />
<br />
<math> \frac { dv }{ dn } =\frac { -c }{ { n }^{ 2 } } </math><br />
<br />
sustituyendo este valor en la ecuación (2) obtenemos:<br />
<br />
<math> \frac { dv }{ dk } =\frac { -c }{ { n }^{ 2 } } \frac { dn }{ dk } </math>....(3)<br />
<br />
y utilizando regla de la cadena tenemos :<br />
<br />
<math> \frac { dn }{ dk } =\frac { d\lambda }{ dk } \frac { dn }{ d\lambda } </math>....(4)<br />
<br />
sabemos que la constante de propagacion esta dada por:<br />
<br />
<math>k=\frac { 2\pi }{ \lambda } </math><br />
<br />
<br />
<math> \frac { dk }{ d\lambda } =\frac { d }{ d\lambda } \left( \frac { 2\pi }{ \lambda } \right) </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math> \frac { dk }{ d\lambda } =-\frac { 2\pi }{ { \lambda }^{ 2 } } </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math> \frac { d\lambda }{ dk } =-\frac { { \lambda }^{ 2 } }{ 2\pi } </math><br />
<br />
<br />
sustituyendo este valor en la ecuación (4) obtenemos que :<br />
<br />
<math>\frac { dn }{ dk } =-\frac { { \lambda }^{ 2 } }{ 2\pi } \frac { dn }{ d\lambda }</math>....(5)<br />
<br />
sustituyendo la ecuación (5) en la ecuación (3) obtenemos:<br />
<br />
<math> \frac { dv }{ dk } =\frac { -c }{ { n }^{ 2 } } \left( \frac { { -\lambda }^{ 2 } }{ 2\pi } \right) \frac { dn }{ d\lambda } </math><br />
<br />
<math> \frac { dv }{ dk } =\left( \frac { { c\lambda }^{ 2 } }{ 2\pi { n }^{ 2 } } \right) \frac { dn }{ d\lambda } </math><br />
<br />
<br />
sustituyendo este valor en la ecuacion (1) obtenemos:<br />
<br />
<math> { v }_{ g }=v+k\left( \frac { { c\lambda }^{ 2 } }{ 2\pi { n }^{ 2 } } \right) \frac { dn }{ d\lambda } </math><br />
<br />
<br />
donde sabemos que <math>v=\frac { c }{ n } </math>, <math>k=\frac { 2\pi }{ \lambda } </math><br />
<br />
sustituyendo en lo anterior tenemos:<br />
<br />
<math>{ v }_{ g }=\frac { c }{ n } +\frac { 2\pi }{ \lambda } \left( \frac { { c\lambda }^{ 2 } }{ 2\pi { n }^{ 2 } } \right) \frac { dn }{ d\lambda } </math><br />
<br />
<math>{ v }_{ g }=\frac { c }{ n } +\left( \frac { \lambda c }{ { n }^{ 2 } } \right) \frac { dn }{ d\lambda } </math><br />
<br />
Como podemos el problema queda demostrado <br />
<br />
:--[[Usuario:Ruben Espinosa|Ruben Espinosa Guzman]]<br />
<br />
----<br />
<br />
===Ejercicio 7.38===<br />
----<br />
'''''Para una onda que se propaga en una estructura periódica para la cual <math>\omega (k)=2{ \omega }_{ 0 }\sin { \left( { kl }/{ 2 } \right) } </math>, determine las velocidades de fase y de grupo.'''''<br />
'''''Escriba el primer termino como una función seno.'''''<br />
<br />
: '''''Solución''''':<br />
<br />
Para una onda periódica <math>\omega (k)=2{ \omega }_{ 0 }\sin { \left( { kl }/{ 2 } \right) } </math> ...<math>(1)</math><br />
<br />
Esa es la frecuencia angular de la onda, es una función de constante de propagación.<br />
<br />
Sabemos que la velocidad de fase es <math>v=\frac { \omega }{ k }</math><br />
<br />
<math>v=\frac { 2{ \omega }_{ 0 }\sin { \left( { kl }/{ 2 } \right) } }{ k }</math><br />
<br />
Y la velocidad de grupo <math>{ v }_{ g }=\frac { d\omega }{ dk }</math><br />
<br />
<math>{ v }_{ g }=\frac { d }{ dk } \left( 2{ \omega }_{ 0 }\sin { \left( { kl }/{ 2 } \right) } \right)</math><br />
<br />
<math>{ v }_{ g }=2{ \omega }_{ 0 }\left[ \cos { \left( { kl }/{ 2 } \right) } \left( \frac { l }{ 2 } \right) \right]</math><br />
<br />
<math>{ v }_{ g }={ \omega }_{ 0 }l\left[ \cos { \left( { kl }/{ 2 } \right) } \right]</math><br />
<br />
Recordando lo siguiente: <math>\sin { \left( \frac { \pi }{ 2 } +\theta \right) } =\cos { \left( \theta \right) }</math> <br />
<br />
<math>\therefore { v }_{ g }={ \omega }_{ 0 }l\sin { \left[ \frac { \pi }{ 2 } +\left( \frac { kl }{ 2 } \right) \right] }</math><br />
:--[[Usuario:Luis Gutierrez|Luis Gutiérrez Melgarejo]]<br />
<br />
----<br />
<br />
===Ejercicio 7.39===<br />
----<br />
<br />
Un gas o plasma ionizado es un medio dispersivo para las ondas EM.<br />
Dado que la ecuación de dispersión es:<br />
<br />
<math>{ \omega }^{ 2 }={ \omega }_{ p }^{ 2 }+{ c }^{ 2 }{ k }^{ 2 }</math><br />
<br />
donde <math>{ \omega }_{ p }^{ 2 }</math> es la constante de plasma frecuencial. Determinar expresiones tanto para la fase como para el grupo de velocidades y demostrar que: <math>{ v{ v }_{ g } }={ c }^{ 2 }</math>.<br />
<br />
'''solución:'''<br />
<br />
sabemos que k= constante de propagacion, ademas la velocidad de fase se expresa como: <math>v=\frac { \omega }{ k } </math><br />
<br />
entonces <math>\frac { \sqrt { { \omega }_{ p }^{ 2 }+{ c }^{ 2 }{ k }^{ 2 } } }{ k } </math><br />
<br />
= <math>\sqrt { \frac { { \omega }_{ p }^{ 2 }+{ c }^{ 2 }{ k }^{ 2 } }{ { k }^{ 2 } } } </math><br />
<br />
= <math>\sqrt { \frac { { \omega }_{ p }^{ 2 } }{ { k }^{ 2 } } +{ c }^{ 2 } } </math> '''...(1)'''<br />
<br />
la velocidad de grupo viene dada por: <math>{ v }_{ g }=\frac { d\omega }{ dk } </math> '''...(2)'''<br />
<br />
tenemos: <math>{ \omega }^{ 2 }={ \omega }_{ p }^{ 2 }+{ c }^{ 2 }{ k }^{ 2 }</math><br />
<br />
derivando obtenemos: <math>2\omega \frac { d\omega }{ dk } { =c }^{ 2 }2k</math><br />
<br />
= <math>\frac { d\omega }{ dk } =\frac { { c }^{ 2 }k }{ \omega } </math><br />
sea <math>{ \omega }_{ p }</math> una constante<br />
<br />
de la ecuacion (2): <math>{ v }_{ g }=\frac { { c }^{ 2 }k }{ \omega } </math><br />
<br />
y ya que <math>v=\frac { \omega }{ k } </math> entonces: <math>{ v }_{ g }=\frac { { c }^{ 2 } }{ v } </math><br />
<br />
sustituyendo ecuacion (1) en lo anterior:<br />
<math>{ v }_{ g }=\frac { { c }^{ 2 } }{ \sqrt { \frac { { \omega }_{ p }^{ 2 } }{ { k }^{ 2 } } +{ c }^{ 2 } } } </math> '''...(3)'''<br />
<br />
ahora multiplicando (1) y (3) <br />
<br />
<math>{ v\bullet v }_{ g }=\frac { { c }^{ 2 } }{ \sqrt { \frac { { \omega }_{ p }^{ 2 } }{ { k }^{ 2 } } +{ c }^{ 2 } } } \bullet { \sqrt { \frac { { \omega }_{ p }^{ 2 } }{ { k }^{ 2 } } +{ c }^{ 2 } } }</math><br />
<br />
<math>{ v{ v }_{ g } }={ c }^{ 2 }</math>.<br />
<br />
<br />
por tanto queda probado.<br />
<br />
--[[Usuario:salvadormorales|Salvador Morales Carranza]]<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
----<br />
=== Ejercicio 7.41 ===<br />
<br />
Determine analíticamente la resultante cuando las dos funciones $E_1=2E_0 \cos (\omega t)$ y $E_2=\frac{1}{2}E_0 \sin (2\omega t) $ se superponen. Dibuje $E_1$ , $E_2$ y $E=E_1+E_2$ ¿La resultante es periódica? Si lo es ¿Cuál es su periodo en términos de $\omega$?<br />
<br />
: '''Solución:'''<br />
Realizamos la suma de las dos funciones :<br />
<br />
$E=E_1+E_2=2E_0 \cos (\omega t)+\frac{1}{2}E_0 \sin (2\omega t)$<br />
<br />
Se hace uso de la identidad trigonométrica : $\sin(2 \theta)=2 \sin \theta \cos \theta $<br />
<br />
$E= 2 E_0 \cos ( \omega t ) + \frac{1}{2} E_0 2 \cos (\omega t) \sin (\omega t) $<br />
<br />
$E=E_0 \sin \omega t \cos \omega t +2 E_0 \cos \omega t$<br />
<br />
$E=E_0 \cos \omega t (1+ \sin (\omega t))$<br />
<br />
<br />
[[Archivo: RadiacionyOptica.jpeg]]<br />
<br />
Se dice que una función f es periódica con período P mayor que cero si cumple que:<br />
<br />
$f(t+P)=f(t)$<br />
<br />
<br />
Así que sustituimos $t$ por ($t+P$) en $E$<br />
<br />
$E_0 \cos \omega (t+P) (1+ \sin (\omega (t+P)))$<br />
<br />
Usamos la identidad trigonométrica de del coseno de una suma : $\cos (a+b)= \cos a \cos b- \sin a \sin b$<br />
<br />
<br />
$E_0 \left( \cos (\omega t) \cos (\omega P) - \sin (\omega t) \sin (\omega P) \right) (1+ \sin (\omega (t+P))) $<br />
<br />
Para que se cumpla la igualdad : <br />
<br />
$E_0 \left( \cos (\omega t) \cos (\omega P) - \sin (\omega t) \sin (\omega P) \right) (1+ \sin (\omega (t+P))) = E_0 \cos \omega t (1+ \sin (\omega t ))$<br />
<br />
Se requiere que se cumplan simultáneamente:<br />
<br />
$\cos (\omega P)=1$<br />
<br />
$\sin (\omega P)=0$<br />
<br />
Por lo tanto $P=2 \pi n$<br />
<br />
Podemos afirmar entonces que la función resultante es periódica, por periodo $P=2 \pi n$<br />
<br />
[[Usuario:Aurea Espin|Aurea Espin]] ([[Usuario discusión:Aurea Espin|discusión]]) 23:36 10 nov 2018 (CST)<br />
<br />
<br />
<br />
=== Ejercicio 7.27 ===<br />
<br />
<br />
Usar la relación ${ \frac {1}{v_g}} = { \frac {dk}{dv}}$, probando que:<br />
${ \frac {1}{v_g}} = { \frac {1}{v}}$ - ${ \frac {\upsilon}{v^2}} * { \frac {dv}{d\upsilon}}$<br />
<br />
Dado que ${ \frac {1}{v_g}} = { \frac {dk}{dv}}$....(1)<br />
<br />
K denota el número de onda : K = ${ \frac {1}{\lambda}}$<br />
<br />
ya que ${\upsilon}=v{\lambda}$<br />
<br />
${\lambda}$=${ \frac {\upsilon}{v}}$<br />
<br />
<br />
${ \frac {1}{\lambda}}$=${ \frac {v}{\upsilon}}$<br />
<br />
<br />
así que K=${ \frac {v}{\upsilon}}$<br />
<br />
así de la ecua 1 se obtiene:<br />
<br />
<br />
${ \frac {1}{v_g}}= { \frac {d}{dv} { \frac {v}{\upsilon}}}$<br />
<br />
<br />
Por diferenciación parcial respecto a las ${\upsilon}$ que obtenemos <br />
<br />
<br />
${ \frac {1}{v_g}}={ \frac {1}{v}}{ \frac {d\upsilon}{dv}}+v{ \frac {d}{dv}}{ \frac {1}{v}}$<br />
<br />
<br />
<br />
${ \frac {1}{v_g}}={ \frac {1}{v}}+v{ \frac {-1}{v^2}}{ \frac {d\upsilon}{dv}}$<br />
<br />
<br />
${ \frac {1}{v_g}}={ \frac {1}{v}}-{ \frac {\upsilon}{v^2}}{ \frac {dv}{d\upsilon}}$<br />
<br />
por lo que queda probado.<br />
<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Luisa Alejandra Vega Sanchez]]<br />
<br />
=== Ejercicio 7.30* ===<br />
<br />
Usando la ecuación de dispersión:<br />
$n^{2}(\omega)= 1 + \frac{N{q_e}^2}{\varepsilon_{0}m_e}\sum_{j}[\frac{f_{{j}}}{{\omega_{0j}}^2 - \omega^{2}}]$------(1)<br />
:<br />
<br />
Mostrar que la velocidad de grupo esta dada por:<br />
$v_{g}= \frac{c}{1 + Nq_{e}/2\varepsilon_{0}m_{e}\omega^{2}}$------(2)<br />
:<br />
para ondas electromagnéticas de frecuencias altas (e.g., rayos X). Mantener en cuenta que como las $f_{j}$ son factores de peso, entonces $\sum_{j}f_{j}=1$.<br />
<br />
---- Solución----<br />
<br />
Tomando en cuenta el hecho de que se trata de ondas electromagnéticas de alta frecuencia, entonces $\omega>>\omega_{0j}$ y de la ecuación (1) podemos despreciar el término $\omega_{0j}$, por lo que (1) queda como sigue:<br />
$n^2(w)\thickapprox 1 - \frac{N{q_{e}}^2}{\varepsilon_{0}m_{e}\omega^2}\sum_{j}f_{j}$<br />
:Pero $\sum_{j}f_{j}=1$ entonces la última ecuación queda como:<br />
$n^2(w)\thickapprox 1 - \frac{N{q_{e}}^2}{\varepsilon_{0}m_{e}\omega^2}$------(3)<br />
:Entonces,<br />
:$n(w)=(1 - \frac{N{q_{e}}^2}{\varepsilon_{0}m_{e}\omega^2})^{1/2}$------(4)<br />
:Usando la expansión binomial,<br />
:$(1-x)^{1/2}= 1 - 1/2x - 1/8x^{2} - ...$<br />
:Con $x= \frac{N{q_{e}}^2}{\varepsilon_{0}m_{e}\omega^2}$ y despreciando términos mayores e iguales que $\omega^{4}$, obtenemos que n($\omega$) es aproximadamente:<br />
$n(\omega)=1 - \frac{N{q_{e}}^2}{2\varepsilon_{0}m_{e}\omega^2}$------(5)<br />
:Utilizando la relación: <br />
$v_{g}= c/n_{g}$------(6)<br />
<br />
:Con $v_{g}$ la velocidad de grupo y $n_{g}$ el índice de grupo de refracción definido como:<br />
$n_{g}= n(\nu) + \nu\frac{dn(\nu)}{d\nu}$<br />
:siendo $\nu$ la frecuencia de la onda, sin embargo a $n_{g}$ la escribiremos en terminos de $\omega$:<br />
$\omega= 2\pi\nu ; \longrightarrow \frac{dn}{d\nu}= \frac{dn}{\omega}\frac{d\omega}{d\nu}, \therefore n_{g}(\omega)= n(\omega) + \omega\frac{dn}{\omega}$<br />
:$n_{g}(\omega)= n(\omega) + \omega\frac{dn}{d\omega}$------(7)<br />
:y,<br />
:$\frac{dn(\omega)}{d\omega}= \frac{N{q_{e}}^2}{\varepsilon_{0}m_{e}{\omega}^{3}}$ <br />
:Sustituyendo todo en (6) llegamos a que la velocidad de grupo $v_{g}$ es:<br />
:$v_{g}= \frac{c}{1 + Nq_{e}/2\varepsilon_{0}m_{e}\omega^{2}}$<br />
como se pedía en el problema.<br />
*Es el ejercicio 7.30 del capitulo 7, en el libro de Eugene Hecht edición 4.<br />
[[Usuario:Pedro J. Julián]]<br />
<br />
===Ejercicio 7.1===<br />
----<br />
<br />
<br />
Determine la resultante de la superposición de las ondas paralelas $E_1=E_{01} \sin{\left(\omega t + \varepsilon_1\right)}$ y $E_2=E_{02} \sin{\left(\omega t + \varepsilon_2\right)}$ cuando $\omega=120\pi, E_{01}=6, E_{02}=8, \varepsilon_1=0$ y $\varepsilon_2=\pi/2$. Represente gráficamente cada función y la resultante.<br />
<br />
<br />
: '''''Solución:'''''<br />
:Se requiere calcular la amplitud y la fase de la resultante:<br />
<br />
:$E_0^2=E_{01}^2+E_{02}^2+E_{01}E_{02}\cos{(\varepsilon_2-\varepsilon_1)}$<br />
:$\Rightarrow E_0^2=36+64+2\times 6 \times 8 \times \cos{\pi/2}=100$<br />
:$\therefore E_0=10$<br />
<br />
<br />
: $\tan{\alpha}=\frac{E_{01}\sin{\varepsilon_1}+E_{02}\sin{\varepsilon_2}}{E_{01}\cos{\varepsilon_1}+E_{02}\cos{\varepsilon_2}}=\frac{E_{02}}{E_{01}}=\frac{8}{6}$<br />
<br />
: $\therefore \alpha =0.93$<br />
<br />
:Finalmente la resultante queda como:<br />
<br />
:$E=E_0\sin{(\omega t+\alpha)}$<br />
<br />
$E=10\sin{(120\pi t+0.93)}$<br />
<br />
[[Archivo:Supero.png]]<br />
<br />
--[[Usuario:sesebasi|Sergio]]<br />
----<br />
<br />
----<br />
<br />
===Ejercicio 7.9===<br />
----<br />
Utilice la representación compleja para calcular la resultante de $E=E_1+E_2$ donde <br />
:$E_1=E_0cos{(kx\ +\ \omega t)\ \ \ \ \ \ y\ \ \ }E_2=E_0cos{(kx\ -\ \omega t)\ \ \ \ \ \ \ }$<br />
:Describa la onda.<br />
:'''Solución:'''<br />
<br />
${Re(e}^{i(kx+\omega t)})=cos{(kx+\omega t)\ \ }y\ \ {Re(e}^{i(kx-\omega t)})=cos{(kx-\omega t)\ \ }$<br />
<br />
$E=E_1+E_2=E_0cos{(kx\ +\ \omega t)\ \ +E_0cos{(kx\ -\ \omega t)\ \ \ \ \ \ \ }\ \ \ \ \ }$<br />
<br />
${E=E_0Re(e}^{i(kx+\omega t)})+E_0\ {Re(e}^{i(kx-\omega t)})$<br />
<br />
${E=E_0Re(e}^{i(kx+\omega t)}-e^{i(kx-\omega t)})$<br />
<br />
${E=E_0Re[e^{ikx}(e}^{i\omega t}-e^{-i\omega t)})]=E_0Re[eikx2isen(ωt)]$<br />
<br />
$E=E_0Re[2i\cos{(kx})\sin{(\omega t)}-2\sin{(kx)}\sin{(\omega t)}]$<br />
<br />
:Por lo tanto <br />
$E=-2E_0\sin{(kx)}\sin{(\omega t)}$. Onda estacionaria con nodo en $x=0$<br />
<br />
:--[[Usuario:Verenisse|Verenisse]]</div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Optica:_Capitulo8-problemas&diff=22825
Optica: Capitulo8-problemas
2018-11-18T15:24:57Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: Edición de formato para que se presentara correctamente el índice.</p>
<hr />
<div>Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 8<br />
<br />
[[categoría:Optica]]<br />
[[categoría:Cursos]]<br />
<br />
<br />
----<br />
=== Ejercicio 8.6 ===<br />
''''' Escriba una expresión para un estado <math>\Re</math> de onda lumínica de frecuencia <math>\omega</math> propagándose en la dirección positiva x tal que a <math>t=0</math> y <math>x=0</math>, el campo <math>\vec{E}</math> a punta en la dirección z negativa. '''''<br />
<br />
:''' Solución '''<br />
<br />
Consideremos la onda electromagnética <math> \vec{E}(\vec{r},t)=\tilde{E}_{0}(\vec{r},t)\hat{n} </math> cuyo vector de onda es <math> \vec{k}</math> y su vector de polarización es <math> \hat{n}</math>. Sea W un frente de onda, entonces, <math> \exists</math> <math> \beta =\{\hat{r}_{1},\hat{r}_{2}\}\subseteq W </math> tal que:<br />
<br />
:<math> \hat{n}=a_{1}\hat{r}_{1} + a_{2}\hat{r}_{2} </math>.<br />
<br />
siendo <math> \beta </math> una base para <math> W </math> y, <math> W </math> el espacio afín del subespacio vectorial P que pasa por el origen. (W es una traslación de P)Entonces:<br />
<br />
<math> \vec{E}(\vec{r},t)=\tilde{E}_{01}(\vec{r},t)\hat{r}_{1} + \tilde{E}_{02}(\vec{r},t)\hat{r}_{2}</math>.<br />
<br />
Por supuesto que la dependencia del campo <math>\vec{E}</math> y de sus componentes <math>\tilde{E}_{01}</math>, <math> \tilde{E}_{02}</math> es sinusoidal, es decir:<br />
<br />
<math>\vec{E}(\vec{r},t)=E_{01}\cos(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+\delta)\hat{r}_{1} + E_{02}\cos(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+\epsilon)\hat{r}_{2}</math><br />
<br />
Ahora, en un estado <math>\Re</math> se deben de cumplir las siguientes condiciones:<br />
<br />
:i)<math> \epsilon = \delta + (-\frac{\pi}{2} + 2m\pi) </math> donde <math> m=\{...,-2,-1,0,1,2,...\} </math>;<br />
:ii)<math>\hat{r}_{1}\cdot\hat{r}_{2} = 0 </math> &<br />
:iii)<math>E_{01}=E_{02}=E_{0}</math><br />
<br />
''a priori'', <math> \vec{E}(\vec{r},t)=E_{0}[\cos(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+\delta)\hat{r}_{1} + \sin(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+\delta)\hat{r}_{2}]</math><br />
<br />
Sea que <math> \vec{k}=k\hat{x}</math>, no hay más para <math>\hat{r}_{1},\hat{r}_{2}</math> que <math>\hat{r}_{1}=\hat{y}</math> & <math>\hat{r}_{2}=\hat{z}</math>. Por lo que<br />
<br />
:<math>\vec{E}(\vec{x},t)=E_{0}[\cos(kx-\omega t +\delta)\hat{y} + \sin(kx-\omega t +\delta)\hat{z}]</math><br />
<br />
Sin embargo, se desea que a <math>t=0</math> y <math>x=0</math>, el campo <math>\vec{E}</math> apunte en la dirección z negativa, es decir:<br />
<br />
<math> E_{0}[\cos(\delta)\hat{y} + \sin(\delta)\hat{z}]=0\hat{y}-E_{0}\hat{z} </math><br />
<br />
Lo cual es cierto si, y sólo si:<br />
<br />
<math> \cos(\delta) = 0</math> & <math> \sin(\delta)=-1 </math>. Por tanto, hagamos <math> \delta=\frac{3}{2}\pi </math>, entonces:<br />
<br />
<math>\vec{E}(x,t)=E_{0}[\cos(kx-\omega t + \frac{3}{2}\pi)\hat{y} + \sin(kx-\omega t + \frac{3}{2}\pi)\hat{z}]</math>, que es lo mismo que:<br />
<br />
:<math>\vec{E}(x,t)=E_{0}[\sin(kx-\omega t )\hat{y} - \cos(kx-\omega t)\hat{z}]</math> <br />
<br />
que es una de las expresiones de la onda que se piden en el problema.<br />
<br />
<br />
[[Usuario:diegophy17|Diego de la Cruz López]]<br />
----<br />
<br />
----<br />
<br />
=== Ejercicio 8.30 ===<br />
Un polarizador ideal rota con una velocidad angular <math>\omega</math> entre un par de polarizadores similares cruzados y estacionarios. Muestre que la densidad de flujo emergente estará modulada por cuatro veces la frecuencia de rotación. En otras palabras, muestre que <br />
<br />
<math><br />
I = \dfrac{I_1}{8} \left[1-\cos(4\omega t)\right]<br />
</math><br />
<br />
donde <math>I_1</math> es la densidad de flujo emergente del primer polarizador e <math>I</math> es la densidad de flujo final.<br />
<br />
: '''Solución:'''<br />
El ángulo que hay entre el primer polarizador y el segundo que está girando es <math>\theta</math>. Si la amplitud de la luz que sale del primer polarizador es $E_{01}$, entonces la que emerge del polarizador en rotación debe ser<br />
<br />
<math><br />
E_{01} \cos \theta<br />
</math><br />
<br />
Ahora bien, el último polarizador tiene un ángulo de <math>\pi / 2</math> respecto del primero, lo que significa que el ángulo de salida será <math>\pi / 2 - \theta</math>, entonces la amplitud resultante será<br />
<br />
<math><br />
E_{01} \cos \theta \cos(\pi/2 -90) = E_{01} \cos \theta \sin \theta \equiv E<br />
</math><br />
<br />
Además, sabemos que<br />
<br />
<math><br />
I = \dfrac{1}{2} E^2<br />
</math><br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<math><br />
I = \dfrac{1}{2} E_{01}^2 \cos^2 \theta \sin^2 \theta = \dfrac{1}{2} E_{01}^2 \dfrac{1}{2} \left(1 + \cos(2\theta)\right) \dfrac{1}{2} \left(1 - \cos(2\theta)\right) = \dfrac{E_{01}^2}{2} \dfrac{1}{4} \left(1 - \cos^2(2\theta)\right) = \dfrac{E_{01}^2}{2} \dfrac{1}{4} \left\{1 - \dfrac{1}{2}\left[1 + \cos^4(4\theta)\right]\right\}<br />
</math><br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<math><br />
I=\dfrac{E_{01}^2}{2} \dfrac{1}{8} \left[1 - \cos^4(4\theta)\right] = \dfrac{E_{01}^2}{2} \dfrac{1}{8} \left[1 - \cos^4(4\omega t)\right]<br />
</math><br />
<br />
Y como <math>I_1 = \dfrac{E_{01}^2}{2}</math> llegamos a<br />
<br />
<math><br />
I = \dfrac{I_1}{8} \left[1 - \cos^4(4\omega t)\right]<br />
</math><br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 22:02 5 nov 2018 (CST)<br />
<br />
----<br />
<br />
===Ejercicio 8.73===<br />
----<br />
'''''Considere una celda de kerr cuyas placas están separadas por una distancia d. Sea l la longitud efectiva de esas placas (ligeramente diferente de la longitud real debido a la franja del campo). Muestra que <math>\Delta \varphi =2\pi Kl{ { V }^{ 2 } }/{ { d }^{ 2 } }</math>.'''''<br />
<br />
: '''Solución:'''<br />
<br />
Donde:<br />
<math>d</math>: Separacion de las placas en celdas de Kerr<br />
<br />
<math>l</math>: Longitud efectiva de lass placas en celdas de Kerr<br />
<br />
La diferencia entre los indices <math>{ n }_{ \parallel }</math> y <math>{ n }_{ \bot }</math> asociaada con las dos orientaciones del plano de vibracion de la onda (es decir, paralela y perpendicular al campo electrico aplicado), es <br />
<br />
<math>\Delta n=\lambda \cdot K\cdot { E }^{ 2 }</math><br />
<br />
Donde:<br />
<math>K</math>: Kerr constante<br />
<math>E</math>: Intensidad de campo eléctrico.<br />
<br />
<math>\Delta n=\lambda \cdot K\cdot { \left( \frac { V }{ d } \right) }^{ 2 }</math><br />
<br />
Porque <math>Campo\quad electrico\quad (E)=\frac { Potencia\quad (V) }{ Distancia\quad (d) } </math><br />
<br />
<math>\Delta n=\lambda \cdot K\cdot \frac { { V }^{ 2 } }{ { d }^{ 2 } } \quad ...(1)</math><br />
<br />
<math>({ n }_{ \parallel }-{ n }_{ \bot })=\left[ \left( \frac { \lambda }{ { \lambda }_{ \parallel } } \right) -\left( \frac { \lambda }{ { \lambda }_{ \bot } } \right) \right] </math><br />
<br />
Donde:<br />
<math>{ \lambda }_{ \parallel }</math>: Longitud de onda de las ondas en un dice de refraccion <math>({ n }_{ \parallel })</math><br />
<br />
<math>{ \lambda }_{ \bot }</math>: Longitud de onda de las ondas en un indice de refracción <math>{ (n }_{ \bot })</math><br />
<br />
<math>({ n }_{ \parallel }-{ n }_{ \bot })=\lambda \left[ \frac { 1 }{ { \lambda }_{ \parallel } } -\frac { 1 }{ { \lambda }_{ \bot } } \right] </math><br />
<br />
<math>({ n }_{ \parallel }-{ n }_{ \bot })=\lambda \left[ \frac { { \phi }_{ \parallel } }{ { 2\pi l }_{ \parallel } } -\frac { { \phi }_{ \bot } }{ { 2\pi l }_{ \bot } } \right] </math><br />
<br />
Porque: <math>Fase\quad de\quad diferencia=\frac { 2\pi }{ \lambda } (camino\quad de\quad diferencia)</math><br />
<br />
<math>({ n }_{ \parallel }-{ n }_{ \bot })=\frac { \lambda }{ { 2\pi }l } \left[ { \phi }_{ \parallel }-{ \phi }_{ \bot } \right] </math><br />
<br />
Porque <math>{ l }_{ \parallel }={ l }_{ \bot }=l</math><br />
<br />
<math>\Delta n=\frac { \lambda }{ { 2\pi }l } \Delta \phi \quad ...(2)</math><br />
<br />
De la Ec. (1) y (2)<br />
<br />
<math>\frac { \lambda }{ { 2\pi }l } \Delta \phi =\lambda \cdot K\cdot \frac { { V }^{ 2 } }{ { d }^{ 2 } } </math><br />
<br />
<math>\frac { 1 }{ { 2\pi }l } \Delta \phi =K\cdot \frac { { V }^{ 2 } }{ { d }^{ 2 } } </math><br />
<br />
<math>\Delta \phi ={ 2\pi }lK\cdot \frac { { V }^{ 2 } }{ { d }^{ 2 } } </math><br />
<br />
:--[[Usuario:Luis Gutierrez|Luis Gutiérrez Melgarejo]]<br />
<br />
:<br />
:<br />
===Ejercicio 8.47===<br />
----<br />
'''''Un haz de luz natural incide en una interfaz aire-vidrio <math>{ n }_{ ti }</math> a 40°,Calcular el grado de polarización de la luz reflejada.'''''<br />
<br />
: '''Solución:'''<br />
:<br />
:Ocupando la expresión 8.33 del libro, para el grado de polarización de la luz reflejada es:<br />
:<br />
:<math>V=\frac { { I }_{ P } }{ { I }_{ P }+{ I }_{ n } } </math> .....(A)<br />
:<br />
:Donde <math>{ I }_{ P }</math> es la densidad de flujo constituyente de la luz polarizada y <math>{ I }_{ n }</math> es la densidad de flujo constituyente de la luz no polarizada.<br />
:<br />
:La densidad de flujo constituyente de la luz polarizada esta dada por:<br />
:<br />
:<math>{ I }_{ P }={ R }_{ \bot }{ I }_{ i\bot }-{ R }_{ \parallel }{ I }_{ i\parallel }</math> ....(1)<br />
:<br />
:La onda total reflejada tiene una irradiancia dada:<br />
:<br />
:<math>{ { I }_{ n }+I }_{ P }={ R }_{ \bot }{ I }_{ i\bot }+{ R }_{ \parallel }{ I }_{ i\parallel }</math> ....(2)<br />
:<br />
:Aquí <math>{ R }_{ \parallel }</math> y <math>{ R }_{ \bot }</math> son la irradiancia y estan dadas por las ecuaciones de Fresnel:<br />
:<br />
:<math>{ R }_{ \parallel }=\frac { { Tan }^{ 2 }({ { \theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) } }{ { Tan }^{ 2 }({ { \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } } </math>.....(3)<br />
:<br />
:Y<br />
:<br />
:<math>{ R }_{ \bot }=\frac { { Sin }^{ 2 }({ { \theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) } }{ { Sin }^{ 2 }({ { \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } } </math> ........(4)<br />
:<br />
:Aquí <math>{ \theta }_{ i }</math> es el ángulo incidente y <math>{ \theta }_{ t }</math> es el ángulo transmitido:<br />
:<br />
:Tenemos por ley de Snell:<br />
:<br />
:<math>{ n }_{ i }sin{ \theta }_{ i }={ n }_{ ti }sin{ \theta }_{ t }</math><br />
:<br />
:Despejando <math>{ \theta }_{ t }</math><br />
:<br />
:<math>{ \theta }_{ t }={ sin }^{ -1 }\left( \frac { { n }_{ i }sin{ \theta }_{ i } }{ { n }_{ ti } } \right) </math><br />
:<br />
:Sustituyendo los valores numéricos:<br />
:<br />
:<math>{ \theta }_{ t }={ sin }^{ -1 }\left( \frac { (1)sin40° }{ 1.5 } \right) </math><br />
:<br />
:<math>{ \theta }_{ t }=25.4°</math><br />
:<br />
:Sustituyendo el anterior resultado en (3):<br />
:<br />
:<math>{ R }_{ \parallel }=\frac { { Tan }^{ 2 }({ 40°-25.4°) } }{ { Tan }^{ 2 }({ 40°+25.4°) } } </math><br />
:<br />
:<math>{ R }_{ \parallel }=0.0143</math> ....(5)<br />
:<br />
:Similar para (4):<br />
:<br />
:<math>{ R }_{ \bot }=\frac { { Sin }^{ 2 }({ 40°-25.4°) } }{ { Sin }^{ 2 }({ 40°+25.4°) } } </math><br />
:<br />
:<math>{ R }_{ \bot }=0.0768</math>.......(6)<br />
:<br />
:Sustituyendo (1) y (2) en (A) tenemos:<br />
:<br />
:<math>V=\frac { { R }_{ \bot }{ I }_{ i\bot }-{ R }_{ \parallel }{ I }_{ i\parallel } }{ { { R }_{ \bot }{ I }_{ i\bot }{ +R }_{ \parallel }{ I }_{ i\parallel } } } </math>......(7)<br />
:<br />
:Ahora tomando <math>{ I }_{ i\bot }={ I }_{ i\parallel }=\frac { { I }_{ i } }{ 2 } </math> .....(8)<br />
:<br />
:Reemplazando, (7) tiene la forma:<br />
:<br />
:<math>V=\frac { { R }_{ \bot }(\frac { { I }_{ i } }{ 2 } )-{ R }_{ \parallel }(\frac { { I }_{ i } }{ 2 } ) }{ { { R }_{ \bot }(\frac { { I }_{ i } }{ 2 } ){ +R }_{ \parallel }(\frac { { I }_{ i } }{ 2 } ) } } </math>....(9)<br />
:<br />
:Reduciendo la expresión anterior:<br />
:<br />
:<math>V=\frac { { R }_{ \bot }-{ R }_{ \parallel } }{ { { R }_{ \bot }{ +R }_{ \parallel } } } </math>...(10)<br />
:<br />
:finalmente sustituyendo (5) y (6) en (10):<br />
:<br />
:<math>V=\frac { 0.0768-0.0143 }{ { 0.0768+0.0143 } } </math><br />
:<br />
:<math>V=0.69</math><br />
:<br />
:Por lo tanto el grado de polarización es del 69%<br />
:<br />
: [[Usuario:Luis Chávez |Luis Manuel Chávez Antonio]]<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
===Ejercicio 8.52===<br />
----<br />
'''''Un rayo de luz amarilla incide sobre una placa de calcita a <math>{ 50 }^{ \circ }</math>.La placa se corta de modo que el eje óptico sea paralelo a la cara frontal y perpendicular al plano de incidencia.Encuentra la separación angular entre los dos rayos emergentes '''''<br />
<br />
<br />
: '''Solución:'''<br />
<br />
Sabemos que:<br />
El indice de refraccion <math>({ n }_{ 0 })</math> del rayo ordinario en la placa de cuarzo = 1.6584<br />
<br />
El indice de refraccion <math>({ n }_{ e })</math> de rayos extraordinarios en la placa de cuarzo =1.4864<br />
<br />
Angulo <math>{ \theta }_{ i }</math> de incidencia de la luz amarilla en el cristal de calcita =<math>{ 50 }^{ \circ }</math><br />
<br />
<br />
Sabemos que la ley de Snell es:<br />
<br />
<br />
<math>\frac { sen{ (\theta }_{ i }) }{ sen{ (\theta }_{ t }) } =n</math><br />
<br />
<br />
Para el rayo ordinario tenemos :<br />
<br />
<math>sen{ \theta }_{ i }={ n }_{ o }sen{ \theta }_{ to }</math><br />
<br />
<br />
<math>sen{ \theta }_{ to }=\frac { sen{ \theta }_{ i } }{ { n }_{ o } } </math><br />
<br />
<br />
<math>sen{ \theta }_{ to }=\frac { sen{ 50 }^{ \circ } }{ 1.6584 } </math><br />
<br />
<br />
<math>sen{ \theta }_{ to }=\frac { 0.766 }{ 1.6584 } </math><br />
<br />
<br />
<math>sen{ \theta }_{ to }=0.4619</math><br />
<br />
<br />
<math>{ \theta }_{ to }={ sen }^{ -1 }0.4619</math><br />
<br />
<br />
<math>{ \theta }_{ to }={ 27 }^{ \circ }35´</math><br />
<br />
Para rayos extraordinarios tenemos análogamente de la ley de Snell<br />
<br />
<br />
<math>sen{ \theta }_{ te }=\frac { sen{ \theta }_{ i } }{ { n }_{ e } } </math><br />
<br />
<br />
<math>sen{ \theta }_{ te }=\frac { sen{ 50 }^{ \circ } }{ 1.4864 } </math><br />
<br />
<br />
<math>sen{ \theta }_{ te }=\frac { 0.766 }{ 1.4864 } </math><br />
<br />
<br />
<math>sen{ \theta }_{ te }=0.515</math><br />
<br />
<br />
<math>{ \theta }_{ te }={ sen }^{ -1 }0.515</math><br />
<br />
<br />
<math>{ \theta }_{ te }={ 31 }^{ \circ }4´</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto la separacion angular <math>\Delta \theta </math> entre los dos rayos emergentes es:<br />
<br />
<br />
<math>\Delta \theta ={ \theta }_{ te }-{ \theta }_{ to }</math><br />
<br />
<br />
<math>\Delta \theta ={ 31 }^{ \circ }4´-{ 27 }^{ \circ }35´</math><br />
<br />
<br />
<math>\Delta \theta ={ 3 }^{ \circ }29´</math><br />
<br />
:--[[Usuario:Ruben Espinosa|Ruben Espinosa Guzman]]<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
=== Ejercicio 8.4 ===<br />
Describa detalladamente el estado de la polarización de cada una de las siguientes ondas:<br />
<br />
'''a)'''<math>\vec{E}=\hat{i}E_0 cos(kz-ωt)+\hat{j}E_0 cos(kz-ωt)</math><br />
<br />
<br />
'''b)'''<math>\vec{E}=\hat{i}E_0 sen[2\pi(z/λ-\omega t)]-\hat{j}E_0 sen[2\pi (z/λ-\omega t)]</math><br />
<br />
<br />
'''c)'''<math>\vec{E}=\hat{i}E_0 sen(wt-kz)-\hat{j}E_0 sen(ωt-kz-\pi /4)</math><br />
<br />
<br />
'''d)'''<math>\vec{E}=\hat{i}E_0 cos(kz-ωt)+\hat{j}E_0 cos(kz-ωt+\pi /2)</math><br />
<br />
<br />
<br />
'''Solución:'''<br />
<br />
Analicemos los máximos de los valores extremos por componentes.<br />
<br />
Para la expresión '''a)''' vemos que cuando:<br />
<br />
<br />
Si <math>kz-ωt=0</math>; <math>\vec{E}=E_0[\hat{i}1-\hat{j}1</math>]<br />
<br />
Si <math>kz-ωt=\pi /2</math>; <math>\vec{E}=E_0[\hat{i}0-\hat{j}0</math>]<br />
<br />
Si <math>kz-ωt=3\pi /2</math>; <math>\vec{E}=E_0[\hat{i}-1-\hat{j}-1</math>]<br />
<br />
Con esto podemos darnos cuenta fácilmente que el campo '''E''' de '''a)''' es una recta con pendiente 1.<br />
<br />
<br />
Para la expresión '''b)''' tenemos:<br />
<br />
<br />
Si <math>z/λ-\omega t=0</math>; <math>\vec{E}=E_0[\hat{i}0\hat{j}0</math>]<br />
<br />
Si <math>z/λ-\omega t=\pi /2</math>; <math>\vec{E}=E_0[\hat{i}1-\hat{j}1</math>]<br />
<br />
Si <math>z/λ-\omega t=\pi </math>; <math>\vec{E}=E_0[\hat{i}0+\hat{j}0</math>]<br />
<br />
Si <math>z/λ-\omega t=3\pi /2</math>; <math>\vec{E}=E_0[-\hat{i}1+\hat{j}1</math>]<br />
<br />
Concluímos que el campo '''E''' de '''b)''' es una recta con pendiente -1<br />
<br />
<br />
Para la expresión '''c)''' tenemos:<br />
<br />
Si <math>kz-ωt=0</math>; <math>\vec{E}=E_0\hat{i}0[-\hat{j}\sqrt{2}/2</math>]<br />
<br />
Si <math>kz-ωt=\pi /2</math>; <math>\vec{E}=E_0[\hat{i}1+\hat{j}\sqrt{2}/2</math>]<br />
<br />
Si <math>kz-ωt=\pi </math>; <math>\vec{E}=E_0[\hat{i}1+\hat{j}\sqrt{2}/2</math>]<br />
<br />
Si <math>kz-ωt=3\pi /2</math>; <math>\vec{E}=E_0[-\hat{i}1-\hat{j}\sqrt{2}/2</math>]<br />
<br />
Es un poco más complicado de visualizar la forma, pero si se unen los puntos que conocemos, podemos interpretar que es una elipse para '''E''' de '''c)'''<br />
<br />
<br />
Finalmente, para '''d)'''<br />
<br />
<br />
Si <math>kz-ωt=0</math>; <math>\vec{E}=E_0[\hat{i}1+\hat{j}0</math>]<br />
<br />
Si <math>kz-ωt=\pi /2</math>; <math>\vec{E}=E_0[\hat{i}0-\hat{j}1</math>]<br />
<br />
Si <math>kz-ωt=3\pi /2</math>; <math>\vec{E}=E_0[-\hat{i}1+\hat{j}0</math>]<br />
<br />
Si <math>kz-ωt=2\pi</math>; <math>\vec{E}=E_0[\hat{i}1+\hat{j}0</math>]<br />
<br />
Claramente, '''E''' de '''d)''' es un circulo de radio E<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Onáfeder|Fernando Valencia Hernández]]<br />
<br />
----<br />
<br />
===Ejercicio 8.49===<br />
----<br />
<br />
'''''Un haz de luz natural que incide en el aire en un interfaz de vidrio <math>(n=1.5)</math> a 70° se refleja parcialmente. Calcular la reflectancia general. ¿Como se compararía esto con el caso de incidencia en, digamos ,56.3 °?'''''<br />
<br />
<br />
: '''Solución:'''<br />
<br />
<br />
Los datos que tenemos son:<br />
<br />
Angulo de incidencia del haz de luz en el interfaz de aire-vidrio. <math>\theta _{i}=70</math><br />
<br />
Indice de refracción de medio. <math>(n=1.5)</math><br />
<br />
<br />
Partiendo de la ley de Snell:<br />
<br />
<br />
<math>n_{i}sen \theta _{i}=n_{r}sen \theta _{r}</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{n_{r}}{n_{i}}=\frac{sen \theta _{i}}{sen \theta _{r}}</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{1.5}{1}=\frac{sen (70) }{sen \theta _{r}}</math><br />
<br />
<br />
<math>{sen \theta _{r}}=\frac{sen(70)}{1.5}</math><br />
<br />
<br />
<math>{sen \theta _{r}}=\frac{0.93969}{1.5}</math><br />
<br />
<br />
<math>{sen \theta _{r}}=0.6264</math><br />
<br />
<br />
<math>\theta _{r}=sen^{-1}(0.6264)</math><br />
<br />
<br />
<math> \theta _{r}=38.78</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto en angulo de transmicion es <math> \theta _{r}=38.78</math><br />
<br />
<br />
De las ecuaciones de Fresnel<br />
<br />
Componente paralelo de reflectancia:<br />
<br />
<math>R_{||}=\frac{tan^{2}(\theta _{i}-\theta _{r})}{tan^{2}(\theta _{i}+\theta _{r})}</math><br />
<br />
<br />
sustituimos los valores de <math>\theta _{i}</math> y <math>\theta _{r}</math><br />
<br />
<br />
<math>R_{||}=\frac{tan^{2}(70-38.78)}{tan^{2}(70+38.78)}</math><br />
<br />
<br />
<math>R_{||}=\left [\frac{tan(31.22)}{tan(108.78)} \right ]^{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>R_{||}=\left [\frac{0.606}{-2.94} \right ]^{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>R_{||}=0.04246</math><br />
<br />
<br />
<math>R_{ \perp}=\frac{sen^{2}(\theta _{i}-\theta _{r})}{sen^{2}(\theta _{i}+\theta _{r})}</math><br />
<br />
<br />
<math>R_{ \perp}=\frac{sen^{2}(70-38.78)}{sen^{2}(70+38.78)}</math><br />
<br />
<br />
<math>R_{ \perp}=\left [\frac{sen(31.22)}{sen(108.78)} \right ]^{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>R_{ \perp}=\left [\frac{0.5183}{0.9467} \right ]^{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>R_{ \perp}=\left [0.5474 \right ]^{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>R_{ \perp}=0.2996</math><br />
<br />
<br />
Sobre toda la reflectancia <math>R=\frac{1}{2}(R_{ \parallel}+ R_{ \perp})</math><br />
<br />
<br />
<math>R=\frac{1}{2}(0.04246+0.2996)</math><br />
<br />
<br />
Sobre toda la reflectancia <math>R=0.17107</math><br />
<br />
<br />
Es decir 17.107 % de la luz se refleja o también se puede decir 17.107 % de la luz incidente se refleja<br />
<br />
<br />
Cuando el angulo de incidencia <math>\theta _{i}=56.3</math><br />
<br />
<br />
De la ley de Snell:<br />
<br />
<br />
<math>\frac{n_{r}}{n_{i}}=\frac{sen \theta _{i}}{sen \theta _{r}}</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{1.5}{1}=\frac{sen (56.3)}{sen (\theta _{r})}</math><br />
<br />
<br />
<math>{sen (\theta _{r})}=\frac{0.831}{1.5}</math><br />
<br />
<br />
<math>{sen (\theta _{r})}=0.5546</math><br />
<br />
<br />
<math>\theta _{r}=sen^{-1}(0.5546)</math><br />
<br />
<br />
<math>\theta _{r}=33.68</math><br />
<br />
<br />
En angulo de transmicion es: <math>\theta _{r}=33.68</math><br />
<br />
<br />
Nuevamente usamos la ecuacion: <math>R_{||}=\frac{tan^{2}(\theta _{i}-\theta _{r})}{tan^{2}(\theta _{i}+\theta _{r})}</math><br />
<br />
<br />
<math>R_{||}=\frac{tan^{2}(56.3-33.68)}{tan^{2}(56.3+33.68)}</math><br />
<br />
<br />
<math>R_{||}=\left [\frac{tan(22.62)}{tan(89.98)} \right ]^{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>R_{||}= \left [\frac{0.4166}{3993.46} \right ]^{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>R_{||}= 1.0886 \times10^{-8} </math><br />
<br />
<br />
<math>R_{ \perp}=\frac{sen^{2}(\theta _{i}-\theta _{r})}{sen^{2}(\theta _{i}+\theta _{r})}</math><br />
<br />
<br />
<math>R_{ \perp}=\frac{sen^{2}(56.3-33.68)}{sen^{2}(56.3+33.68)}</math><br />
<br />
<br />
<math>R_{ \perp}=\left [\frac{sen(22.62)}{sen(89.68)} \right ]^{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>R_{ \perp}=\left [\frac{0.3846}{0.9999} \right ]^{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>R_{ \perp}=0.14791</math><br />
<br />
<br />
Sobre toda la reflectancia <math>R=\frac{1}{2}(R_{ \parallel}+ R_{ \perp})</math><br />
<br />
<br />
<math>R=\frac{1}{2}(1.0886\times 10^{-8}+0.14791)</math><br />
<br />
<br />
<math>R=0.07395</math><br />
<br />
<br />
Porcentaje de reflectancia = 7.395 %<br />
<br />
<br />
En este caso, la incidencia del angulo de 56.3° es igual al angulo de polarización. Así la luz reflejada esta totalmente polarizada. Pero en el primer caso la luz reflejada esta parcialmente polarizada. En el primer caso 17.107 % de la luz incidente se refleja y se polariza parcialmente. Pero en el caso posterior 7.395 % se refleja la luz incidente y se polariza totalmente. <br />
<br />
:<br />
: [[Usuario:Enrique Ortiz Martinez |Enrique Ortiz Martinez]]<br />
<br />
----<br />
=== Ejercicio 8.28 ===<br />
<br />
Dado <math>200\frac { w }{ { m }^{ 2 } } </math> de luz polarizada incide aleatoria mente en una pila de polarizadores lineales ideales que se colocan uno detrás de otro con el eje de transmicion de la primera vertical, el segundo a 30 grados, el tercero a 60 y el cuarto a 90. cuanta luz emerge?<br />
<br />
'''solución'''<br />
<br />
irradianza de luz polarizada aleatoriamente (luz natural)<br />
<br />
<math>{ I }_{ 0 }=200\frac { w }{ { m }^{ 2 } } </math><br />
<br />
El angulo de transmicion son 0, 30, 60, y 90 grados respectivamente<br />
<br />
cuando la luz natural de irradianza incide en un polarizador lineal, la luz proveniente del polarizador lineal se convierte en la mitad<br />
<br />
entonces del 1er polarizador <math>{ I }_{ (0) }=\frac { 200 }{ 2 } </math> = <math>{ I }_{ 0 }=100\frac { w }{ { m }^{ 2 } } </math><br />
<br />
la diferencia de angulo entre el 1er y 2do<br />
<br />
<math>\theta =30-0=30\ </math><br />
<br />
De la ley de Malus, la irradiacion de la luz emerge del 2do polarizador lineal<br />
<br />
<math>{ I }_{ \theta }=I(0){ cos }^{ 2 }30</math><br />
<br />
<math>(100){ (\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } })^{ 2 }</math><br />
<br />
<math>75\frac { w }{ { m }^{ 2 } } </math><br />
<br />
angulo entre los polarizadores 2do y 3ro <br />
<br />
<math>90-30=30\ </math><br />
<br />
aplicando de nuevo la ley de Malus para el tercer polarizador<br />
<br />
<math>I(\theta )=I(30){ cos }^{ 2 }30</math><br />
<br />
<math>(75){ (\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } ) }^{ 2 }</math><br />
<br />
<math>\frac { 225 }{ 4 } \frac { w }{ { m }^{ 2 } } </math><br />
<br />
<math>I(\theta )=56.25\frac { w }{ { m }^{ 2 } } </math> '''...(1)'''<br />
<br />
Esto es incidente en el cuarto polarizador<br />
<br />
angulo entre los polarizadores 3ro y 4to <br />
<br />
<math>I({ \theta }_{ 1 })=I(\theta ){ cos }^{ 2 }30</math> <br />
<br />
<math>(56.25){ (\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } ) }^{ 2 }=56.25(\frac { 3 }{ 4 } )</math><br />
<br />
esto nos da: <math>42.1875\frac { w }{ { m }^{ 2 } } </math><br />
<br />
esta ultima cantidad es la irradiacion de luz que emerge después de pasar por cuatro polarizadores <br />
<br />
:--[[Usuario:salvadormorales|Salvador Morales Carranza]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=== Ejercicio 8.3 ===<br />
<br />
demuestre analiticamente que la superposicion de un estado R y L que tienen diferentes amplitudes,llevaría a un estado ${\epsilon}$, como se muestra en lafigura 8.8 (del libro de óptica de hecht).¿ Cual debería ser el valor de ${\epsilon}?$<br />
<br />
${E_R}= i{E_0}cos{(kz-wt)}+j{E_0}sen{(kz-wt)}$<br />
<br />
${E_L}=i{E´_0}cos{(kz-wt)}-j{E´_0}sen{(kz-wt)}$<br />
<br />
$E={E_R}+{E_L}= i({E_0}+{E´_0})cos{(kz-wt)}+j({E_0}-{E´_0})sen{(kz-wt)}$<br />
<br />
<br />
dejando <br />
<br />
<br />
$({E_0}+{E´_0})={E´´_0x}$ y $({E_0}-{E´_0})={E´´_0y}$<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
por lo que :<br />
<br />
<br />
$E=i{E´´_0x}cos{(kz-wt)} + j{E´´_0y}sen{(kz-wt)}$<br />
<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Luisa Alejandra Vega Sanchez]]<br />
<br />
<br />
=== Ejercicio 8.45 ===<br />
<br />
Un compensador de Babinet esta puesto a $45°$ en medio de polarizadores cruzados y esta siendo iluminado con luz de sodio (589.6 nm). Cuando una delgada hoja de mica (índices 1.599 y 1.594) es puesta en el compensador, las bandas negras, todas cambian por $1/4$ del espacio separándolas. calcular el retardo de fase de la hoja y el grueso de ésta.<br />
<br />
--- Solución ---<br />
<br />
:Cuando la mica es puesta las bandas negras cambian su separación de fase de $\Delta\varphi$ a $1/4\Delta\varphi$. Entonces si antes de que se pusiera la mica, las ondas tenían una fase completa de $\Delta\varphi=2\pi$, la nueva fase será $\Delta\varphi´= (1/4)(\Delta\varphi)= (1/4)(2\pi)=\frac{\pi}{2}$, por lo que la hoja hace un retardo de fase de $\pi/2$.<br />
Para obtener el grosor de la mica podemos ocupar la siguiente relación:<br />
$\Delta\varphi´=\frac{2\pi|n_{o}-n_{e}|d}{\lambda_0}$<br />
Con d el grosor de la mica, $n_{o}$ y $n_{e}$ los índices de los medios en los que las ondas ordinarias y extraordinarias atraviesan, respectivamente. <br />
:Así el grosor de la hoja de mica es:<br />
$d=\frac{\Delta\varphi´\lambda_0}{2\pi\Delta{n}}$ con $\Delta{n}= |n_{o}-n_{e}|$.<br />
:$d= \frac{\Delta\varphi´\lambda_0}{2\pi\Delta{n}}= \pi/2[\frac{589.6 \times 10^{-9}}{2\pi(5 \times 10^{-3})}]= 2.94 \times 10^-5 m$<br />
<br />
[[Usuario: Pedro J. Julián]]<br />
<br />
----<br />
=== Ejercicio 8.48 ===<br />
<br />
Demuestre que el grado de polarización de $(V_r)$ de la luz reflejada puede expresarse como:<br />
<br />
:::: $V_r= \frac{R_{\perp} - R_{ \parallel}}{R_{\perp} + R_{ \parallel}}$<br />
<br />
: '''Solución:'''<br />
<br />
Partimos de la definición de grado de polarización:<br />
<br />
:::: $V= \frac{I_p}{I_p + I_n}$<br />
<br />
Donde $I_p$ e $I_n$ son las densidades de flujo constitutivas de la luz polarizada y no polarizada o luz natural .<br />
<br />
Estas cantidades son función de la Reflectancia:<br />
<br />
$R_{ \parallel}= \frac{I_{ \parallel }}{I_0}$<br />
<br />
$R_{ \perp} = \frac{I_{ \perp }}{I_0}$<br />
<br />
Despejando $I_{ \perp }$ y $I_{ \parallel}$ obtenemos:<br />
<br />
$I_{0} R_{ \parallel}= I_{ \parallel }$<br />
<br />
$I_0 R_{ \perp} = I_{ \perp } $<br />
<br />
Recordemos que para la luz reflejada no polarizada : $I_{\parallel}= I_{ \perp }$<br />
<br />
Mientras que en luz reflejada polarizada : $I_p =I_{r \perp } - I_{r \parallel }$<br />
<br />
Con esto en mente , hacemos la sustitución en la definición de grado de polarización:<br />
<br />
$V= \frac{I_p}{I_p + I_n} =\frac{ I_{r \perp } - I_{r \parallel }}{ I_{r \perp } - I_{r \parallel } + 2 I_{r \parallel }}$<br />
<br />
<br />
$V= \frac {I_0 R_{ \perp} - I_0 R_{ \parallel }}{ I_0 R_{ \perp} - I_0 R_{ \parallel} + 2 I_0 R_{ \parallel}}$<br />
<br />
<br />
$V=\frac {I_0 R_{ \perp} - I_0 R_{ \parallel}}{ I_0 R_{ \perp} + I_0 R_{ \parallel} }$<br />
<br />
Factorizamos $I_0$:<br />
<br />
$V=\frac {I_0( R_{ \perp} - R_{ \parallel})}{ I_0( R_{ \perp} + R_{ \parallel}) }$<br />
<br />
El factor $\frac {I_0}{I_0}=1$ y obtenemos la expresión para el grado de polarización $V_r$ de la luz reflejada :<br />
<br />
$V_r= \frac{R_{\perp} - R_{ \parallel}}{R_{\perp} + R_{ \parallel}}$<br />
<br />
[[Usuario:Aurea Espin|Aurea Espin]] ([[Usuario discusión:Aurea Espin|discusión]]) 10:59 11 nov 2018 (CST)<br />
<br />
----<br />
===Ejercicio 8.69===<br />
----<br />
Un compensador de Babinet se coloca 45° entre polarizadores lineales cruzados y se elimina con luz de sodio. Al colocar una lámina fina de mica (índices 1.599 y 1.594) en el compensador, todas las bandas negras se desplazan una cuarta parte del espacio que las separa. Calcule la retardancia de la lámina y su espesor. <br />
La retardancia está dada por:<br />
:'''Solución:'''<br />
:$\Delta φ=\frac{2π}{λ_0} dΔn$<br />
:Donde $\Delta φ=\frac{(14)}{(2π)}=\frac{π}{2}$<br />
:Despejando d<br />
:$\frac{\pi}{2}=\frac{2\pi\ d(0.005)}{589.3\times{10}^{-9}}$<br />
:$d=\frac{589.3\times{10}^{-9}}{4(0.005)}=2.94\times{10}^{-5}m$<br />
<br />
:--[[Usuario:Verenisse|Verenisse]]</div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Optica:_Capitulo9-problemas&diff=22824
Optica: Capitulo9-problemas
2018-11-18T15:23:58Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: Cambios para arreglar el índice</p>
<hr />
<div>Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 9<br />
<br />
[[categoría:Optica]]<br />
[[categoría:Cursos]]<br />
<br />
----<br />
<br />
=== Ejercicio 9.1 ===<br />
<br />
''''' Regresando a la sección 9.1, sean <math> \tilde{E}_{1}(\vec{r},t)=E_{1}(\vec{r})e^{-i\omega t} </math> & <math> \tilde{E}_{2}(\vec{r},t)=E_{2}(\vec{r})e^{-i\omega t} </math> donde las formas de los frentes de onda no está especificada explítamente especificadas, y <math> E_{1}</math> & <math> E_{2}</math> son vectores complejos cuya dependencia es espacial y por sus fases respectivas iniciales. Muestre que el término de interferencia está dado por:<br />
<br />
:<math> I_{12}=\frac{1}{2}(E_{1}\cdot\bar{E}_{2} + \bar{E}_{1}\cdot E_{2}) </math>..... (9.109)<br />
<br />
Muestra que la ecuación 9.109 lleva a la ecuación 9.11 para ondas planas<br />
<br />
'''''<br />
: ''' Solución '''<br />
<br />
Sea que un campo <math>\tilde{E}</math> es la superposición de los campos <math>\tilde{E}_{1}(\vec{r},t)</math> & <math>\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)</math>, esto es:<br />
<br />
:<math> \tilde{E}(\vec{r},t) = \tilde{E}_{1}(\vec{r},t) + \tilde{E}_{2}(\vec{r},t) </math><br />
<br />
Entonces:<br />
<br />
<math> |\tilde{E}(\vec{r},t)|^{2}=|\tilde{E}_{1}(\vec{r},t)|^{2} + |\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)|^{2} + 2\tilde{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\tilde{E}_{2}(\vec{r},t) </math><br />
<br />
Tomemos el operador lineal ''promedio temporal'' sobre el intervalo T en ambos lados de la ecuación anterior:<br />
<br />
<math> \langle |\tilde{E}(\vec{r},t)|^{2} \rangle _{T} = \langle |\tilde{E}_{1}(\vec{r},t)|^{2}\rangle _{T} + \langle |\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)|^{2}\rangle _{T} + 2\langle \tilde{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)\rangle _{T} </math><br />
<br />
donde <math> <br />
<br />
\langle |\tilde{E}(\vec{r},t)|^{2} \rangle _{T} = I,<br />
<br />
\langle |\tilde{E}_{1}(\vec{r},t)|^{2}\rangle _{T} = I_{1},<br />
<br />
\langle |\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)|^{2}\rangle _{T} = I_{2}, <br />
<br />
2\langle \tilde{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)\rangle _{T} = I_{12} <br />
<br />
</math> siempre que seamos negligentes con las constantes, pues, se sabe que <math> I=\epsilon v\langle |\vec{E}|^{2}\rangle _T </math>.<br />
<br />
Nos interesa el término <math> 2\langle \tilde{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)\rangle _{T} = I_{12} </math><br />
<br />
Sin embargo, la física se encuentra en la parte real de los campos <math> \tilde{E}_{1}(\vec{r},t) </math> & <math> \tilde{E}_{2}(\vec{r},t) </math>, es decir:<br />
<br />
<math> \tilde{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\tilde{E}_{2}(\vec{r},t) = Re[\tilde{E}_{1}(\vec{r},t)]\cdot Re[\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)] </math>.<br />
<br />
Pero sabemos que la parte real de un número complejo <math> z </math> se puede escribir como <math> Re[z]= \frac{1}{2}(z + \bar{z}) </math>. Así:<br />
<br />
<math> \tilde{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\tilde{E}_{2}(\vec{r},t) = \frac{1}{2}(E_{1}e^{-i\omega t} + \bar{E}_{1}e^{i\omega t})\cdot\frac{1}{2}(E_{2}e^{-i\omega t} + \bar{E}_{2}e^{i\omega t}) = \frac{1}{4}[E_{1}\cdot E_{2}e^{-2i\omega t} + \bar{E}_{1}\cdot\bar{E}_{2}e^{i2\omega t} + E_{1}\cdot\bar{E}_{2} + \bar{E}_{1}\cdot E_{2}] </math>. Por lo que:<br />
<br />
<math> \langle\tilde{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)\rangle_{T} =\frac{1}{4}\langle E_{1}\cdot E_{2}e^{-2i\omega t}\rangle_{T} + \frac{1}{4}\langle\bar{E}_{1}\cdot\bar{E}_{2}e^{2i\omega t}\rangle_{T} + \frac{1}{4}\langle E_{1}\cdot\bar{E}_{2} + \bar{E}_{1}\cdot E_{2}\rangle_{T} </math>.<br />
<br />
Pero <math>\langle E_{1}\cdot E_{2}e^{-2i\omega t}\rangle_{T}= (E_{1}(\vec{r})\cdot E_{2}(\vec{r})\frac{1}{T}\int_{t}^{t+T}e^{-2i\omega t'}dt' = </math><br />
<br />
:<math>=(E_{1}(\vec{r})\cdot E_{2}(\vec{r})\frac{1}{T}\{\int_{t}^{t+T}[\cos(2\omega t')-i\sin(2\omega t')]dt'\}=</math> <br />
<br />
:<math>=(E_{1}(\vec{r})\cdot E_{2}(\vec{r})\frac{1}{T}\{\int_{t}^{t+T}[(\cos^{2}(\omega t')-\sin^{2}(\omega t'))-i2\sin(\omega t')\cos(\omega t')]dt'\}=</math><br />
<br />
:<math>=(E_{1}(\vec{r})\cdot E_{2}(\vec{r}\{\frac{1}{T}\int_{t}^{t+T}(\cos^{2}(\omega t')dt'-\frac{1}{T}\int_{t}^{t+T}\sin^{2}(\omega t')dt'-i2\frac{1}{T}\int_{t}^{t+T}\sin(\omega t')\cos(\omega t')dt'\}=</math><br />
<br />
:<math>=(E_{1}(\vec{r})\cdot E_{2}(\vec{r}\{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-i2\cdot 0\}=0 </math> siempre que <math> \tau = 2\frac{\omega}{T}</math> ó <math>T>>\tau </math> que son los rangos que estamos considerando a la hora de evaluar los valores promedio de las cantidades anteriores.<br />
<br />
Lo mismo sucede con la cantidad <math> \frac{1}{4}\langle\bar{E}_{1}\cdot\bar{E}_{2}e^{2i\omega t}\rangle_{T} </math>. Por lo que obtenemos:<br />
<br />
<math> I_{12}=2\langle\tilde{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)\rangle_{T}=\frac{1}{2}\langle E_{1}\cdot\bar{E}_{2} + \bar{E}_{1}\cdot E_{2}\rangle_{T} </math>.<br />
<br />
Por fin, es inmediato ver que, para ondas planas:<br />
<br />
:<math> E_{1}(\vec{r})=\vec{E}_{01}(\vec{r})e^{i\gamma} </math> <math> \Rightarrow </math> <math> \bar{E}_{1}(\vec{r})=\vec{E}_{01}(\vec{r})e^{-i\gamma}</math><br />
<br />
:<math> E_{2}(\vec{r})=\vec{E}_{02}(\vec{r})e^{i\epsilon} </math> <math> \Rightarrow </math> <math>\bar{E}_{2}(\vec{r})=\vec{E}_{02}(\vec{r})e^{-i\epsilon} </math><br />
<br />
Por lo que: <math> I_{12}=\frac{1}{2}[\vec{E}_{01}(\vec{r})\cdot\vec{E}_{02}(\vec{r})e^{i(\gamma -\epsilon)} + \vec{E}_{01}(\vec{r})\cdot\vec{E}_{02}(\vec{r})e^{i(\epsilon -\gamma)}]</math>. Hagamos <math> \delta = \gamma -\epsilon</math>, obteniendo así:<br />
<br />
<math> I_{12}=\frac{1}{2}\vec{E}_{01}(\vec{r})\cdot\vec{E}_{02}(\vec{r})(2\cos(\gamma -\epsilon)) </math><br />
<br />
que es precisamente la ecuación 9.11.<br />
<br />
<br />
[[Usuario:diegophy17|Diego de la Cruz López]]<br />
<br />
---- <br />
----<br />
<br />
=== Problema 9.46 ===<br />
<br />
:A partir de la observación fotográfica de los anillos de Newton observamos que las franjas con valores elevados de ''m'' parecen separadas por distancias casi iguales. Para comprobarlo de forma analítica, demuestre que:<br />
<br />
<math>\frac{x_{m+1}-x_m}{x_{m+2}-x_{m+1}}≈1+\frac{1}{2m}</math><br />
<br />
:Puede determinarse en el laboratorio (a ravés de las franjas oscuras adyacentes) con independencia de \Delta d<br />
<br />
'''Solución:'''<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Onáfeder|Fernando Valencia Hernández]]<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
=== Problema 9.21 ===<br />
<br />
Examinar las condiciones bajo la cual las aproximaciones de Ec.(9.23) son validas :<br />
<br />
(a) Aplica la ley de los cosenos al triangulo <math>{ S }_{ 1 }{ S }_{ 2 }P\quad </math> en la Fig. 9.11c para obtener:<br />
<br />
<math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { \quad r }_{ 1 }\quad } ={ \left[ 1-2\left( \frac { a }{ { r }_{ 1 } } \right) sen\theta \quad +{ \left( \frac { a }{ { r }_{ 1 } } \right) }^{ 2 } \right] }^{ 1/2 }</math><br />
<br />
(b)Expande esto en una serie de Maclaurin produciendo así:<br />
<br />
<math>{ r }_{ 2 }=r_{ 1 }-\quad asen\theta +\frac { { a }^{ 2 } }{ { 2r }_{ 1 } } { cos }^{ 2 }\theta +.....</math><br />
<br />
(c) Debido a la luz en la Ec. (9.17) demuestre que si <math>({ r }_{ 1 }-r_{ 2 })</math> es igual en a <math>asen\theta </math>es requerido que <math>{ r }_{ 1 }>>{ a }^{ 2 }/\lambda </math><br />
<br />
----<br />
<br />
'''Solución:'''<br />
<br />
<br />
La formula para la ley del coseno es:<br />
<br />
<br />
<math>{ c }^{ 2 }={ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+2abcos\theta </math><br />
<br />
<math>{ c }=\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+2abcos\theta } </math><br />
<br />
Aquí, <math>c</math> es la hipotenusa del triangulo y <math>a,b</math> son los lados opuestos y adyacentes del triangulo y <math>\theta </math> es el angulo entre el lado adyacente y opuesto del triangulo <br />
<br />
<br />
(a)<br />
En la figura dada, la hipotenusa del triangulo <math>{ S }_{ 1 }{ S }_{ 2 }P\quad </math> es <math>{ r }_{ 2 }</math> la longitud del lado adyacente del triangulo es <math>a</math>, y la longitud del lado opuesto del triangulo es<math>{ r }_{ 1 }</math>.<br />
<br />
En la figura dada, el angulo entre el lado adyacente y opuesto del triangulo <math>{ S }_{ 1 }{ S }_{ 2 }P\quad </math> es,<br />
<br />
<math>\theta =90+\theta </math> <br />
<br />
De la ley del coseno:<br />
<br />
<math>{ r }_{ 2 }^{ 2 }={ r }_{ 1 }^{ 2 }+{ a }^{ 2 }+{ 2ar }_{ 1 }cos(90+\theta )</math><br />
<br />
De lo anterior podemos ver que : <math>cos(90+\theta )=-sen\theta </math><br />
<br />
sustituyéndolo en la ecuación anterior y factorizando <math>{ r }_{ 1 }^{ 2 }</math> tenemos :<br />
<br />
<math>{ r }_{ 2 }^{ 2 }={ r }_{ 1 }^{ 2 }\left[ 1+{ \left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) }^{ 2 }-2\left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) sen\theta \right] </math><br />
<br />
<br />
Ahora despejenado tenemos:<br />
<br />
<br />
<math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { r }_{ 1 } } ={ \left[ 1+{ \left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) }^{ 2 }-2\left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) sen\theta \right] }^{ 1/2 }</math><br />
<br />
Por lo tanto, el valor de <math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { r }_{ 1 } }</math> es <math>{ \left[ 1+{ \left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) }^{ 2 }-2\left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) sen\theta \right] }^{ 1/2 }</math><br />
<br />
(b) <br />
<br />
De la serie de Taylor podemos obtener la serie de Mauclaurin. Una expansión de una función sobre 0 es:<br />
<br />
<math>f(x)=f(0)+f´(0)+\frac { f´´(0) }{ 2! } { x }^{ 2 }+...+\frac { { f }^{ (n) }(0) }{ n! } { x }^{ n }</math><br />
<br />
Aplicando la serie de Maclaurin a <math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { r }_{ 1 } }={ \left[ 1-2\left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) sen\theta +{ \left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) }^{ 2 } \right] }^{ 1/2 }</math><br />
<br />
<math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { r }_{ 1 } }={ \left[ 1-2\left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) sen\theta +{ \left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) }^{ 2 } \right] }^{ 1/2 }</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { r }_{ 1 } }= 1- (\frac{a}{r_{1}})sen\theta +\frac { { a }^{2} }{ { r }_{ 1 }^{2} } \frac{(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}\theta }(sen\theta))^{2}}{2!} +...</math><br />
<br />
<math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { r }_{ 1 } }= 1- (\frac{a}{r_{1}})sen\theta +\frac { { a }^{2} }{ { r }_{ 1 }^{2} } \frac{cos^{2}\theta }{2!} +...</math><br />
<br />
<math> { r }_{ 2 } = { r }_{ 1 }- asen\theta +\frac { { a }^{2} }{ 2{ r }_{ 1 } } cos^{2}\theta +...</math><br />
<br />
Por lo tanto el valor de <math>{ r }_{ 2 }</math> es <math>{ r }_{ 1 }- asen\theta +\frac { { a }^{2} }{ 2{ r }_{ 1 } } cos^{2}\theta +...</math><br />
<br />
(c)<br />
<br />
La contribución <math>cos\frac{\delta }{2}</math> <br />
<br />
A partir del tercer termino en la expansión de Maclaurin será despreciable si, <br />
<br />
<math>\frac{k}{2}\left ( \frac{a^{2}}{2r_{1}}cos^{2 } \theta\right )<<\frac{\pi }{2}</math><br />
<br />
Por lo tanto podemos ver que <br />
<br />
<math>r_{1}>>\frac{a^{2}}{\lambda }</math><br />
<br />
--[[Usuario:Ruben Espinosa|Ruben Espinosa Guzman]]<br />
<br />
----<br />
<br />
=== Problema 9.48 ===<br />
<br />
<br />
<br />
'''''Uno de los espejos de un Interferómetro de Michelson se mueve, y 1000 pares de franjas se desplazan más allá de la raya de un telescopio de observación durante el proceso. Si el dispositivo está iluminado con una señal de 500 nm, ¿qué distancia se movió el espejo?'''''<br />
: ''' Solución '''<br />
<br />
Tenemos los siguientes datos:<br />
<br />
Longitud de onda de la luz <math>{ \lambda }_{ 0 }=500nm=500x{ 10 }^{ -9 }m</math><br />
<br />
Numero de franjas desplazadas <math>N=1000</math><br />
<br />
En el interferometro de Michelson se tiene que:<br />
<br />
<math>\Delta d=\frac { N{ \lambda }_{ 0 } }{ 2 } </math><br />
<br />
Donde <math>\Delta d</math>, es el desplazamiento de un espejo de un interferometro de Michelson:<br />
<br />
<math>\therefore \quad \Delta d=\frac { (500x{ 10 }^{ -9 }m)(1000) }{ 2 } </math><br />
<br />
<math>\Delta d={ 10 }^{ 3 }(250x{ 10 }^{ -9 }m)</math><br />
<br />
<math>\Delta d=25{ x10 }^{ -5 }m</math><br />
<br />
<math>\Delta d=0.25{ x10 }^{ -3 }m</math><br />
<br />
<math>\Delta d=0.25mm</math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Gutierrez|Luis Gutiérrez Melgarejo]]<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
=== Ejercicio 9.44 ===<br />
<br />
----<br />
<br />
'''''Se observan anillos de Newton en una película con cuasimonocromaticos que tiene una longitud de onda de 550 nm. Si el vigésimo anillo brillante tiene un radio de 1 cm, ¿cual es el radio de curvatura de la lente que forma parte del sistema interferente?'''''<br />
<br />
<br />
: ''' Solución '''<br />
<br />
<br />
La longitud de onda de la luz casi monocromatica <math>\lambda _{0}=550nm=550\times 10^{-9}m</math><br />
<br />
<br />
Radio de 20 anillo brillante <math>x_{20}=1cm=1\times 10^{-2}m</math><br />
<br />
<br />
Radio del <math>m^{th}</math> anillo brillante <math>x_{m}=\left [ \left ( m+\frac{1}{2} \right )\lambda _{f}R \right ]^{\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
<math>x_{m}=\left [ \left ( m+\frac{1}{2} \right )\left (\frac{\lambda _{0}}{n_{f}} \right )R \right ]^{\frac{1}{2}}</math> ....(1)<br />
<br />
<br />
Donde:<br />
<br />
<br />
R=Radio de curvatura de la lente convexa<br />
<br />
<br />
<math>n_{f}</math> = Indice de refracción del medio entre superficie plana óptica y lente convexa. Aquí el medio es el aire <math>n_{f}=1</math><br />
<br />
<br />
Desde:<br />
<br />
<br />
<math>x_{m}=\left [ \left ( m+\frac{1}{2} \right ) \lambda _{0}R \right ]^{\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
<math>x_{m}^{2}=\left [ \left ( m+\frac{1}{2} \right ) \lambda _{0}R \right ]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>R=\frac{x_{m}^{2}}{\left ( m+\frac{1}{2} \right )\lambda _{0}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>R=\frac{x_{20}^{2}}{\left ( 20+\frac{1}{2} \right )\lambda _{0}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>R=\frac{(10^{-2})^{2}}{\left ( \frac{41}{2} \right )(550\times 10^{-9})}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>R=\frac{(10^{4})}{\left ( 20.5 \right )(550\times 10^{-9})}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>R=\frac{10^{4}}{1.1275\times 10^{-5}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>R=8.869m</math><br />
<br />
<br />
<br />
El radio de curvatura de la lente es <math>R=8.869m</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario: Enrique Ortiz Martinez|Enrique Ortiz Martinez]]<br />
<br />
----<br />
=== Problema 9.26 ===<br />
En el espejo doble de Fresnel s = 2 m, <math>{ \lambda }_{ 0 }</math> = 589 nm, y se encontró que la separación de las franjas era de 0.5 mm. ¿Cuál es el ángulo de inclinación de los espejos, si la distancia perpendicular de la fuente puntual real a la intersección de los dos espejos es 1 m?<br />
----<br />
<br />
'''Solución:'''<br />
La separación de las franjas de fresnel esta dada:<br />
<br />
<math>\Delta y=\frac { s }{ a } \lambda </math> .......(1)<br />
<br />
Aquí, <math>s</math> es la separación entre las fuentes de imagen y la pantalla <math>a</math> es la separación entre dos fuentes de imagen. <br />
<br />
El angulo a dos fuentes de imagen desde el punto de intersección de los espejos es 2<math>\alpha </math>, cuando los espejos forman un ángulo <math>\alpha </math>, Así que:<br />
<br />
<math>sin\alpha =\frac { a }{ 2R } </math> .........(2)<br />
<br />
Sustituyendo (2) en (1):<br />
<br />
<math>sin\alpha =\frac { 1 }{ 2R } \left( \frac { s }{ \Delta y } \lambda \right) </math> ....(3)<br />
<br />
La longitud de onda y la separación de las franjas de la luz es en metros:<br />
<math>{ \lambda }_{ 0 }=589{ x10 }^{ -9 }m</math><br />
<br />
<math>\Delta y=0.5{ x10 }^{ -3 }m</math><br />
<br />
Sustituyendo las anteriores expresiones y <math>s</math> = 2m y <math>R</math>= 1m, en (3):<br />
<br />
<math>sin\alpha =\frac { 1 }{ 2(1m) } \left( \frac { 2m }{ 0.5{ x10 }^{ -3 }m } (589{ x10 }^{ -9 }m) \right) </math><br />
<br />
<math>sin\alpha =0.001178</math><br />
<br />
<math>\alpha ={ sin }^{ -1 }0.001178</math><br />
<br />
<math>\alpha ={ 0.067°\quad \quad }</math><br />
<br />
Por lo tanto el ángulo de inclinación de dos espejos es:<br />
<br />
<math>\alpha ={ 0.067°\quad \quad }</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Chávez|Luis Manuel Chávez Antonio]]<br />
<br />
----<br />
<br />
===Problema 9.24===<br />
----<br />
'''Imagínese que tenemos una antena a la orilla de un lago recogiendo una señal de una radio estrella lejana que esta apareciendo horizontalmente en ese momento. Escriba las expresiones para \deltay para la posición angular de la e strella cuando la antena detecta su primer máximo. '''<br />
<br />
<br />
: '''''Solución''''':<br />
Estamos hablando de un interferometro de division del frente de onda llamado espejo de Lloyd, ya que el lago es una superficie reflectora. <br />
<br />
Entonces:<br />
<br />
Sabemos que para este interferometro $ \delta = k(r_1 - r_2) \pm \pi$<br />
<br />
Realizando los calculos se obtiene<br />
<br />
:$r_1 = a/2 sin \alpha $<br />
<br />
:$r_2 = sin(90$$°$$ -2 \alpha) a/2 sin\alpha$<br />
<br />
Por lo tanto <br />
<br />
:$ \delta=(a/2 sen\alpha-[sen(90° -2 \alpha)]a/1sen\alpha +\pi) \\ \\<br />
\delta = ka(1+cos2\alpha)/2sen\alpha + \pi $<br />
<br />
Los maximos ocurren cuando $\delta = 2\pi $ entonces <br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Flor|Flor Ivon Vivar]]<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
=== Ejercicio 9.55 ===<br />
<br />
Para satisfacer algunos detalles de la deducción del incremento de fase más pequeño separado por dos franjas de Frabry-Perot resolubles , es decir:<br />
<br />
:::: $( \Delta \delta) \approx \frac{4.2}{\sqrt{F} }$<br />
<br />
teniendo en cuenta que :<br />
<br />
:::: $[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_a \pm \frac{\Delta \delta}{2}} = [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta = \frac{\Delta \delta}{2}}$<br />
<br />
a)Demuestre que la ecuación :<br />
<br />
:::: $\left(\frac{8}{\pi^2} \right) \frac{I_{t m \acute{a} x}}{I_{a m \acute{a}x }} = [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_a \pm \frac{\Delta \delta}{2}} + [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_b \pm \frac{\Delta \delta}{2}} $<br />
<br />
Puede reescribirse de nuevo como :<br />
<br />
:::: $2[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta = \frac{\Delta \delta}{2}} = 0.81 \left(1+ [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta = \Delta \delta} \right)$<br />
<br />
<br />
b)Cuando $F$ es grande y $\gamma$ pequeña, y $ \sin \left( \Delta \delta \right) = \Delta \delta $ . Demuestre que entonces se obtiene :<br />
<br />
:::: $( \Delta \delta) \approx \frac{4.2}{\sqrt{F} }$<br />
<br />
<br />
: ''' Solución :'''<br />
<br />
Para el inciso a) comenzamos tomando la ecuación :<br />
<br />
$[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_a \pm \frac{\Delta \delta}{2}} + [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_b \pm \frac{\Delta \delta}{2}}$ <br />
<br />
Si sustituimos el valor de $\delta$ en cada una obtenemos:<br />
<br />
<br />
$[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_a \pm \frac{\Delta \delta}{2}} + [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_b \pm \frac{\Delta \delta}{2}} = \frac{1}{1+F \sin^2 ( \frac{\delta_a}{2} + \frac{\Delta \delta}{4} )} + \frac{1}{1+F \sin^2 ( \frac{\delta_b}{2} + \frac{\Delta \delta}{4} )}$<br />
<br />
Antes de sumarlas notamos que el resultado se simplifica si tomamos en cuenta que :<br />
<br />
$[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_a \pm \frac{\Delta \delta}{2}} = [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta = \frac{\Delta \delta}{2}}$<br />
<br />
Ahora sin las contribuciones de $ \frac{\delta_a}{2}$ y $ \frac{\delta_b}{2}$:<br />
<br />
<br />
$[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_a \pm \frac{\Delta \delta}{2}} + [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_b \pm \frac{\Delta \delta}{2}} = \frac{2}{1+F \sin^2 ( \frac{\Delta}{4})} = 2 [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\frac{\Delta \delta}{2}}$ <br />
<br />
Por lo tanto :<br />
<br />
$\left(\frac{8}{\pi^2} \right) \frac{I_{t m \acute{a} x}}{I_{a m \acute{a}x }} = \frac{2}{1+F \sin^2 ( \frac{\Delta \delta}{4})} = 2 [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\frac{\Delta \delta}{2}}$ <br />
<br />
<br />
Y a su vez $\left(\frac{8}{\pi^2} \right) \frac{I_{t m \acute{a} x}}{I_{a m \acute{a}x }} $ se puede reescribir como:<br />
<br />
<br />
$\left(\frac{8}{\pi^2} \right) \frac{I_{t m \acute{a} x}}{I_{a m \acute{a}x }}= \left(\frac{8}{\pi^2} \right) \frac{I_{t m \acute{a}x } + I'}{ I _{a m \acute{a}x }}$ $= \left(\frac{8}{\pi^2} \right) \left( 1 +\frac{ I'}{ I _{a m \acute{a}x }} \right)$<br />
<br />
<br />
En este caso $\frac{ I' }{ I _{a m \acute{a}x }} = [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta = \Delta \delta}$ y sustituyendo eso y el valor numérico de $\frac{8}{\pi^2}$ obtenemos:<br />
<br />
$2 [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\frac{\Delta \delta}{2}}= 0.81 \left(1+[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta = \Delta \delta} \right) $<br />
<br />
Para el inciso b) :<br />
<br />
Necesitamos la expresión explicita de $2 [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta}$ :<br />
<br />
$2 [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta} = \frac{2}{1+F \sin^2( \frac{\Delta \delta}{2})}$<br />
<br />
Si aproximamos $\sin \frac{\Delta \delta}{2} \approx =\frac{\Delta \delta}{2} $ entonces:<br />
<br />
$\frac{2}{1+F( \frac{\Delta \delta}{2})^2 } = 0.81 \left(1+ \frac{1}{1+F( \frac{\Delta \delta}{2})^2 } \right) $<br />
<br />
<br />
$\frac{2}{1+F( \frac{\Delta \delta}{2})^2 } = 0.81 \left(\frac{1+ 1+F( \frac{\Delta \delta}{2})^2}{1+F( \frac{\Delta \delta}{2})^2 } \right)$<br />
<br />
<br />
<br />
$F^2 (\Delta \delta)^4-15.5 F (\Delta \delta)^2 -30=0 $<br />
<br />
<br />
<br />
Resolvemos para $(\frac{\Delta \delta}{2})$ y nos quedamos con la solución positiva y real <br />
<br />
$(\frac{\Delta \delta}{2}) = 4.1521 \sqrt{\frac{1}{F}}$<br />
<br />
<br />
$(\frac{\Delta \delta}{2}) \approx \frac{4.2}{\sqrt{F}}$<br />
<br />
[[Usuario:Aurea Espin|Aurea Espin]] ([[Usuario discusión:Aurea Espin|discusión]]) 21:38 17 nov 2018 (CST)</div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Optica:_Capitulo9-problemas&diff=22823
Optica: Capitulo9-problemas
2018-11-18T15:23:38Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: Edición de formato para que se presentara correctamente el índice.</p>
<hr />
<div>Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 9<br />
<br />
[[categoría:Optica]]<br />
[[categoría:Cursos]]<br />
<br />
----<br />
<br />
=== Ejercicio 9.1 ===<br />
<br />
''''' Regresando a la sección 9.1, sean <math> \tilde{E}_{1}(\vec{r},t)=E_{1}(\vec{r})e^{-i\omega t} </math> & <math> \tilde{E}_{2}(\vec{r},t)=E_{2}(\vec{r})e^{-i\omega t} </math> donde las formas de los frentes de onda no está especificada explítamente especificadas, y <math> E_{1}</math> & <math> E_{2}</math> son vectores complejos cuya dependencia es espacial y por sus fases respectivas iniciales. Muestre que el término de interferencia está dado por:<br />
<br />
:<math> I_{12}=\frac{1}{2}(E_{1}\cdot\bar{E}_{2} + \bar{E}_{1}\cdot E_{2}) </math>..... (9.109)<br />
<br />
Muestra que la ecuación 9.109 lleva a la ecuación 9.11 para ondas planas<br />
<br />
'''''<br />
: ''' Solución '''<br />
<br />
Sea que un campo <math>\tilde{E}</math> es la superposición de los campos <math>\tilde{E}_{1}(\vec{r},t)</math> & <math>\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)</math>, esto es:<br />
<br />
:<math> \tilde{E}(\vec{r},t) = \tilde{E}_{1}(\vec{r},t) + \tilde{E}_{2}(\vec{r},t) </math><br />
<br />
Entonces:<br />
<br />
<math> |\tilde{E}(\vec{r},t)|^{2}=|\tilde{E}_{1}(\vec{r},t)|^{2} + |\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)|^{2} + 2\tilde{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\tilde{E}_{2}(\vec{r},t) </math><br />
<br />
Tomemos el operador lineal ''promedio temporal'' sobre el intervalo T en ambos lados de la ecuación anterior:<br />
<br />
<math> \langle |\tilde{E}(\vec{r},t)|^{2} \rangle _{T} = \langle |\tilde{E}_{1}(\vec{r},t)|^{2}\rangle _{T} + \langle |\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)|^{2}\rangle _{T} + 2\langle \tilde{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)\rangle _{T} </math><br />
<br />
donde <math> <br />
<br />
\langle |\tilde{E}(\vec{r},t)|^{2} \rangle _{T} = I,<br />
<br />
\langle |\tilde{E}_{1}(\vec{r},t)|^{2}\rangle _{T} = I_{1},<br />
<br />
\langle |\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)|^{2}\rangle _{T} = I_{2}, <br />
<br />
2\langle \tilde{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)\rangle _{T} = I_{12} <br />
<br />
</math> siempre que seamos negligentes con las constantes, pues, se sabe que <math> I=\epsilon v\langle |\vec{E}|^{2}\rangle _T </math>.<br />
<br />
Nos interesa el término <math> 2\langle \tilde{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)\rangle _{T} = I_{12} </math><br />
<br />
Sin embargo, la física se encuentra en la parte real de los campos <math> \tilde{E}_{1}(\vec{r},t) </math> & <math> \tilde{E}_{2}(\vec{r},t) </math>, es decir:<br />
<br />
<math> \tilde{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\tilde{E}_{2}(\vec{r},t) = Re[\tilde{E}_{1}(\vec{r},t)]\cdot Re[\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)] </math>.<br />
<br />
Pero sabemos que la parte real de un número complejo <math> z </math> se puede escribir como <math> Re[z]= \frac{1}{2}(z + \bar{z}) </math>. Así:<br />
<br />
<math> \tilde{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\tilde{E}_{2}(\vec{r},t) = \frac{1}{2}(E_{1}e^{-i\omega t} + \bar{E}_{1}e^{i\omega t})\cdot\frac{1}{2}(E_{2}e^{-i\omega t} + \bar{E}_{2}e^{i\omega t}) = \frac{1}{4}[E_{1}\cdot E_{2}e^{-2i\omega t} + \bar{E}_{1}\cdot\bar{E}_{2}e^{i2\omega t} + E_{1}\cdot\bar{E}_{2} + \bar{E}_{1}\cdot E_{2}] </math>. Por lo que:<br />
<br />
<math> \langle\tilde{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)\rangle_{T} =\frac{1}{4}\langle E_{1}\cdot E_{2}e^{-2i\omega t}\rangle_{T} + \frac{1}{4}\langle\bar{E}_{1}\cdot\bar{E}_{2}e^{2i\omega t}\rangle_{T} + \frac{1}{4}\langle E_{1}\cdot\bar{E}_{2} + \bar{E}_{1}\cdot E_{2}\rangle_{T} </math>.<br />
<br />
Pero <math>\langle E_{1}\cdot E_{2}e^{-2i\omega t}\rangle_{T}= (E_{1}(\vec{r})\cdot E_{2}(\vec{r})\frac{1}{T}\int_{t}^{t+T}e^{-2i\omega t'}dt' = </math><br />
<br />
:<math>=(E_{1}(\vec{r})\cdot E_{2}(\vec{r})\frac{1}{T}\{\int_{t}^{t+T}[\cos(2\omega t')-i\sin(2\omega t')]dt'\}=</math> <br />
<br />
:<math>=(E_{1}(\vec{r})\cdot E_{2}(\vec{r})\frac{1}{T}\{\int_{t}^{t+T}[(\cos^{2}(\omega t')-\sin^{2}(\omega t'))-i2\sin(\omega t')\cos(\omega t')]dt'\}=</math><br />
<br />
:<math>=(E_{1}(\vec{r})\cdot E_{2}(\vec{r}\{\frac{1}{T}\int_{t}^{t+T}(\cos^{2}(\omega t')dt'-\frac{1}{T}\int_{t}^{t+T}\sin^{2}(\omega t')dt'-i2\frac{1}{T}\int_{t}^{t+T}\sin(\omega t')\cos(\omega t')dt'\}=</math><br />
<br />
:<math>=(E_{1}(\vec{r})\cdot E_{2}(\vec{r}\{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-i2\cdot 0\}=0 </math> siempre que <math> \tau = 2\frac{\omega}{T}</math> ó <math>T>>\tau </math> que son los rangos que estamos considerando a la hora de evaluar los valores promedio de las cantidades anteriores.<br />
<br />
Lo mismo sucede con la cantidad <math> \frac{1}{4}\langle\bar{E}_{1}\cdot\bar{E}_{2}e^{2i\omega t}\rangle_{T} </math>. Por lo que obtenemos:<br />
<br />
<math> I_{12}=2\langle\tilde{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)\rangle_{T}=\frac{1}{2}\langle E_{1}\cdot\bar{E}_{2} + \bar{E}_{1}\cdot E_{2}\rangle_{T} </math>.<br />
<br />
Por fin, es inmediato ver que, para ondas planas:<br />
<br />
:<math> E_{1}(\vec{r})=\vec{E}_{01}(\vec{r})e^{i\gamma} </math> <math> \Rightarrow </math> <math> \bar{E}_{1}(\vec{r})=\vec{E}_{01}(\vec{r})e^{-i\gamma}</math><br />
<br />
:<math> E_{2}(\vec{r})=\vec{E}_{02}(\vec{r})e^{i\epsilon} </math> <math> \Rightarrow </math> <math>\bar{E}_{2}(\vec{r})=\vec{E}_{02}(\vec{r})e^{-i\epsilon} </math><br />
<br />
Por lo que: <math> I_{12}=\frac{1}{2}[\vec{E}_{01}(\vec{r})\cdot\vec{E}_{02}(\vec{r})e^{i(\gamma -\epsilon)} + \vec{E}_{01}(\vec{r})\cdot\vec{E}_{02}(\vec{r})e^{i(\epsilon -\gamma)}]</math>. Hagamos <math> \delta = \gamma -\epsilon</math>, obteniendo así:<br />
<br />
<math> I_{12}=\frac{1}{2}\vec{E}_{01}(\vec{r})\cdot\vec{E}_{02}(\vec{r})(2\cos(\gamma -\epsilon)) </math><br />
<br />
que es precisamente la ecuación 9.11.<br />
<br />
<br />
[[Usuario:diegophy17|Diego de la Cruz López]]<br />
<br />
---- <br />
----<br />
<br />
== Problema 9.46 ==<br />
<br />
:A partir de la observación fotográfica de los anillos de Newton observamos que las franjas con valores elevados de ''m'' parecen separadas por distancias casi iguales. Para comprobarlo de forma analítica, demuestre que:<br />
<br />
<math>\frac{x_{m+1}-x_m}{x_{m+2}-x_{m+1}}≈1+\frac{1}{2m}</math><br />
<br />
:Puede determinarse en el laboratorio (a ravés de las franjas oscuras adyacentes) con independencia de \Delta d<br />
<br />
'''Solución:'''<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Onáfeder|Fernando Valencia Hernández]]<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
=== Problema 9.21 ===<br />
<br />
Examinar las condiciones bajo la cual las aproximaciones de Ec.(9.23) son validas :<br />
<br />
(a) Aplica la ley de los cosenos al triangulo <math>{ S }_{ 1 }{ S }_{ 2 }P\quad </math> en la Fig. 9.11c para obtener:<br />
<br />
<math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { \quad r }_{ 1 }\quad } ={ \left[ 1-2\left( \frac { a }{ { r }_{ 1 } } \right) sen\theta \quad +{ \left( \frac { a }{ { r }_{ 1 } } \right) }^{ 2 } \right] }^{ 1/2 }</math><br />
<br />
(b)Expande esto en una serie de Maclaurin produciendo así:<br />
<br />
<math>{ r }_{ 2 }=r_{ 1 }-\quad asen\theta +\frac { { a }^{ 2 } }{ { 2r }_{ 1 } } { cos }^{ 2 }\theta +.....</math><br />
<br />
(c) Debido a la luz en la Ec. (9.17) demuestre que si <math>({ r }_{ 1 }-r_{ 2 })</math> es igual en a <math>asen\theta </math>es requerido que <math>{ r }_{ 1 }>>{ a }^{ 2 }/\lambda </math><br />
<br />
----<br />
<br />
'''Solución:'''<br />
<br />
<br />
La formula para la ley del coseno es:<br />
<br />
<br />
<math>{ c }^{ 2 }={ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+2abcos\theta </math><br />
<br />
<math>{ c }=\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+2abcos\theta } </math><br />
<br />
Aquí, <math>c</math> es la hipotenusa del triangulo y <math>a,b</math> son los lados opuestos y adyacentes del triangulo y <math>\theta </math> es el angulo entre el lado adyacente y opuesto del triangulo <br />
<br />
<br />
(a)<br />
En la figura dada, la hipotenusa del triangulo <math>{ S }_{ 1 }{ S }_{ 2 }P\quad </math> es <math>{ r }_{ 2 }</math> la longitud del lado adyacente del triangulo es <math>a</math>, y la longitud del lado opuesto del triangulo es<math>{ r }_{ 1 }</math>.<br />
<br />
En la figura dada, el angulo entre el lado adyacente y opuesto del triangulo <math>{ S }_{ 1 }{ S }_{ 2 }P\quad </math> es,<br />
<br />
<math>\theta =90+\theta </math> <br />
<br />
De la ley del coseno:<br />
<br />
<math>{ r }_{ 2 }^{ 2 }={ r }_{ 1 }^{ 2 }+{ a }^{ 2 }+{ 2ar }_{ 1 }cos(90+\theta )</math><br />
<br />
De lo anterior podemos ver que : <math>cos(90+\theta )=-sen\theta </math><br />
<br />
sustituyéndolo en la ecuación anterior y factorizando <math>{ r }_{ 1 }^{ 2 }</math> tenemos :<br />
<br />
<math>{ r }_{ 2 }^{ 2 }={ r }_{ 1 }^{ 2 }\left[ 1+{ \left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) }^{ 2 }-2\left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) sen\theta \right] </math><br />
<br />
<br />
Ahora despejenado tenemos:<br />
<br />
<br />
<math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { r }_{ 1 } } ={ \left[ 1+{ \left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) }^{ 2 }-2\left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) sen\theta \right] }^{ 1/2 }</math><br />
<br />
Por lo tanto, el valor de <math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { r }_{ 1 } }</math> es <math>{ \left[ 1+{ \left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) }^{ 2 }-2\left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) sen\theta \right] }^{ 1/2 }</math><br />
<br />
(b) <br />
<br />
De la serie de Taylor podemos obtener la serie de Mauclaurin. Una expansión de una función sobre 0 es:<br />
<br />
<math>f(x)=f(0)+f´(0)+\frac { f´´(0) }{ 2! } { x }^{ 2 }+...+\frac { { f }^{ (n) }(0) }{ n! } { x }^{ n }</math><br />
<br />
Aplicando la serie de Maclaurin a <math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { r }_{ 1 } }={ \left[ 1-2\left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) sen\theta +{ \left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) }^{ 2 } \right] }^{ 1/2 }</math><br />
<br />
<math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { r }_{ 1 } }={ \left[ 1-2\left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) sen\theta +{ \left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) }^{ 2 } \right] }^{ 1/2 }</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { r }_{ 1 } }= 1- (\frac{a}{r_{1}})sen\theta +\frac { { a }^{2} }{ { r }_{ 1 }^{2} } \frac{(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}\theta }(sen\theta))^{2}}{2!} +...</math><br />
<br />
<math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { r }_{ 1 } }= 1- (\frac{a}{r_{1}})sen\theta +\frac { { a }^{2} }{ { r }_{ 1 }^{2} } \frac{cos^{2}\theta }{2!} +...</math><br />
<br />
<math> { r }_{ 2 } = { r }_{ 1 }- asen\theta +\frac { { a }^{2} }{ 2{ r }_{ 1 } } cos^{2}\theta +...</math><br />
<br />
Por lo tanto el valor de <math>{ r }_{ 2 }</math> es <math>{ r }_{ 1 }- asen\theta +\frac { { a }^{2} }{ 2{ r }_{ 1 } } cos^{2}\theta +...</math><br />
<br />
(c)<br />
<br />
La contribución <math>cos\frac{\delta }{2}</math> <br />
<br />
A partir del tercer termino en la expansión de Maclaurin será despreciable si, <br />
<br />
<math>\frac{k}{2}\left ( \frac{a^{2}}{2r_{1}}cos^{2 } \theta\right )<<\frac{\pi }{2}</math><br />
<br />
Por lo tanto podemos ver que <br />
<br />
<math>r_{1}>>\frac{a^{2}}{\lambda }</math><br />
<br />
--[[Usuario:Ruben Espinosa|Ruben Espinosa Guzman]]<br />
<br />
----<br />
<br />
=== Problema 9.48 ===<br />
<br />
<br />
<br />
'''''Uno de los espejos de un Interferómetro de Michelson se mueve, y 1000 pares de franjas se desplazan más allá de la raya de un telescopio de observación durante el proceso. Si el dispositivo está iluminado con una señal de 500 nm, ¿qué distancia se movió el espejo?'''''<br />
: ''' Solución '''<br />
<br />
Tenemos los siguientes datos:<br />
<br />
Longitud de onda de la luz <math>{ \lambda }_{ 0 }=500nm=500x{ 10 }^{ -9 }m</math><br />
<br />
Numero de franjas desplazadas <math>N=1000</math><br />
<br />
En el interferometro de Michelson se tiene que:<br />
<br />
<math>\Delta d=\frac { N{ \lambda }_{ 0 } }{ 2 } </math><br />
<br />
Donde <math>\Delta d</math>, es el desplazamiento de un espejo de un interferometro de Michelson:<br />
<br />
<math>\therefore \quad \Delta d=\frac { (500x{ 10 }^{ -9 }m)(1000) }{ 2 } </math><br />
<br />
<math>\Delta d={ 10 }^{ 3 }(250x{ 10 }^{ -9 }m)</math><br />
<br />
<math>\Delta d=25{ x10 }^{ -5 }m</math><br />
<br />
<math>\Delta d=0.25{ x10 }^{ -3 }m</math><br />
<br />
<math>\Delta d=0.25mm</math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Gutierrez|Luis Gutiérrez Melgarejo]]<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
=== Ejercicio 9.44 ===<br />
<br />
----<br />
<br />
'''''Se observan anillos de Newton en una película con cuasimonocromaticos que tiene una longitud de onda de 550 nm. Si el vigésimo anillo brillante tiene un radio de 1 cm, ¿cual es el radio de curvatura de la lente que forma parte del sistema interferente?'''''<br />
<br />
<br />
: ''' Solución '''<br />
<br />
<br />
La longitud de onda de la luz casi monocromatica <math>\lambda _{0}=550nm=550\times 10^{-9}m</math><br />
<br />
<br />
Radio de 20 anillo brillante <math>x_{20}=1cm=1\times 10^{-2}m</math><br />
<br />
<br />
Radio del <math>m^{th}</math> anillo brillante <math>x_{m}=\left [ \left ( m+\frac{1}{2} \right )\lambda _{f}R \right ]^{\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
<math>x_{m}=\left [ \left ( m+\frac{1}{2} \right )\left (\frac{\lambda _{0}}{n_{f}} \right )R \right ]^{\frac{1}{2}}</math> ....(1)<br />
<br />
<br />
Donde:<br />
<br />
<br />
R=Radio de curvatura de la lente convexa<br />
<br />
<br />
<math>n_{f}</math> = Indice de refracción del medio entre superficie plana óptica y lente convexa. Aquí el medio es el aire <math>n_{f}=1</math><br />
<br />
<br />
Desde:<br />
<br />
<br />
<math>x_{m}=\left [ \left ( m+\frac{1}{2} \right ) \lambda _{0}R \right ]^{\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
<math>x_{m}^{2}=\left [ \left ( m+\frac{1}{2} \right ) \lambda _{0}R \right ]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>R=\frac{x_{m}^{2}}{\left ( m+\frac{1}{2} \right )\lambda _{0}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>R=\frac{x_{20}^{2}}{\left ( 20+\frac{1}{2} \right )\lambda _{0}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>R=\frac{(10^{-2})^{2}}{\left ( \frac{41}{2} \right )(550\times 10^{-9})}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>R=\frac{(10^{4})}{\left ( 20.5 \right )(550\times 10^{-9})}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>R=\frac{10^{4}}{1.1275\times 10^{-5}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>R=8.869m</math><br />
<br />
<br />
<br />
El radio de curvatura de la lente es <math>R=8.869m</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario: Enrique Ortiz Martinez|Enrique Ortiz Martinez]]<br />
<br />
----<br />
=== Problema 9.26 ===<br />
En el espejo doble de Fresnel s = 2 m, <math>{ \lambda }_{ 0 }</math> = 589 nm, y se encontró que la separación de las franjas era de 0.5 mm. ¿Cuál es el ángulo de inclinación de los espejos, si la distancia perpendicular de la fuente puntual real a la intersección de los dos espejos es 1 m?<br />
----<br />
<br />
'''Solución:'''<br />
La separación de las franjas de fresnel esta dada:<br />
<br />
<math>\Delta y=\frac { s }{ a } \lambda </math> .......(1)<br />
<br />
Aquí, <math>s</math> es la separación entre las fuentes de imagen y la pantalla <math>a</math> es la separación entre dos fuentes de imagen. <br />
<br />
El angulo a dos fuentes de imagen desde el punto de intersección de los espejos es 2<math>\alpha </math>, cuando los espejos forman un ángulo <math>\alpha </math>, Así que:<br />
<br />
<math>sin\alpha =\frac { a }{ 2R } </math> .........(2)<br />
<br />
Sustituyendo (2) en (1):<br />
<br />
<math>sin\alpha =\frac { 1 }{ 2R } \left( \frac { s }{ \Delta y } \lambda \right) </math> ....(3)<br />
<br />
La longitud de onda y la separación de las franjas de la luz es en metros:<br />
<math>{ \lambda }_{ 0 }=589{ x10 }^{ -9 }m</math><br />
<br />
<math>\Delta y=0.5{ x10 }^{ -3 }m</math><br />
<br />
Sustituyendo las anteriores expresiones y <math>s</math> = 2m y <math>R</math>= 1m, en (3):<br />
<br />
<math>sin\alpha =\frac { 1 }{ 2(1m) } \left( \frac { 2m }{ 0.5{ x10 }^{ -3 }m } (589{ x10 }^{ -9 }m) \right) </math><br />
<br />
<math>sin\alpha =0.001178</math><br />
<br />
<math>\alpha ={ sin }^{ -1 }0.001178</math><br />
<br />
<math>\alpha ={ 0.067°\quad \quad }</math><br />
<br />
Por lo tanto el ángulo de inclinación de dos espejos es:<br />
<br />
<math>\alpha ={ 0.067°\quad \quad }</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Chávez|Luis Manuel Chávez Antonio]]<br />
<br />
----<br />
<br />
===Problema 9.24===<br />
----<br />
'''Imagínese que tenemos una antena a la orilla de un lago recogiendo una señal de una radio estrella lejana que esta apareciendo horizontalmente en ese momento. Escriba las expresiones para \deltay para la posición angular de la e strella cuando la antena detecta su primer máximo. '''<br />
<br />
<br />
: '''''Solución''''':<br />
Estamos hablando de un interferometro de division del frente de onda llamado espejo de Lloyd, ya que el lago es una superficie reflectora. <br />
<br />
Entonces:<br />
<br />
Sabemos que para este interferometro $ \delta = k(r_1 - r_2) \pm \pi$<br />
<br />
Realizando los calculos se obtiene<br />
<br />
:$r_1 = a/2 sin \alpha $<br />
<br />
:$r_2 = sin(90$$°$$ -2 \alpha) a/2 sin\alpha$<br />
<br />
Por lo tanto <br />
<br />
:$ \delta=(a/2 sen\alpha-[sen(90° -2 \alpha)]a/1sen\alpha +\pi) \\ \\<br />
\delta = ka(1+cos2\alpha)/2sen\alpha + \pi $<br />
<br />
Los maximos ocurren cuando $\delta = 2\pi $ entonces <br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Flor|Flor Ivon Vivar]]<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
=== Ejercicio 9.55 ===<br />
<br />
Para satisfacer algunos detalles de la deducción del incremento de fase más pequeño separado por dos franjas de Frabry-Perot resolubles , es decir:<br />
<br />
:::: $( \Delta \delta) \approx \frac{4.2}{\sqrt{F} }$<br />
<br />
teniendo en cuenta que :<br />
<br />
:::: $[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_a \pm \frac{\Delta \delta}{2}} = [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta = \frac{\Delta \delta}{2}}$<br />
<br />
a)Demuestre que la ecuación :<br />
<br />
:::: $\left(\frac{8}{\pi^2} \right) \frac{I_{t m \acute{a} x}}{I_{a m \acute{a}x }} = [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_a \pm \frac{\Delta \delta}{2}} + [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_b \pm \frac{\Delta \delta}{2}} $<br />
<br />
Puede reescribirse de nuevo como :<br />
<br />
:::: $2[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta = \frac{\Delta \delta}{2}} = 0.81 \left(1+ [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta = \Delta \delta} \right)$<br />
<br />
<br />
b)Cuando $F$ es grande y $\gamma$ pequeña, y $ \sin \left( \Delta \delta \right) = \Delta \delta $ . Demuestre que entonces se obtiene :<br />
<br />
:::: $( \Delta \delta) \approx \frac{4.2}{\sqrt{F} }$<br />
<br />
<br />
: ''' Solución :'''<br />
<br />
Para el inciso a) comenzamos tomando la ecuación :<br />
<br />
$[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_a \pm \frac{\Delta \delta}{2}} + [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_b \pm \frac{\Delta \delta}{2}}$ <br />
<br />
Si sustituimos el valor de $\delta$ en cada una obtenemos:<br />
<br />
<br />
$[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_a \pm \frac{\Delta \delta}{2}} + [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_b \pm \frac{\Delta \delta}{2}} = \frac{1}{1+F \sin^2 ( \frac{\delta_a}{2} + \frac{\Delta \delta}{4} )} + \frac{1}{1+F \sin^2 ( \frac{\delta_b}{2} + \frac{\Delta \delta}{4} )}$<br />
<br />
Antes de sumarlas notamos que el resultado se simplifica si tomamos en cuenta que :<br />
<br />
$[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_a \pm \frac{\Delta \delta}{2}} = [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta = \frac{\Delta \delta}{2}}$<br />
<br />
Ahora sin las contribuciones de $ \frac{\delta_a}{2}$ y $ \frac{\delta_b}{2}$:<br />
<br />
<br />
$[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_a \pm \frac{\Delta \delta}{2}} + [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_b \pm \frac{\Delta \delta}{2}} = \frac{2}{1+F \sin^2 ( \frac{\Delta}{4})} = 2 [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\frac{\Delta \delta}{2}}$ <br />
<br />
Por lo tanto :<br />
<br />
$\left(\frac{8}{\pi^2} \right) \frac{I_{t m \acute{a} x}}{I_{a m \acute{a}x }} = \frac{2}{1+F \sin^2 ( \frac{\Delta \delta}{4})} = 2 [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\frac{\Delta \delta}{2}}$ <br />
<br />
<br />
Y a su vez $\left(\frac{8}{\pi^2} \right) \frac{I_{t m \acute{a} x}}{I_{a m \acute{a}x }} $ se puede reescribir como:<br />
<br />
<br />
$\left(\frac{8}{\pi^2} \right) \frac{I_{t m \acute{a} x}}{I_{a m \acute{a}x }}= \left(\frac{8}{\pi^2} \right) \frac{I_{t m \acute{a}x } + I'}{ I _{a m \acute{a}x }}$ $= \left(\frac{8}{\pi^2} \right) \left( 1 +\frac{ I'}{ I _{a m \acute{a}x }} \right)$<br />
<br />
<br />
En este caso $\frac{ I' }{ I _{a m \acute{a}x }} = [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta = \Delta \delta}$ y sustituyendo eso y el valor numérico de $\frac{8}{\pi^2}$ obtenemos:<br />
<br />
$2 [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\frac{\Delta \delta}{2}}= 0.81 \left(1+[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta = \Delta \delta} \right) $<br />
<br />
Para el inciso b) :<br />
<br />
Necesitamos la expresión explicita de $2 [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta}$ :<br />
<br />
$2 [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta} = \frac{2}{1+F \sin^2( \frac{\Delta \delta}{2})}$<br />
<br />
Si aproximamos $\sin \frac{\Delta \delta}{2} \approx =\frac{\Delta \delta}{2} $ entonces:<br />
<br />
$\frac{2}{1+F( \frac{\Delta \delta}{2})^2 } = 0.81 \left(1+ \frac{1}{1+F( \frac{\Delta \delta}{2})^2 } \right) $<br />
<br />
<br />
$\frac{2}{1+F( \frac{\Delta \delta}{2})^2 } = 0.81 \left(\frac{1+ 1+F( \frac{\Delta \delta}{2})^2}{1+F( \frac{\Delta \delta}{2})^2 } \right)$<br />
<br />
<br />
<br />
$F^2 (\Delta \delta)^4-15.5 F (\Delta \delta)^2 -30=0 $<br />
<br />
<br />
<br />
Resolvemos para $(\frac{\Delta \delta}{2})$ y nos quedamos con la solución positiva y real <br />
<br />
$(\frac{\Delta \delta}{2}) = 4.1521 \sqrt{\frac{1}{F}}$<br />
<br />
<br />
$(\frac{\Delta \delta}{2}) \approx \frac{4.2}{\sqrt{F}}$<br />
<br />
[[Usuario:Aurea Espin|Aurea Espin]] ([[Usuario discusión:Aurea Espin|discusión]]) 21:38 17 nov 2018 (CST)</div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Optica:_Capitulo9-problemas&diff=22822
Optica: Capitulo9-problemas
2018-11-18T15:23:07Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: Edición de formato para que se presentara correctamente el índice.</p>
<hr />
<div>Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 9<br />
<br />
[[categoría:Optica]]<br />
[[categoría:Cursos]]<br />
<br />
----<br />
<br />
=== Ejercicio 9.1 ===<br />
<br />
''''' Regresando a la sección 9.1, sean <math> \tilde{E}_{1}(\vec{r},t)=E_{1}(\vec{r})e^{-i\omega t} </math> & <math> \tilde{E}_{2}(\vec{r},t)=E_{2}(\vec{r})e^{-i\omega t} </math> donde las formas de los frentes de onda no está especificada explítamente especificadas, y <math> E_{1}</math> & <math> E_{2}</math> son vectores complejos cuya dependencia es espacial y por sus fases respectivas iniciales. Muestre que el término de interferencia está dado por:<br />
<br />
:<math> I_{12}=\frac{1}{2}(E_{1}\cdot\bar{E}_{2} + \bar{E}_{1}\cdot E_{2}) </math>..... (9.109)<br />
<br />
Muestra que la ecuación 9.109 lleva a la ecuación 9.11 para ondas planas<br />
<br />
'''''<br />
: ''' Solución '''<br />
<br />
Sea que un campo <math>\tilde{E}</math> es la superposición de los campos <math>\tilde{E}_{1}(\vec{r},t)</math> & <math>\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)</math>, esto es:<br />
<br />
:<math> \tilde{E}(\vec{r},t) = \tilde{E}_{1}(\vec{r},t) + \tilde{E}_{2}(\vec{r},t) </math><br />
<br />
Entonces:<br />
<br />
<math> |\tilde{E}(\vec{r},t)|^{2}=|\tilde{E}_{1}(\vec{r},t)|^{2} + |\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)|^{2} + 2\tilde{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\tilde{E}_{2}(\vec{r},t) </math><br />
<br />
Tomemos el operador lineal ''promedio temporal'' sobre el intervalo T en ambos lados de la ecuación anterior:<br />
<br />
<math> \langle |\tilde{E}(\vec{r},t)|^{2} \rangle _{T} = \langle |\tilde{E}_{1}(\vec{r},t)|^{2}\rangle _{T} + \langle |\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)|^{2}\rangle _{T} + 2\langle \tilde{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)\rangle _{T} </math><br />
<br />
donde <math> <br />
<br />
\langle |\tilde{E}(\vec{r},t)|^{2} \rangle _{T} = I,<br />
<br />
\langle |\tilde{E}_{1}(\vec{r},t)|^{2}\rangle _{T} = I_{1},<br />
<br />
\langle |\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)|^{2}\rangle _{T} = I_{2}, <br />
<br />
2\langle \tilde{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)\rangle _{T} = I_{12} <br />
<br />
</math> siempre que seamos negligentes con las constantes, pues, se sabe que <math> I=\epsilon v\langle |\vec{E}|^{2}\rangle _T </math>.<br />
<br />
Nos interesa el término <math> 2\langle \tilde{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)\rangle _{T} = I_{12} </math><br />
<br />
Sin embargo, la física se encuentra en la parte real de los campos <math> \tilde{E}_{1}(\vec{r},t) </math> & <math> \tilde{E}_{2}(\vec{r},t) </math>, es decir:<br />
<br />
<math> \tilde{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\tilde{E}_{2}(\vec{r},t) = Re[\tilde{E}_{1}(\vec{r},t)]\cdot Re[\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)] </math>.<br />
<br />
Pero sabemos que la parte real de un número complejo <math> z </math> se puede escribir como <math> Re[z]= \frac{1}{2}(z + \bar{z}) </math>. Así:<br />
<br />
<math> \tilde{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\tilde{E}_{2}(\vec{r},t) = \frac{1}{2}(E_{1}e^{-i\omega t} + \bar{E}_{1}e^{i\omega t})\cdot\frac{1}{2}(E_{2}e^{-i\omega t} + \bar{E}_{2}e^{i\omega t}) = \frac{1}{4}[E_{1}\cdot E_{2}e^{-2i\omega t} + \bar{E}_{1}\cdot\bar{E}_{2}e^{i2\omega t} + E_{1}\cdot\bar{E}_{2} + \bar{E}_{1}\cdot E_{2}] </math>. Por lo que:<br />
<br />
<math> \langle\tilde{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)\rangle_{T} =\frac{1}{4}\langle E_{1}\cdot E_{2}e^{-2i\omega t}\rangle_{T} + \frac{1}{4}\langle\bar{E}_{1}\cdot\bar{E}_{2}e^{2i\omega t}\rangle_{T} + \frac{1}{4}\langle E_{1}\cdot\bar{E}_{2} + \bar{E}_{1}\cdot E_{2}\rangle_{T} </math>.<br />
<br />
Pero <math>\langle E_{1}\cdot E_{2}e^{-2i\omega t}\rangle_{T}= (E_{1}(\vec{r})\cdot E_{2}(\vec{r})\frac{1}{T}\int_{t}^{t+T}e^{-2i\omega t'}dt' = </math><br />
<br />
:<math>=(E_{1}(\vec{r})\cdot E_{2}(\vec{r})\frac{1}{T}\{\int_{t}^{t+T}[\cos(2\omega t')-i\sin(2\omega t')]dt'\}=</math> <br />
<br />
:<math>=(E_{1}(\vec{r})\cdot E_{2}(\vec{r})\frac{1}{T}\{\int_{t}^{t+T}[(\cos^{2}(\omega t')-\sin^{2}(\omega t'))-i2\sin(\omega t')\cos(\omega t')]dt'\}=</math><br />
<br />
:<math>=(E_{1}(\vec{r})\cdot E_{2}(\vec{r}\{\frac{1}{T}\int_{t}^{t+T}(\cos^{2}(\omega t')dt'-\frac{1}{T}\int_{t}^{t+T}\sin^{2}(\omega t')dt'-i2\frac{1}{T}\int_{t}^{t+T}\sin(\omega t')\cos(\omega t')dt'\}=</math><br />
<br />
:<math>=(E_{1}(\vec{r})\cdot E_{2}(\vec{r}\{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-i2\cdot 0\}=0 </math> siempre que <math> \tau = 2\frac{\omega}{T}</math> ó <math>T>>\tau </math> que son los rangos que estamos considerando a la hora de evaluar los valores promedio de las cantidades anteriores.<br />
<br />
Lo mismo sucede con la cantidad <math> \frac{1}{4}\langle\bar{E}_{1}\cdot\bar{E}_{2}e^{2i\omega t}\rangle_{T} </math>. Por lo que obtenemos:<br />
<br />
<math> I_{12}=2\langle\tilde{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\tilde{E}_{2}(\vec{r},t)\rangle_{T}=\frac{1}{2}\langle E_{1}\cdot\bar{E}_{2} + \bar{E}_{1}\cdot E_{2}\rangle_{T} </math>.<br />
<br />
Por fin, es inmediato ver que, para ondas planas:<br />
<br />
:<math> E_{1}(\vec{r})=\vec{E}_{01}(\vec{r})e^{i\gamma} </math> <math> \Rightarrow </math> <math> \bar{E}_{1}(\vec{r})=\vec{E}_{01}(\vec{r})e^{-i\gamma}</math><br />
<br />
:<math> E_{2}(\vec{r})=\vec{E}_{02}(\vec{r})e^{i\epsilon} </math> <math> \Rightarrow </math> <math>\bar{E}_{2}(\vec{r})=\vec{E}_{02}(\vec{r})e^{-i\epsilon} </math><br />
<br />
Por lo que: <math> I_{12}=\frac{1}{2}[\vec{E}_{01}(\vec{r})\cdot\vec{E}_{02}(\vec{r})e^{i(\gamma -\epsilon)} + \vec{E}_{01}(\vec{r})\cdot\vec{E}_{02}(\vec{r})e^{i(\epsilon -\gamma)}]</math>. Hagamos <math> \delta = \gamma -\epsilon</math>, obteniendo así:<br />
<br />
<math> I_{12}=\frac{1}{2}\vec{E}_{01}(\vec{r})\cdot\vec{E}_{02}(\vec{r})(2\cos(\gamma -\epsilon)) </math><br />
<br />
que es precisamente la ecuación 9.11.<br />
<br />
<br />
[[Usuario:diegophy17|Diego de la Cruz López]]<br />
<br />
---- <br />
----<br />
<br />
== Problema 9.46 ==<br />
<br />
:A partir de la observación fotográfica de los anillos de Newton observamos que las franjas con valores elevados de ''m'' parecen separadas por distancias casi iguales. Para comprobarlo de forma analítica, demuestre que:<br />
<br />
<math>\frac{x_{m+1}-x_m}{x_{m+2}-x_{m+1}}≈1+\frac{1}{2m}</math><br />
<br />
:Puede determinarse en el laboratorio (a ravés de las franjas oscuras adyacentes) con independencia de \Delta d<br />
<br />
'''Solución:'''<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Onáfeder|Fernando Valencia Hernández]]<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema 9.21 ==<br />
<br />
Examinar las condiciones bajo la cual las aproximaciones de Ec.(9.23) son validas :<br />
<br />
(a) Aplica la ley de los cosenos al triangulo <math>{ S }_{ 1 }{ S }_{ 2 }P\quad </math> en la Fig. 9.11c para obtener:<br />
<br />
<math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { \quad r }_{ 1 }\quad } ={ \left[ 1-2\left( \frac { a }{ { r }_{ 1 } } \right) sen\theta \quad +{ \left( \frac { a }{ { r }_{ 1 } } \right) }^{ 2 } \right] }^{ 1/2 }</math><br />
<br />
(b)Expande esto en una serie de Maclaurin produciendo así:<br />
<br />
<math>{ r }_{ 2 }=r_{ 1 }-\quad asen\theta +\frac { { a }^{ 2 } }{ { 2r }_{ 1 } } { cos }^{ 2 }\theta +.....</math><br />
<br />
(c) Debido a la luz en la Ec. (9.17) demuestre que si <math>({ r }_{ 1 }-r_{ 2 })</math> es igual en a <math>asen\theta </math>es requerido que <math>{ r }_{ 1 }>>{ a }^{ 2 }/\lambda </math><br />
<br />
----<br />
<br />
'''Solución:'''<br />
<br />
<br />
La formula para la ley del coseno es:<br />
<br />
<br />
<math>{ c }^{ 2 }={ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+2abcos\theta </math><br />
<br />
<math>{ c }=\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+2abcos\theta } </math><br />
<br />
Aquí, <math>c</math> es la hipotenusa del triangulo y <math>a,b</math> son los lados opuestos y adyacentes del triangulo y <math>\theta </math> es el angulo entre el lado adyacente y opuesto del triangulo <br />
<br />
<br />
(a)<br />
En la figura dada, la hipotenusa del triangulo <math>{ S }_{ 1 }{ S }_{ 2 }P\quad </math> es <math>{ r }_{ 2 }</math> la longitud del lado adyacente del triangulo es <math>a</math>, y la longitud del lado opuesto del triangulo es<math>{ r }_{ 1 }</math>.<br />
<br />
En la figura dada, el angulo entre el lado adyacente y opuesto del triangulo <math>{ S }_{ 1 }{ S }_{ 2 }P\quad </math> es,<br />
<br />
<math>\theta =90+\theta </math> <br />
<br />
De la ley del coseno:<br />
<br />
<math>{ r }_{ 2 }^{ 2 }={ r }_{ 1 }^{ 2 }+{ a }^{ 2 }+{ 2ar }_{ 1 }cos(90+\theta )</math><br />
<br />
De lo anterior podemos ver que : <math>cos(90+\theta )=-sen\theta </math><br />
<br />
sustituyéndolo en la ecuación anterior y factorizando <math>{ r }_{ 1 }^{ 2 }</math> tenemos :<br />
<br />
<math>{ r }_{ 2 }^{ 2 }={ r }_{ 1 }^{ 2 }\left[ 1+{ \left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) }^{ 2 }-2\left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) sen\theta \right] </math><br />
<br />
<br />
Ahora despejenado tenemos:<br />
<br />
<br />
<math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { r }_{ 1 } } ={ \left[ 1+{ \left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) }^{ 2 }-2\left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) sen\theta \right] }^{ 1/2 }</math><br />
<br />
Por lo tanto, el valor de <math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { r }_{ 1 } }</math> es <math>{ \left[ 1+{ \left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) }^{ 2 }-2\left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) sen\theta \right] }^{ 1/2 }</math><br />
<br />
(b) <br />
<br />
De la serie de Taylor podemos obtener la serie de Mauclaurin. Una expansión de una función sobre 0 es:<br />
<br />
<math>f(x)=f(0)+f´(0)+\frac { f´´(0) }{ 2! } { x }^{ 2 }+...+\frac { { f }^{ (n) }(0) }{ n! } { x }^{ n }</math><br />
<br />
Aplicando la serie de Maclaurin a <math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { r }_{ 1 } }={ \left[ 1-2\left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) sen\theta +{ \left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) }^{ 2 } \right] }^{ 1/2 }</math><br />
<br />
<math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { r }_{ 1 } }={ \left[ 1-2\left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) sen\theta +{ \left( \frac { { a } }{ { r }_{ 1 } } \right) }^{ 2 } \right] }^{ 1/2 }</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { r }_{ 1 } }= 1- (\frac{a}{r_{1}})sen\theta +\frac { { a }^{2} }{ { r }_{ 1 }^{2} } \frac{(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}\theta }(sen\theta))^{2}}{2!} +...</math><br />
<br />
<math>\frac { { r }_{ 2 } }{ { r }_{ 1 } }= 1- (\frac{a}{r_{1}})sen\theta +\frac { { a }^{2} }{ { r }_{ 1 }^{2} } \frac{cos^{2}\theta }{2!} +...</math><br />
<br />
<math> { r }_{ 2 } = { r }_{ 1 }- asen\theta +\frac { { a }^{2} }{ 2{ r }_{ 1 } } cos^{2}\theta +...</math><br />
<br />
Por lo tanto el valor de <math>{ r }_{ 2 }</math> es <math>{ r }_{ 1 }- asen\theta +\frac { { a }^{2} }{ 2{ r }_{ 1 } } cos^{2}\theta +...</math><br />
<br />
(c)<br />
<br />
La contribución <math>cos\frac{\delta }{2}</math> <br />
<br />
A partir del tercer termino en la expansión de Maclaurin será despreciable si, <br />
<br />
<math>\frac{k}{2}\left ( \frac{a^{2}}{2r_{1}}cos^{2 } \theta\right )<<\frac{\pi }{2}</math><br />
<br />
Por lo tanto podemos ver que <br />
<br />
<math>r_{1}>>\frac{a^{2}}{\lambda }</math><br />
<br />
--[[Usuario:Ruben Espinosa|Ruben Espinosa Guzman]]<br />
<br />
----<br />
<br />
=== Problema 9.48 ===<br />
<br />
<br />
<br />
'''''Uno de los espejos de un Interferómetro de Michelson se mueve, y 1000 pares de franjas se desplazan más allá de la raya de un telescopio de observación durante el proceso. Si el dispositivo está iluminado con una señal de 500 nm, ¿qué distancia se movió el espejo?'''''<br />
: ''' Solución '''<br />
<br />
Tenemos los siguientes datos:<br />
<br />
Longitud de onda de la luz <math>{ \lambda }_{ 0 }=500nm=500x{ 10 }^{ -9 }m</math><br />
<br />
Numero de franjas desplazadas <math>N=1000</math><br />
<br />
En el interferometro de Michelson se tiene que:<br />
<br />
<math>\Delta d=\frac { N{ \lambda }_{ 0 } }{ 2 } </math><br />
<br />
Donde <math>\Delta d</math>, es el desplazamiento de un espejo de un interferometro de Michelson:<br />
<br />
<math>\therefore \quad \Delta d=\frac { (500x{ 10 }^{ -9 }m)(1000) }{ 2 } </math><br />
<br />
<math>\Delta d={ 10 }^{ 3 }(250x{ 10 }^{ -9 }m)</math><br />
<br />
<math>\Delta d=25{ x10 }^{ -5 }m</math><br />
<br />
<math>\Delta d=0.25{ x10 }^{ -3 }m</math><br />
<br />
<math>\Delta d=0.25mm</math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Gutierrez|Luis Gutiérrez Melgarejo]]<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
=== Ejercicio 9.44 ===<br />
<br />
----<br />
<br />
'''''Se observan anillos de Newton en una película con cuasimonocromaticos que tiene una longitud de onda de 550 nm. Si el vigésimo anillo brillante tiene un radio de 1 cm, ¿cual es el radio de curvatura de la lente que forma parte del sistema interferente?'''''<br />
<br />
<br />
: ''' Solución '''<br />
<br />
<br />
La longitud de onda de la luz casi monocromatica <math>\lambda _{0}=550nm=550\times 10^{-9}m</math><br />
<br />
<br />
Radio de 20 anillo brillante <math>x_{20}=1cm=1\times 10^{-2}m</math><br />
<br />
<br />
Radio del <math>m^{th}</math> anillo brillante <math>x_{m}=\left [ \left ( m+\frac{1}{2} \right )\lambda _{f}R \right ]^{\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
<math>x_{m}=\left [ \left ( m+\frac{1}{2} \right )\left (\frac{\lambda _{0}}{n_{f}} \right )R \right ]^{\frac{1}{2}}</math> ....(1)<br />
<br />
<br />
Donde:<br />
<br />
<br />
R=Radio de curvatura de la lente convexa<br />
<br />
<br />
<math>n_{f}</math> = Indice de refracción del medio entre superficie plana óptica y lente convexa. Aquí el medio es el aire <math>n_{f}=1</math><br />
<br />
<br />
Desde:<br />
<br />
<br />
<math>x_{m}=\left [ \left ( m+\frac{1}{2} \right ) \lambda _{0}R \right ]^{\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
<math>x_{m}^{2}=\left [ \left ( m+\frac{1}{2} \right ) \lambda _{0}R \right ]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>R=\frac{x_{m}^{2}}{\left ( m+\frac{1}{2} \right )\lambda _{0}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>R=\frac{x_{20}^{2}}{\left ( 20+\frac{1}{2} \right )\lambda _{0}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>R=\frac{(10^{-2})^{2}}{\left ( \frac{41}{2} \right )(550\times 10^{-9})}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>R=\frac{(10^{4})}{\left ( 20.5 \right )(550\times 10^{-9})}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>R=\frac{10^{4}}{1.1275\times 10^{-5}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>R=8.869m</math><br />
<br />
<br />
<br />
El radio de curvatura de la lente es <math>R=8.869m</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario: Enrique Ortiz Martinez|Enrique Ortiz Martinez]]<br />
<br />
----<br />
=== Problema 9.26 ===<br />
En el espejo doble de Fresnel s = 2 m, <math>{ \lambda }_{ 0 }</math> = 589 nm, y se encontró que la separación de las franjas era de 0.5 mm. ¿Cuál es el ángulo de inclinación de los espejos, si la distancia perpendicular de la fuente puntual real a la intersección de los dos espejos es 1 m?<br />
----<br />
<br />
'''Solución:'''<br />
La separación de las franjas de fresnel esta dada:<br />
<br />
<math>\Delta y=\frac { s }{ a } \lambda </math> .......(1)<br />
<br />
Aquí, <math>s</math> es la separación entre las fuentes de imagen y la pantalla <math>a</math> es la separación entre dos fuentes de imagen. <br />
<br />
El angulo a dos fuentes de imagen desde el punto de intersección de los espejos es 2<math>\alpha </math>, cuando los espejos forman un ángulo <math>\alpha </math>, Así que:<br />
<br />
<math>sin\alpha =\frac { a }{ 2R } </math> .........(2)<br />
<br />
Sustituyendo (2) en (1):<br />
<br />
<math>sin\alpha =\frac { 1 }{ 2R } \left( \frac { s }{ \Delta y } \lambda \right) </math> ....(3)<br />
<br />
La longitud de onda y la separación de las franjas de la luz es en metros:<br />
<math>{ \lambda }_{ 0 }=589{ x10 }^{ -9 }m</math><br />
<br />
<math>\Delta y=0.5{ x10 }^{ -3 }m</math><br />
<br />
Sustituyendo las anteriores expresiones y <math>s</math> = 2m y <math>R</math>= 1m, en (3):<br />
<br />
<math>sin\alpha =\frac { 1 }{ 2(1m) } \left( \frac { 2m }{ 0.5{ x10 }^{ -3 }m } (589{ x10 }^{ -9 }m) \right) </math><br />
<br />
<math>sin\alpha =0.001178</math><br />
<br />
<math>\alpha ={ sin }^{ -1 }0.001178</math><br />
<br />
<math>\alpha ={ 0.067°\quad \quad }</math><br />
<br />
Por lo tanto el ángulo de inclinación de dos espejos es:<br />
<br />
<math>\alpha ={ 0.067°\quad \quad }</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Chávez|Luis Manuel Chávez Antonio]]<br />
<br />
----<br />
<br />
===Problema 9.24===<br />
----<br />
'''Imagínese que tenemos una antena a la orilla de un lago recogiendo una señal de una radio estrella lejana que esta apareciendo horizontalmente en ese momento. Escriba las expresiones para \deltay para la posición angular de la e strella cuando la antena detecta su primer máximo. '''<br />
<br />
<br />
: '''''Solución''''':<br />
Estamos hablando de un interferometro de division del frente de onda llamado espejo de Lloyd, ya que el lago es una superficie reflectora. <br />
<br />
Entonces:<br />
<br />
Sabemos que para este interferometro $ \delta = k(r_1 - r_2) \pm \pi$<br />
<br />
Realizando los calculos se obtiene<br />
<br />
:$r_1 = a/2 sin \alpha $<br />
<br />
:$r_2 = sin(90$$°$$ -2 \alpha) a/2 sin\alpha$<br />
<br />
Por lo tanto <br />
<br />
:$ \delta=(a/2 sen\alpha-[sen(90° -2 \alpha)]a/1sen\alpha +\pi) \\ \\<br />
\delta = ka(1+cos2\alpha)/2sen\alpha + \pi $<br />
<br />
Los maximos ocurren cuando $\delta = 2\pi $ entonces <br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Flor|Flor Ivon Vivar]]<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
=== Ejercicio 9.55 ===<br />
<br />
Para satisfacer algunos detalles de la deducción del incremento de fase más pequeño separado por dos franjas de Frabry-Perot resolubles , es decir:<br />
<br />
:::: $( \Delta \delta) \approx \frac{4.2}{\sqrt{F} }$<br />
<br />
teniendo en cuenta que :<br />
<br />
:::: $[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_a \pm \frac{\Delta \delta}{2}} = [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta = \frac{\Delta \delta}{2}}$<br />
<br />
a)Demuestre que la ecuación :<br />
<br />
:::: $\left(\frac{8}{\pi^2} \right) \frac{I_{t m \acute{a} x}}{I_{a m \acute{a}x }} = [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_a \pm \frac{\Delta \delta}{2}} + [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_b \pm \frac{\Delta \delta}{2}} $<br />
<br />
Puede reescribirse de nuevo como :<br />
<br />
:::: $2[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta = \frac{\Delta \delta}{2}} = 0.81 \left(1+ [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta = \Delta \delta} \right)$<br />
<br />
<br />
b)Cuando $F$ es grande y $\gamma$ pequeña, y $ \sin \left( \Delta \delta \right) = \Delta \delta $ . Demuestre que entonces se obtiene :<br />
<br />
:::: $( \Delta \delta) \approx \frac{4.2}{\sqrt{F} }$<br />
<br />
<br />
: ''' Solución :'''<br />
<br />
Para el inciso a) comenzamos tomando la ecuación :<br />
<br />
$[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_a \pm \frac{\Delta \delta}{2}} + [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_b \pm \frac{\Delta \delta}{2}}$ <br />
<br />
Si sustituimos el valor de $\delta$ en cada una obtenemos:<br />
<br />
<br />
$[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_a \pm \frac{\Delta \delta}{2}} + [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_b \pm \frac{\Delta \delta}{2}} = \frac{1}{1+F \sin^2 ( \frac{\delta_a}{2} + \frac{\Delta \delta}{4} )} + \frac{1}{1+F \sin^2 ( \frac{\delta_b}{2} + \frac{\Delta \delta}{4} )}$<br />
<br />
Antes de sumarlas notamos que el resultado se simplifica si tomamos en cuenta que :<br />
<br />
$[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_a \pm \frac{\Delta \delta}{2}} = [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta = \frac{\Delta \delta}{2}}$<br />
<br />
Ahora sin las contribuciones de $ \frac{\delta_a}{2}$ y $ \frac{\delta_b}{2}$:<br />
<br />
<br />
$[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_a \pm \frac{\Delta \delta}{2}} + [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_b \pm \frac{\Delta \delta}{2}} = \frac{2}{1+F \sin^2 ( \frac{\Delta}{4})} = 2 [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\frac{\Delta \delta}{2}}$ <br />
<br />
Por lo tanto :<br />
<br />
$\left(\frac{8}{\pi^2} \right) \frac{I_{t m \acute{a} x}}{I_{a m \acute{a}x }} = \frac{2}{1+F \sin^2 ( \frac{\Delta \delta}{4})} = 2 [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\frac{\Delta \delta}{2}}$ <br />
<br />
<br />
Y a su vez $\left(\frac{8}{\pi^2} \right) \frac{I_{t m \acute{a} x}}{I_{a m \acute{a}x }} $ se puede reescribir como:<br />
<br />
<br />
$\left(\frac{8}{\pi^2} \right) \frac{I_{t m \acute{a} x}}{I_{a m \acute{a}x }}= \left(\frac{8}{\pi^2} \right) \frac{I_{t m \acute{a}x } + I'}{ I _{a m \acute{a}x }}$ $= \left(\frac{8}{\pi^2} \right) \left( 1 +\frac{ I'}{ I _{a m \acute{a}x }} \right)$<br />
<br />
<br />
En este caso $\frac{ I' }{ I _{a m \acute{a}x }} = [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta = \Delta \delta}$ y sustituyendo eso y el valor numérico de $\frac{8}{\pi^2}$ obtenemos:<br />
<br />
$2 [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\frac{\Delta \delta}{2}}= 0.81 \left(1+[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta = \Delta \delta} \right) $<br />
<br />
Para el inciso b) :<br />
<br />
Necesitamos la expresión explicita de $2 [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta}$ :<br />
<br />
$2 [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta} = \frac{2}{1+F \sin^2( \frac{\Delta \delta}{2})}$<br />
<br />
Si aproximamos $\sin \frac{\Delta \delta}{2} \approx =\frac{\Delta \delta}{2} $ entonces:<br />
<br />
$\frac{2}{1+F( \frac{\Delta \delta}{2})^2 } = 0.81 \left(1+ \frac{1}{1+F( \frac{\Delta \delta}{2})^2 } \right) $<br />
<br />
<br />
$\frac{2}{1+F( \frac{\Delta \delta}{2})^2 } = 0.81 \left(\frac{1+ 1+F( \frac{\Delta \delta}{2})^2}{1+F( \frac{\Delta \delta}{2})^2 } \right)$<br />
<br />
<br />
<br />
$F^2 (\Delta \delta)^4-15.5 F (\Delta \delta)^2 -30=0 $<br />
<br />
<br />
<br />
Resolvemos para $(\frac{\Delta \delta}{2})$ y nos quedamos con la solución positiva y real <br />
<br />
$(\frac{\Delta \delta}{2}) = 4.1521 \sqrt{\frac{1}{F}}$<br />
<br />
<br />
$(\frac{\Delta \delta}{2}) \approx \frac{4.2}{\sqrt{F}}$<br />
<br />
[[Usuario:Aurea Espin|Aurea Espin]] ([[Usuario discusión:Aurea Espin|discusión]]) 21:38 17 nov 2018 (CST)</div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Discusi%C3%B3n:Optica:_Capitulo8-problemas&diff=22728
Discusión:Optica: Capitulo8-problemas
2018-11-11T02:46:32Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: </p>
<hr />
<div>Buenas tardes Iván.<br />
En el problema 8.30 estaría mejor escribir \cos y \sin para las trigonométricas de manera que latex reconozca las funciones.<br />
<br />
Ya lo he corregido, ¡muchas gracias!</div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Optica:_Capitulo8-problemas&diff=22727
Optica: Capitulo8-problemas
2018-11-11T02:45:50Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: /* Ejercicio 8.30 */</p>
<hr />
<div>Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 8<br />
<br />
[[categoría:Optica]]<br />
[[categoría:Cursos]]<br />
<br />
----<br />
=== Ejercicio 8.30 ===<br />
Un polarizador ideal rota con una velocidad angular <math>\omega</math> entre un par de polarizadores similares cruzados y estacionarios. Muestre que la densidad de flujo emergente estará modulada por cuatro veces la frecuencia de rotación. En otras palabras, muestre que <br />
<br />
<math><br />
I = \dfrac{I_1}{8} \left[1-\cos(4\omega t)\right]<br />
</math><br />
<br />
donde <math>I_1</math> es la densidad de flujo emergente del primer polarizador e <math>I</math> es la densidad de flujo final.<br />
<br />
: '''Solución:'''<br />
El ángulo que hay entre el primer polarizador y el segundo que está girando es <math>\theta</math>. Si la amplitud de la luz que sale del primer polarizador es $E_{01}$, entonces la que emerge del polarizador en rotación debe ser<br />
<br />
<math><br />
E_{01} \cos \theta<br />
</math><br />
<br />
Ahora bien, el último polarizador tiene un ángulo de <math>\pi / 2</math> respecto del primero, lo que significa que el ángulo de salida será <math>\pi / 2 - \theta</math>, entonces la amplitud resultante será<br />
<br />
<math><br />
E_{01} \cos \theta \cos(\pi/2 -90) = E_{01} \cos \theta \sin \theta \equiv E<br />
</math><br />
<br />
Además, sabemos que<br />
<br />
<math><br />
I = \dfrac{1}{2} E^2<br />
</math><br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<math><br />
I = \dfrac{1}{2} E_{01}^2 \cos^2 \theta \sin^2 \theta = \dfrac{1}{2} E_{01}^2 \dfrac{1}{2} \left(1 + \cos(2\theta)\right) \dfrac{1}{2} \left(1 - \cos(2\theta)\right) = \dfrac{E_{01}^2}{2} \dfrac{1}{4} \left(1 - \cos^2(2\theta)\right) = \dfrac{E_{01}^2}{2} \dfrac{1}{4} \left\{1 - \dfrac{1}{2}\left[1 + \cos^4(4\theta)\right]\right\}<br />
</math><br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<math><br />
I=\dfrac{E_{01}^2}{2} \dfrac{1}{8} \left[1 - \cos^4(4\theta)\right] = \dfrac{E_{01}^2}{2} \dfrac{1}{8} \left[1 - \cos^4(4\omega t)\right]<br />
</math><br />
<br />
Y como <math>I_1 = \dfrac{E_{01}^2}{2}</math> llegamos a<br />
<br />
<math><br />
I = \dfrac{I_1}{8} \left[1 - \cos^4(4\omega t)\right]<br />
</math><br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 22:02 5 nov 2018 (CST)<br />
<br />
----<br />
<br />
===Ejercicio 8.73===<br />
----<br />
'''''Considere una celda de kerr cuyas placas están separadas por una distancia d. Sea l la longitud efectiva de esas placas (ligeramente diferente de la longitud real debido a la franja del campo). Muestra que <math>\Delta \varphi =2\pi Kl{ { V }^{ 2 } }/{ { d }^{ 2 } }</math>.'''''<br />
<br />
: '''Solución:'''<br />
<br />
Donde:<br />
<math>d</math>: Separacion de las placas en celdas de Kerr<br />
<br />
<math>l</math>: Longitud efectiva de lass placas en celdas de Kerr<br />
<br />
La diferencia entre los indices <math>{ n }_{ \parallel }</math> y <math>{ n }_{ \bot }</math> asociaada con las dos orientaciones del plano de vibracion de la onda (es decir, paralela y perpendicular al campo electrico aplicado), es <br />
<br />
<math>\Delta n=\lambda \cdot K\cdot { E }^{ 2 }</math><br />
<br />
Donde:<br />
<math>K</math>: Kerr constante<br />
<math>E</math>: Intensidad de campo eléctrico.<br />
<br />
<math>\Delta n=\lambda \cdot K\cdot { \left( \frac { V }{ d } \right) }^{ 2 }</math><br />
<br />
Porque <math>Campo\quad electrico\quad (E)=\frac { Potencia\quad (V) }{ Distancia\quad (d) } </math><br />
<br />
<math>\Delta n=\lambda \cdot K\cdot \frac { { V }^{ 2 } }{ { d }^{ 2 } } \quad ...(1)</math><br />
<br />
<math>({ n }_{ \parallel }-{ n }_{ \bot })=\left[ \left( \frac { \lambda }{ { \lambda }_{ \parallel } } \right) -\left( \frac { \lambda }{ { \lambda }_{ \bot } } \right) \right] </math><br />
<br />
Donde:<br />
<math>{ \lambda }_{ \parallel }</math>: Longitud de onda de las ondas en un dice de refraccion <math>({ n }_{ \parallel })</math><br />
<br />
<math>{ \lambda }_{ \bot }</math>: Longitud de onda de las ondas en un indice de refracción <math>{ (n }_{ \bot })</math><br />
<br />
<math>({ n }_{ \parallel }-{ n }_{ \bot })=\lambda \left[ \frac { 1 }{ { \lambda }_{ \parallel } } -\frac { 1 }{ { \lambda }_{ \bot } } \right] </math><br />
<br />
<math>({ n }_{ \parallel }-{ n }_{ \bot })=\lambda \left[ \frac { { \phi }_{ \parallel } }{ { 2\pi l }_{ \parallel } } -\frac { { \phi }_{ \bot } }{ { 2\pi l }_{ \bot } } \right] </math><br />
<br />
Porque: <math>Fase\quad de\quad diferencia=\frac { 2\pi }{ \lambda } (camino\quad de\quad diferencia)</math><br />
<br />
<math>({ n }_{ \parallel }-{ n }_{ \bot })=\frac { \lambda }{ { 2\pi }l } \left[ { \phi }_{ \parallel }-{ \phi }_{ \bot } \right] </math><br />
<br />
Porque <math>{ l }_{ \parallel }={ l }_{ \bot }=l</math><br />
<br />
<math>\Delta n=\frac { \lambda }{ { 2\pi }l } \Delta \phi \quad ...(2)</math><br />
<br />
De la Ec. (1) y (2)<br />
<br />
<math>\frac { \lambda }{ { 2\pi }l } \Delta \phi =\lambda \cdot K\cdot \frac { { V }^{ 2 } }{ { d }^{ 2 } } </math><br />
<br />
<math>\frac { 1 }{ { 2\pi }l } \Delta \phi =K\cdot \frac { { V }^{ 2 } }{ { d }^{ 2 } } </math><br />
<br />
<math>\Delta \phi ={ 2\pi }lK\cdot \frac { { V }^{ 2 } }{ { d }^{ 2 } } </math><br />
<br />
:--[[Usuario:Luis Gutierrez|Luis Gutiérrez Melgarejo]]<br />
<br />
:<br />
:<br />
===Ejercicio 8.47===<br />
----<br />
'''''Un haz de luz natural incide en una interfaz aire-vidrio <math>{ n }_{ ti }</math> a 40°,Calcular el grado de polarización de la luz reflejada.'''''<br />
<br />
: '''Solución:'''<br />
:<br />
:Ocupando la expresión 8.33 del libro, para el grado de polarización de la luz reflejada es:<br />
:<br />
:<math>V=\frac { { I }_{ P } }{ { I }_{ P }+{ I }_{ n } } </math> .....(A)<br />
:<br />
:Donde <math>{ I }_{ P }</math> es la densidad de flujo constituyente de la luz polarizada y <math>{ I }_{ n }</math> es la densidad de flujo constituyente de la luz no polarizada.<br />
:<br />
:La densidad de flujo constituyente de la luz polarizada esta dada por:<br />
:<br />
:<math>{ I }_{ P }={ R }_{ \bot }{ I }_{ i\bot }-{ R }_{ \parallel }{ I }_{ i\parallel }</math> ....(1)<br />
:<br />
:La onda total reflejada tiene una irradiancia dada:<br />
:<br />
:<math>{ { I }_{ n }+I }_{ P }={ R }_{ \bot }{ I }_{ i\bot }+{ R }_{ \parallel }{ I }_{ i\parallel }</math> ....(2)<br />
:<br />
:Aquí <math>{ R }_{ \parallel }</math> y <math>{ R }_{ \bot }</math> son la irradiancia y estan dadas por las ecuaciones de Fresnel:<br />
:<br />
:<math>{ R }_{ \parallel }=\frac { { Tan }^{ 2 }({ { \theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) } }{ { Tan }^{ 2 }({ { \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } } </math>.....(3)<br />
:<br />
:Y<br />
:<br />
:<math>{ R }_{ \bot }=\frac { { Sin }^{ 2 }({ { \theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) } }{ { Sin }^{ 2 }({ { \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } } </math> ........(4)<br />
:<br />
:Aquí <math>{ \theta }_{ i }</math> es el ángulo incidente y <math>{ \theta }_{ t }</math> es el ángulo transmitido:<br />
:<br />
:Tenemos por ley de Snell:<br />
:<br />
:<math>{ n }_{ i }sin{ \theta }_{ i }={ n }_{ ti }sin{ \theta }_{ t }</math><br />
:<br />
:Despejando <math>{ \theta }_{ t }</math><br />
:<br />
:<math>{ \theta }_{ t }={ sin }^{ -1 }\left( \frac { { n }_{ i }sin{ \theta }_{ i } }{ { n }_{ ti } } \right) </math><br />
:<br />
:Sustituyendo los valores numéricos:<br />
:<br />
:<math>{ \theta }_{ t }={ sin }^{ -1 }\left( \frac { (1)sin40° }{ 1.5 } \right) </math><br />
:<br />
:<math>{ \theta }_{ t }=25.4°</math><br />
:<br />
:Sustituyendo el anterior resultado en (3):<br />
:<br />
:<math>{ R }_{ \parallel }=\frac { { Tan }^{ 2 }({ 40°-25.4°) } }{ { Tan }^{ 2 }({ 40°+25.4°) } } </math><br />
:<br />
:<math>{ R }_{ \parallel }=0.0143</math> ....(5)<br />
:<br />
:Similar para (4):<br />
:<br />
:<math>{ R }_{ \bot }=\frac { { Sin }^{ 2 }({ 40°-25.4°) } }{ { Sin }^{ 2 }({ 40°+25.4°) } } </math><br />
:<br />
:<math>{ R }_{ \bot }=0.0768</math>.......(6)<br />
:<br />
:Sustituyendo (1) y (2) en (A) tenemos:<br />
:<br />
:<math>V=\frac { { R }_{ \bot }{ I }_{ i\bot }-{ R }_{ \parallel }{ I }_{ i\parallel } }{ { { R }_{ \bot }{ I }_{ i\bot }{ +R }_{ \parallel }{ I }_{ i\parallel } } } </math>......(7)<br />
:<br />
:Ahora tomando <math>{ I }_{ i\bot }={ I }_{ i\parallel }=\frac { { I }_{ i } }{ 2 } </math> .....(8)<br />
:<br />
:Reemplazando, (7) tiene la forma:<br />
:<br />
:<math>V=\frac { { R }_{ \bot }(\frac { { I }_{ i } }{ 2 } )-{ R }_{ \parallel }(\frac { { I }_{ i } }{ 2 } ) }{ { { R }_{ \bot }(\frac { { I }_{ i } }{ 2 } ){ +R }_{ \parallel }(\frac { { I }_{ i } }{ 2 } ) } } </math>....(9)<br />
:<br />
:Reduciendo la expresión anterior:<br />
:<br />
:<math>V=\frac { { R }_{ \bot }-{ R }_{ \parallel } }{ { { R }_{ \bot }{ +R }_{ \parallel } } } </math>...(10)<br />
:<br />
:finalmente sustituyendo (5) y (6) en (10):<br />
:<br />
:<math>V=\frac { 0.0768-0.0143 }{ { 0.0768+0.0143 } } </math><br />
:<br />
:<math>V=0.69</math><br />
:<br />
:Por lo tanto el grado de polarización es del 69%<br />
:<br />
: [[Usuario:Luis Chávez |Luis Manuel Chávez Antonio]]<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
===Ejercicio 8.52===<br />
----<br />
'''''Un rayo de luz amarilla incide sobre una placa de calcita a <math>{ 50 }^{ \circ }</math>.La placa se corta de modo que el eje óptico sea paralelo a la cara frontal y perpendicular al plano de incidencia.Encuentra la separación angular entre los dos rayos emergentes '''''<br />
<br />
<br />
: '''Solución:'''<br />
<br />
Sabemos que:<br />
El indice de refraccion <math>({ n }_{ 0 })</math> del rayo ordinario en la placa de cuarzo = 1.6584<br />
<br />
El indice de refraccion <math>({ n }_{ e })</math> de rayos extraordinarios en la placa de cuarzo =1.4864<br />
<br />
Angulo <math>{ \theta }_{ i }</math> de incidencia de la luz amarilla en el cristal de calcita =<math>{ 50 }^{ \circ }</math><br />
<br />
<br />
Sabemos que la ley de Snell es:<br />
<br />
<br />
<math>\frac { sen{ (\theta }_{ i }) }{ sen{ (\theta }_{ t }) } =n</math><br />
<br />
<br />
Para el rayo ordinario tenemos :<br />
<br />
<math>sen{ \theta }_{ i }={ n }_{ o }sen{ \theta }_{ to }</math><br />
<br />
<br />
<math>sen{ \theta }_{ to }=\frac { sen{ \theta }_{ i } }{ { n }_{ o } } </math><br />
<br />
<br />
<math>sen{ \theta }_{ to }=\frac { sen{ 50 }^{ \circ } }{ 1.6584 } </math><br />
<br />
<br />
<math>sen{ \theta }_{ to }=\frac { 0.766 }{ 1.6584 } </math><br />
<br />
<br />
<math>sen{ \theta }_{ to }=0.4619</math><br />
<br />
<br />
<math>{ \theta }_{ to }={ sen }^{ -1 }0.4619</math><br />
<br />
<br />
<math>{ \theta }_{ to }={ 27 }^{ \circ }35´</math><br />
<br />
Para rayos extraordinarios tenemos análogamente de la ley de Snell<br />
<br />
<br />
<math>sen{ \theta }_{ te }=\frac { sen{ \theta }_{ i } }{ { n }_{ e } } </math><br />
<br />
<br />
<math>sen{ \theta }_{ te }=\frac { sen{ 50 }^{ \circ } }{ 1.4864 } </math><br />
<br />
<br />
<math>sen{ \theta }_{ te }=\frac { 0.766 }{ 1.4864 } </math><br />
<br />
<br />
<math>sen{ \theta }_{ te }=0.515</math><br />
<br />
<br />
<math>{ \theta }_{ te }={ sen }^{ -1 }0.515</math><br />
<br />
<br />
<math>{ \theta }_{ te }={ 31 }^{ \circ }4´</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto la separacion angular <math>\Delta \theta </math> entre los dos rayos emergentes es:<br />
<br />
<br />
<math>\Delta \theta ={ \theta }_{ te }-{ \theta }_{ to }</math><br />
<br />
<br />
<math>\Delta \theta ={ 31 }^{ \circ }4´-{ 27 }^{ \circ }35´</math><br />
<br />
<br />
<math>\Delta \theta ={ 3 }^{ \circ }29´</math><br />
<br />
:--[[Usuario:Ruben Espinosa|Ruben Espinosa Guzman]]<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Ejercicio 8.4 ==<br />
Describa detalladamente el estado de la polarización de cada una de las siguientes ondas:<br />
<br />
'''a)'''<math>\vec{E}=\hat{i}E_0 cos(kz-ωt)+\hat{j}E_0 cos(kz-ωt)</math><br />
<br />
<br />
'''b)'''<math>\vec{E}=\hat{i}E_0 sen[2\pi(z/λ-\omega t)]-\hat{j}E_0 sen[2\pi (z/λ-\omega t)]</math><br />
<br />
<br />
'''c)'''<math>\vec{E}=\hat{i}E_0 sen(wt-kz)-\hat{j}E_0 sen(ωt-kz-\pi /4)</math><br />
<br />
<br />
'''d)'''<math>\vec{E}=\hat{i}E_0 cos(kz-ωt)+\hat{j}E_0 cos(kz-ωt+\pi /2)</math><br />
<br />
<br />
<br />
'''Solución:'''<br />
<br />
Analicemos los máximos de los valores extremos por componentes.<br />
<br />
Para la expresión '''a)''' vemos que cuando:<br />
<br />
<br />
Si <math>kz-ωt=0</math>; <math>\vec{E}=E_0[\hat{i}1-\hat{j}1</math>]<br />
<br />
Si <math>kz-ωt=\pi /2</math>; <math>\vec{E}=E_0[\hat{i}0-\hat{j}0</math>]<br />
<br />
Si <math>kz-ωt=3\pi /2</math>; <math>\vec{E}=E_0[\hat{i}-1-\hat{j}-1</math>]<br />
<br />
Con esto podemos darnos cuenta fácilmente que el campo '''E''' de '''a)''' es una recta con pendiente 1.<br />
<br />
<br />
Para la expresión '''b)''' tenemos:<br />
<br />
<br />
Si <math>z/λ-\omega t=0</math>; <math>\vec{E}=E_0[\hat{i}0\hat{j}0</math>]<br />
<br />
Si <math>z/λ-\omega t=\pi /2</math>; <math>\vec{E}=E_0[\hat{i}1-\hat{j}1</math>]<br />
<br />
Si <math>z/λ-\omega t=\pi </math>; <math>\vec{E}=E_0[\hat{i}0+\hat{j}0</math>]<br />
<br />
Si <math>z/λ-\omega t=3\pi /2</math>; <math>\vec{E}=E_0[-\hat{i}1+\hat{j}1</math>]<br />
<br />
Concluímos que el campo '''E''' de '''b)''' es una recta con pendiente -1<br />
<br />
<br />
Para la expresión '''c)''' tenemos:<br />
<br />
Si <math>kz-ωt=0</math>; <math>\vec{E}=E_0\hat{i}0[-\hat{j}\sqrt{2}/2</math>]<br />
<br />
Si <math>kz-ωt=\pi /2</math>; <math>\vec{E}=E_0[\hat{i}1+\hat{j}\sqrt{2}/2</math>]<br />
<br />
Si <math>kz-ωt=\pi </math>; <math>\vec{E}=E_0[\hat{i}1+\hat{j}\sqrt{2}/2</math>]<br />
<br />
Si <math>kz-ωt=3\pi /2</math>; <math>\vec{E}=E_0[-\hat{i}1-\hat{j}\sqrt{2}/2</math>]<br />
<br />
Es un poco más complicado de visualizar la forma, pero si se unen los puntos que conocemos, podemos interpretar que es una elipse para '''E''' de '''c)'''<br />
<br />
<br />
Finalmente, para '''d)'''<br />
<br />
<br />
Si <math>kz-ωt=0</math>; <math>\vec{E}=E_0[\hat{i}1+\hat{j}0</math>]<br />
<br />
Si <math>kz-ωt=\pi /2</math>; <math>\vec{E}=E_0[\hat{i}0-\hat{j}1</math>]<br />
<br />
Si <math>kz-ωt=3\pi /2</math>; <math>\vec{E}=E_0[-\hat{i}1+\hat{j}0</math>]<br />
<br />
Si <math>kz-ωt=2\pi</math>; <math>\vec{E}=E_0[\hat{i}1+\hat{j}0</math>]<br />
<br />
Claramente, '''E''' de '''d)''' es un circulo de radio E<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Onáfeder|Fernando Valencia Hernández]]<br />
<br />
----<br />
<br />
===Ejercicio 8.49===<br />
----<br />
<br />
'''''Un haz de luz natural que incide en el aire en un interfaz de vidrio <math>(n=1.5)</math> a 70° se refleja parcialmente. Calcular la reflectancia general. ¿Como se compararía esto con el caso de incidencia en, digamos ,56.3 °?'''''<br />
<br />
<br />
: '''Solución:'''<br />
<br />
<br />
Los datos que tenemos son:<br />
<br />
Angulo de incidencia del haz de luz en el interfaz de aire-vidrio. <math>\theta _{i}=70</math><br />
<br />
Indice de refracción de medio. <math>(n=1.5)</math><br />
<br />
<br />
Partiendo de la ley de Snell:<br />
<br />
<br />
<math>n_{i}sen \theta _{i}=n_{r}sen \theta _{r}</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{n_{r}}{n_{i}}=\frac{sen \theta _{i}}{sen \theta _{r}}</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{1.5}{1}=\frac{sen (70) }{sen \theta _{r}}</math><br />
<br />
<br />
<math>{sen \theta _{r}}=\frac{sen(70)}{1.5}</math><br />
<br />
<br />
<math>{sen \theta _{r}}=\frac{0.93969}{1.5}</math><br />
<br />
<br />
<math>{sen \theta _{r}}=0.6264</math><br />
<br />
<br />
<math>\theta _{r}=sen^{-1}(0.6264)</math><br />
<br />
<br />
<math> \theta _{r}=38.78</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto en angulo de transmicion es <math> \theta _{r}=38.78</math><br />
<br />
<br />
De las ecuaciones de Fresnel<br />
<br />
Componente paralelo de reflectancia:<br />
<br />
<math>R_{||}=\frac{tan^{2}(\theta _{i}-\theta _{r})}{tan^{2}(\theta _{i}+\theta _{r})}</math><br />
<br />
<br />
sustituimos los valores de <math>\theta _{i}</math> y <math>\theta _{r}</math><br />
<br />
<br />
<math>R_{||}=\frac{tan^{2}(70-38.78)}{tan^{2}(70+38.78)}</math><br />
<br />
<br />
<math>R_{||}=\left [\frac{tan(31.22)}{tan(108.78)} \right ]^{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>R_{||}=\left [\frac{0.606}{-2.94} \right ]^{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>R_{||}=0.04246</math><br />
<br />
<br />
<math>R_{ \perp}=\frac{sen^{2}(\theta _{i}-\theta _{r})}{sen^{2}(\theta _{i}+\theta _{r})}</math><br />
<br />
<br />
<math>R_{ \perp}=\frac{sen^{2}(70-38.78)}{sen^{2}(70+38.78)}</math><br />
<br />
<br />
<math>R_{ \perp}=\left [\frac{sen(31.22)}{sen(108.78)} \right ]^{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>R_{ \perp}=\left [\frac{0.5183}{0.9467} \right ]^{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>R_{ \perp}=\left [0.5474 \right ]^{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>R_{ \perp}=0.2996</math><br />
<br />
<br />
Sobre toda la reflectancia <math>R=\frac{1}{2}(R_{ \parallel}+ R_{ \perp})</math><br />
<br />
<br />
<math>R=\frac{1}{2}(0.04246+0.2996)</math><br />
<br />
<br />
Sobre toda la reflectancia <math>R=0.17107</math><br />
<br />
<br />
Es decir 17.107 % de la luz se refleja o también se puede decir 17.107 % de la luz incidente se refleja<br />
<br />
<br />
Cuando el angulo de incidencia <math>\theta _{i}=56.3</math><br />
<br />
<br />
De la ley de Snell:<br />
<br />
<br />
<math>\frac{n_{r}}{n_{i}}=\frac{sen \theta _{i}}{sen \theta _{r}}</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{1.5}{1}=\frac{sen (56.3)}{sen (\theta _{r})}</math><br />
<br />
<br />
<math>{sen (\theta _{r})}=\frac{0.831}{1.5}</math><br />
<br />
<br />
<math>{sen (\theta _{r})}=0.5546</math><br />
<br />
<br />
<math>\theta _{r}=sen^{-1}(0.5546)</math><br />
<br />
<br />
<math>\theta _{r}=33.68</math><br />
<br />
<br />
En angulo de transmicion es: <math>\theta _{r}=33.68</math><br />
<br />
<br />
Nuevamente usamos la ecuacion: <math>R_{||}=\frac{tan^{2}(\theta _{i}-\theta _{r})}{tan^{2}(\theta _{i}+\theta _{r})}</math><br />
<br />
<br />
<math>R_{||}=\frac{tan^{2}(56.3-33.68)}{tan^{2}(56.3+33.68)}</math><br />
<br />
<br />
<math>R_{||}=\left [\frac{tan(22.62)}{tan(89.98)} \right ]^{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>R_{||}= \left [\frac{0.4166}{3993.46} \right ]^{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>R_{||}= 1.0886 \times10^{-8} </math><br />
<br />
<br />
<math>R_{ \perp}=\frac{sen^{2}(\theta _{i}-\theta _{r})}{sen^{2}(\theta _{i}+\theta _{r})}</math><br />
<br />
<br />
<math>R_{ \perp}=\frac{sen^{2}(56.3-33.68)}{sen^{2}(56.3+33.68)}</math><br />
<br />
<br />
<math>R_{ \perp}=\left [\frac{sen(22.62)}{sen(89.68)} \right ]^{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>R_{ \perp}=\left [\frac{0.3846}{0.9999} \right ]^{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>R_{ \perp}=0.14791</math><br />
<br />
<br />
Sobre toda la reflectancia <math>R=\frac{1}{2}(R_{ \parallel}+ R_{ \perp})</math><br />
<br />
<br />
<math>R=\frac{1}{2}(1.0886\times 10^{-8}+0.14791)</math><br />
<br />
<br />
<math>R=0.07395</math><br />
<br />
<br />
Porcentaje de reflectancia = 7.395 %<br />
<br />
<br />
En este caso, la incidencia del angulo de 56.3° es igual al angulo de polarización. Así la luz reflejada esta totalmente polarizada. Pero en el primer caso la luz reflejada esta parcialmente polarizada. En el primer caso 17.107 % de la luz incidente se refleja y se polariza parcialmente. Pero en el caso posterior 7.395 % se refleja la luz incidente y se polariza totalmente. <br />
<br />
:<br />
: [[Usuario:Enrique Ortiz Martinez |Enrique Ortiz Martinez]]<br />
<br />
----<br />
=== Ejercicio 8.28 ===<br />
<br />
Dado <math>200\frac { w }{ { m }^{ 2 } } </math> de luz polarizada incide aleatoria mente en una pila de polarizadores lineales ideales que se colocan uno detrás de otro con el eje de transmicion de la primera vertical, el segundo a 30 grados, el tercero a 60 y el cuarto a 90. cuanta luz emerge?<br />
<br />
'''solución'''<br />
<br />
irradianza de luz polarizada aleatoriamente (luz natural)<br />
<br />
<math>{ I }_{ 0 }=200\frac { w }{ { m }^{ 2 } } </math><br />
<br />
El angulo de transmicion son 0, 30, 60, y 90 grados respectivamente<br />
<br />
cuando la luz natural de irradianza incide en un polarizador lineal, la luz proveniente del polarizador lineal se convierte en la mitad<br />
<br />
entonces del 1er polarizador <math>{ I }_{ (0) }=\frac { 200 }{ 2 } </math> = <math>{ I }_{ 0 }=100\frac { w }{ { m }^{ 2 } } </math><br />
<br />
la diferencia de angulo entre el 1er y 2do<br />
<br />
<math>\theta =30-0=30\ </math><br />
<br />
De la ley de Malus, la irradiacion de la luz emerge del 2do polarizador lineal<br />
<br />
<math>{ I }_{ \theta }=I(0){ cos }^{ 2 }30</math><br />
<br />
<math>(100){ (\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } })^{ 2 }</math><br />
<br />
<math>75\frac { w }{ { m }^{ 2 } } </math><br />
<br />
angulo entre los polarizadores 2do y 3ro <br />
<br />
<math>90-30=30\ </math><br />
<br />
aplicando de nuevo la ley de Malus para el tercer polarizador<br />
<br />
<math>I(\theta )=I(30){ cos }^{ 2 }30</math><br />
<br />
<math>(75){ (\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } ) }^{ 2 }</math><br />
<br />
<math>\frac { 225 }{ 4 } \frac { w }{ { m }^{ 2 } } </math><br />
<br />
<math>I(\theta )=56.25\frac { w }{ { m }^{ 2 } } </math> '''...(1)'''<br />
<br />
Esto es incidente en el cuarto polarizador<br />
<br />
angulo entre los polarizadores 3ro y 4to <br />
<br />
<math>I({ \theta }_{ 1 })=I(\theta ){ cos }^{ 2 }30</math> <br />
<br />
<math>(56.25){ (\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } ) }^{ 2 }=56.25(\frac { 3 }{ 4 } )</math><br />
<br />
esto nos da: <math>42.1875\frac { w }{ { m }^{ 2 } } </math><br />
<br />
esta ultima cantidad es la irradiacion de luz que emerge después de pasar por cuatro polarizadores <br />
<br />
:--[[Usuario:salvadormorales|Salvador Morales Carranza]]</div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Optica:_Capitulo8-problemas&diff=22673
Optica: Capitulo8-problemas
2018-11-06T04:02:49Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: /* Ejercicio 8.30 */</p>
<hr />
<div>Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 8<br />
<br />
[[categoría:Optica]]<br />
[[categoría:Cursos]]<br />
<br />
----<br />
=== Ejercicio 8.30 ===<br />
Un polarizador ideal rota con una velocidad angular <math>\omega</math> entre un par de polarizadores similares cruzados y estacionarios. Muestre que la densidad de flujo emergente estará modulada por cuatro veces la frecuencia de rotación. En otras palabras, muestre que <br />
<br />
<math><br />
I = \dfrac{I_1}{8} \left[1-cos(4\omega t)\right]<br />
</math><br />
<br />
donde <math>I_1</math> es la densidad de flujo emergente del primer polarizador e <math>I</math> es la densidad de flujo final.<br />
<br />
: '''Solución:'''<br />
El ángulo que hay entre el primer polarizador y el segundo que está girando es <math>\theta</math>. Si la amplitud de la luz que sale del primer polarizador es $E_{01}$, entonces la que emerge del polarizador en rotación debe ser<br />
<br />
<math><br />
E_{01} cos \theta<br />
</math><br />
<br />
Ahora bien, el último polarizador tiene un ángulo de <math>\pi / 2</math> respecto del primero, lo que significa que el ángulo de salida será <math>\pi / 2 - \theta</math>, entonces la amplitud resultante será<br />
<br />
<math><br />
E_{01} cos \theta cos(\pi/2 -90) = E_{01} cos \theta sen \theta \equiv E<br />
</math><br />
<br />
Además, sabemos que<br />
<br />
<math><br />
I = \dfrac{1}{2} E^2<br />
</math><br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<math><br />
I = \dfrac{1}{2} E_{01}^2 cos^2 \theta sen^2 \theta = \dfrac{1}{2} E_{01}^2 \dfrac{1}{2} \left(1 + cos(2\theta)\right) \dfrac{1}{2} \left(1 - cos(2\theta)\right) = \dfrac{E_{01}^2}{2} \dfrac{1}{4} \left(1 - cos^2(2\theta)\right) = \dfrac{E_{01}^2}{2} \dfrac{1}{4} \left\{1 - \dfrac{1}{2}\left[1 + cos^4(4\theta)\right]\right\}<br />
</math><br />
<br />
Entonces<br />
<br />
<math><br />
I=\dfrac{E_{01}^2}{2} \dfrac{1}{8} \left[1 - cos^4(4\theta)\right] = \dfrac{E_{01}^2}{2} \dfrac{1}{8} \left[1 - cos^4(4\omega t)\right]<br />
</math><br />
<br />
Y como <math>I_1 = \dfrac{E_{01}^2}{2}</math> llegamos a<br />
<br />
<math><br />
I = \dfrac{I_1}{8} \left[1 - cos^4(4\omega t)\right]<br />
</math><br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 22:02 5 nov 2018 (CST)<br />
----</div>
Ivan de Jesús Pompa García
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Optica: Capitulo8-problemas
2018-11-06T03:12:30Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: </p>
<hr />
<div>Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 8<br />
<br />
[[categoría:Optica]]<br />
[[categoría:Cursos]]<br />
<br />
----<br />
=== Ejercicio 8.30 ===<br />
Un polarizador ideal rota con una velocidad angular <math>\omega</math> entre un par de polarizadores similares estacionarios. Muestre que la densidad de flujo emergente estará modulada por cuatro veces la frecuencia de rotación. En otras palabras, muestre que <br />
<br />
<math><br />
I = \dfrac{I_1}{8} \left[1-cos(4\omega t)\right]<br />
</math><br />
<br />
donde <math>I_1</math> es la densidad de flujo emergente del primer polarizador e <math>I</math> es la densidad de flujo final.<br />
<br />
: '''Solución:'''<br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 21:12 5 nov 2018 (CST)<br />
----</div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Optica:_Capitulo7-problemas&diff=22669
Optica: Capitulo7-problemas
2018-11-06T03:00:29Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: /* Ejercicio 7.7 */</p>
<hr />
<div>Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 7<br />
<br />
[[categoría:Optica]]<br />
[[categoría:Cursos]]<br />
<br />
----<br />
=== Ejercicio 7.7 ===<br />
Utilizando las ecuaciones 7.9, 7.10 y 7.11 muestre que la resultante de las dos ondas<br />
<br />
<math><br />
E_1 = E_{01} sen\left[\omega t - k(x+\Delta x)\right]<br />
</math><br />
<br />
<math><br />
E_2 = E_{01} sen\left[\omega t - k x\right]<br />
</math><br />
<br />
es<br />
<br />
<math><br />
E = 2 E_{01} cos\left(\dfrac{k \Delta x}{2}\right) sen\left[\omega t - k\left(x+\dfrac{\Delta x}{2}\right)\right]<br />
</math><br />
<br />
: '''Solución:'''<br />
De las ondas 1 y 2 tenemos que <math>\alpha_1 = - k(x+\Delta x)</math> y <math>\alpha_2 = -kx</math>. La ecuación 7.9 es<br />
<br />
<math><br />
E_0^2 = E_{01}^2 + E_{02}^2 + 2 E_{01} E_{02} cos(\alpha_2 - \alpha_1)<br />
</math><br />
<br />
y nos da la amplitud de la onda resultante, calculando para nuestro caso tenemos<br />
<br />
<math><br />
E_0^2 = E_{01}^2 + E_{01}^2 + 2 E_{01}^2 cos\left[-kx+k(x+\Delta x)\right] = 2 E_{01}^2 + 2E_{01}^2 cos(k \Delta x) = 2E_{01}^2 \left[1+cos(k\Delta x)\right] = 4 E_{01}^2 cos^2 \left(\dfrac{k \Delta x}{2}\right)<br />
</math><br />
<br />
donde se ha utilizado la identidad trigonométrica<br />
<br />
<math><br />
cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{1 + cos x}{2} <br />
</math><br />
<br />
Ahora para calcular la fase de la onda resultante utilizamos la ecuación 7.10 que es<br />
<br />
<math><br />
tan \alpha = \dfrac{E_{01} sen \alpha_1 + E_{02} sen \alpha_2}{E_{01} cos \alpha_1 + E_{02} cos \alpha_2}<br />
</math><br />
<br />
y en nuestro caso<br />
<br />
<math><br />
tan \alpha = \dfrac{E_{01} sen[-k(x+\Delta x)] + E_{01} sen(-kx)}{E_{01} cos[-k(x+\Delta x)] + E_{01} cos(-kx)} = \dfrac{sen[-k(x+\Delta x)] + sen(-kx)}{cos[-k(x+\Delta x)] + cos(-kx)}<br />
</math><br />
<br />
y definiendo <math>\eta \equiv -k(x+\Delta x)</math> y <math>\theta \equiv -kx</math> tenemos<br />
<br />
<math><br />
tan \alpha = \dfrac{sen \eta + sen \theta}{cos \eta + cos \theta} = tan \left(\dfrac{\eta + \theta}{2}\right)<br />
</math><br />
<br />
donde la igualdad final se cumple gracias a una identidad trigonométrica, por lo que la fase de la onda resultante será<br />
<br />
<math><br />
\alpha = \dfrac{\eta + \theta}{2} = -k \left[x + \dfrac{\Delta x}{2}\right]<br />
</math><br />
<br />
Y la relación 7.11 es<br />
<br />
<math><br />
E = E_0 sen (\omega t + \alpha)<br />
</math><br />
<br />
por lo que nuestra onda resultante queda como<br />
<br />
<math><br />
E = 4 E_{01}^2 cos^2 \left(\dfrac{k \Delta x}{2}\right) sen \left[\omega t -k \left(x + \dfrac{\Delta x}{2}\right) \right]<br />
</math><br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 21:00 5 nov 2018 (CST)<br />
----<br />
===Ejercicio 7.29===<br />
----<br />
'''''La velocidad de propagación de una onda de superficie en un líquido de profundidad mucho mayor que <math>\lambda </math> viene dada por:<br />
:<br />
<math>v=\sqrt { \frac { g\lambda }{ 2\pi } +\frac { 2\pi \Upsilon }{ \rho \lambda } } </math><br />
:<br />
donde g = aceleración de la gravedad, <math>\lambda </math> = longitud de onda, <math>\rho </math> = densidad, <math>\Upsilon </math> = tensión superficial. Calcule la velocidad de grupo de un pulso en el límite de longitud de onda larga (se denominan ondas de gravedad).'''''<br />
<br />
: '''''Solución''''':<br />
:<br />
:Para longitudes de onda grandes, notemos que el segundo término de la suma dentro de la raíz es despreciable :<br />
:<br />
:<br />
:<math>\frac { 2\pi \Upsilon }{ \rho \lambda } </math> <br />
:<br />
:Entonces la velocidad de propagación de una onda de superficie se convierte en:<br />
:<br />
:<math>v=\sqrt { \frac { g\lambda }{ 2\pi } } </math> ........(1)<br />
:<br />
:EL número de onda esta dada,por:<br />
:<br />
:<math>k=\frac { 2\pi }{ \lambda } </math> ................(2)<br />
:<br />
:Sustituyendo la ecuación (2) en (1), la velocidad de propagación:<br />
:<br />
:<math>v=\sqrt { \frac { g }{ k } } </math>.................(3)<br />
:<br />
:De la relación entre la velocidad de grupo y velocidad de propagación es:<br />
:<br />
:<math>{ v }_{ g }=v+k\frac { dv }{ dk } </math>.............(4)<br />
:<br />
:Donde <math>{ v }_{ g }</math>, es la velocidad de grupo.<br />
:<br />
:De la ecuación (3):<br />
:<br />
:<math>\frac { dv }{ dk } =\frac { d }{ dk } \left( \sqrt { \frac { g }{ k } } \right) </math><br />
:<br />
:<math>\frac { dv }{ dk } =\sqrt { g } \frac { d }{ dk } \left( { k }^{ -\frac { 1 }{ 2 } } \right) </math><br />
:<br />
:<math>\frac { dv }{ dk } =\sqrt { g } \left( -\frac { 1 }{ 2 } \right) \left( { k }^{ -\frac { 3 }{ 2 } } \right) </math><br />
:<br />
:<math>\frac { dv }{ dk } =\sqrt { g } \left( -\frac { 1 }{ 2 } \right) \frac { 1 }{ k\sqrt { k } } </math><br />
:<br />
:<math>\frac { dv }{ dk } =\left( -\frac { 1 }{ 2k } \right) \sqrt { \frac { g }{ k } } </math><br />
:<br />
:Sustituyendo (3) en la última expresión:<br />
:<br />
:<math>\frac { dv }{ dk } =\left( -\frac { v }{ 2k } \right) </math>..........(5)<br />
:<br />
:Sustituyendo (5) en (4):<br />
:<br />
:<math>{ v }_{ g }=v+k\left( \frac { -v }{ 2k } \right) </math><br />
:<br />
:Reduciendo, tenemos que la velocidad de grupo es:<br />
:<br />
:<math>{ v }_{ g }=v-\frac { v }{ 2 } </math><br />
:<br />
:<math>{ v }_{ g }=\frac { v }{ 2 } </math><br />
:<br />
:--[[Usuario:Luis Chávez|Luis Manuel Chávez Antonio]]</div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Optica:_Capitulo7-problemas&diff=22667
Optica: Capitulo7-problemas
2018-11-06T01:43:44Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: </p>
<hr />
<div>Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 7<br />
<br />
[[categoría:Optica]]<br />
[[categoría:Cursos]]<br />
<br />
----<br />
=== Ejercicio 7.7 ===<br />
Utilizando las ecuaciones 7.9, 7.10 y 7.11 muestre que la resultante de las dos ondas<br />
<br />
<math><br />
E_1 = E_{01} sen\left[\omega t - k(x+\Delta x)\right]<br />
</math><br />
<br />
<math><br />
E_2 = E_{01} sen\left[\omega t - k x\right]<br />
</math><br />
<br />
es<br />
<br />
<math><br />
E = 2 E_{01} cos\left(\dfrac{k \Delta x}{2}\right) sen\left[\omega t - k\left(x+\dfrac{\Delta x}{2}\right)\right]<br />
</math><br />
<br />
: '''Solución:'''<br />
De las ondas 1 y 2 tenemos que <math>\alpha_1 = - k(x+\Delta x)</math> y <math>\alpha_2 = -kx</math>. La ecuación 7.9 es<br />
<br />
<math><br />
E_0^2 = E_{01}^2 + E_{02}^2 + 2 E_{01} E_{02} cos(\alpha_2 - \alpha_1)<br />
</math><br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 19:43 5 nov 2018 (CST)<br />
----</div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Optica:_Capitulo4-problemas&diff=22666
Optica: Capitulo4-problemas
2018-11-06T01:32:56Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: /* Ejercicio 4.59 */</p>
<hr />
<div>Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 4,<br />
con el siguiente formato:<br />
<br />
<br />
===Ejercicio 4.4 (Hecht, Optics 4 ed.)===<br />
----<br />
'''La ecuación de un oscilador amortiguado es<br />
<math>m_{e}\frac{d^{2}x}{dx^{2}}+m_{e}\gamma\frac{dx}{dt}+m_{e}\omega_{0}^{2}x=q_{e}E(t)</math>.....(1)<br />
<br />
a) Explique el significado de cada término<br />
<br />
b) Sea <math>E=E_{0}\exp(i\omega t)</math> y <math>x=x_{0}\exp(i\left(\omega t-\alpha\right))</math>, donde <math>E_{0}</math> y <math>x_{0}</math> son cantidades reales. Sustituir en la ecuación (1) y probar que<br />
<br />
<math>x_{0}=\frac{q_{e}E_{0}}{m_{e}}\frac{1}{[(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2} + (\gamma\omega)^{2}]^{\frac{1}{2}}}</math><br />
<br />
c) Derive una expresión para la fase retardada,<math>\alpha</math>, y discuta cómo varía conforme <math>\omega</math> se encuentra en los regímenes: <math>\omega <<\omega_{0}</math>, <math>\omega =\omega_{0}</math>, <math>\omega >> \omega_{0}</math>'''<br />
<br />
Solución<br />
<br />
a) La ecuación (1) surge de considerar en la segunda ley de Newton fuerzas disipadoras causadas ya sea, por ejemplo, un medio. La ecuación (1) considera el movimiento de un electrón en una sola dirección, en este caso, la dirección x. El primer término de la ecuación,<math>m_{e}\frac{d^{2}x}{dt^{2}}</math>, es simplemente la masa del electrón por su aceleración; el segundo término, <math>m_{e}\gamma\frac{dx}{dt}</math>, indica la fuerza resistiva causada por el medio, la cual, tiene una dependencia proporcional (por el factor <math>\gamma</math>) a la velocidad del electrón; el tercer término, <math>m_{e}\omega_{0}^{2}x</math>, subraya a la fuerza restitutiva (tipo ley de Hook) causante de que el electrón oscile, cuya frecuencia angular de oscilación es <math>\omega_{0}</math>; finalmente, el término <math>q_{e}E(t)</math> indica la fuerza que siente la partícula cargada (electrón) debido a un campo eléctrico externo dependiente del tiempo, es un factor de forzamiento causado por una fuerza externa.<br />
<br />
b) Ahora, si <math>x=x_{0}\exp(i\left(\omega t-\alpha\right))</math>, entonces<br />
<br />
<math>\frac{dx}{dt}=i\omega x_{0}\exp(i\left(\omega t-\alpha\right))</math>;<br />
<br />
<math>\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-\omega^{2}x_{0}\exp(i\left(\omega t-\alpha\right))</math><br />
<br />
y si <math>E(t)=E_{0}\exp(i\omega t)</math>, tenemos que, al sustituir en la ecuación (1):<br />
<br />
<math>[-m_{e}\omega^{2}x_{0} + im_{e}\gamma\omega x_{0} + m_{e}\omega_{0}^{2}x_{0}]\exp(i\left(\omega t-\alpha\right))=q_{e}E_{0}\exp(i\omega t)</math><br />
<br />
realizando más manipulaciones algebraicas, obtenemos:<br />
<br />
<math>(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}) + i\gamma\omega=\frac{q_{e}E_{0}}{m_{e}x_{0}}\exp(i\alpha)</math><br />
<br />
pero, dos números complejos son iguales si, y sólo si, sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias también, es decir:<br />
<br />
<math>\omega_{0}^{2}-\omega^{2}=\frac{q_{e}E_{0}}{m_{e}x_{0}}\cos(\alpha)</math>.....(2) <br />
<br />
& <math>\gamma\omega=\frac{q_{e}E_{0}}{m_{e}x_{0}}\sin(\alpha)</math>.....(3)<br />
<br />
aprovechándonos de la identidad pitagórica de las funciones trigonométricas, elevamos al cuadrado las ecuaciones (2) y (3), y las sumamos:<br />
<br />
<math>(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2} + (\gamma\omega)^{2}=(\frac{q_{e}E_{0}}{m_{e}x_{0}})^{2}(\sin^{2}(\alpha) + \cos^{2}(\alpha))</math><br />
<br />
por supuesto que la cantidad <math>\frac{q_{e}E_{0}}{m_{e}x_{0}}</math> es positiva definida, por lo que, al sacar la raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación previa, nos quedamos únicamente con la raíz positiva, obteniendo así:<br />
<br />
<math>x_{0}=\frac{q_{e}E_{0}}{m_{e}}\frac{1}{[(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2} + (\gamma\omega)^{2}]^{\frac{1}{2}}}</math><br />
<br />
<br />
c) Retomando las ecuaciones (2) y (3), podemos formar el siguiente cociente: <br />
<br />
<math>\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}=\frac{\gamma\omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}</math>. De aquí que:<br />
<br />
<math>\alpha =\arctan\left(\frac{\gamma\omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\right)</math>.....(4)<br />
<br />
La ecuación (4) nos dice la relación entre el ángulo retardado <math>\alpha</math> y la frecuencia de forzamiento <math>\omega</math>. Consideremos los casos siguientes:<br />
<br />
i) <math>\omega <<\omega_{0}</math><br />
<br />
<math>\frac{\gamma\omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}=\frac{\gamma\omega}{\omega_{0}^{2}\left(1-(\frac{\omega}{\omega_{0}}^{2}\right)}\approx\frac{\gamma\omega}{\omega_{0}^{2}}</math>. Definamos la cantidad adimensional <math>x\equiv\frac{\gamma}{\omega_{0}^{2}}\omega</math>. Observamos que <math>x</math> va lineal en <math>\omega</math>, por lo que <br />
<br />
<math>\alpha=\arctan(x)</math><br />
<br />
<br />
[[Archivo:plot1.jpg]] <br />
<br />
<br />
ii) <math>\omega =\omega_{0}</math>.<br />
<br />
En el <math>\lim_{\omega\rightarrow\omega_{0}}\frac{\gamma\omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}=\infty</math>, por lo que <math>\arctan\left(\frac{\gamma\omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\right)\rightarrow \frac{\pi}{2}</math> y <math>\alpha\rightarrow \frac{\pi}{2}</math>.(El límite de <math>\alpha</math> dependerá si <math>\omega</math> se acerca a <math>\omega_{0}</math> por la izquierda o por la derecha. Se tomó el caso cuando <math>\omega</math> se acerca por la derecha).<br />
<br />
<br />
iii) <math>\omega >> \omega_{0}</math><br />
<br />
<math>\frac{\gamma\omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\approx -\frac{\gamma}{\omega}</math>. Lo cual implica que:<br />
<br />
<math>\alpha =\arctan\left(-\frac{\gamma}{\omega}\right)= -\arctan(\frac{\gamma}{\omega})</math><br />
<br />
<br />
<br />
[[Archivo:plot2.jpg]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:diegophy17|Diego de la Cruz López]] <br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
[[categoría:Optica]]<br />
[[categoría:Cursos]]<br />
<br />
===Ejercicio 4.45===<br />
----<br />
'''''Un rayo láser incide en la interfaz entre el aire y algunos dieléctricos de índice n. Para valores pequeños de <math>{ \theta }_{ i }</math><br />
muestre que <math>{ { \theta } }_{ t }=\frac { { { \theta } }_{ i } }{ n } </math>, Usa esto y la ec. (4.42) para establecer que en una incidencia casi normal<br />
<math>{ \left\lceil { -r }_{ \bot } \right\rceil }_{ { \theta }_{ i }\sim 0 }=\frac { n-1 }{ n+1 } </math>'''''<br />
<br />
: '''''Solución''''':<br />
:Tenemos los siguientes datos conocidos:<br />
:Indice de refracción del aire <math>{ n }_{ i }</math> es: 1<br />
:Indice de refracción del dieléctrico <math>{ n }_{ t }</math> es :<math>n</math><br />
:Ángulo de incidencia = <math>{ \theta }_{ i }</math><br />
:Ángulo de refracción = <math>{ \theta }_{ t }</math><br />
:<br />
:Aplicando la ley de Snell:<br />
:<math>{ n }_{ i }sin{ \theta }_{ i }={ n }_{ t }sin{ \theta }_{ t }</math><br />
:<math>sin{ \theta }_{ i }=nsin{ \theta }_{ t }\quad ......(1)</math><br />
:<br />
:Para valores pequeños de theta, tenemos las siguientes relaciones:<br />
:<math>sin{ \theta }_{ t }={ \theta }_{ i }</math><br />
:<math>sin{ \theta }_{ t }={ \theta }_{ t }</math><br />
:<br />
:La Ecuación (1) se reduce:<br />
:<math>n{ \theta }_{ t }={ \theta }_{ i }</math><br />
:De la última expresión tenemos:<br />
:<math>{ \theta }_{ t }=\frac { { \theta }_{ i } }{ n } </math><br />
:Ahora ocupando la ecuación 4.42 y considerando <math>{ \theta }_{ i }</math> muy pequeñas :<br />
:<math>{ r }_{ \bot }=-\frac { sin({ \theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) }{ sin({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \quad .....(a)</math><br />
:Haciendo la consideración:<br />
:<math>{ r }_{ \bot }=\frac { ({ \theta }_{ t }-{ \theta }_{ i }) }{ ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } </math><br />
:ocupando <math>{ \theta }_{ t }=\frac { { \theta }_{ i } }{ n }</math> , y sustituyendo en la ultima ecuación:<br />
:<math>{ r }_{ \bot }=\frac { (\frac { { \theta }_{ i } }{ n } -{ \theta }_{ i }) }{ ({ \theta }_{ i }+\frac { { \theta }_{ i } }{ n } ) } </math><br />
:Factorizando <math>{ \theta }_{ i }</math><br />
:<math>{ r }_{ \bot }=\frac { { \theta }_{ i }(\frac { 1 }{ n } -1) }{ { \theta }_{ i }(1+\frac { 1 }{ n } ) } </math><br />
:Reduciendo:<br />
:<math>{ r }_{ \bot }=\frac { (1-n) }{ (1+n) } </math><br />
:Finalmente tenemos:<br />
:<math>{ \left( -{ r }_{ \bot } \right) }_{ { \theta }_{ i }\approx 0 }=\frac { n-1 }{ n+1 } </math><br />
:--[[Usuario:Luis Chávez|Luis Manuel Chávez Antonio]]<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
===Ejercicio 4.64===<br />
----<br />
'''''Verifique que:<br />
<br />
<br />
<math>t_{\perp }+(-r_{\perp })=1</math>.........[4.49]<br />
<br />
<br />
para <math>\theta _{i}=30</math> en una interfaz de vidrio crown y aire <math>(n_{ti}=1.52)</math>'''''<br />
<br />
<br />
<br />
: '''''Solución''''':<br />
<br />
<br />
Datos:<br />
<br />
Angulo de incidencia <math>(\theta _{i})</math> = 30°<br />
<br />
Indice de refracción del cristal <math>(n _{f})</math> = 1.52<br />
<br />
Indice de refracción del aire = 1<br />
<br />
Angulo de transmisión <math>(\theta _{t})</math><br />
<br />
<br />
Usando la ley de Snell obtenemos:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\frac{sen(\theta _{i})}{sen (\theta _{t})}=\frac{n_{t}}{n_{i}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\frac{sen(30)}{sen (\theta _{t})}=1.52</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\frac{0.5}{sen (\theta _{t})}=1.52</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>sen (\theta _{t})=\frac{0.5}{1.52}</math><br />
<br />
<br />
En angulo de transmisión <math>(\theta _{t})</math> sera:<br />
<br />
<br />
<math>\theta _{t}=sen^{-1}\left ( \frac{0.5}{1.52} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math>\theta _{t}=19.2</math><br />
<br />
<br />
<br />
El componente perpendicular del coeficiente de transmisión es:<br />
<br />
<br />
<math>t_{\perp }=\frac{2n_{i}cos(\theta _{i})}{n_{i}cos(\theta _{i})+n_{f}cos(\theta _{t})}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>t_{\perp }=\frac{2cos(30)}{cos(30)+(1.52)cos(19.2)}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>t_{\perp }=\frac{(2)(0.86)}{(0.86)+(1.52)(0.94)}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>t_{\perp }=0.7514</math><br />
<br />
<br />
Ahora, la componente perpendicular del coeficiente de reflexión es:<br />
<br />
<br />
<math>r_{\perp }=\frac{n_{i}cos(\theta _{i})-n_{t}cos(\theta _{t})}{n_{i}cos(\theta _{i})+n_{t}cos(\theta _{t})}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>r_{\perp }=\frac{(0.86)-(1.52)(0.94)}{(0.86)+(1.52)(0.94)}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>r_{\perp }=-0.2486</math><br />
<br />
<br />
Al sumar los valores de <math>t_{\perp }</math> y <math>r_{\perp }</math> obtenemos:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>t_{\perp }+(-r_{\perp })=0.7514+[-(-0.2486)]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>t_{\perp }+(-r_{\perp })=0.7514+0.2486</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>t_{\perp }+(-r_{\perp })=1</math><br />
<br />
<br />
<br />
Por lo tanto <math>t_{\perp }+(-r_{\perp })=1</math><br />
<br />
<br />
:--[[Usuario:Enrique Ortiz Martinez|Enrique Ortiz Martinez]]<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
=== Ejercicio 4.21 ===<br />
<br />
Trace un gráfico de θ_i con respecto a θ_t para una frontera aire-vidrio donde <math>n_va=1.5</math>. Discuta la forma de la curva.<br />
<br />
'''Solución:'''<br />
<br />
:La ecuación de la refracción de Snell está dada por:<br />
<br />
<math>n_i sin(θ_i )=n_t sin(θ_t )</math><br />
<br />
:Pero n_i=1<br />
<br />
:Por lo tanto<br />
<br />
<math>n_i sin(θ_i )=n_t sin(θ_t )</math><br />
<br />
Despejando θ_t se tiene que<br />
<math>θ_t=sin^(-1)(sinθ_i /n_t )</math><br />
<br />
En este caso se realizan cambios de 2 grados de diferencia, se tuvo la siguiente gráfica<br />
<br />
[[Archivo:tablaejer421.jpeg]]<br />
<br />
Podemos observar que a pesar que al comparar los ángulos, se puede apreciar que los valores tienden a un número que en este caso es aproximadamente 42°. Esto se podría interpretar como el ángulo máximo que puede tomar el haz, en este caso, en el agua.<br />
<br />
Los datos están en el siguiente documento.<br />
<br />
[[Archivo:datoseje421.jpg]]<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Onáfeder|Fernando Valencia Hernández]]<br />
<br />
----<br />
<br />
===Problema 4.72===<br />
----<br />
Mostrar que:<br />
<math>{ T }_{ \parallel }=\frac { \sin { 2{ \theta }_{ i } } \sin { 2{ \theta }_{ t } } }{ \sin ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \cos ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) } } </math><br />
<br />
Y<br />
<br />
<math>{ T }_{ \bot }=\frac { \sin { 2{ \theta }_{ i } } \sin { 2{ \theta }_{ t } } }{ \sin ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } } </math><br />
<br />
'''Solución:'''<br />
<br />
La componente perpendicular de la transmitancia <math>T</math> esta dada por:<br />
<math>{ T }_{ \bot }=\left( \frac { { n }_{ t }\cos { { \theta }_{ t } } }{ { n }_{ i }\cos { { \theta }_{ i } } } \right) { t }_{ \bot }^{ 2 }\quad ......\left( 1 \right) </math><br />
<br />
Pero el coeficiente de amplitud de transmisión es:<br />
<br />
<math>{ t }_{ \bot }=\frac { 2\sin { { \theta }_{ t } } \cos { { \theta }_{ i } } }{ \sin { ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } } </math><br />
<br />
<math>{ t }_{ \bot }^{ 2 }=\frac { 4\sin ^{ 2 }{ { \theta }_{ i } } \cos ^{ 2 }{ { \theta }_{ t } } }{ \sin ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } } </math><br />
<br />
Sustituyendo el valor calculado de <math>{ t }_{ \bot }^{ 2 }</math> en la Ec. <math>\left( 1 \right) </math>, se obtiene:<br />
<br />
<math>{ T }_{ \bot }=\left( \frac { { n }_{ t }\cos { { \theta }_{ t } } }{ { n }_{ i }\cos { { \theta }_{ i } } } \right) \left( \frac { 4\sin ^{ 2 }{ { \theta }_{ i } } \cos ^{ 2 }{ { \theta }_{ t } } }{ \sin ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } } \right) \quad ......\left( 2 \right) </math><br />
<br />
De la ley de Snell <math>{ n }_{ i }\sin { { \theta }_{ i } } ={ n }_{ t }\cos { { \theta }_{ t } } </math><br />
<br />
<math>\frac { { n }_{ t } }{ { n }_{ i } } =\frac { \sin { { \theta }_{ i } } }{ \sin { { \theta }_{ t } } } \quad ......\left( 3 \right) </math><br />
<br />
Sustituyendo el valor de <math>\frac { { n }_{ t } }{ { n }_{ i } } </math> de la Ec. <math>\left( 3 \right) </math> en la Ec. <math>\left( 2 \right) </math>, obtenemos:<br />
<br />
<math>{ T }_{ \bot }=\left( \frac { \sin { { \theta }_{ i } } }{ \sin { { \theta }_{ t } } } \frac { \cos { { \theta }_{ t } } }{ \cos { { \theta }_{ i } } } \right) \left( \frac { 4\sin ^{ 2 }{ { \theta }_{ i } } \cos ^{ 2 }{ { \theta }_{ t } } }{ \sin ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } } \right) </math><br />
<br />
<math>{ T }_{ \bot }=\frac { 4\sin { { \theta }_{ t } } \cos { { \theta }_{ t } } \sin { { \theta }_{ i } } \cos { { \theta }_{ i } } }{ \sin ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } } </math><br />
<br />
<math>{ T }_{ \bot }=\left( \frac { \left( 2\sin { { \theta }_{ t } } \cos { { \theta }_{ t } } \right) \left( 2\sin { { \theta }_{ i } } \cos { { \theta }_{ i } } \right) }{ \sin ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } } \right) </math><br />
<br />
'''Comprobando que:'''<br />
<br />
<math>{ T }_{ \bot }=\frac { \sin { 2{ \theta }_{ i } } \sin { 2{ \theta }_{ t } } }{ \sin ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } } </math><br />
<br />
Del mismo modo podemos proceder para el comportamiento paralelo de <math>T</math>, se la siguiente manera:<br />
<br />
El comportamiento paralelo de la transmitancia <math>T</math>, se expresa como:<br />
<br />
<math>{ T }_{ \parallel }=\left( \frac { { n }_{ t }\cos { { \theta }_{ t } } }{ { n }_{ i }\cos { { \theta }_{ i } } } \right) { t }_{ \parallel }^{ 2 }\quad ......\left( 4 \right) </math><br />
<br />
Pero sabemos que la amplitud del coeficiente de transmisión es:<br />
<br />
<math>{ t }_{ \parallel }=\frac { 2\sin { { \theta }_{ t } } \cos { { \theta }_{ i } } }{ \sin { { (\theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \cos { ({ { \theta }_{ i }-\theta }_{ t }) } } </math><br />
<br />
<math>{ { t }_{ \parallel }^{ 2 } }=\frac { 4\sin ^{ 2 }{ { \theta }_{ t } } \cos ^{ 2 }{ { \theta }_{ i } } }{ \sin ^{ 2 }{ { (\theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \cos ^{ 2 }{ { (\theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) } } </math><br />
<br />
Sustituyendo el valor de <math>{ t }_{ \parallel }^{ 2 }</math>, en la Ec. <math>\left( 4 \right) </math>, obtenemos:<br />
<br />
<math>{ T }_{ \parallel }=\left( \frac { { n }_{ t }\cos { { \theta }_{ t } } }{ { n }_{ i }\cos { { \theta }_{ i } } } \right) \left( \frac { 4\sin ^{ 2 }{ { \theta }_{ t } } \cos ^{ 2 }{ { \theta }_{ i } } }{ \sin ^{ 2 }{ { (\theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \cos ^{ 2 }{ { (\theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) } } \right) </math><br />
<br />
De la Ec. <math>\left( 3 \right) </math><br />
<br />
<math>\frac { { n }_{ t } }{ { n }_{ i } } =\frac { \sin { { \theta }_{ i } } }{ \sin { { \theta }_{ t } } } </math><br />
<br />
<math>{ T }_{ \parallel }=\left( \frac { \sin { { \theta }_{ i } } }{ \sin { { \theta }_{ t } } } \frac { \cos { { \theta }_{ t } } }{ \cos { { \theta }_{ i } } } \right) \left( \frac { 4\sin ^{ 2 }{ { \theta }_{ t } } \cos ^{ 2 }{ { \theta }_{ i } } }{ \sin ^{ 2 }{ { (\theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \cos ^{ 2 }{ { (\theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) } } \right) </math><br />
<br />
<math>{ T }_{ \parallel }=\left( \frac { 4\sin { { \theta }_{ i } } \sin { { \theta }_{ t } } \cos { { \theta }_{ i } } \cos { { \theta }_{ t } } }{ \sin ^{ 2 }{ { (\theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \cos ^{ 2 }{ { (\theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) } } \right) </math><br />
<br />
<math>{ T }_{ \parallel }=\left( \frac { (2\sin { { \theta }_{ i } } \sin { { \theta }_{ t })(2 } \cos { { \theta }_{ i } } \cos { { \theta }_{ t } } ) }{ \sin ^{ 2 }{ { (\theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \cos ^{ 2 }{ { (\theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) } } \right) </math><br />
<br />
'''Comprobando que:'''<br />
<br />
<math>{ T }_{ \parallel }=\frac { \sin { 2{ \theta }_{ i } } \sin { 2{ \theta }_{ t } } }{ \sin ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \cos ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) } } </math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Gutierrez|Luis Gutiérrez Melgarejo]]<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
===Problema 4.63===<br />
<br />
----<br />
<br />
'''Prueba que <math>{ t }_{ \perp }+(-{ r }_{ \perp })=1</math> para todo <math>{ \theta }_{ i }</math> , primero de las condiciones de frontera y después de las ecuaciones de Fresnel.'''<br />
<br />
<br />
<br />
'''Solucion:'''<br />
<br />
<br />
Podemos notar que la continuidad de los componentes tangenciales de <math>\overrightarrow { E } </math> analizando cualquier limite en cualquier punto , el campo tangencial en el medio incidente es igual al del medio de transmisión.<br />
<br />
<math>\therefore </math> Así obtenemos:<br />
<br />
<br />
<math>{ \left[ { E }_{ 0i } \right] }_{ \perp }+{ \left[ { E }_{ 0r } \right] }_{ \perp }={ \left[ { E }_{ 0t } \right] }_{ \perp }</math><br />
<br />
<br />
<math>{ \left[ { E }_{ 0t } \right] }_{ \perp }-{ \left[ { E }_{ 0r } \right] }_{ \perp }={ \left[ { E }_{ 0i } \right] }_{ \perp }</math><br />
<br />
<br />
Dividimos cada término con el <math>{ \left[ { E }_{ 0i } \right] }_{ \perp }</math> para obtener:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>{ \left[ \frac { { E }_{ 0t } }{ { E }_{ 0i } } \right] }_{ \perp }-{ \left[ \frac { { E }_{ 0r } }{ { E }_{ 0i } } \right] }_{ \perp }={ \left[ \frac { { E }_{ 0i } }{ {E}_{ 0i } } \right] }_{ \perp }\quad </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>{ \left[ \frac { { E }_{ 0t } }{ { E }_{ 0i } } \right] }_{ \perp }-{ \left[ \frac { { E }_{ 0r } }{ { E }_{ 0i } } \right] }_{ \perp }=1\quad \quad \quad </math><br />
<br />
<br />
<br />
Sabemos que <math>\left[ \frac { { E }_{ 0t } }{ { E }_{ 0i } } \right]_{ \perp }=</math>Amplitud del coeficiente de transmisión<math>=t_{ \perp }</math> y también podemos notar que el cociente <math>\left[ \frac { { E }_{ 0r } }{ { E }_{ 0i } } \right] _{ \perp }=</math>Amplitud del coeficiente de reflexión<math>={ r }_{ \perp }</math><br />
<br />
<br />
Dado las dos aseveraciones anteriores podemos dar por echo entonces que:<br />
<br />
<br />
<math>t_{ \perp }-r_{ \perp }=1</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore \quad \quad t_{ \perp }+\left( -r_{ \perp } \right) =1</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto esta probado<br />
<br />
Otro camino para la comprobación anterior es la siguiente:<br />
<br />
<br />
Sabemos que el cociente de reflexión de amplitud es:<br />
<br />
<br />
<math>r_{ \perp }=-\frac { sen({ \theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) }{ sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } </math><br />
<br />
<br />
Y por otro lado el coeficiente de transmisión de amplitud es:<br />
<br />
<br />
<math>t_{ \perp }=\frac { 2sen({ \theta }_{ t })cos({ \theta }_{ i }) }{ sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\rightarrow \quad \quad t_{ \perp }-r_{ \perp }=\frac { 2sen({ \theta }_{ t })cos({ \theta }_{ i }) }{ sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } -\left( -\frac { sen({ \theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) }{ sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \right) </math><br />
<br />
<br />
<math>\quad \quad t_{ \perp }-r_{ \perp }=\frac { 2sen({ \theta }_{ t })cos({ \theta }_{ i }) }{ sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } +\left( \frac { sen({ \theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) }{ sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \right) </math><br />
<br />
<br />
<math>\quad \quad t_{ \perp }-r_{ \perp }=\frac { 2sen({ \theta }_{ t })cos({ \theta }_{ i })+sen({ \theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) }{ sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } </math><br />
<br />
Utilizando la fórmula de suma y diferencia Bhaskara Acharya :<br />
<br />
<br />
<math>\quad t_{ \perp }-r_{ \perp }=\frac { 2sen({ \theta }_{ t })cos({ \theta }_{ i })+sen({ \theta }_{ i })cos({ \theta }_{ t })-sen({ \theta }_{ t })cos({ \theta }_{ i }) }{ sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } </math><br />
<br />
<br />
<math>\quad \quad t_{ \perp }-r_{ \perp }=\frac { sen({ \theta }_{ t })cos({ \theta }_{ i })+sen({ \theta }_{ i })cos({ \theta }_{ t }) }{ sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } </math><br />
<br />
<br />
<math>\quad \quad t_{ \perp }-r_{ \perp }=\frac { sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) }{ sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\quad \therefore \quad \quad t_{ \perp }-r_{ \perp }=1</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ruben Espinosa|Ruben Espinosa Guzmán]]<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
===Ejercicio 4.68===<br />
----<br />
<br />
muestra que los ángulos de polarización para la reflexión interna y externa en una interfaz dada son complementarios, es decir,<math>{ \theta }_{ p }+{ \theta }_{ p }^{ \prime }={ 90 }^{ \circ }</math><br />
<br />
si el indice de refracción de las regiones incidente y transmitida es <math>{ n }_{ i }\quad y\quad { n }_{ t }</math> respectivamente y <math>{ \theta }_{ p }</math> es el angulo de polarización, entonces <br />
<br />
<math>{ \theta }_{ p }=\frac { { n }_{ t } }{ { n }_{ i } } </math> <br />
<br />
llamemos para la reflexion interna <math>{ \theta }_{ p }=\frac { { n }_{ t } }{ { n }_{ i } } </math> ....(1)<br />
<br />
llamemos para la reflexion externa <math>{ { \theta }^{ \prime } }_{ p }=\frac { { n }_{ t } }{ { n }_{ i } } </math> ....(2)<br />
<br />
de las ecuaciones (1) y (2) obtenemos...<br />
<br />
<math>tan{ { \theta }^{ } }_{ p }=\frac { 1 }{ \frac { { n }_{ i } }{ { n }_{ t } } } </math><br />
<br />
<math>tan{ { \theta }^{ } }_{ p }=\frac { 1 }{ tan{ \theta }_{ p }^{ \prime } } </math><br />
<br />
<math>\frac { sen{ \theta }_{ p } }{ cos{ \theta }_{ p } } =\frac { cos{ \theta }_{ p }^{ \prime } }{ sen{ \theta }_{ p }^{ \prime } } </math><br />
<br />
al multiplicar cruzado obtenemos:<br />
<br />
<math>sen{ \theta }_{ p }sen{ \theta }_{ p }^{ \prime }=cos{ \theta }_{ p }cos{ \theta }_{ p }^{ \prime }</math><br />
<br />
<math>sen{ \theta }_{ p }sen{ \theta }_{ p }^{ \prime }-cos{ \theta }_{ p }cos{ \theta }_{ p }^{ \prime }=0</math><br />
<br />
<math>cos{ (\theta }_{ p }^{ \prime }+{ \theta }_{ p })=0</math><br />
<br />
<math>{ (\theta }_{ p }^{ \prime }+{ \theta }_{ p })={ 90 }^{ \circ }</math><br />
<br />
si la suma de su angulo de polarización de la reflexión interna <math>{ \theta }_{ p }</math> y el angulo de polarización externa <math>{ (\theta }_{ p }^{ \prime }</math> son <math>{ 90 }^{ \circ }</math> entonces complementarios.<br />
<br />
<math>\therefore </math> el angulo de polarización de la reflexión interna <math>{ \theta }_{ p }</math> y el angulo de polarización de reflexión externa <math>{ \theta }_{ p }^{ \prime }</math> son complementarios.<br />
<br />
<math>\therefore </math> queda probado.<br />
<br />
--[[Usuario:salvadormorales|Salvador Alejandro Morales Carranza]]<br />
<br />
<br />
----<br />
===Ejercicio 4.51===<br />
----<br />
<br />
Utilizando las ecuaciones de Fresnel, demuestre que :<br />
<br />
$ r_{\perp} = \frac{ \cos \theta_i - \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}{ \cos \theta_i + \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}$<br />
<br />
$r_{\parallel} = \frac{n_{ti}^2 \cos \theta_i - \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}{ n_{ti}^2\cos \theta_i + \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}$<br />
<br />
: '''''Solución''''':<br />
<br />
<br />
Los coeficientes de reflexión en medios deieléctricos son:<br />
<br />
<br />
$ r_{\perp} =\frac{n_i \cos \theta_i- n_t \cos \theta_t}{n_i \cos \theta_i+ n_t \cos \theta_t} $<br />
<br />
$r_{\parallel} =\frac{n_t\cos \theta_i- n_i\cos \theta_t}{n_i \cos \theta_i+ n_t \cos \theta_t} $<br />
<br />
<br />
Haciendo uso de la relación pitagórica : $\sin^2 \theta+ \cos^2 \theta=1$ podemos reescribir $ \cos \theta_t $ y $ \cos \theta_i $<br />
<br />
$\cos \theta_t= \sqrt{ 1 - \sin^2 \theta_t}$<br />
<br />
<br />
<br />
Y por Ley de Snell:<br />
<br />
$\sin \theta_t= \frac{n_i}{n_t} \sin \theta_i$<br />
<br />
<br />
<br />
elevamos al cuadrado:<br />
<br />
$\sin^2 \theta_t= \frac{n_i^2}{n_t^2} \sin^2 \theta_i$<br />
<br />
<br />
$\sin^2 \theta_i= \frac{n_t^2}{n_i^2} \sin^2 \theta_t$<br />
<br />
<br />
Al hacer la sustitución llegamos a una expresión para $\cos \theta_t $ que involucra a $\sin \theta_i $<br />
<br />
$\cos \theta_t= \sqrt{ 1 -\frac{n_i^2}{n_t^2} \sin ^2 \theta_i}$<br />
<br />
con :$ \frac{n_t}{n_i} \equiv n_{ti}$<br />
<br />
$\cos \theta_t= \sqrt{ n_{ti}^2- \sin ^2 \theta_i}$<br />
<br />
<br />
Sustituimos en la ecuación para $ r_{\perp}$ y obtenemos:<br />
<br />
<br />
$ r_{\perp} = \frac{ \cos \theta_i - \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}{ \cos \theta_i + \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}$<br />
<br />
Para $ r_{\parallel}$<br />
<br />
$ \cos \theta_t= \sqrt{ \frac {1}{n_{ti}^2}- \sin ^2 \theta_i}$<br />
<br />
Multiplicamos y dividimos por $ n_{ti}^2$<br />
<br />
y reescribimos $ r_{\parallel}$<br />
<br />
$r_{\parallel} = \frac{n_{ti}^2 \cos \theta_i - \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}{ n_{ti}^2\cos \theta_i + \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}$<br />
<br />
[[Usuario:Aurea Espin|Aurea Espin]] ([[Usuario discusión:Aurea Espin|discusión]]) 00:13 29 oct 2018 (CDT)<br />
<br />
----<br />
----<br />
=== Ejercicio 4.59 ===<br />
Utilice la ecuación 4.42 y la expansión en serie de la función seno para establecer que en una incidencia cercana a la normal podemos obtener una mejor aproximación que la del problema 4.45.<br />
<br />
: '''Solución:'''<br />
<br />
Ahora bien, el desarrollo en serie de Taylor para el seno está dado por<br />
<br />
<math>sen \theta = \theta - \dfrac{1}{3!}\theta^3 + \dfrac{1}{5!}\theta^5-\cdots</math><br />
<br />
lo que puede ser escrito como<br />
<br />
<math>sen \theta = \theta \left[1 - \dfrac{1}{3!}\theta^2 + \dfrac{1}{5!}\theta^4-\cdots\right]</math><br />
<br />
Y de la ley de Snell <math>n sen \theta_t = 1\cdot sen \theta_i</math> obtenemos<br />
<br />
<math><br />
\theta_t \left[1-\dfrac{1}{6}\theta_t^2+\cdots\right] = \dfrac{1}{n}\theta_i \left[1-\dfrac{1}{6}\theta_i^2+\cdots\right]<br />
</math><br />
<br />
Del desarrollo binomial conocemos que <math>(1-x)^{-1} \approx (1+x)</math> y como los ángulos son pequeños despreciamos los términos de los ángulos en potencias mayores a dos:<br />
<br />
<math><br />
\theta_t = \dfrac{1}{n}\theta_i \left[1-\dfrac{1}{6}\theta_i^2\right] \left[1+\dfrac{1}{6}\theta_t^2\right]<br />
</math><br />
<br />
La ley de Snell cuando el medio del rayo incidente es el vacío nos dice que para cuando los ángulos son <math>\theta << 1</math> entonces <math>n \theta_t = \theta_i</math>, entonces sustituyendo al ángulo transmitido en términos del incidente<br />
<br />
<math><br />
\theta_t = \dfrac{1}{n}\theta_i \left[1-\dfrac{1}{6}\theta_i^2\right] \left[1+\dfrac{1}{6n^2}\theta_i^2\right]<br />
</math><br />
<br />
Y realizando el producto<br />
<br />
<math><br />
\theta_t = \dfrac{\theta_i}{n} \left[1+\dfrac{1}{6n^2}\theta_i^2 -\dfrac{1}{6}\theta_i^2 - \dfrac{1}{36n^2}\theta_i^4 \right]<br />
</math><br />
<br />
que tomando en cuenta que despreciamos términos en los ángulos mayores a potencias de dos<br />
<br />
<math><br />
\theta_t = \dfrac{\theta_i}{n} \left[1-(n^2-1) \dfrac{\theta_i^2}{6n^2}\right]<br />
</math><br />
<br />
de donde es fácil ver que<br />
<br />
<math><br />
\theta_i \pm \theta_t = \theta_i \pm \dfrac{\theta_i}{n} \left[1-(n^2-1) \dfrac{\theta_i^2}{6n^2}\right]<br />
</math><br />
<br />
que puede reescribirse como<br />
<br />
<math><br />
\theta_i \pm \theta_t = \theta_i \left[1 \pm \dfrac{1}{n} \left(1-(n^2-1) \dfrac{\theta_i^2}{6n^2}\right)\right]<br />
</math><br />
<br />
La ecuación 4.42 es<br />
<br />
<math><br />
r_\bot = -\dfrac{sen(\theta_i - \theta_t)}{sen(\theta_i - \theta_t)}<br />
</math><br />
<br />
Y con la expansión del seno y el resultado anterior queda como<br />
<br />
<math><br />
r_\bot = \dfrac{n-1}{n+1} \left(1+\dfrac{\theta_i^2}{n}\right)<br />
</math><br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 19:32 5 nov 2018 (CST)<br />
----<br />
<br />
===Ejercicio 4.11===<br />
----<br />
Calcule el ángulo de transmisión para un rayo en el aire inicialmente a $30°$ en un bloque de vidrio crown $(n_v=1.52)$.<br />
:$n_i\sin{\theta_i}{=n}_t\sin{\theta_t}$<br />
:donde $n_i=1$ y $n_v=n_t$<br />
:$sin30°=(1.52)sinθt$<br />
:$\theta_t=\sin^{-1}{(0.5/1.52)}$<br />
:$\theta_t=19.20°$<br />
<br />
--[[usuario:Verenisse|Verenisse]]<br />
<br />
<br />
===Ejercicio 4.25===<br />
comenzando con la ley de snell, pruebe que la ecuación vectorial de la refracción tiene la forma:<br />
<br />
ntkt-niki=$n_t\cos{\theta_t}{-n}_i\cos{\theta_i}$<br />
<br />
<br />
<br />
partiendo de : $n_i\sin{\theta_i}{=n}_t\sin{\theta_t}{,n_i}( k_{i} X {u_n}){=n}_t{,n_t}( {k_t} X {u_n})$<br />
<br />
<br />
donde: k_{i},k_{t} son los vectores unitarios de propagación<br />
<br />
Así <br />
<br />
<br />
${n_t}( k_{t} X {u_n}) -{n_i}( k_{i} X {u_n})=0$<br />
<br />
$({n_t} k_{t} {-n_i} k_{i}) x U{n}=0$<br />
<br />
dejando: <br />
<br />
${n_t} k_{t}{-n_i} k_{i}$=${\gamma}$=${\gamma_{u_n}}$<br />
<br />
<br />
donde <br />
<br />
${\gamma}$ es referido como el astigmático constante, tambien <br />
${\gamma}$ es la diferencia entre las proyecciones de ${n_t} k_{t} y { n_i} k_{i}$ en ${u_n}$<br />
<br />
En otras palabras, es el producto punto entre ${\gamma}$ y ${u_n}$:<br />
<br />
por lo que <br />
<br />
<br />
<br />
${\gamma}$ =$n_t\cos{\theta_t}{-n}_i\cos{\theta_i}$<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:|Luisa Alejandra Vega S.]]<br />
<br />
<br />
===Ejercicio 4.32===<br />
Derivar la ley de refracción, $\theta_i=\theta_f$, usando cálculo para minimizar el tiempo de tránsito como lo requiere el principio de Fermat.<br />
<br />
:--Solución--<br />
Con ayuda de la siguiente figura, podremos hacer el problema.<br />
[[Archivo:Radiaciónuam123.jpg]]<br />
<br />
:Definimos a la longitud de camino óptico como:<br />
$LOP=nAB + nBC$ ; n es el índice de refracción del medio. En este caso es el mismo porque el medio es el mismo.<br />
:Por trigonometría sabemos que:<br />
$AM=(h^2 + x^2)^{1/2}$ y;<br />
:$MC=(b^2+(a-x)^2)^{1/2}$ ; Por lo tanto la longitud de camino óptico es:<br />
:$LOP= n(h^2 + x^2)^{1/2} + n(b^2+(a-x)^2)^{1/2}$ ; Como queremos minimizar el tránsito de $LOP$, entonces debemos sacar la derivada respecto de x, a $LOP$ e igualarla a 0.<br />
:$d/dx(LOP)= d/dx[n(h^2 + x^2)^{1/2} + n(b^2+(a-x)^2)^{1/2}]=0$<br />
Entonces:<br />
:$\frac{d}{dx}[n(h^2 + x^2)^{1/2} + n(b^2+(a-x)^2)^{1/2}]= n(h^2+ x^2)^{-1/2}x + n(b^2+ (a-x)^2)^{-1/2}(x-a)=0$<br />
Por lo tanto:<br />
:$n[(h^2+ x^2)^{-1/2}x - (b^2+ (a-x)^2)^{-1/2}(a-x)]=0$ ó<br />
:$\frac{x}{(h^2+ x^2)^{1/2}} - \frac{a-x}{(b^2+ (a-x)^2)^{1/2}}= 0$<br />
:Pero si nos fijamos de nuevo en la figura, observamos que:<br />
:$\frac{x}{(h^2+ x^2)^{1/2}}= \sin\theta_i$ y;<br />
:$\frac{a-x}{(b^2+ (a-x)^2)^{1/2}}= \sin\theta_r$ Por lo tanto:<br />
:$\sin\theta_i= \sin\theta_r$ $\Leftrightarrow$ $\theta_i=\theta_f$.<br />
<br />
:--[[Usuario:|Pedro J. Julian.]]<br />
<br />
===Ejercicio 4.43===<br />
----<br />
Deduzca las ecuaciones (4.42) a (4.45) para $r_{\perp}$, $r_{\parallel}$, $t_{\perp}$, $t_{\parallel}$<br />
<br />
$r_{\perp}=-\frac{\sin{(\theta_i-\theta_t)}}{\sin{(\theta_i+\theta_t)}}$ ...$(4.42)$<br />
<br />
$r_{\parallel}=+\frac{\tan{(\theta_i-\theta_t)}}{\tan{(\theta_i+\theta_t)}}$ ...$(4.43)$<br />
<br />
$t_{\perp}=+\frac{2\sin{\theta_t}\cos{\theta_i}}{\sin{(\theta_i+\theta_t)}}$ ...$(4.44)$<br />
<br />
$t_{\parallel}=+\frac{2\sin{\theta_t}\cos{\theta_i}}{\sin{(\theta_i+\theta_t)}\cos{(\theta_i-\theta_t)}}$ ...$(4.45)$<br />
<br />
: '''''Solución:'''''<br />
:Partiendo de las ecuaciones de Fresnel y el índice de refracción relativo $n_{ti}=\frac{n_t}{n_i}=\frac{\sin{\theta_i}}{\sin{\theta_t}}$<br />
:$r_{\perp}=\frac{n_i\cos{\theta_i}-n_t\cos{\theta_t}}{{n_i\cos{\theta_i}+n_t\cos{\theta_t}}}=\left(\frac{1/n_i}{1/n_i}\right)\frac{n_i\cos{\theta_i}-n_t\cos{\theta_t}}{{n_i\cos{\theta_i}+n_t\cos{\theta_t}}}=\frac{\frac{n_i}{n_i}\cos{\theta_i}-\frac{n_t}{n_i}\cos{\theta_t}}{{\frac{n_i}{n_i}\cos{\theta_i}+\frac{n_t}{n_i}\cos{\theta_t}}}=\left(\frac{\sin{\theta_t}}{\sin{\theta_t}}\right)\frac{\cos{\theta_i}-\frac{\sin{\theta_i}}{\sin{\theta_t}}\cos{\theta_t}}{{\cos{\theta_i}-\frac{\sin{\theta_i}}{\sin{\theta_t}}\cos{\theta_t}}}=\frac{\sin{\theta_t}\cos{\theta_i}-\sin{\theta_i}\cos{\theta_t}}{\sin{\theta_t}\cos{\theta_i}+\sin{\theta_i}\cos{\theta_t}}=-\frac{\sin{\theta_i}\cos{\theta_t}-\sin{\theta_t}\cos{\theta_i}}{\sin{\theta_t}\cos{\theta_i}+\sin{\theta_i}\cos{\theta_t}}$<br />
:utilizando la identidad trigonométrica $\sin{(a\pm b)}=\sin{a}\cos{b}\pm \cos{a}\sin{b}$<br />
$\therefore r_{\perp}=-\frac{\sin{(\theta_i-\theta_t)}}{\sin{(\theta_i+\theta_t)}}$<br />
:$t_{\perp}=\frac{2 n_i \cos{\theta_i}}{n_i\cos{\theta_i}+n_t\cos{\theta_t}}=\frac{2 \frac{n_i}{n_t} \cos{\theta_i}}{\frac{n_i}{n_t}\cos{\theta_i}+\cos{\theta_t}}=\frac{2 \sin{\theta_t} \cos{\theta_i}\frac{1}{\sin{\theta_i}}}{\frac{\sin{\theta_t}}{\sin{\theta_i}}\cos{\theta_i}+\cos{\theta_t}}=\frac{2 \sin{\theta_t} \cos{\theta_i}}{\sin{\theta_t}\cos{\theta_i}+\sin{\theta_i}\cos{\theta_t}}$<br />
<br />
:$\therefore t_{\perp}=+\frac{2\sin{\theta_t}\cos{\theta_i}}{\sin{(\theta_i+\theta_t)}}$<br />
<br />
:$r_{\parallel}=\frac{n_t\cos{\theta_i}-n_i\cos{\theta_t}}{{n_t\cos{\theta_i}+n_i\cos{\theta_t}}}=\frac{\sin{\theta_i}\cos{\theta_i}-\sin{\theta_t}\cos{\theta_t}}{\sin{\theta_t}\cos{\theta_t}+\sin{\theta_i}\cos{\theta_i}}$<br />
<br />
:Poniendo los senos y cosenos en términos de exponenciales:<br />
<br />
:$r_{\parallel}=\frac{\left(\frac{e^{i\theta_i}-e^{-i\theta_i}}{2i}\right)\left(\frac{e^{i\theta_i}+e^{-i\theta_i}}{2}\right)-\left(\frac{e^{i\theta_t}-e^{-i\theta_t}}{2i}\right)\left(\frac{e^{i\theta_t}+e^{-i\theta_t}}{2}\right)}{\left(\frac{e^{i\theta_i}-e^{-i\theta_i}}{2i}\right)\left(\frac{e^{i\theta_i}+e^{-i\theta_i}}{2}\right)+\left(\frac{e^{i\theta_t}-e^{-i\theta_t}}{2i}\right)\left(\frac{e^{i\theta_t}+e^{-i\theta_t}}{2}\right)}=\frac{\left(e^{i\theta_i}-e^{-i\theta_i}\right)\left(e^{i\theta_i}+e^{-i\theta_i}\right)-\left(e^{i\theta_t}-e^{-i\theta_t}\right)\left(e^{i\theta_t}+e^{-i\theta_t}\right)}{\left(e^{i\theta_i}-e^{-i\theta_i}\right)\left(e^{i\theta_i}+e^{-i\theta_i}\right)+\left(e^{i\theta_t}-e^{-i\theta_t}\right)\left(e^{i\theta_t}+e^{-i\theta_t}\right)}$<br />
<br />
:al realizar los productos se obtiene:<br />
<br />
:$r_{\parallel}=\frac{e^{2i\theta_i}-e^{-2i\theta_i}-e^{2i\theta_t}+e^{-2i\theta_i}}{e^{2i\theta_i}-e^{-2i\theta_i}+e^{2i\theta_t}-e^{-2i\theta_t}}$<br />
<br />
:sumando y restando $\theta_i$ y $\theta_t$ a los argumentos de las exponenciales y separandolas como producto de exponenciales:<br />
<br />
:$r_{\parallel}= \frac{e^{i(\theta_i+\theta_t+\theta_i-\theta_t)}-e^{-i(\theta_i+\theta_t+\theta_i-\theta_t)}-e^{i(\theta_t+\theta_i+\theta_t-\theta_i)}+e^{-i(\theta_t+\theta_i+\theta_t-\theta_i)}}{e^{i(\theta_i+\theta_t+\theta_i-\theta_t)}-e^{-i(\theta_i+\theta_t+\theta_i-\theta_t)}+e^{i(\theta_t+\theta_i+\theta_t-\theta_i)}-e^{-i(\theta_t+\theta_i+\theta_t-\theta_i)}}$<br />
<br />
:$=\frac{e^{i(\theta_i+\theta_t)}e^{i(\theta_i-\theta_t)}-e^{-i(\theta_i+\theta_t)}e^{-i(\theta_i-\theta_t)}-e^{i(\theta_i+\theta_t)}e^{-i(\theta_i-\theta_t)}+e^{-i(\theta_i+\theta_t)}e^{i(\theta_i-\theta_t)}}{e^{i(\theta_i+\theta_t)}e^{i(\theta_i-\theta_t)}-e^{-i(\theta_i+\theta_t)}e^{-i(\theta_i-\theta_t)}+e^{i(\theta_i+\theta_t)}e^{-i(\theta_i-\theta_t)}-e^{-i(\theta_i+\theta_t)}e^{i(\theta_i-\theta_t)}}$<br />
<br />
:factorizando términos semejantes:<br />
<br />
$r_{\parallel}=\frac{e^{i(\theta_i+\theta_t)}\left(e^{i(\theta_i-\theta_t)}-e^{-i(\theta_i-\theta_t)}\right)+e^{-i(\theta_i+\theta_t)}\left(e^{i(\theta_i-\theta_t)}-e^{-i(\theta_i-\theta_t)}\right)}{e^{i(\theta_i+\theta_t)}\left(e^{i(\theta_i-\theta_t)}+e^{-i(\theta_i-\theta_t)}\right)-e^{-i(\theta_i+\theta_t)}\left(e^{i(\theta_i-\theta_t)}+e^{-i(\theta_i-\theta_t)}\right)}=\frac{\left(e^{i(\theta_i+\theta_t)}+e^{-i(\theta_i+\theta_t)}\right)\left(e^{i(\theta_i-\theta_t)}-e^{-i(\theta_i-\theta_t)}\right)}{\left(e^{i(\theta_i+\theta_t)}-e^{-i(\theta_i+\theta_t)}\right)\left(e^{i(\theta_i-\theta_t)}+e^{-i(\theta_i-\theta_t)}\right)}$<br />
<br />
:regresando a senos y cosenos:<br />
<br />
$r_{\parallel}=\frac{\left(2\cos{(\theta_i+\theta_t)}\right)\left(2i\sin{(\theta_i-\theta_t)}\right)}{\left(2\cos{(\theta_i-\theta_t)}\right)\left(2i\sin{(\theta_i+\theta_t)}\right)}=\frac{\left(\cos{\theta_i+\theta_t}\right)\left(\sin{\theta_i-\theta_t}\right)}{\left(\sin{\theta_i+\theta_t}\right)\left(\cos{\theta_i-\theta_t}\right)}$<br />
<br />
:$\therefore r_{\parallel}=+\frac{\tan{(\theta_i-\theta_t)}}{\tan{(\theta_i+\theta_t)}}$<br />
<br />
<br />
:$t_\parallel=\frac{2 n_i \cos{\theta_i}}{n_i\cos{\theta_t}+n_t\cos{\theta_i}}=\frac{2 n_{it} \cos{\theta_i}}{n_{it}\cos{\theta_t}+\cos{\theta_i}}=\frac{2 \sin{\theta_t} \cos{\theta_i}}{\sin{\theta_t}\cos{\theta_t}+\sin{\theta_i}\cos{\theta_i}}=\frac{2 \sin{\theta_t} \cos{\theta_i}}{\sin{\theta_t}\cos{\theta_t}\left(\sin^2 \theta_i+\cos^2 \theta_i \right)+\sin{\theta_i}\cos{\theta_i}\left(\sin^2\theta_t+\cos^2 \theta_t\right)}$<br />
<br />
:$=\frac{2 \sin{\theta_t} \cos{\theta_i}}{\sin{\theta_i}^2\sin{\theta_t}\cos{\theta_t}+\cos{\theta_i}^2\sin{\theta_t}\cos{\theta_t}+\sin{\theta_t}^2\sin{\theta_i}\cos{\theta_i}+\cos{\theta_t}^2\sin{\theta_i}\cos{\theta_i}}$<br />
<br />
:$=\frac{2 \sin{\theta_t} \cos{\theta_i}}{\sin{\theta_i}\cos{\theta_t}\sin{\theta_i}\sin{\theta_t}+\sin{\theta_i}\cos{\theta_t}\cos{\theta_i}\cos{\theta_t}+\cos{\theta_i}\sin{\theta_t}\sin{\theta_i}\sin{\theta_t}+\cos{\theta_i}\sin{\theta_t}\cos{\theta_i}\cos{\theta_t}}$<br />
<br />
:$=\frac{2 \sin{\theta_t} \cos{\theta_i}}{\sin{\theta_i}\cos{\theta_t}\left(\sin{\theta_i}\sin{\theta_t}+\cos{\theta_i}\cos{\theta_t}\right)+\cos{\theta_i}\sin{\theta_t}\left(\sin{\theta_i}\sin{\theta_t}+\cos{\theta_i}\cos{\theta_t}\right)}$<br />
<br />
:$=\frac{2 \sin{\theta_t} \cos{\theta_i}}{\left(\sin{\theta_i}\cos{\theta_t}+\cos{\theta_i}\sin{\theta_t}\right)\left(\sin{\theta_i}\sin{\theta_t}+\cos{\theta_i}\cos{\theta_t}\right)}$<br />
<br />
:$\therefore t_{\parallel}=+\frac{2\sin{\theta_t}\cos{\theta_i}}{\sin{(\theta_i+\theta_t)}\cos{(\theta_i-\theta_t)}}$<br />
<br />
--[[Usuario:sesebasi|Sergio]]</div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Optica:_Capitulo4-problemas&diff=22629
Optica: Capitulo4-problemas
2018-10-29T02:32:28Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: </p>
<hr />
<div>Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 4,<br />
con el siguiente formato:<br />
<br />
<br />
Problema 1<br />
<br />
'''Planteamiento del problema'''<br />
<br />
Solución<br />
<br />
<br />
y su respectiva firma<br />
<br />
--[[Usuario:gsfwiki|Gael]] <br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
[[categoría:Optica]]<br />
[[categoría:Cursos]]<br />
<br />
<br />
===Ejercicio 4.45===<br />
----<br />
'''''Un rayo láser incide en la interfaz entre el aire y algunos dieléctricos de índice n. Para valores pequeños de <math>{ \theta }_{ i }</math><br />
muestre que <math>{ { \theta } }_{ t }=\frac { { { \theta } }_{ i } }{ n } </math>, Usa esto y la ec. (4.42) para establecer que en una incidencia casi normal<br />
<math>{ \left\lceil { -r }_{ \bot } \right\rceil }_{ { \theta }_{ i }\sim 0 }=\frac { n-1 }{ n+1 } </math>'''''<br />
<br />
: '''''Solución''''':<br />
:Tenemos los siguientes datos conocidos:<br />
:Indice de refracción del aire <math>{ n }_{ i }</math> es: 1<br />
:Indice de refracción del dieléctrico <math>{ n }_{ t }</math> es :<math>n</math><br />
:Ángulo de incidencia = <math>{ \theta }_{ i }</math><br />
:Ángulo de refracción = <math>{ \theta }_{ t }</math><br />
:<br />
:Aplicando la ley de Snell:<br />
:<math>{ n }_{ i }sin{ \theta }_{ i }={ n }_{ t }sin{ \theta }_{ t }</math><br />
:<math>sin{ \theta }_{ i }=nsin{ \theta }_{ t }\quad ......(1)</math><br />
:<br />
:Para valores pequeños de theta, tenemos las siguientes relaciones:<br />
:<math>sin{ \theta }_{ t }={ \theta }_{ i }</math><br />
:<math>sin{ \theta }_{ t }={ \theta }_{ t }</math><br />
:<br />
:La Ecuación (1) se reduce:<br />
:<math>n{ \theta }_{ t }={ \theta }_{ i }</math><br />
:De la última expresión tenemos:<br />
:<math>{ \theta }_{ t }=\frac { { \theta }_{ i } }{ n } </math><br />
:Ahora ocupando la ecuación 4.42 y considerando <math>{ \theta }_{ i }</math> muy pequeñas :<br />
:<math>{ r }_{ \bot }=-\frac { sin({ \theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) }{ sin({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \quad .....(a)</math><br />
:Haciendo la consideración:<br />
:<math>{ r }_{ \bot }=\frac { ({ \theta }_{ t }-{ \theta }_{ i }) }{ ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } </math><br />
:ocupando <math>{ \theta }_{ t }=\frac { { \theta }_{ i } }{ n }</math> , y sustituyendo en la ultima ecuación:<br />
:<math>{ r }_{ \bot }=\frac { (\frac { { \theta }_{ i } }{ n } -{ \theta }_{ i }) }{ ({ \theta }_{ i }+\frac { { \theta }_{ i } }{ n } ) } </math><br />
:Factorizando <math>{ \theta }_{ i }</math><br />
:<math>{ r }_{ \bot }=\frac { { \theta }_{ i }(\frac { 1 }{ n } -1) }{ { \theta }_{ i }(1+\frac { 1 }{ n } ) } </math><br />
:Reduciendo:<br />
:<math>{ r }_{ \bot }=\frac { (1-n) }{ (1+n) } </math><br />
:Finalmente tenemos:<br />
:<math>{ \left( -{ r }_{ \bot } \right) }_{ { \theta }_{ i }\approx 0 }=\frac { n-1 }{ n+1 } </math><br />
:--[[Usuario:Luis Chávez|Luis Manuel Chávez Antonio]]<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
===Ejercicio 4.64===<br />
----<br />
'''''Verifique que:<br />
<br />
<br />
<math>t_{\perp }+(-r_{\perp })=1</math>.........[4.49]<br />
<br />
<br />
para <math>\theta _{i}=30</math> en una interfaz de vidrio crown y aire <math>(n_{ti}=1.52)</math>'''''<br />
<br />
<br />
<br />
: '''''Solución''''':<br />
<br />
<br />
Datos:<br />
<br />
Angulo de incidencia <math>(\theta _{i})</math> = 30°<br />
<br />
Indice de refracción del cristal <math>(n _{f})</math> = 1.52<br />
<br />
Indice de refracción del aire = 1<br />
<br />
Angulo de transmisión <math>(\theta _{t})</math><br />
<br />
<br />
Usando la ley de Snell obtenemos:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\frac{sen(\theta _{i})}{sen (\theta _{t})}=\frac{n_{t}}{n_{i}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\frac{sen(30)}{sen (\theta _{t})}=1.52</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\frac{0.5}{sen (\theta _{t})}=1.52</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>sen (\theta _{t})=\frac{0.5}{1.52}</math><br />
<br />
<br />
En angulo de transmisión <math>(\theta _{t})</math> sera:<br />
<br />
<br />
<math>\theta _{t}=sen^{-1}\left ( \frac{0.5}{1.52} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math>\theta _{t}=19.2</math><br />
<br />
<br />
<br />
El componente perpendicular del coeficiente de transmisión es:<br />
<br />
<br />
<math>t_{\perp }=\frac{2n_{i}cos(\theta _{i})}{n_{i}cos(\theta _{i})+n_{f}cos(\theta _{t})}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>t_{\perp }=\frac{2cos(30)}{cos(30)+(1.52)cos(19.2)}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>t_{\perp }=\frac{(2)(0.86)}{(0.86)+(1.52)(0.94)}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>t_{\perp }=0.7514</math><br />
<br />
<br />
Ahora, la componente perpendicular del coeficiente de reflexión es:<br />
<br />
<br />
<math>r_{\perp }=\frac{n_{i}cos(\theta _{i})-n_{t}cos(\theta _{t})}{n_{i}cos(\theta _{i})+n_{t}cos(\theta _{t})}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>r_{\perp }=\frac{(0.86)-(1.52)(0.94)}{(0.86)+(1.52)(0.94)}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>r_{\perp }=-0.2486</math><br />
<br />
<br />
Al sumar los valores de <math>t_{\perp }</math> y <math>r_{\perp }</math> obtenemos:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>t_{\perp }+(-r_{\perp })=0.7514+[-(-0.2486)]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>t_{\perp }+(-r_{\perp })=0.7514+0.2486</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>t_{\perp }+(-r_{\perp })=1</math><br />
<br />
<br />
<br />
Por lo tanto <math>t_{\perp }+(-r_{\perp })=1</math><br />
<br />
<br />
:--[[Usuario:Enrique Ortiz Martinez|Enrique Ortiz Martinez]]<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
=== Ejercicio 4.21 ===<br />
<br />
Trace un gráfico de θ_i con respecto a θ_t para una frontera aire-vidrio donde <math>n_va=1.5</math>. Discuta la forma de la curva.<br />
<br />
'''Solución:'''<br />
<br />
:La ecuación de la refracción de Snell está dada por:<br />
<br />
<math>n_i sin(θ_i )=n_t sin(θ_t )</math><br />
<br />
:Pero n_i=1<br />
<br />
:Por lo tanto<br />
<br />
<math>n_i sin(θ_i )=n_t sin(θ_t )</math><br />
<br />
Despejando θ_t se tiene que<br />
<math>θ_t=sin^(-1)(sinθ_i /n_t )</math><br />
<br />
En este caso se realizan cambios de 2 grados de diferencia, se tuvo la siguiente gráfica<br />
<br />
[[Archivo:tablaejer421.jpeg]]<br />
<br />
Podemos observar que a pesar que al comparar los ángulos, se puede apreciar que los valores tienden a un número que en este caso es aproximadamente 42°. Esto se podría interpretar como el ángulo máximo que puede tomar el haz, en este caso, en el agua.<br />
<br />
Los datos están en el siguiente documento.<br />
<br />
[[Archivo:datoseje421.jpg]]<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Onáfeder|Fernando Valencia Hernández]]<br />
<br />
----<br />
<br />
===Problema 4.72===<br />
----<br />
Mostrar que:<br />
<math>{ T }_{ \parallel }=\frac { \sin { 2{ \theta }_{ i } } \sin { 2{ \theta }_{ t } } }{ \sin ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \cos ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) } } </math><br />
<br />
Y<br />
<br />
<math>{ T }_{ \bot }=\frac { \sin { 2{ \theta }_{ i } } \sin { 2{ \theta }_{ t } } }{ \sin ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } } </math><br />
<br />
'''Solución:'''<br />
<br />
La componente perpendicular de la transmitancia <math>T</math> esta dada por:<br />
<math>{ T }_{ \bot }=\left( \frac { { n }_{ t }\cos { { \theta }_{ t } } }{ { n }_{ i }\cos { { \theta }_{ i } } } \right) { t }_{ \bot }^{ 2 }\quad ......\left( 1 \right) </math><br />
<br />
Pero el coeficiente de amplitud de transmisión es:<br />
<br />
<math>{ t }_{ \bot }=\frac { 2\sin { { \theta }_{ t } } \cos { { \theta }_{ i } } }{ \sin { ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } } </math><br />
<br />
<math>{ t }_{ \bot }^{ 2 }=\frac { 4\sin ^{ 2 }{ { \theta }_{ i } } \cos ^{ 2 }{ { \theta }_{ t } } }{ \sin ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } } </math><br />
<br />
Sustituyendo el valor calculado de <math>{ t }_{ \bot }^{ 2 }</math> en la Ec. <math>\left( 1 \right) </math>, se obtiene:<br />
<br />
<math>{ T }_{ \bot }=\left( \frac { { n }_{ t }\cos { { \theta }_{ t } } }{ { n }_{ i }\cos { { \theta }_{ i } } } \right) \left( \frac { 4\sin ^{ 2 }{ { \theta }_{ i } } \cos ^{ 2 }{ { \theta }_{ t } } }{ \sin ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } } \right) \quad ......\left( 2 \right) </math><br />
<br />
De la ley de Snell <math>{ n }_{ i }\sin { { \theta }_{ i } } ={ n }_{ t }\cos { { \theta }_{ t } } </math><br />
<br />
<math>\frac { { n }_{ t } }{ { n }_{ i } } =\frac { \sin { { \theta }_{ i } } }{ \sin { { \theta }_{ t } } } \quad ......\left( 3 \right) </math><br />
<br />
Sustituyendo el valor de <math>\frac { { n }_{ t } }{ { n }_{ i } } </math> de la Ec. <math>\left( 3 \right) </math> en la Ec. <math>\left( 2 \right) </math>, obtenemos:<br />
<br />
<math>{ T }_{ \bot }=\left( \frac { \sin { { \theta }_{ i } } }{ \sin { { \theta }_{ t } } } \frac { \cos { { \theta }_{ t } } }{ \cos { { \theta }_{ i } } } \right) \left( \frac { 4\sin ^{ 2 }{ { \theta }_{ i } } \cos ^{ 2 }{ { \theta }_{ t } } }{ \sin ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } } \right) </math><br />
<br />
<math>{ T }_{ \bot }=\frac { 4\sin { { \theta }_{ t } } \cos { { \theta }_{ t } } \sin { { \theta }_{ i } } \cos { { \theta }_{ i } } }{ \sin ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } } </math><br />
<br />
<math>{ T }_{ \bot }=\left( \frac { \left( 2\sin { { \theta }_{ t } } \cos { { \theta }_{ t } } \right) \left( 2\sin { { \theta }_{ i } } \cos { { \theta }_{ i } } \right) }{ \sin ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } } \right) </math><br />
<br />
'''Comprobando que:'''<br />
<br />
<math>{ T }_{ \bot }=\frac { \sin { 2{ \theta }_{ i } } \sin { 2{ \theta }_{ t } } }{ \sin ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } } </math><br />
<br />
Del mismo modo podemos proceder para el comportamiento paralelo de <math>T</math>, se la siguiente manera:<br />
<br />
El comportamiento paralelo de la transmitancia <math>T</math>, se expresa como:<br />
<br />
<math>{ T }_{ \parallel }=\left( \frac { { n }_{ t }\cos { { \theta }_{ t } } }{ { n }_{ i }\cos { { \theta }_{ i } } } \right) { t }_{ \parallel }^{ 2 }\quad ......\left( 4 \right) </math><br />
<br />
Pero sabemos que la amplitud del coeficiente de transmisión es:<br />
<br />
<math>{ t }_{ \parallel }=\frac { 2\sin { { \theta }_{ t } } \cos { { \theta }_{ i } } }{ \sin { { (\theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \cos { ({ { \theta }_{ i }-\theta }_{ t }) } } </math><br />
<br />
<math>{ { t }_{ \parallel }^{ 2 } }=\frac { 4\sin ^{ 2 }{ { \theta }_{ t } } \cos ^{ 2 }{ { \theta }_{ i } } }{ \sin ^{ 2 }{ { (\theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \cos ^{ 2 }{ { (\theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) } } </math><br />
<br />
Sustituyendo el valor de <math>{ t }_{ \parallel }^{ 2 }</math>, en la Ec. <math>\left( 4 \right) </math>, obtenemos:<br />
<br />
<math>{ T }_{ \parallel }=\left( \frac { { n }_{ t }\cos { { \theta }_{ t } } }{ { n }_{ i }\cos { { \theta }_{ i } } } \right) \left( \frac { 4\sin ^{ 2 }{ { \theta }_{ t } } \cos ^{ 2 }{ { \theta }_{ i } } }{ \sin ^{ 2 }{ { (\theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \cos ^{ 2 }{ { (\theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) } } \right) </math><br />
<br />
De la Ec. <math>\left( 3 \right) </math><br />
<br />
<math>\frac { { n }_{ t } }{ { n }_{ i } } =\frac { \sin { { \theta }_{ i } } }{ \sin { { \theta }_{ t } } } </math><br />
<br />
<math>{ T }_{ \parallel }=\left( \frac { \sin { { \theta }_{ i } } }{ \sin { { \theta }_{ t } } } \frac { \cos { { \theta }_{ t } } }{ \cos { { \theta }_{ i } } } \right) \left( \frac { 4\sin ^{ 2 }{ { \theta }_{ t } } \cos ^{ 2 }{ { \theta }_{ i } } }{ \sin ^{ 2 }{ { (\theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \cos ^{ 2 }{ { (\theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) } } \right) </math><br />
<br />
<math>{ T }_{ \parallel }=\left( \frac { 4\sin { { \theta }_{ i } } \sin { { \theta }_{ t } } \cos { { \theta }_{ i } } \cos { { \theta }_{ t } } }{ \sin ^{ 2 }{ { (\theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \cos ^{ 2 }{ { (\theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) } } \right) </math><br />
<br />
<math>{ T }_{ \parallel }=\left( \frac { (2\sin { { \theta }_{ i } } \sin { { \theta }_{ t })(2 } \cos { { \theta }_{ i } } \cos { { \theta }_{ t } } ) }{ \sin ^{ 2 }{ { (\theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \cos ^{ 2 }{ { (\theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) } } \right) </math><br />
<br />
'''Comprobando que:'''<br />
<br />
<math>{ T }_{ \parallel }=\frac { \sin { 2{ \theta }_{ i } } \sin { 2{ \theta }_{ t } } }{ \sin ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \cos ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) } } </math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Gutierrez|Luis Gutiérrez Melgarejo]]<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
===Problema 4.63===<br />
<br />
----<br />
<br />
'''Prueba que <math>{ t }_{ \perp }+(-{ r }_{ \perp })=1</math> para todo <math>{ \theta }_{ i }</math> , primero de las condiciones de frontera y después de las ecuaciones de Fresnel.'''<br />
<br />
<br />
<br />
'''Solucion:'''<br />
<br />
<br />
Podemos notar que la continuidad de los componentes tangenciales de <math>\overrightarrow { E } </math> analizando cualquier limite en cualquier punto , el campo tangencial en el medio incidente es igual al del medio de transmisión.<br />
<br />
<math>\therefore </math> Así obtenemos:<br />
<br />
<br />
<math>{ \left[ { E }_{ 0i } \right] }_{ \perp }+{ \left[ { E }_{ 0r } \right] }_{ \perp }={ \left[ { E }_{ 0t } \right] }_{ \perp }</math><br />
<br />
<br />
<math>{ \left[ { E }_{ 0t } \right] }_{ \perp }-{ \left[ { E }_{ 0r } \right] }_{ \perp }={ \left[ { E }_{ 0i } \right] }_{ \perp }</math><br />
<br />
<br />
Dividimos cada término con el <math>{ \left[ { E }_{ 0i } \right] }_{ \perp }</math> para obtener:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>{ \left[ \frac { { E }_{ 0t } }{ { E }_{ 0i } } \right] }_{ \perp }-{ \left[ \frac { { E }_{ 0r } }{ { E }_{ 0i } } \right] }_{ \perp }={ \left[ \frac { { E }_{ 0i } }{ {E}_{ 0i } } \right] }_{ \perp }\quad </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>{ \left[ \frac { { E }_{ 0t } }{ { E }_{ 0i } } \right] }_{ \perp }-{ \left[ \frac { { E }_{ 0r } }{ { E }_{ 0i } } \right] }_{ \perp }=1\quad \quad \quad </math><br />
<br />
<br />
<br />
Sabemos que <math>\left[ \frac { { E }_{ 0t } }{ { E }_{ 0i } } \right]_{ \perp }=</math>Amplitud del coeficiente de transmisión<math>=t_{ \perp }</math> y también podemos notar que el cociente <math>\left[ \frac { { E }_{ 0r } }{ { E }_{ 0i } } \right] _{ \perp }=</math>Amplitud del coeficiente de reflexión<math>={ r }_{ \perp }</math><br />
<br />
<br />
Dado las dos aseveraciones anteriores podemos dar por echo entonces que:<br />
<br />
<br />
<math>t_{ \perp }-r_{ \perp }=1</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore \quad \quad t_{ \perp }+\left( -r_{ \perp } \right) =1</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto esta probado<br />
<br />
Otro camino para la comprobación anterior es la siguiente:<br />
<br />
<br />
Sabemos que el cociente de reflexión de amplitud es:<br />
<br />
<br />
<math>r_{ \perp }=-\frac { sen({ \theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) }{ sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } </math><br />
<br />
<br />
Y por otro lado el coeficiente de transmisión de amplitud es:<br />
<br />
<br />
<math>t_{ \perp }=\frac { 2sen({ \theta }_{ t })cos({ \theta }_{ i }) }{ sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\rightarrow \quad \quad t_{ \perp }-r_{ \perp }=\frac { 2sen({ \theta }_{ t })cos({ \theta }_{ i }) }{ sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } -\left( -\frac { sen({ \theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) }{ sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \right) </math><br />
<br />
<br />
<math>\quad \quad t_{ \perp }-r_{ \perp }=\frac { 2sen({ \theta }_{ t })cos({ \theta }_{ i }) }{ sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } +\left( \frac { sen({ \theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) }{ sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \right) </math><br />
<br />
<br />
<math>\quad \quad t_{ \perp }-r_{ \perp }=\frac { 2sen({ \theta }_{ t })cos({ \theta }_{ i })+sen({ \theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) }{ sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } </math><br />
<br />
Utilizando la fórmula de suma y diferencia Bhaskara Acharya :<br />
<br />
<br />
<math>\quad t_{ \perp }-r_{ \perp }=\frac { 2sen({ \theta }_{ t })cos({ \theta }_{ i })+sen({ \theta }_{ i })cos({ \theta }_{ t })-sen({ \theta }_{ t })cos({ \theta }_{ i }) }{ sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } </math><br />
<br />
<br />
<math>\quad \quad t_{ \perp }-r_{ \perp }=\frac { sen({ \theta }_{ t })cos({ \theta }_{ i })+sen({ \theta }_{ i })cos({ \theta }_{ t }) }{ sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } </math><br />
<br />
<br />
<math>\quad \quad t_{ \perp }-r_{ \perp }=\frac { sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) }{ sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\quad \therefore \quad \quad t_{ \perp }-r_{ \perp }=1</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ruben Espinosa|Ruben Espinosa Guzmán]]<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
===Ejercicio 4.68===<br />
----<br />
<br />
muestra que los ángulos de polarización para la reflexión interna y externa en una interfaz dada son complementarios, es decir,<math>{ \theta }_{ p }+{ \theta }_{ p }^{ \prime }={ 90 }^{ \circ }</math><br />
<br />
si el indice de refracción de las regiones incidente y transmitida es <math>{ n }_{ i }\quad y\quad { n }_{ t }</math> respectivamente y <math>{ \theta }_{ p }</math> es el angulo de polarización, entonces <br />
<br />
<math>{ \theta }_{ p }=\frac { { n }_{ t } }{ { n }_{ i } } </math> <br />
<br />
llamemos para la reflexion interna <math>{ \theta }_{ p }=\frac { { n }_{ t } }{ { n }_{ i } } </math> ....(1)<br />
<br />
llamemos para la reflexion externa <math>{ { \theta }^{ \prime } }_{ p }=\frac { { n }_{ t } }{ { n }_{ i } } </math> ....(2)<br />
<br />
de las ecuaciones (1) y (2) obtenemos...<br />
<br />
<math>tan{ { \theta }^{ } }_{ p }=\frac { 1 }{ \frac { { n }_{ i } }{ { n }_{ t } } } </math><br />
<br />
<math>tan{ { \theta }^{ } }_{ p }=\frac { 1 }{ tan{ \theta }_{ p }^{ \prime } } </math><br />
<br />
<math>\frac { sen{ \theta }_{ p } }{ cos{ \theta }_{ p } } =\frac { cos{ \theta }_{ p }^{ \prime } }{ sen{ \theta }_{ p }^{ \prime } } </math><br />
<br />
al multiplicar cruzado obtenemos:<br />
<br />
<math>sen{ \theta }_{ p }sen{ \theta }_{ p }^{ \prime }=cos{ \theta }_{ p }cos{ \theta }_{ p }^{ \prime }</math><br />
<br />
<math>sen{ \theta }_{ p }sen{ \theta }_{ p }^{ \prime }-cos{ \theta }_{ p }cos{ \theta }_{ p }^{ \prime }=0</math><br />
<br />
<math>cos{ (\theta }_{ p }^{ \prime }+{ \theta }_{ p })=0</math><br />
<br />
<math>{ (\theta }_{ p }^{ \prime }+{ \theta }_{ p })={ 90 }^{ \circ }</math><br />
<br />
si la suma de su angulo de polarización de la reflexión interna <math>{ \theta }_{ p }</math> y el angulo de polarización externa <math>{ (\theta }_{ p }^{ \prime }</math> son <math>{ 90 }^{ \circ }</math> entonces complementarios.<br />
<br />
<math>\therefore </math> el angulo de polarización de la reflexión interna <math>{ \theta }_{ p }</math> y el angulo de polarización de reflexión externa <math>{ \theta }_{ p }^{ \prime }</math> son complementarios.<br />
<br />
<math>\therefore </math> queda probado.<br />
<br />
--[[Usuario:salvadormorales|Salvador Alejandro Morales Carranza]]<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
===Ejercicio 4.51===<br />
----<br />
<br />
Utilizando las ecuaciones de Fresnel, demuestre que :<br />
<br />
$ r_{\perp} = \frac{ \cos \theta_i - \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}{ \cos \theta_i + \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}$<br />
<br />
$r_{\parallel} = \frac{n_{ti}^2 \cos \theta_i - \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}{ n_{ti}^2\cos \theta_i + \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}$<br />
<br />
: '''''Solución''''':<br />
<br />
----<br />
=== Ejercicio 4.59 ===<br />
Utilice la ecuación 4.42 y la expansión en serie de la función seno para establecer que en una incidencia cercana a la normal podemos obtener una mejor aproximación que la del problema 4.45, que es <br />
----</div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Optica:_Capitulo4-problemas&diff=22628
Optica: Capitulo4-problemas
2018-10-29T02:17:12Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: Edición de formato para que se presentara correctamente el índice.</p>
<hr />
<div>Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 4,<br />
con el siguiente formato:<br />
<br />
<br />
Problema 1<br />
<br />
'''Planteamiento del problema'''<br />
<br />
Solución<br />
<br />
<br />
y su respectiva firma<br />
<br />
--[[Usuario:gsfwiki|Gael]] <br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
[[categoría:Optica]]<br />
[[categoría:Cursos]]<br />
<br />
<br />
===Ejercicio 4.45===<br />
----<br />
'''''Un rayo láser incide en la interfaz entre el aire y algunos dieléctricos de índice n. Para valores pequeños de <math>{ \theta }_{ i }</math><br />
muestre que <math>{ { \theta } }_{ t }=\frac { { { \theta } }_{ i } }{ n } </math>, Usa esto y la ec. (4.42) para establecer que en una incidencia casi normal<br />
<math>{ \left\lceil { -r }_{ \bot } \right\rceil }_{ { \theta }_{ i }\sim 0 }=\frac { n-1 }{ n+1 } </math>'''''<br />
<br />
: '''''Solución''''':<br />
:Tenemos los siguientes datos conocidos:<br />
:Indice de refracción del aire <math>{ n }_{ i }</math> es: 1<br />
:Indice de refracción del dieléctrico <math>{ n }_{ t }</math> es :<math>n</math><br />
:Ángulo de incidencia = <math>{ \theta }_{ i }</math><br />
:Ángulo de refracción = <math>{ \theta }_{ t }</math><br />
:<br />
:Aplicando la ley de Snell:<br />
:<math>{ n }_{ i }sin{ \theta }_{ i }={ n }_{ t }sin{ \theta }_{ t }</math><br />
:<math>sin{ \theta }_{ i }=nsin{ \theta }_{ t }\quad ......(1)</math><br />
:<br />
:Para valores pequeños de theta, tenemos las siguientes relaciones:<br />
:<math>sin{ \theta }_{ t }={ \theta }_{ i }</math><br />
:<math>sin{ \theta }_{ t }={ \theta }_{ t }</math><br />
:<br />
:La Ecuación (1) se reduce:<br />
:<math>n{ \theta }_{ t }={ \theta }_{ i }</math><br />
:De la última expresión tenemos:<br />
:<math>{ \theta }_{ t }=\frac { { \theta }_{ i } }{ n } </math><br />
:Ahora ocupando la ecuación 4.42 y considerando <math>{ \theta }_{ i }</math> muy pequeñas :<br />
:<math>{ r }_{ \bot }=-\frac { sin({ \theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) }{ sin({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \quad .....(a)</math><br />
:Haciendo la consideración:<br />
:<math>{ r }_{ \bot }=\frac { ({ \theta }_{ t }-{ \theta }_{ i }) }{ ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } </math><br />
:ocupando <math>{ \theta }_{ t }=\frac { { \theta }_{ i } }{ n }</math> , y sustituyendo en la ultima ecuación:<br />
:<math>{ r }_{ \bot }=\frac { (\frac { { \theta }_{ i } }{ n } -{ \theta }_{ i }) }{ ({ \theta }_{ i }+\frac { { \theta }_{ i } }{ n } ) } </math><br />
:Factorizando <math>{ \theta }_{ i }</math><br />
:<math>{ r }_{ \bot }=\frac { { \theta }_{ i }(\frac { 1 }{ n } -1) }{ { \theta }_{ i }(1+\frac { 1 }{ n } ) } </math><br />
:Reduciendo:<br />
:<math>{ r }_{ \bot }=\frac { (1-n) }{ (1+n) } </math><br />
:Finalmente tenemos:<br />
:<math>{ \left( -{ r }_{ \bot } \right) }_{ { \theta }_{ i }\approx 0 }=\frac { n-1 }{ n+1 } </math><br />
:--[[Usuario:Luis Chávez|Luis Manuel Chávez Antonio]]<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
===Ejercicio 4.64===<br />
----<br />
'''''Verifique que:<br />
<br />
<br />
<math>t_{\perp }+(-r_{\perp })=1</math>.........[4.49]<br />
<br />
<br />
para <math>\theta _{i}=30</math> en una interfaz de vidrio crown y aire <math>(n_{ti}=1.52)</math>'''''<br />
<br />
<br />
<br />
: '''''Solución''''':<br />
<br />
<br />
Datos:<br />
<br />
Angulo de incidencia <math>(\theta _{i})</math> = 30°<br />
<br />
Indice de refracción del cristal <math>(n _{f})</math> = 1.52<br />
<br />
Indice de refracción del aire = 1<br />
<br />
Angulo de transmisión <math>(\theta _{t})</math><br />
<br />
<br />
Usando la ley de Snell obtenemos:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>\frac{sen(\theta _{i})}{sen (\theta _{t})}=\frac{n_{t}}{n_{i}}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\frac{sen(30)}{sen (\theta _{t})}=1.52</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\frac{0.5}{sen (\theta _{t})}=1.52</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>sen (\theta _{t})=\frac{0.5}{1.52}</math><br />
<br />
<br />
En angulo de transmisión <math>(\theta _{t})</math> sera:<br />
<br />
<br />
<math>\theta _{t}=sen^{-1}\left ( \frac{0.5}{1.52} \right )</math><br />
<br />
<br />
<math>\theta _{t}=19.2</math><br />
<br />
<br />
<br />
El componente perpendicular del coeficiente de transmisión es:<br />
<br />
<br />
<math>t_{\perp }=\frac{2n_{i}cos(\theta _{i})}{n_{i}cos(\theta _{i})+n_{f}cos(\theta _{t})}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>t_{\perp }=\frac{2cos(30)}{cos(30)+(1.52)cos(19.2)}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>t_{\perp }=\frac{(2)(0.86)}{(0.86)+(1.52)(0.94)}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>t_{\perp }=0.7514</math><br />
<br />
<br />
Ahora, la componente perpendicular del coeficiente de reflexión es:<br />
<br />
<br />
<math>r_{\perp }=\frac{n_{i}cos(\theta _{i})-n_{t}cos(\theta _{t})}{n_{i}cos(\theta _{i})+n_{t}cos(\theta _{t})}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>r_{\perp }=\frac{(0.86)-(1.52)(0.94)}{(0.86)+(1.52)(0.94)}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>r_{\perp }=-0.2486</math><br />
<br />
<br />
Al sumar los valores de <math>t_{\perp }</math> y <math>r_{\perp }</math> obtenemos:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>t_{\perp }+(-r_{\perp })=0.7514+[-(-0.2486)]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>t_{\perp }+(-r_{\perp })=0.7514+0.2486</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>t_{\perp }+(-r_{\perp })=1</math><br />
<br />
<br />
<br />
Por lo tanto <math>t_{\perp }+(-r_{\perp })=1</math><br />
<br />
<br />
:--[[Usuario:Enrique Ortiz Martinez|Enrique Ortiz Martinez]]<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
=== Ejercicio 4.21 ===<br />
<br />
Trace un gráfico de θ_i con respecto a θ_t para una frontera aire-vidrio donde <math>n_va=1.5</math>. Discuta la forma de la curva.<br />
<br />
'''Solución:'''<br />
<br />
:La ecuación de la refracción de Snell está dada por:<br />
<br />
<math>n_i sin(θ_i )=n_t sin(θ_t )</math><br />
<br />
:Pero n_i=1<br />
<br />
:Por lo tanto<br />
<br />
<math>n_i sin(θ_i )=n_t sin(θ_t )</math><br />
<br />
Despejando θ_t se tiene que<br />
<math>θ_t=sin^(-1)(sinθ_i /n_t )</math><br />
<br />
En este caso se realizan cambios de 2 grados de diferencia, se tuvo la siguiente gráfica<br />
<br />
[[Archivo:tablaejer421.jpeg]]<br />
<br />
Podemos observar que a pesar que al comparar los ángulos, se puede apreciar que los valores tienden a un número que en este caso es aproximadamente 42°. Esto se podría interpretar como el ángulo máximo que puede tomar el haz, en este caso, en el agua.<br />
<br />
Los datos están en el siguiente documento.<br />
<br />
[[Archivo:datoseje421.jpg]]<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Onáfeder|Fernando Valencia Hernández]]<br />
<br />
----<br />
<br />
===Problema 4.72===<br />
----<br />
Mostrar que:<br />
<math>{ T }_{ \parallel }=\frac { \sin { 2{ \theta }_{ i } } \sin { 2{ \theta }_{ t } } }{ \sin ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \cos ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) } } </math><br />
<br />
Y<br />
<br />
<math>{ T }_{ \bot }=\frac { \sin { 2{ \theta }_{ i } } \sin { 2{ \theta }_{ t } } }{ \sin ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } } </math><br />
<br />
'''Solución:'''<br />
<br />
La componente perpendicular de la transmitancia <math>T</math> esta dada por:<br />
<math>{ T }_{ \bot }=\left( \frac { { n }_{ t }\cos { { \theta }_{ t } } }{ { n }_{ i }\cos { { \theta }_{ i } } } \right) { t }_{ \bot }^{ 2 }\quad ......\left( 1 \right) </math><br />
<br />
Pero el coeficiente de amplitud de transmisión es:<br />
<br />
<math>{ t }_{ \bot }=\frac { 2\sin { { \theta }_{ t } } \cos { { \theta }_{ i } } }{ \sin { ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } } </math><br />
<br />
<math>{ t }_{ \bot }^{ 2 }=\frac { 4\sin ^{ 2 }{ { \theta }_{ i } } \cos ^{ 2 }{ { \theta }_{ t } } }{ \sin ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } } </math><br />
<br />
Sustituyendo el valor calculado de <math>{ t }_{ \bot }^{ 2 }</math> en la Ec. <math>\left( 1 \right) </math>, se obtiene:<br />
<br />
<math>{ T }_{ \bot }=\left( \frac { { n }_{ t }\cos { { \theta }_{ t } } }{ { n }_{ i }\cos { { \theta }_{ i } } } \right) \left( \frac { 4\sin ^{ 2 }{ { \theta }_{ i } } \cos ^{ 2 }{ { \theta }_{ t } } }{ \sin ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } } \right) \quad ......\left( 2 \right) </math><br />
<br />
De la ley de Snell <math>{ n }_{ i }\sin { { \theta }_{ i } } ={ n }_{ t }\cos { { \theta }_{ t } } </math><br />
<br />
<math>\frac { { n }_{ t } }{ { n }_{ i } } =\frac { \sin { { \theta }_{ i } } }{ \sin { { \theta }_{ t } } } \quad ......\left( 3 \right) </math><br />
<br />
Sustituyendo el valor de <math>\frac { { n }_{ t } }{ { n }_{ i } } </math> de la Ec. <math>\left( 3 \right) </math> en la Ec. <math>\left( 2 \right) </math>, obtenemos:<br />
<br />
<math>{ T }_{ \bot }=\left( \frac { \sin { { \theta }_{ i } } }{ \sin { { \theta }_{ t } } } \frac { \cos { { \theta }_{ t } } }{ \cos { { \theta }_{ i } } } \right) \left( \frac { 4\sin ^{ 2 }{ { \theta }_{ i } } \cos ^{ 2 }{ { \theta }_{ t } } }{ \sin ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } } \right) </math><br />
<br />
<math>{ T }_{ \bot }=\frac { 4\sin { { \theta }_{ t } } \cos { { \theta }_{ t } } \sin { { \theta }_{ i } } \cos { { \theta }_{ i } } }{ \sin ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } } </math><br />
<br />
<math>{ T }_{ \bot }=\left( \frac { \left( 2\sin { { \theta }_{ t } } \cos { { \theta }_{ t } } \right) \left( 2\sin { { \theta }_{ i } } \cos { { \theta }_{ i } } \right) }{ \sin ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } } \right) </math><br />
<br />
'''Comprobando que:'''<br />
<br />
<math>{ T }_{ \bot }=\frac { \sin { 2{ \theta }_{ i } } \sin { 2{ \theta }_{ t } } }{ \sin ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } } </math><br />
<br />
Del mismo modo podemos proceder para el comportamiento paralelo de <math>T</math>, se la siguiente manera:<br />
<br />
El comportamiento paralelo de la transmitancia <math>T</math>, se expresa como:<br />
<br />
<math>{ T }_{ \parallel }=\left( \frac { { n }_{ t }\cos { { \theta }_{ t } } }{ { n }_{ i }\cos { { \theta }_{ i } } } \right) { t }_{ \parallel }^{ 2 }\quad ......\left( 4 \right) </math><br />
<br />
Pero sabemos que la amplitud del coeficiente de transmisión es:<br />
<br />
<math>{ t }_{ \parallel }=\frac { 2\sin { { \theta }_{ t } } \cos { { \theta }_{ i } } }{ \sin { { (\theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \cos { ({ { \theta }_{ i }-\theta }_{ t }) } } </math><br />
<br />
<math>{ { t }_{ \parallel }^{ 2 } }=\frac { 4\sin ^{ 2 }{ { \theta }_{ t } } \cos ^{ 2 }{ { \theta }_{ i } } }{ \sin ^{ 2 }{ { (\theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \cos ^{ 2 }{ { (\theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) } } </math><br />
<br />
Sustituyendo el valor de <math>{ t }_{ \parallel }^{ 2 }</math>, en la Ec. <math>\left( 4 \right) </math>, obtenemos:<br />
<br />
<math>{ T }_{ \parallel }=\left( \frac { { n }_{ t }\cos { { \theta }_{ t } } }{ { n }_{ i }\cos { { \theta }_{ i } } } \right) \left( \frac { 4\sin ^{ 2 }{ { \theta }_{ t } } \cos ^{ 2 }{ { \theta }_{ i } } }{ \sin ^{ 2 }{ { (\theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \cos ^{ 2 }{ { (\theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) } } \right) </math><br />
<br />
De la Ec. <math>\left( 3 \right) </math><br />
<br />
<math>\frac { { n }_{ t } }{ { n }_{ i } } =\frac { \sin { { \theta }_{ i } } }{ \sin { { \theta }_{ t } } } </math><br />
<br />
<math>{ T }_{ \parallel }=\left( \frac { \sin { { \theta }_{ i } } }{ \sin { { \theta }_{ t } } } \frac { \cos { { \theta }_{ t } } }{ \cos { { \theta }_{ i } } } \right) \left( \frac { 4\sin ^{ 2 }{ { \theta }_{ t } } \cos ^{ 2 }{ { \theta }_{ i } } }{ \sin ^{ 2 }{ { (\theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \cos ^{ 2 }{ { (\theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) } } \right) </math><br />
<br />
<math>{ T }_{ \parallel }=\left( \frac { 4\sin { { \theta }_{ i } } \sin { { \theta }_{ t } } \cos { { \theta }_{ i } } \cos { { \theta }_{ t } } }{ \sin ^{ 2 }{ { (\theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \cos ^{ 2 }{ { (\theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) } } \right) </math><br />
<br />
<math>{ T }_{ \parallel }=\left( \frac { (2\sin { { \theta }_{ i } } \sin { { \theta }_{ t })(2 } \cos { { \theta }_{ i } } \cos { { \theta }_{ t } } ) }{ \sin ^{ 2 }{ { (\theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \cos ^{ 2 }{ { (\theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) } } \right) </math><br />
<br />
'''Comprobando que:'''<br />
<br />
<math>{ T }_{ \parallel }=\frac { \sin { 2{ \theta }_{ i } } \sin { 2{ \theta }_{ t } } }{ \sin ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \cos ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) } } </math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Gutierrez|Luis Gutiérrez Melgarejo]]<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
===Problema 4.63===<br />
<br />
----<br />
<br />
'''Prueba que <math>{ t }_{ \perp }+(-{ r }_{ \perp })=1</math> para todo <math>{ \theta }_{ i }</math> , primero de las condiciones de frontera y después de las ecuaciones de Fresnel.'''<br />
<br />
<br />
<br />
'''Solucion:'''<br />
<br />
<br />
Podemos notar que la continuidad de los componentes tangenciales de <math>\overrightarrow { E } </math> analizando cualquier limite en cualquier punto , el campo tangencial en el medio incidente es igual al del medio de transmisión.<br />
<br />
<math>\therefore </math> Así obtenemos:<br />
<br />
<br />
<math>{ \left[ { E }_{ 0i } \right] }_{ \perp }+{ \left[ { E }_{ 0r } \right] }_{ \perp }={ \left[ { E }_{ 0t } \right] }_{ \perp }</math><br />
<br />
<br />
<math>{ \left[ { E }_{ 0t } \right] }_{ \perp }-{ \left[ { E }_{ 0r } \right] }_{ \perp }={ \left[ { E }_{ 0i } \right] }_{ \perp }</math><br />
<br />
<br />
Dividimos cada término con el <math>{ \left[ { E }_{ 0i } \right] }_{ \perp }</math> para obtener:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>{ \left[ \frac { { E }_{ 0t } }{ { E }_{ 0i } } \right] }_{ \perp }-{ \left[ \frac { { E }_{ 0r } }{ { E }_{ 0i } } \right] }_{ \perp }={ \left[ \frac { { E }_{ 0i } }{ {E}_{ 0i } } \right] }_{ \perp }\quad </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>{ \left[ \frac { { E }_{ 0t } }{ { E }_{ 0i } } \right] }_{ \perp }-{ \left[ \frac { { E }_{ 0r } }{ { E }_{ 0i } } \right] }_{ \perp }=1\quad \quad \quad </math><br />
<br />
<br />
<br />
Sabemos que <math>\left[ \frac { { E }_{ 0t } }{ { E }_{ 0i } } \right]_{ \perp }=</math>Amplitud del coeficiente de transmisión<math>=t_{ \perp }</math> y también podemos notar que el cociente <math>\left[ \frac { { E }_{ 0r } }{ { E }_{ 0i } } \right] _{ \perp }=</math>Amplitud del coeficiente de reflexión<math>={ r }_{ \perp }</math><br />
<br />
<br />
Dado las dos aseveraciones anteriores podemos dar por echo entonces que:<br />
<br />
<br />
<math>t_{ \perp }-r_{ \perp }=1</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\therefore \quad \quad t_{ \perp }+\left( -r_{ \perp } \right) =1</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto esta probado<br />
<br />
Otro camino para la comprobación anterior es la siguiente:<br />
<br />
<br />
Sabemos que el cociente de reflexión de amplitud es:<br />
<br />
<br />
<math>r_{ \perp }=-\frac { sen({ \theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) }{ sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } </math><br />
<br />
<br />
Y por otro lado el coeficiente de transmisión de amplitud es:<br />
<br />
<br />
<math>t_{ \perp }=\frac { 2sen({ \theta }_{ t })cos({ \theta }_{ i }) }{ sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\rightarrow \quad \quad t_{ \perp }-r_{ \perp }=\frac { 2sen({ \theta }_{ t })cos({ \theta }_{ i }) }{ sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } -\left( -\frac { sen({ \theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) }{ sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \right) </math><br />
<br />
<br />
<math>\quad \quad t_{ \perp }-r_{ \perp }=\frac { 2sen({ \theta }_{ t })cos({ \theta }_{ i }) }{ sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } +\left( \frac { sen({ \theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) }{ sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \right) </math><br />
<br />
<br />
<math>\quad \quad t_{ \perp }-r_{ \perp }=\frac { 2sen({ \theta }_{ t })cos({ \theta }_{ i })+sen({ \theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) }{ sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } </math><br />
<br />
Utilizando la fórmula de suma y diferencia Bhaskara Acharya :<br />
<br />
<br />
<math>\quad t_{ \perp }-r_{ \perp }=\frac { 2sen({ \theta }_{ t })cos({ \theta }_{ i })+sen({ \theta }_{ i })cos({ \theta }_{ t })-sen({ \theta }_{ t })cos({ \theta }_{ i }) }{ sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } </math><br />
<br />
<br />
<math>\quad \quad t_{ \perp }-r_{ \perp }=\frac { sen({ \theta }_{ t })cos({ \theta }_{ i })+sen({ \theta }_{ i })cos({ \theta }_{ t }) }{ sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } </math><br />
<br />
<br />
<math>\quad \quad t_{ \perp }-r_{ \perp }=\frac { sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) }{ sen({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } </math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\quad \therefore \quad \quad t_{ \perp }-r_{ \perp }=1</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ruben Espinosa|Ruben Espinosa Guzmán]]<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
===Ejercicio 4.68===<br />
----<br />
<br />
muestra que los ángulos de polarización para la reflexión interna y externa en una interfaz dada son complementarios, es decir,<math>{ \theta }_{ p }+{ \theta }_{ p }^{ \prime }={ 90 }^{ \circ }</math><br />
<br />
si el indice de refracción de las regiones incidente y transmitida es <math>{ n }_{ i }\quad y\quad { n }_{ t }</math> respectivamente y <math>{ \theta }_{ p }</math> es el angulo de polarización, entonces <br />
<br />
<math>{ \theta }_{ p }=\frac { { n }_{ t } }{ { n }_{ i } } </math> <br />
<br />
llamemos para la reflexion interna <math>{ \theta }_{ p }=\frac { { n }_{ t } }{ { n }_{ i } } </math> ....(1)<br />
<br />
llamemos para la reflexion externa <math>{ { \theta }^{ \prime } }_{ p }=\frac { { n }_{ t } }{ { n }_{ i } } </math> ....(2)<br />
<br />
de las ecuaciones (1) y (2) obtenemos...<br />
<br />
<math>tan{ { \theta }^{ } }_{ p }=\frac { 1 }{ \frac { { n }_{ i } }{ { n }_{ t } } } </math><br />
<br />
<math>tan{ { \theta }^{ } }_{ p }=\frac { 1 }{ tan{ \theta }_{ p }^{ \prime } } </math><br />
<br />
<math>\frac { sen{ \theta }_{ p } }{ cos{ \theta }_{ p } } =\frac { cos{ \theta }_{ p }^{ \prime } }{ sen{ \theta }_{ p }^{ \prime } } </math><br />
<br />
al multiplicar cruzado obtenemos:<br />
<br />
<math>sen{ \theta }_{ p }sen{ \theta }_{ p }^{ \prime }=cos{ \theta }_{ p }cos{ \theta }_{ p }^{ \prime }</math><br />
<br />
<math>sen{ \theta }_{ p }sen{ \theta }_{ p }^{ \prime }-cos{ \theta }_{ p }cos{ \theta }_{ p }^{ \prime }=0</math><br />
<br />
<math>cos{ (\theta }_{ p }^{ \prime }+{ \theta }_{ p })=0</math><br />
<br />
<math>{ (\theta }_{ p }^{ \prime }+{ \theta }_{ p })={ 90 }^{ \circ }</math><br />
<br />
si la suma de su angulo de polarización de la reflexión interna <math>{ \theta }_{ p }</math> y el angulo de polarización externa <math>{ (\theta }_{ p }^{ \prime }</math> son <math>{ 90 }^{ \circ }</math> entonces complementarios.<br />
<br />
<math>\therefore </math> el angulo de polarización de la reflexión interna <math>{ \theta }_{ p }</math> y el angulo de polarización de reflexión externa <math>{ \theta }_{ p }^{ \prime }</math> son complementarios.<br />
<br />
<math>\therefore </math> queda probado.<br />
<br />
--[[Usuario:salvadormorales|Salvador Alejandro Morales Carranza]]<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
===Ejercicio 4.51===<br />
----<br />
<br />
Utilizando las ecuaciones de Fresnel, demuestre que :<br />
<br />
$ r_{\perp} = \frac{ \cos \theta_i - \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}{ \cos \theta_i + \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}$<br />
<br />
$r_{\parallel} = \frac{n_{ti}^2 \cos \theta_i - \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}{ n_{ti}^2\cos \theta_i + \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}$<br />
<br />
: '''''Solución''''':</div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Optica:_Capitulo3-problemas&diff=22627
Optica: Capitulo3-problemas
2018-10-29T02:15:11Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: /* Ejercicio 3.15 */</p>
<hr />
<div>Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 3,<br />
con el siguiente formato:<br />
<br />
<br />
===Ejercicio 3.13 (Hecht, Optics 4 ed)===<br />
<br />
'''''Pruebe que la irradiancia de una onda electromagnética armónica está dada por:<br />
<math> I=\frac{1}{2c\mu _{0}} E_{0}^{2} </math><br />
y determinar el promedio de la energía por unidad de área transportada por una onda plana de amplitud 15.0 V/m. '''''<br />
<br />
: '''''Solución''''':<br />
Consideremos la onda armónica plana:<br />
<math>\vec{E}\left(\vec{r},t\right)= E_{0}\cos\left(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t + \delta\right)\hat{n}</math><br />
<br />
Dado este campo eléctrico, podemos obtener el campo magnético recurriendo a las ecuaciones de Maxwell, éste resulta ser:<br />
<math>\vec{B}\left(\vec{r},t\right)= \frac{1}{c} E_{0}\cos\left(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+ \delta\right)(\hat{k}\times\hat{n})</math><br />
<br />
A continuación, determinamos el vector de Poynting:<br />
<br />
<math>\vec{S} \equiv \frac{1}{\mu_{0}}\left(\vec{E}\times \vec{B}\right)= \frac{1}{\mu_{0}}c E_{0}^{2}\cos^{2}\left(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+ \delta\right)\hat{k} </math><br />
<br />
ya que, <math>\hat{n}\times\left(\hat{K}\times\hat{n}\right)=\hat{k}(\hat{n}\cdot\hat{n})-\hat{n}(\hat{n}\cdot\hat{k})=\hat{k}</math><br />
<br />
Así, por definición:<br />
<br />
<math>I \equiv \langle S \rangle =\frac{E_{0}^{2}}{\mu_{0}c}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\cos^{2}\left(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+\delta\right)</math><br />
siendo T el periodo alrededor de un ciclo completo.<br />
<br />
Además, <math>\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\cos^{2}\left(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+\delta\right)=1/2 </math>.....(1)<br />
<br />
Pues, <math>\omega\equiv \frac{2\pi}{T}</math> y ya que, el promedio temporal en un intervalo de longitud T de <math>\cos^{2}\left(x\right)</math> y <math>\sin^{2}\left(x\right)</math> es el mismo, podemos usar la fórmula pitagórica de las funciones trigonométricas para concluir la ecuación (2).<br />
Por lo tanto:<br />
<math>I=\frac{1}{2c\mu_{0}}E_{0}^{2}</math>......(2)<br />
<br />
Finalmente, basta considerar la irrandiancia por segundo y sustituir la amplitud en la expresión (2).<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Diego de la Cruz López]] <br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[categoría:Optica]]<br />
[[categoría:Cursos]]<br />
<br />
===Ejercicio 3.6===<br />
----<br />
'''''El campo eléctrico de una onda electromagnética que viaja en la dirección x positiva ,está dada por:<br />
<math>\overrightarrow { E } ={ E }_{ 0 }sin\frac { \pi z }{ { z }_{ 0 } } cos\left( kx-\varpi t \right) \overrightarrow { j } </math>'''''<br />
'''''a) Describe verbalmente el campo,b)Determine una expresión para k.<br />
(c) Encuentra la velocidad de fase de la onda.'''''<br />
: '''''Solución''''':<br />
:Analizando en el origen en z=0, tenemos que , <math>sin\frac { 0 }{ { z }_{ 0 } } =0</math> , entonces el campo eléctrico es:<br />
:<math>\overrightarrow { E } =0\overrightarrow { j } </math><br />
:Otro punto donde se anula el campo eléctrico es en <math>z={ z }_{ 0 }</math>, entonces el campo tiene la forma :<br />
:<math>\overrightarrow { E } ={ E }_{ 0 }sin\frac { \pi { z }_{ 0 } }{ { z }_{ 0 } } cos\left( kx-\varpi t \right) \overrightarrow { j } </math><br />
:Notemos que el <math>sin\pi =0</math>, implica:<br />
:<math>\overrightarrow { E } =0</math><br />
:Es decir, el campo eléctrico esta polarizado linealmente en la dirección <math>y</math> y varia sinusoidal desde cero en z=0 hasta cero en <math>z={ z }_{ 0 }</math><br />
:<br />
:b) Usando la ecuación de onda tenemos:<br />
:<math>\frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial { x }^{ 2 } } +\frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial { y }^{ 2 } } +\frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial { z }^{ 2 } } -\frac { 1 }{ { c }^{ 2 } } \frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial { t }^{ 2 } } =0.........(1)</math> <br />
:Podemos evaluar la expresión para <math>k</math> , al diferenciar la siguiente ecuación 2 veces:<br />
<math>{ E }_{ y }={ E }_{ 0 }sin\frac { \pi { z } }{ { z }_{ 0 } } cos\left( kx-\varpi t \right) </math><br />
:Haciendo las derivadas:<br />
:<math>\frac { \partial { E }_{ y } }{ \partial x } =\frac { \partial }{ \partial x } \left( { E }_{ y }={ E }_{ 0 }sin\frac { \pi { z } }{ { z }_{ 0 } } cos\left( kx-\varpi t \right) \right) </math><br />
:<math>=-k{ E }_{ o }sin\frac { \pi z }{ { z }_{ 0 } } sin(kx-\varpi t)</math><br />
:La segunda derivada es:<br />
:<math>\frac { \partial { E }_{ y } }{ \partial { x }^{ 2 } } =-{ k }^{ 2 }sin\frac { \pi z }{ { z }_{ 0 } } cos(kx-\varpi t)........(2)</math><br />
:Similar, para las segundas parciales con respecto a <math>y</math> y <math>z</math> , tenemos:<br />
:<math>\frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial y^{ 2 } } =0........(3)</math><br />
:<math>\frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial z^{ 2 } } =\frac { -{ \pi }^{ 2 } }{ { z }_{ 0 }^{ 2 } } { E }_{ 0 }sin\frac { \pi z }{ { z }_{ 0 } } cos(kx-\varpi t)........(4)</math><br />
:<math>\frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial t^{ 2 } } =-{ \varpi }^{ 2 }{ E }_{ 0 }sin\frac { \pi z }{ { z }_{ 0 } } cos(kx-\varpi t)........(5)</math><br />
:Sustituyendo la ecuación (2), (3), (4) y (5) en la ecuación (1), obtenemos:<br />
:<math>(-{ k }^{ 2 }-\frac { { \pi }^{ 2 } }{ { z }_{ 0 }^{ 2 } } +\frac { { \varpi }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } ){ E }_{ 0 }sin\frac { \pi z }{ { z }_{ 0 } } cos(kx-\varpi t)=0</math><br />
:Como esto es verdadero para toda x,z y t, cada término debe ser igual a cero, es decir:<br />
:<math>(-{ k }^{ 2 }-\frac { { \pi }^{ 2 } }{ { z }_{ 0 }^{ 2 } } +\frac { { \varpi }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } )=0</math><br />
:Despejando:<br />
:<math>-\frac { { \pi }^{ 2 } }{ { z }_{ 0 }^{ 2 } } +\frac { { \varpi }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } ={ k }^{ 2 }</math><br />
:<math>{ k={ \left( -\frac { { \pi }^{ 2 } }{ { z }_{ 0 }^{ 2 } } +\frac { { \varpi }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }</math><br />
:De la expresión anterior factorizamos un <math>\frac { { \varpi }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } </math>, resulta:<br />
:<math>{ k={ \left( \left( \frac { { \varpi }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } \right) \left( 1-\frac { { \pi }^{ 2 }{ c }^{ 2 } }{ { \varpi }^{ 2 }{ z }_{ 0 }^{ 2 } } \right) \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }</math><br />
:Finalmente la expresión para <math>k</math> es:<br />
:<math>{ k=\frac { { \varpi } }{ { c } } \sqrt { 1-\frac { { \pi }^{ 2 }{ c }^{ 2 } }{ { \varpi }^{ 2 }{ z }_{ 0 }^{ 2 } } } }</math><br />
:<br />
:(c) La velocidad de fase de la onda será <math>\nu =\frac { \varpi }{ k } </math><br />
:Simplificando tenemos:<br />
:<math>\nu { =\frac { { c } }{ { \sqrt { 1-\frac { { \pi }^{ 2 }{ c }^{ 2 } }{ { \varpi }^{ 2 }{ z }_{ 0 }^{ 2 } } } } } }</math><br />
:--[[Usuario:Luis Chávez|Luis Manuel Chávez antonio]]<br />
<br />
----<br />
<br />
===Ejercicio 3.62===<br />
----<br />
<br />
<br />
'''Demuestre que la ecuacion (3.70) puede volverse a escribir como:<br />
<br />
<br />
<math>(n^{2}-1)^{-1}=-C\lambda ^{-2}+C\lambda _{0}^{-2}</math><br />
<br />
<br />
donde <math>C=4\pi ^{2}c^{2}\epsilon _{0}m_{e}/Nq_{e}^{2}</math>'''<br />
<br />
<br />
: '''''Solución''''':<br />
<br />
<br />
Ecuación de dispersión:<br />
<br />
<math>n^{2}(\omega )=1+\frac{Nq_{e}^{2}}{\epsilon _{0}m_{e}}\left ( \frac{1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}} \right )</math>..........(3.70)<br />
<br />
<br />
La ecuación dada es :<br />
<br />
<br />
<math>(n^{2}-1)^{-1}=-C\lambda ^{-2}+C\lambda _{0}^{-2}</math><br />
<br />
<br />
sustituimos el valor <math>C=4\pi ^{2}c^{2}\epsilon _{0}m_{e}/Nq_{e}^{2}</math> en la ecuación dada:<br />
<br />
<br />
<math>(n^{2}-1)^{-1}=-\left ( \frac{4\pi ^{2}c^{2}\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}} \right )\lambda ^{-2}+ \left ( \frac{4\pi ^{2}c^{2}\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}} \right )\lambda _{0}^{-2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>(n^{2}-1)^{-1}=-\left ( \frac{4\pi ^{2}c^{2}}{\lambda ^{2}} \right )\left (\frac{\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}} \right )+\left ( \frac{4\pi ^{2}c^{2}}{\lambda _{0}^{2}} \right )\left (\frac{\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}} \right )</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>(n^{2}-1)^{-1}=-\left ( \frac{2\pi c}{\lambda} \right )^{2}\left (\frac{\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}} \right )+\left ( \frac{2\pi c}{\lambda _{0}} \right )^{2}\left (\frac{\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}} \right )<br />
</math><br />
<br />
<br />
<br />
Como <math>\left ( \frac{2\pi c}{\lambda} =\omega \right )</math> y <math>\left ( \frac{2\pi c}{\lambda _{0}}=\omega _{0} \right )</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>(n^{2}-1)^{-1}=\frac{\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}}\left [ \omega _{0}^{2} -\omega ^{2}\right ]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\frac{1}{(n^{2}-1)}=\frac{\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}}\left [ \omega _{0}^{2} -\omega ^{2}\right ]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>(n^{2}-1)=\frac{Nq_{e}^{2}}{\epsilon _{0}m_{e}}\left [ \frac{1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}} \right ]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>n^{2}=1+\frac{Nq_{e}^{2}}{\epsilon _{0}m_{e}}\left [ \frac{1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}} \right ]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>n^{2}(\omega )=1+\frac{Nq_{e}^{2}}{\epsilon _{0}m_{e}}\left ( \frac{1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}} \right )</math><br />
<br />
<br />
Esta es la ecuación de dispersión<br />
<br />
<br />
<br />
Por lo tanto:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>n^{2}(\omega )=1+\frac{Nq_{e}^{2}}{\epsilon _{0}m_{e}}\left ( \frac{1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}} \right )</math><br />
<br />
<br />
<br />
se puede reescribir como:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>(n^{2}-1)^{-1}=-C\lambda ^{-2}+C\lambda _{0}^{-2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Enrique Ortiz Martinez|Enrique Ortiz Martinez]]<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
=== Problema 3.4 ===<br />
<br />
Imagine una onda electromagnética con su campo '''E''' en la dirección del eje x. Demuestre que la ecuación <br />
:<math>∂E/∂x=-∂B/∂t</math><br />
:aplicada a las ondas armónicas:<br />
:<math>'''E'''='''E0'''cos(kx-wt)</math> y <math>'''B'''='''B0'''cos(kx-wt)</math><br />
:lleva a la conclusión de que:<br />
:<math>E0=cB0</math><br />
:<br />
:'''Solusión:'''<br />
:<br />
:Derivando las dos ecuación parcialmente, se tiene que:<br />
:<math>∂E/∂x=-E0k sin〖(kx-wt)〗</math> <math>∂B/∂t=B0w sin〖(kx-wt)〗</math><br />
:Al igualar hacer uso de la relación entre las derivadas parciales, vemos que:<br />
:<math>∂E/∂x=-E0k sin〖(kx-wt)〗=-∂B/∂t=-B0w sin〖(kx-wt)〗</math><br />
:Lo que implica que:<br />
:<math>E0k=B0w </math><br />
:<math>E0=k/wB0</math><br />
:Pero se sabe que <math>c=k/w</math>. Entonces<br />
:<math>E0=cB0</math><br />
<br />
--[[Usuario:Onáfeder|Fernando Valencia Hernández]]<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
=== Problema 3.66 ===<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''En 1871 Sellmeier derivo la ecuación:''' <br />
<br />
<br />
<math>{ n }^{ 2 }=1+\sum _{ j }{ \frac { { A }_{ j }{ \lambda }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 }-{ { \lambda } }_{ 0j }^{ 2 } } } </math><br />
<br />
<br />
'''Donde la <math>{ A }_{ j }</math> son términos constantes y cada <math>{ \lambda } _{ 0j }</math> es la onda de longitud al vació asociada con una frecuencia natural <math>{ \nu }_{ 0j }</math> ,tal como <math>{ \lambda }_{ 0j }{ \nu }_{ 0j }=c</math>. Esta formulación es una mejora considerablemente practica sobre la ecuación de Cauchy. Muestra que donde <math>\lambda >>{ \lambda }_{ 0j }</math> la ecuación de Cauchy es una aproximación a la de Sellmeier .'''<br />
<br />
<br />
'''Pista: Escribe la expresión de arriba solo con el primer termino en la suma ; expandelo por el teorema binomial ; toma la raíz cuadrada de <math>{ n }^{ 2 }</math> y expandela otra vez.<br />
'''<br />
<br />
<br />
'''Solución:'''<br />
<br />
<br />
La ecuacion de Sellmeier dada por: <br />
<br />
<br />
<math>{ n }^{ 2 }=1+\sum _{ j }{ \frac { { A }_{ j }{ \lambda }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 }-{ { \lambda } }_{ 0j }^{ 2 } } } </math><br />
<br />
donde <math>{ A }_{ j }</math> es una constante y <math>{ \lambda } _{ 0j }</math> es la onda de longitud al vació asociada con una frecuencia natural <math>{ \nu }_{ 0j }</math><br />
<br />
<math>\therefore </math> Consideramos solo el primer termino de la sumatoria <br />
<br />
<math>{ n }^{ 2 }=1+\frac { { A }_{ 1 }{ \lambda }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 }-{ { \lambda } }_{ 01 }^{ 2 } } </math><br />
<br />
<br />
<math>{ n }^{ 2 }=1+{ A }_{ 1 }\frac { { \lambda }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 }(1-\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ) } </math><br />
<br />
<br />
<math>{ n }^{ 2 }=1+{ A }_{ 1 }\frac { 1 }{ (1-\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ) }</math><br />
<br />
<br />
<math>{ n }^{ 2 }=1+{ A }_{ 1 }{ (1-\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ) }^{ -1 }</math><br />
<br />
<br />
Conocemos la expansión binomial de:<br />
<br />
<br />
<math>{ (1-x) }^{ -1 }=1+x+{ x }^{ 2 }+{ x }^{ 3 }+......</math><br />
<br />
<math>\therefore \quad \quad { n }^{ 2 }=1+{ A }_{ 1 }\{ 1+(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } )+{ (\frac { { \lambda }_{ 01 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ) }^{ 2 }+{ (\frac { { \lambda }_{ 01 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ) }^{ 3 }+.....\} </math> donde <math>x=\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } </math><br />
<br />
por lo tanto se ignoran los términos de orden superior por que sabemos que <math>\lambda >>{ \lambda }_{ 0j }</math> entonces tenemos:<br />
<br />
<math>{ n }^{ 2 }=1+{ A }_{ 1 }[1+(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } )]</math> despejando a <math>n</math> vemos que:<br />
<br />
<math>n={ [1+{ A }_{ 1 }(1+(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ))] }^{ \frac { 1 }{ 2 } }</math><br />
<br />
<math>n={ [1+{ (A }_{ 1 }+{ A }_{ 1 }(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ))] }^{ \frac { 1 }{ 2 } }<br />
</math>................(1)<br />
<br />
<br />
Nosotros sabemos que la expansión binomial esta dada por: <br />
<br />
<br />
<math>{ (1+x) }^{ n }=1+\frac { n }{ 1! } x+\frac { n(n-1) }{ 2! } { x }^{ 2 }+.........</math> realizando la expansión con la ecuación (1) tenemos:<br />
<br />
<math>n=1+\frac { 1 }{ 2 } [{ A }_{ 1 }+{ A }_{ 1 }(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } )]+\frac { \frac { 1 }{ 2 } (\frac { 1 }{ 2 } -1) }{ 2! } { [{ A }_{ 1 }+{ A }_{ 1 }(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } )] }^{ 2 }+.........</math> desarrollando esta expansión tenemos:<br />
<br />
<math>n=1+\frac { 1 }{ 2 } { A }_{ 1 }+\frac { 1 }{ 2 } { A }_{ 1 }(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } )+\frac { \frac { 1 }{ 2 } (-\frac { 1 }{ 2 } ) }{ 2 } { [{ { A }_{ 1 } }^{ 2 }+{ { A }_{ 1 } }^{ 2 }(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 4 } }{ { \lambda }^{ 4 } } )+2{ A }_{ 1 }({ A }_{ 1 }\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } )] }+.........</math><br />
<br />
<math>n=1+\frac { { A }_{ 1 } }{ 2 } +\frac { { A }_{ 1 } }{ 2 } { \lambda }_{ 01 }^{ 2 }(\frac { 1 }{ { \lambda }^{ 2 } } )-\frac { 1 }{ 8 } { { { A }_{ 1 } }^{ 2 }-\frac { 1 }{ 8 } { { A }_{ 1 } }^{ 2 }(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 4 } }{ { \lambda }^{ 4 } } )-\frac { { { A }_{ 1 } }^{ 2 } }{ 4 } (\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ) }+.........</math><br />
<br />
<br />
Reordenaremos la ecuación en términos lineales y orden superior:<br />
<br />
<br />
<math>n=(1+\frac { { A }_{ 1 } }{ 2 } -\frac { { { A }_{ 1 } }^{ 2 } }{ 8 } ...........)+\frac { { A }_{ 1 } }{ 2 } { \lambda }_{ 01 }^{ 2 }(\frac { 1 }{ { \lambda }^{ 2 } } )-\frac { 1 }{ 4 } { { A }_{ 1 } }^{ 2 }{ \lambda }_{ 01 }^{ 2 }(\frac { 1 }{ { \lambda }^{ 2 } } )-\frac { 1 }{ 8 } { { A }_{ 1 } }^{ 2 }{ \lambda }_{ 01 }^{ 4 }(\frac { 1 }{ { \lambda }^{ 4 } } )+........</math><br />
<br />
Ya que <math>{ A }_{ 1 }</math> y <math>{ \lambda }_{ 01 }</math> son constantes , así que, tomaremos a los términos lineales como otra constante <br />
<br />
<math>{ C }_{ 1 }=1+\frac { { A }_{ 1 } }{ 2 } -\frac { { { A }_{ 1 } }^{ 2 } }{ 8 } ...........</math><br />
<br />
<br />
A los términos cuadráticos la renombraremos por otra constante:<br />
<br />
<math>{ C }_{ 2 }=\frac { { A }_{ 1 }{ \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ 2 } -\frac { 1 }{ 4 } { { A }_{ 1 } }^{ 2 }{ \lambda }_{ 01 }^{ 2 }...........</math><br />
<br />
Y de igual forma a los de orden superior :<br />
<br />
<math>{ C }_{ 3 }=-(\frac { 1 }{ 8 } { { A }_{ 1 } }^{ 2 }{ \lambda }_{ 01 }^{ 4 })...........</math><br />
<br />
Por lo anterior podemos ver que <math>n</math> lo podemos reescribir como:<br />
<br />
<math>n={ C }_{ 1 }+{ C }_{ 2 }(\frac { 1 }{ { \lambda }^{ 2 } } )+{ C }_{ 3 }(\frac { 1 }{ { \lambda }^{ 4 } } )+......</math><br />
<br />
<math>\therefore </math> Esto es la ecuación de Cauchy esto quiere decir que la ecuación de Cauchy es una aproximación a la de Sellmeier.<br />
<br />
--[[Usuario:Ruben Espinosa|Ruben Espinosa Guzmán ]]<br />
<br />
<br />
----<br />
===Ejercicio 3.21===<br />
----<br />
La siguiente es la expresión para el campo $\vec{\bf E}$ de una onda electromagnética que se desplaza en un dieléctrico homogéneo:<br />
: $\vec{\bf E}=\left(-100 V/m\right) e^{i(kz-\omega t)}\hat{\bf e}_x$<br />
<br />
:En este caso, $\omega=1.80 \times 10^{15} rad/s$ y $k=1.20 \times 10^7 rad/m$<br />
:(a) Determine el campo $\vec{\bf B}$ asociado. (b) Calcule el índice de refracción. (c) Calcule la permitividad. (d) Encuentre la irradiancia.<br />
<br />
: '''''Solución:''''' <br />
:(a) $\vec{\bf B}$ está en la dirección $\hat{\bf e}_y$, dado que la onda se desplaza en la dirección $\vec{\bf E} \times \vec{\bf B}$ y que apunta en la dirección $\hat{\bf e}_z$<br />
:La velocidad es $v=\omega/k$:<br />
:$v=\frac{1.80 \times 10^{15} rad/s}{1.20 \times 10^7 rad/m}=1.5 \times 10^8 m/s$<br />
:$E_0=vB_0=\left(1.5 \times 10^8 m/s\right)B_0$<br />
:$B_0=\frac{-100 V/m}{1.5 \times 10^8 m/s}=-6.7 \times 10^{-8} T$<br />
: $\vec{\bf B}=\left(-6.7 \times 10^{-8} T\right) e^{i(kz-\omega t)}\hat{\bf e}_y$<br />
:(b) $n=\frac{c}{v}=\frac{2.99\times 10^8 m/s}{1.5 \times 10^8 m/s}$<br />
:$n=1.993$<br />
:(c) $n=\sqrt{K_E}$<br />
:$n^2=K_E$<br />
:$K_E=3.973$<br />
:$\epsilon=\epsilon_0 K_E$<br />
:$\epsilon=(8.8542 \times 10^{-12} \frac{C^2}{N m^2})3.973$<br />
:$\epsilon=(3.5181 \times 10^{-11} \frac{C^2}{N m^2})$<br />
:(d) $I=\frac{\epsilon v}{2}E_0^2$<br />
:$I=\frac{1}{2}\left(3.5181 \times 10^{-11} \frac{C^2}{N m^2}\right)\left(1.5 \times 10^8 m/s\right)\left(-100 V/m\right)$<br />
:$I=26.38575\frac{W}{m^2}$<br />
--[[Usuario:sesebasi|Sergio]]<br />
<br />
----<br />
===Problema 3.57===<br />
----<br />
Muestre que para sustancias de baja densidad, como los gases, que tienen una sola frecuencia de resonancia <math>{ \omega }_{ 0 }</math>, el índice de refracción viene dado por:<br />
<math>n\approx 1+\frac { N{ q }_{ e }^{ 2 } }{ 2{ \epsilon }_{ 0 }{ m }_{ e }({ \omega }_{ 0 }^{ 2 }-{ \omega }^{ 2 }) }</math><br />
<br />
: '''''Solución''''':<br />
De la ecuación de dispersión:<br />
<math>{ n }^{ 2 }(\omega )=1+\frac { N{ q }_{ e }^{ 2 } }{ { \epsilon }_{ 0 }{ m }_{ e } } \left( \frac { 1 }{ { \omega }_{ 0 }^{ 2 }-{ \omega }^{ 2 } } \right) </math><br />
<br />
Donde:<br />
<br />
<math>{ \omega }_{ 0 }</math>= Frecuencia de resonancia<br />
<br />
<math>{ \omega }</math>= Frecuencia<br />
<br />
<math>N</math>= Numero de electrones<br />
<br />
<math>{ q }_{ e }</math>= Carga del electrón<br />
<br />
<math>{ m }_{ e }</math>= Masa del electrón<br />
<br />
<math>{ \epsilon }_{ 0 }</math>= Permitividad del espacio libre<br />
<br />
<math>n</math>= Indice de refracción<br />
<br />
Para una sola frecuencia de resonancia, tenemos:<br />
<math>n={ \left[ 1+\frac { N{ q }_{ e }^{ 2 } }{ { \epsilon }_{ 0 }{ m }_{ e } } \left( \frac { 1 }{ { \omega }_{ 0 }^{ 2 }-{ \omega }^{ 2 } } \right) \right] }^{ 1/2 }</math><br />
<br />
Ya que para materiales de baja densidad <math>n\approx 1</math><br />
Por lo tanto el segundo termino de la Ec. <math>\left( 1 \right) </math> es <math>\ll 1</math><br />
Y solo se tendra que conservar los dos primeros terminos de la expansión binomial de <math>n</math><br />
<br />
Así mediante el uso de la expansión binomial:<br />
<math>{ \left( 1+x \right) }^{ 1/2 }=1+\frac { 1 }{ 2 } x+\frac { \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { 1 }{ 2 } -1 \right) }{ 2! } { x }^{ 2 }</math><br />
<br />
Despreciando terminos de orden superior, tenemos:<br />
<math>{ \left( 1+x \right) }^{ 1/2 }=1+\frac { 1 }{ 2 } x</math><br />
<br />
Comparando la Ec. <math>\left( 1 \right) </math> con <math>{ \left( 1+x \right) }^{ 1/2 }</math>, obtenemos:<br />
<math>x=\frac { N{ q }_{ e }^{ 2 } }{ { \epsilon }_{ 0 }{ m }_{ e } } \left( \frac { 1 }{ { \omega }_{ 0 }^{ 2 }-{ \omega }^{ 2 } } \right) </math><br />
<br />
Asi: <math>n=1+\frac { 1 }{ 2 } \frac { N{ q }_{ e }^{ 2 } }{ { \epsilon }_{ 0 }{ m }_{ e } } \left( \frac { 1 }{ { \omega }_{ 0 }^{ 2 }-{ \omega }^{ 2 } } \right) </math> ya que partir de la Ec. <math>\left( 2 \right) </math><br />
<br />
<math>n\approx 1+\frac { N{ q }_{ e }^{ 2 } }{ 2{ \epsilon }_{ 0 }{ m }_{ e }({ \omega }_{ 0 }^{ 2 }-{ \omega }^{ 2 }) } </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Gutierrez|Luis Gutiérrez Melgarejo ]]<br />
<br />
<br />
----<br />
===Problema 3.16===<br />
----<br />
<br />
Demostrar que una formulación más general del problema anterior produce:<br />
<br />
<br />
<math>{ \left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> }_{ T }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ 1+senc\omega Tcos2\omega T \right] </math><br />
<br />
Para cualquier intervalo T<br />
<br />
solución:<br />
<br />
el promedio de tiempo de una función viene dado por la sig. ecuación integral:<br />
<br />
<br />
<math>{ \left< f(t) \right> }_{ T }=\frac { 1 }{ T } \int _{ t }^{ t+T }{ f({ t }^{ , }){ dt }^{ \quad , } } </math><br />
<br />
aquí <math>f(t)</math> esta la función cuyo promedio de tiempo que se desea calcular, T es el periodo de de la función armónica y t una variable ficticia.<br />
<br />
sustituyendo <math>{ cos }^{ 2 }\omega t</math> de <math>f(t)</math><br />
<br />
<math>{ \left< { cos }^{ 2 }\omega t \right> }_{ T }=\frac { 1 }{ T } \int _{ t }^{ t+T }{ { cos }^{ 2 }(\omega { t }^{ \quad , }){ dt }^{ \quad , } } </math><br />
<br />
usamos la siguiente relación del lado derecho:<br />
<br />
<math>{ cos }^{ 2 }(\omega t)=\quad \frac { 1+cos(2\omega { t }^{ \quad , }) }{ 2 } </math><br />
<br />
eso da:<br />
<br />
<math>\left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> =\frac { 1 }{ T } \quad \int _{ t }^{ t+T }{ \left[ \frac { 1+cos(2\omega { t }^{ \quad , }) }{ 2 } \right] } </math><br />
<br />
<math>\left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> =\frac { 1 }{ 2T } \quad \{ \int _{ t }^{ t+T }{ d{ t }^{ , }+\int _{ t }^{ t+T }{ \left[ cos(2\omega { t }^{ , }d{ t }^{ , } \right] \} } } </math><br />
<br />
<math>\left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> =\frac { 1 }{ 2T } \quad \left[ { t }^{ , }+\left[ \frac { \left[ sen(2\omega { t }^{ , } \right] }{ 2\omega } \right] \right] </math><br />
<br />
<math>\left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> =\frac { 1 }{ 2T } \quad \left[ \left[ t+T \right] -t \right] +\frac { 1 }{ 2\omega } \left[ sen(2\omega (t+T)-sen2\omega t \right] </math><br />
<br />
la ecuación anterior da:<br />
<br />
<math>\left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> =\frac { 1 }{ 2T } [T+\frac { 1 }{ 2\omega } \left[ sen(2\omega t+2\omega T)-sen2\omega t \right] </math><br />
<br />
se escribe <math>2\omega T</math> como la suma en el segundo termino <math>\omega T</math> también en el tercer termino y queda:<br />
<br />
<math>\frac { 1 }{ 2T } \left[ T+\frac { 1 }{ 2\omega } \left\{ sen(2\omega t+\omega T+\omega T)\\ -sen(2\omega t+\omega T-\omega T) \right\} \right] ec(1)</math><br />
<br />
recordando la relación trigonométrica general:<br />
<br />
<math>sen(\alpha +\beta )-sen(\alpha -\beta )=2(cos\alpha )(sen\beta )</math><br />
<br />
sustituyendo<math>2\omega t+\omega T\quad por\quad \alpha \quad y\quad \omega T\quad para\quad \beta </math><br />
<br />
<math>sen(2\omega t+\omega T+\omega T)-sen(2\omega t+\omega T-\omega T)=2cos(2\omega t+\omega T)sen(\omega T)</math><br />
<br />
usando esto en la ec(1)<br />
<br />
<math>\frac { 1 }{ 2 } \left[ 1+\frac { 1 }{ \omega T } \left\{ cos(2\omega t+\omega T)sen(\omega T) \right\} \right] </math><br />
<br />
<math>\frac { 1 }{ 2 } \left[ 1+\frac { sen\omega T }{ \omega T } \left\{ cos(2\omega t+\omega T) \right\} \right] </math><br />
<br />
usando el termino <math>\frac { 2\pi }{ T } \quad para\quad \omega </math> para el ultimo parentesis...<br />
<br />
<math>\frac { 1 }{ 2 } \left[ 1+\frac { sen\omega T }{ \omega T } \left\{ cos(2\omega t+\left( \frac { 2\pi }{ T } \right) T) \right\} \right] </math>=<math>\frac { 1 }{ 2 } \left[ 1+\frac { sen\omega T }{ \omega T } \left\{ cos(2\omega t+\left( 2\pi \right) ) \right\} \right] </math><br />
<br />
ahora usamos la expresion general:<br />
<br />
<math>\frac { senx }{ x } =sencx</math><br />
<br />
y esto da:<br />
<br />
<math>{ \left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> }_{ T }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ 1+senc\omega Tcos2\omega T \right] </math><br />
<br />
--[[Usuario:salvadormorales|Salvador Alejandro Morales Carranza ]]<br />
<br />
----<br />
===Problema 3.35===<br />
----<br />
<br />
Una antena parabólica de radar con $2m$ de diámetro trasmite $200 KW$ pulsos de energía. Si la tasa de repetición son $500$ pulsos por segundo, cada uno durando $2 \mu s$. Determinar el promedio de la fuerza de reacción sobre la antena.<br />
<br />
-- Solución --<br />
La fuerza se puede calcular mediante la definición de presión: <br />
<br />
$F= PA$<br />
:A--> Area de la antena<br />
:Con F la fuerza promediada sobre la antena y P la presión promediada. En este caso la presión por radiación ejerce una fuerza de reacción sobre la antena, entonces: <br />
$\langle{P}\rangle= \langle{S}\rangle/ c$<br />
<br />
:Con $\langle{S}\rangle$ el promedio en la energía radiada por la antena:<br />
<br />
:$\langle{S}\rangle= Energía/(tiempo)(área)$<br />
:$\langle{S}\rangle= (2 \times 10^5 W)(500 \times 2 \times 10^-{6})/A$<br />
:Entonces $\langle{P}\rangle$ es:<br />
$\langle{P}\rangle= \langle{S}\rangle/c= 6.66 \times 10^{-7}/A [Joules/metro]$<br />
:Por lo tanto, $F=PA= \langle{P}\rangle A= 6.66 \times 10^{-7} [Joules/Metro]= 6.66 \times 10^{-7} [Newtons]$<br />
--[[Usuario:Peddro J. Julian|Pedro Jesús Julián Salgado]]<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
===Problema 3.33===<br />
----<br />
'''Un haz de luz con una irradiancia de 2.00 x 10^6 W / m2 incide normalmente en una superficie que refleja 70.0% y absorbe 30.0%. Calcule la presión de radiación resultante en la superficie. '''<br />
<br />
: '''''Solución''''':<br />
EL componente reflejado tiene un cambio de impulso, y por lo tanto una presión, de dos veces el impulso incidente.<br />
<br />
Entonces:<br />
<br />
:$P(reflejado)= 2(70 $%$) \frac{I}{c}$<br />
<br />
Mientras para el absorbido<br />
<br />
:$P(absorbido)= 2(30 $%$) \frac{I}{c}$<br />
<br />
Realizando los calculos <br />
<br />
:$P_r=2(70 \%)\frac{2x10^6 W/m^2}{3x10^8 m/s} =0.93x10^{-2} N/m^2$<br />
<br />
:$P_a=2(30 \%)\frac{2x10^6 W/m^2}{3x10^8 m/s} =0.20x10^{-2} N/m^2$<br />
<br />
Por lo tanto <br />
<br />
:$P=P_{r} + P_{a} = 1.13x10^{-2}N/m^2$<br />
--[[Usuario:Flor|Flor Vivar]]<br />
<br />
----<br />
=== Ejercicio 3.15 ===<br />
El promedio temporal de una función $f(t)$ calculado sobre un intervalo $T$ está dado por<br />
<br />
$ \dfrac{1}{T} \int_t^{t+T} f(t') dt'$<br />
<br />
donde $t'$ es una variable muda. Si $\tau = 2 \pi / \omega$ es el periodo de una función armónica, muestre que<br />
<br />
$<sin^2(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t)> = \dfrac{1}{2}$ , <br />
$<cos^2(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t)> = \dfrac{1}{2}$ , <br />
$<sin(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t) cos(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t)> = 0$<br />
<br />
cuando $T = \tau$.<br />
<br />
'''Solución:'''<br />
Haremos un cambio de variable donde $x = \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t$ y por ello $dx = - \omega dt \Rightarrow dt = -dx / \omega$. Ahora tenemos las siguientes identidades trigonométricas<br />
<br />
$sin^2(x) = \dfrac{1}{2} \left[1 - cos(2 x)\right]$<br />
<br />
$cos^2(x) = \dfrac{1}{2} \left[1 + cos(2 x)\right]$<br />
<br />
Como debemos integrar estas funciones, haremos lo siguiente:<br />
<br />
$I_{\pm} = -\dfrac{1}{2\omega T} \int_a^b \left[1 \pm cos(2 x)\right] dx$<br />
<br />
donde $a$ y $b$ son los límites de integración, entonces<br />
<br />
$I_{\pm} = -\dfrac{1}{2\omega T} \left[x \pm \dfrac{1}{2} sen(2 x)\right]_a^b$<br />
<br />
Consideremos cuando $T = \tau$.<br />
<br />
: $T = \tau = 2 \pi / \omega$<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
$I_{\pm} = - \dfrac{1}{2 \omega} \dfrac{\omega}{2 \pi} \left[x \pm \dfrac{1}{2} sen(2 x)\right]_a^b$<br />
<br />
con $a = \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t$ y $b=\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega (t+2\pi/\omega)$<br />
<br />
$I_{\pm} = - \dfrac{1}{4 \pi} \left\{\left[\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega (t+2\pi/\omega) \pm sin\left(2\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - 2\omega (t+2\pi/\omega)\right)\right] - \left[\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t \pm sin\left(2\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - 2\omega t\right)\right]\right\}$<br />
<br />
de donde notamos que <br />
<br />
$sin\left(2\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - 2\omega (t+2\pi/\omega)\right) = sin\left(2\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - 2\omega t\right)$<br />
<br />
y por ello simplificamos<br />
<br />
$I_{\pm} = - \dfrac{1}{4 \pi} \left\{\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t - 2 \pi \pm sin\left(2\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - 2\omega t\right) - \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} + \omega t \mp sin\left(2\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - 2\omega t\right) \right\} = \dfrac{2 \pi}{4 \pi} = \dfrac{1}{2}$<br />
<br />
Lo cual prueba las primeras dos igualdades.<br />
<br />
Para las siguiente igualdad integremos por partes utilizando el mismo cambio de variable, y trabajando sólo con la integral sin considerar el factor $-1/\omega T$:<br />
<br />
$I = \int_a^b sen(x) cos x dx = sen(x) \int cos(x) - \int cos(x) \int cos(x) dx dx = sen^2(x) - \int sen(x) cos(x) dx$<br />
<br />
de donde despejando la integral original obtenemos:<br />
<br />
$I = \dfrac{1}{2} sen^2(x)$<br />
<br />
y debemos evaluar en los mismos límites que el caso anterior, entonces:<br />
<br />
$I = sen^2 \left[\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t - 2 \pi\right] - sen^2 \left[\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t\right] = \left[sen(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t) cos(2\pi) - cos(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t) sen(2\pi)\right]^2 - sen^2 \left[\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t\right]$<br />
<br />
que simplificando queda como<br />
<br />
$I = \left[sen(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t)\right]^2 -sen^2(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t) = 0$<br />
<br />
lo que prueba la tercera igualdad.<br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 21:14 28 oct 2018 (CDT)<br />
----<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
===Ejercicio 3.65===<br />
----<br />
<br />
El cuarzo cristalino tiene indices de refracción de 1.557 y 1.547 a longitudes de onda de 410 ,0 nm y 550 nm, respectivamente. Utilizando solo los primeros dos términos en la ecuación de Cauchy . calcule $C_1$ y $C_2$ y determine el índice de refracción del cuarzo a 610nm.<br />
<br />
: '''''Solución''''':<br />
<br />
Augustin-Louis Cauchy definió una ecuación empírica para $n(\lambda)$, su expresión corresponde a la relación en serie de potencias :<br />
<br />
$n=C_1+\frac{C_2}{\lambda^2}+\frac{C_3}{\lambda^4}+....$<br />
<br />
donde las C son todas constantes.<br />
<br />
Tomamos los primeros dos términos<br />
<br />
$n=C_1+\frac{C_2}{\lambda^2}$<br />
<br />
Usaremos el Subíndice A para $\lambda=410.0 nm$ y el subíndice B para $\lambda=550,0 nm$<br />
<br />
Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:<br />
<br />
$n_A=C_1+\frac{C_2}{\lambda_A^2}$<br />
<br />
$n_B=C_1+\frac{C_2}{\lambda_B^2}$<br />
<br />
<br />
Despejamos $C_1$ de la primera y $C_2$ de la segunda:<br />
<br />
$n_A- \frac{C_2}{\lambda_A^2}=C_1$<br />
<br />
$n_B \lambda_B^2-C_1 \lambda_B^2=C_2$<br />
<br />
<br />
Sustituimos $C_1$ en la segunda expresión:<br />
<br />
$n_B \lambda_B^2- \left(n_A- \frac{C_2}{\lambda_A^2}\right) \lambda_B^2 = C_2$<br />
<br />
<br />
Para despejar $C_2$:<br />
<br />
$n_B \lambda_B^2- n_ A \lambda_A^2 = C_2 \left( 1- \frac{ \lambda_B^2 }{ \lambda_A^2 } \right)$<br />
<br />
$n_B \lambda_B^2- n_ A \lambda_A^2 \left( 1- \frac{ \lambda_B^2 }{ \lambda_A^2 } \right)^{-1} = C_2$<br />
<br />
<br />
Al sustituir los valores encontramos que $ C_2 = 0.02617 \mu m^2 $<br />
<br />
Sustituyendo este valor para encontrar $C_1$:<br />
<br />
$n_A- \frac{0.02617 \mu m^2}{\lambda_A^2}=C_1$<br />
<br />
$C_1 = 1.401$<br />
<br />
<br />
Para determinar el valor del índice de refracción del cuarzo cuando $\lambda = 610 nm$, sustituimos los valores de $C_1$ y $C_2$ en la ecuación de Cauchy <br />
<br />
$n(610 \times 10^{-9} nm) =1.401+ \frac{0.02617 \times 10^{-12}}{(610 \times 10^{-9})^2 }$<br />
<br />
$n(610 \times 10^{-9} nm) = 1.471$<br />
<br />
[[Usuario:Aurea Espin|Aurea Espin]] ([[Usuario discusión:Aurea Espin|discusión]]) 20:05 28 oct 2018 (CDT)</div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Optica:_Capitulo3-problemas&diff=22626
Optica: Capitulo3-problemas
2018-10-29T02:14:16Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: /* Ejercicio 3.15 */</p>
<hr />
<div>Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 3,<br />
con el siguiente formato:<br />
<br />
<br />
===Ejercicio 3.13 (Hecht, Optics 4 ed)===<br />
<br />
'''''Pruebe que la irradiancia de una onda electromagnética armónica está dada por:<br />
<math> I=\frac{1}{2c\mu _{0}} E_{0}^{2} </math><br />
y determinar el promedio de la energía por unidad de área transportada por una onda plana de amplitud 15.0 V/m. '''''<br />
<br />
: '''''Solución''''':<br />
Consideremos la onda armónica plana:<br />
<math>\vec{E}\left(\vec{r},t\right)= E_{0}\cos\left(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t + \delta\right)\hat{n}</math><br />
<br />
Dado este campo eléctrico, podemos obtener el campo magnético recurriendo a las ecuaciones de Maxwell, éste resulta ser:<br />
<math>\vec{B}\left(\vec{r},t\right)= \frac{1}{c} E_{0}\cos\left(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+ \delta\right)(\hat{k}\times\hat{n})</math><br />
<br />
A continuación, determinamos el vector de Poynting:<br />
<br />
<math>\vec{S} \equiv \frac{1}{\mu_{0}}\left(\vec{E}\times \vec{B}\right)= \frac{1}{\mu_{0}}c E_{0}^{2}\cos^{2}\left(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+ \delta\right)\hat{k} </math><br />
<br />
ya que, <math>\hat{n}\times\left(\hat{K}\times\hat{n}\right)=\hat{k}(\hat{n}\cdot\hat{n})-\hat{n}(\hat{n}\cdot\hat{k})=\hat{k}</math><br />
<br />
Así, por definición:<br />
<br />
<math>I \equiv \langle S \rangle =\frac{E_{0}^{2}}{\mu_{0}c}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\cos^{2}\left(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+\delta\right)</math><br />
siendo T el periodo alrededor de un ciclo completo.<br />
<br />
Además, <math>\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\cos^{2}\left(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+\delta\right)=1/2 </math>.....(1)<br />
<br />
Pues, <math>\omega\equiv \frac{2\pi}{T}</math> y ya que, el promedio temporal en un intervalo de longitud T de <math>\cos^{2}\left(x\right)</math> y <math>\sin^{2}\left(x\right)</math> es el mismo, podemos usar la fórmula pitagórica de las funciones trigonométricas para concluir la ecuación (2).<br />
Por lo tanto:<br />
<math>I=\frac{1}{2c\mu_{0}}E_{0}^{2}</math>......(2)<br />
<br />
Finalmente, basta considerar la irrandiancia por segundo y sustituir la amplitud en la expresión (2).<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Diego de la Cruz López]] <br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[categoría:Optica]]<br />
[[categoría:Cursos]]<br />
<br />
===Ejercicio 3.6===<br />
----<br />
'''''El campo eléctrico de una onda electromagnética que viaja en la dirección x positiva ,está dada por:<br />
<math>\overrightarrow { E } ={ E }_{ 0 }sin\frac { \pi z }{ { z }_{ 0 } } cos\left( kx-\varpi t \right) \overrightarrow { j } </math>'''''<br />
'''''a) Describe verbalmente el campo,b)Determine una expresión para k.<br />
(c) Encuentra la velocidad de fase de la onda.'''''<br />
: '''''Solución''''':<br />
:Analizando en el origen en z=0, tenemos que , <math>sin\frac { 0 }{ { z }_{ 0 } } =0</math> , entonces el campo eléctrico es:<br />
:<math>\overrightarrow { E } =0\overrightarrow { j } </math><br />
:Otro punto donde se anula el campo eléctrico es en <math>z={ z }_{ 0 }</math>, entonces el campo tiene la forma :<br />
:<math>\overrightarrow { E } ={ E }_{ 0 }sin\frac { \pi { z }_{ 0 } }{ { z }_{ 0 } } cos\left( kx-\varpi t \right) \overrightarrow { j } </math><br />
:Notemos que el <math>sin\pi =0</math>, implica:<br />
:<math>\overrightarrow { E } =0</math><br />
:Es decir, el campo eléctrico esta polarizado linealmente en la dirección <math>y</math> y varia sinusoidal desde cero en z=0 hasta cero en <math>z={ z }_{ 0 }</math><br />
:<br />
:b) Usando la ecuación de onda tenemos:<br />
:<math>\frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial { x }^{ 2 } } +\frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial { y }^{ 2 } } +\frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial { z }^{ 2 } } -\frac { 1 }{ { c }^{ 2 } } \frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial { t }^{ 2 } } =0.........(1)</math> <br />
:Podemos evaluar la expresión para <math>k</math> , al diferenciar la siguiente ecuación 2 veces:<br />
<math>{ E }_{ y }={ E }_{ 0 }sin\frac { \pi { z } }{ { z }_{ 0 } } cos\left( kx-\varpi t \right) </math><br />
:Haciendo las derivadas:<br />
:<math>\frac { \partial { E }_{ y } }{ \partial x } =\frac { \partial }{ \partial x } \left( { E }_{ y }={ E }_{ 0 }sin\frac { \pi { z } }{ { z }_{ 0 } } cos\left( kx-\varpi t \right) \right) </math><br />
:<math>=-k{ E }_{ o }sin\frac { \pi z }{ { z }_{ 0 } } sin(kx-\varpi t)</math><br />
:La segunda derivada es:<br />
:<math>\frac { \partial { E }_{ y } }{ \partial { x }^{ 2 } } =-{ k }^{ 2 }sin\frac { \pi z }{ { z }_{ 0 } } cos(kx-\varpi t)........(2)</math><br />
:Similar, para las segundas parciales con respecto a <math>y</math> y <math>z</math> , tenemos:<br />
:<math>\frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial y^{ 2 } } =0........(3)</math><br />
:<math>\frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial z^{ 2 } } =\frac { -{ \pi }^{ 2 } }{ { z }_{ 0 }^{ 2 } } { E }_{ 0 }sin\frac { \pi z }{ { z }_{ 0 } } cos(kx-\varpi t)........(4)</math><br />
:<math>\frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial t^{ 2 } } =-{ \varpi }^{ 2 }{ E }_{ 0 }sin\frac { \pi z }{ { z }_{ 0 } } cos(kx-\varpi t)........(5)</math><br />
:Sustituyendo la ecuación (2), (3), (4) y (5) en la ecuación (1), obtenemos:<br />
:<math>(-{ k }^{ 2 }-\frac { { \pi }^{ 2 } }{ { z }_{ 0 }^{ 2 } } +\frac { { \varpi }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } ){ E }_{ 0 }sin\frac { \pi z }{ { z }_{ 0 } } cos(kx-\varpi t)=0</math><br />
:Como esto es verdadero para toda x,z y t, cada término debe ser igual a cero, es decir:<br />
:<math>(-{ k }^{ 2 }-\frac { { \pi }^{ 2 } }{ { z }_{ 0 }^{ 2 } } +\frac { { \varpi }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } )=0</math><br />
:Despejando:<br />
:<math>-\frac { { \pi }^{ 2 } }{ { z }_{ 0 }^{ 2 } } +\frac { { \varpi }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } ={ k }^{ 2 }</math><br />
:<math>{ k={ \left( -\frac { { \pi }^{ 2 } }{ { z }_{ 0 }^{ 2 } } +\frac { { \varpi }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }</math><br />
:De la expresión anterior factorizamos un <math>\frac { { \varpi }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } </math>, resulta:<br />
:<math>{ k={ \left( \left( \frac { { \varpi }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } \right) \left( 1-\frac { { \pi }^{ 2 }{ c }^{ 2 } }{ { \varpi }^{ 2 }{ z }_{ 0 }^{ 2 } } \right) \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }</math><br />
:Finalmente la expresión para <math>k</math> es:<br />
:<math>{ k=\frac { { \varpi } }{ { c } } \sqrt { 1-\frac { { \pi }^{ 2 }{ c }^{ 2 } }{ { \varpi }^{ 2 }{ z }_{ 0 }^{ 2 } } } }</math><br />
:<br />
:(c) La velocidad de fase de la onda será <math>\nu =\frac { \varpi }{ k } </math><br />
:Simplificando tenemos:<br />
:<math>\nu { =\frac { { c } }{ { \sqrt { 1-\frac { { \pi }^{ 2 }{ c }^{ 2 } }{ { \varpi }^{ 2 }{ z }_{ 0 }^{ 2 } } } } } }</math><br />
:--[[Usuario:Luis Chávez|Luis Manuel Chávez antonio]]<br />
<br />
----<br />
<br />
===Ejercicio 3.62===<br />
----<br />
<br />
<br />
'''Demuestre que la ecuacion (3.70) puede volverse a escribir como:<br />
<br />
<br />
<math>(n^{2}-1)^{-1}=-C\lambda ^{-2}+C\lambda _{0}^{-2}</math><br />
<br />
<br />
donde <math>C=4\pi ^{2}c^{2}\epsilon _{0}m_{e}/Nq_{e}^{2}</math>'''<br />
<br />
<br />
: '''''Solución''''':<br />
<br />
<br />
Ecuación de dispersión:<br />
<br />
<math>n^{2}(\omega )=1+\frac{Nq_{e}^{2}}{\epsilon _{0}m_{e}}\left ( \frac{1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}} \right )</math>..........(3.70)<br />
<br />
<br />
La ecuación dada es :<br />
<br />
<br />
<math>(n^{2}-1)^{-1}=-C\lambda ^{-2}+C\lambda _{0}^{-2}</math><br />
<br />
<br />
sustituimos el valor <math>C=4\pi ^{2}c^{2}\epsilon _{0}m_{e}/Nq_{e}^{2}</math> en la ecuación dada:<br />
<br />
<br />
<math>(n^{2}-1)^{-1}=-\left ( \frac{4\pi ^{2}c^{2}\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}} \right )\lambda ^{-2}+ \left ( \frac{4\pi ^{2}c^{2}\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}} \right )\lambda _{0}^{-2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>(n^{2}-1)^{-1}=-\left ( \frac{4\pi ^{2}c^{2}}{\lambda ^{2}} \right )\left (\frac{\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}} \right )+\left ( \frac{4\pi ^{2}c^{2}}{\lambda _{0}^{2}} \right )\left (\frac{\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}} \right )</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>(n^{2}-1)^{-1}=-\left ( \frac{2\pi c}{\lambda} \right )^{2}\left (\frac{\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}} \right )+\left ( \frac{2\pi c}{\lambda _{0}} \right )^{2}\left (\frac{\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}} \right )<br />
</math><br />
<br />
<br />
<br />
Como <math>\left ( \frac{2\pi c}{\lambda} =\omega \right )</math> y <math>\left ( \frac{2\pi c}{\lambda _{0}}=\omega _{0} \right )</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>(n^{2}-1)^{-1}=\frac{\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}}\left [ \omega _{0}^{2} -\omega ^{2}\right ]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\frac{1}{(n^{2}-1)}=\frac{\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}}\left [ \omega _{0}^{2} -\omega ^{2}\right ]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>(n^{2}-1)=\frac{Nq_{e}^{2}}{\epsilon _{0}m_{e}}\left [ \frac{1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}} \right ]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>n^{2}=1+\frac{Nq_{e}^{2}}{\epsilon _{0}m_{e}}\left [ \frac{1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}} \right ]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>n^{2}(\omega )=1+\frac{Nq_{e}^{2}}{\epsilon _{0}m_{e}}\left ( \frac{1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}} \right )</math><br />
<br />
<br />
Esta es la ecuación de dispersión<br />
<br />
<br />
<br />
Por lo tanto:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>n^{2}(\omega )=1+\frac{Nq_{e}^{2}}{\epsilon _{0}m_{e}}\left ( \frac{1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}} \right )</math><br />
<br />
<br />
<br />
se puede reescribir como:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>(n^{2}-1)^{-1}=-C\lambda ^{-2}+C\lambda _{0}^{-2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Enrique Ortiz Martinez|Enrique Ortiz Martinez]]<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
=== Problema 3.4 ===<br />
<br />
Imagine una onda electromagnética con su campo '''E''' en la dirección del eje x. Demuestre que la ecuación <br />
:<math>∂E/∂x=-∂B/∂t</math><br />
:aplicada a las ondas armónicas:<br />
:<math>'''E'''='''E0'''cos(kx-wt)</math> y <math>'''B'''='''B0'''cos(kx-wt)</math><br />
:lleva a la conclusión de que:<br />
:<math>E0=cB0</math><br />
:<br />
:'''Solusión:'''<br />
:<br />
:Derivando las dos ecuación parcialmente, se tiene que:<br />
:<math>∂E/∂x=-E0k sin〖(kx-wt)〗</math> <math>∂B/∂t=B0w sin〖(kx-wt)〗</math><br />
:Al igualar hacer uso de la relación entre las derivadas parciales, vemos que:<br />
:<math>∂E/∂x=-E0k sin〖(kx-wt)〗=-∂B/∂t=-B0w sin〖(kx-wt)〗</math><br />
:Lo que implica que:<br />
:<math>E0k=B0w </math><br />
:<math>E0=k/wB0</math><br />
:Pero se sabe que <math>c=k/w</math>. Entonces<br />
:<math>E0=cB0</math><br />
<br />
--[[Usuario:Onáfeder|Fernando Valencia Hernández]]<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
=== Problema 3.66 ===<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''En 1871 Sellmeier derivo la ecuación:''' <br />
<br />
<br />
<math>{ n }^{ 2 }=1+\sum _{ j }{ \frac { { A }_{ j }{ \lambda }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 }-{ { \lambda } }_{ 0j }^{ 2 } } } </math><br />
<br />
<br />
'''Donde la <math>{ A }_{ j }</math> son términos constantes y cada <math>{ \lambda } _{ 0j }</math> es la onda de longitud al vació asociada con una frecuencia natural <math>{ \nu }_{ 0j }</math> ,tal como <math>{ \lambda }_{ 0j }{ \nu }_{ 0j }=c</math>. Esta formulación es una mejora considerablemente practica sobre la ecuación de Cauchy. Muestra que donde <math>\lambda >>{ \lambda }_{ 0j }</math> la ecuación de Cauchy es una aproximación a la de Sellmeier .'''<br />
<br />
<br />
'''Pista: Escribe la expresión de arriba solo con el primer termino en la suma ; expandelo por el teorema binomial ; toma la raíz cuadrada de <math>{ n }^{ 2 }</math> y expandela otra vez.<br />
'''<br />
<br />
<br />
'''Solución:'''<br />
<br />
<br />
La ecuacion de Sellmeier dada por: <br />
<br />
<br />
<math>{ n }^{ 2 }=1+\sum _{ j }{ \frac { { A }_{ j }{ \lambda }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 }-{ { \lambda } }_{ 0j }^{ 2 } } } </math><br />
<br />
donde <math>{ A }_{ j }</math> es una constante y <math>{ \lambda } _{ 0j }</math> es la onda de longitud al vació asociada con una frecuencia natural <math>{ \nu }_{ 0j }</math><br />
<br />
<math>\therefore </math> Consideramos solo el primer termino de la sumatoria <br />
<br />
<math>{ n }^{ 2 }=1+\frac { { A }_{ 1 }{ \lambda }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 }-{ { \lambda } }_{ 01 }^{ 2 } } </math><br />
<br />
<br />
<math>{ n }^{ 2 }=1+{ A }_{ 1 }\frac { { \lambda }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 }(1-\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ) } </math><br />
<br />
<br />
<math>{ n }^{ 2 }=1+{ A }_{ 1 }\frac { 1 }{ (1-\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ) }</math><br />
<br />
<br />
<math>{ n }^{ 2 }=1+{ A }_{ 1 }{ (1-\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ) }^{ -1 }</math><br />
<br />
<br />
Conocemos la expansión binomial de:<br />
<br />
<br />
<math>{ (1-x) }^{ -1 }=1+x+{ x }^{ 2 }+{ x }^{ 3 }+......</math><br />
<br />
<math>\therefore \quad \quad { n }^{ 2 }=1+{ A }_{ 1 }\{ 1+(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } )+{ (\frac { { \lambda }_{ 01 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ) }^{ 2 }+{ (\frac { { \lambda }_{ 01 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ) }^{ 3 }+.....\} </math> donde <math>x=\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } </math><br />
<br />
por lo tanto se ignoran los términos de orden superior por que sabemos que <math>\lambda >>{ \lambda }_{ 0j }</math> entonces tenemos:<br />
<br />
<math>{ n }^{ 2 }=1+{ A }_{ 1 }[1+(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } )]</math> despejando a <math>n</math> vemos que:<br />
<br />
<math>n={ [1+{ A }_{ 1 }(1+(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ))] }^{ \frac { 1 }{ 2 } }</math><br />
<br />
<math>n={ [1+{ (A }_{ 1 }+{ A }_{ 1 }(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ))] }^{ \frac { 1 }{ 2 } }<br />
</math>................(1)<br />
<br />
<br />
Nosotros sabemos que la expansión binomial esta dada por: <br />
<br />
<br />
<math>{ (1+x) }^{ n }=1+\frac { n }{ 1! } x+\frac { n(n-1) }{ 2! } { x }^{ 2 }+.........</math> realizando la expansión con la ecuación (1) tenemos:<br />
<br />
<math>n=1+\frac { 1 }{ 2 } [{ A }_{ 1 }+{ A }_{ 1 }(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } )]+\frac { \frac { 1 }{ 2 } (\frac { 1 }{ 2 } -1) }{ 2! } { [{ A }_{ 1 }+{ A }_{ 1 }(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } )] }^{ 2 }+.........</math> desarrollando esta expansión tenemos:<br />
<br />
<math>n=1+\frac { 1 }{ 2 } { A }_{ 1 }+\frac { 1 }{ 2 } { A }_{ 1 }(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } )+\frac { \frac { 1 }{ 2 } (-\frac { 1 }{ 2 } ) }{ 2 } { [{ { A }_{ 1 } }^{ 2 }+{ { A }_{ 1 } }^{ 2 }(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 4 } }{ { \lambda }^{ 4 } } )+2{ A }_{ 1 }({ A }_{ 1 }\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } )] }+.........</math><br />
<br />
<math>n=1+\frac { { A }_{ 1 } }{ 2 } +\frac { { A }_{ 1 } }{ 2 } { \lambda }_{ 01 }^{ 2 }(\frac { 1 }{ { \lambda }^{ 2 } } )-\frac { 1 }{ 8 } { { { A }_{ 1 } }^{ 2 }-\frac { 1 }{ 8 } { { A }_{ 1 } }^{ 2 }(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 4 } }{ { \lambda }^{ 4 } } )-\frac { { { A }_{ 1 } }^{ 2 } }{ 4 } (\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ) }+.........</math><br />
<br />
<br />
Reordenaremos la ecuación en términos lineales y orden superior:<br />
<br />
<br />
<math>n=(1+\frac { { A }_{ 1 } }{ 2 } -\frac { { { A }_{ 1 } }^{ 2 } }{ 8 } ...........)+\frac { { A }_{ 1 } }{ 2 } { \lambda }_{ 01 }^{ 2 }(\frac { 1 }{ { \lambda }^{ 2 } } )-\frac { 1 }{ 4 } { { A }_{ 1 } }^{ 2 }{ \lambda }_{ 01 }^{ 2 }(\frac { 1 }{ { \lambda }^{ 2 } } )-\frac { 1 }{ 8 } { { A }_{ 1 } }^{ 2 }{ \lambda }_{ 01 }^{ 4 }(\frac { 1 }{ { \lambda }^{ 4 } } )+........</math><br />
<br />
Ya que <math>{ A }_{ 1 }</math> y <math>{ \lambda }_{ 01 }</math> son constantes , así que, tomaremos a los términos lineales como otra constante <br />
<br />
<math>{ C }_{ 1 }=1+\frac { { A }_{ 1 } }{ 2 } -\frac { { { A }_{ 1 } }^{ 2 } }{ 8 } ...........</math><br />
<br />
<br />
A los términos cuadráticos la renombraremos por otra constante:<br />
<br />
<math>{ C }_{ 2 }=\frac { { A }_{ 1 }{ \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ 2 } -\frac { 1 }{ 4 } { { A }_{ 1 } }^{ 2 }{ \lambda }_{ 01 }^{ 2 }...........</math><br />
<br />
Y de igual forma a los de orden superior :<br />
<br />
<math>{ C }_{ 3 }=-(\frac { 1 }{ 8 } { { A }_{ 1 } }^{ 2 }{ \lambda }_{ 01 }^{ 4 })...........</math><br />
<br />
Por lo anterior podemos ver que <math>n</math> lo podemos reescribir como:<br />
<br />
<math>n={ C }_{ 1 }+{ C }_{ 2 }(\frac { 1 }{ { \lambda }^{ 2 } } )+{ C }_{ 3 }(\frac { 1 }{ { \lambda }^{ 4 } } )+......</math><br />
<br />
<math>\therefore </math> Esto es la ecuación de Cauchy esto quiere decir que la ecuación de Cauchy es una aproximación a la de Sellmeier.<br />
<br />
--[[Usuario:Ruben Espinosa|Ruben Espinosa Guzmán ]]<br />
<br />
<br />
----<br />
===Ejercicio 3.21===<br />
----<br />
La siguiente es la expresión para el campo $\vec{\bf E}$ de una onda electromagnética que se desplaza en un dieléctrico homogéneo:<br />
: $\vec{\bf E}=\left(-100 V/m\right) e^{i(kz-\omega t)}\hat{\bf e}_x$<br />
<br />
:En este caso, $\omega=1.80 \times 10^{15} rad/s$ y $k=1.20 \times 10^7 rad/m$<br />
:(a) Determine el campo $\vec{\bf B}$ asociado. (b) Calcule el índice de refracción. (c) Calcule la permitividad. (d) Encuentre la irradiancia.<br />
<br />
: '''''Solución:''''' <br />
:(a) $\vec{\bf B}$ está en la dirección $\hat{\bf e}_y$, dado que la onda se desplaza en la dirección $\vec{\bf E} \times \vec{\bf B}$ y que apunta en la dirección $\hat{\bf e}_z$<br />
:La velocidad es $v=\omega/k$:<br />
:$v=\frac{1.80 \times 10^{15} rad/s}{1.20 \times 10^7 rad/m}=1.5 \times 10^8 m/s$<br />
:$E_0=vB_0=\left(1.5 \times 10^8 m/s\right)B_0$<br />
:$B_0=\frac{-100 V/m}{1.5 \times 10^8 m/s}=-6.7 \times 10^{-8} T$<br />
: $\vec{\bf B}=\left(-6.7 \times 10^{-8} T\right) e^{i(kz-\omega t)}\hat{\bf e}_y$<br />
:(b) $n=\frac{c}{v}=\frac{2.99\times 10^8 m/s}{1.5 \times 10^8 m/s}$<br />
:$n=1.993$<br />
:(c) $n=\sqrt{K_E}$<br />
:$n^2=K_E$<br />
:$K_E=3.973$<br />
:$\epsilon=\epsilon_0 K_E$<br />
:$\epsilon=(8.8542 \times 10^{-12} \frac{C^2}{N m^2})3.973$<br />
:$\epsilon=(3.5181 \times 10^{-11} \frac{C^2}{N m^2})$<br />
:(d) $I=\frac{\epsilon v}{2}E_0^2$<br />
:$I=\frac{1}{2}\left(3.5181 \times 10^{-11} \frac{C^2}{N m^2}\right)\left(1.5 \times 10^8 m/s\right)\left(-100 V/m\right)$<br />
:$I=26.38575\frac{W}{m^2}$<br />
--[[Usuario:sesebasi|Sergio]]<br />
<br />
----<br />
===Problema 3.57===<br />
----<br />
Muestre que para sustancias de baja densidad, como los gases, que tienen una sola frecuencia de resonancia <math>{ \omega }_{ 0 }</math>, el índice de refracción viene dado por:<br />
<math>n\approx 1+\frac { N{ q }_{ e }^{ 2 } }{ 2{ \epsilon }_{ 0 }{ m }_{ e }({ \omega }_{ 0 }^{ 2 }-{ \omega }^{ 2 }) }</math><br />
<br />
: '''''Solución''''':<br />
De la ecuación de dispersión:<br />
<math>{ n }^{ 2 }(\omega )=1+\frac { N{ q }_{ e }^{ 2 } }{ { \epsilon }_{ 0 }{ m }_{ e } } \left( \frac { 1 }{ { \omega }_{ 0 }^{ 2 }-{ \omega }^{ 2 } } \right) </math><br />
<br />
Donde:<br />
<br />
<math>{ \omega }_{ 0 }</math>= Frecuencia de resonancia<br />
<br />
<math>{ \omega }</math>= Frecuencia<br />
<br />
<math>N</math>= Numero de electrones<br />
<br />
<math>{ q }_{ e }</math>= Carga del electrón<br />
<br />
<math>{ m }_{ e }</math>= Masa del electrón<br />
<br />
<math>{ \epsilon }_{ 0 }</math>= Permitividad del espacio libre<br />
<br />
<math>n</math>= Indice de refracción<br />
<br />
Para una sola frecuencia de resonancia, tenemos:<br />
<math>n={ \left[ 1+\frac { N{ q }_{ e }^{ 2 } }{ { \epsilon }_{ 0 }{ m }_{ e } } \left( \frac { 1 }{ { \omega }_{ 0 }^{ 2 }-{ \omega }^{ 2 } } \right) \right] }^{ 1/2 }</math><br />
<br />
Ya que para materiales de baja densidad <math>n\approx 1</math><br />
Por lo tanto el segundo termino de la Ec. <math>\left( 1 \right) </math> es <math>\ll 1</math><br />
Y solo se tendra que conservar los dos primeros terminos de la expansión binomial de <math>n</math><br />
<br />
Así mediante el uso de la expansión binomial:<br />
<math>{ \left( 1+x \right) }^{ 1/2 }=1+\frac { 1 }{ 2 } x+\frac { \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { 1 }{ 2 } -1 \right) }{ 2! } { x }^{ 2 }</math><br />
<br />
Despreciando terminos de orden superior, tenemos:<br />
<math>{ \left( 1+x \right) }^{ 1/2 }=1+\frac { 1 }{ 2 } x</math><br />
<br />
Comparando la Ec. <math>\left( 1 \right) </math> con <math>{ \left( 1+x \right) }^{ 1/2 }</math>, obtenemos:<br />
<math>x=\frac { N{ q }_{ e }^{ 2 } }{ { \epsilon }_{ 0 }{ m }_{ e } } \left( \frac { 1 }{ { \omega }_{ 0 }^{ 2 }-{ \omega }^{ 2 } } \right) </math><br />
<br />
Asi: <math>n=1+\frac { 1 }{ 2 } \frac { N{ q }_{ e }^{ 2 } }{ { \epsilon }_{ 0 }{ m }_{ e } } \left( \frac { 1 }{ { \omega }_{ 0 }^{ 2 }-{ \omega }^{ 2 } } \right) </math> ya que partir de la Ec. <math>\left( 2 \right) </math><br />
<br />
<math>n\approx 1+\frac { N{ q }_{ e }^{ 2 } }{ 2{ \epsilon }_{ 0 }{ m }_{ e }({ \omega }_{ 0 }^{ 2 }-{ \omega }^{ 2 }) } </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Gutierrez|Luis Gutiérrez Melgarejo ]]<br />
<br />
<br />
----<br />
===Problema 3.16===<br />
----<br />
<br />
Demostrar que una formulación más general del problema anterior produce:<br />
<br />
<br />
<math>{ \left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> }_{ T }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ 1+senc\omega Tcos2\omega T \right] </math><br />
<br />
Para cualquier intervalo T<br />
<br />
solución:<br />
<br />
el promedio de tiempo de una función viene dado por la sig. ecuación integral:<br />
<br />
<br />
<math>{ \left< f(t) \right> }_{ T }=\frac { 1 }{ T } \int _{ t }^{ t+T }{ f({ t }^{ , }){ dt }^{ \quad , } } </math><br />
<br />
aquí <math>f(t)</math> esta la función cuyo promedio de tiempo que se desea calcular, T es el periodo de de la función armónica y t una variable ficticia.<br />
<br />
sustituyendo <math>{ cos }^{ 2 }\omega t</math> de <math>f(t)</math><br />
<br />
<math>{ \left< { cos }^{ 2 }\omega t \right> }_{ T }=\frac { 1 }{ T } \int _{ t }^{ t+T }{ { cos }^{ 2 }(\omega { t }^{ \quad , }){ dt }^{ \quad , } } </math><br />
<br />
usamos la siguiente relación del lado derecho:<br />
<br />
<math>{ cos }^{ 2 }(\omega t)=\quad \frac { 1+cos(2\omega { t }^{ \quad , }) }{ 2 } </math><br />
<br />
eso da:<br />
<br />
<math>\left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> =\frac { 1 }{ T } \quad \int _{ t }^{ t+T }{ \left[ \frac { 1+cos(2\omega { t }^{ \quad , }) }{ 2 } \right] } </math><br />
<br />
<math>\left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> =\frac { 1 }{ 2T } \quad \{ \int _{ t }^{ t+T }{ d{ t }^{ , }+\int _{ t }^{ t+T }{ \left[ cos(2\omega { t }^{ , }d{ t }^{ , } \right] \} } } </math><br />
<br />
<math>\left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> =\frac { 1 }{ 2T } \quad \left[ { t }^{ , }+\left[ \frac { \left[ sen(2\omega { t }^{ , } \right] }{ 2\omega } \right] \right] </math><br />
<br />
<math>\left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> =\frac { 1 }{ 2T } \quad \left[ \left[ t+T \right] -t \right] +\frac { 1 }{ 2\omega } \left[ sen(2\omega (t+T)-sen2\omega t \right] </math><br />
<br />
la ecuación anterior da:<br />
<br />
<math>\left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> =\frac { 1 }{ 2T } [T+\frac { 1 }{ 2\omega } \left[ sen(2\omega t+2\omega T)-sen2\omega t \right] </math><br />
<br />
se escribe <math>2\omega T</math> como la suma en el segundo termino <math>\omega T</math> también en el tercer termino y queda:<br />
<br />
<math>\frac { 1 }{ 2T } \left[ T+\frac { 1 }{ 2\omega } \left\{ sen(2\omega t+\omega T+\omega T)\\ -sen(2\omega t+\omega T-\omega T) \right\} \right] ec(1)</math><br />
<br />
recordando la relación trigonométrica general:<br />
<br />
<math>sen(\alpha +\beta )-sen(\alpha -\beta )=2(cos\alpha )(sen\beta )</math><br />
<br />
sustituyendo<math>2\omega t+\omega T\quad por\quad \alpha \quad y\quad \omega T\quad para\quad \beta </math><br />
<br />
<math>sen(2\omega t+\omega T+\omega T)-sen(2\omega t+\omega T-\omega T)=2cos(2\omega t+\omega T)sen(\omega T)</math><br />
<br />
usando esto en la ec(1)<br />
<br />
<math>\frac { 1 }{ 2 } \left[ 1+\frac { 1 }{ \omega T } \left\{ cos(2\omega t+\omega T)sen(\omega T) \right\} \right] </math><br />
<br />
<math>\frac { 1 }{ 2 } \left[ 1+\frac { sen\omega T }{ \omega T } \left\{ cos(2\omega t+\omega T) \right\} \right] </math><br />
<br />
usando el termino <math>\frac { 2\pi }{ T } \quad para\quad \omega </math> para el ultimo parentesis...<br />
<br />
<math>\frac { 1 }{ 2 } \left[ 1+\frac { sen\omega T }{ \omega T } \left\{ cos(2\omega t+\left( \frac { 2\pi }{ T } \right) T) \right\} \right] </math>=<math>\frac { 1 }{ 2 } \left[ 1+\frac { sen\omega T }{ \omega T } \left\{ cos(2\omega t+\left( 2\pi \right) ) \right\} \right] </math><br />
<br />
ahora usamos la expresion general:<br />
<br />
<math>\frac { senx }{ x } =sencx</math><br />
<br />
y esto da:<br />
<br />
<math>{ \left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> }_{ T }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ 1+senc\omega Tcos2\omega T \right] </math><br />
<br />
--[[Usuario:salvadormorales|Salvador Alejandro Morales Carranza ]]<br />
<br />
----<br />
===Problema 3.35===<br />
----<br />
<br />
Una antena parabólica de radar con $2m$ de diámetro trasmite $200 KW$ pulsos de energía. Si la tasa de repetición son $500$ pulsos por segundo, cada uno durando $2 \mu s$. Determinar el promedio de la fuerza de reacción sobre la antena.<br />
<br />
-- Solución --<br />
La fuerza se puede calcular mediante la definición de presión: <br />
<br />
$F= PA$<br />
:A--> Area de la antena<br />
:Con F la fuerza promediada sobre la antena y P la presión promediada. En este caso la presión por radiación ejerce una fuerza de reacción sobre la antena, entonces: <br />
$\langle{P}\rangle= \langle{S}\rangle/ c$<br />
<br />
:Con $\langle{S}\rangle$ el promedio en la energía radiada por la antena:<br />
<br />
:$\langle{S}\rangle= Energía/(tiempo)(área)$<br />
:$\langle{S}\rangle= (2 \times 10^5 W)(500 \times 2 \times 10^-{6})/A$<br />
:Entonces $\langle{P}\rangle$ es:<br />
$\langle{P}\rangle= \langle{S}\rangle/c= 6.66 \times 10^{-7}/A [Joules/metro]$<br />
:Por lo tanto, $F=PA= \langle{P}\rangle A= 6.66 \times 10^{-7} [Joules/Metro]= 6.66 \times 10^{-7} [Newtons]$<br />
--[[Usuario:Peddro J. Julian|Pedro Jesús Julián Salgado]]<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
===Problema 3.33===<br />
----<br />
'''Un haz de luz con una irradiancia de 2.00 x 10^6 W / m2 incide normalmente en una superficie que refleja 70.0% y absorbe 30.0%. Calcule la presión de radiación resultante en la superficie. '''<br />
<br />
: '''''Solución''''':<br />
EL componente reflejado tiene un cambio de impulso, y por lo tanto una presión, de dos veces el impulso incidente.<br />
<br />
Entonces:<br />
<br />
:$P(reflejado)= 2(70 $%$) \frac{I}{c}$<br />
<br />
Mientras para el absorbido<br />
<br />
:$P(absorbido)= 2(30 $%$) \frac{I}{c}$<br />
<br />
Realizando los calculos <br />
<br />
:$P_r=2(70 \%)\frac{2x10^6 W/m^2}{3x10^8 m/s} =0.93x10^{-2} N/m^2$<br />
<br />
:$P_a=2(30 \%)\frac{2x10^6 W/m^2}{3x10^8 m/s} =0.20x10^{-2} N/m^2$<br />
<br />
Por lo tanto <br />
<br />
:$P=P_{r} + P_{a} = 1.13x10^{-2}N/m^2$<br />
--[[Usuario:Flor|Flor Vivar]]<br />
<br />
----<br />
=== Ejercicio 3.15 ===<br />
El promedio temporal de una función $f(t)$ calculado sobre un intervalo $T$ está dado por<br />
<br />
$ \dfrac{1}{T} \int_t^{t+T} f(t') dt'$<br />
<br />
donde $t'$ es una variable muda. Si $\tau = 2 \pi / \omega$ es el periodo de una función armónica, muestre que<br />
<br />
$<sin^2(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t)> = \dfrac{1}{2}$ , <br />
$<cos^2(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t)> = \dfrac{1}{2}$ , <br />
$<sin(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t) cos(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t)> = 0$<br />
<br />
cuando $T = \tau$.<br />
<br />
'''Solución:'''<br />
Haremos un cambio de variable donde $x = \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t$ y por ello $dx = - \omega dt \Rightarrow dt = -dx / \omega$. Ahora tenemos las siguientes identidades trigonométricas<br />
<br />
$sin^2(x) = \dfrac{1}{2} \left[1 - cos(2 x)\right]$<br />
<br />
$cos^2(x) = \dfrac{1}{2} \left[1 + cos(2 x)\right]$<br />
<br />
Como debemos integrar estas funciones, haremos lo siguiente:<br />
<br />
$I_{\pm} = -\dfrac{1}{2\omega T} \int_a^b \left[1 \pm cos(2 x)\right] dx$<br />
<br />
donde $a$ y $b$ son los límites de integración, entonces<br />
<br />
$I_{\pm} = -\dfrac{1}{2\omega T} \left[x \pm \dfrac{1}{2} sen(2 x)\right]_a^b$<br />
<br />
Consideremos los dos casos, cuando $T = \tau$ y cuando $T >> \tau$.<br />
<br />
: $T = \tau = 2 \pi / \omega$<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
$I_{\pm} = - \dfrac{1}{2 \omega} \dfrac{\omega}{2 \pi} \left[x \pm \dfrac{1}{2} sen(2 x)\right]_a^b$<br />
<br />
con $a = \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t$ y $b=\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega (t+2\pi/\omega)$<br />
<br />
$I_{\pm} = - \dfrac{1}{4 \pi} \left\{\left[\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega (t+2\pi/\omega) \pm sin\left(2\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - 2\omega (t+2\pi/\omega)\right)\right] - \left[\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t \pm sin\left(2\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - 2\omega t\right)\right]\right\}$<br />
<br />
de donde notamos que <br />
<br />
$sin\left(2\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - 2\omega (t+2\pi/\omega)\right) = sin\left(2\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - 2\omega t\right)$<br />
<br />
y por ello simplificamos<br />
<br />
$I_{\pm} = - \dfrac{1}{4 \pi} \left\{\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t - 2 \pi \pm sin\left(2\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - 2\omega t\right) - \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} + \omega t \mp sin\left(2\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - 2\omega t\right) \right\} = \dfrac{2 \pi}{4 \pi} = \dfrac{1}{2}$<br />
<br />
Lo cual prueba las primeras dos igualdades.<br />
<br />
Para las siguiente igualdad integremos por partes utilizando el mismo cambio de variable, y trabajando sólo con la integral sin considerar el factor $-1/\omega T$:<br />
<br />
$I = \int_a^b sen(x) cos x dx = sen(x) \int cos(x) - \int cos(x) \int cos(x) dx dx = sen^2(x) - \int sen(x) cos(x) dx$<br />
<br />
de donde despejando la integral original obtenemos:<br />
<br />
$I = \dfrac{1}{2} sen^2(x)$<br />
<br />
y debemos evaluar en los mismos límites que el caso anterior, entonces:<br />
<br />
$I = sen^2 \left[\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t - 2 \pi\right] - sen^2 \left[\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t\right] = \left[sen(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t) cos(2\pi) - cos(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t) sen(2\pi)\right]^2 - sen^2 \left[\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t\right]$<br />
<br />
que simplificando queda como<br />
<br />
$I = \left[sen(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t)\right]^2 -sen^2(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t) = 0$<br />
<br />
lo que prueba la tercera igualdad.<br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 21:14 28 oct 2018 (CDT)<br />
----<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
===Ejercicio 3.65===<br />
----<br />
<br />
El cuarzo cristalino tiene indices de refracción de 1.557 y 1.547 a longitudes de onda de 410 ,0 nm y 550 nm, respectivamente. Utilizando solo los primeros dos términos en la ecuación de Cauchy . calcule $C_1$ y $C_2$ y determine el índice de refracción del cuarzo a 610nm.<br />
<br />
: '''''Solución''''':<br />
<br />
Augustin-Louis Cauchy definió una ecuación empírica para $n(\lambda)$, su expresión corresponde a la relación en serie de potencias :<br />
<br />
$n=C_1+\frac{C_2}{\lambda^2}+\frac{C_3}{\lambda^4}+....$<br />
<br />
donde las C son todas constantes.<br />
<br />
Tomamos los primeros dos términos<br />
<br />
$n=C_1+\frac{C_2}{\lambda^2}$<br />
<br />
Usaremos el Subíndice A para $\lambda=410.0 nm$ y el subíndice B para $\lambda=550,0 nm$<br />
<br />
Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:<br />
<br />
$n_A=C_1+\frac{C_2}{\lambda_A^2}$<br />
<br />
$n_B=C_1+\frac{C_2}{\lambda_B^2}$<br />
<br />
<br />
Despejamos $C_1$ de la primera y $C_2$ de la segunda:<br />
<br />
$n_A- \frac{C_2}{\lambda_A^2}=C_1$<br />
<br />
$n_B \lambda_B^2-C_1 \lambda_B^2=C_2$<br />
<br />
<br />
Sustituimos $C_1$ en la segunda expresión:<br />
<br />
$n_B \lambda_B^2- \left(n_A- \frac{C_2}{\lambda_A^2}\right) \lambda_B^2 = C_2$<br />
<br />
<br />
Para despejar $C_2$:<br />
<br />
$n_B \lambda_B^2- n_ A \lambda_A^2 = C_2 \left( 1- \frac{ \lambda_B^2 }{ \lambda_A^2 } \right)$<br />
<br />
$n_B \lambda_B^2- n_ A \lambda_A^2 \left( 1- \frac{ \lambda_B^2 }{ \lambda_A^2 } \right)^{-1} = C_2$<br />
<br />
<br />
Al sustituir los valores encontramos que $ C_2 = 0.02617 \mu m^2 $<br />
<br />
Sustituyendo este valor para encontrar $C_1$:<br />
<br />
$n_A- \frac{0.02617 \mu m^2}{\lambda_A^2}=C_1$<br />
<br />
$C_1 = 1.401$<br />
<br />
<br />
Para determinar el valor del índice de refracción del cuarzo cuando $\lambda = 610 nm$, sustituimos los valores de $C_1$ y $C_2$ en la ecuación de Cauchy <br />
<br />
$n(610 \times 10^{-9} nm) =1.401+ \frac{0.02617 \times 10^{-12}}{(610 \times 10^{-9})^2 }$<br />
<br />
$n(610 \times 10^{-9} nm) = 1.471$<br />
<br />
[[Usuario:Aurea Espin|Aurea Espin]] ([[Usuario discusión:Aurea Espin|discusión]]) 20:05 28 oct 2018 (CDT)</div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Optica:_Capitulo3-problemas&diff=22618
Optica: Capitulo3-problemas
2018-10-28T04:15:08Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: /* Ejercicio 3.15 */</p>
<hr />
<div>Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 3,<br />
con el siguiente formato:<br />
<br />
<br />
===Ejercicio 3.13 (Hecht, Optics 4 ed)===<br />
<br />
'''''Pruebe que la irradiancia de una onda electromagnética armónica está dada por:<br />
<math> I=\frac{1}{2c\mu _{0}} E_{0}^{2} </math><br />
y determinar el promedio de la energía por unidad de área transportada por una onda plana de amplitud 15.0 V/m. '''''<br />
<br />
: '''''Solución''''':<br />
Consideremos la onda armónica plana:<br />
<math>\vec{E}\left(\vec{r},t\right)= E_{0}\cos\left(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t + \delta\right)\hat{n}</math><br />
<br />
Dado este campo eléctrico, podemos obtener el campo magnético recurriendo a las ecuaciones de Maxwell, éste resulta ser:<br />
<math>\vec{B}\left(\vec{r},t\right)= \frac{1}{c} E_{0}\cos\left(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+ \delta\right)(\hat{k}\times\hat{n})</math><br />
<br />
A continuación, determinamos el vector de Poynting:<br />
<br />
<math>\vec{S} \equiv \frac{1}{\mu_{0}}\left(\vec{E}\times \vec{B}\right)= \frac{1}{\mu_{0}}c E_{0}^{2}\cos^{2}\left(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+ \delta\right)\hat{k} </math><br />
<br />
ya que, <math>\hat{n}\times\left(\hat{K}\times\hat{n}\right)=\hat{k}(\hat{n}\cdot\hat{n})-\hat{n}(\hat{n}\cdot\hat{k})=\hat{k}</math><br />
<br />
Así, por definición:<br />
<br />
<math>I \equiv \langle S \rangle =\frac{E_{0}^{2}}{\mu_{0}c}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\cos^{2}\left(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+\delta\right)</math><br />
siendo T el periodo alrededor de un ciclo completo.<br />
<br />
Además, <math>\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\cos^{2}\left(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+\delta\right)=1/2 </math>.....(1)<br />
<br />
Pues, <math>\omega\equiv \frac{2\pi}{T}</math> y ya que, el promedio temporal en un intervalo de longitud T de <math>\cos^{2}\left(x\right)</math> y <math>\sin^{2}\left(x\right)</math> es el mismo, podemos usar la fórmula pitagórica de las funciones trigonométricas para concluir la ecuación (2).<br />
Por lo tanto:<br />
<math>I=\frac{1}{2c\mu_{0}}E_{0}^{2}</math>......(2)<br />
<br />
Finalmente, basta considerar la irrandiancia por segundo y sustituir la amplitud en la expresión (2).<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Diego de la Cruz López]] <br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[categoría:Optica]]<br />
[[categoría:Cursos]]<br />
<br />
===Ejercicio 3.6===<br />
----<br />
'''''El campo eléctrico de una onda electromagnética que viaja en la dirección x positiva ,está dada por:<br />
<math>\overrightarrow { E } ={ E }_{ 0 }sin\frac { \pi z }{ { z }_{ 0 } } cos\left( kx-\varpi t \right) \overrightarrow { j } </math>'''''<br />
'''''a) Describe verbalmente el campo,b)Determine una expresión para k.<br />
(c) Encuentra la velocidad de fase de la onda.'''''<br />
: '''''Solución''''':<br />
:Analizando en el origen en z=0, tenemos que , <math>sin\frac { 0 }{ { z }_{ 0 } } =0</math> , entonces el campo eléctrico es:<br />
:<math>\overrightarrow { E } =0\overrightarrow { j } </math><br />
:Otro punto donde se anula el campo eléctrico es en <math>z={ z }_{ 0 }</math>, entonces el campo tiene la forma :<br />
:<math>\overrightarrow { E } ={ E }_{ 0 }sin\frac { \pi { z }_{ 0 } }{ { z }_{ 0 } } cos\left( kx-\varpi t \right) \overrightarrow { j } </math><br />
:Notemos que el <math>sin\pi =0</math>, implica:<br />
:<math>\overrightarrow { E } =0</math><br />
:Es decir, el campo eléctrico esta polarizado linealmente en la dirección <math>y</math> y varia sinusoidal desde cero en z=0 hasta cero en <math>z={ z }_{ 0 }</math><br />
:<br />
:b) Usando la ecuación de onda tenemos:<br />
:<math>\frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial { x }^{ 2 } } +\frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial { y }^{ 2 } } +\frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial { z }^{ 2 } } -\frac { 1 }{ { c }^{ 2 } } \frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial { t }^{ 2 } } =0.........(1)</math> <br />
:Podemos evaluar la expresión para <math>k</math> , al diferenciar la siguiente ecuación 2 veces:<br />
<math>{ E }_{ y }={ E }_{ 0 }sin\frac { \pi { z } }{ { z }_{ 0 } } cos\left( kx-\varpi t \right) </math><br />
:Haciendo las derivadas:<br />
:<math>\frac { \partial { E }_{ y } }{ \partial x } =\frac { \partial }{ \partial x } \left( { E }_{ y }={ E }_{ 0 }sin\frac { \pi { z } }{ { z }_{ 0 } } cos\left( kx-\varpi t \right) \right) </math><br />
:<math>=-k{ E }_{ o }sin\frac { \pi z }{ { z }_{ 0 } } sin(kx-\varpi t)</math><br />
:La segunda derivada es:<br />
:<math>\frac { \partial { E }_{ y } }{ \partial { x }^{ 2 } } =-{ k }^{ 2 }sin\frac { \pi z }{ { z }_{ 0 } } cos(kx-\varpi t)........(2)</math><br />
:Similar, para las segundas parciales con respecto a <math>y</math> y <math>z</math> , tenemos:<br />
:<math>\frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial y^{ 2 } } =0........(3)</math><br />
:<math>\frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial z^{ 2 } } =\frac { -{ \pi }^{ 2 } }{ { z }_{ 0 }^{ 2 } } { E }_{ 0 }sin\frac { \pi z }{ { z }_{ 0 } } cos(kx-\varpi t)........(4)</math><br />
:<math>\frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial t^{ 2 } } =-{ \varpi }^{ 2 }{ E }_{ 0 }sin\frac { \pi z }{ { z }_{ 0 } } cos(kx-\varpi t)........(5)</math><br />
:Sustituyendo la ecuación (2), (3), (4) y (5) en la ecuación (1), obtenemos:<br />
:<math>(-{ k }^{ 2 }-\frac { { \pi }^{ 2 } }{ { z }_{ 0 }^{ 2 } } +\frac { { \varpi }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } ){ E }_{ 0 }sin\frac { \pi z }{ { z }_{ 0 } } cos(kx-\varpi t)=0</math><br />
:Como esto es verdadero para toda x,z y t, cada término debe ser igual a cero, es decir:<br />
:<math>(-{ k }^{ 2 }-\frac { { \pi }^{ 2 } }{ { z }_{ 0 }^{ 2 } } +\frac { { \varpi }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } )=0</math><br />
:Despejando:<br />
:<math>-\frac { { \pi }^{ 2 } }{ { z }_{ 0 }^{ 2 } } +\frac { { \varpi }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } ={ k }^{ 2 }</math><br />
:<math>{ k={ \left( -\frac { { \pi }^{ 2 } }{ { z }_{ 0 }^{ 2 } } +\frac { { \varpi }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }</math><br />
:De la expresión anterior factorizamos un <math>\frac { { \varpi }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } </math>, resulta:<br />
:<math>{ k={ \left( \left( \frac { { \varpi }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } \right) \left( 1-\frac { { \pi }^{ 2 }{ c }^{ 2 } }{ { \varpi }^{ 2 }{ z }_{ 0 }^{ 2 } } \right) \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }</math><br />
:Finalmente la expresión para <math>k</math> es:<br />
:<math>{ k=\frac { { \varpi } }{ { c } } \sqrt { 1-\frac { { \pi }^{ 2 }{ c }^{ 2 } }{ { \varpi }^{ 2 }{ z }_{ 0 }^{ 2 } } } }</math><br />
:<br />
:(c) La velocidad de fase de la onda será <math>\nu =\frac { \varpi }{ k } </math><br />
:Simplificando tenemos:<br />
:<math>\nu { =\frac { { c } }{ { \sqrt { 1-\frac { { \pi }^{ 2 }{ c }^{ 2 } }{ { \varpi }^{ 2 }{ z }_{ 0 }^{ 2 } } } } } }</math><br />
:--[[Usuario:Luis Chávez|Luis Manuel Chávez antonio]]<br />
<br />
----<br />
<br />
===Ejercicio 3.62===<br />
----<br />
<br />
<br />
'''Demuestre que la ecuacion (3.70) puede volverse a escribir como:<br />
<br />
<br />
<math>(n^{2}-1)^{-1}=-C\lambda ^{-2}+C\lambda _{0}^{-2}</math><br />
<br />
<br />
donde <math>C=4\pi ^{2}c^{2}\epsilon _{0}m_{e}/Nq_{e}^{2}</math>'''<br />
<br />
<br />
: '''''Solución''''':<br />
<br />
<br />
Ecuación de dispersión:<br />
<br />
<math>n^{2}(\omega )=1+\frac{Nq_{e}^{2}}{\epsilon _{0}m_{e}}\left ( \frac{1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}} \right )</math>..........(3.70)<br />
<br />
<br />
La ecuación dada es :<br />
<br />
<br />
<math>(n^{2}-1)^{-1}=-C\lambda ^{-2}+C\lambda _{0}^{-2}</math><br />
<br />
<br />
sustituimos el valor <math>C=4\pi ^{2}c^{2}\epsilon _{0}m_{e}/Nq_{e}^{2}</math> en la ecuación dada:<br />
<br />
<br />
<math>(n^{2}-1)^{-1}=-\left ( \frac{4\pi ^{2}c^{2}\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}} \right )\lambda ^{-2}+ \left ( \frac{4\pi ^{2}c^{2}\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}} \right )\lambda _{0}^{-2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>(n^{2}-1)^{-1}=-\left ( \frac{4\pi ^{2}c^{2}}{\lambda ^{2}} \right )\left (\frac{\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}} \right )+\left ( \frac{4\pi ^{2}c^{2}}{\lambda _{0}^{2}} \right )\left (\frac{\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}} \right )</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>(n^{2}-1)^{-1}=-\left ( \frac{2\pi c}{\lambda} \right )^{2}\left (\frac{\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}} \right )+\left ( \frac{2\pi c}{\lambda _{0}} \right )^{2}\left (\frac{\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}} \right )<br />
</math><br />
<br />
<br />
<br />
Como <math>\left ( \frac{2\pi c}{\lambda} =\omega \right )</math> y <math>\left ( \frac{2\pi c}{\lambda _{0}}=\omega _{0} \right )</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>(n^{2}-1)^{-1}=\frac{\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}}\left [ \omega _{0}^{2} -\omega ^{2}\right ]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\frac{1}{(n^{2}-1)}=\frac{\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}}\left [ \omega _{0}^{2} -\omega ^{2}\right ]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>(n^{2}-1)=\frac{Nq_{e}^{2}}{\epsilon _{0}m_{e}}\left [ \frac{1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}} \right ]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>n^{2}=1+\frac{Nq_{e}^{2}}{\epsilon _{0}m_{e}}\left [ \frac{1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}} \right ]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>n^{2}(\omega )=1+\frac{Nq_{e}^{2}}{\epsilon _{0}m_{e}}\left ( \frac{1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}} \right )</math><br />
<br />
<br />
Esta es la ecuación de dispersión<br />
<br />
<br />
<br />
Por lo tanto:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>n^{2}(\omega )=1+\frac{Nq_{e}^{2}}{\epsilon _{0}m_{e}}\left ( \frac{1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}} \right )</math><br />
<br />
<br />
<br />
se puede reescribir como:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>(n^{2}-1)^{-1}=-C\lambda ^{-2}+C\lambda _{0}^{-2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Enrique Ortiz Martinez|Enrique Ortiz Martinez]]<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
=== Problema 3.4 ===<br />
<br />
Imagine una onda electromagnética con su campo '''E''' en la dirección del eje x. Demuestre que la ecuación <br />
:<math>∂E/∂x=-∂B/∂t</math><br />
:aplicada a las ondas armónicas:<br />
:<math>'''E'''='''E0'''cos(kx-wt)</math> y <math>'''B'''='''B0'''cos(kx-wt)</math><br />
:lleva a la conclusión de que:<br />
:<math>E0=cB0</math><br />
:<br />
:'''Solusión:'''<br />
:<br />
:Derivando las dos ecuación parcialmente, se tiene que:<br />
:<math>∂E/∂x=-E0k sin〖(kx-wt)〗</math> <math>∂B/∂t=B0w sin〖(kx-wt)〗</math><br />
:Al igualar hacer uso de la relación entre las derivadas parciales, vemos que:<br />
:<math>∂E/∂x=-E0k sin〖(kx-wt)〗=-∂B/∂t=-B0w sin〖(kx-wt)〗</math><br />
:Lo que implica que:<br />
:<math>E0k=B0w </math><br />
:<math>E0=k/wB0</math><br />
:Pero se sabe que <math>c=k/w</math>. Entonces<br />
:<math>E0=cB0</math><br />
<br />
--[[Usuario:Onáfeder|Fernando Valencia Hernández]]<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
=== Problema 3.66 ===<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''En 1871 Sellmeier derivo la ecuación:''' <br />
<br />
<br />
<math>{ n }^{ 2 }=1+\sum _{ j }{ \frac { { A }_{ j }{ \lambda }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 }-{ { \lambda } }_{ 0j }^{ 2 } } } </math><br />
<br />
<br />
'''Donde la <math>{ A }_{ j }</math> son términos constantes y cada <math>{ \lambda } _{ 0j }</math> es la onda de longitud al vació asociada con una frecuencia natural <math>{ \nu }_{ 0j }</math> ,tal como <math>{ \lambda }_{ 0j }{ \nu }_{ 0j }=c</math>. Esta formulación es una mejora considerablemente practica sobre la ecuación de Cauchy. Muestra que donde <math>\lambda >>{ \lambda }_{ 0j }</math> la ecuación de Cauchy es una aproximación a la de Sellmeier .'''<br />
<br />
<br />
'''Pista: Escribe la expresión de arriba solo con el primer termino en la suma ; expandelo por el teorema binomial ; toma la raíz cuadrada de <math>{ n }^{ 2 }</math> y expandela otra vez.<br />
'''<br />
<br />
<br />
'''Solución:'''<br />
<br />
<br />
La ecuacion de Sellmeier dada por: <br />
<br />
<br />
<math>{ n }^{ 2 }=1+\sum _{ j }{ \frac { { A }_{ j }{ \lambda }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 }-{ { \lambda } }_{ 0j }^{ 2 } } } </math><br />
<br />
donde <math>{ A }_{ j }</math> es una constante y <math>{ \lambda } _{ 0j }</math> es la onda de longitud al vació asociada con una frecuencia natural <math>{ \nu }_{ 0j }</math><br />
<br />
<math>\therefore </math> Consideramos solo el primer termino de la sumatoria <br />
<br />
<math>{ n }^{ 2 }=1+\frac { { A }_{ 1 }{ \lambda }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 }-{ { \lambda } }_{ 01 }^{ 2 } } </math><br />
<br />
<br />
<math>{ n }^{ 2 }=1+{ A }_{ 1 }\frac { { \lambda }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 }(1-\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ) } </math><br />
<br />
<br />
<math>{ n }^{ 2 }=1+{ A }_{ 1 }\frac { 1 }{ (1-\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ) }</math><br />
<br />
<br />
<math>{ n }^{ 2 }=1+{ A }_{ 1 }{ (1-\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ) }^{ -1 }</math><br />
<br />
<br />
Conocemos la expansión binomial de:<br />
<br />
<br />
<math>{ (1-x) }^{ -1 }=1+x+{ x }^{ 2 }+{ x }^{ 3 }+......</math><br />
<br />
<math>\therefore \quad \quad { n }^{ 2 }=1+{ A }_{ 1 }\{ 1+(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } )+{ (\frac { { \lambda }_{ 01 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ) }^{ 2 }+{ (\frac { { \lambda }_{ 01 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ) }^{ 3 }+.....\} </math> donde <math>x=\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } </math><br />
<br />
por lo tanto se ignoran los términos de orden superior por que sabemos que <math>\lambda >>{ \lambda }_{ 0j }</math> entonces tenemos:<br />
<br />
<math>{ n }^{ 2 }=1+{ A }_{ 1 }[1+(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } )]</math> despejando a <math>n</math> vemos que:<br />
<br />
<math>n={ [1+{ A }_{ 1 }(1+(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ))] }^{ \frac { 1 }{ 2 } }</math><br />
<br />
<math>n={ [1+{ (A }_{ 1 }+{ A }_{ 1 }(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ))] }^{ \frac { 1 }{ 2 } }<br />
</math>................(1)<br />
<br />
<br />
Nosotros sabemos que la expansión binomial esta dada por: <br />
<br />
<br />
<math>{ (1+x) }^{ n }=1+\frac { n }{ 1! } x+\frac { n(n-1) }{ 2! } { x }^{ 2 }+.........</math> realizando la expansión con la ecuación (1) tenemos:<br />
<br />
<math>n=1+\frac { 1 }{ 2 } [{ A }_{ 1 }+{ A }_{ 1 }(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } )]+\frac { \frac { 1 }{ 2 } (\frac { 1 }{ 2 } -1) }{ 2! } { [{ A }_{ 1 }+{ A }_{ 1 }(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } )] }^{ 2 }+.........</math> desarrollando esta expansión tenemos:<br />
<br />
<math>n=1+\frac { 1 }{ 2 } { A }_{ 1 }+\frac { 1 }{ 2 } { A }_{ 1 }(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } )+\frac { \frac { 1 }{ 2 } (-\frac { 1 }{ 2 } ) }{ 2 } { [{ { A }_{ 1 } }^{ 2 }+{ { A }_{ 1 } }^{ 2 }(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 4 } }{ { \lambda }^{ 4 } } )+2{ A }_{ 1 }({ A }_{ 1 }\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } )] }+.........</math><br />
<br />
<math>n=1+\frac { { A }_{ 1 } }{ 2 } +\frac { { A }_{ 1 } }{ 2 } { \lambda }_{ 01 }^{ 2 }(\frac { 1 }{ { \lambda }^{ 2 } } )-\frac { 1 }{ 8 } { { { A }_{ 1 } }^{ 2 }-\frac { 1 }{ 8 } { { A }_{ 1 } }^{ 2 }(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 4 } }{ { \lambda }^{ 4 } } )-\frac { { { A }_{ 1 } }^{ 2 } }{ 4 } (\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ) }+.........</math><br />
<br />
<br />
Reordenaremos la ecuación en términos lineales y orden superior:<br />
<br />
<br />
<math>n=(1+\frac { { A }_{ 1 } }{ 2 } -\frac { { { A }_{ 1 } }^{ 2 } }{ 8 } ...........)+\frac { { A }_{ 1 } }{ 2 } { \lambda }_{ 01 }^{ 2 }(\frac { 1 }{ { \lambda }^{ 2 } } )-\frac { 1 }{ 4 } { { A }_{ 1 } }^{ 2 }{ \lambda }_{ 01 }^{ 2 }(\frac { 1 }{ { \lambda }^{ 2 } } )-\frac { 1 }{ 8 } { { A }_{ 1 } }^{ 2 }{ \lambda }_{ 01 }^{ 4 }(\frac { 1 }{ { \lambda }^{ 4 } } )+........</math><br />
<br />
Ya que <math>{ A }_{ 1 }</math> y <math>{ \lambda }_{ 01 }</math> son constantes , así que, tomaremos a los términos lineales como otra constante <br />
<br />
<math>{ C }_{ 1 }=1+\frac { { A }_{ 1 } }{ 2 } -\frac { { { A }_{ 1 } }^{ 2 } }{ 8 } ...........</math><br />
<br />
<br />
A los términos cuadráticos la renombraremos por otra constante:<br />
<br />
<math>{ C }_{ 2 }=\frac { { A }_{ 1 }{ \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ 2 } -\frac { 1 }{ 4 } { { A }_{ 1 } }^{ 2 }{ \lambda }_{ 01 }^{ 2 }...........</math><br />
<br />
Y de igual forma a los de orden superior :<br />
<br />
<math>{ C }_{ 3 }=-(\frac { 1 }{ 8 } { { A }_{ 1 } }^{ 2 }{ \lambda }_{ 01 }^{ 4 })...........</math><br />
<br />
Por lo anterior podemos ver que <math>n</math> lo podemos reescribir como:<br />
<br />
<math>n={ C }_{ 1 }+{ C }_{ 2 }(\frac { 1 }{ { \lambda }^{ 2 } } )+{ C }_{ 3 }(\frac { 1 }{ { \lambda }^{ 4 } } )+......</math><br />
<br />
<math>\therefore </math> Esto es la ecuación de Cauchy esto quiere decir que la ecuación de Cauchy es una aproximación a la de Sellmeier.<br />
<br />
--[[Usuario:Ruben Espinosa|Ruben Espinosa Guzmán ]]<br />
<br />
<br />
----<br />
===Ejercicio 3.21===<br />
----<br />
La siguiente es la expresión para el campo $\vec{\bf E}$ de una onda electromagnética que se desplaza en un dieléctrico homogéneo:<br />
: $\vec{\bf E}=\left(-100 V/m\right) e^{i(kz-\omega t)}\hat{\bf e}_x$<br />
<br />
:En este caso, $\omega=1.80 \times 10^{15} rad/s$ y $k=1.20 \times 10^7 rad/m$<br />
:(a) Determine el campo $\vec{\bf B}$ asociado. (b) Calcule el índice de refracción. (c) Calcule la permitividad. (d) Encuentre la irradiancia.<br />
<br />
: '''''Solución:''''' <br />
:(a) $\vec{\bf B}$ está en la dirección $\hat{\bf e}_y$, dado que la onda se desplaza en la dirección $\vec{\bf E} \times \vec{\bf B}$ y que apunta en la dirección $\hat{\bf e}_z$<br />
:La velocidad es $v=\omega/k$:<br />
:$v=\frac{1.80 \times 10^{15} rad/s}{1.20 \times 10^7 rad/m}=1.5 \times 10^8 m/s$<br />
:$E_0=vB_0=\left(1.5 \times 10^8 m/s\right)B_0$<br />
:$B_0=\frac{-100 V/m}{1.5 \times 10^8 m/s}=-6.7 \times 10^{-8} T$<br />
: $\vec{\bf B}=\left(-6.7 \times 10^{-8} T\right) e^{i(kz-\omega t)}\hat{\bf e}_y$<br />
:(b) $n=\frac{c}{v}=\frac{2.99\times 10^8 m/s}{1.5 \times 10^8 m/s}$<br />
:$n=1.993$<br />
:(c) $n=\sqrt{K_E}$<br />
:$n^2=K_E$<br />
:$K_E=3.973$<br />
:$\epsilon=\epsilon_0 K_E$<br />
:$\epsilon=(8.8542 \times 10^{-12} \frac{C^2}{N m^2})3.973$<br />
:$\epsilon=(3.5181 \times 10^{-11} \frac{C^2}{N m^2})$<br />
:(d) $I=\frac{\epsilon v}{2}E_0^2$<br />
:$I=\frac{1}{2}\left(3.5181 \times 10^{-11} \frac{C^2}{N m^2}\right)\left(1.5 \times 10^8 m/s\right)\left(-100 V/m\right)$<br />
:$I=26.38575\frac{W}{m^2}$<br />
--[[Usuario:sesebasi|Sergio]]<br />
<br />
----<br />
===Problema 3.57===<br />
----<br />
Muestre que para sustancias de baja densidad, como los gases, que tienen una sola frecuencia de resonancia <math>{ \omega }_{ 0 }</math>, el índice de refracción viene dado por:<br />
<math>n\approx 1+\frac { N{ q }_{ e }^{ 2 } }{ 2{ \epsilon }_{ 0 }{ m }_{ e }({ \omega }_{ 0 }^{ 2 }-{ \omega }^{ 2 }) }</math><br />
<br />
: '''''Solución''''':<br />
De la ecuación de dispersión:<br />
<math>{ n }^{ 2 }(\omega )=1+\frac { N{ q }_{ e }^{ 2 } }{ { \epsilon }_{ 0 }{ m }_{ e } } \left( \frac { 1 }{ { \omega }_{ 0 }^{ 2 }-{ \omega }^{ 2 } } \right) </math><br />
<br />
Donde:<br />
<br />
<math>{ \omega }_{ 0 }</math>= Frecuencia de resonancia<br />
<br />
<math>{ \omega }</math>= Frecuencia<br />
<br />
<math>N</math>= Numero de electrones<br />
<br />
<math>{ q }_{ e }</math>= Carga del electrón<br />
<br />
<math>{ m }_{ e }</math>= Masa del electrón<br />
<br />
<math>{ \epsilon }_{ 0 }</math>= Permitividad del espacio libre<br />
<br />
<math>n</math>= Indice de refracción<br />
<br />
Para una sola frecuencia de resonancia, tenemos:<br />
<math>n={ \left[ 1+\frac { N{ q }_{ e }^{ 2 } }{ { \epsilon }_{ 0 }{ m }_{ e } } \left( \frac { 1 }{ { \omega }_{ 0 }^{ 2 }-{ \omega }^{ 2 } } \right) \right] }^{ 1/2 }</math><br />
<br />
Ya que para materiales de baja densidad <math>n\approx 1</math><br />
Por lo tanto el segundo termino de la Ec. <math>\left( 1 \right) </math> es <math>\ll 1</math><br />
Y solo se tendra que conservar los dos primeros terminos de la expansión binomial de <math>n</math><br />
<br />
Así mediante el uso de la expansión binomial:<br />
<math>{ \left( 1+x \right) }^{ 1/2 }=1+\frac { 1 }{ 2 } x+\frac { \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { 1 }{ 2 } -1 \right) }{ 2! } { x }^{ 2 }</math><br />
<br />
Despreciando terminos de orden superior, tenemos:<br />
<math>{ \left( 1+x \right) }^{ 1/2 }=1+\frac { 1 }{ 2 } x</math><br />
<br />
Comparando la Ec. <math>\left( 1 \right) </math> con <math>{ \left( 1+x \right) }^{ 1/2 }</math>, obtenemos:<br />
<math>x=\frac { N{ q }_{ e }^{ 2 } }{ { \epsilon }_{ 0 }{ m }_{ e } } \left( \frac { 1 }{ { \omega }_{ 0 }^{ 2 }-{ \omega }^{ 2 } } \right) </math><br />
<br />
Asi: <math>n=1+\frac { 1 }{ 2 } \frac { N{ q }_{ e }^{ 2 } }{ { \epsilon }_{ 0 }{ m }_{ e } } \left( \frac { 1 }{ { \omega }_{ 0 }^{ 2 }-{ \omega }^{ 2 } } \right) </math> ya que partir de la Ec. <math>\left( 2 \right) </math><br />
<br />
<math>n\approx 1+\frac { N{ q }_{ e }^{ 2 } }{ 2{ \epsilon }_{ 0 }{ m }_{ e }({ \omega }_{ 0 }^{ 2 }-{ \omega }^{ 2 }) } </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Gutierrez|Luis Gutiérrez Melgarejo ]]<br />
<br />
<br />
----<br />
===Problema 3.16===<br />
----<br />
<br />
Demostrar que una formulación más general del problema anterior produce:<br />
<br />
<br />
<math>{ \left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> }_{ T }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ 1+senc\omega Tcos2\omega T \right] </math><br />
<br />
Para cualquier intervalo T<br />
<br />
solución:<br />
<br />
el promedio de tiempo de una función viene dado por la sig. ecuación integral:<br />
<br />
<br />
<math>{ \left< f(t) \right> }_{ T }=\frac { 1 }{ T } \int _{ t }^{ t+T }{ f({ t }^{ , }){ dt }^{ \quad , } } </math><br />
<br />
aquí <math>f(t)</math> esta la función cuyo promedio de tiempo que se desea calcular, T es el periodo de de la función armónica y t una variable ficticia.<br />
<br />
sustituyendo <math>{ cos }^{ 2 }\omega t</math> de <math>f(t)</math><br />
<br />
<math>{ \left< { cos }^{ 2 }\omega t \right> }_{ T }=\frac { 1 }{ T } \int _{ t }^{ t+T }{ { cos }^{ 2 }(\omega { t }^{ \quad , }){ dt }^{ \quad , } } </math><br />
<br />
usamos la siguiente relación del lado derecho:<br />
<br />
<math>{ cos }^{ 2 }(\omega t)=\quad \frac { 1+cos(2\omega { t }^{ \quad , }) }{ 2 } </math><br />
<br />
eso da:<br />
<br />
<math>\left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> =\frac { 1 }{ T } \quad \int _{ t }^{ t+T }{ \left[ \frac { 1+cos(2\omega { t }^{ \quad , }) }{ 2 } \right] } </math><br />
<br />
<math>\left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> =\frac { 1 }{ 2T } \quad \{ \int _{ t }^{ t+T }{ d{ t }^{ , }+\int _{ t }^{ t+T }{ \left[ cos(2\omega { t }^{ , }d{ t }^{ , } \right] \} } } </math><br />
<br />
<math>\left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> =\frac { 1 }{ 2T } \quad \left[ { t }^{ , }+\left[ \frac { \left[ sen(2\omega { t }^{ , } \right] }{ 2\omega } \right] \right] </math><br />
<br />
<math>\left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> =\frac { 1 }{ 2T } \quad \left[ \left[ t+T \right] -t \right] +\frac { 1 }{ 2\omega } \left[ sen(2\omega (t+T)-sen2\omega t \right] </math><br />
<br />
la ecuación anterior da:<br />
<br />
<math>\left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> =\frac { 1 }{ 2T } [T+\frac { 1 }{ 2\omega } \left[ sen(2\omega t+2\omega T)-sen2\omega t \right] </math><br />
<br />
se escribe <math>2\omega T</math> como la suma en el segundo termino <math>\omega T</math> también en el tercer termino y queda:<br />
<br />
<math>\frac { 1 }{ 2T } \left[ T+\frac { 1 }{ 2\omega } \left\{ sen(2\omega t+\omega T+\omega T)\\ -sen(2\omega t+\omega T-\omega T) \right\} \right] ec(1)</math><br />
<br />
recordando la relación trigonométrica general:<br />
<br />
<math>sen(\alpha +\beta )-sen(\alpha -\beta )=2(cos\alpha )(sen\beta )</math><br />
<br />
sustituyendo<math>2\omega t+\omega T\quad por\quad \alpha \quad y\quad \omega T\quad para\quad \beta </math><br />
<br />
<math>sen(2\omega t+\omega T+\omega T)-sen(2\omega t+\omega T-\omega T)=2cos(2\omega t+\omega T)sen(\omega T)</math><br />
<br />
usando esto en la ec(1)<br />
<br />
<math>\frac { 1 }{ 2 } \left[ 1+\frac { 1 }{ \omega T } \left\{ cos(2\omega t+\omega T)sen(\omega T) \right\} \right] </math><br />
<br />
<math>\frac { 1 }{ 2 } \left[ 1+\frac { sen\omega T }{ \omega T } \left\{ cos(2\omega t+\omega T) \right\} \right] </math><br />
<br />
usando el termino <math>\frac { 2\pi }{ T } \quad para\quad \omega </math> para el ultimo parentesis...<br />
<br />
<math>\frac { 1 }{ 2 } \left[ 1+\frac { sen\omega T }{ \omega T } \left\{ cos(2\omega t+\left( \frac { 2\pi }{ T } \right) T) \right\} \right] </math>=<math>\frac { 1 }{ 2 } \left[ 1+\frac { sen\omega T }{ \omega T } \left\{ cos(2\omega t+\left( 2\pi \right) ) \right\} \right] </math><br />
<br />
ahora usamos la expresion general:<br />
<br />
<math>\frac { senx }{ x } =sencx</math><br />
<br />
y esto da:<br />
<br />
<math>{ \left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> }_{ T }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ 1+senc\omega Tcos2\omega T \right] </math><br />
<br />
--[[Usuario:salvadormorales|Salvador Alejandro Morales Carranza ]]<br />
<br />
----<br />
===Problema 3.35===<br />
----<br />
<br />
Una antena parabólica de radar con $2m$ de diámetro trasmite $200 KW$ pulsos de energía. Si la tasa de repetición son $500$ pulsos por segundo, cada uno durando $2 \mu s$. Determinar el promedio de la fuerza de reacción sobre la antena.<br />
<br />
-- Solución --<br />
La fuerza se puede calcular mediante la definición de presión: <br />
<br />
$F= PA$<br />
:A--> Area de la antena<br />
:Con F la fuerza promediada sobre la antena y P la presión promediada. En este caso la presión por radiación ejerce una fuerza de reacción sobre la antena, entonces: <br />
$\langle{P}\rangle= \langle{S}\rangle/ c$<br />
<br />
:Con $\langle{S}\rangle$ el promedio en la energía radiada por la antena:<br />
<br />
:$\langle{S}\rangle= Energía/(tiempo)(área)$<br />
:$\langle{S}\rangle= (2 \times 10^5 W)(500 \times 2 \times 10^-{6})/A$<br />
:Entonces $\langle{P}\rangle$ es:<br />
$\langle{P}\rangle= \langle{S}\rangle/c= 6.66 \times 10^{-7}/A [Joules/metro]$<br />
:Por lo tanto, $F=PA= \langle{P}\rangle A= 6.66 \times 10^{-7} [Joules/Metro]= 6.66 \times 10^{-7} [Newtons]$<br />
--[[Usuario:Peddro J. Julian|Pedro Jesús Julián Salgado]]<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
===Problema 3.33===<br />
----<br />
'''Un haz de luz con una irradiancia de 2.00 x 10^6 W / m2 incide normalmente en una superficie que refleja 70.0% y absorbe 30.0%. Calcule la presión de radiación resultante en la superficie. '''<br />
<br />
: '''''Solución''''':<br />
EL componente reflejado tiene un cambio de impulso, y por lo tanto una presión, de dos veces el impulso incidente.<br />
<br />
Entonces:<br />
<br />
:$P(reflejado)= 2(70 $%$) \frac{I}{c}$<br />
<br />
Mientras para el absorbido<br />
<br />
:$P(absorbido)= 2(30 $%$) \frac{I}{c}$<br />
<br />
Realizando los calculos <br />
<br />
:$P_r=2(70 \%)\frac{2x10^6 W/m^2}{3x10^8 m/s} =0.93x10^{-2} N/m^2$<br />
<br />
:$P_a=2(30 \%)\frac{2x10^6 W/m^2}{3x10^8 m/s} =0.20x10^{-2} N/m^2$<br />
<br />
Por lo tanto <br />
<br />
:$P=P_{r} + P_{a} = 1.13x10^{-2}N/m^2$<br />
--[[Usuario:Flor|Flor Vivar]]<br />
<br />
----<br />
=== Ejercicio 3.15 ===<br />
El promedio temporal de una función $f(t)$ calculado sobre un intervalo $T$ está dado por<br />
<br />
$ \dfrac{1}{T} \int_t^{t+T} f(t') dt'$<br />
<br />
donde $t'$ es una variable muda. Si $\tau = 2 \pi / \omega$ es el periodo de una función armónica, muestre que<br />
<br />
$<sin^2(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t)> = \dfrac{1}{2}$ , <br />
$<cos^2(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t)> = \dfrac{1}{2}$ , <br />
$<sin(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t) cos(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t)> = 0$<br />
<br />
cuando $T = \tau$ y cuando $T >> \tau$.<br />
<br />
'''Solución:'''<br />
Haremos un cambio de variable donde $x = \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t$ y por ello $dx = - \omega dt \Rightarrow dt = -dx / \omega$. Ahora tenemos las siguientes identidades trigonométricas<br />
<br />
$sin^2(x) = \dfrac{1}{2} \left[1 - cos(2 x)\right]$<br />
<br />
$cos^2(x) = \dfrac{1}{2} \left[1 + cos(2 x)\right]$<br />
<br />
Como debemos integrar estas funciones, haremos lo siguiente:<br />
<br />
$I_{\pm} = -\dfrac{1}{2\omega T} \int_a^b \left[1 \pm cos(2 x)\right] dx$<br />
<br />
donde $a$ y $b$ son los límites de integración, entonces<br />
<br />
$I_{\pm} = -\dfrac{1}{2\omega T} \left[x \pm \dfrac{1}{2} sen(2 x)\right]_a^b$<br />
<br />
Consideremos los dos casos, cuando $T = \tau$ y cuando $T >> \tau$.<br />
<br />
: $T = \tau = 2 \pi / \omega$<br />
<br />
Entonces<br />
<br />
$I_{\pm} = - \dfrac{1}{2 \omega} \dfrac{\omega}{2 \pi} \left[x \pm \dfrac{1}{2} sen(2 x)\right]_a^b$<br />
<br />
con $a = \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t$ y $b=\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega (t+2\pi/\omega)$<br />
<br />
$I_{\pm} = - \dfrac{1}{4 \pi} \left\{\left[\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega (t+2\pi/\omega) \pm sin\left(2\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - 2\omega (t+2\pi/\omega)\right)\right] - \left[\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t \pm sin\left(2\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - 2\omega t\right)\right]\right\}$<br />
<br />
de donde notamos que <br />
<br />
$sin\left(2\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - 2\omega (t+2\pi/\omega)\right) = sin\left(2\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - 2\omega t\right)$<br />
<br />
y por ello simplificamos<br />
<br />
$I_{\pm} = - \dfrac{1}{4 \pi} \left\{\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t - 2 \pi \pm sin\left(2\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - 2\omega t\right) - \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} + \omega t \mp sin\left(2\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - 2\omega t\right) \right\} = \dfrac{2 \pi}{4 \pi} = \dfrac{1}{2}$<br />
<br />
Lo cual prueba las primeras dos igualdades.<br />
<br />
: Ahora, si $T >> \tau$<br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 21:37 27 oct 2018 (CDT)<br />
----</div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Optica:_Capitulo3-problemas&diff=22614
Optica: Capitulo3-problemas
2018-10-28T02:37:41Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: </p>
<hr />
<div>Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 3,<br />
con el siguiente formato:<br />
<br />
<br />
===Ejercicio 3.13 (Hecht, Optics 4 ed)===<br />
<br />
'''''Pruebe que la irradiancia de una onda electromagnética armónica está dada por:<br />
<math> I=\frac{1}{2c\mu _{0}} E_{0}^{2} </math><br />
y determinar el promedio de la energía por unidad de área transportada por una onda plana de amplitud 15.0 V/m. '''''<br />
<br />
: '''''Solución''''':<br />
Consideremos la onda armónica plana:<br />
<math>\vec{E}\left(\vec{r},t\right)= E_{0}\cos\left(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t + \delta\right)\hat{n}</math><br />
<br />
Dado este campo eléctrico, podemos obtener el campo magnético recurriendo a las ecuaciones de Maxwell, éste resulta ser:<br />
<math>\vec{B}\left(\vec{r},t\right)= \frac{1}{c} E_{0}\cos\left(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+ \delta\right)(\hat{k}\times\hat{n})</math><br />
<br />
A continuación, determinamos el vector de Poynting:<br />
<br />
<math>\vec{S} \equiv \frac{1}{\mu_{0}}\left(\vec{E}\times \vec{B}\right)= \frac{1}{\mu_{0}}c E_{0}^{2}\cos^{2}\left(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+ \delta\right)\hat{k} </math><br />
<br />
ya que, <math>\hat{n}\times\left(\hat{K}\times\hat{n}\right)=\hat{k}(\hat{n}\cdot\hat{n})-\hat{n}(\hat{n}\cdot\hat{k})=\hat{k}</math><br />
<br />
Así, por definición:<br />
<br />
<math>I \equiv \langle S \rangle =\frac{E_{0}^{2}}{\mu_{0}c}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\cos^{2}\left(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+\delta\right)</math><br />
siendo T el periodo alrededor de un ciclo completo.<br />
<br />
Además, <math>\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\cos^{2}\left(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+\delta\right)=1/2 </math>.....(1)<br />
<br />
Pues, <math>\omega\equiv \frac{2\pi}{T}</math> y ya que, el promedio temporal en un intervalo de longitud T de <math>\cos^{2}\left(x\right)</math> y <math>\sin^{2}\left(x\right)</math> es el mismo, podemos usar la fórmula pitagórica de las funciones trigonométricas para concluir la ecuación (2).<br />
Por lo tanto:<br />
<math>I=\frac{1}{2c\mu_{0}}E_{0}^{2}</math>......(2)<br />
<br />
Finalmente, basta considerar la irrandiancia por segundo y sustituir la amplitud en la expresión (2).<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Diego de la Cruz López]] <br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[categoría:Optica]]<br />
[[categoría:Cursos]]<br />
<br />
===Ejercicio 3.6===<br />
----<br />
'''''El campo eléctrico de una onda electromagnética que viaja en la dirección x positiva ,está dada por:<br />
<math>\overrightarrow { E } ={ E }_{ 0 }sin\frac { \pi z }{ { z }_{ 0 } } cos\left( kx-\varpi t \right) \overrightarrow { j } </math>'''''<br />
'''''a) Describe verbalmente el campo,b)Determine una expresión para k.<br />
(c) Encuentra la velocidad de fase de la onda.'''''<br />
: '''''Solución''''':<br />
:Analizando en el origen en z=0, tenemos que , <math>sin\frac { 0 }{ { z }_{ 0 } } =0</math> , entonces el campo eléctrico es:<br />
:<math>\overrightarrow { E } =0\overrightarrow { j } </math><br />
:Otro punto donde se anula el campo eléctrico es en <math>z={ z }_{ 0 }</math>, entonces el campo tiene la forma :<br />
:<math>\overrightarrow { E } ={ E }_{ 0 }sin\frac { \pi { z }_{ 0 } }{ { z }_{ 0 } } cos\left( kx-\varpi t \right) \overrightarrow { j } </math><br />
:Notemos que el <math>sin\pi =0</math>, implica:<br />
:<math>\overrightarrow { E } =0</math><br />
:Es decir, el campo eléctrico esta polarizado linealmente en la dirección <math>y</math> y varia sinusoidal desde cero en z=0 hasta cero en <math>z={ z }_{ 0 }</math><br />
:<br />
:b) Usando la ecuación de onda tenemos:<br />
:<math>\frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial { x }^{ 2 } } +\frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial { y }^{ 2 } } +\frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial { z }^{ 2 } } -\frac { 1 }{ { c }^{ 2 } } \frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial { t }^{ 2 } } =0.........(1)</math> <br />
:Podemos evaluar la expresión para <math>k</math> , al diferenciar la siguiente ecuación 2 veces:<br />
<math>{ E }_{ y }={ E }_{ 0 }sin\frac { \pi { z } }{ { z }_{ 0 } } cos\left( kx-\varpi t \right) </math><br />
:Haciendo las derivadas:<br />
:<math>\frac { \partial { E }_{ y } }{ \partial x } =\frac { \partial }{ \partial x } \left( { E }_{ y }={ E }_{ 0 }sin\frac { \pi { z } }{ { z }_{ 0 } } cos\left( kx-\varpi t \right) \right) </math><br />
:<math>=-k{ E }_{ o }sin\frac { \pi z }{ { z }_{ 0 } } sin(kx-\varpi t)</math><br />
:La segunda derivada es:<br />
:<math>\frac { \partial { E }_{ y } }{ \partial { x }^{ 2 } } =-{ k }^{ 2 }sin\frac { \pi z }{ { z }_{ 0 } } cos(kx-\varpi t)........(2)</math><br />
:Similar, para las segundas parciales con respecto a <math>y</math> y <math>z</math> , tenemos:<br />
:<math>\frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial y^{ 2 } } =0........(3)</math><br />
:<math>\frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial z^{ 2 } } =\frac { -{ \pi }^{ 2 } }{ { z }_{ 0 }^{ 2 } } { E }_{ 0 }sin\frac { \pi z }{ { z }_{ 0 } } cos(kx-\varpi t)........(4)</math><br />
:<math>\frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial t^{ 2 } } =-{ \varpi }^{ 2 }{ E }_{ 0 }sin\frac { \pi z }{ { z }_{ 0 } } cos(kx-\varpi t)........(5)</math><br />
:Sustituyendo la ecuación (2), (3), (4) y (5) en la ecuación (1), obtenemos:<br />
:<math>(-{ k }^{ 2 }-\frac { { \pi }^{ 2 } }{ { z }_{ 0 }^{ 2 } } +\frac { { \varpi }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } ){ E }_{ 0 }sin\frac { \pi z }{ { z }_{ 0 } } cos(kx-\varpi t)=0</math><br />
:Como esto es verdadero para toda x,z y t, cada término debe ser igual a cero, es decir:<br />
:<math>(-{ k }^{ 2 }-\frac { { \pi }^{ 2 } }{ { z }_{ 0 }^{ 2 } } +\frac { { \varpi }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } )=0</math><br />
:Despejando:<br />
:<math>-\frac { { \pi }^{ 2 } }{ { z }_{ 0 }^{ 2 } } +\frac { { \varpi }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } ={ k }^{ 2 }</math><br />
:<math>{ k={ \left( -\frac { { \pi }^{ 2 } }{ { z }_{ 0 }^{ 2 } } +\frac { { \varpi }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }</math><br />
:De la expresión anterior factorizamos un <math>\frac { { \varpi }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } </math>, resulta:<br />
:<math>{ k={ \left( \left( \frac { { \varpi }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } \right) \left( 1-\frac { { \pi }^{ 2 }{ c }^{ 2 } }{ { \varpi }^{ 2 }{ z }_{ 0 }^{ 2 } } \right) \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }</math><br />
:Finalmente la expresión para <math>k</math> es:<br />
:<math>{ k=\frac { { \varpi } }{ { c } } \sqrt { 1-\frac { { \pi }^{ 2 }{ c }^{ 2 } }{ { \varpi }^{ 2 }{ z }_{ 0 }^{ 2 } } } }</math><br />
:<br />
:(c) La velocidad de fase de la onda será <math>\nu =\frac { \varpi }{ k } </math><br />
:Simplificando tenemos:<br />
:<math>\nu { =\frac { { c } }{ { \sqrt { 1-\frac { { \pi }^{ 2 }{ c }^{ 2 } }{ { \varpi }^{ 2 }{ z }_{ 0 }^{ 2 } } } } } }</math><br />
:--[[Usuario:Luis Chávez|Luis Manuel Chávez antonio]]<br />
<br />
----<br />
<br />
===Ejercicio 3.62===<br />
----<br />
<br />
<br />
'''Demuestre que la ecuacion (3.70) puede volverse a escribir como:<br />
<br />
<br />
<math>(n^{2}-1)^{-1}=-C\lambda ^{-2}+C\lambda _{0}^{-2}</math><br />
<br />
<br />
donde <math>C=4\pi ^{2}c^{2}\epsilon _{0}m_{e}/Nq_{e}^{2}</math>'''<br />
<br />
<br />
: '''''Solución''''':<br />
<br />
<br />
Ecuación de dispersión:<br />
<br />
<math>n^{2}(\omega )=1+\frac{Nq_{e}^{2}}{\epsilon _{0}m_{e}}\left ( \frac{1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}} \right )</math>..........(3.70)<br />
<br />
<br />
La ecuación dada es :<br />
<br />
<br />
<math>(n^{2}-1)^{-1}=-C\lambda ^{-2}+C\lambda _{0}^{-2}</math><br />
<br />
<br />
sustituimos el valor <math>C=4\pi ^{2}c^{2}\epsilon _{0}m_{e}/Nq_{e}^{2}</math> en la ecuación dada:<br />
<br />
<br />
<math>(n^{2}-1)^{-1}=-\left ( \frac{4\pi ^{2}c^{2}\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}} \right )\lambda ^{-2}+ \left ( \frac{4\pi ^{2}c^{2}\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}} \right )\lambda _{0}^{-2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>(n^{2}-1)^{-1}=-\left ( \frac{4\pi ^{2}c^{2}}{\lambda ^{2}} \right )\left (\frac{\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}} \right )+\left ( \frac{4\pi ^{2}c^{2}}{\lambda _{0}^{2}} \right )\left (\frac{\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}} \right )</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>(n^{2}-1)^{-1}=-\left ( \frac{2\pi c}{\lambda} \right )^{2}\left (\frac{\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}} \right )+\left ( \frac{2\pi c}{\lambda _{0}} \right )^{2}\left (\frac{\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}} \right )<br />
</math><br />
<br />
<br />
<br />
Como <math>\left ( \frac{2\pi c}{\lambda} =\omega \right )</math> y <math>\left ( \frac{2\pi c}{\lambda _{0}}=\omega _{0} \right )</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>(n^{2}-1)^{-1}=\frac{\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}}\left [ \omega _{0}^{2} -\omega ^{2}\right ]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\frac{1}{(n^{2}-1)}=\frac{\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}}\left [ \omega _{0}^{2} -\omega ^{2}\right ]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>(n^{2}-1)=\frac{Nq_{e}^{2}}{\epsilon _{0}m_{e}}\left [ \frac{1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}} \right ]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>n^{2}=1+\frac{Nq_{e}^{2}}{\epsilon _{0}m_{e}}\left [ \frac{1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}} \right ]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>n^{2}(\omega )=1+\frac{Nq_{e}^{2}}{\epsilon _{0}m_{e}}\left ( \frac{1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}} \right )</math><br />
<br />
<br />
Esta es la ecuación de dispersión<br />
<br />
<br />
<br />
Por lo tanto:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>n^{2}(\omega )=1+\frac{Nq_{e}^{2}}{\epsilon _{0}m_{e}}\left ( \frac{1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}} \right )</math><br />
<br />
<br />
<br />
se puede reescribir como:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>(n^{2}-1)^{-1}=-C\lambda ^{-2}+C\lambda _{0}^{-2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Enrique Ortiz Martinez|Enrique Ortiz Martinez]]<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
=== Problema 3.4 ===<br />
<br />
Imagine una onda electromagnética con su campo '''E''' en la dirección del eje x. Demuestre que la ecuación <br />
:<math>∂E/∂x=-∂B/∂t</math><br />
:aplicada a las ondas armónicas:<br />
:<math>'''E'''='''E0'''cos(kx-wt)</math> y <math>'''B'''='''B0'''cos(kx-wt)</math><br />
:lleva a la conclusión de que:<br />
:<math>E0=cB0</math><br />
:<br />
:'''Solusión:'''<br />
:<br />
:Derivando las dos ecuación parcialmente, se tiene que:<br />
:<math>∂E/∂x=-E0k sin〖(kx-wt)〗</math> <math>∂B/∂t=B0w sin〖(kx-wt)〗</math><br />
:Al igualar hacer uso de la relación entre las derivadas parciales, vemos que:<br />
:<math>∂E/∂x=-E0k sin〖(kx-wt)〗=-∂B/∂t=-B0w sin〖(kx-wt)〗</math><br />
:Lo que implica que:<br />
:<math>E0k=B0w </math><br />
:<math>E0=k/wB0</math><br />
:Pero se sabe que <math>c=k/w</math>. Entonces<br />
:<math>E0=cB0</math><br />
<br />
--[[Usuario:Onáfeder|Fernando Valencia Hernández]]<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
=== Problema 3.66 ===<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''En 1871 Sellmeier derivo la ecuación:''' <br />
<br />
<br />
<math>{ n }^{ 2 }=1+\sum _{ j }{ \frac { { A }_{ j }{ \lambda }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 }-{ { \lambda } }_{ 0j }^{ 2 } } } </math><br />
<br />
<br />
'''Donde la <math>{ A }_{ j }</math> son términos constantes y cada <math>{ \lambda } _{ 0j }</math> es la onda de longitud al vació asociada con una frecuencia natural <math>{ \nu }_{ 0j }</math> ,tal como <math>{ \lambda }_{ 0j }{ \nu }_{ 0j }=c</math>. Esta formulación es una mejora considerablemente practica sobre la ecuación de Cauchy. Muestra que donde <math>\lambda >>{ \lambda }_{ 0j }</math> la ecuación de Cauchy es una aproximación a la de Sellmeier .'''<br />
<br />
<br />
'''Pista: Escribe la expresión de arriba solo con el primer termino en la suma ; expandelo por el teorema binomial ; toma la raíz cuadrada de <math>{ n }^{ 2 }</math> y expandela otra vez.<br />
'''<br />
<br />
<br />
'''Solución:'''<br />
<br />
<br />
La ecuacion de Sellmeier dada por: <br />
<br />
<br />
<math>{ n }^{ 2 }=1+\sum _{ j }{ \frac { { A }_{ j }{ \lambda }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 }-{ { \lambda } }_{ 0j }^{ 2 } } } </math><br />
<br />
donde <math>{ A }_{ j }</math> es una constante y <math>{ \lambda } _{ 0j }</math> es la onda de longitud al vació asociada con una frecuencia natural <math>{ \nu }_{ 0j }</math><br />
<br />
<math>\therefore </math> Consideramos solo el primer termino de la sumatoria <br />
<br />
<math>{ n }^{ 2 }=1+\frac { { A }_{ 1 }{ \lambda }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 }-{ { \lambda } }_{ 01 }^{ 2 } } </math><br />
<br />
<br />
<math>{ n }^{ 2 }=1+{ A }_{ 1 }\frac { { \lambda }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 }(1-\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ) } </math><br />
<br />
<br />
<math>{ n }^{ 2 }=1+{ A }_{ 1 }\frac { 1 }{ (1-\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ) }</math><br />
<br />
<br />
<math>{ n }^{ 2 }=1+{ A }_{ 1 }{ (1-\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ) }^{ -1 }</math><br />
<br />
<br />
Conocemos la expansión binomial de:<br />
<br />
<br />
<math>{ (1-x) }^{ -1 }=1+x+{ x }^{ 2 }+{ x }^{ 3 }+......</math><br />
<br />
<math>\therefore \quad \quad { n }^{ 2 }=1+{ A }_{ 1 }\{ 1+(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } )+{ (\frac { { \lambda }_{ 01 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ) }^{ 2 }+{ (\frac { { \lambda }_{ 01 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ) }^{ 3 }+.....\} </math> donde <math>x=\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } </math><br />
<br />
por lo tanto se ignoran los términos de orden superior por que sabemos que <math>\lambda >>{ \lambda }_{ 0j }</math> entonces tenemos:<br />
<br />
<math>{ n }^{ 2 }=1+{ A }_{ 1 }[1+(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } )]</math> despejando a <math>n</math> vemos que:<br />
<br />
<math>n={ [1+{ A }_{ 1 }(1+(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ))] }^{ \frac { 1 }{ 2 } }</math><br />
<br />
<math>n={ [1+{ (A }_{ 1 }+{ A }_{ 1 }(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ))] }^{ \frac { 1 }{ 2 } }<br />
</math>................(1)<br />
<br />
<br />
Nosotros sabemos que la expansión binomial esta dada por: <br />
<br />
<br />
<math>{ (1+x) }^{ n }=1+\frac { n }{ 1! } x+\frac { n(n-1) }{ 2! } { x }^{ 2 }+.........</math> realizando la expansión con la ecuación (1) tenemos:<br />
<br />
<math>n=1+\frac { 1 }{ 2 } [{ A }_{ 1 }+{ A }_{ 1 }(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } )]+\frac { \frac { 1 }{ 2 } (\frac { 1 }{ 2 } -1) }{ 2! } { [{ A }_{ 1 }+{ A }_{ 1 }(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } )] }^{ 2 }+.........</math> desarrollando esta expansión tenemos:<br />
<br />
<math>n=1+\frac { 1 }{ 2 } { A }_{ 1 }+\frac { 1 }{ 2 } { A }_{ 1 }(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } )+\frac { \frac { 1 }{ 2 } (-\frac { 1 }{ 2 } ) }{ 2 } { [{ { A }_{ 1 } }^{ 2 }+{ { A }_{ 1 } }^{ 2 }(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 4 } }{ { \lambda }^{ 4 } } )+2{ A }_{ 1 }({ A }_{ 1 }\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } )] }+.........</math><br />
<br />
<math>n=1+\frac { { A }_{ 1 } }{ 2 } +\frac { { A }_{ 1 } }{ 2 } { \lambda }_{ 01 }^{ 2 }(\frac { 1 }{ { \lambda }^{ 2 } } )-\frac { 1 }{ 8 } { { { A }_{ 1 } }^{ 2 }-\frac { 1 }{ 8 } { { A }_{ 1 } }^{ 2 }(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 4 } }{ { \lambda }^{ 4 } } )-\frac { { { A }_{ 1 } }^{ 2 } }{ 4 } (\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ) }+.........</math><br />
<br />
<br />
Reordenaremos la ecuación en términos lineales y orden superior:<br />
<br />
<br />
<math>n=(1+\frac { { A }_{ 1 } }{ 2 } -\frac { { { A }_{ 1 } }^{ 2 } }{ 8 } ...........)+\frac { { A }_{ 1 } }{ 2 } { \lambda }_{ 01 }^{ 2 }(\frac { 1 }{ { \lambda }^{ 2 } } )-\frac { 1 }{ 4 } { { A }_{ 1 } }^{ 2 }{ \lambda }_{ 01 }^{ 2 }(\frac { 1 }{ { \lambda }^{ 2 } } )-\frac { 1 }{ 8 } { { A }_{ 1 } }^{ 2 }{ \lambda }_{ 01 }^{ 4 }(\frac { 1 }{ { \lambda }^{ 4 } } )+........</math><br />
<br />
Ya que <math>{ A }_{ 1 }</math> y <math>{ \lambda }_{ 01 }</math> son constantes , así que, tomaremos a los términos lineales como otra constante <br />
<br />
<math>{ C }_{ 1 }=1+\frac { { A }_{ 1 } }{ 2 } -\frac { { { A }_{ 1 } }^{ 2 } }{ 8 } ...........</math><br />
<br />
<br />
A los términos cuadráticos la renombraremos por otra constante:<br />
<br />
<math>{ C }_{ 2 }=\frac { { A }_{ 1 }{ \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ 2 } -\frac { 1 }{ 4 } { { A }_{ 1 } }^{ 2 }{ \lambda }_{ 01 }^{ 2 }...........</math><br />
<br />
Y de igual forma a los de orden superior :<br />
<br />
<math>{ C }_{ 3 }=-(\frac { 1 }{ 8 } { { A }_{ 1 } }^{ 2 }{ \lambda }_{ 01 }^{ 4 })...........</math><br />
<br />
Por lo anterior podemos ver que <math>n</math> lo podemos reescribir como:<br />
<br />
<math>n={ C }_{ 1 }+{ C }_{ 2 }(\frac { 1 }{ { \lambda }^{ 2 } } )+{ C }_{ 3 }(\frac { 1 }{ { \lambda }^{ 4 } } )+......</math><br />
<br />
<math>\therefore </math> Esto es la ecuación de Cauchy esto quiere decir que la ecuación de Cauchy es una aproximación a la de Sellmeier.<br />
<br />
--[[Usuario:Ruben Espinosa|Ruben Espinosa Guzmán ]]<br />
<br />
<br />
----<br />
===Ejercicio 3.21===<br />
----<br />
La siguiente es la expresión para el campo $\vec{\bf E}$ de una onda electromagnética que se desplaza en un dieléctrico homogéneo:<br />
: $\vec{\bf E}=\left(-100 V/m\right) e^{i(kz-\omega t)}\hat{\bf e}_x$<br />
<br />
:En este caso, $\omega=1.80 \times 10^{15} rad/s$ y $k=1.20 \times 10^7 rad/m$<br />
:(a) Determine el campo $\vec{\bf B}$ asociado. (b) Calcule el índice de refracción. (c) Calcule la permitividad. (d) Encuentre la irradiancia.<br />
<br />
: '''''Solución:''''' <br />
:(a) $\vec{\bf B}$ está en la dirección $\hat{\bf e}_y$, dado que la onda se desplaza en la dirección $\vec{\bf E} \times \vec{\bf B}$ y que apunta en la dirección $\hat{\bf e}_z$<br />
:La velocidad es $v=\omega/k$:<br />
:$v=\frac{1.80 \times 10^{15} rad/s}{1.20 \times 10^7 rad/m}=1.5 \times 10^8 m/s$<br />
:$E_0=vB_0=\left(1.5 \times 10^8 m/s\right)B_0$<br />
:$B_0=\frac{-100 V/m}{1.5 \times 10^8 m/s}=-6.7 \times 10^{-8} T$<br />
: $\vec{\bf B}=\left(-6.7 \times 10^{-8} T\right) e^{i(kz-\omega t)}\hat{\bf e}_y$<br />
:(b) $n=\frac{c}{v}=\frac{2.99\times 10^8 m/s}{1.5 \times 10^8 m/s}$<br />
:$n=1.993$<br />
:(c) $n=\sqrt{K_E}$<br />
:$n^2=K_E$<br />
:$K_E=3.973$<br />
:$\epsilon=\epsilon_0 K_E$<br />
:$\epsilon=(8.8542 \times 10^{-12} \frac{C^2}{N m^2})3.973$<br />
:$\epsilon=(3.5181 \times 10^{-11} \frac{C^2}{N m^2})$<br />
:(d) $I=\frac{\epsilon v}{2}E_0^2$<br />
:$I=\frac{1}{2}\left(3.5181 \times 10^{-11} \frac{C^2}{N m^2}\right)\left(1.5 \times 10^8 m/s\right)\left(-100 V/m\right)$<br />
:$I=26.38575\frac{W}{m^2}$<br />
--[[Usuario:sesebasi|Sergio]]<br />
<br />
----<br />
===Problema 3.57===<br />
----<br />
Muestre que para sustancias de baja densidad, como los gases, que tienen una sola frecuencia de resonancia <math>{ \omega }_{ 0 }</math>, el índice de refracción viene dado por:<br />
<math>n\approx 1+\frac { N{ q }_{ e }^{ 2 } }{ 2{ \epsilon }_{ 0 }{ m }_{ e }({ \omega }_{ 0 }^{ 2 }-{ \omega }^{ 2 }) }</math><br />
<br />
: '''''Solución''''':<br />
De la ecuación de dispersión:<br />
<math>{ n }^{ 2 }(\omega )=1+\frac { N{ q }_{ e }^{ 2 } }{ { \epsilon }_{ 0 }{ m }_{ e } } \left( \frac { 1 }{ { \omega }_{ 0 }^{ 2 }-{ \omega }^{ 2 } } \right) </math><br />
<br />
Donde:<br />
<br />
<math>{ \omega }_{ 0 }</math>= Frecuencia de resonancia<br />
<br />
<math>{ \omega }</math>= Frecuencia<br />
<br />
<math>N</math>= Numero de electrones<br />
<br />
<math>{ q }_{ e }</math>= Carga del electrón<br />
<br />
<math>{ m }_{ e }</math>= Masa del electrón<br />
<br />
<math>{ \epsilon }_{ 0 }</math>= Permitividad del espacio libre<br />
<br />
<math>n</math>= Indice de refracción<br />
<br />
Para una sola frecuencia de resonancia, tenemos:<br />
<math>n={ \left[ 1+\frac { N{ q }_{ e }^{ 2 } }{ { \epsilon }_{ 0 }{ m }_{ e } } \left( \frac { 1 }{ { \omega }_{ 0 }^{ 2 }-{ \omega }^{ 2 } } \right) \right] }^{ 1/2 }</math><br />
<br />
Ya que para materiales de baja densidad <math>n\approx 1</math><br />
Por lo tanto el segundo termino de la Ec. <math>\left( 1 \right) </math> es <math>\ll 1</math><br />
Y solo se tendra que conservar los dos primeros terminos de la expansión binomial de <math>n</math><br />
<br />
Así mediante el uso de la expansión binomial:<br />
<math>{ \left( 1+x \right) }^{ 1/2 }=1+\frac { 1 }{ 2 } x+\frac { \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { 1 }{ 2 } -1 \right) }{ 2! } { x }^{ 2 }</math><br />
<br />
Despreciando terminos de orden superior, tenemos:<br />
<math>{ \left( 1+x \right) }^{ 1/2 }=1+\frac { 1 }{ 2 } x</math><br />
<br />
Comparando la Ec. <math>\left( 1 \right) </math> con <math>{ \left( 1+x \right) }^{ 1/2 }</math>, obtenemos:<br />
<math>x=\frac { N{ q }_{ e }^{ 2 } }{ { \epsilon }_{ 0 }{ m }_{ e } } \left( \frac { 1 }{ { \omega }_{ 0 }^{ 2 }-{ \omega }^{ 2 } } \right) </math><br />
<br />
Asi: <math>n=1+\frac { 1 }{ 2 } \frac { N{ q }_{ e }^{ 2 } }{ { \epsilon }_{ 0 }{ m }_{ e } } \left( \frac { 1 }{ { \omega }_{ 0 }^{ 2 }-{ \omega }^{ 2 } } \right) </math> ya que partir de la Ec. <math>\left( 2 \right) </math><br />
<br />
<math>n\approx 1+\frac { N{ q }_{ e }^{ 2 } }{ 2{ \epsilon }_{ 0 }{ m }_{ e }({ \omega }_{ 0 }^{ 2 }-{ \omega }^{ 2 }) } </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Gutierrez|Luis Gutiérrez Melgarejo ]]<br />
<br />
<br />
----<br />
===Problema 3.16===<br />
----<br />
<br />
Demostrar que una formulación más general del problema anterior produce:<br />
<br />
<br />
<math>{ \left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> }_{ T }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ 1+senc\omega Tcos2\omega T \right] </math><br />
<br />
Para cualquier intervalo T<br />
<br />
solución:<br />
<br />
el promedio de tiempo de una función viene dado por la sig. ecuación integral:<br />
<br />
<br />
<math>{ \left< f(t) \right> }_{ T }=\frac { 1 }{ T } \int _{ t }^{ t+T }{ f({ t }^{ , }){ dt }^{ \quad , } } </math><br />
<br />
aquí <math>f(t)</math> esta la función cuyo promedio de tiempo que se desea calcular, T es el periodo de de la función armónica y t una variable ficticia.<br />
<br />
sustituyendo <math>{ cos }^{ 2 }\omega t</math> de <math>f(t)</math><br />
<br />
<math>{ \left< { cos }^{ 2 }\omega t \right> }_{ T }=\frac { 1 }{ T } \int _{ t }^{ t+T }{ { cos }^{ 2 }(\omega { t }^{ \quad , }){ dt }^{ \quad , } } </math><br />
<br />
usamos la siguiente relación del lado derecho:<br />
<br />
<math>{ cos }^{ 2 }(\omega t)=\quad \frac { 1+cos(2\omega { t }^{ \quad , }) }{ 2 } </math><br />
<br />
eso da:<br />
<br />
<math>\left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> =\frac { 1 }{ T } \quad \int _{ t }^{ t+T }{ \left[ \frac { 1+cos(2\omega { t }^{ \quad , }) }{ 2 } \right] } </math><br />
<br />
<math>\left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> =\frac { 1 }{ 2T } \quad \{ \int _{ t }^{ t+T }{ d{ t }^{ , }+\int _{ t }^{ t+T }{ \left[ cos(2\omega { t }^{ , }d{ t }^{ , } \right] \} } } </math><br />
<br />
<math>\left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> =\frac { 1 }{ 2T } \quad \left[ { t }^{ , }+\left[ \frac { \left[ sen(2\omega { t }^{ , } \right] }{ 2\omega } \right] \right] </math><br />
<br />
<math>\left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> =\frac { 1 }{ 2T } \quad \left[ \left[ t+T \right] -t \right] +\frac { 1 }{ 2\omega } \left[ sen(2\omega (t+T)-sen2\omega t \right] </math><br />
<br />
la ecuación anterior da:<br />
<br />
<math>\left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> =\frac { 1 }{ 2T } [T+\frac { 1 }{ 2\omega } \left[ sen(2\omega t+2\omega T)-sen2\omega t \right] </math><br />
<br />
se escribe <math>2\omega T</math> como la suma en el segundo termino <math>\omega T</math> también en el tercer termino y queda:<br />
<br />
<math>\frac { 1 }{ 2T } \left[ T+\frac { 1 }{ 2\omega } \left\{ sen(2\omega t+\omega T+\omega T)\\ -sen(2\omega t+\omega T-\omega T) \right\} \right] ec(1)</math><br />
<br />
recordando la relación trigonométrica general:<br />
<br />
<math>sen(\alpha +\beta )-sen(\alpha -\beta )=2(cos\alpha )(sen\beta )</math><br />
<br />
sustituyendo<math>2\omega t+\omega T\quad por\quad \alpha \quad y\quad \omega T\quad para\quad \beta </math><br />
<br />
<math>sen(2\omega t+\omega T+\omega T)-sen(2\omega t+\omega T-\omega T)=2cos(2\omega t+\omega T)sen(\omega T)</math><br />
<br />
usando esto en la ec(1)<br />
<br />
<math>\frac { 1 }{ 2 } \left[ 1+\frac { 1 }{ \omega T } \left\{ cos(2\omega t+\omega T)sen(\omega T) \right\} \right] </math><br />
<br />
<math>\frac { 1 }{ 2 } \left[ 1+\frac { sen\omega T }{ \omega T } \left\{ cos(2\omega t+\omega T) \right\} \right] </math><br />
<br />
usando el termino <math>\frac { 2\pi }{ T } \quad para\quad \omega </math> para el ultimo parentesis...<br />
<br />
<math>\frac { 1 }{ 2 } \left[ 1+\frac { sen\omega T }{ \omega T } \left\{ cos(2\omega t+\left( \frac { 2\pi }{ T } \right) T) \right\} \right] </math>=<math>\frac { 1 }{ 2 } \left[ 1+\frac { sen\omega T }{ \omega T } \left\{ cos(2\omega t+\left( 2\pi \right) ) \right\} \right] </math><br />
<br />
ahora usamos la expresion general:<br />
<br />
<math>\frac { senx }{ x } =sencx</math><br />
<br />
y esto da:<br />
<br />
<math>{ \left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> }_{ T }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ 1+senc\omega Tcos2\omega T \right] </math><br />
<br />
--[[Usuario:salvadormorales|Salvador Alejandro Morales Carranza ]]<br />
<br />
----<br />
===Problema 3.35===<br />
----<br />
<br />
Una antena parabólica de radar con $2m$ de diámetro trasmite $200 KW$ pulsos de energía. Si la tasa de repetición son $500$ pulsos por segundo, cada uno durando $2 \mu s$. Determinar el promedio de la fuerza de reacción sobre la antena.<br />
<br />
-- Solución --<br />
La fuerza se puede calcular mediante la definición de presión: <br />
<br />
$F= PA$<br />
:A--> Area de la antena<br />
:Con F la fuerza promediada sobre la antena y P la presión promediada. En este caso la presión por radiación ejerce una fuerza de reacción sobre la antena, entonces: <br />
$\langle{P}\rangle= \langle{S}\rangle/ c$<br />
<br />
:Con $\langle{S}\rangle$ el promedio en la energía radiada por la antena:<br />
<br />
:$\langle{S}\rangle= Energía/(tiempo)(área)$<br />
:$\langle{S}\rangle= (2 \times 10^5 W)(500 \times 2 \times 10^-{6})/A$<br />
:Entonces $\langle{P}\rangle$ es:<br />
$\langle{P}\rangle= \langle{S}\rangle/c= 6.66 \times 10^{-7}/A [Joules/metro]$<br />
:Por lo tanto, $F=PA= \langle{P}\rangle A= 6.66 \times 10^{-7} [Joules/Metro]= 6.66 \times 10^{-7} [Newtons]$<br />
--[[Usuario:Peddro J. Julian|Pedro Jesús Julián Salgado]]<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
===Problema 3.33===<br />
----<br />
'''Un haz de luz con una irradiancia de 2.00 x 10^6 W / m2 incide normalmente en una superficie que refleja 70.0% y absorbe 30.0%. Calcule la presión de radiación resultante en la superficie. '''<br />
<br />
: '''''Solución''''':<br />
EL componente reflejado tiene un cambio de impulso, y por lo tanto una presión, de dos veces el impulso incidente.<br />
<br />
Entonces:<br />
<br />
:$P(reflejado)= 2(70 $%$) \frac{I}{c}$<br />
<br />
Mientras para el absorbido<br />
<br />
:$P(absorbido)= 2(30 $%$) \frac{I}{c}$<br />
<br />
Realizando los calculos <br />
<br />
:$P_r=2(70 \%)\frac{2x10^6 W/m^2}{3x10^8 m/s} =0.93x10^{-2} N/m^2$<br />
<br />
:$P_a=2(30 \%)\frac{2x10^6 W/m^2}{3x10^8 m/s} =0.20x10^{-2} N/m^2$<br />
<br />
Por lo tanto <br />
<br />
:$P=P_{r} + P_{a} = 1.13x10^{-2}N/m^2$<br />
--[[Usuario:Flor|Flor Vivar]]<br />
<br />
----<br />
=== Ejercicio 3.15 ===<br />
El promedio temporal de una función $f(t)$ calculado sobre un intervalo $T$ está dado por<br />
<br />
$ \dfrac{1}{T} \int_t^{t+T} f(t') dt'$<br />
<br />
donde $t'$ es una variable muda. Si $\tau = 2 \pi / \omega$ es el periodo de una función armónica, muestre que<br />
<br />
$a$<br />
<br />
cuando $T = \tau$ y cuando $T >> \tau$.<br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 21:37 27 oct 2018 (CDT)<br />
----</div>
Ivan de Jesús Pompa García
https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Optica:_Capitulo3-problemas&diff=22613
Optica: Capitulo3-problemas
2018-10-28T02:23:49Z
<p>Ivan de Jesús Pompa García: Cambios para arreglar el índice</p>
<hr />
<div>Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 3,<br />
con el siguiente formato:<br />
<br />
<br />
===Ejercicio 3.13 (Hecht, Optics 4 ed)===<br />
<br />
'''''Pruebe que la irradiancia de una onda electromagnética armónica está dada por:<br />
<math> I=\frac{1}{2c\mu _{0}} E_{0}^{2} </math><br />
y determinar el promedio de la energía por unidad de área transportada por una onda plana de amplitud 15.0 V/m. '''''<br />
<br />
: '''''Solución''''':<br />
Consideremos la onda armónica plana:<br />
<math>\vec{E}\left(\vec{r},t\right)= E_{0}\cos\left(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t + \delta\right)\hat{n}</math><br />
<br />
Dado este campo eléctrico, podemos obtener el campo magnético recurriendo a las ecuaciones de Maxwell, éste resulta ser:<br />
<math>\vec{B}\left(\vec{r},t\right)= \frac{1}{c} E_{0}\cos\left(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+ \delta\right)(\hat{k}\times\hat{n})</math><br />
<br />
A continuación, determinamos el vector de Poynting:<br />
<br />
<math>\vec{S} \equiv \frac{1}{\mu_{0}}\left(\vec{E}\times \vec{B}\right)= \frac{1}{\mu_{0}}c E_{0}^{2}\cos^{2}\left(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+ \delta\right)\hat{k} </math><br />
<br />
ya que, <math>\hat{n}\times\left(\hat{K}\times\hat{n}\right)=\hat{k}(\hat{n}\cdot\hat{n})-\hat{n}(\hat{n}\cdot\hat{k})=\hat{k}</math><br />
<br />
Así, por definición:<br />
<br />
<math>I \equiv \langle S \rangle =\frac{E_{0}^{2}}{\mu_{0}c}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\cos^{2}\left(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+\delta\right)</math><br />
siendo T el periodo alrededor de un ciclo completo.<br />
<br />
Además, <math>\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\cos^{2}\left(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+\delta\right)=1/2 </math>.....(1)<br />
<br />
Pues, <math>\omega\equiv \frac{2\pi}{T}</math> y ya que, el promedio temporal en un intervalo de longitud T de <math>\cos^{2}\left(x\right)</math> y <math>\sin^{2}\left(x\right)</math> es el mismo, podemos usar la fórmula pitagórica de las funciones trigonométricas para concluir la ecuación (2).<br />
Por lo tanto:<br />
<math>I=\frac{1}{2c\mu_{0}}E_{0}^{2}</math>......(2)<br />
<br />
Finalmente, basta considerar la irrandiancia por segundo y sustituir la amplitud en la expresión (2).<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Diego de la Cruz López]] <br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[categoría:Optica]]<br />
[[categoría:Cursos]]<br />
<br />
===Ejercicio 3.6===<br />
----<br />
'''''El campo eléctrico de una onda electromagnética que viaja en la dirección x positiva ,está dada por:<br />
<math>\overrightarrow { E } ={ E }_{ 0 }sin\frac { \pi z }{ { z }_{ 0 } } cos\left( kx-\varpi t \right) \overrightarrow { j } </math>'''''<br />
'''''a) Describe verbalmente el campo,b)Determine una expresión para k.<br />
(c) Encuentra la velocidad de fase de la onda.'''''<br />
: '''''Solución''''':<br />
:Analizando en el origen en z=0, tenemos que , <math>sin\frac { 0 }{ { z }_{ 0 } } =0</math> , entonces el campo eléctrico es:<br />
:<math>\overrightarrow { E } =0\overrightarrow { j } </math><br />
:Otro punto donde se anula el campo eléctrico es en <math>z={ z }_{ 0 }</math>, entonces el campo tiene la forma :<br />
:<math>\overrightarrow { E } ={ E }_{ 0 }sin\frac { \pi { z }_{ 0 } }{ { z }_{ 0 } } cos\left( kx-\varpi t \right) \overrightarrow { j } </math><br />
:Notemos que el <math>sin\pi =0</math>, implica:<br />
:<math>\overrightarrow { E } =0</math><br />
:Es decir, el campo eléctrico esta polarizado linealmente en la dirección <math>y</math> y varia sinusoidal desde cero en z=0 hasta cero en <math>z={ z }_{ 0 }</math><br />
:<br />
:b) Usando la ecuación de onda tenemos:<br />
:<math>\frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial { x }^{ 2 } } +\frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial { y }^{ 2 } } +\frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial { z }^{ 2 } } -\frac { 1 }{ { c }^{ 2 } } \frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial { t }^{ 2 } } =0.........(1)</math> <br />
:Podemos evaluar la expresión para <math>k</math> , al diferenciar la siguiente ecuación 2 veces:<br />
<math>{ E }_{ y }={ E }_{ 0 }sin\frac { \pi { z } }{ { z }_{ 0 } } cos\left( kx-\varpi t \right) </math><br />
:Haciendo las derivadas:<br />
:<math>\frac { \partial { E }_{ y } }{ \partial x } =\frac { \partial }{ \partial x } \left( { E }_{ y }={ E }_{ 0 }sin\frac { \pi { z } }{ { z }_{ 0 } } cos\left( kx-\varpi t \right) \right) </math><br />
:<math>=-k{ E }_{ o }sin\frac { \pi z }{ { z }_{ 0 } } sin(kx-\varpi t)</math><br />
:La segunda derivada es:<br />
:<math>\frac { \partial { E }_{ y } }{ \partial { x }^{ 2 } } =-{ k }^{ 2 }sin\frac { \pi z }{ { z }_{ 0 } } cos(kx-\varpi t)........(2)</math><br />
:Similar, para las segundas parciales con respecto a <math>y</math> y <math>z</math> , tenemos:<br />
:<math>\frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial y^{ 2 } } =0........(3)</math><br />
:<math>\frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial z^{ 2 } } =\frac { -{ \pi }^{ 2 } }{ { z }_{ 0 }^{ 2 } } { E }_{ 0 }sin\frac { \pi z }{ { z }_{ 0 } } cos(kx-\varpi t)........(4)</math><br />
:<math>\frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial t^{ 2 } } =-{ \varpi }^{ 2 }{ E }_{ 0 }sin\frac { \pi z }{ { z }_{ 0 } } cos(kx-\varpi t)........(5)</math><br />
:Sustituyendo la ecuación (2), (3), (4) y (5) en la ecuación (1), obtenemos:<br />
:<math>(-{ k }^{ 2 }-\frac { { \pi }^{ 2 } }{ { z }_{ 0 }^{ 2 } } +\frac { { \varpi }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } ){ E }_{ 0 }sin\frac { \pi z }{ { z }_{ 0 } } cos(kx-\varpi t)=0</math><br />
:Como esto es verdadero para toda x,z y t, cada término debe ser igual a cero, es decir:<br />
:<math>(-{ k }^{ 2 }-\frac { { \pi }^{ 2 } }{ { z }_{ 0 }^{ 2 } } +\frac { { \varpi }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } )=0</math><br />
:Despejando:<br />
:<math>-\frac { { \pi }^{ 2 } }{ { z }_{ 0 }^{ 2 } } +\frac { { \varpi }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } ={ k }^{ 2 }</math><br />
:<math>{ k={ \left( -\frac { { \pi }^{ 2 } }{ { z }_{ 0 }^{ 2 } } +\frac { { \varpi }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }</math><br />
:De la expresión anterior factorizamos un <math>\frac { { \varpi }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } </math>, resulta:<br />
:<math>{ k={ \left( \left( \frac { { \varpi }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } \right) \left( 1-\frac { { \pi }^{ 2 }{ c }^{ 2 } }{ { \varpi }^{ 2 }{ z }_{ 0 }^{ 2 } } \right) \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }</math><br />
:Finalmente la expresión para <math>k</math> es:<br />
:<math>{ k=\frac { { \varpi } }{ { c } } \sqrt { 1-\frac { { \pi }^{ 2 }{ c }^{ 2 } }{ { \varpi }^{ 2 }{ z }_{ 0 }^{ 2 } } } }</math><br />
:<br />
:(c) La velocidad de fase de la onda será <math>\nu =\frac { \varpi }{ k } </math><br />
:Simplificando tenemos:<br />
:<math>\nu { =\frac { { c } }{ { \sqrt { 1-\frac { { \pi }^{ 2 }{ c }^{ 2 } }{ { \varpi }^{ 2 }{ z }_{ 0 }^{ 2 } } } } } }</math><br />
:--[[Usuario:Luis Chávez|Luis Manuel Chávez antonio]]<br />
<br />
----<br />
<br />
===Ejercicio 3.62===<br />
----<br />
<br />
<br />
'''Demuestre que la ecuacion (3.70) puede volverse a escribir como:<br />
<br />
<br />
<math>(n^{2}-1)^{-1}=-C\lambda ^{-2}+C\lambda _{0}^{-2}</math><br />
<br />
<br />
donde <math>C=4\pi ^{2}c^{2}\epsilon _{0}m_{e}/Nq_{e}^{2}</math>'''<br />
<br />
<br />
: '''''Solución''''':<br />
<br />
<br />
Ecuación de dispersión:<br />
<br />
<math>n^{2}(\omega )=1+\frac{Nq_{e}^{2}}{\epsilon _{0}m_{e}}\left ( \frac{1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}} \right )</math>..........(3.70)<br />
<br />
<br />
La ecuación dada es :<br />
<br />
<br />
<math>(n^{2}-1)^{-1}=-C\lambda ^{-2}+C\lambda _{0}^{-2}</math><br />
<br />
<br />
sustituimos el valor <math>C=4\pi ^{2}c^{2}\epsilon _{0}m_{e}/Nq_{e}^{2}</math> en la ecuación dada:<br />
<br />
<br />
<math>(n^{2}-1)^{-1}=-\left ( \frac{4\pi ^{2}c^{2}\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}} \right )\lambda ^{-2}+ \left ( \frac{4\pi ^{2}c^{2}\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}} \right )\lambda _{0}^{-2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>(n^{2}-1)^{-1}=-\left ( \frac{4\pi ^{2}c^{2}}{\lambda ^{2}} \right )\left (\frac{\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}} \right )+\left ( \frac{4\pi ^{2}c^{2}}{\lambda _{0}^{2}} \right )\left (\frac{\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}} \right )</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>(n^{2}-1)^{-1}=-\left ( \frac{2\pi c}{\lambda} \right )^{2}\left (\frac{\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}} \right )+\left ( \frac{2\pi c}{\lambda _{0}} \right )^{2}\left (\frac{\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}} \right )<br />
</math><br />
<br />
<br />
<br />
Como <math>\left ( \frac{2\pi c}{\lambda} =\omega \right )</math> y <math>\left ( \frac{2\pi c}{\lambda _{0}}=\omega _{0} \right )</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>(n^{2}-1)^{-1}=\frac{\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}}\left [ \omega _{0}^{2} -\omega ^{2}\right ]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>\frac{1}{(n^{2}-1)}=\frac{\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}}\left [ \omega _{0}^{2} -\omega ^{2}\right ]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>(n^{2}-1)=\frac{Nq_{e}^{2}}{\epsilon _{0}m_{e}}\left [ \frac{1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}} \right ]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>n^{2}=1+\frac{Nq_{e}^{2}}{\epsilon _{0}m_{e}}\left [ \frac{1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}} \right ]</math><br />
<br />
<br />
<br />
<math>n^{2}(\omega )=1+\frac{Nq_{e}^{2}}{\epsilon _{0}m_{e}}\left ( \frac{1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}} \right )</math><br />
<br />
<br />
Esta es la ecuación de dispersión<br />
<br />
<br />
<br />
Por lo tanto:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>n^{2}(\omega )=1+\frac{Nq_{e}^{2}}{\epsilon _{0}m_{e}}\left ( \frac{1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}} \right )</math><br />
<br />
<br />
<br />
se puede reescribir como:<br />
<br />
<br />
<br />
<math>(n^{2}-1)^{-1}=-C\lambda ^{-2}+C\lambda _{0}^{-2}</math><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Enrique Ortiz Martinez|Enrique Ortiz Martinez]]<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
=== Problema 3.4 ===<br />
<br />
Imagine una onda electromagnética con su campo '''E''' en la dirección del eje x. Demuestre que la ecuación <br />
:<math>∂E/∂x=-∂B/∂t</math><br />
:aplicada a las ondas armónicas:<br />
:<math>'''E'''='''E0'''cos(kx-wt)</math> y <math>'''B'''='''B0'''cos(kx-wt)</math><br />
:lleva a la conclusión de que:<br />
:<math>E0=cB0</math><br />
:<br />
:'''Solusión:'''<br />
:<br />
:Derivando las dos ecuación parcialmente, se tiene que:<br />
:<math>∂E/∂x=-E0k sin〖(kx-wt)〗</math> <math>∂B/∂t=B0w sin〖(kx-wt)〗</math><br />
:Al igualar hacer uso de la relación entre las derivadas parciales, vemos que:<br />
:<math>∂E/∂x=-E0k sin〖(kx-wt)〗=-∂B/∂t=-B0w sin〖(kx-wt)〗</math><br />
:Lo que implica que:<br />
:<math>E0k=B0w </math><br />
:<math>E0=k/wB0</math><br />
:Pero se sabe que <math>c=k/w</math>. Entonces<br />
:<math>E0=cB0</math><br />
<br />
--[[Usuario:Onáfeder|Fernando Valencia Hernández]]<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
=== Problema 3.66 ===<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''En 1871 Sellmeier derivo la ecuación:''' <br />
<br />
<br />
<math>{ n }^{ 2 }=1+\sum _{ j }{ \frac { { A }_{ j }{ \lambda }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 }-{ { \lambda } }_{ 0j }^{ 2 } } } </math><br />
<br />
<br />
'''Donde la <math>{ A }_{ j }</math> son términos constantes y cada <math>{ \lambda } _{ 0j }</math> es la onda de longitud al vació asociada con una frecuencia natural <math>{ \nu }_{ 0j }</math> ,tal como <math>{ \lambda }_{ 0j }{ \nu }_{ 0j }=c</math>. Esta formulación es una mejora considerablemente practica sobre la ecuación de Cauchy. Muestra que donde <math>\lambda >>{ \lambda }_{ 0j }</math> la ecuación de Cauchy es una aproximación a la de Sellmeier .'''<br />
<br />
<br />
'''Pista: Escribe la expresión de arriba solo con el primer termino en la suma ; expandelo por el teorema binomial ; toma la raíz cuadrada de <math>{ n }^{ 2 }</math> y expandela otra vez.<br />
'''<br />
<br />
<br />
'''Solución:'''<br />
<br />
<br />
La ecuacion de Sellmeier dada por: <br />
<br />
<br />
<math>{ n }^{ 2 }=1+\sum _{ j }{ \frac { { A }_{ j }{ \lambda }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 }-{ { \lambda } }_{ 0j }^{ 2 } } } </math><br />
<br />
donde <math>{ A }_{ j }</math> es una constante y <math>{ \lambda } _{ 0j }</math> es la onda de longitud al vació asociada con una frecuencia natural <math>{ \nu }_{ 0j }</math><br />
<br />
<math>\therefore </math> Consideramos solo el primer termino de la sumatoria <br />
<br />
<math>{ n }^{ 2 }=1+\frac { { A }_{ 1 }{ \lambda }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 }-{ { \lambda } }_{ 01 }^{ 2 } } </math><br />
<br />
<br />
<math>{ n }^{ 2 }=1+{ A }_{ 1 }\frac { { \lambda }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 }(1-\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ) } </math><br />
<br />
<br />
<math>{ n }^{ 2 }=1+{ A }_{ 1 }\frac { 1 }{ (1-\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ) }</math><br />
<br />
<br />
<math>{ n }^{ 2 }=1+{ A }_{ 1 }{ (1-\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ) }^{ -1 }</math><br />
<br />
<br />
Conocemos la expansión binomial de:<br />
<br />
<br />
<math>{ (1-x) }^{ -1 }=1+x+{ x }^{ 2 }+{ x }^{ 3 }+......</math><br />
<br />
<math>\therefore \quad \quad { n }^{ 2 }=1+{ A }_{ 1 }\{ 1+(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } )+{ (\frac { { \lambda }_{ 01 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ) }^{ 2 }+{ (\frac { { \lambda }_{ 01 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ) }^{ 3 }+.....\} </math> donde <math>x=\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } </math><br />
<br />
por lo tanto se ignoran los términos de orden superior por que sabemos que <math>\lambda >>{ \lambda }_{ 0j }</math> entonces tenemos:<br />
<br />
<math>{ n }^{ 2 }=1+{ A }_{ 1 }[1+(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } )]</math> despejando a <math>n</math> vemos que:<br />
<br />
<math>n={ [1+{ A }_{ 1 }(1+(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ))] }^{ \frac { 1 }{ 2 } }</math><br />
<br />
<math>n={ [1+{ (A }_{ 1 }+{ A }_{ 1 }(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ))] }^{ \frac { 1 }{ 2 } }<br />
</math>................(1)<br />
<br />
<br />
Nosotros sabemos que la expansión binomial esta dada por: <br />
<br />
<br />
<math>{ (1+x) }^{ n }=1+\frac { n }{ 1! } x+\frac { n(n-1) }{ 2! } { x }^{ 2 }+.........</math> realizando la expansión con la ecuación (1) tenemos:<br />
<br />
<math>n=1+\frac { 1 }{ 2 } [{ A }_{ 1 }+{ A }_{ 1 }(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } )]+\frac { \frac { 1 }{ 2 } (\frac { 1 }{ 2 } -1) }{ 2! } { [{ A }_{ 1 }+{ A }_{ 1 }(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } )] }^{ 2 }+.........</math> desarrollando esta expansión tenemos:<br />
<br />
<math>n=1+\frac { 1 }{ 2 } { A }_{ 1 }+\frac { 1 }{ 2 } { A }_{ 1 }(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } )+\frac { \frac { 1 }{ 2 } (-\frac { 1 }{ 2 } ) }{ 2 } { [{ { A }_{ 1 } }^{ 2 }+{ { A }_{ 1 } }^{ 2 }(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 4 } }{ { \lambda }^{ 4 } } )+2{ A }_{ 1 }({ A }_{ 1 }\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } )] }+.........</math><br />
<br />
<math>n=1+\frac { { A }_{ 1 } }{ 2 } +\frac { { A }_{ 1 } }{ 2 } { \lambda }_{ 01 }^{ 2 }(\frac { 1 }{ { \lambda }^{ 2 } } )-\frac { 1 }{ 8 } { { { A }_{ 1 } }^{ 2 }-\frac { 1 }{ 8 } { { A }_{ 1 } }^{ 2 }(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 4 } }{ { \lambda }^{ 4 } } )-\frac { { { A }_{ 1 } }^{ 2 } }{ 4 } (\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ) }+.........</math><br />
<br />
<br />
Reordenaremos la ecuación en términos lineales y orden superior:<br />
<br />
<br />
<math>n=(1+\frac { { A }_{ 1 } }{ 2 } -\frac { { { A }_{ 1 } }^{ 2 } }{ 8 } ...........)+\frac { { A }_{ 1 } }{ 2 } { \lambda }_{ 01 }^{ 2 }(\frac { 1 }{ { \lambda }^{ 2 } } )-\frac { 1 }{ 4 } { { A }_{ 1 } }^{ 2 }{ \lambda }_{ 01 }^{ 2 }(\frac { 1 }{ { \lambda }^{ 2 } } )-\frac { 1 }{ 8 } { { A }_{ 1 } }^{ 2 }{ \lambda }_{ 01 }^{ 4 }(\frac { 1 }{ { \lambda }^{ 4 } } )+........</math><br />
<br />
Ya que <math>{ A }_{ 1 }</math> y <math>{ \lambda }_{ 01 }</math> son constantes , así que, tomaremos a los términos lineales como otra constante <br />
<br />
<math>{ C }_{ 1 }=1+\frac { { A }_{ 1 } }{ 2 } -\frac { { { A }_{ 1 } }^{ 2 } }{ 8 } ...........</math><br />
<br />
<br />
A los términos cuadráticos la renombraremos por otra constante:<br />
<br />
<math>{ C }_{ 2 }=\frac { { A }_{ 1 }{ \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ 2 } -\frac { 1 }{ 4 } { { A }_{ 1 } }^{ 2 }{ \lambda }_{ 01 }^{ 2 }...........</math><br />
<br />
Y de igual forma a los de orden superior :<br />
<br />
<math>{ C }_{ 3 }=-(\frac { 1 }{ 8 } { { A }_{ 1 } }^{ 2 }{ \lambda }_{ 01 }^{ 4 })...........</math><br />
<br />
Por lo anterior podemos ver que <math>n</math> lo podemos reescribir como:<br />
<br />
<math>n={ C }_{ 1 }+{ C }_{ 2 }(\frac { 1 }{ { \lambda }^{ 2 } } )+{ C }_{ 3 }(\frac { 1 }{ { \lambda }^{ 4 } } )+......</math><br />
<br />
<math>\therefore </math> Esto es la ecuación de Cauchy esto quiere decir que la ecuación de Cauchy es una aproximación a la de Sellmeier.<br />
<br />
--[[Usuario:Ruben Espinosa|Ruben Espinosa Guzmán ]]<br />
<br />
<br />
----<br />
===Ejercicio 3.21===<br />
----<br />
La siguiente es la expresión para el campo $\vec{\bf E}$ de una onda electromagnética que se desplaza en un dieléctrico homogéneo:<br />
: $\vec{\bf E}=\left(-100 V/m\right) e^{i(kz-\omega t)}\hat{\bf e}_x$<br />
<br />
:En este caso, $\omega=1.80 \times 10^{15} rad/s$ y $k=1.20 \times 10^7 rad/m$<br />
:(a) Determine el campo $\vec{\bf B}$ asociado. (b) Calcule el índice de refracción. (c) Calcule la permitividad. (d) Encuentre la irradiancia.<br />
<br />
: '''''Solución:''''' <br />
:(a) $\vec{\bf B}$ está en la dirección $\hat{\bf e}_y$, dado que la onda se desplaza en la dirección $\vec{\bf E} \times \vec{\bf B}$ y que apunta en la dirección $\hat{\bf e}_z$<br />
:La velocidad es $v=\omega/k$:<br />
:$v=\frac{1.80 \times 10^{15} rad/s}{1.20 \times 10^7 rad/m}=1.5 \times 10^8 m/s$<br />
:$E_0=vB_0=\left(1.5 \times 10^8 m/s\right)B_0$<br />
:$B_0=\frac{-100 V/m}{1.5 \times 10^8 m/s}=-6.7 \times 10^{-8} T$<br />
: $\vec{\bf B}=\left(-6.7 \times 10^{-8} T\right) e^{i(kz-\omega t)}\hat{\bf e}_y$<br />
:(b) $n=\frac{c}{v}=\frac{2.99\times 10^8 m/s}{1.5 \times 10^8 m/s}$<br />
:$n=1.993$<br />
:(c) $n=\sqrt{K_E}$<br />
:$n^2=K_E$<br />
:$K_E=3.973$<br />
:$\epsilon=\epsilon_0 K_E$<br />
:$\epsilon=(8.8542 \times 10^{-12} \frac{C^2}{N m^2})3.973$<br />
:$\epsilon=(3.5181 \times 10^{-11} \frac{C^2}{N m^2})$<br />
:(d) $I=\frac{\epsilon v}{2}E_0^2$<br />
:$I=\frac{1}{2}\left(3.5181 \times 10^{-11} \frac{C^2}{N m^2}\right)\left(1.5 \times 10^8 m/s\right)\left(-100 V/m\right)$<br />
:$I=26.38575\frac{W}{m^2}$<br />
--[[Usuario:sesebasi|Sergio]]<br />
<br />
----<br />
===Problema 3.57===<br />
----<br />
Muestre que para sustancias de baja densidad, como los gases, que tienen una sola frecuencia de resonancia <math>{ \omega }_{ 0 }</math>, el índice de refracción viene dado por:<br />
<math>n\approx 1+\frac { N{ q }_{ e }^{ 2 } }{ 2{ \epsilon }_{ 0 }{ m }_{ e }({ \omega }_{ 0 }^{ 2 }-{ \omega }^{ 2 }) }</math><br />
<br />
: '''''Solución''''':<br />
De la ecuación de dispersión:<br />
<math>{ n }^{ 2 }(\omega )=1+\frac { N{ q }_{ e }^{ 2 } }{ { \epsilon }_{ 0 }{ m }_{ e } } \left( \frac { 1 }{ { \omega }_{ 0 }^{ 2 }-{ \omega }^{ 2 } } \right) </math><br />
<br />
Donde:<br />
<br />
<math>{ \omega }_{ 0 }</math>= Frecuencia de resonancia<br />
<br />
<math>{ \omega }</math>= Frecuencia<br />
<br />
<math>N</math>= Numero de electrones<br />
<br />
<math>{ q }_{ e }</math>= Carga del electrón<br />
<br />
<math>{ m }_{ e }</math>= Masa del electrón<br />
<br />
<math>{ \epsilon }_{ 0 }</math>= Permitividad del espacio libre<br />
<br />
<math>n</math>= Indice de refracción<br />
<br />
Para una sola frecuencia de resonancia, tenemos:<br />
<math>n={ \left[ 1+\frac { N{ q }_{ e }^{ 2 } }{ { \epsilon }_{ 0 }{ m }_{ e } } \left( \frac { 1 }{ { \omega }_{ 0 }^{ 2 }-{ \omega }^{ 2 } } \right) \right] }^{ 1/2 }</math><br />
<br />
Ya que para materiales de baja densidad <math>n\approx 1</math><br />
Por lo tanto el segundo termino de la Ec. <math>\left( 1 \right) </math> es <math>\ll 1</math><br />
Y solo se tendra que conservar los dos primeros terminos de la expansión binomial de <math>n</math><br />
<br />
Así mediante el uso de la expansión binomial:<br />
<math>{ \left( 1+x \right) }^{ 1/2 }=1+\frac { 1 }{ 2 } x+\frac { \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { 1 }{ 2 } -1 \right) }{ 2! } { x }^{ 2 }</math><br />
<br />
Despreciando terminos de orden superior, tenemos:<br />
<math>{ \left( 1+x \right) }^{ 1/2 }=1+\frac { 1 }{ 2 } x</math><br />
<br />
Comparando la Ec. <math>\left( 1 \right) </math> con <math>{ \left( 1+x \right) }^{ 1/2 }</math>, obtenemos:<br />
<math>x=\frac { N{ q }_{ e }^{ 2 } }{ { \epsilon }_{ 0 }{ m }_{ e } } \left( \frac { 1 }{ { \omega }_{ 0 }^{ 2 }-{ \omega }^{ 2 } } \right) </math><br />
<br />
Asi: <math>n=1+\frac { 1 }{ 2 } \frac { N{ q }_{ e }^{ 2 } }{ { \epsilon }_{ 0 }{ m }_{ e } } \left( \frac { 1 }{ { \omega }_{ 0 }^{ 2 }-{ \omega }^{ 2 } } \right) </math> ya que partir de la Ec. <math>\left( 2 \right) </math><br />
<br />
<math>n\approx 1+\frac { N{ q }_{ e }^{ 2 } }{ 2{ \epsilon }_{ 0 }{ m }_{ e }({ \omega }_{ 0 }^{ 2 }-{ \omega }^{ 2 }) } </math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Gutierrez|Luis Gutiérrez Melgarejo ]]<br />
<br />
<br />
----<br />
===Problema 3.16===<br />
----<br />
<br />
Demostrar que una formulación más general del problema anterior produce:<br />
<br />
<br />
<math>{ \left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> }_{ T }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ 1+senc\omega Tcos2\omega T \right] </math><br />
<br />
Para cualquier intervalo T<br />
<br />
solución:<br />
<br />
el promedio de tiempo de una función viene dado por la sig. ecuación integral:<br />
<br />
<br />
<math>{ \left< f(t) \right> }_{ T }=\frac { 1 }{ T } \int _{ t }^{ t+T }{ f({ t }^{ , }){ dt }^{ \quad , } } </math><br />
<br />
aquí <math>f(t)</math> esta la función cuyo promedio de tiempo que se desea calcular, T es el periodo de de la función armónica y t una variable ficticia.<br />
<br />
sustituyendo <math>{ cos }^{ 2 }\omega t</math> de <math>f(t)</math><br />
<br />
<math>{ \left< { cos }^{ 2 }\omega t \right> }_{ T }=\frac { 1 }{ T } \int _{ t }^{ t+T }{ { cos }^{ 2 }(\omega { t }^{ \quad , }){ dt }^{ \quad , } } </math><br />
<br />
usamos la siguiente relación del lado derecho:<br />
<br />
<math>{ cos }^{ 2 }(\omega t)=\quad \frac { 1+cos(2\omega { t }^{ \quad , }) }{ 2 } </math><br />
<br />
eso da:<br />
<br />
<math>\left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> =\frac { 1 }{ T } \quad \int _{ t }^{ t+T }{ \left[ \frac { 1+cos(2\omega { t }^{ \quad , }) }{ 2 } \right] } </math><br />
<br />
<math>\left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> =\frac { 1 }{ 2T } \quad \{ \int _{ t }^{ t+T }{ d{ t }^{ , }+\int _{ t }^{ t+T }{ \left[ cos(2\omega { t }^{ , }d{ t }^{ , } \right] \} } } </math><br />
<br />
<math>\left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> =\frac { 1 }{ 2T } \quad \left[ { t }^{ , }+\left[ \frac { \left[ sen(2\omega { t }^{ , } \right] }{ 2\omega } \right] \right] </math><br />
<br />
<math>\left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> =\frac { 1 }{ 2T } \quad \left[ \left[ t+T \right] -t \right] +\frac { 1 }{ 2\omega } \left[ sen(2\omega (t+T)-sen2\omega t \right] </math><br />
<br />
la ecuación anterior da:<br />
<br />
<math>\left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> =\frac { 1 }{ 2T } [T+\frac { 1 }{ 2\omega } \left[ sen(2\omega t+2\omega T)-sen2\omega t \right] </math><br />
<br />
se escribe <math>2\omega T</math> como la suma en el segundo termino <math>\omega T</math> también en el tercer termino y queda:<br />
<br />
<math>\frac { 1 }{ 2T } \left[ T+\frac { 1 }{ 2\omega } \left\{ sen(2\omega t+\omega T+\omega T)\\ -sen(2\omega t+\omega T-\omega T) \right\} \right] ec(1)</math><br />
<br />
recordando la relación trigonométrica general:<br />
<br />
<math>sen(\alpha +\beta )-sen(\alpha -\beta )=2(cos\alpha )(sen\beta )</math><br />
<br />
sustituyendo<math>2\omega t+\omega T\quad por\quad \alpha \quad y\quad \omega T\quad para\quad \beta </math><br />
<br />
<math>sen(2\omega t+\omega T+\omega T)-sen(2\omega t+\omega T-\omega T)=2cos(2\omega t+\omega T)sen(\omega T)</math><br />
<br />
usando esto en la ec(1)<br />
<br />
<math>\frac { 1 }{ 2 } \left[ 1+\frac { 1 }{ \omega T } \left\{ cos(2\omega t+\omega T)sen(\omega T) \right\} \right] </math><br />
<br />
<math>\frac { 1 }{ 2 } \left[ 1+\frac { sen\omega T }{ \omega T } \left\{ cos(2\omega t+\omega T) \right\} \right] </math><br />
<br />
usando el termino <math>\frac { 2\pi }{ T } \quad para\quad \omega </math> para el ultimo parentesis...<br />
<br />
<math>\frac { 1 }{ 2 } \left[ 1+\frac { sen\omega T }{ \omega T } \left\{ cos(2\omega t+\left( \frac { 2\pi }{ T } \right) T) \right\} \right] </math>=<math>\frac { 1 }{ 2 } \left[ 1+\frac { sen\omega T }{ \omega T } \left\{ cos(2\omega t+\left( 2\pi \right) ) \right\} \right] </math><br />
<br />
ahora usamos la expresion general:<br />
<br />
<math>\frac { senx }{ x } =sencx</math><br />
<br />
y esto da:<br />
<br />
<math>{ \left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> }_{ T }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ 1+senc\omega Tcos2\omega T \right] </math><br />
<br />
--[[Usuario:salvadormorales|Salvador Alejandro Morales Carranza ]]<br />
<br />
----<br />
===Problema 3.35===<br />
----<br />
<br />
Una antena parabólica de radar con $2m$ de diámetro trasmite $200 KW$ pulsos de energía. Si la tasa de repetición son $500$ pulsos por segundo, cada uno durando $2 \mu s$. Determinar el promedio de la fuerza de reacción sobre la antena.<br />
<br />
-- Solución --<br />
La fuerza se puede calcular mediante la definición de presión: <br />
<br />
$F= PA$<br />
:A--> Area de la antena<br />
:Con F la fuerza promediada sobre la antena y P la presión promediada. En este caso la presión por radiación ejerce una fuerza de reacción sobre la antena, entonces: <br />
$\langle{P}\rangle= \langle{S}\rangle/ c$<br />
<br />
:Con $\langle{S}\rangle$ el promedio en la energía radiada por la antena:<br />
<br />
:$\langle{S}\rangle= Energía/(tiempo)(área)$<br />
:$\langle{S}\rangle= (2 \times 10^5 W)(500 \times 2 \times 10^-{6})/A$<br />
:Entonces $\langle{P}\rangle$ es:<br />
$\langle{P}\rangle= \langle{S}\rangle/c= 6.66 \times 10^{-7}/A [Joules/metro]$<br />
:Por lo tanto, $F=PA= \langle{P}\rangle A= 6.66 \times 10^{-7} [Joules/Metro]= 6.66 \times 10^{-7} [Newtons]$<br />
--[[Usuario:Peddro J. Julian|Pedro Jesús Julián Salgado]]<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
===Problema 3.33===<br />
----<br />
'''Un haz de luz con una irradiancia de 2.00 x 10^6 W / m2 incide normalmente en una superficie que refleja 70.0% y absorbe 30.0%. Calcule la presión de radiación resultante en la superficie. '''<br />
<br />
: '''''Solución''''':<br />
EL componente reflejado tiene un cambio de impulso, y por lo tanto una presión, de dos veces el impulso incidente.<br />
<br />
Entonces:<br />
<br />
:$P(reflejado)= 2(70 $%$) \frac{I}{c}$<br />
<br />
Mientras para el absorbido<br />
<br />
:$P(absorbido)= 2(30 $%$) \frac{I}{c}$<br />
<br />
Realizando los calculos <br />
<br />
:$P_r=2(70 \%)\frac{2x10^6 W/m^2}{3x10^8 m/s} =0.93x10^{-2} N/m^2$<br />
<br />
:$P_a=2(30 \%)\frac{2x10^6 W/m^2}{3x10^8 m/s} =0.20x10^{-2} N/m^2$<br />
<br />
Por lo tanto <br />
<br />
:$P=P_{r} + P_{a} = 1.13x10^{-2}N/m^2$<br />
--[[Usuario:Flor|Flor Vivar]]</div>
Ivan de Jesús Pompa García